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DEPARTAMENTO

DE

INGENIERÍA

ELÉCTRICA

BOLETÍN DE PROBLEMAS TRANSFORMADOR

2009/2010

TRANSFORMADORES Problemas propuesto propuestos s

1. Dibujar un diagrama vectorial para un transformador monofásico cargado y con relación de transformación igual a 2, que tiene una corriente magnetizante en el primario de 2,5 A. Calcular la corriente primaria y su factor de potencia para las siguientes cargas secundarias:

a) 20 A y cos ϕ = 1. b) 20 A y cos ϕ = 0,5 en retraso. 2. Se dispone de dos transformadores monofásicos de los que se conocen los siguientes datos:

TRANSF TRANSFORM ORMADO ADOR R 1: 1: 15 15 kVA, kVA, R 1 = 0,25 Ω, X 1 = 0,36 Ω TRANSF TRANSFORM ORMADO ADOR R 2: 2: 10 10 kVA, kVA, R 2 = 0,39 Ω, X 2 = 0,529 Ω en donde todos los parámetros deben entenderse como referidos a su secundario. Ambos trafos tienen una tensión nominal en el secundario de 415 voltios. Se pide: a) La variación de tensión secundaria, de vacío a plena carga, expresada en tanto por ciento de su tensión secundaria nominal, de cada trafos funcionando por separado, con carga nominal y con factores de potencia: unidad, 0,8 inductivo y 0,8 capacitivo. b) ¿Cuál es el significado físico de los resultados obtenidos?. c) Al conectar ambos transformadores en paralelo para alimentar una carga puramente resistiva de 25 kVA, ¿funcionarán correctamente?. Demostrarlo numéricamente. 3. Dos transformadores monofásicos de 100 kVA, 1000/100 V, 50 Hz, funcionan en paralelo. Las impedancias de cortocircuito reducidas al primario de cada uno son Zcc1 = 0,3 + j 0,4 Ω y Zcc2 = 0,4 + j 0,3 Ω, respectivamente. Se desea alimentar a 100 V una carga de 150 kVA con f.d.p. 0,8 inductivo. Calcular las corrientes, potencias aparentes y activas suministradas por cada transformador. 4. Un transformador monofásico de 100 kVA y 10000/120 voltios en vacío, está suministrando 75 kVA con un f.d.p. de 0,8. Se ha realizado con él un ensayo de cortocircuito, dando los siguientes resultados:

Ucc = 430 V; Pcc = 1,6 kW e Intensidad nominal En el ensayo de vacío, alimentando por el primario a la tensión nominal, los resultados fueron: P0 = 1 kW; I0 = 0,85 A. Se pide:

Transformadores - 1

a) Calcular los cinco parámetros del circuito equivalente referidos al lado de alta tensión. Con los datos del régimen de funcionamiento especificado: b) Calcular el rendimiento del transformador. c) Calcular la corriente en el primario del transformador. d) Calcular la tensión en el secundario del transformador. 5. Un transformador monofásico de distribución tiene los siguientes datos nominales: 50 kVA, 2300/230 V. Su resistencia en el devanado del primario es de 0,5 Ω, su resistencia en el devanado del secundario es de 0,005 Ω y sus pérdidas en el hierro son de 290 W. Determinar el rendimiento bajo cada una de las condiciones de carga siguientes:

a) 50 kW, f.d.p. unidad. b) 5 kW, f.d.p. unidad. c) 50 kW y 80% de f.d.p. 6. De un transformador monofásico de 2200/220 voltios, 60 Hz, se conocen los siguientes datos:

Ensayo de vacío: alimentado por el lado de A.T.: U0 = 2200 V; I0 = 1,0 A; P0 = 110 W Ensayo de cortocircuito: alimentado por el lado de B.T.: Ucc = 20 V; Icc = 100 A; Pcc = 850 W Se pide: a) Calcular los cinco parámetros del circuito equivalente y dibujar el circuito equivalente aproximado referido al primario. b) Calcular el coeficiente de regulación y el rendimiento cuando el transformador alimenta una carga de 120 A, con un factor de potencia de 0,8 atrasado. c) ¿Cuál es el rendimiento máximo y cuál la carga, en kVA, a la que tiene lugar dicho rendimiento máximo?. Suponer que las condiciones nominales de funcionamiento del transformador son las del apartado anterior. 7. Un transformador (I) de 40 kVA, 1000/100 V, ha dado los siguientes resultados en un ensayo de cortocircuito:

51 V; 40 A; 400 W (medidos en el lado de A.T.) Se desea conectar en paralelo con otro transformador (II) de 20 kVA, 1000/100 V, que en un ensayo de cortocircuito ha dado: 42 V; 20 A; 245 W (medidos en el lado de A.T.) a) Indicar si se cumplen las condiciones básicas fundamentales para el correcto trabajo en paralelo de los dos transformadores, o lo que es lo mismo, comprobar si la carga se repartirá de forma proporcional a las potencias nominales de los transformadores.

Transformadores - 2

b) ¿Alguno de los dos transformadores va a trabajar sobrecargado?. En caso afirmativo indíquese cual. c) Indicar como se repartirán una potencia de 60 kVA con f.d.p. 0,8 inductivo. 8. Un transformador monofásico de 50 kVA, 6600/220 V, 50 Hz, ha dado los siguientes resultados en unos ensayos:

VACÍO: VACÍO:

1000 1000 W; W; 220 220 V; 25 A;

datos datos leídos leídos en el lad ladoo de de B.T. B.T.

CORTOCIRCUITO:

1200 W; 300 V; 7,575 A;

datos leídos en el lado de A.T.

Calcular: 1) Los parámetros del circuito equivalente aproximado del transformador reducido al primario. 2) Se dispone de tres transformadores monofásicos idénticos al citado, que se conectan en triángulo en la parte de A.T. (primario) y en estrella en la parte de B.T. (secundario). Si se alimenta el primario de esta combinación con una red trifásica a 6600 V, determinar la tensión secundaria de línea, si la corriente secundaria de línea es de 200 A con un f.d.p. 0,8 inductivo. 3) La combinación señalada en el apartado anterior (conexión Dy) se conecta nuevamente a una red trifásica de 6600 V y en el secundario se coloca una carga trifásica equilibrada en triángulo de impedancia: 2,16 + j 1,62 Ω/fase, calcular la tensión secundaria de línea y el rendimiento del transformador en estas condiciones. 9. A un transformador trifásico de 112,5 kVA, 60 Hz y 13800/440 voltios, conectado en estrella-estrella, se le efectuaron mediciones de resistencia/fase en sus devanados de alto y bajo voltaj voltaje, e, obteni obteniénd éndose ose valore valoress de de R AT = 3,8 Ω y R BT BT = 0,02 Ω, respectivamente.

Calcular las pérdidas en el hierro para el transformador, a voltaje y frecuencia nominal, si los datos de diseño indican que su rendimiento a plena carga y f.d.p. de 0,8 en atraso, es del 96%. Razonar, sin ningún tipo de operación numérica, si será aconsejable hacer que este transformador trabaje a su máximo rendimiento. 10. Se dispone de un transformador trifásico conectado en estrella-estrella, para alimentar a 100 voltio voltioss y 50 Hz Hz una red de de lámpar lámparas as que que absorb absorben en 24 kW con con un fact factor or de de potenc potencia ia unida unidad. d. Se conocen los siguientes datos:

- R 1 (primario) = 6,25 Ω/fase - R 2 (secundario) = 0,005 Ω/fase * Ensayo en vacío: - tensión primaria

U1 = 4400 V entre fases.

- tensión secundaria

U2 = 102 V entre fases.

- potencia

P0 = 300 W

* Ensayo de cortocircuito: Transformadores - 3

Se precisaron 95 voltios por fase en el primario para que circulara la corriente nominal. Se pide: a) Hallar la tensión primaria entre fases que deberá alimentar el transformador, utilizando la aproximación de KAPP. b) Hallar el error cometido (en %) respecto al valor exacto. c) Hallar el coeficiente de regulación. d) Hallar las pérdidas en el cobre para la corriente nominal de plena carga y factor de potencia unidad. e) Hallar el rendimiento del transformador para funcionamiento nominal, determinando además el rendimiento máximo y la carga a la cual se produce. 11. La iluminación de la carretera de acceso a una urbanización está formada por 21 farolas. Cada farola tiene una luminaria que contiene una lámpara de vapor de mercurio de color corregido de 220 V, 400 W con su equipo y condensador que compensa el factor de potencia hasta 0,96.

a) Calcule las potencias activa, reactiva y compleja consumidas por el conjunto de farolas. b) El sistema de alumbrado es alimentado a través de un transformador trifásico de 10 kVA, 25000/380V, εCC = 2,5 %, cos φCC ≈ 0, P0 = 500 W, y cos φ0 = 0,6. Si el primario del transformador se conecta a 26500 V y las farolas están uniformemente distribuidas entre las tres fases, determinar la tensión y la corriente en el secundario del transformador. Suponer que la carga es una impedancia constante para cualquier valor. c) Calcular la potencia activa, reactiva y compleja que consume la acometida. d) Determinar el rendimiento del transformador. transformador. e) Calcular la corriente en el primario del transformador si se produce un cortocircuito en su secundario. 12. Se dispone de un transformador trifásico de 124,7 kVA, relación de transformación 8250/500 V, grupo de conexión Yy6, al que se han realizado los siguientes ensayos:

1) Ensayo de vacío: alimentando el transformador por el devanado de baja tensión a 400 voltios, la potencia absorbida fue de 1300 W. 2) Ensayo de cortocircuito: alimentando el transformador por el devanado de alta tensión a 314 V, circul circulaa la la corr corrien iente te nomina nominall y la potenc potencia ia absorb absorbida ida fue de 3000 3000 W. W. Calcular: a) El rendimiento del trafos a plena carga cuando alimenta una carga inductiva o capacitiva de factor de potencia 0,9 a la tensión nominal conectada en el devanado de alta tensión. b) El rendimiento del transformador cuando trabaja a media carga, tensión nominal y el f.d.p. es la unidad.

Transformadores - 4

c) El rendimiento máximo del trafos y carga a la cual se produce, cuando el f.d.p. es la unidad a la tensión nominal. d) La tensión necesaria en el primario para poder alimentar la carga del apartado a), cuando la tensión del secundario es de 8250 V. e) Las caídas de tensión relativa en la resistencia, reactancia e impedancia de cortocircuito a plena carga. 13. Dos transformadores monofásicos están conectados en paralelo y alimentan por el lado de baja tensión una carga eléctrica de 200 kW con un factor de potencia 0,8 inductivo. La tensión de alimentación de la carga es de 370 V. Las características de los dos transformadores se dan en la tabla siguiente: TRAFOS

A B Calcular:

S n (kVA)

125 140

U 1n (V)

6000 6000

U 2n (V)

ε cc (%)

380 380

4,2 4

P cc (kW)

1 1,2

P 0 (kW)

0,4 0,5

a) La impedancia de cortocircuito de cada transformador. b) La intensidad que suministra a la carga cada uno de los transformadores. c) La tensión de alimentación en el primario. d) La potencia aparente suministrada por cada transformador. e) El rendimiento de cada transformador. 14. Se dispone de un transformador monofásico en cuya placa de características constan los siguientes datos:

Potencia nominal

Sn = 30 kVA

Tensio Tensiones nes

15 kV / 380 380 V

Tensió Tensiónn de de cort cortoci ocircu rcuito ito

εcc = 3 %

Pérdidas en cortocircuito

Pcc = 150 W

Pérdidas en vacío

P0 = 75 W

Corriente de excitación

I0 = 4 %

Frecuencia

50 Hz.

Se pide: a) Las intensidades nominales de cada ca da devanado. b) Los valores de la corriente de vacío, según por qué devanado se alimente el transformador. c) La relación de transformación.

Transformadores - 5

d) Las corrientes primaria y secundaria en caso de un cortocircuito franco en un devanado, suponiendo el otro alimentado a tensión nominal. e) Los rendimientos a plena carga y a 3/4 de carga, si el transformador alimenta a tensión nominal un consumo puramente óhmico. f) El rendimiento a plena carga y al 60 % de carga, si el transformador alimenta un consumo capacitivo con f.d.p. 0,8 g) Para un factor de potencia dado, determinar el índice de carga que da el rendimiento máximo. h) Los valores de εRcc y de εXcc, dibujando el correspondiente esquema del ensayo de cortocircuito. i) La caída de tensión relativa a plena carga y a 3/4 de carga, si se alimenta una carga inductiva con f.d.p. 0,8666. 15. Un transformador trifásico de 100 kVA de potencia nominal, presenta unas pérdidas de 800 W en en vací vacíoo y de 2200 2200 W en los devana devanados dos a plen plenaa carg carga. a. Determ Determina inar: r:

a) Las pérdidas totales a plena carga y a media carga. b) El rendimiento a plena carga para un f.d.p. de 0,8 y de 1. c) El rendimiento a media media carga para los mismos factores de potencia. potencia. d) La carga del transformador para la cual presenta el máximo rendimiento. e) El rendimiento máximo para un f.d.p. unidad. 16. El rendimiento máximo de un transformador monofásico de 500 kVA, 3300/500 V, 50 Hz, es del 97% y ocurre para los ¾ de la plena carga con f.d.p. unidad. Se observa en un ensayo de cortocircuito que son necesarios 330 V aplicados al primario para que circule en ese estado la corriente nominal por el transformador. Calcular la caída de tensión a plena carga con f.d.p. 0,8 inductivo. 17. Se dan los siguientes datos para dos transformadores monofásicos de 11000/2300 voltios, 60 c.p.s. TRAFOS

CAPACIDAD

1 2

100 KVA 500 KVA

Ucc

265 V 345 V

I cc

9,1 A 45,5 A

P cc

1000 W 3370 W

Se pide: a) ¿Cuál es la máxima carga en kVA que puede obtenerse de la conexión en paralelo de ambos trafos sin causar caídas de tensión en el secundario mayores de 50 voltios?. b) Para esta carga total, ¿cuántas kVA entregará cada transformador?. 18. Un transformador trifásico tiene las siguientes características nominales:

Yy0

Sn = 100 kVA

Transformadores - 6

3000/380 V

Los resultados de unos ensayos de vacío y de cortocircuito han dado los siguientes valores: VACIO: VACIO: 3000 3000 V; V; P0 = 5 kW; (medidos en el lado de A.T. - primario) CORTOCIRCUITO: 300 V; I1cc = In; Pcc = 6 kW; (medidos en el primario) Si la tensión secundaria de línea se mantiene constante en 380 V, se pide: a) La tensión compuesta necesaria en el primario cuando el transformador alimenta una carga trifásica de 50 kW con f.d.p. 0,6 capacitivo. b) La potencia aparente de máximo rendimiento y rendimiento máximo del transformador para un f.d.p. unidad. c) Se desea ampliar la instalación para alimentar una carga trifásica de 120 kW con un f.d.p. 0,8 inductivo por lo que se acopla en paralelo este transformador con otro cuyas características nominales son las siguientes: Yy0; Yy0; Sn Sn = 50 kVA; kVA; 3000 3000/38 /3800 V; V; εRcc = 8%; εXcc = 6%; P0 = 3 kW. Calcular los valores de las potencias aparentes, activas y reactivas suministradas por cada transformador y los rendimientos respectivos. 19. Dos transformadores de 100 kVA, 1000 /100 V, 50 Hz funcionan en paralelo. Los ensayos de cortocircuito de estos transformadores cuando funcionan con corriente nominal en los devanados de B.T. en cortocircuito, dan los siguientes resultados: Transformador

Tensión Aplicada

Potencia Consumida

I II

30 V 90 V

1200 W 1800 W

a) Si se desea alimentar a 100 V una carga de 100 kVA con f.d.p. 0,8 inductivo, ¿cuál será el reparto de potencias aparentes y activas en cada transformador?. b) ¿Cuál es la mayor potencia, con f.d.p. unidad, que pueden llevar los dos transformadores en paralelo sin sobrecargar ninguno de ellos?. 20. Un generador monofásico, G, alimenta, a través de un transformador monofásico, tal como muestra la figura, una carga inductiva. Las indicaciones de los aparatos de medida son:

A2 = 12 A

V 2 = 240 V

V x2x2 = 144 V

Y las las caract caracterí erísti sticas cas nomina nominales les del transf transform ormado adorr son son las siguie siguiente ntes: s: U1n = 400 V; U2n = 250 V; Sn = 5 kVA; P0 = 50 W; Pcc = 150 W; ϕcc = 5 % Calcular: a) El rendimiento del transformador transformador en estas condiciones. b) El índice de carga y el rendimiento rendimiento máximo del transformador transformador cuando U2 = 240 V y cosϕc = 0,8 (inductivo). Transformadores - 7

21. Las pruebas de cortocircuito de dos trafos monofásicos de 3300/220 V con iguales relaciones de tensión han dado los siguientes resultados: A: B:

tensión primaria corriente en el secundario potencia consumida tensión primaria corriente en el secundario potencia consumida

80 V 230 A 600 W 80 V 230 A 1100 W

Los transformadores funcionan en paralelo sobre las mismas barras colectoras en primario y secundario y absorben una carga total (entrada) de 100 kW con f.d.p. de 0,8 en retardo. Hallar: a) Las corrientes aproximadas de carga del primario y los factores de potencia. b) La distribución porcentual de potencias entre los transformadores. c) A la vista de los resultados obtenidos, ¿es conveniente la asociación en paralelo en los términos propuestos?. Justifíquese la respuesta. 22. La figura muestra el esquema simplificado de la instalación eléctrica para la alimentación de un grupo de bombeo y su aplicación en regadíos. Se dispone de una red de

distribución trifásica alimentada por una pequeña Minicentral hidráulica situada en un área cercana a la estación de bombeo. La Minicentral consiste en un grupo turbina - alternador que genera una tensión nominal de de 3000 V y que, a través de una red de media tensión de impedancia despreciable, alimenta un transformador reductor de tensión para la alimentación de la estación de bombeo. Las características nominales del transformador son:

Transformadores - 8

Sn= 100 kVA; Yy11; 3000/380 V; εcc = 10%; εXcc = 8% La red de distribución que une el transformador con el grupo de bombeo tiene una impedancia de Z = 0,05 + j 0,1 Ω/hilo. La estación de bombeo se puede representar por una carga trifásica equilibrada conectada en estrella de impedancia 2 ∠36,87º Ω/fase. Calcular: a) Los parámetros R cccc y X cccc del circuito equivalente por fase del transformador reducido al primario. b) La tensión compuesta en el primario del transformador (y que debe generar el alternador) para que la tensión en la carga (grupo de bombeo) sea de 380 V. Determinar, en esta situación, el rendimiento del transformador si las pérdidas en el hierro son de 2 kW. c) Si la tensión en el primario del transformador es de 3000 V, ¿cuál será el valor de la tensión que se tendrá en el grupo de bombeo?. Determinar, en este caso, la caída relativa de tensión (regulación) del transformador. 23. Se dispone de tres transformadores monofásicos de 20000/420 V, 400 kVA, cuyos parámetros, referidos al devanado de mayor tensión, del circuito equivalente aproximado son: R Fe Fe=47 k , X µ = 72 k , R cc cc = 11,2  y X cc cc = 59 . A partir de estos transformadores se desea formar un banco de transformación trifásico para interconectar dos redes trifásicas de 20000 √3 V y 420 V resp respect ectiva ivamen mente. te. Obtener: 1. El tipo de conexión y la potencia nominal del banco trifásico. 2. La tensión de alimentación cuando se conecta a una red de tensión constante de 420 V, a la cual suministra su corriente nominal con fdp 0,8 en adelanto. 24. Se dispone de un transformador trifásico de las siguientes características nominales:

Sn = 100 kVA; P0 = 800 800 W; W; U1n = 660 V; I10 = 0,4 A; U2n = 380 V; εRcc = 0,014 (1,4 %); P cc = 700 W. Su devanado de tensión más elevada (primario) está conectado a una red equilibrada y al devanado de tensión inferior (secundario) se le conecta una carga trifásica equilibrada tal como se indica en el esquema:

Las lecturas de los voltímetros son V 1 = 640 V y V 2 = 360 V. La potencia activa consumida por el receptor es Pc = 30 kW y la aparente S c= 50 kVA. Se pide determinar: Transformadores - 9

a) El rendimiento del transformador en estas condiciones de carga. b) La intensidad de corriente que absorbe el primario (Indicación de A1) en el supuesto de que la intensidad de corriente de vacío sea despreciable. c) Caída de tensión relativa del transformador en las mismas condiciones de carga. d) Valor de εcc. e) Valor que debería tener εcc para que en caso de cortocircuito cortocircuito trifásico permanente en M, si V 1 = 420 V, la intensidad de corriente del secundario valga I2cc = 2600 A. f) Si se quiere sustituir el transformador por un banco de tres unidades monofásicas conectadas en triángulo el primario y en estrella el secundario, cuáles serían para cada una de las unidades los valore valoress de de Sn, U1n, U2n, εcc, Pcc, P0, I0. 25. En la figura se muestra un sistema de potencia formado por un generador generador trifásico de 480V y 60 Hz, que alimenta dos cargas a través de una línea de transmisión con un transformador en cada extremo.

Se pide: a) Dibujar el circuito eléctrico monofásico equivalente del sistema de potencia. b) Cuando el interruptor está abierto, calcular la potencia activa, reactiva y compleja que suministra el generador, y su factor de potencia. c) Cuando el interruptor está cerrado, calcular la potencia activa, reactiva y compleja que suministra el generador, y su factor de potencia. d) Calcular las pérdidas de transmisión con el interruptor abierto y cerrado. 26. Un transformador de distribución tiene las siguientes características: 50 kVA, 13800/208V, ∆ Y, εRCC = 1%, εXCC = 7%. Se pide:

a) La impedancia interna por fase del transformador referida al lado de alta tensión. b) Regulación de tensión del transformador cuando trabaja a plena carga con factor de potencia 0,8 en atraso. c) Regulación de tensión del transformador cuando trabaja a plena carga con factor de potencia 0,8 en adelanto.

Transformadores - 10

27. Se pretende acoplar en paralelo dos transformadores, de potencias nominales 1000 y 1800 kVA, para alimentar una carga de 2800 kVA, de manera que ninguno de ellos resulte sobrecargado. Los dos transformadores están diseñados para soportar las mismas tensiones de primario y secundario. Si la carga es puramente resistiva y la impedancia equivalente del trafos de 1000 kVA es de 5 + j 2 Ω. ¿Cuál será la del otro transformador?. 28. De la placa de características de un transformador trifásico, se han tomado los siguientes datos:

Sn = 30 kVA

U1n = 12 kV

U2n = 200√3 V

Pcc = 420 W

P0 = 270 W

I0 = 0,015 (1,5 %)

Alimen Alimentad tadoo por su devana devanado do de alta alta tensió tensiónn a 7,8 kV y con el devana devanado do de baja baja tensió tensiónn en cortocircuito, circula por este último una intensidad de corriente de 650 A. Se utiliza dicho transformador para alimentar una carga trifásica equilibrada de 18 kVA. con un factor de potencia 0,8 capacitivo, conectada a su devanado de baja tensión, a la tensión de 160 √3 V. Se pide: pide: a) La tensión aplicada en barras del primario del transformador cuando alimenta la carga anterior. b) El rendimiento en estas condiciones. c) El máximo rendimiento posible del mismo, cuando trabaja a su tensión secundaria nominal. d) Las características de la carga, para obtener este máximo rendimiento. e) Con esta carga conectada al secundario del transformador, la tensión en bornes del primario. f) Potencia aportada por el generador de alimentación, en tales condiciones de carga. 29. Se tiene un transformador trifásico de 20 kVA 3x3000/380-220 voltios, conectado en estrella - estrella. En vacío, absorbe por el devanado de alta tensión una intensidad de 0,25 A. y una potencia de 300 vatios. Sabiendo que los devanados de alta y baja tensión, tienen unas resistencias de 15 Ω/fase y de 0,2 Ω/fase, respectivamente, determinar:

a) La intensidad de pérdidas en el hierro. b) Las pérdidas en el cobre en vacío y el % que suponen respecto a las pérdidas totales en vacío. c) La intensidad magnetizante. d) Las pérdidas producidas en el primario por la carga nominal del transformador. e) Las pérdidas producidas en el secundario por la carga del transformador. f) El rendimiento del transformador a carga nominal y factor de potencia unidad.


30. Se dispone de un transformador trifásico, conectado en estrella - estrella, cuyas tensiones nominales primaria y secundaria son 3300 y 220 voltios respectivamente, y con una potencia nominal de 50 kVA. Este transformador se va a emplear para alimentar un grupo de motores. Todos Todos los motore motoress tiene tienenn carac caracter teríst ística icass semej semejant antes es y funcio funcionan nan con factor factor de pote potenci nciaa unida unidadd y con una corriente nominal de 33 amperios por fase. Sometido el transformador a los ensayos de vacío vacío y de de cort cortoci ocircu rcuito ito,, se se han han medido medido en el lad ladoo de de A.T. A.T. los siguie siguiente ntess resu resulta ltados dos::

Pcc = 1000 W; Ucc = 219 V; Icc = 8 A P0 = 800 W; U0 = 3300 V; I0 = despreciable Se pide: a) Justificar cómo se conectarán los motores al transformador. b) El número máximo de motores que se pueden conectar. c) El número de motores que se deberían conectar para que el rendimiento del transformador fuera máximo. d) El coeficiente de regulación cuando se conecta el número máximo de motores permitido. e) El coeficiente de regulación cuando el transformador funciona a carga de máximo rendimiento. 31. De un transformador trifásico se conocen los siguientes datos:

*) Potencia Nominal: 2500 kVA *) Tensiones Nominales primaria/secundaria: 44000 V/ 380 V *) Pérdidas Nominales Nominales en los devanados: devanados: 2 % (50 kW) *) Corriente de Vacío: 0,5 % *) Pérdidas Nominales en el Hierro: 0,2 % (5 kW) *) Tensión de Cortocircuito Vcc: 7 % *) Grupo de Conexión Yy Responder a los siguientes apartados utilizando, en su caso, el circuito equivalente aproximado con la admitancia transversal en la entrada de la máquina: a) Dibujar el diagrama fasorial de tensiones y encontrar la relación de transformación del transformador. b) Encontrar el circuito equivalente reducido al lado primario, en unidades del SI. c) Hallar la regulación del transformador: c1) A plena carga y factor de potencia unidad. c2) A media carga y factor de potencia 0,8 en retardo. c3) A media carga y factor de potencia 0,8 en adelanto. d) Calcular el rendimiento del transformador a ¾ de carga en los siguientes casos:


d1) Tensión primaria igual a la nominal y factor d e potencia 0,8 d11) inductivo d12) capacitivo d2) Tensión secundaria igual a la nominal y factor de potencia 0,8 d21) inductivo d22) capacitivo e) Determinar la fracción de carga que proporciona el rendimiento máximo para el transformador. f) Calcular el máximo rendimiento posible del transformador a factor de potencia 0,8 en retardo. 32. Un transformador trifásico, conexión estrella-estrella, alimenta dos cargas, como se indica en el esquema de la figura adjunta.

La relación de transformación del transformador es 10/4 kV. En el ensayo de cortocircuito la tensión aplicada al primario es de 3108 V, y la corriente de cortocircuito es de I cc = 2300 A. El factor de potencia en el ensayo de cortocircuito: cos ϕcc = 0,65. La impedancia por fase de la línea entre B y C es de 0,1 + 0,25j Ω, y entre C y D es de 0,35 + j0,45 Ω. La frecuencia de la red es de 50 Hz. Se desprecian las pérdidas en vacío. Calcular: a) Valores de la resistencia y de la reactancia de cortocircuito. b) Tensión a aplicar en el primario del transformador, para que la carga 2 esté alimentada a 2900 V. c) Indicación del amperímetro AG. d) Rendimiento del transformador. e) Capacidad por fase de la batería de condensadores, conectadas en estrella, en la parte de alta tensión, que mejore el factor de potencia de la instalación, hasta un valor de 0,95. 33. Se tiene un transformador trifásico de 250 kVA, conexión Yy0, con una relación de tensiones compuestas de 15000/380 V. De los datos del fabricante, se conocen los siguientes parámetros: Transformadores - 13

εcc= 10%;

εXcc = 8 %

se considera despreciable el efecto de la rama paralelo del circuito equivalente del transformador. Calcular: a) Los parámetros R cccc y X cccc del circuito equivalente por fase del transformador reducido al primario. b) La corriente que circularía por el secundario si por una falta se produce un cortocircuito franco en los bornes del secundario (Se supone para resolver esta cuestión que la tensión de alimentación del primario es la nominal de 15000V). c) Si la tensión compuesta de línea en el secundario es de 380 V y se conecta al transformador una carga en estrella de 15∠60º ohmios por fase, ¿cuál será la tensión compuesta que debe aplicarse al primario para que la tensión secundaria siga permaneciendo constante en 380V de línea. ¿Cuál será el rendimiento del transformador en estas condiciones? d) Si se conecta este transformador en paralelo con otro de 350 kVA, conexión Yy0, con la misma relación de tensiones y de valores εcc= 10% y εXcc = 9%, ¿cómo se repartirán una potencia de 400 kW con f.d.p. 0,8 inductivo? (es decir, calcular las potencias activas y aparentes suministradas por cada transformador). 34. La figura adjunta muestra el esquema simplificado de la instalación eléctrica de un grupo de bombeo para un sistema de riego por aspersión. Se dispone de una red de distribución de 15 kV, 50 Hz que por medio de un transformador Dy11, 100 kVA, relación compuesta: 15kV/380 V, suministra energía eléctrica al grupo motobomba a través de una línea resistiva de 0,2 ohmios por hilo. El grupo motobomba está representado por una impedancia de 6∠36,87º ,87º Ω por fase.

Las características del transformador que se leen en su placa de características son las siguientes: 100 kVA, Dy11, 15kV/380V; ε RCC = 10% ; ε XCC = 8% . Calcular: 1) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente reducidos al primario. 2) Tensión secundaria de línea en bornes del secundario del transformador y tensión en bornes del grupo motobomba, si la red de distribución en AT tiene un tensión constante de línea de 15 kV. 3) Rendimiento del transformado en estas condiciones. 4) Si para corregir el f.d.p. del grupo motobomba se conecta una batería de condensadores en estrella de 955 microfaradios por fase (como se indica en la figura), ¿cuál será la nueva tensión de línea en bornes del grupo motobomba?


35. De la placa de características de un transformador trifásico, se han tomado los siguientes datos:

Sn = 320 kVA.

U1n = 10,8 kV

U2n = 0,4 kV

εcc = 0,04 (4 %)

i0 = 0,01 (1 %)

Pcc = 3584 W

P0 = 1920 W

Se conecta por el devanado de alta tensión a una red de 11,1 kV y por su devanado de baja tensión a una carga simétrica que absorbe una intensidad de corriente I 2 = 300 A con un factor de potencia de 0,8 inductivo. Suponiendo que la conexión del transformador es YY determinar: a) Los parámetros del circuito equivalente del transformador. b) La tensión U2 en el devanado de baja tensión. c) Las pérdidas por efecto joule en el transformador. Durante el funcionamiento en estas condiciones se produce un cortocircuito franco en bornes de la carga. Determinar, en este caso: d) El valor de la intensidad de corriente que absorbe el transformador. 36. El rendimiento de un transformador monofásico de 400 kVA es del 98,77% cuando suministra la plena carga, con un factor de potencia de 0,8 y del 99,13% a media carga con un f.d.p. unidad. Hallar:

a) Las pérdidas en el hierro. b) Las pérdidas en el cobre a plena carga. 37. Calcular la caída de tensión, el rendimiento y el índice de carga de un transformador trifásico Dyn5 de 500 kVA, 25/6 kV, εCC = 0.05, PCC = 10 kW, P0 = 1 kW y cosφ0 = 0.2, cuyo primario está conectado a una red 24 kV y sabiendo que su secundario alimenta una carga en triángulo constituida por tres impedancias iguales de valor Z 2 = 215 + j 200 Ω . Determine las corrientes de defecto en caso de cortocircuito en el secundario del transformador. r


38. Un centro de transformación se alimenta de una red de 20 kV a través de una línea eléctrica de 10 km cuya impedancia por fase es de (0,1+ j 0,4) Ω/km. Dicho centro de transformación dispone de dos transformadores, A y B, acoplados en paralelo, de los cuales se conoce la siguiente información: Transformador A:

*) Grupo de conexión: Yz11. *) Relación de tensiones en vacío: 20000/400 V. *) Potencia asignada: 800 kVA. *) Pérdidas de vacío: 1620 W. *) Intensidad de vacío: 1,3 %. *) Tensión de cortocircuito: 6%. *) Pérdidas por efecto Joule nominales: 7700 W. Transformador B:

*) Grupo de conexión: Dy11. *) Relación de tensiones en vacío: 20000/400 V. *) Potencia asignada: 630 kVA. *) Potencia activa absorbida en vacío: 1500 W. *) Potencia reactiva absorbida en vacío: 80252 VAr. *) Impedancia real del devanado primario: (3,9 + j 8,1) Ω/fase. *) Impedancia real del devanado secundario: (0,0025 + j 0,009) Ω/fase.

Se pide: a) Dibujar el esquema unifilar de la instalación. b) Circuito equivalente aproximado de cada uno de los transformadores. c) Valor de la corriente nominal de cada uno de los arrollamientos de los transformadores. d) Tensión secundaria cuando se alimenta una carga que absorbe 2000 A con factor de potencia 0,8 capacitivo. Despreciar la rama de vacío. e) Intensidad consumida por la carga y su factor de potencia para que el transformador B trabaje con rendimiento máximo. f) Máxima potencia en kVA que podrán suministrar sin que ninguno de ellos suministre una potencia superior a la asignada. 39. Se dispone de tres transformadores trifásicos A, B y C acoplados en paralelo con las siguientes características:

Se pide:

SNA = SNB = SNC = 100 kVA cos ϕccA = cos ϕccB = cos ϕccC = 0,342 m A = mB = mC = 50 uccA = 10 %; uccB = 5 %; uccC = 2,5 %;

a) Justificar si es posible alimentar una carga de 300 kVA sin s in que ninguno de ellos suministre una potencia superior a la asignada. Transformadores - 16

b) En un determinado momento, el transformador C trabaja con regulación máxima suministrando su potencia nominal, ¿cuál será la potencia activa y reactiva suministrada respectivamente por los transformadores A y B? 40. Se dispone de un transformador trifásico del que se conocen los siguientes datos suministrados por el fabricante:

• • • • • •

Conexión: Yy0. Potencia nominal: 100 kVA. Relación de tensiones en vacío nominales: 3000/380 V. Tensión de cortocircuito: cortocircuito: 300 V. Potencia de cortocircuito: 6 kW. Potencia de vacío: 5 kW.

Si el transformador trifásico trabaja en condiciones nominales, se pide determinar: a) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente del transformador, referidos al primario. b) Potencia aparente de máximo rendimiento del transformador. Por necesidades de ampliación de la instalación, se acopla en paralelo con el transformador anterior, un nuevo transformador cuyas características se indican a continuación:

• • • • • •

Conexión: Yy0. Potencia nominal: 50 kVA. Relación de tensiones en vacío nominales: 3000/380 V. ε Rcc = 8% . ε Xcc = 6% . Potencia de vacío: 2 kW.

Si se pretende que el conjunto de transformadores en paralelo alimenten una carga de 100 kW con un factor de potencia inductivo de 0,8 a una tensión constante de 400 V, se pide determinar: c) Potencia aparente, activa y reactiva suministrada por cada transformador a la carga. d) Rendimiento de cada transformador en estas condiciones. e) Tensión de línea en el primario de los transformadores en estas condiciones. c ondiciones.

41. Calcular los parámetros del circuito eléctrico equivalente y las impedancias relativas de cortocircuito de un transformador monofásico de 100 MVA, 66000/15000 V que ha dado los siguientes resultados en los ensayos:


Ensayo de vacío: U0 = 15000 V; I0 = 48,2 A, P0 = 144 kW Ensayo de cortocircuito: Ucc = 6270 V; Icc = 1515 A; Pcc = 572 kW 42. Un transformador monofásico de 5 kVA, 230/110 V, 50 Hz tiene unas pérdidas en vacío de 75 W. Los parámetros de la rama serie del circuito equivalente son R cccc = 0,19 Ω y X cccc = 0,474 Ω referidos al primario. Se pide:

a) Suponiendo que se conecta el primario a una red de 230 V, calcular la tensión en bornes del secundario y el rendimiento del transformador cuando alimenta por el secundario una carga de 3,6 Ω con un factor de potencia 0,8 inductivo. b) Si se quiere que la tensión secundaria sea de 110 V cuando alimenta una carga de 4 kVA, con factor de potencia 0,6 capacitivo, determinar la tensión de alimentación necesaria en el lado primario. 43. Una instalación eléctrica se alimenta desde una línea de 66 kV por medio de un transformador trifásico de 10 MVA, 66000/6000 V, cuya tensión de cortocircuito vale 0,01 + j 0,12 p.u. y cuyo grupo de conexión es Dy11. Se requiere aumentar la capacidad de dicha instalación a base de conectar una segunda unidad en paralelo. Se dispone de un transformador de 5 MVA, de las mismas tensiones asignadas, pero con conexiones Dy5 y cuya tensión relativa de cortocircuito es de 0,008 + j 0,10 p.u.

Se pide determinar en que condiciones podrían alimentar conjuntamente una carga de 15 MVA con factor de potencia 0,8 inductivo. 44. Un transformador reductor de 23 kVA, 2300/230 V y 60 Hz tiene los siguientes valores de resistencia y reactancia de dispersión: R 1 = 4 Ω, R 2 = 0,04 Ω, X 1 = 12 Ω, y X 2 = 0,12 Ω. El transformador trabaja al 75% de su carga especificada. Si el factor de potencia de la carga es de 0,866 en adelanto, determine el rendimiento del transformador.

La resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro y la reactancia de magnetización, referidas al primario del transformador, son 20 k Ω y 15 k Ω, respectivamente. Cuál es ahora el rendimiento del transformador si sigue alimentando la misma carga. 45. Un transformador reductor de 2,2 kVA, 440/220 V y 50 Hz tiene los parámetros siguientes referidos al primario: R CC CC = 3 Ω, X CC CC = 4 Ω, R Fe Fe = 2,5 k Ω y X µ = 2 k Ω. Determinar el rendimiento y la regulación del transformador, cuando trabaja a plena carga con un factor de potencia:

• 0,707 en atraso, • 0,8 en adelanto. 46. Un transformador reductor de 120 kVA, 2400/240 V tiene los parámetros siguientes: R 1 = 0,75 Ω, X 1 = 0,8 Ω, R 2 = 0,01 Ω, X 2 = 0,02 Ω. El rendimiento del transformador es máximo cuando trabaja al 70% de plena carga con un factor de potencia 0,8 en atraso. Calcular:

a) La especificación en kVA del transformador a su eficiencia máxima. b) El rendimiento máximo. c) Rendimiento a plena carga y factor de potencia 0,8 en atraso. Transformadores - 18

d) Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro. 47. Un generador monofásico con una impedancia interna de 23+j92 m Ω, está conectado a una carga por medio de un transformador elevador de 46 kVA, 230/2300 V, una línea de transmisión corta y un transformador reductor de 46 kVA y 2300/115 V. La impedancia de la línea de transmisión es 2,07+j4,14 Ω. Los parámetros de los transformadores elevador y reductor son los siguientes:

R 1 ( Ω ) X 1 ( Ω ) R 2 ( Ω ) Elevador 0,023 0,069 2,3 Reductor 2,3 6,9 0,00573 * Referido a su secundario; ** Referido a su primario

X 2 ( Ω ) 6,9 0,017,25

R Fe Fe (k Ω ) 13,8* 11,5**

X µ (k Ω ) 6,9* 9,2**

Calcular, cuando el sistema trabaja a plena carga y con un factor de potencia de 0,866 en atraso: a) La tensión del generador monofásico. b) La corriente suministrada por el generador. c) El rendimiento. 48. Tres transformadores monofásicos idénticos, (con las siguientes especificaciones: 12 kVA, 120/240 V y 60 Hz) se conectan para formar una conexión Y/ ∆ trifásica elevadora. Los parámetros de cada transformador son: R 1 = 39,5 mΩ, X 1 = 61,5 mΩ, R 2 = 133,5 mΩ, X 2 = 201 mΩ, R Fe Fe = 240 Ω, X µ = 290 Ω. ¿Cuáles son las especificaciones de tensión nominal, corriente y potencia del transformador trifásico? Determine las tensiones y las corrientes de línea, así como el rendimiento cuando el transformador alimenta la carga nominal a la tensión nominal con un factor de potencia 0,8 en atraso. 49. Un transformador trifásico tipo Yy, con sus tomas de regulación en el primario en el 0%, es ensayado en vacío y cortocircuito, obteniéndose los siguientes resultados, referidos al primario: Ensayo de vacío: • Relación de tensiones: 20 000/400 V. • Intensidad consumida: 2 A. • Potencia consumida: 1 000 W. Ensayo de cortocircuito: Tensiónn apli aplicad cada: a: 2 000 000 V. • Tensió • Intensidad consumida: 15 A. • Potencia consumida: 10 000 W.

Se conocen las siguientes relaciones: • Resistencia primaria/Resistencia secundaria = 20. • Reactancia de dispersión primaria / Reactancia de dispersión secundaria = 20. La tensión de alimentación es de 20 kV y la toma de regulación escogida es del -10%. En estas condiciones se pide el circuito eléctrico equivalente aproximado. Considerar que la resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro y la reactancia de magnetización permanecen constantes. Si alimenta una carga en estrella con impedancia 0.5 ohmios y ángulo 36º inductivo y la tensión en el primario es la nominal, calcular la corriente consumida por el transformador y la tensión de alimentación de la carga cuando la toma de regulación es del 0% y del -10%.


50. Se desea alimentar una carga mediante dos transformadores trifásicos (A y B) conectados en paralelo, alimentados a su vez desde una red de potencia infinita de 20 kV y 50 Hz. Se pide: 1. Calcular la potencia aportada por cada transformador y la tensión de alimentación de una carga que demanda 1000 kVA con factor de potencia 0,8 inductivo. Los transformadores trifásicos tienen las siguientes características: Transf Transform ormado adorr A: A: Relación de transformación: 50 Potencia nominal: 600 kVA Impedancia interna referida al primario (expresada en %): 5∠60º % Transf Transform ormado adorr B: B: Relación de transformación: 50 Potencia nominal: 600 kVA Impedancia interna referida al primario (expresada en %): 4∠65º 65º % 2. Calcular la potencia aportada por cada transformador y la tensión de alimentación de una carga que demanda 1000 kVA con factor de potencia 0,8 inductivo. Los transformadores trifásicos tienen las siguientes características: Transf Transform ormado adorr A: A: Relación de transformación: 50 Potencia nominal: 400 kVA Impedancia interna referida al primario (expresada en %): 5∠60º % Transf Transform ormado adorr B: B: Relación de transformación: 50 Potencia nominal: 800 kVA Impedancia interna referida al primario (expresada en %): 4∠60º % 3. Calcular la potencia aportada por cada transformador y la tensión de alimentación de una carga que demanda 1468 con factor de potencia 0,8 inductivo. Los transformadores trifásicos tienen las siguientes características: Transf Transform ormado adorr A: A: Relación de transformación: 50 Potencia nominal: 600 kVA Impedancia interna: Z 02 A,YY = 0,01∠60º 60º Ω Transf Transform ormado adorr B: B: Relación de transformación: 48,78 Potencia nominal: 800 kVA Impedancia interna: Z 02 B ,YY = 0,01∠60º 60º Ω 4. Con los transformadores del apartado 2, obtener la máxima potencia que podrían suministrar a la carga sin que ninguno de ellos resultase sobrecargado. 5. Con los transformadores del apartado 3, obtener la máxima intensidad que podrán suministrar a la carga, trabajando ambos con igual factor de potencia y sin que ninguno de ellos soporte un valor de intensidad mayor del asignado. r

r

51. A la salida de una central se dispone de un banco de transformación trifásico formador por tres autotransformadores monofásicos idénticos, conectados a una red de potencia infinita de 220 kV. Desde esta red se alimenta, mediante una línea de 7,3 km, el embarrado de una subestación. En el embarrado de esta subestación, están conectados tres transformadores de potencia trifásicos. Los transformadores A y B alimentan en paralelo una carga que es una planta industrial. El tercer transformador, C, está conectado a una red de potencia infinita de 132 kV.

Los datos disponibles son los siguientes: Autotr Autotrans ansfor formad mador or monofá monofásico sico:: Transformadores - 20

Relación de tensiones: 220 3

20

3

kV

Potencia Nominal: 110 MVA Tensió Tensiónn de de cort cortoci ocircu rcuito ito relati relativa: va: ε cc = 15,27% Ensayo de cortocircuito: lado de alta tensión en cortocircuito, corriente y potencia activa consumidas en el lado de baja tensión 6000 A y 1800 kW, respectivamente. Se considera despreciable la rama de vacío del circuito eléctrico equivalente. Transf Transform ormado adorr A: A: Relación de tensiones: 220/20 kV Potencia Nominal: 50 MVA Caída de tensión relativa en la resistencia interna: ε Rcc = 3,15% Caída de tensión relativa en la reactancia interna: ε Xcc = 13,65% Se considera despreciable la rama de vacío del circuito eléctrico equivalente. Transf Transform ormado adorr B: B: Relación de tensiones: 220/20 kV Potencia Nominal: 60 MVA Caída de tensión relativa en la resistencia interna: ε Rcc = 2,7% Caída de tensión relativa en la reactancia interna: ε Xcc = 11,7% Se considera despreciable la rama de vacío del circuito eléctrico equivalente. Transf Transform ormado adorr C: C: Relación de tensiones: 220±10%/132 kV Potencia Nominal: 200 MVA Caída de tensión relativa en la resistencia interna: ε Rcc = 3% Caída de tensión relativa en la reactancia interna: ε Xcc = 12% Corriente equivalente de las pérdidas en el hierro despreciable. Corriente de magnetización: I = 1% µ

Línea:

Impedancia equivalente por fase de 0,19+j 0,41 Ω/k m.

En determinadas condiciones de funcionamiento, los transformadores A y B suministran a la industria la máxima intensidad admisible, sin sobrecarga térmica de ninguno de ellos. La planta industrial sólo demanda potencia activa. Al mismo tiempo, el transformador trabaja a plena carga alimentando la red de potencia infinita con un fdp de 0,9 inductivo. Se pide: 1. Determinar las características del banco trifásico a la salida de la central: tipo de conexión, potencia nominal, tensiones e intensidades asignadas y tensión de cortocircuito. 2. Razonar cual es la toma de tensión adecuada para el transformador C, así como su relación de transformación. 3. Tensió Tensiónn en el primar primario io del transf transform ormado adorr C, que coinci coincide de con la tensió tensiónn en el embarrado de la subestación. 4. Tensió Tensiónn de de alim aliment entaci ación ón de la planta planta indust industria rial.l. 5. Regulación del transformador C.


6. Tensió Tensiónn a la sali salida da de la centra central,l, suponi suponiend endoo que toda toda la potenc potencia ia entreg entregada ada por la subestación a la red de potencia infinita y a la planta industrial es generada por la central. 52. Se dispone de dos trans monofásicos con las siguientes características: Transf Transform ormado adorr A • Potencia Nominal: 250 kVA • Relación de tensiones en vacío: 20000/400 V • Pérdidas en vacío: 480 W • Corriente de vacío: 1,8 % • Impedancia interna: 4,5 % • Pérdidas por efecto Joule nominales o asignadas: 2217 W Transf Transform ormado adorr B • Potencia Nominal: 400 kVA • Relación de tensiones en vacío: 20000/420 V • Potencia reactiva absorbida en vacío cuando es alimentado a su tensión nominal: 5544 VAr • Caída de tensión relativa en la resistencia interna: 1,12 % • Caída de tensión relativa en la reactancia interna: 5,9 % Alimentan tando do a 20 kV y sumini suministr strand andoo su intensid intensidad ad nomina nominall con fdp 0,8 0,8 inducti inductivo, vo, el • Alimen rendimiento es 98,3 % Se pide: 1. Calcular el circuito eléctrico equivalente aproximado del transformador A. 2. Calcular el circuito eléctrico equivalente aproximado del transformador B. 3. Calcular la tensión de alimentación si se acoplan en paralelo dos transformadores tipo A con el fin de alimentar una carga Z c = 0, 5∠ − 30º Ω . Los transformadores se encuentran alimentados a una tensión de 20 kV. 4. Si se quiere interconectar dos redes trifásicas de 20 kV y 690 V respectivamente, determinar las características de un banco trifásico formado por transformadores del tipo A: tipo de conexión, potencia nominal y tensión de cortocircuito relativa. 5. Determinar la tensión de alimentación del banco trifásico del apartado anterior, así como el rendimiento, cuando suministra su corriente nominal a 690 V, con fdp 0,8 capacitivo. Suponer que RFe y X permanecen constantes. r

µ

53. Un centro de transformación se alimenta de una red de 20 kV a través de una línea eléctrica de 10 km cuya impedancia es de (0,1 + j 0,4) Ω/km. Dicho centro de transformación dispone de dos transformadores acoplados en paralelo con las siguientes características: Transf Transform ormado adorr A Grupo de conexión: Yz11 Relación de tensiones en vacío: 20000/400 V Potencia nominal: 800 kVA Pérdidas en vacío: 1620 W Intensidad de vacío: 1,3 % Tensió Tensiónn de de cort cortoci ocircu rcuito ito relati relativa: va: 6 % Pérdidas por efecto Joule nominales: 7700 W Transf Transform ormado adorr B Grupo de conexión: Dy11 Relación de tensiones en vacío: 20000/400 V Potencia nominal: 630 kVA Potencia activa consumida en vacío: 1500 W Transformadores - 22

Potencia reactiva consumida en vacío: 8052 VAr Impedancia real del devanado primario: (3,9 + i 8,1) Ω/fase Impedancia real del devanado secundario: (0,0025 + i 0,009) Ω/fase Se pide: 1. Esquema unifilar de la instalación. 2. Circuito eléctrico equivalente aproximado de cada uno de los transformadores. 3. Tensió Tensiónn secund secundari ariaa cuando cuando se conect conectaa una carga carga que consume consume 2000 A con factor factor de potencia 0,8 capacitivo. 4. FDP y corriente consumida por la carga para que el transformador B trabaje con rendimiento máximo. Considerar despreciable la caída de tensión en la línea. 5. Máxima potencia en kVA que podrán suministrar sin que ninguno de los dos transformadores resulte sobrecargado. 54. Un transformador con conexiones ∆ Y de 400 kVA de potenc potencia ia asignada asignada y con tension tensiones es nominales 20kV/400V, tiene una ε Xcc = 6% . El transformador alimenta una instalación que demanda 300 kW con un factor de potencia que no supera el 0,9 inductivo. La potencia de cortocircuito de la red es de 350 MVA. Se pide: 1. Corriente consumida por la instalación en el caso más crítico y la tensión de salida del transformador. 2. Regulación del transformador para dicha tensión. 55. Se dispone de transformador del que se conocen los siguientes datos:

Conexión Yz11. Tensio Tensiones nes nomin nominale ales: s: 20kV 20kV/40 /4000 V. V. P = 1400 W ; I 0, ( Alta Tensión ) = 1, 5 A Ensayo de vacío: 0 . Ensayo de cortocircuito: Pcc = 4000 W ; U cc = 1000 V ; I cc = 800 A . Se pide:  





1. Si el transformador se encuentra a un 80% de plena carga y el f.d.p. de la carga es 0,8 inductivo, calcular la tensión a la salida del transformador. 2. ¿Cuál es el coeficiente de regulación del transformador en el caso anterior? 3. Calcular la potencia total que está entregando el transformador a la carga.


56. Se dispone de dos transformadores conectados en paralelo a la red de distribución eléctrica, de lo que se conocen los siguientes datos: Transformador A:

Tipo Tipo de de Cone Conexió xión: n: Yz11 Yz11 Tensio Tensiones nes Nomina Nominales les:: 20 20 kV/ kV/ 400 V Potencia nominal: 900 kVA Pérdidas en el hierro: 1500 W Corriente de vacío: 1,2% ε cc = 5% Pcc,n = 7000 W Transformador B:     





Tipo Tipo de de Cone Conexió xiónn Dy11 Dy11 Tensio Tensiones nes nomin nominales ales 20 kV / 400 400 V Potencia nominal: 700 kVA P0 = 1500 W Potencia reactiva consumida en vacío: 7500 VAr ε cc = 5,2% ε Xcc = 4,8% Se pide:   

 





1. Calcular la tensión de alimentación (módulo y argumento) de una carga que demanda 2100 A con factor de potencia 0,8 capacitivo. 2. Calcular el coeficiente de regulación de los dos transformadores. 3. Si el transformador A trabaja a plena carga y a regulación máxima, ¿cuál será el índice de carga del transformador B?, ¿qué potencia suministra cada uno de los dos transformadores a la carga?, ¿cuál es el factor de potencia de la carga que alimentan los dos transformadores en paralelo?


57. En la figura se muestra un sistema de potencia formado por un generador trifásico de 480 V y 60 Hz, que alimenta dos cargas a través de una línea de transmisión (de impedancia no despreciable) con un transformador en cada extremo. Se pide: (1) Dibujar el circuito monofásico equivalente del sistema de potencia, indicando el valor de todas las impedancias que aparezcan en él. (2) Sabiendo que en bornes del generador la tensión es 480 V, calcular la potencia activa y reactiva que suministra al sistema. (3) Calcular las pérdidas de transmisión. (4) Calcular la tensión de alimentación de las dos cargas.

Datos: Transformador 1 (T1): Conexión yY Tensio Tensiones nes Nomin Nominale ales: s: 480/14 480/14400 400 V Potencia nominal: 1000 kVA ε Rcc = 1%; ε Xcc = 4% Carga 1 (C1): Conexión en estrella 36.87º 7º Ω fase Z C 1 = 0,45∠36.8 Línea de Transmisión: Z L = 1, 5 + j10 Ω hilo r

Transformador 2 (T2): Conexión Yy Tensio Tensiones nes nomin nominale ales: s: 1440 14400/4 0/480 80 V Potencia nominal: 500 kVA

= 2%; ε Xcc = 8, 5% Carga 2 (C2): Conexión en triángulo Z C 2 = − j ⋅ 2, 4 Ω f ase ε Rcc

r

r


58. Una compañía eléctrica necesita un transformador para su red de distribución. Ha estimado que en el punto de la red donde se va a colocar el transformador, la potencia media demandada será de 700 kVA, con un fdp estimado 1. La relación de transformación es 15 kV/480V (60 Hz).La compañía pide oferta a varios fabricantes y recibe la siguiente información:

Nombre

Potencia Nominal (kVA)

PFe,n (W)

PCu,n (W)

Precio ($)

T1

750

314

4399 4399

14950 14950

T2

750

897

4388 4388

13000 13000

T3

1000 1000

400

5484 5484

17250 17250

T4

1000 1000

1033 1033

5843 5843

15000 15000

T5

1500 1500

568

7213 7213

24725 24725

T6

1500 1500

1409 1409

8934 8934

21500 21500

Los transformadores T1, T3 y T5 son de alta eficiencia energética y el resto son transformadores convencionales. Todos tienen una vida útil entre 25 y 30 años. El precio de oferta incluye impuestos y gastos de transporte, instalación y puesta en marcha del transformador. Para escoger el transformador más efectivo desde el punto de vista económico, los ingenieros de la compañía emplean el método de evaluación de las pérdidas. Este procedimiento considera los costes de la energía, la tasa de inflación y otros factores económicos. El objetivo principal de este enfoque consiste en combinar los costes iniciales de adquisición y puesta en marcha del transformador con los costes de funcionamiento. La suma de todos estos costes, a igualdad de vida vida útil, útil, es lo que se denomi denomina na “Coste “Coste total de Adquis Adquisici ición” ón”,, TOC por sus siglas en inglés inglés (Total Owning Cost), que se calcula según la siguiente fórmula: TOC = PO PO + A*PFijas + B*P Variab Variables les Ec. 1 donde PO es el precio de oferta, P Fijas es la potencia de pérdidas fijas del transformador, es decir las pérdidas en el núcleo, y P Variab Variables les es la potencia de pérdidas variables del transformador, es decir, las pérdidas en el cobre. A y B son los costes asociados a las pérdidas fijas y variables respectivamente. Estos costes tienen en cuenta los factores económicos comentados anteriormente. Los cálculos de la compañía estiman que A y B vale 5,50 $/w y 1,50 $/w respectivamente (son valores para toda la vida útil de los transformadores). Realice una elección razonada de entre los transformadores ofertados.


TRANSFORMADORES Problemas resueltos resueltos P R O B L E M A 1

S

e dispone de dos transformadores monofásicos, conectados en paralelo, para alimentar una carga de 25 kVA puramente resistiva. Calcular como se reparte la carga (potencia aparente) entre los dos transformadores en las dos situaciones siguientes:

a) Los dos transformadores son iguales y tienen las siguientes características:

Potencia nominal: 15 kVA. R cc cc: 0,25 Ω (referida al secundario) Xcc: 0,25 Ω (referida al secundario) Tensión nominal del secundario: 415 V

b) Los dos transformadores son diferentes y tienen las siguientes características: Transformador 1 Potencia nominal: 15 kVA. R cc cc: 0,25 Ω (referida al secundario) Xcc: 0,25 Ω (referida al secundario) Tensión nominal del secundario: 415 V Transformador 2 Potencia nominal: 10 kVA. R cc cc: 0,39 Ω (referida al secundario) Xcc: 0,529 Ω (referida al secundario) Tensión nominal del secundario: 415 V


Solución

Apartado A

El circuito equivalente de los dos transformadores en paralelo, referido al secundario, es el siguiente:

En cada transformador se ha despreciado la rama en paralelo, y se ha representado únicamente por su impedancia de cortocircuito. Con una simple inspección visual del circuito equivalente se deduce que la potencia de la carga se reparte a partes iguales entre los dos transformadores.

Apartado B

En este segundo apartado, el circuito eléctrico equivalente de la conexión en paralelo de los dos transformadores es igual que en el apartado A. La única diferencia es que las impedancias de cortocircuito son ahora diferentes por ser distintos los dos transformadores.


Se desconoce la tensión de alimentación de la carga, pero como se va a demostrar durante la resolución de este apartado no es necesaria. La notación que se va a emplear es la siguiente: 







Tensió Tensiónn en el secundar secundario io de los dos transform transformado adores res,, referida referida a su propio propio devanado, que es la tensión de alimentación de la carga: U . Corriente consumida por la carga, referida al secundario: I . Corriente suministrada por el transformador número 1 a la carga referida al devanado secundario: I 1 . Corriente suministrada por el transformador número 2 a la carga referida al devanado secundario: I 2 . *













Potencia aparente consumida por la carga: S = U ⋅ I = 25∠0º kVA . Potencia aparente suministrada por el transformador número 1 a la carga: * S 1 = U ⋅ I 1 . Potencia aparente suministrada por el transformador número 2 a la carga: * S 2 = U ⋅ I 2 . Impedancia de cortocircuito del transformador número 1 referida al secundario: Z cc,1 . Impedancia de cortocircuito del transformador número 2 referida al secundario: Z cc ,2 . Impedancia equivalente de la asociación en paralelo de las impedancias de Z 1 ⋅ Z 2 cortocircuito de los dos transformadores: Z eq = . Z 1 + Z 2


Se puede encontrar el valor de las corrientes que suministran cada uno de los dos transformadores a la carga en función de la corriente total que está consumiendo ésta. Para ello hay que tener presente que la caída de tensión interna en los dos transformadores es la misma, e igual a la caída de tensión en la impedancia equivalente: I 1 ⋅ Z cc ,1 = I 2 ⋅ Z cc , 2

= I ⋅ Z eq

Las expresiones que nos proporcionan el valor de cada una de las corrientes son las siguientes: Z eq

I 1

=

I 2

=

Z cc,1 Z eq Z cc ,2

⋅ I ⋅ I

La potencia aparente que suministra el transformador número 1 a la carga es: S1

*

= U ⋅ I 1

Se puede sustituir la expresión anterior de I 1 en función de las impedancias y la corriente total en la fórmula de la potencia aparente. Como resultado de operar se encuentra que la potencia que suministra el transformador número 1 es igual al producto de la potencia aparente total, demandada por la carga, por una relación entre impedancias conocidas. Se debe hacer el mismo desarrollo para obtener una expresión similar para la potencia aparente suministrada por el transformador número 2. *

⎛ Z eq ⎞ ⋅I⎟ S1 = U ⋅ I = U ⋅ ⎜ Z cc ,1 ⎝ ⎠ * * ⎛ Z eq ⎞ = U ⋅ I ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ Z cc ,1 ⎠ * ⎛ Z eq ⎞ = S ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ Z cc ,1 ⎠ * 1

*

⎛ Z eq ⎞ ⋅I⎟ S2 =U ⋅ I = U ⋅⎜ Z cc ,2 ⎝ ⎠ * * ⎛ Z eq ⎞ = U ⋅ I ⋅ ⎜ ⎟ Z cc ,2 ⎝ ⎠ * ⎛ Z eq ⎞ = S ⋅ ⎜ ⎟ Z cc ,2 ⎝ ⎠ * 2

El valor de las impedancias de cortocircuito de cada uno de los dos transformadores es proporcionado en el enunciado del problema. La impedancia equivalente de la asociación en paralelo de los dos transformadores por lo tanto tiene el siguiente valor:


Z eq

54,57º Ω = 0, 26∠54,57º

Conocidos todos los datos, la potencia aparente que suministra cada transformador es: ,65º = 15∠0,65º S 2 = 10∠ − 0, 97 97º S1

k VA k VA

Como se ha demostrado durante la resolución del problema no ha sido necesario conocer la tensión de alimentación de la carga.


P R O B L E M A 2

U

n sistema de transmisión de energía eléctrica está constituido por una línea con dos transformadores Ta y y Tb en en sus extremos origen y final respectivamente. El sistema se encuentra alimentado en su origen, punto 1, por otro sistema que puede considerarse de potencia infinita. La carga conectada en el extremo receptor, punto 4, es de 100 kVA con factor de potencia 0,8 en retardo. La tensión resultante en este punto es de 10 kV, entre fases.

Se pide: A. Tomand Tomandoo como como orige origenn de fases fases la la tensió tensiónn fase fase neutro neutro en en el punto punto 4, calcular la tensión entre fases en los puntos 1, 2 y 3. Así mismo, determine determine la corriente de entrada al transformador Ta , y la corriente en la línea. B. El transformador Tb se se sustituye por otro de las siguientes características: 1000 kVA, 48/12 kV, εXcc = 4%, Y ∆. Determine los mismos valores valores que se han pedido pedido en el apartado A.


Solución

Hipótesis

Antes Antes de de reso resolve lverr el el prob problem lemaa es es nece necesar sario io realiz realizar ar una serie serie de sim simpli plific ficaci acione oness e hipóte hipótesis sis sobre sobre la estructura del circuito equ equivalente ivalente de los transformadores. transformadores. La rama en paralelo de los mismos mismos se puede despreciar, debido a que no se ofrecen datos para poder calcularla. Con respecto a la rama en serie, solo se menciona la caída de tensión relativa en la reactancia de cortocircuito. Como no se ofrecen más datos se puede considerar que εRcc es nula. Entonces, el circuito equivalente de los transformadores va a quedar reducido a la reactancia de cortocircuito, X cc .

Apartado A

Existen varios caminos para resolver este problema. Aquí se va a utilizar el método de los valore valoress por unidad unidad.. En el circui circuito to eléctr eléctrico ico presen presentad tadoo se dis distin tingue guenn 3 zonas zonas claram clarament entee diferenciadas: primario del transformador Ta , secundario del transformador Tb , línea que une el secundario del transformador Ta con con el primario del transformador Tb . Es necesario, por tanto, definir un conjunto de valores de base para cada una de las tres zonas. Escogiendo dos magnitudes de base el resto quedan definidas. La potencia base es la misma para las tres zonas, y se escoge igual a la potencia nominal de los dos transformadores. La otra magnitud de base que se define es la tensión. En cada una de las tres zonas hay que definir una tensión base. Estas magnitudes definidas tienen que estar relacionadas a través de las relaciones de transformación de los dos transformadores. Los valores escogidos corresponden a los valores nominales de los devanados de los transformadores.

• Primario del transformador Ta : Vb1

= 12 kV ;

Eb1 =

12

Eb1 =

48

Eb 3 =

12

3

kV

Valoress de de la la tens tensión ión de base base en en la la líne línea: a: • Valore Vb 2

= 48 kV ;

3

kV

• Secundario del transformador Tb : Vb 3

= 12 kV ;

3

kV

Ahora Ahora que están están defini definidos dos la tensió tensiónn y potenc potencia ia de base, base, se pueden pueden calcul calcular ar la corrie corriente nte e impedancia de base en cada una de las tres zonas.

• Primario del transformador Ta .


I b1

= 96, 23 A

;

Z b1

= 72 Ω

• Valore Valoress de de la la impe impedan dancia cia y cor corrie riente nte de base base en en la la líne línea: a: I b 2

= 24, 06 A

;

Z b1

= 1152 Ω

• Secundario del transformador Tb . I b 3

= 96, 23 A

;

Z b 3

= 72 Ω

El circuito equivalente monofásico de todo el circuito es el siguiente:

El siguiente paso consiste en expresar todas las magnitudes conocidas del circuito en valores por unidad, dividiéndolas por la correspondiente base. Se conoce la caída de tensión relativa en la reactancia de cortocircuito de cada uno de los dos transformadores. La εXcc, en tanto por uno, coincide con su valor en p.u. si la base escogida coincide con los valores nominales del transformador, como es el caso. Por lo tanto no hace falta realizar ningún cálculo adicional para expresar estas reactancias en valores por unidad. X cc , a ( p.u.) = 0, 08 ( p.u. ) X cc ,b ( p.u.) = 0, 08 ( p.u.)

La impedancia de la línea en valores por unidad es la siguiente: Z L ( p.u.) =

Z L ( Ω ) Z b 2

= 0, 0061 + j ⋅ 0, 0347 ( p.u.)

El circuito equivalente, por fase, en valores por unidad es el siguiente:


Además Además de las impeda impedanci ncias, as, se conoce conoce la tensió tensiónn y corrie corriente nte en el punto punto 4. Tensiónn en en el el punt puntoo 4. • Tensió V4

=

E 4 E 4 ( p.u.) =

= 10 kV V 4

E 4 E b 3

3

∠00 V

= 0, 83∠0 0 ( p.u.)

• Corriente en el punto 4. Sc

*

= 3 ⋅ E 4 ⋅ I 4 *

⎛ S c ⎞ I 4 = ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⋅ E 4 ⎠ I 4 ( p.u.) =

I 4 I b 3

= 0, 06∠ − 36, 870 ( p.u.)

Ahora Ahora resulta resulta sencil sencillo lo determi determinar nar el valor valor de las tensio tensiones nes en el resto resto de puntos, puntos, emplea empleando ndo la segunda ley de Kirchoff.

• Tensió Tensiónn en en el el punt puntoo 3. 3. E 3 ( p.u.) = E 4 ( p.u.) + j ⋅ X cc,b ( p.u.) ⋅ I 4 ( p.u.)

8362 ∠0, 0, 26 26 E 3 ( p.u.) = 0, 83 V3

0

( p.u. )

= V3 ( p.u.) ⋅Vb 2 = 40,14 kV

Tensiónn en en el el punt puntoo 2. 2. • Tensió


E 2 ( p.u.) = E 3 ( p.u.) + Z L ( p.u.) ⋅ I 4 ( p.u.) E 2 ( p.u.) = 0, 83 8378∠0, 0, 36 36 0 ( p.u. ) V2

= V2 ( p.u.) ⋅ Vb 2 = 40, 21 kV

Tensiónn en en el el punt puntoo 1. 1. • Tensió E1 ( p.u.) = E 2 ( p.u.) + j ⋅ X cc , a ( p.u.) ⋅ I 4 ( p.u.)

0, 62 62 E1 ( p.u.) = 0, 8407 ∠0, V1

0

( p.u. )

= V1 ( p.u.) ⋅Vb1 = 10, 09 kV

Por último, queda calcular el valor de la corriente en la línea y a la entrada del transformador Ta . Como se puede observar en el último circuito equivalente, estas dos corrientes, en valores por unidad, coinciden con la corriente I 4(p.u.). Su valor en amperios se obtendrá multiplicando por la corriente base correspondiente:

• Corriente en la línea. I L

= I 4 ( p.u.) ⋅ I b 2 I L = 1, 44 A

• Corriente de entrada al transformador Ta . I1

= I 4 ( p.u.) ⋅ I b1 I1 = 5,77 A

Apartado B

El circuito sigue siendo el mismo, sólo que se sustituye el transformador Tb por por otro de las siguientes características: 1000 kVA, 48/12 kV, εXcc = 4%, Y ∆. Se va a resolver este apartado empleando el mismo método del apartado anterior. Lo primero que hay que hacer es establecer los valores de base. En esta nueva situación, los dos transformadores tienen diferente potencia. Hay que escoger una potencia base para todo el sistema. El camino más sencillo consiste en escoger los mismos valores de base que en el apartado anterior. De esta forma, la impedancia de cortocircuito del transformador Ta y y de la línea no cambian. La impedancia de cortocircuito del transformador Tb en en valores por unidad es 0,04, pero en una base que coincide con sus valores nominales de tensión y potencia. Como esta base no es la escogida para resolver el problema, es necesario realizar un cambio. La base, en la que la impedancia de cortocircuito del transformador Tb tiene tiene un valor de 0,04, es la siguiente: N b'

= 1000 kVA

Eb'

=

48 3

kV


Hay que tener en cuenta que la impedancia de cortocircuito en valores p.u. tiene el mismo valor referida al primario y al secundario del transformador. La nueva base en la que se quiere expresar el valor de la reactancia de cortocircuito es la siguiente: N b

= 2000 kVA

Eb

48

=

3

kV

Para efectuar el cambio de base hay que realizar las siguientes s iguientes operaciones: X cc.b ( Ω ) = X cc, b ( p.u.) ⋅ Z b '

'

= X cc, b ( p.u.) ⋅ Z b

X cc,b ( p.u.) ⋅ Z b '

X cc ,b ( p.u.) =

X X cc ,b ( p.u.) =

'

Z b ' cc ,b

( p.u.) ⋅

3 ⋅ E b'2 '

N b

3 ⋅ E b2 N b

⎛ E b' ⎞ ' X cc ,b ( p.u.) = X cc, b ( p.u.) ⋅ ' ⋅ ⎜ ⎟ Nb ⎝ E b ⎠ X cc ,b ( p.u.) = 0, 08 ( p.u.) Nb

2

El circuito monofásico equivalente final es exactamente igual que en el apartado A. Como la base que estamos utilizando es la misma, E4 e I 4 tienen la misma expresión en valores por unidad. Por lo tanto, los resultados que se van a obtener son los mismos que en el apartado anterior.

= 40,14 k V V2 = 40,21 k V V1 = 10,09 k V I L = 1, 44 A I1 = 5,77 A V3


P R O B L E M A 3

U

n transformador trifásico tiene las siguientes características nominales: conexión triángulo-estrella, relación de tensiones compuestas 1000 V/ 100 V, potencia aparente nominal 50 kVA. Los resultados de unos ensayos de vacío y cortocircuito, medidos en el lado de alta tensión, han dado los siguientes valores:

Vacío: Vacío:

Tensió Tensiónn del del ensayo ensayo de vacío: vacío: 1000 1000 V, V, Corriente del ensayo de vacío: 2,9 A, Potencia total del ensayo: 1,1 kW.

Cortocircuito: Tensión del ensayo: 110 V, Corriente del ensayo: corriente nominal, Potencia total del ensayo: 1,45 kW. Se pide: A.- Calcular Calcular la resist resistenc encia ia de pérdidas pérdidas en el hierro hierro,, R FE FE, y la reactancia de magnetización, X m, referidas al primario. B.- Calcular el valor de la impedancia de cortocircuito (Zcc = R cccc + j X ccc ), referida da al primar primario. io. c referi C.- Calcular las caídas de tensión relativas: εRcc, εXcc, y εcc. D.- Dibujar los distintos circuitos equivalentes transformador, razonando las simplificaciones realizadas. E.- Calcular la potencia aparente de máximo rendimiento del transformador, y el rendimiento máximo para un factor de potencia unidad. F.- El transformador está funcionando a plena carga con factor de potencia 0,8 inductivo. En este caso, entendemos por plena carga que la corriente en el secundario del transformador es la nominal, y la tensión de alimentación del transformador también es la nominal. Se pide calcular: F.1.- La tensión en el secundario del transformador. F.2.- Rendimiento del transformador. F.3.- Coeficiente de regulación.


Solución

Notación empleada Upn Epn Usn Us Us0 Uspc Esn Ep Es E’s rt U0 E0 IoL IoF P0 Ipnf Icc Ecc Pcc R cccc X cccc Sn Ps cosϕs PFE Pcu h Isnf IsnL Isf Isf’ R FE FE X m IFE Im

Tensión nominal del primario en valor de línea. Tensión nominal del primario en valor de fase. Tensión nominal del secundario en valor de línea. Tensión del secundario en valor de línea. Tensión del secundario en vacío en valor de línea. Tensión de plena carga del secundario en valor de línea. Tensión nominal del secundario en valor de fase. Tensión del primario en valor de fase. Tensión del secundario en valor de fase. Tensión del secundario en valor de fase, referido al primario. Relación de transformación. Tensión del ensayo de vacío, referida al primario, y en valor de línea. Tensión del ensayo de vacío, referida al primario, y en valor de fase. Corriente del ensayo de vacío, referida al primario, y en valor de línea. Corriente del ensayo de vacío, referida al primario, y en valor de fase. Potencia del ensayo de vacío. Corriente nominal del primario, en valor de fase. Corriente del ensayo de cortocircuito, referida al primario, y en valor de fase. Tensión del ensayo de cortocircuito, referida al primario, y en valor de fase. Potencia del ensayo de cortocircuito. Resistencia de cortocircuito, referida al primario. Reactancia de cortocircuito, referida al primario. Potencia aparente nominal del transformador. Potencia activa entregada por el transformador, en el secundario. Factor de potencia del secundario del transformador. Potencia de pérdidas en el hierro. Potencia de pérdidas en el cobre. Rendimiento del transformador. Corriente nominal del secundario, en valor de fase. Corriente nominal del secundario, en valor de línea.. Corriente que circula por el secundario, en valor de fase. Corriente que circula por el secundario, en valor de fase y referida al primario. Resistencia de pérdidas en el hierro. Reactancia de magnetización. Corriente de pérdidas en el hierro. Corriente de magnetización.

Apartado A

Para calcular la resistencia de pérdidas en el hierro, R FE, y la reactancia de magnetización, X m, hay que utilizar los datos del ensayo de vacío, que ha sido realizado en el lado de alta tensión o primario del transformador. Como la tensión del ensayo de vacío coincide con la tensión nominal del primario, se dice que el ensayo es nominal. Entonces las pérdidas en el hierro a plena carga coincidirán con las pérdidas de potencia registradas en este ensayo. Los datos del ensayo de vacío son los siguientes: U 0 I 0 L

= 1.000 V → E 0 = 1.000 V

= 3 A → I 0 F =

2,9

A = 1,67 A 3 P0 = 1,1 kW

Para calcular R FE FE y X m es necesario realizar los siguientes cálculos:


= 3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F ⋅ cos ϕ 0

P0

cos ϕ 0

=

P0

3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F cos ϕ 0 sen ϕ 0

=

1.000 3 ⋅ 1.000 ⋅ 1,67

= 0,22 = 0,98

Las dos componentes de la corriente de vacío son: I FE = I 0 F ⋅ cos ϕ 0 I µ

= I 0 F ⋅ sen ϕ 0

= 1,67 ⋅ 0,22 = 0,37 A = 1,67 ⋅ 0,98 = 1,64 A

Ya se tienen tienen los datos datos necesa necesario rioss para para encont encontrar rar los valore valoress de de R FE FE y X m: E o

= RFE ⋅ I FE

R FE

=

E o I FE

= 2702,70 Ω

R FE

E o

= X ⋅ I

X µ X µ

Fase

µ

=

µ

E o I µ

= 609,76 Ω

Fase

Apartado B

Con los datos del ensayo de cortocircuito se puede calcular las componentes de la impedancia de cortocircuito del transformador. Primero necesitamos saber cual es la corriente nominal del transformador en el lado de alta tensión, que es donde se ha realizado el ensayo. S n I pnf

=

= 3 ⋅ E pn ⋅ I pnf S n

3 ⋅ E pn

=

50 ⋅ 10 3 (VA) 3 ⋅ 1.000 (V )

= 16,67 A = I pnf = 16,67 A

I pnf I cc

Como la corriente del ensayo de cortocircuito coincide con la corriente nominal del transformador, el ensayo se dice que es nominal. Cuando el transformador funcione a plena carga, las pérdidas en el cobre del transformador coincidirán con las pérdidas de potencia medidas en el ensayo de cortocircuito nominal. Para conocer los valores de R cccc y X cccc hay que realizar las siguientes operaciones: Transformadores - 40

= 3 ⋅ E cc ⋅ I cc ⋅ cos

Pcc

cos ϕ cc

=

Pcc

=

3 ⋅ E cc ⋅ I cc

cos ϕ cc sen ϕ cc

E cc ⋅ cos

cc

cc

1.450 (W ) 3 ⋅ 110 (V ) ⋅ 16,67 ( A)

= 0,26 = 0,96

= Rcc ⋅ I cc

E cc ⋅ cos ϕ cc

Rcc

=

Rcc

= 1,72 Ω

I cc

E cc ⋅ sen

Fase

= X cc ⋅ I cc E cc ⋅ sen ϕ cc cc

X cc

=

X cc

= 6,33 Ω

I cc Fase

Apartado C

Las caídas de tensión relativas se calculan empleando sus fórmulas correspondientes. ε Rcc

=

ε Xcc

=

ε cc

=

Rcc ⋅ I pnf E pn

X cc ⋅ I pnf E pn ε Rcc

2

⋅ 100 = 2,87% ⋅ 100 = 10,55%

+ ε Xcc 2 = 10,93%

Apartado E

Un transformador trabaja a rendimiento máximo cuando las pérdidas en el cobre son iguales a las pérdidas en el hierro nominales. El índice de carga óptimo o de máximo rendimiento viene definido por la siguiente expresión: C opt

=

PFE , nom Pcu , nom

=

P0 Pcc

=

1,1 1,45


= 0,87

La potencia aparente de máximo rendimiento es la siguiente: s iguiente:

=

C opt S η max

S η max S n

= C opt ⋅ S n = 0,87 ⋅ 50 kVA = 43,50 kVA

Si el factor de potencia es la unidad, la potencia activa de máximo rendimiento es: Pη max

= S max ⋅ cos ϕ = 40,82 ⋅ 1 = 43,50 kW η

Por último queda calcular el rendimiento máximo del transformador, cuando el f.d.p. es 1: Pη max

η max

=

η max

= 95,19%

Pη max

+ 2 ⋅ P0

⋅ 100

Apartado F1

Para resolver este apartado se va a utilizar el circuito equivalente aproximado, referido al primario, del transformador. Las variables que conocemos de este circuito, aparte de la impedancia de cortocircuito, R FE FE y X µ, son las siguientes: Tensión de alimentación: alimentación: E p

= E pn = 1.000 V

Factor de potencia de la carga: cos

s

= 0,8 ( Inductivo )

Corriente del secundario: '

I sf

' = I snf

Vamos Vamos a enco encontr ntrar ar el valor valor de la corrie corriente nte nomina nominall del del secund secundari ario. o. S n I snL

=

=

3 ⋅ U sn ⋅ I snL

S n

3 ⋅ U sn I snL

=

50 kVA 3 ⋅ 100 V

= 288,68 A


Como la conexión es en estrella, es trella, la corriente nominal de fase coincide con la de línea: I snf

= I snL = 288,68 A

Para referirla al primario es necesario encontrar el valor de la relación de transformación:

=

r t

E pn E sn

=

1.000 100 3

= 17,32

La corriente que circula por el secundario s ecundario del transformador, referida al primario es: ' I sf

=

I snf

=

r t

288,68 17,32

= 16,67 A

Para calcular la tensión en el secundario del transformador se puede emplear al aproximación de Kapp: E p

= E s' + ( Rcc ⋅ cos ϕ s + X cc ⋅ sen ϕ s ) ⋅ I sf '

E s'

= E p − ( Rcc ⋅ cos ϕ s + X cc ⋅ sen ϕ s ) ⋅ I sf '

'

= 1.000 − (1,72 ⋅ 0,8 + 6,33 ⋅ 0,6) ⋅ 16,67 E s' = 913,75 V

E s

'

=

E s U S

=

E s r t

= 52,76 V

3 ⋅ E s

= 91,38 V

Apartado F2

El rendimiento de un transformador viene expresado por la siguiente ecuación: η

=

Ps Ps

+ PFE + Pcu

Las pérdidas en el hierro se consideran las mismas que las del ensayo de vacío, porque la tensión primaria es la misma en ambos casos. PFE = P0

= 1.100 W

El transformador está funcionando a plena carga. En estas condiciones podemos considerar que las pérdidas en el cobre coinciden con las del ensayo de cortocircuito, o podemos calcularlas: Pcu

= 3 ⋅ Rcc ⋅ I sf '2 = 3 ⋅ 1,72 ⋅ 16,67 2 = 1433,91 W

Queda por encontrar la potencia activa que está consumiendo la carga: Ps

= 3 ⋅ E s' ⋅ I sf ' ⋅ cos ϕ s = 3 ⋅ 913,75 ⋅ 16,67 ⋅ 0,8 = 36.557,31 W

Con estos datos, el rendimiento del transformador es el siguiente: Transformadores - 43

η

=

36.557,31 36.557,31 + 1.433,91 + 1.100

⋅ 100 = 93,52%

Apartado F3

El coeficiente de regulación de un transformador está definido por la siguiente expresión: CR =

U s 0

− U spc

U spc

⋅ 100 =

100 − 91,38 91,38


⋅ 100 = 9,43%

P R O B L E M A 4

D

e un transformador monofásico, 125 kVA, 3000/380V, se conocen los siguientes datos de un ensayo de vacío: 3000 V, 0.8 A, 1000 W. También son conocidos los datos de dos situaciones de carga:

• El transformador, alimentado a la tensión nominal, alimenta a 384 V una carga que consume la corriente nominal con fdp 0.8 capacitivo. • El transformador, alimentado a la tensión nominal, alimenta a 377.1 V una carga puramente resistiva que consume la corriente nominal.

Se pide: A. Impeda Impedanci nciaa de de cort cortoci ocircu rcuito ito.. B. Rendimiento y coeficiente de regulación a plena carga con los siguientes factores de potencia en el secundario: 1, 0.8 inductivo, 0.8 capacitivo. C. Se coloca en paralelo con otros dos transformadores con los siguientes datos: 3000/380 V, 100 kVA, εcc = 3.5 %, εRcc = 1 %. 3000/380 V, 90 kVA, εcc = 4 %, εRcc = 1.2 %. Los tres transformadores en paralelo alimentan a 380 V una carga que consume 275 kVA con un fdp 0.8 capacitivo. Calcular la tensión necesaria en el primario, y el reparto de potencias aparentes y activas entre los tres transformadores. D. ¿ Es adecuada la asociación en paralelo del apartado anterior? ¿Por qué?


Solución

Notación empleada E1n E2pc E2n E1 E2 E’2 rt P0,n R cccc X cccc Sn P2 cosϕ2 PFE Pcu η I2,n I2 I 2’ R FE FE X µ IFE Iµ

Tensión nominal del primario. Tensión de plena carga del secundario. Tensión nominal del secundario. Tensión del primario. Tensión del secundario. Tensión del secundario referido al primario. Relación de transformación. Potencia del ensayo de vacío nominal. Resistencia de cortocircuito, referida al primario. Reactancia de cortocircuito, referida al primario. Potencia aparente nominal del transformador. Potencia activa entregada por el transformador, en el secundario. Factor de potencia del secundario del transformador. Potencia de pérdidas en el hierro. Potencia de pérdidas en el cobre. Rendimiento del transformador. Corriente nominal del secundario. Corriente que circula por el secundario. Corriente que circula por el secundario referida al primario. Resistencia de pérdidas en el hierro. Reactancia de magnetización. Corriente de pérdidas en el hierro. Corriente de magnetización.

Apartado A

En este primer apartado del problema se pide calcular la impedancia de cortocircuito del transformador. Como no se dispone de los datos de un ensayo de cortocircuito, hay que buscar otro camino. Se conocen los datos de dos situaciones de carga: tensión del primario y secundario, corriente del secundario y factor de potencia de la carga. En un principio se podría pensar que podemos aplicar la segunda ley de Kirchoff a la malla del secundario del transformador.

Si se emplea el circuito equivalente aproximado referido al primario, las dos ecuaciones que se pueden obtener son:

Situación de carga I:


E1, I

= E2' , I + ( Rcc + j ⋅ X cc ) ⋅ I 2' , I

E1, II

= E2' , II + ( Rcc + j ⋅ X cc ) ⋅ I 2' ,II

Situación de carga II:

Como son ecuaciones en el dominio fasorial, hay que escoger una de las magnitudes como origen de fases. Debido a que se conoce el factor de potencia de la carga, resulta más sencillo escoger como origen de fases la tensión del secundario E2 ’ . De esta forma el argumento de las corrientes coincide con el arco coseno de los factores de potencia. Pero el desfase de la tensión del primario del transformador respecto del origen de fases es desconocido en ambas situaciones de carga. Si se separa, en las dos ecuaciones anteriores, la parte real e imaginaria se obtendría un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: R cc , X cc y los dos desfases de las tensiones del primario en las dos situaciones de carga. La resolución de este sistema de ecuaciones es laboriosa. Pero existe otro camino más sencillo que consiste en emplear la fórmula o aproximación de Kapp: E1

= E2' + ( Rcc ⋅ cos ϕ 2 ± X cc ⋅ sen ϕ 2 ) ⋅ I 2'

Esta ecuación no es compleja, y no interviene en ella el desfase de la tensión del primario respecto de la tensión del secundario. Si se emplea con los datos de las dos situaciones de carga, se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas: R cc , y X cc . Antes de plantear las dos ecuaciones hay que referir los datos del secundario del transformador al primario. Relación de transformación: E 1n

r t =

=

E 2 n

3000 380

= 7,90

Tensió Tensiónn del del secunda secundario rio referi referida da al primar primario io en las dos situac situacion iones es de de carg cargaa cono conocid cidas: as: Situación de carga I: E2' , I

384 ⋅ 7,90 = 3031 3031,58 ,58 = E2,I ⋅ rt = 384

V

Situación de carga II: E2' , II

377,1 1 ⋅ 7,90 = 2977 2977,1 ,11 1 = E2,II ⋅ rt = 377,

V

Corriente nominal del secundario del transformador referida al primario: Sn I 2 n '

=

I 2 n

= E2 n ⋅ I 2 n

S n E 2 n

=

I 2 n r t

= 328,95 = 41,67

A A

Las dos ecuaciones que se obtienen al aplicar la aproximación de Kapp son las siguientes:


3000 = 3031, 58 + ( Rcc ⋅ 0, 8 − X cc ⋅ 0, 6) ⋅ 41, 67 67 3000 = 2977,10 + Rcc ⋅ 41, 67 67

No hay que olvidar que la carga en la primera situación es capacitiva. La resolución de este sistema nos proporciona la impedancia interna del transformador:

= 0,55 Ω X cc = 2 Ω Z cc = Rcc + j ⋅ X cc = 0, 55 + j ⋅ 2 Ω Rcc

Apartado B

La resolución de este apartado es más sencilla si uno se da cuenta que las dos situaciones de carga conocidas en el enunciado corresponden al funcionamiento del transformador a plena carga. En la situación primera, el transformador está trabajando a plena carga con factor de potencia capacitivo e igual a 0,8. Como son conocidos todos los datos de funcionamiento hay que hacer pocas operaciones: Coeficiente de regulación: CR =

E20 − E 2, pc E 2, pc

⋅100 =

380 − 384 384

⋅100 = −1, 04 %

Rendimiento del transformador:

• Potencia útil: es la potencia entregada a la carga en el secundario del transformador. Pu

,052 = P2 = E2, pc ⋅ I 2n ⋅ cos ϕ 2 = 384 ⋅ 328,95 ⋅ 0,8 = 101,052

kW

• Potencia consumida: se puede calcular haciendo un balance de potencias al transformador. Pab

= P1 = PFe + Pcu + P2

Como el transformador está alimentado a la misma tensión que el ensayo de vacío, proporcionado en el enunciado, las pérdidas en el hierro coinciden con las de este ensayo. Esto es válido para las tres situaciones en las que hay que calcular el rendimiento: PFe

= P0 = 1000

W

Las pérdidas en el cobre equivalen a las que se pierden por efecto Joule en la resistencia de cortocircuito: Pcu

= Rcc ⋅ I 2'2n = 0,55 ⋅ 328,952 = 954


W

Entonces la potencia consumida es: P1 = 103,01 kW

El rendimiento queda entonces:

= =

η

P2 P1

100 = 98,10% ,10% ⋅100

La segunda situación de carga corresponde a un funcionamiento del transformador a plena carga con fdp unidad en el secundario. s ecundario. Coeficiente de regulación: CR =

E20 − E 2 , pc E 2, pc

⋅100 =

380 380 − 377, 377,1 1 377,1

⋅100 = 0, 77 %



= P2 = E2, pc ⋅ I 2n ⋅ cos ϕ 2 = 377,1⋅ 328,95 ⋅1 = 124,046 ,046

kW


= P1 = PFe + Pcu + P2

Las pérdidas en el hierro ya han sido calculadas anteriormente. PFe

= P0 = 1000

W

Pérdidas en el cobre: Pcu

= Rcc ⋅ I 2'2n = 0,55 ⋅ 328,952 = 954

W

Entonces la potencia consumida es: P1

= 126

P2

⋅100 = 98, 45%

kW


= =

η

P1

Nos queda una situación por resolver en la que el motor funciona a plena carga con un factor de potencia 0,8 inductivo en el secundario. Los datos correspondientes a este funcionamiento no son proporcionados en el enunciado. Se necesita conocer la tensión de alimentación de la carga. Se puede emplear la aproximación de Kapp para calcularla:


E1

= E2' + ( Rcc ⋅ cos ϕ 2 ± X cc ⋅ sen ϕ 2 ) ⋅ I 2'

3000 = E 2' + (0, 55 55 ⋅ 0, 8 + 2 ⋅ 0, 6) 6) ⋅ 328, 95 95

= 2931,78

'

E2

V

'

=

E2

E 2 r t

= 371,35

V

Coeficiente de regulación: CR =

E20 − E 2 , pc

⋅100 =

E 2, pc

380 380 − 377,35 377,35 377,35

⋅100 = 0, 70 %



,046 = P2 = E2, pc ⋅ I 2n ⋅ cos ϕ 2 = 377,1⋅ 328,95 ⋅1 = 124,046

kW


= P1 = PFe + Pcu + P2

Las pérdidas en el hierro ya han sido calculadas anteriormente. PFe

= P0 = 1000

W

Pérdidas en el cobre: Pcu

= Rcc ⋅ I 2'2n = 0,55 ⋅ 328,952 = 954

W

Entonces la potencia consumida es: P1

= 126

P2

⋅100 = 98, 45%

kW


= =

η

P1

Apartado C

El transformador del apartado anterior se conecta en paralelo con otros dos transformadores. Cada uno de ellos va a ser referido como transformador I, II y III respectivamente. Transf Transform ormado adorr I:I:

3000/3 3000/380 80

125 kVA

Zcc = 0,55+j 2 Ω


Transf Transform ormado adorr II: II:

3000/3 3000/380 80

100 kVA

εcc = 3,5 %; εRcc = 1 %

Transf Transform ormado adorr III: III:

3000/3 3000/380 80

90 kVA

εcc = 4 %; εRcc = 1,2 %

Se desprecia la rama en paralelo de cada transformador. El circuito equivalente de la asociación en paralelo de los tres transformadores, referido al primario, es el siguiente:

No se conoce la impedancia interna de los transformadores II y III, pero es posible calcularla a partir de los datos proporcionados. Transf Transform ormado adorr II: II: S n, II I1n , II =

Z cc, II =

X cc , II

=

E 1n

= 33,33

Z cc , II ⋅ I 1n , II E 1n

A

⋅100

⋅ E 1n = 3,15 Ω I 1n , II ⋅100 ε cc , II

ε Rcc , II

Rcc, II =

S n, II

=

ε cc, II

= E1n ⋅ I 1n,II

=

Rcc , II ⋅ I 1n , II E 1n

ε Rcc , II

⋅ E 1n

I 1n , II ⋅100 Z c2c ,II

⋅100

0, 9 Ω = 0,9

− Rc2c ,II = 3,02 Ω

Z cc, II = 0, 9 + j ⋅ 3, 02 02

Transf Transform ormado adorr III: III:


Ω

S n, III I1n ,III =

=

ε cc ,III

Z cc,III =

ε Rcc , III

Rcc,III =

X cc, III

=

= E1n ⋅ I 1n ,III S n ,III E 1n

= 30

Z cc, III ⋅ I 1n , III E 1n

A

⋅100

⋅ E 1n =4 Ω I 1n ,III ⋅100 ε cc , III

=

Rcc , III ⋅ I 1n , III E 1n

ε Rcc , III

⋅ E 1n

I 1n ,III ⋅100

Z c2c , III

⋅100

= 1, 2 Ω

− Rc2c ,III = 3,82 Ω

Z cc,III = 1, 2 + j ⋅ 3, 82

Ω

No hay que olvidar que se va a trabajar con el circuito equivalente referido al primario. Conocemos las características de la carga, referidas al devanado secundario. Por lo tanto, lo primero que hay que hacer es referirlas al primario.

= 380 V E2' = E2 ⋅ rt = 3000 E2

V

En adelante se tomará la tensión E2 ’ como origen de fases. '

E2

000∠0 0 = 3000

V

Se puede calcular la corriente que demanda la carga, que es la que proporciona el conjunto de los tres transformadores en paralelo: Sc

*

*

= E2 ⋅ I 2 = E2' ⋅ I 2' *

⎛ S ⎞ I 2' = ⎜ c ⎟ = 96,67 ,67∠ + 36,87 ,870 ⎜ E ' ⎟ ⎝ 2⎠

A

Primero se va a calcular la tensión necesaria en el primario de los tres transformadores para cumplir las condiciones de alimentación de la carga. Para ello es necesario determinar la impedancia equivalente de la asociación en paralelo de las impedancias internas de los tres transformadores:


1 Z eq Z eq

=

1

Z cc , I

1 1

+

Z cc, I

1

=

+

Z cc , II

+

1 Z cc , II

1

+

1 Z cc , III

= 0,95∠73, 73, 760 Ω

Z cc , III

La tensión necesaria en el primario será: E1 E1

= E2' + Z eq ⋅ I 2'

0 = 2970,35 2970,35∠1, 58

V

La tensión en el primario es menor que 3000 voltios porque la carga es capacitiva. Para determinar la potencia que proporciona cada uno de los tres transformadores, voy a calcular primero la corriente que suministra cada uno de ellos a la carga. La caída de tensión en la impedancia interna tiene que ser igual en cada uno de los tres transformadores, y en la impedancia equivalente. Como se conoce la corriente total consumida por la carga, se puede calcular la corriente que aporta cada transformador empleando la condición anterior.

Z eq ⋅ I 2 '

= Z cc, I ⋅ I 2' , I = Z cc , II ⋅ I 2' ,II = Z cc ,III ⋅ I 2,2' ,III Z eq ⋅ I 2 '

I

=

' 2, I

Z cc, I

Z eq ⋅ I 2

42,11∠360 = 42,11

A

'

I

' 2, II

=

27, 73∠37, 37, 240 = 27,

Z cc, II

Z eq ⋅ I 2

A

'

I

' 2, III

=

Z cc,III

21,84 ∠38,1 38,10 = 21,84

A

Una vez conocidas estas corrientes es sencillo determinar la potencia aparente de cada transformador, y su potencia activa de salida. S I S II S III

*

,52 ∠ − 36 0 = E2' ⋅ I 2,' I = 126336,52 *

= E2' ⋅ I 2,' II = 83185,88∠ − 37,24 0 = E ⋅I ' 2

* ' 2, III

5508,88 ,88∠ − 38,10 = 65508

VA V A

V A

La potencia activa de salida de cada transformador es la parte real de las potencias aparentes calculadas: P I

61 = Re ( S I ) = 102213, 61

W

P II

05 = Re ( S II ) = 66229, 05

W

P III

= Re ( S III ) = 51557, 34

W


Apartado D

La asociación en paralelo de transformadores se dice que es adecuada, cuando la potencia de la carga se reparte entre ellos de forma proporcional a sus potencias nominales. En este problema en concreto tenemos tres alternativas para determinar si la asociación en paralelo es adecuada o no. Para que los transformadores se repartan la carga de forma proporcional a sus potencias nominales se tiene que cumplir que las tensiones de cortocircuito relativas sean iguales. Conocemos la εcc de los transformadores II y III. No hace falta calcular la del transformador I porque las dos conocidas son diferentes. Esto ya nos permite afirmar que esta asociación en paralelo no es adecuada. Con los datos de las potencias aparentes que suministra cada transformador, vemos que el transformador I está trabajando sobrecargado, es decir, está trabajando por encima de sus condiciones nominales. Por esta razón se puede afirmar que la asociación en paralelo propuesta no funcionará correctamente. Otra alternativa, parecida a la anterior, consiste en calcular el índice de carga de cada transformador: C I = C II = C III =

S I S n , I S I S n, II S III S n ,III

= 1,01 = 0,83 = 0,73

Se puede observar que el primer transformador tiene un índice de carga superior a uno, es decir, está trabajando sobrecargado. Por la misma razón que antes se llega a la misma conclusión.


P R O B L E M A 5

S

e prueba un transformador monofásico de 15kVA, 2300/230V para determinar sus componentes del circuito equivalente aproximado. Los siguientes datos fueron obtenidos de las pruebas en el lado primario del transformador:

·

Ensayo de vacío: 1500 V, 0.14 A, 21,4 W.

·

Ensayo de cortocircuito: 31.3 V, 4 A, 71.2 W.

Determinar: a) Parámetros del circuito equivalente del transformador referidos al primario. b) Rendimiento del transformador a plena carga si el factor de potencia en el secundario es de 0.8 en atraso. c) Coeficiente de regulación en las condiciones del apartado anterior.


Solución

Notación empleada P0 PFe PFe,pc Pcc Pcc,pc Pu P1 R Fe Fe X µ R cccc X cccc U0 I0 IFe Iµ Ucc Icc cosϕcc U1n U2n’ U2pc’ U2pc U20 I2,pc’ I2n’ ηpc CR

Potencia activa del ensayo de vacío. Potencia de pérdidas en el hierro. Potencia de pérdidas en el hierro a plena carga. Potencia del ensayo de cortocircuito. Potencia de pérdidas por efecto Joule a plena carga. Potencia útil. Potencia consumida Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro. Reactancia de magnetización. Resistencia equivalente serie o de cortocircuito referida al primario. Reactancia equivalente serie o de cortocircuito referida al primario. Tensión de alimentación del ensayo de vacío. Corriente del ensayo de vacío. Corriente de pérdidas en el hierro. Corriente de magnetización. Tensión de alimentación del ensayo de cortocircuito. Corriente del ensayo de cortocircuito. Factor de potencia del ensayo de cortocircuito. Tensión nominal del devanado primario. Tensión nominal del devanado secundario referido al primario. Tensión del devanado secundario referido al primario en condiciones de plena carga. Tensión del devanado secundario en condiciones de plena carga. Tensión de vacío del devanado secundario. Corriente del secundario en condiciones de plena carga. Corriente nominal del devanado secundario referida al primario. Rendimiento en condiciones de plena carga. Coeficiente de regulación.


Apartado A

Para determinar los parámetros del circuito equivalente del transformador es necesario emplear los datos de los ensayos de vacío y cortocircuito proporcionados en el enunciado del problema. Es muy sencillo comprobar que dichos ensayos no son nominales. Esto es debido a que la tensión de alimentación del ensayo de vacío y la corriente del ensayo de cortocircuito no coinciden con la magnitud nominal correspondiente al devanado donde se realiza el ensayo.

Resistencia de pérdidas en el hierro. 2

=

P0 2

RFe

=

U 0 P0

=

U 0

RFe

(1500 V ) 21, 21, 4 W

2

=

= 105,14 k Ω

RFe

Componentes de la corriente de vacío.

=

I Fe

I µ

U 0 RFe

I Fe

= 0,0143 A

I µ

=

=

2 I 02 − I Fe

0,14 ,14 2 − 0,014 ,0143 2

I µ

= 0,1393 A

Reactancia de magnetización. X µ

=

U 0 I µ

1500 V

X µ

=

X µ

= 10,77 k Ω

0,1393 A

Factor de potencia del ensayo de cortocircuito.

57

= U cc ⋅ I cc ⋅ cos (ϕ cc )

Pcc

cos (ϕ cc ) = cos (ϕ cc ) =

Pcc U cc ⋅ I cc

71, 71, 2 W 31, 3 V ⋅ 4 A

cos (ϕ cc ) = 0, 5687

Impedancia de cortocircuito. Se toma la tensión de alimentación del ensayo como origen de fases.

=

Z cc

U cc I cc

=

0 U cc ∠0

I cc ∠ − ϕ cc

31,3 31,3∠0 V 0

Z cc

=

Z cc

= 7,83 7,83∠55,34 55,34 0 Ω

4∠ − 55, 34 34 0 A

Resistencia y reactancia de cortocircuito. Rcc

= Re ( Z cc ) = 4, 45 Ω

X cc

= Im ( Z cc ) = 6, 44 Ω

Como los datos de los dos ensayos han sido registrados en el primario del transformador, los parámetros calculados están referidos a ese mismo devanado.

Apartado B

Las condiciones de plena carga que vamos a considerar son las siguientes: Tensiónn nom nomina inall de de alim aliment entaci ación ón en el primar primario. io. • Tensió s ecundario del transformador. • Corriente nominal en el secundario Con estas condiciones de operación la tensión en el secundario del transformador, que es la de alimentación de la carga es desconocida. Las siguientes operaciones van encaminadas a su cálculo. Se tomará la tensión de alimentación del transformador en su devanado primario como origen de fases, y se va a trabajar con todas las variables referidas a su devanado primario. Corriente nominal del devanado secundario referida al primario.

58

I 2 n

=

I 2' n

=

'

Sn

=

U 2' n

S n U 1n

15000 VA 2300 V

= 6,52 A

I 2' n

Utilizando la aproximación de Kapp se puede determinar la tensión del secundario referida al primario. U1n '

U2 '

U2

= U 2' + ( Rcc ⋅ cos (ϕ 2 ) + X cc ⋅ s en (ϕ 2 ) ) ⋅ I 2' n = U1n − ( Rcc ⋅ cos (ϕ 2 ) + X cc ⋅ s en (ϕ 2 ) ) ⋅ I 2' n

45 Ω ⋅ 0, 8 + 6, 44 44 Ω ⋅ 0, 6 ) ⋅6, 52 52 A = 2300 V − ( 4, 45 ' U 2 = 2251,6 V

La potencia útil que está entregando el transformador a la carga es la siguiente:

= U 2' ⋅ I 2' n ⋅ cos (ϕ 2 ) Pu = 2251,6⋅ 6,52 ⋅ 0,8 Pu = 11747,46 W Pu

Para determinar el rendimiento queda por calcular la potencia consumida por el transformador. Ésta será igual a la potencia entregada a la carga más las pérdidas en el hierro y por efecto Joule. Si los dos ensayos realizados al transformador hubiesen sido los nominales, las potencias medidas en los mismos habrían coincidido con las pérdidas en condiciones de plena carga. Como no se da esta circunstancia es necesario calcularlas. Pérdidas en el hierro. 2

PFe, pc PFe, pc

=

PFe, pc

=

U 1n RFe

2300 2 105,14 ⋅10 3

= 50,31 W

Pérdidas por efecto Joule. Pcc , pc

= Rcc ⋅ ( I 2' n )

2

= 4,45 ⋅6,52 2 Pcc, pc = 189,17 W

Pcc, pc

Potencia consumida.

59

= Pu + PFe, pc + Pcc, pc P1 = 1174 11747,45 7,45 + 50,31 50,31 +189, 189,15 15 P1 = 11986,94 W P1

Rendimiento a plena carga con factor de potencia 0,8 en atraso. η pc

=

Pu P1

⋅100 = 98 %

Apartado C

Coeficiente de regulación. CR =

U 20 − U 2 , pc U 2, pc U1n − U 2, pc

⋅100

'

CR = CR =

'

U 2, pc

⋅100

2300 2300 − 2251 2251,, 6 2251,6 ,15 % CR = 2,15

60

⋅100

P R O B L E M A 6

D

e un transformador monofásico se conocen los siguientes datos: 

Potencia nominal: 250 kVA.



Relación de transformación: 15000/250V.



Resistencia de cortocircuito referida al primario: 18 Ω.



Reactancia de cortocircuito referida al primario: 31,17 Ω.

El transformador está alimentado a su tensión nominal por el primario y trabaja a plena carga. En estas condiciones de trabajo, calcular la tensión en el secundario del transformador en los dos casos siguientes: a) Factor de potencia 0,8 en adelanto. b) Factor de potencia 0,8 en retraso.

En los dos casos hay que razonar si los resultados obtenidos son lógicos.

61

Solución

Este problema, como se verá a continuación, es extremadamente sencillo. El circuito equivalente del transformador queda reducido a su impedancia interna. No se ofrecen los parámetros de la rama en paralelo, ni tampoco datos para determinarlos. Por esta razón, la rama en paralelo del circuito equivalente aproximado del transformador se desprecia. El circuito equivalente referido al primario es, despreciando esa rama, el siguiente:

Circuito eléctrico equivalente aproximado de un transformador monofásico.

En los dos apartados se nos pide la tensión en el secundario del transformador funcionando a plena carga con distintos factores de potencia. Las condiciones de plena carga están especificadas en el enunciado, por lo que no tiene que surgir ninguna duda al respecto:

= E 1n I 2 = I 2 n

E1

La tensión nominal del primario del transformador es un dato directo del problema y tiene el siguiente valor: 15000 V. La corriente nominal del secundario es necesario calcularla: Sn

=

I 2 n

= E2 n ⋅ I 2 n

Sn E2 n

I 2 n

=

250 k VA 250 V

= 1000 A

La impedancia de cortocircuito está referida al primario del transformador. Se va a trabajar con el circuito eléctrico equivalente referido a este devanado. La corriente calculada anteriormente debe ser referida al primario. r t = '

E 1n E 2 n

I 2 n

=

=

I 2 n r t

15000 250

= 60

= 16,67 A

62

La tensión en el devanado secundario puede calcularse de dos formas: empleando la aproximación de Kapp, o empleando fasores. En el apartado A se va a emplear el primer método y en el apartado B el segundo. Apartado A

El factor de potencia vale en este caso 0,8 en adelanto o capacitivo. La expresión de Kapp, con las variables referidas al primario y para una carga capacitiva tiene la siguiente expresión: E1

= E2' + ( Rcc ⋅ cos ϕ 2 + X cc ⋅ sen ϕ 2 ) ⋅ I 2'

'

= E1 − ( Rcc ⋅ cos ϕ 2 + X cc ⋅ sen ϕ 2 ) ⋅ I 2'

E2

Si se sustituyen los valores de las variables conocidos se obtiene la siguiente tensión para el secundario del transformador: '

= E1n − ( Rcc ⋅ cos ϕ 2 − X cc ⋅ sen ϕ 2 ) ⋅ I 2' n

E 2

5000 − (18 ⋅ 0,8 − 31,1 31,17 7 ⋅ 0,6 0,6 ) ⋅16,17 ,17 = 15000

E2 '

'

E2

15071, 71 V = 15071, '

E2

=

E 2 r t

= 251, 251, 20 V

La tensión en el secundario obtenida es mayor que la tensión nominal de ese mismo devanado. Esto es posible cuando la carga es capacitiva. Se puede demostrar fácilmente que esto es posible dibujando el diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente aproximado del transformador.

Diagrama fasorial de un transformador monofásico con carga capacitiva.

Apartado B

La tensión en el secundario se va a calcular ahora empleando fasores. La caída de tensión en el transformador será: E1 = E2 + ( Rcc + j ⋅ X cc ) ⋅ I 2 r

r

r

'

'

Uno de los fasores debe establecerse como origen de fases. En el secundario del transformador se conoce el factor de potencia, es decir, el ángulo entre la tensión y la corriente. Por lo tanto, parece lógico escoger como origen de fases la tensión en el secundario del transformador. La 63

corriente en el secundario retrasaría un ángulo conocido respecto al origen de fases. El argumento del fasor E1 es desconocido. Podemos suponer que adelanta un ángulo ε respecto al origen.

= E 2' ∠0º ' ' I 2 = I 2 n ∠ − 36,87º E1 = E 1n ∠ε r

'

E2

r

r

En la ecuación de la caída de tensión vamos a tener ahora dos incógnitas: el módulo de la tensión en el secundario, y el ángulo ε, desfase entre las dos tensiones. No hay que olvidar que esa ecuación es compleja. Se puede separar la parte real y la imaginaria. De esta forma obtenemos un sistema de dos ecuaciones y las dos incógnitas antes mencionadas. Su resolución nos proporcionará los siguientes resultados: 15000∠ε = E2' ∠0º + (18 + j ⋅ 31,17 ) ⋅16,17 ∠ − 36, 87º ε

= 0,90º

= 14448,19 V E2 = 240,80 V

E2'

El resultado obtenido es razonable, puesto que cuando la carga es de tipo inductivo la tensión en el secundario siempre es inferior a la nominal. Esto se puede demostrar, al igual que en el apartado anterior, dibujando el diagrama fasorial.

Diagrama fasorial de un transformador monofásico con carga inductiva.

64

P R O B L E M A 7

U

n transformador trifásico de 50 MVA, 380 kV/ 60 kV (tensiones compuestas), conexión Yy0, ha sido sometido a un ensayo de cortocircuito, alimentado por el lado de B.T. Las medidas fueron las siguientes: V 2cc 2cc = 4,2 kV de línea; I 2cc = 420,5 A; Pcc (total) = 184 kW.

El transformador está conectado a una red de 370 kV de tensión compuesta, 50 Hz, a través de una línea trifásica de 50 Km. de longitud, de resistencia despreciable y reactancia 0,4 ohmios por kilómetro. El transformador alimenta por su secundario una carga trifásica equilibrada conectada en triángulo constituida por una resistencia de 220 ohmios en serie con un condensador de 15 microfaradios. Calcular: 1) Tensión secundaria de línea V 2. 2) Corriente secundaria I 2. 3) Rendimiento del transformador en esas condiciones si las pérdidas en el hierro son de 150 kW.

65

Notaci Notación ón emplea empleada: da: R C Z ∆ r

r

Z Y r

Z Y ,1 ω

Pcc

Resistencia por fase de la carga en conexión triángulo Capacidad por fase de la carga en conexión triángulo Impedancia por fase de la carga en conexión triángulo Impedancia por fase de la carga en conexión estrella Impedancia por fase de la carga en conexión estrella referida al primario del transformador Frecuencia angular de la red Potencia activa consumida por el transformador transformador en el ensayo de

cortocircuito Valor de fase de la tensión del ensayo de cortocircuito referida al primario Valor de fase de la corriente del ensayo de cortocircuito referida al primario I cc ,2, f cos (ϕ cc ) Factor de potencia del ensayo de cortocircuito Resistencia de cortocircuito referida al secundario y al primario Rcc ,2 Rcc ,1 respectivamente Reactancia de cortocircuito referida al secundario y al primario X cc,2 X cc ,1 respectivamente Relación de transformación r t Tensiones nominales (valores de fase) U1n , f U 2 n , f Valor de fase de la tensión de red U red red , f Valor de fase de la tensión de la carga referida al primario del transformador U 2,1, f Valor de línea de la tensión de la carga U 2,l Corriente de alimentación de la carga I 2 Corriente de alimentación de la carga referida al primario del transformador I 2,1 I 1 Corriente de alimentación del transformador Impedancia del hilo del conexión del transformador a la red Z hilo Rendimiento del transformador transformador η P1 P2 Potencia consumida y entregada por el transformador transformador a la carga Pérdidas en el hierro y por efecto Joule en el transformador PF e PJ oouu lele U cc ,2, f

r

r

r

r

r

r

r

r

S 2

Potencia aparente consumida por la carga

66

Solución:

El esquema propuesto es el siguiente:

La tensión se mantiene constante al principio de la línea de alimentación del transformador. La línea no tiene impedancia despreciable. La carga que alimenta el transformador está conectada en triángulo. Para poder trabajar con el circuito monofásico equivalente es necesario transformar la conexión de la carga a estrella. Cada rama de la carga en triángulo está formada por la conexión serie de una resistencia y de un condensador:

r

Z ∆

j

= R− ω

⋅ C

= 220 −

j

2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 15 ⋅ 10−6

= 220 − j ⋅ 212, 21 Ω

Transf Transform ormamo amoss la carga en triáng triángula ula a una configu configurac ración ión en estrel estrella. la. La impeda impedanci nciaa por fase para la conexión en estrella será la siguiente, teniendo en cuenta que la carga es equilibrada:

r

ZY = r

Z ∆

3

33 − j ⋅ 70, 74 74 = 73, 33

Aparta Apartado do a

67

Ω fase

Para resolver el problema emplearemos el circuito equivalente por fase del circuito. Representado en la siguiente figura.

En el circuito eléctrico equivalente del transformador se ha despreciado la rama en paralelo, y todas las magnitudes están referenciadas al primario del transformador. La impedancia interna del transformador se obtiene a partir de los datos correspondientes al ensayo de cortocircuito. En dicho ensayo se cortocircuitó el primario del transformador y se tomaron medidas en el secundario. La impedancia interna o de cortocircuito del transformador sería la siguiente: Pcc

= 3 ⋅ U cc,2, f ⋅ I cc,2, f ⋅ cos (ϕ cc )

cos (ϕ cc ) =

Pcc

3 ⋅ U cc ,2, f ⋅ I cc ,2, f

184000 = 0, 0602; sen (ϕ cc ) = 0, 9982 4200 3⋅ ⋅ 420, 5 3 U cc ,2, f Ω ⋅ cos (ϕ cc ) = 0, 3469 Rcc ,2 = I cc ,2, f f ase

cos (ϕ cc ) =

X cc ,2

=

U cc ,2, f I cc ,2, f

⋅ sen (ϕ cc ) = 5, 7562

Ω f ase

Como vamos a trabajar con el circuito eléctrico equivalente referido al primario del transformador, es necesario que la impedancia interna del mismo esté referida a ese mismo devanado.

68

r t =

U 1n , f U 2 n , f

Rcc ,1 X cc,1

=

380000

3

60000

3

= 6,3333

= Rcc,2 ⋅ rt2 = 13,9133 Ω

fase

= X cc,2 ⋅ rt2 = 230,8874 Ω

fase

Tambié Tambiénn es es nece necesar sario io referi referirr al al prim primari arioo del del transf transform ormado adorr la la impe impedan dancia cia de la carga. carga.

ZY ,1 = ZY ⋅ rt r

r

2

941,481 ,4815 − j ⋅ 2837 2837,28 ,2807 07 Ω = 2941

Ahora Ahora se se conoc conocen en toda todass las las imped impedanc ancias ias del circui circuito to eléc eléctri trico co equi equival valent entee del del prob problem lema. a. Adem Además ás la tensión de fase en la línea es un dato del problema. Tomamos como origen de fases esta tensión.

r

U red red , f

=

370000 3

∠0º V

Para obtener la corriente que circula por el circuito sólo hay que utilizar la 2 ley de Kirchoff en el circuito eléctrico equivalente:

r

= ( Z hilo + Z cc,1 + ZY ,1 ) ⋅ I1 r

U red , f

r

r

r

r

r

I 1

=

U red red , f r

+ Z cc ,1 + Z Y ,1 r

Z hilo

r

370000

r

I 1

=

20 ⋅ j + 13,91 ,9133 + r

I1

∠0º 3 ,8874 + 2941,48 ,4815 − j ⋅ 2837,28 ,2807 j ⋅ 230,88

41,1906º = 54,3933∠41,1906º

A

La tensión en el secundario s ecundario del transformador será la siguiente:

r

U 2,1, f

222298 98,, 2177 2177∠ − 2,7764º ,7764º V = U red , f − ( Z hilo + Z cc,1 ) ⋅ I1 = ZY ,1 ⋅ I 1 = 2222 r

r

r

r

r

69

r

Esta tensión está referida al primario del transformador. Primero la referimos a su propio devanado y luego la multiplicamos por 3 para obtener el valor de línea que hay que proporcionar.

U 2, f

=

U 2,1, f

= U 2, f ⋅

U 2 ,l

= 35099,7186 V

r t

3 = 6079 60794 4, 4959 4959 V

Aparta Apartado do b

En el apartado anterior ya se ha calculado la corriente que circula por el secundario del transformador pero referida al primario. Como la conexión es en estrella, la corriente de línea y de fase coinciden.

I 2

= I 2,2,1 ⋅ rt = I1 ⋅ r t = 344,49 A

Aparta Apartado do c

El rendimiento del transformador es la relación entre la potencia activa consumida por la carga y la potencia activa consumida por el transformador.

= =

η

P2 P1

⋅ 100

La potencia activa consumida por la carga es la parte real de la potencia aparente entregada por el transformador:

r

S2

42 + j ⋅ 22538938,19 V A = 3 ⋅ U 2,1, f ⋅ I 2*,1 = 28422561, 42 r

r

42 W = Re ( S2 ) = 28422561, 42 r

P2

Para obtener la potencia activa consumida por el transformador es necesario realizar un balance de potencias al mismo. No se puede emplear la expresión anterior, porque no estaríamos incluyendo las pérdidas en el hierro.

70

P1 P joule

= P2 + P joule + PFe

= 3 ⋅ Rcc,1 ⋅ I 12 = 123492, 96 W PFe = 150000 W P1 = 28696054,38 W

El rendimiento del transformador en estas condiciones de carga será el siguiente:

9,05 % = = 99,05

η

71

P R O B L E M A 8

U

n sistema de transmisión de energía eléctrica está constituido por una línea con dos transformadores Ta y y Tb en en sus extremos origen y final respectivamente. El sistema se encuentra alimentado a 13 kV en su origen, punto 1, por otro sistema que puede considerarse de potencia infinita. La carga conectada en el extremo receptor, punto 4, es de 200 kVA (índice de carga 10%) con factor de potencia 0,8 en retardo.

Tomand Tomandoo como como origen origen de fases fases la la tens tensión ión fase fase neut neutro ro en el punto punto 4, calcular: 1. La tensión compuesta en los puntos 2, 3 y 4 4. 2. La corriente de entrada al transformador transformador Ta , y la corriente en la línea.

72

Solución:

Hipótesis

Antes Antes de de reso resolve lverr el el prob problem lemaa es es nece necesar sario io realiz realizar ar una serie serie de sim simpli plific ficaci acione oness e hipóte hipótesis sis sobre sobre la estructura del circuito equ equivalente ivalente de los transformadores. transformadores. La rama en paralelo de los mismos mismos se puede despreciar, debido a que no se ofrecen datos para poder calcularla. Con respecto a la rama en serie, solo se menciona la caída de tensión relativa en la reactancia de cortocircuito. Como no se ofrecen más datos se puede considerar que εRcc es nula. Entonces, el circuito equivalente de los transformadores va a quedar reducido a la reactancia de cortocircuito, X cc . Tampoc Tampocoo se informa informa del tipo tipo de conexión conexión de los trans transfor formad madore ores, s, por lo que consid considera erarem remos os que tienen conexión estrella-estrella. En el circuito eléctrico presentado se distinguen 3 zonas claramente diferenciadas: primario del transformador Ta conectado conectado a la red, secundario del transformador Tb por por donde se alimenta la carga, y la línea que une el secundario del transformador Ta con con el primario del transformador Tb . Para la resolución del problema, es necesario obtener el circuito eléctrico equivalente por fase del esquema presentado en la primera figura. Este circuito monofásico podría estar referido al primario del transformador Ta , al secundario del transformador Tb , o al lado común: secundario del transformador Ta , primario del transformador Tb . En nuestro caso, esta última opción es la escogida, por lo que será necesario obtener el circuito eléctrico equivalente del transformador Ta referido referido a su secundario, y del transformador Tb , referido a su primario. Para obtener el valor de la reactancia interna de de cada uno de los dos transformadores, se va a emplear la caída de tensión relativa en la reactancia de cortocircuito: ε Xcc

=

I n, f X cc E n

La corriente y tensión que aparecen en la fórmula anterior, son valores de fase, y serán los valore valoress nom nomina inales les corres correspon pondie diente ntess al al deva devanad nadoo dond dondee se se quie quiere re referi referirr la la reac reactan tancia cia intern interna. a. En el caso del transformador Ta, son los valores del secundario:

I 2 n , a

=

S na

3 E 2 n , a

=

2 ⋅106 VA = 24,06 A 48000 V 3

En el caso del transformador Tb , se utilizarán los valores referidos al primario: E1n ,b

I 1n ,b

=

=

S nb

3 E 1n ,b

U 1n ,b

3

=

=

48000 3

V

2 ⋅106VA = 24,06 A 48000 V 3

Con estos datos se puede calcular la reactancia interna de cada uno de los dos transformadores:

73

X cc 2, a

X cc1,b

ε cc , a E 2 n , a

=

I 2 n , a

=

ε cc ,b E 1n ,b

I 1n ,b

0,08 ⋅

=

48000 3

24,06 0,08 ⋅

=

= 92,16 Ω

48000 3

24,06

= 92,16 Ω

El circuito eléctrico monofásico equivalente del esquema inicial es el que se muestra en la figura siguiente:

Donde es conocido el módulo de la tensión de fase en el nudo 1: E1

=

13000 3

V

Esta tensión debe referirse al secundario s ecundario del transformador Ta, cuya relación de transformación es: 12000 mTa

=

E 1n , a E 2 n , a

=

3 48000

= 0,25

3 13000 E1,2T a

=

E 1 mTa

=

3 0,25

=

52000 3

V

El origen de fases es la tensión de fase en el nudo 4, referida al primario del transformador Tb : r

E4,1Tb

= E4,1T ∠0º V b

La tensión de fase en el nudo 1, referida al secundario del transformador Ta, tiene módulo conocido, pero ángulo de fase desconocido:

74

r

E1,2T a

52000

=

3

∠α V

Con el índice de carga del transformador Tb , se puede obtener la corriente que está demandando la carga conectada en el nudo 4. I 2 n ,b

=

S nb

=

3 E 2 n ,b

C =

2 ⋅106 VA 96,23 3A = 96,2 12000 V 3

I 2, b I 2 n ,b

= 0,1

96, 23 = 9,62 A = 0,1⋅ 96,

I 2, b

Esta corriente debe referirse al primario del transformador Tb . Además su ángulo de fase, debido a que la tensión de fase en el nudo 4 es el origen de fases, coincide con el arco coseno del factor de potencia de la carga. 48000

=

mTb

E 1n ,Tb E 2 n ,Tb

=

3 12000

=4

3 I1,b

r

I1,b

=

9, 6 4

=

I 2, b mTb

=

9,62 4

∠ − arccos ( 0, 8) =

A

9, 6 4

∠ − 36, 87º A

Ahora, Ahora, sobre sobre el circui circuito to eléctr eléctrico ico monofá monofásico sico equiva equivalen lente te se puede puede plante plantear ar la siguie siguiente nte ecuaci ecuación: ón: r

E1, 2Ta

52000 3

= E4,1T + ( j ⋅ 92,16 + (7 + j ⋅ 40 ) + j ⋅ 92,16 ) ⋅ I 1,b r

r

b

∠α = E4,1T ∠0º + ( j ⋅ 92,16 + ( 7 + j ⋅ 40 ) + j ⋅ 92,16) ⋅ b

9, 62 4

∠ − 36, 87º

En esta ecuación compleja, hay dos incógnitas: α y E4,1Tb. Para resolverlo, es necesario separar la parte real e imaginaria de la ecuación: 52000 3 52000 3

cos (α ) = E 4,1T b

+ 337,16

sin (α ) = 421, 49 49

= = 0,80º E4,1T = 29682,1V α

b

75

Este dato está referido al primario del transformador Tb. Hay que referirlo a su secundario, y calcular el valor de línea, porque hemos supuesto conexión estrella: E4,2 T b U4

=

29682,1

= 7420,52 V

4

7420,52 ,52 = 7420

3

12852 2,72 V = 1285

Las tensiones en los nudos 2 y 3 son las siguientes: r

= E1,2T − j ⋅ 92,16 ⋅ I1,b = 29887, 27 27 ∠0, 47 47 º V r

E2

r

a

U2 r

E3

= E2

3 = 51766 766, 26 V

61∠0, 34º V = E1,2T − ( j ⋅ 92,16 + ( 7 + j ⋅ 40 ) )⋅ I1,b = 29815, 61 r

r

a

U3

= E3

3 = 5164 51642 2,15 ,15 V

La corriente en la línea ya ha sido calculada: 9,62 4 A . Para obtener la corriente que consume el transformador Ta, sólo hay que referir la corriente anterior a su primario: I1,a

=

9,62 ,62 4 mTa

=

9,62 ,62 4 0,25

76

= 9,62 A

P R O B L E M A 9

S

e dispone de un transformador trifásico con las siguientes s iguientes características:

• Conexión: Dyn5 • Potencia nominal: 500 kVA • Tensiones nominales: 25/6 kV cortocircuito relativa: εCC = 0,05 • Tensión de cortocircuito • Potencia del ensayo de cortocircuito nominal: PCC = 10 kW

Sabiendo que el primario está conectado a una red 24 kV y que su secundario alimenta una carga en triángulo constituida por tres impedancias iguales de valor Z2 = 215+j200 Ω, determine: 1)

La caída de tensión interna del transformador

2) El rendimiento del transformador considerando que las pérdidas en el hierro son 922 watios watios 3) El índice de cargan sistema de transmisión de energía eléctrica está constituido por una línea con dos transformadores Ta y Tb en sus extremos origen y final respectivamente. El sistema se encuentra alimentado a 13 kV en su origen, punto 1, por otro sistema que puede considerarse de potencia infinita. La carga conectada en el extremo receptor, punto 4, es de 200 kVA (índice de carga 10

77

Solución:

El problema resulta más sencillo si se realizan las siguientes hipótesis:

• Se transforma la conexión en triángulo inicial del primario del transformador a una conexión en estrella. e n paralelo del transformador por no disponer de datos para su • Se desprecia la rama en cálculo. • Se transforma la carga conectada en el secundario en triángulo a una configuración en estrella con la siguiente impedancia por fase: 215 + j 200 Z Y ,2 = Ω r

3

1) Para calcular la caída de tensión interna del transformador es necesario determinar primero su circuito eléctrico equivalente, que en este caso queda reducido a su impedancia interna. La impedancia interna referida al secundario se obtiene a partir de la tensión de cortocircuito relativa, donde los valores nominales de tensión y corriente son de fase:

=

E2 n , f

U 2 n

=

6000

3 3 S n = 3 ⋅ I 2 n , f ⋅ E 2 n , f

=

I 2 n , f I 2 n , f

=

=

3 ⋅ E 2 n , f

= 48,11 A

Z cc, 2 ⋅ I 2 n , f

Z cc,2

S n

50 kVA 6000 3⋅ 3

ε cc

V

E 2 n , f

= ε cc

E 2 n , f I 2 n , f

6000 Z cc,2

= 0, 05

3 48,11

= 3, 6 Ω

De la potencia de cortocircuito del ensayo nominal se obtiene el valor de la resistencia interna referida al secundario:

78

Pcc , n

= 3 ⋅ Rcc ,2 ⋅ I 22n, f

Rcc,2

=

=

Rcc,2

Rcc,2

Pcc ,n

3 ⋅ I 22n , f 10000

3 ⋅ 48,11

2

= 1, 44 Ω

Entonces la reactancia interna referida al secundario es la siguiente: X cc , 2

=

Z cc , 2 − Rcc ,2 = 3,30 Ω 2

2

El transformador está conectado a 24 kV (valor de línea) alimentando la carga trifásica transformada a estrella. El circuito monofásico equivalente referido al secundario es el siguiente:

Para determinar la caída de tensión interna del transformador es necesario determinar la tensión de alimentación de la carga en el secundario. Primero calculamos la corriente de fase que consume la carga, transformando el dato de tensión del primario a valor de fase y a continuación se transforma al secundario: U1 E1, f m f

=

E12, f

=

E 1n , f

=

E2 n , f

E 1, f m f

=

= 24000 V =

24000

V

3

U1n

3

U 2 n

3

24000 4,167

=

3

U 1n U 2 n

=

25 6

= 3325,53 V

Tomand Tomandoo com comoo orig origen en de fases fases esta esta tensió tensiónn calc calcula ulada da anteri anteriorm orment ente, e, la corrie corriente nte consum consumida ida por la carga es la siguiente: r

r

I 2, f

=

E 12, f Z cc ,2 + Z Y ,2 r

r

,86∠ − 43,74º ,74º = 32,86

79

A

La tensión de alimentación del secundario será la siguiente: r

,81º V = ZY ,2 ⋅ I 2, f = 3216,69∠ − 0,81º r

E2 , f

U2

r

= E2, f ⋅

3 = 557 5571, 47 V

La caída de tensión en el transformador, referida a la tensión secundaria nominal es al siguiente: c.d .t . = c.d.t . =

− E 2, f

E12 , f

E 2 n , f

3325 3325 − 3216 3216,, 69 6000

3

⋅100

⋅100 = 1, 91 %

2) El rendimiento del transformador se calcula de la siguiente forma: Potencia útil: Pu Pu

 = P2 = 3 ⋅ E2, f ⋅ I 2, f ⋅ cos ( E 2 , f , I 2 , f )

3216 6, 69 ⋅ 32,86 32,86 ⋅ cos cos (42,93 42,93ºº ) = 2321 232117 17,, 25 W = 3 ⋅ 321

La potencia consumida es la siguiente:

= P2 + PPérdidas = P2 + PFe + PCu Cu P1 = 2321 232117 17,, 25 + 922 922 + 3 ⋅1, 44 ⋅ 32,862 = 23776 37763 3,5 W P1

Por lo tanto el redimiento del transformador en esta situación de carga es el siguiente: s iguiente:

= =

η

P2 P1

⋅100 = 97,7%

3) El índice de carga se puede obtener como el cociente entre la corriente entregada por el transformador a la carga y la corriente nominal del devanado secundario: c=

I 2, f I 2 n , f

= 0,68

80

P R O B L E M A 1 0

S

e dispone de dos transformadores monofásicos con los siguientes datos:

Transformador 1 Potencia nominal: 15 kVA. εRcc: 1,74% εXcc: 2,61% Tensión nominal del del secundario: 415 V Transformador 2 Potencia nominal: 10 kVA. εRcc: 2,32% εXcc: 3,48% Tensión nominal del del secundario: 415 V

Se conectan en paralelo para alimentar una carga de 25 kVA con factor de potencia 0,8 inductivo. Calcular como se reparte la carga entre los dos transformadores (potencia aparente, activa y reactiva)

81

Solución:

El circuito eléctrico equivalente de la conexión en paralelo de los dos transformadores es el mostrado en la siguiente figura.

Se desconoce la tensión de alimentación de la carga, pero como se va a demostrar durante la resolución de este apartado no es necesaria. La notación que se va a emplear es la siguiente: secundario de los dos transformadores, transformadores, referida referida a su propio • Tensión en el secundario devanado, que es la tensión de alimentación de la carga: U . • Corriente consumida por la carga, referida al secundario: I . • Corriente suministrada por el transformador número 1 a la carga referida al devanado secundario: I 1 . • Corriente suministrada por el transformador número 2 a la carga referida al devanado secundario: I 2 . * 86º kVA . • Potencia aparente consumida por la carga: S = U ⋅ I = 25∠ + 36, 86 • Potencia aparente suministrada por el transformador número 1 a la carga: * S 1 = U ⋅ I 1 . • Potencia aparente suministrada por el transformador número 2 a la carga: * S 2 = U ⋅ I 2 . • Impedancia de cortocircuito del transformador número 1 referida al secundario: Z cc ,1 .

82

• Impedancia de cortocircuito del transformador número 2 referida al secundario: Z cc ,2 .

• Impedancia equivalente de la asociación en paralelo de las impedancias de Z cc ,1 ⋅ Z cc, 2 cortocircuito de los dos transformadores: Z eq = . Z cc ,1 + Z cc ,2 Primero hay que determinar el valor de las impedancias internas de los dos transformadores referidas al secundario. El procedimiento es el siguiente: I

1 2n

=

S n1

15000 VA

=

U 2n

415 V

1

ε RccU 2 n

=

1 cc ,2

R

1 2n

I 100 100

=

1,74 ⋅ 415 36,1 36,14 4 ⋅100 100

1

1 cc ,2

X

=

ε XccU 2 n100

I 21n

= 36,14 A

=

= 0, 2 Ω

2,61 ⋅ 415 36,14 ⋅100

0, 3 Ω = 0,3

Z cc ,1 = 0, 2 + j ⋅ 0, 3 Ω r

I

2 2n

=

S n2

=

U 2n

10000 VA 415 V

2

=

2 cc ,2

R

ε RccU 2 n 2

I 2 n100 100

=

2,32 ⋅415 24,14 ,14 ⋅100

2

2 cc ,2

X

=

ε XccU 2 n 100 2 2n

I r

Z cc ,2

= 24,10 A

=

= 0, 4 Ω

3, 48 ⋅ 415 415 24,24 ⋅100

0, 6 Ω = 0,6

= 0, 4 + j ⋅ 0, 6 Ω

Se puede encontrar el valor de las corrientes que suministran cada uno de los dos transformadores a la carga en función de la corriente total que está consumiendo ésta. Para ello hay que tener presente que la caída de tensión interna en los dos transformadores es la misma, e igual a la caída de tensión en la impedancia equivalente: I 1 ⋅ Z cc ,1 = I 2 ⋅ Z cc , 2

= I ⋅ Z eq

Las expresiones que nos proporcionan el valor de cada una de las corrientes son las siguientes: Z eq

I 1

=

I 2

=

Z cc,1 Z eq Z cc ,2

83

⋅ I ⋅ I

La potencia aparente que suministra el transformador número 1 a la carga es: S1

*

= U ⋅ I 1

Se puede sustituir la expresión anterior de I 1 en función de las impedancias y la corriente total en la fórmula de la potencia aparente. Como resultado de operar se encuentra que la potencia que suministra el transformador número 1 es igual al producto de la potencia aparente total, demandada por la carga, por una relación entre impedancias conocidas. Se debe hacer el mismo desarrollo para obtener una expresión similar para la potencia aparente suministrada por el transformador número 2. *

⎛ Z eq ⎞ ⋅I⎟ S1 = U ⋅ I = U ⋅ ⎜ ⎝ Z cc,1 ⎠ * * ⎛ Z eq ⎞ = U ⋅ I ⋅ ⎜ ⎟ Z cc ,1 ⎝ ⎠ * ⎛ Z eq ⎞ = S ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ Z cc ,1 ⎠ * 1

*

⎛ Z eq ⎞ ⋅I⎟ S2 =U ⋅ I = U ⋅⎜ Z cc ,2 ⎝ ⎠ * * ⎛ Z eq ⎞ = U ⋅ I ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ Z cc ,2 ⎠ * ⎛ Z eq ⎞ = S ⋅ ⎜ ⎟ Z cc ,2 ⎝ ⎠ * 2

El valor de las impedancias de cortocircuito de cada uno de los dos transformadores es proporcionado en el enunciado del problema. La impedancia equivalente de la asociación en paralelo de los dos transformadores por lo tanto tiene el siguiente valor: Z eq

56,31ºº Ω = 0,24∠56,31

Conocidos todos los datos, la potencia aparente que suministra cada transformador es: 67∠36, 87 87º kVA = 13, 33 33 + i 10 kVA = 16, 67 67 + i 5 kVA S 2 = 8, 33∠36, 87 º kVA = 6, 67

S1

Como se ha demostrado durante la resolución del problema no ha sido necesario conocer la tensión de alimentación de la carga.

84

P R O B L E M A 1 0

S • • • •

e dispone de un transformador trifásico con las siguientes s iguientes características:

• Grupo de conexión: Dyn5 • Potencia nominal: 500 kVA Tensio Tensiones nes nomina nominales les:: 25/6 25/6 kV εCC = 5% Dato de un ensayo de cortocircuito nominal: PCC = 10 kW Datos de un ensayo de vacío nominal: P0 = 1 kW y cosφ0 = 0,2

Su primario está conectado a una red 24 kV y sabiendo que su secundario alimenta una carga en triángulo constituida por tres impedancias iguales de valor Z2 = 215+j200 Ω, calcular: 1) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del transformador referidos al secundario. 2) La tensión de alimentación de la carga 3) El rendimiento

85

Solución:

Apartado 1

Primero vamos a determinar los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del transformador referidos a su secundario utilizando los datos proporcionados en el enunciado del problema. Primero calculamos el valor de la corriente secundaria nominal, valor de fase, teniendo en cuenta que el secundario del transformador está conectado en estrella: Sn I 2 nf

= 3 ⋅ E2 nf ⋅ I 2 nf

500000 6000 3 ⋅ E 2 nf 3⋅ 3 I 2 nf = 48,11 A S n

=

=

La caída de tensión relativa permite determinar el módulo de la impedancia interna del transformador, transformador, en este caso referido al secundario:

=

ε cc

Z cc ,2 ⋅ I 2 nf E 2 nf

Z cc ,2

=

⋅ E 2 nf I 2 nf ⋅100 ε cc

5⋅

6000

3 48,11 ⋅100

=

Z cc ,2

⋅100

= 3,6 Ω

Z cc,2

Del ensayo del cortocircuito nominal se conoce la potencia activa consumida por el transformador, transformador, que permite determinar la resistencia interna del transformador: Pcc , n

= 3 ⋅ Rcc,2 ⋅ I 22nf =

Rcc ,2 Rcc ,2

=

Pcc, n

3 ⋅ I 22nf 10000

3 ⋅ 48,112

Rcc,2 = 1,44 Ω

La reactancia interna es la siguiente: X cc ,2

=

Z cc , 2 − Rcc , 2 2

X cc,2

= 3,6 2 − 1,442 = 3,30 Ω 2

86

Con los datos del ensayo de vacío nominal se calculan los parámetros del rama paralelo del circuito eléctrico equivalente por fase: P0

= 3 ⋅ Eof ⋅ I of ⋅ cos (ϕ 0 )

I of

P0

=

I of

3 ⋅ E of ⋅ cos (ϕ 0 )

= 3⋅

1000 6000 3

⋅ 0, 2

I 0 f = 0,4811 A I Fe I µ

0962 A = I 0 f ⋅ cos (ϕ 0 ) = 0, 09 4714 A = I 0 f ⋅ sen (ϕ 0 ) = 0, 47

RFe ,2

=

X µ ,2

=

E 0 f I Fe E 0 f I µ

= 36000 Ω X ,2 = 7350 Ω

RFe,2 µ

Apartado 2

El transformador está alimentando una carga trifásica equilibrada conectada en triángulo. El secundario del transformador está conectado en estrella. Para resolver el problema vamos a emplear el circuito eléctrico equivalente por fase. Es necesario por tanto que el secundario del transformador y la carga tengan el mismo tipo de conexión. Por esta razón, transformamos transformamos la carga de conexión triángulo a conexión estrella.

= 215 + j 200 Ω Z 215 + j 200 Z Y = ∆ = Ω r

Z ∆

r

r

3

3

El circuito eléctrico equivalente por fase de todo el conjunto, transformador y carga conectada en su secundario, y referido al mismo secundario es el siguiente:

87

En el apartado 3, se pide el rendimiento del transformador. Para calcular las dos potencias, consumida y útil del transformador, sólo es necesario determinar la tensión y corriente de alimentación de la carga, que es el objetivo de este segundo apartado. El primario del transformador está conectado en triángulo, por la tanto la tensión de fase primaria es la siguiente:

= U1L = 24000 V

E1 f

A continuación se refiere refiere al secundario y se considera como origen de fases. m f

=

E 1nf

=

E 2 nf

U 1nL U 2 nL

= 3

E12 f

=

E 1 f m f

24000 25000

=

6000 r

E12 f

25000 6000 3

= 3325,54 V

3

= 3325 3325,54 ,54∠0º V

La corriente suministrada por el transformador a la carga es la siguiente: r

E12 f

= ( Rcc 2 +

jX cc 2 ) ⋅ I 2 f

= ( Rcc 2 +

r

E12

r

+ Z Y ⋅ I 2 f r

+ Z Y ) ⋅ I 2 f r

jX cc2

r

r

r

r

I 2 f r

I 2 f

=

=

E 12 f Rcc 2

+

jX cc 2 + Z Y r

3325 3325,53 ,53∠0º V 215 + j 200 ⎞ ⎛1,44 + j3,30 ,30 + ⎜ ⎟Ω 3 ⎝ ⎠ I 2 f = 32 32,86 ,86∠ − 43,74º ,74º A r

88

La tensión secundaria es la siguiente: r

E2 f

= ZY ⋅ I 2 f = r

r

215 + j 200 3

,86∠ − 43,74º ,74º ⋅ 32,86

3216,69∠ − 0,812 ,8128º V E2 f = 32 r

El secundario del transformador está conectado en estrella, por lo tanto la tensión secundaria de línea será la siguiente:

=

U 2 L

47 V = 5571, 47

3E 2 f

Apartado 3

La potencia útil entregada por el transformador a la carga es la siguiente: Pu

= 3 ⋅ E2 f ⋅ I 2 f ⋅ cos

(

 r

) = 3 ⋅ 3216, 69 ⋅ 32, 86 ⋅ cos ( 42, 93º)

r

E2 f , I 2 f Pu

232117,25 25 W = 232117,

La potencia absorbida o consumida por la máquina la obtenemos añadiendo a la potencia útil las pérdidas que se producen en el transformador: Pérdidas en el hierro y por efecto Joule en los devanados. devanados. Pérdidas en el hierro: E 122 f PFe = 3 RFe,2 PFe

=3

3325,532 36000

= 921,6 W

Pérdidas por efecto Joule: Pcu

= 3 ⋅ Rcc,2 ⋅ I 22 f = 3 ⋅ 1, 44 ⋅ 32, 86 2 Pcu = 4664,65 W

Potencia consumida:

= Pu + PFe + Pcu Pab = 237763,5 W

Pab

Rendimiento:

= =

η

Pu Pab

100

= = 97,65%

η

89

Soluciones Problemas seleccionados

TRANSFORMADORES 1. a) 10,31 A; 0,97 en retraso; b) 12,23 A; 0,41 en retraso. 2. a) Transformador 1: 2,18%;3,62%; -0,14%. Transformador 2: 2,26%; 3,66%; -0.03% c) El funcionamiento en paralelo de los dos transformadores es correcto: S1=14,99 ∠0,65º kVA; S2 = 10∠-0,97º kVA 3. I1 = 75,76∠-45º A; I2 = 75,76∠-28,74º A; S1 = 53,57+j53,57 kVA; S2 = 66,43+j36,43 kVA. 4. a) R Fe µ = 11,85 k Ω; R cc Fe = 100 k Ω; X cc = 16 Ω; X cc cc = 39,91 Ω; Zcc = 43∠68,16ºΩ. b) 96,93 %. c) 8,12 A. d) 116,68 V. 5. a) 98,5%; b) 94,43 %; c) 97,98 %. 6. a) R Fe Fe = 44 k Ω; X µ = 2202,76 k Ω; R cc cc = 8,5 Ω; X cc cc = 18,10 Ω; Zcc = 20∠64,85ºΩ. b) C.R. = 10,66 %; η = 93,47 %. c) SηMax = 7914,25 VA; ηMax = 96,64 %. 7. a) No se cumplen las condiciones; b) Si. El segundo; c) S I=29,05+j23,52 kVA; SII=18,95+j12,48 kVA. 8. a) R cccc = 20,91 Ω; X cccc = 33,63 Ω; R Fe µ = 8,05 k Ω. Fe = 43,56 k Ω; X b) U2 = 366,85 V. c) U2 = 364,39 V; η = 94,5 %. 13. a) Zcc A = 2,30+j11,87 Ω; ZccB = 2,20+j10,05 Ω; b) I A = 310,54 A; IB = 365,19 A. (Referidas al secundario); c) U1 = 6022,62 V; d) S A = 91+j70,14 kVA; SB = 109+j79,86 kVA; e) η A = 98,60%; ηB = 98,48%. 14. a) I1n = 2 A; I2n = 78,94 A. b) I0,1 = 0,08 A; I0,2 = 3,16 A. c) 49,473. d) 66,6 A; 2631 A. e) 99,25%; 99,29 %. f) 99,07 %; 99,11 %. g) 0,71. 0,71. h) 0,5 %; 2,95 %. i) 1,94 %; 1,45 %. 15. a) 3000 W; 1350 W; b) 96,39 %; 97,09 %; c) 96,74 %; 97,37 %; d) 60,3 kVA; e) 97,42 %. 16. C.R. = 7,52 %. 17. a) 435,62 kVA; b) 89,3 kVA; 346,4 kVA. 19. a) S1 = 75,31∠33,87º kVA; S2 = 25,10∠45,91º kVA; P1 = 62,53 kW; P2 = 17,47 kW. b) Pmax = 133,33 kW. 21. a) 19,82 A; f.d.p. A A = 0,586 inductivo; f.d.p. B = 0,94 inductivo; b) 38,36 %; 61,5 %; c) No ... 22. a) R cccc = 5,4 Ω; X cccc = 7,2 Ω. b) U1 = 3360,72 V; η = 95 %. c) UBombeo = 356,3 V; C.R. = 6,66 %.

24. a) η = 96,33 %. b) A1 = 46,16 A. c) C.R. = 5.56 %. d) εcc = 4,46 %. e) εcc = 3,72 %. f) S n = 100/2 kVA; U1n = 660 V; U2n = 380/√3 V; εcc = 4,46 %; Pcc = 700/3 W; P0 = 800/3 W; I0 = 0,4 A. 27. 2,78 + j 1,11 Ω. 28. a) U1 9441,60 V. b) η = 97,28 %. c) ηMax = 97,80 %. d) SηMax Max = 24,05 kVA. e) U 1 = 12134,70 V. f) S1 = 24,63∠2,99º kVA. 29. a) 0,0577 A; b) 2,81 W; 0,9375 %; c) 0,2433 A; d) 666,87 W; e) 554 W; f) 92,93 %. 30. a) paralelo. b) 4 motores. c) 3,24 motores. d) 1,406 %. e) 1,141 %. 33. a) R cccc = 54 Ω; X cccc = 72,54 Ω. b) Icc = 3798,36 A (medida en el secundario). c) U 1 = 15057,35 V; η = 99,54 %. d) S1 = 180,44 + j106 kVA; S2 = 219,56 + j193,99 kVA. 35. a) R cccc = 4,08 Ω; X cccc = 14 Ω; R Fe Fe = 60,75 k Ω; X µ = 45,56 k Ω. b) U2 = 402,80 V. c) P cu = 1512 W. d) Ic = 439,55 A. 36. a) ≈ 1 kW. b) ≈ 3 kW.

Bibliografía recomendad recomendada a Guillermo Ortega, Milagros Gómez y Alfonso Bachiller. Problemas resueltos de Máquinas Eléctricas (1ª y 2ª edición). Thomson. Javier Javier Sanz Sanz Feit Feito. o. Máquin Máquinas as Eléctr Eléctrica icas s . Prentice Hall, 2002. Jesús Jesús Fraile Fraile Mora. Mora. Máquin Máquinas as Eléctr Eléctrica icas s . McGraw-Hill, 2003, Quinta Edición. Bhag S. Guru y Hüseyin R. Hiziroglu. Máquin Máquinas as eléctr eléctrica icass y transf transfor ormad madore ores s . Oxford University Press, 2002, Tercera edición. Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Ejerci Ejercicio cioss resu resuelt eltos os de Tecnología Eléctrica . CEYSA. Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Tecnología Eléctr Eléctrica ica . CEYSA. Sthepen J. Chapman. Electr Electric ic machin machinery ery fundame fundamenta ntals ls . McGraw-Hill, 2004, Fourth Edition. A. E. Fitzge Fitzgerla rlad, d, Charle Charless Kingsl Kingsley ey Jr., Jr., y Stephe Stephenn D. Umans. Umans. Máquin Máquinas as eléctr eléctrica icas s . McGraw-Hill, 2004, Sexta Edición. Jim Cathey Cathey.. Electr Electric ic machin machines: es: Analys Analysis is and design design applyi applying ng Matlab Matlab . McGraw-Hill, 2000. Vlado Vlado Ostovi Ostovic. c. Computer-aided analysis of electric machines: A Mathematica approach . Prentice Hall, 1994. Mario Ortiz, Sergio Valero y Carolina Senabre. Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas . ECU, 2009. Willia William m H. H. Yead Yeadon on y Alan Alan Yeadon Yeadon.. Handbook of Small Electric Motors . McGraw-Hill, 2001.

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