CalcInte_3

Cálculo integral

iii

Contenido Introducción ...................................................................................................vi 1. La integral. ................................................................................................. 3 1. 2. 3. 4. 5.

1.1 Introducción al concepto de área. .................................................................................. 3 Propiedades de la integral definida. ..................................................................................... 8 La integral indefinida. ........................................................................................................ 18 Integral definida por cambio de variable. .......................................................................... 24 Integración por partes......................................................................................................... 25

2. Técnicas de integración e integrales impropias. ...................................29 6. 7. 8. 9.

Integración de potencias de funciones trigonométricas ..................................................... 29 Sustitución trigonométrica. ................................................................................................ 32 Integración de funciones racionales. .................................................................................. 35 Integrales impropias. .......................................................................................................... 39

3. Aplicaciones de la integral definida. .......................................................44 10. 11. 12.

Área de una región entre curvas. ........................................................................................ 44 Volumen de sólidos. ........................................................................................................... 46 Longitud de arco. ............................................................................................................... 55

Solución de ejercicios. .................................................................................60 Formulario. ....................................................................................................65 Índice .............................................................................................................69

v

Introducción Cálculo integral El presente texto abarca principalmente lo requerido en los cursos de ingeniería sobre cálculo integral. Objetivos Generales:  Operar con fluidez las técnicas de integración.  Aplicar la integral para resolver problemas de área, volumen y de longitud de arco; de interés en ingeniería. La integral Aplicar las propiedades de la integral y el teorema fundamental del cálculo. Aplicaciones de la integral definida. Aplicar la integral definida para resolver problemas relacionados con área, volumen y longitud de una curva. Técnicas de integración e integrales impropias. Calcular integrales aplicando técnicas de integración. Reglas básicas de integración. Fórmulas de integración de Funciones trigonométricas e inversas. Fórmulas de integración de Funciones logarítmicas y exponenciales. Integración por partes. Integración de potencias de funciones trigonométricas. Sustitución trigonométrica. Integración de funciones racionales por fracciones parciales. Integrales impropias. Método del libro Explicación teórica del tema o método. Métodos desarrollados en pocos pasos y apoyados simultáneamente por ejemplos. Ejemplos expuestos paso a paso. Ejercicios. Solución de problemas. Formulario Índice

TEMA 1. La integral (8 clases) OBJETIVOS ESPECÍFICOS Aplicar las propiedades de la integral y el teorema fundamental del cálculo. CONTENIDO ESPECÍFICO: 1.1 Introducción. 1.2 La integral, definida como límite de sumas de Riemann. 1.2.1 Propiedades de la integral definida. 1.3 El teorema fundamental del cálculo. 1.4 Integral indefinida. 1.4.1 Propiedades de la integral indefinida.

1

Capítulo

1

1. La integral.

1.1 Introducción al concepto de área. Cálculo aproximado de áreas de figuras planas. Desde hace miles de años el río Nilo tiene crecientes anuales sumamente regulares. Estas crecientes inundan la delta del río en su desembocadura al mar Mediterráneo, en el noreste de África. Estas inundaciones fertilizan las tierras del delta por lo que se considera la mejor región agrícolamente hablando. Esto ayudó a que se desarrollara una de las civilizaciones más antiguas y con una duración del orden de miles de años. Como ya habrás adivinado hablamos de los egipcios. Estas mismas inundaciones borraban los límites establecidos en la zona de las tierras de cultivo, que por supuesto se debieron haber planteado conflictos sobre los tamaños de los terrenos asignados y además de manera recurrente; lo que obligó a este pueblo a desarrollar métodos de cálculo de áreas que les permitiera repartir, cada año, los terrenos que si bien no se les podía asegurar el mismo terreno, por lo menos si se aseguraría fueran con la misma área. Discípulos de éstos calculistas fueron los griegos. Haciendo honor a sus maestros egipcios, los griegos empezaron a sistematizar algunos de los principios que permiten calcular áreas y volúmenes. De esta manera, el método inicial de los egipcios fue avanzado por los griegos y es conocido como cuadrar una figura plana o un sólido y cabe destacar que esencialmente es el método que actualmente seguimos usando1. ¿Cómo medimos áreas? Partiendo de una unidad básica que se ha convenido sea un cuadrado de lado 1. Dada cualquier figura plana si podemos establecer una comparación entre el área de ésta con nuestra unidad cuadrada podemos decir que hemos cuadrado la figura que no es otra cosa que pudimos medirle su área. El área de cualquier cuadrado queda claro que es la longitud de su lado al cuadrado ya que habrá tantas unidades cuadradas como el cuadrado de su lado, siendo Ac  L2 . Así el cuadrado anterior tiene su lado de longitud 3 y le caben 3  3  32  9 unidades cuadradas que por facilidad denotaremos como u2, en este caso 9 u2. En la práctica se tienen distintas unidades dependiendo del sistema. En general se usará u2 o en todo caso las unidades del Sistema Internacional. Si se usara alguna otra se haría muy explícitamente. 1

Herodoto, el padre de la historia, sobre el rey Sesortitris de Egipto, escribió: “Este rey dividió la tierra entre todos los egipcios de tal manera que cada uno recibiera un cuadrilátero del mismo tamaño y que él pudiera obtener sus rentas de cada uno, imponiendo una tasa que debía ser pagada anualmente. Pero todo aquel cuya parte el río hubiera arrastrado algo, tenía que notificarle lo ocurrido; entonces, él enviaba supervisores que debían medir en cuanto había disminuido la tierra para que el propietario pudiera pagar de acuerdo con lo que le restaba, en proporción a la tasa total impuesta. De esta forma me parece que se originó la geometría, que luego pasó a Hellas.”

3

4 Cálculo integral El área de un rectángulo claramente se puede obtener como base por altura.

Así del rectángulo anterior su área 2 AR  B  H  3  2  6 u . Consecuentemente, el área de un triángulo rectángulo es la mitad del rectángulo respectivo. El área de un triángulo rectángulo es A T  B  H 2

Veamos que la fórmula anterior es válida para cualquier triángulo. Como todo triángulo se puede descomponer en dos triángulos rectángulos tenemos que el área del B1  H primer triangulo es A1  y del segundo es 2 B H , el área total es A 2 2 2 B 1  H B2  H B 1  B2  H B  H A  A1  A2     2 2 2 2 Finalmente, como todo polígono se puede descomponer en triángulos y se puede calcular el área de cualquier polígono. Normalmente el dato que se tiene de un triángulo son sus lado y no es tan fácil obtener la altura, una fórmula útil es la fórmula de Herón2.

At  S p  S p  a  S p  b  S p  c  donde a, b y c son los lados del triángulo y

S p  12  a  b  c  el semiperímetro.

2

Herón de Alejandría fue un genio práctico acorde con las características nacionales egipcias. Aun siendo egipcio llegó a gran matemático del mundo helénico. Herón es referente tanto en ingeniería como en agrimensura. Asimismo se le considera el constructor de la primera artefacto a vapor llamado eolípila.

Francisco Ramón Salazar Velasco

Capítulo 1 La integral

5

De hecho cuando el polígono es regular es clara la perímetro  apotema fórmula , porque la AP  2 apotema es la altura de cada uno de los triángulos el perímetro es la suma de las bases, respectivas,

Nuestro siguiente paso es para abordar, entre otros, figuras planas con límites curvos donde vamos a requerir de conceptos más complejos que concierne propiamente a lo que se conoce como cálculo integral. 1.2 La integral definida como límite de sumas de Riemann. Lo primero que requerimos cuando tenemos una frontera curva es tener una forma de expresarla, lo que tenemos desde luego a la mano son las funciones. Tomemos el caso más simple en donde tenemos una región limitada por tres rectas y una curva descrita mediante una función. Esta región la podemos describir en términos de las líneas frontera que en este caso diremos que la región esta dada por las rectas y una función, región conocida como trapecio curvo.

En general una región de este tipo se puede denotar en términos de las líneas de frontera x  a, x  b, y  0, f  x  y el área de esta región es un número real que denotaremos como integral está entre

 f  x  dx . De manera burda podemos afirmar que el valor de la los valores m  b  a    f  x  dx  M  b  a  donde m es el valor b

a

b

a

mínimo de la función y M es el máximo respecto del intervalo  a, b . Geométricamente el valor m  b  a  representa el área del rectángulo inferior, mientras que M  b  a  es el área del rectángulo que contiene a la gráfica como se muestra en la figura anterior. Ejemplo

6 Cálculo integral

x  2, x  6, y  0, f  x   x  6x  10 , denotaremos que el área del trapecio es un valor real que llamaremos   x  6 x  10  dx 2

Sea la región dada por

6

2

2

Grosso modo, una primera aproximación que podemos afirmar es que Para calcular el área de una región como la anterior podemos usar una estrategia como la que usaron los griegos para calcular esto es, usando polígonos que aproximen a un círculo; pero nosotros usaremos rectángulos que cubran la región. Aproximación por rectángulos f(x)

10 8 6 4 2 0

x 0

1

2

3

4

5

6

Una idea razonable es establecer el área de los rectángulos contenidos en la región y el área de los rectángulos que la contienen. Así podemos al menos asegurar que el área de la región está entre los dos valores por encontrar. Para calcular el área de los rectángulos inferiores, consideraremos una primera aproximación con la base de cada rectángulo de 0.5 y la altura consideremos el valor mínimo de cada intervalo que en este caso son  f 2.5  1.25, f 3 1, f 3 1, f 3.5 1.25, f 4  2, f 4.5  3.25, f 5  5, f 5.5  7.25; entonces el área de cada rectángulo es respectivamente la altura mínima de cada trapecio curvo multiplicada por longitud de la base, en este caso de 0.5, y sumar cada una de las áreas:

s  1.25 0.5  1 0.5  1 0.5  1.25 0.5   2 0.5   3.25 0.5   5 0.5   7.25 0.5  0.625  0.5  0.5  0.625  1  1.625  2.5  3.625  11

De manera semejante, el valor máximo de cada intervalo 2,1.25,1.25, 2, 3.25, 5, 7.25,10, y el área total de los rectángulos inferiores es:

es

0.52  0.5 1.25  0.5 1.25  0.52  0.53.25  0.55  0.57.2 5  0.510  16 Burdamente podemos asegurar que el área de la región está entre 11 y 16 u2. Si nosotros hiciéramos una partición más refinada, digamos de 0.25 el ancho de cada rectángulo. Para ordenar las ideas hagámoslo más sistemáticamente. Establezcamos la partición P  xi  2  0.25i i  0,1, 2,...,16 . El conjunto de intervalos que forman la base de cada rectángulo es:



7

I  xi 1 , xi  / xi  P i  1,2,...,16

De manera específica los intervalos son: 2  0.25i 1,2  0.25i donde i  1,2,...,16 Los valores máximos de cada intervalo son:

 f x  / f x   f x x  x M i

M i

Los valores mínimos de cada intervalo son:

 f x  / f x   f x x  x m i

m i

, xi 

 i  1,2,...,16

, xi 

 i  1,2,...,16

i 1

i 1

Las sumas superiores son: 16

 

S   f x iM 0.25 i 1

Donde 0.25 es la longitud de cada intervalo, es decir de la base de cada rectángulo y f xiM es la altura del rectángulo que contiene a la curva en el i’esimo intervalo.

 

Las sumas superiores son: 16

 

s   f xim 0.25 i 1

 

Aquí f xim es la altura del rectángulo que contenido a la curva en el i’esimo intervalo.

Refinamiento en la aproximación f(x)

10 8 6 4 2 0

x 0

1

2

3

4

5

6

Ejemplo 1 Calcular el área de la función f  x   x usando las sumas de Riemann desde a  0 hasta b 1



1

0

n



x dx  limn  f a  nj  b  a  j 1



1 n

 limn

n

1 n2

 j  lim j 1

1 n n 1 n  n2 2

 12 limn 1  1n   12

Ejemplo 2 Calcular el área de la función f  x   x 2 usando las sumas de Riemann desde a  0 hasta b 1

8 Cálculo integral



1

0



n

x 2 dx  lim n  f a  nj  b  a  j 1

n

 lim n

1 n3

 lim n

1 6

j

 lim n

2

j 1

2 

3 n



1 n

1 1 n3 6

 lim n

   n

1 n

f

j 1

j n

 lim n

n  n  1 2n  1  lim n

  n

1 n

j 1

j n

2

1 2 n 3n2  n 6 n3 3



 n12  13

Ejercicios_________________________________________________________________ 1. Dado un rectángulo de largo 125 34 u y ancho 43 108 ¿cuál es el área del triángulo formado a partir del rectángulo dividido por la diagonal? Calcula el área de los siguientes triángulos 2. a  3, b  8, c  10 3. a  12, b  16, c  24 Calcula las siguientes sumas. 4

4.

 j 5

 10  3 j 

5.

j 1

2

j 0

 3

 5  6

10

6.

4

7.

1 2j

j1

j 0

Calcular el área de la función usando las sumas de Riemann en el intervalo especificado. 8. f  x   3x  2; 1, 4 9. f  x   x 2  1;  2,3 10. Muestra que si llevas, al límite, polígonos inscritos en un círculo el área de los polígonos tiende al área del círculo. Propiedades de la integral definida. Linealidad Es claro que el área bajo la curva que es la suma de dos funciones es el área de una más el área de la otra. P1.

a  f  x   g  x  dx  a f  x  dx  a g  x  dx . b

b

b

E igualmente se multiplicamos por una constante la función igualmente se multiplicara por esa constante el área, de tal forma que P2.



b

a

c f  x  dx  c  f  x  dx . b

a

Si recuerdas, la derivada también cumple la linealidad. Preservación del orden Si una función está por debajo de otra, el área bajo la curva será menor en la primera: P3. Si f  x   g  x  para toda x   a, b entonces

 f  x  dx   g  x  dx . b

b

a

a

Aditividad del intervalo También es claro que el área bajo la curva de cualquier función sobre la unión de intervalos adyacentes es la suma de las áreas de cada intervalo. P4.



b

a

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx c

c

b

a

Acotamiento de la integral Francisco Ramón Salazar Velasco


9

Finalmente, si una función está acotada el área bajo la curva es menor que el rectángulo que la contiene P5. Si f  x   M para toda x   a, b entonces

 f  x dx  M b  a  . b

a

Antisimetría Si tomamos al revés los límites de la integral y se lo sumamos con los límites normales aplicando la propiedad 4 nos queda la integral en un solo punto lo cual es cero, entonces despejando no da la siguiente propiedad.



a

b

P6.

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  0   f  x  dx   f  x  dx b

b

a

b

a

b

b

a

 f  x dx   f  x dx a

b

b

a

Función par Cuando tenemos una función par sabemos que f   x   f  x  por tanto la integral en intervalos con simetría respecto del origen es igual al doble de la integral del semintervalo obteniendo así la propiedad siguiente.

Función par

Función par en el semintervalo

P7. Si f  x  es una función par entonces



a

a

f  x  dx  2 f  x  dx a

0

Función impar Ahora si tenemos una función impar sabemos que f   x    f  x  por tanto la integral en intervalos con simetría respecto del origen es igual a cero.

10 Cálculo integral

Función impar

P8. Si f  x  es una función impar entonces



a

a

f  x  dx  0

1.3 El teorema fundamental del cálculo. Aplicación al cálculo de integrales. Consideremos la siguiente función  1 x   0,1 f  x    2 x  1, 2 2.5

2

1.5

1

0.5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Gráfica de f  x  Sea F  x    f  t  dt x

0

3.5 3 2.5

Estableciendo la función en término de la variable independiente se obtiene:

x x   0,1 F  x   1  2 x  1   x  1, 2  simplificando la expresión

2 1.5 1 0.5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Gráfica de F  x 

x x   0,1 F  x    2 x  1 x  1, 2

 1 x   0,1 Si se calcula la función derivada de F  x  se tiene F '  x     2 x  1, 2 Esto es que F '  x   f  x  excepto en x  1 , donde F  x  no tiene derivada y f  x  no es continua. Hagamos lo mismo con otra función, sea  x x   0,1  f  x   1 x  1, 2    x  3 x   2,3 



11

Determinando la función integral F  x  

 x22 x   0,1  f  t  dt   12  x  1 x  1, 2  3 x   x  3  3   x   2,3 2 2

x

0

simplificando

 x2 x   0,1  F  x    x  12 x  1, 2  5 1 2   2 x  3x  2 x   2,3 2

Calculando la derivada de F  x  se obtiene

 x x   0,1    F ' x   1 x  1, 2    f  x    x  3 x   2,3 

También se cumple que la derivada de la función integral F '  x  es la función original

f  x . Observa que aun cuando f  x  no tiene derivada en x  1 y x  2 , pero si es continua en ellos; la función integral F  x  es suave en todos sus puntos es decir derivable incluso en los puntos x  1 y x  2 . 2.1 Teorema fundamental del cálculo (TFC) Parte 1 Sea f  x  continua en  a, b , si la función F  x  esta definida por F  x    f  t  dt x

a

para todo x   a, b entonces F  x  es una función integral de f  x  en  a, b , es decir, dxd F  x   f  x  . Se ilustrará la certeza del teorema sin ser una demostración formal. F  x  h  F  x  d dx F  x   lim h h 0

F  x  h  es el área desde a hasta x  h si se resta el área desde a hasta x entonces F  x  h   F  x  es el área desde x hasta x  h . Esta área corresponde a la región que casi es un rectángulo de altura f  x  y ancho h , al dividir entre h obtenemos un valor muy aproximado a f  x  que se irá aproximando más a f  x  conforme h  0 , entonces d dx

F  x   lim h 0

F  x  h  F  x  h

 f  x .

12 Cálculo integral Cabe destacar que, la derivada describe la tendencia de una función y en una función de área la tendencia está dada por el corte, es decir, la tendencia de crecimiento del área esta dado por la altura. Si nosotros conocemos la función integral de una función dada, basta con evaluarla en los puntos adecuados para obtener las áreas deseadas. Sin embargo, en general, tenemos que determinarla a partir de la función original. Tenemos que encontrar una función cuya derivada sea la función original f  x  . La cual se llama función primitiva o simplemente primitiva de f . Un problema es que dada cualquier función, su primitiva no es única. Ahora tampoco es grave, porque las primitivas de una función sólo difieren en una constante. Por ejemplo g  x   3x 2 tiene por derivada 6x y también j  x   3x 2  5 , pero en realidad g  x   j  x   5 , sólo difieren en la constante 5 . ¿Cómo determinar el área de la región deseada con cualquier primitiva? Esto nos lo garantiza la segunda parte del teorema. 2.2 Teorema fundamental del cálculo (TFC) Parte 2 Si F es cualquier primitiva de f en  a, b entonces

 f  x  dx  F b   F  a  . b

a

Demostración Sea G  x    f  t  dt entonces G '  x   f  x  x

a

Sea F  x  cualquier primitiva de f  x  entonces F '  x   f  x  y por tanto

F  x  G  x  C . Despejando G  x  y expresando en términos de la integral tenemos

F  x   C  G  x    f  t  dt x

a

(1)

Evaluando en a obtenemos el valor de C

F  a   C  G  a    f  t  dt  0  C  F  a  a

a

Evaluando nuevamente en la ecuación (1) pero en b y conociendo el valor de C se obtiene

F  b   F  a   G  b    f  t  dt b

a

Finalmente acomodando se demuestra el teorema completo.

 f t  dt  F b   F  a  b

a



Método para calcular el área usando la primitiva. 1. Se aplica las propiedades 1 y 2 para llevar a expresiones más simples. 2. Se encuentra la primitiva de cada término. Obtén, F  x  tal que F '  x   f  x  , es decir una función cuya derivada es la que tenemos. 3. Sustituye las integrales por sus primitivas. Not .

 f  x dx  F  x  b

a

4. Evalúa

en

b

  3x 5

Ejemplo 3

2

2

13

 4 x  8dx

5

5

5

2

2

2

 3 x 2 dt  4 xdt  8 dt d dx d dx d dx

 x2 x x 1 x3 3 x2 2

3

   4   8 x  5 x3 3 2

5 x2 2 2

5

2

a

los

límites

de

la

integral.

Not .

F  x  a  F b  F  a  b



 

 3 53  23  4  183 3

3

52 2



 22  8  5  2  2

Funciones integrales Cuando las funciones integrales tienen una primitiva expresable es fácil presentar directamente a partir de cualquier primitiva. Generalizando la parte 2 del teorema fundamental del cálculo. Corolario 2.1 Sea G  x    f  t  dt una función integral, si F es cualquier primitiva de f en x

a

 a, b 

entonces la función integral G  x   F  x   F  a  .

Debido al teorema fundamental del cálculo parte 2 esto es cierto para cada x  b fija entonces es cierto para todo el dominio donde esté definido G  x  . Ejemplo 4 Dado G  x    cos  t  dt , encontrar la x

4

expresión directa de la función. G  x    cos  t  dt  sen  t    sen  x   12 2 x

x

4

4

Solución: G  x   sen  x   12 2

También, es cierto para composiciones u  x   b . Ejemplo 5 Determinar la función

F  x  

cos x 

8

12t 3dt  3t 4

cos x  8

4  3cos4  x   12 288 . Solución: F  x   3cos  x   12 288

14 Cálculo integral Ejemplo 6 Plutarco en su escrito “Marcelo” el cual narra la conquista de Roma, bajo las órdenes del cónsul del año 212 ane Marco Claudio Marcelo, sobre el reino griego de Siracusa refiere sobre Arquímedes lo siguiente: “Autor de muy bellos descubrimientos, se dice que pidió a sus amigos y parientes que pusieran en su tumba, después de morir, un cilindro conteniendo una esfera, con una inscripción que diera la proporción en que el sólido continente excede al sólido contenido.” 3 Alrededor de hace 250 años antes de nuestra era vivió Arquímedes uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad, de hecho, dio grandes aportes al desarrollo del cálculo integral que se vieron truncados en los siguientes 1900 años hasta la llegada de Newton y Leibnitz. Así también, estableció que la proporción de áreas de una parábola contenida en un rectángulo era de 23 . Dicen, que la solicitud de grabar en su lápida la esfera contenida en el cilindro, es porque el aporte matemático del que se sentía más orgulloso, fue el cálculo del volumen de la esfera, en donde se aplican principios fundamentales del cálculo integral. El presente ejemplo intenta reproducir los razonamientos, que suponemos, usados por Arquímedes para calcular el volumen de la esfera, así como ilustrar el teorema fundamental del cálculo. Arquímedes consideró un cilindro de radio y altura R , de tal forma que, una semiesfera está totalmente contenida y el cilindro apenas la contiene, como la mitad del grabado en su lápida. También consideró el cono de base circular de radio y altura R .

Consideremos un corte en el cilindro en la esfera y en el cono a una altura x cualquiera.

x es la altura del corte pero también el radio de la circunferencia al corte del cono. 3

Cicerón cuando fue cuestor de Sicilia, encontró esta tumba cubierta de vegetación, pero llevando aun el cilindro con la esfera, y la restauró. (Tusc. Disp. V 64-66)



15

z es el radio de la circunferencia al corte de altura x en la esfera.

R es el radio de la esfera, de la base del cono y al corte de altura x del cilindro. Se puede establecer por el teorema de Pitágoras que R2  x2  z 2 . Si multiplicamos por  la igualdad representa las áreas de los círculos respectivos  R2   x2   z 2 . Lo cual significa que la suma del área al corte de la esfera más el área del corte del cono es igual al área del corte del cilindro. Lo notable de Arquímedes es que un concepto que se desarrolló plenamente hasta avanzado el siglo XVI, él con su genialidad estableció que si las áreas son iguales en cada corte entonces los volúmenes son iguales. Así tenemos que el volumen del cilindro es igual a la suma del volumen de la semiesfera más el volumen del cono. Vcilindro  Vsemiesfera  Vcono Como en ese entonces ya se conocía el volumen del cilindro y el volumen del cono4 se podía entonces con el argumento anterior calcular el volumen de la semiesfera. Vsemiesfera  Vcilindro  Vcono   R 2 h  13  R 2 h   R3  13  R3  23  R3 Por tanto el volumen de la esfera completa. Vesfera  2Vsemiesfera  2  23  R3   43  R3

Observación: Desde luego se puede establecer la ecuación con la consideración de la esfera completa de radio R , el cilindro de radio R y altura 2R , el cono de radio R entendiéndolo realmente en su forma completa, digamos como los dos vasos. Vcilindro  Vesfera  Vcono

Con los conocimientos actuales de cálculo podemos comprobar. La tendencia, de crecimiento del volumen, está determinada por las áreas a cada corte, es decir, la derivada del volumen es el área. d dx

4

Vcilindro  x   Acilindro  x    R 2

El área a cualquier altura x es constante por ser un cilindro y es el área

Demócrito de Abderea vivió aproximadamente entre 460 - 370 AC, más conocido por su concepción materialista de los átomos, discípulo de Leucippus. Escribió obras de matemáticas, sólo conocemos: Números, Sobre la geometría, Sobre las tangentes, Sobre los irracionales. Este conocimiento, relativamente reciente, fue en 1906 cuando Heiberg reveló una obra perdida de Arquímedes Tratado del método, Arquímedes atribuye a Demócrito el cálculo del volumen del cono. Los problemas que atraían a Demócrito son, en cierto grado infinitesimal, concebía a los sólidos como una suma infinita de capas planas paralelas e infinitamente próximas. Está concepción le permitió establecer los teoremas: 1. "El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura". 2. "El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura". Fue Eudoxo quien hizo la primera demostración de los teoremas. Así, estando de acuerdo con Arquímedes daremos crédito indistintamente y le llamaremos los teoremas de Demócrito – Eudoxo.

16 Cálculo integral del círculo de radio R . d dx

d dx

Vcono  x   Acono  x    x 2

El radio de cualquier círculo es x por ser el cono de ángulo 4 , el radio coincide con la altura de corte como ya se vio.

Vsemiesfera  x   Asemiesfera  x    z 2    R2  x 2 

El radio al corte de altura x se obtiene usando el teorema de Pitágoras.

Para obtener los volúmenes de los tres sólidos hay que encontrar las funciones de volumen a partir de integrar las áreas para cada altura o corte.

Vcilindro  R    Acilindro  x dx    R 2 dx R

R

0

0

Vcono  R    Acono  x  dx    x 2 dx R

R

0

0

Vsemiesfera  R    Asemiesfera  x  dx     R 2  x 2  dx R

R

0

0

Vcilindro  R     R 2 dx   R 2  dx R

R

0

0

Usando la propiedad 2 de la integral.

Buscando una primitiva; una función cuya derivada dé 1, en este caso; sea x ya que d dx x  1 . Usando la parte 2 del TFC.

R

  R 2 x   R3 0

Vcono  R     x 2 dx    x 2 dx   R

R

0

0

R x3 3 0



 13  R3

Vsemiesfera  R      R 2  x 2  dx   R 2  dx   x 2 dx R

0



  R 2 x 0  13 x3 R

R 0



R

R

0

0



Usando las propiedades 1 y 2 de la integral. Buscando primitivas de cada una. dxd x  1 , d 1 dx 3

   R3  13 R3   23  R3

x3  x 2

Usando la parte 2 del TFC y simplificando.

Vesfera  R   2  23  R3   43  R3 Observación: Es curioso que primero se obtuvo el volumen de la esfera y después el área de su superficie. Si el volumen de la esfera la vemos en función del radio 3 2 d d 4 Vesfera  R   43  R3 entonces Aesfera  R   dR Vesfera  R   dR es el área de 3  R  4 R la esfera.



17

2.3 Teorema. La integral y la derivada como operadores inversos. Si a  c  b , entonces para todo x   c, b  , si f es continua en  a, b ,

 f t  dt  f  x  . es derivable en  a, b ,  F  t  dt  F  x  . d dx

x

c

x

d c dt

Donde F Demostración

Sea F  x    f  t  dt x

c

d F  x   f  x  donde f es continua y dx además sólo podemos derivar a F donde es derivable. Sustituyendo d x d f  t  dt  F  x  f  x  c dx dx



x

d c dt

F  t  dt   f  t  dt  F  x  x

c

En los dos casos se aplica:

F es la función integral de f Teorema fundamental del cálculo parte 1. De manera alterna

Ejemplo 7 Dado F  x   

x

1 1 t

F ' x 

dt , encontrar F '  x  .

x d 1 dx 1 t



dt  1x

Ejemplo 8 d dx

  2t cos x

a

2

 8t  10  dt

Si el límite superior fuera una variable simple y consideramos la derivada respecto de ésta. d du

  2t u

a

2

 8t  10  dt

Aplicando la primera parte del TFC.

 2u 2  8u  10 Si la vemos como una función compuesta. d dx

u x

  2t

2

a

 8t  10  dt  2u 2  x   8u  x   10 du dx

Si en particular u  x   cos x . d dx

  2t cos x

a

2

 8t  10  dt   2cos 2 x  8cos x  10   sen x 

18 Cálculo integral Observación: La segunda igualdad del teorema 2.3 se da porque se cumple la condición de que F  x  es la función integral (véase ejemplo 9). Si derivamos a F  x  y luego obtenemos una primitiva esta puede diferir en una constante (véase ejemplo 10). Ejemplo 9 5 2   t  8t  330  dt . 2  Derivando e integrando

Encontrar



x

d 10 dt

x

x 5 2 5 2 5 2    2 t  8t  330  dt  10  5t  8 dt  2 t  8t 10  2 t  8t  330 Ejemplo 10 x

d 10 dt

Encontrar

 t  e  dt . x

t

d 1 dt

Derivando e integrando

 t  e x

t

d 1 dt

 5 dt   1  et  dt  t  et  x  e x  1  e   x  e x  5  6  e x

x

1

1

Ejercicios_________________________________________________________________ Encuentra las integrales definidas 1. 5.



25



1

5

0

dr

2.

e x dx

6.

  5x 4

2

2



0.4

0

 18 x  21 dx

3.



sec2 x dx   sec2 x dx 4

7.

0.4

2  3t  5 dt 0



4.



2

8.



2.4

 2



cos x dx

2

2

3x  2 dx

2.4

sen x3 dx

Determina las funciones siguientes t y x1 10. G  y    cos Y  dY 11. f  t    eT dT 9. F  x    dt 3 e t 2 Aplica el teorema fundamental del cálculo y luego deriva para verificar las igualdades 12.

d dx

 8t x

2

0

 5t  12  dt  8 x 2  5 x  12

13.

d dx

  3t  5 t  dt  3x  5 x

0

x

Aplica el teorema 2.3 y las propiedades de la derivada de la composición para calcular: 14.

d dx



x

0

t2 t 1

dt

15.

d dx



x



dt cos t

4

16.

d dx

 t x2

2

2

 5 dt 8

17.

d dx



sen x

1 x

t 2  t  9 dt

18.

d dx



2

x3

cos  t 2  dt

Usa las propiedades para determinar lo solicitado 3

19.  ln x dx  2ln 3 1

3

20.  5 dx 10

3

21.  e x sen x dx 2

3

La integral indefinida.

 f  x  dx  F  x  La integral indefinida de una función es también una función, la cual llamaremos función primitiva. Con la propiedad que la derivada de ésta primitiva es, precisamente, la original, es decir, aquella a la que aplicamos la integral indefinida. Dado que existe relación entre las funciones primitivas y la integral definida se usa el mismo signo; es conveniente



19

distinguir cuando se busca una primitiva, sin límites en la integral, de la integral definida donde se establecen los límites de la integral. Así

 sec

2

x dx expresa a una función F  x  cuya derivada es sec2 x , la primitiva de la

función sec2 x . Como recordamos la primitiva no es única, pero las primitivas de una función sólo difieren por una constante.

 f  x  dx  F  x   c La relación entre la integral definida y la integral indefinida, como se vio en el TFC parte 2, nos establece que cualquier primitiva respectiva es útil, porque la integral definida se expresa en términos de esa primitiva evaluada en los límites de la integral.



b

a

f  x dx    f  x dx   F  x  a  F  b   F  a  b

b

a

EN BUSCA DE PRIMITIVAS

 x dx  n

xn1 n 1

n  1 lo podemos comprobar derivando la primitiva

d xn1 dx n 1



n 1 xn n 1

 xn .

Observa que si n  1 la fórmula no se puede aplicar porque en la expresión nos quedaría una división entre 0 , lo cual no tendría sentido. Ejemplo 11

 x dx



6

x61 61

 71 x7  c

Ejemplo 12

 5x  10 2

3



 5 x 2 dx  10 x 3 dx  7  x 3dx 2

x 2  x73 dx

2 1 3

2

 5 x3  10 x2 1  7 x2 3

3

 53 x3  6 3 x5  27x2  c



dx x

 ln x efectivamente

d dx

Aplicando las propiedades 1 y 2 y expresando como potencias. Usando la fórmula 1. Verifica que la potencia no sea 1 . Simplificando.

ln x  1x . Esta fórmula resuelve el caso donde n  1 que

nos hacía falta. Ejemplo 13

 7

5



x3  9x dx

8 5

 7  x 5 dx  9 dxx  7 x8  9ln x  358 5 x8  9ln x  c 3

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRALES

5

20 Cálculo integral Directamente de las fórmulas de derivación podemos establecer las fórmulas básicas de integración.

Integrales

Derivadas origen

11.  u n du  un1  c n  1

d dx

u n  nu n1 du dx

12.  duu  ln  u   c

d dx

ln  u   u1

13.  sen  u  du   cos  u   c

d dx

cos  u   sen  u  du dx

14.  cos  u  du  sen  u   c

d dx

sen  u   cos  u  du dx

15.  sec2  u  du  tan  u   c

d dx

tan  u   sec2  u  du dx

16.  csc2  u  du   cot  u   c

d dx

cot  u    csc2  u  du dx

17.  sec  u  tan  u  du  sec  u 

d dx

sec  u   sec  u  tan  u  du dx

18.  csc  u  cot  u  du   csc  u 

d dx

csc  u    csc  u  cot  u  du dx

19.  eu du  eu  c

d dx

eu  eu

20.  au du  lna a   c

d dx

a x  a x ln  a 

21.  senh  u  du  cosh  u   c

d dx

cosh  u   senh  u  du dx

22.  cosh  u  du  senh  u   c

d dx

senh  u   cosh  u  du dx

d dx

arcsen  u  

d dx

arctan  u   1dxu2

 arc sec  u   c

d dx

arcsec  u  

 arccosh  u   c

d dx

arccosh  u  

 arcsenh  u   c

d dx

arcsenh  u  

n1

(n  1)

u

23. 

du 1u

2

 arcsen  u   c

24.  1duu2  arctan  u   c 25. 

u u 2 1

26. 

u 2 1

27. 

u 2 1

du

du

du

du dx

du dx

du dx

1u 2 du

du dx

u u 2 1 du dx

u 2 1 du dx

u 2 1

Aun cuando las derivadas de funciones lo podemos encontrar con unas propiedades y con conocer las funciones derivadas de relativamente pocas funciones, el proceso de encontrar primitivas es bastante más complejo e incluso en muchos casos no se puede encontrar en términos de funciones elementales. Por eso te puedes encontrar formularios de integrales terriblemente grandes, aquí solo iremos estableciendo más fórmulas en la medida que se



21

requiera donde terminarán siendo las de uso más frecuente, sin embargo siempre es bueno tener una buena tabla de integrales, calculadoras que tengan integrales o programas de cómputo de matemáticas con métodos de integración incluidos. El buen uso de estas herramientas depende que se aprenda adecuadamente las técnicas de integración que son el principal objetivo de este curso. Integración por sustitución La principal dificultad para integrar es que al derivar una función compuesta, consideremos f  u  x   , ésta derivada se forma con el producto, de la derivada que compone con la derivada de la función compuesta,

d d d f u  x   f  u  x   u  x  . Por ejemplo, dx du dx

2 d x2 d u d d 2 e  e u  x   eu x  e x  2 x  , donde u  x   x 2 . Para poder integrar una función dx du dx dx compuesta va ser condición necesaria ésta incluya la derivada de la función compuesta. En el caso anterior el siguiente teorema nos ayuda a poner la integral en términos de la 2 variable de la función compuesta. Si integramos la función e x  2 x  se podrá resolver

porque 2x es la derivada de x 2 . Así,

 e  2x  dx   e du  e x2

u

u

 e x . El siguiente teorema nos 2

permite establecer las condiciones donde podremos integrar mediante el método de sustitución o cambio de variable, así conocido. P9 Método de cambio de variable Dada una integral indefinida

 f u  x  u '  x  dx , sea u  u  x  y du  u '  x  dx . Si

primitiva de f , entonces

 f u  x  u '  x  dx   f u du  F u   c  F u  x   c . Empecemos con integrales necesarias y que no se han establecido hasta ahora. Ejemplo 14  tan  x  dx Mediante la identidad trigonométrica. u  cos  x  Usa la sustitución du   sen  x  dx du  sen  x  dx Regresa a la variable original, aplica propiedades del logaritmo e identidad trigonométrica.

sen  x  dx cos  x  12    duu   ln u  c   ln cos  x   c  ln sec  x   c



 tan u  du   ln cos u   c  ln sec u   c Semejantemente se puede establecer la fórmula 29.  cot  u  du  ln sen  u   c Así se tiene la fórmula 28.

F es una


 sec  x  dx

Ejemplo 15 Si multiplicamos y dividimos por sec x  tan x

usa la sustitución

u  sec  x   tan  x  du   sec  x  tan  x   sec2  x   dx



sec2  x   sec  x  tan  x  dx , sec  x   tan  x 



du , u

integrando

 ln u ,

regresando a la variable original

 ln sec  x   tan  x   c .

Así se tiene la fórmula 30.  sec  u  du  ln sec  u   tan  u   c

Semejantemente la fórmula 31.  csc  u  du   ln csc  u   cot  u   c  ln csc  u   cot  u 

x

Ejemplo 16 Sustituyendo

2

 6 x  9   2 x  6  dx 5

  u 5 du

u  x2  6x  9 du   2 x  6  dx

Aplicando la fórmula 1

11 6  u6  c

Regresando a la variable original.

 16  x 2  6 x  9   c

Ejemplo 17

6





3 2 x3  x



x 4  x 2 1

dx

u  x4  x2  1 Sustituyendo du   4 x3  2 x  dx 3 du 2   2 x  x  dx

  32duu

Aplicando la propiedad 2




2  32 ln u  c


 32 ln x 4  x 2  1  c

Ejemplo 18 u x Sustituyendo du  2 1 x dx , 2du  1x dx

aplicando la propiedad 2




sen

 x x

3 2



du u

dx    sen  u   2du

 2  sen  u   du



 2cos  u   c


 2cos

x e

Ejemplo 19

2 x3

23

 xc

dx

u  x3 Sustituyendo du  3 x 2 dx 2 du 3  x dx

19 u u x3  e du3  13 e  c  13 e  c

e  e

Ejemplo 20

x

 e x

x

 e x

 dx  2

2

Dividiendo entre e2 x numerador y denominador

e  e

Desarrollando los cuadrados.

  ee4 x 22ee2 x 11 dx

Sumando y restando 2e2 x

e

Aplicando la propiedad 1.

P1

2x 2x

4x

4x

 dx 1 1

2

2

2x

 2 e2 x 1 4 e2 x e4 x  2 e2 x 1

  dx  

4 e2 x

e

2x



1

2

dx

dx

  x  c1  2 udu2

Integrando y haciendo la sustitución

P 2, 11

u  e 1 du  2e2 x dx 2x

Integrando

11  x  c1  2 u1  c2


 x  2 e2 1x 1  c

Ejercicios_________________________________________________________________ Encuentra las integrales y verifica el resultado derivándolas después. 1. 5.

x

3

x 4  9 dx

  5 x  8

4

dx

2.

6.

 2x e

  4x

7 x2

2

dx

 12  xdx 7

x 2 cosh



x3  4

3.



7.

  7 x  2

x3  4

 dx

4.

 csc  x  dx

7 x 2  4 x  6 dx

8.



5 dx 4 x2


 cos  7 x  9 dx

9.

13. 



x 5 x

17. 



3

dx

dx 9 x2

10.  x7 sec2  ln  x   dx

11.  10 x csc 1  x2  cot 1  x 2  dx

12. 

e5

x

dx

x

14.  x 2 cosh  x3  6  dx

15.  21e x senh  3e x dx

16. 

x

18.  4xdxx2

19.  7 x sen  x 2 10cos x dx

20. 

x 2  25

2

10 dx



x 8



4

3 dx

Integral definida por cambio de variable. En el método de sustitución cuando se efectúa un cambio de variable es necesario regresar a la variable original para determinar la función primitiva. Sin embargo, cuando tenemos una integral definida no es indispensable ya que es posible calcular la integral con la nueva variable, pero es necesario considerar como cambian los límites de la integral en términos de la nueva variable y nos ahorramos regresar a la variable original. El siguiente teorema nos especifica las condiciones. 2.4 Teorema. Cambio de variable. P9. Si u  g  x  entonces



b

a

f  g  x  g '  x  dx  

g b 

f  u du .

ga



Ejemplo 21

10

2

3 5 x 1

Aplicando la propiedad

dx P2

 3

10

dx 5 x1

2

Aplicando el teorema con el cambio de u  5x  1 u  2  9 variable du  5dx u 10   49

P10

Usando la propiedad 2 y la fórmula 1

P 2, 11

 3

49

9

 

du 5 u

1

2

Aplicando TFC parte 2

9

 65 49  56 9  245

Ejemplo 22 Considerando el límite inferior también como función.

49

3 u2 5 1

d dx



cos x 

s e n x

 2t

2

 8t  10  dt

Simplemente se aplica un corolario equivalente en el límite inferior.



cos x 

sen x 

 2t

2

 8t  10  dt   2cos2  x   16cos  x   10   sen  x     2s e n 2  x   16sen  x   10  cos  x 

Ejemplo 23 Considerar una función cualquiera y  t  de forma tal que se conoce que y  2   3 encontrar

d   y  t   1 dt  y t   dt . x

2

2

Usando el teorema de cambio de variable para integrales definidas Francisco Ramón Salazar Velasco


Y  y  t  ; dY 

d y  t  dt ; f Y   Y 2  1; dt

25

y x 

y x d 1 3 1 3  2 2  y  t   1 dt  y  t   dt  y 2 Y  1 dY   3 Y  Y  3  3 y  x   y  x   12 x

2

Ejercicios_________________________________________________________________ 1. 5.



2

0

2 4 x  1 dx

2.

 5     dr 5

1

2 3 r

1 r2

6.



5



1 2

1

x 1 x 2  2 x 10

dx

dx 2 0 1 4 x

   9. Sea y  t  una función donde y    4 2 encontrar x d  2 2 cos  y  t   sen  y  t    dt y  t   dt .

3.



9



1

4

7.

0

dx x x 2



xe

x3



4.

dx

8.



1



t 2 t

0



0

 2



5

dt

x cos  x 2  dx

10. Cualquier función y  t  donde y  2   e

 d   dt y  t   encontrar    dt . 2 y t       x

Integración por partes5. Cuando se tiene un producto de funciones y sobre todo cuando son de diferente tipo puede resultar conveniente aprovechar el siguiente hecho. A partir de la derivada de un producto d dx

uv  u dxd v  v dxd u ,

despejando cualquiera de los sumandos del lado derecho de la igualdad, aunque por costumbre se ha usado despejar el primer término del lado derecho. u dxd v  dxd uv  v dxd u ,.

integrando a cada lado de la igualdad queda lo que vamos a establecer como propiedad de integración por partes

u

d dx

v   dxd uv   v dxd u ,

expresada en términos de integración nos queda la fórmula conocida como integración por partes P10.  udv  uv   vdu . Método integración por partes. 1. Escogemos cual es la parte a diferenciar ( u ) y cual es la parte a integrar ( dv )

5

Ejemplo 24

 xe dx x

 x e dx  x

u

dv

Brook Taylor (1685-1731) más conocido por su expansión también aportó este método de integración


u  x dv  e x dx

2. Obtenemos la diferencial de la parte a diferenciar e integramos la parte a integrar, valga la redundancia.

19 du  dx v   e dx  e x x

3. Aplicamos la propiedad P9.

P9

 xe dx  xe   e dx x

x

x

19  xe x  e x  c

4. Integramos la integral restante. Ejemplo 25

u  ln  x  dv  dx 11 du  dxx v   dx  x

11  ln  x  dx  x ln  x    x dxx  x ln  x   x P9

dv

u

Ejemplo 26

u  x dv  sec2  x  dx

P9

 x sec  x  dx  x tan  x    tan  x  dx 2

u

du  dx

dv

P9

 x tan  x   

sen  x  dx cos  x 

15 v   sec2  x  dx  tan  x 

Sustituyendo por la identidad trigonométrica.

 x tan  x    udu 12  x tan  x   ln u  c

Mediante la sustitución

 x tan  x   ln cos  x   c


u  cos  x  du   sen  x  dx du  sen  x  dx

En ocasiones cuando se realiza el proceso de usar la integración por partes se llega a la integral original, lo que nos llevaría a un proceso inacabable. Si se tiene el cuidado debido es posible darle solución con el método de la “Verónica”6. Método de la Verónica.

Ejemplo 27

1. Resolviendo por partes

e

dv  cos  x  dx

u  ex du  e dx x

cos  x  dx P9

 v   cos  x  dx  sen  x 

6

x

14

  e x sen  x    e x sen  x  dx

Se le llama la “Verónica”, porque en el argot taurino, un nombre de pase al toro es la verónica. Como en ciertas integrales hay que dar un pase a la integral del otro lado de la igualdad, se le dio este nombre.



dv  sen  x  dx

u  ex du  e dx x

P9



  e x sen  x   e x cos  x    e x cos  x  dx

 v   sen  x  dx   cos  x  13

27



La integral es la misma que con  e x sen  x   e x cos  x    e x cos  x  dx la que se empezó, ¿estamos en la situación inicial? 2. Pasamos la integral del otro lado de 2 e x cos  x  dx  e x sen  x   e x cos  x   la igualdad y se suma con la integral original. Advertencia: El único caso donde no es posible aplicar el método es cuando al pasar la integral se cancela con la integral del lado izquierdo. 3. Dividimos entre el coefi ciente de la e x cos  x  dx  12  e x sen  x   e x cos  x    integral ya que nosotros iniciamos con la integral original. Se puede establecer la fórmula 34. eu cos  u  du  1 eu  cos  u   sen  u    c





Ejemplo 28

2

1  x 2 dx 

Aplicando propiedades de la raíz y separando sumandos por la propiedad 1 de la integral. La primera se resuelve aplicando la fórmula 26 y la segunda integrando por partes ux dv  x 2 dx

1 x2 1 x

2

dx  

1 1 x

2

dx  

x2 1 x2

dx

  arcsenh  x   x 1  x 2   1  x 2 dx

P 9, 26

1 x

du  dx v 

1 2



2x 1 x 2

11 dx  1  x 2

Aplicando el método de la Verónica.

2 1  x 2 dx  arcsenh  x   x 1  x 2

Dividiendo entre el coeficiente para obtener la integral original.





1  x 2 dx  12 arcsenh  x   x 1  x 2

Ejemplo 29

 sec  x  dx

Escogiendo las partes.

  sec  x  sec2  x  dx

3

u

u  sec  x 



dv  sec2  x  dx

 du  sec  x  tan  x  dx v   sec  x  dx  tan  x  15

dv

 sec  x  tan  x    tan 2  x  sec  x  dx

2

Sustituyendo una identidad trigonométrica.

 sec  x  tan  x     sec2  x   1 sec  x  dx

28 Cálculo integral  sec  x  tan  x    sec  x  dx   sec3  x  dx

Separando las integrales. Integrando el segundo término y aplicando la “Verónica” al tercero. Dividiendo entre el coeficiente para obtener la integral original.

2 sec3  x  dx  sec  x  tan  x   ln sec  x   tan sec  x 

 sec

3

x dx  12  sec x tan x  ln sec x  tan x   c

Ejercicios_________________________________________________________________ 1.

 x sen  x  dx

2.

 x sen 3x  dx

3.

 xe

5.

x e

6.

 arccos  x  dx

7.

 x ln  x  dx

3 x

dx

2

2x

dx

2

4. 8.

 x csc  x  dx 2



1

0

x3e x dx 2

10.  e x cos  x  dx

11.  cos  ln  x   dx

12.  ln

13.  x sec  x  tan  x  dx

14.  x3 cos  x 2  dx

15. 

16.   x  3 cosh  3x  dx

17.  x 3x dx

18.  arc cot  5 x  dx

19.  e2 x cos  3x  dx

9.

 x sec  x  dx 2


x5 1 x3

dx

4

1

 x  dx

20.   x  1

10

 x  3 dx

Capítulo

2

2. Técnicas de integración e integrales impropias. Dedicaremos este capítulo para profundizar las técnicas para obtener las integrales indefinidas de grupos más amplios de funciones. Empecemos con métodos para potencias de las funciones trigonométricas. Integración de potencias de funciones trigonométricas Técnica para integrar potencias pares del seno o coseno Usa la identidad. cos2 x  12  12 cos 2 x .

Ejemplo 30

 cos

2

x dx

   12  12 cos 2 x  dx  12  dx  12  cos 2 x dx  12 x  14 sen 2 x  c

Para integrar potencias impares del Ejemplo 31  sen3 x dx seno o coseno. 1. En potencias de grado impar llevar a   sen2 x sen x dx la potencia par inmediata inferior. 2. Usa la identidad sen2 x  cos2 x  1   1  cos2 x  sen x dx despejando según convenga el caso.   sen x dx   cos2 x sen x dx 3. Distribuir las integrales. 4. Integra y/o usa sustitución. u  cos x, du  sen xdx En este caso  du  sen xdx

13 11 3 3   cos x   u 2 du   cos x  u3   cos x  cos3 x  c

 sen x cos

Integración de productos de potencias del seno y del coseno donde al menos uno es grado impar.

Ejemplo 32

1. Considera la de grado impar y haz los pasos 1 y 2 del método anterior. 2. Usa una sustitución trigonométrica y lleva las integrales a la fórmula básica  11 .

 sen x cos x dx   sen x 1  sen x  cos x dx   sen x cos x dx   sen x cos x dx

La integral de productos de potencias pares tanto del seno como del coseno.

Ejemplo 33

1. Reducir el grado a la mitad mediante las identidades

sen2 A  12  12 cos 2 A cos2 A  12  12 cos 2 A

2. En caso necesario volver a reducir el grado.

2

2

3

x dx

3

2

2

2

4

 sen x cos 2

2

x dx

   12  12 cos 2 x  12  12 cos 2 x  dx    14  14 cos 2 2 x  dx   14 dx  14  cos 2 2 x dx

 14 x  14   12  12 cos 4 x  dx  18 x  321 sen 4 x

29

30 Cálculo integral Técnica para integrar productos de senos y/o cosenos con ángulos diferentes. 1. Aplicar integración por partes dos veces. 2. Usar el método de la Verónica. Ejemplo 34

 sen  2x  cos 5x  dx

 sen  2 x  cos  5x  dx 

sen  2 x  sen  5 x    52 cos  2 x  sen  5 x  dx  15 sen  2 x  sen  5 x   252 cos  2 x  cos  5 x   254  sen  2 x  cos  5 x  dx 21 1 2 25  sen  2 x  cos  5 x  dx  5 sen  2 x  sen  5 x   25 cos  2 x  cos  5 x   sen  2 x  cos  5x  dx  215 sen  2 x  sen  5x   212 cos  2 x  cos  5 x   c 1 5

Se puede usar, alternativamente, en la combinación de senos y cosenos la identidad

sen  a  cos  b   12 sen  a  b   12 sen  a  b  Ejemplo 35

 sen 9x  cos 3x  dx

 sen  9 x  cos 3x  dx   sen 12 x  dx   sen  6x  dx 1 2

1 2

  241 cos 12 x   121 cos  6 x   c

Ejemplo 36  cos  3x  cos  2 x  dx

 cos  3x  cos  2 x  dx 

cos  3x  sen  2 x   32  sen  3x  sen  2 x  dx  12 cos  3x  sen  2 x   43 sen  3x  cos  2 x   94  cos  3x  cos  2 x  dx  54  cos  3x  cos  2 x  dx  12 cos  3x  sen  2 x   43 sen  3x  cos  2 x   cos  3x  cos  2 x  dx   52 cos  3x  sen  2 x   53 sen  3x  cos  2 x   c 1 2

También se puede usar en el producto de cosenos la identidad

cos  a  cos  b   12 cos  a  b   12 cos  a  b  Ejemplo 37

 cos  7 x  cos  4 x  dx   cos 11x  dx   cos 3x  dx




1 2 1 22

1 2

sen 11x   16 sen  3x   c

Capitulo 4 Técnicas de integración e integrales impropias

Ejemplo 38

31

 sen 3x  sen 10x  dx

 sen  3x  sen 10 x  dx  

sen  3x  cos 3x  23  sen 3x sen 2 x dx  12 cos 3x sen 2 x dx  43 sen 3x cos 2 x  94  cos 3x cos 2 x dx  54  cos 3x cos 2 x dx  12 cos 3x sen 2 x dx  43 sen 3x cos 2 x  cos 3x cos 2 x dx   54  12 cos 3x sen 2 x dx  43 sen 3x cos 2 x   c 1 10

También se puede usar en el producto de cosenos la identidad

cos  a  cos  b   12 cos  a  b   12 cos  a  b  Ejemplo 39

 cos  7 x  cos  4 x  dx   cos 11x  dx   cos 3x  dx 

1 2 1 22

1 2

sen 11x   16 sen  3x   c

Técnica para integrar productos de Ejemplo 40  tan 3  x  sec4  x  dx potencias de la tangente y secante donde la secante es de grado par.   tan 3  x  sec2  x  dx   tan 5  x  sec2  x  dx Expresa la integral como la suma de tan 4 x tan 6 x  4   6   c integrales producto de una potencia de la tangente por secante de grado dos. Integra por sustitución con u  tan x . Técnica para integrar productos de Ejemplo 41 tan 3  x  sec3  x  dx  potencias de la tangente y secante sen  x  donde la tangente es de grado impar.  sec2 x  1 sec3 xdx  cos  x  Expresa la integral como la suma de integrales del cociente de un seno entre sen  x  sen  x   dx   dx potencias del coseno. Integra por 6 cos  x  cos 4  x  sustitución con u  cos x . 1 1   c 5 5cos  x  3cos3  x  Técnica para integrar potencias de la Ejemplo 42 sec5  x  dx  secante de grado impar.   sec3  x  sec2  x  dx 1. Expresar como producto y aplicar integración por partes donde la parte u  sec3 x dv  sec2 xdx 3 a integrar sea una secante de grado du  3sec  x  tan  x  dx v  tan x dos.  sec3  x  tan  x   3 tan 2  x  sec3  x  dx

32 Cálculo integral 2. Sustituye tan 2 x  sec2 x  1 , separa en la suma de las integrales. 3. Aplica el método de la verónica, quedando una integral de la potencia de la secante con dos grados menos. 4. Mientras no sea la secante de grado 1, se integra aparte igualmente y se sustituye.

 sec3  x  tan  x   3 sec5  x  dx  3 sec3  x  dx 1 3 3 5 3  sec  x  dx  4 sec  x  tan  x   4  sec  x  dx En el ejemplo 29 se obtuvo que

 sec

3

x dx  12  sec x tan x  ln sec x  tan x   c

Sustituyendo queda finalmente que

1  sec  x  dx  4 sec  x  tan  x  3   sec x tan x  ln sec x  tan x   c 8 5

También con este método se pueden calcular las integrales con un producto de tangentes de grado par con secantes de grado par, pasando todo a potencia de la secante a grado impar.

3

Ejemplo 43

 tan

4

x sec xdx

   sec2  x   1 sec  x  dx 2

  sec5  x  dx  2 sec3  x  dx   sec  x  dx

Ejercicios_________________________________________________________________ 1. Concluye el Ejemplo 32. Calcula las siguientes integrales. 7 2.  cot x dx 3.  csc x dx 4.  csc3 x dx 5.  sen2 x dx

 cos x dx 10.  tan x sec x dx 14.  sen 5x sen 3x dx 18.  cos x sen x dx 6.

3

2

3

4

 cos x dx 11.  tan x sec x dx 15.  sen 4 x cos3x dx 19.  cos x sen x dx 7.

8

4

4

3

3

3

 sen x cos x dx 12.  sen x cos x dx 16.  dx 20.  sen x cos x dx 8.

4

2

3

cos x 2  sen x 2

2

 tan x sec 13.  cot x csc 17.  dx 21.  tan x dx 9.

2

2

x dx

3

3

x dx

sec x cot 5 x

3

Sustitución trigonométrica. Cuando nos encontramos con integrales que contienen términos cuadráticos mediante sustituciones trigonométricas o hiperbólicas es posible resolverlas. La siguiente tabla nos muestra la sustitución recomendable.

7 8

Recomendación: En potencias de grado par del seno usar la identidad trigonométrica 8. En potencias de grado par del coseno usar la identidad trigonométrica 9.



En el integrando

a2  x2

Sustitución trigonométrica x  a sen

Sustitución hiperbólica x  a tanh 

x2  a2

x  a sec

x  a cosh 

x2  a2

x  a tan 

x  a senh



Ejemplo 44

dx x2  4



Haciendo la sustitución x  2 tan  dx  2sec2  d y simplificando

2sec2  d 4 tan 2   4

 30  12  sec  d  12 ln sec   tan   c

Método para regresar a la variable original en sustituciones trigonométricas. co tan   2x  ca

1. Despeja la función trigonométrica de la sustitución hecha. 2. Forma un triángulo rectángulo, dos lados están determinados por la función trigonométrica. Para el tercer lado usa el teorema de Pitágoras. 3. Evalúa las funciones del resultado con ayuda del triángulo



Ejemplo 45

x  3 sen  dx  3cos  d ,

x2  4 2

dx

3cos d 3 sen 9 9 sen 2 31

   csc  d  13 ln csc   cot   c 1 3

simplificando e integrando.

 13 ln 3x 

sen 

 2x  c

x 9 x2



Haciendo la sustitución

Regresando a la variable original despejando sen  .

 12 ln

x 3

9 x2 x

c

33




Ejemplo 46

dx 4 x 2  25

Haciendo la sustitución 4 x 2  25sec 2 , x  52 sec  5 dx  2 sec  tan  d



5 2

sec tan  d

25sec2   25

 30 5 2  sec  d 

 15

ln sec   tan   c

1 10

simplificando e integrando. Regresando a la variable original despejando sec .



1 10

ln

2x 5



c

4 x 2  25 5

sec  25x



Ejemplo 47

dx x 2 1 x 2



Con la sustitución x  tanh  , dx  sech2 d y simplificando Ahora con la sustitución u  senh du  cosh  d Integrando

sech2 d tanh  1 tanh 2  2

 d ,   cosh senh2

  udu2 ,

  u1  c ,

regresando a la variable  y expresando en términos de la tangente hiperbólica

  senh1   c  csch   c   coth 2   1  c

finalmente regresando a la variable original



1 tanh 2 



1 x2

1  c ,

1  c  

1 x2 x

c.

Ejercicios_________________________________________________________________ Calcula las siguientes integrales. 1.



4 x2 x2

5.



9 x 2 16

9.



x 25 x 2 16

dx

dx

dx

2.



6.



10. 


dx x

2

x 9 2

dx



5 16  x 2 2

x2





3 19 x 2 2

dx

3.



7.



x 2 1 x

11. 

3 x 5

4.



dx

8.



dx

12. 

dx x

3

x  25 2

1 x 2

x4 x2 9

dx

x 2  9dx x 2 1 x

dx


13. Calcula la integral



14. Determina la integral

x2 x2 9





3 2

35

dx mediante una sustitución hiperbólica.

16  x 2 dx ,

15. Encuentra

usando una sustitución: a) trigonométrica. b) hiperbólica.



9 x 

2 2

x3

dx

a) Usando una sustitución trigonométrica. b) Mediante expandir la expresión. c) Verifica que sean iguales.

Integración de funciones racionales. Si tenemos que integrar funciones racionales, es decir cociente de polinomios, se puede llevar a suma de formas más simples usando propiedades de las fracciones algebraicas. Método de fracciones parciales. 1. Dada una función racional, si el Ejemplo 48 grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador efectuar el x 2  8 x  12 cociente.

2. La parte entera es un polinomio que se puede integrar con las propiedades 1 y 2, y la  11 . 1. Realizar los anteriores.

pasos

1

y





2 x4 11x3  4 x2 36 x 144 x2 8 x 12

2 x 2  5 x  12 2 x 4  11x 3  4 x 2  36 x  144 2 x 4  16 x3  24 x 2  5 x3  28 x 2 5 x 3  40 x 2  60 x 12 x 2  96 x 12 x 2  96 x  144 0

2 x 4 11x3  4 x 2  36 x 144 x 2 8 x 12

dx    2 x 2  5 x  12  dx 2 5  x3  x 2  12 x  c 3 2



2 Ejemplo 49

4 x3 5 x 2 16 x  27 x 2  2 x 3

4x  3 x  2x  3 2

dx

4 x  5 x  16 x  27 ()4 x 2  8 x 2  12 x 3x 2  4 x  27 ()3 x 2  6 x  9 2 x  18 3

2

dx




2. Si queda una fracción propia factorizar el denominador.

P1

4 x 2  6 x 30 x 2  2 x 3

dx    4 x  3 dx   x22x218 dx x 3 P1,2, 11  2 x 2  3x   x22x218 dx x 3

x2  2 x  3   x  3 x  1

3. Separar la fracción en sus fracciones parciales, posibles.

2 x 18 x 2  2 x 3



A x 3

 xB1

4. Efectuar la suma y establecer el sistema de ecuaciones a resolver.

2 x 18 x 2  2 x 3



A x 3

 xB1 

5. Resolver al sistema y establecer las integrales a resolver.

A x 1  B x 3  x 3 x 1



A B  x  A  3 B  x 3 x 1

A B  2 A  3B  18 P1,2

A  3 B5

 2 x 2  3x  3 xdx3  5 xdx1

12  2 x 2  3x  3ln x  3  5ln x  1  c

6. Integrar las funciones faltantes.

En términos generales el polinomio del denominador siempre se puede factorizar como un producto de lineales por un producto de cuadráticas irreducibles. En las fracciones que sean lineales, propón numerador constante, en las fracciones cuadráticas irreducibles establece numerador lineal. Ejemplo 50 Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador y como el denominador ya está factorizado procedemos directamente a separar en sus fracciones parciales proponiendo.




7 x 2 33 x 56 x 8 x 2 16



7 x 2 33 x  56

 x 8 x 2 16 



dx



A x 8

 

 xBx2 16C





A x 2 16   Bx  C  x 8

 x 8 x 2 16   A B  x 2   8 B  C  x 16 A8C  x 8 x2 16 

A B 7  8B  C  33 16 A  8C  56


En algunos sistemas de ecuaciones puede convenir encontrar algunos valores por el siguiente camino alterno. Si x  8 se debe satisfacer al sustituir en los numeradores, así: Esto simplifica por lo menos a un sistema de 2  2 . Sustituyendo A  3 en este caso se obtiene los valores Ahora tenemos las integrales más simples. Integrando (la tercera con la sustitución

7 8  33 8  56  240 . 2

2 A  8  16  80 A   80 A  240  A  3

B  4 x  4u . C  1



7 x2 33 x 56 x 8 x2 16





dx  3 xdx8  2 x22x16 dx   x2dx16

12,22  3ln x  8  2ln  x 2  16   14 arctan 4x  c

37

38 Cálculo integral Si algún factor es de grado mayor debes plantear los términos desde grado 1 hasta el que tengas. 9 x 2  79 x  278 Ejemplo 51 dx 2



El grado del numerador es menor que el grado del denominador y el denominador ya está expresado en sus factores, proponemos sus fracciones parciales como: El término faltante A aparece en todos términos, sustituyendo B y/o C en cualquiera de las ecuaciones podemos determinar a A . Ahora tenemos las integrales más simples.

 x  3  x  5 



9 x 2  79 x  278  x  3 2  x  5 

A x 3



B



C

x 5  x  3 2 2 A x  3 x 5   B  x 5   C  x  3 2  x  3  x  5 

 si x  3  8B  40  B  5 si x  5  64C  448  C  7

 A  C  x 2   2 A  B  6C  x  15 A  5B  9C

 9 x 2  79 x  278

A  C  9  A  16 P1,2



9 x 2  79 x  278  x  3 2  x  5 

dx   16 xdx3  5  

Integrando.

dx

 x  3 2

 7  xdx5

P1,2 11,12

Acomodando, usando propiedades de los logaritmos.

 16ln x  3  x 53  7 ln x  5  c

  x 53  ln

x 5 7

 x 316

c

Si el integrando tiene una expresión cuadrática irreducible es necesario llevarlo a un trinomio cuadrado perfecto (para obtener los factores como binomio al cuadrado) más una constante lo que nos permite integrar mediante una sustitución. Ejemplo 52



El divisor es una cuadrática irreducible ya que

  x2 10 x2x255 29 25 dx

b  4ac   10   4 1 29   0 . 2

2

2 x 5 x2 10 x  29



2 x 5

 x  5 2  4

dx

2 2 u  5   5

Haciendo la sustitución 2u  x  5  x  2u  5 dx  2du Integrando



Regresando a la variable original y simplificando.

 ln


dx

 2 u 2  4

2du 

1 2



4u 5 u 2 1

du

P1,2





2u u 2 1

du  52  udx 2 1

12,22  ln  u 2  1  52 arctan u  c  ln

 



x 5 2 2



 1  52 arctan  x 2 5   c

x 2 10 x  29 4



5 2

arctan  x 2 5   c


39

Ejercicios_________________________________________________________________ Encuentra las primitivas.

dx

2.



dx

6.



1.



11x 15 x x 1 x 3

5.



2 x 2 18 x 9 x3  6 x 2

9.



x 4 12 x2  27 x3  9 x

4 x 2 5 x 15 x x 1 x 5 2 x3  26 x



2

 42 x 141

x 9

10.  2 x 2x 3

dx

x

7.

dx

2

2

3.

dx

3 x 10



2

 

5 x 2 5 x  2 x3  x

4.

dx

4 x3 3 x2  24 x 108 x 4 36 x2

dx

19 x 2 100 x 100 x2  3 x 10 

 x  4 2

12.  x2 dx4 x 5

x 9 15.  4x3x 213 dx x 2 3 x

16.  5 x

13.  x2dx 4

14. 

17.  4 xx2 26 xx330 dx

18.  2 x 3 x2  262 x 27 dx

19. 

x 33 21.  2xx125 dx 2 x 5

22.  9 x

23.  9 x2 x12 4x  20 dx

24.  5 x

25.  2 xx2 4x 21 dx x 1

26. 

27. 

28. 



29. 

  2

3

2 x 2  4 x 18 2 2 1 x  4 x 10

x 9



17 x3 3 x2 8 x 3 x5  3 x 4

3 x 3 2 0 x 3 x  3

2



4

2

dx

2

2



2



 x 1 3

2



3

2

dx

dx

15 x  24

 x 1 x2  2 x 8

x

dx 2

8 x 17



dx

2

dx

3 x3 11x 2 12 x  76

x 8 x  2 11.  12 dx 3 x3  4 x 2  x 2

dx

8.

 

2

2

 62 x 186

 x 7 3

dx

dx

x  29 x  4 20.  3 x x18 dx 2 1 x  2 3

2





2

30 x  43



 x 33

dx

dx



x 2 12 x  40



3 2

30.  x arctan x dx

dx

Integrales impropias. Hasta ahora se han visto funciones acotadas tanto en su imagen como en su dominio sin embargo es posible ampliar el concepto de integral a un conjunto más amplio de funciones. Tenemos dos ampliaciones de integrales las cuales agrupamos en el grupo de integrales impropias. Funciones de dominio infinito. No es cierto que si consideramos un dominio infinito el área bajo la curva necesariamente sea infinito. Un contraejemplo es el siguiente: Considera la función f  x   x 11 2 digamos para valores 



de x  0 , es decir de dominio infinito. Observa su gráfica y verás que no es claro si el área, bajo todo su dominio, es finita o infinita. Ahora para cualquier t el área bajo la curva esta dado por



t

dx 2 0  x 1

t

  x11  t11  1 0

La expresión anterior claramente es menor a 1 para valores positivos de t sin importar que tan grande sea, de hecho el valor más grande que puede tomar la expresión es precisamente 1 , que es cuando hacemos tender t   .

40 Cálculo integral Definición integral impropia de dominio infinito Si

 f  x dx existe para toda t  a t

a





a

entonces

f  x  dx  lim  f  x  dx t

t  a

si el límite existe. Igualmente, si

 f  x dx b

t



b



existe para toda t  b entonces

f  x  dx  lim  f  x  dx b

t 

t

si el límite existe. Finalmente, si las



a

a



 f  x  dx y  





f  x  dx existen, entonces decimos que



a

a



f  x dx   f  x  dx  

f  x  dx

para cualquier número a . Método para calcular áreas de dominio infinito.

Ejemplo 53 

1. Usa la definición.

 lim 

2. Integra, determinando la primitiva.

 lim x11 2 ,



2

t

dx 2 t  2  x 1

dx

 x 12

,

t

t 

3. Valúa en los límites de la integral.

 lim t11  211

4. Calcula el límite.

 0 1  1

Ejemplo 54



t 



dx 2 x 1

Aplicando la definición

 lim 

Integrando

 lim ln x  1 2 ,

t

dx x 1 t  2

, t

t 

valuando los límites de la integral y calculando el límite


 lim ln t  1   no tiene límite, el área no es t 

finita.


Ejemplo 55



1




e x dx 1

 lim  e x dx t  t

 lim e x  lim  e  et   e .

Integrando, valuando en los límites de la integral y calculando el límite.

Ejemplo 56



1

t 

t

t 



dx 2  1 x


 lim 

integrando

 lim arctan x a  lim arctan x t ,

t

dx 2 t  a 1 x

 lim 

a

dx 2 t  t 1 x

,

t

t 

a

t 

valuando en los límites de la integral

 limarctan t  arctan a  lim arctan a  arctan t ,

calculando los límites

 2    2    .

t 

t 

Funciones con integrando discontinuo no acotado. Cuando se tiene una función no acotada el área bajo la curva puede ser finita. Por ejemplo, considera la función f  x   x12 en el

 2,3 ,

intervalo

aun siendo de dominio finito la función es no

acotada para valores cercanos a x  2 .

Tampoco es claro en este tipo de funciones cuando el área bajo la curva es finita o infinita. Ahora para cualquier t cerca de 2 el área bajo la curva esta dado por



3

t

dx x 2

3

 2 x2  22 t 2 t

Sin importar que tan cercano esté t del valor 2 el área bajo la curva existe y de hecho el área tiende a 2 conforme t  2 . Definición integral impropia de funciones no acotadas Si f es continua en  a, b  y es discontinua en x  b , entonces

 f  x  dx  lim  f  x  dx b

a

Análogamente,

t

t b



a

si el límite existe.

41

42 Cálculo integral Si f es continua en  a, b y es discontinua en x  a , entonces

 f  x  dx  lim  f  x  dx b

b

t a

a



t

si el límite existe.

También, si f tiene una discontinuidad en c donde a  c  b y tanto

 f  x  dx como  f  x  dx c

b

a

c

existen, entonces decimos que

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . b

c

b

a

a

c

Ejemplo 57



2

x

Mediante la definición

dx

4 x2

0

t

2 x

0

4 x2

 lim  12  t 2

integrando

dx , t

 lim  4  x 2 , t 2

en los límites de la primitiva y calculando el límite



t 2



2

sec2 x x

16

0


 lim  t 0

haciendo el cambio de variable

 



 lim  4  t 2  2  2 .

Ejemplo 58

t 0



dx

2 16

t

 lim 

u x u 16  4 2 xu u t   t dx  2udu t  0  t  0 2

0

sec2 x x

dx ,



sec2 u t u

4

2udu ,



simplificando e integrando



 2 lim  sec2 u du  2 lim 1  tan u  4 t , 4

t 0

t 0

t





evaluando en los límites de la integral y calculando el límite

 2 lim 1  tan t  2 .

Ejemplo 59



t 0

4

dx 2

4  x 1 3


 lim 

integrando

 lim 3  x  1 3

t 1

t

dx

4  x 1

2 3

 lim  t 1

1

t 1


t 4

4

t

dx 2

 x 1 3

, 4

 lim 3  x  1 3 , 1

t 1

t










evaluando en los límites de la integral

 lim 3  t  1 3  3  4  1 3  lim 3  4  1 3  3  t  1 3 ,

calculando los límites

3

t 1



3

1

1

t 1

1

1

43



3 3 5 .

Ejercicios_________________________________________________________________ Determina el valor de la integral si converge.  dx 2 0 x 1

1.



5.







4

9.

x 2 0 x 1

0

dx 4 x

dx

3.





dx 2 7 x ln x

7.



6

2

11. 

3

2.



2

6.





10. 



e x sen x dx

dx 3 1  x1

0

5

xe x dx 2



dx 4

x 5

dx 2 2 x



3

dx

4.



5

8.



3

12. 

3



1

2

e x dx x x 2 1

3

dx 3

x2

dx

Capítulo

3

3. Aplicaciones de la integral definida.

Aplicar la integral definida para resolver problemas relacionados con área, volumen y longitud de una curva. Área de una región entre curvas. Si se tiene una región limitada por curvas es posible calcular el área de la región a partir de integrar las longitudes de los cortes respecto de la variable independiente. Así digamos si una región está acotada por las curvas f  x  , g  x  , x  a y

90 80 70

f(x)

60 50 40 30 20 10

x=a

x  b entonces el área de la región queda dado por

-5

-4

-3

g(x)

0 -2

-1

0

X=b

1

2

3

4

5

 f  x   g  x  dx . b

a

Donde se considera el valor absoluto porque no sabemos de antemano el signo de la diferencia. Ejemplo 60 Calcular el área de la región dada por las curvas f  x   x3  16 x  60 ; g  x    x 2  30 ; x  4 y x4 Estableciendo la región. 90 80 70

f(x)

60 50 40 30

g(x)

20 10

x = -4 -5

El área de la región está dada por: Simplificando los términos Quitando barras de valor absoluto Calculando la integral indefinida Evaluando en los límites de la integral

-4

 x 4

4

3

-3

X=4

0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

 16 x  60     x 2  30  dx

4

  x3  x 2  16 x  30 dx 4 4



4

x

3

 x 2  16 x  30  dx

  14 x 4  13 x3  8 x 2  30 x 

4 4

  64   8 16   120    64  643  8 16   120   128 3  240  282 23 64 3

44

Capítulo 3 Aplicaciones de la integral definida

Ejemplo 61

45

Calcular el área de la región dada por las curvas x  cos y ; x  1 ; y  0 y y  2

Si tratamos de integrar con respecto a la variable x se dificultaría mucho porque tendría que quedar en términos del arccos x y precisar los dominios. En este caso conviene integrar respecto de y veamos como se simplifica. El área de la región está dada por:



2

0

1  cos y dy 2

1  cos y  dy

Quitando barras de valor absoluto



Calculando la integral indefinida

  y  sen y  0

Evaluando en los límites de la integral

 2  sen  2   2

0

2

Ejercicios_________________________________________________________________ Encuentra el área de la región sombreada 2.

1. Establece en cada caso la región dada por las curvas, decide si integras respecto de x o de y . Calcula el área de la región. 3. y  x 2 , y 2  x 2. f  x   e x , g  x   e3x , x  1 , x  0 4. x  y 2  2 , x  y  0

5.

f  x   cos x , g  x   sec2 x , x   4 , x  4

6. y  1x , x  0 , y  1, y  2

7.

f  x   sen x , g  x   x 2   x

8. ¿Cuál es el área de la región dada por las curvas f  x   x  6 , g  x   x3 y

46 Cálculo integral 2y  x  0 ?

9. Encuentra el área de la región, con dos partes, generada por las curvas f  x   x 2  x y g  x   3x 3  9 x 2  6 x . 10. En 1906 se descubrió un libro de Arquímedes llamado el método en el cual se establecen algunos métodos mecánicos que utilizó para determinar algunas propiedades geométricas para ser demostradas posteriormente. Así, peso una parábola de arena para hallar el área del segmento, el experimento le sugirió el teorema de que el área parabólica es dos tercios del área del paralelogramo circunscrito9. 11. Comprueba el teorema de Arquímedes calculando el área y comparando con el área del paralelogramo circunscrito. 12. Encuentra el área de la región sombreada.

Sugerencia: Partir en dos regiones de forma que una sea en función de x y la otra de y. 13. f  x   e x , g  x   e3x , x  1 , x  0 Volumen de sólidos. Sólido con área de sección transversal conocida. Si se tiene un sólido al cual para cualquier corte transversal se tiene conocido su área entonces el volumen es la integral de la función de área de los cortes. Ejemplo 62

9

El texto original de Arquímedes dice que cualquier sección de parábola es cuatro tercios del triángulo el cual tiene la misma base e igual altura. Por razones didácticas se estableció como en el ejercicio, pero es lo mismo.



47

Supongamos que tenemos un prisma cuadrangular cuya altura es de 100 metros y la base tiene 200 m por lado. Consideremos un corte transversal para cada altura no ha de ser muy difícil determinar el área del cuadrado correspondiente. El lado del cuadrado en el corte x es proporcional a la longitud de la base.

L  x  200   L  x   2x x 100 El área respectiva es:

A  x   L2  x   4 x 2 El volumen está dado entonces por



100

0

A  x  dx  

100

0

4 x 2 dx  43 x3

100 0

 1.3 106 m3

Ejemplo 63 Modelo de cálculo de volumen de un tanque a partir de introducir una barra. Hace años mi suegro el señor Raúl Montiel de la Fuente me platicó el siguiente problema que se le presentó cuando trabajaba en una compañía azufrera establecida en Coatzacoalcos. La empresa tenía grandes tanques de almacenamiento de azufre líquido. Por alguna razón no tenían forma de verificar las cantidades recibidas o extraídas del mencionado fluido. Se descompuso alguna válvula o el instrumento de medición, el hecho es que no podían comprobar si los embarque recibidos o entregados eran las cantidades correctas. El problema en si es establecer el volumen en función de las diferencias de altura que se generan con los ingresos o egresos del líquido. El verdadero problema era que estamos hablando de un tanque curvo a partir del cual no se podía establecer una relación proporcional. Me comentó Don Raúl que a los ingenieros que les planteó el problema no pudieron o no quisieron resolverlo, entonces él lo resolvió de la manera siguiente: Dividió la altura del tanque en fragmentos de una pulgada, que en aquel entonces se comercializaba en unidades inglesas, estableciendo así paralelepípedos muy aproximados a la forma del tanque en cada franja, compensando las diferencias que generaba la curvatura a partir de medir anchos y largos de manera promediada. A cada paralelepípedo es fácil calcular su volumen. De esta manera estableció una tabla que relacionaba las diversas alturas del tanque con los volúmenes respectivos. Considero que es un problema que puede resolverse con las matemáticas básicas que aprenden los ingenieros. Como no tengo los datos precisos del problema vamos a suponer que el tanque era un cilindro acostado con tapas esféricas que es un buen representante del problema planteado. Como estamos hablando de un tanque industrial establezcamos las dimensiones adecuadas a la situación.

Planteamiento general de la solución. El volumen es la integral de la diferencial de volumen, es decir, el área la cual separamos en el área correspondiente al cilindro y el área de la esfera, más exacto las dos semiesferas que para efectos del cálculo es una esfera.


V  h    dv   Ae  y  dy   Ac  y  dy 0  h  2R h

h

0

h

0

0

   r 2  y  dy  L  a  y  dy h

h

0

0

donde r  y  es el radio del círculo a la altura y . L es la longitud del cilindro y

a  y  es el ancho del cilindro dependiente a la altura y . Finalmente h es la altura hasta donde queremos calcular el volumen y la solución del problema será una función de la altura h . Volumen de las secciones esféricas. Claramente, los volúmenes de las dos semiesferas son igual al volumen de una esfera. A cada corte a una altura y el radio del círculo es x . Si consideras el triángulo rectángulo con catetos x y R  y e hipotenusa R . El volumen es:



h

0

Ae  y  dy   

h

0



R2   R  y 

2

 dy     2Ry  y  dy    Ry  2

h

2

2

0

   Rh2  13 h3 

1 3

y3 

h 0

x 2   y  R   R 2  x  2Ry  y 2 2

Ve  h     Rh2  13 h3 

Si consideramos que el radio de la esfera es de 2 m Ve  h     2h2  13 h3  30 25

Figura de la semiesfera.

20 15 10 5 0

1

2 h

3

4

Gráfica del volumen de la esfera a cada altura.

Volumen del cilindro a cada altura. Lo que varía a cada altura es el ancho del rectángulo correspondiente al corte del cilindro. El ancho es el diámetro de cada círculo al corte de altura y . Así, el volumen del la sección de cilindro queda como:

x  R2   R  y 


2




h

0

Ac  y  dy  L  A  y  dy

Haciendo el cambio de variable siguiente

h

 2L

h

0

0

49

R  y  R cos   dy  R sen   d   arccos RR y   0   arccos1  0   h   arccos  RR h 

R 2   R  y  dy 2

 

Aplicando el cambio de variable con el teorema 2.4 la integral se transforma en la nueva integral con sus respectivos límites  2L

arccos RRh 

0

 2R2 L

R 2   R cos   


0

 R sen   d 

2

sen 2   d

 2 R 2 L   12 cos   sen    12    R L   cos   sen    2


0 arccos RRh  0

Para aplicar el sen   es necesario expresarlo en términos del radio y la altura. Como cos   

R y R

, construyendo el

triángulo correspondiente

entonces se tiene que sen   

R 2  R  y  R

2

.

 R h Volumen del cilindro a una altura h es: Vc  h   R 2 L  cos 1  RRh    Si consideramos que el radio del cilindro es de 2 m y la longitud del cilindro de 20 m .



Vc  h   20 4cos 1  22 h    2  h  4h  h2

R 2  R  h 

2

R2

 Volumen del cilindro a cada altura.

Volumen total Sumando las secciones de las semiesferas y del cilindro queda  R  h  R 2   R  h 2   Vt  h     Rh2  13 h3   R 2 L  cos 1  RRh    R2   Si consideramos el radio de 2 m y la longitud del cilindro de 20 m entonces

  




Vt  h    h2  2  13 h   20 4cos 1  22h    2  h  4h  h2



Volumen en función de la altura

Tanque cilíndrico horizontal con

20 m de largo, con 2 m de radio con tapas esféricas.

Sólidos de revolución. Muchos sólidos se pueden generar a partir de rotar una función en torno algún eje de simetría. ROTACIÓN RESPECTO DE UN EJE HORIZONTAL. Sólo veremos el caso de rotar respecto al eje x porque mediante una adecuada traslación podemos hacer coincidir al eje de simetría con el eje x . Método de las rondanas Dada cualquier región definida por dos funciones y un intervalo, la cual queremos rotar respecto al eje x y queremos calcular el volumen del sólido generado. El área del disco generado en cada corte está dada por el área del círculo de radio de la función exterior menos el área del círculo de radio de la función interior y si consideramos f la función exterior y g la función interior entonces el área en cada corte es

A  x     f  x     g  x     f 2  x   g 2  x  El volumen es la integral de la función de áreas 2

2

V   A  x  dx     f 2  x   g 2  x  dx     f 2  x   g 2  x  dx a a a b

b

b

Acomodando la expresión tenemos que el volumen queda expresado como

V     f 2  x   g 2  x  dx a b



51

Ejemplo 64 Sea f  x   x , calcular el volumen del sólido generado por la función alrededor del eje x , desde el origen hasta x  1 . Se genera un paraboloide horizontal con volumen 2

 

2

V     f  x   dx    2 x dx a 0 1 1  x2    xdx  2 0 0  2 Ejemplo 65 Sea R la región dada por las curvas f  x   x 2  2 , 2 y  x  2  0 , x  0 y x  1 , b

1

rotar respecto al eje x ; calcular el volumen del sólido generado. La función exterior es f , la función interior es g  x   12 x  1 que resulta de despejar y de la ecuación de la recta y las otras especifican el intervalo de definición de la integral. b 1 2 2 V     f 2  g 2  dx     x 2  2    12 x  1  dx a 0  1 2 2 V     x 2  2    12 x  1  dx 0  1 4 15 2     x  4 x  x  3 dx 0

15 3    15 x5  12 x  12 x 2  3x 

V

79 20

1

0



Traslación del eje horizontal de simetría al eje x . Cuando el eje de simetría es una recta horizontal, es decir, una paralela al eje x con hacer una adecuada traslación de la región de forma que el eje de simetría coincida con el eje x . Ejemplo 66 Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido a partir de rotar alrededor de la recta y  2 la región delimitada por las curvas y  sen x , el eje y la recta y  2 y la recta x   . Consideremos la región y el eje de simetría.


Observa que simplemente con sumar 2 al eje de simetría y  2  2  0 ya es el eje x , sumamos también 2 a las curvas y  2  sen x y y  2  2  4 , las rectas verticales x  0 y x   quedan igual, entonces la nueva región y el eje de simetría queda gráficamente así.

Es la misma región y mantiene la misma relación respecto de sus ejes de simetría de tal suerte que sólo cambia su representación . Si rotamos la región nos queda el sólido siguiente:

Cortes verticales del sólido por la mitad y transversal.

Es un cilindro ahuecado por la curva que contiene el seno. El volumen del sólido completo lo podemos obtener con el método de las rondanas. 





V    42   2  sen x  dx , 0

2

expandiendo y simplificando se tiene



53

V    12  4sen x  sen2 x  dx , 

0

aplicando la identidades sen2 x  12  12 sen 2 x para integrar el sen2 x   23  V      4sen x  sen 2 x  dx , 0  2  integrando cada término se obtiene



1  23  V    x  4cos x  cos 2 x  . 2  2 0 Finalmente, evaluando en los límites de la integral se obtiene el volumen  23  V      8   88.368 u 3 .  2 

ROTACIÓN RESPECTO DE UN EJE VERTICAL. De manera semejante sólo veremos el caso de rotar respecto al eje y porque es posible trasladar y hacer que el eje de simetría sea el eje. Método de los cilindros y . Dada cualquier región definida por dos funciones y un intervalo, la cual queremos rotar respecto al eje y y queremos calcular el volumen del sólido generado. El área del cilindro generado en cada corte depende de la longitud de la circunferencia del cilindro que exclusivamente depende del radio 2 r , es decir, de la variable independiente x y la altura del cilindro que es el valor absoluto de la diferencia de las funciones. A  x   2 x f  x   g  x 

El volumen es entonces V  2  x f  x   g  x  dx b

a

Donde se considera el valor absoluto porque no sabemos de antemano el signo de la diferencia. Ejemplo 67 Considera la función x 2 donde 0  x  1 , calcular el volumen del sólido que se genera de rotar la región bajo la curva alrededor del eje y . Para cada x   0,1 el área del cilindro respectivo es A  x   2 x  x 2  .

El volumen es

V  2  x3dx  2  14 x 4   12  1

1

0

0

54 Cálculo integral Ejemplo 68 Si quisiéramos el volumen del la parte central por debajo del plano a altura 1 . Lo podríamos calcular como el volumen del cilindro menos el volumen del sólido anterior. Vamos a calcularlo con integrales y comprobamos con la manera mencionada. Así, para cada x   0,1 el área del cilindro es A  x   2 x 1  x 2 

El volumen a obtener está en los siguientes términos

V  2  1  x 2  x dx 1

0

Haciendo el cambio de variable

u  1  x2 du  2 xdx xdx   12 du

u  0  1 u 1  0

Calculando la integral y usando la propiedad 6 de la integral nos queda

V  2  u   12  du    udu 0

1

1

1

0

 12  u 2 0  12  Observación: Se verifica si sumamos los dos volúmenes que es el volumen del cilindro de radio altura 1 . Ejercicios_________________________________________________________________ 1. Considera un tetraedro no regular de tres caras perpendiculares. Los tres lados perpendiculares tienen longitudes de 3, 4 y 5 unidades. Calcula el volumen de este tetraedro. 2. Arquímedes en su libro el método, en las atenciones a Eratóstenes, establece que Eudoxo fue el primero en dar una prueba de que el volumen del cono es una tercera parte del volumen del cilindro y el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma teniendo la misma base e igual altura. Sin embargo Arquímedes opina que se le debería compartir el crédito y no de manera pequeña con Demócrito quien fue el primero en hacer la afirmación con respecto a las mencionadas figuras aunque él no lo probó. Demuestra el teorema general de Demócrito - Eudoxo usando el método de sección transversal para la pirámide, para el caso de la pirámide y su respectivo prisma. Es decir, que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura. Asimismo, comprueba que en particular aplica para los datos del Ejemplo 62 (Pág. 46). 3. Se tiene un tanque cilíndrico horizontal de 1m de diámetro y 1.5m de longitud. Se empieza a llenar de agua a una velocidad de 21 l min . ¿A qué altura está el flotador a



55

los 30 min ? Representa la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones y calcula el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje indicado. 4. y  1x , x  0, y  1, y  3 ; alrededor del eje y . 5. y  2 x, y  4 x 2 , alrededor del eje x . 6. y  2 x, y  4 x 2 ; alrededor del eje y . 7. x  y  1, y  x  1, x  3 , alrededor del eje y . 8. y  x 2  5x, y  0 , alrededor del eje x . 9. y3  x, y  3, x  0 , alrededor del eje y 10. Utiliza la técnica de sólidos de revolución para mostrar la fórmula, también de Demócrito - Eudoxo de que el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro de igual base y altura. Longitud de arco. Si queremos calcular la longitud de una curva se antoja que una forma directa es estirarla y medirla con un metro. Sin embargo, en lo general físicamente no es posible. Lo interesante es que mediante la integral es posible calcular la longitud de una curva, lo que en el argot de cálculo se conoce como longitud de arco. curva

Realmente como crece la longitud de la curva conforme la recorremos depende esencialmente de la inclinación presente en cualquier tramo. Por ejemplo en los siguientes pedazos con intervalos iguales, claramente la longitud es mayor donde la pendiente es mayor.

Si llamamos s a la función que nos expresa la longitud de arco desde un punto inicial hasta cualquier punto de la curva, entonces la diferencial de la longitud de arco es como se ilustra en la figura.

56 Cálculo integral Diferencial de arco

ds

dy

dx

Cada diferencial de longitud se puede expresar en términos de las proyecciones a los ejes es decir en términos de la diferencial en la dirección de x , dx y en la dirección de y , dy . Forman un triángulo rectángulo que satisfacen el Teorema de Pitágoras, así se satisface que

 ds 

2

  dx    dy  2

2

Como lo que nos interesa es la longitud de arco de la gráfica de una función entonces dividiendo la ecuación entre la diferencial de x y despejando la diferencial de s se tiene ds  1 

  dx 2

dy dx

la longitud de arco correspondiente al intervalo del dominio  a, X  toma la expresión

s X   

1   f '  x   dx

X

2

a

es la función de longitud de arco desde el punto a hasta cualquier punto X . La longitud de arco específica en un intervalo definido  a, b es evaluar la función

s  X  en el punto b o bien calcular la integral con límite superior de la integral b , L  s b   

1   f '  x   dx .

b

2

a

Método de longitud de arco en la gráfica de una función. 1. Dada una función cualquiera. 2. Grafica la curva en el intervalo correspondiente.

Ejemplo 69 f  x   3x 3  10 1  x  27 2

15 10 5

0

5

10

x

15

20

25

-5 -10

3. La función de longitud de arco es

s X   

X

a

1   f '  x   dx


2

s X    

X

1 X

1

2

1  4 x 3 dx 1 1 x3

2

x 3  4dx

Queda la integral

haciendo el cambio de variable

Capítulo 3 Aplicaciones de la integral definida 2

2





X 3 4

5

3 2

udu  u



3 2

4. Evaluar en el otro extremo del intervalo.

2

u  x3  4 1 du  23 x 3 dx 3 1 2 du  1 dx

X 3 4 5

s X   X  4 5 2 3

3 2

57

3 2

x3

u 1  5 2 uX   X 3  4

s  27   13 2  5 2  35.692 3

3

Ejemplo 70 La transmisión de corriente eléctrica se realiza a través de cables de cobre que son sostenidos por las torres de transmisión y describen una curva conocida como catenaria, llamada así por la forma que describe una cadena o cuerda al ser tensada. El cobre es un material caro de forma que medir y minimizar el gasto del cable hace importante medir la longitud del cable instalado. Variantes de la función coseno hiperbólico nos describe a las diversas curvas con forma catenaria.

Calcular la longitud de arco de la función f  x   cosh x  1  x  1 La gráfica de la función

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -1

La longitud de arco en el intervalo

L

1

1

0

-0.5

0.5 x

1  dxd cosh xdx  

1

1

1

1  senh2 xdx

Calculando la integral

  cosh xdx  senh x 1  senh1  senh  1 1  e  1e L  2.35

Ejemplo 71

En general no es fácil la integración de la longitud de arco por la raíz involucrada así el siguiente es útil en muchas situaciones que involucren este tipo de raíces.

1

1

Calcular la longitud de arco de la función f  x   3x 2 0  x  5 Gráfica de la función

70 60 50 40 30 20 10 0

La función de longitud de arco en el intervalo

1

2

s X   

X

0

x

3

4

1   6 x  dx 2

5

0 X 5

58 Cálculo integral Realizando el cambio de variable u  6x du  6dx 1 6 du  dx

 16 

u  0  0 u  X   6X

X

0

1  u 2 du





Usando la integral del ejemplo 36 se obtiene

 121 arcsenhu  u 1  x 2

Evaluando en los límites

 121 arcsenh 6 X  12 X 1  36 X 2

Evaluando la función en X  5

L  s  5  121 arcsenh 30  52 901  75.383

6X 0

Ejercicios_________________________________________________________________ Calcula la longitud de arco de la gráfica de las siguientes funciones entre los puntos dados.

1.

x f  x   12  3ln2 x ; 1  x  2

2.

f  x    41x  x3 ; 1  x  3

3.

x f  x   45  43x3 ; 1  x  2

4.

x f  x   16  21x2

0  x  4

6.

5.

2

5

f  x   ln sec x

7. y  x  x 2  arcsin x ; 4  x  49 ;


3

4

 2  x  1

f  x   cosh x  3  x  3

59

Solución de ejercicios. 1.-

d dx

Pág. 8¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

3.-

d dx

1.1 Introducción al concepto de área.

5.-

1 25

7.-

1 3

9.-

1 7

CAPÍTULO 1, La integral

1.-

3.-

2 2753 37 40 u

85.323u

2

5.- 73 315 64

9.-

22 3



2 3

x

3   9    x3 x 4  9 

4



senh x3  4  c 

 5 x  8

5

7x

2

x2 cosh x3  4 x3  4

c

 4 x  6  c 3

sen  7 x  9   c 5csc 1  x 2   c

11.-

7.-

1 6 





4

x 5 c

13.-

1 2

15.-

7 cosh  3e x   c

17.-

arcsen 13 x  c

19.-

7  2ln10 10cos x  c 2

Pág. 13. Propiedades de la integral definida.

Pág. 24. Integral

1.- 20 3.-

variable.

4

5.-

d dx

 8t x

 5t  12  dt  dxd  83 x3  52 x 2  12 x   8 x 2  5 x  12

2

0

x2 x1

7.-

2 x  x 4  5

11.-

 cos x

13.-

35

1.-

26 3

3.-

25 ln 16

5.- 193.84 7.-

 e  1 por partes.

1.-  x cos x  sen x  c 3.-

 14  2 x  1 e2 x  c

5.-

  x3  3x 2  6 x  6  e x  c

2

Pág. 23. La integral

2 3

Pág. 28. Integración

8

9.-

definida por cambio de

indefinida. 60

Solución de ejercicios 7.-

1 9

x3  3ln x  1  c

9.-

1 8

sec x tan x  2sec x  3  ln sec x  tan x  c 2

61

7.-

3 8

 cos ln x  sen ln x   c

11.-

x 2

13.-

x sec x  ln sec x  tan x  c

15.-

 23  13 x3  23  1  x3  c

17.-

 1lnx2ln33 3x  c

19.-

1 13

 2cos3x  3 sen 3x  e2 x  c

CAPÍTULO 3, Aplicaciones

y , ln 2u 2 .

es más fácil respecto a

de la integral

9.-

22u 2

11.-

Área de la parábola

definida. Pág. 45. Área de una región entre curvas. 1.-

 ba a

36u 2

a

2

 bx 2  dx  43 ba3 .

3.Área del paralelogramo es

Efectivamente

2 3

 2a   ba2   2ba3 .

 2ba   3

4 3

ba3

Pág. 54. Volumen de sólidos. , es indistinto,

1.- Volumen del tetraedro irregular

10u 3 .

4.6436u 2 . 3.- El flotador está a

5.-

, es más fácil respecto a

y , 92 u 2 .



52.73cm de la base del tinaco.

u3

5.-

15

7.-

36 u 3

9.-

2187 7

u3

Pág. 58. Longitud de arco. 1.- 1.2897u 3.-

1937 1440

5.-

ln 1  2 u



u



62 Cálculo integral y funciones trascendentes CAPÍTULO 4, Técnicas

de integración e

Pág. 38. Integración

integrales impropias. Pág. 32. Integración

ln

3.-

ln

5.-

3 2x

7.-

3 x

 ln 3 x 2  x 2  36   c

9.-

1 2

x 2  3ln x  c

sen3 x  15 sen5 x  c

1 3

3.-

ln csc x  cot x  c

5.-

1 2

x  14 s en 2 x  c

7.-

1 4

cos x sen x  83 cos x sen x  83 x  c

9.-

tan 3 x 3

11.-



13.-

c 4

x  14 tan 2 x  83  tan x sec x  483 ln sec x  tan x  c

 cot

1 5

4

x  cot x  2

1 3

2 3

 csc x  c

15.-

 73 sen 4 x sen 3x  74 cos 4 x cos3x  c

17.-

1 5cos5 x

19.-

 cos4 x  cos6 x  c

 3cos2 3 x  cos1 x  c

4

tan x 2

Sustitución trigonométrica. 

4 x x

3.-

1 250

arc sec  5x  

5.-

1 3

7.-

ln

9.-

1 4



ln



 arcsen 12 x  c

2

3x 4



x2  25 50 x2

x 2  x 1 3 x 1

3

c

ln

13.-

1 2

15.-

ln

17.-

4 x  ln

19.-

ln

21.-

 x11  ln

23.-

1 18

arctan 12 x  c x3  x 1 x 3

2

c

 x 15  x 33

 x 1 x  42  x  23

c



x2  4



2 x 1



29.-

1 2

25 x 2 16 5x



 54x  c



9x x2 9

x 16  x 2  8ln

5

1.-

 2

3.-

1 2

c 16  x 2 4

 12 arctan  x  4   c

  2  3.57

5.- No converge.

 4x  c1

x 16  x2  8 arcsenh 4x  c2


c

 arctan x  c

Pág. 43. Integrales

9 arcsenh 

x 3

 x 15  x 53

3

 1x  x 2  1  c



c

ln 9 x 2  12 x  20  187 arctan  43 x  12   c

x4 2 x2 16 x 34

13.-

1 2

3

27.-

9 x 2 16 4

3 1  x  5 arcsen x  c

b)

c

 4 x 6 

5

 25.- ln

c

11.-

1 2

4 x

11.-

2

15.- a)

c

c



x 2 1 x

ln

4

6

Pág. 34.

1.-

 ln

 ln cos x  c

2

21.-

x 2  x 1 x 1

11

3

 tan

x5

de potencias de funciones

1.-

c

1.-

trigonométricas

1 6

 x 1 x 3 4

de funciones racionales

4 9.- 4 7.-

11.- No converge.

impropias.

Formulario. Exponenciales 1. ea b  ea eb

2. e a  e1a

3.

e 

a b

 eab

Logaritmos 1. ln ab  ln a  ln b

2. ln

a  ln a  ln b b

3. a ln b  ln b a

Identidades trigonométricas 6. 1  cot 2 x  csc2 x

5. 1  tan 2 x  sec2 x

4. sen2 x  cos2 x  1

7. sen  x  y   sen x cos y  sen y cos x

8. sen 2 x  2sen x cos x

9. cos  x  y   cos x cos y  sen x sen y

10. cos 2 x  cos2 x  sen2 x

x  tan y 11. tan  x  y   1tan  tan x tan y

x 12. tan 2 x  12tan tan 2 x

13. sen2 x  12  12 cos 2 x

14. cos2 x  12  12 cos 2 x

Funciones hiperbólicas 15. senh x  e

x

 e x 2

16. cosh x  e

x

 e x 2

senh x 17. tanh x  cosh x

x 18. coth x  cosh senh x

19. sech x  cosh1 x

20. csch x 

21. cosh x  senhx  e x

22. cosh x  senhx  e x

1 senh x

23. cosh 2 x  senh2 x  1 24. 1  tanh 2 x  sech2 x

25. coth 2 x  1  csch2 x

26. s enh  x  y   senh x cosh y  cosh x senh y

27. s enh 2 x  2senh x cosh x

28. cosh  x  y   cosh x cosh y  senh x senh y

29. cosh 2 x  cosh 2 x  senh2 x

x  tanh y 30. tanh  x  y   1tanh  tanh x tanh y

x 31. tanh 2 x  12tanh tanh 2 x

32. senh2 x   12  12 cosh 2 x

33. cosh 2 x  12  12 cosh 2 x



34. arcsenh x  ln x  x 2  1



x 



35. arccosh x  ln x  x 2  1



x 1

63

64 Cálculo integral y funciones trascendentes

Límites 36. Regla L’Hopital lim g  x   lim g ' x  f x

x c

f' x

x c

Derivadas 2.  f 1  y0     f 1  f  x0   

1. 3. 5.

'

'

d dx

eu  eu

d dx

a  a ln a u

du dx

u

du dx

4.

d dx

ln u 

6.

d dx

log a u  udxln a

9.

d dx

arccos u  

11.

d dx

arc cot u   1dxu 2

13.

d dx

arc csc u  

u d

u

d 7. y  f  x   dy dx  f  x  dx ln f  x  du dx

du dx

8.

d dx

arcsenu 

10.

d dx

arctan u  1dxu 2

12.

d dx

arcsec u 

14.

d dx

senhu  cosh u du dx

15.

d dx

cosh u  senhu du dx

16.

d dx

tanh u  sech 2 u du dx

17.

d dx

coth u  csch 2u du dx

18. sech u   sech u tanh u du dx

19.

d dx

csch u  csch u coth u du dx

21.

d dx

cosh 1 u 

23.

d dx

coth 1 u  11u2

25.

d dx

csch 1 u 

1u

2

du

du dx

u u 1 2

du dx

20.

d dx

senh1u 

22.

d dx

tanh 1 u  11u2

24.

d dx

sech 1 u 

u 2 1 du dx

du 1 u 1u 2 dx


1u 2 du

du dx

u u 2 1

du dx

1u 2 du dx

du 1 u u 2 1 dx

1 f ' x0 

donde y0  f  x0 

Formulario

Integrales Propiedades generales

1.

a  f  x   g  x  dx  a f  x  dx  a g  x  dx b

b

b

3. Si f  x   g  x  para toda x   a, b entonces 4.



2.

b

a

c f  x  dx  c  f  x  dx b

a

 f  x  dx   g  x  dx . b

b

a

a

 f  x dx   f  x dx   f  x dx b

c

c

a

b

a

5. Si f  x   M para toda x   a, b entonces 6.

 f  x dx   f  x dx

7.



a

b

b

a

a

f  x  dx  2 f  x  dx si f es par. a

a

0

9. Si u  g  x  entonces

 f  x dx  M b  a  . b

a

8.

b

g b 

a

g a



a

a

f  x  dx  0 si f es impar.

 f  g  x g '  x  dx     f u du .

10.  udv  uv   vdu . Fórmulas básicas

11.  u n du  un1  c n  1

12.  duu  ln u  c

13.  s e n u du   cos u  c

14.  cos u du  s e n u  c

15.  sec2 u du  tan u  c

16.  csc2 u du   cot u  c

17.  sec u tan u du  sec u

18.  csc u cot u du   csc u

19.  eu du  eu  c

20.  au du  lna a  c

21. 

1u 2

22.  1duu2  arctan u  c

23. 

u u 2 1

24. 

u 2 1

n1

du

 arcsenu  c

du

du

u

 arc sec u 25. 

 arcsenh u  c

26.  senh u du  cosh u  c

du u 2 1

 arccosh u  c

27.  cosh udu  senhu  c Trigonométricas

28.  tan  u  du   ln cos  u   c  ln sec  u   c

29.  cot u du  ln senu  c

30.  sec u dx  ln sec u  tan u  c

31. 

csc  u  du   ln csc  u   cot  u   c  ln csc  u   cot  u 

65

66 Cálculo integral y funciones trascendentes Hiperbólicas

33.  coth u du  ln senhu  c

32.  tanh u du  ln cosh u  c 34. 

sech u du  arctan  senhu   c1  2arctan eu  c2

 csch u du  arctanh  cosh u   c

1

35.

 2arctanh eu  c2  ln coth u  csch u  c3

36.  sech 2 u du  tanh u  c

37.  csch 2u du   coth u  c

38.  sech u tanh udu   sech u  c

39.  cschu cothu du  cschu  c Diversas

40.  e senu du  12 e  senu  cos u   c

41.  eu cos u du  12 eu  cos u  senu   c

42.  ln u du  u ln u  u  c

43.  1u 2

44. 

45. 

u

u

1 u 1u 2

1

du  sech 1 u

du  tanh 1 u  c1  coth 1 u  c2

1 u u 2 1

du  csch 1 u

Teorema de Taylor Sea f una función n  1 derivable en un intervalo I y sea x0  I entonces para cualquier xI

f  x   Pn  x   Rn  x  donde Pn  x  es el polinomio de grado n dado por

Pn  x   f  x0   f '  x0  x  x0  

f ( 2)  x0  2!

 x  x0 

2





f ( n )  x0  n!

 x  x0 

y Rn  x  es el residuo que satisface que

Rn  x  


f

n1  z  n 1!

 x  x0 

n 1

donde x0  z  x ó x  z  x0 .

n

Índice A Acotamiento, propiedad de la integral, 8 Aditividad del intervalo, propiedad de la integral, 8 Antiderivada. Véase Primitiva Antisimetría, propiedad de la integral, 9 Aplicación Identidad hiperbólica, 34 Sistema de ecuaciones, 36 Teorema de Pitágoras, 15, 16, 33, 56 Aplicación de la integral definida Área de una región, 44 Longitud de arco, 56 Volumen por cilindros, 53 Volumen por rondanas, 50 Volumen por sección transversal, 46 Arandelas. Véase Rondanas Área Aproximación por rectángulos, 6 Concepto, 3 Dominio infinito, 39 Funciones no acotadas, 41 Parábola, 14, 46 Polígono, 4 Rectángulo, 3 Región, 12, 44 Triángulo, 4 Arquímedes, 14, 46

hiperbólica, 65 primitiva. Véase Primitiva racional, 35 trigonométrica, 29

G Gráfica del volumen, 48

H Herón, 4

I Identidad Hiperbólica, 65 Trigonométrica, 21, 22, 26, 27, 29, 31, 65 Integración de funciones básicas, 19, 20 con cuadráticas, 33 racionales, 35 trigonométricas, 29 Integración de Polinomios, 19 Integración por partes, 25 Integral, 3 impropia, 39 indefinida, 18 Integrales, 20, 67

C Cambio de variable, 24, 42, 49, 54, 56, 58 Catenaria, 57 Cicerón, 14 Cilindro, 14, 15, 47, 53 Circunferencia, 53 Cono, 14, 55

L Linealidad, propiedad de la integral, 8 Longitud de arco, 55 una gráfica, 56

M

D Demócrito de Abderea, 15 Derivadas, 66 Diferencial, 26 de volumen, 47

E Esfera, 14 Eudoxo, 15

F Formulario, 65 Fórmulas básicas de integrales, 19 Fracciones parciales, 35 Función con término cuadrático, 32 de área, 12, 47

Marcelo, 14 Método Áreas en dominios infinitos, 40 Cilindros, 53 Longitud de arco, 56 Rondanas, 50 Variable original en sustituciones trigonométricas, 33 Métodos de integración Cambio de variable, 24 Fracciones parciales, 35 por partes, 25 por sustitución, 21 Sustitución trigonométrica, 32 Verónica, 26

N Nilo, 3

67

68 Cálculo integral y funciones trascendentes

P Pitágoras, 15, 16, 33, 56 Plutarco, 14 Preservación del orden, propiedad de la integral, 8 Primitiva, 12, 13, 16, 19, 21, 24, 40, 42 Propiedades de la integral, 8 raíz, 27 Propiedades de los exponentes, 65 logaritmos, 65

R Río Nilo, 3 Roma, 14 Rondanas, volumen por, 50

S Sección transversal, volumen por, 47 Siracusa, 14 Sistema de ecuaciones, 36, 37 Sólidos de revolución, 50 Sumas de Riemann, 5


Sustitución, 21, 23, 24, 26, 31, 37, 38 hiperbólica, 34 trigonométrica, 33, 34

T Taylor, Brook Integración por partes, 25 Técnicas de integración Fracciones parciales, 35 Funciones trigonométricas, 29 Sustitución trigonométrica, 32 Teorema Cambio de variable, 24 Fundamental del cálculo, 10 parte 1, 11 parte 2, 12 Integral y derivada operadores inversos, 17 Pitágoras, 15, 16, 33, 56 Teoremas de Demócrito – Eudoxo, 15

V Variable original, 22, 24, 33 Volumen de sólidos, 46

CalcInte_3

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