MÉTODOS DE ANÁLISIS
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2.1 DIVISIÓN GENERAL
F
undamentalmente, el análisis de estructuras busca encontrar la forma que adquiere una estructura al ser sometida a cargas y los consecuentes esfuerzos a que se ven sometidos sus miembros. Para lograr este objetivo se pueden utilizar métodos analíticos, numéricos, gráficos y experimentales. En los primeros se comienza por la formulación de un modelo matemático al cual se le puedan aplicar los principios y leyes de la Teoría de estructuras, que se verán más adelante. Cuando la solución matemática exacta del modelo es muy complicada o en muchos casos en que se utiliza el computador, se acude a métodos numéricos que permitan obtener la respuesta con suficiente aproximación y mucho menos trabajo. En el análisis de estructuras metálicas era frecuente obtener las fuerzas internas en los elementos y los desplazamientos de los nudos, mediante métodos gráficos como los de Cremona y Williot-Mohr (referencia 1.6). Finalmente, en especial cuando un modelo matemático adecuado es muy difícil de establecer, se puede recurrir al uso de modelos a escala de la estructura en cuestión. En algunos casos se utilizan materiales distintos del de la estructura verdadera, por ejemplo cartón, bronce o plexiglass. Para estructuras importantes, especialmente presas y cascarones, se prefiere emplear modelos de microconcreto o yeso. Este es un campo que ofrece enormes posibilidades en el futuro y que sólo se ha explotado incipientemente en nuestro medio.
2.2 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. TEORÍAS ELÁSTICA, PLÁSTICA Y DE DEFLEXIÓN Se dijo que el análisis de una estructura consiste en encontrar su posición deformada y las fuerzas internas de sus miembros. La prioridad que se dé en en los métodos analíticos a una u otra incógnita, los divide en dos grandes grupos: los Métodos de desplazamientos, en que se empieza por averiguar éstos, y los Métodos de fuerzas, en que primero se averiguan las fuerzas internas y luego sí se calculan los desplazamientos. Cuando la estructura es estáticamente indeterminada, generalmente se prefiere considerar
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las reacciones o fuerzas internas en exceso como sistemas de carga adicionales que reciben el nombre de redundantes, y que actúan sobre una estructura modificada que sea estáticamente determinada. La equivalencia se logra mediante las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones de la nueva estructura con las de la estructura original. Este procedimiento, ilustrado en la figura 2.1, se puede usar siempre y cuando sea aplicable el principio que se enuncia en seguida.
Figura 2.1 Aplicación del Principio de superposición. Principio de superposición. Si los desplazamientos y esfuerzos en todos los puntos de una estructura son proporcionales a las cargas que los causan, los desplazamientos y los esfuerzos totales que resultan de la aplicación simultánea de varias cargas son la suma de los desplazamientos y esfuerzos causados por dichas cargas, aplicadas separadamente.
Según esto, para que se pueda aplicar la superposición es necesario que exista una relación lineal entre cargas, esfuerzos y deflexiones. Tal relación deja de ser lineal cuando las deformaciones en el material de que está hecha la estructura no son proporcionales a los esfuerzos, o sea cuando el material no sigue la Ley de Hooke, y cuando los cambios en geometría de la estructura al ser sometida a cargas y la naturaleza de éstas son tales que dichos cambios afectan las fuerzas internas en forma que no se puede despreciar. Esto ocurre por ejemplo en los elementos a flexocompresión, también llamados viga-columna, como el mostrado en la figura 2.2.
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Figura 2.2 Ejemplo de no aplicabilidad del Principio de superposición.
Si sólo actuasen los momentos M A y MB, éstos producirían una deflexión δ 1 en cualquier punto; pero al aplicar P, en cada sección estará actuando un momento adicional igual a P x δ 1 que a su vez aumentará la deflexión, lo cual en turno incrementa el momento y así sucesivamente en un círculo vicioso. Hay muchas estructuras en que las dos condiciones de aplicabilidad del Principio de superposición –relación lineal entre esfuerzos y deformaciones del material y la posibilidad de despreciar los cambios en geometría– se cumplen fielmente, pero en algunas sólo se cumple una u otra. Se requieren entonces diversos tratamientos que se cubren en las llamadas Teoría elástica, Teoría plástica y Teoría de deflexión. Teoría elástica.
La Teoría elástica comprende varios teoremas y métodos cuya validez depende de la aplicabilidad del Principio de superposición. En consecuencia, se supone que el material sigue la Ley de Hooke y que los esfuerzos de trabajo están por debajo del límite de proporcionalidad. En virtud del supuesto de que los cambios geométricos se pueden despreciar, el análisis se hace basándose en las dimensiones y formas originales de la estructura. Prácticamente todo lo cubierto en este texto se refiere a la Teoría elástica.
Teoría plástica.
La Teoría plástica permite analizar el caso de no proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones del material, ya sea porque a ningún nivel existe linealidad, como en el caso del concreto, o porque se ha excedido el límite de proporcionalidad, en el caso del acero.
Teoría de deflexión.
En la Teoría de deflexión se agrupan los métodos de análisis aplicables a aquellas estructuras en que no es posible despreciar los cambios geométricos producidos por las cargas, para evaluar las reacciones y fuerzas internas resultantes. En consecuencia, éstas se evalúan a partir de la situación deformada de la estructura, utilizando generalmente un proceso iterativo. La Teoría de deflexión se ha desarrollado principalmente para el cálculo de puentes
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colgantes, de cubiertas y de arcos. Como se indica en la figura 2.3, al tener en cuenta las deformaciones se obtienen fuerzas internas superiores a las encontradas mediante la Teoría elástica. La diferencia porcentual es aún mayor en arcos de dos articulaciones. Así, por ejemplo, en el Puente del arco iris de las cataratas del Niágara, citado por Kinney, el arco doblemente empotrado (construido) presentaba un incremento de momento en los cuartos de la luz del 18% que hacía subir los esfuerzos en un 7%, todos con respecto a los obtenidos por Teoría elástica. El mismo arco doblemente articulado presentaba incrementos del 64 y 29%, respectivamente. Si el puente se hubiera construido así, ignorar las deformaciones del arco habría implicado una disminución del factor de seguridad, de 1.87 a 1.30.
Figura 2.3 Momento en la clave de un arco doblemente empotrado.
2.3
CÁLCULO FUERZAS DE ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS
Y
DEFLEXIONES
EN
ESTRUCTURAS
Para poder garantizar que se cumple con el requisito de adecuada resistencia establecido en los objetivos de diseño, es preciso evaluar primero las fuerzas internas originadas en la estructura al aplicarle las cargas de diseño. Se mencionó que aun en el análisis de estructuras indeterminadas se suele comenzar por analizar una estructura modificada, que es estáticamente determinada. Parece apropiado entonces dejar muy en claro los métodos para encontrar las fuerzas en estas estructuras y posteriormente los que permiten evaluar sus deformaciones. Algunos de ellos se vieron ya en los cursos de Mecánica de sólidos, pero se incluyen aquí para completar el tratamiento del tema y facilitar su repaso. Los cuadros 2.1 y 2.2 tomados de la referencia 2.1 son particularmente útiles para lograr una visión de conjunto. En lo que respecta a la evaluación de de fuerzas, el alumno está familiarizado con los métodos 1, 2, 5, 6 y 7. De los tres restantes sólo se hará referencia al 8 al estudiar las llamadas Líneas de influencia. Un buen repaso de los métodos citados es prerrequisito indispensable para acometer con éxito el estudio de los temas siguientes. En el cuadro 2.2 se enlistan los métodos para calcular deflexiones. De nuevo el alumno encontrará que ya conoce los identificados con los números 2 a 6. Como algunos de ellos
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son claves en la solución de estructuras indeterminadas, se repasarán sus principios antes de aplicarlos a éstas. Además, los capítulos 11 y 12 se dedicarán al estudio de los métodos matriciale m atriciales. s.
2.4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS Al observar el cuadro 2.3 se nota de inmediato la división en los dos grandes grupos ya mencionados. a) b)
Métodos de fuerzas Métodos de desplazamientos desplazamient os
El grupo (a) comprende todos aquellos métodos cuyo objetivo inmediato es encontrar las fuerzas redundantes vistas atrás. Generalmente, los dos primeros se ven en los cursos de Mecánica de sólidos en sus aplicaciones más elementales, y aquí se extenderá su utilidad al caso de estructuras indeterminadas. Además se estudiarán los métodos 3 y 6, esto es, los basados en la ecuación de los tres momentos y en la matriz de flexibilidad. En los métodos de desplazamientos, a diferencia de los anteriores, se empieza por encontrar las rotaciones y desplazamientos experimentados por los nudos de la estructura al verse sometida a cargas. Se estudiarán los métodos 8, 9 y 11, es decir, los basados en las ecuaciones de ángulos de giro y deflexión, en distribución de momentos (Cross, Kani y Takabeya) y en la matriz de rigidez de la estructura considerada. Vale la pena señalar que la mayoría de los programas comerciales utilizados hoy en día por los calculistas de estructuras, se basan en este último método. REFERENCIAS
2.1
Gaylord, E.H. y Gaylord, C.N. - Handbook of Structural Engineering , McGraw- Hill, 1987.
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ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Cuadro 2.1 Cálculo de fuerzas en estructuras estáticamente determinadas (referencia 2.1)
Método
Observaciones
Armaduras
1. Método de los nudos
Aplicación de las ecuaciones ∑ Fx 0, ∑ Fy 0 a cada nudo en sucesión. Generalmente se aplica sólo a armaduras planas. =
=
2. Método de las secciones Además de las ecuaciones anteriores se aplica ∑ M 0 a una parte de la estructura para obtener las fuerzas en las barras intersectadas por una sección adecuadamente adecuadamente escogida. Es muy útil cuando sólo interesa averiguar las fuerzas f uerzas en unos pocos miembros. =
3. Método de Cremona
Solución gráfica del método de los nudos.
4. Coeficientes de tensión
Sistematización del del método 1, especialmente apropiada para armaduras complicadas y espaciales.
Vigas y marcos
5. Integración matemática
Aplicación del cálculo integral a la obtención de fuerzas de corte y momento, partiendo de la ecuación de carga. En la mayoría de los casos el método siguiente es más apropiado.
6. Integración numérica
Generalmente es preferible al anterior, pues es más fácil de aplicar y conlleva la misma exactitud. Admite cargas arbitrariamente distribuidas sin mayores complicaciones.
7. Método de las secciones Es el mismo método 2 pero aplicado a vigas. Resulta útil cuando sólo se buscan el corte y el momento en puntos específicos. 8. Líneas de influencia
Solución gráfica del corte y el momento a lo largo de la estructura. Especialmente útil en el estudio de estructuras sometidas a cargas móviles.
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Cuadro 2.2 Cálculo de deflexiones de estructuras es tructuras determinadas (referencia 2.1)
Método
Observaciones
a) Cinemáticos Adición de vectores de deformación de los elementos
Apropiados únicamente para estructuras que poseen una forma geométrica simple. En la práctica, restringidos casi por completo a armaduras y vigas.
1. Diagrama de WilliotMohr
Adición gráfica de vectores para el estudio de desplazamientos en armaduras.
2. Integración matemática Generalmente sólo es apropiado para problemas simples. No es conde la ecuación de la viga veniente en casos de inercia variable o carga arbitraria. 3. Integración numérica de la ecuación de la viga.
Apropiado para cualquier variación de momento de inercia y de carga.
4. Área de momentos y viga Técnicas especiales para acelerar la solución de problemas particuconjugada. lares, basadas en resolver la ecuación de una viga por métodos indirectos. b) Energéticos
Métodos generales aplicables a cualquier estructura y cualquier carga.
5. Carga unitaria
El método general más útil para calcular la deflexión de cualquier estructura sometida a cualquier carga. Se le conoce también como método del trabajo virtual.
6. Energía complementaria La deflexión en el punto de aplicación de una carga, en la dirección de y Teorema de Castigliano su línea de acción, se obtiene diferenciando la energía complementaria con respecto a la carga. El Teorema de Castigliano es el caso particular de linealidad y en su aplicación práctica es usualmente idéntico al de la carga unitaria. 7. Análisis matricial
Método sistemático basado en el 5, para calcular la flexibilidad de la estructura. Requiere datos simples y es particularmente apropiado para resolver problemas que involucren gran número de hipótesis de carga. c arga.
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Cuadro 2.3 Análisis de estructuras indeterminadas (referencia 2.1) Método Métodos de fuerzas
1. Carga unitaria
Observaciones
Las fuerzas son las incógnitas. Basado en el método 5 del cuadro 2.2.
2. Energía complementaria La energía complementaria es minimizada con respecto a las mínima y Teorema de fuerzas redundantes. El Teorema de Castigliano es el caso Castigliano particular de linealidad 3. Ecuación de los tres momentos
Ecuación que relaciona los momentos en tres apoyos consecutivos de una viga continua.
4. Centro elástico
Técnica para escoger coordenadas de tal manera que se simplifique la formulación de las ecuaciones de pórticos y arcos.
5. Analogía de la columna
Analogía entre los momentos presentes en marcos y pórticos y los que ocurren en una columna corta cargada excéntricamente.
6. Matriz de flexibilidad
Proceso sistemático basado en el método 1. Especialmente apropiado para estructuras altamente redundantes.
Métodos de desplazamientos
Los desplazamientos de los nudos libres son las incógnitas.
7. Desplazamiento Desplazamiento unitario Un desplazamiento desplazamiento unitario es aplicado a cada grado de libertad originando fuerzas internas. Éstas se igualan a las cargas aplicadas, resultando un sistema de ecuaciones para los desplazamientos. 8. Método de ángulos de giro y deflexión
Ecuaciones aplicables a pórticos, en términos de ángulos de giro y desplazamientos de los nudos.
9. Distribución de momentos momentos (Cross, Kani y Takabeya)
Técnicas para resolver las ecuaciones del método 8 por aproximaciones sucesivas. Útiles para pórticos con muchos elementos.
10. Energía potencial mínima
Usado para obtener soluciones aproximadas de estructuras altamente redundantes en que los desplazamientos se pueden expresar por unos pocos términos de una serie.
11. Matriz de rigidez
Proceso sistemático basado en el método 7. Especialmente apropiado para estructuras en que la indeterminación cinemática es inferior a la estática.
