CARÁTULA DE TRABAJO
CÁLCULO DE ÁREA Y ÁNGULOS INTERNOS DE UN TERRENO IRREGULAR Título del trabajo
HYPATIA Pseudónimo de integrantes
MATEMÁTICAS
LOCAL
ÁREA
C ATEGORÍA
4206245 Folio de Inscripción
INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL M ODALIDAD ODALIDAD
2
2. CÁLCULO DE ÁREA Y ÁNGULOS DE UN TERRENO IRREGULAR 3. RESUMEN Planteamos el problema sobre cómo medir el área de un terreno irregular y calcular sus ángulos internos. El profesor nos explicó y nos enseñó cómo medir, auxiliándonos con los materiales que nos pidió (cinta de medir que hicimos, balizas, nivel, etc.). Cada medida tiene que ser horizontal utilizando el nivel y alineada sobre cada lado del terreno apoyándonos con las balizas. Delimitamos un terreno clavando las estacas para cada vértice y formando el perímetro con el hilo cáñamo. Nos fuimos a un jardín de la escuela. Hicimos un croquis en nuestro cuaderno del terreno y lo dividimos en triángulos y anotamos las medidas de cada lado. Calculamos el área de cada triángulo con la fórmula de Herón de Alejandría. Procedimos a calcular los ángulos internos de cada triángulo con la ley de cosenos y con ellos fuimos calculando los ángulos internos de nuestro terreno. Los resultados quedaron asentados en el cuadro de datos. Por último, trazamos nuestro terreno con la información del croquis, utilizando regla y compás, y basándonos en la orientación de un lado que hicimos con la brújula con asesoría del profesor.
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4. INTRODUCCIÓN. 4.1 Marco teórico. o
Para medir nos basamos en el principio de la horizontalidad y la alineación.
o
Utilizamos la fórmula de Herón de Alejandría que nos ayuda a calcular el área de un triángulo utilizando sólo su perímetro.
s=
++
A = ( )( )( )
o
Para el cálculo de los ángulos internos utilizamos la Ley de los cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
o
El terreno lo orientamos utilizando una brújula y en un solo lado (lado base).
o
El plano del terreno lo trazamos con regla y compás basándonos en la orientación anterior.
4.2 Objetivo de investigación. Calcular las medidas que definen un terreno: área, ángulos internos, perímetro y orientación magnética.
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4.3 Problema. ¿Cómo calcular el área y ángulos internos de un terreno con forma de polígono irregular?
5. DESARROLLO Para nuestro proyecto de matemáticas, el profesor nos explicó lo siguiente:
mediremos un terreno,
prepararán y traerán el material que les pediré,
después de que su equipo haya medido su parte, el trabajo que tendrán que elaborar será calcular el área del terreno en total con las medidas que haya obtenido el equipo registradas en el croquis del terreno.
Pero antes de empezar todo, tienen que comprender qué es exactamente lo que harán. 1. ¿Qué es medir? Medir es una acción que consiste en comparar 2 cantidades y una sirve de patrón de medida. 2. Existen diferentes formas de medir, podemos medir longitud en metros (m), tiempo en segundos (s), temperatura en grados Kelvin (°K), cantidad de sustancia en moles (mol), luminosidad con la candela (cd), resistencia eléctrica en OMHS (Ω) y masa en kilogramos (Kg).
3. Podemos comprenderlo más sabiendo algo sobre la TOPOGRAFÍA. Topos > lugar, graphos > medidas. La topografía es una rama de la ingeniería que se dedica a describir por medio de medidas una zona o área terrestre. La topografía se mide en dos partes: planimetría y altimetría. 4. Horizontalidad → cualquier medida de una parte o zona siempre tend rá una proyección horizontal. Alineación → todas las medidas tienen que estar alineadas sobre una recta.
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MATERIAL. 6 palos de escoba y/o madera (mínimo 2) 1 listón 5.40m de largo y 3.5cm de ancho 1 madeja de hilo cáñamo blanco 40 – 12 clavos de 1” 1 marro o martillo 1 bolsa de lona, mochila vieja 1 nivel Brújula Brunton
ACTIVIDADES PREVIAS. 1. Tomar el listón y dividirlo en cm y m, dejar 20cm al principio y de ahí marcar los 5m, al final dejar otros 20cm. (Será nuestra cinta de medir) 2. Pintar de rojo y blanco cada 10cm cuatro palos de escoba. (Serán nuestras balizas) 3. Cortar los palos que quedan en pedazos de 10cm para hacer estacas.
PRÁCTICA DE MEDICIÓN. Antes de medir el terreno, el maestro nos mostró cómo íbamos a utilizar las balizas (los 4 palos) y el listón. Salimos e hicimos una pequeña práctica que consistía en: Un compañero que sostuviera una de las balizas en un punto, otro compañero pondría el “cero” del listón y otro compañero estiraría el resto del listón hacia otro
punto donde otro compañero sostendría otra baliza. Aprendimos cómo medir distancias en un terreno en declive.
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EN EL CAMPO. Lo aprendido esa vez lo utilizamos para la medición del terreno para el proyecto desarrollado de las siguientes formas: Elevamos las estacas en los que serían nuestros vértices del terreno. Amarramos el hilo entre las estacas para unir los puntos y nuestro procedimiento de medición ya aprendido lo aplicamos para calcular la longitud de lado a lado y de diagonales para formar triángulos en nuestro croquis que dibujamos. Por último, orientamos utilizando la brújula, y con ayuda del profesor, un lado del terreno (lado base), para poder trazar el plano posteriormente. La medida fue: Lado ED, orientación (rumbo) N 60° E Se obtuvo lo siguiente:
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CÁLCULO DEL ÁREA DE CADA TRIÁNGULO DEL TERRENO Fórmula de Herón de Alejandría: s=
++
A = ( )( )( )
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Triángulo EAF
Fórmula: s=
++
e = 12.02 s=
a = 10.83
.+.+.
s=
f = 9.22 .
s = 16.035// A = 16.035(16.035 12.02)(16.035 10.83)(16.035 9.22) A = 16.035(4.015)(5.205)(6.815) A = √ 2283.71081 A4 = 47.78818693m2
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Triángulo EBA
Fórmula: s=
++
e = 13.07 s=
.+.+.
b = 6.32 s=
a = 12.02
.
s = 15.705// A = 15.705(15.705 13.07)(15.705 6.32)(15.705 12.02) A = 15.705(2.635)(9.385)(3.685) A = √ 1431.16705 A3 = 37.83076856m2
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Triángulo ECB
Fórmula: s=
++
e = 11.16 s=
c = 6.33
.+.+.
s=
b = 13.07 .
s = 1528// A = 15.28(15.28 11.16)(15.28 6.33)(15.28 13.07 A = 15.28(4.12)(8.95)(2.21) A = √ 1245.19073 A4 = 35.28726017m2
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Triángulo EDC
Fórmula: s=
++
e = 8.98 s=
.++.
d = 8.76 s=
c = 11.16
.
s = 14.45// A = 14.45(14.45 8.98)(14.45 8.76)(14.45 11.16) A = 14.45(5.47)(5.69)(3.29) A = √ 1479.66478415 A1 = 38.46641112m2 Entonces el area total del terreno será la suma de todos: AT = 38.46641112+35.28726017+37.83076856+47.78818693= AT = 159.3726268m2
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CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CADA TRIÁNGULO *
Triángulo: EDC
Cos A =
Cos A =
+ −
.
Cos B =
Cos B =
+ −
.
Cos C =
Cos C =
b = 8.76
b2 = 76.7376
c = 11.16
c2 = 124.5456
A = 51.90°
a = 8.98
a2 = 80.6404
b = 8.76
b2 = 76.7376
c = 11.16
c2 = 124.5456
.+.−. (.)(.)
Cos B = .
a2 = 80.6404
.+.−. (.)(.)
Cos A = .
a = 8.98
+ −
B = 50.14°
a = 8.98
a2 = 80.6404
b = 8.76
b2 = 76.7376
c = 11.16
c2 = 124.5456
.+.−. (.)(.) .
Cos C = .
C = 77.95°
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*
Triángulo: ECB Cos A =
Cos A =
+ −
.
Cos B =
Cos B =
+ −
.
Cos C =
Cos C =
b = 6.33
b2 = 40.0689
c = 13.07
c2 = 170.8249
A = 58.54°
a = 11.16
a2 = 124.5456
b = 6.33
b2 = 40.0689
c = 13.07
c2 = 170.8249
.+.−. (.)(.)
Cos B = .
a2 = 124.5456
.+.−. (.)(.)
Cos A = .
a = 11.16
+ −
B = 28.93°
a = 11.16
a2 = 124.5456
b = 6.33
b2 = 40.0689
c = 13.07
c2 = 170.8249
.+.−. (.)(.) −.
Cos C = .
C = 92.51°
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*
Triángulo: EBA Cos A =
Cos A =
+ −
.
Cos B =
Cos B =
+ −
.
Cos C =
Cos C =
b = 6.32
b2 = 39.9424
c = 12.02
c2 = 144.4804
A = 84.86°
a = 13.07
a2 = 170.8249
b = 6.32
b2 = 39.9424
c = 12.02
c2 = 144.4804
.+.−. (.)(.)
Cos B = .
a2 = 170.8249
.+.−. (.)(.)
Cos A = .
a = 13.07
+ −
B = 28.79°
a = 13.07
a2 = 170.8249
b = 6.32
b2 = 39.9424
c = 12.02
c2 = 144.4804
.+.−. (.)(.) .
Cos C = .
C = 66.34°
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*
Triángulo: EAF Cos A =
Cos A =
+ −
.
Cos B =
Cos B =
+ −
.
Cos C =
Cos C =
b = 10.83
b2 = 117.2889
c = 9.22
c2 = 85.0084
A = 73.17°
a = 12.02
a2 = 144.4804
b = 10.83
b2 = 117.2889
c = 9.22
c2 = 85.0084
.+.−. (.)(.)
Cos B = .
a2 = 144.4804
.+.−. (.)(.)
Cos A = .
a = 12.02
+ −
B = 59.58°
a = 12.02
a2 = 144.4804
b = 10.83
b2 = 117.2889
c = 9.22
c2 = 85.0084
.+.−. (.)(.) .
Cos C = .
C = 47.24°
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6. RESULTADO. 6.1 PLANO
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6.2 CUADRO DE DATOS.
Total
Vértice
Lado
Distancia
Ángulo
A
AB
6.32cm
144.44°
B
BC
6.33cm
158.85°
C
CD
8.76cm
136.49°
D
DE
8.98cm
51.90°
E
EF
9.22cm
155.6°
F
FA
10.83cm
73.17° 719.91°
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7. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS.
El área total es la suma de las áreas de todos los triángulos.
Con la fórmula de Herón de Alejandría no es necesario utilizar la altura de los triángulos.
Los polígonos tienen algunas características que los definen, en este caso, nuestro terreno es un polígono de 6 lados (hexágono) y en este polígono la suma de sus ángulos internos debe de ser de 720°, dato que al compararlo con el que calculamos que nos dio 719.91°, tiene una diferencia de 9 centésimas.
8. CONCLUSIONES. a) Cuando el terreno que se va a medir es un polígono como en nuestro caso, siempre conviene dividirlo en triángulos. b) Se pueden facilitar los cálculos diseñando un programa para hacerlo en computadora, o utilizar algún paquete. Los aparatos modernos de topografía ya tienen dichos programas integrados. c) Cuando el terreno es inclinado, como nos tocó en algunas partes, a las personas se les hace difícil entender que la medida tiene que ser horizontal. d) Nos divertimos mucho.
9. FUENTES DE INFORMACIÓN. Guzmán Herrera, Abelardo, Geometría y Trigonometría , México, Publicaciones Cultural, 2002, pp. 76-141.
