GEOMETRI II BAGIAN I
EDISI I
GEOMETRI II BAGIAN I
EDISI I OLEH Prof. Drs. Mega Teguh Budiarto, M.Pd. Drs. T.R. Nindyo
Penyunting Drs. Soemadi
Diterbitkan Oleh : Universitas Negeri Surabaya 2012
GEOMETRI II BAGIAN I
EDISI I OLEH Prof. Drs. Mega Teguh Budiarto, M.Pd. Drs. T.R. Nindyo
Penyunting Drs. Soemadi
Diterbitkan Oleh : Universitas Negeri Surabaya 2012
Kata Pengantar Buku ini disusun dengan harapan dapat memenuhi kebutuhan akan buku ajar khususnya untuk mata kuliah Geometri II Jurusan Pendidikan Matematika. Buku Geometri II terdiri dari dua bagian, bagian pertama memuat tentang Geometri didekati dengan vektor dan bagaian kedua memuat tentang Transformasi, termasuk di dalmnya transformasi topologi, dilatasi shear, strecth, inversi dan komposisi transformasi. Penguasaan pembaca akan analisa vektor, Geometri I dan matrik sangat menunjang untuk mempelajari buku ini. Terwujudnya buku ini tak lepas dari bantuan segala pihak, untuk itu kami ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Drs. R. Soedjadi dan Bapak Drs. Djoko Moesono yang telah membantu sepenuhnya. Kami menyadari buku ini kurang sempurna, untuk itu pertanyaan, kritik dan saran dari pembaca sangat kami harapkan.
Surabaya, Maret 2012 Penyusun
Daftar Isi 0. Kata Pengantar 1. Vektor dan Skalar 2. Vektor dalam bentuk pasangan bilangan 3. Vektor yang sama atau ekuivalen 4. Penjumlahan vektor 5. Perkalian vektor dengan skalar 6. Vektor posisi dari suatu titik 7. Rumus pembagian dalam bentuk vektor 8. Fungsi linier dari n vektor 9. Ruang dimensi satu 10. Ruang dimensi dua 11. Ruang dimensi tiga 12. Perkalian skalar dua vektor 13. Hasil kali vektor dari dua vektor 14. Persamaan vektor garis melalui (0, 0) 15. Persamaan vektor garis melalui suatu titik dan sejajar suatu vektor 16. Jarak titik ke garis 17. Persamaan vektor bidang bidang datar melalui titik (0, 0) 18. Persamaan vektor bidang bidang yang tidak melalui (0, 0)
19. Mengubah persamaan bidang Ax + By + Cz + D = 0 ke dalam persamaan vektor bidang 20. Persamaan vektor bidang yang melalui suatu titik dan diketahui normalnya 21. Sudut antara dua bidang 22. Jarak titik ke bidang 23. Persamaan lingkaran 24. Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran 25. Persamaan bola 26. Persamaan bidang singgung melalui suatu titik pada bola 27. Buku rujukkan
Vektor dan Skalar Suatu pemindahan tempat dari semua titik pada suatu benda besar dan arah yang sama, disebut suatu pergeseran atau translasi.
Perpindahan dari A ke B ditunjukkan B
oleh vektor perpindahan AB . A disebut titik pangkal, B disebut titik ujung.
A
Gambar 1
Panjang dari vektor AB ditulis AB .
Himpunan semua garis berarah yang besar dan arahnya sama, disebut vektor (Vektor Geometris), besar tadi disebut panjnag vektor, dan arah tadi disebut arah vektor. Masing-masing ruas garis berarah tadi disebut wakil vektor.
Gambar 2 Suatu vektor diberi nama dengan huruf kecil yang diberi garis bawah. Seperti a yang dibaca : vektor a (penulisan ini semata-mata untuk memudahkan penulisan dalam buku tulis). Besar vektor a ditulis |a| Pada suatu vektor u pasti ada tepat satu pergeseran yang diwakili oleh ruas garis yang sama dengan wakil-wakil u karena itu geometrik sering didefinisikan sebagi pergeseran. Contoh suatu vektor adalah : berat, percepatan, gaya, kecepatan.
Sedangkan suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja disebut skalar. Contoh suatu skalar adalah suhu, luas, volume, massa.
Vektor dalam Bentuk Pasangan Bilangan Di samping vektor dapat diwakili oleh ruas garis berarah, vektor juga dapat diwakili notasi pasangan bilangan (vektor komponen). Jika diketahui vektor u , maka vektor u dapat diltulis sebagai jumlah duavektor v dan w yang masing-masing
diketahui
panjangnya dan v ≠ w .
Misal |v| = u1 dan |w| = u2 Dengan demikian vektor u merupakan suatu pergeseran yang memindakan setiap titik pda bidang itu : u1 satuan ke kanan dan u 2 satuan ke atas. Untuk menulis pergeseran atau vektor itu lazim ditulis dengan simbol
dan ditulis u = dimaksudkan suatu pergeseran dengan memindahkan setiap titik A pada bidang, pertama mendatar ke kanan atau ke kiri sejauh u1 satuan kemudian vertikal ke atas atau ke bawah sejauh u2 dengan pengertian : Untuk u1> 0 pemindahan horizontal ke kanan Untuk u1< 0 pemindahan horizontal ke kiri Untuk u2> 0 pemindahan horizontal ke atas Untuk u2< 0 pemindahan horizontal ke bawah
Bilangan u1 dan u2 disebut komponen vektor u, jika u 1 = u2 = 0, maka vektor u = <0, 0> vektor ini disebut vektor nol dan ditulis 0 = <0, 0>. Vektor nol tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu. Jika a = maka |a| =
a1 2 + a2 2 .
Vektor yang sama atau Ekuivalen Dua buah vektor dikatakan ekuivalen apabla panjnagnya sama, terletak pada suatu garis atau garis-garis sejajar dan mempunyai arah yang sama pula, atau dengan kata lain a = b sama dengan arah b.
|a|
= |b| dan arah a
AB = CD = PQ
Vektor-vektor membentuk
yang suatu
ini kelas
ekuivalen, kalau kelas ini disebut a, maka a = AB, CD, PQ Gambar 4
Setiap anggota dari kelas dapat dipakai untuk mewakili a. Sedangkan vektor yang berlawanan arah dengan a dinyatakan sebagai – a.
Gambar 5
Vektor-vektor yang sama ini membentuk kelas ekuivalen.
Penjumlahan Vektor
Untuk menentukan jumlah u dan v kita ambil suatu wakil dari u, misalnya OA dan wakil dari v, misalnya AB. Wakil v pangkalnya ditempatkan pada ujung wakil u, sehingga terjadi segitiga vektor OAB
Jumlah u dan v adalah OB Cara lain untuk menentukan u + v adalah dengan menyatukan pangkal u dan v. Maka diagonal dari jajaran genjang yang sisi-sisinya terbentuk dari dua vektor tadi adalah u + v.
Jika a = dan b = maka a + b =
Perkalian Vektor dengan Skalar
Misal AB dan CD masing-masing adalah ruas garis berarah yang sama panjnag, sejajar dan searah, jadi keduanya dapat mewakili a.
Kita kerjakan penjumlahan AB + CD dengan pangkal O, didapat
OP = AB + CD = AB + AB = 2AB = 2 a . Jika Q titik tengah ruas 1
garis AB, maka AQ = QB, sehingga 2AQ = AB atau AQ = AB 2
Jika a = maka a + a = + = = <2a1, 2a2> = 2 =2a Dengan demikian jika k suatu bilangan real, maka besar ka adalah k kali besar a, sedangkan arahnya sama jika k > 0, dan berlawanan arah jika k < 0. Beberapa sifat penjumlahan vektor 1. Operasi biner penjumlahan vektor mempunyai sifat tertutup 2. Penjumlahan vektor mempunyai sifat komutatif a + b = b + a 3. Penjumlahan vektor mempunyai sifat asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c 4. Penjumlahan vektor mempunyai elemen netral, yaitu vektor nol, sedemikian hingga a + 0 = 0 + a = a 5. Setiap vektor a mempunyai lawan atau invers penjumlahan, yaitu –a , sedemikian hingga a + (- a) = (- a) + a = 0 6. Jika k dan l bilangan real maka (kl)a = k(la)
7. 0 a = 0 8. Jika k bilangan real maka k 0 = 0 9. Jika k bilangan real maka k(a + b) = ka + kb 10. Jika k, l bilangan real maka (k + l)a = ka + la Contoh 1 Pada gambar 9 semua garis dianggap wakil vektor, maka
−− −
a. AE + EC = AC
b. DB + BE = DE
c. AD + DB + BC = AC
d. CB + BE + EA + AD = CD e. DE + f.
AC +
BE = DE + EB = DB
BC = AC + CB = AB
g. CD + BA +
BD
= CD +
DB + BA = CA Contoh 2
Diketahui : a = < - 2, 2>, b = <3, 2>, c = <3, -1>, d = <-1, -2> Tunjukan (a + b) + (c + d) = (a + b + c) + d Dengan cara
a) Geometrik
b) Pasangan bilangan
Penyelesaian a)
Gambar 10
b) (a + b) + (c + d) = (< - 2, 2> + <3, 2>) + (<3, -1> + <-1, -2>) = <1, 4> + <2, -3> = <3, 1> (a + b + c) + d = (< - 2, 2> + <3, 2> + <3, -1>) + <-1, -2> = <4, 3> + <-1, -2> = <3, 1> Jadi (a + b) + (c + d) = (a + b + c) + d Contoh 3 Diketahui wakil vektor a, b, c, seperti pada gambar 11.
Gambar 11
Tentukan a – b – c secara geometri dengan cara a) Segitiga
b) Jajaran Genjang
Penyelesaian a) Gambar 12
b)
Gambar 13 Contoh 4 Pada gambar 13 contoh x dalam bentuk yang paling sederhana dari : a) x + a = w b) b + x = v + u + a c) v = b – x d) x – w = v
Penyelesaian a) x + a = w x = w – a x = w + ( – a) x=u
b) b + x = v + u + a x = v + u + a – b x = (v + u) + a + ( – b) x = b + a + ( – b) x=a c) v = b – x x = b – v x = b + ( – v) x=u d) x – w = v x=v+w Contoh 5 Pada gambar 14 permudahlah :
−− −− − − − − − − − −
a) AC
AB
b) CA
CB
c) BA
BC
d) CB
CA
Penyelesaian a)
AC
AB = AC +
AB c) BA
BC = BA +
= AC + BA
b)
CA
CB
BC
= BA + CB
= BA + AC
= CB + BA
= BC
= CA
= CA +
CB
d) CB
CA = CB +
= CA + BC
= CB + AC
= BC + CA
= AC + CB
= BA
= BA
CA
Soal Latihan 1.
EFGH adalah jajar genjang. Permudahlah :
−− −−
2.
a) EF
EH
b) GE
GH
c) EA
EF
d) GE
GA
Jika a = <9, -3>, v = <-3, 2>, dan w = <4, 6> nyatakan : a) – a + v + w b) u – v + w c) a + v – w
3.
Tentukan kesimpulan dari pernyataan di bawah ini : a) Jika 3u = 2u maka… b) Jika 3u = 2v, u ≠ 0, maka… c) Jika aa = bv, a dan v tidak sama arahnya dan tidak
berlawanan arahnya, u dan v bukan vektor nol, maka… 4.
Diketahui paralelepipedum ABCD – EFGH dan AB, AD, AE, merupakan wakil vektor a , b, c, nyatakanlah dalam kombinasi a,
b, dan c dari :
a) AC
c) AB
b) AB
d) CE
Vektor Posisi dari Suatu Titik
Misal 0 adalah pangkal koordinat dan P adalah titik P(a1, a2). Vektor yang diwakili oleh OP disebut vektor posisi dari P ditulis p = . Ternyata koordinat-koordinat suatu titik adalah komponenkomponen vektor posisi. Perlu diperhatikan dalam pengertian di atas adalah pengertian vektor posisi dari suatu titik.
Kita dapat berbicara vektor posisi suatu titik jika titik P sudah ditentukan, yaitu vektor (himpunan) yang mempunyai OP sebagai wakil. Sebaliknya bahwa setiap vektor (karena mempunyai suatu wakil degan pangkal O) adalah vektor posisinya suatu titik tertentu.
Misal vektor posisi titik A adalah a dan vektor posisi titik B adalah b maka vektor posisi AB adalah b – a (lihat gambar 15)
Gambar 15 Contoh
Perhatikan gabar 15. M adalah titik pertengahan AB: m, a, dan b adalah vektor-vektor posisi titik M, A, dan B terhadap pangkal koordinat O. Buktikan bahwa m = ½ (a + b) Bukti :
OM = OA + AM OM = OA +
1 2
AB
m = a + ½ (b – a) m = a + ½ b – ½ a
m = ½ (a + b) Cara lain :
AM = MB m – a = b – m 2m = b + a m = ½ (a + b) Contoh 7
Nyatakan OP dalam a dan b Penyelesaian :
OP = OA + AP OP = OA +
1 3
AB
p = a + 1/3 (b – a) p = a + 1/3 b – 1/3 a p=
2a+1b 3
Contoh 8 Buktikan bahwa titik-titik tengah sisi-ssi suatu sebarang segiempat ABCD membentuk suatu Jajaran Genjang. Bukti :
Misal P, Q, R, dan S masing-
masingpertengahan
AD, DC, CB dan AB, dan a, b, c, d, p, q, r, dan s masing-masing vektor posisi titik A, B, C, D, P, Q, R, dan S maka : p = ½ (a + d) q = ½ (d + c) r = ½ (c + b)
− PQ = q
s = ½ (a + b)
p
= ½ (d + c) – ½ (a + d) = ½ (c – a)
−
SR = r
s
= ½ (c + b) – ½ (a + b)
− PS = s
= ½ (a + b) – ½ (a + d) = ½ (b – d)
−
QR = r
q
= ½ (c + b) – ½ (d + c)
= ½ (c – a) Jadi PQ // SR
p
= ½ (b – d) Jadi PS // QR
Dengan demikian PQRS Jajaran Genjang Contoh 9 Buktikan trapesium panjangnya
bahwa sejajar sama
median alas
dan
dengan
setengah sisi atas dan bawah.
Bukti : Misal a, b, c, d, p, dan q merupakan vektor posisi dari titik A, B, C, D, P, dan Q, maka : p = ½ (a + b) q = ½ (c + d)
− PQ = q
p
= ½ (c + d) – ½ (a + b)
= ½ (BC) + ½ (AD) = ½ (BC) + ½ (AD) 1
PQ = (BC + AD) 2
Jadi PQ =
1 2
(BC + AD)
= ½ (BC + mBC) 1
= (1 + m)BC, 2
//AD maka : karena BC AD = m BC untuk suatu harga m
Jadi PQ// BC
Contoh 10 OABC suatu bidang cyrat P, Q, R, S
adalah
berturut-turut
tengah BC, CA, dan AB Buktikan bahwa :
OA + OB + OC = OP + OQ + OR
titik
Bukti : Misal a, b, dan c vektor posisi titik A, B, dan C maka : p = ½ (b + c) q = ½ (a + c) r = ½ (a + b)
OP + OQ + OR = p + q + r =½b+½c+½a+½c+½a+½ b =a+b+c
= OA + OB + OC Contoh 11
ABCD adalah jajaran genjang M adalah titik tengah AB dan membagi DM dengan perbandingan 2 : 1. Buktikan bahwa A, T, dan C kolinier dan tentukan AT : TC Bukti :
Misal AD wakil vektor u dan ABwakil dari vektor v :
T
− −
AT = AM + MT = AM + = AM + = AM + =
1 3
1 3
MD
1
AD
3 1 3
AD +
AM
1
AD
2 3
3
AM
AM
1
21
3
32
= u +
v
= 1/3 (u + v)
AT = AT =
1 3 1 3
AB + BC
AC
3AT = AC,ini berarti bahwa A, T, C segaris dan AT : TC = 1 : 2 Soal Latihan : 1. Sebuah bidang beraturan berujung 6 buah dipandang sebagai sejumlah segitiga-segitiga sama sisi yang sama dan sebangun (lihat gambar). Nyatakanlah vektor posisi dari titik A, B, C, … dengan a dan c
2. Buktikan diagonal jajaran genjang saling membagi dua sama panjang. 3.
Diketahui P, Q, R, dan S adalah titik-titik tengah dari sisi-sisi AB, BC, CD, dan DA dari suatu segiempat ABCD.
a) Misal K suatu titik lain dalam ruang buktikan :
KP + KR = KQ + KS b) Buktikan PR dan QSsaling memotong di tengah. 4. Buktikan bahwa diagonal-diagonal suatu paralelepipedum saling memotong di tengah. 5. Buktikan garis yang menghubungkan titik-titik tengah rusuk-rusuk yang berhadapan dari suatu bidang empat saling memotong di tengah
Rumus pembagian dalam bentuk vektor Jika titik P terletak pada garis AB di antara A dan B maka AP dan PB mempunyai arh yang sama, jika P terletak di luar AB pada pihak B, maka AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan. Jika P terletak di luar AB pada pihak A, maka AP dan PB merupakan arah yang berlawanan. Jika P terletak pada garis AB, sehingga AP : PB = m : n, maka dikatakan bahwa P membagi AB dengan m : n. Jika AP dan PB mempunyai arah yang sama (berarti m dan n bertanda sama), maka dikatakan bahwa P membagi AB di dalam. Jika AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan (berarti m dan n berlawanan tanda), maka dikatakan bahwa P membagi AB di luar. Contoh 1 :
AP : PB = 2 : 1
AP : PB = 2 : - 1
P membagi AB di dalam.
P membagi AB di luar di pihak B
AP : PB = -1 : 4 P membagi AB di luar di pihak A. Contoh 2 : Pada garis AB terletak titik M dan N yang berturut-turut membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan 2 : 1 a) Tentukan letak M dan N pada garis AB. b) Tentukan Nilai perbandingan AM : AD, NA : AB, AM : AN, AN : NM. Penyelesaian : a) Lihat gambar
b) AM : AB = 2 : 3 NA : AB = -2 : 1 AM : AN = 2 : 6 = 1 : 3 AN : AM = 6 : -4 = 3 : -2 Arah ke kanan diambil sebagai arah positif dan arah ke kiri diambil sebagai arah negatif. Pada garis AB terletak titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n.
Vektor posisi titik A, B dan P berturut-turut adalah a, b, dan p AP : PB = m : n AP : AB = m : (m + n)
OP = OA + AP
m
OP = OA + p=a+ p=a+
m
AB
(b – a)
(m+n) m
(m+n)
p = (1 – p=
(m + n)
m
b –
m
)a+
(m+n)
mb +na (m+n)
a
(m+n) m
b =
(m+n)
n
a +
(m+n)
m
b
(m+n)
disebut dalil perbandingan
Contoh 3 : Tentukan vektor posisi titik P yang membagi garis AB di dalam denan perbandinga 5 : 3. Penyelesaian : AP : PB = 5 : 3 p=
3a+5b 3+5
3
5
8
8
= a+ b
Contoh 4 : Tentukan vektor posisi titik P yang membagi garis AB di luar dengan perbandingan 5 : 3. Penyelesaian : AP : PB = 5 : – 3 p=
−−
3a+5b 3+5
=
−
3 2
5
a+ b 2
Soal Latihan : 1. Diketahui 4 titik A, B, C, D dengan vektor posisi a, b, c, dan d. Titik tengah AB, BC, CD, dan DA disebut N, M, R, dan P. Nyatakanlah dalam a, b, c, d vektor posisi. a. Titik N, M, R, dan P b. Titik tengah S dan NR c. Titik tengah T dan PM d. Bagaimana letak S dan T e. Bagaimana tentang NR dan PM f. Bangun apakah NMRP 2. Tentukan koordinat titik P yang membagi garis hubung a(-1, 5, 2) dan B(2, 2, -7) di dalam (di luar) dengan perbandingan 2 : 1 3. Tentukan koordinat titik R dan S yang berturut-turut membagi garis hubung titik M(5, 2, 1) dan N(9, 10, 3) di dalam dan di luar dengan perbandingan 1 : 3. 4. Dari tetrahedron ABCD diketahui A(3, 0, -4), B(6, 2, 4), C(-2, 1, -3) dan D(1, 5, -1). Tentukan kooedinat titik beratnya.
Fungsi Linier dari n Vektor Bentuk m1a1 + m2a2 + … + mnandi mana m1, m2, …, mn. Skalar-skalar disebut fungsi linier dri n vektor. Jika a suatu vektor dan a ≠ 0 maka tiap vektor pada suatu garis yang
sejajar dengan a adalah fungsi linier dari a yaitu ma dengan m bilangan real. Misal H = {a1, a2 , … , an} H disebut bebas linier jika : m1a1 + m2a2 + … + mnan = 0 menyebabkan
m1 = m2 = … = mn = 0 himpunan yang tidak bebas linier disebut bergantung linier. Contoh 1 : 1. Misal A = {a, b} seperti pada gambar :
m1a + m2b = 0 jika dan hanya jika m 1 = m2 = 0 jadi A = {a, b} bebas linier 2. Misal B = {a, b, a+b} seperti pada gambar di atas. Untuk m1 = 1, m2 = 1, dan m 3 = 1 ternyata m1a + m2b + m3(a+b)= 0 Jadi B = {a, b, a+b} bergantung linier
Beberapa sifat Fungsi linier 1. Jika a dan b masing-masing bukan vektor nol dan tidak sejajar maka jika xa + yb = 0 → pastilah x = y = 0 2. Jika a dan b masing-masing tak nol dan tidk sejajar serta berpangkal sama. Sedngkan c adalah vektor pada bidang yang ditentukan oleh a dan b maka c dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari a dan b.
3. Jika a, b, dan c masing-masing bukan vektor nol dan ketiganya tak sebidang tetapi berpangkal sama maka jika xa + yb + zc = 0 pastilah x = y = z = 0 4. Jika a, b, dan c masing-masing bukan vektor nol dan ketiganya tak sebidang tetapi berpangkal sama maka tiap-tiap vektor di ruang dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari a, b, dan c. 5. Jika a, b, dan c bebas linear , maka tiap vektor dalam ruang dapat dinyatakan ssebagai fungsi linear dari a , b , dan c secara tunggal
≠
Bukti sifat 1:
−−
Andaikan x 0 , maka xa =
a=
y
xb
yb
∥ ∦
ini berarti a b
Kontradiksi dengan yang diketahui a b dengan demikian x=0. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan y=0 Jadi, jika xa + yb = 0 maka x = y = 0 Contoh :
−
Buktikan bahwa titik – titik A , B, dan C kolinier jika dan hanya jika untuk setiap titik 0 dalam ruang OC = 1
p OA + pOB Untuk membuktikan hal ini akan dibuktikan dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri
− − −− −
1. Diketahui A, B, dan C segaris Buktikan OC = 1
p OA + pOB
Bukti :OC = OA + AC
= OA + pAB
= OA + p OB
OA
= OA pOA + pOB
= 1
2. Diketahui OC = 1
p OA + pOB P+Q =1
p OA + pOB Buktikan : A, B, dan C segaris
− − − − ∥ −
Bukti :OC = 1
p OA + pOB
= OA pOA + pOB
OC
OA = p OB
OA
AC = pAB
Maka AC AB , jadi AC pada AB
Dengan demikian A, B, dan C segaris jika dan hanya jika untuk tiap titik 0 pada ruang OC = 1
p OA + pOB Contoh : Buktikan garis - garis berat sebuah segitiga konkuren (melalui satu titik ). Bukti
∆
: perhatikan gambar disamping: Dalam
ABC , D, E, dan F berturut –
turut adalah tengah AB , BC dan AC.
Misal
AP : PE = r : s ; (r + s = 1) BP : PF = u : V
; (u + v = 1)
Ambil O sebagai titik pangkal tidak pada bidang ABC, maka :
OP = r OE + s OA
(sebab A, P, dan E segaris)
OP = u OF + r OB
(sebab B, P, dan F segaris)
E tengah – tengah BC , maka OE = F tengah – tengah AC , maka OF = Dengan demikian
OP =
Di lain pihak
OP =
1 2 1 2
1
2 1 2
OB + OC
OA + OC
OB + OC + s OA
…………………. (1)
OA + OC + r OB
…………………. (2)
Karena OA, OB, OC bebas linear maka dari pers. (1) dan (2) didapat : r r u u = v , = , s= 2 2 2 2 r = 2v, r=u, 2s = u
r = 2sdidapat r : s = 2 : 1 u:v=2:1 u = 2vdidapat
jadi P membagi BF dan AE dalam perbandingan 2 : 1 jika Q titik potong antara AE dan CD maka Q membagi AE dengan perbandingan 2 : 1 jadi Q berhimpit P kesimpulan garis – garis berat suatu segitiga konkuren contoh : buktikan garis bagi suatu segitiga membagi sisi dihadapannya menjadi 2 segmen yang sebanding dengan sisi yang lain. Penyelesaian: Diketahui :
∆∠ ∠ ABC
CAD = BAD
BD
Buktikan : Bukti
DC
=
AB AC
:
Ambil A sebagai pangkal koordinat misal AB = a , AC = b Vektor satuan a adalah
a a
Vektor satuan b adalah a
b
a
b
Misal u = +
b b
∠
Karena AD garis bagi
CAB, maka u bertumpu pada AD
Dengan demikian AD = ku a
b
a
b
= k( + )
Karena B , D dan C kolinier, maka
k b + k a = b a
k a + b = a b k=
a b
a + b
k a
k
+ =1 b
jadi, AD =
BD DC
=
b
a+b
a
a +b
=
b
a +b
Ini berarti
BD
=
DC
a+
a
a+b
b
a
b
AB AC
∆
Diketahui abc dengan titik berat G Misal a ,b , c dan q masing – masing vektor posisi dari titik A, B, C, dan D 1
Buktikan q = (a + b + c) 3
Bukti : Ambil pangkal
O
sebagai di
luar
∆
titik
ABC.
Karena G titik berat maka CG : GD = 2 : 1 Misal d vektor posisi dari suatu
titik
D
yaitu
pertengahan AB , maka:
− −
d=
1
a+b
2 OG = OC + CG 2 q = OC + CD 3 2 q=c+ d c 3 2 1 q=c+ a+b 3 2
c
q=c+ q= q=
1 3 1 3
1 3
c+
− − a
1 3
b
a+
1 3
2 3
c
b
(a + b + c )
LATIHAN SOAL Buktikan bahwa a + 2b + c , a + 3b linear
−
2c , a + b + 4c bergantung
RUANG BERDIMENSI SATU (R1)
Misal l suatu garis dan O suatu titik pada l. dengan demikian l dibagi
menjadi 2 sinar yaitu sinar OA dan sinar OB. Misal titik C pada l dan
OC panjangnya satu satuan dan OA dipandang sebagai sinar positif, sinar OB dipandang sebagai sinar negatif. Maka untuk setiap titik X pada l, OX dapat dinyatakan sebagai OC. Jika titik P pada garis l sedemikian panjangnya OP = x 1 satuan dan P pada sinar positif, maka
koordinar P adalah x1 dan ditulis (x1). Jika koordinat P adalah bilangan yang menyatakan panjang segmen OP. jika diukur dengan OC sebagai segmen satuan.
Dari gambar terlihat titik P, Q, dan R masing – masing koordinatnya P(4), Q(-5), dan R(2). Dari pengertian di atas jelaslah bahwa setiap titik pada garis menentuka tepat satu bilangan real dan sebaliknya tiap bilangan real menunjukkan tepat satu titil pada l. jadi ada korespondensi satu – satu pada garis l dan himpunan bilangan real. Garis l disebut garis bilangan, O disebut titik pangkal. Garis bilangan juga disebut ruang berdimensi satu (R 1).
RUANG BERDIMENSI DUA (R2)
Misal x dan y adalah dua garis bilangan yang bersekutu di O. Kedua garis bilangan ini menentuka suatu sistem koordinat. Garis – garis x dan y, selanjutnya disebut sumbu koordinat.
∥
∥
Segmen satuan pada kedua sumbu boleh sama boleh tidak. PQ
y dan PR x
OQ = x1 dan OR = y 1 Titik P menentukan suatu pasangan bilangan nyata x 1 dan y1 dan ditulis (x1 , y1 ) Setiap titik pada bidang XOY menentukan tepat satu pasang bilangan real (x,y) dan sebaliknya setiap pasangan bilangan nyata (x, y) menentukan tepat satu titik pada XOY.
⊥
Pasangan (x1 , y1 ) disebut koordinat titik P. Jika x
y maka sistem koordinat itu disebut sistem koordinat
cartesius atau sistem koordinat siku – siku. Sistem koordinat ini disebut ruan berdimensi dua.
RUANG BERDIMENSI TIGA (R 3)
Misal x, y, dan z garis bilangan yang taksebidang dan berpangkal sama. x, y, dan z menentukan sistem koordinat dalam ruang berdimensi tiga.
⊥ ⊥ ⊥
x y , x
z, y z
Untuk setiap titik dalam R3 menentukan satu pasangan bilangan real (x, y, z) dan sebaliknya tiap pasangan bilangan real (x, y, z) menentukan sebuah titik dalam R3. X disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut aplikat. 0
Jika sumbu x positif diputar 90 kearah sumbu y positif menyebabkan sumbu z brgerak kearah sumbu z positif maka sistem x, y, z disebut sistem putar kanan.
Jika sumbu z bergera berlawanan dengan arah sumbu z positif, maka x, y, z disebut sistem putar kiri.
Sistem putar kanan
sistem putar kiri
Dalam perubahan selanjutnya digunakan sistem putar kanan. PERKALIAN SKALAR 2 VEKTOR Misal a , b suatu vektor dan
α
sudut terkecil yang diapit oleh kedua
vektor itu, perkalian skalar adan b ditulis a. b didefinisikan sebagai:
≤α≤π α
a. b = a . b cos 0
a
a
a cos
b
Jika a diproyeksikan ke b maka panjang proyeksinya adalah acos
a. b
α α
= a . b cos
= a cos |b|
=panjang proyeksi a pada b kali b
α
α
Atau a. b = b cos
a
=panjang proyeksi pada b pada a kali a Sifat – sifat perkalian skalar jika a, b dan c vektor, sedang m skalar 1. a. b = b. a
2. a. b + c = a. b + a. c
3. m a. b = ma . b = d. mb = a. b m 4. Jika a. b = 0 , a = 0 , b = 0, maka a tegak lurus b 5. a. a = |a|2 6. i. i = j. j = k. k = 1
i. z = i. k = j. k = 0 7. Jika a = a1 i + a2 j + a3 k
b = b1 i + b2 j + b3 k Maka a. b = a1 b1 + a2 b2 + a 3 b3
−− −
Contoh Diketahui:
a = 3i b=
2j + 6k
3i
5j + 8k
α
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh a dan b Penyelesaian: a. b
α
= |a|. |b| cos
cos = = =
α
= =
a .b
− − − − − − π a .b
3
32 + 49
3 +
2 2 +62
2
5 +6.8
3 2+
5 2 +82
7.7 2 1 2
4
Contoh : Buktikan diagonal – diagonal suatu Belah ketupat tegak lurus satu sama
Penyelesaian:
⊥
Diketahui :OABC belah ketupat Buktikan :AC OB
Bukti
− − − − − − − − − ⊥
:misal OABC suatu belah ketupat dan OA = a ; OC = c, maka:
OB = a + c AC = c
a
OB. AC = a + c . (c
a)
= a + c . ( c + ( a))
= a + c . c + a + c . ( a) = a. c + c. c + a. = a. c + |c| = |c|
2
a
2
a
a + c.
2
a
c. a
2
Karena OABC belah ketupat maka | c| = |a| Jadi ,OB. AC = 0
Dengan demikian AC
OB
Contoh Buktikan suatu jajaran genjang yang diagonal – diagonalnya tegak lurus merupakan suatu belah ketupat. Penyelesaian:
⊥ −
dikeathui : OABC jajaran genjang OB AC
Buktikan
: OABC belah ketupat
Bukti
: misal OA = a ; OC = c
Maka AC = c
a , OB = a + c
⊥ −− −
−− −
OB AC sehingga AC. OB = 0
c
a .a+ c
a . c = 0
c. a
a. a. a + c. c
a. a. c = 0
c. a a
2
a
2
2
+ c
2
= c
a. a. c = 0
Berarti sisi OA = OC Karena OABCjajaran genjang genjang maka OA = OC = CB = AB Jadi , OABC OABC belah ketupat. Contoh Buktikan garis berat ke garis alas suatu segitiga sama kaki adalah tegak lurus pada garis alas. Penyelesaian: Diketahui : segitiga OAB sma kaki
⊥ −
OA = OB, AC = BC Buktikan
: OC AB
Bukti
: misal OA = a, OB = b Maka AB = b
−
OC. AB = b
C tengah – tengah AB maka 1 OC = (a + b) 2
1
a . (a + b)
− − − − − − − ⊥ 2
1
= ( b 2
a . a + (b =
1
a).b
b. a
2 1 = (b.a 2 =
a. a + b. b a
1
(b
2
2
+ b
2
2
a )
2 Karena OA = OB maka b = demikian ; = a , dengan demikian
OC. AB =0, jadi OC
a
AB
a. b
a. a. b)
Contoh : Buktikan teorema phytagoras Penyelesaian: Diketahui
: Segitiga OAB siku – siku di O
− ⊥ − − − − − −− −− 2
2
Buktikan
: OA OA
Bukti
: misal OA = a, OB = b
Maka
AB = b
a,
+ OB OB OB
= AB AB
OA
2
sehingga
OA. OB = 0 (1) a. b = 0……………………. AB AB
2
= AB . AB = b = b
a . b
= b. b. b
a. b
= |b|2
0
Jadi, AB AB
2
a . (b
= OA OA
b
a .a
b. a + a. a
0 + a
2
a)
+ OB OB
2
2
Contoh : Buktikan dalam setiap segitiga siku – siku garis berat ke sisi miring sama dengan setengah panjang sisi miring Penyelesaian: Diketahui
: segitiga OAB siku – siku di O AC = CB 1
Buktikan
: OC = AB
Bukti
:
2
− ⊥
OA = OC + CA = OC + OB = OC + CB = OC
1
2 1
BA
BA 2 Karena OA OBmaka OA. OB = 0
− − − − 1
1
OC + BA . OC BA = 0 2 2 1 1 1 OC. OC + BA. OC OC. BA BA. BA = 0 2 2 4 2 2 1 OC OC BA BA = 0 4 2 2 1 OC OC = BA BA 4 1 OC OC = = BA 2 1 Jadi , OC = BA 2
Contoh : Perhatikan gambar dibawah ini ini :
⊥ − − − − ⊥
Buktikan
:AC BC
Bukti
: PA = PB = PC = R 1 CA = CP + PA = CP AB 2 1 CB = CP + PB = CP + AB 2
CA. CB = CP = CP CP
Jadi , CA
CB
2
1 4
1
2
AB AB
AB . CP + 2
= R2
1 2
AB
R2 = 0
∆
Contoh : Diketahui
: ABC siku – siku di A
2
2
2
⊥ − − − − −
Buktikan Bukti
: BC = AB + AC
: AC AB maka AC . AB =0
BC = AC
BC BC
2
AB
= BC B C. BC = AC
AB . AC
= AC . AC = AC AC 2
2
AC. AB
+ AB AB
2
2
Jadi, BC = AB + AC Contoh :
∆
Diketahui : ABC
2
AB
AB. AC + AB. AB
2
Buktikan
2
∠
2
: AB = AC + BC – 2AC.BC.Cos ACB
− − − − − − ∠ACB∠ Bukti
: AB = CB
CA
AB. AB = CB
AB
2
= CB . CB 2
= CB 2
2
CB. CA
CA .(CB
CA)
CA. CB + CA. CA
2CA. CB cos
+ CA
2
2
Jadi, AB = AC + BC – 2AC.BC.Cos ACB Contoh :
Buktikan jumlah kuadrta diagonal – diagonal suatu jajaran genjang sama dengan kuadrat jumlah kuadrat sisinya. Penyelesaian: Buktikan
: AC2 + BD2 = AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2
− − − − − − − Bukti
:
AC = AB + BC
BD = AD
AC
2
AB = BC
AB
= AC . AC
= AB + BC . AB + BC
= AB. AB + AB. BC + BC. AB + BC. BC = AB
BD
2
2
+ 2AB. BC + BC
2
= BD. BD
= BC
= BC. BC
AB . BC
BC. AB
= BC
2
AB
AB. BC + AB. AB
2AB. BC + AB
2
|AC|2 + |BD|2 = 2|AB|2 + 2|BC|2
= AB
2
+ DC
2
+ BC
2
+ AD
2
Jadi ,AC2 + BD2 = AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2
α β α β− α β α β
Soal Latihan
1. Buktikan cos
+
= cos cos
sin sin
2. Buktikan untuk setiap segitiga ABC
AB = AC cos + BC cos
3. Buktikan bahwa untuk setiap segitiga ABC, jika berlaku 2
2
2
BC = AB + AC maka ABC siku – siku di A 4. Buktikan
bahwa
segmen
–
segmen
garis
yang
menghubungkan titik – titik tengah yang berdekatan dari suatu bujur sangkar membentuk suatu bujur sangkar. 5. Buktikan jumlah kuadrat dari doagonal – diagonal suatu segiempat sama dengan dua kali jumlah kuadrat dari segmen – segmen garis yang menghubungkan titik – titik tengah sisi –
sisi yang berhadapan. 6. Buktikan apabila dua pasang rusuk berhadapan dari suatu bidang empat tegak lurus sesamanya, maka pasangan yang ketigaa juga tegak lurus. HASIL KALI VEKTOR DARI DUA VEKTOR
Perkalian vektor dari vektor a dan b ditulis a x b dibaca “ a kali b adalah vektor c yang mempunyai sifat: 1. Besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang bersisi a dan
α
b. dengan demikian c = a b sin , dimana
a dan b
α
sudut antara
2. Arahnya tegak lurus a dan b sehingga a , b dan c membentuk sistem tangan kanan
α
Secara simbolik ditulis
a x b = ab sin u
0<
<
u =vektor satuan yang menunjukkan arah dari a x b
−
SIFAT – SIFAT PERKALIAN VEKTOR 1. a x b =
bxa
2. Untuk tiap vektor a berlaku a x a = 0 3. Jika a
≠ ≠ 0 , b
∥
0 dan a x b = 0, maka a b
4. Untuk setiap vektor a, b dan c berlaku:
ax b + c = a x b + a x c
5. Jika m skalar, a dan bvektor, maka :
m a x b = ma x b = a x mb 6. Jika
a = a1 i + a2 j + a3 k
b = b1 i + b2 j + b3 k , maka
i a x b = a1 b1
Perhatikan gambar diatas :
j a2 b2
k a3 b3
i x i = i i sin 0 = 0
i x i = j x j = k x k ixj=
−
j x i = k jxk= kxi=
−−
kxj=i ixk=j
Beberapa bukti sifat diatas :
Bukti 2.
a x a = a a sin 0 = 0
Dengan demikian a x a = 0 Bukti 3:
↔↔ α ↔↔α α α∥ ∶
axb=0
a x b = 0
a . b sin = 0
sin = 0 ,
sudut antara a dan b
= 0 ,makaa b
bukti 4
Misal a adalah vektor yang tegak lurus bidang V, dan b ’ dan c’ masing – masing vektor komponen b danc pada bidang yang tegak lururs
pada a yaitu bidang V. dengan demikian a x b dan a x c’ terletak pada bidang V. (lihat gambar).
c ′ b′ ′ ′
|a x c | |a x
=
a
sin 900
a b
sin 900
=
′ ′
|c | |b |
Dan sudut OMN = sudut OB’C’
Dengan demikian segitiga OMN ~ segitiga OB’C’, akibatnya
′ ′ ′ ′ ′′′ ′ ′ b′ c′ b′ ′ b′ ′ ′ ′ ′ c′ ′ ′ |ON |
|b +c |
=
ON =
=
a xb
|b |
axb
b +c
b
a b
sin 90 0 |
ON
= a b +c
ON
=ax b + c
ON
+ |
= OM + MN = a x b + a x
b′ c′
Karena a x b + c = a x (b + c)
ax
= a x b;
ax
= a x b
Maka a x b + c = a x b + a x c Contoh 1: Tentukan a x b jika a = 3i + 2j +
−
k
b = i + 4j + k Penyelesaian: i j axb= 3 2
− − 1
4
k
1 = 6i 1
4j + 10k
−
Contoh 2:
−
Tentukan vektor tegal lurus pada AB dan CD jika A 0,
B 2,0,4 ,C(2, 1,4) dan D(3,3,2) Penyelesaian:
AB = 2i + j + k ,
CD = i + 4j
−
2k
1,3 ,
− − − ≠ i
j
k
AB x CD = 2 1 1 = 6i + 5j + 7k 1 4 2 Jadi, vektor yang tegak lurus pada AB danCD adalah : m( 6i + 5j + 7k)denganm 0 Contoh 3: Diketahui
: segitiga ABC
Buktikan
:
sin A
=
sin B
=
sin C
−
Bukti
BC
AC
AB
− −
: misal AB = a; AC = b , maka BC = b
BC x BC = BCx (b
a)
o = BC x b
a
BC x a
BC x a = BC x b BC x a = |BC x b|
↔↔ ↔ ↔
BC a sinB
= BC b sinC
a sin B
= b sin C
sin B
=
|b |
sin B
=
AC
sin C
a
sin C AB
Dengan cara yang sama didapat : Jadi ,
sin A BC
=
Contoh 4 :
sin B AC
=
sin A BC
=
sin B AC
sin C AB
− − − − −
Buktikan
: (a
b) x (a + b)
Bukti
: a
b x a + b
= axb = a
=axa
b x a + a
b xb
b x a + a x b
=0
−
b x a + a x b
= a xb+ ax b =axb
LATIHAN SOAL 1. Jika
−− −
a = 3i
j + 2k
b = 2i + j c=i Carilah
k
2j + k
a. a x b x c
− − b. a x (b x c)
2. Carilah luas segitiga ABC, dimana A 1,3,2 , B 2, 1,1 ,
C( 1,2,3)
3. Buktikan a. b x c = a x b . c 4. Buktikan a. a x c = 0
5. Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar a , b dan c sebidang adalah a. b x c = 0
2
6. Buktikan |a x b|2 + |a . b|2 = a |b|2 7. Buktikan a . b x c
=b. cxa
= c . (a x b)
8. Buktikan a x b = luas jajaran genjang yang sisinya a dan b
PERSAMAAN VEKTOR GARIS MELALUI (0,0)
Misal garis g melalui pangkal koordinat dan titik A dengan vektor
posisi a terletak pada g.
Misal ada vektor x yang bertumpu pada garis g maka = t parameter. Bentuk
=
,
Dinamakan persamaan vektor garis melalui (0,0) Misal = Dari
=
,
dan
didapat
=
1,
2
, dimana
, = , = = 1 = 2
Bentuk
1,
1,
2
2
= =
dinamakan
1
persamaan
parameter garis lurus melalui
2
(0,0)
Jika t dieliminir dari kedua persmaan diatas maka didapat
=
2 1
Bentuk
=
2
dinamakan
persamaan
1
lurus melalui (0,0)
garis
PERSAMAAN VEKTOR GARIS YANG MELALUI SUATU TITIK DAN SEJAJAR SUATU VEKTOR
Misal diketahui titik
vektor posisinya =
(
1,
2 ) dan
1,
2
( 1, dan = 1 ,
2 ) yang
masing – masing
2
Maka persamaan vektor garis yang melalui titik A adalah
− − − − − −
, dimana t parameter
=
= + = +
Bentuk
= +
Misal =
dinamakan persamaan vektor garis melalui suatu titik B dan
sejajar dengan a
maka
,
,
=
1,
,
=
1 +
2
+
1,
1,
2 +
2
2
= 1 + 1 = 2 + 2 Jika t dieliminir dari kedua persamaan diatas didapat
2
2
2
=
2
1
1 )atau
(
1
=
2
1
1
Yaitu persamaan garis melalui titik
∥
Contoh : Diketahui titik A dan titik B Tunjukkan bahwa : a. Persamaan vektor garis AB adalah
− − − − Dimana m parameter
b. Jika =
1,
2
, =
1,
− = +
2
Tunjukkan bahwa persamaan garis AB adalah 2
2
1
=
2
1
1
Penyelesaian :
−
a. Misal vektor posisi dari A dan B masing – masing a dan b Maka
=
Persamaan vektor garis AB adalah persamaan vektor yang melalui titik A dan sejajar dengan
, yaitu:
− − −− −− − − − − − − − = +
, dimana m parameter
Atau
= +
b. Misal =
1,
2
,
=
1,
Maka dari = +
,
2
=
,
didapat
, = 1 , 2 + ( 1 , 2 1, 2 ) , = 1 , 2 + ( 1, 2 1, 2 = 1 + 1 1 = 2 + ( 2 2) Dengan mengeliminir m dari kedua persamaan diatas didapat =
2 +
1
1
.
1
2
2
Atau
2
2
2
1
=
1
1
Contoh : Diketahui jajaran genjang OBCR Titik P pada BC sedemikian hingga BP : PC = 3 : 2 dan Q pada AC sedemikian hingga AQ : AC = 1 : 3 Ditanya : a. Persamaan garis OQ dan AP b. Jika X titik potong antara AP dan OQ tentukan AX : TC c. Jika BX memotong AC di T, tentukan perbandingan AT : TC Penyelesaian :
−
a. Misal vektor posisi A dan B adalah
=
= +
+ 1
= +
3 1
3 = + 2 = + 5
2
= + (
) 5 Jadi persamaan vektor garis OQ adalah parameter Persamaan vektor gari AP adalah parameter
− = ( +
= + (
1 3
2 5
) dimana t
) dimana s
b. Titik potong AQ dan AP adalah X, maka X terletak pada vektor garis OQ sekaligus terletak pada vektor garis AP. Dengan demikian untuk titik X berlaku :
− − − − − +
+ +
1
2
= +
3
1
5
2
= +
3 1
= 1
3
5
2
+
5
Ini berarti
= 1 = 1
17
15 =
Dari
2 5
1
dan
3
=
2 1 . 5 3
= 1
15
17
dan =
5
17
= ( +
1 3
) didapat
− − − − − − − − − − = =
15
+
17 15
1 3
17
Jadi OX : XQ = 15 : 2 Juga dari
2
= + ( = + = +
) didapat
5
5
2
17 5
5
17
Jadi AX : XP = 5 : 12 c.
=
+
=
+
=
+
15
17
15
+
1
17 3 Persamaan vektor BX : = + Dimana n parameter
= + ( =
+
+
15
17 15
17 Persamaan vektor garis AC adalah
+
+
15
51 15
)
51 = +
, m parameter.
Titik potong BX dan AC adalah T, maka T terletak pada vektor garis AC. Dengan demikian untuk titik T berlaku : 15 5 + = + + 17 17 15 15 + = 1 + + 17 17 Ini berarti :
1=
15
=
17
= 1 = 1
+
12
17
5
17
17
15
− − ∆
12 17 . 17 15 12
= 1 = 1 =
15
3
15 Dengan demikian 3 = 1 + 15 Jadi AT : TC = 3 : 12 Contoh :
Diketahui
memotong
; P pertengahan garis berat yang melalui A.
di O
1. Carilah persamaan vektor garis 2. Tentukan AQ : QC
Penyelesaian :
− − − − − Misal
= ,
= maka
=
=
1
=
2
= =
1
2
1
1
2
2
+
1 4
Jadi persamaan vektor garis OP adalah parameter.
=
1
2
+
1 4
, maka
= .
, dimana t
− − − −− − = . (
1
+
1
)
2 4 Persamaan vektor garis AC : = + Atau = + ( Q titik Potong 1
+
2
1 2
+
1 4
1
)
dan
= + ( = 1
4
, maka :
)
+
Ini berarti : 1 2
1
dan
=1
4
=
= 2(1 ) = 4 4 = 2 1 6 = 2 1 = 3 1 Dengan demikian = +
3
Jadi AQ : QC = 1 : 2 Contoh : +1
− Buktikan :
.
.
=
1
, s parameter
Bukti:
− − − − − − −− − − − − − − −− − − Misal AR : RB = m : 1, BP : PC = n : 1, Maka
=
= dan
=
+1
=
+
= +
1
+1
= =
+
+1
1
+1
Persamaan vektor garis RP adalah :
=
, t parameter
:+
=
+ 1
+ (
( +
+ 1
1
)
1+
=
+ + 1 +1 persamaan vektor garis AC adalah
+ 1
+ 1
, u parameter
= =
Q titik potong antara garis RP dan AC; maka dititik potong itu berlaku
=
Dengan demikian
+ 1 Ini berarti :
+
+1
+
+ 1
= + + 1 + 1 + 1 Dari persamaan terakhir didapat: 1
+1
=
+1
=
+1
+ 1
+ 1
atau
( + 1)
+ 1 Jika bentuk terakhir ini disubstitusikan pada +1
= didapat
=
= 0
− − − − − − − =
+1
(pembaca diharap menghitung harga u ini )
Dengan demikian
=
=
+1
+
= +
+ 1 =
+ 1
+ 1
=
+ 1
=
+ 1 Q membagi AC diluar, dengan demikian : +1
=
+1
1
=
Jadi,
.
.
=
1
.
1
.
1
=
1
Contoh : a. Buktikan dengan persamaan vektor garis bahwa perpotongan garis berat suatu segitiga berbanding 2 : 1 b. Buktikan juga ketiga garis berat itu melalui satu titik Penyelesaian:
− − − − − − −
a. Misal
= , maka
= ,
P pertengahan BC. Jadi
=
=
1
2
+
Persamaan vektor garis AT adalah :
= =
1
+
2 =
+
=
+
1
2 Persamaan vektor garis BT adalah :
, u parameter + 1 = + 3 T terletak pada dan , maka untuk titik T berlaku
=
= 1 2 1
+
+
1
2 2 Ini berarti 1 2
=
1
= +
2
= 1 1
1dan
2
+
=
1 2
1
2
Dari kedua persamaan ini didapat 2
2
3
3
= dan =
Dengan demikian vektor posisi dari titik t adalah: 2 = + 3 Jadi BT : BR = 2 : 3 atau BT : TR = 2 : 1 atau
Vektor posisi dari T adalah
2 3
Dengan demikian AT : AP = 2 : 3 AT : TP = 2 : 1
=
=
− − − − −
1
2
1
Misal CQ dan AP berpotongan di T , maka persamaan garis CT
1
adalah:
=
= + =
1
,v parameter
+
1
2
1 2
+ (1
)
1
T terletak pada dan , maka untuk titik T berlaku = 1 1 + = + 1 2 2 Ini berarti 1 2
1
=
1 2
dan
= 1 2 Dari kedua persamaan diatas didapat =
=
2
3
1
Dengan demikian vektor posisi dari T adalah + 1
1
2
3
1
Jadi CT : CQ = 2 : 3 atau CT : T Q = 2 : 1 Begitu
juga
1
AT
:
1
TP
=
2
:
1
(selidiki)
b. Karena perbandingannya selalu sama yaitu 2 : 1 maka vektor 1
1
posisi T dan T sama. Dengan demikian T berimpit T jadi ketiga garis berat melalui satu titik SOAL LATIHAN 1.
a. Tentukan
persamaan
vektor
garis
, , b. Tentukan vektor posisi dari D , E, dan F c. Buktikan bahwa ketiga garis tinggi melalui titik T
2. a. b.
Tentukan persamaan vektor sumbu – sumbu AB , BC, dan AC Buktikan bahwa ketiga garis sumbu itu melalui satu titik
3.
Dalam
∆
dibuat transversal
sudut yang memotong AB, BC, dan CA berturut – turut di P, Q , dan R. jika ketiga transversal tadi melalui satu titik Buktikan
.
.
=1
(petunjuk : misalkan PA : PB = 1 : m dan RA : RC = 1 : n, kemudian cari perbandingan CQ :QB)
− − − −
4. Tentukan persamaan garis melalui (2,1) dan tegak lurus pada
= 3
5. Diketahui garis l :
−
5,2, 1 dan titik (3, 1,2)
= 2, 3,1 +
Tentukan persamaan vektor suatu garis yang melalui P dan sejajar dengan l.
6. Diketahui titik (3,5) dan
(2, 3)
Tentukan persamaan vektor garis AB
7. Diketahui titik A dan B merupakan ujung – ujung vektor dan Buktikan persamaan vektor garis AB adalah
=
≠ ∥ −
+
+
,t, k parameter dan +
0
8. Tentukan persamaan vektor garis yang melalui titik pangkal dan sejajar
9. Diketahui
1,
1, 1
dan =
1
+
2
+
3
Tentukan persamaan vektor garis yang melalui 10. Diketahui garis l :2 + 3
6 = 0.
Tentukan persamaan vektor garis tersebut.
Selidiki apakah jawabannya tunggal?
JARAK TITIK KE GARIS Diketahui garis
persamaan l
dengan
persamaan
+ + = 0 dan ( 1 , 1 ) diluar titik garis L. Misal
(
1( 2,
0,
0 )
2 ) pada
l, maka
− − − − − − ∆ 2
0
Misal =
+ (
2
dan
0)
+
=
2
0
+ (
2
0 )…………………………
(1)
Dilain pihak A dan P1 pada l, maka 2 +
+ = 0 0 + 0 + = 0 2 0 + 2 0 = 0……………………………… (2) Jika (2) disubstitusikan pada (1) didapat . 1 = 0 2
Jadi .
1 dan
disebut vektor normal dari l
Vektor normal dari garis l yang persamaannya adalah
=
Lihat
1
cos
1
.
=
+
1
. cos ………………………………………………… (3)
=
=
. cos
+
+ = 0
∆ − − − − − − − − − ∆ =
.cos
. cos =
.
.
………………………………………….
| |
(4)
Substitusikan (3) pada (4) didapat
.
=
1
| |
Misal jarak titik ke garis dinamakan d maka .
=
dimana A titik sebarang yang dapat dipilih pada garis l
| |
Contoh :
Carilah luas ABC jika
4,1 ,
0,4 , ( 1, 3)
Jawab :
=6
=
4,3
= 5
Persamaan vektor garis
melalui A adalah
= 4,1 +
4,3
,
= 4 4 ,1+3 = 4 4 =1+3 Jika t dieliminer dari kedua persamaan diatas didapat 3 + 4 = 16 Dengan demikian vektor normalnya = 3 = 4 =
Atau
=
Luas
= 4,1
= 5 + 4
.
=
31 5
=
1
.
2 1 31
= . 2
Contoh :
1,3 = 5,4
5
.5=
31 2
satuan luas
− − − − Tentukan jarak titik
3,2 pada garis p yang persamaannya
5 + 6 30 = 0 Jawab Ambil suatu titik P pada garis p misal (0,5). Maka
=
3 + 3
Misal jarak A ke garis p adalah d, maka
=
|
. |
, dimana = 5 + 6
3 + 3
= = =
. (5 + 6 )
52 + 6 2 15 + 18 61
3
61
PERSAMAAN BIDANG DATAR 1. Persamaan BIdang Datar Yang Melalui titik O
Bidang V melalui vektor , dan titik O
Ambil sebarang titik P pada bidang V yang vektor posisinya
, maka
=
+
merupakan Persamaan vektor.
Bidang yang melalui titik O, ,
Untuk setiap nilai t dan k yang memenuhi persamaan diatas,
ujung vektornya berada pada bidang tersebut.
= 2 + 3 berarti ujung vektor berada pada bidang V
2. Persamaan Bidang Yamg Tidak Melalui (0,0)
∥′
Bidang V’ melalui vektor
dan dan O sedang bidang V melalui
ujung vektor dan sejajar dengan dan Jadi
Misal P sebarang titik pada bidang V yang vektor posisinya , maka
= +
+
Untuk setiap nilai t dan k,ujung-ujung vektor berada pada bidang V misal :
=
1
+
2
+
3
=
1
+
2
+
3
=
1
+
2
+
3
Maka :
, , Jadi
= 1 , 2 , 3 + 1, 2, 3 + 1, 2 . 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 Dengan mengeliminir t dan k dari persamaan diatas dan memisalkan koefisien x adalah A, koefisien y adalah B, koefisien z adalah C dan D
konstanta, maka bentuk diatas menjadi :
+ + + = 0 Yang merupakan persamaan bidang dalam koordinat siku – siku
≠ − − − − − − − − − − − − 3. Mengubah Persamaan Bidang
+
+
+
= Dalam
Persamaan Vektor Bidang
Misal
0 , maka =
Ambil = dan = maka
, ,
=
,0,0 +
=
,1,0 +
,0,1
Nampak bahwa bidang tersebut melalui vektor =
dan sejajar
dengan vektor- vektor
=
+
=
+
4. Persamaan Vektor Bidang Yang Melalui Suatu Titik dan Diketahui Normalnya
Diketahui normal dan titik A
⊥
− − − − − Misalkan P sebarang titik pada bidang V maka Dengan demikian
. = 0
. = 0
.
. = 0
. = .
Bentuk
.
merupakan persamaan bidang melalui
= .
titik A dan diketahui normalnya. Misal:
=
1
+
2
+
3
=
1
+
2
+
3
=
1
+
2
+
3
. = .
+ Atau 1
2
+
3
= , dimana
=
1 1 +
2
2 +
3
3
+ 2 2 + 3 3 = 0 1 , 2 dan 3 dinamakan bilangan arah dari bidang V 1
1
CATATAN
− Vektor normal dari bidang V yang persamaannyambh
+
+
+
= 0adalah =
+
+
Contoh :
Diketahui titik (3,2,3) dan = 3
+ 2 vektor normal.
Tentukan persamaan bidang melalui A dan tegak lurus Jawab
− − − ∶ −
Ambil sebarang titik ( , , ) pada bidang itu, maka
. = .
3 3
+ 2 = 15 + 2 = 19
2 + 6
Contoh :
Diketahui bidang
+ 3
4 + 5 = 0, dan titik
titik
(2,2,3) dan
(4,2,1) Tentukan persamaan bidang W yang melalui AB dan tegak lurus V Penyelesaian:
− − ⊥ Misal
dan
merupakan vektor posisi dari titik A dan B, maka
= 2,2,3 , = 4,2,1 .
Dengan demikian
−− − −
= 2,0, 2
Jika normal V, maka = 1,3,
4
Bidang W melalui AB dan melalui ujung – ujung dan serta sejajar Bidang
, W sejajar dengan
Jadi persamaan bidang W adalah :
=
, ,
= 2,2,3 +
Dimana t dan k parameter
2,0, 2 +
1,3, 4
− −
Dari persamaan diatas didapat:
= 2 + 2 + = 2 + 3 = 3 2 4 Dengan mengeliminir t dan k dari persamaan terakhir didapat + + = 7 Contoh : Diketahui bidang V dengan persamaan 2
−
+ 2 = 6 dan titik
(4,9,5) Tentukan proyeksi A pada bidang V Penyelesaian: + 2 vektor normal bidang V, maka persamaan Jika = 2
− − − −− −
vektor garis lurus yang tegak lurus V melalui A adalah dimana t parameter, vektor posisi suatu titik A
= +
2, 1,2 atau
= 4,9,5 +
= 4 + 2 = 9 = 5 + 2 Jika ini disubstitusikan pada persamaan bidang V didapat: 2 4+2 Didapat
9
+ 2 5 + 2 = 6
1
=
3
1
1
1
3
3
3
Jadi proyeksi A pada bidang V adalah (3 , 9 , 4 )
Sudut Antara Dua Bidang
Misal diketahui bidang V : 1
=
+
normalnya
+ + dan bidang W :
+
2
=
+
+ = 0 dengan normalnya + + + = 0 dengan
+
Sudut antara dua bidang sama dengan sudut antar normal – normalnya. Misal A sudut diantara kedua normal itu, maka 1.
2
=
1
2
cos
cos
=
1. 2
1
2
Beberapa Sifat
1. Kedua bidang itu tegak lurus sesamanya apabila cos = 0 atau 1.
2
=0
2. Kedua bidang itu sejajar apabila
=
=
=
Contoh : Diketahui bidang
1
= ,
2
= , k parameter atau
V:8 + 4 + = 5
W:2 + 6 + 9 = 4 Tentukan sudut antara bidang V dan W
Jawab : Misal
1 normal
dari V, maka
1
= 8 + 4 +
2 normal
dari W, maka
2
= 2 + 6 + 9
cos
1. 2
=
1
cos
=
cos
=
Jadi =
2
16+24+9
64+16+1 4+36+9 49 63
cos
49 63
Jarak Sebuah Titik Pada Sebuah Bidang Diketahui bidang V dan titik A diluar V (lihat gambar)
Misal normal bidang V
Ambil suatu titik pada bidang V misalkan titik B, maka 1
.
= =
cos
cos
……………………………………..
(1)
cos atau
=
.
| |
………………………………………..
(2)
Substitusikan (2) pada (1), didapat: 1
=
.
.
=
| |
| |
Contoh :
− − −
Tentukan jarak ( 2, Jawab:
− − − −
4, 3) dari bidang V: 2
Misal normal dari bidang V, maka = 2
−
+ 2
Ambil sebuah titik B pada bidang V, misal
= 2 +
6
Jika d jarak A ke bidang V, maka
=
.
| |
1
12
9
= = 3 4+1+4 3 Jadi. Jarak A ke bidang V adalah 3 satuan Latihan Soal
=
− − 4
+ 2 + 3 = 0
(0, 3, 3), maka
− −
1. Diketahui
= +
= + +
Tentukan vektor yang tegak lurus dan serta panjnagnya 1 .
2. Diketahui
=
= + 3 +
Tentukan vektor yang dengan
membentuk sudut 450 , tegak
lurus serta panjangnya 5 2 3. Diketahui bidang V:2 + 3
4 = 7 1,3,2 , t parameter garis h: = 1,2,3 +
tentukan :
1. Persamaan garis yang melalui titik
(1,2,3) dan tegak lurus
bidang V
2. Persamaan bidang melalui h dan tegak lurus bidang V
− − − 3. Proyeksi h pada V
4. Diketahui titik
0,0,3 , 4,3,0 , 0,0,4 , 1. Hitung isi bidang empat ABCD 2. Hitung jarak antara garis AB dan CD
5. Carilah persamaan bidang yang melalui titik
(2,2,5)
2,3, 4 dan tegak
lurus vektor 3 + 7 +
6. Carilah sudut antara bidang – bidang dengan persamaan
2 + + = 1, + 4 + 8 = 1 7. Carilah jarak antara bidang – bidang 4 + 8 = 1
4 + 8 = 6 dan
PERSAMAAN LINGKARAN
Lingkaran dengan pusat A a1 , a2 dan jari – jari R adalah tempat kedudukan titik X x, y yang mempunyai jarak R terhadap titik A
Jika x dan a masing – masing vektor posisi titik X dan A, maka untuk setiap titik X pada lingkaran berlaku :
− x
a = R atau
− − − − − − − − − − − .
2
=
Bentuk ini dinamakan persamaan vektor lingkaran yang pusatnya A dan jari – jarinya R
Karena x =< , > dan a = a1 , a2 maka
x
Dengan demikian x
1
2
+
a = x
a1 , y
a1 , y
a2 . x
2
2
=
2
a2
a1 , y
a2 = R2
Atau
Jika O sebagai pusat lingkaran , maka persamaan vektor lingkarannya adalah :
x = R atau
.
=
2
Bila x = x, y maka bentuk diatas menjadi x 2 + y 2 = R2
Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran
Diketahui lingkaran dengan pusat A a, b , jari – jari R dan titik
P x0 , y0 pada lingkaran
Misal persamaan vektor garis singgung yang melalui P adalah :
− −
x = x0 , y0 + t p, q , t parameter, p dan q besaran yang akan dicari Kita tentukan titik potong garis singgung dengan lingkaran yang persamaannya x Didapat :
a 2 + y
b
2
= R2
− −
a 2 + (y0 + tq)
(x0 + tp)
p2 + q2 t 2 + 2px0
− − b
2
2ap + 2qy0
= R2
2bq t = 0
(silahkan pembaca mencari persamaan terakhir)
Agar garis menyinggung lingkaran haruslah diskriminannya sama dengan 0.
−
− − − − − − − − − − − − −− − − −− −−
Jadi , 2px0
x0 p x0
p = y0
2bq 2 =0, atau
2ap + 2qy0
b dan q =
ap + y0 q
bq = 0
a)p + (y0
b q = 0
a .
x0
Dengan demikian persamaan garis singgung yang melalui titik
P x0 , y0 pada lingkaran x
a 2 + y
= x0 ,
0
2
b
+
= R2 adalah
y0
,
0 +
Atau
x, y = x0 , y0 + t y0 x = x0 + t y0
b, x0 + a b
y = y0 + t( x0 + a)
Jika t dieliminir dari kedua persamaan diatas didapat : 0
+
=
0
Contoh :
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan :
− − x
a . x
a = 25
2
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran melalui O a) Dalam bentuk persamaan vektor b) Dalam bentuk koordinat siku – siku Jawab Pusat lingkaran A(4,-3) a. Persamaan vektor garis singgung yang melalui titik O adalah :
−− − x = t 3,4
b. Persamaan garis singgung dalam koordinat siku – siku adalah :
4 x
4 + 3 y + 3 = 25 4x + 3y = 0
Contoh :
Carilah vektor posisi titik potong garis r = ta , t parameter dengan lingkaran r. r = R2 Jawab : Substitusikan r = ta pada r. r = R2 , didapat
ta. ta = R2 t 2 a2 = R2 t=
R
a
atau t =
− − R a
Substitusikan t pada r = ta didapat :
r=
R
a
a atau r =
R a
a
Jadi, vektor posisi dari titik potong yang dimaksud adalah
R.
a
a
−
atau
R.
a
a
Contoh a. Carilah vektor posisi dari titik potong garis
x = x 0 + ta dengan lingkaran yang persamaan
− − x
x0 . x
x0 = 14
b. Tentukan koordinat titik itu jika diketahui
x0 = 3i + 4j + 2k a=
−
2i + j + 3k
Jawab :
− −
a. Substitusikan x = x0 + ta pada x
x0 . x
x0 = 14 didapat
ta. ta = R2 t 2 a2 = R2 t=
R
a
atau t =
− R a
Substitusikan t pada x = x0 + ta didapat :
x = x 0 +
R
a
. a atau x = x0
− − R
.a
a
Jadi vektor posisi dari titik potongnya adalah :
x0 +
R
a
. a
atau
x0
R a
.a
− − −
b. Jika x0 = 3i + 4j + 2k dan a =
2i + j + 3k
Maka vektor posisinya adalah :
3i + 4j + 2k +
14 14
2i + j + 3k
= 3i + 4j + 2k 2i + j + 3k = 5i + 5j + 5k Atau
− − 14
3i + 4j + 2k =
5i
−− 3j
14
2i + j + 3k
k
LATIHAN SOAL
1. Diketahui titik N dengan vektor posisi n terletak pada lingkaran
x. x = R2 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik N 2. a. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat A dengan vektor posisi a dan menyinggung garis x. b = k b. Tentukan persamaan itu dalam koordinat siku – siku jika
− − − a = 2i
3j + 4k dan n=
−− 2i
j + 3k
3. Melalui titik – titik potong garis r = a + tb dan lingkaran
x
a 2+ y
b
2
= R 2 dibuat garis singgung pada lingkaran
a. Tentukan persamaan garis singgung itu dalam bentuk vektor
b. Tentukan pula persamaan dalamm koordinat siku – siku, jika diketahui :
a = 3i
−
−
2j + 3k dan b=
2i + 2j + k
PERSAMAAN BOLA Z
x
A
x
Y
X
Bola dengan pusat A a1 , a2 , a3 dan jari – jari R adalah tempat kedudukan titik X x,y,z yang mempunyai jarak R terhadap titik A. Jika x dan a masing – masing vektor posisi titik X dan A maka untuk setiap titik X pada ligkaran berlaku:
− x
a = R atau
− − .
=
2
Bentuk ini dinamakan persamaan vektor bola yang pusatnya A dengan jari – jari R
Karena x = x ,y,z
dan a = a1 , a2 , a3 , maka
− − − − − − − − − − − − − x
x
a = x
a1 , y
a1 , y
a2 , z
a3 , dengan demikian:
a2 , z
a3 . x
a1 , y
2
x
a1
a2 , z
a3 = R2 atau
2
+ y
a2
+ z
a3
2
= R2
Jika titik O sebagai pusat bola maka persamaan vektor bolaa adalah:
x = R
atau
x. x = R2
Bila x = x ,y,z maka bentuk di atas menjadi :
x 2 + y 2 + z 2 = R2
PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG MELALUI TITIK PADA BOLA
A
P
Q
Perhatikan bola dengan persamaannya:
− − − − θ x
a . x
a = R2 dan bidang V yng menyinggung bola dititik
P x0 , y0 , z0 , untuk sebarang titik Q x,y,z pada bidang V berlaku: p
a . q
a
= AP AQ cos = PA PA
= PA
2
= R2
Jadi PA. QA = R2 , dimana p dan q masing – maisng vektor posisi titk P dan Q
Jadi persamaan vektor bidang singgung melalui titik P bola dengan persamaannya :
− − − − p
Atau
x0 , y0 , z0
a . q
a1 , a2, a3
a = R2
a1 , a2, a3 = R2
. x ,y,z
− − − − − − 0
1
1
+
0
2
2
+
0
3
3
Contoh :
=
2
−
Titik P(5,3,4) adalah suatu titik pada bola dengan pusat A 2,
1,1 . carilah persamaan bidang singgung pada bola melalui titik P dan tentukan persamaan bolanya. Penyelesaian: Ambil sebarang titik R(x, y, z) pada bidang singgung maka
− − AR = x
2 i + y + 1 j+(z
PA = 3i + 4j + 3k; PA =
1)k
9 + 16 + 9 = 34
a. Persamaan bidang singgungnya:
PA. AR = R2
− − − − − − 3i + 4j + 3k .
3 x
x
2 i + y + 1 j + (z
2 + 4 y + 1 + 3 z
3x
6 + 4y + 4 + 3z
1)k = 34
1 = 34
3
= 34
3x + 4y + 3z
= 39
b. Jika T(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka :
− − − − − − AT. TA = R2
x
2 i + y + 1 j + ( z
1)k .
x
2 i + y + 1 j + ( z
1)k = 34
x
2
2
+ y+1
2
+ (z
1)2 = 34
Contoh :
− −
a. Tentukan persamaan – persamaaan bidang singgung pada bola
. =
2
yang sejajar bidang . =
b. Tentukan persamaan itu dalam koordinat siku – siku, jika
= 2
3
Penyelesaian:
3 dan R=4
a. Misal bidang W dengan persamaan . =
, buat bidang V yang
∥ ⊥ ⊥ ⊥ − ∥ ∥ − − − − bidang W menyinggung bola di P dan ,
, dan
Dengan demikian juga
1
=
| |
1,
maka :
1
dan
1 atau
=
| |
. , demikian
.
Misal
( , , ) sebarang titik pada bidang V dan vektor posisinya , maka persamaan bidang V adalah .
2
=
. =
. . =
. =
.
atau
2
2
.
+
. =
. . =
. =
2
=
1
.
2
2
b.
− − − − − − − − − = 2
3
. =
.
+
+
2
3
3 ;
=
. 2
3 =
3
3
4+9+ 3= 4
=
4.4
16
Untuk bidang singgung yang satunya diserahkan pada pembaca !
Latihan Soal 1. Diketahui bola persamaannya:
2
+ 0,
2
+
0, 0
2
+ 2 + 2 pada bola
+ 2
+
= 0dan
titik
Tentukan persamaan bidang singgung pada bola melalui P a. Dalam vektor b. Dalam koordinat siku – siku
−
2. A. Tentukan persamaan bola dengan ujung diameternya adalah
(4,2, 1) dan (6,3,2) B. Tentukan persamaan bidang singgung bola yang melalui kedua ujung diameter di atas
− −
3. A. Carilah vektor posisi titik potong garis =
.
B. jika
=
0
0 +
dengan
2
=4
+ 2 ,
=
3 + 3 , dan R=4
Carilah vektor posisi titik potong itu dalam koordinat siku siku
4. A. Carilah vektor posisi titik potong garis =
− − − .
0
B. Jika
0
0
=
2
0 dengan
bola
, = 2 + dan R=3
= + 4
Carilah vektor posisi titik potong itu dalam koordinat siku siku
∥ −
C. tentukan persamaan vektor garis Y melalui titik potong itu dan dengan D. Jika
= 2
3 , tentukan persamaan garis pada soal C.
dengan koordinat siku – siku
5. Diketahui suatu bola dengan pusatP yang vektor posisinya dan menyinggung bidang yang persamaannya;
. =
a. Tentukan persamaan bola tersebut yang dinyatakan dalam vektor b. Jika
− − = 2
= 3
3
+ 2
Tentukan persamaan bola yang dinyatakan dalam koordinat siku -siku
