calculo_1_-_capitulo_5(2).pdf

CAPÍTULO 5 DERIVADAS DERIV ADAS E APLICAÇÕES A derivada de uma função é a parte da matemática que permite estu es tuda darr a ra rapid pidez ez co com m qu que e de dete term rmin inad ada a qu quan anti tida dade de es está tá va varia riand ndo o em relação a uma outra. Por exemplo, por meio das derivadas podemos deduzir a velocidade com que uma determinada população está crescendo, ou uma solução química está se dissolvendo, ou o melhor ponto para se pôr uma coluna num edifício...

As ap apli lica caçõ ções es da das s de deri rivad vadas as sã sã  !" !"i# i#as as e var varia iada das$ s$ C%verse c! s se"s pr&essres da 'rea #(c%ica) " pes*"ise e! livr vr s da s"a 'rea) e desc"+ra as aplicações aplic ações pss,v pss,veis$$ eis$$$$ apres aprese%#e e%#e  res" res"l#ad l#ad da da s"a +"sca para se"s cle-as de classe... amos ! teoria"

#. $%& %&''(' (')* )*+ + A derivada de "!a &"%çã & e! relaçã a /  é a função  f ´  definida por  f '  ( ( x ) = lim h→0

 f   ( x + h ) − f   ( x ) h

quando o limite existe. +s.- A derivada de uma função f em relação a x no ponto a, é dada por f '  ( ( a )=lim h→ 0

 f   ( a + h ) − f  ( a ) h

O"#ras 0#ações para derivadas1  D x f   ( x )   l/se 0d su su x de de f de x1 dy  2 0d 3 d x1 dx  y ´   2  y  linha.

E/erc,ci1 4sando a definição, calcule a derivada das se5uintes funç6es57 g ( x )= 4 x a7 f   (  x )= x 2 h7 g ( x )= − 2 7 g ( x )= x 2 − 5 x i7 g ( x )=6 c7 h ( x ) = x 2 − 5 x + 6  87 f   (  x )= senx d7 f   (  x )= x 3 97 f   (  x )=2 x e7 g ( x )=3 x 2 + 2 x

f7

h ( x ) =3 x

:espostas dos %xercíciosc7 h ( x ) =2 x − 5 ; d7  f   ( x ) =3 x f   ( x )=2 x ; 7 g  ( x )= 2 x − 5 ; '  '  e7  g  ( x )=6  x + 2 ; f7 h ( x ) =3 57  g '  ( x )= 4 ; h7  g '  ( x )= 0 ; i7  g '  ( x )= 0 ; 87  f  ' ( x )=cosx ; '   x  f   ( x )=2 ln 2

a7

' 

' 

' 

' 

2

; 97

A partir do cálculo das derivadas das funç6es acima, procure encontrar re5r re 5ras as pr prát átic icas as pa para ra as fun funç6 ç6es es 5en 5enéri érica cass-  f   (  x )= x n , f  ( x )= kx , f   ( x )= k  ,  f   (  x )=a

k 

f7

h ( x ) =3 x

:espostas dos %xercíciosc7 h ( x ) =2 x − 5 ; d7  f   ( x ) =3 x f   ( x )=2 x ; 7 g  ( x )= 2 x − 5 ; '  '  e7  g  ( x )=6  x + 2 ; f7 h ( x ) =3 57  g '  ( x )= 4 ; h7  g '  ( x )= 0 ; i7  g '  ( x )= 0 ; 87  f  ' ( x )=cosx ; '   x  f   ( x )=2 ln 2

a7

' 

' 

' 

' 

2

; 97

A partir do cálculo das derivadas das funç6es acima, procure encontrar re5r re 5ras as pr prát átic icas as pa para ra as fun funç6 ç6es es 5en 5enéri érica cass-  f   (  x )= x n , f  ( x )= kx , f   ( x )= k  ,  f   (  x )=a

k 

2$ RE3RAS 4SICAS DE DERIVAÇ6O n. &unção # f   (  x ) = k , k  ∈ R < f   (  x ) =c . g ( x ) = f   (  x ) = g ( x ) ± h ( x ) > f  ( x )= g ( x ) . h ( x ) :e5ra do produto ?  g ( x )  f   (  x ) = h ( x )

@ 7  B #C ##

f   (  x ) = x f   (  x ) = g ( h ( x ))

#<

f   (  x ) =log a x

#= #> #? #@ #D # #B

f  ( x )= senx f   (  x ) =cosx f   (  x ) =tgx f   (  x ) =cossecx f   (  x ) = sec x f   (  x ) =cotgx f   (  x ) =arcsenx


f   (  x ) =arccosx

<#

f  ( x )=arctgx

<<

f  ( x )=arccossecx

<=

f   (  x ) =arcsecx

<>

f  ( x )=arccotgx


f   (  x ) = sen h x f   (  x )=cos h x f   (  x ) =tg h x f   (  x ) =cos cossec sec h x f   (  x ) = sech x f   (  x ) =co cotg tg h x

n

$erivada f   ( x )=0 '  f   ( x )=c . g '  ( ( x ) f '  ( ( x )= g '  ( ( x ) ± h ' ( x ) '  '  '  f   ( x )= g  ( x ) . h ( x )+ g ( x ) . h ( x ) '   g  ( x ) . h ( x ) − g ( x ) . h ' ( x ) '  f   ( x )= [ h ( x ) ]2 ' 

 f   ( x ) =n x '  '  f   ( x ) = g  ( h ( x )) . h '  ( ( x ) ' 

Re-ra da cadeia

f  ( x )=e  g ( x  x ) f   (  x ) =e  x f   (  x ) =a f   (  x ) =ln ∨  x ∨  x

n− 1

 f '  ( ( x )= e '  ( ( x  x )  g ( x  x ) '   f   = e . g  ( x ) '   x  f   ( x ) =a . lna 1 '   f   ( x ) =  x 1 '   f   ( x )=  x . lna '  f   ( x )=cosx '  f   ( x )=−senx '  2 f   ( x ) = sec  x '  f   ( x ) =− cos cossecx secx.. cotgx '  f   ( x )= secx . tgx '  2 f   ( x )=− cos cossec sec  x 1 '   f   ( x )= √ 1 − x 2 −1 '   f   ( x )= √ 1 − x 2 1 '   f   ( x )= 2 1 + x −1 '   f   ( x )= 2  x √  x  x − 1 1 '   f   ( x )= 2  x √  x  x − 1 −1 '   f   ( x )= 2 1 + x '  f   ( x )=cos h x '  f   ( x ) = sen h x '  2 f   ( x )= sec h  x '  f   ( x )=− coss sseec h x . co cotg tg h x '  f   ( x )=−sechx . tg h x '  2 f   ( x )=−cossech  x  x

AL3U8AS 9:R8ULAS TRI3O0O8;TRICAS I8PORTA0TES Ide%#idades Tri-%!(#ricas 2

2

 sen  x + cos  x =1 1  secx = cosx  senx tgx = cosx  sen ( − x ) = senx π   sen  − x = cosx 2

( )

2

2

2

1 + tg   x = sec  x

cossecx =

1  senx

cotgx =

 

cos ( − x )=cosx π  cos  − x = senx 2

( )

( )

1 −tgx.tgy  tgx−tgy tg ( x − y ) = 1 + tgx.tgy

9
9
 sen  x =

1 −cos2x 2

Lei ds Se%s a b c = =  senA  senB  senC 

Lei ds Csse%s 2

2

2

a =b + c −2bc.cosA 2 2 2 b =a + c − 2ac.cosB 2 2 2 c = a + b − 2ab.cosC

2

cos2x =cos  x − sen  x

 

2

cos  x =

1 + cos2x 2

1 cosx = tgx  senx

tg ( − x )=−tgx π  tg   − x =cotgx 2

9
 sen2x = 2senx.cosx   2tgx tg2x = 2 1 −tg   x

2

1 + cotg   x =cossec  x

=. DERIVADAS SUCESSIVAS Podemos calcular derivadas sucessivas para as funç6es, ou se8a, podemos calcular derivadas das derivadas. E isto que chamamos de derivadas sucessivas. (otação2 d   f     ( )  f ´ ´   x = - representa a derivada se5unda da função f. 2

(n )

 f   ( x ) =

dx n d   f   dx

n

- representa a derivada nésima da função f.

E/e!pl =1 Falcular a derivada terceira da função  f   (  x )=2x 5 − 3x + 9 df   4 =10 x −3 dx 2 d   f   3 = 40 x 2 dx 3 d   f   2 =120 x 3 dx

E/e!pl 21 Falcular a derivada se5unda da função  f   (  x )= sen2x df   = 2cos2x dx 2 d   f    f ´ ´  ( x )= =− 2sen2x 2 dx  f ´  ( x ) =

>. >UAL O SI30I9ICADO 3EO8;TRICO DA DE9I0IÇ6O DE DERIVADA? Fonsidere uma função 5enérica   ( x   , y   ) ! ( x ! , y ! ) e sore   ( x   , f   ( x  ) )  e ! ( x ! , f   (  x ! ) ) .

  

 f   (  x ) .   Fonsidere ainda dois pontos o 5ráfico de  y =  f   ( x ) .   Assim,

A%alise  -r'&ic e i!a-i%e  si-%i&icad da e/pressã1  f   ( x ! ) − f   (  x   )

$

 x! − x  

A que conclusão voc/ che5ou" + que essa expressão tem a ver com a expressão do limite na definição de derivada" e8amos as respostas... A expressão

 f   ( x ! ) − f   (  x  )

 x! − x    curva, que passa por     e

 representa a i%cli%açã da re#a seca%#e !

! . 'sto é f   (  x ! ) − f   ( x  ) "ncl"na #$ o sec ! =  x ! − x  

G#7

+s.- %ssa expressão é tamém conhecida como a que nos fornece a #a/a de variaçã !(dia da &"%çã entre os pontos     e ! . A5ora, estamos querendo interpretar 5eometricamente a definição de derivada. A expressão que temos aqui não é exatamente a que aparece na definição de derivada. O *"e as di&ere? >"al  si-%i&icad dessa di&ere%ça? O+serve) a%alise e disc"#a c! se"s cle-as$$$ Huando fazemos ! →   , G#7 tornaselim  f   ( x ! ) − f   (  x   )

lim "ncl"na #$o sec !=

! →  

+u se8a-

! →  

 x ! − x  

"ncl"na #$ o tg   = lim

! →  

 f   ( x ! ) − f   ( x  )  x ! − x  

&azendo  x  = x  e  x ! = x  + h = x + h  , G<7 pode ser rescrita como-

G<7

"ncl"na#$ otg   = lim h →0

 f   ( x + h ) − f   (  x ) h

que é exatamente a definição de derivada de uma função. Assim, podemos dizer que a derivada de uma função num ponto  x = a  é a i%cli%açã da re#a #a%-e%#e ! curva nesse ponto, que tamém é chamada de #a/a de variaçã i%s#a%#@%ea da função nesse ponto. oltaremos ao assunto 0taxa de variação1 depois... antes, um exemplo de como encontrar a equação de uma reta tan5ente, usando a derivada...

E/e!pls$ #. %ncontre a equação da reta tan5ente ! paráola   1 ( 1,1 ) ,  2 ( 0,0 )  e   3 ( − 1,1 ) .

 f   (  x )= x

 nos pontos

2

Le!+re#e1 Podemos encontrar a equação de uma reta, quando são dados a inclinação da reta e um ponto, por meio da fIrmula  y − y 0= % ( x − x 0 )  , em que %  é a inclinação da reta Gno caso da reta tan5ente, %   é o valor da derivada da função no ponto em que se quer a reta tan5ente7, e ( x 0 , y 0 )  são as coordenadas do ponto. Solução do exemplo 1:

&açamos para o ponto   3 ( − 1,1 ) . Aqui, ( x 0 , y 0 ) =( −1,1 ) . 'niciamos   3 , calculando a i%cli%açã da re#a #a%-e%#e em ou se8a,  f ´  ( x 0 )=  f ´ ( − 1 )=2. ( −1 ) =−2 . A equação da reta tan5ente será y − y 0= % ( x − x 0 ) ⇒  y −1 =− 2 ( x − ( −1 ) ) ⇔  y −1=− 2x − 2 ⇔ y =−2x −1

+ 5ráfico se5uinte apresenta a função  f   (  x )= x 2 tan5ente em   3 ( − 1,1 )  , de equação  y =− 2x − 1 -

com a reta

E%c%#rar a e*"açã da re#a #a%-e%#e  c"rva %s "#rs dis p%#s &ica c! e/erc,ci pra vcB...........

<. %ncontre a equação da reta tan5ente ! paráola

 f   (  x )=

1  x

no ponto

  1 ( 1,1 ) .

E/erc,ci pra vcB...........

Já pouco, falamos em Kaxa de ariação, vamos deixar re5istrado as definiç6es de 0Kaxa de ariação média1 e 0Kaxa de ariação 'nstantLnea1, uma das aplicaç6es de derivadas mais usadas... ?. TAA DE VARIAÇ6O1 Muponhamos que f é uma função que descreve a relação de duas quantidades  x  e  y -  y =  f  ( x ) . + nNmero  f   (  x + h ) − f  ( x )  mede a variação em 3 que corresponde a  f  ( x + h ) − f   (  x )  mede a h #a/a de variaçã !(dia de  e! relaçã a /  no intervalo  x , x + h ,

uma variação h

em  x . Assim , o quociente

isto é-

taxa de &ar"a #$o %ed"a=

f  ( x + h ) − f   ( x ) h

Huando tomamos o limite do quociente acima referido quando h → 0  G h  tende a zero7, otemos a #a/a de variaçã i%s#a%#@%ea de  e! relaçã a / . +u se8a,

taxade &a r"a #$o "nstant  nea=lim h→ 0

 f   ( x + h ) − f   ( x ) h

Fomo aplicamos essa definição num prolema real"

Exemplo 11 Muponha que a distLncia Gem pés7 percorrida por um

automIvel ao lon5o de uma estrada t se5undos apIs partir do repouso é dada pela função  f   ( t )= 2 t 2 , 0 ( t (  30 . Gos.-# pé =Ccm7 a7 Falcule a velocidade média do automIvel nos intervalos de tempo [ 22 ) 23 ] , [ 22 ) 22,1 ] , [ 22 ) 22,01 ]  e [ 22 ) 22,001 ] . 7 Falcule a velocidade instantLnea do automIvel quando t =22 . c7 Fompare os resultados otidos nas partes a7 e 7. Solução:

Pra qu/ precisamos dessas informaç6es" %m Fi/ncias, muitas funç6es não são descritas por equaç6es explícitas; elas são definidas por dados experimentais. + exemplo a se5uir mostra como estimar a inclinação da reta tan5ente ao 5ráfico de uma dessas funç6es.

E/e!pl 21 o flash  de uma cLmera opera armazenando car5a em um capacitor e lierandoa instantaneamente quando o flash  é disparado. +s dados da taela se5uinte descrevem a car5a !  armazenada no capacitor Gmedida em microcouloms7 no instante t   Gmedido em se5undos apIs o flash ter sido disparado7. 4se os dados para fazer o 5ráfico dessa função e estime a inclinação da reta tan5ente no ponto onde t =0,04 . GA inclinação da reta tan5ente representa um fluxo de corrente elétrica do capacitor para o flash, medido em microampOres7. C,CC C,C< C,C> C,C@ C,C C,#C t  #CC,CC #,D @D,C= ?>, >>,B= =@,D@ ! Molução-...Para estimar a inclinação da reta tan5ente há vários modos, dois deles são... a7 %ncontre a inclinação aproximada da reta tan5ente por meio dos valores da taela prIximos de C,C>. 4m exemplo- "ncl"na #$ o

 ! ( 0,06 ) − ! ( 0,02 ) 54,88−81,87 −675 = 0,06 − 0,02 0,04

7 Plote os pontos do 5ráfico, trace uma curva por esses pontos. Fonstrua um triLn5ulo retLn5ulo onde a hipotenusa se8a parte da reta tan5ente ! curva em t =0,04 . eça os catetos oposto e ad8acente ao Ln5ulo de inclinação da reta. A razão entre essas medidas é o valor estimado da inclinação da reta tan5ente. +s.- o si5nificado físico da resposta desse exemplo é que a corrente que flui do capacitor para o flash apIs C,C> s é cerca de @D? microampOres.

E/erc,cis1 #. 4m tanque com capacidade de #CCC 5al6es de á5ua é drenado pela ase em meia hora. +s valores da taela mostram o volume  de á5ua remanescente no tanque Gem 5al6es7 apIs t   minutos. ? #C #? >>>
c7 4se o 5ráfico da função para estimar a inclinação da reta tan5ente em     G%ssa inclinação representa a taxa se5undo a qual a á5ua flui do tanque apIs #? minutos7. d7 4sando o %xcel, interpole uma função Gfaça um 5ráfico de dispersão dos dados, adicione linha de tend/ncia, e marque para exiir a equação e o :quadrado no 5ráfico7 polinomial de 5rau =. e7 Falcule a derivada da função otida no item d7 no ponto ( 15,250 ) . f7 Fompare o valor otido em e7 com os otidos nos itens 7 e c7. Fomente os resultados. :esultado da letra d7 <. 4m monitor é usado para medir os atimentos cardíacos de um paciente apIs uma cirur5ia. %le fornece um nNmero de atimentos cardíacos apIs t  minutos. Huando os dados na taela são colocados em um 5ráfico, a inclinação da reta tan5ente representa a taxa de atimentos cardíacos por minuto. =@ = >C >< >> t  Qatimentos  =CC Fardíacos + monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma reta secante. 4se os dados para estimar a taxa de atimentos cardíacos apIs >< minutos usando a reta secante entre os pontos com os valores de t dados. a7 t R =@ e t R >< 7 t R = e t R >< c7 t R >C e t R >< d7 t R >< e t R >> Huais são suas conclus6es" =. + ponto   ( 4,2 )  está sore a curva  y =√  x . a7 Me !  for o ponto ( x , √  x ) , use a calculadora para encontrar a inclinação da reta secante G ! corretas até a sexta casa decimal7 para os se5uintes valores de  x i7 ? ii7 >,? iii7>,# iv7 >,CC# v7 >,CC# vi7= vii7 =,? viii7 =,B ix7=,BB x7 =,BBB. 7 4sando o resultado da parte a7, encontre o valor da inclinação da reta tan5ente ! curva em   ( 4,2 ) ; c7 4sando a inclinação da parte 7, encontre uma equação da reta tan5ente ! curva em   ( 4,2 ) .

5$= A DERIVADA CO8O TAA DE VARIAÇ6O e8amos a utilização da derivada em al5umas situaç6es didáticas...  s = f   ( t )   for uma função posição de uma  + s partícula que está se movendo em uma reta, então  representa a  +t  ds velocidade média sore um período de tempo  + t  , e & = dt 

#. 9,sica1 velcidade  Me

representa a velcidade instantLnea Gtaxa de variação instantLnea do

deslocamento em relação ao tempo7. $a mesma forma, se

&=

ds dt 

éa

2

velocidade instantLnea,

d& d  & a = = 2  é a aceleraçã instantLnea Gtaxa dt  d t 

de variação da velocidade em relação ao tempo7

E/e!pl1 A

posição de uma partícula é dada pela equação  s = f   ( t )= t  −6 t  + 9t , onde t   é medido em se5undos e  s  é medido em metros. a7 %ncontre a velocidade no instante t  ; 7 Hual é a velocidade depois de s" c7 Huando a partícula está em repouso" d7 Huando a partícula está se movendo pra frente" e7 %ncontre a distLncia total percorrida pela partícula durante os primeiros ? se5undos. 3

2

<. >",!ica F c%ce%#raçã  A c%ce%#raçã de um rea5ente  A  é o nNmero de mols ( 6,022  10 23 %ol-clas )  por litro e é denotada por [ A ] . A concentração varia durante a reação, o que a torna uma função do tempo t  . A #a/a !(dia da reaçã do produto C  sore um intervalo de tempo t 1 ( t( t 2  é-

#a/a

de

reaçã

 + [ C  ] d  [ C ] = dt   + t → 0  + t 

 + [ C ] [ C ] ( t 2 ) − [ C  ] ( t 1 ) , enquanto que a =  +t  t 2 − t 1

i%s#a%#@%ea

é

dada

por

taxa de rea#$o= lim

E/e!pl1 Fristais de Florato de MIdio são fáceis de crescer no formato de cuos permitindo uma solução de á5ua e clorato de sIdio evaporar va5arosamente. Me *   for o volume de cada cuo com comprimento de lado  x , mostre que a taxa de variação do volume de cada cuo em relação ao comprimento da aresta é i5ual ! metade da área da superfície do cuo.

=. 4il-ia F cresci!e%# pp"laci%al1   Me8a n = f   ( t )   o nNmero de indivíduos em uma população no instante t  . A variação no tamanho  + n=  f   ( t 2 ) − f   ( t 1) da população entre os instantes t 1 e t 2 e portanto, a #a/a !(dia de cresci!e%#  durante o período de tempo t 1 ( t( t 2

é-

i%s#a%#@%e é

 +n  f   ( t 2 ) − f   ( t 1 ) =  + t  t 2 −t 1 dn . dt 

e

a

#a/a

de

cresci!e%#

%xemplo- A população    da Fhina, em ilh6es, pode ser aproximada pela t  função   =1,15 ( 1,014 )  onde t   é o nNmero de anos desde o início de #BB=. Me5undo este modelo, quão depressa a população estava crescendo no início de #BB=" % no início de #BB?"

O"#rs e/e!pls G!a#e!'#icsH1 #. %stá sendo omardeado ar para dentro de um alão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 c%3 / s . Huão rápido o raio do alão está crescendo quando o diLmetro é ?C cm" :-

1 dr   c% / s = dt  25π

<. Huando detritos or5Lnicos são despe8ados em um la5o, o conseqSente processo de oxidação reduz a quantidade de oxi5/nio do la5o. (o entanto, dado tempo suficiente, a natureza irá restaurar a quantidade de oxi5/nio ao seu nível natural. Muponha que a quantidade de oxi5/nio, t   dias apIs os detritos or5Lnicos serem despe8ados no la5o, se8a i5ual a

[

2

t  + 10t + 100  f   ( t ) =100 2 t  + 20t + 100

]

, com t > 0

a7 $etermine uma expressão 5enérica para a taxa de variação da quantidade de oxi5/nio no la5o em qualquer instante no tempo t  . 7 Fom que rapidez a quantidade de oxi5/nio no la5o está mudando # dia, #C dias e
[

2

df   10 t  − 1000 =100 dt  ( t 2 + 20t + 100 )2

]

 7 @,D@; C; C,=D.

?.< TAAS RELACIO0ADAS uitas vezes as quantidades com que traalhamos variam em função de uma quantidade que está variando em função de outra, por exemplo, suponha que exista uma mancha circular de Ileo num la5o. A área manchada com o Ileo varia em função do raio desse círculo, que varia ! medida em que o tempo passa. (esse caso, temos tr/s quantidadesT5randezas Gárea, raio e tempo7 que estão associadas entre si. A variação de uma depende da variação da outra. Huando isso acontece, dizemos que as taxas estão relacionadas. (os prolemas de 0taxas relacionadas1 usamos a re5ra da cadeia para estaelecer a relação entre as variaç6es, e em muitos casos, fazer um desenho do prolema em questão a8uda muito na sua solução. e8amos al5uns prolemas#. + raio de uma circunfer/ncia cresce ! razão de <# cmTs. Hual a taxa de crescimento do comprimento da circunfer/ncia em relação ao tempo"

<. 4ma usina de rita5em produz pI de pedra, que ao ser depositado no solo forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente i5ual a >T= do raio da ase. A7 determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da ase. Q7 Me o raio da ase varia a uma taxa de
Es#ra#(-ia para reslver pr+le!as de #a/as relaci%adas A%#%) p$27=J1 #. $esenhe uma fi5ura e classifique as quantidades que variam. <. 'dentifique as taxas de variação que são conhecidas e a taxa de variação que precisa ser encontrada. =. Ache uma equação que relacione a quantidade, cu8a taxa de variação é para ser encontrada com as quantidades cu8as taxas de variação são conhecidas. >. $iferencie amos os lados desta equação em relação ao tempo e resolva para a derivada que dará a taxa de variação desconhecida. ?. Falcule essa derivada em um ponto apropriado.

K$ DI9ERE0CIAÇ6O I8PLICITA Até a5ora traalhamos com funç6es que, na sua maioria, estavam escritas na forma  y =  f   ( x ) ; nesse caso, dizemos que  y  é uma função explícita de  x . 4ma equação como  x 2 + y 2= 4  nos dá  y  como uma função implícita em  x . Meu 5ráfico é o círculo -

não é uma função de  x no círculo inteiro Gpor qu/"7. Porém  y 2 Gparte superior do círculo7 e  y =− √ 4 − x 2 Gparte inferior do  y =√ 4 − x

círculo7 são funç6es. as a equação do círculo inteiro representa uma curva que tem uma reta tan5ente em cada ponto. + coeficiente an5ular dessa reta tan5ente pode ser encontrado derivandose a equação do círculo em relação a  x d  2 d  2  ( x ) +  ( y )= d  ( 4 ) dx dx dx

Ao pensarmos em

como uma função de

 x   e ao usarmos a dy dy − x = re5ra da cadeia, otemos- 2 x + 2 y . =0 , donde . dx dx  y A derivada aqui depende tanto de  y   como de  x , isso porque para muitos valores de  x  existem dois valores de  y  e a curva tem uma  y

inclinação diferente em cada um deles.

A%alise  ce&icie%#e a%-"lar da re#a #a%-e%#e a c,rc"l %s di&ere%#es *"adra%#es$ O *"e ( pss,vel perce+er? 9aça "!a descriçãJ$

E/e!pl =- A equação  y = 2 ( 1 − x

2

2

 x +

1 y −1 =0 2

define implicitamente a função

) .

E/e!pl 21 Me  y =  f   ( x )  é definida por  x 2  y 2 + xseny =0 , determinar  y '  . Solução:

'nicialmente, oserve que não conhecemos explicitamente a função cu8a derivada queremos calcular. %ntão, usando a re5ra da  y =  f   ( x ) cadeia e derivando implicitamente em relação a x, temos-

( x 2  y 2 ) ' + ( xseny ) ' =( 0 ) '  ( x 2 )'  y 2 +( x 2 )( y 2 )' + ( x )'  seny + x ( seny ) ' =( 0 ) '  2 2 '  2 x . y + ( x ) 2 y . y + 1. seny + xcosy. y ' =0 ( x 2 ) 2 y . y ' + xcosy . y ' =− 2 x . y 2 −1. seny '  2 2  y ( 2 x  y + xcosy )=− 2 x . y −1. seny ' 

 y =

2

− 2 x .  y − 1. seny 2

2 x  y + xcosy

2

−2 x . y + 1. seny  y = 2 2 x  y + xcosy ' 

que é a derivada da função  y  que atende ! condição  x 2  y 2 + xseny =0 . amos tentar por tudo o que vimos até a5ora em prática" :esolva os exercícios se5uintes... e se houver dNvidas, consulte a professora, ou o monitor da disciplina, ou seus cole5as de classeUU

E/erc,ci 2

 x +

=1

$eterminar

1 y −1 =0  no ponto 2

a

equação

da

reta

tan5ente

!

curva

( −1 ) 0 ) .

E/erc,ci 21 %ncontre todos os pontos da curva  y 3 − xy =− 6  onde a reta tan5ente é horizontal ou vertical. E/erc,ci 1 %ncontre

dy  para a equação  x 2 + y 2 − 4 x + 7  y =15 . Mo que dx

condiç6es em x ou 3 a reta tan5ente é horizontal" % vertical" 2

E/erc,ci M1 Falcule 2

2

4  x + 9 y =36

d   y dx

2

 aplicando derivação implícita sore a relação

.

+QM.- (ote que a diferenciação implícita será usada quando a função explícita não for fácil de ser calculada, ou não for possível de ser otida. (o caso do exemplo #, acima, a derivada da função poderia ter sido calculada usando a diferenciação implícita na equação ou a diferenciação explícita Gcomo usamos até a5ora7 em resultado otido seria o mesmo nos dois casos. Tes#e....

1 y −1 =0 2 2  y = 2 ( 1 − x ) . + 2

 x +

E/e!pls1 #. 4ma escada com #C pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Me a ase da escada desliza, afastandose da parede a uma taxa de # péTs, quão rápido o topo da escada está escorre5ando para aixo na parede quando a ase da escada está a @ pés da parede" Solução:

'nformaç6es do prolemadx /=1 dt   s dy =0 dt   x =6 /-s

3

#C x

:elação entre as variáveis envolvidas-  x 2 + y 2=100 Maemos que  y =  f   ( t ) e  x = g ( t )   pois amas estão se movendo em função do tempo. Vo5o, precisamos derivar implicitamente, em relação a t  , a equação dy . dt 

2 2  x + y =100 , para otermos

Assim, 2x

 dx  dy dy − x dx − 6  + 2y = 0 ⇒  =  = .1 =− 0,75  /- / s dt  dt  dt   y dt  8

<. 4ma partícula movese ao lon5o da curva  y =√ 1 + x 3 . Huando ela atin5e o ponto ( 2,3 ) , a coordenada  y  está crescendo a uma taxa de do ponto 4cm / s . Huão rápido está variando a coordenada  x naquele instante" Solução:

$ados do prolema-

dy  = 4cm / s ; dt 

 x = 2 e y = 3

;

dx =00 dt 

$erivando implicitamente a função dada, em relação a t, 2

dy dx dx 3 x  =  = 0,5 c% / s ⇒ 3 dt  2 √ 1 + x dt  dt 

Aplicaçã da di&ere%ciaçã i!pl,ci#a - Keorema Ga re5ra da pot/ncia7- Me n  for um nNmero real qualquer e  f   (  x )= x n  então  f  ' ( x )= n . x n −1 . Prva1  Me8a  y = x n . Aplicando o lo5aritmo natural, temos- lny =ln ( x n ) . 4sando a propriedade da pot/ncia para o lo5aritmo, se5ue queln ∣ y∣=nln (∣ x∣) , x 1 0 . $erivando implicitamente em relação a x Gcom o uso da re5ra de derivação para o ln7 ( ln ∣ y∣) ' = n ( ln ∣ x∣) '   y '   1 n =n . =  y  x  x

'solando

 y '   

vem-

' 

 y = n.

y  x

.

Fomo

 y = x

n

,

n

 x '  n− 1  y = n. ⟹  y = n . x  x ' 

D. DI9ERE0CIAIS Fhamamos de diferencial de uma função !s variaç6es na variável independente de uma função, devido a variaç6es na variável dependente. %ssas variaç6es são denotadas por dy , quando se referirem ! variável dependente, ou dx , quando se referirem ! variável independente. Me, por exemplo, quisermos estimar a variação no volume de uma lata de Ileo a partir da variação do raio dessa lata, podemos fazer isso usando essa parte do cálculo diferencial. E o Nnico 8eito de fazer isso" (ão, mas talvez se8a o mais rápido e fácil...

De#alNe1 #a%# !elNres serã as es#i!a#ivas) *"a%# !e%res &re! as variações e!  x $ Me  y =  f   ( x )  é uma função diferenciável, então a diferencial dx é uma variável independente, isto é, a dx   pode ser dado um valor real qualquer. A diferencial dy é então definida em termos de dx   pela equação- dy =  f  '  ( x ) dx Wráfico-

%xemplos#. Fompare os valores de  + y e dy se  y = x 3 + x 2 − 2x + 1 e  x variar a7 $e < a <,C? 7 $e < a <,C# <. + raio de uma esfera tem <# cm, com um erro de medida possível de no máximo C,C?cm. Hual é o erro máximo cometido ao usar este valor de raio para computar o volume da esfera" =. 4se as diferenciais para estimar o nNmeroa7 √ 36,1 7 ( 1,97 )6 3 c7 √  1,03 $efinição- se o valor verdadeiro de uma quantidade é q, e uma medida ou  +2  é chamado de err rela#iv 2  +2 na medida ou cálculo. Huando expresso com uma porcenta5em, é 2

um cálculo produz um erro  + 2 , então

chamado de err perce%#"al$ (a prática, o erro relativo é aproximado por d . 

%xemplo- o lado de um quadrado é medido com um erro percentual de ± 5 . %stime o erro percentual na área calculada do quadrado. :esolução-

dx =± 0,05  e  A= x 2 .  x

dA 2xdx 2dx  dx 2. = = = =2. ( ± 0,05 ) =± 0,10 2  A  x  x  x

+u se8a, o erro percentual da área calculada do quadrado é de

. 9OR8AS I0DETER8I0ADAS E RE3RA DE LQSPITAL

± #CX.

Huando estudamos limites de funç6es racionais em que numerador e denominador tendiam a zero, ou ao infinito, uscamos alternativas para o cálculo desses limites, e usamos a fatoração, ou a divisão de polinômios, ou até mesmo uma taela pra resolver nosso prolema. (o entanto, nesse momento temos condiç6es de fazer os mesmos cálculos de limites sem precisarmos das manoras usadas anteriormente. 'sso é feito usando a re5ra de VYJôspital. Muponha que  f   e  g  são funç6es diferenciáveis e  g '  ( x ) 1 0 prIximo a a , exceto possivelmente no prIprio a . Muponha quelim  f  ( x )= 0  e lim  g ( x )=0  x→ a  x→ a  ou que lim  f   ( x )= ± 3  e lim  g ( x )=± 3  x→ a  x→ a %ntão,  f   ( x )  g ( x )

=lim  x →a

 f ' ( x )  g '  ( x )

lim ❑  x →a

se o limite do lado direito existir. %m síntese, quando um limite é da forma indeterminada, podemos calcular o limite usando as derivadas das funç6es que 5eraram a indeterminação no limite. 9aça iss %s e/e!pls se-"i%#es$ Calc"le s #a!+(! pels !(#ds *"e vcB "s" *"a%d es#" li!i#es cap,#"l MJ e c!pare s res"l#ads$

E/e!pls1 Falcular2

a7 7 c7

x − 25 =¿ lim ❑  x − 5  x → 5 lnx = ¿ lim ❑  x −1  x → 1  x e =¿ lim ❑ 2  x → 3  x

B. 8I8OS E 8Í0I8OS +utra aplicação das derivadas é a otenção de máximos e mínimos de funç6es. %ssa ideia pode ser usada para encontrar as dimens6es ideais de uma emala5em, por exemplo, mas tamém é usada para o esoço de 5ráficos de funç6es polinomiais de 5rau maior que <. amos aprender a fazer isso, mas antes, precisamos de al5uns conceitos...

De&i%içã =1

•

•

4ma função  f   intervalo aerto  x ∈  4 6 D (  f   ) . 4ma função  f   intervalo aerto  x ∈  4 6 D (  f   ) .

 tem um !'/i! rela#iv em c , se existir um  4  , contendo c , tal que  f   ( c ) 5 f   ( x ) ,  para todo   tem um !,%i! rela#iv em c , se existir um  4  , contendo c , tal que  f   ( c ) ( f   ( x ) ,  para todo

Prpsiçã =1 Muponha que  f   (  x ) existe para todos os valores de  x ∈ ( a , b )  e que  f    tem um extremo relativo em c , onde a < c < b . Me  f ´  ( c ) existe então  f ´  ( c )=0 . (a demonstração dessa proposição pode ser encontrada no livro Cálculo A, de Diva Flemmin!"

O+servações1 #7a condição  f ´  ( c )=0 é necessária, mas não suficiente, ou se8a, se  f ´  ( c ) =0 , a função  f    pode ter ou não um extremo relativo em c . e8a a função  f  ( x )= x 3 . Kemse  f ´  ( 0 )= 0 , porém não se tem um extremo relativo em C.

<7 o ponto c ∈  D (  f   )  tal que  f ´  ( c )=0  ou p%# cr,#ic de  f   .

 f ´  ( c )  não existe é chamado

=7 uma função definida num intervalo pode admitir diversos pontos extremos relativos. + maior valor Gou menor valor7 de função num intervalo é chamado !'/i! a+sl"#  Gou !,%i! a+sl"# 7 da função nesse intervalo. 'sto é, se  f   (  x ) ( f   ( c )   para todo  x ∈  D (  f   ) , então  f   ( c ) é chamado de valr !'/i! a+sl"# e c  é chamado de !a/i!ia%#e. Analo5amente, se  f   (  x ) 5 f  ( c ) para todo  x ∈  D (  f  ) , então  f   ( c ) é chamado de valr !,%i! a+sl"# e c  é chamado de !i%i!a%#e$ Para de#er!i%ar  e/#re! a+sl"#  num intervalo fechado [ a , b ] , procedese assim#. $eterminar os pontos críticos de  f     que estão em (a , b) ; <. Falcular o valor de  f   em cada ponto crítico encontrado e  f   ( a )  e  f  ( b ) ; =. + valor máximo e mínimo asoluto de  f   corresponderão ao maior e menor nNmeros, respectivamente, encontrados no passo <.

E/e!pl1 $etermine o extremo asoluto da função  f   (  x )= x 2  definida no intervalo [ −1,2 ] .

Prpsiçã 21 Me8a  f    [ a , b ] → R  uma função contínua, definida em um intervalo fechado [ a , b ] . %ntão  f    assume máximo e mínimo relativo em [ a , b] .

Tere!a de Rlle1  Me8a  f   uma função definida e contínua em [ a , b ]  e derivável em ( a , b ) . Me  f   ( a )=  f   ( b )=0 , então existe pelo menos um ponto c  entre a e b  tal que  f ´  ( c )=0 . Tere!a d Valr 8(di1 Me8a  f    uma função contínua em [ a , b ] e derivável em c tal que ( a , b ) . %ntão existe um nNmero  f ´  ( c ) =

f   ( b ) − f   ( a ) . b−a

E/e!pl1 $etermine o extremo relativo da função  f   (  x )= x 2 + 6x − 3

Prpsiçã 1 Me8a  f    uma função contínua em [ a , b ]  e derivável em (a , b) . a7 Me  f ´  ( x ) > 0 ∀  x ∈ ( a , b )  então  f    é cresce%#e em [ a , b ] . 7 Me  f ´  ( x ) < 0 ∀ x ∈ ( a , b )  então  f    é decresce%#e em [ a , b ] . %xemplo- $eterminar os intervalos em que as funç6es se5uintes são crescentes ou decrescentes, em como os pontos de máximo e mínimo relativos, se existirem. a7 f   (  x )= x 3 − 1 7 f   (  x )= x 4 − 2 x 3+ 2 x 2

CRIT;RIOS TEORE8ASJ PARA DETER8I0AR OS ETRE8OS DE U8A 9U0Ç6O #. CRIT;RIO DA DERIVADA PRI8EIRA1  Me8a uma função  f   contínua em [ a , b ]  que possui derivada em todo ponto do intervalo ( a , b ) , exceto possivelmente num ponto c . i7 Me  f ´  ( x ) > 0  para todo  x < c  e  f ´  ( x ) < 0  para todo  x > c , então  f    possui um máximo relativo em c ; ii7 Me  f ´  ( x ) < 0  para todo  x < c  e  f ´  ( x ) > 0  para todo  x > c , então  f    possui um mínimo relativo em c ; <. CRIT;RIO DA DERIVADA SE3U0DA1  Me8am  f   uma função derivável num intervalo ( a , b )  e c  um ponto crítico de  f    neste

intervalo, isto é,  f ´  ( c )=0 , com a < c < b . Me  f    admite derivada  f ´ ´   em ( a , b ) , temosi7 Me  f ´ ´  ( c )< 0 ,  f    tem um valor máximo relativo em c ; ii7 Me  f ´ ´  ( c )> 0 ,  f    tem um valor mínimo relativo em c . %xemplos- 4sando os critérios acima, determine os extremos das se5uintes funç6esa7 f   (  x )= x 3 − 12x + 6 7 g ( x )=18x + 3 x 2 − 4  x3

C%cavidade e P%#s de I%&le/ã1 De&i%içã 24ma função é dita côncava para cima no intervalo  f ´  ( x )  é crescente neste intervalo. 4ma função é dita côncava para aixo no intervalo  f ´  ( x )  é decrescente neste intervalo. •

(a , b)

se

•

(a , b)

se

Prpsiçã M1  Me8a  f   uma função contínua no intervalo [ a , b ] e derivável até 0  para todo  x ∈ ( a , b )  então  f    é côncava para cima em ( a , b ) ; ii7 Me  f ´ ´  ( x ) < 0 para todo  x ∈ ( a , b )   então  f     é côncava para aixo em ( a , b ) ; De&i%içã 1  4m ponto   ( c , f   ( c ) )   do 5ráfico de uma função contínua  f   é chamado um p%# de i%&le/ã , se existe um intervalo ( a , b ) contendo c , tal que uma das se5uintes situaç6es ocorrai7 f   é côncava para cima em ( a , c )   e côncava para aixo em (c , b ) ; ii7 f   é côncava para aixo em ( a , c )   e côncava para cima em (c , b ) ;

%xemplo- $eterminar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funç6es se5uintes tem concavidade voltada para cima ou para aixo. a7 f   (  x )=( x − 1 )3 7 g ( x )= x 4 − 6 x 2

Prcedi!e%# para  Es+ç de "! -r'&ic1 #. %ncontrar  D (  f   ) .

<. Falcular os pontos de intersecção com os eixos Gquando isso não requer muito cálculo7. =. %ncontrar os pontos críticos Gisto é, resolver a equação  f ´  ( x )=0 7. >. $eterminar os intervalos de crescimento e decrescimento de  f   (  x ) . ?. %ncontrar os máximos e mínimos relativos. @. $eterminar a concavidade e os pontos de inflexão. D. %ncontrar as assíntotas verticais e horizontais, se existirem. . %soçar o 5ráfico. %xemplo- %soçar o 5ráfico das se5uintes funç6esa7 f   (  x )=2x − x 2 7 c7 d7

1 3 2 g ( x )=  x + 3 x −7x + 9 3 1 4 5 3 2 h ( x ) =  x − x + 4 x − 4x + 8 4 3 4 % ( x )= x − 32x + 8

#C. PRO4LE8AS DE OTI8IAÇ6O1 A teoria mostrada até aqui nos permite resolver al5uns prolemas de otimização. + se5uinte roteiro é Ntil para a solução destes.

R#eir para reslver pr+le!as de #i!iaçã1 #. Atriua uma letra a cada variável mencionada no prolema. Me apropriado, desenhe e nomeie uma fi5ura. <. %ncontre uma expressão para a variável a ser otimizada. =. 4se as condiç6es dadas no prolema para escrever a quantidade a ser otimizada como uma função de uma variável. +serve quaisquer restriç6es a serem colocadas no domínio de f devido a consideraç6es físicas do prolema. >. +timize a função f em seu domínio determinando os pontos críticos. ?. $etermine a solução do prolema. %xemplos #. 4m homem dese8a ter um 8ardim de forma retan5ular no seu quintal. %le tem ?Cm de material para cercar seu 8ardim. %ncontre as dimens6es do maior 8ardim que ele pode ter se usar todo o material. <. Fortando quadrados id/nticos de cada canto de um pedaço retan5ular de papelão e dorando as aas resultantes, o papelão pode ser transformado numa caixa aerta. Me o papelão tem #@ cm de comprimento e #C cm de lar5ura, encontre as dimens6es da caixa com volume máximo. =. Achar dois nNmeros positivos cu8a soma se8a DC e cu8o produto se8a o maior possível.

>. 4m fio de comprimento l    é cortado em dois pedaços. Fom um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Fomo devemos cortar o fio a fim de que a soma das suas áreas compreendidas pelas fi5uras se8a mínima" ?. 4ma companhia exi5e que os recipientes de seus emutidos tenham uma capacidade de 54 c%3 . Kenham forma de cilindros circulares retos e se8am feitos de estanho. $etermine o raio e a altura do recipiente que requer a menor quantidade de material. @. 4m homem dese8a ter uma horta cercada em seu quintal. Me a horta ocupar uma área retan5ular de 300 %2 , encontre as dimens6es da mesma que minimizem a quantidade necessária de material para a cerca. D. 4m silo de 5rãos tem a forma de um cilindro circular reto coerto por um hemisfério Gsemiesfera7. Me o silo deve ter a capacidade de 3 504π % , encontre o raio e a altura do silo que requer a quantidade mínima de material para a sua construção.GMu5estão- + 2

2 3 volume do silo é π r  h +  π r  , e sua área superficial é π ( 3 r 2 +2!" ) . 3

LISTA DE EERCÍCIOS #. #ncont!e a e%&a'(o da !eta tangente ) c&!*a  y = 2 x 2+ 3 no +onto c&a abscissa - 2. <. #ncont!e a e%&a'(o da !eta no!mal ) c&!*a  y = x 2  no +onto   ( 2,4 ) . =. #ncont!e a e%&a'(o da !eta tangente ) c&!*a  y = x 3 − 1 , %&e sea +e!+endic&la! ) !eta  y =− x

.

>. #ncont!e a e%&a'(o da !eta tangente ) c&!*a

 y =1 − x

2

, %&e sea +a!alela ) !eta

 y =1 − x

?. sando a de/ini'(o calc&le a de!i*ada das seg&intes /&n'es a7

f   (  x )=2 x − 3 x + 2

7

f   (  x )=2

c7

f   (  x )=cosx

d7

f   (  x )=3 −2x

e7

y=

3

2

 x

1− x  x +3

@. adas as /&n'es  f   (  x )=5− 2x e  g ( x )=3 x 2 −1 , dete!mina! a7

f   ( 1 ) + g  ( 1 )

7

[ g ' ( 0 ) ] + 12 g  ( 0 )+ g ( 0 )

' 

' 

2

' 

() () ()

5 f   − 2

c7

 f ' 

 5 2

 g ' 

5 2

D. ada a /&n'(o  f   (  x )=2 x 2 − 3x − 2 , dete!mine os inte!*alos em %&e f   ( x )> 0

a7

' 

b

 f   ( x )< 0 ' 

.  adas as /&n'es  f   (  x )= x 2 + Ax e  g ( x )= Bx /o!ma %&e

{

 ' 

, dete!mina!

 A

e

 B

de tal

' 

 f   ( x ) + g  ( x ) =1+ 2x  f   (  x ) − g ( x ) = x 2

.

B. e  f   (  x )= x 3 − 6 x 2 − 15x + 20 , encont!e, analiticamente, todos os *alo!es de  x  +a!a os %&ais

'   f   ( x ) =0 . ost!e s&as !es+ostas em &m g!/ico de / oc +ode &sa! o

geogeb!a +a!a /ae! isso:

 f   (  x )=13− 8x + √ 2 x

'   f   ( r ) = 4 , encont!e

#C.

e

##.

sando as !eg!as de de!i*a'(o, calc&le a de!i*ada +!imei!a das seg&intes

2

 e

r.

/&n'es

f   (  x )= x

a7

5

 f   (  x )=√ ( 3 x −1 ) 5

f   ( t )=

d7  f   ( t )= 2

t + 1

 b

1 2  ( t  +5 ) ( t 6+ 4t ) 2

−3

/

"

 y =√ 6 x +7x + 2 3

2

i

2 x + 3x − 1

 x . lnx

 y =

;

 f   ( t )=

e

− t 

( )

 x e  ( )  f    x =ln

  cosx 1+ cotgx 2

o

 1 2

e  g ( % )=14 −  %

2

 y =e

m

c

−lnt  7

 

−2

4

g y =( x 2+ 5x + 2 )

 y =3

 f   (  x ) =3 x

+1

t 

 y = sen ( x

l

 x + 1

4

n

 f   (  x ) =( 2x −5 ) +

 +

 f   ( t ) = e . cosx

s

 f   ( s )= π 

1  x + 1

2

)

− √  x

2x

%

 f   (  x )=( x − √  x ) 3 2

!

 y = 4 x

#<. #=.

 

 x

7

ada

 f   (  x ) =1 + cosx , most!e %&e

3

 f   (  x )

- +a! e

 f '  ( x )

A alt&!a de &ma d&na de a!eia em cent
-
 f   ( t )= 700 − 3 t  , e  f '  ( 5 )   . sando 2

onde t  - medido em anos a +a!ti! de 1995. #ncont!e  f   ( 5 ) &nidades, ex+li%&e o %&e cada &m desses *alo!es signi/ica em te!mos da d&na.

#>.

ost!e %&e

#?.

ost!e

3

2

' ' 

%&e

3

 y = x + 3x + 1 se

 x 1 0 ,

satis/a a e%&a'(o ent(o

 y =

1  x

' ' '  ' '  '   y + x y −2 y = 0 .

satis/a

a

e%&a'(o

' 

 x  y + x  y − xy =0

#@. 3

se a di/e!encia'(o im+l
dy dx

+a!a o =>lio de esca!tes

3

 x + y =3xy

#D.

( )

Ac"e &ma e%&a'(o +a!a a !eta tangente ao =>lio de esca!tes no +onto

3  3  , 2 2

#.

#m %&ais +ontos do =>lio de esca!tes a !eta tangente - "o!iontal?

#B.

A lei da g!a*idade a/i!ma %&e a intensidade = da /o!'a exe!cida +o! &m +onto

com massa  sob!e &m +onto com massa m -

 7 =

8%9  2

r 

onde @ - &ma constante, e !

- a distncia ent!e os +ontos. &+ondo os +ontos em mo*imento, ac"e &ma />!m&la +a!a a taxa de *a!ia'(o instantnea de = em !ela'(o a !.


&+on"a %&e o sol nascente +asse di!etamente sob!e &m +!-dio %&e tem &ma alt&!a de 30 met!os e sea :  em !adianos o ng&lo de ele*a'(o do sol. Ac"e a taxa seg&ndo a %&al o com+!imento x da somb!a do +!-dio est *a!iando em !ela'(o a :  %&ando :  B 45.

<#.

ma escada de 3 m est a+oiada em &ma +a!ede. A +a!te mais alta da escada est a x met!os do solo. e a base da escada /o! em+&!!ada em di!e'(o ) +a!ede, ac"e a taxa seg&ndo a %&al x *a!ia em !ela'(o a :    %&ando : =¿ 60 .

<<.

Ac"e o *alo! da constante A de tal /o!ma %&e

y =3Asen3t

satis/a'a a

2

e%&a'(o

d   y 2

d t 

 + 2y = 4sen3t .

<=.

A /o!'a = %&ilog!amas agindo a &m ng&lo :  com a"o!iontal necess!ia  +a!a a!!asta!, ao longo de &ma s&+e!/
 7 =

;<    onde  ; - &ma constante cos: + ;sen: 

c"amada de coe/iciente de at!ito de esco!!egamento ent!e o caixote e a s&+e!/
A7 Ac"e

d7    %&ando d: 

:  B 30 . #x+!esse s&a !es+osta em ;gFg!a&.

Q7 Ac"e

d7    %&ando dt 

:  B 30 , se

:  est dimin&indo a &ma taxa de 0,5 Fs nesse

instante.

<>.

A %&antidade de g&a em &m tan%&e t min&tos a+>s ele come'a! a se! es*aiado 2 - dado +o! = =100 ( t − 15 )  gal.

a7 Com %&e taxa a g&a est /l&indo no /inal de 5 min&tos? 7 G&al - a taxa m-dia seg&ndo a %&al a g&a /l&i d&!ante os cinco +!imei!os min&tos? m co+o de limonada a &ma tem+e!at&!a de 40 = est 3em &ma sala c&a  = 70 − 30 e − 0,5 t   onde M est em  = e t em "o!as. A ex+e!incia di!ia most!a %&e a tem+e!at&!a da limonada a+!oximaLse g!ad&almente da tem+e!at&!a da sala.

a7 esc!e*a, em +ala*!as, o %&e acontece com a taxa de ele*a'(o da tem+e!at&!a em !ela'(o ao tem+o?

7 se &ma de!i*ada +a!a con/i!ma! s&a concl&s(o. <@. &+on"a %&e &m l<%&ido de*a se! +&!i/icado +o! decanta'(o, at!a*-s de &m /ilt!o cNnico %&e mede 16 cm de alt&!a e tem &m !aio de 4 cm no to+o. &+on"a tamb-m %&e o l<%&ido /l&i do cone a &ma taxa constante de 2 c%3 / %"n .

a7 Ac"e &ma />!m&la %&e ex+!esse a taxa de *a!ia'(o da +!o/&ndidade do li%&ido em te!mos da +!o/&ndidadeO

7 Com %&e taxa est *a!iando a +!o/&ndidade do l<%&ido no instante em %&e o n<*el est a 8 cm de +!o/&ndidade?


Pela !&+t&!a de &m tan%&e, &ma manc"a de >leo es+al"aLse em /o!ma de &m 2 c
<.

m tan%&e cNnico com g&a com o *-!tice +a!a baixo tem &m !aio de 10m no to+o e &ma alt&!a de 24m. e a g&a /l&i! dent!o do tan%&e a &ma taxa de 20 %3 / %"n , com %&e *elocidade a +!o/&ndidade da g&a esta! c!escendo %&ando ela ti*e! 16 m de  +!o/&ndidade?


se a />!m&la

3

* = l 

+a!a o *ol&me de &m c&bo de lado

l    +a!a

encont!a!

a7 A taxa m-dia seg&ndo a %&al o *ol&me do c&bo *a!ia com

l    %&ando

l  c!esce de

2 +a!a 4.

7 A taxa de *a!ia'(o instantnea seg&ndo a %&al o *ol&me de &m c&bo *a!ia com

l 

%&ando l  B5.

=C.

Muponha que a eficácia % de um remédio para dor t horas

depois de entrar na corrente san5uínea é dada por- %R

1 27

 GBt [ =t\ 

t]7, C (  t (   >,?. %ncontre a taxa de variação de % em relação a t quandoa7 tR# 7tR< c7 tR= d7 tR> =#. %m uma determinada reação química, a quantidade H em 5ramas, de uma sustLncia produzida em t horas é dada pela equaçãoHR #@t 2 >t\, C ^ t (  <. %ncontre a taxa, em 5Th, de produção da sustLncia para os se5uintes valores de ta7 tR =<.

1 2

7 tR#

c7 tR<

4m astronauta na Vua 8o5a uma pedra no ar. A altura da pedra

é dada por-

MR

− 8,2  t\ [ ,
em metros e t em se5undos. %ncontre a aceleração da pedra e compare a com a aceleração da 5ravidade na Kerra. ==. 4ma pedra é 8o5ada em um la5o de á5uas calmas, 5erando ondas em forma de círculos conc/ntricos. + raio r da onda exterior aumenta a uma taxa constante de C,= mTs. A que taxa a área da á5ua perturada está aumentando quando o raio externo é de #m." =>. Qomeiase ar em um alão esférico a uma taxa de D? cm]Tmin. %ncontre a taxa de variação do raio quando seu valor é de ? cm. =?. Fascalho está sendo empilhado em uma pilha cônica a uma taxa de =m]Tmin. %ncontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de =m. GMuponha que o tamanho do cascalho é tal que o raio do cone é i5ual a sua altura7. =@.

A resist/ncia : correspondente a < resist/ncias

conectadas em paralelo é dada por

1 1 1 = +  R  R1  R2

 R1

e

 R2

onde :,  R1  e R2

são medidas em ohms.  R1 e R2  estão crescendo a uma taxa de # e #,? ohms por se5undo, respectivamente. Hual a taxa de variação de : quando  R1 R?C ohms e  R2 RD? ohms" =D. Huando um 5ás poliatômico sofre expansão adiaática, sua pressão  / e seu volume & satisfazem  /. & 1,3 =k    onde k  é constante. %ncontre a relação entre as taxas

d/  e dt 

d& . dt 

=. Huando uma 5ota esférica de chuva cai, ela atin5e uma camada de ar seco e começa a evaporar a uma taxa proporcional ! sua área de superfície G ? = 4π r 2 7. ostre que o raio diminui a uma taxa constante. =B.

A tra8etIria de um pro8étil lançado a um Ln5ulo de >?_ com o

chão é descrita por

 y = x −

9,8 &o

 ( x 2 )  onde a velocidade inicial  está em

2

mTs. ostre que dorandose a velocidade inicial do pro8étil multiplicase tanto a altura máxima quanto a distLncia horizontal total por >. >C.

4sando diferenciais, estime o valor de

a7 √ 80,9 7  sen@ ,1 c7 ( 1,97 )3 >#. + lado de um cuo mede <.

4sando a re5ra de V`Jospital, calcule os se5uintes limites-

( )

2 a7 lim  x − 4

 x→ 2

±1

 sen2x  x  x→ 0

7 lim

 x − 2

c7

lim  x→

 π  2

1 −senx cosx

>=. Para cada uma das funç6es se5uintes, determine, quando possíveli7 os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente; ii7 os pontos de máximo e mínimo relativos; iii7 as coordenadas do Gs7 pontoGs7 de inflexão iv7 o esoço do 5ráfico. a7

2

y =3 x + 2 x + 1 3  y = x − 3x

d7 y =18 x + 3 x 2 − x 3 4

7  y = x 3 − 3 x 2 +3 x − 7

c7

e7  y = x 4 − x 2

f7

3

 x  5x 2  y = − + 4 x −4x + 8 4 3

>>. Huando voc/ tosse, sua traqueia se contrai. A velocidade &   com que o ar sai depende do raio r  de sua traqueia. Me  R   é o raio normal Gem repouso7 de sua traqueia, então, para r ( R , a velocidade é dada por & = a ( R −r ) r 2  onde a  é uma constante positiva. Hual o valor de r que maximiza a velocidade" >?. 4ma reação química converte uma sustLncia A em uma sustLncia ; a presença de  catalisa a reação. (o início da reação, a

quantidade de A presente é de a 5ramas. %m um instante t  se5undos depois, a quantidade de  presente é de  y  5ramas. A taxa da reação, em 5ramas por se5undo, é dada por >axa= ky ( a − y ) , k  constante positiva. a7 Para que valores de  y  a taxa é não ne5ativa" 7 Para que valores de  y  a taxa é máxima" >@. + momento de torção de uma vi5a, apoiada em uma extremidade, a uma distLncia do suporte é dado por  x 1  1 2  9 =  x−  x , onde 2 2

 

é o comprimento da vi5a e



é a

car5a uniforme por unidade de comprimento. %ncontre o ponto da vi5a onde o momento é o maior possível. >D. Huais são as dimens6es de uma lata de alumínio que pode conter 40 ❑3   G Rpole5adas; # ❑3 ≅ 16,4 c%3 → 40 ❑3 ≅ 656 c%3 7 de suco e que usa a quantidade mínima de material Gisto é, de alumínio7" Muponha que a lata é cilíndrica e fechada nas duas extremidades. >.4ma caixa fechada tem uma área de superfície fixa A e uma ase quadrada de lado x. a7 %ncontre uma fIrmula para o volume  da caixa em função de x 7 %soce um 5ráfico de  em função de x c7 %ncontre o valor máximo de . >B. 4ma vi5a retan5ular é retirada de um tronco cilíndrico de raio =C cm. A resist/ncia de uma vi5a de lar5ura b e altura h é proporcional a = h2 . %ncontre a lar5ura e a altura da vi5a de resist/ncia máxima. ?C.4ma população P em um amiente restrito pode crescer, em função do tempo t, de acordo com a função lo5ística   =



  é − kt   onde 1+ C.e   ,C  e k   são constantes

chamada de capacidade de sustentação e positivas.      . %xplique por que V é chamada de capacidade de a7 %ncontre lim t→3 sustentação. 7 ostre que o 5ráfico de P tem um ponto de inflexão em   =

  . 2

?#. 4m traalhador rural em 45anda está plantando cravo para aumentar o nNmero de aelhas que fazem suas colmeias na re5ião. %xistem #CC aelhas que moram naturalmente na re5ião e, para cada acre plantado com cravo,
$o nNmero médio de aelhas por acre de cravo,

   ( x )  x

?<. 4sando as re5ras de derivação, calcule a derivada primeira das se5uintes funç6es#7 f   (  x )=2 <7  f   (  x )=3 x 3 =7  f   (  x )=

>7

−1 −4 + 5 x 2

 f   (  x )=√ ( 3x − 2 )

?7

5

 g ( x )= senx

@7

2 3

 5 h ( x ) = x −  √ 4x −7 + cosEx 4 2

3

 y =( x + 3 )

2

B7 y = x + 1  x

t 

7

6

3

 G  + 5 G  − G  ##7 g ( G )=   2

#<7

 G 

1 2

5 #>7  g ( x )=  ( x + 2x − 9 )

#?7 y =

1 2

3 x + 4

#D7  g ( x )= x π + x− π   

#7

1/2

#B7  y =3 x   t 

3

t  + t  − 1 7  f   ( t )= 4

D7  F ( x )= x + a x 2 − cx a b : −1 #C7  f   ( : ) = √ :  −3 h ( = )=− 2 = +3 √ = 3 #=7  g ( t )= t  + k    t  1 1 #@7 y = 2 +   3 G  4


 f   ( t )= e

t + 2

 

<#7

t 

 y =5. 5 + 6. 6

1

<=7 g ( x )= 2x − 3

<<7  y =3x − 2. 4 x <>7

(

√  x

)

1−cost  a ( t ) = ln 1 + cost 

4

 

 y =ln ( t  + 1 )

 f  ( x )=

 x

+3

−e

x   1 + lnx

<@7

2

e  f  ' ( r )= 4 , encontre r  .

?>. %ncontre a oitava derivada de (n )  f   ( x ) "

7 5 3  f   (  x ) = x +5 x − 4 x + 6x − 7 . + que será

??. %ncontre a equação da reta tan5ente ao 5ráfico de  f    é dada por  f   (  x )=2 x 3 − 2 x 2+ 1 .

 f    em G#,#7, onde

?@. a7 %ncontre a equação da reta tan5ente ao 5ráfico de ponto onde  x = 2.

 f   (  x ) = x

3

no

7 &aça o 5ráfico da reta tan5ente e da função no mesmo con8unto de eixos. Me a reta tan5ente for usada para se estimar valores da função, essa estimativa será maior ou menor do que o valor real" ?D. ostre que, para qualquer função pot/ncia '   f   ( 1 ) =n . ?. %xiste um valor de 13x

n   que torne

 y = x

n

 f   (  x )= x

n

, temos

  uma solução da equação

 dy = y " %m caso afirmativo, qual é esse valor" dx

?B. Fom uma taxa anual de inflação de ?X, os preços são descritos por t    =  0 ( 1,05 ) , onde   0  é o preço em reais quando t =0 e t  é o

tempo em anos. Muponha que   0=1 . Huão depressa estão crescendo os preços Gem centavosTano7 quando t =10 " @C. A população do mundo, em ilh6es de pessoas, pode se modelada pela t  função  f  ( t )=5,3 ( 1,018 ) , onde t   é a quantidade de anos apIs #BBC. %ncontre  f   ( 0 ) e  f  ' ( 0 ) . %ncontre  f  ( 30 ) e  f  ' ( 30 ) . 4sando unidades, explique o que cada uma dessas respostas lhe diz sore a população mundial" @#. a7 %ncontre a inclinação do 5ráfico de  f   (  x )=1− e x  no ponto onde ele cruza o eixo x. 7 %ncontre a equação da reta tan5ente ao 5ráfico nesse ponto. c7 %ncontre a equação da reta perpendicular ! reta tan5ente nesse ponto G%ssa reta é conhecida como a reta normal7. @<. %ncontre a equação da reta tan5ente ao 5ráfico da função 3  f   (  x )=( x −1 )  no ponto em que  x = 2 . @=.

3  x = √ 2t + 5  é uma solução da equação

3 x

2

 dx = 2 " Por qu/" dt 

@>. A profundidade  y  da á5ua, em pés, em Qoston, é dada, em função do nNmero de horas t   apIs a meianoite, por  y =5 + 4,9cos a7 %ncontre 7 Para

dy . Hual o si5nificado de dt 

0 ( t (  24

, quando

dy  em termos de nível de á5ua" dt 

dy   é zero" %xplique o que si5nifica dt 

ser nulo Gem termos do nível de á5ua7.

RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS

#. y B 8x L 5 − x +18 4 2 3 2 3 =. y = x + √  −1 e  y = x − √  − 1 9 9 5 >. y =− x + 4 '  ?. A f   ( x )=6 x 2 − 6x 7 f  ' ( x )=2 x ln2 c7 f ´  ( x )=−senx d7 f  ' ( x )=− 2 4 '  e7 f   ( x )= ( x + 3 )2

<.

y=

( ). π   t  6

dy dt 

@. A 4 7 L1 c7   2F15 D. A x Q R .

b x S R

A = B=

B. L1 e 5 #C. r =3 √ 2

1 2

##. A  f  ' =5 x 4 ' 

 b

7

5

2

d

 f   = 4 t  + 15 t  +6 t  + 10

/

 f   ( t )= 2

' 

t + 1

ln 2 −

' 

 f   =− 6 x

e

−3

3 g  ( % )=  % ' 

' 

 y =3

2

5 √ 3x − 1 5

−4

 1 t 

g

6

2

2 x + 3x − 1

12

' 

 f   =

2

 y =7 ( x + 5 x + 2 ) ( 2 x +5 ) 12x + 7 '  "  y = 3 2 2 3 √ ( 6 x + 7x + 2 ) ' 

c

. ln. ( 4x + 3 )



i ' 

 y =e

 xlnx

( lnx + 1 )

;

' 

 f   ( x )=

x

 x + 1 2 −sen  x −cosx . sen  x + 1− sen  x '  2 '  l  y = 2x.cos x m  y = 1 + 2 cosxsenx − t  2 1 1 '  3 ( − e 2 t  + 1 ) −1 '  − n  f   ( x )=8 ( 2 x − 5 ) − o  f   ( t )= 2 2 ( x + 1 ) 2 √  x t   +  y =e 2 x ( 2 cosx + senx ) % 1 '   x  x 2  f   ( x ) =3 2 x − + 3 ln 3 ( x − √  x ) 2 √  x 3

2

2

(

)

!  y ' = 28 x 6 13. /5 B 625 T alt&!a da d&na de+ois de 5 anos =U5B L30 dec!-scimo da alt&!a da d&na no 5 ano

s

 f   ( s )=0 ' 

2

dy  y − x = dx  y 2 − x

#@. #D.

xVyB3

#.

0,0 ,

2 3

− 2@m

#B. .
(2 . 2 ) 1 3

3

r   

− 60 met!osF!adianos B L1,05mFg!a& 0,026   met!oFg!a& − 4 / 21 b L0,0425;gFs a 0,085 ;gFg!a& b 2500 galFmin a 2000 galFmin

A a taxa de *a!ia'(o da tem+e!at&!a em !ela'(o ao tem+o - a inclina'(o da !eta tangente ao g!/ico de M *e!s&s t. G&ando t c!esce, essas inclina'es dec!escemO logo, a tem+e!at&!a ele*aLse a &ma taxa sem+!e desc!escente.  b

d>  −0,5 t  = 15 e dt 

<@.

∣ ∣

dh 32 = b L0,16cmFmin dt  π h 2

a

1


√ π 

miF"

9   mFmin 20π a 28 b 75

<. =. a7 >

7 <

c7 C

2 3   >@.  x = 2

>?. r =  R

>D. r >.

≅

 #,?pole h 3

 Ax  x a * = − 4 2

>B. bR=>,@> cm   =  ?C. a7 lim t→3 ?#. 7 (`Gx7R
1  f  ❑ ( x ) =0 ' 

≅

=,D pol c7

()  A 6

3 2

h R >,BBcm c7

   ( x ) 100 = + 20  x  x

<7  f  ' ( x )=9 x 2

'  =7  f   ( x )=

− 20  x

5

15 ( 3x − 2 )3 ?7  g '  ( x )=3cos3x √  2 2 2 5 '  3 x 2ax '  h  x − − = ( ) 5sen5x @7 D7  F ( x )= −c + 3 a b 3 √  x 2 √ 4x − 7 2 − 2  1  4 '  '   x − 1  f   t  − ( ) = + 7 B7  y = 2 #C7 3 2 5 t  t  t   x 1 1 '   f   ( : ) = − 2 √ :  2 √ : 3 6 3 '  ##7 g '  ( G )= 5 G 4+ 20 G 3 − 1 #<7 h ( = )= 4 + #=7 = 2 √ = k  '   g  ( t )=2t − 2 t  −6x '  −2 '  1 '  4  y = #>7 g  ( x )=  ( 5 x + 2 ) #?7  y = #@7 2 3 2 3 G  ( 3 x 2 +4 ) 1 '  #D7 g '  ( x )= π x π −1 − π x − π − 1 #7  y = #B7 2 √  x +3 '   x  y =3 ln 7 a ' ( t )=8cossect 7  f   ( x )=

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