Cahier Exercices PID

TD

CI 5 Correction

Correction des systèmes Avertissement : les diagrammes de Bode et Black vierges sont disponibles sur le site. Ils peuvent être validés grâce aux applications indexées dans le domaine publique du site. 1. Correction proportionnelle.

La correction proportionn elle seule a été déjà abordée lors de l’étude de la stabilité des systèmes ; ce n’est d’ailleurs pas à proprement parler une correction mais plutôt un changement de facteur d’échelle

du processus.

1.1. Action proportionnelle et précision des systèmes

soit les systèmes asservis à retour unitaire dont d ont la F.T.B.O. est :

a) G( p)

3 )(1 0,5p ) p(1 0,1p )(

; b) G( p)

1 1 p

3p²

1) discuter de la précision relative de ces systèmes pour une entrée e(t)=2.u(t). 2) par quel gain faut-il multiplier ces transmittances pour obtenir une précision relative de 10% ? 1.2. Action proportionnelle et rapidité.

(en attente) 2. Correction Intégrale E(p)

S C(p)

Soit l'asservissement dont la fonction de transfert est : avec

G(p)

G ( p )

1 1 Tp

2.1. Etude du système sans correction (C(p) = k).

Le paramètre k est réglable et positif. Liminaires

Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte du système Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système

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Cahier_exercices_corre Cahier_exercices_correction ction

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2.1.1. Etude de la stabilité du système

Tracer le lieu de BODE de la fonction de transfert permettant de déterminer la stabilité du système complet. Le système est-il stable en boucle fermée ? 2.1.2. Etude de la précision

Déterminer l'erreur de position du système en réponse pour une consigne angulaire de type échelon : e(t) = e o o.u(t). 2.1.3. Réglage

Déterminer la valeur ko de k permettant d'obtenir une bande passante de ]O ; 10.f] pour le système en boucle fermée. Pour cette valeur de ko donner d onner l'erreur de position et l'allure de la réponse s(t) à un échelon angulaire e(t)= e o o.u(t).

Déterminer la valeur du temps de réponse à 95% de la valeur finale. 2.2. Etude du système corrigé

On propose ici de mettre un correcteur C(p) = K/p

Etudier la stabilité du système corrigé (tracer l'allure du lieu de BODE). Etudier la précision, déterminer l'erreur de position du système corrigé. Déterminer Ko pour obtenir une marge de phase de 45° pour le système corrigé (tracer les diagrammes asymptotiques de BODE nécessaires). Déterminer l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée. (on prendra soins de la mettre sous une forme caractéristique). On donne T= 10ms, 10ms, déterminer les valeurs numériques de z, wo et Ks (respectivement coefficient d’amortissement, pulsation propre et gain statique) pour k=ko.

Donner l’allure de la réponse du système à un échelon unitaire, Donner l’allure des diagrammes de BODE du système bouclé.

3. Placement d’un correcteur P.I.D.

Un correcteur PID se caractérise par p ar trois paramètres seulement ; et on aurait aur ait pu penser que sa détermination allait être aussi simple que la résolution d’un système d e trois équations à trois inconnues. Il n’en est rien, hélas, puisque ces paramètres définis sur la BO influent conjointement sur

les propriétés de la BF. Ce TD a donc pour objectif de montrer cependant comment il est possible malgré tout de les déterminer de manière simple et rapide. 3.1. Premier exemple : détermination d’un correcteur P et D.

Données du problème :

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Considérons un système dont la boucle ouverte se caractérise c aractérise par la FTBO suivante : H ( p)

0,5 0, 5 p.(1 0,3 p).(1 3 p)

.

Le cahier des charges associé au système en boucle fermée est défini par : •

Un temps de réponse à 5% < 5s

•

Un dépassement maxi limité à 25%

•

Une erreur statique nulle.

3.1.1. Evaluation des performances temporelles du système réel :

Pour évaluer les performances de ce système, on procédera par analogie avec un système du second ordre, comme cela a déjà été vu en TD. S ‘agissant cette fois simplement d’une estimation, je vous propose pour faciliter l’identification de considérer que la FTBO peut s e réduire à un second ordre

négligeant le terme associé à la constante de temps la plus faible.

en

1) Proposer une FTBO pour le système réduit et justifier ce choix, 2) Déterminer ensuite les paramètres canoniques de la boucle fermée, 3) A l’aide des abaques définis pour les systèmes du second ordre (voir cours), déterminer l’ordre de grandeur des performances temporelles du système. Conclure…

4) Justifier enfin le choix d’un correcteur P et D. 3.1.2. Caractérisation du système spécifié par le CdCf CdCf :

D’un côté on sait que le système en BF ne respecte pas le CdCf. De l’autre, on va devoir définir les

caractéristiques en BO du système corrigé capable de respecter les spécifications imposées. Pour ce faire, on procédera encore par analogie analogie avec un second ordre.

5) Toujours à l’aide des mêmes abaques, identifier u n second ordre équivalent compatible avec les exigences du CdCf, déterminer alors ses paramètres canoniques, 6) Interpréter ensuite ses caractéristiques harmoniques pour la BF BF dans un premier temps puis pour la BO ensuite, 7) Toujours par analogie, en déduire les propriétés harmoniques en BO du système corrigé. 3.1.3. Calcul des caractéristiques du correcteur :

Connaissant maintenant les propriétés harmoniques en BO du système non corr igé ainsi que celles du système corrigé, il devient aisé de définir les caractéristiques du correcteur. Comme correcteur on retiendra une transmittance du type : C ( p) K.(1 p ) . 8) Montrer qu’il s’agit bien d’un correcteur P et D, 9) Calculer la constante constante de temps du correcteur respectant la contrainte de marge de phase, 10) En déduire enfin le gain du d u correcteur compatible avec la contrainte définie sur la pulsation de coupure en BO.

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3.2. Deuxième exemple : détermination d’un correcteur P et I.

Considérons un système dont la boucle ouverte se caractérise c aractérise par :

H ( p)

k (1 5 p)²

, avec pour

cahier des charges associé en boucle fermée : •

BP > 0,4rad/s (critère équivalent de rapidité)

•

Un dépassement maxi limité à 25%

•

Une erreur statique nulle.

1) Tracer rapidement les diagrammes de Bode de H(p) pour k = 1. 2) Calculer la valeur du gain k qui correspond à une marge de phase de 45°. On veut annuler l'erreur statique de position du système (réglé avec le gain G,) à l'aide d'un correcteur de fonction de transfert :

C ( p)

k c (1

1 p

)

3) Quel est ce correcteur ? Tracer l'allure du diagramme de Bode de ce correcteur. 4) première méthode : on place ce correcteur pour maintenir une marge de phase de 40°. Déterminer et tracer le diagramme de Bode du système corrigé. 5) deuxième méthode : on place le correcteur sur la pulsation de coupure du système (compensation d'un pôle), calculer alors le gain k 2 pour obtenir une marge marge de phase de 45°. Tracer le nouveau nouveau diagramme de Bode du système corrigé. Comparer les deux méthodes. 4. Correction par avance de phase phase (1/3).

Un système est modélisé en boucle ouverte par la fonction H ( p)

k p (1

p )

, avec

4 s .

On réalise un asservissement par retour unitaire. 4.1. Etude du système non corrigé

Tracer les diagrammes asymptotiques de BODE n écessaires … l'étude l'étude de la stabilité du système en boucle fermée. On précisera les valeurs typiques de gain. Déterminer la valeur Ko de K permettant d'obtenir une une marge de phase phase de 45° Pour K= Ko énoncer l'ensemble des propriétés transitoires, en réponse à un échelon en entrée, du système bouclé ( allure de la réponse en sortie, dépassements , erreur de position , temps de réponse). Pour Ko énoncer l'ensemble des propriétés harmoniques du système en boucle fermée. 4.2. Etude du correcteur

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on introduit dans la chaîne directe un correcteur

c ( p )

1 a p 1

p

Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de C(p) Indiquer quel type de correction sera effectuée ici ( sur quelles grandeurs agit - on ?). On veut que le système asservi ait le comportement d'un système du 2ème ordre, sans erreur de position , de facteur d'amortissement z = 0,7 et de temps de réponse à 5% tr = 3s. Définir les paramètres K , a , et du correcteur qui permet de satisfaire ces objectifs…..

Dans ces conditions donner l'allure de la réponse du système bouclé à une consigne de de type échelon. Donner l'allure des diagrammes de phase et de gain du système en boucle fermée 5. Correcteur à avance avance de de phase (2/3)

Considérons la fonction de transfert suivante :

G ( p)

1 p (1

p)(20

p)

Elle est représentative d'un système entraîné par un moteur à courant continu. On souhaite régler r égler ce système à l'aide d'un correcteur et d'un bouclage de l'ensemble pour que le système en boucle fermée présente les performances suivantes : 

D% ≤ 10%



tr 5% ≤ 2s



erreur de traînage ≤ 5 %

On précise également que l'on n'introduira pas d'intégrateur dans le correcteur. Montrez que la contrainte la plus forte sur les trois objectifs à atteindre est celle qui porte por te sur l'erreur de traînage. 1) En calculant les contraintes induites sur la bande passante et la marge de phase par les spécifications de temps de réponse et dépassement, montrez qu'il y a incompatibilité entre celles-ci et celle induite pour satisfaire l'erreur de traînage. 2) Calculez alors un correcteur de type avance de phase, seule structure qui permette de tenir toutes les contraintes. On rappelle qu’un tel correcteur se caractérise par : C ( p )

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1 a p (1

p)

, avec a > 1

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6. Commande de gouvernail (correction par par apport de phase 3/3). 3/3). D’après AIR-PSI-00 AIR-PSI-00

1) Montrer qu’un système ayant pour fonction de transfert F ( p)

k p ².(1 T .p )

est toujours instable

quels que soient les valeurs de K ou de T. 2) Un moteur courant continu continu a excitation séparée a les caractéristiques suivantes: - induit: r et l pour la résistance et l'inductance de l'enroulement, J pour le moment d'inertie du rotor. - inducteur: R et L pour la résistance et l’inductance de l'enroulement. Le moteur qui fonctionne sous tension v constante est commandé par le cour ant inducteur. On considérera que le couple moteur est proportionnel au courant inducteur (C=K.i). Donner la fonction de transfert reliant l'angle de rotation en fonction de la tension V inducteur. Conclusion. 3) Le moteur ci-dessus est utilisé dans d ans un système asservi de commande d'un d' un gouvernail de moment d'inertie JG. Le système est représenté ci-dessous: I (constant) i(t) V(p)

+ -

ec(p)

A

moteur à excitation séparée

inducteur couple

gouvernail

k potentiomètre

a) Faire le diagramme fonctionnel correspondant au schéma ci-dessus; (on considérera que le moteur électrique est relié au gouvernail par un axe d'inertie négligeable de façon à former un ensemble complet de moment d'inertie J) b) Que peut-on dire de ce système ? c) Le système est soumis à un frottement visqueux proportionnel à sa vitesse de rotation; On notera f la constante de proportionnalité. Donner la nouvelle fonction de transfert du sy stème ainsi freiné. d) Que devient le système ainsi freiné? e) Proposer une solution solution technologique pour freiner le gouvernail. PSI - PAU


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4) On considère le circuit électrique suivant: 1

2

Montrer que la fonction de transfert de ce système peut se mettre sous la forme:

R1 E

2

1

C

2 R

1

S

2

R( p)

S E

(1 a. .p ) (1

.p )

avec a 1

R 1 R 2

et

R1R 2 R1

R 2

.C

5) On introduit ce circuit correcteur entre le comparateur et l’amplificateur. Donner la nouvelle équation de la fonction de transfert du système. 6) Que peut-on dire de la stabilité du système ? Comparez avec le système de la question 3)c). Conclusions.

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7. Eléments de correction 7.1. Corrigé partiel de l’exercice 2. 7.1.1. système non corrigé.

Le système est nécessairement stable puisque du premier ordre. L’erreur de position s’exprime par 1/(1+k) en % (classe 0). Pour respecter la BP il faut prendre k = 9. Pour cette valeur la réponse indicielle est bien bi en sûr celle d’un

premier ordre de temps de réponse 3/10xT. 7.1.2. Système corrigé.

Cette fois ci le système devient d’ordre 2 (reste stable de toute façon) et de classe 1 (devient précis

hors perturbation). Pour obtenir une marge de d e phase de 45° ili l faut choisir k = 1/T. Le système a alors une dynamique d’ordre 2 avec m eq = 0,43 donc donne un dépassement de 25% en réponse indicielle. 7.2. Corrigé partiel de l’exercice 4 (correcteur à avance de phase 1/3 ) 7.2.1. Etude du système non corrigé

- Pour le tracé de Bode utiliser l’application mise à votre disposition sur le site. - On trouve k 0 = 0,35 - Le système est stable nécessairement (ordre (ordr e 2), a un dépassement de 25% (m eq = 0,43), et un temps de réponse de 26s environ. Le diagramme de Bode en BF s’obtient aussi à l’aide du logiciel fourni. 7.2.2. Etude du correcteur. Diagramme asymptotique du correcteur (tracé ici avec k=10, a= 10 et T=0.1).

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20 log(kc)+20log(a)

20 log(kc) 1/aT

1/T

1 aT

Il s’agit d’un correcteur à ava nce ou à apport de phase qui permet de modifier la courbe de phase principalement afin de s’éloigner du point critique. Ce correcteur sera donc à mettre avec les

correcteurs Pet D.

Extremum de la fonction On a :

Arc tan(aT )

Pour cette valeur de On trouve aussi sin(

f ( ) : Arc tan(T ) ;

d d

0

aT

T

1 a ²T ² ²

1 T ² ²

le maximum de la fonction vaut alors :

) M

a 1 a 1

qui conduit à : a

1 sin 1 sin

M

M

Arc tan

1

0

a 1

2. a

T a

.

.

. Dans ce cas l’apport de gain vaut : 20

M

log (kc) + 10 log (a). On en déduit que plus la valeur de a est élevée, meilleur est l’apport de phase et que plus le gain kc est réduit moindre est l’apport de gain (ce qui est l’objectif visé). 7.2.3. Correction du système.

On veut que le système corrigé ait une précision de 100% et qu’il ait une dynamique du second ordre (afin d’éviter d’être instable) qui se caractérise par m= 0,7 et tr 5% = 3s. 

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La présence d’un intégrateur dans la F.T.B.O. nous assure a ssure une précision de 100% (système de classe 1). Cahier_exercices_corre Cahier_exercices_correction ction

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

Pour obtenir une dynamique du second ordre il suffit de choisir aT= T 1 de sorte que les deux termes se simplifient dans l’expression de la F.T.B.O. (on parle dans ce cas d’une compensation de

pôle).

Dans ce cas

Où 

FTBO( p )

k0 k n

T

k0 k p(1 Tp )

1

et m

2 k0 kT

1

et FTBF FTBF ( p )

1

1 FTBO( p )

1

1

1 p k0k

T p² k0 k

.

Pour respecter les contraintes m = 0,7 et tr 5% = 3s il suffit de se rappeler que pour m = 0,7 on a tr5%.ωn = 3 ce qui donne ω n = 1 s-1 . k0k

Le système devient alors :

n

1 et m

T

1 2 k0 kT

0,7 d’où l’on tire : k = 2 et T = 0,71.

Ainsi on choisira a = T 1/T = 5,6. Comme correcteur on prendra donc : C( p) 2

1 4 p 1 0,71 ,71 p

D’où la réponse temporelle… Réponse Indicielle 1

.8

.6

.4

.2

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

t

7.3. Corrigé de l’exercice l’exercice 6 7.3.1. stabilité de f(p).

La phase de f(jw) étant toujours inférieure à -180°. on peut donc en déduire que le système est instable en boucle fermée. 7.3.2. Transmittance du moteur

Équations fondamentales : La loi des mailles appliquée à l'inducteur donne: V (t )

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L


di (t ) dt

R.i (t ) .

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Le principe de la dynamique appliqué au rotor conduit à:

C (t )

J .

d²

(t )

dt ²

.

Enfin l'équation de conversion s'exprime par: C(t)=K.i(t) Ce qui donne dans le domaine symbolique : V(p) = (Lp+R)i(p), C(p) = K i(p) C(p) = J.p² Θ(p). La transmittance du moteur est alors: H ( p)

K Jp².( R Lp)

K JR L p ²(1 p) JR

7.3.3. Commande de gouvernail.

Schéma fonctionnel. ampl

mot

ec

PFD

int

1/Jp

1/p

N(s) D(s) A

K/R+Lp mes

k

Avertissement: L'inertie totale à prendre en compte est Jt=J+JG La FTBO s'exprime par FTBO( p)

A.K .k J t p ².( R Lp)

A.K .k J t R L p ²(1 p) J t R

Le système est instable, conformément à ce qui a été dit lors de la première question Nouvelle fonction de transfert. L'équation fondamentale de la dynamique devient ici: C (t )

f

d (t ) dt

d ² (t ) J t . Ce qui donne dans le dt ²

domaine symbolique: C(p)= (Jp²+fp) Θ(p). La fonction de transfert en boucle ouverte devient: FTBO( p )

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A.K .k

A.K .k ( R

Lp)( f

J t p ) p

(1

L R

p)(1

R. f J t f

p) p


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Le système ainsi freiné peut donc être stabilisé en fonction du choix des paramètres ajustables. On peut, pour réaliser ce freinage, lier le gouvernail à un amortisseur angulaire. 7.3.4. Etude du schéma électrique.

La loi des mailles appliquée au circuit permet d'écrire:

E ( p)

R1

1

S ( p)

R2 I ( p) , d'où l'on tire E ( p)

ce qui donne après développement:

S ( p)(1

S ( p) E ( p)

(1 R1Cp ) R2

R1 ( ) I ( p) 1 R1Cp ),

R2 (1 R1Cp ) R1

R2 (1 R1Cp )

S ( p ) avec

1 R1Cp où l'on R1R2 R2 1 Cp R1 R2

R2 R1

.

identifie 1/a et τ. Le paramètre a étant supérieur à 1, on reconnaît un correcteur à avance de phase. 7.3.5. Correction du système.

La nouvelle FTBO devient FTBO( p)

A.K .k 1 (1 a p) R. f J t L a (1 p) (1 p)(1 p) p R f

7.3.6. Stabilité du système.

Comparativement au système décrit dans la question 3c), on peut considérer que la stabilité sera améliorée par apport de phase.

8. Eléments de corrigé

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