BREVE RESEÑA HISTORICA TEORÍA DE CONJUNTOS George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conunto! a finale! del !iglo "#" $ principio! del ""% &u o'etivo era el de formaliar la! matemática! como $a !e a'ía eco con el cálculo cien a*o! ante!% Cantor comenó e!ta tarea por medio del análi!i! de la! 'a!e! de la! matemática! $ e+plicó todo 'a!ándo!e en lo! conun conunto to!! (por (por eempl eemplo, o, la def defini inició ciónn de funci función ón !e a ace ce e!tric e!tricta tamen mente te por med medio io de con conun unto to!) !)%% !te !te mo monu nume ment ntal al tra' tra'a aoo logr logróó un unifific icar ar a la! la! ma mate temá mátitica ca!! $ pe perm rmititió ió la compren!ión de nuevo! concepto!% l pro'lema apareció cuando !e comenaron a encontrar paradoa! en e!ta teoría, !iendo la má! c.le're la paradoa de /u!!ell, $ má! tarde vario! matemático! encontraron má! paradoa!, inclu$endo al mi!mo Cantor% /u!!ell de!cu'rió !u paradoa en 1901, $ la pu'licó en un ap.ndice de !u li'ro 2rincipio! de la! matemática!% Cuan Cuando do lo! lo! ma mate temá mátitico co!! !upi !upier eron on de e!ta e!ta pa para rado doa a,, mu muc co! o! !e preg pregun unta taro ronn !i la! la! matemática! en realidad eran con!i!tente!, $ !o're todo verdadera!, $a que cualquier !upo!ición matemática podía 'a!ar!e en una teoría incon!i!tente% 3a primera propue!ta para !olucionar el pro'lema de la! paradoa! provino de un matemático oland.! llamado rouer, quien propu!o una redefinición radical de toda! la! matemática! $ prometió una !olución al conflicto% l programa de rouer !e 'a!a'a en lo má! !imple de la intuición6 el acepta'a lo! concepto! que !on aparente! a la intuición general% general% !ta filo!ofía rec reca aa' a'aa mu muc co! o! prin princi cipi pio! o! fund fundam amen enta tale le!! de la! la! ma mate temá mátitica ca!, !, pe pero ro en cam' cam'io io,, !olucion !oluciona'a a'a !ati!fact !ati!factoria oriament mentee el pro'lema pro'lema de la! parado paradoa!% a!% 2articula 2articularmen rmente te rouer rouer recaa'a el principio del medio e+cluido, el cuál decía que lo! elemento! de un conunto o 'ien tienen una propiedad 7 o no la tienen, lo cuál !ería la negación de la propiedad 7% 7 e!ta corriente de pen!amiento !e le llamó intuicioni!mo%
2or otro lado, avid il'ert !e opu!o al intuicioni!mo $ aunque no tolera'a la! paradoa!, no e!ta'a di!pue!to a ver la! matemática! mutilada!% n 1904 propu!o la teoría de la prue'a, la cuál era una teoría de la lógica independiente del conte+to $ podría !er aplicada a la! matemática! !in encontrar paradoa!% /u!!ell a !u ve de!arrolló !u teoría de lo! tipo! para evitar evitar la! parado paradoa!% a!% l propon proponía ía que lo! enu enuncia nciado! do! !e acomoda acomodaran ran erárqui erárquicame camente nte%% /u!!ell pu'licó !u! re!ultado! en 1908 con la cola'oración de 7lfred :ort ;iteead% 3a cuarta re!pue!ta a la paradoa paradoa fue de rn!t
mero! $ la e!tadí!tica%
OPERACIONES CON CONJUNTOS
ecimo! que do! conunto! $ !on iguale! !i po!een e+actamente e+actamente lo! mi!mo! elemento!, $ en e!te ca!o e!cri'imo! %
2or eemplo e! igual a aparecan e+pre!ado! en diferente! forma!%
, e igual a
aunque
#gualmente la repetición formal de elemento! iguale! no quiere decir que !ean conunto! di!tinto! (a meno! que e+pre!amente indiquemo! lo contrario)% &i con!ideramo! el conunto formado por la! letra! que componen la pala'ra ??operador, e!te !ería
,
que e! el mi!mo conunto que % @'!ervemo! por tanto que con la definición dada de igualdad de conunto!, no importa ni el orden de aparición de lo! elemento! ni la repetición de e!to!% @'!ervación6 ! claro a partir de la! definicione! que la igualdad inclu!ión, de lo e! de
e! equivalente a la do'le
$ , $a que !i todo elemento de lo e! de , nece!ariamente po!een lo! mi!mo! elemento!%
, $ todo elemento
!ta equivalencia e! u!ada con frecuencia como t.cnica de demo!tración para pro'ar que do! conunto! !on iguale!% Conunto complementario6 Aiado un conunto de referencia $ un conunto !e define !u complementario re!pecto de como el conunto formado por todo! aquello! elemento! de que no !on elemento! de % enotamo! por a e!te conunto !i no a$ duda !o're qui.n e! % &i !e quiere e+plicitar el conunto de referencia !e puede e+pre!ar como
7 partir de uno! conunto! !e pueden o'tener otro! mediante operacione! de inter!ección, unión, diferencia !im.trica $ producto% #nter!ección6 Aiado un conunto de referencia $ conunto! $ !e define el conunto inter!ección de am'o!, como el formado por todo! aquello! elemento! que !on a la ve elemento! de $ de % &e nota %
&i
lo! conunto!
par
$
!e dicen di!unto!% &i adema!
forma una partición de
decimo! que el
%
Bnión6 Aiado un conunto de referencia am'o!, $ lo repre!entamo! por
$ conunto! $ definimo! el conunto unión de , al !iguiente conunto6
iferencia 6 ado! do! conunto! por
$
definimo! el conunto diferencia de
$
$ lo repre!entamo!
como el !iguiente conunto6
(7 vece! !e utilia la notación
)
Bnión gen.rica6 ada una familia de conunto! con índice en un cierto conunto
,
unión gen.rica de lo! conunto! de e!a familia, $ lo repre!entamo! por !iguiente conunto6
, definimo! la como el
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE CONJUNTOS
ado! conunto! , , $ un conunto de referencia e! inmediato compro'ar que !e verifican la! !iguiente! propiedade!6 /e!pecto de la unión /e!pecto de la inter!ección ominancia
7!ociativa Conmutativa #dempotente /e!pecto de am'a! &implificativa i!tri'utiva /e!pecto del pa!o a complementario
CONJUNTOS NUMERICOS N, Z, Q Y R
1) : Conunto de lo! :>mero! :aturale! : D 1, E, F, 4, 5, , H,%%%%%%%I l conunto de lo! :>mero! :aturale! !urgió de la nece!idad de contar, lo cual !e manifie!ta en el !er umano de!de !u! inicio!% !te conunto !e caracteria porque6 Jiene un n>mero ilimitad de elemento! Cada elemento tiene un !"#$!% $ todo!, $&#$'t $l (, un a)t$#$!%* l !uce!or de un n>mero natural !e o'tiene !umando uno (K1)= el antece!or !e o'tiene re!tando uno (-1)% E) :L : 0 Conunto de lo! :>mero! Cardinale! : 0 D 0, 1, E, F, 4, 5, ,%%%%%I 7l Conunto de lo! :>mero! :aturale! !e le agregó el 0 (cero) $ !e forma el Conunto de lo! :>mero! Cardinale!% F) < Conunto de lo! :>mero! ntero! < D %%%%% MF, -E, -1, 0, 1, E, F,%%%I l Conunto de lo! :>mero! ntero! !urge de la nece!idad de dar !olución general a la !u!tracción, pue! cuando el !u!traendo e! ma$or que el minuendo, e!ta !u!tracción no tiene !olución en lo! Conunto! :aturale! $ Cardinale! (por eemplo6 5 M E0 NO)% e'ido a e!to, la recta num.rica !e e+tiende acia la iquierda, de modo que a cada punto que repre!enta
un n>mero natural le corre!ponda un '")t !im+t%i#, !ituado a la iquierda del cero% 2unto !im.trico e! aquel que e!tá u'icado a igual di!tancia del cero (uno a la dereca $ el otro a la iquierda de .l)% < :L B Conunto de lo! :>mero! ntero! negativo! < Jiene F &u'conunto!6 ntero! :egativo!6 < P ntero! 2o!itivo!6 < K ntero! 2o!itivo! $ el Cero6 < 0K 2or lo tanto, el Conunto de lo! Nm$%! E)t$%! e! la unión de lo! tre! !u'conunto! mencionado!% < < P B D0I B < K 4) Q Conunto de lo! :>mero! /acionale! Q D%%%%- R, - S, - T , 0, T , S, R,%%%%%I l conunto de lo! :>mero! /acionale! !e creó de'ido a la! limitacione! de cálculo que !e pre!enta'an en el conunto de lo! :>mero! :aturale!, :>mero! Cardinale! $ :>mero! ntero!% 2or eemplo, !ólo !e puede dividir en el conunto de lo! :>mero! ntero! !i - !.l !i el di/id$)d $! mlti'l, di!ti)t d$ #$%, d$l di/i!%* 2ara !olucionar e!ta dificultad, !e creó e!te conunto, el cual e!tá formado por todo! lo! n>mero! de la forma a 0 1% !ta fracción en la cual el numerador e! a, e! un n>mero entero $ el denominador 1, e! un n>mero entero di!tinto de cero% 2V$%3 4%a##i)$!5 l conunto de lo! Nm$%! Ra#i)al$! 2Q 5 !e a con!truido a partir del conunto de lo! Nm$%! E)t$%! 2Z5* &e e+pre!a por compren!ión como6 Q 6 7 a 0 1 tal 8"$ a - 1
Z9 - 1
:;
!te conunto !e repre!enta gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta num.rica en e!pacio! iguale!, que repre!enten n>mero! entero!% Cada una de e!ta! !u'divi!ione! repre!enta una fracción con denominador igual al n>mero de parte! de la !u'divi!ión% Cada fracción e! un )m$% %a#i)al $ cada n>mero racional con!ta de infinita! fraccione! equivalente!%
5) # QL Conunto de :>mero! #rracionale! I Conunto de :>mero! ecimale! #nfinito! no 2eriódico!
!te conunto !urgió de la nece!idad de reunir a cierto! n>mero! que no pertenecen a lo! conunto! anteriore!= entre ello! !e pueden citar a la! %a<#$! i)$&a#ta!, $l )m$% Pi, etc% 7 .l pertenecen todo! lo! )m$%! d$#imal$! i)=i)it! '"%! , e! decir aquello! n>mero! que no pueden tran!formar!e en una fracción% :o de'en confundir!e con lo! n>mero! racionale!, porque .!to! !on n>mero! decimale! finito!, infinito! periódico! e infinito! !emiperiódico! que !< '"$d$) t%a)!=%ma%!$ $) ")a =%a##i.)* emplo!6 1,414E1F5%%%%
0,10E00F00004000005%%%%
) Conunto de :>mero! /eale! (/)% / D%%%%- 10, -1, - R, - S, - T, 0, T , UE, 5 , %%%%%I &urgen de la nece!idad de reunir lo! racionale! $ lo! irracionale! en un !olo conunto% &e denotan por /% / DQ B irracionale!I% @2/7C#@:& 3 C@:VB:J@ / 3@& :BW/@& /73& 3a union del conunto de lo! numero! racionale! con el conunto de lo! numero! irracionale!, reci'e el nom're de conunto de lo! numero! reale! $ !e denota con el !XYm'olo /, !im'olicamente e!cri'imo!6 /QB# INTERVALOS 3o! intervalo! !on !u'conunto! de lo! )m$%! %$al$! que !e pueden repre!entar gráficamente en la recta num.rica por un trao o una !emirrecta% +i!ten intervalo! a1i$%t!, en lo! que no !e inclu$en lo! e+tremo!= #$%%ad! en lo! que !e inclu$en lo! e+tremo!, $ aquello! en que !e com'inan am'o!% 2ara repre!entar lo! intervalo! !e utilia una #i%#")=$%$)#ia /a#
l di'uo !uperior grafica el intervalo entre todo! lo! n>mero! (+) ma$ore! que H (+ Z H), e+cluido el H, a!ta el infinito (K [)
!te di'uo grafica el intervalo entre lo! n>mero! (+) ma$ore! o iguale! a H (+ \ H), inclu$endo el H, a!ta el infinito (K [)% Como vemo!, la !im'ología que !e utilia en lo! #a!! a1i$%t! (que no inclu$en al e+tremo) !on el !igno > 2m$)% 8"$5 o ? 2ma-% 8"$5= $ para lo! #a!! #$%%ad! (que inclu$en al e+tremo) !on el !igno @ 2ma-% i"al 8"$5 o el !igno 2m$)% i"al 8"$5 % e acuerdo con la !im'ología $ la! caracterí!tica!, e+i!ten lo! !iguiente! tipo! de intervalo!6 I)t$%/al a1i$%t, que !e grafica
&e e!cri'e a > & > 1 (a e! menor que equi! $ equi! e! menor que ') $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor que
equi! $ equi! e! menor que 1) !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! (n>mero! reale!) entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, pero que no inclu$en ni a ni 1% I)t$%/al #$%%ad, que !e grafica
&e e!cri'e a & 1 (a menor o igual que equi!, $ equi! menor a igual que ') $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor o igual que equi! $ equi! e! menor o igual que 1)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a $ el de 1% I)t$%/al a1i$%t a la i8"i$%da, que !e grafica
&e e!cri'e a > & 1 (a menor que equi!, $ equi! menor o igual que ') $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor que equi! $ equi! e! menor o igual que 1)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, $ que no inclu$en el valor de a pero !í inclu$en el valor de 1% I)t$%/al a1i$%t a la d$%$#a, que !e grafica
&e e!cri'e a & > 1 (a menor o igual que equi! $ equi! menor que ') $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor o igual que equi! $ equi! e! menor que 1)%
!to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a pero no inclu$en el valor de 1% I)t$%/al i)=i)it '% la i8"i$%da - a1i$%t , que !e grafica
&e e!cri'e & > a (equi! e! menor que a) $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que equi! e! menor
que a)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la iquierda que a$ en la recta num.rica, $ que no inclu$en el valor de a% I)t$%/al i)=i)it '% la i8"i$%da - #$%%ad , que !e grafica
&e e!cri'e & a (equi! e! menor o igual que a) $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que $8"i! e! menor o
igual que a)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la iquierda que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a% I)t$%/al i)=i)it '% la d$%$#a - a1i$%t , que !e grafica
&e e!cri'e & ? a (equi! e! ma$or que a) $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor que
equi!) !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la dereca que a$ en la recta num.rica, $ que no inclu$en el valor de a% I)t$%/al i)=i)it '% la d$%$#a - #$%%ad , que !e grafica
&e e!cri'e & @ a (equi! e! ma$or o igual que a) $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que equi! e! ma$or o
igual que a) !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la dereca que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a%
Como vemo!, lo! intervalo! !e pueden repre!entar con corcete!, pero tam'i.n !e puede acer en forma de conunto6 emplo6 ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor o igual que equi! $ equi! e! menor que 1)%
INECUACIONES 3a! i )$#"a#i)$! !on d$!i"aldad$! al$1%ai#a! en la que !u! do! miem'ro! !e relacionan por uno de e!to! !igno!6 > m$)% 8"$ & F ( > G m$)% i"al 8"$ & F ( G ? ma-% 8"$ & F ( ? G @ ma-% i"al 8"$ & F ( @ G
3a !l"#i.) de una i)$#"a#i.) e! el conunto de valore! de la varia'le que la verifica% 3a !olución de la inecuación !e e+pre!a mediante6 (* U)a %$'%$!$)ta#i.) %=i#a* * U) i)t$%/al* E+ ] 1 ^ H E+ ^ 8 +^4 2, K5 INECUACIONES LINEALES &uponemo! que $a conocemo! lo! !ím'olo! _Z` (ma$or que), _^` (menor que), _\` (ma$or o igual que) $ _` (menor o igual que) que u!amo! para relacionar un n>mero con otro% !cri'imo!, por eemplo, K ?( para !e*alar que 4 e! ma$or que M1% Jam'i.n podemo! e!cri'ir > para !e*alar que ME e! menor que F% emplo! como e!to! !e conocen como d$!i"aldad$!% &a'ido e!to, diremo! que una inecuación e! el enunciado de una de!igualdad que inclu$e alguna de la! !iguiente! relacione! de orden6 _ma$or que`(Z)= _menor que` (^)= _ma$or o igual que` (\), $ _menor o igual que` ()% n la de!igualdad aparece al meno! una incógnita o valor de!conocido $ que !e cumple para cierto! valore! de ella% Si $l %ad d$ la i)$#"a#i.) $! ") 2d$ '%im$% %ad5, !$ di#$ 8"$ la i)$#"a#i.) $! li)$al* !to porque al e!cri'ir la! de!igualdade! u!amo! n>mero! $ por e!to mi!mo e! que podemo! u!ar la recta num.rica para vi!ualiar o graficar dica! de!igualdade!%
@'!erva que en la recta de arri'a6 K ? (, porque 4 e!tá a la dereca de M1 en la recta num.rica% > , porque ME e!tá a la iquierda de F en la recta num.rica > (, porque -F e!tá a la iquierda de M1 en la recta num.rica : ? K, porque 0 e!tá a la dereca de M4 en la recta num.rica Bna inecuación lineal, entonce!, e! una e+pre!ión matemática que de!cri'e cómo !e relacionan entre !í do! e+pre!ione! lineale! * 2or eemplo6 & @ (= $ otro, 2& 5 > % INECUACIONES CUADRATICAS
3a! #necuacione! Cuadrática! !on aquella! que tienen la varia'le elevada al cuadrado $ !u !olución !e puede encontrar de do! forma!6 e!tudiando lo! !igno! de lo! factore! encontrado! luego de la factoriación o e!tudiando la función cuadrática% &i encuentra! la !olución por lo! factore! de'e! con!iderar todo! lo! po!i'le! !igno! que cumplan con la de!igualdad $ !i e! por la función una ve graficada !e o'!erva donde la función cumple con la de!igualdad% INECUACIONES RACIONALES
&on inecuacione! racionale!, aquella! en la! que tanto el numerador como el denominador !on inecuacione! polinómica! cuadrática! o polinómica! de grado ma$or a E! uno de lo! que trae má! complicacione!, porque una inecuación racional e! una e+pre!ión de tipo fracción, donde la varia'le e!tá en el numerador $ el denominador%
