SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA, METALURGICA METALURGICA Y GEOGRAFICA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
Esfuerzo de flexión en elementos de diferentes materiales. mater iales.- Compo Comportami rtamiento ento en flexión flexión de vigas vigas de de concreto Armado.
Ing. Omart Tello Malpartida
Flexión de Elementos Hechos de Varios Materiales • Considerando una viga de material compuesto formado a partir de dos materiales con E 1 y E 2. • Deformación normal varía linealmente. x
y
• Variación lineal del esfuerzo normal por material. 1
E 1 y
E 1 x
E 2 y
E 2 x
2
El eje neutro de la sección no pasa por el centroide de la sección compuesta . • Las fuerzas elementales en las secciones E y dF 1 1dA 1 dA
My
x
1
x
dF 2
E 2 y
2 dA
• Sección transformada de manera que:
I 2
n x
dF 2
nE 1 y
E y dA 1 n dA
n
E 2 E 1
dA
Ejemplo 1.0
Una barra obtenida uniendo piezas de acero (E s = 29x10 6 psi) y latón (E b = 15x10 6 psi) tiene la sección mostrada en la figura. Determinar los esfuerzos máximos en el acero y el latón cuando se aplica un momento de M=40 Kips.in .
Ejemplo 1.0 • Sección transformada: Transformar la barra a una sección equivalente hecha de latón. n
E s E b
29 106 psi 6
15 10 psi
1.933
bT 0.4 in 1.933 0.75 in 0.4 in
2.25 in
• Eje neutro: Dado que la sección transformada es simétrica, el eje neutro es c = h/2=1.5 in
• Momento centroidal de inercia : de la sección transformada 1 b h3 I 12 T
121 2.25 in.3 in.3
5.063 in.4
Ejemplo 1.0
• Esfuerzos máximos m
c I
40 kip in.1.5 in. 4
5.063 in.
11.85 ksi
b max m s max n m 1.933 11.85 ksi b max 11.85 ksi s max 22.9 ksi
Ejemplo 1.0 Una viga de acero en T se ha reforzado colocándole dos pedazos de madera como se muestra en la figura. El modulo de elasticidad es 12.5 Gpa para la madera y 200 Gpa para el acero . Considerando que se aplica un momento flector M= 50 kN.m a la viga compuesta. Determinar a) El esfuerzo máximo en la madera b) el esfuerzo en el acero a lo largo de la fibra neutra..
Ejemplo 2.0 • Sección Transformada : Se calcula la razón n n
E s Ew
200Gpa 12.5Gpa
16
Multiplicando las dimensiones horizontales de la porción de acero por n=16 , se obtiene la sección transformada de madera • Eje Neutro: Pasa por el centroide de la sección transformada Y
yA
A
(0.160m)(3.2m 0.020 m) 0 3.2m 0.020m 0.470m 0.300 m
0.050m
• Momento centroidal de Inercia: Aplicando teorema de ejes paralelos. I 121 (0.470)(0.300) 3 (0.470 0.300)(0.050) 2 3
Ejemplo 2.0 a) Máximo esfuerzo en la madera: La fibra de madera mas alejada del eje neutro es c2=0.200m w
Mc2 I
50 10
3
N.m 0.200m.
2.19 10-3 m.4
4.57 Mpa
w max 4.57 Mpa
a) Máximo esfuerzo en el acero: La fibra de acero mas alejada del eje neutro es c1=0.120m s
Mc n 1 I
16
50 10
s max 43.80 Mpa
3
N.m 0.120m.
2.19 10-3 m.4
43.80 Mpa
Vigas de Concreto Armado • Vigas de concreto reforzado sometidas a momentos de flexión se refuerzan con barras de acero. • Las varillas de acero toman toda la carga de tracción por debajo del eje neutro. El concreto de la parte superior de la viga tomara la carga de compresión.. • En la sección transformada, el área de la sección transversal del acero A s ,se sustituye por el área de concreto equivalente nA s donde n = E s / E c. • Para determinar la ubicación del eje neutro, x
bx n A s d x 0 2
1 b x 2 2
n A s x n A s d 0
• El esfuerzo normal en el concreto y el acero My
x
c
x
I s
n x
Ejemplo 3.0
Una losa de concreto para piso esta reforzada con varillas de acero 5/8 in. de diámetro colocadas a 1.5 in. por encima de la cara inferior de la losa y espaciadas a 6 in. entre centros. El módulo de elasticidad es 29x106 psi para el acero y 3.6x106 psi para el concreto. Considerando que un momento de flector de 40 kip.in se aplica a cada tramo de 1 ft de ancho de losa, determine. a) El esfuerzo máximo en el concreto b) El esfuerzo en el acero.
Ejemplo 3.0 SOLUTION: • Transformar a una sección hecha de concreto. E s
n
E c
nA s
29 106 psi 6
3.6 10 psi
8.06
2 8.06 2 4 85 in 4.95 in 2
• Evaluar las propiedades geométricas de la sección transformada.
x 12 x 4.954 x 0 2
x 1.450 in
3 2 I 1 12 in 1.45 in 4.95 in 2 2.55 in 3
44.4 in 4
• Calcular los esfuerzos máximos. c1
c
s
n
I
Mc2 I
40 kip in 1.45 in 44.4 in
8.06
4
40 kip in 2.55 in 44.4 in
4
c
1.306 ksi
s
18.52 ksi
Ejemplo 4.0
Calculo de Eje Neutro (E.N) b
b
f c
K.d E.N
d
d
h
T = f s . As
As
M
E.N
0
Kd b.Kd n.As(d Kd) 2 b.
( Kd )2 2
. .K 2 bd 2
n As
n.As.d(1 K)
n.As(1 K) As (1 K ) . bd
K2 2.n.
Haciendo:
ρ=
As b.d
: Cuantia de acero en t raccion
2.n. .(1 K ) K 2 (2.n. ) K 2.n. 0 K 2
K
(n. ) 2 2( n. ) n.
Calculo de esfuerzos b
f c
K.d
K.d d
h
n As
y = K.d/3 C = (Kd)(f c).b/2
T = f s . As
J.d = d- K.d/3 J = 1- K/3 f c
Mc = 0 M = T. Jd = (As.fs)Jd fs = M/As. Jd MT = 0 M = C. Jd = (Kd.fc.b/2).Jd fc = 2M/Kd. Jd.b
C = (Kd)(f c).b/2
M T = f s . As
Ejemplo: EEA
En la sección de concreto armado indicado en la figura, calcular los esfuerzos en el concreto y el acero, cuando se aplica el momento flector de 11 t-m. 25 f’c = 210 k/cm2 fy = 4200 k/cm2 d = 59 cm.
h = 65 cm.
As
As = 3 1” M (+) = 11 t-m = 11 x 10 5 k-cm
6 cm. Centroide del grupo de varillas
Sección Transformada 25
b K.d d = 59 cm.
h = 65 cm.
As
As = 3 1” = 3 ( 5.1 cm 2)= 15.3 cm2 n. As = 9 (15.3 cm2) = 137.7 cm2
d
h
n As
Calculo de Eje Neutro (K.d): b = 25
b
f c
K.d = 20.53
E.N
T = f s . As
As
Hacien do:
ρ =
As b. d
: Cuantia de acero en t raccion
2.n. .(1 K ) K 2 (2.n. ) K 2.n. 0 K 2
K
d
d = 59
h = 65
( n. ) 2
2( n. ) n.
n As
= 15.3/25x59 = 0.0103 n. = 0.093 K = 0.348 K.d = 20.53 cm
44.47
Esfuerzo en el concreto ( fc) y acero (fs) b = 25
b
f c
K.d / 3 C
d = 59
h = 65
As
K = 0.348 K.d = 20.53 cm J = 1 - K/3 J = 0.884 J.d = 52.16 cm
