Boletín 1-Resueltos-IETC-16_17-V1

Ingeniería Energética y Transmisión de Calor. G. Ing. Electrónica Ind. / Doble G. Ing. Eléctrica e Ing. Electrónica. Curso 20 16/2017.

Boletín nº 1. Problemas resueltos.

1. (Mor-3.56) Una masa de aire inicialmente a 0,75 bar, 1000 K y un volumen de 0,12 m3 sufre dos procesos reversibles. El aire es comprimido isotérmicamente hasta la mitad de su volumen. A continuación sufre un proceso isóbaro hasta que el volumen es, de nuevo, la mitad del anterior. Considerando que el aire se comporta como un gas ideal: a) Represente el proceso en un diagrama pV . b) Determine el trabajo total para los dos procesos. c) Determine el calor total transferido en los dos procesos. d) Determine la variación de entropía total sufrida por el sistema. e) Utilizando los valores de las propiedades de estado de la tabla adjunta, calcule nuevamente el calor del proceso isóbaro y el calor total transferido en los dos procesos y compare con los obtenidos en el apartado (c). SOLUCIÓN Se conoce: el aire

Aire como gas ideal T

u

h

(K) (kJ/kg) (kJ/kg) 500 359,49 503,02 1000 758,94 1046,04 M = 28,97 kg/kmol cv = 0,800 kJ/(kg∙K) c p = 1,087 kJ/(kg∙K)

sufre una compresión isotérmica seguida de un cambio de volumen a presión contante.

Datos conocidos y diagramas: p p2= p3

3 p = cte 2

Aire T = cte p1

p1= 0,75 bar p2 p3= p2 T = cte p = cte T 1= 1000 K T 2= T 1= 1000 K T 3 3 3 V 1= 0,12 m V 2= V 1/2= 0,06 m V 3= V 2/2= 0,03 m3

1

v3= ½ v2 v2= ½ v1

v1

v

Consideraciones Consideraciones e hipótesis:

1) El aire constituye un sistema cerrado. 2) El aire se comporta como un gas ideal. 3) Todos los procesos son reversibles Análisis:

Los estados 1 y 2 están definidos y una vez que determinemos el valor de p2 también quedará definido el estado final 3. Mediante la ecuación de estado del gas ideal determinamos los valores de las variables de estado desconocidas: desconocidas: Presión en 2 y 3: p1V1  nRT1  p2V 2 

p 2  p1

V 1 V 2

5 p 2  2 p1  2   0, 75  10 Pa  



5 p 2  p 3  1, 5  10 Pa

Temperatura en 3: p2 

nRT2 V2

 p3 

nRT3 V3



T2 V2



T3 V3

 T3 

V3 1 1 T2  T1   1000 K  2 V2 2

T2  T 3  500 K

En resumen, los valores de las variables de estado conocidas, p, V , T, u y h, en cada uno de los estados son: p (Pa)

V (m (m3) T (K) (K)

u

(kJ/kg) h (kJ/kg)

1 0,75×105

0,12

1000

758,94

1046,04

2

1,5×105

0,06

1000

758,94

1046,04

3

1,5×105

0,03

500

359,49

503,02

1

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Dpto. Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.

W12 

b) El trabajo en el proceso 1 →2 a T = = cte:



2

1

p dV 



2

1

nRT V

dV  nRT ln p1V 1

V2 V1

 p1V1 ln

V 2 V 1

1

75  10 105 Pa Pa   0,12 m3  ln  6238, 3 J  6, 24 24 kJ Sustituyendo valores: W 12   0, 75 2

3

En el proceso 2 →3 a p = cte: W23  2 p dV  p2 V3  V2   1, 5  105 Pa   0, 03  0, 06 m3  4, 50 kJ Wneto  W13  W12  W23  10, 10, 74 kJ

El trabajo neto es:

c) Como para el gas ideal U = U (T ), ), en el proceso 1 →2 se tiene que ΔU = 0 y entonces: U12  Q12  W12  0  Q12  W12  6, 24 kJ

Para el proceso 2 →3, al ser p = cte, es más adecuado usar el primer principio en función de la entalpía: d H   Q  Vd p

 Q23  H 23  m h23

La variación de entalpía puede determinarse mediante el calor específico a presión constante. Para un gas ideal: h  h T  

c p 

d h d T

 dh  c p (T ) dT   h  c p  T

Así, Q23 se determina como: Q23  m h23  m c p T3  T2 

La masa de aire se puede obtener a partir de las condiciones iniciales y de la ecuación de estado del gas ideal: p1V1  nRT1 

m M

 m

RT1

M p1 V 1 R T 1

-3 donde M es es la masa molecular del aire (Tabla 1: M aire aire = 28,97 kg/kmol = 28,97×10 kg/mol) y R = 8,314 J/(mol·K). Sustituyendo valores:  28,97 10  28,97

3

m

kg/mo /mol  0,75 10 Pa  0,12 ,12 m 5

3



J    8, 314  1000 K  mol·K  

 31,36 10 10 3 kg

Entonces: 3





Q23  31, 36  10 10 kg k g 1,087 kJ/  kg· K    500  1000 K  17, 04 kJ

23, 27 kJ La transferencia neta de calor es: Qneto  Q13  Q12  Q23  23,

d) La variación de entropía puede calcularse partir de una de las ecuaciones T dS y de las propiedades del gas ideal: TdS  dU  pdV

 dS 

dU T



pdV T

 S13  

3

1

m cvd T T

V 3

nR

V 1

V



dV  m c v ln

T3 T1

 nR ln p1V 1

V3 V1








al considerar que el proceso es ideal reversible, no hay generación de entropía (  = = 0) y la variación de entropía será debida a la transferencia de entropía que acompaña a las transferencias de calor. Como en el proceso sufrido por el aire hay una cesión de calor, su entropía disminuye. La variación de entropía también podría haberse determinado mediante la ecuación del balance de entropía:

Observaciones:

3

3

0   Q    Q  S 13       S 13  0    Q 0 T T     f f 1 1

e) Usando la tabla de las propiedades del aire como gas ideal, la variación de entalpía del proceso 2 →3 puede determinarse determinarse directamente de de los valores de entalpía entalpía tabulados para para los estados 2 y 3:



3

Q23  H 23  m  h3  h2   31, 36 36 10

kg   503, 02 02 1046, 04 04 kJ/kg  17, 03 03 kJ

Por otro lado, el calor total transferido en los dos procesos, Qneto, puede determinarse en función del trabajo neto determinado en el apartado (b) y los valores de la energía interna de los estados inicial y final. fi nal. Aplicando el primer principio directamente al proceso completo, se tiene que: U13  Q13 W13  Q13  Qneto  U13  W13  m  u3  u1  10,74 kJ   31, 36 36 103 kg  758, 94 94  359, 49 49  kJ/ kg 10, 74 74 kJ  12, 54 54 kJ 10, 74 74 kJ  23, 28 28 kJ








M = 44,01 kg/kmol) inicialmente en el estado 1, donde p1= 1 bar, T 1= 300 K. Dicho 2. (Mor-3.57) 2 kg de CO 2 ( M sistema recorre un ciclo de potencia reversible, consistente en los siguientes procesos: Proceso 1 2: 2: volumen contante hasta p2= 4 bar. T Proceso 2 3: 3: expansión con pv1,28=cte. (K) (kJ/kmol) (kJ/kmol) Proceso 3 1: 1: compresión a presión constante. 300 6939 9431 Despreciando los efectos de las energías cinética y potencial, utilizando el 880 29031 36347 modelo de gas ideal y la tabla que se adjunta de propiedades del CO 2 como 890 29476 36876 1200 43871 53848 gas ideal: a) Represente el ciclo en un diagrama p v. b) Calcule el rendimiento térmico del ciclo. (R: 12,1%)

SOLUCIÓN Datos conocidos y diagramas: V1

V  cte

p1  1 bar T1  300 K

V2  V 1 p2  4 bar T 2

CO2 2 kg

1,28

pv

p  cte

 cte

V 3 p3  p1 T 3


1) El CO2 es un sistema cerrado. 2) El CO2 se comporta como un gas ideal. 3) El proceso 2 3 es del tipo pvn = C, conocido como “proceso politrópico”, con n = 1,28 y C = constante. Análisis:

El rendimiento térmico del ciclo viene dado por: 0

  

W neto Qabsorbido



W 12  W23  W 31 Qabsorbido

Como en el proceso 1 2 el volumen es constante: W 1122 = 0. Para un proceso politrópico ( pvn = C) como el proceso 2 3, se tiene en general que: pv  C 

 v3 n 1  v2 n 1   W23   pdV  m  p dv  m  Cv d v  mC m C   n  2 2 2 p  Cv   n  1   Cv3 n 1  Cv2 n1   p3v3  p2v2   m  m   1 n  1 n     n

3

3

3

n

Esta ecuación la podremos expresar en función de las temperaturas, que son las variables conocidas, usando la ecuación de estado del gas ideal: pV  nRT 

m M

RT



 R   p v T mR  T3  T2  1  1 1 M 1  pv  RT     W 23  M M 1  n   p v  R T   3 3 M 3 

Donde M es la masa molecular del gas y R la constante universal de los gases, R = 8,314 J/(mol·K)








 Proceso 1  2: U = m  u2  u1   Q12  W12

0



Q12  m  u2  u1 

 Proceso 2  3: U = m  u3  u2   Q23  W23

 Q23  m  u3  u2   W23

 Proceso 3  1: U = m  u1  u3   Q31  W31

 Q31  m  u1  u3   W31  m  h1  h3 

La energía interna del CO 2 como gas ideal se encuentra tabulada en función de la temperatura (enunciado o Tabla 17). Es necesario conocer la temperatura de cada estado. Para el proceso 1 2 (v = cte):  p2 T2  M v1  v2  v     1 p T1 1 p2v  RT 2   M p1v 

1

RT 1 

p  4 bar  T2  T1  2   300K  T2  1200 K 1 bar p  1

Para el proceso politrópico 2 3 ( pv pvn = C):  RT 2 n  Mp p3  v2  n n 2    p2 v2  p3 v3  C  RT p2  v3   3  Mp 3  p   3  T2  p2  T3

 n 1 / n

v   2   v3 

n 1

 n 1 / n

p   T3  T2  3   p2 

n

   T n  p  n  T  n  p  n1   2   3  3   3     T3   p2   T2   p2     n 1 / n

p   T2  1   p2 

28 1 / 1, 1, 28 28 1, 28

 1 bar   1200 K    4 bar 

 T3  886 K

Sustituyendo valores en las expresiones de los trabajos y calores: kJ   8, 314  2 kg   8,  886  1200 K   kmol·K   W 23   423, 423, 7 kJ  44, 01 kg/k kg/kmo moll  1  1, 28  44,  423,7 kJ kJ  221 221, 4 kJ    W neto  423 kJ  300  886 K  8, 314  2 kg   8,     kmol·K   W 31   221,4 kJ   44,01 kg/kmol   kg   43871  6939 kJ/kmol  2 kg  1678,3 1678, 3 kJ > 0  calor absorbido 44,01 44, 01 kg/kmol kg/km ol    2 kg   29298  43871 kJ/kmol  423,7 kJ  238,6 kJ < 0  calor cedido Q23  44,01 44, 01 kg/kmol kg/km ol    2 kg   6939  29298 kJ/kmol  221,4 kJ   1237,5 kJ < 0  calor cedido Q31  44,01 44, 01 kg/kmol kg/kmo l   Q12 

El único calor absorbido es Q12, de manera que el rendimiento térmico del ciclo resulta:  

423, 7  221, 4 1678,3



  

0,121 (12,1 %)








3. Se desea elevar la temperatura del aire confinado en un depósito rígido. El proceso lo podemos realizar transfiriendo calor desde un foco térmico, mediante trasferencia de trabajo agitando el aire con un sistema de paletas o sometiéndolo sometiéndolo simultáneamente simultáneamente a los dos procesos. procesos. Analice Analice en qué condiciones el el proceso se lleva a cabo: a) Con la mínima producción de entropía. b) Con la máxima producción de entropía. SOLUCIÓN Se conoce: una cantidad de aire se somete a un proceso en el que se le transfiere energía en forma de trabajo t rabajo y de calor, el volumen se mantiene constante y aumenta la temperatura. Se debe hallar: cómo debe llevarse a cabo el proceso para tener (a) ( a) la mínima producción de entropía, y (b)

la máxima producción de entropía. Datos conocidos y diagrama:

W


1) El aire constituye un sistema cerrado. 2) La temperatura del aire en la frontera T f f, donde se produce la transferencia de calor, es constante e igual a la del foco. 3) El aire se comporta como gas ideal. 4) El volumen del aire es constante durante el proceso. Análisis:

El cambio de estado desde la temperatura inicial T 1 a la temperatura final T 2 se produce mediante una trasferencia de energía al sistema combinación de calor Q y de trabajo W . Ambas contribuirán a producir un aumento de energía interna del aire dando lugar a un aumento de su temperatura. El balance de energía en el sistema, teniendo en cuenta que para un gas ideal U = U (T ), ), nos lleva a: T U  Q  W  U m     12 T cv T  d T  Q12  W12  Qatrtrlasnisissfteteermamidao  Watrlasn isissfteteermamidao gas ideal  dU  m cv (T ) dT  Sobre el 2

1

sistema <0

Es decir, para producir un aumento de temperatura (de T 1 a T 2) es necesario producir un aumento de la energía interna del sistema ΔU 1122, el cual se puede conseguir transfiriendo una cantidad equivalente de energía en forma de trabajo, de calor o una combinación de ambas. El análisis de la entropía que se genera en el proceso se realiza mediante el balance de entropía, considerando considerando que el calor Q se recibe a través de la frontera a una temperatura constante igual a la del foco térmico T FOCO FOCO =T f f = T frontera frontera: T f  cte

2



  Q 



1

2



Q

Q










  mcv ln

T 2 T1

Qtransferido



al sistema

0

T f 0

Según esta expresión, para un determinado aumento de T (de (de T 1 a T 2), la entropía que se genera en el proceso,  , será mayor cuanto cuanto menor sea el calor transferido al sistema Q. Se concluye entonces que: - El máximo valor de se obtiene cuando Q transferido al sistema = 0, es decir: 0 U  Qtransferido  Wtransferido  W transferido al sistema

al sistema

al sistema

En este caso el proceso tiene lugar exclusivamente por el trabajo entregado al sistema mediante la agitación de las paletas. - El mínimo valor de se obtiene cuando el calor aportado al sistema es el máximo calor posible, es decir, el trabajo de las paletas sobre el sistema es mínimo ( W transferido transferido al sistema = 0): 0

U  Qtransferido  W transferido  Qtransferido al sistema

al sistema

al sistema

En este caso el proceso de calentamiento tiene lugar exclusivamente por transferencia de calor. Observación: Los términos Q transferido al sistema y W transferido transferido al sistema, que son energías entregadas al sistema, no

pueden tener valores negativos. La transferencia de calor del foco al sistema será factible siempre que este último esté a menor temperatura: T sitema sitema < T FOCO FOCO. Si la temperatura T 2 hasta la que se quiere calentar el aire fuese mayor que la del foco, la única forma posible de transferencia de energía sería mediante trabajo ( W < < 0), por lo que habría que recurrir a la agitación mediante las paletas para conseguir el aumento de la energía interna del sistema y de su temperatura (U  U T ) .








6. (Mor-5.26) En régimen estacionario, un refrigerador mantiene el compartimento congelador a 3ºC tomando calor de los alimentos situados en su interior a un razón de 1000 kJ/h. Si el entorno del refrigerador está a 23 ºC, determine la mínima potencia teórica necesaria para que funcione. (R: 26,8 W) SOLUCIÓN un frigorífico mantiene un espacio refrigerado a una temperatura, y se tienen los datos de funcionamiento en estado estacionario. Se conoce:

Se debe hallar: la mínima potencia teórica. Datos conocidos y diagramas:


1) El refrigerador se encuentra en estado estacionario. 2) El compartimento del congelador y el entorno del refrigerador juegan el papel de foco frío y foco caliente respectivamente. Análisis:

Para una determinada absorción de calor, la potencia mínima requerida será la que corresponda al ciclo de refrigeración de máxima eficiencia energética. Así: EER 

Q abs

 W neto 

W neto

Q abs EER

 W neto

 mín

Q abs EERmáx

El máximo valor teórico de la relación de eficiencia energética es el del ciclo de refrigeración de Carnot: EERmáx  EERCarnot 

T F TC  T F



270 296  270

 10,38

Así, la mínima potencia necesaria para que se produzca esa absorción de calor en las condiciones dadas es: 

W neto mín

1000 kJ/h 10,380

 96,34 kJ/h



= 26,8 W

W neto mín








8. Un sistema lleva a cabo un ciclo de potencia recibiendo 1000 kJ de calor desde un foco caliente a 500 K y cediendo calor a un foco frío a 300 K. Si no hay otras transferencias de calor, determine cuál sería la entropía generada  en en el ciclo para cada uno de los valores de los rendimientos siguientes: a)  = = 60 %. b)  = = 40 %. c)  = = 20 %. d)  = = 10 %. Indique cuáles son posibles, cuáles corresponden a un ciclo internamente reversible y en cuáles existen irreversibilidades. (R: a)  = 0,667 kJ/K; no es posible; b)  = 0 kJ/K; internamente reversible; c)  = 0,667 kJ/K; irreversible; irr eversible; d)  = 1,00 kJ/K; irreversible). SOLUCIÓN Datos conocidos conocidos y diagramas: diagramas: se tiene una máquina térmica de la que se conoce el calor absorbido, temperaturas de los focos frío y caliente y el rendimiento. T = 300 K Qcedido Se debe hallar: la generación de entropía para diferentes propuestas de rendimiento. W neto Motor térmico Consideraciones e hipótesis: la temperatura del sistema en la frontera de intercambio de calor es la misma que la del foco térmico. Q = 1000 kJ foco frío

recibido

Análisis:

Dado que la entropía es una función de estado, la variación de entropía para un proceso cíclico es es nula y del balance balance de entropía se tiene que: 0

S ciclo 

T foco caliente caliente= 500 K

 Q    Q        ciclo     T f   T f

Es decir, la entropía generada en el proceso cíclico debe ser igual a la entropía transferida al exterior. Considerando que las fronteras del sistema a través de las cuales se realizan los intercambios de calor están a las temperaturas de los correspondientes focos térmicos, que se mantienen constantes, se tiene que:  Q Q   Q   foco    T f    foco T  caliente T frío

T focos  cte

 ciclo   

   Qrecibido Qcedido  Qcedido  Qrecibido      T T T Tfoco calie nte foco frío  foco frío  foco caliente

El calor cedido puede obtenerse en función del calor absorbido y del rendimiento del ciclo como: 

Wneto Qrecibido



Qrecibido  Qcedido Qrecibido

1

Qcedido Qrecibido

 Qcedido  1    Qrecibido

Sustituyendo en la expresión de la generación de entropía, queda:








Comentarios: el rendimiento máximo teórico de un ciclo de potencia trabajando entre estas dos temperaturas

es la del ciclo de Carnot:  máx   Carnot  1  tórico

T cesión T absorción

 40 % .

Así se tiene que el caso (a) con  = = 60 % >  máx = 40 % =  máx máx no es posible y que el caso (b) con  = máx teórico, necesariamente debe ser internamente reversible. Por otro lado puede observarse que cuanto mayor es la entropía generada en el proceso, indicativo de que existen más irreversibilidades, menor es el rendimiento de ciclo.








9. (Mor-6.26) Un motor eléctrico que opera en estado estacionario consume 10 A con un voltaje de 220 V. El eje gira a 1000 rpm y el momento del par en el eje es 16 N m. La superficie del motor se encuentra a 47 ºC y el ambiente a 20 ºC. Determine: Q a) El rendimiento del motor eléctrico. b) La velocidad de transferencia de calor del motor a los alrededores. . W eje +  c) La velocidad de generación de entropía en el motor. d) La velocidad de aumento de entropía del universo. (R: 76,2%; 524,5 W; 1,64 W/K; 1,79 W/K) •

•

Problema 3

SOLUCIÓN Datos conocidos y diagramas: Se conocen las características mecánicas y eléctricas de operación de un motor

eléctrico así como la temperatura de la superficie del motor y la del ambiente.

u . W eléctrico

T s

u . Q

T 0

T s

u . W eje

+ 

. Q __ __ T s

+ 

T 0

V  220 V M  16 N  m

..

  1000 rpm

Problema 3

Problema 3

I  10 A

T s  320 K

Balance de energía del motor

Balance de entropía del motor

Se debe hallar: El rendimiento del motor, el flujo de calor, la

T 0  293 K

velocidad de generación generación de entropía en el motor

y la velocidad de aumento de entropía del universo. Consideraciones Consideraciones e hipótesis:

1) El motor actúa en estado estacionario. 2) El ambiente se modela como un foco térmico. Análisis:

a) El rendimiento del motor viene dado por:  motor  eléctrico

W eje W eléctrico

W eje



W eléctrico

Siendo la potencia eléctrica consumida por el motor: W eléctrico  V  I  220 V × 10 A  2200 W

Y la potencia mecánica desarrollada en el eje, momento del par M por por la velocidad angular  : W eje  M    16 (N  m) ×

1000 × 2 π rad 60

s

 1675 1675,5 ,5 W










El signo negativo del flujo de calor indica que se trata de un flujo de calor cedido por el sistema, transferido del motor al ambiente. c) Realizando el balance de entropía por unidad de tiempo para el motor en estado estacionario (variables de estado y flujos constantes, T s = cte, S = cte, d S motor

0

d t



Q motor Ts

  motor   motor  

Q  cte y   cte ), se tiene:

Q motor T s

 

524,5 524,5   47  273 320

 motor  1,64 W/K

Régimen estacionario

d) El balance de entropía por unidad de tiempo para el universo es: dSuniverso dt



d S motor

0

d t



d Sambiente d t



Qambiente T 0

0

  ambiente

Regimen estacionario

El ambiente, a una T 0 < T s, recibe el calor disipado por el motor (Qambiente = Qmotor ) sin un cambio significativo de su temperatura. En las inmediaciones del motor existirá un gradiente de temperatura pero en una zona suficientemente lejana a la superficie del motor, la temperatura del ambiente será uniforme, pudiéndose considerar que no existen irreversibilidades ( ambiente = 0). Así, se llega a que el aumento de entropía del universo es igual a la transferencia de entropía al ambiente: d S universo dt



Qambiente T0



 Qmotor T 0



524,5 20  273



524,5 320



u . Q __

Ambiente

T 0

T 0

T s

+  Problema 3

Balance de entropía del ambiente d S universo d t

 1,79 W/K

Puede observarse que el valor de la trasferencia entropía al ambiente resulta ser mayor que la transferencia de entropía desde el motor:













Boletín 1-Resueltos-IETC-16_17-V1

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