INGENIERIA SISMORESISTENTE Vibración Libre no Amortiguada.Ecuación de equilibrio.- Ejemplos de aplicación
Ing. Omart Tello Malpartida
Ecuación de Equilibrio Dinámico Sistema de un grado de libertad u F(t)
m
F I
F D k c
F I + F D + F s = F (t)
..
F s
.. = Fuerza de inercia de = m. u sentido contrario al movimiento. . = c. u = Fuerza de amortiguamiento de sentido contrario al movimiento. = Fuerza elástica de resorte o fuerza recuperadora, de sentido contrario al movimiento.
= k. u
.
m. u + c. u + k. u = F (t) Ingeniería Sismorresistente
Ing. Omart Tello Malpartida
Ecuación de Equilibrio Dinámico Para el caso de excitación sísmica, la única carga externa tiene la forma de un movimiento aplicado al nivel del suelo, u g (t) ,entonces la
Sistema de un grado de libertad u t u
m
aceleración total de la masa “m” es:
.. .. .. u t = u + u g .. .. .. F I = m. u t = m.( u + u g )
k c
F I + F D + F s = 0
..
..
.
m.(u + u g ) + c. u + k. u = 0 u g
F eff (t) = Fuerza efectiva resultante
del movimiento del suelo Ingeniería Sismorresistente
..
.
..
.
..
m.u + c. u + k. u = - m.u g m.u + c. u + k. u = F eff (t) Ing. Omart Tello Malpartida
Vibración libre, sin amortiguamiento F eff (t) = 0
c=0
; Movimiento periódico
..
m.u + k. u = 0
..
u + (k/m). u = 0
Haciendo : ..
w 2 = k / m
u + w 2 .u = 0
Ecuación diferencial lineal de 2do orden homogénea ;
w = Frecuencia circular del sistema Solución : u = A. cos w t + B. sen w t . u = -A. w .sen w t + B. w. cos w t Calculo de constantes de integración A y B Para condiciones iniciales :
Ingeniería Sismorresistente
Para t = 0 Para t = 0
u o = A . u o = B. w
A = u o . B = u o / w
Vibración libre, sin amortiguamiento Reemplazando :
u = A. cos w t + B. sen w t . u = -u o . cos w t + (u o / w) . sen w t Donde : u o = Desplazamiento inicial . u o = Velocidad inicial u
T . u o
C
u o t
Vibración libre, sin amortiguamiento Del grafico anterior :
w = Frecuencia Circular o Natural del Sistema. (rad/seg)
=
k/m
T =
Periodo de vibración del Sistema, tiempo necesario para efectuar un ciclo completo de vibración. (seg)
=
2. p / w
f =
frecuencia de vibración, numero de vibraciones en la unidad del tiempo. (ciclos/seg , hertz)
=
1 / T
C =
Amplitud, desplazamiento máximo con respecto ala posición media.
=
(u o ) 2 + (u o / w ) 2
Ingeniería Sismorresistente
.
Ing. Omart Tello Malpartida
Vibración libre, sin amortiguamiento
.
Ingeniería Sismorresistente
Ing. Omart Tello Malpartida
Ejemplo:
Determine la Ecuación de movimiento.
Ingeniería Sismorresistente
Ing. Omart Tello Malpartida
Ejemplo: Determine la frecuencia natural del sistema mostrado en la figura, que consiste en una carga de 100kg aplicado en una viga en voladizo a través de un resorte k 2. La viga tiene un espesor t = 0.5 cm. , un ancho b = 5cm, un modulo de elasticidad E = 2.1x106 kg/cm2 y una longitud L = 50 cm. La constante k2 = 2kg/cm.
