II. ELEMENTE DE TERMODINAMICA II.1.NOTIUNI FUNDAMENTALE • • • • • • • • •
masă moleculară masă moleculară relativă cantitate de substantă masă molară volum molar numărul lui Avogadro echilibrul termic corespondenta intre valoarea numerică a temperaturii in scara Celsius si valoarea numerică a acesteia in scara Kelvin modelul gazului ideal
II.2. PRINCIPIUL I AL TERMODINAMICII • • • • • • • • •
lucrul mecanic in termodinamică, mărime de proces interpretarea geometrică a lucrului mecanic in termodinamică energia internă a unui sistem termodinamic, mărime de stare căldura, mărime de process unitatea de măsură a lucrului mecanic, căldurii şi energiei interne invelişul adiabatic principiul I al termodinamicii coeficienti calorici (relatii de definitie, unităti de măsură in SI) relatia Robert - Mayer
II.3. APLICAREA PRINCIPIULUI I AL TERMODINAMICII LA TRANSFORMĂRILE GAZULUI IDEAL • • •
transformările simple ale gazului ideal (izobară, izocoră, izotermă, adiabatică) energia internă a gazului ideal (monoatomic, diatomic, poliatomic) variatia energiei interne, lucrul mecanic si cantitatea de căldură pentru transformările simple ale gazului ideal (izobară, izocoră, izotermă, adiabatică)
II.4. MOTOARE TERMICE • • •
explicarea functionării unui motor termic ideal (Ciclul Carnot) descrierea principalelor cicluri termodinamice - Otto, Diesel - pe b aza cărora functionează motoarele termice calculul randamentului unui motor termic
1
II.1. NOTIUNI FUNDAMENTALE Termodinamica studiază sistemele termodinamice. Un sistem termodinamiceste o poriune finită din Univers separată de celelalte sisteme printr-o suprafaă. Sistemele termodinamice se caracterizează printr-o mulime de mărimi care se numesc parametri de stare. Între parametri de stare există anumite relaii numite ecuaii de stare. Datorită interaciunilor sistemele evoluează în timp; se spune că starea lor suferă o transformare, sau că are loc un proces. Vom studia numai procesele cuasistaionare, în cursul cărora stările intermediare pot fi considerate stări de echilibru. Pe de altă parte, dacă starea nu se modifică, sistemul se află în echilibru. Un sistem izolat nu interacionează cu exteriorul; un sistem izolat adiabatic nu schimbă căldură cu exteriorul; un sistem închis nu schimbă particule cu exteriorul. Exemple:
Parametri de stare: presiunea, volumul, temperatura, energia internă. Sisteme termodinamice: aerul dintr-o cameră, apa dintr-un pahar, o bucată de metal. Procese: izobar (la presiune constantă), izocor (la volum constant), izoterm (la temperatură constantă), adiabat )f ără schimb de căldură). Sistemele termodinamice sunt compuse din foarte multe particule, care pot fi molecule, atomi, ioni, electroni. Particulele de un anumit tip sunt identice; de exemplu, toate moleculele de apă din Univers sunt identice. Caracterizarea sistemelor termodinamice se face cu unele noiuni comune fizicii şi chimiei. Masa moleculară: este masa unei molecule dintr-o anumită substană. Valorile exprimate în SI sunt foarte mici (de ordinul 10-26 kg) şi de aceea se foloseşte masa moleculară relativă. Se introduce unitatea atomică de masă, definită ca a 12-a parte a masei izotopului 12C: 1u=1,66·10-27 kg. Masa moleculară relativă arată de câte ori masa unei molecule (sau a unui atom) este mai mare decât unitatea atomică de masă. Exemple de mase moleculare(sau atomice) relative: - pentru molecula de hidrogen: 2 - pentru molecula de oxigen: 32 - pentru apă: 18 Cantitatea de substană reprezintă numărul de molecule (sau de atomi) dintr-un sistem. Pentru corpurile obişnuite acest număr este foarte mare (de ordinul 1020). De aceea s-au introdus câteva noiuni ajutătoare. Molul este cantitatea dintr-o substană a cărei masă exprimată în grame este egală cu masa moleculară relativă. Masa unui mol se numeşte masă molară. Exemple de mase molare : - M H2=2 g - M O2=32 g - M H2O=18 g Chiar dacă masa molară depinde de tipul moleculelor, numărul de particule dintr-un mol este acelaşi şi se numeşte numărul lui Avogadro. Acesta este o constantă universală şi reprezintă numărul de particule dintr-un mol: N A=6,02·1023 mol-1 (particule/mol)
(1)
Putem da o altă definiie a molului: molul este cantitatea de substană care conine un număr de particule egal cu numărul lui Avogadro.
Volumul molar este volumul unui mol dintr-o substană şi depinde evident de starea de agregare, de temperatură, de presiune. Pentru un gaz ideal aflat în condiii normale de temperatură şi presiune (t =0ºC, p=101325 Pa) volumul molar are valoarea de 22,41 litri: V mol=22,41 litri/mol
2
(2)
Echilibrul termic. Studiem numai interaciunea dintre două sisteme, presupunând că ansamblul lor este izolat. În urma interaciei, stările lor iniiale se modifică, sistemele suferă anumite procese. Experiena arată că cele două sisteme ajung după un anumit timp în stări de echilibru. Se spune că sistemele sunt în echilibru termic. Tot experiena arată că două sisteme în echilibru cu al treilea sunt în echilibru între ele. Generalizând, toate sistemele în echilibru termic au aceeaşi valoare a unui parametru comun care este temperatura. Pe această proprietate se bazează măsurarea temperaturilor cu termometrele. Acestea sunt corpuri caracterizate de o mărime care variază cu temperatura. Pentru măsurare trebuie alese unitatea de măsură şi punctul de zero, elemente care definesc scara termometrică. Sunt două scări termometrice importante: Scara Celsius. Unitatea de măsură este gradul Celsius ºC, definit ca a suta parte din intervalul dintre temperatura de fierbere a apei şi temperatura de topire a gheii la presiune atmosferică normală. Temperatura de 0ºC este asociată temperaturii de topire a gheii. Scara Kelvin sau scara absolută. Unitatea de măsură este Kelvinul K, definit ca fiind 1/273,16 din temperatura absolută a punctului triplu al apei (temperatura egală cu 0,01ºC la care gheaa, apa lichidă şi vaporii de apă se află în echilibru la presiune normală). Punctul de zero se defineşte prin 0 K= – 273,15 ºC. Astfel fiind, kelvinul este egal cu gradul Celsius. Legătura dintre temperaturile măsurate pe cele două scări este T (K) = t (ºC) + 273,15 K. Modelul gazului ideal. Cel mai simplu sistem termodinamic este gazul ideal. Moleculele unui gaz ideal sunt considerate puncte materiale care se mişcă haotic conform legilor mecanicii, mişcare care se numeşte agitaie termică sau mişcare browniană. Moleculele se ciocnesc elastic între ele şi cu pereii incintei. În intervalul dintre ciocniri moleculele se mişcă liber. Ciocnirile cu pereii recipientului sunt cauza presiunii exercitate de gaz. Ciocnirile de orice tip duc la schimbul de căldură între diverse pări ale unui sistem sau între sisteme diferite. Pentru ν moli de gaz ideal, ecuaia de stare este: pV = ν RT
(3)
unde R=8,31 J/molK este constanta gazelor perfecte.
II.2. PRINCIPIUL I AL TERMODINAMICII Termodinamica studiază în special schimburile de energie dintre sisteme. De aceea mărimile energetice sunt foarte importante. Vom studia lucrul mecanic, energia internă şi caldura. În termodinamică, lucrul mecanic extinde definiia dată de mecanică. Dacră ne referim la o mişcare unidimensională de-a lungul axei Ox, lucrul mecanic al forei F care acionează r r r asupra unui corp este definit prin produsul scalar: L = F ⋅ (r 2 − r 2 ) = F ( x2 − x1 )cos α unde ∆ x = ( x2 − x1 )
este deplasarea corpului (considerat ă pozitivă pentru fixarea ideilor). Lucrul mecanic poate fi pozitiv sau negativ, dup ă cum fora are acelaşi sens sau sens opus mişcării, adică după cum = 0 sau α = 18 0 . Deoarece sistemele temodinamice pot conine fluide este mai convenabil ca în locul forei să se folosească presiunea. Fie un recipient cilindric cu aria bazei S, închis cu un piston care se mişcă de-a lungul axei Ox. Presupunând presiunea constantă, lucrul mecanic se poate scrie: o
L =
F S
S∆ x = p∆V
(4)
Relaia r ămâne corecă pentru mişcări tridimensionale. În general presiunea nu este constantă. Definim atunci un lucru mecanic elementar, valabil pentru o variaie mică a volumului dV , în timpul căreia presiunea poate fi considerată constantă:
3
d L= pdV
(5)
Prin convenie, acest lucru mecanic este pozitiv dacă este însoit de o mărire a volumului. În aceste condiii lucrul mecanic total se calculează integrând relaia (4) între valorile iniială şi finală ale volumului sistemului: V 2
∫
L = pdV
(6)
V 1
Într-o diagramă p-V lucrul mecanic este reprezentat de aria de sub curba p(V ) cuprinsă între abscisele V 1 şi V 2. Însă trecerea unui sistem din starea iniială A în starea finală B se poate face pe mai multe căi, adică prin mai multe tipuri de procese. În figura 1 am dat două exemple de procese cuasistatice, A → D şi A → F → D .
Figura 1. Lucrul mecanic este o mărime de proces. Rezultă că lucrul mecanic depinde de transformare: L( A → D ) = Aria ABCD , este diferit de L( A → F → D ) = Aria ABCF . Se spune că lucrul mecanic este o mărime de proces. Energia internă U este o mărime de stare, cu alte cuvinte depinde numai de starea sistemului, nu şi de procesul prin care acesta a ajuns în acea stare. Energia internă poate fi considerată ca suma energiilor cinetice şi poteniale ale tuturor particulelor din sistem, însă definiia ei se poate da numai pe baza primului principiu al termodinamicii. Modificarea energiei interne a unui sistem se poate face cu sau f ără efectuarea de lucru mecanic. Modificarea energiei interne f ără efectuarea de lucru mecanic se numeşte căldură. Principiul I al termodinamicii stabileşte pe baza experienelor că variaia energiei interne a unui sistem termodinamic (închis) este dată de diferena dintre căldura şi lucrul mecanic implicate în proces: ∆U = Q − L
(7)
Se foloseşte următoarea convenie de semne: Q>0 dacă energia internă creşte (adică sistemul primeşte căldură); L>0 dacă sistemul efectuează lucru mecanic asupra exteriorului (adică volumul sistemului creşte). Se observă că energia internă creşte dacă sistemul primeşte lucru
4
mecanic din exterior, adică dacă L<0. inând cont de relaia (5) şi notând cu dQ căldura schimbată de sistem într-o transformare elementară, o altă formulare a pricipiului întâi este: dU =dQ – pdV (8) Subliniem încă o dată deosebirea esenială între energie internă pe de o parte, căldură şi lucru mecanic pe de altă parte. Energia internă este o mărime de stare, căldura şi lucrul mecanic sunt mărimi de proces. În particular, în relaia (8) dQ nu este variaia vreunei funcii de stare, ci doar o notaie pentru căldura elementară schimbată în cursul procesului. Dacă sistemul efectuează un proces ciclic, în care starea finală coincide cu cea iniială, energia internă revine la valoarea iniială, ∆U = 0 , pe când atât căldura, cât şi lucrul mecanic sunt nenule, cele două mărimi de proces fiind egale între ele: Q = L ≠ 0 . O altă transformare particulară este procesul adiabatic, în care nu se face schimb de căldură: Qad = 0 , ∆U ad = − Lad . Energia internă, căldura şi lucrul mecanic se măsoară în jouli (simbol J). În multe probleme se utilizează coeficienii calorici pe care îi definim în continuare. Capacitatea calorică a unui sistem este căldura necesară pentru schimbarea temperaturii sistemului cu 1 K: C =
Q ∆T
şi se măsoară în J/K.
Capacitatea calorică molară este capacitatea calorică a unui mol dintr-o substană: C µ =
C ν
=
Q ν ∆T
, unde ν este numărul de moliş se măsoară în J/molK.
Căldura specifică este capacitatea calorică a unităii de masă, c =
C m
şi se măsoară în J/kgK.
Exemple de coeficien i calorici. Căldura molară la volum constant (într-un proces izocor) ∆U Q = ν ∆T V =const ν ∆T
C V =
(9)
Căldura molară la presiune constantă (într-un proces izobar) C p
=
∆U p∆V p∆V Q = + = C V + ν ∆T ν ∆T p=const ν ∆T ν ∆T
(10)
Pentru gazul ideal, folosind relaia (3) şi inând cont că într-un proces izobar presiunea este constantă, se obine relaia lui Robert Mayer: C p
= C V + R
Pentru un gaz ideal monoatomic C V = 3 R / 2 , pentru un gaz ideal biatomic C V Raportul γ = C p C V se numeşte exponent adiabatic.
(11) = 5 R / 2 .
II.3. APLICAREA PRINCIPIULUI I LA TRANSFORMĂRILE GAZULUI IDEAL Folosind relaia (9) şi valorile capacităilor calorice la volum constant, se obine expresia energiei interne a gazului ideal monoatomic: U mono
= C V T =
3 R
5
T
(12)
şi a celui biatomic:
U bi
= C V T =
5 R T 2
(13)
Transformări simple ale gazului ideal. Tabelul următor conine ecuaiile transformărilor simple, variaia de energie internă, căldura şi lucrul mecanic în cursul acestora pentru cazul gazului ideal. Am notat cu indicii 1 şi 2 parametrii în starea iniială şi respectiv finală. Tabelul 1. Procese termodinamice simple ale gazului ideal Procesul Izocor (V =const ) Izobar ( p=const) Izoterm (T=const ) Adiabatic (Q=0)
Ecuaia p T V T
= const = const
pV=const
γ
pV
= const
Variaia energiei interne ∆U
Căldura Q
Lucrul mecanic L
ν C V (T 2 − T 1 )
ν C V (T 2 − T 1 ) = ∆U
0
ν C V (T 2 − T 1 )
ν C p (T 2 − T 1 )
0
ν RT ln
ν C V (T 2 − T 1 )
0
V 2 V 1
p(V 2
− V 1 )
ν RT ln
V 2 V 1
–ν C V (T 2 − T 1 )
Figura 2 reprezintă transformările simple ale unui sistem, în particular ale gazului perfect. În toate cazurile este vorba despre procese cuasistatice.
Figura 2. Procese simple. Am notat cu 1 starea iniială comună şi cu 21,..., 24 diversele stări finale.
6
II.4. MOTOARE TERMICE Motorul termic este o maşină care primeşte c ăldură din exterior de la o sursă caldă, cedează o parte din această căldură unei surse reci externe şi efectuează procese ciclice, furnizând lucru mecanic. Ne vom referi numai la cicluri cuasistatice. Nici un motor termic nu poate funciona cu o singură sursă de căldură, cu alte cuvinte nici un ciclu monoterm nu poate efectua lucru mecanic asupra exteriorului. Notăm cu Q1 (care este o mărime pozitivă) c ăldura totală primită de sistem într-un ciclu şi cu Q2 (care este o cantitate negativă) căldura totală cedată de sistem în cursul ciclului; notăm cu L lucrul mecanic efectuat de sistem într-un ciclu (mărime pozitivă). Randamentul unui ciclu se defineşte prin mărimea pozitivă subunitară η =
L
=
Q1 − Q2
Q1
Q1
<1
(14)
Ciclul cu două surse de căldură se numeşte ciclu Carnot sau ciclu biterm. Figura 3 prezintă un ciclu Carnot cuasistatic, format din două adiabate – 2 → 3 şi 4 → 1 – şi două izoterme – 1 → 2 şi 3 → 4 . C ăldura Q1 este primită în timpul transformării izoterme 1 → 2 efectuate la temperatura absolută T 1, iar căldura Q2 este cedată în timpul procesului izoterm 3 → 4 efectuat la temperatura absolută T 2 (în timpul proceselor adiabatice nu se face schimb de căldură).
Figura 3. Ciclul Carnot cuasistatic. Folosind tabelul 1 din pagina 6 se arată că randamentul ciclului Carnot reversibil realizat de un gaz ideal este dat de: η C = 1 −
T 2 T 1
7
(15)
Ciclul Carnot modelează destul de bine ciclul de funcionare al motoarelor cu ardere externă, cum ar cel al locomotivelor cu aburi. Orice alt motor termic care funcionează între eceleaşi temperaturi extreme are un randament mai mic decât cel dat de relaia (15). Însă de obicei nu temperaturile extreme sunt impuse de limitările constructive ale maşinii, ci presiunile sau volumele extreme. De aceea s-au inventat motoare cu ardere internă, care se bazează pe alte cicluri, dintre care amintim ciclul Otto şi ciclul Diesel. Desigur, toate aceste cicluri sunt în realitate nonstatice, iar procesele concrete nu sunt nici izoterme, nici adiabate, nici izobare. Însă modelele ideale pe care le studiem dau o valoare maximă previzibilă în condiii date. Ciclul Otto, descris în figura 4, este format din două adiabate, 1 → 2 (compresie) şi 3 → 4 (destindere) şi două izocore, 2 → 3 (ardera şi destinderea) şi 4 → 1 (evacuarea). Pe izobara 0 → 1 are loc admisia amestecului combustibil aer+vapori de benzină, iar în timpul transformării inverse are loc efectiv evacuarea în atmosferă a gazelor arse. Însă aceste procese nu contribuie la calculul randamentului ciclului.
Figura 4. Ciclul Otto cuasistatic. Folosind din nou relaiile din tabelul 1 se găseşte că randamentul ciclului Otto, realizat cu un gaz considerat ideal, este dat de: η Otto = 1 −
unde
ε =
V 1 V 2
1 γ −1
(16)
ε
este raportul de compresie.
Motorul Diesel este modelat de un ciclu cuasistatic format din adiabata 1 → 2 (compresia), izobara 2 → 3 , adiabata 3 → 4 şi izocora 4 → 1 (care formează împreună aprinderea şi destinderea). Reprezentarea în planul p-V este arătată în figura 5. Admisia 0 → 1 introduce aer atmosferic în motor, iar în cursul procesului invers 1 → 0 se evacuează gazele arse. Aceste procese nu intervin în calculul randamentului.
8
Notăm cu
ε =
V 1 V 2
raportul de compresie şi cu ρ =
V 3 V 2
raportul de injecie. Tabelul 1 permite
găsirea randamentului ciclului Diesel realizat de un gaz ideal: ρ − 1 η Diesel = 1 − γ −1 ( ρ − 1) γε γ
Figura 5. Ciclul Diesel cuasistatic
9
(17)
