2. LOGARITAMSKO AMPLITUDNO FREKVENCIJSKA KARAKTERISTIKA I FAZNO FREKVENCIJSKA KARAKTERISTIKA -
BODEOVI BODEOVI DI JAGRAMI JAGRAMI
Ako se na ulaz nek og og člana upravljanja ili sustav upravljanja narine upravljanja narine sinusoidalno promjenljivi signal x(t), dobiven iz generatora frekvencija GF, x(t)
y(t)
GF
sustav
Sl. 1. Linearni 1. Linearni regulacijski član pobuđen sinusoidalnim pobuđen sinusoidalnim signalom x(t) na ulazu onda će se poslije isteka prelazne pojave i izlazna veličina y(t) mijenjati po zakonu sinusoide iste frekvencije kao i ulazna veličina. veli čina. Ulazna i izlazna veličina međusobno se razlikuju samo po veličini amplitude i po fazi. Drugim riječima, ako je x(t)=Xmsinωt, onda je u stacionarnom stanju y(t ) Y m sin ( t ) . Odnos amplituda ulazne i izlazne veličine Y m/Xm i kut faznog pomaka φ funkcije su kružne frekvencije ω (odnosno frekvencije f frekvencije f ) i za razne frekvencije ulaznog signala bit će različiti. Primijeni li se simbolički prikaz harmonijskih veličina, može se pisati: x( j ) X m e j t ,
y( j ) Y m e j ( t
)
.
y( j )
G( j ) x( j ) naziva se frekvencijska prijenosna funkcija ili sinusna prijenosna funkcija. To je dakle za svaku frekvenciju kompleksni broj, čiji je modul A(ω) jednak A(ω) jednak odnosu amplituda izlazne i ulazne veličine (drugim (drugim riječima jednak pojačanju pojačanju komponente) a argument φ(ω) faznom pomaku izlazne prema ulaznoj veličini.
Omjer
Modul frekvencijske prijenosne funkcije G( j )
A( )
naziva se amplitudna
frekvencijska karakteristika, a argument arg G( j) ( ) naziva se fazna frekvencijska karakteristika. Frekvencijska prijenosna funkcija G(jω) G(jω) dobije se iz obične prijenosne funkcije G(s) jednostavnom zamjenom s=jω. s=jω.
1
SINUSNA PRIJENOSNA FUNKCIJA – FUNKCIJA – FREKVENCIJSKA FREKVENCIJSKA PRIJENOSNA FUNKCIJA
Sl. 2 Model za dobivanje odziva na sinusne pobude 1 Uu Ui
0.8 0.6 0.4
to= 0,1 /s/ 0.2 i U
0 , u U
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
t(s)
Sl.2.1 Prijelazna pojava na step ulaznog napona Uu (t) = {1 sin(1 sin(1t)}S(t) 0 f = 0,159 0,159 Hz; T=6,28 T=6,28 s t 0 = 0,1 s, 0 = -5,7 el
[V]
2
1 Uu Ui
0.8 0.6 0.4 0.2 X: 0.9426 Y: -0.001622 i U
X: 1.021 Y: -0.002527
0 , u U
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t(s)
Sl.2.2 Prijelazna pojava na step ulaznog napona Uu (t) = {1 sin(10t)}S(t) f = 1,59 Hz; T= 0,628 s t 0 = 0,0784 s , 0 = -45 0 el
[V]
3
1 Uu Ui
0.8 0.6 0.4 0.2 X: 0.2513 Y: -0.006741 i U
X: 0.2657 Y: 0.003034
0 , u U
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
t(s)
Sl.2.3 Prijelazna pojava na step ulaznog napona Uu (t) = {1 sin(100t)}S(t) f = 1,59 Hz; T= 0,0628 s t 0 = 0,0145 s , 0 = - 850 el
[V]
Sl. 3 Nykvistov dijagram PT1 člana 4
Sl. 4 Bodeov dijagram za A( ω) i φ(ω) PT1 člana
Sl. 4 Bodeov dijagram za L( ω) i φ(ω) PT1 člana
5
Logaritamsko amplitudne frekvencijske karakteristike LAFFK
Računanje točaka frekvencijskih karakteristika i crtanje tih karakteristika je dugotrajan rad. Potreba za u brzanjem i pojednostavljenjem postupaka dovela je do široke primjene logaritamskih frekvencijskih karakteristika koje se zovu Bodeovi dijagrami. Kod crtanja logaritamske amplitudne karakteristike (Bodeovog amplitudnog dijagrama) na ordinatnu os nanosi se veličina L( ) 20log G( j) 20 log A( ) Veličina L(ω) izražava se u decibelima. Ako je L(ω)=20logA(ω)=1, onda je logA(ω)=1/20, odnosno A(ω)=1.12. Drugim riječima, jednom decibelu odgovara pojačanje od 1.12 puta. Za neka pojačanja (gušenja) A(ω) date su pripadne vrijednosti L(ω) u decibelima u tabeli. Na apscisnu os nanosi se kružna frekvencija ω=2πf u logaritamskom mjerilu, tj. nanose se dijelovi koji odgovaraju veličini logω, ali se naznačuju vrijednosti kružne frekvencije ω(rad/s). Apscisna os prolazi kr oz točku 0 dB, jer je log1=0. Točka ω=0 leži na osi frekvencija lijevo u beskonačnosti, jer je log 0 . Zato se ordinatna os postavlja tako na osi frekvencija da se desno od te osi nađe onaj dio logaritamske amplitudne karakteristike koji je interesantan za razmatranje. A(ω) odnos, L(ω) dB pojačanje 0,01 0,1 02 0,3 04 0,5 0,6 0,7 08 09 1
-40 -20 -14 -10,44 - 7 93 -6 - 4,44 - 3,10 - 1 938 - 0 906 0,00
A(ω) odnos, pojačanje 1,2 1,4 16 1,8 2 3 4 5 10 100 1000
L(ω) dB 1,58 2,91 4 08 5,1 6 9,51 12 14 20 40 60
Raspon između dviju frekvencija koje se odnose kao 1:10 naziva se dekada. Na istom crtežu na kojem se crta amplitudna logaritamska karakteristika može se crtati i logaritamska fazna karakteristika (Bodeov fazni dijagram). Na apscisnoj osi se dakle nanosi frekvencija u logaritamskom mjerilu, a na ordinati pripadni fazni kut. U većini slučajeva logaritamske frekvencijske amplitudne karakteristike mogu se crtati praktički bez računanja. Najčešće se crtaju u obliku tzv. asimptotskih logaritamskih amplitudnih karakteristika, koje imaju oblik izlomljene linije, čiji dijelovi su pravci s koeficijentima nagiba koji su višekratnici veličine 20 dB/dek. Primjer i Bodeovih dijagrama jednostavnih članova od kojih se sastavljeni složeniji: Prijenosna funkcija komponente je:
6
1) Proporacionalni član (P član)
Dobije se a) L1 ( ) 20log G1( j)
G1 ( s )
20log A1( )
K
20log K
Bodeov amplitudni dijagram određen je horizontalnom linijom 1 na sl. 5. Za K< l (gušenje signala) ta linija bi ležala ispod apscisne osi, a za K =1 upravo na apscisnoj osi 0 dB.
Sl.5. Bodeov amplitudni i fazni dijagram za prijenosnu funkciju G 1(s)=K
Budući da je G1(jω)=K realni broj, dobije se arg G1 ( j)
arg K
( )
0 el .
Bodeov fazni dijagram određen je linijom 1' na slici podudara se s apscisnom osi φ=0. Proporcionalni članovi nultog reda ne unose nikakav fazni zakret, tj. izla zni signal je u fazi s ulaznim signalom na svim frekvencijama.
7
2) Integralni član
G2 ( s)
k i s
1
Ti s
, gdje je Ti integracijsko vrijeme, k i – koeficijent
integracije L2 ( )
20log G2 ( j)
20 log
1
jTi
20log
1
T i
20log1 20log T i
Na frekvenciji ω=1 ordinata je - 20log1=20log k 2. Na frekvenciji ω=10 rad/s, dakle na frekvenciji za dekadu većoj, ordinata je 20 log k 2-20log10=20log k 2-20dB, dakle za 20 dB manja. Bodeov amplitudni dijagram je prema tome pravac s nagibom -20 dB/dek (sl.6, pravac 2).
Sl.6. Bodeov amplitudni i fazni dijagram za prijenosnu funkciju
G 2 (s)
1
Ti s
Budući da je 1
jT i
j
1
Ti
1
T i
90 ,
fazni kut na svim frekvencijama iznosi -90°, tj. izlazni signal kasni iza ulaznog za 90°, bez obzira na frekvenciju. Bodeov fazni dijagram prikazan je pravcem 2' na sl 6. 3)
G3 ( s)
kd s
Td s ,
gdje je Td derivacijsko vrijeme, k d – derivacijsko vrijeme
L() 20log G 3 ( j) 20log jT d 20log T d
Analognim razmatranjem kao u prethodnom slučaju pokazuje se da Bodeov amplitudni dijagram ima oblik pravca s nagibom +20 dB/dek. 8
Sl.7. Bodeov amplitudni i fazni dijagram za prijenosnu funkciju F 3(p)=k 3s Budući da je
jT d
T d 90 ,
fazni zakret na svim frekvencijama iznosi +90°. Bodeov fazni dijagram određen je pravcem 3' na sl.7. Izlazni signal fazno prethodi ulaznom signalu za četvrti nu perioda. 4. Proporcionalnčlan s usporenjem prvog reda PT1 Nacrtati Bodeov amplitudni i fazni dijagram aperiodskog člana 1. reda čija je prijenosna funkcija K 100 G( s ) . 1 sT1 1 s 0.05 Amplituni dijagram je određen izrazom L( ) 20 log G( j ) 20log
K 1 j T 1
20 log
K 1 ( T 1 ) 2
Međutim, tu funkciju ni je potrebno računati po svim frekvencijama, jer je obično dovoljno nacrtati asimptotsku logaritamsku amplitudnu karakteristiku. Za frekvencije
1 T
,
tj. kada je ωT<1, zanemaruje se u nazivniku prijenosne funkcije član jωT prema jedinici, pa je u tom području frekvencija L( ) 20 log k 20 log100 40dB .
9
Dakle, za frekvencije
1 T
Bodeov amplitudni dijagram je pravac paralelan s
apscisnom osi, tj. pravac s nagibom 0 dB/dek, a leži na visini od 40 dB . Desno od frekvencije
L
, tj. za
1 T
1
L
T
1
0.05
20rad / s ,
koja se naziva frekvencija loma
, u nazivniku prijenosne funkcije zanemaruje se jedinica prema članu jωT
jer je tada 1<ωT. Za to područje frekvencija vrijedi L( ) 20 log G ( j ) 20log
K jT1
20log
K T 1
,
pa je Bodeov dijagram pravac s nagibom -20 dB/dek, kao što je prije pokazano na sl. 8.
Sl.8. Bodeovi dijagrami za aperiodski član prvog reda PT1
10
5) DT1 član izveden operacijskim pojačalom
R 2 R 1
C1
– +
Uul
Uiz R 3
R 1 = 10 kΩ R 2 = 10 kΩ C1 = 0,1 μF Z1 R 1 G(s)
Z2 Z1
1 C 1s
,
Z 2 R 2,
K
R 2 R 1
1,
T R 1C 1 1 ms,
R2 R 2 C 1s R 1 R 2 R 1C 1s Ts K 1 R 1C 1s 1 R 1C 1s R 1 R 1 1 R 1C 1s 1 Ts C 1s
U ul (t) U ul S(t)
U ul (s)
R3 R1 R 2
U ul s
U K U ul Ts U iz (s) G(s) U ul (s) K ul 1 Ts s T
T s
1 T
t t 1 ¸1 U iz (t) L K U ul K U ul e T 1 U ul e T 1 s T
11
1 0.9 0.8 0.7 0.6 ) (V
0.5 zi u
0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3 t(s)
4
5
6 x 10
-3
Sl 8. Odziv DT1 člana
0 -10 )
-20 B d ( )
(
-30
L
-40 -50 90
) g e
d (
45
0 1 10
2
3
10
10
10
4
5
10
(rad/s)
Sl. 9 Bodeovi dijagrami DT1 člana
12
6) PI član izveden operacijskim pojačalom
R 2 R 1
C1
– +
Uul
Uiz R 3
R 1 = 10 kΩ R 2 = 10 kΩ C1 = 0,1 μF Z1 R 1 ,
Z 2 R 2
1 C 2s
K
,
R 2
1,
R 1
T R 2 C 2 1 ms,
R 3 R 1 R 2
1 R 2 C 2 s G(s)
Z2 Z1
C 2s
R 1
1 R 2 C 2 s R 2 R 1 C 2 s
R 2
R 2 1 R 2 C 2 s R 1
R 2 C 2 s
K
1 Ts Ts
4 3.5 3 2.5 (
V
)
2 zi u
1.5 1 0.5 0
0
0.5
Sl. 10
1
1.5 t(s)
2
2.5
3 x 10
-3
Odziv na step PI člana 13
Sl. 11 Bodeovi dijagrami PI člana gdje je amplituda izražena u decibelima [dB] a fazni kut u [ oel]:
14
3. PRORAČUN VALNOG OBLIKA IZLAZNOG SIGNALA UZ POZNATI VALNI OBLIK ULAZNOG SIGNALA I POZNATU PRIJENOSNU FUNKCIJU SUSTAVA
Na ulaz nekog sustava opisanog prijenosnom funkcijom priključimo signal uul Potrebno je odrediti valni oblik izlaznog signala. Prijenosna funkcija dana je izrazom: G ( s)
1 0.1 s 1
A sin t .
(3-1)
Treba promatrati ovisnost amplitude i faze izlaznog u odnosu na ulazni signal pri promjeni . Simulacijska shema u programskom paketu Simulink dana je na slici 1.
Sl 12. Simulacijska shema
Slučaj a) Prijelazna pojava za
uul(V) uiz(V)
u
ul
dana je na slici 10.
1 sin 1 t
1 0.8
uiz
0.6 0.4 0.2
uul
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
t(s)
Slika 13. Prijelazna pojava za uul
1 sin1 t
15
Sa slike 2 vidljivo je kašnjenje izlaznog signala za ulaznim signalom te amplitude ulaznog i izlaznog signala nisu jednake.
Slučaj b) Prijelazna pojava za
uul(V) uiz(V)
u
ul
dana je na slici 3.
1 sin 50 t
1 0.8
uul
0.6 0.4 0.2 0
uiz
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(s)
Sl. 14. Prijelazna pojava za
u
ul
1 sin 50 t
Uspoređujući slik e 10 i 11 vidljivo je da povećavajući dolazi do sve veće amplitudne i fazne razlike između ulaznog i izlaznog signala. Promjenu valnoga oblika izlaznog signala moguće je odrediti na dva načina : 1) Iz amplitudnog i faznog Bodeovog dijagrama. 2) Analitičkim putem.
1)
Određivanje valnog oblika izlaznog signala uz poznate u ul i Bodeove dijagrame prijenosne funkcije sustava
Kašnjenje izlaznog signala za ulaznim se mijenja prema faznoj Bodeovom dijagramu dok se ovisnost izlazne o ulaznoj amplitudi mijenja u ovisnosti o amplitudnom Bodeovu dijagramu. Bodeovi dijagrami za prijenosnu funkciju danu jednadžbom (3-1) prikazani su na slici 12.
16
0
L(db)
-5 -10 -15 -20 10
0
10
1
10
2
w(rad/s) 0
()
-50
-100 10
0
10
1
10
2
w rad/s
Slika 15. Bodeovi dijagrami Iz Bodeovih dijagrama se za =1 rad/s odnosno = 50rad/s može očitati fazna i amplitudna razlika izlaznog u odnosu na ulazni signal. Za
=1 rad/s L()= -0.05 db ()= -6 L( ) 20 log K 0.05db K=0.994
u K
u
iz
u
iz
u
iz
K u
ul
0.994 1
0.994
ul
0.994 sin 1 t 6
Za
=50 rad/s L()= -14.6 db ()= -80 L( ) 20 log K 14.6db K=0.185
u K
iz
u u
iz
u
iz
K u
ul
0.185 1
0.185
ul
0.185 sin 50 t 80
2) Analitička metoda određivanja u iz F ( s )
1 0.1 s 1
, s
j
F ( j )
1 0.1 j 1
20 log 0.1 j 1 20 log 0.12 2 12 10 0.1 j 1 10 10 arg F ( j ) arctg 0.1
L( ) 20 log
1
17
=1 rad/s
a)
L( )
20 log10
0.12 12
12
0.0432dB
arg F ( j ) arctg 0.11 5.71
L( ) u
iz
K 10
20 log
u
0.0432db K=0.995 K
0.995 sin 1 t 5.71
L( )
20 log10
u
iz
uiz=0.995
ul
=50 rad/s
b)
0.12 50 2
12
14.15dB
arg F ( j ) arctg 0.1 50 78.96
L( ) u
iz
20 log10 K
u
14.15db K=0.196 K
0.196 sin 50 t 78.69
u
iz
uiz=0.196
ul
Sl. 16 Bodeovi dijagrami PI člana gdje je amplituda izražena u decibelima [dB] a fazni kut u [ oel] 18
] B d[ a d tui l p m A
Kružna frekvencija [1/s]
] . l e o [ t u k i n z a f
Kružna frekvencija [1/s]
19
80
60
40
20 ] B d[ a d ut il p m A
0
-20
-40
-60 0,1
10
1000
Kružna frekvencija [1/s]
45
0
-45
.] l e [
o
-90 u
t k i n z a f
-135
-180
-225 0,1
1
10
100
1000
10000
Kružna frekvencija [1/s]
20
