TEORIA DE ERRORES Toda ma Toda magn gnit itud ud ob obse serv rvad adaa o me medi dida da co cont ntie iene ne erro er rore ress de cu cuan antí tíaa de desc scon onoc ocid idaa en ento tonc nces es la misión mas importante del topógrafo es mant ma nteener las mediciones dentr tro o de ciertos límites de precisión, dependiendo de la finalidad del levantamiento. ara a ra el ello lo es ne necces esar ario io !u !uee co cono no"c "caa bi bien en la lass causas cau sas !ue !ue oca ocasio sionab nabaa dic#os dic#os errore erroress cuando cuando #ablamos de mediciones, debemos saber distinguir $ usar adecuadamente entre e%actitud $ precisión. E&A'TIT(D)
Es el grado de apro%imación a la verdad o grado de perfección a la !ue #a$ !ue procurar llegar. RE'ISI*+)
Es el grado de perfección de los instrumentos $o con !ue se reali"a una operación o se toma la lectura de una observación o tambi-n el nmero de cifras con !ue se efecta efecta un c/lculo. c/lculo.
ERROR Es la diferencia entre el valor verdadero $ el valor determinado mediante las mediciones. +o obstante, es preciso anotar !ue el valor valor verdadero no se conoce ni se conocer/ 0am/s. •
(na medi dicción pu pueede ser e%acta $ viceversa.
precisa sin ser
E1E23O) (na distancia puede medirse mu$ cuid cu idad adosa osamen mente te con con una cinta cinta $ apro% apro%im imar arla la #asta el milímetr milímetro, o, $ tener como resulta resultados dos una una medida con un error de varios centímetros, esto por ser incorrecta la longitud de la cinta, luego la medida es precisa pero no e%acta. En conclusión se puede decir)
•
+inguna medida es e%acta
•
Todas las mediciones contienen errores.
El verdadero valor nunca se conoce. 4(E+TES DE ERROR A. I+ I+ST STR( R(2E 2E+T +TA3 A3ES ES)) A!uellos !ue provienen de la imperfección en la cons co nstr truc ucci ción ón o a0 a0us uste te de lo loss in inst stru rume ment ntos os de media, medi a, por por e0emplo e0emplo la mala mala grad graduac uación ión de de una 5inc#a, un teodolito mal calibrado. 6.ERSO+A3ES) •
Provienen del elemento humano como son: limitaciones de vista, distracciones, equivocaciones etc. Ejemplo leer un N° por otro.
'.+AT(RA3ES) Son aquellos que tiene como origen la variación de cie ciertos rtos fen fenómen ómenos os nat natura urales les,, com como o el vie viento, nto, la humedad, la temperatura, la refracción, etc. Ejemplo la dilatación o contratación de la wincha de acero por camios de temperatura.
'. E%%&%ES (#)E%*#"ES & +*-&!#!*&NES Son errores que se comenten sin intención, debido a una confusión del operador o a la falta de atención de este. Son fác fácile iles s de det detect ectar, ar, pon poniend iendo o ate atenció nción n a lo que se hace,, ten hace teniend iendo o más orde orden, n, se desc descubre ubren n y eli elimina mina comprobando parte o todo el trabajo.
7. ERRORES SISTE2ATI'OS Son aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre sie mpre en la mis misma ma magn magnitu itud d y con el mis mismo mo sig signo no es decir dec ir son son acu acumula mulativ tivos os se puede puede calc calcular ular y elim eliminar inar por medio medi o de la correcc corrección ión Ejempl Ejemplo o una winch wincha a de acero acero de 3. m. que tiene un e!ceso en su longitud de ." m. Entonc Entonces es introduc introduce e un error de # ." cada ve$ que se usa.
8. ERRORES A''IDE+TA3E A''IDE+TA3ES S Son aquello errores que se comet cometen en en forma casual y esca es capan pan de dell co cont ntro roll del ope opera rador dor y la ca capac pacid idad ad del instrumento y obedece a la ley de la probabilidad no se le puede aplica aplicarr ninguna correcc corrección ión debido a que no hay m%todo que nos permita calcul calcularlos, arlos, tambi%n se los denomina errores compens compensable, able, porque la magnitu magnitud d y el si signo gno so son n va vari riab ables les por lo que ti tiend enden en anu anular larse se parcial parc ialment mente e ent entre re s& en una seri serie e de medi medidas das est estos os errores son los que hacen que nos puedan encont encontrar rar el valor verdadero de una medidas.
$*S!%EP#N!*# Es la diferencia entre dos mediciones hechas de una misma magnitud. Siempre se dee comproar unas oper op erac acio ione nes s top topog ogr rfi fica cas s re real ali/ i/and ando o co como mo m0 m0ni nimo mo una segunda medición. Si la discrepancia entre las dos me med diciones es pequ pe que e1a in indi dica ca qu que e no ha ha2 2 eq equi uiv voc ocac acio ione nes s 2 los erro er rore res s ac acci cide dent ntal ales es so son n pe pequ que1 e1os os,, po porr ta tant nto o se puede corregir. Si la discrepancia es grande ind ndiica que se ha come mettido una equi uiv voc oca ación o error que ha2 que detectarlo 2 eliminarlo, comproando parte o todo el traajo. no de los mejores m3todos para locali/ar equi eq uivo voca caci cion ones es 2 er erro rore res s es de comp compar arar ar varia varias s medidas de la misma magnitud.
&4SE%-#!*&NES $E *5#" P%E!*S*&N -#"&% P%&4#4"E Es valor proale de una cantidad es una e6presión mate ma temt mtic ica a qu que e de desi sign gna a un va valo lorr ca calc lcul ulad ado o qu que e de acuerdo a la teor0a de las proailidades es el que mas se apro6ima apro6ima al verdadero valor.
9A3OR RO6A63E ARA 3A 2IS2A 2IS2A 'A+TIDAD El 9.. de una magnitud medida varias veces en las mismas condiciones es la media aritm-tica de todas las mediciones #ec#as. +ota) Es la media aritm-tica de todas las mediciones admitidas como probables. 9.. :
X
:
∑ X
n
N
+ : +mero de observaciones E0emplo) E0empl o) 3as medici mediciones ones de una longitu longitud d #an dado como resultado) ;<=.7>, ;<=.7?, ;<=.77, ;<@.7<, ;<=.7@ m. @.7< es una medida !ue se ale0a muc#o de la media or lo tanto anulamos
9. :
854.25 + 854.27 + 854.22 + 854.26 4
9.. : ;<=.7= m.
9A3OR RO6A63E ARA 9ARIAS 'A+TIDADES O2OBE+EAS 'ara una serie de magnitudes de igual clase, medidas en igualdad igua ldad de cond condici iciones ones y cuya cuya suma suma e!acta e!acta se conoce conoce entonce ento nces s los valores valores probab probables les son los los observad observados os con una corrección igual al error total dividido entre el n(mero de observaciones. )ota* +eneralm +eneralmente ente la corrección se hace proporci proporcional onal al n(mero de bservaciones y no a la magnitud de cada medición Entonces)
C
:
i
1
N
G :
i
G
i H
∑
C
i
F
i
: 'ondición geom-trica : 9alores angulares
∧
G
i
C +
i
: 'orrección : nmero de medidas
E0emplo) se #an medido lo tres /ngulos de un triangulo en las mismas 'ondiciones $ los resultados son) A: <; 8JK > =7K =JL : >;J ∑ i : >?M
G
C C
i :
1 3
>;J >?M
'omo es por DE4E'TO DE4E'TO de N < N =7K =JL N ?M
la corrección corrección ser/
<; 8JK > =7K =;J JJK JJL
ara medici mediciones ones an/log an/logas, as, #ec#as en igual igualdad dad de condiciones $ cu$a suma sea igual a una sola medición #ec#as en las mismas condiciones $ circunstanci circun stancias as los valore valoress probables probables se obtiene obtiene repartiendo el error total en partes iguales entre todas las mediciones incluso la suma.
Si la corrección se suma a cada medición entonces se restara a la suma total y viceversa. Ejemplo: Se han medi medido do tre tress áng ángulo uloss y el ángu ángulo lo tota total, l, alrededor un mismo vértice “0” !"# $ %&' (%) *0” #"+ $ (” &-) &0” +" +" $ & &'' ( ()) 00 00”” !" !" $ - -'' ( ()) 00 00”” Si di diccha hass me medi dici cion ones es ha han n si sido do re real ali/ i/ad adas as en igualdad de condiciones. +alcular los valores proales de los mismos. Solución: ∑
1
i
$ !"# 2 #"+ 2 +" $ -' (3) %0”
+ondición 4eométrica $ $ -' () 00”
∧
G
$ !"
∧
G
1
$ 8
i $
1 4
5 -' () 00” 6 -' (3) %0” 7 $ 8
1' 10" 4
70" 4
+omo es por e9ceso !"# #"+ +" !"#
$ $ $ $
1
i
$ 8 %.*
%&' (%) *0” 6 %.*” $ (' &-) &0) 6 %.*” $ ' () 00) 6 %.*” $ %&' (%) *0” 6 %.*” $
%&' (%) (&.*” (' &-) 0&.*” ' (;) &.*” %&' (%) (&.*
En los casos anteriores cuando se halo de circ ci rcun unst stan anci cias as ig igua uale less o en igual iguales es condi condici cion ones es,, indica >"> ?>"#!#@E Error proale es una cantidad positiva o negativa >"> ?>"#!#@E E BC! S"@! +!CD! ndica ndi ca el grado grado de precisi precisión ón
n
E $
± 0.;*
2
∑(x −x ) i
i
n
−1
0.;* : +onstante de proporcionalidad. n
∑ 5 i =1
x
8 9i 7& $ F& $ Errores >esiduale >esidualess
C $ G de oservaciones E>>"> ?>"#!#@E E @! HE! !>HED+! e un cierto nImero de oservaciones de la misma cantidad: n
Eo $
±
0.;*
2
∑(x −x ) i
i
n (n
−1)
$
±
E n
E>>"> >E@!DF" Es la =orma unitaria de e9presar el error, dando asA mejor signi=icado de la precisión de las mediciones. Se e9presa e9presa en =orma =orma de un un
Er $
E x
$
1 X/E
El error proale de la media aritmética sirve para e9presar la =luctuación H!S ?>"#!#@E: F.H.?
F.H.?. $
X
J E"
?>"#@EH! ?ara calcular calcular la altura altura de un punto punto se hicieron hicieron %& medic medicione ioness usando un nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en igualdad de condiciones oteniéndose: &.%3, &.%-, &.%3%, &.%3, &.%;, &.%3;, &.%3(, &.%3, &.%3%, &.%33, &.%-.
+alcular a7 Error proa proale le de una sola medic medición. ión. 7 Err Error or rel relati ativo vo c7 Fal Falor or Hás Hás ?roa ?roale le.. S"@B+"C: Ki
x
&.%3 &.%3& &.%&.%3% &.%3 &.%; &.%3; %.%3( &.%3 &.%3% &.%33 &.%-
&.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3& &.%3&
5 x 8 Ki 7 8 0.00* 0.000 0.00( 0.00% 8 0.00& 2 0.00; 8 0.00 8 0.00% 0.00 0.00% 80.00; 0.00(
5 x 8 Ki 7& 0.0&* 0.000 0.000.00% 0.00 0.0(; 0.0%; 0.00% 0.0%; 0.00% 0.0(; 0.00∑ $ 0.%*
a7 E>>"> ?>"#!#@E E BC! S"@! "#SE>F!+LC n
E $
±
2
∑(x −x )
0.;*
$
i
i
n
±
0.;*
−1
0.154 11
E $
±
0.0-3 m.
7 E>>"> ?>"#!#@E E D"!S @!S "#SE>F!+LC n
2
∑(x −x ) i
Eo $ ± 0.;*
$
i
n (n
±
E n
−1)
$ ±
Eo $ ± 0.0&( m c7 E>>"> >E@!DF" Er
$
1 X/E
$
1
1 2.182 / 0.0798
$
d7 F!@"> H!S ?>"#!#@E F.H.? $ &.%3&
±
0.0&( m.
27.34
0.0798 12
"#SE>F!+LC E ME>ECDE ?>E+SLC En anter anteriores iores consi consideraci deraciones ones se ha supue supuesto sto
?ES"S !sA por ejemplo ejemplo:: se ha medido medido un ángulo en varias varias ocasiones ocasiones y por distintos operadores, todos han tenido el mismo esmero al oservar oteniendo el siguiente resultado. ' () 0” 5%er "perador7 ha reali/ado % oservación ' () &&” 5&do "perador ha reali/ado oservaciones ' () &&” 5(er "perador ha reali/ado - oservaciones Es lógico admitir
C"D!: %. El peso peso se puede puede asign asignar ar de ac acue uerd rdo o al nImer nImero o de oservaciones. &. El peso se puede asig asignar nar al crite criterio rio del oserv oservador. ador. (. El peso se puede asignar de acuerdo al error proale, en este caso son inversamente prop pr opor orci cion onal al a lo loss cu cuad adra rado doss de lo loss re resp spec ecti tivo voss errores proales. "SE!: 2 2 = 2 P E 2 1 P
1
E
onde: ?%, ?& $ son los pesos
2 E 1
$ ?&
E
2 2
$ ?(
E
2 3
$ N
F!@"> H!S H!S ?>"#!#@E E "#SE>F!+"CES "#SE>F!+"CES +"C ?ES"S E BC! S"@! +!CD! +!CD! El F.?. F.?. de una cantidad medida varias veces veces con di=erente precisiones: a7 HE! ?"CE>!! X
?
$
∑ (x P ) ∑P i
×
i
77 E>>"> ?>"#!#@E E @! HE! ?"CE>! ?"CE>!! ! n
Eop $
± 0.;* 9
2
∑(x −x ) P i
P
i
∑P (n −1) c7 E>>"> ?>"#!#@E E BC! HE! n
Eo $
± 0.;* 9
2
∑(x −x ) P P
i
i
(n −1)
i
i
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP =
±
XP
Eop
Del ejemplo anterior que se ha medido un ánulo en !arias o"asiones #$% & $' #( * + o,ser!a"i-n) #$% & $' .. * # o,ser!a"iones) #$% & $' &( * / o,ser!a"iones) A012LO
PESO
#$%&$'#( #$%&$'.. #$%&$'&( #$%& $'&(
+ # /
3i 4 Pi #$%&$'#( 66 .$(
*
5 4i ) 5 +. 78 5 .
*
xP
5 4i ). +## &8 #
xP
*
5 4i ). Pi +## +## &8
xP
a) MED9A PO0DERADA XP
XP
=
∑ (x P ) ∑P i
×
i
=
398" 14
=
.6
= #$%&$'.6
,) ERROR PROBABLE DE LA MED9A PO0DERADA n
Eop =
2
∑(x −x ) P P
± (:8$#; 4
i
i
∑P(n −1) 324" 14(3
1)
−
Eop =
±
.:&
i
= = ± (8$#;
X
") ERROR PROBABLE DE 20A MED9DA n
Eo =
2
∑(x −x ) P P
± (:8$#; 4
i
i
i
=
± (:8$#; X
(n −1) 324" 3
1
−
Eo =
± 6:;6
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP =
XP
± Eop
= #$% &$' .6 ± .:&
Ejemplo< Se siuen # itinerarios para determinar la la "ota de un punto: La "ota "on "on sus "orrespondientes errores pro,a,les son< 990ERAR9O A B > D
AL2RA OBSERVA OBSERVADA DA ..+:(; ± (:((8 m ..+:&$ ± (:(+. m ..(:8. ± (:(+6 m ..+:8$ ± (:(.# m
a) ?all ?allar ar el !alo !alorr pro,a pro,a,le ,le de la "ota ,) El Error Error Pro,a,le Pro,a,le de la Media Media Ponderada Ponderada::
") El Valor Valor Mas Mas Pro,a Pro,a,le ,les: s:
SOL2>9@0 a) >al"ulo de los Pesos
P+ E+ E. E& E#
= = = =
2 E 1
(:((88 (:(( ± (:(+. ± (:(+6 ± (:(.#
±
= P.
E
2 2
= P&
simpli simp lii i"a "and ndo o simplii"ando simplii"ando simplii simp lii"ando "ando
E
2
=
3
E+ E. E& E#
= = = =
*+)
+ . & #
ReemplaCando en *+)
P+
2 E 1
= P.
P+ x + = P. ⇒
P+ = + 3i ..+:(; ..+:&$ ..(:8. ..+:8$
E
x
2 2
#
= P& =
P&
E
x
2 3
/
P. = Pi + +/ ++8 ∑ .(;+##
= P#
E
= P#
2 4
x
P& = +/
+8
P# = ++8 3i Pi ..+:(; ;;:&# ..:;+ +&:6; &+#:$;
,) Media Ponderada XP
3i ..+:(; ..+:&$ ..(:8. ..+:8$
=
∑ (x P ) ∑P i
*
×
i
5 4i ) (:(; (:.$ (:#6 (:;$
*
xP
314.75
=
=
205 / 144
5 4i ). (:((.; (:($./ (:.&(# (:..#/
XP
P + +/ ++8
xP
*
205
= ..+:+( m
5 4i ). Pi (:((.; (:+6. (:(.;8 (:(.(& (:(888
xP
144
,) Error Pro,a,le de la Media Ponderada
EOP =
± (:8$#;
0.00666 205 (3) 144
EOP =
±
(:(.8 m:
Ep =
±
(:((&+$ m:
") Error Pro,a,le de una Medida
Ep =
± (:8$#;
0.00666 3
d) Valor Más Pro,a,le
VMP =
XP
± Eop
= ..+:+( ± (:(.8 m:
VAR9AS >A09DADES ?OMO1E0EAS >uando >uando se tiene !arios !arios !alores !alores o,ser!ad o,ser!ados os "on dierentes dierentes pesos pesos F la suma de estos !alores !alores es iual a un !alor "ono"ido o medido: Enton" Enton"es es los V:M:P: V:M:P: son los o,ser! o,ser!ado ados s mas mas una una "orr "orre"" e""i-n i-nGG esta esta "orre""i-n es una parte del error total : HEstas "orre""iones que se apli"an son in!ersamente propor"ional propor"ional a los pesos
>+ P+ = >. P. = >& P& Donde< > = >orre""i-n que de,e apli"arse al !alor o,ser!ada o,ser!ada de una "antidad para o,tener el VMP: EIER>9>9O Se midieron los tres ánulos F el ánulo total de estosG todos desde el mismo mis mo !J !Jrti rti"e "e HO en iu iuald aldad ad de "on "ondi" di"ion iones es o,t o,teni eniJnd Jndose ose los siuientes resultados< K K K K
AOB BO> >OD AOD
= = = =
#8% +#' #; $#% &.' ./ 6;% ;#' &6 .(6% #+' .6
?allar los !alores pro,a,les: Solu"i-n<
* 8 o,ser!a"ion o,ser!a"iones) es) * + o,ser!a"ion o,ser!a"iones) es) * & o,ser!a"ion o,ser!a"iones) es) * ; o,ser!a"iones)
a) >AL>2LO DE LOS >ORRE>>9O0ES PAR>9ALES RELA9VA RELA9VAS S:
>+ P+ = >. P. = >& P& = ># P# 8 >+ = + >. = & >& = ; ># ⇒ >. = + >+ = +8 >& = +& X
X
X
X
># = +;
,) D9S>REPA0>9A
KAOB 7 K BP> 7 K>OD = .(8% .(8% #+' ;. KAOD = .(8% #+' .6 D9S>REPA0>9A = 7 .# *E4"eso) D9S>REPA0>9A Esta dis"repan"ia se reparte reparte en orma propor"ional a las las "orre""iones relati!as halladas anteriormente: ") >ORRE>>9O0ES PAR>9ALES ABSOL2OS Repartir .# propor"ional A< A< +G +8G &G +&G +; >. =
+ 24 "
1
+ = +#
1
1
1
6
2
5
>+ =
24"
x
7 / 10 1
1 6
= .
x
>& =
24" x 1/3
7 / 10 1
24" x
7 / 10 1
1 5
= ;
># =
= &
d) VALORES PROBABLES KAOB KBO> K>OD KAOD
= #8% +#' #; 5 . = #8 +#' &# = $#% &.' ./ 5 +# = $# &.' +; = 6;% ;#' &6 5 ; = 6; ;#' && = .(8% #+% .6 7 & = .(8% #+'&+
Ejer"i"ios< +: 0o pudiendo medirse la distan"ia horiContal horiContal entre los puntos MG 0G se determinara determinara en orma orma indire"taG midiJndose su pendiente F la dieren"ia de ni!el entre estos estos en tres opera"iones de "ampoG reistrando los siuientes datos< Pendiente A? +ra medi"i-n (.% #&' +;:.& m: .da Medi"i-n (.% ##' +;:.. m: &ra Medi"i-n (.% #.' +;:.# m: a) ?allar ?allar el V:M: V:M:P P de la pendien pendienteG teG de la la dieren" dieren"ia ia de ni!e ni!ell F la distan"ia horiContal ,) Adem Además ás hallar sus respe"ti!os respe"ti!os Errores Errores Relati!os: Relati!os: .: Se tie tiene ne un ter terre reno no de de "uat "uatro ro lad lados os del del "ua "uall hemo hemoss o,tenido los siuientes datos< Medi"i-n del permetro<
;+6$:&( ;+6$: &( m:
;+68/(( m: ;+68/
;+6;:#( ;+6;: #( m:
;+66:+( m: ;&8;:6( m: ;+68:$( m: De iual manera se han medido sus ánulos ánulos internos< K A = 86% &#' +; *& !e"es) K B = & 8% ## ' +. *+ !eC) K > = + +6% .;' & ( *. !e"es) K D = + &8% +8' . ; *. !e"es) >al"ular los V:M:P: del permetro F de los respe"ti!os ánulos:
EOR9A DE ERRORES ERRORES E0 LAS MED9>9O0ES OPO1RA9>AS 2na opera"i-n oporái"a "omo< La suma de tramos para dar una lonitud total: •
•
•
•
?allar el lado o ánulo de una iura eomJtri"a: El área de trianuloG trianuloG "uadrado o "ualquier "uadrilátero: "uadrilátero: El !olumen de una iura eomJtri"a et":
Esta dado por la siuiente un"i-n<
μ
= * 4G FG C )
Enton"es el Error Pro,a,le de di"ha opera"i-n opera"i-n esta dado dado por
e
µ
=
2
±
2 du du du .e 2 + .e y .ez x + dy dz dx
1) EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD TOTAL
x + ex ⇒
y + ey
z + ez
……
La Función e!"#
S = x + y + z + $$$$$$$ E% E!!&! P!&'a'%e 2
es
=
±
ds 2 ds ds .e 2 + .ey .ez x + dy dz dx
es
=
±
( ex ) 2 + ( ey ) 2 + ( ez ) 2
⇒
($M$P$ = S
±
es
N&a# *uan& && %& !a,& ienen %a ,i,a ,eia y -&! an& e% ,i,& e!!&! -!&'a'%e. en&nce e% E!!&! P!&'a'%e e &a %a u,a e !a,&. e i/ua% a% e!!&! -!&'a'%e e una &%a &'e!0ación & ,eia ,u%i-%icaa -&! %a !az cua!a& cua!a& e% e% N2,e!& e ,eia$ ,eia$
S = x + x + x + x $$$$$$$ $$$$$$$
es es
=
±
=
±
n.( e x )
⇒
(e )2 + (e )2 + (e )2 x
2
x
x
es
⇒
($M$P$ = S
±
ex
=
±
ex
n
n
E3e,-%&# Se ,ie una a%inea a%ineaci ción ón en !e !e
!a, !a,& & c&n %& i/u i/uie ien ne e e!!&! e!!&!e e
-!&'a'%e# ±4$415
,$
± 4$4466
,$
± 4$417
,$
Re-eci0a,ene cua% e e% E!!&! P!&'a'%e e %a %&n/iu &a%$ S&%ución#
ex
=
es
=
± 4$415
±
,$
ey
=
( ex ) 2 + (ey ) 2 + ( ez ) 2
± 4$466
=
±
,$
ez
=
± 4$417
( 0.014) 2 + ( 0.022) 2 + ( 0.016) 2
,$
es
=
±
4$4849: ,$
6)$ EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRI*A E3e,-%& e% "!ea e un !ec"n/u%&
% + e% a + ea
A = % x a……
La Función e!"# E% E!!&! P!&'a'%e 2
2
eA
=
±
dA .e + dA .e a dl l da
eA
=
±
( a.el ) 2 + ( l.ea ) 2
⇒
($M$P$ = A
±
eA
E3e!cici&# L& %a& %a& e un e!!en& e!!en& !ecan/u !ecan/u%a! %a! ,ien
;94 ,$ y 8;9 ,$ y e
,ien c&n una cina e 69$4,< ue iene en u %&n/iu un e!!&! e
±
4$419,$ >a%%a! e% (a%&! M" P!&'a'%e e% "!ea e ic?& e!!en&$
SOLU*ION# *a%cu%& e% E- e caa %a& *&,& -a!a caa cinaa e -!&uce un e!!&! e 4$419,< en&nce ee e!!&! e acu,u%ai0& an& -a!a e% %a!/& c&,& -a!a e% anc?& Pa!a ;94 ,$ 750
Se ?a'!"n a&#
eL = e$
N
25
±
=
= 84 ,eia
4$419
eL =
⇒
30
±
4$4@6 ,$
Pa!a 8;9 ,$ Se ?a'!"n a&#
ea
=
⇒
±
375 25
%
= ;94
±
A
= ;94
x
eA
=
±
eA
=
±
ea
⇒
15
4$419
= 19 ,eia
=
( a.el ) 2 + ( l.ea ) 2
=
4$49@ ,$
a = 8;9
4$4@6 ,
8;9
±
± 4$49@
,
6@1694 ,6 =
±
( 375
x
0.082 )
98$6;
($M$P$ = 6@1694
±
98$6; ,6
2
+
( 750
x
0.058 )
2
8)$ EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA GEOMETRI*A EP DE LA DISTAN*IA >ORIONTAL >ORIONTAL ENTRE ENTRE DOS PUNTOS
eL
L B
θ ± eθ D B
eD
D= L x c& θ
La Cunción e!"#
E% e!!&! -!&'a'%e# 2
2
eD
=
±
dD .e + dD .e dL L dθ θ
eD
=
±
( Cosθ.eL ) 2 + ( − L.Senθ.ea ) 2
⇒
N&a#
eθ
($M$P$ = D
±
eD
!aiane
E3e!cici&# Se ?a ,ei& %a iancia inc%inaa y %a -eniene en!e %& -un& A y c&n e% i/uie i/uiene ne
!eu !eu%a %a&$ &$
861$86 861$86@ @
±4$489
y
658 ±685
!e-eci0a,ene ?a%%a! e% (a%&! Ma P!&'a'%e e %a iancia ?&!iz&na% en!e e&$ S&%ución#
861$86@
±4$489
658 ±685 D
D = L x *&
θ
= 861$86@
x
*& H 6 58 ) = 864$:7; ,$
E% e!!&! -!&'a'%e#
eD
=
±
(Cos2°43`x0.035) 2 + ( − 321.328x0.00702) 2 ⇒
($M$P$ = 864$:7;
±
4$1169 ,
=
B 4$1169
