BS2_Skriptum_2010

ifb Technische Universität Graz Erzherzog-Johann-Universität

Institut für Baustatik

Baustatik 2 Skriptum zur Lehrveranstaltung 202.292, Bachelorstudium, Bauingenieurwissenschaften Vortragender: Univ.-Prof. Dr. Gernot Beer

SS 2010

Deformationsmethode Einführung Diskretisiertes Tragwerksmodell Vorzeichenkonvention für Kraft- und Weggrößen Ebene Stabelemente Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten Beidseitig gelenkig angeschlossener Stab - Fachwerkstab Beiderseits starr angeschlossener Biegestab Verschiebung quer zur Stabachse Verdrehung Zusammenfassung der Ergebnisse Einseitig gelenkig angeschlossener Stab Globale Steifigkeitskoeffizienten Einfluss der Querschubanteile Starreinspannwerte Gleichlast Temperaturänderung Gleichmäßige Erwärmung Temperaturgradient Weitere Starreinspannwerte Berechnungsschritte Schritt 1: Diskretisierung des Systems Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Weggrößen Allgemeines Schritt 3: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen. Schritt 4: Verformungszustand D1=1 am kinematisch best. Grundsystem Schritt 5: Verformungszustand D2=1 am kinematisch best. Grundsystem Schritt 5: Verformungszustand D3=1 am kinematisch best. Grundsystem Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems Schritt 8: Bestimmung der Schnittgrößen Matrix stiffness method Einführung Numerisches Modell des Tragwerks Definition der Weg- und Kraftgrößen an den Knoten und Elementen Lokale Elementsteifigkeitsmatrix Transformation lokal-global Globale Elementsteifigkeitsmatrix Assemblierung der Steifigkeitsmatrix Assemblierung des Belastungsvektors Knotenkräfte Belastung zwischen den Knoten Lösung des Gleichungssystems Gauß’sches Eliminationsverfahren Spezielle Methoden zur Lösung von schwach besetzten Matrizen Berechnung der Ergebnisse

1-1 1-1 1-2 1-3 1-5 1-6 1-6 1-12 1-12 1-14 1-17 1-18 1-19 1-21 1-21 1-21 1-23 1-24 1-25 1-27 1-32 1-32 1-33 1-33 1-35 1-36 1-37 1-38 1-39 1-39 1-39 2-1 2-1 2-1 2-3 2-4 2-6 2-7 2-8 2-12 2-12 2-12 2-13 2-13 2-15 2-16

Baustatik 2 0-2

0

Stabverformungen Schnittkraftverläufe Federelemente Wegfedern Drehfedern Allgemeine Federlagerung Verwendung von Federn für Auflagerbedingungen Rechenbeispiel Numerisches Modell Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen Lokale Steifigkeitsmatrix Transformationsmatrix Globale Elementsteifigkeitsmatrizen Assemblierung der Systemsteifigkeitsmatrix Belastungsvektor Starreinspannwerte in lokaler Richtung Starreinspannwerte in globalen Richtungen Assemblierung des Belastungsvektors Lösung des Gleichungsystems Zurodnung der WGR zu den Elementen und Transformation Berechnung der StabendKGR Schnittgrößen Momentenverlauf Querkraftverlauf Normalkraftverlauf Drehwinkelverfahren Einführung Definition der Stabverformung über Drehwinkel Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten Beiderseits starr angeschlossener Biegestab Einseitig gelenkig angeschlossener Biegestab Berechnungsschritte Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Drehwinkel Schritt 3: Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen Allgemeines Schritt 4: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen. Schritt 5: Verformungszustand D1=1 am kinematisch best. Grundsystem Schritt 6: Verformungszustand D2=1 am kinematisch best. Grundsystem Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems Schritt 8: Bestimmung der Schnittkräfte Verschieblicher Rahmen Angabe Diskretisierung des Systems Bestimmung der unbekannten Drehwinkel Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen

0-3 Baustatik 2

2-17 2-18 2-20 2-20 2-20 2-21 2-21 2-22 2-23 2-24 2-24 2-24 2-25 2-27 2-28 2-28 2-28 2-29 2-29 2-30 2-31 2-32 2-32 2-32 2-33 3-1 3-1 3-2 3-3 3-3 3-4 3-5 3-5 3-6 3-6 3-7 3-9 3-12 3-14 3-14 3-15 3-19 3-19 3-20 3-20 3-21

Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System Schritt 2: D1=1 Schritt 3: D2=1 Schritt 4: D3=1 Gleichgewichtsbedingungen Temperaturänderung Belastung am kinematisch bestimmten Grundsystem Temperaturgradient Gleichmäßige Temperaturerhöhung Auflagerverschiebung Kinematisch bestimmtes Grundsystem Beispiel mit Feder Belastung am kinematisch bestimmten System Kinematisch bestimmtes Grundsystem Beispiel mit Feder Belastung am kinematisch bestimmten System D1=1, D2=0, D3=0 D1=0, D2=1, D3=0 D1=0, D2=0, D3=1 Symmetrische Tragwerke Einführung Achsensymmetrie Symmetrieachse schneidet normal zur Stabachse Symmetrieachse schneidet den Stab parallel zur Stabachse Zyklische Symmetrie Beispiele Symmetrisches System Diskretisierung des Systems Ersatzsystem für Lastfall 1 Bestimmung der unbekannten Drehwinkel Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System Schritt 2: D1=1 Ergebnisse Antimetrisches System Ersatzsystem Bestimmung der unbekannten Drehwinkel Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System Schritt 2: D1=1 Schritt 3: D2=1 Ergebnisse Zyklische Symmetrie Ersatzsystem

3-22 3-25 3-27 3-29 3-31 3-33 3-34 3-35 3-37 3-39 3-41 3-46 3-48 3-41 3-46 3-48 3-49 3-50 3-51 4-1 4-1 4-1 4-3 4-4 4-6 4-6 4-6 4-7 4-7 4-8 4-9 4-10 4-11 4-12 4-12 4-13 4-13 4-14 4-15 4-16 4-18 4-18

Baustatik 2 0-4

0

0-5 Baustatik 2

1

Deformationsmethode

1.1 Einführung Für die Berechnung von statisch unbestimmten Systemen gibt es ein zweites Verfahren: die Deformationsmethode (stiffness method). Letztere ist auch unter dem Namen Weggrößenverfahren, Verschiebungsgrößenverfahren oder Steifigkeitsmethode bekannt. Der Unterschied besteht darin, das bei der Kraftgrößenmethode zuerst die Gleichgewichtsbedingungen und dann die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt werden während es bei der Deformationsmethode genau umgekehrt ist. Dies soll an Hand eines Beispiels eines Durchlaufträgers erklärt werden (Abb. 1.1).

d2 d3

d1 Statisch bestimmtes Grundsystem

Kinematisch bestimmtes Grundsystem

Verträglichkeitsbedingung!

Gleichgewicht !!

Abb. 1.1 Gegenüberstellung Kraftgrößen- und Deformationsmethode

Bei der Kraftgrößenmethode wird ein statisch bestimmtes Grundsystem eingeführt indem man ein Gelenk über dem Auflager einführt. Wie man in Abb. 1.1 an der

Baustatik 2 1-1

1

Deformationsmethode Einführung

verformten Figur erkennt, wird die Verträglichkeitsbedingung (eindeutige Tangente) über dem Auflager nicht erfüllt und muß durch ein aufgebrachtes Momentenpaar wiederhergestellt werden. Die Größe dieses Moments wird mit der Verträglichkeitsbedingung bestimmt. Bei der Deformationsmethode wird ein kinematisch bestimmtes Grundsystem eingeführt (alle unbekannten Weggrößen werden zu Null gesetzt). In Abb. 1.1 ist dargestellt das in diesem Fall die Gleichgewichtsbedingungen nicht erfüllt sind, da an allen Knoten ein Moment aufgebracht werden muß um die Verdrehung zu verhindern. Werden die Haltemomente weggenommen verdrehen sich die Knoten. Für die Bestimmung dieser Verdrehungen verwendet man die Bedingung, das alle am Knoten angreifende inneren Kräfte im Gleichgewicht sind. Hier soll die Deformationsmethode näher erklärt werden.

Knoten

2

1

3

2

Stabelement 1

4

Abb. 1.2 Tragwerk und diskretisiertes Tragwerk

1.1.1 Diskretisiertes Tragwerksmodell Der erste Schritt der Deformationsmethode ist es das Tragwerk in Stabelemente welche an Knoten verbunden sind, zu unterteilen. Diesen Vorgang nennt man auch Diskretisierung. Bei einem diskretisierten Tragwerksmodell treten unbekannte Weggrößen nur an den Knotenpunkten auf. Aus diesen kann die Verformung der einzelnen Stabelemente und damit auch der Verlauf der Innerer Kraftgrößen aus den Knotenweggrößen bestimmt werden. Die Bewegungsmöglichkeiten der Kno-

1-2 Baustatik 2


ten sind für ebene Tragwerke: die horizontale und vertikale Verschiebung und die Verdrehung. Diese Bewegungsmöglichkeiten nennt man auch Freiheitsgrade (degrees of freedom). Je nach dem wie die Knoten ausgebildet sind müssen für die angrenzenden Stabelemente gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt werden. Je nach verwendeten Symbol sind die Verdrehungen der an den Knoten verbundenen Stäbe voneinander abhängig oder unabhängig. Die verwendeten Symbole sind starre Verbindung - Verdrehungen aller verbundenen Stäbe sind gleich gelenkige Verbindung - Verdrehungen aller verbundenen Stäbe sind unabhängig Halbgelenk - Verdrehung des mit Halbgelenk verbundenen Stabes ist unabhänging Für das in Abbildung 1.2 dargestellte Tragwerk sind in Abb. 1.3 die Freiheitsgrade dargestellt. Das Tragwerk hat 11 Freiheitsgrade, 6 Verschiebungen und 5 Verdrehungen. Der Einfachheit halber werden die Freiheitsgrade hier durchgehend numeriert und mit D 1 – D 7 bezeichnet. D1

D2

D6

D4 D5

D3

D7

Abb. 1.3 Tragwerk mit Freiheitsgraden

1.1.2 Vorzeichenkonvention für Kraft- und Weggrößen Bei den Kraft- und Weggrößen unterscheiden wir zwischen äußeren und inneren und ob sie am Knoten oder am Stabelement wirken. Abb. 1.4. zeigt die Vorzeichenkonvention für Knoten Weg- und Kraft-größen. Die inneren Kraftgrößen werden durch das Freischneiden der Stabelemente vom Knoten freigelegt. Die lokale Koordinate x verläuft entlang des Stabes von i nach j. Statt der lokalen Numerierung der Endknoten kann auch die Kennfaser verwendet werden, da eine klare Beziehung besteht. Die am Stab angreifenden inneren Kraftgrößen in Abb. 1.5 sind auf die Stabachse bezogen und entsprechen daher der Größe nach den Schnittkräften.

Baustatik 2 1-3

1


Allerdings ist die Vorzeichenkonvention hier anders. Während die Richtung der Schnittgrößen davon abhängt ob man das linke oder rechte Schnittufer betrachtet, ist die Konvention für die Deformationsmethode die, dass die inneren Kräfte unabhängig davon sind. Der Grund dafür ist, dass die Methode auch zum Programmieren geeignet sein soll und die Begriffe “links/rechts” für den Computer unverständliche Ausdrücke sind. Um diesen Unterschied zu den Schnittgrößen zu unterstreichen werden die inneren Kraftgrößen nicht mit N, Q, M sondern mit, px , py , m bezeichnet. PY

T Y

uY

M

uX

X

PX Kraftgrößen

Weggrößen

Abb. 1.4 Vorzeichenkonvention für positive Knoten-weg- und kraftgrößen x

mj pyj y

pxj j

Stabelement pyi

Endknoten j pyj

mj Kennfaser

i

mi pxi mi

Anfangsknoten i pyi Abb. 1.5 Innere Kraftgrößen am Stab und an den Knoten

1-4 Baustatik 2

Deformationsmethode Ebene Stabelemente

1.2 Ebene Stabelemente Dir Grundlage der Deformationsmethode ist es zunächst die Stabelemente einzeln zu betrachten und dann zu einem Tragwerk zu assemblieren. Die Einflüsse welche auf ein Stabelement wirken können sind: Verschiebung/Verdrehung der Elementknoten und eine Belastung zwischen den Knoten. Tj u Yj Ti j

Y u Xj

u Yi

X

i u Xi Abb. 1.6 Globale Weggrößen eines Stabelements

Tj y

Ti j

x

u yj u xj

u yi i u xi

Y X

Abb. 1.7 Lokale Weggrößen eines Stabelements

In Abb. 1.6 und Abb. 1.7 werden die Weggrößen eines Stabelements im globalen und lokalen Koordinatensystem (entlang und quer zur Stabrichtung) gezeigt. In Abb. 1.8 und Abb. 1.9 sind die inneren Kraftgrößen dargestellt. Dabei werden die globalen Koordinaten mit Großbuchstaben, die lokalen mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Es fällt auf, dass sich bei dem Verdrehungsfreiheitsgrad bzw. dem Moment keine Änderung zwischen den lokalen und globalen Größen ergibt, da der Momentenvektor aus der Ebene zeigt.

Baustatik 2 1-5

1

Deformationsmethode Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten

p Yj p Xj

j

Y

mj

p Yi

X

i p Xi

mi

Abb. 1.8 Globale Kraftgrößen eines Stabelements x

p yj y

j p yi

p xi

i

p xj mj Y

mi

X

Abb. 1.9 Lokale Kraftgrößen eines Stabelements

1.3 Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten Hier werden die Einwirkungen getrennt behandelt, indem man alle Weggrößen zu Null setzt und dann nur einen Einheitswert einer Weggröße berücksichtigt. Die Auswirkung dieser Einheitsgröße auf die inneren Kraftgrößen wird bestimmt. Die so erhaltenen Kraftgrößen werden als Steifigkeitskoeffizienten (stiffness coefficients) bezeichnet. Dabei ist zu unterscheiden, ob die Einheits-Weggrößen bzw. die erhaltenen Kraftgrößen in Richtung der lokalen Stabachsen oder in globaler Richtung angenommen werden.

1.3.1 Beidseitig gelenkig angeschlossener Stab Fachwerkstab Zunächst betrachten wir ein Stabelement, das an beiden Enden gelenkig am Knoten angeschlossen ist und zwischen den Knoten keine Belastung erfährt: den Fachwerkstab. Hier ist das Moment an den Stabenden Null. Zuerst werden die Steifigkeitskoeffizienten im lokalen und anschließend im globalen Koordinatensystem bestimmt.

1-6 Baustatik 2


0

y

0

x EA – -------L

EA L

EA -------L

u xi = 1 0

0

EA -------L u xj = 1

0 EA – -------L

0

u yi = 1 0 0

0

0

u yj = 1 0

0 Abb. 1.10 Lokale Stabendkraftgrößen infolge Einheitswerte lokaler Weggrößen

Aus einer Verschiebung des Knotens i um einen Betrag 1 in Stabrichtung ergibt sich die Dehnung im Stab : 1 H = --L Aus dem Hooke’schen Gesetz erhält man dann die Spannung zu V = EH

Baustatik 2 1-7

1


und somit die Stabkraft bzw. die Kraftgröße am Stabende i mit EA p xi = A V = -------L Andere Kraftgrößen ergeben sich aus Gleichgewichtsbedingungen. Man sieht, dass für die Verschiebungen in die lokale y-Richtung keine Stabkräfte entstehen. Dies gilt natürlich nur unter der Annahme kleiner Verformungen (siehe Skriptum Baustatik 1, Abschnitt 4.1.1). Mit Hilfe der eben errechneten Steifigkeitskoeffizienten ist es nun möglich, eine Beziehungen zwischen den Knotenweggrößen und den Knotenkraftgrößen herzustellen. Für den Fachwerkstab sind diese: EA EA p xi = -------- u xi – u xj , p xj = -------- u xj – u xi L L p yi = 0 , p yj = 0 Die Stabkraft ist somit EA S = – p xi = p xj = -------- u xj – u xi L Der Einfluß von globalen Weggrößen auf globale Kraftgrößen ist in Abb. 1.11 für die Verschiebungen am Knoten i und in Abb. 1.12 für die Verschiebungen am Knoten j dargestellt. Hier bestimmt man zuerst die Längenänderung des Stabes. Aus dieser kann man dann die Kraftgröße in Stabrichtung bestimmen. Die globalen Kraftgrößen werden dann als die globalen Komponenten des Kraftvektors in Stabrichtung bestimmt. Man sieht, dass hier 2 Transformationen stattfinden, eine der Weggrößen, die andere der Kraftgrößen.

1-8 Baustatik 2


EA – -------- cos D sin D L j L

EA 2 -------- cos D L c /L EA

osD

osD 1c

EA 2 – -------- cos D L

EA

D

i u Xi = 1 EA -------- cos D sin D L EA – -------- sin D cos D L j

EA 2 – -------- sin D L

u Yi = 1 EA -------- sin D cos D L inD Ls / EA

i

D

inD 1s EA 2 -------- sin D L

Abb. 1.11 Globale Stabendkraftgrößen infolge von globalen Weggrößen am Anfangsknoten i

Baustatik 2 1-9

1


EA -------- cos D sin D L EA 2 -------- cos D L

/ EA

u Xj = 1

j 1c

EA 2 – -------- cos D L

osD c L

osD

D i EA – -------- cos D sin D L 1s

inD

u Yj = 1

inD Ls / EA

j

EA – -------- sin D cos D L

EA 2 -------- sin D L

EA -------- sin D cos D L

D i EA 2 – -------- sin D L

Abb. 1.12 Globale Stabendkraftgrößen infolge von globalen Weggrößen am Endknoten j

Mit Hilfe der eben errechneten Steifigkeitskoeffizienten ist es nun möglich Beziehungen zwischen den Knotenweggrößen und den Knotenkraftgrößen herzustellen.

1-10 Baustatik 2


Für den Fachwerkstab sind diese: EA EA 2 p Xi = -------- cos D u Xi – u Xj + -------- sin D cos D u Yi – u Yj L L EA EA 2 p Yi = -------- sin D u Yi – u Yj + -------- sin D cos D u Xi – u Xj L L EA EA 2 p Xj = -------- cos D u Xj – u Xi + -------- sin D cos D u Yj – u Yi L L EA EA 2 p Yj = -------- sin D u Yj – u Yi + -------- sin D cos D u Xj – u Xi L L Die Stabkraft wird aus den globalen Knotenverschiebungen wie folgt berechnet: EA S = -------- u Xi – u Xj cos D + u Yi – u Yj sin D L Die Steifigkeitskoeffizienten sind in Tab. 1.1 dargestellt. Tab. 1.1 Globale Steifigkeitskoeffizienten für den Fachwerkstab

u Xi = 1 D p Xi

EA 2 -------- cos D L

p Yi


p Xj

EA 2 – -------- cos D L

p Yj


u Yi = 1 D EA -------- sin D cos D L EA 2 -------- sin D L EA – -------- sin D cos D L EA 2 – -------- sin D L

u Xj = 1 D EA 2 – -------- cos D L

u Yj = 1 D EA – -------- sin D cos D L


EA 2 – -------- sin D L

EA 2 -------- cos D L



EA 2 -------- sin D L

Baustatik 2 1-11

1


1.3.2 Beiderseits starr angeschlossener Biegestab Hier betrachten wir den allgemeineren Fall des beiderseits starr angeschlossenen Biegestabs. Der Stab hat nun sechs Freiheitsgrade. Es wird wieder so vorgegangen, dass zunächst die Weggrößen/Kraftgrößen in lokalen Koordinaten betrachtet werden. Die Verformungszustände uxi=1 und uxj=1 wurden bereits behandelt. Für die Bestimmung der Kraftgrößen aus den anderen Verformungszuständen wird die Kraftgrößenmethode verwendet. Das zu berechnende Tragwerk ist 3-fach statisch unbestimmt. Es kann aber erkannt werden, dass für die untersuchten aufgebrachten Verformungen die unbekannte Kraftgröße in Richtung des Stabes Null sein wird. Die Querschubanteile werden zunächst einmal vernachlässigt. 1.3.2.1

Verschiebung quer zur Stabachse u yj = 1 :

Man erkennt, dass das System und die Belastung Antimetriebedingungen erfüllen. Daher wird nur eine Unbekannte X1 (das Moment in der Einspannung) angesetzt (Abb. 1.13). y

X1 X1 u yi = 1

x

Abb. 1.13 Verschiebungszustand u yi = 1 und Wahl der Unbekannten.

Am statisch bestimmten Grundsystem können die Verdrehungen der Stabenden M einfach aus der Geometrie bestimmt werden (Abb. 1.14). u yi = 1

1 M = --L

M

L Abb. 1.14 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X1=0

Die Klaffung am 0-System ergibt sich: 2d 10 = – 2M

1-12 Baustatik 2

1 o d 10 = – --L


X1 = 1

i

d 11

X1 = 1

j

d 11 -1 1

M1

Q1

2/L

Abb. 1.15 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X1=1

Für einen Stab mit konstanten Querschnittswerten erhält man für die Klaffung am 1-System folgende Beziehung: 2EId 11 =

³ M12 dx

L o d 11 = --------6EI

Aus der Kompatibilitätsbedingung ergibt sich nun die statisch Unbestimmte zu: d 10 1 6EI X 1 = – ------- = – § – --- ---------· , © L L ¹ d 11

6EI X 1 = --------- = m i = m j 2 L

Mit der Gleichgewichtsbedingung 6 M j = m i + m j – p yi L = 0 erhält man mi + mj 12EI p yi = ------------------ = -----------3 L L 12EI und aus Summe aller Kräfte quer zum Stab p yj = – ------------ . 3 L Die Ergebnisse der Berechnung sind in Abb. 1.16 zusammengefaßt.

Baustatik 2 1-13

1


12EI -----------3 L

12EI – -----------3 L

u yi = 1

x

6EI --------2 L

6EI --------2 L

Abb. 1.16 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen

Der Schnittkraftverlauf über das Stabelement ist in Abb. 1.17 gezeigt. Bei der graphischen Darstellung der Momente ist auf die Vorzeichen zu achten, da diese stets auf die Kennfaser bezogen werden müssen.

6EI --------L2

M 6EI --------L2

12EI -----------L3

Q

Abb. 1.17 Momenten- und Querkraftverlauf im Stabelement zufolge u yi = 1

Verdrehung T i = 1 :

1.3.2.2

Hier ist es notwendig zwei Unbekannte X1 und X2 (Momente in den Einspannungen) zu bestimmen (siehe Abb. 1.18). y

X1

X2 Ti = 1

x

Abb. 1.18 Verdrehungszustand T i = 1 und Wahl der Unbekannten

1-14 Baustatik 2


X1 = 1

d 11

d 21

-1 M1 Abb. 1.19 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X1=1.

X2 = 1 d 12

d 22

1

M2

Abb. 1.20 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X2=1

Für einen Stab mit konstanten Querschnitt sind die Klaffungen: L L EId 11 = EId 22 = --- , EId 12 = EId 21 = – --3 6 Die Verträglichkeitsbedingungen sind: d 1 = d 11 X 1 + d 12 X 2 = 1 d 2 = d 21 X 1 + d 22 X 2 = 0 L --- X i – L --- X j = 0 3 6 --- X i + L --- X j = EI –L 6 3 und damit 4EI X 1 = --------- = m i L

2EI X 2 = --------- = m j L

Baustatik 2 1-15

1


Aus Gleichgewicht folgt: 6EIp yi = -------L2

6EIp yj = – -------L2

Die Ergebnisse sind in Abb. 1.21 zusammengefaßt. 6EI --------2 L 4EI --------L

6EI – --------2 L 2EI --------L

Ti = 1

Abb. 1.21 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen

Die Schnittkräfte sind wieder auf die Kennfaser zu beziehen (siehe Abb. 1.22). 4-------EIL

2 EI

M

--------L 6EI --------L2

Q

Abb. 1.22 Momenten- und Querkraftverlauf im Stabelement zufolge T i = 1

Bei einem Stab mit konstantem Querschnitt ergeben sich die restlichen Verformungszustände aus Symmetrie.

1-16 Baustatik 2


1.3.2.3

Zusammenfassung der Ergebnisse

Die lokalen Kraftgrößen aus lokalen Einheitsweggrößen an den Knoten sind in Tab. 1.2 zusammengefaßt. Tab. 1.2 Zusammenfassung der Ergebnisse für starr angeschlossenen Stab

u xi = 1

u yi = 1

Ti = 1

u xj = 1

u yj = 1

Tj = 1

p xi

EA -------L

0

0

–E A ----------L

0

0

p yi

0

12EI -----------3 L

6EI --------2 L

0

12EI – -----------3 L

6EI --------2 L

mi

0

6EI --------2 L

4EI --------L

0

p xj

EA – -------L

0

0

EA -------L

0

0

12EI – -----------3 L 6EI --------2 L

6EI – --------2 L

0

12EI -----------3 L

6EI – --------2 L

2EI --------L

0

6EI – --------2 L

4EI --------L

p yj mj

0 0

6EI – --------2 L

2EI --------L

Die Beziehungen zwischen lokalen Kraftgrößen und den Weggrößen lauten: EA p xi = -------- u xi – u xj L 12EI 6EI p yi = ------------ u yi – u yj + --------- T i + T j 3 2 L L 6EI 4EI 2EI m i = --------- u yi – u yj + --------- T i + --------- T j 2 L L L EA p xj = -------- – u xi + u xj L 12EI 6EI p yi = ------------ – u yi + u yj – --------- T i + T j 3 2 L L 6EI 4EI 2EI m j = --------- u yi – u yj + --------- T j + --------- T i 2 L L L

Baustatik 2 1-17

1


1.3.3 Einseitig gelenkig angeschlossener Stab Hier werden die Ergebnisse für ein Stabelement gezeigt, welches am linken Knoten gelenkig verbunden ist. Tab. 1.3 Zusammenfassung der Ergebnisse, links gelenkig, rechts starr angeschlossener Stab

u xj = 1

u yj = 1

Tj = 1

0

–E A ----------L

0

0

3EI --------3 L

0

0

3EI – --------3 L

3EI --------2 L

0

0

0

0

0

EA -------L

0

0

0

0

u xi = 1

u yi = 1

p xi

EA -------L

0

p yi

0

mi

0

p xj

EA – -------L

p yj

0

mj

0

0 3EI – --------3 L 3EI --------2 L

0

0

0

3EI --------3 L 3EI – --------2 L

3EI – --------2 L 3EI --------L

Die Beziehungen zwischen lokalen Kraftgrößen und den Weggrößen lauten: EA p xi = -------- u xi – u xj L 3EI 3EI p yi = --------- u yi – u yj + --------- T j 3 2 L L mi = 0 EA p xj = -------- – u xi + u xj L 3EI 3EI p yj = --------- – u yi + u yj – --------- T j 3 2 L L 3EI 3EI m j = --------- u yj – u yi + --------- T j 2 L L

1-18 Baustatik 2


1.3.4 Globale Steifigkeitskoeffizienten Die Berechnung der globalen Kraftgrößen wird nur für u Xi = 1 in Abb. 1.23 gezeigt. Der Berechnungsverlauf ist ähnlich wie beim Fachwerkstab d.h. es werden zunächst die Komponenten der Kraftgrößen am lokalen und dann am globalen Koordinatensystem bestimmt.

j § EA 12EI· -¸ sin D cos D ¨ -------- – ----------3 © L L ¹

– 6EI ------------ sin D 2 L

inD

osD

i

I

D

u Xi = 1

3

L EI / -12

c /L A E

osD 1c

,E EA

1s

EA 12EI 2 2 -------- cos D + ------------ sin D 3 L L

L

D sin Abb. 1.23 Globale Kraftgrößen am Knoten i aus u Xi = 1

Die Steifigkeitskoeffizienten sind in Tab. 1.4 zusammengefaßt.

Baustatik 2 1-19

1


Tab. 1.4 Globale Steifigkeitskoeffizienten

u Xi = 1 D

p Xi p Yi mi

u Yi = 1 D

EA 12EI 2 § EA 12EI· 2 -------- cos D + ------------ sin D ¨ -------- – ------------¸ sin D cos D 3 2 L © L L L ¹ § EA 12EI· -¸ sin D cos D ¨ -------- – ----------2 © L L ¹ 6EI – --------- sin D 2 L

EA 2 12EI 2 -------- sin D + ------------ cos D 3 L L 6EI --------- sin D 2 L

12EI 2 § 12EI EA· EA 2 p Xj – -------- cos D – ------------ sin D ¨ ------------ – --------¸ sin D cos D 3 L L¹ L © L2 § 12EI EA· 12EI 2 2 p Yj ¨ ------------ – --------¸ sin D cos D – EA -------- sin D + – ------------ cos D 2 3 L¹ © L L L 6EI 6EI --------- sin D – --------- sin D mj 2 2 L L u Xj = 1

u Yj = 1

Ti = 1 D 6EI – --------- sin D 2 L 6EI --------- cos D 2 L 4EI --------L 6EI --------- sin D 2 L 6EI --------- cos D 2 L 2EI --------L Tj = 1

D

D

D p Xi p Yi mi p Xj

EA 12EI 2 § 12EI EA· 2 – -------- cos D – ------------ sin D ¨ ------------ – --------¸ sin D cos D 3 L L¹ © L2 L EA 2 12EI 2 § 12EI EA· – ------sin D + – ------------ cos D ----------– ------sin D cos D ¨ 2 ¸ 3 L L¹ L © L 6EI 6EI – --------- sin D --------- sin D 2 2 L L EA 12EI 2 2 12EI· -------- cos D + ------------ sin D §¨ EA ------– ------------¸ sin D cos D 3 L 2 L L © L ¹

EA 2 12EI § EA 12EI· 2 - cos D p Yj ¨ -------- – ------------¸ sin D cos D -------- sin D + ----------3 2 L © L L L ¹ mj

1-20 Baustatik 2

6EI – --------- sin D 2 L

6EI --------- sin D 2 L

6EI – --------- sin D 2 L 6EI --------- cos D 2 L 2EI --------L 6EI – --------- sin D 2 L 6EI --------- cos D 2 L 4EI --------L

Deformationsmethode Starreinspannwerte

1.3.5 Einfluß der Querschubanteile Um den Einfluß der Querschubanteile auf die Steifigkeit zu bestimmen, muß bei der Berechnung der Steifigkeit der Querkraftanteil berücksichtigt werden (d.h. bei der Berechnung Klaffungen in 1.3.2 muß die virtuelle Arbeit aus Querkraft dazugenommen werden.) Für die Berechnung der Kraftgrößen aus u yj = 1 in 1.3.2.1 ist z.B. der vollständige Ausdruck: EId 11 =

³

1 EI 2 2 EI 2 M 12 dx+ ³ ------------ Q 1 dx+ = --- L + ------------ § ---· L 6 GA Q © L¹ GA Q

d 10 2 X 1 = – ------- = --------------------------------------- , EI 4 L L d 11 ------ § --- + ------------ ---· EI © 3 GA Q L¹

6EI X 1 = ----------------------- = m 1 = m 2 2 L 1 + c

12EI mit c = -----------------2 L GA Q Man sieht, dass der Einfluß des Querschubs nur bei sehr ungünstigen Verhältnissen Querschnittgröße zu Länge zum tragen kommt, da die Länge mit dem Quadrat im Nenner vorkommt.

1.4 Starreinspannwerte Hier wird der Effekt einer Belastung zwischen den Knoten betrachtet. Dabei werden alle Freiheitsgrade gesperrt, d.h. man rechnet mit einem kinematisch bestimmten Grundsystem. Das zu berechnende System ist 3-fach statisch unbestimmt, aus Symmetrie ergeben sich aber Vereinfachungen.

1.4.1 Gleichlast Abb. 1.24 zeigt die Belastung am kinematisch bestimmt aufgelagerten Stab. q EI

x

i

j

X1

X1 L

Abb. 1.24 Kinematisch bestimmtes Grundsystem

Baustatik 2 1-21

1


Die Berechnung erfolgt mit dem Kraftgrößenverfahren. Zunächst wird der Belastungszustand am statisch bestimmten Grundsystem ermittelt.

q

d 10

d 10 +

M0 qL 2 ---------8

Abb. 1.25 Belastung am statisch bestimmten Grundsystem

d 11

d 11 X1 = 1

X1 = 1

-1

M

1

Abb. 1.26 Einheitswerte der Unbekannten am stat. bestimmten Grundsystem

Die Klaffungen ergeben sich als: 2

EId10

2 qL = --- --------- – 1 L , EId 11 = – 1 – 1 L 3 8

und damit 3

2 qL --- --------2 3 8 qL X 1 = ----------------- = --------- = m i = – m j L 12

1-22 Baustatik 2


qL 2 ---------12

qL ------2

qL ------2

L

qL 2 ---------12

qL 2 – ---------12

qL 2 ---------12

qL 2 ---------8

M

qL ------2

Q

qL ------2

Abb. 1.27 Zusammenfassung der Ergebnisse

1.4.2 Temperaturänderung Ist die Temperaturänderung über den Querschnitt nicht konstant sondern linear veränderlich kann man den Zustand in Anteile gleichmäßiger und ungleichmäßiger Erwärmung aufteilen (Abb. 1.28). 'T o 'T S h

Schwerlinie

'T u

=

'T S

+

'T u – 'T o

Abb. 1.28 Aufteilung einer ungleichmäßigen Temperatureinwirkung

Baustatik 2 1-23

1


1.4.2.1

Gleichmäßige Erwärmung

Hier braucht man nur eine Unbekannte ansetzen, da kein Moment und keine Querkraft auftritt. X1

X1

'T s i

j

L

Abb. 1.29 Gleichmäßige Erwärmung eines Stabes

d 10

Abb. 1.30 Statisch bestimmtes Grundsystem

d 11 X1 = 1

X1 = 1

N1

-1

Abb. 1.31 Zustand X1=1

Das Ergebnis der Berechnung ist: D T 'T s L X 1 = ---------------------------- = EA D T 'T = p xi = – p xj L -------EA

1-24 Baustatik 2


1.4.2.2

Temperaturgradient

In diesem Fall tritt nur eine Krümmung und keine Normalkraft auf. Aus der Symmetriebedingung ergibt sich nur eine Unbekannte. 'T u – 'T o

X1

j

i

X1

L

Abb. 1.32 Ungleichmäßige Erwärmung eines Stabes

d 10

d 10

Abb. 1.33 Statisch bestimmtes Grundsystem

d 11

d 11 X1 = 1

X1 = 1

-1

M

1

Abb. 1.34 Zustand X1=1

Die Unbekannte ergibt sich zu : 'T u – 'T o – D T ------------------------------ L 'T u – 'T o h X 1 = – ----------------------------------------------------- = EID T ------------------------------ = m i = – m j h L -----EI

Baustatik 2 1-25

1


In Abb. 1.35 sind die Ergebnisse aus Temperatur zusammengefaßt, dabei ist 'Ts die Temperaturänderung in der Schwerachse des Querschnitts. 'T u – 'T o EID T -----------------------------h EA D T 'T s

'T u – 'T o – E ID T -----------------------------h – E A D T 'T s

'T u – 'T o – E ID T -----------------------------h

– E A D T 'T s

Abb. 1.35 Zusammenfassung der Ergebnisse Temperatur

1-26 Baustatik 2

M

N


1.4.3 Weitere Starreinspannwerte In den folgenden Tabellen sind weitere Einspannwerte für das Biegemoment aufgelistet. Die Stabendkraftgrößen können aus dem Gleichgewicht ermittelt werden. Tab. 1.5 Starreinspannwerte EI = const m

iB

m

j

i

jB

L

m

iB

m

BELASTUNGSFALL

q

qL 2 + --------12

jB

qL 2 – --------12

q

11- qL 2 + -------192

L/2

L/2

5 - qL 2 – -------192

L/2

qc – ---------- 3L 2 – c 2 24L

q

qc + ---------- 3L 2 – c 2 24L

L 2- 3q + 2q + ----A B 60

qL 2 + --------20

L/2

q

q

A

c

q

B

L - 2q + 3q – ----A B 60 2

qL 2 – --------30

Baustatik 2 1-27

1


EI = const m

iB

m

j

i

jB

L

m

iB

m

BELASTUNGSFALL

jB

q

5- qL 2 + ----96

L/2

L/2

5- qL 2 – ----96

L/2

------– PL 8

P

------+ PL 8

L/2

P

Pa 2 b– ----------L2

Pab 2

+ ----------L2

b

a

M

M + ----4

L/2

L/2

----+M 4

M

-------- 3a – L + Mb L2

1-28 Baustatik 2

a

b

-------- 3b – L + Ma L2


EI = const m

iB

m

j

i

jB

L

m

m

BELASTUNGSFALL

iB

jB

Stützensenkung

– 6EI --------- 'A – 'B L2

'A 'B

kälter wärmer

EI 'T D + -----------------------Th

--------- 'A – 'B – 6EI L2

EI 'T D – -----------------------Th

h DT

Tab. 1.6 Starreinspannwerte für einseitig gelenkig aufgelagerten Stab EI = const j

i

m

jB

L

m

iB

m

BELASTUNGSFALL

q

jB

qL 2 – --------8

0

q

0 L/2

L/2

7– -------qL 2 128

Baustatik 2 1-29

1


EI = const m

j

i

jB

L

m

iB

m

BELASTUNGSFALL

jB

q

0

c

L/2

q

0

0

qc – ---------- 3L 2 – c 2 16L

L/2

q

A

q

B

L 2– ------- 7q A + 8q B 120

7– -------qL 2 120

q L/2

5- qL 2 – ----64

L/2

3- PL – ----16

0 L/2

P

0

L/2

P

0

1-30 Baustatik 2

a

b

--------- L + a – Pab 2L 2


EI = const m

j

i

jB

L

m

iB

m

BELASTUNGSFALL

jB

M

0

M + ----8

L/2

L/2

M

0

M- L 2 – 3a 2 + -------2L 2

b

a

Stützensenkung

0

'A 'B

0

kälter wärmer

h DT

--------- 'A – 'B – 3EI L2

3EI 'T D – --------------------------T2h

Baustatik 2 1-31

1

Deformationsmethode Berechnungsschritte

1.5 Berechnungsschritte Die Deformationsmethode soll hier an Hand eines Beispiels erklärt werden. Abb. 1.36 zeigt das zu berechenende Tragwerk (dieses ist 3-fach statisch unbestimmt). Fachwerkstab: 5 EA = 6 u10 kN L

3= 6

,93

Biegestab:

m

4

2

EI = 5 u10 kNm 6 EA B = 6 u10 kN

q=10 kN/m 30q

L1=6,00 m

L2=5,00 m

Abb. 1.36 Beispiel zur Deformationsmethode

1.5.1 Schritt 1: Diskretisierung des Systems In Abb. 1.37 wird das System in Stabelemente unterteilt und die Stäbe sowie die lokalen Knoten i,j bezeichnet. Stabelement 1 ist beidseitig starr angeschlossen, 2 ist an der rechten Seite gelenkig angeschlossen und Stab 3 ist ein Fachwerkstab.

i

D = – 30° 3

L

3

i

1

L1

j

j

i 1

2

j

L2

Abb. 1.37 Diskretisierung

Hier sei anzumerken, dass die positive Richtung von D zu berücksichtigen ist und dieser Winkel von der lokalen Numerierung des Elements abhängt.

1-32 Baustatik 2


1.5.2 Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Weggrößen In Abb. 1.38 werden die unbekannten Weggrößen des Systems identifiziert. Das System hat 3 unbekannte Weggrößen, 2 Verschiebungen und eine Verdrehung am Knoten 1. Das System ist 3-fach kinematisch unbestimmt. Die Weggrößen werden mit D1-D3 bezeichnet. Die positiven Richtungen der Weggrößen ist in Richtung der globalen Achsen bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn, Hier soll darauf hingewiesen werden, dass im Gelenk des rechten Auflagers eine Verdrehung auftritt. Berücksicht man jedoch die reduzierte Steifigkeit des Stabes 2 so ist diese bekannt, wenn die Verdrehung am Knoten 1 bekannt ist. Daher wird diese Weggröße nicht als Unbekannte berücksichtigt. Y

X -D1 (X-Verscheibung)

-D2 (Y-Verschiebung)

D3(Verdrehung)

Abb. 1.38 Unbekannte Weggrößen

1.5.3 Allgemeines Für die Berechnung werden am Knoten temporäre Auflager angebracht welche die Weggrößen sperren. Dadurch wird das Tragwerk kinematisch bestimmt. Folgende Symbole werden für die temporären Auflager verwendet: Sperrung in globaler X-Richtung Sperrung in globaler Y-Richtung Sperrung der Verdrehung Im folgenden wird das Knotengelichgewicht betrachtet. Dabei wird ein Rundschnitt um den Knoten gemacht um die inneren Kraftgrößen sichtbar zu machen. Die inneren (auf den Stab wirkenden) Kräfte werden in globalen Richtungen X,Y angegeben. Nach dem Prinzip actio und reactio wirken die Stabendkräfte in entgegengesetzter Richtung auf den Knoten. Als Beispiel soll in Abb. 1.39 die Berech-

Baustatik 2 1-33

1


nung des Gleichgewicht an einem Knoten gezeigt werden an dem ein Stab einschleust.

p Yj

p Yj

j p Xj

M

mj mj

Knotengleichgewicht:

PX

p Xj PY

P X – p Xj = 0

P Y – p Yj = 0

M – mj = 0

P X = p Xj

P X = p Xj

M = mj

Abb. 1.39 Beispiel für die Berechnung des Knotengleichgewichts

Im folgenden werden die auf den Stab wirkenden Kraftgrößen graphisch immer in positiver Richtung angezeigt. Es wird nur den auf den Stab wirkenden Kraftgrößen ein Wert zugewiesen, welcher positiv oder negativ sein kann.

1-34 Baustatik 2


1.5.4 Schritt 3: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen. Für dieses System werden nun die Kraftgrößen an den temporären Auflagern berechnet und mit K10 bis K30 bezeichnet. Diese sind: 6F X = 0 : K 10 = 0 qL 1 6F Y = 0 : K 20 = --------- = 30 kN 2 2 – qL 1 6M = 0 : K 30 = -------------- = – 30 kNm 12

D1=D2=D3=0

Verformte Figur

q=10 kN/m

-30

45

-30

M 0 [kNm]

15 Knotengleichgewicht K 30 K 10

2

– qL 1 qL -------------- --------112 2

K 20

Abb. 1.40 Verformungszustand unter Belastung q und D1=D2=D3=0

Baustatik 2 1-35

1


1.5.5 Schritt 4: Verformungszustand D1=1 am kinematisch bestimmten Grundsystem Als nächstes wird der Einfluß einer Einheitsverformung in die X-Richtung untersucht. Aus Gleichgewichtsbedingungen werden die temporären Auflagerkräfte, welche den Steifigkeiten entsprechen, bestimmt: 6F X = 0 :

EA B EA B EA 2 6 K 11 = ----------- + ----------- + -------- cos – 30 q = 2 26 u10 kN/m L3 L1 L2

6F Y = 0 :

EA 4 K 21 = -------- sin – 30q cos – 30 q = – 3 75 u10 kN/m L3

6M = 0 : K 31 = 0 D1=1

Verformte Figur D1 = 1

M1 = 0 EA -------- sin – 30q cos – 30 q L3 Knotengleichgewicht

EA 2 -------- cos – 30 q L3

K 31 EA B ----------L1

K 21

K 11 EA B ----------L2

Abb. 1.41 Verformungszustand D1=1, D2=D3=0

1-36 Baustatik 2


1.5.6 Schritt 5: Verformungszustand D2=1 am kinematisch bestimmten Grundsystem Als nächstes wird der Einfluß einer Einheitsverformung in die Y-Richtung untersucht. Aus Gleichgewichtsbedingungen werden die temporären Auflagerkräfte, welche auch hier den Steifigkeiten entsprechen, bestimmt: EA 4 6F X = 0 : K 12 = -------- sin – 30q cos – 30 q = – 3 75 u10 kN/m L2 EA 2 12EI 3EI 4 6F Y = 0 : K 22 = -------- sin – 30 q + ------------ + --------- = 2 56 u10 kN/m 3 3 L3 L L 1

6M = 0 :

2

6EI 3EI 3 K 32 = – --------- + --------- = – 2 33 u10 kNm/m 2 2 L1 L2 D2=1


M 2 [MNm]

-8,33 -6 8,33 EA 2 -------- sin – 30 q L3 EA -------- sin – 30 q cos – 30 q L3 6EI – --------2 L1

Knotengleichgewicht K 32 K 12

12EI -----------3 L1

K 22

3EI --------2 L2

3EI --------3 L2

Abb. 1.42 Verformungszustand D1=0, D2=1, D3=0

Baustatik 2 1-37

1


1.5.7 Schritt 5: Verformungszustand D3=1 am kinematisch bestimmten Grundsystem Als nächstes wird der Einfluß einer Einheitsverdrehung untersucht. Aus Gleichgewichtsbedingungen werden die temporären Auflagerkräfte bzw. Steifigkeiten bestimmt: 6F X = 0 : K 13 = 0 6EI 3EI 3 6F Y = 0 : K 23 = – --------- + --------- = – 2 33 u10 kNm/m 2 2 L1 L2 6M = 0 :

4EI 3EI 4 K 33 = --------- + --------- = 6 33 u10 kNm L1 L2 D3=1


M3

-30

-16,6

33,3

[MNm]

Knotengleichgewicht K 33 K 13 4EI --------L1

– 6 EI -----------2 L1

K 23

3EI --------L2

3EI --------2 L2

Abb. 1.43 Verformungszustand D1=0, D2=0, D3=1

1-38 Baustatik 2


1.5.8 Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen Die unbekannten Weggrößen müssen so groß sein, dass die Kraftgrößen in den temporären Auflagern verschwinden. Dies ergibt: K 1 = K 10 + K 11 D 1 + K 12 D 2 + K 13 D 3 = 0 K 2 = K 20 + K 21 D 1 + K 22 D 2 + K 23 D 3 = 0 K 3 = K 30 + K 31 D 1 + K 32 D 2 + K 33 D 3 = 0 oder in Matrizenschreibweise:

0 qL 1 ---------2 + 2 –q L 1 ------------12

EA EA 2 B B EA ------------ + ------------ + -------- cos – 30 q L L L 3 1 2 EA -------- sin – 30q cos – 30 q L 3

, ,

EA -------- sin – 30q cos – 30 q L 3 EA 2 12EI 3EI -------- sin – 30 q + ------------ + ---------3 L 3 3 L L 2 1

,

0

,

6EI 3EI – ---------- + ---------2 2 L L 1 2

0

D1 0 6EI 3EI – ---------- + ---------= 0 2 2 D2 L L 1 2 0 D3 4EI 3EI --------- + --------L L 1 2

:bzw. nach Berechnung der Koeffizienten: 6

4

0 + 2 26 u10 D 1 – 3 75 u10 D 2 + 0 = 0 4

4

3

30 – 3 75 u10 D 1 + 2 56 u10 D 2 – 2 33 u10 D 3 = 0 3

4

– 30 + 0 – 2 33 u10 D 2 + 6 33 u10 D 3 = 0

Baustatik 2 1-39

1


1.5.9 Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems Die Lösung des Gleichungssystems ergibt folgende Weggrößen: –5

m

X-Verschiebung

–3

m

Y-Verschiebung

D 1 = – 1 92 u 10 D 2 = – 1 16 u 10 D 3 = 4 31 u 10

–4

rad

Verdrehung

1.5.10 Schritt 8: Bestimmung der Schnittgrößen Zunächst bestimmt man die Normalkraft im Fachwerkstab (siehe Seite 1-11): EA S = -------- > D 1 cos – 30q + D 2 sin – 30q @ = 48 76 kN L3 Den Biegemomentenverlauf erhält man durch Superposition des Verlaufes am kinematischen Grundsystem und den Verläufen aus den Einheitsverformungszuständen multipliziert mit den errechneten Wert der entsprechenden Weggröße (siehe Abb. 1.44).

1-40 Baustatik 2


-30

45

-30

15

M0

+ M1 D1 = 0 +

9,66 6,96

-9,66

M2 D2

+ -12,93

-7,18

M3 D3

3,59 14,37 -46,84 =

-5,97

M

18,59 Abb. 1.44 Endgültiger Momentenverlauf in [kNm]

Baustatik 2 1-41

1


Q0

-30 30

+ Q1 D1 = 0 + Q2 D2

3,22 -1,39

+ Q3 D3 2,59

3,59

=

-23,19 Q 36,81

1,19

Abb. 1.45 Endgültiger Querkraftverlauf in [kN]

1-42 Baustatik 2


N0 = 0 -1,44

23,04

+ N1 D1

-19,20 + 50,20

N2 D2

+ N3 D3 = 0 =

48,76 N -19,20 23,04 Abb. 1.46 Endgültiger Normalkraftverlauf in [kN]

Baustatik 2 1-43

1

1-44 Baustatik 2


2

Matrix stiffness method

2.1 Einführung Man erkennt aus dem Vorhergehenden, dass der Aufwand in der Berechnung mit der allgemeinen Deformationsmethode schon bei einfachen Tragwerken erheblich ist. Diese Methode ist für eine Handrechnung nicht geeignet, bringt aber ideale Voraussetzungen für eine Implementierung in ein Rechenprogramm. Die Methode muss jedoch für die Programmierung etwas anders aufbereitet werden. Die Verwendung von Matrizen vereinfacht die Aufstellung des Gleichungssytems und die Umsetzung in ein Rechenprogramm wesentlich. Daher ist die Methode auch unter dem Namen „Matrix Stiffness Method“ bekannt.

2.1.1 Numerisches Modell des Tragwerks Da der Rechner nur Zahlen versteht, müssen wir das diskretisierte Tragwerksmodell in ein numerisches Modell überführen, welches nur aus Zahlen besteht. globale Knotennummer 3

2

j i Y

1

1

1m

j i

2

lokale Knotennummern

i

Stabnummer 4,0m

3

j

X 4m

4

3m

Abb. 2.1 Diskretisiertes Tragwerk mit Nummerierung und Abmessungen

Baustatik 2 2-1

2

Matrix stiffness method Einführung

An Hand des Beispiels in Abb. 2.1 soll die Erstellung des numerischen Modells beschrieben werden. Zunächst werden ein Koordinatensystem definiert und alle Knoten und Stäbe nummeriert. Das numerische Modell besteht aus zwei Listen: Eine für die Knoten, die andere für die Elemente. Die Knotenliste enthält die Koordinaten der Knoten und die Angabe, welche Freiheitsgrade gesperrt sind (Tab. 2.1). Die Konvention für die Sperrung der Freiheitsgrade ist 1=gesperrt, 0=frei. Tab. 2.1 Knotenliste

Knoten X Y u x u y T 1

1,0 0,0

1

1

0

2

0,0 4,0

0

0

0

3

5,0 4,0

0

0

0

4

8,0 0,0

1

1

1

Die Elementliste enthält Angaben mit welchen Knoten das Element verbunden ist, die Materialnummer und die Angabe, ob es mit den Endknoten i,j starr oder gelenkig verbunden ist (0=starr, 1=gelenkig). Die Lage der Endknoten i,j bzw. die Sequenz in der die Knoten eingegeben werden ist in Abb. 2.1 gezeigt und hängt mit der Kennfaser zusammen. Schließlich gibt die Material/QuerschnittswerteListe an, welche Matrial- und Querschnittswerte den Materialnummern zugewiesen werden. Tab. 2.2 Elementliste

Stab

von bis Material Verbindung Verbindung i j No i j

1

1

2

1

1

0

2

2

3

1

0

1

3

3

4

1

1

0

Tab. 2.3 Matrial/Querschnittwerte Liste

Material No 1

2-2 Baustatik 2

E MPa

I m4

A m2

1000,00 0,001 0,01

Matrix stiffness method Definition der Weg- und Kraftgrößen an den Knoten und Elementen

2.2 Definition der Weg- und Kraftgrößen an den Knoten und Elementen Die Freiheitsgrade oder Weggrößen (WGR) eines Knotens n werden in einem Pseudovektor (d.h. eine Matrix mit einer Spalte) zusammengefasst. u Xn ^ u `n = u Yn Tn Dies kann auch in lokaler, auf das Element bezogener Nummerierung ausgedrückt werden. Der Pseudovektor für die globalen WGR des Endknotens i des Stabelements e ist z.B. e

u Xi û`

e

i

= u Yi Ti

oder auf die lokale Stabachsen x,y bezogen e

u xi û`

e i

= u yi Ti

Die am Knoten wirkende äußere Belastung ist definiert durch P Xn ^ P `n = P Yn Mn

Baustatik 2 2-3

2

Matrix stiffness method Lokale Elementsteifigkeitsmatrix

Die Stabend-Kraftgrößen (KGR), welche größenmäßig den Schnittkräften entsprechen, sind im lokalen Koordinatensystem x,y e

e

p xi ^p`

e i

p xj e

= p yi

, ^p` j = p yj

mi

mj

Diese können auch durch KGR in globale Richtungen X,Y ausgedrückt werden e

e

p Xi ^p`

e

i

p Xj e

= p Yi

, ^p` j = p Yj

mi

mj

2.3 Lokale Elementsteifigkeitsmatrix Im 1. Kapitel wurde für jeden Stab eine Beziehung zwischen den Stabend-WGR und den Stabend-KGR (Steifigkeit) abgeleitet und die Tabelle 1.2 erstellt. Diese wird nun in eine Matrix übergeführt. A ---L

[k]e = E

0

0

A – ---L

0

0

0

12I -------3 L

6I ----2 L

0

12I – -------3 L

6I ----2 L

0

6I ----2 L

4I ----L

0

6I – ----2 L

2I ----L

0

0

A ---L

0

0

12I – -------3 L 6I ----2 L

6I – ----2 L

0

12I -------3 L

6I – ----2 L

2I ----L

0

6I – ----2 L

4I ----L

A – ---L 0 0

2-4 Baustatik 2

Matrix stiffness method Lokale Elementsteifigkeitsmatrix

Die Beziehung zwischen lokalen KGR und den WGR ist in Matrizenschreibweise e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

^ p ` i = > k @ ii ^ u ` i + > k @ ij ^ u ` j ^ p ` j = > k @ ji ^ u ` i + > k @ jj ^ u ` j Die Element-Submatrizen werden wie folgt definiert A ---L e

> k @ ii = E

0

0

0

12I -------3 L

6I ----2 L

0

6I ----2 L

4I ----L

0

0

0

12I -------3 L

–6 I -------2 L

0

–6 I -------2 L

4I ----L

A ---L e

> k @ jj = E

A – ---L e

e T

> k @ ji = > k @ ij = E

0 0

0

0

12I – -------3 L 6I ----2 L

6I – ----2 L 2I ----L

Für die Berechnung der Steifigkeiten wird die Stablänge aus den Stabendkoordinaten berechnet. Lc =

2

xj – xi + yj – yi

2

Baustatik 2 2-5

2

Matrix stiffness method Transformation lokal-global

2.4 Transformation lokal-global Für die Berechnung muss eine Beziehung zwischen den lokalen (stabbezogenen) und den globalen Koordinaten hergestellt werden. Für ebene Tragwerke ist die Beziehung zwischen lokalen und globalen WGR bzw. KGR. e

e

û` = >T@ û`

e

e

e

; ^p` = >T@ ^p`

e

wobei die Transformationsmatrix für ein Stabelement e wie folgt definiert ist

e

>T@ =

0 1

vy

'Y 'X

i

vx

v = v

–vy vx 0 0

j

L

vx vy 0

1 = --- 'X L 'Y

'X = X j – X i 'Y = Y j – Y i

Die inverse Transformation ist e T

e

û` = >T@ û`

e

e T

e

; ^p` = >T@ ^p`

e

Damit kann die Beziehung zwischen lokalen WGR und KGR in eine Beziehung zwischen globalen WGR und KGR umgewandelt werden. Für den Endknoten i haben wir z.B. e

e

e

e

e

e

e

^ p ` i = > k @ ii > T @ ^ u ` i + > k @ ij > T @ ^ u ` j e T

Multipliziert man die Gleichung mit > T @ so erhält man e T

e

e T

e

e T

e

e

e

e

e

> T @ ^ p ` i = > T @ > k @ ii > T @ ^ u ` i + > T @ > k @ ij > T @ ^ u ` j oder e

e

e

e

e

^ p ` i = > K @ ii ^ u ` i + > K @ ij ^ u ` j Eine “globale” Stabsteifigkeitssubmatrix ist dann e

e T

e

> K @ ii = > T @ > k @ ii > T @

2-6 Baustatik 2

e

Matrix stiffness method Globale Elementsteifigkeitsmatrix

2.5 Globale Elementsteifigkeitsmatrix Für die Assemblierung ist es von Vorteil, wenn die Stabend-WGR und KGR (in globaler Richtung) für jeden Stab in einem Pseudovektor zusammengefasst und durchnummeriert werden. e

u Xi

e

û` =

e

u1

p Xi

e

u Yi

u2

Ti

u3

e

=

u Xj

Tj

p2

mi

p3

, ^p` =

e

p Xj

e

p Yj

e

mj

u5

e

p Yi e

u4

u Yj

p1

u6

e

=

e

p4 e

p5 e

p6

Die Beziehung zwischen Stabend-KGR und Stabend-WGR ist e

e

^p` = >K@ û`

e

mit der “globalen” Elementsteifigkeitsmatrix 1 2 3 4 5 6 Freiheitsgrade: u Xi u Yi T i u Xj u Yj T j p Xi

Kraftgrößen:

>K@

e

=

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

K 11 K 12 K 13 K 14 K 15 K 16

p Yi

K 21 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26

mi

K 31 K 32 K 33 K 34 K 35 K 36

p Xj

K 41 K 42 K 43 K 44 K 45 K 46

p Yj mj

K 51 K 52 K 53 K 54 K 55 K 56 K 61 K 62 K 63 K 64 K 65 K 66

Die Steifigkeitsmatrix des Stabes ist symmetrisch d.h. K ij = K ji . Dies ist eine Konsequenz des Satzes von Maxwell. Die Diagonalglieder der Matrix müssen immer positiv sein.

Baustatik 2 2-7

2

Matrix stiffness method Assemblierung der Steifigkeitsmatrix

2.6 Assemblierung der Steifigkeitsmatrix Als nächster Schritt werden die Steifigkeitsanteile der Stäbe assembliert, um das Tragwerk zu berechnen. Zuerst wird die Anzahl der unbekannten Freiheitsgrade bestimmt. Sind alle Stäbe starr an den Knoten angeschlossen, so hat ein Knoten 3 Freiheitsgrade. Im Falle eines gelenkigen Anschlusses kommen noch weitere Freiheitsgrade dazu. Die Bezeichnung der Freiheitsgrade in Abb. 2.2 ist gegenüber Kapitel 1 aufgrund der systematischeren Vorgangsweise bei Computerberechnungen geändert. u Y2 3 li –T3 7 3

2

T2 4 u X2 2

u Y3 6

u X3 5

1

re

–T3 8

–T1 1

Abb. 2.2 Verformte Figur und Freiheitsgrade des Tragwerks

Die unbekannten Freiheitsgrade und die zugehörigen Knotenlasten werden nun in einem Pseudovektor zusammengefasst und die Freiheitsgrade durchnummeriert.

û` =

T1

u1

M1

P1

u X2

u2

P X2

P2

u Y2

u3

P Y2

P3

T2

u4

,

^P` =

M2

=

P4

u X3

u5

P X3

P5

u Y3

u6

P Y3

P6

T3

l

u7

M3

l

P7

r

u8

M3

r

P8

T3

2-8 Baustatik 2

=

Matrix stiffness method Assemblierung der Steifigkeitsmatrix

Die inneren KGR, > K @ ^ u ` , müssen mit den äußeren KGR, ^ P ` , im Gleichgewicht sein, >K@û` = ^P` wobei [K] die assemblierte Steifigkeitsmatrix ist. Für die Assemblierung der Steifigkeitsmatrix werden die Verträglichkeitsbedingungen herangezogen. Dazu ist es notwending eine Zuordnung von den lokalen Freiheitsgradnummern zu den globalen zu erstellen. Dies ist für das Beispiel in Abb. 2.1 in Tab. 2.4 dargestellt. Tab. 2.4 Zuordnung der globalen Freiheitsgradnummern lokale Freiheitsgradnummern

Stab

1

2

3

4

5

6

1

0

0

1

2

3

4

2

2

3

4

5

6

7

3

5

6

8

0

0

0

Mit dieser Zuordnung kann die Steifigkeitsmatrix assembliert werden.

1

1

2

3

4

5

6

7

T1

u X2

u Y2

T2

u X3

u Y3

T3

0

0

0

1

1

K 33

1

K 34

1

K 35

K 36

2

K 44 + K 11 K 45 + K 12 K 46 + K 13

3

K 55 + K 22 K 156 + K 223

4

K 66 + K 33

5 6 7 8

1

2

1

2

1

2

1

1

Symmetrisch

2

2

2

K 14

8 li

2

0

K 26

2

0

2

0

K 16

2

2

K 25

2

2

K 34

K 35

0

2

K 15

K 24

re

T3

K 36 2

3

2

3

K 46

2

3

K 56

K 23

2

0

2 3 K 44 + K 11 K 45 + K 12

K 55 + K 22

2

K 66

K 13 3

3

K 33

Baustatik 2 2-9

2

Matrix stiffness method Assemblierung des Belastungsvektors

In der Tab. 2.4 sind in der obersten Reihe die lokalen Freiheitsgradnummern angeführt, die folgenden Reihen geben die Beziehung zu den globalen Nummern an. Ein Nulleintrag bedeutet, dass der Freiheitsgrad gesperrt ist, also in der Systemsteifigkeitsmatrix nicht vorkommt. Für die Assemblierung wird in der Tabelle nachgeschaut in welche Zeile/Spalte der Systemsteifigkeitsmatrix ein Steifigkeitskoeffizient eingespeichert werden soll, 1 z.B. der Steifigkeitskoeffizient des Stabes 1, K 33 , gehört in die Spalte/Zeile 1/1 etc. Man sieht, dass dort, wo 2 Stäbe an einem Knoten anschließen, eine Addition der Steifigkeiten stattfindet. Da die Stabsteifigkeitsmatrizen symmetrisch sind, ist auch die Systemsteifigkeitsmatrix symmetrisch, und es muss nur die obere Dreiecksmatrix assembliert werden. Die Matrix ist nicht voll besetzt, d.h. sie hat Nulleinträge wo keine Beziehung zwischen Freiheitsgraden bestehen (z.B. zwischen 7 und 8).

2.7 Assemblierung des Belastungsvektors 2.7.1 Knotenkräfte Ist das Tragwerk nur an den Knoten belastet, werden diese direkt in den Pseudovektor {P} eingetragen.

2.7.2 Belastung zwischen den Knoten Bei Belastung zwischen den Knoten werden zuerst die Starreinspannwerte im lokalen Koordinatensystem ausgerechnet (siehe 1-21). m

m

iB i

p

p

xiB

j

p

y iB

In Vektoren zusammengefasst sind diese p xiB e ^ p ` iB

= p yiB m iB

2-10 Baustatik 2

jB

p xjB ,

e ^ p ` jB

= p yjB m jB

y jB

p

xjB

Matrix stiffness method Assemblierung des Belastungsvektors

Vor der Assemblierung müssen die End-KGR in ein globales Koordinatensystem übergeführt werden e T

e

e

^ p ` iB = > T @ ^ p ` iB

e T

e

e

; ^ p ` jB = > T @ ^ p ` jB

Da die Stabend-KGR in die entgegengesetzte Richtung auf die Knoten wirken gilt für die am Knoten angreifenden KGR z.B. e

e

^ P ` iB = – ^ p ` iB Sind zwei Stäbe an einen Knoten angeschlossen, so werden die KGR addiert. Für die Belastung in Abb. 2.3 ergibt sich der Belastungsvektor: 1

M iB 1

2

1

2

P xjB + P xiB P xjB + P xiB 1

2

^ P ` = M jB + M iB 2

P xjB 2

P xjB 2

M jB 0 1 kN/m 2

j i

2

1

2 kN/m 1

j i

3

3

i

j

4

Abb. 2.3 Tragwerk mit Belastung

Baustatik 2 2-11

2

Matrix stiffness method Lösung des Gleichungssystems

2.8 Lösung des Gleichungssystems Für die Lösung des entstandenen Gleichungssystems sthen viele Methoden zur Verfügung. Ein einfaches Verfahren ist das Gauß’sche Eliminationsverfahren.

2.8.1 Gauß’sches Eliminationsverfahren Gleichung n

} + K nn u n + } + K nj u j + } = P n * K in e K nn

Gleichung i

} + K in u n + } + K ij u j + } = P i

Gleichung n

} + K nn u n + } + K nj u j + } = P n

Neue Gleichung i

K in K in § · 0 + } + ¨ K ij – -------K nj ¸ u j + } = P i – -------Pn K nn K nn © ¹

K in e K nn -fache Gleichung n von Gleichung i abziehen; solange durchführen bis unter der Diagonale nur Nullen vorkommen. Dies ist auch als Dreieckszerlegung bekannt. Rekursionsformeln: Dreieckszerlegung: (triangular decomposition)

K in K nj

K ij = K ij – -------------------K nn

0 Vorwärtseinsetzen: (forward substitution) K in P n P i = P i – --------------K nn Nach der Dreieckszerlegung der Steifigkeitsmatrix kann die rechte Seite für die einzelnen Lastfälle getrennt behandelt werden.

2-12 Baustatik 2

Matrix stiffness method Lösung des Gleichungssystems

Rückeinsetzen: (back substitution) N · 1 §¨ u n = – -------K ni u i – P n ¸ ¦ K nn © i = n + 1 ¹

Ist eine Weggröße bereits vorgegeben z.B. Auflagersenkung u0 so folgt } + K nn u n + } + K nj u j + } = P n

u n = u 0 ......bekannt

} + K in u n + } + K ij u j + } = P i } + K nj u j + } = P n – K nn u 0 } + K ij u j + } = P i – K in u 0

2.8.2 Spezielle Methoden zur Lösung von schwach besetzten Matrizen Die Systemsteifigkeitsmatrix hat N2 Koeffizienten, wobei N die Anzahl der Freiheitsgrade ist. Für die Speicherung einer Zahl sind im Computer 8 Bytes vorgesehen, d.h. der Speicherplatzbedarf ist N2*8. Die Anzahl der Operationen (Multiplikation, Division, Subtraktion) für den Gauß’schen Algorithmus ist ungefähr N3. Wie schon im kleinen Beispiel für die Assemblierung der Systemsteifigkeitsmatrix gezeigt enthält die Matrix Nulleinträge. Die Anzahl der Nulleinträge nimmt mit der Größe des Systems rapide zu. Matrizen mit sehr vielen Nulleinträgen nennt man auch schwach besetzt. Die Koeffizienten, welche nicht Null sind, befinden sich bei optimaler Nummerierung der Freiheitsgrade in der Nähe der Diagonalen. Durch eine Skyline Speicherung kann der Speicherplatz (und auch die Anzahl der Operationen; da nicht mit 0 multipliziert wird) wesentlich verringert werden. y Skyline Speicherung

0

Symm.

Abb. 2.4 Skyline der Systemsteifigkeitsmatrix

Baustatik 2 2-13

2

Matrix stiffness method Berechnung der Ergebnisse

In der Skyline Speicherung werden die Koeffizienten bis zum ersten Nulleintrag (mit folgenden Nullen) in einen Vektor gespeichert. Die Position in der Steifigkeitsmatrix (Spalte/Zeile) wird in einem Positionsvektor vermerkt. {

....}

Durch die Verwendung spezieller Methoden kann die Berechnung großer Gleichungssysteme entscheidend optimiert werden.

2.9 Berechnung der Ergebnisse Durch Lösung des Gleichungssystems erhält man die Weggrößen an allen ungesperrten Knoten (Pseudo-Vektor {u}). Die Ergebnisse werden nun für jeden Stab getrennt berechnet. Dazu müssen die Stabendverformungen in die lokale (Stab) Nummerierung und in das lokale Koordinatensystem übergeführt werden. Dies wird in Abb. 2.5 gezeigt. u Y2 3 2

u2

0 1

^ u ì =

u X2 2

1

0

^ u `j = u 3

u1

u4 1

u2 2 ^ u ì

= u 3 u4

2-14 Baustatik 2

u5 2 ^ u `j

= u 6 u7

T2 4

–T1 1

u Y2 3 2

u X2 2

T2 4

li –T3 7 3

u Y3 6

u X3 5


u Y3 6

3

u5 3 ^ u ì

u X3 5

0

re

–T3 8

3

= u 6

^ u `j =

u8

0 0

Abb. 2.5 Stabendverformungen

Für die Überführung der Stabendverformungen in das lokale Koordinatensystem verwenden wir die in Abschnitt 2.4 abgeleitete Formel. e

e

e

^ u ì = > T @ ^ u ì

e

e

e

^ u `j = > T @ ^ u `j

2.9.1 Stabverformungen Die Stabverformungen bestehen aus zwei Komponenten: Verformung des kinematisch bestimmt aufgelagerten Stabes (aus Belastung) und der Verformung des Stabes auf Grund der Stabendverformungen. Letzteres ist durch eine elastische Linie (Hermite’sche Funktion, siehe 8.3) definiert. Abb. 2.6 zeigt die Bestimmung der Verformungen eines belasteten Stabes.

Baustatik 2 2-15

2


i

Kinematisch bestimmt (aus Tabellen)

j

u u

mit Hermite‘schen Funktionen

xj u

yi T u

xi

yj

T

j

i

=

Abb. 2.6 Stabverformung

2.9.2 Schnittkraftverläufe Zunächst werden aus den Stabend-WGR die Stabend-KGR mit Hilfe der lokalen Steifigkeitsmatrix bestimmt (siehe Abschnitt 2.3). Hier werden wieder zwei Einflüsse addiert: die KGR am kinematisch bestimmten System (Starreinspannwerte) und die KGR aus Stabend-WGR: e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

^ p ` i = ^ p ` iB + > k @ ii ^ u ` i + > k @ ij ^ u ` j ^ p ` j = ^ p ` jB + > k @ ji ^ u ` i + > k @ jj ^ u ` j

Die Stabend-KGR entsprechen nun größenmäßig den Schnittkräften, das Vorzeichen muss jedoch angepasst werden, wenn es der Kennfaserregel entsprechen soll. Abb. 2.7 und Abb. 2.8 zeigen die Bestimmung der Schnittkraftverläufe eines belasteten Stabes.

2-16 Baustatik 2


m i

j m

jB

iB

– m iB

m

+

m

i

jB

j

j m

i

–mi m

j

Abb. 2.7 Bestimmung des Momentenverlaufs im Stab

pyiB

i

p yjB

j

p yiB – p yjB +

p yi

p yi

i

j

pyj

– pyj

Abb. 2.8 Bestimmung des Querkraftverlaufes im Stab

Baustatik 2 2-17

2

Matrix stiffness method Federelemente

2.10 Federelemente 2.10.1 Wegfedern Eine Wegfeder wirkt wie ein Fachwerkstab. Die lokale Steifigkeitsmatrix eines Federelementes mit der Federsteifigkeit k w ist daher: u x1 u y1 u x2 u y2 j

i

x e

> k @ = kw

1

0 –1

0

0

0

0

0

–1

0

1

0

0

0

0

0

Die globale Steifigkeitsmatrix erhält man durch Transformation der Freiheitsgrade. u X1 u Y1 u X2 u Y2 x Y 2 2 j cos D sin D cos D – cos D – sin D cos D D i

e > K @ = k w sin D cos D

X

– cos D

2

– sin D cos D

sin D

2

– sin D cos D – sin D

2

– sin D cos D cos D

2

– sin D

2

sin D cos D

sin D cos D

sin D

2

2.10.2 Drehfedern Die Steifigkeitsmatrix einer Drehfeder mit der Verdrehsteifigkeit k D ist: Ti Tj i

j

> K @ = > k @ = kD 1 –1 –1 1

Hier besteht kein Unterschied zwischen lokaler und globaler Steifigkeitsmatrix. Es handelt sich hierbei um eine Drehfeder, die zwischen zwei Stäben wirkt und somit eine nachgiebige Verbindung darstellt.

2-18 Baustatik 2

Matrix stiffness method Federelemente

2.10.3 Allgemeine Federlagerung Die lokale Steifigkeitsmatrix für einen allgemein federgelagerten Knoten ist:

x

Y kM

kx 0 0 e

>k@ =

D X kx

0 ky 0 0 0 kM

ky

Die globale Steifigkeitsmatrix erhält man durch Transformation der Freiheitsgrade. e T e > K @ = > T˜ @ > k @ > T˜ @

cos D sin D 0 > T˜ @ =

– sin D cos D 0 0

0

1

2.10.4 Verwendung von Federn für Auflagerbedingungen Im vorhergehenden wurden die Auflagerbedingungen dadurch berücksichtigt, dass man den zugehörigen WGR keine FG Nummern zugewiesen hat, da der Wert der WGR ja bekannt ist (=0). Eine andere Möglichkeit ist, das Tragwerk über Federelemente, denen eine sehr große Steifigkeit zugewiesen wird, mit dem Auflager zu verbinden. Der Vorteil dieser Methode ist es, dass Auflagerkräfte direkt erhalten werden und dass man eine Nachgiebigkeit des Auflagers, welche in vielen Fällen gegeben ist, berücksichtigen kann. Die Zuweisung eines sehr großen Steifigkeitswertes stellt bei der Lösung des Gleichungssystems kein Problem dar, da die Koeffizienten zu den Diagonalgliedern addiert werden.

Baustatik 2 2-19

2

Matrix stiffness method Rechenbeispiel

2.11 Rechenbeispiel In Abb. 2.9 ist ein Beispiel gezeigt, welches die Rechenabläufe der Matrix Stiffness Method zeigen soll. 1kN e m

Drehfeder, k D = 10000kNm e rad

1kN Alle Stäbe: E= 107kN/m2 A=10-3 m2

45q

6m

I= 10-2 m4 4m

4m

10m

Abb. 2.9 Angabe

Abb. 2.10 zeigt das diskretisierte Tragwerk mit der Nummerierung der Elemente und Knoten. Dabei wird das schiefe Auflager durch eine steife Feder modelliert, welche eine Verschiebung in Richtung normal zur Auflagerbewegung verhindert. Y 3

1 1

2 2 3 4

Abb. 2.10 Diskretisiertes Tragwerk

2-20 Baustatik 2

X 5

k w = 1 u 10 kN e m


Abb. 2.11 zeigt die Nummerierung der Freiheitsgrade. 1 u X2 2 u Y2 li

3 T2

5 u X3

7 T3

re 4 T2

6 u Y3

Abb. 2.11 Nummerierung der Freiheitsgrade (in Klammern sind die entsprechenden WGR angegeben; die Pfeile sollen nur die Beweglichkeit veranschaulichen; d.h. sind nicht immer in positiver Richtung)

2.11.1 Numerisches Modell Das numerische Modell besteht aus 3 Tabellen (Element-, Knoten- und Freiheitsgradliste). Die Federn werden nur in der Freiheitsgradliste erwähnt. Tab. 2.5 Knotenliste

Knoten X

Y ux uy T

1

0,0 6,0

1

1

1

2

10,0 6,0

0

0

0

3

18,0 0,0

0

0

0

Tab. 2.6 Stabelementliste

Stab

von bis Material L Verbindung Verbindung i j No m i j

1

1

2

1

10

0

1

2

2

3

1

10

1

1

Baustatik 2 2-21

2


Tab. 2.7 Zuordnung der globalen Freiheitsgradnummern lokale Freiheitsgradnummern

Element 1

2

3

4

5

6

1

0

0

0

1

2

3

2

1

2

4

5

6

7

3

3

4

-

-

-

-

4

0

0

5

6

-

-

Tab. 2.8 Material/Querschnittswertliste

Material No

E kPa

I m4

A m2

1

10000000

0,01

0,001

2.11.2 Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen 2.11.2.1 Lokale Steifigkeitsmatrix Da Stab 1 und Stab 2 gleiche Queschnittswerte und Länge haben, sind die lokalen Stabsteifigkeitsmatrizen ident: 1000 1 > k @ ii

=

0

=

1000

0

1200 6000

0

6000 40000

– 1000 1 > k @ ji

0

0

1 > k @ jj

0 1

0

– 1200 – 6000

0

6000 20000

=

0

0

0

1200 – 6000

0

– 6000 40000

1T

> k @ ij = > k @ ji

2.11.2.2 Transformationsmatrix Stab 1: 1

Da der Stab horizontal liegt, gilt > T @ = > I @ Einheitsmatrix. Die lokale Steifigkeitsmatrix ist zugleich die globale Matrix.

2-22 Baustatik 2


Stab 2: 0 8 – 0 6 0 2

>T@ =

0 6 0 8 0 0

0

1

2.11.2.3 Globale Elementsteifigkeitsmatrizen Stab1:

1

>K@ =

0

0

0

1

2

3

1000

0

0

– 1000

0

0

0

1200 6000

0

– 1200 6000

0

6000 40000

0

– 6000 20000

– 1000

0

0

1000

0

0

0

– 1200 – 6000

0

1200 – 6000

0

6000 20000

0

– 6000 40000

Baustatik 2 2-23

2


Stab 2: 0 8 0 6 0 1000 2 > K @ ii

=

– 0 6 0 8 0 0

0 1

– 0 6 0 8 0 0

0 1

0

6000 40000 0

=

– 0 6 0 8 0 0

2

0 1

0

=

0

1

0

1200 – 6000 0 6 0 8 0

0

– 6000 40000

0

0

=

1

0

– 1200 – 6000 0 6 0 8 0

0

6000 20000

0

0

96 1128 4800

1072

1

96

=

4

1072 96

2

>K@ =

5

3600

3600 4800 20000

– 1072 – 96

7 3600

96 1128 4800

– 96 – 1128 4800

3600 4800 40000

3600 4800 20000

– 1072 – 96

3600

1072

– 96 – 1128 4800

96

3600 4800 20000

3 3

>K@ =

96

– 3600

1128 – 4800

– 3600 – 4800 40000

Federelement 3: 4

1 –1 –1 1

2-24 Baustatik 2

6

1128 – 4800

– 96 – 1128 – 4800

2T

2

– 3600

– 1072 – 96 – 3600

> K @ ij = > K @ ji

1

96

– 3600 – 4800 40000

0 8 – 0 6 0

0

3600

3600 4800 40000

0 8 – 0 6 0

0

0

1072 96

0 6 0 8 0

1200 6000

0 8 0 6 0 – 1000 2 > K @ ji

0 8 – 0 6 0

0

0

0 8 0 6 0 1000 2 > K @ jj =

0


Federelement 4: 5

6

7

0 5 0 5 0 4

> K @ = 10

5

0 5 0 5 0 0

0 0

2.11.3 Assemblierung der Systemsteifigkeitsmatrix Das System hat 7 Freiheitsgrade, daher hat die Systemsteifigkeitsmatrix die Dimension 7x7. 1

u X2 1 2 3

1000 + 1072

2

3

4

5

6

7

u Y2

T2

li

T1

re

u X3

u Y3

T3

96

0

3600

-1072

-96

3600

4800

-96

-1128

4800

0

0

0

-3600

-4800

20000

1072 + 0,5x105

96 + 0,5x105 1128 + 0,5x105

1200 + 1128

-6000

40000 + -10000 10000 40000 + 10000

4 5 6 7

Symmetrisch

-3600 -4800 40000

Baustatik 2 2-25

2


2.11.4 Belastungsvektor 2.11.4.1 Starreinspannwerte in lokaler Richtung Die Starreinspannwerte in lokalen Richtungen sind (siehe Tabelle 1.5): Stab 1:

1 ^ p ` iB

0 =

;

5

1 ^ p ` jB

0 =

8 33

5 – 8 33

Stab 2:

2 ^ p ` iB

0 =

0 5

;

2 ^ p ` jB

0 =

1 25

0 5 – 1 25

2.11.4.2 Starreinspannwerte in globalen Richtungen Stab 1: 0 1 ^ p ` iB

=

0 ;

5

1 ^ p ` jB

8 33

=

5 – 8 33

Stab 2:

2 ^ p ` iB

=

0 8 0 6 0

0

– 0 6 0 8 0

0 5

0

2-26 Baustatik 2

0 1 1 25

0 3 =

0 4 1 25

0 3 2 ^ p ` jB

=

0 4 – 1 25


2.11.4.3 Assemblierung des Belastungsvektors Der Belastungsvektor ist – 0 3 – 5 + 0 4 8 333 ^P` =

– 1 25 – 0 3 – 0 4 1 25

2.11.5 Lösung des Gleichungsystems Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

3 771 10

û` =

–4

– 7 570 10

–3

– 7 102 10

–4

1 578 10

–4

3 591 10

–3

3 611 10

–3

7 167 10

–4

Da die Angabe und Berechnung in m und rad erfolgte, sind die Ergebnisse dementsprechend in den gleichen Einheiten.

Baustatik 2 2-27

2


2.11.6 Zurodnung der WGR zu den Elementen und Transformation Mit Hilfe von Tabelle 2.6 werden die WGR den einzelnen Elementen zugeordnet und, falls notwendig, in das lokale Koordinatensystem transformiert. Stab 1: 3 771 10

0

1

^ u ì =

1

^ u `j =

;

0

–4

0

– 7 570 10

–3

– 7 102 10

–4

Stab 2:

2

^ u ì =

0 8 – 0 6 0

2

–4

4 844 10

0 6 0 8 0 – 7 570 10 –3 0

^ u `j =

3 771 10

0

1

1 579 10

–4

0 8 – 0 6 0 3 591 10

–3

0 6 0 8 0 3 611 10 –3 0

0

1

7 167 10

–4

=

– 5 830 10 1 578 10 5 039 10

=

– 7 338 10 7 167 10

–3

0 5 0 5 3 611 10 –3

2-28 Baustatik 2

–3

–4

–3 –4

–4

Federelement 4:

4 ^ u ` = 0 5 0 5 3 591 10

–3

= – 9 771 10

–6

– 9 771 10

–6


2.11.7 Berechnung der StabendKGR Stab 1: 0

1 ^ p ì

=

– 1000 +

5 8 333

1 ^ p `j

0 =

0

–4

0

– 1200 6000

– 7 570 10

–3

0

– 6000 20000

– 7 102 10

–4

3 771 10

–4

1000 +

5

3 771 10

0

– 8 333

0

0

0

1200 – 6000 – 7 570 10 –3

0

– 6000 40000

– 7 102 10

– 0 377 =

9 823 39 550 0 377

=

0 177 8 679

–4

Stab 2: 0

2

^ p ì =

– 1000 +

0 5 1 25

1000

0

0

– 1200 6000

– 7 338 10

0

– 6000 20000

7 167 10

–3

0

1200 6000

– 5 830 10

0

6000 40000

1 578 10

0

2

^ p `j =

0 5

– 1000 +

– 1 25

1000

0

0

–3

0

4 844 10

0

5 039 10

0

–3

–4

=

– 0 368 – 8 679

0

4 844 10

–3

0

– 1200 – 6000 – 5 830 10 –3

0

6000 20000

5 039 10

–3

0

1200 – 6000 – 7 338 10 –4

0

– 6000 40000

7 167 10

–4

+

– 0 195

–4

0

–4

1 578 10

+

–4

0 195 =

1 368 0

Baustatik 2 2-29

2


Drehfeder: 3

^ p ` = 10

4

1 – 1 – 7 102 10 –1 1

1 578 10

–4

–4

= – 8 679 8 679

Wegfeder: 4 5 ^ p ` = 10 1 0 – 9 771 10

–6

0 0 – 9 771 10 –6

= – 0 977 0

2.11.8 Schnittgrößen Die Schnittgrößen ergeben sich nach Anpassung des Vorzeichens (Kennfaserregel) aus den StabendKGR. 2.11.8.1 Momentenverlauf

-39,550

8,679 6,840

2.11.8.2 Querkraftverlauf

-0,177 -0,368

9,823

2-30 Baustatik 2

-1,368


2.11.8.3 Normalkraftverlauf

0,377

0,195

Baustatik 2 2-31

2

2-32 Baustatik 2


3

Drehwinkelverfahren

3.1 Einführung Man kann den Aufwand in der Berechnung bei der allgemeinen Deformationsmethode wesentlich reduzieren indem man Vereinfachungen einführt. Bei einem Biegetragwerk kann man z.B. in den meisten Fällen die Längenänderung der Stäbe aus Normalkraft vernachlässigen. Beim Rahmen in Abb. 3.1 ist z.B. der Unterschied in den Biegmomenten weit unter 1%.

ohne Vereinfachung

mit Vereinfachung, Dehnstarre Stäbe

Abb. 3.1 Einfluss der Stablängenänderung auf den Momentenverlauf bei einem Biegetragwerk

Bei einem Tragwerk, in dem gar keine Normalkräfte auftreten (z.B. Durchlaufträger) hat diese Vereinfachung natürlich überhaupt keine Auswirkungen.

Baustatik 2 3-1

3

Drehwinkelverfahren Definition der Stabverformung über Drehwinkel

Durch die Annahme dehnstarrer Stabelemente ergeben sich zwei wesentliche Vereinfachungen: erstens ist es möglich, die Verformungen des Stabelements nur über Drehwinkel zu definieren, zweitens kann man über abhängige Weggrößen die Anzahl der Unbekannten wesentlich verringern. Das hier vorgestellte Drehwinkelverfahren ist im Gegensatz zur vorhergehenden Methode als Handrechenverfahren vorgesehen.

3.2 Definition der Stabverformung über Drehwinkel Wird die Längenänderung des Stabes aus Normalkraft vernachlässigt, dann kann man die Verformung des Stabes über 3 Drehwinkel vollständig beschreiben: die Knotenverdrehungen T i und T j und die Sehnendrehung \ . \ u yj – u yi

Tj

y

Ti

i

j

u yi u xi

u yj

L

x

u xj = u xi Y X

Abb. 3.2 Beschreibung der Stabverformung mit Hilfe von Drehwinkeln

Die Beziehung zwischen Stabendverformungen und dem Sehnendrehwinkel ist: u yj – u yi \ = ------------------L Weiters gilt für das dehnstarre Stabelement: u xi = u xj

3-2 Baustatik 2

Drehwinkelverfahren Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten

3.3 Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten Die im vorhergehenden Kapitel berechneten Steifigkeitskoeffizienten müssen mit der Beziehung zwischen den lokalen Weggrößen und dem Sehnendrehwinkel modifiziert werden. Für den Stab gibt es dann nur mehr 6 Steifigkeitskoeffizienten wobei die Koeffizienten für T i = 1 und T j = 1 unverändert bleiben.

3.3.1 Beiderseits starr angeschlossener Biegestab Statt einer Querverschiebung eines Auflagers wird hier eine Sehnendrehung \ = 1 betrachtet (Abb. 3.3). Der Steifigkeitskoeffizient für die Sehnendrehung ist der Steifigkeitskoeffizient für eine Querverschiebung von 1 multipliziert mit L. 6EI – --------L \ = 1

6EI – --------L

1L

L Abb. 3.3 Verformungszustand \ = 1 Tab. 3.1 Zusammenfassung der Ergebnisse des starr angeschlossenen Stabes

mi mj

Ti = 1

Tj = 1

\ = 1

4EI --------L 2EI --------L

2EI --------L

6EI – --------L

4EI --------L

6EI – --------L

Baustatik 2 3-3

3

Drehwinkelverfahren Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten

3.3.2 Einseitig gelenkig angeschlossener Biegestab Der Steifigkeitskoeffizient für die Sehnendrehung \ = 1 ist der Steifigkeitskoeffizient für die Querverschiebung 1 multipliziert mit L. 3EI – --------L \ = 1

1L

L Abb. 3.4 Verformungszustand \ = 1 . Tab. 3.2 Zusammenfassung Ergebnisse des links gelenkig angeschlossenen Stabes

3-4 Baustatik 2

Tj = 1

\ = 1

mi

0

0

mj

3EI --------L

3EI – --------L

Drehwinkelverfahren Berechnungsschritte

3.4 Berechnungsschritte Der Berechnungsablauf ist nun identisch mit der allgemeinen Deformationsmethode mit dem Unterschied, dass für Biegestäbe Sehnendrehwinkel eingeführt werden. Dies soll an dem im vorhergehenden Kapitel gezeigten Beispiel erklärt werden. Fachwerkstab: EA L

3= 6

,93

10 kN/m

Biegestab:

m

4

30q

EI = 5 u10 kNm EA B >>

L1=6,00 m

2

L2=5,00 m

Schritt 1 (Diskretisierung) ist identisch, allerdings wird hier jetzt die Dehnung aus den Normalkräften in den Biegestäben vernachlässigt (Dehnsteifigkeit EA>>). Ab Schritt 2 ergeben sich Unterschiede.

3.4.1 Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Drehwinkel Es gibt einen wesentlichen Unterschied: Es werden nur Drehwinkel als Unbekannte definiert. Dadurch verringert sich die Anzahl der Unbekannte um eins, da für die dehnstarren Biegstäbe keine Verformung in X-Richtung möglich ist. Es ist hier aber ein zusätzlicher Berechnungsschritt notwendig: Die abhängige Sehnendrehung des Stabes 2 muss bestimmt werden. Y

X

–D2 = –\ D1 Abb. 3.5 Unbekannte Drehwinkel

Baustatik 2 3-5

3


3.4.2 Schritt 3: Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen Die Sehnendrehung des Stabes 2 ist abhängig von der Sehnendrehung des Stabes 1. Dies kann man am besten durch das Sehnendiagramm in Abb. 3.6 bestimmen.

5m

6m \

\ 6 = \2 5

\2 L1 6 \ 2 = ----- \ = --- \ L2 5

Abb. 3.6 Sehnendiagramm zur Bestimmung des Drehwinkels des Stabes 2

3.4.3 Allgemeines Beim Drehwinkelverfahren werden andere temporäre Auflager verwendet um das System kinematisch bestimmt zu machen. Diese sind: Sperrung der Knotenverdrehung Sperrung der Sehnendrehung Für die Bestimmung des Kräftegleichgewichts wird das Prinzip der virtuellen Weggrößen (siehe Baustatik I Skriptum Absatz 2.4) verwendet. Dabei werden die an den Stabenden wirkenden Momente durch das Einführen von Gelenken sichtbar gemacht und das System um eine virtuelle Sehnendrehung G\ = 1 verschoben. Die virtuellen inneren Arbeiten sind die an den Stabenden wirkenden reellen Momente multipliziert mit den virtuellen Verdrehungen. Die virtuellen äußeren Arbeiten sind die reelen äußeren Kraftgrößen multipliziert mit den virtuellen Weggrößen. Gleichgewicht herrscht, wenn die Summe aller virtuellen Arbeiten Null ist.

3-6 Baustatik 2


3.4.4 Schritt 4: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen. Für dieses System werden die unbekannten Verdrehungen Null gesetzt. Das Moment am temporären Auflager wird mit K10 und in der Sperrung der Sehnendrehung mit K20 bezeichnet. D1=D2=0

Verformte Figur

30

45

M0 [kNm]

Freigeschnittene innere Momente und Rückhaltemomente: K 10 2

qL 1 ----------12

K 20

2

– qL 1 -------------12

Abb. 3.7 Verformungszustand D1=D2=0 Abb. 3.8 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K20 (die am Tragwerk wirkenden reelen Kraftgrößen sind grau eingezeichnet)

Baustatik 2 3-7

3


R = q L1

G\ = 1 K 20

3-8 Baustatik 2

L1 ----2

1 L1


Das Moment im temporären Auflager wird mit Hilfe der Summe der Momente am Knoten berechnet: 2

6M = 0 : K 10

– qL 1 = -------------- = – 30 kNm 12

Für die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre wird das Prinzip der virtuellen Weggrößen verwendet (siehe Abb. 3.8). Gleichgewicht ergibt sich, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet: 2

2

qL 1 L1 qL 1 K 20 1 + ----------- 1 – ----------- 1 – q L 1 ----- = 0 12 12 2 Damit ist das Haltemoment in der Sehnensperre: 2

K 20

q L1 = --------------- = 180 kNm 2

Baustatik 2 3-9

3


3.4.5 Schritt 5: Verformungszustand D1=1 am kinematisch bestimmten Grundsystem Als nächstes wird der Einfluss einer Einheitsverdrehung untersucht. Dies ist identisch zur Deformationsmethode. D1=1


M1

-30

-16,6

33,3

[MNm]

K 11

2EI --------L1

K 21

4EI --------L1

Kraftgrößen an den Knoten

3EI --------L2

Abb. 3.9 Verformungszustand D1=1, D2=0

G\ = 1

L1/L2

K 21 Abb. 3.10 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K21 (die am Tragwerk wirkenden reellen Kraftgrößen sind grau eingezeichnet)

3-10 Baustatik 2


Das Moment im temporären Auflager wird mit Hilfe der Summe der Momente berechnet: 4EI 3EI 4 6M = 0 : K 11 = --------- + --------- = 6 33 u10 kNm L1 L2 Für die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre ist wieder das Prinzip der virtuellen Weggrößen zu verwenden (siehe Abb. 3.10). Gleichgewicht ergibt sich auch hier wieder, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet: 3EI L 1 2EI 4EI K 21 1 + § --------- + ---------· 1 – --------- ----- = 0 ©L L2 L2 L1 ¹ 1 Damit ist das Haltemoment in der Sehnensperre: 3

K 21 = – 14 00 u10 kNm

Baustatik 2 3-11

3


3.4.6 Schritt 6: Verformungszustand D2=1 am kinematisch bestimmten Grundsystem Als nächstes wird der Einfluss einer Einheitssehnendrehung des Stabes 1 untersucht. D2=1

Verformte Figur 1 L1

<=1

-50

< 2 =6/5

M2

-36

50

[MNm] EA 2 -------- sin – 30 q L 1 L3 Kraftgrößen an den Knoten K 12

K 22

6EI – --------L1

3EI L 1 --------- ----L2 L2

6EI – --------L1

Abb. 3.11 Verformungszustand D1=0, D2=1

G\ = 1

L1

L1/L2

K 22 Abb. 3.12 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K22 (die am Tragwerk wirkenden reellen Kraftgrößen sind grau eingezeichnet)

3-12 Baustatik 2


Das Moment im temporären Auflager wird mit Hilfe der Summe der Momente berechnet: 6M = 0 :

6EI 3EI L 1 3 K 12 = – --------- + --------- ----- = – 14 00 u10 kNm L2 L2 L1

Für die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre wird wieder das Prinzip der virtuellen Weggrößen verwendet (siehe Abb. 3.12). Gleichgewicht ergibt sich, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet:

6EI § 3EI L 1· L 1 EA 2 K 22 1 – 2 --------- 1 – ¨ --------- -----¸ ----- – -------- sin – 30 q L1 L1 = 0 L1 © L 2 L 2¹ L 2 L 3

Damit ist das Haltemoment in der Sehnensperre: 5

K 22 = 9 23 u 10 kNm

Baustatik 2 3-13

3


3.4.7 Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen Die unbekannten Weggrößen müssen so groß sein, dass die Kraftgrößen in den temporären Auflagern verschwinden. Dies ergibt: K 1 = K 10 + K 11 D 1 + K 12 D 2 = 0 K 2 = K 20 + K 21 D 1 + K 22 D 2 = 0 oder: 2 – qL 1 ---------------12 + 2 q L1 ----------------2

L 3EI 1 § 2EI 4EI· – ¨ --------- + ---------¸ 1 + --------- -----L L L ¹ © L1 2 2 1

4EI 3EI --------- + --------L L 1 2 L 3EI 1 § 2EI 4EI· – ¨ --------- + ---------¸ 1 + --------- -----L L L ¹ © L1 2 2 1

12EI -----------L 1

+

L 2 3EI § 1· --------- -----L2 © L ¹ 2

EA L 3

+ -------- sin

2

– 30 q L

D1 2 1

=

D2

0 0

3.4.8 Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems Die Lösung des Gleichungssystems 4

3

– 30 + 6 33 u 10 D 1 – 14 00 u 10 D 2 = 0 3

5

180 – 14 00 u 10 D 1 + 9 23 u 10 D 2 = 0 ergibt folgende Weggrößen: D 1 = 4 32 u 10

–4

D 2 = – 1 89 u 10

rad

–4

rad –4

Knotenverdrehung Sehnendrehung –3

Die Y-Verschiebung des Knotens ist: – 1 89 u 10 6 = – 1 13 u10 m (Vergleicht man dies mit dem im Abschnitt 1 erhaltenen Wert von -1,16 mm ergibt sich ein Unterschied von unter 3% gegenüber der Berechnung welche die Änderung der Stablängen aus Normalkraft berücksichtigt).

3-14 Baustatik 2


3.4.9 Schritt 8: Bestimmung der Schnittkräfte Zunächst bestimmt man die Normalkraft im Fachwerkstab (siehe Seite 6-10): EA 2 S = § -------- L 1 sin – 30q · D 2 = 48 98 kN © L3 ¹ verglichen mit 48,76 kN, der genaueren Berechnung. Den Biegemomentenverlauf erhält man durch Superposition des Verlaufes am kinematischen Grundsystem mit den Verläufen aus den Einheitsverformungszuständen multipliziert mit dem errechneten Wert der entsprechenden Weggröße (siehe Abb. 3.13). Der Querkraft- und Normalkraftverlauf kann ebenfalls durch Superposition bzw. aus Gleichgewichtsbetrachtungen am entgültigen Biegemomentenverlauf ermittelt werden.

Baustatik 2 3-15

3


-30

-30

45

+

15 -12,96

-7,20

M0

14,40

M1 D1

+

9,43 6,79

-9,43

=

-46,63

-6,17

18,60 Abb. 3.13 Endgültiger Momentenverlauf in [kNm]

3-16 Baustatik 2

M2 D2

M


Q0

-30 30

+ Q1 D1

3,22 -1,39

+ Q2 D2 2,59

3,59

=

-23,19

36,81

Q

1,19

Abb. 3.14 Endgültiger Querkraftverlauf in [kN]

Baustatik 2 3-17

3


N0 = 0 + -1,44

23,04

N1 D1

-19,20 + 50,20

N2 D2

=

48,76 N -19,20 23,04 Abb. 3.15 Endgültiger Normalkraftverlauf in [kN]

Bem.: N im Balken aufgrund von Gleichgewichtsbedingungen nicht eindeutig bestimmbar, aber aufgrund der Geometrie (Längenverhältnis) lösbar.

3-18 Baustatik 2

Drehwinkelverfahren Verschieblicher Rahmen

3.5 Verschieblicher Rahmen Hier soll an Hand eines verschieblichen Rahmens nochmals der Berechnungsablauf erklärt werden. Zunächst wird die Belastung durch Kräfte behandelt. Die Lastfälle Temperatur und Auflagerveschiebung werden in den nächsten Kapiteln besprochen.

3.5.1 Angabe Die Abmessungen des Rahmentragwerks sowie die Angaben für Lastfall 1 sind in Abb. 3.16 gegeben. q = 24 kN/m P = 10 kN

4m

EI=12000 kNm2 EA>>

6m

3m

Abb. 3.16 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 1

Baustatik 2 3-19

3


3.5.2 Diskretisierung des Systems Abb. 3.17 zeigt das diskretisierte System mit den Element- und Knotennummerierungen.

L1=4,00

L2=6,00

3 ,00 =5 L3

1

j 2

2

i

1 i j

j

i

Abb. 3.17 Diskretisiertes System

3.5.3 Bestimmung der unbekannten Drehwinkel Das System hat 3 unbekannte Drehwinkel: 2 Knotendrehungen und eine Sehnendrehung (Abb. 3.18) D3 = \

D1

D2

Abb. 3.18 Unbekannte Drehwinkel

3-20 Baustatik 2


3.5.4 Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen Abb. 3.19 zeigt die Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen. Dazu wird durch Einführung von Gelenken eine kinematische Kette erzeugt und um eine Sehnendrehung von 1 verschoben. Diese Sehnenfigur kann auch als virtuelle Verschiebungsfigur zur Bestimmung des Moments in der Sehnensperre verwendet werden.

1 L1

1

5 --- L 1 4

1 L1 3 --- L 1 4

3 L1 1 --- ----- = --4 L2 2 5 L1 --- ----- = 1 4 L3

Abb. 3.19 Figur zur Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen

Baustatik 2 3-21

3


3.5.5 Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System Zunächst werden alle unbekannten Drehwinkel Null gesetzt und die Haltemomente bestimmt. Die an den Stabenden wirkenden inneren Momente werden durch das

3-22 Baustatik 2


Einführen von Gelenken sichtbar gemacht und zur besseren Darstellung nach innen gerückt. q = 24 kN/m P = 10 kN

Verformte Figur

-72

M0 [kNm]

2

q L2 ------------12

2

q L2 – ------------12

K10

K20 K30

Innere Momente

Abb. 3.20 Bestimmung der Haltekäfte für D1=D2=D3=0

Baustatik 2 3-23

3


Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich: 2

K 10

q L2 = ------------- = 72 kNm 12 2

K 20

q L2 = – ------------- = – 72 kNm 12

Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnedrehung wird wieder mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Weggrößen (PvW) ermittelt. R = q L2

P = 10 kN

1L

1

3

1/2

1

K 30

3 --2

1

Abb. 3.21 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der Haltekraft

Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt: 2

2

3 q L2 1 q L2 1 K 30 1 – P L 1 + q L 2 --- + ------------- --- – ------------- --- = 0 12 2 12 2 2 und damit: K 30 = – 176 kNm

3-24 Baustatik 2


3.5.6 Schritt 2: D1=1

1

Verformte Figur

2 – --3

1 --3

3 --4

4EI --------L2

M1 ------EI

2EI --------L2

K11 3EI --------L1

K21 K31

Innere Momente

Abb. 3.22 Bestimmung der Haltekäfte für D1=1,D2=D3=0

Baustatik 2 3-25

3


Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich: 3EI 4EI K 11 = --------- + --------- = 1 417 EI L1 L2 2EI EI K 21 = --------- = -----L2 3 Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnendrehung wird mit Hilfe des PvW ermittelt.

1/2

1

1

K 31


Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt: 3EI 4EI 1 2EI 1 K 31 1 + --------- 1 – --------- --- – --------- --- = 0 L1 L2 2 L2 2 und damit: K 31 = – 0 25 EI

3-26 Baustatik 2


3.5.7 Schritt 3: D2=1

1

Verformte Figur

4 – --5

1 – --3

2 --3

2EI --------L2

4EI --------L2

K12

M2 ------EI

2 --5

K22 4EI --------L3

K32

Innere Momente

2EI --------L3

Abb. 3.24 Bestimmung der Haltekäfte für D1=0,D2=1,D3=0

Baustatik 2 3-27

3


Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich: 2EI EI K 12 = --------- = -----L2 3 4EI 4EI K 22 = --------- + --------- = 1 467 EI L2 L3 Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnendrehung wird mit Hilfe des PvW ermittelt.

1/2

1

1

K 32

1


Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt: 2EI 1 4EI 1 4EI 2EI K 32 1 – --------- --- – --------- --- + --------- 1 + --------- 1 = 0 L2 2 L2 2 L3 L3 und damit: K 32 = – 0 7 EI

3-28 Baustatik 2


3.5.8 Schritt 4: D3=1 1/2 1

1 Verformte Figur

-1/2

1/2

-3/4

M3 ------EI

6/5

-6/5 6EI 1 --------- --L2 2

6EI 1 --------- --L2 2

K13 3EI – --------L1

K23 6EI – --------- 1 L3

K33

Innere Momente

6EI – --------- 1 L3

Abb. 3.26 Bestimmung der Haltekäfte für D1=D2=0, D3=1

Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich: 3EI 6EI 1 K 13 = – --------- + --------- --- = – 0 25 EI L1 L2 2

Baustatik 2 3-29

3


6EI 1 6EI K 23 = --------- --- – --------- 1 = – 0 7 EI L2 2 L3

Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnendrehung wird mit Hilfe des PvW ermittelt.

1/2

1

1

K 31


Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt: 3EI 6EI 1 1 6EI 1 1 6EI 6EI K 33 1 – --------- 1 – § --------- --- · --- – § --------- --- · --- – --------- 1 1 – --------- 1 1 = 0 © L2 2 ¹ 2 © L2 2 ¹ 2 L1 L3 L3 und damit: K 33 = 3 65 EI

3-30 Baustatik 2


3.5.9 Gleichgewichtsbedingungen Die Bedingungen, dass alle Haltekräfte verschwinden sind: K 1 = K 10 + K 11 D 1 + K 12 D 2 + K 13 D 3 = 0 K 2 = K 12 + K 21 D 1 + K 22 D 2 + K 23 D 3 = 0 K 3 = K 30 + K 31 D 1 + K 32 D 2 + K 33 D 3 = 0 Dies ergibt:

1 417 0 333 – 0 25

D1

– 72

0 333 1 467 – 0 7

EI D = 2

72

– 0 25 – 0 7 3 65

D3

176

EID 1 = – 61 68 EID 2 = 92 64 EID 3 = 61 80 –3

D 1 = – 5 14 u10

Verdrehung Knoten 1

rad

Verdrehung Knoten 2

–3

rad

Sehnendrehung

D 2 = 7 72 u10 D 3 = 5 15 u10

rad

–3

–3

5 15 u10

–3

7 72 u10

–3

– 5 14 u10

Abb. 3.28 Verformte Figur

Baustatik 2 3-31

3


-72

108

-72

M0

-46,28

+

-20,57 41,14

M1 ------- EI D 1 EI

+

-74,07 -30,86 61,72

M2 ------- EI D 2 EI

37,03

+

30,87

-30,87 -46,31

M3 ------- EI D 3 EI

74,10

-74,10

= -92,59

0,03

M [kNm] -37,07

Abb. 3.29 Superposition der Momentenverläufe

3-32 Baustatik 2

Drehwinkelverfahren Temperaturänderung

-56,56

-23,15

Q

87,44

-7,42 [kN]

Abb. 3.30 Querkraftverlauf

-33,15

N -65,14

-87,44

[kN]

Abb. 3.31 Normalkraftverlauf

3.6 Temperaturänderung Hier soll ein weiterer Lastfall berechnet werden. Für den Lastfall wird angenommen, dass der Riegel sich ungleichmäßig erwärmt (es wird ein symmetrischer Querschnitt mit Höhe h angenommen). Der Einfluss der Erwärmung kann in zwei Teile getrennt werden: 'T u + 'T o Gleichmäßige Erwärmung um T m = -------------------------- = 40 °K 2

Baustatik 2 3-33

3


'T u – ' T o qK Temperaturgardient von ----------------------- = – 100 ------m h 'T 0 = 50qK h = 0 2m –5 1 D T = 1 u10 ------qK

'T u = 30qK

Abb. 3.32 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 2

Für die Berechnung ist es nur mehr notwendig eine neue rechte Seite für das Gleichungssystem d.h. die Koeffizienten K10, K20 K30 zu berechnen.

3.6.1 Belastung am kinematisch bestimmten Grundsystem Hier trennen wir die beiden Einflüsse (Temperaturgradient und gleichm. Erwärmung)

3-34 Baustatik 2


3.6.1.1

Temperaturgradient

Verformte Figur

12

12 M0 [kNm]

EI D T – 100

– E I D T – 100

K10

K20 K30

Innere Momente


Baustatik 2 3-35

3


Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich: 'T

K 10 = EI D T – 100 = – 12 kNm 'T

K 20 = – E I D T – 100 = 12 kNm Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnendrehung wird mit Hilfe des PvW ermittelt.

1/2

1

K 30


Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt: 1 1 'T K 30 1 + 12 --- – 12 --- = 0 2 2 und damit: 'T

K 30 = 0

3-36 Baustatik 2


3.6.1.2

Gleichmäßige Temperaturerhöhung

Durch die gleichmäßige Temperaturerhöhung ergibt sich eine Verlängerung des Stabes 2 um 'L = D T 40qK L 2 = 2 4 u 10

–3

m 3 --- 'L 4

3 'L –3 --- ------- = 0 3 u 10 4 6

5 --- 'L 4

'L

5 'L –3 --- ------- = 0 6 u 10 4 5 Verformte Figur -3,6 3,6

-6,84 M0

6,84 – 6E I –3 ------------ 0 3 u 10 L2

K10

K30

K20 6EI –3 --------- 0 6 u 10 L3

Innere Momente


Baustatik 2 3-37

3


Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:

K

K

Tm 20

Tm 10

– 6E I –3 = ------------ 0 3 u 10 = – 3 6 kNm L2

– 6E I 6EI –3 = § ------------ 0 3 + --------- 0 6· 10 = 5 04 kNm © L2 ¹ L3


1/2

1

1

K 30


Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt: K

Tm 30

12EI 6EI 1 –3 –3 1 – 2 § – --------- 0 3 u 10 · --- + § ------------ 0 6 u 10 · 1 = 0 © L ¹ 2 © L3 ¹ 2

und damit: K

3-38 Baustatik 2

Tm 30

= – 20 88 kNm


Tm

'T 10

= – 15 6 kNm

Tm

'T 20

= 17 04 kNm

Tm

'T 30

= – 20 88 kNm

K 10 = K 10 + K K 20 = K 20 + K K 30 = K 30 + K

Dies ergibt eine neue rechte Seite für das Gleichungssystem:

D1

1 417 0 333 – 0 25 0 333 1 467 – 0 7

EI D = – 17 04 2

– 0 25 – 0 7 3 65

D 1 = 1 23 u 10

–3

D 2 = – 1 08 u 10 D 3 = 3 54 u 10

–4

D3

rad

–3

15 6

rad

rad

20 88

Verdrehung Knoten 1 Verdrehung Knoten 2 Sehnendrehung

Baustatik 2 3-39


3

-8,64 15,6

M0

8,4

4,94

8,64

11,11

+

-9,87

M1 ------- EI D 1 EI

4,32

+

10,36

M2 ------- EI D 2 EI

-8,64

-5,18

-2,13

+

2,13 -3,19

M3 ------- EI D 3 EI

5,10 -5,10

= 7,92

6,82

M [kNm] -1,64


3-40 Baustatik 2

Drehwinkelverfahren Auflagerverschiebung

–3

– 1 08 u10

–3

3 54 u10

–3

1 23 u10

Abb. 3.38 Verformung des Tragwerks

3.7 Auflagerverschiebung Wir untersuchen den Fall, wenn sich das linke Auflager um 5 cm nach unten verschiebt.

0,05m

Abb. 3.39 Definition des Lastfalls

3.7.1 Kinematisch bestimmtes Grundsystem Um die neue rechte Seite zu bestimmen wird die Auflagerverschiebung am kinematisch bestimmten Grundsystem aufgebracht.

Baustatik 2 3-41

3


0 05 –3 ------------ = 8 33 u10 L2 0,05m

Verformte Figur

0,05m

-100 100 M0 [kNm]

– 6E I ------------ 8 33 u10–3 L2

K10

K20 K30

Innere Momente


Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:

3-42 Baustatik 2


– 6E I –3 K 10 = K 20 = ------------ 8 33 u10 = – 100 L2


1/2

1

K 30


Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt: – 6E I 1 –3 K 30 1 – 2 § ------------ 8 33 u10 · --- = 0 © L2 ¹ 2 und damit: K 30 = – 100 kNm

Dies ergibt eine neue rechte Seite für das Gleichungssystem: 1 417 0 333 – 0 25 0 333 1 467 – 0 7 – 0 25 – 0 7 3 65

D 1 = 5 06 u10

–3

rad

D1

100

EI D = 100 2 D3

100

Verdrehung Knoten 1

Baustatik 2 3-43

3

3-44 Baustatik 2


D 2 = 6 37 u10

–3

rad

Verdrehung Knoten 2

D 3 = 3 85 u10

–3

rad

Sehnendrehung


-100

100

M0

+ -40,48 20,24

45,54

M1 ------- EID 1 EI -61,15

+

-25,48 50,96

M2 ------- EID 2 EI +

30,57 -23,1 23,1

-34,65

M3 ------- EID 3 EI

55,44

-55,44 -5,7

= 10,9

M [kNm] -24,9


Baustatik 2 3-45

3

Drehwinkelverfahren Beispiel mit Feder

15,4 mm

15,4 mm –3

6 37 u10

rad

5 --- 15 4 = 19 3 mm 4

50 mm –3

\ = 3 8 u10

–3

5 06 u10

rad

50 mm


3.8 Beispiel mit Feder Hier wird das mit der Matrix stiffness method berechnete Beispiel etwas vereinfacht (die Richtung der Verschieblichkeit des Auflagers wird paralell zum Stab 2 angenommen und die Bleastung vereinfacht) mit dem Drehwinkelverfahren berechnet. Abb. 3.44 zeigt die Angabe. 1kN e m

5

Drehfeder, k D = 10 kNm e rad

Alle Stäbe:

6m

E= 107kN/m2 A>> I= 10-2 m4 10m

4m

4m

Abb. 3.44 Angabe

Zunächst wird das System diskretisiert (Abb. 3.45), die unbekannten Drehwinkel (Abb. 3.46) und schließlich die abhängige Sehnendrehung bestimmt (Abb. 3.47)

3-46 Baustatik 2


1

L1=10m

1

2

L2 =

2

10m

3


D3 D1

D2


\ = 1

10 8

8 \ 2 = – ------ = – 0 8 10

10m 10m

8m

Abb. 3.47 Bestimmung des abhängigen Drehwinkels (virtuelles Verschiebungsdiagramm)

Baustatik 2 3-47

3


3.8.1 Belastung am kinematisch bestimmten System 1kN e m

qL

2

– ---------- = – 8 3 12

M0 qL1=10 2 qL ---------12

K30

qL

2

– ----------

K10

12

K20

Knotengleichgewicht: K 10 =

2 qL – ---------12

= – 8 33

K 20 = 0 Prinzip der virtuellen Arbeiten: 2 2 L1 qL qL K 30 1 + ---------- – ---------- – q L 1 ----- = 0 12 12 2

3-48 Baustatik 2

K 30 = 50


3.8.2 D1=1,D2=D3=0

1

2EI 4 – --------- = – 2 10 L1

4EI 4 --------- = 4 10 L1 M1

2EI --------L1

K31

4EI --------L1

k D 1 = 10

5

(Drehfeder)

K21 K11

auf den Knoten wirkende äußere KG

Knotengleichgewicht: 4EI 5 K 11 = --------- + k D 1 = 1 4 10 L1 K 21 = – k D 1 Prinzip der virtuellen Arbeiten: 4EI 2EI K 31 1 + --------- 1 + --------- 1 = 0 L1 L1

6EI 4 K 31 = – --------- = – 6 10 L1

Baustatik 2 3-49

3


3.8.3 D1=0,D2=1,D3=0

1

3EI 4 – --------- = – 3 10 L2 M2

K32

K12

K22 k D 1 = 10

5

(Drehfeder)

3EI --------L2

Knotengleichgewicht: 3EI 4 K 22 = --------- + k D 1 = 13 10 L2 K 12 = – k D 1 Prinzip der virtuellen Arbeiten: 3EI K 32 1 – --------- 0 8 = 0 L2

3-50 Baustatik 2

K 32 = 2 4 10

4


3.8.4 D1=0,D2=0,D3=1

1

6EI 4 – --------- = – 6 10 L1

6EI 4 --------- = 6 10 L1

3EI 4 – --------- u 0 8 = – 2 ,4 10 L2 M3 6EI – --------L1

K33

K23 K13

3EI --------- 0 8 L2

Knotengleichgewicht: 6EI 4 K 13 = – --------- = – 6 10 L1 3EI 4 K 23 = --------- 0 8 = 2 4 10 L2 Prinzip der virtuellen Arbeiten: 6EI 6EI 3EI K 33 1 + § – --------- 1 – --------- 1· + --------- 0,8 – 0 8 = 0 © L1 ¹ L2 L1

K 33 = 13 92 10

4

Das assemblierte Gleichungssystem ist in Matrizenschreibweise:

Baustatik 2 3-51

3


2

L – q -----12

–kD

–kD

§ 3EI --------- + k D· © L2 ¹

1

+

0 2

L1 q ----2

0 50

§ 3EI --------- 0 8· © L2 ¹

14 + 10

4

– 10 – 6 2 4

D1

13

–6

2 4 13 92 D 3

rad

Verdrehung Knoten links

–4

rad

Verdrehung Knoten rechts

rad

Sehnendrehung

D 3 = – 4 14 u10

–4

0

D2 = 0

0

D2 = 0

– 10

–4

D 1 = – 1 ,41 u10 D 2 = – 0 ,32 u10

D1

3EI 12EI 3EI 2 § – 6EI --------- · § --------- 0 8 · § ------------ 1 + --------- 0,8 · © L1 ¹ © L2 ¹ © L1 ¹ L2

– 8 33

3-52 Baustatik 2

§ – 6EI ---------· © L ¹ 1

§ 4EI --------- + k D· ©L ¹

0

D3

0


– 8 3

– 8 3 M0

+ – 5 ,64

2 ,82

M1 D1

+ 0 ,96 M2 D2

– 24 ,84

+ 9 ,94 M3 D3 24 ,84

– 30 ,32 = M 10 ,90

[kNm]

Baustatik 2 3-53

3


für kD= 0 D 1 = – 1 ,67 u10 D 2 = 1 ,00 u10

–3

–3

D 3 = – 1 ,25 u10

rad

rad

–3

rad

Verdrehung Knoten links Verdrehung Knoten rechts Sehnendrehung

– 50 ,00 0 M [kNm]

für kD>> –4

rad

Verdrehung Knoten links

–4

rad

Verdrehung Knoten rechts

–4

rad

Sehnendrehung

D 1 = – 0 ,76 u10 D 2 = – 0 ,76 u10 D 3 = – 3 ,79 u10

– 29 ,55

M 11 ,36

3-54 Baustatik 2

[kNm]

4

Symmetrische Tragwerke

4.1 Einführung Bei symmetrischen Tragwerken ergeben sich Vereinfachungen in der Berechnung, welche hier besprochen werden sollen. Es gibt grundsätzlich bei Tragwerken zwei Arten von Symmetrie (Abb. 4.1 ): die Tragwerksgeometrie spiegelt sich an Achsen (Achsensymmetrie). Geometrie wiederholt sich zyklisch (zyklische Symmetrie)

Symmetrieachse Abb. 4.1 Beispiele für Symmetrie und zyklische Symmetrie

4.2 Achsensymmetrie Bei symmetrischen Tragwerken ist die Verformung bei symmetrischer Belastung symmetrisch und bei antimetrischer Belastung antimetrisch. Abb. 4.2 zeigt die Verformung, Normalkraft, Querkraft und Momentenverläufe für eine symmetri-

Baustatik 2 4-1

4

Symmetrische Tragwerke Achsensymmetrie

sche Belastung. Da der Querkraftverlauf in der Symmetriachse einen Nulldurchgang hat ist es möglich, das System durch ein halbes System mit einem Querkraftgelenk in der Symmetrieachse zu ersetzen. Man sieht, dass dieses System jetzt horizontal unverschieblich ist, d.h. dass bei symmetrischer Belastung für die Berechnung keine Sehnensperre für den vertikalen Stab notwendig ist.

w

M

Symmetrisch

Symmetrisch

Q

N Symmetrisch

Antimetrisch

L/2

Ersatzsystem

Abb. 4.2 Verformung, M, N, Q Verlauf aus symmetrischer Belastung und Ersatzsystem

Abb. 4.3 zeigt die Verformung, Normalkraft, Querkraft und Momentenverläufe für eine antimetrische Belastung. Da der Momenten- und Normalkraftverlauf in der Symmetrieachse einen Nulldurchgang hat, ist es möglich das System durch ein halbes System mit einem verschiebbaren und gelenkigen Auflager in der Symmetrieachse zu ersetzen.

4-2 Baustatik 2


w

M

Antimetrisch

Antimetrisch

Q

N

Symmetrisch

Antimetrisch

L/2

Ersatzsystem

Abb. 4.3 Verformung, M, N, Q Verlauf aus antimetrischer Belastung und Ersatzsystem

Im Weiteren sollen verschiedene Fälle der Symmetrieachse behandelt werden.

4.2.1 Symmetrieachse schneidet normal zur Stabachse Schneidet die Symmetrieachse einen Stab in zwei Hälften, wie in Abb. 4.2 dargestellt, so muss bei der Berechnung dieses Stabes eine spezielle Verdrehsteifigkeit angenommen werden. Bei einer symmetrischen Belastung ergibt sich mit der Symmetriebedingung (Vorzeichen beachten !!): --------- T i + 2EI --------- T j k T = 4EI L L

mit

Tj = – Ti = 1

--------k T = 2EI L

Baustatik 2 4-3

4


2EI --------L

i

T

T = –T j i

i

2EI --------L

j

L

· 2EI – --------L

M

Abb. 4.4 Verdrehsteifigkeit eines Symmetriestabes

Zum selben Ergebnis kommt man, wenn man den halben Stab mit einem Querkraftgelenk betrachtet. Bei einer antimetrischen Belastung (Abb. 4.3) ergibt sich: --------- T i + 2EI --------- T j k T = 4EI L L

mit

--------k T = 6EI L

Tj = Ti = 1

T = T j i

6EI --------L

i

6EI – --------L

T

j

i

6EI --------L

L

6EI --------L

M

Abb. 4.5 Steifigkeit eines antimetrisch belasteten Stabes

Dasselbe Ergebnis bekommt man, wenn man den halben Stab mit einem gelenkigen Auflager betrachtet.

4.2.2 Symmetrieachse schneidet den Stab parallel zur Stabachse Schneidet die Symmetrieachse durch einen Stab parallel zur Stabachse, wie in Abb. 4.6 und Abb. 4.7 gezeigt dann darf bei der Berechnung des Ersatzsystems die Steifigkeit des Symmetriestabes nur mit den halben Querschnittswerten (A,I) berechnet werden.

4-4 Baustatik 2


q 2

2'

3

3 1

4

1'

q

A I ---- ,--2 2

h

Abb. 4.6 Symmetrisch belastetes System und Ersatzsystem

-q +q 2

2'

3 3

1

4

1'

q

I A --- ,---2 2

Abb. 4.7 Antimetrisch belastetes System und Ersatzsystem

Baustatik 2 4-5

4

Symmetrische Tragwerke Zyklische Symmetrie

4.3 Zyklische Symmetrie Abb. 4.8 zeigt ein Beispiel einer zyklischen Symmetrie. Das Tragwerk ist in diesem Fall rotationssymmetrisch und die Belastung zyklisch. An der verformten Figur sieht man, dass sich gewisse Verformungsfiguren zyklisch wiederholen. In diesem Fall braucht nur ein Segment des Tragwerks mit Querkraftgelenken in radialer Richtung berechnet werden.

Ersatzsystem

System Abb. 4.8 Beispiel für zyklische Geometrie und Belastung mit dazugehörigem Ersatzsystem

4.4 Beispiele 4.4.1 Symmetrisches System Die Abmessungen des Rahmentragwerks sowie die Angaben für den symmetrischen Lastfall 1 sind in Abb. 4.9 gegeben.

4-6 Baustatik 2

Symmetrische Tragwerke Beispiele

q = 24 kN/m

EI=12000 kNm2 EA>>

4m

6m Abb. 4.9 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 1

4.4.1.1

Diskretisierung des Systems

Abb. 4.10 zeigt das diskretisierte System mit den Element- und Knotennummerierungen.

2

j 2 i

3

L1=4,00

L2=6,00 L3=4,00

1

1 i j

j

i Symmerieachse


4.4.1.2

Ersatzsystem für Lastfall 1

Für die symmetrische Belastung ist das Ersatzsystem in Abb. 4.11 gezeigt.

Baustatik 2 4-7

4


1

Abb. 4.11 Ersatzsystem für symmetrische Belastung

4.4.1.3

Bestimmung der unbekannten Drehwinkel

Das System hat nur einen Freiheitsgrad: eine Knotendrehung (Abb. 4.12)

D1

D1

Abb. 4.12 Unbekannter Drehwinkel

4-8 Baustatik 2


4.4.1.4

Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System

Die Berechnung der Haltekraft K10 wird in Abb. 4.13 gezeigt q = 24 kN/m

Verformte Figur

-72

M 0 [kNm]

108

2

q L2 ------------12

K10 2

K 10

q L2 = ------------- = 72 kNm 12

Abb. 4.13 Bestimmung der Haltekäfte für D1=0

Baustatik 2 4-9

4


4.4.1.5

Schritt 2: D1=1

D1 = 1

D1 = 1 Verformte Figur 1 – --3 1

M1 ------EI

1 – --2 2EI --------- (Symmetriestab) L2

K11 4EI --------L1

4EI 2EI K 11 = --------- + --------- = 1 33 EI L1 L2

Abb. 4.14 Zustand D1=1

4-10 Baustatik 2


4.4.1.6

Ergebnisse

Die Bedingung, dass die Haltekraft verschwindet ist: K 1 = K 10 + K 11 D 1 = 0 Dies ergibt: EID 1 = – 54 D 1 = – 4 5 u 10

-72

–3

rad Verdrehung Knoten 1

108

-72

M0

-54

-54

+

18

M1 ------- EI D 1 EI 27

27

-54

-54

-54

=

-54 108

M [kNm]

27

27

Abb. 4.15 Engültiger Momentenverlauf

Baustatik 2 4-11

4


4.4.2 Antimetrisches System Die Angaben für den antimetrischen Lastfall 2 sind in Abb. 4.16 gegeben. Der gezeigte Lastfall ist eigentlich nicht antimetrisch, jedoch kann bei der Vernachlässigung der Stablängenänderungen die Last von 10 kN durch zwei Lasten von 5 kN welche links und rechts des Systems wirken ersetzt werden. 10 kN

EI=12000 kNm2 EA>>

4m

6m Abb. 4.16 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 2

4.4.2.1

Ersatzsystem

Für die antimetrische Belastung ist das Ersatzsystem in Abb. 4.17 gezeigt.

5 kN

1

Abb. 4.17 Ersatzsystem für antimetrische Belastung

4-12 Baustatik 2


4.4.3 Bestimmung der unbekannten Drehwinkel Das System hat zwei unbekannte Drehwinkel: eine Knotendrehung und eine Sehnendrehung (Abb. 4.18). D2 D1


4.4.3.1

Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System

Die Berechnung der Haltekräfte K10 und K20 wird in Abb. 4.19 gezeigt 5 kN

5 kN

1 L1

K10 1

K 10 = 0

K 20

K 20 1 + 5 1 L 1 = 0 K 20 = – 20 kNm

Abb. 4.19 Bestimmung der Haltekäfte für D1=0

Baustatik 2 4-13

4


4.4.3.2

Schritt 2: D1=1 1

Verformte Figur

–1 1 M1 ------EI 1 – --2 6EI --------L2

K11 4EI --------L1

1

K 21

2EI --------L1 4EI 6EI K 11 = --------- + --------- = 2 EI L1 L2

4EI 2EI K 21 1 + --------- 1 + --------- 1 = 0 L1 L1 3 K 21 = – --- EI 2

Abb. 4.20 Haltemomente aus D1=1

4-14 Baustatik 2


4.4.3.3

Schritt 3: D2=1 1

Verformte Figur

6 – --4 M2 ------EI 6 --4

K12

1

6EI – --------L1

K 22

Innere Momente

– 6 EI 3 K 12 = ------------ = – --- EI L1 2

6EI K 22 1 – 2 --------- 1 = 0 L1 K 22 = 3 EI

Abb. 4.21 Haltemomente aus D2=1

Baustatik 2 4-15

4


4.4.3.4

Ergebnisse

Die Bedingungen, dass alle Haltekräfte verschwinden, sind: K 1 = K 10 + K 11 D 1 + K 12 D 2 = 0 K 2 = K 20 + K 21 D 1 + K 22 D 2 = 0 D 1 = 6 67 u 10

–4

rad

Verdrehung Knoten 1

D 2 = 8 89 u 10

–4

rad

Sehnendrehung

D2 D1


4-16 Baustatik 2


M0

+ -8

-8 8

8

M1 ------- EI D 1 EI -4

4

-16

16

M2 ------- EI D 2 EI

16

-16

= -8 8

M [kNm]

12

-12

Abb. 4.23 Überlagerung der Momentenverläufe

Baustatik 2 4-17

4


4.4.4 Zyklische Symmetrie Gegeben sei das Tragwerk in Abb. 4.24. Die Belastung ist eine ungleichmäßige Erwärmung von 2° C für alle Stäbe. 8

E = 2 1 u10 kN/m I = 300 cm

50 cm

2

4

'T a = – 1 qC

A>>

60° 'T i = 1qC

h = 10 cm –5

D T = 1 u10

1/°K Abb. 4.24 Beispiel für zyklische Symmetrie

4.4.5 Ersatzsystem Wegen der zyklischen Symmetrie braucht nur 1/12 des Systems berücksichtigt werden.

Abb. 4.25 Ersatzsystem

Da eine Auflagerbewegung nur stattfinden kann, wenn sich der Stab ausdehnt, ist das System kinematisch bestimmt und der endgültige Momentenverlauf ergibt sich aus den Starreinspannwerten für den Temperaturgradienten. 'T i – 'T a m iB = EI D T ------------------------ = 0 126 kNm h

4-18 Baustatik 2

BS2_Skriptum_2010

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