C actividades nema12_cp_res.pdf

Índice Caderno Prático 1 Cálculo combinatório

2

2 Probabilidades

7

reais de variável variável real 3 Funções reais

12

4 Funções exponenciais e logarítmicas

17

5 Funções trigonométricas

24

6 Primitivas. Cálculo integral

30

7 Números complexos

33

1

Propostas de Resolução Caderno Prático –

Novo Espaço A 12

Unidade 1 Cálculo combinatório

1. Propriedades das operações entre conjuntos PÁG. 4

1. 1.1. A { 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3} B {1 , 2 , 3} C { 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3}

∩ (A ∪ P ) = {A3 , A5 , A7 , P 3 , P 5} e (B ∩ A) ∪ (B ∩ P ) = {A3 , A5 , A7 , P 3 , P 5} ‾ ∪ B ) = A‾ ∪ (A ∪ B ) = A‾ ∪ B = ]2 , 5] A ∩ (A 5. ‾ b) B

PÁG. 6

=− − − = =− − −

6. 6.1. A a) ‾

1.2. a) Verdadeiro. (Repara que B A .)

⊂

− 2 ∈ C e − 2 ∉ B .) .) c) Verdadeiro. (Repara que A ∩ B = {x : : x ∈ A ∧ x ∈ B } . Daqui resulta que A ∩ B ⊂ A .) que, por exemplo, 0 ∈ C e 0 ∉ B . . d) Falso. (Repara que, Então, 0 ∉ B ∩ C .) .) b) Falso. (Repara que, por exemplo,

∩ B = {4 , 8} b) A ∪ B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} A ∩ C = {2 , 4 , 6 , 8} c) ‾ A = {} d) C \ A = C ∩ ‾ A = B ∩ A = {2 , 6} e) B \ ‾ ‾B = ‾A ∩ B = {4 , 8} A ∪ B f) ‾ 6.2.

∈ ∧ x ∈ B } {x : : x ∈ ‾A ∧ x ∈ B } {x : : x ∈ ‾A ∨ x ∈ C } {x : : x A

2. 2.1. B {b , c , e}

= ‾B = {a , , d , , f } 2.2. A ∩ B 3. C ∩ (A ∪ B ) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B ) = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

●

●

‾ C ∪ A C

●

●

‾ A ∩ B

●

●

A

∩ B

7. 7.1. A C {(a , e) , (a , f ) , (b , e) , (b , f ) , (c , e) , (c , f )}

× =

PÁG. 5

4. 4.1. A {A2 , V {V 1 , B {A3 , C {A2 ,

= = = =

A3 , A5 , A6 , A7} ; P

= {P 3 , P 5 , P 8} ;

V 2 , V 3 , V 4 , V 6 , V 9} ;

A5 , A7 , P 3 , P 5 , V 1 , V 3 , V 9} e A6 , V 2 , V 4 , V 6 , P 8} .

4.2. a) A C {A2 , A6} B V C {V 2 , V 4 , V 6} B b) V ‾ C P {A3 , A5 , A7 , P 3 , P 5 , P 8 , V 1 , V 3 , V 9} C c) ‾ B {A2 , A6} B d) A \ B A ‾

∩ = ∩ = ∩ = ∪ = = ∩ =

× (B ∩ C ) = {(a , e) , (b , e) , (c , e)} (B \ C ) × A = {(c , a ) , (c , b) , (c , c) , (d , a ) ,

7.2. A 7.3.

(d , b) , (d , c)}

∈ × ⇔ ∈ ∧ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ ∧ ∈ ∈ × × ⊂ ×

x A y B . . 8. (x , y ) A C Mas, x A x B e y C y D . . Se x B y D então (x , y ) B D . . Conclui-se que (A C ) (B D ) .

4.3. a) P A

A2 P8 A6 A3 P3 A5

P5

A7

V1

V3

V9

B

2


Novo Espaço A 12

2. Introdução ao cálculo combinat combinatório ório PÁG. 7

9. 9.1. A {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } e B {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} (A B ) A B 12 6 72 . Podem escrever-se escrever-se 72 números diferentes.

=

= # × =# ×# = × = = # × =# ×# = × =

=

9.2. B {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} e C {10 , 11 , 12} (C B ) C B 3 6 18 . Podem escrever-se escrever-se 18 números de três algarismos.

=

9.3. A {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } e D {2 , 4 , 6} (D A) D A 3 12 36 . Podem escrever-se escrever-se 36 números pares.

= # × =# ×# = × = = = # × =# ×# = × =

9.4. E {5} e F {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } (E F ) E F 1 9 9 . Podem escrever-se escrever-se 9 números de dois algarismos e múltiplos de 5 . 10. 10.1.

N

V 11

13. 13.1. X {0 , 1 , 2 , 3 , 4} ; Y {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } e Z {0 , 1 , 2 , 3 , 4} (X Y Z ) 5 10 5 250 . Há 250 pontos.

= =

=

# × × = × × = 13.2. X ′ = {1 , 2 , 3 , 4} ; Y ′ = {9} e Z ′ = {1 , 2 , 3 , 4} # (X ′ × Y ′ × Z ′) = 4 × 1 × 4 = 16 . Há 16 pontos. PÁG. 9

14. 14.1. 4A 3 43 64

′= = 14.2. 4A′5 = 45 = 1024 15. O total de números da listagem do Luís é dado por: 9 10A 3 9 103 9000 O total de números da listagem da Joana é dado por: 9 10A 2 9 102 900 9000 900 8100 . A listagem do Luís Luís tem mais 8100 números do que a listagem da Joana.

× ′= ×

=

× ′= × − =

=

′× ′=

− =

10.2. 28 12 16 . Há 16 alunos que praticam apenas uma das duas modalidades.

=

′= =

17. 3A 4 34 81 . Há 81 respostas diferentes possíveis. PÁG. 10

18. Há seis clipes diferentes para ocupar seis “lugares”. O número total de sequências é: 6! 6 5 4 3 2 1 720

= × × × × × = × = ×

PÁG. 8

=

11. M {alunos que têm Matemática} ; F {alunos que têm Física} (M F ) 30 2 28

# ∪ = − = # (M ∪ F ) = #M + #F − # (M ∩ F ) ⇔ ⇔ 28 = 25 + 12 − # (M ∩ F ) ⇔ # (M ∩ F ) = 9 Há 9 alunos que têm têm Matemática e Física.

12. 12.1. A {rapazes que fazem parte do clube de teatro} ; B {raparigas que fazem parte do clube de teatro} ; A 5 ; B 6 e (A B ) 5 6 30 . Há 30 escolhas possíveis.

=

= # = # =

×

16. 26A 2 10A 4 262 104 6 760 000 Há 6 760 000 passwords diferentes. diferentes.

12 5

=


# × = × =

× =

12.2. 4 6 24 . Excluindo o Bernardo, há 24 escolhas possíveis.

=

19. 2! 6! 2 720 1440 . Há 1440 sequências diferentes. 20. 20.1. Começa em rapaz (R) seguido de menina (M): R M R M R M 3! 3! Ou começa em menina (M) seguida de rapaz (R): M R M R M R 3! 3! Número total de maneiras para a distribuição de lugares: 3! 3! 3! 3! 72

×

×

× + × =

20.2. Começa em rapaz (R) seguido de menina (M): R M R M R 3! 2! Não é possível começar em menina. Repara que:

×

M R M R R

Número total de maneiras para a distribuição de lugares: 3! 2! 12

× =

× =

12.3. 1 6 6 . Se o Bernardo é escolhido há 6 possibilidades de escolha.

3


Novo Espaço A 12

21. (n 1) ! 2n! 21.1. __________ 5 3n! n 1 15 n 16

+ − = ⇔ _________ n! (n + 1 − 2) = 5 ⇔ 3n! ⇔ − = ⇔ = (2n)! (2n + 1) (2n + 1)! 21.2. _______ = 16 − n ⇔ ___________ = 16 − n ⇔ (2n)! (2n)! ⇔ 2n + 1 = 16 − n ⇔ n = 5 PÁG. 11

22. 10! 22.1. 10A4 _______ 10 9 8 7 5040 (10 4) ! 9! 9! 9 8 7 504 ___ 22.2. 1 9A3 ______ (9 3) ! 6! 5! 5 4 3 2 120 22.3. 5A4 ______ (5 4) !

=

×

−

= × × × =

= −

= = × × = = × × × =

= −

23. 23.1.

25

A3

=

25! 25! 25 24 23 13 800 _______ ____ (25 3) ! 22!

=

−

= × × =

21! 21! 21 20 19 18 ____ 23.2. 21A4 _______ (21 4) ! 17!

=

= 143 640

=

−

= × × × =

24. 30! 30! 30 29 28 27 26 ____ 24.1. 30A5 _______ (30 5) ! 25!

=

=

−

= × × × × =

= 17 100 720 14! × ____ 10! = 14 × 13 × 10 × 9 × 8 = 24.2. 14A2 × 10A3 = ____ 12! 7! = 131 040 PÁG. 12

25. 28! 98 280 25.1. 28C 5 _________ 5! (28 5) ! 26! 2600 25.2. 26C 3 _________ 3! (26 3) ! 18! 8568 25.3. 18C 5 _________ 5! (18 5) !

= =

−

= =

−

=

−

=

26. 8! 28 26.1. 8C 2 ________ 2! (8 2) ! 8! 56 26.2. 8C 3 ________ ( 3! 8 3) !

= =

27. 27.1. 9C 4

− −

= =

× 6C 2 = 126 × 15 = 1890 27.2. 9C 6 + 9C 5 × 6C 1 + 9C 4 × 6C 2 = = 84 + 126 × 6 + 126 × 15 = 2730


PÁG. 13

28. 28.1. a) 7! 5040

= b) 4A2 × 5! = 1440 c) Há quatro rapazes mais um grupo de três raparigas. Permutações destes “cinco elementos”: 5! Permutações dos elementos do grupo das três raparigas: 3! 5! 3! 720

× =

d) Há dois grupos, um de quatro rapazes e outro de três raparigas. 2! 4! 3! 288

× × =

28.2. O grupo pode ter duas raparigas e três rapazes ou três raparigas e dois rapazes. 3 C 2 4C 3 3C 3 4C 2 12 6 18

×

+ ×

= + =

29. O algarismo dos milhares tem seis possibilidades. Das restantes três posições, escolhem-se duas para serem ocupadas com o 7 . A posição restante pode ser ocupada por qualquer algarismo diferente de 7 . 6 3C 2 9 162

×

× =

PÁG. 14

30. 30.1. 9A3 504

=

× × = 30.3. 1 × 10 × 1 × 1 = 10 30.2. 1 10 5 50

31. 31.1. 10A 4

′ × 5A′2 = 104 × 52 = 250 000 31.2. 10 × 4C 2 × 9A2 × 5A2 = 86 400 31.3. Tópicos I:

3 – número de possibilidades para o algarismo dos milhares (5 , 7 ou 9) . 4 A3 – número de possibilidades de escolher três nos restantes quatro números ímpares. 5 A2 – número de possibilidades de escolha das duas vogais.

II: 5

A4 – total de números de quatro algarismos todos ímpares e diferentes. 2 4A3 – total de números de quatro algarismos ímpares diferentes e menores que 4000 . 5 A2 – número de possibilidades de escolha das duas vogais.

×

4


Novo Espaço A 12


3. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton

PÁG. 15

32. 32.1. 9A4

× 5C 3 = 3024 × 10 = 30 240 32.2. 3 × 6A4 = 3 × 360 = 1080 32.3. 7C 3 × 4! = 35 × 24 = 840 33. 33.1. a) 6A5 720 b) 2 3! 3A2 72 c) 3 3 2 4A3 432

=

× × = × × × = 33.2. 5A′2 × 9A′3 × 3A′5 = 52 × 93 × 35 = 4 428 675

PÁG. 16

34. 34.1. nC 0

+ C 1 = 16 ⇔ 1 + n = 16 ⇔ n = 15 34.2. 15C 2 = 105 n

34.3. Na linha seguinte há 17 números. O maior é o que ocupa a posição central. 16C 8 12 870

=

= = =

35. nC n−1 nC 1 n 16 Na linha anterior, o valor de n é 15 e a soma de todos os elementos é igual a 215 32 768 .

= 36. 1365 + b = 4368 ⇔ b = 3003 ; c + 4368 = 6188 ⇔ c = 1820 ; a + 1365 = 1820 ⇔ a = 455 a = 455 ; b = 3003 e c = 1820

37. 37.1. nC 2 300 1 n 300 326

+ +

=

∧ C 0 + C 1 + C 2 = 326 ⇔ = ⇔ n = 25

37.2. 26C 24 ; 325 ; 26 ; 1

n

n

n

26

C 25 ; 26C 26 , ou seja, 26C 2 ; 26C 1 ; 26C 0

=

37.3. 224 16 777 216 PÁG. 17

38. n2 n _____ 78 n 2 n 156 0 38.1. u n 78 2 n 12 O número 78 aparece na 14.a linha e, nessa linha, tem13 -se: 13C 0 13C 1 C 13 Nesta linha há 14 elementos.

⇔ =

= ⇔ + = ⇔ + −

= ⇔

…

38.2. 2 ( n 1) n 1 _____ n2 n ___________ a) u n+1 u n 17 17 2 2 n 1 17 n 16 u 17 u 16 17 O termo u 16 pertence à 18.a linha do Triângulo de Pascal. O antepenúltimo elemento dessa linha é 17 C 15 17C 2 136 .

− = ⇔ + + + − + = ⇔ ⇔ + = ⇔ = − = =

=

b) O maior dos dois termos é u 17 e pertence à 19.a linha do Triângulo de Pascal. 19 A linha seguinte é a 20.a, ou seja, 19C 0 19C 1 C 19 . (20 elementos)

…

A soma dos 10 primeiros elementos é igual a 219 262 144 . ___ 2

=

5


Novo Espaço A 12


PÁG. 18

=

39. n 16 16

C 5

+ 16C 9 = 4368 + 11 440 = 15 808

40. 3 40.1. (1 2x ) x 3

−

+

3

= ∑ 3C 13− (− 2x ) = 1 − 6x + 12x 2 − 8 =

k 0

k

5

5

k

k

= ∑ 5C x 5− (x 2) = = 0 5 6 7 = x + 5x + 10x + 10x 8 + 5x 9 + x 10 40.2. (x x 2)

41. 41.1. x _2_ x 6−2k

k

k

k

k

6

k

6

6

( − x ) = ∑= 0 6 C x 6− (− _2x _) = ∑= 0 (− 2) k

k

k

k 6

C k

k

O termo independente de x resulta quando k 3 . 6 2k 0

− = ⇔ =

41.2. O termo é

− 160 .

− = ⇔ k = 1

41.3. 6 2k 4 41.4. O termo é 42.

− 12x 4 .

− = ⇔ =

6 3k 0 k 2 . 42.1. _____ 2 O termo independente de x é: 6C 2 x 0 15 .

=

42.2. 28x 42.3. 66 42.4. n = 7

6


Novo Espaço A 12

1. Espaços de probabilidade PÁG. 19

= =

1. E {M , B , C } (E ) {{} , {M} , {B } , {C } , {M , B } , {M , C } , {B , C } , {M , B , C }}



2. 2.1. a) Seja o espaço amostral. {A , B , C , D , E , F , G , H , I } b) Seja ( ) o espaço de acontecimentos. ( ) 29 512

Ω=

Ω

Ω

# Ω = =

2.2. a) M {C , D , G , H}

= b) R ∪ T R ∪ T = {C , G , H } ∪ {C , H } = {C , G , H } R ∩ M c) ‾ ‾R ∩ M = {A , B , D , E , F , I } ∩ {C , D , G , H } = {D} PÁG. 20

3. 3.1.

Ω= {Amarela 1 , Verde 2 , Vermelha 3 , Vermelha 4 , Amarela 5 , Amarela 6 , Verde 7 , Verde 8}

3.2. a) C e D . Pois C D {} e C D

∩ = ∪ ≠ Ω . b) A e E . Pois A ∩ E = {} e A ∪ E = Ω . 3.3. a) A

∩ B é um acontecimento elementar; A ∩ B = {Verde 2} . #A ∩ B = 1 b) C ∩ E é um acontecimento composto; C ∩ E = {Amarela 1 , Amarela 5} . #C ∩ E > 1 c) A ∪ B não é o acontecimento certo. “Amarela 1” ∉ A ∪ B . A ∪ B é diferente do espaço amostral.

∩ = ∪ =

‾ B ‾ D B D {Amarela 1 , Amarela 6 , Verde 8} 3.4. ‾

Unidade 2 Probabilidades

5. 5.1. a) _1_ 3

b) (azul, azul, vermelha) ou (vermelha, azul, azul) 2 1 1 1 2 1 _2_ __________________ 3 2 1 3

× × + × × = × ×

5.2. a) (azul, azul, azul) ou (vermelha, vermelha, vermelha) 8 ___ 9 _1_ 2 2 2 ________ 1 1 1 ___ 1 ___ ________ 3 3 3 3 3 3 27 27 27 3

× × + × × = + = = × × × ×

b) (azul, vermelha, vermelha) ou (vermelha, azul , vermelha) ou (vermelha, vermelha, azul) 3 (2 1 1) _2_ _____________ 3 3 3 9

× × × = × × 2 C 1 × 1C 1 _____ ________ = 2 × 1 = _2_ 5.3. C 2

4. 4 C 2 ___ 6 _3_ 4.1. p ___ 5 5 10 C 3

=

= =

4

C 3 ___ 4 _2_ 4.2. p ___ 5 C 3 10 5

=

3

= =

C 1 ___ 3 4.3. p ___ 5

=

C 3

= 10

3

PÁG. 22

6. 6.1. 2 a) ___ 10 5 b) ___ 10

= _15_ = _12_

3 c) ___ 10

6.2. a) Ambas vermelhas ou ambas amarelas: 13 4 4 _______ 6 6 ___ _______ 10 10 10 10 25

× + × = × ×

b) A primeira com número par e a segunda com número ímpar ou a primeira com número ímpar e a segunda com número par: 5 5 _______ 5 5 _1_ _______ 10 10 10 10 2

× + × = × ×

6.3. C 1 × C 2 ____ = 60 = _1_ a) ________ 10 4

6

120 2

C 3

4

PÁG. 21

3

3

+6 =

C 3 C 3 ____ 24 _1_ b) ________ 10 5 120 C 3

7. 5 C 3 2 4C 3 ___________ 7.1. 15

+ × C 3

=

18 = ____ 455

13

7.2. 1

C 3 __________ 13 455 − 286 = ___ − ____ = 15 455 35 C 3

7


Novo Espaço A 12

PÁG. 23


PÁG. 25

8. 8.1. a) O acontecimento “escreve um número múltiplo de 5” é impossível. A probabilidade é 0 . A2 − 2 _4_ _2_ b) _______ = = 3 3

6 3

A2

c) Nas condições apresentadas qualquer número é menor que 87 . Então, a probabilidade pedida é igual a 1 . 8.2. Na figura, o número representado por “?” pertence ao conjunto {2 , 4 , 6} . Se o número é 2 , a probabilidade de escrever um 3 (2 1) _1_ A ___________ número maior que 25 é 2 3 . 2 A2 A soma dos números das três bolas é 1 2 8 11 .

− + = + + =

9.

2 × (3C 2 × 1) ___ 1 6 = ___ ___________ 9.1. = 6! 60 10 _______ 3 ! × 2 ! 4! 3 C 2 × _______ 3 ! = ___ 12 = _1_ 9.2. ___________ 6! 60 5 _______ 3! × 2 ! PÁG. 24

10. 1 1 ___ 10.1. ___ 4! 24

= 3 × 3 ! = _3_ 10.2. ______ 4!

4

13. 13.1. a) P (A

∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) P (A ∪ B ) = 0,4 + 1 − 0,7 − 0,2 = 0,5 B) b) P (A ∩ ‾ B) = P (A) − P (A ∩ B ) = 0,4 − 0,2 = 0,2 P (A ∩ ‾ ‾ ∩ B‾) = P (A‾ ∪ B ) = 1 − P (A ∪ B ) = 1 − 0,5 = 0,5 13.2. P (A A∩‾ B ) ≠ 0 , os acontecimentos ‾ A e ‾ B são Como P (‾ PÁG. 26

# = ⇒# = − + =

E

# = ⇒ #T = 18 ;

T

6

12

∩ = = _18_

6 11.1. P (T E ) ___ 48 12 11.2. P (T ‾E ) ___ 48

∩ = = _14_

30 5 T ) ___ __ 11.3. P (E \T ) P (E ‾ 48 8

=

∩ ‾B) = P (A) − P (A ∩ B ) Ω = ‾B ∪ B , então A ∩ Ω = A ∩ (‾B ∪ B ) , ou seja, A = (A ∩ ‾ B) ∪ (A ∩ B ) . B) ∪ (A ∩ B )) . Assim, P (A) = P ((A ∩ ‾ B) + P (A ∩ B ) , ou seja, Daqui resulta que P (A) = P (A ∩ ‾ P (A ∩ ‾ B) = P (A) − P (A ∩ B ) . A ∪ B ) − P (A ∩ B ) = P (‾ A) b) P (‾ P (‾ A ∪ B ) = P (‾ A) + P (B ) − P (‾ A ∩ B ) P (‾ A ∪ B ) = P (‾ A) + P (B ) − (P (B ) − P (A ∩ B )) = P (‾ A) + P (A ∩ B ) A ∪ B ) − P (A ∩ B ) = P (‾ A) . Daqui resulta que P (‾ A) = P (‾ A ∪ B ) − P (A ∩ B ) 12.2. P (‾ P (‾ A) = 0,65 − 0,1 = 0,55

compatíveis.

E T 3 E 36 ; ___ __ 11. ___ 0,75 48 48 8 48 (36 18) 6

30

12. 12.1. a) P (A

∩ = =

14.

5

× 10 = ′× ′

A3 A5 ___________ 1 814 400 0,145 . 14.1. _________ 5 10 A3 A 5 12 500 000

≈

Aproximadamente, 14,5% . 3 × 4A′2 × 5C 2 × 9A3 ________________ 3 × 42 × 10 × 504 = ________________ = 14.2. 5 12 500 000 A′3 × 10A′5 241 920 ≈ 0,019 . = __________ 12 500 000 Aproximadamente, 2% . 15. 15.1. 5! 120

=

1 0,008 . 15.2. ____ 120 Aproximadamente, 0,008 .

≈

8


Novo Espaço A 12

16. 1 2 ! 4 ! ___ 16.1. ____ 6! 15 5 ! 2 ! _1_ a) ____ 6! 3 1 3 ! 3 ! 2 ! ___ b) ______ 10 6! 4 5 ! _2_ c) _____ 6! 3


PÁG. 29

=

21. Número total de caminhos possíveis: 10 C 5 5C 5 252

×

=

=

Número de caminhos que passam pela casa da Luísa:

=

(4C 2 × 2C 2) × (6C 3 × 3C 3) = 6 × 20 = 120

11 120 ____ 132 ___ Seja p a probabilidade pedida: p 1 ____ 252 252 21

= −

× =

=

=

22.

PÁG. 27

17. 17.1. 5 ! 3 ! _1_ a) ____ 7! 7 4 ! 4 ! 1 b) 1 ____ 7!

22.1. Para a linha ter 11 elementos, o número da bola deve ser igual a 210 1024 .

=

A probabilidade é _1_ .

=

−

=

17.2. 6! 2! a) ____ 7! 2! 5! b) ____ 7!

4

n

35 35

<

=

A probabilidade é _1_ . 2

= _27_

× (1 + n) = 38 ⇔ n = 18 (a linha tem 19 elementos) 2 C 170 ____ 23.1. 1 − 19 2 = ____ C 171 23. 2

1 = ___ 21

2

23.2. Há nove pares de elementos iguais. 1 9 ____ 9 ___ ____ 19 19 171 C 2

18.

7! ______ 3 ! 2 ! 2 ! = __ 7! = _1_ 18.1. ______ 8! 8! 8 ______

=

3!2! 2!

×3

6

<

22.2. C 2 20 . Tem-se n 7 . O número da bola deve ser menor que 27 128 .

31 − ___4 = ___

=

C 3 C 2 5 60 ___ _____ 18.2. ____________ 8 5 3 C 3 C 2 C 2 1680 14

×

×

=

=

1 4! 4!3!2!2! ___ ________ 18.3. ______ 8! 8! 70 ______ 3!2!2!

=

=

PÁG. 28

19.

4

1 ____ = C 126 C

4 19.1. ___ 9 4

5

5 ____ = C 126 C

4 19.2. ___ 9 4

C 1 × C 3 ____ 20 19.3. _______ = 40 = ___ 4

5

9

126 63

C 4

×

2 6C 1 ____ 2 12 ___ 19.4. ______ 9 21 126 C 4

=

=

20.

× 9C 2 × 7A4 = 6 652 800 4 × 9C 2 × 7A4 ________ 1 120 960 = ___ 20.2. ____________ = 12 9 7 C 3 × C 2 × A4 6 652 800 55 20.1. 12C 3

9


Novo Espaço A 12


27.

2. Probabilidade condicionada

0,02 5 —

PÁG. 30

A

12

24. 24.1. Alunas

Alunos

10.º

16

34

50

11.º

23

17

40

12.º

7

3

10

5 27.1. ___ 12

46

54

100

27.2. 0,96

0,04

D D

B

0,96

D

14 7 0,96 ____ 27.3. ___ 12 25

×

24.2. 54 0,54 a) ____ 100

=

=

∩ = ∩ = P (D ) P (A ∩ D ) + P (B ∩ D )

P (A D ) P (A D ) 27.4. P (A | D ) ________ _________________

=

34 0,34 b) ____ 100

=

+ =

0,98

7 — 12

Ano de escolaridade

D

5 × 0,02 ___ 5 12 ___ = __________________ = 5 × 0,02 + ___ 7 × 0,04 19 ___

23 7 ____ 30 0,3 c) ______ 100 100

=

12

8 16 ___ 24.3. ___ 46 23

=

12

PÁG. 32

28. P (A) P (B ) P (A B ) 0,8 28.1. P (A B ) 0,8 0,7 0,4 P (A B ) 0,8

17 24.4. ___

∪ = ⇔ + − ⇔ + − ∩ = P (A ∩ B ) = 0,3 P (B ∩ A) 0,3 28.2. P (B | A) = ________ = ___ = _3_ 0,7 7 P (A)

40

25. 11 25.1. ___ 51

4 25.2. ___ 51

∩ = ⇔

P (‾ A B ) P (B ) P (A B ) A | B ) _________ ______________ 28.3. P (‾

PÁG. 31

26.

1

—

3

2

—

A

B

5

2

—

3

1

—

3

3

A A

—

5

V

2

—

3

A

2 ∩ B ) = P (B ∩ A) = _25_ × _13_ = ___ 15 2 A | V ) = __ 26.2. P (‾ 3

26.1. P (A

A 26.3. P (‾

∩ V ) = _35_ × _23_ = _25_

=

−

=

0,4 0,3 _1_ ________ 4 0,4

∩ = P (B )

−

P (B )

∩ =

=

29. 29.1. P (C 1

∩ A) + P (C 2 ∩ A) = _12_ × _12_ + _12_ × _14_ = _38_ = 0,375 P (C 1 ∩ V ) P (C 1 ∩ V ) 29.2. P (C 1 | V ) = _________ = ___________________ = P (V ) P (C 1 ∩ V ) + P (C 2 ∩ V ) 1 1 __ × __ ___________ = _1_ _21_ _21_ _3_ = _25_ × + × 2 2 2 4 A probabilidade pedida é 40% . PÁG. 33

30. 30.1. Deve ser escolhida a caixa A e ser retirada bola vermelha. 1 1 1 P (C A V ) __ __ ___ 3 4 12

∩ = × =

10


Novo Espaço A 12


30.2. Deve ser escolhida a caixa A e ser retirada uma bola azul ou ser escolhida a caixa B e ser retirada uma bola vermelha. 1 3 2 2 1 4 25 P (C A A) P (C B V ) __ __ __ __ __ __ ___ 3 4 3 3 4 9 36

∩ +

31.

∩ = × + × = + =

___ 10

2× A 1008 = 0,1008 31.1. _______3 = 2 × 9 × 8 × 7 = ___ 9

′

10

A4

4

104

2 A′2 ___ 10 ____ 31.2. = = 0,01 10 10

′

A4

104

4! ____ × 2 ! 2 ! = ____ 270 = 0,027 31.3. _________ 10 104 A′4 10 C 2 × 2 _2_ = _1_ 31.4. ________ = 10 4 C 2 × C 2 6 3 10

C 2

PÁG. 34

32. 32.1. C 2 − 2 ___ a) ______ = 13 6 6

15

C 2 4

b) 1

C 2 6 = ___ 9 = _3_ − ___ = 1 − ___ 6 15 15 5 C 2

5

C 2 ___ = 10 = _2_ c) ___ 6

15 3

C 2

32.2. 4

a) 1

A3 ____ 96 = _4_ − ___ = 6 120 5 A 3

b) _2_ _1_ 4 2

=

33. 33.1. P (A

∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) = = P (A) + P (B ) − P (A) P (B ) = = P (B ) (1 − P (A)) + P (A) = P (A) + P (B ) . P (‾A) ∪ =

+

−

∩

33.2. P (A B ) P (A) P (B ) P (A B ) Os acontecimentos A e B são independentes se 1 2 2 P (A B ) P (A) P (B ) __ __ ___ . 3 5 15 3 1 2 2 P (A B ) __ __ ___ __ 3 5 15 5

∩ = = × = ∪ = + − =

11


Novo Espaço A 12

Unidade 3 Funções reais de variável real

1. Limites e continuidade

+ ≥ ()

PÁG. 35

1. 1.1. u n

5n − 1 − 5 ≥ _1_ 2 ⇔ ______ ∉ V 0,2 (5) ⇔ |u − 5| ≥ ___ 10 | n + 2 | 5 − 11 1 11 1 _____ _ _ _____ _ _ ⇔ | n + 2 | ≥ 5 ⇔ n + 2 ≥ 5 ⇔ n ≤ 53 . n

Há 53 termos não pertencentes à vizinhança V 0,2 (5) . 1 ____ 1.2. u n V 0,01 (5) |u n 5 | 100 11 ____ 1 _____ n 1098 . A partir da ordem 1099 . n 2 100

∈ ⇔ − < ⇔ ⇔ + < ⇔ > 1.3. ∀ δ > 0 , ∃ p ∈ ℕ : n ≥ p ⇒ |u − 5| < δ 11 _____ |u − 5 | < δ ⇔ ⋯ ⇔ n + 2 < δ ⇔ nδ + 2δ > 11 ⇔ 11 − 2δ ⇔ n > _______ δ −

− = − _3_ . Opção (C) = − 2 2.2. lim v ≥ lim u e lim v ≤ 0 O único valor que satisfaz é − 1 . Opção (A)

n

n

3n

7. 7.1. x 2 _0_ 0 a) lim _____ 2 x → 0 x 2

n

3. L 0 , p 3.1. _ √ n L n L2

∀ > ∃ ∈ ℕ : n ≥ p ⇒ > ⇒ >

_

_

√ n

b)

>L

Basta considerar para valor de p qualquer número natural maior que L 2 . n 2 _n_ − > n ⇔ ⋯ ⇔ 5n2 − 12n > 0 ⇔ 3.2. v n > n ⇔ __

2

5 12 , , 0 [ ___ n ] 5 Como n , tem-se que: n 3 _v n n . u n Como lim _ e para n 3 , √ vn u n , conclui-se que lim √ vn .

+ ∞[ ≥ ⇒ > ≥ ≥

4. 4n 1 _4_ 4n 1 4n . 4.1. ______ 3n 3 Condição universal em .

+ ≥ ⇔ + ≥ ℕ 4n + 1 ≥ _4_ ⇔ ______ 4n + 1 ≥ _4_ ⇔ v ≥ _4_ ______ ( ) (3 ) ( n 3 3 3n ) ( 3 ) n

n

n

n

n

e lim _4_ . 3 Conclui-se que lim w n

n

n

n

PÁG. 36

4.2.

n

n

n

2. 2 3n 2.1. lim u n lim ______ 2n 1

= +∞ = +∞

n

n

n

n

n

n

δ

∪]

n

n

nπ − 1 ≤ sin (___ ≤ 1 ⇔ 5) nπ ⇔ 2n − 1 ≤ 2n + sin (___ ≤ 2n + 1 ⇔ 5) ⇔ 2 − _1n_ ≤ t ≤ 2 + _1n_ 6.2. 2 − _1_ ≤ t ≤ 2 + _1_ ∧ lim (2 − _1_) = lim (2 + _1_) = 2 . n n n n Conclui-se que lim t = 2 .

Basta considerar p o menor número natural maior que 11 2δ . _______

⇔ ∈ −∞ ∈ℕ

+ = 9 + 1 + 2n = _________ 9 × 9 + 2n ≥ _____ 9 × 9 = _9_ = 3 5.2. ________ + 2 9 × 3 9 × 3 ( 3 ) 3 9 + 1 + 2n ≥ 3 e lim 3 = +∞ , conclui-se que Como _________ 3 + 2 9 + 1 + 2n = + ∞ . lim _________ + 2 6. 6.1.

n

n

( ) = +∞ .

PÁG. 37

n

n

5. n n n n 3 3 3 ______ _ _ _ _ e lim 5.1. 2 2 2n n 3 n + ∞ . Conclui-se que lim ______ 2n

( ) = +∞

n

+ = = lim √ x 2 + x = 0 → 0

x

7.2. a) x

g (x ) = lim h (x ) = 0 ∀ ∈ ℝ+ , g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) e lim → 0 → 0 Conclui-se que lim f (x ) = 0 . → 0 _∞ __ x 2 ∞ x = lim _____ b) lim _____ → +∞ x + 2 → +∞ 1 + _2_ = +∞ e x ∀x ∈ ℝ+ , g (x ) ≤ f (x ) . Conclui-se que lim f (x ) = + ∞ . → +∞ x

x

x

x

x

8. 8.1. D f . Para toda a sucessão (x n) tal que x n D f e lim (x n) 2 , tem-se:

=ℝ

∈

=

∀n ∈ ℕ ,

= − = × − = 8.2. D = ℝ . ∀n ∈ ℕ , x ∈ D e lim (x ) = 2 , logo, ___ tem-se lim f (x ) = lim √ 2x 2 + 1 = 3 . 8.3. D = ℝ \ {− 4} . Sendo ∀n ∈ ℕ , x ∈ D e lim (x ) = 0 , tem-se lim f (x ) = ⋯ = − _1_ . 4 lim f (x n) lim (2x n 1) 2 2 1 3 f

n

n

f

n

n

n

f

= + ∞ .

x

n

f

n

12


Novo Espaço A 12


PÁG. 38

=ℝ ∀ ∈ ℕ , x ∈ D ∧ x ≤ 1 ∧ ∧ = 2 lim f (x ) = lim ((x ) + 2x ) = 3 , ou seja, lim − f (x ) = 3 . → 1 Sendo ∀n ∈ ℕ , x ∈ D ∧ x > 1 ∧ lim (x ) = 1 , tem-se: 6 (x − 1) 6 = 3 , ou seja, lim f (x ) = lim ____________ = lim _____ x + 1 (x − 1)(x + 1) ( ) lim + f x = 3 → 1 Como f (1) = lim − f (x ) = lim + f (x ) = 3 , conclui-se que: → 1 → 1 lim f (x ) = 3 . → 1 8.4. D f . Sendo n lim (x n) 1 , tem-se: n

n

n

f

n

n

n

x

f

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

9. 9.1. f (x ) 2

1 . Assíntotas: x = 1 e y = 2 . = − _____ x − 1 9.2. a) lim u = +∞ e lim f (u ) = 2 b) lim v = 1+ e lim f (v ) = − ∞ c) lim w = −∞ e lim f (w ) = 2 d) lim s = 1− e lim f (s ) = + ∞ n

n

n

n

n

n

n

n

10. 10.1. a) lim v n

= +∞ e lim f (v ) = 2 b) lim w = −∞ e lim f (w ) = 1 n

= (+ )

= k + e lim f (u n) = −∞ ;

= = ( − n2) = k − e lim f (s ) = +∞ ; então k = − 2 . 1 = k − e lim f s = −∞ ; c) lim s = lim (k − __ ( ) n2) então k = 2 . n

n

n

n

= −∞ e lim g (u ) = 2 b) lim u = −∞ ; 1 = 0− e lim g __ 1 =3 lim __ ( u u ) c) lim w = 0+ e lim g (w ) = 1 7 d) v = 4 - _ n + 2 lim v = 4− e lim g (v ) = 5 11.2. Por exemplo, a = − 3 − _1_ . n n

n

n

n

n

n

n

x

=

→ 0

n

−

=

=

13. x 3 x lim (x 2 1) 13.1. lim ______ x

− = x

→ 0

13.2. a) f _5_ 2 Como

x

− = − 1 e f (0) = − 1

→ 0

(− ) = 5,25 e f (3) = 8 . π ∉ [f (− 52) , f (3)] . __

Nada se pode concluir a partir do teorema de Bolzano. b) f (2) 3 e f _5_ 5,25 . 2 Como f é contínua em 2 , _5_ e 2

( )=

=

] π ∈ [f (2) , f (52)] , 5 : f (c) = π . pelo teorema de Bolzano, ∃c ∈ ] 2 , _ 2[ A equação f (x ) = π é possível em ] 2 , 5 [ . 2 [

__

14. 14.1. h (x ) f (x ) x . A função h é contínua em 1 , _3_ . 2 3 _ _ h (1) 1eh 0,875 . 2 Pelo teorema de Bolzano, c 1 , _3_ : h (c) 0 , ou 2 seja, f (c) c .

=−

=

[ ]

−

( )=

=

∃ ∈]

[

=

=

− × =

14.2. Seja j a função definida por j (x ) f (x ) g (x ) . A função j é contínua em [1 , 2] , sendo j (1) j (2) 0 . Pelo teorema de Bolzano, c 1 , _3_ : j (c) 0 , 2 ou seja, f (c) g (c) .

∃ ∈]

=

11. 11.1. a) lim u n

n

12.3. Os resultados anteriores não contrariam o teorema de Bolzano, atendendo a que f não é contínua em [ 1 , 1] . 1 e A função é descontínua em x 0 , pois lim +f (x ) _ 5 x → 0 lim - f (x ) − ∞

PÁG. 41

PÁG. 39

10.2. a) lim u n lim k _1_ n então k − 2 . 1 b) lim s lim k __

− = − _12_ e f (1) = _25_ 12.2. f (x ) = 0 ⇔ x + 1 1 = 0 ∧ x < 0 ∨ _____ ⇔ (___ ( ) 5 = 0 ∧ x ≥ 0) ⇔ x ∈ {} 2x

__

n

n

12. 12.1. f ( 1)

[

<

15. k , ou 15.1. Se f (0) k , com k 0 , então f ( 0) seja, f (0) k . Neste caso, f não seria função, pois 0 teria duas imagens. Logo, f (0) 0 .

=−

=

≠

− =−

=

15.2. A função f é contínua em [2 , 3] e f (2) f (3) f ( ( 2)) f (3) f ( 2) f (3) 0 . Pelo teorema de Bolzano, c ] 2 , 3 [ : f (c) 0 .

×

= −−

=− − ∃ ∈

<

=

n

13


Novo Espaço A 12


15.3. Pelas resultados anteriores, sabe-se que 0 é zero de f e que existe c ] 2 , 3 [ tal que f (c) 0 . c ] 3 , 2 [ e também é zero de f . No mínimo, há três zeros no intervalo ] 3 , 3 [ .

− ∈− −

∈

=

−

16. A função f é contínua em [a , b] e f (a ) f (b) (a b) ab 0 . Então, c ] a , b [ : f (c) 0 .

= − ∃∈

<

=

2. Derivadas de funções reais de variável real e aplicações PÁG. 42

17. 17.1. D f

2 = − + _____ x + 1 r : x = − 1 e s : y = 2x − 2 2x (x + 2) 2x 2 ' = ⋯ = ________ 17.2. f ′ (x ) = (_____ x + 1 ) (x + 1)2

= ℝ \ {1}

x 2x (x

+ 2)

+ 1) f ′ (x )

2

(x

f

−∞ + + + ↗

f (x ) 2x 2

− 2

+ ↘

0

+ 0

− 8

− 1 0

S.S.

0

+ ↘

0

+ 0 0

+∞ + + + ↗

] −∞ , − 2] e em [ 0 , + ∞ [ f é decrescente em: [ − 2 , − 1 [ e em ] − 1 , 0] f é crescente em:

Extremos:

− 8 é máximo relativo e 0 é mínimo relativo.

18. → 18.1. AB B A (2 , 2) . Declive da reta AB é ___2 1. 2

= − =

− − =−

r : y = − x + 6

− = ′ = − ___ 11 4 −

f (x ) 3 18.2. lim _______ f (3) x → 3 x 3 PÁG. 43

19. 2(x 2 1) (2x 2) (2x ) 19.1. f (x ) ____________ (x 2 1)2 2 (x 2 2x 1) 2x 2 2 4x 2 4x ____________ ________________ (x 2 1)2 (x 2 1)2

′ = + - + = + + - - =- + + +

19.2. 2 ( 2) a) f ( 1) ________ − 1 4 2 2 b) f (1) _____ 1 4 0 19.3. f (x ) 0 _ x 2 2x 1 _ x 1_ √ 2 x _ 1 √ 2 _ __ √ √ √ √ A( 1 2 , f ( 1 2 )) (− 1 + 2 , 1 + 2 )

′− = × − = ′ = × = ′ = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =− + ∨ =− − − + − + = 20. 20.1. D f {x

= ∈ ℝ : 2x + 1 ≥ 0} = [− _12_ , + ∞ [ 1 − 1 . 20.2. f ′ (x ) = ________ √ 2x + 1

_

_

1 ________ ′ = − _23_ ⇔ √ − 1 = − _2_ ⇔ ⋯ ⇔ x = 4 3 2x + 1 P (4 , f (4)) = (4 , − 1) Então, f (x )

14


Novo Espaço A 12

________ ___ 21. 2 √ ( 3 h) 2 √ 11 _________________ 21.1. f (3) lim

′ =

+ + −


=

h → 0 ___ √ ( ) h h + 6 9 11 9 _____________________ ___ = ______ ___________ ___ = ______ = hlim → 0 h (√ (3 + h)2 + 2 + √ 11 ) 2√ 11 22 h

_ _ (′ ) = ( + ) ' = _______ _+ − +_ + = _____________ _______________ _ "( ) = ( _ ' = + ( + ) + + ) √ x 2

√ x 2 2

x _______

f x

x

√ x 2 2

21.2. f x

x 2

√ x 2 2

2

x 2 _______

√ x 2

2

2

2

x 2

2 √ x 2 2

−∞

+

0

No intervalo No intervalo

] −∞ , 1] , concavidade voltada para baixo. [ 1 , ∞[ , concavidade voltada para cima.

Ponto de inflexão: A (1 , 2)

"

28. 2x 2 2 0 1 x 1 x 28.1. f (x ) 0 Após o estudo do sinal da função f , conclui-se que A (− 1 , − 1) e B (1 , 1) .

' = ⇔−

+ = ⇔ = ∨ =− ′

− 2x 2 + 24 ' = " = (_________ (x 2 + 1) ) (− 4x ) × (x 2 + 1)4 − 4 (− 2x 2 + 2) × (2x ) × (x 2 + 1)3 __________________________________________ = (x 2 + 1)8 3 (___________________________________________ x 2 + 1) × [(− 4x ) × (x 2 + 1) − 4 (− 2x 2 + 2) × (2x )] = = 8 ( x 2 + 1) 4x (3x 2 − 5) = ___________ (x 2 + 1)5 28.3. f " (x ) = 0 ⇔ 4x (3x 2 − 5) = 0 ⇔ __ __ √ √ 15 15 ⇔ x = 0 ∨ x = _____ ∨ x = − _____ 3 3 Após o estudo do sinal da__função f " , conclui-se __ 28.2. f (x )

23.

−∞

x

0

+

"

g (x )

+∞

2

-

0

0

+

g

A representação B é a única compatível com o sinal da segunda derivada. 24.

′ -

f (0)

" -

f (0)

+

f (0)

√ 15 que a abcissa de C é _____ e a abcissa de D é

Opção: (C)

3

PÁG. 45

25. _____ x 2 √ 25.1. lim + 2x 3 1 , lim − __ 1 e f (2) 1 . 4 → 2 x x → 2 A função é contínua em x 2 .

− =

=

=

_______

+ − − =⋯= h → 0 2 __________ _2_ = 1 _____ = lim = √ → 0 2h + 1 + 1 2 x 2 __ ( 4 )' = __2x . f ′ (2−) = _22_ = 1 . A função é diferenciável em x = 2 . √ 4 2h 3 1 25.2. f (2+) lim ______________

′

h

( + ) = +∞ = ( + ) = −∞

=

PÁG. 46

=

f (1) 2

f

27. . 27.1. lim + f (x ) lim + x 2 _2_ x x → 0 x → 0 Por outro lado, lim − f (x ) lim - x 2 _2_ x x → 0 x → 0

Após o estudo do sinal de f ___ conclui-se que a abcissa do 3 único ponto de inflexão é √ − 2 .

+∞

1

-

"

′

26. O estudo do sinal da função f permite concluir que a opção correta é a (A).

" = x +

22. f " (x ) = 6x − 6 f (x )

seja, 0 é mínimo da função.

4 2 27.2. f (x ) __ 3

PÁG. 44

x

x 2 ≤ ′ =(__ ' = __x e f "(x ) = (__2x ) ' = _12_ . 4) 2 Como f ′ (0) = 0 e f " (0) > 0 , conclui-se que f (0) , ou

25.3. Se x 2 , f (x )

=

h

=

29. 29.1. f (x )

_____

− _____ .

√ 15 3

_____

x 2 _____ ' = (x √x 2 + 1) '= √ x 2 + 1 + x × _________ = 2√ x 2 + 1 _____ 2 + 1 (x 2 +_____ 1) + x 2 _______ x 2 2x ___________ _______ _____ _____ √ = x 2 + 1 + √ = = √ x 2 + 1 √ x 2 + 1 x 2 + 1 __ 29.2. f é contínua em [2 , 3] , f (2) = 2√ 5 e ___ f (3) = 3√ 10 . Logo, f (2) < 7 < f (3) . f ′ (x ) > 0 , ∀x ∈ [2 , 3] .

Conjugando o teorema de Bolzano com o facto de f ser estritamente crescente, conclui-se que a equação tem uma única solução.

15


Novo Espaço A 12

" = + + +


x (2x 2 ____ 3) 29.3. f (x ) _____________ (x 2 1)√ x 2 1 Após o estudo do sinal de f , conclui-se que (0 , 0) é ponto de inflexão.

"

PÁG. 47

_____

4 _____ 30. x 1 __ 2 √ x 4x x lim ________ 1 . 30.1. m lim ________

− √ − = → +∞ x = → +∞ x = _____ √ Tem-se b = lim ( x 2 − 4x − x ) = ⋯ = − 2 . → +∞ x

x

x

Equação da assíntota: y = x − 2 4 _____ . 30.2. f (x ) _______________ 2 (x 4x )√ x 2 4x

" = − − Tem-se f " (x ) > 0 , ∀x > 4 .

31. 31.1. a (0) 35 . O foguete foi lançado a 35 m do solo.

= a (8) − a (0) 443 − 35 31.2. __________ = ________ = 51 51 m/s 8 − 0 8 31.3. a ′ (t ) = − 6t + 75 ; a ′ (t ) = 0 ⇔ t = 12,5 a (12,5) = 503,75 . A altura máxima atingida foi 503,75 m .

′

=− + =

60 75 15 . 31.4. a (10) A velocidade no instante t 10 foi 15 m/s . 32. 32.1. p (t )

′ =

=

3

′ = (__t 2 + 3t 2 + 3t )′= 1,5t 2 + 6t + 3 .

p (5) 70,5

70,5 m/s

′ = ⇔ + + = ⇔ ⋯ ⇔ t = 4 " = + + ′= + Assim, p" (4) = 3 × 4 + 6 = 18 . No instante t = 4, a aceleração da partícula era de 18 m/s 1,5t 2 6t 3 51 32.2. p (t ) 51 p (t ) (1,5t 2 6t 3) 3t 6 .

2

.

16


Novo Espaço A 12

Unidade 4 Funções exponenciais e logarítmicas

1. Juros compostos e o número de Neper PÁG. 48

2. Funções exponenciais PÁG. 49

1. 1.1. 2

12

0,8 0,83 ________ _______ × + + × + 1 70 000 1 ( 100 × 12) ) − ( ( 100 × 2) - 100 000 ≈ 823,70 � 2 1.2. 225 000 (1 + 0,009) ≈ 229 068,23 � 30 000

2. Capital, em euros, ao fim de 3 anos: 3 200 000 (1 0,012) 207 286,7456 Capital, em euros, ao fim de 5 anos: 2 207 286,7456 (1 0,015) 213 551,9875 Aproximadamente, 213 551,99 � .

× +

=

× +

=

4. 4.1. a g (1) 2,5 ; b h (2) e c f (2) 22 4 a = 2,5 ; b = 3 e c = 4

=

=

x = − 2

=

=

= 3

⇔ 2 = _14_ ⇔ 2 = 2− 2 ⇔ x = − 2 x

x

= ⇔ 2, 5 = 2, 50 ⇔ x = 0

b) 2, 5x 1 x = 0

__ x

c) (√ 3 ) x = 4

d) 2

= ( + ) ≈ = ( + n) =

= = =

4.2. a) 2x 0,25

x

3. 365 1 ____ 2,714 567 3.1. C 1 1 365 n e 3.2. C lim 1 _1_

=

__ 2

(√ 3)

x

x __

= 9 ⇔ 32 = 32 ⇔ __2x = 2 ⇔ x = 4 x

_5_

× (2) = 0,2 ⇔ 5 = _15_ ⇔ x = − 1 x

x = − 1

5. 5.1. Se k

x

= − 4 , tem-se f (x ) = − 4 + (_12_) .

Contradomínio: ] − 4 ,

Assíntota: y = − 4

+ ∞[

5.2. a) f ( 2)

− = − _12_ ⇔ k + 22 = − _12_ ⇔ k = − _92_ . Daqui resulta que k = − _9_ . 2 b) D ′ = ] k , + ∞ [ = ] 1 , + ∞ [ . Daqui resulta que k = 1 . c) f (3) = 0 ⇔ k + 2− 3 = 0 ⇔ k = − _1_ . 8 Daqui resulta que k = − _1_ . 8 f

PÁG. 50

6. 6.1. 6− x + 1 216

= ⇔ 6− = 36 ⇔ 6− = 62 ⇔ x = − 2 1 6.2. 21 − | | = 22 ⇔ 1 − | x | = _1_ ⇔ 2 ⇔ |x | = _12_ ⇔ x = _12_ ∨ x = − _12_ x

x

x

__

__

x + 2 ____

− 3√ 3 = 0 ⇔ 3 = 3 2 ⇔ x + 2 ⇔ 2x = ____ ⇔ x = _2_ x

2x

x

6.3. 9

2

3

x 2 2x 1 0 6.4. 3x + 1 3− 2x (x 1)2 0 x = − 1

= ⇔ + + = ⇔ ⇔ + = ⇔ _______ √ − 4 ± 16 + 20 6.5. e = __________ ⇔ e = 1 ∨ e = − 5 ⇔ x = 0 2 8 − 33 = 0 ⇔ 4 (2 )2 − 33 × 2 + 8 = 0 6.6. 4 × 2 + __ ____2 33 ± √ 961 ⇔ 2 = 4 ∨ 2 = _1_ ⇔ x = 2 ∨ x = − 2 2 = ________ 8 4 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

17

Propostas de Resolução Novo Espaço A 12

Caderno Prático –

Unidade 4 Funções exponenciais e logarítmicas x 2 − x _____

−∞ + x 2 − x x + 1 x 2 − x _____ x + 1

= ⇔ 2 − 1 = 4 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 3

×

1 22x + 1 9 b) 1 22x + 1 g (1) 22x + 1 8 2x 1 3 x = 1

+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ 2 7.2. 1 + 22 + 1 = 9 × 2 − 1 ⇔ 2 × (2 ) − _9_ × 2 2 + 1 = 0 ⇔ ⇔ 2 = 2 ∨ 2 = _14_ ⇔ x = 1 ∨ x = − 2 x

x

x

x

x

x

(

A -2,

11.1. _1_ 3 x 2 2

)

x

f

x

x

x

−

x 2

+ 0

0

+ 0

x 2

x 2

2

− + = ⇔ x = 0 . A abcissa de A é 0 . 9 − 8 ≤ 3 ⇔ (3 )2 + 8 × 3 − 9 ≥ 0 11.2. __ 3 2 (3 ) + 8 × 3 − 9 = 0 ⇔ ⋯ ⇔ 3 = 1 ∨ 3 = − 9 Então, 3 ≤ − 9 ∨ 3 ≥ 1 ⇔ 3 ≥ 1 ⇔ x ≥ 0 . x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Daqui resulta que x ∈ [ 0 ,

12.

9. x 1 − __ 9.1. 8 2 2x − 1 3x x 1 3 ___ 2

3x ___ 23 2

−

= ⇔ ⇔ − = − ⇔ x = _85_

= 2 −

x 1

12.1. lim 1 _2_

+ ∞[ .

⇔

_5_

_1_

3x < _1_ ⇔ x > _5_ ⇔ x ∈ _5_ , + ∞ < 2 ⇔ 3 − ___ 2

2

2

3

]3

b) 0 < 2 − ≤ _1_ ⇔ 0 < 2x − 1 ≤ 2− 3 ⇔ 8 x − 1 x − 1 > 0 ∧ 2 ≤ 2− 3 ⇔ 2x − 1 ≤ 2− 3 ⇔ x ≤ − 2 2 x 1

x ∈ ] − ∞ , − 2]

10.

− ≤ −

2x 1 0 10.1. _____ 8 2x

−∞ 2 − 1 + 8 − 2 2 − 1 _____ 8 − 2 x

x

x

[

1 3

n 3

2 12.3. lim 1 ___ n

1 2n 1 − ___ 2n 12.4. lim __________ 5 2n 1 + ___

n

1 3n 1 − ___ 3n 12.5. lim __________ 3 2n 1 + ___

n

( ) ( ) ( ( )) ( (

e

3

− ___

) =e

− _52_

15 2

− ) = ⋯ = ____ e =e e 2n ) _1_

2

_5_

−3

2

=

2n

0

x

x

( ) − + ( ( ) ) =( − __

_3_

5

−

2

n

( )

3x 3 ___ 2

n

( + n) = e −____13_ 12.2. lim 1 + =e n

Assim, tem-se: P _8_ , 25 .

x

+ -

0

PÁG. 52

PÁG. 51

a) 2

+∞ + + +

1

( ) − 8 = 1 ⇔ 3− + = 9 ⇔ 3− + = 3 ⇔

= ∈ ℝ : 4 − 2− ≠ 0} ≠ ⇔ ≠ − 2 . Assim, D = ℝ\ {− 2} . 1 = _1_ ⇔ 4 − 2− = 2 ∧ x ≠ 2 ⇔ 8.2. f (x ) = _1_ ⇔ _____ 2 4 − 2− 2 ⇔ 2− = 2 ∧ x ≠ 2 ⇔ x = − 1

9.2.

0

∈ ] −∞ , − 1[ ∪ [0 , 1]

11.

_9_ e B (1 , 9) 8

8. 8.1. D f {x x 2− x 22

−1 + + + - 0 + - s.s. +

x

x

x = 3

x

x 2 − x ≤ ⇔ _____ ≤ 0 x + 1

10.2. 2 x + 1 1

7. 7.1. a) 9 2x − 1 36

+ -

0

+ 0

∈ ] −∞ , 0] ∪ ]3 , + ∞[

3

+ + +

+ 0 s.s.

+∞ + -

n

⎡

1 ⎤ 1 ___ 3n ________ n 3 ___ 1 2n ⎦

− ) ( 3 _ _ = ⋯ = +∞ lim ( ) 2 (+ ) ⎣

⎢

n

⎡

⎥

n

5 ⎤ ___ 1 n 2n 12.6. lim _2_ ________n 5 3 1 ___ ⎣ 5n ⎦

⎢

( + ) =⋯=0 () − ( )

⎥

18


Novo Espaço A 12


13. ex (ex 1) ex _____ ex 1 13.1. lim ________ lim __ x 3x x → 0 x → 0 3

− = [ × − ] = _13_ × 1 = _13_ e− 2 − 1=− 2 lim ______ e− 2 − 1× ____ 1 = ⋯ =− 2 13.2. lim ______ [ → 0x (x + 1) → 0 − 2x x + 1] e − 2 − 1 × ____ 1 . Se x − 2 = y , tem-se: 13.3. lim [______ → 2 x − 2 x + 2 ] e − 1 × ____ 1 = 1 × _1_ = _1_ lim _____ [ 4 4 y + 4 ] → 0 y x

x

x

PÁG. 54

17. ex (x 4) ex _______ ex (x 3) 17.1. f (x ) __________ (x 4)2 (x 4)2

x

x

x

y

y

+ − = + + +

′ =

x

−∞

−4

′

–

s.s.

–

0

+

f

↘

s.s.

↘

e− 3

↗

f

+∞

− 3

− + ∞[

e (ex + 1 1) ex + 1 1 ____ e , se 13.4. lim __________ lim ______ x 1 x 2 x → − 1(x 1) (x 2) x → − 1 e ey 1 e e x 1 y , tem-se: lim ____ ____ 1 ___ − __ y y 3 3 3 y → 0

Intervalos em que a função é crescente: [ 3 , Intervalos em que a função é decrescente: ] , 4 [ ; ] 4 , 3] Extremos: e− 3 é mínimo (minimizante 3)

14.

17.2. f (x )

− = −

+

[

+ =

[ +− × − ] − × − ]= ×− =

− = − = ′ = − − − = → 0 x = − − = 14.2. f ′ (x ) = (x − x e )′ = 1 − (e + x e ) . Daqui resulta que f ′ (1) = 1 − (e + e) = 1 − 2e . 15. 15.1. lim + (1 x ex ) 1 ; x → 0 1 ex lim x ____ ex 1 lim − x ____ − x

x

(

− = 0 + 1 = 1 e + ( x ) → 0

= + ′ = + ″ = + + = + ″ = ⇔ + = ⇔ =− ∀ ∈ℝ ″ > >

15.2. f (x ) 1 x ex ; f (x ) ex x ex ; f (x ) ex ex x ex 2ex x ex ex (x 2) 0 2 . x + , f (x ) 0 f (x ) 0 x Para x 0 , a concavidade é voltada para cima. 1 ' 1 1 1 e = e 1 − _1_ = ′ = (x e ) = e1 − x × __ ( x ) x 2 1 x − 1 = e (____ x ) f ′ (x ) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 . __

x

″ = ′ − _12_ ⇔ 2x e− − e− + _12_ = 0 Seja h a função definida por h (x ) = 2x e− − e− + _1_ . 2 1 _ _ ( ) A função h é contínua em [0 , 1] ; h 0 = − e 2 2 1 1 2 + e h (1) = __ − __ + __ = ____ . e e 2 2e x

x

x

=

__

)

18.2. f (x ) f (x )

A função f é contínua em x 0 .

16. 16.1. f (x )

x

18. 18.1. A 1 , _2_ e

=

− = − ( x ) → 0 f (0) = 1 + 0 = 1

x

x

x

PÁG. 53

+

−

x

x

x

x

− −

e (x + 3) ' ″ = _______ ( (x + 4)2 2) = (e (x + 3) + e ) (x + 4) − 2 (x + 4) e (x + 3) = _______________________________ =⋯= (x + 4)4 e (x 2 + 6x + 10) = _____________ (x + 4)3 Se x ∈ ] − 4 , + ∞ [ , a concavidade é voltada para cima. Se x ∈ ] −∞ , − 4 [ , a concavidade é voltada para baixo.

f (x ) f (0) x x ex 14.1. f (0) lim ________ lim _____ x 0 x x → 0 x → 0 x ( ) x e 1 (e0 1) 0 lim _______ x

−∞ −

x

__

__

x

x

x

Aplicando o teorema de Bolzano, conclui-se que: 1 c ] 0 , 1 [ : h (c) 0 , ou seja, f (c) f (c) __ 2 18.3. B ( 1 ________________ , 0) , P (x , f (x )) , x 0

″ =′ − − > 2 2 ‾ PB = 2 ⇔ √ (x + 1) + ((x + 1) e− ) = 2 ; ⋯ ; x ≈ 0,835 ∃ ∈

=

x

__

x

As coordenadas do ponto A são (1 , 0) .

__ __ √ e 2 − 1 = _1_ × √ e = __ 16.2. f ′ (2) = e 2 ____ _1_

(

) 2 2 ' 1 x − 1 x − 1 1= ____ __ e ____ + e × __ 16.3. f " (x ) = [e ( =− ] ) ( ) x x x x 2

_1_

_1_

_1_

x

x

x

2

_1_

_1_

x

x

2

e _____ e − x + 1 + 1 = ___ = ___ 2 ( ) x x x 3 16.4. f ′ (1) = 0 ∧ f ″ (1) = e > 0 .

Conclui-se que f (1) é mínimo da função f .

19


Novo Espaço A 12


3. Funções logarítmicas

PÁG. 56

22. __ 2b 22.1. log√ __a c log√ __a (a b) log√ __a (√ a ) 2b

PÁG. 55

= = = − 22.2. log1 c = log 1 a = log1 (_1_) = − b a a = log a − 1 = b − 1 22.3. log (_c_) = log (__ a a ) 1 + 2 __ __ 2 = _21_ + 2b 22.4. log (√ a . c2 ) = log (√ a a 2 ) = log a 22.5. log a − + a log = − b + b = 0 __ 1− − 12 + √ a 1 2 __ _ _ 22.6. log1 ( ) = log1 a = log1 ( a ) = − _12_ + b a

19. 19.1. log2 8 log2 23 3

b

= = 19.2. logπ _1_ = logπ (π− 1) = − 1 π 1 = log (5− 2) = − 2 19.3. log5 0,04 = log5 ___ 5 25 19.4. log 0,001 = log (10− 3) = − 3 19.5. log2 0,25 = log2 _1_ = log2 (2− 2) = − 2 4 1 __ 19.6. ln√ e = ln (e 2 ) = _1_ 2 19.7. ln (ln e) = ln 1 = 0 2 _ ( √ 19.8. log7 49 = log7 73 ) = _2_ 3

__

a

a

b

__

a

b

a

a

a

a

__

__

b

a

__

__

a

a

a x

a x

a y

a y

ContraZeros Assíntota domínio (caso existam)

Funções

Domínio

y ln (x 2)

=

] 2 , + ∞[

ℝ

3

x 2

x y ln __

= ( 3)

ℝ+

ℝ

3

x 0

= |ln (− x )|

ℝ−

ℝ +0

- 1

x 0

+ ∞[

ℝ

0

ax

= = =

x

= − 1

ax

PÁG. 57

24. 24.1. Assíntotas ao gráfico de f : y = 0 Assíntotas ao gráfico de g : x = 0

= × = = ⇔ + = ⇔⋯⇔ =

24.2. f (0) 3 1 3 . Ponto C (0 , 3) 3 2 log3 x 3 g (x ) 3 x 1 . Ponto B (1 , 3) A área do retângulo [OABC ] é 3 . __

__

= f (g √3 ) = f (4) = 48 ∘ 24.4. (g ∘ f ) (x ) = g (3 × 2 ) = 3 + 2 log (3 × 2 ) = 24.3. (f g ) (√ 3 )

x

21. 2 21.1. f ( 1) 0 f (0) 1 log2 ( a b) 0 1 log2 (b) log2 ( a b) 1 log2 b 3

− = ∧ =− ⇔ ⇔ − − + = ∧ − = −2 ⇔ − + = ∧ = ⇔ ⋯ ⇔ a = 6 ∧ b = 8 21.2. f (x ) = 1 − log2 (6x + 8) f (4) = 1 − log2 (32) = 1 − log2 (25) = 1 − 5 = − 4 Como f (4) = − 4 conclui-se que o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes pares.

= − 6 ⇔ 1 − log2 (6x + 8) = − 6 ⇔ log2 + = ⇔ 6x + 8 = 128 ⇔ x = 20 20 ∈ D = ] − _4_ , + ∞ [ ∧ f (20) = − 6 3 21.4. f (2) = log2 c ⇔ 1 − log2 (20) = log2 (c) ⇔ ⇔ 1 = log2 (20c) ⇔ 20c = 2 ⇔ c = 0,1 f

x

3

= 3 + 2 (log3 3 + log3 2 ) = 5 + 2 log3 (2 ) = 5 + log3 (4 ) x

21.3. f (x ) (6x 8) 7

b

= = a log x __ = 23.2. a log − log = _____ log y a a a _1_ ___ 23.3. a 1 − log ( ) = ______ = = a log ( ) ax x a

2

__

b

23. 23.1. a loga x + loga y a loga x a loga y xy

__

ln (x + 1) y = _________ ] − 1 ,

b

a

a b

b

a

y

b

a

a

20.

−

b

__

__

3

__

x

x

25. 25.1. x 1 8

− = ∧ x > 1 ⇔ x = 9 {9} 25.2. log10 x = 0 ⇔ x = 1 {1} 25.3. 32 − 1 + 3 − 1 = 2 ⇔ 32 + 3 − 6 = 0 ⇔ ⇔ ⋯ ⇔ 3 = 2 ⇔ x = log3 2 {log 2} 25.4. e × eln = 2x ⇔ x e − 2x = 0 ∧ ∧ x > 0 ⇔ x (__e − 2) = 0 ∧ x > 0 ⇔ x = ln 2 {ln 2} __ − 12 √ − 12 − 12 √ 2 2 1 _ _ __ __ 25.5. log ( ) = − ⇔ x = ⇔ x = 2 {2} 2 2 2 25.6. ln x + ln (2x − 1) = 0 ⇔ ln (x (2x − 1)) = 0 ∧ x > _1_ ⇔2x 2 − x = 1 ∧ x > _1_ ⇔ 2 2 {1} x = 1 x 2 ∧ x > 0 ⇔ ⋯ ⇔__ 25.7. log4 (4x + 1) − log4 4 = log4 __ 4 __ {2 + √ 5} x 2 − 4x − 1 = 0 ∧ x > 0 ⇔ x = 2 + √ 5 x

x

x

x

x

x

3

x

x

x

__

__

__

x

20


Novo Espaço A 12


_____

= − ± 2 + ∧ x > 0 ⇔ 1 ⇔ ⋯ ⇔ x = 27 ∨ x = ___ 81 25.8. log3 x

1 √ 1 48 _________

⎧ ⎨27 , ⎩

1⎫ ___ ⎬ 81⎭

PÁG. 58

26. 26.1. 2x 2

− x < 1 ∧ 2x 2 − x > 0 ⇔ ⋯ ⇔

− < ∧ x > 0 ⇔ ]1 , e[ 26.3. ln (x + 3) > ln x 2 ∧ x > 0 ⇔ ___ √ 1 + 13 ⇔ x 2 − x − 3 < 0 ∧ x > 0 ⇔ x ∈ ]0 , ________ [ 2 26.4. log2 (x (x + 1)) ≤ 1 ∧ x > 0 ⇔ ⇔ x 2 + x ≤ 2 ∧ x > 0 ⇔ ⋯ ⇔ x ∈ ]0 , 1] x ⇔ 26.5. log5 (x 2 + x ) < 1 + log5 (3 − __ 5) ⇔ log5(x 2 + x ) < log5(15 − x ) ∧ x ∈ ]−∞ , − 1[ ∪ ]0 , 15[ ⇔ ⇔ x 2 + 2x − 15 < 0 ∧ x ∈ ] −∞ , − 1[ ∪ ] 0 , 15[ ⇔ ⇔ x ∈ ]− 5 , − 1[ ∪ ]0 , 3[ log2 (1 − x ) ⇔ 26.6. log2 (2x − 1) < _________ _1_ 26.2. ln x (ln x 1) 0

(2)

_1_ , 1 2

⇔ log2 (2x − 1) < − log2 (1 − x ) ∧ x ∈ ] [⇔ ⇔ ⋯ ⇔ 2x 2 − 3x + 2 > 0 ∧ x ∈ ]_21_ , 1[ ⇔ x ∈ ]_21_ , 1[ 27. 9 − x 2 _1_ _1_ 9 x 2 1 27.1. f (x ) _1_ 2 __ 2 __ 2 x 2√ 2 x 2√ 2 Os pontos do gráfico de f que pertencem à reta y _1_ são: 2 __ __ 1 1 _ _ _ _ 2 √ 2 , e − 2√ 2 , .

= ⇔( ) ⇔ = ∨ =−

(

2

) (

= ⇔ − = ⇔

2

=

)

27.2. Os resultados de 27.1. permitem concluir que f é não injetiva. Daqui resulta que não tem inversa. 9 − x 2 x + 3 ____ 2 _1_ 4− 2 2x − 9 2− x − 3 2 x ∈ ] − ∞ , − 3] ∪ [ 2 , + ∞ [

≥ ⇔( ) ⇔ x 2 + x − 6 ≥ 0 ⇔ 27.3. f (x ) g (x )

≥

⇔

≥

⇔

PÁG. 59

28. 28.1. A (1 , g − 1 (1)) g − 1 (1) y g (y ) 1 __ Então, A (1 , 3 − √ e ) .

= ⇔

_1_

= (x , − 3) g − 1 (x ) = − 3 ⇔ x = g (− 3) ⇔ x = 2 ln (6) ⇔ x = ln 36 . Então, B (ln (36) ,

__

= ⇔ ln (3 − y ) = 2 ⇔ y = 3 − √ e

B (x , g − 1 (x ))

− 3) .

⇔

+ + − = − ∧ ⇔ + − = − ∧ ⇔ − − = − + ∧ ∈ ⇔

∧ ∈ ∧ ∈ 11 ⇔ x = ___ 5

29. 29.1. D g ∘ f

⇔ x ∈ ]− _12_ , 0[ ∪ ]_12_ , 1[

log2

=

28.2. f (x ) g (x ) ln (x 1) ln (x 2) 2 ln (3 x ) 2 x ] 2 , 3 [ ln ((x 1) (x 2)) ln (3 x ) x 2 x 2 9 6x x 2 x ] 2 , 3[ x ] 2 , 3[

= {x ∈ D : f (x ) ∈ D } = 1 , +∞ = {x ∈ ℝ+ : 2 + ln x > 0} = ]__ [ e 29.2. g ∘ f (x ) = g (2 + ln x ) = − 1 + ln (2 + ln x ) = 2 + ln x = ln _1e + ln (2 + ln x ) = ln (______ e ) 2 + ln x = 0 ⇔ ______ 2 + ln x = 1 ⇔ 29.3. g ∘ f (x ) = 0 ⇔ ln (______ e ) e ⇔ 2 + ln x = e ⇔ ln x = e − 2 ⇔ x = ee − 2 a = e f

g

2

e−2

30. 30.1. f (x ) (32x )

′ = ' = 2 ln (3) 3 30.2. f ′ (x ) = (x 2− )' = 2 − ln (2) x 2 ____ ' 1 − ln (2) 2 ____ 30.3. f ′ (x ) = (√ x − 2 ) = __________ √ 2 x − 2 __ ' √ __ ln (3) 3 e __ − _______ __ 30.4. f ′ (x ) = (e√ − √ 3 ) = _____ 2x

x

− x

− x

x

x

x

__

x

x

x

x

2√ x

2√ 3x

PÁG. 60

31. 31.1.

1 ___ 1 +∞ lim f (x ) lim __ x x → −∞ x → −∞ e 0+ g (x ) ln x lim __ 1 ln x 31.2. lim + ____ lim + ____ 4 + 4

=

= =

( )=

→ 0 h (x ) x → 0 = +∞ × (−∞) = − ∞ x

ex 31.3. lim __ 4 x

→ +∞ x

x

=

x

→ 0

(x × ) =

= +∞

() ln x = lim __ ln x = 1 × ____ = lim ____ 4 3 ( x → +∞ h (x ) x → +∞ x x → +∞ x x )

31.4. lim

g x ______

= 0 × 0 = 0

32. 32.1. f (x ) 0

1 − ln x = 0 ⇔ = ⇔ ______ x ⇔ 1 − ln x = 0 ∧ x > 0 ⇔ x = e . Zeros: e _1_ × x − (1 − ln x ) − ' − 2 +2 ln x 1 − ln x = _____________ x 32.2. f ′ (x ) = ______ = _______ 2

(

)

x

x

x

32.3. 1 ln x ____ a) lim + ______ x 0+ x → 0

−

b)

= +∞ = + ∞ _∞_

x

1 − ln x ∞ = lim lim ______

→ +∞

x

x

ln x = 0 − 0 = 0 1 − ____ ( → +∞ x x ) __

21


Novo Espaço A 12

′ =− + −


2 ln (1) 32.4. A (1 , 1) e f (1) _________ 2. 12 O declive da reta r é 2 . tan ( θ) 2 . Daqui resulta que tan (θ) 2 .

π− =−

=

x

PÁG. 61

=

= = x 3 − kx lim (x 2 − k ) = + ∞ b) lim _____ → +∞ x = → +∞ 1 ln | | x 3 − kx = lim + (x 2 − k ) =− k 33.2. lim − 2 = 20 = 1 e lim + _____ x → 0 → 0 → 0 Resulta limite quando x → 0 se k = − 1 . → −∞

x

x

→ −∞ x

_____

x

x

x

x

34. 1 1 0 e ____ 34.1. lim ______ x → 0 1 ln x lim (2 ek ) 2 ek f (0)

− = +∞ = − = − = → 0 A função é contínua em x = 0 se 2 − e = 0 ⇔ k = ln 2 . 1 = __ 1 = −∞ ; lim ______ 1 = ___ 1 = +∞ 34.2. lim ______ − → e x x − − 1 ln 0 1 ln → e 0+ Não existe limite. Logo, a função é descontínua em x = e , ∀k ∈ ℝ . +

−

x

k

x

35. ln x 1 ___ 35.1. lim + 1 ____ . x 0+ x → 0 A reta x 0 é assíntota vertical. ex ___ 0+ 0 . lim ____ x → −∞ x 1 A reta y 0 é assíntota horizontal. f (x ) ln x 35.2. m lim ____ lim _1_ ____

( + ) = + −∞ = −∞

= − = −∞ = = = → +∞ x = → +∞ ( x − x 2 ) = 0 ln x b = lim (f (x ) − mx ) = lim (1 − ____) = 1 − 0 = 1 . → +∞ → +∞ x x

x

x

ln x lim _______ 1 lim ______ 1 1 1 x → +∞ 1 ln x x → +∞ ____ ln x Assíntotas: x = _1_ e y = 1 e _1_ (1 ln x ) ln (x ) _1_ ln x x x _________________ 37.3. f (x ) ______ 2 1 ln x (1 ln x ) 1 _________ 2 x (1 ln x )

=

=

+

+

′ = ( + )' =

=

−

×

+

=

+

37.4. 1 ; f (e) _1_ . a) f (e) ___ 4e 2 1 x + _1_ Equação da reta tangente: y = ___

′ =

=

4e

4

ln x = 0 ⇔ x = 1 = ⇔ ______ 1 + ln x 1 f (1) = 0 ; f ′ (1) = __ . 2 b) f (x ) 0

Equação da reta tangente: y = _1_ x − _1_ 2

2

−

x

+

→ _e_

+

33. 33.1. 1 1 ______ _____ ln | x | ln (− x ) lim 2 20 1 a) lim 2 x

− + = = −∞ ; e ln x − +1 = −∞ ; lim − ______ = ___ 1 1 + ln x 0

ln x ___ 1 37.2. lim + ______ + x 1 ln 0 x → _1_

=−

x

y = 1 é também assíntota horizontal do gráfico de f .

PÁG. 63

1 38. (1 h) ln ____ 1 1 h __________________ ( ) 38.1. f 1 lim

′ =

→ 0 ln (1 + h) = hlim 1 − ________ h → 0 h

(

+ + ( + )− = h

)

+ = = − y lim (1 − ____) = ⋯ = 0 e − 1 → 0 ' 38.2. f ′ (x ) = x + ln _1_ = 1 − _1_

Fazendo ln (1 h) y , tem-se h ey 1 . y

y

(

f

)

x

x

′ (_12_) = − 1 e f (_12_) = _12_ + ln 2

Equação da reta tangente: 1 y __ ln 2 1 x _1_ 2 2

= − ( − ) ⇔ y = − x + ln (2e) 38.3. a = 0,002 e b = 8,091 − −

PÁG. 62

36. 36.1. f (x )

′ = (x ln (_1x _))' = (− x ln x )' = − 1 − ln x 2 ' 1 − ln x ________ − 2 + ln x 1 − ln x = 2 (_______ 36.2. f ′ (x ) = ((______ ) x ) ) x ) ( x 7 x − 2 ' __________________ = ⋯ = 36.3. f ′ (x ) =(log10 (_____ 1 + 3x )) (1 + 3x ) (x − 2) ln10 + x (ln x + 2) e 36.4. f ′ (x ) = (x e ln )' = e 2

x

37. 37.1. D f {x

x 2

x ln x 2

x ln x 2

2

= ∈ ℝ : 1 + ln x ≠ 0} = ℝ \ +

__

⎧1⎫ ⎨ ⎬ ⎩ e⎭

39. 39.1. g (x ) 0

= ⇔ − 1 + ln2 (x ) = 0 ⇔ ⋯ ⇔ x = e ∨ x = _e1_

x A = e e x B = __

1 e

− + = +∞ __ 39.3. g (x __) = f (x ) ⇔ − 1 + ln2 x = 3 ln √ x ⇔ ⋯ ⇔ ___e ∨ x = e ⇔ x = √ e 39.2. lim + ( 1 ln2 x ) x → 0 2

22


Novo Espaço A 12


4. Modelos exponenciais

PÁG. 64

39.4. Área do triângulo: e _1_ e e2 1 (1 ln2 x ) A (x ) ____ 1 ln2 x ____ 2 2e 2 e 1 ______ 2 ln x e2 1 ln x . ____ ____ A (x ) ____ 2e e x x x 1 Então, A (x ) 0 Após o estudo do sinal de A (x ) , conclui-se que a área e2 1 . máxima é A (1) ____ 2e 39.5. g (x ) ( 1 ln2 (x )) 2 ln (x ) _1_

−

= × |− + | = − × − ′ = − × ( − ) = ( − ) (− ) ′ = ⇔ = ′ = − '= × x ′ =− + 1 ' 2 (1 − ln x ) g ″ (x ) = 2 ln (x ) × __ = ________ ( x ) x 2 Após o estudo do sinal de g ″ (x ) , conclui-se que: • concavidade voltada para cima em ] 0 , e] • concavidade voltada para baixo em [ e , • ponto de inflexão: (e , 0)

+ ∞[

40. 40.1. g (a ) 2a f (a ) 2a ln (a 2 + 1) 2x 40.2. f (x ) _____ 2 x 1 2x 2x 2 2 4x 2 _______ 2 2x 2 _____ __________ f (x ) 2 2 x 1 (x 2 1) (x 2 1)2

= × = ′ = + ″ = ( + )' = + − = − + + Após o estudo do sinal de f ″ (x ) , conclui-se que os pontos de inflexão são (1 , ln 2) e (− 1 , ln 2). Área do retângulo: 2 ln 2 = ln 4

PÁG. 65

= ⇔ ⎧⎨c e0 = 25 ⇔ ⋯ ⇔ ⎧⎨c = 25 ln (0,32) ________ ⎩c e− 2 = 8 = k = ⎩ −2

41. ⎧M (0) 25 41.1. ⎨ ⎩M (2) 8 c = 25 e k ≈ 0,57

=

41.2. M (t ) 0,5M (0)

≈

⎪

k

⎪

ln 0,5 ⇔ 25e− 57 = 12,5 ⇔ t = ______ − 0,57 t

t 1,216 horas, ou seja, aproximadamente, 1 h 13 min .

42. 42.1. N (0) 2 8 10

= + = 42.2. N (t ) = 0,4 × N (0) ⇔ 2 + 8 × e− 0,45 = 4 ⇔ ln (0,25) ⇔ e− 0,45 = 0,25 ⇔ t = ________ − 0,45 t ≈ 3 . Três horas t

t

42.3. Não. A função N (t ) é estritamente decrescente e a reta y 2 é assíntota do gráfico, pois lim (2 8 e− 0,45t ) 2 .

=

t

→ +∞

+ ×

=

23


Novo Espaço A 12

Unidade 5 Funções trigonométricas

=

Se k 0 , x

1. Fórmulas trigonométricas PÁG. 66

1. 1.1. f (x ) 3 sin

=

(2π + x ) + 2 cos (5π − x ) − sin (x − π) = __

= 3 cos x − 2 cos x + sin x = sin x + cos x 1.2. tan (π − θ) = 5 ⇔ tan θ = 5 . 1 ⇔ cos2 θ = ___ 1 ⇔ Então, 1 + 25 = ______ 2 cos θ 26 1 1 ___ ___ ⇔ cos θ = √ ___ ∨ cos θ = − √ ___ . 26 26 3π ⇒ cos θ < 0 , tem-se cosθ = − ___ 1___ . Como θ ∈ ]_π_ , __ [ 2 2 √ 26 5 ___ ___ sin θ = cos θ tan θ , ou seja, sin ___θ = − √ 26 . 3√ 26 6___ = − ______ Assim, f (θ) = − ___ . 13 √ 26 π + α ) = _34_ ⇔ − sin α = _34_ ⇔ sin α = − _34_ . 9 = ___ 7 . Então, cos2 α = 1 − ___ 16 16 __ √ 7. π π Como α ∈ ] − __ , __[ , cos α = __ 2 2 4 sin (_π_ + α ) = sin _π_ cos α + cos _π_ sin α = 3 3 3 =

__

√ 3 √ 7 _1_ __ __

2

×

4

2.2. cos

___

___

√ 21 − 3 ________ 8

_3_

+ 2 × (− 4 ) = _π_ − α = cos _π_ cos α + sin _π_ sin α =

(4 ) __

4

4

14 − 3 √ 2 ___________ = √ 8 2π + α = cos __ 2π cos α − sin __ 2π sin α = 2.3. cos (__ ) 3 3 3 __

7 _1_ √ __

=−2 ×

4

A abcissa c é a terceira solução positiva. Logo, c = π . sin 3x __ _1_ 3x __ __ 2k c) f (x ) 0 4 2 4 6 5 3x __ __ 2k , com k . 4 6 2k 7 2k ___ ___ x x ___ ___ , com k . 36 3 36 3 7 ; se k 1 , Se k 0 , x ___ x ___ 36 36 23 31 x ____ x ____ . 36 36 7π ____ 31π Os zeros pertencentes a ] 0 , [ são ___ , 23π e ____ .

= ⇔ ( ∨ +π= π+ π =− π + π ∨ = = =− π ∨ = π∨ = π

+ π) = ⇔ + π = π + π ∨ ∈ℝ π+ π ∈ℝ = π = π

__

__

−

√ 3 __

2

× (− _34_) =

__

−√ 7 + 3 √ 3 ___________ 8

PÁG. 67

3. 3.1. a) 1 sin 3x

− ≤ ( + _4π_) ≤ 1 ⇔ ⇔ − 1 ≤ 1 - 2 sin (3x + _4π_) ≤ 3 Então, a = 3 e b = − 1 . __ π √ b) 1 − 2 sin ( + ) = 1 + 2 ⇔ 4 __ 2⇔ __ ⇔ sin (3x + _4π_) = − √ 2 5π + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ 3x + _4π_ = − _4π_ + 2k π ∨ 3x + _4π_ = __ 4 k k π π π π 2 2 ⇔ x = − _6_ + ___ ∨ x = _3_ + ___ , k ∈ ℤ 3 3

3x __

36

36

36

2π + π = ( + π) = 1 − 2 sin (3 (x + __ 3 ) 4) = 1 − 2 sin (3x + 2π + 4π ) = 1 − 2 sin (3x + 4π ) = f (x ) 3.3. f ( π) = 1 − 2 sin (3 × π + π) = 1 − 2 sin ( π + π) = 9 9 4 3 4 = 1 − 2 (sin 3π cos 4π + sin 4π cos 3π ) = 2 3.2. f x __ 3

__

__

__

__

2. 2.1. sin (3

__

= − _6π_ ∨ x = _3π_ ; se k = 1 , x = _2π_ ∨ x = π

__

__

__

__

__

__

__

√ 3 √ 2 √ 2 _1_ __ __ 1 2 __

= −

(2 × 2 +

2

__

__

__

__

× 2) =

__

__

√ 6 + √ 2 1 − ________ 2

PÁG. 68

4. 4.1. g (α ) cos

= (_4π_ + α ) cos (_4π_ − α ) = (cos _4π_ cos α − sin _4π_ sin α )(cos _4π_ cos α + sin _4π_ sin α ) = = cos2 _4π_ cos2 α − sin2 _4π_ sin2 α = _12_ cos2 α − _12_ sin2 α = cos (2α ) = _12_ (cos2 α − sin2 α ) = _______ 2 cos (2α ) 4.2. _______ = − _1_ ⇔ cos (2α ) = − _1_ ⇔ 4 8 2 π π 2 2 ⇔ 2α = __3 + 2k π ∨ 2α = − __3 + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ α = _3π_ + k π ∨ α = − _3π_ + k π , k ∈ ℤ 5. ‾ OA ‾ BC ‾ AB . 5.1. A[OABC ] _______ 2 2 2 cos x sin x _______________ 4 sin x cos x sin x Então, f (x ) __________ 2 2 ( ) sin 2 x _______

= + × = + − ×

=

−

=

= 2 sin x − 4 BC = 1,4 ⇔ 2 − cos x = 1,4 ⇔ cos x = 0,6 . 5.2. ‾ Então, sin2 x + 0,36 = 1 ⇔ sin2 x = 0,64 ⇔ ⇔ sin x = 0,8 ∨ sin x = − 0,8 . Como x ∈ ] 0 , _π_ [ , sin x = 0,8 . 2 sin (2x ) sin x cos x f (x ) = 2 sin x − _______ = 2 sin x − _________ = 4 2 × 0,8 0,6 = 2 × 0,8 − ________ = 1,36 2

24




PÁG. 69

6. 1 4 . a) tan α _3_ . Então, 1 _9_ ______ cos2 α ___ 2 2 4 cos α 13 2 4 Assim, sin α ___ 1 . 13 ___ ___ √ √ 2 13 3 13 . Como α 0 , __ , cos α ____ e sin α ____ 2 13 13

=

+ =

+ = ∈ ] π[

___

(

___

=

) (

2√ 13 3√ 13 C ______ , ______ 13 13

⇔

___

=

=

)

2√ 13 , 0 e D ______ 13

tan α + sin α (1 − cos α ) = b) A (α ) = __________ 2 α sin _____ + sin α cos α sin α + sin α cos α (1 − cos α ) = (1 − cos α ) = ______________ = __________ 2

2 cos α

sin α (1 + cos α ) (1 − cos α ) _________ sin α sin α = ______ sin α = ____________________ = 2 cos α 2 cos α 2 cos α 2

3

7. ‾ ED 7.1. sin α ___

4 = 1 , sin α = _2_ . Tem-se cos2 α + ___ =‾ ⇔ 25 5 AE

___ √ 21 ou seja , cos α = _____ .

‾ CF sin β ___

9. 9.1. Como o triângulo [ABC ] é isósceles, AC B

logo, x ∈ 0 , _π_ .

[ 4]

9 = 1 , sin β = _3_ . Tem-se cos2 β + ___ =‾ ⇔ 49 7 AF

__

+ = (_2π_ + x ) + sin (_4π_ − x ) = _π_ sin x = = cos x + sin___4π_ cos x − cos __ 4 __ __ √ √ √ √ 2 cos x − __ 2 sin x = _____ 2 + 2 cos x − __ 2 sin x = cos x + __ 2 2 2 2 9.2. sin β sin α sin

9 ______ 1 16 , 9.3. tan x _3_ . Então, 1 ___ cos2 x ___ 4 16 cos2 x 25 ou seja, cos x _4_ . 5 7,5 Sabe-se que tan x __ _3_ . 10 4 Tem-se sin x tan x cos x _3_ _4_ _3_ . 4 5 5 __ __ __ √ √ √ 8+ 2 2 2 _4_ __ 2 _3_ _______ Assim, sin β sin α _____ . 2 5 2 5 10

=

+ =

⇔

=

=

=

= +

=

= × = = + × − × =

× = ⇔ = ⇔ 10 tan x = 5 ⇔ =

‾ AP 10 ‾ 25 AP 5 9.4. _______ 2 tan x _1_ . Então, x ≈ 0,46 . 2

⇔

5

̂ = 4π ;

___

2√ 10 ou seja, cos β = ______ . 7

+ = + × =

+

7.2. sin (α β) sin α cos β cos α sin β ___ ___ ___ ___ √ √ √ √ 4 10 3 21 + 2 10 21 3 2 __ ____ ___ __ ______________ 35 5 7 5 7

= ×

=

PÁG. 70

8. 8.1. sin x cos __ cos x sin __ _1_ 6 6 2

π−

π = ⇔ sin x − _π_ = _1_ ⇔ ( 6) 2 ⇔ x − _6π_ = _6π_ + 2k π ∨ x − _6π_ = π − _6π_ + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ x = _3π_ + 2k π ∨ x = π + 2k π , k ∈ ℤ __

__

√ 3 __

= ⇔ sin (2x ) = 2 ⇔ ⇔ 2x = _3π_ + 2k π ∨ 2x = π − _3π_ + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ x = _6π_ + k π ∨ x = _3π_ + k π , k ∈ ℤ 8.2. 4 sin x cos x √ 3

__

__

√ 3 __

− = ⇔ 2 cos x − _12_ sin x = _12_ ⇔ ⇔ cos _6π_ cos x − sin _6π_ sin x = _12_ ⇔ cos (_6π_ + x ) = _12_ ⇔ ⇔ _6π_ + x = ± _3π_ + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ x = _6π_ + 2k π ∨ x = − _2π_ + 2k π , k ∈ ℤ 8.3. √ 3 cos x sin x 1

25


Novo Espaço A 12


13. 13.1. f (x ) 1 cos x sin x __ __ __ √ √ 2 2 sin x 1 √ __ 1 √ 2 __ cos x __ 2 cos x __ 2 2 4

2. Derivadas de funções trigonométricas

' = +

PÁG. 71

10. 3x 2 sin x lim 3 2 _____ sin x 10.1. lim _________ x

→ 0

+

=

x

− +

x

→ 0

( + × x ) = 3 + 2 × 1 = 5 sin x 3 _____

−

3x sin x lim __________ x 10.2. lim _________ 4 3 sin sin x x x x → 0 x → 0 4 3 _____

=

= ⋯ = _27_

+ × x sin (x − _π_) sin y 2 10.3. lim _________ . Se x − _π_ = y , lim _____ = 1 2 → 0 y → 2π 2x − π sin (x − 3) sin (x − 3) __________ = lim 10.4. lim ________ → 3 x 2 − 9 → 3 (x − 3)(x + 3) sin y Se x − 3 = y , tem-se lim _______ = 1 × _1_ = _1_ 6 6 → 0 y (y + 6) x

x

(

y

( )=

(

)

2

( ) = ⋯ = _1_ × 12 = _1_ 4 4 __

=

− ( − π)

=

sin (3x ) sin (3x ) 11. lim − _______ _1_ lim − _______ 6x 2 x → 0 3x x → 0

= ⋯ = _12_ (1 − cos x ) (1 + cos x ) = 1 − cos x = lim __________________ lim + _______ 2 x 2 (1 + cos x ) → 0 x → 0+ 2 2 x x − 1 cos sin 1 _____ ___________ _1_ = lim = = lim + lim + ________ 2 + → 0 x (1 + cos x ) ( → 0 x ) → 0 1 + cos x 2 =

x

x

x

x

x

+ = _12_ ⇔ k = − _12_

k 1

PÁG. 72

2

x

=

"

g (x )

' = + 12.2. f ' (x ) = 2x cos x − x 2 sin x 12.3. f ' (x ) = sin2 x + 2x sin x cos x = sin2 x + x sin (2x ) − cos2 x + sin x (1 − sin x ) = ________ − 1 + sin x 12.4. f ' (x ) = ____________________ 2 2 cos x cos x 1 12.5. f ' (x ) = _1_ − ______ 2 cos2 x ' = −

3 cos (3x ) _________ 12.6. f (x ) ___________ 2√ 2 sin (3x )

−

2

π

0

__

- -

0

4

3π ___

4

5π ___

4

+

0

2

7π ___

4

-

0

π

2

4

+

0

-

π

No intervalo [ 0 , 2 [ , as abcissas dos pontos de inflexão 3π ___ 7π são: _π_ , ___ , 5π e ___ . 4

4

4

4

PÁG. 73

15. 15.1. a) f (x )

' = − 4 sin (4x ) f " (x ) = (− 4 sin (4x ))' =− 16 cos (4x ) b) g ' (x ) = − 2 × 2 sin x cos x = − 2 sin (2x ) g " (x ) = (− 2 sin (2x ))' =− 4 cos (2x ) 1 + cos (4x ) . Se x − _π_ = y , tem-se 15.2. lim __________ 2 4 → 4π 1 − 2 sin x 1 + cos (4y + π) 1 − cos (4y ) lim _____________ = lim _____________ = → 0 1 − 2 sin2 y + _π_ ( 4) → 0 1 − 2 sin2 (y + _4π_) (1 − cos (4y ))(1 + cos (4y )) = _______________________ = ⋯ = lim → 0 − sin (2y ) (1 + cos (4y )) x

12. 12.1. f (x ) 2 (cos x ) (2 sin x )

π − 1).

− = − ' = × b) g" (x ) = (2 sin (2x ) − 4) ' = 4 cos (2x ) = ⋯ = 4 − 8 sin2 x 14.2. g" (x ) = 0 ⇔ sin2 x = _1_ ⇔ … ⇔ 2__ __ 2 ∨ sin x = − √ 2 ⇔ x = _π_ + k _π_ , k ∈ ℤ __ __ ⇔ sin x = √

__

√ 2 sin x __ cos x x cos x __ sin 2 2 2 _____________ __________ __ lim 10.6. lim √ 2 x → _π_ π 4x x → __ 4 x __ 4 4 4 _ _ __ __ __ sin x √ sin y √ 4 √ 2 2 lim _________ 2 lim _____ ____ __ __ 4 x → _π_ x __ 4 y → 0 y 4 4 4

− = −π ( − π) = −π

√ 2 __

)

14. 14.1. a) g (x ) 2 2 sin x cos x 4 2 sin (2x ) 4

x

x x sin2 __ sin __ 2 _1_ 2 lim ________ 10.5. lim _______ 2 x __ 4 x → 0 x x → 0 2

= + ( − ) = + ( + π) __ 13.2. f ' (x ) = 0 ⇔ 1 + √ 2 cos (x + _π_) = 0 ⇔ __ 4 √ 2 π ⇔ cos (x + _4_) = − __ ⇔ 2 ⇔ ⋯ ⇔ x = _2π_ + 2k π ∨ x = −π + 2k π , k ∈ ℤ . Daqui resulta: A _π_ , _π_ + 1 ; B (π , 2 2

y

__

−

__

y

y

y

2

sin (4y ) ____________________ = y lim = → 0 − sin (2y ) (1 + cos (4y )) 2

4 sin (2y ) cos2 (2y ) ____________________ = y lim = → 0 − sin (2y ) (1 + cos (4y )) 4 sin (2y ) cos2 (2y ) _________________ = y lim =0 → 0 − (1 + cos (4y ))

26




16. 16.1. a) f (x ) 0

PÁG. 75

= ⇔ 2 tan x − sin x = 0 ⇔ 2 sin x − sin x cos x = 0 ⇔ ⇔ _______________ cos x ⇔ 2 sin x − sin x cos x = 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇔ ⇔ sin x (2 − cos x ) = 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇔ ⇔ sin x = 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇔ x = k π , k ∈ ℝ Os zeros pertencentes ao intervalo [π , 3π] são: π , 2π

e 3π . 2 b) f (x ) ______ cos x . Daqui resulta que f cos2 x Ponto de tangência: ( , f ( )) ( , 0)

' =

−

' (π) = 3 .

π π =π Equação da reta tangente: y − 0 = 3 (x − π) ⇔ y = 3x − 3π 2 tan x − sin x = lim _____ sin x − _____ sin x = 1 2 × _____ c) lim ___________ x x ) → 0 → 0 ( cos x x x

‾ BP × (2 − cos θ) 2 tan θ (2 − cos θ) 16.2. f (θ) = ____________ = _____________ = 2

= 2 tan θ − sin θ

2

− = ⋯ = _2_ 3 Repara que lim − g (x ) = lim + g (x ) = g (0) = _2_ ; 3 → 0 → 0 conclui-se que g é contínua em x = 0 . 3π + 2x cos (__ ) 2 1 × sin (2x ) = 0 18.2. lim ____________ = lim (___ ) → +∞ → +∞ 3x 3x (atendendo a que - 1 ≤ sin (2x ) ≤ 1) . A reta y = 0 é assíntota horizontal. 2e − 2 = lim (2e − 2) × ___ 1 = 0 . lim _____ ( → −∞ 3x → +∞ 3x ) =⋯=

x

x

x

x

x

x

x

x

A reta y = 0 é assíntota horizontal.

= ⎩ ∈ ℝ : __2x ≠ _2π_ + k π ∧ __2x ≠ k π , k ∈ ℤ ⎫⎬⎭ ⇔

⇔ D = {x ∈ ℝ : x ≠ k π , k ∈ ℤ} x x x − x sin (__ cos x − cos (__ sin x sin (__ ) ) 2 2 2 ) ___________________________ _________ ( ) = = 17.2. f x = x x __ tan (__ tan ( 2) 2) x −________ sin (__ = __x 2) = − cos (__2x ) f

tan

( 2)

17.3.

x _1_ sin __

x sin __ 2 2 2 a) lim _________ _1_ lim ________ x 2 x → 0 2 __ x x → 0 2

( )=

+

1 f (x ) lim b) lim ______ 2

→ 0

x

=

x

( ) = ⋯ = _1_ 4 ×

x 1 cos __ 2 __________

→ 0

− () = x 2

(1 − cos )(1 + cos ) ( ( 2 )) x __

x __

(2) ( 2) = ⋯ = _______________________ = x lim x → 0 x 2 1 + cos __

(

lim x

→ 0

19. 19.1. f (x ) 1 cos x . f (x ) f (0) Então, lim ____________ f (0) 1 cos 0 2 .

' = +

x sin __ 2 ________

2

)

( ) × lim ___________ 1 _1_ × 1 × _1_ = _1_ = x x 2 8 → 0 1 + cos __ 4 (__2) ( 2) x

−

= ' = + 19.2. f ' (x ) = 1 ∧ x ∈ [−π , 2π] ⇔ ⇔ cos x = 0 ∧ x ∈ [−π , 2π] ⇔ 3π ⇔ x = − _2π_ ∨ x = _2π_ ∨ x = __ 2 x

17. ⎧ 17.1. D f ⎨x

= _14_

=

x

PÁG. 74

x

( π+ )=

3 2x 18. cos __ 2 sin (2x ) 18.1. lim + ____________ lim + _______ 3x 3x x → 0 x → 0 sin (2x ) 2 (ex 1) _2_ lim _______ _2_ ; lim _______ 3 x → 0+ 2x 3 x → 0− 3x

→ 0

x

=

3π ___ , 3π − 1) (− _2π_ , − _2π_ − 1) ; (_2π_ , _2π_ + 1) ; (___ 2 2

' = + " ⇔ 1 + cos x = 1 − sin x ⇔ ⇔ cos x = cos (_2π_ + x ) ⇔ ⋯ ⇔ x = − _4π_ + k π , k ∈ ℤ 3π ___ No intervalo [−π , 2π] as soluções são: − _π_ , ___ e 7π . 4 4 4 19.3. f (x ) 1 f (x )

20. 20.1. f (x ) sin x cos2 x sin x sin x (1 cos2 x ) sin3 x

' = − = − = 20.2. f " (x ) = 3 sin2 x cos x = ⋯ = _3_ sin x sin (2x ) 2 PÁG. 76

21. 21.1. D f ∘ g = {x [0 ,

= {x ∈ D : g (x ) ∈ D } = ∈ π] : 1 + sin x > 0} = [0 , π] f ∘ g (x ) = f (1 + sin x ) = ln (1 + sin x ) g

f

21.2. a) (f g ) (x ) (ln (1 sin x ))

cos x ' = _______ ∘ ' = + 1 + sin x π _ _ ' ( ) (f ∘ g ) x = 0 ⇔ ⋯ ⇔ x =

2 As coordenadas do ponto A são _π_ , 0 .

(2 )

27


Novo Espaço A 12

∘ '

b) Como a função (f g ) é decrescente, a concavidade do gráfico de f g é voltada para baixo.

∘

− sin x (1 + sin x ) − cos2 x = cos x ' = ____________________ ∘ " = (_______ 1 + sin x ) (1 + sin x )2 − 1 − sin x 2 = _______ −1 = _________ (1 + sin x ) 1 + sin x ∀x ∈ [0 , π] , f "(x ) < 0 e daí conclui-se que a concavic) (f g ) (x )

dade é voltada para baixo. 22. 22.1. f (x )

' = − _14_ × 2 sin (__4x + _3π_) = − _12_ sin (__4x + _3π_) e x π 1 f " (x ) = − __ cos (__ + __). 8 4 3 x _π_ + = − f (x ) . Resulta que 16f " (x ) = − 2 cos (__ 4 3) 8π = − _1_ sin π = 0 e f " __ 8π = − _1_ cos π = _1_ 22.2. f ' __

(3) 2 (3) 8 8 8π = 0 e f " __ 8π > 0 , conclui-se que a Como f ' (__ ) ( 3 3) = π

8 . função tem um mínimo em x __ 3


3. Aplicações aos osciladores harmónicos PÁG. 77

23. 23.1. 1 sin (3x ) 1 1 f (x ) 3

− ≤ ≤ ⇔ 1 ≤ 2 + sin (3x ) ≤ 3 ⇔ ⇔ ≤ ≤ − 1 ≤ sin (x − π) ≤ 1 ⇔ − 3 ≤ 3 sin (x − π) ≤ 3 ⇔ ⇔ − 1 ≤ 2 + 3 sin (x − π) ≤ 5 ⇔ − 1 ≤ g (x ) ≤ 5 f → B ;

g → A ;

D f ‘ = [1 , 3]

D g‘ = [− 1 , 5]

≤

≤

− ≤ =

≤

23.2. Atendendo a que 1 f (x ) 3 e 1 g (x ) 5 , conclui-se que g (x ) k é possível e f (x ) k é impossível para k ∈ [ − 1 , 1 [ ∪ ] 3 , 5] .

=

2π 23.3. O período positivo mínimo de f é ___ e o de g é 3 2π. 2 m , uma 23.4. Não. Apenas se sabe que f α __ 3 2 é período de f . vez que __ 3

( + π) =

π

π= + π= + = π= + π−π = − π) = 2 . ∀ ∈ℤ π = π =

23.5. f (k ) 2 sin (3k ) 2 0 2 . ) 2 3 sin (k g (k ) 2 3 sin (k Logo, k : f (k ) g (k ) 2 . PÁG. 78

24. 24.1.

− 1 ≤ sin (πx − _3π_) ≤ 1 ⇔ ⇔ − 2 ≤ − 2 sin (πx − _3π_) ≤ 2 ⇔ − 1 ≤ f (x ) ≤ 3 D = ℝ ; D ' = [− 1 , 3] 2π = 2 . 24.2. Seja T o período positivo mínimo de f . T = __ π f

f

O período positivo mínimo de f é 2 .

−

24.3. 1 2 sin

(πx − 3π ) < 0 ⇔ sin (πx − 3π ) > 12 ⇔ __

__

__

5π + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ _6π_ + 2k π < πx − _3π_ < __ 6 ⇔ _12_ + 2k < x < _76_ + 2k , k ∈ ℤ . Como x ∈ [0 , 3] , tem-se x ∈ ] _1_ , _7_] ∪ ] _5_ , 3] . 2 6 2 25. 25.1. sin x

( − 4π ) = cos (2x ) ⇔ ⇔ sin (x − 4π ) = sin (2π − 2x ) ⇔ __

__

__

⇔ x − _4π_ = _2π_ − 2x + 2k π ∨ x − _4π_ = _2π_ + 2x + 2k π , k ∈ ℤ 3π + 2k π ∨ − x = __ 3π + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ 3x = __ 4 4 2k π ∨ x = − __ 3π − 2k π , k ∈ ℤ ⇔ x = _4π_ + ____ 3 4 28


Novo Espaço A 12


=π = π

11 As três primeiras soluções positivas são x __ , x ____ 4 12 5 . e x __ 4 __ √ 3 5 11 A __ , 0 , B __ , 0 e C ____ , __ . 4 12 2 4 __ √ 3 5 __ __ __ __ √ 4 4 2 3 Então, A [ABC ] _________ ____ π 2 4

= π π

( ) (

π

π

) (

)

π−π × ( ) = = g (x )

π

11π ____

__

0

x

50

2 6250 m/s A aceleração média é _____

4

− f (x ) - -

5π ___

12

+

0

-

0

19π ____

4

0

π

2

12

+

0

-

= (_3π_) ⇔ cos (2x ) = sin (_3π_ − _4π_) ⇔ π ⇔ cos (2x ) = cos _π_ − ___π ⇔ ⇔ cos (2x ) = sin (___ (2 12) 12 ) 5π + 2k π ∨ 2x = − ___ 5π + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ 2x = ___ 12 12 5π 5π ⇔ x = ___ + k π ∨ x = − ___ + k π , k ∈ ℤ 24 24 25.3. f (x ) g

__

= __

π

(3)

25.4. g

__

√ 3 √ 2 __

×

π − _π_

(3 4)

__ = sin __

2

3

__

( π) =

27.2. O contradomínio da função T é [20,5 ; 25,5] . A temperatura máxima atingida foi 25,5 ºC e verificou-se ao meio-dia (12:00 ) . 27.3. A seguir estão algumas fases da utilização da calculadora.

π − cos _π_ sin _π_ =

= sin __ cos __

__

__

π

27. 3 20,5 . 27.1. T (0) 23 2,5 sin __ 2 A temperatura às 0:00 é 20,5 ºC .

= +

11π ∪ ___ 5π , ____ 19π − f (x ) > 0 ⇔ x ∈ ]_4π_ , ____ [ ] 12 4 12 [

2

50

(aproximadamente, 2000 m/s2) .

− f (x ) = 0 ⇔ 3π − 2k π , k ∈ ℤ . ⇔ = π + π ∨ = − __ 4 25.2. De 25.1. , tem-se 2k x __ ____ x 4 3

g (x )

25

π

PÁG. 79

g (x )

" = − 125 cos (25t ) . π , ___π é dada por : A aceleração média em [___ 50 25 ] π π x" (___ ) − x" (___ ) 25 50 ______ 125 − 0 = _____ 6250 _________________ = π − ___π π π ___ ___ 26.5. x (t )

4

3

4

6 − √ 2 2 = √ _________ __ − _12_ × √ 2 4

26. 26.1. x (0) 0,2 cos 0 0,2 . A distância da origem à parede é 20 cm .

=

=

A partir dos resultados obtidos tem-se: a ≈ 9 h 33 min e b ≈ 14 h 27 min .

26.2. Seja T o período. 2 T ___ (aproximadamente, 0,25 s) . 25

= π

26.3. A velocidade em cada instante, em m/s , é dada por x (t ) − 5 sin (25t ) .

' =

PÁG. 80

k π , k ∈ ℤ ' = ⇔ 25t = k π , k ∈ ℤ ⇔ t = ___ 25 Como t ∈ [0 , 1] , tem-se: π 2π 3π 4π 5π t = 0 ∨ t = ___ ∨ t = ___ ∨ t = ___ ∨ t = ___ ∨ t = ___ ∨ 25 25 25 25 25 6π ∨ t = ___ 7π ∨ t = ___ 25 25

26.4. x (t ) 0

29


Novo Espaço A 12

Unidade 6 Primitivas. Cálculo integral

4. F (0) 4.1. F (x ) ex c c 3 F (x ) ex c

1. Noção de primitiva

⇔

PÁG. 81

1. 1.1. a) F (x ) 5x c F (0) 3 0 c 3 F (x ) = 5x + 3

Então, F (x ) = ex − 3 .

⇔ x = ln 4

= + = ⇔ + = ⇔ c = −1

x

= + = ⇔ + = ⇔ c = −8

b) G (x ) x 2 c 9 c 1 G (3) 1 G (x ) = x 2 − 8

x

x

x

x

2.7.

x

(

2.8.

2

2x − 3x ' = _____ 2 x + 1

)

6. 6.1. 6.2.

=− + = − ⇔ − + = −3 ⇔ c = −2 +

cos x c 3.2. F (x ) Máximo de F é igual a 1 c . Então, 1 c 1 __ . 2 π_ _ F (x ) = − cos x +

+ = +π

+

3

2

∫ _5x _ dx = 5 ln |x | + c _1_

+ 1

__ __ 3x 2 2√ x 3 2x √ x + c 3√ x dx ______ _1_ 1 2 __

∫

6.4.

∫ (sin x + 2 cos x ) dx = − cos x + 2 sin x + c x ∫ (e − x ) dx = e − __ + c 2

x

6.5. 6.6.

=

+

=

_4_

__ 3

=

2

x

x

x 3 ___

3

6.7.

∫ 2e2 dx = e

6.8.

∫ − 4 sin (4x ) dx = cos (4x ) + c

6.9.

sin (2x ) 2 cos (2x ) ∫ _________ dx = _______ + c 3 3

2x +

x

__

3x √ x c ______ + c 4

∫ (√ x + x 2) dx = _4_ + = 3

PÁG. 82

3. 3.1. F (x ) cos x c F (0) 3 cos 0 c F (x ) = − cos x − 2

3x + c x ____ ∫ (x 2 − 3x ) dx = __ − 3 2

6.3.

F (x )

=−

x

PÁG. 83

' = (− x 3) ' = − 3x 2 ' x 4 F ' (x ) = (__ − x 2 + x ) = x 3 − 2x + 1 4 F ' (x ) = e (x 2 − 2x + 2) + e (2x − 2) = x 2 e x 2 2 ' 1 F ' (x ) = (__ + ____) = x + ____ (2 ln 2) = x + 2 2 ln 2 ln 2 F ' (x ) = (x ln x − x + 2) ' = ln x + 1 − 1 = ln x 5 = _________ cos3 x + 5 F ' (x ) = (sin x + 5 tan x ) ' = cos x + ______ cos2 x cos2 x ' ln (x 2 + 1) x F ' (x ) = (_________ ) = _____ 2 x 2 + 1 ' 3x F ' (x ) = ln (x 2 + 1) − ___ + 5

2.6.

x

2

2. 2.1. F (x )

2.5.

x

= ' = − + '= − + = ' = '= + = + Após estudar o sinal de f ' (x ) , conclui-se que 1 A (− 1 , f (− 1)) , ou seja, A − 1 , − __ . ( e) 5.2. f " (x ) = (e (x + 1)) ' =⋯ = e (x + 2) . Após estudar o sinal de f " (x ) , conclui-se que 2 B (− 2 , f (− 2)) , ou seja, B − 2 , − ___ . ( e )

1.2. a) G (x ) x 2 c G (1) 0 1 c 0 G (x ) = x 2 − 1

2.4.

x

5. 5.1. f (x ) F (x ) (ex (x 1) c) ex (x 1) ex x ex f (x ) (x ex ) ex x ex ex (x 1) .

= + − = ⇔ − + = ⇔ c = 7

b) F (x ) 5x c 5 c 2 F ( 1) 2 F (x ) = 5x + 7

2.3.

= − f (x ) ⇔ e − 3 = 5 − e ⇔ e = 4 ⇔

4.2. F (x ) 5

= + = ⇔ + = ⇔ c = 3

2.2.

= + ∧ = −2 ⇔ = + ∧ =−

c

2x dx ln (x 2 + 3) + c 6.10. _____ 2 x 3

∫ +

7. 7.1. 7.2.

=

2x dx _1_

∫ (7 +

4

4

dx _1_

= 2 ∫ ( 2 (7 + 2x ) ) = 2

)

5

5

sin x ) _1 ∫ 4 cos (x ) sin4 dx = (_______ +c

∫ cos x (sin x ) dx = 4 4

5 ( 7 + 2x ) __________ × +c

20

2

30


Novo Espaço A 12


2. Noção de integral

PÁG. 84

8. 8.1.

_____

_1_

∫ √1 + 2x dx = ∫ (1 +

)

= 2 ∫ 2 (1 + 2x )2 dx =

_3_

(1 + 2x ) + c = ________ 3

_1_

2x dx _1_ 2

PÁG. 85

12. 2 x 3 _8_ 6 __ 12.1. 3x 3 − 1 3 3 12.2. [ex + 1] 0 e4 e

[ + ] = + − (− 13 − 3) = 6 + 6 = 12

2

_____

3

(√ 1 + 2x ) 8.2. F (x ) = ________ + c

⇔ c = − 4_____

3

∧ F (4) = 5 ⇔ 9 + c = 5 ⇔

__

= − __ __ π √ √ 2 2 + 2 12.3. [− cos x ] π = − cos π − (− cos _π_) = 1 + __ = _____ 2 2 4 4 __

3

e

(√ 1 + 2x ) F (x ) = __________ − 4

12.4. [2 ln (x )] 1 2 ln e 2 ln 1 2

9. 1 cos (2x ) _______________ 1 (cos2 x sin2 x ) __________ 9.1. 2 2

13. 13.1.

3

−

= −

−

=

2

2

x

0

= _12_ sin (2x )

x

4

14.

____

∫ 2 √ x + 1 dx = [

____

2 (x + 1)√ x + 1 __________

5

] π π sin 1 − 0 = 1 . = 2π . Então, ∫ sin cos d = [_____ = ] 2 2 2

5

3

2

__

10. 10.1. f (x )

4x 2 ' = (x √2 x 2 + 1) ' = √ ______ ______ = 2x 2 + 1 + _______ √ 2x 2 + 1 2 x 2 + 1 4______ ______ = √ 2x 2 + 1

______

_______

_1_

x 2 1 dx _1_ 4x (2x 2 1)2 dx 10.2. x √2 4

∫

2

0

x

x 2 + 5

sin (2x ) + c × (− 2) cos (2x ) dx = __x − _______

)

∫ cos (2t ) dt = [_1_ sin (2t )]

2t dt = [ln (t 2 + 5)] = ln (x 2 + 5) − ln (e2 + 5) ∫ e _____ 2 e t + 5 2x f ' (x ) = (ln (x 2 + 5) − ln (e2 + 5)) ' = ______

= ∫ (_12_ − _12_ (− 2) × (− _12_) cos (2x )) dx = = ∫ (2 + 4

=

x

13.2.

2

_1_

−

' 1 f ' (x ) = __ sin (2x ) = cos (2x ) (2 )

1 − 1 + 2 sin x = sin2 x = ___________ 2 1 − cos (2x ) 9.2. ∫ f (x ) dx = ∫ __________ dx =

_1_

=

+

_3_

= ∫

+

=

_______

(2x + 1)√ 2x + 1 + (2x 2 + 1) 2 + c = ________________ = _14_ × ________ c 6 _3_ 2

2

2

__

0

2

x

x x

__

__

x 2 __

__

0

A medida da área da região colorida é 0,5 . PÁG. 86

16. 16.1. f (x ) 0

= ⇔ − x 2 + x + 6 = 0 ⇔ x = − 2 ∨ x = 3 125 ∫ −3 2(− x 2 + x + 6) dx = ⋯ = ____ 6 = ⇔ − x 2 + x + 6 = 0 ⇔ x = − 2 ∨ x = 3 27 ∫ 03 (− x 2 + x + 6) dx = ⋯ = ___ 2 16.2. f (x ) 0

11. 4x dx _1_ ln (2x 2 + 3) + c x 11.1. ______ dx _1_ ______ 2 4 2x 2 3 4 2x 3

∫ +

15. a

2

__

= 4√ 6 − 2√ 3

= ∫ +

=

sin (− x ) 11.2. ∫ tan (− x ) dx = ∫ _______ dx =

17. 17.1.

− sin x dx = ln (cos x ) + c = ∫ ______ cos x

a)

−

cos ( x )

1

4 x 3 ∫ −1 1(x 2 − 1) dx = [__ x ] = − __ − 3 3 2

b)

− 1

4 x 3 ∫ 12 (x 2 − 1) dx = [__ − x ] = __ 3 3 1

c)

5

∫ 2

x 2

(− x + 5) dx = [− __ + 5x ] 2

5 2

= _92_

43 17.2. _4_ _4_ _9_ ___ 3 3 2 6

+ + =

31


Novo Espaço A 12


PÁG. 87

18. 18.1. C (0 , f (0)) (0 , 5) OA ‾ OC 4 5 20 Medida da área do retângulo: ‾

=

× = × =

5 dx = [5 ln (x + 1)] 5 = ∫ 04 f (x ) dx = ∫ 04 ____ 0 x + 1 = 5 ln 6 − 0 = 5 ln 6 Área da região colorida: 20 − 5 ln 6 18.2.

⎧

= − 2 ⇔ ⋯ ⇔ ⎧⎨x = 1 ∨ ⎧⎨x = 4 ⎩y = 1 ⎩y = 4 ⎩y = x

19. ⎨y (x 2)

A (1 , 1) e B (4 , 4) 4 2 4 2 ( ) (x − 2)2 dx ) = ⋯ = ∫ − ∫ x x x x − + ∫ d 2 d (1 ) (1 2

15 − _1_ + _8_ = _9_ = ___ 2 (3 3) 2 A medida da área da região colorida é 4,5 .

32


Novo Espaço A 12

Unidade 7 Números complexos

1. Números complexos

PÁG. 90

7. PÁG. 88

1. __ 3 8i 6 5i _2_ √ 3 i 3

−

z Re (z ) Im (z )

3

−

6

- 8 - 5

−

_2_

8 √ 5 i i

_5_

−2

3

__

8

_3_

−√ 3

0

5

√ 2

√ 2

− 1 + _43_ i

− 1 − _43_ i

1 _4_ i 3

‾z

+ 4 + 3i − 2 − i __ −√ 3 + 5i − 6i

− 4 − 3i − 2 + i __ −√ 3 − 5i

3 i

__

− _52_ + _35_ i

− ‾z − 3 + i − 4 + 3i 2 − i __ √ 3 + 5i − 6i __ −√ 2

z

0

0

__

√ 5

1

π − i π -1

__

2. 7 2.1. 2k 1 2.2. k 2 _1_ 12 4

− = − ⇔ k = − 3 49 ⇔ k = _7_ ∨ k = − _7_ − = ⇔ k 2 = ___ 4 2 2 2.3. 2k − 1 ≠ 0 ∧ k 2 − _1_ = 0 ⇔ 4 1 1 ⇔ k ≠ _2_ ∧ (k = _2_ ∨ k = − _12_) ⇔ k = − _12_ 25 ⇔ 2.4. 2k − 1 = 4 ∧ k 2 − _1_ = 6 ⇔ k = _5_ ∧ k 2 = ___ 4 2 4 ⇔ k = _52_ ∧ (k = _52_ ∨ k = − _52_) ⇔ k = _52_ 3. 3.1. z 2 25 0

+ = ⇔ z 2 = − 25 ⇔ z = 5i ∨ z = − 5i 3.2. 4z 3 + 9z = 0 ⇔ z (4z 2 + 9) = 0 ⇔ ⇔ z = 0 ∨ z 2 = − _94_ ⇔ z = 0 ∨ z = _32_ i ∨ z = − _32_ i 2 3.3. (z + 4) = 8z ⇔ z 2 + 8z + 16 = 8z ⇔ z 2 = − 16 ⇔ ⇔ z = 4i ∨ z = − 4i _____ √ 2 ± 4 − 20 3.4. z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ z = ________ ⇔ 2 2 ± 4i ⇔ z = 1 + 2i ∨ z = 1 − 2i ⇔ z = _____ 2 PÁG. 86

4. z A

=__− 3 − i;

= __ z = √ 5 + 4i ; __ z = √ 5 ; z B √ 5 i ; C

D

3 i

6i __

+

|z |

___

√ 10

5 __

√ 5

__

2√ 7 6 __

√ 2 _5_

3

8. 8.1. z 2

− ‾z2 = (z + ‾z) (z − ‾z ) = 18 × (− 24i) = − 432i 18 = 9 e z + ‾z ___ = 8.2. Re (z ) = ____ 2 2 z − ‾z ____ − 24i = − 12 = Im (z ) = ___ 2i 2i ________ ____ Então, z = 9 − 12i e | z | = √ 81 + 144 = √ 225 = 15 . 9. 9.1. Os afixos de z e ‾z são simétricos em relação ao eixo real. Logo, o afixo de z pertence ao 2.º quadrante. O afixo de z é a imagem do afixo de z por uma reflexão de centro O , logo, pertence ao 4.º quadrante. Opção (A)

−

9.2. ‾ ‾z z ‾z‾ ‾z z ‾z 2 Re (z ) . Então, ‾ ‾z z é um número real.

+ = + = + = +

Opção (B)

__

= −√ __5 i ; __ z = −√ 5 +√ 5 i ; __ z = (− 1 + √ 2 ) i ; __ z = −√ 2 − i z E F

G

H

→

=− = =− + = − +

5. OC ( 3 , 2) z A 3i ; z C 3 2i ; z B z A 3 2i , ou seja, z B 3i 3 2i

= − + = − 3 + 5i

6. 6.1. O ponto E . 6.2.

D é o afixo do conjugado de z .

Opção (B)

33


Novo Espaço A 12

2. Operar com números complexos


OD 5 . Como |z D | 5 , tem-se ‾ _____ DP √ 25 9 , Sendo [DPO ] um triângulo retângulo, ‾ ‾P 4 . Então, tem-se z D 3 4i . ou seja , D Assim, conclui-se que z B = − i , z C = 4i e z D = − 3 + 4i .

=

=

PÁG. 91

10. Número complexo

Imagem geométrica

z

P

‾z

C

− z z + 3 ‾z − 2 z − 2i

D E B A

11. (2 i) ( 2 i) z _____ 2 i11 ___________ 11.1. __ 2 i ( 2 i) ( 2 i) w 4i 3 4i − _3_ − __ 4 2i 2i 1 _____ __________ 5 5 4 1 5

= −− + = − ++ −− −− = = − − +− + = − − = (− 2 − i) 4i ______ w ____ − 2 − i = _______ − 2i + 1 = _1_ − _1_ i __ 11.2. ‾ = = v 4 2 − 4i 16 4 (2 + 5i) (− 2 − i) = z − v ________ 2 − i11 + 4i = ___________ 11.3. ___ = w − 2 + i (− 2 + i) (− 2 − i) 12i − 4 − 2i − 10i + 5 = _1_ − ____ = ____________ 5 5 5 (2 + 3i) (2 − i) = 4i + 2 − i = __________ ‾v − w = ______ 11.4. ____ z 2 + i (2 + i) (2 − i) 4i 4 − 2i + 6i + 3 = _7_ + __ = __________ 5 5 5

= =− +

−

BC | 4i i | 13.2. ‾

AB = | − i + 3 + i | = 3 . = + = |5i| = 5 e ‾ AB × ‾ BC = 3 × 5 = 15 . Então, A[ ] = ‾ ABCD

14. 14.1. 2

≤ |z + 4 + 2i| ≤ 4

14.2. Seja P o afixo de w .

____

___

√ 13 1 _9_ ___

7 3 ‾ CP = − 3 − __ i + 4 + 2i = 1 − __ i = √ + = 2 4 2 | √ ___ | | 2| 13 < 2 , isto é, ‾ CP < ‾ CA , conclui-se que Como ___ 2

P

não pertence à região colorida.

15. 15.1. | z 3i| 3

+ ≤ ∧ |z − 1 + 2i| ≥

__

√ 2

Im( z )

1

O

Re( z )

–2 –3

15.2. | z i |

− <

__

√ 5

∧ |z − i| = |z − 2|

Im( z )

12. 12.1. 2i (1 i)

1

− − (5 − 3i) = 2i + 2 − 5 + 3i = − 3 + 5i 2 12.2. (3 − 2i) = 9 − 12i − 4 = 5 − 12i 2 12.3. _3_ i (1 − 2i) = _3_ i (1 − 4i − 4) = _3_ i + 6 − 6i = 6 − _9_ i 2 2 2 2 2 12.4. (3 − i)(1 + i) = (3 − i)(1 + 2i − 1) = = (3 − i) (2i) = 2 + 6i __ __ 2 7 √ √ ( − − + 3 2 2 i i 2 + i) = 12.5. __ __ √ 2 i − 1) = ( + + + 3 − 2 √ 2 i i 2 2 __ __ 3 − 2 √ 2 i + i + 1 + 2 √ 2 i = 4 + i 12.6. 7i − i (2i + i) = 7i + 3 = 3 + 7i PÁG. 92

13. 13.1. Seja P o ponto de interseção de [AD ] com o eixo real. Sendo A ( 3 , 1) , o ponto P tem coordenadas OP 3 . ( 3 , 0) e ‾

−

=

− − =

O

1

2 Re( z )

PÁG. 93

16. 16.1. Opção (C) 16.2. 1 _5_ i 3 i 1 _5_ i 5 2i 2 2 2 _7_ i 4 _1_ i 2 ___ ___ ______ ______2 √ √ 65 ___ 65 49 ___ 4 ___ 16 _1_ 4 4 2 2

| − − − |=| − − + |⇔ ⇔ |− − | = | − − | ⇔ ⇔ √ + = √ + ⇔ = 17. de pontos do círculo centrado em 17.1. Conjunto __ (3 , √ 2) e de raio 4 , que não__ pertencem ao círculo centrado na origem e de raio √ 3 .

−

34


Novo Espaço A 12


17.2. Semiplano fechado definido pela mediatriz do segmento de reta de extremos ( 4 , 3) e (1 , 1) , ao qual pertence.

−

−

− −

+ − ≤ ∧ |z − 2 − i| ≤ 2 ∧ Im (z ) ≥ 0 18.2. Como (_3_ , − _1_) , afixo de w , tem ordenada 2 2 negativa, não pertence à região ___ colorida. 5 3 √ 34 ‾ AP |w z 1| __ __ i ___ 3 e 2 2 2 ___ √ 10 2 ___ _1_ _3_ i ‾ BP |w z 2| 2 2 2 O ponto P pertence aos dois círculos.

= − =| − |= < = − = |− − | = <

PÁG. 94

19. ____ 19.1. Verifica-se que | w | √ 3 1 2 , o que coincide com o raio da circunferência.

=

+ =

− ≤

≤ ∧

19.2. O quadrado é definido por 2 Re (z ) 2 2 Im (z ) 2__. __ √ 3 2 , conclui-se que Como 2 √ 2 2 2 o afixo de t pertence __ ao quadrado. Por outro lado, | t | √ 5 2 . Então, o afixo de t não pertence ao círculo.

≤ − ≤ ≤ ∧ − ≤− ≤ =

>

20. 20.1. Como as diagonais do quadrado passam pela origem, C representa o simétrico de z A , ou seja, z C = − 4 + 2i . Da mesma forma se conclui que z D = − 2 − 4i .

− 2 + 4 , isto é, E (3 , 1) . 4 + 2 , _____ 20.2. E ____ 2 2 ____ Então, ‾ OE = √ 3 + 1 = 2 . _____ ___ ‾B = √ 4 + 16 = √ 20 . Por outro lado, O

(

)

Os pontos da coroa circular representam os complexos z __ tais que: 2 ≤ | z | ≤ 2√ 5 . 5PÁG. 9

21. 21.1. z 12

− z 2 = (2 − 3i)2 − (4 + i) = 4 − 12i − 9 − 4 − i =

= − 9 − 13i i z i (2 − 3i) (2i + 3) (4 − i) 8i + 2 + 12 − 3i = 21.2. ___1 = ______ = __________ = ___________ z 2 4 + i 17 (4 + i) (4 − i) 5 i 14 + ___ = ___ 17 17 z 2 (4 + i)(− 3i) = 4 + i 4 + i = _________ ____ ________ = = 21.3. ____ 2 − z 1 2 − (2 − 3i) 3i 9 − 12i + 3 = _1_ − _4_ i = _______ 9

3

3

2 − 3i _____

2

2

(2 − 3i) = = _______

(1 − i)2 (− 5 − 12i) 2i = 6 − _5_ i − 5 − 12i = _________ 4 − 12i − 9 = ______ = ________ z 2

− 2i

1 2i 1

18. 18.1. | z 1 i | 3

− ≤

2

(5 − ) = (5 − 4 − i)

z 1 21.4. ____

4

2

22. 22.1. 2 a) 2x y i (3 i) 2x y i 8 6i 2x 8 y 6

− + = + ⇔ − 2x + y i = 9 + 6i − 1 ⇔ ⇔− + = + ⇔ ⇔ − = ∧ = ⇔ x = − 4 ∧ y = 6 3 + i ⇔ z = i (3 − i) ⇔ z = 3i + 1 b) __z = ‾ i Então, tem-se − 2x + y i = 1 + 3i ⇔ − 2x = 1 ∧ y = 3 ⇔ ⇔ x = − _12_ ∧ y = 3 . c) Im (− 2x + y i − _1_) = 0 ⇔ Im (− 2x + y i + i) = 0 ⇔ i ⇔ y + 1 = 0 ⇔ y = − 1 y = - 1 ∧ x ∈ ℝ

− − × + = − − − y i + y = =− + + − − − + = ⇔ 2x 2x i 22.2. ( 2x y i) (1 i) 2x y i ( 2x y ) y = 2x . Então, 2x y 0 PÁG. 96

23. z 1 2 3i 5 2i 2 3i 3 5i 23.1. f (z 1) ‾ O ponto A tem coordenadas A (− 3 , − 5) . O ponto A obtém-se a partir do afixo de z 1 por uma reflexão de eixo real seguida de uma translação de vetor (2 , 3) . g (z 1) z1 2i 5 2i 2i 5 4i ‾ O ponto B tem coordenadas B (5 , 4) . O ponto B obtém-se a partir do afixo de z 1 por uma reflexão de eixo real seguida de uma reflexão de centro O e uma translação de vetor (0 , 2) . 23.2. h (z 2) _1_ (3 6i) i 1 2i i 1 3i 3 Então, tem-se C (1 , 3) . O ponto C obtém-se a partir do afixo de z 2 por uma homotetia de centro O e razão _1_ , seguida de uma trans3 lação associada ao vetor (0 , 1) .

= + − =− − + − =− −

−

=− + = + + = +

=

+ += + += +

24. (6 4i) ( 1 i) 4i7 6i8 8i9 _________ 4i 6 8i ___________ 24.1. z ___________ i 1 i 1 ( 1 i) ( 1 i) 6 6i 4i 4 − 1 − 5i __________ 2

= + − + = − +− + = − ++ −− −− = =− − − + = (1 − 13i) (2 − 2i) = 1 + 13i19 = ____________ 24.2. z = ________ 2 + 2i (2 + 2i) (2 − 2i) − 24 − 28i = − 3 − _7_ i 2 − 2i − 26i − 26 = ________ = ___________ 2 8 8 35


Novo Espaço A 12

25. __ __ 25.1. √ √ ( ) 2 i 2 _1_ i . 1 __ __________ __ __ __ a) ____ √ 2 i (√ 2 i)(√ 2 i) 3 3 __ __ √ √ 2 2 1 1 Então, x 3y i __ __ i , ou seja, x = − ____ ∧ y = − __ 3 3 3 9

+

= −= − + − + = −

+

PÁG. 97

=− − =− −

b) iw x i 3y 3y x i . Para iw pertencer ao semieixo real positivo, tem-se: Re (iw ) 0 Im (iw ) 0 3y 0 x 0 y < 0 ∧ x = 0


−

= − ⇔ z 3 − 2i z 2 + 3z − 6i = 0

26.6. z 3 2i z 2 6i 3z 1 2i 1

– 2i

3

– 6i

2i

0

6i

0

3

0

− + − __= ⇔ (z − 2i__) (z 2 + 3) = 0 ⇔ ⇔ z = 2i ∨ z = √ 3i ∨ z = −√ 3i z 3 2i z 2 3z 6i 0

> ∧ = ⇔ ⇔− > ∧ − = ⇔ 1 = i3 (2 − i) ⇔ _______ 1 c) __ w − x + 3y i = − i (2 − i) ⇔ ⇔ 1 = (− 2i − 1) (− x + 3y i) ⇔ ⇔ 1 = 2x i + 6y + x − 3y i ⇔ x + 6y = 1 ∧ 2x − 3y = 0 ⇔ 2 ⇔ x = 1 − 6y ∧ 15y = 2 ⇔ x = _15_ ∧ y = ___ 15 25.2. Verifica se existe algum w que seja solução da equação ‾z iz 2 . x 3y i i ( x 3y i) 2 x 3y i x i 3y 2

= + − − = − + + ⇔− − =− − + ⇔ ⇔ 0 = − x i + 3y i − 3y + 2 + x ⇔ ⎧− 3y + 2 + x = 0 ⎧2 = 0 ⎨ ⎨ ⇔ Impossível. ⎩x = 3y ⎩− x + 3y = 0 Não existe nenhum w que seja solução da equação. 26. 2 6i 26.1. z ______ 2 26.2. z 3 5z 0

= − ± ⇔ z = − 1 − 3i ∨ z = − 1 + 3i + = ⇔__ z (z 2 + 5) = 0__⇔ z = 0 ∨ z 2 = − 5 ⇔

⇔ z = 0 ∨ z = i√ 5 ∨ z = − i√ 5 − 3 ± 1 ⇔ 26.3. z 4 + 3z 2 + 2 = 0 ⇔ z 2 = _____ 2 ⇔ z 2 = −__2 ∨ z 2 = − 1__⇔ ⇔ z = √ 2 i ∨ z = −√ 2 i ∨ z = i ∨ z = − i = iz ⇔ z 2 − iz + 2 = 0 ⇔ 26.4. z 2 + 2 ___ i ± √ − 9 ⇔ z = 2i ∨ z = − i ⇔ z = _____ 2 26.5. Seja z = x + y i . 2 (x 2 + y 2) + i (x + y i) = 3 − i ⇔ 2x 2 + 2y 2 − y + x i = 3 − i Então, 2x 2 + 2y 2 − y = 3 ∧ x = − 1 ⇔ 2y 2 − y − 1 = 0 ∧ x = − 1 ⇔ (y = 1 ∨ y = − _12_) ∧ x = − 1 z = − 1 + i ∨ z = − 1− __ i

1 2

36


Novo Espaço A 12


3. Exponencial complexa e forma trigonométrica dos números complexos

3π __ i __ π 3 __ Então, Arg (z 2) = e z 2 = 3√ 2 e 4 . 4 3π 3π __ i __ __ i (_π_ + __ i _π_ )

z 1

PÁG. 98

c)

27. 27.1. Seja α um argumento de z 1 . Como o ponto A pertence ao 4.º quadrante e __ √ 3 cos α __ , então α __ 2k , k . 2 6 Um argumento de z 1 é, por exemplo, − _π_ . 6

__

2

2π ⇔ = ( π) + i sin (__ 3)

2

i

z

|z |

na forma algébrica

+

__

√ 5

7

7

+

√ 5 e

2

i __ 6

− 2 + 2i

2√ 2

__

__

__

3 √ 3 i

π

3 __ i __ √ 4

3 2e

3 2e

__

3√ 3 i _3_ ___ __

__

6 − √ 2i __ __ − √ 2 2

√ 2

7π ___

5

__

5i

π

π

2 3e

7π __ i ___

√ 2 e

6

π

6

π

i __ 2

5e

2

2

2

_____

__

3

= √ + = =− ∧ ∈

+

.

= − sin (_6π_) − i cos (_6π_) = ___ π π π π 3 3 __ __ _ _ _ _ = cos ( 2 − 6 ) + i sin ( 2 − 6) = e π

PÁG. 99

π

4 i __ 3

2 __ i __ √ 3

4π 3

2π ___

z 1 × z 2 _____________ 2e × 3 e = 2√ 3 ei 3 c) _____ = 4π z 3 i __

e

π

3e

(6)

30.2. i _π_ a) z 2 2i e 6

2 i ___ 3

3

3

b) z 3

11 __ i ____ 6 √

2π ___

3

i −π 4

PÁG. 100

Logo, z 2 = √ 3 e

3 __ i ___ 4

6

π

3 __ i __ 4 √

i

2√ 2 e

11π ____

__

3

31. 2π i __ 31.1. z 1 e 3 1

2π + i sin __ 2π = = − (cos __ 3 3) __ __ 3 i = _3_ − √ 3i __ __ = 1 − (− _12_ + √ ) _____ 2 __ 2 2 |z | = √ _94_ + _34_ = √ 3 __. Seja Arg (z ) = θ . __ ( __) √ 3 __ ∧ θ ∈ 4.º Q , logo z = √ 3 e . Então, tan θ = − 3 π i ___ π + i sin ___π = 12 31.2. w = 2e = 2 (cos ___ 12 12 ) = 2 (cos (_3π_ − _4π_) + i sin (_3π_ − _4π_)) = = 2 cos _π_ cos_π_ + sin_π_ sin_π_ + i sin_π_ cos_π_ − cos_π_ sin _π_ =

= −

i −

29. 27 6 14 ________ 2i 3i 2i 3 1 _____ 29.1. z 2 i 9 i i 1 2 3i 3 3i O afixo de z 2 pertence ao 2.º Q.

= + + =− +− − = =− +− + =− + 29.2. _____ __ a) z 1 2 √ 3 2i ; |z 1| √ 12 4 4 __ √ 3 Seja Arg (z 1) α . Tem-se tan α __ 3_π_

=

+ =

ou seja, Arg (z 1)

=

___

= =

=

(

+ = =

= _6π_ . Então, z = 4e

i

1

6

∧ α ∈ 1.º Q , .

__

b) |z 2| √ 18 3√ 2 Seja Arg (z 2) θ . Tem-se tan θ

12

__ = = ( π + π) = − 1 − √ 3 i i b) z 2 = 2i − e 6 = 2i − (cos _π_ + i sin _π_) = 6 __ __ 6 3 _3_ 3 + _1_ i = − √ ____ __ = 2i − (√ + i ) 2 2 2 2 __ √ 1 π π _ _ ____ _ _ _ _ c) z 3 = − sin − i cos = − − 3 i

2π __ i ___

2e 6

4

2√ 3

π

π) i _π_

3π ___

__

i __ 2

= − =− =

7ei (2

6

= 12√ 2 e

__ √ 3 _3_ i . Então, z __ _3_ _9_ √ 3 | 2| __ 4 4 2 2 θ 2.º Q . e sendo Arg (z 2) θ , tem-se tan θ √ 3

3 __ i ___ 2

π _π_

2

__

3π ___

π

2e

4

2

√ 3 i

2

π

__ i __ √ 4

__

__

−√ 5 i

−2 +

z na forma trigonométrica

√ 2

1 i

−

Arg (z )

__

11π __ i ____

π __ ( ) 4e 32√ 2 ( ) 64e ______ _________ _________ = e = =

(6)

28.

__

z 2

π

4

__

√ 3 2 27.2. z 1 = ____ − _1_ i e z 2 cos __ 2 __2 3 3 _1_ √ ____

⇔ z = − 2 +

z 13 ___

6

4

30. 30.1. 4π i __ 4 i sin __ 4 a) z 1 2e 3 2 cos __ 3 3 π

=−π + π ∈ℤ

=

× z 2 = 4e × 3√ 2 e = 12√ 2 e 3 6

= − 1 ∧ θ ∈ 2.º Q .

3

__

4

__

3

__

4

(

3

__

__

__

__

4

3

__

π

6

4

))

2 + √ 3 √ 2 + i √ 3 √ 2 − _1_ × √ 2 = __ __ __ __ __ __ = 2 (_12_ × √ ( 2 2 2 2 2 2 2 )) __

__

__

= ( × + + 2 + √ 6 √ 6 − √ 2 ________ = √ + i _________ 2 2

√ 2 √ 3 √ 2 i √ 3 √ 2 __ __ __ __ 2 _1_ __ 2 __2 2__ 2 __ 2 2 __

(

__

)) =

2 _1_ √ __ 2 2

− ×

37


Novo Espaço A 12


− 6π) ( 31.3. Em 31.1. viu-se que z = √ 3 e . __ i

__

nπ − __ ( ) e 6 . Para z n ser um imaginário puro,

__n i

= nπ = _π_ + k π , k ∈ ℤ , ou seja, n = 3 − 6k , k ∈ ℤ . − __ 6 2 Então, z √ 3 n

O menor natural que se obtém é 3 .

32. 32.1. Os números complexos simétricos de z1 e z2 são representados, respetivamente, por C e D .

–

–

__ π π _ _ √ − = − = − 2 ( 3 + i sin 3) = − 1 − 3 i __ __ __ − z 2 = − (−__3 + √ 3 i) = 3 − √ 3 i . Então, C (− 1 , − √ 3) e D (3 , − √ 3 ) . __ ___ √ √ z − = = 12 2 3 . Sendo Arg (− z 2) = α , tem-se __ | 2| √ 3 ∧ α ∈ 4.º__Q . tan α = − __ 3

π

__ 2ei 3

z 1

cos __

( ) Então, − z = 2√ 3 e 6 . Na forma trigonométrica __ i

2

π

i __ 3

= − 2e

−

π

π +π 4π i ___ ( 3 ) = 2e = 2e 3 . __

i

____

___

OA 2 e ‾ OB √ 9 3 √ 12 . 32.2. ‾

=

+ = 2 2 OB − π ‾ OA = 12π − 4π = 8π . Então, Acoroa = π ‾

=

33. 33.1. a) z 1

− 2i (1 + i) + 2i = 2i7 − _2_ = _________ = ___ 1 − i i (1 − i) (1 + i) − 2i + 2 + 2i = − i + 1 + 2i = 1 + i = ______ 2

π

__

3 2e __

z = 0 ∨ z =

2k π _π_ ____

_1_ ei (− 9 +

√ 2 3

3

) , k ∈

{0 , 1 , 2}

× = (1 + i) ×__ 2e = (1 + i) × (1 + √ 3 i) = __ __ __ __ 1 + √ 3 i + i − √ 3 = 1 − √ 3 + (1 + √ 3 )i

33.2.

π __ __ π i (_π_ − _π_) √ i (− ___ √ z 2 2 e 2 4 3 12 ) 1 ______ __ ____ __ = i _π_ = 2 e =2e a) z 2 __ i __ √ 4

2e 3

z 15

5

i _π_

= (√ 2 e ) = 4 __

4

33.3. a) z 3 z 2 4

34. 2 θ _8_ cos 34.1. sin2 θ cos2 θ 1 __ __ 9 √ 2 √ 2 2 2 ___ ___ cos θ cos θ 3 __3 2√ 2 ___ θ 2.º Q cos θ 3 __ 2 √ 2 _1_ Então, z = − _____ + i .

+

= ⇔ = ∨ =− ∈ ⇒ =−

34.2. z 3

+ 3 (−

= (−

3 __ 3 2√ 2 _1_ i ___

3

__ 2

2√ 2 ___

= ⇔

3

) (3 ) + 3 (−

__ 3

2√ 2 − ___

+3 ) =(

)+

3

__

2√ 2 ___

2

3

+ _1_ i = 3 3 ) (3 ) (3 ) __ __ __ √ √ √ 16 2 2 2 10 2 + ___ 8 23 i 1 __ i + ___ − ___ i = − ____ − ____ + 27 9 9 27 27 9 z 3 = e3i = cos (3θ) + i sin (3θ) . _ _1_ i

_1_ i

θ

10 2 23 . Então, cos (3θ) = - ______ e sin (3θ) = ___

√ 27

9

35. 35.1. |z A | 2 e , sendo Arg (z A) θ , tem-se __ i _π_ θ 1.º Q . Assim, z A 2e 3 . tan θ √ 3 Seja z D o número representado pelo ponto D .

= = ∧ ∈

=

=

7π π − 2 × __ 2π i − ___ ( ( ) 3 5) Então, z = 2e , ou seja, z = 2e 15 . __

i

D

i __ 3

b) z 1 z 2

b)

__

PÁG. 102

PÁG. 101

− z 1

= ⇔ z 4z 2 − z = 0 ⇔ z (z 3z 2 − 1) = 0 ⇔ i (− π ) 3 1 1 ____ _ _ 3 3 ⇔ ⇔ z = 0 ∨ z = z = 0 ∨ z = e π 2 i b) z 4z 2 z

7π + _π_ i − ___

( z = 2e P

15 2

8π + _π_ i ___

D

π ___

) = 2ei (30) ; z

Q

31π i ____

π +π 8π i ___ ( ) = 2e = 2e 15 ; i ___ __ 30 2

= (15 2) = 2e 2 2 OD = 2 . Então, ‾ DP = 22 + 22 ⇔ ‾ DP = 8 . 35.2. ‾ 30

z R 2e

A área do quadrado é 8 . PÁG. 103

5π __ i ___ √ 4

2e

36. 36.1.

Im( z )

__

= - ⇔ z 3 = 1 + √ 3 5i π− 4 ⇔ __ ___ i __6 3 3 z = − 3 + √ 3 i ⇔ z = √ 12 e ⇔ 6

___

5π + ____ 2k π i ___ 18 3

z = √ 12 e

(

) , k ∈ {0 , 1 , 2}

O

1

2 Re( z )

–2

38

C actividades nema12_cp_res.pdf

Recommend Documents