Módulo
C1 Explicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración.
Z E Posición, velocidad y aceleración en el M movimiento de una partícula O G O I N I G R I V
En este módulo, estudiarás los parámetros cinemáticos de posición, velocidad y aceleración. *
Adqu Adquir irir ir el conc concep epto to de posi posici ción ón de una una par partí tícu cula la..
*
Adqu Adquir irir ir el el conc concep epto to de velo veloci cida dad d de de una una part partíc ícul ula. a.
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Adqu Adquir irir ir el conc concep epto to de acel aceler erac ació ión n de una una partí partícu cula la..
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Expl Explica icarr los los con conce cept ptos os de posi posici ción ón,, vel veloc ocid idad ad y ace acele lera raci ción ón..
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Adqui rir el conc ept o de posición de una una partícula. Adq ui ri re l co nce pt o de velocidad de una partícula. Adquirir el el concepto de una aceleración de una partícula. Explicar los conceptos de pos ic ión ,ve loc ida d y aceleración.
¿Cómo indicar la posición de un objeto a lo largo de una recta, en el plano y en el espacio? Para describir el movimiento de un objeto debemos fijar un sistema de referencia. El más adecuado es el tridimensional con x, y , z. La figura muestra los sentidos positivos del sistema de ejes tridimensional.
La posición de una partícula es un vector dirigido desde el origen al lugar donde se encuentra el objeto. Si un auto viaja a lo largo de la recta x, y en un instante se encuentra en la coordenada - 6 m, su posición se escribe: →
Z E M O G O I N I G R I V
x
= -6mi
La mariposa se ubica en el plano xy, 10 m en una dirección de 30o con el eje x, su posición es. → r = cos 30 • 10 i + sen 30 • 10 j → r = 8,6 m i + 5,0 m j
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Adqui rir el conc ept o de posición de una una partícula. Adq ui ri re l co nce pt o de velocidad de una partícula. Adquirir el el concepto de una aceleración de una partícula. Explicar los conceptos de pos ic ión ,ve loc ida d y aceleración.
¿Cómo indicar la posición de un objeto a lo largo de una recta, en el plano y en el espacio? Para describir el movimiento de un objeto debemos fijar un sistema de referencia. El más adecuado es el tridimensional con x, y , z. La figura muestra los sentidos positivos del sistema de ejes tridimensional.
La posición de una partícula es un vector dirigido desde el origen al lugar donde se encuentra el objeto. Si un auto viaja a lo largo de la recta x, y en un instante se encuentra en la coordenada - 6 m, su posición se escribe: →
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x
= -6mi
La mariposa se ubica en el plano xy, 10 m en una dirección de 30o con el eje x, su posición es. → r = cos 30 • 10 i + sen 30 • 10 j → r = 8,6 m i + 5,0 m j
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Para indicar la posición en el espacio se necesitan 3 coordenadas, por ejemplo la posición del bicho es: → r = -6mi + 5mj + 4mk
Pregunta. Representa las siguientes posiciones:
→ a) y
= -4mj
→ b) r = - 6 m i - 6 m j
→ c) r = - 8 m i + 5 m j - 8 m k
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Adqui rir el conc ept o de posición de una una partícula. Adqui rir el conc ept o de velocidad de una partícula. Adquirir el concepto de una una aceleración de una partícula. Explicar los conceptos de pos ic ió n,v elo cid ad y aceleración.
¿Cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez?
→ El desplazamiento desplazamie nto ( d ) se define como la diferencia vectorial → → entra la posición final ( pF ) y la inicial ( pI ). → → → d = pF - pI
→ La velocidad media ( v ) de un objeto se define como el cuociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido.
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Un tren se mueve a lo largo del eje x. Su posición inicial es xI = 50 m i luego de 20 s su posición es xF = 150 m i. ¿Cuál es su velocidad media?
El desplazamiento a lo largo del eje x, se escribe: ∆x = x F - xI = 150 m i – 50 m i = 100m i
La velocidad media en ese intervalo es: v = ∆x / ∆t = 100m i / 20 s = 5 m / s i
La velocidad instantánea de un objeto se obtiene a partir de la velocidad media considerando intervalos de tiempo ∆t y desplazamiento desplazamiento ∆x cada vez más cortos:
vINST. = lím
40
∆x ∆t
= d(x) dt
derivada de x respecto a t.
La posición de un objeto que se mueve en el eje x está dado por: x = t2 - 6t + 40 con x en metros y t en segundos. a)¿Cuál es la velocidad en t = 2 s? v = d ( x ) / dt = d (t2 - 6t + 40 ) / dt v = 2t - 6 , en t = 2 s
v = 2 ·( 2 ) - 6 v = - 2 m/s, en ese instante el objeto se mueve a la izquierda. b)¿En que instante la velocidad es cero? v = 2t - 6 ⇒ 0 = 2t - 6 ⇒ t = 3 s es decir a los 3 s, el objeto está en reposo. c) ¿Cómo queda el gráfico v / t?
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Adqui rir el conc ept o de posición de una partícula. Adqui rir el conc ept o de velocidad de una partícula. Adquirir el concepto de una aceleración de una partícula. Explicar los conceptos de pos ic ión ,ve loc ida d y aceleración.
La velocidad es una magnitud vectorial, por tanto se debe expresar mediante los vectores unitarios i , j , k.
Suponga que un vehículo se mueve a 20 km/h en un tramo recto, de modo que el sentido hacia la derecha se considera positivo. → Su velocidad es v = + 20 km/h i
Si se mueve hacia la izquierda su velocidad es: → v = - 20 km/h i
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Una pelota se lanza con una rapidez de 20 m/s en una dirección que forma 60 con la horizontal. ¿Cuál es su velocidad?
Vx = cos 60 • 20 m/s
→
Vx = 10 m/s i
→ V = 10 m/s i + 17 m/s j
42
Vy = sen 60 • 20 m/s
→ Vy = 17 m/s i
o
La rapidez es la magnitud de la velocidad. Por ejemplo los trenes que se muestran en la figura tienen la misma rapidez ( 100 km/h ) pero distinta velocidad.
Pregunta.
1.-Una partícula se mueve en el eje x, y su posición está dada por x = - t3 - t2 + 10t con x en metros y t en segundos. a)¿Cuál es la velocidad en t = 3 s? b)¿En que instante la velocidad es nula? c)Haga el gráfico v / t .
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2.- Una piedra cae desde un tejado con una rapidez de 30 m/s formando un ángulo de 30o bajo la horizontal. Escriba la expresión de la velocidad con que cae la piedra.
RAPIDEZ DE MOVIMIENTO
Cuando se observa el crecimiento de una planta decimos que en un cierto tiempo esa planta ha variado su tamaño o altura. Esta planta pudo haber crecido poco o mucho en ese tiempo y hablamos entonces de la rapidez de su crecimiento. Dos recipientes iguales con distintos líquidos a 100 o C se dejan enfriar. Al cabo de un cierto tiempo, se observa que la temperatura de cada líquido es diferente. Decimos que ambos líquidos tienen diferente rapidez de enfriamiento.
En general cuando un fenómeno varía al transcurrir el tiempo podemos hablar de su rapidez de variación. Si un auto recorre una distancia de 560 km en 8,0 horas, usted y muchas personas dirían: «el auto desarrolla en promedio 70 km/h «. Este resultado que se obtuvo de
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dividir la distancia total recorrida (560 km) entre el tiempo de viaje ( 8,0 h ) es lo que se conoce como rapidez media (vm ). vm = distancia total recorrida / tiempo transcurrido
→
vm = d / t
Se puede usar cualquier combinación de unidades de distancia y tiempo para expresar una rapidez, por ejemplo: millas / h , km / h , cm / día , m / s .
Ejercicio desarrollado
Un auto recorre la calle ABC que muestra la figura de la siguiente manera : tramo AB = rapidez media de 60 km/h durante 2 h ; tramo BC = rapidez media de 90 km/h durante 1 h.
Z E M O G O I N I G R I V
¿Cuál es la rapidez media durante todo el trayecto? Para resolver este problema, debemos conocer la distancia total en el tramo ABC y dividirlo con el tiempo total, que en este caso es 3 h. La distancia AB, se obtiene multiplicando la rapidez en ese trayecto por el tiempo empleado: d AB = 60 km/h
• 2 h = 120 km
La distancia BC , se obtiene multiplicando la rapidez en ese trayecto por el tiempo empleado: dBC = 90 km/ h
• 1 h = 90 km
Por lo tanto la distancia ABC (distancia total ) es d ABC = 120 km + 90 km = 210 km La rapidez media para todo el trayecto es : vm = 210 km / 3 h = 70 km / h
Ejercicio para la clase Una persona conduce un automóvil durante 10 km viajando siempre a razón 90 km/h y luego otros 10 km viajando ahora a 70 km/h. ¿Cuál es la rapidez media durante el trayecto de los 20 km?
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¿Qué significa una aceleración de 5 m/s2 ?
Adqui rir el conc ept o de posición de una partícula.
La aceleración media en el movimiento de un objeto se define como la variación de velocidad ( ∆v ) dividida por el intervalo de tiempo ( ∆t ): aM =
∆v / ∆t
con
∆v = v F - vI
y
∆t = t F - tI
Un auto se mueve en un tramo recto. En un instante lleva una velocidad de 10 m/s y luego de 5 s su velocidad es 20 m/s. La aceleración media es: ∆v = vF - vI = 20 m/s - 10 m/s = 10 m/s ∆t = t F - tI = 5 s
Adqui rir el conc ept o de velocidad de una partícula. Adquirir el concepto de una aceleración de una partícula. Explicar los conceptos de pos ic ió n,v el oci dad y aceleración.
a = ∆v / ∆t = 10 m/s / 5 s = 2 m/s2 , esto significa que en cada segundo el aumento de velocidad es a razón de 2 m/s.
Z E M O G O I N I G R I V
La aceleración instantánea de un objeto se obtiene a partir de la aceleración media considerando intervalos de tiempo ∆t y cambios de velocidad ∆v cada vez más cortos:
La aceleración a está representado por un número algebraico que puede ser positivo o negativo.
Si a es positiva , aumenta la velocidad, esto significa que la partícula se mueve cada vez más veloz en el sentido positivo, o que se mueva cada vez más lento en el sentido negativo. Si a es negativa , disminuye la velocidad, esto significa que la partícula se mueve cada vez más lento en el sentido positivo, o que se mueva cada vez más veloz en el sentido negativo. Una partícula se mueve a lo largo del eje x, y su posición está dada por: x = 6t 2 - t3 con x en metros y t en segundos. a)¿Cuál es la expresión de la velocidad como función del tiempo? v = d ( x ) / dt = d (6t 2 - t3 ) / dt v = 12t - 3t2 b)¿Cuál a = d( a = 12 a = 12
es la aceleración a los 1 s? v ) / dt = d (12t - 3t2 ) / dt - 6t - 6 ( 1 ) = 6 m/s2
c)¿Cuál es el gráfico a / t ?
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Pregunta.
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1.-La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dado por: x = 10t - 6t 2 + t 3 con x en metros y t en segundos. a)¿Cuál es la aceleración a los 3 s? b)¡En que instante la aceleración es nula? c)Haga el gráfico a / t.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-Explique como se escribe la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta. Muestre con un ejemplo. 2.-Explique como se escribe la posición de una partícula que se mueve en el plano. Muestre con un ejemplo. 3.-Explique como se escribe la posición de una partícula en el espacio. Muestre con un ejemplo. 4.-¿Porqué la velocidad de una partícula puede ser positiva o negativa? Explique. 5.-¿Cuál es la unidad de medida de la velocidad de una partícula en el sistema SI? Explique. 6.-¿Cuál es la diferencia entre rapidez y velocidad? Explique
Z E M O G O I N I G R I V
7.-Si por una misma carretera pasan dos vehículos en el mismo sentido, uno a 72 km/h y el otro a 20 m/s. ¿Cuál viaja más rápido? Explique. 8.-Suponga que una persona lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿Cuál es su velocidad? Explique. 9.-¿Cuál es la unidad de medida SI de aceleración? Explique.
10.- Suponga que un auto se mueve en un tramo recto ( eje x ) hacia la derecha. En un instante t1 = 4 seg lleva una rapidez de 40 m/s y en un instante posterior t2 = 24 seg su rapidez es 20 m/s. Considerando sentido positivo hacia la derecha, determine: a) La aceleración (supuesta constante) b) ¿Qué significa el valor obtenido? c ) ¿Cuál será la rapidez a los 30 seg?
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Z E M O G O I N I G R I V
Módulo
C2 Aplicar las ecuaciones cinemáticas para describir el movimiento rectilíneo de una partícula.
Z E Descripción matemática de un movimiento rectilíneo M O G O I N I G R I V
En este módulo, estudiarás la descripción matemática de un movimiento rectilíneo (horizontal y vertical). *
*
*
Reconocer las ecuaciones que describen un movimiento rectilíneo uniforme.. Reconocer las ecuaciones que describen un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Aplicar las ecuaciones cinemáticas para describir el movimiento rectilíneo de una particula.
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Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniforme. Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ap li ca r la s ec ua ci on es cinemáticas para describir el movimiento rectilíneo de una partícula.
¿Cómo describir el movimiento de una partícula? El movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza porque su aceleración es cero, es decir la velocidad es constante. De v = dx / dt , se tiene dx = v • dt x
∫
x ( o)
dx =
t
∫
t ( o)
v • dt
⇒
x - x(o) = v • t
Dos ciudades A y B se encuentran en una carretera recta separadas 90 km. Desde A hacia B parte un camión con rapidez constante de 50 km/h y desde B hacia A parte otro camión con rapidez constante de 40 km/h. Considere en la figura, sentido positivo a la derecha:
Z E M O G O I N I G R I V
a)¿Cuál es la ecuación de la posición del camión que sale de A y del camión que sale de B? x A = 0 + 50 • t x B = 90 - 40 • t
→
x A = 50
• t
b)Luego de cuánto tiempo se cruzan. Se cruzan cuando tienen la misma posición, es decir cuando : x A = xB 50 • t = 90 - 40 • t 90 • t = 90 t = 1 hora → c)¿Qué distancia logró recorrer cada uno? Determine la posición donde se cruzan, para ello basta reemplazar t = 1 h , en cualquiera de las ecuaciones de posición: x A = 50 • t → x A = 50 • 1 = 50 km Se cruzan en la posición 50 km, entonces A recorrió 50 km, en cambio B recorrió 40 km. Un auto empieza su movimiento desde la posición x(o) = 100 m y lo hace con velocidad constante de 72 km/h = 20 m/s hacia la derecha. a)¿Cuál es la expresión para la posición? x - x(o) = v • t ⇒ x - 100 m = 20 m/s • t
50
b)¿Cuál es la posición a los 5 s? x - 100 m = 20 m/s • t x - 100 m = 20 m/s • 5 s ⇒ x = 200 m
Pregunta. 1.—Dos partículas A y B se desplazan a lo largo de una misma trayectoria. Las ecuaciones de la posición con respecto al mismo origen son : x A = 4t 2 - 3 ; xB = 5t 2 - 4t , con x medido en metros y t en segundos. a)¿En que instante(s) se cruzan (es decir tienen la misma posición) y cuál es esta? b)¿Qué velocidad lleva cada uno en el momento en que se cruzan?
EJERCICIOS
PROPUESTOS
Z E M O G O I N I G R I V
1.-Dos autos A y B van por una misma carretera. En la figura de este problema se indica en función del tiempo la posición de cada uno en relación con el comienzo de la carretera. Analice las afirmaciones siguientes, relacionadas con el movimiento de estos autos y señale las que son correctas. a)En el instante t = 0 , A se halla en el kilómetro cero y B en el kilómetro 60. b)Ambos autos se desplazan con movimiento uniforme, es decir rapidez constante. c)De t = 0 a t = 2,0 h , A recorrió 120 km y B 60 km. d)La rapidez de A es 60 km/h y la de B es 30 km/h e)A alcanza a B en el instante t = 2,0 h al pasar por la señal del kilómetro 120.
2.-La tabla proporciona en varios instantes, la posición x de una bicicleta respecto al kilómetro cero de la carretera por donde va.
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Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniforme. Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ap li ca r la s ec ua ci on es cinemáticas para describir el movimiento rectilíneo de una partícula.
a)Construya el gráfico x v/s t y escriba la ecuación que proporciona la posición x de la bicicleta en función del tiempo t b)Determine la rapidez de la bicicleta c)Suponga que el origen del conteo de la posición se cambiara para la posición inicial de la bicicleta y que el sentido en que avanza se considere positivo. Escriba para ese caso, la ecuación que indica la posición x en función de t 3.-Dos ciclistas A y B se encuentran en un mismo punto de una carretera horizontal. El ciclista A inicia su movimiento con rapidez constante de 36 km/ h y el ciclista B con una rapidez constante de 40 km/h. ¿A que distancia se encuentra A con respecto a B luego de 30 min si : a)Parten en el mismo sentido b)Parten en sentido contrario 4.-Dos ciudades A y B se encuentran en una carretera recta separadas 90 km. Desde A hacia B parte un camión con rapidez constante de 50 km/h y desde B hacia A parte otro camión con rapidez constante de 40 km/h. Considere en la figura, sentido positivo a la derecha: a)Escriba la ecuación de la posición del camión que sale de A y del camión que sale de B b)Luego de cuánto tiempo se cruzan. c)¿Qué distancia logró recorrer cada uno?
Z E M O G ∫ ∫ O I = ∫ ∫ N I G R I V
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es aquel que tiene aceleración constante.
⇒ dv = a • dt
De a = dv / dt v
v ( o)
dv
=
t
t ( o )
a dt
⇒ v - v(o) = a • t
reemplazando el valor de v en dx = v x
x ( o )
dx
t
t ( o )
• dt
v dt
x = x(o) + v(o) • t + ½
• a • t2
Combinando las expresiones: v = dx / dt ; a = dv / dt (despejando dt en cada una e igualando) se tiene: v • dv = a • dx , integrando se llega a . ( v )2 = ( v(o))2
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+ 2 • a
• ∆x
En el instante considerado como origen para medir el tiempo ( t = 0 ) , la posición de un auto que se mueve a la derecha en un trayecto recto es xo = - 14 m , siendo su rapidez vo = 5 m/s. Acelera uniformemente a razón de a = 2 m/s2 .
a)Escriba la ecuación de la posición para cualquier instante de tiempo. x = x(o) + v(o) • t + ½ • a • t2 x = - 14m + 5 m/s • t + ½ • 2 m/s2 • t2 b)¿Que posición ocupa el objeto a los 2 seg ? x = - 14m + 5 m/s • 2s + ½ • 2 m/s2 • (2)2 x = 0 m (el objeto pasa por el origen) c)Escriba la ecuación de la velocidad para cualquier instante de tiempo. v - v(o) = a • t ⇒ v - 5 m/s = 2 m/s2 • t d)¿Cuál es la velocidad a los 2 seg? v - 5 m/s = 2 m/s2 • 2s ⇒ v = 9 m/s
Z E M O G O I N I G R I V
Un auto viaja en un camino recto y lleva una velocidad de 10 m/s en el momento en que el conductor pisa el acelerador. Esto ejercerá sobre el auto una aceleración constante que aumenta su velocidad a 20 m/s en 5,0 seg. Considere t = 0 ,el instante en que el conductor pisa el acelerador.
a)¿Cuál es la aceleración del auto? v - v(o) = a • t ⇒ a = ∆v / ∆t a = ( 20 m/s - 10 m/s) = 2 m/s2 ( 5,0 seg - 0 seg )
b)Suponiendo que el auto mantuviera esta aceleración hasta el instante t = 10 seg, ¿ cuál es su velocidad en este instante? v - v(o) = a • t ⇒ v - 10m/s = 2 m/s2 • 10s v = 30 m/s
c)¿Cuál es el desplazamiento experimentado por el auto desde el inicio de la aceleración hasta el instante t = 10 s ? ( v )2 = ( v(o))2 + 2 • a • ∆x ( 30m/s )2 = ( 10m/s)2 + 2 • 2m/s2 • ∆x ∆x = 200 m
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Un auto viaja a una rapidez constante de 30 m/s en un trayecto recto , pasa de largo a un agente de tránsito que está escondido detrás de un cartel. Un segundo después de que el veloz auto pasa el cartel, el agente empieza la persecución desde el reposo del auto con una aceleración constante de a = 3 m/s2 .
a)Escriba la ecuación de la posición del auto y del agente en relación al origen. El auto viaja con rapidez constante, por lo tanto la aceleración es cero. Ahora bien, como viaja a 30 m/s , esto significa que 1 seg después de cruzar el artel se encuentra a 30 m del origen (cartel) . Por lo tanto cuando se empieza a estudiar el movimiento ( t = 0 ) :
Z E M O G O I N I G R I V
b)¿En que instante de tiempo el agente alcanza al auto? Cuando el agente alcanza al auto ambos tienen la misma posición, por lo tanto x AUTO = x AGENTE es decir : 30 + 30
• t = 3 • t 2 , ordenando resulta : 1,5 t2 - 30t - 30 = 0 2
Resolviendo la ecuación, encontramos que para t = 21 s , el agente alcanza al auto. c)¿Que velocidad lleva el auto cuando es alcanzado , y cuál es la velocidad del agente . Para responder estas preguntas debemos escribir la ecuación de la velocidad en cualquier tiempo tanto para el auto como para el agente. v = vo + a
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• t ; Para el auto, se tiene: v AUTO = 30 m/s + 0 m/s2 • t Entonces a los 21 seg : v AUTO = 30 m/s Para el agente se tiene : v AGENTE = 0 m/s + 3 m/s2 • t Entonces a los 21 seg :
v AGENTE = 63 m/s
El « área» bajo la curva en el gráfico velocidad - tiempo proporciona la magnitud del desplazamiento experimentado por u n objeto e n cualquier cla se de movimiento.
El siguiente gráfico v v/s t representa la rapidez ( v ) en función del tiempo ( t ) de una partícula animada de movimiento rectilíneo en la dirección OX . a)¿Cuál es la magnitud de la aceleración a los 1 seg? En este caso se pregunta por la aceleración instantánea (instante t =1 seg ). Al observar el gráfico, vemos que está representado por una línea recta. Es decir, la aceleración en cualquier instante del primer tramo es igual a la aceleración media en cualquier intervalo de dicho tramo y es igual a la pendiente de dicha recta:
= 5 m/s2
a = 20 m/s - 10 m/s 2 seg - 0 seg
Entonces la aceleración a los 1 seg , es la misma para cualquier instante del primer tramo y su valor es 5 m/s 2 . Esto sign ific a que en el primer tramo la rapidez aumentó a razón de 5 m/s en cada segundo.
b)¿Cuál es la magnitud de la aceleración a los 3 seg?
Z E M O G O I N I G R I V
En este caso se pregunta por la aceleración instantánea a los 3 seg. Al observar el gráfico, vemos que esta porción del gráfico también es una línea recta, por lo tanto la aceleración instantánea es igual que la aceleración media para el trayecto y es igual a la pendiente de dicha recta. Es decir: a = 0 m/s - 20 m/s 4 seg - 2 seg
=
- 20 m/s 2 seg
=
- 10 m/s2
Esto significa que en este tramo en cada segundo la rapidez disminuye a razón de 10 m/s.
c) Calcule el desplazamiento experimentado por el objeto entre t = 0 y t = 2 s. Al marcar el «área» entre 0 y 2 s obtenemos la figura que se puede separar en un triángulo y en un rectángulo :
∆x = 10 • 2
+ 10
•2
= 30 m
2
Calcule el desplazamiento experimentado entre 2 seg y 4 seg .
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Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniforme. Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ap li ca r la s ec ua ci on es cinemáticas para describir el movimiento rectilíneo de una partícula.
Un tipo de movimiento ¿Con que rectilíneo con aceleración aceleración constante es aquel que cae la llave desarrolla un objeto al soltarla? cuando se mueve verticalmente (hacia arriba o hacia abajo) sólo bajo la acción de la gravedad terrestre. En estas condiciones el objeto se mueve con aceleración constante g = 9,8 m/s2 , llamada aceleración de gravedad, cuya dirección es vertical hacia abajo. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial vo= 30 m/s. Suponga que sólo actúa la atracción de la Tierra, y use g=10 m/s2.
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a)¿Cuál es la velocidad del cuerpo 2,0 seg luego de su lanzamiento? La velocidad está dada por: v = vo - g • t 2 v = 30 m/s - 10m/s • 2,0 s = 10 m/s Las ecuaciones para este movimiento son las mismas que para un movimiento con aceleración constante, sólo se debe cambiar g por a. Si el sistema de referencia lo consideramos a nivel del suelo, se debe cambiar a por –g: y = yo + voy • t - ½ • g • t2 vy = voy - g • t ( vy )2 = ( voy )2 - 2 • g • ∆y
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b)¿Cuánto tarda el cuerpo en llegar al punto más alto de su trayectoria? En el punto más elevado, se tiene vf = 0 m/s y así la ecuación ocupada en la pregunta a) nos da: 0 = 30 m/s - 10 m/s2 • t → t = 3,0 seg. c)¿A qué velocidad regresa al punto de lanzamiento? El tiempo empleado al volver al punto de lanzamiento desde que es lanzado es 3 s en la subida y 3 s en la bajada, por lo tanto 6 seg. Entonces la velocidad a los 6 seg es : v = vo - g • t → v = 30 m/s - 10 m/s 2 • 6 s v = - 30 m/s El signo negativo significa que el cuerpo ahora viene bajando.
EJERCICIOS
PROPUESTOS
Z E M O G O I N I G R I V
1.—Dos partículas A y B se desplazan a lo largo de una misma trayectoria. Las ecuaciones de la posición con respecto al mismo origen son : x A = 4t 2 - 3 ; xB = 5t 2 - 4t , con x medido en metros y t en segundos.
Determine : a) ¿En que instante(s) se cruzan (es decir tienen la misma posición) y cuál es esta? b)¿Qué velocidad lleva cada uno en el momento en que se cruzan?
Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniforme. Reconocer las ecuaciones que describen el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ap li ca r la s ec ua ci on es cinemáticas para describir el movimiento rectilíneo de una partícula.
2.-a) El tiempo de reacción de un motorista es aproximadamente 0,7 s (intervalo de tiempo entre la percepción de la señal para detenerse y la aplicación de los frenos. Si los frenos de un auto pueden garantizar un retardamiento de 5 m/s2 , calcule la distancia recorrida por él suponiendo que su velocidad es de 72 km/h. b)Haga el gráfico de la rapidez en función del tiempo desde el instante en que el motorista percibe la señal para detenerse y el instante en que se detiene. c)Calcule la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo a través del gráfico v v/s t 3.-El diagrama muestra la rapidez de una partícula en función del tiempo. Calcule: a)La aceleración a los 8 s y a los 16 s b)El máximo desplazamiento con relación a la posición inicial en el intervalo de 0 a 20 s. c)La distancia recorrida de t = 0 hasta t = 20 s
57
4.- Un auto al frenar , adquiere un movimiento uniformemente retardado cuya aceleración tiene magnitud igual a 4,0 m/s2 . El conductor que iba a 72 km/h , se da cuenta de un obstáculo frente a él. Aplica el freno y logra detenerse en un tramo de 60 m contados a partir del momento en que vio el obstáculo. ¿Cuál fue el tiempo de reacción del conductor? 5.-Un conductor pasa frente a un motociclista de tránsito quien decide seguirlo porque el límite de velocidad es 60 km/h y el auto iba a 72 km/h. El inspector partiendo del reposo, inicia la persecución 10 s después de que pasó el auto , a una aceleración constante. Se sabe que el motociclista alcanza al conductor a 3,0 km de donde partió. Determine la velocidad del motociclista en ese momento. 6.-Un peatón está corriendo a 6,0 m/s, que es la máxima rapidez que logra desarrollar, a fin de alcanzar un autobús que está detenido. Cuando se encuentra una distancia «d» del autobús, éste inicia la marcha con una aceleración constante de 1,0 m/s2 . a)Escriba la ecuación de la posición del peatón y del autobús. b)Si d = 25 m logrará alcanzarlo c)Calcule la menor distancia al autobús que el logra alcanzar. 7.-En A se suelta desde el reposo un pequeño paquete que se desplaza a lo largo del transportador de roldanas ABCD. Al descender por los tramos AB y CD el paquete lleva una aceleración uniforme de 4,8 m/s2 y su velocidad es constante entre B y C. Si en D su velocidad es 7,2 m/s, determine:
Z E M O G O I N I G R I V
a)La distancia entre C y D b)El tiempo que tarda en llegar a D
8.-La altura de un helicóptero sobre el suelo está dado por h = 3,0 t3 con h en metros y t en segundos. Después de 2,0 s el helicóptero deja caer una pequeña valija con la correspondencia. ¿Cuánto tarda la valija en llegar al suelo? 9.-Para saber la profundidad de un pozo, una persona deja caer una piedra y 3,0 seg después oyó el ruido del choque contra el fondo del pozo. Se sabe que la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s : a)Calcule el tiempo que la piedra necesitó para llegar al fondo del pozo. b)Determine la profundidad del pozo c)¿Cuál sería el error cometido en el cálculo de la profundidad si se despreciara el tiempo que el sonido necesita para llegar al oído de la persona?
58
Módulo
C3 Explicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración para el movimiento de una partícula en el plano.
Z E M Descripción matemática de un movimiento en el plano. O G O I N I G R I V
En este módulo, estudiarás la descripción matemática de un movimiento en el plano. * Adquirir el concepto de posición de una partícula en el plano.
* Adquirir el concepto de velocidad de una partícula en el plano.
* Adquirir el concepto de aceleración de una partícula en el plano.
* Explicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración para el movimiento de una particula en el plano.
59
Adqui rir el conc ept o de posición de una partícula en el plano Adqui rir el conc ept o de velocidad de una partícula en el plano
¿Cómo se específica la posición de una partícula en el plano? El desplazamiento ∆r se puede expresar como la suma vectorial del desplazamiento horizontal ( ∆x ) y el desplazamiento vertical ( ∆y ) :
→
Explicar los conceptos de pos ici ón, vel oci dad y aceleración para el movimiento de una partícula en el plano
→
→
∆r = ∆x + ∆y → ∆r = ∆x i + ∆y j
Adqui rir el conc ept o de aceleración de una partícula en el plano
La posición para el movimiento horizontal está dado por: x = xo + vox • t +
½
• ax • t 2
La posición para el movimiento vertical está dado por: y = yo + voy • t +
½
• ay • t 2
Si la coordenada x ( en metros ) para una partícula que se mueve en el plano está dada por: x = 2t - 3 t2
Z E M O G O I N I G R I V
Y la coordenada y ( en metros ) está dada por la expresión: y =
-3 t
+
5 t2
La posición en el plano para cualquier instante de tiempo está dada por:
→
r = ( 2t - 3 t2 ) i + ( -3 t + 5 t2 ) j Por ejemplo, para t = 2 s la posición es:
→
r = ( 2• 2 - 3 • (2)2 ) i
+ ( -3
• 2 + 5 • (2)2 ) j
→
r = -8mi
+ 14 m j
Por ejemplo son movimientos en un plano: a)Péndulo de un reloj b)Tierra alrededor del sol c)Una pelota lanzada horizontalmente desde una ventana d)Bomba lanzada desde un avión En todos estos movimientos, se considera despreciable la resistencia del aire. El objeto se mueve con aceleración constante. Si una partícula se mueve en el plano, su movimiento se considera formado por dos movimientos independientes: uno horizontal a lo largo del eje x; otro vertical a lo largo del eje y.
60
¿Cómo se expresa la velocidad de un objeto en el plano?
Adqui rir el conc ept o de posición de una partícula en el plano
El vector velocidad de la partícula en el punto P tiene la dirección del vector d(r) que es tangente a la curva en el punto.
Adqui rir el conc ept o de velocidad de una partícula en el plano Adqui rir el conc ept o de aceleración de una partícula en el plano Explicar los conceptos de pos ic ión , vel oci dad y aceleración para el movimiento de una partícula en el plano
Conforme la partícula se mueve en su trayectoria las proyecciones de la velocidad son las componentes rectangulares de la velocidad v de la partícula. La componente rectangular a lo largo del eje OX de la velocidad es la derivada de la posición a lo largo del eje OX respecto al tiempo, es decir :
→ vX =
→ d( x ) dt
Z E M O G O I N I G R I V
La componente rectangular a lo largo del eje OY de la velocidad es la derivada de la posición a lo largo del eje OY respecto al tiempo, es decir :
→ vY =
→ d( y ) dt
La velocidad total en cualquier punto es:
→
→
→
v =
vX +
vY
Las coordenadas ( x e y ) de una partícula que se mueve en el plano está dado por: x = 2 + 5 t - 4 t2 y = - 4 + 2 t - 2 t2
con x en metros con y en metros
¿Cuál es la velocidad en t = 2 seg?
→ vX = d(x) / dt = ( 5 – 8 t ) i
→
vY = d(y) / dt = ( 2 – 4 t ) j
61
→
→
v =
vX
→
→ +
vY
v = ( 5–8t)i + (2–4t)j en t = 2 s
→ v =
( 5 – 8 •2 ) i + ( 2 – 4 • 2 ) j
→ v = - 11 m/s i
- 6 m/s j
¿Cuál es la rapidez de la partícula en t = 2 s? v =
√ ( -11)2 + ( -6 )2
v =
12,52 m/s
Dirección: tg α = 6/11
α = 29o
Z E M O G O I N I G R I V
¿Como se expresa la aceleración de una partícula que se mueve en el plano? Si varían las magnitudes de vX y de vY a medida que transcurre el tiempo, significa que hay una aceleración en cada uno de los movimientos componentes.
Adqui rir el conc ept o de posición de una partícula en el plano Adqui rir el conc ept o de velocidad de una partícula en el plano Adqui rir el conc ept o de aceleración de una partícula en el plano Explicar los conceptos de pos ici ón, vel oci dad y aceleración para el movimiento de una partícula en el plano
La aceleración en el movimiento horizontal (OX) está dado por:
→
→
aX = d (vX ) / dt
La aceleración en el moviiento vertical ( OY) está dado por:
→
→
aY = d (vY ) / dt
La aceleración total en cualquier instante de tiempo está dada por:
→
a
62
→
=
aX
+
→ aY
Esta aceleración que en general no tiene la dirección del vector velocidad la podemos descomponer nuevamente en otras componentes distintas de aX y aY . Por conveniencia la descomponemos en una que es tange nte a la tr ayectoria y otra que es normal (perpendicular ) a la trayectoria, por lo que llevan el nombre de aceleración tangencial y normal respectivamente.
La aceleración tangencial se debe a un cambio en la magnitud de la velocidad. La magnitud de la aceleración tangencial se obtiene a partir de : at = d ( v ) / dt
Z E M O G O I N I G R I V
La aceleración normal ( aN ), se debe a un cambio en la dirección de la velocidad. Su magnitud se obtiene a partir de la expresión: aN = ( v )2 / R , con R radio de la trayectoria. EJERCICIOS 1.-Explique plano.
PROPUESTOS
como se escribe la posición de una partícula que se mueve en el
2.- Explique como se escribe la velocidad de una partícula que se mueve en el plano. 3.- Explique como se escribe la aceleración de una partícula que se mueve en el plano. Explique 4.-la posición de una partícula que se mueve en el plano está dado por:
→ r = ( 2 + 3t - 5t 2 ) i
+ ( - 4t + 4t 2 ) j
a)¿Cuál es la posición cuando t = 1 s ? b)¿Cuál es la velocidad total cuando t = 1 s ? c)¿Cuál es la aceleración total en t = 1s?
Adqui rir el conc ept o de posición de una partícula en el plano Adqui rir el conc ept o de velocidad de una partícula en el plano Adqui rir el conc ept o de aceleración de una partícula en el plano Explicar los conceptos de pos ic ión , vel oci dad y aceleración para el movimiento de una partícula en el plano
5.-Una cucaracha sobre la mesa de un departamento se arrastra con una aceleración constante dada por a = (0,3 i - 0,2 j) cm/s2 . Esta sale desde un punto de coordenadas ( - 4 , 2 ) cm en el instante t = 0 y con velocidad inicial vo =1,0 j cm/s. a)¿Cuál es la posición de la partícula en función del tiempo? b)¿Cuál es la posición en t = 2 s? c)¿Cuál es la velocidad total en función del tiempo? d)¿Cuál es la velocidad en t = 2 s? e)¿Cuál es la rapidez en t = 2 s ?
6.-¿Por qué se produce la aceleración tangencial? ¿Por qué se produce la aceleración normal?
63
64
Z E M O G O I N I G R I V
Módulo
C4 Aplicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración para describir el movimiento de una partícula en el plano.
Z E M Descripción matemática del movimiento de un proyectil O G O I N I G R I V
En este módulo, estudiarás la descripción matemática del movimiento de un proyectil. * Describir el movimiento de un proyectil.
* Adquirir los conceptos de velocidad y aceleración relativa en el movimiento de una particula.
* Aplicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración para describir el movimiento de una particula en el plano.
65
Describir el movimiento de un proyectil Adquirir los conceptos de velocidad y aceleración relativa en el movimiento de una particula
El objeto lanzado por el avión, ¿llegará a su destino?
Aplicar los concept os de pos ici ón, vel oci dad y aceleración para describir el movimiento de una partícula en el plano
Cualquier cuerpo rígido que puede considerarse como partícula y que es lanzado al aire en cualquier dirección, recibe el nombre de proyectil. En el estudio del movimiento de los proyectiles no se considera el efecto que el aire pudiera tener sobre él, de manera que se supone que el movimiento ocurre en el vacío.
Z E M O G O I N I G R I V
Mientras se mueve un proyectil lanzado al aire, está sometido a la misma aceleración que tiene un cuerpo cuando cae libremente, es decir actúa sobre él la aceleración de gravedad cuyo símbolo es g.
Suponga un proyectil que fue lanzado a un ángulo de a = 45o con la horizontal y con una rapidez de vo = 20 m/s. La figura muestra la trayectoria descrita por dicho proyectil. Calcule para un tiempo t = 2 seg después del lanzamiento:
a)La velocidad del proyectil e indicar si se aleja o se acerca a la Tierra Componente horizontal de la velocidad: voX = vo cos α = 20 m/s • cos 45o = 14 m/s Componente vertical de la velocidad: voY = vo sen α = 20 m/s • sen 45o = 14 m/s
66
La velocidad vertical en cualquier instante está determinada por : vY = voY - g t , por lo tanto vY = 14 m/s - 9,8 m/s2 • 2 s = - 5,6 m/s El signo negativo indica que la velocidad vertical en ese instante está dirigida hacia abajo por lo tanto el proyectil se acerca a la Tierra. Ahora bien , la velocidad total a los 2 seg es :
→
→
v
= vX +
→ vY
=
14 m/s i - 5,6 m/s j
La magnitud de la velocidad a los 2 s es: v =
√ (14)2 + ( - 5,6)2
Dirección: tg
= 15,07 m/s
α = 5,6 / 14 = 0,4 α = 22o
Z E M O G O I N I G R I V
Entonces la velocidad a los 2 seg es : v = 15,1 m/s formando un ángulo de 22o con la dirección OX en sentido horario. b) La aceleración tangencial ( at )
y
la aceleración normal (aN )
Si la aceleración tangencial es paralela en todo momento a la velocidad, entonces, para t = 2 seg , la aceleración tangencial forma con la aceleración de gravedad un ángulo de ϕ = 90 - 22 = 68o . Por lo tanto at = g cos OX en sentido horario.
ϕ = 9,8 m/s2 cos 68o = 3,7 m/s2 , formando 22o con el eje
67
Luego aN = g sen ϕ = 9,8 m/s2 sen 68o = 9,1 m/s2 eje OX en sentido horario.
formando 112o con el
c)¿Cuál es el alcance que experimenta el proyectil? Para el alcance necesitamos conocer el tiempo total en el aire, para ello debemos escribir la ecuación de posición en y e igualar a cero: y = yo + voy • t - ½ • g • t 2 y = 0 + 14 • t - ½ • 10 • t2 y = 14 • t - 5 • t2 Igualando a cero ( y = 0 ) 0 = 14
• t - 5 • t 2
⇒ t = 2,8 s
Ecuación para el alcance: x = xo + vox • t +
• t +
Z E M O G O I N I G R I V x = 0 + 14 x = 14
½
• ax • t 2
½ • 0
con ax = 0 m/s 2
• t2
• (2,8 )
x = 39,2 m
d)¿Calcular el tiempo en llegar al punto más alto? Para esto , la ecuación de la velocidad vertical se hace vy = 0: vy =
voy - g
•t
0 = 14 - 10 • t t = 1,4 s
Describir el movimiento de un proyectil Adquirir los conceptos de velocidad y aceleración relativa en el movimiento de una particula Aplicar los concept os de pos ici ón, vel oci dad y aceleración para describir el movimiento de una partícula en el plano
68
Movimiento relativo a ejes en traslación. Al describir un movimiento cualquiera, hemos considerado la Tierra como sistema de referencia fijo. Podemos analizar situaciones en que es cómodo emplear simultáneamente varios sistemas de referencia. Uno de ellos (arbitrariamente) se considera como fijo, y los demás serán móviles.
Derivando respecto a t dentro del sistema de referencia fijo, obtenemos las velocidades v A y vB de las partículas A y B. Como Ax´y´z´ están en traslación, la derivada de r B/A representa la velocidad vB/A de B relativa al sistema Ax´y´z´ ( o bien la velocidad vB/A de B relativa a A) . Es decir:
→
→
vA + vB/A
→
=
vB
→
vB/A
⇒
→
=
vB
→
-
vA
Derivando respeto a t, la velocidad, se obtiene la aceleración aB/A de B relativa al sistema Ax´y´z´ ( o bien la aceleración aB/A de B relativa a A):
→
→
aA + a B/A
→
=
aB
→
a B/A
⇒
→
=
aB
→
-
aA
Sean dos partículas A y B moviéndose en el espacio; los vectores r A y r B definen sus posiciones en cualquier instante respecto al sistema de referencia fijo Oxyz. Sea ahora un sistema de ejes x´, y´, z´, centrados en A y paralelos a los ejes x , y , z. El sistema de referencia Ax´y´z´ ejecuta un movimiento de traslación o simplemente se traslada respecto al Oxyz. El vector r B/A que une A y B define la posición de B relativa al sistema móvil Ax´y´z´ (la posición de B relativa a A). → → → Es decir: r A + r B/A = r B
→
r B/A
→
=
r B
→
-
r A
Z E M O G O I N I G R I V
El auto A viaja hacia el este con velocidad constante de 36 km/h ( 10 m/s ). Cuando pasa por el cruce, el auto B arranca a 35 m al norte del cruce y se dirige hacia el sur con una aceleración constante de 1,2 m/s2 . Hallar la posición, la velocidad y la aceleración de B relativas a A cinco segundos después de que A atraviesa el cruce.
Tomamos unos ejes x e y con origen en el cruce de las dos calles y con sentidos positivos respectivamente hacia el este y el norte.
69
Movimiento del auto A: Como el movimiento de A es uniforme, para cualquier instante se tiene: a A = 0 , v A = + 10 m/s , ⇒ x A = 0 + 10 • t x A = (x A)o + v A • t
Z E M O G O I N I G R I V
Para t = 5 s, se tiene:
→
a A = 0
⇒
v A = + 10 m/s
⇒
a A = 0
→
v A = + 10 m/s i
→
x A = + 10 m/s • 2 s = + 50 m
⇒
r A = + 50 m i
Movimiento del auto B: Como el movimiento de B es uniformemente acelerado, se tiene: aB = - 1,2 m/s2 vB = (vB)o + a
• t = 0 - 1,2 • t
y B = (y B )o + (vB)o • t + y B = 35 + 0 -
½
½
• a A • t2
• 1,2 • t2
Para t = 5 s:
aB = - 1,2 m/s
2
vB = 0 - 1,2 m/s2 vB = - 6,0 m/s
→ ⇒
aB = - 1,2 m/s2 j
• 5 s → ⇒
vB = - 6,0 m/s j
• 1,2 m/s2 • (5 s)2 → y B = + 20 m y B = + 20 m j ⇒ y B = 35 -
70
½
Movimiento de B relativo a A : Dibujando el triángulo correspondiente a r B = r A + r B/A se obtiene la magnitud y dirección del vector posición de B relativo a A. r B/A = 53,9 m , α = 21,8o
Procediendo del mismo , hallamos la velocidad y aceleración de B relativa a A.
vB/A = 11,66 m/s
β = 31,0o
EJERCICIOS
PROPUESTOS
a
B/A
= -1,2 m/s2 j
Z E M O G O I N I G R I V
1.-Una esfera pequeña se encuentra apoyada en un resorte comprimido que está sujeto a un carrito. Se sabe que el resorte al estirarse transmite a la esfera una velocidad inicial vertical para arriba , vB = 4,0 m/s. Suponga que el resorte se halla estirado mientras el carrito avanzaba en línea recta sobre una superficie horizontal con una velocidad constante de vC = 3,0 m/s. a)¿Qué tipo de movimiento tendrá la esfera? b)¿Cuál es la forma de su trayectoria? c)¿Cuál es la magnitud de la velocidad inicial vo con que la esfera fué lanzada? d)¿Cuál es el ángulo de lanzamiento de la esfera? e)¿Después de cuánto tiempo la esfera regresará al carrito? o sea ¿llegará al extremo del resorte?
Describir el movimiento de un proyectil Adquirir los conceptos de velocidad y aceleración relativa en el movimiento de una particula Aplica r los concepto s de pos ic ión , vel oci dad y aceleración para describir el movimiento de una partícula en el plano
71
2.-Una pelota es lanzada horizontalmente con una velocidad vo desde un punto situado a una altura R arriba del suelo. Observe que el alcance de la pelota, al llegar al suelo, es también R. a)La trayectoria que describe la pelota en este caso, ¿es una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola? b)Determine el valor de vo en términos de R y de g.
3.- Una persona lanza oblicuamente una pelota con una velocidad inicial vo = 10 m/ s y un ángulo de lanzamiento de 60o . Suponga que g = 10 m/s2 , desprecie la resistencia del aire y considere el momento de lanzamiento como el origen del conteo del tiempo ( t = 0 ). a)En el instante t =0,5 seg , ¿cuál es el valor de la velocidad de la pelota? b)¿Cuál es la posición de la pelota en t = 0,5 seg? c)Determine las componentes vx y vy de la velocidad de la pelota en t = 1,22 seg? d)Determine la posición de la pelota en t = 1,22 seg? e)Calcule el instante en que la pelota llega al punto más alto de su trayectoria. f)¿Cuál es el valor de la altura máxima de la pelota?
Z E M O G O I N I G R I V
4.-Un jugador de básquetbol, lanza una pelota desde una altura de 1,5 m (respecto al suelo). En su trayectoria intercepta un aro situado a 2,0 m de altura. Finalmente toca el suelo en un punto que dista 10 m (distancia horizontal), del punto donde fue lanzada. Si el tiempo en el aire es de 1,0 seg, determine: a)¿Con que velocidad inicial fue lanzada la pelota? b)¿Qué altura máxima alcanzó? ¿Después de cuanto tiempo? c)¿Cuánto tiempo luego de ser lanzada atraviesa el aro? d)¿A que distancia se encuentra el aro del punto de lanzamiento? e)¿Cuál es la velocidad al tocar el suelo?
72
5.-Una pelota resbala a lo largo de un tejado inclinado en un ángulo de 40 o respecto a la horizontal y situado a una altura h = 65 m sobre el suelo. La pelota llega al borde del tejado con una rapidez de 10 m/s y luego cae libremente. La pared opuesta más próxima al tejado está a una distancia horizontal D = 20 m. Considere el nivel de referencia en el suelo. a)Exprese la velocidad inicial de la pelota en forma vectorial b)¿La pelota llega directamente al piso o choca con la pared opuesta? c)Determine las coordenadas donde choca la pelota d)Determine la velocidad de la pelota en el punto de impacto.
Z E M O G O I N I G R I V
6.-El motociclista desea saltar por sobre 8 autos de altura h = 1 m , y largo d = 2 m. Para ello usará una rampa inclinada que no tiene roce en un ángulo de 45 o y de altura H = 12 m. El motociclista ingresa a la rampa con una velocidad vo y sube por ella sin acelerar (ya que no puede debido a que no hay roce). Calcular el valor de vo para que pueda realizar el salto.
73
7.-Erica en su auto A acelera a razón de ( 3,0 i – 2j ) m/s2 , en tanto que Julia en su auto B acelera a ( 1i + 3j ) m/s2 . Ambas parten del reposo en el origen de un sistema de coordenadas xy. Después de 5,0 s: a)¿Cuál es la rapidez de Erica respecto de Julia? b)¿Cuál es la distancia que las separa? c) ¿Cuál es la aceleración de Erica respecto a la de Julia?
74
Z E M O G O I N I G R I V
Módulo
C5 Aplicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración en la descripción del movimiento de una partícula en un trayecto circuferencial
Z E M Descripción matemática de un movimiento circunferencial uniforme O G O I N I G R I V
En este módulo, estudiarás la descripción matemática del movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria circunferencial. * Caracterizar la rapidez lineal y la rapidez angular para un objeto que describe un movimiento circunferencial uniforme
* Caracterizar la aceleración centrípeta y aceleración tangencial para un objeto que describe un movimiento circunferencial uniforme
* Aplicar los conceptos de velocidad y aceleración en el movimiento de una partícula que describe un movimiento circunferencial uniforme
75
Caracterizar la rapidez lineal y la angular para un objeto que describe un movimientocircunferencial uniforme.
¿Cuál de los dos objetos A o B gira más rápido?
Caracterizar la aceleración centríoeta y acelereración tangencial para un objeto que describe un movimiento circunferencial uniforme. Aplicar los concept os de velocidad y aceleración en el movimiento de una partícula que describe un movimiento circuferencial uniforme.
Decimos que una partícula se encuentra en movimiento circunferencial cuando su trayectoria es una circunferencia, como por ejemplo , la trayectoria descrita por una piedra que se hace girar atada al extremo de una cuerda. Si además de eso, el valor (magnitud ) de la velocidad permanece constante, el movimiento circunferencial recibe el nombre de uniforme.
Z E M O G O I N I G R I V
Entonces en este movimiento (circunferencial uniforme ) , el vector velocidad tiene magnitud constante, pero su dirección varía en forma continua. El tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa se llama pe ríod o de l movimiento y se representa por T. Supongamos que al observar la piedra mostrada en la figura anterior , comprobáramos que efectúa 30 vueltas completas en un tiempo igual a 10 seg. La frecuencia f , de ese movimiento es por definición el cuociente entre el número de vueltas y el tiempo necesario para efectuarlas. Por tanto la frecuencia de la piedra será : f = 30 vueltas / 10 seg = 3 vueltas / s Este resultado significa que la piedra efectuó 3,0 vueltas en cada segundo. La unidad de frecuencia , 1 vuelta / s se llama hertz ( Hz ). Por lo tanto , en el ejemplo anterior , la frecuencia es de f = 3,0 Hz. La longitud recorrida por la partícula durante un período es la longitud de una circunferencia ( 2 π R ) , siendo R el radio de la trayectoria. Por lo tanto , la magnitud de la velocidad , es decir la rapidez para un movimiento circunferencial uniforme es la expresión :
76
v =
2
πR T
La frecuencia y el período de un movimiento están relacionados , de manera que uno es el recíproco del otro , es decir : f = 1 / T o bien T = 1 / f En el ejemplo, suponga que el radio que describe la piedra es 50 cm. Determine la rapidez lineal ( v ) . Considere una partícula en movimiento circunferencial que pasa por la posición P1 mostrada en la figura. Después de un intervalo de tiempo ∆t , la partícula estará pasando por la posición P2 . En dicho intervalo ∆t , el radio que sigue a la partícula en su movimiento describe un ángulo ∆θ. La relación entre el desplazamiento angular ( ∆θ ) y el intervalo de tiempo necesario ( ∆t ) se llama velocidad angular ( w ) : w =
∆θ ∆t
. el ángulo girado
∆θ se mide en radianes ( rad)
La velocidad angular se mide en la unidad radián / seg ( rad / seg )
Z E M O G O I N I G R I V
En ciertas aplicaciones técnicas se usa la unidad r.p.m (revoluciones por minuto) = rev / min en lugar de la unidad rad / seg. Como 1 rev = 2 π radianes y 1 min = 60 seg , entonces: 1 rpm = ( 2 π / 60 ) rad / seg
Esta velocidad angular proporciona información acerca de la rapidez con la cuál gira un cuerpo. En realidad , cuánto mayor sea la velocidad angular de ese cuerpo, tanto mayor será el ángulo que describe por unidad de tiempo, es decir , estará girando mas rápido.
En el caso del movimiento circunferencial uniforme , la velocidad angular es constante. Es decir, el objeto gira un mismo número de vueltas en igual tiempo. Por lo tanto , para este movimiento , podemos escribir en forma particular para la velocidad angular la siguiente expresión : w = 2 π (rad) / T , en que 2π (rad ) es el ángulo girado al dar una vuelta y T el tiempo empleado para ello.
Considerando la ecuación para la rapidez lineal o tangencial ( v = 2 π R / T ) y la velocidad angular ( w = 2 π / T ) , se observa que ellas se pueden relacionar mediante la expresión : v = w • R
77
Ejercicio propuesto Una barra gira con movimiento uniforme alrededor de un eje que pasa por el punto O efectuando dos revoluciones por segundo. Para los puntos A y B de la barra situados a la distancia R A = 2,0 m y RB = 3,0 m del eje de rotación , calcule : a)El período de movimiento de cada uno b)Las velocidad angulares w A y wB c)Las velocidades lineales v A y vB
PROPIEDADES DE LAS ROTACIONES Todos los puntos de un mismo cuerpo en rotación tienen la misma velocidad angular. Los puntos 1, 2, 3, 4, 5, pertenecen al mismo disco, luego:
Z E M O G O I N I G R I V
w1 = w2 = w3 = w4 = w5
Para dos ruedas unidas por una faja o cadena de transmisión, o para dos engranajes tendremos que todos los puntos del perímetro tiene la misma velocidad lineal v, es decir: v1 = v2 = v3 = v4
Al ser la velocidad lineal ( v ) en todos los puntos de igual magnitud, podemos relacionar la velocidad angular de las ruedas y los respectivos radios, es decir: v1 = w1
• R1 , v2 = w2 • R2
⇒
v1 = v2
⇒
w1
o bien en términos de las frecuencias y los radios respectivos: f1 • R1 = f2 • R2
Junto con el disco fonográfico giran dos hormigas A y B. Ambas tiene la misma velocidad angular, es decir: w A =
78
wB
La hormiga que esta mas lejos del centro, mayor radio, tiene mayor velocidad lineal ( v ), es decir: vB > v A
• R1 = w2 • R2
Pregunta Empleando una correa de transmisión hacemos girar dos poleas, la menor de 12 cm de radio gira con una velocidad angular de 18 rad/seg. Determine la velocidad angular de la polea mayor si tiene un radio de 16 cm.
¿ A que se llama aceleración centrípeta? En el movimiento circunferencial uniforme, la magnitud de la velocidad de la partícula, permanece constante en el tiempo y por tanto la partícula no posee aceleración tangencial. Pero como la dirección del vector velocidad varía, se produce una aceleración hacia el centro llamada centrípeta o normal ( ac ). El vector ( ac ) tiene la dirección del radio y siempre apunta al centro de la circunferencia. Matemáticamente , su magnitud se determina por la expresión : ac = ( v ) 2 / R
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Caracterizar la rapidez lineal y la angular para un objeto que describe un movimiento circunferencial uniforme. Caracterizar la aceleración centríoeta y acelereración tangencial para un objeto que describe un movimiento circunferencial uniforme. Aplic ar los concept os de velocidad y aceleración en el movimiento de una partícula que describe un movimiento circuferencial uniforme.
La magnitud de ac es proporcional al cuadrado de la velocidad e inversamente proporcional al radio de la circunferencia. Por lo tanto , si un auto toma una curva «cerrada» ( con R pequeño ) a gran velocidad, tendrá una aceleración centrípeta enorme.
En el ejercicio propuesto de la página anterior, determine: d)Las aceleraciones centrípetas acA y acB
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Caracterizar la rapidez lineal y la angular para un objeto que describe un movimientocircunferencial uniforme. Caracterizar la aceleración centríoeta y acelereración tangencial para un objeto que describe un movimiento circunferencial uniforme. Aplicar los concept os de velocidad y aceleración en el movimiento de una partícula que describe un movimiento circuferencial uniforme.
Ejercicios de Aplicación 1.-Dos poleas de Radios R1 = 10 cm y R2 = 30 cm están acopladas por una banda de transmisión no extensible como muestra la figura. a)Suponiendo que la banda no se deslice sobre las poleas , ¿cree Ud. que la velocidad lineal v1 de un punto en la periferia de la polea R1 es mayor , menor o igual a la velocidad v2 de un punto de la periferia de la polea R2? b)Si se sabe que la polea R1 gira con un frecuencia f1 = 60 rpm (rotaciones por minuto) , determine la frecuencia f2 de la polea R2.
2.-Dos discos colocados en un mismo eje común giran con frecuencia f constante. Siendo R A = 2 R B , determine la relación : a) w A / wB entre las velocidades angulares b) v A / vB entre las velocidades lineales c) a A / aB entre las aceleraciones de los dos puntos mencionados en (b).
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3.-El radio del cilindro de un carrete mide 2,0 cm. Una persona , en 10 seg desenrolla uniformemente 50 cm del hilo que está en contacto con el cilindro. a)¿Cuál es la velocidad lineal de un punto de la superficie del cilindro? b)¿Cuál es la velocidad angular del punto P , situado a 4,0 cm del eje de rotación?
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4.- Un punto se mueve sobre un círculo de acuerdo a la ley s = t3 + 2t 2 donde s se mide en pies a lo largo del círculo y t en segundos. Si la aceleración total del punto es 16 √ 2 pies / s2 cuando t = 2 s, determine el radio del círculo. 5.- Un auto pasa por un tramo curvo de una carretera de 750 m de radio a la velocidad de 100 km/h. Súbitamente aplica los frenos, haciendo que el vehículo disminuya de velocidad a ritmo constante. Sabiendo que al cabo de 8 s, la velocidad se ha reducido a 75 km/h , determine la aceleración del auto inmediatamente después de la aplicación de los frenos.
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6.-Dos autos A y B van por una misma curva circular de una carretera desarrollando ambos 40 km/h. a) El conductor del auto A aumenta la velocidad a 80 km/h , ¿la aceleración centrípeta del auto se volverá mayor o menor? ¿Cuántas veces? b) El auto B , manteniendo su velocidad , entra en una curva «más cerrada» y de radio dos veces menor. ¿Su aceleración centrípeta se vuelve mayor o menor ? ¿Cuántas veces? 7.-La figura representa en un instante dado la aceleración y velocidad total de una partícula que se mueve en el sentido horario en una circunferencia de 2,5 m de radio. Si la aceleración a = 15 m/s2 , en ese instante determine: a) la aceleración normal b)la rapidez de la partícula c)la aceleración tangencial
8.-Un disco de 1,0 m de radio situado sobre una plataforma se pone en rotación contraria a las manecillas del reloj con una velocidad angular de 3,0 rad/seg en torno de un eje que pasa por su centro. La plataforma avanza por las vías con una velocidad de 4,0 m/s. Si consideramos un punto de la periferia de un disco , podemos afirmar que los módulos de las velocidades de este punto , en relación con la Tierra , cuando pasa en las posiciones (1) , (2) , (3) , (4) es en m/s :
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