(Bibliothèque Tangente HS 53) Collectif-Les angles sous tous les angles _ Deux mille ans de géométrie-POLE (2015)

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Tangente Hors-série n° 53

les angles sous tous les angles

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POLE

© Éditions POLE - Paris - Mars 2015 Toute représentation , traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tout procédé, sur quelque support que ce soit, en tout pays, faites sans autorisation préalable, est illicite et ex poserait le contrevenant à des poursuites judiciaires (loi du 11 mars l 957).

ISBN : 9782848841854

ISSN : 2263-4908

Commission paritaire : 1016K80883

Prochainentent dans la Bibliothèq ue Tangente

EDITIONS.

POLE

les angles Angles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide D'Euclide à Hilbert Les multiples personnalités de l'angle L'angle, un concept ambivalent Quelques inégalités angulaires Dans le triangle Les angles opposés par le sommet

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les angles en géométrie classique

Chacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés ou radians. Les outils qui permettent de les construire sont connus de tous : règle, compas, rapporteur ... Pourtant, la notion d'angle n'est pas si simple, à commencer par sa définition ! Le théorème de l'angle inscrit Les rotations et symétries, des transformations qui tournent bien Tous les triangles sont-ils équilatéraux ? Le billard, une affaire à rebondissements Sous l'angle des symétries Angles et lunules quarrables L'exponentielle complexe Courbes orthoptiques et friandises géométriques Les transformations conformes

DOSSIER

la tri onométrle

La trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle est pourtant d ' une importance capitale pour se repérer, tant en mer que dans l'espace. L'approche géométrique des nombres complexes lui a donné ses lettres de noblesse. Du théorème de Pythagore à une formule de trigonométrie Le théorème des sinus Angles, fonctions hyperboliques et génie électrique Angles, produit scalaire et orthogonalité L'astronomie, grande consommatrice de trigonométrie

(suite du sommaire au verso)

Hors-série n° 53. Le

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mesurer les an les

Le plus simple pour mesurer un angle est de prendre son rapporteur. Très bien, mais comment mesurer des angles sur le terrain, entre des éléments de paysage ? Ou en mécanique de précision ? Ces questions nécessitent de revenir au sens physique de l'angle. D'où nous viennent les degrés La mesure des angles L'arc de sinus, d 'al-Khawarizmi à Apian Le dos de l'astrolabe, alidade et carré des ombres L'astrolabe planisphérique Faisons le point... Des angles dans tous nos outils Des phases qui nous font tourner la tête !

.l.•..X ..•.1:..}.:1..11111.4._;..l._____~L~a~g~é~o~métrie dans l'espace Dans l'espace, la notion d 'angle solide s'inspire de celle d'angle du plan. A la différence près que si les rotations du plan sont aisées à comprendre, leurs homologues en trois dimensions ne se laissent pas appréhender de la même manière ... L'angle solide Les systèmes élémentaires de coordonnées Des géométries sous un nouvel angle Les coordonnées géographiques Toutes latitudes Les rotations, si simples avec les quaternions ! Quand les atomes s 'organisent Une notion d'angle même dans des espaces très abstraits

En bref

Le dictionnaire des angles

Note de lecture Références Problèmes Solutions

Tangente Hors-série n• 53. Les angles

EN BREF

par B. Hauchecorne et H. Lehning

le Petit Rilpporteur

/dus ab angulo

Rapporteur : outil de mesure d'angles connu

pour son côté délateur ...

Nous dédions notre définiti on à la mémoire de Pierre Desproges ( 1939- 1988), qui aurait pu en être l' auteur, et dont le nom reste attaché au Petit Rapporteur, une émi ssion culte des années 1970 . Cette émi ss ion traita it de l'actualité sous l' angle pervers du petit bout de la lorgnette. Malgré ce po int , son rapport avec les angles et les mathématiques peut sembler anecdotique.

«

La devise du Petit Rapporteur fait référence à celle du Figaro : Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

Cependant, l' humour du Petit Rapporteur évoque bien celui des mathé matic iens, qui frôle toujo urs l'absurde. On s'en convaincra au tra vers de que lques pi èces d 'anth o log ie access ibl es s ur Inte rn e t , e n pa rti c uli e r de la fa me use inte rv iew de Françoise Sagan par Desproges et de la bataille de boudin bl anc entre Desproges et Danie l Prévost , sans parle r de la visite à Montcuq du même Prévost. ..

Les Romain utilisèrent angulus, mot signifiant coin pour traduire le grec gonia de même sen mai utilisé en mathématique pour désigner un angle. Le Vatican a récemment repris ce en premier en dénommant ictus ab angulo le coup provenant du coin , oit le coup de pied de coin en football , plus connu sous son nom anglais de corner. Ce mot angulus se rattache à une racine indoeuropéenne « ang », qui signifie serré, étroit. On la retrouve dan les mots « angine » et« angoi se», faisant allusion à la sen ation de gorge serrée. Devenu « angle » en français médiéval, il conserve son ens latin de coin et l'on pouvait parler par exemple d'un « angle de mer » ; l'expression « à l' angle de la rue » en e tune survivance. Au XIII 0 siècle, Johannes Campanus de Novare (il écrivait bien sûr en latin) s'intéresse à l'angle d ' une courbe avec sa tangente, preuve d'un sens plus général que de nos jours. Il remarque d'ailleurs que celui-ci est toujours inférieur à l'angle de deux droites écantes. « Angle », en français , ne retrouve on sen mathématique qu'à l'époque de Descartes alors que renaît l' intérêt pour la géométrie. Le nom « triangle » est repris sur le latin triangulus, lui-même traduction du grec trigonos. « Rectangle » est calqué sur le latin médiéval rectangulus ; c 'est d ' abord un adjectif, qualifiant toute figure ayant un angle droit. Au XVIIe siècle, le parallélogramme rectangle devient un rectangle mais l ' adjectif se conserve dans l'expression « triangle rectangle ».

Hors-série n• 53. Les angles Tangente

HISTOIRES

par J. Bair et V. Henry

Hngles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide On a tous une idée de ce qu'est un angle formé par deux demidroites. On connaît moins les angles mixtilignes, en particulier les angles corniculaires ou les angles de demicercle. Et pourtant, ces concepts datent del'Antiquité : ils sont par exemple présents chez Euclide.

Eudide Les Éléments

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e concept d 'angle est sans aucun doute fond a me nta l e n géo métrie, ma is il est des plus com pl exes. D 'a ill e urs, il est a bse nt des pre miers écrits mathé matiques connus, à savoir des textes mésopotamie ns et égyptie ns datant des de uxiè me et troi siè me millé na ires ava nt notre è re. E n fa it , il est apparu sous l' impuls ion de g rands mathématic ie ns et philosophes de l ' Antiquité grecque, spéc ia le me nt , comme c'est souvent le cas e n géométrie de base, da ns les Éléments d 'Euclid e (v oit l 'e n ca dré). C e li v res rasse mbl e nt toutes les conn a issa nces géomé triques et numé riques connues à l'époque de le ur rédacti o n ; il s présentent les bases de la géométrie de maniè re déducti ve, e n partant de définition s e t d 'ax iomes. C e m o dè le a e ns uite é té ado pté par to us les mathé matic ie ns et sera à la base de l'ense igne me nt mathématique pe ndant plus de vingt s iècles.

Tangente Hors-série n°53. Les angles

les angles mlxtlllgnes Examinons comme nt Euclide pré e nte la no tion d 'ang le, e n nous restre ignant au cas du plan , pui s à ce qu ' il expose à propos d ' angles quali fiés de mi xtilignes. Co mme les Éléments o nt fa it l'objet de multiples traduc tions (en arabe, latin , a ng la is, fr an çais ... ), avec éventue llement l'ajout de Commentaires donnés par des hi storie ns, do nt Proclus, il fa ut préc iser de que lle version on parle . IJ s'agira ic i des Éléments d 'Euclide, volume 1, Int ro d uc tion générale p a r M a uri ce Caveing, Li vres 1- IV : Géométrie plane (traduc tion et comme nta ires par Be rna rd Vitrac , Presses uni vers ita ires de France, 1990). Attardo ns-nous e n pre mie r lie u sur le tout début de la géométrie plane. Panant de rie n , E uc lide comme nce, dans son Livre 1, par définir plusieurs concepts fondam e ntaux. Voic i, dans leur version ori gina le (y compri s e n ce qui concerne la numérotation), les premières définitions:

...,. ...

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AIGAIEA ~

Euclide et ses lléments, Proclus et son Commentaire

1. Un point est ce do nt il n'y a aucune partie. 2 . Une ligne est une longueur sans largeur. 3. Les limites d'une ligne sont des points. Euclide paraît peut-être assez « vague » au niveau de ces premières défi nitio ns, ma i o n peut suppose r q u 'i l vo ul a it prendre ce point de départ avec un minimum de connaissances, et notamment en ne se référant pas expli citement à des objets issus du mo nde sensibl e . Pour lu i, une ligne dé igne une droi te ou une courbe , ou bien encore une portion de ce ll es-c i . Ma is il co nsidè re da ns son œuvre princ ipa le me nt de ux ty pes de lignes, à savo ir la ligne droite et la c irconférence ; en effet, il se préoccupera surtout de problèmes qui peuvent être résoIus , comme on le di t aujourd ' hu i, « à la règ le et au compa ». Voici comment il défi nit ces notions : 14. Une ligne droite est celle qu i est placée de manjère égale par rapport aux po ints qui sont sur e lle . 15 . Un cercle est une figure plane contenue par une ligne unique [appe lée circonférence] par rapport à laquelle toutes les droites menées à sa rencontre à partir d' un unique point parmi ceux qui so nt pl acés à l' inté rieur de la figure , sont uusqu' à la circonférence du cercle] égales entre elles.

Il est rapide de réaliser une biographie d'Euclide ... car on ne connaît presque rien sur ce mathématicien de la Grèce antique, si ce n'est peut-être qu'il se situe aux alentours de 300 avant notre ère. Certains historiens émettent même l'hypothèse que ses écrits n'auraient peut-être pas été rédigés par un seul auteur mais par un collectif (un peu comme les ouvrages contemporains dus à Bourbaki). Toujours est-il que l'œuvre majeure qui lui est attribuée s'intitule les Éléments et se compose de treize livres : les quatre premiers sont consacrés à la géométrie plane, les six suivants aux proportions, et les trois derniers à la géométrie dans l'espace. Ces écrits ont influencé de façon décisive les mathématiques, notamment grâce à leur présentation axiomatico-déductive. Par exemple, le premier livre se compose essentiellement de vingt-trois définitions, de cinq demandes qui sont en fait les cinq postulats bien connus de la géométrie, de neuf notions communes, c'est-à-dire des axiomes, et de quarante-huit propositions. Ce livre I des Éléments a été commenté par divers auteurs. Le commentaire le plus connu et aussi peut-être le plus riche, notamment en informations historiques, est dû au philosophe grec Proclus. Ce dernier est né à Constantinople aux environs de 412 et mort à Athènes vers 485. Son Commentaire est abondamment exploité dans la traduction française à laquelle l'article se réfère.

16 . Et le point est appelé centre du cercle. 17 . Et un diamètre du cerc le est n' im po rte que ll e d ro ite me née par le centre, limitée de chaque côté par la c irco nfé re nce du cercle , laque lle coupe le cercle en deux parties. 18. Un demi-cercle est la fig ure contenue par le diamètre et la circonférence découpée par lui ; le centre du demicercle est le même que celui du cercle.


HISTOIRES

Angles corniculaires ...

la propriété d'Archimède Selon le principe archimédien, quels que soient les nombres réels strictement positifs a et b, on peut toujours trouver un entier n tel que na > b. Dans le contexte de l'article, toute division d'un angle rectiligne fournit un nouvel angle rectiligne et reste, de ce fait, « supérieure » à tout angle comiculaire. Ainsi, tout « nombre » associé à un angle corniculaire est strictement positif et inférieur à tout réel strictement positif: c'est un hyperrél infiniment petit.

Observons le souci de préci sion et du détail chez l'auteur, mais auss i la diffi culté de définir « rigoureusement » des concepts de manière abstraite, san faire référence à une stylisation d'objets réels. D 'a ill eurs, une li g ne droite est pour Euclide ce que l' on appe lle mainte nant un segment de droite (l' auteur con sidère par la suite la poss ibilité de prolonger celui-ci indéfiniment de part et d' autre), ain si que la di stinction entre cercle et circonférence (cette dernière étant ce que l' on appe lle de nos jours la« fronti ère» de celui-là). Entre les définition s 4 et 15 , les Éléments introduisent l' angle plan en général , pui s donnent que lques exemple de cas particuliers. 8. Un angle plan e t l'inclinaison , l' une sur l' autre, da ns un pl an , de de ux lignes qui se touchent l' une l'autre et ne sont pas pl acées en ligne droite . 9 . Et quand les lignes contenant l'angle sont droites, l'angle est appe lé rectiligne. 10. Et quand une droite, ayant été élevée ur une droite, fa it les angles adjacents égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appe lée perpendiculaire à celle sur laque lle e lle a été élevée . 11. Un angle obtus est celui qui est plu s


grand qu ' un droit. 12. Un angle aigu est celui qui est plus petit qu ' un droit. La définition principale, numérotée 8, ne précise pas ce qui est entendu exactement par le mot « inclinaison » ni par l' expression « se touchent l'une l' autre». De plus, e lle ne mentionne qu ' implic iteme nt la présence d ' un so mmet (sans d 'a ill e urs c ite r ce mot) ; e ll e exc lut encore l' idée d ' un angle plat. Les définitions sui vantes, de la 9 à la 12, se réfère nt à des angles do nt les li gnes, que no us appelo ns aujo urd ' hui des côtés, sont en ligne droite: de tels angles sont no mmés dès lor rectilignes (définiti on 9). Ce sont ces dernier qui sont essentiellement étudié dans la uite des Éléments (angles alternes-internes, angles d' un tri angle .. . ) et les eul s qui généralement sont mentionnés lors d'un enseigne ment de base en géométrie. To utefo is, la définition 8 donne la posibilité de con sidérer des angles dont l'un des deux côtés n'est pas en ligne droite mais est courbe, plu s préc isément est circulaire, conformément à la tradition euclidienne de pri vilégier le cercles. À deux reprises seulement , dans les Propos itions 16 et 3 1 du Li vre Ill des Éléments, Euclide fa it explicitement appel à des angles mixtilignes, c'est-à-dire à des angles dont un côté est rectiligne et l'autre est une circonférence ou une portion de circonfé rence . Voici la première mention par l'auteur d 'angles plans non rectiligne (Proposition 16 du Livre ill) : La droite menée à angles droits avec le diamètre du cercle à part ir d ' une extrémité tombera à l'ex térieur du cercle, et dans le lieu compris entre la droite et la circonfé rence, une autre droite ne sera pas inte rca lée ; e n o utre, d ' une part l'angle du de mi -cercle est plu s grand que tout angle rectiligne aigu, et d'autre part l'angle re tant est plus petit que tout angle rectiligne aigu.

La preuve est donnée dans les Éléments, de faço n assez détaiJlée et essentiellement par l'absurde (voir en page 11 ). Ma is ! 'é no ncé lui - mê m e s uggè re troi s remarques. • D' une faço n contempora ine, on pe ut constater que le début de la proposition tra ite de la tangente au cercle en un po int : la première partie établit son ex istence, et la deuxième montre son unic ité. Toutefois, Euclide ne nomme pas cette tangente, ni dans l'énoncé ni da ns la dé monstration , bien qu ' il ait antérieurement introduit cette notion dans la Dé finiti on 2 du Li vre III (à savoir : Une droite qui, rencontrant un cercle et prolongée, ne le coupe pas, est dite tangente au cercle). Dans son tex te, l'auteur se borne à signale r qu ' il est poss ibl e de la construire : il fa it e n effet sui vre sa preuve d ' un porisme, c'est-à-dire un énoncé qui pro uve la possibilité de trou ver une certai ne chose possédant une certaine propriété, mais sans la construire. • La fi n de l'énoncé concerne deux types d'ang les mi xtili gnes. On tro uve to ut d 'abord le cas d ' un angle dont le côté rectiligne est un di amètre de cerc le et le côté ci rculaire est la demi -c irconfé rence déterminée par ce diamètre ; cet angle est dit de dem i-cercle. Puis, Euc lide co nsi dè re ce qu ' il qu a li fie d'angle restant , c'est-à-dire le complémentaire correspondant à un angle de demi -cerc le. Il s'ag it do nc d ' un angle mixtiligne dont le côté rectiligne est tangent à la circonférence qui fo rme le côté courbe ; ce nouvel ang le est appelé corniculaire, parce qu ' il a un peu la fo rme d ' une corne (on parle auss i d'angle de contingence ; les Ang loSaxo ns parle nt de horn angle) . Ces angles mi xtili gnes sont illustrés sur la fig ure c i-contre. • La seconde moitié de l'énoncé permet en réalité de comparer les angles rec-

tilignes (aigus) aux angles mi xtilignes introduits : un ang le de de mi -cerc le est supéri eur à tout angle rectilig ne aigu, tandis que, par complémentation , un angle cornicul a ire est in fé rieur à n' importe que l angle rectiligne aig u (non nul). Les angles corni cul a ires et de de mi cerc le ont été au centre de polémique depui s I' Antiquité, car il s peuvent générer des paradoxes dans certaine situations abordées de faço n u uelle. De la sorte, ils ont été prog ressivement abandonnés dès le Moyen Âge, ava nt d 'être remi s à l' honneur avec l'avènement de l'analyse non standard à la fin du sièc le dernier. Ainsi, ils peuvent être explo ités pour introduire l' ensemble des nombres hyperréels, qui constitue une extension de l'ensemble des réels.

Des polémiques aux hyperréels Proclus rejette l' idée selon laquelJe un angle est une« qualité», parce qu ' il peut être bissecté. li ne perçoit pas no n plus un angle comme une« quantité» parce que, par exemple, aucun angle rectiligne ne di vise un angle corniculaire. Enfin , il ne conço it pas non plus un angle comme étant une« re lation », car une inclinaion entre deux droites produit plusieurs ang les (ce qui est incompatibl e avec l' idée de re lation). Un exemple de chacun des cinq types d 'angles qu'Euclide a introduits, jusqu'à ce passage du Livre III : trois types d 'angles rectilignes (droit d, aigu a ou obtus o) et deux types de mixtilignes (de demi-cercle~ ou corniculaire y) .

Hors-série n • 53. Les angles Tangente

HISTOIRES

Angles corniculaires ...

la courbure d'une courbe Soient C une courbe régulière (ou« lisse») du plan et Mo un point de C. La courbure de C en M0 est la limite du rapport M / ru lor que M tend vers M0 en restant sur C, où M est le plus petit des angles ~les tangentes à C en M et M0 , et ru la longueur de l'arc M 0 M. La courbure d'une courbe caractérise en quelque sorte sa « déviation par rapport à la tangente». La courbure d'une droite est nulle en tout point, celle d'un cercle de rayon R vaut 1 /R en tout point.

ric k va n de r Blij (né e n 1923) et son é lève Abraha m Ge rrit van Ash (né en 1947), on peut affinne r que des nombres hyperréels (qui inclue nt des infiniment pe tits) pe nnette nt de mesurer des angles plans dont au moins un côté est courbe. Voyons succ incte me nt comme nt. Trava illo ns dans le pl an et cons idérons des angles dont les côtés sont de courbes o u des droites. On peut alors dé finir un angle orienté comme un couple (<1> 1, <1> 2) de deux courbes issues d'un mê me po int S appelé le sommet de l'angle.

Nicole Oresme (vers 1320, 1382).

C e tte qu es tion s ur la na ture mê me d ' un angle de me ure une source de polé miques au cours du Moye n Âge ... et bie n après. Ain s i, Ni col e Ores me pe n e qu ' un ang le est un « genre », une sorte d 'acc ide nt. Au XVII° siècle, John Wallis avance l' idée qu ' un angle de contact (c'est-àdire l' an g le e ntre une courbe lisse e t sa tan gente en un point) ne pe ut être mesuré et constitue e n fa it une sorte de « comme nceme nt » d'un ang le (rectilig ne), un pe u de la mê me manière que les points n 'ont pas de long ue ur ma is sont à la base d ' un segme nt mesurable. Malgré de telles prises de position, Euclide m aîtri se à son é poque la théo rie des angles rectilignes, à tel point que le savoir qui est e ncore e nseig né de nos jours sur la question fi g ure dans les Élém ents. Au Moyen Âge, le connais a nces sur les ang les no n rectilig nes reste nt fragiles : toute te ntative de qu a ntifica tion des ang les se he urte au caractè re non archimédien d ' une mesure (voir e n e ncadré). Il faut atte ndre l'avène me nt de l' analyse non standard pour connaître une ava ncée maje ure sur ce suje t. En effet , e n exploitant des travaux récents menés par les mathé maticie ns néerl andais Frede-

Ta.n9ente Hors-série n°53. Les angles

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De ux angles orientés ( I, <1>2) et I' f 2) sont qualifiés de congruents (c'est-à-dire considérés comme égaux, intuitivement) lorsqu ' il ex iste une isométrie du plan qui fait correspondre le sommet du premier au sommet du second et qui transforme <1> 1 et <1> 2 localement (dans un voisinage du somme t) e n f 1 et f 2 respecti vement . On se restre int ici aux angles rectilignes et aux angles cornic ul aires. Ainsi. nos a ng les ori e ntés se ront d e la fo rm e ( , f) où dés igne une de mi-droite, tandi s que r représente soit une de midro ite, soit un de mi-cerc le . En se pl aça nt d a n s un re pè re o rtho go na l convenable me nt cho isi, o n peut supposer que l'orig ine O du re père est le sommet de l' ang le ( , f ) con sidé ré, que est le de mi -axe hori zontal { (x, y) E IR 2 , y = 0 et x ~ 0 }, ta ndi que est défini anal ytique ment par {(x, y) E IR 2, x ~ 0 et x2 + (y - R)2 = R 2 } dans le cas d ' un ang le cornic ulaire dé fini par un cercle de rayo n R , et par {(x , y) E IR 2 ,x ~ 0 et y = mx avec m ~ O} da ns le cas d ' un ang le rectili gne (a igu lo rsque m > 0 ou nul lorsque m =0).

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Angle entre un cercle et une droite L'ensemble composé de tels angles orientés peut être muni d ' une relation d 'ordre (notée traditionnelle me nt< ). On écrira (

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Alors y< y ' s i, e t seule me nt s i, R > R '. Ou , de faço n équi vale nte, y < y' s i, et seule me nt si, 1 / R < 1 / R '. En d 'autres termes, l'angle cornicul aire y est « inférieur » à y' lo rsque la courbure de r est inférieure à celle de f '. Par aille urs, to ut angle comic ul aire y = (
0) . Confonné ment à l' intuition , si l'on associe à l'ang le rectili g ne nu l le nombre réel 0, et à un angle rectiligne aigu (no n nul ) le réel stricte me nt pos itif µ égal à sa mesure en radians, alors il paraît natu-

Considérons un demi-cercle f de centre P et tangent au point M à une demi-droite Cl>. Raisonnons par l' absurde et supposons l'existence d' une demi-droite Cl> ' passant par Met strictement compr ise entre f et Cl>. Depuis P, abaissons la droite perpendiculaire à Cl> '. Elle rencontre Cl>' en un point Q' et le demi-cercle f en un point Q. En vertu de notre hypothèse, PQ < PQ' . Or, PQ = PM puisque Pest le centre du cercle. Dès lors, -PM< PQ', ce qu i es t impossible puisque la droite (PQ') est, au contraire de la droite (PM), perpendiculaire à Cl>'. Il n'existe donc pas de telle demi-droite.

re l d'associer à to ut angle cornic ulaire (

J. B.&V. H. Références • l 'analyse 110 11 standard. théorie des ordres de grandeur. André Deledicq, lïnfini , Bibliothèque Tangente 13. 2006. • Math ématique. de /' esthétique à /'éthique. Dossier « Éclect ique Jacques Bair », Bibliothèque Tan gente 5 1. 20 14 .

• le principe de transfert en analyse infinitésimale. Jacques Bair el Va lérie Henry, Tangente SVP 70- 7 1. 20 13.

Hors-série n° 53. Les angles TC:Lngente

par Élisabeth Busser

D'Euclide à Hilbert De la notion plutôt floue d'inclinaison de deux lignes, l'angle, d'Euclide à Hilbert, est passé d'objet géométrique à élément d'une axiomatique. Ce long cheminement atteste que l'angle est loin d'être un concept géométrique aussi accessible qu'il en a l'air. i, pour Euclide , un angle n'était pas claire me nt une « figure », puisque pour lui ce mot dé ignait « ce qui est compris par une ou plusieurs limites », Je statut de l'angle,cette figure non close, a évolué avec les mathématiques.

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Aristarq ue de Samos (-310 , -230).

une affaire d'astron mes et d'arpenteurs

La « géométrie de figures » pratiquée par Euclide établis ait ses démonstrations sur des objets géométriques idéalisés, laissant aux arpenteurs et aux astronomes le soin de s'occuper de la « vraie » nature de l'angle et de tous les problèmes de mesure. C'est par exemple à Aristarque de Samos que l'on doit Hipparque de Nicée d'ingénieux calculs de la mesure de (vers -190, vers -120). l'angle sous lequel, de la Terre.on voit la Lune,ou à Hipparque de Nicée que l' on attribue l' invention de la trigonométrie. Il nous a laissé, transmises jusqu 'à nous par Claude Ptolémée (vers 90, 168), autre astronome célèbre, dans son Almageste publié vers l'année 150, les premières tables trigonométriques. Ce sont en réal ité des « tables de cordes »,

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Ta.ngente Hors-série n°53. Les angles

qui associaient à chaq ue valeur de l'angle au centre la longueur de la corde correspondante, le cercle étant divisé en trois cent soixante parties égales . Transposées aujourd ' hui , ces tables nous donnent le diamètre du cercle multiplié par le sinus de l'angle moitié, et sont en quelque sorte nos premières tables de sinus. Plus tard , les mathématiciens indiens comme Aryabhata (476-550), à qui l'on doit des table de calculs des constantes astronomiques et de inus, ou Brahmagupta (598-668), par ailleurs astronome, ont été le premiers à avoir utili é l'algèbre pour résoudre des problème astronomiques. Les mathématiciens arabes du Moyen Âge comme al-Kashi (vers 1380, 1429) ont accéléré le développement de la trigonométrie, es entiellement dans l'objectif de son utilisation en astronomie. C'est encore plus tard que la notion d'angle, en ortant de son utilisation pratique, est devenue un peu plus théorique . Suite à de nombreuse critiques formulées sur la conception de l' angle des astronomes , difficile à inscrire dans des démonstrations, ce sont Antoine Arnauld et Pierre Nicole,

des amis de Blaise Pascal (1623-1662), qui ont les premiers revu et corrigé la définition de l'angle . Ils inscrivent , dan leur traité de 1674 la Logique ou l'art de penser, l'angle dans une configuration « angle-cercle », définjs ant « l'angle rectiligne » comme « une surface comprise entre deux lignes droites qui se joignent en un point du côté où elles s'approchent le plus, indéfinie et indéterminée selon l'une de ses dimensions,[. . .} déterminée selon l'autre par la partie proportionne/le d'une circonf érence dont le centre est au point où ces lignes se joignent » . Le résultat fondan1ental , pour Arnauld , est que les arcs de toutes les circonférences centrées au sommet de l'angle , ayant tous la même proportion à leur circonférence, déterminent tous le même angle. Antoine Arnauld défi nit ainsi quatre façons de mesurer un angle : par l'arc, par la corde, par le sinus, ou par la « ba e », celle d ' un triangle isocèle ayant pour sommet celui de l'angle. Avec Pierre Nicole , ils essayent ainsi de clarifier les choses pour éclairer le lecteur plus que pour le convaincre ou l'éblouir. On retrouve davantage encore cette volonté d 'éclairer dans les Éléments de géométrie d ' Alexi s Clairaut (en 1765 , année de sa mort) , où les concepts sont introduits au fur et à mesure de leur nécessité. Celle de la définition de l'angle e fera sentir à propos de la me ure de distance inacce sibles, lor qu ' il « se trouvera quelque obstacle, une élévation par exemple, un bois, un étang , etc., qui empêche qu 'on ne mène les lignes dont on aura besoin ». On pourra alors recourir à des « triangles égaux ou semblables », où la ressource est de « faire pencher » les segments tous de la même manière sur les droites, défi nissant alors naturellement l'égalité de deux angles à l'aide

Alexis Claude Clairaut (1713-1765)

peint par Clarmontelle.

d' un transport de distances. Cette technique étant toutefois soumise aux aléas du tran port, Clairaut dira alors simplement que « un angle a pour mesure l'arc de cercle qu 'interceptent ses côtés». Son ouvrage constitue une tentative pour conceptualiser la géométrie et la remettre en ordre de marche , c' està-dire apte à construire des démonstrations. rI affirmera en effet considérer que la mesure des terrains ne lui sert que « d'occasion pour faire découvrir les principales vérités géométriques », mais on reste néanmoins pour ce qui est des angles dans une géométrie de la mesure et de la figure. 11 faudra attendre Hilbert pour passer à l'étape suivante, celle de la théori ation.

Hllben ou l'angle axiomatisé Chez Euclide déjà intervenait abondamment la notion d 'égalité - on dira par la suite congruence - entre deux figures, dites égales si un simple déplacement peut permettre de passer de l'une à l'autre . Majs, nous dira David Hilbert (1862- 1943) dans ses Grundlagen der Geometrie (Fondements de la géométrie), on uti lise pour ce « transport » une règle rigide, qui ne l'est vraiment que si

Hors-série n°53. Les angles Tcingent:e

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D'Euclide à Hilbert

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Les angles chez Hilbert.

les di stances entre ses repères ne varie nt pas au cours du dépl acement , mai comment le vérifier si ce n'est à l'aide d ' un autre corps rigide que l'on déplace aussi ? Il est donc nécessaire d 'après lui d ' introduire e n que lque orte un nouveau règlement. Le mathématic ien allemand va al o rs proposer de nouveaux ax iomes, qui traduiront exactement les propriétés implicites des fi gures congruentes. Tout va mieux en le disant ! Ainsi, pour définir l'angle, Hilbert commence par définir la congruence de deux segments : là où Euclide disait « les grandeurs

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T4n9ente Hors-série n°53. Les angles

qui sont égales à une même grandeur sont égales entre elles » , Hilbert parlera de la tra nsitivité de la congruence : ce sera son de uxième ax iome. Le premier, celui du report poss ible des longueurs, et le troisième, celui de l' additi vité des segments, complèteront la panoplie qui lui permettra de donner sa définiti on de l' angle comme « ensemble de deux demi-droites différentes, issues d' un point O et appartenant à des droites différentes » , introdui sant même la notation L (h , k) ou L (k, h). Vont alors de soi les définitions de l' intérieur et de l'extérieur d ' un angle pui squ ' un segment peut ou non être à l' intérieur d ' un angle, toutes notions topologiques que l' on ne trouve nullement chez ses prédécesseurs. Il énonce ensuite , en re li ant congruence des segments et congruence d 'angles, les cas d'égalité (on ne parle pas encore de « cas d ' isométrie ») des triang les, autrefo is théorè mes chez Euc lide, ax iomes chez Hilbert aujourd ' hui . Sui vra la définiti on des angles supplémentaires - aya nt même o mmet, un côté commun et les côtés di stinct portés par une même droite - et, du coup , celle de l' angle droit , « un angle congruent à l 'un de ses suppléments ». Hilbert en déduira l' ex istence même de l'angle droit et le fait que tous les angles droits soient congruents entre eux, ce qu 'Euc lide, lui , prenait pour ax iome, le tout dans un ouvrage d' où les dess ins sont presque absents. Une nouvelle ère vient de s'ouvrir pour la géométrie : Hilbert a vrai ment fo ndé une sc ience, celle qui permet de déduire en toute logique, à partir d'ax iomes et non de dess ins ou d 'év idences , toute re lations entre les objets de cette sc ience.

É.B.

par Alain Zalmanski

EN BREF

le dictionnaire des angles 1

Sous tous les angles Le substantif « angle », is u du latin angulus, qui à l'ori gine signifie « coin », est sans doute apparenté au grec ankulos, « recourbé », ou ankon, « coude », et se rattache ainsi aux dérivés de ank, qui exprime l'idée de courbure, comme dans ancre, angora , ou ankylose. En français , le mot est d ' abord concret, dés ignant un co in de rue ou de construction . Il dev ient abstra it ve rs 1370 avec des valeurs extensives (espace étroit , recoin) et donne lieu, au fil des siècles, à un grand nombre de syntag mes s'étendant de la géométrie (angle droit en 1377, angle acut chez Rabelais) à la plupart des vocabulaires techniques ou liés à la construction . Le cinéma et la photographie ont vu les derniers enrichi sements, avec grand-angle et angle de champ ( 1948). Le mot est entré dans le langage courant au milieu du siècle dernier, dans des expressions courantes comme voir sous un certain angle, sous l'angle de (au point de vue de), adoucir ou arrondir les angles (rendre les choses plus faciles). La pierre d'angle ou pierre angulaire est éga lement une expression courante : au sens propre , il s'ag it de la pierre de base d'une construction qui lui ass ure un soutènement. Par métaphore , e lle désigne une personne essentielle dans le fondement d ' une doctrine , et peut même être étendue à des entités ou personnes jouant un rôle incontournable. Par exemple: Tangente est la pie rre d ' angle de l'édition de vulgari sation mathé matique francophone.

Ils sont partout ! Saviez-vous qu'un peuple germanique issu du Schleswig , le Angles , aux traits an doute marqués, est à l' origine du nom « Angleterre » ? Pour continuer dans le champ de la géographie, Angles désigne une commune de 2 500 habitants (appelé les Anglais) en Vendée. On trouve une commune dénommée Les Angles (peuplée de 8 300 habitants également appelés le Anglais) dans le Gard . Dans la Vienne, on trouve la commune de Angles-suri ' Anglin (moin de 400 habitants, eux au si appelés le Angloi ). Notez que l' Anglin est une rivière. De même, Angle est le nom d ' une rivière des Alpe -de-Haute-Provence. Enfin, une autre commune portant le nom Les Angle se trouve dans les PyrénéesOrientales. Ses 555 habitants sont appelés Angle in , Angloi ou parloi Angle encs. Ces quatre commune françai e tirent évidemment leur nom de la forme en coin pointu qu'elles avaient à l' origine.

Hors-série n°53. Les angles

la

SAVOIRS

par Gilles Cohen

Les multiples personnalités

de l'angle La notion d'angle dans le plan euclidien a été, tout au long de l'histoire des mathématiques, l'une des plus difficiles à définir rigoureusement. Une des raisons, et non la moindre, est que plusieurs personnalités se cachent derrière le m ême nom. uand nous étion s sur les bancs de l'école, nous avo ns tou s commencé à entendre parler d les à propos d ' un triang le . La défi nition était souvent impréc ise, mais était associée à une notation toujours très utilisée, de la forme ABC ou même simplement B. Mai s cette notation sous-entend à e lle seule un choix dans les multiples défi nitions que l'on peut faire d ' un angle. Pour preuve, les réponses que vous apporterez aux questions suivantes, après avoir exami né la fi gure en regard.

Q

c Tangente Hors-série n°53. Les angles

Questions pour un champion (de l'angle) Question 1 : Que dites-vous des ang les ABC et A13C' ? Qu'il s sont égaux ? qu ' il s ont même mesure ? autre chose ? Question 2: L'ang le ABC est-il égal à l'angle éBÀ ? Question 3 : L'ang le des droites (D) et (~) e t-il éga l à l' angle ABC ? Estil représenté en jaune ? en orange ? autrement? Chacune des répon es que vous ferez induit une signifi cation profonde quant à la nature de ce qu 'on appelle « angle » . Et si on ne s'est pas posé la question , on va culti ver une ambi guïté qui peut prêter à conséquence dès lors que l' interlocuteur n'est pas sur la même longueur d 'ondes. La première question peut s'exprimer autrement : faites-vous une différence e ntre un angle et sa mesure ? Et d 'abord , à quel ensemble sa mesure appartient-elle ? Soyons clair : la question n'est pa

de avoir si on utilise comme unité le degré, le grade ou le radi an (voir dans le troisième do sier). Mais plutôt de dire si la mesure varie dans l'ensemble IR des réels, dans un intervalle comme [-1t; +1t [, ou si la mesure de l'angle est une « classe d'équi valence » de tous les nombre qui ont même reste dans une certaine division (par 1t ou 21t, par exemple, i on prend le radian pour unité). Mais une fo is ce choix fa it, reste la question de l' identification d' un angle et de sa mesure. Cette identi fication n'a pas beaucoup de sens si la mesure est prise dans IR (encore que ce oit acceptable i le valeur décrivent un intervalle convenable ment choisi). On verra qu 'elle dev ient très pertinente si on lu i donne pour valeurs des cl asses d'équ ivalence, en particulier quand on travaille sur des angles orientés (voir plus loin). Dè lor que l'on écrit que deux angles qui ne coïncident pas « géométriquement » ont « égaux », on a pris l'option d ' identi fie r un angle et sa mesure. L'es entiel est de s'en rendre compte . ..

Hngles de droites ou de uecteurs, orientés ou pas La deuxième question porte sur le fait d' orienter ou non un angle. Dans les problèmes liés aux triangles, I'orientation (ou non) des angles ne prête en général pas à conséquence ur les rés ultats à établir. On constate simplement que la rotation qui permet de passer d' un côté à l'autre n'a pas le mê me sen , ce qui , pour la mesure, implique un angle de valeur « opposée». Ne pas orienter les angles correspond donc à en prendre la valeur absolue, ce qui limite le va leurs à un interval le d 'amplitude 180° (ou 1t radi ans).

Les choses sont différentes lorsque l'on travaille sur des droites. Ainsi, pa ser de la droite (0 ) de la fi gure à la droite (L'i) nécess ite une rotation de l'angle jaune, tandis que passer de (L'i) à (0 ) correspond à l' angle « complémentaire » représenté en orange. On rejoint ici la problématique de la troisième question . Les angles de droite n'ont vraiment de sens que s' il s ont orientés. La direction d ' une droite étant invariante dans une rotation de 180°, la mesure d ' un angle de droites pourra être représentée dans un intervalle de 180° (ou 1t radians). On note d 'ailleur parfois l' angle des deux droites sous la forme (0 , L'i) opposé, bien sûr, à 180 degrés près, à l'angle (L'i, 0 ). Cette notation permet de mettre en valeur une relation sur les angles qui n'est pas sans rappeler la relation de Chasles sur les vecteurs : (0 , D') + (D', D") = (0 , D"). Justement, dans le cas de la prise en compte de l'orientation des angles dans un tri angle, on est dans un autre registre, celui de l' angle de vecteurs. En effet, parler de l'angle orienté ABC correspond à étudier l' angle que fo nt le vecteurs BA et OC. On note d ' ailleurs souvent un tel angle orienté de vecteurs sous la forme (BA, OC). Cette fo is, la mesure des angles est défini e à 360° près, ce qui amène à identi fie r l' angle de vecteurs à un nombre « modulo 360° » (en degrés) ou « modulo 2Jt » (en radians). Cette identification permet de disposer d ' une structure algébrique simple lorsque l'on munit l'ensemble de la loi d 'addition : par exemple, la somme de deux angles dont les valeurs sont les cl asses de 235° et 145° (modulo 360°) est égale à la classe de 380°, c'est-àdire celle de 20°.

Hors-série n°53. Les angles Tangent:e

Les multiples personnalités ...

SAVOIRS

, EycMark · Fo1olia .com

Rotations du plan : le complexe de l'angle Comme o n l'a constaté, la notio n d 'ang le o rie nté de vec teurs amè ne très vite à fa ire réfé re nce aux rotatio ns. En réalité, ce ne sont pas les rotatio ns du plan qui sont e n cause, ma is les rotatio ns vecto rie lle , car ce qui compte, ce n 'est pa la pos itio n géograph ique préc ise des points, ma is l'angle que font e ntre e ux les vecteur as oc iés. To us les théorè mes lié au parallé li me


(voir dan s le do sier suivant) sont une con éque nce de cette affi rmation. On comprend vite a lor qu 'additio nner des ang les, c'e t compo er le rotations vecto rie lles assoc iées. L'artic le des pages 40 e t sui vantes permet d 'entrer dan le déta il. Mais o n pe ut tout de uite comprendre qu ' il ex iste entre les angles et les rotatio ns vec to rie lles d u plan no n seule me nt une application bijecti ve, ma is ce qu 'on appe lle e n mathé matiques un « isomo rphisme », pui que l'opé ratio n somme est conservée (en l'occurre nce e n c hangeant de no m po ur devenir composition). Les « jusqu ' au-bo uti te » pe uvent mê me, s' il s le dés ire nt , ide ntifier l' angle a à la rotatio n vecto rielle d ite « d 'angle a » . Le mathé matic ie ns ne s'en sont pas pri vés au xx< iècle (voi r les artic les hi to rique dans to ut ce numéro). Cette ide nti ficatio n s'appuie e n partic ulie r sur une approc he trigono mé trique : par la rotation d 'angle a , le vecteur de coordonnées ( 1 ; 0) dans une base orth ono rmée se transforme en vecteur de coordonnées (cos a, si n a). Il ex iste d 'ai lle urs une faço n simple de re présente r ce de rnie r vec te ur da ns ce que l' o n appe lle le plan complexe : c ' est le no mbre complexe (de module 1) è 0 = cosa + i sin a (voir le do s ier sui vant ). Multipl ier un complexe x + i y par ei«, c ' est fa ire subir a u vecte ur de composantes (x ; y) ... une rotatio n d 'angle a ! Via l'applicatio n qui a ocie à l'angle a le complexe ei«, l'additio n est transformée e n multiplicatio n. D ' où un no uvel isomorphisme : e nt re les angles et les no mbre complexes de module 1...

G.C.

EN BREF

par Bertrand Hauchecorne

le dictionnaire des angles 2 Les premiers didionnaires en langue fran,aise

Les premières définitions d'un angle

Fondée en 1635 par Ri chelieu, l' Académie française est chargée d'élaborer un dictionnaire dont l'objectif est « d'établir des règles certaines de la langue fra nçaise, de la rendre [ ...] non seulement élégante, mais capable de traiter tous les arts et toutes les sciences ». Il fa ut attendre 1694 pour voir aboutir ce projet. L'académicien Antoine Furetière, lassé de la lenteur de cette élaboration et mécontent de voir le peu d' intérêt de l' Académie pour le vocabulaire sc ientifique et technique, déc ide de publier son propre dictionnai re. Il est alors démi s par ses pairs et doit le fa ire imprimer à l'étranger ; la parution n'aboutira qu 'en 1690 , deux ans après sa mort . L'année sui vante, Jacques Ozanam publie le premier dictionnaire des tennes mathématiques en précisant : « Je me suis souvent étonné qu 'en un siècle aussi éclairé que celui-cy, ou les Arts & les Sciences semblent avoir receu leur dernière perfection, on n 'aît point encore tenté de donner un Dictionnaire, qui expliquât éxactement tous les Termes de Mathématiques, dont l'usage est deven u si commun . » En réaction à Antoine Furetière, dont les di videndes profitent aux exilés protestants en Holl ande, les jésuites font paraître entre 1702 et 1771 le dictionnaire de Trévoux, sans cesse remi s à jour, qui synthéti se les connaissances de l'époque. L'Encyclopédie de Diderot et d' Alembert , dont la publication s'étale de 1751 à 1772, a pour but de recenser toutes les connaissances. Sous l' impulsion de d' Alembert , elle réserve une large pl ace aux sc iences et aux techniques. Enfi n, Aimé-Henri Paulian est un jésuite qui enseigne la phys ique à Aix et à Avignon . La première édition de son dictionnaire de physique (dans une acception très large) voit le jour en 1758 ; elle connaîtra un grand succès.

La notion d'angle est difficile à définir. Lors de l' apparition des premiers dictionnaires, à la toute fin du xvn• siècle, l' usage hésite pour avoir si un angle est l'espace compris entre deux demi-droites, les deux demi-droite elles-mêmes ou, pour certains, s' il ne jaillit pas ex-nihilo lorsque enfin ces deux droites se rencontrent. Pour La Furetière en 1690, « c'est l'inclination de deux lignes l'une vers l'autre, qui enfin se coupent &font l'angle au point de leur intersection ». Jacques Ozanam en 1691 est plus préci (dictionnaire mathématique oblige !), en définissant trois types d' angles. « L'angle Plan est un espace indéfini terminé par la rencontre de deux lignes qui se coupent sur un plan . Il peut être Rectiligne, Mixtiligne & Curviligne. » Il ajoute : « L'angle rectiligne est celuy qui se f ait par l'intersection de deux lignes droites . L'angle mixtiligne est celuy qui se fait par l'intersection d 'une ligne droite et d 'une ligne courbe. L'angle curviligne est celuy qui se f ait par l'intersection de deux lignes courbes. La pointe d 'un angle est le point où se coupent les deux lignes qui le forment. » Pour le premier dictionnaire de l'Académie française en 1694, la définition se ré urne à : « Inclination de deux lignes qui aboutissent à un même point. » Puis , dans une édition ultérieure , l'angle e t la « rencontre de deux lignes qui se coupent ». Ce flou dans les définitions, ce hésitations et l'absence d' un consensus montrent à l'évidence que l'angle est loin d'être un concept géométrique qui se laisse ai ément appréhender. La route sera encore longue pour clarifier le concept d'angle.

Hors-série n°53. Les angles Tangente

la

, EN BREF


le dictionnaire des angles 3 L'angle à la naissance des enc,clopédies

Une question d'ouverture d'esprit

Dans la seconde moitié du XVIII• siècle apparaissent des ouvrages conséquents, qui s' inspirent de leurs prédéces eurs mais affi nent les définitions de l' angle . On fai t appel à un terme nouveau pour les introduire : ouverture. Le plus célèbre en est )'Encyclopédie de Diderot et d ' Alembert ; on doit à ce dernier (qui était mathématicien), en 1755 , cette défi nition : « ANGLE , s. m. (Géom.) C'est l' ouverture que forment deux lignes, ou deux plans, ou troi plans qui se rencontrent : tel est l'angle BAC (table de Géom. fig. 91) fo rmé par les lignes AB , AC, qui se rencontrent au point A. Les lignes AB , AC, sont appelées le jambes ou le côtés de l'angle ; et le point d ' intersection A en est le sommet. » Dans le dictionnaire de physique de Paulian, en 1766 , on lit : « On nomme Angle )'ouverture de deux lignes qui se touchent en un point, et qui ne fo rment pas une même ligne. Les deux lignes sont-elles droites ? l'angle sera rectiligne ; les deux lignes sont-elles courbes ? l'angle sera curviligne ; l'une des deux lignes estelle droite et )' autre courbe ? l'angle sera mixte. »

La dernière édition du dictionnaire de Trévoux ,

en 1771, propose la définition suivante : « ANGLE. . m. Terme de Géométrie. C 'e t l'inclinai on de deux ligne l'une vers l' autre , qui enfin se coupent en e rencontrant, et font l'angle au point de leur inter ection ; l' ouverture que forment deux ligne ou deux plans qui se rencontrent. » Que dé igne dan l' e prit de auteur le terme ouverture ? Définit-il la urface entre les deux droites ? Il emble plutôt uggérer la notion de mesure. On voit déja en filigrane la notion d'angles égaux s' ils ont la même ouverture. La distinction subtile entre l' angle et sa mesure ne sera mathématiquement bien différenciée qu ' au X.X• siècle.

Et de nos jours 1 Dans les années 1960, on hésitait, si l' on en croît Gu tave Choquet (voir Tangente 162) dans l'Enseignement de la géométrie , à définir l'angle comme « un élément du groupe quotient des isométries positives du plan euclidien par le sous-groupe distingué des translations » ou bien comme « la rotation autour de O qui amène A 1 sur A2 ». Aprè la période des « math moderne », on définissait encore l'angle à l'époque comme une orbite sous l'action du groupe des rotations vectorielles du plan euclidien sur l'ensemble des couples de demi-droites vectorielles ! C'est plus rigoureux, certes, mais est-ce plus clair?

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Ta:ngente Hors-série n°53. Les angles

EN BREF

par Alain Zalmanski 1

Dans le triangle Pendant très longtemps, le mot « angle » a désigné auss i bien ce que l'on appelle aujourd ' hui le secteur angulaire que sa mesure même. Les définitions données actuellement réd uisent les ri sques de confusion (la preuve dans ce numéro !). À tout seigneur tout honneur, commençon par la géométrie, et notamment celle du . .. triangle (qui , comme son nom l'indique, possède trois ang les) . L'angle nul est éga l à 0°. L'angle droit vaut 90°. L'ang le plat quant à lui mesure 180°. L'angle obtus est compri e ntre 90° et 180° . li peut être défi ni comme un angle dont le cos inus est strictement négatif. À l' inverse, l'angle aigu est inférieur à 90° et peut être dé fini comme un angle dont le co inus e t strictement po itif. Un triangle dont tou les ang les sont aigus est acutangle. Un triangle dont un ang le e t obtus est. .. obtusangle. Un triangle obtusangle peut toujours être découpé en huit triangles acutangles isocèle . Saurez-vous le démontrer ?

La sœur in éparable de la géométrie est l'astronomie, comme on le verra largement dans ce numéro. Aussi n'est-il pas étonnant que la science des astres consacre une grande importance à la notion d ' angle (en trois dimensions, l'angle sphérique est formé par la rencontre des plans de deux grands cercles de la sphère). En particulier, l'angle d'anomalie est utilisé pour repérer l'orbite d ' un objet céleste. Plus généralement, l' angle d ' anomalie est synonyme d ' anomalie excentrique : un point M quelconque sur une elJipse d'équation cartésienne x2!a2 + y2/b2 - 1 0 peut être parfaitement défini à l'aide d'une représentation paramétrique faisant intervenir un angle unique
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=

En géométrie plane évidemment Angles alternes internes et alternes externes sont les appellations usuelles des secteurs angulaires engendrés par deux droites coupées par une sécante . Sur la figure, a et a' (respectivement b et b') sont alternes internes. Les angles c et c ' (respecti veme nt d et d') sont alternes externes. Des angles dont la somme est de 90° sont complémentaires . Des angles dont la somme est de 180° sont supplémentaires . Des angles dont la différence est égale à 180° sont antisupplérnentaires. Des angles opposés par le sommet ont le même sommet et leurs côtés sont des demi-droites opposées deux à deux . ..__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___. En fa it , ce sont les ecteurs angulaires qui sont opposés par le sommet (a et d d ' une part , cet b d 'autre part). On rencontre encore des express ions où figure le mot « angle » dans le sens de « secteur angulaire ». C'e t le cas pour angle saillant (compris entre 0° et 180°) et angle entrant (compris entre 180° et 360°). Par convention, le plan e t orienté dan le ens trigonométrique (anti -horaire) et un angle peut alors être de mesure positive ou négative selon le sen par lequel on passe du premier au econd vecteur du repère. On parle alors d'angle orienté . Un angle curviligne dés igne un angle formé de lignes courbes. Dans un cercle de centre 0 , on appelle angle au centre l'angle (Ox, Oy) formé par deux demi-droites issues de O . Par ailleurs, l'angle (Ax, Ay) d ' un couple de demi-droites issues de A e t inscrit dans un cercle de centre O si A appartient au cercle et si chaque demi -droite coupe le cercle en un point distinct de A (ou est tangente en A au cerc le).


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HISTOIRES

par Jean-Paul Guichard

l'angle,

un concept ambiualent Qu'est-ce qu'un angle ? Une ouverture, une inclinaison, ou bien l'intersection de deux demi-plans, la réunion de deux demi-droites ? Veut-on y voir une grandeur ou un objet géométrique? Au-delà de la diversité des définitions , statiques ou dynamiques, c'est cette ambivalence grandeur/ objet qui est la plus problématique.

L

'Encyc lopédie de Diderot et d ' Alembert est un bon endroit pour revenir aux sources d'une notion telle que l'angle : cela fai sait partie du projet des auteurs. La lecture de l' article « Angle » (voir en encadré) présente la définition d ' une grandeur, « l'ouverture » , et non d ' un objet géométrique, même si celui-c i est sous-jacent pui sque « l'angle est l'ouverture que f orment deux lignes qui se rencontrent » . Mais la suite de l'article définit ces deux ligne comme les « côtés de l'angle » et leur point d ' intersection comme on « sommet » . Donc le terme « angle » désigne à la fois un objet et une grandeur qui lui e t associée, son ouverture. Cette définition cinématique

« La notion d'angle est sans doute celle qui soulève le plus de discussions et de difficultés dans l'enseignement de la géométrie. » Gustave Choquet, 1964

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TClngente Hors-série n°53. Les angles

amène naturellement à quantifier cette ouverture au moyen d ' un arc de cercle ayant pour centre le sommet de l'angle et reliant les deux côtés de l'angle, cet arc donnant à la fo is le moyen de comparer les angles et d 'en trouver une mesure . On peut en effet comparer les angles par le rapport de leurs arcs à la circonférence du cercle tout entier. L'article utilise d 'ailleurs le même mot pour l'objet «arc » et pour sa longueur: ambi valence grandeur / objet pour le vocable « arc », comme pour « angle » , mais dont le contexte lève l' ambiguïté (ce qui est l'usage dans les textes anciens et classiques pour les grandeurs géométriques). La mesure des arcs sert alors à la mesure des angles. La lecture attenti ve de l'article montre aussi que le terme « mesure » y est utili sé à la place de « grandeur », confu sio n très fréquente aujourd ' hui où la notion de grandeur a quasiment di sparu du paysage mathématique (même si elle a été réhabi litée récemment dans les programmes du collège). Or c'est la dé finition de l'angle en tant que

grande ur qui pe rmet d 'opérer sur les angles (de les compare r, de les ajo uter, de les partager, et e nsuite de le mesurer en choisissant un angle po ur unité). C'était autrefois la faço n classique de parler des ang les et de leur mesure.

La défini tion de l'angle comme ouverture, plus ou moins grande, permet d 'en faire d'emblée une grandeur, mais le chemin pour y parvenir n'est pas toujours aussi immédiat. La démarche d ' Alexis Clai raut (voir le dossier qui lui est consacré dans Tangente 154, 201 3) dans ses Éléments de Géométrie (174 1) est intéressante pour éclairer le rôle de la défi nition et des concepts en mathématique . La notion d ' angle apparaît dans son traité pour lever un obstacle à un problème d 'arpentage : comment reproduire un triangle dont n'est accessible sur le terrain que la mesure de deux côtés ? La solution est de faire pencher [OF] sur [DE], côtés du triangle sur le dessin, comme penche [AB] sur [BC] , côtés correspondants sur le terrain (voir la fig ure) .

En consultant l'Encvclopédie Encyclopédie méthodique (1789), début de l'article ANGLE : s. m. (Géom.). On appelle angle l'ouverture que forment deux lignes qui se rencontrent : tel est (Géom. Fig . 2, 3, 4) l' angle BAC, formé par les lignes (BA), (CA), qui se rencontrent au point A. On désigne ordinairement un angle par la simple lettre placée à sa pointe ou sommet A, ou par trois lettres, et alors celle du milieu répond au sommet. Un angle est appelé rectiligne lorsque ses côtés ou jambes BA , CA sont des lignes droites (fig . 2) ; curviligne, lorsque ses jambes sont des ligne courbes (fig. 3) ; mixtiligne , lorsqu'une jambe est droite , et l'autre courbe (fig. 4) . M ~

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A ~ --~ --- . Fig. 3. E

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Fig. 4.

un chapitre II Anales II classique Extrait du sommaire de Mathématiques, classe de sixième (Hachette, 1958): Chapitre 2. Angles. l. Notion d'angle. Il. Opérations sur les angles. m. Mesure des angles. IV. Opérations sur les mesures d'angles en degrés. Élé111e11ts de Géométrie de Clairaut.


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HISTOIRES

L'angle, un concept ambivalent

Et Clairaut d 'ajouter :« Ou , pour s'exprimer comme les Géomètres, on donne à l'angle FDE la même ouverture qu'à l'angle ABC. » Figure alors en marge, en guise de définition: « Un angle est /'inclinaison d'une ligne sur une autre. » C'e t la définition 8 des Éléments d'Euclide . Donc I' « inclinaison » est immédiatement ramenée à une « o uverture », et rendue opérationnelle, pour réaliser le dessin par l'utilisation d ' une fa usse équerre, « instrument tel que

abc, composé de deux règles qui puissent tourner autour de b ». C'est un instrument qui existe toujours dans les magasins de bricolage et dont les professionne ls se servent, en particulier menuisiers et charpentiers. L' utilisation d'une fausse équerre permet le report des angles et donc la reproduction de figures.

Une fausse équerre permet de reporter des angles (blocage par écrou à ailettes).

Cet instrument montre clairement que c'est la grandeur de l'ouverture entre deux demi-droites de même sommet que l'on prend et reporte , donc une grandeur et pas un objet. Clairaut donne, à la suite, une autre façon classique de reproduire un angle à J'aide de cercles, donc réalisable avec une corde sur Je terrain, o u à la règle et au compas sur une fe uille. L'ouverture est matérialisée par un arc de cercle, et sa grandeur par la corde de l'arc : c'est

El


la longueur de cette corde qui va être reportée au compas ou avec une corde par le tracé d'un cercle. Pui , ce n'est que vingt pages plus tard que Clairaut passe de la g randeur angle à sa mesure en montrant que le report direct d ' un angle sur un autre peut avoir des inconvénients. Il va donc falloir créer un autre instrument , auquel il assigne un cahier des charges précis : permettre de connaître la grandeur absolue des angles et Jeurs rapports. C'est J'analyse mathématique de la s ituation à partir de la notion d 'ouverture et la mise en relation avec Je problème analogue et déjà résolu pour les longueurs qui va lui permettre de définir la mesure des angles, et donc le principe des deux instruments qu ' il décrira un peu plus loin : le demi-cercle (d'un graphomètre) sur le terrain d 'arpentage pour mesurer les angles et le rapporteur pour tracer sur le papier les angles dont les mesures ont été données par le demi-cercle. Le nom même de rapporteur s'éclaire. On comprend mieux a lors la ge nèse des notions mathématiques et de leurs propriétés dans cette interaction entre problèmes de la vie à résoudre et moyens effectifs pour les résoudre.

L'instrument du géomètre : ~ - - - - - - - ~ le graphomètre.

le paradoxe des anales miXIIHanes

Graphomètre à pinnules, début du XIX• siècle.

Les angles mixtilignes EBA et FBC sont égaux comme uperposables. Si on leur ajoute l' angle mixtiligne ABF, on devrait obtenir deux angles égaux : EBF angle curviligne et ABC angle rectiligne . Or ces deux angles ne sont pas superposables ! A

Revenons à la défi nition euclidienne de l'angle donnée par Clairaut en termes d ' inclinaison. Si dans son traité elle est donnée dans un contexte où elle prend sens, et peut donc s' interpréter fac ilement, dans les Éléments d 'Euclide elle est posée a priori , ce qui a amené mathématiciens et commentate urs de l' Antiquité à se demander quelle était la nature de l' angle . La référence étant alors les catégories ari stoté liciennes de relation, de qualité et de quantité, le terme « inclinaiso n d ' une ligne sur une autre » définit l'angle plutôt comme une relation entre deux li gnes . Mais si pour la définiti on 8 l' ang le relève de la relation, pour la dé finiti on 9 de l' angle rectiligne il re lève plutôt de la qualité ; et pour les troi s définiti ons sui vantes c 'est mani fes tement de la quantité, puisqu 'elles défini ssent l' angle droit à parti r de l'égalité de de ux angles adjacents (l' ang le obtus comme plus grand que l'angle droit , et l' angle aigu comme plus petit que l' angle droit). C'est pourquoi Proclus pense que l' angle chez Euclide participe des trois catégorie (relation, quaJité et quantité). En fait la nature de l'ang le va dé pendre de ce que l'on en fait, et donc cette tri valence e t pour lui recevable. Par la suite, dans les postulats 4 et 5 , et dans les propositions du texte

F E

B

c

euclidien , les angles vont être comparés, partagés, ajoutés : il s sont donc considérés comme des grande urs et re lèvent de la quantité. Tous ces ang les sont en fa it rectilignes (leurs côtés sont des droites), même si Euclide ne le précise pas toujours. Or dans la dé fi nition 8, les côtés de l' angle sont des lignes qui pe uvent être des courbes , pui sque la définition 9 préc ise la notio n d 'ang le rectiligne . De fait Euclide considère dans le li vre Ill des Éléments des ang les mi xti lignes entre un cercle et une corde, ou ceux entre un cercle et une tangente (les angles de contingence ou corniculaires). Mai s ces angles sont problématiques car co mme le prou ve Euclide dan s la proposition 16 il s sont plu s grands ou plus petits que tout angle rectiligne aigu, et on ne pe ut donc plu comparer les ang les entre eux , contrevenant ainsi à l' idée même de grande ur. Ce qui explique

Hors-série n°53. Les angles Tg.ngente

ED


l' abandon par les géomètres grecs euxmêmes de la notion d 'angle mixtiligne , qui se maintiendra cependant au fil des sièc les, mais redéfi nie comme angle des tangentes aux courbes au sommet de l'angle (voir encadré en page 23) . Pour un même objet, un cy lindre par exemple, on peut parler de sa hauteur, de son aire ou de son volume, et on distingue naturellement l'objet de la grandeur de l'objet que l' on considère. Pour un angle géométrique les objets associés sont usuellement des paires de demi-droites de même origine à propos desque lles on veut parler uniquement de leur ouverture (ou incl inaison ou écartement) que l' on peut visualiser par un petit arc de cercle. Et de fai t, appeler angle la figure fo rmée par ces deux demi-droi tes n'est pas un réel problème dans la mesure où cette fig ure représente bien cette ouverture, et n'est destinée qu ' à cela : c'est donc une représentation de l'angle que l'on pourrait aussi appeler un représentant de l' angle dans le langage des classes d'équi valence. C 'est sur cette fi gure que se réalise tout le travail géométrique qui va faire de l' angle une grandeur, et il est alors diffic ile de distinguer sans arrêt l' angle de sa représentation. Néanmoin , dans un souci de clarification, les années 1970- 1980 ont mis en avant le terme de secteur angulaire, défi ni comme une portion de pl an , réservant celui d'angle à sa grandeur, évitant ai nsi la confusion entre angle-figure et angle-grandeur. Les articles « Angle » et « Secteur angulaire » du Dictionnaire de mathématiques élémentaires de Ste lla Baruk (Seuil , 1992) prônent cette dé marche, aujourd ' hui abandonnée mais do nt on trouve encore des traces dans des manuels scolaire . En effet, on ne peut plus alors parler par exemple de bissectrice

El


d ' un angle, ou d'angles opposés par le sommet ou d 'angles alternes internes . Donc tout le vocabulaire classique concernant les angles serait à modi fie r ! D' autre part l' angle de secteur a pour limite l'angle plein (mesurant 360°), ce qui interdit de parler de la somme des angle des polygones ayant plu de quatre côtés, alor que la notion cinématique d'ouverture permet d 'envisager des angles dépas ant le tour complet, et aus i de le orienter ; la même paire de demi-droites peut alors représenter une infi nité d' angles . On voit ici l' importance que peuvent avoir les défi nitions et l' usage que l'on en fai t . ..

Une infinité d'angles pour une paire de deux demi-droites.

En ce qui concerne l'angle-grandeur, il est intéressant de remarquer que les appellations angle de demi-droites, angle de droites, angle de vecteurs, angle de secteurs portent en elles l' angle-figure de la grandeur dont on parle. Mais comment se construisent les allers-retours figure- grandeur qui vont faire de l' angle une grandeur mesurable ?

La comparaison des anales Dans ses Leçons de géométrie élémentaire (! . Géométrie plane, première édition, Armand Colin , 1898), ouvrage de référence pendant la première moitié du XX< siècle, Jacques Hadamard , au début du chapitre premier consacré aux

angles, définit l'angle comme la figure formée par deux demi-droites issues du même point , comme le fait d ' ailleurs David Hilbert dans les Principes fondamentaux de la géométrie (GauthierVillars, 1900). Hadamard dit ensuite que des angles sont égaux si en les « transportant » l'un sur l' autre on peut les faire « coïncider », ce qui est sa défi nition des figures égales. L' outil adapté pour réali ser matérie llement cette superposition, sur le papier ou dans la vie professionne lle, est la fausse équerre . Puis il défi nit deux angles adjacents et leur somme . Pour passer de l'angle-figure à l' angle-grandeur, il va falloi r comparer les angles pour dire qui est le plus grand ou le plus petit . Voici comment il décrit la technique : pour comparer deux angles, on les « transporte» de façon qu ' ils aient même sommet 0 , un côté commun , et qu ' ils soient du même côté par rapport au côté commun. Pui on « tourne » autour du point O à partir du côté commun . Le premier côté rencontré est celui de l' angle qui est dit plus petit que l'autre car il faut lui ajouter un angle pour arriver au côté de l'autre qui est dit plus grand que le premier. La manipul ation des deux angles qui est décrite vise à comparer leur ouverture : en tournant, on a balayé moins d'espace pour le pre mier angle que pour le second . Le transport conserve l'ouverture des deux demi-droites ; la rotation d ' une des demi-droites, l' autre restant fixe, augmente ou diminue cette ouverture . Si pour la plupart des auteurs l' égalité des angles est défi nie par la superposition de figures, les modalités de l'ex plication de l' inéga lité sont variées et parfo is peu cl aires du point de vue de la grandeur. Si l'on regarde le texte

d ' Euclide, l'égalité de angles n'est pas défi nie . Mais pour Euclide l'angle est manifestement une grandeur : le postulat 4 demande que « tous les angles droits soient égaux », et le 5 que « si une droite coupant deux droites fait des angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les droites , indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits » . Si donc l' angle est une grandeur, il relève des notions communes qui régissent les opérations sur les grandeurs. Et la septième définit justement l'égalité : « Les choses qui s'ajustent les unes aux autres sont égales entre elles » (traductions de Bernard Vitrac). C 'est l' utilisation répétée de cette propriété qui permet à Euclide de démontrer que si deux triangles ont leurs côtés respective me nt égaux alors leurs angles respectifs seront aussi égaux . Égalité et inégalité ont été défi nies sur les angles-fi gures, modulo des transports d 'ouverture , permettant alors de comparer les angles-grandeurs. Reprenons le texte d ' Hadamard : on dit que deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont même ommet, un côté commun , et sont situés de part et d ' autre de ce côté commun. Lorsque deux angles ÂOB et sont adjacent , l'angle ÂOB est dit la somme des deux angles. Et il est affirmé que la omme de plusieurs angles est indépendante de l'ordre des parties . Hadamard ne dit rien lorsque les angles ne sont pas adj acents, mais il doit considérer comme év ident que dans ce cas-là on les « transporte » de façon à ce qu ' il s le soient. Ce qui défi nit la somme de deux angles-grandeurs. C'est par cette technique de la mise en adjacence de trois angles égaux à ceux d ' un tri angle

BOC


El

HISTOIRES


qu 'a été dé mo ntré de plusie urs façons (po ur celle d ' Euc lide, voir sa propositio n 32 du li vre 1) le théorè me sur la somme des ang les du tri angle que la traditio n attribue aux pythagoric ie ns. Se lo n Eudè me de Rhodes (l 'v" sièc le avant notre ère), le ur démo nstratio n éta it celle que no us fai sons le plu souvent aujourd ' hui e n traçant par un sommet du triang le une parallè le au côté o pposé. Et cette mi se en adj acence pe ut o utre passe r l'angle ple in , comme le mo ntre la constructio n de la spirale d ' Arc himède . Ce qui pe rme t de po uvoir parle r de la somme des ang les de polygo nes ayant plus de quatre côtés et de fa ire de l' an gle une vraie gra nde ur mesurable.

La spirale d 'Archimède.

E n ajo utant des angles égaux, o n dé finit a ins i les multiples d ' un ang le, d 'où l'on déduit celle de sous-multiple. Ma is comme nt partager un angle ?

Le panaue des angles Co ntinuo ns à lire le texte d ' Hadamard : à l' inté rie ur de to ut an g le, il ex iste une de mi -droite issue du somme t de l'angle qui « divise » cet ang le e n de ux parties

~


égales ; o n l'appe lle la « bissectrice » de l'ang le . C'est do nc de l'angle-figure do nt o n parle qua nd o n parle de bissectrice d ' un ang le. Dans les a nnées 19701980 , o n ne po uvait plus parle r de bi ssectrice d ' un ang le : o n parla it unique me nt de bi ssectrice d ' un secteur. E n revenant aux Éléments d 'Euclide, la constructio n effecti ve de la bissectrice est do nnée par la pro pos itio n 9 du li vre 1 (« Co upe r un ang le rectiligne do nné e n de ux pa rtie égales ») . Et c'e t cette constructio n q ui pe rmet de parle r de la mo itié d ' un angle po ur l'ang le-grande ur, et uniqueme nt po ur un ang le rectili gne comme le précise l'éno ncé, la constructio n de cette dro ite é ta nt imposs ible po ur les ang les cornic ulaires (ce qui est dé montré dans la propos itio n 16 du li vre III). Dans les dé bats de I' Antiquité grecque sur la nature des ang les , cette possibilité de partager l' angle e n deux ang les égaux a été un arg ume nt po ur les te nants de l' an gle-quantité contre les parti sans de l'ang le-qua lité. Ce partage e n de ux ang les égau x peut être ré ité ré autant de fo is que l' o n veut , do nnant a insi na i sance à un outil de mesure de ang les fac ile à construire et utili sé par le nav igateurs : la rose des vents. Cette poss ibilité du partage à l' infini , e n partic ulie r sous la fo rme de la dic ho to mie, est l' une des caractéristiques des grande urs géométriques . Si la bissectio n est fac ile à réaliser, le partage de l' ang le e n tro is angles égaux nous confro nte à l' un des grands problè mes de I' Antiquité, qui a traversé to ute l'histo ire des mathématiques : la Trisection de l 'ang le. L' impossibilité d 'en trou ver une constructio n à la règle et au compas, en un no mbre fi ni d 'étapes, a conduit les mathé matic iens g recs à in ve nte r une plura lité de

l'anale, un oblat lndls1ensable

À partir de l'angle de 60°, en le coupant en deux, puis l'angle de 30° derechef en deux, et enfin l'angle de 15° en trois, on peut graduer un quart de cercle.

Une rose des vents (Traité de 11avigatio11 , Jean-Baptiste Denoville, 1760).

techniques. Par exemple la spirale d' Archimède , qui permet de partager tout angle dans un rapport donné. La trisection de l'angle n'est pas seulement un problème théorique, c'est aussi un problème pratique important dans la fa brication d' instruments de mesure des angles où il faut graduer en degrés un quart de cercle, un demi-cercle ou un cercle . Partager l'angle droit en trois angles égaux est fac ile en bissectant

C'est en fait dans la Grèce antique, à l'époque de Thalès (VI• siècle avant notre ère), qu 'apparaît dans la science ionienne le terme d'angle (gônios) , emprunté au langage courant où il désigne le coin formé par deux murs. La tradition grecque attribue d'ailleurs à Thalès les premiers énoncés mathématiques connus concernant des angles , énoncés que l'on ne retrouve dans aucune autre tradition : égalité des angles à la base du triangle isocèle, égalité des angles opposés par le sommet formés par l'intersection de deux droites, et le troisième cas d'égalité des triangles (ceux ayant deux angles égaux et un côté égal). Qu 'a permis cette désignation explicite d' un nouvel objet mathématique ? Dans un premier temps, de comparer des angles, et d'établir des propriétés, comme en témoignent les énoncés attribués à Thalès, ce qui va permettre de modéliser l'univers et en retour d'avoir une action sur lui . C'est grâce au corpus mathématique construit à partir des angles que les astronomes grecs vont pouvoir déterminer les équinoxes et l' inclinaison de l'écliptique, ou encore la circonférence de la Terre. Un certain nombre de propositions des Éléments d' Euclide concernant les angles y sont à l' intention des astronomes. Petit à petit, l'angle va devenir un objet indispensable dans la vie des homme . L'article « Angle » de l' Encyclopédie se termine par un nombre impressionnant de dénominations d'angles qui montrent l'usage de cette notion dans une pluralité de disciplines : optique, fortification, navigation , astronomie . .. et aussi en mathématiques !

l'angle d' un triangle équilatéral. Mais il reste encore à partager ce tiers d' angle droit en deux , trois et cinq parties égales, et là le problème se repose sans détours possible . Avec ces problèmes de partage d'angles, nous voici menés tout naturellement au problème de leur mesure, ce qui est une tout autre histoire, qui sera contée dans le dossier « Mesurer les angles » ... J.-P.G.


EJ

EN BREF

par Hervé Lehning

Quelques inégalités angulaires Dans le plan o u l'espace usue l, si u et v sont deux vecteurs non nul s, l'ang le a= O(u, v) se ca lcule à partir du produit scalaire < u , v >de uet vetde leurs normes Il u Il et Il v Il (c'est-à-dire que Il u 11 2 = < u , u> ). Dans le plan usuel , le produit scalaire de deux vecteurs u et v se définit à partir de la projection de l'un sur l'autre: (u,v) = OMxOH ' en mesure algébriqu e, OM et OH étant comptés c'est-à-dire que le produit est négatif si ces vecteurs sont en sens opposés.

V

0

De la re lation < u , v >=Il u 1111 v Il cos a, on déduit un calcul de l'angle a=

e(u, v) utili sant la fo nction

arc cos inus : a= Arccos Il~;: ll~II. De faço n nature lle, d ans un espace vecto rie l muni d ' un prod uit sca laire, on utili se cette égalité comme définition de l' angle entre deux vecteurs non nul s (voir l'article sur une générali ation de la notion d 'angle en fin de numéro). Considérons alors u, v et w troi vecteurs non nul s d ' un te l espace et a, fJ et y les angles entre respecti vement u et v, v et w, w et u . Dans un artic le à paraître, Diego Castano, Vehbi Paksoy et Fuzhen Z hang se sont intéressés aux inégalités entre un angle et la somme des deux autres, a insi que entre les sinu et les cosinus de ces mêmes angles. Il s trou vent que a s. fJ + y , sin a s. sin fJ + sin y et cos a "2::. cos (fJ + y). D ' une manière qui peut sembler étrange, ces résultats sont liés à des propriétés de la matrice de Gram

G=

l

2

ll u ll

( u ,v)

(v, u)

llvll

(w, u)

(w,v)

2

(u , w)] (v,w) desvecteurs u,vet w. llwll2 En notant Pla matrice du systè me (u , v, w) dans une base orthonormale, G est égale au produit matriciel 1P P où 1P est la transposée de P. On en déduit que son déterminant est égal au carré de celui de P, donc est positif, ce qui , d'après la définition des angles, équi vaut à l' inégalité sui va nte: 1 + 2cos a co fJ cos y "2::. cos 2 a + cos 2fJ + cos 2y. Un petit calcul algébrique donne : ( 1 - co 2{3)( 1 - cos 2y) "2::. (cos a - co fJcos y)2, d 'où : cosa "2::. co fJco y - JJ -cos 2 13J1 -cos 2 y

et donc cos a "2::. cos(fJ + y). La déc roi ssa nce de la fon cti o n arc cos inu s impli q ue a s. fJ + y. En appliquant la fo nction sinus, qui est croissante, sin a :s; sin fJ + sin y.

Tcingente Hors-série n°53. Les angles

le théorème de l'angle Inscrit les rotations et symétries, des transformations qui tourn Tous les tria le b

EN BREF


Les angles alternes internes sont égaux Si le dro ites d 1 et d2 sont parallè les, les deux angles marqués, A 1 et 8 1, du nom évocateur d'alternes internes, o nt même mesure (nous di rons « sont égaux »). Il suffit, pour s'en convaincre, de remarquer que le milieu du segment [AB] est centre de sy métrie de la fig ure. Cette transformation permet d 'affi rmer que la réciproque est également vraie : si les « alternes internes » sont égaux, alors les dro ites d 1 et d2 sont paral lèles . Pour l' anecdote , on parle aussi, à pro pos des opposés par le sommet aux angles A, et 8 1, d' angles alternes externes ; eux aussi sont égaux si, et seule ment si, d 1 et d2 sont parallè les . d,

Angles correspondants et angles intérieurs Si les droi tes d 1 et d2 sont paral lè les, alors les ang les A 1 et 8 2 , dit correspondants, sont égaux, et réciproquement. Cela résulte de l' égalité des alternes interne A 1 et 8 1 et de celle de 8 1 et 8 2 , opposés par le sommet. Si les dro ites d 1 et d 2 sont parallèles, les angles A2 et 8 1, dits intérieurs , sont supplémentaires, et réciproquement. En effet , d' après ce qui = 180°- }\ = 180°- ~ . précède :

i\

l:fl


EN BREF


Les angles du triangle Quoi de plus simple, comme fi gure géométrique , qu ' un triangle ? Euclide le savait déjà , lui qui l'a abondamment utilisé dans ses Éléments. C'est au Livre Ide son grand œuvre qu ' il énonce sa fameuse proposition XXXU : « les trois angles intérieurs d 'un triangle sont égaux à deux droits. » Pour démontrer ce résultat , il introduit dans la figure du triangle la parallèle (CE) au côté [AB] du triangle , ce qui permet en quelque sorte « d'aplatir » les trois angle du triangle le long de la droite (BC). E

A

B

C

D

Somme des angles d' un triangle.

Les angles ABC et ECO, correspondants car déterminés par les parallèles (AB) et (CE) et la sécante (BC) , sont égaux. De même , les angles BAC et ACE, alternes internes car défi nis par les parallè les précédente et la sécante (AC), ont même valeur.

A

E

C z]D

La relation angulaire dans le

triangle (voir ci-dessus) a des répercussions sur les angles d'un polygone convexe, c'est-à-dire itués tout entiers

du même côté de l'un quelconque de leurs côtés. On peut en effet faire de ce polygone une « dissection » en triangles ayant deux à deux comme côté commun les diagonales du polygone, comme sur la figure. Si le polygone possède n côtés, ce découpage fabrique n - 2 triangles et la somme de leurs angles est exactement celle des angles du polygone. C'est dire que les angles des polygones à n côtés ont tous la même somme, n - 2 fois deux droits, soit en degrés, (n - 2) x 180" : pour chaque côté supplémentaire, on ajoute deux droits. C'est simple, non ? Somme des angles d' un polygone convexe.

On retrouve ainsi, de sommet C , les trois angles du triangle , dont la somme est égale à celle des angles adjacents BCA, ACE et ECO, soit l'angle BCD, lui-même égal à deux droits puis- Adrien-Marie Legendre que les points B, C , D (1752- 1833). sont alignés. Cette démonstration utilise de manière évidente l'axiome des parallèles, autrement dit le cinquième postulat : « Par un point passe une seule droite parallèle à une droite donnée. » Mais, nous dit Adrien-Marie Legendre, ôtons cet axiome et il vient le théorème suivant : « S'il existe un seul triangle dont la somme des angles est égale à deux droits, alors cette somme est la même pour tous les triangles, et le cinquième postulat devient ... un théorème. » Dans le monde des géométries non euclidiennes, d'où le cinquième postulat est absent, la somme de angle d'un triangle est tantôt inférieure à deux droits (en géométrie hyperbolique), tantôt supérieure à deux droits (en géométrie sphérique).

Le pavage impossible.

Le résultat précédent donne de manière évidente l'angle au sommet des polygones réguliers : pour un polygone régulier à n côtés, l'angle au sommet est, en degrés, de (n - 2) x 180° / n, soit (1 - 2/n) x 180°. Pour un pentagone par exemple, l'angle au sommet est de 108°, qui n'est pas diviseur de 360°. Cette remarque signifie que l'on ne pourra jamais paver le plan, sans trou et sans chevauchement, en n' utilisant que des pentagones. D'ailleurs, les seuls pavages réguliers possible , c'est-àdire avec des polygones du même type, ont faits de triangles équilatéraux, de carrés ou d'hexagones.

Hors-série n°53. Les angles Ta.ngente

EJ

SAVOIRS

par François Lavallou

le théorème

de l'angle inscrit Droites et cercles sont les objets les plus courants rencontrés en géométrie euclidienne. Si la notion d'angle inscrit est l'outil fondamental pour résoudre les problèmes non linéaires liés au cercle, c'est qu'elle permet, avec les notions associées d'angle au centre et d'arc capable, de caractériser des points cocycliques.

C

A

ertaines propriétés de la géométrie plane euclidienne sont invariantes par similitudes, c'est-à-dire par translation, rotation, homothétie et symétrie. On notera ABC l'angle non orienté de sommet A et on utilisera la notation allégée (AB, AC) = - (AC, AB) pour un angle orienté. On écrira ainsi, pour signifier que la somme de angle d ' un triangle quelconque ABC est égale à 1t, ABC + l3CÀ + OO = 1t ou (AB, AC) +
les angles inscrits Soient un cercle (C) de centre 0 , de rayon R et A un point courant de ce cercle. Pour tout point B de ce cercle, le triangle AOB est isocèle, et donc BW = ÔBÀ. La somme des angles d'un triangle

Tangente Hors-sene n°53. Les angles

étant égale à un angle pl at, l'angle extérieur BOÈ du triangle OAB , supplémentaire de l'angle BO A, est tel que BOÈ = 2 BAE. En considérant les triangles OBD et OED, on obtient de même ÉÔè = 2 BDC et ÊOè = 2 EOC, e~ess io~ont la différence donne BOE = 2 BDE. D'aprè ce qui précède, on vient de démontrer le théorème de l'angle inscri~ BDÈ = BAE. Pour un arc BE donné, l'angle inscrit BOE est indépendant du point D courant sur le cercle ; .i.!_ est entièrement déterminé par l'arc BE. Pour un angle a donné, Je lieu des points du plan qu i « voient » la corde [BE] so~'angle a e t l' arc complémentaire BA E, avec ME = a . On parle alors d'arc capable d 'angle a du couple de points (8 , E). On appelle angle au centre l'angle défini par un arc de cercle et le centre O du cercle. De tout ce qui précède, on déduit que l'angle au centre défi ni par un arc de cercle est égal au double de l'angle inscrit défini par ce même

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE arc. Comme deux po ints diamétralement opposés défini ssent un angle plat, l' ang le inscrit associé est donc un angle droit. On retrou ve là un résultat classique : un triangle est rectangle si, et eulement si, un de ses côtés est le diamètre de son cercle circonscrit. li est alors clair que deux que lconques des triangles rectang les de la fi gure sui va nte dé fini ssent quatre po ints cocycliques (s itué sur un même cercle). Pour être précis, les quatre po ints di stincts A, B, C, D ont cocycliques ou ali gnés (dans certai nes confi gurati ons particulières) si, et seulement si, (AD, AC:)= (BD, BC) mod n.

Configurations de base.

Dans Je plan complexe, où on note .:M.___. l'af~ du po int M , l' ang le (AC, A D) es t l'arg ume nt du

z -z - zA

nombre complexe ~ , et donc

Arc capable.

D

D ' une façon plu général e, si ACB = ADB = a, alors les points (A, B, C, D) sont cocycliques puisqu ' il s appartiennent à l' arc capable d 'angle a des po ints A et B. De même, si ACB = a et ADB = n - a, les points C et D appartiennent alors à des arcs capables supplémentaires, et sont cocycliques avec A et B. Ces configurations de base apparaissent souvent et il faut savoir les repérer. Une application en est montrée en encadré avec la droite de Simson. Cette fi gure illustre également une règle souvent utilisée. Deux angles ayant Jeurs côtés respectifs_12:rpend~ aires sont égaux, comme CAO et CBD, ou supplémentai re, comme CAÈ et CBE. En reprenant la première fi gure, on en EC = EAC, où TEC est déduit que T ]'angle entre la tangente au cercle en E et la corde [EC]. Ainsi, l' angle entre la tangente et la corde est égal à l' angle inscrit défi ni par cette corde.

Zc

Arg['o-ZA Zc-Ze ]=(Ac, AD) -(sc,Bo). Zc -zA Z o-Z X

8

Dire que quatre po ints (A, B, C, D) sont cocycl iques est donc équi va lent à dire que Arg [ Zo - ZA x Zc -Z 8 ]=0modn, Zc - ZA Zo - zs c ' es t-à-dire

que

Zo - ZA

Zc - Za

Zc - ZA

Zo -Zs

la

quantité .

- - - x - - - est en fa it un no mbre réel.

On sait maintenant qu ' un arc, ou une corde, détermine la valeur de l' ang le inscrit assoc ié. Peu importe la localisation de cet arc, seule compte sa longueur qui a pour express ion R x 8 pour un angle au centre de valeur 8. Un arc de longueur L définit donc un angle inscrit de valeur L / D, où D = 2R est le diamètre du cercle. Pour d 'év identes rai ons de sy métrie, la médi atri ce d ' une corde coupe l'arc assoc ié en son milieu.

Hors-5ene n 53. Les angles Tangente

SAVOIRS

Le théoreme de l'angle inscrit

ladrohe deSlmson Soient un triangle ABC, un point M extérieur

à

ce

triang le, et P, Q ,

R les projetés

A:AC,

o r t ho go n a u x respectifs de M sur les côtés du triangle. En repérant les configurations de base à J' aide des triangles rectang les de la figure, on en conclut que les points P, Q, M , C d ' une part et P, M, R, B d 'autre part ont cocycliques. On en déduit les deux égal ités angulaires (PM, PQ) = (CM, CA) et

Pour étudier les conditions d ' alignement de

pro-

(PR, PQ). On trouve (PM, PQ) - (PM, PR), c'est-à-dire

jetés P, Q et R, calculons

(PR, PQ)

=

:

Sur la fi gure précédente est tracé le cerc le circonscrit d ' un triang le ABC. Les médiatrices des côtés de ce tri angle s' interceptent bien sûr au centre O du ~c l~c irco~crit et coupent les arcs BC, C A et AB en leur milieu, respecti vement les points A', B' et C' . On en déduit l' égalité des angles MA' et puisque ces angles inscrits dans le cerc le circonscrit interceptent des arcs de même longueur. Autrement dit, la droite (AA ' ) est la bissectrice de l' ang le au sommet A du tri angle ABC. Il en est de même pour les droites ( 88 ') et (CC'), dont l' inter ecti on détermine le centre I du cercle inscrit du triang le ABC. La symétrie est une isométrie, c ' est-àdire une transformation qui conserve les longueurs. Les angles non orientés sont conservés, mais les angles orientés sont inversés, car une sy métrie inverse l'orientation.

(BM, BA) est la condition de cocy-

cl icité des point (A, B, C , M), une condition nécessai re et suffisan te pour que les points (P, Q, R) soient aJjgnés est que le pojnt M appartienne au cercle c ircon crit du triangle ABC. Cette droite est la droite de Simson du point M relativement au triangle ABC.

A' Centre du cercle inscrit.

Tangente Hors-serie n°53 Les angles

Considérons, avec la fig ure page ci-contre, l'orthocentre d ' un triangle ABC, po int d ' intersection des hauteurs. Qui dit hauteur, dit perpendicul arité, situation propice pour une configuration de base. Le po ints (P, Q , A, H) sont cocycliques et on a PAQ + PHQ = n. Par oppo ition, o n a PHQ= BHC et par symétri e BWC = BOC, donc PHQ = BWC, où H ' est le symétrique de l'orthocentre par rapport au côté [BC] . Pui sque PAQ = BAC, on a BAè + BWC = n, ce qui nous permet de concl ure à la cocyclic ité des po ints (A, B, C, H ' ). Le ymétr ique de l' orthocentre d ' un triangle ABC par rapport à un des côtés appartient au cercle circonscrit. Cec i signi fie que les sy métries du cercle circonscrit par rapport aux côtés de so n triangle générateur s' interceptent

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE

lltrlllllll . . . . On con idère un triangle ABC non rectangle d'orthocentre H, et on note A', B' et C' le pieds de hauteurs i sues respectivement de sommets A, B et C du triangle. On appelle triangle orthique le triangle A'B'C'. Le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté du triangle appartient au cercle circonscrit du triangle. L'orthocentre e t donc le point d'intersection des symétriques du cercle circonscrit par rapport à chacun des côté . En considérant les configuration de base (BC'HA'), (A'HB'C) et (BC'B'C), on obtient re pectivement les égalités angulaire C'BÎI = C'A'Ïî; IÎA'8'° = HCB' et C'ÏIB'" = C'CB'. Puisque C'BH = C'ÏIB'"et HCB' = C'CB', on a C'A'Ïi" = IÎA'B'°: la hauteur (AA') est la bissectrice de l'angle C'A'B'. Le hauteurs du triangle ABC sont donc les bi sectrice de son triangle orthique. L'orthocentre d'un triangle e t le centre du cercle inscrit de son triangle orthique !

en l'orthocentre. De la défi ni tion de l'orthocentre, on déduit que lques propriétés du triangle orthique (voi r en encadré).

Un quadrilatère i\ trois diagonales Si on considère quatre droites disti nctes du plan, e lles se coupent en e ( ~ )· 6 po ints, certa in s po uvant promener à l'infi ni i des côtés sont parallèles. Il est alors nature l, pour un adepte de la symétrie, d 'ajouter à un quadrilatère les deux sommets qu i lui manquent, à savoir les po ints d ' intersection des côté opposés. On parle alor de quadrilatère complet, qui possède troi diagonale (!). Cette structure élémentai re pré ente de nombreuses propriétés. On en donne un exemple en encadré avec le po int de Mi quel. dont on a établi une démonstra tion économique en utilisant les résultats de la dro ite de Simson. Ce ty pe de problème illustre parfaitement le fa it que dès qu ' il est question de

cocyclicité la notion d 'ang le in crit e t incontournable. Pour fi nir, utili sons cet outil fo ndamental pour la résolution de problè mes liés au cerc le en con trui ant un autre outil indi spe n able: la puissance d ' un po int par ra pport à un cercle, intimement lié à l' inversion. D' un po int M extérieur à un cercle de rayon R, traço ns le cordes [AB] et [CD]. Les ang les ABè et AOC sont égaux comme ang les in crits interceptant le même arc, et par conséquence les tri angles MBC et MAD, ayant l'ang le AMC en commun , o nt emblable . De la propo rti o nn alité de le urs côtés..?.....2_n t~ la relation MA.MB = MC .MD , de indé pe nda nte la corde c ho isie, et e ncore valide pour un po int intérieur E. Cette quantité H' a lgébrique est la puis-

Orthocentre.

Hors-sene n 53. les angles Tangente

SAVOIRS

Le théoreme de l'angle inscrit

ln 111nt encerclé Soit le quadrilatère complet ABCDEF. Cette structure détennine quatre triangles, que nous noterons 8 1 = ABC, 8 2 =BDE. 8 3 =AEF et 8 4 =CDF. On notera logiquement (C 1), (C 2), (C 3) et (C4 ) le

cercle circonscrits de triangles respectif 8 1, 8 2, 8 3 et 8 4 • Considérons le cercle (C 1) et (C 2). On montre que puisque (DF) et (CA) ne ont pas parallèle , par construction, ces cercles ne ont pas tangents. Ils ont donc en commun le point B et un econd point, qui est dé igné par M. Soient M 1, M 2, M 3 et M4 les projeté du point M sur les côtés du quadrilatère complet. On va utili er ystématiquement le théorème de Simson démontré en encadré. Pui que M appartient à (C.), les points M 2, M 3 et M 4 sont alignés. De même, en considérant le cercle (C 2), les points M 1, M3 et M4 ont alignés. On en déduit que le point M 1, M 1 , M 3 et M4 sont aligné , et en particulier le triplets (M 1, M1• M4) et (M 1, M 2, M3), ce qui ignifie, par réciproque du théorème de Sim on, que le point M appartient au i aux cercles (C 3) et (C4). Le cercle circon crits de triangle d'un quadrilatère complet concourent en un point M, appelé point de Miquel.

Puissance du point M.

sance P(M) du point M par rapport au cercle. Pour la corde particulière qui passe par le centre O du cercle, on a P{M)=MP.MQ=OM 2 -R 2 . En notant T un point de contact de la tangente issu de M, on obtient le cas limite P(M) =OT2. La pui ance caractérise la pos ition d' un point par rapport à un cercle. Elle est p os i tive à

Tangente Hors-serie n 53 Les angles

l'extéri eur du cercle, nulle sur le cercle, et négati ve à l'intérieur. Muni s de l'outil angle inscrit et de ses puissants coroll aires, plus aucun problème de géométrie du cerc le ne pourra vous résister. F.L.

RÉFÉRENCES : • Le triangle. Bibliothèque Tangente 24, POLE, 2005 . • Le cercle. Bibliothèque Tangente 36, POLE, 2009. • Les invariants. Bibliothèque Tangente 47, POLE, 2013. • « Les systèmes de coordonnées». Dossier dans Tangente 157, 2014.

EN BREF

par Karine Brodsky

les angles opposés par le sommet Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l' un sont les prolongements des côtés de l'autre. On obtient de tels angles dès que l'on a deux droites sécantes. Les angles en jaune sont opposés par le sommet.

Une propriété essentielle concernant des angles opposés par le sommet est qu ' ils ont même mesure. Pour démontrer cette propriété, on peut fa ire appel à des arguments de sy métrie: l' un des deux angle est en effet le symétrique de l'autre dans la sy métrie de centre le sommet commun ; or toute symétrie centrale conserve le mesures d'angles. Cette façon de procéder, qui s'appuie en fait sur les invariants des isométries, peut donner l'impression de renvoyer la preuve vers des principes plus abstraits, et difficiles à justifier en collège (on peut cependant les admettre). Peuton démontrer plus « intuitivement » la propriété?

Avec les notations de la fi gure ci-dessus, la somme des mesures des angles adjacents BOÀ et AOC est égale à 180° (angle plat) puisque les points B, 0 , C, appartenant à la même droite, sont alignés ; ces angles sont dits supplémentaires. De manière analogue, AOC et éoD ont supplémentaires. Par différence, (BOA + AOC) - (AOC + éoD) = 0, d'où BOA = éoD. Cette démonstration utili se elle aussi une propriété non démontrée (si deux angles qui ont un côté en commun ont leurs autres côtés dans le prolongement l'un de l'a utre, ils forment ensemble un angle plat), mais qu ' il est intuitivement beaucoup plus facile d'admettre que la conservation des mesures des angles dans une isométrie.

SAVOIRS

par D. Justens et G. Cohen

les rotations et symétries Des transformations qui tournent bien Entre angle orienté et rotation du plan euclidien, il n 'y a qu'un pas que cet article s'empresse de franchir. Les rotations y sont examinées ... sous tous les angles, y compris à l'aide d'autres transformations du plan, comme les symétries, qui ont avec elles des relations ... intimes. e plan affine euclidien est un ensemble de points muni de la métrique classique. Il peut être vu naïvement comme une feuille de papier. Une transformation du plan est une bijection du plan dan lui-mê me : tout point du plan possède une image unique, et c'est lui-même l' image d ' un seul point. Il est intéressant de classer ces transformation . On s' intéres era ici aux isométries qui , par définition , conservent à la fois le distances et les angles, mais pa forcément l'orientation. Parmi elles, les déplacements, au sens mathématique du terme, conservent les distances et les angles orientés. On peut les concrétiser par le déplacement phy ique de la feuille de papier sur laquelle sont représentés les objets mathématiques sur lesquels on rai sonne, ans torsion ni déformation . Les antidéplacements, qui consistent en manœuvres de retournements du plan, sont aussi des isométrie . Là encore, on peut donner au terme retournement son sens usuel , concré-

L


ti sé comme plus haut par le retournement physique de la feuille de papier. Parmi ces transformations, les symétries axiales (ou symétries orthogonales) ont particulièrement intéressante : elles permettent, comme on le verra, de reconstruire toutes le isométries et de découvrir leurs propriétés.

Quand on déplace la feuille de papier... Pour classer le déplacement du plan, on peut étudier leurs po ints fixes. Certains n'en ont aucun. C'est le cas des translations, qui se concrétisent par un glissement de la feuille selon une direction et une certaine distance, caractérisées par un vecteur. Dans un repère cartésien, une translation selon le vecteur orienté U de composantes (u,, u2 ) transforme tout point P, du pl an de coordonnées (x ,, y 1) en un point P', de coordonnées (x + u,, y+ u2) . Cela exprime que le vecteur est égal à U. Mais si on considère un deu xième point P2 et son image P' 2, un calcul simple montre que le vecteur Pl, se transforme en un vecteur P' l '2 ég~I à

rn:r:r::1;

Les relations entre les composantes (x, y) d'un vecteur V et celles, (x', y'), de son image V' par la

r~fixn n&mci eUe:

La matrice de rotation M8 ainsi obtenue a la propriété d'être orthogonale : elle est inversible (ce qui

correspond à une rotation d'angle - 9) et son inverse est égale à sa transposée, ce qui se vérifie en sachant que cos(-9) = cos9 et que in(-9) =- sin 9. On peut procéder à deux rotations successives de même centre et d'angles 91 et 92 et constater que leur composée respecte exactement la règle de multiplication matricielle : cose, -sine,)( cose 2 -sine 2 ( sine 1 cose, sin0 2 cos0 2

]·(

cose,cos0 2 -sin0,sin0 2 -cos0 1 sin0 2 -sine 1 cos0 2 sin6,cose 2 +cose 1 sin0 2 cos0 1 cos0 2 -sine 1 sine 2

On recoMaît dans la matrice de droite les cosinus et sinus de l'angle somme 9 1 + 92• On a donc M81M82 • M8,+e2 • Pl 2• Ainsi, une translation induit sur l'ensemble des vecteur du plan un endomorphisme associé qui n'est autre que l' identité ! Réci proq uement, il est assez simple de montrer que si une transforma tio n est associée à l'applicatio n identique sur l'ensemble des vecteurs du plan, alors c'est une translatio n.

Si on fixe l'origine du ystème de coordonnée s au centre C de la rotation, l' image de P, de coordonnée s (x, y) par la rotation de centre C et d 'angle 8 sera le po int P', de coordonnée s (x', y'), où le relations qui re lient les coordo nnées sont : x'

y' D'autres dépl acements ont exactement un po int fixe: c 'est le cas des rotations. Pour aller à la découverte des objets « rotation », il convient de défi nir (arbi traire ment) un sens positif de rotation, qu i est, par simple convention , celui de la trigonométrie et qui correspond au sens inverse des aiguilles d ' une montre (caractérisa nt un système tournant « à gauche » ). Se lon le dictionnaire , une rotation dans le plan consi te en une transforma tion

qui fai t « tourner » les figures autour d 'un point selon un certain angle. Diffici le d'être plu s auto-référe nt.. . He ureuseme nt, les mathé matique apportent plus de rigueur !

=X COS 8 - y Sin 8, =X Sin 8 + y COS 8.

Ma is ce qui est beaucoup plus intéressant, car cela ne dépend pas de l'origine, est ce que devient un vecP 1P2 ap~ès cette rotation. En teur V posant V '= P\ P '2, où P' 1 est l'image de P 1, P' 2 l' image de P2 , on remarque que les coordonnée s (v' 1, v' 2) de V ' s'ex priment en fo nctio n de (v 1, v2), coordonnée s de V, à l'aide de mêmes

=

re lations. Matric ie llement ( voir encadré), cela s'écrit : V ' = M 0 V. On dira que l'endomorphisme assoc ié à une rotation du plan d 'angle 8 est la rotati on vectorielle d 'angle e.

Hors-série n°53. Les angles Tcingen te

l·

SAVOIRS

Les rotations et symétries ... Réc iproquement, si un déplacement admet un po int fixe C, c ' est une rotation de centre C. En effet, considérons alors l' image A ' d ' un point A autre que C. So it a = ACA '. Alors, pour tout po int P, la conservation de l'angle orienté ACQ et la conservation de la distance CQ permettent de pos itionner le po int Q ' comme image de Q par la rotation de centre C et d 'ang le a. On peut enfi n vérifier que si une transfo rmation du plan affi ne est associée à la rotatio n du plan vectorie l d 'angle a (di ffé rent de 0), c'e t une rotation d 'angle a, dont on peut sans diffic ulté déterminer le centre (voir plus lo in), qui est le seul po int invariant de la transformatio n. On en déduit qu ' il n'ex iste que deux types de déplacements dans le plan : les translations et les rotations. En effet, un déplacement qui a plus d ' un point fi xe laisse in variants tous les po ints du pl an (c ' e t la con équence de la conservation des distances et des angles orientés). C ' est l' identité, seul déplaceme nt à être à la fo is une tra nslatio n (de vecteur nul) et une rotation (d 'ang le nul).

d ' une rotation d ' ang le 8 et d ' une tra n lation de vecteur Y. L' endomorphi sme de l'e pace vectorie l associé sera donc le composé d ' une rotation vectorie lle d 'angle 8 et de l' identité. La composée est donc une rotation d ' ang le 8. On peut construire géométriquement le centre de n' importe quelle rotation. Il suffi t par exemple de connaître la position initiale et l' image de deux po ints distincts. So ient A, B et A', B' les deux points et leurs images respecti ves. On sait que la rotation conserve les di stances : la di stance AB est égale, par hypothè e, à la distance A' B '. Le centre de la rotation se trouve à l'inter ection C des médiatrices des segments [AA'] et [BB '], et l' amplitude de la rotation est donnée par l'angle ACA' , identique à l'angle BCB '. A'

A

Composée de déplacements li est év ident que la composée d ' un nombre que lconque de déplacements do it être un dépl aceme nt, les lo ngueurs et ang les étant systématiquement conservés. Pour examiner les di ffé rents cas, o n va s'appuyer sur les endomorphi smes associés aux déplacements que l'on compose. La composée de deux translati ons de vecteurs V et V' est la translati on de vecteur V + V ', cela ne pose pas de problè me. Examino ns ma intenant la composée

Tcingent:e Hors-série n°53. Les angles

Voyons comment se comportent les composées de rotations de centres di ffé rents. La composée de la rotation de centre A et d ' ang le a et de la rotation de centre B et d 'ang le p est, d 'après ce que l' on a vu précédemment, a_ssociée à la composée des rotations vectorielles d 'angles a et d ' angle p, soit à la rotation vectorielle d 'angle a + p. Si a+ p =0 (ou 2n), on a affa ire à l'identité, et la composée des deux rotations est donc une translation. Dans tous les autres cas, c'est une rotation d 'angle

a + p, do nt il suffira de c he rcher le po int invariant pour trou ver le centre. On peut évide mme nt généraliser ce résultat e n actant que la composée de n rotations e t une rotatio n, sauf dans le cas o ù la o mme des ang les est un multiple de 21t.

Quand on retourne la feuille de papier Les antidéplaceme nts, quant à e ux, consiste nt à reto urne r la fe uille de papie r initiale, sans rie n c hanger des di stances entre les po ints. Le sens de angles, o n l'aura compris, s' inverse. Le plu s connu des antidéplaceme nts du pl an est la symétrie o rthogonale . E lle est entièreme nt défini e par une droite 0 , e nsemble des po ints in varia nts, qui jo uera le rô le d 'axe de symétrie e ntre tout po int et son transform é, ce qui explique qu ' une te lle tran formatio n e t aussi appe lée symétrie axiale. Compte tenu de la condition d ' inversio n des ang les qui , appliquée deux fo is, se ramè ne à la conservation de l' orientatio n, o n voit que la composition de deux antidéplace me nt est un dé place me nt. On e n déduit que la composée de deux symétries ax iales est une rotatio n ou une translatio n. Il e xi te une présentatio n pure me nt géométrique de cette ana lyse, qui mo ntre que l'on pe ut ex prime r to ute rotation par la composée de de ux symétries ax ia les dont les axes concourent au centre de la rotatio n et do nt ('ang le est égal à la mo itié de l' angle de rotation. Cette propriété est illustrée sur la fig ure c i-contre : la compo ée de deux sy métries o rthogona le d 'axes fo rmant un angle a se traduit par une rotatio n d ' ang le 2a. On peut éga le me nt représenter to ute trans latio n par la compo-

Retournemem d'image Dans le plan, la composée de deux symétries d'axes perpendiculaires est la « symétrie point » par rapport à leur intersection, c'est-à-dire tout simplement la rotation de 180°. Dans l'espace, c'est la même chose si vous considérez la composée de deux symétries-plans dont les plans sont perpendiculaires ; vous trouverez une rotation de 180° par rapport à leur droite d'intersection. Si cette droite d'intersection est horizontale, la composition des transformations inverse le haut et le bas. En voici l'application issue d'une récente exposition du Mathematikum de Giesse : le miroir qui inverse le haut et le bas !

sée de deu x symé tries o rthogona les d 'axes parallè les pe rpe ndic ulaires à la directio n de la trans latio n.

..P' ·~ .. ·· .. ······

.·

\ P"

a ....

2a

·········- ~

.... ··P

Hors-série n°53. Les angles Tcin9ent:e

1

SAVOIRS

Les rotations et symétries ... Ce qui apparaît, c'e t que ces décompos itions ne sont pas uniques : dans le cas d ' une rotation, toute pa ire d 'axes concourant en C et d 'ang le Cl fait l'affaire. Cette remarque permet de retrouver le résultat ex primé plus haut : la composée de deux rotations est une rotation. Lorsque l'on considère deux rotations uccess ives de centres di ffé rents, il suffit alors de cho isir l'axe pa sant par le deu x centres pour chacune des rotations successives pour arri ver à la conclusion : les deux symétrie orthogonales ide ntiques se compensent, et il ne reste que deux symétries à composer, ce qui donne une rotation. Ceci est illustré par la fi gure ci-dessous représentant une rotation de centre C 1 d 'angle 2cx sui vie d ' une rotation de centre C 2 d 'ang le 2 ~. La compo ée est une rotation de centre C 3 et d 'ang le 2cx + 2~. La réponse semble donc évidente : la composée de deux rotations d 'angles respectifs 0 1 et 02 est une rotation d ' ang le 0 1 + 02 , dont il faut maintenant déterminer le centre.

P'=P'"

symétrie ax iale d 'axe D est trè fac ile à définir : tout vecteur s 'écrit ous fo rme d ' une somme de deux composantes, l' une parallèle à D, l'autre orthogonale. La première composante est invariante par u, la deuxième se transforme en son opposée. De plus, une étude portant sur les matrices orthogonales montre que les antidépl acements sont fo rcément assoc iés à un endomorphisme qui a les mêmes propriétés que u : il laisse invariants les vecteurs d ' une direction et transforme en son opposé un vecteur de la direction orthogonale. On en déduit que tout antidéplacement est la composée d ' une symétrie ax iale d 'axe D et d ' une translation de vecteur V. On peut être plus précis : la composée d ' une sy métrie d 'axe D et d ' une tran slation de vecteur V orthogonal à D est une symétrie d 'axe parallè le à O. Ainsi, en décomposant V selon ses composantes parallè le et orthogonale à D, on montre qu ' un antidéplacement peut être de deux fo rmes : • s' il pos ède un point invariant , il possède alors toute une droite D invariante, et l'antidéplacement e t la symétrie orthogonale d ' axe D ; • sinon, ce sera la composée d ' une symétrie selon une droite D et d ' une translation de vecteur parallèle à D ; on dit que c'est une symétrie glissée, D étant l' unique droite « globalement invariante » (chaque point de D est envoyé sur un autre point de D) par la transformation.

D.J. & G.C. Si on rev ient à l' espace vectoriel associé, on peut compléter la cl ass ification des antidéplacements. Tout d 'abord , l'endo morphi sme u assoc ié à une

TC1n9ent:e Hors-série n°53. Les angles

EN BREF

par Alain Zalmanski

le dictionnaire des angles 4 En géométrie dans l'espa,e La générali sation de la notion d' angle dans le plan à celle dans l' espace porte le nom d'angle solide. Étant donnés un point O et une sphère de centre 0 , on appelle angle solide de sommet O le volume engendré par deux demi-droites d' origine O qui rencontrent un domaine S de la sphère .

En construction mécanique, l'angle arrondi désigne un raccordement progressif entre deux surfaces, avec une section en arc de cercle ; au contraire, l'angle vif marque l' arête au point de la rendre tranchante ou agressive. Les angles d'Euler désignent des angles utilisés en mécanique quantique pour étudier en particulier le mouvement d ' un solide dont un point, 0, est fixe. On définit ainsi les angles de nutation (0), de précession ('\jl) et de rotation propre ( QJ ).

z

z

y

X X

Dans le domaine de l'aérodynamique, l'angle d 'at-

La face jaune et la face bleue (dont l'intersection est une arête du polyèdre) forment un angle dièdre. La face jaune, la face rouge et la face bleue (dont l'intersection est un sommet du polyèdre) forment un angle trièdre.

Un angle polyèdre est alors un angle solide dont une ection plane est un polygone. Un angle polyèdre à deux faces est un angle dièdre, un angle polyèdre à trois faces est appelé angle trièdre. Dans un polyèdre régulier, le angles dièdres sont égaux entre eux (et de même, les angles trièdre ont égaux entre eux).

taque ou angle d'incidence désigne l'angle décrit par l'aile du planeur en fonction du vent relatif. Plus généralement, c'est l'angle formé par la corde de référence du profil d'une surface (typiquement une aile) et le vecteur vitesse ; son examen est particulièrement important dans les études des éoliennes car il est en relation avec la portance et les phénomènes de décrochage. L'angle de plané est l'angle entre l'horizontale et la trajectoire dans l'air d'un planeur. C'est un indicateur de perfonnance du planeur : plus cet angle est faible, plus le planeur est capable de voler loin pour une perte d'altitude donnée. L'angle de Mach est quant à lui utilisé en complément du cône de Mach dans l'étude du comportement d'un fluide autour d' un mobile supersonique. En optique, l'angle d'incidence est l' angle d'un rayon incident avec la nonnale à une surface ; en mécanique ondulatoire, c'est l'angle entre la direction de propagation de l'onde incidente et la nonnale de l'interface considérée (angle d'incidence des rayons de soleil sur la Terre par exemple). L'angle de réfraction, en optique, acoustique, et sismologie, est l'angle de déviation de l'onde lorsque sa vitesse change entre deux milieux de densités ou impédances différentes.


ll!EI

JEUX ET PROBLÈMES

par M. Brilleaud et G. Cohen

Tous les triangles sont-ils équilatéraus 7 Un triangle quelconque peut-il toujours se projeter en un triangle équilatéral? La réponse risque de surprendre! Évidemment, elle sera différente selon les contraintes que l'on associe à la notion de projection ... out part d ' une manipulation proposée aux visiteurs du Mathematikum de Giessen, ce lieu quas i unique au monde qui permet depui s 2002 à se cent cinquante mille visiteurs annuels de e confronter à des centaines d'ex périences mathématiques, le plus sou vent originales. Reprise dans Mathemanip, une exposition itinérante qui fut récemment visible au « Vaisseau » de Strasbourg, la manœuvre fait intervenir un mur pavé de triangles équilatéraux . Des tri angles métalliques de fo rmes diverses sont mi s à la disposition des visiteurs, qui doivent, en les positionnant convenablement sous le fe u des projecteurs, faire coïncider leur ombre avec l' un des triangles du maill age mural.

Tout d'abord, il fa ut indiquer par quoi une projection (au sens le plus classique du tenne) est défi nie dans l'espace. La réponse fait intervenir deux éléments : le plan P sur lequel on projette et la direction D de la projection (qui , bien sûr, ne doit pas être parallèle à P).

Mais est-il toujours poss ible de projeter un triangle ABC quelconque sur un plan de sorte que l' image soit un triangle équilatéral ? Autrement dit, une même projection peut-elle transfo rmer les troi angles du triangle, quelconques au départ, en trois angles de 60°?

Quand la taille du triangle équilatéral n'est pas imposée

T


Dans un premier temps, on se limitera à ce dernier cas. Pour répondre au problème, on peut alors admettre que le plan P est fi xé et que le po itionnement du triangle (et de son plan) dans l'espace est laissé à notre initiative. Le triangle métallique étant entre nos mai ns, les latitudes dont on dispose sont alors : 1) le choix de la direction D, 2) le fait que le maillage (essentiellement sa taille) soit ou non imposé.

Lorsque les deux degrés de liberté sont réuni , la réponse au problème est toujour « oui » ! On peut même construire très simplement l'une des faço ns de procéder.

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE Étape 1 : on « pose » le triangle ABC sur le plan P ; Étape 2 : on construit A ' sur le pl an P te l que le triang le A ' BC soit équilatéral ; Étape 3 : on opère une rotation que lconque (no n identique) de A autour de la droite (BC) ; Étape 4 : on joint A à A ', la droite (AA ' ) donnant la direction

o. On peut alor translater le triang le ABC dans la directi on D sans que la projection change : ce sera toujours le triang le équilatéral A ' BC.

gueur du côté [BC] , 8 et C sont sur le cerc le (f ) de centre A ' et de rayo n a. Pour c hacune des pos ition s poss ibl es du seg me nt [BC] , le po int A est situé sur le cercle, et plu s préc iséme nt dans le pl an perpe ndi cul aire à (BC), de centre la proj ecti o n H de A sur (BC) et de ra yo n h (l o ng ue ur AH de la hauteur). Lorsque [BC] vari e s ur le cerc le ( f) , H déc rit un cerc le de centre A ' et A appartie nt do nc à un to re ( no n droit, e n général ).

Passo ns à un exerc ice plus contrai gnant : on va s' intéresser au cas où la direction D de la projection est imposée, sans que la tai lle du tri angle équilatéral le soit. On part cette fo is du po int A ' , que l'on fi xe sur P. On cherche à pl acer 8 et C sur P de sorte que le tri ang le A ' BC o it équil atéral. Si a e t la Io n-

On trace alors la droite parallè le à D passant par A '. Si elle coupe le tore , chac un des po ints d ' intersection per-

Le cas d'une protecuon onhoaonale Dans le cas d ' une projection orthogonale, on part du triangle projeté A 8 'C ' de côté d. On trace alors le prisme droit passant par ses ommet et on e saie de placer A, B et C ur les arêtes du pri me. Quitte à opérer une tran lation , on uppo e A= A' . On place 8

ur l' arête de B ' (à une cote b' par rapport au plan

P) de sorte que la distance AB soit égale à c. On a donc :

c2 = d2 + b'2. On place C ur l' arête de C ' (deux position : à une cote

c' ou - c') de orte que la distance AC oit égale à b. On a donc : b2 =d2 + c' 2 • Il re te à écrire que la di tance BC e t a , oit : a2 =d2 + (b' ± c ' )2. En éliminant b' et c' dans ces trois équation , on trouve la relation que doivent vérifier les longueurs des côtés du triangle pour que ce dernier se rojette orthogonalement sur un triangle équilatéral de 2

côté d : b + c

2

-

a

2

-

d2 = ±

2

(b -

d 2 )( c 2 - d 2 ) .


JEUX ET PROBLÈMES

Tous les triangles ...

met de dé finir une position de A qui ré pond à la question. On pe ut ensuite, si on le souhaite, tran slate r le triang le ABC dans la direction D sans que la projection change : ce sera toujours le triang le équilatéral A ' BC. Si , quitte à échanger les noms des points, le tore s'avère être une surface fe rmée (appelée tore croise') empri sonnant le point A ', alors la dro ite parallè le à D passa nt par A ' coupera fo rcément cette surface, que lle que soit la direction O. Le problè me admettra donc to ujours une solution, que lle que soit la projection cho isie. C 'est en particulier le cas des triang les ac utang les, et mê me de to us les tri angles dont aucun ang le ne dépasse 120°. Il suffit de prendre pour [BC] le plus petit côté : la hauteur issue de A sera supérie ure à ce lle issue de A ', ce qui permet au tore d 'être croisé. Ces triangles pourront donc avo ir pour image un tri an gle équilatéral que lle que soit la projection fi xée. Po ur les autres tri angles, tout dépendra de la directio n O.

Quand la taille du triangle équilatéral est imposée Passons au problème de la manipul ation du Mathematikum. Cette foi s, on souhaite que le tri angle projeté A ' B'C' du plan P, no n seulement soit équil atéral, mai s ait une taille do nnée. Soit d la longueur de ses côtés. Supposons d 'abord que l'on fi xe la projection, c'est-à-dire no n seulement le plan P, mais auss i la directio n O. Géométrique ment , ce la rev ient à construire le pri sme de base A ' 8 'C '


dont les arêtes sont para llè les à D et à chercher à place r les tro is sommets A, 8 et C du triangle initial sur les arêtes correspondantes. Une première remarque s' impo e : le tri angle ABC est « trop petit », ce ne sera pas poss ible. En effet, en coupant le pri sme par un pl an perpendicul aire, on obtient la plus petite taille du tri angle que l'on pe ut ai nsi inscrire dans le pri sme. Soient a·, b' et c' es dimensions. Si l' une des longue urs a, b, c des côtés est plus grande que a ' , une autre plus grande que b' et la tro isième plus grande que c', on peut espérer. Sino n, ce sera imposs ible. Mais l'espo ir n 'est pas considérable : en effet, une fo is pl acé par exemple le po int A du tri an gle initial sur une arête du pri sme, les longueurs b et c de ses côtés adj acents imposent un nombre fin i de pos itions pour 8 et C (deux pour chaque po int si l'arête est choisie) et par sy métrie seulement deux va le urs pour la longue ur BC, longueur qui , dans le ca général, a bien pe u de chances de coïnc ider avec a. En encadré, le calcul fait dans le ca d ' une projection orthogonale donne la re lation que do ivent vérifier a, b, cet d po ur que ce soit poss ible. Élarg issons le dé bat. Peut-on, pour n' importe que l triangle donné ABC et une taille fi xée d ' image équil atérale A ' B'C' de côté a, toujours assoc ierune direction de projection ? Une remarque simple permet de répondre par la négati ve. Supposons en effet que le triangle ABC soit plat. Il est cl air que son image sera également un triangle plat, quelle que o it la direction D de la projection. Par conti nuité de la projection sur P elon D,

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE tous les triangles ABC « suffi samment proc hes » du triangle pl at ne pourront avoir une image équil atérale de côté a. Ce sera par exemple le cas de triangles dont une des médianes aura une Iongueur infé rieure à m/J . 2

Cas d'une projection centrale Le problème peut être au i élarg i à une projection centrale : dans ce type de tran fo rmation, les faisceaux de lumière, au lieu d 'être défi ni s par la direction D, sont alors tous issus d ' un point O (hors de P, natu rellement), appe lé centre de la projection. Le triang le métallique étant entre nos main s, les latitudes dont on di spose semblent, comme précédemment, au nombre de deux : le cho ix du centre O de la projection centrale, et le fa it que la taille du maill age so it ou no n imposée. Mais en fait, pour une projection centrale, la taille de l' image importe peu puisqu'en utilisant un pl an de projection parallè le plu s proche ou plus lo intain on peut toujours retrouver une tai lle qui convient (dès lor que l'on accepte une image qui ne so it pas du même côté que le tri angle initial). Sinon, on doit écarter, naturellement, les triangles de taille plus grande que l' image. li ne reste donc qu 'à étudier le problème lié à la première latitude.

ramide et d ' un pl an sécant ? Même si la panoplie de tels tri angles semble relati vement large, elle est nature llement limitée par le cho ix de la pyramide. • Mais en laissant libre le cho ix du sommet, on peut trou ver, pour n' importe que l triang le non aplati , un centre de projection qui réponde à la question. On procède pour ce la comme pour la projection affi ne dans le ca où ni la direction de la projection, ni la dimension du triangle équilatéral n'est imposée. Étape 1 : on « pose » le tri angle ABC sur un pl an P' parallèle à P ; Étape 2: on construit A ' sur ce plan te l que le triangle A ' BC soit équil atéral ; Étape 3 : on opère une rotation quelconque (non identique) de A autour de la droite (BC) ; Étape 4 : on joint A à A', en cho isissant un po int O ' sur la droite (AA ') ; Étape 5 : une certaine homothétie de centre O ' transforme A ' BC en un triang le équilatéral de la taille de mandée qui appartient à un plan P'' parallè le à P. Si l' on part du pl an P sur leque l ont dess iné les triangles, il reste à translater ! 'ensemble de la fig ure de faço n à faire coïnc ider P " avec P (et si besoin ce triangle équil atéral avec l' un de ceux tracés sur P). L ' image de 0 ' par cette translation est le centre O cherché de la projectio n.

M.B.&G.C. • Dans le cas où le centre de projection est fixé, le problème se ra mène à la formulation suivante : on considère une pyramide (pas fo rcément dro ite) à base tri angulaire équilatérale. Quels sont les tri angles que l'on peut y inscrire (un sommet appartenant à chaq ue arête) ? Ou encore, que ls sont les triangles décri ts par l' intersection de cette py-

Note aux lecteurs Cet article met en év idence un certai n no mbre de cas imposs ibles sans les caractéri ser préc isé ment. Si certain s lecteurs sont en mesure de décrire préc isément la frontière entre les cas poss ibles et les cas impossibles, ils peuvent le fa ire en écri vant à la rédaction de Tangente (redactionpo le@yahoo. fr).

Hors-série n°53. Les angles Tcingent:e

SAVOIRS


le billard, une affaire à rebondissements Scruter la trajectoire d'une boule sur un billard, c'est comme observer les rayons lumineux dans un jeu de miroirs. Du coup, les angles y jouent un rôle prépondérant, surtout si l'on s 'intéresse aux trajectoires périodiques. On n'a pas fini de jouer au billard ! n billard ? C'est une table sur laquelle roule une boule, qui se dépl ace à vitesse (s upposée) constante, en ligne dro ite, et rebond it sur les bords de la table selon les lois ... de l'o ptique géo métrique. Le billard rêvé de tout mathémati cien sera donc un ensemble plan, qui peut être de forme variée, et un point matériel, qui fig urera la boule et se déplacera en ligne droite entre deux rebonds. La pos iti on de la boule à un instant donné dépend de deux facteurs: l'endroit où elle se trouve au départ et la direction dans laquelle on l'envo ie. Ce sont ces impacts ur les bords du bi llard qui intéressent le géomètre, constituant un système dynamique. On s' intéressera ic i particulièrement aux trajectoires péri odiques, c'est-à-dire celles qui repassent par le point de départ avec la même direction.

U

Existe-t-il dans tout triangle une trajectoire périodique ? Anatole Katok a mis en jeu 10 000 € pour la réponse à cette question ! Tangente Hors-série n°53. Les angles

le triangle de lumière En 1775, le comte Giulio Cesare Fagnano dei Tosc hi posa it le pro bl è me, étant donné un triangle acutangle ABC, de choisir sur ses côtés les point P, Q et R tels que le périmètre du triangle PQR soit minimum . Ce n'est rien d'autre que rechercher le trajet d' un rayon lumineux qui , parti de P, se réfl échirait successivement sur les côtés [AC] puis [AB].

,,~ ··

~ B

P

. C

Pour un point P pris au hasard sur le côté [BC], ses sy métriques par rapport aux côté [AC] et [AB] étant respect ivement P 1 et P2 , le péri mètre du triangle PQR e t minimum lorsque les points P 1, Q , R et P2 sont alignés. Dans ce cas , le périmètre du triangle PQR est éga l à 2 x AP x sin a si a est la mes ure de l'angle en A. Il e t minimum si AP l'est,

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE c 'est-à-dire si P est le pied de la hauteur issue de A du triang le ABC. On co nstruit e n co nséque nce le tria ng le P0Q0 R0 correspondant. Or, si o n imagine reprendre la démonstration avec le po int Q pui s le po int R au lieu du po int P, les po ints Q0 et R0 sont les pieds des hauteurs issues de B et de C. Le triangle de lumière est donc celui des pieds de hauteurs du tri angle ABC : c ' est le triang le orthique .

les lois de la réflexion Héron d ' Alexandrie siècle).

wr

Willebrord Snell (1580-1626). René Descartes (1596-1650) peint par Frans Hals.

Pierre de Fermat (vers 1601-1665). B p

Ain si, da ns un bill ard tri angul a ire, il ex iste au mo in s une trajecto ire périodique , c'est celle du triangle orthique . On peut généraliser cette particularité : pour obteni r par exemple une trajecto ire à six impacts, il suffit de partir dans la direction de l' un des côtés du tri ang le orthique.

Déjà conjecturées dans !'Antiquité par Héron d'Alexandrie, énoncées dans la loi de Snell- Descartes en 1637, justifiées par le principe de Fermat (selon lequel « la

nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples »), les lois de la réflexion s'énoncent simplement : • le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence, formé par la normale au miroir et le rayon incident ; • les angles d'incidence et de réflexion sont égaux en valeur absolue.

N~

6

B

4

On peut également montrer que lor que les angles (en radians) du triangle sont des multiples rationnels de rc, il ex iste toujours une trajectoire rationne lle . Une question de meure cependant , et c ' est le professeur Anatole Boris Kato k (s pécialiste de systèmes dynamiques à )' unive rs ité d ' État de Pe nn sy lva ni e , a ux

p

... . -.: B '

D'après le raisonnement de Fermat, le trajet effectué par la lumière pour se rendre d'un point A à un point B après s'être réfléchi en P sur un miroir est celui pour lequel AP + PB est minimum. C'est là que le point B', symétrique de B par rapport au plan du miroir, joue son rôle : ce trajet est minimum lorsque les points A, Pet B' sont alignés, et alors APN = NPB.

0


SAVOIRS

Le billard ... États- Uni ) qui la pose : ex i te-t-il da n tout tri a ng le a u moin une trajectoire périodique ? Katok a mi en jeu 10 000 € pour la ré ponse à cette que tion . .. av is a ux a mate ur !

Billard rectangulaire : dépliez-le ! c B' D'

Billard circulaire : un modèle simple Dans le cas d ' un billard c irculaire, l'angle d ' inc idence () de chaque portion de la traj ectoire e ntre d e u x re bond s reste le mê me : c 'e t une proprié té du ce rc le. Par a ille urs, pour une vale ur() pouva nt s'écrire .!!...

q

x n, où p et q sont des e ntie rs

- on dit a lors que() e t commensurable à n - , toutes le trajectoires ont pé riodiques. Si q est un multiple de 4 , la trajectoire comporte q egme nt , s i c'e t un multiple de 4 auque l on ajoute 2, e lle comporte q /2 segme nt . Si par contre q e t impair, la trajectoire comporte 2 x q

. s1. () = -l X n , Ia bou Ie . 1, egme nts. Am

5

rev ie nt à son point d e dé pa rt en dix re bonds.

Avec un a ngle d ' incidence égal à ;r,/5.

Tcingent:e Hors-série n°53. Les angles

A

L a qu es ti o n d ' An a tol e K a to k pe ut s'étendre aux billards polygonaux. Le cas le plu impie e t celui du rectangle . La boul e part , par e xe mple, d ' un po int initial I situé sur le bord inférieur du billard , ve r la droite, da n la direc tion d ' un vec te ur ( 1) fa i a nt un ang le a (radi an ) avec ce bord , he urte le bord droit pui re part , da ns la directi o n d ' un vec te ur (2) fa i a nt avec ce bo rd un a ng le de n/2 - a . Elle anive au bord gauche t repart da ns la direction ( 1), fa isant avec ce bord un ang le rr/2 - a , he urte e nsuite le bord upérieur et rebondit dans une di rection (3) oppo ée à (2), fa i a nt avec lui un a ng le a, pour a lle r he urte r le bo rd droit , re partant dan une direction (4) o pposée à ( 1), e t he urte le bo rd gauche po ur e n re pa rtir dan la directio n (3), ve rs son po int de dé pa rt , ur le bo rd infé ri e ur, d ' où e ll e re pa rt fin a le me nt dan la direction ( 1), fa isant avec celui c i .. . un ang le a. Ains i, par le je u des a ng les d ' inc ide nce et de ré fl ex ion , la boule n'a que quatre directio n possibles pour e dé place r. M a inte nant , po ur étudie r la trajecto ire, une mé thode s imple e t de « dé plie r » la ta ble de billa rd par de ymé tries par rapport à es côté , repré e ntant un véritable pavage du plan avec de pavé rectang ula ires jointif ! Sur la trajectoire « dépliée » , les images des points d ' impact ur le bord , images


A

Un billard rectangulaire déplié. par les composées des sy mé tries succes ives, sont alignées , se lon le principe du chemin minimum des loi s de la réflex ion . Alor , les trajectoires périodiques correspondront à un point d ' arrivée J si tué exacte me nt à l' image du point I par ces composées de symé trie , le nombre de rebonds de la boul e étant celui des intersect ions avec les joints du pavage, ici 6. À que lle condition les points I et J se correspondent- ils ainsi ? Il suffit , pour le savo ir, de calcule r la « pente » de la trajectoire re~gne, so it la tangente de l' angle a = AIH .

JK 3 I , . 0 n obti e nt tan a= - = - x - , ou L rK 6 L désigne la longueur de la table de billard et l sa largeur. Cette égal ité signifie qu 'au bout de six rebonds la boule est revenue à son point de départ. Plus généra leme nt , si la pe nte de la trajectoire est comme nsurable à l / L , alors la trajectoire est fermée e t se répète de manière périodique. Si ce n'est pas le cas , la trajectoire non seule ment ne se ferme pas mais e lle re mplit tout l'espace du billard - on dit qu 'elle est dense-, c'està-d ire qu 'elle passe auss i près que l'on veut den 'importe que l point du billard , tout e n étant équirépartie : la proportion des trajectoires passant par une certaine rég ion te nd , lorsque le nombre de

La nature agit toujours selon les voies les plus courtes et les plus simples. re bonds dev ient très g rand , vers une vale ur proportionne lle à l'aire de cette rég ion . Les systè mes dyna miques ne manquent pas dans la nature, et les billards en sont un bel exempl e. Deux des médaill és Fields du cru 2014 n'ont-ils pas d 'ai lleurs tra va illé sur ce thè me? Les travaux de M a ryam Mirzakhani , premiè re femme à avo ir obtenu cette di stinction (voir Tangente 162), porte nt entre autres sur les billard s rationne ls - en forme de polygone dont les ang les sont tous des multiples rationnels den - et Artur Avila (voir Tangente 161) cherche lui aussi à mettre un peu d 'ordre dans le chaos des billards non rectangulaires. Les billards sont loin d 'avoir livré tous leurs secrets !

É.B.

Hors-série n° 53. Les angles Tangente

SAVOIRS

par Karine Brodsky

Sous l'angle

des symétries

La syinétrie n'est pas qu'une notion descriptive assoc1ee à une certaine forme d'harmonie ou de régularité. Certaines syinétries de la nature conduisent à des angles remarquables dont l'étude a des ramifications tant en cristallographie que dans les travaux sur les pavages ou les formes fractales.

L

a co nnaissa nce de certa ines « régularités» permet en général, dans l'étude d ' un problème, de grandes simplificatio ns. Une fo nction numé rique périodique, par exemple, n'a besoin d 'être étudiée que sur un intervalle de valeurs très restreint , la généralisatio n se fai ant ensuite fac ilement par répétitio n du « moti f é lé mentaire». Une te lle opération de re triction à un ensemble non redondant se voit auss i à l'œuvre dans les algorithmes de compress io n des données, qui ag issent en que lque sorte en traquant le superflu , par analyse de certaines régul arités du codage et repérage de motifs élémentaires . De même, plus il y a de param ètres de description redondants dans un système physique, plus il admet de symétries, c'est-à-dire

Répétition du motif élémentaire d ' une fon ction périodique.

EJ

Ta.ngent:e Hors-série n°53. Les angles

plus il ex iste de tra nsformations qu i le laissent in variant.

Du pareil au même La notion de répétition ou de redondance est fac ilement perceptible en ce qui concerne les symétries géométriques , qui correspondent peu ou prou à la notion commune que nous en avons. Observons les deux images ci-dessous.

Leur symétrie nous saute aux yeux : dans celle de dro ite, l' une quelconque des ailes du papi llon se voit aussitôt comme l' image de l' autre dans un miroir : dans celle de gauche, on perçoit d'emblée que la carte est inchangée si l'on inverse haut et bas. Dans les deux cas , on comprend que l'on peut reconstruire l'obj et co mp let , ca rte o u papi li o n,

à partir d ' une seule moitié, l'autre s'obtenant par une certaine transformation . En ce qui concerne le papillon , il s'agit d ' une symétrie axiale (ou réflexion) : l'ensemble des points fixes est en effet une droite , l'axe par rapport auquel s'effectue la ymétrie. Pour ce qui est de la carte, iJ s'agit d ' une symétrie centrale (il y a un unique point fixe) ; cette symétrie est équivalente à une rotation d' angle 180°. Outre les symétries par rapport à des points ou des droite , on peut aussi avoir, dans l'espace, des symétries par rapport à des plans.

ce sont des ymétries du carré. L'ensemble de toutes les symétries du carré forment le groupe de symétrie du carré (le terme de « groupe » référant à la structure algébrique sous-jacente). Pour le carré, il existe donc quatre angles par lesquels on peut le faire tourner autour de son centre en le laissant invariant : ces angles ont pour mesure k x

2

:n: , où k prend les valeurs

4

successives d 'un même motif triangulaire.

1, 2, 3 ou 4 (la rotation d 'angle 360° correspondant à l'identité). On parle alors de symétrie d'ordre 4. Chaque ordre de symétrie supérieur ou égal à 3 peut, de manière générale , être associé à un polygone régulier : le triangle équilatéral à l'ordre 3 (rotation élémentaire d 'angle 120°), le pentagone à l'ordre 5 (angle 72°), l'hexagone à l'ordre 6 (angle 60°) , etc. Dans l'espace, il existe une correspondance analogue pour les rotations axiales . Ces sy métries sont fréquemment présentes dans la nature, que ce soit au niveau macroscopique , comme pour l'étoile de mer (symétrie d 'ordre 5), ou microscopique , comme dans les cristaux.

Précison alors la notion d'invariance : le tran sformations qui, à partir d'un motif élémentaire , permettent de reconstituer un objet, sont également celles qui le lai ssent globalement invariant. Prenons l'exemple du carré ci-dessu : considérons le motif triangulaire jaune et tournons-le d'un angle de 90° autour du ommet où l'angle est droit. Répétons l'opération deux foi à partir des nouvelles positions du motif: on obtient le carré complet. Un carré étant donné, on peut aussi bien dire que les rotations d 'angles 90°, 180° et 270° laissent le carré globalement invariant :

Figure de diffraction d'un cristal de chlorure de sodium. Les points lumineux correspondent aux directions privilégiées dans lesquelles repart la lumière qui tombe sur le cristal.

r---------------- --------1', 1

1

'

' '

'

/

/ /

/

/ /

/

/

/ /

/

Le carré est obtenu par rotations


ED

SAVOIRS

Sous l'angle des symétries

Pour ces derniers, il a été montré à la fi n du XIX< siècle qu ' une symétrie d 'ordre 5, correspondant donc à un angle de 72°, reste rait ino bservable, alors que des cristaux à symétrie d ' ordre 2, 3, 4 et 6 ont bie n été découverts. E n effet, une structure c ristal line étant un assemblage périodique de motifs é lémentaires, il faudrait po uvoir la construire par répétitio n d ' un motif possédant une te lle symétrie, ce qui est géométriquement impossible (de même qu 'on ne peut paver le plan avec des pentagones).

Angles remarquables et angle Impossible Cette vale ur imposs ible de 72° est remarquable en ce qu 'elle lie certai nes con sidé rations mathé matiques avec que lques découve rtes expé rime ntales récentes. En 1974, le mathé matic ie n et physic ie n Roger Pe nrose découvre e n effet un pavage non périodique réali sant une symétrie d 'ordre c inq constitué de seule me nt deux motifs di ffé rents. Or, une di zaine d 'années plus tard , le phys ic ien Dan Shechtman observe avec on équipe une fi gure de diffraction possédant une ymétrie d 'ordre 5 , qu ' il ne peut do nc attribue r à une structure périodique, mais qui era interprétée comme la sig nature d ' un type très particulier d 'objets, dénommés par la suite

quasi-cristaux .

~ ~

.

..,~ @

Figure de diffraction d ' un quasi-cristal possédant une symétrie d 'ordre S. S'y superpo e une projection orthographique d 'un hypercube à cinq dimensions. Il se trouve que l'ang le de mesure 72° est étro ite me nt lié au no mbre d 'or qi = (1+ 2 ; il véri fie e n effet :

Js)/

cos 72° =

qi- 1

- - . CJ!

2

est le rapport de la

diagonale au côté du pentagone régulier, dont il ex iste une constructio n à partir de « triangles d 'or » (triang les isocèles dont les lo ngueurs de deux côtés no n égaux sont dans un rappo rt qJ ). Des travaux plus récents (voir la première référe nce) ont mo ntré qu ' un pavage associé au frac tal de Rauzy, fracta l construit à partir d ' une ub titution de Tribo nacci, une généraljsation de celle de Fibo nacc i (le taux de croissance des nombres de Fibonacci converge vers qJ ), s'avère être un bo n modè le de quasicrista l.

K.B.

"'Q = Pavage de Penrose possédant une symétrie d 'ordre S.

El


Références Dynamique du nombre d'or. Cours de Pierre Arnoux et Anne Siege l (di sponib le en ligne), 2004. Math ématiques et chimie. Bibliothèque Tangente 43 , 2012. Mathéma tiques et biologie. Bibl iothèque Tangente 42 , 20 11.

EN BREF

par É. Thomas et J. Gavin

Relations angulaires dans le quadrilatère Un q uadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle si la somme de deux de ses angles opposés vaut 180°. Par ailleurs, les élèves apprennent toujours le mag nifique théorème sui va nt, dû au géomètre alexandrin C laude Pto lémée (vers 90 , vers 168) et dont la démonstration utilise les notions d 'angles : dans un quadrilatère convexe insc riptible dans un cercle, le produit des di agonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. En combinant ces deux ré ultats, on obtient : si la somme de deux angles opposés d ' un quadrilatère vaut 180°, alors le produit des ses diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. Joli , no n ? Parmi les quadrilatères remarquables, le carré et le rectang le possèdent to ujours de ux ang les opposés do nt la somme vaut 180°. On applique notre concl usion au carré de côté c et de di ago nale cl : c 2 + c 2 =cP, donc 2c2 =d2. On applique notre conclusion au rectang le de côtés a et b et de diagonale d, et alors : a2 + b2 = d2 . On vient de démontrer le théorè me de Pythago re !


SAVOIRS

par Jean-Pierre Friedelmeyer

Hngles et

lunules quarrables

Quelles sont les lunules qui peuvent être quarrées ? Pour résoudre cette belle question de géométrie pure, on comprend que des considérations d'angle doivent intervenir. Il est plus surprenant de découvrir que l'algèbre et la théorie de Galois font également partie du voyage. uiconque observe le cie l la nuit par temps clair peut voir la lune plus ou moins écl airée, plu s ou ronquée , sui va nt ce que l'o n o appelle les phases de la lune .

Q

M

B

Ce lles-c i, correspondant à la parti e de notre sate llite éclairée par le so le il , se présente nt sous la forme de lunul es. Une lunule te lle que AMBmA sur le fi gures ci-co ntre peut se déc rire géométriquement par l' inter ection de deux cercl es, (0 ) et (o). La fo rme et la grandeur de la lunule peuvent être caractéri sées par les rayo ns R =OA et r =oA des deux ce~, ainsi que ~ les angles au centre AOB = 2x et AoB = 2y. La ou lunul e peut être concave-con~ ~exe se lon qu e les arcs AMB e t AmB sont du même côté ou de part et d 'autre de la corde commune [AB] .


Le premier exemple de lunule a été étudié par Hippocrate de Chio , qui en réaI isa la quadrature (c ' e s t-à- dire la construction à la règ le et au compas, en un nombre fini d 'étapes, d'un carré BCD E de mê me aire que la lunule).


Pourquoi le résu11a1 d'Arlus de lionne esl correct Pour se convaincre que les aires orangées sont égales, il suffit d'appliquer deux résultats élémentaires, rappelés sur les schémas suivants. Pour un même rayon et des angles distincts, Aire du secteur DAB Aire du secteur DAC

Quadrature de la lunule AMBmA, définie par l' intersection du demi-cercle OO (avec 2x = 180°) avec le quart de cercle W (avec 2y = 90°) .

Point de quadrature du cercle...

OO

DAC ·

Pour un même angle et des rayons distincts,

La quadrature des lunul es laissa it espérer une voie d 'accès à la fa meuse quadrature du cercle , problè me qui a hanté les géomètres durant vingt-cinq siècles , jusqu'à sa solution par la négative au XIX 0 siècle (vo ir les Mathématiques de l'impossible, Bibliothèque Tangente 49). En mo ntrant que l 'ai re de ce rta in es lunules pouvait être démontrée égale à l' aire d ' un certain po lygone , sa qu adrature en découle pui sque l'on sait réali ser la quadrature de n ' importe quel polygone . L'égalité des aires de la lunule AMBmA (dés ignée par lunul e I dans la suite) et du carré BCDE e t très simple à démontrer. Il suffit de se rappeler que les aires des cercles sont proportionnelles aux carrés de leurs rayons. Le carré du rayon DB vaut deux fois le carré du rayon EB. Donc le quart de cercle ADBmA est égal (en aire) au demi -cercle ABMA. Enlevons à chacun la même portion AEBmA et on obti ent l' éga lité (e n aire) de la lunule I avec le triangle rectangle ADB, lui -mê me de mê me aire qu e le carré BCDE. L' abbé Artus de Lionne ( 1665- 171 3) a général isé ce ré ultat à la lunule tronquée

Aire du secteur AOB = ( OA ) Aire du secteur COD OC

2

La démonstration de la propriété mise en évidence par Artus de Lionne se fait alors en trois étapes. On montre déjà que l'aire du secteur OAM est égale à l'aire du secteur UAD . Ensuite, on établit que l'aire du triangle MCO est égale à celle du triangle XCU (car UMO et OXU, qui ont même base OM et même hauteur (OX), ont également même aire). On en déduit que l'aire de la lunule AMD est égale à celle du triangle AUX.

ADMA (aire orangée sur la figure ci-contre) . Son aire est égale, pour tout point X du segment [AB], à ce lle du tri angle AUX où U est le centre du quart de cercle UADBU. Ainsi, toute propriété ou question sur le tri a ng le AUX e t concernant des aires e répercute e n une propri été ou question imilaire sur la surface curviligne AMD. Par exemple , si l' on de mande de partager la lunule AMBEA en n parties égaJes, il suffit de partager le triangle UAB en le même nombre n de tri angles égaux , ce qui peut se faire simplement à la règle

Hors-série n° 53. Les angles Tcingente

SAVOIRS

Angles et lunules quarrables et au compas , et de reporter les subdivisions sur la lunule, comme (' illustre la figure ci-contre . Pour étudier les lunules de façon plus générale, on peut penser que Hippocrate s'est

u

basé sur un principe de similitude concerna nt les secteurs e t les seg me nt de cercle : deux secteurs ACB et acb pris sur deux cercles distincts sont semblables si, et seulement si, les angles AOB et aob qui les sous-tendent sont égaux. Alors les aires des secteurs sont proportionnelles aux carrés des cordes qui les ouste nde n t. Il e n es t de mê me pour les segments de cercle correspondants. Avec ce principe, Hippocrate po ède un moyen efficace de comparer des aires de lunules à des aires de polygones, et donc de montrer qu 'elles sont quarrables. Déjà, pour la lunule 1, les segments s 1 construits sur AC , s 2 sur CB et S sur AB sont emblables (car les segments sont sous-tendus par un angle de 90°). On a par ai lleurs, grâce au théorème de Pythagore générali sé aux figures sembl ables construites sur les côtés : S = s 1 + s 2 • On en déduit l'égal ité en aire de la lunule ACBDA avec l'a ire du triangle ABC (en enlevant au demi-cercle so it s I et s 2 , soit S). En cherchant à étendre cette idée au cas de trois segments égaux, Hippocrate met en évidence deux autres lunules quarrables à partir d ' un trapèze isocèle ABCD tel que AB= BC =CD.Un te l trapèze est inscriptible dans un cercl e qui donnera l'arc de centre O. Dans le premier exemple (lunule li) le second arc, de centre o, sera tangent aux diago nales AC et BD du trapèze ABCD et tel que sa base vérifie AD 2 = 3AB2 . De orte que l'on a alors troi s petits segments égaux sur les côtés du trapèze, et semblables au segment sur la base, l'a ire de celui -c i étant égale à la somme des trois aires des segments ur les petits côté . On en déduit

que la lunule a mê me aire que le trapèze, en enlevant au segment ABCDA so it les troi s petits seg me nts , so it le grand segment sur la base. On a en fait, pour cette lunule Il :

- =-

AOB

AoD

= a. = Arc cos

(FJ-I)= -

2

68°53.

-

A

c

B


La lunule II

La lunule m est construite de façon semblable, mais avec un econd arc tangent aux côtés adjacents du trapèze et des ecteurs, vérifiant 2 AE 2 = 3 AB 2 . Dans ce cas, le second arc passera par l' intersection E des diagonales AC et BD et l'aire de la lunule est alors éga le à ce lle du pentagone concave ABCDEA. On dé montrera de même pour les angles intervenant que

- =-

AoE

(,/33-1)=

AOB =a. = Arc cos -

2

53°62.

J-, OO La lunule Ill

Tout cela reste un peu parcellaire et pose la question de l'existence d'autres lunule quarrables. De no mbre ux auteurs s'y sont attaqués lorsq ue l'outil algébrique fut assez développé, à commencer par

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE l' as tro no me da no is Tho mas Cl a usen (180 1- 1885) da ns un artic le du Journal de Crelle (to me 2 1, 1840) . Il ne s' occupe que des lunules convex~caves. Dan la fi~ c i-dessous , AOM = x, O A = R, Ao M =y, oA = r, l'aire de la lunule AMB111A est égale à la différence des aires des secteurs AOBMA et AoBmA, aug me ntée de l'a ire du tri a ng le AoB . Pour q ue do nc la lunule so it quarrable, il suffi t que la di ffé re nce des a ires des secte ur so it nulle (puisque alo rs o n est ramené à l'a ire d ' un tri angle, to ujo urs q uarrabl e). Cette conditi o n se traduit par x R 2 = y r 2. De plus, les de ux secte urs o nt une corde commune [A B], ce qui e traduit pa r AH = R si nx = r in y. Lor que les angles x e t y o nt des multiples e ntie rs d ' un même angle u, (avec x =mu et y= nu),

t·

. n sin. mu on a bout1.t a, I''equat1o -= - . sm n.u n Or, pour p e ntier, sin (pu)= (s in u) Tp- l (cos u), o ù T ,.,... 1 est un po lynô me à coefficients e ntiers, dit polynôme de Tchebychev. A ins i , par exemple, on pe ut écrire sin 2u = 2 (s in u)(cos u) , sin 3u=( in u)(4co 2 u - l ) =(s in u)(2cos2 u+ 1), si n 5u = (sin u)( l 6cos 4 u - 12cos 2u + 1) = (sin u) (4cos 22u - 4cos2u - 2). M

~ o

radicaux carrés. Cl a usen re trou ve a in i les tro is lunules d ' Hippocrate. En posant a = 2u, il o btie nt : • la lunule I avec 111 = 2, n = 1, in 2u ,,; a ,,; ,r - - = v 2, 2cos - = v2 , a=-. sin u 2 2 • la lunule II avec sin )u =

111

= 3 , n = 1,

FJ, cos a= FJ- 1, a= 68°5. 2

~nu

• la lunule III avec

111

= 3, n. = 2,

Œ,

sin )u = cosa= 5J- J, a = 56°6. sin 2u ~2 2 M a is e n plu s, il e n découvre de ux no uve lles , avec (111, n) = (5 , 1) e t avec (m , n) = (5, 3). Po ur la pre miè re (en haut) , cos a=

Js + 44.Js - 1 e t a"" 46°8 .

En me tta nt e n év ide nce les c inq a rcs égaux défini s par A , B , C , D , E et F, o n mo ntre que (AE) est pe rpe ndic ul a ire à (oA) e t que AF2 = 5 AB 2 . L'aire de la lunule ABCDEFA est égale à l'aire de l' hexagone ABCDEF. Po ur la seconde

+{f

JI- 1+ ~ 20 3 3 3 4 e t a "" 33°6. De mê me, (AC) est pe rpe ndiculaire à (oA) et 5 AD 2 = 3 AF 2 . Et donc l'aire de la lunule est éga le à l' a ire de l'octogone concave ABC D EFGH A. Avec ces exe mpl es, o n e ntrevo it les mécani smes e n jeu au niveau des équations o btenues. Le problè me se dépl ace vers une étude a lgébrique nécess itant des o util s plus é labo rés. La découverte de C lausen susc itera ai nsi des recherches plu s gé néra les e t systé m atiques po ur dé te rminer d ' autres lunules quarrables éventue lles. En vain ! Le problè me sera résolu dé finiti ve me nt au s iècle par de ux a lgé bri stes russes, Niko laï C hebotaryov et son é lève Anatoly Dorodnov, a u moyen de la théorie de G a lo is : il dé mo ntre nt qu ' il n 'ex iste a ucune autre lunule qua rra bl e e n de ho rs de ce ll e mi ses e n év ide nce par Cl ausen . (e n bas), cos a=

,,: 'Alt,, :, .

xxe

O n se ramène do nc à une équatio n po lynom iale en cos 2u, et la lunule sera quarrab le chaque fo is que cette équation aura des rac ines 'ex prima nt a u moyen de

J.-P. F.


~

"·;ix/

·-~

:

:o

SAVOIRS

par David Delaunay

l' eMponentielle compleMe La fonction exponentielle, définie sur IR, et les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont étroitement liées à travers la notion d'exponentielle complexe. Contrairement à ce que son nom indique, ce n 'est pas compliqué de préciser ce lien, lorsque l'on a les bonnes définitions!

A

vant de défi nir l'ex po nentie lle d ' un nombre complexe, il est plus fac ile (paradoxale ment ?) de commencer par introduire l'exponentie lle d ' un nombre .. . imag inaire. Po ur un rée l 8, on considère le nombre complexe é 0 , défi ni par :

les formules d'Euler et la formule de molure

é 0 = cos8 + i sin 8.

Représentation du plan complexe.

Ce nombre fi gure sur le cercle des nombres complexes de module 1. 0 2 2 En effet : Je' J = cos 8+ sin 8 = 1. Tl y est repéré par l' argument angula ire 8.

Les nombres réels sont localisés sur l'axe horizontal. Par ailleurs, grâce à la parité de la Les nombres fo nction cos inus et au caractère impair imaginaires purs, tel de la fo nction sinus, on peut vérifier la i(O, 1), sont situés re lation de conjugaison sui vante : sur l'axe vertical. Le nombre complexe e;e = cos 8 - i sin 8 = e-;e . z = a + ib se trouve en M(a, b) ; 1 + i est i+ I représenté ici.

•

-2

2

- 1

Le no mbre cos 8 corres po nd à la part ie réelle du complexe em. Pui sque la partie réelle d ' un complexe

z se calcule

Re ( z) =

par la fo rmule

z + z , on obtient 2

:

iO

- iO

i6

- iO

cos8 = e +e 2 De faço n analogue, on tro uve également : sin8 = e - e 2i Ce sont les célèbres fo rmules d'Euler. Par ailleurs, en vertu des formules d 'addition sui vantes :

l

cos (8+8 ') = cos 8 cos 8 '- sin8 sin 8',

-i

TA:ngente Hors-série n°53. Les angles

sin(8+ 8 ') = sin8 cos 8 '+ sin8 'cos 8 ,

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE un simple calcul sur les nombres complexes permet de vérifier cette identité fo ndamentale : e;o x e;o· = é(O+O'J . En raiso nnant par réc urre nce , on obtient que, pour tout entier nature l n, ( e;e = eine, ce qui correspond à une expression conc ise de la formu le de Moivre: (cos8 + i si n 8)" = cos(n8) + i sin (n8) .

r

À parti r de la fo nction exponentielle réelle et de l'exponentielle imaginai re introduite c i-dessus, on peut défi nir une fonction exponentie lle opérant sur les nombre complexes. Pour un complexe z que l'on écri t sous la forme algébrique a + ib (avec a et b réels), on pose :

La fo nction expo nentie lle complexe ainsi défi nie véri fie le trois identités sui vantes : e0 = 1, e' x e'' = e'"' et e' = e; pour tous les complexes z et z'. Bien qu 'ayant produit des identités commodes, on pourrait être tenté de croire purement arti fic ielle cette introduction de l'exponentie lle complexe. En fai t, il n' en est rien : il ex iste une faço n plus intrinsèque d ' introduire la fo nction ex pone ntie lle basée sur la notion de série numérique. Cela consiste à poser :

, ~ J n e= LJ - Z · n•O

n!

Cette « somme in fi nie » se comprend comme limite d ' une success ion de somme fi nies. Plus préc isément : •

·

N

J

n

e· = N-+oo hm " - z . L.J n I n•O

'

et cette descripti on no us amène à percevoir l'expone ntie lle complexe

Il est également possible de définir directement les fonctions co inus et sinus par des sommes infinies en considérant les parties réelle et imagi18

· de e • nall'e

. . . e· •

~' ..t.J n-0

n!

Sachant que ;2p = (- lY' et ; z,,+ i = (- lY'i, on obtient ai ément:

... (-l)p

... (-l)p

COS0 • }:- - 0 2 P et SiD0•}: 0 2 p+ 1 , ,,.o (2p)! ,,.o (2p+l)!

comme un po lynô me de degré in fi ni . .. On montre alors que l'exponentie lle ainsi défi nie pro longe l' exponentie lle réelle connue tout en vérifi ant les trois identité précédemment décrites. On peut alors explo iter cette ex ponentielle complexe pour pro poser une défi nition pure ment anal ytique, et non plus géométrique, des fo nctions sinus et cos inus. Il suffit pour ce la de poser cos 8 = Re(e;0 ) , la partie réelle de e;0 , et sin 8 = lm(é9), la partie imaginai re de é 0 • À rebours des calculs précédents, les identités trigonométriques class iques découlent alors de calcul s sur l' exponentie lle comr lexe. Par exempl e, 0 0 0 0 = e;o x / = /( - > = 1 ( 'éga lité :

l/ 1

2

fo urnit cos 8 + sin 2 8

=l.

La parité de la fo nction cosinus prov ient de la conjugaison (et de mê me pour le caractère impair de la fo nction sinus), ta ndi s que les fo rmules d ' addition des fo nctio ns tri gonométriques sont issues de l'identité e;o x é 0' = é(O+-O'> .

l'angle 1t À partir de ce qui précède, on retrouve l' intégralité de la trigono métrie classique, sauf ce qui à trait au nombre :rc. Pour faire intervenir le nombre :rc


SAVOIRS

L'exponentielle complexe

Mldlll 81 ll'IIIIDIII Si z

=x + iy est un nombre complexe non nul, la =~x 2 + y2

quantité lzl peut écrire :

définit son module. On

z -1,i( :

+i ; )• 1zl(cos0+ isinB) • lzie•, 11 11

avec 0 • arccos( ;

)

E [0,1t] qui est l'argu-

1 1

ment de z. Cette écriture permet d'identifier z x + iy avec le point du plan IR2 de coordonnées cartésienne (x, y) ou polaire (lzl, 0). En conséquence, z,; lz11l; lei61 ei°' lz11l; lei<0,~ 1>. Dans la multiplication complexe, les modules se multiplient et le argument s ' additionnent. (x, 0) et En écrivant, pour simplifier, x iy (0, y), on obtient : - 1 (-1, 0) (COSl't, sinn) COSl't + i sinl't ei",

=

=

= =

=

=

=

=

=

qui exprime simplement que - 1 (- 1, 0) s' obtient à partir de 1 1, 0) par une rotation directe d ' angle n autour de l' origine. L' écriture de z à l' aide de son module et de on argument fournit une définition purement analytique et parfaitement claire de la notion d ' angle entre le demi-axe des abscisses positives et la demi-droite joignant l' origine à z. On peut dès lors paraphraser une citation de Joseph-Louis Lagrange, dans l' introduction de sa célèbre Mécanique analytique de 1788, en affirmant : « Ceux qui aiment L'analyse verront avec plaisir la trigonométrie en devenir une nouvelle branche. » Avec un bénéfice évident dans la simplicité des formules et la clarté des concepts, que les électriciens n' ont pas mis longtemps à comprendre dans la théorie des circuits.

=(

Jean Mawhin

=

dans le cadre théorique précédent, il convient de proposer une définitio n anal ytique de ce no mbre, et non plus géométrique comme celle du rapport de la circonférence sur le diamètre. Une défi nitio n analytique poss ibl e

R ÉFÉ R ENCES • L 'exponentielle. Tangente S UP 69, 20 13. • Leonhard Euler, un génie des Lumières. Bibliothèque Tangente 29, 2007. • Nombres complexes : quand la réalité se cache dans l 'imaginaire. Jean Mawhin, Losanges 26, 20 14. • Les grands courants de la pensée mathématique. Franço is Le Lionnais, Hermann , 1998. • Le cours de physique de Feynmann, Mécanique /. Ri chard Feynmann , Ralph Le ighto n et Matthew Sands, Interéditions (traduction française), 1979. • Mathematics and the imagination . Edward Kas ner et James Newman, Payot, 1950.

Tc:1:n9ente Hors-série n°53. Les angles

consiste à définir n comme la première solution positi ve de l' équation é' + 1 0, où x est un réel pos iti f. Ainsi, par définiti on, e;" + 1 = O. Les fo rmul es de tri gono métrie du type cos (x + n) = - cos(x) ou cos(n/2 - x) = sin(x) dev iennent alors access ibles, et l'on peut auss i démontrer que ce nombre l't corre pond bien à celui propo é en géométrie.

=

Finale me nt , grâce à l' introduction de l' exponentie lle complexe comme somme infinie, on parvient à proposer une définiti o n analytique des fo nctions trigonométriques usuelles ce qui permet, à terme, de propo er aussi des définiti ons analytiques des notions angul aires.

D.D.

EN BREF

par Hervé Lehning

« Je vais noyer ma solitude Dans le triangle des Bermudes. » Allo Papa Tango Charlie, Mort Shuman

Avant que Mort Shuman en fasse une chanson, le triangle de Bermudes e t né en février 1964 sous la plume d'un journaliste amâicain, Vincent Gaddis. Comme tous les triangles, il pos*le trois sommets : l'archipel des Bermudes et les villes de Miami en Floride et San Juan à Porto Rico. Sa superficie est donc de l'ordre du million de kilomètres carr6s. Selon la légende, cet endroit serait particulimment dangereux : de nombreux bateaux et avions y auraient disparu. Bien entendu, il s'agit d'un mythe popularisé par la disparition d'une escadrille de cinq avions torpilleurs américains Grumman Avenger en entraînement sur le secteur le S décembre 1945. Dans Rencontre du troisième type (film de Steven Un Grumman Avenger d'un modèle comparable aux avions disparus le

5 décembre 1945. Cet avion torpilleur 'est partk:uliènment distingué pendant la guerre du Paclflque.

Spielberg, Columbia Pictures Corporation, 1977), cette escadrille est enlevée par des extraterrestres ... Les faits sont plus prosaiques comme le montrent les communications radio, que chacun pourra trouver sur Internet. De façon étrange, le lieutenant instructeur, qui commandait l'escadrille, n'avait pas sa montre, instrument pourtant indispensable pour mesurer les distances à cette époque. Le plan de vol correspondait à un triangle défini par trois angles et trois longueurs. Plan de vol de l'escadrille perdue. En l'ahlience de montre, les distances ne pouvaient 193km être respectffl. Le retour à la base n'était alors plus

garanti

Nord

198km

Ces demià'es étant fausses, il se trouva au-dessus des Bahamas en se croyant au sud de la Floride et prit une mauvaise décision, ce qui perdit l'escadrille en mer. Les seuls mystùes sont la cause de l'oubli de la montre et le fait qu'aucun des él~ves pilotes de l'escadrille n'ait corrigé les erreurs du lieutenant instructeur... à moins qu'ils aient tous oublié leurs

montres, ce qui resterait extlêmement curieux I Fautil pour autant faire intervenir des extraterrestres pour expliquer ces bizarreries 'l

La trisection de l'anale Soit à triséquer l'angle

dédui sons que A ' O = A ' B' = B 'C'. L 'axe de pliage et

des droites (0 ) et (0 ) par

donc de symétrie (~ ) est perpendicul a ire à AA ', ce qui

pliage. La premi ère étape

induit que le po int H est l'orthoce ntre du triangle AA' E.

co nsiste à plier hori zontalement la feuill e selon un pli

(~ ), passe par le po int H et est la troisième hauteur de ce

(P) passa nt par un point B de l'axe ve rtical. Ce pliage

Par suite, l' axe (0 2) , image du pli (P) par le pliage d ' axe tri angle. On en déduit que les trois trian gles rectangles (O)

AOA', AA' B' et AB 'C ' , sont sembl ables deux par

défi nit le point C, sy métrique de A par rapport à (P).

deux, comme ayant deux côtés identiques. lis ont donc

li fa ut maintenant effectuer un pliage sui vant un axe

le mê me ang le en leur so mmet co mmun , A. On peut re-

D

(~ ) de sorte que l' image C' du po int C apparti enne à

marquer que l' angle ti ers cherché correspond à l'angle

la dro ite (0 ), et ! ' image A' du po int A à la dro ite (P).

que fa it l'axe de pliage (ô) avec l'axe des ordonnées.

Alors, les dro ites (0 1). défini e par les po ints A et A ' , et

Le pliage parti culier consistant à positionner deux

(0 2) , passa nt par A et B', sont les tri sectri ces cherchées.

po ints sur deux droites différentes co rres po nd à ré-

Par construction, nou avons A ' O = AB = BC. Le pli age

so udre une équ ati on cubique, ce qui est impossible à

défi nissant une ymétrie, donc une iso métrie, nous en

effec tuer avec la règle et le co mpas.


SAVOIRS

par Hervé Lehning

Courbes orthoptiques et friandises géométriques Quels sont les points desquels on voit une courbe sous un angle droit? La réponse tient en un mot : tous ceux de l'orthoptique ! Ce thème autrefois classique, que l'on n'enseigne plus aujourd'hui, est source de jolis problèmes et d'émerveillements géométriques. 1, •u ''- C étant donnée , l'orthoptique de C est par définition l'ensemble des points desquels on peut mener deux tangentes à la courbe fai ant un ang le droit entre e lles. En géné ral , il 'agit d ' une autre courbe, mais cet ensemble peut éga lement être vide . De même, si un angle a est donné, l' isoptique sous l' angle a est l'ensemble des points desquels on peut mener deux tangentes à la courbe fa isant l'angle a entre elles. Là encore , il s' ag it en général d ' une courbe . Par exemple , orthoptique et isoptiques d ' un cercle sont des cercles concentriques.

U

L'isoptique d' un cercle donné (en bleu) sous l'angle de 60° est un cercle concentrique de rayon double.

En dehors de ce cas fac ile, on peut compter troi s méthodes pour attaquer le problème de détermination de l'orthoptique et des isoptiques associées à une courbe

TC1.n9ente Hors-série n°53. Les angles

C donnée. La première est de nature expérimentale, mais débouche sur une deuxième, qui est une première étude analytique, adaptée au cas où l'on connaît un paramétrage de la courbe C. La troisiè me méthode utili se directe ment la définition ; elle est adaptée au ca où l' on connaît une équation cartés ienne de la courbe C , et donc particulièrement à celui des coniques .

méthodes expérimentale et paramétrique Prenons l'exemple de la deltoïde (voir les équations plus loin). Pour l' instant , contentons-nous de considérer a représentation :

Une deltoïde et deux tangentes orthogonales entre elles.

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE Partons d ' une tangente T e t che rc hons à tracer une tangente pe rpe ndic ul aire . Po ur cela , pre nons une pe rpe ndic ul aire quelconque à Tet dé pl aço ns- la parallèlement à elle- mê me jusqu'à tangente r la courbe C. Le point de concours de ces de ux droites est un point de l'orthoptique, et on peut ain si la tracer point par point. Dans le cas de la deltoïde , o n obtient une espèce d 'ovale incluse dans l'espace intérieur à la de ltoïde . Cette méthode s' adapte très bien au cas où la tangente T est repérée par le paramètre du point de tangence. La deltoide C est décrite par le mou vement du point mobile M (t) de coordonnées M(I )

x = a(2 cost + cos 21 ) ly = a (2 sin r - sin 21)

y= a sm 2r

de centre O et de rayo n a, qui est donc l'orthoptique che rchée.

L'orthoptique de la deltoïde est un cercle tangent en trois points à la deltoïde. La position re lati ve de ce cerc le par rapport à la deltoïde est intéres ante à préciser. Pour cela, il suffit de calculer la distance du point M (1) au centre O du cercle. Plu s préc iséme nt : (OM(l ))

2

- a' =

a' [(2cos r +cos 21)' + (2 sin t - sin 21) 2

.

Si T est la tangente e n M (1) , on che rche donc le paramètre 1' où la tangente T' est perpendiculaire à T. La tangente e n M (1) a po ur vec te ur directe ur dM (l)lx' = - 2a(sin t + sin 21 ) . dt y'= -2a(-cos t + cos2r)

Des calcul s trigonométriques pennettent de simplifier l'expression de ce vecteur: d M(t ) -T ( ) , - =4a sm. -31 t , ou dt 2

2

point P(1)1x=- c.os r . qui décrit le cercle

-T ( )1-cos(1 / 2) t .

ce qui se simplifie e n 4a 2 ( 1 + cost cos 2t -sint s in 2t), soit 4a 2 ( l+cos3 t) qui est pos itif. Do nc C est à l' extérieur du cercle tout e n aya nt troi s points de contact avec lui , comme indiqué sur la figure . La même étude peut être faite sur d 'autres co urbes, co mme par exe mpl e ce ll e d ' équa tion s para mé triques

sin(t / 2)

À partir de là , il est poss ible d 'écrire l'équation de la tangente T e n M (t). Elle se si mplifie e n sin (t / 2)x + cos(t / 2) y = asin(3t / 2) . De ux ta ngentes , de paramè tres t e t 1' , sont perpe ndi c ula ires s i le produit scalaire de leurs vecteurs directe urs est nul , soit ic i si sin (t / 2)sin(t ' / 2) + cos (1 / 2) cos(t' / 2) =0 , ce qui se simplifie e n cos((! - 1') / 2) = 0 , soit t ' = t + n. Les coordo nnéesxet y du point de concours P des deux tangentes so nt solutio ns du systè me constitué par les équatio ns des deux ta ngentes, soit : sin(1 / 2)x +cos(/ / 2)y = a sin(3t / 2) . { cos(t 12)x - sin(t / 2)y = - a cos(31 / 2)

- 1],

1xy==2t31:

(en

rouge). L' orthoptique est alors la parabole d ' équation y2 = x - 1. De mê me, on dé montre que l'orthoptique d ' une parabole (en bleu) est sa directrice (en rouge).

L'orthoptique d ' une parabole est sa directrice.

Ce systè me est très fac ile à résoudre car sa matrice est orthogonale ; on trou ve le

Hors-série n° 53. Les angles Tcingente

SAVOIRS

Courbes orthoptiques Une méthode directe

sui vante sur a et f3 :

Dans le cas des coniques ou , plus généralement , des courbes données par une équation cartés ienne, on peut appliquer une méthode directe . Un point M étant donné, on c he rc he les équ ati o ns des droites tangentes à la courbe et on écrit la condition pour que deux d'entre elles soient orthogonales. Prenons l'exemple de l'ellipse . Dans un repère adapté,elle a pour équation (x / a)2 + (y/ b )2 = J, où a et b sont ses deux demi-axes. Considérons alors un point M de coordonnées x et y. Une droite D passant par M est caractéri sée par son vecteur directeur de coordonnées a et f3. De façon générale, e ll e coupe l' ellipse e n 0 , 1 ou 2 points. Elle est tangente si, et seulement si, e ll e la coupe en un seul point .

( :~ +

v

1)2-( ::+ !:)( ;:+ ; : -1)= O.

Cette condition s'écrit (b 2 -y2)a 2 +2af3xy

+ (a 2 - x2 ){32 =O.

Pour chaque f3 no n nul , il s ' ag it d ' une équation en a, qui possède deux rac ines a 1 et ~ à la condition que son discriminant so it positi f. Un ca lcul simpl e montre que ce la correspo nd au cas où M est extérieur à l' e llipse. On o btie nt ain si deux vecteurs tangents, de coordonnées (a" {3) et ( a 2 , {3). Il s sont orthogonaux si, et seulement si, a 1a 2 + {32 = O. Il n'est pas beso in de ca lcule r a 1 et a 2 po ur exprimer cette condition : le produit des rac ines de l'équation en a ci-dessus est a 2 -X 2

.,

-b·,-- , f3· . Les deux vecte urs tangents ~ y sont donc orthogonaux si, et seulement si, a: -X: + l = O, qui ses implifieen b -y·

2

x + y2 = a 2 + b2 . Le po int M appartient donc au cercle de centre O et de rayo n

Ja 2+b2 .

Une droite est tangente à l'ellipse si , et seulement si, ses deux points d'intersection avec l'ellipse se confondent.

La réciproque est aisée à établir, l' orthoptique d' une ellipse e t donc un cercle. De même, l'orthoptique de l' hyperbo le d 'équ ati on (xla) 2 - (ylb )2 = 1 est le cerc le de centre O et de rayo n Ja 2- b 2 s i a > b , et l'ensembl e vide dans les autres cas. H.L.

Un point P appartient à la droite si, et seulement si, il ex iste un para mètre t te l que P=M + t\l ,c'est-à-dire a pour coordonnées X =x + ta et Y= y + t{3. Ce point appartient à l'e llipse si, et seuleme nt si, (x + ta/

-2-+

a

(y+ t {3 )2 2

= ).

b li s'agit d' une équation du second degré, qui a e ffecti vement 0 , 1 ou 2 rac ines réelles . Le cas où D est tangente à !'ellipse correspond au cas où le di scriminant de l'équ ation est nul , soit à la condition

Tc:&ngente Hors-série n"53. Les angles

Références

• Encyclopédie des formes 111a1héma1iq11es remarquables (www.mathcurve.com) .

• Partager 1111 g/! reau emre gourmands . Tangeme SUP77- 78.20 14.

par Édouard Thomas

EN BREF

les instruments tout en un Une règle, une équerre, un rapporteur et un compas. Tels sont les outils premiers nécessaires à l'apprentissage de la géométrie. Évidemment, la question se pose depuis longtemps de les combiner pour alléger le poids et l'encombrement du sac de l'élève (et également pour le plaisir de trouver une solution simple et ingénieuse à ce problème). Les réponses mécaniques apportées au cours des siècles sont nombreuses, mais souvent trop complexes pour être utilisées dans un contexte scolaire (mode d'emploi délicat, matériau encombrant ou contendant ... ). Récemment, des solutions élégantes ont été apportées. La règle roulante Rollertec, commercialisée depuis 1999 par Eurodem (www.laregleroulante.com), est issue d'un translateur. Elle permet, grâce à une Le principe d'une règle roulante de type Rollertec. molette, de tracer très aisément droites parallèles, droites perpendiculaires, quadrillages et cercles concentriques en un tour ... de main. D'un coût de 16 ou 21 euros selon le modèle (plus 7 euros de frais de port), elle est idéale pour les professionnels du dessin technique. D'ailleurs, cette invention a été primée par la médaille d'or au concours Lépine 1999. Le Thamographe, commercialisé par thaM thaM (www.thamtham.fr) depuis 11111p1111111111111 p11q11 111111r1m111111JllT1jlllljlIDf11 2013, année où il a lui aussi remporou ,., io 1,. " .. 6S J .,. 1S 6. ,.. C ,.. ,: ":' té la médaille d'or au concours Lépine, apporte une solution plus compacte. D'un coût dérisoire (5 euros, frais de port offerts!), il est idéal pour les élèves : simple d'utilisation et ne comportant " " 0 aucune partie contendante, il se range dans la trousse et est accompagné de nombreux compléments Le Thamographe est un outil simple, didactiques sur Internet (vidéos, démonstracompact et économique. tions, activités pédagogiques ciblées selon le niveau de l'élève). Tous ces outils nécessitent des crayons très bien taillés et trouvent leur limite de maniabilité avec le tracé de cercles de rayon inférieur à 2 cm ou supérieur à 11 cm. ,

1

JJ

4J

Ml ~

r

.,

"'

..

..... .....

Hors-série n°53. Les angles Tcin9ente

SAVOIRS


les transformations conformes Les transformations qu'on forme fort mal déforment, rendant les images difformes. Mais, pour que les formes servent, les transformations conformes conservent l'information angulaire. Étudions formellement ces formidables transformations, uniformément utilisées en physique. ne démarche mathématique classique est de considérer comme équivalents des éléments égaux à une transformation près. Deux figures du plan euclidie n sont dites semblables si l' une est image de l'autre par une combinaison de translations, de dil atations et de rotations. La forme généra le n'est pas modifiée par ces transformation (le similitudes) . Le fond l'emporte s ur la forme : les propri é tés géométriques de deux figures ne dépendent pas de leur ta ille ni de leur orientation. C'est d'ailleurs là une caractérisation de la géométrie euclidienne d 'être invari ante par les imilitudes . Parmi l' infinité de transformations du plan , regardons les tran sformations qui déforment les images, mais conservent les ang les. À deux droites sécantes correspondront deux courbes se coupant avec le même

U

En cartographie, les projections stéréographiques et de Mercator conservent les angles et sont conformes.

70


ang le . De te ll es tra nsform ati o ns , qui préservent les relations entre éléments de l'objet , donc la forme globale, sont dites conformes. Mais comment peuton conserver les angles d'un dessin sans le reproduire à l' identique?

ltastlques et fonctions holomorphes Un dess in sur une to ile é las tique que l'on éti re sans la déchirer subit une déformation correspondant à une fonc ti on continue. Le dess in est souvent difficile à reconnaître, mais de in variants subs iste nt. La co mpara iso n d ' un dessin déformé à son original est source d'infor mation s sur la fo nction de la tra nsformation . Et un outil fo ndamental de l'étude de ces tra nsformations du plan est )'ana lyse com plexe : les nombres complexes sont particulièrement bien adaptés à la géométrie du pl an euc li dien (voir e n encadré). Considérons le moduler et l'argument () , coordonnées polaires du nombre complexe z = r/ 0 = r(cos () + i sin ()) . La multiplicati on du nombre complexe d'affixe


= peia par z donne u = wz = (rp)ei
w

Le modu le est mu ltiplié par r, ce qui correspond à une homothétie de centre O et de rapport r, et les arguments s'ajoutent , correspondant à une rotatio n de centre O et d'angle (à 2n: radians près). La mu ltiplication par z correspond ainsi à un changement d'échelle (une contraction si O < r < 1, une dilatation sir> l ) et à une rotati on . L' allure générale de la figure est donc inchangée . L'ensemble des compos itions d ' homothéties et de rotations, auxquelles on peut ajouter le translation , est l' ensemb le des simi litudes, qui correspondent aux transformati ons z - az + b du pl an complexe. Par constructi on , ce transform atio n conservent les angles et sont donc bien co nfor mes. Ma is ex i te-t- il d ' autres applications confo rmes?

e

la double écriture des nombres complexes La grande force des nombres complexes (voir l'article en page 62) tient en leur double écriture, qui traduit leur double nature. L'écriture cartésienne z =x + iy, pratique pour les combinaisons linéaires, correspond à une interprétation vectorielle du nombre complexe. Quant à la notation polaire z =r (cos8 + i sin8) = ri6 , adaptée pour les multiplications et divisions, elle identifie la multiplication par un nombre complexe à une sioùlitude, composée d ' une homothétie de rapport r et d ' une rotation d ' angle 8. Multiplier par r < 0 correspond donc à une homothétie de centre Ode rapport Iri , et une rotation de centre O et d'angle :n: (un demi-tour) puisque -1 =em. La connaissance des coordonnées polaires (p, 8) permet de déterminer les coordonnées cartésiennes (pcos 8 + psin8), et inversement le point M de coordonnées (x,y) en cartésien a pour coordonnées ( ~ x 2 + y2 ,arctan(y /

x)) en polaires.

La traducti o n confo rme du mot latin confo rme » est le mot grec « ho lomorphe » . Une fo nction ho lomorphe f est auss i appe lée fo ncti on analytique (voir encadré) , c'est-à-dire qu 'elle admet un développement de Taylor en tout point Zo de son domaine de défi nition et peut donc s'écrire

z(M)

«

f( z ) = L, / "> (Zo )(z - z.o )" · n;e()

n!

Localement , c'est une similitude pui squ 'elle s'écrit J(z) =J(z.o) + f (z.o) (z - z.o) + o(z - z.o) où o(z - z.o) est une quantité qui tend vers zéro plus vite que z - z.o qu and z tend vers z.o. Le module If '(z.o) 1 de la déri vée en z.o est le rapport de l'homothétie. Si cette déri vée est non nu lle, c ' est donc une transformation conforme. Il en ex i te une in fi nité dans le plan complexe. La fig ure sui vante illustre une te lle tran fo rmation avec la fo nction! définie par f( z) = z2 é . Les carrés sont déformés, mais l'ang le d ' intersecti on des côtés, n: / 2, est con ervé.

0

X

f( z ) = e'z 2

Une transformation confo rme.


SAVOIRS

Les transformations conformes

Fonctions analvtiaues et fonctions holomorphes Une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chacun des points x0 de son domaine de définition. Elle s'écrit alors

-

J (x ) = l:a,, (x - x 0 )", où les coefficients n!an =fnl(xo) ..=11

dépendent bien sûr du point de développement. On parle de développement en série de Taylor. Les Grecs nous ont appris qu'il faut manier avec précaution la notion d'infini dans les raisonnements mathématiques. Depuis Cauchy, l'analyse associe à chaque

-

série S(z ) = l:a. z• un domaine de convergence.Ainsi, k=1l

si toute fonction holomorphe est analytique car indéfiniment dérivable, toute série n'est holomorphe que pour un domaine de convergence donné du plan complexe. Considérons la transformation du plan f(x,y) (P(x,y), Q(x, y)) qui au point de coordonnées (x,y) fait correspondre le point de coordonnées (P(x,y), Q(x,y)). Dans le plan complexe, le point d'affixe z a pour image dans cette transformation le point d'aftixe/(z) =P(x,y) + iQ(x,y). Le calcul des dérivées partielles, par rapport aux variables x et y, nous donne

=

d/(z)

ar

= f'(z) àz = f '(z)

ar d'où df (z) - · df (z) dJ _ , ar .

et dj(z)

dJ

= f'(z) àz = if'(z), dJ

On en déduit P~(x,y) + iQ~(x,y) i(P:(x,y) + iQ~(x,y)), c'est-à-dire, en identifiant partie réelles et imaginaires : P~(x, y)= - Q~(x, y) et P: (x, y) Q ~(x, y). Apparaît alors la condition d'holomorphie AP = AQ = O,

=

=

où AP = ~~ + ~~ est le laplacien de la fonction P.

Les fonctions P et Q sont alors dites fonctions harmoniques conjuguées. Cauchy a montré que ces conditions de dérivabilité, bien plus fortes que la dérivabilité des fonctions réelles, impliquent que les notions de fonctions holomorphes et de fonctions analytiques complexes coïncident, d'où l'importance des fonctions holomorphes en analyse complexe.

TC1.n9ent:e Hors-série n°53. Les angles

Le théorè me de Ri e mann , éno ncé e n 185 1 et optimi é en 1922 par les Hongro is Leopold Fejér et Fri gyes Riesz , stipule que pour tout do ma ine ouvert simp lement connexe (c'est-à-dire d' un seul tenant et non troué) il existe une transformation confo rme bijecti ve qu i assoc ie, po int par po int , ce domaine du plan et le disque un ité (constitué de tous les nombres complexes de modu le strictement in fé rieur à un ). Pui sque la compositi on de fo nctions holomorphes est ho lomorphe, cette correspondance est trans it ive, et do nc tous ces domaines sont équi valents à une tra nsformation conforme près: ils sont conformes. Deux dess ins peuvent donc être image l' un de l'autre par une transformation ho lomorphe ! Malhe ureusement, c'est un extraordinaire théorème d'exis tence et non de construction: il n'ex iste pas de fo rm ule ex plic ite pour une telle transfo rmation . Vous connaissez la plupart des fo nctions ho lo mo rphes. Ce so nt les fo nc ti o ns rée lles comme les polynômes, les fo nctions trigonométriques, l' exponentie lle, les logarithmes, qu i admettent un prolongement dans le plan complexe. Mais dans ce pl an, les règles du jeu sont un peu di ffé rentes de ce lles du plan réel. Une fo nctio n ho lomorphe, en généra l, n'est pas injecti ve, c'est-à-dire que deux points différents peuvent avoir une même image . La transformation f(z) = z" = r' 1é 18 est la composée d' une homothétie de rapport r'' et d' une rotation d 'angle n(), défini à 2n près. Elle est donc non injecti ve puisque tous les points zk =re;<2rrx111 l sont te ls que z~ =r'' . Ainsi, en parcoura nt le périmètre d ' un carré contenant l'ori g ine, on effectue un tour co mp let. Le mê me parco urs sur on image par la tran fo rmationf( z) =z2é, localement équi valente à g (z) = z2, nous fera tourner de deux tours.

EN GÉOMÉTRIE CLASSIQUE 1

y

les transtormations de Mëbius

z

=az +b Toute transformation de Miibiu s f( z) cz + d peut X

s'écrire

En fait , la démarche souvent utilisée pour l' étude de fo nction s holomorphes est de partir de l' image et de chercher l' image réc iproque, qui ren e igne ur la transformation conforme. Pui sque le rapport d' homothétie de la fonction réc iproque est lié à la déri vée

(r' )' (z) =

f'

( I

) , cec i ex plique

r'
que les endroits où la déri vée s'annule donnent des rapports infini dans l' image réc iproque. L'argument de cette déri vée donne l' angle de rotation de l ' objet , soit un demi -tour pour une dérivée rée ll e négati ve. Un point d ' inflex ion corre pond à un extrémum de la dérivée (donc une déri vée seconde nulle), et sur l' image, aux valeurs extrêmes du rapport d ' homothétie. Et en approchant des pô les de la dérivée, valeurs qui annulent son dénominateur, le rapport de grandissement de l' image tend vers l'infini .

a

f (z) = -c -

ad - be 2 c

X

z+

1 d/

c

On suppose que A= ad - be~ 0, sinon f (z) = al c (fonction constante), ce quj a peu d'intérêt. Alors la transformation homographlque est conforme comme composée de fonctions conforme . En notant T u, o o I o Td/c(z) ou /(z) = Talc o I o H- <'it\,-d/c(z) . L'ensemble des cercles et droites est globalement invariant par ces transformations. En particulier, l'image des droites parallèles aux axes des coordonnées sont des cercles passant par l'ori· gine. Considérons un pavage régulier du plan avec pour motif le Stomachlon d' Archlmède. L'image réciproque de ce pavage pour la transformation/(z) = (1- z/(1 + z) est bien constituée de cercles et de droites et présente un point d 'accumulation au pôle z =-1 de l'application.

Toutes les transformations de Mobius . az + b (vo ir encadré) J( z) = - - sont des cz+ d transformations conformes, mais la réciproque n'est pas vraie (les transformati o ns à pô les multipl es s ont d es contre-exemples). La fi gure sui vante est l'antécédent , ou image réciproque , d ' un pavage régulier du pl an avec le logo des Éditi o ns POL E pour ( 'a ppli ca tion f( z) = (z2 - 1) / (z2 + 1). Le deux points de concentration du pavage correspondent bi en aux pô les z = i et z = - i de l'application .

PlayMaths Le Stomachion d 'Archimède.

Hors-série n• 53. Les angles Tcingente

SAVOIRS

Les transformations conformes Les transformations conformes trouvent naturellement une application dans les nombreux domaines de la physique dont les équations sont régies par des lapl ac iens, comme l' équation de Poi sson. C'est le

cas e n é lectrostatique , pour déterminer des surfaces équipotentie lles et optimiser le dessin des cathodes, ou en mécaniqu e des fluides pour le ca lc ul de l'écoulement d'un fluide autour d ' un profil. La transformation due au père de l'aéro nautique moderne , le Hongrois Theodore von Karman , permet ai nsi de transformer un cercle en un profil d ' aile .

, I

,"'

...... -- ...... ...... , \

\

I

\

I

\

C{ ~ ~ ~~.--~~~-~ 1

\

I

\

I \ \

' ...... ___ ... ,, , '

I

La transformation de von Karman.

Antécédent pour f(z) = (1 - z) I (1 + z) .

On rencontre encore les tran fo nnations conformes en géométrie différentielle et en cartographie (où une loxodromie est une courbe qui coupe les méridiens du globe sous un angle constant). Ainsi, les projections stéréographiques, pour les astrol abes, et de Gerardus Mercator ( 1569) , pour les cartes , conservent les angles . Les lignes droites sur une carte de Mercator (obtenue par projection sur un cylindre tangent à l'équateur) coupent donc les droites des long itudes à angle constant. Ces loxodromies permettent une nav igation à cap constant fac il e , mê me si ce n' est pas le chemin le plus court (qui lui est une géodésique) . Les transformations conformes sont toujours d'actualité, comme outil fo ndamental pour la co mpré he nsio n des phénomènes critiques bidimensionnels . De récentes médai lles Fields , Wendelin Werner (2006) et Stanislas Smirnov (20 10), confirment la modernité de telles étude .

F.L. Référence

Antécédent du logo des Éditions POLE pour f( z) = (i- l)t(i + 1) .


• La magie des in variants mathé111atiq11es . Bibliothèque Ta ngente 47, 20 13.

SAVOIRS

par Jacques Bair

Du théorème de Pythagore

à une formule de trigonométrie

Le théorème de Pythagore a été généralisé par al-Kashi. Cette reformulation est équivalente à la relation donnant le cosinus de la somme de deux angles. Désormais, diverses démonstrations originales et instructives peuvent être données de cette formule fondamentale de la trigonométrie.

~4i a'

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... ••• •••

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I

A ~


ans un triangle rectangle , le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la omme de carrés des longueurs des côtés de l' angle droit. C'est bien entendu le théorème de Pythagore . Comme tous le résultats fo ndamentaux de la géométrie plane cla ique, cet énoncé fi gure dans le célèbre ouvrage les Éléments d 'Euclide (voir le premier article de ce numéro , consacré aux ang les corni c ulaires et de demi cercle chez Euclide). Plu précisément, il s' agit de la Proposition 47 du Livre 1, sa réciproque fai ant d' ailleurs l' objet de la propo ilion uivante , la 48, qui est la dernière du Li vre 1. Mais , dans le Livre II de ses Éléments , Euclide énonce et démontre deux résultats qui concernent des triangles non rectangles et qui préfi gurent une généralisation du théorème de Pythagore . Il s'agit de la Proposition 12 , qui concerne les tri angles dont un angle est obtus, et de la Proposition 13, qui se réfère aux triangles dont les angles sont aigus. Voici l'énoncé (sou sa forme initiale) du premier de ce résultats, sachant que , pour Euclide, le mot « droite » dé ignait un egment de droite : Dans les triangles obtusangles, le carré

D

sur le côté sous-tendant l'angle obtus est plus grand que les carrés sur les côtés contenant l'angle obtus de deux fois le rectangle contenu par celui de côtés de l'angle obtus sur lequel laperpendiculaire est tracée et par la droite découpée à l'extérieur par la perpendiculaire au-delà de l'angle obtus . Soient ABC un triangle dont l'angle en A est obtus, et H le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet B sur le prolongement du côté [AC]. L'énoncé ci-dessus se traduit ainsi : IBCl2 = IACl 2 + IABl 2 + 2 IACI IAHI ou encore, en notant a, b et c les longueurs respecti ves des côtés BC , AC et AB : a 2 = b2 + c2 + 2 b IAHI. ,, ,, , ,,

<

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',x,. .H

, ',,',, B

c Le raisonnement fourni par Euclide pour démontrer ce résultat repo e sur la considération d'ai res de carré et de rectangles (voir en encadré). Remarquons que si (AC) est perpendiculaire à (A B), c'est-à-d ire si le triangle ABC e t rectangle en A, alor IAHI s'annule et la fo rmule ci-de sus redonne bien celle livrée par le théorème de Pythagore. Contentons- nous de citer (sous sa forme originelle) le second résultat d'Euclide. Il peut être interprété comme le cas précédent : Dans les triangles acutangles, le carré sur le côté sous-tendant l'angle aigu est plus petit que les carrés sur les côtés contenant l'angle aigu de deux fo is le rectangle contenu par celui

Le mathématicien. Ferdinand Bol, 1658, Musée du Louvre.

des côtés de l'angle aigu ur lequel tombe la perpendiculaire et par la droi te découpée à l' intérieur par la perpendiculaire en-deçà de l'angle aigu.

Le théorème d'al-Kasbl Depuis l 'Antiquité, le théorème de Pythagore a été justifié par plusieurs centaine de démonstrations différentes. Il a également fait l'objet de multiples extensions. Une générali sation des plus immédiates concerne tout triangle quelconque, et englobe de ce fait les deux propositions d'Euclide rappelées ci-dessus. Elle est connue ous diverses appellations, notamment le théorème de Pythagore généralisé ou le théorème d 'al-Kashi, du nom d'un mathématicien perse. Le théorème d'al-Kashi concerne un triangle quelconque. Dans la version que l'on en connaît aujourd ' hui , il relie la longueur d' un côté à celle des deux autres et au cosinus de l'angle fo rmé par ces deux derniers . Précisons Hors-série n°53. Les angles Tangente

ID

SAVOIRS

Du théorème de Pythagore ...

Ce résultat avait été prouvé par al-Kashi en considérant des aires de carrés et de rectangles, un peu de la même manière qu 'Euclide avai t procédé pour démontrer le propositions 12 et 13 du Li vre li de ses Éléments . De puis lors o nt été construites d 'autres pre uves, par exemple en fa isant simplement appel au théorè me de Pythagore, ou encore en recourant au calc ul vectorie l.

Preuve de la Proposition 11-12 d'Euclide (,rÙL'L' ù une double appliL·:1tio11 du th..:ori.·111e de l';-tha~ore.011 tnn1,L' ,uL·CL·,,i,L'lllL'lll:

IBC I

= IC III

+ IBII I = 11:\CI + 1:\11 11 + IBII I = 1.-\( ï' + 1,\11 1 + 2 l,\CI 1.\11 1 + IB II I

= l:\CI

la tonnule d'addmon

+ 11 :\11 1 + IB II I 1+21 .- \Cl l.\ 11 1

= l,\CI + l:\B I + 2 I. \C l l.- \11 1.

Si , dans la dernière égalité, on fai t appel non pas à l'angle a mais à son supplémentaire + y, alors on est conduit à la formule sui vante, qui est équi valente à celle du théorème d 'al-Kashi : a 2 = b2 + c2 + 2 be cos (B + y). On peut démontrer que ce résul tat est équi valent à la formule donnant le + y, à savoir : cosinus de cet angle cos (B+ y)= co cos y - sin sin y. Cette dernière égalité, et dès lors celle fournie par le théorème d 'al-Kashi , peut être utilisée pour construire la plupart des fo rmule de la trigonométrie : par exemple, celle donnant le cosinus (ou le sinus, ou encore la tangente ... ) de la différence de deux angles, ou du double d ' un angle ... De nombreux mathématiciens postérieurs à al-Kashi ont démontré le théorème de Pythagore généralisé ou un énoncé équi valent. À cet effet, ils ont introduit puis exploité di vers concepts abstrai ts . Donnons-en un aperçu en exhibant trois démonstrations, devenues as ez classiques , qui prouvent la fo rmule livrant le cosinus d ' une di ffé rence de deux angles (dont celle donnant le cosinus d ' une somme peut évidemment être déduite) . Carl Friedrich Gauss ( 17771855) a mis au point une preuve qui repose sur un changement de systèmes de coordonnées dan le plan.

B

cet éno ncé et considérons un triangle arbitraire ABC. Les longueurs des côtés sont notées, comme ci-dessous , IBCI = a, IACI = b et IABI = c, tandis que les mesures (ex primées ic i e n degrés) des ang le ont dés ignées par a pour l'angle pour et y pour

ACB :

BAC, B

CBA

A

c b B

c Le théorème de Pythagore généralisé s' expime par cette formule : a 2 = b2 + c2 - 2bc cos a. Bien entendu, on retombe sur le théorème de Pythagore lorsque a est égal à 90 degrés.

~


B

B

B

Considérons des points A et B situés sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon unitaire : en notant respectivement a et Bles angles POA etPÔB, où P désigne le point du cercle situé « à droite » sur l' axe horizontal , le coordonnées de A et de B dans le repère (.xOy) sont respectivement (cos a , sin a) et (cos B, sin B). )'

Ghivath al-Kashi Ghiyath al-Din Jarnshid Mas'ud al-Kashi est né dans la ville iranienne de Kashan (d'où son nom!) aux alentours de 1380 et mort à Samarcande en 1429. Ce mathématicien est l'auteur de divers ouvrages, dont les plus connus sont probablement : • Traité de la circonférence (en 1424) : l'auteur y donne une fort bonne approximation du nombre n avec dixsept chiffres après la virgule décimale, dont seul le

y'

dernier est faux ; • Clef de l'arithmétique (en 1427) : c'e t une sorte d' « ouvrage de vulgarisation », dans lequel figure ce que l'on appelle désormais le théorème d'al-Kashi ; 0

/ p

I \

I \

''

/ /

'

'

-----

/ /

La di stance IABI entre ces deux point , c'est-à-dire la longueur du segment représenté en gras sur la fi gure cidessus, est donc telle que IABl 2 =(cos a - cos B)2 + (sin a - sin B)2. Effectuons une rotation d' un angle Bdes deux axes (l'horizontal et le vertical), de manière à travailler désonnais dans le repère (x'Oy '), en couleur magenta sur la fi gure ci-dessu . Le point B est alors caractérisé par les nouvelJes coordonnées (1 ; 0), tandis que celles de A ont données par (cos (a - B), sin (a - B)). On a donc également : IABl 2 = (1 - cos (a - B)) 2 + sin 2(a - B). En égalant les deux expressions donnant IABl2, et après quelques calcul s élémentaire , on obtient bien ce qui était souhaité, à savoir : cos (a - B) =(cos a) (cos B) + (sin a) (sin B). On peut également travailler dans le cadre vectoriel en effectuant le produit scalaire des vecteurs OA et OB , où A

• Traité sur la corde et le sinus : une œuvre inachevée à la mort de l'auteur, où figure notamment un calcul du inus de l O avec une précision semblable à celle trouvée pour n.

Carl Friedrich Gauss, peint par Gottlieb Biermann.

Hors-série n°53. Les angles Tc:a.ngente

GJ

SAVOIRS

Du théorème de Pythagore ...

et B dés igne nt comme précédemment de ux po ints du cerc le trigono métrique. On sa it ~ue ce produit est égal à OA·OB= iPAIH rij lx cos AOB . D 'autre part , ce produit scalaire vaut encore la somme des produits des composantes des vecteurs multiplié , celles-c i coïncidant avec le coordonnées, dans le re père (xOy ), de A et de B respecti ve ment. On en déduit : OA ·OB= ( cosa )( cos ~)+ (sin a )(sin ~) -

La conclusion s'obtient en égalant les deux expressions donnant ce produit scalaire , en observant que les vecteurs considérés sont de norme unitaire et que l' angle qu ' ils forment est la différence

Leonhard Euler.

a- ~ . Voici enfin une tout autre démonstration. Elle est due au Suisse Leonhard Euler ( 1707- 1783, voir Bibliothèque Tangente 29, 2007) et est basée sur l'identité d ' Eu-

ler : eix =COS X +

Î Sin X.

On sa it que l'ex po nenti e lle d ' une somme est le produit des exponentielles correspondantes, à savoir é(~ + Yl = é~ e;Y_ Dès lors, en appliquant l' identité d ' Euler, on obtient directement : cos (a - ~ ) + i s in (a - ~) = (cos a + i sin a) (cos ~ - i sin ~). Le résultat souhai té s'obtient aisément en prenant respecti vement les parties réelle et imaginai re des deux membres de cette dernière égalité (après avoir év idemment effectué le produit fig urant dans le second membre). Cette petite promenade dans le passé montre que, contraire me nt à une opinion trop souvent e ntendue, les mathé matiques se construisent pas à pas et constituent une science bien vi vante e n perpétue lle évo lutio n . D' une part , un énoncé nouveau s' appuie généralement sur des résultats anc iens. D'autre part , un théorè me démontré est certes acqui s défi niti vement , mais sa pre uve peut être abordée

(D

Tc:ingent:e Hors-série n°53. Les angles

de manières diffé rentes , en util isant des concepts inédits, po uvant devenir abstraits ... mais souve nt généraux et très efficaces . Ainsi s'élabore le savoir mathé matique : prog ress iveme nt , par acc umul ati o n d ' éno ncés de plu s en plu s gé né raux, et par introdu cti on de concepts no uvea ux rend ant les démonstrations efficaces et esthétiques .

J.B. Références Autour du théorème d"a/-Kashi . Jacques Bair et Jacques Goldsteinas. Losanges 19, 20 12 . Leonhard Euler, 1111 génie des Lumières. Bi bliothèque Tangente 29, 2007. L 'expo11e111iel/e. Ta11ge111e SVP 69 , 20 13.

par Hervé Lehning

EN BREF

Le théorème des sinus Considérons un triangle quelco nque ABC, do nt O est le centre et R le rayo n du cerc le circonscrit. So it S o n aire. T raditio nnelle me nt, on note égale me nt A, B et C les angles aux sommets du triang le ai ns i que a, b et c le lo ng ueur de côté o pposés. Le théorème des sinus établit un lie n e ntre ces di verses do nnées :

_ a_ = _ b_

= _ c_ =abc= 2 R. sin A sinB sinC 2S La démo nstrati on la plus impie cons iste à fa ire intervenir la haute ur h de l' un des côtés . Elle 'ex prime e n fo nctio n du sinus de C : h = b sin C , d 'où une fo rmu le po ur l'aire du triangle : A

S = ah = ab sinC 2 2

=

abc sinC . 2 c

On e n déduit :

c

abc

-- = -

sinC

a

c

2S '

A

. ., qui est 11e au b

rayon R. La sy métrie de la fo rmule pe rmet de conc lure.

h

B

Les similitudes Une similitude est une tran sformatio n o ù les lo ngue urs sont multipl iées par une mê me constante k > 0 , qui est appelée le rapport de la s imilitude. Ain si, un triang le est transformé e n un tri angle semblable. Bie n e nte ndu , ce terme n' a pas été 8 chois i au hasard. Il s'assoc ie nature lle me nt au te rme « s imilitude ».

6

c

a

A'

[> c

A

B'

c

Les angle - des tri a ng le sont do nc conservés, mais pas fo rcéme nt le urs o rie ntatio ns. Si elle l'est, o n parle de similitude directe, s ino n de s imilitude indirecte, de mê me que po ur les isométries, qui sont d' aill eurs les similitudes de ra ppo rt 1. par défi nitio n. S i O est un po int d u pla n, o n défi nit l' ho mothétie de centre O et de rapport k > 0 comme la transformatio n h qui , à un po int M, assoc ie M ' = h (M ) te l que OM ' = kOM. Il s ' agit do nc des s imilitudes les plu s simples qu i so ie nt. Ce sont des bijectio ns, l' inverse /z- 1 de h est l' ho mothétie de mê me centre que h et de ra ppo rt I I k. Considéro ns une similitude f de rappo rt k eth une ho mo thé tie de mê me rappo rt. La tra nsfom1atio n composée g =f o /,- 1 est une similitude de rappo rt l , do nc une isométrie . Ainsi, to ute simi litude est la composée d ' une isomé trie e t d ' une ho mo thétie. La réc iproque est vraie.

Hors-série n°53. Les angles Tc:in9ente

SAVOIRS

par Jean-Pierre Friedelmeyer

Hngles, fonctions hyperboliques et génie électrique Les angles donnent naissance aux fonctions circulaires classiques telles que le sinus ou le cosinus. Dès lors, à quoi correspondent les fonctions hyperboliques telles que le sinus hyperbolique ? Motivé par des questions pratiques, un ingénieur en électricité apporte une réponse. n l' a vu dans les précédents art ic les, la notion d 'ang le, d 'abord limitée à ses propriétés géométriques, a connu une évolution marquée par un enrichissement de son contenu et de ses applications. Les be oins de l'astronomie ont introduit les rapports trigonométriques : s inu s, cos inu s, tangente. Avec la géométrie analytique et l'émergence de l'analyse, ces rapports deviennent des fonctions, dont le qualificatif de circulaires renvoie à l'idée de repérer un po int du cercle unité (C), d 'équation x 2 + y2 = 1, par ses coordonnées (x = cos ex , y = sin a) . Leonhard Euler scellera la rupture définitive de l'ancrage de ces fonctions dans les fi gures géométriques en les ramenant par le simple jeu du calcul analytique aux fameuses formules d 'Euler.

O

de contenu sémantique , ce qui rompt le lien avec la géométrie et les applications pratiques. Sous le nombre qui mesure un ang le, il est souhaitable qu ' il y ait un objet, géométrique ou physique. On peut récupérer le conten u sémantique du terme « angle circulaire » de deux manières : soit par le rap port entre la longueur s de l'arc AM au rayon r du cercle (si le cercle est de rayo n 1, l' angle ex est mesur~ n radians par la longueur de l' arc AM) , soit par le double de l'aire du secteur AOM . E

A X

Du cercle à l'hyperbole Connaissant le cosinus, le sinu s ou la tangente d ' un angle ex , on peut e n déduire ex au moyen des fonctions circulaires réciproques. Le problème est que, e n procédant a in si, le mot « angle » n'a plu s de signification , plu s

TC1.n9ent:e Hors-série n°53. Les angles

En 1757 , cherchant à calculer J'aire sous l' hyperbole équilatère d 'équation x 2 - y2 = ? , le mathématicien italien Vincenzo Riccati introduit les fon ctions hyp erboliques par analogie avec les

LA TRIGONOMÉTRIE fonctions circulaires. La démarche est la sui vante . Il s'agit de définir un objet qui joue pour l'hyperbo le le même rôle que l'angle o. pour les fonction circulaires. Comme pour le cercle, para métrons les coordonnées d ' un point M de l' hy perbole équilatère (H) d 'équation x 2 - y2 1 par (x =ch o. , y = sh o.), avec ch l'abréviation de cosinus hyperbolique e t sh celle de sinus hyperbolique . Mais que l sens donner à l'argument o.? Peut-on le considérer comme un angle, et lequel ?

=

En généra l, on aura po ur la long ue ur s d ' un arc de cercle M 1M 2 et l'ang le circula ire o. (ex primé en radians circu-

ds=

laires):

r

=

x 2 + y2,

(d.x)2 +(dy)2 , da

ds

et r .., ds ..., ds a= r - = r - =s 2 -s,. Js, r Js. 1 = -

En développant l'ana log ie avec le cercle, on pe ut dé finir l'arc d 'hyperbole M 1M 2 et l'ang le hyperbolique 8 la mê me maniè re, par

œ

Vincenzo Riccati (1707-1775).

e = r"ds_ ) s.

r

Sauf que dans la re lation entre l'arc et l'angle , contraire ment à ce qui se passe po ur le cercl e, r est ma inte na nt variable ! Ainsi, pour la mesure de l'angle hyperboli ue au moyen de l'arc d ' hype rbole M 1M 2 , il faut divi ser cette lo ngue ur par le rayon moyen r ' entre M 1 e t M 2 , et donc: Poursui vons l'analogie avec le cercle. Pour le cercle, l'aire du secte ur AOM est mesurée par s o. / 2. Dans le cas de l' hyperbo le, l'aire S du secteur AOM, po ur un point M d 'absc isse x (avec x ~ 1) et d 'ordonnée y = x i - J , est me urée par :

=

En posant , par ana logie aux fonctions circulaires, cette a ire égale à S = o./ 2, on obtient , e n remarquant que

~+

xi - 1X x -

x i - 1} 1 ,

~ - It =e -a . x + x '- - 1=e" et x-'-lxOn en déduit les formules classiques eu + e-n

ea - e -0

x=c ha = - - - y- sha - - - 2

et

tha =

'

2

e" - e-a e0 +e

_

0

où o. mesure

le double de l'aire S du secteur hype rbolique AOM .

S

=J:'s,2 dsr =s

2 - S1 •

r

1

Comparaison des radians Arthur Edwin Ke nne ll y (1861 - 1939), ingénie ur e n é lectricité am éricain , a illustré la comparaison entre fonctions c irculaires et hyperboliques en partageant e n c inq un ang le de I rad c irculaire et un angle de I rad hyperbolique. Dans le cas du cercle, les ang les sont to us égaux (de 0 ,2 e n 0 ,2 radian circula ire) et les rayons vecteurs sont tous égaux à 1. Dans le cas de l' hype rbo le, les diffé re nts angles mesure nt égaleme nt chacun 0 ,2 radian hype rbolique, ma is les longueurs des arcs correspondants ne sont pas égales, et leurs distances au centre O varient. Dans la premiè re fi gure de la page 84 (partage d ' un radian c irculaire), ~cun des arcs circula ires AB, BC , CD , DE et EF a une long ueur de 0,2 et c hacun des ang les circulaires mesure

Hors-série n° 53. Les angles Ta.ngent:e

SAVOIRS

Angles, fonctions ... longueur

(AB)

---'-----'- =-0 '-20 =0 , 20 rayon moyen

~

.....()

1

radian circulaire, si le rayon [OA] du cercle est pris pour unité de longueur.

-- )

0

~

0

·O

A

Fla. 3.-A Cin:ular Âl>gl• or 1 c:!=lar l'ldla11, in e,, sectlou, or 0'2 iaJian ...~. npruaed u I • / ~.

,

Dans la figure ci-dessous (partage d ' un radian hyperboljque), chacun des secteurs hyperboliques AOB , BOC , COD , DOE et EOF contient un angle hyperbolique de 0 ,2 radjan hyperbolique : longueur(AB) _ 0 . 20267 = ... = longueur(EF) = 0.35266 rayon moyen 1,01335 rayon moyen 1.7633

f'10. ,.-A Hyporùolio Angle of I hyperùolle radian, in fin secliou1 or 0'2 rodl&,i each, expr..110d

u, ~.f~

TQ.ngente Hors-série n°53. Les angles

ce qui représente 0,20 radian hyperbolique. L' angle hyperbolique total du secteur AOF mesure un radian hyperbolique, alors que l'arc ABCDEF a une longueur totale de 1,3 167 (environ) si OA est pri pour unité de longueur. Kennelly a montré que l'on pouvait générali ser les lois d' Ohm établies d 'abord pour les courants continus aux courants alte rnati fs au moyen des nombres complexe . Beaucoup de phénomènes électriques, particulièrement ceux concernant le ligne téléphoniques et les réseaux combinant rés istances, inductances et capacités (les circuits RLC), conduisent à des équations différentielles du second ordre, à coefficients constants, de la fo rme sui vante : ax"(t ) + bx'(t ) + cx(t ) = f(t). Selon le signe du di scriminant /1 de ar 2 + b r+ c =0 (équation dite caractéristique), l' ensemble des solutions de l'équation sans second membre associée ax"(t ) + b x '(t ) + c x(t) = 0 sera constitué des fo nctions sui vantes (dans lesquelles A, B et K sont des réels quelconques): • x(t) =A ch(at) + B sh(ar) dans le cas o ù/1>0 , • x(t) = (A t + B) e01 dans le cas où /1 = 0 , • x(t ) = e01 (Acos wt + Bsin wt ) =e01Kcos (wt + cp) dans le cas où /1 < 0 (avec w et cp des réels convenables). En fa it , les cas où /1 > 0 et où /1 < 0, apparemment di stincts, peuvent se traiter ous une même rubrique en généralisant la notion d 'angle dans deux directio ns : déjà en introduisant les angles hyperboliques, ensuite en défi ni ssant les angles complexes. De cette manière, les fo nctions défi nies par le cosinus et le sinu s d' un angle générique u sont obtenues par les ex ponentie lles i" et e- ill, caractérisées par l'angle circul aire u. Celles défi nies par

LA TRIGONOMÉTRIE le cos inus hype rbolique et le sinus hyperbo lique d ' un angle générique 8 sont obtenues par les exponentielles e0 et e- 0 et caractérisées par l'angle hyperbo lique 8. Aux fonctions défi nies par e8cos u e t e8 sin u, qui sont e n fa it obtenues par les exponentie lles e< 0+it1) et /IJ-i"l, on associera par conve ntion les angles complexes conjug ués 8 + iu et 8 - iu, a insi que le urs cos inu s et si nu , aux choi x hype rbo liques o u c ircul aires car le ur distinctio n n'a plus de rai o n d 'être, les propriétés de l'exponentielle pe rmettant de passer de l' une de fo rmes à l'autre: ch u= cosiu, s hu = - i s iniu, shi u = i s inu , c hiu = cosu, si n u = - i sh iu , cos u = c h iu. Kenne ll y a ca lculé et ta bulé à 10- 5 prè les fo nction circula ires et hype rboliques de no mbre complexes x + iq par intervalles de O,05 . Il a auss i constitué un atlas de trente-deux graphiques fac ilitant les interpo lations. À titre d 'exemple, le sc hé ma c i-contre présente une construc tio n graphique de ch( 1 + 2i) et plus généralement de ch( 1 + iw) pour to ut w réel. Les axes de coordonnée (OX) et (OY) sont les axes d' une hyperbole équilatère HABH ' do nt (OS ) est une asy mptote. La distance OA sur l' axe (OX) étant prise pour unité, les po ints 0 ,2, 0,4, 0,6 etc. sur l'hyperbo le indique nt les arc correspondant aux angles hyperboliques de 0 ,2, 0,4 , 0 ,6 etc. radian hyperbolique respectivement. Pour avo ir la vale ur de c h( 1 + 2i), utili sons la fo rmule d 'additio n e t les relations précédentes : ch( 1 + 2i) = ch( 1) ch(2i) + sh( 1) sh(2i) = ch( 1) cos(2) + i sh( 1) sin (2). Menons la perpe ndicula ire (b B) à (OX), où B correspond à un ang le hyperbolique de I radian. Do nc bB mesure sh( 1) et Ob mesure ch( 1). De O comme centre et Ob co mme rayon ,

traçons le cerc1!Lbcdef et dé limitons sur ce cercle l'arc bd , qui mesure 2 radians c ircula ires . Enfin de puis d abaissons la perpendiculaire (dM ) sur l' axe (OX) et faisons l' affi nité de rapport th(l ) - ~~, ce qui transforme den P et le cercle e n une e llipse (E). Alors OP est l' image~torie lle complexe de ch( !+ 2i) =OM+ iMP , qui est égal (à 10- 2 près) à -0,64 + l ,07i , so it (1 ,24 ; 12 1° O' 09") . Cette dernière expression est l'écriture pol aire du nombre complexe. Les valeurs de ch( ! + iw) sont alo rs immédiate ment accessibles à partir de l'ellipse. P~exemple, ch(! + i) sera do nné par OQ , et c h(l + 1,Si) sera fourni parOg. Les ouvrages de Kenne lly expliquent comme nt ces an gles généralisés sont appliqués à l' ingénierie é lectrique. Leur utili sation a aug me nté à l'extrê me la puissance du calcul. Inverseme nt , le génie é lectrique a fécondé en profondeur deux do maines des mathé matiques pures, les no mbres complexe e t la trigono métrie gé néralisée des fonctions hype rbolique et circula ires.

Référence s Th e application of hyperbolic func tions to electrical engineering problems . Arthur Edw in Ke nn e ll y, Uni versi ty of Lond on Press, 19 12.

Tables of complex hyperbolic and circular func tions. Arthur Edwin Ke nn e ll y, Harvard Uni vers it y Press, 192 1 pour la seco nd e édition.

J.-P. F.


SAVOIRS


Hngles, produit scalaire

et orthogonalité Le produit scalaire est un outil essentiel pour l'étude de la géométrie plane métrique. À deux vecteurs du plan, il associe un scalaire, qui dépend de leurs longueurs et de leurs orientations respectives. Il est ainsi sous-jacent à la notion de mesures des angles et donc lié à la trigonométrie. e produit sca laire peut s'appréhe nde r de de ux maniè res différe nte . La pre mière fa it appel à la pe rception géométrique que no us avons d u pla n ; la seconde se place dans le cadre des structures algé briques en assoc iant à deux vec teurs un scala ire vérifia nt certains ax iomes.

L Produit scalaire positif A,li. · - -..

B

fi

Produit scalaire négatif

fi

O

la uision géométrique Plaçons-nous dan s le pla n et intéressons-nous à la pre miè re approc he, te lle me nt plus intuiti ve. Pre no n deux vecte urs OA e t OB de mê me o ri g ine O . Proje to ns le point 8 sur la droite (OA) et noto ns H cette projectio n. On défi A nit le produit scalaire OA.OB comme le produit des valeurs algébriques des vecteurs OA et OH, c'est-à-di re le produit de leurs lo ng ue urs si H se situe du mê me côté que A sur la dro ite (OA), et l' o pposé de ce produit sino n. Ainsi, s i o n note 8 la mesure de l' a ng le AOB , o n o btie nt A

Ta.n.gente Hors-série n°53. Les angles

OA .OB =OA x OB x cos 8. On pe ut e n déduire certaines pro priétés : • On ne modifie pas le produit scalaire e n inte rverti ssant A et B. Certes, l'ang le 8 est tra nsformé e n - 8, mais l'on sa it que cos8 = cos(- 8). • Si l'on se do nne un no mbre rée l a et que l'o n cons idè re le po int A' te l que OA' = aOA. alo rs OA' .OB = OA' OB cos 8 = a OA OB cos8 = a OA.. OB. • So ie nt mainte na nt des po ints 0 , A, A' et 8 . Dé fini sson C tel que 6ë =OA + OA' (atte ntio n, les vecte urs s ' ajo ute nt selo n la règ le du parallé logramme !). A lors : (OA + OA' ).OB = OC.OB = OA .OB + OA' .OB . • E nfin , on re ma rqu e qu e OA .OA = ON ~ 0 e t que s i OA.OA = 0 alo rs O =A. Ces quatre propri étés caractérisent le produit scalaire et sont désormais uti lisées po ur le défi nir ax iomatiqueme nt. Les deux autres propriétés suivantes o nt fo nda me ntales auss i mais découlent e n fa it directe me nt des précéde ntes.

LA TRIGONOMÉTRIE

Notre langue possède trois mots pour désigner deux vecteurs (ou deux droites) faisant entre eux un angle droit. Pour les Romains, perpendiculum désignait le fil à plomb. On y reconnait une racine commune avec le verbe pendre. Au Moyen Âge, perpendicle avait le même sens que son ancêtre latin mais désignait aussi la verticale. Perpendiculaire a été formé à la Renaissance sur la racine latine alors que l'intérêt pour les sciences reprenait. Bien qu'entièrement construit sur des racines grecques, orthogonal date de l'époque moderne. Le préfixe, ortho, qui avait le sen de droit et, par extension, co"ect, se retrouve dans orthographe et orthocentre, point de concours des hauteurs d'un triangle. Le second terme est issu du terme gonia, qui signifiait coin ou angle ; on le retrouve dans polygone ou dans trigone, si cher aux astrologues. On s'étonne parfois d'entendre nommé vecteur normal celui qui fait un angle droit avec la tangente à une courbe ou avec le plan tangent à une surface. Qu'a-t-il de plus normal qu'un autre? C'est oublier que l'équerre se nommait nonna en latin. C'est un retour à l'étymologie latine, vers 1750, qui explique son utilisation en géométrie. Mais comment est-on parvenu de nonna, l'équerre, à la nonne, celle qui hante certains de nos espaces vectoriels comme celles qui s'accumulent dans notre quotidien? Dans l' Antiquité classique déjà le même mot (en grec gnomon et en latin directus) désignait à la fois la ligne droite et 1'angle droit. Par une extension naturelle est apparu alors le sens figuré de ce qui respecte la règle. Le double sens de ce dernier vocable en est une illustration. Par une dérive analogue, le latin norma, associé comme nous l'avons vu à l'angle droit, s'est mis à signifier la loi, la règle. Le français norme, apparu à la fin du XIII° siècle, n'a conservé que le sens abstrait de son ancêtre latin. Au xlX" siècle, il se met à désigner aussi ce qui est conforme à la majorité des cas, ou ce qui est communément admis, de règle, qu'il convient de suivre. En mathématiques, la norme (qui généralise la valeur absolue dans les espaces vectoriels) apparait dans les années 1920 et provient de l'acception dérivée. On oppose donc normal, dans le sens de perpendiculaire, à normé, qui signifie de norme 1. Il vaut donc mieux parler de base orthonormée que orthonormale. Dans le deuxième terme, on retrouve deux fois la notion d'orthogonalité alors que dans le premier elle s'associe à l'idée que ses éléments sont de norme 1.

• Le produit scalaire est, en valeur absolue, inférieurau produit des longueurs : I OA.08 1 s OA x OB . Cette inégalité est connue sous le nom d ' inégalité de Cauchy (ou de CauchySchwarz) ; on nom lui vient du mathématicie n françai s Augustin Louis Cauchy ( 1789- 1857). • Si 6A et OB sont orthogonaux (c 'està-dire perpendiculaires), alors Je produit scalaire est nul. En effet, H se trouve alors confo ndu avec O.

Le produit scalaire est, au signe près, le produit de deux longueurs. Ne peut-on pas le concevoir comme 1' aire d ' un rectangle ? C ' est bien le cas, et la construction est toute simple. Considérons le point A' image de A par la rotation de centre O et d' angle +90°. Le produit scalaire OA.08 est alors, au signe prés, l' aire du rectangle dont trois des sommets sont 0 , H et A' ; son signe est pos iti f si ce rectangle se situe du même côté que A par rapport à la droite (OA'),


SAVOIRS

Angles, produit scalaire ... et négatif sinon. Toutes les propriétés énoncées plus haut se retrouvent dans cette interprétation.

(1, 0)

(- 1.0)

Le produit scalaire est lié à la métrique ; pour l' exprimer simplement en fo nction des coordonnées, il est donc préférable d ' utiliser une base orthonormée, c'est-à-dire une ba e composée de deux vecteurs unitaires (de longueur l ) et orthogonaux. Parmi ce bases, il ex iste deux classes : celles de la fo rme où ; est obtenu par rotation de ïi de + 90° (on les appe lle bases directes), et celles où ; est obtenu par rotation de Ï: de -90° (les bases indirectes). On choisit généralement les premières. Ainsi, si 6A = xïi + y;;" et OB = + y'V: alors leur produ it scalai re OA.08 est égal à xx' + yy'.

:,:

Valeurs remarquables dans le cercle trigonométrique.

(;, 0

x';;

Une uision algébrique Dans les années 1840, plusieur mathématiciens introduisent les espaces vectorie ls de manière algébrique. Un vecteur est vu par Arthur Cay ley comme un n- uplet de nombres réels (où n désigne la dimension de l' espace). Pour la première fo is, on ne s' impose pas une dimension 2 ou 3 : la dimension peut prendre n' importe que lle valeur. De plus, le vecteur n'est plus attaché à deux points, mai est con idéré comme un élé ment en lui-même. On le dés igne désormais par une seule lettre, souvent surmontée d ' une fl èche pour ne pas le confo ndre avec un nombre.

RÉFÉ RENCES • Les matrices. Bib liothèque Tangente 44, 2012. • Doss ier « Les vecteurs » . Tangente 144, 20 12. • Doss ier « Le para llé logramme ». Tan gente 150, 20 13.


En 1888, Giu eppe Peano donne une défi nition ax iomatique de espaces vectoriels utili ée encore de no jour . Un espace vectoriel est alors un ensemble d 'é léments no mmés vecteurs, doté d ' une addition et reprenant les propriétés é lémentaires des vecteurs en géométrie. De plus, on munit cet ensemble d ' une multiplication par les scalaires (c'est-à-dire les nombres réels). Il nous fa ut alor munir cet espace vectorie l d ' un produit scalaire. On considère alors une application/ qui associe, un à tout couple de vecteurs (;, nombre réel ; cette application doit véri fier les quatre propriétés vues plus haut. Par exemple, pour tous vecteurs ;, ; et ;:;;, on a!(;, 0 = !(V: 0,

0.

j(Ï: + V:;:;;)=!(;, ;:;;) +!(V: ;:;;) ... Que l intérêt? On s'aperço it d ' une part que de no mbreux espaces peuvent être muni s d ' un produit scalaire (comme des e nsembles de po lynô mes o u de fo nctio n ) ; les propriétés démontrées po ur le produit scalaire traditio nnel 'étendent alo rs aux é léments de ces ensembles ! D 'autre part , ceci permet d' utili ser notre intuition géométrique po ur de problè mes a priori purement analytiques.

Un exemple d'utilisation en physique Le travail d' une force est l'énergie qu 'elle fo urnit lorsque le point d 'application de cette fo rce se déplace. Lorsque la force est constante, c'est-à-dire que sa valeur, son sens et sa direction sont invariants, et qu 'elle 'applique à un mobile parcourant une trajectoire rectiligne, le travail sur le parcours du point A au point B est, par défi nition, w = F AB cos = ËAB, où F désigne le vecteur fo rce. On retrouve le produit scalaire de F et du vecteur AB. Ainsi, si la fo rce est perpendiculai re à la tra-

e

LA TRIGONOMÉTRIE jectoire, le travail est nul. Selon que le travai l est positif ou négatif, la force est dite motrice ou résistante. Dans le premier cas, elle augmente l'énergie cinétique et le mobile accélère, dans le second, elle le ralentit. On aime considérer les deux composantes de la fo rce : la composante perpendiculaire ne modifie pas l'énergie cinétique ; seule la composante colinéaire à la trajecto ire a un effet sur elle.

Représentation des fonctions circulaires

~\z I

I

.!.·-·-·-·-·

l'angle droit De tout temps, on a réservé à l' angle droit un statut particulier ; il est caractéri sé par la nullité du produit scalaire. On le rencontre déjà avec le célèbre théorème de Pythagore, et plusie urs résultats énoncés par Euclide y font référence. Pourquoi cet intérêt ? Sans doute parce qu ' il lie les deux directions pri vilégiées que sont la ve rticalité , déterminée par la trajecto ire d ' un objet qui tombe, et l' hori zontalité, dessinée par la mer à l' infini . L'étymo logie du mot perpendiculaire le rappe lle. Ainsi, parmi les triang les, celui qui possède un angle droit joue un rôle spéc ifique. Les re lations entre les longueurs des côtés sont fac iles à calculer et con tituent la base de la tri gonométrie (trigone est d ' aille urs le no m grec du triangle.) Même dans celui qui ne l'est pas, on s' intéresse à ses hauteurs, dess inant ainsi des triangles rectangles en son sein . Dan un tri angle ABC, rectang le en A, on a AB 2 + AC 2 = BC 2• Mais qu 'advient-il si ce triang le n 'est plus rectangle ? Cela nous est donné par la fo rmule d 'al-Kas hi , du nom d ' un mathématicien qui vivait au xv< siècle à la cour de Samarkand. On lui do it la relation sui va nte (vo ir par aille urs dans ce doss ier) :

Les fonctions trigonométriques de l'angle O peuvent être construites géométriquement dans un cercle unité de centre O : le sinus sin, le cosinus cos, la tangente tan, la cotangente cotan, la sécante sec = 1 / cos, la cosécante cosec = 1 / sin, le sinus-verse sinv = 1 - cos, le cosinus-verse cosv = 1 - sin, l'exsécante exsec = sec - 1 et J'excosécante excosec = cosec - 1. Les fonctions haversinus (haversin = si1w / 2) et havercosinus (havercos = cosv / 2), totalement tombées en désuétude, étaient naguère utilisées en trigonométrie et en analyse harmonique, mais aussi pour la géodésie ou les calculs astronomiques.

AB 2 + AC 2 = BC2 - 2 AB.AC = BC2 - 2 AB AC cos 8. Inversement, cette formul e nous permet d 'obtenir le produit scalaire ! En écri vant : AB.AC = \.'Î (AB 2 + AC2 - BC2), 011 retrouve le fait que le produit scalaire est positif si BC 2 est plus petit que AB 2 + AC2, c'est-à-dire si l' angle BAC est aigu, et négatif dans le cas contraire.

B.H. Hors-série n°53. Les angles T~ngente

HISTOIRES

par Jean-Jacques Dupas

l'astronomie

grande consommatrice de trigonométrie Petite sœur des mathématiques, l'astronomie lui a fourni bien des problèmes qui ont favorisé son développement. C'est en particulier une grande consommatrice d'angles et de trigonométrie. Le degré, par exemple, ne trouve-t-il pas son origine dans l'astronomie ?

L

es Babyloniens, qui utilisaient le système sexagés imal (c'està-dire en base 60), remarquaient que l'année comptait environ troi cent soixante jour . Cette mesure étant assez délicate, il a fa llu un certain temps pour se rendre compte que l'année durait plutôt trois cent soixante-cinq jours, voire un peu plus. Notre calendrier actuel utili se une année de 365 ,2422 j ours. Donc un degré correspond ,

Hauteur et azimut d'un astre.

=90°

Zénilh

Astre

+

. ,_hori _ ._w _n1 - - ~-·

o·

hauteur

•

Nadir= -90° Nord

l9

Dffln.ldoo dl! • h..luttur dAM le plafl 7.bilth, adir, MCNI


pour les Babyloniens, au mouvement apparent du oleil sur l'écliptique d' une journée. En fai t, en astronomie, on utili se plusieurs repères et plusieurs unités . Faisons-en un tour rapide, pour se rendre compte que de si mplement repérer un objet dans le ciel n'est pas si simpl e . ..

Des angles tous azimuts Du point de vue de l'observateur, les astres (étoile , oleil , lune, planète ... ) semblent se situer sur une sphère de très grand rayon : la sphère céleste. La manière la plus commode pour repérer un objet sur cette sphère est donc d' utiliser des angles . Le repère le plus naturel, pour l' observateur situé en 0 , est celui qui est donné par la verticale. Celle-ci peutêtre matérialisée par un fi l à plomb. La verticale du lieu coupe la sphère céleste au zénith au dessus de l' observateur et au nadir ous l' ob ervateur. Le plan horizantal est plan perpendicul aire à la verticale passant par O.

Dans le plan passant par le zénith , le nadir et l'astre étudié, la hauteur est l'angle entre le plan hori zontal et l'astre. Cet angle est compris entre - 90° et +90°. La hauteur de l'astre est nulle si l'astre et sur l'horizon, positive si l'astre est au-dessus de l'horizon, et négati ve s' il est en dessous de l' horizon. La hauteur de l' astre mesure 90° si l'astre est au zénith , et de - 90° si l'astre est au nadir. L'azimut est l'angle, dans le plan horizontal , du plan de l'astre, compté par rapport au Sud , positif vers l'Ouest de O à 180° et négatif ver l' Est de O à 180°. Les marin et les aviateurs ont , eux, comme origine le Nord et comptent les azimuts dans le sens horai re. Si le plan hori zontal est le plus naturel, il est décorrélé de la géographie. L' axe des pôles coupe la sphère céleste au pôle Nord céleste P et au pô le Sud céleste P'. L' inclinaison de cet axe par rapport à l'horizon est la latitude du lieu, notée cj> . Le plan perpendiculaire à l'axe des pôles est le plan de l'équateur céleste. L'équateur céleste coupe )' horizon sui vant la droite passant par l'Ouest, l' Est et le centre de la sphère céleste . Par rapport à notre nouveau plan (l'équateur céleste), on définit la déclinaison de l'astre : c'e t l'angle ô, mesuré sur un cercle horaire, entre l' astre de la sphère céleste et l'équateur céleste. Les étoiles po èdent une déclinaison pratiquement constante (contrairement au soleil , à la lune et aux planètes) ; elles décrivent des parallèles à eau e de la rotation de la Terre sur elle-même autour de l' axe des pôles. C'est justement l'angle horaire H qui mesure cette rotation . L' angle horaire va de Oà 360°. On peut définir une autre coordonnée équatoriale : l'ascension droite a. On compte les ascensions droites à partir du

Les coordonnées équatoriales. P =90'

•

Zénith

• équateur

Astre

,6

+

' • oo

•

P' = -90' Of.Onlllon de l• dtt:llnalson dartJ le plan P&le nord et.leste. Aslrt, Pôle sud cEltste

Nord

180'

J

•

o•

+

jl'. H

Nadir

•

Ouest = 90' Of.OnJtloo de l'angle hora ire H daM le plan de l'fquateur ttleste

Coordonnées équatoriales, ascension droite, angle horaire et temps sidéral.

P=90'

•

Zénith

• équateur

A stre

,6

+

' • oo

•

p• = -90' OlflnlUon de la dkllnalson dan lt plan PMt nord cfJote, Astre, Pôle .sud d:k!ste

180' Nadir

•

y

•

Ouest =90' Of.On ltl
Le triangle de position.


EJII

L'astronomie ... L'équateur et l'horizon.

Un peu de trigonométrie sphérique.

Zénith

' horizon - Sud

•

sinB sina =sinA sinb cosB sina =c sine - sinb cosc cosA cosa =co cosc + sinb inc cosA

Nadir

P =90°

•

Zénith

~6

• équateur

Astre +

' • oo

•

P' = -90° OlQnldon de la dk lln• lson dans le pllln Pôlt: nord ttl te.A.si~, Pôle sud tt:lt:slr

•

y

• Ouest= 90°

OEnnllion dt l'angle horaire H dans le plan dt l'Equateur ttltste

Références Cosmographie, comprendre les mouvements du Soleil, de la Lune et des planètes . Den is Savoie. Belin , 2006.

Confére11ce sur le thème « L'astrolabe » . Roland Lehoucq , festi val d ' astronomie de Fleurance, 20 11.

L'astronomie . Bib liothèque Tangente 2 1,2004.

Prévoir pour décider. Tangente SVP 63- 64, 20 12.

III

point gamma. Le point gamma (ou point vernal) y est l' une des deux intersections de l'équateur céleste avec l' écliptique (le grand cercle de la sphère où semble se déplacer le soleil au cours de l' année ; le soleil est au point gamma y le jour de l'équinoxe de printemps ; l' autre point est noté y'). On a l'habitude de donner l'ascension droite en heures, minutes et secondes (24h corresponde nt à 360°) co mptées pos iti vement d ' Ouest en Est. L'ascensio n droite, comme la déclinaison, d ' une étoile est pratiquement constante. L'angle horaire du point gamma, noté T, est appe lé temps sidéral . C ' est bien un angle et on l'exprime aussi en heures, minutes et secondes. Il est également variable à cause de la rotation de


la Terre. On a la relation sui vante H = T - a. Pour connaitre la pos ition d' un astre, il est donc nécessa ire de connaître son ascension droite, sa déclinaison et le temp sidéral. Év idemment , le jeu va être de passer d ' un sy tème de coordonnées à l'autre ! Avec un peu de trigonométrie sphérique (voir le schéma et les fo rmules ci-contre), o n obtient (passage des coordonnées hori zontales (a, h) aux coordonnées horaires (H , Ô)) : sinH cosô = sina cosh , cosH cosô sinh coscj> + cosh sincj> cosa, sinô = sinh sincj> - cosh coscj> cosa. Et, dans l'autre sens (passage des coordonnées horaires (H, ô) aux coordonnées horizontales (a, h)): sina cosh = sinH cosô, cosa cosh = - sinô coscj> + cosô sincj> cosH, sinh = sinô sincj> + cosô coscj> cos H. Comme on le constate, le passage d ' un repère à l'autre n'est pas simple! D'où le succès de l' astrolabe planisphérique , qui , pour une latitude cj> donnée, permet sans aucun calcul , le passage d ' un repère à l'autre, c'està-dire de trouver un des paramètre connaissant les autres. Le simple positionnement d ' un astre dans le cie l a ainsi introduit bien des angles, chacun avec son unité et sa plage de défi nition ! D'autres repères sera ient également à considérer, comme ce lui lié à l'écliptique, et l'article sur l'astrolabe pl anisphérique dans le dossier sui vant montrera comment un te l repère résout é légamment le problème du passage d ' un repère à l' autre.

=

J..J.D.

HISTOIRES

par Hervé Lehning

D'où nous uiennent

les degrés Les Babyloniens les ont inventés à l'aube de l'humanité. Par amour de la décimalité, les révolutionnaires ont voulu les remplacer par les grades puis, pour des questions analytiques, les mathématiciens ont introduit les radians. Pourtant, les degrés restent l'unité d'angle la plus utilisée. ourquoi un tour complet du cercle fait-il exactement trois cent oixante degrés ? Pour répondre à cette question, on n' a qu ' une certitude : cet héritage nou vient des a tronomes babyloniens, quelque 4 000 ans avant notre ère . Aucun document de l'époque n'explique l'origine de ce choix mais il ex iste des hypothèses vraisemblables . Tout d 'abord , l'année avec son retour des sai on a un caractère cyclique. Elle peut être vue comme un cercle . Comme l' année comporte un peu plus de trois cent soixante jours, cela peut expliquer la division du cercle en autant de degrés . D'autre

P L'ingénieur James Thomson (1822-1892) est le premier à avoir introduit le terme «radian».

part , la lune a douze cycles dans une année. Un compromis entre la base 10 , naturelle du fa it de nos dix doigts, et la base 12 correspondant aux cyc les de la June mène naturellement à un multiple commun aux deux. Le plus petit est 60 , ce qui justifierait )' utili sation de la base 60, indissociable des degrés. L'angle total de 360° a également un sens dans les mathématiques de l' époque où l' on s' intéressait particulière ment aux polygones réguliers simples : triangle équilatéral, carré, pentagone et hexagone .

Le triangle équilatéral implique des angles de 60°, le carré, de 90° et le pentagone, de 108° dans le système où la circonférence entière fait 360° soit le sixième, le quart et les trois dixièmes de la circonférence totale.


MESURER Si on dés ire que les angles impliqués par ces polygo nes aient des vale urs entières , on do it attribuer à la circonfére nce totale un multiple de 6 , 4 et 10, donc un multiple de 60 . Cela pe ut expliquer le cho ix de la base 60 pour mesurer les angles. Si on veut de plus que tous les angles obtenu s dans ces figure aient des valeurs e ntiè res , la mesure de 360 pour la circonfé rence entière s' impose. On retrouve également les déco mptes en heure , minutes et secondes, qui se fait en base soixante , vie il héritage des Baby loniens .

le système GPS et les Babyloniens Dans le système GPS , les angles sont ain si toujours comptés en degrés , mais pas fo rcément en minutes et secondes. Les coordonnées sont souvent ex primées en degrés décimaux, généralement avec quatre déc imales. Ain i, pour obtenir les minutes et les seconde de l' angle 48,8427 en degrés déc imaux, on multiplie 0,8427 par 60, ce qui donne 50 ,5620, donc 50 minutes plus 0 ,5620, c'est-à-dire 0,5620 x 60 = 33 ,7200 secondes. L'angle vaut donc 48°50 ' 33,72", soit 48 degrés 50 minutes et 33,72 secondes. Si on arrondit à 48° 50 ' 34", les Babyloniens auraient écrit ce no mbre ainsi :

Le 26 mars 179 1, l' Académie des sc iences défi nit le mètre comme la di x- millionième partie d ' un quart de grand cercle terrestre, passa nt par les pôles . Pour des raisons géodés iques, il était intéressant de di viser ce quart de cercle en cent. Le grade naquit ainsi. La circonférence terrestre valant envi-

l'écrnure babvlonlenne des nombres Le système utilisé à Babylone était mixte car les chiffres de 1 à 59 étaient écrits dans un système additif de base 10, le système général étant positionne} de base 60 . Un clou valait une unité et un chevron, une dizaine, ce qui donne les nombres de 1 à 9 suivants :

TTTTTTT"iîfflTWffl Nombres de 1 à 9 dans le système babylonien. Les arrangements par groupe de trois aident la lecture.

On ajoute alors les chevrons devant pour obtenir les nombres de 10 à 59 :

Les dizaines de JO à 50.

Dans ce système, les nombres 1 637 et 5 002 s'écrivent respectivement 27 x 60 + 17 et 1 X 60 2 + 23 X 60 + 22 :

T{TTT{TT ron quarante mille kilomètres, un grade correspond donc à 100 km , et un centième de grade à I km . Si o n rai onne e n degrés, c' est plus compliqué : il faut divi ser 40000 par 360 (et non 400) , on trou ve donc J 11 ,11 km . Pour une minute, o n trouve 1,852, c'est-à-dire un mille nautique, ce qui n ' est év idemment pas un hasard ! De nos jour , ! ' utili sation du grade se limite au monde de la topographie et de la géodés ie . .. en France. En mathématiques, son gros défaut est de ne pas proposer de vale urs entières aux ang les des po lygones réguliers simples (triang le équilatéral , carré et


D'où nous viennent ... pentago ne) . Ce défaut est lié au fa it que

360 a plus de di viseurs que 400 (v ingtquatre contre quinze).

Les raisons du radian 0

cosx

------

H A

L'angle AOM étant donné, sa mesure x en radians est la longueur ,,--.__ ' de l'arc AM , comptee le long du cercle, l'unité étant OA. Ainsi, l'angle total de 360° vaut 2:rt radians. Les lignes trigonométriques sont définies sur cette figure: cos x = OH, sin x= HM et tan x= AP.

Pour obtenir une fo rmule de déri vation simple des fo nctions trigo nométriques, il vaut mjeux compter en radians car les fo rmules de déri vation fo nt intervenir la limite du rapport sin x quand x X

Le terme « radian », qui vient du latin r adius (rayon), est très posté rie ur à son utili ation. En effet , si Leonhard Euler ( 1707- 1783) ne parle nulle part de radian , il en utilise le concept mais en parlant simple ment d'arc. Le terme « radian » date de Jarne Tho mson (frère de Lord Ke lvin), à la fi n du XI X 0 sièc le, ma is ne rentre dans le Système international d ' unités (SI ) qu 'en 1961.

tend vers O. Celle-c i vaut I si on prend pour x la longue ur de l'arc de cercle AM (voir la fig ure c i-contre). Si on compte e n degrés, cette limite vaut -1!_,

180

ce qui introduit ce coefficient dans tous les calcul s de déri vées. En revanche, le ra pport entre degrés et radians est compliqué puisque 2n radi ans correspondent à 360°, 1 radi an vaut do nc

32~ = 57 ,2958°.

H.L.

16111111111 En comparant les longueurs HM, AM et AP (voir la figure ci-dessus), on obtient la double inégalité sin x :s x :s tan x. En divisant par x (pour x > o ), on trouve : cos x :s sin x:s 1. X

Comme cos x tend vers 1 quand x tend vers o, on en déduit que le rapport s~ x tend vers 1. On montre de même que le rapport 1- ~ x tend verso.

La dérivée du sinus en x correspond à la limite quand h tend vers o du rapport sin(x + h) sin x, ce qui conduit à utiliser la formule suivante: h sin(x + h) =sin x cos h + sin h cos x.

On en déduit que sin(x + h) sin x =(sin x) cos h - 1 + (cos x) sin h h

h

h

tend vers cos x, c'est-à-dire que la fonction sinus est dérivable en x et que sa dérivée vaut cos x.

1 Z~ 1 5

518 90

Une légende urbaine sans aucun fondement historique ni scientifique veut que la forme des chiffres arabes tels que nous les connaissons ait été dictée par le nombre d'angles que comporte chacun des chiffres.

Tg,n9ent:e Hors-série n°53. Les angles

par Alain Zalmanski

le dictionnaire des angles 5 Pour la cartographie céleste

En audiovisuel En musique, le cor anglais n'est ni un cui vre, ni britannique : il fait partie de la fa mille des bo is et son embouchure à anche fa it un ang le avec le corps de l' instrument. En fait , on devrait écrire « cor anglé » (!), mais cela n'explique pas le cho ix du mot « cor » pour dés igner cet instrument. .. Dans la photographie et le c inéma, un objectif grand angle est à courte focale. Il permet un cadrage large de panoramas ra pprochés dont on ne peut pas s'éloigner. Les foca les inférieures à 24 mm , dites super grand-angle, ont un ang le de vision qui produit des images déformées par rapport à la réalité. Enfin , Angles d'attaque (Vantage Point dans la version originale) est un thriller américain réali sé par Pete Travis en 2008 (Columbia Pictures et Original Film) ; Angle mort (ou Blind Side) est lui auss i un thriller américa in réalisé par Geoff Murphy en 1993 (produit par Jeffrey Lurie, John Bard Manuli s, John Marsh, Jay Roewe et So lomon Weingarten).

J,"uny/e horuirc l'St J"u11l' dl's dl'll'> l'<><>nlon lll't's dans k s,·stL'llll' dit c/cs ('Oorclo1111< ;('S hu 1·uin·s. C'l'st Lmglt· compris l'llt n· Il' lll l'ridil'n local sud l'i Il' l'l'ITll' horairl' qui passl' par J"ast rl' ohsl'r\'l'. 11 l'St l'<>lll pt<· dl' 1.fro ù doU / l' hl'Url's. positin·ml·nt wrs l'Oul'st. lll'gatiw mrn t \'l' rs r Est. J,"astro110111il' l'i la cartographil' ct'.·il'sll' ont introduit dl' nomhrl'USl'S notions angulairl's . J,"uzimul est L111gk par rapport ù l'aw '.'\onlSud sur un plan conll'nant cl'l a , l· l'l un point \'ist'.· dl'puis IL• l'l'ntrl' dl• la l'l'ITL'. co111ptl' par rapport au Sud. Ll' clic1111(~/r<' UJJJ>W'<'lll l'St l'angle sous IL·qul'l on , ·oit un ohjl'l ou un astrl'. La clistunc<' Z<;nithulc l'St L111gk l'ntrl' la \'l'rticall' l'l un point \'is<·. La lwutrnr d<·sigm· J"angle l'lltrl' J"horiwntall' l'i un point ,is<·. l'i lï11cli11uisu11 l'angll' l'ntrl' k p lan dl' l'orhill' d 'un rnrps l'l•ll'sll' l'i Il' plan dl' rL·fl·rL'lll'l'. Ll' ll(l(/ir l'St Lmgll' droit \l'!"s Il' has n ·rticall'nwnt par rapport au tour dl' lïwri 1m1 dl' l'ohsl' n,ltl'ur. Il l'St situ<· ù J"opposc'.• du i'.(;llilh. qui dL•sig1w l'angll' droit \l'rs Il' haut n·rt icail'ml'nt par rapport au tour dl' lï10ri wn dl' J"ohsl'n,,tl'ur. La mlutituclc l'St L111gll' l'o111pkml'ntairl' dl' latitudl' L'n un lil'u dmmt'.·. par rapport au pok. La (kclinuisun l'St L1ngll' nll'sllrl' sur un cl'rdl' horairl' l'ntrl' un point dl' la splll'l"L' l'l•ll'sll' l'l l"l·quall'ur L'L'll'stL· . Elll' l'St lù 1ui\'all'llt (k la latitudL· ll'rrl'strl' projl'll'l' sur la sphL'rL' ct'.·ksll'. En astronomil' chinoisl'. Il' c/11 l'st Hill' unit<· dl' ml·sun·

HISTOIRES

par Jean-Paul Guichard

la mesure des angles Le partage des angles, en particulier la bissection, introduit

une première façon de mesurer les angles. Deux autres voies peuvent également être explorées : à partir des arcs de cercle et à partir de segments. Être en mesure de mesurer un angle n 'est pas une mince affaire !

L Sur un rapporteur, la ligne 0°-180° est appelée la ligne de foi (planche de I' Encyclopédie).

a dé marche c lass ique et ancestral e pour défi nir la mesure d ' une g ra ndeur s'applique aux angles-grandeurs : pui sque l'on sait comparer des angles, en prendre des multiples et les divi ser (vo ir e n pages 22 à 29), pour dire la grande ur d ' un angle il suffit de le comparer à un angle choi si pour unité et de dire « combien de fois » ( ' unité est contenue dans cet angle. Ce nombre est la mesure de l'ang le dans l'unité choisie. Alor est réali é l'objectif de Clairaut de connaître la grandeur absolue des angles et leurs rapports :

angles, il fa ut introduire une notation du type mes(Â) et écrire mes(Â) =60° . La notation utilisée dans les an nées 1970- 1980 étai t E(Â) et même E 180(Â) pour préciser l'unité; elle se li sait écart de l'angle géométrique Â, ou écart

angulaire du couple de demi-droites représentant l 'angle Â. Voic i comment s'énonça it le des ang les du de 1974 pour « La somme

théorème de la somme triangle dans un man uel la c lasse de troisième :

des écarts angulaires des angles géométriques d 'un triangle est égale à l'écart angulaire k d'un angle plat. » Par contre, le degré étant

Il était donc nécessaire de chercher un angle (le trois cent soixantième une mesure fixe pour les angles, de l'ang le plei n), 60° devra it se lire comme on en avait déjà une pour les « soixante fois le degré » , et alor longueurs .» l'ang le Â est égal à soixante degrés : «

cela justifie le calcul avec les unités et l'écriture Â = 60° (ce calcul est un calcul sur les ang les, un ca lcul dans un Pour un angle Â de 60°, par exemple, espace vectoriel de dimension I puison devrait dire « un angle dont la que l'on a défi ni pour les angles une mesure est 60 si l'unité est le degré ». addition et une multiplication par un Si l'on veut calculer sur la mesure des scalaire ayant les propriétés attendues).

Mesurer à partir de la grandeur angle

~

Tc:ingent:e Hors-série n°53. Les angles

MESURER

Ce calcul fac ilite les c ha ngeme nts d ' unités. li est préconi sé dans les programmes ac tue ls de co llège.

Calcul sur las 111111 : ch111111111 d'unnés

Tant d'unhés_ QueUe unité cho isir ? Dans les Éléments d'Euclide, l'étalo n de comparaison des angles est l'angle droit D . Tous les angles partic uliers s'expriment e n multiples ou fractions de D . Les angles supplémentaires valent 20 , la somme des angles du triangle aussi. L' angle du triang le équilatéral est (2/3) D , et ('ang le du pentagone régulier vaut ( 1 + 1/5) D. Dans le manue l de la classe de sixième de Hachette datant de 1958, il est dit que l' unité princ ipale d 'angle est l'ang le dro it D, et que D étant trop grand pour les mesures usue lles d 'angles on utilise deux systèmes de sous-multiples : le grade, centiè me de D, et le degré, quatre-vingt-di xième de D. Si le grade a bien été défini ai nsi à l' époque révolutionnai re où la France a systématisé l'emplo i du système décimal pour toutes les mesures, par contre le degré vient de la mesure des arcs de cercle et d ' une époque bien plus lointaine . Enfi n l'angle plein fai t aussi office d ' unité d ' angle usitée sous l' appellation de tour (tr). Dans la Grèce antique e n lie n avec l'astrono mie et la trajecto ire c irculaire du sole il à travers le zodiaque, la mesure des ang les est exprimée e n fon ctio n de celle des arcs de cercle, e lle-même ex primée en fractio ns de la c irconfé rence du cercle : la plus petite considérée est la 720< partie du cercle, attestée chez Aristarque de Samos . Deux sous- multiples connus o nt utili sé comme unités : le quadrant o u quart de cercle (on retrouve l'angle dro it), et le ::,ôdion, do uzième partie du cercle, lié au zodiaque. Quant au degré, o n le trouve dans les re levés astro no miques

D dé igne l'angle droit. Les unités sont le tour tr, le degré O , le radian rad et le grade gon (anciennement gr). 0 1 4 4 400 40 -40x-D--D--x100gon•-gon. 90 9 9 9 1 83 83 83 83° • 83 X - -tr • tr • X 2,uad • :rt rad. 360 360 360 180 5:rc 5:rc 1 5 5 0 1800° -rad•--tr--tr--x360 - - - . 7 7 2:rc 14 14 14

des Mésopotamie ns et dans les tables de cordes d ' Hipparque et de Ptolé mée. So it la mesure des arcs, comme fractio ns de la c irconférence d ' un cercle, a été ,• dé finie en pre mier, et alo rs pour la mesure des angles o n renvoie directe,1' -,~ •.. . ment à la mesure des arcs, e n liant ~ ....... ... _.:{ ;m:m. ouverture de l'angle et arc de cercle : c'est la démarche à l' œ uvre dans )' article " « Angle » de l'E ncyclopédie. So it l' on définit la mesure des ang les directe me nt e n di visant la c irconfére nce du cercle en Le limbe parties égales: c'est ce que fait Clairaut. du graphomètre Quant au degré, cho isi comme unité, ce est gradué sera l' arc correspo ndant à la trois cent de la même façon soixantiè me partie de la c irconférence que celui du cercle, o u l'ang le au centre intercep- du rapporteur, tant cet arc. Et sa construction effec- en cent quatre-vingt ti ve, pour fa brique r des instrume nts de parties appelées mesure gradués en degrés, de mandera degrés aux hommes des trésors d ' imagination (planche de l'ouvrage de Clai raut). mathé matique et pratique.

.:~~

°:~~~

Mesurer à partir des arcs En associant la mesure de l' angle à celle d ' un arc intercepté, la longueur étant une grandeur connue , on pourrait pen er à dé finir la mesure de l'angle directement

Hors-série n°53. Les angles Tcingente

~

HISTOIRES

La mesure des angles

R

R

I radi an R

les calcul s de déri vati on pour les fo nctio ns trigonométriques. En effet. si l' on veut défin ir une fo nction sin qui , à un nomb re, assoc ie le sinus d' un ang le, sin dépend du choix de l' un ité d'angle u choisie. Or le radian est la seule unité d 'angle pour laquelle la déri vée de sin., est égale à cos., , alors que si u est le degré la déri vée de sin 11 est égale à ~ cos 11 • D'où l'adoption en 180 analyse de l'écriture simpli fiée cos x au lieu de cos~ x ou cos (x rad).

par la longueur de l' arc intercepté ; mais cette longueur varie en fo nction de celle du rayon du cercle ! L' idée est alors d' utiliser celle-ci comme unité de longueur : le radian rad (de radius, « rayon » en latin et anglais) est un arc ayant pour longueur celle du rayon du cercle ; c'est aussi l' angle au centre unité qui intercepte cet arc unité. Si a est le nombre qui exprime « combien de fo is » la longueur R du rayon du cercle est contenue dans la longueur L d' un arc de ce cercle, on peut écrire L = a R. Pour l' angle au centre Â qui intercepte cet arc, Â = a radians. Le radian est très utili sé e n analyse car il s impli fie

Arbalétrier

IIm]


Mesurer à art.Ir de segments Un autre moyen de mesurer l'angle par une longueur est de mesurer l'écartement des deux demi-droites de l'anglefig ure par la longueur d' un segment joignant une demi-droite à l'autre. La faço n la plus nature lle de le faire est de pl acer les deux ex trémités du egment à la même distance du sommet, et de conserver cette distance au sommet comme référence commune pour toutes les mesure . Pour compare r les angles, il suffit alors de comparer la longueur de ces sorte d 'entretoises qui conservent l'écartement. C'est cette technique que Clairaut explo ite pour reprodui re un angle à la règle et au compas. Et si l'on utilise, comme lui , un arc de cercle pour placer les extrémüés du segment , ce segment est alors la corde de l' arc . On peut établir ainsi une table de correspondance entre la mesure des arcs en degrés et celle des cordes en unités de longueur. La plus ancienne conservée est celle de l'Almageste de Ptolémée (II< siècle de notre ère}, qui prend pour unité de longueur p la cent-vingtième partie du diamètre du cercle utilisé, et donne la mesure des cordes des arcs croissant par demi-degré j usqu 'à 180°. On pourrait penser aussi à prendre un

MESURER

segment perpendiculai re à l' une des demi-droites, telle une contrefi che de charpente : c'est la définition ancienne du sinus de l'angle, appelé sinus droit , héritée des Indiens, et qui est auss i la demi-corde de l'angle double. Si l'on veut regarder ain si notre sinu s actue l, pour un angle mesuré en degrés, la valeur donnée par une table tri gonométrique est alors la longueur de la contrefi che, (' unité de lo ngueur étant le rayon du cercle ; ou bien elle exprime la longueur de la contre fi che comme fraction du rayo n du cerc le. Anto ine Arnauld dans ses Nouveaux Éléments de géométrie ( l 667), après l'arc, la corde, le sinus, va même jusqu 'à proposer une quatrième mesure de l' angle par ce qu ' iI appelle la base (un segment reliant le deux côtés de l' angle en position que lconque) ! Mais il observe qu ' il n'y a que l' arc qui soit « la mesure parfa ite & naturelle de l'angle ». En effet, la mesure des angles à partir des différents segment mentionnés permet la comparaison des angles, mais ne possède pas la propriété d'additivité que l'on exige d' une mesure en mathématique.

Les instruments de mesure

Mesurer 1111111111,- • • • Les astronomes mésopotamiens et égyptiens mesuraient la hauteur des astres et des étoiles sur l'horizon. Et c'est toujours ainsi que s'expriment astronomes ou navigateurs. Les architectes égyptiens parlaient de la pente des pyramides (le sekhed), les architectes mésopotamiens de celle de leurs murailles (le fruit). Et c'est toujours ainsi que s'expriment couvreurs, maçons ou panneaux de signalisation routière. Mais point de mot pour désigner un objet dont on mesurerait l'ouverture : seulement des termes, spécifiques à la profession, pour dire le rapport de longueurs mesurant cette ouverture (hauteur, pente, fruit ... ) Même dans la mathématique indienne, à laquelle on doit l'utilisation du sinus, il n'est jamais question d'angles mais d'arcs. Et les mesures en degrés des relevés astronomiques mésopotamiens ou égyptiens, comme celles des tables des cordes de Ptolémée ou des Indiens, sont celles d'arcs de cercles et non d'angles.

henrymètre, récipiangle, radio latino, mesureurs d' angles et équerres profes ionne ls, goniomètre, clinomètre, inclinomètre, éclimètre . . . Adaptés à la nature des ang les à mesurer, et donc aux différents métiers qui en ont besoin , l'étude de leur conception et de leurs graduations ne manque pas d ' intérêt pour le mathématicien .

Un mesureur d 'angle professionnel.

J .-P. G.

La mesure effecti ve des angles passe par la conceptio n et la réali sation d' instruments. Ont déjà été évoqués le rapporteur, le graphomètre, le quart de cercle de marine, la rose des vents . En fa it leur nombre et leur variété sont impress ionnants, auss i bien à travers l' histo ire qu 'actuellement : astrolabe, anneau astronomique, triquetrum, bâton de Jacob ou arbalestrille, quartier anglais, extant , octant , compas de navigation, quadrant , carré géométrique, co mpas géo mé triqu e, tri gom è tre,


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HISTOIRES


l'arc de sinus D'al-Khawarizmi à Hpian Comment évaluer les sinus sans aucun calcul ? Aujourd'hui, on a recours à l'outil informatique. Mais avant ? Comment fonctionnaient les quadrants à sinus ? Petit tour d'horizon d'un instrument plus riche qu'il n 'y paraît.

l

'évaluation des sinus était , avant l'invention des calculettes, une opération assez dé li cate. Auss i les con somm ate urs de trigo no mé tri e o nt-il essayé de se s implifi e r la tâc he e n utili sant des instrume nts. E n vo ic i que lques-un s. L' instrume nt le plu s s imple est le quadrant à sinus . Il matérialise directement la définition du sinus. Cet instrument fut inventé par al-Khawarizmi (vers 783, 850) . Les angles sont repérés sur le quart de cercle et les sinus sur la droite des ordonnées .

Son utilisation est simplissime : on part de l'angle dont on veut connaître le sinus ; sur le quart de cercle, on suit une hori zontale issue de ce point ; on lit directement la valeur du sinus sur l'échelle bleue . Par exemple, e n vert, on lit que sin 15° est « proche de » 0 ,26 (pour une valeur plus précise de 0,2588 19). Sur les quarts de cercle, oit les lignes sont e pacées régulièrement sui vant les sinus (comme sur la fi gure précédente), soit elles sont espacées régulièrement sui vant les angles (comme sur la figu re suivante) .

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10

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Le quadrant à sinus gradué en sinus constants.

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Le quadrant à sinus gradué en angles constants.

10

MESURER

Peter von Bennewitz, dit Petrus Apianus (ou Peter Apian), avec un quadrant à sinus au dos d ' un astrolabe quadrant.

Un raffi ne me nt supplé me nta ire est de disposer égale me nt d ' une série de traits verticaux et d ' une échelle pour lire directe me nt le cosinus.

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1.

Le quadrant à sinus permettant de lire les sinus et les cosinus. Le problè me de cet instrume nt rudime ntaire est le sui va nt . Si R est le rayon du quart de cercle, l'éche lle des angles se dé plo ie sur une lo ng ue ur éga le

à

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Do nc l'éc he ll e 2 sur laquelle o n lit les sinus ne fa it qu ' une lo ngue ur R , soit e nviron une fo is et de mie mo ins ! Ce la n 'opti mi se pas la lecture des s inu .. . Ce problème est résolu par l'arc de sinus, un instrume nt inve nté par Apian (première moitié du XVIe iècle). Par rapport au quart à sinus, on ajoute de ux cercles de rayon R/2, le cercle rouge et le cercle ble u ur la fi g ure c i-contre. Cette fo is-ci, on lit le sinus de l'angle a sur le cercle rouge : sin a OS . La preuve en est immédiate. Dans le triangle rectangle OSA , le sinus de (' angle est égal à la lo ngueur du côté opposé OS sur la longueur de l' hypoténuse, ici R , c'està-dire 1. De mê me , on lit les cosinus sur le cercle bleu . Les graduatio ns du sinus se déploie nt mainte nant sur un

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Sinus

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Cosinus

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Schéma de principe de l'arc de sinus.


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1

HISTOIRES

L'arc de sinus ...

courbes dépasse 0 ,005, ce qui est une bonne estimatio n de la résolution de notre arc de sinus. On a égale ment tracé l' approx imation sui vante des sinus : sin(x) :::: x - x3!6 (en vert). Cette fo is-ci, il fa ut attendre x = 0,48 radian pour avoir une erreur de plus de 0,002 et x =0 ,67 radian pour une erreur de plus de 0 ,005. Les arcs de sinus sont donc des in tru ments simples d 'emploi. Il s ne revêtent aujourd ' hui év idemment plus qu' une valeur pédagogique pui sque les calculettes sont passées par là, mais celles-ci ne vous di sent pas comment elles condui sent les calculs ...

J.-J.D. Un arc de sinus moderne. Références

demi-cercle de rayon R/2, donc sur la même longueur que le angles. De plu , ces graduation ont fac iles à construire puisqu ' il uffit de rabattre l' éche lle des sinus sur le demi-cercle rouge et l'éche lle des cos inus sur le de mi -cercle bleu (arcs j aune ). On rencontrait ce type d 'arc au dos des astrol abes cadrans (voir l' article sur ce sujet dans ce même dossier). Il est do nc aisé de reconstruire un arc de sinus moderne. On peut même ajouter une petite subtilité pour les petits angles . En effet, pour les petits angles (exprimés en radi ans), on peut fa ire l' approximation sin(x) :::: x . Mais qu 'est-ce que cela veut dire, un « petit angle»? On a tracé en bleu (c i-dessus) la courbe d'équation sin(x) = x et on constate que, pour un angle inférieur à 0 ,23 radian (soit 13°), les deux courbes semblent confo ndues. On observe un écart de moin de 0 ,002 pour ces valeurs du sinus de x. Pour x = 0,3 1 radian (soit 18°), l'écart entre les deux

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Tc:ingente Hors-série n°53. Les angles

/11stru111enrs scienrijiques à travers l'histoire.

Élisabeth Hébert. Ellipses. 2004. Instrument Buch .

Petrus Apian us, 1533 . Cordic: les suites cachées des calc11/e11es.

Jean-Jacques Dupas , Bibliothèque Tangente 41 (Suites et Séries) , 20 11 .

Apian (à gauche) avec son arc de sinus à la main .

EN BREF

par Alain Zalmanski

le dictionnaire des angles 6 Les ,onstrudions militaires et l'art de la guerre Le vocabulaire des fo rti fica tions est des plus riches en matière d ' angles. En voici quelques exemples. Angle mort: angle rentrant dans des fo rti fica tio ns, qui ne pouva it donc être défendu et étai t mort en cas d 'attaque. C'est un angle rentrant restant invisible , qui n'est point fl anqué ou défendu . Par extension, zone non couverte par des caméras de surveillance et, en conduite automobile, zone non couverte par le rétrovi eur central et les rétroviseurs latéraux. Angle flanqu é : angle saill ant formé par les deux faces du ba tion, lesquelles fo rment par leur concours la po inte du bastion. Cet angle ne doi t jam ai être inférieur à 60 degrés. Angle flanq uant : angle fo rmé vi -à-v is de la courtine par le concours des deux li gnes de défense ; on l' appe lle éga lement angle de tenaille.

Dent de la fraise

a : angle de co upe b : angle de taillant d: angle de dépouille

En aérodynamique L'angle d' incidence est l'ang le entre l' aile (do nc sa corde) et le flu x d 'air (donc la direction du vol ). L'angle d 'attaque est l'ang le entre l'av ion (do nc son axe) et le flu x d 'air (la direction du vol). La di ffé rence entre le deux est l'angle de calage, qui est l'ang le e ntre la corde de l'a ile et l'axe de l'avio n . Enfi n, l'a ngle de dérapage est l'ang le fo rmé entre l' axe longitudinal du fu se lage et le vent re latif. Lorsqu ' un av ion vole avec un angle d ' incidence important , il peut décrocher soudainement si, par exemple, une bourra que de ve nt change la direction du vent re latif. C'est ce qui a pu se passe r lors de la récente catas trophe du vol Ouagadougou- Al ger.


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SAVOIRS


le dos de l'astrolabe

Hlidade et carré des ombres Tout un chacun a entendu parler de l'astrolabe. Mais à quoi servait-il exactement ? En astronomie, c'était un outil de calcul très pratique, surtout lorsqu'il était couplé avec une alidade et un carré des ombres.

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Schéma du dos de l' astrolabe.

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'astrolabe est l' objet scienti fi que par excellence. En fa it , ce n'e t pas un instrume nt , mais une somme d ' instruments : d ' un côté, on y tro uve un calcul ateur analog ique pe rmettant de résoudre de no mbreux pro blè mes d 'astro nomie . En de ux mots, sur l' astrol abe plani sphérique (il ex iste de nombreux autres types d 'astro labe : de marine, uni verse l, de la Hire ... ), cette face est une projection stéréographique du c ie l. On attribue généralement l' invention de cette transformation à Apo llonios de Perge ou à Hipparque au de uxième siècle ava nt notre ère . Claude Pto lémée, au deuxième siècle, lui consac re un traité, mais les pre mière traces avé rées de ! ' utilisation de la projection stéréographique pour construire un as trolabe sont plus récente : e lles datent du traité de Jean Philopon , qui vécut à Alexandrie d 'environ 490 à 570 . De l'autre côté, c'est-à-dire au dos de l'astrolabe , plutôt que de laisser cette face libre, on profitait de l'espace offert pour regrouper di verses autres fo nctions.

Tangent:e Hors-série n°53. Les angles

l'alldade il plnnules La pre mière, réa li ée par l'alidade à pinnu les, permettait de mesurer la haute urd ' un as tre ( vo irpar a illeurs dans ce doss ier), dans le cas où l' as tro labe était suspe ndu . L'alidade, de l'arabe a /-idada (pi èce fo rgée), est un e règ le pi votante autour de l'axe de l' instrument. Les pinnules sont des pl aques muni es d 'œ ill eto ns pos iti o nnées pe rpe ndi c ul a ire me nt aux de ux ex tré mités de l'alidade permettant d 'effectue r une visée sur l'objet do nt o n vo ul a it mesure r la hauteur dans le c iel. Le bord de l'astro labe, le limbe, est gradué pour pe rmettre la lecture des ang les. L'a lidade permet do nc de mesurer de angles. Le no m , même, d 'astrol abe, litté rale me nt « pre neur d 'astres » e n g rec, provie nt ce rta ine ment de l' utili sation de l'a lidade. Au dos de nombreux a trolabes fig ure un bien étrange dessin : deux graduations verticales, l'ombre verse (umbra versa) enserrant une double graduation

MESURER

hori zontale, et l'ombre droite (umb ra recta) . Chaque graduation est di vi ée généralement en douze parties (il ex iste des a trolabes où chaque branche du carré des ombres est di visé en 60, voire en 100 , pour augmenter la précision de l' instrument). Le carré des ombres est tout simplement un instrument trigonométrique. On entre un angle grâce à l' alidade et au limbe gradué (a sur la figure). Commençons par la tangente. La tangente de a est donnée par lA lA tana = - = - . 01 12 Da ns l 'exe mpl e de la fi gure, lA 6 tana = - = -= 0 ,5 OI 12 De même, on peut évaluer les sinus et les cosinus :

OI 12 . lA e t cosa=- =-- . sma = OA OA OA li fa ut bien év idemment que l'alidade soit auss i grad uée. On peut se demander d 'où viennent ces noms d' « ombre droite » et d ' « ombre verse » . Si l'astrolabe est uspendue et que l'alidade pointe le soleil , alors sur le carré de ombres on lit les mêmes valeurs que l' ombre d ' un gnomon (bâton pl anté verticalement dans le sol), HB ou HB '. Dans le cas d' une ombre droite , la haute ur h du soleil e t supérieure à 45 °. La cotangente est lue sur l'échelle des ombres droite lA lA cotan (h) = - = - . Pour une hauteur OI 12 in férie ure à 45°, la tangente est lue sur l'échelle des ombres verses : J'A' I'A' tan (h) = - = - . 01 ' 12

Le carré des ombres avait surtout des

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Le carré des ombres comme ombres d' un gnomon.

applications en topométrie. À chaque visée, on obtenait sur le carré des ombres un tri angle sembl able au tri angle de la visée. Par l' application du théorème de T halès, on pouvait par la mesure sur le carré des ombres recon tituer l'objet mesuré. Évidemment, étant donnés la taille de l' astrolabe et les graduations du carré des ombres, cette mesure était approximati ve ...

Références • L'astrolabe: histoire, théorie et pratique. Ray mond d ' Ho llander. Édit ions de l' In stitut océanographique , 1999 .

• Maths et Géographie.

L'astrolabe était ainsi l'instrument uni versel du sc ienti fi que d 'antan : sorte de couteau suisse, il l' assistait dans toutes ses tâches au quotidien, qu 'elles fu ssent trigonométriques, topographiques ou horaires.

Bibliothèque Tangente 40 ,

20 10 . • Dossier « Les mathématiques arabes ».

Tangente 139 . 201 1.

J.-J .D. Hors-série n°53. Les angles Tangente

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SAVOIRS


l'astrolabe planisphérique On pourrait les comparer aux travaux d'Hercule : les douze problèmes que pose l'astronomie de position sont ardus à résoudre de manière exacte. Aussi est venue l'idée de construire un instrument qui permette de les résoudre tous par simple lecture: l'astrolabe planisphérique.

La proj ection stér éogra phique utilisée par l'astrolabe planisphérique.

L

e problème de base de l'astrono mie de position (voir le dernier article du précédent doss ier) est de passer des coordonnées hori zonta les (a, h ) aux coordonnées hora ires (H , Ô) ou réc iproquement. C 'est-à-dire, conn aissant troi s para mètres de l'ensemb le {H , ô, a, h, 4>}, déterminer les deux autres. Pour une latitude donnée 'P , ce la donne douze prob lèmes de base. Les équation olutions de ce problèmes ne sont pas tri viales à résoudre et sont par conséquent di ffic iles à utili ser (surtout si, comme c'était le cas jadi s , on ne di spose pas de calcu latrice). Heureusement , une solution simple a pu être utili sée pendant pl us de mille ans grâce à l'astrolabe planisphérique . Par simple lecture de ce calcul ateur analogique, ce douze problèmes se résolvent sans aucun calcul.


L' idée que l' on pourrait avo ir pour traiter ce problème de faço n analog ique est de construire une sphère sur laque lle on re portera it les é lé me nts, et do nc par s impl e lec ture o n po urra it fa ire nos con ve rsio ns. Ce tte idée, les Anc ie ns Grecs l' avaient eue, cet instrument s'appelle la sphère armillaire . Cependant , l' instrument obtenu , même s' il est très beau, est encomb ra nt , frag ile , di fficile à manipuler et surtout difficile à construire. C 'est po ur ce la que l'on a essayé de « compac ter » la sphère. Le secret de l'astrol abe pl ani sphérique (à ne pas confo ndre avec les astrolabes nautique, uni versel, catholique, de Rojas, de la Hire . . . ) est la projection stéréographique . Ce lle-c i est en général attribuée à Appolonius de Perge au siècle avant notre ère, ou à Hipparque. Cependant le premier traité connu est l 'œuvre de Pto lémée, au ne siècle de notre ère.

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la projection stéréographique À tout point de la phère céleste (l'étoile sur le schéma), sauf le pôle Sud , on assoc ie le po int du pl an de l 'équateur (petite éto ile) , inter ection du plan de l'équateur et de la droi te passant par le point source et le pôle Sud . La particularité de la projectio n stéréographique uti lisée dans l' hémisphère nord pour la conceptio n des as tro labes plani sphériques est

1

MESURER que le pôle de projection est le pôle Sud : si on avait utili sé le pô le Nord , ('Étoile polaire eût été rejetée à l' infini . La projection téréographique offre un ava ntage certain : c'e tune projection conforme (les angles sur la sphère céle te entre les grands cerc les vont se retrou ver sur leurs projections). Par aill eur , la projection d ' un cercle sur la sphère céleste e t un cercle ou une droite sur l'astrolabe. Cette propriété est trè importante car e ll e re nd la construction de l'astrolabe relativement aisée: l' im age des ce rc les de haute ur, d 'az imut , de l'équateur, des tropiques,de l'écliptique ( ... )sont des cercles. Un astro labe est constitué de plusieurs parties : la mère ou matrice reçoit les différents tympans, un par latitude. C'e t le principal in convé nie nt de I ' instrument : un tympan est tracé pour une latitude donn ée. L'as tron o me voyage ur devait se munir d 'autant de tympans que de li eus de résidence. On co mpre nd pourquoi cet outil n'était pas utilisé en nav igation ! Pour gagner de la place sur chaq ue face du tympan, on grava it une latitude. Un pion permettait d 'év iter la rotation du tympan dans la mère. Le tympan est la projection stéréographique des coordonnées hori zontales. On y trouve donc les cercles de hauteur, l' hori zon (qui est le cercle de hauteur 0°) et les cerc les d 'azimut. De façon im agée, le tympan est la projection de la Terre. Souvent on grava it la latitude pour laque ll e était destiné le tympan, bien qu ' il soit fac ile de la déterminer (il suffit de lire quel cercle de hauteur coupe l'axe de l' instrument). Puis vient une partie mobile, l'araignée. C'est la projection stéréographique de la sphère céleste en coordonnées équatoriales. La proj ec tion de l'équate ur céleste est lui-même (pui sque ce cercle est da ns le pl an de projection ), le projections des tropiques sont des cercles.

Utiliser un astrolabe 0

s La projection stéréographique en coupe.

Lors de la construction d'un astrolabe, la première opération est de choisir le rayon R =OA afin que l'astrolabe fasse la taille désirée (voir le schéma). Puis la connaissance de la formule OSA' = !!_ _ ~ permet d'écrire OA' = R tan(~

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4

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ce qui déter-

mine pratiquement tout l'astrolabe. En pratique, la formule est inutile : il suffit de faire les tracés de projections. Pour les plus familiers des calculs, voici quelques formules ('P désigne la latitude du lieu) : • Rayon du cercle de hauteur (h désigne la hauteur) : Rcosh sinq, + sinh • Coordonnées du centre du cercle de hauteur : ( O, sin:c:ss:h).

• Rayon du cercle d'azimut (a désigne l'azimut) : R cosq,sina • Coordonnées du centre du cercle d'azimut: R Rcosq, R ) ( cosq,tana 'sinq, + 1 - cosq, · Pour le tracé de l'écliptique, la trigonométrie fournit un cercle de rayon R/cos(23,433°} et de centre (R tan (23,433°), 0). Pour le tracé des étoiles de déclinaison b et d'ascension droite a, la position sur l'araignée doit être sin a, R tan (90°-ô) -- -cos a ). (- R tan (-90°-ô) 2 2


SAVOIRS

L'astrolabe planisphérique

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Le tympan.

Références • L 'astrolabe: histoire . théorie et pratiq11e.

Raymond D' Holl ander, In stit ut océanographiq ue, 1999. • L'astrolabe, un joya11 mathé111atiq11e . Tan gente 139,

20 11. • Atelier « l'astrolabe » animé par Roland Lehoucq.

xxefe sti val d 'astronomie de Fleurance, 20 1O.

Généralement , la zone utile de l'astrolabe se trouve à l' intérieur de la projection du tropique du capri corne. La projection de l'écliptique est un cercle qui peut être gradué. En général, on trou ve au dos de l'astrolabe des graduations qui permettent de connaître la position du soleil sur l'écliptique en fo nction de la date (et parfois, le bord de l'araignée e t gradué en jour ). Enfin , l' araignée comporte des crochets qui permettent de régler finement la pos ition des principales étoile du ciel. C'est la présence de ces nombreux petits crochets qui ont donné son nom à cette pièce. L'araignée tourne sur elle-même, ce qui simul e le mouvement diurne de vingtqu atre heures en un tour. Le bord de l'araignée peut recevoir des graduation , permettant de lire les ascension droites.

Tangente Hors-série n•s3. Les angles

Enfi n, une règ le mobile (I' ostenseur) permet de fac iliter les lectures. Elle peut être graduée en déclinaisons.

Comment résoudre les problèmes La première opérati on à réa li ser avec l'astrolabe est de fa ire le point so laire, c'est-à-dire déterminer la pos ition du soleil sur l'écliptique pour un jour donné. Cela se fa it so it par lecture directe si ('araignée est graduée en jours, so it par lecture des graduations (au dos de l'astrolabe) d' un angle qui sera reporté sur l' écliptique. Voici une petite li ste de problèmes que l'on peut résoudre avec un astro labe : à quelle heure, solaire, e lève le so leil le 16 octobre ? à quelle heure le oleil a-t-il une hauteur de 10° le 12 novembre ? à quell e heure Altaïr

MESURER

Araignée et ostenseur.

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se lève-t-elle dans la nuit du 25 au 26 avril ? à quelle heure l'azimut du soleil vaut-il 290° le 25 avril ? quels sont les jours où la hauteur du so le il à 9 h du matin vaut 40 ? quel est l'azimut d' Arcturus dans la nuit du 25 au 26 avril à 2 h ? Tous les problèmes de position ou de visibilité des étoiles se résolvent ainsi par simple lecture. De plus, au dos de l'astrol abe se trouva ient d 'autres outil s, ce qui faisait de cet objet un compagnon universel permettant, sans calculs, de résoudre bien d'autres problèmes grâce à 1' appli cati on de mathématiqu es simpl es. Aujourd ' hui , l'astrol abe reste un fo rmidable outil pédagog ique montrant que l' évolution de notre ciel s'explique par la rotation de la Terre sur ell e-même, matéri ali sée par la rotation de l' ara ignée . La rotation de la Terre autour du

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soleil est quant à elle matériali sée par le parcours du soleil sur l'écliptique. J.-J. D.

Procurez-vous un astrolabe ! Les collectionneurs s'arrachent les astrolabes d'époque à prix d'or. Or, il n'y a pratiquement aucune chance pour qu'ils aient été conçus pour la latitude des acheteurs. De plus, à cause de la précession des équinoxes, ces objets de collection donnent des indications souvent erronées. Alors comment se procurer l'astrolabe de ses rêves? Une constructrice d'astrolabes, Brigitte Alix (www.astrolabes.fr), fabrique encore de façon artisanale et pour des sommes très raisonnables des instruments de bonne qualité, faits main et pratiquement sur mesure. Maintenant, il faut apprendre à vous en servir. Là encore, c'est possible : de nombreux clubs d'astronomie organisent des stages. Le nec plus ultra en la matière étant les stages organisés par le Palais de la découverte.


ACTIONS


faisons le point...

Pendant des siècles s 'est posée cette question, * d'apparence anodine: comment se repérer en mer? C'est loin d'être une opération facile, d'autant plus que les instruments utilisés sur la terre ferme par les astronomes ( comme l'astrolabe) ne conviennent généralement pas aux marins. aire le point » signifie déterminer la longi(( tude et la latitude du lieu. Déterminer la long itude est une opération complexe, qui ne sera pas abordée ici . Déterminer la lat itude est en théorie plu s si mple. La nuit dans l' hémisphère nord il suffit de mesurer la hauteur de l' Éto ile polaire. Il faut quand mê me faire attention , ('Étoile polaire n'est pas tout à fait au pô le Nord céleste . Dès le XV< sièc le et l'avè ne me nt des grandes épopées maritimes, des tables astronomiques fournissaient la correction à introduire en fonction de la position de la Grande Ourse. On peut également mesurer la hauteur du soleil à sa culmination au méridien et , grâce à des tables astronomiques, en déduire la latitude. Sur la terre ferme, cette opération est relativement aisée. Mai s en mer, les opérations se compli quent car le bateau bouge !

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l'astnlabe et la biton de Jacab L' article sur le dos de l'astrolabe (voir en page 106) a permis de se convai ncre que l' alidade de l' astrolabe pouvait

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mener à bien cette opération. D' ai lleu rs, on s' imagine souvent à tort que l' astrolabe était uti lisé pour la nav igation. li n'en est rien , car l' astrolabe plani sphérique est constru it pour une latitude donnée et est beaucoup trop complexe à utiliser pour les marins ! L' astrolabe de marine était une version simpli fiée , alourdie pour plus de stabilité, et ajourée afin de réduire la pri e au vent. Cet instrument ne servait qu ' à mesurer la hauteur d ' un astre . En conclusion. l'astrolabe de mari ne n' ava it pas de fonction calculato ire. Cela dit , viser le sole il n'étai t pas une opération simple, et les nav igateurs n'obtenaient pas mieux que 5° d'erreur (soit environ 550 km). En outre, le marin se détruisait les yeux : il ne fa ut jamais faire une visée sur le solei l sans protection ! On e brûle les yeux de faço n irréversible. Ce type d'astrolabe de marine a été cependant utilisé dès la fin du XV' siècle, et il s'en fabriquera jusqu ' au XIX< siècle . Mais d' autres nav igateurs préféraient utiliser le bâton de Jacob. Cet instrument est on ne peut plus simple : il s ' agit d' un bâton gradué,

MESURER

Flèche (bâton) marteau

Le principe du bâton de Jacob.

1)

On lit la valeur de l'angle a car tan (

Observation à A lexandrie (gravure ti-

rée d ' un ouvrage de Camille Flammarion, fin du XIX' siècle). L' observateur se sert d ' un bâton de Jacob avec trois marteaux. C'est évidemment un anachronisme, de même que pour l'astrolabe de marine posé en bas à gauche (qui en outre n'était pas utilisé par les astronomes mais par les marins ... ).

appelé la flèche , généralement de section carrée, ur lequel couli se un marteau. Avec une extrémité du marteau, on vise l' horizon ; avec l' autre, on vise le soleil. Il suffi t de lire la valeur de l'angle sur les graduations du bâton . Év idemment , on s'abime autant les yeux qu'avec l'astro labe! Le bâton de Jacob, aussi appelé arbalète ou arbalestrille, fut inventé par l 'astronome juif catalan Lev i Ben Gerson (1288-1344), aussi connu sou le nom de Gersonide. Cette invention sera améliorée en ajoutant de marteaux et des échelles. Le princ ipal problème

=

·r

de cet instrument est qu ' il n'est pas très adapté aux angles supérieurs à 60°. En effet, plus on approche le marteau de l'œil , plus l' erreur de lecture devient grossière (les graduations sur le bâton sont non linéaires).

les quadrants De l'astrolabe nautique, on passera au quadrant : puisque l' on mesure des hauteurs comprises entre O et 90°, il est inutile de disposer de toute la circonférence, un quart de cercle suffit ! La symétrie des astrolabes planisphériques avait aussi inspiré les astrolabes quadrants, où l' astrolabe est replié sur lui-même. Avantage de ces quadrants, ils sont moins chers et , pour le même encombrement , l'instrument est plus précis . Ensuite , on introduira des miroirs, et donc on passera du quadrant à l'octant (qui permet de réali er des mesures d ' angle compris entre 0° et 45°). Pour atteindre une grande précision de mesure, le sextant sera proposé. n est le symbole de la navigation.

Hors-série n°53. Les angles Tc:ingente

[l'.E

ACTIONS

Faisons le point ...

En voici le principe sur ce schéma.

la mllla marin oumllla nautique

.....~·~ s ~

~,~

A

Références

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Il!]

B

Avec la lunette, on vi e sur l' horizon, ce qui garantit l' horizontal ité de l' appareil. Le bra [OC] tourne autour de O et porte un miroir ; on tourne ce bras jusqu 'à ce que le rayon solaire qui frappe le miroir en O soit réfléchi en M et que son image se superpose à l'horizon dans la lunette. Pour l'observation du soleil , on ajoute un verre ombré sur le miroir en O . Si le rayon [SO] se réfléchit en [OMJ , la normale au miroir partage l' angle SOM en deux (en vertu d' une célèbre loi de l'optique géométrique : l' angle incident est égal à l'angle réfl échi ). Cet angle vaut 60° + h, par construction du sextant. Donc l'angle entre la normale et (OM) vaut 30° + h/2, d'où l'on déduit que l'angle COB vaut h / 2. En général, on gradue l'arc AB en cent vingt parties pour lire directe ment la valeur de la hauteur. Un vernier permet de faire des mesures à la minute d'arc près. Les instruments de marine ont été au départ inspiré par le instruments utilisés en astronomie. Ils ont ensuite été adaptés aux contraintes de la navigation.


Cette unité utilisée en navigation, qu'elle soit maritime ou aérienne, est la longueur à la surface de la Terre d'un angle d'une minute d'arc. Comme la Terre n'est pas une sphère parfaite, cela donne 1852 mètres. Cette unité est commode étant donnée la relation simple qu 'elle entretient avec les angle , puisque l O fait 60 milles nautique . Attention, le mile terrestre américain ou britannique n'a évidemment pas la même valeur !

Souvenons-nous qu 'i l n'y a pas si longtemps (avant les progrès des gyroscopes), même da ns les avions les pilotes faisaie nt le point avec un sextant pour véri fie r leurs trajectoires sur les vols longs courriers !

J.-J.D.

par Édouard Thomas

EN BREF

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II

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ACTIONS


Des angles

dans tous nos outils La fabrication, l'usinage, l'affûtage et l'utilisation de machines-outils nécessitent d'introduire des plans et une grande variété d'angles. D'innombrables problèmes de géométrie nous attendent dans un atelier !

es technjques classiques de fapièces opèrent çonnage de par enlèvement de matière : en phase d'usinage, des outils enlèvent de la matière d ' un bloc de métal parallélépipédjque, cylindrique. .. jusqu'à l'obtention de la forme désirée. Certruns outils peuvent être tenus à la mrun (comme les limes) mrus en général, pour des questions de productivité ou parce que la force humrune est lirrutée, les outils sont fixés dans des porteoutils de « macrunes-outils » : frru seuses, tours, raboteuses, perceuses, rectifieuses ... Comme il existe une multitude de machjnes-outils, il existe une (encore plus grande) multitude d'outils.

L

mouuements de coupe et d'auance L 'objectif de la machine-outil est de donner à la pièce ou à l' outil les mouvements de coupe et d 'avance afin de générer sur la pièce la surface désirée (quand le résultat est indépendant de la forme de l'outil , on parle de travail d'enveloppe ; cela fournü de très beaux problèmes de géométrie, sur-


tout si le surfaces en question sont des hélices ou autres développantes de cercles .. . ). Prenons un exemple de la vie quotidienne. Si vous voulez peler une pomme, avoir un couteau dans une main et une pomme dans l'autre ne suffit pas : il faut que 1'arête tranchante du couteau rencontre la pomme. Ici , le mouvement de coupe va être donné à la pomme en lui imprimant une rotation. Mru s s' il n 'y avait pas en plus de mouvement d 'avance, vous pèleriez éternellement la même calotte de la pomme. Pour peler toute la pomme, il faut dé placer le couteau : c'est le mouvement d'avance. Sur un tour, le mouvement de coupe est donné à la pièce qui tourne et ('avance est donnée au chariot porte-outil ; ur une fraiseuse , le mouvement de coupe est fourni par la rotation de l'outil (la frai e) et la table qui porte la pièce imprime le mou vement d 'avance. Pour une perceu se, le mouvement de coupe e t donné à l'outil , le foret, grâce à sa rotation ; le mouvement d 'avance e t donné également au foret, qui descend dans le trou qu ' i I est en trrun de creu er.

Pour fa ire mieux connaissance du premier outi l, util isons un étau-limeur, machi ne-outil essentie llement util isée pour ses vertus pédagogiques. Le mouvement de coupe est a suré par la translation de l'outi l ; le mouvement d'avance est obtenu par tra nslatio n de la pièce. Dans l'exemple de la fig ure ci-dessous, avec l'outil pe lle, le mouvement d ' ava nce est inutile. Pour un outil , on pe ut défi nir : • la face de coupe, face sur laquelle s'appuie et glisse le copeau ; • laface en dépouille , face en regard de la surface qui vient d 'être travai llée; • le plan de base, qui est la surface d' appui de l'outil , perpendiculaire au mouvement de coupe ; • le plan de référence P,, pl an parallè le au pl an de base passa nt par un poi nt de l'arête ; • le plan d'arête P,, plan perpendiculaire au pl an de référence, contenant l'arête; • le plan de travail conventionnel P1, plan perpendicul aire au plan de base, passant par un point de l'arête et parallèle au mouvement d'avance.

En coupant l'outil par un plan P perpendicul aire au pl an de référence P, et au plan d 'arête P,, on construit par défi nition : • l'ang le de dépouille a, qui est l'angle aigu dans le pl an P entre la trace de la face en dépouille et la trace du plan d 'arête P, . Cet ang le est toujours positi f; • l'angle de taillant ~. qui est l'angle aigu dans le plan P entre les traces de la face de dépo ui lle et la trace de la face de coupe. Cet angle est toujours pos itif; • l'angle de coupe y, qui est l' ang le aigu dans le plan P entre la trace de la face de dépouille et la trace du plan de référence P1. Cet angle peut être négati f. Voutil pelle.

Deux vues d'un étau-limeur.

Outil

Mouvement de coupe Talon

Face en dépouille


ACTIONS

Des angles dans tous nos outils

Génémtrice du corps

M ouvement de coupe

Outi l

Outi l

Mouvement

Pl de

+-- d' avance

Talon

ba •

P, plan de référence

P, plan d' arête P,

L' outil pelle, ses plans et ses angles.

Définition de l'angle de direction d'arête.

L ' outil pelle est re lati vement simple : l' arête de coupe est para llèle au pl an de base et on n'a pas de mouvement d ' ava nce. Considérons maintenant des outils un peu plus générau x .. .

L'angle de direction d'arête X est l' angle aigu dans le plan de référence P, entre le pl an conventionnel de travai l P1 et le pl an d ' arête P, . L'angle d 'inclinaison d 'arête À est l' angle aigu mesu-

De IIUllÛà'e analytique, awc

n • N.xx+ N.,y + N.z, on obtient les relations suivantes : n

c.,.,.

.....

:~

.

.. n

c..a s11n a

'

n • [cos(yJ sin(l.) cos(x) - sin(yJ sin(x)] X

.

+ [cos(yJ sin(l.) sinCx) + sin(yJ cos(x)] y + cos(yJ cos(1) &

n • cos(yJ [eosO,) • + sin.(l.) xJ + sin(yJ 1/1,

Ces relations permettent de calculer 3r et..,,, grlce à leurs ]jpes trigonométriques : tan(3r)

cos(yJ • (1) sin(x) + sin(yJ cos(x) • cos(yJ sii(i) ëôs(x) - sin(yJ sin@

n • coe(iyJ coe(l.) • + cos(yJ SÙl (l.) [cos(x) X+ sin (x) y] + sin(yJ [-sin(x} X+ coe{x) 1J],

=l

ettan(y,,) = JN!+?t,.

•

Une vraie partie de plaisir ! Tangente Hors-série n°53. Les angles

MESURER ré dans le plan d 'arête P, entre l'arête tra nchante et le pl an de référence ; par conve ntion, À e t po itif si la po inte de l' arête est au-des us du plan de référence, et négati f dans le cas contraire. Avec l' introduction de ces nouveaux angles, il dev ient possible de décliner la défi nition des angles Cl, pet y sui vant le plan dans lequel ils sont mesurés : • dans le plan P0 perpendiculaire au plan de référence P, et au plan d 'arête P, se tro uvent les angles orthogonaux Clo, Po et Yo ; • da ns le plan perpendiculaire à l' arête, on a les angles normaux n,,, p,, et y,, ; • dans le plan de travail conventi onne l P1 habitent les angles latéraux n1, P1 et y1 ; • da ns le pl an PP perpendiculaire au plan de référence P, et au plan de travail conventio nne l P1, on peut lire les angles vers l'arrière Clp, PPet Î p· En général, l' outil est défi ni par les angles que ! 'on vient de con idérer. Ils possèdent des valeurs qui optimisent la coupe en fo nction du matériau usiné et du matéri au de l' outil. Cepe ndant il fa ut affûter l'outi l. Une fo is l'outil monté sur un porte-outil d 'affûteuse, il fa ut régler ce porte-outil pour générer

f r>Or r 1.,.,œa,

plan de référence

Dans P, plan d' arête

Définition de l'angle d'inclinaison d'arête.

les angles précédents, en tournant le porte-outil des angles qui vont être défi nis dans les paragraphes sui vants pour la face de coupe et la face en dépouille.

Encore des angles ! Quand l' ang le de coupe y est di ffére nt de 0, considérons le plan de la face de coupe P,. So it P8 un plan perpendiculai re à P, et à cette intersection. L' intersection de P8 et de la face de coupe P, est la ligne de plus grande pente de la face de coupe. Ce nouveau plan permet de défi nir deux nouveau x angle , qui serviro nt à positionner la face de coupe P, : • l'ang le de coupe direct d'affûtage Ys est l' angle mesuré dans P8 entre le plan de la face de coupe et le pl an de référence P, ; • l' angle de position de P8 est l' ang le entre P8 et le plan de travail conve ntionne l P1 mesuré dans le plan de réfé rence P,.

o,

Les angles de la face de dépouille.

Trace du plan de la face de coupe dans P,

Dans le plan de référence P,

Les angles de la face de coupe.


ACTIONS

Des angles dans tous nos outils

z P,.

Toute la difficulté consiste à passer d 'un système à l'autre! y

X

De même, pour la face en dépouille, on introduit le plan Pb perpendiculai re à l' intersectio n de la face en dépouille et du plan de référence P,. Ceci permet de défin ir deux nouveaux ang les : l' angle de dépouille direct d'affû tage ab mesuré dans Pb avec la face en dépouille, et l'angle de position entre les plans Pb et PJ-

e,

Si l'on introduit la normale n (en rouge) à la face de coupe, on constate que n est défini e par ses deux angles : dans le plan de référence P, entre le pl an P8 et le plan conventionnel de travai l P1, et y8 dans le plan P8 entre le pl an de référence P, et la face de coupe.

o,

R ~:F l~R ENCES • Tl'Cl/1/ologi<' pro/i·.1.1io1111cl/e g/11àafr - 1m(/i•s.1io11.1 de la 111/n111ic111c (pn:micr livre) . André Dupont et Abdon Castell. Dcsforgcs. 1%0. • Tccl/1/ologi<' 11ro/i·.uio1111ell<' g/11àal<'. 1wo/i•.uio11.1 de la 111l;ca11i<111c. fl,11,111.r r/alisl;.I .111r 11wchi11e.1 011tils. André Dupolll et Abdon Castell. Dcsforgcs. [ l)75 .

Pour déterminer ces deux angles (voi r les détai ls en encadré), on peut d 'abord pa ser du repère (0 , x, y, z) au repère (0 , x 1, y 1, z) en tournant de x autour de l'axe z, puis dans le plan P., passer au repère (x 2, y,, z2 ) en tournant de À autour de l'axe y 1, enfi n tourner dans le plan P,, de y,. autour de l' axe x 2 • Dans tout ce qui précède, on a rencontré des outils « en mai n » : on se place par rapport à la vitesse de coupe théorique et à la vitesse d ' avance. li serai t plu s réali ste de se placer dans un repère construit sur la vitesse de coupe réelle résultant des vitesses de coupe et d 'avance. Ce repère est dit outil au travail ; il conduit aux mêmes types de calcul s et optimise les outil . Ainsi, une immense variété d'a ngles et de non moins nombreux problème de géométrie nous attendent à l' atelier. La dev ise « nul n' entre ici s' il n'est géomètre » chère à Platon devrait plutôt être gravée à l'entrée de ateliers que dans les écoles de ph ilosophie !

J.-J.D.


EN BREF

par H. Lehning et J.-P. Guichard

Angles de déviation, miroirs et billards Avant de toucher un miroir, un rayon lumineux est dit incident ; le point où il rencontre la surface du mfroir e t le point d 'incidence. li e t alor tran formé en un rayon, dit réfléchi, pa ant par le point d ' incidence et symétrique du rayon réfléchi par rapport à la normale à la surface au point d ' incidence. rayon incident

normale

rayon ré néchi

Les deux angles, rouge et bleu sur la figure , ont égaux. Cette relation re te vraie que le miroir soit plan ou courbe. Ainsi, la réflexion sur une boule engendre de curieuse anamorphoses, qu ' il est possible d 'étudier mathématiquement (voir les Transformations, Bibliothèque Tangente 35, 2009). Cet angle de déviation se retrouve dans le billard où, en l' absence d'effet, le boule rebondissent sur le bord elon la même règle, créant ainsi de trajectoire que l' on peut étudier. Bien entendu, elles changent uivant la forme du billard. Dans ce cadre, il s' agit d ' un y tème dynamique. La littérature fourmille d'étude sur le ujet, que l'on trouvera sans peine à travers un moteur de recherche.

Une statuette et sa réflexion sur une boule.

Chapeau, les angles ! En gL'OlllL'trie L·IL·nwntain·. il n'y a pas. co11111w l'II al gi·hrl'. Ulll' lll'l't'Ssitt'• impL·rit•usl' d'utilisl'r dl's s~111hoil's pour a111t'·liorl'r l'l'fficacitt'· dl's pron\lurl's. l'l' sont l'll fait il's progn:-s dl· l'algi·hrl' qui ont anll'llt' l'utilisation dl' s~·111 ho les dans la part il' caku latoi rl' dl' la gt'·o111t'·t ril'. On troun· ainsi parfois Ulll' ahrL·Yiatio11 co111111l' " .\ngl. .\Bl' " (cht•1. Lt•gt'Illlrl' l'll 1794) ou « \\'kl [)()() .. (cht•1. .\. \Oil Frank t'll 18t):.!." angll' .. Sl' dit ll'inkc/ t'll ,illt•mand). mais la plupart dl's 111atht'·111aticil'11s jusqu'au 111ilil'U du \\ sit•dl' ( lllallUl'ls l'i sujl'ls d l'\allll'IIS l'Olll pris) n'utilisl'nt aUl'Ull srn1holl' partil'ulil'r. .lal'l(Ul's 1!adamard. dans Sl'S /,<\'tJIIS clc

SAVOIRS

par Karine Brodsky

Des phases

qui nous font tourner la tête Un système physique qui évolue de manière cyclique ne retourne pas forcément à son état initial ! Il en est ainsi s'il parcourt une trajectoire fermée dans un espace de courbure non nulle, comme pour le pendule de Foucault. Petit tour de la question. de bons exemples : émi ss io n d' un son par un instrument de mu sique (onde de press io n), lumière produite par un laser (onde électromagnétique), vague créée par un ca ill ou jeté dans l'eau (onde de grav ité de surface) ... Dans le cas des ondes, du fa it de la propagation, il ex iste alors une double périodicité, à la fois tempore lle et spati ale.

Quand la boucle n'est pas bouclée

Pendule de Foucault accroché à la voûte du Panthéon de Paris, reproduisant le dispo itif expérimental tel qu'il fut montré pour la première foi au public en 1851. Le fil a une longueur de 67 mètres.

D

e nombreux phéno mè ne o nt la particularité d 'être périodiques, c'est-à-dire qu ' ils se répètent à l'identique après un certai n intervalle de temps. On peut penser aux marées, à la révolution des pl anètes autour du Soleil , aux battements du cœur . .. Le ondes, qui sont des oscillations correspondant à la propagation d ' une perturbation, en sont au si


Considéron une onde et supposons que le phénomène est périodique et peut être décrit par une fo nction sinusoïdale. L'angle assoc ié, c'est-à-dire l'argument du sinu , est alors appelé la phase de l'onde. Il décrit tout état poss ible du phénomène. Prenons l'exemple d' une onde pl ane inusoïdale se propageant sui vant l'axe (Ox) . Une telle onde est décrite par une fo nction de l'espace (x) et du temps (t) proportionne lle à sin (w (t - x / v) +
MESURER m s- 1), et cp sa phase à l'origine. Pour ce genre d 'onde, toute variation spatio-temporelle résultan t en une phase supplémentaire valant 2Jt la ramène dans ! 'état où e lle se trouvait. Vu sur le cercle trigonométrique, cela rev ient à dire que la pha e a fait un tour et se retrouve au point initial.

360°

(e)

270°

(d)

180°

(c)

90°

(b)

oo

(a)

Onde déphasée de 90° (b), de 180° (c), de 270° (d ) et de 360° (e). Da ns ce dernier cas, on retrouve l' onde initiale (a).

De manière plus générale, lorsqu ' un système dépend de paramètre qui évoluent cycl iquement, reprenant par exemple leur vale ur initiale au bout d ' un laps de temps T, il peut sembler naturel de penser que le système se retrouvera lui aussi dans l' état initial au bout de ce temps T. Il n' en e t pourtant pas toujours ainsi ! Un cas bien connu est donné par le pendu le de Foucault. Ce pendule est constitué d ' une masse, que l' on peut assimiler à un point matérie l, suspendue au bout d ' un très long fil inextensible (dont on pe ut négliger la masse). Écartée de sa position d 'équil ibre puis lâchée sans vitesse in itiale, la ma se va, sous l' effet de la pesanteur, osc iller dans un pl an de part

et d 'autre de la verticale. Ce di spos itif expérimental a été imaginé par Léon Foucault pour mettre en év idence la rotation propre de la Terre autour de l'axe des pô les, par mesure de la déviation au sol du plan d 'oscillation du pendule. Cependant, qu 'en est-il du pl an d ' oscillation de ce pendule au terme d ' une rotation complète de la Terre sur son axe ? Effectue+il lui aus i un tour complet ? Tout dépend de la latitude du lieu de l'expérience ! Aux pô les, un observate ur verra le pl an d 'oscillation du pendule tourner exacteme nt à le même vitesse que la Terre, et se retrou ver donc dans le même état au bout d ' un jour exactement (une période de rotation te rrestre). À l'équate ur, un observateur verra ce plan immobile. Et que lque part à la latitude À., la précesion du plan d 'osc illatio n du pendule era plus lente qu 'aux pô les d ' un facte ur sin À.. Ainsi, à une latitude de 30°, le plan d ' oscillation du pendule effectue un tour complet en deux jours.

Transport parallèle et phases géométriques Considérant que, pour des osc illatio ns de faible amplitude, le mouvement de la masse se fait dan un plan quas i hori zontal (donc tangent à la surface de la Terre), on peut le caracté ri ser par un vecteur défi ni ssant la direction le long de laque lle le pendule oscille dans ce pl an hori zonta l. Regardons alors le problème « de l'extérieur », c'est-à-dire comme si on voyait évoluer ce vecte ur le long du cercle qu ' il parcourt à latitude À.. D' après le principe d ' inertie, ce vecteur devrait conserver une directio n constante par rapport aux « éto iles fixes ». C'est cependant une contrai nte incompatible avec le fa it qu ' il doive


SAVOIRS

Des phases qui nous font tourner la tête

Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868).

reste r ta ngent à to ut instant à la sphè re terrestre ; ce qui est une faço n de dire que le réfé re ntie l te rrestre n 'est pa inertie l (le princ ipe d ' ine rtie n 'y est pas vérifié). Néanmoin , il ex iste une ma nière de dé pl acer ce vec te ur le lo ng du cerc le qu ' il parcourt e n con e rvant autant que possible son o rie ntatio n initia le (son « para llé lisme ») tout e n le gardant tangent à la surface de la Te rre : c'est un transport parallèle sur la sphè re.

Transport parallèle d'un vecteur sur la sphère : le vecteur est déplacé en conservant autant que possible son orientation (son « parallélisme ») tout en gardant constant l'angle qu'il fait localement avec la surface de la sphère. En parcourant ainsi la boucle fermée ANBA, le vecteur a finalement tourné d'un angle a, ici égal à l'angle en N du triangle sphérique ANB.

sI

On montre alors qu 'après parcours complet du cercle à latitude À, ce vecteur se retro uve dans le même plan tangent mais pas dans sa direction initiale : il a to urné d ' un ang le de mesure


2rc ( 1 - sin À) (le en de rotation dépendant de l' hé misphè re dans leque l o n e tro uve). Cette valeur est celle de l'angle solide sous lequel o n voit la calotte sphé rique s'appuyant sur le parallèle considéré. Localeme nt (et non plus« de l'extérieur »), po ur qui observe le pendule de Fo ucault, on voit do nc, compte tenu de la rotation terrestre, le plan d 'o c illatio n tourner d ' un ang le 2rc sin À. Cet angle de précess io n correspond à une phase géométrique, par o ppositio n à la phase dynamique introduite précéde mme nt po ur l'onde sinusoïda le. La phase géométrique no us rense ig ne sur le che min sui vi puisqu 'elle e n dépe nd (par l' inte rmédia ire de la latitude dan s le cas du pendule de Foucault). Plus générale me nt, la phase géométrique dépe nd de la trajectoire sui vie par le systè me dan s l '« espace des paramètres », qui peut être l' espace réel ou un espace plus abstrait, comme l' espace des vecteurs d 'onde. De te lles phases o nt été po ur la premiè re fo i mises e n évide nce expérime nta le me nt e n o ptique e n 1956 par Si varamakrishnan Panc haratnam ( 1934- 1969), puis é tudiées de manière approfondie e n phys ique quantique dan le années 1980 par Mic hael Be rry (né e n 194 1).

K.B.

SAVOIRS


l'angle solide Pour définir un angle dans l'espace, on procède comme dans le plan. Il faut alors utiliser des outils mathématiques quelque peu sophistiqués ( calcul intégral et géométrie différentielle) pour faire rigoureusement des calculs avec l'angle solide an, k plan , on l'a abondamment vu dans ce numéro , une définition poss ible de l' angle entre deux droites sécantes peut être la longueur de l'arc intercepté par un cercle centré sur l' intersection de deux droites. Il convient de diviser cette longueur par Je rayon du cercle , ou bien d ' uti li er un cerc le de rayon égal à 1, pour des questions d ' homogénéité .

D

Définition de l'angle.

R

R

La valeur de l'angle en radi ans est a = L/R . Le radian est donc une unité homogène d ' un nombre sans dimen sion . Dans l'espace , pour définir l'angle solide, on procède ex acte me nt de la mê me manière, mais en augmentant la dimension de tous les objets d ' une unité. Le


cercle dev ient une sphère, la portion du plan de vie nt une portion de l'espace (un e s urface), la lo ng ue ur mes urée dev ient une surface mesurée, et! ' unité dev ient le stéradian . On peut dès lors donner une première définition de l'angle solide Q e n stéradi ans d ' une surface depuis un point O : c'est la surface S sur une sphère interceptée par un cône de sommet O divi sé par le carré du rayon R de la sphère. En d 'autres termes, Q = S/ R2 . Pour être plus général , il est possible de définir un angle olide élémentaire dQ à partir d ' une surface élémentaire dS = dS n où n est le vecteur normal à la surface situé à la distance r du point d 'observation , et de ë un vecteur unitaire dans la direction de dS. A dSn. ë A . _ _ - . Al ors d H = - ttent1on , n , e et r2 r varient e n fo nction de dS ! L'angle solide de la surface S est la somme ur toute la surface de ces angles solides éléme ntaires dS :

n =IIs dSn·ë ,2 .

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

le diamètre apparent

Q: -s R2

ë

0 Définition de l'angle solide.

Uue de l'Intérieur ou de l'extérieur Calculons l'angle solide d ' une sphère vu depuis son centre. D'après la première définiti on, c'est la surface de la sphère (soit 4rr?) di visée par?, soit 4:rt. Vérifi ons- le par la seconde fo rmul e. Dans ce cas, r est constant (on pourra le sortir du signe omrne) et le vecteur normal ii à une surface sphérique élémentaire est le vecteur ë (donc le produit calaire ii · ë est égal à 1). On obtient :

La notion de diamètre apparent apparaît en astronomie (on parle souvent du « diamètre apparent du soleil et de la lune »). Contrairement à ce qu'indique son nom, le diamètre apparent est un angle! C'est l'angle sous lequel on voit un objet depuis un point. Pour un objet quipossède une symétrie sphérique (comme le soleil), le diamètre apparent est le même quel que soit le plan dans lequel on regarde l'objet. Et comme l'objet regardé est souvent éloigné, le diamètre apparent est (en radians) le diamètre de l'objet que divise la distance au point d'observation. Pour fixer les idées, le diamètre apparent du soleil est de l'ordre de 32 minutes d'arc, ce qui est du même ordre de grandeur que celui de la lune (ce qui explique qu'il existe des éclipses totales ou annulaires). Ce diamètre apparent est plus faible qu'il n'y paraît : vous pouvez masquer la lune ou le soleil avec votre pouce à bout de bras !

() = ~ D

Le diamètre apparent.

n = ffs dSiir i . ë =ff s dS = _.!... ff dS ri ,.2 s

= 2r1 4:rtr 2 = 4 : (la somme sur la surface de la sphère des surfaces élémentaires est la surface de la sphère 4:rtr2 , ce qui se traduit par

ffs ds = 4:rtr\

De même, on montre que

l'angle solide d' une surface fermée quelconque vue d' un point intérieur est 4:rt. Maintenant , ca lcul ons l'angle so lide d ' une surface fermée vue d ' un point extérieur. Pour ce fa ire, si l'on prend la convention que la normale pointe vers ! 'extérieur de la surface , alors tout angle solide élémentaire est nul puisque toute dro ite coupe un nombre pair de foi s une surface fermée !

Ainsi, sur la fi gure ci-dessous, dS A et dS8 ont même valeur IdQ I mais sont de signe opposé (dS A = - dS 8 ) , et comme cela est vrai pour toutes les droites coupant la surface , la somme totale sera null e. Donc l'angle solide d' une surface ex téri eure vue d ' un point e xtérieur est nul.

Angle solide d ' une surface fermée.


SAVOIRS

L'angle solide L'appli cati o n c lass ique de ce rés ultat est le théorème de Gauss . So it à calcule r le flu x sur une surface fe rmée du c hamp é lectrique c réé par des c harges ponctuelles q; placées aux points A;. Par définiti o n :

J{ E ·ds=-I_ LJ{ q;e( A ;)·dS _ 4:rr.t:o ; 'H's r(A ;)2 En sortant la c harge q; du s ig ne somme, Ji E· ds=-1- "' Ji e( A ;) ·dS _ 'ffs 4:rr.t: ~ q, 'ffs r(A } 0 'H's

On reconn ait l'ang le solide Q . = Ji e( A ;)· dS .

'

'ffs r( A } 1 Ains i, g=j> E· ds=-- L q;Q;· s

4:rr.t:o ;

Or s i la c harge est exté rie ure, Q ; =0 et s i la c harge est inté rie ure, n; =4n , do nc

# E· ds=-4 1- L 5

q;4n=

nêo churgcs int.

L~êo

C' est le théorè me de Ga uss :

g=j> E· ds= I ~ s

êo

La notio n d 'ang le so lide est beaucoup utili sée e n ph ys ique: ca lcul de flu x, o ptique ...

Figure de sommet Pour les po lyèdres, manipule r les angles solides est malcommode. Calculer l' angle sous leque l o n voit une face d ' un solide de Pl ato n est tri v ia l, pui sque l'ang le sous lequel o n voit l'ensemble du polyèdre convexe est 4n (un po lyèdre est une surface fe rmée). Par ai lleurs, chaque face é ta nt équi va le nte, l'a ng le so lide va ut Q = 4n/F o ù Fest le no mbre de faces du solide, soit un angle solide égal res pec ti ve me nt à n, 2n/3, n/2, n/3, n/ 5 , po ur le té traèdre, le c ube, l'octaèdre, le dodécaèdre e t l' icosaèdre. On pré fè re e n géné ral utili ser la no tio n de« fi gure de sommet » (ou vertex f igure e n a ng lais, c hez H .S .M . Coxeter) po ur caractériser les sommets. De quoi s'agitil ? On part du sommet et o n parcourt la


mê me di stance sur chaque arête abouti ssant à ce somme t, pui s o n re lie ces no uveaux po ints po ur fo rme r un po lygone da ns l'ordre des face constituant le so mmet. Le po lygone obte nu est la f igure de somm et du po lyèdre. Ce tte définition est particulièrement pertinente puisque qu 'e lle transforme les sommets e n po lygo nes, l'équi va le nt des faces . Elle pe rmet do nc de tra ite r uni fo rméme nt les somme ts e t les faces. De plus, cette notio n pe rmet de s implifie r certaines définitio ns, comme celle des polyèdres régulie rs. La dé finiti on classique des po lyèdres réguli ers contie nt tro is cond itio ns : avoir des faces rég ulières, avoir des faces égales, avoir des angles solides de même va leur. Avec les fi gures de sommet, on n'a plus besoin que de deux conditio ns : avo ir des faces régulières, avoir des fi gures de somme t réguliè res. La fi g ure de sommet des somme ts d ' un tétraèdre régulie r, d ' un cube, d ' un dodécaèdre régulier est un tri ang le équilatéral ; ce ll e des somme ts d ' un octaèdre est un carré ; celle des so mmets d ' un icosaèdre est un pe ntagone régulier. Les dé finiti o ns do nnées s'a pplique nt pa r aille urs a ux éto iles de Keple r- Po insot.

J.-J. D.

Sommet •

La figure de sommet d'un sommet.

Référence

• Reg11/ar Polytopes . H.S.M Coxeter. Dover. 1973.

EN BREF

par Philippe Boulanger

Istvan Orosz, vinuose de l'anamorphose Istvan Orosz a réalisé des faits d'arme. C'est un virtuose de l'anamorphose cachée où l'on montre au spectateur une image qui en recèle une autre, laquelle n'apparaît que sur le miroir de la transformation. Il travaille à la main, sans aide de l'informatique. Parfois , dans ses peintures, un portrait apparaît si l'on pose un miroir cylindrique à un endroit stratégique de l'œuvre. Les peintures de Istvan Orosz sont souvent plaisantes à regarder avant anamorphose, contrairement à nombre d'anamorphoses qui ne se révèlent qu 'après transformation de dessins chaotiques et sans intérêt. Souvenons-nous des vers de Boileau, que nous pouvons transposer aujourd'hui en hommage à Orosz : « D'un pinceau délicat, l'artifice agréable, Du plus affreux objet fait un objet aimable ... » On peut également utiliser des anamorphoses coniques pour transformer des photographies en panorama à 360 degrés (une étude géométrique détaillée de l'anamorphose peut être trouvée en ligne: l'Image retrouvée, de l'anamorphose à la transformation conforme, Synoptique 2 (2) , 2013). Enfin, cacher des images évoque l'art de la stéganographie, où l'on dissimule une information dans une image. Imaginez que quelqu'un vous envoie un message codé par une image conique ou cylindrique. Il se pourrait que les procédés informatiques soient utiles pour le décodage, mais on peut en douter! En effet, comme l'affirme le spécialiste du sujet Joël Martin, faute de connaître la nature du miroir et sa forme, nul n'est jamais assez fort pour ce calcul...


SAVOIRS

par Alain Zalmanski

Systèmes élémentaires de coordonnées À l'heure où la géolocalisation bat son plein, il paraît opportun

de rappeler les méthodes les plus élémentaires permettant de repérer la position d'un point dans le plan ou dans l'espace. Ce n'est pas un hasard si le plan et la sphère jouent un rôle primordial dans les premiers procédés de repérage.

L

e voca ble « coordonnées » est attesté dès 1754 comme le terme de géom étri e qui dés ig ne des

éléments permettant de situer précisément quelque chose ou que/qu 'un. Par analog ie, on l' a très vite utilisé en astronomie, e n géogra phi e ... Il es t passé aujourd ' hui d a ns le la ngage co ura nt pour désigner les informations permettant de retrou ve r o u de jo indre que lqu ' un : té lépho ne , adresse, e-mail .. . Dans leur sens mathé matique, les coordo nnées d ' un po int M s itué d ans un espace E (ou dans une partie de E) sont des scalaires qui permettent de repérer sans ambiguïté ce po int dans ('ensemble auque l il appartient. Cote

k

X

Ordonnée

./

••••• •• ••••• •• • • • • • •• •••

.':-:i.····'

Tc:ingente Hors-série n"53. Les angles

Dans le cas où M appartient à un pl an ou une surface , le principe est de déterminer deux fa milles de courbes tracées s ur la surface te lles que to ute courbe d ' une fa mille ait un po int unique d ' intersecti on avec l'autre fa mille et te lles que pour tout point M de la surface il existe une courbe de chaque fa mill e qui passe par M . Dans le cas de l'espace , on définit cette fo is trois fa milles de surfaces. C haque po int sera re pé ré par l' intersectio n de tro is surfaces , une pour chacune des fa milles.

les coordonnées cartésiennes Le repérage le plu s simple d' un point est le systè me de coordo nnées cartéiennes . Comme son nom l' indique, c'est René Descartes qui a mi en év idence ce type de repérage valable da ns le pl an affine ou l'espace affi ne de dimension 3 , et qui se générali se à un espace de d imension n. Dans un te l espace, on défi nit un repère constitué d' une ori gine O et d ' une « base » de l'espace vectorie l associé IR". Cette base est constituée de deux vecteurs « unités » pour un pl an, de tro is vecteurs pour l' espace ou de n

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE 1

vecte urs e n dime ns ion n. Avec l' origine , cette base permet de dé finir dans l' espace des axes de coordonnées, droites orientées passant par l'ori g ine. Ainsi, un po int M de l' espace de dime ns io n 3 era défini de maniè re unique par l'égalité vectorie lle OM

=xi+ y] +zk où

i , j, k forment

la base de IR 3 et (x, y, z) sont appe lées les coordonnées de M : x est I 'abscisse , y l'ordonnée e t z la cote . Le pl an o u l' espace de dime ns ion n peut être muni d ' une métrique, permettant de défi nir e n plus la di stance e ntre de ux points. Parmi les métrique poss ibles , les plus utili sées e n mathématiques é lé me nta ires sont les di tances « e uclidie nnes » . De te lles distances sont assoc iées à la notion de produit scalaire de de ux vecteurs, la di stance de de ux points M et N éta nt alors la racine carrée du carré sca la ire du vec te ur MN . On pe ut a lors : h~is~r un re pè re « orthonormé » i, j , k de vecteurs o rthogonaux de ux à deux (leur produit scalai re est nul ) e t de norme 1 (le ur carré scala ire vaut 1). Dans un te l repère , le produit sca la ire de de ux vecte urs est très fac ile à calcule r :

(xi+ y]+ zk) • (x'i +y']+ z'k) = xx' + yy' + zz', donc a uss i la di stance e ntre de ux points. Une fois c hac un des points ide ntifié à l' a ide de ses coordonnées cartésie nnes, d 'autres problè mes e posent. L' un des plus cl ass iques cons iste à trouver « l' équatio n » d ' un e nsemble de po ints, re lation vérifiée par les coordo nnées de tou ses points . Ainsi, dans le plan muni d ' un re pè re cartés ie n , • les droites obéissent à des équatio ns de degré I de la forme :

Représentation paramétrique d'une courbe Une représentation paramétrique d 'une courbe (C) du plan est un système d'équations où les coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d'un paramètre (souvent noté t car désignant souvent le temps en cinématique, en électricité, en électronique ou dans l'étude des mouvements oscillatoires). (C) X= fl.t) y= g(t)

Les deux fonctions f et g doivent être définies sur le même sous-ensemble D c IR. Le point M (t) de coordonnées (f(t} ; g(t)) décrit un sous-ensemble (C) du plan lorsque t varie dans D. La représentation d'une courbe en coordonnées polaires à l'aide d'une équation de la forme p /(0) est un paramétrage particulier. Un exemple classique de paramétrage est la définition des courbes de Lissajoux à l'aide des équations :

=

=

x acos(kt) y= bcos(ht + 0)

=

=

Avec a= b 1, k 3 eth= 4, on obtient la courbe ci-dessous. Même si on est tenté d'éliminer t entre les deux coordonnées pour obtenir une équation de la courbe du type f(x, y) =0 ou y =/(x}, on sera toujours étonné de la simplicité qu' apportent les coordonnées paramétriques dans le tracé et l'étude d'une courbe. ax + by + c =0 , • les coniques à des équations de degré 2 de la forme :

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 , • les c ubiques à des équation s de degré 3 et a ins i de suite ... On pe ut auss i re présente r les fonctions f par le ur graphe, e nsemble des points M du plan muni d ' un repè re cartés ie n de coordonnées (x , y) te ll es que y =J(x). Dans l'espace de dime nsion 3 , une unique équation sera e n généra l véri-

Hors-série n• 53. Les angles Tcingente

SAVOIRS

Systèmes élémentaires ... fi ée par l'ensemble des points d ' une surface. C'est le cas par exemple d ' un pl an , qui vérifie une équation du premier degré. Une courbe sera définie , quant à elle, par deu x équations dans la mesure où e lle correspond à l' intersection de deux surfaces.

Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques

(D)

C'est dans le pl an euc lidien qu ' on uti li sera couramment les coordonnées « pol a ires ». Elles consiste nt à partir encore d ' une origine O et d ' un vecteur « unita ire ». Cela définit , tout comme l'axe des abscisses en coordo nnées cartés iennes, une demi-droite [Ox), appe lée axe polaire. Un poi nt M du pl an est parfa iteme nt défini par la di stance OM , notée p (ou r) et l'ang le qui ex prime la mesure, dans le sens trigonométrique, de l'ang le « orienté» e ntre [Ox) et la de mi -droite [OM) . On passe aisément des coordonnées cartésiennes aux coordonnées pol aires par les re lations

e

x =p cose y = psine

avec p=Jx2+y2.

Un cerc le de centre O aura une équation impi e (p R), mais une droite ou un cercle de centre différent de O seront représenté par des équations plus compliquées. Ainsi , p = h cos(O - 0 0 ) est l'équation de la droite située à une di stance h de l'origine dans la direction 00 + n / 2 et r = h /cos( O - 0 0 ) est l'équation d ' un cerc le dont le centre est situé sur la droite fa isant avec l'axe (Ox) un angle

=

eo· À partir des coordonnée polaires du plan, on peut défi nir simplement dans l'espace IR 3 les coordonnées cylin driques . Il suffit d'ajouter aux coordonnées pol aires une troisième dimension, souvent notée z comme la cote, qui mesure la hauteur d ' un point par rapport au pl an repéré par les coordonnées po laires. À partir des coordonnées cartés iennes (x, y, z), o n peut obtenir les coordonnées cy lindriques (p, z) grâce aux formules sui va ntes :

e,

p = Jx + l 2

e = arctan (y/ x) z =z

Une courbe du pl an pourra ainsi être défi nie par une équati on « pol ai re », re lation entre p et e.

Inversement , on peut convertir les coordonnées cy lindriques (p, z) en coordo nnées ca rtés ie nnes (x, y, z) grâce aux formules sui vantes :

e,

X= pCOS0

y = psine

z =z

y


Une autre générali sation des coordonnées po laires du pl an à l'espace permet de définir le coordonnées sphériques. Un point de l'espace y est repéré par la distance p à l'orig ine O (le pô le) et par deux angles. Dans un repère orthonormé (0 , i, ], k) de IR 3 , so it m la projection orthogonale de M sur le plan { z = O}.


Changement de repère

On appe lle coordonnées sphériques de M le triplet (p ,
e,

Comment passer des coordonnées cartésiennes (x, y, z) d ' un point M de l'espace dans le repère R d'origine O et de base B (vecteurs T,] , k) à ses coordonnées (x' , y', z') dans le repère R'd'origineO'etde base B'(vecteurs i' ,]' ,k' ) ? Ce problème se décompose en deux sous-problèmes de difficultés ditférentes. • Le changement d'origine, qui correspond à une translation de repère dans une base commune i,] , k , se résout sans mal. Il suffit de connaître les coordonnées (a, b, c) de 0' dans le repère R pour trouver les relations : x' =x - a, y' =y-b, z' =z-c. • Le changement de base (à origine O commune) exige une approche moins élémentaire. En effet, si on connaît la décomposition de la base B du repère R dans la base B' du repère R', on peut écrire : i' = + hi) + C1 k ] '=a 2 i +b2 ] +c2 k k'=a 3 i +b3 ] +c3 k

a.T

On dit que P à B'.

=[: :: :: ] est la matrice de passage de B a3

b3

c3

e

e

A. Z.

Cette information permet d'écrire simplement les anciennes coordonnées (x, y, z) de Men fonction des nouvelles (x' , y', z' ). Dans l'autre sens, c' est un peu plus compliqué. On peut s'en sortir de plusieurs façons : • résoudre le système de trois équations à trois inconnues correspondant ; • inverser la matrice de passage P, c'est-à-dire trouver les coordonnées des vecteurs de B dans la base B'. Ce dernier problème se résout de manière spectaculairement facile dans le cas euclidien si les deux bases sont orthonormées. En effet, il suffit alors de transposer la matrice de passage P de B à B' (échanger ses lignes et ses colonnes) pour trouver la matrice de passage P ' P- 1 de B' à B.

=

a, P' =p-•

='P = [ b, c,

Références

• Dictionnaire des mathématiques . Presses uni versitaires de France , 1979 . • CRC Encyclopedia of Ma thematics, Eri c Weisste in , CRC Press. 1999 .

Hors-série n • 53. Les angles Tcin9ente

SAVOIRS


Des géométries

sous un nouuel angle

En rejetant un seul de ses postulats, la géométrie euclidienne a donné naissance à d'autres géométries. De nombreux résultats concernant les angles, notion au cœur de la définition des géométries, sont alors modifiés.

L

a géométrie euclidienne, qui fo rma li se notre intuiti o n géométrique, repose sur six postul ats, vérité de bon sens a priori indémontrables. Si la suffisa nce de ces postulats semble cl aire pour la géométrie de tou s les jours , la question se pose de leur nécess ité. L' hi stoire des nombreuses et vaines tentati ves de dé monstration du « postulat des parallèles » va déboucher sur l'émergence de géométries nature llement qualifiées de non euclidiennes. Toutes ces études sur le parallé li sme da ns les géométries sphé rique, e lliptique ou hyperbo lique utilisent la notion de perpe ndi cularité et la omme des angles d ' un triangle.

Euclide élucide

John Playfair (1748-1819), peint par Sir Henry Raeburn .

Le cinquième postulat est souvent appelé

postulat d'Euclide, sa célébrité occultant l'exi stence des c inq autres. Sa fo rme première est : « Si une droite rencon-

longées indéfiniment se rencontrent du côté où la somme est inférieure à deux droits.»

trant deux droites situées dans un même plan fa it d 'u n même côté des angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux droits, les de ux droites pro-

Po ur « prouver » ce postul at , Procl us utili se tacitement le fa it que la distance entre deux paral lèles est constante, ce qui est fa ux en géométrie hyperbolique. Il


GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE n' obtient donc en fait qu ' une reformulation équiva lente de ce postulat d 'Euclide: « Pour toute droite D du plan et tout point du plan extérieur à D, il existe une et une seule droite passant par ce point et parallèle à D. » Cet énoncé scolaire de l'ax iome sera repri par John Playfair. Comme avec Proclu , les nombreuses tentatives de démon tration qui sui vront n'aboutiront souvent qu'à une défi ni tion équi valente. Ai nsi, le Hongroi Farkas B6lyai, qui pour Gauss fut « le seul qui ait jamais su entrer dans [ses] idées métaphysiques relatives aux mathématiques », travailla activement sur les fo ndeme nt s d e la géo mé trie et particulièrement sur le fameux axiome des parallèles, qui est pour lui l'ax iome XI. li montre ainsi que si cet axiome est vrai, alors trois points suffisent à définir un cercle. Découragé de ne pas aboutir, il mettra en garde son fils de poursuivre ses recherches sur la théorie des parallèles: « J 'ai tra versé cette nuit noire, et j'y ai enseveli toutes les joies de ma vie. Pour l 'amour de Dieu. Je t'en supplie, abandonne ce thème, crains-le autant que les passions, car il peut te dérober tout ton temps, ta santé, ta tranquillité, tout le bonheur de ta vie. » Ce dernier, Janos B6lyai, meilleur sabreur de l' armée austro-hongro ise et violoniste virtuose, prend le contre-pied de son père en cherchant les conséquences de la fausseté de l'axiome XI . Le 3 novembre 1823, il écrit à son père: « J'ai découvert des choses si belles que j'en ai été ébloui. { .. .] En attendant je ne puis ici dire autre chose que ceci: de rien.j'ai créé un nouveau monde. » Il développe une géométrie sans l'ax iome des parallèles, qu ' il publie, à sa demande, dans l'œuvre mathématique de son père qui paraît en 1831 . Le lon g titre de so n append ice, la Science absolue de l'espace indépendante de la vérité ou de la

la formule de Girard Deux demi-grands cercles terrestres, dont le diamètre est sur l'axe des pôles, déterminent un fuseau horaire. En général, on appelle angle du fuseau l'angle entre les plans des demi-cercles. Par continuité, c'est aussi l'angle en un pôle des tangentes aux demi-cercles. L'angle de deux géodésiques en un de leurs points d'intersection est donc l'angle du fuseau qu'elles définissent. Pour d'évidentes raisons de symétrie, la surface d'un fuseau est proportionnelle à son angle d'ouverture. Un fuseau d'angle () correspond donc à la proportion de () / 2n: de la surface de la sphère, soit une surface de 2fJR2 pour une sphère de rayon R.

Géométrie sphérique.

Un triangle sphérique ABC est défini par trois arcs de grandcercles joignant ces points, et se trouve ainsi à l'intersection des trois fuseaux de sommets A, B et C. La somme de ces trois fuseaux représente donc la moitié de la sphère, plus deux fois la surface S du triangle. On obtient alors 2(a + fJ + y)R2 = 2n:R2 + 2S, d'où laformule de Girard: S = (a+ fJ + y - n:)R2 •

fausseté de /'Axiome XI d'Euclide (que l'on ne pourra jamais établir a priori) suivie de la quadrature géométrique du cercle, dans le cas de la fauss eté de ['Axiome XI, énonce un résultat souvent oublié : si l'on construit une géométrie sans cet axiome, alors la quadrature du cercle devient poss ible. C'est effectivement le cas en géométrie hyperbolique (voir Tangente Sup 68-69, consacré à Henri Poincaré). Indépendamment de Janos B61yai, le Russe Nikolaï Lobatchevski établit les form ules relatives à l'aire d' un triangle


SAVOIRS

Sous un nouvel angle

Calcul d'un angle hvnerboliaue

modes et modèles

Une géodésique, du disque de Klein ou de Poincaré, est entièrement définie par ses points idéaux, points limites du cercle horizon. Pour ces deux modèles, l'angle de deux droites dépend donc de la même façon de leurs quatre points idéaux. Pour la figure ci-dessous, la formule originale proposée ici est fonction des angles au centre définis par les points idéaux A, B, C et D. L'angle hyperbolique des « droites » (AB) et (CD) est égal à l'angle euclidien O des tangentes aux géodésiques de (Dp) en leur point d ' intersection N:

Pour être li sible, un modè le do it , da ns la mesure du poss ible , être représenté sur un pl an , ou à défa ut une surface , avoir une structure métrique te lle que le « droites » en so ient les géodés iques (l ignes de plus court chemin), conserver les règ les u ue lles d ' incidence et avoir une représentation isométrique (conservati o n de lo ng ue urs) o u conforme s (co nse rvati o n d es ang les), avec de s cerc les qui res emblent à des cercles. Sur la sphère de centre O et de rayon R, le géodésiques sont le grands cercles , intersections de la sphère par des plans di amétraux. Sur notre planète , les méri diens et une seule paral lèle, l'équateur, en fo nt part ie. Pour deux po ints di stincts non antipodaux de la sphère , il ex iste un unique grand cercle qui porte la géodésique entre ces deux points. Tous les plans passant par O sont associés bijectivement à un grand cerc le. Pui sque de ux plans passant par un point fixe ne peuvent être parallèles ( an point d ' interception), il en e t obligatoirement de même pour deux grand cercle . La géométrie sphérique est une géométrie sans notion de parallélisme ! Une des conséquences est que ses triangles sont joujj7.us (ou gras) : la somme de leurs angles est strictement supérieure à 1t. Pour cette géométrie , la fo rmule de Girard S =(a + f3 + y - 1t)R 2 donne l' aire S d ' un triang le sphérique d ' angles a , f3 et y (voir en encadré). Un triangle donné possède une aire fi nie. Si le rayon de la sphère tend vers l' infi ni , la surface du triangle « se rapproche » du plan tangent à la sphère en l' un de ses points, et la fo rmule de G irard devient le théorème des triangles e uc lidiens : a + f3 + y= 1t. Mais, outre le postulat des paral lèles , le premier postulat d ' Eucl ide n'est pas véri fié par cette géométrie , car par deux points an tipodaux passent une infi nité de « droites », les grands cercles .

icos OI= lsin{Jsin(a+ fJ + r ) - sina sin r i· sin(a + /J)sin(/J + r )

en fo nction des ang les dans so n article Géométrie imaginaire publié en 1829. Les trava ux essentie ls de ces préc urseurs n' ont toutefois pas trouvé d ' écho parmi leurs contemporains , ce que pressenta it Gaus , qui ava it déj à établi la plupart de ces résultats : « Sur ces matières, la plupart des hommes sont dans une obscurité complète . » En fait , pour « croire » en l'ex istence de géo mé tri es no n nature ll es, il fa udra atte ndre de po uvo ir les « vo ir » dans « notre » géométrie euclidienne. Bien sûr, un modèle parfa it est un G raal inaccessible et une représentation euclidienne de ce qui ne l'est pas , euc lidien, ne peut se faire qu ' en faisa nt des sacrifices .


GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE Limitons-nous alors à l' hémisphère nord , que l' o n projette sur le plan équatorial , e n identifiant les points antipodaux de l' équ ate ur. On obtient une géo métrie elliptique, qui vérifie les premiers axiomes d'Euclide , et pour laquelle les « droites » sont des arcs de cercles qui joi g nent deux points opposés du disque . La définition des angles y est plu s dé licate , car ic i de ux seg ments relient deux points donnés (les projections des deux arcs d ' un grand cercle) . On choisit en général le« plus court » des deux . Les triangles y sont toujours joufflus. La géométrie hyperbolique, pour laquelle la somme des angles d ' un triang le est stricte ment infé rieure à ri; (il s sont dits maigres) , respecte auss i le postulat fondamental d 'Euclide , mai s autorise par contre une infinité de parallèles. Voyonse n deux modè les, le disque de Klein (OK) et le disque de Poincaré (Op) , qui ont pour upport un disque dont le bord , exclus, représente l' infini (l' horizon) . Le premier a des droites pour géodés iques ; le second conserve les angles. Le modè le de Kle in est au di sq ue de Poincaré ce que, pour la sphère terrestre, la projection gnomonique est à la projection stéréographique. La figure suivante illustre la correspondance sphé rique entre ces de ux modè les. Dans le plan équatorial , la corde [AB], qui est une droite de (OK), est le diamètre d'un cercle pe rpendiculaire à ce pl an. La projection stéréographique de la moitié eptentrionale APB de ce cercle depuis~ pôle Sud S produit 1'arc de cercle AB , géodés ique de (Dp) et orthogonal au bord du disque, puisque le plan (OAS ) est perpendiculaire au cercle é quato~I. À un point N de l'a rc de cercle AB , géodés ique de (Dp) , correspond da~e di sque (OK) le point M de la corde AB sur la droite (ON). Cette correspondance est bijective . Quelle que

..\

p

\

\

s Correspondance entre les modèles de Klein et de Poincaré. soit la corde [AB] P!ê._ ant par le point M, l'arc de cercle AB correspondant passera par le point N associé. Pour construire une perpendiculaire dans (OK), on utilise la notion de symétrie axiale, présente dans toutes les géométries. La perpendiculaire en M à la droite (AB) est l' unique droite passant par M invariante par la symétrie qui laisse invariante la droite (AB). Le cercle horizon étant lui aussi globalement invariant, il en sera de même pour le point P à l' intersection des tangentes aux points idéaux A et B (voir la figure suivante). Ce point P détermine donc , avec le point M , laper-

Janos B61yai (1802-1860), dessin posthume d 'Attila Zsigmond.

Hors-série n• 53. Les angles Ta.ngente

SAVOIRS

Sous un nouvel angle

les différentes courbures D'après la forme de la bouche lors d'un baiser, le latin utilise le mot osculum, diminutif de os Oa bouche), pour le mot « baiser » . Un cercle osculateur est donc celui qui « embrasse » le mieux une courbe en un point donné. L'inverse du rayon de ce cercle, nul pour une droite, est la courbure de la courbe en ce point. En un point d'une surface, il existe deux directions principales perpendiculaires selon lesquelles les courbures sont extrêmales. Le produit de ces courbures est la courbure de Gauss, positive si les deux centres de courbure sont situés du même côté de la surface, négative autrement. Une sphère de rayon R présente une courbure positive constante égale à 1 / R2 • La pseudo-sphère, ou tractrice de révolution, est une surface ayant une courbure négative constante. Elle fut le premier modèle de la géométrie hyperbolique.

à

~

j u.; 0

Pseudo-sphère devant le musée B6lyai, à Marosvasarhely (Transylvanie).

pendicul aire cherchée. Lorsque le point M tend ver l' infini (vers A ou B), la perpendicul aire te nd vers une des tangentes, qui est donc, par continuité, perpendicul aire à la droite (AB ). Le point P est le pôle de la droite (AB ), e llemê me la polaire du point P, et toute droite passant par P est orthogonale à (AB ) . De ux droites pe rpendicul aires dans ce modèle sont donc telles que chac une passe par le pôle de l'autre. La construction de deux droites perpendicul aires dans (Dp) s'en déduit.

Ta.n9ent:e Hors-série n°53. Les angles

p \

\

A

Perpendiculaires dans le disque de Klein.

On constate que le modèle (OK) est non confo rme pui sque ces « perpendiculaires » ne le sont mani fes tement pas au ens euclidien du terme . Le modèle du di sque de Poincaré (Dp) corrige ce fa it avec es « droites » orthogo nales au cercle horizon. La notion d 'angle y est identique à celle du plan euclidien (voir en encadré). On peut auss i envisager des modèles de géométrie sur des surfaces non planes. Il n'ex iste que troi s types de surfaces à courbure constante (voir en encadré). A in s i, le pl a n possède un e co urbure nulle, la sphère une courbure pos iti ve, e t la pse ud o-s ph ère de Be ltrami une courbure négati ve . Toute surface à courbure constante se ramène à !' une de ces trois urface . La géométrie hyperboIique n'est rien d 'autre que la théorie des géodésiques sur une surface à courbure négati ve. Toutes ce géo métries enrichi ssent la boîte à outils du mathémati cien, lui offrant de nouvelles perspecti ves. Comme le déclarait Poincaré: « Une géométrie ne peut être plus vraie qu 'une autre, elle peut simplement être plus commode. »

F. L. Référence • Marh émariq11e er géog raphie.

Bibli othèque Tangente 40 , 2010.

par Philippe Boulanger

EN BREF

Des images méconnaissables Les anamorphoses par étirement sont utilisées pour cacher une image dans une autre. Le peintre hongrois Istvan Orosz est un maître du genre ( im-possible.info/english/ait/orosz/ ). Il reste étonnant que la loi simple d'égalité des angles d'incidence et de réflexion puisse engendrer des transformations aussi inattendues! Les anamorphoses ont été expliquées dans un ouvrage de 1646 du père Niceron, la Perspective curieuse (Paris, 1638), qui contient un procédé par grille permettant de construire ou de reconstruire les images. Quittons le plan pour aborder l'espace. Les anamorphoses cylindriques sont plus surprenantes et sont utilisées pour rendre sur les parois argentées d'une tasse les images « déformées » représentées sur la soucoupe. Pour les peindre, on utilise soit un procédé informatique, soit le procédé inverse en peignant directement sur la soucoupe l'image de l'illustration collée sur la tasse. La mise en œuvre n'est pas facile. Le miroir conique est aussi utilisé dans des anamorphoses surprenantes. Michel Parré et JeanJacques Gabriel ont adapté le pantographe de Scheiner inventé en 1605 pour tracer des anamorphoses coniques.

Reconstitution, dans la tasse dont la paroi cylindrique est argentée, de l'image peinte sur la soucoupe (en haut). Dessin de l'anamorphose sur la soucoupe (en bas).

Image (a) de parapluie dans un miroir conique et pantographe, (b) pour tracer les anamorphoses coniques. Le pantographe utilise la propriété que le rapport RP'/RP est constant.

(a)

P R

P'

RÉFÉRENCES • Expérience d 'amateur. Jearl Walker, Pour La Science, octobre 1981. • Logique et calcul. Jean-Paul Delahaye, Pour La Science, avril 2005.


HISTOIRES


les coordonnées

géographiques Bien avant la compréhension des géométries non-euclidiennes, la géométrie sphérique fut utilisée pour cartographier la surface terrestre. Parmi tous les mathématiciens aventuriers qui triangulèrent les méridiens, suivons La Condamine, qui a parcouru l'Amérique du Sud pendant près de dix ans. n 1659, Christian Huygens prouve que la période d' un pendu le ne dépend que de sa longueur et de la pesanteur locale. En 1672, Jean Richer fait une découverte fondamentale. Envoyé en Guyane pour mesurer la parallaxe de Mars, et en déduire la distance TerreSo le il, il constate que le pendul e y bat la période plus lentement qu 'à Pari s, ce qui incite à penser que la pesanteur varie avec la latitude. Peu après Robert Hooke, Isaac Newton affirm e en 1687 que la Terre est ap latie aux pô les. En appli quant sa théorie de la gravitation , il en ca lcul e un aplati sse me nt de 1 / 230e. Huygens, pour sa part, trouve un aplati ssement de 1/ 576e en considérant les forces centrifu ges. Pour trancher entre ces deux théories, l'Académie des sciences de Pari s, avec l'ava l roya l, envo ie deux

E

Pour les calculs géodésiques, des tables de logarithmes à sept décimales sont nécessaires ! Tangente Hors-série n°53. Les angles

expéditions mesurer des longueurs d'arc de méridi en à des lati tudes di ffé rentes pour en déd uire la fo rme de la Terre. Une des ex péditi ons, sous l' impul sion du suédoi Ander Celsius et dirigée par Pierre Louis Moreau de Maupertuis, part de Laponie en 1736 (pour moins de seize mo is) ; qu ant à C harl es Mari e de La Condamine et Joseph de Jussieu, entre autres académ iciens, ils s' embarquent pour le Pérou en 1735 (pour plus de neuf ans !). Les mesures effectuées, donnant un aplatissement de l / l 78C, confirment a lors la supériorité de la loi de ('attraction uni verse ll e de Newton.

Trigonométrie terrestre Les méthodes as tronomiques permettent bien de déterminer la position exacte d' un po int de notre planète, mais ell e sont longues et nécess itent d 'être sur place. La tri angulation, encore utili sée il y a trente ans pour mesurer les di stances, est une méthode plus rapide pour

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE 1

connaître longitude et latitude d ' un point. Elle consiste à déterminer par des visées optique les angles d ' un tri angle dont les sommets sont des points hauts caractéri st iques du paysage ( c locher, tour, phare, sommet, arbre . .. ) ou créés pour la mesure, ce qui demande de contourner les zones marécageuses ou de fo rêt dense. On commence par mesurer au so l, avec précision, une longueur entre deux points (la base), qui sera le côté référence d ' un premier triangle, et on relève avec précision, par des méthode astronomiques, sa latitude et son orientation par rapport au méridien. On choisit alors un point caractéristique é loigné, mais en vue des extrémités de la base, pour constituer un triangle, le premi er d ' une longue série. Ce triangle, à l' orientation incertaine, est proj eté sur le pl an tangent de la surface terrestre à ('aide de la trigonométri e sphérique. La déterminati on par théodo lite de ('angle entre ces deux li gnes de visée et la base permet alors de ca lculer les longueurs des deux autres côtés . On réitère le processus en construi sant un nouveau tri ang le sur la base d ' un côté de ce triang le, et ainsi de suite en poursui vant cette chaîne de tri angles le long du méridien à mesurer. En mesurant une autre base sur le dernier triangle, les erreurs sont réparties sur l'ensemble des triangles, et on peut évaluer précisément la longueur de l 'arc de méridien entre les latitudes des points ex trêmes. C ' est ain si qu ' ont procédé Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain de 1792 à 1798 pour mesurer le méri di en de Pari s de Dunkerque à Barcelone, avant d'établir la première définition o ffi cielle du mètre en 1799. La triangula tion d ' un te rrito ire , o u ma illage constitué de triangles éta lonnés, permet auss i d ' établir une cartographi e bien plus préc ise que les cartes dess inées à ma in levée. La pre mi ère carte de Fra nce dessinée selon ce prin-

Charles-Marie de la Condamine

Membre des plus importantes académies scientifiques d'Europe, et de l'Académie française en 1760, La Condamine (1701-1774) est célèbre pour avoir dirigé une expédition géodésique qui mesura trois degrés de méridien sur l'équateur pour établir la forme de la Terre. Parti le 16 mai 1735 de La Rochelle, il dut surmonter de difficiles conditions climatiques, des tremblements de terre, les tensions au sein de son équipe, victime de maladies, d'accidents et même d'assassinats, avant de descendre l'Amazone pour rejoindre Cayenne. Il arrivera à Amsterdam fin novembre 1744 ! De cette expédition, il rapporte une définition de longueur, la toise du Pérou, préfigurant celle du mètre de la révolution, et des présentations à l'Académie des sciences sur la quinine, le caoutchouc et le curare. Pour l'ensemble de ses travaux, il est considéré, à juste titre, comme le précurseur du naturaliste, géographe et explorateur allemand Alexander von Humboldt (1769-1859).

Hors-série n° 53. Les angles T4ngen'te

HISTOIRES

Les coordonnées géographiques

cipe a été effectuée en 1745 à partir des re levés des frè res Cas ini . Troi s points A, B et C de la tri angulation défini ssent un pl an (A BC) dans leque l sont mesurés les angles du triangle qu ' ils constituent. Ces trois points n'étant pas nécessairement à la même altitude, le plan de leur tri angle n 'est en général pas parallèle au plan tangent à la surface terrestre que l' on suppose localement sphérique. Il fa ut alors utiliser la géométrie sphérique pour effectuer la proj ection du triangle me uré sur la sphère terrestre. Il s'agit donc de calcul er les angles sphériques correspondants, les verticales étant censées passer toutes par le centre de la Terre O. L'angle sphérique en A es t l 'a ngle des pl ans (OAB) et (OAC), différent de l' angle mesuré optiquement en A. Considérons un point fi ctif Z (pour zénith) de la verticale en A, qui n 'est autre que la droite d' intersection des plans (OAB) et (OAC) dont on cherche l'angle. Soit maintenant la sphère de centre A passant par Z qui intercepte respectivement les rayons [AB] et [AC] en B' et C'. L' angle en Z est, par construction, ! 'angle sphérique en A. Il est alors entièrement déterminé, grâce au x formul e de tri gonométri e sphérique, par la connaissance de l' angle en A du triangle ABC, qui est ce lui de l' arc de grand cercle B'C', et des angles ZAB ' et ZAC', qui sont les angles des visées AB et AC avec la verticale en A. Un triangle sphérique est entièrement déterminé par la donnée de troi s é léme nts, qui pe uve nt être des a ng les, contrairement à la géom étri e pl ane. Ço~ idéro~ un triangle sphérique d'angles A , B et C sur une sphère de rayo n R. Ses côtés sont des arcs de grand cercle dont on note les longueurs a = Ra, b = R/3 et c= Ry, où a, f3 et y sont les angles au centre de chaque côté. La surface de ce triangle a pour expres-

TC1.ngente Hors-série n°53. Les angles

sion S = ëR2 , où ë = Â + Ê + ê - 1t mesure en radi ans l' excès sphérique du triangle. Les deux fo rmules es entielles qui relient ces données sont la loi des sinus, sin a sin /3 sin y sin Â = sin = sin ê ' et la loi des cosinus, cosa = cos/3 cosy + sin/3 siny cos Â. Pour un tri angle donné, les angles au centre a = a / R, f3 = b / R et y = c / R tendent vers zéro quand on fa it tendre le rayon vers l'infini , c'est-à-dire la sphère vers le plan. On vérifie alors, en effectuant la limite, que ces fo rmules deviennent respecti vement

B

a ----= - -b-~ =-c-~

sin A sin B sin C et a 2 = b2 + c2 - 2bccosÂ ' fo rmules classique de la géométri e du tri angle pl an. Appliqué à la fo rmul e de la surface , ce ca limite implique e = 0, donc que la somme des angles d' un triangle pl an est égale à deux droits.

zi

A?

c

0 N'o ubli o ns pa , bi en sûr, la loi des tangentes,

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE tan ( (Â- B)

12)

tan ( (a - .8) / 2 )

tan( (Â+ B)/2 ) = tan( (a + ,8)/2 ) ' qui est directement dédui te de la loi des E fti . sin a . in .8 smus. n e et, 1a re 1at1on - ~ = -~ sin A inB est équi va lente à sin a-sin,8

sina +sin,8

sin A-sinB

sinA +sinB '

qui d o nn e r a pid e m e nt le r és ult a t cherché en utili sant la fo rmul e trigonométrique usuell e sin x + sin y= 2sin((x +y) / 2)co ((x - y) / 2).

logorrhée calculatoire Ces fo rmules étaient ca lculées manuellement ! La technique calculato ire inci ta it a lo rs à utili er d es ex press io ns multiplicatives pour ces fo rmules afin de pouvoir utiliser la pui sance des tabl e de logarithmes qui permettent, depui s le début du XV ll° siècle, de tra ns former les multiplications en addition, les divisions en soustraction et les rac ines carré par une di vision par deux. Ainsi, la loi des cosinus, qui 'écrit ~ cos a- cos ,8 cos y cos A = -----'----'sin ,8 sin y ' devient, en utilisant les fo rmules de trigonométrie : ~ cos(,8 - y) - cos a . 1-cos A= , oit sin ,8 sin y sin

2

(~

)= sin( a+~ - r}in ( a-~+r ) sin /3 sin r

2

e

En notant = (a + (3 + y) / 2 le demi-périmètre angul aire du tr iangle, on obtient la fo rmule . [Âl sm - = 2

sin(8 - ,8)sin (8 -y) sin .8 sin y '

qui détermine l'angle A du triangle sphérique en fo nction des ang les a, (3 et y .

John Napier (1550-1617).

Si ! ' invention des logarithmes revient à !' Écossais John Napi er, c'est Henry Briggs qui les perfec tionnera et en établi ra en 1624 les premi ères tables qui révolutionneront l'art du calcul. Puisque la fo rmu le précédente s'écrit

!

log[ ,;n [ Jl= ![ log ( sin(O2

,8)) + log ( sin(O-y))

- log(sin /3) - log(sin y )

J,

il était naturel, pour les calculs géodésiques, d ' utiliser des tables qui donnent directement les logarithmes des fonctions trigonométriques. Pour obtenir une bonne préc ision , des tables à sept décimales (frui ts d ' un travail colossal !) ont nécessaires. Une autre technique que celle présentée ci-dessus consiste à substituer au triang le sphérique un triangle plat d 'après un théorème de Legendre : « On peut


HISTOIRES

Les coordonnées géographiques M[ AIOIIN

1

~

o•_ -· ---· - - PaMbt• lfCI BAI! de Varou

-,. La chaîne des triangles pour l'arc du Pérou.

résoudre de petits triangles sphériques comme des triangles plans , pourvu que l 'on diminu e chaque angle sph érique du tiers de l 'excès sphérique. » Notons ~ nsi 1:excès sphérique A + B + Ç - !! d ~un triangle sphérique d ' angles A , B , C et de côtés de long ueurs a, b et c. Alors, si un tri angle plan d ' angles

Jw

~

A' = A - w, B'_:= B.. : : : w e_!_ C' = C - w (on a toujours A' + B ' + C' = n) a l' un de ses côtés égal à a, ses deux autres côtés auront pour valeur b et c, au cinqui ème ordre en a = a / R. Pour un côté 2n x 30 . , qui est de de 30 km, on a a = 40000 l' ordre de cinq milliradi ans. Au vu des erreurs de me ures, l'utili ation des fo rmules de géométrie plane donne donc un résultat plus préci s et un calcul bien plus simpl e ! La feuille de calcul extraite du carnet de note de La Condamine (vo ir en page 141 ) es t un e be ll e illu stra tion de la ri g ue ur et de la persévérance nécessaires pour obtenir, jour après jour, pendant des année , un résultat précis. À côté de ces héros de la sc ience qui , au cours de leurs voyages, san retour pour certa ins, ont dû ajouter à leur tal ent sci entifique un courage physique, n' oublions pas ces calculateurs de l' ombre qui ont souvent sacrifi é leur vie pour établir des tabl es de loga rithm es , indi spensables en géodés ie et astronomie, dont l' inform atique ne nou s a libérés que récemment. F. L. Référence • Une page de calcul de La Condamine. Jean Lefon , 20 14, disponibl e en ligne (i rem.u-strasbg. fr/php/an ic les/ 108_lefon .pdf).

L'architecte Jean Renaudie (1925-1981) n'a eu de cesse de construire sur l'angle.


EN BREF

par Hervé Lehning

Toutes latitudes Imaginons que la Terre soit une sphère. Elle a un centre 0, un plan équatorial E, un pô le Nord Net un pôle Sud S. La latitude qJ (en rouge) d ' un point M est l'angle que fait (OM) avec l'équateur E.

l'angle 1jJ : tan 1jJ

= tan~ tant. De b

donne ce lle de l'angle (l): tan(l)

même, M(t)

= tan -b tant. a

r

r

L'anglet est a lo rs faci le à éliminer ; on obtient la relation tan 1jJ = (~

tan qJ. Le coeffic ient (~

vaut environ 1,007 donc 1jJ est to ujours légèrement plus grand que qJ . On peut l'écrire 1jJ = qJ + ô , où l'angle ô peut être considéré comm e une correction à apporter à la latitude . 2

On obtient ô = Arc tan [ ( ~) tan qJ ]- Arc tan ( tan qi) en comptant en radians. La formule des accroissePour déterminer la latitude de M , on n ' utili se pas la posi tion de 0 , qu ' il est impossible de déterminer: on utili se la verticale en M, que l'on peut déterminer avec un fil à plomb. La latitude en M est a lors mesurée comme l'ang le entre la verticale en M et l'équateur ; on parle de Latitude astronomique (notée 1jJ) s i l'on veut faire la différence avec la latitude mathématique qJ . Dans le plan contenant la vertica le en M et le deux pôles, comme la Terre a la forme d ' un e llipsoïde, la différence entre ce deux latitudes est visib le :

ments fin i

permet d'évaluer ô

« très proche » de 1. E n radians ,

approx imé par 0,007

tan~

1+ tan qJ

car(~

r

est

ô peut être

= 0,0035

sin qJ.

E n degrés, o n obtient 0,2 sin qJ, ce qui limite la correctio n à apporter à la latitude à deux dixièmes de degré. Même si e lle est in fime, cette différence explique qu ' un degré de latitude au ni veau du pôle soit plus gra nd qu ' un degré de latitude au niveau de l'équateur, comme Maupertuis et La Condamine l'ont montré expérimenta lement a u XVIII< s iècle (voir Tangente 154 , pages 12 et 13). Cependant, comme l'a fait remarquer notre lecteur Pierre Causeret, même s i les arg uments de l'article cité sont corrects, le dessin doit être remplacé par celui-ci :

Différence entre la latitude mathématique qJ (en orange) et la latitude astronomique 1jJ (en vert). Ici, a est le rayon équatorial (6 378 km) et b le rayon polaire (6 356 km). Les coordonnées du poi nt M dépendent d ' un angle t (qui importe peu ici) : M (1)

x= acost

. '

ly= bsmt.

En dérivant M(t) , on obtient la

Mesure d ' un même arc de 10° de latitude astronomique sur un ellipsoïde. L'aplatissement de la Terre aux pôles y est fortement exagéré.

tange nte à l'e llipse en M et donc la tangente de

Hors-série n°53. Les angles TC1.n9ente

Œ:EJ

SAVOIRS


les rotations,

si simples auec les quaternions ! D'aucuns pensent qu'un petit peu de géométrie basique ou d'arithmétique élémentaire peut certes trouver son utilité. Mais sinon, les mathématiciens ne fabriquent-ils pas des concepts abstraits afin de s 'en délecter entre eux? Voyons ici à quoi servent concrètement les quaternions.

'

quoi pe uvent bien servir les no mbres négatifs ? On ne peut avoir -7 bonbon(s?) dans sa poche. Pourtant , les banques ne vo ient aucun inconvé nient à mettre les comptes de certains clients en négatif dès le 15 du mois. Les no mbres négatifs ont mi s des siècles à être acceptés. li fa ut dire qu ' il y a quand même des choses curieuses : pourq uoi moins par mo ins fait-il pl us ? Pour éc lairer ce sujet, faisons un peu de géométrie !

A

x- 1

-2

-1

0

donc à une rotation de 360°, et on revient au départ. Ainsi, (- 1) x (- 1) = 1, soit moins par moins égal plus.

Pire que négatif Pour les no mbres complexes, le saut conceptuel est encore plus grand et il fa udra attendre le x1x< siècle pour qu ' ils soient acceptés. Là encore, tout dépend de la présentation que l' on en fait. Si l' on dit que l' imag inaire i est un nombre te l que i2 oit égal à - 1, ce la peut être troub lant. Mais retournons à notre schéma.

2

~ x- 1

Pour passer de I à - 1, on effectue une rotation de 180° autour de l' origine. Si mu ltiplier par - 1 correspond à une rotation de 180°, (- 1) x (- 1) corre pond à deux rotations success ive de 180°,

Tcin9ente Hors-série n°53. Les angles

-2

-1

0

2

Plutôt que de présenter i comme un carré, cherchons une rotation qui fasse passer en deux fo is de I à - 1. Si une

rotation de 180° fait passer de I à - 1, une rotation de 90° fera passer en deux fois de l à - 1, et donc i représente tout simplement une rotation de 90°. Les nombres complexes fournissent un moyen élégant de faire des rotations dans le plan. Un nombre complexe de module 1 est une rotation, et pour effectuer une rotation il suffit de multi plier par ce nombre. Comme les nombres complexes résolvent élégamment le problème des rotations dans le plan , Sir William Rowan Hamilton ( 1805- J865) essaya de générali ser les nombres complexes en ajoutant une troisième composante pour traiter le problème en troi s dimensions. Ce fut en vain qu ' il chercha pendant des années. Tous les matins, son fils lui demandait : « Peut-on multiplier les triplets ? » Il lui répondait : « Non, on peut seulement les additionner ou les soustraire. » Or, un jour qu ' il passait sur le pont de Brougham , il trouva la solution en ajoutant un quatrième terme et déclara : « Je ne pus résister à l 'impulsion - antiphilosophique s'il en fut - de graver avec un couteau sur une pierre du pont de Brougham la formule fondamentale avec les symboles i, j et k : i2 = j2 = k2 = ijk = - 1. » Les quaternions sont ces nombre , de la forme q = s + xi + yj + zk avec s, x, y, z réel s et i, j, k des nouveaux nombre vérifiant le équations d ' Hamilton . Ce qui est troublant dans l'utilisation de quaternions, c'est que l'on utilise un système à quatre dimension pour repré enter des rotations d ' un espace de dimension 3. En réalité, quand on travaille dans l'espace, on uti lise des quaternions purs, de la forme q = x i + y j + z k, sans partie réelle. Mais alors, quelle est la signification de ce quatrième terme réel ? Dan sa

Petite présentation des quaternions Un quaternion est un nombre de la forme q = s + xi + yj + xk = s + v où s, x , y, x sont des nombres réels et où i,j et k sont des nombres imaginaires vérifiant la table de multiplication sui\'ante : k j -1 k -1 j -k -1 -i k j

-.,

\111lliplÎl'alio11 tll·, imagina in·, i.j l'i/... On romllll'lll'l' par la liglll': 011 lil par l'\l'lll(lk qm· i xj = li.

Sur ces nombres, on peut définir une addition. Si q = s +xi + yj + zk etc( = s· + xï + y) + z'k, alors q + c( est égal à : (s + s' ) + (x + x ' )i + (y + y ' )j + (z + x')k par définition. 1:addition est alors commutative et associative. La multiplication par un scalaire ). est définie par

= (!_<;) + (!s)i + ().y)j + (ÀZ)k.

1.q

Le produit des quaternions q et q' est défini par qq' = (ss' - xx' - m/ - zz') + (sx' + s'x + y z' - J/z) i + (sy' + s'y + zx' - z'x)j + (sz' + s'z + xy' - x 'y)k.

Attention, ce produit n'est pas commutatif! Le module du quaternion
q

1

1

= -

(j

(J

_

cf'·q -

et

ICJ I" .

préface de ses Lectures on quaternions paru en 1853, dans une note de bas de page, Hamilton écrit : « Il m'a semblé et il me semble naturel de connecter cette dimension spatiale supplémentaire au temps. » Par ailleurs, le quaternions sont non commutatifs: si q 1 et q 2 sont deux quaternions, en général le produit q 1q 2 est différent de q 2q 1• Les rotations dans l'espace ne ont pas commutative non


SAVOIRS

Les rotations, si simples ...

Des quaternions dans Lewis Carroll ? La jeune chercheuse Melanie Bayley soutient la

thèse iconoclaste suivante : Alice au pays des merveilles ne serait pas une analyse freudienne de l'œuvre de Lewis Carroll, mais une charge du très conservateur Charles Dodgson (alias Lewis Carroll, mathématicien à Oxford) contre les nouvelles mathématiques de son temps. On peut en particulier établir un parallèle entre les travaux d'Hamilton et la célèbre scène du thé. Alice est à table avec trois personnages : son hôte le Chapelier fou, le Lièvre de mars et le Loir. Le Temps, qui est tombé avec le Chapelier fou, est absent et l'horloge reste bloquée sur 6 h (l'heure du thé). L'hôte proclame alors: « Si vous connaissiez le Temps aussi bien que moi, vous ne pa,-leriez pas de le gaspiller. On ne gaspille pas quelqu'un. » Sans le quatrième terme des « quaternions » , les trois termes restants sont immobilisés à la table (dans le plan), tournant et cherchant des tasses et des soucoupes propres. Serait-ce la tentative vaine d'Hamilton ? Même Alice ne les arrête pas car elle n'est pas de la même nature que le quatrième terme. Le côté non commutatif des quaternions n'a pas échappé au Chapelier fou : « Ce n'est pas du tout la même chose, vous pourriez aloT"s dire tout aussi bien que "je vois ce que je mange" est la même chose que "je mange ce que je vois". » À la fin, le Chapelier fou et le Lièvre de mars se débarrassent du Loir dans la théière, afin peut-être de redevenir des nombres complexes et d'essayer de se libérer de la rotation sans fin autour de la table ... plus, donc il semble logique que les no uveaux nombres qui les représente nt ne commutent pas non plus. Comme nt réalise-t-on une rotation avec les quate rnions ? On commence par co-

der les points de )'espace par des quaternions purs. Si l'on veut faire tourner dans l'espace un tel po int m = xi + yj + zk d ' un angle autour du vecteur unitaire, de coordonnées (u, v, w), il suffi t de constituer le quaternion de rotation q = cos(0/2) + sin(0/2) (ui + vj + wk), pui d 'effectuer le produit qmq- 1• Notre point à tourné ! En outre, comme q est unitaire (de norme J), son inverse est to ut simpleme nt son conjugué.

e

D ' un point de vue théorique, les calcul s avec les quate rnio ns sont équi vale nts à des calcul s matriciels. Da ns la pratique, travailler a vec un quate rnion c'est gérer quatre réels, contre ne uf po ur une matrice de rotation : les calcul s seront mo ins lo urds. Les vecte urs de rotatio ns sont e ux- mê mes issus de calc uls. Un quate rnio n unitaire ne l'est plus : il suffit alo rs de le re-no rmali ser po ur continue r les calc ul s, alo rs que quand une matrice de rotatio n n 'en est plus une il est plu s délicat de la rétablir. On pe ut égale me nt aisément inte rpo le r un quate rnio n de rotatio n e ntre deux autres, ce qui est utilisé par exemple pour re ndre les mou ve me nts plus fluides en infographie. Ainsi, no n seule me nt les quatern ions sont utiles, mais ils sont effecti ve me nt utilisés : po ur le g uidage, le pilotage e t la navigation des astronefs , po ur les dessins animés, pour les images de synthèses, po ur les je ux vidéo .. . Vo us les c roi sez to us les jo urs !

J.-J. D.

R1t F (~ R E N CES • Row1io11 Trw1.1/èm11.1.J,w Computer Graphic.1. John \'incc. Springcr.2011. • I.<' li1-re dC'.11111111hre.1. John Con\\'ay et RidiarJ Guy. Eyrollc,. 1998. • Alice\ adn·1111m•.1 in algc/Jrn : H'o11clerlwu/ .l()/l'ecl. i\klanic Baylay. NewScicn1i,1 2739. 2009. • /.e.1 111atrices. Bibliothèque Tangente -14 . 2012.


par Hervé Lehning

EN BREF

La torsion

Définition de la courbure, du centre de courbure I et du ra)on de courbure R en un point O d'une courbe C.

La courbure moyenne e ntre les points O et M d ' une courbe C (en bleu sur la fi gure) est le rapM 10 port entre l'angle L'la que font les \ tangentes à C en O~ M e t la lo n\ R '\ gueur L'lcr de l' arc OM . La courbure e n O se définit a lo rs comme la limite (s i e lle existe) de 0 cette courbure moyenne quand M te nd vers O . Son inverse est le rayon de courbure e n 0 , et le cercle tangent à C e n O et de rayo n R est le cercle osculateur (ou cercle de courbure) e n O à C. Son centre I est le centre de courbure. Localement, il s'agit du cercle « approchant le mie ux » la courbe L. So n pla n est appe lé le plan osculateur. Cette é tude faite sur les ta nge ntes à la courbe pe ut être repri se sur les plans osculate urs. On obtient alors une notion du mê me type, appelée seconde courbure o u torsion. Plus précisément, la torsio n d ' une courbe de l'espace e n l' un de ses po ints se défi nit comme la li mite du rapport L'lB e ntre l' angle L'l8 que fo nt les plans o c ulate urs L'lcr à C e n O et M et la longueur L'lcr de l'arc OM . Bie n e nte ndu , une courbe plane est de torsion nulle. La tors io n d ' une courbe peut être positi ve ou négati ve. On parle de courbe dextre dans le premie r cas et de courbe senestre dans le second. Le pre mier cas correspo nd à (' hé lice d ' un tire-bouc ho n usue l (po ur droitier).

-


SAVOIRS

par Karine Brodsky

Quand les atomes s'organisent La cristallographie est la science des formes géométriques en lesquelles s'organise spontanément la matière. Visibles à l'œil nu ou constitutives de la structure intime des cristaux, ces formes ont une histoire passionnante, peuplée d 'angles, d'arêtes, de mailles et de réseaux. 0

Q

[ Q

t

- - - -aQ--1-0--- -~..·-" -

L'

état cristallin est un état courant de

o- -

la matière, dans lequel elle présente un ordre Q et une régu larité à plu ieur Q niveaux . Tout d ' abord - ce Q qui fut ob ervé dè la fin du xv11• s iècle par le savant Q danoi s Niels Stensen ( 16381686) -, deux faces déterminées d ' un cristal forment to ujours le même angle entre e lles, quel que soit l'échanti ll o n considéré. Ensuite, à un niveau plus microscopique, tout cristal est un as emblage périodique de parallélépipèdes élémentaires. C'est ce que montra au siècle su ivant le minéralogiste françai René Just Haüy ( 17431822). Enfin, d ' un point de vue plus abstrait, cet empi lement pé riodique peut être décrit par un réseau, que l' on obtient e n re liant entre eux les points repé rant da ns l'espace les motifs élémentaires ; ces points constituent les Q

Q

Q Q

Q

Famille de vecteurs de base d'un réseau tridimensionnel.


nœuds du réseau . L' hypothèse d'une structure réticulaire fut formulée par Augu te Bravai s ( 1811 - 1863) ; elle lui permit une approche géométrique tout à fait féconde puisqu ' il en déduisit un c lassement de tous les cristaux e n quatorze type distincts, nommés depui s réseaux de Bravais, et qui seront mis en évidence expérimentalement au début du xx• iècle par diffraction des rayons X.

maillages et réseaux Dans l'espace à trois dimensions, si l' on souhaite définir un repè re, il faut choisir une origine et trois vecteurs non coplanaires. Une fois le repère défini , chaque point de l'espace est associé de manière unique à troi s nombres, qui sont ses coordonnées dans le re père. Si l'on a affaire à une distribution rég ulière de points formant un maillage pé riodique, les troi s vecteurs de base

peuvent être choisis comme ceux fo rmant la maille élémentaire ; les nœud du réseau sont al ors repérés par trois nombres entiers. Quelles sont les maille élémentai res qu' il est possi ble de fo rmer ? Pour répondre à cette question, il fa ut envisager auss i bien les longueurs des troi vecteurs de base que leur directions relatives, soit tro is angles. Si ces six paramètres sont quelconques, on obtient un parallélépipède quelconque, base du système cri stallin triclinique. Si deux des trois angles sont dro its, on a un pris me droit à base parallé logramme : c'est le système monoclinique. Si les tro is angles sont droits, on a un parallé lépi pède rectangle : c'est le système orthorhombique. Dans ce dernier cas (trois angles droits), si deux des tro is vecteurs de base ont même lo ngueur, on obtient alors un prisme droit à base carrée correspondant au système quadratique ; et si ces tro is vecteurs o nt tous même lo ngueur, on a un cube (système cubique). Lo rsque les trois vecteurs de base ont même longueur mais que leurs directions re lati ves sont quelconques, on a affaire à un rho mboèdre (système rhomboédrique). Enfi n, reste le cas dans leque l deux des trois vecteurs de ba e ont même lo ngueur, deux des angles sont dro its et le tro isième vaut 120° : c'est le systè me hexagonal, assoc ié à un pri sme dro it à base losange.

--·--

-- ~

r:.::;.

':'C'C:

"',,,.,..,.,,..,....,._ .......,,..,_..-...

Syslème

quadratique (lo!lraoonal)

hexagonal

L'ex istence de quatorze réseaux de Brava is résulte du fait que les nœuds du réseau peuvent non seule me nt occuper les sommets de la maille, mais au si les centres des faces ou encore le centre de la maille. À partir du système cristallin cubique, on déri ve par exemple les systèmes cubique centré et cubique à faces centrées.

Les quatorze réseaux de Bravais.

Comment, à part ir d ' un réseau, obtient-on alors un cristal ? En attachant à chaque nœud un ato me ou un groupe d 'atomes, c'est-à-dire un motif qui va se répéter dans les trois directions de l'espace ! Mais au contraire de leurs modèles réticulaires, les diverses fo rmes cri stallines que l'on rencontre dans la nature ne peuvent, elles, résulter d ' une répétition in fi nie, et obé issent à un principe de troncature, où une surface peut re mplacer soit un sommet, soit une arête. Un cri stal, au cours d' une croi ssance libre, peut ain i prendre la fo rme de l' un des sept polyèdres élémentaires défi ni s précédemment, ou une fo rme plus


SAVOIRS

Quand les atomes s'organisent

complexe par déve loppement de faces planes à l'emplacement d'arêtes ou de sommets. Du système cubique peut par exemple résulter, par troncature, un octaèdre. Une autre question est de savoir à que lles di stances les uns des autres vont se tro uver les ato mes ; autrement dit, par quo i les longueurs de marne du réseau sont-elles déterminées ? Sous l' hypothèse que les atomes sont comme des sphères dures, celles-c i vont s'arranger de manière à minimiser l'espace occupé. Ce principe de compacité conduit à des résultats (et à des problè mes !) très intéressant d ' un point de vue mathématique. Ainsi, à deux dimensions, le réseau le plu s compact que l'on puisse fo rmer avec des disques est hexagonal, comme l'a montré le mathématicien norvég ien Axel Thue en 1890. À trois dimensions, c'est plus compliqué. Johannes Kepler ava it déjà, en 16 11 , conjecturé qu ' un empilement de sphères selon des plans, les sphères d ' un plan reposant dans les « creux » fo rmés par les sphères du plan infé rieur (comme dans l'empilement des oranges chez le marchand de fruit), pe rmet d ' atteindre la densité la plus grande. Mais ce n'est qu 'en 1998 que le mathématicien Thomas Hales a fo rmulé la preuve, fo rme llement va lidée en août 201 4 (vo ir Tangente 160), qu ' il ex iste deux confi gurations per-

Thomas Hales en avril 2014 annonçant la fin imminente de son programme de vérification formelle de sa preuve de la conjecture de Kepler.

mettant une compacité max imale : le réseau cubique à faces centrées et le réseau hexagonal compact. Par la même occasion, le dix-huitième problème de Hilbert est désormais entièrement réolu ! K.B.

Les deux empilements de sphères les plus compacts : le réseau cubique à faces centrées et le réseau hexagonal compact. c

CO -.. [J -. @ -.0,_ CO _.. êID _.. ® c.-

y..........

Un cristal a souvent une forme polyédrique complexe par troncatures apparentes du volume élémentaire.


François Lavallou

EN BREF

aceinture du arçon de café Les spineurs sont utilisés depuis plus d'un demi-siècle en physique, mais leur contexte mathématique fait peur. Les physiciens se contentent de manipuler les composantes et les matrices représentatives des spineurs, perdant ainsi la profonde connexion qu'ils créent entre géométrie et physique. En voici quelques exemples élémentaires. Le jeu de Tangloïd, inventé par Piet Hein, peut être vu comme un modèle du calcul spinoriel, et permet d'en illustrer quelques propriétés. Vous attachez trois cordes à un barreau d'un côté, et à une chaise de l'autre. En tournant le barreau entre les cordes, vous les entrelacez. Le jeu consiste à les démêler en utilisant uniquement des translations ; aucune rotation ! On peut toujours y arriver pour un nombre pair de rotations. Vous connaissez tous le plateau du garçon de café, pour lequel il faut effectuer deux tours complets pour revenir à la position initiale. Le« coup de la ceinture», ou belt trick, est un autre exemple, dont vous trouverez des animations sur Internet. Toutes ces propriétés sont directement liées à la notion de spineur.

C Paolo Piuimcn1i ~ Focolia.com

Spineurs nvt11a1or1c11ns Élie Cartan a introduit, avant généralisation, la notion de spineur dans le cadre de l'espace euclidien de dimension trois, et par voie analytique. La géométrie spinorielle est une extension de la géométrie euclidienne, dont elle possède la métrique et l'invariance par le groupe des similitudes. On peut dire que la géométrie spinorielle, qui a son identité propre, est à la géométrie vectorielle ce que cette dernière est à la géométrie euclidienne. Elle suppose l'existence d'un produit scalaire associé à une forme quadratique. Soit un vecteur (x, y, z) isotrope, donc tel que x2 + y 2 + z2 = o. Si l'on accepte les nombres complexes, on reconnait la relation de Pythagore reliant les mesures des côtés d'un triangle rectangle. La solution générale d'un tel triplet pythagoricien est connue:

p2,

X= 0 2 -

y= i(a + W), z = -2ap. Ces relations quadratiques impliquent que le vecteur (x, y, z) associé au spineur (a, P) doit « tourner » de deux tours pour que le spineur revienne à sa position initiale. Ceci explique les symétries de 720° associées aux spineurs. La représentation matricielle des spineurs fait ensuite apparaître des matrices de base, dites matrices de spin, retrouvées par Paul Dirac, puis Enrico Fermi, en bâtissant la théorie de l'électron. 2

{


SAVOIRS

par Jean-Philippe Villeneuve

Une notion d'angle

même dans des espaces très abstraits Extrêmement visuelle, la notion d'angle a mis du temps à être convenablement cernée. Disposer d'une définition claire et non ambiguë permet d'étendre l'idée même d'un angle à des espaces abstraits, ce qui autorise le développement d'une intuition géométrique très utile pour les étudier. a géomé tri e c lass iqu e no us a apporté une défi nition de l'angle (en degrés ou en radi ans), des angles alternes-internes, alternes-externes ou complé mentaires. On démo ntre des théorèmes (la somme des angles internes d ' un tri angle vaut 180 degrés, le théorème de l'angle inscrit. .. ). On parle des ang les d ' une figure géométrique, de leurs caractéri stiques. En trigonométrie, certaines fonctions d'angle ont été étudiées afin de calculer des di stances ou de déte rmine r des rapports . Mais c'est l' introduction des espaces vectoriels au XIXe s ièc le qui a pe rmi s de généra li ser la notion d 'angle aux vecteurs (notamment ceux du plan euclidien et de l'espace euclidien). Qu 'en est-il alors de l' ang le e ntre de ux vec te urs d ' un espace vectorie l quelconque , co mme celui des matrices, des polynômes ou des fonctions intégrables ?

L

Déj~. dans le plan De ux vecte urs du plan e uc lidie n forme nt , lorsqu ' ils so nt ramenés à une même origine, un angle. Cet angle varie


de Oà 180 degrés. Sur la figure, les vecte urs Ü1 et ü2 fo rment un angle de 90 degrés, ü1 et ü 3 un angle de 180 degrés , et Ü1 et Ü4 un angle de 30 degrés.

y

J

·2

X ·1

Deux vecteurs du plan sont perpendiculaires si l'angle est droit (comme 11 1 et Ü2 ) et parallèles si l'angle est de 0° ou de 180° (comme ül et 113) .

Pour calculer l'angle entre deux vecteurs, les rapports trigonométrique peuvent ê tre utili sés. Ainsi , pour trouver l'angle a entre ü, et Ü4 , on « fe rme » le triangle et on utili se la tangente : a= arctan ( ! /2) = 26,57° environ . Lorsqu ' il n'est pas possible de « fermer » le triangle, comme pour deux vecteurs

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE qui ne sont pas paral lèles aux axes, l'angle se calcule avec ce produi t scala ire :

rp - -)

(ü,ii)) , 11-11 a=arccos ( llüllllvll o u u = v , u ,u ;. Dans le pl an , le produ it scala ire utili sé

e lles se coupent en un po int), ou gauches (si e lles ne se coupent pas). Par exemple, l 'a ng le e ntre d e u x d ro ites d o nt les vecteurs directeurs sont respecti veme nt Ü1 = (-2, 3, 2) et Ü2 = (3,4,- 1) est e nviron 79,03°.

2

est (ü,ii)= L, U;V; = U1V1 + U2V2· i=I

z

A ins i, l' ang le e ntre Ü1 e t Ü4 est égal à:

a= arc cos

2x l + l x0 ) ( ~ ' 112+0 2

= arc cos(

Js)

= 26,57° e nviron .

Ce prod uit scala ire conserve la valeur de l'ang le, ce qui n 'est pas le cas d 'autres produits scala ires, comme celui dé fini comme suit :

y

2

(ü,ii)= L, U;V;W; = ulvlwl +U2V2W2 i= I

où w est un vecteur à composantes positi ves, appe lé un poids. X

Dans l'espace e ucl idi e n iR3, il est poss ib le de ca lc ul e r l'a ng le e ntre d e u x dro ites, e ntre une dro ite e t un pl a n et e ntre deux pla ns. Po ur c hacun des cas, il y a to ujours de ux ang les, a e t so n complé me nta ire. Par conve ntio n , il est possible de restre indre l'angle e ntre 0° et 90°. D 'abord , les d ro ites de l'espace sont déte rminées par un po int P(a, b, c) et un vecteur parallè le à la dro ite, appelé vecteurdirecteur, ü =(ui,u 2,u3). Po ur ca lcule r l'ang le e ntre de ux droites, o n a seule me nt beso in des vec te urs directeurs ü = (u i, u 2, u 3) e t = (vi, v2, v3) et du produit scala ire, e t a lo rs :

Ensuite, les plans sont détem1inés par un po int e t de ux vec te urs directe urs (no n paral lè les), ou bien par un point et un vecte ur, pe rpe ndi cul a ire a u pl an , dit vecteur normal . L'ang le a e ntre une droite et un plan rev ient à calculer l'ang le entre le vecteur directe ur ü = (u 1, u 2 , u 3) de la d ro ite et le vecte ur no rma l = (n,, n2, n3) du plan :

n

(ü,ii))

a= arc cos ( llüllllnll

v

(ü,ii))

a= arc cos ( llüllllvll

Si l' ang le est nul ou plat, alors les dro ite sont para ll è les (con fo ndues, o u di stinctes) . Sino n , e lles sont sécantes (s i

Les pos itio ns re lati ves e ntre la d ro ite et le plan sont parallè les confo ndus, parallè les di stincts, ou sécants. Po ur les premiers cas, l'ang le est nul o u pl at. Dans le dernie r cas, il est stricte ment compris entre 0° et 180°. Par exemple, l'angle entre une dro ite aya nt comme vec te ur directe ur = (2, -5, - 7) e t un pla n aya nt

v


155

SAVOIRS

Une notion d'angle ... comme vecteur normal ii =(2, - 1, 8) est approximati vement 50, 16° (ci-dessous). Finale ment , ! 'angle entre deux pl ans se ca lcul e e n utili sa nt les vec te urs normaux. Les plans peuvent être parallèles confo ndus, di stincts, ou écants en une droite dite droite d'intersection . Par exempl e, l'ang le e ntre de pl ans (sécants) aya nt comme vecteurs normaux ii 1 = (1, - 1, 10) et ïi 2 = (- 5, - 5, 2) est 74 ,37° environ (ci-dessous, à droite).

Uers des espaces plus abstraits Dans le cas de IR1 11 avec n supérie ur à 3, Je produit sca laire entre deux vecteurs à n composantes ü et ii se généra li se

définissant l' angle est alors :

a= arc cos (

(ü ,ii))

llüllllïïll

On parle alors d 'angle entre des droites et entre de hyperpl ans. On peut alle r plus lo in . Un espace vectoriel est un ensemble muni d ' une opératio n d 'addition et une opérat io n de multiplication par un scalaire. Les matrices , les polynômes et les fo ncti ons conti nues sont des vecteurs dans des espaces vectorie ls. Pour certai ns espaces vectoriels, un produit scalaire peut être défin i. En vo ic i quelques-uns :

n

aisément :

(ü ,ii)= I,u ;v;.

La fo rmule

i= I

Pour les matrices rée lles à m lignes et n colonnes, un produit scalaire est m

(A, B)

n

=°"'°"' L..i .L..J a,..b . avec .J

t

.J

i= I i= I

A= ( a i ,j )1siS111 et B = ( b;JI SiSm ' ISj S11

I Sj S11

Pour les po lynômes réels de degré n , un produit sca lai re est

I

I

I



Dans un espace vectoriel, il est souvent possible de développer une géométrie et un langage visuel.

20 z

n

( P ,Q )= L,P(x;~(x;) avec x 1 ,

••• ,

x,,

i=I

des réel de ux à de ux di stincts . Po ur le fonctions continues à vale urs rée ll e défi ni e sur [0 , I], un produit scala ire est (J,g)= r :~f(x)g(x)dx.

En se choisissant une base, il est possible de calculer l' angle e ntre un vecteur que lconque et un vecteur de la base. Pa r exemple, l'ang le a e ntre une matrice A et la matrice E;J (dont toutes les compo antes sont nulles, à l'exception de celle si tuée à la lig ne i et à la colonne}, qui est égale à 1) de la base orthonormée est égal à:

(A,E,.1) )

a= arc cos [ IIAIIIIE;J = arc cos

(a'J) ÏfAii .

a ..

Le rapport

ll~I

déterminera l'angle entre

• Si a; J = 0 , a lo rs les matrices sont pe rpendicula ires. • Si a; J < 0 , a lors l' a ng le sera stri c teme nt compri s e ntre 90° e t 180°. • Si a; J > 0 , alors l'ang le sera stric teme nt compri s e ntre O e t 90°. • Plus l' é lé me nt a;J est « important » par rapport aux autres é lé ments de la matrice, plus l'angle sera« proche» de 90° parce que le quotie nt sera (en vale ur absolue)« proche» de 1. Donc « plus la matrice A sera perpendiculaire à E;J ». • De ux matrices sont parallè les si A= kB pour un certa in réel k ; l'ang le est nul s i k > 0 et pl at s i k < O. A ins i, mê me dans des espaces re lativeme nt abstra its, il est possible de dévelo pper un e géo mé tri e e t un la ngage visuel.

J.-P. V.

les matri ces :

Hors-série n· 53. Les angles Tangente

par Hervé Lehning

les camemberts en statistiques Une façon de représenter les statistiques est d'utiliser une visualisation circulaire, dite camembert en France et pie-chart dans les pays anglo-saxons. Chaque pourcentage y est représenté par un secteur angulaire, 100 % correspond à 360° (donc 10 % à 36°). Voici par exemple la propo1tion d'emplois dans les trois secteurs de l'économie (primaire, secondaire et tertiaire) dans un pays évolué comme la France. La tradition est différente en matière politique en France, à cause de la forme de l'assemblée nationale ; 100 % est alors représenté par 180°.

Répartition de:, emploi, dans l«:'i troi, ,c:cll'ur, de l'fronomic: : 5c,dam,le

Tertiaire

secteur primaire:. 20 ( ( dai1, le sc:condaire ('t 75 "i· dan, le tc:rtiair('.

.............

Les pierres angulaires 80llt situées aux angles

la convergence angulaire En analyse existe une notion de convergence angulaire. Si I a,,x" e t une série entière de rayon R convergeant en un point z du cercle de convergence, c' està-dire en un point z tel que I z 1 = R, alors e lle converge uni fo rmément sur tout secteur angulaire D de sommet z inclus dans le cercle de convergence, et de rayo n suffi samment petit. Cette propriété est exploitée dans l' étude des séries, en probabilités ou encore en théorie des équations aux déri vées partielles.

des bitiments et sont, de ce fait, particulièrement nécessaires pour leurs solidit6s. Cette expression comme métaphore pour signifier qu un homme ou un objet est fondamental. On la retrouve souvent dans les textes anciens comme la Bible. Les deux pierres~ de cette ruine

ont évité I écroulement complet de ses murs.


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1

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par Michel Criton

Niveau de difficulté ,)

V

Objectif

vv vvv vvvv

très facile facile 1ms facile difficile très difficile

grand angle vv

HS5301 - les angles droits v

HS5304 - Bon uent

Source des problèmes :

Entre mjdi et 18 heures, combien de fois la petite aiguille et la grande ru-

Une planche à vo ile a sui vi le trajet en li gne bri sée de la fig ure ci-dessous .

• Trophée Lew is Carroll (HS530 1)

guille d ' une horloge forment-elles un angle droit ?

• Concours Kango urou des mathé matiques (HS5302) • Champi onn at des jeux math ématiqu es et logiques (HS5303, HS5309, HS53 10. HS53 II . HS53 12) • Rall ye mathématique de Bourgogne (HS5304) • Olympi ade mathé-

HS5302 - mesure d'un angle v Dans la fi gure (imprécise) ci-dessous, les droites a et b sont parallèles.

Quelle est la mesure de l' angle x?

HS5305 - Éualuez la médiane b

HS5303 - le matin des mathématiciens v

Seconde, POLE . 2005 (HS5306) • Re vue La

Ce matin de vacances, les coups sonnés par mon horloge viennent de me réveiller. Je remarque qu ' une ligne droite tracée entre le 4 et le 10 partage l'angle que font les aiguilles entre e lles en deux angle égaux. Je décide alors de rester au lit jusqu 'à midi .

• Co upe Euro math des rég ions (HS53 l 3)

Que vaut l'angle a ?

a

matique chinoise (HS5 305) • Aventure Marh

Recherche (HS5307, HS5308)

a

v

Combien d ' heures vais-je ainsi pouvoir lire au lit ?


vvv

Dans un triangle ABC , soient [AD] la hauteur relati ve au côté [BC] , [A E] la bissectrice issue de A, et [AF] la médiane relati ve à [BC] . On sait que AD = 12 et AE = 13. Discutez de la valeur de la longueur AF, selon que l'angle en A est aigu, droit ou obtus.

A

par Michel Criton HS5306 - Ualeur eKacte de sinus 22,5° v v

HS5308 - maKimisons les aigus v v v

Le tri angle ABC est un triangle rectangle en C et isocè le, dont le côté de l'angle droit est égal à l . D e t le point de [AB] tel que AD = 1, et (AE) est la bissectrice de l'angle DAC. Que peuton dire du triangle BOE? Calculer EC . Calculer AE et en déduire la valeur exacte de sin 2(CAE), pui s de sin (CAE) .

On trace un polygone convexe A 1 A2 A3 A4 ••• A11_ 1 A,, et on choisit un po int O à l'intérieur de ce polygone . On mesure ensuite tous les angles saillants. Montrez qu'au moins n - 1 de ces angles ne sont pas des angles aigus.

-

-

-

A,

B A,..1

HS5309 - le meilleur point d'obseruation v v v HS5307 - la structure d'Hstrid v v Astrid e t plasticienne. Elle veut réaliser une structure en poutrelles d 'acier ayant la fo rme d ' un tétraèdre (une pyramide à base triangulaire). Elle a déjà soudé la base de ce tétraèdre (voir la fig ure) et cherche à choisir un sommet tel que les trois poutrelle issues de ce sommet soient deux à deux orthogonales .

Astrid pourra-t-elle construire sa structure?

Sur le di amètre [KN] d' un cercle de rayon 10 cm, on a mi s une cloison composée de deux segments [KL] et [MN] tels que KL = 2 cm et MN = 15 cm (voir la fig ure). À partir des point du demi -cercle de droite (comme le point S par exemple), on observe les arcs situés sur le demi cercle de gauche. Quelle est la plus grande Ion- P gueur d 'arc observable? Si besoin est, on prendra 3,14 16 pour n: et on donnera un résultat exprimé en centi mètres, éventuellement arrondi au millième .

K

N


par Michel Criton

HS5310 - l'éuentail

t/ t/ t/

On appe lle cathète l'un des deux côtés adjace nts à l'angle droit dans un triangle rectang le. Un éventail déplié a la forme représentée c icontre, qui ne respecte pas les proportions. La petite cathète de chaque triangle rectang le mesure exacte ment I dm , et les longueurs des troi s grandes cathètes sont des nombres entiers de déc imètres tous différents. De plus, l'angle fo rmé par les troi s parties juxtaposées mesure 45°. Quelles sont, dans l'ordre croissant, les longueurs des trois grandes cathètes?

HS5311 - la machine il charcuter les angles t/ t/ Avec de fine s tiges métalliques, Monsieur Lanfranchi a construit la curieuse mac hine sui vante (les mesures d 'ang le ne sont pas à l'échelle) .

-------

po urvu que ! 'angle sous leque l il regarde le but en tirant ne soit pa trop fe rmé. Le vo ilà justement qui fo nce parallèlement à la ligne de touche, sur une trajecto ire dont l' intersection S avec la ligne de but est située à 16,50 m du poteau droit du gardien. La largeur du but est 7 ,32 m .

I

s - - - 1 6,SOm Ligne de but

X

j T

Quelle est, au centimètre près , la distance X de S au point de tir idéal T, sous lequel l'angle est le plus ouvert ?

HS5313 - Triangles acutangles t/ t/ t/ Un triang le ac utang le est un triangle dont les trois angles sont tous aigus. Découpez chacune des figures suivantes en un nombre minimal de triangles acutangles.

A o articulation simple o articulation coulissante

À part les deux grandes tiges, toutes les tiges sont de même longueur. Si vous trouvez ! ' utilité de cette machine, vous n'aurez aucun mal à trouver la valeur en degrés de l'angle en B lorsque l'angle en D vaut 112°.

HS5312 - l'ailier de génie

t/ t/ t/ t/

Solutions en page 164 Argenti est le me illeur ailier du monde . So n tir à ras de terre ne pardonne pas,


par Michel Criton

HS5301 - Cela e produit onze fois.

(9e)@ô@C9

GŒ)QQ@

HS5302-

~ =

1so•

Onax=20°.

po sède un angle de 45° en B, c'est un triangle rectangle i ocèle, d'où BD=DEet BE= -V2 DE. On a donc BE = -V2 CE. Comme CE + BE = 1, CE= - 1: ./2 - 1. -V2 + 1 En appliquant le théorème de Pythagore dan le triangle ACE rectangle en E, on obtient AE2 = AC2 + CE2, d'où AE2 = 1 + (-V2 - 1)2 = 4 - 2./2.

50'

130'

Ainsi , AE = 2

J1 -

~

2

HS5304- La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à (n - 2) x 180°. Le polygone formé par le trajet de la planche à voile et le rivage est un heptagone. On a donc: 40 + (360 - a)+ 30 + (360 - a) + 60 +a+ (180- 50) = (7 - 2) X 180. La résolution de cette équation conduit à a= 80°.

HS5305 - Si l'angle Â est aigu, on a 13 < AF < 2028 / 119. Si Â e t droit, AF = 2028 / 119. Si Â est obtus, AF > 2028 / 119.

HS5306 - Les triangles ACE et ADE sont isométriques, d'où CE = DE. On en déduit que BDE est un triangle rectangle en D. Comme il

--

On en déduit le sinus de l'angle CAE :

HS5303 - Remarquons tout d'abord que si les coups de l'horloge viennent de sonner, c'e t que l'heure à I' in tant présent est ~n nombre entier d'heures ; la grande aiguille est donc sur le 12 de l' horloge, et l'angle que fait cette grande aiguille avec la ligne droite tracée entre le 4 et le 10 vaut 60°. On en déduit que la petite aiguille est ur le 8, et qu'il est huit heures. Je vais donc pouvoir lire mon magazine favori pendant quatre heures.

.

sin2 (ÔIB) = CE2 = (1 - -V2)2 _ 3 - 2-V2 AE2 4 - 2-V2 4 - 2-V2 = 4 - 2-V2 = 2 - ./2 8 4 B et inÔIB=h-.J2 . 2

A/

' ~

E

~ c

1

HS5307 - Astrid ne pourra pas réaliser son projet. En effet, celui-ci n'est pas réalisable avec une ba e obtusangle (c'est-à-dire possédant un angle obtu ). Pour le prouver, uppo on le problème résolu et montrons que le olide obtenu ne peut posséder un angle obtus ur une de ses faces. ~ - -~ B Le tétraèdre OABC de la figure peut être inscrit dans un parallélépipède rectangle. Les côtés du triangle de base sont tous issus de sommets d'angles trièdres dont les côtés sont deux à deux orthogonaux. Or deux demi-droites issues du sommet d'un tel angle trièdre et situées à l'intérieur de cet angle trièdre font entre elles un angle d'au plus 90°, ce qui contredit l'hypothèse de l'existence d'un angle de 120°.


par Michel Criton

HS5308 - Raisonnons par récurrence.

HS5309 - D'après

A~ - - - - 7 8 Pour trois points ABC et un point O intérieur au triangle ABC, on a au plus un angle aigu ; on a donc au moins deux angles obtus. En effet, il n'est pas possible d'obtenir 360° avec deux angles aigus et un angle saillant. Supposons maintenant la propriété vraie à l'ordre n (n > 3), à savoir que pour tout polygone convexe à n sommets, un point O intérieur à ce polygone détermine au moins n - 1 angles saillants qui ne sont pas aigus. Montrons que la propriété est vraie à l'ordre n + l, ce qui achèvera la récurrence. Con idérons pour cela un polygone convexe à

le théorème de 1 'an g I e inscrit, QOP______

A

A,

A,

A,_,

A

A

..

' A~,

•

0

A. .!.

A,.. A~.i 0

!

Si un point O est intérieur à ce polygone, alors il ne peut être intérieur à tous les triangles A 1A,A 3 , A2A3 A4 , A3 A4 A5 , A4 A5 A6 ... An-2An-1An, An_lAnAI, AnAIA2, car certains de ces triangles ont leurs intérieurs disjoints. Il exi te donc au moins un triangle Ak_ 1AkAk+J (avec k un entier) qui ne contient pa le point O. Le polygone A 1A, ... Ak_ 1Ak+i· .. A,,+ 1 est un polygone à n sommets et il satisfait à la propriété, c'est-à-dire que le point O intérieur à ce polygone détermine au moins n - 1 angles saillants qui ne sont pas aigus. Traçons une droite (a) qui coupe le segment [Ap] perpendiculairement. Il existe au moins un sommet du polygone qui n'est pas situé du même côté de (cf) que Ak. Ce sommet forme avec O et Ak un énième angle saillant non aigu, ce qui achève la démonstration.

K

------

=

2QSP. en On déduit que l'arc observé une aura longueur N si maximale 1'angle QSP = LSM a lui-même une valeur maximale. Si le point S se déplace sur un cercle de centre 0 ' passant par Let M, l'angle LSM garde une valeur constante, mais cette valeur sera maximale si le cercle de centre O' est tangent en S au cercle de centre O. Les points 0, O' et S sont alors alignés. On a 0'02 - O'S 2 = OM X OL (relation exprimant la puis ance du point O par rapport au cercle de centre 0') . En désignant par r le rayon du cercle de centre O' et en remplaçant dans l'égalité précédente par les valeurs de l'énoncé, on obtient : ( 10 - r)2 - r2 = 5 x 8, qui donne r = 3.

------ ------

------

On a LSM

-

= LO'M, toujour

par le théorème

2

de l' angle inscrit. En considérant le triangle LOM, isocèle en M, on peut écrire :

-

sin LO 'M = LM = l. = l__ 2 6 2r 2

-

--

On en déduit que les angles LO'M et OO'P valent 60° et l'angle LSM 30°. L'arc a donc pour longueur le sixième de la longueur du grand cercle, à savoir lûn: / 3, soit environ 10 x 3,1416 / 3 = 10,472 cm .

------

Hors-série n°53. Les angles Tc:1:n9ente

par Michel Criton

HS5310 - Supposons que l'on ait A < B < C, avec les longueurs des grands côtés de l' angle droit correspondantes a> b > c. On a la relation bien connue suivante :

1-+1-

tan(Â + B) = tan Â + tan B = a b 1 - tan Â tan B 1-ab '

HS5311- Remarquons tout d ' abord que, les petites tiges étant toute de même longueur, les quadrilatères AEBI, BFCJ et CGDK ont de losanges. Leurs angles opposés ont donc même mesure. X

= a+b ab - 1

c

~

\B

~A

~

.....

\..'

Par ailleurs :

tan (Â + B) + tan ê l - tan (Â + 13) tan ê

= (a+ b)c + ab -

D' autre part, pour la même raison , les triangles EBF, FCG, GDH, IBJ , JCK et KDL sont tous isocèles. Leurs angles à la base sont donc é~x. Soit a la mesure en degrés de l'angle ( X A y). -----

l = tan 45° = tan (Â + B + ê) =

y

a+ b +.l = ab - 1 c 1 _ a+b (ab - l)c

l

(ab - l) c- (a+b) Il en résulte que : (a+ b)c + ab - l = (ab - l)c - (a + b), relation de laquelle on tire : (ab - l -a - b)(c- l)=2(a+b). Si c < 3, alors ab - 1 - a - b < a + b ou encore (a - 2)(b - 2) < 5. Comme b > 4 et a> 5, (a - 2)(b - 2) > 6, d'où une impossibilité. Le cas c = 1 étant exclu, il ne reste que la valeur

c=2. On a donc ab - 1 = 3(a + b), d'où: (a - 3)(b - 3) = 10. Il existe deux possibilités : a - 3 = 10 et b - 3 = 1, soit a = 13 et b = 4, ou bien a - 3 = 5 et b - 3 = 2, soit a= 8 et b = 5. Le problème possède donc deux solutions : 2 dm, 4 dm, 13 dm ou bien 2 dm, S dm, 8 dm.

-----

-----

_.,.....__

_.,.....__

On a EBI = BEF = BFE = BIJ = BJI = a. On ~dédu~ue JBF = JCF = 3a et que BFC = BJC = 180 - 3a, et donc que ..:.--- = CJK = CGF = CKJ = 2a. CFG II s'ensuit que : FCG = JCK = 180 - 4a. Or, la somme des angles ayant leur sommet en C vaut 360°. Ceci permet de calculer ~GCK_.::,_ GDK = Sa d' où ~ t i r ~ D _::.__CK~ 180 - Sa puis DGH = DHG = DKL = DLK = 3a. On peut déduire de ce dernier calcul que ---..:.. GDH = KDL = 180 - 6a. En utilisant le fait que la somme des angles dont le s o ~ est situé en D vaut 360°, on obtient que HDL = ?a. Si l' angle H~ vaut par ailleurs 112°, c' est que l'angle (xAy ) vaut 112° / 7 = 16°, et l' angle vaut 3 x 16° = 48°. On trouve le plan de cet appareil dans un ouvrage posthume de 1720 du marquis de L' Hôpital, intitulé Traité analytique des sections coniques et de leur usage pour la résolution des équations dans les problèmes tant déterminez qu 'indétermine-;,.


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par Michel Criton

HS5313-

HS5312 - Posons SA = a et SB = b.

1. Pour un triangle dont l'angle obtu dépa se chacun des deux angles aigus de moin d ' un angle droit, le nombre minimal de triangles acutangles est égal à 7.

L' en e mble des point du plan d ' où l'on voit les buts sous un angle t constant est un arc de cercle passant par A et B. Plus l' angle t e t grand , plus le rayo n de ce cercle e t petit. Il faut donc trou ver le plus petit cercle possible pa sant par A et B, mais rencontrant la droite (D), trajectoire de l' ailier. Ce plus petit cercle est tangent à la droite (D) en T. D'où la construction (voir la fig ure). On obtient la valeur de x en exprimant la pui ssance de S par rapport au cercle : c'est ST2 = x2, mais aussi SA x SB = ab, d 'où x = 1982 cm.

2. Si l'angle obtus dépasse l' un au moins des angles aigus de plus d ' un angle droit, il faut une pre mière découpe du triangle avant de se ramener au cas précédent pour découper le triangle obtu angle. Le nombre minimal de triangles acutangles sera alor égal à 8.

3. Pour un carré, le nombre minimal de triangles acutangles e t égal à 8.


Ta.ngente Hors-série n° 53 Les angles

Tangente Publié par les Éditions POLE sns au capital de 42 ooo euros

Sltge social 80 bd Saint-miche! - 75006 Paris Commission paritaire : 1016 K 80883 Dépôt légal à parution

Directeur de Publication et de le RU1ctlon Gilles COHEn

Secrft1lre de rfd1ctlon Édouard THomns, assisté d'Estelle DUBOIS

Ont coll1borf a ce numf ro Jacques BHIR, Philippe BOULHOGER, martlne BRILLLEHUD, Karine BRODSKY, Élisabeth BUSSER, miche( CRITOn, Dauld DELHUnnv, Jean-Jacques DUPHS, Jean-Pierre fRIEDELmEYER, Jérôme GHUm, Jean-Paul GUICHHRO, Bertrand HHUCHECOROE, Daniel JUSTEns, François LHUHLLOU, Herué LEHnmG, Jean mnwHm, Jean-Philippe UILLEnEUUE, Hlaln znLmnnsm

maquette Franck HROTCHHREn, Guillaume GHIOOT, Romain GIRHUO, natacha LHUGIER, Claude LUCCHlnl

Ulsuel de couverture : Photograph courtesy of Chauuet Chauuet Ughtlng, 5200 nw 1081h nuenue, Sunrlse, fL 33351 (www.chauuetllghtlng.com) Photos : droits réserués Dessins : Julie Lambert (catoune.com) Rbennements abo@)poledltlons.com 01 47 07 51 15 - fax : 01 47 07 88 13

Achevé d'imprimer pour le compte des Éditions POLE sur les presses de l'imprimerie Bialec à Nancy (54, France) Dépôt légal - Mars 201 S

angles L'angle est une des premières notions de géométrie que l'on rencontre. Pourtant, tout au long de la scolarité, on ne le définit jamais vraiment. On se contente le plus souvent de montrer le secteur formé par deux droites. Si cet objet géométrique très intuitif se laisse apparemment appréhender au premier coup d'œil, il n'est pas simple de répondre aux questions: « Qui est-il, à quoi sert-il?» Ce n'est pas un hasard s'il a fallu des siècles pour montrer que la trisection de l'angle n'est pas réalisable à la règle et au compas, ou pour maîtriser la perspective. Quant à la définition donnée par les « maths modernes » dans les années 1970, elle a laissé pantois plus d'un élève (et d'un enseignant). Alors pour répondre enfin à ces questions profondes, Tangente a mobilisé sa rédaction: vulgarisateurs, enseignants, chercheurs, géomètres, historiens vont éclairer le lecteur sur ce concept qui semble aller de soi. Pour la première fois dans l'histoire du livre, une équipe d'auteurs propose d'examiner la notion d'angle ... sous tous les angles ! i;DITIONS.

P rix : 19 ,80 €

POLE

(Bibliothèque Tangente HS 53) Collectif-Les angles sous tous les angles _ Deux mille ans de géométrie-POLE (2015)

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