UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA DE ICA” CENTRO DE DE ESTUDIOS ESTUDIOS PRE UNIVERSITARI UNIVERSITARIO O CEPU - UNICA
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS LUIS GONZAG GONZAGA” A” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
AUTORIDADES UNIVERSITARIAS Dr. Alejand ro Gab riel ENCINAS ENCINAS FERNÁNDEZ
Rector
Dr. Mario Gu stav o REYES MEJ ÍA Vice Vice - Rec Rector tor Aca Académ démico ico Dr. Máxi m o Isaac SEVIL L A NO DÍA Z Vice Rector de Investigación y Desarrollo
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS DIRECTORIO Dr. Pedro M arcelino VELÁSQUEZ RUBIO
DIRECTOR GENERAL
L i c . M a n u e l M ar ar i an a n o C U PE PE L U N A S C O
DIRECTOR ACADÉMICO
D ra r a . F r an a n c is i s c a M ar ar th t h a G A RC R C IA IA W ON ON G
DIRECTOR ADMINISTRATIVO
COORDINADORES DE UNIDADES ACADÉMICAS Mg. Frediberto MALDONADO ESPINOZA U.A. DE HUMANIDADES
Ing. Jaime Renán QUINTANA BERAMENDI U.A. DE RAZONAMIENTO
Mg. Juan PISCONTE VILCA U.A. DE CIENCI CIENCIAS AS NATURAL NATURALES ES
Mg. César LOZA ROJAS U.A. DE MATEMÁTICAS
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UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA DE ICA” CENTRO DE DE ESTUDIOS ESTUDIOS PRE UNIVERSITARI UNIVERSITARIO O CEPU - UNICA
CONTENIDO
PAGINA BIOL BIOLOG OGIA IA - II UNIDAD 9 UNIDA UNIDAD D 10 UNIDA UNIDAD D 11 UNIDA UNIDAD D 12 UNIDA UNIDAD D 13 UNIDA UNIDAD D 14
UNIDAD 9 UNIDA UNIDAD D 10 UNIDA UNIDAD D 11 UNIDA UNIDAD D 12 UNIDA UNIDAD D 13 UNIDA UNIDAD D 14
SISTEMA RESPIRATORIO Y RENAL APARATO REPRODUCTOR REPRODUCTOR MASCULINO MASCULINO Y FEMENINO FEMENINO
4 9 14 23 28 36
F SICA SICA ANÁLISIS DIMENSIONAL DIMENSIONAL Y VECTORIAL VECTORIAL ESTÁTICA CINEM TICA - I MOVIMIENTO DE PROYECTILES O MOVIMIENTO COMPUESTO DINAMICA, TRABAJO, ENERG A Y POTENCIA HIDROSTÁTICA
43 50 56 63 69 75
REINO ANIMALIA ECOLOGÍA, MEDIO AMBIENTE Y ECOSISTEMAS APARATO DIGESTIVO DIGESTIVO SISTEMA CARDIO VASCULAR
GEOMET GEOMETR RA UNIDAD 9 UNIDA UNIDAD D 10 UNIDA UNIDAD D 11 UNIDA UNIDAD D 12 UNIDA UNIDAD D 13 UNIDA UNIDAD D 14
SEGMENTOS Y ÁNGULOS TRI NGULOS, PROPIEDADES, LINEAS, PUNTOS NOTABLES, CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS POLIGONOS Y CUADRILÁTEROS CUADRILÁTEROS CIRCUNFERENCIA PROPORCIONAL Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y AREAS DE REGIONES
79 82 87 91 96 99
TRIGON TRIGONOME OMETR TR A UNIDAD 9 UNIDA UNIDAD D 10 UNIDA UNIDAD D 11 UNIDA UNIDAD D 12 UNIDA UNIDAD D 13 UNIDA UNIDAD D 14
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ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS TRIGONOMÉTRICOS Y SISTEMAS DE MEDIDAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS REDUCCI REDUCCI N DE ANGULOS, ANGULOS, FUNCIONES FUNCIONES TRIGON TRIGONOMET OMETRICA RICAS S DE ÁNGULOS COMPUESTOS COMPUESTOS TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
103 107 110 113 116 119
se encuentran en diversos ambientes. Ejemplos Hirudo medicinalis “Sanguijuela”, Eisenia foetida “Lombriz californiana”
UNIDAD Nº 09
REINO ANIMALIA
El reino animalia animalia comprende una variedad variedad de organismo organismo que van desde los seres más simples simples (poríferos) hasta los más complejos (cordados). Los organismos se caracterizan por su capacidad para la locomoción, locomoción, por la ausencia ausencia de clorofila clorofila y de pared en sus sus células, y por su desarrollo embrionario. CLASIFICACIÓN DEL REINO ANIMALIA. Filum Porífera. Comprende organismos sésiles, el cuerpo está formado por dos capas de células separadas por un esqueleto fibroso o mineral, con cavidad interna (espongiocelT), presentan poros. La mayoría son marinos. Ejemplos: Clathrina coriácea, Spongia officinalis “esponja de baño” Filum Cnidaria. Los organismos son libres o sésiles, con dos formas (pólipos y medusas), el cuerpo está formado por dos capas celulares separadas por la mesoglea (sustancia de aspecto gelatinoso), la equina. mayoría son marinos. Ejemplos: Mycrohidra, Obelia , Actinia equina. Filum Platyhelminthes. Son los animales triploblásticos más simples y probablemente los más primitivos. Cuerpo aplanado, no segmentado o segmentado en anillos o proglotides. Presenta simetría bilateral. No tienen cavidad en el cuerpo a lo que se denomina animales acelomados. Sistema digestivo incompleto, carecen de sistema esquelético, circulatorio y respiratorio, Tiene un sencillo sistema nervioso bilateral que recorre el cuerpo y un aparato excretor rudimentario. Ejemplos: Dugesia tigrina “planaria de agua dulce” (TurbellariP), Fasciola hepática y Schistosoma mansoni (Tremátodes), Taenia solium “tenia del cerdo”, solitaria; Taenia saginata, “tenia del buey”; Echinococcus granulossus, “tenia del perro” (Céstodes). Filum: Nematyhelminthes. Son los llamados gusanos, algunos son de vida libre y otros parásitos. Presentan cuerpo cilíndrico y simetría bilateral. Tienen una cavidad adicional desarrollada entre el endodermo y el mesodermo por lo que se les denominan animales seudocelomados. El sistema digestivo es completo. Carece de órganos respiratorios y circulatorios. No presentan segmentación verdadera. Órganos excretores ausentes. Anillos nerviosos alrededor del esófago. Sexos separados, fecundación interna. lumbricoides Ejemplos: Enterobius vermicularis “Oxyuro”, Ascaris lumbricoides “Lombriz intestinal”, Trichinella spiralis “Triquina” Filum: Rotifera. Agrupa a organismos pluricelulares, presentan discos de cilios retráctiles en el extremo cefálico; sistema digestivo con estructuras para triturar (mastax). La mayoría son de agua dulce. Ejemplos. Philodina, Rotaria. Filum: Annelida. Los organismos presentan cuerpo cilíndrico, la mayoría revestidos por cutícula y dividido en segmentos iguales, con respiración cutánea, sistema digestivo completo, generalmente hermafroditas;
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Filum: Mollusca. Triploblásticos celomados con simetría bilateral. Están cubiertos externamente por una concha calcárea (CaCO2) segregada por la epidermis (manto). Las estructuras cinéticas son los músculos de diversos tipos. Sistema digestivo completo, la boca presenta la rádula (estructura raspadorP). Reproducción sexual, generalmente ovíparos, algunos vivíparos. Respiración pulmonar y branquial. Comprende las siguientes clases: a) Clase Gasterópoda (Concholepas concholepas “chanque”, Fissurella maxima “lapa”, Thais chocolata “caracol”. Argopecten purpuratus “concha de abanico”, b) Clase Bivalvia ( Argopecten Aulacomya ater “choro”, Mesodesma donacium “macha”.
c) Clase Cefalópoda (Octopus “pulpo”, Loligo gahi “calamar”). Filum: Arthropoda. Son animales segmentados con con apéndices articulados. articulados. Presentan simetría bilateral. Presentan exoesqueleto de quitina, el cual presenta mudas periódicas. Sistema digestivo completo. Sistema circulatorio abierto o lagunar, corazón dorsal. Con ojos simples o compuestos. Sexos separados. Con fases larvarias y metamorfosis. Comprende las siguientes clases: a) Clase: Clase: Arác Arácnida nida (Ar (Arácn ácnido idos) s) Cuerpo Cuerpo dividid dividido o en cefalotóra cefalotóraxx (prosomP (prosomP)) y abdomen abdomen (opistosomP). Respiración por tráqueas, por filotráqueas o cutánea. Sistema excretor formado por glándulas coxales y tubos de Malpighi. Presentan 4 pares de patas para la locomoción. Ejemplos: Latrodectus mactans “Viuda negra”, Laxosceles laeta “Araña casera”, Sarcoptes scabiei “arador de la sarna”. Hadruroides lunatus “alacrán de los pedregales” b) Clas Clase: e: Cru Crust stác ácea ea Generalmente acuáticos. Cuerpo dividido en cefalotórax y abdomen. La respiración es branquial. Sistema excretor formado por uno o dos pares de glándulas verdes. Generalmente con dos pares de antenas y extremidades bífidas. Las larvas se llaman NAUPLIOS. Presentan regeneración y autotomía. Ejemplos: Porcellio laevis “cochinito de la humedad”. Emerita analoga “muy muy”, Hepatus chilensis “cangrejo puñete”. c) Clase Clase Insect Insectaa (Hex (Hexápo ápodP) dP) Cuerpo dividido en tres tagmas: cefálico, toráxico y abdominal. Respiran por tráqueas. Sistema excretor formado por tubos de Malpighi. Piezas bucales masticadoras, chupadoras o lamedoras. Tienen 3 pares de patas y 2 pares de alas modificadas de distintas maneras. Presentan metamorfosis completa (con estadios de huevo, larva, pupa o capullo y adulto). Incompleta (con estadios de huevo-ninfa y adulto). Para poder crecer realizan mudas, ecdisis o exilias. Ejemplos: Periplaneta americana “cucaracha”; Gryllus assimilis “grillo”; Pediculus humanus capitis “piojo de la cabeza”; Phthirius pubis “ladilla”; Triatoma infestans “chirimacha”, Musca domestica pseudopunctipennis “zancudo”, “mosca doméstica”, Anopheles pseudopunctipennis Hippodamia convergens “mariquita”, Apis mellifera “abeja común”. Filum: Chordata. Sub filum: Vertebrata.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Son las salamandras o tritones. Están provistos de miembros iguales y de una cola. Los adultos se parecen bastante a los renacuajos, las únicas diferencias son la presencia de pulmones en lugar de las branquias y la posibilidad de reproducirse reproducirse y de vivir vivir fuera del agua. En ella se mueven con soltura gracias a los movimientos laterales de la cola. Fuera de ella utilizan las cuatro patas para andar.
Agrupa organismos con columna vertebral y generalmente con dos pares de extremidades. Comprende las Súper Clases Pisces y Tetrápoda. Súper Clase: Pisces. Animales adoptados totalmente a la vida acuática, cuerpo fusiforme fusiforme (con excepciones excepciones de: rayas, lenguado, lenguado, etc.); cubierto de escamas: escamas: ctenoideas, cicloideas, ganoideas y placoideas. Tienen locomoción por aletas: pares, impares y caudal; con línea lateral con células sensitivas. Celomados, sin diafragma, pero con septum transversum. Corazón con una aurícula y un ventrículo, de circulación cerrada, simple completa. Respiración branquial (branquias o agallas). Aparato excretor formado por riñones. Ojos sin párpados. De sexos separados, la mayoría con dimorfismo sexual. Comprende a la Clase Condricties o Peces Cartilaginosos (“Tiburón”, “tollo”, “pez guitarra”, “raya”, “mantarraya”, “pez sierra”, “químeras”, “torpedo”) y Clase Osteicties o Peces Óseos (“trucha”, ( “trucha”, “perca”, “paiche”, “carpa”, “pirañas”, “anguila de río”, “salmón”, “caballito de mar”, “cabrilla”, “lenguado”, “corvina”, “borracho”, “pejerrey”, “sardina”, “anchoveta”, “caballa”, “jurel”, “lorna”, “bonito”, “atún”, etc. Súper Clase: Tetrápoda Comprende a organismos con 4 extremidades, incluye las siguientes clases: Clase Anfibios. Son animales animales que que habitan habitan parcialmen parcialmente te en el agua agua dulce y parcialmente en la tierra. Presentan las siguientes características: características: Piel húmeda, glandular, desnuda. Algunos con glándulas venenosas o parótidas. Cuatro miembros de locomoción o patas de 4 dedos anteriores y 5 posteriores (las Cecilias sin patas). Ojos con 3 párpados: superior, inferior e intermedio o membrana nictitante. Son oído externo o pabellón, con membrana timpánica Con dos fosas nasales externas que se4 comunican con las coanas o la cavidad bucal, provistas de válvulas para impedir la entrada de agua. Lengua a menudo protráctil, fija por la parte anterior y libre por la parte posterior. Celomados, sin diafragma. Esqueleto óseo, la mayoría sin costillas. Corazón con 2 aurículas y 1 ventrículo, glóbulos rojos ovalados y nucleados. Circulación sanguínea cerrada, doble e incompleta. Respiración mixta, pulmonar y cutánea cuando son adultos y branquial cuando son juveniles. Temperatura del cuerpo variable (poiquilotermos) Aparato digestivo completo Aparato excretor formado por riñones, uréter que desemboca en la cloaca, con vejiga urinaria. Con aparato reproductor, sexos separados, órganos genitales dentro del celoma, con difícil dimorfismo sexual. sexual. Fecundación externa pero con apareamiento (abrazo nupcial en anuros) Reproducción sexual, ovípara, suelen tener fase larvaria (renacuajo) acuática con metamorfosis hasta la forma adulta Comprende los siguientes grupos taxonómicos: a)
b)
c)
Anuros. Son las ranas ranas o sapos sapos.. Están Están provistos provistos de de miembros miembros desiguales y carecen de cola en el estado adulto, presentando, como adaptación al salto, salto, una columna vertebral vertebral reducida y rígida llamada urostilo. Durante la etapa larvaria atraviesan por un estado pisciforme.
Clase Reptilia.
La piel de los anfibios es dura, seca y sin glándulas. Está recubierta de escamas, placas óseas y caparazón o carpancho. Esqueleto óseo, paladar que separa la cavidad bucal de la nasal. Presencia del hueso cuadrado que permite una mayor apertura de la boca. Los ofidios carecen de esternón. Las vértebras y costillas costillas en los quelonios (tortugas) (tortugas) se encuentran pegadas a la región interna del espaldar. Las extremidades están dirigidas en ángulo recto con respecto al suelo, lo que obliga a la reptación. La circulación es doble e incompleta. El corazón presenta 3 cavidades (2 aurículas y un ventrículo).En los cocodrilos se puede observar que el corazón posee 4 cavidades (2 aurículas y 2 ventrículos). Presenta aparato digestivo completo. La boca con dientes. Esófago diferenciado del estómago. Intestino delgado desarrolla desarrollado, do, sirve sirve para la absorción absorción de las las sustancia sustanciass alimenticias, desemboca en el colon. Intestino grueso que presenta un ciego bastante desarrollado, desemboca en una cloaca. La cloaca está dividida en 2 porciones: EL URODEO, región donde desembocan productos de los aparatos urinario y reproductor y el COPRODEO, región donde desembocan los productos del aparato digestivo. La respiración es de tipo pulmonar, Las tortugas marinas presentan respiración cloacal. Presentan 2 riñones metanéfricos, que desembocan en 2 uréteres, los cuales llevan la orina hasta la cloaca, salvo en saurios y quelonios en los que existe vejiga urinaria, que se forma como repliegue de la pared interna de la cloaca. La reproducción es sexual, presenta sexos separados (dioicos). Las hembras son capaces de desarrollar huevos cleidoicos (encerrado en una cubiertP). Algunos machos poseen una estructura copulativa denominada pene, el cual tiene capacidad de erección por acción muscular o sanguínea. Sirve para depositar el esperma dentro del Urodeo de la hembra.
Comprende los siguientes grupos taxonómicos:
a)
Orden Ofidios. Presentan el cuerpo alargado y sin miembros. Boca muy dilatada, sin vejiga urinaria. Comprende las familias:
Gimnofiones. Su nombre proviene de Gymnophiona, Gymnophiona, que en griego significa significa "serpient "serpiente e desnuda", desnuda", conocidos conocidos como Cec Cecilia iliass o apodos. apodos. Caracteriz Caracterizados ados princip principalmen almente te por presentar presentar un aspecto aspecto vermiforme, vermiforme, correspond corresponden en a los los anfibios anfibios modernos modernos más escasos, desconocidos y peculiares. Habitan únicamente en las regiones tropicales húmedas.
Boidos: no no son venenosos, poseen rudimentos de cintura escapular. Matan a sus presas comprimiéndolas entre las espiras que forman enrollándose sobre ellas. Ejemplos: Boa constrictor, Anaconda.
Caudados.
Colúbridos: con maxilares largos y horizontales, poseen numerosos dientes en ambas mandíbulas. Ejemplo: culebras, coral, cobra. Vipéridos: poseen poseen dientes dientes ponzoñoso ponzoñososs tubulares tubulares y glándulas de veneno en el maxilar superior, cabeza 5
triangular, son muy venenosos. Ejemplo: Shushupe, cascabel.
b)
Orden Saurios. Cuerpo prolongado, con 4 miembros. Se alimentan de animales vivos. Son ovíparos. Ejemplos: lagartija, iguana, geko.
c)
Orden Cocodrylia (Cocodrilos) Tienen hueso cuadrado inmóvil, cuerpo cubierto por gruesas placas óseas dérmicas, son acuáticos. Ejemplos: cocodrilo de Tumbes, Caimán.
d)
Orden Quelonios. Tienen cuerpo cubierto por una doble coraza (peto y espaldar) espaldar) que solo solo deja asomar asomar la cabeza, cabeza, la cola y los los miembros. La epidermis está transformada en láminas córneas. Ejemplos: tortuga de carey, charapa, taricaya, motelo.
Clase Aves. Son animales terrestres adaptados a la vida aérea. Presentan 2 pares de extremidades; extremidades; par anterior modificado en forma forma de alas; par posterior adaptado para posarse, andar o nadar (con membranas interdigitales). En la mayoría de especies las patas tienen 4 dedos cubiertos por una piel cornificada. Piel delgada cubierta de plumas, con glándula uropigial. Posee melanocitos para dar coloración a las plumas. Esqueleto óseo, el cráneo osificado y huesos fusionados para darle mayor solidez. Las mandíbulas han sido reemplazadas por el pico. Presencia de 1 sólo cóndilo en el occipital, esto permite permite girar la la cabeza cabeza hasta más más de 180 grados. grados. Las Las vértebras cervicales permiten gran movilidad en el cuello. Las vértebras lumbares, sacras y las primeras caudales, se fusionan formando el Sinsacro. Presentan Pigóstilo al final de la columna vertebral (rabadillP). Las clavículas presentan la Fúrcula o “Hueso de la Suerte”. El esternón puede ser plano o presentar prolongación en forma de quilla que se denomina Carena. Los huesos largos carecen de médula ósea, presentan la denominada Cavidad Cavidad neumática que se llena de aire y aligera el peso durante el vuelo. La circulación es a vasos cerrados, doble y completa. El corazón presenta 4 cavidades: 2 aurículas y 2 ventrículos. Respiración pulmonar; los pulmones se comunican con 9 sacos sacos aéreos aéreos que sirven sirven para para aumentar aumentar la capacidad capacidad volumétrica de aire. Estos sacos aéreos se distribuyen de la siguiente manera: manera: 1 impar interclavicular, interclavicular, 4 pares de sacos aéreos: 2 cervicales, 2 pretóraxicos, 2 abdominales y, 2 postoráxicos. Presentan la siringe para la emisión de sonidos. Aparato digestivo completo; boca sin dientes, transformada en pico; presentan glándulas mucosas para lubricar los alimentos, sin glándulas salivales verdaderas, sin embargo existe producción de saliva. El esófago es tubular con glándulas mucosas, sirve de vía para el pasaje de los alimentos. El buche (que no siempre está presente en todas las especies) sirve como depósito de alimentos, los cuales se reblandecen por acción de la saliva. El estómago se encuentra dividido en 2 porciones: el proventrículo o estómago glandular, es el encargado de secreciones enzimáticas que contribuyen a la digestión y la molleja o estómago muscular que se encarga de la trituración, para lo cual posee un revestimiento interno que secreta una sustancia queratinosa queratinosa que forma cordones cordones los cuales ayudan ayudan a la trituración de los alimentos. El intestino no está dividido en delgado y grueso como en los mamíferos, presenta un par de ciegos que reabsorben el agua. La cloaca está dividida en 3 porciones: el coprodeum, por donde pasan las heces, el urodeum, donde desembocan los conductos genitales y el proctodeum, en donde se almacenan las heces y son expulsadas finalmente. 6
Los riñones de las aves presentan los uréteres que desembocan directamente en la cloaca, carecen de vejiga urinaria. El macho posee 2 testículos situados cerca de los riñones, algunas especies poseen un pene eréctil (Ej. Pato, avestruz), aunque la mayoría carece de esta estructura. En las hembras sólo la gónada izquierda es funcional, de la misma manera el oviducto del m ismo lado.
Comprende los siguientes grupos taxonómicos: a) Familia Spheniscidae. Comprende a los pingüinos. Estas aves no pueden volar, pero sus alas les sirven como aletas. Su plumaje es oscuro por encima y blanco por debajo. Como único representante en el Perú tenemos al Pingüino de Humboldt. Humboldt. b)
Familia Pelecanidae. Comprende a los pelícanos que son aves marinas guaneras muy grandes. Tienen un enorme pico con una bolsa gular en la parte inferior.
c)
Familia Sulidae. Agrupa aves marinas guaneras. Son gregarias, se las puede reconocer por su costumbre de pescar lanzándose en picada al mar. El piquero común es el más abundante.
d)
Familia Phalacrocoracidae. Agrupa a los cormoranes; aves acuáticas guaneras. Esta familia incluye tanto a especies marinas como de agua dulce. Cuando están en tierra adoptan una postura erguida. Cazan peces persiguiéndolos bajo el agua. Incluye al guanay, el cushuri y la chuita.
e)
Familia Phoenicopteridae. Comprende a los flamencos. Es fácil de reconocerlos por el color rosado de su cuerpo, patas largas y pico grueso doblado a la mitad.
f)
Familia Anatidae. Su hábitat natural es el agua dulce. Tienen las patas palmeadas, pico grueso y plano. Incluye al pato gargantilla y al pato colorado.
g)
Familia Columbidae. Algunas especies de esta familia están muy ligadas al hombre. Presentan vuelo rápido, cabeza pequeña, plumaje suave y denso con brillos metálicos en el dorso. Son representantes la paloma doméstica, cuculí, rabiblanca, tortolita y cascabelita.
h)
Familia Psitacidae. Agrupa a los loros. De pico grande en forma de gancho y sus patas están adaptadas para trepar. Son ejemplos la Cotorra de Wagler, loro de cabeza roja, perico esmeralda y pihuicho.
i)
Familia Trochilidae. Llamados también colibríes. Tienen plumaje brillante a la luz del sol. Son las únicas aves que pueden volar en cualquier dirección porque sus alas rotan de un extremo a otro. Son importantes polinizadores. Las Las especies representativas representativas son: picaflor de Cora, amazilia costeña, picaflor de cola ahorquillada.
j)
Familia Mimidae. Agrupa animales de cuerpo fino y cola larga. Algunas especies pueden imitar el canto de otras aves. Su hábitat se encuentra en matorrales arbolados. En su mayoría son insectívoras, pero ocasionalmente comen fruta. En esta familia se encuentra al Chaucato.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Clase Mammalia. Los organismos presentan el cuerpo cubierto de pelos, lana, cerdas, etc. Poseen glándulas mamarias, sebáceas y sudoríparas. Respiración pulmonar. Circulación doble, completa y a vasos cerrados. Unisexuales y vivíparos, algunos ovíparos. Poseen sistema nervioso y órganos de los sentidos bien desarrollados. Temperatura constante. Cuerpo dividido en cabeza, tórax y abdomen. Cavidad torácica separada de la abdominal por el diafragma. Comprende los siguientes grupos taxonómicos:
Arctocephalus australis “lobo fino”, Lama guanicoe “guanaco”, Lontra felina “nutria marina”, Trichechus inunguis “manatí”
Orden Monotremas Se le considera considera en general como como más mamíferos primitivos. Son ovíparos y tienen mamas sin pezones. Ejemplo: ornitorrinco, Equidna.
Phalacrocorax bouganvilli “guanay”, Phalacrocorax gaimardi “chuita”, Spheniscus humboldti “pingüino de Humboldt”, Sula granti “piquero de Nazca”, Sula variegata “piquero peruano”, Vultur gryphus “cóndor andino”.
Orden Marsupiales Único orden. Comprende a la zarigüeya, rata marsupial (especies americanas ambas), ambas), a los los canguros, diablo de Tasmania, Koala, etc.
Reptiles.
Orden Chiroptera Son mamíferos voladores dotados de una membrana a la que dan rigidez cuatro de los cinco dedos de sus extremidades anteriores. Este orden agrupa a una gran variedad de murciélagos, en su mayoría insectívoros.
Crocodylus acutus “cocodrilo de Tumbes”, Dermochelys coriacea “tortuga de mar gigante”
Anfibios Batrachophrynus macrostomus “rana de Junín”
EN PELIGRO (EN) Mamíferos Aves.
Boa constrictor ortonii “boa de costa”, Chelonia mydas agassizzii “tortuga verde”, Podocnemis expansa “charapa”, Geochelone carbonaria “motelo”, “supay motelo”.
Anfibios. Atelopus peruensis peruensis “sapo”, Batrachophrynus Batrachophrynus brachydactylus brachydactylus “rana”.
VULNERABLE (VU) Mamíferos.
Orden Primates Este orden, que proviene directamente de los insectívoros, incluye al ser humano. Agrupa a: lémures, tarsio de la India o Tarsius, Titi, el mandril de Asia y África, Gibón, Orangután, Chimpancé y Gorila.
Ateles chamek “maquisapa”, Cacajao calvus “huapo colorado” , Mazama rufina “venado” , Otaria byronia “lobo chusco”, Tapirus terrestris “sachavaca”.
Orden Carnívora Agrupa a todos los carnívoros actuales como: nutria, lobos, zorros, hienas, leones, tigres, panteras, etc.
Ara chloroptera “guacamayo rojo y verde”, Larosterna inca “zarcillo”, Progne murphyi “golondrina peruana”, Sterna lorata “gaviotín concolor “fringilo apizarrado”, peruano”, Xenospingus concolor
Orden Perissodactyla Son ungulados (animales con pezuñas), herbívoros, de número impar de dedos dedos (tres o uno). Comprende: caballos, burros, cebras, tapir, rinocerontes. Orden Proboscidae Proboscidae Agrupa a dos tipos de elefantes, el africano (de orejas grandes) y el asiático (de orejas pequeñas). Orden Cetácea Cetácea Agrupa a los mamíferos más especializados especializados para la vida marina. Las extremidades extremidades anteriores anteriores estan estan transformadas transformadas en aletas, las posteriores han desaparecido, y la cola se convirtió en un órgano natatorio muy desarrollado. Incluye las orcas, los delfines, la ballena azul.
Aves.
Reptiles. Bothrops andianus “jergón”, Dicrodon heterolepis “lagartija de cabeza colorada”, Melanosuchus niger “caimán negro”.
Anfibios. Telmatobius arequipensis “rana de Arequipa”, Telmatobius culeus
“rana del Titicaca”. CASI AMENAZADO (NT) Mamíferos. Puma concolor “puma”, Vicugna vicugna “vicuña”
Aves. Falco peregrinus “halcón peregrino”, Phoenicopterus chilensis
“parihuana” ESPECIES AMENAZADAS DE FAUNA SILVESTRE PERUANA. Mediante DECRETO SUPREMO Nº 034-2004-AG, se aprobó las siguientes categorías de fauna silvestre peruana peruana en situación situación de amenaza. Se presentan las categorías y la relación de algunas especies. EN PELIGRO CRÍTICO (CR)
Reptiles. Microlophus tigris “lagartija”, Callopistes flavipunctatus “iguana
marrón”
Anfibios. Bufo spinulosus “sapo”, Dendrobates reticulatus “rana rojita”, Telmatobius brevirostris brevirostris “rana”
Mamíferos Chinchilla brevicaudata “chinchilla”, Tapirus pinchaque “pinchaque”
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° N° 9
Aves Pelecanoides garnotii “potoyunco”, Penelope albipennis “pava aliblanca”, Podiceps taczanowskii “zambullidor de Junín”
Reptiles
1. Es la clase clase de platelmi platelmintos ntos que que son conocid conocidos os como como “duelas”: “duelas”: P) Tremátoda Tremátoda Q) Nemátoda R) Céstoda
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S) Gasterópoda T) Turberlaria 2.
Los animales animales denominado denominadoss gusanos gusanos de cuerpo cuerpo cilíndric cilíndrico, o, corresponden al filum: P) Platelmin Platelmintos tos Q) Turberlaria R) Nematelmintos S) Céstoda T) Helmintos 3. Los animales animales que poseen poseen cuerpo cuerpo blando blando protegido protegido por una una concha calcárea, corresponden al filum: P) Artrópodos Q) Nema Nemate tellmin mintos tos R) Moluscos S) Cordados T) Plat Platel elm minto intoss 4. (B – KPR). La altern alternativ ativa a que que indica indica una especie especie del Filum Filum Platelmintos, es: P) Ascaris Q) Oxiuros R) Triquina S) Tenia enia del del cer cerd do T) Lomb Lombri rizz int intes esti tina nall 5. Son especies especies platelmin platelmintos, tos, excepto: excepto: P) Tenia enia del del cer cerd do Q) Tenia enia de bue buey R) Lomb Lombri rizz intes intesti tina nall S) Tenia enia del del pe perro rro T) Duel Duela a del del híga hígado do 6. La alternativ alternativa a que indica indica la Clase Clase del del Filum Filum molusca molusca a la que pertenece los caracoles,es: P) Gast Gaster eróp ópod oda a Q) Bivalvia R) Cefalópoda S) Crustácea T) Pelecipoda 7. Filum Filum que agrupa agrupa a organis organismos mos con con formas formas de pólipo póliposs y medusas: P) Rotifera Q) Cnidaria R) Porífera S) Annelida T) Arthropoda 8. El arador arador de la sarna es es un artrópo artrópodo do que pertene pertenece ce a la clase clase:: P) Anélida Q) Plat Platel elm minto intoss R) Crustácea S) Insecta T) Arácnida 9. La glándula glándula uropigial uropigial se encuentr encuentra a presente presente en: P) Peces Q) Anfibios R) Reptiles S) Aves T) Mamíferos
10. El sistema digestivo digestivo de los rotíferos rotíferos se caracteriza por por presentar una estructura llamada….…que sirve para: P) Quel Quelíc ícer ero o , mast mastic icar ar Q) Rádu Rádula la,, rasp raspar ar R) Piez Pieza a buc bucal al,, mas mastitica car r S) Mast Mastax ax,, trit tritur urar ar T) Diente, te, mol moler
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11. Son reptiles reptiles con respiración respiración cloacal: cloacal: P) Coco Cocodr drililos os Q) Lagartijas R) Iguanas S) Boas T) Tortugas marinas
12. Es un animal animal ungulado: ungulado: P) Murc Murcié iéla lago go Q) Koala R) Otorongo S) Manatí T) Tapir 13. La rádula es una estructura que está presente presente en los organismos del filum: P) Porífero. Q) Caudados. R) Rotífero. S) Annelida. T) Mollusca. 14. El individuo que presenta su cuerpo dividido en dos tagmas ,es: P) Muy muy. Q) Fasciola. R) Mariposa. S) Araña. T) Sarna. 15. El urostilo es una estructura que está presente presente en las las : P) Aves. Q) Cuca Cucara rach chas as.. R) Ranas. S) Laga Lagart rtijijas as.. T) Sala Salama mand ndra ras. s. 16. Son características características de los los insectos. Excepto. P) Presen Presentan tan dos pare paress de ojos ojos.. Q) Presentan Presentan respiració respiración n traqueal. traqueal. R) Su cuerpo cuerpo consta consta de cefalotó cefalotórax rax y abdomen. abdomen. S) Poseen Poseen una metamorfos metamorfosis is compl completa. eta. T) Presentan Presentan aparatos aparatos bucales bucales,, chupadores, chupadores, lamedores lamedores,, masticadores. 17. La golondrina peruana es una ave vulnerable de la fauna silvestre, su nombre científico es: P) Ana Ana chlo chloro ropt pter era a Q) Prog Progna na murp murphy hyii R) Maza Mazama ma rufi rufina na S) Falc Falco o pereg peregri rinu nuss T) Sula Sula vari varieg egat ata a 18. La “sachavaca” Tapirus terrestris, se encuentra en una situación: P) En peli peligr gro o cri criti tico co Q) Casi amenazado R) Vulnerable S) En peligro T) Extinto 19. Con respecto a los anfibios marca verdadero verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • Oído interno con membrana timpánica ( ) • Celomados con diafragma ( ) • Anuros con abrazo nupcial nupcial ( ) • Los triton tritones es adulto adultoss parec parecido idoss a los renacu renacuajo ajoss ( ) P) VFVF VFVF Q) FFVV R) VVFF S) VVFV
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO t) FVFV 20. La relación correcta del nombre científico y común de aves silvestre en peligro es: P) Sula variegata “piquero peruano” Q) Spheniscus humboldti “gaviotìn peruano” R) Phalacrocorax Phalacrocorax grimadardi “lobo chusco” S) Sula granti “parihuana” T) Vultur gryphus “halcón peregrino”
UNIDAD Nº10
N = Natalidad M = Mortalidad
I = Inmigración E = Emigración
Si : N + I M + E la TCP > 0 ⇒ N + I = M + E la la TCP TCP = 0 ⇒ N + I M + E la TCP < 0 ⇒ 4.
ECOLOGIA. MEDIO AMBIENTE Y ECOSISTEMAS
La población crece La po blación es táen equ ilibri o L a p o b l a c i ón ón d e c r ec ec e
Comun omunid idad ad bió bióti tica ca.. (Biocenosis) Es el conjunto de diversos seres vivos de diferentes especies que concurren u ocupan un lugar o espacio físico determinado durante un tiempo. Por ejemplo: En una playa rocosa, la comunidad estará representada por por gaviotas, estrellas estrellas de mar, choros, algas, pulpos, cangrejos, etc. Características de las comunidades
La palabra Ecología fue creada por el biólogo alemán Ernest Haeckel en 1868, a partir de las voces griegas: oicos: casa; logos; tratado. Etimológicamente, es la ciencia del hábitat. En términos científicos, la Ecología Ecología es la ciencia ciencia que estudia las condiciones condiciones de existencia de los seres vivos y las interacciones de todo tipo que existen entre los diversos organismos (vivos y muertos) y el medio ambiente. Para ello, la Ecología se apoya en otras ciencias como: la Física, la Química, Matemática, Geografía, Meteorología, Hidrobiología, Etología, etc. Su campo de investigación abarca todos los aspectos vitales de los organismos, su posición sistemática, sus reacciones frente al ambiente y entre sí y la naturaleza física y química de su entorno inanimado. La Ecología juega actualmente un rol muy importante ya que permite conocer, proteger, conservar y mejorar el ambiente y los seres que en él viven. Terminología básica Partiendo de que la Ecología es una ciencia muy amplia, es fácil deducir la cantidad de términos que se emplean emplean para su estudio. A continuación, presentaremos la terminología elemental sobre esta ciencia: 1. Individuo. Hace referencia a cada ser vivo que ocupa un lugar dentro de la Biósfera y se constituye en el anfitrión de cada interrelación con su medio ambiente. Ejemplo: una bacteria, un alga, un protozoario, un hongo, una planta, un animal. 2. Especie. Es el conjunto de individuos que comparten caracteres externos e internos comunes y además son interfecundos porque al aparearse producen descendencia fértil. 3. Población. Se define como el conjunto de individuos de la misma especie que ocupan un lugar físico determinado y que viven durante un determinado tiempo. Ejemplo: una colonia bacteriana, una población de vicuñas, un grupo de alumnos, un cardumen, una colonia de setas, una jauría de lobos, etc. Dinámica de Poblaciones Se refiere a los cambios en el número de individuos de una población, así como los factores que causan esos cambios y los mecanismos por lo que se producen. La población crece debido fundamentalmente a dos factores: natalidad (números proporcional de nacimientos en un lugar y tiempo determinados) e inmigración (individuos que llegan procedentes de otras poblaciones). La población decrece por dos factores principales: mortalidad (número proporcional de defunciones en un lugar y tiempo dado) y emigración (salida de individuos hacia otros biotopos). La Tasa de Crecimiento Crecimiento Poblacional Poblacional (TCP) está en función de estos cuatro parámetros, por eso es que: T C P = N +I – ( M +E ) Donde:
a. Presenta diversidad de especies, es una medida sencilla de la riqueza o diversidad de especies, b. Tienen estructura y formas de crecimiento, crecimiento, sean árboles, arbustos, hierbas y musgos; además de la estratificación o disposición vertical en capas de la comunidad. c. Existe predominio de especies. Hay algunas que dominan el escenario y determinan el éxito de la comunidad. d. Presenta abundancia relativa, se pueden medir las proporciones relativas de las especies. e. Presentan estructura trófica, trófica, que se manifiestan en relaciones alimenticias de las especies (cadenas, pirámides y tejidos). 5.
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Medio am ambiente. (Biotopo) Es el lugar o espacio físico ocupado por una determinada comunidad biótica o biocenosis. Ejemplo: En una playa rocosa, el biotopo estará formado por las rocas, el agua, la humedad, el calor, la luz, la salinidad, etc. Ecosistema. Representa la unidad básica y fundamental de la Ecología. Se le define como las múltiples múltiples interrelaciones interrelaciones que existen entre la comunidad y su medio ambiente. Ejemplo: Ejemplo: En una laguna se distinguen dos conjuntos que interactúan entre sí: el primero es el medio físico y químico formado esencialmente por el agua y las sustancias sustancias disueltas que constituyen el medio en donde viven los organismos acuáticos, este medio (biotopo) es el conjunto de factores abióticos de la laguna. El segundo conjunto está formado por los seres vivos que han encontrado en la laguna las condiciones ambientales adecuadas para vivir y reproducirse (biocenosis). FACTORES DE UN ECOSISTEMA. ECOSISTEMA. A. Factor Factores es abiótic abióticos. os. Conjunto de condiciones físicas y químicas de los que dependemos los seres vivos y que determinan la distribución de los diferentes tipos de organismos. Los de mayor importancia son: Temperatura: Su rango varía entre 0ºC y 50ºC, algunas bacterias viven por encima de 80ºC mientras que algunas semillas pueden tolerar temperaturas por debajo debajo de –50ºC. –50ºC. Presión: Su rango varía desde valores menores a 1 atmósfera (montañas altas) hasta valores de 1000 atmósferas, (océanos profundos) Agua: Factor indispensable para la vida, dada su condición de solvente universal. Sirve, además, como medio de vida a muchas especies. Otros factores son: Topografía, pH, textura y profundidad del suelo, salinidad, clima (humedad relativa, viento, etR). B. Fact Factor ores es biótic bióticos os.. Son aquellos que resultan de las interacciones de los seres vivos, como son, la sociabilidad, la competencia, el parasitismo, la predación, la disponibilidad de alimento, entre otros. 9
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Nicho ec ecológico.. Aunque la palabra palabra “nicho” puede traer a la mente un espacio muy pequeño, en Ecología significa mucho más. Cada especie ocupa un nicho ecológico único, que comprende todos los aspectos de su estilo de vida. Las especies que viven en un hábitat determinado tienen un régimen alimenticio conocido u “ocupación” que es la función natural de la especie dentro del ecosistema. Es decir, “tienen una profesión con la cual se ganan la vida”. La combinación de función y hábitat se define como “nicho ecológico”, ecológico”, a través del cual se conoce la posición trófica de la especie y por lo tanto, sus relaciones con otras especies. Por ejemplo: Al decir que el paiche ( Arapaima Arapaima gigas) es un depredador de peces pequeños que viven viven en lagunas amazónicas, nos nos referimos a su nicho ecológico. Hábit ábitat at (do (domic micili ilio). o). Es el lugar o espacio físico natural que ocupa una determinada especie dentro de la comunidad biótica. Hay que considerar en este espacio las condiciones o factores físico-químicos como: temperatura, humedad, luz, salinidad, pH, etc. Ejemplo: El hábitat de la vicuña son las punas andinas; el paiche es un pez que vive en las aguas negras y cálidas de algunas lagunas amazónicas, las lombrices de tierra habitan en las galerías que construyen en terrenos fangosos, etc. Bioma. Es un conjunto de comunidades de flora y fauna que ocupan extensiones bastante grandes. También se le define como un tipo general de ecosistema que ocupa áreas geográficas extensas, caracterizadas por comunidades similares de plantas. Ejemplo: desiertos, sabanas, bosques tropicales, bosques caducifolios, tundras, etc. Los biomas generalmente reciben el nombre de la vegetación predominante, que está determinada por la interacción compleja entre la lluvia y la temperatura. Biós iósfera. (Esfera (Esfera de la vidP) vidP) Dentro de la concepció concepción n moderna, se considera a nuestro planeta constituido por una serie de esferas concéntricas (atmósfera, hidrosfera y litósferP). La Biósfera comprende todas las áreas de la tierra, agua y aire, donde se encuentran y se desarrollan las formas formas de vida. Ecósfera. Se puede definir como la suma total de los ecosistemas de la tierra, por lo tanto, incluye a la biósfera y a los factores físicos con los que se interrelaciona. La Ecósfera es el nivel más alto de organización. organización. Ecotipo. Grupo de individuos obtenidos por cruzamiento en una especie, que se distinguen por caracteres hereditarios que garantizan su adaptación a un hábitat. Ecotono. Ecotono. Zona de transición de un ecosistema a otro. Zona Zonas s de de Vid Vida. a. Es un grupo de asociaciones vegetales dentro de una división natural del clima, los cuales toman en cuenta las condiciones edáficas y las etapas de sucesión tienen una fisonomía natural en cualquier parte del mundo. Los factores que se tienen tienen en cuenta son: la biotemperatura, la lluvia, la altitud y la evapotranspiración.
RAMAS DE LA ECOLOGÍA La autoecología o ecología del individuo: individuo: estudia el hábitat y los efectos y reacciones que produce sobre un organismo. La ecología de poblaciones o demoecología: demoecología: se ocupa de las relaciones que los individuos establecen entre sí, y con su propio entorno, cuando se agrupan en poblaciones. La sinecología o ecología de las comunidades y ecosistemas: ecosistemas: estudia la interacción de las poblaciones entre sí y con el medio que ocupan. ocupan. La ecología cultural: cultural: estudia los modos en que el hombre se relaciona con el ambiente y en que las actividades humanas afectan a este. Intenta explicar el origen de los rasgos culturales característicos y las formas que caracterizan las distintas zonas. La ecología sociológica: sociológica: es la disciplina del campo de las ciencias sociales que se ocupa del estudio de las relaciones del hombre con el medio geográfico. Centra su atención en
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las relaciones humanas que se desarrollan en la acción de una población frente a su medio urbano. La ecología analiza la distribución de la población en el espacio según categorías étnicas, lingüísticas o sociales, e intenta establecer la relación entre las modificaciones de la estructura social y las que producen en el espacio espacio habitado. habitado. RELACIONES INTRAESPECIFICAS. INTRAESPECIFICAS. Ocurren entre individuos de la misma especie. La habilidad locomotora tiene influencia en los tipos de asociación que existen entre los individuos. Algunos animales son solitarios, solitarios, viven solos, excepto durante la época de reproducción. Otros son gregarios, viven en grupos, rebaños, bandadas, manadas u otras asociaciones similares. Compensación. Se da en el cuidado de las crías propias y ajenas. En la especie llamada comúnmente “pingüino emperador” algunos individuos como nodrizas, cuidado sus crías y las de otros, mientras que los demás adultos se encuentran pescando. En algunas especies se produce una Sociedades. diferenciación morfológica de acuerdo a la función que realizan sus miembros, por ejemplo en las abejas, hormigas, comejenes, etc. Así tenemos que en las abejas existen la reina, las obreras y los zánganos. Migraciones. Es otra forma de mantener el equilibrio de la población para aprovechar mejor el alimento y el espacio existente. Por ejemplo, la migración del salmón desde el mar mar hasta las nacientes de los ríos donde depositan sus huevos. Existen las llamadas “migraciones sin retorno”, como las que realizan los “lemmings” de Escandinavia y Canadá que migran hacia hacia el mar mar muriendo muriendo despeñado despeñado en el trayecto trayecto y ahoga ahogado do en su mayor parte. ambiente. El ambiente cuenta con factores Resistencia del ambiente. físicos con los cuales impide la sobrepoblación, la limitación de alimentos, la competencia con otras especies. Tiende al equilibrio de los componentes del ecosistema. Territorialidad. Es la tendencia a ocupar cierto territorio, es una forma de conducta para controlar el tamaño de una población. Es muy común en las aves, ciertos mamíferos, peces, crustáceos, insectos. Predominio social en el grupo. Algunas veces existen especies que hacen uso de su posición social más alta para humillar y ahuyentar a los de posición social más baja. En un gallinero por ejemplo, se establece el "orden de picoteo" donde una gallina puede picar picar a otra y ésta picar picar a la de orden inferior, pero no a la del orden superior. Existe también la jefatura la jefatura en el grupo ejercido generalmente por un macho que se encarga de cuidar y conducir al grupo; esto se observa por ejemplo, en la vicuña donde un macho, cuida y vigila al resto. Por ello los cazadores matan primero al macho para después matar a las hembras que desorientadas no aciertan a escapar. También en un rebaño de cabras, una manada de monos o ganado existe un jefe al que los demás obedecen. Competencia. Ocurre cuando dos o más organismos (o poblaciones) interfieren o inhiben uno a otro. Los organismos implicados usan algún recurso común cuya oferta es escasa (espacio vital, alimento, lugar de anidación, pareja, etR). Como a cualquiera de las las partes le es más ventajoso evitar a la otra, siempre que sea posible, la competencia promueve el uso de diferentes recursos, generando una gran diversidad ecológica (hábitos de alimentación diferentes, tamaños de presa, hora de forrajeo, etc.) RELACIONES INTERESPECIFICAS: INTERESPECIFICAS: Ocurren entre individuos de diferentes especies. especies. Se utiliza el término simbiosis para describir describir en un sentido genérico la relación estrecha entre dos o más especies, asociación que puede darse de diferentes formas. El neutralismo es un término opuesto al de simbiosis, y se refiere al caso poco frecuente que una especie no ejerza influencia sobre otra. Comensalismo. Es el caso de un organismo que vive a expensas de otro sin causante daño beneficio. Ejemplo:
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insectos que viven en nidos de aves o madrigueras de mamíferos. Protocooperación. En esta relación ambos se benefician, sin existir dependencia entre ellos. Ejemplo: algunas anémonas que viven sobre el caparazón de crustáceos, los primeros se sirven de los crustáceos como medio de transporte y los crustáceos se sirven de las anémonas para pasar inadvertidos. inadvertidos. Mutualismo. En esta relación ambos se benefician, pero hay una gran dependencia entre ellos (uno no podría vivir sin el otro) Ejemplo: las bacterias que degradan la celulosa en las vías digestivas de los rumiantes y los líquenes. Predación. Esta relación se caracteriza porque una especie (predador) (predador) mata mata a otra (presP) (presP) para alimentar alimentarse se de ella. ella. Ejemplo: un otorongo (jaguar) que se alimenta de un sajino (jabalí). Parasitismo. El elemento activo de esta relación es el parásito que vive a expensas de u hospedero, pero sin causar su muerte. Ejemplo: piojos en humanos. Antibiosis. Ocurre cuando una especie produce una sustancia perjudicial para una especie competidora. Ejemplo: El hongo Penicillum produce produce una toxin toxina a (penicilin (penicilinP) P) que inhibe inhibe el el desarrollo de algunas bacterias.
ECOLOGÍA DE LA NUTRICIÓN Los organismos de una comunidad se agrupan en categorías, y desempeñan funciones de productores, consumidores y desintegradores. Los productores elaboran moléculas orgánicas complejas a partir de sustancias inorgánicas simples, para lo cual usan la energía como la del sol. Los consumidores utilizan el cuerpo de otros organismos, incluyendo el de otros consumidores como fuente de energía alimenticia. Algunos son consumidores primarios como los herbívoros, por ejemplo la llama, alpaca y vizcachas. Los consumidores secundarios incluyen a los depredadores carnívoros, por ejemplo el puma, el zorro. Otros consumen gran variedad de organismos, ya sean plantas o animales y se les llama omnívoros, como por ejemplo los osos, cerdos y seres humanos. Los desintegradores son aquellos organismos que van a descomponer el cuerpo de los organismos muertos, ya sea animal o planta. Por ejemplo al morir un árbol, los hongos invaden la madera y la digieren; las bacterias pueden intervenir en este proceso. CADENAS, REDES Y PIRÁMIDES PIR ÁMIDES ALIMENTICIAS: El número de organismos de cada especie es determinado por la velocidad del flujo de energía por la parte biológica del ecosistema que los incluye. La transferencia de la energía alimenticia desde su origen en las plantas a través de una sucesión de organismos, cada uno de los cuales devora al que le precede y es devorado a su vez por el que le sigue, se llama cadena alimenticia. El número de eslabones de la cadena debe ser limitado a no más de cuatro o cinco, esto se debe a la gran degradación de energía en cada uno. El flujo de energía en los ecosistemas (procedente de la luz solar por medio de la fotosíntesis) determina el peso total y número de cada organismo organismo en el ecosistema. La pirámide alimenticia nos da una referencia del número de organismos en cada nivel trófico. Es mayor en los niveles inferiores y menor en los niveles superiores. SUCESION ECOLÓGICA La sucesión es resultado de la modificación del ambiente físico por causas internas o externas a la comunidad. Culmina con el establecimiento de un ecosistema biológicamente estable (se alcanza el clímax) que se perpetúa a sí mismo. Odum definió la sucesión ecológica como un proceso ordenado de cambios direccionales de la comunidad y por tanto predecibles. Las comunidades clímax mantienen un doble equilibrio de las especies entre sí, y éstas con las propiedades ambientales; es pues la máxima meta biológica a la que una sucesión puede llegar.
SUCESIÓN PRIMARIA O SERIE COMPLETA. Se denomina así al proceso de sucesión que se desarrolla desde una zona desnuda hasta alcanza la clímax. SUCESIÓN SECUNDARIA. Se produce cuando la sucesión parte de una etapa cualquiera de la serie causado por una perturbación, sea un incendio, inundación, inundación, etc.; en este caso, transcurrido transcurrido un tiempo retorna a la serie primaria completa. Por tanto, toda sucesión primaria conduce y culmina en el clímax. SUCESIÓN REGRESIVA O DISCLIMAX. Son las que llevan en sentido contrario al clímax, es decir, hacia etapas etapas inmaduras del del ecosistema. Las causas del disclímax tienen su origen en el ambiente, y muy destacadamente en la acción del hombre. No se trata de una sucesión ecológica invertida, sino de una regresión forzosa del ecosistema por la destrucción de alguna etapa de la serie, por ejemplo a causa de un incendio forestal sin regeneramiento, que podría dar paso a la desertización. Cuando el biotopo inicial del que parten las comunidades hacia el clímax tiene un origen acuático, a las series de sucesión se les denomina hidroseries. Si las series se producen sobre LOS PROBLEMAS AMBIENTALES Y SUS CAUSAS. Los problemas ambientales no se pueden analizar ni entender si no se tiene en cuenta una perspectiva global, ya que surgen como consecuencia de múltiples factores que interactúan. Nuestro modelo de vida supone un gasto de recursos naturales y energéticos cada vez más creciente e insostenible. Las formas industriales de producción y consumo masivos que lo hacen posible suponen a medio plazo la destrucción del planeta. Algunos efectos de la crisis ecológica ya están claramente perceptibles: aumento de las temperaturas, agujero en la capa de ozono, desertificación, acumulación de residuos radiactivos, extensión de enfermedades como el cáncer o la malaria, insalubridad del agua dulce, inseguridad alimentaria, agotamiento de los recursos renovables y no renovables, etc. El despilfarro de unas sociedades repercute directamente en la pobreza de otras y contribuye al deterioro ambiental general. Es sabido que con sólo el 23% de la población mundial, los países industrializados consumen el 80% de la producción mundial de energía comercial, el 79% del acero, el 85% del papel y el 86% de los metales no ferrosos. Las empresas transnacionales promueven un desmesurado crecimiento del del transporte de mercancías mercancías a grandes grandes distancias distancias causando enormes emisiones de CO 2, la construcción de infraestru infraestructura ctura de transport transporte e y una mayor mayor dependencia dependencia de la extracción de recursos petrolíferos. El aumento generalizado de las demandas de transporte es preciso satisfacerla con grandes infraestructuras que permitan un funcionamiento fluido de la economía mundial y, al mismo tiempo, incentiva los procesos de urbanización y extensión de la movilidad motorizada. Hay que tener en cuenta que los límites de los recursos naturales (petróleo, madera, minerales, biodiversidad, etc.) indican que el actual modo de vida es insostenible. El consumo en constante expansión somete a tensión al medio ambiente, con emisiones y derroches que contaminan la tierra y destruyen los ecosistemas. Se produce un agotamiento y la degradación en aumento de los recursos: la quema de combustibles fósiles se ha casi quintuplicado desde 1950; el consumo de agua dulce se ha casi duplicado desde 1960; la captura marina se ha cuadruplicado; el consumo de madera es ahora 40% superior a lo que era hace 25 años. Entre 1960 y 1998 mientras la población mundial se ha duplicado, las emisiones de CO2 por tres, el consumo de fertilizantes por cinco y la producción de energía por seis. Además, este nivel de consumo no repercute sólo en la naturaleza, sino también en la mayor parte de las personas de este planeta, puesto que sufren directamente los efectos de este irracional modelo de vida. Los países empobrecidos no son los mayores causantes de esta esta crisis ambiental pese a ser lugares donde se producen buena parte de los efectos que a su vez generan importantes flujos migratorios. Consecuencias ambientales de los modos de vida y consumo 11
Aumento del efecto invernadero. El efecto invernadero es un fenómeno natural de la atmósfera que consiste en que la energía solar que llega a la tierra, al tomar contacto con el suelo, se refleja sólo en parte, siendo el resto absorbida. El efecto de esta absorción es un calentamiento calentamiento y se manifiesta manifiesta por una irradiación irradiación de energía hacia la atmósfera. Sin embargo, al viajar hacia la atmósfera se encuentra con gases que actúan de freno, produciéndose la vuelta hacia la tierra y evitando que la energía se escape en su totalidad hacia el exterior calentado más el suelo del planeta. La actividad humana, con el uso de combustibles fósiles (petróleo, carbón, gas natural) está variando este equilibrio natural, produciendo la emisión de gases de invernadero (las emisiones anuales de dióxido de carbono CO2 se cuadruplicaron en los últimos cincuenta años) que, junto con otros provenientes de otras actividades, provocan el recalentamiento mundial de la atmósfera, que está generando una ruptura de los equilibrios naturales. Algunos de los efectos son: cambios climáticos, lo que supone una grave amenaza para las cosechas, inundaciones, aumento de la frecuencia de las tormentas y las sequías, aceleración de la extinción de especies, difusión de enfermedades contagiosas. La generación de energía y el transporte motorizado son las causas más importantes del efecto invernadero. El agujero de la capa de ozono. El ozono es el gas encargado de la protección de la Tierra contra las radiaciones ultravioletas. La introducción de nuevos compuestos artificiales (como los clorofluorocarbonos o CFCs, presentes en los aerosoles y aparatos de refrigeración), así como de fertilizantes, reducen la concentración de ozono en la atmósfera, lo que hace que penetren más cantidad de rayos ultravioletas. Esto provoca graves consecuencias para el desarrollo de la vida vegetal y animal, pudiendo producir mutaciones genéticas, y cáncer de piel en las personas. La lluvia ácida. El grado de acidez de las lluvias ha aumentado en los últimos años. Esto se debe al incremento de emisiones de óxid óxidos os de azuf azufre re y de nitrógeno en el aire. Estos gases se combinan con el vapor de agua y se convierten en ácido sulfúrico y ácido nítrico, nítrico, que caen en la tierra mezclados con el agua de la lluvia. El pH de la lluvia varía, dependiendo de la cantidad de ácidos disueltos que contengan; muchas veces llega a alcanzar valores de acidez de hasta 1,5 más que el limón. Los efectos de la lluvia ácida son muchos y perjudiciales. Así, afecta a las plantas y a los animales porque disuelve los nutrientes del suelo, como calcio y magnesio, pero también libera el aluminio del suelo, que intoxica a las plantas. Este mismo elemento, luego de intoxicar a las plantas, es llevado a los ríos y lagos, donde provoca alteraciones en el metabolismo de los seres acuáticos. Si las lluvias lluvias ácidas continúan continúan y no hacemos algo urgente al al respecto, entonces a lo largo del tiempo seremos testigos de la desaparición de nuestros bosques, con todo lo que esto implica. Contaminación de aguas y suelo. Se debe debe tanto a los vertid vertidos os urbanos, industriales y ganaderos, como a la utilización de pesticidas y fertilizantes en la agricultura intensiva. Además la explotación y el transporte de recursos naturales (petróleo, oro, carbón, mercurio, metales, etc.) son enormemente contaminantes. Para conseguir un anillo de oro es necesario sacar 4.000 kilo de tierra. La erosión y la salinización del suelo siguen siendo problemas graves. Contaminación del aire. El aumento de tráfico origina "smog" (ozono) con la consiguiente amenaza para la salud humana (graves problemas respiratorios) y la vegetación. Las concentraciones más altas se registran a lo largo del verano. Los datos muestran que una gran mayoría de ciudades superan los valores permitidos para no poner en riesgo la salud humana. Cerca de 25 millones de personas en Europa sufren episodios de niebla tóxica invernal y cerca de 40 millones están expuestos a nieblas tóxicas del verano.
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Deforestación. La deforestación es la pérdida de bosques, lo que tiene graves consecuencias, consecuencias, como son la erosión del suelo debido a la falta de vegetación, la pérdida de terreno fértil, ya que se pierden los nutrientes del suelo, la pérdida de flora y fauna, interrupción del ciclo del agua o el aumento de los niveles de CO2 cuando se queman los bosques. Una sexta parte de la superficie terrestre del mundo se ha degradado como resultado de la ganadería intensiva y de malas prácticas de cultivo agrícola. Si sigue el actual ritmo de tala de árboles en el Amazonas, nuestro “pulmón verde” más importante del mundo desaparece en 40 años. Erosión-desertificación del suelo. El proceso de deforestación está íntimamente ligado al de la erosión y desertificación, que supone una pérdida irreversible de la fertilidad del suelo. Pero la infertilidad del suelo, que provoca su desertificación, también puede estar causada por el uso excesivo de fertilizantes y pesticidas en la agricultura o por la acumulación de residuos de todo tipo. Producción de residuos. Otro problema es el tipo de residuos que se producen y su acumulación. Hay un incremento en la cantidad de basuras y desechos, tanto domésticos como industriales (mención especial merecen los residuos nucleares y tóxicos por su peligrosidad y no descomposición durante mucho tiempo). En los países industriales la generación generación per cápita de desechos se ha casi triplicado en los últimos 20 años. Cada año se producen 400 millones de toneladas de residuos tóxicos. El reducir la cantidad de residuos y evitar su acumulación son medidas necesarias pero que no son llevados a la práctica, en cambio sigue dominando la opción más económica: los vertederos. Productos químicos. Debido al gran número de sustancias de uso común y el desconocimiento sobre sus consecuencias ecológicas y para el ser humano el uso de los productos químicos representa un peligro y una amenaza muy importante para el medio ambiente y para la salud humana. Agotamiento de los recursos naturales: 38 países del mundo sufren una aguda escasez de agua dulce, 1.200 millones de personas no tienen acceso a agua potable, 2.400 millones están sin saneamiento. De los 4.000 millones de casos de Diarrea cada año, 2.2 millones de personas se mueren innecesariamente. Enfermedades prevenibles relacionadas a agua contaminada causan 5 millones de muertos al año. Mientras un turista en un hotel gasta 1.200 litros de agua al día, un tercio de la población mundial sobrevive con menos de 30 litros. La agricultura intensiva utiliza el 80% del agua dulce disponible en el mundo; así por ejemplo para producir 1 kilo de carne de vacuno se utilizan entre 100.000 y 200.000 litros de agua. La calidad de las aguas se ve amenazada por las altas concentraciones de productos químicos (nitratos, plaguicidas, metales pesados, hidrocarburos clorados, fosfatos de los detergentes, etc.) de la agricultura, la industria y los usos domésticos, con el consiguiente riesgo para la salud humana. Pérdida de biodiversidad y de espacios naturales. Las especies silvestres se están extinguiendo de 50 a 100 veces más rápido que su tasa natural de extinción por la presión de las actividades humanas (agricultura intensiva, actividades de explotación de los bosques, pesca intensiva, urbanización, desarrollo de infraestructuras, contaminación). Si estas especies se pierden, las consecuencias más inmediatas son la ruptura del equilibrio de los ecosistemas y del equilibrio planetario y, a más largo plazo, la pérdida de información genética. Así por ejemplo las existencias de peces se están reduciendo: cerca de la cuarta parte está actualmente agotada o en peligro de agotamiento y otro 44% se está pescando hasta llegar a su límite biológico. Las presiones sobre la biodiversidad y los espacios naturales proceden de una agricultura insostenible y la explotación de bosques cada vez a mayor escala, una fragmentación del paisaje, el vertido de productos químicos, la construcción de embalses y trasvases de agua, la caza o pesca industrial y el desplazamiento de especies, etc.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Medio ambiente urbano: La población urbana no cesa en crecer y las ciudades muestran importantes signos de tensión ambiental: mala calidad del aire (industria, generación de electricidad, transportT), exceso de ruido, atascos de tráfico, pérdida de zonas verdes, invasión de espacios protegidos, vertidos de agua no depurada y de residuos, insalubridad del agua potable, falta de servicios públicos adecuados, etc. DESARROLLO SOSTENIBLE. Término aplicado al desarrollo económico y social que permite hacer frente a las necesidades del presente sin poner en peligro la capacidad de futuras generaciones para satisfacer sus propias necesidades en lo que se refiere al uso y gestión sostenibles de los recursos naturales del planeta. a. Objetivos Objetivos fundamentale fundamentaless del desarrollo desarrollo Los principales objetivos son: la paz en la sociedad, la justicia (respeto a los derechos y deberes), el bienestar económico para todos, conservar los recursos naturales del medio ambiente, pilar de la sostenibilidad económica, y tener una democracia participativa y responsable. Nace de la necesidad de un nuevo modelo de desarrollo. En el país se plantean tres alternativas: continuar con el estilo de desarrollo que se viene aplicando, frenar o detener el desarrollo en espera de mayores elementos de juicio para tomar decisiones, o iniciar un desarrollo sostenible prudente, pero firme, que nos lleve hacia el desarrollo sostenible b. Compon Component entes es ese esenci nciale ales: s: b.1. Componente Ambiental: conservar el medio ambiente y los recursos naturales. b.2. Componente social: basar el desarrollo en bien de las poblaciones locales, ser participativo y toma de decisiones en forma participativa. participativa. b.3. Componente Tecnológico: usar tecnologías limpias, eficientes y de ahorro de recursos naturales, mitigando los impactos sobre el ambiente. b.4. Componente económico: buscar un crecimiento con equidad generacional e intergeneracional, calidad y distribución de la riqueza.
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 10
1. La unidad fundamental de la ecología es: P) Q) R) S) T)
Nich Nicho os ecol cológi ógicos. Ecosistema. Zonas de de vi vidas. Hábitat. Ecotono.
2. La función natural de la especie dentro del ecosistema se denomina: P) Ecología. Q) Inte Intera racc cció ión n bio biológi lógica ca R) Rela Relaci cion ones es inte intere resp spec ecifific icas as.. S) Nicho ec ecológico. T) Conducta animal mal.
3.
Es un conjunto de comunidades de flora y fauna que ocupan extensiones bastante grandes: P) Zonas onas de vida. da. Q) Hábitat R) Biósfera. S) Ecósfera. T) Bioma.
4. El tipo de relación intraespecífica intraespecífica en donde un individuo
P) Q) R) S) U)
Antibiosis Comen mensalismo. mo. Mutualismo. Proto rotoco coop oper era ación ión. Simbiosis.
5. La zona de transición de un ecosistema ecosistema a otro; se denomina:
P) Bioma Q) Ecósfera R) Ecotipo S) Ecotono T) Hábitat 6. El conjunto de seres vivos que viven y se reproducen en determinadas condiciones de un ambiente común se denomina: P) Biocenosis Q) Nicho ec ecológico R) Biotopo S) Cadena trófica T) Hábitat
7. El más grande ecosistema del mundo es: P) Q) R) S) T)
La comu comuni nida dad d y su ambi ambien ente te La ecósfera Un bioma La biós biósfe fera ra más más la lito litosf sfer era a La biós biósfe fera ra más más la la atm atmós ósfe fera ra
8. Es el tipo de relación en la que ambos miembros de una comunidad se benefician, existiendo dependencia entre ellas. P) Comensalismo Q) Sociedad R) Colonias S) Mutualismo T) Predación
9. La sucesión primaria de una isla, la etapa areno-rocosa se caracteriza por la presencia de: P) Árbo Árbole les, s, arbu arbust stos os y hie hierb rbas as Q) Protistas R) Espe species cies pion pione eras ras S) Arboles T) Espe species cies de Ins Insecto ctos
10. La sucesión secundaria se produce de un biotopo ya existente que tuvo: P) Una Una gran gran comu comuni nida dad d pion pioner era a Q) Una comu comuni nida dad d clí clíma maxx R) Muchas especies S) Un gran incendio T) Ning Ningun una a suc suces esió ión n pri prima mari ria a
11. La aparición de una comunidad pionera en los espacios en que se dejan por la tala excesiva de árboles es un ejemplo de sucesión ecológica: P) Secundaria Q) Evolutiva R) Primaria S) Biocenótica T) Explosiva
12. El medio ambiente: P)
Q) R) S) T)
Es un un espac espacio io físic físico o ocupa ocupado do por por una una comuni comunidad dad de flora flora y fauna Es un un espac espacio io geog geográf ráfico ico ocupad ocupado o por por parási parásitos tos Es un un lugar lugar ocupad ocupado o por por una una comun comunida idad d bióti biótica ca Es un un espac espacio io compre comprendi ndido do por por tie tierra rra,, agua agua y aire aire Es la suma suma tota totall de de los los ecos ecosis iste tema mass de de la la tie tierr rra a
13. La definición de mutualismo es:
produce una sustancia sustancia que inhibe a la otra es:
13
P)
Cuando Cuando un indi individ viduo uo vive vive a expen expensas sas de de un hosp hospede edero, ro, sin causarle la muerte Cuando Cuando ambo amboss indivi individuo duoss se benef benefici ician, an, sin sin exist existir ir dependencia entre ellos Cuando Cuando un orga organis nismo mo viv vive e a expe expensa nsass de otro otro sin sin causarle daño Cuando Cuando ambos ambos orga organis nismos mos se bene benefic fician ian,, pero pero uno uno no podría podría vivir vivir sin el otro Cuando Cuando una una espec especie ie produ produce ce una una sustan sustancia cia perj perjudi udicia ciall para una especie competidora
Q) R) S) T)
T)
Mutaciones
14. La infertilidad de los suelos, es causada por: P) Q) R) S) T)
Falt Falta a de fert fertililiz izan ante tess Uso Uso exce excesi sivo vo de pest pestic icid idas as Pres Presen enci cia a de aero aeroso sole less Expl Explot otac ació ión n de de recu recurs rsos os natu natura rale less Trasvases de agua
15. La demoecologia se ocupa: P) Q) R) S) T)
De la rela relaci ción ón del del hombre hombre con las las pobl poblaci acione oness De la la relaci relación ón del del hombr hombre e con el medi medio o geogr geográfi áfico co De la inte interac racci ción ón de de la la pobl poblac acion iones es entr entre e si si Del Del estu estudi dio o del del hábi hábita tatt y sus sus efe efect ctos os De las las rela relaci cion ones es de los los indi indivi vidu duos os ent entre re sí sí y con con su propio entorno
16. La natalidad, mortalidad, emigración y la inmigración, son factores que influyen en: P) La salida salida de indivi individuo duoss haci hacia a otro otross biot biotopo oposs Q) Las causa causass que que produ producen cen el crecim crecimien iento to R) El grad grado o de de ais aisla lami mien ento to del del feno fenotitipo po S) La fecu fecund ndid idad ad de las las espe especi cies es T) La dens densid idad ad de una una pobl poblac ació ión n
intraespecífica, en la que algunas especies se 17. La relación intraespecífica, diferencian morfológicamente según la función que realizan, es conocida como: P) Sociedades Q) Cooperación R) Mutualismo S) Compensación T) Amensalismo
18. Cuál de las siguientes proposiciones respecto a la lluvia ácida
es incorrecta: P) Disu Disuel elve ve los los nutr nutrie ient ntes es del del sue suelo lo.. Q) El alumin aluminio io provoc provoca a altera alteracio cione ness en el metabo metabolis lismo mo de los los seres acuáticos. R) Puede Puede prod produci ucirr la desapa desaparic rición ión de los bosque bosques. s. S) El pH pH alca alcanz nza a valo valore ress de acid acidez ez de de 1.5 1.5 T) Los ácido ácidoss que que se forman forman con el vapo vaporr de agua agua son: son: sulfúrico y nítrico.
19. Son consecuencias ambientales, excepto : P) Q) R) S) T)
Pérd Pérdid ida a de los los bosq bosque ues. s. Uso exces excesiv ivo o de pest pestici icidas das y ferti fertililizan zantes tes.. Prod Produc ucci ción ón de resi residu duos os.. Aumen Aumento to del del efe efect cto o inv inver erna nade dero ro.. Dese Desert rtif ifiicaci cación ón del del sue suelo lo..
20. La deforestación es la perdida de los bosques, traería como consecuencia: P) Adaptaciones Q) Desertificación R) Agot Agotam amie ient nto o de los los rec recur urso soss natu natura rale less S) Pérd Pérdid ida a de de Bio Biodi dive vers rsid idad ad 14
UNIDAD Nº11
APARATO DIGESTIVO
El aparato digestivo es el conjunto de órganos encargados del proceso de la digestión, es decir, la transformación de los alimentos para que puedan ser absorbidos y utilizados por las células del organismo. La función que realiza es la de transporte (alimentos), secreción (jugos digestivos), absorción (nutrientes) y excreción mediante el proceso de defecación. El proceso de la digestión es el mismo en todos los animales: transformar los glúcidos, lípidos y proteínas en unidades más sencillas, gracias a las enzimas digestivas, para que puedan ser absorbidas y transportadas transportadas por la sangre a través través del cuerpo. PARTES DEL APARATO DIGESTIVO Está compuesto por el Tubo Digestivo y las Glándulas Anexas. TUBO DIGESTIVO. Es un largo conducto conducto (10 – 12 m) abierto abierto en sus sus extre extremos mos mediante un orificio de entrada: la BOCA; y un orificio de salida: el ANO. El tubo digestivo está situado sucesivamente en la cara, cuello, tórax, abdomen y pelvis, presentando en su porción abdominal una dilatación especial llamada estómago. a. HISTOL HISTOLOGÍA OGÍA DEL TUBO TUBO DIGES DIGESTIV TIVO O La estructura es casi idéntica en toda su longitud, especialmente desde el esófago hasta el ano. Presenta 4 capas o túnicas que de adentro hacia fuera son: a.1 Mucosa Es la capa más interna del tubo digestivo y está o formada por tres regiones: Epitelio , C o r i o n l a m i n a p r o p i a ( constituida constituida por tejido tejido conectivo conectivo laxo) laxo) y la M u s c u l a r i s m u c o s a e (formada por musculo liso).
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO a.2 Submucosa Inmediatamente adyacente al epitelio. Está formada básicamen básicamente te por tejido tejido conjuntiv conjuntivo o y contiene vasos san gu íneo s y lin fátic os y el p l ex ex o s u b m u c o s o d e Meissner, teniendo este último la función de controlar la secreción glandular gastrointestinal. gastrointestinal.
Anterior. Conformada por los labios superior e inferior. Posterior. Constituida por el velo del paladar (paladar blando) que tiene una prolongación vertical y media llamada úvula o campanilla. La cara anterior o bucal del velo del paladar es muy sensible y su estimulación genera el reflejo nauseoso. Superior. Formada por la bóveda palatina o paladar duro. Inferior : Llamado también piso de la boca, está formado principalmente por el músculo milohioideo. Laterales: Laterales: Constituidos por los carrillos que están conformados conformados fundamentalmente por los músculos buccinadores. Estos músculos son muy distensibles y permiten aumentar considerablemente el tamaño de la cavidad bucal.
a.3 Muscular Constituida por f i b r a s m u s c u l a r e s l i s a s o involuntarias, dispuestas en dos capas: una interna circular (IR circular (IR)) y la la otra otra externa longitudinal (EL). (EL). Entre ambas capas está ubicado el p l e x o n e r v i o s o mi enté rico o de Au erbac h , el cual controla los movimientos gastrointestinales. El estómago, además de las capas IC y EL, presenta por dentro una tercera capa muscular de fibras oblicuas. a.4 Capa Capa Exte Extern rnaa Adquiere diversos nombres según el lugar que envuelva envuelva.. Así, a nivel nivel del tórax tórax se denomina denomina capa capa adventicia y está formada por por un tejido fibroso laxo; laxo; a nivel del abdomen y pelvis se llama capa serosa peritoneal o peritoneo formada por una membrana epitelial de doble hoja. La boca y faringe faringe poseen una estructura histológica diferente a lo mencionado, pero semejante entre sí, presentando numerosas formaciones anexas.
1.3 Funciones:
Realiza la ingestión, masticación, insalivación, formación del bolo alimenticio y deglución. Es el lugar de inicio de la digestión de los carbohidratos, por acción de la enzima amilasa salival o ptialina. Produce modificaciones al sonido laríngeo, originando la voz articulada. Es el lugar donde se localizan los receptores del gusto (lenguP).
b. ÓRGANOS ÓRGANOS DEL TUBO TUBO DIGES DIGESTIV TIVO. O. Consta de los siguientes órganos: boca, faringe, esófago, estómago, intestino delgado, intestino grueso y ano. b .1. B o ca La boca es la primera parte del tubo digestivo aunque también se emplea emplea para respirar. Está tapizada por una membrana membrana mucosa mucosa (mucosa (mucosa oral) con epitelio epitelio plano plano estratificado no queratinizado. Es una cavidad ovoidea situada en la parte antero inferior de la cara, entre las fosas nasales y la región suprahioidea. En ella se realizan diferentes funciones principalmente digestivas pero también cumple función respiratoria accesoria y sensorial gustativa. b.1.1 Porciones:
Vestíbulo Región en forma de herradura, comprendida entre los dientes y encías por dentro y los labios y carrillos por fuera. Boca propiament propiamentee dicha Porción situada por dentro de los dientes y encías. b.1.2 Paredes:
La saliva: Está formada, en un 95% por agua y el 5% restante por solutos tales como iones sodio, potasio, cloruro, bicarbonat bicarbonato o y fosfatos. fosfatos. La saliva contiene contiene enzimas enzimas digestiva digestivas, s, hormonas, proteínas y agentes agentes antimicrobianos (Lisozimas).
b.1.4 ÓRGANOS ANEXOS DE LA BOCA.
DIENTES. Son órganos duros, lisos y blanquecinos implantados en los alvéolos dentarios de los maxilares superior e inferior mediante una articulación denominada gonfosis. gonfosis. Presentan las porciones siguientes: • Corona, porción visible del diente que sobresale de la encía. • Cuello, Cuello, estrechamiento entre la corona y la raíz. • Raíz, Raíz, parte ubicada totalmente en el alveolo dentario y cubierta por la encía. Es la porción no visible del diente. Estructura de los dientes Constituidos por 4 tejidos que de afuera hacia dentro son: • Esmalte. Sustancia blanco azulada que cubre la dentina a nivel de la corona. Es el tejido más duro del organismo constituido principalmente por fosfato
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• •
•
cálcico cálcico (en forma forma de hidrox hidroxiapati iapatitP) tP) y material material orgánico en forma de glucoproteínas. Cemento. Sustancia dura, opaca y amarillenta; cubre la dentina a nivel de la raíz. Fija el diente al alveolo mediante mediante la membrana membrana periodontal. Dentina Dentina (marfi (marfil). l). Sustancia dura y amarillenta que rodea completamente a la pulpa excepto excepto en el ápice radicular. Es el principal tejido del diente diente que le da forma y rigidez. Pulpa. Es una masa de tejido conjuntivo (mesenquimatoso) que contiene vasos sanguíneos, linfáticos y nervios. Está ubicada en la parte central del diente. De su vitalidad depende la vida del diente.
Clases de dientes: Incisivos. Situados en la región anterior y son en número de 8 (4 superiores y 4 inferiores). Poseen una sola raíz y su función es cortar los alimentos. Caninos. Poseen coronas puntiagudas y una raíz única y voluminosa. Son 4 (2 superiores y 2 inferiores). Su función es desgarrar los alimentos. Premolares o bicúspides. Su corona es gruesa y cuadrangular con dos tubérculos o cúspides. Su raíz es única y son en número de 8 (4 superiores y 4 inferiores). inferiores). Tienen la función de moler y triturar los alimentos. Molares. Su corona es grande, cuboidea cuboidea y con 4 ó 5 cúspides. cúspides. Molares. Su raíz es múltiple, presentando los molares superiores 3 raíces y 2 los inferiores. Son en número de 12 (6 superiores y 6 inferiores). Se designan de delante delante atrás como 1er., 2do. y 3er. molar. El 3er. molar aparece tardíamente y se le llama la muela del juicio o cordal. cordal. La función de los molares también es moler y triturar los alimentos.
Fórmula dentaria: Expresa la mitad del número total de dientes por arcada (superior e inferior) Dentición Temporal Dentición Permanente LENGUA. 16
I = 2/2 C =1/1 M = 2/2 I = 2/2 C =1/1 PM=2/2 PM=2/2
Es un órgano muscular, movible, que además de experimentar la sensación del gusto sirve para otras funciones como el habla, masticar y deglutir los alimentos, alimentos, además ayuda a la emisión de los sonidos. Está Está formada por 17 músculos que que le confieren una gran movilidad y están inervados principalmente por el nervio Hipogloso Mayor. La cara superior de la lengua presenta un epitelio escamoso estratificado con numerosas papilas gustativas para el sentido del gusto. Estas papilas son de 3 tipos: • Papilas caliciformes. Son las más grandes y se disponen en forma de una “V” invertida. Son en número de 8 a 12. • Papilas fungiformes. Están situadas principalmente en la punta y bordes de la lengua y son más numerosas que las caliciformes. • Papilas filiformes. Son las más pequeñas y las más numerosas. Se sitúan en la superficie de los dos tercios anteriores de la lengua. 3 b.2 b.2. FAR FARINGE Es un conducto músculo-membranoso vertical, impar y simétrico que funciona como un conducto mixto porque da paso al bolo bolo alimenti alimenticio cio y al aire inspira inspirado, do, es una vía vía digestiva y aérea a la vez. Se extiende desde las coanas (orificios nasales internos) y base craneal, hasta el nivel del cartílago cricoides (altura de la 6ta vértebra cervical, 6R). Mide aproximadamente 13 cm. b.2.1. Ubicación Delante de la columna vertebral cervical, detrás de las fosas nasales, de la boca y de la laringe, además se sitúa debajo de la apófisis basilar del occipital. b.2.2. Porciones Nasofaringe (RinofaringT), porción situada detrás de las fosas nasales que se extiende desde la base craneal hasta el velo del paladar. Es una vía netamente respiratoria que se comunica con las fosas nasales por medio de las coanas. Bucofaringe (OrofaringT), situada detrás de la boca desde el velo del paladar hasta el hueso hioides (a nivel de la C3). Su pared posterior se relaciona con la 2da. y 3ra. vértebra vértebra cervica cervicall (C2 – C3). Comunica Comunica con con la boca por medio del istmo de las fauces. fauces. Es una vía respiratoria y digestiva a la vez, porque da paso al aire y al bolo alimenticio, por esta razón también se le denomina encrucijada aero-digestiva. aero-digestiva. Laringofaringe (HipofaringT), está detrás de la laringe con la que se comunica por medio del aditus laríngeo (entrada a la laringT). Se extiende desde el hioides hasta el borde inferior del cartílago cricoides, donde se continúa con el esófago. Su pared anterior se relaciona con los cartílagos epiglotis, aritenoides y cricoides y la pared posterior corresponde a las vértebras: C4, C5 y C6. La laringofaringe es sólo una vía digestiva.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO b.3.Esófago Es un tubo músculo membranoso que conduce el bolo alimenticio desde la faringe hasta el estómago. Mide de 23 a 25 cm de longitud. b.3.1. Límites Por arriba limita con el borde inferior inferior del cartílago cricoides y por por debajo con el cardias (de C6 a T10T11).
“J” mayúscula mayúscula y su su capacidad capacidad es de de 1300 - 1500 cm3, pero se modifica según la alimentación del individuo. Comunica libremente con el esófago por medio del cardias y con el intestino delgado por medio del píloro. Ambos son orificios estrechos, estando el inferior provisto de un esfínter que funciona a manera de válvula.
b.3.2. Ubicación
Está situado en la porción inferior del cuello, detrás de la tráquea, luego pasa al tórax, ubicándose en el mediastino posterior, delante de la columna vertebral, finalmente atraviesa el músculo Diafragma (por el orificio esofágico) e ingresa al abdomen. abdomen. b.3.3. Porciones:
• • • •
Superior o cervical, del cricoides a la horquilla esternal. Media o torácica, de la horquilla esternal al Diafragma. Diafragmática, a nivel del orificio esofágico del diafragma. Inferior o abdominal, del Diafragma al Cardias. Cardias.
Topografía Abdominal
b.3.4. Glándulas:
• •
Esofágicas, Esofágicas, son de tipo acinosas y producen mucus. Cardiacas o cardiales, son tubulares, compuestas y están cerca al estómago.
b.4.1.
Configuraci ón Externa. El estómago b.3.5. Esfínteres: presenta dos caras, • Superior o cricofaríngeo, impide impide el paso del aire dos bordes, dos extremidades y dos orificios. orificios . al esófago durante la inspiración y la aspiración aspiración del • Caras: anterior y posterior contenido esofágico. • Bordes: derecho (curvatura menor) e izquierdo • Inferior o esofágico, evita el reflujo del contenido (curvatura mayor). gástrico al esófago. • Extremidades: 1.Epigastrio izquierda (tuberosidad 2.Mesogastrio mayor) y derecha 3.Hipogastrio (tuberosidad menor). 4.Hipocondrio derecho • Orificios: superior o 5.Hipocondrio izquierdo esofágico constituido 6.Flanco derecho por el cardias, y el 7.Flanco izquierdo inferior o duodenal 8.Fosa iliaca derecha representado por el 9.Fosa iliaca izquierda píloro.
b.3.6. Función:
• •
Transporta el bolo alimenticio de la faringe al estómago mediante los movimientos peristálticos. peristálticos. Realiza la última última fase de la deglución. deglución. Evita la regurgitación involuntaria del contenido gástrico.
b.4. b.4. Estó Estóma mago go Es una dilatación del tubo digestivo a manera de una bolsa muscular y membranosa. Está situado debajo del Diafragma en la parte superior izquierda y media del abdomen, ocupando gran parte del Epigastrio, Mesogastrio y casi todo el Hipocondrio izquierdo. Su forma es generalmente la de una
b.4.2. Glándulas
Son de tres tipos: • Cardiacas, del cardias, secretan moco. • Fúndicas, del fondo y cuerpo gástricos. Producen mucus, pepsinógeno, ácido clorhídrico, etc. • Pilóricas, pertenecen al píloro; elaboran la hormona gastrina.
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cavidad abdominal.
• Porciones
Son cuatro: primera porción, tiene una dirección oblicua hacia arriba y atrás; se segund gundaa porció porción, n, de dirección vertical y descendente; tercera porción, de disposición horizontal; cuarta porción, de dirección ascendente. De todas estas porciones, la más importante es la segunda porque allí desembocan los conductos colédoco (del hígado) y de Wirsung (del páncreas), que al unirse forman un corto conducto dilatado llamado Ampolla de Vater . El conducto colédoco trae la bilis del hígado y el conducto de Wirsung el jugo pancreático. La ampolla de Vater desemboca en un orificio común que posee el esfínter de Oddi.
Funciones • El estómago es un reservorio temporal para el alimento. • Produce el jugo gástrico que inicia la digestión química de las proteínas. • La acción de los músculos músculos gástricos gástricos mezcla el alimento (bolo alimenticio) con el jugo gástrico y luego lo desplaza hacia el intestino delgado. El alimento transformado en una masa semilíquida toma el nombre de quimo. • Realiza una absorción limitada (agua, alcohol, fármacos, etc.) • Separa Separa el hierro hierro de los alimentos alimentos por por acción del del ácido clorhídrico. b.5. b.5. INTE INTEST STIN INO O DELGA DELGADO DO Es un tubo cilíndrico que se extiende desde el estómago al intestino grueso grueso (Se localiza entre dos esfínteres: el pilórico, y el esfínter esfínter ileoce ileocecal); cal); En el el cuerpo cuerpo humano, humano, mide mide aproximadamente 3 m. Se sitúa en la cavidad abdominal abdominal rodeado por el intestino grueso. En el intestino delgado se completa la digestión química de los alimentos y se lleva lleva a cabo la mayor parte de la absorción de nutrientes; es por ello que se considera como órgano órgano de digestión y de absorción. Este órgano está envuelto y suspendido de la columna vertebral por unos repliegues del peritoneo denominado mesenterio. b.5.1. Porciones
Tradicionalmente se considera tres porciones: duodeno, yeyuno, íleon; pero por carecer de límite anatómico y tener semejanzas morfológicas, actualmente se reconoce al yeyuno e íleon como una sola porción (yeyuno-íleon). Duodeno Es la porción fija del intestino delgado que sigue inmediatamente al estómago y que tiene una longitud de 25 cm. Tiene la forma de una C en cuya concavidad se aloja la cabeza del páncreas. Su función principal es la disgregación de los alimentos. En el duodeno se secreta agua rápidamente para diluir la acidez del contenido digestivo (quimo) procedente del estómago. Conforme el contenido o bolo digestivo avanza hacia la porción inferior del intestino delgado, se hace más líquido a medida que van añadiéndose agua, moco, bilis y enzimas pancreáticas. • Límites Por arriba, con el píloro; por debajo, con el ángulo duodeno-yeyunal (ángulo de Treitz). • Ubicación En la parte posterior y superior de la
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Yeyuno-íleon Es la porción más larga del intestino intestino delgado situada situada entre el duodeno y el ciego; se extiende desde el ángulo duodenoyeyunal hasta la válvula ileocecal, que la comunica con el intestino grueso. Es la porción móvil o flotante del intestino delgado y representa casi toda la longitud de éste. Su función principal es la absorción de nutrientes.
El yeyuno tiene 4 metros de longitud y el íleon 2 m aproximadamente. El yeyuno tiene más pliegues circulares, más vellosidades intestinales y más finas, mientras que el íleon tiene menos. En cambio, en el íleon los folículos linfoides (placas de Peyer) y la irrigación vascular en forma de arcadas es mayor, que en el yeyuno. La pared intesti intestinal nal está está ricamente ricamente abastec abastecida ida de vasos vasos sanguíneos que conducen los nutrientes absorbidos hacia el hígado, a través de la vena porta. La pared intestinal libera moco y agua, que lubrican y disuelven el contenido intestinal, ayudando a disolver los fragmentos digeridos. También se liberan pequeñas cantidades de enzimas que digieren las proteínas, los azúcares y las grasas. Secreta las siguientes enzimas digestivas: 1) peptidasas, para dividir los polipéptidos en aminoácidos, 2) cuatro enzimas para desintegrar los disacáridos en monosacáridos: Sacarasa, maltasa, isomaltasa y lactasa, y 3) pequeñas cantidades de lipasa intestinal, para digerir las grasas. b.5.2. Medios de fijación
El yeyuno-íleon puede desplazarse en masa, sin embargo mantiene una posición constante debido a la presión intra abdominal abdominal y al mesenterio. El mesenterio es una membrana peritoneal que fija al yeyuno-íleon a la pared posterior del abdomen. b.5.3. Estructura Interna
En el intestino delgado, la digestión y la absorción se realizan más intensamente y para que ésta última sea lo más eficiente se necesita necesita la mayor superficie epitelial epitelial posible, por ello este intestino posee una gran longitud y
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO múltiples repliegues y formaciones especiales en su superficie interna, a nivel macro y microscópico. b.5.4.
Características internas Para aumentar la superficie de absorción intestinal, internamente el intestino presenta las siguientes características: • Válvulas conniventes Son pliegues transversales, circulares o en espiral que comprometen la mucosa y submucosa.
• Vellosidades intestinales
Son proyecciones exclusivamente de la mucosa en forma de dedos de guante, de tamaño casi microscópi microscópico co (0,5 (0,5 – 1 mm).
• Microvellosidades intestinales
Son proyecciones o repliegues de la membrana plasmática a manera de dedos, situados en la superficie libre libre de la parte apical apical de las células de absorción (células epiteliales cilíndricas de la mucosa intestinal), es decir, en la superficie celular que mira a la luz intestinal.
b.5.6. Funciones
• Movim Movimien iento to
para para transp transport ortar ar gradu gradualm alment ente e el contenido intestinal hacia la porción distal, mediante el peristaltismo. • Mezclado del quimo proveniente del estómago con la bilis, las secreciones pancreáticas e intestinales. • Secreción del jugo intestinal, intestinal, con el que completa la digestión de los glúcidos, proteínas y lípidos. • Absorción de nutrientes (bajo la forma de quilo). • Protecció Protección n antimicro antimicrobiana biana,, mediante mediante los folícul folículos os linfáticos solitarios (nódulos de Peyer) y folículos linfáticos agregados agregados (placas de Peyer). • Secreción de hormonas: secretina y colecistocinina (ccR), las cuales estimulan la secreción de jugo pancreático y bilis, abren el esfínter de la ampolla de Vater, etc. b.6. b.6. INTE INTEST STIN INO O GRUES GRUESO O Es el segmento terminal del tubo digestivo; se extiende desde el yeyuno-íleon (válvula ileocecal) hasta el ano. Mide aproximadamente 1,5 m. Empieza con el ciego en el abdomen, y termina en el recto en la profundidad de la pelvis. Forma un arco alrededor del intestino delgado. b.6.1. Porciones
b.5.5.
Glándulas del Intestino Delgado Para completar la digestión, el intestino necesita una gran variedad de enzimas y una cantidad de moco para proteger proteger su mucosa; mucosa; para ello posee una serie de glándulas especiales: • Glándulas de Lieberkhun. Son glándulas tubulares simples localizadas en la mucosa intestinal; producen enzimas como la erepsina, disacaridasas y ribonucleasas, que contribuyen a formar el jugo intestinal. • Glándulas de Brunner. Son glándulas tubulares compuestas localizadas sólo en la mucosa del duodeno. Producen moco cuya alcalinidad sirve para neutralizar la acidez del quimo gástrico al llegar al duodeno. • Células caliciformes. Son glándulas unicelulares situadas en forma intercalada entre las células epiteliales de la mucosa intestinal.
Comprende tres partes: • Ciego Es el segmento segmento inicial inicial situado en la fosa iliaca derecha del abdomen; abdomen; tiene la forma de una bolsa, bolsa, ampolla o fondo de saco y constituye la porción más dilatada del intestino grueso. Mide entre 5 y 7 cm de longitud. Presenta la válvula ileocecal que permite el paso de materias del intestino delgado al grueso, y también evita el retorno de estas materias del intestino grueso al delgado. Posee, así mismo, una prolongación de unos 8-10 cm denominado apéndice cecal o apéndice vermiforme, que es un órgano de naturaleza linfoide (su inflamación se llama apendicitis). • El Colon Es la parte media del intestino grueso situado entre el ciego y el recto, se subdivide en 4 segmentos: -
-
-
Colon Ascendente Sube verticalmente por la derecha hasta el hígado, donde cambia cambia de dirección (ángulo hepático). Se sitúa en el flanco derecho. Colon transverso Pasa casi horizontalmente debajo y delante del estómago hasta el bazo, donde vuelve a cambiar de dirección (ángulo esplénico). Colon Descendente Baja por la izquierda, estando situado en el flanco flanco izquierdo izquierdo.. Colon Íleo-pélvico o sigmoideo Describe una curva en forma de S. Está situado en la fosa iliaca izquierda.
• El Rect Recto o 19
Porción del intestino grueso entre el colon y el ano. Es la parte encargada del almacenamiento de las heces. Tiene una longitud de 12-14 cm y recorre la cara anterior del sacro y cóccix. El recto recto imita imita por por arriba arriba con la unión unión rectorectosigmoidea, sigmoidea, en el punto en que el recto deja de poseer un meso (nivel: 3era. Vértebra sacrP) y por debajo debajo con la línea línea anorectal anorectal que es es la unión de la mucosa rectal con el revestimiento anal que pasa por el borde inferior de las válvulas semilunares.
b.6.2. Estructura interna
Es similar a la del intestino delgado, aunque no presenta válvulas conniventes ni vellosidades, pero sí repliegues falciformes. b.6.3. Funciones del intestino grueso
• Absorbe agua y electrolitos, hecho que permite la formación del bolo fecal.
• Realiza movimientos de mezclado y propulsión. • Secreta moco que protege a la mucosa y sirve
bucal, existen tres pares de glándulas situadas a ambos lados de la línea m edia (glándulas mayores). a.1. Glándulas salivales mayores
•
a.2.
Glándulas Parótidas Están situadas delante y debajo del oído y detrás de la rama ascendente del maxilar inferior. Vierten su producto (salivP) (salivP) en la boca a través del conducto de Stenon, el cual perfora al músculo buccinador y se abre a nivel del segundo molar superior. Es la más voluminosa de las glándulas salivales. Su inflamación se denomina Parotiditis (“paperas”). (“paperas”). Es una glándula cuya secreción es de naturaleza puramente serosa. • Glándulas submaxilares Están situadas por dentro del ángulo del maxilar inferior (cuello) y vierten su producto en la boca a Wharton, que desemboca a través del conducto de Wharton, ambos lados del frenillo lingual. Son glándulas primordialmente de tipo seroso. • Glándulas Sublinguales Situadas en el piso piso de boca, debajo de la lengua, lengua, por dentro del cuerpo del maxilar inferior y cada lado del frenillo lingual, debajo de la mucosa del piso bucal. Son las las más más pequeñas pequeñas de de las glándulas glándulas salivales salivales mayores. El conducto excretor principal de esta glándula se denomina conducto de Bartholin o de Rivinus, Rivinus, que se abre a ambos lados del frenillo lingual, por fuera de la desembocadura del conducto de Wharton. Funciones de las glándulas salivales Elaboran más 1000 cm 3 de saliva, cada 24 horas, cuya función es mantener húmeda la mucosa bucal, ensalivar y lubricar los alimentos facilitando su deglución, además dichas glándulas ayudan a formar el bolo alimenticio e inician la digestión digestión de los carbohidratos mediante la enzima ptialina (amilasa (amilasa salival). La saliva producida también tiene un efecto antimicrobiano, por acción de la enzima lisozima. lisozima.
como lubricante.
• Produce vitaminas por acción de la flora microbiana.
• Forma y almacena heces que están constituidas
por: agua, sales inorgánicas, células epiteliales desprendidas de la mucosa, bacterias, productos de la descomposición bacteriana y partes no digeridas de los alimentos.
b.7. El an ano Es la abertura externa del recto; aunque teóricamente es un simple simple orificio orificio,, realmente realmente es es un conduct conducto o de 1,5 - 2 cm de longitud. El ano limita por arriba con la línea anorectal (a nivel del borde libre de las válvulas semilunares) y por debajo con la línea anoperineal (zona en que el revestimiento anal se continúa con la piel del perineo). El ano en estado de reposo queda reducido a un simple punto, y la piel que lo rodea se llama margen del ano. b.7.1. Constitución anatómica El ano se compone esencialm esencialmente ente de un aparato muscular muscular tapizado tapizado por dentro con un revestimiento cutáneo especial. El aparato muscular está conformado por un esfínter interno, interno, de fibras musculares lisas y de control involuntario, y por un esfínter externo, formado por músculo estriado de control voluntario. Glándulas anexas. Son órganos de secreción encargados de proporcionar las diferentes enzimas que hacen posible la digestión. Son tres: glándulas salivales, el hígado y el páncreas. a. Glán Glándu dula lass saliv salival ales es.. Además de las glándulas salivales menores situadas en la mucosa y submucosa de la cavidad 20
b. El hí hígad gado Es la glándula más voluminosa del organismo; es de naturaleza mixta y está encargada de múltiples funciones, básicamente relacionadas con el metabolismo. Se ubica en la parte superior del abdomen, debajo del diafragma, específicamente en el hipocondrio hipocondrio derecho, derecho, epigastrio epigastrio y parte del hipocondrio izquierdo. Su diámetro transversal máximo es un promedio de 23 cm y su peso en el adulto es de 1400 a 1500 g (peso cadavérico). La sangre rica en nutrientes va directamente al hígado, donde es procesada. El hígado se encarga de filtrar las sustancias nocivas o productos de desecho, transformando algunos de estos desechos en más bilis. El hígado ayuda a determinar qué cantidad de nutrientes se distribuirá al resto del cuerpo, y qué
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO cantidad se quedará quedará almacenad almacenada a a modo de reserva reserva.. Por ejemplo, el hígado almacena ciertas vitaminas y un tipo de azúcar que el cuerpo utiliza para obtener obtener energía.
Es el catabolismo catabolismo de la glucosa, la cual se realiza realiza en todos los tejidos. Como resultado se obtiene energía en forma de ATP.
b.1. b.1. Config Configura uració ción n Extern Externa. a. Presenta dos caras:
•
•
Metabolismo de lípidos Los lípidos lípidos (ácidos grasos, triglicéridos, fosfolípidos) que provienen de los alimentos alimentos son utilizados utilizados por el hígado para la formación de lipoproteínas. El hígado también sintetiza colesterol y otros lípidos a partir de carbohidratos.
Cara antero superior (superior). Es lisa, convexa, y se aplica contra contra el diafragma. diafragma. Está dividida en dos lóbulos (derecho e izquierdo), por la inserción del ligamento suspensorio falciforme. Cara póstero-inferior (inferior). Es cóncava y tiene tres surcos en forma de “H”, que lo divide en cuatro lóbulos desiguales que son: el lóbulo derecho, es el izquierdo, es adelgazado; más voluminoso; el lóbulo izquierdo, el lóbulo anterior (o cuadrado), más o menos abombado; y el lóbulo posterior (caudado o de Spiegel), que rodea a la vena cava inferior. El lóbulo anterior y posterior están separados por un surco transversal que representa el hilio hepático por el cual pasa el pedículo hepático. hepático. Este pedículo está constituido por la vena porta, la arteria hepática y el conducto hepático (que luego se une al conducto cístico y forma el conducto colédoco). colédoco). La vesícula biliar es biliar es una víscera hueca pequeña. Su función es la de almacenar y concentrar la bilis segregada por el hígado, hasta ser requerida por los procesos de la digestión. En este momento se contrae y expulsa la bilis concentrada hacia el duodeno. Es de forma ovalada o ligeramente piriforme y su diámetro mayor es de unos 5 a 7 cm.
• Síntesis de proteínas
El hígado sintetiza proteínas como albúmina, enzimas, fibrinógeno, globulinas, etc. • Función Excretora Sintetiza o elabora elabora productos productos de excreción excreción como amoniaco, ácido úrico, bilirrubina. Esta última es excretada en forma de urobilina en la orina y como estercobilina en las heces. • Secreción de bilis Secreta aproximadamente de 600 a 1200 ml de bilis que 09i8u76y 09i8u76ys. s. • Función de destoxificación Mediante reacciones químicas transforman las sustancias tóxicas en otras inocuas para el organismo. c. El pán páncr crea eass Es una glándula alargada que se aplica contra la cara posterior del estómago, es relativamente aplanada y está está situada entre la segunda porción del duodeno y el bazo. Mide de 12-15 cm de longitud. Se divide en cuatro partes: la cabeza, que corresponde al extremo derecho voluminoso y rodeado por el duodeno; el istmo, o cuello, muy aplanado de delante atrás; el cuerpo, que ocupa la porción porción media, detrás del estómago; y la cola, cola, que es el extremo izquierdo afilado que se pone en contacto con el hilio del bazo. El páncreas está recorrido en toda su longitud por el conducto pancreático o de Wirsung, el cual se une al conducto colédoco y ambos ambos desemboca desembocan n en la la Ampolla de Vater. A nivel de la cabeza del páncreas, del conducto de Wirsung se desprende el conducto accesorio o de Santorini que desemboca también en el duodeno a 2 cm por encima de la llegada de la ampolla de Vater. c.1.
b.2. b.2. Funcion Funciones es del del Híga Hígado. do. Sus funciones más importantes son: Metabolismo de los glúcidos. En este aspecto es importante la participación del hígado para mantener la glicemia glicemia (concentración (concentración de glucosa en la sangrT) dentro de los los valores normales. normales. • Glucogénesis. Proceso por el cual se unen unidades de glucosa para formar moléculas de glucógeno. • Glucogenólisis Es la degradación del glucógeno glucógeno en glucosa que es liberada en la sangre. Para su traslado a las células. Este proceso se realiza entre comidas.
• Gluconeogénesis
Es la formación de glucosa a partir de aminoácidos y glicerol de los triglicéridos. • Glucólisis
Funciones El páncreas es una glándula se secreción mixta porque elabora el jugo pancreático que tiene función digestiva; y una hormona llamada insulina, insulina, que regula el nivel de glucosa sanguínea. El jugo pancreático contiene enzimas que digieren los glúcidos, proteínas y lípidos.
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 11
1. La capa del del tubo digest digestivo ivo donde donde se ubica ubica el Plexo Plexo mientérico mientérico de Auerbach, es: P) Submucosa Q) Muscular R) Capa externa S) Mucosa T) Capa interna. 2. El esmalte esmalte de los los dientes dientes es el tejido tejido más más duro del organi organismo smo y está constituido principalmente por: P) Oxal Oxalat ato o de de sodi sodio o Q) Fosf Fosfat ato o de de cal calci cio o R) Brom Bromur uro o de de Zin Zincc S) Sulf Sulfat ato o de de bro bromo mo T) Fosfato de cobre. 3. Es la porción porción inicia iniciall del intesti intestino no grueso, grueso, situada situada en la fosa fosa iliaca derecha derecha del estómago : P) Ci Ciego Q) Colon R) Co Colon transverso
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S) Apendice
T) Recto
4. Es el órgano órgano del del tubo tubo digestiv digestivo o que se extie extiende nde desde desde las coanas hasta el nivel del cricoides: P) Es Esófago Q) Estómago R) Faringe S) Laringe T) Lengua. 5. El esfínter esfínter que que impide impide el el paso paso del aire al al esófago esófago durant durante e la inspiración y la aspiración del contenido esofágico, es: P) Esofágico Q) Cricofaringeo R) Cardial S) Fu F undico T) Treitz 6. La túnica túnica que separa separa la muscular muscular de la mucosa mucosa del tubo digestivo, es: P) Muscularis Q) Submucosa R) Serosa S) Pe Peritoneo T) Corion 7.
Son las papila papilass gustativ gustativas as que que están están situad situadas as princi principalme palmente nte en la punta y bordes de la lengua: P) Angulares Q) Caliciformes R) Fungiformes S) Falcifo ciforrmes mes T) Filifo liforrmes mes
8. La porción porción del del intestino intestino grueso grueso ubicado ubicado entre entre el ciego ciego y el el recto corresponde a: P) Válvula ileocecal Q) Ángulo de Treitz R) Colon transverso S) Duodeno T) Apéndice cecal 9. Los dientes dientes encarg encargados ados de cortar cortar y desgarra desgarrarr los alimentos alimentos son: P) Prem Premol olar ares es y molar molares es Q) Inci Incisi sivo voss y cani canino noss R) Canino Caninoss y premol premolare aress S) Incis Incisivo ivoss y premol premolare aress T) Molares y caninos 10. El ano en estado de reposo reposo queda reducido reducido a un simple punto y la piel que lo rodea se denomina: denomina: P) Línea ínea anor anorec ecta tall Q) Margen rgen rect rectal al R) Línea anoperineal S) Margen anal T) Línea anal. 11. Son glándulas que producen producen moco cuya cuya alcalinidad sirve sirve para neutraliz neutralizar ar la acidez del quimo gástrico gástrico al llegar llegar al duodeno: duodeno: P) Lieberkhun Q) Brunner R) Caliciformes S) O Od ddi T) Fungiformes 12. Las enzimas que se pueden encontrar en la la boca, son: P) Ptialina y Lipasa Q) Tiamina y amilasa R) Ami Amillasa y lisosoma S) Hi Hidrolasas y Lisozima T) Amilasa y lisozima lisozima 13. Los esfínteres que hay hay en el esófago, esófago, estómago e intestino intestino respectivamente son: P) Píloro, ileocecal ileocecal y cardias Q) Cricofaríngeo, píloro y ileocecal R) ileocecal, píloro y cardias S) Cardias, Cricofaríngeo y píloro T) Yeyuno-íleon, píloro y válvula ileocecal 14. Los solutos que se encuentran encuentran en la saliva, son: P) Potasio, fosfatos Q) Cloruro, hierro R) Sodio, Bromo S) Bicarbonatos, Calcio T) Magnesio, fosfatos 15. La parte que comunica comunica el intestino intestino delgado delgado con el grueso a través de la válvula ileocecal, es: P) Colon Q) Duodeno R) Ciego S) Cardias T) Yeyuno 16. Es el procesos procesos de degradació degradación n del glucógen glucógeno o en glucosa glucosa que que es liberada en la sangre: P) Gluco lucogé géne nessis Q) Gluco lucolilissis R) Gluce lucem mia S) Glucon Gluconeog eogene enesi siss T) Glucog Glucogenó enólis lisis is 22
17. El conducto salival, salival, que desemboca desemboca a ambos lados del frenillo lingual, es: P) Conducto de Wharton Q) Co Conducto de Stenon R) Conduc Conducto to Wirsun Wirsung g S) Conduc Conducto to Colédo Colédoco co T) Conducto de Santorini 18. El conducto salival, el cual perfora al músculo buccinador buccinador y se abre a nivel del segundo molar superior, es. P) Conducto de de Sa Santorini Q) Co Conducto de de Stenon R) Co Conducto de de Wirsung S) Co Conducto Co Colédoco T) Conducto de Vater 19. Sintetiza o elabora productos de excreción excreción como amoniaco, amoniaco, ácido úrico, bilirrubina: P) Páncreas Q) Riñon R) Hígado S) El duodeno T) I. grueso 20. El páncreas páncreas es recorrid recorrido o en su totalidad totalidad por conducto conducto llamado: P) Excretor Q) Wharton R) Colédoco S) Wirsung T) Vater
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
Características Vasos sanguíneos Tipo de sangre Grosor pared
UNIDAD Nº12
SISTEMA CARDIOVASCULAR
En el ser humano, el sistema cardiovascular está formado por el corazón, los vasos vasos sanguíneos (arterias, venas venas y capilares), la sangre, y el sistema linfático. Es uno de los sistemas más importantes, ya que a través de él, la sangre, que circula por los vasos sanguíneos lleva nutrientes, oxígeno y otros elementos necesarios a todas las células del cuerpo. Recoge los desechos del metabolismo celular y los lleva a los órganos excretores para su posterior eliminación. COMPONENTES. Vasos sanguíneos. a. Las arterias: arterias: son las encargadas de llevar la sangre desde el corazón a los órganos, transportando el oxígeno (excepto en las arterias pulmonares, donde transporta sangre con dióxido de carbono) y los nutrientes. Esta sangre se denomina arterial u oxigenada. Las arterias tienen las paredes gruesas y ligeramente elásticas, pues soportan mucha presión. Los músculos de sus paredes, que son del tipo músculo liso (dependie (dependientes ntes del del sistema sistema nervioso nervioso autóno autónomo), mo), les les permiten contraerse y dilatarse para controlar la presión arterial y cantidad de sangre que llega a los órganos. Las venas: venas: llevan la sangre desde los órganos y los b. tejidos hasta el corazón y desde este a los pulmones, donde se intercambia el dióxido de carbono (CO2) con el oxígeno del aire inspirado, (excepto en las venas pulmonares, donde se transporta sangre oxigenadP). Esta sangre se llama venosa. Poseen válvulas unidireccionales que impiden el retroceso de la sangre. Las venas de la circulación general general traen sangre de todas las regiones del cuerpo al atrio derecho del corazón. Incluyen las venas que se vacían en el corazón, las que van a la vena cava superior y a la vena cava inferior. c. Capilares. Son vasos muy delgados delgados o finos que ponen la sangre en contacto con las células, conectando las últimas ramificaciones de las arterias (arteriolas) con los orígenes de las venas (vénulas). A través de sus paredes se producen los cambios gaseosos entre la sangre y los tejidos. Su estructura está dada por una sola capa, la endotelial (endotelio).
de
Ventrículo derecho Arteria pulmonar pulmonar
Ventrículo izquierdo Arteria Aorta Aorta
No oxigenada
Oxigenada
Gruesa
Muy gruesa
Corazón. Es un órgano muscular hueco que funciona como una bomba aspirante e impelente, atrayendo a sus cavidades la sangre que circula por las venas y enviándola por medio de las arterias Aorta y Pulmonar a todos los capilares. a.Configuración Externa. caras: anterior, Externamente el corazón presenta tres caras: bordes: superior izquierdo, posterior e izquierda; tres bordes: inferior izquierdo y derecho; una base y un vértice ó punta. a.1. Caras.
Cara anterior (esternocostal anterior (esternocostal o antero-superior). Esta cara es convexa. Presenta un surco que va del vértice del corazón al origen de la Arteria pulmonar llamado surco inter-ventricular anterior , y otro en sentido transversal llamado surco aurículoventricular o coronario, coronario, que señala externamente el límite entre la aurícula y el ventrículo. Por encima del surco aurículo-ventricular se encuentra el origen de la Arteria Pulmonar, y detrás de éste se ubica el origen de la Arteria Aorta. Por delante de las aurículas existen dos prolongaciones de éstas denominadas apéndices auriculares u orejuelas, orejuelas, de las cuales el de la derecha rodea a la Aorta y el de la izquierda izquierda a la Arteria Pulmonar. Pulmonar. Cara posterior (póstero-inferior o diafragmáticP) Al igual que en la cara anterior, se observa un surco vertical llamado surco interventricular posterior y otro transversal transversal que que es el surco aurículo-ventricular o coronario (porción posterior). Además se observa por encima de este último, el surco interauricular que señala externamente el límite entre las dos aurículas. Cara Cara izquier izquierda da (pulmo (pulmonar nar). ). Es convexa en sentido vertical y está en relación con la cara interna del pulmón izquierdo. Esta cara está dirigida hacia arriba, atrás atrás y a la izq izquie uierda rda y está está form formada ada casi casi exclusivamente exclusivamente por el ventrículo izquierdo. a.2. Bordes. Los bordes son tres: uno derecho y dos izquierdos pero todos convergen en la punta del corazón. Estos son: el borde derecho, el borde superior-izquierdo y el borde inferior-izquierdo. a.3. Base. Es de forma cuadrangular y está dirigida hacia arriba, a la derecha y atrás. Se observa en ella la desembocadura de las venas venas pulmonares derechas e izquierdas, la desembocadura de las Venas Cavas Superior e Inferior y el surco inter-auricular. a.4. Vértice (PuntP). Está formado solo por el ventrículo izquierdo y está dirigido hacia hacia abajo, adelante y a la izquierda. izquierda. Está situado a nivel del 4 to o 5to espacio intercostal. b. Config Configura uració ción n Interna Interna.. Interiormente el corazón presenta cuatro cavidades: Dos superiores que son las aurículas, derecha e izquierda; y dos inferiores que son los ventrículos, derecho e izquierdo. Las 23
Criterios de Aurícula Aurícula au Diferenciación Derecha Izquierda ríc Vena cava ul 4 venas superior, vena pulmonares, dos as Vasos que llegan cava inferior, derechas y dos es seno venoso izq. tá coronario n Tipo de sangre No oxigenada Oxigenada se A través de la A través de la Comunicación válvula válvula mitral o pa aurículoaurículo- ventricular tricúspide. bicúspide. ra das por el tabique interauricular y los ventrículos por el tabique interventricular. b.1. Los Ventrículos. Son cavidades de forma conoidea de base superior y vértice dirigido hacia abajo, a la punta del corazón. Los ventrículos presentan las siguientes características:
Orificios aurículo-ventriculares. Comunican los ventrículos con correspondientes.
las
denominado anillo de Vieussens. La Fosa oval es el rezago del agujero de Botal que en la vida fetal comunica las aurículas entre sí.
aurículas
Orificios arteriales. Comunican los ventrículos con la arteria que de ellos salen. En el ventrículo derecho se halla el orificio de la Arteria Pulmonar y en el izquierdo el orificio de la Arteria Aorta. Válvulas aurículo-ventriculares. Son estructuras membranosas de forma de embudo situados en los orificios aurículo-ventriculares. Dichas válvulas están constituidas constituidas por pliegues pliegues membranosos en valvas.. número de dos o tres llamados valvas En el ventrículo derecho se halla la válvula tricúspide (3 valvas) y en el ventrículo izquierdo la válvula bicúspide o mitral (2 valvas). Válvulas Arteriales o Sigmoideas. Estructuras membranosas situadas en el origen de las Arterias Aorta y Pulmonar, formadas por tres pliegues membranosos en forma de nido de paloma o bolsillo denominadas valvas valvas.. Por lo tanto existe una válvula sigmoidea Aórtica y otra Pulmonar. En el borde libre de cada valva se halla un pequeño engrosamiento fibroso que toma el nombre de nódulo que hace posible un cierre más perfecto del vaso. En la válvula de la Aorta se llama nódulo de Arancio y en la válvula sigmoidea Pulmonar se denomina nódulo de Morgagni. Columnas carnosas. Son un sistema de relieves y prolongaciones que se hallan en la superficie interna de los ventrículos. Estas son de tres categorías u órdenes: las columnas carnosas de 1er., 2do. y 3er. orden. b.2.
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Las Aurículas (Atrios). Son cavida cavidades des irregul irregularmen armente te cuboidea cuboideas, s, de menor tamaño y de paredes más delgadas en relación con los ventrículos, no poseen columnas carnosas de 1 er orden. Presentan un orificio aurículo-ventricular que comunican con sus respectivos ventrículos. En estos orificios se ubican las válvulas aurículo-ventriculares (bicúspide y tricúspidT). Las aurículas poseen orificios venosos: la Aurícula Derecha posee los orificios de las venas cava superior e inferior, coronaria mayor y venas cardiacas accesorias y la Aurícula Izquierda posee los orificios de las cuatro venas pulmonares que son dos derechas y dos izquierdas. En la pared externa de la aurícula derecha se hallan unos relieves característicos que se llaman músculos pectíneos, pectíneos, y en su pared interna que corresponde al tabique inter-auricular, se encuentra una depresión llamada fosa oval rodeada o limitada por un relieve
c. Vasos nutriciona nutricionales les e inervación inervación del corazón corazón.. Las arterias que irrigan al corazón proceden de las Arterias Coronarias que son derecha derecha e izquierda, las cuales son ramas de la Arteria Aorta. Están destinadas a nutrir a todo el órgano cardiaco, cualquier obstrucción de estas arterias o de sus ramas origina isquemia y muerte celular del tejido cardiaco (infarto del miocardio). Las venas del corazón que drenan o sacan la sangre del mismo mismo están constituidas principalmente por la Vena Coronaria Mayor
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO o Magna y su seno coronario con sus afluentes venosos. El seno coronario desagua en la aurícula derecha y presenta en su desembocadura desembocadura la Válvula de Thebesio. Los nervios del corazón proceden del plexo cardiaco, formado por ramas del nervio vago (X par craneal) y ramas de la cadena Simpática Cervical.
d.4.
d. Fisiol Fisiologí ogía a Cardio Cardiovas vascul cular. ar. Ciclo cardiaco (Revolución cardiacP). Se llama así a las fases de actividad (contracción) y reposo (relajación) por las que pasa de continuo el corazón. Estos movimientos rítmicos de contracción y relajación son los que dan impulso a la sangre. Al contraerse el miocardio, la sangre de las aurículas es enviada a sus correspondientes ventrículos, ventrículos, y la de éstos a las arterias arterias principales que salen del corazón. Al movimiento de contracción o sístole de ambas aurículas, corresponde simultáneamente el de relajación pasiva o diástole de los ventrículos ventrículos y viceversa. viceversa. El ciclo o revolución cardiaca dura 0,8 segundos aproximadamente, de tal manera que en un minuto ocurren unos 75 ciclos, en cada uno de los cuales se expulsan unos 70 ml de sangre (volumen de eyección) hacia los tejidos, lo cual da un total de 5 250 ml por minuto minuto (75 ciclos ciclos x 70 ml = 5 250 250 ml) es decir decir aproximadamente 5 litros. El ciclo cardiaco está constituido por 3 tiempos o fases: 1ro Contracción o sístole auricular. Con esta fase se inicia el ciclo cardiaco; consiste en el paso de la sangre de las aurículas aurículas a los ventrículos. Esta Esta fase dura 0,1 segundos (1 décima de segundo). 2do Contracción o sístole ventricular. Consiste en el paso de la sangre de los ventrículos a las arterias Aorta y Pulmonar. Aquí ocurre el primer RUIDO CARDIACO. Esta segunda fase dura 0,3 segundos (3 décimas de segundos).
d.1.
3ro Relajación o diástole general. Comprende la relajación de las aurículas y ventrículos y la llegada de sangre a las aurículas y a los ventrículos. Aquí se produce el segundo RUIDO CARDIACO. Esta fase dura 0,4 segundos (4 décimas de segundos). segundos). d.2. Automatismo del corazón. Capacidad del corazón de generar su propia energía energía el cual se efectúa por un tejido miocárdico especial que es el que forma el sistema de origen y conducción de los estímulos eléctricos que provocan las contracciones cardiacas. cardiacas. Este tejido miocárdico, responsable del automatismo cardiaco, se conforma de dos nódulos o nudos: El nódulo sinusal o de keith y Flack. Llamado marcapaso cardiaco, está situado en la desembocadura de la vena cava superior y su gran función es que originan el impulso cardiaco que inicia y regula el ritmo de contracción del corazón. El nódulo aurícula-ventricular. Situado entre las aurículas y los ventrículos, es el que lleva el estímulo con más lentitud y produce un retraso que facilita la contracción contracción auricular completa antes antes de que que el estímulo llegue a los ventrículos. En el nódulo aurículaventricular se pueden distinguir una porción superior: el NODULO ASCHOFF TAWARA situado en la base del tabique ínter-auricular y una prolongación hacia el tabique interventricular: el HAZ DE HIS, la cual rápidamente se divide en dos ramas, izquierda y derecha, que toman el nombre de Red de Purkinje. d.3. Frecuencia cardiaca (FR). Es el número de ciclos cardiacos que se realizan por minuto. La frecuencia cardiaca oscila entre 60 y 90 ciclos cardiacos por minuto, pero se considera como valores
d.5.
promedios entre 70 y 75. La frecuencia cardiaca aumenta con el ejercicio, temperatura, estimulación simpática, la adrenalina, anemia, stress, embarazo, etc. El aumento de la frecuencia cardiaca se llama taquicardia, taquicardia, y su disminución bradicardia. bradicardia. Ruidos cardiacos. Normalmente por auscultación es posible detectar 2 ruidos: Primer ruido Es de tono grave, sordo y prolongado con 0,14 segundos de duración. Se produce en sístole ventricular y se produce por el cierre de las válvulas aurículo-ventriculares y el choque de la sangre con la parte superior de los ventrículos. También se produce por las vibraciones provocadas por la contracción muscular y por la iniciación de la eyección sanguínea. Este primer primer ruido se compara compara al vocablo "LUBB". Segundo ruido. Es de tono agudo, claro y corto; dura 0,11 segundos aproximadamente. Se presenta en diástole general y se produce por el cierre de las válvulas sigmoideas y por las vibraciones de los ventrículos y valvas al chocar la sangre con las válvulas arteriales al intentar regresar al corazón. El segundo ruido se compara al vocablo "DAPP". Gasto cardiaco (GR). También se le llama Débito cardiaco o Volumen por minuto cardiaco. Es Es el volumen volumen de sangre expulsada expulsada por cada ventrículo en un minuto. Depende de dos factores: Frecuencia Cardiaca y el Volumen de Eyección (cantidad de sangre que se impulsa en cada ciclo cardiaco) G.C. = frecuencia cardiaca por volumen de eyección G.C.= 75 ciclos card./min x 70 ml/ciclo card. G.C.= 5,250 ml/min G.C.= 5 l/min (aproximadamentT) Con lo anterior se hace evidente que el corazón lanza a las arterias desde los ventrículos 5 litros de sangre por minuto, y siendo esta la cantidad total de sangre que posee el organismo, se deduce que una porción de sangre da una vuelta completa al organismo en un m inuto.
d.6.
Circulación. Es el movimiento bidireccional de la sangre por medio de los vasos sanguíneos y el corazón. En el humano la circulación es de naturaleza doble, completa y cerrada. Existen 2 circulaciones que son: Circulación Mayor o Sistémica. Comprende el recorrido de la sangre desde el corazón hacia los tejidos y el regreso desde los tejidos hacia el corazón. También se le denomina "CIRCULACION DE NUTRICION" porque tiene por función nutrir todos los tejidos y órganos del organismo. Esta circulación empieza en el ventrículo izquierdo, la sangre de aquí se va por la Arteria Aorta y siguiendo siguiendo las ramas de ésta y todas las ramificaciones ramificaciones arteriales llega a las diferentes células y tejidos donde se realiza el intercambio gaseoso. La sangre deja el oxígeno (02) que las células necesitan para su metabolismo y recoge el anhídrido carbónico (CO 2) que es un desecho metabólico que resulta de las combustiones celulares. Los vasos finos que dejan el oxígeno y toman el CO2 son capilares que provienen de las arteriolas y que van a continuarse con las vénulas. De esta manera la sangre arterial se convierte en sangre venosa, lo cual es recogida por el sistema venoso que van convergiendo sucesivamente hasta formar finalmente las venas cavas superior e inferior, las cuales
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resumen toda la sangre venosa de retorno hacia el corazón y que van a desembocar en la aurícula derecha, donde termina esta circulación mayor. Circulación Menor o Pulmonar. Comprende el recorrido de la sangre desde el corazón hasta los pulmones y el retorno desde los pulmones hasta el corazón. También se le llama circulación de hematosis porque tiene por objeto oxigenar la sangre. Esta circulación empieza en el ventrículo derecho con la salida de la arteria Pulmonar la que se divide en 2 ramas que se dirigen a cada pulmón, para luego subdividirse en vasos más pequeños. Finalmente termina dividiéndose en capilares a nivel de las alvéolos pulmonares, en donde dejan el anhídrido carbónico y toman al oxigeno (Hematosis). Convirtiéndose así la sangre venosa, en sangre arterial. Luego dichos capilares cargados con O2 van siguiendo un trayecto convergente para formar vasos venosos más grandes que se dirigen de retorno al corazón para finalmente llegar como venas pulmonares (derecha e izquierdP) izquierdP) a la la aurícula aurícula izquierda, donde termina esta circulación. La Sangre. Es un líquido rojo, viscoso, que circula por los vasos sanguíneos y el corazón. Es el principal fluido del organismo y está compuesto de un líquido llamado PLASMA, PLASMA, en el cual se encuentran suspendidas las CELULAS SANGUINEAS, SANGUINEAS, es decir los glóbulos rojos, glóbulos blancos y las plaquetas. Su volumen total promedio en el organismo humano es de 5 litros. a. El Plasma. El plasma sanguíneo es la porción líquida de la sangre en la que están inmersos los elementos formes. El plasma sanguíneo es esencialmente una solución acuosa de composición compleja conteniendo 91% agua, proteínas el 8% y algunos rastros rastros de otros otros materiales (hormonas, electrolitos, etR). Estas proteínas son: fibrinógenos, globulinas, albúminas y lipoproteínas.
menor número que éstos, existiendo un glóbulo blanco por cada 300 a 1000 glóbulos rojos. Clasificación. De acuerdo con el aspecto de su citoplasma que puede o no presentar gránulos, los leucocitos se clasifican en Granulocitos y Agranulocitos. Granulocitos (Granulosos). (Granulosos). Son de tres tipos: - Neutrófilos. También llamados Polimorfonucleares (PMN), representan el 60-70% de los leucocitos. Su función es la de fagocitar a cuerpos extraños. - Basófilos. Representan el 1% de los leucocitos.Tienen su rol en las alergias y en situaciones de alarma. - Eosinófilos. Se hallan entre 2-3% de los leucocitos. Tienen movilidad y capacidad de fagocitosis pero no fagocitan bacterias sino a moléculas formadas por complejos Antígenos-Anticuerpos. Antígenos-Anticuerpos. Agranulocitos (No (No granulosos). Son de dos tipos: - Monocitos. Se encuentran entre el 4-8% de los leucocitos. Intervienen en la fagocitosis. - Linfocitos. Representa del 20-30% de los leucocitos, existiendo una variedad de linfocitos como: linfocitos B, linfocitos T, y linfocitos K. d. Las Plaquetas. Las plaquetas o trombocitos son fragmentos citoplasmáticos pequeños, irregulares y carentes de núcleo, de 2-3 µm de diámetro, derivados de la fragmentación de sus células precursoras, los megacariocitos; la vida media de una plaqueta oscila entre 8 y 12 días. e. La Linfa. Es el líquido tisular contenido en los vasos linfáticos. Su composición es parecida al plasma, pero sin proteínas de alto peso molecular. Contiene abundantes linfocitos y carecen de glóbulos rojos y plaquetas. Es un líquido transparente. Tiene su origen en los diversos tejidos del cuerpo por el paso del líquido intersticial al interior de los capilares linfáticos.
b. Los Los Glób Glóbul ulos os Roj Rojos os.. También son llamados eritrocitos, eritrocitos, hematíes, hematíes, normocitos o rubrocitos. rubrocitos. Son células que han acabado su evolución. Poseen membrana celular pero carecen de núcleo, por lo cual no pueden reproducirse. Su citoplasma contiene una proteína llamada HEMOGLOBINA que se encuentra en un 34 %. La hemoglobina en contacto con el oxígeno en los alveolos pulmonares forman una oxihemoglobina, que se combinación inestable: la oxihemoglobina, encarga de llevar el oxígeno a los tejidos. Si transporta el CO2 ,forma la carbaminohemoglobina. c. Los Los Glóbu Glóbulos los Bla Blanc ncos os.. leucocitos, son células provistas También son llamados leucocitos, de núcleo pero carecen de membrana celular, son más voluminosos que los glóbulos rojos, pero se hallan en 26
INFARTO INFARTO AGUDO DE MIOCARDIO. MIOCARDIO. a. Defin efinic ició ión. n.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO El término infarto agudo de miocardio, miocardio, frecuentemente abreviado como IAM o IMA, IMA, conocido en el uso coloquial como ataque al corazón, corazón, ataque cardíaco o simplemente infarto, infarto, hace referencia a una falta de riego sanguíneo sanguíneo (isquemiP), que produce muerte celular (necrosis) en una parte del tejido miocárdico ("mio" músculo, y "cardio" corazón), lo cual ocurre súbitamente (agudo). En síntesis el IAM es producido por una obstrucción en una de las arterias coronarias o sus ramas. Según la Organización Mundial de la Salud (OMS) el Infarto corona coronario rio y otras otras enfer enfermed medade adess coronar coronarias ias son las las enfermedades que causan más muertes en el mundo. b. Sign Signos os y ssín ínto toma mas. s. Dolor torácico repentino, intenso y prolongado que se percibe como una presión intensa, intensa, y que puede extenderse extenderse (irradiarsT) a brazos y hombros (sobre todo el izquierdo), espalda, cuello e incluso los dientes y la mandíbula. Es lo que se conoce como angor o angina de pecho. No son infrecuentes los infartos que cursan sin dolor, o con con dolores atípicos que no coinciden coinciden con el descrito. Por eso se dice que el diagnóstico de IAM es clínico, electrocardiográfico y de laboratorio, ya que sólo estos tres elementos en su conjunto permiten realizar un diagnóstico preciso.
P) Q) R) S) T) 2.
El segund segundo o ruid ruido o card cardiac iaco o ocur ocurre re en: P) Síst Sístol ole e vent ventri ricu cula lar r Q) Sís Sístole tole auri auricu cullar R) Sístol Sístole e aurícu aurículala-ve ventr ntricu icular lar S) Contra Contracci cción ón aurícu aurículala-ve ventr ntricu icular lar T) Diá Diástol stole e gen gene eral ral
3.
La válv válvula ula tricú tricúspi spide de se encu encuent entra ra situa situada: da: P) Entre la aurícula derecha derecha y aurícula izquierda Q) Entre la aurícula derecha y ventrículo izquierdo R) Entre la aurícula derecha y ventrículo derecho S) Entre la aurícula izquierda y ventrículo izquierdo T) Entre la aurícula izquierda y ventrículo derecho El tiempo tiempo que que dura dura aprox aproximada imadamente mente un ciclo ciclo cardiac cardiaco o completo es: P) 0,3 segundos segundos Q) 0,35 segundos R) 3 segundos S) 8 segundos segundos T) 0,8 segundos
4.
c. Aérea Aéreas s de irrad irradiac iación ión del del dolor dolor::
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 12
1.
La clase clase de leucoci leucocitos tos el el tipo tipo de células células de de la sangre sangre que contiene Histamina y heparina es:
Baso filos Neutro trofil filos Monocitos Eosinofilos Eritrocitos tos
5.
El vaso vaso que que llega llega a la aurícula aurícula derecha derecha recibe recibe el nombre nombre de: P) Arteria Arteria aorta aorta Q) Arteria pulmonar R) Vena cava S) Vena pulmonar T) Arteria coronaria
6.
El vaso vaso sanguí sanguíneo neo que comuni comunica ca con con el ventr ventrícu ículo lo izquierdo es: P) Arteria Arteria aorta aorta Q) Arteria pulmonar R) Vena cava S) Venas pulmonares T) Arteria coronaria
7.
El surc surco o que que va del del vérti vértice ce del del coraz corazón ón a la arte arteria ria pulmonar se denomina: P) surco surco inter-auri inter-auricular cular Q) Surco aurícula-ventricular R) Surco coronario S) Surco inter-ventricular T) Surco sino auricular
8.
El primer primer ruido ruido cardia cardiaco co ocurr ocurre e en: en: P) Sístole Sístole ventricular ventricular Q) Sístole auricular R) Sístole aurícula/ventricular aurícula/ventricular S) Contracción aurícula/ventricular T) Diástole general
9.
El glóbulo glóbulo blanco blanco que al salir salir de un capilar capilar se convierte convierte en macrófago es: P) Neutrófil Neutrófilo o Q) Linfocito R) Basófilo S) Eosinófilo T) Monocito
10. El núcleo núcleo Hem de la la hemoglobi hemoglobina na tiene tiene un átomo de: de: P) Sodi Sodio o Q) Calcio R) Hierro S) Magnesio T) Cobre
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11. Los vasos vasos encargados encargados de llevar llevar la sangre sangre de los tejidos tejidos al corazón está indicado en la alternativa: P) Capila Capilares res Q) Venas R) Arterias S) Ganglios T) Nódulos
R) Haz de His S) Fibras de Purkinge T) Rama derecha del Has de His
12. El llamado llamado marcapa marcapaso so cardiaco cardiaco están están situado situado en: P) Desembocadura de Thebesio Thebesio Q) Tabique interauricular R) Desembocadura de la vena cava inferior S) Desembocadura de la vena cava superior T) Tabique interventricular 13. La diástole diástole genera generall tiene tiene una duració duración n de: P) 0,3 segundos segundos Q) 3 segundos R) 0,4 segundos S) 4 segundos T) 8 segundos 14. El nódulo nódulo ubicado ubicado en la válvu válvula la de la arteria arteria aorta aorta recibe recibe el nombre de: P) Theb Thebes esio io Q) Morgagni R) Arancio S) Sinusal T) Aschoff-Tawara
UNIDAD Nº13
SISTEMA RESPIRATORIO Y RENAL
15. El automatis automatismo mo del corazón corazón compre comprende nde dos nódulos nódulos llamados: P) Nódulo Nódulo de Purk Purkinj inje e y nódul nódulo o auric auricula ular r Q) Nódulo Nódulo de Aranci Arancio o y de Morg Morgagn agnii R) Nódu Nódulo lo Sin Sinus usal al y de Mor Morga gagn gnii S) Nódulo Nódulo Sinusal Sinusal y nódulo nódulo aurículoaurículo-ventr ventricul icular ar T) Nódulo Nódulo de Aschoff Aschoff Tawara Tawara y nódulo nódulo de de Keith Keith y Flack Flack
SISTEMA RESPIRATORIO Es el conjunto de estructuras anatómicas encargadas de realizar la función de respiración, es decir, la provisión de gases al organismo y para que esta función pueda llevarse a cabo requiere de permanente humedad. Para su mejor estudio, didácticamente se le divide en: Vías respiratorias, pulmones y pleuras.
16. La denomina denominación ción correc correcta ta del aumen aumento to y disminuc disminución, ión, del número de glóbulos blancos respectivamente es: P) Leucocitosis y anemia Q) Eritrocitos y leucopenia R) Policitemia y Leucopenia S) Hematolisis y leucocitosis T) leucocitosis y leucopenia
VÍAS RESPIRATORIAS Son el conjunto de cavidades y conductos por donde recorre el aire para llegar a los pulmones o salir de ellos. Están representados por: - Cavidades nasales - Faringe (sus 2/3 superiores) - Laringe - Árbol traqueobronquial.
17. El nódulo nódulo Aschoff Aschoff de Tawara Tawara se se encuentra encuentra ubicado ubicado en: en: P) El tabique tabique aurícula-ventricular aurícula-ventricular Q) El Surco inter-ventricular R) El Surco coronario S) El Tabique inter-auricular T) La Desembocadura de la vena cava superior 18. La disminució disminución n de la frecuencia frecuencia cardiac cardiaca a se llama: llama: P) Taquicard Taquicardia ia Q) Segundo ruido cardiaco R) Primer ruido cardiaco S) Bradicardia T) Revolución cardiaca 19. La alternativa alternativa que que contiene contiene la proposic proposición ión sobre sobre el origen y terminación de la circulación menor es: P) ventrícul ventrículo o derecho /aurícula /aurícula izquier izquierda da Q) Ventrículo izquierdo /aurícula izquierda R) Ventrículo izquierdo/aurícula derecha S) Ventrículo derecho /aurícula derecha T) Aurícula izquierda/aurícula derecha 20. Se encarga encarga de regular regular el ritmo ritmo de contracc contracción ión del corazón: P) Nódulo Nódulo sinusual sinusual Q) Nódulo aurículo ventricular 28
a. CAVI CAVIDA DADE DES S NASA NASALE LES S Son dos cavidades en forma de pirámide, situadas en la parte central y media de la cara, separadas una de otra por el tabique nasal. El orificio de entrada se llama Narinas o fosas nasales. nasales. Los orificios internos que las comunican con la faringe, se llaman Coanas. La nariz está cubierta externamente por piel, rica en glándulas sebáceas y sudoríparas, esta piel a nivel de las narinas se continúa con la mucosa, la cual reviste internamente las fosas nasales. Esta mucosa recibe el nombre de mucosa
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO pituitaria, muy rica en vasos sanguíneos y nervios. La mucosa pituitaria comprende dos zonas, distintas por su aspecto, constitución y función: - Una zona inferior llamada zona roja de la mucosa pituitaria. En esta zona se encuentran abundantes glándulas mucosas cuya finalidad es segregar moco para mantener la humedad de la mucosa; en su parte anterior presenta unos pelos gruesos que se llaman vibrisas cuya función es defensiva, pues retienen las partículas de polvo y son termorreguladores, es decir, regulan la temperatura del aire que ingresa. - Una zona superior, llamada zona amarilla, en donde se encuentran las terminaciones del nervio olfatorio, provistas de unas células especiales destinadas a captar los olores. Esta función recibe el nombre de osmia; la anosmia. pérdida de la olfación, en cambio, se llama anosmia. La mucosa reviste a los cornetes y meatos de la pared lateral de las fosas nasales e inclusive se introduce en las fosas paranasales.
Las fosas nasales son vías respiratorias necesarias pero no indispensables, ya que se puede respirar también por vía bucal. Las funciones de las fosas nasales son 3: la respiratoria, la olfatoria y la fonatoria. La Función Respiratoria, consiste en calentar, humedecer y filtrar el aire que se inspira. Las fosas nasales, debido a su humedad y a sus irregularidades, que le dan una gran superficie, cumplen fácilmente las dos primeras funciones; el filtrado se hace a través de los pelos del vestíbulo nasal. Además se adhiere al mucus de la pituitaria otras partículas más pequeñas. La función respiratoria se cumple en su mayor parte en la zona baja de las fosas nasales (pituitaria rojP). La Función Olfatoria, se hace en la parte alta de las fosas nasales, que está dotada de terminaciones nerviosas especiales. Por ello, para percibir bien un olor, se inspira profundamente para llevar las sensaciones olorosas a la parte alta de las fosas nasales, en donde es captado por los nervios olfativos. La Función Fonatoria, es la resonancia con con la que se refuerza especialmente los sonidos agudos. Se pueden comprobar esta función tapándose la nariz y notando el cambio que se produce en la voz. FARINGE La nasofaringe y bucofaringe son porciones de la faringe que participan sirviendo de vía de paso al aire; al estar revestidas de mucosa, el aire inspirado continúa entibiándose y ganando humedad.
Estructura Las cavidades nasales forman parte de la nariz y tienen una configuración especial, pues están formadas por huesos y cartílagos, revestidos internamente por mucosa y externamente por piel. Su constitución cartilaginosa permite su dilatación. El esqueleto óseo de las cavidades nasales, está constituido por dos huesos nasales (huesos propios de la nariz) los cuales forman la raíz y el puente de la nariz; el maxilar, las masas laterales del etmoides con sus cornetes superiores y medio, el cornete inferior. El piso o suelo de las cavidades nasales, está formado por la apófisis palatina del maxilar superior; el techo o bóveda está formada por el etmoides. Las fosas nasales se encuentran divididas en dos orificios por un tabique central osteocartilaginoso constituido por el hueso vómer, la lámina perpendicular del etmoides y el cartílago cuadrangular. Constitución cartilaginosa Los cartílagos que contribuyen a darle forma son: •Los cartílagos laterales •Los cartílagos del ala de la nariz
L MINA INA PERPENDICULAR HUESO CARTILAGO NASAL CUADRANGULAR CARTILAGO LATERAL SUPERIOR ESPINA MAXILAR
VOM
LARINGE Es una estructura altamente diferenciada del conducto aéreo, da paso al aire inspirado y espirado. Es un órgano complejo formado por cartílagos unidos entre entre sí mediante un sistema sistema de articulaciones, ligamentos y membranas. membranas. Los cartílagos son movilizados unos con relación a los otros mediante músculos, algunos de estos dispuestos alrededor del conducto aéreo formando las cuerdas vocales que cuando vibran ante el pasaje del aire inspirado emiten el sonido laríngeo, hecho que lo convierte en el órgano esencial de la fonación. Situación Se ubica en la parte anterior y media del cuello, debajo del hueso hioides y de la lengua, delante de la faringe; hacia abajo se prolonga con la tráquea. Mide como término medio 4,5 cm de alto x 4 cm de ancho y 3,5 cm de delante hacia atrás. En el adulto se proyecta hasta la parte media de la tercera vértebra cervical por arriba, y el borde inferior de la sexta vértebra cervical por abajo. Constitución anatómica La laringe está constituida por una parte externa o exolaringe y un parte interna o endolaringe. Exolaringe Constituida por cartílagos, músculos y ligamentos: • Cartílagos impares Tiroides, cricoides, epiglotis. • Cartílagos pares Aritenoides, cartílagos corniculados de Santorini, cartílagos cuneiformes de Wrisberg. • Músculos extrínsecos Unen la laringe a las regiones y vísceras vecinas. • Músculos Músculos intrínsecos intrínsecos Toman todas sus inserciones en los cartílagos de la laringe. Son en número de 11, de los cuales 5 son pares y 1 es impar.
Funciones de la Nariz y Fosas Nasales
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mucosa cuyo epitelio está formado por células vibrátiles y cuyo espesor contiene varias glándulas secretoras de mucus. Las células vibrátiles son las encargadas de expulsar el mucus y partículas de polvo que el aire lleva siempre en suspensión.
Endolaringe Se encuentra cubierto íntegramente por una mucosa. Se continúa hacia abajo con la mucosa traqueal, hacia atrás con la mucosa faríngea y hacia adelante y arriba con la mucosa lingual. Así, la cavidad laríngea presenta los siguientes niveles sucesivos:
Nivel supraglótico Tiene la forma de un embudo que limita por abajo con el borde libre de las falsas cuerdas vocales o superiores; constituye el orificio superior de la laringe o aditus laríngeo.
Nivel glótico Asegura la función fonatoria de la laringe y está limitada por ambas cuerdas vocales superiores e inferiores, formando a cada lado un divertículo llamado ventrículo laríngeo de Morgagni. Entre ambas cuerdas vocales inferiores o verdaderas limita un espacio llamado glotis. glotis. Nivel subglótico Por debajo de la glotis. LA TRÁQUEA La tráquea o traquearteria es un tubo cilíndrico de consistencia elástica que comienza como la prolongación de la laringe y termina en el tórax donde se bifurca en dos ramas que son los bronquios primarios. Empieza por arriba a nivel de la 5ta vértebra cervical y termina a nivel de la 4ta vértebra dorsal. Estructura Tiene una longitud longitud de 12 cm en en la mujer y de 14cm en en el hombre. Presenta dos porciones: su parte superior se halla en el cuello y su parte inferior en el tórax. La pared traqueal está formada por 16 a 20 anillos cartilaginosos en forma de herradura o en form a de “C” abiertos en su parte posterior; esta abertura es obturada o cerrada por completo por una membrana fibro-muscular. Debido a esta dispersión, la tráquea no es un cilindro perfecto sino que posteriormente está algo aplastada. La superposición de anillos queda unida por pequeños ligamentos fibrosos. Por esta razón, la tráquea goza de una considerable elasticidad que le permite adaptarse a todos los m ovimientos del cuello. La tráquea permanece constantemente abierta gracias a los anillos cartilaginosos. Su superficie interna está tapizada por una
30
Relaciones. - A nivel nivel del ccuel uello. lo. Se encuentra por delante del esófago; por detrás de los planos superficiales del cuello (piel, panículo adiposo y aponeurosis) y en sus primeros anillos encontramos el istmo de la glándula tiroides. tiroides. Lateralmente, Lateralmente, es es abrazada por por los lóbulos de la glándula tiroides. A nivel del tórax. Se encuentra ocupando delante del esófago; por niño y el adolescentT); pleuras mediastínicas respectivamente.
el mediastino anterior, se sitúa por detrás del esternón y del timo (en el lateralmente se relacionan con las y pulmón derecho e izquierdo
Aplicaciones. Las relaciones de la cara anterior a nivel del cuello son de gran importancia, ya que permiten realizar las llamadas traqueotomías, o sea, abrir un orificio en la tráquea cuando cuando existe fenómenos de asfixia alta cualquiera que sea la causa, por ejemplo la difteria, el atragantamiento con un bocado alimenticio en la laringe, etc. La traqueotomía es una decisión de suma importancia ya que una persona no puede estar sin respirar más de 5 minutos. Los bronquios. A nivel de la 4ta vértebra dorsal, la tráquea se divide en dos ramas: una derecha y una izquierda, que reciben el nombre de bronquios primarios los cuales se orientan desde la bifurcación de la tráquea en dirección al hilio pulmonar correspondiente, penetra en el pulmón y se distribuye por él, dando numerosas ramificaciones. En la mitad interna de la división de la tráquea hay una estructura Carina. que semeja una quilla que se llama Carina. Diferencias entre ambos bronquios primarios. - Bronqui Bronquio o derec derecho. ho. Es casi vertical, más ancho y más corto, y se relaciona con cayado de la vena ácigos. - Bronqui Bronquio o izquier izquierdo. do. Es casi horizontal, más largo y delgado, y está en relación con el cayado de la aorta y la arteria pulmonar izquierda.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
Segmentos. El tronco bronquial comprende extrapulmonares e intrapulmonares.
dos
segmentos:
Bronquios Extrapulmonares. Presenta una estructura semejante a la tráquea; el bronquio derecho tiene 6 a 8 anillos cartilaginosos (longitud 3 cm) abiertos hacia atrás y el bronquio izquierdo posee 9 a 12 formaciones semejantes (longitud 4-5 cm), recubiertos interiormente por una mucosa con epitelio vibrátil. Estos anillos se diferencian de la tráquea en que son anillos cerrados completamente en los bronquios de calibre grande y mediano. Los bronquios contienen en su pared un tejido elástico y un músculo liso dispuesto circularmente (Músculo de Reisseisen) que contrayéndose y relajándose constituyen un factor de variación del calibre bronquial y está sometido al control del sistema nervioso vegetativo. La mucosa de los bronquios es semejante a la de la tráquea. Bronquios Intrapulmonares. Los bronquios primarios se dividen en bronquios secundarios que se dirigen a cada uno de los lóbulos pulmonares. Así, del bronquio primario derecho desprenden tres bronquios secundarios o lobulares para los lóbulos superior, medio e inferior. El bronquio izquierdo, en cambio, emite dos bronquios secundarios para los lóbulos superior e inferior respectivamente. Estos bronquios se subdividen en bronquios mucho más delgados llamados bronquios de tercer orden y estos a su vez dan origen a otras ramificaciones denominadas bronquiolos. bronquiolos. Los bronquiolos terminan en unas dilataciones llamadas sacos alveolares, alveolares, los mismos que están compuestos por una gran cantidad de alvéolos. Es en este nivel donde se realiza la hematosis (oxigenación de la sangrT). La pared de los sacos alveolares es finísima, estando constituida por una sola capa celular llamada endotelio pulmonar , la mis misma ma que que está está en contacto con la red capilar; debido a la estrecha relación entre la sangre de los capilares y el oxígeno del saco alveolar es posible el intercambio de anhidrido carbónico y el oxígeno (CO2 x O2).
la mujer el pulmón derecho pesa aproximadamente 550 g y el pulmón izquierdo 450 g. d. Color. Es rosado en el niño; rojo vinoso en el adolescente; rojo parduzco en el adulto y negruzco en la persona de edad avanzada. Estos cambios de coloración se deben a la impregnación de partículas existentes en el medio ambiente (humo, gases, etc.) los cuales se adhieren e incrustan en el parénquima pulmonar. e.Configuración externa. Los pulmones tienen la forma de pirámide de caras curvas. Cada pulmón presenta: - Una cara cara exter externa na o costa costal.l. - Una cara cara interna interna o medias mediastínic tínica. a. - Un vértice vértice dirigido dirigido hacia hacia arriba. arriba. - Una base base (apoyado (apoyado sobre sobre el diafragm diafragmP). P). - Tres bordes: bordes: anterior, anterior, posterior posterior e inferior. inferior. - Su superficie se halla recubierta por por una membrana membrana serosa llamada pleura.
Las ramas de la arteria pulmonar que acompañan a los tubos respiratorios, en el interior del lobulillo, hasta el bronquiolo respiratorio, se disgregan sobre la pared del saco alveolar en una red de capilares. En la amplia red alveolar se realiza el intercambio gaseoso y a cuyo nivel toman su origen de las venas pulmonares, que se reúnen en la periferia del lobulillo las que recorren en un trayecto inverso al de las arterias. LOS PULMONES. Son los órganos donde se realiza la respiración externa del organismo. Es en los pulmones donde se realiza la hematosis, que es la absorción del oxígeno del aire atmosférico por la sangre y la eliminación de anhídrido carbónico hacia el exterior; este intercambio de gases se realiza a nivel de las paredes alveolares. a. Situ Situac aciión. ón. Los pulmones en número de dos, derecho e izquierdo respectivamente, se encuentran ubicados en la caja torácica. Ambos pulmones están separados por un espacio central que recibe el nombre de mediastino. Está cubierto en gran parte por los arcos costales y descansa sobre la cúpula diafragmática. b. Volumen. El pulmón derecho es más voluminoso que el izquierdo debido a la posición del corazón, cuya punta está dirigida hacia la izquierda, quitándole espacio al izquierdo. c. Peso. El peso de los dos pulmones en el hombre adulto es de 1300 gramos por término medio; 700 gramos para el pulmón derecho, 600 gramos para el pulmón izquierdo. En
División pulmonar. Los pulmones se dividen en lóbulos mediante las cisuras interlobulares que atraviesan la totalidad del tejido pulmonar, llegando hasta el hilio. Pulmón derecho. Está dividido en tres lóbulos por por 2 cisuras interlobulares: interlobulares: una oblicua y una horizontal, de tal manera que el pulmón derecho presenta tres lóbulos: superior, medio e inferior. Pulmón izquierdo. 31
Está dividido en dos lóbulos, uno superior y otro inferior, mediante una cisura interlobular u oblicua. En la parte inferior del lóbulo superior existe una zona adelgazada llamada língula; algunos autores la consideran como un lóbulo más (semejante al lóbulo medio del pulmón derecho) por lo que la denominan lóbulo de la língula. Irrigación de los pulmones. Los pulmones tienen dos tipos de irrigación: Irrigación nutricia. Proporcionada por las arterias bronquiales que irrigan toda la superficie pulmonar siendo su función solo de nutrición. Son 2 arterias para el pulmón derecho y 3 para el izquierdo. Irrigación funcional. Es realizada por las arterias pulmonares que son las encargadas de llevar la sangre para que se efectúe la hematosis; y por las venas pulmonares que llevan la sangre oxigenada de los pulmones pulmones al corazón para su posterior distribución por todo el organismo. PLEURAS. La pleura es una membrana serofibrosa que cubre a los pulmones. Consta de dos hojas: Hoja Visceral. Es bastante delgada y se adhiere íntimamente a las paredes de los pulmones llegando incluso a introducirse en las cisuras.
los líquidos que revisten los alvéolos y de sus fibras elásticas. Los pulmones pueden expandirse y comprimirse mediante los movimientos respiratorios de inspiración y espiración. - Insp Inspir irac ació ión. n. Es el ingreso de aire a los pulmones; es un fenómeno activo para el tórax y pasivos para los pulmones; aumenta el volumen torácico y se distienden los pulmones. Los músculos inspiradores son: diafragma, intercostales externos, serratos mayores, escalenos, esternocleidomastoideo, deltoides; su duración es de 2 segundos. - Espi Espira raci ción ón.. Es la salida del aire de los pulmones, por lo que disminuye el volumen torácico y se contraen los pulmones. Tiene una duración de 3 segundos. Los músculos espiratorios son: abdominales, intercostales internos, serrato postero-inferior. Es un fenómeno pasivo para el tórax y activo para los pulmones. Hematosis, oxigenación de la sangre o intercambio gaseoso. Es el intercambio de gases mediante difusión entre el O 2 del aire alveolar por el CO 2 de la sangre pulmonar poco oxigenada; ocurre en los pulmones a nivel de alveolos. Respiración interna o celular. La respiración celular se realiza en el interior de las mitocondrias de la célula y consiste en la reacción de pequeñas moléculas orgánicas con el oxígeno (O2) que ha ingresado desde los pulmones, produciéndose dióxido de carbono (CO2), agua (H2O) y energí energía. a. El CO2 es eliminado fuera de la célula y pasa al torrente circulatorio. La energía producida es utilizada por la célula para sus procesos metabólicos.
Hoja Parietal. Está en contacto directo con la parte interna de la caja torácica a la que está recubriendo; es más gruesa que la anterior. La parte inferior de esta pleura cubre la caja su superior de del diafragma.
FISIOLOGÍA RESPIRATORIA.
La respiración es externa e interna: Respiración Respiración externa. externa. Se realiza a nivel de pulmones. Comprende dos momentos: momentos: Ventilación pulmonar. Es un proceso de renovación renovación del aire de los pulmones; pulmones; estos y el tórax son estructuras elásticas que pueden dilatarse y contraerse. La elasticidad de los pulmones depende de la tensión superficial de 32
APARATO RENAL O URINARIO. Es el aparato que está encargado de regular el volumen y la composición de los líquidos líquidos del cuerpo, cuerpo, gracias a este este aparato excretor se mantiene la constancia de los líquidos orgánicos.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO También eliminan sustancias extrañas como toxinas, recobra el equilibrio ácido-básico. Esto es posible al llegar el volumen de sangre en forma forma continua al riñón, y así se puede excretar excretar los productos terminales del metabolismo, es decir que este aparato está encargado de elaborar la orina, almacenarla temporalmente y luego eliminarla o excretarla. PARTES. El aparato renal o urinario tiene dos componentes o partes: una secretora y otra excretora. Se compone esencialmente de los siguientes órganos: a. LOS LOS RIÑO RIÑONE NES. S. Son órganos glandulares tubulosos compuestos que secretan la orina; regulan el equilibrio ácido-básico; también regula la cantidad de líquidos del organismos. Estos órganos son especialmente construidos. Cada minuto son atravesados por más de la quinta parte de la sangre de todo el cuerpo. Segregan dos hormonas: la renina (participa en el control de la tensión arterial) y eritropoyetina (mantiene constante el número de eritrocitos); morfológicamente hablando, se hallan pegados a la pared posterior de la cavidad abdominal, a la altura de D11, L1, L2, L3; son órganos retroperitoneales, es decir cubiertos por el peritoneo. Características generales. • Situación. Los riñones están a ambos ambos lados de la columna vertebral, vertebral, el derecho está colocado algo más bajo que el izquierdo, por estar desplazado por el hígado. • Peso. De 125 a 155 g cada uno y mide 12 cm de largo por 7 cm de ancho. • Color. Es rojo parduzco con tendencia a rojo amarillento. amarillento. • Consistencia. Es firme, mucho más duro que el hígado hígado (reniformT). • Forma. Se parece a un frejol o habichuela.
• • • •
• •
a.2 Conformació Conformación n exterior. exterior. Presenta dos caras, dos bordes y dos extremos. Cara anterior. Es lisa y convexa, está recubierto por el peritoneo. Cara posterior. Es aplanada y está en relación con los músculos abdominales posteriores. Borde externo. Es convexo y redondeado. Borde interno. Es una escotadura con el hilio renal, por donde penetra el pedículo renal que está está formado formado por por la arteria arteria renal, que lleva sangre oxigenada al riñón, la vena vena rena renall, que saca sangre rica en gas carbónico y que desemboca en la vena cava inferior; y la pelvis renal que saca la orina. Extremo superior. Es romo, y está en relación con la glándula suprarrenal. Extremo inferior. Llega hasta el nivel de L3. Cada riñón con sus vasos se encuentran enclavados en grasa.
Constitución Anatómica. Al practicar un corte paralelo a las caras renales se observa las siguientes partes: una cubierta fibrosa y un tejido propio. propio.
Cápsula fibrosa. Es una membrana que envuelve exteriormente al riñón es delgada y de color blanquecino. Tejido propio del riñón. Se ubica por dentro del anterior y está constituido por dos zonas o regiones, que son: • Zona o sustancia medular. Es muy firme, de color rojo, se observa cierto número de superficies triangulares llamadas pirámides de Malpighi o renales que son en número de 10 a 12, la base está en relación con la sustancia cortical y el vértice forma una papila, en donde se encuentran los poros uriníferos, que son en número de 10 a 25 por cada vértice; los poros uriníferos forman el área cribosa de la papila. Esta zona está formada aparte de las pirámides renales, por las asas delgadas de Henle y tubos colectores; y además presenta las columnas de Bertin o renales.
• Zona o sustancia cortical.
Menos dura, de una coloración pardo rojiza. Envía en el intervalo de las pirámides unas prolongaciones llamadas columnas renales o de Bertin. De las bases bases de las pirámides pirámides renales salen unas prolongaciones llamadas rayos medulares (Pirámides de Ferrein). Se encuentran en esta zona de los corpúsculos de Malpighi o renales, los tubos contorneados proximales y distales de la neurona.
Nefronas. Son unidades estructurales y funcionales del riñón que están conformadas por el corpúsculo de Malpighi y el Conducto Urinífero que comprende: tubo contorneado proximal, asa de Henle, túbulo contorneado distal.
• Corpúsculo Renal o de Malpighi.
Es un abultamiento conformado por: la Cápsula de Bowman, que es una membrana delgada y transparente transparente que lo delimita; y el Glomérulo renal o de Malpighi, Malpighi, constituido por una red de vasos sanguíneos que adopta la forma de una madeja globulosa y se halla dentro de la cápsula de Bowman. Posee dos arteriolas: aferente y eferente.
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Cuando está llena tiene la forma ovoide y cuando está vacía es aplanada.
• Capacidad. • Conducto Urinífero.
Es una continuación de la cápsula de Bowman que se ensancha y se hace flexuosa llamándosele tubo contorneado proximal luego describe una curva a manera de asa, es el asa de Henle que tiene una rama descendente y una ascendente ancha para continuarse con el Tubo Contorneado Distal que desemboca en el Tubo Colector que finalmente se abre y vierte su contenido a través de los poros uriníferos situados en las papilas de las pirámides. La orina cae a los cálices cálices renales.
La capacidad fisiológica máxima es la cantidad que la vejiga puede retener, y es de 300 a 350 cc. La capacidad media es la cantidad de orina que contiene cuando sentimos necesidad de orinar y es de 150 a 250 cc. • Función. Almacena la orina y luego la traslada traslada a la uretra.
LA URETRA. Es el conducto que saca la orina de la vejiga al exterior. En el hombre la uretra mide 18 cm aproximadamente. aproximadamente. Se extiende desde el cuello de la vejiga hasta la extremidad libre del pene, sirve para la expulsión de la orina y la eyaculación del producto seminal. En la mujer, es muy corta, va desde la vejiga a desembocar por el meato urinario en la vulva. Tiene la función de eliminar la orina hacia el exterior, función conocida como micción.
b. VÍA VÍAS URIN URINAR ARIA IAS. S. Son órganos encargados de conducir la orina hacia el exterior y lo conforman: b.1 Cálices renales. Los cálices menores siguen a las papilas renales, reciben las gotas de la orina orina que caen caen por los poros urinarios; cada tres forman un cáliz mayor estas estructuras hacen una especie de ordeñado para desaguarla a la pelvis renal. b.2 Pelvis Renal.
Está formado por la unión de tres cálices mayores, tiene la forma de un embudo, aquí se enclavan generalmente los cálculos renales que son condensaciones de sales; la orina pasa luego a los uréteres. b.3 Uréteres.
Son en número de dos, se extienden desde la pelvis renal a la vejiga, presenta porciones abdominal, iliaca, pelviana y vesical. b.4 La Vejiga.
Tiene las siguientes características: • Situación. Es una bolsa músculo membranosa situada en la cavidad pélvica que, en el hombre se encuentra por delante del recto y por detrás de la sínfisis púbica; en la mujer está por delante delante del útero y por detrás de la sínfisis púbica. • Forma.
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FISIOLOGÍA DEL APARATO URINARIO. La principal función de los riñones es la de regular el volumen y la composición de los líquidos líquidos corporales, corporales, eliminar los productos de desecho de la sangre y cerca de la mitad de exceso de agua. También elimina sustancias extrañas como toxinas f ormadas dentro del organismo o que provengan de afuera. Las variaciones del medio ambiente, la ingestión incontinua de alimentos y bebidas bebidas y los cambios que experimentan los procesos metabólicos, tienden a alterar la constancia del medio interno. Toda la sangre de un individuo pasa a través de los riñones 15 veces cada hora, es decir 1,2 litros por minuto. Los riñones con la capacidad para modificar el volumen y la composición de la orina dentro de un margen notablemente amplio, ajustan su eliminación de manera adecuada para mantener dicha sustancia, a pesar de los factores perturbadores ya que pueden ser alterados con la fiebre, trabajo físico o la excitación psíquica. Entonces, la función fundamental de los riñones es elaborar la orina.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO a. La Orina. Es un líquido excretado por el riñón, es claro, transparente de color amarillo pálido, de olor aromático peculiar, de sabor salino, de reacción ácida. La cantidad normal eliminada en 24 horas oscila entre 1200 y 1500 c.c. en su mayor parte durante las horas del día.
La arteriola eferente, al salir del glomérulo, forma plexos alrededor de los túbulos.
a.1 Composición de la orina.
Si analizamos analizamos la composición composición de la orina, vemos vemos que es muy variable, pero por término medio está constituido por 95% de agua y 5% de residuo seco, compuesto a su vez de sustancias orgánicas e inorgánicas. Sustancias orgánicas. Las más importantes son: Urea, que se elimina en una proporción de 24 g por mil, y se forma en el hígado; la creatinina, que se forma en el músculo estriado; el amoniaco, que es elaborado por el riñón a expensas del aminoácido glutamina, no todo el NH 3 se excreta; el ácido hipúrico, a través de él se elimina el ácido benzoico, sustancia tóxica de origen alimenticio; las purinas, derivadas del ácido nucleico y de las proteínas corporales; el urocromo, pigmento de color amarillo que da a este líquido su color especial. Sustancias Inorgánicas. Además Inorgánicas. Además del agua, se encuentran cloruros, sulfatos y fosfatos de sodio, potasio, magnesio y calcio. Compuestos Anormales. En ciertas enfermedades pueden aparecer por ejemplo glucosa, que es entonces una sustancia anormal, esto se ve en la diabetes sacarina; a veces se encuentra pus pus en la orina, lo que indica una lesión lesión en el glomérulo o vía urinaria, o una infección de cálculos; esto ocurre cuando hay disminución de agua secretada, y por lo tanto aumento de componentes solubles: albúmina, proteína como la Seroalbúmina, puede deberse al aumento de la presión arterial, también también puede ser por las emociones emociones y el ejercicio.
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 13
1. En las cavida cavidades des nasales nasales,, el orificio orificio de entrada entrada se se denomina: denomina: P) Coanas Coanas Q) Marinas R) Pituitaria S) Narinas T) Osmia 2. La alternati alternativa va que corres corresponde ponde respe respecto cto a la la laringe laringe es: P) Se ubica ubica en la región región posteri posterior or y media media del del cuello cuello Q) Se ubica por detrás del hueso hueso hioides y debajo de la lengua R) Su parte inferior se relaciona con la sexta vértebra vértebra cervical S) Se parte superi superior or se proyecta proyecta hasta hasta la quinta quinta vértebr vértebra a cervical T) Se ubica ubica debajo debajo de la lengua lengua y detrás detrás de la faringe faringe 3. El sistema sistema respirator respiratorio io humano humano está está compuesto compuesto de: P) Un U n plumon Q) Las fosas nasales R) Un par par de pul pulmon monés és S) Pulmo Pulmonés nés y faring faringes es T) Branquias y estomas 4. El orifici orificio o superior superior de la laring laringe e se denomin denomina: a: P) Ventrí Ventrícul culo o laríng laríngeo eo Q) Epiglo Epiglotis tis R) Aditus Aditus laríng laríngeo eo S) Endolaringe T) Exolaringe 5. La tráquea tráquea permanec permanece e continuame continuamente nte abierto abierto gracia graciass a los anillos: P) Fibros Fibrosas as R) Cartilaginosos S) Elásticos T) Osteocartilaginosos Osteocartilaginosos
Fisiología de la formación de la Orina. La formación de la orina está muy relacionada con el riego sanguíneo del riñón; la arteriola eferente es más delgada que la arteriola aferente, lo que hace que la presión de la sangre del glomérulo aumente, por lo tanto el agua, las sales y las sustancias no coloideas de la sangre que conforman el plasma desproteinizado se filtren, a través del capilar de la cápsula hacia el espacio de la Bowman. Los elementos que debe atravesar el plasma en el proceso de la filtración glomerular están dados por las células endoteliales, la membrana basal endotelial, la membrana basal epitelial, y el espacio interpodocítico; de esta manera llega dicho líquido al espacio de Bowman, para seguir por el cuello del conducto contorneado proximal y el resto de túbulos, donde experimenta una serie de modificaciones, para constituir fundamentalmente la orina.
6. ¿En qué lugar lugar del sistema sistema respira respiratorio torio se realiz realiza a el intercambio intercambio de gases?: P) En la pleu pleura ra pulm pulmon onar ar Q) En las las par pared edes es alve alveol olar ares es R) En los bronquios S) En las paredes pulmonares T) En la cisura pulmonar 7. Es una membrana membrana serofib serofibrosa rosa que que cubre cubre a los pulmon pulmones es : P) La La pleura Q) La líguela R) Cisura S) Parénquimas T) Lóbulos 8. Los dos pulmon pulmones es se encuent encuentran ran en la caja caja torácica torácica separa separados dos por un espacio central llamado: P) Cúpula di diafragmática Q) Ló Lóbulo R) Lí Língula S) Cisura T) Mediastino 9. La función función fundame fundamental ntal de de los riñone riñoness es elaborar elaborar::
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P) Urea S) Acid Acido o benc bencén énic ico o l
Q) Orina T) Puri Purina nass
R) Amoniaco
10. La zona medular del riñón es muy firme, de color rojo, se observa cierto número de superficies triangulares triangulares denominados: P) Cáliz mayor Q) Pirámides de Mallpighi R) Colu Columna mnass de Bertin Bertin S) Pirá Pirámid mides es Crib Cribosa osass T) Pirámides colectoras 11. La cantidad de orina que se eliminada en en 24 horas oscila entre: entre: P) 1 000 cc a 1 500 cc Q) 2 000cc a 500 cc R) 1 250 cc a 1 350 cc S) 1 200 cc a 1 500 cc T) 1 200 cc a 15 000 cc 12. Los órganos órganos encargado encargadoss de regular regular el equilibrio equilibrio acido acido – básico, básico, también ayuda regular la cantidad de líquido en nuestro organismo son: P) Los pulmones Q) Los riñones R) Los páncreas S) El pH T) La vejiga 13. Son sustancia orgánica orgánica componente de la la orina; excepto: P) Am A moniaco Q) Fosfato de sodio R) Urea S) Urocromo T) Creatinina 14. La traquearteria es un tubo cilíndrico de consistencia consistencia elástica elástica que: P) Empieza por arriba a nivel de la 3ra. Vértebra cervical y termina a nivel de la 7ma. Vértebra dorsal Q) Empieza por arriba a nivel de la 4ta. Vértebra cervical y termina a nivel de la 4ta. Vértebra lumbar R) Empieza por arriba a nivel de la 5ta. Vértebra dorsal y termina a nivel de la 6ta. Vértebra dorsal S) Empieza por arriba a nivel de la 3ra. Vértebra cervical y termina a nivel de la 5ta. Vértebra dorsal T) Empieza por arriba a nivel de la 5ta. Vértebra cervical y termina a nivel de la 4ta. Vértebra dorsal 15. No corresponde a una característica externa de los los pulmones es: P) Presentan una una cara externa Q) Tienen una cara interna R) Presentan un vértice dirigido hacia arriba S) Tienen tres bordes: anterior, posterior e inferior T) Tiene una base apoyada en el diafragma 16. El pigmento de color color amarillo que se encuentra en la orina que le da su color especia esl: esl: P) Amoniaco Q) Urocromo R) Cromatina S) Urea T) Hipocromo. 17. Respecto a los pulmones, pulmones, la alternativa alternativa correcta es: P) El pulmón pulmón derecho derecho está está dividido dividido en dos dos lóbulos lóbulos por una cisura oblicua Q) El pulmón izquierdo está está dividido en tres lóbulos lóbulos por dos cisuras oblicuas R) El pulmón pulmón derecho está está dividido dividido en tres lóbulos lóbulos por por dos cisuras interlobulares S) El pulmón pulmón derecho derecho contiene contiene al lóbul lóbulo o de la lígula lígula T) El pulmón pulmón derecho derecho e izquierd izquierdo o están están divididos divididos en tres tres lóbulos por dos cisuras cisuras interlobulares. interlobulares. 18. La uretra presenta la la función de eliminar la orina orina hacia el exterior, es la función conocida como: P) Expulsión Expulsión Q) Micción R) Traslación S) Almacenamiento T) Eyaculación 19. Las paredes de los sacos sacos alveolares es finísima finísima está constituido constituido por una sola capa celular llamada:: P) Endotelio Endotelio alveolar alveolar Q) Alveol Alveolo o pulm pulmona onar r 36
R) Endote Endotelio lio traque traqueal al S) Endote Endotelio lio pulmon pulmonar ar T) Cisu Cisura ra pulm pulmon onar ar 20. Los músculos inspiradores inspiradores del sistema sistema respiratorio humano humano son; excepto: P) Diaf Diafra rag gma Q) Esca Escale leno noss R) pter pterig igoi oide dess S) Serr Serrat ato o mayor mayor T) Delt Deltoi oide dess
UNIDAD Nº14
APARATO REPRODUCTOR MASCULINO Y FEMENINO
REPRODUCCIÓN. La función de reproducción es aquella en que los seres vivos (animales (animales y plantas), plantas), dan origen origen a otros organi organismos smos con con características similares a ellos. Gracias a la reproducción es que se conservan las distintas especies de animales y de plantas, pues, mediante ésta se originan descendientes semejantes a sus progenitores y se conserva conserva la vida a través del tiempo. FORMAS DE REPRODUCCIÓN. La reproducción es un medio natural de perpetuación de la la vida y es el proceso vital que liga pasado, presente y futuro. La reproducción de los seres vivos se ajusta a esquemas semejantes tanto en los animales como en los vegetales, y puede presentarse en dos formas: a. Reprod Reproducc ucción ión Asexu Asexual. al. Es aquella en la que interviene un solo progenitor. Ocurre comúnmente en bacterias, algas, hongos, musgos, traqueofitas y en protozoarios. b. Repr Reprod oduc ucci ción ón Sexua Sexual. l. En esta forma intervienen dos células llamadas GAMETOS, que se unen para formar una sola célula que toma el nombre de HUEVO o CIGOTE. Pero antes de la fecundación cada gameto pasa por dos divisiones celulares sucesivas o MEIOSIS, por el cual reducen a la mitad el número de sus cromosomas con la finalidad de que al unirse unirse dichos gametos y formar una sola célula, ésta tenga el número adecuado de cromosomas. La reproducción sexual puede ser ISOGÁMICA O HETEROGÁMICA, HETEROGÁMICA, según que los GAMETOS GAMETOS sean iguales o desiguales. El gameto masculino se llama ESPERMATOZOIDE y el femenino OVULO, y el proceso de fusión de éstos se denomina fecundación. La reproducción humana es sexual y heterogámica. APARATO REPRODUCTOR HUMANO. Está constituido por una serie de órganos encargados de la formación de los elementos o células sexuales: espermatozoide y óvulo, que al unirse y desarrollarse formarán un nuevo organismo de la misma especie. Así, el Aparato Reproductor Humano tiene la función de asegurar la conservación de la especie humana. En la especie humana el aparato reproductor o genital es masculino o femenino.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO APARATO REPRODUCTOR MASCULINO. Está formado por las siguientes estructuras. a. Los Los Test Testíc ícul ulos os.. Órganos fundamentales fundamentales del aparato reproductor masculino masculino que tienen por función producir los espermatozoides. Son dos glándulas situadas fuera de la cavidad abdominal, dentro de una bolsa cutánea (de piel) llamada ESCROTO. Inicialmente están situados en la región lumbar a ambos lados de la columna vertebral y solo al final del tercer mes descienden a la región inguinal. a.1. Características externas.
- Dimens Dimensione iones s y Peso. Peso. Miden aproximadamente 40-45 mm de largo por 30 mm de ancho y 25 mm de espesor. Su peso es de 18 a 22 gramos. - Forma. Son de forma ovoide, del tamaño de una almendra y aplanados en sentido transversal. - Confor Conformac mación ión exterior. exterior. Presenta dos caras laterales (externa e internP), dos bordes (ántero-inferior y póstero-superior) y dos extremidades o polos (superior e inferior). a.2. Tejidos.
El testículo, testículo, como todo órgano, está formado por dos tejidos: el estroma estroma y el parénquima. parénquima. El Estroma. Está constituido por una cápsula fibrosa llamada albuginea que envuelve al órgano y del cual parten tabiques conectivos que se profundizan y lo dividen en 250 a 300 lobulillos espermáticos. El Parénquima. Está formado por los conductillos o tubos seminiferos, los cuales se encuentran en los lo s lobulillos espermáticos. En cada lobulillo existen de 3 a 4 túbulos seminíferos de 50 cm. de largo, en cuyo interior se generan los espermatozoides. Estos túbulos se encuentran arrollándose y apelotonándose sobre sobre sí mismos mismos de modo que solo ocupan una pequeña extensión. Cada túbulo seminífero posee dos tipos de células: Las Espermatogénicas, Espermatogénicas, encargadas de formar los espermatozoides, y las Sustentaculares o de Sertoli, Sertoli, que se encargan de nutrir a los espermatozoides. Entre los espacios que dejan los túbulos se hallan las Células Intersticiales de Leydig, Leydig, encargados de elaborar la hormona testosterona que permite el desarrollo de los caracteres sexuales secundarios masculinos. Generalmente el testículo izquierdo es más voluminoso y desciende un poco más abajo que el derecho.
b. Las vía víass esper espermáti máticas cas.. Son un sistema de conductos que permiten la salida de los espermatozoides al exterior. Son conductos por donde recorren los espermatozoides desde el lugar donde son elaborados (tubo seminífero) hasta su salida al exterior, y que comprende las siguientes estructuras: b.1. Conductos Rectos. Son aquellos que se forman por la reunión de los túbulos seminíferos a nivel del vértice de los lobulillos espermáticos. Son de trayecto trayecto muy corto. corto. b.2. Red de Haller. Llamada también Rete Testis. Es un sistema de conductos cortos anastomosados entre sí (formando redes) y constituida por la unión de los conductos rectos. b.3. Conductos Eferentes. Nacen de la red de Haller y son en número de de 10 a 15. Penetran en la cabeza del epidídimo y desembocan individualmente en la porción inicial del conducto epididimario. b.4. Conducto Epididimario.
Conducto colector de todos los conductos eferentes: nace a nivel de la cabeza cabeza del epidídimo y se extiende extiende hasta la cola del mismo. el epidídimo es una estructura alargada que rodea al testículo testículo (borde (borde póstero póstero – superior). superior). b.5. Conducto Deferente.
Es la continuación del conducto epididimario, y termina uniéndose con el conducto de la vesícula seminal, detrás de la vejiga. b.6. Conducto Eyaculador.
Es un conducto de trayecto corto corto (1,5 – 2,5 cm) formado por la unión del conducto deferente con el conducto de la vesícula seminal. este conducto atraviesa la próstata y desemboca en la uretra. b.7. Uretra.
Conducto impar, común al aparato urinario y reproductor (conducto urogenital); es la última vía que recorre el semen para ser expulsado al exterior. Según la región que recorre la uretra consta de 3 porciones: prostática, membranosa y esponjosa.
c. Glán Glándu dula lass Ane Anexa xas. s. Sus secreciones contribuyen a formar el semen y a lubricar las las vías espermáticas. Están formadas por: c.1. Vesículas Seminales. Son dos formaciones en forma de saco, situadas en la cara posterior de la vejiga y sobre la próstata. Produce un líquido viscoso que contribuye a formar el semen, es rico en fructosa constituyendo una fuente nutritiva para los espermatozoides.
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d.2.
c.2.
c.3.
Próstata. Es una glándula que rodea la porción inicial de la uretra, está situada por debajo de la vejiga. Produce un líquido de aspecto lechoso y alcalino, que es el que le da el olor característico al semen. El líquido prostático neutraliza la acidez del conducto deferente y de la vagina y activa a los espermatozoides. Glándulas de Cowper (Bulbo uretrales). uretrales). Son dos pequeñ pequeñas as glándul glándulas as del tamaño tamaño de un frijol frijol,, situadas a nivel de la base del bulbo. Elaboran un líquido que se vierte en la uretra para para cumplir la función de lubricar las paredes internas de la uretra, momentos antes de la eyaculación.
d. El P Peene. Es el órgano copulador masculino, tiene por función, en el acto del coito, llevar el semen o esperma a los órganos genitales femeninos. Está situado por arriba de los escrotos y delante de las sínfisis del pubis. Se consideran en él, un cuerpo y dos extremidades. d.1. Extremidades. Extremidad Posterior. También llamada "raíz del pene", está conformado por dos cuerpos cavernosos que se fijan en las ramas isquiopubianas y en la sínfisis del pubis. Cuerpo. Es cilíndrico y algo aplanado de delante atrás. Está conformado por dos cuerpos cavernosos y un cuerpo esponjoso. Extremidad Anterior. Está representado por el GLANDE y su envoltura el PREPUCIO. El glande es una dilatación anterior del cuerpo esponjoso. esponjoso. Se presenta presenta como como una eminencia conoide con una base unida al cuerpo y un vértice redondeado donde desemboca la uretra mediante un orificio llamado meato urinario. El prepucio es un repliegue de piel dispuesto a manera de mango alrededor del glande.
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Constitución Anatómica. El pene se compone de dos cuerpos cavernosos y un cuerpo esponjoso. Los primeros son estructuras de forma cilíndrica situados paralelamente uno al lado del otro, en su interior presenta múltiples pequeñas cavernas o espacios por los cuales circula la sangre. Constituyen los principales tejidos eréctiles del pene. El cuerpo esponjoso es una estructura impar y media de forma cilíndrica situada debajo de los cuerpos cavernosos y que contiene un sistema de trabéculas conjuntivas que lo subdividen en numerosos espacios vasculares. Contiene además en toda su extensión la uretra esponjosa. esponjosa.
e. El Semen men. Es un fluido compuesto por los espermatozoides y las secreciones del epidídimo, vesícula seminal, próstata y glándulas de COWPER. La expulsión del semen se llama EYACULACION y en cada una de ellas elimina de 2 a 3 cm 3 de semen que contiene de 200 a 300 millones de espermatozoides, de los cuales sólo uno debe fecundar al óvulo. APARATO REPRODUCTOR FEMENINO. Se le divide en: a. Geni Genita tale les s Inte Intern rnos os.. Constituidos por: los ovarios, las trompas de Falopio, útero y vagina. a.1. Los ovarios. Son órganos encargados de producir los óvulos. Están situados a ambos lados del útero y debajo de las trompas de Falopio. Son compactos, de forma ovalada y del tamaño de una almendra grande, y están mantenidos en su posición posición por la adherencia adherencia de su borde anterior al ligamento ancho, y por tres ligamentos propios: el útero-ovárico, el tubo-ovárico tubo-ovárico y el lumbo-ovárico lumbo-ovárico (o ilioovárico). El ovario de una mujer adulta tiene tiene una longitud promedio de 36 mm y esta dimensión aumenta con la menstr menstrua uació ción. n. Su peso peso es es de de 6 - 8 g y su su colo colorr es rosado-oscuro, y su superficie es rugosa. Los ovarios cumplen dos funciones importantes: forman los óvulos, que son las células reproductoras femeninas, y elaboran las hormonas ováricas, siendo las más importantes los Estrogenos y la Progesterona. Progesterona. Los primeros son los responsables de los caracteres sexuales secundarios femeninos y la segunda es la que promueve y favorece la gestación.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO del útero aumenta hasta 500 ó 1000 veces.
En la constitución anatómica del ovario se observan dos zonas bien delimitadas: La Zona Cortical. Es la zona periférica que rodea a la zona medular por todas partes, excepto a nivel del hilio. Contiene diseminados en forma irregular dentro de un estroma conjuntivo a los FOLICULOS DE GRAAF u OVISACOS, que son los elementos esenciales del ovario, los cuales se hallan en diversos estadios de desarrollo, conteniendo cada uno de ellos un óvulo primitivo, cada cual irá madurando para luego ser expulsado a un ritmo de uno cada 28 días aproximadamente. Cada ovario tiene tiene en el momento momento del nacimiento nacimiento un millón de óvulos primitivos, de 300 000 a 400 000 en la pubertad, y de estos sólo 400 aproximadamente alcanzan la madurez completa los cuales son liberados durante el periodo reproductivo de una mujer adulta. La Zona Medular. Es la zona central de un color rojo vivo, también llamado BULBO del Ovario, está formado básicamente por vasos sanguíneos y nervios sumergidos en una matriz conjuntiva y muscular. a.2.
Trompas de Falopio. También llamadas OVIDUCTOS, son dos finos conductos, uno derecho y otro izquierdo, que se extienden desde los ovarios hasta la base del útero y se encargan de llevar el óvulo hacia el útero. Poseen una porción proximal estrecha unida al útero y una porción distal, más ancha, cerca al ovario. Aproximadamente en el tercio externo de este órgano se realiza la fecundación (unión de óvulo con espermatozoidT). La trompa uterina posee 4 porciones:
•
Intersticial. Situada en el espesor del útero. Mide de 1-2,5 cm. • Istmo. Porción Porción de trayecto trayecto rectilín rectilíneo. eo. Mide Mide de 3 - 4 cm. • Ampolla. De trayecto trayecto tortuos tortuoso. o. Mide Mide de 7 - 8 cm. • Pabellón. Parte externa de forma de embudo, que posee en su extre extremo mo dist distal al de 10 10 - 15 prol prolong ongaci acione oness llam llamada adass FIMBRIAS. Es la porción más movible. a.3.
Útero o Matriz. Es un órgano muscular hueco de paredes gruesas y contráctiles, tiene la forma de un cono de base superior y vértice inferior, situado en el hipogastrio entre la vejiga y el recto. Su función es la de recibir y anidar al cigote, nutriéndolo y manteniéndolo en su cavidad durante todo su desarrollo hasta que alcance su completa madurez, para posteriormente posteriormente expulsarlo. Es el órgano de la gestación y el parto. Durante la gestación la capacidad
Porciones. El útero ofrece 3 porciones:
• El Cuerpo.
Porción más desarrollada, representa representa 2/3 del útero.
• El Istmo.
Es la parte más estrecha, situada entre entre el cuerpo y el cuello.
• El Cuello (o Cervix).
Es la porción más inferior y móvil, esta a su vez presenta 3 segmentos: supravaginal, supravaginal, vaginal vaginal e intravaginal; intravaginal; este último también es llamado HOCICO DE TENCA, el cual se introduce en el fondo de la vagina. Estructura. El útero está formado por 3 capas de tejidos:
• Endometrio.
Mucosa que reviste la cavidad uterina y que sufre cambios estructurales cíclicos durante la madurez sexual en respuesta a los estímulos hormonales ováricos. Funcionalmente presenta dos zonas: El ENDOMETRIO BASAL en contacto con el miometrio, no sufre cambios cíclicos; el ENDOMETRIO FUNCIONAL, comprende los 2/3 ó 3/4 superficiales del endometrio y sufre cambios cambios cíclicos que culminan culminan con su destrucción y eliminación por la MENSTRUACIÓN. • Miometrio. Es la capa media y más gruesa constituida por fibras musculares lisas dispuestas en 3 capas: la externa e interna son longitudinales y la media es circular. • Perimetrio. Es la capa externa serosa que corresponde al peritoneo pelviano. Medios de Fijación. El útero presenta 3 pares de ligamentos que lo unen a las paredes pélvicas. Estos son los ligamentos: Anchos, Redondos y Útero-Sacros. a.4.
Vagina. Es un conducto músculo-membranoso que se extiende desde el cuello uterino hasta la vulva. Es el órgano de la copulación femenino donde se depositan los espermatozoides, sirve para dar paso al flujo menstrual y al feto durante el parto. La vagina ofrece 2 orificios: uno superior que abraza al cuello uterino y otro inferior (orificio vulvo vulvo - vaginal) vaginal) que se abre abre en la vulva vulva y que en la mujer virgen se halla cerrado parcialmente por una membrana llamada HIMEN.
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La pared vaginal está formada por 3 capas: mucosa, muscular, y adventicia, siendo ésta última muy extensible y elástica.
b. Genita Genitales les Extern Externos os o Vulv Vulva. a. Es el conjunto de órganos genitales situados por delante y debajo del pubis, se compone de los siguientes órganos o regiones: b.1. Monte de Venus. Eminencia Eminencia redondeada redondeada y más o menos menos promin prominente ente situada por delante del pubis. Está constituida por una gruesa capa de tejido adiposo cubierto de piel con glándulas sudoríparas y sebáceas y que presenta además un vello rígido, crespo y oscuro. b.2.
Labios Mayores. Son dos repliegues cutáneos longitudinales, longitudinales, elevados y de gran tamaño, situados de atrás adelante, uniéndose en el monte de venus. Son los homólogos del escroto. La piel de la cara externa es gruesa, pigmentada y cubierta por vellos, y la piel de la cara interna es delgada, delgada, fina y sin vellos.
b.3.
Labios Menores. Son también dos repliegues cutáneos pequeños y delgados, situados por dentro de los labios mayores, tienen la forma de cresta de gallo y limitan entre ellos el vestíbulo vaginal. Su cara externa es pigmentada y la interna es rosada y húmeda semejante a una mucosa.
b.4.
Clítoris. Es un órgano eréctil, impar y medio, homólogo del pene del hombre, situado en la parte anterior y superior de la vulva. Está constituido por 2 cuerpos cavernosos fijos a la sínfisis pubiana y el GLANDE, que es la porción libre cubierta parcialmente parcialmente por el PREPUCIO.
b.5.
El Vestíbulo. Región triangular situada entre los labios menores por detrás del clítoris y delante del orificio inferior vaginal. En él desemboca la uretra mediante el MEATO URINARIO.
c. Glá Glándu ndula lass Ane Anexa xas. s. c.1.
Glándulas Uretrales. Son numerosas glándulas pequeñas que se abren en la superficie interna de la uretra, de preferencia en sus paredes laterales e inferior y se hallan en toda la altura del conducto.
c.2.
Glándulas de Skene (Parauretrales o periuretrales). Son homólogos de la próstata del hombre. Son en número de dos y están situados en la proximidad de la desembocadura de la uretra y se abren en el vestíbulo
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vaginal a ambos lados del meato urinario. Son órganos vestigiales cuya función es lubricar las estructuras vulvares.
c.3.
Glándulas de Bartholin (Vulvo (Vulvo vaginales O Paravaginales). Son dos glándulas ovoides, derecha e izquierda, situadas lateralmente al orificio inferior de la vagina a 1 cm de esta entrada y detrás de los labios menores. Son homólogos de las Glándulas de Cowper del hombre. Sus conductos excretores se abren por medio de 2 orificios a ambos lados, por fuera del himen a nivel de la mitad del orificio vaginal. Elaboran un líquido viscoso que actúa como lubricante lubricante en el coito.
FERTILIZACION O FECUNDACION. Es el proceso o fenómeno biológico por el cual se unen el óvulo y el espermatozoide para formar una nueva célula llamada HUEVO o CIGOTE, que da inicio al desarrollo embrionario. Los espermatoz espermatozoides oides deposi depositados tados en la vagina vagina (200 - 400 millones) millones) avanzan hacia dentro y tienen que sortear diversos obstáculos en su camino tales como: la acidez de la vagina, el moco cervical y las barreras físicas naturales como cuello uterino y unión útero-tubaria. Por ello, después después de algunas horas de la eyaculación eyaculación (10 horas, horas, aproximadamentT) llegan escasos espermatozoides (un par de docenas) al tercio externo o distal de la trompa donde generalmente se realiza la fecundación. Los espermatozoides son ayudados en su desplazamiento por contracciones rítmicas rítmicas de la musculatura lisa del útero y de la trompa y por movimientos ciliares del epitelio de la trompa. Los óvulos conservan su capacidad para ser fecundados hasta 24 ó 48 horas después de la ovulación, luego envejecen envejecen y mueren, por lo tanto la fecundación ocurre dentro de ese lapso. Los espermatozoides, por su parte, sobreviven en el interior del aparato genital femenino entre 24 y 72 horas. Fases de la Fecundación. a. Denud enudaaci ción ón.. Es el desprendimiento desprendimiento de la corona radiada que rodea al óvulo y que permite a los espermatozoides llegar a la superficie externa de la membrana pelúcida. Esto se efectúa por acción de la enzima HIALURONIDASA que es liberada por el acrosoma de los espermatozoides. espermatozoides. b. Reco Recono noci cimie mient nto. o. Es la interac interacción ción que que ocurre ocurre al ponerse ponerse en contact contacto o la membrana acrosómica interna del espermatozoide con la membrana pelúcida del óvulo, por el cual ambos gametos deben reconocerse como pertenecientes a una misma especie para que pueda concretarse la siguiente fase de la fecundación (penetración). Esto hace imposible la fecundación entre gametos de individuos de especies diferentes. c. Pene Penetr trac ació ión. n. Es el atravesamiento de la membrana pelúcida por los
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO espermatozoides, de los cuales sólo uno establecerá contacto íntimo con la membrana plasmática del óvulo. La penetración se realiza por acción de la enzima ACROSINA también liberada por el acrosoma. d. Fusión. Es la unión entre sí de las membranas plasmáticas de ambos gametos, es decir del óvulo y del único espermatozoide que hizo contacto contacto íntimo íntimo con la membrana membrana plasmáti plasmática. ca. Estas Estas membranas fusionadas pronto se reabsorben y se establece una solución de continuidad continuidad entre los citoplasmas de ambas células. e. Rea Reacci cción ón cortic cortical al (bloqu (bloqueo eo de la polis polisper permiP miP). ). Constituida por un conjunto de modificaciones modificaciones o cambios ultra estructurales que se producen en las membranas pelúcida y plasmática y en el citoplasma cortical de la célula huevo, los cuales producen el desprendimiento de los otros espermatozoides, impidiendo la posibilidad de nuevas fecundaciones. f. Formacion de los pronúcleos masculino y femenino. El núcleo del ovocito perteneciente ahora a la célula huevo adquiere el nombre del pronúcleo femenino y el recién incorporado núcleo núcleo (cabezP) del espermatozoide espermatozoide después después de agrandarse y tornarse esférico se convierte en el pronúcleo masculino. g. Anfimixis. Es la metafase de la primera división mitótica del huevo o cigote, la cual ocurre después que los dos pronúcleos establecen contacto en la parte central del huevo donde disuelven sus membranas y entremezclan sus cromosomas. De esta manera con el aporte cromosómico (23) de cada pronúcleo se restablece los 46 cromosomas a la célula huevo (diploidT). Con la anfimixis se inicia el proceso de segmentación. Segmentacion o clivaje. Es el proceso por el cual el cigote por divisiones mitóticas ininterrumpidas origina numerosas células llamadas BLASTÓMEROS, las cuales mediante un ordenamiento especial y por un principio de diferenciación origina el BLASTOCISTO. BLASTOCISTO. El inicio de la primera segmentación ocurre 30 horas después que el espermatozoide contacta con las envolturas del ovocito. En la primera segmentación o división se originan 2 blastómeros, en la segunda que ocurre entre las 40 a 50 horas se forman 4 BLASTOMERAS BLASTOMERAS y en la tercera división, a los 2,5 días, se forman 8 células. . DESARROLLO EMBRIONARIO Comprende 3 fases o etapas:
desarrollo se le ha llamado gástrula por parecerse a un pequeño estómago. Su pared está conformada por dos hojas: una externa o ectodermo y otra interna o endodermo. endodermo. Más tarde se formará entre ambas una tercera hoja llamada Mesodermo originando el embrión trilaminar. La gastrulación se inicia del 13° al 14° día de desarrollo.
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 14
1.
Son genitales genitales externos externos del aparato aparato reproductor reproductor femenino, femenino, excepto: P) Monte onte de ven venus us Q) Labi Labios os mayo mayore ress R) Vagina S) Clítoris T) vestíbulo
2.
Las células células inters interstici ticiales ales de Leydig Leydig tienen tienen como como funció función: n: P) Elabor Elaborar ar los los esperm espermato atozoi zoides des Q) Elabor Elaborar ar la hormona hormona testos testoster terona ona R) Nutrir Nutrir a los los esper espermato matozoi zoides des S) Elab Elabor orar ar la pro proge gest ster eron ona a T) Lubric Lubricar ar las las vías vías esper espermáti mática cass
3.
Las células células encargada encargadass de nutrir nutrir a los espermatoz espermatozoides oides se denominan: P) Célu Célula lass de leyd leydig ig Q) Célu Célula lass de de ser serto tolili R) Célula Célulass esperm espermato atogen genic icas as S) Célu Célula lass germ germin inat ativ ivas as T) Espe Esperrmati matid das
4.
Los esper espermatoz matozoides oides en su salida salida luego luego de la red de de haller haller se se dirigen hacia: P) Cond Conduc ucto toss rect rectos os Q) Cond Conduc ucto toss efere eferent ntes es R) Cond Conduc ucto to epidi epididi dima mari rio o S) Cond Conduc ucto to defe defere rent nte e T) Cond Conduc ucto to eyac eyacul ulad ador or
5.
Los conduc conductos tos recto rectoss se forman forman por por la la unión unión de: P) Túbu Túbulo loss semi seminí nífe fero ross
Mórula. Es el estado embrionario en el cual ha ocurrido la 4ta. División y se han formado entre 12 y 16 blastómeros. Esto ocurre a los 3 ó 4 días y da como resultado una esfera maciza de células células redondeadas con una forma de "mora" llamada mórula. Blástula o Blastocisto. Al 4to. ó 5to. día la mórula posee un mayor número de células y entre ellas aparecen una cavidad central llamada BLASTOCELE que va aumentando de tamaño, luego los blastómeros se disponen formando una sola hilera, adquiriendo el aspecto de una esfera hueca con una cavidad amplia en el centro. El embrión así se denomina BLASTULA o BLASTOCISTO y va formando diversas estructuras en los días siguientes. Al 6to. o 7mo. día el Blastocisto se implanta en el endometrio. En el 7mo. día el embrioblasto está organizado en dos hojas celulares y yuxtapuestas: el ectodermo y el endodermo (embrión bilaminar). Gástrula. Estado de desarrollo del embrioblasto, por el cual el polo inferior se deprime y se va acentuando hasta hasta que las células células de esta región llegan a contactar con los del polo opuesto (superior), dejando una cavidad con un orificio llamado BLASTOPORO. A este embrión en
41
Q) R) S) T)
Cond Conduc ucto toss efer eferen ente tess Cond Conduc ucto toss epid epidid idim imar ario io Cond Conduc ucto toss def defer eren ente tess Cond Conduc ucto toss eyac eyacul ulad ador ores es
6.
Las estruc estructuras turas que lubrican lubrican las paredes paredes interna internass de la uretra uretra momentos previos a la eyaculación se llaman: P) Glándulas bulbouretrales Q) Glándulas de Skene R) Glándulas de Bartholin S) Glán lándul dulas pe periur riure etra trales les T) Glánd lándu ula pro prostát tática ica
7.
La porci porción ón más más movibl movible e de las las trompa trompass de Falop Falopio io es: es: P) El El oviducto Q) El istmo R) La ampolla S) El pabellón T) El intersticio
8.
9.
El siste sistema ma de conduc conductos tos cort cortos os anasto anastomos mosado adoss entre entre sí (formando redes) y constituida por la unión de los conductos rectos, se denomina: P) Túbu Túbulo loss semi seminí nífe fero ross Q) Red de hal halle ler r R) Cond Conduc ucto toss epidi epididi dimar mario io S) Cond Conduc ucto toss defe defere rent ntes es T) Cond Conduc ucto toss eya eyacu cula lado dore ress La porci porción ón intra intravag vagina inall del cuello cuello uterin uterino o se denomi denomina: na: P) Hoci Hocico co de Tenc Tenca a Q) Cérv Cérvix ix R) Fimb Fimbri rias as S) End Endom omet etri rio o basa basall T) End Endom omet etri rio o cer cervi vica call
10. La enzima enzima acrosina acrosina desempe desempeña ña una acción acción decisiv decisiva a específicamente en: P) La formaci formación ón de los pronúcleos pronúcleos femenino femenino y mascul masculino ino Q) El bloque bloqueo o de la polisp polisperm ermia ia R) La denu denudac dación ión del del óvul óvulo o a fecun fecunda dar r S) El despre desprendimi ndimiento ento de la la corona corona radiata radiata que que rodea rodea al óvulo T) El atrave atravesami samiento ento de la la membran membrana a pelúcid pelúcida a por por los los espermatozoides. 11. La glándula que que produce un líquido de aspecto lechoso y alcalino que le da el olor característico al semen, es: P) Glándu Glándula la de de barth bartholi olin n Q) Prós Prósta tata ta R) Vesícu Vesícula la semina seminall S) Epid Epidíd ídim imo o T) Glán Glándu dula la de de cowp cowper er 12. Uno de los enunciados enunciados siguientes corresponde al al pene: P) Presenta Presenta dos cuerpos cuerpos caverno cavernosos sos y dos esponjop esponjopsos sos Q) Conduc Conduce e solo solo la orin orina a R) Es el el órga órgano no de de la cópu cópula la S) Produce Produce la la hormon hormona a testos testosteron terona a T) Sintetiza Sintetiza y almacena almacena esper espermatozo matozoides ides 13. La unión del conducto conducto deferente con el de la vesícula seminal seminal forma el: P) Co C onducto Eferente Q) Conducto Recto R) Conducto eyaculador S) Conducto uretral T) Conducto Conducto epididimario epididimario 14. Las trompas de Falopio Falopio poseen 4 porciones, la que se encuentra ubicada en el espesor del útero se denomina: P) Inte Inters rstitici cial al Q) Istmo R) Pab Pabell ellón S) Ampo mpolla T) Fimbri mbrias as 15. La descripción: “Son dos repliegues cutáneos cutáneos longitudinales, longitudinales, elevados y de gran tamaño, situados de atrás adelante, uniéndose en el monte de venus”; corresponde a: P) Clít Clítor oriis Q) Labi Labios os meno menore ress 42
R) Labi Labios os may mayor ores es S) Vest Vestíb íbul ulo o T) Mont Monte e de Venu Venuss 16. La función de la la glándula de bartholin bartholin está indicada en en la alternativa: P) Elaboran Elaboran un líquido líquido viscoso viscoso que actúa actúa como lubricante lubricante en el coito. Q) Lubricar Lubricar las estruc estructuras turas vulva vulvares. res. R) Produce Produce un líquido líquido de aspecto aspecto lechoso lechoso y alcalino alcalino.. S) Produce Produce un líquido líquido viscos viscoso o que contribu contribuye ye a formar formar el semen. T) Produce Produce fructosa fructosa que sirve sirve como como nutriente nutrientess a los espermatozoides. 17. Las glándulas que pertenecen al aparato reproductor femenino están indicadas en la alternativa: P) Glándula Glándula de barthol bartholin in y de cowpe cowper r Q) Glándula Glándula bulbo bulbo uretral uretral y de de skene skene R) Glándulas Glándulas uretrales uretrales y de bartho bartholin lin S) Vesícula Vesícula seminal seminal y próstata próstata T) Glándula Glándula paravagin paravaginal al y bulbo uretral uretral 18. La fase fase de la la fecunda fecundación ción que se realiz realiza a por por acción acción de la enzima ACROSINA que es liberada por el acrosoma de los espermatozoides es llamada: P) Pene Penetr trac ació ión n Q) Denu Denuda dame ment nto o R) Fusión S) Reacci Reacción ón cortic cortical al T) Reco Recono noci cimi mien ento to 19. Las enzimas involucradas involucradas en el proceso proceso de la fecundación fecundación son: P) Acros Acrosina ina y test testost ostero erona na Q) Estrogeno Estrogenoss y hialuroni hialuronidasa dasa R) Progestero Progesterona na y testostero testosterona na S) Hialur Hialuroni onidas dasa a y acrosin acrosina a T) Androg Androgeno enoss y estr estróge ógenos nos 20. El desarrollo embrionario embrionario comprende tres etapas que en secuencia es: P) Mórula Mórula,, gást gástrul rula a y blástu blástula la Q) Blástula, Blástula, mórula y gástru gástrula la R) Gástrula, Gástrula, mórula y blástu blástula la S) Mórula Mórula,, blástul blástula a y gástrul gástrula a T) Blástu Blástula, la, gást gástrul rula a y mórula mórula
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Clasificación de las Magnitudes Físicas: a. Por su orig origen en y dimensi dimensione ones: s: a.1 Magnitudes Magnitudes fundamentales fundamentales:: Son aquellas magnitudes que se toman como patrones de medida y se escogen convencionalmente para definir las demás magnitudes. Ejemplo: la longitud. a. a.22 Magn Magnit itud udes es der deriv ivad adas as:: Se definen a partir de las magnitudes fundamentales. Ejemplo: Área es el producto de dos longitudes. b. Por Por su su natur natural aleza eza:: b.1 Magnitudes escalares: Son aquellas que para definirse sólo necesitan de un número y una unidad. Ejemplo: 12 segundos. b.2 Magnitudes vectoriales: Son aquellas que para definirse necesitan de las características de un vector. Ejemplo: 20 m/s. Sistema de Unidades: Es el conjunto de unidades resultante de fijar, mediante normas, las magnitudes fundamentales. El Sistema MKS absoluto cuyas unidades fundamentales: el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s), fue propuesto en el año 1902 por el profesor italiano Giorgi. Actualmente es parte integrante del Sistema Internacional de Unidades (S.I).
Sistema Internacional (S.I.): Fue propuesto en 1960 por la XI Conferencia General de Pesas y Medidas. Contiene 7 magnitudes Fundamentales y 2 Suplementarias. En 1983, el Presidente del Perú Arq. Fernando Belaúnde Terry promulgó la Ley que hace obligatoria la enseñanza y utilización el SI en todo el Sistema Educativo. UNIDAD Nº 9
ANALISIS DIMENCIONAL Y VECTORIAL
FÍSICA: Ciencia que estudia los fenómenos de la naturaleza (fenómenos (fenómenos físicos), para lo cual se vale de la observación y experimentación. Todo lo que nos rodea y lo que hacemos diariamente, tiene que ver con algún fenómeno físico. MAGNITUD: Para la Física, una magnitud es aquella susceptible de ser medido. UNIDAD: Es una porción porción de magnitud magnitud que que se toma como como referencia referencia para para comparar magnitudes de la misma especie. ANÁLISIS DIMENSIONAL: Es el estudio de las relaciones que guardan entre sí todas las magnitudes físicas. Magnitudes Físicas. Son propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales y son susceptibles de ser medidos, pudiendo ser expresadas con un valor numérico y la unidad correspondiente. Ejemplos: - Sí se pueden medir: La longitud, el tiempo, la velocidad (son magnitudes físicas). - No se pueden medir: La belleza, el olor, la bondad, etc. (no son magnitudes físicas).
Magnitud Longitud Masa Tiempo Intensidad de Corriente Temperatura Intensidad Luminosa Cantidad de sustancia Magnitudes suplementari as ngulo plano ngul ngulo o sóli sólido do
Unidad de Base
Abreviatura
metro Kilogramo segundo
m kg s
Símbolo Dimension al L M T
Amperio
A
I
Grado Kelvin
°K
candela
cd
J
mol
MOL
N
Unidad
Abreviatura
Radián Este Estere reor orra ra dián
rad Sr
Ecuaciones Dimensionales. Son expresiones matemáticas que representan las relaciones existentes entre las las magnitudes fundamentales y las derivadas. derivadas. Estas ecuaciones utilizan las reglas básicas básicas del Álgebra, menos las de suma y resta; se diferencia de las algebraicas porque solo opera en las magnitudes. El símbolo símbolo [ ] significa: “Ecuación dimensional de”, por lo lo que que [ A ]: se lee ecuación dimensional de A. Propiedades y principios de las Ecuaciones Dimensionales.
43
a. Toda constan constante te numérica, numérica, ángulos ángulos,, logaritmos logaritmos y función función trigonométrica no tiene dimensiones; se les llama “A dimensionales”, se asume que tienen como ecuación dimensional a la unidad (1) cuando se encuentran como coeficientes. Ejm: [ π ] = 1 ; [ 360°] 360°] = 1 ; [ log log e] = 1 [ cos 60° 60° ] = 1 ; [ 2π rad ] =1 =1 : [colog [colog e] = 1 b. En toda ecuación ecuación dimensi dimensional onalmente mente correcta correcta,, los términos términos que se están sumando o retando deben tener igual dimensión. Si la la ecuació ecuación: n: A = B + C – D; es homogénea homogénea se cumpli cumplirá rá el el principio de la homogeneidad dimensional: [A] = [B] =[C] = [D]; es decir todos sus términos términos son homogéneos homogéneos y tienen la misma misma ecuación dimensional. La adición o sustracción de las mismas magnitudes da como resultado la misma magnitud. Ejemplo: 2 metros + 4 metros = 6 metros Observe que: L + L = L Luego : L L = L c. Los exponen exponentes tes de una una magnitud magnitud,, siempre siempre son son números. números. Ejemplos: las siguientes expresiones son correctas: L3, M2, T-2. La expresión M2xL, “podría” ser correcta siempre que “XL” sea un número cualquiera; es decir se debe cumplir que [2xL] = 1.
− 1 A [ E ] = [ 2] = [ A] −1 = [ LT −1 ] = L −1 T [ A]
Rpta: R
PREGUNTA Nº 2 Dada la expresión dimensionalmente dimensionalmente correcta:
Siendo: A = aceleración y B = velocidad angular. Entonces la ecuación dimensional de "x" es: P) LT -2
Q)LT -1
R) L2T
S) L-1T -2
T) L2T -2
RESOLUCIÓN: Por el principio de homogeneidad se tiene:
[ x ] = [ A] = LT -2
Rpta: P
PREGUNTA PREGUNTA Nº 3 Si la siguiente expresión es homogénea, Donde: V= velocidad; a= aceleración; t = tiempo y m = masa
Nota: Al realizar las operaciones con magnitudes de medidas de SI se recomienda utilizar el siguiente orden: L, M, T, θ, I, J, N. Aplicaciones de las Ecuaciones Dimensionales. a. Para cumplir y comprobar la veracidad de las fórmulas físicas. b. Para determinar las unidades derivadas en función de las magnitudes fundamentales. c. Para deducir deducir las las fórmulas fórmulas físicas físicas a partir partir de datos datos experimentales. Algunas Ecuaciones Dimensionales. • Superficie o área [ A] • Volumen [V] • Velocidad [v ] • Aceleración [a] • Fuerza [F] • Trabajo [W] • Densidad [D] • Presión [ P] • Velocidad Angular [w] • Frecuencia [ f ] • Momento o Torque [ Mo] • Energía [E] • Potencial eléctrico [V] • Carga eléctrica [Q] • Impulso de la Fuerza [I]
= = = = = = = = = = = = = = =
L2 L3 LT-1 LT-2 LMT-2 L2MT-2 L-3M L-1MT-2 T-1 T-1 L2M T-2 L2MT-2 ML2T-3I-1 IT LMT-1
Entonces el valor de [x] es: P) LMT L2MT
Q)LMT Q)LMT -1
R) LMT -2
S)L2 MT - 2
RESOLUCIÓN: Tomando Ecuación Dimensional a ambos miembros
[ ] 2 [ ] LT −1 [ M ] [ x ] = V m2 = [ −2] 2 = LMT −2 [ a][ t ] [ LT ][T ] 2
Rpta: R
PREGUNTA Nº 4 Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea: P = Entonces el valor de; x-3y es: Donde: P = Presión q = Fuerza R = Volumen P) -1
Q) -2
R) -3
s = Longitud
S) -4
T) -5
RESOLUCIÓN: PREGUNTAS RESUELTAS PREGUNTA Nº 1 Si la expresión es correcta y A = velocidad; entonces la Ecuación Dimensional de “E” es: entonces:
P) LT - 2
Q) LT - 1
R) L-1T
S) L-1T-1
RESOLUCIÓN: Por el principio de homogeneidad se tiene:
44
T) L2T -2
Rpta. Q PREGUNTA Nº 5 La ecuación dimensional de [X] en la siguiente ecu ecuación ación es:
T)
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
Donde: m = masa ; P = presión; R = fuerza ; A = área e = base de logaritmos logaritmos neperiano neperianoss
P) LM2T2
Q) LM-2T2
R) L-1M2T-2
S) L-1M-2T2
T)
2 -2
LM T
c. Coplanares: Están contenidos en un mismo plano.
RESOLUCIÓN:
[ X ] =
[ M ]2 [ L−1 MT −2 ] [ L]2 [ L−1 M −1T 2 ]
= L −1 M 2 T −2
Rpta: R
ANÁLISIS VECTORIAL: Es el conjunto de operaciones que se realizan con los elementos llamados vectores. Vector: Es un segmento de recta orientada que sirve para representar magnitudes vectoriales. Elementos de un vector: a. Magn Magnitu itud d o Módu Módulo lo:: Es la longitud o intensidad del vector, se caracteriza por por ser una cantidad escalar. escalar. b. Direc irecci ción ón:: es el ángulo medido en sentido antihorario, que forma el vector o su línea de acción con la horizontal.
c. Origen: Es el punto de aplicación.
d. Equi Equipo pole lent ntes es:: Tienen igual módulo, dirección y sentido.
A B Operaciones Vectoriales: a. Adició dición n de Vec Vecto tore res: s: Es una operación operación que tiene por finalidad finalidad hallar hallar un único vector denominado vector suma o resultante, el cual reemplaza a los vectores a sumar.
a. a.11
Méto Método doss Gráf Gráfic icos os:: Método del Paralelogramo: Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares.
Notación de un Vector: Ā: se lee vector “A” El modulo del vector resultante se calcula asi:
A o A se lee módulo del vector A Tipos de vectores: a. Coli Coline neaales les: Están contenidos en la misma línea de acción.
Vectores Codi Codiri ri idos idos
Vectores O uestos
Método del Triángulo: También se usa para dos vectores concurrentes y coplanares.
b. Concurrentes: Aquellos cuyas líneas líneas de acción se cortan en un punto. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro, luego al unir el origen del primer vector y la flecha del otro vector se tiene la resultante.
45
Método del Polígono: a Este método consiste en colocar a los vectores uno continuación del otro. El vector resultante de todos los vectores a sumar es aquel vector que se inicia en el origen del primer vector y termina termina en el extremo extremo del último vector.
A B R = = Sen Se n Sen Sen Se n Componentes Rectangulares de un Vector: Un vector se puede descomponer en dos vectores orientados en los ejes de coordenadas X e Y. La descomposición se realiza empleando funciones trigonométricas, así en: Cos θ = Ax/A → Ax = A cos θ
A
A
Sen θ = Ay/A → Ay = A sen θ
θ Ax
En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo, y al sistema se le llama “polígono cerrado”.
Vector Unitario: Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y se usa por lo general para indicar la dirección y sentido de un determinado vector.
A = A u
a.2 Métodos Analíticos: Suma de Vectores Colineales: En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en consideración los signos positivos para una determinada dirección y negativos para los vectores de dirección contraria. Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares: Se aplica para el caso de dos vectores. El módulo de la resultante se halla mediante la relación trigonométrica de la Ley de los Cosenos.
de donde: A u
=
A
Vectores Unitarios: i , j Son aquellos vectores unitarios que siguen la dirección de los ejes coordenados “x “ e “ “y respectivamente.
A
Y R
B i
R = A2 + B 2 + 2 AB cos
………….. (1)
Dónde :θ = ángulo entre los vectores Cuando se trata de calcular el módulo de la diferencia de dos vectores que forman un ángulo θ , podemos aplicar la siguiente fórmula: D=
=
A2
+ B2
- 2 AB Cos ……… (2)
a.3 Caso Particular : Si los vectores forman ángulos de 90º la ecuación (2) se reduce a:
R = A 2 + B 2
;(Cos 90° = 0)
También se aplica la Ley de Senos cuando se conoce los ángulos que forman los vectores y algunos módulos.
A
γ
α
β R 46
B
X
Expresión Vectorial de un vector:
Componentes i , j Al expresar un vector en sus componentes componentes rectangulares se tiene:
A = A x + A y
Expresando el vector en sus componentes i ,
j
A = ( Ax ) i + ( Ay ) j
Expresión de un vector como un par ordenado: Un par ordenado (Ax, Ay) también representa un vector en un plano x-y. El mismo que expresado vectorialmente sería:
A = ( Ax ) i + ( Ay ) j
= ( 3,1) A = 3i + j
Ejemplo: A
b. Suma de vectores por el método de las componentes rectangulares: rectangulares: Para hallar la resultante de los vectores se sigue la siguiente regla:
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO b.1. Se descompone descompone cada uno de los vectores en sus componentes X e Y
2L
= 2L
b.2. Se halla halla la resulta resultante nte en los los ejes ejes X e Y (Rx, (Rx, Ry) Rx = ΣVx y Ry= ΣVy b.3. El módulo del vector resultante se halla Teorema de Pitágoras.
2L
aplicando el
R = ( Rx ) 2 + ( Ry ) 2
Rpta. T
PREGUNTA Nº 8 En el grafico mostrado el módulo de la resultante de los vectores es:
b.4. La dirección del vector resultante se encuentra por la la relación:
= arctang
Ry Rx
Ry
R Rx
PREGUNTAS RESUELTAS PREGUNTA Nº 6 La figura muestra un sistema de vectores, entonces el vector resultante es: b
e
c f d
R) 3
u
Q)
S) 4
R) 2u
los po podemos ex expresar en en fo forma ve vectorial = 2i + 2j = - 2i + 2j = - 3i - j La Resultante nos da la suma de los tres vectores R = + + = - 3i + 3j
y
=
T) 5
u.
Rpta. P
PREGUNTA Nº 9 Si en la figura mostrada resultante resultante es :
R = a + b + c + d + e + f
S)
T) RESOLUCIÓN: Los ve vectores ,
a
P) Q) 2 RESOLUCIÓN:
P) 3
entonces el módulo de
de la la fi ura se tiene tiene:: a + b++ d+ + = e + f; = 0+ entonces
Luego:
= 3
R =c /R/ = / c / = 6 cm.
=
Rpta. R
PREGUNTA Nº 7 La figura muestra un cuadrado de lado L, donde M y N son puntos medios de sus respectivos lados. lados. Entonces el modulo del vector vector resultante, es: P) 2L Q) L + R) L S) 2 T) 2L
P) 3m
M N
Q) 4m
R) 6m
S) 8m
T) 9m
RESOLUCIÓN:
= 3
= 3(3m) = 9m
Rpta. T
PREGUNTA Nº 10 RESOLUCIÓN: Descomponiendo los vectores en sus componentes rectangulares
La figura muestra un cuadrado de 4cm de lado. Si M es el punto medio de DC; DC; entonces el modulo del vector resultante es:
47
4.
[ z ] si: GV = XZV Dónde: V = Volumen P) L Q) L2 R) L−2 S) L3 T) L−3 La ecuac ecuación ión dime dimensi nsiona onall de C en en la exp expres resión ión
− mv P = PO e 2CTE − 1 donde v=velocidad; m=masa; 2
e=energía; t=temperatura; PO =potencia. P) 1 P) 13cm 13cm T) 6cm
Q) 14cm 14cm
R) 15cm 15cm
S) 10cm 10cm
5.
RESOLUCIÓN: Descomponiendo los vectores en sus componentes rectangulares
Q) Q) θ
R) θ−1
S) θL
Un objet objeto o que reali realiza za un mov movimi imient ento o periód periódic ico o tiene tiene la siguiente ecuación: X =A e−γ t .cos (ω t + φ) Donde X es la posición, t el tiempo y e dimensión de [A ].
6cm
= 10cm 8cm
Rpta. S
P) L T 2 S) L 2 T 2 6.
2
V
B D
2
E C
T) 3
h
4K (x m)3 3 t2
v y
Dónde: m=Masa; t=Tiempo; h=Altura; h=Altura; V = Velocidad P) M Q) MT−1 2 S) MT T) MT3
a b d e f
c g
c
9. Dado el conjunto conjunto de vectores vectores.. Determinar Determinar su módulo módulo y dirección: P) 40; 60° Q) 40; 53° R) 40; 30° S) 20; 30° T) 20; 37°
En la la ecua ecuació ción n homog homogéne énea a hall hallar ar [x] [x] si:
R) MT−2
En la ecuación ecuación dimension dimensionalme almente nte correcta correcta determine: determine: 48
d S) 3 d R)
P) ML−2T−1 Q) ML2T−1 R) ML2T S) M−1L2T T) ML−1T
3.
c Q) 2 c P)
Dónde: V=Velocidad; D=Densidad; C=Masa
2.
Dos vecto vectores res de de 14u 14u y 30u dan como resultante resultante un vecto vectorr de módulo 40. Hallar el ángulo que hace el vector resultante con el de menor modulo. P) 53º Q) 16º R) 37º S) 72º T) 53º/2
8. Encontrar Encontrar la resul resultante tante de de los vectore vectoress mostrados mostrados
En la la sigui siguien ente te exp expres resión ión determ determin inar ar [B] [B] K 3
2
3
T) a
1.
R) L 2 T 1
2
S) 2a
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 09
Q) L T 1 T) L 2 T
2,82. Determine la 2,82.
Determ Determina inarr el módulo módulo de de la result resultant ante e de los los vector vectores es mostrados. El lado de cada cuadrado es “a” P) a Q) a R) 2a
7.
T) Mθ−1
10. En el sistema sistema vectori vectorial al mostrado mostrado,, la resultante resultante es nula. nula. Halle Halle la medida del ángulo “θ” y el módulo del vector F.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO P) Q) R) S) T)
30º y 15 37º y 20 37º y 15 37º y 25 53º y 15
11. Si la fuerza fuerza resultante resultante del sigui siguiente ente grupo grupo de vectores, vectores, es horizontal. Hallar F.
R)
A − B 3
S)
A − 2B 3
T)
2 A − 3B 6
16. Si AB = 4cm 4cm y CD CD = 3cm; 3cm; entonce entoncess el módulo de la resultan resultante te del conjunto de vectores mostrados es:
P) 10N Q) 20 R) 30 S) 40 T) 50
P) 1cm 1cm Q) 5cm R) 7cm
NIVEL INTERMEDIO
S) 10cm
12. Las ecuacione ecuacioness dimensiona dimensionales les de P y Q en la siguiente siguiente expresión homogénea es:.
T) 14cm → → → 17. 17. Los Los vect vector ores es A,B y C están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.
Donde: m = masa; t = tiempo; h = altura; f = frecuencia; E = energía; b1= aceleración P) M−3L4T−7 ; T −2 S) M−3L4T−6 ; T2
Q) M−3L4T−5 ; T −2
R) M −3LT−3 ; L 2
T) M−3L4T−6 ; T−1
13. En cierto cierto experime experimento, nto, se mide mide el tiempo tiempo que que demora demora un péndulo simple en dar una oscilación. Se observa que este tiempo depende de la aceleración de la gravedad y de la longitud de la cuerda. La ecuación empírica del periodo en función de estas dos últimas cantidades es: P) 6,28 g−1/2 L1/2 Q) 4,22 g−1/3 L1/2 R) 3,12 g−1/5 L1/3 S) 1,24 g−1/3 L1/3 T) 3,14 g−2 L1/2 14. la posición posición “X” de de una partícula partícula en función del tiempo “t” está dado por X(t)=at2-bt4 con X en metros y “t” en en segundos. Las unidades de “a” y “b” respectivamente, respectivamente, son: P) m/s m/s2; m/s4 Q) m/s2; m/s2 R) m/s2; m/s S) m/s4; m/s2 T) m2/s2; m/s4
P) Q) R) S) T)
4 u ∠ 7º 1 u ∠ 8 º 4 u ∠ 0 º 1 u ∠ 0 º 1 u ∠ 10 º
A − B
Q)
6 A − B 4
30° 38° 83°
→
C
= 10u
→
B
= 8 2 u
NIVEL AVANZADO 18. Sabiendo Sabiendo que la expresió expresión: n:
15. En el sistema sistema de vector vectores es mostrado mostrado M y N son puntos puntos medios medios de los respectivos lados. Expresar X en términos de A y B P)
→
A = 10u
n
+ .. . E E + E + + A + B + C + V 1
n
2
n 1
n
n
2
Tiene como unidad el segundo, entonces la unidad de: 7n 12
AB C
; es:
Siendo: Ei=energía / i=1;2;3:…;n V = potencia
49
P) unidad unidad de potencia potencia Q) unidad de energía R) unidad unidad de potencia potencia elevada elevada al cuadrado cuadrado S) unidad unidad de velocidad velocidad elevada elevada al cubo T) unidad unidad de energía energía elevada elevada al cuadrado cuadrado
R) 60º S) 45º T) 90º
19. La siguiente siguiente expresión da la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de una partícula, en función del tiempo “t”: V=A1Cos(2π A2t)+A3sen(A4t2)+A5t3 La dimensión de: K =
A A A A A 1
2
Es: P) LT
5
3
P) 100N
4
Q) LT−1
24. se tiene tiene tres vectores vectores A; A; B y C. si se sabe sabe que el vector vector A es ortogonal con el vector B y a su vez este último forma ángulo de 67º con el vector C, entonces el módulo de la resultante, sabiendo que A=80N; B=60N C=100N, es:
R) LT−2
S) LT−3
T) LT−4
Q) 60N R) 80N 80N
20. En el sistema sistema de vectore vectores. s. Si el vector vector resultan resultante te tiene una una magnitud de 10u y una dirección de 37°; entonces el vector es:
S) 140N T) 20N
P) Q) R) S) T)
21. Un vector vector A tiene magni magnitud tud de 15 y forma forma 37º con con el eje X. otro otro vector B tiene magnitud 25 y forma 53º con el eje X. luego el ángulo que forma el vector vector 2A+B con con el eje eje X es: P) arctg arctg(39 (39/38 /38))
UNIDAD Nº10
ESTATICA
Q) arctan(38/39) R) arctan(25/30) S) arctan(29/39) T) 90º 22. Dado Dado los vect vectore oress A; B y C de mag magnit nitude udes; s; 2 2 ; 5 y 2, cuyas direcciones respectivas respectivas son: -45º; 37º y 180º. Determine Determine el modulo del vector A+3B-5C: P) 20 Q) 25
CONCEPTO: CONCEPTO: Parte de la mecánica que estudia el sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo material en equilibrio. EQUILIBRIO MECÁNICO: MECÁNICO: Un cuerpo cuerpo está está en en equil equilibrio ibrio mecánico mecánico cuando se halla en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. FUERZA: FUERZA: Magnitud física vectorial que es el resultado de la interacción entre las diferentes formas de movimientos de la materia. La acción de una fuerza sobre los cuerpos depende de su módulo, dirección (línea de acción), sentido y punto de aplicación. La fuerza en el SI se mide en newton (N) y
R) 3 0 S) 35 T) 40
Línea de acción
23. si si para para dos dos vector vectores es copl coplana anares res A y B se cump cumple le que que el módulo de la diferencia es igual al de la resultante, resultante, entonces el ángulo que forman estos vectores es: P) 0º Q) 30º
Dirección: angulo de 30º 30º con con res res ecto ecto al al e e 50N
Punto de a lica licaci ción ón 50
F
=50N
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
Compresión
FUERZAS FUERZAS INTERNAS. INTERNAS. Son aquellas fuerzas de origen electromagnético, que se manifiestan en el interior de los cuerpos flexibles y rígidos, cuando éstos son sometidos a la acción de fuerzas externas que tratan deformarlo por alargamiento (estiramiento) y por aplastamiento (compresión). Pueden ser: Tensión, compresión, Torsión y fuerza elástica.
KX
F
LEY DE HOOKE: “La fuerza (KX) generada en el resorte es directamente proporcional a la deformación (tensión o compresión) longitudinal”.
a) Tens Tensió ión n (T) (T) Fuerzas en el interior de los cuerpos
= K X F =
flexibles (cable, sogP) o barras (tracción), tratando de evitar
K: Constante de elasticidad del resorte, se mide en N/m X: Deformación longitudinal, se mide en m etros.
Corte
LEY DE NEWTON
su posible estiramiento.
T
1) Princ Princip ipio io de de la Ine Inerc rcia ia “Todo cuerpo material permanece en reposo relativo o se mueve con velocidad constante en línea recta, si sobre él actúa una fuerza resultante igual a cero
Para graficar la tensión se hace un corte imaginario. La tensión se caracteriza por apuntar al punto de
V=0
V=cte
a=0
a=0
corte y es constante a lo largo del cuerpo.
Velocidad
Reposo Relativo b) Comp Compre resi sión ón (R) (R)
Constante
2. Ley de Aceleraci Aceleración ón
F1
F2 Corte C
“Todo punto material sometido a al acción de una fuerza resultante diferente de cero, adquiere una a aceleración en la misma dirección y sentido de la fuerza resultante”.El módulo de la aceleración aceleración es directamente directamente proporcional a al fuerza resultante e inversamente proporcional a su inercia (masP).
imaginario C
Fuerza interna que se opone a la deformación por aplastamiento de los cuerpos rígidos. La compresión se caracteriza por alejarse del punto de corte y es constante a lo largo del cuerpo (se opone a la fuerza deformadorP). c) Fuer Fuerza za Elá Elást stic icaa Fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos elásticos o deformables, tales como el resorte. La fuerza elástica se opone a la deformación longitudinal por compresión o alargamiento, haciendo que el resorte recupere su dimensión original.
F
F
KX
Fr m
a = aceleración Fr= fuerza resultante
3. Principio de Acción y Reacción “Cuando dos cuerpos A y B interactúan , a la acción de A se opone una reacción reacción de B en la misma dirección, con la misma intensidad, pero en sentido opuesto”
F ACCIÓ N
Tensión X
a =
F a + F R = 0
F
REACCIÓ N 51
X
PESO.PESO .- Es la la fuerza fuerza resultante resultante con la que la tierra atrae atrae a un cuerpo. Es una magnitud vectorial como como toda fuerza y su dirección es vertical dirigida hacia el centro de la tierra.
∑ F = F + F + F + F + ..... = 0 1
Se sabe:
g
3
4
GRÁFICAMENTE:
F a= R m
m
2
F3
F 1
F2
F 2
FR = m.a
F 4
F4 F1
P = mg
Peso = masa x
F 3
aceleración TEOREMA DE LAMY “Si sobre un cuerpo en equilibrio actúan 3 fuerzas no paralelas, estas son concurrentes en un punto. Con estas 3 fuerzas fuerzas puede puede construirs construirse e un triángulo triángulo vectorial vectorial en en el que puede emplearse cualquier fórmula de un triángulo, generalmente se emplea la LEY DE SENOS. (Del DCL DCL del cuerpo P)
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL) Es aislar imaginariamente un cuerpo o parte del sistema mecánico en estudio, donde se grafican todas las fuerzas externas que actúan actúan sobre el cuerpo. cuerpo. Procedimiento simplificado: a) Representa Representarr el el peso peso vertical vertical y hacia hacia abajo. abajo. b) En toda cuerda cuerda (o cuerpos cuerpos tenso tensos) s) represent representar ar una tensió tensión n que sale del DCL siguiendo siguiendo la dirección dirección de la cuerda. c) A lo largo largo de una misma misma cuerda cuerda existen existente te una misma misma tensión. tensión. d) En todo contact contacto o entre superfi superficies cies sólid sólidas, as, represent represente e al fuerza fuerza normal(N) entrando al DCL perpendicularmente por el contacto. Si hubiera contacto en reposo rugoso (rozamiento), también se representará la fuerza de rozamiento.
F1
F 1 F F = 2 = 3 Sen Se n Sen Se n Sen Se n
Ejm: Condición Mecánica
F3
D.C.L.
F2
T
N KX
B
A
ROZAMIENTO
A N P N
P
PRIMERA CONDICION DE EQUILIBRIO (EQUILIBRIO TRASLACIONAL) “Si un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la acción de fuerzas concurrentes, la resultante de estas fuerza es igual a cero”
∑ 52
F x = 0
^
∑ F = 0 y
En la naturaleza no faltan fuerzas que frenan y detienen los cuerpos en movimiento; los cuerpos que resbalan, nadan o vuelan, rozan contra lago, una superficie superficie sólida, en el agua o en el aire. A estas fuerzas que retardan el movimiento se les denomina FRICCIÓN.
f
1. ROZA ROZAMI MIEN ENTO TO CINÉ CINÉTI TICO CO ( k ) Cuando las superficies rugosas en contacto se encuentran en deslizamiento relativo.
K
f K =K N
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
M oF = Fd F Los torques pueden ser horarios o antihorarios. Fricción
Coeficiente
GIRO HORARIO (-)
Fuerza
GIRO ANTIHORARIO (+)
de rugosidad cinética
x
=
Normal
F
N
F
d
d
f
2. ROZA ROZAMI MIEN ENTO TO EST ESTÁ ÁTICO TICO ( s ) Cuando las superficies rugosas en contacto tienen tendencia al desplazamiento (Pero no se deslizan relativamentT)
S
M oF = Fd
M oF = −Fd
La distancia (S) es el segmento segmento perpendicular a la la línea de acción acción de la fuerza. SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO (EQUILIBRIO ROTACIONAL)
f S N
Sobre un cuerpo pueden interactuar varias fuerzas, en donde cada una de las fuerzas tiene la posibilidad de generar un torque o momento. Luego, la SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO o EQUILIBRIO ROTACIONAL establece que:
MÁXIMA FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO ( f SM SM) f stoma valores desde cero hasta un valor máximo. El valor máximo sucede cuando cuando el cuerpo está a punto de deslizar deslizar (movimiento (movimiento inminentT) y se halla con:
“Si la suma de momentos de fuerza sobre un cuerpo es cero, el cuerpo no gira o si es que gira lo hace a velocidad angular constante. Matemáticamente:
∑ M = 0 o
f SM = s N OBSERVACIONES: a) No conf confun unda da “ ” (rug (rugosi osidaS daS)) con “f”( fuerza fuerza de fricción o rozamiento) b) Toda fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento se opone al al deslizami deslizamiento ento o la la tendencia tendencia (querer (querer moversT) moversT) en forma tangencial. tangencial. c) El coefici coeficiente ente de rozamiento rozamiento estático estático es mayor que el coeficiente de rozamiento cinético:
s
> k
d) Toda fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento siempre siempre es perpend perpendicula icularr a su respectiva normal. ESTÁTICA II
MOMENTO DE UNA FUERZA (MF)
Denominado también también “TORQUE DE FUERZA”, es una magnitud vectorial que mide la capacidad de una fuerza aplicada sobre un cuerpo, para producir un giro del cuerpo. Matemáticamente su módulo es el producto de la fuerza (F) y la distancia del punto de giro (o) a la f uerza (dF).
REGLAS PARA USAR LA 2 da CONDICIÓN DE EQUILIBRIO 1. Hace Hacerr el D.C.L .C.L.. 2. Ubique Ubique el punto punto de giro giro (o) y desde desde este este punto punto halle halle la distanc distancia ia a cada fuerza que no pasa por este punto. 3. Iguale Iguale los momento momentoss horarios horarios a los antihora antihorarios rios para para garantizar garantizar que la suma de momentos sea cero. OBSERVACIONES:
P) Cuando se dice que un cuerpo está en equilibrio se puede usar la primera y/o segunda condición de equilibrio. Q) Cuando Cuando el cuerpo es pequeño pequeño (partíc (partícula, ula, pesa, pesa, cajón), cajón), se emplea solamente la primera condición de equilibrio ( F = 0 ).
∑
R) Si el cuerpo es grande (barra, palanca, escalera, viga,…) en primer lugar se usa la segunda segunda condición de equilibrio ( M o = 0) y si fuera necesario se usará posteriormente la
∑
primera condición (
∑ F = 0) 53
S) T)
60 80
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° N° 10
NIVEL BÁSICO 01. Un borrador de pizarra es presionado presionado perpendicularmente perpendicularmente a una pizarra vertical. Si el coeficiente estático co de fricción es 0,3 y el peso del borrador es de 30N. La fuerza de presión necesaria para mantener el borrador en reposo es: P) 100 N Q) 70 R) 80 S) 90 T) 95
06. Hallar Hallar la reacció reacción n ejercida ejercida por el piso piso sobre sobre la persona. persona. El bloque pesa 200 N y la persona 600 N, las poleas son de peso nulo. P) Q) R) S) T)
02. Si el bloque está a punto de resbalar. ¿Cuál ¿Cuál es el valor valor del coeficiente de rozamiento estático μS?(g = 10 m/s 2). θ = 37º P) 0,75 0,75 Q) 0,25 0,25 R) 0,5 0,5 S) 0,6 0,6 T) 0,8 0,8
100 N 200 300 400 500
07. El bloque bloque de 10 N de peso se encuent encuentra ra en equilibrio equilibrio.. Hallar la tensión en la cuerda AO.
θ
P) Q) R) S) T)
03. Si la esfera de 6 kg se mantiene en reposo; determine la tensión de la cuerda 1. (g = 10 m/s2).
5N 7,5 10 12,5 15
A
B
30º
O
08. Una barra uniforme uniforme y horizontal horizontal articulad articulada a en “O” de 120 120 N, sujeta en un extremo a una piedra. Calcula la tensión de la cuerda
P) 10N 10N Q) 20N R) 30N S) 40N T) 50N
P) 160 N S) 520 04. Calcular el mínimo valor valor de la fuerza “F” “F” capaz de mantener a la esfera de 80N de peso en la posición mostrada.
09.
Q) 45N T) 80N
R) 60N
05. Determine Determine la tensió tensión n de la cuerda cuerda que sostie sostiene ne a la la esfera de 100 N de peso si no existen rozamiento. P) Q) R) 54
30 N 40 50
R) 480
Calcular Calcular la deforma deformació ción n del resor resorte te si el sistema stema se encuentra en equilibrio; W A = 50 N y la constante elástica del resorte es 1000 N/m. P) Q) R) S) T)
P) 30 30N S) 90N
Q) 320 T) 640
1 cm 2 3 4 5
A
37º
10. Si el sistem sistema a mostrado mostrado en la figura figura se encuen encuentra tra en equilibrio y el bloque A pesa 32 N. Calcular el peso del bloque bloque B. B.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO P) Q) R) S) T)
18 N 16 20 24 32
NIVEL INTERMEDIO 11. El bloque bloque de la la figura figura tiene tiene una masa masa de 5 kg; kg; la consta constante nte del del resorte es de 200 N/m. El máximo estiramiento que se puede dar al resorte sin que el bloque se mueva es de 20cm. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y el piso es entonces: (g = 10 m/s 2)
P) 15N S) 10
Q) 25N
2N
T) 20
R) 35N
2N
15. La placa placa hexagonal hexagonal de 4kg 4kg está en en reposo. reposo. Determine Determine el módulo de la fuerza que el piso ejerce a la placa.
g = 10 m / s2
P) 0,5 0,5 Q) 0,8 R) 0,7 S) 0,3 T) 0,9
P) 100 100 N Q) 120 N R) 150 150 N S) 200 N T) 220 N 8 kg
12. Hallar Hallar la máxima máxima fuerza fuerza que se debe debe aplicar aplicar a la esfera esfera de 15 N de peso para que no pierda el equilibrio.
Q) 5
NIVEL AVANZADO 16.
P) 15 3 N
3
3 kg
Se muestra muestra una placa placa semicircu semicircular lar sobre una mesa. mesa. Si Si se aplica F1 y F2 tal como se muestra, determine el momento resultante sobre ella respecto respecto de la articulación. articulación. R = 50cm.
R) 10 3 S) 15 T) 5
13. Una barra barra de 1,2 1,2 m y de 3 N se apoya apoya sobre sobre dos puntales, puntales, calcula “x” para que la reacción en “B” sea 6 N
P) +3 +3,5 N.m S) -2 -2,5 N.m
Q) –3 –3,5 N.m T) +8 N. N.m
R) +2,5 N.m
17. Si la barra barra homogénea homogénea de de 10 kg permanece permanece en reposo, reposo, tal como se muestra, determine el módulo de la fuerza que le
P) 10 cm T) 50
Q) 20
R) 30
S) 40
14. El sistema sistema mostrado mostrado se encuen encuentra tra en equilibrio equilibrio.. La barra barra en forma de T es de m asa despreciable articulada en uno de sus extremos. Si el bloque es de 7,5 kg, determine el módulo de la tensión en la cuerda (g = 10 m/s2). ( AB
ejerce la barra a la superficie cilíndrica. cilíndrica. P) 20 N Q) 25 N g R) 35 N S) 50 N 30º T) 45 N
g = 10 m / s2
= 18,75a ).
55
18. Si las las esferas esferas idénti idénticas cas de masa m = 27 kg se mantienen mantienen en en equilibrio en la posición mostrada en la figura. Calcule la deformació deformación n que experiment experimenta a el resorte resorte de constante constante de rigidez k = 1800N/m que se encuentra en posición vertical. (g = 10 m/s2)
P) 10 cm Q) 20 cm R) 30 cm S) 40 cm T) 50 cm
µ =0 19. Un bloque bloque de 20N es arrastrad arrastrado o a velocidad velocidad constant constante e sobre la superficie lisa de un plano inclinado, por la acción de un peso de 10N pendiente de una cuerda atada al bloque y que pasa por una polea sin rozamiento colocada en lo alto de dicho plano. Calcular: I. El ángulo ángulo de inclinac inclinación ión del plano plano II. La tensió tensión n de de la la cuer cuerda da III. La fuerza fuerza normal normal ejercida ejercida sobre el bloque bloque por el plano P)45º;20N;30N Q)45º;20N;10 3 N R) 30º;20N;10 3 N S) 30º;10N; 10 3 N T) 30º;10N; 20 3 N
20. Si el bloqu bloque e mostrado mostrado es sometido sometido a una una fuerza fuerza
F = t2 + 5 ,
donde donde F en New Newton ton y t en segun segundos dos,, determine luego de cuántos segundos el bloque empezará a deslizar. m = 4 kg ; g = 10 m / s 2 P) 4 s 0,75 Q) 3 s R) 5 s 0,6 F S) 2 s m T) 6 s
UNIDAD Nº11
CINEMÁTICA I
INTRODUCCIÓN En nuestro entorno podemos observar a una gran cantidad de objetos y seres vivientes que se encuentran en continuo movimiento, también se sabe que los planetas, nuestra galaxia, el Universo están en constante movimiento. El movimiento es uno de los fenómenos que podemos observar e incluso experimentar con bastante frecuencia, es por esta razón que su estudio es de gran interés desde hace siglos atrás. Galileo fue quien abrió las puertas para la comprensión de este fenómeno. DEFINICIÓN Es la ciencia que estudia el movimiento movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo produce. Para hacer dicho estudio se debe escoger un lugar y un instante de referencia llamado: Sistema de referencia apropiado. MOVIMIENTO MECÁNICO Es el cambio continuo, de la posición de un cuerpo a través del tiempo respecto a un observador observador real o imaginario imaginario ubicado en un sistema de coordenadas espaciales. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO MEC ÁNICO
56
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
Donde: D: espa espaci cio; o; reco recorr rrid ido; o; dista distanc ncia ia:: t : tiempo V : rapidez; velocidad La aceleración es “cero”
(m) (s) (m/s)
CONVERSION DE UNIDADES a) De km/h a m/s Multiplicar por 5/18 CONCEPTOS FUNDAMENTALES a. Movi Movimi mieento nto Cambio de posición de un cuerpo con respecto de otro. b. Móvil Objeto, cuerpo o partícula que realiza el movimiento c. Desp Despla laza zami mien ento to Es aquella magnitud vectorial que nos expresa el cambio de posición que experimenta un cuerpo y se representa mediante un vector vector . El El vector vector despla desplaza zamie miento nto “ ” está está diri dirigid gido o desd desde e la posición inicial a la final (AQ) d. Tray Trayec ecto tori riaa Determinad Determinada a por la sucesiv sucesiva a posición posición del del móvil móvil durante durante el movimiento e. Espaci Espacio o Rec Recorr orrido ido (T).(T).- Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos considerados. f. Rapidez Es el módulo de la velocidad (informa que tan a prisa se mueve el objeto) g. Velo Veloccidad idad Rapidez más Dirección h. Acele celera raci ción ón Cambio de velocidad ya sea en módulo como en dirección. i. Sist Sistem emaa de Refe Refere renc ncia ia Es un punto, donde se considera ubicado el observador del movimiento. j. Tiempo Es una magnitud escalar, mide la duración del movimiento. k. Velo Veloci cida dad d medi mediaa Magnitud vectorial, determinada por la relación desplazamiento y el tiempo. Es una magnitud vectorial, vectorial, o sea, tiene tiene un módulo (valor numérico), una dirección , y un sentido. Fórmula: →
Vm = l.
CASOS QUE SE PRESENTAN EN MRU P) Tiempo Tiempo de encuentro encuentro:: Sentidos Opuestos te =
tiempo
A
VB te
te
B
d
b) Tiem Tiempo po de de alca alcanc nce: e: Mismo Sentido d t A = V A − VB VA
VB
A
B d
R) Tiempo Tiempo de Cruc Cruce: e:
Lc L
180m
Tiene Dirección
Rapid pidez Me Media Magnitud escalar, es la relación entre el espacio o distancia total recorrida y el tiempo total empleado. Fórmula:
recorrido tiempo
d V A + VB
VA
Desplazamiento
Vm =
tc =
L(cruce) + L(móvil) V(móvil )
S) Velocidad del Sonido (Vs= 340m/s)
340m / s = No tiene Dirección
CLASES DE MOVIMIENTO I.
b) De m/s a km/h Multiplicar por 18/5
Movimi Movimient ento o Recti Rectilín líneo eo Unif Uniform ormee ((MRU MRU)) Es el movimiento de un móvil con velocidad constante, es decir, no hay variación de la velocidad. Para resolver ejercicios referidos a este tipo de movimiento se aplica la fórmula:
d t
e) Movimi Movimient ento o No No simu simultá ltáneo neo
t 1 : Tiempo del móvil que partió primero. t 2 : Tiempo del móvil que partió atrasado ∆t : Tiempo de adelanto del primero o atraso del segundo t 1 = t 2 + ∆ t 57
El móvil que partió primero tiene más tiempo GRÁFICAS DE MRU Una de las formas que utilizamos para describir y estudiar los movimientos es a través de sus gráficas posición-tiempo, velocidadtiempo. A veces utilizamos las gráficas como un elemento más del lenguaje científico para describir un movimiento. Otras veces construimos las gráficas con los los datos que hemos hemos obtenido en la observación del del movimiento para poder sacar conclusiones acerca de las mismas e identificar el tipo de movimiento que estamos estudiando. En cualquiera de los dos casos es necesario que sepamos interpretar correctamente la información que éstas nos ofrecen. P) Espaci Espacio o vs Tiem Tiempo po Muestra gráficamente la relación entre la posición de una partícula en cada instante de tiempo.
II. Movimiento Movimiento Rectil Rectilíneo íneo Uniforme Uniformemente mente Variad Variado o (MRUV) (MRUV) Es el movimiento de un móvil cuyo cuyo valor de la velocidad experimenta aumento o disminución, es decir, aparece la aceleración. Puede ser: Movimiento Uniformemente acelerado Cuando la velocidad aumenta en el tiempo.
Cuando un móvil está en reposo, la gráfica es una recta horizontal. Su velocidad es cero (Vo= 0)
Movimiento Uniformemente desacelerado Cuando la velocidad disminuye en el tiempo.
Cuando un móvil tiene una velocidad constante y se desplaza hacia la derecha presenta una pendiente positiva (AVANZP) Fórmulas para MRUV
v f = v o ± a.t v f = v o ± 2a.d 2
2
d = v o. t ± Cuando el móvil tiene una velocidad constante y se desplaza hacia la izquierda presenta una pendiente negativa. (RETROCEDT)
d=
a.t
2
2
( Vo + Vf ).t 2
dn = Vo + Donde: Vo Vf t d dn a
O
FÓRMULAS
tan tang =
e2 − e1 t 2 − t 1
tan tan g = velocidad
Q) VELOCIDAD VELOCIDAD Vs TIEMPO TIEMPO
2
: velocidad inicial (m/s) : velocidad final (m/s) : tiempo (s) : distancia; espacio; recorrido (m ) : espacio recorrido en enésimo segundo (m ) : aceleración (m/s2)
Considerar en las fórmulas: Vo = 0 si el móvil parte del reposo reposo Vf = 0 si el móvil se detiene GRÁFICAS MRUV P) Espa Espaci cio o vs Tiem Tiempo po Aceleración Positiva
58
a(2n 1)
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
tan V U R M
g =
V f − V o t f − t o
tan g = aceleración
c) Aceler celerac ación ión Vs Tiem Tiempo po a(m / s 2 ) O
la aceleració n es positiv a
Area = ∆ V
Aceleración Negativa a U V M R
O
O
la aceleració n es negativa
FÓRMULAS
1
e =
2
1
e = eo + a.t 2
at 2
2
Donde e: espacio eo: espacio inicial a: aceleración t: tiempo
(m) (m) (m/s2) (s)
CAÍDA DE LOS CUERPOS: Es aquel movimiento, que en línea recta vertical realiza un cuerpo con aceleración constante, denominada ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD, la cual es denotado por la letra , esto quiere decir, que los cambios de la velocidad vertical son proporcionales a los tiempos empleados Características Todos los cuerpos caen con la misma misma aceler aceleraci ación ón unifor uniforme. me. Esta aceleración se debe a la acción de la gravedad (g) sobre la tierra. Su valor aproximado es de: g= 9,8 m/s2; hacia abajo. En unidades inglesas se expresa como: 32 pies/s2. En realidad, la gravedad (g) (g) varía un poco según la latitud o elevación del lugar. Las ecuaciones más comunes que en estos casos se emplean son:
Q) Veloci Velocidad dad Vs Tiempo Tiempo V (m / s)
Fórmulas
v f = v o ± g.t v f = v o ± 2g.h
V f
2
AREA
V o
O t o
2
h = v o. t ± t f
Area = espacio recorrido FÓRMULAS Para hallar el espacio recorrido hallamos el área de la figura formada
h=
g.t
2
2
( Vo + Vf ).t 2
Donde: Vf = velocidad final t = tiempo V0 = Velocidad Inicial g = aceleración de la gravedad h = altura h0 = posición inicial
(m/s) (s) (m/s) (10m/s2) (m)
59
CUANDO EL CUERPO SUBE Y BAJA
0m s 1s 10m s
1s
g
•
El cuerpo sube
•
El cuerp cuerpo o sube y baja baja (el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. En la altura máxima su velocidad es cero)
1s
10m s 20 m s
1s
20 m s m 1s 30 s
1s
30m s CAÍDA LIBRE Y EL MÉTODO VECTORIAL Las fórmulas de caída libre tienen magnitudes magnitudes vectoriales vectoriales tales como: velocidad; desplazamiento; gravedad, en consecuencia pueden trabajarse como vectores. Las fórmulas son similares pero hay que tener en cuenta lo siguiente: OBSERVACIONES: Trace un sistema de referencia (eje x e y) en el inicio del movimiento. La gravedad siempre se dirige hacia abajo. Si la velocidad se dirige hacia arriba entonces su signo será positivo, en caso contrario será negativo Si la altura está por encima del punto de referencia entonces será positiva, en caso contrario será negativa GRÁFICAS DE CAIDA LIBRE a) Altu Altura ra Vs tiempo tiempo • El cuerpo se deja caer (V caer (Vo o = 0) 0)
b) Velo Veloci cida dad d Vs tiem tiempo po • El cuerpo es dejado caer (V caer (Vo o = 0) 0)
h =
•
El cuerpo se arroja (Demora menos tiempo)
•
60
El cuerpo es lanzado hacia abajo
g .t 2
2
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 11
( Vo + Vf )t h= 2
•
El cuerpo se lanza hacia arriba
(g=10m/s2). 01. Si el profesor Gerardo recorre el trayecto del CEPU CEPU a su casa como en la figura figura entonces entonces el valor valor del desplazamie desplazamiento nto AB del profesor es el que indica la alternativa: P) 14m 14m y(m) Q) 10m 10m A R) 6m 10 S) 12m 12m T) 15m 15m 2
B 3
9
x(m)
02. Si el perro perro BRUCER” BRUCER” viaja viaja a razón razón de de 5m/s en línea línea recta, recta, de pronto comienza a frenar disminuyendo su rapidez en 6m/s cada 2s, 2s, luego: luego: I. La aceler aceleraci ación ón del móvil móvil es 2m/s 2m/s2.
•
El cuerpo sube y baja
II. II. Tard Tarda a en dete detene ners rse e III. En el último último segund segundo o recorre recorre 1m. La alternativa es la que indica la alternativa: P) VVV Q) FVF R) VFV S) FVV T) FFF 03. Si dos móviles móviles que que se encuentran encuentran moviénd moviéndose ose por vías vías paralelas, en la misma dirección dirección con velocidades velocidades de 4m/s y 1m/s. En cierto instante simultáneamente se encuentran a 20m de un muro muro y al llegar llegar el de mayor mayor velocida velocidad d al muro dan dan la vuelta vuelta conser conservand vando o el valor valor de su velocidad velocidad.. Entonce Entoncess el tiempo que transcurre hasta que los móviles se cruzan es el que indica la alternativa: P) 3s 3s Q) 5s R) 8s S) 7s T) 6s 04. 04. Si el inge ingeni nier ero o Ávil Ávila a deja deja caer caer su celu celula lar, r, al vaci vacio, o, desd desde e una altura de 45m entonces entonces la velocidad velocidad con que impactará impactará en el piso es el que indica la alternativa: P) 10m/s Q) 20 R) 30 S) 40 T) 50 05. Si el profesor Bonifazof con su auto inicia un M.R.U.V. M.R.U.V. con una velocidad inicial Vo, y en el tercer segundo recorre 20m, en el quinto segundo 28m entonces el valor de Vo es el que indica la alternativa: P) 5m/s Q) 7m/s R) 10m/s S) 15m/s T) 20m/s m/s
c) Acele Acelerac ración ión Vs tiempo tiempo
06. E n el siguiente gráfico: gráfico:
Una partícul partícula a que se encuen encuentra tra sobre sobre el eje “x” “x” (espacio) (espacio) se →
muestra el comportamiento de su posición e con respecto al tiempo; entonces entonces para cada respectivamente la partícula esta en: 61
P) Repo Reposo so – MRU – MVCL VCL Q) Repo Reposo so – MRUV MRUV – Mov. Mov. Para Parabó bólilico co R) MRU MRU – MRUV MRUV – Mov Mov Para Parabó bólilico co S) Repo Reposo so – MRU MRU – Mov Mov Par Parab aból ólic ico o T) Repo eposo – MRU – MRUV RUV
12. Si un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el aire 10s entonc entonces es el valor valor de de su altura altura máxima máxima es la que indica indica la alternativa: P) 45m Q) 125 R) 85 S) 55 T) 75
07. Si dos atletas atletas parten parten simultá simultáneame neamente nte de un mismo mismo punto en carriles paralelos con direcciones opuestas; luego de 5s están separados separados 10m. Consideran Considerando do que los atletas atletas desarro desarrollan llan M.R.U entonces entonces la separación entre entre ellos después de de 25s es es lo que indica la alternativa: P) 50m Q) 60m R) 70m S) 45m T) 75m 08. Según el gráfico, el espacio espacio recorrido, hasta hasta el decimo segundo segundo a par partitirr de t = 0 es el que que ind indic ica a la la alt alter erna natitiva va:: P) 30 Q) 40 V (m / s) R) 50 S) 60 12 T) 70 8
4
0
5
7 8
10
t ( s )
09. Luego de cuántos segundos, segundos, desde la posición posición mostrada, la persona escucha el sonido del choque de las esferas. V sonido = 340 m/s. P) 2s 10 m/s 15 m/s Q) 4s R) 4,5s S) 2,5s 150 m 50 m T) 5s 10. Si un tren de pasajeros viaja a razón de 72km/h y tiene una long longitu itud d de 100m. 100m. entonc entonces es el tiempo tiempo que demora demorará rá el tren tren en cruza cruzarr un túnel túnel de 200m 200m es: P) 10s Q) 15 R) 20 S) 25 T) 30
11. Si para una partícula que se mueve a lo largo largo del eje “x” en t=5s se encuentra en x=12m, entonces su posición inicial es la que indica la alternativa: P) –15m –15m Q) –15,5 –15,5m m R) –16m –16m S) 15,5 15,5m m T) 17,5m
INTERMEDIO 13. Si dos móviles describen trayectorias rectilíneas y perpendiculares con velocidades constantes de 36Km/h y 72Km/h. Si estos se cruzan, entonces la separación de ambos luego de 10s es la que indica la alternativa: P) 300m Q) 200m R) 100 5 m S) 108m
T) 100 3 m
14. Dos autos con movimiento simultáneo, que efectúan M.R.U. En cierto instante están ubicados tal como muestra la gráfica, entonces la distancia que separa a los móviles, hasta cuando el móvil "A" se ubica a 30m antes del poste es el que indica la alternativa P) 20m 20m (A) Q) 30m 40m/s 3 0m/s R) 15m S) 60m T) 40m 60m
90m
15. Si s lanza verticalmente verticalmente hacia arriba una pelota pelota de tenis desde una altura “H”; si la máxima altura que esta logra alcanzar es de 85m entonces el valor de “H” es la que que indica la alternativa: P) 30m 30m Q) 40m R) 45m S) 50m T) 55m
16. Un cuerpo realiza un M.R.U.V. M.R.U.V. duplica la velocidad velocidad que tiene en 20s entonces el tiempo en segundos para que vuelva a duplicar nuevamente su velocidad es la que indica la alternativa: P) 10s Q) 15s R) 20s S) 25s T)30s 17. La posición de 2 partículas que se desplazan a lo largo del eje x se determina mediante las siguientes expresiones: x=2+4t–t 2 y x=–10+11t–2t2 Si el movimie movimiento nto es simul simultáne táneo o entonces entonces el instante instante en que se encontrarán es la que indica la alternativa: alternativa: P) 1s Q) 2s R) 3s S)5s T) 6s 18. Si u n proyectil proyectil es lanzado lanzado vertica verticalmen lmente te hacia arriba arriba con 40 m/s de rapidez rapidez inicial inicial.. Entonces Entonces la altura altura a la que se encontrar encontrará á del nivel de lanzamiento después de transcurridos 6 segundos es el que indica la alternativa: P) 10 100 m Q) 80 80 R) 60 60 S) 55 T) 45 45 19. Si una moto y un auto se encuentr encuentran an a una distancia distancia de 1000m, si parten simultáneamente simultáneamente en direcciones contrarias y con velocidades de 25m/s y 15m/s respectivamente
62
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO entonces entonces el tiempo tiempo en que se produce produce el encuentro encuentro es el que indica la alternativa: P) 20s Q) 30 R) 40 S) 50 T) 25 20. El alumno “CEPITO” se encuentra a 170m de un “blanco” y efectúa efectúa un disparo disparo saliendo saliendo la bala con con 85m/s (velocida (velocidad d consta constantT ntT)) entonc entonces es el tiempo tiempo en que escuch escuchará ará el impact impacto o de la bala es el que indica indica la alternati alternativa: va: P) 2, 2,5s Q) 3 R) 4 S) 5,5 T) 1,5 AVANZADO 21. Se lanza un objeto desde cierta altura llegando al piso 5
s después con una velocidad de 70 m/s. Calcul Calcular ar con con qué qué velo velocida cidad d (en m/s) m/s) se lanz lanzó ó dicho dicho objeto. P) 12 120 Q) 60 R) 20 S) 28 T) 80 22. Desde el borde de un acantilado suficientemente suficientemente alto el alumno “Farandacio” lanza verticalmente hacia arriba una primera piedra con una velocidad de 30m/s, 10 segundos mas tarde desde el mismo borde se lanza una segunda piedra con una velocidad de 150m/s verticalmente hacia abajo, entonces el tiempo requerido para que la segunda piedra alcance a la primera es la que indica la alternativa: P) 5s 5 s Q) 2,5 R) 4 S) 3 T) 6 23. “Thor “Thor estando estando descuidado descuidado suelta suelta su “mazo” “mazo” desde una altura altura de 300 m entonces el espacio recorrido por el mazo durante el cuarto segundo de su movimiento es el que indica la alternativa: 24. Si se lanza verticalmente verticalmente hacia arriba 3 proyectiles con igual igual rapidez inicial a intervalos de 2s. 2s. SI al lanzar el tercer tercer proyectil el primero primero alcanza alcanza justo su máxima máxima altura, altura, entonces entonces para este instante la distancia en metros entre los 2 primeros proyectiles es el que indica la alternativa: P) 18 Q) 20 R) 25 S) 24 T) 30 25. Dos autos están en reposo y distanciados distanciados por 500 metros. Si parten simultáneamente simultáneamente hacia su encuentro, encuentro, entonces el tiempo tiempo en que se encuentran si se sabe que la suma de las aceleraciones es de 10m/s 2s es el que que indica la alternativa.. P) 25 25s Q) 5s R) 20s S) 10s T) 15s 26. Dos autos realizan M.R.U.V. con a 1 = 4m/s2 y a2 = 3m/s2. A partir del instante mostrado, determine el tiempo que transcurre hasta que estén separados 100m. 10 m/s
a1
a2
20 m/s
76 m
P) 2s
Q) 3s
R) 4s
S) 5s
T) 6s
27. La tigresa tigresa del oriente oriente en su auto debe llegar llegar a su destino destino a las 7:00pm, si viaja a 60km/h llegará una hora antes, pero si viaja a 40km/h llegará una hora después. Si en ambos casos casos la hora de partida partida es la misma, entonces entonces la hora de partida es la que indica la alternativa: alternativa: P) 1: 1:00pm Q) 2: 2:00 R) 3: 3:00 S) 4: 4:00 T) 5: 5:00
UNIDAD Nº12
MOVIMIENTO DE PROYECTILES O MOVIMIENTO COMPUESTO
MOVIMIENTO COMPUESTO Es aquel movimiento cuya trayectoria es una curva llamada parábola en donde la aceleración es constante. Si un cuerpo se lanza en forma inclinada o se lanza en forma horizontal y se mueve cerca a la tierra despreciando la resistencia del aire realiza un movimiento parabólico de caída libre en donde su aceleración de la gravedad es constante. Éste movimiento parabólico es un movimiento compuesto formado por dos movimientos perpendiculares que se realizan al mismo
63
tiempo y en forma independiente, uno de ellos en un MRU horizontal y el otro vertical de caída libre. El movimiento compuesto también es conocido con el nombre de movimiento de un proyectil u objeto es aquél aquél en el que que se arroja al aire formando un ángulo determinado con respecto a la horizontal. Por ello se asume que es el m ovimiento en dos dimensiones. Fue Galileo Galilei quien observó la independencia de los movimientos simultáneos de una manera experimental, enunciado el siguiente principio: Si un cuerpo tiene un movimiento de dos dimensiones (compuesto), cada uno de los movimientos componentes se cumple como si los demás no existiesen. Al lanzar un cuerpo hacia arriba, con un ángulo de inclinación, notamos que realiza una trayectoria curva denominada parábola (despreciando la resistencia del airT). La única fuerza que actúa en el movimiento es su peso.
ECUACIONES CINEMÁTICAS PARA PROYECTILES EN MOVIMIENTO Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes: A. Movimiento Horizontal:
B. Movimiento Vertical:
Vx= Vxo = Vcos θ X = (Vcos θ) t
Vy= Vyo –gt = Vsenθ - gt Y= VSenθ t – ½ gt2 Vy2=Vyo2 - 2gy 2gy
NOTAS En el dibujo observa el movimiento del niño y de la pelota. Al principio la pelota no tiene movimiento, pero luego de ser pateada por el niño la pelota adquiere movimiento con dos velocidades en direcciones perpendiculares, entonces podemos afirmar que aquí se está dando un movimiento compuesto, y el ángulo de lanzamiento determinará determinará que tan lejos caiga caiga el cuerpo, o que tan alto se eleve. También puedes encontrar la definición de este movimiento como movimient movimiento o parabólic parabólico o ya que es es realizado realizado por un un objeto objeto cuya trayectoria trayectoria describe describe una una parábola. parábola. Se corres corresponde ponde con la trayectoria trayectoria ideal ideal de un proyectil proyectil que se mueve mueve en un medio que no ofrece ofrece resistenci resistencia a al avance avance y que está sujeto sujeto a un campo gravitato gravitatorio rio uniforme. uniforme. DIMENSIONES DEL MOVIMIENTO COMPUESTO Movimiento Vertical Si un objeto se lanza con un determinado ángulo, inicialmente tenemos la componente componente inicial vertical vertical de la velocidad velocidad Vyo. Debido a que la aceleración de la gravedad es hacia abajo, Vy decrece en forma continua hasta que el objeto alcanza la cúspide de su trayectoria y en ese punto Vy=0 . Entonces Vy comienza a aumentar en dirección hacia abajo. Movimiento horizontal En la componente horizontal del movimiento no hay aceleración en la dirección horizontal, horizontal, la componente componente horizontal de la velocidad Vx permanece constante, igual a su valor inicial Vxo. Y por lo mismo, tiene igual magnitud en cada punto de la trayectoria. Las dos componentes de Vx y Vy se pueden sumar vectorialmente para obtener la velocidad V en cada punto de la trayectoria..
Movimien to Mov . Horizontal Horiz ontal Mov . Vertical = + ( M . R.U .V .) Parabólico ( M . R.U .)
y B
V1
Vx = Vox Vox
Voy
Vo
Vox
HMAX
α
A
Vox
V1
C
M
64
X
Voy
x d : Alcance Horizontal
Vox
1.
El ángulo de tiro para para un alcance máximo máximo es 45º.
2.
Si dos cuerpos son lanzados con la misma rapidez “V” y con ángulos de tiro complementarios (α + β = 90º). Entonces el alcance horizontal es el mismo en los dos casos.
3.
La velocidad mínima del proyectil se da en el punto de máxima máxima altura. (VP) (VP) (Vp = Vcosα)
4.
El proyectil impacta en Tierra con el mismo ángulo de lanzamiento (-α) y la misma velocidad “V1”.
TIPOS DE MOVIMIENTO COMPUESTO Movimiento de un cuerpo lanzado horizontalmente: Vx = constante Vy =- gt ex=Vxt ey= -1/2 -1/2 gt2 tang θ=VY/VX
v = V X 2 + V Y 2 Movimiento de un cuerpo lanzado no horizontalmente formando ángulo sobre la horizontal.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
tg
=
4
e y e x
MOVIMIENTO CIRCULAR
Un proyectil disparado desde el origen en t = 0 con una velocidad V0. La altura máxima del proyectil es h y su alcance inicial V0. horizontal es R. En el punto más alto de la trayectoria, la partícula tiene coordenadas (R/2, h). Supóngase que un proyectil se lanza desde el origen en t = 0 con una componente VY positiva, hay dos puntos especiales que es interesante analizar: El máximo que tiene coordenadas (R/2, h) y el punto que tiene coordenadas (R,0). La distancia R se conoce como alcance horizontal del proyectil y h es su altura máxima. Se encuentra h y R en función de V 0, Θ, g. Para determinar el tiempo medio de vuelo se puede partir de la ecuación: VY = VY0 VY0 – g t VY = V0 sen sen Θ – g t Considerando Vy = 0 Despejando el tiempo VY + g t = V0 sen Θ0 g t = V0 sen Θ – VY pero VY = 0 g t = V0 sen Θ T1/2
Y el tiempo máximo de vuelo tiene la misma fórmula solo que multiplicada por 2 T1/2
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con v y y=0. = 0.
Se define como movimiento circular aquél circular aquél cuya trayectoria es una circunferencia. El movimiento circular, llamado también curvilíneo, es otro tipo de movimiento sencillo. Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto durante su reproducción en el equipo de música, las manecillas de un reloj o las ruedas de una motocicleta son ejemplos de movimientos circulares; es decir, de cuerpos que se mueven describiendo una circunferencia. A veces el movimiento circular no es completo: cuando un coche o cualquier otro otro vehículo vehículo toma una curva realiza realiza un movimiento circular, aunque nunca gira los 360º de la circunferencia. La experiencia nos dice que todo aquello da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento circular uniforme (MCU). (MCU). Ejemplos de cosas que se mueven con movimiento circular uniforme hay muchos: La tierra es uno de ellos. Siempre da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. También gira alrededor del sol y da una vuelta cada 365 días. Un ventilador, un lavarropas o los viejos tocadiscos, la rueda de un auto que viaja con velocidad constante, son otros tantos ejemplos. Pero no debemos debemos olvidar olvidar que cuando cuando una partíc partícula ula describ describe e una circunferencia o arco de ella, decimos que experimenta un movimiento circular. Este nombre es el más difundido aunque no es tal vez el más apropiado, pues como te darás cuenta, el móvil se mueve por la circunferencia y no dentro del círculo; por ello sugiero que el nombre que le corresponde a este movimiento es el de “Movimiento Circunferencial”. La descripción de un movimiento circular puede circular puede hacerse bien en función de magnitudes lineales ignorando la forma de la trayectoria (y tendremos velocidad y aceleración tangenciales), o bien en función de magnitudes angulares (y tendremos velocidad y aceleración angulares). Ambas descripciones están relacionadas entre sí mediante el valor del radio de la circunferencia trayectoria. Al trabajar con magnitudes angulares angulares es imprescindible imprescindible entender lo relativo a una unidad de medida angular conocida como radián. radián. Recordemos :
S 180
=
R
π
Donde : S : medida medida de de un ángul ángulo o en el sist sistema ema sexa sexages gesim imal. al. R : medid edida a de un ángul ngulo o en radi radian anes es..
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º. El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y =0. =0. X max
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º La relación que existe entre la altura máxima y el alcance horizontal máximo se define con la siguiente ecuación:
El radián Si tenemos un ángulo cualquiera y queremos saber cuánto mide, tomamos un transportador y lo medimos. Esto nos da el ángulo medido en grados. Este método viene de dividir la circunferencia en 360º, y se denomina sexagesimal. El sistema de grados sexagesimales es una manera de medir ángulos, pero hay otros métodos, y uno de ellos es usando radianes. Ahora veamos el asunto asunto de medir los ángulos pero en radianes. radianes. Para medir un ángulo en en radianes se mide el largo del arco (s) abarcado por el ángulo θ de la figura a la izquierda. Esto se 65
puede hacer con un centímetro, con un hilito o con lo que sea. También se mide el radio del círculo. Para obtener el valor del ángulo (θ) (θ) en radianes usamos la fórmula:
y tenemos el ángulo medido en radianes La principal característica del movimiento circular uniforme es que en cada vuelta o giro completo de 360°, equivalente a un ciclo, se puede establecer un punto fijo como inicio y fin del ciclo. En física, los ciclos son también llamados revoluciones para un determinado tiempo. El periodo (T) de un movimiento circular es el tiempo que tarda una partícula o un cuerpo en realizar una vuelta completa, revolución o ciclo completo. Por ejemplo, el periodo periodo de rotación rotación de la tierra tierra es 24 horas. horas. El periodo periodo de rotación de la aguja grande del reloj es de 1 hora. La unidad utilizada para el periodo es el segundo o, para casos mayores, unidades mayores. Conocida la frecuencia (en ciclos o revoluciones por segundo) se puede calcular el periodo (T) mediante la fórmula:
Se denomina frecuencia (F) de un movimiento circular al número de revoluciones, vueltas o ciclos completos durante la unidad de tiempo. La unidad utilizada para cuantificar (medir) la frecuencia de un movimiento es el hertz (Hz), que indica el número de
= R ∨ = R a = R
=
longitud de arco (m) R = radio, m V = velocidad tangencial, m/s a = aceleración tangencial, m/s 2 α = aceleración angular, rad/s 2
a. Velo Veloci cida dad d Angu Angula larr (ω) (ω) Cuando un objeto se mueve en una circunferencia, llevará una velocidad, ya que recorre un espacio, pero también recorre un ángulo. ángulo. Para tener una idea de la rapidez con que algo se está moviendo con movimiento circular, se ha definido la velocidad angular (ω) (ω) como el número de vueltas que da el cuerpo por unidad de tiempo. Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que da muchas vueltas por segundo. De manera sencilla: en el movimiento circular la velocidad angular está dada por la cantidad de vueltas que un cuerpo da por segundo. Otra manera de decir lo mismo sería: en el movimiento circular la velocidad angular está dada por el ángulo recorrido (θ) dividido por unidad de tiempo. El resultado está en grados por segundo o en rad por segundo.
W
B
=
rad ó rev = RPM s min
Vt
o
t
=
2
t
A
Vt En el S. I. esta velocidad se expresará en radianes por segundo: rad/s , también puede expresarse en rev/s ; o, rev/min. ω = velocidad angular rad/s = ángulo descrito, rad t = tiempo empleado, s T = periodo, s
revoluciones o ciclos por cada segundo. Para su cálculo, usamos la fórmula:
(En ocasiones se usa, en vez de hertz, s frecuencia (F) es la inversa del periodo (T).
−1
). Nótese que la
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) En este caso el móvil describe una trayectoria circular, circular, manteniendo una velocidad tangencial constante que cambia de dirección debido a su aceleración centrípeta.
b. Velo Veloci cida dad d tang tangen enci cial al Aparte de la velocidad angular, también es posible definir la velocidad lineal de un móvil que se desplaza en círculo. Por ejemplo, imaginemos un disco que gira. Sobre el borde del disco hay un punto que da vueltas con movimiento circular circular uniforme. Ese punto tiene siempre una velocidad lineal que es tangente a la trayectoria. Esa velocidad se llama velocidad tangencial. Para calcular la velocidad tangencial hacemos: espacio recorrido sobre la circunferencia (o arco recorrido) dividido por el tiempo empleado, que expresamos con la fórmula:
V t = s t ⇒ V t = r ac
ω = velocidad angular (rad/s) r = radio ( m ) s = arco recorrido ( m)
s
o ac Vt
66
Aceleración Aceleración Centrípeta Centrípeta Es el parâmetro que permite que La velocidad tangencial (Vt), cambie de dirección a t raves Del tiempo.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Vt 2 = 2 R R
a c =
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO La partícula que recorre la trayectoria circular experimenta cambio en su velocidad tangencial debido a su aceleración tangencial constante
S = V o t +
1
a t t 2
2
a t = r w1 = w 2
V f 2 = V 02 + 2 xa t
V f = V o + a t t
De donde :
at
a
a. Acel Aceler erac ació ión n Angul Angular ar ( ). Es la variación de la velocidad angular en la unidad de tiempo ( = ctT). = O
+ t = O + 2
= O t + = (
o
1 2
+ 2
w2 R
ω = velocidad velocidad angular final, rad/s ωo = velocidad angular inicial, rad/s rad/s
= aceleración angular , rad/s2 v2 2R =rad/s .v de = giro, =aángulo c=
t 2
R
)t
R a c
c. Acele celera raci ción ón tota totall El móvil en este movimiento presenta aceleración tangencial y aceleración centrípeta resultando una aceleración total:
at
ac
→ → → a = a c + a t a = ( a c ) 2 + ( a t ) 2
V
ac = aceleración centrípeta, m/s2 v = velocidad tangencial, m/s ω = velocidad angular (rad/s) R = radio (m)
1. Una particula particula se mueve sobre una circunfere circunferencia ncia de manera que cada 0,5 s su rapidez angular se incrementa en 2rad/s. Sila particula partió del reposo. Halle su desplazamiento angular cuando su rapidez angular sea 5 rad/s. P) 25/7 25/7 rad rad Q) 20/7rad R) 25/8 rad S) 5/8 rad T) 25/4 rad 2.
d. Prop Propie ieda dade dess a. Tang Tangeencia nciall
Un disco disco parte parte del del reposo reposo con con acelerac aceleración ión angula angularr constante. constante. Si la segund segunda a vuelt vuelta a la efectú efectúa a en 1s 1s ¿En ¿En qué tiempo tiempo efectu efectuó ó la primera vuelta? P) 0,73s Q) 0,41s R) 2,73s S) 2,41s T) 1s
3.
V
V1 = V2 R
Dos partícu partículas las A y B se lanza lanzan n simultáne simultáneamen amente te con la misma misma rapidez cuyas velocidades en ese instante forman ángulos de 55° y 35° respectivamente con respecto a la horizontal. Determine la relación entre sus alcances horizontales. (g= 10m/s2) P) 1 Q) 3 R) 2 S) 1 T) 1/2
4. Un proyectil proyectil en en determinada determinada posic posición ión tiene tiene una velocid velocidad ad v = (20i + 30 j) m/s. Si la distancia, desde esta posición posición hasta la posición en que alcanza la misma rapidez, es la mitad de su alcance máximo, halle la altura máxima alcanzada por el proyectil medida desde el punto de lanzamiento. Exprese su respuesta respuesta en m P) 45 Q) 90 R) 120 S) 180 T) 240
r V
De donde donde :
r
=
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 12
b. Relación Relac ión2 entre entre la las s magnitudes magnitudes lineales lineales y angulares angulares 2
w1
w1 R = w2 r
5. Un proyectil proyectil es lanzad lanzado o con una veloci velocidad dad igual igual a ( 3i + 4j) m/s, m/s, Indique la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:
b. Angular w1
w1
67 r w r R
w2
I. En el punto más alto de su movimiento, la velocidad es igual a 3i m/s II. La máxima altura que alcanza el proyectil es 0,8m III. La velocidad velocidad en el instante t= 2s 2s es 3i – 16j m/s P) VVV S) FVV
Q) VVF T) FFF
R) 12,5 s S) 7,5 s T) 3,5 s
R) VFF
6. Un carro carro de juguete juguete que que se mueve mueve con con rapidez rapidez constante constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg. ¿Cuál es la rapidez promedio? P) 8m 8 m/s Q) 10m/s R) 5m/s S) 12m/s T) 7m/s 7. Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 50 cm de radio con una veloci velocidad dad const constante ante de 10 cm/s. Calc Calcula ula la velocidad angular P) 0. 0 .3 ra r ad/s Q) 0.2 rad/s R) 0.5 ra r ad/s S) 4 ra r ad/s T) 1 rad/s
17. En la figura se muestra la trayectoria trayectoria parabólica de un proyectil. Halle el ángulo θ →
V 0 10 m
10 m P) 30º
Q) 27º
30 m R) 45º
S) 53º
T) 60º
8. Un disc disco o gir gira a con con una una acel aceler erac ació ión n cons consta tant nte e de 5 rad rad/s /s2 Si partió del reposo ¿Qué cantidad de vueltas da en 8 seg? P) 25,3 Q) 25 R) 23,9 S) 23 T) 20 9. un volan volante te gira gira a 100 100 R.P.M. R.P.M. En 10s. 10s. logr logra a aceler acelerar ar a 300 300 R.P.M. ¿Cuántas vueltas describió en ese tiempo? P) 33 3 3 Q) Q) 23 R) 33,3 S) 27,2 T) 34
18. Un proyectil sigue sigue la trayectoria mostrada mostrada en la figura; calcule calcule la altu altura ra H (en (en m). m). ∧ (g = –10 –10
B
10. Una rueda realiza M.C.U. M.C.U. se observa observa que en el 5to segundo segundo de su movimiento un punto de su periferia se desplaza 4π determine el ángulo que barre un punto que diste 0,5m 0,5m de su centro durante el décimo segundo. (Radio (Radio de la rueda: 1m) 1m) P) π rad Q) 2πrad R) 3πrad S) 4πrad T) 5πrad 11. Un auto es capaz de recorrer recorrer uniformemente 100m en 4s, si el radio de sus llantas es 0,2m, determinar su velocidad angular durante el m ovimiento. P) 5r 5rad/s Q) 500rad/s R) 250rad/s S) 300 300 rad rad//s T) 125 125 rad/ rad/ss 12. En una rueda que gira gira con movimiento circular uniforme, la la velocidad lineal de los puntos situados en su superficie es tres veces mayor que la velocidad lineal de los puntos que se encuentran 5cm más próximos al eje de giro de la rueda. Determine el radio de la rueda ( en cm) P) 5 Q) 7,5 R) 10 S) 12 T) 15 13. Un coche recorre recorre una curva de 20m de radio. Si la la aceleración centrípeta máxima compatible con la fricción es de de 5m/s2, ¿Cuál es la velocidad del coche (m/s)? P) 2 Q) 4 R) 10 S) 12 T) 15 14. Un tocadisco tocadisco gira 33 rpm. Al cortar cortar la la corriente corriente la fricción fricción hace que el tocadisco frene con desaceleración constante, observándose que luego de 3s. gira a 32,5 rpm. ¿Qué tiempo en segundos tarda el tocadisco en detenerse? P) 25 250 Q) 89 R) 189 S) 298 T) 198 15. Un ventilador gira con 9oorpm, al desconectarlo, desconectarlo, su movimiento pasa a ser uniformemente retardado hasta que se detiene, después de dar 75 vueltas, ¿Cuál es el tiempo transcurrido en s? P) 2s Q) 5s R) 10s S) 20s T) 50s 16. Se lanza un proyectil con una rapidez VO = 50 m/s, perpendicular al plano inclinado como se muestra en la figura. Halle Halle el el tiempo tiempo de de vuelo. vuelo. (g = 10 m/s²) P) 8,5 s Q) 10,5 s 68
37
m/s²)
→
V 0 53º
P) 5, 5 ,50 S) 12,40
H
Q) 7,25 T) 15,00
→
∧
∧
V B = 15 i − 15 j
R) 8,75
19. Sobre el techo de un tren que se mueve en línea recta y a velocidad constante está parado un pasajero. Este deja caer una piedra desde lo alto de su mano. ¿Cuál es la trayectoria de la piedra para una persona parada en tierra que está justo frente al pasajero pasajero cuando deja deja caer la piedra? (g = 10 m/s²) Horizontal opuesta al movimiento del tren. Vertical hacia abajo. Horizontal en la dirección del movimiento del tren. Describe una curva hacia abajo opuesta al movimiento del tren. T) Describe una curva hacia abajo y en la dirección del movimiento del tren.
P) Q) R) S)
20. Desde la la parte superio superiorr de la azotea azotea de un edificio edificio de 5 m de altura, se lanza horizontalmente una pelotita y cae al suelo en un punto situado a una distancia de 1,5 m del borde de la azotea. Calcule Tg α, donde α es el ángulo que forma la velocidad de la pelotita con la horizontal en el instante en que esta llega al al suelo. (g = 10 m/s²) P) 20/7 T) 20/3
VO
j
Q) 20/9
R) 20/19 S) 19/2
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO ejercer ejercer sobre un un cuerpo de de un kilogramo kilogramo de masa masa para que que adquiera una aceleración de 1 m/s2 , o sea, m N= kg. 2 s Masa y peso. La masa es una propiedad propiedad de un cuerpo cuerpo,, es la medida de su inercia o cantidad de materia. El peso, en cambio cambio,, es la la fuerza fuerza que la la Tierr Tierra a ejerce ejerce sobr sobre e el cuer cuerpo po debido a la aceleración aceleración de la gravedad. gravedad.
W
=
mg
Dónde: W = peso (en N) m = masa (en kg) g = aceleración de la gravedad Dinámica Lineal. Para el caso de movimiento lineal, la Segunda Ley de Newton expresa que la resultante de fuerzas FR que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de la masa por su aceleración lineal. La aceleración tiene el mismo sentido que la fuerza resultante Σ
F
m .a
=
ΣF ( favordelmo v ) − ΣF ( contradelm ov ) = m. a a F1
F2 F3
m
F1+ F2 + - F3= m.a
UNIDAD Nº13
DINAMICA, TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA
MAQUINA DE ATWOOD. Nos facilita el cálculo de la aceleración de un sistema compuesto de varios cuerpos unidos por cuerdas y poleas donde cada cuerpo tiene la misma aceleración del sistema
a
13.1. 13.1. DINÁM DINÁMICA ICA.. Es parte de la mecánica que estudia la relación entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que lo producen. Segunda Ley de Newton. La fuerza fuerza neta aplicada aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. cuerpo. La constante constante de proporcionali proporcionalidad dad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera: ΣF =
m .a
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N por N. Un Newton es la fuerza que hay que
ΣF(favor) =
−
ΣF(contra)
Σm
REGLA: a) En el DCL no se conside consideran ran las las fuerzas fuerzas internas internas b) alla en la líne línea a de mov movimien miento to suma sumand ndo o fuer fuerzzas en F : Se hall igual sentido que la aceleración y restando las opuestas c) Después Después puede puede usarse dinám dinámica ica lineal lineal para para una partícul partícula a especifica d) Las fuerza fuerzass debe deben n descom descompo poner nerse se sobre sobre la línea línea del movimiento e) El pes peso o se hall halla a como como
Σ
W
=
mg
69
LA ACELERACION PARA POLEAS MOVILES
a
a1
Caso “D”
a3 =
a3
T − WCos = mac
a1 + a 2 2
EJERCICIO RESUELTO El valor de la aceleración con la que se mueve el bloque de masa 5kg es: (g = 10m/s2)
a2
a
FUERZAS QUE ACTUAN EN LAS POLEAS
T
m p
W=50N
a
F2 = 70N
F1 = 100N
T 1
m
T
N
T 1 − 2 T = m p . a
Ecuación:
Dinámica Circular. La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa m por la aceleración normal an o aceleración aceleración centrípeta :
ΣF =
m .a C
No hay movimiento en el plano vertical:
Σ Fy
=
0
N–W=0 N – 50N = 0 N = 50N Hay movimiento en el plano horizontal:
aC = Aceleración Normal o centrípeta (m/s ) 2
Dónde: a
N
=
v
2
aN
R
v
= ω 2 .R
= velocidad Lineal (m/s)
= velocidad angular (rad/s)
R
= radio de la circunferencia (m)
Σ Fx = m . a F1 - F2 = ma 100 100 N - 70N 70N = 5kg 5kg(P) (P) 30 N = 5kg(P) a = 6m/s2 13. 13.2. 2. TRABAJ TRABAJO. O. Es una magnitud escalar que equivale al producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento por la distancia recorrida. Se interpreta como la energía desarrollada por un cuerpo. Trabajo de una fuerza constante. Una fuerza constante genera trabajo cuando, aplicada aplicada a un cuerpo, lo desplaza a lo largo de una determinada distancia. distancia. Si la fuerza constante constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. El trabajo se expresa en Joules (J). UNIDAD DE TRABAJO.
N . m = J
s C o W
Casos de fuerzas que realizan trabajo. Los más comunes son: a. Cuando la fuerza tiene la dirección del desplazamiento:
e n S W m
CASOS QUE SE PRESENTAN Caso “A”
T + W = mac
Caso “B”
T = = mac
Caso “C”
T − W = mac
70
F
m d
W = F.d W: Trabajo realizado por la fuerza. d : desplazamiento
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO b. Cuando la fuerza aplicada tiene una inclinación α con respecto a la dirección del desplazamiento: desplazamiento:
F .Sen
F
F .Cos ENERGÍA MECÁNICA (EM). La energía mecánica es la suma de la energía potencial y la energía cinética de un cuerpo. A su vez la energía potencial puede ser energía potencial gravitatoria y potencial elástica. Por lo tanto la energía mecánica la podemos definir como:
d
W = FCos .d
EM = Epg + Epe + Ec
c. Fuerzas perpendiculares al desplazamiento no realizan trabajo. F
F
EM : Ec : Epg: Epe:
W = 0 F
d
d. Cuando Cuando la la Fuerza Fuerza tiene tiene el mism mismo o desplazamiento, el trabajo es positivo.
sentid sentido o
que
el el
Energí Energía a mecáni mecánica ca Ener Energí gía a cin cinét étic ica a Energía Energía potencial potencial gravitatori gravitatoria a Energía Energía potencia potenciall elástic elástica a
TIPOS DE ENERGIA MECÁNICA: MECÁNICA: a. Energía Cinética. Es la energía que tiene un cuerpo debido a su velocidad. Se calcula como:
e. Cuando la fuerza tiene sentido contrario contrario al desplazamiento desplazamiento el trabajo es negativo F
F
W = F
− Fd m = Masa Masa del del cue cuerp rpo, o, (en (en kg) kg) v = Velo Veloci cida dad d a la que que Ec = Energí Energía a cinét cinética ica (J)
se se
desp despla laza za
(en (en
m/s) m/s)
d
b. Energía Potencial Gravitatoria. Es la energía que tienen los cuerpos debido a su posición (alturP) actuando la aceleración de la gravedad. Se calcula como: como:
GRÁFICA DE TRABAJO Gráfica F–X F
Epg = P h W= Area Area
x0
x f
X
13.3. 13. 3. ENERGÍA ENERGÍA.. Llamamos energía a la capacidad de realizar trabajo, directa o indirectamente. La energía existe existe en diversa formas. formas. Éstas calórica, que aumenta la temperatura de incluyen la energía calórica, la materia; energía eléctrica, que hace hace posible posible el flujo flujo de la carga por un circuito, y la energía química contenida en los combustibles. El sol proporciona energía radiante, radiante, que constituye el espectro electromagnético e incluye luz, calor y rayos ultravioleta. La Energía mecánica que involucra a la energía cinética y la potencial.
Epg = m g h
W : Pe Peso (N) h : Al A ltura (m) m : Ma Masa (kg) g : Acel Aceler erac ació ión n de de la la gra grave veda dad, d, (m/s (m/s2) 2) Epg: Energía Energía potencial potencial gravitato gravitatoria, ria, (J ) c. Energí Energía a potenc potencial ial elá elásti stica. ca. Es la energía acumulada en un cuerpo elástico tal como un resorte cuando es deformado. Se calcula como:
K : Δx : Epe: Epe:
Cons Consta tant nte e elás elásti tica ca del del reso resort rte, e, (N/m (N/m)) Defo Deforma rmaci ción ón long longititud udin inal al del del cue cuerp rpo o elá elást stic ico, o, (m) (m) Ener Energí gía a pote potenc ncia iall elás elásti tica ca,, (J) (J)
x
71
13 13.4 .4..
Teorema del trabajo y la energía. El teorema del trabajo y la energía establece que la velocidad de la partícula aumentará si el trabajo neto hecho sobre ella es positivo, La velocidad disminuirá si el trabajo neto es negativo. La velocidad y la energía cinética de una partícula cambian sólo si el trabajo sobre la partícula lo hace una fuerza externa.
WNETO= ECf
POTE POTENC NCIA IA (P) (P) Es la rapidez con que se realiza un trabajo.
En el sistema internacional de unidades (SI), la unidad de potencia es el Watt (W) o Vatio FÓRMULAS
P =
−EC
O
Conservación de la Energía. El teorema de la conservación conservación de la energía mecánica establece que el trabajo realizado sobre un cuerpo se invierte, exactamente, al aumentar algún tipo de energía. Se presentan los siguientes casos: a. Cuando en en un sistema sistema sólo sólo hay fuerzas fuerzas conservati conservativas. vas. La energía mecánica permanece constante. La energía cinética se transforma en energía potencial y viceversa. Entonces la energía mecánica en un punto de la trayectoria es igual a la energía mecánica en otro punto: EM A= EMB
W t
P = F .V
P =
m . gh t
W : trabajo (J) F : Fuerza ( N ) V: : Velocidad (m/s) m : masa ( kg ) h : altura ( m ) g : 10 m/s2 Como factores de conversión de una unidad a otra se tiene que: HP
=
74 6 W
CV
=
735 W
HP
=
1, 015 CV
Ha sido una costumbre usar el Watt o Vatio como unidad de potencia eléctrica y el caballo de fuerza como potencia mecánica pero esto no es más que una convención. EFICIENCIA MECANICA (η). Mide la calidad de una máquina y relaciona la potencia útil y la potencia consumida FÓRMULA DESARROLLADA
Q PU
2 2 1 2 1 1 mv A + mgh A + Kx A = mv B + mghB 2 2 2
2 1 + Kx B 2
Q
Q
PERDIDAS PE Q
b. Cuando sobre sobre un cuerpo cuerpo actúan actúan fuerzas fuerzas no conservat conservativas, ivas, como las de rozamiento, la energía mecánica ya no permanece constante. La variación de la energía mecánica es precisamente el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, como la fuerza de rozamiento Mecánica = W realizado por las fuerzas no conservativas. conservativas.
n =
PU PE
n% =
PU x100 PE
P.P. = Potencia Perdida P.E. = Potencia Entregada P.U.= Potencia Útil
PE
=
PU
+
PP
EJERCICIOS RESUELTOS
f E E E E − = E R.d C − C + p − p + Pe −E Pe B
72
A
B
A
B
A
1. Una pelota pelota de de 2 kg se patea patea desde desde el el piso con 50 m/s, si si alcanza su altura máxima con 30 m/s, entonces el valor de: P) La energía mecánica inicial. inicial.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Q) La energía cinética en la posición posición más alta. R) La altura máxima alcanzada por la pelota. Resolución: P) Energía mecánica inicial. EM = EC+ EP + EPg EM = EC Ec
=
Ec =
mv
3. En el sistema sistema mostrad mostrado o en la figura, figura, se tienen tienen los bloque bloquess “1” y “2” inicialmente en reposo. Si cortamos la cuerda que une al bloque “1” con el piso, hallar la magnitud de la aceleración que adquiere el sistema y la rapidez con la cual llega el bloque “2” al piso. (m1 = 2 kg; m 2 = 3 kg)
2
2 ( 2 kg )( 5 0m / s ) 2
EC = 2500J
T) 6 m/s²
P) Q) R) S) T)
2
Q) Energía cinética en la posición más alta. ( 2 kg )( 30m / s ) 2 Ec = 2 EC = 900J R) La altura máxima alcanzada por la pelota: La energía se conserva EM A = EMB 2500J = EC + EPg 2500J = 900J + mgh 2500J = 900J + (2kg)(10m/s2) h h = 80m
→
las fuerzas F1 P) 1,3
1. Al lanzarse lanzarse un disco disco sólid sólido o sobre la la superfici superficie e de un lago lago congelado, este adquiere una rapidez inicial de 25 m/s. Determine la distancia distancia que recorre el disco hasta detenerse, si si el coeficiente de fricción cinética entre el disco y el hielo es 0,25. (g = 10 m/s²) P) 120 120 m Q) 125 125 m R) 130 130 m S) 625 625 m T) 250 m 2. Se tienen tienen dos bloques bloques unidos unidos por por una cuerda cuerda inextensi inextensible, ble, como se observa en la figura. Si los coeficientes de rozamiento entre los bloques m 1 y m2 con el plano inclinado son 0,20 y 0,25 respectivamente, hallar la magnitud de la aceleración del sistema. (m1 = 2 kg; m 2 = 1 kg) m2 m1
37º R) 2 m/s²
∧
∧
= 5 i+ 3 j
→
y F2 Q) 2,3
∧
∧
= 7 i+ 2 j R) 13
S) 2,0
T) 7,0
5. Calcule Calcule la magnitu magnitud d de la acelerac aceleración ión angular angular que que tiene un un disco, sabiendo que es capaz de triplicar su velocidad angular luego de dar 400 vueltas en 20 s P) 2 rad/s² Q) 1 rad/s² R) 3 rad/s² S) 4 rad/s² T) 5 rad/s²
6. Un cuerpo cuerpo parte parte del reposo reposo desde desde un punto punto “A” describ describiendo iendo un un movimiento circular, acelerando a razón de 2 rad/s². En cierto instante pasa por un punto “B”, y 1 segundo después pasa por otro punto “C”. Si el ángulo girado girado entre los puntos B y C es π/2 rad, calcular la rapidez angular al pasar por el punto “C” y el tiempo transcurrido desde “A” hasta “B”. P)
NIVEL BÁSICO
Q) 3,26 m/s²
9m
4. Calcule Calcule la magnitud magnitud de la acelera aceleración ción (en (en m/s m/s2) que tiene un cuerpo de masa 10 kg, si se encuentra sometido a la acción de
NOTA: Para todos los ejercicios ejercicios propuestos usar usar el valor de: g = 10m/s2
P) 4,26 m/s²
2 1
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° N° 13
(g = 10 m/s²)
2 m/s²; 3m/s 2 m/s²; 6m/s 3 m/s²; 3m/s 4 m/s²; 6m/s 5 m/s²; 6m/s
S) 1 m/s²
Q)
R)
1 2 1 2 1 4
(π+2) rad/s;
(π-2) rad/s;
(π+2) rad/s;
S) π rad/s;
T)
1 2
1 2
1 4 1 2 1 3
(π -2) s
(π+ 2) s
(π - 2) s
s
(3π+1) rad/s;
1 3
(π - 2) s
7. La figura figura muestra muestra un cuerpo cuerpo de de masa 5 kg unido unido a una cuerda cuerda inextensible e ingrávida y de 8m longitud, girando sobre un plano vertical. En el instante mostrado en la figura, calcule las magnitudes de la tensión de la cuerda y de la aceleración angular. 73
fuerza gravitatoria sobre la caja cuando recorre todo el plano inclinado? (g = aceleración de la gravedaS) P) mgh Q) mgL R) 2 mgh S) 2 mgL T) mgh/L
V = 16m/s
8m 37º
o
12. Un motor tiene que elevar elevar un ascensor de 1 000 kg de masa, que se halla en reposo sobre el suelo, hasta que alcanza una rapidez de 3 m/s a una altura de 12 m. ¿Cuánto trabajo tendrá que realizar el motor? Asumir que la fuerza sobre el ascensor es constante en todo momento y que g = 10 m/s². P) 36 36 000 J Q) 124 500 J R) 4 600 J S) 72 72 000 J T) 9 200 J
Horizontal
P) 390 N;2rad/s² N;2rad/s² Q) 290 N; 1 rad/s² R) 200 N; 1 rad/s²
13. Un arquero jala la cuerda de su arco 0,5 m ejerciendo una fuerza que aumenta de manera uniforme de cero a 250 N ¿Cuánto trabajo desarrolla el arquero? P) 75 J Q) 62,5 J R) 100 J S) 57,5 J T) 125 J
S) 100 N; 2 rad/s² T) 80 N; 3 rad/s² rad/s² NIVEL INTERMEDIO 8. Para el instant instante e mostrado mostrado en la figur figura, a, el radio radio de curvatura curvatura es (50/3) m. La esfera esfera tiene una masa masa 0,2 kg. Si la resistencia ejercida por el aire tiene una magnitud de 0,4N y es contraria a la velocidad, determine el módulo de la aceleración tangencial (en m/s²) para dicho instante. P) Q) R) S) T)
8 10 7 9 6
10 m/s = g
9. Una esfera esfera de 2 kg se lanza lanza bajo cierto cierto ángulo ángulo con con la horizontal horizontal.. →
Si el aire ejerce una resistencia resistencia constante constante de -5 i N, determine la magnitud de la aceleración tangencial y el radio de curvatura →
para el instante en que su velocidad es V
∧ ∧ = 6 i − 8 j / s. m /s
P) 6,5 m/s²; m/s²; 12,5m 12,5m Q) 7,5m/s²; 12,5 m R) 3,5 m/s²; 12,5m
T) 7,0 m/s²; 4,0 m 10. Para el instante que se muestra en la la figura, el aire ejerce ejerce una fuerza de resistencia opuesta al movimiento de magnitud 16N sobre la esfera de masa 4 kg. Si el dinamómetro “D” indica 40 N, determine las magnitudes de la fuerza centrípeta y de la fuerza tangencial respectivamente. respectivamente. P) 16N;18N 16N;14N
R)
16N;16N
S)
18N;17N
T)
13N;12N
g
º
D
11. Una caja de masa m se suelta suelta desde la parte más alta de un plano inclinado, de altura h y longitud L, ¿Qué trabajo realiza la 74
15. Un auto de 1500 kg kg de masa acelera acelera uniformemente desde desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 10 m/s en 3 s. Encuentre la potencia media (en kW) entregada por el motor en los primeros 3 s y la potencia instantánea (en kW) entregada por el motor en t = 2 s. P) 25 ; 30 Q) 25 ; 33,33 R) 15 ; 20 S) 15 ; 30 T) 25 ; 27,5 16. ¿Cuál es la la eficiencia de un motor que pierde una potencia equivalente a la tercera parte de la potencia útil? P) 25% Q) 30% R) 50% S)75% T) 80% 17. Una esfera de 200 g de de masa se lanza lanza verticalmente hacia hacia arriba con una rapidez de 30 m/s ¿Cuál es la relación entre su energía cinética y su energía potencial luego de 2s de haberse lanzado? lanzado? (g = 10 m/s2) P) 1/2 Q) 1/4 R) 1/3 S) 1/6 T) 1/8 18. Un cuerpo comienza comienza a caer desde el reposo por acción acción de la gravedad. Cuando está a una altura H sobre el suelo se verifica que su energía cinética es igual a su energía potencial, la rapidez del cuerpo en este punto es Vo; el cuerpo sigue bajando y llega a una altura sobre el suelo igual a H/2, en ese instante determine la rapidez del cuerpo en función de V o.
S) 1,5 m/s²; 2,0 m
Q)
14. Un ascensor ascensor tiene una masa de 1 000 kg y transporta transporta una carga de 800 kg. Una fuerza de fricción constante de 4 000 N retarda su movimiento hacia arriba, ¿cuál debe ser la potencia entregada por el motor para levantar el ascensor a una rapidez constante de 3 m/s? P) 36,4 kW Q) 59,3 kW R) 64,9 Kw S) 24,6 kW T) 47,2 Kw
2 3
P) 2
S) 3
V
V
3 0
0
Q) T)
2
V
3 0
R) 2
V
0
3V0
NIVEL AVANZADO 19. Una fuerza resultante resultante de 200 N de de magnitud actúa sobre una masa de 80 kg. Si la masa parte del reposo, ¿cuáles son su energía cinética y su rapidez respectivamente, al haberse desplazado 5 m? P) 1 000 J ; 5 m/s m/s Q) 2 000 J ; 5 m/s
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO R) 1 000 J ; 25 m/s S) 4 000 J ; 5 m/s T) 2 000 J ; 10 m/s 20. El carro que se mueve sobre la montaña rusa mostrada en la figura pasa por el punto A con una rapidez de 3 m/s. La magnitud de la fuerza de fricción fricción es igual a la quinta parte del del peso del carro. ¿Qué rapidez tendrá el carro al pasar por el punto B? La longitud de A a B es 60 m. (g =10 m/s2)
VA A
Densidad Relativa. La densidad relativa expresa la relación relación entre la densidad de una sustancia y una densidad de referencia, resultando una magnitud adimensional y, por tanto, sin unidades. = Donde es la densidad relativa, es la densidad de la sus sustan tancia cia y es la densi ensida dad d del agua gua. Para Para líqui íquid dos y sólidos se toma como densidad del agua líquida a 4ºC, que es de 1000 kg/m 3. Peso Específico. El peso específico de una sustancia se define como el peso peso por unidad de volumen. volumen. Se calcula calcula al dividir el peso peso (P) de la sustancia sustancia entre el volumen volumen (v) que ésta ocupa. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad es N/m³.
20 m
VB
o
=
g
Presión. Es el efecto de la fuerza que se aplica sobre una superficie determinada. Esa fuerza puede ser instantánea (golpe ) o permanente.
B P) 9 m/s S) 16 m/s
Q) 11 m/s T) 30 m/s
R) 13 m/s La unidad de medida en el Sistema Internacional es el N/m 2, que recibe el nombre de pascal (PP). P = Fn /S
UNIDAD Nº14
HIDROSTÁTICA
14.1. DEFINICIÓN DEFINICIÓN La hidrostática es la rama de la física que estudia los fluidos en estado de equilibrio. La mayor parte de la materia del universo está en forma de fluidos (líquido o gas). Los líquidos, que carecen de forma propia, pero sí poseen volumen propio y son muy poco compresibles, y gases, que carecen de forma y volumen propio, y son muy compresibles. El estudio de las leyes y principios básicos de la estática de fluidos permite explicar fenómenos fenómenos diversos, tales tales como: la navegación de los barcos, el sistema de abastecimiento de aguas de las ciudades. Así mismo, se podría entender el funcionamiento de aparatos e instrumentos de interés, como el sistema de frenos hidráulicos de un automóvil, la prensa hidráulica. 14.2. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Densidad. Es la masa de una sustancia presente en una unidad de volumen. La unidad en el S.I. de la densidad es kg/m 3
A. Tipos Tipos de Pre Presi sión ón:: Presión Atmosférica: La atmósfera (capa de aire que rodea a la TierrP) ejerce, como cualquier otro fluido, fluido, una presión sobre sobre los cuerpos que están en su interior. La presión ejercida por por la atmósfera atmósfera de la tierra, se mide por medio del barómetro. Al nivel del mar, el valor de la presión es 760 mmHg (101 300 PP), disminuyendo estos valores con la altitud. Presión manométrica: Es la diferencia de presión que existe entre la presión de un gas encerrado en un recipiente y la presión atmosférica que la rodea (Presión atmosféricP). Esta presión se mide con un manómetro. Presión absoluta. Es la presión total que soporta un gas dentro de un recipiente, tomando como referencia el vacío absoluto. Presión Absoluta = Presión Manométrica + Presión Atmosférica. Presió Presión n Hidros Hidrostát tática ica.. Es la presión debida al peso de un líquido en reposo. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido, y depende de la profundidad.
= densidad del líquido, kg/m 3 = Profundidad o altura de la la columna del líquido, líquido, g = 2 aceleración de la gravedad, m/s
Siendo sus unidades en g/cm 3 o kg/m3 La densidad del agua a 4 ºC es es de 1 g/cm3 ó 1000 kg/m3
P = presión hidrostática, Pa
75
Sustancia/ Materia
Presión sanguínea. La presió presión n sanguín sanguínea ea o tensión tensión sanguínea sanguínea es la fuerza fuerza de presión ejercida por la sangre circulante sobre las paredes de los vasos sanguíneos, y constituye uno de los principales signos vitales. La presión arterial es comúnmente medida por medio de un esfigmomanómetro, que usa la altura de una columna de mercurio para reflejar la presión de circulación. Los valores de la presión sanguínea son mostrados en kilopascales kilopascales (kPP) o en milímetros del mercurio (mmHg). Los valores típicos para un ser humano adulto, sano, en descanso, son aproximadamente aproximadamente 120 mmHg mmHg (16 kPP) para la sistólica sistólica y 80 mmHg (11 kPP) para la diastólica. diastólica. Estas Estas medidas tienen grandes variaciones de un individuo a otro. 1mmHg = 1 Torr.
Densidad (g/cm3)
(Kg/m3)
Aire
0,0013
1,3
Gasolina
0,68
680
Madera
0,9
900
Hielo
0,92
920
Aceite
0,92
920
Cuerpo humano
0,95
950
Agua dulce
1,00
1 .0 00
Agua salada
1,02
1 .0 2 7
Acero
7,80
7.800
Plomo
11,3
11.300
Mercurio
13,6
13 600
Flotan sobre el agua
Se hunden en el agua
siempr e que se puedan despre ciar las diferen cias de presión debida s al peso del fluido. Este principi o tiene aplicaci ones muy importa ntes en hidráuli ca
como es la prensa hidráulica. Prensa Hidráulica. Se aplica una fuerza F 1 a un pequeño émbolo de área S1. El resultado es una fuerza F 2 2 mucho más grande en el émbolo de área S2 . Debido a que la presión es la misma a la misma altura por ambos lados, se verifica que:
14.3. LEYES Y PRINCIPIOS PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA ESTÁTICA DE FLUIDOS Teorem Teoremaa fundame fundamenta ntall de la hidrostática. Dos puntos que se encuentran en un mismo líquido líquido tendrán tendrán una diferencia de presiones directamente proporcional con la diferencia de profundidades. Por tanto, la diferencia de presión entre dos puntos A y B cualesquiera del fluido viene dada por la expresión: Todos los puntos puntos dentro dentro de un mismo mismo Primer Corolario. Todos líquido y en el mismo plano horizontal soportan la misma presión. Segundo Corolario. En la superficie libre (abierto a la atmósferP) atmósferP) de un liquido liquido la presión presión hidrostátic hidrostática a es cero (presión manométricP). Principio de Pascal. La pres presió ión n aplicada aplicada a un fluido fluido contenido contenido en un recipiente se transmite íntegramente a toda porción de dicho fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene, 76
Principio de Arquímedes Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba con una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. Empuje =
g
dond donde e es la dens densid idad ad del del flu fluid ido o (kg (kg/m /m3), el volu volume men n del del líqu líquid ido o desalojado ó volumen de cuerpo sumergido (m 3) y g la gravedad (m/s2) Principios de la flotación
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Un cuerpo en un líquido puede flotar o hundirse: A. Que el peso y el empuje sean iguales: iguales: E = Peso(m.g). Peso(m.g). El cuerpo estará en equilibrio equilibrio (fuerza resultante nulP) nulP) y "flotará entre aguas". B. Que el el empuje empuje sea mayor que el el peso: peso: E > Peso(m.g) . El cuerpo ascenderá y quedará flotando. flotando. a = (
esta prensa, cuando se aplique una fuerza fuerza de 0,4 KN es la que se indica en la alternativa:
- 1 )g
C. Que el empuje sea menor que el peso : E < Peso (m.g). (m.g). El cuerpo se hundirá. a = ( 1 -
)g
P) 6 KN
S) 12 KN T) 14 KN
5. En el el esque esquema ma adjun adjunto to Si Si ρ 1 = 500 kg/m3 y ρ2 = 800 kg/m 3; entonces el valor de ρ 3 (en kg/m3)es el que que se indica indica en la alternativa:
Peso aparente de un cuerpo Es el peso de un cuerpo sumergido en un fluido y experimenta una disminución del peso real debido al empuje del líquido Peso eso (ap (aparen arentT tT)) =
Q) 8 KN R) 10KN
Peso eso (rea (real) l) - Empuj mpuje e
P) 640 640 Q) 740 R) 840 S) 940 T) 320
6. Si el líquido líquido en en el recipien recipiente te es agua agua y considere considere la presió presión n atmosférica igual a 100kPa; entonces la presión absoluta del gas es la que se indica en la alternativa: P) 30kP 30kPa a Q) 15kPa R) 12kPa S) 20kPa T) 18kPa
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 14
NIVEL BASICO: 1. La Presió Presión n Hidros Hidrostát tática ica (en kPP) kPP) en el fondo fondo del recipi recipient ente e es el que se indica en la alternativa: = 1000Kg/m3;
7. El grafico muestra una prensa prensa hidráulica. hidráulica. Si el bloque “Q” de peso 60kN está en equilib equilibrio rio y los émbolo émboloss (1) y (2) son son ingrávidos; entonces la magnitud de la fuerza “F” aplicada es la que se indica en la alternativa: (A1= 0,3m2 ; A2 = 3m2)
= 800Kg/m3
P) 8 Q) 8,2 R) 9 S) 9,2 T) 10,5
P) 4kN 4kN Q) 3kN R) 5kN S) 6kN T) 8Kn
2. Si un tronco tronco flota en en el agua con 1/5 1/5 de su volumen volumen fuera fuera de ella; entonces la densidad del tronco en kg/m 3 es el que se indica en la alternativa: P) 60 600 Q) 700 R) 80 8 00 S) 900 T) 950 3. La diferenci diferencia a de presión presión entre "A" y "B" "B" es el el que se se indica indica en la alternativa: P) 25 KPa KPa Q) 250KPa R) 2,5KPa S) 2500KPa T) 0,25KPa
4. Si las áreas áreas de de los pistones pistones de de una una prensa prensa hidrául hidráulica ica son: 0,5m2 y 10m2; entonces la carga que podrá levantarse con
NIVEL INTERMEDIO: 8.
En el sistema sistema mostrado mostrado.. Si se consider considera a la presión presión atmosfé atmosférica rica igual a 100kPa y el área del embolo de peso despreciable es A = 0,3m2; entonces la magnitud de la fuerza “F” aplicada al émbolo es el que se indica en la alternativa: P) 12kN 12kN Q) 11kN R) 15kN S) 18kN T) 20kN
77
NIVEL AVANZADO: 9.
El mínim mínimo o volum volumen en de de hielo hielo que que soport soportará ará exa exacta ctamen mente te el peso de un hombre de 500N, como como se muestra la figura es el que se indica en la alternativa: ( Considere: = 3 900kg/m )
15. En el grafico grafico mostrad mostrado. o. Si el cubo cubo de 10cm 10cm de arista arista flota flota con el 50% de su volumen volumen sumergido y su densidad es de 0,3gr/cm3, entonces la lectura del dinamómetro es el que se indica indica en la alternativ alternativa: a: P) 1N
Q) 2N
R) 5N
S) 6N
T) 8N
3
P) 0,3m 0,3m Q) 0,4m3 R) 0,5m3 S) 0,5m3 T) 1m3
10. E l peso peso de un cuerpo cuerpo es 3N y 1,8N al sumergir sumergirlo lo totalme totalmente nte en el agua. Si en otro liquido liquido el peso aparente es de 1,2N; entonces la densidad del líquido (kg/m 3) es el que se indica en la alternativa: P) 1500 Q) 2500
R) 3500
S) 4500 T) 5500
11. En un tubo tubo en U, se tiene tres líqui líquidos dos no miscible miscibles. s. Si = 3 000 kg/m3,
16.
Si a la la profu profundi ndidad dad de 60 m se abando abandona na una esfera esfera de corcho de densidad densidad 250 kg/m3; entonces el tiempo que demora en salir a la superficie libre del agua es el que se indica en la alternativa: (Desprecie toda forma de rozamiento y g=10m/s2) P) 2s Q) 3s R) 4s S) 5s T) 2,5s
= 2 000 kg/m3 y
= 4 000 kg/m3; enton entonces ces el valo valorr de “h” “h” es el que que se indica en la alternativa: P) 1m Q) 1,2m R) 1,4m S) 1,5m T) 2,5m
17. En la figura figura se muestra muestra una una prensa prensa hidráulica hidráulica.. Si el resor resorte te tiene una constante constante elástica elástica K = 400N/mm; 400N/mm; entonces la fuerza necesaria para comprimir al resorte 0,9mm es el que se indica en la alternativa. P) 20N 20N Q) 30N R) 40N S) 60N T) 80N
12. Un bloq bloque ue de de 50 kg kg de masa masa y 500 500 kg/m kg/m3 de densidad demora 5 s en ir de “A” hasta “B”. Si parte del reposo; entonces la distancia que separa a los puntos “A” y “B” es el que se indica en la alternativa: P) 100m 100m Q) 120m R) 125m S) 150m T) 160m
13. Si las suel suelas as de los los zapat zapatos os de una una perso persona na de 70kg 70kg tiene tiene una área de 100cm2 cada una; entonces la presión en KPa que ejerce la persona sobre el suelo cuando cuando esta de pies es la que se indica en en la alternativa: P) 20 Q) 21 R) 24 S) 35 T) 45 14. Si la densid densidad ad del líquid líquido o es es 3g/c 3g/cm m3; entonces la presión en el gas es la que se indica indica en la alternativa: (PO = 100kPP) P) 24kPa 24kPa Q) 62kPa R) 76kPa S) 94kPa T) 124kPa
78
18. 18. Con Con resp respec ecto to a dos dos cue cuerp rpos os de de igua iguall volu volumen men las las proposiciones que indican verdadero (V) o falso (F) es la que se indica en la alternativa: I.
Soportan el mismo empuje empuje cuando están totalmente totalmente sumergidos en el mismo líquido. II. Si ambos ambos flotan flotan en un mismo líquido líquido ambos ambos tienen tienen iguales densidades. III. Si ambos ambos tiene una una densidad densidad mayor mayor que el agua, agua, en un recipiente con agua se sumergen con igual aceleración. P) VVV Q) VFF R) VVF S) FVV T) FFF
19. En la figura figura se representa representa un mismo mismo cuerpo cuerpo que flota flota en en equilibrio en dos líquidos diferentes. Al indicar verdadero (V) o falso (F) la alternativa correcta es:
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO I. La densidad densidad del líquido líquido “A” es Mayor que la del líquido “B”. II. La fuerza de gravedad que actúa sobre el cuerpo en cada caso es la misma. III. La presión que soporta la base del cuerpo,en ambos casos tiene igual valor. P) VVV T) FVV
Q) VVF
R) VFF
La recta se considera como un conjunto infinito de puntos alineados en una misma dirección. Los puntos que pertenecen a una recta se denominan COLINEALES.
•
•
A
B
Recta AB : A B
S) VFV
20. Si la figura figura muestra muestra un un bloque bloque de de volumen volumen 0,002 0,002 m3 y 3 densidad 300 kg/m sumergido totalmente en el agua; entonces la tensión en la cuerda AB es la que se indica en la alternativa: P) 10N 10N Q) 11N R) 12N S) 13N T) 14N
Recta L : L Rayo Es cada uno de los conjuntos de puntos determinados al ubicar un punto sobre la recta.
O
A
Rayo OA: OA Segmento de recta Es la porción de recta comprendida entre dos puntos, A
B
Segmento de recta AB: AB - Para denotar denotar la longitud longitud del AB AB se usaran los siguientes símbolos: AB ó m AB . Segmentos consecutivos Dos o más segmentos segmentos son consecutivos, consecutivos, cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo común.
A
B
B
C D
A C
AB y BC
Son segmentos consecutivos. Relación entre segmentos Dos segmentos son congruentes si y solo si sus medidas son iguales.
AB ≅ CD ↔ AB = CD ÁNGULO Es la porción del plano limitado por dos rayos, que tienen un origen común. Los rayos reciben el nombre de lados y el origen común se llama vértice
A O B Un ángulo se designa de las siguientes formas: Ángulo AOB, ángulo BOA ó ángulo O, y se simboliza: simboliza: ∡ AOB, ∡BOA, ∡O. , , BOA O AOB UNIDAD Nº 9
La Recta
SEGMENTOS Y ÁNGULOS
Cuando no hay lugar a confusión los ángulos se se denotan por letras minúsculas, números o letras del alfabeto griego. Para denotar la medida de un ángulo AOB se usara el símbolo: m∡ AOB Dos ángulos son congruentes si y solo si sus medidas son iguales. iguales. ∡ AOB ≅ ∡COD → m∡ AOB = m∡COD
79
Bisectriz de un ángulo Es un rayo que partiendo del origen común divide al ángulo en dos ángulos iguales. ∡ AOB
A B
α α
O
→ OB
y ∡BOC son adyacente adyacentess
Ángulos consecutivos es bisectriz del ∡ AOC
C
B
D A
C Angulo convexo Es aquel cuya medida es mayor que 0° pero menor que 180°. Puede ser: Agudo (mayor que 0° y menor que 90°) ;
0 º < α < 90º
O
∡ AOB ∡BOCy ∡COD son consecutivo consecutivoss
Ángulos opuestos por el vértice
α =β
β
α
α Recto (igual a 90°) ; m∡ ABC = 90º
PROPIEDADES: 1. La suma de las las medidas medidas de los los ángulos ángulos consecu consecutivos tivos formad formados os alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta es 180° 2, La suma de las las medidas medidas de los los ángulos ángulos consecu consecutivos tivos formad formados os alrededor de un mismo punto es 360° 3. Las bisectri bisectrices ces de dos ángulo ánguloss adyacente adyacentess forman un ángulo ángulo recto.
A B
C
Obtuso (mayor que 90° y menor que 180°)
B
α
90º < α < 180º
ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE. Sean las rectas paralelas L1 y L 2 y la recta L3 (secante ) tal como se indica en la figura L
C
O
3
1 L
2 1
3
Ángulo Llano Es aquel que mide 180°, es decir
5 L
180°
m∡ AOB = 180º
O
B
A
2
7
L1 || L2
4
6
8
Ángulo cóncavo Es aquel cuya medida es mayor que 180° y menor que 360°;
Se han formado ocho ángulos, los cuales se clasifican en: Internos.-∡3; ∡4; ∡5; ∡6 Externos.-∡1; ∡2; ∡7; ∡8
180º < m ∡ AOB < 360 º
Ángulos correspondientes.- ∡ 1 y ∡ 5; ∡ 2 y ∡ 6; ∡ 3 y ∡7; ∡ 4 y ∡ 8.
A
O B
Ángulo de una vuelta Es aquel que mide 360º.
A B m∡ AOB = 360º O Según su característica: Ángulos complementarios Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si un ángulo mide “ α ” su complemento complemento mide: mide: 90° - α ” Ángulos suplementarios Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si un ángulo mide “ β ”, su suplemento suplemento mide:“180° mide:“180° - β ”
80
B
a β b
φ C
O
Sean las rectas paralelas L 1 y L2 y los ángulos mostrados en la figura, se cumple que: L 1 α
θ c
Según su posición: Ángulos adyacentes
A
Los ángulos correspondientes son congruentes. Ángulos alternos internos.- ∡ 3 y ∡6; ∡ 4 y ∡ 5. Los ángulos alternos internos son congruentes Ángulos alternos externos.- ∡1 y ∡ 8; ∡ 2 y ∡ 7. Los ángulos alternos externos son congruentes. Ángulos conjugados internos.-∡3 y ∡ 5; ∡ 4 y ∡ 6. Los ángulos conjugados internos son suplementarios. suplementarios. Ángulos conjugados externos.- ∡ 1 y ∡ 7; ∡ 2 y ∡ 8. Los ángulos conjugados externos son suplementarios.
L
2
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO α+β+θ+φ=a+b+c Sean las rectas paralelas L1 y L2 y los ángulos mostrados en la figura, se cumple que: L
δ
1
φ
4. En una recta se ubican ubican los puntos puntos consecutiv consecutivos os P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y PQ = 2 ( QR ) + 3 ( RS ) . Calcule QS RS QR P) 4
Q) 5
R) 6
S) 7
T) 8
θ
α + β + θ + φ + δ = 180 ° β
L
α
5. En una una recta recta se ubican ubican los los puntos puntos consecutiv consecutivos os A, A, B y C. Si (AQ)2 + b(AR) b(AR) = (AR) (AR)2 + (BR)2 ; calcule BC. 2
P) b
Q) 2b
R) b/2
S) b/4
T) 4b
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS 6. Sobre la la línea línea recta se ubican ubican los los puntos puntos consecut consecutivos ivos A, A, B y C,
α
α
α
luego se ubican los puntos medios X de AB , y de BC y Z
β
α
de XY . Si: AB AB – BC = 36, 36, calcul calcule e ZB. ZB.
α α + β = 180 °
P) 12
Q) 18
R) 9
S) 20
T) 8
ÁNGULO DE LADOS PERPENDICULARES PERPENDICULARES 7. En una recta recta se ubican ubican los los puntos puntos consec consecutivo utivoss P, Q, R y S.
θ
Si (QR)(RS) (QR)(RS) = K(RS – RQ) y
α
θ
P) 2K
α
Q) K
PR PQ
−
R) K/3
RS PR
= 1 . Calcul Calcule e PR S) K/2
T) K/4
8. Sobre una recta se toman los puntos puntos consecuti consecutivos vos O ,A, B y C. Calcule OA,
β
α
9. En una recta recta se se tienen tienen los puntos puntos conse consecuti cutivos vos P, P, Q, R, S; S; siendo:
α + β = 180 º
1 QR
−
1 RS
=
1 PQ
+
1 y PQ. PQ.RS = m. Calcule PS
PS. PS.QR
2m
P) EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° N° 9
1. En una una recta recta se tienen tienen los los puntos puntos consecuti consecutivos vos A, A, B, C, D, E; siendo: AD + BE = 20 y BD = P) 3
Q) 4
S) 6
2. Se tiene tiene los los puntos puntos consecutiv consecutivos os A, A, B, C; tal que: que: (AQ). (AQ).(AR) (AR) = 2(AB 2(AB2 –BC2 ), AC = 6u. Calcule Calcule BC. BC. P) 1 u Q) 2 u R) 3 u S) 4 u
T)
7
T) 5 u
y T, siendo EO = GE , OM = MT , GT = 36 y “O” es punto 3
medio de GT . Calcule EO + 2MT. P) 27
Q) 39
R) 3 1
S) m
T) 3m
10. Los Puntos A, M, B y N, se ubican consecutivamente consecutivamente en una recta, si AM = AN y 1 + 1 = 1 el valor de MB BN AM AN 5
P) 11
m AO AOB 5
Q) 10
R) 12
S) 13
T) 15
T)
=
→ m BO BOC luego se traza OM bisectriz del 3
AOC, de tal forma que: m AOM - m COB+m COD = 40º. Calcule m MOB + m COD P) 30º
S) 33 33
R) 2m
11. Se tiene los ángulos ángulos consecutivos consecutivos AOB, BOC y COD , tal que:
3. En una recta se tienen tienen los puntos puntos consecuti consecutivos: vos: G, E, O, M 2
m 2
AB, es.
AE . Calcule BD. 4
R) 5
Q)
Q) 35º
R) 40º
S) 45º
T) 60º
35
81
12. Sean dos ángulos cuya suma suma de sus medidas es 100º y la diferencia de sus complementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de dichos ángulos. P) 2/3 Q) 1/3 R) ¼ S) 3/7 T) 2/9
↔
19. 19. Si: Si:
↔
L1/ / L 2 , calcule
el valor de “X”.
L1
2
13. Las medidas de tres ángulos consecutivos consecutivos sobre una recta están en progresión aritmética, si el menor y el mayor están en la relación de 3 a7, la medida del del mayor ángulo, es P) 80 Q) 81 R) 82 S) 83 T) 84
x
14. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que: m AOD=m BOE=m COF y m DOF + m AOD=224º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del →
ángulo COD y el rayo OE , si : m P) 52º
Q) 60º
L2 P) 15 150°
BOC = 52º.
R) 70º
S) 82º
T) 102º
Q) 13 130°
↔
R) 12 120°
T) 13 135°
↔
L1//L 2 . Calcule la relación
20. 20. Si: Si:
S) 16 160°
de m y n.
“OR” es la bisectriz bisectri z del ∠ COD. *m AOD=m BOE = 15. Dados dos ángulos suplementarios, si a la medida de uno de ellos se le quita 32° para agregárselos a la otra medida, resultando ángulos congruentes, a la medida del menor ángulo, es: P) 55°
Q) 60°
R) 58°
S) 63°
aº mº
T) 9
nº bº
16. El supleme suplemento nto de la diferenc diferencia ia entre entre el suple suplemento mento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo. P) 120º Q) 45º R) 135º S) 60º T) 75º
P) 1
L1
bº
Q) 1,5
aº
R) 2
S) 2,5
17. Se tiene dos ángulos adyacentes, AOB y BOC, cuya suma de sus sus med medid ida as es es 100 100ºº (m (m AOB< AOB< m BOR) BOR).. Se Se tra traza zan n las las →
→
bisectrices ON y OM . Calcule la medida del ángulo BOC si →
la bisectriz del ángulo NOM determina con OB un ángulo que mide 20º. P) 90º
Q) 40º ↔
R) 80º ↔
S) 60º
↔
T) 70º
↔
L 1 // L 2 y L 3 // // L 4
18. Según el gráfico gráfico Calcule el valor de “x”.
↔
y
↔
L 5/ / L 6 .
L3
x 6x
L4
L2
L6
P) 25°
Q) 40°
R) 10°
TRI NGULOS, NGULOS, PROPIEDA PROPIEDADES, DES, LÍNEAS, PUNTOS NOTABLES, CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
UNIDAD Nº10
L5 2x
L1
S) 30°
T) 20°
DEFINICIÓN Un polígono de tres lados se llama triángulo ELEMENTOS.
B c
82
A
2 b
a 3
C
T) 3
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Lado: AB , BC y AC Ángulos: 1, 2 y 3 Vértice: A, B y C
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Según sus lados: Equiláteros: Tienen sus tres lados iguales. Isósceles: Isósceles: Tienen dos lados iguales. El lado desigual se llama base. Escaleno: Escaleno: Tiene sus tres lados desiguales. Según sus ángulos: Rectángulo: Rectángulo: Tienen un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se denomina Hipotenusa y los otros dos catetos. Oblicuángulos: Oblicuángulos: Si ningún ángulo interior es recto. Pueden ser: Acutángulos.Acutángulos.- Tienen sus sus tres ángulos ángulos agudos. Obtusángulos.Obtusángulos.- Tienen un ángulo ángulo obtuso. Equiángulos.Equiángulos.- tienen sus tres ángulos iguales. iguales. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos o más triángulos son congruentes si tienen sus lados y ángulos respectivamente congruentes. Se presentan los siguientes casos. Caso 1 (ALP) Dos o más triángulos son congruentes si tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a él congruente.
R
C
Ceviana Es el segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Altura Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. El punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo se denomina “ORTOCENTRO”. Propiedades: Propiedades: En un triángulo acutángulo el ortocentro se encuentra en el interior. En un triángulo rectángulo el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. En un triángulo obtusángulo el ortocentro se encuentra en el exterior.
ORTOCENTRO
Mediana Es el segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo se denomina “BARICENTRO”. Propiedad: El baricentro divide a cada mediana en 2 segmentos cuya relación es de 2 a 1. .
≅ B
A
Q
P
AB = PQ y ∡ A ≅ ∡P ; ∡B ≅∡Q Caso Caso 2 (LAL) (LAL) Dos o más triángulos son congruentes si tienen un ángulo respectivamente congruente y las medidas de los lados que lo forman respectivamente iguales.
C
R
≅ P
B
A
Q
AB = PQ; AC = PR y ∡ A ≅∡P Caso 3 (LLL) Dos o más triángulos son congruentes si tienen la medida de sus tres lados iguales.
C
z 2y
β
Q
AB=PQ ; AC=PR y BC=QR Caso 4 (ALL) Dos o más triángulos son congruentes si tienen las medidas de dos lados iguales y el ángulo interior que se opone al mayor lado son congruentes. congruentes.
R
C
β
x α
P
2z
BARICENTRO
Propiedad: El incentro incentro equidista equidista de los los tres tres lados, lados, y es el centro centro de la la circunferencia inscrita al triángulo.
R
B
x
y
Bisectriz Es el segmento que parte de un vértice del triángulo triángulo dividiendo al ángulo en dos partes iguales. El punto donde se cortan las bisectrices interiores de un triángulo se denomina “INCENTRO”.
≅ A
2x
α
x γ γ
x
INCENTRO
Mediatriz Es el segmento perpendicular a un lado del triángulo, trazado desde su punto medio. El punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo se denomina “CIRCUNCENTRO”. Propiedad: El Circuncentro equidista de los tres vértices. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo
≅ A
B
P
AB = PQ ; AC = PR y ∡C ≅ ∡R LÍNEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
Q
x .
x
x
CIRCUNCENTRO
83
P – 5: En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y circuncentro se alinean a lo largo de la mediana relativa a la hipotenusa.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
O 2x B x C
CIRCUNCENTRO 60°
2k
k
k k
3
74° 7k
. 25k
5K
24k
71,5°
k
4k
63,30°
( 82°
k
75°
4k
k
15°
5 k
5
k
14°
72°
4k 18°
10 + 2 5
P – 8: En todo triángulo el ángulo formado por dos bisectrices, una interior y otra exterior es igual a la mitad del tercer ángulo. 67,5°
2 − 1 k
m∠x =
79,5°
P A α
87°
362 k
2k
k 3° 19k
5 − 1 k
36°
4k 54°
10 − 2 5
k
C
B
A
α + β + θ =180°
α
M
C
θ
x = 90 ° −
β
m ∠ A 2
α α
B
AB MN = 2
AC BM = 2 AM = MC = BM
A
A
M
β
C
P – 11: En todo triángul triángulo o el ángulo formado formado por una bisectriz bisectriz interior con la altura que parte del mismo vértice, es igual a la semidiferencia de los otros dos ángulos.
x =
m ∠B − m ∠C 2
A α
α x
P – 12: En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y reciprocemente.
B
C
B
β
a>b>c
a
c α
C
B
x
β
m =β+θ
P A– 4: La mediana relativa B a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.
B
α
B
MN|| AB N
β β
x
P – 10: La medida del menor ángulo formado formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90° menos la mitad del tercer ángulo.
P – 3 : El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la la mitad de este tercer lado.
C
β
α
A
k
m
β
β
m ∠ A x = 90 ° + 2
5 + 1 k
P – 2:
α
x
P – 9: En todo triángulo el ángulo formado al unir dos bisectrices interiores es igual a un ángulo recto más la mitad del tercer ángulo.
C
θ A
m∠ A 2
k
PROPIEDADES P – 1:
3x
P – 7: La bisectriz, mediatriz, mediana y altura en un triángulo equilátero se confunden.
22,5°
10,5° 11k
4k
6- 2 k
)
4 − 2 2 k
7k
76°
(
BARICENTRO
P – 6: La bisectriz interior del ángulo desigual en un triángulo isósceles es a la vez altura, mediana y mediatriz.
6 + 2 k
8°
3k
3x
37°
5 2k
k
18,5°
17 k
3k
26,5° 2k
16°
53°
5k
k
45°
30°
10 k
45°
2
ORTOCENTR
α > β > γ
γ
A
C
b
P – 13: En todo triángulo se cumple:
B c
84
A
a b
C
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO a–c< b
x = 30º
P – 14: Si ABC es un triángulo isósceles isósceles con AB = BC, se tiene: AH = PQ + PM
→
Propiedad Propiedad de la bisectriz bisectriz..- Si BX es bisectriz del ángulo ABC se cumple: PC = PA y AB = BC
B
A
H
X
M
Q A
C
P
α
B
P – 15: Si Si ABC ABC es un triángulo equilátero, se tiene:
P
α
C
Propiedad de la mediatriz.mediatriz.- Si L es mediatriz mediatriz de de MN se cumple: PM = PN
B BH = OP OP + OQ + OR
P P
Q
O
M A
C
R H
N
L Propiedades adicionales
P – 16: En todo triángulo: x= α
x =a+b+c
c x
θ α+θ b
a
α
x
P – 17: En todo triángulo
θ
x=m–n
x
a
2θ
θ
n
x
a
α
m
x =
α+θ 2
b b
P – 18: En todo triángulo rectángulo la bisectriz y m ediana trazadas desde el vértice del ángulo recto forman un ángulo que mide:
x =
β
α−θ
x
2
α
θ
P – 19: En un triángulo rectángulo de ángulos agudos 75° y 15° la altura relativa a la hipotenusa es la cuarta parte de ésta.
BH =
AC 4
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 10
B 1.
A
7 5°
15°
C
H
En un un triá triáng ngul ulo o ABC ABC se se traz traza a la medi mediat atri rizz de
AC que
interseca al lado BC en “P”. si BP=8 y PC=12 entonces el máximo valor entero de AB es: P) 17 17 Q) 19 19 R) 20 S) 22 22 T) 24 24
P – 20: En todo triángulo
h
85
75°
x° 2h
2.
Se tien tiene e un triá triángu ngulo lo rect rectáng ángulo ulo ABC, ABC, recto recto en “B”, “B”, sobre sobre
AC se ubican los puntos puntos “L” y “M”, tal que AM=MC, la m∠ LMC = , la distancia de “L” m∠ BAC = 2 − 90º , AL=a y BL=b, la distancia a AC es: a + b a − b 2a − b AB
P) a+ a+b
3.
y
Q)
2
R)
S)
2
2
m∠ DAC = 2( m∠ BAD ) AC=AD+2(BS), la m∠BAD es: P) 10 10º
5.
11.
Q) 15º
R) 20 2 0º
S) 8º 8º
T) 10º
En el gráfic gráfico o adjunt adjunto, o, el valor valor de de “x”, “x”, es:
En un triáng triángulo ulo ABC, ABC, recto recto en “B”, “B”, se se traza traza la cevian ceviana a interi interior or
AD
4.
P) 12º
T) a-b a-b
tal que
Q) 12 12º
R) 16 16º
S) 18 18º
y
T) 20 20º
Dado Dado un triá triángu ngulo lo isó isósce scele less ABC(A ABC(AB= B=BR) BR),, la altu altura ra BH BH mide mide 8, por el punto “P” de CH se levanta una perpendicular que corta a BC en “Q” y a la prolongación de AB en “R”. si PQ=5 entonces la longitud de PR es: P) 7 Q) 8 R) 10 S) 11 T) 13
BC de un triangulo escaleno ABC, ABC, se traza una paralela a AC , la cual corta a BC en “M” a AB en “N” y a la prolongación de la Por Por el el exc excen entr tro o “E” “E” rela relatitivo vo al lado lado
P) α S) 30º 12.
Q) 30º - α R) 3 α T) 30º + α
En el el gráfi gráfico co adju adjunto nto,, el valor valor de “θ”, si AF = BC es:
bisectriz interior interior del ángulo “C” en “P”, siendo siendo AN=7 y MC=6, el valor de “NP” es: P) 4 Q) 5 R) 6 S) 7 T) 3 6.
En un un triá triáng ngul ulo o ABC ABC se se traz trazan an las las cevi cevian anas as
BP y CR
m∠ BAC = 60º , m∠SRB = 2( m∠ RPS ) y m∠ BPC = 2( m∠PRC ) entonces la m∠SBC + m∠SCB es:
intersectándose en “S”. si
P) 70 70º 7.
Q) 40 40º R) 80 80º
P) 8º 13.
360 − 4 5
T)
R) 12º
S) 15º
S) 50 50º T) 60 60º
x
θ
θ
y b
180+ 3
a+b
α
a
8.
9.
Las long longititude udess de los los lado ladoss de un triáng triángulo ulo rec rectán tángul gulo o son 30, 40 y 50 cm respectivamente. la longitud de la bisectriz del ángulo recto es: P) 120 120√2/7 cm Q) 111√3/5 cm R) 18 18 cm S) 9√6 cm T) 27 cm Se tien tiene e un triá triángu ngulo lo rect rectáng ángulo ulo ABC en el el cual cual se traza traza la altura
BH
y las perpendiculares
HM y HN
BC , la perpendicular trazada desde B a
a
AB
MN , interfecta al
De la figu figura ra;; el el valo valorr de de “φ” es: B
α P) 60 60° 14.
Q) 12 120° R) 80 80°
S) 90 90°
Del gráfic gráfico, o, el valor valor de “x + y” y” es: y 2α
α
10°
2ω
ω
θ
φ
2θ
86
x
C
10
2
M
A
T) 13 135°
y
prolongarse a HN en F y a AC en E. Si: AH = 4 m y HC = 10 m, el valor de FE es: P) 1m Q) 2 m R) 3 m S) 4 m T) 5 m 10. 10.
T) 18º30´
En el el gráfi gráfico co adjunt adjunto, o, el el valo valorr de “x + y” y” es:
En un un trián triángul gulo o ABC, ABC, se se traza traza la la bisec bisectri trizz inter interior ior BR que que resulta ser ser igual al lado lado AB, la m∡ ABC, si m∡C = θ es: 180 − 2 360 − 4 270 − 2 3 3 2 P) Q) R) S)
Q) 10º
2φ
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
A3 A2 P) 25 250° 15. 15.
R) 70 70°
S) 50 50°
T) 40 40°
=
∠
En un triángulo triángulo rectá rectángulo ngulo ABC, recto recto en en “B”, la altura altura BH BH y la bisectriz interior AD se cortan en el punto “F”. Si AF=FD, entonces la m C , es: P) 45º Q) 26º R) 28º S) 30º T) 15º
∠
17.
18.
A1
∠ =
En un triá triáng ngul ulo o ABC ABC,, la la m B 5 0º , exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros ARB y BFC. Si la m BFA BFA 34 º , entonces la m BRC , es: P) 34º Q) 25º R) 68º S) 56º T) 36º
∠
16.
Q) 60 60°
Sobre la bisectr bisectriz iz del del ángulo ángulo “A”, “A”, se toma el el punto punto “F” y se traza FB perpendicular a un lado y BD perpendicular al otro lado. Si AB=17 y BD=15, entonces la distancia de “F” a BD, es: P) 8 Q) 21 R) 9 S) 12 T) 25 En el el gráf gráfico ico adjunt adjunto, o, el el valo valorr de “θ” es: P) Q) R) S) T)
An ELEMENTOS DEL POLÍGONO Vértices: A Vértices: A1, A2, A3, ..., A n
Lados: A1 A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , .. . , A n A1 Ángulos: ∠ A1, ∠ A2, ∠ A3, ..., ∠ A n Perímetro (P): A (P): A1 A A2 + A2 A A3 + ... +A n A A1 Propiedades: - En todo polígono, el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos. ÁNGULO INTERIOR Y EXTERIOR DEL POLÍGONO
Q α B
Ángulo interior: ∠ BAH Ángulo exterior: ∠ QAB m ∠ BAH = θ ; m ∠ QAB = α
10° 12° 15° 18° 20°
An-1
A
θ
H Si el polígono tiene “n” lados se cumple: ∑m ∠ (interiore (interiores) s) + ∑m ∠ (exteriores) = 180°n DIAGONAL DE UN POLÍGONO Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. consecutivos.
19.
En el gráfic gráfico o adju adjunto nto el valo valorr de “x” es: P) Q) R) S) T)
20. 20.
9° 10° 12° 15° 18°
DIAGONAL MEDIA Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera.
m∠ B = 90º , el ángulo “A” mide 15º, se traza la mediana BM y la altura BH . La perpendicular trazada por “H” a BM corta a ésta ésta en “P” “P” y a AB en “Q”. si AC=8 entonces el valor de PQ es: En el triá triáng ngul ulo o ABC ABC,, la la
P)
2+ 3
S)
6 +
UNIDAD Nº11
Q)
2
2− 3
T) 1
+
R)
6 −
2
3
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
POLÍGONO Es la reunión de los segmentos de recta que tienen sus extremos comunes dos a dos, dichos extremos son los vértices del polígono y los segmentos son los lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Por el número de sus lados Triángulo ( 3 lados); Cuadrilátero (4 lados); Pentágono (5 lados); Exágono (6 lados); Heptágono (7 lados); Octágono (8 lados) Nonágono (9 lados); Decágono (10 lados); Endecágono (11 lados); Dodecágono (12 lados); Pentadecágono (15 lados); Icoságono (20 lados). Otros polígonos se mencionan según su número de lados. Por la forma de su contorno Convexos Un polígono es convexo cuando al prolongar cualquiera de sus lados, el polígono queda ubicado en un solo semiplano.
Cóncavos 87
Un polígono es cóncavo, cuando por lo menos existe un lado que al ser prolongado ubica al polígono en los dos semiplanos.
13. El número de diagonales diagonales medias que se pueden pueden trazar desde los “k” primeros lados en un polígono de “n” lados
# dm
Equiláteros Tienen todos sus lados congruentes. Equiángulos Tienen todos sus ángulos congruentes. Regulares Un polígono convexo es regular cuando es equilátero y equiángulo.
(n;k )
= nk − k(k + 1) 2
CUADRILÁTEROS Son Polígonos que tienen cuatro lados. Clasificación de los cuadriláteros: Según su paralelismo: Paralelogramos Son aquellos cuadriláteros que poseen sus cuatro lados paralelos dos a dos, y pueden ser: Romboide Es el paralelogramo propiamente dicho.
PROPIEDADES 1. La suma de las medidas medidas de los los ángulos ángulos interi interiores ores de de un polígono de “n” lados es:
A
D
Σ m ∠ = 180 °(n − 2 ) i
2. La medida medida del del ángulo ángulo interior interior en en un polígo polígono no equiáng equiángulo ulo de “n” lados es:
180 °(n − 2 ) n
m∠ = i
C
B
m∠ A + m∠C = 180°
3. La suma de la la medida medida de los ángulos ángulos exterio exteriores res de un polígono polígono de “n” lados es:
Σ m ∠ e = 360 ° 4. La medida medida del ángulo ángulo exterior exterior de de un polígono polígono equiángul equiángulo o de “n” lados es:
360° e n
m∠
=
Rectángulo Es aquel paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales y rectos.
B
C
5. La suma de las medida medidass de los los ángulos ángulos centrale centraless de un polígono convexo de “n” lados es:
O
Σ m ∠ c = 360 ° 5. La medida medida del ángulo ángulo central central de un políg polígono ono regular regular de “n” “n” lados es:
360° m∠ = c n 7. El número número de diagon diagonales ales que que se pueden pueden trazar trazar desde desde cada cada vértice de un polígono de “n” lados es:
D
A
Cuadrado Es aquel rectángulo que tiene sus cuatro lados iguales.
C
B
d=n−3 8. El número número total total de diago diagonales nales que se pueden pueden trazar trazar en un polígono de “n “lados es:
#d = 10.
n(n − 3) 2
O
El núme número ro de de diago diagonal nales es que que se se pueden pueden trazar trazar de los los “v” “v” primeros vértices consecutivos de un polígono de “n” lados es:
= nv − #d (n; v )
( v + 1)( v + 2) 2
11. El número de diagonales diagonales que se pueden trazar desde desde los “k” vértices no consecutivos (alternados) en un polígono de “n” lados es:
Rombo Es aquel paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales.
B
+ #d = nk − k(k 5) (n;k ) 2 12. El número de diagonales diagonales medias que que se pueden trazar trazar en un polígono de “n” lados es:
# dm = 88
n(n − 1) 2
D
A
α α A
β β O α α D
β β
C
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Trapezoide asimétrico Es aquel que no tiene ninguna simetría. Trapecios Son aquellos cuadriláteros que tienen solamente dos lados paralelos a los cuales se les denomina base y pueden ser: Trapecio escaleno.-Es escaleno.-Es aquel trapecio que tiene sus lados no paralelos desiguales.
Trapecio rectángulo.-Es rectángulo.-Es aquel trapecio en el cuál uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.
C
B
A
D
Trapecio isósceles.- Es aque trapecio en el cuál sus lados no paralelos son iguales.
B
β A
D
de
Propiedades de los trapecios: U) La mediana mediana de de un trapecio trapecio es igual igual a la semisuma semisuma de sus sus bases.
C
B
MN =
AD + BC 2
N
M
D
A
V) El segmento segmento de de recta que que une los los puntos puntos medios medios de las las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de sus bases
B PQ =
AD − BC 2
C P
2. El número número de lados lados de de 3 polígon polígonos os son; son; a, b y c, c, tal que: que: 5720 a c y 8 000 < a + c < 9000 Halle la suma de = = 32 123 b las medidas de los ángulos interiores en grados sexagesimales de un polígono convexo cuyo número de lados es a + b + c .
B)14702400 E )14705000
C )14702500
3. Al aumentar aumentar en en seis el el número número de lados lados de un polígo polígono no regular regular
α
α
1. En un polígono polígono se cumple que la suma del número número de de diagonales con el triple del número de diagonales medias y el doble del número de vértices es 276. Calcula la diferencia del número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos y un vértice. P) 52 Q) 29 R) 24 S) 30 T) 49
A)14702300 D)14702600
C
β
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° N° 11
( n + 3 ) lados,
la medida de cada ángulo externo del
polígono disminuye en 3. Entonces el número de lados del polígono regular, es: P) 17 Q) 16 R) 28 S) 24 T) 21 4. Las medidas medidas de de los ángulos ángulos interi interiores ores de un políg polígono ono convexo convexo están en progresión aritmética de razón 5°; si la medida del menor ángulo es 120°. Calcula el número de lados del polígono. P) 8 Q) 9 R) 10 S) 11 T) 12 5. De la figura. figura. Si ABCDE, ABCDE, es un pentágono pentágono regular regular y Calcule “x”.
DF = DE .
Q D
A
W) Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. iguales. X) En un un paralel paralelogra ogramo mo se cumple: cumple:
m x =
2a + b 3
B
a
x
C
n 2n
2m A
b
D
Trapezoide Son cuadriláteros cuadriláteros que no tienen ningún par de de lados paralelos. paralelos. Pueden ser:
6. En la figura figura mostrad mostrada: a: PQRD y ABCD, ABCD, son cuadrado cuadrados. s. Si CP = PD, entonces el valor de “x”, es:
Trapezoide Simétrico Si una diagonal es mediatriz de la otra.
89
S) T)
53° 37°
7. Las diagonale diagonaless de un trapezoid trapezoide e simétrico simétrico se interse intersecan can en el punto “O” de modo que:
AP, BQ, , CR y DS hacia una recta
perpendiculares
exterior, tal que: BQ = P)
5
OC = 3 ( AO ) , si luego se trazan las
Q) 6
DS −
CR 2
R) 7
= 6 . Calcule AP. S) 8
T) 9
8. Si la medida medida de los ángulos ángulos extern externos os de 3 polígonos polígonos regular regulares es son proporcionales a; 1; 2 y 3 y el número de diagonales del polígono de menor número de lados es 54. Calcule la diferencia entre el número de diagonales medias de los otros 2 polígonos. P) 482 Q) 460 R) 468 S) 477 T) 428 9. En un para parale lelo logr gramo amo ABCD ABCD,, en en
AD y en la región exterior
BC se ubican los puntos Q y P respectivamente, tal que BQCP es un paralelogramo y AP ∩ BC = { M } . Calcule
relativo a
AM MP P)
1
Q) 2
R) 2/3
S) 3/2
( n − 4)
vértices
n2
+ 7 diagonales, entonces el 4 número de diagonales medias, es: P) 28 Q) 66 R)45 S) 105 T) 21 11. En
un
octógono octógono
regular regular
16. Por el vértice A de un cuadrado ABCD, ABCD, de centro O, se traza traza una recta que forma un ángulo ángulo cuya medida medida es 8°. Si AB = 5, entonces la distancia de O hacia dicha recta, es: P)
4
b)4 2
c)4 3
17. En la figura figura mostrada. mostrada. Si Si de “x”, es: P) 50° Q) 40° R) 30° S) 10° T) 20°
S) 5
e)2 2
AB = BC = CD , entonces el valor
T) 5/2
10. En un polígono polígono convexo de “n” lados desde consecutivos, se han trazado
15. En un cuadrilátero convexo se trazan trazan las bisectrices bisectrices interiores formándose un nuevo cuadrilátero. Entonces la suma de las medidas de dos ángulos opuestos de este cuadrilátero, es: P) 120 Q) 180 R) 150 S) 140 T) 110
ABCDEFGH , se trazan
BE y DH , las cuales se intersecan en L, si AB = a .
18. Según el gráfico ABCD, ABCD, es un rombo AM luego el valor de AB, es: P) 2 Q)
2 2
R) S)
2 3 3
T)
3 3
= MN y N C = 2 ,
Calcule AL.
a) a 2 12. En el gráfico; gráfico;
3
b) a 6 c ) a 2 d )2 a e ) a 3 2
MN , es base media del trapecio ABCD. Si
AB = 5 y EC = 1 . Calcule el mayor valor enero de MN. P) 12 Q) 8 R) 11 S) 9 T) 10
19. En la la figura figura mostrada: Si ABCD es un cuadrado, entonces la longitud de su lado, es: P) 5 Q) 4 R) 3 S) 3 T) 6
20. En un trapecio rectángulo, rectángulo, ABCD recto en A y B. Si 13. Calcular el número de diagonales diagonales de un polígono regular: CEPU………….., en el cual el ángulo CEP es el triple del ángulo CUP. P) 27 Q) 44 R) 20 S) 90 T) 14 14. En la figura figura mostrada mostrada P) 30° Q) 60° R) 45° 90
AB = BC . Calcule el valor de “x”.
m ADB = 2 ( m BDC ) y BD = 2 ( AD − BC ) , entonces la m BDC , es: P)
8°
Q) 10°
R) 12°
S) 16°
T) 15°.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA M Centro: O
B
Radio: OA Cuerda: BC
D
Diámetro: DE
C A
N
E
O
F
Secante: FG
G
Tangente: HI
T
H
Flecha:. Flecha:. MN
I
∩
Arco: AE PROPIEDADES 1. En toda circunferencia a arcos iguales corresponden cuerdas iguales. 2. El diámetro perpendicular a una cuerda divide a la cuerda y al arco que subtiende en dos partes iguales. 3. En toda circunferencia las cuerdas iguales equidistan del centro. 4. Los arcos de una circunferencia comprendidos entre dos cuerdas paralelas son iguales. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS Dos circunferencias de centros O y O pueden tener las siguientes posiciones relativas: Exteriores:
R
r
O
O
d d > R + r
Tangentes exteriores:
r O
R O d
d = R + r Secantes:
R O
d
O r
R – r < d < R + r
UNIDAD Nº12
CIRCUNFERENCIA. PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de puntos que están en un mismo plano y que equidistan de otro llamado centro. Toda circunferencia queda determinada al especificar su centro y su radio. radio.
Tangentes interiores:
R
O r O d
d=R–r
Interiores:
R
O O r d
d < R – r
91
Concéntricas:
Ortogonales
T R
r O
r
O
Teorema de PITOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros otros dos lados.
B
d C
d=0
2
2
.
2
AB + CD = BC + AD
d = R + r
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA El radio trazado con respecto al punto de tangencia, es perpendicular a la recta tangente que lo contiene.
D
A
Triángulo inscrito en una semicircunferencia Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo
A O
B
C
O
T
Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales.
A r O r
TA = TB
CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios.
α α
T
A α
B Las tangentes interiores comunes comunes a dos circunferencias son iguales iguales
A AD = BC
T
O β C
B
O
A
D
B
α
α =β
A D O
O
T
b B
R 92
A x
B
∧ ∩ X = AB
AB + AC = BC + 2r
c O
C
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y SU MEDIDA Ángulo central. Es el ángulo que tiene como vértice el centro “O” de la circunferencia y como lados dos radios de la misma.
O
r O
β
B
C Teorema de Poncelet B En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más el diámetro de la circunferencia inscrita. A
D
O
Las tangentes exteriores comunes a dos circunferencias son iguales.
AD = BC
α + β = 180 º
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia las diagonales forman ángulos iguales con los lados opuestos.
C
O
D
C AB + AC = 2R + 2r
Ángulo inscrito Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO A B
O
x
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
∩ ∧ m AC x= 2
C
Teorema de Thales Si varias paralelas son cortadas por dos secantes cualesquiera, entonces las paralelas determinan en las secantes segmentos proporcionales.
Ángulo semi-inscrito Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente.
A
∩ ∧ m AB x= 2
x
O
B
C
↔ ↔ ↔ L || L || L 1
2
3
→
AB BC = DE EF
L1
D
A B
L2
E
F L3
C
Corolarios: Interior Es el ángulo que tiene su vértice dentro de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan.
C.4.1. Toda paralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales
A
A D
AB + DC x = 2
x O
B
B MN || BC → AM = AN MB NC
C
Ángulo exterior Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados son dos secantes o dos tangentes o una secante y una tangente.
A
D
O
x
P
∩
∧
x =
A
mAB − mC mCD D
B
2
O
x
P
∩
∧
x =
mAB − mBC mBC 2
B
A O
C
x
P
∩ ∩ ACB− AB x= 2
x=
D
C B
∩
R
∆ ABC ≈ ∆ PQR ↔ ∠ A ≅ ∠
A
∧
P
C
A
P; ∠ B ≅ ∠ Q ; ∠ C≅ ∠ R AB BC AC = = PQ QR PR
Ángulo ex inscrito B Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son una cuerda y una secante.
O
Q
≈
∩ x + AB =180º
x
C
AM AN = MN || BC → AB AC
SEMEJANZA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si sus ángulos respectivos son congruentes y sus lados correspondientes proporcionales.
∩
C A
N
M
∩
B
C
C.4.2. Toda recta paralela a un lado de de un triángulo que interseca a los otros dos lados determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.
C B
N
M
∩
m AB+ m BC 2
CASOS: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes. B Q
≈ A
C
P
R 93
∆ ABC ≈ ∆ PQR ⇔ ∠ A ≅ ∠
P ; ∠ B ≅ ∠ Q
Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo congruente y los lados que lo forman proporcionales. B Q
≈ A
C
∆ ABC ≈ ∆ PQR ↔ ∠ A ≅ ∠
P
P
R
∧ AB = AC PQ
PR
Dos triángulos son semejantes cuando sus tres lados son proporcionales. B
2
≈
P
∆ ABC ≈ ∆ PQR AB = BC = AC PQ
x = ac − mn
Q
≈ C
A
bc a+c ab n= a+c m=
QR
R
Teorema Teorema de la bisectriz bisectriz exterior exterior
B
PR
c
θ
a n = c m
θ
Propiedad: Cuando dos triángulos son semejantes, además de los lados homólogos, también son proporcionales las alturas, las bisectrices, las medianas, porque ellos forman triángulos parciales respectivamente semejantes.
a
E
C n
m
Teorema de MENELAO .
A
Teorema Teorema del incentro.incentro.- En todo triángulo, triángulo, el incentro divide a cada cada bisectriz, en dos segmentos, cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.
F E
B C B x DB = FA x EB x DC FC x EA
D
Teorema de CEVA Sean AN, BP y CM , tres cevianas cualesquiera, del concurrentes en el punto Q. Se cumple que:
∆ ABC,
B
BI a+c = ID b
c A
θ
θ
a
I D b
C
M Q A
N C
P x NC x PA AM x BN x CP = MB
Teorema de la bisectriz interior En todo triángulo, una bisectriz cualquiera, determina sobre el lado opuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz.
a n = c m
1. En un triangul triangulo o isósceles isósceles se inscribe inscribe una una circunfere circunferencia ncia de radio “r”. Si el perímetro del triangulo es 36 y el lado desigual mide 10, entonces el valor de “r” es: P) 5 Q)9 R) 10 S)10/3 T) 5/2
B α c
α x
94
A
a
C
D m
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 12
n
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 2. En un triang triangulo ulo ABC, ABC, la suma de los radios radios de las circunferencias inscritas y circunscritas es 18m., si uno de los catetos mide 12m., entonces el otro cateto mide: P) 24 Q)25 R) 26 S)27 T) 28 3. Las bases bases de un un trapec trapecio io miden miden 8 y 12 respect respectiva ivament mente e y los lados no paralelos 10, entonces el perímetro del menor triangulo que se forma al prolongar los lados no paralelos es: P) 44 Q)40 R) 48 S)52 T) 54 4. En un triangul triangulo o ABC, ABC, AB=6 ; BC=9 y AC=10, AC=10, se traza la bisectriz bisectriz interior interior BD y la exterior exterior BE, la medida medida de ED, es: P) 12 Q)24 R) 32 S)48 T) 38 5. Los lados lados de un triangul triangulo o rectángulo rectángulo ABC ABC miden miden AB=21 AB=21 ;AC=28 y BC=35, se toma un punto “Q” sobre la hipotenusa, tal que, AQ sea diagonal del cuadrado inscrito, la medida del lado del cuadrado, es: P) 11 11 Q)11,5 R) 12 S)12,5 T) 13 ∩
6. Dado una circun circunferenc ferencia ia de centro “O”, m CD = 78º , AB=OD entonces, el valor de “x” “x” es: P) 26 26º Q)32º R) 30º S)24º T) 28º 7. Dado el triangul triangulo o ABC, se traza traza una una recta paralel paralela a al lado AC que interseca a los lados AB y BC en los puntos J y K tal que BK=12, BJ = 3 , entonces el valor de KC, AJ 5 es: P) 16 Q)18 R) 20 S)22 T) 24 8. Los lados lados de un un triangulo triangulo ABC, miden AB=5; AB=5; BC=7; BC=7; AC=6, se traza la bisectriz interior BD, entonces el valor de “DC-AD”, es: P) 2 Q)3 R) 1 S)4 T) 5
11. Un trapecio ABCD está inscrito en una circunferencia, la base BC mide 18m y el lado no paralelo AB mide 12m. Por C se traza una tangente a la circunferencia que con la prolongación de AD se interseca en el punto Q, entonces el valor de “DQ”, es: P) 10cm Q)9cm R) 8cm S)6cm T) 5cm
PQ AC
12. En la figura adjunta adjunta . Si PM=E PM=EF= F=M MQ ; AE=3FC=9,entonces el valor de PM+NQ, PM+NQ, es: P) 6 Q) 8 B R) 5 S) 9 T) 10 P Q M N E
A
C
F
13. En la figura adjunta, si su radio es 4m., entonces el valor del perímetro del cuadrilátero ABCD, es: P) 22 B C Q) 52 R) 42 S) 24 T) 50 53º D
30º A
14. En la figura adjunta, R=8 y r=3, entonces el valor de ED, es: P) 10 B C Q) 12 R) 13 S) 11 T) 14 R r D
E
A 9. En un trapeci trapecio o ABCD ABCD las bases bases BC BC y AD AD miden 4 cm. y ∩
∩
9 cm., respectivamente. Si m BAC = m CDA , la medida de AC, es: P) 2c 2cm Q)3cm R) 4cm S)5cm T) 6cm 10. Desde un punto P exterior exterior a una circunferencia se trazan trazan las secantes PAB y PCD, si las cuerdas BC y AD son ∩
∩
perpendiculares y m BPD = 20º . La medida de BD , es: P) 11 110º Q)100º R) 90º S)105º T) 120º
ML BC AB NL
15. En el grafico adjunto adjunto ; AF = 3 3 entonces el valor de LF es: P) 5 B Q) 3 R) 3 S) 3 3 T) 9
M
A
. Si CF = 3 y
N
L
C
F 95
16. En la figu figura, ra, MPBC; MQ AB , AM = 3 3 y MC = 3 , el valor de MF es: 3 3 2
P)
B
3 2 3 R) 5
20. Del grafico, el valor de “x” es: P) 45º 45º Q) 20º D R) 18º S) 30º x E T) 53º
30º P
C
Q)
A P
3 3 5 4 3 T) 5
B
Q
S)
A
F
C
M
17. En el grafico adjunto, el valor de “x” “x” es: P) 12 Q) 15 R) 16 S) 20 12 9 T) 32 x
18. En la figura adjunta, si AB=4 y BC=3, entonces el valor de “r” es: C P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 r T) 5
A
B
19. En el graf grafico ico adju adjunto nto,, ABCD ABCD es un trap trapeci ecio, o, si AP = 2 2 ; CQ = 2 y QD=4, entonces el valor de BP es: P) 1 B C Q) 2 R) 3 Q P S) 4 T) 5
A
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
UNIDAD Nº13
RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B
D
β
c
α
a
h 96
A
α
β
m
H
n b
C
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
PROPIEDADES En todo triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es media proporcional entre la longitud de su proyección sobre la hipotenusa y la longitud de dicha hipotenusa. 2 2
a = n.b
c = m. b
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las longitudes de los segmentos determinados por la altura sobre dicha hipotenusa. 2
2
2
2
2
b a + c = 2 BM + 2 Teorema de STEWART
B
c
h = m.n
En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de los catetos, es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa por la altura relativa a ella. a.c = b.h En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. 2 2 2
a m
A
b 2
2
D
n
C
2
b( BD) = a .m + c .n − mnb
b =a +c
En todo triángulo rectángulo, la suma de las inversas de los cuadrados cuadrados de las las longitude longitudess de sus catetos catetos es iguala iguala la inversa inversa del cuadrado de las longitudes de la altura trazada a la hipotenusa.
1
1
Teorema de la proyección de la Mediana
B
1
+ 2 = 2 2
a
c
a
c
h
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A
B
m
2 H 2
C
2
C
b M c
a d
α
C
A 2 2 b2 a = b + c + 2b m
m
2
B
c
b
B
A
C
H
Teorema de la Mediana
2
2
2
2
1. Los catetos catetos de un triáng triángulo ulo ABC miden miden AB=40 AB=40 y AC=30m. AC=30m. Si Si AD es la altura trazada trazada relativa a la hipotenusa; hipotenusa; entonces el el perímetro del triángulo ABD es: P) 72 Q) 86 R) 92 S) 96 T) 88
a
h
A
2
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 13
a+b+c ( p : semiperímetro ) 2
2 p(p − a )(p − b )(p − c ) b
2
D
a + b + c + d = 4MN + AC + BD
Fórmula de Herón
c
N
A
a
c
h=
C
b/2
2
B
a = bb + c − 2 b m
B
Si: p =
M
Teorema de Euler En todo cuadrilátero se cumple: Si AM = MC; MC; BN = ND entonces:
a
α
H
H
a − c = 2 b . MH
c A
b/2 2
2. La suma de las las longitude longitudess de las las diagonale diagonaless de un rombo rombo es 70m. Si el radio del círculo inscrito mide 12m; entonces el lado del rombo, es: P) 18m Q) 20m R) 23m S) 25m T) 26m
97
a
C
3. Un trapecio trapecio isóscele isósceless está circuns circunscrito crito a una circunf circunferenc erencia ia de 4m. de radio. radio. Si el el perímetr perímetro o del trapecio trapecio es es 40m; 40m; entonce entoncess la base mayor del trapecio mide: P) 4m Q) 6m R) 8m S) 10m T) 12m 4. Las medidas medidas de de los lados lados de de un triángu triángulo lo son: 8, 8, 10 y 12m. 12m. La longitud de la menor mediana del triángulo es: P) 46
Q) 3 3
R)
S) 3 6
37
T) 2 7
5. En un triángul triángulo o rectángulo rectángulo ABC, ABC, recto recto en B se traza traza la altura altura relativa a la hipotenusa AC; luego se trazan y . Si AP=1 y CQ=8 entonces el valor de AC, es: P) 2 5
Q) 3 5
R)
S)
5
∠
2
=
incentro a los extremos de la hipotenusa de un 7. La distancia del incentro triangulo miden 1 y 3 2 . La longitud del lado que se opone al ángulo recto, es: P) 2 Q) 4 R) 3 S)5 T) 6 8. En un triángul triángulo o ABC se cumple cumple que: que: BC=a y AC=b. AC=b. Sobre el lado AB se ubican los puntos M y N talque: AM=MN=BN. El valor de CM2+CN2+4MN2, es: P) a2+b2 Q) a2+b R) a+b2 S) a2+2b2 T) a2+3b2 9. En un triángulo rectángulo, las longitudes de las medianas relativas a los catetos son: 5 y 15 m. La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa, es: Q) 2 3
R) 2 5
S) 3 2
58
Q)
55
R) 8
S)2
T)3
T) 5 5
6. En un romb romboi oide de ABCD ABCD ( m ABD 90 º). La bisectriz interior del ángulo BCD interseca en F a AD; luego se traza BH altura del romboide talque: HF=10 y AB=6. El valor de AH es: P) 2 Q) 1 R) 3 S) 5 T) 6
P) 2 2
P)
14. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25m y la suma de las longitudes de los catetos y de la altura es 47m. 47m. La longitud de la altura del triángulo, es: P) 14 Q) 13 R) 10 S)15 T) 12 15. 15. En la la figu figura ra adj adjun unta ta.. Si es diá diáme metr tro, o, tal tal que que:: AH=5 AH=5;; HB=4 HB=4;; EC=3, entonces entonces el valor de CD, es: D C E A
P) 8
Q) 9
H
R) 10
N A
P) 8
13. En el gráfico mostrado: mostrado: BQ=5m y AQ=3m. El valor de R es:
C
M
Q) 10
R) 12
17. Si en un triángulo triángulo ABC, se se cumple: cumple:
S)
T) 14
8 c 2 = a 2 + b 2 − ab y 5
b = a + c + ac 2
P) 15° 12. Se tienen dos circunferencias circunferencias tangentes tangentes exteriores de radios radios 4 y 9m. La longitud de la tangente comun exterior a las circunferencias, es: P) 10 Q) 12 R) 8 S) 6 T) 9
T) 12
B
10. En un triángulo triángulo ABC: ABC: AC=3, AC=3, AB=4 AB=4 y BC=5. Sobre Sobre el lado lado BC se ubican los puntos D y E talque: CD=1, DE=EB=2. El valor de “ AE2 – AD2, es: P) 2/3 Q) 4/3 R) 4/5 S) 7/5 T) 8/3
T) 6 30 5
S) 11
16. En la figura mostrada. mostrada. Si “M” es punto medio de AC; AN=8 y AB2 + MN2 = 100, entonces el valor de AC, es:
T) 4 2
11. Los lados de un triángulo triángulo miden 5, 6 y 7. La longitud de la mayor altura del triángulo, es: 3 P) Q) 5 3 R) 7 5 S) 2 30 30 5 5
B
2
2
Q) 18°
, entonces la la m
S) 30°
T) 37°
18. de tal manera que m
98
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO P) 2 17
Q) 2
R) 5
S) 7
T) 3
BP x PC = AP x PD T.2: Teorema de las tangentes.
A
D P
o C B
PA x PD = PB x PC T.3: Teorema de la Tangente y la secante
A P
o C
T.4:
B PA2 = PC x PB
A AB x AC = AH x AD
O
B
C
H D
ÁREA (S) Es la superficie comprendida dentro de un perímetro. PROPIEDADES DEL ÁREA De un triángulo Cualquiera
B
b .h S = 2
h A
b
C
De un Triángulo Rectángulo:
B UNIDAD Nº14
RELACIO RELACIONES NES M TRICAS TRICAS EN LA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA Y ÁREAS ÁREAS DE REGIONES
TEOREMAS SOBRE RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LAS LÍNEAS DE LA CIRCUNFERENCIA T.1: Teorema de las cuerdas.
A B
S=
AB . AC 2
A
C
De un Triángulo Equilátero:
C P
D
99
S = AH . HC
B
S= S=
l
2
3 4
h
l
2
3 3
l
h
A
De un Cuadrado: 2
C
l
S=l
De un Triángulo en función función de sus lados
2
S=
B a
c A Donde: p
=
d
l
d S= 2
p (p − a) (p − b) (p − c)
l
De un Rectángulo: S = b .h .h
C
b
a+b+c 2
l
h b
De un Paralelogramo:
De un Triángulo en función de dos lados y del ángulo comprendido:
B
S=
S = b .h
1 AB . AC . sen θ 2
S = a.b.sen
θ
S = p . r
A
De un Trapecio:
B c
a + b .h 2
S =
a R
h
b
De un Cuadrilátero Cualquiera:
a
c b
C
1 S = AC. BD . Sen θ 2
B
A
a
C
De un triángulo en función del Exradio:
r c
C
O
S = MN.h
b
a+b+c 2
A
D
De un triángulo en función del Circunradio:
p=
r
C
b
S = r c (p-R)
l
r
O
A
B
S = 2 r .l
a
c
a.b.c S= 4R
b
AC.BD S= 2
B
a+b+c p= 2
θ
De un Rombo:
C
A
Del triángulo en función del Inradio :
h
C
De un triángulo Rectángulo con fórmula especial:
θ D
De un Cuadrilátero Circunscrito:
b
S = p . r
B
a 100
c
r d
A
H
C
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO “Si dos triángulos tienen alturas congruentes, entonces la relación entre sus áreas será igual igual a la relación entre sus bases” “Si dos triángulos tienen ángulos iguales o suplementarios, la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los productos de los lados que forman dichos ángulos”. “Si dos triángulos son semejantes, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los cuadrados de sus elementos homólogos”.
a+b+c p= 2 De un Cuadrilátero Inscrito:
p=
a+b+c 2
b
PROPIEDADES
c
S = (p − a)(p − b)(p − c )(p − d)
Si ABCD es un paralelogramo, en la figura se cumple:
a
S =S
d
1
B 2
A
2
D
Si ABCD es es un paralelogr paralelogramo amo de área área “S” y P es un punto punto
R
cualquiera de BC , en la figura se cumple:
B S1
De un Sector Circular:
S S
R.L sec tor 2 = πR
=
S 2
D
Siendo S el área del Trapecio ABCD, M y N son puntos medios de
R
φ
2
BC y AD
L
φ
360 º
2
corona
C
S1
respectivamente, respectivamente, en la figura se cumple:
B
S S =S = 1 2 2
M
S2
A
2
R
= π(R − r )
C
S1
De una Corona Circular
S
P
A
=
sec tor
S2
S1
Del Círculo:
S = πR
C
D
N
Siendo S el área del trapecio trapecio ABCD, M es punto punto medio de CD , luego en la figura se cumple :
O r
B
S =S 1 2
C M
S1
De un Trapecio Circular
S Trapecio =
( R − r ) 2
2
360º π φ 2 2 S = R − r Trapecio 360º
A
R
Circular
r
D
Si ABCD es un trapecio trapecio de área S, en la figura figura se cumple:
S =S 1 2 S =S =
Circular
1
B
S .S
2
3
S = S +
3
4
S1 2
S 4
C
S3
S2 S4
A
D
De un Segmento Circular
S
Segmento circular
=S
Sec. Cir . 2
φ
−S
2
R = πR − senφ S Segmento 360 º 2
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 14
R
Triángulo
O
φ R
circular
RELACIONES ENTRE LAS ÁREAS DE DOS REGIONES TRIANGULARES
1. En la figura figura mostrada. mostrada. Si AO=16, AO=16, OC=6 y 3(BO)=2(OS 3(BO)=2(OS), ), entonces entonces el valor valor de “OD - BO”, es: es: P) 4 B Q) 16 R) 8 A S) 2 T) 12
O
C
D
101
S) 44 T) 30 2. En la figura figura mostrada mostrada.. Si AB=16 y BP=9 BP=9 entonce entoncess el valor valor de PC es: A P) 15 Q) 12 R) 9 S) 16 T) 20
B
P
C
3. Las diagonales diagonales de un paleógrafo ABCD, ABCD, miden AC=12 y BD= 8. Si la prolongación de DB, corta en “E” a la circunferencia circunscrita al triangulo ACD. Entonces el valor de BE es: P) 9 Q) 8 R) 6 S)12 T) 5 4. En el gráfic gráfico o adjunt adjunto. o. Si “O” es centro centro de la semi semi circunferencia, CD=12 y BD=16 BD=16 entonces el valor de “AD” es: P) 9 Q) 8 C R) 6 S)12 T) 5
A
D
P
Q
R
T) 8 3
S
D
11.En la figura adjunta, el valor del área sombreada es: P) 60 Q) 40 R)100 17 S) 50 T) 20
15
12. En la figura adjunta, el área del rectángulo ABCD es: P) 60 A Q) 62 6 R) 64 S) 66 T) 68
B
9
B P
5 5 2
S) 3 5 T) 10
B
7
D
A
P) 2 5
R)
A
4
6. En la figura figura adjunta. adjunta. Si ABCD ABCD es un cuadrad cuadrado o entonces entonces el valor valor de “BP, es: Q)
E
10
A
Q) 3 R) 8 S) 12
10. En la figura adjunta. Si el área de BCE es 4 m 2 y el de AED es 16 m2 entonces el área de la región sombreada es: P) 8 m2 Q) 2 m2 B C R) 6 m2 S) 5 m2 T) 10 m2
B
O
5. En el gráfico gráfico adjunto. adjunto. Si AR=8, RB=6, RB=6, PQ=2(RQ) PQ=2(RQ) y RS=3(RQ) RS=3(RQ) entonces el valor de “PA” es: P) 4 3
9. Por los los vértices vértices “B” y “C” de un rectángulo rectángulo ABCD ABCD se traza traza una circunferencia tangente a AD que interseca a BA en “M”. si BM=99 m y AM=1 m entonces el valor de “BC” es: P) 10 10 m Q) 15 m R) 20 m S) 25m T) 100 m
C
13. En la figura adjunta. Si el área del triángulo ABC es 60 m 2 y AM MN NC además entonces el área de la región = = 2 3 7 MBN es: B P) 10m 10m2 Q) 15m 15m2 R) 35 m2 S) 24m 24m2 T) 18m 18m2
A
M
N
C
C 7. En un trapecio trapecio ABCD, ABCDD , está inscritoQ en una circunferencia circunferencia (El
14. Dado un cuadrante AOB; AOB; se ubica el punto punto “M” en la
8. En la figura figura mostrada, mostrada, si si PBCD PBCD es un un romboide romboide que que tiene tiene 24 m2 por área, además AP=5 y PD=6 entonces el área del trapecio ABCD, es: P) 24 B C Q) 34 R) 14
15. En la figura adjunta, e l área de la región circular es: P) 3πu2 Q) 6πu2 R) 9πu2 S) 12πu2 T) 15πu2
centro es interior del cuadrilátero). Si BC es paraleló AD; AD; BC=40, AD=48 y la altura del trapecio es 22. Entonces la medida del radio de la circunferencia es: P) 15 Q) 20 R) 25 S) 30 T) 40
prolongación de OB tal que AM intercepta al arco AB en “N”, si OB = 3 m y MB = 1 m entonces la longitud de “MN” es: P) 1 m Q) 2m R) 3m S) 2,8m T)1,4 m
37º
102
15u A
P
D
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
16.Si en un triángulo rectángulo BAC recto en A, el ángulo B mide 75° y la distancia de “A” a la hipotenusa mide 6 2 cm, entonces el área de la región ABC es: P)100cm2 Q) 36cm2 R)84cm2 S)144 cm2 T) 72 cm2 17. El triángulo ABC tiene como lados AB = 20cm, AC = 6 5 cm y BC = 10cm. 10cm. Si se traza traza la la altura altura CE y por E se se traza traza
EM perpendicular a AC entonces el área de la región EMC es: P)10cm 2 Q)5,5cm2 R)8cm2 S)7,2cm2 T)6,2cm2 18. En la figura mostrada. mostrada. Si “T” es punto punto de tangencia entonces entonces el área de la corona corona es: P) 3πu2 T Q) 6πu2 3u R 9πu2 2 S) 12πu T) 15π u2
19. En la figura adjunta. adjunta. Si AB es una cuerda, entonces el el aérea del círcul círculo o es: es: P) π A Q) 2π 45° R) 3π S) 4π 2 − 2 T) 5π
B
Es la figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (vérticT), desde su posición inicial (lado inicial), hasta su posición final (lado final). La medida de un ángulo es la amplitud de rotación que efectúa el rayo al girar en torno a su vértice, desde su posición inicial hasta su posición final. Esta medida será un número positivo si la rotación se efectúa en sentido antihorario y negativo en caso contrario. ELEMENTOS: A Vértice: O
α +
O
Lado inicial: OA
A
β –
Lado final: OA’ ; OA’’ Medidas angulares: α ; β
A
NOTA: La medida del ángulo trigonométrico no tiene límite. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Sistema sexagesimal Notación Equivalencias 1° = 60 Un grado sexagesimal = 1° 1= 60 Un minuto sexagesimal = 1 Un segundo sexagesimal = 1 1°=3600 m ∠ de una vuelta = 360° Sistema Centesimal Notación
Equivalencias 1g= 100m 1m= 100s 1g= 10 000s
Un grado centesimal = 1 g Un minuto centesimal = 1m Un segundo centesimal = 1s m ∠ de una vuelta = 400g Sistema radial
20. En un cuadrado ABCD (AB = 20 m), con centro en “A” y radio AB se traza el arco BD que intercepta a la circunferencia inscrita inscrita en el el cuadrado cuadrado en: M y N, N, si “P” es el punto de de
θ = 1 radián
intersección de la circunferencia inscrita con AM entonces la long longititud ud de de “MP” “MP” es: es: P) 5m Q)10m R)15m S)20m T)25m
Notación Un radián = 1 rad.
UNIDAD Nº 9
NGULO NGULO TRIG TRIGONO ONOM M TRICO TRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
r O
r
θ
r
Equivalencias m ∠ de una vuelta = 2 π rad.
≈ 3,1416 ≈
22 7
≈
3 +
2
≈ 3,14
Observaciones: 1 rad.= rad.= 57°17 57°1744, 44,81 81= 63g66m19,77s ∧ 1rad.= 57°1745 = 63g66m20s 1 rad. > 1° > 1 g 1> 1m ; 1 > 1s RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES SISTEMAS Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Se tiene: 103
S
C
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR Se denomina sector circular a una porción de círculo limitada por dos radios. El Área o superficie (S) de dicha región se determina: r r
R
360° = 400g = 2 π rad.
S C R = = 360 400 2 π
→
S C R = = 360 400 2 π
→
Además:
................ (1)
S = 180k S C R = = = k → C = 200k 360 400 2π R = πk
S
S
θ r
r
1 2 S = θr 2
1 S = r L 2
r
1°
=
=
9
1 rad. =
180
180 °
π
=
200
10
=
r
π
RELACIONES RELACIONES ENTRE ENTRE LOS SISTEMAS SISTEMAS SEXAGESIMAL SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL S C = Sabemos que: , Simplificando se obtiene: 180 200
S C = 9 10 Donde Donde S: # de grado gradoss sexages sexagesima imales les C: # de grados centesimales a b = Dond Donde e a: # de minu minuto toss sexa sexage gesim simal ales es 27 50 b: # de minutos centesimales p q = Donde p: # de segundos segundos sexagesimale sexagesimaless 81 250 q: # de segundos centesimales LONGITUD DE ARCO Es una de las muchas aplicaciones del radián como unidad angular, que se utiliza para calcular la medida de un arco en unidades lineales. L : Longitud de arco r : Radio de la circunferencia θ : Número de radianes del ángulo central que subtiende el arco AB. A r
L
θ
2
S=
200
g
L
S
θ
Conversiones de unidades angulares Se utilizan los siguientes factores de conversión: g g 9° πrad. ad. πr ad 10
1=
L
1L 2 θ
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR a +b S = d 2
θ=
a −b 2
O
S=S
S.C.(COD )
−S
A
d C
b
θθ
S
a
S.C.( AOB ) B
d
D ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS Y COTERMINALES g π
C(α) = 90° − α = 100 − α = − α 2 g
S(α) =180° − α = 200 − α = π − α LOS ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial, el lado terminal y el mismo vértice, pero que se diferencian en un múltiplo de 3600. 2400 =
Lado final
0
θ
β
Lado inicial Figura (a)
Lado Final
Lado inicial -1200 = θ
Figura (b)
o
β = θ = 360º r
B
β = θ = 360º.k , k ∈ Z RUEDAS: NÚMERO DE VUELTAS Y VELOCIDAD ANGULAR ( V a )
Se cumple:
104
L = θ . r
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO El número de vueltas que da una rueda sobre cualquier terreno, esta dada por: NV Donde:
N
v
=
L
Donde: V A y VB son velocidades de A y B, respectivamente
C
n
2 πr
= número número de de vuelta vueltass que da la la rueda rueda al desplazarse, desde A hacía B
A
y n
B
son números números de vueltas vueltas de A y B, B, respectivamen respectivamente te
Si A y B son engranajes, se se tiene que: d .V A
=d B. V B ,
A
d d
C B
Donde: d < d A
A
= Nº de dientes de A
B
= Nº de dientes de B
B
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° N° 9
C A
1. Las medidas medidas de de los ángulos ángulos de un cuadriláter cuadrilátero o son 0
C
También: θ = ∡ girado por lala rueda ó ∡ barrido r = longitud longitud del del radio L L θ N = ∧ θ= C ∧ N = C ∧ v 2π r 2πr r θ Nv . 360° V = = a t t
3.
< C 2 , de radio r < r y número de vueltas V 1 y V 2 , 1
respectivamente. r 1 < 2 → θ1 > θ2
r
∴1 = r
2
1
r
V
r
V
1
∴ = 2
2
(inversamente proporcionales)
θ2 θ1
V 2
entonces la medida ad R) 5 π/ 4 r ad
2. Si la suma suma del del doble doble del númer número o de grados grados sexagesimales con el número de grados centesimales de un ángulo es igual a 70 entonces la medida radial de dicho ángulo, es: P) 6 π Q) 8 π R) 3 π S) 5 π/ 3 T) 7 π/ 3
NOTA: θ está expresado en radianes t = tiempo del recorrido Si se trata de una bicicleta bicicleta con con dos ruedas ruedas C1 y C 2 , 1
300
0
y 2x +35 ),
del ángulo mayor en radianes, es: ad ad P) π/ 5 r ad Q) 3 π/ 5r ad ad S) 3 π/ 2r ad T) 5 π/ 6 r ad
r = longitud longitud del radio de de la rueda
C
πx
g
3x ) ,x ;
Longitud tud recorr recorrida ida por el cent centro ro de la rued rueda a L = L ( ) = Longi
La medid medida a radia radiall de un un ángulo, ángulo, donde donde la suma suma y la diferencia de sus medidas centesimal y sexagesimal son las dimensiones de un rectángulo 2
cuya área es de 475 m , es: ad ad P) π/ 4 r ad Q) π/ 3 r ad ad S) π/ 6 r ad T) π/ 12 r ad
4. Si se sabe sabe que que S y R son los los números números de grados grados sexage sexagesima simales les y radian radianes es de un ángulo ángulo y se cumple: cumple:
πS +20 R
+
20
(inversamente proporcionales)
2
ad R) 2 π/ 3 r ad
πS −20 R 150 = , entonces el valor de “R”, 8
es: P) 6 S) 2
Q) 5 T) 3
R) 4
1
V θ 2 = 2 ∴ De i) y ii) se tiene : V θ 1
POLEAS Y ENGRANAJES Se cumple que: L = L → θ . r = θ .r A A B A A B B → V A . r A = V B. r B →n A. r A = n B. r B r A A = Rueda menor B = Rueda mayo
1
B
5. En la la figu figura ra adj adjun unta ta OB = BC =6 c m y DB C es un sector circular cuyo centro es B ; entonces entonces el área área de la parte parte sombreada, es: 2 A P) 8 π c m D 2
r A θ A
Q) 10 πcm C
r
2
θB r B
R) 14 π c m
2
S) 12 πcm
O
C
B 105
2
T) 13 πcm
6. La longitud longitud de arco en metros metros de la circunfe circunferenci rencia a de 9 metros de radio que subtiende un un án ángulo central tal que si sumamos su complemento y su supl suplem emen ento to,, expr expres esad ados os en grad grados os sex sexages agesim imal ales es,, nos da 16 veces el valor del ángulo, es: P) π/ 5 Q) 3 π R) 4 π S) 3 π/ 4 T) 2 π 7. En la la figu figura ra adju adjunt nta a OB = A O =24 c m ; entonces el períme perímetro tro de la la parte parte somb sombrea reada, da, es: P) 48 +20 π )m A Q) 12 +5 π )m R) 24 +10 π )m S) 24 +8 π )m D T) 12 +4 π )m C O
B
11. En el gráfic gráfico, o, el arco arco meno menor r A B , es de igual longitud CD . Si el que el el arco arco mayor CD punto “A “A” pa pasa a la posición del punto “B”, el número de vueltas que das la otra rueda, es: P) 2/ 3 B Q) 1/ 2 C R) 6 / 3 4 S) 3 / 2 2 4 / 3 T) D A 12. El número de vueltas que da la rueda de radio 2, hasta el instante de que llegue a tocar la pared vertical, es: P) 1 + 2
2
8. En la figura figura adjunta adjunta,, la suma suma de las longit longitudes udes de las semicircunferencias, es: P) 20 m Q) 10 m 14 m R) 08 m S) 90 m 7m T) 95 m
Q)
1
−
1
2 1 R) + 4 2 S) 1 2
6
−
o 6
2 1 T) + 1 2
14 m
9. Una bolita bolita se deja deja caer a partir del punto punto B y recorre recorre los los arcos L1 y L2 hasta el punto A, tal como se muestra en la figura. Si L1 +L2 =11 πm y OP =12 m , enton entonces ces el valor de “x”, es: O P) 21, 6 m 60 Q) 20, 8 m R) 21 m S) 20 m P T) 22, 6 m X 45 A B 10. Dados los sectores circulares de la figura adjunta, si el el L
L2
1
2
24 π m área de la región sombreada es OA =12 m , A C = 4 m , entonces el valor de θ" , es:
P) 3 π/ 8 Q) π/ 12 R) / 6 S) π/ 5 T) / 8
B
14. En el grafico se tiene dos poleas de radio 9 y 5. La medi medida da del ángu ángulo lo que debe ebe gir girar la pole polea a men menor or,, para que las bolitas A y B se encuentren a igual altura, es: ad P) 3 π/ 4 r ad Q) 3 π/ 2r ad ad R) π/ 2 r ad ad S) πr ad
106
y
13. El número de vueltas que necesita la rueda para pasar los obstáculos semicírculos de igual radio, es: P) 2 Q) 3 / 4 R) 1, 5 S) 3 T)
O
C
A
A 44 B
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
ad T) 2 πr ad
15. Una rueda de radio 2, se encuentra sobre sobre una pista rectilínea, rectilínea, tal tal como se muestra muestra en el grafico, grafico, la distancia distancia 0
de P a su posición final luego de girar la rueda 270 , es: P) 9 π2 +12 π +6 2
+12 π +8
2
+10 π +8
Q)
9π
R)
9π
ad; 6 v P) 4 πr ad ad; 2v Q) 6 πr ad ad; 4 v R) 2 πr ad ad; 5v S) 0 πr ad ad; 6 v . T) 8 πr ad
150 cm
1500π
A
B
20. El número de vueltas que da una rueda de radio 2 , respecto a su centro es 8( 6 −2 , entonces la longitud de la trayectoria que genera su centro, es: P) 36 Q) 32 R) 34 S) 28 T) 16( 3 − 2
2 S) 9 π +12 π +4
T)
2
9π
P
+10 π +2
16. En el el gráfic gráfico, o, se muestr muestra a las catal catalina inass de una una motocicleta. motocicleta. Si Si la cadena mide mide 1 metro y las catalinas catalinas tienen radios de 10 cm y 5 cm. La suma de los ángulos girados girados por ambas catalinas catalinas para para que el nudo este en la posición posición P por por primera primera vez cuando cuando giran las catalinas, catalinas, es: P) 0 r ad A B ad Q) 20 r ad ad R) 30 r ad nudo ad S) 40 r ad P ad T) 50 r ad 17. Del gráfico, gráfico, el valor valor de “x”, “x”, es: P) 9
10 10 − x
Q) 10 R) 18
60
g
30
x º
S) 20 T) 36
18. Si el engranaje de radio 2 cm da 3 vueltas, vueltas, en el grafico mostrado, entonces el ángulo que giraran el engranaje de radio 3 cm, es: ad P) 9 πr ad B ad Q) 8 π r ad 3 cm 4 cm ad R) 7 πr ad A ad S) 4 πr ad 2 cm ad T) 5 πr ad C 19. El número número de vueltas vueltas y el el ángulo ángulo girado girado por por la rueda rueda de la figura mostrada, al rodar de A hacia B sin resbalar, es:
FUNCIONES
UNIDAD Nº10
TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA (F T) Es una regla o relación que hace corresponder a un número real, un único número número real. Lo que simbolizamos: simbolizamos: F. T. : ℝ
α
ℝ
F. T ( α )
Clases de funciones trigonométricas Directas (6) 107
seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. Inversas (6) arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cotangente, arco cotangente, arco secante, arco cosecante Dominio Dominio y rango de una una F T directa directa Dom (sen) = ℝ y Ran (sen) = [ − 1; 1 ] Dom (cos) = ℝ y Ran (sen) = [ − 1; 1 ]
π Dom (tan) = ℝ − x / x = ( 2n + 1) , n ∈ ℤ
2
Ran (tan) = ℝ Dom (cot) = ℝ − {x / x =n π, n ∈ ℤ }
y
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co- función trigonométrica de su complemento, es decir: F.T.(α) = COF.T.(90º−α) ∴ cosα = sen(90º−α) ∴ tanα = cot(90º−α)
Ran (cot) = ℝ
PROPIEDADES DE LA TANGENTE Y COTANGENTE sen α cos α tan α = cot α = cos α sen β TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APROXIMACIONES
y
RAZONES GEOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Son cocientes indicados de números reales que se establecen establecen entre entre las medidas medidas de 2 lados de un triángulo triángulo rectángulo y son seis. Así tenemos: Dado un triángulo rectángulo ACB, las 6 razones geométricas que se obtienen son: a b a b c c B R .G = ; ; ; ; ; c c b a b a β c a C
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS DE UN ÁNGULO AGUDO Dos funciones trigonométricas de un mismo ángulo agudo son reciprocas o inversas multiplicativas si su producto es uno. 1 1 ∨ sen α = sen α . csc α = 1 → csc α = sen α csc α 1 1 ∨ cos α = cos α . sec α = 1 → sec α = cos α sec α 1 1 ∨ cot α = tan α . cot α = 1 → tan α = cot α tan α Observación: Sí x e y son ángulos agudos se tiene:
108
sen x = sen y
k
45°
k
3
74° 7k
25k
5K
24k
71,5°
18,5°
3k 4k
63,30°
k
k
14°
82°
4 − 2 2 k k
4k
72°
18° 10 + 2 5
k
67,5°
(
)
2 − 1 k
k
79,5°
2k
5
362 k
87°
k 3° 19k
10,5° 11k
4k
6- 2 k
22,5°
5 k
5
(
6 + 2 k
7k
76°
75°
4k 15°
8°
3k
53°
5k
k
5 2k
k
NOTABLES
37°
26,5° 2k
16°
10 k
45°
2
30°
A
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ACB. Las 6 funciones trigonométricas directas con sus reglas que las definen se dan en el cuadro siguiente: siguiente :
k
k
α b
60°
2k
17 k
sen x . csc y = 1
cos x = cos y tan x = tan y
∴ senα = cos(90º−α)
y
π Dom (sec) = ℝ − x / x = (2n + 1) , n ∈ ℤ } y 2 Ran (sec) = ℝ − − 1 ; 1 Dom (csc) = ℝ − {x / x =n π, n ∈ ℤ } Ran (csc) = ℝ − −1 ; 1
↔ x = y ↔
cos x . sec y = 1 tan x . cot y = 1
− 1 k
4k
36°
54° 10 − 2 5
k
5
+ 1 k
Y
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
FT directas seno
sen
coseno
cos
tangente
tan
cotangente
cot
secante
sec
cosecante
csc
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
S= S=
a.c sen β 2
B
β
c
b. c sen α 2
a
α
A
P)1
Q)3
CA
α
H CO
α
CA CA
α
CO H
α
CA H
α
CO
S) 3 3
3
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 10 6. 1.
a2 − b2 ; sen = 2 2 a +b − tan E = ab ( Sec − tan ) ,es:
Si:
Q) a
P)0 2.
2
Sabiendo que cumple:
R)
a y
entonces
b2
S)-
= sec ; Entonces tan + Sec E = 15 tan Se c ; es:
3.
valor
a2
Q)4
el
R)5
valor
de:
S)6
P)1 7.
Q)2
tal tal
R)3
S)4
T)5
iguales mide ?
T)19
Entonces el valor de
agu agudo doss
¿Cuál ¿Cuál es la medida medida del del lado lado de un un cuadra cuadrado do inscr inscrito ito en en un triángulo isósceles de lado desigual a y uno uno de los los ángulos ángulos
P) a ( 2 cot
Sabi Sabien endo do que que se se cump cumple len: n:
Sea − Cos 2 = 0 Sen • Csc 4 = 1 .
2
= tan( 45 º + x) csc( y − 15 º ) sec( z + 30º ) 2 entonces el valor de M = csc z sec 2 y tan tan xes :
b2
T)-
x,y x,y,z ,z son son áng ángul ulos os sen ( x + 60º ) = cos( y − 37 º )
T)
que cot( z − 37 º )
de:
son complementarios, además se
16 sena P)3
el
Si
a c b cos α = c a tg α = b b cot α = a c sec α = b c csc α = a 3
sen α =
α
H
R)
F.T.( α ) o R G.
Angulo agudo
CO
C
b
a.b S= sen γ 2
Reglas de las (FT)
Notaci ón
S)
+ +
+ 1)
Q)
a
a 2 cot + 1
T) a ( 3 cot
tan tan + 1
2a
R)
cot + 1
− 1)
en radianes es: P)
4.
5.
Q)
3
5 18
R)
S)
2
4
T)
9
8.
1+
= 2 sec y 1 + 2 tan tan y = 2 sec x , M = sec x + sec y es:
6
En un triángulo triángulo ABC se tienen tienen los siguiente siguiente datos datos C=1m ; A=29 y B= 16; entonces la altura relativa al lado C es: P)16,04cm Q)15,04cm R)13,04cm S)19,04cm T)20cm En
la
figu figura ra;;
el el
val valor or
de
x
750
es: es:
2 tan tan x
P) 3
3
2
en
45 3+ 3
3 2
R)
2
un un
el
valor
2
S)
2
triá triáng ngul ulo o
P) 2S 2S T) S
ABC, ABC,
de de
área área
S, S,
al
de
2 3
red reduc ucir ir::
abc se obtiene: csc A. csc B. csc C
P= 0
Q)
entonces
T) 2 + 1 9.
2x
Si
Q) S
S
R) 2S S S) S 2S
S 2
109
10. Si:
ab( sen10º −1) + a 2 − b 2 cos 80º H = entonces ab( cos 80º +1) + a 2 + b 2 sen10º 1 + H valor de 1 − H a P) ab Q) R)a+b S)a2b T) a-b b
el
11. En un triángul triángulo o rectángulo rectángulo la la suma de de los cateto catetoss es k y un ángulo agudo es entonces el área de la región triangular es:
k cot 2
P)
(1 + cot )
k tg 2
S)
2 Q) k cot (1 + cot )
2
2(1 + cot )
2
R)
2
2(1 + cot )
( R − r )
(1 + cot )
S) 13.
( R + r )
4 Rr
( R + r )
( R − r )
2
2
sen ( 5 0º + x ) − cos( 40º − x ) + tac ( x + 10º ). tan( x + 40º ) = 1
Q)
2
R) 3
a−b A B a cot − b cot 2
P)
−
1 2
R) 1
es: S)
P)
1
Q)
4
7
=
T) 7 3
2
18. Si en en un triángulo triángulo rectángulo rectángulo ABC, A cotC+ cotB=4, entonces el valor de M = 16senB.senC.cosB.CosC 16senB.senC.cosB.CosC es:
1
= 90º se cumple:
R) 1
2
5 12
;a − c
S) 2
T) 4
= 21
R) 150
= 90º ()
se
entonces el perímetro S) 75
T) 136
entonces “tgα” es:
20. En la figura. Si:
S)4
A
T)5
α
14. En un triángulo triángulo rectángul rectángulo o ABC (Recto en R). El valor valor de
M =
1
del triángulo es: P) 90 Q) 120
3 x Entonces el valor de M = sec 3 x + cot 2 , es :
Q)2
3
19. Si en en un triángulo triángulo rectángul rectángulo o ABC, ABC, ( B
Si:
7
17. La longitu longitud d de la la bisectriz bisectriz del ángulo ángulo B, de un triángul triángulo o ABC, ABC, en el cual: cual:
cumple tan tan C
P)1
T)
5
Rr ( R − r ) 2
T)
2
5
P)5
12. Se tiene 2 circunferen circunferencias cias tangente tangentess exteriorment exteriormente e con radios R y r, el cuadrado cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros es: 4 Rr P) Q) 4 Rr R) 2 Rr 2
S) 7 2
R) 1
a = 3 + 1, b = 60º y c = 3 − 1
k cot
2
T)
k tag 2
Q) 1
P)5
es: M
2
Q)1
R)-1
φ
15. De la la figura figura,, el valo valorr de ctg ctg
S)-2
T)2 B
es: P) 1 3
P)1 Q)2 R)3 S)4 T)5 φ 16. Del gráfic gráfico o el valor va lor de W
α
= sec 2 + tg 2
C
Q) 1 2
R) 1 5
S) 1 7
T)
3 2
es: UNIDAD Nº11
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
θ
Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonométricas de uno o más ángulos; las cuales se 110
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO verifican para cualquier valor que se le asigne al ángulo. En la RESOLUCIÓN de problemas trigonométricos es frecuente el uso de las llamadas identidades fundamentales. Las identidades trigonométricas se clasifican de la siguiente manera I
cosA.secA = 1
1 cscA = sen A 1 tanA = cot A
2
2
2
2
2
2
I11. sec A + csc A = sec A.csc A = ( tan A + cot A )
2
IC P(x, y)
II C
X X ’ : Eje de las X o Eje de de las abscisas abscisas
tgA.cotA= 1
1 secA = cos A 1 senA = csc A
6
SISTEMA DE COORDENADAS RECTÁNGULARES ELEMENTOS: Y
IDENTIDADES RECÍPROCAS senA.cscA = 1
6
I9. csc A − cot A = 1+ 3csc A .cot A I10. sec A.csc A = tan A + cot A
y
YY ’ : Ejes de las Y X’ o Eje de las ordenada ordenadass O: Origen de coordenadas III C P(x, y): Punto P de coordenadas x, y Y IC: Primer cuadrante, IIC: segundo cuadrante, IIIC: tercer cuadrante, IVC: cuarto cuadrante.
1 cosA= sec A 1 cotA = tan A
x X IV C
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Es todo ángulo trigonométrico cuyo lado inicial está sobre el semieje positivo X, su vértice coincide con el orígen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano
II IDEN IDENTI TIDA DADES DES POR DIVIS DIVISII N
Y
tan A =
sen A cos A
cot A =
cos A sen A
α X
β
X
III Y
IDENTIDADES PITAGÓRICAS 2 2 sen A + cos A = 1
y r x sen α = r sen α =
tan α =
y x
2 2 1+ tan A = sec A
α y β son ángulos en posición normal.
2 2 1+ cot A = csc A
sen2 A = 1 – cos2 A tan2 A = 2 2 sec A – 1 cot A = csc2 A – 1
x cot α = y
cos2 A = 1 – sen2 A sec2 A 2 2 tan A = 1 csc A – cot2 A = 1
r sec α = x r csc α = y
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Sea P(x; y) un punto que pertenece al lado final de un ángulo α en posición normal, OP = P = Radio vector, se tiene: tiene: OP = r =
x2
+ y 2 , además: OP = P − O = P Y
IV
P = (x, y)
IDENTIDADES AUXILIARES
α O
X
2
I1. ( sen A + cos A ) = 1+ 2sen A .cos A 4
4
2
2
6
6
2
2
I2. sen A + cos A = 1− 2sen A .cos A I3. sen A + cos A = 1− 3 sen A .cos A I4. ( sen A + cos A + 1)( sen A + cos A − 1) = 2sen A.cos A 2
I5. (1± sen A ± cos A ) = 2(1± sen A )(1± cos A ) 4
4
2
2
6
6
2
2
I6. sec A + tan A = 1+ 2sec A.tan A I7.
sec A + tan A = 1+ 3 sec A .tan A 4
4
2
2
I8. csc A + cot A = 1+ 2csc A .cot A
SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÈTRI TRIGONOMÈTRICAS CAS F.T. (α) cot α sec α csc α sen α cos α tan α
ngulos 0< α < 90º P∈I C 90º< α <180º P ∈ II C 180º< α <270º P ∈ III C 270º< α <360º P ∈ IV C
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
+
–
–
+
+
–
–
–
+
–
–
+
– 111
ÀNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos en posiciòn normal cuyo lado final coincide con algunos semiejes del sistema de coordenadas. sen α cos α tan α cot α sec α csc α
Razones Grados 0º
0 1 0 –1 0
90º 180º 270º 360º FUNCIONES NEGATIVOS
1 0 –1 0 1
0 ∞ 0 ∞ 0
∞ 0 ∞ 0 ∞
TRIGONOMÉTRICAS
1 ∞ –1 ∞ 1 DE
sen(– α ) = – sen α
cot(– α ) = – cot α
cos(– α ) = cos α
sec(– α ) = sec α
tan(– α ) = – tan α
csc(– α ) = – csc α
∞ 1 ∞ –1 ∞
ÁNGULOS
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen “O” del sistema de coordenadas cartesianas y la medida de su radio (radio vector) es uno. +∞ Y 90º 1 P r y α 180º -1 +∞ 1 O x A -∞ 360º X
cos 2 x − cos 2 x = 2 , ent once cess m enton senx + 1 senx − 1 M = 4m − 3 , es: 1 P) – 2 Q) 0 R) S) - 1 2 4. En la la figu figura ra mos mostr trad ada, a, el el 0 0 M = sen ( − 286 ) − cos ( − 254 ) , es: 7 A). − 24 3 ( a + 1) + 1 11 B). 12 C). 0,5 N 1 D). − 3 ( a + 1) 2 E). 2 3.
5.
P) 6.
1 2
Del Del
y
2
R
a P
graf grafico ico
R) 0
T) − 1 2
S) 1
adju adjunt nto, o,
el el
sen sen
valor valor
de: de:
+ 3 , es:
y
x
( 12 ;−5 )
Si y son ángulos en posición normal y coterminales, no cuadrantales, entonces el valor de: csc + tan ( sen − sen ) M = + cos . sec , es: csc P) 2 Q) -2 R) -1 S) 1 T) 0
8.
El valor de:
2
P2: ( tan + cot ) = sec . csc P3: sec 2 − sec 2 . csc 2 + csc 2 = 0 P4: sen 4 + cos 4 = 1 + 2 sen 2 . cos 2 Entonces el número de proposiciones falsa, es: P) 0 Q) 1 R) 2 S) 3 T) 4 csc x . ( senx + 1 ) − 1 2. Al sim simplif plific icar ar:: M = . tan x , se ( cos x + 1 ) sec x − 1 obtiene: P) 1 Q) tan x R) cos x S) cot x T) sec x
de
7. EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 11
M =
cos 2 ( + 30 0 ) + cos 2 ( 60 0 − ) + cot ( − 90 0 ) + sec ( − 180 0 ) , tan ( − 45 0 ) − cot ( − 270 0 ) − csc ( − 270 0 )
es: P) 0 9.
1 Q) − 2
R) -2
S) 1
T) -1
Si y son ángulos coterminales, no cuadrantales y en posición normal entonces el valor de:
+ 610 − cos2 29 0 − , es: 2 2
M = tan ( − ) − cos 2
P) 3 112
Q) -1
M = cos ( − ) + 12 tan +
P = ( x ; y) = (cos α ; senα)
2
valor valor
Si cos ( b − a ) − sen ( a + 2b ) = 0 , a y b son ángulos agudos entonces el valor de
A) -3 B) 0 C) -2 1 D) 3 E) 1
Si: P1: sen 6 + 3 sen 2 cos 2 + cos 6 = 1
T) 3
− b , es: 6
270º -∞
1.
el valor valor de
M = sen ( b + 240 0 ) − cos 7
-1
x
Si
Q) -2
R) -1
S)
3 2
T)
1 2
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
10. Si
2sen2 x + 3 cos 3 x + 4 . tan 4 x
f ( x ) =
cos x + 3 2
valor de f − , es: 2 P) 0 Q) 1
11. 11. EL val valor or de: de: M =
R) -1
, entonces el
S) 2
P) 0
T) -2
( a − b ) 2 . cos + ( a + b ) 2 . sec( 2 )
2 a 2 b 2 csc 3 2
,
es: P) a
b
ab
12. Si f ( x ) = tan2 x , al simplificar M = 1 +
se obtiene: P) cos 2 x T) sec x 13. 13. Sea
el
Q) sen2 x gráf gráfic ico o
T) −2
S) − 1
R) a
Q) -2
ab
1
− 1+
,
1 1−
1 n − 3 16. 16. Si el punt punto o P = ; pertenece al cuarto 2 3 cuadrante y está en la circunferencia trigonométrica entonces el valor de M = 4 n − 6 , es:
1 1 + f ( x )
Q) -2
R)
1 2
S) 3
T) − 3 2
17. En la circunferenc circunferencia ia trigonométr trigonométrica ica mostrada, mostrada, el área de la región sombreada, es: 1 A) − sen 2 y 1 B) − sen 4 1 C) − cos 2 o x 1 D) − cos 4 E) −sen
R) sec 2 x S) − tan x adju adjunt nto, o,
el
valo valorr
de: de:
3 , es: − sec 2 ( − ) − 2 cot − + 3 4 3 3 A) 4 9 R B) − 4 C) -2 2 D) 3 E) -1 N 4 M − P − M =
18. Al simp simplilififica car: r: 2 R = sen − 2sen 4 + cos6 − cos 4 + sen 6 , se obtiene. P) sen Q) cos2 R) 0 S) tan T) 1
1 1 + = nn entonces el valor de: 1 − cos 1 + cos sen N = n 2 − 4n + 5 , es: 1 3 P) 0 Q) R) -1 S) − T) 1 4 2
19. Si:
20. Si: tan x + cot x = 2 y E = tan x . sen 2 x + cot x . cos 2 x entonces al expresar E en términos de “n”, se obtiene: n2 − 2 P) n 2 Q) R) n 2 + 1 S) 2 − n 2 n
2
14. Si M = sen ( − 270
0 0 cos 0
)
tan ( − 180 ) − ( sen ( − 90 0 ) ) 0 cos ( − 180 ) 0
+
cos ( −1800 )
+ T) n 2 n
− cos . sen − el 2 2 − N " , es: valor de " M − N = tan sen − cos − 3
P) 0
Q) -1
R) 2
S) 1
T) -2
15. 15. Si el pun punto to P = ( 15; − 8 ) pertenece al lado final del ángulo que está en posición normal y si 15 + 8 M = sec + tan , N = , entonces el valor cos tan − N " , es: de " M − 3 3 P) -1 -1,4 Q) 0,5 R) S) 2 T) 4 5
UNIDAD Nº12
REDU REDUCCI CCI N DE NGULO NGULOS. S. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ÁNGULOS COMPUESTOS COMPUESTOS
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE. 113
Consiste en comparar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud respecto al valor de la función trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante. cuadrante. CASO I. Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta: Si: 0º < αIC< 90º se tiene: F. T.(α
) = F. T.(180° − α
F. T.(α
) = F. T.(α
F. T.(α
) = F. T.(360° − α
II C
III C
II C
IV C
III C
) = ± F. T.(α ) IC
− 180°) = ± F. T.(α ) IC
IV C
) = ± F. T.(α ) IC
CASO II. Reducción para ángulos positivos mayores de una vuelta: F. T.( α > 360 ° ) = F. T(R) Donde: CASO III. Para ángulos de la forma (n π ± α ) , n ∈ ℤ F. T.(180 ° ± α ) = ± F. T(α ) F. T.(360 ° ± α ) = F. T(α ) GENERALIZANDO: F. T.( n π ± α ) = ± F. T(α )
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPUESTOS Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos: sen ( A − B ) = sen A . cos B − cos A . sen B cos ( A + B ) = cos A . cos B − sen A . sen B cos ( A − B ) = cos A . cos B + sen A . sen B tan A + tan B tan A − tan B tan ( A + B ) = tan ( A − B ) = 1 − tan A . tan B 1 + tan A . tan B cot A . cot B − 1 cot A . cot B + 1 cot ( A + B ) = cot ( A − B ) = cot A + cot B cot B − cot A Identidades auxiliares:
° ( A − B ) = sen2 A − sen2B ) . sen I1 sen ( Aα + B360 q 2 2 R I2 cos ( A + B ) . cos ( A − B ) = cos A − sen B Entonces: 2
∧ 2
π
( 4n + 3) π ± α 2
Funciones trigonométricas del ángulo doble: 2
2
2
cos 2 A = 1 − 2 sen A
F. T(90° ± α ) = ± CO. F. T(α ) F. T( 270 ° ± α ) = ± CO. F. T(α )
tg 2 A =
cos 2 A = 2 cos A − 1 2
cot A − 1 cot 2 A = 2 cot A
2 tgA 2
1 − tg A
GENERALIZANDO:
π ± α = ±CO. F.T.( α) 2 π F.T. ( 4n + 3) ± α = ±CO. F.T.( α) 2 F.T. ( 4n + 1)
Fórmulas de degradación: 4 4 3 1 sen A + cos A = + cos 4 A 4 4 6 6 5 3 sen A + cos A = + cos 4 A 8 8 Fórmulas auxiliares: cot A − tan A = 2 cot 2 A ° A . csc A = sec cot A + tan A = 2 cscα 2 A360 q R α 360° en el triángulo rectángulo de Funciones trigonométricas q ángulo doble: R
PROPIEDADES: P1) x+y+z = 180º.k , k ∈ ℤ tan x + tan y + tan z = tan x . tan y . tan z cot x . cot y + cot y . cot z + cot z . cot x = 1 P2) x+y+z = 90º.(2k+1) 90º.(2k+1) , k∈ ℤ cot x + cot y + cot z = cot x . cot y . cot z tan x . tan y + tan y . tan z + tan z . tan x = 1
1 + tg2 α
2tg α
cos x = − cos y ; tan x = − tan y
114
;
1. sen 2α =
2 tg α
2α 1 – t g2 α
2
2. cos 2α =
2
1 + tg α
1 − tg α
;
cos x = cos y
;
tan x = − tan y
;
2
1 + tg α
Funciones trigonométricas del ángulo triple:
P4) x+y = 360º
sen x = −sen y cot x = − cot y
2
cos 2 A = cos A − sen A
sen 2 A = 2 sen A . cos A
sen x = sen y ; cot x = − cot y
2
1 − cos ( A + B) . cos ( A − B) = sen A + sen B
CASO IV. Para ángulos de la forma ( 4n + 1) ± α ó 2
P3) x+y = 180º
2
1 + cos ( A + B ) . cos ( A − B ) = cos A + cos B
3
sen 3 A = 3 sen A − 4 sen A 2
sen 3 A = sen A ( 3 − 4 sen A )
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO sen 3 A = sen A (2 cos 2 A + 1 )
4.
Sea
y 1.80
3
cos 3 A = 4 cos A − 3 cos A 2
P)
cos 3 A = cos A ( 4 cos A − 3 ) cos 3 A = cos A (2 cos 2 A − 1 )
5.
3
tg 3 A =
3 tg A − tg A 2
cot 3 A =
3 cot A − cot A
A sen A = 2 1 − cos A
6.
7.
A cot = ± 2
R)
Q)
A sen A = 2 1 + cos A A 1 + cos A cot = 2 sen A A cot = csc A + cot A 2
R) 1
2.
Si se cumple
3.
es: P) Q) R) La simpli simplific ficaci ación ón de la expre expresió sión: n:
S) -2
S)
En la figura figura mostra mostrada da calcu calcular lar “x” “x” P) Q) R)
T) sec
3
Si P) 1
T)
S)
T)
α
α
5
4
Q) 2
R) 3
S) 4
T) 5
10. Calcul Calcular ar el valor valor de P)
Q)
R)
S)
T)
S)
T)
12. El valo valorr de la la expre expresió sión n T) 2
P)
Q)
R)
S)
T)
T)
13. En la figura figura.. El valo valorr de x es: es: P) Q) R) P) tag x Q) cot x R) sen x S) cos x T) sec sec x
S) tag
R)
11. El valo valorr de la exp expres resión ión es: P) Q) R)
entonces el valor S)
R)
Q)
x
9.
T)
Si P)
8.
S)
Redu Reduci cirr la la ex expres presió ión n
tan
es: Q) -1
Q)
1 + cos A 1 − cos A
La simpli simplific ficaci ación ón de la expre expresió sión: n:
P) 0
T) Calcular
P)
EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 12 1.
S)
Si P)
2
1 − 3 cot A
Fórmula auxiliar: sen 3 A = 4 sen A . sen ( 60° − A ) . sen ( 60° + A ) cos 3 A = 4 cos A . cos ( 60° − A ) . cos (60° + A ) tan 3 A = tan A . tan ( 60° − A ) . tan ( 60° + A ) Funciones trigonométricas del ángulo mitad : A 1 − cos A A 1 + cos A sen = ± cos = ± 2 2 2 2
cot
R)
3
1 − 3 tg A Fórmula de degradación: 3 3 sen A − sen 3 A sen A = 4 3 3 cos A − cos 3 A cos A = 4
A 1 − cos A tan = ± 2 1 + cos A Fórmulas auxiliares: auxiliares : A 1 − cos A tan = 2 sen A A tan = csc A − cot A 2
Q)
C
α
S)
T)
E
D
115
TRANSFORMACIONES DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO X
B
A + B A − B sen A + sen B = 2 sen . cos 2 2
C
14. El valor de la expresión P) 0 Q) 1 R) 2
es: T) 4
S) 3
A + B A − B cos A + cos B = 2 cos . cos 2 2
15. Calcular Calcular el valor valor de la la expresi expresión: ón:
P)
Q)
A − B A + B sen A − sen B = 2 sen . cos 2 2
R)
S)
A + B A − B cos A − cos B = 2 sen . sen 2 2
T)
TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A SUMA Ó DIFERENCIA
2 sen A . cos B = sen ( A + B ) + sen ( A − B ) 2 sen B . cos A = sen ( A + B ) − sen ( A − B ) 2 sen A . sen B = cos ( A − B ) − cos ( A + B ) 2 cos A . cos B = cos ( A + B ) + cos ( A − B )
16. Calcul Calcular ar el valor valor de
P)
Q)
R)
S)
T)
SERIES TRIGONOMÉTRICAS
17. La simpl simplific ificació ación n de la expre expresión sión es P) 2sec42° Q) 2tag48° T) Tag42°
R) cot42°
S) Tag22°
18. En la figura figura calcul calcular ar el valor valor de “x” “x” P) 4 Q) 2 R) 0
S) 3
T) 5
D 7 C x
30° A
sen x + sen ( x + r ) + sen ( x + 2 r ) + ... + sen [ x + ( n −1) r ] n r sen P + U 2 . sen = r 2 sen 2 cos x + cos ( x + r ) + cos ( x + 2 r ) + ... + cos [ x + ( n −1) r ] n r sen P + U 2 .cos = r 2 sen 2
n: Número de términos r: razón U: Último Último ángulo ángulo P: Primer Primer ángulo ángulo Propiedades:
B
19. La simpli simplific ficaci ación ón de
P.1 Si: A + B + C = 180º, se cumple:
A B C . cos . cos 2 2 2 A B C Q) cos A + cos B + cos C = 4 sen . sen . sen + 1 2 2 2 P) sen A + sen B + sen C = 4 cos
P) co cosα
Q) -s -senα
R) tagα
S) senα
T) cotα
P.2 Si: A + B + C = 360º, se cumple:
20. Calcul Calcular ar el valor valor de:
A B C . sen . sen 2 2 2 A B C Q) cos A + cos B + cos C = 4 cos . cos . cos − 1 2 2 2 P.3 sen ( x − 120 ° ) + sen x + sen ( x + 120 ° ) = 0 cos ( x − 120 ° ) + cos x + cos ( x + 120 ° ) = 0 P) sen A + sen B + sen C = 4 sen
P)
Q)
R)
S)
T)
21. Al simpl simplifi ificar car la expre expressi ssion: on:
2 2 2 P.4 sen ( x − 120° ) + sen x + sen ( x + 120° ) = 3 / 2 2 2 2 P)
Q)
R)
S)
T)
cos ( x − 120° ) + cos x + cos ( x + 120° ) = 3 / 2
4 4 4 P.5 sen ( x − 120° ) + sen x + sen ( x + 120° ) = 9 / 8 4
UNIDAD Nº13
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
4
2π + cos 4π + cos 6π +... + cos 2n π = − 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2
P.6 cos
116
4
cos ( x − 120° ) + cos x + cos ( x + 120° ) = 9 / 8
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO π + cos 3π + cos 5π +...+ cos ( 2n + 1) π = 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2
cos
n π 2n + 1 π 2π + + + sen ... sen = 2n + 1 2n + 1 2n +1 2n
P.7 sen
π 2π 3π n π 1 P.8 cos + cos + cos +... + cos = 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n π 2π 3π n π = P.9 tan . tan .....tan . tan 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
PROPIEDADES: P.11 La dirección NE es equivalente a escribir N 45º E y viceversa, la dirección S 1/4 SO es equivalente a S 11º15 O, la dirección NO 1/4 O es equivalente a N 56º15 O y viceversa. P.12 Cuando se dan problemas con ambos ángulos (verticales y horizontales), se resolverá asumiendo un diagrama tridimensional para conjugar ambos aspectos. aspectos.
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS Se sabe que todo triángulo tiene seis elementos básicos, tres lados y tres ángulos. Además otros elementos auxiliares como alturas, medianas, bisectrices, etc. Resolver un triángulo consiste en hallar los elementos básicos de este, para lo cual debemos conocer por lo menos tres de sus elementos (necesariamente uno de ellos no angular). Ángulos verticales. Se denominan ángulos verticales a aquellos contenidos en un plano vertical, el cual a su vez vez deberá contener al observador, a la recta horizontal y al objeto observado. Existen dos tipos de ángulos verticales.
Resolución de triángulos rectángulos. Como en un triángulo rectángulo hay un dato que es el ángulo recto, entonces basta con conocer dos de sus elementos (al menos un lado) para hallar los restantes.
Ángulo de elevación.
Fórmulas para el cálculo de las líneas notables utilizando trigonometría
RESO RESOLU LUCI CIÓN ÓN DE TRIÁ TRIÁNGU NGULO LOS S REC RECTA TANGU NGULOS LOS Y OBLICUANGULOS Resolver un triángulo es conocer las medidas de sus lados, angulos, líneas notables, perímetro, área, etc.
ALTURA (Es una cevianP)
B
h = altura relativa al lado AC
OBJETO
b
L NEA VISUAL VISUAL
c
h = c .sen A b 2
NGUL NGULO O DE ELE ELEVA VACI CI N
2
2
h . b = a m + c n − bmn A b
RECTA HORIZONTAL OBSERVADOR
a
d = hb
m
n
H b
C
MEDIANA (Es una cevianP)
Ángulo de depresión:
m = mediana relativa al lado AC
RECTA HORIZONTAL
b
NGUL NGULO O DE DEP DEPRE RESI SI N
OBSERVADOR
2
2
2
4m = a + c + 2ac . cos B b
L NEA VISUAL VISUAL
OBJETO
2
2
b
NNO
N
2
2m = a + c −
Ángulos horizontales. En la superficie de la tierra es frecuente definir las direcciones que marcan la aguja magnética en el compás náutico o brújula. Dichas direcciones llamadas rumbo del compás, se obtienen dividiendo en ocho partes cada uno de los cuadrantes comprendidos entre los cuatro puntos cardinales: cardinales: Norte (N), sur (S), Este (T) y Oeste (O). estos cuatro rumbos y los correspondientes a las bisectrices de los cuad cuadra rant ntes es:: Nor Nor – Este Este,, Sur Sur – Este Este,, Sur Sur – Oest Oeste e y Nor Nor – Oest Oeste, e, constituyen los rumbos principales, se consideran otros cuatro a los que llamaremos cuartos del compás. En total la Rosa Náutica tiene 32 cuartos. El menor ángulo formado por dos direcciones contigúas mide 11º15
B
c
2
b 2
A
C
M b
BISECTRIZ INTERIOR (Es una cevianP)
x = Bisectriz relativa al lado AC b
B 2ac . cos x = b a + c 2 2
c
B
θ θ
2
a
d = xb
d = x = a.c − m.n b
A
m
n
P b
C
BISECTRIZ EXTERIOR NNE
x = Bisectriz relativa a la prolongación de AC b
NE
NO
ENE
ONO ONO O
B 2ca x = . sen b c − a 2
B c
E ESE
OSO
SE
SO SSO
a
d = mb
SSE
A
b
a C m
θ
θ
xb=d n
117 P
4. Al transformar a producto la siguiente Cos4x + Cos8x + 2 − 4Sen2x ; se obtiene:
2
2 b CEVIANA
d = x = m.n − a.c
P) Cos2xCos3x Cos2xCos3x Q) 4Cos2xSe 4Cos2xSen n23x R) 2Cos2xSe 2Cos2xSen n22x S) 4Cos2xCos 4Cos2xCos23x T) 4Cos4xCo 4Cos4xCoss22x
x = Ceviana relativa al lado de AC b 2
2
2
d . b = c n + a m − bmn B c
expresión
5. El valor de F = P) 1 S) 5
a
d = xb
1 3 − , es: Sen10° Cos10° Q) 2 T) 4
R) 3
6. Una antena de radio de 15m. de longitud se encuentra en la A
m
azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edifico las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son “α” y “β” respectivamente. Si: tanα = 0,76 y tanβ = 0,19, entonces la altura del edifico, es: P) 4m Q) 5m R) 6m S) 7m T) 8m
C
n
D b
Resolución de triángulos oblicuángulos.: oblicuángulos.: Ley de los senos.senos.B
a b c = = sen A sen B sen C
Ley de los cosenos. 2 2 2
c A
7. Subiendo por un camino inclinado con un ángulo de 37º a C
b B
a = b + c − 2 b c . cos A 2
2
2
2
2
2
8. Una persona de 1,75m de altura observa la parte superior de c
b = a + c − 2 a c . cos B c = a + b − 2 a b . cos C
respecto a la horizontal, se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de45º. Si el poste se encuentra a 20m del punto de observación; entonces la altura del poste, es: P) 2m Q) 3m R) 6m S) 4m T) 8m
A
a b
C
una torre con un ángulo de elevación de 37º. Después de avanzar 5m en dirección a la torre, desde el extremo superior de la torre se observa observa la parte superior superior de la persona con un ángulo de depresión de 45º; entonces la altura de la torre, es: P) 15m Q) 15 2 m R) 15,75m S) 16 16,75m
T) 15 3 m
9. Dos personas que se encuentran a uno y a otro lado de un EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPUE PROPUESTO STOS S N° 13
Sen20 ° + Sen40 ° + Sen60 ° , se obtiene: Cos10° + Cos30° + Cos50° 3 2 P) 3 Sen40° Q) Sen40° R) Sen40° 2 3 3 S) 2S 2 Sen40° T) Sen40° 4
1. Al reducir G =
2. Al reducir: obtiene: P) Ta T an(nx) S) Cot(nx)
Senx + Sen(nx) + Sen [(2n - 1)x ] K= , se Cosx + Cos(nx) + Cos [(2n - 1)x ] Q) Tan(n + 1)x T) Tan(n – 1)x
R) Co C ot(n – 1)x
poste, observa una de ellas la parte superior del poste con un ángulo de elevación “α” y la otra observa su punto medio con un ángulo de elevación “β”. Si la distancia entre ambas p ersonas es “d”; entonces la altura del poste, es:
dTanα Tanα + Tanβ 2d R) 2Cotα + Cotβ P)
P)
1 8
S) 2
118
Cosx + Cos3x + Cos5x + Cos9x , se obtiene: ( Tanx + Cotx)() ( Sen11x + Sen5x ) 1 1 Q) R) 4 2 T) 4
d
Tanα + 2Tanβ 2d S) Cotα + 2Cotβ
T) dTanαTan dTanαTanβ β
10. Una persona de
3 m de estatura está a 15 3 m del punto
de lanzamiento de un cohete, después de cierto tiempo de lanzado lo observa al cohete con un ángulo de 60º y en ese mismo instante observa la parte inferior con un ángulo de elevación de 30º; entonces la longitud del cohete, es: P) 15m Q) 20 3 m R) 30m S) 20m
3. Al reducir P =
Q)
T) 15 3 m
11. Un móvil se desplaza 40km según la dirección S60ºO con respecto a un punto inicial, luego se desplaza a 20km según la dirección N60ºO; entonces el desplazamiento total con respecto a su nueva ubicación, es: P) 15m Q) 10 3 m R) 10m S) 20 14 m
T) 20 7 m
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 12. Desde el centro de una piste circular un móvil se desplaza en la
dirección EθN EθN hasta encontrar a la pista. Desde es te punto observa la parte más nórdica de la pista en la dirección N50ºO; entonces “θ”, es: P) 10º Q) 20º R) 30º S) 40º T) 15º
13. María se dirige de su casa a la UNI siguiendo la dirección
N30ºE pero en el camino camino se arrepiente y decide decide no ir a la UNI y se va en busca de Eduardo en la dirección S60ºE y lo encuentra justo al “Este” de su casa. Si el recorrido total que hizo maría es 273m; entonces la distancia que separa la casa d María al punto de encuentro, es: P) 100m Q) 100 3 m R) 200m S) 300m T) 200 3 m
14. Desde una ciudad “A” se divisa a otras dos “B” y “C” en las direcciones O80ºN y E40ºN respectivamente. Si “B” se divisa a “C” al E50ºS a una distancia de 173Km; entonces la distancia entre “A” “A” y “B”, es: es: P) 10 100Km Q) 20 200Km R) 15 150Km S) 27 273Km T) 300K 300Km m
15. En un triángulo ABC, al simplificar J = obtiene: P) TanA S) Tan Tan2 A
Q) CotA T) TanC CotB
R) TanB TanC
16. En un triángulo ABC, al reducir E = obtiene: P) 2C 2CosC S) –2 – 2SenC
Q) –2 –2CosC T) –CosC
a2 + c 2 − b2 , se a2 + b 2 − c 2
Sen2A − Sen2B ; se Sen( A − B)
R) 2S 2SenC
17. En un triángulo ABC. Si A = 30°; B = 135° y entonces la medida del lado “c”, es:
P)
6 − 2
Q)
6 − 2 2
S)
6 + 2 4
T)
3 − 1
R)
a = 2m;
6 + 2 2
1 18. En un triángulo ABC. Si a2 + c 2 − b2 = ac ; entonces el valor 2 B de Cos , es: 2 P) 0,125 Q) 0,625 R) 0,25 S) 0,125 T) 0,625 19. Si en un triángulo ABC, se cumple que: c 4 − 2( a2 + b2 )c 2 + a4 + a2b2 + b 4 = 0 , entonces la medida del ángulo C, es: P) 90° Q) 60°
R) 4 5 °
S) 30°
20. Si en un triángulo ABC se cumple que: BC = a, a sen(A) = c, entonces el valor de M = − , es: b sen(B) P) 0
Q) 1
R) 2
S) 3
T) 15° AC = b y AB
T) 4
UNIDAD Nº14
ECUACIONES TRIGONOMÉTRI TRIGONOMÉTRICAS.CAS.- LIMITES LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
119
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. Son igualdades condicionales de modo que la variable angular representada por “x” u otra letra o arcos de la forma “ax+b” se encuentran afectados de algún operador trigonométrico, es decir de algunas de las 6 funciones trigonométricas directas o inversa. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES Son ecuaciones de de la forma FT (ax+Q) (ax+Q) = N, donde N∈Ran (FT), a y b son constantes reales con a≠0 a≠0 y ax+b = arc F.T(N). SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Solución Principal (SP) Es el menor valor angular no negativo del ángulo dado que verifica la ecuación trigonométrica dada. Ejemplo: Cos x = 1/2 Sp = 60º 60º Solución Básica (SQ) Es el conjunto de valores angulares que satisfacen la ecuación trigonométrica dada y se encuentran en el intervalo [ 0 ; 2π ]
→
Ejemplo : Cos x = 0,5 Sb = { 60º ; 300º} Solución General (Sg) Es el conjunto de todos los valores angulares (Positivos, negativos o cero) que satisfacen la ecuación trigonométrica dada. TIPOS DE SOLUCIONES GENERALES Senx = N , con N ∈ [ − 1 ;1 ] k
→
S = k π + ( −1) . S g
Cosecx = N, con N ∈ ℝ
→
p
k
g
p
, ∀k ∈ℤ
S = 2k π ± S g
p
Secx = N, con N ∈ ℝ
→
S = 2k π ± S g
p
, ∀k ∈ℤ
, ∀k ∈ℤ
Teorema Sean f, g y h tres funciones de variable real y el punto “p” Si g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ∧ lim g( x ) = lim h( x) = L entonces lim f ( x) = L LÍMI x→p x→p x→p TES UNILATERA UNILATERALES LES Definición. Definición. Sea f una función definida en todo punto de algún intervalo abierto I = q;p . Si el límite de f(x) cuando “x” se aproxima a “p” por la izquierda es “L” entonces se denota por: lim f ( x ) y se define como:
−
lim f ( x ) + x→p
g
Teorema: p
, ∀k ∈ℤ , ∀k ∈ℤ
g p MÉTODO PARA HALLAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL. ELEMENTAL. Para usar este método se realizan los siguientes pasos: Se determina la Sp de la ecuación trigonométrica elemental. Se iguala el ángulo o arco a una de las expresiones generales, según sea el caso, luego se despeja la variable “x” obteniéndose la solución general de la ecuación trigonométrica elemental. SISTEMA DE ECUACIONES ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS Un sistema de ecuaciones trigonométricas es un conjunto de ecuaciones de las cuales al menos una es trigonométrica donde intervienen dos o más incógnitas. Observaciones. .Para resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas deben
haber tantas ecuaciones como incógnitas tenga el sistema. .No existe un método a seguir para la RESOLUCIÓN de un
sistema de de ecuación ecuación trigonométrica, trigonométrica, por tanto es aconsejable aconsejable aplicar ciertos conceptos algebraicos trigonométricos que nos permitan llegar a determinar alguna relación simple entre las incógnitas o el conjunto SOLUCIÓN de ellas. 120
x→p L = lim f ( x ) ↔ ∀ε > 0 , ∃ δ > 0 / 0 < x − p < δ → f ( x ) − L < ε x→ p
define como
− −1;1
S =kπ+S
2
lim f (x) = L y se define de la siguiente manera
denota por:
L = lim f ( x) ↔ ∀ε > 0,∃δ > 0 / 0 < x − p < δ → f ( x) − L < ε + x→p
Cotx = N, con N ∈ ℝ →
O
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS Sea f una función definida en todo punto de algún intervalo abierto I ⊂ ℝ que contenga a “p”, excepto posiblemente en el número “p” Si el límite de f(x) f(x) cuando “x” se aproxima aproxima a p es “L”, entonces entonces se
por la derecha es L entonces se denota por:
S =kπ+S
1
ucho cuidado al expresar el conjunto SOLUCIÓN de cada una de las incógnitas puesto que al remplazar a la vez en cualquiera de las ecuaciones deben satisfacer la igualdad.
nición. Sea f una función definida definida en todo punto de algún intervalo intervalo abierto I = q; p . Si el límite de f ( x ) cuando “x” se aproxima a “p”
, ∀k ∈ℤ
Tanx = N, con N ∈ ℝ →
O
.En un sistema de ecuaciones trigonométricas se debe tener
L = lim f ( x) ↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / 0 < x − p < δ → f ( x) − L < ε Defi − x→p
Cosx = N, con N ∈ [ − 1 ;1 ]
→
3
x→p
− −1;1
S = k π + ( −1) . S
O
lim f ( x ) = L ↔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = L − + x →p x →p
x →p
LÍMITES NOTABLES Nota: Nota: x representa una variable
sen x =1 x arcsen x c. lim =1 x x →0 a. lim x →0
e. lim cos x = 1 x →0 g. lim x →0
1 − cos x
2
=
1 2
1 − cos x =0 x
h. lim (arcsen x) = 0 x →0
i. lim (arc cos x ) = 2 x →0 k. lim (1 + x ) x →0 NOTAS:
=1
d. lim sen x = 0 x →0 f . lim x →0
π
1/ x
tg x
b. lim x →0 x
=e
x
e −1 =1 j j.. lim x →0 x
l. lim 1 + x → 0
x
1 = e x
y se
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 7. Si x ; en entonces la la suma de los valores de x , al resolv resolver er la ecuació ecuación n trigon trigonomé ométri trica: ca: 2 Cos2 (x) +2 Cos (x) = 1+ Cos(x) ; es : (P) 112o (Q) (Q) 115 115o (R) 195o (S) 180o o (T) 130
x arc senx = arc tg 2 1 − x x − y arc tg x − arc tg y = arc tg 1 + xy x + y arc tg x + arc tg y = arc tg 1 − xy
8. Si x ; en entonces la la suma de los valores de x , al resolver la ecuación trigonométrica: Tg(x) + Tg(2X) = Tg(3X); es : (P)
(Q)
(R)
(S)
(T)
9. Si Ctg(x/2) Ctg(x/2) + 4 Ctg(x/4) Ctg(x/4) = 2 Sec(x) Sec(x) ; entonces el valor valor de Cos(x) ; es: EJERCI EJERCICIO CIOS S PROPU PROPUEST ESTOS OS N° 14
(P) - 1/3
1. El valor principa principall de x en el desarrollo desarrollo de la ecuación ecuación trigonomét trigonométrica: rica: 3 Sen ( 2x ) - 3/2 = 0 ; es:
10. Si: x + y =
(Q)
(S)
(R)
(Q)
( R)
y
(Q) 2/3
(S)
(T)
3. Si x ; en e ntonces el e l va valor de x , en el desarrollo de la ecuación trigonométrica: Tg(x) + Sec (x) = (S) Cos (x) ; (Q) ( R) (T)
11. Si M = es : (P) 2/3
[ (Q) 2/ 2/5
(T)
Sen(x) (x) + Sen Sen(y) = 1 .
Entonces
) ; es es: (S)
( R)
(T) 3
= 1 ; en entonces el valor principal
+ Sen ( ) ] . Entonces el valor de de M ; (R)
(S)
12. Si Si L =
:(P)
(T) 3
. Entonces el valor de L ; es
(Q)
13. N = 4. Si
(S)
(T)
2. Si x ; en e ntonces la suma de los valores de x , en el desarrollo de la ecuación trigonométrica: 1 + tg 2 (x) = 2x ; es : (P)
(R) 2/3
el valor de : Tg Tg ( 2 (P) 3/5
(P)
(Q) - 7/9
(R)
(S)
(T)
. Entonces el valor de N ; es:
(P) 2/31
(Q) 21/52
(S) 25/32
(R (R)
(T) 3
al resolver esta ecuación; es: 14. Si (P)
(Q)
(R)
(T)
(S)
5. Si x ; en entonces la la suma de los valores de x , al resolver resolver la ecuación ecuación trigonomé trigonométrica trica:: 2 Sec (x/2) - Ctg (x/2) (x/2) = Tg (x/2) ; es :
(P)
(Q)
(R)
(T)
(S)
6. Si x ; en entonces los valores de x , al resolver la ecuación trigonométrica: 2 Sen (x). Cos (2x) - 2Cos (2x) (2x) = Sen (x) (x) - 1 ; es : (P)
;
(T)
;
(Q)
(R)
;
(S)
;
H =
. Entonces el valor
de H; es: (P) 2/3 (Q) 1/5
( R ) - 1/3
15. Si M =
16. Si A =
(R) -1/3
(T) 5/3
(S) - 5/3
. Entonces el valor de A ; (Q) 2/5
17. Si Q = = el valor de Q ; es : (P) 4/13 (Q) 5/2
(R) 1/3
(S) 1/2
(T) 5/3
. Entonces (R) 5/23
(S) 8/21
(T) 15/31
. Entonces el valor de K2 ;
18. Si K = es: (P) 7/13
(T) 3
. Entonces el valor
de M; es: (P) 4/5 (Q) 1/5
es : (P) 4/11
(S) - 5/3
(Q) 11/2
(R) 5/23
(S)
/6
(T) (T) 1/1 /122
121
19. Si H = H; es: (P)
. Entonces el valor de (Q) 0
20. Si L = (1/4) L ; es : (P) 12/13 (Q) 11/23
122
(R ( R) e
(S)
(T) 1/e
. Entonces el valor de (R) 13/12 (S)
/6
(T) 13/3
