MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK UTILIZANDO O MÉTODO DE ESPAÇO DE ESTADOS 1Universidade
Lucas Luan Fonseca Stanqueviski 1 Tecnológica Federal do Paraná, Pato Branco – PR, PR, Brasil e-mail:
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R esumo esumo – O objetivo deste artigo é apresentar a
modelagem do conversor Buck operando no modo de condução contínua (MCC), considerando as suas não idealidades. Para tanto, será utilizado o método de espaço de estados para obter as equações que descrevem esse circuito. Serão realizadas simulações do conversor Buck para a validação dos resultados obtidos.
modelagem, esse trabalho tem como objetivo apresentar o equacionamento do circuito do conversor Buck e para isso serão utilizados o modelo CC e o modelo CA de pequenos sinais. De forma a validar os resultados obtidos através da modelagem do conversor, serão realizadas simulações utilizando o software PSIM®.
Palavras-Chave – Palavras-Chave – Espaço Espaço de Estados, Conversor Buck, A. Modelagem através do método de espaço de estados
MODELING OF THE BUCK CONVERSOR USING THE STATE OF SPACE METHOD Abst Abstract ract – The objective of this paper is to present the
modeling of the Buck converter, operating in continuous conduction mode (CCM), considering its non-idealities. To do so, the state space method will be used to obtain the equations that describes this circuit. Simulations of the Buck converter will be performed to validate the t he obtained results State Space, Buck Converter. K eywo eyworr ds – ds – State NOMENCLATURA 〈 〉 D
Corrente Alternada. Corrente Continua. Modo de Condução Contínua. Tensão média no indutor. Leis de Tensão de Kirchoff . Tensão de entrada. Tensão de saída Razão cíclica.
A modelagem no espaço de estados, consiste em utilizar equações diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico do circuito, e assim, organizá-las em uma notação matricial. Uma vantagem de se trabalhar com esse método, é que se torna possível analisar múltiplas entradas e saídas. Segundo Ogata, 2010 define-se: Estado: corresponde ao menor conjunto de variáveis linearmente independentes (chamado de variáveis de estado), que determina o comportamento do sistema em qualquer instante de tempo a partir de uma condição inicial. Variáveis de Estado: é o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado de um sistema dinâmico. Vetor de estado: é as n variáveis responsáveis por descrever o sistema, podem ser arranjadas em um vetor de n componentes, chamado vetor de estado. Espaço de estado: é o espaço de coordenadas, ndimensional, formado pelos componentes do vetor de estados. Assim uma representação em espaço de estados é descrita na equação (1). (1)
Tensão no indutor. Tensão direta no diodo.
I. INTRODUÇÃO Existem várias técnicas para realizar a modelagem de conversores, as principais técnicas de modelagem utilizam os seguintes modelos: Modelo AC básico aproximado; Modelo médio de espaço de estados; Modelo do circuito canônico; Modelo da chave média; Modelo da chave PWM Este artigo apresenta a modelagem do conversor Buck operando no modo de condução contínua (MCC) aplicando a técnica do modelo médio de espaço de estados. A partir desta d esta
Em que ̇ é a derivada do vetor de estados em relação ao tempo, é o vetor de estados, é o vetor de saídas, A é a matriz de estados, B é a matriz de entradas, C é a matriz de saídas e F é a matriz de realimentação. A. Conversores CC-CC estáticos
Conversores CC-CC são dispositivos eletrônicos baseados em indutores, capacitores e em elementos semicondutores de potência, que atuam como chaves. Sua principal função é controlar o fluxo de energia elétrica da fonte de entrada para a fonte de saída. Basicamente existem três funções para os conversores CC-CC, que são abaixar a tensão de saída, representado por um conversor Buck. Elevar a tensão de saída, representado por um conversor Boost Boost e abaixar ou elevar a tensão de saída, representado por um conversor Buck-Boost.
Os conversores CC-CC chaveados operam em três modos, o modo de condução contínua (MCC), em que a corrente do indutor nunca vai a zero durante o período de chaveamento, o modo de condução descontínua (MCD) em que a corrente do indutor vai a zero durante alguns instantes de tempo e o modo de condução crítica, que é o limiar entre o modo MCC e MCD [1].
Substituindo a equação (3) em (6) e substituindo (2), (4) em (5), obtém:
II. DESENVOLVIMENTO
As equações acima podem ser representadas no modelo de espaço de estados, como mostrado na equação (7).
() () () = − () () = −
Neste item é apresentado o desenvolvimento da modelagem do conversor Buck operando no modo de condução continua, pelo método de espaço de estados. Primeiramente será considerado um conversor Buck ideal em seguida será considerando algumas não idealidades para o conversor Buck.
(7)
A. Conversor Buck ideal
A Figura 1 representa o conversor Buck ideal. L
S + Vg
IL -
VL
+ Vc -
d
Em que:
IR
IC C
+
R
Vo -
Figura 1 - Conversor Buck ideal. Fonte: Autoria Própria. Primeiramente análise o circuito quando a chave S encontra-se fechada, o circuito é representado na Figura 2. Quando a chave S encontra-se fechada, o diodo é aberto. L
S +
IL
IL
VL
-
IC + Vc -
Vg
Em seguida é feito a análise para o circuito quando a chave S encontra-se fechada. O circuito equivalente é representado na Figura 3.
C
+
IR
VL
-
IC + Vc -
R
C
IR R
Vo
Figura 2 – Circuito conversor Buck com a chave S fechada. Fonte: Autoria Própria.
Figura 3 - Circuito conversor Buck com a chave S aberta. Fonte: Autoria Própria.
Utilizando à LTK no circuito da Figura 2 obtém as equações descritas abaixo:
Utilizando à LTK no circuito da Figura 3 obtém as equações (2), (3), (4), (5) e a (8)
=
(2)
()
(3)
Logo, aplicando (8) em (3) e (2), (4) em (5), obtém:
() =
(4)
() () = −
= −
(5)
() () = −
= −
(6)
=
=
= −
(8)
As equações acima podem ser representadas no modelo de espaço de estados, como mostrado na equação (9).
~ ~
(12) ~
(9)
~
Em seguida foi aplicado o grupo de equações (12) para reescrever as equações de estado, e considerando que os termos de segunda ordem são desprezíveis, obtém o grupo de equações (13).
Em que:
B
2
0 0
~
~
~
~
~
~
~
~ ~
~
C ( 0 1 ) 2
Separando os componentes CC e CA obtém:
Em seguida é feito a média das variáveis de estado usando a razão cíclica, para isso é utilizado o conjunto de equações (10).
(14) Substituindo a equação (14) em (1), obtém:
A A d A ( 1 d ) 1
(15)
2
B B d B ( 1 d ) 1 2 C C d C ( 1 d ) 1
(10) Separando a componente CA e resolvendo para o domínio da frequência, obtém o termo CA com influência das variações da tensão de entrada como sendo:
2
F F d F ( 1 d ) 1
2
Aplicando as equações (7) e (9), na equação (10). Obtém a matriz média do modelo de espaço de estados, que está descrito na equação (11).
IL V
0
1
C
c
1 L
~
~ ~
IL
d
L V V c 0 R C
~
1
(11)
~
[
~
~ ~
(16)
]~
Para identificar a componente CA com influência das variações da razão cíclica é utilizado a equação (17). ~
~
Em que:
0 A
1
d
L
1
C
(17)
Para determinar a corrente em relação a razão cíclica é utilizado a equação (18):
1 R C
(13)
B
~
L
0
~
~
(18)
C ( 0 1 )
B. Conversor Buck considerando as não idealidades do indutor e do capacitor
Para obter o termo CC do circuito do conversor Buck, é aplicado pequenas perturbações as variáveis de estados. Descritos pelo conjunto de equações (12).
A Figura 4 representa o conversor Buck com as não idealidades do capacitor e indutor.
S
L +
Vg
rl
IL
VL -
IR
IC + Vc rc
d
1 rl R rc L R rc V R c C ( R rc) IL
C
+ Vo
R
-
Utilizando da mesma metodologia utilizada no conversor Buck ideal, primeiramente determinou as equações de estados para o circuito quando a chave S se encontrava fechada, o circuito está representado na Figura 5. L +
rl
IL
VL -
IC + Vc rc
Vg
C
IR R
+
1
IL
L Vg V c 0 C ( R rc) 1
I
L R rc V c R
Em que: 1 rl R rc L R rc A1 R C ( R rc) C1
S
(25)
R rc Vo R rc
Figura 4 - Circuito conversor Buck com as não idealidades do indutor e capacitor. Fonte: Autoria Própria.
R L ( R rc)
R rc R rc
R
R
L ( R rc)
C ( R rc) 1
R rc
A próxima etapa é realizar a análise do conversor Buck quando a chave encontra-se aberta. Como mostra a Figura 6.
Vo
rl
L
-
+
VL -
IR
IC + Vc rc
Figura 5 - Circuito conversor Buck com a chave S fechada. Fonte: Autoria Própria. Aplicando a LCK no circuito da Figura 5 obtém as equações (3), (4), (5) e:
IL
C
Vo
R
-
L ∂i (t) = − V − rlI − rcI − Vc ∂t
(19)
Figura 6 - Circuito conversor Buck com a chave S aberta. Fonte: Autoria Própria.
C ∂V (t) = I − I ∂t
(20)
Utilizando à LTK no circuito da Figura 6 obtém as equações (3), (4), (5) e:
Aplicando as equações de divisor de tensão e corrente no circuito da Figura 5 obtém: R Vc R+rc
(21)
Vo =
R rcI R+rc
(22)
I =
R I R+rc
(23)
Vo =
rcI I = R+rc
(24)
Substituindo as equações (21), (22), (23), (24) nas equações (19) e (20) obtém a equação em espaço de estados do conversor Buck com as não idealidades do indutor e capacitor para o momento em que a chave S se encontra fechada.
L ∂i (t) = −rlI − rcI − Vc ∂t
(26)
C ∂V (t) = I − I ∂t
(27)
Substituindo as equações (21), (22), (23), (24) nas equações (26) e (27) obtém a equação em espaço de estados do conversor Buck com as não idealidades do indutor e capacitor para o momento em que a chave S se encontra aberta.
1 rl R rc L R rc V R c C ( R rc) IL
R rc Vo R rc
I L R rc V c R
R L ( R rc)
IL
Vc C ( R rc) (28 ) 1
