DINAMIKA STRUKTUR
i
DINAMIKA STRUKTUR
i
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatNya sehingga kami dapat menyelesaikan Buku Ajar Mata Kuliah Dinamika Struktur ini. Buku ajar ini merupakan bagian dari media bahan ajar yang dimaksudkan untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap materi perkuliahan yang disampaikan, khususnya mata kuliah Dinamika Struktur, Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Brawijaya, Malang. Buku ajar ini disusun dalam enam bab. Bab I memperkenalkan konsepkonsep dasar mengenai dinamika struktur, respon struktur terhadap beban dinamik, analisa dinamis pada struktur, serta derajat kebebasan. Bab II membahas sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) yang meliputi pemodelan parameter, pemodelan matematis, free body diagram, diagram, dan persamaan gerak dari suatu struktur. Getaran bebas sistem SDOF untuk kondisi tak teredam dan teredam dibahas pada bab III. Selain itu juga dijelaskan mengenai eksperimen penentuan frekuensi alami dasar dan faktor damping, serta getaran bebas dengan coulomb damping dari sebuah sistem SDOF. Sistem SDOF terhadap gerak harmonis untuk sistem tak teredam dan sistem dengan redaman viskous dijelaskan pada bab IV. Bab V membahas respon sistem SDOF terhadap bentuk spasial dari eksitasi, meliputi respon sistem redaman viskous untuk step input ideal, respon sistem tak teredam pada rectangular pulse dan pembebanan ram, serta impuls dengan durasi pendek, unit respon impuls. Bab VI dibahas tentang respon sistem SDOF pada eksitasi dinamis dengan metode integral duhamel. Akhirnya, pada bab VIII dan IX membahas mengenai sistem berderajat kebebasan banyak (MDOF). Kami menyadari bahwa dalam penyusunan buku ajar ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh Oleh karena itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami harapkan. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat kepada siapapun yang ingin mengkaji dinamika struktur.
Hormat kami,
Penyusun
DINAMIKA STRUKTUR
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................ ................................................................... ............................................. .......................... .... i DAFTAR ISI .................................................... .......................................................................... ............................................. ................................. .......... ii BAB I PENDAHULUAN .......................................... ................................................................ ............................................ ...................... 1 1.1
Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur ........................................................ 1
1.2
Analisa Dinamis pada Struktur .................................................................... ............................................................................ ........ 2
1.3
Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom) .......................................................... 4
BAB II SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL (SDOF) ............... 6 2.1
Pemodelan Parameter................................................................... ......................................................................................... ...................... 6
2.2
Pemodelan Matematis .................................................................. ........................................................................................ ...................... 7
2.3
Free Body Diagram ............................................................. .............................................................................................. ................................. 9
2.4
Persamaan Gerak (Equation of Motion) ............................................................ 10
2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Model-model Lumped Parameter........... 10 2.4.2 Prinsip D’Alembert........................................................... ............................... 12 D’Alembert .......................................................................................... 2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped) ............................. 15 2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped) .................................................. 20
BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF ........................................... .................................................... ......... 21 3.1
Pendahuluan ........................................................... ...................................................................................................... ........................................... 21
3.2
Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped) .......................... 22
3.3
Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped)..................................... 23
3.4
Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari sebuah sistem SDOF .......................................................................................... .......................................................................................... 26
3.5
Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping............... 32
BAB IV RESPON SISTEM SDOF TERHADAP GERAK HARMONIS ........... 35 4.1
Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis .................... 35
4.2
Respon Sistem SDOF Redaman Viskous Terhadap Gerakan Harmonis ............. 39
BAB V Respon Sistem SDOF Terhadap Bentuk Spesial Dari Eksitasi ............... 44 5.1
Respon Dari Sebuah Viscous-Damped System SDOF Untuk Sebuah Step Input yang Ideal..................................................... Ideal........................................................................................................... ...................................................... 44
5.2
Persamaan Respon dari sebuah Sistem Undamped SDOF pada Rectangular Pulse dan Pembebanan Ram ............................................................................. ............................................................................. 45
DINAMIKA STRUKTUR
5.3
iii
Respon Dari Sistem SDOF Tak Teredam untuk Impuls dengan Durasi Pendek, Unit Respon Impuls ............................................................ ........................................................................................... ............................... 49
BAB VI Respon System S ystem SDOF pada Eksitasi Dinamis ....................................... ....................................... 53 6.1
Metode Integral Duhamel ............................................................. ................................................................................. .................... 53
BAB VII Respons Spektrum ........................................... ................................................................. ...................................... ................ 62 7.1
Bentuk Respons Spektrum ............................................................ ................................................................................ .................... 62
7.2
Respons Spektrum pada Pondasi yang Bergerak .............................................. 65
7.3
Besaran- Besaran Respons Spektrum ................................................................ 66
7.4
Respons Spektrum untuk Perencanaan Elastis ................................................. 68
BAB VIII SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN BANYAK
(MDOF) ..... 70
8.1
Sistem MDOF Sederhana ............................................................... ................................................................................... .................... 70
8.2
Hukum Newton Kedua pada Sistem MDOF....................................................... 70
8.3
Prinsip D’Alembert’s pada Sistem MDOF .......................................................... 71
8.4
Sistem Massa – Massa – Pegas – Pegas – Redaman ..................................................................... ..................................................................... 72
8.5
Koefisien Kekakuan............................................................. ............................................................................................ ............................... 74
BAB IX GETARAN BEBAS UNTUK SISTEM SISTEM MDOF ................................... ................................... 77 9.1
Sistem MDOF Tak Teredam ........................................................... ............................................................................... .................... 77
9.2
Frekuensi Natural dan Pola Normal ......................................................... .................................................................. ......... 78
9.3
Sifat Ortogonalitas dari Pola Normal ................................................................. 79
9.4
Solusi Persamaan Getaran Bebas pada Sistem Tak teredam ............................ 83
9.5
Respon Pada Gedung Akibat Gempa ................................................................. 84
DINAMIKA STRUKTUR
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur Secara sederhana dinamik dapat diartikan sebagai variasi atau perubahan terhadap waktu dalam konteks gaya yang bekerja (eksitasi) pada struktur. Beban dinamis dapat berupa variasi besarannya (magnitude), arahnya (direction) atau posisinya (point of application) berubah terhadap waktu. Demikian pula respons struktur terhadap beban dinamik, yaitu lendutan dan tegangan yang dihasilkan juga perubahan-waktu, atau bersifat dinamik.
(a)
(b)
Gambar 1.1. 1.1 . Balok kantilever dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis.
Pada gambar diatas terlihat balok kantilever dengan dua jenis pembebanan berbeda yaitu beban statis dan dinamis. a. gambar 1.1 (a) menunjukan menunjukan balok kantilever kantilever dengan beban statis, responnya responnya dipengaruhi oleh beban P. b. gambar 1.1 1.1 (b) menunjukan balok balok kantilever dengan beban dinamis atau beban yang bervariasi terhadap waktu P(t). Lendutan dan tegangan internal yang timbul dalam kasus beban statis hanya ditimbulkan langsung oleh beban P, sedangkan dalam kasus beban dinamis, percepatan yang dialami oleh balok akibat P(t) menimbulkan gaya inersia yang terdistribusi pada seluruh bagian balok. Lendutan dan tegangan pada balok sangat dipengaruhi pula oleh gaya inersia yang ditimbulkan oleh massa balok ketika mengalami percepatan. Jika pengaruh gaya inersia yang terjadi sangat signifikan, maka perlu dilakukan analisa dinamis. Perbedaan respon untuk beban statis dan dinamis juga dapat dilihat pada gambar 1.2 berikut.
DINAMIKA STRUKTUR
STATIS P
2
DINAMIS P(t)
Gambar 1.2. 1.2. Balok dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis
1.2
Analisa Dinamis pada Struktur Dapat dikatakan bahwa langkah yang paling diperlukan dalam sebuah analisa dinamis adalah pemodelan matematis. Namun secara keseluruhan langkahlangkah dalam analisa dinamis dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1.3. 1.3. Langkah-langkah dalam analisa dinamis.
DINAMIKA STRUKTUR
3
Model analitis terdiri dari: a. Asumsi sederhana yang dibuat untuk menyederhanakan suatu sistem. b. Gambar dari model analitis tersebut. c. Daftar parameter desain. Model analitis terbagi dalam dua kategori dasar : a. Model berkesinambungan (continues model) b. Model diskrit (discrete-parameter model) Model berkesinambungan (continues model) mempunyai jumlah derajat kebebasan (number of DOF) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi, sebuah model matematis dapat mereduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu jumlah diskrit.
(a)
(b)
(c)
Gambar 1.4. 1.4. Model analitis berkesinambungan ( continues) continues) dan diskrit (discrete-parameter (discrete-parameter ) pada sebuah balok kantilever. kantilever.
Model berkesinambungan (continues model) pada gambar 1.4(a) menunjukan jumlah derajat kebebasan tak berhingga, model diskrit pada gambar 1.4 (b) dan (c) ditunjukan dengan model massa terkelompok (lumped-mass model) dimana massa terbagi rata dari sistem dianggap sebagai massa titik atau partikel.
DINAMIKA STRUKTUR
1.3
4
Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom) Jumlah koordinat bebas yang menetapkan susunan atau posisi sistem pada setiap saat.
Model Struktur
Model SDOF
Model MDOF
Model Struktur
Model SDOF
Model MDOF
Model Struktur
Model SDOF
Model MDOF
DINAMIKA STRUKTUR
Model Struktur
Model Struktur
Model SDOF
Model SDOF
Model MDOF
Model MDOF
Gambar 1.5. Beberapa model struktur dengan derajat kebebasan SDOF (Single Degree of Freedom) dan MDOF (Multiple Degree of Freedom).
5
DINAMIKA STRUKTUR
6
BAB II SISTEM BERDERAJAT BERDERAJAT KEBEBASAN KEBEBASAN TUNGGAL TUNGGAL (SDOF)
2.1
Pemodelan Parameter Komponen-komponen yang merupakan pemodelan himpunan parameter dari sebuah struktur adalah sesuatu yang menghubungkan menghubungkan gaya dengan perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Komponen yang menghubungkan gaya dengan perpindahan disebut pegas. Gambar 2.1 menunjukkan idealisasi pegas tak bermassa dan plot gaya dari pegas terhadap regangan. Gaya pegas selalu bekerja sepanjang garis hubung kedua ujung pegas. Hubungan linier antara gaya dan regangan dinyatakan : ……………(2.1) ……………(2.1) f s = k e
dimana, k adalah k adalah konstanta pegas. Besaran k adalah k adalah pound/inc (lb/in) atau N/m. Energi tegangan dinyatakan dengan ……………(2.2) ……………(2.2) V = ½ (k e 2 )
Gambar 2.1. 2.1. Gaya-deformasi pada pegas.
dimana energi tegangan dinyatakan sebagai area dibawah kurva f s terhadap e. Model analitis yang paling umum dari redaman dalam analisa dinamika struktur adalah model tahanan dashpot, yang dapat diilustrasikan pada gambar 2.2.
Gambar 2.2. Model tahanan dashpot.
Gaya redaman f redaman f D dinyatakan : f D c(u2 u1 )
……………(2.3) ……………(2.3)
Dari fungsi linear dari kecepatan relatif antara dua ujung dashpot.
DINAMIKA STRUKTUR
7
Konstanta c disebut koefisien viscositas redaman dan besarannya adalah pond/inc/detik atau N/m/detik. Dalam menulis persamaan gerak dari partikel, hukum kedua dari Newton digunakan,
F ma
……………(2.4) ……………(2.4)
dimana m adalah massa dan a adalah percepatan relatif dari suatu bidang referensi inersia. Besaran massa adalah lb.det/in atau N.det/in. Untuk permasalahan dinamika struktur seringkali sangat berguna untuk memperkenalkan gaya inersia. f l ma
……………(2.5) ……………(2.5)
Kemudian persamaan 2.4 bisa ditulis sebagai persamaan dinamik yang semisal :
F ' f F 0 l
……………(2.6) ……………(2.6)
dengan resultan gaya inersia yang ditambahkan pada resultan gaya lain yang bekerja pada partikel.
2.2
Pemodelan Matematis Model matematis dalam analisa dinamika struktur mempunyai beberapa elemen sebagai berikut:
massa m menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur
pegas k menyatakan k menyatakan gaya balik elastic dan kapasitas energy potensial dari struktur
redaman c menyatakan sifat geseran dan kehilangan energy dari struktur
gaya pengaruh F(t) menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem struktur sebagai fungsi dari waktu. Namun dalam pembahasan dinamika struktur dengan analisa sederhana pada sistem berderajat kebebasan tunggal, redaman c diabaikan. Beberapa contoh model matematis pada struktur dapat dilihat pada gambar berikut.
DINAMIKA STRUKTUR
8
m K
K
EI
m
y
Model Struktur
Model SDOF
m
P(t)
P(t)
Model Matematis
K m
K1
K2
K
Model Struktur
Model SDOF
P(t)
Model Matematis
Gambar 2.3. 2.3 . Model matematis sistem berderajat kebebasan tunggal.
Pada model diatas, massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut garis lurus sepanjang satu sumber koordinat. Karakteristik mekanis pegas digambarkan antara gaya Fs pada ujung pegas dan hasil perpindahan y dapat dilihat pada gambar 2.4 (a) sedangkan tiga jenis pegas ditunjukan secara grafis pada gambar 2.4 (b). Fs (gaya) hard spring linier spring soft spring
y Fs
(a)
y (perpindahan) (perpindahan)
(b) Gambar 2.4. 2.4. Hubungan gaya dan perpindahan pada pegas.
Lengkungan pada pegas kuat (hard spring) menyatakan sifat dimana gaya harus memberikan pengaruh lebih besar untuk suatu perpindahan yang diisyaratkan seiring dengan terdeformasinya pegas. Karakteristik garis lurus pada pegas liniear (linear spring) menggambarkan deformasi yang selaras sel aras dengan gaya. Konstanta keselarasan antara gaya dan perpindahan dari pegas linier disebut konstanta pegas (spring constant) k . Sedangkan pada pegas lemah (soft spring),
DINAMIKA STRUKTUR
9
pertambahan gaya untuk memperbesar perpindahan cenderung mengecil pada saat deformasi pegas menjadi makin besar. Jika suatu pegas terpasang secara paralel atau seri, maka diperlukan penentuan konstanta pegas ekivalen dari sistem tersebut.
K1
K1
K2
K2
y m
1 y
k e
1 k 1
1 k 2
P
k e k 1 k 2 (a) (b) Gambar 2.5. 2.5 . Kombinasi pegas (a) pegas paralel (b) pegas seri.
Untuk n Untuk n pegas yang dipasang parallel, konstanta pegas ekivalennya:
k e
n
k i 1
……………(2.7) ……………(2.7)
i
Sedangkan untuk n untuk n pegas yang terpasang seri :
1 k e
n
1
i 1
k i
……………(2.8) ……………(2.8)
2.3
Free Body Diagram Salah satu aspek yang penting dalam analisis dinamis adalah menggambar sebuah diagram free body dari sistem yang memungkinkan penulisan besaran matematik dari sistem tersebut. Free Body Diagram (FBD) adalah suatu sketsa dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya, dimana semua gaya luar pada benda terlihat jelas. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar gambar berikut:
K m
P(t)
f s
P(t)
I Gambar 2.6. Free Body Diagram dari sebuah sistem berderajat kebebasan tunggal.
DINAMIKA STRUKTUR
10
Dari gambar free body diagram diatas, menunjukan bahwa massa m yang dipindahkan dengan adanya gaya luar sebesar P(t) sebesar P(t),, dan memberikan gaya pegas sebesar F F s=ky serta gaya inersia I . 2.4
Persamaan Gerak (Equation of Motion) Pada bagian ini persamaan gerakan dari beberapa model lumped parameter akan diturunkan dengan menggunakan hukum Newton atau yang ekivalen, metode gaya D’Alembert. D’ Alembert. Hal ini akan berlaku sebagai review atas pelajaran sebelumnya pada dinamika dan juga memperkenalkan prosedur yang digunakan dalam menentukan model matematis dari sistem SDOF. 2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Lumped Parameter Untuk menentukan gerak pada sebuah sistem, yaitu mempelajari perpindahan atau kecepatan massa m pada saat t untuk kondisi awal pada saat t 0 . Hubungan antara perpindahan dan waktu diberikan oleh Hukum Newton Kedua untuk gerak yang ditulis pada persamaan (2.4), dimana F adalah resultan gaya yang bekerja pada partikel massa m dan a adalah resultan percepatan. Persamaan diatas merupakan persamaan vector yang dapat ditulis dalam bentuk ekivalen, dalam besaran komponennya komponennya menurut sumbu koordinat.
F ma F ma F ma x
x
y
y
z
z
……………(2.9) ……………(2.9)
Contoh 2.1
Gunakan hukum Newton untuk menurunkan persamaan gerakan dari sistem pegas sederhana dan dashpot massa di bawah ini. Asumsikan hanya ada gerakan vertikal. Dan asumsikan bahwa pegas linier dengan konstanta pegas k . Abaikan gesekan udara, massa pegas, dan redaman dalam pegas. P(t) adalah gaya yang bekerja pada massa dari luar.
DINAMIKA STRUKTUR
11
Solusi: Tentukan bidang referensi dan koordinat perpindahan. Pilih sumbu x sepanjang garis pergerakan dan tentukan titik acuan awal (misal x = 0) pada lokasi dimana pegas tidak teregang. u adalah perpindahan pada arah x.
Gambar diagram free diagram free body dari partikel.
Gunakan hukum Newton yang kedua
Fx mu
……………(2.10) ……………(2.10)
(catatan : tanda + menunjukkan arah ke bawah dimana u adalah positif untuk arah ke bawah). Dari diagram free body, tentukan gaya-gaya pada bagian kanan persamaan (2.10) ……………(2.11) ……………(2.11) p fs fd W mu Hubungkan gaya dengan sistem variabel gerakan fs ke ku fd ce cu
……………(2.12) ……………(2.12) ……………(2.13) ……………(2.13)
Gabungkan dan susunlah variabel yang tidak diketahui di bagian kanan pada persamaan ……………(2.14) ……………(2.14) cu ku W p(t ) mu (Catat bahwa ini adalah persamaan diferensial ordiner ordo dua, linier, non homogen dengan koefisien konstan). Persamaan ini bisa disederhanakan dengan pertimbangan sebagai berikut. Perpindahan statis dari bobot w dinyatakan sebagai perpindahan dari massa terukur berhubungan dengan posisi setimbang, statis sebagai u r sehingga
u ur u st
……………(2.15) ……………(2.15) dimana ust adalah konstan, persamaan (2.14) bisa ditulis sebagai :
DINAMIKA STRUKTUR
mur cur kur p(t )
12
……………(2.16) ……………(2.16)
Persamaan (2.16) pada (2.16) pada contoh 2.1 bisa dipertimbangkan sebagai persamaan dasar pada dinamika struktur dan teori getaran linier. Akan diperlukan waktu yang lama untuk menetukan solusinya dan aplikasinya pada soal-soal dinamika struktur, baik sistem SDOF maupun MDOF. Pada contoh 2.1, hukum Newton yang kedua digunakan langsung, sehingga tidak ada gaya inersia yang diperlihatkan pada diagram free body.
2.4.2 Prinsip D’Alembert Alternatif pendekatan untuk mendapatkan persamaan gerak adalah penggunaan Prinsip D’Alembert yang menyatakan bahwa sebuah sistem dapat dibuat dalam keadaan keseimbangan dinamis dengan menambahkan sebuah gaya fiktif pada gaya-gaya luar yang disebut sebagai gaya inersia.
mg
y K m
f s = ky
m
I my
N (a) (b) Gambar 2.7. Sistem berderajat kebebasan tunggal, (a) model matematis dan (b) diagram Free Body.
Penggunaan Prinsip D’Alembert memungkinkan pemakaian persamaan keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak. Pada gambar free body diagram diatas dapat dilihat bahwa jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan persamaan
H
0
f s I 0
ky 0 → Persamaan gerak (Equation of Motion) m y of Motion) Dengan:
y = simpangan d 2 y dt 2 = percepatan y m = massa k = kekakuan elemen
DINAMIKA STRUKTUR
Satuan:
lb
k m
w g
in lb
in
g 386 in
K
sec 2
sec 2
K1
K1 yo m
y m
I W
A
B
Keterangan: A
: Pegas belum dibebani
B
: Pegas dibebani (statis)
C
: Pegas dibebani (dinamis)
Kondisi (B) Statis
f s
V 0 fs W 0
m
W fs W k . yo W
C
13
DINAMIKA STRUKTUR
14
Kondisi (C) Dinamis
f s
V 0 fs I W
fs k yo y
m
I m. y W k . yo
I
fs I W
W
k . yo k yo y m. y k . yo k . yo k . y m. y
k . y 0 → Persamaan gerak (Equation of Motion) m. y Untuk menunjukkan kegunaan gaya inersia dan juga mengilustrasikan fungsi utama eksitasi terdukung atau gerakan dasar, seperti struktur gedung yang akan mengalaminya selama gempa bumi, dapat dilihat pada contoh 2.2 . Contoh 2.2
Gunakan metode gaya D’Alembert D’ Alembert untuk menentukan persamaan gerakan dari massa m, asumsikan bahwa gaya redaman pada sistem bisa diwakili dengan viskous dashpot linier seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah. Asumsikan bahwa eksitasi terdukung terdukung z(t) diketahui. ketika u = z = 0, pegas belum diregangkan.
Solusi: Gambarkan diagram free body dari massa termasuk gaya inersia bersama dengan gaya sesungguhnya.
DINAMIKA STRUKTUR
15
Tulis persamaan kesetimbangan dinamis
F ' x 0
……………(2.17) ……………(2.17)
Dari diagram freebody didapat 0 p fs fd mu
……………(2.18) ……………(2.18)
Hubungkan gaya dengan variable gerakan dan sederhanakan c(u z ) k (u z ) p mu
……………(2.19) ……………(2.19)
Ingat bahwa gaya redaman dan gaya pegas yang dihubungkan dengan gerakan dari massa mempunyai hubungan dengan gerakan yang terdukung. Persamaan (2.19) bisa dituliskan dengan semua nilai yang diketahui dari bagian kanan persamaan. ……………(2.20) ……………(2.20) cu ku c z kz p mu Persamaan (2.20) adalah persamaan dari gerakan dari perpindahan aktual dari massa yang berada dalam kerangka acuan inersia yakni untuk u(t) ……………(2.21) ……………(2.21) w u z Dengan mengalihkan m z pada persamaan (2.19) dan menggunakan persamaan (2.21) bisa didapatkan persamaan berikut : ……………(2.22) ……………(2.22) cw kw p m z mw 2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped) Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal tak teredam adalah
k . y 0 m. y
……………(2.23) ……………(2.23)
Misal solusi: y A cos t
……………(2.24) ……………(2.24)
y A sin t
……………(2.25) ……………(2.25) Kita menganggap bahwa solusi pada persamaan (2.23) adalah persamaan (2.24) y A cos t
y A sin t
A 2 cos t y
……………(2.26) ……………(2.26)
Substitusikan persamaan (2.24) dan (2.26) kedalam persamaan (2.23) k . y 0 m. y m 2 k 0 2 m A. Cos t k ACos t 0 A Cos t 0 m 2 k ACos t 0
Sehingga: m 2
k 0 2
k m
DINAMIKA STRUKTUR
k
16
……………(2.27) → Frekuensi Alami Struktur [rad/dt] ……………(2.27)
m Sebenarnya persamaan (2.25) juga solusi, maka solusi umumnya adalah: ……………(2.28) ……………(2.28) y A Cos t B Sin t ……………(2.29) ……………(2.29) y A Sin t B Cos t
Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu: Perpindahan awal
: yt y0 yo
……………(2.30) ……………(2.30)
Kecepatan awal
: y t y 0 V o
……………(2.31) ……………(2.31)
Maka substitusi persamaan (2.30) ke dalam persamaan (2.28) didapat: ……………(2.32) ……………(2.32) A yo Substitusi persamaan (2.31) dan (2.32) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat: V ……………(2.33) ……………(2.33) B o Substitusi persamaan (2.32) dan (2.33) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat: V y yo Cos t o Sin t → Solusi Gerak Respons atau
y C Sin Sin t dengan:
V C yo o
2
2
tan
yo V o
Gambar 2.8. Respon getaran bebas tak teredam.
f T
1 T
2
2
→
Frekuensi Alami [Siklus/dt]
→
Periode Getar
DINAMIKA STRUKTUR
17
Contoh 2.3 SDOF 200 lb/ft
Model Struktur :
m F(t)
F(t)
E = 30.106 psi I = 82,5 in4 W8x24
15 ft
W = 200 x 25 = 5000 lb g = 386 ft/dt 2
y
Model Matematis
K
m
m
f s
F(t)
Free Body Diagram
F(t)
I
Persamaan Kesetimbangan:
I fs F t
k . y F t m. y K m
f
12 E 2 I L3 W g
k m
2
12.30.106 2.82,5
15.123
10,185 lb / in
5000 386 10,185.386
(Equation of Motion)
5000 1
10,185.386
2
5000
rad / dt
4.46 sps
DINAMIKA STRUKTUR
Latihan.
Jika:
001 1 ft Simpangan awal y0 0,00 Kecepatan awal y 0 0,1 ft/dt
Gaya luar F(t) Gambarkan Respons Struktur!!
18
DINAMIKA STRUKTUR
Konstanta Pegas (Konstanta (Konstanta Elastis)
P K . yo K yo
P yo
P
P
yo
PL3
yo K
EI
48 EI P P
yo
PL3
48 EI L3
48 EI
yo
P
yo EI
K
h
Ph3 12 EI P P
yo
Ph3
12 EI h3
12 EI
P yo
EI yo
K L
Pl 3 3 EI P P
yo
3
Pl
3 EI
3 EI L3
19
DINAMIKA STRUKTUR
20
P yo
yo
Ph
EA P P EA K yo Ph h EA
h
2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped) Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan beberapa cara untuk memeperoleh persamaan gerak untuk SDOF teredam. Struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem sederhana dengan redaman-liat (viscousdamping), seperti pada gambar berikut: m
P(t)
P(t)
m
y
K1
K2
K,c K
m I
c
(a) (b) (c) Gambar 2.9. Sistem SDOF teredam, (a) model struktur, (b) model SDOF, dan (c) model matematis.
Free Body Diagram f s f d
I
P(t)
H 0 I f d f s P (t ) I m y c y ky P t → solusi persamaan gerak f d c y m y f s ky
P(t)
DINAMIKA STRUKTUR
21
BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF 3.1
Pendahuluan Pada semua kasus, persamaan gerak sistem linier berderajat kebebasan tunggal mempunyai bentuk ……………(3.1) ……………(3.1) cu ku p(t ) mu
Perpindahan dan kecepatan pada saat t = 0 adalah
u(0) uo ,
u(0) uo
……………(3.2) ……………(3.2)
dimana, uo dan uo adalah perpindahan awal dan kecepatan awal. Persamaan (3.1) dapat ditulis kembali menjadi
n 2 p(t ) 2 nu n u u k 2
……………(3.3) ……………(3.3)
dimana n 2
k m
dan
c ccr
ccr 2m n
2k
n
2 km
Untuk getaran bebas →P(t) →P(t) = 0, maka persamaan (3.1) dan (3.3) menjadi: ……………(3.4) ……………(3.4) cu ku 0 mu
2 nu n u 0 u 2
……………(3.5) ……………(3.5)
n adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), adalah faktor redaman liat dan ccr adalah koefisien redaman kritis. Respon total: u(t ) u p (t ) uc (t )
……………(3.6) ……………(3.6)
Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya u p(t) dan penyelesaian komplemen/pelengkap uc(t). (t). Untuk memenuhi persamaan (3.4) dan (3.5), maka digunakan asumsi ……………(3.7) ……………(3.7) u C e st Dengan mensubstitusikan persamaan (3.7) kedalam (3.5), maka diperoleh
s 2 2 n s n C e st 0 2
……………(3.8) ……………(3.8)
Agar persamaan (3.8) valid untuk semua nilai t , kita harus menentukan s 2 2 n s n 0 2
……………(3.9) ……………(3.9)
DINAMIKA STRUKTUR
22
3.2
Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped) Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) tak teredam adalah ……………(3.10) ……………(3.10) 2u 0 u n
Dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah s 2 n 0
……………(3.11) ……………(3.11)
2
Akar dari persamaan adalah s1, 2 i n
i -1
dimana
……………(3.12) ……………(3.12)
Jika akar-akar tersebut di substitusikan ke persamaan (3.7), kita mendapat penyelesaian umum ……………(3.13) ……………(3.13) i n t i n t
u C 1e
C 2e
dengan memperkenalkan persamaman persamaman Euler : ……………(3.14) ……………(3.14) ei cos i sin kita dapat menulis ulang persamaan (3.13) dalam bentuk fungsi trigonometri, yaitu ……………(3.15) ……………(3.15) u A cos t A sin t 1
n
2
n
dimana A1 dan A2 adalah konstanta real untuk ditentukan ditentukan dari kondisi awal yaitu yaitu persamaan 3.2. Persamaan 3.2 dan 3.15 mengacu pada u (0) uo A1 u (0) uo A2 n
……………(3.16) ……………(3.16)
jadi,
uo sin nt n
u uo cos nt
……………(3.17) ……………(3.17)
adalah respon getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam. Pertama-tama dengan mempertimbangkan kasus dari sebuah sistem yang menggantikan dari posisinya yang seimbang dengan jumlah u o dan dibebaskan. Kemudian u(0) = 0 , jadi ……………(3.18) ……………(3.18) u u cos t o
n
.
Gambar 3.1. Getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam dengan u(0) 0 .
DINAMIKA STRUKTUR
23
Dapat dilihat bahwa gerakan hasil adalah merupakan gerakan harmonik sederhana dengan amplitudo uo, periode alami dari sistem tak teredam (undamped natural period) yaitu ……………(3.19) ……………(3.19) 2 T n (s) n dan frekuensi alami dari sistem tak teredam (undamped natural frequency) adalah f n
1 T n
n 2
……………(3.20) ……………(3.20)
(Hz)
Gambar 3.2. Respon getaran bebas secara umum dari sistem SDOF tak teredam.
Gambar diatas menunjukkan sebuah plot dari persamaan (3.17) apabila uo ataupun uo adalah 0 (nol). Hal ini tetap merupakan gerakan harmonik sederhana dengan periode T n u(t) dapat diekspresikan dengan persamaan (3.17) atau dengan persamaan
u (t ) U cos( nt ) U cos cos n 1
n
……………(3.21) ……………(3.21)
3.3 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped) Persamaan (3.5) ditulis kembali disini :
2 nu n u 0 u 2
……………(3.22) ……………(3.22)
Mengasumsi kembali sebuah solusi dari bentuk : u C e s t u s C e s t
……………(3.23) ……………(3.23)
s 2C e st u dan kita akan mendapatkan persamaan karakteristik : s 2 2 n s n 0 2
……………(3.24) ……………(3.24)
nilai s1 dan s 2 adalah s1, 2 n n 2 1
……………(3.25) ……………(3.25)
DINAMIKA STRUKTUR
24
) dapat digunakan untuk membedakan 3 Besarnya faktor "damping" (( kasus, yaitu underdamped (0 < < 1), critically damped ( ( = 1), dan overdamped ( 1). Respon pada sistem SDOF teredam dengan beberapa variasi nilai redaman dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 3.3. Respon dari sistem SDOF dengan redaman viskous dan variasi tingkat redaman.
Kasus Underdamped Underdamped (ζ<1) (redaman subkritis) subkritis) Untuk Untuk < 1, lebih mudah bila menulis persamaan (3.25) dalam bentuk s1, 2 n i d
……………(3.26) ……………(3.26)
dimana i 1 adalah unit imajiner dan d d adalah frekuensi alami "damped circular" yang diberikan oleh
d
n
……………(3.27) ……………(3.27)
1 2
periode redaman (T (T d d) adalah 2 T d d
……………(3.28) ……………(3.28)
Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u(t), u(t), dapat ditulis dalam bentuk u (t ) e
( A1 cos cos d t A2 sin d t )
nt
……………(3.29) ……………(3.29)
u0 dan dan u0 digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2 , dengan hasil : u (t ) e
n t
u nuo A2 sin d t ) cos d t o uo cos d
……………(3.30) ……………(3.30)
persamaan (3.30) dapat ditulis dalam bentuk: u (t ) Ue
nt
cos( d t )
u nu0 U u0 0 d
……………(3.31) ……………(3.31)
2
2
……………(3.32) ……………(3.32)
jika harga ζ=20%, maka pada persamaan (3.27) (3.27)
d 0,98 n d n
……………(3.33) ……………(3.33)
DINAMIKA STRUKTUR
25
Substitusi persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.30), maka solusi gerak dapat digambarkan sebagai berikut
Gambar 3.4. Respon getaran bebas dari sistem redaman subkritis.
Gambar berikut menunjukkan perbandingan antara respon-respon dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda dalam redaman subkritis. Dalam tiap kasus, karena uo = 0, 0, respon yang didapat adalah
Gambar 3.5. Pengaruh dari tingkat redaman pada getaran bebas.
Walaupun nilai dari mempunyai efek pada frekuensi, d d, efek yang paling berat dari damping adalah pada angka pada saat gerakan menyusut, yaitu pada
dt waktu e- dt . Efek ini akan dibahas lebih lanjut pada bagian 3.4, yang membahas ukuran dari damping.
DINAMIKA STRUKTUR
26
Kasus Critically-damped (ζ=1) (redaman kritis) Ketika ζ=1 maka persamaan (3.25) (3.25) menjadi s1,2 n
……………(3.34) ……………(3.34)
Sehingga responnya menjadi:
u(t ) (C 1 C 2t )e Ketika kondisi kondisi adalah:
nt
……………(3.35) ……………(3.35)
awal diperhitungkan, diperhitungkan, maka respon dari sistem redaman kritis
u(t ) [uo (uo nuo )t ]e n t
……………(3.36) ……………(3.36)
Gambar 3.6. Respon getaran bebas pada redaman kritis.
Kasus Overdamped (ζ >1) >1) (redaman superkritis) Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari koefisien redaman kritis yaitu c ……………(3.37) ……………(3.37) 1 ccr
3.4
Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari sebuah sistem SDOF Metode eksperimen biasa dipakai untuk variabel dinamis pada suatu sistem (misal: frekuensi alami dan faktor redaman). Nilai konstanta pegas (k (k ) dan massa (m) dari sistem SDOF sederhana dapat diukur secara langsung. Namun nilai faktor redaman sering berubah sehingga perlu pengukuran yang lebih teliti. Bila faktor redaman diketahui, maka koefisien redaman bisa dihitung menggunakan persamaan faktor redaman. Frekuensi alami dari sistem SDOF tak teredam dapat ditentukan secara langsung melalui pengukuran statis. Contoh perhitungannya seperti pada contoh 3.2 berikut.
DINAMIKA STRUKTUR
27
Contoh 3.1 Tentukan frekuensi natural dari sistem pegas-massa dengan menggunakan pengukuran perpindahan perpindahan secara statis.
Solusi:
k
Lo
k
fs=kust ust
w w
Dari persamaan frekuensi alami struktur, diperoleh persamaan (1)
n2 k m Persamaan keseimbangan massa yang tergantung pada pegas adalah
F 0
(2)
atau
W f s 0
(3)
Dari persamaan gaya-perpindahan pada pegas
f s ku st Kombinasi persamaan 3 dan 4 g 2 n u st
(4) (5)
apabila redaman dalam sistem kecil ( ( < 0.2), persamaan 3.32 menunjukkan bahwa nilai d d kurang lebih sama dengan n. Sedangkan dari contoh 3.3 dapat diketahui bagaimana sebuah eksperimen getaran bebas dapat digunakan untuk menentukan frekuensi alami dari sebuah sistem SDOF. Contoh 3.2
Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa lumped (terpusat) bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang
DINAMIKA STRUKTUR
28
mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural dalam radian per detik dan hertz. Berapa periodenya? peri odenya?
Solusi: Pada titik a, mass telah bergetar sepanjang 1,25 putaran. f n
1.25 putara p utaran n 0.4 s
3.125 Hz
n 2 f n 125) 19.6 rad/s (6.28)(3.125 T n
1 f n
1 3.125
0.32 s
Terdapat dua metode yang hampir sama untuk menentukan faktor redaman ( ) menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas dari sistem SDOF, yaitu metode pengurangan logaritmik dan metode setengah amplitudo dimana ke duanya didasarkan pada persamaan 3.31.
Gambar 3.7. Rekaman melemahnya respon pada sistem teredam.
Pada metode setengah amplitudo, gerakan amplitudo (up) pada permulaan putaran dan amplitudo amplit udo (uQ) pada akhir putaran diperkirakan di perkirakan besarnya. Pada akhir
DINAMIKA STRUKTUR
29
periode (satu putaran) nilai ni lai cos d t kembali lagi ke nilai pada awal putaran. Dari persamaan 3.31, didapatkan rumus: u P e nT d uQ
……………(3.38) ……………(3.38)
Persamaan pengurangan logaritmik adalah:
u P nT d uQ
ln
……………(3.39) ……………(3.39)
Dimana Td adalah periode natural teredam yang dirumuskan sebagai berikut.
T d
2 d
2 n 1 2
……………(3.40) ……………(3.40)
Dari persamaan 3.38 dan 3.39 didapatkan
2
nT d
1
……………(3.41) ……………(3.41) 2
Untuk faktor redaman kecil ( < 0,2), persamaan persamaan pengurangan logaritmik mendekati nilai 2
……………(3.42) ……………(3.42)
Sehingga faktor redaman dapat diketahui juga j uga menggunakan persamaan U 1 ln P 2 U Q
……………(3.43) ……………(3.43)
Prosedur yang sama juga dapat diterapkan pada metode setengah amplitudo, yang menghasilkan perhitungan lebih sederhana untuk faktor redaman. Metode setengah amplitudo didasarkan pada amplitudo dari kurva envelope. envelope.
u (t ) Ue
nt
ˆ
……………(3.44) ……………(3.44)
Pada dua titik P dan R dimana: u R
uP
……………(3.45) ……………(3.45)
ˆ
ˆ
2
Titik-titik tersebut sejarak periode redaman N, dimana N bukan sebuah bilangan bulat. Selanjutnya, u P ˆ
u R
e
n NT d
2
……………(3.46) ……………(3.46)
ˆ
Dari persamaan 3.40 dan 3.46
2 N 1
2
ln(2)
……………(3.47) ……………(3.47)
DINAMIKA STRUKTUR
30
Gambar 3.8 menunjukkan hubungan antara dan N.
Gambar 3.8. Faktor redaman vs. jumlah putaran untuk mengurangi ampitudo sebesar 50%. 2
Untuk nilai faktor redaman yang kecil, << 1, persamaan 3.47 menjadi: 2 N ln(2) ln( ……………(3.48) ……………(3.48) Sehingga, 0.11 ……………(3.49) ……………(3.49) N Persamaan 3.49 memberikan cara yang mudah untuk memperkirakan redaman dalam sebuah sistem yang teredam secara ringan ri ngan ( < 0.1, misal N > 1) Contoh 3.3 Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85. Tentukan:
a) n b) Pengurangan logaritma ln
y1 y2
c) d) c e) D Solusi: a) K n m
n
20 10 386
K = 20 lb/in m rad 27,78 rad
W g
sec
10 lb 386 in/sec
2
DINAMIKA STRUKTUR
f
2
27,78 2
4,42 SP SPS S
b) ln y1 y2
ln
y1 = 1,00 y2 = 0,85
1,0 0,85
0,165
c ) 2
d )
0,163 2
31
(untuk ξ kecil)
0,026
c
ccr 2 k m 2 10 20
ccr
386
c ccr
0,026 2 10 20 386 lb dt 0,037 in
Contoh 3.4
Gunakan metode setengah amplitudo untuk memperkirakan redaman dari sebuah sistem yang gerakannya terekam dalam gambar 3.10
Solusi:
Gambar sketsa dari kurva envelope (terdapat pada gambar)
Ambil titik P pada salah satu puncak dan ukur u p
u p = 0,44 in
DINAMIKA STRUKTUR
32
Tempatkan titik R, dimana amplitudo dari kurvanya adalah u p / 2 = 0,22 in
Perkirakan jumlah putaran antara P dan R
Gunakan persamaan 3.49 untuk memperkirakan :
N = 2,25 putaran
0.11
0.049 2.25 Level redaman dalam suatu sistem juga juga tercermin dalam konstanta konstanta waktu, , yang didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan amplitudo untuk berkurang sejumlah faktor 1/e. Persamaan untuk menghitung konstanta waktu dapat menggunakan langkah langkah yang sama dengan langkah yang dipakai untuk penurunan persamaan pada metode setengah amplitudo. Gunakan kurva envelope enve lope pada gambar 3.7 lagi, tentukan titik S dimana: u P uS
u P u P (1 / e)
e
……………(3.50) ……………(3.50)
Jadi, u P uS
U exp( nt P ) U exp[ n (t P )]
e
……………(3.51) ……………(3.51)
Atau, n
e
e
……………(3.52) ……………(3.52)
Dengan menggunakan logaitma pada kedua sisi, kita dapatkan:
n 1 Selanjutnya konstanta waktu, , didapat dengan persamaan: 1 T n n 2
……………(3.53) ……………(3.53)
……………(3.54) ……………(3.54)
Dari persamaan 1/e = 1 / 2,718 = 0,368. Maka, konstanta waktu, ,adalah waktu yang diperlukan amplitudo gerakan untuk berkurang sekitar 63 %. Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping Struktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus respon getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar. Dalam praktek, redaman ini biasanya terjadi akibat hilangnya sambungan, gesekan antar komponen dan redaman dari material yang semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi nonlinier. Gambar 3.12 3.12 menunjukkan sebuah massa meluncur pada permukaan kasar yang menghasilkan gaya gesekan. 3.5
DINAMIKA STRUKTUR
33
Gambar 3.9. Sistem SDOF dengan redaman.
f D k N k mg
……………(3.55) ……………(3.55)
Dimana k adalah koefisien gesek kinetik atau koefisien gesekan luncur. Gaya
gesek selalu berlawanan arah dengan gerakan gaya Newton II, kita peroleh:
u
. Menggunakan hukum
f s f D mu
……………(3.56) ……………(3.56)
Sedangkan fs = k . u dan
f D k mg sgn(u sgn( u)
……………(3.57) ……………(3.57)
Selanjutnya,
ku k mg , mu
u 0
ku k mg , mu
u 0
……………(3.58) ……………(3.58)
Dengan
1 g u D f D k 2 k n
……………(3.59) ……………(3.59)
Persamaan 3.58 dan 3.59 dapat digabungkan untuk mendapat: 2
n u nu D u
u 0
n u nu D u
u 0
2
……………(3.60) ……………(3.60)
Gambar 3.10. Respon getaran bebas sistem dengan redaman Couloumb.
DINAMIKA STRUKTUR
34
Gerakan yang dihasilkan kemudian diplot dalam gambar 3.10. Yang perlu dicatat pada gambar 3.10 adalah bahwa sistem redaman couloumb berlaku seperti sistem SDOF tak teredam yang posisi seimbangnya berubah pada tiap akhir dari setengah putaran. Tampilan yang beda dari gambar 3.9 adalah amplitudo amplit udo berkurang secara linier terhadap waktu, tidak secara eksponen seperti pada kasus redaman viskous.
DINAMIKA STRUKTUR
BAB IV RESPON SISTEM HARMONIS
SDOF
TERHADAP
35
GERAK
Pada bab ini, dibahas respon sistem SDOF baik yang tidak teredam maupun dengan redaman viskous terhadap gaya luar, dalam bentuk gerakan harmonis, yaitu struktur yang dibebani oleh gaya atau perpindahan yang besarnya dinyatakan oleh fungsi sinus atau cosinus dari waktu (p( t) = sin Ωt atau p(t) = cos Ωt). Ωt). Contoh gerakan harmonis adalah gerakan mesin-mesin rotasi yang menghasilkan pengaruh harmonis akibat adanya eksentrisitas massa yang berotasi. 4.1
Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis Respon total dari sistem linier terdiri dari superposisi respon akibat gerakan gaya luar dan respon dari gerakan natural. Sedangkan pada gerakan harmonis, gaya luarnya berupa respon steady-state respon steady-state.. Berdasarkan gambar 4.1 yang menunjukkan Sistem SDOF tak teredam, diasumsikan bahwa sistem linier, amplitudo p 0 dan frekuensi gerakan Ω, persamaan gerakan adalah: ……………(4.1) ……………(4.1) mu ku p cos cos t 0
Nilai dari gaya luar (respon steady-state) berbentuk: u p U cos cos t
……………(4.2) ……………(4.2)
Untuk menentukan amplitudo, U, persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1): p0 ……………(4.3) ……………(4.3) U 2 k m Terlihat bahwa k m 0 , maka defleksi statis: p ……………(4.4) ……………(4.4) U 0 0 k Kombinasi dari persamaan 4.3 dan 4.4 menghasilkan persamaan fungsi respon frekuensi: 2
p0 U 1
U 1
k m
k U 0 m
H ()
k
2 m k
2 1
1 r
2
, r 1
1
n2 ……………(4.5) ……………(4.5)
DINAMIKA STRUKTUR
36
dimana: r
n
……………(4.6) ……………(4.6)
2
dan H ()
r H(Ω)
U
……………(4.7) ……………(4.7)
U 0
= rasio rekuensi = fungsi respon frekuensi
Gambar 4.1. 4.1 . Gerak harmonis dari sistem SDOF tak teredam.
Fungsi respon frekuensi adalah fungsi yang memberikan penambahan atau pembesaran pada gerakan steady-state dalam bentuk nilai absolut dari fungsi respon frekuensi. Faktor pembesaran respon steady-state dirumuskan sebagai berikut: D s H ()
……………(4.8) ……………(4.8)
Dari gabungan persamaan (4.2) dn (4.5) memberikan persamaan respon steadystate sebagai berikut:
U 0 cos cos t , r 1 2 1 r
u p
Gambar 4.2. Faktor pembesaran untuk sistem SDOF tak teredam
……………(4.9) ……………(4.9)
(p(t) = po sin Ωt). Ωt).
DINAMIKA STRUKTUR
37
Jika r < 1, maka responnya sefase / terdapat di dalam fase gerakan karena (1-r 2) bernilai positif. Jika r > 1, maka responnya 180° diluar fase / tidak sefase dengan gerakan, sehingga u p dapat ditulis:
U 0 cos cos t 2 1 r
u p
……………(4.10) ……………(4.10)
Persamaan respon total terdri dari solusi komplementer (uc) yang memenuhi persamaan homogen dan solusi partikulir
(u p) yang memenuhi persamaan
differensial nonhomogen. u u p uc
uc A1 cos cos n t A2 sin n t
U 0 cos cos t A1 cos n t A2 sin n t 2 1 r
u
……………(4.11) ……………(4.11)
Persamaan 4.9 dan 4.11 tidak dapat digunakan digunakan bila r = 1 atau Ω = n yang disebut dengan keadaan resonansi. Dari gambar 4.2 terlihat bahwa frekuensi gerakan yang berada dekat dengan resonansi, responnya menjadi sangat besar karena amplitudonya bernilai tak hingga. Oleh karena itu, memperhitungkan respon struktur terhadap gerakan harmonis sangat penting untuk menghindari kondisi resonansi dimana terjadi nilai amplitudo yang sangat besar. Namun biasanya bahan yang dipakai untuk struktur mempunyai limit kekuatan dan pada kondisi sebenarnya struktur akan runtuh jauh sebelum dicapainya amplitudo maksimum.
Contoh 4.1
Sistem pada gambar 4.1 mempunyai k = 40 lb/in, dan berat benda 38,6 lb. Jika uo
uo 0 dan gaya luar P(t) = 10 cos (10t), tentukan persamaan gerakannya
dan sketsa hasil pergerakannya.
DINAMIKA STRUKTUR
38
Solusi: Dari persamaan 4.11, respon total adalah:
U 0 cos cos t A1 cos n t A2 sin n t 2 1 r
u
Selanjutnya, persamaan gerakan diturunkan untuk mendapatkan persamaan kecepatan: U 0 u sin t A1 n sin n t A2 n cos n t 1 r 2 Persamaan 3.4a 1
k 2 kg n m W
1
2
40(386) (38.6)
20 rad/s
Persamaan 4.4: p 10 U 0 0 0.25 in. k 40 Persamaan 4.7: 10 r 0.5 n 20 Sehingga, U 0 1 r 2
0.25 1 (0.5) 2
0.25 1 0.25
0.33 in
Gunakan kondisi awal untuk menghitung A1 dan A2. U 0 A1 u (0) 0 1 r 2 Maka: U 0 0.33 in A1 1 r 2
u (0) 0 A2 n Jadi, A2 = 0 u = 0,33[cos (10t) – (10t) – cos cos (20t)] in
DINAMIKA STRUKTUR
39
Persamaan yang diperoleh kemudian digambarkan pada kurva di b awah ini.
Dari respon yang digambarkan pada contoh 4.1, maka:
Respon steady-state Respon steady-state mempunyai frekuensi yang sama dengan gerakan dan berada di dalam fase gerakan karena r < 1.
Gerakan gaya dan gerakan natural saling memperkuat dan menghilangkan, menghasilkan fenomena tumbukan. Jadi, respon total bukan merupakan gerak harmonis sederhana.
Respon total maksimum (u = -0,66 - 0,66 in pada t = π/10 s) lebih besar pada pembesarannya daripada respon steady-state respon steady-state (u p = 0,33 in pada t = 0).
Total faktor pembesaran dinamis didefinisikan sebagai: max D max t
u (t )
……………(4.12) ……………(4.12)
U 0
Jika r = 1, maka asumsi yang digunakan pada persamaan (4.2) adalah : ……………(4.13) ……………(4.13) u Ct sin t , p
n
Kemudian, dengan dengan mnsubstitusikan persamaan (4.13) ke persamaan (4.1), didapat: p0 ……………(4.14) ……………(4.14) C 2m n Atau: u p 12 (U 0 nt ) sin nt
4.2
……………(4.15) ……………(4.15)
Respon Sistem SDOF Redaman Viskous Terhadap Gerakan Harmonis Model analisis klasik dari sistem SDOF adalah model pegas-massa-dashpot (gambar 3.1). Ketika sistem tersebut dikenakan gerakan harmonis (p 0 cos Ωt), maka persamaan gerakannya menjadi: ……………(4.16) ……………(4.16) cu ku p0 cos mu cos t
DINAMIKA STRUKTUR
40
Gambar 4.3. 4.3. Respon u p(t) saat resonansi, Ω= n .
Akibat adanya adanya redaman pada persamaan persamaan (4.16), respon steady-state tidak akan berada dalam satu fase dengan respon steady-state: ……………(4.17) ……………(4.17) u U cos( t ) p
Dimana U adalah amplitudo steady-state steady- state dan α adalah sudut fase respon steadysteadystate. Penentuan nilai U dan α dapat dilakukan dngan menggunakan putaran vektor. Kecepatan dan percepatan dirumuskan sebagai berikut: u p U sin( t )
p U cos( t ) u 2
……………(4.18) ……………(4.18)
Vektor posisi dari gaya luar, perpindahan, kecepatan dan percepatan terlihat pada gambar 4.4.
Gambar 4.4. 4.4 . Vektor gaya, perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Gambar 4.5. Poligon vektor gaya.
DINAMIKA STRUKTUR
41
Persamaan 4.17 dan 4.18 disubstitusikan ke persamaan 4.16, menghasilkan persamaan:
m 2U cos cost cU sint kU cos cost p0 cos cos t (4.19) Persamaan di atas diperoleh dari poligon vektor gaya dimana masingmasing variabel gaya menggambarkan gaya yang bekerja pada suatu massa. 2 Gambar 4.5 menunjukkan kasus m U < kU yang berarti < n . Proyeksi
vektor dengan garis putus-putus pada gambar tersebut ditulis pada bagian kiri persamaan 4.19. Sedangkan proyeksi vektor dengan garis penuh ditulis pada bagian kanan persamaan 4.19. Dari gambar 4.5 juga bias diperoleh hubungan persamaan sebagai berikut: p0 (kU m 2U ) 2 (cU ) 2 2
…………(4.20a) …………(4.20a)
c
tan
…………(4.20b) …………(4.20b) k m 2 Sehingga nilai faktor pembesaran steady-state pembesaran steady-state dirumuskan dengan persamaan: D s
U U 0
tan α
1
1 r 2 r 2 2
2
1 2
…………(4.21a) …………(4.21a)
2ζ r
…………(4.21b) …………(4.21b) 2 1 r Kombinasi dari amplitude dan fase disebut respon frekuensi. Hubungan antara rasio frekuensi dan faktor pembesaran steady-state digambarkan pada kurva gambar 4.6.
Gambar 4.6 . Kurva faktor pembesaran vs rasio frekuensi untuk berbagai nilai redaman.
DINAMIKA STRUKTUR
42
Contoh 4.2 Jika = 0,2 ditambahkan pada sistem contoh 4.1, dengan kondisi dan
perlakuan yang sama, tentukan persamaan gerakannya. gerakannya. Sketsa pergerakannya.
Solusi: Fungsi total respon didapat dari: u U cos( t ) e nt ( A1 cos cos d t A2 sin d t )
Dimana:
U
U 0
(1 r )
2 2
(2 r ) 2
1 2
n , ud dan r dapat ditemukan dari contoh 4.1 1
n
k 2
20 rad/s m
U 0 r
p0
k
n
10
40 10
0.25 in
0.5
20
n (0.2)(20) 4 rad/s Oleh karenanya: U
0.25
1 0.5 2(0.2)(0.5)
tan
2 2
2 r 1 r
α = 0,26 rad
2
2(0.2)(5) 1 (0.5) 2
2
1 2
0.267
0.32 in
DINAMIKA STRUKTUR
43
Dari persamaan 3.31a,
d n 1 2 20 1 (0.2) 2 19.6 rad/s Hasil diferensial total respon dari waktu: u U sin( t ) e nt A2 d A1 n cos cos d t A1 d A2 n sin d t
Maka,
u(0) 0 0.32 cos(0.26) A1 Sehingga:
A1 0.32 cos(0.26) 0.31 in A2
0.11 in
Oleh karenanya,
u 0.32 cos(10t 0.26) e 4t [0.31cos(19.6t ) 0.11sin(19.6t )] in
DINAMIKA STRUKTUR
44
BAB V Respon Sistem SDOF Terhadap Bentuk Spesial Dari Eksitasi Pada berbagai situasi riil di lapangan, eksitasi dinamik yang terjadi tidaklah harmonik maupun periodik. Oleh karena itu, pada bab ini akan dibahas respon dinamik dari suatu sistem SDOF terhadap eksitasi. 5.1
Respon Dari Sebuah Viscous-Damped System SDOF Untuk Sebuah Step Input yang Ideal Prototipe sistem SDOF yang ditunjukkan dalam gambar 3.1 merupakan bentuk subjek untuk sebuah step input yang ideal seperti ditunjukkan pada gambar 5.1. Dari gambar di bawah dapat dilihat bahwa sebuah gaya bekerja secara tibatiba dari gaya nol (0) sampai dengan P dengan P o, selanjutnya nilainya konstan sebesar p o. P(t)
Po
t
Gambar 5.1. Sebuah stop input yang ideal.
Persamaan dari gerakan diberikan oleh persamaan 3.1, yaitu:
cu ku p0 , mu
t 0
Dianggap sistem berhenti pada t = 0 (kondisi awal), sehingga: u(0) u (0) 0
……………(5.1) ……………(5.1) ……………(5.2) ……………(5.2)
Penyelesaian dari persamaan 5.1 memuat sebuah bagian penyelesaian (a particular solution) dari persamaan 5.1, yang dapat ditulis menjadi: p u p 0 ……………(5.3) ……………(5.3) k Dan sebuah penyelesaian pelengkap (a complementary solution) diberikan (untuk <1) oleh persamaan 3.32 sehingga: u (t )
p0
u(t )
n p0 nt 1 e cos co s t sin t d d k d
e t ( A1 cos d t A2 sin d t ) n
k Gunakan kondisi awal untuk evaluasi A 1 dan A2, kita peroleh:
……………(5.4) ……………(5.4)
……………(5.5) ……………(5.5)
DINAMIKA STRUKTUR
45
Suatu cara yang berguna untuk menentukan respon dinamis suatu sistem adalah dengan memperhitungkan rasio respon atau suatu faktor beban dinamik, R(t ) , yang didefinisikan oleh: ku(t ) R(t ) pmax max
……………(5.6) ……………(5.6)
Suatu faktor beban dinamik adalah rasio dari respon dinamis terhadap deformasi statis. Untuk step input ideal, R(t ) diberikan oleh: R(t ) 1 e
nt
n sin d t cos d t d
……………(5.7) ……………(5.7)
Suatu faktor beban dinamik yang sejenis diilustrasikan pada gambar 5.2. Pada rasio respon plot R(t ) 1 sesuai dengan posisi dari perpindahan statis. Karena beban diberikan secara langsung, terdapat overshoot, kemudian sistem akan tetap tet ap bertahan pada nilai statis yaitu 1 setelah melalui sejumlah gerakan bolak-balik yang teredam.
Gambar 5.2. Plot dari faktor beban dinamik untuk sebuah step input.
Untuk sebuah sistem tak teredam (undamped), persamaan 5.5 menjadi: p u(t ) 0 (1 cos nt ) ……………(5.8) ……………(5.8) k dan Rmax max
2
5.2
Persamaan Respon dari sebuah Sistem Undamped SDOF pada Rectangular Pulse dan Pembebanan Ram Pada bagian rectangular pulse akan dibahas efek dari hilangnya beban setelah durasi t d d. Gambar 5.3 menunjukkan sebuah input rectangular pulse dan rasio respon untuk sebuah sistem tak teredam untuk 2 kasus, yaitu (a) t d
T n
,
(b) t d
T n
2 2 dimana td adalah durasi dari rectangular pulse.
DINAMIKA STRUKTUR
46
Gambar 5.3. 5.3 . Respon dari sebuah input rectangular pulse, (a) rectangular pulse dan (b) rasio reaksi.
Dari gambar di atas terlihat bahwa ketika ketika t d T n 2 , maka respon maksimum terjadi sepanjang Force-vibration sepanjang Force-vibration era, era, sedangkan jika t d T n 2 , maka respon maksimum terjadi di Residual-vibration era, era, dimana nilai maksimumnya dapat ditentukan pada tiap kasusnya. orced-vib -vibration ration era (0 t td) a. Kasus 1 : F orced Gambar 5.3 (b) memperlihatkan R(t) untuk sebuah pulse dengan durasi pembebanan sebesar t d 5 4T n , dimana R(max) terjadi selama forcevibration era. era. Untuk kasus ini, R(t) adalah sama untuk sebuah step ideal yang nilainya diperoleh dari persamaan (5.5) untuk sistem undamped, dimana: ……………(5.9) ……………(5.9) R (t ) 1 cos t , 0 t t 1
n
d
Nilai maksimumnya adalah
T n 2 2
( R1 ) max max R1
……………(5.10) ……………(5.10)
b. Kasus 2 : Residual-vibration era (t d < t) Gambar 5.3(b) menunjukkan R(t) untuk sebuah pulse selama durasi
t d T n 8 . Rmaks terjadi selama residual-vibration era. Karena respon untuk t > td adalah vibrasi bebas dengan kondisi awal “initial condition”
R1 (t d )
dan R1 (t d ) , maka persamaan (3.17) dapat digunakan dalam bentuk
R (t ) R2 (t ) R1 (t d ) cos cos n (t t d ) 1 d sin n (t t d ) n
………(5.11) ………(5.11)
untuk t t d , dimana R1 (t d ) dan R1 (t d ) diperoleh dari persamaan 5.9.
DINAMIKA STRUKTUR
47
Gambar 5.4. Rotasi vektor yang merepresentasikan vibrasi bebas tak teredam.
Dari gambar 5.4 dapat dilihat bahwa amplitude U , dan sudut pada pada persamaan 3.21 ditentukan dengan dengan
u U 2 uo2 o n
2
dan tan
uo n uo
Persamaan amplitude U tersebut dapat digunakan untuk menentukan amplitude dan respon ini.
R2 max max
2 R ( t ) 2 1 d R1 (t d ) n
1 2
……………(5.12) ……………(5.12)
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
t d T n
( R2 ) max 2 sin
……………(5.13) ……………(5.13)
Untuk memperhitungkan pengaruh dari durasi pembebanan pada respon maksimum, maka selanjutnya akan dibahas mengenai pengaruh dari peningkatan waktu pembebanan. Gambar 5.4 memperlihatkan hubungan antara beban ramp dengan peningkatan waktu t r r yang diterapkan pada sistem undamped SDOF.
DINAMIKA STRUKTUR
48
P(t)
Po
tr
t
Gambar 5.5. Fungsi input ramp.
Persamaan gerakan pada kondisi awal adalah
t P o ku mu t r P o
0 t t r
.......................(5.14a)
t r t
.......................(5.14b)
u0 u0 0
……………(5.15) ……………(5.15)
untuk 0 ≤ t ≤ tr, solusi khususnya adalah
t p u p 0 t r k
……………(5.16) ……………(5.16)
Kemudian,
t p0 A1 cos cos nt A2 sin nt t k r
u
……………(5.17) ……………(5.17)
Dengan menggunakan kondisi awal dari persamaan 5.15, kita dapatkan
t 1 p0 sin nt k t r nt r
u
……………(5.18) ……………(5.18)
Untuk t t r , persamaan 5.14b dapat diselesaikan menjadi
1 p0 sin n t t r sin nt 1 k nt r
u
……………(5.19) ……………(5.19)
Gambar 5.6a 5.6a memperlihatkan respon sebuah masukan dengan t r T n serta
t r T n . Gambar 5.6b 5.6b menggambarkan pengaruh dari kenaikan waktu pada respon maksimum.
DINAMIKA STRUKTUR
49
(a)
(b) Gambar 5.6 . Respon dari sistem SDOF tak teredam terhadap terhadap input ramp. (a) Respon terhadap input ramp. (b) Respon maksimum terhadap input ramp.
Dari gambar 5.6, dapat dilihat bahwa respon maksimum, Rmax max
2 , terjadi
pada step input ideal (misalkan untuk t r r = 0). Untuk ramp dengan t r >> Tn akan terjadi sedikit overshoot dan sistem mengalami sedikit getaran bolak-balik atas kurva defleksi statis semu (pseudostatic deflection curve). curve).
t p u pseud ostat ic 0 , t r k
0 t t r
……………(5.20) ……………(5.20)
5.3
Respon Dari Sistem SDOF Tak Teredam untuk Impuls dengan Durasi Pendek, Unit Respon Impuls Pembebanan impuls adalah pembebanan yang berlangsung dalam selang waktu yang singkat. Impuls pada pembebanan ini didefinisikan sebagai perkalian dari gaya dan selang waktu bekerjanya gaya tersebut. Mengingat sistem SDOF tak teredam menyebabkan gaya dari durasi t d << Tn menghasilkan sebuah impuls t d
I p(t ) dt 0
……………(5.21) ……………(5.21)
DINAMIKA STRUKTUR
50
Gambar 5.7. Sistem SDOF tak teredam yang menerima impuls dengan durasi pendek.
Persamaan gerakan dan kondisi awal adalah
pt ku mu 0 u(0) u(0) 0
0 t t d
...................(5.22a)
t d t
...................(5.22b)
……………(5.23) ……………(5.23)
Dengan mengintegralkan persamaan 5.22a yang mempertimbangkan waktu dan menggabungkan kondisi awal, kita dapatkan mu (t d ) kuavg t d I
……………(5.24) ……………(5.24)
Dimana uavg adalah perpindahan rata rata(kecil) dalam interval waktu 0 < t ≤ t d. Untuk td → 0, yaitu yaitu td ≤ Tn, bagian kedua pada persamaan 5.24 dapat diabaikan. ……………(5.25) ……………(5.25) mu (0 ) I Akan tetapi, sebuah impuls yang terdiri atas sebuah gaya yang besar dan bekerja pada waktu yang singkat berefek berefek memberikan kecepatan awal yang besar, yaitu I …………(5.26a) …………(5.26a) u (0 ) m Akan tetapi abaikan dengan diganti perpindahan a wal, yakni
u (0 ) 0
…………(5.26b) …………(5.26b) Hal ini bisa digunakan sebagai “awal” kondisi bagi permasalahan getaran bebas pada persamaan 5.22b. Dengan menggunakan persamaan 3.17, kita dapatkan respon dari impuls
I sin nt m n
u (t )
……………(5.27) ……………(5.27)
Fungsi respon dari impuls untuk sistem SDOF tak teredam didapatkan dari persamaan 5.27 dengan I = 1. Secara konvensi, unit fungsi respon dari impuls seringkali disebut h(t), h(t), sehingga ……………(5.28) ……………(5.28) 1 sin nt h(t ) m n
DINAMIKA STRUKTUR
51
Untuk sistem SDOF teredam-kental (viscous damped) dengan < 1, fungsi respon dari impuls dapat diperlihatkan sebagai
I t e sin d t m d
u (t )
……………(5.29) ……………(5.29)
n
dan kesetaraan fungsi respon dari impuls didapat
1 t e sin d t m d
h(t )
……………(5.30) ……………(5.30)
n
Contoh 5.1
Asumsikan bahwa impuls I p(t )dt berasal dari gaya konstan po yang terjadi terjadi pada interval waktu 0 < t ≤ td hingga sistem SDOF tak teredam teredam berada pada t = 0. Buktikan bahwa untuk td ≤ Tn, persamaan 5.11 dapat diringkas menjadi persamaan 5.27. Solusi: a. Tentukan ut d dan u t d dari persamaan 5.8
p0 (1 cos n t d ) k p u (t d ) n 0 sin n t d k u(t d )
...................(1) ...................(2)
Dengan nT n 2 dan t d 2 d << T n, n t d << 2 (1 cos n t d )
1 2
nt d 2
sin n t d n t d
Karena I = po t d , sehingga
p0 I t 2 ( n t d ) d 2 m k I p u (t d ) n 0 ( n t d ) m k u (t d ) 12
……………(3) ……………(3)
b. Tinjau u(t) dari persamaan 5.11 dengan td → 0
I t I sin n (t t d ) u (t ) lim lim d cos n (t t d ) t d 0 m n 2m
...................(4)
DINAMIKA STRUKTUR
52
Jadi untuk td → 0
I sin nt m n
u (t )
Seperti yang terlihat pada persamaan 5.27.
...................(5)
DINAMIKA STRUKTUR
53
BAB VI Respon System SDOF pada Eksitasi Dinamis
6.1
Metode Integral Duhamel Metode integral duhamel untuk menentukan respon dari sistem SDOF terhadap eksitasi dinamis secara umum dapat dikembangkan dari persamaan fungsi respon impuls, yang telah dijabarkan pada bab 5.3. Integral duhamel didasarkan pada prinsip superposisi, yang valid hanya untuk sistem linear. Gambar 6.1 menunjukan sistem SDOF tak teredam yang pada awalnya tak terganggu dimana kemudian menjadi pokok inputan P(t). respon dari sistem atas impuls dI= P(τ)dτ yang disebut du(t) dan didapatkan atas persamaan:
dI sin n t m n
dut
……………(6.1) ……………(6.1)
Gambar 6.1. Kenaikan respon pada sistem tak teredam.
Total respon pada waktu t adalah jumlah dari respons pada waktu t adalah jumlah dari respons yang berasal dari keseluruhan pias-pias impuls mulai dari waktu awal hingga waktu t, sehingga
1 t p( ) sin n (t )d m n 0
u (t )
……………(6.2) ……………(6.2)
Atau u(t )
t
0
p( )h(t )d
……………(6.3) ……………(6.3)
DINAMIKA STRUKTUR
54
dimana h(t- τ) didapat dari persamaan 5.28 untuk sistem tak teredam. Persamaan 6.3 adalah valid untuk sistem teredam jika persamaan 5.30 digunakan untuk mendapatkan h(t- τ). Sehingga, untuk sistem teredam yang mulai dari waktu awal
1 t p( )e (t ) sin d (t )d m d 0
……………(6.4a) ……………(6.4a)
1 t I p( )e (i )(t ) d m d 0
……………(6.4b) ……………(6.4b)
u(t )
n
atau u(t )
d
n
Persamaan 6.2 dan 6.4 menjelaskan pernyataan integral duhamel untuk respons dari sistem SDOF baik yang tak teredam maupun yang teredam. Persamaan 6.3 seringkali menjelaskan sebagai integral konvulasi, dimana bentuk yang lebih umum adalah : x(t )
……………(6.5) ……………(6.5)
)d
f ( ) f 2 (t 1
Persamaan 6.2 atau 6.4 mungkin akan digunakan untuk menentukan respons dari sistem SDOF hingga eksitasi dinamis secara umum jika sistem ini dimulai dari waktu awal. Jika sistem memiliki kondisi awal tidak sama dengan nol, kemudian respons dari kondisi awal di tentukan dari persamaan 3.17 atau untuk ζ < 1, dari persamaan 3.33. Oleh karena itu, untuk sistem tak teredam
1 t u ……(6.6) p( ) sin n (t )d u0 cos cos n t 0 sin n t ……(6.6) 0 m n n
u(t )
dan untuk sistem di bawah teredam (under damped)
1 t p( )e (t ) sin d (t )d u0 e t cos d t m d 0 1 ……………(6.7) ……………(6.7) u0 nu0 e t sin d t d
u (t )
n
n
n
adalah tepat untuk menggunakan identitas trigonometri ketika mengevaluasi integrasi Duhamel ……………(6.8) ……………(6.8) sin (t ) sin t cos cos t sin
DINAMIKA STRUKTUR
55
Contoh 6.1 Gunakan integral Duhamel untuk menentukan respons dari sistem SDOF tak teredam dari sebuah beban “ledakan” yang ditentukan oleh pulsa triangular yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Menjelaskan pernyataan yang valid untuk t < t d d dan untuk t > t d d. Sistem tersebut dimulai pada waktu awal. Solusi: Gunakan persamaan 6.2 dengan
p(t ) po 1
p(t ) 0
t
t d
0 t t d t d t
a. Untuk 0 ≤ t ≤ t d
1 t p0 1 sin n (t )d m n o t d t p 0 sin n t 1 cos n d ( n ) o k t d t p 0 cos cos n t 1 sin n d ( n ) o k t d
u (t )
Gunakan integral parsial, kita dapatkan
1 sin n d ( n ) n 1 sin n cos cos n n
cos n d ( n ) sin n
Juga,
DINAMIKA STRUKTUR
56
1 sin n n
sin n d ( n ) cos n
Sehingga,
t 1 1 p0 cos nt sin nt sin nt sin nt t t t k d n d n d
u(t )
t 1 sin nt cos nt 1 cos nt cos n t cos t d nt d Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi
t 1 cos nt sin n t t t d n d
R1 (t ) 1
b. Untuk td < t
1 t po 1 sin n (t )d m n o t d
u(t )
d
Jadi,
1 1 p0 cos u(t ) cos n t d sin nt k nt d nt d 1 sin n t d cos n t 1 cos nt d sehingga,
1 sin nt (1 cos cos nt d ) cos cos nt ( nt d sin nt d ) t n d
R2 (t )
Contoh 6.2 Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model dengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila apabila : (1) t d d = 0.4 s, (2) t d d = 0.04 s
DINAMIKA STRUKTUR
57
k = 9.0 GN/m, m = 10 Mg
Solusi : a. Tentukan frekuensi dasar sistem
n f n
k m
n 2
1010 9 109 6
30 rad / s
4.77 Hz
b. Menentukan rasio reaksi maksimum
Untuk kasus 1, t d d = 0.4 s
f nt d 4.770.4 1.91 Dari reaksi spectrum, dapat dihitung R max max = 1.75
Untuk kasus 2, t d d = 0.04 s
f nt d 4.770.04 0.19 191 1 Dari reaksi spectrum, dapat dihitung R max max = 0.58 c. Menentukan perpindahan statis untuk setiap kasus, kemudian tentukan nilai gaya ledak maksimum yang dapat ditahan ( p ( po) umax = 5 mm
p0 k
umax max Rmax max
atau po
kumax max Rmax max
Untuk kasus 1
po 1
9 109 5 103
1.75 25.7 M N
Untuk kasus 2
DINAMIKA STRUKTUR
po 2
9 109 5 10
3
58
0.58 77.6 M N z(t)
u k c
m
Gambar 6.2. Prototipe gerakan relatif sistem SDOF.
Sejak banyaknya penerapan dari reaksi spectra yang melibatkan gerakan relatif, ini berguna untuk menentukan jumlah reaksi yang sesuai untuk kasus ini. Gambar 6.2 menunjukkan prototipe dari gerakan relatif sistem SDOF. Seperti pada contoh 2.2, perpindahan relatif menjadi ……………(6.9) ……………(6.9) w = u – z Kemudian persamaan dari gerakan dapat ditulis ……………(6.10) ……………(6.10) cw kw m z mw definisi dari rasio reaksi seperti yang telah diberikan pada persamaan 5.6. Rasio reaksi berhubungan pada gerakan relatif hendaknya difenisikan sebagai wt
n2 wt Rt max / k z max m z
……………(6.11) ……………(6.11)
Dengan memasukkan z z max f a t dan berdasarkan persamaan 6.4 dapat
0 0 maka untuk menunjukan R (t) pada integral Duhamel. Untuk w0 w sistem teredam R(t)
ω
2
1
n
ωd
f τ e
ζωn t τ
a
sin ωd t τ d τ τ
……………(6.12) ……………(6.12)
0
dan untuk sistem tak teredam 1
R(t) n f a sin n t d
……………(6.13) ……………(6.13)
0
Dari persamaan 6.11, perpindahan relatif maksimum diberikan oleh
1 max Rmax z max 2 max n
w max max
……………(6.14) ……………(6.14)
DINAMIKA STRUKTUR
59
Jumlah kedua yang menjadi perhatian ialah akselerasi maksimum mutlak, umax . Persamaan 6.10 dapat ditulis
cw kw 0 mu
……………(6.15) ……………(6.15)
Untuk sistem yang tak teredam, umax dapat dengan mudah ditentukan dari persamaan 6.14 dan 6.15 2 umax max n wmax max
……………(6.16) ……………(6.16)
atau dari persamaan 6.14 dan 6.16,
umax max (c 0) max R max z max
……………(6.17) ……………(6.17)
Contoh 6.3 Sistem SDOF tak teredam seperti pada gambar 6.3 mengambarkan akselerasi dasar seperti gambar di bawah. Semua kondisi awal nol. Tentukan persamaan untuk w untuk wmax dan umax dan plot log-log dari wmax dengan f n.
Gambar 6.3a. 6.3a. Pemodelan kendaraan yang bergerak di atas lintasan bump.
z zmax f a (t) dimana
DINAMIKA STRUKTUR
f a (t)
1
t
60
0 t 2t d
t d
2t d t
0
Solusi : a. Menentukan reaksi untuk 0 ≤ t ≤ 2td Karena eksitasi untuk 0 ≤ t ≤ 2td memiliki format yang sama pada contoh 6.1, R1(t) akan sama dengan yang diberikan pada persamaan 7 dari contoh 6.1
t 1 cos nt sin nt t d nt d
R1 t 1
b. Menentukan reaksi untuk 2t untuk 2t d d < t
R 2t R2 t R1 2t d cos cos n t 2t d 1 d sin n t 2t d n c. Menentukan waktu reaksi maksimum berdasarkan gaya – gaya – getaran, getaran, 2t d d 1 R1 t 1 nt d sin nt cos cos nt t d
0 ≤ t ≤
dimana Ŕ1 = 0 nt m 2 tan 1 nt d Pada kasus biasa 1 ( nt m /2) /2) berdasarkan pada kuadran nt m 2 tan nt d dengan (
pertama Pada kasus terakhir
nt m 2 tan1 nt d p
-1 dimana p dimana p ialah integer terbesar untuk untuk nt m < 2 2 nt d n t d d dan tan ( d ) diambil pada kuadran pertama. Kemudian,
DINAMIKA STRUKTUR
61
nt m 1 cos sin nt m cos nt m t t n d n d
R1 max 1 max
d. Menentukan waktu residual-vibration maksimum yang terjadi, 2t d d < t Dari persamaan 2, 1/ 2
R2 max max
2 R1 2t d 2 R1 2t d n
dimana R dimana R1(2t d d ) dan Ŕ1(2t d d ) berdasarkan pada persamaan 1. e. Menentukan pernyataan untuk wmax dan ϋmax : max u wmax 1 max dan Rmax R max max 2 2 2 max maxt d n t d z z max dimana Rmax adalah reaksi maximax yang diambil nilai terbesar antara (R1 )max dan (R2 )max. f. Plot wmax dengan fn menggunakan skala log – log – log Ini akan lebih mudah untuk menggambar reaksi
max t d 2 dengan frekuensi alami nondimensional f wmax nondimensional f nt d d . max z max
nondimensional
DINAMIKA STRUKTUR
62
BAB VII Respons Spektrum Respons spektrum (response spectra) adalah plat respons maksimum (perpindahan, kecepatan, percepatan maksimum ataupun besaran yang diinginkan) dari fungsi beban tertentu untuk semua kemungkinan sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF). Perpindahan relatif |y-ys|max
y
m k
k
Frekuensi Natural f
ys (t) (t)
(a) (b) Gambar 7.1 (a) Sistem SDOF yang dipengaruhi pergerakan tanah, (b) Bentuk spektrum respons.
Gambar 7.1(a) menunjukkan bangunan yang dibebani/dipengaruhi perpindahan tanah yang dinyatakan sebagai fungsi y s(t). (t). Lengkung atau kurva spektrum respons pada gambar 7.1(b) memperlihatkan perpindahan relatif maksimum dari massa m terhadap perpindahan penyokong dari suatu sistem SDOF. 7.1
Bentuk Respons Spektrum Bentuk grafik spektrum respons dapat dijelaskan dengan menggunakan sebuah osilator tak teredam yang dipengaruhi oleh setengah perioda gaya pengaruh sinusoidal pada gambar gambar 7.2 di bawah ini.
DINAMIKA STRUKTUR
63
y F(t)
k
F(t) m
Fo
td
(a) m y
ky
t
(b) F(t )
(c) Gambar 7.2 (a) Osilator sederhana tak teredam yang dipengaruhi beban F(t), (b) Fungsi beban
F t F o sin t 0 t t d , dan (c) Free body diagram. Persamaan gerak SDOF tak teredam :
ky F (t ) m y
……………(7.1) ……………(7.1)
dengan,
0 F (t ) F o sin t
untuk t t d untuk 0 t t d
……………(7.2) ……………(7.2)
……………(7.3) ……………(7.3)
t d
Solusi umum persamaan (7.1) merupakan superposisi antara solusi komplementer
y c dan solusi partikulir y p , y yc y p
yc A cos cos t B sin t y p C sin t dimana
……………(7.4) ……………(7.4) ……………(7.5) ……………(7.5) ……………(7.6) ……………(7.6)
k m adalah frekuensi natural. Solusi khusus untuk selang waktu
0 t t d adalah sebagai berikut. Recall persamaan (7.1).
ky F (t ) m y ky F (t ) sin t m y
……………(7.1a) ……………(7.1a)
Recall persamaan (7.6). y p C sin t y C cos t
C sin t y 2
Susbstitusikan persamaan (7.6a) ke dalam persamaan (7.1a):
……………(7.6a) ……………(7.6a)
DINAMIKA STRUKTUR
64
m(C 2 sin t ) kC sin t F o sin t
Cm 2 Ck F o C (k m ) F o 2
C
F o (k m ) 2
……………(7.7) ……………(7.7)
Dengan mengkombinasikan persamaan (7.4) dan persamaan (7.7), maka respon untuk 0 ≤ t ≤ td t d adalah
y yc y p y A cos cos t B sin t
F o sin t
k m 2 F cos cos t y A sin t B cos cos t o k m 2
……………(7.8) ……………(7.8) ……………(7.8a) ……………(7.8a)
Untuk kondisi awal y(0) 0 , recall persamaan (7.8). 0=A+0+0 A = 0 Untuk kondisi awal y (0) 0 , recall persamaan (7.8a).
y 0 B F o
F o k m 2
2 k m Masukan harga A dan B kedalam persamaan (8). F o sin t F o sin t y k m 2 k m 2 F o y sin t sin t 2 k m B
F o
y
sin t sin t 2 1 k
Untuk memudahkan analisa, persamaan tersebut ditulis 2 F , y st o , T k t d Maka persamaan (7.9) menjadi
……………(7.9) ……………(7.9)
DINAMIKA STRUKTUR
y y st
65
t T t ………(7.10a) untuk 0 t t d ………(7.10a) sin sin 2 2 t 2 t T T d d 1 2t d 1
Solusi pada persamaan (7.10a) untuk t > td adalah T y t d t d t t d cos sin 2 2 y st T T T 2T 1 2 t d
…………(7.10b) …………(7.10b)
Pada persamaan (7.10) terlhat bahwa respon dalam besaran y y st adalah fungsi dari rasio waktu pulsa (pulse duration) dengan periode natural dari sistem (t d d /T ) dan dari waktu yang dinyatakan dengan t/T . Jadi dari harga tertentu parameter t parameter t d /T akan diperoleh respon maksimum pada persamaan (7.10). Gambar d /T akan 7.3 menunjukan respons spektrum dari persamaan (7.10).
y y st T 2 m
k
t d T Gambar 7.3 Respons spektrum untuk setengah gaya sinusoidal dengan selang waktu t d d .
7.2
Respons Spektrum pada Pondasi yang Bergerak Analisa sistem yang dipengaruhi oleh beban pada perletakan/pondasi merupakan suatu masalah penting yang ada pada dinamika struktur. ys
m
y k
c
k
k m c
(a)
I m. y
f S I
f D (b)
f S k ( y y s ) f D c( y y s )
DINAMIKA STRUKTUR
66
Gambar 7.4 Osilator sederhana teredam yang dipengaruhi oleh p enyokongnya, (b) diagram free body.
Percepatan getaran yang menyebabkan pergerakan pondasi bisa digambarkan sebagai berikut:
s (t ) y
t
Gambar 7.5 Fungsi percepatan yang memmpengaruhi penyokong dari osilator pada Gambar 7.4.
Persamaan gerak sistem pada diagram free body dapat ditulis
c( y y s ) k ( y ys ) 0 m y
……………(7.11) ……………(7.11)
dengan, c k , m ccr
,
ccr 2 k .m
maka persamaan (7.11) menjadi:
2 y 2 y 2 y s (t ) 2 y s (t ) y
……………(7.12) ……………(7.12)
yang merupakan persamaan differensial gerak dari osilator teredam dalam besaran gerak absolut. Jika dirumuskan perpindahan relatif u yang didefinisikan sebagai ……………(7.13) ……………(7.13) u y y s
maka persamaan (7.12) dapat ditulis
2 u 2u y s (t ) u
……………(7.14) ……………(7.14)
solusi persamaan (7.14) diperoleh dengan menggunakan integral Duhamel sebagai u (t )
1
t
( )e y s
(t )
sin (t )d
……………(7.15) ……………(7.15)
0
7.3
Besaran- Besaran Respons Spektrum Spektrum perpindahan S D adalah perpindahan relatif maksimum yang linear dengan spektrum percepatan Sa yaitu percepatan absolut maksimum. ……………(7.16) ……………(7.16) S 2 S a
D
S V S D
S a
……………(7.17) ……………(7.17)
DINAMIKA STRUKTUR
67
Suatu contoh respons spektrum perpindahan untuk sistem SDOF yang dipengaruhi oleh gerak penyokong terlihat pada gambar 7.6, yang merupakan respons dari gerakan hasil rekaman percepatan tanah pada gempa di El Centro 1940. Plot dari rekaman percepatan gempa ini terlihat pada Gambar 7.7.
Gambar 7.6 Respons 7.6 Respons spektrum perpindahan untuk sistem elastis yang dipengaruhi pergerakan tanah akibat gempa di El Centro 1940.
Gambar 7.7 Rekaman 7.7 Rekaman percepatan tanah untuk gempa El Centro, California 18 Mei 1940 konponen utara-selatan.
Pada Gambar 7.8, bentuk data yang sama digunakan untuk mendapatkan respons spektrum perpindahan pada Gambar 7.6, yang diplot dalam besaran spektrum kecepatan untuk beberapa harga koefisien redaman, dengan perbedaan absis dan ordinat dalam skala logaritmis.
DINAMIKA STRUKTUR
68
Gambar 7.8 Respons spektrum sistem elastis untuk gempa El Centro 1940.
Untuk menyatakan bentuk dari diagram tiga besaran pada Gambar 7.8, persamaan (7.17) ditulis dalam besaran frekuensi natural f natural f dalam dalam siklus per detik (spd) dan mengambil harga logaritmanya, akan didapat S V S D 2 f S D log S V log f log( 2 S D ) S V
S a
S a 2 f
log S V log f log
7.4
……………(7.18) ……………(7.18)
S a
……………(7.19) ……………(7.19)
2
Respons Spektrum untuk Perencanaan Elastis Gempa bumi terdiri dari suatu seri gerakan tanah yang bersifat acak (random). Biasanya komponen utara-selatan, timur-barat dan komponen vertikal dari percepatan tanah yang diukur. Respons spektrum rencana yang merupakan gabungan spektrum beberapa gempa bumi yang dinyatakan oleh suatu bentuk spektrum “rata-rat “rata-rata” a” digunakan dalam perencanaan struktur tahan gempa, karena saat ini tidak ada metode yang dapat menduga bentuk gerakan gempa pada suatu lokasi yang akan terjadi. Respons spektru rencana ini diperlihatkan pada Gambar 8.9.
DINAMIKA STRUKTUR
69
Gambar 7.9 Respons spektrum rencana yang dinormalisasikan untuk 1.0g .
Contoh 7.1 Struktur dengan model sistem berderajat kebebasan tunggal mempunyai perioda alami Tn= 1 detik. Metoda spektrum respons untuk menentukan percepatan absolut maksimum, perpindahan relatif maksimum dan kecepatan (pseudovelocity) relatif maksimum untuk: a) gerakan pondasi yang sama dengan gempa El Centro 1940 b) gempa rencana dengan percepatan tanah maksimum sebesar 0.32g . Dengan anggapan redaman sebesar 10% redaman kritis.
Solusi : a. Dari spectrum respons pada gambar 8.8 dengan f=1/T=1.0 spd dan ξ=0.10, maka S D = 3.3 in S V = 18.5 in/dt V S a = 0.30 g b. Dari spectrum dasar rencana pada gambar 8.9, dengan f=1/T=1.0 spd dan ξ=0.10, ξ=0.10, untuk percepatan tanah maksimum 0.32g, maka S D = 9.5 x 0.32 = 3.04 in,
DINAMIKA STRUKTUR
S V V S a
70
= 60 x 0.32 = 19.2 in/det, = 0.95 x 0.32g = 0.304g.
BAB VIII SISTEM BERDERAJAT BERDERAJAT KEBEBASAN KEBEBASAN BANYAK BANYAK (MDOF) 8.1 Sistem MDOF Sederhana Persamaan gerak untuk sistem MDOF sederhana, dapat diidealisasikan pada struktur portal tingkat dua dengan gaya luar p dan p2(t) (gambar 8.1). p1(t) dan p
Gambar 8.1. 8.1. (a) Struktur portal tingkat dua (b) gaya yang bekerja pada kedua massa
Pada idealisasi tersebut balok dan lantai adalah kaku. Massa yang terdistribusi pada seluruh gedung. akan diidealisasikan terpusat pada bidang lantai. Asumsi tersebut umumnya sesuai untuk bangunan bertingkat. Pada gambar 8.1a diatas, portal tingkat dua dengan massa terpusat pada setiap lantai memiliki dua DOF : perpindahan lateral u1 dan u2 pada kedua lantai dalam arah x. Gaya-gaya yang bekerja untuk setiap massa lantai m j dapat dilihat pada gambar 8.1b., termasuk gaya luar p p j(t), (t), gaya elastic f elastic f Sj redaman f Dj. Gaya Sj dan gaya redaman f elastis dan redaman menunjukan arah yang berlawan, karena kedua gaya tersebut adalah gaya dalam yang menahan gerakan. 8.2 Hukum Newton Kedua pada Sistem MDOF Persamaan gerak dari hukum Newton kedua yang diberikan untuk setiap massa adalah
j f D j f Sj p j (t ) m j u
……………(8.1) ……………(8.1)
Persamaan diatas terdiri dari j=1 j=1 dan j=2 j=2 sehingga dapat ditulis dalam bentuk matrik ;
m1 0 u1 f D1 f S 1 p1 (t ) 0 m u f f p (t ) 2 2 D 2 S 2 2
……………(8.2) ……………(8.2)
atau dapat ditulis ;
f D f S p(t) mu (t)
……………(8.3) ……………(8.3)
DINAMIKA STRUKTUR
71
dimana
u1 u u2
m1 m 0
0
f D1 f D f D 2
m2
f S 1 f S f S 2
p1 p p1
Gaya elastis f S berhubungan dengan perpindahan yang terjadi pada setiap lantai u. S berhubungan Oleh karena itu, kekakuan lateral k j untuk setiap lantai ke- j memberikan hubungan geser pada lantai V j terhadap deformasi lantai, Δ j = u j-u j-1. V j k j j
……………(8.4) ……………(8.4)
Kekakuan pada setiap tingkat atau lantai adalah jumlah kekakuan lateral dari semua kolom di lantai tersebut. Tingkat atau lantai dengan tinggi h dan kolom dengan modulus E modulus E dan dan momen inersia I inersia I c maka kekakuan lantai tersebut adalah k j
12 EI c
kolom
h
3
……………(8.5) ……………(8.5)
Pada gambar 8.1, kita dapat menghubungkan gaya elastis f S1 S1 dan f S2 S2 terhadap u1 a b dan u2 .Gaya f .Gaya f S1 S1 pada lantai pertama tersusun atas f S 1 dari tingkat atas dan f S 1 dari
tingkat bawah. Oleh karena itu f S 1 f S b1 f S a1
f S 1 k 1u1 k 2 (u1 u2 )
……………(8.6a) ……………(8.6a)
Gaya f Gaya f S2 S2 pada lantai kedua adalah
f S 2 k 2 (u2 u1 )
……………(8.6b) ……………(8.6b)
Persamaan (8.6a) dan (8.6b) dalam bentuk matrik adalah
f S 1 k 1 k 2 f S 2 k 2
k 2 u1 atau f S ku k 2 u2
……………(8.7) ……………(8.7)
Dengan cara yang sama pada persamaan (8.6), dapat diperoleh
f D1 c1u1 c2 (u1 u2 )
c2 (u2 u1 )
……………(8.8) ……………(8.8)
c2 u1 atau f D cu c2 u2
……………(8.9) ……………(8.9)
f D2
dan dalam bentuk matrik adalah
f D1 c1 c2 f D 2 c2
Dengan mensubstitusikan persamaan (8.7) dan persamaan (8.9) kedalam persamaan (8.3), maka diperoleh ……………(8.10) ……………(8.10) cu ku p(t) mu (t) 8.3 Prinsip D’Alembert’s pada Sistem MDOF Berdasarkan prinsip D’ Alembert’s pada bab sebelumnya, adanya gaya inersia pada kesimbangan dinamis pada sebuah struktur. Untuk dua massa dalam
DINAMIKA STRUKTUR
72
sistem pada gambar 8.1a, free body diagram dan gaya inersianyanya dapat dilihat pada gambar 8.2, dimana untuk setiap gaya inersia adalah perkalian massa dengan percepatannya.
Gambar 8.2. 8.2. Free Body Diagram
8.4 Sistem Massa – Massa – Pegas Pegas – – Redaman Redaman
Gambar 8.3. 8.3. (a) Sistem berderajat dua; (b) free body diagram
Persamaan gerak untuk sistem diatas telah ditunjukan oleh persamaan (8.10), sehingga;
m1 0 u1 c1 c2 0 m u c 2 2 2
c2 u1 k 1 k 2 c2 u2 k 2
k 2 u1 p1 (t ) ……(8.11) ……(8.11) k 2 u2 p2 (t )
Contoh 8.1 Buat persamaan gerak untuk portal dua tingkat dibawah ini.
DINAMIKA STRUKTUR
73
Solusi:
m1 2m k 1 2
12( 2 EI c ) 3
m2
48 EI c
m
k 2 2
3
12(EI (EI c )
24 EI EI c
h h h h3 Substitusikan ke persamaan (8.2) dan (8.7), sehingga diperoleh matrik massa dan matrik kekakuan:
2 0 m m 0 1
k
3
1 1 1
24 EI c 3 h3
Jadi persamaan gerak untuk sistem ini adalah
2 0 u1 24 EI c m u h3 0 1 2
3 1 u1 p1 (t ) 1 1 u p (t ) 2 2 f I2
f I1
Contoh 8.2 Buat persamaan gerak untuk portal tiga tingkat (bangunan berlantai tiga) dibawah ini. u3 p3(t)
p3(t)
3 m3u k 3 (u 3 u 2 )
u2
k 3 (u 3 u 2 )
p2(t)
p2(t)
2 m2 u k 2 (u 2 u1 )
u1
k 2 (u 2 u1 )
p1(t)
p1(t)
m1u1 k 1u1
DINAMIKA STRUKTUR
74
Solusi:
u1 p1(t)
p2(t)
p1(t)
u1 p2(t)
m1u1 k 1u1
k 2 (u 2 u1 )
u2
u3
p3(t)
u2 2 m2 u
u3 p3(t)
k 3 (u 3 u 2 )
3 m3u
Persamaan-persamaan gerak dari masing-masing free body diagram pada setiap massa,
1 k 1u1 k 2 (u2 u1 ) p1 (t ) 0 m1u 2 k 2 (u2 u1 ) k 3 (u3 u2 ) p2 (t ) 0 m2u 3 k 3 (u3 u2 ) p3 (t ) 0 m3u Sehingga persamaan gerak dalam bentuk matrik dari sistem ini adalah
m1 0 0 m 2 0 0
0 u 1
0 u1 p1 (t ) k 2 (k 1 k 2 ) k 0 u (k 2 k 3 ) k 3 u2 p2 (t ) 2 2 k 3 k 3 m3 u3 0 u3 p3 (t )
8.5 Koefisien Kekakuan Elemen-elemen dari mtriks kekakuan pada persamaan (8.7) disebut koefisien kekakuan. kekakuan. Dimana pada umumnya koefisien kekakuan k ijij didefinisikan sebagai gaya pada koordinat i bila satu perpindahan diberikan pada titik j. j. Sebagai contoh, koefisien pada baris kesatu dan kolom kesatu dari persamaan (8.7) adalah k 11 11=k 1+k 2 menyatakan gaya pada lantai kesatu akibat satu perpindahan yang diberikan pada lantai tersebut.
DINAMIKA STRUKTUR
75
Contoh 8.3 Buat persamaan gerak pada contoh soal 8.1 dengan menggunakan koefisien kekakuan.
Solusi:
Matrik kekakuan Pertama, kita tentukan matriks kekakuan dengan menentukan nilai u1 = 1 dan u2 = 0. Koefisien kekakuan adalah k i1 i1 . Diperlukan gaya pada bagian atas dan bawah untuk setiap lantai atau tingkat untuk menahan perubahan bentuk pada struktur, yang digambarkan oleh kekakuan k 1 dan k 2. Dari contoh 8.1, diperoleh 48 EI c 24 EI c k 1 k 2 3 h h3 Dua gaya pada gambar (a) dan (b) diatas, 72 EI c 24 EI c k 11 k 1 k 2 k k 21 2 h3 h3 Kedua, kita tentukan matriks kekakuan dengan menentukan nilai u1 = 0 dan u2 = 1. Koefisien kekakuan adalah k i2 i2 . Diperlukan gaya untuk menahan perubahan bentuk yang digambarkan oleh gambar (d). Dua gaya pada gambar (c) dan (d) diatas, 24 EI c 24 EI c k 12 k 2 k 22 k 2 3 h h3 Dengan koefisien kekakuan yang telah ditentukan, maka matriks kekakuannya adalah
k 11
k
k 21
k 12
k 22
1 1 1
24 EI c 3 h3
DINAMIKA STRUKTUR
Sedangkan matrik massa,
2 0 m m 0 1 Persamaan gerak adalah
2 0 u1 24 EI c m u h3 0 1 2
3 1 u1 p1 (t ) 1 1 u p (t ) 2 2
76
DINAMIKA STRUKTUR
77
BAB IX GETARAN BEBAS BEBAS UNTUK SISTEM MDOF 9.1 Sistem MDOF Tak Teredam Persamaan gerak MDOF tak teredam dengan p(t)=0, (t)=0, ……………(9.1) ……………(9.1) ku 0 mu Terdapat dua kemungkinan gerak harmonis dari struktur sedemikian rupa, dimana semua massa bergerak dengan fasa tertentu pada frekuensi ω1 dan ω2. Setiap karakteristik perubahan bentuk disebut normal atau pola natural dari getaran. Sering disebut dengan pola pertama (first mode) atau pola dasar (fundamental mode) untuk menyatakan pola yang sesuai dengan frekuensi terendah. Pola yang lain disebut pola harmonis atau pola harmonis yang lebih tinggi. Gambar 9.1 dan 9.2 menunjukan getaran bebas pada portal dua tingkat. Kekakuan dan massa yang terpusat dapat dilihat pada gambar 9.1a dan mode getar atau pola getar ditunjukan oleh gambar 9.1b dan 9.2b.Hasil gerak u j pada sistem digambarkan oleh gambar 9.1d dan 9.2d.
Gambar 9.1. 9.1. Getaran bebas pada sistem tak teredam dengan pola natural pertama dari getaran (a) Struktur portal tingkat dua; (b) perubahan bentuk struktur pada waktu a,b,c; (c) modal coordinate qn(t) (d) perpindahan
DINAMIKA STRUKTUR
78
Gambar 9.2. 9.2 . Getaran bebas pada sistem tak teredam dengan pola natural kedua dari getaran (a) Struktur portal tingkat dua; (b) perubahan bentuk struktur pada waktu a,b,c; (c) koordinat modal qn(t) (d) perpindahan
Perioda alami dari getaran T n pada sistem MDOF adalah waktu yang diperlukan untuk satu siklus dari gerak harmonis sederhana dalam satu pola natural. Hubungan terhadap frekuensi natural sudut dari getaran adalah ωn dan frekuensi natural adalah f adalah f n, T n
2
n
f n
1 T n
……………(9.2) ……………(9.2)
Gambar 9.1dan 9.2 menunjukan perioda alami T n dan frekuensi natural sudut dari
ωn (n=1,2) dari getaran bangunan 2 tingkat dengan pola natural n ( 1n 2n )T . Frekuensi natural sudut yang lebih kecil diberi notasi ω1 sedangkan yang lebih besar dinotasikan ω2. Sedangkan untuk perioda alami yang lebih panjang dinotasikan T 1 dan yang lebih pendek adalah T 2. 9.2 Frekuensi Natural dan Pola Normal Getaran bebas pada sistem tak teredam , yang secara grafis telah ditunjukan oleh gambar 9.1 dan 9.3 untuk sistem dua DOF, dapat diuraikan secara matematis adalah
u(t ) qn (t ) n
……………(9.3) ……………(9.3)
Variasi waktu pada perpindahan yang terjadi dapat diuraikan dengan fungsi sederhana harmonis ……………(9.4) ……………(9.4) qn (t ) An cos nt Bn sin nt Substitusikan persamaan (9.4) ke (9.3)
u(t ) n ( An cos nt Bn sin nt )
……………(9.5) ……………(9.5)
DINAMIKA STRUKTUR
79
dimana ωn dan n tidak diketahui. Substitusikan persamaan (9.5) kedalam persamaan (9.1), sehingga didapatkan [ n2m n k n ] qn (t ) 0
……………(9.6) ……………(9.6)
Persamaan (9.6) dapat diselesaikan dengan satu dari dua cara. Salah satunya, qn(t)=0 (t)=0 yang memberikan nilai u(t)=0 (t)=0 dan tidak adanya gerak pada sistem atau frekuensi natural sudut
ωn dan pola perubahan n yang harus memenuhi
persamaan aljabar berikut
n2m n k n 0
……………(9.7) ……………(9.7)
dimana persamaan ini menunjukan kondisi maksimal. Matriks kekakuan k dan matriks massa m adalah diketahui, masalahnya adalah menentukan nilai skalar dari n2 dan vector dari n . Persamaan (9.7) dapat ditulis kembali menjadi [k n2m] n 0
……………(9.8) ……………(9.8)
Persamaan (9.8) adalah masalah matematis yang penting, yang dikenal sebagai “eigenproblem”, yang mempunyai soulusi nontrivial ……………(9.9) ……………(9.9) det[k n2m] 0 Pada umumnya jawaban persamaan (9.9) mempunyai bentuk persamaan polynomial derajat n dalam besaran ω2 yang harus mempunyai n buah harga ω2, yang memenuhi persamaan tersebut atau dikenal sebagai persamaan karakteristik. Sehingga kita dapat menyelesaikan persamaan (9.8). 9.3 Sifat Ortogonalitas dari Pola Normal Kita tinjau kembali persamaan (9.7) , k n n2m n
……………(9.10) ……………(9.10)
untuk sistem berderajat kebebsan dua (lihat persamaan 8.7), sehingga
k 1 k 2 k 2
k 2 1 m1 2 k 2 2 0 (k 1 k 2 ) 1 k 2 2 m1 2 2 k 2 1 k 2 2 m2 2 2
0 1
m2 2 2
……………(9.11) ……………(9.11)
Digunakan teori Betti yang menyatakan bahwa, pada sebuah struktur yang dibebani oleh dua sistem pembebanan dimana terjadi dua jenis perpindahan, maka kerja yang dilakukan sistem pembebanan pertama sepanjang perpindahan akibat sistem pembebanan kedua, akan sama dengan kerja akibat sistem pembebanan kedua yang bergerak sepanjang perpindahan akibat sistem pembebanan pertama.
DINAMIKA STRUKTUR
(a)
80
(a)
Gambar 9.2. 9.2 . Model sejumlah massa dan perpindahan pada struktur bertingkat dua (a) Sistem I; (b) Sistem II
Kedua sistem pembebanan dan perpindahan yang akan ditinjau adalah Sistem I 2 2 Gaya-gaya m1 1 11 , m2 1 21 dan perpindahannya 11 , 21
Sistem II 2 2 Gaya-gaya m1 2 12 , m2 2 22 dan perpindahannya 12 , 22
Penggunaan teori Betti untuk kedua sistem ini menghasilkan,
m1 12 11 12 m2 12 21 22 m1 22 12 11 m2 22 22 21 atau
( 12 22 )(m1 11 12 m2 21 22 ) 0
……………(9.12) ……………(9.12)
Jika ω1≠ ω2, maka persamaan 9.12 didapat ……………(9.13) ……………(9.13)
m1 11 12 m2 21 22 0
Persamaan diatas disebut hubungan ortogonalitas antara pola dasar dari sistem berderajad – berderajad – kebebasan kebebasan dua. Untuk sebuah sistem berderajat kebebasan n dimana matriks massa adalah matrik diagonal maka kondisi ortogonalitas antara pola n dan r dapat r dapat dinyatakan sebagai ……………(9.13) ……………(9.13) nT k r 0 nT m r 0 Atau kondisi orthogonal untuk pola n dan r dapat diperoleh melalui penjabaran sebagai berikut [ K ]{ n } n2 [ M ]{ n }
……………(9.14) ……………(9.14)
[ K ]{ r } r 2 [ M ]{ r }
……………(9.15) ……………(9.15)
Apabila persamaan (9.14) ditranspose,
[ K ]{ } [M ]{ } sedangkan n
2 n
T
n
[K]
dan [M] berbentuk diagonal untuk struktur biasa, oleh sebab itu
[ A] [ A]T matriks sime simetris tris Sehingga persamaan (9.14) menjadi { n }T [ K ] n2{ n }T [ M ]
……………(9.16) ……………(9.16)
DINAMIKA STRUKTUR
81
Untuk menyelesaikan kedua persamaan matriks diatas maka kalikan persamaan (9.16) dengan { r } dan kalikan persamaan (9.15) dengan { n }T , sehingga { n }T [ K ]{ r } n2{ n }T [ M ]{ r } { n }T [ K ]{ r } r 2{ n }T [ M ]{ r }
……………(9.17) ……………(9.17)
( n2 r 2 ){ n }T [ M ]{ r } 0
Jika ωn≠ (9.13)
ωr , maka didapatkan nilai yang sama dengan persamaan sebelumnya { n }T [ M ]{ r } 0
juga juga
{ n }T [ K ]{ r } 0
…………(9.18) …………(9.18)
Contoh 9.1 Tentukan frekuensi alami dan pola pada sistem yang ditunjukan gambar dibawah ini.(lihat contoh 8.1)
Solusi: Dari contoh 8.1 diperoleh nilai matriks massa dan matriks kekakuan sebagai berikut
2 0 2m m m 0 0 1
0
k
m
1 3k k 24 EI c 1 1 k k k h3
24 EI c 3 h3
Nilai frekuensi alami ωn dapat diselesaikan dari persamaan (9.9) det[k n2m] 0
3k 2m n2 k det det 0 2 k k m n 2m2 4 5km 2 2k 2 0 Akar-akar persamaan diatas adalah
12
k 2m
1
k 2m
22
2k m
2
Pola natural untuk sistem I diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (9.8), sehingga
2k m
ωn = ω1 pada
DINAMIKA STRUKTUR
82
3k 2m 12 k 11 k 2 0 2m k k m 12 21 2k k 11 k 0.5k 0 21 1
Biasanya pola natural atau normal ditentukan dengan menentukan satu satuan harga untuk untuk salah satu pola, jadi ditentukan untuk 21 =1 dan diperoleh nilai 11 =0.5 Pola natural untuk sistem II diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (9.8), sehingga
ωn = ω2 pada
3k 2m 22 k 12 2k 2 0 m k k m 22 22 k k 12 k k 0 22 2
Biasanya pola natural atau normal ditentukan dengan menentukan satu satuan harga untuk untuk salah satu pola, jadi ditentukan untuk 22 =1 dan diperoleh nilai 12 =-1 Jadi,
11 1 21
12 1
12 1 1 22 1
kontrol kondisi orthogonal
nT k r 0 1T k 2 0
3 1 1 0 1 1 1
k 1 / 2 1
T 1 m 2 0
2 0 1 1 0 0 1
m1 / 2 1
nT m r 0
DINAMIKA STRUKTUR
83
9.4 Solusi Persamaan Getaran Bebas pada Sistem Tak teredam Solusi umum persamaan gerak, diberikan oleh persamaan (9.5). Sehingga untuk nilai n=1,2,3…,n =1,2,3…,n maka persamaan (9.5) dapat ditulis menjadi u(t )
n
( A cos t B n
n
n
n
sin n t )
……………(9.19) ……………(9.19)
n1
u (t )
n
( A sin t B n
n
n
n
n
cos n t )
……………(9.20) ……………(9.20)
n1
Pada saat t=0 maka persamaan tersebut dapat ditulis n
q (0)
u(0)
n
……………(9.21) ……………(9.21)
n
n 1
u (t )
n
q (0) n
……………(9.22) ……………(9.22)
n
n 1
dan saat t=0, persamaan (9.14) dan (9.15) memberikan u(0)
n
A n
n
An qn (0)
……………(9.23) ……………(9.23)
n1
u (t )
n
B n
n
n
Bn
n 1
q n (0)
……………(9.24) ……………(9.24)
n
Jadi, u(t )
n
(q (0) cos t n
n
n
n1
q n (0)
n
sin nt )
n
………(9.25) q (t ) ………(9.25) n
n
n1
Contoh 9.2 Tentukan respon getaran bebas pada portal dua tingkat untuk contoh 9.1. Dengan
nilai q1 (0) 1, q2 (0) 1 dan dan q1 (0) 0, q 2 (0) 0 Solusi: Dari persamaan (9.20) didapatkan
q1 (t ) 1cos cos 1t
q2 (t ) 1cos cos 2t
Dengan mensubstitusikan nilai n dari hasil perhitungan contoh 9.1 dan nilai qn (t ) diatas ke persamaan (9.20)
u1 (t ) 1/ 2 1 cos 1t cos cos 2t cos u ( t ) 1 1 2
DINAMIKA STRUKTUR
84
9.5 Respon Pada Gedung Akibat Gempa Secara umum persamaan geraknya adalah u g } [C ]{u} [ K ]{u} 0 [ M ]{u
} [C ]{u} [ K ]{u} [ M ]{u g } [ M ]{u
………(9.26) ………(9.26)
{u} { i }{ Ai }
………(9.27) ………(9.27)
Kalikan persamaan (9.26) dengan { i }T dan susbtitusikan persamaan (9.27)
u g } [C ]{u} [ K ]{u} 0 [ M ]{u } { }T [C ]{ }{ A } { }T [ K ]{ }{ A } {u }{ }T [ M ] { i }T [ M ]{ i }{ A i i i i i i i g i
(9.28)
Misal: T M i { i } [ M ]{ i }
Ri { i } [ M ] T
C 2 n [ M ] [ K ] n [ M ] 2
Sehingga persamaan (9.28) menjadi u g } [C ]{u} [ K ]{u} 0 [ M ]{u
2 M A 2 M A u R M i A i i i i i i i g i 2 A 2 A u Ri A i i i i i g M i
………(9.29) ………(9.29)
Apabila persamaan (9.29) ditulis
i 2 i D i i2 Di u g D
Dari persamaan (9.29) dan (9.30) memberikan R Ai i Di D S D pseud p seudo o displecement M i
………(9.30) ………(9.30)
………(9.31) ………(9.31)
Sehingga nilai perpindahan relatif maksimum umax
({ }A )
2 0.5
i
i
………(9.32) ………(9.32)
DINAMIKA STRUKTUR
85
Contoh 9.3 Diketahui struktur portal tingkat tiga dengan pembebanan, berat per lantai dan kekakuan kolom seperti tergambar. W1
m1
w1 = 2943 kg, K 1 = 1600 kg/cm
W2
m2
w2 = 4414 kg, K 2 = 2000 kg/cm w3 = 4414 kg, K 3 = 2400 kg/cm
W3
m3
Hitung : 1. Frekuensi alami dan waktu getar alami dari sistem struktur di atas. 2. Gambar mode shape dari masing-masing waktu getar alami yang terjadi. 3. Hitung gaya gempa disetiap lantai dari sistem struktur tersebut jika berada di wilayah gempa 3 dengan jenis tanah lunak SNI .
Solusi: Solusi : a. Menghitung massa beban tiap lantai
W 1
W 1
2943 kg m1
W 2
4414 kg m2
W 2
W 1
4414 kg m3
W 3
g g g
2943 981
3
4414
4414
981 981
4,5 4,5
DINAMIKA STRUKTUR
b. Menyusun matriks kekakuan [ K ] m1
k12 = -k1
k11 = k1
k21 =- k1
k13 = 0
k23 = -k2
m2
k22 = k1+k2
m3
k31 = 0
K 11 K K 21 K 31 1600 1600 0
k32 = -k2
K 1 0 K 1 K 22 K 23 K 1 K 1 K 2 K 2 K 2 K 2 K 3 K 32 K 33 0 0 1600 1600 2000 2000 2000 2400 2000
K 12
1600 1600 1600 3600 0 2000
K 13
2000 4400 0
Menyusun matriks massa [m [ m]
m1 M 0 0
k33 = k2+k3
0 m2 0
0
3 0 0 m3 0
c. Persamaan Frekuensi
K M 0 2 n
0 K n2 M 0
0 4,5 0
0
4,5 0
86
DINAMIKA STRUKTUR
87
0 0 0 1600 1600 3 2 1600 3600 2000 0 4 , 5 0 0 n 4400 0 4,5 2000 0 0 1600 3 n2 1600 0 2 1600 3600 4,5 n 2000 0 2 0 2000 4400 4 , 5 n 1600 3 n2 0 1600 2 1600 3600 4,5 n 2000 0 det 2 0 2000 4400 4 , 5 n 1600 3 n2 3600 4,5 n2 4400 4,5 n2 1600 16004400 4,5 n2
1600 3 n2 2000 2000 0 6 4 2 8 n 2311 n 1343210 n 1,26410 0
Misalkan n2 , maka akan diperoleh persamaan
3 2311 2 1343210 1,26 264 4108 0 1 12 116 rad 2 /det 2
1 1 116 10,8 rad/det T1
2 22 757 rad 2 /det 2
2
1
2 10,8
det 0,58 det
2 2 757 27,5 rad/det T2
2
2
2 27,5
0,23 det det
3 32 1438 rad 2 /det 2 1 3 1438 37,92 rad/det T3
2
3
2 37,92
0,17 det det
Bentuk mode 1 1 1 (vektor shape) relatif displacement.
K M 0 K M 0 2 n
2 1
1
DINAMIKA STRUKTUR
1600 1600 0
1600 3600
2000
3 2000 n2 0 4400 0 0
0
0 11
4,5
0 12
0
4,5 13
88
0
0 1600 1600 3116 11 1600 3600 4 , 5 116 2000 12 0 2000 4400 4,5116 13 0 0 11 1252 1600 1600 3078 2000 12 0 2000 3878 0 13 1252 11 1600 12 0
1600 11 3078 12 2000 13 0 2000 12 3878 13 0 Bila harga 11 1,0 dan harga-harga yang lain dinyatakan terhadap harga
11 , maka diperoleh 12521 1600 12 0
1252 0,7825 1600 2000 12 3878 13 0 20000,7825 3878 13 0 12
13
20000,7825
0,4036 3878 Sehingga diperoleh mode shape relatif displacement sebagai berikut :
11 1 1 12 0,7825 0,4036 13 Dengan cara yang sama dan dengan menggantikan atau memberikan hargaharga 2 dan 3 adalam persamaan dapat pula :
21 1 2 22 0,419 0,9844 23 31 1 3 32 1,696 1,634 33
K M 0 , 2 n
maka akan
DINAMIKA STRUKTUR
W1
m1
W2
m2
W3
m3
1.00
1.00
0.782
- 0.419
0.403
T1 0,58 det det
1 10,8 rad/det
- 0.984
T2 0,23det det
2 27,5 rad/det
89
1.00
- 1.696
1.634
T3 0,17 det det
1 37,92 rad/det
Kontrol kondisi orthogonal
1T M 2 0 0 1,0 3 0 1 0,7825 0,4036 0 4,5 0 0,419 0 0 0 4,5 0,984
Kontrol kondisi orthogonal untuk untuk 2 dan 3 → 2 T M 3 0
2 T M 3 0 0 1,0 3 0 1 0,419 0.984 0 4,5 0 1,696 0 0 0 4,5 1,634
Dari kontrol orthogonal tersebut di atas menunjukkan harga mode 1, 2 , 3 sudah benar. d. Persamaan untuk harga adalah harga relatif dari simpangan tiap-tiap lantai, dan bagaimana harga mutlaknya, dapat dijelaskan sebagai berikut : det cd 1 0.75 1 10,8 rad/det T1 0,58 det det cd 2 0.75 2 27,5 rad/det T2 0,23 det det cd 3 0.55 3 37,92 rad/det T3 0,17 det
Dimana harga cd (respon percepatan maksimum dengan satuan “gravitasi”) diperoleh dari grafik grafik koeffisien gempa dasar wilayah zone zone (SNI).
DINAMIKA STRUKTUR
Nilai perpindahan pola, R .c Ai i d 2 i S D M i i dimana
i faktor faktor partisipas partisipasi
Ri M i
S D pseudodi pseudodisp splacement
cd
i2
Menghitung nilai R nilai Ri : R1 1 M T
3 1 0,782 0,4034,5 8,33 kg.det 2 /cm /cm 4,5 R2 2,65 kg.det 2 /cm /cm R3 2,91 kg.det 2 /cm /cm
Menghitung nilai M nilai M i : M 1 1 M 1 T
0 1 3 0 1 0,782 0,403 0 4,5 0 0,782 7,97 kg.det/cm 0 0 4,5 0,403
Dengan cara yang sama akan diperoleh : M 2 7,00 kg.det 2 /cm /cm M 3 28,03 kg.det 2 /cm /cm
Menghitung A Menghitung Ai R .c A1 12 d 1 1 M 1
8,33 0,75981 10,82 7,97
0,316 cm
2,65 0,75981 0,368 cm 2 2 M 2 27,52 7 R .c 2.91 0,55981 0,036 cm A3 32 d 3 3 M 3 39,7 2 28.03 A2
R2 .cd 2
90
DINAMIKA STRUKTUR
91
Menghitung umax
[( A1{ 1}2 ) ( A2{ 2 }2 ) ( A3{ 3}2 )]0.5 umax max
umax max
2 2 2 1 1 1 0.3160.782 0.368 0.419 0.036 1.696 0.403 0.9844 1.634
umax max
u1 0.486 u2 0.298cm u3 0.388
Menghitung Gaya Gempa tiap lantai F [ K ]{umax } 0 0.486 1600 1600 F 1600 3600 2000 0.298 0.388 0 2000 4400 F 1 302.061 F F 2 483.797 kg F 3 1114.0659
0.5
