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Cuaderno de Aprendizaje – 2012

CUADERNO DE APRENDIZAJE

CÁLCULO

Elaborado por: MARCELA ALEJANDRA SILVA VALLEJOS Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito.-

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


UNIDAD 1: Funciones reales, límite y continuidad APRENDIZAJE ESPERADO: 1. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

lineal como modelo Criterio 1.1. Identifica la función lineal y la caracteriza a través de sus parámetros, ceros

y gráfica. Recordar que una función lineal es de la forma: f ( x)  mx  n Donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición.

1. Ejemplo Determine cuál de las siguientes funciones es una función lineal. a) f ( x)  x 2  x  3 b) f ( x )  2 x  3 c) f ( x)  x3  x  3 d ) f ( x)  x  3

Solución: Para poder identificar funciones lineales debemos fijarnos en la variable x, esta no puede tener un exponente distinto de 1 (x 1 = x). Por lo tanto en este caso la función b y d son lineales

2. Ejemplo Determine los puntos en que la función f(x)= 3x – 6 corta a los ejes, grafique la situación. Solución: Para resolver este tipo de problemas debemos reemplazar f(x) = 0 y calculamos el valor de x 0  3 x  6 6  3 x

Pasamos el 6 sumando para el otro lado

6

Pasamos el 3 dividiendo para el otro lado

 x

3 x  2

Simplificamos el resultado

Por lo tanto la recta corta el eje x en el punto (2,0) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Luego remplazamos x por 0 y calculamos calculam os f(x)

f (0)  3  0  6  6 Por lo tanto la recta corta el eje y en el punto (0,-6) Para graficar ubicamos los dos puntos en el plano y los unimos con una recta Consideramos un cuadrado como una unidad

3. Ejemplo Determine la función lineal que tiene pendiente -2 y pasa por el origen. Grafíquela Solución: Si la función tiene pendiente -2 ya sabemos que es de la forma f ( x)  2 x  n Para poder descubrir el valor de n debemos remplazar las coordenadas del origen en nuestra función. 0   20  n n0

La función sería f ( x)  2 x Para poder graficarla vamos a buscar 2 puntos que pasen por esta recta.



Vamos a remplazar x por 1 calculando f (1)  21  2 Por lo tanto la recta pasa por el punto (1,-2) Vamos a remplazar x por -1 calculando

f ( 1)  21  2 Por lo tanto la recta pasa por el punto (-1,2) Ahora graficamos,


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.2. Opera con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su

estudio a situaciones de la vida laboral 1. Ejemplo Determine la pendiente de las aguas de una techumbre, si sabe que su punto más alto está a 6 metros de altura y la distancia entre las piernas de la costanera donde se apoya la techumbre es de 14 metros. Considere el eje x sobre la costanera y el eje y en el centro de esta.

Solución: Para saber la pendiente debemos utilizar la siguiente fórmula m

y2  y1 x2  x1

Luego remplazamos m

60 07

6

   0,857 7

Cabe destacar, que la pendiente nos da negativa por ser la recta que se forma al lado derecho, si calculáramos la pendiente de la otra pierna nos daría el mismo valor numérico pero positivo



2. Ejemplo Se necesita arrendar una camioneta, esta tiene un costo inicial de $45.000 más $350 por kilometro que se use. Determine la función lineal que representa el costo de arriendo de la camioneta, en función de los kilómetros utilizados Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos identificar primero nuestra variable x, en este caso serían los kilómetros. Luego, tenemos que entender que el coeficiente de posición será nuestro costo fijo, ya que aún cuando no utilicemos la camioneta y nuestro kilometraje sea 0, igual debemos pagar el costo inicial si la arrendamos. Por lo tanto la función será

f ( x)  350 x  45000

3. Ejemplo Con respecto al ejercicio anterior, determine el valor a pagar por el arriendo de una camioneta, si viaja 987 kilometro. Solución: Debemos remplazar el valor de los kilómetros por x

f ( x)  350987  45000  390450 Deberíamos pagar $390.450


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.3. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la

función lineal como modelo. 1. Ejemplo Determine qué compañía de celular le conviene más contratar, si usted habla normalmente 400 minutos mensuales desde su celular: La compañía A le cobra $10.500 mensuales más $35 el minuto utilizado La compañía B le cobra solo el consumo a $275 La compañía C le cobra $5.000 mensuales más $100 el minuto utilizado Solución: Para resolver este ejercicio vamos a definir la función del costo en función de los minutos hablados en cada caso y luego remplazamos x por 400 para saber el costo Compañía A

f ( x)  35x  10500 f (400 (400))  35  400 400  10500 0500  24500 4500 Compañía B f ( x)  275 x f ( x )  275  400  110000

Compañía C f ( x)  100 x  5000 f ( x )  100  400  5000  45000

Luego, conviene contratar la compañía A



2. Ejemplo Si usted sabe que el APU del m 2 de pintura esta a $1980. ¿Cuánto dinero tendría que pagar para pintar 780 m 2? Solución: Primero debemos encontrar la función que representa el costo f ( x )  1980 x f (780 (780))  1980 1980  780 780  1.54 1.544. 4.40 400 0 Tendríamos que pagar $1.544.400

3. Ejemplo Si sabemos que 100°C equivalen a 373°K y que 2°C equivalen a 275°K. Determine la función que relaciona °C en función de °K Solución: Debemos reconocer los pares ordenados que tenemos (373,100) y (275,2), luego aplicamos la fórmula para calcular la pendiente. m

y2  y1 x2  x1



373  275 100  2



98 98

1

Elijo un punto para remplazar en la función y calculo n 2  1 275  n n  273

f ( x)  x  273


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 2. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

cuadrática como modelo. Criterio 1.5. Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados,

tablas o expresiones algebraicas indicando sus elementos característicos. Recordemos que una función cuadrática es de la forma f ( x)  Ax2  Bx  C 1. Ejemplo Determine la concavidad de la función cuadrática y grafíquela. f ( x)   x2 Solución: Para determinar la concavidad debemos identificar A, si es positivo es cóncava hacia arriba, si es negativo es cóncava hacia abajo En este caso A  1 Por lo tanto es cóncava hacia abajo



2. Ejemplo Determine la grafica que mejor representa a la función f ( x)  x2  2 x  15 Solución:

Primero vamos a calcular el vértice b  b  V ( , f  ) 2a  2a 

b 2a



2 2 1

1

f (1)  12  2  1  15   16

Por lo tanto el vértice es V(1,-16) Ahora calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0 f ( x )  x 2  2 x  15 15  0 2  22  4  1  15 15 x1  x2 

2 1 2  8 10 2 28 2





2 6 2



2 8 2

5  3

Entonces corta el eje x en los puntos (5,0) y (-3,0)



3. Ejemplo Grafique la función cuadrática según la siguiente tabla

X

Y

0

0

1

1

-1

1

2

4

-2

4

Solución:


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.6. Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para

interpretar su comportamiento. 1. Ejemplo Determine en que rango la siguiente función es decreciente f ( x)   x2 Solución: Si analizamos el grafico de la función podemos identificar claramente en que rango es creciente y decreciente

Una función es decreciente cuando aumentamos el valor de x y el valor de y va disminuyendo Por lo tanto esta función es decreciente [0,+∞[

2. Ejemplo Determine el vértice de la siguiente función cuadrática f ( x)  ( x  1)2  1 Solución: f ( x )  ( x  1)2  1 f ( x )  x 2  2 x  1 1 f ( x )  x 2  2 x  2

V(

b 2a

b 2a



 b  ) 2 a  

, f  2 2 1

1

f (1)  12  2  1  2  1 El vértice en el punto (1,1)



3. Ejemplo Si tenemos la f(x)= -x 2 – 9, determine la gráfica que la representa. Solución: Primero vamos a calcular el vértice V(

b 2a

b 2a



 b  )  2a 

, f  0

2  1

0

f (0)  02  9   9

Por lo tanto el vértice es V(0,-9) Ahora calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0 f ( x)   x 2  9  0 x 2   9 x  9

Entonces no corta al eje x Analizaremos la concavidad A<1 por lo tanto es cóncava cóncava hacia abajo


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.7. Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo

grado. 1. Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación (2 x  3)2  0

Para poder resolver aplicamos raíz (2 x  3) 2  0

(2 x  3)  0 2 x  3  0 2 x  3 x1 

3 2

( 2 x  3)  0 2 x  3  0 2 x   3 3 x2  2 x2 

3 2

2. Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación

x 2  x  25  5 Solución: x 2  x  25  5 x 2  x  30  0 ( x  6)( x  5)  0

Primero igualamos a 0, luego, factorizamos. Y como sabemos que para que un producto sea 0 uno de los factores debe ser 0, por lo que, calculamos ambas opciones x  6  0

x  5  0

x1  6

x2  5



3. Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación x 2  9  0 Solución: x 2  9  0 x 2   9 x   9

Como no está definido dentro del conjunto de los números reales esta ecuación no tiene solución.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.8. Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas de la vida

cotidiana y de la especialidad. 1. Ejemplo Se requiere construir un camino que pasa por sobre una colina como indica la figura. Determinar la función que describe la colina. Considere los ejes en el centro de la coli na y a los pies de la misma.

Solución: El vértice tiene coordenadas (0,4) y la colina pasa por los puntos (-0,8) y (8-0) Aplicando la fórmula: ( x  h) 2  4 p ( y  k ) (8  0)2  4 p(0  4) 64   16 p p   4

Luego, ( x  0)2  4  ( 4)  ( y  4) x 2   16( y  4) x 2   16 y  64 f ( x )  

f ( x)  

x 2 16

x 2 16



64 16

4



2. Ejemplo Considere una viga simplemente apoyada con una luz de 10 metros que al deformarse debido a su peso propio desciende en el punto medio de ésta 3 centímetros. Determine la función que describe la deformación de la viga. Considerando el eje x en la recta que une los apoyos y en el centro de la viga el eje y

Solución: El vértice con coordenadas (0, 0.03) y los apoyos en los puntos (5,0) (5 ,0) y (5,0) Aplicando: ( x  h)2  4 p ( y  k ) (5  0) 2  4 p (0  0, 03 03) 25  0,12 p 25

p 

0,12



2500

( x  0) 2  4  x 2  x 2 

2500 3 2500 3

12



625 3

625

y

( y  0, 03) 3 2500 3 3



100

y  25

Despejando f ( x)  y , se tiene: 2500 x 2  y  25 / 3 3

3 x 2  2500 y  75 / 75 2500 y  3x 2  75 /:2500 / :2500 y 

y 

3 2500 3 2500

x2 

x2 

75 2500 3 100



3. Ejemplo Si la siguiente función f  x  

x 2

 0,02 , describe la deformación de una viga simplemente 450 apoyada. ¿Cuánto será la deformación a 1,5 metros de distancia de cualquier apoyo? Considerando el eje x en la recta que une los apoyos y en el centro de la viga el ej e y

Solución: Necesitamos saber el largo de la viga, calculamos f(x)=0 0

x 2 450

 0, 02

0  x 2  9 x 2  9 x1  3 x2   3

Por lo tanto como queremos saber la deformación a 1,5m del apoyo y este se encuentra a 3m del origen 3-1,5=1,5 Necesitamos calcular f(1,5) f (1, 5) 

(1, 5) 2

 0, 02 450 f (1,5) ,5)  0,005 ,005  0,02  0,015 ,015 Entonces la deformación es 15cm


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 3. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

exponencial y logarítmica como modelo. Criterio 1.10. Identifica la función exponencial de la forma y = a  b x , y la caracterizan a

través de sus parámetros, ceros y gráfica, cuando

0

 b  1 y cuando b  1 .

1. Ejemplo Grafique una función exponencial con b >1 de la forma f ( x)  2 x Solución: Daremos valor a x para obtener “y” f (2)  2 2  4 f (1)  21  2 f (0)  20  1 f (1)  21  f (2)  22 

1 21 1 22

 0, 5  0, 25

Nos damos cuenta que “y” nunca es 0 por lo que la gr áfica no intersecta al eje “y”



2. Ejemplo 1 Grafique una función exponencial con 0< b <1 de la forma f ( x)  ( ) x 2 Solución: Daremos valores a X para obtener Y 1 f (2)  ( )2 2 1 f (1)  ( )1  0, 5 2 f (0)  1 1 f ( 1)  ( )1  21  2 2 1 f ( 2)  ( )2  22  4 2



3. Ejemplo Determine el dominio y recorrido de cualquier función exponencial. Solución: El dominio son todos los valores que puede tomar x en una función por lo tanto en este caso, si miramos los gráficos de los ejemplos 1 y 2 nos damos cuenta que x no está limitado puede tomar cualquier valor en los reales. Por lo tanto Dom = ]- ∞,∞[ El recorrido son todos los valores que puede tomar “y” en una función, por lo tanto, en este caso si miramos los gráficos de los ejemplos 1 y 2 nos damos cuenta que “ y” jamás se intersecta con el eje x y nunca toma valores negativos. Por lo tanto Rec = ]0,∞[


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.11. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la

especialidad, aplicando el modelo exponencial. 1. Ejemplo Determine la función que representa el valor de una retroexcavadora en función del tiempo en años que tenía un valor inicial de $110.000.000 y sufre una depreciación de un 7% anual. Solución:

100%  7%  93%  0,93 ,93 V (t )  11000 11000000 0000 00,93t 2. Ejemplo Según el ejemplo anterior, determine el valor de la retroexcavadora a los 8 años Solución: V (t )  1100 110000 0000 000 0 0,93t  1100 110000 0000 000 0 0,938  6155 615539 3998 98 El valor seria $61.553.998 a los 8 años

3. Ejemplo Determine el valor de un departamento a 20 años, si sabe que inicialmente tiene un valor de $45.000.000 e incrementa su valor en un 3% anual. 100%  3%  103%  1,03 V (t )  4500 450000 0000 001, 03t  4500 450000 0000 001, 0320  8127 812750 5004 04 El valor seria $81.275.004 a los 20 años


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.12. Identifica la función logarítmica de la forma y = a   b log x , y la caracteriza a

través de sus parámetros, ceros y gráfica. 1. Ejemplo Grafica la función f ( x)  2 lo log3 x Solución: Le damos valores a y para obtener x Cuando y vale -1 log 3 x 1  2 lo



1

 log 3 x 2 0,5  log 3 x x  30,5  0, 56

Así buscamos más puntos puntos X

Y

0,56

-1

1

0

1,73

1

3

2

5,21

3


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 2. Ejemplo Determinar el valor de f 1 para la función f ( x)  log 2 x Solución: Recordemos que c  loga b Entonces, ac  b Luego, y  f (1)  log log 2 2 y  1 2 y  20 y  0

f (1)  0

3. Ejemplo

Determine el dominio y recorrido de las funciones logarítmicas Solución: Los valores de “x” son los números reales positivos, es decir, dom : o,  Los valores de “y” son todos los números reales, es decir, rec : , 


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.13. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la

especialidad, aplicando el modelo exponencial y logarítmico. 1. Ejemplo Charles Richter propuso una escala para comparar la fuerza de los terremotos, en esta escala la magnitud R de un terremoto viene dada por la siguiente expresión R=log A/B En esta expresión A= mayor amplitud de la onda sísmica B= amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R=0 La magnitud del terremoto del 27 de febrero del 2010 se ha calculado en 8,8 en la escala Richter. El terremoto del día 3 de Marzo de 1985 tuvo magnitud 7,7 en esta misma escala. ¿Cuántas veces más intenso fue el del 2010? Solución: a R  log( og( ) b Tenemos R de ambos sismos por lo que podemos sacar relación a 7, 7  log( ) b a ( )  107,7 b Para sismo de 1985 a 8,8  log( ) b a ( )  108,8 b Para saber cuánto más intenso fue, debemos calcular 108,8 107,7

 12,59

Respuesta: Fue 12,59 veces más intenso.



2. Ejemplo Suponga que el valor de un bien raíz se incrementa en un 2,5% anual. Si inicialmente el valor del bien raíz es de $35.000.000 Hallar una expresión que permita calcular el valor V del bien raíz en un tiempo t cualquiera, donde t se mide en años y calcule el valor del bien raíz en 10 años. Solución:

100%+2,5%=102,5%=1,025 v(t )  350000 35000000 00 1, 025t v(10) 10)  3500 350000 0000 00 1, 025 02510  4480 448029 2959 59 Respuesta: El valor a los 10 años es de $44.802.959.

3. Ejemplo Charles Richter propuso una escala para comparar la fuerza de los terremotos, en esta escala la magnitud R de un terremoto viene dada por la siguiente expresión R=log A/B En esta expresión A= mayor amplitud de la onda sísmica B= amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R=0 La magnitud del terremoto del 27 de febrero del 2010 se ha calculado en 8,8 en la escala Richter. El terremoto del día 21 de Mayo de 1960 tuvo magnitud 9,6 en e n esta misma escala. ¿Cuántas veces más intenso fue el de 1960? a R  log( og( ) b Tenemos R de ambos sismos por lo que podemos sacar relación a 79,6  log( ) b a ( )  109,6 b Para sismo de 1960 a 8,8  log( ) b a ( )  108,8 b Para saber cuánto más intenso fue, debemos calcular 109,6

 6,31 18,8 Respuesta: Fue 6,31 veces más intenso Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


APRENDIZAJE APRENDIZAJE ESPERADO ESPERADO 4.- Resuelven problemas contextualizados, utilizando límites de funciones polinómicas, racionales e Irracionales Irracional es y sus propiedades Criterio 1.15. Calcula límite de funciones polinómicas en forma analítica y gráfica,

aplicando propiedades. 1. Ejemplo lim x 3

x 2  2 x  5 x  2 2



32  2 3  53  2 2



92 9  15  2



7 6

.

2. Ejemplo 1 lim( lim( ) x  2 x  3 lim

x 

1 x  2 3 x  2

 lim

3. Ejemplo 1  x

x 

1 3 2

0

1  2x  x2 1 lim( )  1  lim( ) x 0 x 0 x x lim x 0

2

2 x  x 2 x

 lim x 0

x (2  x) x

 lim 2  x  2 x 0


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.16. Calcula límite de funciones racionales en forma analítica y gráfica,

aplicando propiedades. 1. Ejemplo Determine el límite de la siguiente función cuando x tiende a infinito.

Debemos analizar que ocurre con la función cuando x va aumentando su valor, en este caso la gráfica se acerca cada vez más al 0. Por lo tanto: lim f ( x)  0

x 

2. Ejemplo

Debemos mirar el grafico y ver qué valor le corresponde a “y” cuando “x” vale 2



3. Ejemplo lim  3 x3  3  (2)3  3  8  24 24

x 2

Criterio 1.17. Calcula límite de funciones irracionales en forma analítica y gráfica,

aplicando propiedades 1. Ejemplo lim x 1

x  1 x  1

evaluamos 1 1 11



0 0

Para poder continuar debemos multiplicar por 1 lim x1

lim x1

x  1  x  1 x  1  x  1 x  1 ( x  1)( x 1) 1)

 lim x1

1 x 1



1 2

2. Ejemplo lim x  2  2  2  0  0 x 2



3. Ejemplo x  5

lim 

x  5

x 5

evaluamos 5 5 55

0

Se multiplica numerador y denominador por 1 lim x 5

lim x 5

x  5 x  5 1 x  5





x 5 x 5

 lim

1 5 5

x 5



x 5 ( x  5)( x  5

1 2 5


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 5. Resuelven problemas contextualizados, utilizando límites de funciones exponenciales,

logarítmicas y trigonométricas. Criterio 1.20. Calcula límites de funciones exponenciales.

1. Ejemplo  x 6  7 x8  x lim x  10 x8  6 x 4  x 2  x 6

7 x8 x   8 8 8 7 7  lim x 8 x 4 x 2  10 10 . x  10 x 6 x  x 8 8 8 x x x

Sabemos que siempre que el denominador sea mayor lim

x 

x x 2

0

2. Ejemplo lim x3  (5)3  125 x 5

Se remplaza y se resuelve

3. Ejemplo lim x 2  6  32  6  9  6  3 x 3

Se remplaza y calcula


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.21. Calcula límites de funciones logarítmicas .

1. Ejemplo Calcular lim ln( x ) x3

Solución: lim Ln( x)  Ln(3)  1, 1, 09 0986 x 3

Solo debemos evaluar y obtenemos el resultado

2. Ejemplo Calcular lim log  x 2  9

x

Solución: lim log  x 2  9  lo log  lim x  x2  9   log   

x





Solo debemos evaluar y obtenemos el resultado

3. Ejemplo Calcular lim xLn( x2 ) x2

Solución: lim xLn( x2 )  2 Ln(4)  2, 7726

x 2

Evaluamos y calculamos el límite


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.22. Calcula límites de funciones trigonométricas.

1. Ejemplo 2 x 9 x

sen lim x  0

.

Sabemos que lim

senx

x0

x

1

Entonces 2 x 2 2 2 9 lim   1  x0 2 9 9 9 x 9 Formamos la igualdad que necesitábamos multiplicando por 1 sen

 x 6  7 x8  x lim x 0 10 x8  6 x 4  x 2

2. Ejemplo lim tgx  lim x0

x0

sen0 cos 0



0 1

senx cos x

0

3. Ejemplo lim x0

3 sen2 x x 2 3 sen2 x

lim  x0 2

x

=1

 lim 2  3 x0

sen2 x 2x

6


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.23. Resuelve problemas contextualizados utilizando límites de funciones

exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 1. Ejemplo La producción de un producto está dada por la fórmula f  x   ln  x  1 . ¿Qué sucederá si producen 40 artículos? Solución: lim ln( x  1) x 40

Reemplazando x por 40, nos queda lim ln ln( x  1)  ln  lim  x  1   ln 39 39  3, 66 6636 x 40  x40  2. Ejemplo El valor del kilo de acero se calcula con la siguiente fórmula p( x) 

840000 700  500 500  e1,02

x

Donde el valor inicial es de $700 (x=0) y t es el tiempo medido en días. ¿Cuál es el valor del acero en 30 días si sigue comportándose con la misma curva? Solución: Primero debemos darnos cuenta que el denominador de nuestra función jamás vale 0. Luego, lim

x 30

840000 700  500  e

x

1,02



840000 700  500  e

1, 0230

 1200

Entonces el valor seria $1200



3. Ejemplo Una función está dada por t ( x) 

sen  2 x  sen  5 x 

. ¿Qué sucede cuando x  0 ?

Solución: lim x0

sen  2 x 

sen  2 x 

2

sen  2 x 

sen  2 x 

2 x 2 x = lim x0 = lim x0 2 x sen  5 x  sen  5 x  5 sen  5 x  sen  5 x  5 5 x 5 x x sen  2 x  lim x0 2 2 1 2 2 x =  =  = sen  5x  5 1 5 5 lim x0 5 x

= lim x0



APRENDIZAJE APRENDIZAJE ESPERADO ESPERADO 6. Determinan si una función es continua en un punto y en un intervalo Criterio 1.25. Relaciona la continuidad de una función real con el concepto de límite.

Para determinar si una función es continua debemos analizar si existe límite por la derecha y por la izquierda en un punto dado. 1. Ejemplo Analicemos si la siguiente siguiente función es continua continua para x=2 x=2 f ( x)  3 x  5

Solución: Al mirar la función nos nos damos cuenta cuenta que es una recta. recta. Al ser una recta, recta, sabemos que que por ambos lados del valor para x=-2 el valor en y tiende a ser el mismo. lim  3 x  5  3  2  5  11

x2

lim  3 x  5  3  2  5  11

x2

Como la función si está definida para x= - 2, La función es continua.

2. Ejemplo Analicemos para x=1 f  x  

3  x

, si x  1

2 x

, si x  1

Solución: lim 3  x  3  1  2 x1

lim 2 x  2 1  2

x1

En este caso el límite por ambos lados es el mismo por lo que podríamos pensar que la función es continua, pero si analizamos nuestro ejercicio nos damos cuenta que la función no está definida para x=1 por lo tanto no es continua.



3. Ejemplo Analicemos si la siguiente siguiente función es continua continua para x=0 x=0 f ( x)  x3  2 x  1 Solución: lim x3  2 x  1  03  2  0  1  1

x 0

lim x3  2 x  1  03  2  0  1  1

x 0

Como la función si está definida para x=0 la función es continua.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.26. Determina si una función es continua o discontinua en un punto y en un

intervalo. 1. Ejemplo Determina si la función f ( x)  2 x  5 , es continua en x=2. Solución: Para saber si una función es continua debemos calcular los límites laterales y f ( x) en el punto y estos deben ser iguales. lim 2 x  5  9 x2 

lim 2 x  5  9

x2 

f ( x)  2  2  5  9 Respuesta: La función f ( x)  2 x  5 , es continua.

2. Ejemplo Determina si la siguiente función es continua para x=5 f  x  

3 x

, si x  5

15  2 x , si x  5

Solución: lim 15  2 x  5

x5

lim 3 x  35  15

x5

f  5 : No está determinada. Respuesta: La función, no es continua.

3. Ejemplo Determine si la siguiente función f ( x)  x2  3 , es continua para x=1 Solución: lim x 2  3  12  3  2

x1

lim x 2  3  12  3  2

x1

f (1)  12  3  2 Respuesta: La función es continua. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.27. Resuelve problemas contextualizados utilizando continuidad.

1. Ejemplo Dada la función x 2  25

f ( x) 

x  5 0, x  5

, x  5

Determinar si es continua para x=5 Solución: Primero analizamos si la función está definida para x=5 y calculamos f(5) f (5)  0

Luego debemos calcular el límite por la izquierda y por la derecha lim

x 2  5 x  5

x5

lim

x 2  5

x5

x  5

 lim

( x  5)  ( x  5) x 5

x5

 lim

( x  5)  ( x  5)

x5

x 5

 lim x  5  10 x5

 lim x  5  10 x5

Pero, la función no es continua porque f (5)  lim f ( x) x 5

2. Ejemplo Dada la función f ( x) 

x 2  9

, x  3 x  3 6 , x  3

Determinar si es continua para x=3 Solución: Primero analizamos si la función esta definida para x=3 y calculamos f(3) f (3)  6



Luego debemos calcular el límite por la izquierda y por la derecha lim

x 2  9 x  3

x3

lim

x 2  9 x  3

x3

 lim

( x  3)  ( x  3) x 3

x3

 lim

( x  3)  ( x  3) x 3

x3

 lim x  3  6 x3

 lim x  3  6 x3

Por lo tanto, si es continua porque f (3)  lim f ( x) x 3

3. Ejemplo Dada la función f ( x) 

x 2  3x  2

, x >11 x  1 2 x  3, x  1

Determinar si es continua para x=1 Solución: Primero analizamos si la función está definida para x=1 y calculamos f(1) f (1)  2 1  3  1

Luego debemos calcular el límite por la izquierda y por la derecha lim 2 x  3  2 1  3  1

x1

lim

x1

x 2  3x  2 x  1

 lim

( x  2)  ( x 1) 1)

x1

x 1

 lim x  2  1 x1

Luego, si es continua porque f (1)  lim f ( x) x 1



UNIDAD 2: La derivada y sus aplicaciones. APRENDIZAJE ESPERADO: 7. Derivan funciones reales de una variable, aplicando las reglas básicas de derivación,

demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones. Criterio 2.1. Calcula derivadas utilizando las reglas básicas.

1. Ejemplo Si f  x   x3  x2 , calcule su derivada. Solución: Sabemos que si f  x   xn , entonces

df dx

 x   nx n1

Luego, calculamos la deriva de f  x   x3  x2 . d

 x dx

3

 x 2   3 x2  2 x

Respuesta: La derivada de f  x  es 3 x 2  2 x

2. Ejemplo Si f  x   3 x6  2 , calcule su derivada. Solución: Además de la propiedad propiedad nombrada nombrada anteriormente anteriormente sabemos sabemos que, que, si f  x   c (c: constante), entonces

df dx

 x   0

Luego, d

 3 x dx

6

 2   6  3 x5  0  18 x5

18 x5 Respuesta: La derivada de f  x  es 18 x



3. Ejemplo Si f  x   3senx , calcule su derivada. Solución: Sabemos que si f  x   senx , entonces

df dx

 x   cos x

Luego, d dx

 3 senx   3 cos x

Respuesta: La derivada de f  x  es 3cos x 3cos x Criterio 2.2. Aplica el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos. 1.

Ejemplo Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x)  3 x2  x  2

Solución: Debemos calcular el incremento  y y  y  3( x  x)2  ( x  x)  2

 y  3( x  x)2  ( x  x)  2  y  y  3( x 2  2 xx  x 2 )  x  x  2  (3x 2  x  2)  y  3x 2  6 xx  3x 2  x  x  2  3x 2  x  2  y  6 xx  3x 2  x

Por definición la derivada es 6 xx  3x 2  x  y x  (6 x  3x  1) lim  lim  lim  x 0  x x 0 x 0 x x  lim (6 x  3x  1)  6 x  3  0  1  6 x  1  x 0

Entonces f ´( x)  6 x  1



2. Ejemplo Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x)  x2 Solución: Debemos calcular el incremento  y y  y  ( x  x )2

 y  ( x  x)2  y  y  ( x 2  2xx  x 2 )  ( x 2 )  y  x 2  2 xx  x 2  x 2  y  2 xx  x 2

Por definición la derivada es 2 xx  x 2  y x  (2 x  x) lim  lim  lim  x 0  x x 0 x 0 x x  lim (2 x  x)  2 x  0  2 x  x 0

Entonces, f ´( x)  2 x

3. Ejemplo Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x)  x2  x Solución: Debemos calcular el incremento  y y  y  ( x  x) 2  ( x  x )

 y  ( x  x)2  ( x  x)  y  y  ( x 2  2 xx  x 2 )  ( x  x )  ( x 2  x )  y  x 2  2 xx  x 2  x  x  x 2  x  y  2 xx  x 2  x

Por definición la derivada es 2 xx  x 2  x  y x  (2 x  x  1) lim  lim  lim  x 0  x x 0 x 0 x x  lim (2 x  x  1)  2 x  0  1  2 x  1  x 0

Entonces, f ´( x)  2 x  1 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.3. Determina pendiente de una función en un punto dado, aplicando las reglas

básicas de derivación. La pendiente de una recta se calcula derivando la función 1. Ejemplo Si f ( x)  3 x  5 , determine la pendiente. Solución: m

d dx

( 3x  5)  3

Respuesta: La pendiente en cualquier punto es 3 .

2. Ejemplo Si f ( x) 

2 3

 5 x , determine la pendiente.

Solución: m

d  2

  5x   5  dx  3 

Respuesta: La pendiente es 5, para cualquier punto

3. Ejemplo Si f ( x)  x3  2 x  6 , determine la pendiente en el punto x  3 . Solución: m

d

x dx

3

 2 x  6   3 x2  2

Se evalúa x  3 2

m  3   3  2  3  9  2  27  2  25 25 Respuesta: La pendiente en el punto x  3 es 25.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.4. Determina ecuación de la recta tangente y recta normal a una función dada,

aplicando las reglas básicas de derivación. La ecuación de la recta tangente, está dada por: y  f '  a    x  a   f  a  La ecuación de la recta normal, está dada por: 1   x  a   f  a y  f '  a 

1. Ejemplo Determine la ecuación de la recta tangente de la función f ( x)  x2  3 x  5 , en el punto x  7 Solución: Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene: m

d dx

(x 2  3x  5)  2 x  3

Evaluamos x  7 en la pendiente, f '  7   2  7  3  14  3  17 Calculamos f  7  , f  7   72  3  7  5  49  21 21  5  65

Reemplazando en y  f '  a    x  a   f  a  , encontramos la ecuación de la recta tangente. y  f '  a    x  a   f  a  y  f '  7    x  7   f  7  y  17   x  7   65

y  17 x  119  65 y  17 x  54



2. Ejemplo Determine la ecuación de la recta tangente de la función f ( x) 

1 2

x 2  x  100 , en el punto

x  2

Solución: Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene: d  1 2  1   m x x 1 0 0     2x 1  x  1 dx  2  2 Evaluamos x  2 en la pendiente, f '  2   2  1  3 Calculamos f  2 , f  2  

1 2

2

1

100   4  2  100  2  2  100  102   2    2  10 2

Reemplazando en y  f '  a    x  a   f  a  , encontramos la ecuación de la recta tangente. y  f '  a    x  a   f  a 

y  f '  2    x   2    f  2  y  3   x  2   102

y  3x  6  102 y  3 x  96



3. Ejemplo Determine la ecuación de la recta normal de la función f ( x)  3 x2  5 x , en el punto x  3 Solución: Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene: m

d dx

(3x 2  5 x)  3  2 x  5  6 x  5

Evaluamos x  3 en la pendiente, f '  3  6   3   5  18  5  13 Calculamos f  3 , 2

f  3  3   3  5   3   3  9  15  27 27  15  42 42

Reemplazando en y 

1 f '  a 

  x  a   f  a  , encontramos la ecuación de la recta

normal. y 

y 

1 f '  a 

 x  a  f a

1   x   3   f  3 f '  3

y   y   y  

1 13 1 13 1 13

  x  3  42 x x

3

 42

13 543 13


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 8. Derivan funciones reales de una variable, aplicando la regla del producto y del

cuociente, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones. Criterio 2.6. Calcula derivadas utilizando la regla del producto.

Recordemos que: d dx

 f ( x)  g ( x) 

f ( x)  g´( x)  f ´( x)  g( x)

1. Ejemplo Si g ( x)  x 1

y

f ( x)  1  x 1 , determine

Solución: Si g ( x)  x  1

 g '( x)  1

f ( x)  1  x1

 f '(x)   x2

d dx

 f ( x)  g ( x) .

Como,

d dx

 f ( x)  g ( x) 

f ( x)  g´( x)  f ´( x)  g( x)

Reemplazamos,

d dx d dx d dx

 f ( x)  g ( x)   1  x1  1   x2   x  1  f ( x)  g ( x)  1  x1  x1  x2  f ( x)  g ( x)  1  x2



2. Ejemplo Si g ( x)  5  4 x

f ( x)  3 x  2 x 2 , determine

y

Solución: Si g ( x)  5  4 x

 g '( x)  4

f ( x)  3 x  2 x2

 f '( x)  3  4 x

d dx

 f ( x)  g ( x) .

Como,

d dx

 f ( x)  g ( x) 

f ( x)  g´( x)  f ´( x)  g( x)

Reemplazamos,

d dx d dx d dx

 f ( x)  g ( x)  3 x  2 x2   4   3  4 x  5  4 x  f ( x)  g ( x)  12 x  8 x2  15  12 x  20 x  16 x2  f ( x)  g( x)  24 x2  4 x  15

3. Ejemplo Si g ( x)  x 3  3x

y

f (x )  x 2  1 , determine

Solución: 3 Si g ( x)  x  3 x

 g '( x)  3 x2  3

f ( x)  x2  1

 f '( x)  2 x

d dx

 f ( x)  g ( x) .

Como,

d dx

 f ( x)  g ( x) 

f ( x)  g´( x)  f ´( x)  g( x)

Reemplazamos,

d dx d dx d dx

 f ( x)  g ( x)   x2  1   3 x2  3  2 x   x3  3 x  f ( x)  g ( x)  3 x4  3 x2  3 x2  3  2 x4  6 x  f ( x)  g( x)  5 x4  6 x  3


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.7. Calcula derivadas utilizando la regla del cuociente.

Recordemos que: d  f ( x) 

  dx  g ( x) 

f ´( x)  g( x)  f ( x)  g´( x) 2

 g ( x) 

1. Ejemplo Si g ( x)  x 1

y

f ( x)  x 2  3 x  2 , determine

Solución: Si g ( x)  x  1

 g '( x)  1

f ( x)  x2  3 x  2

 f '( x)  2 x  3

d  f ( x) 



.

dx  g ( x) 

Como,

d  f ( x) 

  dx  g ( x) 

f ´( x)  g( x)  f ( x)  g´( x) 2

 g ( x)

Reemplazamos,

 2 x  3   x 1   x 2  3x  2  1 2   dx  g ( x )   x  1 d  f ( x) 

d  f ( x) 

2 x2  2 x  3 x  3  x2  3 x  2

dx  g ( x) 

x2  2 x  1





d  f ( x) 



x2  2x  5

  x2  2x  1

dx  g ( x ) 

2. Ejemplo Si g ( x)  3x 1

y

f ( x)  2 x 3 , determine

Solución: Si g ( x)  3 x  1

 g '( x)  3

f ( x)  2 x3

 f '( x)  6 x2

d  f ( x) 



.

dx  g ( x) 

Como,

d  f ( x) 

  dx  g ( x) 

f ´( x)  g( x)  f ( x)  g´( x) 2

 g ( x)


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Reemplazamos,

d  f ( x) 

6 x 2   3x  1  2 x3  3

dx  g ( x ) 

3x  1





2

d  f ( x) 

18 x3  6 x 2  6 x3

dx  g ( x ) 

3x  1





2

d  f ( x) 

12 x3  6 x 2

dx  g ( x) 

3x  1





2

d  f ( x) 

6 x 2  2 x  1

dx  g ( x) 

3x  1





2

3. Ejemplo Si g ( x)  3x 2  5 Solución: 2 Si g ( x)  3 x  5 f ( x)  7

f ( x)  7 , determine

y

d  f ( x) 



.

dx  g ( x ) 

 g '( x)  6 x  f '( x)  0

Como,

d  f ( x) 

  dx  g ( x) 

f ´( x)  g( x)  f ( x)  g´( x) 2

 g ( x)

Reemplazamos,

d  f ( x) 

0   3 x 2  5   7   6 x

dx  g ( x ) 

3 x 2  5





d  f ( x) 

2

42 x

2   dx  g ( x)  3 x 2  5  


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.8. Resuelve problemas contextualizados, relacionados con su especialidad,

utilizando las reglas del producto y del cuociente. 1. Ejemplo Determinar f ´ x  si sabe que f  x   (2 x2  1)  (3 x2  3) Solución: Primero determinamos las funciones que componen nuestra función g  x   (2 x 2  1) h( x)  (3x 2  3) Luego, f ( x )  g ( x )  h ( x ) Entonces f ´( x )  g´( x )  h ( x )  g ( x )  h´( x ) g´( x )  4 x h´( x )  6 x f ´( x )  ( 4 x )  (3x 2  3)  ( 2 x 2  1)  (6x ) f ´( x )  (12 x 3  12 x )  (12x3  6x )

f ´( x)  24 x3  18 x

2. Ejemplo Determinar f ´ x  si sabe que f  x   (4 x2  4)  (4 x3  6) Solución: Primero determinamos las funciones que componen nuestra función g  x   (4 x 2  4) h( x)  (4 x3  6) Luego, f ( x)  g ( x)  h( x) Entonces Entonces f ´( x)  g´( x)  h( x)  g ( x )  h´( x ) g´( x)  8 x h´( x )  12 x 2 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno de Aprendizaje – 2012 f ´( x)  (8 x)  (4 x3  6)  (4 x2  4)  (12 x2 ) f ´( x)  (32 x4  48 x)  (4 ( 48 x4  48 x2 ) f ´( x)  80 80 x4  48 x2  48 x

3. Ejemplo Determinar f ´ x  si sabe que f  x  

(4 x3  5 x 2 ) (3 x 2  4)

Solución: Primero determinamos las funciones que componen nuestra función g  x   (4 x 3  5 x 2 ) h( x)  (3 x 2  4) Luego, f ( x ) 

g ( x) h( x)

Entonces, f ´(x ) 

g´( x )  h( x )  g ( x )  h´( x ) ( h( x) ) 2

g´( x )  12 x 2  10 x h´( x )  6 x

f ´(x )  f ´(x )  f ´(x ) 

f ´(x) 

(12 x 2  10 x )  (3x 2  4)  ( 4 x3  5x 2 )  (6 x ) (3 x 2  4)2 (36 x 4  30 x 3  48 x 2  40 x )  ( 24 x 4  30 x3 ) 9 x 4  24 x 2  16 36 x 4  30 x 3  48 x 2  40 x  24 x 4  30 x3 9 x 4  24 x 2  16

12 x 4  48 x 2  40 x 9 x 4  24 x 2  16


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.10. Deriva funciones reales de una variable, aplicando regla de la cadena.

Recordemos que:

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x) 1. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  sen x2  Solución: Identificando h( x)  x2

 h '( x)  2 x

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x)  g (h( x)) '  cos  x2   2 x  g (h( x)) '  2 x  cos  x2  2. Ejemplo 3

Determine la derivada de g ( x)   x2  1 Solución: Identificando h( x)  x2  1

 h '( x)  2 x

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x) 2

 g (h( x)) '  3  x2  1  2 x  g (h( x)) '  6 x   x2  1

2

3. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  e x Solución: Identificando h( x)   x2

2

 h '( x)  2 x

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x) 2

 g (h( x)) '  e x  2 x  g (h( x)) '  2 xe x

2


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.11. Resuelve problemas contextualizados, relacionados con su especialidad,

utilizando la regla de la cadena. 1. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  sen(5x) Solución: Identificando

g ( x)  sen(5 x )  g '( x)  cos(5 x ) h( x)  5 x

 h´( x)  5

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x) ))  5  5co 5cos(5 x)  g (h( x))'  (cos(5 x)) g '( x)  5cos(5x)

2. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  cos(3x ) Solución: Identificando

g ( x )  cos(3 x )  g '( x)   sen(3x) h( x)  3 x

 h´( x)  3

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x)  g (h( x)) '  ( sen(3x)) 3  3sen(3x) g '( x)  3s en(3x)

3. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  cos(3x2 ) Solución: Identificando

g ( x)  cos(3 x 2 )  g '( x)   sen(3x 2 ) h( x)  3 x 2

 h´( x)  6 x

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x) ))  (6 x)  6 x  sen(3x 2)  g (h( x))'  ( sen(3x 2)) g '( x)  6 x  sen(3 x2 )


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.13. Calcula derivadas utilizando regla de la función exponencial.

Recordemos u x 

Si f ( x)  a

 f ´( x)  u´ x   au x   ln a

1. Ejemplo 2

Determine la derivada de f ( x)  2 x 1 Solución: Identificando u( x)  x2  1 u x 

f ´( x)  u´ x   a f ´( x)  2 x  2 x

2

1

 u '( x)  2 x

 ln a

 ln 2

2

f ´( x)  x  2 x  ln 2

2. Ejemplo Determine la derivada de f ( x)  5x Solución: Identificando u( x)  x3

3

 u '( x)  3 x u x 

f ´( x)  u´ x   a

 ln a

3

f ´( x)  3 x  5 x  ln 5

3. Ejemplo 3

2

Determine la derivada de f ( x)  3x x 2 Solución: Identificando u( x)  x3  x2  2 u x 

f ´( x)  u´ x   a

 u '( x)  3 x2  2 x

 ln a 3

f ´( x)  3 x2  2 x  3 x x

2

2

 ln 3


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.14. Calcula derivadas utilizando regla de la función logarítmica.

Recordemos, d

1

ln(u  x )    u ' x dx  u  x

1. Ejemplo Determine la derivada de f ( x)  ln  x2  Solución: Sea u( x)  x2

 u ' x  2x

Luego, f ´( x)  f ´(x) 

1

 2x

x 2 2 x

2. Ejemplo Determine la derivada de f ( x)  ln( x2  3) Solución: Sea u( x)  x2  3

 u ' x  2x

Luego, f ´( x)  f ´(x) 

1 x 2  3 2 x

 ( 2 x)

x 2  3

3. Ejemplo Determine la derivada de f ( x)  ln(3x4 ) Solución: Sea u( x)  3 x4

 u '  x   12 x3

Luego, f '( x) 

f '( x) 

1 3 x

4

12 x3

12 x 3 3 x

4

 f '( x) 

4 x


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.15. Resuelve problemas contextualizados, aplicando derivadas de funciones

exponenciales y logarítmicas. 1. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  (3 x  4)2 Solución:

g ( x)  (3x  4) 2  g '( x)  2  (3x  4) Identificando h( x)  3 x  4  h´( x)  3

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x)  g (h( x))'  2  (3x  4) 3  18 x  24 g '( x)  18x  24

2. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  e3 x

2

Solución: Identificando

g ( x)  e3 x

2

h( x)  3  x 2

 g '( x)  e3 x  h´( x)  2 x

2

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x) 2

 g (h( x)) '  (e3 x )  (2 x) g '( x)  2 xe3x

2

3. Ejemplo Determine la derivada de g ( x)  ln  3 x  Solución: Identificando

g ( x)  ln  3x   g '( x)  h( x)  3 x

1

3 x  h '( x)  3

 g (h( x)) '  g( h( x))  h( x)  g (h( x)) '  g '(x) 

1 3 x

3 

1 x

1 x


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.17. Determina intervalos donde la función es creciente o decreciente, utilizando

primera derivada. 1. Ejemplo 1

Determine los intervalos donde la función f ( x)  ( x 2  4 x  1) , creciente y decreciente. 2

Solución: f ( x)  f '( x) 

1

( x 2  4 x  1)

2 1

 2x  4 2 f '( x)  x  2 Si f ´( x)  0 la función es creciente Si f ´( x)  0 la función es decreciente x  2  0 x  2 x  2  0 x  2

 x  2,  creciente

 x  , 2  decreciente

2. Ejemplo Determine los intervalos donde la función f ( x)  x2 , creciente y decreciente. Solución: f ( x)  x 2 f ´( x)  2 x 2 x  0 x  0 2 x  0 x  0

 x  0,  creciente

 x  , 0  decreciente



3. Ejemplo Determine los intervalos donde la función f ( x)  2 x2 , creciente y decreciente. Solución: f ( x)  2 x 2 f ´( x)  4 x 4 x  0 x  0

 x  , 0  creciente

4 x  0 x  0

 x  0,  decreciente

Criterio 2.18. Determina máximos y mínimos relativos de funciones, utilizando el criterio

de la primera derivada. 1. Ejemplo Determina máximo y mínimo relativo de la función f ( x)  x3  3 x  2 Solución: f ´( x)  3 x 2  3 f ´( x)  0

 3 x 2  3  0  3 x 2  3  x 2  1 x1  1 x2   1

f (1)  ( 1)3  3  ( 1)  2  1  3  2  4 f (1)  13  3 1  2  1  3  2  0 Respuesta: Máximo (-1,4) mínimo (1,0)



2. Ejemplo 4

Determina máximo y mínimo relativo de la función f ( x)  4 x  x3 3

Solución: 4 f ´( x)  4   3x2  4  4 x2 3 f ´( x)  0

 4  4 x 2  0  4 x 2  4



 x 2  1

x1  1 x2  1

4 4 8 f (1)  4  (1)   (1)3  4    3 3 3 4 4 8 f (1)  4 1   13  4   3 3 3 8  8  Respuesta: Máximo  1,  y mínimo  1,   3  3 

3. Ejemplo Determina máximo y mínimo relativo de la función f ( x)  x4  8 x2  3 Solución: f ´( x)  4x 3  8  2 x  4x 3 16x f ´( x)  0 4 x3  16 x  0 4 x  x 2  4   0 4 x  x  2   x  2   0

x1  0



x2  2 x3  2

f (0)  04  8  02  3  3 f (2)  24  8  22  3  13

f (2)  ( 2) 4  8  ( 2) 2  3  16  8  4  3  13 Respuesta: Máximo  0,3  y mínimo  2, 13 ,  2, 13


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.19. Resuelve problemas contextualizados de máximos y mínimos relativos,

aplicando el criterio de la primera derivada. 1. Ejemplo Dada la función f ( x)  x3  6 x2  9 x  4 . Determine si tiene posibles máximos y mínimos. Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos calcular la primera derivada e igualarla a cero. f ´( x)  3x 2  12 x  9  0 f ´( x)  x 2  4 x  3  0 f ´( x)  ( x  3)( x  1)  0 x1  1 x2  3

Reemplazamos los valores de x en la función: f ( x)  x3  6 x 2  9 x  4 f (1)  13  6 12  9 1  4  8 f (3)  33  6  32  9  3  4  4

Los posibles máximos o mínimos son (1,8) y (3,4)



2. Ejemplo Dada la función f ( x)  x3  6 x2 determine si tiene posibles máximos y mínimos. Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos calcular la primera derivada e igualarla a cero. f ´( x)  3x 2  12 x f ´( x)  x 2  4 x  0 f ´( x)  x  ( x  4)  0 x1  0 x2  4

Reemplazamos los valores de x en la función: f ( x)  x3  6 x 2 f (0)  03  6  02  0 f (4)  43  6  42  64  96 96  32

Los posibles máximos o mínimos son (0,0) y (4,-32) 3. Ejemplo Dada la función f ( x)  x3  3 x2  8 . Determine si tiene posibles máximos y mínimos. Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos calcular la primera derivada e igualarla a cero. f ´( x)  3x 2  6 x f ´( x)  x 2  2 x  0 f ´( x)  x  ( x  2)  0 x1  0 x2  2

Reemplazamos los valores de x en la función: f ( x)  x3  3x 2  8 f (0)  0 3  3  02  8  8 3

2

f (2)   2   3   2   8  8  12  8  4

Los posibles máximos o mínimos son (0,-8) y (-2,-4) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 12. Resuelven problemas de optimización sencillos, utilizando el criterio de la segunda

derivada. Criterio 2.21. Calcula la segunda derivada de funciones.

1. Ejemplo Determina la segunda derivada de la función f ( x)  5 x2  3 x5  6 . Solución: Aplicando Aplicando las propiedades propiedades y técnicas de derivación, derivación, se debe derivar derivar la función, y luego se deriva el resultado f '( x)  5  2 x  3  5x 4  10 x  15x 4 f ''( x)  10  15  4 x 3 f ''( x )  10  60 x3

2. Ejemplo Determina la segunda derivada de la función f ( x)  7 x5  4 . Solución: Aplicando Aplicando las propiedades propiedades y técnicas de derivación, derivación, se debe derivar derivar la función, y luego se deriva el resultado f ´( x)  7  5 x4  35 x4 f ´´( x)  35  4 x3 f ´´( x)  140 x3

3. Ejemplo Determina la segunda derivada de la función f ( x)   x 6  3x 3  8 x 2 16x . Solución: Aplicando Aplicando las propiedades propiedades y técnicas de derivación, derivación, se debe derivar derivar la función, y luego se deriva el resultado f ´( x)  6 x 5  9 x 2  16x 16 f ''( x)  30 x4  18 x2  16


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.22. Calcula máximos y mínimos relativos de una función, utilizando el criterio de

la segunda derivada 1. Ejemplo Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x)  x2  5 x  4 , utilizando el criterio de la segunda derivada. Solución: f '( x)  2 x  5 f ''( x)  2

f (2)  22  5  2  4  4  10 10  4  10 Respuesta: Como la segunda derivada es mayor a 0 entonces hay un mínimo en

 2,10 .

2. Ejemplo Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x)  3 x2  6 x , utilizando el criterio de la segunda derivada. Solución: f '( x)  6 x  6 f ''( x)  6 2

f (6)  3   6   6   6   3  36  36  144 Respuesta: La segunda derivada es negativa, entonces hay un máximo en

144  .  6, 144

3. Ejemplo Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x)  2 x2  3 , utilizando el criterio de la segunda derivada. Solución: f '( x)  4 x f ''( x)  4 f (4)  2  42  3  32  3  35 Respuesta: La segunda derivada es positiva, entonces hay un mínimo en

 4,35 .


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.23. Resuelve problemas sencillos de optimización.

1. Ejemplo Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo?

Solución: Si se corta un cuadradito de lado x, el volumen de la caja es: V  x   (32  2 x)  (24  2 x)  x  4 x 3 112 x 2  768x V '  x   12 x 2  224 x  768 V ' x  0

12 x 2  224 x  768  0 x 

224  ( 224) 2  4 12  768 2 12

x1  4,53 x2  14,14

V ''  x   24 x  224

Reemplazamos x1 , en V ''  x   24 x  224 V ''  4,53 ,53   24  4,53 ,53  224  115,25 ,25  0

(Máximo)

Reemplazamos x2 , en V ''  x   24 x  224 V '' 14,14   24 14,14 ,14  224  115,36 ,36  0

(Mínimo)

Respuesta: Entonces el volumen máximo es para x=4,53



2. Ejemplo Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 metros.

Solución: En el triángulo el área es: A 

1 2

1

 b  h   2 x  h  xh 2

En el círculo, se tiene: 122  x 2  (h  12) 2 144  x 2  h 2  24h  144 x 2  24h  h 2 x  24h  h 2

Luego, S  h   h  24h  h 2  24h3  h 4 S ' h  

72h 2  4h3 2  24h  h 3

 4

2h  (36h  2h 2 ) 2h  24h  h

2



36 36h  2h 2 24h  h 2

S ' h   0 36h  2h 2  0 2h 18  h   0

h1  0 y h2  18

Como,

x  24h  h2 

24 18  182  108  36  3  6 3

Base : 2 x  12 3 Lado : l 

x2  h2 

6 3 

2

 182  36  3  182  432  144  3  12 3

Respuesta: El triángulo isósceles de área máxima es el de base 12 3 y lados 12 3 . Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


3. Ejemplo Se tiene un alambre de 1 metro de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que debe tener cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y el cuadrado sea la mínima. Solución: Superficie (s)=  r 2  a 2 Largo (perímetro)= 2 r  4a  1 Entonces (a)=

1  2 r

4 1  2 r 2 s   r 2  ( ) 4 d 

 1  2 r    r    dr   4 

2

2

 2 2r   8 r  2 2r    1  2 r   2     2 r  2       4   2 r  4 4 4      



8r  2



4

r  1 



 2r  4    1 

4

Para encontrar máximos o mínimos debemos igualar a 0 la primera derivada 

 2r  4    1  0 

4

2r  4     1  0 2r 

1

4   

r 

1 8  2

Remplazamos (r) Trozo de círculo es

 1    0, 4399  8  2 

2  r  2  

El trozo cuadrado es 0,561


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