CALCULO_I

Ciencias y Tecnología de la Información Cálculo I 1 _____________________________ ____________________________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ___________________ ____

INDICE PLANIFICACION DE LOS ENCUENTROS ENCUENTROS ................................... .................. ................................... .................................... .............................. ............ 2 PROGRAMA ANALITICO .............................................................................................................. 3 ORIENTACIONES ORIENTACIONES METODOLÓGICAS METODOLÓGICAS................................... .................. ................................... .................................... .................................... .................. 8 1.- Introducción ..................................................... ............................................................................................................. ........................................................... ... 8 1.1 Objetivos ................................................... ........................................................ ........................................................... ... 9 2. Núcleos Temáticos ...................................................... ....................................................................................................... ................................................. 9 2.1 Desarrollo ................................................... ........................................................ ........................................................... ... 9 2.2. Bibliografía Comentada .................................................. ...................................... 13 13 2.3. - Material explicativo. ..................................................... ........................................................................................... ...................................... 13 13 2.4. Métodos a utilizar. ......................................................... ............................................................................................... ...................................... 14 14 3.- Conclusiones. ........................................................ ....................................................................................................... ............................................... 14 14 4.- Glosario de términos técnicos. .................................................. .............................. 14 14 TEXTO GUÍA ............................................................................................................................... 14 UNIDAD Nº 1: Funciones ...................................................... ............................................................................................ ...................................... 15 15 Competencias .................................................. ........................................................ ..........................................................15 Conocimientos previos ......................................................... ............................................................................................... ...................................... 15 15 Definición de una función ............................................................................................. 15 Función Lineal ............................................................................................................ 17 Función Cuadrática ..................................................................................................... 19 Función Exponencial ................................................................................................... 21 Dominio de Imagen de una función ................................................ ............................... 24 Métodos para Calcular el Dominio y el Dominio de Imagen de las funciones .................... 24 Restricciones para el cálculo del dominio de una función ................................................ 24 Algebra de funciones ................................................................................................... 25 Función Inversa .......................................................................................................... 29 Composición de funciones ........................................................................................... 31 UNIDAD N° 2: Limites ............................................................................................... 38 Competencias ............................................................................................................ 38 Conocimientos previos ................................................................................................ 38 Definición de límite ...................................................................................................... 38 Interpretación geométrica del Límite. ....................................................... ............................................................................ ..................... 38 Notación de Límite ...................................................................................................... 39 Límites laterales.......................................................................................................... 43 Aclaraciones importantes ............................................................................................. 45 Límites especiales ...................................................................................................... 46 Asíntotas .................................................................................................................... 58 Continuidad en un punto .............................................................................................. 63 PRÁCTICO N°. 2 ........................................................¡Error! Marcador no definido. UNIDAD N° 3: Derivadas ............................................................................................ 70 Competencias ............................................................................................................ 70 Conocimientos Previos ................................................................................................ 70 Definición de Derivada ................................................................................................ 71 Interpretación Geométrica de la derivada ................................................. ..................... 71

Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.


Notación de Derivada .................................................................................................. 71 Derivación por Tablas.................................................................................................. 73 Derivada de un Producto ............................................................................................. 76 Derivada de un Cociente ............................................................................................. 77 Regla de la Cadena .................................................................................................... 78 Derivadas Exponenciales Exponenciales ............................................................................................ 79 Derivadas Trigonométricas .......................................................................................... 81 Derivación Implícita ..................................................................................................... 86 Análisis de Funciones.................................................................................................. 90 PRACTICO N° 3 .........................................................¡Error! Marcador no definido. Unidad Nº 4: Integrales ........................................................................................... 95 Competencias ............................................................................................................ 95 Conocimientos previos ................................................................................................ 95 Integral Indefinida ....................................................................................................... 95 Integración por tablas .................................................................................................. 95 Integración por Sustitución ........................................................................................... 99 Integración por Partes .......................................................... ............................................................................................... ..................................... 101 101 Integral Definida........................................................................................................ 103 Calculo de Áreas ...................................................................................................... 106 Tabla de Derivadas ................................................................................................... 112 Tabla de Integrales ................................................................................................... 113

UNIDAD-TEMAS DE AVANCE

PLANIFICACION DE LOS ENCUENTROS FECHA DE ENCUENTRO PRIMER SEGUNDO TERCER ENCUENTRO ENCUENTRO ENCUENTRO Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Temas 1.1 al 1.7 Temas 2.1 al 2.5 Temas 3.1 al 3.10 Evaluación


CUARTO ENCUENTRO Unidad 4 Temas 4.1 al 4.8 Evaluación


UNIVERSIDAD PRIVADA DOMINGO SAVIO FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN CALCULO I PROGRAMA ANALITICO IDENTIFICACION

Área Sigla Materia Carga Horaria Nivel Pre- Requisitos En Vigencia

: Ciencias

Exactas : MAT - 122 : Cálculo I : 4 H T - 2 HP : Segundo Semestre : Fundamentos de Matemáticas (MAT-110) ( MAT-110) : Año 2009

I. JUSTIFICACION La asignatura de Cálculo I, ofrece al estudiante el desarrollo de los conocimientos y habilidades matemáticas, tanto en el contexto matemático como en su aplicación a las transacciones y la economía. El cálculo se encuentra dentro de la disciplina básica general y guarda una estrecha relación con todas las asignaturas intra e interdisciplinarias, porque todas utilizan estrategias e indicadores cuantitativos para el análisis del comportamiento de los diferentes agentes económicos a nivel micro y macroeconómico y orienta de esta manera a la toma de decisiones óptimas.

II. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Desarrollar la capacidad capacidad de resolución de de diversos problemas de aplicación, utilizando ecuaciones, funciones de lugares geométricos y conceptos del cálculo diferencial e integral.

OBJETIVOS ESPECIFICOS -

Fundamentar con explicaciones teóricas y ejercicios teórico –prácticos los procesos operativos del Cálculo Diferencial e Integral.


Ciencias y Tecnología de la Información Cálculo I 4 _____________________________________________________________________________________________

Realizar con destreza la resolución de problemas, interpretar resultados y desarrollar métodos que apoyen al estudiante en el lenguaje y razonamiento matemático. - Desarrollar las capacidades intelectuales del estudiante, para el análisis, la abstracción, la aplicación en la solución de problemas matemáticos. -

III. CONTENIDOS Unidad 1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Objetivos de la unidad -Graficar y calcular el Dominio y el Dominio de imagen de las funciones -Calcular la Inversa de una función -Realizar la composición entre dos o más funciones. 1.1 Producto Cartesiano de dos Conjuntos. Par Ordenado. Ejes Cartesianos en el Plano. Representación Gráfica. Intervalos Finitos e Infinitos. Representaciones Gráficas 1.2 Relación entre dos Conjuntos. Función: Definición. Condición de Totalidad y Unicidad. Dominio. Dominio de Imagen. Función Real de variable Real. Representación Gráfica. 1.3 Funciones definidas a través de una expresión algebraica. Función Constante, Identidad, Valor Absoluto, Lineal, Cuadrática, Potencia, Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas 1.4 Álgebra de las Funciones. Composición de funciones. 1.5 Función Inversa. Dominio de la Función Inversa. Representación Gráfica 1.6 Clasificación de funciones: Funciones Racionales e Irracionales. Simples y Compuestas 1.7 Ejercicios de aplicación.

Unidad 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Objetivos de la unidad -Identificar los puntos donde la función no está definida. -Aplicar las propiedades de los límites en la resolución de problemas -Calcular asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. -Analizar la continuidad y la discontinuidad de las funciones.



2.1 Definición de límite. Vecindad en un punto. Tendencia. Límite de una función. Cálculo de Límites. Procesos Algebraicos. Cálculos con calculadora. Teoremas. Propiedades de límites 2.2 Límite determinado e indeterminado. Casos de indeterminación. Formas de levantar la indeterminación. 2.3 Límites Laterales. Límites Infinitos. Continuidad de una función en un punto. Continuidad de una función en un intervalo. Funciones Continuas y Discontinuas. Análisis de las Funciones 2.4 Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas 2.5 Ejercicios de aplicación.

Unidad 3.

LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

Objetivos de la unidad -Interpretar la definición de la derivada de una función en un punto. -Calcular la derivada de las funciones por definición y por tablas -Derivar funciones expresadas en forma implícita -Analizar completamente una función. 3.1 Definición de Derivadas. Función Derivada. Derivada por definición. Teoremas sobre derivadas. Propiedades. 3.2 Derivadas de funciones. Función Constante, Función Potencia, Derivada de la Suma y Resta. Derivada de un Producto. Derivada de un Cociente. Algebraicas. Trigonométricas. Exponenciales. Logarítmicas. Tabla de Derivadas. 3.3 Derivada de las Funciones Compuestas. Regla de la Cadena 3.4 Derivadas Logarítmicas. Método y Aplicaciones 3.5 Derivadas de orden superior. La Diferencial de una función 3.6 Derivación de una función expresada en forma implícita 3.7 Aplicaciones geométricas de las derivadas. Máximos y Mínimos: Criterio de la Primera y Segunda Derivada. Problemas de aplicación de Máximos y Mínimos. 3.8 Análisis completo de una función. 3.9 Aplicaciones de la derivada en Economía y Administración. 3.10 Ejercicios de aplicación.



Unidad 4. LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES Objetivos de la unidad - Aplicar los métodos de integración para resolver integrales indefinidas -Aplicar las propiedades de integración en el cálculo de integrales definidas -Aplicar las integrales definidas en el cálculo de áreas. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Integral Indefinida. Definición y Propiedades. Teoremas Función Primitiva. Antiderivada de una función Integración por tablas. Uso de Tablas Métodos de integración, Sustitución o Cambio de Variable, Integración por Partes, Método de Cálculo de Integración Integrales Propias. Integral Definida Cálculo de Áreas. Área entre curvas. Aplicaciones Teorema del valor medio del cálculo Integral Ejercicios de aplicación.

IV. METODOLOGIA DE ENSEÑANZA -APRENDIZAJE

- La metodología empleada en la asignatura será teórico – práctica; donde el docente deberá realizar la explicación de los conceptos teóricos y los ejemplos en pizarra. Luego los estudiantes deberán resolver ejercicios en grupos bajo la guía permanente del docente. - Se realizarán exposiciones en grupos de los trabajos de investigación asignados para los temas que se tocarán en la asignatura. - Los estudiantes resolverán trabajos prácticos, los cuales luego serán defendidos, y estos resultados obtenidos se tomarán como actividades académicas de la materia. V. MATERIALES Y MEDIOS DIDACTICOS -

Pizarra y marcadores Reglas de diferentes tipos Equipos de multimedia Laboratorio de Software.



VI. ACTIVIDADES ACADEMICAS

-

Resolución y defensa de práctico de Funciones Resolución y defensa de práctico de Límites Resolución y defensa de práctico de Derivadas Resolución y defensa de práctico de Integrales

VII. TIPOS DE EVALUACION En la asignatura serán tomados en cuanta los tres tipos de evaluación: Diagnóstica, Formativa y Sumativa.

VIII. FORMAS DE EVALUACION Materia tipo B. Exámenes Actividades Académicas Trabajo de investigación

60 puntos. 20 puntos. 20 puntos.

TOTAL

100 puntos.

IX. BIBLIOGRAFIA 1. Cuellar M. E. Cálculo I. Primera Edición Preliminar, 2009 2. Larson Hostetler Edwards. Cálculo. Edición 6ta. McGraw Hill. Bogota, Colombia 2001. 3. Murray H. Protter y Charles B. Morrey. Cálculo con Geometría Analítica. Fondo Educativo Interamericano. 4. Louis Leithold. “El cálculo”. Edición 7ma. Oxford University Press México 2001. 5. Laurence D. Hoffmann-Gerald L. Bradley. Cálculo aplicado a la administración, Economía, Contaduría y Ciencias Sociales . Quinta edición. Mc Graw Hill. 1994. 6. George F. Simmons. Cálculo y geometria . Mc Graw Hill / 2002.



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.- Introducción Las Matemáticas forman, junto con el método experimental, el esquema en que está basada la Ciencia moderna y en el que se apoya la Tecnología, con estrechas interacciones entre ellos. Sobre estas bases nació la Sociedad Industrial algunos siglos atrás, y la nueva Sociedad de la Información se construye en el presente a lo largo del las mismas líneas. El conocimiento sólido de las matemáticas, en particular el Cálculo I, permiten a los estudiantes un desempeño amigable con los temas de cursos avanzados, en el caso concreto de las carreras del área de Ciencias Empresariales y Tecnologías de la Información, brinda la base necesaria para las asignaturas: Microeconomía I, Microeconomía II, Matemática Financiera, Producción, Finanzas, Macroeconomía, Cálculo II, Ecuaciones Diferenciales, Análisis Numérico y otras. La importancia de la asignatura de Cálculo I dentro de la malla curricular, en el perfil profesional de las ciencias empresariales y la tecnología de la información radica en dos funciones básicas:  

Generar competencias de razonamiento en resolución de problemas Proporciona los conocimientos requeridos como requisitos necesarios para asignaturas de la malla curricular.

En contenido y el nivel del presente trabajo está orientado a reforzar a estudiantes de cualquier especialidad del área de Ciencias Empresariales y Tecnologías de la Información, ya que responde a características particulares de los estudiantes de los programas ofertados en la Universidad Privada Domingo Savio. El presente trabajo, es resultado de más de siete años de experiencia del autor, cuyo proceso permitió la elaboración de este material que facilita el aprendizaje del cálculo de manera sencilla. La complejidad que se presenta en el presente curso abarca desde básico, intermedio y pautas para estudios avanzados de matemáticas. El estudio del presente material y la orientación del docente permitirán al estudiante un aprendizaje significativo de las asignaturas de la malla curricular.



1.1 Objetivos En la sección del programa analítico se señalan los objetivos de la asignatura. Los conceptos y definiciones fundamentados con explicaciones teórico-prácticas, promueven el desarrollo de competencias en resolución de problemas específicos, competencias requeridas en materias de cursos avanzados y en el ejercicio profesional. Un análisis riguroso de fenómenos físicos y comportamientos a través de modelos matemáticos requieren la aplicación de conceptos y definiciones de Cálculo diferencial e Integral.

2. Núcleos Temáticos 2.1 Desarrollo PRIMER ENCUENTRO Unidad 1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL 1.1 Producto Cartesiano de dos Conjuntos. Par Ordenado. Ejes Cartesianos en el Plano. Representación Gráfica. Intervalos Finitos e Infinitos. Representaciones Gráficas 1.2 Relación entre dos Conjuntos. Función: Definición. Condición de Totalidad y Unicidad. Dominio. Imagen - Rango. Función Real de variable Real. Representación Gráfica. Imagen de la Función 1.3 Funciones definidas a través de una expresión algebraica. Función Constante, Identidad, Valor Absoluto, Lineal, Cuadrática, Potencia, Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas 1.4 Álgebra de las Funciones. Composición de funciones. 1.5 Función Inversa. Dominio de la Función Inversa. Representación Gráfica 1.6 Clasificación de funciones: Funciones Racionales e Irracionales. Simples y Compuestas 1.7.Ejercicios de aplicación.

El análisis del dominio y dominio de imagen de funciones, se realizará gráficamente y analíticamente determinando el conjunto de números valores que la variable independiente puede tomar. Así mismo se determinará la inversa de la función. En este núcleo temático se analizan los diferentes tipos de funciones: constantes, identidad, funciones en valor absoluto, funciones cuadráticas, exponencial, logarítmicas y trigonométricas.



Dedique tiempo y atención adecuada a la definición de los términos utilizados en análisis de funciones, tales como: función, par ordenado, Dominio, dominio de imagen, inversa de una función y composición de funciones. En este material se presentan variados ejemplos para su análisis.

SEGUNDO ENCUENTRO Unidad 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL 2.1. Definición de límite. Vecindad en un punto. Tendencia. Límite de una función. Cálculo de Límites. Procesos Algebraicos. Cálculos con calculadora. Teoremas. Propiedades de límites 2.2. Límite determinado e indeterminado. Casos de indeterminación. Formas de levantar la indeterminación. 2.3. Límites Laterales. Límites Infinitos. Continuidad de una función en un punto. Continuidad de una función en un intervalo. Funciones Continuas y Discontinuas. Análisis de las Funciones 2.4. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas 2.5. Ejercicios de aplicación. El estudio de los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ±  conduce a comprender y calcular límites de cocientes de polinomios, determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función, límite lateral y su relación con el de límite. Además permite alcanzar algunos objetivos específicos como:  Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.  Saber donde son continuas o discontinuas las funciones elementales.  Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber reconocerlos utilizando los límites laterales.

TERCER ENCUENTRO Unidad 3. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES 3.1. Definición de Derivadas. Función Derivada. Derivada por definición. Teoremas sobre derivadas. Propiedades.



3.2. Derivadas de funciones. Función Constante, Función Potencia, Derivada de la Suma y Resta. Derivada de un Producto. Derivada de un Cociente. Algebraicas. Trigonométricas. Exponenciales. Tabla de Derivadas. 3.3. Derivada de las Funciones Compuestas. Regla de la Cadena 3.4. Derivadas Logarítmicas. Método y Aplicaciones 3.5. Derivadas de orden superior. La Diferencial de una función 3.6. Derivación de una función expresada en forma implícita 3.7. Aplicaciones geométricas de las derivadas. Máximos y Mínimos: Criterio de la Primera y Segunda Derivada. Problemas de aplicación de Máximos y Mínimos. 3.8. Análisis completo de una función. 3.9. Aplicaciones de la derivada en Economía y Administración. 4.3.10. Ejercicios de aplicación. En este núcleo temático se empieza por la definición de la derivada a partir de la variación de la variable independiente que tiende a cero. Luego la interpretación geométrica de la derivada en un punto. El cálculo de la derivada a partir de la definición permite desarrollar la comprensión y competencias de análisis de curvas de comportamiento en áreas de interés. Luego de la explicación gráfica de la derivada, se aplicará la derivación con la utilización de tablas, es decir fórmulas de derivación, que requieren únicamente ser reconocidas su correspondencia a uno de los modelos de fórmula. Se sugiere recordar revisar conceptos algebraicos aplicados a simplificación de fracciones.

CUARTO ENCUENTRO Unidad 4. LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES 4.1. Integral Indefinida. Definición y Propiedades. Teoremas 4.2. Función Primitiva. Antiderivada de una función 4.3. Integración por tablas. Uso de Tablas 4.4. Métodos de integración, Sustitución o Cambio de Variable, Integración por Partes, Método de Cálculo de Integración 4.5. Integrales Propias. Integral Definida 4.6. Cálculo de Áreas. Área entre curvas. Aplicaciones 4.7. Teorema del valor medio del cálculo Integral 4.8. Ejercicios de aplicación



En este núcleo temático se conocerá los diferentes métodos de integración: sustitución y por partes. También se aplicarán los diferentes teoremas de las integrales, En base a la comprensión de las integrales indefinidas, para luego concluir con la aplicación a la resolución de integrales definidas en el cálculo de áreas formadas entre las curvas de las diferentes funciones. Se requiere especial atención a las operaciones algebraicas para adecuar las funciones a las propiedades de integrales; para lo cual se sugiere remitirse al libro de Fundamentos de matemáticas del Ing. Miguel E. Cuellar M.

METODLOGIA DE ESTUDIO PARA EL ESTUDIANTE La sugerencia de metodología de estudio que puede conducir a una interesante experiencia en esta asignatura, por ende, conducente a logros exitosos es la siguiente: 1) Lectura de conceptos, definiciones y propiedades del texto guía. 2) Revisar y comprobar los ejemplos resueltos en el texto guía.

Lectura de conceptos, definiciones y propiedades del texto guía.

Leer el libro de Louis Leithold. “El cálculo” para estudio comparativo

No

Revisar y comprobar los ejemplos ¿Entendió los ejemplos resueltos?

Asistir al encuentro del día sábado. El docente realizará las aclaraciones y profundizará el tema


Si

Resolver tarea


2.2. Bibliografía Comentada El Libro de texto de Cálculo I, cuyo autor Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M., es el resultado de más de nueve años de interacción y experiencia continúa en la enseñanza de matemáticas; por lo tanto se adecua a las características de las carreras ofertadas y de los estudiantes que buscan su profesionalización en aulas de nuestra Universidad. Este material presenta ejemplos de fácil comprensión y aplicaciones básicas y de nivel intermedio, proporcionando bases sólidas para el logro de la comprensión de cada uno de los temas.

El autor El presente trabajo de calculo I, es un aporte del autor al proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes de las diferentes carreras de nuestra Universidad Privada Domingo Savio. Este material esta sujeto a los aportes y sugerencias por parte de los Estudiante y Docentes de nuestra Universidad con la finalidad de mejorar cada vez más, hasta lograr el objetivo que tiene el presente trabajo; y de esta manera lograr un aprendizaje significativo en los estudiantes para mejorar su rendimiento académico. El libro de Cálculo de Larson, es interesante por sus conceptos teóricos y aplicación práctica, para cada uno de los temas de la asignatura. El libro El Cálculo de Louis Leithold, se recomienda por contener el sustento y explicación teórica y sus aplicaciones en cada uno de los temas de la asignatura.

2.3. - Material explicativo. El presente trabajo posee la claridad necesaria explicando paso a paso el procedimiento de resolución en cada uno de los ejemplos, por lo que no necesita explicación adicional. Para mayor profundización sobre cada uno de los temas remitirse a la bibliografía presentada en el programa analítico de la materia y a las sugerencias del docente en las clases virtuales acordadas.



2.4. Métodos a utilizar. Metodología para la clase presencial El primer periodo del encuentro físico el docente explicará los conceptos teóricos y ejemplos representativos de cada uno de los temas del plan de clase. Luego los estudiantes resolverán ejercicios de aplicación en grupos o células, bajo la guía permanente del docente. Metodología para los encuentros virtuales En los encuentros virtuales se asignaran tareas de resolución de ejercicios y problemas de aplicación adicionales, que requieren aplicar los conocimientos adquiridos en los encuentros físicos. En cuanto al trabajo independiente los estudiantes deben:  

Manejar conceptos y definiciones de cada tema Aplicar las propiedades dadas en el material. Revisar dichas propiedades en cada uno de los temas y su aplicación en ejemplos ilustrados.

3.Conclusiones Preguntas y ejercicios prácticos para realizar en forma individual o colectiva con sus soluciones, se encuentran al final de cada unidad. 4.Glosario de términos técnicos La definición de términos técnicos del cálculo se encuentra en cada tema del material, de manera detallada, por lo que se recomienda aprehender, por medio de la asociación con resolución de los problemas planteados.

TEXTO GUÍA Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.


UNIDAD Nº 1: Funciones Competencias Al finalizar la unidad el estudiante desarrollará las siguientes competencias: 1. 2. 3. 4.

Reconoce y grafica las diferentes funciones. Calcula el dominio y el dominio de imagen de las funciones. Calcula la inversa de una función. Realiza la composición entre dos ó más funciones.

Conocimientos previos Para lograr un aprendizaje significativo de la unidad el estudiante deberá conocer los siguientes temas: 1. 2. 3. 4. 5.

Operaciones con polinomios. Ecuaciones de primer y segundo grado. Definición y propiedades de los logaritmos. Inecuaciones de primer y segundo grado. Definición y propiedades del valor absoluto.

Definición de una función Si se sabe que “ f “ es una correspondencia de elementos “ x “ del conjunto „A‟ con elementos “y “ del conjunto „B‟ lo que se puede anotar como pares ordenados (x; y); entonces se dice que “ f “ es una función, si y solo si; a cada elemento del conjunto „A‟ le cor responde un único elemento del conjunto „B‟, es decir:

Figura N° 1

Figura N° 2

A

B

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

“ f “ es función


Ax1

yB1

x2

y2

x3

y3

x4

y4 y5

“ f ” no es función. Es una relación.


Notación de función Sea “ f “ una función con su correspondencia de elementos “x” con elementos “y”. Para decir que los elementos „y‟ están en función de „x‟, se escribe: y = f(x). Esto quiere decir que “y” depende de “x”, por tanto “y” será la variable dependiente y “x” será la variable independiente, es decir: Nombre de la función

y = f (x) Variable independiente Variable dependiente.

Par Ordenado Un par ordenado es uno o varios puntos dentro del plano cartesiano y se lo representa de siguiente forma: (x;y)

Segunda componente Primera componente

Ejemplos: 1. Si f(x) = x2 – 1. Calcular: a) f (0)

b) f (1)

c) f (-2)

Solución:

a) f (0) = 02 – 1

b) f (1) = 12 – 1

f (0) = -1

f (1) = 0

2. Si f (x) =

x  2 .

c)

f (-2) = (-2)2 – 1 f (-2) = 3

Calcular:

a) f (2)

b) f (3)

c) f (0)

Solución:

a) f (2)= 2  2 f (2) = 0

b) f (3)= 3  2 f (3) =1


c) f (0) = 0  2 f (0) = 


3. Si f (x) =

1 x  1

.

Calcular:

a) f (0)

b) f (1)

c) f (-1)

Solución:

a) f (0)=

1

b) f (1)=

0 1

1 11

f (1) = 

f (0) = - 1

c) f (-1) =

1

11

f (-1) = - 1 2

Función Lineal Una función lineal es aquella donde el máximo exponente de la variable es uno; por lo tanto estas funciones están representadas por líneas rectas. En su forma general una función lineal se la representa de la siguiente manera: Donde: “m” es la pendiente y “b” es la ordenada.

f(x) = mx + b

En las funciones lineales se puede observar los siguientes aspectos; en comportamiento de la pendiente:

cuanto al

1. Si la pendiente es positiva entonces la recta estará inclinada hacia la derecha.

y

m (+) x

2. Si la pendiente es negativa entonces la recta estará inclinada hacia la izquierda. y m (-)

x Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.


3. Si la pendiente es cero (0) entonces la recta será horizontal. y m =0

x A este tipo de función se denomina “Función constante”, y se representa de la siguiente

forma: f(x) = b

Generalmente, el dominio y el dominio de imagen de las funciones lineales son todos los números reales.

Ejemplos: 1. Graficar: f(x) = 2x – 1

Dando valores a “x” se tiene:

x 0 1

f(x) = 2x - 1 2(0) – 1 = – 1 => (0; –1) 2(1) – 1 = –1 => (1; 1)

2. Graficar: f(x) = – 3x + 1 Dando valores a “x” se tiene:

x 0 1


f(x) = - 3x + 1 - 3(0) + 1 = 1 => (0 ; 1) - 3(1) + 1= 2 => (1 ; -2)


3. Graficar: f(x) = x 0 2

f(x) = 1 2 1 2

1 2

1 2

x  3

x  3

0  3 = -3 => (0 ; -3) 2  3 = -2 => (2 ; -2)

Función Cuadrática Una función cuadrática es aquella que se la puede representar de la siguiente forma: f  x   ax 2  bx  c ; donde el coeficiente del primer término es distinto de cero. Este tipo de funciones están representadas por parábolas donde se puede observar los siguientes aspectos: 1. Si el signo del primer término es positivo (a>o); entonces la parábola estará abierta hacia arriba. y

f(x) = x

2

2. Si el signo del primer término es negativo (a
x f(x) = - x

2

En su forma general o canónica; una función cuadrática se la representa de la siguiente manera:



Donde “a” es diferente de cero.

f(x) = ax2 + bx + c

Generalmente, el dominio de la función cuadrática son todos los números reales.

Ejemplos. 1. Graficar: f(x) = x2 - 2 x 0 1 2 -1 -2

x 0 1 2 -1 -2

f(x) = x2 - 2 02 – 2 = -2 => ( 0 ; 2 ) 12 – 2 = -1 => ( 1 ; -1 ) 22 – 2 = 2 => ( 2 ; 2 ) (-1)2 – 2 = -1 => ( -1 ; -1 ) (-2)2 – 2 = 2 => ( -2 ; 2 )

2. Graficar: f(x) = -x2 + 1 f(x) = - x2 + 1 -(0)2 + 1 = 1 => ( 0 ; 1 ) -(1)2 + 1 = 0 => ( 1 ; 0 ) -(2)2 + 1 = -3 => ( 2 ; -3 ) -(-1)2 + 1 = 0 => ( -1 ; 0 ) -(-2)2 + 1 = -3 => ( -2 ; -3 )

3. Graficar: f(x) = x 0 3 8 -1 -2

x  1

f ( x) 

x 1

0  1  1  (0;1) 3  1  2  (3;2) 8  1  3  (8;3)

 1  1  0  (1;0)  2  1  1  (2;1)



4. Graficar: f(x) = x3 – 1 x 0 1 2 -1 -2

f(x) = x3 - 1 (0)3 - 1 = -1 => ( 0 ; -1 ) (1)3 - 1 = 0 => ( 1 ; 0 ) (2)3 - 1 = -3 => ( 2 ; 7 ) (-1)3 - 1 = 0 => ( -1 ; -2 ) (-2)3 - 1 = -3 => ( -2 ; -9 )

5. Graficar: f(x) =

3

x  1

f ( x)  3 x  1

x 0

3

0  1  1  0;1

7

3

7  1  2  7;2

3

 1  1  0   1;0

3

 2  1  1   2;1

1 2

6. Graficar: f(x) = x  3 x 0 1 2 -1 -2

f ( x)  x  3

 3  0;3 1  3  4  1;4 2  3  5  2;5  1  3  2   1;2  2  3  1   2;1

03

Función Exponencial Si se tiene la expresión f(x) = ax. Se dice que esta representa a una función exponencial donde la base ”a” es un numer o real positivo y diferente de uno y el exponente es la variable independiente. Gráficamente, este tipo de funciones presentan las siguientes formas:



Generalmente el dominio de las funciones exponenciales son todos los números reales.

Ejemplos 1. Graficar: f(x) =

e

x 1

Se sabe que e = 2.7182

Dando valores se tiene: x 0 1 2

f(x) = e x 1 01 e = 0,3678 =>(0 ; 0,3678) 11 e =1 => (1 ; 1) 2 1 e = 2,7182 => (2 ; 2,7182)

2. Graficar: f(x) =

e x

2

Aquí la gráfica presenta una asíntota horizontal en le valor + 2.

x

o 1 -1

f(x) = ex + 2 0 e 2 =3 => (0 ; 3) 1 e  2 = 4,7182 => (1 ; 4,7182) e-1+2 =

Función Logarítmica Dada la expresión f(x) = log a x, se dice que esta representa a una función logarítmica; donde la base “a” es mayor que cero y diferente de uno.



Gráficamente este tipo de funciones presentan las siguientes formas:

Generalmente, el dominio de imagen de las funciones logarítmicas son todos los números reales.

Ejemplos: 1) Graficar: f(x) = ln x + 1

x 1 2 3

f(x) = ln x + 1 ln(1) + 1 = 0+1 = 1 =>(1 ; 1) ln(2) + 1 = 1,6931 =>(2 ; 1,6931) ln(3) + 1 = 2,0986 =>(3 ; 2,0986)

2) Graficar: f(x) = ln(x-2)

x 3 4 5

f(x) = ln(x-2) ln(3 - 2) = ln(1) = 0 =>(3 ; 0) ln(4 - 2) = ln(2) = 0,6931 =>(4 ; 0,6931) ln(5 - 2) = ln(3) = 1,0986 =>(5 ; 1,0986)



3) Graficar: f(x) = ln(-x+1)

x 0 -1 -2 -3

f(x) = ln(-x+1) ln(1) = 0 =>(0 ; 0) ln(2) = 0,6931 =>(-1 ; 0,6931) ln(3) = 1,0986 =>(-2 ; 1,0986) ln(3) = 1,3862 =>(-3 ; 1,3862)

4) Graficar: f(x) = log(x - 2) x 3 4 5

f(x) = log(x-2) log(3-2) = 0 =>( 3 ; 0 ) log(4-2) = 0,3010 =>(4 ; 0,3010) log(5-3) = 0,4771 =>(5 ; 0,4771)

Aquí existe asíntota vertical en el valor + 2.

Dominio de una Función El dominio de una función es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados ( x ; y ) de dicha función. Dominio de Imagen de una función El dominio de imagen de una función; también llamado recorrido, rango o co-dominio es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados de la función. Métodos para Calcular el Dominio y el Dominio de Imagen de las funciones Se presenta los siguientes métodos: 1. Método Analítico Para calcular el dominio de una función por este método, se despeja la variable dependiente y luego se analizan los valores que toma la variable independiente en el segundo miembro. Para calcular el dominio de imagen de una función, se despeja la variable independiente y luego se analizan los valores que toma la variable dependiente en el segundo miembro. 2. Método Gráfico Para calcular el Dominio y el Dominio de Imagen de las funciones por este método; se debe graficar las funciones para luego proyectarlas en los ejes “x” y “y”.La proyección en el eje “x” representa el dominio y la proyección en el eje “y” representa el dominio de imagen.

Restricciones para el cálculo del dominio de una función



En el cálculo del dominio y el dominio de imagen de las funciones se presentan las siguientes restricciones: No existe raíz de índice par de radicandos negativos, es decir: No existe logaritmo de números negativos ni del cero, es decir:

f x   n gx   g x   0

El denominador de una función no debe ser cero, es decir:

f x  

f x   Loga x   gx   0 px  qx 

 qx  0

Algebra de funciones Aquí se muestra que en el cálculo del dominio de las funciones compuestas se debe realizar la intersección de los dominios, es decir: 

Suma:

[f + g](x) = f(x) + g(x)

=> D(f + g) = D f ∩ D g



Diferencia:

[f - g](x) = f(x) +- g(x)

=> D(f - g) = D f ∩ D g



Multiplicación:

[f * g](x) = f(x) * g(x)

=> D(f * g) = D f ∩ D g



División:

[f / g](x) = f(x) / g(x)

=> D(f / g) = D f ∩ D g ;

Ejemplos: 1. Si: f(x) = x2 – 3. Calcular:

a) Dominio b) Dominio de imagen

Solución: a) Df = R (Todos los Reales ) b) DI =? (Despejamos “x”) y = x2 – 3 x2 = y + 3 x = y  3 y+3≥0 Ahora: y≥-3

Por ser una función cuadrática .

DI = [- 3 ; +∞)

-3

Inecuaciones y valor absoluto

2. Si: f(x) =

x  3 .

Calcular:

Solución:



g(x) ≠ 0


a) Df =?

b) DI =?

y=

x  3

y = x  3 y2 = x + 3 x = y2 – 3

x+3≥0 x≥-3

Aquí se hace y  0 .

DI = [ 0 ; +∞) -3

Df = [ - 3 ; +∞ )

3. Si f(x) =

x x  1

.

Calcular:


Solución: a)

y=

x x  1

x – 1 ≠ 0 x≠1

Ahora:

b)

y=

x x  1

x.y – y = x Pasando a multiplicar x.y – x = y Agrupando términos x( y – 1 ) = y Factorizando “x”. x=

y y  1

y – 1 ≠ 0 y ≠1

Df = R – {1}

4. Si f(x) =10x –1. Calcular:

DI = R – {1} a) Dominio b) Dominio de imagen

Solución: a) Df = R (Por ser una función exponencial) b) DI = ? Ahora: y = 10x –1 log y = log 10 (x –1) 1 log y = (x – 1) log 10 Entonces: log y = x – 1 x = log y + 1 y>0


Logaritmos

DI = ( 0 ; + ∞ )


5. Si f(x) = x 2  x  6 . Calcular el dominio. Hacemos que todo el radicando sea mayor o igual que cero. y = x 2  x  6 – – – – – – (x – 3) x2 – x – 6 ≥ 0 (x – 2) ---- +++ (x – 3)(x – 2) ≥ 0 +

DI = ( – ∞;- 2] U [ 3 ; + ∞) Dominio de la función.

6. Si f(x) =

x  2  2 x  2

ln x

2 –

+++ +++ 3

+

. Calcular el dominio.

Solución: 

Numerador:

x – 2 ≥ 0 x≥2



Denominador: x > 0 0

Df = [ 2 ; + ∞)

7. Si f(x) =

x  2

2

Interceptando las gráficas.

- ln(x – 1). Calcular el dominio.

Solución: 



x+2≥0 x≥-2

-2

x – 1 > 0 x>1 1

Df = (1 ; +∞)

8. Si: f(x) = log(x2 – 4).

Calcular el Dominio

Solución: Aquí hacemos que el argumento del logaritmo sea mayor que cero. y = log(x2 – 4) (x + 2)


– – – –

++++

++++


(x – 2)

2

– – – –

++++

– – – –

x – 4 > 0 -2

(x + 2)(x – 2) > 0

-

2

Entonces:

Df = ( – ∞ ; –2 ) U (2 ; + ∞)

9. Si f(x) = 3 x  12 - 3 . Calcular:

a) Dominio b) Dominio de Imagen

Solución: a) Df = ? y = 3 x  12 - 3 3x – 12 ≥ 0

b) DI = ?

3x ≥ 12 x ≥4

y = 3 x  12 - 3 (y + 3)2 = ( 3 x  12 )2 (y + 3)2 = 3x – 12 x=

 y  32  12

y – 3 ≥ 0

3

y ≥3 4



D f  4;

10. Si: f(x) =

5 x

2

 5x  4



DI = [ 3 ; + ∞)

. Calcular el dominio.

Solución: Aquí hacemos el denominador diferente de cero. y=

5 x

2

Factorización

 5x  4

x 2  5 x  4 ≠ 0

(x + 4)(x + 1) ≠ 0

Factorizando

Ahora: hacemos cada paréntesis diferente de cero. x+4≠0 x≠-4


x+1≠0 x ≠ -1


Solo estos dos valores hacen cero al denominador Df = R – {- 4 ; -1 } Función Inversa Si “y” es función de “x” que se representa como f(x ), entonces se dice que “x” es función de “y”, y se lo representa como x = f -1(y). La cual viene a ser la función inversa de la función; llamada también función Reciproca, donde al intercambiar las variables se tiene que: y = f -1(x).

Ejemplos: 1. Si: f(x) = x2 – 1. Calcular su inversa. Solución: Paso 1: Paso 2: Paso 3:

y = x2 – 1 x = y  1 y = x  1 f -1(x) = x  1

Se sustituye “y” por f(x) Se despeja “x”

Se intercambian las variables Inversa de la función.

2. Si: f(x) = e x – 1. Calcular su inversa Solución: y = e x – 1 y+1=ex ln (y + 1) = ln e x ln (y + 1) = x ln e x = ln (y + 1) y = ln (x + 1)

Sustituyendo f(x) por “y”.

1

f -1(x) = ln (x + 1)

Pasando el uno al primer miembro Aplicando logaritmos a ambos miembros Aplicando las propiedades de los logaritmos Intercambiando variables Inversa.

3. Si: f(x) = ln (x – 2). Calcular: a) Dominio b) La inversa c) El dominio de la inversa Solución: a) Df =?

Y = ln (x – 2) x – 2 > 0 x>2


b)

y = ln (x – 2) x – 2 = e y x=ey+2




D f  2;



y=ex+2 f -1(x) = e x + 2

c) Df -1=?

Df -1 = R

4. Calcular la inversa de la siguiente función y su dominio: 4 x  7 f(x) = 7 x  4 Solución: a) f -1 (x) =? y=

b) Df -1 (x)

4 x  7

y=

7 x  4

7x ≠ 4

7xy – 4x = 4y – 7

x≠

4 7

D f -1 (x) = R –

x (7y – 4) = 4y – 7

y=

7 x  4

7x – 4 ≠ 0

7xy – 4y = 4x – 7

x=

4 x  7

4 y  7

{ 74 }

7 y  4 4 x  7

7 x  4 4 x  7 f -1 (x) = 7 x  4

5. Si: f(x) = x  4 + 1. Calcular: a) La inversa b) El dominio de la inversa Solución: a) f -1 (x) = ?

y=

b) Df -1 = ?

x  4 + 1

 y  12  

 y  1

x4

x4 x =  y  12 + 4



2

2


Df -1 = R


y =  x  12 + 4 f -1 (x) =  x  12 + 4

Composición de funciones Si se conocen las funciones “ f ” y “g ”, entonces la composición de “ f ” con “g ” representada de la siguiente forma f o g, que se lee “g ” composición de “ f ”; es la función cuyo dominio esta dado

por: x є Dg / g(x) є Df . Cuya regla de correspondencia es la siguiente: f o g = [ f o g ] (x) = f [ g (x) ]

Ejemplos:

1. Si f(x) =

x  2

;

x  2

Calcular:

g(x) =

1 x

a) f o g b) g o f

Solución: Llevamos el valor de “g ” donde esté la variable en “ f ”. 1 1  2 x 2 1  2 x x a) f o g = = x => fóg= 1  2 x 1 1  2 x 2 x

x

1

b) g o f =

x  2

=

x  2 x  2

=>

góf=

x  2 x  2

x  2

2. Si f(x) =

x  4

;

x  1

Calcular:

g (x) = x 2  3x  1

a) f o g b) Df o g

Solución: a) f o g =

 3 x  1  4 2 x  3 x  1  1

x

2


b) Df o g = ?


x≠0

fog=

x

;

 3 x  3 2 x  3 x

x+3≠0

2

x≠-3

Df o g = R – { –3; 0} fog=

x

 3 x  3 x x  3 2

3. Si f(x) = 3 x 2  5x  1

Esto quiere decir que el denominador debe ser diferente de cero y de – 3.

;

g(x) = x 2  4

Calcular: a) [f+ g] (1)

b) [f - g] (-1)

c) [f * g] (2)

d) [f / g] (3)

Valor numérico

Solución: a) [f+ g](1) =?

b) [f - g](-1)

[f + g] = 3 x 2  5 x  1  x 2  4 [f + g] = 4 x 2  5 x  5 [f + g](1) = 412  51  5 [f + g](1) = 4 – 5 + 5

[f - g] = 3 x 2  5 x  1  x 2  4 [f - g] = 2 x 2  5x  3 [f - g] (-1) = 2 12  5 1  3 [f - g] (-1) = 2 + 5 – 3

[f + g](1) = 4

[f - g] (-1) = 4

c) [f * g] (2) = ? [f * g] = ( 3 x 2  5x  1)( x 2  4 ) [f * g] = 3 x 4  5 x 3  13 x 2  20x  4 [f * g] (2) = 3(16) – 5(8) + 13(4) – 20(2) + 4 [f * g] (2) = 48 – 40 + 52 – 40 + 4 [f * g] (2) = 24 d) [f / g] (3) = ? [ f ] (3) = 332  53  1 [ f ] (3) = 27 – 15 + 1 [ f ] (3) = 13


[ g ] (3) = 32  4 [ g ] (3) = 13


=> [f / g] (3) =

13 13

=1

4. Si f(x) = 2x + 1 ;

g(x) =

Calcular: a) f o g o h

x

;

1

h(x) =

b) f o h o g

x

c) g o f o h

Solución: Para este caso, realizamos la operación de derecha a izquierda.

a) f o g o h=? goh=

1

hog=

x

fogoh=2

fogoh=

b) f o h o g =?

1 x

+1

2  x x


c) g o f o h =?

1

foh=2

x

fohog=2

fohog=

1 x

+1

2  x x

foh=

1 x

+1

2  x x

gofoh=

2  x x


PRACTICO N° 1 1) Graficar las siguientes funciones:



a)

f x  2 x  1

d)

f x  x 2  1

b)

 

 

h)

f  x  10 x

k)

1

m) f  x  ln x  3

3

f x  2 x 2 

e)

g) f  x   x  2 j)

    2 x 1

f x

2

 

f x  x  1  2

c) f  x  

3 2

1

x

  

2



f) f x  x  1

2

   x2

i)

f x

2

l)

f x  2  3

n) f  x   lnx  2

o)

f  x  e  x

 

x

f  x   Log  x  4

2) Dadas las siguientes expresiones, calcular el Dominio

a) f  x  

3 x 4 x  2

d) f  x  x 2

 4x  3



g) f  x   log 4  x 2

 

j) f x

2

b) f  x  



2 2 x  3

e) f  x  

x  2

1

f) f  x  

2 x  3

h) f  x   x 2

k) f  x   e 2 x

c) f  x   e x

 4  ln x

 lnx 2  4

i) f  x  

 log2 x  1

x  1 x  1 x  2  3 x  2

ln x  1

l) f  x   x  Logx  1

3) Dadas las siguientes expresiones, calcular el Dominio y el Dominio de Imagen:

a) f  x   4 x 2 d) f  x  

1

2x  6  1

g) f  x  e x  2

3

b) f  x  

x  1

2 x  3

e) f  x   lnx  3 h) f  x  e x 3


1

c) f  x  

4 x

2

f) f  x   log x  2 i) f  x   e x  2

3


j) f  x   2 x  1 k) f  x   Log x  1 l) f  x   1  2 x 4) Dadas las siguientes expresiones, calcular su inversa y el Dominio de la inversa. a) f  x  

2 x

b) f  x  

x  2

d) f  x 

x3

h) f  x  10 x

3 x 2 x  1

e) f  x 

2x  1

i) f  x   10 x 1

3

k) f  x   logx  2

2

c) f  x  3x 2

1

f) f  x  

x

1

j) f  x   e x 2

3

1

m) f  x   lnx  1  2

l) f  x   ln x  2

5) Dadas las siguientes funciones: f  x   2 x 2

 x3

g  x 

;

x5 ;

h x  

1 x

t  x  

;

x

r  x  x 3

;

x  5

1

Calcular:

b)  f

a)  g  r   1   2 

e)

 f

i)

t

m)

g  h





g  4 

r

f)

r  x 

4 

 t 3

j)

n)

g





c)



g  x 



g

k)  f

t  x 

 f t   

g)

g  f 

3

o)



t



g



f



4





f

h)

 1     4 



h  x 



 3     2 

r

d)

l)

p)

g



h 

h



t 3 





t  x 



t  x 



g  h   1

_____________________________________________________________________ La matemática no es una Ciencia, si no la Ciencia misma. (Kepler)



RESPUESTAS

Ejercicio 2

Respuesta  1

Ejercicio 3

a)

D f

      2

b)

D f

    2

c)

D f

1      ;   2 

c)

d)

D f

 . ;1  3; 

d)

e) f)

D f

D f

a)

b)

3      2

e)

  ;1  1;

f)

g)

D f

  2;2

g)

h)

D f

  ;2  2;

h)

i)

D f

 2;

i)

j)

D f

3      2

j)

D f

  ;2  2;

k)

D f

 1;

k)

l)

Ejercicio 4

Respuesta


l)

Ejercicio 5

Respuesta

 D I  1 :  D f

3   2 1  D I      2 D f   ;4 D f

  D f  3;  D I  1;  DF  3;  D I   ;2

D I  

 0; D I   D f

 D I  3; D f

 D I  1; D f   D I  3; D f

 1    ;   2  D I  

D f





D f   ;1 D I  

1      ;  2   D I   ;1 D f

Respuesta


f 1( x )

a)

D f 1 b)

f

1

x  2

a)

( x)



x

2 x  3 3

   2 x 1 1 f ( x ) 

b)

  1;

f ( x)

 x 2  3 D f    1

d)

d)

(r t )3 

f ( x1)

 x 2  3

D f 1 f)

f ( x)

1

D f 1

   x  12 

e)

f)

25

485



512

( f g ) 4 

 12

(r g ) x 

 5 x





x5



h)

f ( x1)  Log x  3 D f 1

i)

f ( x1)  Log x  2  1 D f 1

j)

f ( x )

1

f ( x1)



 e x  2 

D f 1 m)

 3;

f ( x1)  10x  2 D f 1

l)

 2;

f ( x1)  ln x  3  2 D f 1

k)

 3;



 e  x  2  1

D f 1



g)



   4 

h)

i)

(h t )  x  

(t r ) x  

j)

( g t )  x 

k)

( f

l) m)

n)


( g f )  1 





g



8

x  5 x x x

h)  x 



3

2

x  5



1  3 x  5 x  5

6 x  5



( g  h)  4 



( f t )  3 





1 4

6 x  25



( g h t ) x  

1

15







8

3



1

e)

7

2

c)

( g  f ) 4 

2



39

 t )(3) 

( f

11



   2 

3

D f 1

( g  r ) 1 

   2

D f 1 c)

2 x



x

7 4

27 8


o)



1

 h) 1 

9

(t f ) 3   

 

p)

(g

UNIDAD N° 2:



2 

6

4

Limites

Competencias Al finalizar la unidad el estudiante desarrollará las siguientes competencias: 1. Aplica la definición de límites en la demostración de los mismos. 2. Aplica las propiedades de los límites en la resolución de problemas. 3. Calcula asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. 4. Analiza la continuidad y la discontinuidad de las funciones.

Conocimientos previos Para lograr un aprendizaje significativo de esta unidad el estudiante debe conocer los siguientes temas: 1. 2. 3. 4.

Factorización de polinomios. Racionalización. Definición y propiedades del valor absoluto. Definición y propiedades de los logaritmos.

Definición de límite Se dice que la función f(x) tiende a un límite finito “L”; para que “x” tienda al punto “a”, si para todo error Epsilom “  ” tan pequeño como se quiera, existe otro error Deltha “  ” en “x”; tal que se verifique la siguiente desigualdad: f ( x)  L <  , cuando: x  a <  . Para todo “x” que pertenece al dominio de la función donde se verifica que: f ( x)  L

<  , Cuando:

x  a

   x  Df

Interpretación geométrica del Límite. Geométricamente al límite de una función se lo representa de la siguiente manera:



Notación de Límite A un límite se lo representa de la siguiente manera: Lim x

f (x) = L

Donde “L” es el valor del límite.

a

Ejemplos: Valor Absoluto.

1) Calcular y demostrar el siguiente límite: Lim ( 2x - 1) = 5 para:  = 0,1 x 3 Datos: a=3 L=5 f(x) = 2x-1

Factorización y

4

3

2

1

x 0 1 2

Solución:

f(x) = 2x-1 -1 1 3

x

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

2 x  1  5 <



2 x  6  2 x 2



3 

Sumando -1- 5 = - 6



Factorizando y aplicando la propiedad del valor absoluto.

x  3  

( x  3)









0.1



2

Por la propiedad del valor absoluto Pasando el dos a dividir

2

2

Reemplazando en la definición de Límite

   0.05

Este es el valor de Deltha.

2) Calcular y demostrar el siguiente límite: Lím ( 3x -1 ) = 1 / 2 x 

para:

  0.1

1 2 y 4

Datos:

3

2

x

f(x) = 3x-1

1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-1

-2

-3

-4


x

0 -7

7


0 1

a= 1 2 L  1

-1 2

2

f(x) = 3x - 1 Solución: 1

3 x  1  3 x 

3

 

 

Reemplazando en la definición

 

2

3 x 

2

Reduciendo términos semejantes

1 

  

Factorizando el tres

< 

Aplicando la propiedad del valor absoluto

2 

3 x 

1

x  1

 2

2





0.1

3

3

   0.03

Es el valor de deltha.

3) Calcular y demostrar el siguiente límite:



lím x

2

 1= 5

Para   0.1

y 4

x  2

3

2

Datos: a=2 L=5

1

-6

- 5

-4

-3

-2

-1

0

-1

-2

-3

-4

f ( x)  x

x

0 -7

2

1

Solución: x

2

1  5  

Aplicando la definición .

x

2

4  

Restando +1 - 5 = - 4

x  2 x  2

 

Factorizando como diferencia de cuadrados perfectos


1

2

3

4

5

6

7




x  2 

x  2





Es el valor momentáneo de deltha

x  2

Se asume que:   1 x  2

Pasando a dividir el primer valor absoluto

Esta suposición se hace cuando el valor de deltha queda en función de la variable.



x  2  1

Reemplazando el valor de deltha (el uno).

-1 < x – 2 < 1 -1+2 < x < 1+2 1
Por la propiedad del valor absoluto Pasando el – 2 a sumar a ambos extremos

0.1



3 2

   0.02

Este es el valor definitivo de deltha

4) Calcular y demostrar demostrar el siguiente límite: lím lím x x  4

=2

Para

Racionalización

  0.1 y 4

3

Datos a=4 L=2

2

1

x

0 -7

-6

-5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

-1

f ( x)  x

-2

-3

-4

Solución:

 2  

x

x

2 *

x  4 x

2

2   x  2 x

Aplicando la definición de Límite

Racionalizando y aplicando la propiedad del valor absoluto.

 


2

3

4

5

6

7


x  4



x

 2 ·



x

 2 ·

Pasando a multiplicar.

Se asume que:   1 : (Se hace la suposición cuando en el segundo miembro de la inecuación aparece la variable). x  4



x  4

1 -1 < x – 4 < 1 -1 + 4 < x < 1 + 4 3
Reemplazando el valor de deltha (el uno) Aplicando la propiedad de valor absoluto Debemos elegir uno de los valores. El adecuado es el 3.

3  2 ·0.1

  0.37

Valor definitivo de deltha.

Gráfica:

x 0 1 4 9

f(x) 0 1 2 3

Mas ejemplos Calcular y demostrar los siguientes límites para   0.1



1) Lim2 x  2

3)

x2

2) Lim

x  1

x 1

4)

15

Lim

2 x  5

x 2

4

Lim 3 x  1 x 

1

5) Lim x 2  3 x  5

7) Lim

x  7

6) Lim x 3  2 x 2  x  2

8) Lim

x

x1

x 2

x2

x 4

2

Límites laterales Si se tiene la función f ( x) y se sabe que los valores “a” y “L” pertenecen a los números reales, “L” si sólo si se entonces el límite de la función f ( x) cuando “x” tiende al punto al punto “a” es “L” cumplen las siguientes condiciones: 1°) lim x  a

f(x) = L 1 

Que se lee: límite cuando “x” tiende a “a” por la derecha de la función f(x) ó límite lateral derecho.

2º)

lim f(x) = L 2  x  a

Que se lee: límite cuando “x” tiende al punto “a” por la izquierda de la función f(x) ó límite lateral izquierdo. Para que un límite lateral exista se debe cumplir que:

L1=L2

Ejemplos 1. Calcular el siguiente límite lateral: Lim Lim x 2

2x x



=





2(2.1)

2

Solución:

Lim x 2

2 x x  2

2.1  2



   

Ahora:

     x  2 1.9  2  lím lím

Como L1 no es igual a L2 entonces el límite lateral no existe. Es decir:

Lim x2

2 x

x

= No existe

2

Más ejemplos


2(1.9)


2. Lim x 1

3 x x  1

3. Lim x 2

3

 x  2

2

4. Lim x 2

1 x  2

5. Lim x1

2 x x  1

6.

Lim x 3

x x  3

Teoremas sobre límites Son axiomas que nos ayudan a resolver los problemas sobre límites. Entre algunos de estos teoremas tenemos los siguientes: 1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

lím x  a

mx = ma

lím x  a

lím x  a

lím x  a lím

« a » y « b » Pertenecen a los números reales

mx + b = ma + b

Reemplazando el valor « a »

b =b

En este caso el valor es “b”

k.f (x) = k k

x  a f ( x )



lím x  a

f(x)

k límf  x 

La constante “k” sale fuera del límite.

Se calcula el límite en el denominador

x  a

6.-

  f ( x) x  a  

7.-

  lím lím  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)   x a x a   x  a  

lím

 lím lím  g ( x)  f ( x)  g ( x) Se suman los límites .   x a x a 

lím


Se restan los límites


   f ( x) * g ( x )  lím f ( x ) * lím g ( x)   x  a x  a  

lím

8.-

x  a

   f ( x)  g ( x)  Lim xa f x   x  a    ´lím

9.-

 

lím

10.-

 f ( x)

x  a

k



 Lim f  x

k

  L 

xa

lím x  a

k

Se multiplican los límit

g ( x) ; g ( x)  0

Es el límite de una potencia

Aclaraciones importantes Se plantean las siguientes aclaraciones que se debe tomar en cuenta al momento de realizar los ejercicios, ya que estas nos permitirán facilitar la resolución de los mismos. 1. Un número mayor que uno elevado a infinito es infinito. 

 4       3 

Es decir:

2. Un número menor que uno elevado al infinito es cero. 

 3   0    4 

Es decir:

3.

1 1

1

;

;

1 10



0.1;

1 100

 0.01. .. . ………


1



 0 Un número dividido entre infinito es cero.


4.

1



1

1;

1 0.1



10

;

1 0.01

 100 ……

1 0

  Un número divido entre cero es infinito.

Indeterminaciones Son expresiones que debemos evitar realizando sobre ellas operaciones algebraicas y/o artificios matemáticos. Algunas de estas indeterminaciones son las siguientes: 0 ;  ;    ; 0   ; 0 0 ;  0 ; 1 0  Límites especiales Son aquellos límites que por sus características similares a otros límites nos ayudan a resolver los problemas de otros límites de su misma especie. Algunos de estos límites especiales son los siguientes: 1)

Lim

2)

Lim

u 0

u 0

3) Lim

lím u

u u

 

sen u

1  cosu 

u 0

4)

  1

sen u

o

u

1

0

1

1  u u  e

 1  1  5)   u    u  lím

6)

lím u

o

a

u

1

u

u

e

 ln a



7)

lím u

e

1

u

0

u

= ln (e) = 1

a) Límites algebraicos a.1) Indeterminación 0/0.- Cuando se presenta este tipo de indeterminación en una expresión racional. Se factoriza el numerador, el denominador o ambos si es necesario; para salvar la indeterminación. Factorización Ejemplos: 2 x  25 1) Calcular el límite: Lim x5 x  5

Lim

x

x 5

 25 52  25 25  25    x 5 55 0 2

0 0

Indeterminación

Ahora salvamos la indeterminación factorizando el numerador por diferencia de cuadrados perfectos . lím

 25 lím  x  5 x  5 ´lím = = x  5  5  5  10 x  5  x  5 x  5 x  5

x

x  5

2

2) Calcular el límite.

lim

x  0

 x  12  1

Lim

x 2

x 0

 x

 x  12  1 0  12  1 x

2

 x



0

2



0

0 0

Indeterminación

Solución: Salvamos la indeterminación desarrollando el producto notable en el numerador y factorizando el denominador.

lím x  0

=

lim

x 0

 x  12  1 x

x  2 x  1

2



 x



02 0 1

lím

x

2

x  0



2

1

 2 x  1  1 lím x x  2  x  0 x x  1 x x  1

2



3

3) Calcular el límite: lim1 x 

11 3 5 1



 1

0

2

1 lim  5 x  1 x  12

8 x 3 6 x

2

 1   1  8   1 8   1 3 8 x  1  2   8    = 2 2 1 5     1 1     6 x  5 x  1 6   5   1 6      1  4   2   2   2 

Indeterminación

0

2

Solución: Salvamos la indeterminación factorizando el numerador y el denominador lím x  1

3 3 lím 1 2 x  14 x 2  2 x  1 lim 2 x   1    5 x  1 x  12 3 x  12 x  1 x  1 2 3 x  12 x  1

8 x 6 x 2

2

3

2

=

lím x 

1

 2 x  1 3 x  1

4 x 2

2

4) Calcular el límite:

 1   1   1  4   2   1 4   2 2  2    4      3 1   1 3   1 2 2  

 x 3  1   lim x 1 x  1   

 1  1    2 2  x   5) Calcular el límite: lim x  0  x    

1 2 1



6

2

Respuesta: 3

Respuesta: - 1 / 4

a.2) Cuando se tiene una expresión irracional y se presenta la indeterminación 0/0, entonces se racionaliza el numerador, el denominador o ambos se es necesario para salvar la indeterminación.



Ejemplos:

Racionalización x  1

1) Calcular el límite: Lim x 1

x  1

lím x  1

1

x

x  1

lím x  1

lím x  1

x

1 1



1

1 1



0



x  1

x  1 x

x 2

x  2

x  2

3

x



2

3

1

 1 lim  x  1 x  1   x  1 x  1 x  1 x

*

1  1 2

2) Calcular el límite: Lim 3

lím

Reemplazando se presenta la siguiente Indeterminación.

0

lím

 1

x

1

x



2

Respuesta

x  2 x

3

2



0

22 3

Racionalizando el denominador.



3

2

0

Indeterminación

Solución: racionalizando el denominador. El factor de racionalización es: a 2  ab  b 2  x  2

lím x  2

=

=

3

lím x  2

3

22

x

3

 3 x 2  3 x * 3  lím x2 3 * 2 3 x  2  3 x   3 x * 3

 x  2

2

 x  2 3 x  3 2 x  3  x  2

 3 22  3 4  3

4

3

2

2

  lím

3

x  2

4

 3 4  33


4

x

2

3

2 x

 3 2  3 2

3

Respuesta.

4

  2 

 2 2

2


3. Calcular el límite:

 3 x  2  x2 x2 

2 x 

lim

Respuesta: 1 / 4

  

 x 2  6 x  8     x  7 


li m  x  2 3 


li m x 1



x 

8



x

3

Respuesta: 12

 3     2 

Respuesta: 

a.3) Si se tiene una expresión racional en la cual se presenta una indeterminación del tipo: , entonces para salvar ésta indeterminación se divide máximo exponente de toda la expresión.



toda la expresión entre “xn”; siendo “n” el

Ejemplos: 1) Calcular el límite: lím x

 x 1 2   1    3  x 9 3  9

x2

Indeterminación

Solución: Para este caso; se debe dividir el numerador y el denominador entre

3 x .

Porque este es el mayor exponente de toda la expresión. x lím

x

x  

1



1

 x  1 lím  3 x   x  9 2



2

x



3

x

3

x

3

x x

3





1 x

3

9 x

3

1

2 3 0 =      9 1 1 3 

0



Respuesta

1



lím x  

x



1 x

2

1

 9

x

1 x

3


2t  33 6t  2 2

lím t  

4t 5

Solución:

5

2   33 6   2 2    5  4   5

Indeterminación.

Para este caso dividimos el numerador y el denominador entre t 5 .

2t  33 6t  22 2t  33 6t  2 2

lím x  

5

4t



5

lím

*

3

t

x  

5

4t t

3

=

 2t  3   6t  2       t   t 

lím

4

x  

 2  3       =

3



2

t

Dividiendo todo entre t 5.

5 5

t

2

3

 lím t  

5 5

t

 2t  3   6t  2       t t   t t  4

5 5

t

2

 2  * 6   3 2    = 2 * 6  8 * 36  72 5 4 4 4 5 

Respuesta


t  

 6t  1 8() 2  6()  1    2 2  2t  1 2()  1

Solución:

Para este caso dividimos el numerador y el denominador entre t 2 .

8t 2

lím

2

 6t  1  2t 2  1

8t

2

lím t  

8t

lím t  

2

t 2t

2

t


 

6t t  lim 1 t   2 t 2

Indeterminación

8

6 t

2

 1 2

t

1 2

t

2

Separando “ t ”.


8

=

6



2

 1

1

2 

8



2

Respuesta

4

2

4. Calcular el siguiente límite:

 x 3  1   x  2 x 2  x  3    lim 

Respuesta: 

a.4) Indeterminación    Cuando se presenta este tipo de indeterminación en un límite algebraico, se debe racionalizar si la expresión es irracional, o realizar la operación correspondiente para salvar la indeterminación. Ejemplos. 1) Calcular:

Lim x 2 x

 1  x =

Ahora racionalizamos: Lim x

2

x

 x Lim

 1 1 2

 x  1 

Lim

3) Calcular:

Lim  x 1

 1  x x 2  1  x 2

1



x  1





1   1    1  x 1  x 

b) Límites trigonométricos Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.



1 x 2

 1  x

0

Respuesta: 0

 1  2    x  1 x 2  1 

Lim  x1

1

 1 

.

 x 2   4) Calcular: Lim  x  x  1 x    5) Calcular:

Indeterminación

2

2

1

2) Calcular:

x 

 1  x.

x

 1  x 2 x 2  1  x 2  Lim 2  Lim 2 x  x  1  x x  1  x x

x 

Sustituyendo tenemos:

2  1          

Respuesta: 0

Respuesta: 1

.

Respuesta: 


Para resolver este tipo de límites se utilizan algunos delos siguientes límites especiales: lím

1)

0

u

2)

lím

3)

lím

u

u

senu

1

u u

0

senu

1

1  cos u

0

u  u x

0 ;

u

Ejemplos: 1) Calcular el límite: Lim

Sen 8 x 

x 0

lim

sen 8 x

x  0

sen 8(0)



x

0

x



sen(0)

0



0

Indeterminación

0

Solución: Para este caso se multiplica y se divide la expresión por el coeficiente del argumento de la función trigonométrica. sen 8 x

lím

=

=

x

x  0

lím

sen 8 x

x  0

8 x

lím

sen 8 x

x  0

x

 81 

8

*

8 8



lím x  0

8 * sen 8 x x

Respuesta

2

2) Calcular:

Lim t 0

2

Lim t 0

t

1  cos t



t

1  Cost  0

2

1  cos(0)



0 11



0 0

Indeterminación

Solución: En este caso se racionaliza el denominador . 2 2 lím lím t 1  cos t  lím t  *  t  0 1  cos t  0 1  cos t  1  cos t  t  0


Racionalización

t 1  cos t  2

1  cos 2 t


=

2 t 1  cos

lím t  0

2

sen t

 t   1  cos t     2 t  0 sen t t  0  sent  2

lím

lím

t

= 12 * ( 1+cos(0)) = 1(1+1) = 2

3) Calcular el límite: Lim x 0

lím x  0

x  sen 8 x



x  sen 5 x

2

* 1  cos t 

Respuesta

x  Sen 8 x x  Sen 5 x

0  se (0)



0  sen (0)

00 00



0 0

Indeterminación

Solución: En este caso multiplicamos y dividimos entre 8x en el numerador y entre 5x en el denominador .

lím x  0

=

x  sen 8 x



x  sen 5 x

lím x  0

 7 x   4 x

lím t  0

lím x  0

7

x  sen 5 x *

8 x 8 x

=

5 x

lím x  0

5 x

x  8 x

sen 8 x

x  5 x

sen 5 x

8 x 5 x

Respuesta

4


x  sen 8 x *

Lim 3t  Ctg 4t

Identidades trigonométricas

t 0

3t * ctg 4t = lim 3t *

1 tg 4t



36(0) * 0 *

1 0

 0 *  Indeterminación.

Solución: Utilizando identidades trigonométricas llevamos a seno y coseno lím t  0

lím

3t * ctg 4t 

3t

=

lím t  0

3t *

1 tg 4t



limt 0 3t *

cos 4t sen4t

cos 4t lím 3 3 lím  cos 4t  cos 4t 4 t  0 t  0 4t sen4t t  0 4 4t * 1 *




lím t  0

3t *

cos 4t  4t sen4t * 4t


=

3 4

cos 4(0)1



3

Respuesta

4

5) Calcular el límite: sen3t lím

tg 3t

t  0

sen4t



sen(0) sen3t cos 3t   sen4t cos 3t * sen4t cos(0) * sen(0)



0 1* 0



0 0

Solución: Llevamos a función seno y coseno utilizando las identidades trigonométricas sen3t lím

tg 3t

t  0 sen4t

=

=



cos 3t  t  0 sen4t lím

3t *

t  0 sen4t * cos 3t

3t

3t t  0 sen4t * cos 3t

 lím

sen3t

3t 4t t  0 sen4t * * cos 3t 4t lím

sen3t

lím

sen3t *

lím

=

t  0

4t *

3t lím 3t lím 1 1 = 4t t  0 cos 3t 4t t  0 cos(0)



3t sen4t 4t

3t

 lím * cos 3t

3 1 3 *  4 1 4

1

t  0 4t cos 3t

Respuesta

b) Límites exponenciales 

En este tipo de límites la indeterminación que se presenta es 1 . Para salvar esta indeterminación se utiliza la siguiente igualdad:

g  x 

Lim f  x  x a

Ejemplos: 1

1) Calcular el límite: Lim 2 x  1

x 1

x1


Lim  f  x 1. g  x 

e  x

a




lím x  1

Solución: lím x  1

e

1





1



1

2 x  1 x1   21  1 11   3  1 0  1 Para este caso reemplazamos en la expresión  1     x 1 

2 x  1

lím 2 x 1



e2

e

Indeterminación

*.

 1  lím 2 x 11* x   1  x 1

Aplicando el Teorema 3 de límites, se tiene este resultado.

2) Calcular el límite: Lim1  Sen xCtg x x 0

lím x  0

1

cos(0 )

 1  sen(0) se4n(0)  10  1

1  senx

ctgx

Indeterminación

Solución:

1  senx

lím

ctgx

x  0

lím x 

 cos x    senx 

senx*

e

e

lím cos x x 0

e

lím cos x x0 1 senx1 senx

e

t  1 3) Calcular el límite: Lim t  t  1  

lím cos(0 ) x0



Simplificando

e

Respuesta

t

t

 t  1    t lím  t  1 = lím  t t  = lím t t    t  1 t    t 1  t       t t  Solución:


t

 1  1       = 1 Indeterminación t  1  1      


t

 t  1 = e t    t  1 lím

 t 1  lím  t 1 1*t  x 

 t 1t 1 *t  t 1 

lim  x 

e

2 t 2

e

lím 1 x  1





lim

= e

   2  lim  1  x   1  e   

t

x  



e



lím

t t



t 

1

e

t

2

Simplificando

2 1

1

t

Respuesta

Dividiendo entre “ t ”

Recuerde que:

t  2

 t  1   t   t  3 

1



0

Respuesta: e4

Lim 

1

1  7t   t  0  1  2t 

t

Li m

Respuesta: e5

c) Límites logarítmicos Para resolver este tipo de límites se utiliza el siguiente límite especial: lím

e

x  0

f ( x )

1

f ( x)

 ln e  1

Siempre que f(x) tienda a “0” cuando “x” tiende a “0” y se presenta una indeterminación de

Ejemplos: 1) Calcular el límite: Lim

e

2 x

x 0

e

2x

1

x

=

lím x  0

e

2(0)

0

1

1

x



e

0

1 0



11 0



0 0

Indeterminación

Solución: Multiplicamos y dividimos por el coeficiente del exponente de “e”


0 0

.


lím

e

2x

x  0

1

lím

=

x

e

x  0

e

2) Calcular el límite: Lim

x 3 x

x 0

lím

e

x  0

1

3x



4 x

e

2

*



2

lím

2*

x  0

e 2x

1

2 x

 2(1) 

2

Respuesta

1

4 x

1

3( 0 )

1

2x

4(0)



e

1

( 0)

(0)



11 (0)



0

Indeterminación

0

Solución: Multiplicamos y dividimos por el coeficiente del exponente de “e” para llegar al límite especial. 1 3x 3x 3x 3 lím 3 e  1 3(1) e  1 lím e  1 3 lím   *  *  Respuesta 3 x 4 4 4 x 3 x  0 4 x  0 x  0 4 x e

3) Calcular el límite: Lim

4 x

x 0

lím

e

4 x

 e 2x

e



 e 2 x x

 e 2(0)

4(0)



e

0

 e0



11



0

Indeterminación

x  0

x

Solución:

Para este caso utilizamos el artificio de sumar y restar uno para llegar al límite especial.

lím

e

4 x

x  0

=

lím

 e2x x

e

4 x

x  0



(0)

lím

4 x

 e2x  1  1

x  0

 e2x x

e

*

4 4



0

x

lím

e

x  0

2x

1

x

*



0

lím

0

e

4x

x  0

1

x

*

4 4



lím x  0

e

2x

1

x



2 2

2 2

1 = 4

lím x  0

e

4 x

 1x x

2

lím x  0

e

2x

1

x

 4(1) = 4 - 2= 2

Resultado

Asíntotas Son gráficas de rectas que definen y limitan las gráficas de las funciones. Las asíntotas pueden ser Verticales, Horizontales y Oblicuas. 1°) Asíntotas Horizontales



Dada la función Y= f(x), entonces la recta y = b representa a una asíntota horizontal siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones: I) Lim f x   b

Nota.- Para que exista la asíntota horizontal los valores de “b” deben ser iguales.

x 

II) Lim f x   b x 

2°) Asíntotas Verticales Dada la función y= f(x), entonces la recta x = a representa a una asíntota vertical siempre y cuando se cumplan las siguientes proposiciones: a) b) c) d)

cuando x  a  f  x    cuando x  a  f  x    cuando x  a  f  x    cuando x  a  f  x   

Nota.- Aquí se deben calcular los límites laterales

3°) Asíntotas Oblicuas Generalmente existen asíntotas oblicuas cuando no existen asíntotas horizontales. Entonces las asíntotas oblicuas están definidas por la ecuación y = mx+b. Donde:

m  Lim x 

f x  x

b  Lim f x   mx  x 

Ejemplos: 1) Dada la siguiente función: f(x) =

3 x  9 x  2

Calcular: a) Dominio b) Asíntotas c) Graficar Solución: a) Df =? Df = R -  2 

Porque el - 2 es el único valor que hace cero al denominador de la función.



b) Asíntotas: b.1) Asíntota Horizontal.

Indeterminación 3 x

3 x  9

lím

x   x  2



lím x  

x x x 3 x

3 x  9

lim

x   x  2



lim x  

x x x

  



9 x 2



3

lím x  

x 9 x 2



1 3

lim x  

x

a.h. en:

1

 

9 x 2



lím x  

x 9 x 2



x

lim x  

3 1

3 1

9

 3 2



9

 3 2



y = 3 Existe asíntota horizontal en este punto.

b.2). Asíntota Vertical.- Aquí se debe calcular los límites laterales en el punto x = - 2. 3 x  9

lím 

x  2





x  2

3 x  9

lím 

x  2



x  2



3 1,9   9

 1,9  2 3 2,1  9

 2,1  2



. A.V . b.3)



   

   

en

x  2

Existe asíntota vertical en este punto .

Asíntota Oblicua.- No existe asíntota oblicua porque existe asíntota horizontal. c) Grafica: La gráfica debe realizar el estudiante. Graficar

2) Si: f(x) =

x

2

 2 x  1 x

Calcular: a) Dominio b) Asíntotas c) Graficar



Solución: a) Df = ? Df = R - 0

El cero es el único valor que hace que el denominador se haga cero.

b) Asíntotas: b.1) Asíntota Horizontal.

lím x 

x 

 2 x  1

2





x

lím x 



x

2

x

2





2 x 2

x x x

1

lím x 





2



1

1

x x 2 1



2





2

x  0



lím x  0

x 

2

 2 x  1 x

2

=

Dividiendo entre x 2.

2

0



A. H . No existe asíntota horizontal.

Límites laterales

 2 x  1 x

1

=



b.2) Asíntota Vertical 2

x

 =

x

1

1

1

x

lím









(0,1)

 12(0,1)  1

2

0,1

(0,1)

2



   

 12(0,1)  1       0,1

A.V .

b.3) Asíntota Oblicua.


en

x0



x

*

m  lim

f ( x)

x 

2

m  lim x

2

x



 2x  1 x x

 m  lim x 

X

x

2

2x 2

x x 2 x



1 x

2

 m  lim

 m  lim

x

 2x  1

2

x2

x

1

x 

2



1

x x2 1

 m  lim1  x

2



1

 

=1

2

m=1

Es el valor de “m”

 x2  2x  1   x 2  2x  1  x 2   x   b  lim  * b  lim  f ( x)m(x )  b  lim   x  x x x x      2 x  1  b  lim 2 x  1  b  lim 2  1 = 2 x x x x  x  x 

b  lim 

b=2

Es el valor de “b”

Entonces: Reemplazando en la ecuación de asíntota oblicua se tiene : y = mx + b

y=x+2

Ecuación de la asíntota oblicua.

. c) Gráfica: Y

O A.

.

X



Continuidad en un punto Se dice que una función es continua en el punto x = a siempre y cuando cumpla las siguientes condiciones: 1° f(a) debe existir 2° lim f(x) debe existir x 

3° f(a) = lim f(x) x 

Si se cumplen éstas condiciones, entonces la función “f(x)” es continua en el punto x= a; de lo contrario se dice que “f(x)” es discontinua en dicho punto.

Ejemplos 1) Si f(x)=

1

Restricciones para el dominio

2 x

Calcular: a) Dominio b) Asíntotas c) Analizar la continuidad d) Graficar Solución: a) Df =? Df    2 El dos es el único valor que lo hace cero al denominador.

b) Asíntotas: b.1) Asíntota Horizontal. * lim x

* lim x

1 2  x 1 2  x

 lim x 

 lim x 

1 2 1 2

  A.H .

 

1

 1



0 0

en y  0

b.2) Asíntota Vertical.


Existe asíntota horizontal en este punto .


   x2 2  x x 2 2  (2,1)   1 1  lim    * lim x2 2  x x 2 2  (1,9)  Entonces existe asíntota vertical en el punto x = 2 1

* lim

1

 lim

b.3) Asíntota Oblicua.  A.O.



No existe asíntota oblicua porque existe asíntota horizontal .

c) Continuidad: 1º

f (2) =

2º lim x2

1

1

22

1 2  x

 

 lim x

3º f (2)  lim x2

No Cumple!

0

2

1 22

1

  0

1

No Cumple! No cumple!

2  x

 f ( x) es discontinua en x  2 d) Gráfica: Y

A.H.

2

A .V .


X


2) Si f(x) = Calcular: a) b) c) d)

x x

1

2

Dominio Asíntotas Analizar la continuidad Graficar

Solución: a) Df =? Df =   1;1

Estos dos valores hacen al denominador cero ( + 1 y – 1 ).

b) Asíntotas: b.1) Asíntota Horizontal. 1

x

* lim

x

x x

2

1



lim

x 

x x

2

x

2

2



1 x



x

lim

x

2

1

x

x x

2

1



lim

x 

x x

2

x

2

2



1 x

2

1

x

* lim

1

1 x

2

  A.H . en y  0



x

1

x

lim

1

0    0 1 1 1 

1 x

2

0    0 1 1 1 

Existe asíntota horizontal en este punto

b.2) Asíntotas Verticales.

1º Para x= -1

   x1 x  1 (0,9)  1  1,1  x    * lim 2  x1 x  1 (1,1) 2  1  * lim

x

2



0,9 2



. . en x  1   AV

2º Para x=1 Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.

Existe asíntota vertical en este punto


   x1 x  1 (1,1)  1   x 0,9    * lim 2  2 x1 x  1 (0,9) 1  x

* lim

1,1



2



2

. . en x  1   AV


c) Continuidad: 1º Para x = -1

1

1º f (-1) = 2º lim

x1

(1) 2  1 x

x



1

2

x 1

0

1



3º f (-1)  lim

1

(1) 2  1

 

No Cumple!

 

No Cumple!

x x

No Cumple!

1

2

 f(x) es discontinua en x = - 1 2º Para x=1 1º f(1) = 2º lim x 1

x

1

1

  

1

1

x



2

2

1

3º f (1)  lim x 1

No Cumple!

0

1 1    (1)2  1 0

No Cumple!

x x

2

No Cumple!

1

 f(x) es discontinua en x = 1 Y

A.H.

-1

A .V .


1

A .V .

X


PRACTICO N° 2 a) Calcular los siguientes límites 6x  12

1) Lim

x 1

 3x 2  4 x 3  7 x 2  16x  12 x

4) Lim x 2

7) Lim

3

9) Lim

15) Lim

x 1

x

x 

x 3  x 3

Lim x 0

Sen 2x Sen 3x

2x  Sen 3x 3x  Sen 2x



x

x

1

x 8 3 x32

x 1

Lim 1

2

3

4x

22) Lim x 



Lim x 0

31) Lim


x 0



14)

17)

2 x  1  x

2x

Sen 3x  Sen 2x Sen 5x  Sen 4x

 6x  8 3 x  7

x

Lim x 1

1 3 x

Lim x 3

2

1 x

5  x3

2 1 x2  8

 3x  x

x2

20) Lim x 

 3x  1

Sen 3x

2

3

0

x 2

x 1  x

25) Lim x

28)

2

3

11) Lim

5x  3

19) Lim

1 1 x

 x  1 

x2

16) Lim

x

3 x

x 1

x  16

24) Lim x

x 0

13) Lim

4 x

x 

1 6x 2  5x  1 8x

x  1  1  x  Lim  1  x   1  x 

1  2x  5

x 3

x

21) Lim

30) Lim

10) Lim

x 1 1

x 16

x 1

x

8)

x 1

x 0

Lim

6)

x

 x 2  x 1 x6  x 4  x2 1 x3

2

x32

12) Lim

x 0

x 0

x

x 1

18) Lim

5) Lim

3)

x  13  1

x  13  1  x2

x 0

27)

2) Lim

2x  4

x 2

 2x  1 3 x x

x2

23) Lim x x 





26) Lim x x 

29) Lim x 0

32) Lim x 0

2



x2

x

4

1

Sen 2x tag3x

tagx  Senx x

3

1


1

33) Lim 1  x  2 x

34) Lim 1  8x  4 x

x 0

 2x  3 

Lim 

36)

x 

39) Lim

ex

2

 Cosx x2

x 0

42) Lim x 0

  2x  6 

e

x 0

37)

 1  7 x  x

Lim 

  1  2x 

x 0

40) Lim

43) Lim

e

 e Senx

Sen 2 x

x e

mx

x 0

Sen 2x

8x

1

3 x 1

x 0

1

3x

 1  35) Lim 1   x   4x 

1

 e nx

38) Lim Cosx  x 0

41)

44)

x

e

Lim

1 senx

 ex

x

x 0

x

 e 2x

e 3x

Lim x 0

Sen 4x

b) Dadas las siguientes funciones. Calcular: Dominio, Asíntotas y graficar la función.

1) f  x  

4) f  x  

7) f  x  

3 x  9

2) f  x  

x  2

2

 x  1

2

x x

10) f  x  

2

1

x

2

x  5

5) f  x  

8) f  x  

x  2 x  1

1

6) f  x  

 x  2

2

2 x 2

4

x

2

x

11) f  x  

2 x  1

3) f  x  

x  1

3

2 x  12

9) f  x  

1

x x

9 x  2

12) f  x  

x

2

x

2

 x  2

c) Dadas las siguientes funciones. Calcular: Dominio, Asíntotas, Analizar la continuidad y graficar la función.

1) f  x  

4) f  x  

3 x  4

5 3  x

2) f  x  

5) f  x  


2

 x  3

2

x

2 x  3

3) f  x  

6) f  x  

1 2  x x 2 x

2

9


7) f  x  

1 x

2

8) f  x  

1

x x

2

9)

4

f  x  

x x

2

 16

Respuestas Ejercicio a

Respuesta

Ejercicio a

Respuesta

Ejercicio a

Respuesta

1

3

16

2/3

31

1

2

0

17

32

1/2

3

1/2

18

2

33

4

-3

19

5/2

34

e

2

5

3

20

3/2

35

e

2

6

6

21

0

36

e

7

5

22



37

e

8

1

23

0

38

1

9

1/4

24

0

39

1

10

1

25



40

1

11

12

26

0

41

2

12

1/2

27

2/3

42

3/2

13

3

28

3/2

43

m-n

14

3

29

2/3

44

1/4

15

-1/8

30

-1

45


1

e2

9 / 2

5


UNIDAD N° 3:

Derivadas

Competencias Al finalizar la unidad, el estudiante desarrollará las siguientes competencias: 1º Aplica la definición de las derivadas en el cálculo de la derivada de una función 2º Maneja adecuadamente las tablas de derivación 3° Calcula las derivadas de las funciones utilizando tablas 4º Aplica la derivación implícita en el cálculo de la ecuación de la recta. 5º Aplica las derivadas en el análisis completo de las funciones. Conocimientos Previos Para lograr un aprendizaje significativo de la unidad, el estudiante debe conocer los siguientes temas: 1º Simplificación de fracciones algebraicas 2º Definición y propiedades de los logaritmos 3º Valor numérico 4º La ecuación de la recta Punto Pendiente 5º Identidades Trigonométricas 6º La recta Tangente 7° Límites algebraicos, Trigonométricos, Exponenciales y Logarítmicos Fig. Nº 2

Fig. Nº 1

Y e j E

Y e j E

F(x)

Eje X

F(x)

Eje X

Fig. Nº 4

Fig. Nº 3

F(x)

Y e j E

Eje X


Y e j E

Eje X


Definición de Derivada La derivada de la función “ f ” en el punto “ x “ es la pendiente “ m “ de la recta tangente en el

punto [x ; f (x)] y se la define de la siguiente manera:

f  x   Lim ,

f  x  h  f  x 

h0

h

Interpretación Geométrica de la derivada Geométricamente la derivada de una función se la puede representar de la siguiente manera: f ‟(x) = m

m = tg  g T

Fig. Nº 4

e c S

F (x+h)

tg  =  y

F (x)

h

Y e j E

 y



F (x)

h x

Eje X

f '( x )  lim

x+h

f ( x  h)  f ( x)

n 0

h

Notación de Derivada Existen diferentes formas de representar a una derivada; entre algunas de ellas tenemos las siguientes: f '( x)  y ' 

dy dx

 Dxy 

 y  x

Ejemplos: 1) Calcular la derivada por definición de la siguiente función. En el punto x = 1



f (x) =x 2 -1 Solución: Aplicando la definición de la derivada se tiene. f ( x  h)  f ( x) Definición f '( x )  lim

Limites Algebraicos

h 0

h Desarrollando el producto notable y simplificando . f '( x)  lim

( x  h)2 1  ( x 2  1)

h 0

f '( x)  lim

h

2 xh  h 2

h 0

f '( x )  lim

2

 2xh  h 2 1  x 2 1

h 0

f '( x )  lim

h(2x  h )

h 0 h Es la derivada de la función Ahora reemplazamos el valor

f '( x)  2 x f '(1)  2(1) f '(1)  2





x

h

h



f '(x )  lim 2x  h h 0

Respuesta cuando se reemplaza el punto x = 1 en la derivada.

2) Calcular la derivada por definición de la siguiente función en el punto x= 5. f ( x)  x  4 Solución:  x  h  4   x  4 * x  h  4  x  4 Aquí se racionaliza el numerador. f '( x)  lim h 0 h xh4  x4

 f '( x)  lim h 0

h

f '( x)  lim



2

 

xh4 

 x  4 x 4

h

f '( x)  lim h 0

x  h  4

h



xh4  x4

1





2





h 0

f '( x ) lim

f '( x ) lim

x  h  4  x  4

f '( x ) lim

h 0

h



x h  4  x 4

1 x  h  4  x  4

1

h 0 x  4  x  4 2 x4 1 1  f '(5)  lim f '( x) lim h 0 h 0 2(1) 2 54 h 0

f '(5) 

1 2

Respuesta

3.- Calcular la derivada de la siguiente función por definición:

f ( x)  a

x

Solución: Aplicando la definición de derivada, distribuyendo el exponente y factorizando .





f

'( x)  lim

x  h

 ax

a

h 0

h x

f '( x)  lim

a (a

h 0

h



1)

h

f

'( x )  lim

x

a .a

h 0

 a x ln a 

 ax

h

h



f '( x )  a ln a x

f

'(x )  lim

x

a (a

h 0

h

1)

h

Respuesta

4) Calcular la derivada de siguiente función por definición: f (x) = sen x Solución: Derivando por definición y aplicando la identidad: Sen(A+B)= SenA. CosB + SenB. CosA f '( x)  lim

sen( x  h)  senx

h 0

f '( x)  lim sen x h 0

f '( x)  lim sen x

h (cos h  1) h (1  cos h)

h 0

f '( x )  cos x

h



f '( x )  lim

senx.cosh  cos x.senh  senx

h 0

 cos x.

sen h

h

Agrupando términos y factorizando Senx .

h

 cos x

Aplicando el límite especial . Limu 0

Respuesta

1  Cosu u

0

Identidades Trigonométricas

5) Calcular la derivada por definición de la siguiente función: f (x) = cos x Solución: Derivando por definición y aplicando la identidad f '( x)  lim h 0

f '( x )  lim

cos( x  h )  cos x

f '( x )  lim

cos x.cos h  sen x . sen h  cos x

h 0 h cos x(cos h 1)  sen x . sen h

h 0

f '( x)  lim h 0

Limu 0



 cos x

1  cos u u

f '(x)  sen x

h (1  cos h) h

 sen x .

sen h h

Cos (A+B) = CosA.CosB - SenA. SenB

h

Agrupando y factorizando Cosx . Aplicando el límite especial

0 Respuesta.

Derivación por Tablas Para calcular las derivadas de las funciones se utilizará las siguientes tablas: En la presente ta bla se considera como constantes a las letras “a”, “b”, “c” y “k” y las letras “u”, “v” y “w” como funciones de “x”.



Función

Derivada

Función

Derivada

y=k

y`= 0

y=x

y´= 1

y

 un

y '

 nu n1 .u '

y

 u.v

'

 u .v  u.v



u

y



1

y

 eu

y

 ln u

y

y

u

n



y

c

y y

u

y



c

y



y

 au

y

'

c ' n.u



'



u

'

u

n 1

 e u .u '

'

y

'



u

'

u

y y

v u



'

y

n

 log a u

y

' ' u .v  u.v

v

'

2

' c.n.u

u u



n 1

'

2 u

 a u ln a.u '

y '

y

 k .u '



'

y

u

'



'

u

'

u

log a e

y

 senu 

y '

 cosu .u '

y

 cosu 

y '

 senu .u '

y

 tg u 

y '

 sec 2 u .u '

y

 ctg u 

y '

  csc2 u .u '

y

 secu 

 arcsenu 

y y

y

'

 k .u

y

 secu .tg u .u '

y '

y

 arctg u 

 arc secu 

y y

'

u



'

'





u u

y

 e x

y '  e

y

 a x

y'  a ln x

2

x

x


y

 arccos u 

y

 arcctg u 

'

1 u2 u

 c secu 

y '

  cscu .ctg u .u '

'

1 u u

y

y

'

y

'

' 2

1

y

 arcc secu 

y

 ln x

y ' 

y

 Logx

y ' 

y

'

 u'  1 u2 

u

1 u



1 x x

2

 u' u u

1

'

 Loge

2

1


Ejemplos. Derivar las siguientes funciones utilizando tablas. 1) f ( x)  x2 1 Solución: f '( x)  2.x 21  0

Derivando

f '( x)  2 x

Respuesta

2) f ( x) 

1 x

3

2

Solución: Antes de derivar subimos la x 2 al numerador cambiando de signo del exponente. 2 f  x   x  3   f '  x   2 x 2 1  0 ' 3 Pasando al denominador el exponente negativo f  x   2 x 2 ' f  x   3 x

3) f ( x) 

x

Solución: 1

f ( x)  x 2 f '( x) 

4)

1 2

f ( x) 

Primeramente expresamos como exponente y luego derivamos 1

x

2

1

1 x





f '( x ) 

2 x

3

1 2

1

x2

f

'(x ) 

1 1

2 x 2

f

'(x ) 

1 2 x

Respuesta.

11

Solución: Antes de derivar pasamos al numerador las variables cambiando el signo del exponente.



f  x   x



1

 2 x 3  11

2

1



1

1



3

f  x    x 2 '

2

 2 3 x 31  0 4

f  x    x 2  6 x 2 1 6 '  4 f  x    3 x 2 x 2 1 6 '  f  x    4 2 x 3 x '

Derivada de un Producto Cuando dos funciones se están multiplicando, su derivada es: la primera función derivada, por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la segunda derivada, es decir: y = u . v y „ = u „ . v + u . v „

Multiplicación de polinomios

Ejemplos: Derivar las siguientes expresiones: 1) f ( x)  ( x 2 1)( x  3) Solución: f '( x)  (2 x)( x  3)  ( x 2 1)(1) f '( x)  2 x 2  6 x  x 2  1

Derivando el producto

f '( x)  3x

Respuesta

2

Multiplicando

 6 x 1

2) f ( x)  x ( x3 1) Solución: 1

f ( x)  x 2 ( x 3 1) f '( x) 

1 2



1

x 2 .( x

 x f '( x) 

3

Expresando la raíz como exponente y luego derivando.

 1

2 x

3



1) 

x (3x )  f '( x )  2

2

x (3x ) =

x

3

1 2 x

 1  2 x3 x 2 


2 x

=

x x

3

3

1 

 1  6 x 3 2 x

2

x (3x )

=

3 7 x

1

2 x


Derivada de un Cociente Cuando dos funciones se están dividiendo, su derivada es: la función del numerador derivada por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por el denominador derivada; todo dividido entre el denominador al cuadrado, es decir: y 

u v

 y' 

u ' v  uv ' v2

Ejemplos: Derivar las siguientes expresiones. 2 x  1 1) f ( x)  x  2 Solución: Derivando el cociente 2 2 x x  2    x  11 ' f  x    x  22 2 2 2 x  4 x  x  1 ' Multiplicando f  x    x  22 2 x  4 x  1 ' f  x    x  22

 x f ( x) 

2)

Solución: '

'

x

Derivando el cociente.

3 x  x    x x

3 x

f  x   '

3)

 8

2

f  x   f  x  

3

2 x 3 x

 81

2

 x  8 3

x

f ( x) 

Solución:

3

3

Multiplicando

2

8 2

x( x  1) x  1



x2  x x 1

En este caso se puede multiplicar en el numerador antes de derivar. Derivando el cociente y agrupando términos semejantes



2 x  1 x  1   x 2  x 1 f  x    x  12 '

 2 x  x  1  x 2  x f  x    x  12 2 x  2 x  1 ' f  x    x  12 '

2 2 x

Multiplicando

Regla de la Cadena Esta regla se aplica para derivar funciones que tienen exponentes numéricos y consiste en derivar el exponente; para luego multiplicar por la derivada de la función en sí, es decir: y  u

n

 y '  n . u n1. u '

Ejemplos: 1) Derivar: f ( x)  (2 x 1)5 Solución: f '( x)  5(2 x  1) 4 . 2

Derivando el exponente y multiplicando por la derivada de ( 2x-1 )

f '( x)  10(2 x  1) 4

Multiplicando 5 por 2 se tiene .

2) Derivar: f ( x)  x2  x  6 Solución: 2 f ( x)   x  x  6  f ( x)  f ( x) 

1 2



1 2

x2  x  6

Expresando con exponente



 12

.(2 x 1) Luego se debe bajar al denominador la expresión con exponente negativo.

 2 x  1 2 x

2

Respuesta.

 x 6

1 3) Derivar: f ( x)    2   x  Solución:

4

f '( x)  4( x 1  2)3.(1x 2 )


Subiendo la x al numerador y luego derivando .


3

1   f '( x)  4   2    x 2   x 

f

1 4   2  x  '(x)  x

Bajando x-1 y x-2 al denominador.

3

Respuesta

2

Derivadas Exponenciales Para resolver este tipo de derivadas aplicamos las siguientes tablas: 1º

y  a

x

 y '  a x .ln a

2º y  au  y '  au .ln a.u ' 3º y  e x  y '  e x 4º y  eu  y '  eu .u ' Ejemplos: Derivar las siguientes expresiones. 1) Derivar: f ( x)  3 x Solución: x f '( x)  3 . ln 3

Aquí se utiliza la tabla y = a x

2) Derivar: f ( x)  2

x

Solución: f '( x)  2 .ln 2. x

f '( x) 

2 x .ln 2 2 x

1 2 x

Para este caso utilizamos la tabla y = a u.

Respuesta



3) Derivar: f ( x)  e x Solución: f '(x)  e

La derivada de e x es ex.

x

2

4) Derivar: f ( x)  e x 1 Solución: x 1 f '( x)  e  (2 x) 2

f '( x)  2 x e

Derivando con la tabla y = e u.

x 2 1

Respuesta.

5) Derivar: f ( x)  e x  x 2  3 Solución: x x f '( x)  e  x 2  3  e (2 x)

 x

Derivando el producto

  2 x  3

x f '( x)  e x 2  3  2 x

Factorizando e x se tiene:

x f '( x)  e

Respuesta

2

Derivadas Logarítmicas Para resolver este tipo de derivadas se utiliza las siguientes tablas: 1º y  ln x  y '  2º y  ln u  y ' 

1 x u' u u'

3º y  log u  y ' 

u 1

.log e

4º y  log x  y '  .log e x

Ejemplos: 1) Derivar: f ( x)  ln x Solución: f '(x) 

1 x

Aplicando la tabla y = ln x



2) Derivar: f ( x)  log x Solución: f '( x) 

1 x

Derivando el logaritmo

log e

3) Derivar: f ( x)  ln( x2 1) Solución: f '( x) 

2 x x

2


1

4) Derivar: f ( x)  log( x3  x 2  x  10) Solución: 3 x 2  2 x  1 .log e f '( x)  3 ( x  x 2  x  10)


x

5) Derivar: f ( x)  Solución:

ln x

e (ln x)  e x

f '( x) 

e

(ln x)

2

x

1 x

x

e



f '( x ) 

 ln x  1    x   2

ln x

Derivando el cociente y factorizando e x.

6) Derivar: f ( x)  ln( x  1)e x 2 Solución: f '( x)  f '( x) 

1 ( x  1) x  2

e

( x  1) x  2

f '( x)  e

x  x .e 2  ln( x  1).e 2 .(1)

Derivando el producto.

 ln(x  1).e x 2

Ordenando

 1  ln( 1) x    ( x  1)   

Factorizando e x+2

Derivadas Trigonométricas Para resolver este tipo de derivadas se utiliza las siguientes tablas: 1º y  sen u  y '  cos u . u '



2º y  cos u  y '  sen u . u ' 3º y  tg u  y '  sec2 u . u ' 4º y  ctg u  y '   csc2 u . u ' 5º y  sec u  y '  sec u . tg u . u ' 6º y  csc u  y '   csc u . ctg u . u ' Ejemplos: 1) Derivar: f ( x)  sen( x 2 1) Solución: Aquí aplicamos la tabla y = sen u f '( x)  cos( x

2

1)(2 x)

Respuesta

2) Derivar: f ( x)  cos  x  Solución: Aquí aplicamos la tabla y = Cos u f '( x)  sen

f '(x) 

 x . 2

 sen  2

x

1

 x 



 

Respuesta

x

3) Derivar: f ( x)  tg (2 x  1) Solución: f '( x )  sec2 (2 x  1)(2) f '( x)  2 sec (2 x  1) 2

Respuesta

4) Derivar: f ( x)  ln(sen x) Solución: f '( x) 

cos x sen x

f '(x)  ctg x


Derivando el logaritmo natural Aplicando la identidad trigonométrica


5) Derivar: f ( x) 

sen x  1

cos x

Solución:

cos x.cos x  (sen x  1)( sen x)

f '(x) 

cos2 x cos2 x  sen2 x  sen x

f '(x) 

f '( x) 

Multiplicando y aplicando la identidad: Sen 2x+ Cos2x = 1

2

cos x 1  sen x

Derivando como un cociente .

Respuesta

cos2 x

Ejercicios resueltos Derivar las siguientes expresiones:

1) f ( x)  e sen ( x 1) Solución: Para este caso aplicamos la tabla de y = eu sen x f '( x)  e ( 1) .(cos x) f '( x)  cos x . e

2) f ( x)  ln

sen ( x 1)

Respuesta

x  1 x  1

Solución:

 x  1  f ( x)  ln    x  1  f ( x) 

1

f '( x) 

1

f '( x) 

f '( x) 

2

1

2

Expresando la raíz como exponente

 x  1    x  1 

Por Propiedad de logaritmo . Log An

ln 

ln( x  1)  ln( x 1)

2 1 1

2  x  1



Por Propiedad de logaritmo . Log

 x  1 1

1  x  1  x  1

   2  ( x  1)( x  1) 


Restando fracciones

A B

 n Log A

 Log A  Log B


f '( x) 

f '( x) 

1

 2   2  ( x  1)( x  1) 

Simplificando

1 x  1

Respuesta

2

3) f  x   e ln x

2

1

Solución: Aquí aplicamos la tabla y = eu y la tabla de y = ln u f  x   e !

4)

f ( x) 

  2 x 



ln x 2 1

 x 2  1

Respuesta

ln(e x ) x

e

Solución: Para este caso aplicamos la tabla del la derivada del cociente x

e

x

f '(x)  e

f '( x) 

f '( x) 

.e x

 ln e x .e x Derivando como un cociente .

(e x )2

x x e (1  ln e ) x

e .e

Simplificando y factorizando e x.

x

1  ln e x

Respuesta

x

e

2 5) f ( x)  1    x  Solución:

  

4

f x  1  2 x 1



4

Pasando la x al numerador

3

 2 f ( x)  4 1   .(2 x 2 )  x  3 2  8 1    x f ( x )  x

2

Derivando por la Regla de la cadena

Respuesta



6) f ( x)  sen4 ( x3 1) Solución: 3 3 f '( x)  4sen ( x  1).u '

Aplicando la regla de la cadena .

f '( x)  4sen3 ( x3 1).cos( x3 1)(3 x 2 )

Derivando “u”

f '( x)  12 x 2 sen3 ( x3 1).cos( x3 1)

Respuesta

7) f ( x)  ln[sen( x 2  4)] Solución: Aplicamos la derivada y = ln u cos( x 2  4)(2x ) f '( x)  2 sen( x  4) f '( x)  2 x.

cos( x 2  4)

Pasando el 2x adelante y utilizando la identidad trigonométrica

2 sen( x  4)

f '( x)  2 x.ctg ( x 2  4)

Respuesta

1  e x  8) f ( x)  ln  x  1  e  Solución:

Propiedades de los logaritmos

f ( x)  ln(1  e )  ln(1 e ) x

x

x

f '( x) 

f '( x) 

e

(1  e x )



e

x

Derivando y = ln u

(1  e x )

e (1  e )  e (1  e ) x

x

Aplicando la propiedad de logaritmos.

x

(1  e x )(1  e x )

 e2 x  e x  e 2 x f '( x)  (1  e x )(1  e x )

x

Realizando la operación de suma de fracciones .

x

e

f '(x) 

2e x (1  e x )(1  e x )

Simplificando y sumando.

Repuesta



x

9) f ( x)  log

2

2

Propiedades de los logaritmos

x

Solución: 1

 x2  2  2 f ( x)  log    x   x2  2  1 f ( x)  log   2  x  f ( x) 

f '( x) 

f

1 2

[log( x 2  2)  log( x)]

1

 1  .log e .log e   2  ( x 2  2) x  2 x

 x2  2  '( x)    .log e 2 2  ( x  2) x 

f '( x) 

1  2 x

Anotamos el signo radical como exponente El exponente baja por la propiedad del logaritmo Aplicando la propiedad de logaritmo para la división

Derivando

2

1  x 2  2

   .log e 2  x( x 2  2) 

Realizando la operación de resta de fracciones

Repuesta

10) f ( x)  x3 ln x  etg 4 x Solución: Para este caso primero se aplica la tabla del producto y luego la tabla de e u . 1 tg x f '  x   3 x 2 ln x  x 3 .  e 4 .Sec 2 4 x.4 x

Derivación Implícita No siempre resulta fácil despejar la variable dependiente cuándo ésta está en función de la variable independiente en una ecuación implícita. Es por ésta razón que; para determinar la der ivada respecto de “x” se utiliza la derivación implícita que se basa en la regla de la cadena y consiste en: 1º Derivar ambos miembros de la ecuación implícita respecto de “x” 2º Despejar algebraicamente y ‟.



Ejemplos: 1. Derivar en forma implícita la siguiente expresión: y

3

 xy  x  10

Solución: 3 y 2. y ' (1) y  x( y ')   1  0

Derivando ambos miembros respecto de “x”.

3 y 2 . y ' y  xy '  1

Multiplicando y separando y ‟.

y '(3 y 2  x)  1  y

Facatorizando y ‟.

y ' 

1  y

Despejando y ‟.

3 y 2  x

2) Calcular la ecuación de la recta en el punto: x 2

 

p  2;

 de la siguiente expresión:  2

1

 4 y 2  10

Solución: 2 x  8 yy '  0 2 x y '   8 y x y '   4 y m  y' m

x

4 y



Derivando ambos miembros de la ecuación Despejando

Por definición de derivada 2

 4 

  2

1



2 4

2

1

4

2

  m  

Pendiente

2

Ahora reemplazamos la pendiente en la ecuación de la recta punto-pendiente. y  y1

y 

1 2

 m x  x1 



1 2

x  2 

Ecuación de la recta punto-pendiente.

Reemplazando el punto.



y 

1 2

y



1

y



1

2

2



1 2

x

2

x

2



2

Multiplicando en el segundo miembro

2 1

Pasando al segundo miembro

2

.

2

2

x

1

Ecuación de la recta.

2

 2 2  3) Calcular la ecuación de la recta en el punto:  ;  para la siguiente ecuación:  2 2  x2 ( x2  y2 )  y 2 Solución: x4  x2 y 2  y 2 4 x3  [2 xy2  x 2 .2 y. y ']  2 y. y '

Derivando en forma implícita

4 x3  2 xy2  2 x 2 yy ' 2 yy '  0

Multiplicando

2 x 2 y y   2 y y   4 x 3

 2 xy 2

Separando en el primer miembro y ‟.

y '(2 x 2 y  2 y)  4 x3  2 xy2

Factorizando y ‟ como factor común .

y '  

2 x(2 x 2  y 2 ) 2 y( x 2  1)

 y2 ) y '   2 y ( x  1) x(2 x

2

m  y'

Factorizando Por definición

 y2 ) m 2 y( x  1) x(2 x

Despejando y ‟.

2


Calculando la pendiente


 m

2 2

  2 2  2 2  2       1 2  1 3   2   2   1  2   2  2 2 1 1 2 1  2  2  1     1 2 2 2 2  2    

m3

Pendiente

y  y1

 m( x  x1 )

y 

y 

2 2 2 2

  3  x  

 3x 

y  3x 

3 2 2

2 2

 

3 2 2



2 2

y  3x  2

Ecuación de la recta: Punto pendiente Reemplazando el punto en la ecuación de la recta

Multiplicando

Despejando y

Ecuación de la recta

4) Calcular la ecuación de la recta en el punto ( 4 ; 1 ) para la siguiente expresión: x



y

3

5) Calcular la ecuación de la recta en el punto ( 3 ; 1 ) para la siguiente expresión: xy  xy

2

6

3) Calcular la ecuación de la recta en el punto ( 1 ; 1 ) para la siguiente expresión: x  y



xy

6

4) Calcular la ecuación de la recta en el punto ( 2 ; y 2 

x  1 x 2  1


5 5

) para la siguiente expresión:


Análisis de Funciones En el análisis completo de las funciones se realizará directamente un ejemplo y en él se explicará el procedimiento en cada paso del análisis de las funciones. 1) Analizar completamente la siguiente función: f ( x)  x3  6 x 2  9 x  6 1º Puntos Críticos I Para calcular los puntos críticos I, se halla la primera derivada, se iguala a cero y se resuelve. f ( x)  3x 2 12 x  9

Primera derivada

3 x2  12x  9  0 3( x 2  4 x  3)  0

Igualando a cero Factorizando el tres

x2  4 x  3  0 ( x  3)( x  1)  0

Resolviendo por factorización .

x – 3 = 0 x=3

Ecuaciones de segundo grado

x – 1 = 0 x=1 P.C.I

Nota El grado de la primera derivada determina la cantidad de puntos críticos I. 2º Máximos y Mínimos Se analizan valores antes y después de cada uno de los puntos críticos I; sustituyendo éstos valores en la primera derivada; si el signo cambia de positivo a negativo, entonces existe un máximo en este punto; si el signo cambia de negativo a positivo entonces existe un mínimo en este punto. 

Para x = 1 f '(0)   f '(2)  



 max en x  1

Máx. ( 1; 10 )

 min en x  3

Min. ( 3; 6 )

Para x = 3 f '(2)   f '(4)  



3º Crecimiento y Decrecimiento Intervalos Se analizan los intervalos de los puntos crítico I, sustituyendo valores en la primera derivada; si el resultado es positivo entonces la función crece y si el resultado es negativo, entonces la función decrece. (;1)  f '(0)   Crece ( 1; 3 )  f '(2)   Decrece ( 3; )  f '(4)   Crece

4º Puntos Críticos II Se calcula la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve. f ''( x)  6 x  12

6x – 12 = 0 6x = 12

Segunda derivada Igualando a cero Resolviendo

x = 2 P.C.II Nota.- El grado de la segunda derivada determina la cantidad de puntos críticos II.

5º Puntos de Inflexión Un punto de inflexión es un cambio de concavidad y para calcular el mismo se analizan valores antes y después de los punto críticos II ; si existe un cambio de signo al reemplazar en la segunda derivada entonces existe un punto de inflexión en éste valor. f ''(0)   f ''(4)  

 P.I . en x  2

P.I. (2 ; 8)

6º Concavidad Se analizan los intervalos en los puntos críticos II, sustituyendo éstos en la segunda derivada; si el resultado es negativo entonces la función es cóncava hacia abajo y si el resultado es positivo entonces la función es cóncava hacia arriba. (; 2)  f ''(0) 

 (2; )  f ''(4)  



7º Gráfica Y e j E

Max. e c e r C D e c r e c e

Min.

e c e r C

Eje X 1


2

3


PRACTICO N° 3

a) Calcular la primera derivada de “y” respecto de “x”, utilizando tablas y simplificar el resultado en cada caso. 1)

  1 

f x

1

x

x

2

2)

2

4) f x  x 3  1x 2  3

3)

f x   2x  1 x

5) f x   x  1

6)

f x

8) f x   x 2  x  6

9)

 

f x 

2



x

1 3

x

 12

 

x

7) f x  

2x 2

3

10) f  x   4 x  3

11)

13) f x   3

14)

4

x

 4x  2

    2 

f x

  2 x  1



   1 e

f x

1 e

3

x

19) f x   Sen 2x  3

20) f x   Cos 3x  1

22) f x   e

.Ln x  1

25) f x   eSen2 x 5.e x 1

26)

f x

3

1 x

 e 2 x1  3



f x   Tg e3x  4

21)

Lnx  1

1 x

2 f x   Log x  x  6

18)



f x  

1 x 1

15) f x   2 x

17 f x   Ln x  2 x 2

23)

 

f x

2

x

 

f x

12)

x

16) f x   Ln4x  2

3x 1

5 x2

x



24) f x  Sen Ln 3x 1

ex

   Ln 4x  2

27)

4

f x   Sec

3

x

2

 1

b) Calcular la derivada de la función en el punto indicado.

1) f  x   x 2  2 x  8

En ( 2 ; 4 )

2)

3) f x   3x  2 x 1

En ( 0 ; 2 )

4)

f x

6)

f x

5) f  x  

3 x

3

4

En ( -1 ; - 3 / 2 )


f x   3x

 

3

En ( 2 ; 2 )

 4x

x 1

En ( 2 ; 3 )

2x  3

 

 x

1

2

 3 x 

2

En ( 4 ; 1 / 16 )


7) f  x  37  Sec3 2 x

En ( 0 ; 36 )

8) f  x  

Cos  x  

1 x

En

(



2

2

;

)



c) Derivar las siguientes expresiones en forma implícita: 1) 3 x 5

 y 3  x 2  2 y 4

 y 4 1 4) 3 6 x  y x

2

5)

2) 2 x 2 y 4

 3 x 6 y 2  1

1 1 1

6) e xy

x

2

y

2

3) x 3 y 5

1  x2

 y 2  x 4  10

7) e x

 Cos x  y 

d) Dadas las siguientes expresiones, calcular la ecuación de la recta en el punto indicado.

1) x 2

 4y  4



 y2   y2

3) x 2 x 2

5) 7)

En  2 ; 1    2  

2

En

x  y3  x 3  y3 y 2 

x  1 x  1 2

  

2 2

2 

;

2

 

2) 3 x 2  y 2   100xy 2

4)

x 

y 3



 x

En

(1;1)

6) Tg x  y

En

  2 ; 

8)

5 

 5 

x  y



x y

En ( 3 ; 1 )

En

(4;1)

En ( 0 ; 0 )

6

En ( 1 ; 1 )

e) Dadas las siguientes funciones. Calcular los puntos críticos I, máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, puntos críticos II, puntos de inflexión, concavidad y graficar la función. 1)

f x   x

3)

f x  

5)

f x   5  3x

7)

f x   x

9)

f x 

 

3

x3



3

4

2)

f x   x

 4x

4)

f x

 x3

6)

f x

8)

f x   4x 2

10)

f x   2x

 6x 2  9x  3 5 2

x2

2

 8x 2  15

x

4

4

 2x 2


3

 9x 2  24x  15

  x

3



3

  x

3

4

x2 2

 6x

 12x

 x4

 8x  3


Unidad Nº 4:

Integrales

Competencias Al finalizar la unidad el estudiante desarrollará las siguientes competencias: 1º Resuelve integrales indefinidas utilizando tablas 2º Aplica los diferentes métodos de integración para calcular primitivas de las funciones 3º Aplica las propiedades de la integral en el cálculo de integrales definidas 4º Aplica las integrales definidas para calcular áreas Conocimientos previos Para lograr un aprendizaje significativo de ésta unidad el estudiante debe conocer los siguientes temas: 1º Gráficas de funciones 2º Operaciones Algebraicas 3º Derivadas de funciones 4º Valor Numérico 5° Simplificación de expresiones Algebraicas Integral Indefinida Dada una función f(x) se dice que la función F(x) es la primitiva de f(x) siempre y cuando se cumpla que: F‟(x) = f (x). Entonces el conjunto de todas las primitivas de una función “ f ” se llama integral indefinida y se la representa de la siguiente forma: Función

Primitiva Constante

 f (x)dx  F (x)  c

Diferencial

Signo Integral A las integrales indefinidas también se las denomina antiderivadas.

Integración por tablas Para calcular la primitiva de una función se utilizarán las siguientes tablas: En la presente tabla se debe tomar en cuenta que las letras “a”, “b” y “c”, representa a las constantes y las letras “u”, “v” y “w”, representan a las funciones.



 a.du  a. du du

u

 ln u  c

Por partes:


Propiedad


Ejemplos:

 x dx

1) Integrar:

Operaciones con fracciones aritméticas

2

Solución: Aquí sumamos + 1 al exponente y dividimos entre esa suma .

 x  

2

x

dx 

3

2

21

1

c

3

3 1

x

c

x  c 3



2) Integrar:

xdx

Solución.- Primeramente se expresa la raíz como exponente y luego integramos aplicando la tabla . 1 1

 x dx  2

x 2 1

1

c

1

2

3

 

x 2 3

2 2 3

3) Integrar:

c x 3

 2

Sumando ½ + 1.

c

x5

 x3

 dx

Solución.- Primeramente separamos en dos integrales para luego integrar en forma simultánea .



 2

x 5

 x3

 dx   2



x 5 dx  x 3dx 5

  2 x 2 dx   x 3dx 5

 2 x 2 dx   x 3dx 5

 2 x 2 dx   x 3dx   5 1   31 2   x  x   2    3  1  c 5   1    2     7  4 2   x  x   2      c   7  4   2    4 7 x 4    x    c 4 Respuesta. 7 4) Integrar:  ( x  2)( x  2)dx Solución.- Aplicamos la diferencia de cuadrados perfectos y luego separamos en dos integrales

  x

2

 4 dx   x 2dx   4dx   x 2dx  4 dx  x 21    4 x   2 1   x3     4 x   c 3 

 x3  x  2  5) Integrar:   dx 2 x   Solución.- En este caso es conveniente separar el denominador para cada término del numerador. Luego separamos cada término en integrales separadas para luego integrar simultáneamente aplicando las tablas de integración.



 x3  x  2   x5 x 2    x2 dx    x 2  x 2  x 2  dx 1 2 1 2    x   2  dx   xdx   dx   2 dx x x  x x    xdx  

1 x



2

dx  2 x dx

Sacando el dos fuera de la integral

21  x  x    ln x  2 c 2 2 1       x 2 x 1    ln x  2   c 1  2  x 2 2    ln x    c x  2 2

Integración por Sustitución Este método consiste en sustituir parte de la función o toda la función por una nueva variable “ t ” para luego integrar esta nueva variable de una manera más sencilla utilizando tablas. Ejemplos: 1) Integrar:  (2 x  1)5 dx  Solución: En este caso “ t ” vale lo que está en el paréntesis. Sustitución: t

 2x 1

dt dx dt

2





(2 x  1)5 dx  t 5 .

2  dx


 

1 2 1

dt

2 1 t 6

 t .dt  2 6  c

12

5

6  2 x  1  c


2) Integrar:  x 1  x 2 dx Solución: En este caso “ t ” vale el radicando. Sustitución: t

 1  x2

dt

2

1



1  x xdx  t

  dt    1 t 12 dt  2 2  

2

3

 2 x

dx dt





2

1 t 2  2 3

 xdx

c  

1 3

3 2 2

(1  x )

c

2 1



(1  x )

2 3

3

c

3) Integrar:  sen(3x)dx) Solución: Aquí “ t “ vale el argumento de la función trigonométrica Sustitución: t



 3x

dt dx dt

3



sen(3x )dx )  sen (t )dx

3



1



 dx

Solución: Aquí “ t “ vale el exponente de “ e ”. Sustitución:

 5x

dt dx dt

5

5  dx

e

5 x



dt

1

(et )  c

dx  et .

 

5 1 5


5



1

e .dt 5

(e5 x )  c

t



1

dt

3

(  cos t )  c 3 1  cos t  c   cos(3x )  c 3 3 3 1

sen t.dt

4) Integrar:  e5 x dx

t

  sen (t ).


5) Integrar:

x



2

dx 2 x3  5 Solución: Aquí “ t “ vale el radicando.

Sustitución: t



 2x  5

dt dx dt

6

3

 6 x

x

2 x

2

3

5

dx 

2

7) Integrar:



1  t

1

  6 

 x 2dx

6) Integrar:



1 dt 1  12 .  t .dt 1 2 6 6 t



x

3

 1 3

x



e

.dx

x

1 e

x

.dx

1 3

1

2

2

 1 c   3 

t

c

2 x 3  5  c

Respuesta: ln 3. ln 1  3 x  c

Respuesta:

1 e

x

c

Integración por Partes Este método se utiliza cuando dos o mas funciones se están multiplicando; donde al realizar la sustitución se obtiene una nueva integral más fácil de resolver utilizando tablas o realizando una nueva sustitución. Para integrar por éste método se hace uso de la siguiente igualdad: La derivada del Producto : Integrando ambos miembros se tiene :

d (uv)  duv  udv

 d (uv)   duv   udv uv   vdu   udv

Despejando el segundo término del segundo miembro quedará:

 udv  uv  vdu Ejemplos:



1) Integrar:  xe xdx Solución: Cuando se están multiplicando una función

 xe dx  xe   e dx

algebraica y una exponencial; “ u “ vale la algebraica.

x

ux

x

x

 ( xe x  e x )  c  e x ( x  1)  c

du

1 dx du  dx

 dv   e dx x

ve

x

2) Integrar:  x2 ln x dx Solución: Cuando se están multiplicando una función algebraica y una logarítmica “ u “ vale la logarítmica. u  ln x du dx



du 



1

2

x ln x dx



x dx 2

v

3

3

3) Integrar:  xe2 xdx Solución: ux du



1 dx du  dx

 dv   e dx dt

2 v

2 x

dx

2  dx 1 2

e

3



3

3

ln x 

x 3 dx . 3 x

1

x dx 3 2

1 x 1 2x x xe 2 dx  x. e2  e dx 2 2 1 1  xe2 x  e2 x dx 2 2





Sustitución: t  2x dt

x

x 3

3  x3 1  x    ln x      c 3  3  3 3 x  1  ln x    c 3  3

x

 dv   x dx x

 ln x.

2 x


1  1 1   xe2 x   e 2 x    c 22  2 1 1   xe2 x  e2 x   c 4 2  1 1  e2 x  x    c 2  2


4) Integrar:  x sen (3x)dx Solución: Cuando se está n multiplicando una función algebraica y una trigonométrica “ u “ vale la algebraica. ux

1

1 dx du  dx



 dx   sen(3x)dx



Sustitución: Para hallar el valor de “ v “ se debe realizar por el método de sustitución. t

dx dt

3

3  dx

 dv   sen(3x)dx dt v   sen t. 3 v v

1 3 1 3

1 3 1 3

x cos(3x )  x cos(3x ) 

1 3 1 3

 x cos(3x )  cos(3x )dx

 1  1 1    x cos(3x )   sen(3x )    c 3 3   3 1 1    x cos(3x )  sen(3x )  c 9  3  1 1    x cos(3x )  sen(3x )  c 3 3 

 3x

dt

1

 x sen(3x)dx  x.  3 cos(3x )    3 cos(3x ).dx

du

 sen t.dt (  cos t )

1 v   cos(3 x) 3

Integral Definida Dada una función continua no negativa e integrable; el área de la porción del plano limitada por la gráfica de la funció n, el eje “ x ” y las rectas x=a y x=b se denominan integral definida entre “a” y “ b ” y se lo representa de la siguiente manera: b

 f ( x)dx a

a = Límite inferior Y e j E

F(x)

A

Eje X


b= Límite Superior


Propiedades Si se tiene las funciones f (x) y g ( x ) y se dice que éstas son funciones continuas en el intervalo de integración a  x  b , entonces se pueden definir las siguientes propiedades: a

 f  xdx  0

1)

a

b

a

a

b

 f ( x)dx   f (x)dx

2)

b

b

a

a

 c f (x)dx  c  f (x )dx

3)

b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

 [ f ( x)  g ( x)]dx   f (x)dx   g (x)dx

4)

 [ f ( x)  g (x)]dx   f (x)dx   g (x )dx

5)

c

b

b

a

c

a

 f ( x)dx   f (x)dx   f (x )dx

6)

7) Teorema Fundamental del cálculo integral. b



f ( x)dx  f ( x)

b a



f (b)  f ( a)

Regla de Barrow

a

b

8)

 f  xdx  b  a  f  x

0

 Donde :

a  x0

a

u

9)



F u   f  x dx  a

dF u  du

 f u 

Ejemplos:


 b Primer Teorema del Valor Medio


3

1) Calcular:

 x dx 2

1

Solución: Primeramente calculamos la primitiva y luego aplicamos el teorema fundamental 3

x3

 x dx  3 2

3 1



(3)3

1

3



(1)3 3



27 3

1

26

3

3

 

2

2) Calcular:  ( x 2  1)dx 0

Solución: Primeramente calculamos la primitiva y luego aplicamos el teorema fundamental 2  x3  2  23   03  2 0 ( x  1)dx   3  x  0   3  2   3  0 8 8  6 14  2  3

3

3

2

3) Calcular:  ( x3  x  5)dx 1

Solución: Primeramente calculamos la primitiva y luego aplicamos el teorema fundamental 2  x4 x 2 2 3 ( 5) 5      x x dx x 4 2 1 1  

 2 4 22  14 12      5.2     5.1 4 2  4 2  16 4 1 1 1  2  20      10      5   (4  2  10)    4 4 2  4 2     16 

23 4



64  23 4



41 4

5

4) Calcular:  (2 x 

2

x ) dx

1

Solución: Primeramente calculamos la primitiva y luego aplicamos el teorema fundamental 3 5

 1

5



(2 x  x )2 dx  (4x 2  4x

2

 x )dx

1



5   3 2 2  4 x 4x x  5  4x 3 8 5 x 2  5     1   x   1 5 3 2 3 5 2    2    4(5)3 8 (5) 2   4(1) 3 8 (1) 2  5 5   (5)     3  5 (1)  2  3 5 2     500 447, 21 25   4 8 1          5 2  3 5 2  3 5000  2, 683. 26  375   40  48 15       30 30   



2,691.74 30



7 30

 89.49

Calculo de Áreas Cuando se quiere hallar el área limitada por la grafica de la función, el eje “ x “ y las rectas x = a y x = b, se pueden dar los siguientes casos: Grafica nº 1

Grafica nº 2

y

y

a

b

x

Aproximación por Defecto


a

Aproximación por Exceso

b


Gráfica n° 3 y

a

b

x

Aproximación por Defecto y por Exceso Ejemplos: 1) Calcular el área limitada por la función f(x)= x+2 y las rectas x=1 y x=5 Solución: f(x)= x+2 x=1 y x=5 y 12

18

12

12

12

16

17

13

14

15

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

3

4

1


2

3

4

5

x


A  18 

4 2

 18  2  A  20u 2 Este valor se obtiene contando los cuadros debajo de la grafica de la función

Ahora calculamos el área de la misma función aplicando la integral definida

 x2   2x  15 A   ( x  2)dx  A   2  1 5

 52  12  A    2.(5)     2(1) 2  2 

Valor numérico

Sustituyendo el límite superior e inferior

 25  10    1  2   A   25  20    1  4   A  20u 2  2   2   2  2       

A  

2) Calcular el área limitada por la curva f(x)= e x y las rectas x= - 2 y x = 2 Solución: Y e j E

F(x)

-2

2

A 



e dx  A  e

2

A  e

2

x

x

2

2

-1

1

2

Eje X

Calculamos la primitiva y luego reemplazamos los límites de integración.

 e 2  A  (2,7182)2 

1 (2,7182) 2



A  7,3886 

1 7,3886

 A

54,5914  1 7,3886

3) Calcular el área formada por las siguientes curvas: f ( x)  9  x g ( x)  x  3

2

 y  9  x 2   y  x  3

 x3 0  x 2  x  6 2 x  x  6  0 ( x  3)( x  2) x  3 x  2

A  7,26u 2

Entonces:

Sistemas de ecuaciones

Formamos un sistema de ecuaciones y resolvemos por igualación.

9  x 2

Resolvemos la ecuación de segundo grado para hallar los límites de integración

2

A=

 [ f (x)  g (x)]dx

Introducimos las funciones a la integral definida

3 2



A  [9  x 2  x  3]dx 3

Gráfica A  

100 6



189 6

A = 14.8 u2

y g(x)

x f(x)



PRACTICO N° 4

a) Calcular la primitiva de:

1)

2 x 2 dx    

4)

2



2)

x

  x  2dx

3)

dx

6)

5) 8)

7) 10)

9) 11)

12)

b) Calcular la primitiva por el método de sustitución

1) 4)

3)

2)

x

2x 2

3

dx

5)



x. 1  x 2 dx

6)



x 2x

2

3

5

dx

9)

7)

8) 11)

10)

ex

1 e

x

dx

12)



e

x

1 e

x

dx

c) Calcular la primitiva por el método de integración por partes.

1) 4)

6)

5)

7) 10)

3)

2)

 e .Cos xdx x

8) 11)


9)

x e 2

2x

dx

12)

 xe .dx  x .Sen xdx  Sec  x dx 3x

2

3


d) Calcular : 3

1)

 x

2

2)

 2dx

1

4)

 2x 

x



2

5)



x  1 dx

4



  e 0

0

7)    2  x  dx 2   2

8)

1

2x



2

 dx  x  1  1

6)

2x  1 dx

4



2x  1 dx

1

9)

4



3)    1  4  dx 3x    2

dx

1

3

 2 

2

0

e

x 3

dx

1

1

e) Calcular el área formada por las siguientes curvas: Respuestas 1) f  x   x 2  4 x  2

y

g  x  x  2

A=10/3

2) f  x  x  13

y

g  x   x  1

A=1/2

3) f  x   3x  1

y

g  x   x  1

A=13.5

4) f ( x)  x 2  2 x  1

y

g  x   x  2

A = 4.5

5) f ( x)  2  x 2

y

g  x  x

A = 4.5

6) f ( x)  3 x 3  x 2  10 x

y

g  x    x 2

7) f ( x)  x 2  2 x  1

y

g  x   2 x  5

 2x

A = 24 A = 32/3

______________________________________________________________________________ La matemática honra el espíritu humano ( Leibniez)



Tabla de Derivadas En la presente tabla se considera como constantes a las letras “a”, “b”, “c” y “k” y las letras “u”, “v” y “w” como funciones de “x”.

Función y=k y

 un

y

 u.v

y



y



u c

1 un

 eu y  ln u y

Derivada

Función

y`= 0 y '

y '

y

'

y

'

y

'

y

 u ' .v  u.v ' 

y

y=x y  k .u

 nu n1 .u '

u

'

y



u

y



u



y y

v c u

n

u

 au y  log a u y

'

y´= 1

u

n 1

 e u .u ' 



c ' n.u

Derivada

u

y

'

y

'

y ' y

'

 k .u '

'

u ' .v  u.v '



'

v

 

2

c.n.u ' u

u

n 1

'

2 u

 a u ln a.u ' 

u

'

u

log a e

y

 senu 

y '

 cosu .u '

y

 cosu 

y '

 senu .u '

y

 tg u 

y '

 sec2 u .u '

y

 ctg u 

y '

  csc2 u .u '

y

 secu 

y '

 secu .tg u .u '

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CALCULO_I

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