BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1.1 Sistemlerin Sistemlerin sınıfland sınıflandırılma ırılması sı Sistem, belli bir işlevi yerine getirmek için bir araya getirilmiş elemanlar topluluğu olarak tanımlanabilir. Elektrik, biyolojik, kimyasal, ekonomik sistem v.b. sistemlerde genellikle bir hiyera hiyerarşi rşi mevcu mevcuttu ttur. r. Bir sistem sistemin in en önemli önemli özell özelliği iği,, belirl belirlii giriş giriş ve çıkışl çıkışları arınn tanıml tanımlıı olma olması sıdı dır. r. Bir Bir sist sistem emde de Giri Giriş/ ş/Çı Çıkı kışş iliş ilişki kisi si tanı tanıml mlan anma makk zoru zorund ndad adır ır.. Sist Sistem emle lerin rin sınıflandırılmasına ilişkin bir düzenleme aşağıda verilmiştir. En Genel Sistem
Lumped Parameter System
Örneğin L, C’si dağılmış Transmisyon hatları
Toplu Parametreli Sistem
Dağılmış Par. Sistem
Distributed Parameter System
Doğada en sık karşılaşılan sık karşılaşılan sistem
Stochastic System Olasıl Sistem
Continuous System
Linear System
Belirgin Sistem
Sürekli Zamanlı Sistem
Doğrusal Sistem
Değişken Katsayılı Sis. (DKS)
sistem Deterministic System
Ayrık Zamanlı Sistem
Doğrusal Olmayan Sistem
Zamanla Değişen Sistem
Discrete System
Nonlinear System
Zamanla Değişmeyen Sistem
Homojen Sistem (u(t)=0)
Sabit Katsayılı Sis. (SKS)
Homojen Olmayan Sistem
Şekil 1. 1. Sistemlerin sınıflandırılması
toplu parame parametrel treli, i, belirg belirgin, in, doğrus doğrusal al ve zamanl zamanlaa Dinam Dinamik ik bir sistem sistem incele incelenir nirken ken toplu değişmeyen biçime biçime sokma sokmakk isteri isteriz. z. Bir siste sistemin min matem matemati atikse ksell modeli modelini ni sabit sabit katsay katsayılı ılı türevsel denklem takımı ile ifade edebilirsek bu model doğrusal zamanla değişmeyen bir 1
sistem modeli olur. 1960’lı yıllara kadar fiziksel sistemlerin matematiksel modeli transfer fonksi fonksiyon yonlar larıyl ıylaa ifade ifade edilip edilip,, sistem sistemin in kararl kararlılı ılığın ğının ın incele incelenme nmesi, si, analiz analizii ve sentez sentezii transfer fonksiyonları kullanılarak yapılmaktaydı. Ancak özellikle bilgisayarların yaygın olarak kullanılmasıyla 1960’lı yıllar sonrası durum uzayı modelleri geliştirilmiştir. Böylece herhangi herhangi bir fiziksel fiziksel sisteme sisteme ilişkin ilişkin dinamik dinamik durum değişkenleri değişkenleri seçilerek, seçilerek, durum uzayı mode modeli li oluş oluştu turu rula labi bili lir. r. Duru Durum m uzay uzayıı göst göster erim imin inde de hesa hesapl plam amal alar ar matr matris isel el işle işleml mler erle le yapılacağından işlemler bilgisayar destekli çözüme uygun olup, çok giriş ve çok çıkışa sahip olan sistemle sistemlerin rin çözümü çözümü kolaylaşmak kolaylaşmaktadır tadır.. Doğadaki Doğadaki fiziksel, fiziksel, kimyasal kimyasal,, biyolojik biyolojik ve her türlü sistemin durum uzayı modelini oluşturabiliriz. Örneğin aşağıda iki değişik fiziksel sistem ve matematiksel modelleri görülmektedir.
Örnek 1.1: Sıcak hava balonunun basit dinamik matematiksel modeli
θ
θ : Balondaki havanın sıcaklığı u : Balondaki havaya aktarılan ısı ile orantılı denetim büyüklüğü υ : Düşey yöndeki balon hızı w : Rüzgarın düşey yöndeki bileşeni (bozucu büyüklük)
w
Rüzgar yönü
h :yükseklik referans
Şekil 1.2. Sıcak hava balonunun şematik gösterimi
Yukarıdaki balonun dinamik modeli, aşağıdaki türevsel bağıntılar ile verilebilir. •
θ =−
1 τ1
•
υ = −
1 τ2
(1.1)
θ+u υ + σ.θ +
1 τ2
(1.2)
w
(1.3)
•
h = υ
Örnek 1.2. Bir uzay gemisinin basit modeli: Bir uzay gemisinin basit basit şematik gösterimi gösterimi ve matematiksel matematiksel modeli aşağıda verilmiştir. verilmiştir. T(t): Uzay gemisine uygulanan moment (Giriş
f(t)
y
L
büyüklüğü) θ(t): Kontrol edilen büyüklük (Çıkış büyüklüğü) J : Uzay gemisinin atalet momenti θ(t )
L
f(t)
T(t) = 2.L.f(t)
x
(1.4) 2 d θ(t) T(t) = J. 2 dt
(1.5)
2
θ(s)
Şekil 1.3: Uzay gemisinin basit b asit gösterimi
T(s)
=
1 Js 2
: Transfer fonksiyonu
Doğrusal zamanla değişmeyen bir sisteme ilişkin matematiksel model için kullanım amacına uygun olarak aşağıdaki modelleme türlerinden biri kullanılabilir. kullanılabilir.
3
1.2 Matematiksel ön bilgiler
4
a) Matris - Dikdörtgen matris: a11 a 21 A= ... a n1
a12
...
a1m
a 22
...
a2m
...
an2
= (a ij ) ... ... ... a nm
i=1,2,.....,n ; j=1,2,.....,m
(1.6)
Yukarıda nxm boyutlu dikdörtgen matris elemanlarının tamamı gerçel ise “ gerçel matris” karmaşık eleman içeriyor ise “ karmaşık matris ” olarak isimlendirilir. Matrisler doğrusal dönüşüm (Linear (Linear Transforma Transformation) tion) ile yakın yakın bir ilişkiye ilişkiye sahiptir. sahiptir. Söz konusu bu ilişki aşağıdaki doğrusal denklem takımı ile verilebilir. a11x1 + a12x2 +.......+ a1mxm = z1 a21x1 + a22x2 +.......+ a2mxm = z2 …………………………………………
…..
an1x1 + an2x2 +.......+ anmxm = zm
z=Ax
(1.7)
Burada z=[z1 z2 ..... zm]t değişkenler seti, x=[x1 x2,.....,xm]t değişkenler setinin doğrusal bir dönüşümüdür. Bu doğrusal dönüşüm a ij ; i = 1,2,3,.....,n ; j= 1,2,3,......,m katsayılarıyla karakterize edilir. Burada A=[aij] doğrusal dönüşüm matrisi olarak adlandırılır. - Kare matris :
Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrise kare matris denir. Bir kare matris elemanları A = (aij) i,j =1,2,....,n biçiminde gösterilir.
-Matris İzi (Trace) : n
A
matrisinin
izi
=
izA=
aii ∑ i =1
(1.8) - Köşegen matris ( Diagonal Matrix ) : a11 0 A= ... 0 (1.9)
0
a 22 ... 0
...
0
...
0
= (aij δ ij ) ... ... .... a nn
δij = 1 , i = j için δij : Kronecker delta δij = 0 , i ≠ j için
veya
A= diag (a11, a22, .... , a nn)
(1.10)
5
- Köşegen blokları içeren yüksek boyutlu matrisler : a11
A=
a 21
a12
a33
a34
a43
a44
B=
,
a 22
(1.11) Yukarıdaki alt matris gösterimleri göz önüne alınarak J matrisi a11 a 21 J= 0 0
a11
0
a11
0
0
a33
0
a43
0
; J= A a34 0 a44 0
0
veya
B
J=diag(A,B)
(1.12)
biçiminde yazılabilir.
- Birim matris (Identity or unity matrix) : Köşegen elemanları elemanları 1, diğer elemanları 0 olan matrise birim matris denir. nxn nxn boyu boyutl tluu bir bir biri birim m matri matriss In yada Un sembol semboller lerii ile göster gösterili ilir. r. Burada Burada n matris matris boyutunudur. 1 0 In = ... 0
0
...
1
...
...
...
0
...
0
= diag(1,1,...,1) = ( δij) 0 1 nxn 0
i=j= i=j=1, 1,22,… ,…,,n
Birim matris
In =δij biçiminde kronecker delta olarak isimlendirilen δij ile de gösterilebiir.
-Üçgen matris (Triangular matrix ) : a 11 A= 0 0 (1.14)
a 12 a 22 0
a 13
: Üst üçgen matris a 33
a 23
a11 B= a21 a31
0
a22 a32
0
: Alt üçgen matris a33 0
- Sıfır matris ( Null Null matrix) : Tüm elemanları sıfır olan matris’dir.
- Evrik matris (Transpoze matrix ) : Herhangi bir A matrisinin evriği A′ , AT veya At notasyonu ile gösterilir.
6
(1.1 (1.133)
a11 a 21 A= ... a n1 (1.15)
a12
...
a 22
...
a1m
a2m
... ... ... a nm
...
an 2
a11 a 12 ’ A = ... a1m
a 21
...
a n1
a 22
...
an 2
... ... ... a nm
...
a 2m
Aynı boyuta sahip olan herhangi A ve B gerçel matrisler için aşağıdaki özellikler yazılabilir : (A′)′ = A (1.16.a) (A+B)′ = A′ + B′ (1.16.b) (A.B)′ = B′A′ (1.16.c) - Eşlenik matris (Conjugate matrix) : Karmaşık elemanlara sahip olan bir matrisin karmaşık eşleniğine “ Eşlenik matris” denir.
Örnek 1.2 : A=
:A
A
0 −1 + j −1 + j
1
−1 + 4i − 2 + 3 j 0
− 3 − 3 j −1
,
A
0 = ( a ij ) = −1 − j −1 − j
1
− 3 + 3 j −1
−1 − 4 j − 2 − 3 j 0
(1.17)
matrisinin karmaşık eşleniği
- Eşlenik evrik matris ( Conjugate Transpose matrix ) : A = (aij) , i=1,2,...n; j=1,2,…,m karmaşık bir matris matris olmak üzere üzere A matrisinin eşlenik evriği; *
A
(1.18)
= A ′ = (a ji )
ifadesi ile verilir.
Örnek 1.3: A=
0 −1 + j −1 + j
1
− 3 − 3 j −1
−1 + 4i , − 2 + 3 j 0
0 −1 − j A = A ′ = 1 − 3 + 3 j 0 −1 − 4 j *
− 1 − j −1 − 2 − 3 j
(1.19)
Karmaşık bir A matrisi için aşağıdaki özellikler verilebilir: -(A*)* = A -(A+B)* = A* + B* -(AB)* = B*A* -(cA)* = A* (c karmaşık skaler bir sayı) (1.20.d)
(1.20.a) (1.20.b) (1.20.c)
c
-Eğer A matrisi gerçel bir matris ise A* = A’ olur .
- Tekil ve Tekil olmayan matris ( Singular and Nonsingular matrix ) : BA=AB=I eşitliğini sağlayan bir B kare matrisi mevcutsa A kare matrisi tekil değildir . A matrisi tekil değil ise tersi de vardır vardır ve B = A-1 dir. Aksi halde A matrisi tekil bir matrisdir. 7
-Adjoint, determinant ve matris tersi : nxn boyutlu herhangi bir A kare matrisinin adjointi, determinantı ve matris tersi (inversi) aşağıdaki ifadeler ile verilir: Adjoint :
∆ij = (-1)i+jMij :Kofaktörler , Mij : Minörler
(1.21)
olmak üzere Adj A = (∆ij )t
(1.22)
olarak verilir.
Determinant: det(A) = A=ai1∆i1 + ai2∆i2 + .... + ain∆in ; i=1,2,…,n
(1.23)
veya det(A) = A=a1j∆1j + a2j∆2j + .... + anj∆nj ; j=1,2,…,n
(1.24)
Matris Tersi : Adj A Adjj A Ad = det( A ) A
A-1 = (1.25)
Örnek 1.4: =
1 3 1
2
−1 0
0
−2 −3
Minörler :
M11 = M21 = M31 = 1
1
−
0
2
2
−
M12 =
3
3
=
−
0
M22 =
6
0
=−
3
−
2
0 4
1
−
2
−
= −
3
2
−
1
M13 =
7
3
=−
−
1
0
M23 =
3
1
3
= −
−
M32 =
1
0
3
−
2
2
=−
2 7
3
1
= −
−
Kofaktörler : ∆11=(-1)2.3 = 3 ∆21=(-1)3.(-6) = 6 ∆31=(-1)4.(-4) = -4 ∆12=(-1)3.(-7) = 7 ∆22=(-1)4.(-3) = -3 ∆32=(-1)5.(-2) = 2 8
3 1
1
−
0
1
2
1
0
M33 =
1
=
2
= −
∆13=(-1)4.(1) = 1
∆23=(-1)5.(-2) = 2
∆33=(-1)6.(-7) = -7
Determinant : det(A) = A=1.3 + 2.7 + 0.1 =17 =3.6 –1.(-3) –2.2 = 18 + 3 – 4 = 17 =1.(-4) + 0.2 – 3.(-7) = 21 – 4 = 17 Adjoint : 3 Adj A = (∆ij)t= 7 1
6
−3 2
(i=1 için) ( i=2 için) ( i=3 için)
−4 2 −7
Matris tersi :
3 6 7 − 3 A-1 = 17 1 2 1
3 − 4 17 7 2 = 17 − 7 1 17
6 17
−3 17 2 17
− 4 17 2 17 − 7 17
- Simetrik ve skew simetrik matris : Evriğine eşit olan gerçel matrise “ simetrik matris”, evriğinin ters işaretlisine eşit olan gerçel matrise ise “ skew simetrik matris” denir. A′ = A vey veya [a ji] = [aij] : simetrik matris A′ = -A veya [a ji] = [-aij] :skew simetrik matris Özellikler: • A simetrik bir matris ise ; A + A′ toplamı simetrik , A - A′ farkı ise skew simetriktir. • A dikdörtgen bir matris ise ; A′A çarpımı simetriktir. • Simetrik bir matrisin tersi de simetriktir.
(1.26) (1.27)
- Dikgen matris (Ortogonal matrix ) : Gerçel bir A kare matrisi için A′A = AA′ = I özelliği sağlanıyorsa A matrisi dikgen (ortogonal) bir matristir. Dikgen bir matris; A-1 = A′ özelliğine sahiptir ve A=±1 dir. Örnek 1.5 : cos θ − sin θ A = sin θ cos θ
0, 6 B = −0,8 0
cos θ sin θ A-1 = sin = A′ − θ cos θ
0,6 B-1 = 0,8 0
0,8
0
0, 6
0
0
1
−0,8 0, 6 0
0
0 = B′
1
A ve B ortogonal matrislerdir. - Hermityen ve Skew Hermityen Matris (Hermitian and Skew Hermitian Matrix): A matrisi karmaşık bir matris olmak üzere; 9
A* = A veya A* =-A veya
aij aij
= a ji
A : Hermityen matris A : Skew Hermityen matris
ise ise
= −a ji
(1.28) (1.29)
Hermityen veya skew hermityen bir A matrisi A = B + jC biçiminde yazılırsa
B = B′ ve C = -C′ (hermityen matris için) B = -B′ ve C = C′ (Skew hermityan matris için)
(1.30) (1.31)
özellikleri sağlanır.
Örnek 1.6: 1
4+ j3
A= 4-j3
2
A*=A eşitliğinden dolayı A hermityen hermityen bir bir matris olduğundan 1
4
0 + j 2 − 3
A = B + jC = 4
3 0
B = B′ ve C = -C′ özellikleri sağlanır.
Örnek 1.7 : j5
A = 2 + j3
− 2 + j3 j
A*=-A eşitliğinden dolayı dolayı A skew hermityen hermityen bir matris olduğundan 0
A = B + jC = 2
− 2 5 3 + j 0 3 1
B = -B’ ve C = C′ özellikleri sağlanır. - Birimsel (unitary) matris: Karmaşık bir A kare matrisi için; A-1 = A∗ veya A.A∗ = A∗A = I eşitlikleri sağlanıyor ise A matrisi birimsel (Unitary) bir matristir.
(1.32)
Örnek 1.8 : 1 5 (2 + j ) A= 1 (−3 + j ) 5
1 15 1
(3 + j )
(2 − j ) 15
-1 A =
- Normal Matris : 10
1 15 1 15
(2 − j ) (3 − j )
−
1
(3 + j )
15 1 (2 + j ) 15
= A∗
Karmaşık bir A matrisi aşağıda aşağıda eşitlikleri eşitlikleri sağlıyorsa “ normal matris” olarak isimlendirilir.
A.A∗ = A∗.A A.A′ = A′.A
(A karmaşık bir matris ise) (A gerçel bir matris ise)
(1.33) (1.34)
Özet : A′ = A A′ = -A AA′ = A′A = I A* = A A* = -A AA* = A*A = I AA* = A*A veya AA′ = A′A
A : simetrik A : Skew Simetrik A : Ortogonal A : Hermityen A : Skew Hermityen A : Birimsel A : Normal
b) matrisel işlemler - Matrislerin toplanması ve çıkarılması : A ve B nxm boyutlu dikdörtgen matrisler olmak üzere a11 + b11 + a 21 b21 A+B = ... an1 + bn1
a12 + b12
...
a22 + b22
... a 2m + b2 m
... ... ... a nm + bnm
...
a n 2 + bn 2
a11 − b11 a − b 21 21 A−B = ... a n1 − bn1
a1m + b1m
(1.35)
a12 − b12
...
a1m − b1m
a 22 − b22
...
a 2m − b2m
...
a n 2 − bn 2
... ... ... a nm − bnm
(1.36)
toplama ve çıkarma işlemleri verilebilir.
- Matris Çarpımı : A nxm , B ise mxr boyutlu dikdörtgen dikdörtgen matrisler olmak olmak üzere matris çarpımı m
C = A.B = [cik ] ;
cik =
∑a b ij
jk
i = 1,2,...,n ; k=1,2,...,r k=1,2,...,r
j=1
(1.37) C : n x r boyutlu çarpım matrisi ifadeleri ile verilebilir. Matris çarpımı için aşağıdaki aşağıdaki özellikler özellikler yazılabilir:
• A.B B.A ise A ve B matrisleri komutatiflik özelliğini sağlamaz. sağlamaz.
11
• A.B = B.A ise A ve B matrisleri komütatiflik özelliğinin sağlar ve bu tür matrislerin çarpımı n
n
∑a b ij
jk
= ∑ b ij a jk
j=1
j=1
(1.38) eşitliği ile verilebilir.
•
A, B, ve C matrisleri sırasıyla nxm, mxr ve rxp boyutlu matrisler olmak üzere; bileşim özelliğinden (AB)C = A(BC)
(1.39)
eşitliği yazılabilir.
• A ve B nxm boyutlu C ve D ise mxr boyutlu matrisler olmak üzere dağılım özelliğinden (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
(1.40)
eşitliği yazılabilir.
- Matris Türevi ve İntegrali : d d a t ( ) A (t ) = ij dt , dt
∫ A(t ) dt = ∫ a
ij
(t ) dt i=1,2,…,n ; j = 1,2,...,m
(1.41)
A(t) ve B(t) matris öğeleri zamanın işlevleri olmak üzere aşağıdaki eşitlikler yazılabilir: 1)
d dA(t) dB(t) ( A( t ).B( t )) = ( ).B(t) + A (t) .( ) dt dt dt
(1.42) 2)
d dt
( A (t ) + B (t )) =
d A (t ) dt
+
d B (t ) dt
(1.43) 3) α(t) skaler ve zamanın fonksiyonu ise d dt
( A(t )α (t )) = (
d A(t ) dt
).α (t ) + A(t ).(
d α (t ) dt
)
(1.44) 4)
d dt
( A(t ) −1 ) = −A(t ) −1 (
d A(t ) dt
) A(t ) −1
(1.45) Son eşitliğin doğruluğunu ispat etmeye çalışalım:
A(t).A(t)-1 = I 12
d dt
( A(t ) A(t ) −1 ) = 0
d A (t ) dt A(t )
d dt
A (t )
d dt
−1
A(t )
A(t )
−1
+ A (t )
−1
=−
d
A (t )
dt d A(t )
−1
A(t )
=0 −1
dt d A(t ) = −A(t ) −1 ( ) A(t ) −1 dt
13
