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Formas Canónicas del modelo de Estado-Espacio
TEORÍA DE CONTROL IV
DETERMINACIÓN DEL MODELO DE ESTADO-ESPACIO A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA. Asumir que un sistema lineal e invariante en el tiempo, de orden n, viene dado por su función de transferencia: Y ( s) U ( s)
=
b0 s n s
n
+ +
b1 s n −1 a1 s
n −1
+ . .. + + ... +
bn −1 s a n −1 s
+ +
bn an
Se desea representarlo mediante un modelo de estado espacio usando las matrices A, B, C y D, de ordenes n x n, n x 1, 1 x n y 1x1, respectivamente. A es la matriz de estado, B es la matriz de entrada, C es la matriz de salida (o de medición) y D es la matriz de transmisión directa (D es un escalar), x es el estado (vector de n x 1), u es la señal de control; y es la salida. •
x = Ax + Bu
y = Cx + Du Suponemos que un sistema lineal de una sola entrada y una sola salida(SISO) viene dado por la función de transferencia: Y ( s ) U ( s )
=
s 3
− 6 s 2 − 30 s + 144 + 14 s 2 + 56 s + 160
Figura 2.1 Forma Canónica Controlable (Programación directa)
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Se desea representar dicho sistema por las formas canónicas controlable, la observable y la normal. La forma canónica controlable viene dada por: x• •1 x 2 = . . • x n
1 0 0 0 0 1 . . 0 . . . − a n − a n−1 − a n− 2
0 x1 0 0 L 0 x 2 L 0 . + . u . L 1 . L − a1 x n 1 L
y = [ bn – an b0 ! bn-1 – an-1 b0! . . .! b1 – a1 b0]x + b0u Con MATLAB: num = [0 -6 -30 144]; %Numerador de la f. de t. den = [1 14 56 160]; [A,B,C,D] = tf2ss(num,den) %Forma canónica controlable invertida: -14 1 0
-56 0 1
-160 0 0
-30
144
B = 1 0 0 C = -6 D = 0 T
%Mat %Matri riz z de de tra trans nsfo form rmac ació ión n par para a dar darle le la form forma a con contr trol olab able le (Oga (Ogata ta) ) 0 0 1
0 1 0
1 0 0
[a,b,c,d] = ss2ss(A,B,C,D,T) a otro del mismo tipo.
%Para pasar de un modelo de estado-espacio
a = 0 0 -160
1 0 -56
0 1 -14
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b = 0 0 1 c = 144
-30
-6
d = 0 ALIN también es capaz de calcular la forma canónica controlable usando la combinación de teclas ctrl-F4.
Figura 2.2
x• •1 x 2 = . . • x n y = [0
Forma canónica observable (Programación anidada)
0 1 . . 0
0 0 1 . 0
0 0 0 . 0
0
.
.
L L L L L
0 0 0 0 1
. 0
− a n x1 bn − b − a n−1 x 2 n −1 − − a n− 2 . + . . L . − a1 x n b1 −
a n −1 b0 u a1b0 a n b0
1]x 1]x + b0u
Con ALIN podemos encontrar el modelo correspondiente al ejemplo para la forma canónica observable, usando alt-F4:
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x• 0 0 − 160 x1 144 •1 x = 1 0 − 56 x + − 30 u 2 •2 0 1 − 14 x3 − 6 x3
y
x1 = [ 0 0 1 ] x 2 x 3
canon con la opción MATLAB calcula la forma diagonal usando el comando canon con ‘modal’, aunque en este caso la matriz de estado no resulta diagonal porque la matriz de estado tiene un par de raíces complejas: [aa,bb,cc,dd,T] = canon(a,b,c,d,'modal') aa = -2.0000 -3.4641 0
3.4641 -2.0000 0
0 0 -10.0000
4.6068
1.5522
bb =
0.1007 -0.5378 -1.3224
cc = -14.5937 dd = 0 T =
%Matriz de transformación para darle la forma modal
-16.6144 -14.2446 -21.1587
-0.6542 -6.8022 -5.2897
0.1007 -0.5378 -1.3224
Cualquiera de las tres formas es idéntica en cuanto a sus valores principales: eig(A)
%Ra %Raíces de A (tie tiene un un par par de ra raíces ces com compleja ejas)
-10.0000 -2.0000 + 3.4641i -2.0000 - 3.4641i eig(a) -2.0000 + 3.4641i -2.0000 - 3.4641i -10.0000
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eig(aa) -2.0000 + 3.4641i -2.0000 - 3.4641i -10.0000 %Reiterando: las raíces del sistema son invariantes a la transformación Las tres formas dan el mismo resultado al calcular su función de transferencia: [nu,de] = ss2tf(A,B,C,D) [nu,de] = ss2tf(a,b,c,d) [nu,de] = ss2tf(aa,bb,cc,dd) nu =
%numerador: 0
-6.0000
-30.0000
144.0000
1.0000
14.0000
56.0000
160.0000
de =
Forma canónica normal (dual de companion) Esta forma canónica viene dada por: x• •1 x 2= . . • x n
y
1 0 0 0 0 1 . 0 . . . . − a n − a n−1 − a n− 2
= [1 0
L
0 x1 β1 β x L 0 2 2 L 0 . + . u . L 1 . L − a1 x n β n L
x1 x 0] 2 + β 0 u M x n
Donde:
β0 β1 β2 β3 !
= = = =
b0 b1 – a1β0 b2 – a1β1 – a2β0 b3 – a1β2 – a2β1 - a3β0 !
βn = bn – a1βn-1 –. . . – anβ0
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MATLAB puede calcular la forma canónica ‘companion’ la que se puede usar para calcular la forma normal empleada en el texto de Ogata (la companion de MATLAB es la dual de la normal del texto de Ogata): [a,b,c,d] = canon(A,B,C,D,'companion') a = 0 1 0
0 0 1
-160 -56 -14
54
-276
b = 1 0 0 c = -6 d = 0 f = b;
%Para salvar matriz b
b = c'; c = f' a = a' 0 0 -160
1 0 -56
0 1 -14
ALIN calcula la forma normal mediante la tecla F4.
Figura 2.3 Diagrama a bloques de la forma canónica normal
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Modelo de Estado-Espacio a partir del mapa de polos y ceros K = 10; %Ganancia igual a 10.0 Z = [-4]; %Un cero en -4 P = [0 -2 -2 -10]'; -10]'; %Polos %Polos reale reales; s; en en 0, -2 y en -10 -10 [A,B,C,D] = zp2ss(Z,P,K) A = 0 4.0000 0
0 -12.0000 4.4721
0 -4.4721 0
0
2.2361
B = 1 1 0 C = 0 D = 0; Respuesta a una forma de onda arbitraria: t = 0:0.025:3.0; size(t) 1 121 U = (4*t.* (4*t.*ex exp(p(-4* 4*t)) t))'; '; size(U) 121
-4t
%u(t) %u(t) = 4te 4te
1
Figura 2.4 Respuesta a una forma de onda arbitraria
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[Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,t); plot(t,Y) xlabel('tiempo') ylabel('y') grid on plot(X(:,1),X(:,2)) xlabel('x1') ylabel('x2') title('Plano de estado') grid on
Figura 2.5 Plano de estado obtenido con MATLAB
Forma modal (diagonal) Esta forma canónica se obtiene al desarrollar por fracciones parciales la función de transferencia del sistema. En el diagrama siguiente se muestra la representación analógica cuando sólo existen raíces reales y distintas.
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Figura 2.6 Forma canónica diagonal
Donde las derivadas de las variables de estado de estado son: x• •1 x 2 = . . • x n
p1 0 . . 0
0 p 2
. . 0
0 0
L
p 3
L
. 0
L
L
L
0 x1 1 1 0 x 2 0 . + . u . 0 . p n x n 1
Y la expresión de la salida es: y
= [c1
c2 . . . c n]x + b0u ;
donde x es el vector de estado. [A,B,C,D] = canon(A,B,C,D,'modal') A = -2 0 0
0 -10 0
0 0 0
B =
-0.6124 0.8216 1.3416
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C = 2.0412
-0.9129
1.4907
D = 0 Comando canon de MATLAB: CANON realización canónica de estado-espacio. CSYS = canon(SYS,TIPO) computa una realización canónica estadoEspacio. CSYS del modelo LTI de MATLAB. La cadena TIPO selecciona el tipo de la forma canónica: 'modal' : Forma canónica modal, donde el sistema exhibe sus eigenvalores en la diagonal principal de A. La matriz de estado A debe ser diagonalizable. 'companion': Forma canónica companion donde el polinomio característico aparece en la columna derecha. [A,B,C,D,T] = canon(A,B,C,D,TIPO) también retorna la matriz de transformación T tal que z = Tx donde z es el nuevo estado. Esta sintaxis sólo es significativa cuando se trata de modelos de estado-espacio. La forma modal es útil para determinar la controlabilidad relativa de los modos del sistema. Nota: La forma companion es malcondicionada y deberá ser evitada si es posible.
Forma modal cuando existe un par de polos complejos En este caso no se puede obtener la forma diagonal, pero se obtiene una forma muy conveniente. Veamos el caso de tercer orden. Si la función de transferencia viene dada por Y ( s) U ( s)
=
b1 s 2
+ b2 s + b3 c3 q c1 s − p c = + − 2 ( s − p1 )( ( s − p) 2 + q 2 ) ( s − p1 ) ( s − p) 2 + q 2 ( s − p ) 2 + q 2
Donde se han usado fracciones parciales. La representación en el estado espacio viene dada por
x• p1 0 0 x1 1 • 1 x 2 = 0 p q x2 + 1 u • 0 − q p x3 0 x 3 x1 y = [c1 c 2 c3 ] x 2 x3 Profr. Salvador Saucedo
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En la figura se muestra el diagrama de bloques del modelo anterior
Figura Representación Representación en la forma forma modal cuando hay un un par de polos complejos. complejos.
Veamos un ejemplo para ilustrar lo anterior 4 s 2 + 12 s + 8 1.6 s + 1 2 = = + 2.4 + 3.2 2 2 2 2 U ( s) s ( s + 1) + 2 ( s + 1) 2 + 2 2 s ( ( s + 1) + 2 ) Y ( s)
El modelo en la forma modal es:
x• 0 0 0 x1 1 • 1 x 2 = 0 − 1 2 x 2 + 1u • x 3 0 − 2 − 1 x3 0 x1 y = [1.6 2.4 − 3.2] x 2 x3 MATLAB calcula dicho modelo de manera semejante, distribuyendo las constantes ci entre las matrices B y C.
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Forma canónica controlable El programa ALIN permite calcular la forma controlable a partir del mapa de polos y ceros con la tecla F4: 0 0 1 1 A = 0 0 0 − 20 − 12
0 B = 0 1
C = [40 10 0] D = 0
Transformación de similitud para obtener la forma canónica controlable Dado cualquier par de matrices A,B que definen un modelo de estado espacio, existe una transformación de similitud
z = Tx que forma un modelo con el nuevo vector de estado z tal que las nuevas matrices Ac, Bc y Cc adoptan la forma canónica controlable. Las nuevas matrices vienen dadas por:
Ac = TAT-1 , Bc = TB, y Cc = CT-1 y el modelo de estado espacio queda como •
z = Ac z + Bcu
y = Ccz + Dcu La matriz T viene dada por (MW)-1 , donde las matrices M y W se definen mediante:
M = [ B ! AB ! . . . !An-1B] an−1 a W = n− 2 M 1
an−2
L
a n− 3
L
0
L
1 1 0 M 0
a1
donde las ai son los coeficientes de la ecuación característica de la matriz A. Veamos un ejemplo con MATLAB empleando el comando ss2ss A 0
1
0
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-20 -10
6 3
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-27 -14
B = [0; 2; 1]; C 10
-16
32
M = ctrb(A,B)
0 2 1
2 -15 -8
% matriz de controlabilidad -15 86 47
poly(A)
% halla coeficientes de ecuación característica de A
1.0000
8.0000
17.0000
10.0000
W = [17 8 1; 8 1 0; 1 0 0]; T = inv(M*W) 1 -2 4 0 1 -2 0 0 1 [Ac,Bc,Cc,Dc] = ss2ss(A,B,C,D,T) % transformación de similitud similitud Ac = 0 1 0 0 -10 -17
0 1 -8
Bc = 0 0 1 Cc =
10
4
0
Dc = 0 Profr. Salvador Saucedo
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Forma de Jordan para eigenvalores múltiples (raíces repetidas) Veamos el caso de tercer orden en que una raíz se repite una vez, y que desarrollamos por fracciones parciales: Y ( s) U ( s )
b1 s 2
=
+
+
b2 s
b3
( s − p1 ) 2 ( s − p3 )
c1
=
+
( s − p1 ) 2
c2 s − p1
+
c3 s − p 3
Las matrices del modelo de estado para el caso anterior toma la forma de Jordan: 1
p1 A = 0 0
p1
0 0
0 B = 1 1
0 p3
C = [ c1 c 2 c3 ] D = 0
Si, por ejemplo, un sistema viene dado por: Y ( s)
=
U ( s )
6 s 2
+ 22 s + 40 ( s + 1) 2 ( s + 5)
Entonces, p1 = -1 y p3 = -5; y se puede expandir en fracciones parciales: Y ( s)
=
U ( s )
donde don de::
c1
( s + 1 )
c1
=
lim s → −1
c2
=
lim s → −1
c3
=
lim s → − 5
2
+
c2
( s + 1 )
+
c3
( s + 5 )
6 s 2
+ 22 s + 40 = 6.0 s + 5 2 + 22 s + 40 d 6 s { } = 1.0 ds s + 5 6 s 2 + 22 s + 40 = 5.0 ( s + 1) 2
Las matrices del modelo anterior para la forma de Jordan son:
− 1 1 0 A = 0 − 1 0 0 0 − 5
0 B = 1 1
C = [ 6 1 5 ] D = 0
Cuyo diagrama analógico se muestra en la figura siguiente.
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Figura 2.7 Diagrama a bloques de un sistema con raíces repetidas
Discretización del oscilador armónico subamortiguado Si tenemos un sistema de segundo orden con polos complejos en -α ± β j; donde ω2 = α2 + β2 , su modelo de estado espacio viene dado por: x• 1 x1 0 0 • 1 = 2 + 1u x 2 − ω − 2α x 2
Las matrices para representar al modelo anterior de forma discreta x(k+1) = Fx(k) + Gu(k) vienen dadas por ∞
F = e
AT
=
∑ k = 0
A k T k k !
=
‹
-1
-1
{(sI – A] } y, G =
T
∫ e
Aλ
Bd λ
0
Efectuando dichos cálculos, resulta 1 cos βT + α sen βT 1 1 − e −αT ( cos βT + α sen βT )] sen βT ω 2 [ β β β −αT e ; = F = G 2 1 −αT α − ω sen βT e sen βT cos βT − sen βT β β β
donde T es el periodo de muestreo, -α y ±β son la parte real y la imaginaria del par de polos complejos conjugados y ω es la frecuencia natural del oscilador. Los polos del sistema muestreado quedan en: z1,2 = e-αT e± jβ Si α > 0, el sistema continuo es estable, entonces las raíces del sistema discreto en tiempo también será estable pues sus polos quedan dentro del círculo unitario. Se asumió que existe un retenedor de orden cero sobre la entrada u. Ejemplo con α = 2, β = 3 y T = 0.04 Profr. Salvador Saucedo
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x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 − 13 − 4 x2 1
Usando el comando c2d de MATLAB resulta 0.99015 0.03684 0.00076 ; G = F = − 0.47887 0.84281 0.03684
Las raíces del modelo discreto se ubican en 0.91648 ± 0.11051j, esto es tiene polos complejos conjugado estables.
Discretización del oscilador armónico no amortiguado Si tenemos un sistema de segundo orden con polos imaginarios en ± jω, su modelo de estado espacio viene dado por: x• 0 1 x 0 • 1 = 2 1 + u x 2 − ω 0 x 2 1
Las matrices para representar al modelo anterior de forma discreta, x(k+1) = Fx(k) + Gu(k), vienen dadas por (Se asume que existe un retenedor de orden cero sobre la entrada u) 1 − ω 1 (1 cos T ) cos ωT sen ωT ; G = ω 2 F = 1 − ω sen ωT ωcos ωT ω T sen ω
donde T es el periodo de muestreo y ω es la frecuencia del oscilador. Ejemplo con α = 4 y T = 0.05 x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 − 16 0 x2 1 0.98007 0.04967 0.00125 ; G = F = − 0.79468 0.98007 0.04966
Los polos de caso discreto están en 0.98007 ± 0.19867j, con magnitud igual a la unidad, por lo que el sistema es marginalmente estable, pues están sus polos en la circunferencia que define a dicho círculo.
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Discretización del sistema crítico amortiguado Si tenemos un sistema de segundo orden con polos reales repetidos en -α, su modelo de estado espacio viene dado por: x• 0 1 x1 0 • 1 = 2 + u x 2 − α − 2α x2 1
Las matrices para representar al modelo anterior de forma discreta vienen dadas por − T e −αT + 1 [1 − e −αT ] T −αT αT + 1 ; G = α F = α2 e 2 T T 1 − − α α T − α Te
donde T es el periodo de muestreo y -α es la parte real de ambas raíces. Ejemplo con α = 2.5 y T = 0.1 x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 − 6.25 − 5 x2 1 0.97350 0.07788 0.00424 ; G = F = − 0.48675 0.58410 0.07788
Las raíces del modelo discreto son 0.77880 ± 0.00001j, es decir dos raíces reales y repetidas, dentro del círculo unitario. Si suponemos que la salida y es igual a x1, la función de transferencia en el dominio de z se obtiene a partir de la fórmula Gd ( z )
= C( z I − F) −1 G + D
La cual produce una función de transferencia de pulsos igual a Gd ( z )
=
0.004239 z + 0.0035888 = Y(z)/U(z) z 2 − 1.55760 z + 0.60653
Discretización del sistema sobre amortiguado Si tenemos un sistema de segundo orden con polos reales diferentes en –a y -b, su modelo de estado espacio viene dado por: x• 1 x1 0 0 • 1 = + u x 2 − ab − (a + b) x 2 1
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Las matrices para representar al modelo anterior de forma discreta vienen dadas por − − 1 1 1 − aT 1 −bT 1 be −αT − ae −bT e αT − e bT 1 a − b − a e + b e ; F = G = −αT − bT −αT − bT b−a − ae + be b − a − abe + abe e − aT − e − bT
donde T es el periodo de muestreo y –a , -b, reales, son las dos raíces del modelo continuo. Ejemplo con a = 2, b = 5 y T = 0.1; Usando el comando c2d de MATLAB x• 1 x1 0 0 • 1 = + u x 2 − 10 − 7 x2 1 0.96020 0.07073 0.003980 ; G = F = − 0.70733 0.46506 0.07073
Figura 2.8 Diagrama a bloques del modelo discreto. Asumir que C = [1 0] y D = 0.
Los polos del sistema discreto están en 0.81873 y en 0.60653. Su diagrama a bloques se exhibe en la figura, en la que z-1 representa el operador de retroceso e I es la matriz identidad.
Discretización del sistema con efecto integrador Si tenemos un sistema de segundo orden con polos reales en –a y 0, su modelo de estado espacio viene dado por: x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 0 − a x2 1
Las matrices para representar al modelo anterior de forma discreta vienen dadas por
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T − 1 [1 − e − aT ] 1 1 (1 − e −aT ) ; G = a a 2 F = a 1 0 − aT − aT − e [ 1 ] e a
donde T es el periodo de muestreo y -a es la parte real de la raíz que no está en el origen. Ejemplo con a = 3 y T = 0.05, usando el comando c2d. x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 0 − 3 x2 1 1.00000 0.04643 0.00119 ; G = F = 0.00000 0.86071 0.04643
Las raíces del modelo discreto se determinan a partir de su ecuación característica, la que se obtiene igualando a cero el determinante de la matriz zI - F z I
−F =
z − 1
0
− 0.04643 = 0 = z 2 − 1.86071 z + 0.86071 z − 0.86071
quedando éstas en 1.0000 y en 0.86071, por lo que el sistema es marginalmente estable. Obtengamos con MATLAB la respuesta de este sistema al impulso unitario, asumiendo que C = [10 0]. Format long [F,G] = c2d(A,B,0.05); [Y,X [Y,X]] = dim dimpu puls lse(F e(F,G ,G,C ,C,D ,D,1, ,1,60) 60);; % 60 perio periodos dos plot(Y) title('Respuesta al impulso unitario del sistema con efecto integrador') xlabel('Periodo de muestreo') ylabel('salida Y') grid on Y(60) % para ver valor final de la salida 0.16664088436143 Como era de esperarse, la salida no retorna a cero a pesar de que la excitación es cero después del primer periodo, ya que se cuenta con el efecto integrador del sistema. MATLAB considera, en el caso discreto, al impulso unitario como un pulso de amplitud 1.0, durante el primer periodo de muestreo. La respuesta al impulso del modelo continuo es veinte veces la del caso discreto (factor = 1/T).
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TEORÍA DE CONTROL IV
Figura 2.9 Respuesta al impulso unitario con el comando dimpulse de MATLAB
Discretización del sistema con doble integrador (Ley de Newton) Si tenemos un sistema de segundo orden con sus dos polos en 0, su modelo de estado espacio viene dado por: x• 0 1 x1 0 • 1 = + 1u x 2 0 0 x 2
Las matrices para representar al modelo anterior de forma discreta vienen dadas por T 2 / 2 1 T F = ; G = T 0 1
donde T es el periodo de muestreo. Ejemplo con T = 0.08 ; La salida es: y = x1 x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 0 0 x 2 1 1.00000 0.08000 0.00320 ; G = F = 0.00000 1.00000 0.08000
La función de transferencia de pulsos viene dada por G d ( z )
Profr. Salvador Saucedo
= C( z I − F ) −1 G +
D
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ESIME ZACATENCO
Formas Canónicas del modelo de Estado-Espacio
TEORÍA DE CONTROL IV
Evaluando lo anterior con el comando ss2tf de de MATLAB, resulta: 0.0032 z −1 + 0.0032 z −2 Gd ( z ) = 1 − 2 z −1 + z −2
PROBLEMAS 1 Representar el modelo continuo dado por la función de transferencia G ( s )
a) b) c) d)
=
Y ( s ) U ( s )
=
6 s + 14 s ( s + 1)( s + 4)
En la forma canónica controlable En la forma canónica observable En la forma canónica normal En la forma canónica diagonal
2 Representar el modelo continuo dado por la función de transferencia G ( s)
a) b) c) d)
=
Y ( s ) U ( s )
=
6 s + 22 ( s + 1) 2 ( s + 4)
En la forma canónica controlable En la forma canónica observable En la forma canónica normal En la forma canónica de Jordan
3 Dado el modelo en tiempo continuo a) hallar el modelo discreto si el periodo de muestreo es 0.125 y b) determinar la ecuación característica y los polos, de dicho modelo. c) Función de transferencia de pulsos si C = [2 0] y D = 0. x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 0 − 1 x2 8
4 Dado el modelo en tiempo continuo a) hallar el modelo discreto si el periodo de muestreo es 0.1 y b) determinar la ecuación característica de dicho modelo. c) Diagrama a bloques del modelo discreto si C = [1 0] y D = 0. x• 0 1 x1 0 • 1 = + u x 2 − 2 − 2 x 2 5 Profr. Salvador Saucedo
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