Bâtiment & Gén i e
ecacu Jacques LAMIRAULT
~
Maitre de conférences
École centrale de Nantes
13
w indow• lnt• rn•tExplo•••
Henri RENAUD
_;.,,i;Ju...:....... ~,o-jp.J~
L
OK
J
Département Génie civil
t-FOUCHER
3 1 rue de Fleurus 75278 Paris Cedex 06
Agrégé de Génie civil IUFM de Nantes
1
2
3
Calcul du béton a r mé aux états limites . ..... ... ...... .... .. .. ... .... ... .. . .. ..... ..... .... ...... .... ......
S
1. Notions d'états Limites ... ..... .. ... ......... ........... ...... ... .. ..... .. ... ..................................... 2. É ta ts limi tes ul times el étals limites ùe serv ice .... ...... .... ...... .. ........ .. ....... . ..... .... ...... 3. Princ ipes généraux des j ustifications .......... .... ... .. . .... ... .. ...... . ......... .... .. .. .. .. .. ......... . 4. E.L. U. ou E.L.S .? ............. .... .. ..... ................. .. :.. ..... .... ..... .. .... ...... .......... ........ .. .... .
5
F ormulaire des poutres .... .... .... .. .. .. .. .. .... ..... .. .... ... .. . .. ... .. ... .. .. .. .. .. . .. . .. ....... ... .. ... .. ...... 1. Notati ons et co nventions du form ulaire des poutre s .. .......... ........... .... ...... ...............
7 7
2. Formulaire des poutres .. .. .. .. . ....... ... .. ... .... ... .... ..... . .... ..... ... ... ... ........ ..... ..... ... .. .. ... ... 3. Mode d'utilisation du fo rmulaire . .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. . .... ... ... .. .. ... .. ... .. ... .. .. . .. ... .. .. .
12
Car actéristiques géométriques d es s ections ........ ........... ..... .. ........ ..... ... .. ....... ..... ....
15
Moment statique (rappels) .. .. .. .... . . ..... ... .. . ... .. . .. .. ... .. . .. .. .. ... . .. .. .. ... ... .. .. ... .. ... . ... . .... . Moment quadratique (rappels) ..... ... ..... ... ..... .. .... ..... .. ............. ..... ............. ..... ... ... . Tableau des caractéris ti ques des sections cou rante s .... ..... .. . ... .... .. . .. .. ... .. . ....... .. .... .. Section en fo rme de Té ... .......... .. ... .. ... .. ..... .. .. . .. .. ... .. . .. .... ... ... .. .. ... .. .. ... .... . .. .. ...... ... 5. Application aux sections co urantes de béton armé ....... .... . .. .. ..... ... .... ... .. ..... ... .. .. ... .
15 16 17 18
19
Actions permanentes et variables .. .. .. . .. . .. .. .. ... ... .. .. ... ... .. . . .. . .. . .. .. .. . .. .... ... .. ... ... . . .. .. ... . 1. Nature des act io ns ... .. ...................................................................... ..... ..... ........... 2. Évaluation de s ch arges per manentes ................. .................... ................. .. .......... ... 3. F.valuation des charges d'exp loitation ....... .......... ............ .. ............ ...... ......... ..... ....
23 23 24 25
4. App lication: calc ul d 'une descente de charges ................... .... ........ .. .. .. .. ....... ..... ... .
26
Ca lcul d es sollicitations .. ........................... ....... .. ... .................. ........... ............ ...... ... 1. Pri ncipe ..... ..... ... .... ..... ............ ..... .......... ....... ... .......... .. ...... .................. ........ ..... ... 2. Combinaisons d'actions .... .... . .. ... ..... ..... ..... ............ ... . ..... .... ... ... .... ... ............ ...... ... 3. Applications .... . ... .. ... .. .. ..... ... .. ... ... .. .. .. . .. ..... ... ....... ..... .. ... .. ..... ... .. .... ....... ........ ......
29 29 30 31
Bétons et acie rs : caractéristiques . ... ..... .. .. .. ..... .. ..... .. . .. .... .. .. .. .. ... ... ..... .. .. .. .... . .. .. . .. . .
35
1. Les bétons .... .. .. ... .. ... .. ... .. .. . .. .. ... .. . .. .. .. . .. .. . .. .. ... .. . .. .. .. . .. .. ... .. .. ... ..... ..... .. .. . .. . .. .. .. . .. . 2. Les ac iers ...... ... ..... ..... ..... .. ... .. ... .. ....................... .. ....... .. ....... .'.... .... .... ..... .. ... ....... .
35 38
Déformations et contraintes de caJcu J ...... .... .... ..... .. ... ..... .... .. ... . ................ ..... ... ... ... 1. Etat limite de résistance .... . ........... ....... .. .. ... .. ... .. .. .. ...... .. .. . .. ... ..... .. .......................
41
2. État limite de service . .. ... .. ... .. .. ... .. ..... .. ... ..... .. .. . .. ... .. .. . .. ... .. .. ... .... . .. .. ... .. .. . .. .. .. . .. . .. .
47
SemelJes d e fondations . .. .. . .. ... .. .. .. . .. ... .. .. ... .. ..... .. ... .. . .. .. . .. .. ... .. .. ..... . .. .. ... .. .. . .... . .. .. . .. .
51
1. Sollicitations de calcul .. .. .. .... .... .. .. ....... .. ... .. ..... ... . .. .. ........... .. ... .. ... .. ... .. ... .... ... ... ...
51
2. Pré dimensionneme nt des seme ll es .. ... .. . .. .. .... .... ... . .. .... ..... .... ..... ... .... ... .. ..... ... .. ...... 3. Détermination des aciers tendus ......... .................. .. ........ ..... ..... .......... .. ................ 4. Tableau d 'arrê t pratique des barre s des semelles e t attentes ..... .. . .... ... .... ...... ..... ... .. .
52 54 56
l. 2. 3. 4. 4
5
6
7
8
9
5
6 6
8
41
Poteaux : compression centrée .. .. ... .. .. .. .. .. ........ ... .. ... .. .. ... .. ... .. ..... ... .. ............. .... ... ...
59
1. Notationsetrappels ...... ... .. ....... ... ..... .. ... ................. .. ..... .. ..... ... .. ..... .. ... ..... .. ... .. .... 2. Hypor.hèses ci 'études ...... ... ... .... ... ... .. .... ...... .. .. ....... . ..... .... ... .... ... .......... .. ........ .. .... ..
59
3. Calcul des armature s lon gitudinales .. . ... ..... .. .. ........ .. ... .... ... .... .. . ... .. ..... .. .. ... .. ..... .. .. 4. Disposi tions constructives .. . .. .. .. ..... ..... .. ........ .......... ......... ..... ..... ..... .. ........ .. ......... S. Application ... .. .. . .. .. .. ... .. ... .. . .. ..... .. ..... .. . .. .. .. . .. .. ... ... .. .. ... .. .. ... .. .... .... .. .. ... ..... .. ... .. .. . .
60 60 6J 65
ISBN 2-216-01646-2 Toute représentation , :raduction , adaptation ou reproduction . même partielle, par :ou procédés . cr. tous pays. :-aite sans autorisation p1~Jaùk,
eM illidte el expDser ai < le cuntrcvcnant à des poursuites judiciaires (Réf. Loi du 11 ma:s 1957)
©Le~ Éui!Îl!llS FOUCHER ' Paris 1993
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OK
&J
10 Tirants: traction simple ...................... ................................ ....... ....... .. .... ............... . 1. 2. 3. 4.
Hypothèses d'études ................... ...... ............... ........... ...... ................. .................. . Conlrainte& de calcu l ........................ ........................ ............................ .. .. ... .. .... .. . .Détermination des seclions d 'armatures Dispositions réglementaires minimales ........... .. .. ................. ................. .......... ..... .
67 67 67 67 68
11 E.L.ll.R.: flexion simple .................... ............................................. .................. ...... .
73
1. Hypothèses d'études ........ ............... ............................................... ........... ... .... .... . 2. Contraintes de calcul ....... ............. ................................................. ............... ... ... .. 3. Combinaisons ............... ............... ................. .............. ................ ................. ...... .. 4. Calcul ùe sullicila.tiuns ................. .... ............. ... .............. ............................ .... ..... . 5. Conditions d'équilibre d'une section rectangu laire ............. ............................... .... . 6. l\1oment critique ultime ...... .... ...... ................ ............ ................... ......... .. .. .. ... ...... . 7 . l\1oment critique réduit .. ............... ....... ............. ....................... ...... .................... .. . 8. Calcul des armatures lungilu
73 73 74 74 74 77 77
78
12 E.L.S.: flexion simple ....... .............................................. ................... .............. ....... . 1. 1-Iypothèses d'études ........... ........... ............ ... ....................................................... . 2. Contraintes de calcul .................. ............... ... ............... ................ .. ...................... .
83 83
3. Combinaisons d'actions .... ...... ...... .. ........... ................. ....... ............ ...................... . 4 . Calcul des sollicitations ....... ...... ................. ................................ ........................ . 5. Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire .......................... ............. ......... .
84
6. I\1oment limite de service ............................ ....... ........ ............. ... .. ........ ............... .
83 84
84 88
7. Moment limite réduit de service ............................................ .... .............. .. ........ .. 8. Calcul des armatures longitudinales tendues ........................................................ .
88
13 Vérification des sectio n~ ............................... ................................ .. ...................... .. .
95
1. Hypothèses de calcu l .... ............. .. ............ .... ........... .............................. .. .... ....... ... 2. Caractéristiques géométriques ..................... .............................. ... .......... .. ........... . 3. Expression de la contrainte normale au niveau d'une fibre ....... ............................. .
96
14 Liaisons béton - acier .... ............. ................. .... .......... ... .. .. ........ .. .................. ......... .. 1. Contrainte d'adhérence ............. ..... .......... ..... ........... .. ............... .. .... ........... ...... .... .
103
2. Ancrage des aciers .. ... ..................... .... .. ...................... .......... .............................. . 3. Entraînement des barœs isolées ou en pcu.iuel ............. .............. ........................... ..
15 Effort tranchant: justifications et dispositions constructives ............................... ..
89
96
97 103 103 108
1. Contrainte tangente conventionnelle ......................................... ................ ........... .
111 111
2. Contrajnle iangt!nl~
11 L.
li 1 ni l~
uitiuie .......... ................. .................................. ... .. ...... .
1 1 "'I
3. Armatures d'une poutre ........ ............... .... .................................. ...................... .. ... 4. Dispositions constructives minimales ..... .... .. ........ .. .. ............. ... .. ......................... . 5. Effort tranchant réduit au voisinage d'un appui .................................................... .
113 114
6. Justifications aux appuis .. .... ... ............................................................................ . 7. Cas des dalles .................. ..................... ... .............. .................. .......... ... .. ......... ... .
116 117
16 Micro-projet Bâtiment .............................................. .............................. ............... .
120
1. Étude demandée ..... .............. ..... .............................. ............. ............... ... .............. . 2. Valeurs caractéristiques e t valeurs de calcul des matériaux. .... ......... ..... ................. . 3. Calcul des éléments porteurs ................. ... ................................................... .. ..... .. 4. Calcul des panneaux. de dalles rectangulaires sous chargement modéré uniforme ..................................... .................. ............... ..
120
Annexe 1 Annexe 2 Annexe 3 Annexe 4 Annexe 5
115
121
122 129
Caractéristiques des aciers ................................................................. ......... .. Contraintes limites des maté,riaux à l'E.L.S ..... ........................................ .. .. .. .
135
Moments critiques réduits ................................ ........................................... ..
137
Tahleau x de calcul à l'E. L. U .R ....................... .............. ........ ........ .. ............... .
138
Tableau x de calcul à l'E. L.S .................................. ...... .. ............................. .. ..
140
136
r
Calc1d 41 b:ét1a amê a,u états lillit.es .
.
n ,
Les ouvragé,~ e n béton armé sbn t calculés en re spec tant les r~glements, normes el pocu men~s Techn~qÛes Unifié~ (D.T.CJ..) en . . v1guènr.
..
... .
..
~
,,
rflDCtpt.S g.e.a.eraux
. ...
Le B.A.E.L. (Règlement .Béton Aimé aux États Lim!tes) presënt les règles techniques de: ~ · - cow;eption ' . ' ' .::::çaJèuJ des différents ouvrages de ·f ast1l1c Ltfre:. ifA., ... - justifications (véri fi cations diverses et dispositions constructives minimale;;).· Le _présent çhap itre .a ·pour objet famil.ü1fiser -le 1e~teur aLt~ nu- . tions d'états.limites . bases d'éfàboratfoil ëlu t ègleine,nt B .A;E .L. 9 l. .
de
~
~ Notions d'états limites
(B.A.E.L. Al >
• Dans le domaine des constructions, un état limite est celui qui satis- . fait strictement aux conditions prévu es sous l'effel ùes actions (forces, moments ou couples) qui ag issent sur Ja construction ou l'un de ses élémenls) .
• Quelles sont ces conditions ? Citons : la stabilité, la résistance , la durabilité, Jes d éform a tions n on nuisibles pour satisfaire les fonctions techniques
œ.
États limites ultimes et états limites de service
Il est nécessaire. de bien différencier ces deux états qu i sont à considérer dans tous les calculs B.A. soi t directement , soit implici tement pour l' un des états. , Etats Limites Ultimes (E.L.U.) États Limites de Services (E. L. S.) On distingue : On distingue: • État limite d'équilibre statique • État limite de com p ression du béton ---+ Stabilité des constructions ~ Contraime de compression bornée par le règle(non glissement, non renversement) . ment B. A. E. L. • État limite ultime de résistance (~ymbule E.L.U.R.) • État limite de déformation _. Limitation des désordres. ---+ Capacité pon ante qui dépend des matériaux constitutifs (non rupture par écrasement ou par Exemple : .fièche des planchers limitée pour réduire allongement ex.œssif). les désordres de fi ssu ration des r.loisons ou de~ revêtement5 .w:ellés. • État limite de stabilité de forme (symhole E.I .. U.S.F. ) -+ Pas d'instabilité. • État Jimite d'ouverture de fissures ~ Durabil ité des ouvrages. Exemple: pour un poteau B.A., non-risque de flambe ment. NB. Ils concernent !a capacité portante et !a Limitation des risques de ruine de luus ordres .
Exemple: non-corrosion des aciers. NB. Ils <:onfnn.eur les conditions d'utilisation. des ouvrages et la durabilité.
Calcul d u béton armé aux états iimltes
5
3.;
Principes généraux des justifications
Ils s'appliquent essentiellement pour: • la sécurité des ouvrages, par util is arion de coeffic ients de sécurité: - coefficient de majoration pour les valeurs nominales des actions (charges permanentes, c harges d'exploitation, etc. ); - coefficienl de minoration pour les contraintes de calcul béton et acier ;
• les
combimd~ons
d'actions dans un état limite donné: à l'R.L.S. *
à l'E.L.U. *
1,35 G + 1,50 QB G: charges permanentes Q8 : charges d'exploitation
Remarque: les combinaisons déterminent les sollicitations les plus défavorables, comme par exemple dans le 1:1H des poutrP.s uvec porte-à-faux ou les cas de chargement des poutres continues.
*en général.
Les calculs ju st ifi c~ tif~ concernent à la fois: - les états limites ultimes E.L.U., - les états limites de service E.L.S. Par exemple, pour la déte rmination des sections d'acier:
Calcul à l'E.L.U.R.
Calcul à l'E.L.S.
Notations Mu
Choix de la section
Î
d'acier
Si. A.su < Aser' on retient A,er
Si Asu > A3er, on retient Asu
4. ,._
moment de flexion à l'état limite ultime. Ms'!.r moment de Oe.üon à l'état limi te de service . A su section théorique d'armature à l'E.L.U. 1\ser section théorique d'armature à l'E.L.S.
E.L.U. ou E.L.S. ?
Indiquer, dans les différents cas ci-dessous, quel l:'.st l 'état limite à considérer.
a. Ét1u ilihre d'un mur de soutènement Rxemple: stabilité au renversement
b. Cas de fissuration Lrès préjudiciable Exemple: limilatiun des contraintes de traction. des aciers c. Cas de limitation de flèche Exemple: f < L/ 500 si la longueur L < 5,00 m. d. Équilibre d'un poteau élancé (faible section , grande hauteur) e. Contrninte:: de compression du béton impos6e
6
B.A . Guide de calcul
Réponse a b c d e
E.L.U. équilibre statique E.L.S. E.L.S. E.L. U.S.F. E.L.S.
Formulaire clts poutres But Déterminer la valeur nurnétjque des sollicitations telles que : - actions aux appuis, . - effort tranchant, en particuljer au voisinage des appuis, - moment de flexion, en particulier Mf mnx: Démarche proposée • Définir les liaisons mécaniques de la poutre (types d'appuis). • Déter mi ner le (ou les ) cas de charge (charges unifor mes , réparties, concentrées , etc .). • Effectuer le schéma mécanique de la poutre chargée. • Décoder et sélectionner' dans le formulaire le (ou les) cas de chargement correspondant. • Choisir et utiliser les formules adéquat~ en appliquant , s'il y a lieu, le principe de superposition des états d'équilibre .
.~
Wondow1 lnttrntl hplom
[
El
OK ~
NB. Le Jmn11tlu i1t~ c:i-uprès est limiré à quelques cas courants pour familiari.w-!r /p lt>r'tf>ur ;, .wn 111i/ismio11 .
Notations et conventions du formulaire des poutres
Notati ons (figure 1)
Conventions (figure 2)
A B
( l ) Charge répartie uniforme
Appui de gauche } , Appui de rtrnite Travee /18 x' x Ligne moyenne continue représentative des centres de surface des sections le long de la poutre Intensité de la charge uni fo rmément répartie par q mètre de poutre p Charge concentrée C, D Points d'application de la charge P a D i st~ce de la charge com:emr~e à l'appui considéré R,... R0 Actions ùes appuis A ei B sur la poutre AB VA, VB Efforts tranchanrs aux appuis A e l B X Ahscisse d'une ection courante Abscisse où s'exerce le moment maximal M0 dans XO la travée AB Moment de flexion dans une section d'abscisse x Moment maximal de flexion en travée p
(2) Charge concentrée (3) Couple de flexion Types d'appuis : ( 4) simples ou libres ( 5) articulations (6) enca~trement à une seule extrémité (7) encastrement à chaque extrémité (8) Poutre continue (à plusieurs travées ) Représentation des moments de flexion : diagramme disposé du côté de la fibre tendue de la poutre pour lever toute équivoque quant à la disposition des aciers de traction Représentation des efforts tranchants : VA-RA et V8 =- R8 dans le cas d'une poutre à une seule travée AB
Char ::s corcentrées
q
p
CD Rl llll llll ll lll lll
t
©L © ©LA ©()A
Poutre sur appui simple
1\
C0
Schéma du cas de charge
(?)~ A
,Fig. 2 ·~
>
~
•
Sché mas de représentation
® /\A
,/~ BO
a~
© . JJ'ig . 1
6
z 8
B~ LiC
• Poutres sur deux appuis simples Cas de charge
Effort tranchant
~·
q!m 1
1111111
TA
[?---<:
ll ll l ll ll l l ll IJ
B~
~·
f RA = ql
r
1' li
b
t
2
A
qL
L pour xo = 2
Flèche
f = 384 . El· puur x
L
=-
2
M (x) = - (L - x) 2
B
-
1
qL4
5
qx
1
A . 8 ~~
=b =~
2
p
RA = 2
P·L
Mo= -
V_=- RB CB
V_ signifie V entre A et C AC
Charge concentrée P
1
Si a
AC
· \1_
=S
M0
- qx
V_ =RA
L
i'
X
1
2
P· a Re = -
'
- B ~ A 8
le
+
1
~ B
c
A
=
ql . ..ql VA= VB = 2 2 , qL2 \l(x) = -
Observations
L
'
Charge uniformément répartie a
==Jj
t f
l
A
Rn= RA
2
Moment de flexion
P·a·b
M0 =
pour x0
=a
l
signifie V entre Cet B
4 3 PL f=48El
CB
Charge uniformément
répartie p Jm2 sur un trapèze
S = aire du trapèze
3
RA =
~ (L -a)
Rn =R A
0
v,., = ~ - RA
Charge en trapèze régulier
VB
=- RB
Mo
= -q[L- - -a 2
4
~ts'- i·lt ~A
_, ..4 > 'i
•
s6
l
~
A
1.
_
"'-..
RA =
4
RB = R A
Charge répartie (triangle isocèle)
l
B
--.J
1
ql
Tl
YA
=
R
H
A
vrx) = -qL
.
4
l
-
YB -
[ 1-4 -x~
L2
[L4 - 3 2
2
2
.,
s
Q1 = p·
avec Q= q (L - a )
-
R
3
]
pour x0
' L
j'
~
A'\_
=-L2
r A
/
""
!]
2
M0
=-qL12
pour x 0
, Mo
Q1
a-;. ]
=2(L -a)
Avec P =qL : p
2
R,1 =2 =RB
PL
. • ' /
~
B
pour .X::::; -L 2
2
.M o=6
=2-L
V= 0 pour x
=~ 2
q·L
AvecP= - 2
2
qL RA= . 6
ql
R11 = -
3 Charge à répartition variable
8
B.A. Guide de calcul
M (x) =
Rs =- p 3
qLx[ 1- (·xL)2]
6
qL2 M 0 = -· -
9{3
pour
L Xo = -:
../3
2PL Mo = --r: 9y 3
Etfort tranchant
Cas de charge
,, a J.
A R ,\ =q
(L+ 2a)
~
~B
VdA
VdB
2 L
---î
.'\Î+- - -'f'"'- ,
(l
L
1
L
vd11 =P ..
= - I'
1·
V à droite deA
~ 1
Moment constant de.1 à li
a
M0 =- P·a •I
L
f
a
Sens des actions aux appuis:
[+]
Alr-----_----+-J. .B._
H
vdA :
B
.' \
AB
+
,
(1 t
v_.=o
1
2 . ' - 4a ) à rm-portce
MA = Ms = - q-
B
rtf'
•
2
B
a-
= qa
·~
A++---'L~î 8 v 11 A
=-q l'L 8
Cf]
RA =I' Rll =P Charges concentrées sur porte-à-faux
L
signifie: effort tranchant immédiatement à gauche de la section située en A V !I A
2
HP
p~
Mo
,_
=-
Observations
i"T==1: i A
Vg n = - -')
qL
Charges uniformément réparties
r
ql
V3 A = - qa
2
.~ c.
L
I~
Moment de flexion
_,
RA: vers le bas
R8 : vers le haut
p . a R _ P (L+a) RA= - - /) - - - - 1 L L
V _= R A
Charge concentrée sur 1 pone-à-faux
lvl 0 = M 8 = - P · a
AB
Poutre encastrée à chaque extrémité Cas de charge · qlm
1
1 111 1 1 111 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 ~ 11 111111 11 11 11 1 11 11 ~
V, A
-.
JJ
L
Charge uniformément répartie
,,
ù2
R A= P/2
--:::::=]
t
L
l
R s -- -qL 2
RA=2
<
A
1
qL
t: ·J
VA = H. A
l'
)
U2
+
l
RB= P/2 Charge concentrée ? en L/2
Obse.r vations
1
[.
1
9
Momenl de flexion
Etl'oJZt tranchant .
"'..i
=P/2
Vs =-Rfl
'
<
t:
-
Va - - I' /2
l/;I
A
}
Pour .x0 = L/2 : V - \) "
~/
8
qL2
Mo= 24 ~·
qL2 MA= - 12
qL2
Mn = - -
12
P:~1 MA=
PL -
8
qL4
Flèche = - 384EJ
Pour x 0 = L/2 : V= 0
PL
Mo- -
8
PL
Mn = - -
8
Formulaire des poutres
9
Cas de charge
f lJ:,,,.
1
R,4 = P R8 = P Deux charges concenlrét:1> P
"
~~:t_'
---+.'o.i ·J
l
,,___
1
VA = R A V8 = - R8 V en = 0
.
P a(L - a)
MA=-
L
=M
B
'~ ': 1 ----~ ~\;/74 l'
2
V _ Pa ( 3L- 2a)
Charge conœnlr ée P
o-
L
V
V=O 1
1
2Pn (L-a)
I' 2 M ,.. =- P a(L_ a) a
~
M o=
L'
U
2
V _ P(L - a)2(L + 2a) i\ -
Pour x 0 =a :
f ,3
.llvfB
-= -
Pa (L-a)
L2
Poutre encastrée à une extrémité et sur appui libre à l'autre Cos de charge
Jl~ l ll l l l l l lll l l l l l l l lll ~ ,p--~ t qlm
'I
13....
1 1
~
~
8
----~
.Ir
L
J
3L/4
~
.
1
M n= - -
R o = - qL
V(x) = RA -
8
Charge uniformément répartie
VA= RA
qx Vo =-Rn
M o= -
9
128
~
1
AE
f
L/2
1
fJ'}
5 VA... =R A= -16 P
=-3L 8
J Püur xo =L/2 : 5 ,'vfo = Pl
16
/ ·1 ,~ / ~r
Charge concentrée P
B.A. Guide de calcul
32
3 M o - - - PL
11
VB --RB = - P 16
10
r
8 4
IAL~~~I ·~ 4.--L-:2 -1---R
L
3 Xe=
8
~·
-i-
Charge concenLTée en
.. qT: pour x 0
1 ,,.,
L /'
pour
ql2
s
3
= SqT.
\1 =0
3 M - 0 pour x = - L
~
L
1
R,,
~ 1.4'>
Obser vations
- ,1?=+-J~,
lt -_ L- - - -
L
1. .1
Moment d e flexion
Effort tr anchant
Pour x 0 = a : 8
Pa(L 2 - a 2 )
M , - 0 M a=- -
"
- --
2L1
=Pa(L-a)2 (2L+ u)
M
o
2L~
Poutres en console Effort trancha.ut
. Observations
Momel)t de tlcxion
Flèche en A : . qL4 .f = 8EI
q/m
p
V(x)
2
b
·i
1
R8 = P Charge concentrée
"
Poutres continues
.
2
~~~
L
c
L
1 ·
= - px
b A
i
qL2 x2 M8 = - M (x) = - q-
V9 = - qL
Rn= ql .
1Charge un.iforméme111 répartie
A
,(
Flèche en C : Pb3 f = JE/
b
Flèche en A : P b2
VA =Ü
f=-
Ms = - Pb
Vrn = - P
6EI
(cas simples) Cnargé uniformémenl répat1ie
M2 =- 0,125qL2 qlm
18
M 3 =0
1
+--
L
R1 = 0,375ql
. Moments en travée ~
Moment sur appuis
M 1_ 2 =0,070qU
Actions des appuis
M2
qlm
1 ..--r,..,..,..,.. 111 .,..,..,.. 111 -.,, , ----. 1 , 1-,-,111 ~ 111-11111111~1 11~ 111~ 11 1 ~ 11 1
!
(?iL-/J)
~
11 T"T-r-1 11.--.-.-111 1111 ,..,..,..,
T i TT'
2
6 3
- - - L-----><'-., R_1 =0,375qL
R2 = 1,250ql
~
3=
0,070qL2
Cas tlt: deux travées
M3 = - 0,1 00ql2 q111:
qln:
li
q/111
li ,111111 11 11111111 11 1111 1wi 11~1,~ 1 , 1~ 1 1 11 1 11 1 1111 1 11 1 11111111111111111 1 11
il
1
...,
L
2
.3
L
1 1
L
r
r • 1, r 11
u
t..4
M2 _ 3 = 0.025ql 2
L
1
R1 =0,400ql R2= 1, l OOqL_ c _as_d_c-tro-is_t_ rn_v:_:s_=_l_ , l-OO-qL_ __ _ R _4_=_0_,4_ 00_q_L__,'-M - ,_-_4_= _0,-0S : J
Formulaire des poutres
11
3
Mode d'utilisation du formulaire 1 :r.~:ut~1 Poutre sur deux appuis
~11;,,,,,::;:sa """· ~-~'. .. •·w-.. -~ .. ~••u:::= ~ - •••
~
charge permanente
I
,....... .... '"'I°
Fig. l
~ Fig. 4
Schéma perspectif de la poutre
..
/
drn rge. d'exploitation
:
Poutre sur deux appuis
;f~ ; ~
Données • Appuis simples aux extrémi tés • Section de pou tre : 20 cm x 50 cm • Portée entre appu is : 8,00 m • Charge d'ex plo itation unifonnémt::nl répartie : 12 000 ~lm ou 12 kN ou 0,0 12 M N Hypothèses de fonctionnement à l'E.L.U.R. Combinaison d'action G charge perrnaneme QB : charge d'exploitation 1,35 G + 1,5 QR
Déterminer : - Les action aux appu is RA, R8 ; - les efforts tran.chan ls VA, V8 e t V(x) pour déterminer les cadres et étriers; - les monu:nts de ff.exion M 0 d M(x) pour déterminer les sections d'acier tendu .
:, 2
, Poutre sur appuis libres
.... ... . "'~·~ ~
" Données • Section de poutœ B.A. 15cmx50cm • Portée entre appuis 6,00 m • Charge
porlée. ~ Déterminer les valeurs numériques de VA et dP M.0 ""' ...~.~ pour un calcul de la section d'ar.ier à /'EL U.R.
12
B.A. Guide de calcul
Réponse: application directe clu formulaire • Charge permanente p ar mètre de poutre
0,20 X 0,50 X 25 _000 =2 500 N/m
+
• Combinaison de charge ( 1,35 G l ,5QR) J ,35 X 2 500 + 1,5 X 12 000 = 21 375 l\/m • Utilisation du fo rmulaire: cas n° 1 RA = R8 = qU2 = 85 500 1\
= 85 500 N et V8 =- 85 500 N V(x)=qU2-qx = 85500 - 2l 375x pour x = 1 m ---* V( l ) = 64 125 N pour x =2 m --? V(2) 42 750 N pour x = 4 m --? V( 4) = 0 VA
=
L2 M 0 = q - - l7 1 000N m
8 . 213ï5 Mcx) . . = - 2 - · x · (8 -x)
pour x= l m -7 M( I ) = 74812Nm pour x =2 m ---* M(2) = 128 250 Nm
Réponse: application dv prindpe de superposition Nature des charges
Formulaire
Charge perma nente uniformément répartie qui - 1,35 X l 875 =2 531 N/m • Effort tranchant à l'
Ca! n(. l
.
,
VA = 2 53 l
6 , OO X -
=7
_
)9~
2 • Moment de flexion à mi-portée
Ve -q2 L1
Mo :;;: q-
8
8
Application du principe de s uperposition
Charges d'exploit<:ttion • Charge répartie en triangle isocèle
qû
= 1. 5
\l
= 13 500 x 6'4OO
M0
6,00 = 13 500 x - :;;: 12
.1\
X
9 000
poutre 0, 15 x 0.50 x 1,00 x 25 000 = 1 875 Nm
L
N
6,002 -=1 1 390Nm
M 0 =2 531 x -
Charge pennanente: poids propre par mètre de
Sommation de ré ultals partiels ci-contrt:
= 13 50() N
VA
= 20 250 N
,w0 = 11 390 + 40 500 + 45 000 = 96 890 ~m
= 7 593 + 2 0 250 + 15 000 =42 843 J\
7
40 500 N rn
Pi. = 1,5
3.
Pu 2
V/\
-
Mo
= Pu - L 4
p
= 30 000 N
:;;:
15 000 N
, x 0 étant egal a'
Cas n° 2
• Charge co11<.:èlllrée
(
'')
2"
Lru
Wmdows lnt•rntt E>q>lor•r
=
45 000 N m
· Poutre encastrée à ses deux extrémités
Calculer les moments d'enrnstrement sur appuis et le moment maximal en travée à l'E.L UR.
Réponse p
p
Combinaison d'action: 1,35 G
l.5 Qn
• Charges uniformément réparties p .m. qu= 1,35 X 2 750 + 1,5 X 18 000 =3U 712 Nfm 7,00
Fig. 6
Poutre encdstrée à ses deux extrémités
Données Section: 20 cm x 55 cm; portée: 7,00 m La poutre supporte en char{?es d'exploitation: - deux charges concentrées de même intensité, P = 26 000 N , situées chw.:une à 1,25 m de chaque extrémi1é.: - une charge d'exploita1io11 tmifnrmh11e111 répartie de 18 000 ~lm .
Formuluire: <.:~ 11° 9 ~ MA =M8 = - 125 409 ]'\ m
M0 = + 62 705 Nm • Charges concentrées d 'exploitation Pu - 1,5 X 26 000 = 39 000 N Fnrmulaire · ca ne 11 ----?
MA= M 0 M0
=- 40 045 Nm
=+ 8 705 Nm
• Effet total des charges réparties et concentrées MA= M 8 =-165 454 Nrn M0 =+ 7 l 410Nmpourx0 =
L
2
Formulaire des poutres
13
Bu~
Déterminer, pbur·une ~ èction dqnnée d'un, ~JémenL D§chi•ou c9 ~npti mé, les caractéristiques géométriques qui servent à 'étudier, par la suite, l'équilibre d'une section B.A. sous l'effet des so1licitations. 1 Moment statique (symbole. lt·15 J li sert à trouver le centre de gravité (C.d .G.) d'une surface donnée (S). par rapport à un axe situé nans son plan. Dans le cas qµ béton arm6, l'équation dite"du « Moment statique » permet de trouver la position de la fibre neutre d'une section .. ( axe.Gx, '
passant par le centre de gravité (j). : La distance de l a fibre neutre à la fibre la plus comprim~e de la section permet de calêUler le moment quadratique par rapport.à l'axe Gx. 2 Moment quadratique (symbole / axe con~déré)
Il intervient dans le c.:alcul des: - êontraintes de.compression du1béton t!l'Lle'traction 'des aciers dâns une section de béton armé soumise à un moment dê flexion ; - contraintes de cisaillement dues à l'effort tranchant; - déforma~ons (exemp.l es: flèche. des éléments) . .,..
Moment statique
(rappels)
Théorème Le moment statique d'une surface plane par rapport à un axe passant dans son plan est égal au produit
Cnités usuelles Aire totale S .......................... cm2, Ordonnée y ........... :.............. ·cm: Abscisse x .. .. ..... ... .... .. .. .. ... .. cm Moment statique M8 ............ cmJ
MI y s Ox=S · ·C M~ I Oy= s. x0
Propriétés Si l'axe Ox passe par le centre de gravité ~ Ms I Ox =0 Si l'axe Oy passe par lt! centre de gravité ~ M~ / Oy = 0
Principe de calcul pour une section homogène Prenons une section en Té pour servir d'exemple: Aire élémentaire
Distance du C.D.G. à l'axe Ox
yt Produit A1·Y1 A2. Y2 A3. Y3
(A~) ,_,
...
'
'.' 1 ,. \ ~ 1.'·
C'
6)-
Ms I Ox
= L Ai · Y;
On en déduit Yc
= S · Yc
Ox = -Ms/--
S
Y3 ' ' '
•
®)
/~ '
' ~'
'
Y2
.. ,
'
Y1
0
Caractéristiques géométriques des sections
X
15
~
Moment quadratique
(rappels)
Définition Le moment quadrnlique d'un élément de surface plane par rapport à un axe Ox, situé dans son plan, est égal au produit de l'aire ds de cet élément par le carré de sa distance à l'axe con~idéré Ox. Le moment quadratique de la surface plane S contenant tous les élément~ d'aire ds, par rapport à l'axe Ox, e5t égal à la sum me des moments quadratiques élémentaires: y m.ax
f
l ox =-
y2
ds
>mm
y
y
Méthode de calcul Traitons un exemple simple, Je cas de la section rectangulaire • Calculons le mument quadratique pM rapport à J'axe Ox • Soit un élé1mmL de surface d'aire ds =b · dy Sa distance à l'axe Ox est y qui varie entre 0 eth .
J;
11
f ox =
J0
dy -
h
1
y2 ds -
/
.
y
'-"
'
-
(J
X 1
Yc;
b ·dy
î
( 1)
Remarque: on obtient de m&me
h . b3
I 0 »= -
-
3
Théorème de Huyghens Le moment quadratique
Application à la section rectangulaire pour détermin~r Iax TGX = I 0.A
-
S . Yc
2
(h"
2
bh; lcx= - b. h - 1 3 2;
16
B.A. Guide de calcul
(3)
Tableau des caractéristiques des sections courantes
tl. ....
Aire
Centre de gravité
Rectangle
Position de G
Forme de la section 1
' 1
G•
X
Moment quadratique Par rapport au C.d .G.: lx·x
..::::
A = b
bh
12
h
X
1
3
=-
Par rapport à la base:
i 1
=
I x·T.
Triongle
~h
\/ 2
1
b X h
=
A
2
f x·x
=
\; 1
h
-
=
J x 'x =
3
bh 3 3 bh
1
36 bh
3
12
~
J
b
,
<
Disque
X Q --
A
=
r:,D 2
4
2
Remarque: le rayon de giration est tel que: r ;;'x
=
f x·x ( momenc quadratique)
1
(j '
-+'
c
"""
1
'
J
16
L
-..·_,,,1
4
suit
Vl ' f GX ' / Ox .
Section
Il
=
640 cm 2
VI
=
20 cm cm 4
lax = 85 333 1ox = 341 333 cm4
Résultat'i A
EB3
-
,l
~
40
J
-
= f cx = VI
1ox =
6<10 cm 2
8 cm 13 653 cm 4 54 613 t:fll 4
L ' A
=
\! I
=
lax 1ox 'I
S'
Résultats
'
4
A (aire de la s ection)
- Calculer en utilisant le tableuu ci-dessus . - Masquer les résultats indiqués . - Contrôler les résultats obtenus. Section
'itl'
f x·x
=
=
640 cm 2 13,33 cm
56 889 cm 4 170 667 cm 4
A
=
VI
=
1cx =
640 cm 2 14,28 cm 32 659 cm 4
,~
Caractéristiques géométriques des sections
17
i~
w
Section en forme de Té
Établissons les formul es pour calculer Yc et 1(jx dans une se\:tjon homogène en Té dans le cas où yG > h0 . y
r
-
X
1\
-- -- -- --
ho
+
\ \
. I
-- --
I ,~\
I
t---f---1~ \
h
/ \
/ I
\
\
\
/
I
\
.,l 1g~ ~..lli..il"'"'"
Eig.3 :;".TII Calcul de >o
Distance du C.d.G . à l'axe Ox
-
b0 h"'"
-2-
-
2
S2
= (b
(b
+ S2
bu
\
l
'>
6 Calc ul de Icx
1GX = 11 + 1'2 + 13 l1 =
111 = bo· vl
bo
3
. V1
1
-
3
b0 ) h~
12 =
.4.2 = b . V2
..,...,
2 2
s = S1
\
..,
ho
- bo) ho
~~
Aires
Produit
h
Si - bo ·h
I
Calcul de i 6 x en fonction de v1 et de v2
Calcul dey 0 (ou v2)
Aires
I
b . V2
3
2
ho h + (h - b0 ) lz0 M 5 / Ox = 2
A3 = (b - b0) (v:< -ho) / 3 = (b
bo)
(v 1
h0 )
-
3 -
>-------
Yc =
3
2
~
bu h~ + (b - b0 ) ho 2S
l r;x =
= V2
NB. Choix de l'axe Ox passant par l'arrêre supérieure de la section.
v,
ho
3
b
b0 =20cm;
b=80cm;
B .•A. Guide de calcul
et
-
(b - b0 )
( v... - h0 ) "
NB. Choix de l'axe G.'J<· passant par IF. C.d..G. Les rectangles hachurés d 'aine wt11fr A1 sonr à df.rbi ire dans les caiculs .
h0 -18cm;
h=78cm.
L'application des formules ci-dessus donne: Yc; =26,73 cm
3
112
+ -3
Exemple numérique avec :
18
3
Iex= 1 394 443 cm4 .
3
3
-
Choix préalable d'un r~férentiel Ox, Oy . Choix de surfaces élémentaires. Détermination de Yc avec le moment statique. Utilisalion du zhéorème de Huyghens pour lcx ou I0 x .
Trapèze
Rectangle y
ol
0
\ I
b = 15 cm h =45 cm
'
1
1
1
'
'
1
1
VI
! 0 x =455 625 cm lcx = 113 906 cm4 4
=
1
1
!
h1 X.
b =50cm
! 0 X =683 438 cm I&x = 187 313 cm4
..__
X
b = 65cm h0 = 15 cm b 1 =22cm h =45cm h0 = 10 cm h 1 = 15 cm ''"'" ····:<'•'
4
ol
b1
h0 = 20cm h =45 cm h0 =12 cm
2lcm
1
1 '
01
"
t '
ho
.bo
b = 30cm h0 = 20 cm h = 45 cm
*- Réponses
y
1
'
y
Section en «I»
t
'
~
X
y
.X
1
h
Té
1
~~~ ~''"'"
27, 214 cm 10 x = 1 159 380 crn4
= 28, 105 cm 4 I u,~ = 1 267 667 cm
226 202 cm4
l r..; y = 256 606 cm4 "
VI
=
J
=
VI
Application aux sections courantes de béton armé Principes de calcul
(préliminaires indispensahles)
1° Le béton tendu est négligé dans les calculs du C.d.G. et de /G (sauf cas particuliers). 2° Le moment quadratique des aciers I A par rapport à l'axe passant par leur propre centre de gravité est également négligé. 3° La section d'acier est prise équivalente à une section fictive de
béton: coefficient d 'équivalence n pris égal à 15.
Remar4ues 1. La hauœur urile de la secrion. symbole d, est prise. égale à la distance enm? le Cd. G. des aciers tendus et la fibre la plils comprimée de la section . 2. R,7ppel: le mome111 srarique par rapport à un axe passant par le C.d.G. àe la section est nul
Exemple Section d'acier constituée par: 4 HA 14 + 4 HA 16 ~ Section totale As = 14,20 cm2 Section fictive équivalente en béton: A 5 x 15 Soit:
14, 20 cm2 x 15
=213 cm2
LM!GX=O s
4° La hauteur utile de la section (symbole d) est égale à la distance de la fibre la plus comprimée du béton au C.d .G. des aciers tendus.
( éauatwn du second de1:ré en Y dite du « Mom1-.nl su1lir/1JP. »j.
Caractéristiques géométriques des sections
î9
Cas d'une section rectangulaire (fig . 5) On veut calculer yG =Y et lvx·
Position de l'axe passant par le C.d .G. d
Aire élémentaire
Moment statique ,,
Distanœ algébrique du C.d .G. à l'axe GX
y -
S1 = b· y
2
r
I
b·
,1 s
n
- n · A 5 (d -
- (d - Y)
M s I GX = 0 ----;
-
b· r - -
2
S2 = n · As
X
G•
y2 - n · A ~ (d -
2
LJ
~'F'fi.5.
Y) = 0
·s2)
Section B.A. rectangulaire
Calcul de lax• par appl ication du théorème de Huyghens et en tenant compte des principes de calcul pour les sections B. A. :
y
b
b· y3 ~ . - n · As (d - ~) 1 3 d
Exemple numérique avec: b = 18 cm ; d = 45 <.:rn;
A = 8 04 s
'
··t
. Yc;
G
X
cm2
Par utilisation des deux forffiu les pré<.:é
I0 x= 122652cm4
Cas d 'une section en forme de Té (fig. 6)
.....:;~
Fig . 6
Éludions le cas où Y =y 0 > h 0 Remarque: Si Yc < h'J , il s'agit d'une !'-ection n::<.:Langulaire en raison de la zone de
.... lfil Section B.A. en Té
béton tendu , non prise en compte dans les calculs. ,
Moment quadratique
Equation du m oment statique Aire
Distance
Moment slatique
y
b· y 2
2
2
b. y
Aire
lcx
Expression de Tex 'l
h· y -
b · Y1
3
,.,
( b - ho ) ( Y - h0 )
(Y - ho)
(b- bo)
(Y - ho) '"
3
-(d-Y)
n · 11 5
fY - h0 )
(h-b0 ) (Y - ho)
2
- n·As(d- Y)
3
(h - bo) ,
1 n ·A s (d-Y) '
n·As
2
Total des valeurs algébriques:
-
b·Y
l
20
2
2
- (h - be)
( Y - h0 /·
- n · As (d - Y )
= 0
lcx
~~~~2~~~~~~~~~~-'-~-
B.A . Guide de calcul
bY ~
=-
3
- (b -
br1)
(Y - Jz0 )
3
3
-r
n · A~ (d - Y)
,
lixemple numérique: section en Té, en matériau homogène b=80 cm;
b0 =20cm ;
h0 = 12 cm;
d = 72 cm
L'application des· fon nules précédentes (p. 18) donne:
yG =1 7,708cm;
/Gx =772 197cm4
Section en Té
Sections rectangulairt!s
Réponse
Données b d
= 20cm
Yc,
=
f Gx =
334 964 cm4
b = 15 cm = 55 cm = 3HA16
Yc =
20, 42cm 1.50 731 cm4
d As
JGX
=
= 80 cm bo = 20cm ho = 12 cm d = 60cm
25,5 cm
= 6ü cm As = 4HA 20
Réponse
Données b
As =
y0
l vx
=
26.25 cm
= 1 202 897 cm4
l HA 20
+ 8 HA 25
totalisant 42, 4 lcm 2
Caractéri stiques géométriques des sections
21
But
ll s'agi.t.. de déterrrii ner )a·natutê. et l'intensité des différentes charg~s Oll actions qu i agissent sur une structure et en particul ier sur l'un de ses élémenLs (exem plts: poteau , po,ytrc., pfanche,F, fondation, etc.). ' Démarche proposé' • Analyser les actions permane.ntcs ,c t variables pour les combinaisons .,.. de charges à l'E.L.U. ou à rE.LS. . • ltiliser les exlraits de normes et frchcs techniques des fabricants qui indiquent: .; , les poids volumiques ou surfacigue . · - les charges d'ex ploitation. • Évaluer les charges SUT les éléments porteurs compte tenu du cahier des pre~cription s technjques du maître d' œuvre.
Nature des actions
(B. A.E.L. A:~)
Actions permanentes
Actions variables
(symbole général G) Symboles et désignation G1 : Poids propre des st.rnctures, maçonneries ou
G2
:
G3 G4
rn::
:
béton armé Exempk: fondations, murs . Poids des autres éléments de la construction Exemple : couverture, charpente, carrelages. Forces exercées par la poussée des terres ou la pression des liguides Exemple: cas des murs de sous-sol . Déformation différées dans le temps Exemple: celle:; musées par Le retrait du béton. ii'tltî1'• , ~"'1l:r.lltr.i;;;u;;,-:r; . 1
~
•.l.J..I.'.:,
à.l,i.
•ü:'...L...
,
~;:i,i;i'"
"'T......_
.
. ~
~
;mD'".'."· ... . -. ...
(symbol e général Q ) Symboles et désignation Q1 : Charges d'exploitation lfremple: charges unifonnément réparr.ies sur les planchers (symbole QB ) Q2 Charges climatiques • action du vent (symbole W ) • action de la neige (symbole Sn ) Q3 Action de la température, (symbole T) Coefficient de dil atation du béton armé: io-5
Q4
Actions passagères en cours d'exécution -Cx i;,
m,~
.. "'':mfü ....
.. 1., , .l ! . . ~ ,S -'- -n'et•nn rlA ,,,,,,,,, ;;v;,.., ,,v empt". uepu1 Lit'. JAH .. j.r.,, ue 1r1tu c:-1 •i-<•"".
- 1:'1--,
~·
··· ~<'1.,
::ri,.. ;~
Masquer le.! réponus ci-dessous
Désigner par le symbole correspondant , La charge perma-
nente ou variable, dans la liste ci-c:vnLre:
Liste des actions • Plancher B.A • Voile B.A. • Coffre-fort sur plancher • Cloisons sur pla[)cher • Poutre B.A. • Charpenle bois ou métal • Chauffe-eau 200 dm 1 • Neige sur versant ou terrasse • Personnes sur planchers • Voitures (actions des roues)
et conrrfJ!er les vôtres. ~ ~
type d'action ?
--+
?
--+
?
~ ~
--+ --+ --+ --+
? ? ? ? ? ?
Act ions permanentes et variables .
i G, G, QI G1
G1 G2 QI Sn
Q, Q, 23
b.
,
2.
Evaluation des charges permanentes
2 .1
Matériaux de construction
1 Béton
armé .. ... ... .. .... .. ... ... ... .... .. .. ... .... . Acier ..................... .... ... ... ........ ...... ... ... . Maçonneries de moellons ................... Ca lcaire L:ompact ........ .... .... .... :.... ...... conifères ...... ...... ...... ... .. ... ... . Dois feui ll us ........................... .. .... tropicaux durs .. . .... ... ... .. ... ... .
l
25 000 N/m3 78 500 N/m 3 23 000 N/m 3 28 000 N/m~ 6 000 N/m 3 8 000 N/m3 10 000 N/m3
Éléments constitutifs des maconneries ,
Désignation
(poids par m2 et par cm d'épaisseur)
1 050 2 000
Briques creuses
15 20
1 300 1 750 2 050
25
de 180 N/m2/cm
Blocs pleins de béton cellulaire
voir fiches des fabricants Pi erre de taille : - parois pleines
- auto-portant - attaché
2..3
Poids des éléments constitutifs des planchers
• Dalles pleines: 250 N/m 2/cm d 'épaisseur Exemple: dalle B.A. de 18 cm d'épr ---? 4 500 N/m2 • Planchers à poutrelles préfabriquées et entrevous (11A ;r f."'; l"' °h ::..c" , •vJJ u 1..-11""'
d-r.. C,,..,b_: ___ T'ti. .,...,. ') "''> u1 111,,ct111 ., . ex .... 11 1p1e. r ..t'.Jj. ._t" -
- -·.:. ••
1
n
A titre indi catif, le poids, en N/m 1 , dépend des épaisseurs et des entrevous utilisés: Poids en N/m 2 des planchers courants avec : poutrell ~ + eJifrevuus + table de compression (épr: 4 à 5 cm)
,
Entrevous
Typ e
(épr en cm)
Béton
Polystyr ène
Terre cuite
12+4
2 500
1 700
2100
16 +4
2 850
2000
2 600
20 + 4
3 300
2 100
3 000
1
24
B. A. Guide de calcul
(cm)
Poids (N/111 2 )
5,5 10,5
Blocs creux. en béton de gravillons lourds
100 N/m2/cm
EJi
Briques pleines
Blocs pleins en béton de gravillons lourds
Autres élém ents
Carreaux de plâtre Enduit de plâtre F.nduil de mortier hydraulique Complexes isolants
2.2
(Extraits NF P 06-004)
15
20
3 150 4200
15
2 000
20
2 700
15 20
1 200
25
1 600 2050
20
s 300
8
2 200
.)
800
,..,
2.4
Revêtements des planchers
• Chape en mortier ou dalle fl otlante : 200 l\/m 2/cm d'ép 1 Exemple: chape de 4 cm d'épr ~ 800 ~/m 2 • Carrelages sct!IJés y compris mortier de pose: - grès cérame épr Y mm .. 900 N/m2 - marbre épr 12 mm à 15 mm l 000 N/m 2 • Parquets de 23 mm y l:ompris lambourdes • Sols minces textiles (moquettes) :
250 N/m 2
80 N/m 2
2.5
Toitures
• Terrasses - P.tanchéité mullicoul: he 120 N/m2 500 N/m2 - Asphalte coulé sablé - Gravill ons pour protection 200 N/m~ d'étanchéité • Autrt!s toitures - Support
2.6 Cloisons de distribution Cloisons légères, nun porteuses, de masse< 2 500 ~lm Elles sont prises en compte comme une charge permanente uniformément répartie. On admet: 500 N/m2.
Évaluer les charges permanentes par m2 de plancher suivanr les données
ci-contre:
Locaux d'habitation • Dalle pleine en B.A épaisseur 16 cm • Dalle flottante d'épaisseur 5 cm • Revêtement moquette • Cloison de dist1ibmion, type Placopan
-~
~
4 000 N/rn2 1 000 N/m2 80 N/m2 500 N/m 2 5 580 N/m2
,.
Evaluation des charges d'exploitation Nature et destination du local Bâtiments à usage d'habitation Logemem y compris combles aménageables Balcons Escaliers (marches isolées exclues) Greniers proprement dits Bâtiments de bureaux Bureaux proprement dits Circulations et escaliers Halls de réception Halls à guichet
Charges d'exploitation en N/m2
1 500 3 500 2 500 2 500 2 500 2 500 2 500 4 000
(Extraies NF P 06-00 1)
Nature et destination du local Bâtiments scolaires et universitaires Salles de classe, ùorLoi rs, sanitaires collectifs Atel iers, labo ratoires (matériel lourd exclu) Circulation . escaliers Bibliothèques, salles de réunion Cu isines co llectives Bâtiments hospitaliers et dispensai r es Chambres Circulation interne Locaux méd icotech niques (salles de travail et d'opérations)
Charges d 1exploi· tation en N/m2
2 500 2 500 4 000 4 000 5 000
1 500 2 500 3 500
Actions permanentes et variables
25
Cas des terrasses (voir D.T.U. n° '13) Terrasses non accessibles Terrasses accessibles privées Terrasses accessibles au public
,.11( • • , • ifllt"' . •V•[] '"°'"° ;i-41 w-7 • -~ ,, "'·!'" S . ,. ,, it::.....,,.. .. tN ~ '';--:1::: · i , 111 ~ t.,, . .., H.'l l ,. "' · tr;:! !j_,A . .twJt... --"'°"'*"· ·~ !.-..»L.'°-'" ........
Cas des marches préfabriquées indépendantes en porte-à-faux
1 000 N/m2 1 500 N/m 2 5 000 N/m2
_., 4,1'1'1' , ,.,,. ••• '"'.'"'
...~-,..;~
, ...,.."1' ,.
········~
Chacune doit résister à: - une charge concentrée de 5 000 N, à l'extrémité de la marche, si 1a porté.e est inférieu re à 1, l 0 m et l 'escalié~r non accessible au public ; - une charge Q = 10 000 N, répmtie, si la portée est > 1, 10 met l'escalier non access ible au public; - une charge Q = 15 000 N, répartie, si la poné.e est > 1, l 0 met l'escalier accessible au public. ·
... ~
H "':'rl. Données ~.;4
• Bât.imenl à usage d'habitation avec ascen seur ·~ ~~ et escalie r de service (volées droites préfa~~
,.~~
briquées) • Les séjours disposent, en façade,
Évaluer les charges d'exploitation
-----
• Terrasse • Plancher • Balcons • Escaliers
___,.
1 000 N/m 2 1 500 N/m 2
3 500 N/m2 2 500 N/m 2
Application: calcul d'une descente de charges
+
Remarqu e préliminaire de~·
charges d'exploiwlion n'est applicable qu'aux bâtirrumti> d'habitation dont ie nombra d'étages est supérieur ri 5 en général (NF P 06-001 ).
La loi de dégressiort
~
N1
Plaudit:r :erras~e
--i..---,-~ - ~·~~-----------1---...
....~1 ;
Descriptif succinct • Bâtiment d'habitation
• Fondati ons par semelles continues en B./\. • Murs de façacle en blocs creux de béton en gravillons lourds hourdés au mortier de ciment avec potelets raidi sseurs incorporés et chaînages horizontaux • Voile B.A. pour refend: épr 16 cm • Plancher B. A. avec poutrelles préfabriquées el table de compression: type ( 16 + 4) • Plancher-terrasse B.A. non accessible au public et avec protection lourde comprise: 5 000 N/rn 2
.\' ,)
• Étanchéité multicouche : 120 N/m 2
N7 - _L
~
B.A. Guide de calcul
........
1
+
..
~
Mur de
façade
8
<"i
N6
Vérifier lt~s valeurs prises pour les char ges permanentes et d'exploitation.
26
' ...
-i
+_
Contrôler les résultats obtenus pour les pressions exercùs sur le !>'Ol de fondation dans le cas du mur de façade et du refend porteur.
Vo:!e BA
<"i
N4
.....
w+i 20
l~~; 1 '. l
Dillage sur
I
terre-p·ein
4,50
wH L6
Coupe sd1ématique
Étapu du calcul • Sélectionner une tranche de bâtiment de longueur 1,00 m (sans baie) et sur la hauteur totale du bâti ment.
Adions verticales Couverture ""7'
Charpente
• Considérer chaque travée de plancher indépendante (exemple : le refe nd porte une moitié de travée de part et d'autre).
Murs de l'étage
• Différencier les charges permanentes et celles d'exploitation.
Murs du R.n.c.
.J.,.
J.-
.b
• Effectut!r la descente de charges niveau par niveau par ca1cul cumulé à partir du haut.
Dallage
~
F1mdations
• Calculer la pression exercée s ur le sol : - sans coefficient de pondération, - avec coefficiems
7 Sol de fondation
1
Schéma de principe
Descente de charge pour le mur de façade Charges permanentes (j Désignation des ouvrages
'.'linau
Poids unité
Total
1.00
120
342
1,00
5 000
Charges d'exploitation Q
Cumul
L
l
Poids unité
Total
Cumul
14 250
14 592
2,85
1,00
1 000
2 850
2 850
2 700
67.'iO
21 342
2 850
G983
28 325
Mur de façade
6750
35 Oï5
NS
Plancher R. A.
6 983
42 058
N6
Mur
6 750
48 808
9 600
N7 •
S~m ell e
6 000
.'i4 808
9 600
L
l
Étanchéité
2,85
Terrasse B. A.
2,85
N2
Mur de façade
l ,00
N3
Plancher B. A
2,45
N1I
Nl
H
2,50 I.00
2 850 2,25
1,00
1 500
3 375
6 225
~
6 225
~
-
B. A .
1,00 0,60 0,40 25 000
3 375
9 600
• Pression exercée sur le sol de fondation sans application des coefficients de pondération: (]' = G
+Q S
= 54 808 + 9 600 = O, 107 N /m.rn2 , ou O, 107 J\1Pa
6()() X 1 000 • Avec coefficients de pondération: O'=
1,35 C - 1, 50 Q
s Descente
d~
=0
'
147 1v1Pa
charge pour le refend porteur
Calcul direct pour obtenir la contrainte exercée sur le sol Charges permanentes Étanchéité ............................................ ....... Plancher-terrasse ........................................ . Planchers B.A .............................. ........... ... . Voiles ............ ...................................... ....... . Semelle B.A.................................... ............ TOTAL ...................... .......................... ... .... .
559 N 23 300 N 26 562 N 30 000 N 6000K 86 421 N
( voiles B .A.)
Charges d'exploitation Sur tenasse .. ............................................... 4 660 N Sur planchers .............................................. 13 500 N 18160 N • Sans coefficient de pondération: =104 581 N (G+ Q) Contrainte exercée su r le sol : crsol = 0,174 MPa • Avec coefficients de pondération: ( l,35 G + 1,50 Q) =143 908 N Contrainte exercée sur le sol: cr~ 01 = 0,240 MPa Actîons permanentes et variables
27
H, RENAUD
DESSIN TECHNIQUE &
LECTURE DE PLAN BATIMENT / GRos
ΠUV RE-
à
--FOUCHER
lut Il s'agir de. _çonnattre et d'appliqu er les modalité; de calcul cteJ sollicitations dans une ou plusie urs sec tions d'un 6lérnent B.A. (semelles de fondation, poteau , p outre , dalle, etc.) Ces sollicitations (effons, moments de flexion etc.) proviennent : - des actions permanentes } , d. , · , , .1 etu tees aux c1tap1lres preœuents . . b - des acuons vana les dans une section donnée.d'un élément de la slrucluœ B.A. Démarehe
Les sollicitations sont calculées par appliëation:: • de principes et de métl10des ùe r6sistance des matériaux en tenant compte du règlement B.A.E.L. pour les combinaisons d'actions à
l'E.L.U.R. ·et à l'El.S. • des méthodes spécifiques précon isées dans le règlement .13.A.E.L. ou lt!S D.T. U. (Documents Techniques Unifiés).
Exemple: 1'11éthode forfaitaire pour le calcul des poutres ei dalles de planchers a .,··
....
Principe Isoler l'élém~nt de structure B.A. considéré Faire l 'inventairc ciès 3,:.f tions permanentes et ~ar~ables
Calculer les sollicitations dans une section S Efforts
<~=œ=----~'=i.===--~~-.-..
• Effort tranchant, symbole V Exemple: cas des poutres
• Effort normal, symbole N Exemple: cas des poteaux
Moments
• Moment de flexion : symbole génfaal M - symbole Mu à l'E.L. U. - symholc Mser à l'E.L.S. Exemple: cas des poutres et
des planchers
Éléments courants des structures B.A. (B.A.E.L. B 1 à 89) Ce sont les fonclations, poteaux , poutres, soumis uniquement aux actions verticales : - des charges permanentes G , - des charges ù'ex.ploilation Q, à l'exclu ion de toute action climatique , telle que la nt::ige uu le vent. Calcul des sollicitations
29
Combinaisons d'actions Cas des fondations
R emarque: le r:alcul de s fondations s 'effectue g é néralement pour les cas simples par la méthode des bielles suivuni D.T.U. 13,1
(B .A.R. L B9.2 )
\ 1,35 G + 1,50 Q
Combi naison d'actions:
Cas des poteaux (B.A.E.L. B2.8.2,11) Dans Jes cas les plus courants (poteaux de bâtiment , d 'angle , de rj ve, intérieurs), l'un ique combi naison d'actions à co nsidérer est : 1 1,35 G + 1,50 Q
Cas des planchers: poutres
~u
1
dalles
• Cas d' une seule travée sans porte-à-faux:
E.L.U.R.
• Cas de plusieurs travées sans porte-à-faux :
-
E. L.S.
----
l ,35G + 1,50Q
G+Q
Travées chargé~s l Travées déchargées
État
E.L.U. >---
E.L.S.
1,35 G + 1,50 Q8 G + 1,50 Q8 (; +
1,35 G G
_I
G
QB
Cas d'une poutre reposant sur deux appuis, prolonaée par un porte-à-faux (B./\.E .L. B.6.1, 22) Combinaison s à considér er
But recherché dans chacun
des cas de chargement
•au x états limites E . L. lJ. R.
Q)
1,35 G + 1,5 Q 8
(j)
1,35 G
Ll.4 1,35 (} + 1,5 QB
J,35 G I
~
,SJ
J.35 G + 1,5 QIl
'~'
- Moment de flexion maximal sur l'appui A : Mu"'
sD
G + 1.5 Q 8
0
G
- Moment de flexion maximal e n travée AB : Mu (AB)
G
- Valeur maximale de l'action de l'appui A sur la poutre : RA
1,35 G + t.5 Q B
D
(~)
L
G
- T,o ngueur des armatures en chapeaux du côté de la travée
D
Ll G+1,5Q 8
-
/'
6
. _\
Éven tuellemen t détermina nt po ur le moment maximal positi f en travée
1
R emarque (B.A.E.L. BJ.3): la 4e combinaison est prise en corisùlhation pour la justification de avec 0,9 G dans la travée udjaceme au porte-àjaux.
l'~quilibre
statique mais
• a ux états Jimites E. L. S.
- Moment de flexion maximal en travée sur l'appui A: Mser A
;\
..._ \
@
7~ - Moment de flexion maximal en travée AR: ,\,f•er iAB)
~~~~~~===========-=J\
Ll
li
R emarque : pour les bâtiments courants soumis aux actions permanentes er variables avec charges climatiques (neige et venr) se reporter au B.A.E.L Annexe D.2.2).
30
B.A. Guide de calcul
Applications Le premier cas proposé concerne J'assimilaliun des contenus du présent chapitre.
Le deuxième cas nécess ite de: - rechercher les poids unitaires des éléments constitutifs dans le chapitre 4, ainsi que les chargcc;; d'ex ploitation; - procéder par utilisation du formulaire des poutres du chapitre 2. Le troisième cas a pour o bjet le calcul des sollicitations par étapes en utilisant le principe de superposHion .
- Analyser les combinaisons de chargement n. 0 1 à 4 ci-dessous . - Indiquer l'in térêt de chaque combinaison pou r le calr. /.ll des sollicitations : action des appuis et moment de flexion (max. ou . . .? ). tntn
Cas de ch arge
~
L.::>
'I
/\
fj,
- Moment maximal négatif sur l'appui n et R8 maximal - Moment maximal positif en travée AB et moment minimal en Lravée BC
Ll
Ll
- Moment maximal positif en travée BC et moment minimal en travée AB
î
:r
G) J
Q)
---,
Ll
1
;\
1A
A
;\
(3) '/ 6\
~
Répon ses
Li
B
A
/_, 7
- .\1oment minimal négatif sur l'appui B
c
zc cai : P,!Wtre de rïj e cll!Jll ce.Ue&ït if Calculer numériquement les momeni.s de flexion sur appu is et en travées d'un e poutre de rive encastrée à chacune de ses extrémités.
/
Voile
/~
Plancher D.A. 1 f
Données •• -mi; • Section de poutre : 16 cm x 50 cm • • Portée entr~ appuis (voiles B.A) : 4, 40 m
• • • • •
• • •
(
f •
•
• •
• • '
' ' • •
• •
•
< 1
•
•
•
•
• f
•
•
~
'
•
~ •
•
•
, • ,
'
• 1
'
(
• t
• .. ' •
•
•
'
• •
1
• •
Dalle B.A. épr : 18 cm Portée de la dalle : 5, 20 m Allège en blocs c.:reux de béton, épr : 15 cm Hauteur
Calcul des sollicitations
31
Étapes du calcul .
• Déterminer la charge permanente par mètre de longueu r de poutre due au poids propre des éléments : poutre, dalle , allège. • Procélkr de même pour la charge d'exploitation .
• Effectuer la combinaison d'action suivant les états considérés. • Utiliser le [ormulaire des poutres : cas n° 9 NB. Calcul aux états limites ( E.L. U.R. er F:. l. S.)
Réponse • Charges permanentes p. m.
Poutre:
2 000 N/m 11 700 N/m 1800 N/m 162 N/m g = 15 662 N/m
üallc :
Allège : Enduit : Total
• Charges '·a ri ables p. m. Avec l 500 N/rn 2 pour local d'habitation,on a: q = 3 900 Nlm
• Moments à rE. L. S. avec s = g + q = 19 562 N/m, il vient: sL MA= M JJ = - -
2
=- 3 l 560 Nm
12
s L·"
et J\t10 = +-
= + 15 ï80 Nm 24 • Moments à l'E.L. U.R. avec s = 1,35g + J,Sq =26 944 N/rn , il vient: ..., s ,,~ ,, ."i-1A=M8 = - -
=- -4_, 500Nrn
12 , 2
=+ 21 775 Nm
et M 0 = +:._:_ 24 ~e-"cki: ,pout~è~ lirincipa·lf
t.:;4
·-
J3
~
---
-
cfè11.=tancliu.:;;*
~-
~
;t •
. ·:· ~·y
....... -a,-j.'t'
*"'·;··~
""'-
~
Calculer les solliciwtions à l'E.L U. R. pour la pouTre de plancher n ° 4 { .. ~ de la figurl! ci-contre, de section 20 cm X 50 cm. t".t
r.· •..- . :;.
Données • Plam:her B.A. constitué par des poutres d~ section 20 X 50 et une dalle épaisse de 18 cm
.
~l~
32
B.A. Guide de calcul
"
,'
•
"'
'
-
V
4. 20 X50
l/
• ralculer ics charges pennanenles et d'exploitation par mètre de poutre . • Utiliser Je formulaiœ pour les cas de chargement : - uniformément réparti , - en trapèze régulier. • Te nir cu m pte de la co mbin aison de charge à l'E.L.U.R. • Cumuler le~ résultats partiels.
\ A
'
,"
"'
/'
''
0
,
'•
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-; -
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0
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1
"
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" l~~Y "' ,
"
0 N -, !-
<;
?
"·,
-
_ .... 0 N
Réponse Remarque préüminaire: les valeurs auxiliaires s'obtiennent fiu:ilemenf Pur exemple: poids propre de la poutre par mètre :
• Charge permanente pondérée par mèti·e - Poutre seule: 1,35 x 2 500 N/m
=
3 375 l\/m
x1111111111111111 11111111111lilll fj
- Dalle en lraph e :
l'l~ X
= 25 515 N/m
1.35 X q lmax
• Charge d'exploitation pondérée par mètre 1,5 X q2max = 1.5 X 10 500 - Dalle en trapèze:
- Poutre seule :
1
CD
1,5 (0,20 X l.00 X 2 500)
q'.!mllJI
=15 750 N/m =
Calcu l des sollicitations , formul airt! des poutres
750 N/m
c=jlÎrrnuJIJJJIID]Dllb~ ~ f! l !i
!i)! f!!fi!!Ji!!! !il! !! !! I ll
Œ> ~/') (~
cas l et 3
~ature
Action des appuis
de la charge
RA =Rn
:Moment maximal en travée Mo
Sd16ma(i)
8438
~
10 547 Nm
Schéma (2)
36 997 \T
6098 1 Nm
Schéma@
22 838 N
37 643 Nm
Schéma®
1 875 N
2 344 l\m
Total
70 148 N
111515 Nm
Calcul des sollici1ations
33
-
Le calcul de.(\ ouvrages en B.A. est effectué à partir d'hypothèses des études qui tiennent compte , en particulier, des caractéristiques physiques, chim ique~ el mécaniques,des matériairx (béton, acier). Les caractères des matériaux concerncnt:
Extrait d'un r.artor,1.che de plan d'armatures B. A.
i
Hypothèses des études
- les résistanccR cF1ractéristiq ues 'à la Charges des planchers 1--- -compression et à la traction, permanentes d'exploitation - les déformatibns (allo ngement et raccourcissement),' ,, Cloisons : 500 N/m2 2 500 N/m 2 - les diagrammes déformations - . Revêt. sol: 600 N/m2
contraintes .
--~
Béton
f c28
= 25 ~1Pa
1
Acier
HA: Fe E 400
0: FcE21S Do.c;age min : 350 kg CPJ 45 par m3
TS: T.S.H.A.
Les bétons Un béton hydraulique rés ul te du mélange en proportions déf injes
composants suivants: - granulats naturel s ou artificiels (sables, gravillons, graviers), - liants normalü;és : ciments artificiels, - adjuvants éventue ls pour au gmenter les performan ces physiques ou
mécaniques , - eau de mouillage des granul ats et d'hydraLation du liant.
1.1 Tableau de classement des granulats (NF P l8-lül) Appellation 1 - - --
Gravillons
Sable
Cailloux et pier res cassées
-
Fins: 0,080 à 0,315 Moyens : 0,3 1) à 1,25 1,2.1 ~ 5 Gros :
CaLégories suivant grosseur
S à8
Petits:
Moyens: 8 à 12,5 Gros :
12,5 à 20
Hxemple: un~ maille de 12,5 mm conespond à un diamètre ùe 16 mm.
Petits: 2 0 à31,5 Moyens : 31,5 à 50 Gros: 50 à 80 >!-
NB. Éléments très fin s : fines. fa rines, fil/en,< 0,08 mm.
mailles carrées des tamis exprimées en mm.
1.l. Principaux liants utilisés pour travaux B.A. (NF P l5-301 )
Ciments Portland artificiel Teneur ~ 97 % de clinker CPA45 CPA 45 R
Ciments Portland composés Teneur ~ 65 % de clink:er CPJ 45 CPJ 45 R
Utilisations
ou
recommandations Symboles
Tous travaux courants
t--~---~-1----
CPA 55 CPA 55 R
CPA HP CPAHPR
CPJ 55 CPJ 55 R
l
Éléments
préfabriqués Travaux qui exigent
J dP. çigne un c:im.ent avec cons tituanis sa nndaires < 35 %.
R désiRne un ciment à début de du rcissemenr rapide . HP désigne un cimP.11 f à haute p erformance. 45 ou 55 irulit/Ul! la classe du ciment en Mfln.
Bétons et aciers: caractéristiques
35
1.3 Résistances caractéristiques du béton Elles servent cte hase pour le calcul des projets en B. A.
Résistance caractéristique
Résistance caractéristique
à la compression à j jours (symbole f c)
à la traction à j jours (symbole fci)
Elle est définie par une valeur de la à la com pression du béton à !'âge de 28 jours par essais sur éprouvettes cylindriques . rési~tance
( 0 16 cm; surface
Elle est conYen tionnellement définie à partir ùe la résistance à la com p re s~ iun par la relation:
- ~ - -?
J
ll
= 200 cm2 ; h = 32 cm)
...
=30 Y1Pa
Exemple: fc?S
t
16
, fig: J
Éprouvette cylindrique ~r· liétnn
1
j
f 1.i = 0,6 + 0,06 f cj
1
Exemple avec .fc28 =30 MPa: ftzs = 0.6 + 0,06 x 30 =2,4 MPa
Rem arque importante pour les calculs : les résistances à «j » jours des bétons, non traJth thermiquement. peu· ven i ê!re évaluées par les formules approchées d es tableaux suivants :
f c28 ~ 40 M Pa
fc,;
J
j <60
40 YI.Pa
.fcJ j
. .f c:/ R
~
J
28
1,40+ 0,95 j
4,76+0,83 j
J ~ 60
I , 1() f c28
28< j
~ 60
·
MPa
f c28
Bétons à Haute Résistance voir B.A.E.L. A.2.1, 11
<60
1.4 Déformation du béton Déformation longitudinale (B.A.E.L. A.2. 1, 2)
Déformation transversale (B.A.E.L. A.2.1, 3)
On distingue : - le module de déforma tion instantanée (durée d"application des cha rges < 24 heures) (symbole Ei J
Elle se traduir par Je coefficient de Poisson v=
J
déformation transversale
défonnation longitudinale
13
1
E iJ = 11 000 f ,/ (MPa )]
- le module de déformation différée (l ongue durée d'application) (symho le E..)
[
r. .= 3 Îoo r .113 V.f
Le coefficient de Poisson est pris égal à : v= 0,20 pour la justification aux b:.L.S. (section non füsurée) 11 = 0 (zéro) dans le cas des E.L.U.
• CJ
La va leur de ces modules intervient dans le calcu 1 des flèches et les effets dus au retrait et au
Contrainte normale
-'
flua ge du bé ton.
.,,li
l'Fig. f 1?
~Fig .2 :\,
M othrles de déformatio11 îustant;rnée et
Coefficient de Poisson :
0
di fféré~
36
B.A. Guide de calcul
2 F. Je Déformation unitaire
V
=
,1.d
- ,-
1
NB. ,\ défaut de mesures, on 1utime que le raccourcissement unitaire dû au retrait aueim les valeurs suivantes dans le cas·de pièces non massives à l'air libre : 1,5 ' 10- 4 dans les climats très humides' 2 · 10-4 en climat humide, ce qui est cas de la France sauf son quart Sud-Est, 3 · 10-4 en climat tempéré sec, tel que le quart Sud-Est de la France, 4 · 10-4 en climat chaud et sec. 5 . 10-4 en climat très sec ou désertique .
les contraintes de trar.timz du béton el le:, modules de déformation instantanée du béton. Indication U t~Ji ~ er le.s in fo rma lions des para:: graphes 1.3 et 1.4 .
Calculer la résistance. ~ppro.xi ma tive du bélVn en cornpre fiS ÎOn à 4 jours sachant qu'il dn it afleindre à l'âf? e de 28 j ours: ·
Résistance caractéristique du béton en compression (fc2r. en MPa) Résistance caractéristique
18
25
30
1,68
2,1
2,4
28 828
Module Ei 2R en .MPa
32164 34 180
Réponse
.f,Yi =
f c28 =30 MP a
4x30 4, ï6+ 0,83 x4
= 14,85 MPa
lndlca1ion Se reporter à la remarque du paragraphe 1.3 .
Calculer la contrainte due au. retrait dan~· le cas d'une poutre B.A. de sec' tion 15 cm X 50 cm , sachant 4rre : - ses extrémités sont liées à des massifs bétorwés.
f cj = 30 Ml'a,
Réponse f tj
= E vj X raccourcissement unitai re (application de la loi de Hooke): E Vj. = 3 700 •f C28 1' 3 = 11 497 MPa
Évaluation de la contrainte de traction provoquée par le retrait: f tlJ = 11 497
- le bâtiment est ,çitué à N ancy .
x 2.10- 4 = 2,3 MPa
(L'effet du retrait n'e<;t théo1iquement pa~ à craindre si la résistance à la Lraction du béton (f) est suffisante pour s'opposer à la fissuration.) On a:
,t:
f 1.i = 0,6 + 0,06 f cj = 2,4 M Pa > f tlj
Bétons et aciers: caractérist iq ues
37
fi li 11
!!ï
Les aciers 2 .1 Caractères mécaniques (B.A.E.L. /\.2.2) • Le caractère mécanique, q ui sert
us
Analyse du diagramme de la figure 4 je - - ..,... A_ _ __ __ B
• Cas de la traction - Droite OA (domaine élastique):
propo1tionnali té déformations-contraintes
.
Coordonnées
{ '\· ==f/E. f ers
·e
- Horizontale AB d'ordonnée a,= f e (domaine plastique) La position du point H correspond à un allongement 8s = 10%0
-10%, Raccoun:issemr.111
Al longement
'
1
0 0
-;;; ,,,
e "'"
• Cas de la compression Le diagramme correspondant est syméttique à celui ùe la traction par rapport à l'origine O.
le
.....___ _ _ _____,_ - - - j'
Diagramme conventionnel déformations-contraintes de 1acier
2.2 Carattéristiques des aciers pour le béton armé .2. . .2.1
Aciers en barres Types d'aciers
(L~s
=200 000 MPa)
Doux et lisses, symbole 0 (Nf A 35-0 15)
Ca ractéristiq ues Dénomination
Fe E 215
Linùte éla::iliyue en MPa
fc
Résistance à la rupture crR en MPa
-..
|
Fe E 235
Fe E400
Fe E500
fe= 2:>.'1
.e
r = 400
.fe= 500
=215 ''10 .1.
aR 3';
22~
Allongement à la rupture
A Haute Adhér ence , symbole HA (NF A 35-016)
Coefficient de scellement , symbole 1.Jls
410
O'R
~
480
UR?:
14 %
550
12% 1.5
~--t--~--~--~~--~--~~----~-~----1
Coefficient de fissuratiun, symbole 'Y1 Diamètres courants en mm
NB. Voir tableau des sections deç ariers en Annexe 1.
38
B.A. Guide de calcul
1
6-8-10- 12
1,6
6-8-10-12-14-16-20-25-32-40
1..U
Treillis soudés Types de treillis (.'J F A 35-022) Caractédstiqu ~s
A H aute Adhérence, symbole T.S. H.A.
Lisses, symbole T.S.L.
- --+-------- - - - - - - t--- - - - -f, =500
Limite élastique en MPa
-----~
fe= 500 (tous diamètres)
" (tous diamètres)
-
Résistance à la rupture en MPa
O"R
!---- - -- - -- - - -- -+-- - -- Allongement à la ruplure
-
-
--1
=550
8%
O"R = 550 --- - -- -+----- -- - - -- - - - --'
8%
Coefficient de scellement, symbole IJ.ts
1,5
1,3 pour 0 < 6 mm
Coefficient de fissuration, symbole T'/
1,fi pour 0
6 mm
- 3,5 à 12 mm avec un pas dc O,S mm - 14 à 16 mm sur commande
3,5 mm à 9 mm avec un pas de 0,5 mm
Diamètres courants
~
ll'B. Voir tabléau des sections des aciers en Armeu 1.
Déterminer l'allongement unitaire correspondant à une contrainte de 348 MPa exercée sur un acier Fe E400 Indication Exploiter le diagramme déformations-contraintes de la figure 4.
Réponse La lui de Hooke exprime la contrainte dans le domaine
élastique par On a:
rr~ =Es . ss %0 pour ifs < JI", es'%c
J
= -348-X-1000 - = l , 74 %0 200 000
~l~·§.ili!Ji ·r::.~ ~1 ~..§ i....
~ •
rl'l/'" nru•n.,. tIer ... ,. .... _,... _f" · ol IU/lj/l l f .L
vVf>J'
Résistance lÎ la rupture = u R Limite élastique
.f e
pour les aciers HA Fe E 400 et Fe E 500.
Calculer pour un acier à. haule adhérence, de limite d'élasticité garantie f e = 400 MPa le rapport entre son allongemenz à la rupture et celui correspondant à sa limite élastique. Indication Lire et décoder le tableau des aciers t!Il barres.
En déduire le iype d'acier qui offre le plus àe sécurité à l'utilisateur . Indication
Lire et décoder le tableau des aciers en barres.
Ré ponse
L'allongem ent à la rupture est 70 fuis pl us grand que celui qui correspond à la limite élastique. Bétons et aciers : caractér istiqu es
39
1'' :1 "'
Dêformati.ons et ce1traintes de calcul
• État limite ultime Les hypothèses de calcuJ sont relatives: - au diagramme rectangulaiœ Je compression de béton ; - aux contraintes de çalcu.I clu béton et de l' acier ; . - à la règle dite des «pivots» qui détermine lës déformations limites d'une section soumise à une sollicitation normale. en particulier à un moment de flexion simpJe. • État .limite de service
.
'
Le principe de la justification des sections impose la limitation
État limite de résistance 1.1
(B.A.E.L. A.'1 .3)
Hypothèses de calcul des sections soumises à une-ou plusieurs sollicitations (B.A.E.L. A.4. 3, 2)
• Hypothèse de Navier: le s sections pl.
- béton en compression (voir paragrap he 1.2); - acier tendu ou comprimé (voir paragraphe l .3 ) . • Le diagramme des déformations limites d'une section fai t l'o bjet de la règle dite des «trois pivots» A, B. C (voir paragraphe 1.4).
l.l
Diagrammes déformations-contraintes du béton (B.A.E.L. A.4. 3, 4)
On distingue (fig . l ) : • le diagramme « par ahole-rect.angle » ; • le diagramme rectangulair e simplifié qu i sera étudié et utilisé J ans nos calculs en raison de : - sa simplicité d'emploi; - sa concordance satisfaisante. en flex ion sim ple , Clvec le di agramme «parabole-rectangle» . Déformations et contraintes de calcul
41
Notations
fbu lt
lt
1
3 t5%o ri Pivot D
1
.
ahc :
contrainte de compression du béton
I c)
résistance. caracté1istique du héton en compression à j jours
: ,
: ~
.
f l:i: : contrainte de calcul
'~
(voir tableau d -
.
,
yb
,
~
t-
0
Diagrnm111i:; parabole-recrangle
Diagrnmme des déformations (µi vul B , voir paragraphe 1.4)
:
coefficient de sécutité
eoc : déformation du béton en
uxc nculrv
-/-
:
--
- f)ia e,ramme recwngu laire
Diagramme des contraintes (RA .E.L. A .4. 1, 4)
compression Diagrammes déformationsconLraintes du béton
Dispositions relatives au diagramme rectangulaire Hypothèses de départ: • section rectangulaire partiellement comprimée; •position de. l'axe neutre co nnue, soit Ox, et sa ctistancc y 11 à la fihrc la plus comprimée.
Contrainte de calcul du béton .
fbu
0,85 f c.28
= - - -(J • 'Yb
Symboles
rbt:. : contrainte de calcul fc 28 : résistance caractéristique à •
Remarque Si tes zones comprimées présenieni 'Yb u.11. e largeu r dh:rn issan tP- vers lt~ 'i
O,Rn I c28
fJ
8. 'Yb
d'application des charges.
: coefficient de sécurité yb 1,5 en général
= =
l, 15 dans le cas de combinaisons accidentelles : coefficient d'application Yb
j ïbres les plus comprimées: f>J = -- -
28 jours
-
Zone comprimée décroissante vers Ill fi hre l;:i p llls
c.omp1 irnée
DHurmation maximale du béton:
fj
Durée d'application
1
>24 h l
0,9
0,85 b"bc
:E;
durée :E; 24 h
si d urée < 1 h
=3,5 o/oc
Diagramme rectangulaire Distance à partir de l'axe neutre
Contrainte de calcul
O~y < 020y ' i:
contrainte nulle
0 • 20 •Vli
~V~ yu •'
fbu =
0,85 f c28
valeur constante
42
B.A. Guide de calcul
e. 'Yb pour ëbc
NB. Les coefficients 0,85 au 11umératw et eau dénominateur ont pow objet dt tenir comp1e de ce que la résistance dh béton est fun cl ion décroissante t/I;! fa durit
~
3,5 %
Tableau des contraintes de calcul Les contraintes sont données ci-après en fonction des résistanœs caractéristiques du béton à 28 jours d' âge.
Résistances caractéristiques du béton en compre.ssion en traction
fc28 (MPa) ln
/
128
(MPa)
Contraintes de caJcu)
en compression f i,./\1Pa) avec ()
1,56
9,07
18
1,68
10,20
20
1,80
11,33
'1? ~
...
1,92
12,47
25
2,10
l 4,17
27
2,22
15,30
-
30
2,40
17,00
35
2,70
l 9,H3
-
40
3,00
22,67
45
3,3
25,50
-
50
3,6
28,33
55
3,9
3 l,17
60
4,2
34,00
,.._.
1.3
-
=l
j
Diagramme déformations-contraintes de l'acier (B.A.E. L. 4.3, 2)
NB. Revoir les caractéri.çtiques de l'clcier dans le chapitre 6 a, (Contraintes de 1r11l:tiun ou de compressionj
' Bétons et aciers: caractérisriques:i..
t
Le diagramme de calcul se dédui t de celui convention11ellement défini des déform ation s-contraintes conformément à la figure 3 .
- - - - -- - - - - - - - - - - - - - - -,
1
• Limite d'élasticité garantie : fc • Coeffü.:ient de sécurité: 'Ys - casçourants : 'Ys = l , 15 - combinaisons accidentelles : 'Ys = 1 • Module d'élasticité longitudinale: Es =2 OO 000 MPa • Contrainte de calcul : f su =f e I 'V',,;
C.:
1
Diagranune. ùe. calcul
-t-~~~~~~~~~~~~
D
w Fig.3,· ,..;~"' ... ,~, ~~
~·-·.-
Déformations-contraintes de l'acier : diagramme conventionnel de calcul (en trai t continu)
0
Déformations et contraintes de calcul
43
Interpréter LP. diagramme déformations-contra intes de l'acier.
Déformation longitudinale S S en Cl.: 1l!O
fc
X
Contrainte de calcu l
enMPa
1 ()()()
'Ys • Es
lnte1préter. à titre d'exemple, le tableau ci-contre pour un acier
HA Fe E 400 e1
u n uc:ier
Fe 500.
Déformation élastique
Variation linéaire de la contrainte pour les valeurs définies par c5
Déformation plastique conventionnelle
Constante
Type d'acier
es en
O!
7tJtJ
Contrainte de calcul
.-::
~
.
= Es • S
%c = .fe / 1,15 idem
Fe E 400
1,739 10
347,8 347,H
Fe E 500
2, 174
434,8
idem
434,8
idem
10
~l ~'J;$1i!Jll!fi'ii't.. ~
Observations
(M Pa)
' :. :·'·
.
. ·. : '
U5
5
·:
La résistance ca ractéristique du béton f ,28 étant prise égale à 23 MPa, quelle est la contrainte de ca lcul f bu , sachant que la durée d'application de la combinaison de charges est supérieure à 24 heures?
Réponse
f 00 = 13,03 MPa
•
- On donne lu cun irüÎILfe de calcul f bu= 11 ,90 MPa. Calculer la contrain te caractéristique p rise comme référence à 28 jours d 'âge du béton.
1.4
..
Règle des trois pivots
(B.A.E.L. A.4 .3, 3)
• lJ ne section de béton soumi se à des sollicitations normales se
déforme sujvant l'hypothèse de Nu·ier (voir paragraphe 1) . • Les positions limites que peut prendre la droite de déformation sont déterminées à partir des diagrammes déformations contraintes du béton et de 1' acier étudiés précédemment (voir paragraphe l. 2 et 1.3). • La déformation de la section est représentée par une droite, passant par l'un des pivots «A», «B» ou «C», à l'intérieur ou à la frontière des domaines repérés (1), (2) , (3) sur la figu re 4. 44
B.A. Guide de calcul
Réponse
Section de béton armé
A:Iongcmcnts (traction )
2 %c
... "
1 1. ,...
Raccourci s,;emenls ( . Cl! compression) "/')(l
8
A
l
Allongements
10 %c
1
Section
a vc11 11 déformation
Diagrammes des déformations limites de la section
!3:
WindOWl lnttrnd hplom
2 %u
Nolations h : hauteur totale de la section d : hantcur utile en fl exion simple y J : position de Je fibre neutre A s : section des ac.: iers tendu s
OK
I.e tahleau ci-après permet d'analyser : • la position des pivots repérés A, B . C; • les domaines (1), ~ ' @ et les valeurs des déformations lim ite
Analyse du diagramme des déformations limites d'une section
Pivot A Domaine 1
Allongement unitai1e de l' acier:
Raccourci sr;;cmcnt unitaire du béton comprimé: '"'"' be --
Traction simple: • limite A.A' • béton entièrement tendu. Flexion simple* : • acier tendu (1;,· s = 10 %0)• • béton partiellement comprimé:
0
~
s 1 r.
~
3, 5 o/oc
(~)Flexion simple ou composée .
Pivot C Oomaine3
Pivot B Domaine 2
3•-"
CiC l O
Flexion simple * : • acier tendu • béton panidlement comprimé.
Recommandation :
Raceourci1'sernent unitaire du béton comprimé: ê uc
= 2 'foo
pour Yu
=
3 h 7
Compression simple : si la droite de déformation est parallèle à la ùroite représentative de la section av~n t déformation *.
fc (voir§ 1.3) (*) Flexinn simple ou composée.
{l') Sinon, flexion composée.
(*) N.B. La .flexion composée n 't'~·r pas P.rtvisagée dans le cadre de cet ouvrage.
Déformations et contraintes de calcul
45
O'
O'
3,5%o
Yu= 0,259 d
1
L _ __ _ _ __ El_ _
L _ __ _ _ __ _
0
0
Sa . Pivot A - Domaine 1
Sb. Pivot B - numaine 2
5c . Pivot C - Domaine 3
Diagrammes relatifs aux trois pivo1~
Analyser la figure Sa relative à la règle des trois pivots. Calculer la vuleur de Yu en fon ction de la hauteur utile d, quand la droite de déformation est représentée par la droite AB. En posant a J = y/d, en dé du.ire une rè~le pratique de déterminatwn des pivots A uu B dans le calcul en flexion simple d'une section B.A. Remarque: dons ce Cll))' a u < 1.
Réponse La considération des triangles sem blables dans la figure Sa donne: '"'
3,5 %c
=- (d - Yu)
Io
~
-+
.OO
-'V u =
Ü, 259
d
Ainsi, la règle pratique pour la déterminati on des pivots esc: aJ = 0,259 _. droile 0,259-+ le pivot est en B.
~~. ~
Trouvez la valeur limite de a u (voir exercice 5) dans une section. en ï'é , soumise à la.flexion simple, pour que la table de compression soit entièrement prise en r:ompte dan s le calcul à l'E.L.U.R. • Hauteur de la table : h::i • llauteur utile : d • Diagramme rectangulaire pour le béton comprimé.
46
B.A_ Guide de calcul
Réponse La condition pour avoir tou te la hauteur de la Labl e de compression entièrement comprimée dans le cas de la flexi on simple est (cf . fig. 1) : h 0 =0,80 Yu soit Yu= 1.25 h0 y
Avec: a = ~ il faut u d'
ho
au = 1,25 -;J-
;
Etat limite de service 2.1
Hypothèses de calcul
Sous l' effet des sollit:itations : • les sections droites restent planes après déformation de la ~e<.:tion ; • pas ùe gli ssement re latif entre le béton et l'acier ; • la résistance à la traction du béton tendu n' est pas prise e.n compte dans les calculs; • les contrai ntes sont proportionnelles aux déformations; • Je coefficient d' éq uivale nce n est pris égal à 15*.
* Rappel: cnefjïcient utilisé dans le chapitre 3 « Caracléristiqu es gfométriques des sections» , paragraphe 5. Remarque: les aires des aciers ne suni pas déduite.s, dans /,es calculs, de/ 'aire du béton comprimi .
État limite de compression du béton à l'E.L.S.
l.l
La contrainte de compression du béton, symbole
= 0,6 f c j
Résistance caractéristique .fc28 (MPa)
L8
Contrainte limite ubc (MPa)
10,8
l
1
20
22
25
27
30
35
40
45
50
55
60
12
13,2
15
16,2
18
21
24
27
30
33
36
Notations
----·t
A s1 : section d'acier te ndu
" se
-
A s2
"<::!
: section d'acier comprimt!
: déformation du béton comprimé : déf urmation de r acier tendu est
ê ht: /
- L--'- -- - - - - ~---+'
Section B.A.
Ft&.6
Diagramme des déformations
Diagranum: des contraintes
Défonnations et contraintes dans une section B.A. soumise à la fl ex ion simple.
On observera et on comparera les diagrammes déformations-contraintes: • à l'E.L.U.R. ( fig. 1), ùiagramm e rectangula ire ; • à l'E.L.S. (fig .6), diagramme triangulaire de compression du béton. Déformat ions et contraintes de calcul
47
2 .3
État limite d•ouverture des-fissures (B.A.E.L. A. 4.5, 3)
2 .3.1 Contraintes lim.ites de traction des aders Cas
Conditions particulières
Fissuration peu préj udiciable
Locaux c.otwe1ts et cJos non soumis à condensations
Fissuration préjudiciahle
Coefficient de fissuration (symbole) : 1J 77 = 1 pour ronds lisses 77 = t ,6 pour aciers HA
Contraintes limites de traction (en MPa)
diamètre ~ 6 mm 1J =1,3 pour aciers l lA
si diamètre < 6 mm (*) Fissuration Lrès préjudiciable
Diamètres des aciers> 8 mm(**)
rrst
== inf
(o,sJ~; go) 7/ frj}
N.B. Aciers de :wat1 à prévoir dans les poutres de grande hauteur (hauteur totale >60 cm). (*) 3 cm2 par mètre de longueur de purement dans ie cas de fissuration préjudiciable . ( *~· ) 5 cm 2 par mètre de longu.P.11 r de pareme111 duns le cas de fissuration très préjudiciable .
.2.3 ..2 Tableau des valeurs des contraintes limites
des aciers en traction - Détermination à l'E.L.S. Ce tableau a été pl a<.:é t!n Annexe 2 pour servir au calcul ou aux. vérifications des ouvrage é lém~nlai res des différents chapitres.
On considère une poutre de rive d'un hâ.timent: la jïssuration est préjudiciable . La résistance caractéristique du béton utilisé
est de 25 MPa. Quelle est la contra inte limite de trar.tion d ' un acier HA Fe E 400 pour une déte rmination aux E.L.S. ?
Réponse
• Contrainte limite de traction du béton: f 1j = 0,6 + 0,06 jcJ = 2, 10 MPa • Cunlrainte limite de traction des aciers (fissuration préjudiciable) :
l
(~
Œsr
= inf (266,67 MPa; On retient: cr,., = 20 l , 63 MPa
48
B.A. Guide de calc ul
'
= inf ~ .t; 110)71 f1_;) 20 1,63 MPa)
On cons idère des longrin es de fondations par plnts situ ées en milieu agressif. La résistance carac1éristique du béton est de
22 MPa. Déterminer la contrainte limite de traction pour un calcul aux E.L.S.
Soit ur1e puutre de sous-sol en milieu humide, mais à l'abri du intempéries: on considère la fissuration préjudiciable.
La section de la poutre en sous-face d u plancher
est de 20 cm X 45 cm. Déterminer l'armature de peau (on se reportera au
§2.31 ).
Réponse
Contrô ler le résultat par lt!<.; Lure du «TabJeau des vaJeurs des contraintes limites des acit!rs en tracti on» , Annexe 2.
&éponte
Fissuration préj udiciahle -- 3 cm2 de sec.:tion d'acier pour l'armature de peau par mètre de. parement. Périmèlre à considérer . La largeur de poutre e n fond de moule ~ lant à exclure en raison de la pré., ence des aciers de traclion, on a deux fois la hauteur de la retom bée de poutre : 90 cm. Section théori4ue correspondante: 2,70 cm2 d'acier HA.
Déformations et contraintes de calcul
49
Semelles de fondacions ht
Calculer des ouvrages de fondations par semelles rigides soumises à des charges centrées. Les semelles de fondation sont les ouvrages ùe transition· encre Jes charges appliquées sur murs ou poteaux et le sol porteur. Les semelles en béton armé sont: ' .continues • superficielles · ) ou \ isolées •rigides (non flexibles). Flles ont pour hnt essenti't:l de: • transmettre les charges .au sol • répartir les pressions l'on:a ou actions •Charge~ transmises par les murs ou ies poteaux isolés: permanentes el d'exploitation, verticales, c;upposées cenlrées sur l'axe des semelles. •Actions ascendantes du sol soµs la semelle de fondation dans l'hypothèse dune répartition uniforme des contraintes. •Condition d'équi11bre statique Elle dépend d.e la capacité portante .du sol (non-t~sement, non-glissc:nent, non-poinçoru1ement).
Windows lnttrnd Explom
LE3 ]
OK
Jasdftcations des sections (béLun et acier)
Àl'ELU. et à l'E.L.S. suivant les prescriptions du D.T.U. 13 - 12 et <111 B.A.E.L. pour: -le dimensionnement géométrique, -le calcul des armatures, -les dispositions constructives minjmales.
NB. La .ten.t•Jles t!xcenrrdes, les radiers, les semelles .~ur pieux, 11e som pas abordées dans le p1 lmu chapitre. Les ejff't~· de la neige et du vent n'ont pas été pri1· rn compte dans les exemples ou applications traitées.
Sollicitations de calcul Charges verticales centrées R. L. l:. R. KL.S. Combinaisons de charges Combinaisons de charg~ Nu = 1,35 G + 1.5 Q Nser = G + Q
1-------
-
Rtmarq1m : 1. Les combinaisoru d'acrions ont fait lobjet du chapitu 5 2. Le calcul d'une desce!lfe de charRes est effectué à la jïn du chapitre 4, en considérant les états limiteç ( E.L. U.R. ez E.l.S. ). Semelles de fondations
51
Prédimensionnement des semelles Hypothèses d'études 1. 2. 3. 4. 5.
Charges centrées sur semelles . Sol homogène. Semelle rigide (voir conùiLion ci-contre). Diagramme de répartition uniforme des pressions sur le sol. Transmission des charges appliquées aux semelles par des bielles obliques symétriques par rapport à l'axe. Ces bielles de traction .
NB. le calcul de.s sP.<:ti(lfts d1acier s'effecrnei l'E. L.
u R.
Les vérifications concernant l'effort tranchant et la contrainte
Tableau indicatif des contraintes de calcul admises pour le sol (symhol e aw 1 ) Nature du sol
crsol (}IPa)
Roches peu fissurées saines non désagrégées et de stratification favorable
0,75 à 4,5
TetTains non cohérents à bonne compacité
0,15 à 0,75
Terrains non cohérents à compacité moyenne
0,20 à 0,40
pas visées dans ce ttilileau.
Argiles(*)
0,10 à 0,30
,\ 'B. Le calcul des pressions exercées surit sol s'efjèctue à l'.K L S.
"' Certaines argiles
rr~s
plastiques ne J«.
Prédlmensionnement des semelles rigides Il s 'agit de déterminer les dimensions d'une semelle rigide de fondation sous mur ou sous poteau di section carrée ou rectangulaire. • Éléments connus
- Contrainte de calcul admise sur le sol: u001
- Charges appliquées au niveau supérieur de la semelle: G, Q
Dimensions
L
cas d'une semelle continue: • épaisseur du mur , symbole b • longueur prise égale à 1,00 m cas d'une semelle isolée :
• section rectangulaire du poteau: a X b. • Éléments inconnus . . - D1mens10ns de la semelle
B, h L~..,. continue: .iso1ee: , A B , ,1
1
- Poids propre de la semelle (p. p.) • Équilibre statique Nser
52
=G + Q + p.p. semelle= crsol X aire de la surface portante
B.A. Guide de calcul
avec cr~ 01 ~ crsol
B
Semelle isolée
Semelle continue
Semelle 1
continue
Semelle
Aire de la surface portante: S
.-
+ ire étape
isolée Respect
Aire approchée S1 < S
poteau et semelle: a
2 B1- S-t (surface en -rn )
1,00 (longueur en m)
...
S1
1
=
b
'
(G+Q) -
B1
...... A 1 = ~S1 ~
et
B1 =
ys 1 ~
1
'
e
(Uni tés: S 1 en 1n 2 ; a et ben m)
ze étape n ;;:::: n1 (L=l,OOm)
Choix des dimensions de la surface portante (multiples de 0,05 m)
~
.
.L
'
3e étape Conùiliun de rigidité (D.T.U. 13-12) h= d+ 0,05 (en m)
il - b --~ d~ B - h 4
-
-
h = d + 0,05 (en m)
Hauteur tatale: h = d + 0,05 m (h étant multiple de 0,05 m)
'
4e étape Condition o-801
=
Nse: + p.p.
semelle aire surface portante
Semelles de fondations
53
Exemple d'application Dimensionner une semelle isolée sous pot~au de section carrée • Charge sur semelJe isolée: Nsex =G + Q =0,80 M~ • Conrrainte limite sur le sol : o-501 = 0,5 MPa • Poteau isolé : section carrée de 20 cm x 20 rn1 - a/b =1 • Aire approchée: S1 =0,8010,5 = l,60 m2
=B = /
• Cotés de la semelle : A • Hauteur utile: d
=
1, 6 x 1= 1, 265 m
l.265 - 0,20
= 0, 27 m
4
• Choix des dimensions: A = B = 1,30 m avec h = d + 0,05 - h =0,35 m • Contrôle de h contrainte sur le sol: 0, 80+ 0; 0148 = 0,482 MPa < 0,5 MPa 1, 30X1, 30
Détermination des aciers tendus N 0 : chorge ultime (p. m. dans le cas d'une ~t:md l e continuei
B ielle!> élémentaires symétriques
d P: action élémentaire ascendante du sol d A : effort élémentaire ùe tra<:.tiuu d B: effort élémentaire de compression ùaus la b ie lle hét.on
/
I /
/
/
d
,. . . ---- - ----........ dP
//
1
'--'--".--1---~-L- t '
1
-+---~ --
/
.
_l _ B _ _ _ _ _I. i-
Cas d'unt: st:melle rigide
·'r '-<,' - - ·/ctB~\
,:'
,' '\a
-----{---d-!4--,'._ -t----+
l
X
,:
.
~
\ \\
Action sur les aciers tendus (compMante dA)
"-,' ,,
Schéma de principe de la méthode des bielles (semelle conti nue ou isolée)
__
/ /
/
_,,,..,,.,/ / =
Méthode des bielles comprimées
Semelle continue sous mur • Nappe: inférieure // B (p.m.)
Semelle io;oléc sous poteau • Nappe inférieure// B ------~
Nu (B - b)
Ax = -
8
d
A
f su
• Nappe supérieure ..L IJ (aciers de répartition placés dans le sens longi-
Nu (B - b)
8
d · fsu
(d, < d)
f! L_ 8 1
NB. N11 ne tienr pas comp1e de l'action du poids propre de lfl .Œmelle dam le calcul des aciers.
B.A. Guide de calcul
=
• Nappt: supérieure// A:
tudinal)
54
...
k .
=
u
(A - a)
d1 Îsu
Dispositions construc1ives
Remarques: tl
• S~Lion minimale des aciers de répartition constituant le chaînage longitudinal : > 2 cm 2 pour Fe E 400 > 3 cm 2 pour Ronds Lisses > 1,6 cm2 pour T.S. ou Fe E 500
• Enrobage des al:iers
?-:
: huweur utile
0 1 : diamètre des aciers pour A .t 0 2 : diamètn~ des acien pour A ., dl = d - (01 + 0 2) 2
3 cm
*
'
th
1
{ 1
"& ~ ('I
Al ,,..
-
1
Windows Internet Explor"
OK
B
ac1ers lrans versaux
aciers
aciers B
ti-ansversanx
longitudinaux
ai.;i~r-;
longil 11dimrnx
Semelles continues: coupe type
Calculer Les armatures d'une semelle
lléponse
sous poteau rectangulaire de section 20cmx30cm.
• Nappe inférieure :
Données Nu= 1,12 MN fsu =fel ]' 5 =348 MPa A
B
=1,20m = l,80 m
d = 0,40m
1,12 (1, 80 - 0,30) 104 A J. = --- = 15,09 cm2 . 8 0,40 348 - Choix de 8 HA 16 totalisant 16,09 cm2, espacés de 16 cm • Nappe supérieure: Remarque: Choix a priori d'un diamètre >( ]6 mm pour Jes aciers de la nappe supérif!ure afin de calrnler la valeur de dl. En prenant 0 2 = 12 mm, on a d1 =O. 386 m. A )'
1. 12 = --
8
-
(1,20 - 0, 20) IOL
0,386
-- = 10, 42 cm 2 348
Choix de 10 HA 12 totalisant 1L31 cm2 , espacés de 19 cm Semelles de fondations
55
Tableau d'arrêt pratique des barres des semelles et attentes ls =40 0 pour Fe E 400 [ =50 0 pour Fe E 500 5
Ancrage , symbole ls
B
Barres avec; crochets à 12 0° ou 135° si
Arrêts des
l, > 4
Q8 ~ ls ~ ~4
·Barres rectilignes (sans croçhets) si
ùarrt!l!i
Barres de longueur 0,86 B disposées en portefeuille si ls < B/8 Armatures du chaînage Recouvrement -ç 35 0 ou correspondant à trois soudure.:; clans le cas de treillis soudés Aciers en attente pour poteaux ou voiles B.A. Avec retour d'équerre dans la semelle s'il faut é quil ibrer un moment de flexion ou un effort de traction
·~1f!! µ:J '!! ClfJMt!L!f1·:i'.f
200
~-
35 0
, . 1
· .·· ~;
-~~:
.........__. .:. ...-....-~. . . .·. . . . . . . .~.____. . . . . ...._........,
·~ Déterminer les sections d'armature des deux semelles rigides d écrites ci-après . ~ Se reporter au§ 3 pour exploiter les formules de
calcul des. aciers par la méthude des biell~s.
11~~~ie~;~;;;~;~ou~~;;~~~ acier : t'e E400 (y,> = 1,15)
béton : fczs·= 25 MPa • Contrainte limite sur le sol (roche) 0.75 M Pa
• Dimensions ,~
~Si~;;;;~;:pot~~~.~ ~~% • Matériaux acier : Fe E 400 héton : f c28 = 22 1v1Pa
• .'.\1atériaux
(}'s ol=
2
• Contrainte admise sur le sol (argiles) asot =0,3 MPa , / 20
20 Mur
•
.,
Semelle 8.A .
Déton de propreté Nïveau hnrs gd > .50 cm
Sol de fondation 50
/
NB. Pa,. simpl{fication, pre1Ulra la même valeur de d pour I! calcul de A , ei A!,.
56
B.A. Guide de calcul
Réponses
Réponses • Contrôles préliminnircs
8 -b = 7 5 cm 4 '
d = 2L cm > - -
G + Q + p.p. semelle
0:...11 = Aire surface portante crsol =
0,70n MPa < a 001
• Contrôles préliminaires
= 35 cm
d
>
160
25
Rapports d'homotMLie voisins:
A
R
- = 6, 5; - = 6. 4
a
b o.55 + 0, 0208
= - - --
= 0, 274 :\1Pa
1, 30x 1. 60
• Calcul des sections d'acier Nu = 1,35 G + 1,5 Q =0.48 MN
• Calcul des sections d'acier Nu= 1,35 X0,167 + 1,50 X 0,383
1. )Jappe inft!rieure
1. Nappe inférieure Il B 4
Nu (B - b) 10 Ax= -- -
s
d
r .11
0,48 (0, 50 - 0,20) 104
AA= - - - - - - - 8 0, 21 348 Ax =2,46 cm2 par mètre
2. Nappe supérieure l A ,= -4 A ,.\
f su =f/ Ys = 348 !v1Pa Ax =
• Choix des sections réelles
0, 80 (1,60
0,25) 104
- ----ü,35 348
8
=1108 cm2
AX
'
2. Kappe supérieure// A
0, 80 ( l,30 - 0, 20) = --- - - --
A
= 0, 62 cm2 par mètre
=0,80 MN
8
y
A)
0,35
104 348
=9' 03 cm2
• Choix des sections réelles
Ax: 5 Hi\ 8 totafo,ant 2,5 1 cm2 A1 : t.:baînage minimal 2 cm2,
A. X : 10 HA 12 tolalisant l l ,31 cm2 A Y : 8 HA 12 totaltsant Y.05 cm2
soit 3 HA l 0 filants
Windows lnttrnd hplortr
~
3 et 4 , . Trouver les dimensions des d e ux sem e/Jes ci-uprès, soumise à une charge centrée, dans l' hypothè~e d'une répartition uniforme de~ contraintes. Utiliser la démarche propusée dans le § 3.
3. Semelle continue
4 . Semelle isolée sous poteau
Données
Données
G =0,21 MN : Q =0,10 MN u-sol= 0.4 MPa
N
Épai seur du mur: 30 cm Enrobage ~ 4 cm
Section du poteau: 20 cm X 30 cm
=G + Q = 0,486 Ml\ O"sol =0,95 MPa ~r
....- scmclle à base rectangulaire Semelles de f ondations
57
Réponse
Réponse
• Aire approchée de la semelle
• Aire approchée de la semelle
S 1 -- 0,486 -- 0 ,.51?- m 2
Si= G+Q= 0,31 = 0,775m2 <750 1 0,40
0,95
Homothétie des dimensions:
• Choix de la largeur B
8 1 = 0,775 m ----+ B =0,80 m
= 0,80 -
0.30
Il
a
b
• Choix des dimensions
• Hauteur utile minimale d
A
,/s
,~ ' B 1 = V (,otc
= 0, 125 m
1~
b
= 0,876 m
I ys, ~
= 0,584 m
4
• Hauteur totale ?- d + 0,05 m
Côté Al=
On prend: h =0,20 m
Choix: B = 0,90 m; A= 0,60 m
• Contrôle de la contrainte sur le sol 0, 31 +0.004 u~ 0 1 =
0, 80
• Hauteur utile mimimalt d _ 0,90 - 0,30 = 0 15 m
= 0, 393 MPa
4
< 0,4 MPa ----+ Conùiliun satisfaite
'
• Hauteur totale retenue: 0,20 m • Contrôle de la contrainte sur le so 1 N + p.p. semelle o- = _ser = 0,905 MPa 501 Aire surf. portante
uso1 < 0.95 MPa - .. Condition satisfai te .
1
,\ "
1!
Dicoder les donnéeJ et les résultats obtenus ci-après par o rdinateur (logiciel C.B.A.). Cv11Lrôl er Je prédimensionn.ement de La surjàce portante et vérifier la détermination des sections d'ar· mature.
5 Semelle continue f
6 Semelle isolée sous poteau
SEMELLES DE FONDATIONS
Arron di
OTU 13.12
7 501) CMPa): ? 0.2
(MP.._):
A r·ma tL1res Fe "* Sol Sigs * Semelle 1.Isolée
*
*
* Semelle f
e
(cm)
1
?
Arrond i
20
v a ria b les
g q
CMN/m): ? 0 .095 ? <).025
( MN/m):
rncnsion nement * Predi 100 . 0 - 11inimu m 100 Ar-rondi 5 A
-
1
{ c m)
Contrainte sol :« Ap p rn:{ . As I l a B (d=H- 5cm ) I l a A
* 1
58
B.A. Guide de calcul
B 61.2
65
Sigma= O.l 90 Ay 1.43 Ax = C) . :56
Fe
H 1 5.3 20 MPa
cm2 cm2/m
(MPa ) :
varia bles
a
(cm):
b
(cm ) :
G Q
(MN):
Arrond i
9!5
5
te sol * Contrain . As I l êl * Appro>: (d=H-!k m) I l .-
B A
? 20 ? ?.5
? 0 .55 7 0 . 25
(MN) 1
t A * Predimensionnemen - Minimt.im (cm ) 96 .1
-
? 51)(l
1,Isol ee 2 . Conti nue (1/2) : ? 1 (cm ) : ? 5 sur A et B
* P oteau c:?ntrees * Charges - permanente s -
DTU 13 . 12
:!(
Sigs ( MPa) : ? 0 . 7
~.
c~ntree s
-
SEMELLES DE FONDATIONS
Ar m?.tL1 r e s * Sol
2.Cont i nue (1J2): 7 2 (cm): ? 5 s ur A et B
Epa isseur dl\ ffiLlr * Chargcc * - pe rmë;tnen tes
*
B 1 20 .1
28.8
12 5
31)
H
Si·gm_ a = 1).681
MP~
12.s~
cmZ cm2
~\y A~·~
=
9 .64
Pe.teau.: eomprasitn eentrit _,
But Les poteaux sont généralement sou~s :à des ctiar,ics. vcrtîcà1es qu 'ils transmettent jusqu'aux fondations. 11 s'agilde,:· · · - préciser les hypothèses d'études; . · ··: · "'.: .. -. . : . - c~lculer. le.s armatures longi tuôin~ks; · · . . - choisir et organiser les. armatuye:s longitlJdinal.~$ .et fransve.rsales. et1 respectant les dispositions co:nstrtîëtivés:.......: . ·
· ·· · · ·· . . ;;::.~'.~ >:·:'..;;··.· Dansles c~s courFJ;nts d,~s pott~ü* ":de. b~tifil.~~f;·~~ ·~1t(qqfs'.effe,ç;tll,~ p~··· la mé~.h,9de 'fdr:f.ai.t~ir,.c düRiA:E::L. ~. Pa.!~iF..~~·lfrîWthès~~. s.~t11plës; Démarcli~
entre autres·:. · .
·· .... ·
;; ~
1
. . .=....
::
.
.
:;
....
•
•
- élancement limité poür parer au ri'scp:iè d~ ffa~Übetuent i· ·.... - effort normal de «compression centté'e »; , ,· . . - justifications des sections à l' Ë. L. U. R.. seul'. ;· .
Notations et rappels Longueur de flambement Uolle H.A.
Batimeot
Cas
• ...
Cas général Longueur de flambement 1, suivant liaisons
lr
12 >Io 0,7 10 11 >Io
0
f2
Autres
Puteau
CD
.:./~'
"""""
Légende
r
(a)
lo
i
Oallc B.A.
(b)
/"/
mm
m'r7 ~
2 lo
J?'.777
• Hauteur de plancher à plancher • Longueur de flamb t::ment • Moment quadratique • Section de béton
Schéma de princip~
: /0 : lr : l min :B
f-
1,
À
T.ong11eur de fla 111bt:me11t e::n fum:tion ùes liaison;; d'extrémités
Section type
rr--
=y ;in 1
:i :
0,707 /0 0,707/0 lo/2
Io
OF
possible par tran~ l ation.
Notations / Semdle isolée
ln
(c)
.
(a ) encastre ment, (h) articulati on , (c) encast1emenl el ùéplaœmenl
Poteau
• Élancement
()
Poutre
1,
• Rayon de giration
mm
=l f / i
LJa -
B ab
b
(/
0
'iT
D2
-4-
i
/min
ba3 12 7r D '1
64
-
a
2/3
À ~ lf
2~3
D
-4
Poteaux: compression centrée
-
a
lf D
4-
59
~.
Hypothèses d'études
• Compression «centrée »
Sections
L' excentrernent éventuel de l 'effort de compression est limité à la mo it ié de la dimension
Rectangulaire Losange de sommet (a X b) a/6 , b/6 sur les axes
• Combinaison d'acti on
Circulaire
Dans les cas courants, l'unique combinaison à considérer est:
1 l ,35 G+1 ,5Q
Noyau cent r a l
>-
Cercle de rayu11 R/4
à l'E.L. U. R.
1
-
b
Évaluation ~es charges verticales ( B . A . E. L. H.R. 1) ...i..,------+-"""~
Bâ timen t à d eux tra vées
Poteaux de rive
Sans majoration de charges
Poteaux centraux
Charges majorées de 15 %
6
Poteaux de ri ve Sa ns majoration de charges Bâtiment à plus de trois tr avées Poteaux intermédiaires voi- Çhargcs maj orées de 10 % s ins des poteaux de riv~s
b (i
·Fig. 3"
Noyau central. St'.(.;Üon rl!<:tangulaire
Calcul des armature$ longitudinales EJr;~mple :
Méthode forfaitaire
=0.368 MN Q =0 , 148 MN
Uonnées Comb inaison de base Longueur de flambement Sec ti on cln poteau Matériaux
Rayon
: N = 1,35 (,' + 1,5 Q
a, b ou D
•
Î r.?g' f c
Section rectangulaù e
fc28 = 24 MPa
Je = 400 MPa
= 3,00 m
J
X
1 8~
12
= 12
B = ab = 18 x 2) - 450 c m
A=
À<
2
-.50 ·'"1
( 1)
,\
2
'1
210
T = .s, 196 = 40, 42
(ou A=
a: = 0, 6 (
_ 4 bü cm
i= ~ B = 5, 1 96cm Le
applicable
(f
=
< 70
2 f3 Lr la)
50 0, 85
n. 1+O,2 1 .., _
,2
= 0, 671
)
\. .)) .
1
N.B . On suppose que la majorité des charges est app!i· quée après 90 juur~.
( l) .S i Nu/2 appliqué avant 90 j : diviser a par 1, 10 28 j: di viser a par l .20. remplacer f 1.:28 par f,r B.A . Gu ide de calcul
25
=
I = ba 112
Él ancement
60
} Nu = 0, 719 MJ\. 1, - 0,7 !0 = 2, 10 m a = 18 nn; b = 25 cm
/0
lr
Méthode
1
poteau intérieur d'étage
Section réduite 368 cmi
(a - 2) (b - 2) = 16 X 23
Athéorique
A th
=
N 11 (,a
B r J.rc2.8 \ 1 ·ys
-
(0,813
-
A th=
0,9 Yb ) fc
u A (4u) Amin
\
f
= 4u cm
2
(Z)
\.
= 0 . 2100
=4
A (0, 2'fo)
I.__A_M _in_ _ su_p (A (4u); A(0,2%))
A min
1
(3)
As cru: = sup (Ath ; Amin)
0,9
X
X
24 .)' 1, 15
1,5
4
400 · lû
2
= 12, 00 cm
= 2 (0, 18 + 0, 25) = 0, 86 m
A (4u)
B
/l (0.2%)
0,0368
\0, 671 -
As cale
x 0,86
= 0, 2
= 3, 44 cm2
18 X 25
-
- 100
= O~ 9 cm2 2
sup (3, 44 ; O. 9) = 3,44 cm
= sup (12,00 ; 3,44) = 12,00 cm2
(2) 11 représente le périmètre de la section exprimé en m. (3) Vérifier de plus que.As< 5 % 8, sinon frettage (cf B. A. E. L. A.8.1,2) .
. Dispositions constructives
CB.A.E.L. A.7.2 eL A. s.1)
Indications règlementaires
Exemple (suite)
Distance mini aux parements
•Enrobage
1 cm local couvert, sans condensation c;,. 3 cm intempéries, condensation . 5 cm littoral, brouillard salin c "? 0 L et cg (cf A.7.2)
0
Chuix As: 4 HA 2 0 (12,57 cm2)
i
• Bétonnage cornet
c c
{diamèrres maxi respecrivement des ackrs ltmgiludinaux et des granulats )
Rspacements maximaux
Section rectangulaire + 1Û Clll 40 cm si A> 35 e ::s;
À>
35
.4sà placer
aux angles le long d~ b
P-
~
Section circulaire
;;;i,
';?.
1 cm 20 mm
Section rectangulaire 18 X 25 e<18+10=28c;m 25 e < 40 cm
1
li
Choix:
cadres HA 8
Exemple (suite)
Iodicadons rè1tementaires •Armatures transversales
Diamètres et espacements
~
Ceinturage externe de A, /
0t
0u /"
Jonction par recouvrement
]' "
li
[r
=J
l'
~ ~L
avecfc >
:no MPa
0t= 8mm
.
~
20mm
-
3
~ .~ = i nf (a + 10 cm;
st ~ ~ = inf (28; 30; 40) = 28 cm
15 0min; 40 cm) ~ 0,6 ls =24 0 pour HA ~ 3 cours transversaux
Choix: s1 =25 cm (4 cadres HA 8 p.m.)
0L2 /~
Données
Déterminer les valeurs suivantes :
Poteau B.A. de caractéristiques géométriques suivantes: section 35 x 50 cm, le= 2,50 m
Moment quadratique l
min
Rayon de giration i
Élancement A
?
rép .: 24,ï5
?
Établir les rapports lf /a et lfl n ~--s-· - - - - - - - . . - -----1-.---.....--c-i·r-,.-u-la-i·r_e_ ___, pour respecter A ~- 50 ect1on type rectangu am: . .,
Réponse
_ _,___lr_·_D_____, lrl a -~ 14,4 et lcf D -~ ·
Paramètres connus
,,
Réponse
le coefficient de réduction œ.
q,s
(50"~
50 <À< 70; a
= 0,6 I \ ) =0,534 pour j
> 90 jours
\ Il. ,/
Poteau de bâtiment d'élancement 53, chargé à 20 jours.
• La mise en charge précoce impose œ
=
0,534 1,2
= 0,445
•fc28 doit être remplacé par fcio
Déterminer les armatures d'un poteau intérieur B.A. soumis à un effort normal de compression centrée sur la section de béton.
Données
Effort norma l à l'état limite ultime E.L.U.: N u = 850 000 N (ou 0,85 MN '1 . • Section du poteau: 25 cm X 25 cm Longueur de flambement : z = 320 cm 1 Chargement> N/2 appliqué avant 90 j Résistance caractéristique du béton: f c 2s = 30 MPa (béton réafo;é avec gravillons moyens: maille de tamis 8 à 12,5 mm) • Armatures en acier HA: ). = 400 MPa · -v 1 15
• • • • •
e
62
B.A. Guide de calcul
' 's
=
'
a .a ppel des formules
Application numérique
• Effort normal u ltime Nu = 1,35 G+ 1,5 Q
• Valeur de l' effort normal ultime
• É lancement mécaniqut! À
• Élancement du poteau (a= 25 cm)
À
Zr
Nu = 0,85 MN
!?. lr
= -:- = 2-v 3 l
À
li
• Valeur du coefficient a pour À 0,85 œ = 1 + 0,2
(~
:::::;
50
= 2,/3
320 25
= 44,34
• Détermination du coefficient
a< A< 50)
0,85
J
œ
( 4434 ) 2 = 0,644
= 1 + 0, 2
3.5
• Règle: (Y est à divis1;r par 1, 10 si la majeure parChargement avan t 90 jours: a tie d es charges est appliqu ée avan l 90 jours . • Section r~
Section théorique de l'armature
A th
fc28 ) '+Ys
= (Nu _ Br a 0' 9
unités:
rb . Je
enm 2 fc28 etfe enMPa Nu en MN Br etA
1,1
= 0,585
-(0,850 _ 0,0529 X - 0,5 85 1) 5
30) . 1,15 400
N. B. Veiller a ux unités pour exprimer ensuite la section en cm 2. 2 A th = 7 ,98 cm
• .Secti on réelle: voir Lableau Anne xe 1
Dispositions constructives minimales • Sec tion m inimale d 'aciers As ~ 4 u = 8 (a.+ b) /1 OO unités: A 5 e n cm2 ; u en m; (a + b) en cm • Pourcentages d'armature
B
0,644
Calcul de la section th~oriqu e A th
'V
=
B
0,2 100 ~ As ~ 5 100 • Armatures Lransversales
• ·sccbon réelle: 4 HA 16 totalisant 8,04 cm2
Dispositions constructivt!s • Armature réelle A s= 8,04 cm 2 8 ' 2 As ;:;:: (25 + 25) = 4 cm 100 • Comrûle des pourcentages d ' acier 625 625 0,2 X IOO < 8,04 < 5 X lOO • Cadres du potea u 0 L = 16 mm __. 0 1
0 l > 0 L/3
=6 mm
Espacement des cours transversaux Espacem ent des cadres S 1 < inf { 15 0 Lmin; 40 cm ; a+ IO cm} s 1 = inf {15 X 16; 40; 35} = 24 cm • Longueur de recouvrement • Valeur de lr en cm lr ;?- 24 0L Lr ~ 24 X 1,6 =38,4 cm, soit Jr = 40 cm • Nombre de cours tran•wer saux di sposés sur la 1 • Cadres disposés sur recouvrement 1 longueur lr 3 cours espacés de 12 cm v ?- 3 cours Enrobage et bétonnage correct 1 cm : lieu clos, couvert, sans condensation
3 cm: intempéri es, conde nsation 5 cm: m er, b rouillard sal in Enrobage minimal c ::3: sup {0L; cg} avec 01,: di amètre m aximal
J
2'i
Il
D _:i 1
4 HA 161
cadn:s HA 6
Poteaux.: compression centrée
63
Données Nu =0,684 YIN f c2P. =30 MPa fe = 500 MPa 1, =4.50 m Section béton: 25 cm X 35 cm
Materiau>;
F c ;28
* Flambsmemt ** S2ction
re
(:)() '\2
a
rm.::i tures
/
La valeur de a est à divi scr par 1,10 car la majeure partie des charges est appliquée avant 90 jours .
s ""
875
u
1. 2
b
(cm) ;
? 35
J
(MN): ? ( j O Llr) ! ?
25
0 . 684 41)
6.06
L.;.mbdë1
m
1
?
As
cm2
son 4.50
(cm) :
c m2
= 62 . ;:>5
Alpha Etr A theor A ( 4u) A
( Log ici el
1/2 ?
*
3(1
a
Nu
* Details
= 0, 6 I T ) \
~\
,..,
(
2.CErcl e
Lll
*
( MPa ) :
.. '. 1 . Recta.ngle
* time * Charg e > N1.1/2
i
Ar -t. B. 8.4
~
CMF'a); ? m ?
Lf
Rectangle a(b
Indications réglementaires lr A = -:- = 62,35 50 < A < 70 ~ a
=>QTEAUX DE BA.I I MENT S
*
( . 2/.)
.351 7 59
6.06 4.8
= 1.7'5
cm2
cm2 cm2 cm2
C.B . A. )
1) Décoder directement dans les listings ci-après les donnée!>· de l'étude relatives: - aux caractéristiques des matériaux f c: 28 et f e; - à la longueur de flambement lf ; uux dimensions de la seczion (petil côté a, grand côté b, diamètrP. n ); à l'effort 1turmul ultime Nu; à l 'application des charges dam· le temps (en jours). 2) Effectuer, dans LP..1· deux: cas, le calcul de l'armature A 5 e i vérifier les dispositions constructives minimales.
*
POTEAUX DE BATIMENTS
* Mate r im ux
a Art.B.8 .4
Fc28 (MPa) ; ? 25 Fe
* Fl dm ~emen t
Lf
* S ection
(MPa)1
? ( m ): ?
1. Rectangle 2 . Cercle 1 /2 Rect-ngle a < b a (cm): b (cm): * C harge ultime Nu (MN): > Nu/2 a J (jour) :
?
*
4
*
* Detai l s = 600
u ..
1
cm2
m
2.80
=
1.2
A th< 0 - • section de bézon surabondante Section minimale: A. n = 4 cm2 ' :111 Section réelle : A. =4 HA i2
B.A. Guide de calcul
1 . Rectan gle
2.Cercle
*
*
35
Remarques
64
Fc28 ( MPa) : ? 2() Fe (MPa}: ? 5(10 Lf ( m ) : ? 2.90
Flambemen t *:t: Section
? i ? 20 ? 30 ? 0.45
* Art.B.8.4 *
POTEAUX DE BATIMENTS
* M.;1terië>.ux
500
Lambda 48 . 5 Alpha • 558 Br 504 A theor =-2.93 A ( 4u) = 4 A ( • 2ï.)
*
Dia metre Chan~e ul t ime )
Nu/2
cm2
a
cm2 cm2 cm2 c m2
* * Details s
u
= 490.87
-
. 7854
Remarques
cm2 m
1/2 ? t 7 Nu ( MN ): ? J (jour): ? D
Armatun~~
As mini
A rma tu ~ es
s
*
( c m)
2 25 0 .560 30
As
8.37
Lambda
46.4
Alpha 8r
. 572 415.48 cm2
A theor 8 . 37 A ( 4u) = 3 • .L4 A (. 2/.) .98
cm2
cm2 c:m2 cm2
(Logiciel C.B. A.)
Section théorique : A th = 8,37 cm2 Section réelle : 1\5 = 9,24 cm2 ( soit 6 aciers 0 14 à placer symétriquement)
Application Évaluer la capacité portante du poteau P 2 de la figure ci-dessous sachant qu 'il est .toitu.é ù /'intérieur d'un bâtiment courant. Il est réalisé avec wz béton dosé à 350 kg/rn 3 de ciment CPJ 45 et des armatures de nuance Fe E 400.
Données f c2 R = 20 MPa ; f e cgmax = 20 mm; j
= ~
400 MPa 90J·ours
-t-- - 1 1
1
1
1
1
1
:
--+
COUP E
+- --=-i=--+1 1
P2
PUTEAU
1
1
l-I
1
1. 1
Réponse • 1
Lecture de plan • Hauteur libre : /0 = 2,70 m • Section 20 x 50: R = 1000 cm2 • i\ = 6,786 cm2 ( 6 HA 12) • s1 = 18 cm
t-tZ.60 \,
_J
st+2.20 ~/\6 L• l.30 ~5
Vérification d es dispositions constructives • Enrobage : c =40 - 6 - 6 =28 mm > 1 cm • Bétonnage: c =28 mm > cg • Écartements maxi entre HA 12: 21 cm max i autori sé : inf (a + l O; 40 ) = 30 cm • À>35 ~barres HA 12 le long des grands côtés
0
• 0 1 = 6 mm donc 0[ >
L
3
·~/
(1:1 8)
~c=i
(3')6 HA 12
L: 3.37
5) ; 1
t
19 élrie·s HAS L- 40 (l:1 8)
r----'Ü'-15---~ Œ<-6
~i"rJ
HA)2 L-:: J.37 /
/
= 4 mm
(étrier central s'opposant à la poussée au vide) • s1 = 18 cm n' excédant pas ~= inf(a+lO; 150L; 40 )=1 8cm 19 codrP« H~6 L- 1.30
Yérification des pourcentages r églementair es • A5 >Amio = sup { 4u; 0,2% B} = 5,6 c.:m2 .4s < 5 % B = 50 cm2 Calcul de la capacité por tante ultim e Nu
~ _
IYu -
l t-18 )
(z ,
\
Se cti on 7HA12L·1.70 2" li1 1 • M.6
1.±o.oo ~
7 - 0.1J!.
( Br fc28 A fc ) a 09 + S \. •
'Yb
'Ys
Ir = 0,710 = 1,89 m A = 2/3
donc ex
~a
= 32, 74 < 50
0,85
=
À
)2
= 0, 7234
N.B. Hauteur libre du poteuu =260 cm + 10 cm
1 + 0, 2 (, 35 / B1
=864 cm2
Nu=
et
fc28 =20 MPa
1,097 MN
Poteaux : compression centrée
65
Cet ouvr age est illustré de nombreux exemples traités ou vérifiés à l'aide de modules de calculs é laborés par les auteurs dans un souci pédagogique. Ces modules fonctionnent .:;ur compatibles PC sous DOS : - dix d'entre eux sont regroupés sur une première disquette ; - dix autres modules seront regro ~pés sur u ne seconde disquette. • Contenu de la disquette ne l Elle comporte 6 modules RdM et 4 modules BA.EL 9 1, corres pondant sensiblement au contenu de cet ouvrage.
Thèmes
RdM
Applications CdG et moment quadratique f x
Cas traités Section : • simples ~
• composees Poutres ISO (calcul de M et Il)
BAEL91
Charges: • uniformes • localisées • trapézoïdales • quelconques
As : ELS et ELUR
Armatures des sec.:lions de poutres fléchies
à section rectangulaire Vérification des contraintes et 1Wu (section rectangulaire et en Té)
cr et .~1u : ELS et El .L!H.
Armatures de poteaux en compression centrée
B. 8 . 4 : mélhude forfaitaire
• Contenu de la disquette n° 2 (en préparation,) Fondations rigides, poutres continues (méthodes Caquot et fo1 faitaiœ), adhérence, effort tranchant, · flèches. calcul des sections fléchies avec arm atures comprimées à l'ELS el à 1' ELUR. Pour tout renseig nement complémentaire concernant les conditions d'obtention de ces produi ts, écrivez soit directement aux auteurs à l'ad resse indiquée ci-dessous :
J. LAMIRAULT, Laboratoire de Génie civil École centra le de Nantes 1 rue de la ~oë, 44072 Nantes Cedex 03 soit aux Éditions FOUCHER (Sertice Édition - Secteur industriel).
Lestirants sqnt des éién:i~nts FLA'.. soninis à un·~fforLnor~bal de tra:c- . tio1r. ,,
.,.
Ils ~ery~nt: à ~.quilfbrer: . . . - lës poussées )lorizontaies ,.:par exernplç les v o ussées engendrées
aiJx applÏis:par . nn. arc; : · · · · . · · - les actions vehicMe$;;cus d;' utilisation: s.uspentes. Condition:dcr s~Uidi~~icin. d~:tr~cfü:in Shnpîe·danS une sectio11.:·le point d' applicatioJ.1 de l' effort normah le tracticni N doit c-0'i nCidd a vetl le · C . d. G. de fa se,c tiondesarmatd tes et de :ceJkdub éton. ·
Démare;lte ·
Il s' ~gH de considêrer: les.étàts.li\rrÏi tes afin de: · ,. - déter1ùiner les sections d'acier et( foncti.on de Nu .e t Nser; .:. cô.ntfô ler Jes ~i spos uions réglementaires minimales.
Hypothèses d'études
v'
Contraintes de calcul
~'
• La résistance du béton tendu n' est pas prise
en compte . • L'effort normal N est uniquement équilibré par les aciers. • Même centre de sur-
y! ,'\'
11111
État limite de résistance (E.L.U.R .)
s
--1·-·--3--+
Schéma de principe
section de béton e l pour la se.c ü on
Nu Nser '
Principe cle calcul
Effort normal =
• Contrainte de traction: fsu = .f/Yr,
État limite de service (E.L. S .)
face (C.d.G.) pour la - àl' E.L .U.R. - àl' E.L.S.
• Déformation de l'acier : r.s = 10 30 ._ pivot A
Section l r Contra inte l ( rl o ~ ') t .. i o r{~ } X ~ .--I o l'.-:O l ~ l J l V UJVU l J
• État limite d ' ouverture de fiss ures . La con trainte de traction des aciers a st est bornée suivant les cas
11'11
\..ol \.h)
U Vl VJ;J
UV
Détermination des sections d'armatures Calcul E.L.U.R.
Calcul E.L.S.
• Effort normal de trac tion N 11 = 135 c; + 1,50 Q • Condition d' équilibre statique Nu = .4.,u X f su • Calcul de la section théoriqu e
• Effort normal de traction N se.r =Ci+ Q • Condi tion d ' équilibre s tatique N5cr -- Ascr xcrst • Calcul ùe la st:clion thforique A ser -- 1i\Tser j o-,t *
A su =NI u f ~u
Section théorique à retenir: A = sup {A 11 ; AsP.r}
*Voir Annexe 2 pour
Tirants: tract ion simple
67
Condition de
Conséquence pratique
non~fragili té
Notations
( B. A.E. L. A. 4.2) Limita ti o n de Ja sectio n ctu héton vis-à -vis de la section d' aciers
A~ X
f ,.
---...-... Effort de tracti on des ac i ~ rs
Dispositions
A. : ~e<.: liun réelle des ac iers tendus f~ : limile
1
~
B X f12B
B
~
réglemen~aires
: section totale du bé ton tendu
ft2b: résistance c aractérist iq ue du
Effort de traction du béton
béton à la traction
minimales
Conditions d'enrobage des aciers
Diamètres et écartements
(B.A.E .L. A.7. 1)
Cas de l a fissuration
L'enrobage c de toute an natuœ c:st au moins égal à: • 5 cm: ou vragt:s à la mer • 3 c m: m ilieu soumis à des ac tions agressives
• Aciers longitudinaux tenc1.us :
• 3 cm : milieu soum is so it - aux intempéries - aux co ndensations - aux liquides
p réjud i~ i able
0::;::: 6mm • Écarteme nt entre harrcs : eh ~ 4 0 si 0 ~ 20 mm
Cas d e la fissuration très préjudiciable
• 1 cm : locFi nx couverts et clos, sans condensation .
• A cier s tend us: 0;;::8mm
Possibilité s de bé tonnage correct
• Éc
( B.A.E. L. A.7.2 ) 0 1 ~ {h/35; 0 ; b0 /1 0} e ~ ~ {c: s· 0 } eh '? { I ,5c g; 0} c1 ?: 0
Jonction de barres par recouv rement • Lon gueur de scellemen t droit ls En pratique: 18 = 40 0 pour Fe E 400 [ = 50 0 pour Fe E 500 5
Voir figu re 2.
01
•
;Fig. :l
68
ue ùanes par recouvrement
l:'v
• • bo
î>roll~ction
Jom.tion
des aciers et po>sibilités cic bétonnugc
B.A. Guide de calcul
• Nombr e de cadre s sur la longueur de recouvre· m ent Condirion : 2n A1 ~ n 1 A 1 n : nombre de cadres 1\ : sec ti on d'un brin n 1 : nombre de barres non comin ues au droit du reco uvremenL A 1 : ~e<.:tion d'une baue
s
, pour un tirant en B. A. soumis ii. un effort normal de traction simple, appliqué au. C. d. G. de la section.
Nu = 220 000 1\, ou 0,22 MN Nser = 160 000 N, ou 0,1 6 MN Section du tirant: 15 cm x 15 cm
Acier FeE400; y s.= 1,15 ; 77= 1,6 Béton: f çza = 30 M Pa Cas d e fis suratio n préjudiciable
Réponse
Calcul E . L. U. R. • Contraintes de calcul del' acier: pivot A ; " s = 10 %0 f e I y~ = 348 MPa
Calcul E. L. S. • Contrainte de calcul: crst = 2 16 MPa
• Secti on théorique
• Section théor ique d ·arm ature tendue (en cm 2) :
Au
=
348
( Lire la valeur de c.rst en Annexe 2 , pour
f et.& = 30 MPa et fiss. préj .)
x 10 = 6, 32 cm
*
N ser Ü, 16 X 104 2 A ser = -=- = - - "'-> 16 - cm CTst
A s~r
= 7,41
,.,
2
cm >A u
= 6,J2 cm 2 *
Choix de la section réelle: A5
=4 HA 16 totalisant 8.04 cm2 cadres HA 6
Contrôle de la condition de non-fragilité As X f e ?-:: B X f128 8,04 X 10-4 X 400 > 225 X 10·4 X 2,40 ou: 0,32 MN > 0,054 MN
(6p.m.)
4 HA L6
l.'i
(*) Remarque: !P. calcul E.L. U.R. avec un acier HA Fe: E 500 donne Au - 5,06 cm2 .
15
Section du tirant
cadres HA 6
Con.frôler les dispusilions constructives ci-après d 'un tirant de section 20 cm X 20 cm, armé de 4 HA 20 (Voir figure 5). Béton: f cis
(5 p.m.)
=25 MPa
Viamhre. des granulals utilis-ù c :::s:; 20 mm. Cas de jïssuration préjudiciable. s
11
20
HA20
3 2 0 .6
20
0.6
Tirants: traction simple
69
Données
Réponse
Dispositions constr uctives minimales
Conformité
~~~--1-~~~~~~~~~~~~~-
Enrob age : c ; ; :-: 3 cm
Oui
Possibilité de bétonn age correct: eh ~ ( 0; 1,5 cl:) eh ~ 4 0
(Voir fig. 2) Oui eh = 8,8 cm> 8 cm
Diamètres des cadres : Espacement des cadres :
Oui Pas de règle part icu liè.re en zone courante
6mm 20 c rn
Condition de non frag ilité: As = 12,57 cm2 ; B = 400 cm2 fe = 400 MPa; f 128 = 2, LO MPa
Cond ition:
.4 5 X f
't,
~
R X ft2R
vérifiée
Remarques: • ftjfort de traction (en admettantJ!:! conformitéj: N 11 - 0,437 MN à l'E. L.U.R. et Nser =0,254 MN à L'E.L.S. •Avec utilisation d'un acier HA Fe E 500, on a: NJ = 0,546 MN et N~er est inchangé. ~~~ ~.~
~:,.l:'~~i.....:.L ~ ..,li.
t~-
ill3 ~ ~ ~" ~ ~ *·"ll!liL.li "'~- "'g,;_ !']
••
• "'.:.J
·
ho. 1
~ ;fr ~.:
i
~
Données • Matériaux: acier Fe E 400; n = 1,6
Déterminer la section d'armature et comrâler les dispositions constructives du tira nt horizontal de lafigure 6. ce tirant reli~ les monrants inclinés d'un portique au niveau des appuis. Il repose sur le sol et son po ids propre n'est pas à prendre en compte. Il est destiné à équilibrer les p oussées horizontales du portique.
béton f c2& =27 MPa • Cas de fissurai ion: très préjudiciable • Sol jugé agressif • Effort normal de traction simple: Nu = 0,540 MN 1\er = 0,365 MN
Répon se
CalculE. L.U.R.
...
f', r 1 •
l.
.
Fft! , ~
.
Contrainte de calcul de l'acier: pivot A; ss = 10 %0 ; f
Calcul E.L.S . • Contrainte de calcul
&::
= 348 .MPa
Section théorique de ]' armalure Au
=
0,540 348
X
4
10
=
crst = 170 MPa
(vûir Annexe 2)
• Section théorique de 1' armature: 15,52 cm
2
*
Aser =
0, 365 170
X
10
4
?
= 21,47 cm-
Aser > Au --+ Choix de la section réelle: 4 HA 20 + 2 HA 25 totalisant 22,39 cm2 ('~) Remarque:
..
le calcul E.L U.R. avec un ucier HA Fe E 500 donne A11 = 12,42 cm2 . 30
..
ti Dispositions constructives minimales ~ • • • c ~ 3 cm : vérifié • eh = 7, 15 cm~ 3 0: conforme
• Détonnage correct assuré (B.A.E .L. A .7.2) • Même C.d.G. pour l' armature et la section de béton (aciers disposés symétriquement )
70
B.A. Guide de calcul
(5 p.m.)
Sr.r.lion du ti rant
Rech~rcher l'état limite déterminunl pour la section des armatures d 'un tirant (s'agit-t'il de l'E.L. ff.R. ou.del'E.L.S. ?).
Nu= 0,401 MN et N ser = 0 ,288 MN Je= 400 MPa ; f c28 = 40 MPa Cas d~ fiss uration préjudiciable .
Réponse A u = 11 ' 50 cm2 ·' 11ser = 11 ' 12 cm2 État déterminant: E .L. U.R. Remarques : dans la majeure panie des cas rencontrés, c 'est L'E. L. S. qui est l'état déterminant. L'utilisation d 'un acier HA Fe E 500 donnerait pour Le calcul à l'E.L. U.R.: A 'J = 9 , 22 cm 2 < 11 12 cm7. t
Un atelier industriel est réafül. à l'aide d'éléments préfabriqués formant arcs isostatiques à trois articulations. Poi1r équilibrer les poussées engendrées en pied, un tirant hori<,antal B.A. repose sur le sui e l relie les extrémités distantes de 16 m. Déterminer l' amw.tu.re du iiran1 soumis à un effort normal de traction simple.
. ' " ' L
J\
Tinml
ho1;:ontnl
=.~'\·
de section 10 cm X20 cm ------------
....i<----- --'· -
•
Données • Matéri aux utilisés: béton j c 28 = 22 MPa acier Fe E 400; n = 1,6 (barres du commerce : L = 12 m) • Set:Lion du tirant prévue: 20 cm x 20 cm • Fi ss uration jugée très préjudiciable • Efforls normaux : Nu = 0,420 MN Nser = 0 ,300 _ .\1N
li B ,·
~;
Atelier industri el: élé rm:r11s dt' l;i strucrnre
R.éponses
CalculE.L.U.R.
Calcul E. L. S.
• • Contrainte de calcul de l 'acier : fsu =348 MPa
• Contrainte de calcul de J.' acier:
u St
• Section théorique de 1'armature: 0,420 4 2 Au = x 10 = 12, 06cm * 348
A ser
>
A u ---+
=
158 MPa
• Section théorique d e 1'armatu re : o.300 4 2 Aser = iss x 10 - 18, 99cm
Choix de la section réelle :
4 HA 25 totalisant 19 ,63 cm2
(*) Remarque: le calcul E.L f !. R. avP.c 1w acier HA Fe E 500 donne A11
= 9,66 cm2. n rants : traction simple
71
Étude de la jonction des barres par recouvrement décalé ( 1 décalage/ 2 barres) • Longueur de recouvrement l_ = 40 0 • =40 X 2,5 cm = 100 cm. • Nombre de cadres n sur /s Section totale de deux aciers tendus: A :sl = 9 ' 82 cm2 Section J' un brin de cadre HA 8: At = 0,5 cm2 Il faut 2 n X A 1 = Asl' J'uù: 9, 82 n = x O,S = 10 ca
cadres HA 8 (5 p.m.)
4HA 25
20
0.8 Section du tirant
Les dispositions constructhes et la condition de non-fragilité sont conformes (analyser1a figure 8 en tenant compte du paragraphe 4).
72
B.A. Guide de calcul
2.5
2..'i
3
7.4 20
3
0.8
.
Onsuns~dère des é}fmcnts fl éc~ i s (ptjùtres; ùalles de .planchers etc.)
en béton armé.
.
·
·
Les sollic,itations normales ~ont .cellt:.S,.qui .peuvep:t être équilihrées à l'aide des contraiiiles normales développées sur les sections ùruites des pièces( B.A.E.L.A.4)par : ·.,,: ·. : . .· - compression.
tance.(E. L.·l ;. R.); ·· · ' · - lés états 1imites de se1 vice (~.L.S.) . .
·
:
·~
\
Le présen t chapilre .a pour) ut 4.'étudj ~r e(d'apphquer. les méthod~~ de déterminatio n simple ét rnpide d,üne section de béton armé en effectuant deux étapes principaies; · · l.ContrÔler en une seulcph asesi: .. ·'.~· - l a. s~~üon es.t .s an~ 1um~turecompri,m~~. C.4~ =;9); .~: ··: . ,· · ·- la contrainte limiic de compression du béton à l 1E. L. S. est respectée , ( rrbc~ 0:-bc). (B.A. E.L. A..4:5.2) ' ,· . · .. . .. ,, 2. Déterminer l' armature longit~1 dinaie pa:r l'une des méthodes suivante~: · : · · , , · - 'calcul direct ; - utilisatioq ·d e ta bleau x numériques : . . .. ,. " ''""
; ,.,.;
;.
Remarque importante Dans le cas de fissuration peu préjudiciable, la détermination de l 'mmature tendue est obten ue par un seul calcul effectué à l'E.L. U.K. , qui tient comple de La limite crbc imposée en service. La vérification des contraintes à l'E.L.S. n 'e~t donc pus nécessaire mais peut servir à contrôler les ré.rnltats obtenus.
;;;
Hypothèses d'études (B.A.E.L. A.4.3 .)
• Béton : diagramme rectangulaire simplifié relatif aux déformations - contrainles en com pression . N.B. Les contraintes de traction sont négligées dans les calculs.
Contraintes de calcul (B.A.E.L. A.4.3.4.) • Contrainte de compression du béton Cas coul'an~ : = 0 • 85. fcj (j ;::: 28 jours et 'Yb = 1,5) 1, 5
• Contrainte de traction des aciers • Acier: diagramme bilinéaire de calcul (traction et compression).
Cas couran t." (Ys= 1,15) :
• Adhérence: pas de g lissement entre acier et béton.
- Acier HA Fe E 400 : f su = 347,8 MPa si l ,74%o ~ r-, ~ 10%0
• Déformations limites: suivant la règle des «troi s
- Acier lIA Fe E 500: fsu = 434 ,8 MPa s i 2,1730 :c:;; SS ~ 10 %0
pivots» qui impose e n fle xjon simple d'atteindre l' un des pivots/\ ou B.
• Contrainte limite d e compression du b éto n à
l'E.L.S.
-Pivo1 A : allongement des aciers li mité à 10 o/oo
- Pivot B: raccow-cissement du béton limité à 3,5 %u N.B. Voir également r:ltapitre 6 < ' Bétons et aciers - Carac!éristiqites» et chapitre 7 «Déformations et contraintes de calcul».
(!be=
0,6 f c'J
- - -
• Résistance caractéristique du béton en traction 1
ft j
= 0,6 + 0,06 fc_;
N.B. Voir chapitre 6 et 7 et Amiexe 2 .
E.L.U.R. : Flexion simple
73
Combinaisons
Calcul des sollicitations
On distingue les cas suivants : - une seule travée sans porte à faux;
• Moment ultime :
- plusieurs travées sans porte à fa ux; - poutres avec porte à faux; En général , dans les t rav ées chargées, on prend à l'E.L. U.R.:
• Moment en service : Msu =M (G) + M (Q:R) • Rapport des moments :
Mu= l ,35 M (G) + l ,5 M (QA)
1,35
~
î'
~
1,5
1,35 G + l ,5 QB Remarq ue: la valeur de 'Y inrervienr dans le calcul du moment r:ritique à L' E. L. U. R. (vo ir paragraphe 6 ).
N .IJ. Revoir le chap itre 5.
Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire On considère une section couran te so umi se à un moment de fl exion simple . ....."
Béton comprimé
, ,_ 4_0Î- ~™.r -- - :,: 0
oc;
fsu .,
~
Diagramme des contraintes
Diagranunc-des déformations
So!Jic itations imemes
Section B.A.
Section re.ct angulaire B. A. : cond itions d'équilibre
5 • i..
~ --- -·.:- ......
.. ,~'-'liuaaaua· ~ ... .: 1.:-. ........ Eo'JUda.avu.a u ~
• Équilibre des efforts normaux :
• Équilibre des moments par rap)>Qrt au C.d.G. dt!s aciers tendus
"5'
-+
-+
F } effort de compression du béton ._,
= =
,rv;,,,
=
N su
0,80 Yu . b . f bu
=
A._. · fsu
"'-'proj . Ox (
-
-
effort de traction des aciers
-
-
-
(1)
0 ,40 Yu
M/A { F }
moment de flexion
-
-
Mu 1
.
=
-+
0
i
soiL
bras de levier
effort de compression
-
=
-
Nbu
X
--
Zu
Mu = (0 ,80 Yu· b · f bu) (d-0,4 y 11 )
(3 )
• Expression de M.u
• Bras de levier (symbole Zu)
z. . = li -
-.
I
0 soit
(2)
Avec (1 ) et (2) on obtient: {3')
74
B.A. Guide de calcul
5.2.
Paramètres de calcul
• Position relative d e la fibre neutre dans la section (symbole au)
• Moment ultime réduit: µ,., 111 Mu= 0,80 au (1 -0,40 œu ) b. d2
f bu
Eu posant:
(4)
a u =yli / d
•
• Pourcentage mécanique :
(7)
.--~~~~~~----.
On pose:
=
Pu
Au
fsu
b · d
fbu
(5 )
on obtient l'expression du moment ultime réduit: µ,hu = 0 ,80 œu (1 - 0,40 au)
• L'équation (1) devient:
0' 80
u
u
=p u
• Bras de levier réduit (symho lc /3 11 )
On pose f3u = Zu / d soit
1
11
• Expression de a 11 en fonction de µ,bu
(311 = 1 - 0,40 a 11
Préciser les étapes du calcul à l'E.L.U.R. pour déterminer la section d 'armature A u en utilisant les paramètres de calcul:
· a u'·f311
1
au
=
1, 25 ( 1 -
~1
Données • Section utile cl u héton : h; d • Contraintes de calcul béton : f bu acier : f su • Moment agissant ultime: 1\4u
Déterminer le pivot à considérer A ou B à l'aide du paramètre: /.Lbu
=
b · d 2 ·fou
• Partir du diagramme
( 9)
µ, bu )
;
µ,bu
=
b .
d2 .
r
. hu
2. Position relative de l a fibre neutre: au
= 1, 25
(1-
J1 -
2
JJ..bu )
3. Bras de levier rédui t: f3u = 1 - 0,4 au 4. Section d'armature. La formule (3') donne: Au
=
f3u · d · fsu
• Calculer µ,bu en fonc tion de a u • En dédu ire la règle pratique de détermination des pivots ( pivot A ou pivot B). Réponse
Pivot B 3,5 9'c
• Di agramme de
Indications
2
Réponse Etapes principales: 1. Calcul du moment réduit :
r bu'
011 ulilisera les formules prh:Mente.c; (n° 1 à 9). Remarque: dans cette première approche, il n'est pas tenu compte de la notion de «moment critique:. définie ci-après (paragraphe 6).
(8)
déformation de la section :
lO%~ Pivot A
E.L.U.R. : Flexion simple
75
. 1.
Relation en tre triangles :
!$
.
111
+
/.Leu= 0,80 au (1 - 0,40 a) • Détermination des pivots: ~u ~ 0, 186 pivot A µbu ?.: 0, 186 pjvot B
3, 5
F,bc
bhc
• Valeur correspondante de 14"1 :
=- - = 13, 5
Bst
soit
= 0, 186
Calculer l'armaturP. tendue pour les seciions correspondant aux données suivantes, en exploitant le graphique ci-après qui donne (3 0 en fon ction de µ,b'l :
Établissement du graphique
Section r
.Uin1 - - 7
Mu = 0,044 MNm b = 15 cm d = 30 cm fbu
fsu ~u
µ bu =
=
au
= 14,17 MPa = 347,8 MPa = 0,2300
Section TT
!311
Mu h· d 2. Jbu
j\,fli
1, 25 ( 1 - ~ 1 - 2 1-Lbu)
d
b
f bu
f3 u = 1 - 0, 40 a u soit f3u = 0, S ( 1 +
~1 -
= 0,238 MNm = 25 cm = 50 cm = 14,17 MPa = 434,8 MPa = 0,2688
Î su
µ bu
2 µbu ) -
0.00 LOO
0.05
~
0.95
0. 10
0.15
>
-
:.
Calçu!~r µ b11
-
;;
~
.
.
'
t;
"t: V.
~
a:
0.75
-
0.70 , _
0.45
0.40
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Lire (3 11 ''' ...· ' ~
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1
0.85
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r.alla(ler ·Asu
=
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.
0.80
""' ""'
.U-IJu
0.75
""' ~
. ' . 1\;["
13 •. d · f su
0.65 1
0.60
1
0.05
1.00
0 .90
'
0.00
0.50
0.95
0.85
0.80
0.35
~
ro?
.~
0.30
-
~
~
0.25
-
0.90
::;
0.20
0.10
0.15
U.20
0.25
0.30
0.35
0.40
1
0.70 1\
\ 0.45
0.65
0.60 0.50
Moment ultime réduit : JL'o<.i
N.B. Les valeurs de µ bu sont limitées par celles de.<: moments ultimes réduits explicités au paragraphe suivant pour avoir une sectiuri sans aciers comprimés.
76
B.A. Guide de calcul
(~
Réponse
11 connu) Section 1
Section 1
f3u = 0,870 7 = 26,1 cm " li . Mu 2 '1 u = 4, 85 cm 7
'- U
•
f
i
Calcul direct
Lecture du graphique f3u = 0.867 Zu
Lecture du graphique
Section Il
Section Il
f3u = 0,840
Calcul à effectuer
= 26,0 cm
zu = 42cm
A11 =4,85 cm2
A.u = 13,03 cm2
SU
-
Remarque: on pourra apprécier les fa ibles écarts de résultat.'\ nhterms par simple lecture d u graphique ou par r:alr:ul direct.
Moment critique ultime
Moment critique réduit
(s ymbole 1Uc)
(symbole µ.c )
Par définition, il s'agit du momt:ml agissant ultime dans une section de béton armé qui satisfait stricte ment à la fois:
1. l'équilibre de la section B.A. à l ' E .L .U. R. avec une arma tuœ tendue Au ; 2. l' état li mite de compress ion du hé ton à l'E.L.S. s ur la fibre la pl us compri mée du béton avec
Par défi nition:
(B. A. E. L. A.4.5.2): crbc
E.L.U.R.
Il dépen d: - de la résis tance caractéri stique
= 0,6 fcJ
et Aser= Au
=
M
b
c
· d2 ·
f
bu
Les tableaux ci-après donne nt le moment critiqu e rt!
E.L.S.
Section B.A .
µ.c
l 'An nexe 3.
Exemple de lecture sur zableau
Données:
Mu -
Au
• Matér iaux béton : f \; 28 = 30 MJ>a aci er: HA Fe E 400 • Fissuration peu préj udiciable • Rapport y= 1,38
O'st IL
M scr __. Aser
.________ M_u_=_:i_1c_ s_i _A_u_=_A_s_er___ __
__.I 1 Moment critique réduit:
µ.c = 0, 3159
Tableaux des moments critiques réduits, fissuration peu préjudiciable Tableau l: Aciers HA de nuance Fe E 400 1 'Y
Tableau l. : Aciers HA de nuance Fe E 500
Résistances caractéristiques f., (MPa) 18
20
22
25
27
30
32
35
37
'Y 4)
Résistances caractéristiques fe(MPa) 18
20
:n
25
2î
30
".J~ '>
35
.,.., .J •
4-0
1.35 .2420 .2'i:'i4 .2ti7:'i .2835 2930 .3057 .3132 .3235 .3297 .3382
IJ5
1.36 .2449 .2584 .2706 .2867 .2963 .3()1)1 .3167 .3271 .3333 .3418
1.36 .2165 .2299 .2421 .2584 .2683 .2816 .2897 .3007 .3074 .3167
IJ7 .2479 .2.615 .7738 .2900 .2996 .3125 .3202 .33.)6 .3369 .3454
1Jî
J18
_,_ ,_
.2508 .2646 .2770 .2933 .3030 .3 159 .3236 .3341 .3404 .3491_
-
~--
Ces tableaux figurent en totalité (1,35
~ y ~
.213R .2271 .H92 .7.554
.2191 .23?.ï
.2652 .2784 .2864 .2974 .3041 .3 132
.2450 .2615 .2714 .2849 .2930 .3041 .3 108 .3202
1 38 .2219 .2355 .2479 .2646 .2746 .2881 .2963 .3075 .3 1 4J ~
1,50) dans l'Ann exe 3. E.LU.R. : Flexion simple
77
Calcul des armatures longitudinales tendues 8.1.
Premier procédé de calcul (méthode directe) Organigramme de calcul
Exemple: poutre B.A. simplement Section rectangulaire: b = 18 cm; d = 35 cm Fissuration peu préj udiciable Béton: f c28 = 22 MPa; acier: f c =400 MPa
Données :
-
Mu• (Mscr)
b, d, f bu' f su *
1'-bu =
Mu =66150 Nm
Mser = 30 000 Nm
· Mser = 45 000 Nm
= 12,47 Mpa
f.Ltu = 0, 1604
µbu
Pivot B C1x;
=- 3,5 o/oo
- --
M0 = 44 100 Nm
f vu
Pivot A e SI =10 30
Oé~bie
< 0,186
Pivot A est= 10
o/éo
Y= 1,47
f.Ltiu = 0,2406
f.Ltiu > 0, 186 PivotB 8hc = - 3,5 %0
Lecture tabkaux ùes moments critiques réduits
inutile
u:,1 =f Sil = 347,8 MPa
œ0
= 0,2 198
'V=
'
M /M u
·
ser '
zu = 3 1,92 cm
Zu
B.A. Guide de calcul
= 30,10 cm
A.u = 6,32 cm 2 N.R. Avec fc
Au
78
au= 0,3497
Yu = 12.24 cm
Zu · fsu
(*) Rappels:
a-5{ = f su = 347,8 MPa
Yu = 7,69 cm
M11
Au --
µ,c = 0,3061
= 3 , 18 crn
=500 MPa,
N. B. Avec f,e = 500 MPa,
2
A u = 5,05 cm2
---i
8.2.
Second procédé de calcul (méthode par tableau) Organigramme de cah:ul
Section rectangulaire : b = 15 cm ; d =35 cm Fissuration peu préjudiciabl e Béton : fc28 = 27 MPa; acier : f e E 400
Données:
Mu, (Mser)
M 11
f h11' f~u *
b, d,
Pivot R
Pivot A
Lecture du tableau de l'Annexe 4 µ bu
au
1
~'J
1
=
73 660 Nm
Mser = 51 510 N111
A1 11
1
Exemple: poutre B .A. simplement Oécbie
est
l~ - ~t=
'
fbu
= 15,3 Mpa
'}' µ btl
= 1,43 = 0 ,2620
11-t,u
> 0, 186
Pivot B
M 11 = 91 870 Nm ,\t(ser = 63 360 Nm
µbu
= 1,45 = 0,3268
µ bu
> 0,186
'Y
Pivot B
µc
= o._3200
Il l""c
= 0,3269
u~ 1
=
347,8 MPa
u st
= 347,8 MPa
0,388
ll:'
u
= 0.5 14
0,845
13 .. ' u
= 0,794
Pu
= = =
0,310
Pu
= 0,4 11
Yu
=
13,58 cm
Yu
=
zu
= 29,57 cm
Zu
= 27,80 cm
Au
=
7,16cm2
Au
= 9' 49 cm2
ll:'u
/3ll
J
t A
= li
p · bd u
!bu f m
N.B. Avec f e =500 :Y1Pa,
(*) Rappels: 'Y = lv!11 f Mser ;
f bu= 0,85 fc28 j
Yb ; fsu
=fe / ')'s
Au= 5,73
cm2
18,00 cm
N.B. Avu: fe = 500 MPa , ;l u = 7 ,60 cm1
Remarque: la rapidité d 'obtention du résultai peut être testée directement par lP. lecteur en utilisant l'un des deux procédés avec les exemples fournis pour l'autre et réciproquement.
E.L.U.R. : Flexion simple
79
8.3
Choix des armatures
Le choix de A 5 ( section réelle) impose de prendre en compte: • 4 s ~ A u ·' J.
=0 ,23 bd f t/ .fe
(armature minimal e pour respeccer la condilion ùe non-fragilité); • le s dispositions constructives (e nrobage, bétonnage correct, cf chap 10).
• , \ ;;> J\.miu
Trouver les moments critiques réduits µ,c et le moment M c correspondant. On utilisera les tableaux des moments critiques réduirs.
Données
Réponse
Fissuration peu préjudiciable
Mc (MNm)
Acler
b = 20 cm ; d = 40 cm
l"e E 400
0,319 4
0, 173 8
fc 28 = 30 MPa
Fe E 500
0 ,291 4
0, 158 5
)! =
Mu
-.lv! ser
N. B . Po ur toute valeur $
= l,39
la .:>ection de poutre ne nécessite pas
d'urmuli•re comprimée .
VJt~,.~~,Q?~ ~:i .., ~f#ti!;r~;~~~:~~~:-: . . , .. !~ t:: u.::.it!\.."J lAU .idlJ..:.!.t.. ~......&U~'$Jl';fiiè ~ _;i.,;;_
fle ,
. !·:!::~~,!=~~~::-~
H ".d#>. ..........,.,. ~"'-"'·i~ t!r.J
.:J'..tw..
, ï2li!l~~ii~~i;~;·~t~
h •u ' • .-••,,.:~ • -
-·--~
~ Déterminer la section d'armature théorique Au nécessuire enj7e.xion simple, par la méthode directe. Vér(fier la condition de non-fragilité A min et choisir l'armature tendue réelle.
·îii
Données
Réponse
• Section: 25cm x 55 cm; d = 50 cm • Matériaux béton: f czs = 25 MPa ac.: ier : HA Fe E 500 • Fissuration peu préjudic iable • Moments de flexion Mu = 0 ,218 MNm M ser = 0, 170 MNm
• Contraintes ùe c.:akul :
fhu
=>14,17 ~\.1'Pa;
fsu=43 4,8 MPa
• Moment ult11i1e réduit: µ bu = f..J.c
0,268 8 "'> 0, 186--+ piv ot B
= 0 ,27fl 8 pour y= 1,4
11 <: ·11. rbu r c --+
c.:akul direct
• P()5itîon relative de la fib re neu tre :
a-._ =
1, 25 ( l - ./ l - 2 Vtu )
0, 400
~ f3 u
• Section théoriqu e d'arma ttire : ,'\u = 1 :~,rn cm 2
25
• Condition de non-fragilité: A .'"1min
= Û' ?3 - X Û' 25 X J-o X
2 ' JO = 1: j '} 400
• Choix de A5 :
-
Section B.A.
80
B.A. Guide de calcul
0
V")
V")
V l
3 H A 2 0 + 2 HA 16 ~o i t l :~,44 cm2
Armature tendue
Clt1
2
i "
Cas 1 : poutre intérieure
- -------<© ---® rr===============:t.=============::;t:::======~ ./
•
Calculer l'armature tendue nécessaire dans la sec1ion médiane de la poutre intérieure représentée cicontre. Contrôler qtu l'armature mise en pfoce convient.
/ 156
Donn~es 5XZ4
• Moments agissants: M u = 0 ,267 :\1Nm Mscr = 0.184MNm • Section : b = 40 cm d = 53 cm • Matériaux.: f c28 = 20 MPa fe = 400 MPa
2X27
4X l7
6 0 ' - -- - - - - - 1
1 4
2 2 3 4 4 30 5 60
HAZO HAIS HAIO CAO HA06 ETR HA06
u
• 07.56 • 04 . 13
• 07 .84 • 01. 90 • 0 1 .Z4
Éléments de réponse
• Moment réduit : Mu JLbu
·•
• • • •
=
2
b . d . /bu
= 0, 209 7
Pivot B car µ,bu> 0,186 Valeur du rapport Mu/ Mser : '}' = 1,45 1 1 Momen t critique réduit: µ,c = 0,286 8 (par iulerpolation) > ~u Calcul de la section d ' armature à l' aide des tahleaux numériques:
Option 1: utilisation du paramètre pu Lecture sur tableau (Annexe 3) lL __. p = 0 238 l'""" l)U U ' Section théorique:
A n =Pu · b _ d .
/bu
fsu
2
= 16,44 cm
Au
= f3 u
Mu · d · / su
• Section réelle: 4 HA 20 + 2 HA 16 = 16,59 cm2 • Contrôle de l'armature mise. en place: condition As ::;::;: Au vérifiée
Remarques: • Le lecteur pourra vérifier que la condition d~ non-fragilité est satisfaite et que Ler; r.muliliuns d 'enrobage et de bétonnage correct sont re spectées (voir chap. JO, figu re 2). • La section théoriyue d 'armature avec un acier HA re E 500 serait: Au tMor. = 13, 15 cm. 2 .
E.L.U.R. : Flexion simple
81
""3 Contrôler les données et les résultats du calcul par ordinateur d'une section d 'armalUre au droit de l 'appui d 'une dalle de balcon située dans un hall d'exposition et représentée ci-contre. Données
Matériaux: .fc28 = 22 MPa
fe =400 MPa Charge d'exploitation: 5 000 1\/m2 Réponses
• Moment dû au poids propre: 0,16
X
0,10 X
Moment e11 service
Moment ultime
'
t
.
1. 6_52
1,00 X 1,00 X 25 000 x - ·2 0,90 X 1,00 X 25 000 X 1,60
=
5 445 Nm
=
3 600Nm
9045Nm
X
1.35
=
12 211 Nm
1,50
=
9 009 Nm
• Moment dû à la charge d' exploitation: 1,55 2
5 000 x -
2
-
=
E.L.S.:
• ToLal des moments:
6 006 Nm
x
15 051 Nm;
E.L.U.R.:
Calcul par ordinateur (logiciel C.B.A.)
• Fissuration peu préjudiciable (hall couvert) • Largeur : bande de 1,00 m • Moment agissant: M11
=21
..... ' J . E~W.R ·~. ·lNIJI~noN: ~~ÇJ~Ri.ÇT.AtJ~IRE i 220 Nm
• Contraintes de calcul: f b] = 12,47 :\fPa; fw = 347.8 MPa
• Hauteur utile prise égale à 12 cm, par sécurité vis à vis
ac.:ier~
après <.:oulage.
• Moment réduit: f1b11 = 0,11 8 2 < 0,186
•
~u--. a 0 =
pivot A
largeur:b. :? .100 . . . '*·Section. . . . . . . (cmr . · :,.H.utüë· · d. à 1z· J
~ateri aux
. IM?a) BetCJJ Fc2B:? 22
* Fhillr&' P.N,.
*Môment
Acisr f&
!min)
• Condition de non-fragilité: Amin= 1,33 crn2/m ~
A11
l\!Ub 111 . 1162 tluc = .21365 . · • ~1v,ot ~ .
· Mu • ·;? o. 021220 . l1~en'? 0.015051
N.B. Aciers principaux placés à la partie supérieure de la dalle pour la w ne en encorbellement.
· Alu ·11 .1577 Ale •= • 451,
· . Epbc= .1. B7.2 . ·h.·· . · · '.· Epst::: 10 l. Fbu "' 12. 47 Mfia : Feu·· 347.83 MPa Beta;; · •9369 · Zu · = 11.24 cm
. *.
!;
;
~r-matürè ... te~due.
B.A. Guide de calcul
400
t Details de 'Calcul
• Section théorique Au = 5 ,43 cm2 par mèrre.
82
~?
Sallllli= 1.41
0. 157 7
• Choix des aciers: As
21220Nm
..... ~s .:~ 5; 43· clll2
N. R. T:n prenant f c =500 MPa , A ~= 4,34 cm2.
Les él énu~nts destructures B.A. soumis à. un m9ment de.flexion simple sont ·généralement calc~Iés à l'état linli~e de :~érvicc dhns les cas sui- · vants: - frssutaiion. préj ùdiciable (F.PJ~ ' , - fis suration très pr éjudiciable (F.T.P.j F.xemples ,,d '. ou vrages: . . . - poutres de rive soumises aux Înternpéfi es, - pou lr~ intérieures de sous-soJ soumises aux co nden sations , - longriQes de fôndations en terrain lnünide et parfois agressif.
•.u~.. .
'<,·...
. ;· .
..;.:.
. ..
.,.
.·, .
·.
,, . .
ce·chapitre a pour but d'exposer les procédés de détermination des
.: .
de
seétions d'armatt,res tendues suivant les cas fi ssuration.( caJcul . direct ou ~tjlïs ation de tàbleau~ numér.i yut!s ). .... Le principe de j~stifièation vis~~·-vis de la duràbilüé de la stru cture oQndµit à s.t 3:Sstir~r d u I?-Ôn-dép.assem~n.t des:contraint~s lim(tes de . calcul à l'E.L.S ..:·· . :· . .... ' · · · ... · ··· · · :
- de compress ion du b éton ( B.A:E:L. A .4.S,2} , . - de tractîon dès aciers suivant.le'cas de:fiss uration en'\:1sagé (.B.A.E.L · A.4.5,3, état llmi te d'ouverture des· {issures) : F.P ~ ou F.T:P. ·
(à 1' E .L.S.)
(B. A.E.L A. 4. 5,2)
• Les vérifications à effectuer portent sur:
• Contrainte de compression du béton limitée à:
~ = 0,6 f c}
- l'étal limi te de compression du béton ( /\..4 .5,2 ) ;
- l'état limi te d' ouverture des fissures ( A.4.5} ). • Les règles d e calcul en section courante tiennent
compte des hypothèses suivantes: - hypothèse de Navier (section plane avant et après déformation); - résistance du béton tendu négligée ; - béton et acier sont considérés comme matériaux
linéairement élastiques; - adhérence mutuelle entre béton
~l
acier san s glis-
(module d' élasticité de 1' acier)
~b
- - - -- -
(module d'élastic ité du béton)
N.B. Voir également chapitre 2, prJragraphe 5: Ju uctions coura n te~ tle béton armé».
,~Applications
1
• Contrainte de traction des aciers limitée su ivanl les cas de fi ss uration : - fis suration préjudiciable (F.P.) :
(]"51
.
(
= mf l, 213 fe
/ - -' : llO y 1'/ ·
flJ)
- fissuration très préjudiciable (F.T .P.) :
~
sement relatif; - coefficient d' équivalence n pri s égal à 15. ~s
pitre Il ) .
Contraintes de calcul
Hypothèses d'études
n = - - - -- --
Remarque importante Dans l11 cas de fissurat ion p eu préjudiciable, le calcul E.L. U.R. sans a rmature comprimée est déterminant (vo ir cha-
où 'ri
= inf (o, 5fe
; 90 /11~)
=coefficient de fiss uration de l' acier utilisé
f,1 =résis tance caractéristique du béton à la traction.
N.B. Se reporter à l'Annexe 2: «Tableau des contruintP.s limites à l'E.L.S. ». E. L. S. : flexion simple
83
Combinaisons d'actions
Calcul des sollicitations
• Les comhinaisons de base pour les cas courants ont
• Moment à l'E.L.S. ·
été défini es au chapitre 5. • En général, dans les travées chargées , on considère à l 'E.L.S. :
M ser
=M (G) + ,'\tf(QB )
• Moment ultime à l'R.1,.L .R. Mu= 1,35 M(G) + 1,5 M(Q 8 )
Œ •vc
• Rapport des moments: U : charge permanente Q 6 : charge d ' exploi tation Voir chapirre 4: «Ac1ions permanentes et variablesN.
1,35
1.5
«y«
N.JJ. La va leur de y intervient pour la détermination du moment ultime critique en service pour justifier que: • O'bc ~ O'bc - • contrainte de compression non dépassee • A~ 0 _. sec/ ion ,rnns armature comprimée.
Rappel. A l 'R.T,, ll. R. ltZ com.bi11.aiso11. de base pour les cas courants et pour les travées c hargées est: 1,35 G + 1.5 On Elle sert au C:lllr..:ul du rapport des moments: y = M/M~er·
=
Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire On considère une sec tion courante d ' une poutre soumii;c à un moment d e flex ion simple. Section B.A.
&ber
B éton comprimé
-
,,.-:
---
Moment agissant
I
-
.,/._/---t~• - - . - - -- --- -
A
v
Nt
/
1--....; . ;.;..._-
0'st
,1l,
n
,~-
b
Section B.A.
Diagramme des déformations
Diagramm e
Efforts normaux et moments internes
des contraintes
Section rectangulaire B./\.: conditions d équilibre à l'E.L.S.
5 .1
Équations d'équilibre
• Équilibre d es m omen ts par rapport au C.d.G. des aciers tendus
• Équilibre des efforts normaux
)"'"'proJ
>
{Fim } Oi
effort de compression du béton
•
0 , soit
abc
b. y,
2
i\llser =
effort de traction de l'acier
1\1
=
Nbc
[
= =
= 11 ser
O'st
M scr
84
B.A. Guide de calcul
= d-
-+
=
effort de compression
X
=
Nbc
X
(l )
• Bras de levier (symbole z1 ) ZJ
moment de flexion
-
~ MIA { Fint }, soit bras de levier Z1
(3)
• Expression de llfser. Avec ( l) et (2) on obtient: Yi 3
(2)
1vfscr =A scr .(}'st . 7 "'l
(3')
ttions
• Relation dans le diagramme des contraintes de la section homogénéisée O"bc
=
n Y1 d
YI
• Bras de levie1· réduit (symbole /31)
f31
, soit
d
= 1
Yi
=n.
+
• Moment de service réduit par rapport au C .c de l 'armature
E3/31
(Jst
1,5
En posant:
tination du. rque.· 'l dépas sée
b. d 2 . " "'
Mst'.r
= - - 2- - -
µ,b
b ' d
· Cft.c
l ' expresûun du moment de service réduit
ntÙ'.
1 -
O']
~=
Remarque
=
M ser l J '
2
• Les triangles semblables du diagramme des contn tes permettenl
Avec l 'équation ( 3') t:!l o-sc = a-51 • on obtient Aser
/31
.
CV')
O"M
En util1sant (9) , l ' équation (7) devient: a f· f31
= ")_n (1 - a 1 )
2
b . d
•
(TSt
En posant:
-
"'
=
f.J.s
M ser b · d2
· O"st
on obtient le moment de service ré
Moment appliqué : M~er = NYJ. • z1
S.2, x as
Paramètres de calcul
•Position relative de la fibre neutre par rapport à la fibre la plus comprimée
levier Z1
J
R emarqu«t Les paramètres suivants: 14,, µ,s , {31' K et p dépende du paramètre a 1.
œ1 = y 1 Id (3)
1btient: (3')
En posant:
11 ser
r = b·d
et
/J-s
l K =
= 2K
=-
b · d2
(4)
· O"st
Par simple lecture de tableaux
numériqu~s,
on a:
µ,s -+ al ____.. /31 K ___. P La détermination de la section d' armature est immé
CTbc
l'équation ( 1) devient :
r
LoJsq ue o-st = cr~ 1 , on calcu 1e /Ls par: M Xt'r
diate: (S)
A ser
=U f-' l
i\t! >er d ·
ou
A ser
= P· b · d
· if sr
E. L S. : Flexion simple
8~
Préciser les étapes de calcul à l 'E. L.S. pour déterminer la section d'armature tendue d'tme section rectangulaire en utilisant les équations d 'équilibre.
Réponse 1. Pos ition de la fibre neutre:
n .
= n .
Yi
ab c
+
Ô'bc
CTst
2.H ras de levier :
Données • Section utile: b; d • Contraintes de calc ul maxim ales autoris6es : (Tbc
= 0"1x;
et
(Tst
=
z. 1 =d -y 1 /3 3 .Mo ment limite de service:
O'"st
Mlim
• Moment agissant: Ms,_1 • Cas de fis s nration préjudiciable.
Utn;
=
b · Yi ·
2
·
zt
4. Contrôle: M ser ~ J\,flim
Si non salisfait, des aciers comprimés peuvent être
nécessaires . Remarque: dans cet exercice d'assimilation, il n'est pas tenu compte de la notion de v:moment limite» explicitée dans le paragraphe 6 ci-après.
Préc iser les étapes de cafr:ul à l 'E .L.S. pour détermine r la section d'armature tendue d'une section rectangulaire, en u.tilisanl les paramètres de calcul.
5. Section
A ser == -
-
-
Zl .
(TSt
Réponse l. Moment de service réduit de l 'acier: Mser
/.Ls == -b
.
d1 ~ , . CTst
V
2.Position relativ_e d e la fibre neutre œ1 = ~ 1 et
rapportK= -
Ubc
par lecture des tableaux numériques à l'E.L.S. en Annex.e 5
• Se<.:.tion utile: b; d • Contra intes de calcul : 0-bc ~
et
abc
(]"St= (J'Sl
• Moment agissant: ,'v[ser
3. Contrôle de
Œsc
CTbc
=K
-
-
~ abc
• Condition de nun-fragilité: A min
~
0, 23 -
r
ftj •
.
b . d
!'-
Si non satisfait , des acit::rs comprimés sont néwsaires. 4. Bras de levi~r rédu it: {3 1 = 1 - a 1l3 5. Sect ion d' arm ature tendue: M sec A ser = R. d . /JI .
Remarque: dans cat exercice d'assimilation . il n'est pas tenu compte de la notion de «moment limita» explicitée dans le paragraphe 6 ci -après.
86
B.A. Guide de calcul
u,,
N. R. S'assurer du respect de la condition de non-fragili1!. Aser ;;::A mm .
Calculer l'armature tendue pour les sections correspondantes aux données suivantes, en exploilanl le graphique ci -après avec
=
Section 1 Cas de fissuration : F .P . M~er
Construction du gr aphique M ser
/l-s = b . d 2 .
b = 0,20 m d= 0,60 m
/J;s
2n(l -
lvfscr
(équation 10)
b= 0,18 m d = 0,50 m
0!1)
f c28 = 25 .MPa
résol vant (10)
Fe E500 HA
f31=l - - I 3
0.000
µ,s = 0,0 15 7
0.010
0.005
= 0,142 7 MNm
(par définition )
et
œ.
= 0,017 9
Cas de fi ssuration : F.T.P
.~ !
a 1 e.sL obtenu en
Fe E400 HA
Graphique
=
u
f3 1
œ2 l .
f c28 = 30 MPa µs
/31
µ,s --+
= 0,278 4 MNm
Section Il
0.015
0.020
0.025
0.035
0.030 1
1
Calculër
µ~
0.951-i--'---'--''--'--,---'---'--'--'--+--'---'--'--'--+---'-----'--'--l-'--'---'--'-+--'C-.J
0.040
-l--'--'--'--'--l--'--''--'---'-+--0.9 5
\ 0.9u-+----->,..-1-----i---
---i---
--1--
-
;
.····.:.M scr
_Li<~O, lb~
-~ O .B>~t-------1-----P"
- - - 1 -0.90
Cnlcn]er A scr
:;:
· Mf3 1.. (J,.
µ., ·- --1- 0.85
- - - -0.80
-----0 . 75,-,, --.--.---.r--r--1-.--.-r--r-+--
0.000
0.005
.-r-.--+--.--,.......,.-.,...-l-r-r-..--.--1---,--,--......-1--o
0.010
0.015 0.020 Moment réduit µ, s
l.tponse
Lecture du graphique µs = 0,017 9 ~ "l
f31
= 0,816
= 0,489 m
Aser =
Mser Z 1 •
=26,35 cm2
0.030
Calcul diroct Section 1
Section 1
7
0.025
f31 = 0,818 ~
.... 1
= 0,491 m
A ser=26 ' 25 cm2
1
1-t---.-. - -. - r - t -O. 7 5
0.035
0.040
Lecture du graphique Section Tl
Section Il
Cak ul à effectuer
1
µ, 8
=
0,01 5 7
~
/31 = 0,827
z1 = 0,414 ro Aser= 17 ,06 cm2
N.B. Les valeurs du moment limite de l'acier µ 5 sont limitées par celles du moment réduit limite µ 8 lim à ne pas dépas m'pour sutisfaire à la fois les just(fications à l'E.L. S. et à l'J:,.L. U. R. (Cas d'ur{e sectiou recta11811/aire sans armamre comprimée.)
E. L. S. : flexion simple
87
Moment limite de Service (symbol~ Mser lim)
Moment limite réduit de service (symbole lls lim)
• :M oments
M ornent limite réduit de l ' acier: rapport: -y= M IM u :.er
- à l'E.L.S.: Mser } - à l'E.L.U.R .: Mu
M se.r lim fLslim
• C ont rain tes limites de calcul - à l' E.L.S. (voir Annexe 2):
.fbu
=
_ fc2~
T,5
0, 8)
~
2
·(J"Sl
Les valeurs courantes des mome nts limites réduits font l'objet des tableaux ci-après en fonction des cas de fissuration: F.P. ou F. T .P . Exemples de lecture des tableaux
1
avec(-} =
b·d
Se propriétés sont celles définies précédemmem pour une section recLangulaire sans armature comprimée.
auc = 0,6 f c28 a st est fonction de la résistance caractéristique du béton et du type d'acier.
- à l' E.L.U.R. :
=
• Le moment li mi te dépend de y, f c 28 e L fe. Il correspond à J' atteinte en service:
Exemple 1 ·~~~-
F.xemp le 2
-~~--+-~----~---i
Béton:
- soil de la contrainte abc sur Je béton com primé; - soit de la section d ' armature limite qui permet d' éy_uilibrer stTictement le moment ulti me M u =y. M .ser .
Béton :
f c28 = 25 MPa Acier HA:
.fc28 = 35 MP<:1
re E 400
Acier HA: Fe E 500
F.P.
F.T.P. y = 1,40
= 1,3 8
y
N.B. Le moment est dit «limite>> car il assure le strit:t respect de la capw:ité portante à l 'E.L. U.N. et/ ou de la contrainte O"bc à l' E.L.S.
µ,~ =0,0162
Tableaux des moments limites réduits
µ,s lim des
= 0,027 9
fL,
aciers HA
Tableau 1: cas de la fissuration préjudiciable Type acier
"'',Je....... (MPa)
16
18
20
22
25
27
30
1.35 < î' < 1.5
0,0106
0,0119
0,01 32
0.0144
U,0162
0,0173
0,0189
1',,;; 1,39
0,0106
O,Oll9t
0,01 32
y
,..........._
40
-.....,
Fe ESOO
nî/=] .6
)~
1,40 1,41
-~
t -- t - t t t --
FeE 400
0,01 44
0,0173
--
-~
0,0189
0,0200 0,0215 0,0224 0.0239 0,0200 )~
- ....
0,0215 )
0,0224 0,0239
-~
1
Lectuœ deµ,, lim pour Fe E 400 (F.P.)
=
,W ser
1,44
L ire : 1-ls ti m
1,45
R epérer la zone de lecture a ou b
1,46
y,
.fc -
1,49
' l l
0,0106 1 0.0119
B .A. Guide de c alc u l
0,()220 0,0210
0,0215
0,0213 0,0202
0,0212
0,0207 0,0194
0.0206
U,200
,,
0.0200
0,01 93 0,0177
0,0200
0,0194
0,0186 0,0169
0,0196
0.0187
0,0179 0,0159
0,0191
0,0181
-~9 1
1
@zones (b)
1
0,0225
,.
"
1,47 1,48
0,0232
0,0224 0,0217
Mu
Données : -
1,43
1,:iO
0,0162
~
Â
1,42
88
37
35
32
t
0,0132 0,01 44
l l 1
0,0162
0,0173
0,0189
1
0,018f
0,017 1 0,0150
8.2.
Second procédé de calcul (m éthode p a r tableau ou gr a phique) Organigramme de calcul
Exemple: poutr e BA simplement fléchie Section rectan g ul aire: h
=2 0 cm; d = 45 cm
fc = 27 MPa; Fe E 500 HA
.fc =35 :\t1PA; Fe E 400 HA
Mser = 0,12 MNm
Mser = 0, 194 5 MNm
M 0 = 0,299 7 MNm Fissu ration préj udiciahle .'III scr b d 2 a,1
Lire µ,s liu1 (y, f.)
lfst =207 ,31 MPa
cr51 =228,63 MPa
J.Ls =0,01 4 3
µ 5 = 0,021 0
J.Ls ]j Ill : 0' 0 17 3
µ s l im
= 0,018 7 (y= 1,49)
µ 5 > µ.,5 lim (zone b)
c.:huix Fe E 500 (µ,s < 0,0215) Méthode au choix 1 Graphique Tableau 1
Méthode tableau
Méthode tableau
Options:
',
l. /\ 's 7"0
2. Modifier
Lect ure du tableau de 1'Annexe 5
- section - matériaux
µ 5 =0,0143 a 1 = 0,505
K p
rIl.s
y1
= 22,73 cm
= 14,69 IThc = 14, 11 Ml'a = 1,72.10 - 2
= 0.021 0 .
/3 1 = 0.808 2
z1 = 36.34 cm
= 11,07 o-bc = 20,65 MPa p = 2,598.10 - 2
K
1•
Am = 23,38 cm2
Aser = ] 5,48 cm 2 Préférer Fe E 500**
Méthode graphique
Méthode gr aphiqu e 1- -- - -
'
(*) Rappels: "r' = M~ I Mscr;
0-51
/31 = 0,832
/31= 0,809
z1 = 37,44 cm
z1 = 36,4j cm
. 2 A su= 15,46 cm
A ~er
suivant cas de fissuration (cf §3); crbc
= 23 ,34 cm2
= 0,6 f czs
(**) Dans l~ t.as où µ. 5 n'excède pas la borne supérieure des valeurs µ s lim pour la ~·aleur f c considérée, la conserva· lion possible du Fe E 400 impose la détermination de A 8 à l 'E. L. UR. sous M11 • Cette .!>Olu.tion est souwmt moills intéressante qu'à l'E.L.S. avec des Fe b 500. (se rapporter à /'exercice d'assimilation 1 ).
90
B .A. Guide de calcu l
Contrôler lP.s résultats obten us par ordinateur pour une section rectangulaire flichie à l 'E.L.S. en .fissuration préjudiciable ave c y = M / Mser = 1,48 . Le cho ix d e"!l· Fe E 500 est-il just ~fié?
lndh:ations
1'
= 1,48
et Fe E 500) ,\,{ s~r 2
b. d . O"st
!'
*Mcment r ésist.beton Ml" -}'.
••
,.
$
".
o. 150
• .119. MNm
1
!
,
->f->l'- -
< /Ls li m
"1:alc:uU·li A s= 17.83 tm2.
V'l· =24.~1
Contr{Jler les résultats obtenus pour les données précé-
• dentes en / ü:mrazion très p réjudiciable (F.T.P. ).
· ., .
18.4 Beton 21
ZL • 3&.a·:. · 22~~ b3 · Acier . 228 ~ 63
3 HA25
•
f'f.aat\r&i: -approchée A! • 19.07 cm2
Dft-a·i l dèS: caleUls tA'I• 0) Mus = :01e' Alpha.ta .547 · lt\b = .mb B!t!1 • .Bl77 K " .'=1~.4~: :.· · ~13 Y.= 2.2013 ·Hauteur
18 ----- {
• Choix: 3 HA 25 + 2 HA 14, soit 17,81 cm 2 (acceptable)
;
Hœ.ent agi $st . Miin '?
l
=229 MPa (id° Fe E 400 =
1'? _1,
0,021 5
0,01 9 4
• Le calcu 1avec des Fe E 400
f.Ls
t Sec:tion km); :.. Largwr. b &?· 1e, H~utile cr 1? 45 t Matér i aU>1 , (MPa:f Baton F.c28:? 35 , ·Acier. Fv :1 500. i Fissuration ·, Eta :? 1.o
µ.s li m Fe E 400 Fe E 500
f c = 35 :MPa
o-st
i ELS i JNITIATlONSEtlî.RECTANaJLAI~ i
~···
*. as .* INITI'ATldN seci:.RECTl\NBULAIRE •· ;
Indications
• En fissuration très préjudiciable les valeurs de /.Ls Jim sont identiq ues pom les Fe E 400 et fe E 500. ' µ,3 lim = 0,027 9 pourJc 28 = 35 M Pa et')' =
• Choix: 2 HA 25 + 4 HA 20, soit 22,39 cm2
1,48 4HA20
-
lA
A
"
V
t
--
•••
~ ~
'
2 HA 25
l8
Rappel: la section A~ appmr:hie est obtenue uvec u,>1 =
a
~
et
E. L. S. : flexion simple
91
Le moment réduit de l'acier à l'E.L.S. étant connu, déterminer le moment ultime réduit du béton à l'E.L.U.R. On utiliser.a notamment les expressions du paragraphe 5.
Réponse
Exemple numérique
Expressions de Mu, Mscr et 'Y • Momen t ultime Mu: Mu =f.Li,u·b.d • Moment de service Mscr:
2
(a)
.fbu
M~f'.r = Ms· b · d z ·
'Y
/.Ls .
M œr
0,85 f
/-'-~ · lf o;;L•
Fiss. Très Préjud.
fc28 = 35 MPa fe
=500 MPa
'Y
= 1,40
µ.,s 2
= 0,027 9
L' utilisation de l'expression (d) ci-contre donne les valeurs de ILtJu correspondantes:
Mu
fLbu ·
ou
(b)
Fiss. préjud. fc2 s = 25 MPa fe = 400 MPa 'Y = 1,38 /Lsl = 0,016 2
U i,t
µ, s i ---+ µ bul
c2 a
(c)
= 0,318
µ.,52 ---+ "'1,ui = 0,368
1 ,5
• On obtient:
1-'-uu
=
30" st Y ·
f.l s ·
1,7
(d)
f:2.E
Poutre sur deux appuis Déterminer la section d'armature longitudinale à placer ù mi-portée de la poutre de la figure 4, à l'aide des données mentionnées ci-aprP.s :
Données • Section 20 X 55 ; p·ortéc: 7,00 m entre poteaux B. A. • La poutre supporte le plancher et les <.:barges d'explo itation , le mur pignon extérieur enduit. N.B. Les fermettes de la charpente prennent appui su.r lP.s murs de façade.
Œi Triangle en maçonnerie de biocsen 0 0 N
@
béton de 20 cm+ endu it 1,5 cm Linteau-chaînage B.A.
+ enduit 1,5 cm (}) Baie: 2,50 m X 1,45 m
@
(D @
Mur de blocs creux en béton
Charge d'exploitation : l 500 N/1112 700
Flg.4
92
B.A. Guide de calcul
Réponse
• Matériaux Poids propres (cf chap. 4: «Actions permanentes et variables)))
Caractéristiques: f c28 = 25 MPa; acier Fe E 500 HA. • Détermination des actions ~harge
Rep.
:~
5
g
/./
1.1?5
~~
g4
2
~r~
ig3 250
1
R~
3
,_
0
.
blocs /
g4
Uniforme
5 940
'\enduit
=(25 000 X 0,2 + 270) X 0,2
1 054
""\BA
Répart. part. g 3 =-2 970x l ,45
- 4306,5
1
!g, .1 -
g 2 =2 970 X 2,50
Uniforme
1
g1
Répa1tie
g<)
-
....
Rs = (2 700 + 270) X 2,00
:::::,
gl
1
N/ml
nétail des actions
Triangulaire
~
1
4
Type
permanente
=25 000 X 0,2 X 2,00 , /t m-' portes
10 000
g0 = (25 000 X 0,2 + 270) X 0,55
Répartie
1
7 425
2 898,5 -
Charge d'exploitation sur plancher
3 000
Qll = 1 500 X 2,00
Répartie
-
-·
-
• Déterminat.ion des sollicitations M (L/2). Se reporter au formulaire. -
Total (N/m)
Chargements
+ 21 377,5 + 5 940 - 4 306,5 + 3 000
R4 + R2 + 81 + R1J g5 g3 (sur b = 2,50 m) QB
soit:
M (L/2)
M (Nm)
gl2!8
+] 30 937
gL2!12 gb(2L- b)/8
+ 24 255 - 15 476
qL2 f8
+ L8 375
M ser = Mg + M 4 = l S 8 091 Nm Mu = 1,35 M g + 1,5 Mq = 216 179 Nm
M g =l39716Nm
Mq = 18 375 Nm
• Calcul de la section d'armatures longitudinales La façade étant exposée aux intempéries, la fi ssuration est préjudiciable; a priori, calcul à l'E.L.S.
• Contraintes limites de calcul crbc = 0,6 .fc28 = L5 MPa; fr.f = 0,6 + 0,06 fcj = 2,1 MPa; crst =inf (2/3fc ; 1 lOy' rJ.
Ji1 ) = 201,63 MPa
= 50 crn)
• Moment réduit (un choisi l d /Ls =
'V 1
0, 158 091
A1 ser h. d.
= l'vf ser
= (TSC
0, 2
= 1, 367
X
?
0, Y
µ. s lim
X
201, 63
= 0, ()15 7
= 0, 016 2, E'. L. S. : f lex ion simple
93
• Calcul par tableau E.L.S. (ast = ast) µs =0,0157 Lecture -----+ a 1 = 0,522 K = 13,73
=1,901%
p Aser = p .b. d
, ou encore Aser 1,,
/31 = 0,826
=
M ser
f3 ) · d
·
_
)
(]"S t
,
3HA20
Aser = 19,01 cm2 ubc
=
;t =
u.
14,68 MPa 2HA25
• Choix des armatures 2 HA 25 + 3 HA 20, soit 19,24 cm
1
Remarque: la condition de non-fragilité est bien respecrée: As min= 0,966 cm
94
B.A. Guide de calcul
,~
2 2
20
l
,,
But
Les vérifications à effectuen::oncernent les états limites de· service vJs-à~ vis .Ô(}.hl 'cturabili té .de là structure: (B.A.:EL: :A:.4.5 ) . .. •
·•
•
.
'fo •
... ·.x .; :·;,
'
•
·~
~~---'---'--...;....,...~~~~ ·
E.L.S. flexio1~ simple
État limite de ,compressio:I! 1 . ·du beton ." ... ··-·~ ~
État limite d'ouvcrtti;re .des t'issurës. . · . :
~
La contrainte de comprnssion dÛ ... :En particuliét, la contrairltc de béton est limitée traction des . à: . aciers est limitée sui. .
(]'.be-:"'" 0 ' 6 f cj . / ~lanl la résistance caractéI'.iS9 tique du béton en compression à} jours . .. ..
vant les cas de:
fissuration préjudiciable {F.P.). - fissurati~n :très préjudiqiabfo (F.T.P.t '.'.''. · . ··
On pourra.se reporter au chapitre 7: «Déformations et contraintes de . . calcul>) et on c011sultera l'Annexe 2. Démarche
N.R . l.'hat limit l:' tltt déformation n'est pas envisagé dans ce chapitre (par exemple: limiialion de flèche des éléments soumi.~ à laflnion).
Les différente·s étapes de ce chàpitr.e sont les suivai1tes: 1. Hypothèses de calcul fixées .pat Îe règlemerit (B:A.E.L. A.4.5,1 ). 2 Caractéristiques géométriques de la section homogénéisée (position de l' axe neutre et calcul du moment quadratique)<
3. Expression de la contrainte normale ~n un point par: les forrnuJès classiques qe la résistance des matériaux dans l'hypoth èse .d'tin comportement Hnéairemenréiast~que des mat~dal.;lx associés. · · 4. Vérifications des contraintes Uustifications des sections):
Les sections béton et acier . conviennent.
soit en raison de: • section fasuffisante d' a~ier; •di mensions de la secrion de béton non conformes ( b.ou h); •choix ~e: c,aractéristiques, 4es matériaux.non adaptées (fc28 ou
.fe ).
N.B. Dans tous les cas, le calcul à l 'E.L. ll.R. doil P.tre également satisfait.
Vérification des sections
95
Hypothèses de calcul llappels (voir chap itre 12) • Hypothèses de Navier • Résistance du béton tendu négl igée • Coefficient d' équ ivalcnce pris égal à 15 (n =Es I Et) • Béton e t acier considérés comme matéri aux linéairement é lastiques • Contraintes limites de calcul à 1' E.L.S.: -voir dé lails chapitre 7 (fig. 6).
• ' J ••
•• 1
i.1ser ·· moment de service
..Ct'.i
. ·, .1/ .' '' \ .
•••• •
M ser
Moment appliqué Mser
use
cunlrainte de compression du béton contrainte de compression
u st
contrainte de traction de l ' acier.
u bc
- -1=/ ___-----
;, ' j .
~·
Notations
/
s~cl ion
~ n
Diagramme des contraintes
r«!t.'.langulaire
-
N
Effo11~ nnrnrn u>.. el rno 1r1ent interne
Combinaisons d'actions pour le calcul à rE.L.S. Combinaison de base (cas courants) : G+QB
Pour les différents cas de chargem ent, se reporter au chapitre 5: «Calcul
Caractéristiques géométriques l..1 Position de l'axe neutre d•une section rectangulaire homocénéisée
l. ..2 Moment quadratique par rap· port à l'axe neutre
(distance Y; par rapport à la fibre la plus comprimée)
\ ~Y
• Équation dite du moment statique par rapport à la fibre neu cre:
~ + n · 1\ ; (y
1
-d' ) - n ·A, (d - y 1 ) =
j(l)
La résolution de cette équa tion donne la valeur de y 1 (fig . I ). Si la section n'a pas d' armature comprimée, A 's = O; l'équation (1) devient:
1
~
-
n
A , (d - yi)
= 01
(1 ')
, M•mL - '- r , 11.JVlt:· J X)
• Éléments géométriques connus: b; d; d'; A ~; A1 • Expression du moment quadratique:
1x
b . Y31 1 + n · A s (y 1 3
=-
+ n · As (d - Yt)
-
d' )
2
2
(2)
Si la section ne comporte pas d 'armature compnmée, A 's = O; l' équation (2) devient:
L ~ -b .3-yf
1
1
2
+ n · A s (d - Y ! ) ·
(2')
N. B. Voir le chapitre 3: «·e reporter aux exercices du paragraphe 5: tv4pplications aux sections courantes en B.Ai• et à lafit:ure 6 du chapitre 7.
96
B.A. Guide de calcul
~·
Contrainte normale au niveau d'une fibre
L'expression de la contrainte norm ale en un point est dunn~ , compte tenu des hypothèses précédentes, par la formule classiqu e de résistance de matériaux:
1
q
=
Contraintes de compression •Béton:
C!bc
Ms~r = - · Y1
(3)
1
l.x
~
y
•Acier:
a (MPa) : contrainte en u n point au niveau d'une fibre M (.\1Nm): moment agissant dans la section : moment quadratique l x (m4) y ( m) : dis tancedel'axeneutreàla fibre considérée.
cr ç.c
=n
M s:;r ( y 1 . -1-
-
d' .:1
(4)
X
Contrainte de traction de l'acier
l
Mse-
a sr = n
·-=== _d_-_Y_i_)___, l x ·-(
(5)
Dans le cas du b~Lun armé, on considère dans la section homogénéisée:
• la fibre la plus comprimée du béton pour évaluer la con traime CTbc à une distance y 1 de l'axe neutre - + équation (3) ci-après; •la fibre située au ni veau du C. d.G. des acier s comprimés à une distance (y 1 - d') pour trouver asc
Remarque: la conrrainte de l'acier ut nfois plus forte que celle du béwn au niveau d'une même fibre (voir équations (4) et(5)).
N.B. Les contraintes limites de calcul du béton et de l'acier sont données dans l'Annexe 2.
_. équation ( 4) ci-après;
• la fibre la plus tendue de
l'aci~r
au niveau du C.d .G . de l'armature tendue à une
;i
Contrôle complémentaire des résultats
Équilibre des efforts normaux de compression et de traction
Équilibre des moments
• Section sans arma ture comprimée:
Moment agissant = Moment interne
b · Yi - · 2
= t1s
·
C!'st
• Section avec armature comprimée:
b . Y1 -,.,-
,,,,
'
.
CTti ~ + A ~
.
!.Tsi;
=
As . Ust
M ~t. . _= effort de compression
x bras de levier
ou
Mser = effort de traction x bras ùe levier
N.H. Cela est conforme aux équations d'l.qu.ilibre do.ns u11e sectioll; chapitre 12, paragraphe 5.
Vérification des sections
97
Calculer les contra in tes à l 'E.L.S. dans une section de p outre sans aôers comp rimés.
• Section: voir figure • Matéria ux h éton : f c?.S = 10 M Pa acier : f c = 500 MPa • Cas de fissuration préjudiciable
• Moment de servi ce : M scr = 0,057 .M Nm • Rapport y: M) }vfser = 1,40 Indications Détail de l'armature tendue
Les principale.s étapes de calcul sont les suivantes: l. Recherche de la position de la fibre neutre . 2 . Cakul
3. Calcul des contraintes. 4. Contrôle des résultats .
Réponse
Contrôle des r ésultats
Calcul des contraintes
• Équili bre des efforts normaux
• Éq uation du moment sta tiq ue
h · YÎ
.
=0
- - -n · A 5 (d -y 1 )
2
9 yf
-
15
6, 03 (50 - y i)
X
( l ')
N st
=0
b · Yt
2
(2 ' )
3 3
+ 15
6, 03 (50 - 17, 95)
X
2
crbc
= - --
M
<
CTbc
· Y1 = 8, 017 MPa
=
(3)
18 MPa
• Contrainte de l'acier tendu M Sl'.r
CT 51
= n · --
,
(d - y 1 J
lx u~t
98
<
u~t
= 216 MPa
B.A. Guide de calcul
X
6,03 >< 10-i:
= 0,129 5 MN = 0, 129 5 MN
= Nst
= 214, 74 MPa
X
Yi
3
Z1
= 44, 017 cm
scr
0, 129 5
= 0, 057
X
44,017
X
2
10- MNm
MNm
Il y a bien égalité des moments externe et interne.
lx CTbc
2
soit : Mser =
4
• Contrainte du béton comprimé
M •er
M ser = N be
z1 = d
3
J /C = 127 612 <.:m
0,18 X 0,1795 X
• Équilibre des moments
l x= - - +Il · As (d-yl)
(,.. =
= 21 4, 74
On a bie n N1.ic
d' où y 1 = 17, 95 cm • Moment quadratique
18 X 17, 95
N bc = 8,017
(5)
Calculer les contraintes à l'E.L.S. dans une section de poutre sans aciers comprimés. Contrôler la section d'acier à l' E.L. U.R.
1'
Données • Sections : voir figure • Caractéristiques des maté1iaux fc28 = 35 MPa ; a-be =21 MPa
f t: = 500 MPa ;
ust
15 [,
1
2HA 12
fi
=228,63 MPa
-
•. Cas de fissuration pr6judiciable 0,042 MNm • \1omcnt à l'E.L.S .: • Moment à l'E.L.U.R.: 0 ,060 5 MNm
A.
2 HA 14
Réponse
Calcul des contraintes
Contrôle E.L.U .R. 1 • Moment ultime réduit :
• Position
JLbu
=
M .. ~d 2 .
= 0, 127 1 (pivot A)
f hu
• Lectuœ des tableaux E.L.U.R.: JL.nu --+ {311 = 0 ,932 /
OU
/3u = Ü, 5 ( 1 +
'
Vl -
'
2f.Ltiu ) /
• Section théorique à l'E.L.U.R.: At! Il ? Au = = 3, 73 <.: mf3u · d · /su • Contrôle vis-à-vis de l' E.L. U.R.: 2 HA 12 + 2 HA 14, suit 5,34 cm2 A s = 5 ' 34 cm2 >A li = 3- ' 73 cm 2
Remarque: la conditiun de non-jraJ;:ilité de la section est égalP.m.enJ satisFaite; A :mn . 'J '
0.23 b.d. f 1J.11·e.
;?.
pi!ff2Ili!;J[!t.:Jil•fü3.~].li·::~~~~-, ~-~!f~ ~ ":~~ -:·~
.
.~
Calculer les contraintes d 'une section rectangulaire avec aciers r:nmprimés et cvntrôler les résultats en utilisant les équations d'équilibre. 25
Données
- R i--+-- - - - -·
• Cas de Fissuration très préjudiciable • Dimensions utiJes : b =25 cm; d = 50 cm; d ' =4 cm • Caractéristiques des matériaux
béton : f c28 = 27 M Pa ;
1
"'",,._
A~ =
1
1
= 16,2 MPa
= 170
8,04 cm2 A_= 35,73 cm2
.
MPa
_ 1I _
____ ,_._ _ ._,
+t- - - L ___.J
Section B.A. avec acie1~" comprimés et diagramme des contraintes
Vérification des sections
99
Réponse
Contrôle des résultats
Calcul d es contraintes • Position de la fibœ neutre: équation (1) __. y 1 2
25Yd+15x8,04(y 1 -4) - 15x 35,73(50-y 1 ) ou :
YT
+ 52, 524 y l
-
=0
2 182, 39
On obtient: y 1 = 27, 33
=0
lx= + 15
35, 73 (50 - 27, 33)
X
On obtient: l .x.
•
Comrain~es
2
2
194 cmtJ
=
= 0,589 4 MN N51 = 0
Ex.pression du moment interne par rapport au centre de gravité des aciers tendus: N bi:. ( d - y 1/ 3) + N0 c ( d - d') =M scr On obtient: 0 ,185 23
= 511
équation (3)--+ 248 000
As . (J~~
• É<.Iuilibre des moments
+15x8,04(27,33 - 4)
3
=
On obtient: Nbc + N sc -
cm
27,33 3
X
=
N sr
• Moment quaùraUque: équation (2) __. lx
25
• Équilibre des efforts normaux: b. YI = 0,453 :VI~ Nbc = 2 Nsc A's . asc = 0, 136 5 MN
M~m
+ 0,062 79 MNm
= 0,248 MNm
ab:;
27,33 = 13, 26MPa
X
511194 < ub; = 16, 2 MPa
• Acier en compression : équalion ( 4) ---+ u se Œsc
= 15
CTsc
<
248 000 (27, 33 - 4) X
0-sc
511 194
.
=169 , 77 MPa
= 0, 5 f ::-
~--·-- - - -
• Acier en traction: · équalion (5) ---+ ast crst
= 15 X
<
lrst
248 000 (50 - 27, 33) 511 194 =
= 164, 97 :MPa
Dhigrarnme des contraintes (à gauche) Efforts normaux et momenl~ (~ l'lrnite)
170 MPa
Remarque: le contrôlP. à L'é.L. U.R. est inutile. Dans le cas de fissuration très préjudiciable (FTP), le calcul à l 'E.L.S. est toujoi.t rs déterminant.
Cas2
Cas 1 " Données Dimensions: voir figure 6.
80
~
.4s
Section er. Té avec table épai.sse
1 OO
B.A. Guide de calcul
t
-DU
Données Dimensions: voir figure 7.
h o=20c.m
Section en Té avec table peu épaisse
1
80
~r_
1~ h 0 = 12 cm
As
J_1Q_j
• Malériaux:
• Matériaux:
f cn = 30 MPa ; .fc = 500 MPa • Cas de fissuration préjudiciable
fcn = 25 MPa; f c = 500 MPa • Cas de fi ssuration préjudiciable
• Moment appliqués: M . = 0,165 MNm M 0 = 0,235 MNm • Section des armatures tendues: 2 HA 25 + 2 HA 20-+ 16.l cm 2
• Moments appliqués: M~~r - 0,370 :\1Nm A1u = 0,525 4 :\1Nm • Section des aciers tendus: 8 HA 25 __. - 39.27 cm?.
Éléments de réponse 1. Vérification à l'R.L.S.
Éléments de réponse 1. Vérification à l'F. .L.S ..
• Condition pour que l'axe uëulre soit situé dans la
• Condition pour que 1'axe n~utre soit situé dans la nervnre:
s~i
rahle de compression: b .
-
On a: b
2
h5
80
- - n · A, (d - h0 ) > 0
= 80 cm; h 0 =
20 cm; d
2
= :')j cm.
80 X 202 - 15 X 16, 1 (53 - 20) > Ü D'où: 2 Cette section en Té se vérifie comme une section
r~ctangulai re.
• Position de l'axe neutre : b · v2 n · As (d -
T -
lx
=
lx
= 438 704 cm4
=0
• Équation du moment statique On se reportera au chapitre 3: «Caractéristique!> géométriques des sections».
+ n .
• Moment quadratique: .
A ~ (d - Y1)2
=0
lx
M scr (d - Y1) 1X
- - (b =-b ·3 YÎ
IX
=863 609 cm4
bo )
l"Y1 3
hoj"J + n· A s(d- y1 / "
On utilisera le~· équations (3) et (5) du présent chapitre er on veillera particulièrement aux unités.
= -·- · )' 1 = 5, 69 MPa = n · ·- -
Ix
,
• Calcul des contraintes à l 'E.L.S
,\,f ser
L'inégalité est vérifiée: J'axe neutre est dans la nervure.
__.. y 1 =23,4 1 cm
• Calcul des contraintes à l'E.L. S.:
39,27 (54 - 12) < 0
X
L,
• Moment quadratique: b . y3
T
- 15
• Position de l'axe neutre : b. v2 2 ~ - (h-ho) (Y1 -ho) - n·As (d-y l )
y 1 = 15,12 cm
~
'
)' 1)
122
X
= 213, 7 MPa
• Contrôle à l'E.L.S.: o-hc < 18 MPa
• Contrôle à l'E.L.S.:
2. Vérification à E .L. U.R. Il suffit de s ·assurer que: Au ~ A s avec
2. Vérification à E.L.U.R. Le diagramme reclangulairc est dan s la table
~1 :
a-st
La section convient à l'E.L. S.
seule si (cf. chapitre 7, 1.2 et exerciœ 6).
0,80 Yu~ h 0 , ou y 11 ::Sl ,25 h 0
section lhéorique à l'E.L.U.R.
As: section réelle d'acier tendu.
• Moment réduit: µbu
.Mu = b . d2 . ~
•1 hu
= 0, 061
10,03 Mpa < rr0c = 15 JvfPa = 196,57 MPa < ast = 202 MPa
a-be=
5
~pivot
A
Dans le cas où: Yu > 1,25 h0 le diagramme rectangulaire est à la fois dans la table et dans la nerv Lrre .
Vérificati on des sections
101
11
•
Bras de levier réduit:
/3 11
= 0, 5 ( 1 + J1 -
Au
=
L 'étuùe ùe cette condition revient à calculer le moment M hm équili bré par la table seule par rappurl au centre de gravi té des aciers tendus et à le comparer au moment appliqué M 0 :
2µ,bu) = 0, 968 2 • Section d'armature théorique à l'E.L.U.R.:
f3u
Mu · ·d · fsu
=
2
10,53 cm < 16, l cm
2
Mbtu = b. h0 (d-h 012) fuu = 0,653 MNm Mu = 0,525 4 MNm < Mbtu Le diagramme rectangulaire est bien dans la table seule .
N.B. Calcul à l'E.L.S. prépondérant.
• Équilibre de la section à l'E.L.U.R. a u = 0 ' 0794 ·, y u = 4 ! 208 <.:m µ,b'J ____... f3u = 0,9682; Zu = 51,314 cm
• Moment rédu it à l'E.L.U.R.:
Équilibre des efforts normaux.(fig.8):
Mu
µ,bu
Nbu = 0,80 Yu· b · f bu= 0,457 8 Ml\ Nsu =A11 • fsu = 0,457 X MN Équilibre des moments: Moment interne= Nbu · Zu = 0,234 9 MNm = moment externe.
f3u
= 0,913
• Position de la fibre nt::ulre: Yu= 0,218 X 0,54 = 11 ,77 cm
On a bien: Yu< 1,25 h0 • Section théorique à l' E.L.U.R. 0,525 4
-
0,913 X Ü,54 X 434,8
I f')
Il
Au
"'
N
de principe
= 0, 158 9
µ,bu _., au= 0,218;
Nbu
--""-t•
b . d 2 . !bu
• Lecture des tableaux E.J:-..U.R.:
U.457 8 M N
Shéma
=
= 24,51
2
cm < As
La section réelle 1\ = 39,27 cm2 convient donc à J'E.L.S. et à l' E.L.U.R.
N $U
0.457 8 MN
Controler dans chacun des cas proposés les sections d'armatures à l'E.L.S. calculées par ordinateur (lo!(iciel CBA). Pour la démarche, on pourra se reporter à L'exercice précéderu.
l E.L .S.* SECTlONS B.A. RECTANSULAIRES
* Sec:tion t;
*
*:: E.LS.
1 1
krr.l
L"'r tJ1:1L1r b :? 20
i
* 'Section (cm>
H.utile d :? 45'. :
:? :406 /,' Eta. : ? 1.6 : ·
ftc:ivr ·Fe
* Ff:;~ur
B.A.
Lêsrgeur
EN
u ;?
Bé
:7
,bO
H.uti li; d
11ateri au:<
iMPal Eti!t on F~:2B:i,':22 ·:
TE
Nervl.lre b0;,? ... 30
·:i ·· M~t;criaux · ',.;,:~ <11P.:il
H. t<1bl.a h (l:? 15. Beton Fc28!'? 2~
Acier Fe
CP=1;TP,.2>:?· 2
;'?' '560
et.a :? 1:6 CP=l,TP=2>:?· f .
lt Calcul==l
t 11oment agi1>10t.
t Ca1èul=l Vari f:.:2 Chgt::o3 F:ln:.:4 choi Xl::!
* Aciers
*Moment agisst.
tend.Js
* ConfruinlE:f> · ·
A -a;? 24, }3
l2.95
*
Ssc: 163. 56 ...
B.A. Guide de calcul
*'
A' 51 '? :L 26 .d' :7 4 ' ..
·· c~ lcul
S~c
* y1= .25.31 cm S'it 102
SFCTIONS
15\.1:5
Ad!:'rs tendus comprimœ~
l(mi~e;
t • ,c;;::int:rai htes
13.2. ·:'
... :. ('t)Pa) ' y1~ '.$0 •. B c:m
2~-:
.
157.74
"IC "
;yu=" . 40.5 cm
~er:? 0~75
A s:? :72 •. 38
A's;? 0
F.:LS cal cul '* ''li ml te. Sbc 14. 09 ' t 5 fa; t 200.42 . 20l.b3 E\,.UR .. tMNm) · Mru= 1.1609
T.' association ~éton-acier rés~lte p rincipalement matériaux'. •
:deradh~œnc~ entre
Le béton ~xêrtë· àussi sur Ï' ~Çiet:èt r~ciprncp~e~~nt ünë .force d~ f~ot- : tement soüs l':effet d' un·effort de traction ou'de compre~ si o.n ;, (Coefficient de frottement Qe l'acier sur le 'béton pris égal à 0;4.) · En cu muJa nt les forces dues à l'adhérence:et a.u frottement,'011 a: . .lforces .d e liaison =Forcés d e frottement . d'adhér ence· +.. Forces .. ... Les. liaisons eritie béton et armatures concernent : · . . . ,: . -J~s ariër.:j.~cs .f.cctil.ig~ ~s :9üc-0\1rbes .(cro~lfe.ts ) ; . · · · · ... : '· .. :. ;; ; ' .
'
:
.
.
·:
exemple: extrémités:des armatures tendues d 'une po1ipr.e;
- les recouvrements de barres ou de treill is· soudés e~emple: continlf,it{des barres
so1.l.mises à un effort de trac-
Ï,ion (p outres) ou de compression (poteàu);
_.,.. l ' e.ntraîilement des armat:ures des barr~s, i~ol,~es ou. en p:aqq~t. ..
. ' .. .... . éxemple: b~r~e;· diSposies en âtap~'llltX sûr Îmè 'm~nie fU.tppe: ' Les règles~ respecter, toutes ~elati ves à r état~Ïimite ultiin ë ;;visent :: - les extrémités des barres qui doivent être ancrées avec u ne sécurité suffis ante·(A.6.1 ,2 pour ies barres, A.6. 2, l pou des treillis soudés) ; arm~tt1r~s en partie coQrante so umises à des contraintcs'ditcs ad' entraînement'', qui do!vent être limitées pour ne pas encfoinmager l e. ~~(Ç1~: entourant ies ~rn1~lun::s : · · •· ' . ' . ·. ' .,. ., ...
- les
;;
Contrainte d'adhérence
La liaison entre une armature et le béton est mesurée par la contrainte d'adhérence ,,.s défi ni e par la formule :
[ r,- ~
~
J
Périm~tœ utile: 11 = 'TT0
C.uulrainle
-r,
( 1)
où dF/dx : variation de l'effort ax ia l p<1r unité de.
longueur u : périmètre utile d' une barre ou d'un paquet
Condi tions d'équilibre d'un tronçon de barre de longueur dx
Ancra1e des aciers 2..1
r
Val eur limite ultime de la
contrainte d'adhérence
(B.A. E.L. A.6. l ,2)
L' efficacité d' une barre du point de vue de l' adh érence est caractérisée par son coefficient de scellement 1Y, : 1.fr5 = 1 pour les ronds lisses 1.Jr< = l, 6 pour les aciers H.A. La valeur Ùltime de la contrainte d'aùh6rence, symbole
'T~ u ·
est donné par : I _7_ s_u = ~ - o -.6iJr_:_._ t_Lj~
(2>
Extrémité de poutre
î
Cu11lnti11le d'adhérence 7S 1 F
Longueur Effort Je Lraction de scelle.me.nt l s Schémas de principe : à gauche, essai d'arrachement à droite , ancrage d'une barre
liaison béton - ac ier
103
Contrôler les valeurs de T m dans .fc28 le tableau ci- contre avec 1Jrs = 1,5 (contraintes exprimées en MPa). f12R 7:')U
2.2
Antrages rettilignes
20
18
1
22
_,
') ~ ~::i
'.10
?'"'
32
35
?,7
1.68 1,80 1,92 2.10 2,')•..::.') 2,40 2.52 2,70 2,82 3,00
2 ,27 2,43 2,59 2,83 3,00 3,24 3,40 3,64 3,8 1 4,05
(B.A.E.L. A.6.1,23)
2.2.1 Cas d'une barre isolée tendue Longueur
=
0. __.f_e 4
Exemple de calcul 0 =16 mm; fe (3)
=500 MPa; fc 28 =30 MPa
1, 6
'Tsu
ls =
0 : diamètre de la barre
500 " .., = 61, 8 cm 4 X.),,..,4 X
fe : limite élastique de l'acier "su : contrainte limite ultime d'adhérence
Établir laformule (3) dormant la longueur de scellement d roit.
Réponse On a l'équation d ' équilibre·: force de traction (N,) = force d'adhérence (F,111)
l,
2
n. 0 . f e =1t · 0·Tsu · f s 4 0 · fe ls =
soit d'où
Barre scellée Scellement droit
.2..2.2 Tableau des valeurs forfaitaires de la longueur de segment droit (à défaut de calcul de la longueur ls par la formule (3))
Barres tendues isolées (HA)
Treillis-.soudés TSL et TSHA
(B.J\.E.L. /\.6. 1,22)
(B .A.E.L. A.6.2)
Types d'acier (tft~ ~ 1,5) f e= 400 MPa ls
Zone d'ancrage
f e =500 MPa
=40 0
Exemple:
Acier HA; f e = 500 MPa Ditimètre de J;i bilrre: 16 mm l 5 = 50 X 1,6 = 80 cm
104
B.A. Guide de calcul
40
..
-
Fils porteurs: 3 soudures sur chaque fil Fils transversaux: 2 soudures sur chaque fil
Longueur forfaitaire id 0 acier HA avec f e = 500 MPa
-
Déterminer et comparer les lonf?ueurs de scellement droit à partir des deux groupes de données suivantes:
Données • Aci er HA·' f e = 500 MPa • Diamètre de la barre : 20 mm • fcZ 8 = 25 MPa
• Treillis soudés TSHA • Panneau : TSHA 6 / 5,5 1OO x 200 • f clB =30 MPa
Réponse
t1 = 1OO c m !2 =88,4 cm = 44,2 0
Longueur forfaitaire: Longueur calculée:
Longueur forfaitaire: Longueur calculée:
13 = 30 cm
l4 =23,2 cm 38,7 0
=
1.l.l Longueur de scellement droit dans le cas de paquets Paquet d~ deux barres Périmètre utile
ls
')
Périmètre utile d'une barre: u;
· 0
A partir de l'ancrage, on a: l,Sl, + ls +
~·
~
1'
·r
= r.:
Paquet de trois barres
,,,
paquet 3 barre!>
1
t:::
d~
2.3
Ancrage par courbure des barres tendues
2.3.1
Rayons de courbure minimaux (B.A.E.L. A .6.1,25)
Aciers en barres
,.~
Aciers HA
1
1 b:me
1.
paquet de 2 barres
étriers, épingles
30
r)!:20
5,5 0
r ~ 2 0 en général
y;;..,
/5
Façonnage des cadres,
Façonnage des crochets
Ronds lisses
=;n.0
2..3.2. Caractéristiques des crochets courants
Rayon de courbure
Types de crochets façonnés
-~~
\'y~'
8= 90°
lz
J
1
8 = 120"
yt (~ J
9= 180°
l1
y1fi 12
!
~
~12
)>/t,
r
IJ = 135"
l2
J1
Longueur équivalente l 5 de scellement droit Angle de 90:> / = 1,87 1 + ! + 2, 19 r 5 1 2 Crochet à retour d'équerre
Angle de 120° ls= 2,31 / 1 +l2 + 3,28r
Angle de 180" ls = 3,51 / 1 + l') + 6,28 r
Angle de 135° / = 2,57 / - 1 + 3,92 r 1 2 5
Très utilisé pour poutres
Liaison béton - acier
105
Réponse • Rayon de courbure: 5,5 0 = 11 cm • Longueur l 2 : 25 - 3 - 1 - 11 = 1Ocm 1 - rayon
LI L
112
Acier HA 20; f e = 500 MPa • en ro bage mini: 3 cm • crochet à 120°
dimen3ion du côté du poteau
• Longueur é guiv a l ~nte [5 :
• longueur / 1 = 8 0 • Section du poteau: 25 cm x 25 cm
~
~ ~
I, =2,31x 16+ 10 +3,28x Ll c m ' ls = 83,04 cm
~;,, ~';~:::~~~. ess?:~ 1101:;·~ur;r~Réponsc0 l'ancrage total d'une barre HA 16 d 'une poutre repusant à chaque extrémité sur un voile B.A.
• l~
=-
4
f ,.. ~ 1
= 6 1, 73 cm .::::
62 cm
su
8 , ~ cm [2,5 + 0,8 + 8.81 = 5,9 cm
• Rayo n de cou rbu re :
• l 2 = 18 • l~ = 2,57 lt + 12 + 3,92 r
Données
• f czR = 30 MPa; f e = 500 MPa
--
• '\f/5 = 1,5; enrobage mini= 2,5 cm • Croch et à 135° • É1.rnisseur du voil e: l R cm
62 - 5,9 - 3,92
X
2,57 8,4 cm, soit 5,2."5
8,8
cm
0.
15
Cerce
2.4 Ancraces des cadres, étriers, épingles ( B .A .E.L. A .6 .L,255 )
0
Un adm t:l que les ancrage des extrémités sont ass urés par courbure suivant le ray on mjn i ma l , si les parties courhes son t prol ongées par des p;:irties rectilignes de ln nrr1 \ o, • ..-"' J.V U(;U\..IU J.)
e' co:::.- 11 "':s '- "-"' ~
1
w..
- cing diamètres pour un arc de 180c:; - dix diamèlres pour un arc d e 135u;
"' :1
- qu inze. diamèLres pour un arc de 90°. Condition : l'inclinaison {3 des plans des anc rages doil être inférieure à 1T/8 (voir bas de la fig ure 5). R ayons de courhure minima ux: voir le paragraphe 2.3. 1 et lt:s fic hes d'iden ti ficatio n de l'acier utilisé .
&1
1
__
')
Cpingle
É.rier
Couditiuns
f3
Ancrage des cadn~!>,
étriers , épingle.;;
106
B.A. Guide de calcul
~ 'iT/8
Cadre
f:adre
2 .5
Jonctions par recouvrement (B.A.E.L. A.6. 1,2)
2.5. 1
Barres rectilicnes sans crochet Barres tendues
Barres comprimées -----~
• Continuité par simple recouvrement '• '
"'
1
lll lill 1l l 1l!ll l l l l!:~ : ~ :111 11111111111111111111111111111111 111
j111111
. IFii:,.
1
1
i 1
1
• La longueur de recouvrement pe ut être prise égale à: l r = 0,6 l s Les valeurs forfaitaires devie nnent alors pour les aci ers à haute adhérence ( 'l/l's = 1,5): Fe E 400 : l r 24 0
=
Fe E 500: Zr
•
= 30 0
• Les jonctions peuvent se faire par aboutement de barres au conta ct en utilisan t dt!s «manchons» .
Fe E 400 : l r ·= 40 0 Fe E 500 : l r = 50 0
. continuité par couvre-joint 1'
'1
l S
r "
11
S
v
r
1
F
1 1 m1 1 1 1 111111~~!1 1 m1 1 1 1 1 1 1 :::r' - ~! ~-
~
lr = 2 /s
~S
Cas d'armatures de poteaux superposé'
fF
l
1
• Coutures des jonctions
m:
Dans le cas général, on trou v~: - des barres arrêtées, - des barres continues.
Armatures àc couture
1,
[, es
armatures de <.:outures (cadres, étri ers ) doivent avoir une résistance au moins égale à celle des barres arrêtée1' (vo ir exerc ice 6 ).
Relation à respecter : L A 1 • f et ~ I. A s · f e
L'effort de r.raction F admet pour composantes:
• F.,, irn.:li née ùe 1T/4 sur l'axe. de la barre ; • F. de direction verticale.
1.5 ..2 Barres rectilignes avec crochets normaux
• Ronds lisses
1,:
Longueur de recouvrement : l r = 0,6 l s
Vakur forfai taire de ls :
l 5 = 50
0
•Acier HA Fe E 400 ou 500 Longucur de recouvrement : l r = 0,4 l s Valeur forfaitaire de l s: 15 = 40 0 pour acier Fe E 400 l 8 =50 0 pour acier Fe E 500
~
1 1
20
r \(\~~/ti . ~·
~ -- ---- ------------ -- --t 0,61 s : barres lisses ( r = 3 0) 0,4 / s : barres HA (r= 5,5 0)
Façonnage du crochet «normal»
liaison béton - acier
1 07
1. On prend ffig. 11): 0.6 /s + C } SIC>) . ~ . 0 011 0,41$ - c 2. Le respect des prescriptions cmu:ernant le cmchet !wn nal dispense de vérifier la condition de non-écrasement du béton. 3. Leç cnuturP..~ dispni;leç le long du recouvrt!.menl doi vent avoir une section au moins égale à la moitié de celte nécessaire pour un scellement droit.
._. . .
~ ~9]}!11~~~
Élévation
(
Remarquu:
Barre~
HA
C~ {
50 --t 0.41 5
c > S0 --t 0,4ls + r.
Recouvrement avec crochets normaux
..,..li-
Pour assurer la conrinuité des barres dans une poutre, il est prévu une jonction pur simple recouvremen t. D éte rminer:
- la longueur da recouvrement; - lu sec:tion et la disposition des aciers de coutures.
Réponse • Longueur l
~
= 50 0 = 80 cm
• Nombre de cadres à répartir sur la longueur ls Condition :
IA 1 ·fet • Nappe inférieure constituée de 4HA16 (Fe E 500);
As =8,04 cm 2 • Diamètre des cadres prévus: 6 mm (Fe E 400)
~ IA s ·fe
= K cadres x n :orins x
P.. t
U;.;..i •
~
Plan
1
~EJ
J)
·1
Section A ~ 1 à prendre: 4,02 cm2 N =
R ecouvrement sans crochet de 2 harres
4,02
X
500
~
9 cadres
2 X 0,28 X 400
2.5.3 Treillis soudés (B.A.E.L. A.6.2) Les valeurs forfaitaires des recouvrements sont identiques à celles des ancrages de trei ll is soudés lisses (TSL) el à haute ad hérence (TSHA): se reporter au paragraphe 2.2.2.
Les r~commandat ion s de mise en œuvre sont ind iqu~e~ sur les fig uœs 12 et 13 .
.._,~•.cm·~·l__J_:...._r'._._~5--.
;;;. 4 cm
..-~'===.r--; ===6==;:::::=0=====~0~ )
l
llllli....- -....· - - - -....· - - - - - . ) _.... ~
1
- t-r
4cm
~
~ 5t==;~t:-a ;;;;1;;;~1;;;,;1;;;ie;;;,;1;~)~ Recouvrement des fils porteurs
-
4cm
Î ô:
-- 5 Fig; 13
Recou~mcnt
t
lj
des fils de répartition
Entraînement des barres isolées ou en paquet cs.A.E. L. A.6. IJ) Dans un élément fléchi, l' effort de traction des armalurcs tendues varie entre deux sections voisines. distantes de d x (fig. 14). Il en résulte une contrainte d'adhérence 7'~e pour satisfai re la con dition d ' équilibre sur le tronçon de barre considéré.
108
B.A. Ouide de calcul
F
~e
Barre tendue
·------- · --
~1- - ~ Tsc
...._ -
--
--
-
F+ dF -- - -1--.
dx
Sz
Schéma de. principe
3.1
Cas d'une seule nappe
3 ..2
(i-ème n appe)
Conditions particulières: - barres de meme diamètre; - barres isolées ou en paquets. La contrainte d'adhérence par entraî.nemenl d~ s armacures se détermine par: Ts~
~
= o, 9 d · I
Dans une po ut re fléchie de section constante, la contrainte 'Tse qui s'exerce soit: - sur une barre ou des barres isolées. - sur un paquet (2 ou 3 barres), est prise égale à l 'exp ression:
Vu
u
'Tse
Vu : effort tranchant à l'étal ultime : hauteur utile de la poutre I, u: somme des périmètres uti les des barres ou des paq uets (voi r tah lcau ci-après) .
où
Cas de plusieurs nappes
d
N.B . 0,9 d est la i·aleur forfa itaire du hras de levier de Ja
poutre.
= 0, 9 d
·
Ui
A$i As
où As;: section de la barre ou
(i-ème nappe) .\ : section totale des armatures tendues u 1 : périmètre utile minimal t:irconscrit à la section droite du paquet (voir tableau ci-après).
Tableau des périmètres utiles 1. Barre isolée
: 1T
0
2. Paquet de deux harres : ( 1T + 2)
0 0
3. Paquet de trois barres : ( TI'+ 3 ) 0
3 .3
(l)
füme isolée
(3)
(2) Paquets
Valeur limite ultime de la contrainte d'adhérence (symbole r sc. u)
La contrai nte d' adhérence r se doit être inft!rieure à: Tsc, u
= 'P's · f tj
N.B. Dans le cas des dalles. voir B.A .E.L. A.6.J,3.
Valeurs de Tse , u en MPa (1/l's = 1,5) fc28
20
25
30
35
40 -
Tse, u
2,70
3.15
3,60
4 ,05
4,50
:J.4
Entraînement des treillis soudés formés de fils ou barres HA
On adopte la même justification qu 'au paragraph e 3.2 compte tenu d e la valeur de 1/!5 figurant dans la fiche d'i dentification du produit. N. B. Voir B. A.E.L. r'l.6.2.3 et Annexe 2 pnur les valeurs de \fis.
Liaison béton - acier
109
Réponse • Choix de 2 HA 16-+ 4,02 cm2
Choisir les armatures en chapeaux· d 'une poutre continue et contrôler la contrainte d'adhérence par entraînement.
Calcul de la contrainte d'adhérence: 0,1 15 Tse = 0,9 X 0, 40 X0, 100 = 3 , 19 MPa
>
'Tse
• Acier: Fe E 500 • Béton : f c28 = 25 MPa • Calcul en fl exion simple section théoriqu e: A s ;::; 4 cm2 . effort tranchant : Vu = 0 ,1 15 MN hauteur utile : d = 40 cm
= 3, 15 MPa
'Tse,u
• Choix. Je 3 HA 14-+ 4 ,62 cm2
0, 115 ·Tse
=
0, 9
0,40
X
X
0, 132
Cc derni er choix convie nt po ur le diamètre et la section des chapeaux :
Chapeaux (acier tendu; section A,) /
/
/
;'
...
-<
\ ' ....__
Poutre continue /
-~'--"v-
~ Poteau
~
\
\
\
\
\
\
\
Arn1al11re füante sur appui
Fig. ......,,,,,.,,, _. ~j
110
B.A. Guide de calcul
Poutre continue
= 2• 42 MPa
\
\
\
\
J
Il s'"agit des justifications à effectùèi-'1)our les puu~res et dalles sous sçllicita. t fon d'effort tranchant, qµ( conceFQent: . . 1;. J~ contrainte tangente ultimedë, c1sailleili.~rit du beton ; 2. ks armatlires transversales de! Ï1 fline (ex: :eactres, étriers); 3. Ieszones d' appuides poÙtres:·: · -:-;appui simple d'aboi1t, . · :: :appui intêrmédiaire. . . '· · . ,, , . . La sollicitation d'effort t~ancha~t V~ est toÎijours détë rminée à 1>état limite ultime (E.L. U.). ·,
.
,
.
.
.La ,çPmbinaiso.n .de bas.è ·.dans les .c~s,. courants pou r.ca).'culer .v0 ,est.: .. . '. , '1)5 G+ 't ,5 Q ·' . Rema~qiies . . , ., . • Oi2 se 1~epo rtera :égalemen.t wt B.:A:E.L. A.3.J,2pour r expression;c!.es combinaisons les plus d,éfavbrables~Joiid'ame'ntale's ou acÇidentelles.~ · '' • Les diverses justijicationsaccom1iagnéeA·
au
Contraintes de traction
Ridle d'appui 1
Cadres
T: contrainte tangente ultime de cisailleme.nt
\
~.. . ; ;~
Visualisation des etfets produits par l'effo11 tranchant dans une poutre fléchie en béton armé
Appui B.A.
\\'\ Fissures
à 45° env.
Schéma de principe
Contrainte tan1ente conventionnelle Justifications de râme d'une poutre
Notations
(B.A.E.L. A.5.1) Vu··
Unités
V: Ml\ u
b0 : m
d: m ru : MPa
(1)
valeur de l'effo rt tranchant dans la section considérée
b 0 : largeur de l'âme
d : hauteu r utile. r li : contrainte tangente conventionnelle Effort tranchant: justifications et dispositions constructives
111
,.....
Calcul de la contrainte tanf?ente conventionnelle.
Calcul
Données •. Poutre de section rectangulaire: 20 cm X 45 cm; d = 41 cm • Portée: 5,80 m • Appuis simples en A et B • Charges uniformément réparties: - permanentes y compris poids propre: g = 18 500 N/m - d 'exploitation: q= 4600Nlm.
• Effort lranchanl à l'appui A. (ou B) : VA= (1,35 G + 1,5 Q) L/2 VA= 92 438 N
1
• Contrainte tangente conventionnelle:
0,092 438 MN
Tu= 0,20 m X0,4 1 m=1. lZ7 MPa
1
Contrainte tangente limite ultime État limite ultime du béton de l'âme d'une section courante
(B.A.ru,. A.5 .1 )
La détermination de la contrainte tangente limite ultime 7 0 dépend des cas rencontrés. • Cas des armatures transversales droites (a= 'TT/2, fig. 3) Fissuration peu préj udi<..:iable Fissuration préjudiciable
ou très préjudiciable
-}--
• Cas des armatures transversales inclinées à 45° __.
Diverses dispositions des armatures transversales
Armatures droites (lY rri2)
7u =min (0,20fc; /lb; 7u =min (0,15fc; I lb; Tu=
5MPa)
(2)
4MPa)
(3)
miD (0,27fCJ l 1b; 7MPa)
(4)
&\SS
=
11lR 1=:I Armatures droites
Armatures inclinées (45"
~
(} :::::90°)
'
el barres re ievc':es à 45"
=
Calcul de la conirainte tangente limite ultime.
:!!}
lft1 f!l
fc 28 (MPa)
Cas de fissuration
Valeur de Tu
~~~~~~~--i~~~~~~~~~~~~~-+-~~~~~-2-5~~~~~~~~~~
25
Peu préjudiciable
0, 20 x
D = 3, 33 MPa
1~1 1----~~~~~~~+-~~~~~~~~~~~~~+-~~~~~~~~~~~~~~~~~
!éi 1
w~~
%wr~
~!~
20
Préjudiciable
w = 2 MPa 5
O, 15 x l,
1----~~~~~~~+-~~~~~~~~~~~~~+-~~~~~~~~~~~~~~~~~
40
Peu préjudiciable Tu ~ min (5, 33; 5) = 5 MPa !iJ l--~~~~~~~-1-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ i::: 42 Très préjudiciable Tu :-s; min ( 4, 2; 4) = 4 MPa "'"'I ~~'* ~:r-1
~ L-~~~~~~~-'-~~~~~~~~~~~~~-'-~~~~~~~~~~~~~~~~~
112
B.A. Guide de calcul
Armatures tranversales d'une poutre Détermination des armatures d'âme ( B.J\.E.L. A.5. 1, 232)
3.1
Condition
Notations A1 : sectio n d ' un cours d 'armatures transversales .
)'~( Tu ~
s 1 : espacement entre deux cours successifs de cadres ou d 'étriers
Q,3 ftJ.. k)
0, 9 / c (cos a + s in a)
f 1j: contrainte caracLéris liyue de traction du bét0n à
Espacements ~es armatures transversales dans les cas courants
Coefficient k:
Avec
j jours, plafonnée à 3,3 MPa
k
k
=O
si
=l
si
repr ise de bétonnage
{ fissuration très préjudiciable [
cas de flexion simple, sans reprise de bétonnage ou reprise avec inùenlaLion ;>-: 5mm
'1T J2
(armatures droites)
0,9Ar ·fc S1 -::.:
( ())
% · b'j (Tu - Ü,3ftj)
î
Armauues d'âme d~ poutre u :
=
=1
Al fixé (section des cadres, étriers):
Fig. 4
angle d'incli naison des cadres
Vu: effort tranchant à l'étai ulii me
b0 : épaisseur de 1· âm:::
3 .2
a k
(5)
Règle de Caquot pour la détermination pratique des espacements
Conditions d'application
Application
• Ch (lrnes uniformément réoarties .a. • Secti on constante de poutre • Cas de flexion simple et k = 1.
P outre de 6.20 m de portée et s,
Démarche à suivre
• Nombre enti er de mètres dans la demi-portée égal à trois . • Cbuix des e pacements: 6cm 11 cm X 3 COllfS 13 cm x 3 cours 16 cm x 3 cours 20 cm x J cou rs 25 cm x 3 cours Remarque: lire ci-après(.§ 4) les dispositions con.stnu:tives
-
~
= 12,4 cm à l' appui.
Espaœments suh·ant Caquot : • Pre mier cours à sJ2 - 6 cm
1 ::> Calcul de l'espacement s 1 à l' appui: A1 érnnt fixé, on uti li se la fonnule (6) ci -dessus . 2u Positi on du premier cours l' appui.
'
a une distance s/2 de
3c Es paceme nts ~u ivan ts en prenant la suite des valeurs en cm : 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 35, 40 Cha q ue val eu r d 'es pacement es t répétée autant de fois qu'il y a de mètres dans la demi-portée.
minimales pour le s valeu rs de S t .
Effort tranchant: justificat ions et dispositions constructives
11 3
Calcul de l'espa cement initial près de l'appui pour la poutre de l 'exemple 1.
Données complémentaires
Armatures droi tes (a= 90°) Cadres simples. diamètre 6 mm, acier Fe E 215 Béton: f en= 30 MPa Pas de repr1se de bétonnage Fissuration peu préjud icia~le
Calcul • UtiUsation de la formule (6) : Contrainte caradéristique de trac tion du béton autorisée: f t2ll = 2,4 MPa < f c28 = 3,3 MPa • Section Ac: 2 brins 0 6 mm • Premier cours placé à s/ 2 du nu de l 'appui .
sL ~
0, 9 X 0. 57 X IO- 4 X 215 . cm 1, 15 X 0, 20(1, 127 - Ü,3 X 2, 4)
St~
11, 78 cm; on pre nd s t
= 11 cm.
Position du premier cours pl acé à 6 cm d u nu
'*·
Remarqu e: par le procédé de Caquot, applicable dans ce cas, nn d éduit les espacements suivants: 3 X 11
39
6
-~
-~~
20
3 X 13
3 X 16
78
3 X 20
126
3 X 25 186
29
26l
1
290f
·~
Dispositions constructives minimales
V
Espacements des cours de cadres ou d•étriers (B.A.E.L. A.5 .2)
----.
Unités: st et b0 en l:m; A 1 en cm2 ; fc en MPa.
s.
~ min
s
~---
(B .A.E.L. A. 7 .2, 2)
At· fe 0,4 h0
l
Diamètre des armatures d'âme, symbo le : 0 1 ___.
(?, t
(0,9 d; 40 cm)
~
' h b min (, 35; l ~} ; 0 J
j
J
(7)
(8) (9)
0 1 : diamètre des barres longitudinales
i ..~~ ~-~L!!~Jrn f.!l~• · . . . ._._""""""'""'·c vntr6les des dispositions constructi ves de
la poutre P.tudiée dans l'exemple 1. Les espacements des
cadres ont éti obtenus dan s l'exemple 3. 1 .
·=c Indications
~ ''""' r·:i10,9 d
Contrôles
~ s, :nnx = 29 cm (voir fi 2:ure 5)
J
'. 1 A
jj
l
~l
As
~1 l .
,ii-
,
~
= 36,9 cm
= (} ' 57 cm 2 = 2 HA 16 + 1 HA 12
Diamètres à considérer (formule 9) : 0 = 6 mm
stmax
B.A. Guide de calcul
=29 cm convient.
• bpacements maxi à l 'appui (formule 8) : st ~
'
; . 0 1 min= 12 Illlll 114
• Es pacemt::nls St max (form ule 7) : s1 ~mi n (36,9 cm; 40 cm).
St
0, 57
X
215
0, 4 x 20
= 15,31 cm
= 11 cm convient.
Effort tranchant réduit au voisinage d'un appui Intérêt
Conditions prescrites
Minoration dt.: l'effort tranchant ultime pour la véri fication de la résistance du béton ec des armatures d ' âme (B .A. E.L. A.5 .1, 23).
• Cas de charges situées entre le nn de l'appui et h/2 Les charges situées entre le nu de l'appui et les secliuns distantes de h/2 ne sont pas prises en compte (fig. 6). • Cas de charges Q; situées entre li/2 et 1,5 li
Cet effort peut être évalué suivant les conditions prescrites ci-contre. Toutefois œs l:unditions ne s'appliquent pas aux règles concernant les zones t.l' appui vis-à-vis: - de la bielle d 'about,
L'effort tnmchant Vui développé par une charge concentrée Qi peut être réduit dans le rapport 2a 13/t:
2a Vu
- de la section minimale des armatures longitudinales. On se reportera au paragraphe 6 : "Justifil:ation aux appuis".
= V ui ·
h 3 avec.: a : distance à partir du nu de l' appui du point d'application de Q, (fig. 7) h: hau teur de poutre. réd
, a Q
a
Q
1,5 h Appui d'about
Appui interméd iaire
t~~·~~ i;J l.;i ~ d'une charge répanie
iJJ!
~:J;J~
1
Cas de charges concentrées
-Ln:owrf~, '"' -
~.n~r ···-triJiIT 1
~;j
a.dL'
~ n .. ~
_.
,~ "
·~ .e~ ,·
i'î'"t._.
"'
-
~·
.
·~
•
.
.
:.
Calr:ul de l'espacement initial en temuit c:ompte de l 'effort tranchant réduit dans le cas d'une charge uniform e. Ca.ç de la poutre é tudiée dans les exemp/e:s préc:édents.
Calcul
Données • Hauteur: h
=4 5 cm
• Effort tranchant réduit:
• Charges uniformes: 1,35 g + 1,5 q = 31 875 N/m
• vu= 92 438 ~ • Section
de~
cadres:
2 brins 0 6 mm • Acier des cadres:
0.57 cm2
fc =
2 l 5 MPa
Vu réd
= Ve -
( l ,35 g + 1,5 q) h/2
Vnrtci = 85 266 N
• Contrainte tangente conventionnelle: Vu réd T,, = - - = 1,04 MPa ' b0 · d • Espacement initial: 0,9 X 0,57 X 10 4 X 215 St ~ 1, 1.'5 X Ü, 20 (1 , 04 - Ü, J X 2, 4)
Remarque: on noiera l'écart obzenu pour St suivant l'utilisation de
vu
(exemple 3) ou de
= Ü' 15 1ll
vu rétl .
Effort tranchant : justifications et dispositions constructives
115
Justifications aux appuis 6.1
(B.A.E.L. A.s. -1, :1)
Appui simple d'about
Notations : profondeur
a
f c ?0: -" A5
:
'}' 5
:
résistance caractéris tjque du béton en compœssion à 28 jours d'âge section minimale des aciers longitudinaux inférieurs prolongés sur l' a ppui 1, 15 en général
Vu ~
; .,
Conditions prescrites
;.~. ~
Ns Appui simple d'about
• Profondeur minimale d'appui 2 Vu
--
bn · a
~
0, 8 fc28 !' b
(B.A. E. L. A.5. 1,3 1)
ou Vu~ 0,267 ho - a· fc28
3,75 vu
a~ ---
soit:
bo · fc 28
(10)
La valeur de a est prise au p lus éga le au bras de levier de la poutre évalué à 0,9 d. ·
• Section minimale d'armatures inférieures sur appui ·v 1S V A .~ s
/c
u
( 11 )
• Profundeur d'appui prise en compte: suivantB.A.E.L. A .5.1, 313 (fig. 9 et 10).
c Poteau B.A.
_._~,1~-<--
6.2
Appui intermédiaire
L ·effort tranchant Vu prend la valeur: Vu.,0 : à gauche de 1' a ppu i vnci : à droite del' appui. L'action verticale
Conditions prescrites • Profondeur minimale d 'appui Pour chaque des travét:s adj acentes, il faut vérifier: Vu,,,-:; 0 ,267 b0 . a. f c 28 (id 0 à appui sim ple d ' about) 116
B.A. Guide de calcul
:rtg:·ur
Barre avec crochd
• Contrainte moyenne de compression sur l'appui O"mh
ou
Ru ·= - -
bo · a
1 0-mb
~
•
1,3 f c28
- - 'Yb
~ 0,867 f c28
(1 2)
1
• St!ction minimale d 'armatures infér ieures sur appui Mu ")
'Ys (
(13 )
Vu + - Je \_ 0, 9 d,, ___
As
?-: -
.__
Contrôles des conditions aux appuis de lu pouzre de I'e.xemple 1, vis-à-vis de l 'effort trafl chanl. Données complémenlaires
Contrôles • Profondeur utile de l'appui : a = 20 cm - 3 cm - 2 cm = 15 cm
L L
H.A.E.L. fig. 9
• Profondeur minimale (formule 10 ):
fc = 500 MPa .4 3 = 2 HA 20 (sur l'appui)
3, 75 x 0, 092 438 MN 0,20 m x 30 MPa
• Béton : f c28 = 30 MP a • Appuis sur poteau B .A. de. sec.:tion : 20 cm x 20 cm
= 0, 0 5S m
• Sec: lion m inimale des aciers inférieur s prolongés sur appm:
• Enrobage : 3 cm
l, 15
Effort trancha nt :
A5
vu
= 92 438 l\ Vuréil = 85 266 N (cf § 5)
Cas des dalles
L__
- enrobage cô té du poteau
Section utile: 20 cm x 41 cm • Aciers princ ipau x inférieurs :
X
;;:;:
0,092 438 SOO
X
104
= 2, 13 cm 2
On a 2 HA 20 - . 6,28 cm2 >2,13 cm2
(B .A.E.L. A. 5, 2)
Aucune a rm a tnre d ' effort tranchan t n' est requi se s i : • -ru ~ 'i11 (valeur 1imite)
l r;; =ü,07 fc28 /yb
avec
(14)
• Pièce béton née s ans reprise sur toute son épais:seur. N.B. Valeur de r u faible dans le cas générnl.
Contrôle de
·Tu
pour dalle sur appuis simples.
• Dalle de portée L • Épaisseur 18 cm ; d
• Matéri aux :
= 4,20 m
=15 cm
Contrôle • Valeur de l' effor t tranchant: Vu= (1, 35 g + 1,5 q) L/2 = 28 192 N • Contr ainte tangente conventionnel le::
.fc28 = 25 MPa fe
• Charges permane ntes: d' exploitation :
= 500 MPa
1 000 N/m 2 4 000 N/m2
{/
'T'u
=
bo ~ d
= 0, 188 .MPa
. • Contrainte tange nte limite:
< = 1, 167 MPa > 0, 188 MPa Effort t ranchant: Justifications et dispositions constructives
117
i; i.
. ~1.Jîl~~-
Poutre rectangulaire soumise à la sollicitation d•effort tranchant
[
~ Don.nées ~ • Section: 20 cm x 60 cm ;.. . ,, • Hauteur utile: 55 cm
béton: f: 28 = 25 MPa aciers principaux: f e = 500 MPa aciers transversaux à disposition : ~!.;1 . .fe = 215 MPa et f e = 500 MPa i Charge permauenles y compris poids propre tr.i ..i de la poutre : ~ g = 17 640 N/m ~ • Charges d ' exploita tion: q = 8 000 N/m (;i.i • Cas de fissuration préJ. udi ciable Î!Tj P-:-· • Aciers principaux tendus : "'I section médiane: 5 HA 20 + 1 HA 16 ~~ section
.: •.. ! If;~~
4.
•• ...
~j
i.:
fli 1 •
~
Étapes de l'étude 1° Calcul de la contrainte tangentP. convent ionnelle et contrôle: T ~1 u u
2° D éterminatioTI par le culcul des e spacements des armatures transversales constituées par un cadre et un étrier. Option 1: HA 6 Fe E 500 Option 2: 0 8 Fe E 215 Prise en compte de l'effort tranchant réduit et de5 düpositions cons tructives m inimales.
3° Vé r ifications à l'appui xim.ple d 'about: profondeur minimale d' appu i ; - ~el:lion minimale As .
1 ° Calcul de la contrainte tangente conventionnelle •
Charge par m ètre de poulet! à l'E.L.U. 1,35 g + 1,5 q = 23 8 14 + 12 000 =35 8 14 N/ m
• Effort tranchant V
11
q!m
' 11JJ l l J l l 1 l 11
= 35814x 3,5 = 125349.'J Vu réè = 35 814 ( 3,50 - 0,60/2) =114 600 .'J
20~
·f
J,x•,,3xJ7
1
~~ 1 • 4~', 1 !~7 1 25
700
Contrainte tangente conventionnelle Vu réd 0. 114 600 'Tu = - = _ - 1,04 MPa ho · d 0,20 X 0,:'l5
\/~,
~ ' Vu réd (x = h/2)
1,5 q {18 *
Contrainte tangente limite ultime Cas de fissurmion préjudiciable :
ru
= min (0, 15 fc2K = 2, 5 MPa
T .J
< r ~ vérifié.
Il , Il J H J JI
aux appuis
Vu
'Tu
JJ
I 'Yb; 4 MPa) Â' ,1. h 12
3
Schéma de principe : bi::lle de compression et trnction des aciers
("') Cette vnlcur (pour;; - //2 ) Lent CO lllJ.llt: du di agram mP. envelo~pe des efforts trnnchant3. ~~ :,.Fig. U:
!..:.:..~~ ·
118
B.A. Guide de calcul
Poul r~ sur deux appuis
2 ° Calcul des espacemen1s des armatures transversales · · Section d' armatures transversales Option 1, acier Fe E 500 : 1 cadre rr A 6 + 1 étrier HA 6 Option 2, acjer Fe E 21 5 : 1 <.:adre 0 8 + 1 étrier ~ 8 Dispos itions conslructives : s{ :::::.; min (0,9 d; 40 cm) et
St~
Au = 1, 13 cm 2 --+ s0 J\ t2 = 2,0 l cm 2 -+ s 12
A.t · f e , . , equ1valant à : s 1 0, 4 b0
~
40 c m
Choix des st2 (fi g. 11 )
16 X 3
17 X 3 20 X 3
27 X 2
29 X 1
3° Vérifications à l'appui simple d'about • Profondeur minima le d ' appui La limitat ion de la contrainte de compression dans la bielle d'appui impliq ue la condition : ~
3,75 Vu
(formule 10) bo · f c 28 3. 75 X 0, 125 349 a~ 0, 20 x 25 = 0, 094 m
u
• Section minimale des acier s tendus prolongés sur appui
11 :;: s
1, 15 Vu
fe
f, formu le 1l)
Va leur de la section minimale : J. 15 X0, 125 349 X 104
500
= 2,88 cm2
Celle <.: ondition est satisfaite:
Cette condition est satisfaite:
a =l5 cm>9,4 cm
3 HA 20 --+ 1\ 5 = 9,42 crn 2 > 2,88 cm 2
Effort tranchant : Justification s et dispositions con structives
119
Ce chapitre a pour b ut de familiariser i:étudiant à l:'.é tude globale d 'un e.nsemhkd'éléments d 'une structure porteµse clas~ique. ,, . Il concerfl'e ]e caftÙl d 'OUVrdges élél~éritaire.~: ' se:1J?.eÙ~·S','. potea~X , poutres et planchers. L: applü.:ation proposée est un:bâtiment courant dont les planchers si.lpportcntune charge d'exploifalion mod/rée. .
· • li s'i:git d'e.xploiter les connqissances acqoi$e$ dahs Ïes chapit~ès ·pré- ~ céden~s pour: - le calcul de~· sollicitations (effort
·
normal, mdment de flexio n' , . effort tr.anchant. etc.); : : . , · ., • ., . - la détenninaiion'des sections d:armatures sous"J'cffetâes solli- . citations de calcul (Nu~ Mser • Mu , V) ; - les dispositions constructives rfglemen.tair~s et justifica tion s
· diverses vis-à-vis des sec~idns béton· âci~r, l e~ '.zO.n~s d' appui, etc. • L a première partie du chapitre faiti' objet de l'étude classique "sçmelles-poteaux- poutres rectangulaires ou eµ Té." • La seconde partie traite du: calcul d~~'~4f.tll<:s: sh,i, a~p~is c9;nünos: - 1et CâS: panneaux longs tl,Iliformémènt chargés; · - z:: cas·:·panneaux dont le rappurl
·..: ~ lx " .....,,. , 0,4::::., - ,~ ,1 . : ly '
,
,
Etude demandee Le bâtiment à 6tudier est représenté schématiquement sur le plan de coffrage de la fi gure 1, complété par une coupe v~rlicale de principe au voisinage
•
~
0 tn
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.,.,
Ir,
OO X ~1 g 0
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~
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(G) 20x50
670
'
''
'
P3~J20
20x50 670 2090
Plan de coffrage, plancher haut du rez de-chaussée
B.A. Guide de calcul
Coupe de principe au voisinage: de P2
1.1
Éléments de construction à justifier
On demand e de calculer les éléments de construction mentionnés ci-après: • • • • • •
Poutre Poulre Poteau Semelle Dalles Hourdis
1.2
L1 L2
P2 S2
f-g TJ 1-D 2
(20 X 55) sil u6e en rive, à sec tion rectangulai re (20 X 60) intérieure., à section en Té (20 X 50) s itué en rive fondation à section rectangulaire sous P2 (2,40 x 6,70) en continuité, portant d ans un seul sens (6,70 x 7,00 ) en continuité sur L 2 , portant dans de ux sens
Données complémentaires Thème d'application
Objet
2 500 daN/m 3
• Poids spécifique des éléments B.A. • Planchi:rs lypi: dalle pleine reposant sur murs, poutres et poteaux , coulés en place s ans reprise ùe bétonnage Épaisseur : pour D 1 et D2 pom f , g, h , i • Façades en éléments légers préfabr iqu és
20 cm 16 cm 120 daN/m
variables
• Charges d'exploitation: niveau cou rant terrasse
350 daN/ m2 100 daN/m 2
héton
• Résistance spécifiée en compression à 28 j ours
25 :\1Pa
permane ntes
Actions
Matériaux
Données
Type I
aciers
Y/ = 1,6 ; Y/= 1 ,
= 1,5 t/Js = l 1f1s
(HA )
Fe E 500 HA Fe E 235
(lisse)
• Élé ments intérieurs (lels que ùalles el poulre L 2)
Peu préjudiciable
• Éléments au contact avec l'extérieur (poutre L 1 et semelle S 2 en particulier)
Préjudiciable
Poteau P2
• N 'assure aucun comreventement • Mise en charge après 90 jours
Compression centrée
Sol
• Contrainte lim ite de compressi on E.L.S .: a s
Fi ssuration
-
1,5MPa
Valeurs caractéristiques et valeurs de calcul des matériaux 2..1 1
Contraintes limites sous sollicitations normales de flexion
Valeurs CMPa) Matériaux caractéristiques
Compression f c28
Traction
f128 =0,6 + 0,06 f c28 Limite élastique f e
E.L.S.
(Mpa)
E.L.U.R.
(lVlPa)
y
25 Réton
2. L
= n, 6 fc28
15
500
Aci er
O'st
'?
* = inf ( j '
14, 17
1,5
434,8
1,15
'Yu
-
!t.11 = O, 85 fc28
f e ; 1 l0
/ YJ fi,i ) ,1
201,63
r
.. c
fsu = -'Ys
*en fissuration préjudiciable.
Micro-projet Bâtiment
121
Contraintes limites sous sollicitations tangentes dues à Vu
2..2
Justification
Application Fissuration peu préjudiciable
'Tu
Cisai llement de l'âme
Adhérence
(MPa)
Contrainte limite
Fissura tion préjudiciable
Tu
Ancrage
7 su
1Entraînement
= inf
lo,2 / âs ~
5 MPa)
= inf
(o,\.. 15 fc'Yb
;
\.
28
= 0,6
"se. u
3,33
'Yb
4 MPa)
2,5
p:
2,835
!t28
3,15
= ifrs ftB
: Première partie:.ptutr·es, poc:eau1_, semelle Calcul des éléments porteurs Étude de la poutre de rive L1
3.1
• Situation: rive, fissurati on préjudiciable, calcul à 1'E.L.S. a priori . • Section: 20 x 55; la situation impose 1e calcu l en section rectangulaire. • Distance entre mur d ' appui s: 7,00 m (poutre ISO ). • Longueur
Jr Jr"50
700
g,
T ype T, charge triangulaiœ g,
Origine Dalle
Intensité (daN/m) 150
918,75
T
7 145 ,83
X
0,3
X
2 500 =
R
Façade
R
R.1 = 120
1
Q
g 2 = 0,2 X 3.5 X 2 500
E.L.U.R.:
122
G+Q 1,)5G + 1,5 Q
B.A. Guide de calcul
1 684,4
= gl 14 vappui
(da>J") 525
3 062,5
962.5
735
420
Mc= 10484
Ve = 4 970
R
q81 = Ü,3
105
643.13
367,5
T
q 82 =1,5 X 3c;Q = l 225
5002 ,08
2 143,8
X
350 -
Total
Total E.L.S .:
(daNm)
8 i = 0,2
Poutre
Charges d 'exploitation rnr dalle qB
.i\-tc = g["l- / 12; V(O )
R
Total
variables
A1c = gl 2 ! 8 ; V(O ) = gl 12
M r.r.ntré
= 1 750 g 1 =0,2 X Û,55 X 2 500 = 275
permanentes (1
Type
0 N
Poutre de rive L 1
3.1.1 Calcul des sollicitations On uti lise les conventions suivllntes: T ype R, charge uniforme
Actions
50~, {
(')!
=1,402)
MQ= 5 645 ,2 M ser
VQ= 2 511,3
=16 129,2
MIl = 22 621 ,2 .
V1. = 10 476,'i
3.1.2 Armature longitudinale à mi-portée (calcul E.L.S.) N.H. Les calculs s'effectuent à l'E.L.S. r.1zr ln.fissuralion
l.'.~·l
p réjudiciable. Cal~ul
Méthode par tableau (cf. chap. 12. § 8.2)
Détermination de As
Mser = 0, 161 292 M'lm a st = ers, =20 1,63 MPa a priori d = 50 cm, µ,5 =0 ,015 99 µ s < µ sl im =0,01 6 2 (Annexe 3)
t ELS t INITlATlON SECi .RECTANGULAIRE
Materiau~
t
K
fLt,
(l'.1
/3:;
lOOp
13,55
0,216 7
0,525
0 ,824 8
1,940
Contrainte béton:
lfst
O'bc
= K =
14,9 MPa
t Ar11ature; -aporacbee As= 19.41 cm2 -calt:ulee A s= 19. 4 cm2
Detail des calculs tA' s• C> Mu5 • .016 Alpha1~ .5255
Choix initial de 4 HA 25 ( 19,63 cm 2)
Conséquence
Mub • .2167 K ., 13.55
0l = 8 mm; 01. = 25 m m; c = 3 cm = 48 ,7 cm< 50 cm initial O'bc
Beta1 • .8249 Rho r. = 1.9396
Hauteur(cml Contraintellfla>Lioite Y1 • 26, 27 14.09 eetcn 15
drée l
abc>
agisst . (MNml Mser:? 0.16tZ92 = .1b3 M~m
*Mo~ent resist.beton Ml
A, = p b d = 19,4 cm 2
Contrôle
*
i Section (cm) l argeur b :? 20 H.utile d :? 50
Lec ture tabkau (Annexe 5)
0,016
par ordinateur
Z1 = 41.24
= 15 MPa
201.63 At:ier 201.63
Vérification finale
Solutions possibles
E.L.S.i SECTIONS B.A. RECTANGULAlRêS
t
t Sectic:n lem) Largeur b :? 20 H.utile d :? 48.7
• Sointion 1: sans aci ers comprimés
Modalités abc = a t:c = 15 MPa
t Hateriaux
IMPa) Beton Fc28:? ~ier Fe :? t Fissuration Eta :? IPN=O,P=1,TP=2l:?
25 500 1.6 1
i Calcul=1 V;;if=2 Run=3 fin=4 Chüix:1
• SoluHon 2: avec aciers comprimés Modalités abc =
a
'i Moment agisst.(MNmi Hser: ? 0,161292
t Aci;!l"s tendus (cm2) As:? 22.71 A's:? 0 cooprlrres i
Complément au chapitre 12 Choix. de la soluti on 1 (A' s = 0 et
Contraintes
ubc
=
O'bc )
calcul t liQite Sbc 15
* yl= 27. 12 cm Sst 179.07
15
· 201.63
Méthode tableau µ,b
d
M ser = h d 2 CTb- = 0,226 7
= 48, 7 cm
fK
= 11,94
/3 1 = 0, 8144
lp% =
2, 33
~As = pbd = 22,7cm2
Choix final: 4 HA 25 + 2 HA 14 (22, ï l cm2)
Le contrôle par 01·d inateur présenté à l' E.L.S. -justifie ce choix . A l'E.L.U.R., M u = 0 ,266 MNm Micro-projet Bâtiment
123
3 .1.3 Plan d'armatures Le plan d' armatures est tracé en D.A.0. (fig. 4) à partir du logiciel SIFRA.
( 1
20 X 55
PIEC~ J E/l.'ROB~GE
ECHELLE .030 EC,ELLE .050
INFERIEUR
03
r iœ:
2 HA 6 X 7 . 50
~.
riëï1
2 HA 14 X 2.04
LATERAL •
E~ROBAGE
2 t-'A
7.ts
1
-
-···
!'"TC?
14 X 2 . 04 1. 811
1.aa 1$
.03
I~
If nô414 HA
C@?J 3C
10 X 7.94
Er! 1:..0. â
X .2&
1
f
12
flOSl 1.e1 ~ O"§fl1.26~
HA 14 X 3.76
2 HA 25_X 4.47
...
2 HA 25 X 7 . 94
o~ = "'
no6l
10
Il
X
7.47
DR .
-1 09 1 ~
47
~
2:
3.,
il
.
zo
o.e
c~o
X
X 1 .4E 25
0
'
10
DES }GNATI ON
101
Z HA 14 X Z.04
IOZ 104
2 HA 14 X 2.04 2 HA 6 X 7. 50 4 HA 10 X 7.94
105
30 EPI HA 6 X .26
106
2 HA 25 X 7.94
107
Z tiA 25 X 4.47
103
2 HA 14
106
Z HA
2 HA 25
109
30 CAO OX 8
2 HA 2!1
Analyse et décodage LCGI CIEL , S IFRA 3~20 <'.YBENS
• Armatures principales tendues t er lit: 2 IIA 25 ; L = 794 Gill Longueur sur l'appui 47 cm 2c li1 : 2 HA 25 ; L = 447 cm placés à pa11ir de 126 cm clu nu de l'appui gauche 3: lit: 2HA 14 ; t = 176cm placés à partir de 16 l cm du nu de l'appui gauche • Cha peaux d 'extrémités 2 HA 14; L 204 cm • Aciers de moot.ag~-assemblage 2 HA6; L=750cm • Armatures transversales 30 cadres droits (a =90°) en 0 8 Fe E 235; L = 146 cm • Aciers de pt'1111 4 IIA 10; L= 794 cm Épis transversaux en HA 6 ; L = 26 cm
=
30 épis espacés de 50 cm Plan d'armatures de la poutre de 1ive T.1
124
20
50
NUMERO
"
X
7.00
50
'
~
B.A. Guide de calcul
14
X 3. 76 X 1.46
3.1.4 Justification des armatures à rappui (c.f chap. 15) Armatures longitudinales \'u = 0,104 765 MN. vu Minimum requis pour les aciers longitudinaux : A s ->- 1· su
As min= 2,41 cm2 . On retient 2 HA 25 filant soit 9,82 cm2 . Calcul par ordinateur (cf. chap. 15.)
Armatures transversales (cf. fig. 2) • Contrainte tangente convent ionnelle de l'âme: V 'Tu = ~d = 1, 048 MPa < 2,5 MPa, vérifié. b(I
S POIJTRE B.A. i EFFORT·TRf4\i;HANT i ELU i t ~ateriauM
On peut doue disposer des armatures droites . Nous choisissons 1 cadre 0 8 (2 hrins), AL= 1.01 cm2
Acier · Fe 1? 2~5
* Fiii~lrition (PN:iô,P=i,TP.=2l:? 1 *Reprises de betomage (0/ti :1 o
• Dispositions constructives minimales réglementaires: 0t
= 8 mm
St :os;
~ inf
) h b0 ( 35 ; 10 ; 0L
_ Atfe
=
sl ~ - -
0, 4 b
1, 0lx235 0 , 4 X 20
1
1. 15 b ( 7"u
-
s oits,~29cm
= 29, 7 cm
• Espacement calculé à l'appui: 0,9 A, / e s i. ~
200 J = inf ('550 ; 25 = 15, 7 mm ; 35 10
inf (0, 9 d; 40 cm) = 40 cm
0, 3 k fi j )
Biton Fcj:? ·25
t Section llllflect. 2=Tê (1/2)1? 1 t Ame k11l Largeur .b- :? 20
H.uttle· d :7 50 U1N} · Vui? .0.104763
t Eftort Tranchant
Tu45
Tu90
Tu
2.50
l.05
1 Tu
1V11rH Tt\90 1
t Cadres a qoo
At/St= 4.54 cm2/o
Section At:? 1.01 =
22,2 cm (avec K
=
1)
• Ecart. Maxi 29.7 co St = 22.2 cm i Appui 11o!r,ent lhlir.ll l'k!A1? O
a> 7.9 en
As> 5.1Z t:m2
On choisit un espacement de 20 cm à l 'appui.
Remarque: lu règle d'espace.nu>.nt de Caquot ne peut être utilisée qu'avec des charxes uniformétnent répar·ties. Les espa· aments interm.é.diairP.S d()ivent être calculés avec Vu (x) en respectant s1 .::;- 29 c.m.
3.1.5 Justification de la bielle d'appui et cle l'ancrage
• La compression dans la bielle impost:: une longueur d 'appui: amin
~
3, 75 Vu b ç .
= 7, 9 cm
(Urée! > amiL)
0 J CJ
• Ancrage des barres llA 25 traversant l'appui :
0
.
15 = - · Jc = 1LO,23 cm , donc néœssité d'un ancrage par crochet. 4 '1"su Un crochet "normar• nécessite une longueur /3 = 0,4 X l, = 44,1 cm. Cc type d'ancrage convient car la longueur d'appui de 50 cm est suffisante.
3.1.6 Condition de non·fra1ilité f '
As min= 0, 23 bd;~
'J
l
=0,23x20x50 x ~~O =0, 97 cm2 ,
toujours vérifié.
Micro-projet Bâtiment
125
3.2.
Étude de la poutre intérieure L2
Situation: - p outre intérieure, isostatique appuyée à ses extrémités; pl anch er à 2 travées en continuité prenant appui in terméd ia ire sur L 2 ; - évaluation des charges majorée forfai tairement par coefficient 1, 1S (B.A.E. L. B.6.2).
3.2.1 Calcul des sollicitations Les calculs s'effectuent à l 'E.L.U.R. car la fissuration est peu préjudiciable. La répartition des ch argement~ ( d. fig. l ) induit les effets suivants : Actions
Origine
permanentes G Q variables
Dalle+ poutre Exploitation q 6
Mau centre (da.~m)
Sollicitations de ë.L.S. calcul (majora-
Mu
=48 110
{.
_J... 1 1 1
1
1
1
' '
1
'
-
Vappui ( daN)
J 20
'Y= 1,409 vu=
..
' '
1
8 225 5 267,S
-
Mm= 34 139
E.L.U.R.
tion L15)
17 967 11 719,3
45
J
Section de la poutre Lz.
21 856
3.2..2. Largeur b de la table de compression On choisit d = 54 cm et b = 45 cm. Le moment que peut équilibrer la table seule est M
btu
=
b h0 (d -
~)!bu
= 56 113 daNM >
Mu
Ce résulta t ind iq ue que se ule la table est comprimée et que le calcu l
s'effectue en section rectangulaire.
3.2..3 Armature longitudinale à mi ..portée • Calcul par ordinateu r • Déterminaliun E.L.U.R. ')'
µ bu
1
Calcul par ordinateur
Détermination t Vérification --7
µ,critique
1,41 0,249 4 < 0,273 9 1
Choix d'armatures: 5 HA 25 soit 24,54 cm2 • Vfaification E.L.S.
*E.L.U.R. * SECTIONS
*Section (cal
B.A. 611 lE t
largeur b 1'? 45 H.utile d :? 54 H.table hO:? 20
(f':Pa) Beton Fc28:? 25 Acier Fe 1? 500
l.l..4 Armatures à l'appui •A s~
-
fsu
,.,
= 5,03cm~
On retient 2 HA 25 f iJants.
• At
= 1, 01 cm
2
b0 d
( 1cadre08)
2, 02 < 3.13 MPa
29 i:.:.m } . . . mrn1 0t = 8 mm " h / 35
• st
126
;:::;::
B.A. Guide de calcul
i
* Section
(cal Larg;ur b 1? 45
SECTIONS B. A. EN TE H.utila d :? 54
Nervure bO:? 20 H.tabl e hO:? 20 t Materiaux
tlervure bO: ? 20 l lfrat!!'iaux
vu
* E.L.S.
(t-fa> Eeton Fc2B:? 25
* Fissuration
Acier Fe :? 500
Eta :? 1.6
i Calculai Verif=2 Chgt=3 Fin=4 choix:2 i Calcul=l VEYif=2 Chgt=3 Fin•4 cholK: 1 $ H011ent agisst,(l'fllrnl Mser:? 0.34139
i i
Mon~it l'lo~ent
agisst.(NNlll Nu :? 0.41311 agisst. (f"flm) tiser:'? O. 34139 San111a• 1. 409
t Manent resist.table Mbtu= .561 11Wn t Mom;nt limi te M1 =.b19 MNn i Cal cul en se::tion rectangulaire t Armature t;ndue As= 24. 18 cm2 3 Minimum (N. fragilitel As> 1.25 cn2
*Aciers tendus (cin2) comprimes
A s:'? 24.54
A's:? 0
*Contrainter» ELS c:alt:ul t li!llite !MPa>
*
Sbc 14 •.47.
15
yl= 2:2.71 cm Sst· 298.95
yu= 20.'12
. ELUR
cm
(MN~l
Mru= .4869
• Espacement calculé: Sr
~
0,9Atfc ,
l, 15 b (Tu - Û, 3 k f tj )
= 6, 7 cm (avec le. = 235 MPa et K = 1).
On choisit un espacement de 6,5 cm à l'appui. L'espacement des cadres à mi-portée est de 25 cm.
3.2. ..S Autres justifications Mêmes conclusions qu'aux paragraphes 3.1 .4 à 3 .1.6.
3.3
Étude du poteau P 2
• Situation: poteau de rive d ·un bfüiment contre venté par des pans verticaux, compression supposée centrée. •Justification: calcul du tronçon inférieur le plus sollicité, encastré sur la semelle S 2 .
3.3.1
Calcul des sollicitations
Le tableau qui suit indique les charges transmises à P 2 au niveau haut de chaque plancher.
Niveau ne
• Dalle-terrasse ( 6,90 X 4,00 = 27 ,6 m2) 0 ,2 X 27,6 X 2 500 ,.., ,4,
Terra~se
13 800
• Retombées de poutre/\ 0,4 X 0,2 X 3,50 X 2 500 L2: L 3, L'I: 0,3 X 0,2 X 6,70 X 2 500 •Façades 6,70X120 •Poteau 0,2 X 0,5 X 2 ,80 X 2 500
idem
0
i
non accessible (qn = 100 daN/m2 )
700 1 005 804
700 G2=
1
Charges d'exploitation Nu= 1,35 G + 1,5 QB Q8 (daN) ( da.t\)
G (daN)
Charges permanentes
Q2 =2 760
17 009
(q 8 = 350 daN/m2)
sauf pol~au (H = 3,40rn)
G1 =
17 009
Q 1 = 9 660
37 452,15
Gu =
17 159
Q0 = 9 660
37 654,65
Total
,
• Majoration de b - 01, 10 (poteau rntermediaue), soit Nu= 1, 15 X 102 209 = 117 540 da_'J • Longueur de flambement: le= 0 ,7 10 =2,38 m (poteau ancré sur fondation)
,
.- Zr
= 2 ./ 3 -
= 41, 22 < 50 a • Le poteau P 2 peut être justifié par la méthode forfaitaire (À < 70, compression "centrée").
• Elancement : A
3.3.2.
Calcul des armatures (méthode forfaitaire B.8.4)
• Les résultats sont fournis par la sortie informatique ci-comre. • Choix des barres longitudinales: 6 HA 12, soit 6.79 cm2 transversales : 0 t =6mm (>0L/3) 6HAI2
st = 18 cm (15 0L) soit
27 102,15
g
~OTEAUX
* Art.B.8.4 *
œBATIMENTS
Fc28 tMPa>: ? 25
i Materiaux
t Flambement
*Section
Fe
lMPa)t ? 500
Lf
( m): ? 2.38
1.Rectangle .
2.Cercle · 1/2 ? 1 ! Rectangle a
(cm>: ? 50
t Charge ul Urne
tlu ! MN>: ? 1.1754 >l'tt/.2 a J (jour l: ? 90
; Armatures
As .mini
S ., lOOO U = l.4
=5.6
cra2
Lambda ;: 41.22
Alpha
Cadres H6 + épingles HA 6
daN
Calcul par ordinateur
t Details
: 1 cadre + 1 épingle 06
Section du poteau
102 209
cm2 Br m
A theor A ( 4ul A L 2'l.)
= .ôéS ::; 864
=3.83 ::i:
5.6
=2
Micro-projet Bâtiment
c:m2 crn2 cm2
c112
127
3 .4
Étude de la semelle 5 2
• Situati on:
- supporte les charges transmises par le poteau P 2 axialement;
- fissuration préjudiciahl e. • Justification: calcul ~n seme ll e isolée rig ide à section rectangulaire et homothétique.
3.4.1 Calcul des sollidtations • Dimcntionnement effeclu~ à l'E.LS. en prenant les charges G et Q majorées de 15 % au-dessus du niveau de S2 , soi t: Gma. = 51 Li? X 1,15 =58 R53,55 daN } . _ (G Q) _ .:; 'l') d· N J N + . - 84 24... ,.t.-- a Q . =22 080 X 115 =2.'i 392 daN · ser . r.ia. maJ
.
• Détermination des armatures à l'E.L.U.R.: .V:1 =(1 ,35 G + 1,5 Q)maj = 117 540 daN
Dimensionnement et contrôle de la contrainte au sol
3.4.l.
• Secti on mi nimale: N,..r 0,84 245 ? Smin = a; = l , S = O,s~S . • Coeffic ient d' homothétie: A = mm = 2, 37, soit A~ À.a= 47,4 cm ab B -:: : Ab = J J 8,5 cm Nous c:hoisissons (fig.ï): A= 50 cm et l:J = 11 5 cm (S =0,5 X l ,15 =0,575 m2 > Smin)
~
• Condition de rigidité imposant la hauteur: 1 15 - 50 B- b A h > s up ( - - ; - + 5 cm = +5 4 4 4
a)
Fig.?.
= 21, 25 cm
Nous choisissons h =25 cm.
Calcul par ordinateur (*)
• Contrôle de la contrainte normale a~ Po ids propre S 2 : 0,25 x 0,50 x 1, 15 x 2 500 = 359,4 daN Nse1 = 84 245,2 + 359,4 = 84 605 daN Nscr 0, 84 605 _ _ u~ = ~ = 0, 5 x l, lS = l ,411 MPa < J,.) MPa Armatur~s
3 .4.3
longitudinales suivant la méthode
des bielles (calcul à l'E. L.U.R. ) Nous choisissons d 1 = d2 = h - 5 =20 cm • Sens x (parallèlement au petit côté) _ N 11 (A - a) 2 A = 10, 98 cm 8 d fsu
x -
*SEMELLES DE FONDAilONS
=
NIJ (l:J - h)
8 dfsu
=
2
5, 07 cm
~
DTU 13. 12
~ llrrot1tur~
Fe
*Sol S Seœlle
Sigs al : ? 1. S
IK?~ l 1 ~
500
1.li0l92
2.Contlriue !1/2)1 ? l mur Aet B (cml1 ? 5
* f)ot~ïU.1
a
a tcrn> 1 ? 20 b (cm)I ? 50
8.Chargi:s centrees - permr:v1entes
- vari.Jbles
S !MN>: ? 0,58853:i5 Q (~): ? 0.25392
t
Predi~9l'ISiannenent
'
Contr~inte
• Sens y A .v
Dimensions de la semt:He
A 0 H • HinilllR (CB) 47,5 110.7 Z2.2 - Arrondi 5 5() 115 25
sol
Sigma= 1,471 MP3
*App1•uu ,Az I / a B Ay (a~H-51:11> Il a A Ax
,. 10. 98 c:1112 5, 1)7 r;a2
e
• Maj oration de 10 % en fiss uratio n préjudiciabl e (fl rtic le 2. 34 du D.T.U.13. 12),soit: A.T = 1,l üx 10,98= 12,08 cm2 (*) prédimensionnement automatique en fonc•\, = 1, 10 X 5,07 = 5,58 cm2 tion de a. b et 1~. 128
B.A. Guide de calcul
.·· See~aad:e parti.e: dalles· ; : Calcul des panneaux de dalles rectangulaires sous chargement modéré uniforme 11 s' agit de panneaux reposant sur ùes appuis continus et supportant un chargement uniformément réparti sur leur su rface. Ils sont justifiés essentiellement à la flexion. Notations
Géométrie Portées entre murs d'appui s :
lx : petite portée }
l
~l
X )' !Y : grande portée h : épaissenr (faible devant fx et l)
.wt
Moments 1
Mw .
...-·--i--- ·:
A1t : moment en travée ll-1.,,,: mument sur appui de gauche A1e: mom en t sur appui de droite
Méthodes utilisées sui varit le rapport Appuis
l.J /)'
continus sur
l/ly< 0,4 0,4
4.1
~
moments tenant compte des continuités et du sens x ou y
!_.,/ lJ
R.A.R.I ..
2 côtés
4 côtés
l
A1 0 : moment isos latiy_ue évalué au centre (dalle simplement appuyée)
- - --
Méthodes de calcul
A 8.2
Panneaux longs
et Annexe El
uniformément chargés (calcul dans le sens porteur lx)
l)(Il)' ~ 1 Annexe E3
.
Panneaux de hourdis rectangulai res calculés daitS lës sens lx et ly
-
M 1, At(,,. Me
Mo 1
:\1éthode forfai taire (annexe El) si Q'B < inf(2G; 5 000 N/m1)
1
Procédés de calcul approch é A.8.2, 32 ·
Panneaux de dalles portant dans un seul sens (l_/ l> < 0,4)
4.1.1 Application de la méthode forfaitaire ( B.A.E.L. annexe El ) I\otations portée entre nus d'appuis b = lm su ivant ly Qa
a =
G
+ QB
Conditions d ' application • Calcul dans le sens lx uniqu ement pour une bande de largeur unitaire sur 11 • Fissuration peu préjudiciable
MiJx : moment iso au mil ieu de lx • Rapport des portées successives ~:z;:==;;:::=~F"' ,.,.,. / / co mpris enlre 0,8 et 1,25 M. : moment en travée Ma : moment sur app uis • Inerties des Lravées identiques /,./h(' i-----~-----~~----1 Re111arq11.es: lous les momenrs sont pris / - - ------:::><,.... e11 valeur absolue.
Micro-projet Bâtiment
129
4.1.2 Évaluation des moments M w , Me et Mt On choisit les momen ts Mw et Me en fom: Li on de .ri-10 , pu is on détermine les moments M1 qui respe<.:tenr les inégalilés suivantes: M1 +
Travée
M -w + M e :::::: s up (1 - 0, 3 a ; L 05) M 0 2
Travée
f
M i ?-
de rive
Mt Travée inter.
M1 ~
2
a ")
a'
Mo /
l + 0, 3 ( - 2- - J ,Wo
'
2 travées
Appu is
l
1. 2 + 0, 3
,
3 travées
M::i -
Mo
~
Li
Remarques: de part et rl.'o utrf! de chaque appui intermédiaire. on retient la plus g rn.nde des valeurs absolues des moments évaluP.s à gauche (Mw) el à droite (Me) de l'appui considéré.
4.1.3 Caltul des armatures • Calcul en fl ex ion s~ ns l X : .A X • Armatures forfaitai ressens/Y : Ay =A ,/ 4
4 ..2
Autres prescriptions réglementaires concernant les dalles
T.es principales indications sont résumées dans le tahl eau ui vant : Ca lcul de Ax et A Y en flexion (diamètre maxi 0
Armatures principales
= h / 10) -
Pourcentages minimaux (B.7.4 )
Sen5 y
Sens x
Écarlement sens x
-
inf (3 h; 33 cm )
max i entre
barres ;;!:
;..,, · '_ '· ') ~ .! 4 sup_ (._l ,_.
Au cu ne n'es t requise si Tu< 'Tu .\1u _ fc ; 'i'u = ; ïu = 0,0/ - · bd 'Yb b : l argcurun i té (l m)
B.A. Guide de calcul
sens y
~ sup (11 ; 13 )
;;;- ~sup(l 1 : l2)
r----1 f ' f
Arrêt de barres (E .1.3)
130
-
- --
----<
A J l , 2 %0 : Fe E 215, Fe E 235 lisses Po= - l0,8 %f} : Fe E 400, TS lisses 0 > 6 mm 11 0,6 %0 : Fe E 500, TS liss es 0 ~ 6 mm b
Bonne construction
Armatures transversales ( A.5.2, 2)
-
~ ~ sup (12 ; l3 )
j
[
f
inf ( 4 h ; 45 cm)
/1'
t
Vu max i au milieu de l>' r Pu . lx . l Y
Vu = - ,.,-- - "' lx + /:; pu: chargeme nt surfacique (E.J ,.U.R.)
4.3
Applications: calcul des panneaux de dalles f - g
4.3.1
Situation Méthode de calcul
Sit uation
.Méthode de calcul • Calcu l E.L.L.R.
• Fissu ration peu préjudiciable
N.B. On se reportera à la figure 1.
• Travées de mêmes portées (/ • Rapport des côtés: 2, 40 lx fl y = ,?0 6
=2,40 m)
= 0,358
• Calcul dans le sens lx uniquernenL
< 0, 4
• Actions: G = 0.16 x 2 500 =400 daN/m 2 • Appli cation de la Q= QB = 350 daN/m 2 méthode forfailai rt'. de l' annexe E 1 donc QB < inf (2G; 500 daN/m2) •.
4.3.2 Moments agissants (par b ande de largeur unitaire) Indications
Valeur des actions et sollicitations
= =
g q Pu
• Largeur de bande b =1 m • Combinaison E J .. U. R.
=
=
Moments sur appuis
Qn
= 0,467
X
X
=
1
=
=
?
• Coeffi cienls :
G +
350
2 500 1 l,5q
400 350 l 065
daN/m daN/m daN/m
l;
Mox
a =
X
l ,35g +
• Moment isostatiq ue
QB -
0,16
Pu
g
=
766,8 daNm (pour chaque travée)
0,15 Mo
0,50Mo
0.40.'Yfo
1\
t
\
T A
8
·1
(7)
])
//
Il
c
(daNm) MA = 115 MB = 383,4 Mc= 306,7 1+ 0,3a = l,14> 1,05 1 1 1 T 0,3 Q Travée AB Travée RC = 0,57 2 MA + M B Conditions M o +Mc 1, 2 + 0, 3 a ~ 1, 14 M o1 Mt2 + ~ l, 14M 02 Mu + ") à respecter 2 = 0,67 2 en tr a,•ée 1, 2 + 0,3 Q' 1 + 0,3 a Mr1 ~ M o1 M12 ~ Mo2 2 2 Moment ullime M1 (daNm ) Mt1 = 624, 9 M 12 = 529, 1 Effort tranchant
4 .3.3
Vu(daN)
- 1 390
+ 1 166
+ 1 3 10
- 1 246
Section d'armatures (par mètre)
Utilisation de TS (fc = 500 MPa) (*) E.\ce::ptée:: pour la valeur A/4 = 0 ,52 cm2 du tableau ( < 1,28 cm 2), toutes les valeurs indiquées pour Ax et AY= A 1 /4 sont confonnc~ aux
Travée Section f (rive)
minima exigés .
Pour un choix
0
> 6 mm : TS lisses
g
b d (MNm) (cm) (cm)
Mu
Appui A 0,01 15 Centre 0,062 49 Appui B 0,038 34
t
A
100
13
0,052 91 Appui C 0,030 67
i
~
Centre
Po = 0,8 o/co ; (h =
16cm)~
1
Px~ 1,06 %0;
P>' ~
08 •
%0·•
J.l.-t,u
Pivot
0,048 0 0,260 9 0,160 1 0,220 9 0, 128 J
A
B
A B j\
A* X
f3u 0,975 0 ,845 0 ,911 0,873 0,931
(cm 2 )
4 8 2 6 2
2,09 13,07 7,44 10,72 5,83
A)4 0,52 3,27 J ,86 2,68 1,46
A r ~ 1,70 cm2
,1~ ~ 1,28 cm 2 Micro-projet Bâtiment
131
4.3.4 Contrôle de la section d'appui B ( travée f ) Tu
= 0, 11 MPa
<
Tu
= 0, 07
25
X
î5 = 1.17 MPa '
Panneaux de hourdis calculés suivant 2 sens (0,4 ~ lJ l)' < 1)
4.4
4.4.1 Application de la méthode de l'annexe E3 Notations
Conditions - Calcul de M 0 11 11
1 •
11
l(
__ J I - - -- -- - --- -- ~ -
--,
04~ __:_
1
'
1
lx
< l
-
---- 1 1 -
11 11
-
11 11
p : charge uniformément
• Lec ture de µ,x et µ,Yen fonction de lx/ ly dans le tableau ci-contre supposant des contours articulés
répartit! par unité d' aire 1 -- -
Moment isostati que lvf0 au centre suivant x el y -
(*)
Mx
µ, X
ly
• Calcul suivant x et y
ly --1r------ -
l .V
V= Ü
0,40 0,45 0,50 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
= pli
0, 110 0,102 0,088 0,081 0,0745 0,068 0,062 0,056 0,051 0,046 0,041 0,037
0,305(**) 0,369 0,436 0,509 0,595 0,685 0,778 0,887 l,000
1 1 (+) Il esc rappelé que , sauf cas particulier, le coeffic ient de Poisson du béton est pris égal à 0 (zéro)
,
4 .4.2 Evaluation des moments (Mw, 1lrfe et Mt ) Les moments sur appuis Ma ( Mw et Me) sui va.nt x ou y et ]es mumt!nts
pour le calcul des sollic1tati1ms et à 0,2 pour le calcul des déformations (article A.2.1 ,3). (+*) Les valeurs de µ m férieures à 0,25 (corrcspnudan! à«::::; o,557)lesontpas à prendre en consi1 dération,
en application de l '~rtide A. 8.2,41.
en travée Mt sont choisis t!n fonctio n de M0 suivant chaque sens , dans le respect des inégalités suivantes:
."
IYl (
.
't'
(dans chaque sens x et y) Travée intermédiaire
Travée de rive
ou
Remarque: Les moments d'encastrem ent i\.f ay sont sensiblement égaux à Max (l\.8.2,32).
4.4.3 Armatures et pres1:riptions réclementaires Les armatures sont évaluées dans le sens x et •v suivant MX et MJ . Sc reporter au paragraphe 4.2 pour les prescription réglementaires. 132
B.A. Guide de calcul
1
4.5
Application : calcul de la dalle de plancher D1
4.s.1 Situation - Méthode de calcul •
Situation
Méthode de calcul • Calcul E.L.CR.
• Fissuration peu préjudiciable • Rapport des côtés lx 6, 70 -l = 7 60 = 0, 882 y
• Calcul danfi 1cs 2 sens suivant l'annexe E3
,
• Chargement uniformément répanie sur dalle d'épaisseur 20 cm
4 .5.2 Moments agissant (par bande de largeur unitaire dans chaque sens)
= 0,~47 8 11-y = 0 , 145
0,30 M0x
• Lecture tableau annexe E3 { /1-;c
1
0,85 Mox
500 daN/m2 350 daN/m 2 1 200 daN/m µ, p/2 = 2 574,9 daNm X r. Moy= 11-yMOx = 1 918,3 daNm
= q = Pu = • MÔ.Y = • g
Mo
isostatique
Mw.r
Mex
= 0, 3 M0r =772,5 = 0,5 M0x = 1 287,5 Mt+
Mt
Mcx
1
670
Mwy = 0,3 M0.x Mey = 0,3 M0x
Mw +Me
Condition
~
Sens x (da ~m)
Sens x (daNm)
Ma
0,50 Mox~
2
=772,5 =772,5
= 1, 25 M 0 hg.JI
= 0, 85 Mnr = 2 188,7 Mey = 0,95 M0y = 1 822,4
Moments de flexion en travée et sur appuis .
4.5.3 Sections d'armatures (p .m. à l 'R.L.U.R.) Utilisation de TS (fe = 500 MPa) Sens
suivant
Section
Mu (MNm) 1 b (cm)
Appui de rive
Travée Appui inter. suivanl Appui s (w ou e) y Travée X
0,007 725
î t
-
0,021 887
d (cm)
17
100
0,01 2 875 0,007 725 0,018 224
16
-
A. mm
11-bu
{311
Acalc (cm2)
0,018 86
0,990 5
1,7
0,053 45
0,972 5
1,06 3,05
0 ,031 44
0,984 0
1,77
1,7
0.021 30 0,050 24
0,989 2
1,12
1,6
0,974 2
2,69
1,6
1,7
-
Faire choix des armatures dans le tableau de TS en respectant les conditions constru ctives du paragraphe 4.2 et calcul er les arrêts de barres.
4.5.4 Vérification de la contrainte de dsaillement
v.. es t maximal le long de l y;
Pu lx ly
Vu ;na.'( = ·? l
..., ' Y
Vu bd
0,02R =
1
X
0, 16
= 0, 175 MPa
<
Tu
0,012 X 6, 7 X 76 X 6, 7 + 7,6
+ lx = - 2
= 0,028MN
= 1, 17 MPa Micro-projet Bâtiment
133
Caractéristiques des barres pour béton armé section en cm2 Diamètre nominal
Nombre de barres
(mm)
1
5 6 8
0.20 0.28 0.50 0 .79 1.13 J.5·1 2.01 3. 14 4.91 8.04 12.57
JO 12 14 16 20 25 32 40
~r· ~
2
0.39
0.59 0.85 1.5 1 2.36 3.39 . 4.62
0.57 1.0 1 1.57 2.26 3 .08 4.02 6.28 9.82 16.08 25.13
6.03 9.42 14.73 24.13 37.70
:Pésignation
ADETS
R901
= =
500 MPit
TSHA
1
s
0.98 1.41
1.18 1.70 3.02 4.71 6.79 9.24 12.06 18.85 29.45 48 .25 75.40
2.5 1
3.93 S.65 7.70 10.05 15.71 24.54 40.21 62.83
s
1
8
7
1.37
1.57 2.26 4.02 6.28 9 .05 12.12 16.08 25.13 39.27 64.34 100.53
1.98
3.52
5.50 7.92 10.78 14.07 2 1.99 34.36 )6.30 87.96
9 1.77 2.54 4.52 7.07 10.18 13.85 18.l 0 28.27 44 .18
0.154 0.222 0.395 0.6 17 0.888
1.208 J.578 2.466
72.38
3.853 6.313
113. 10
9.865
1'/ = 1.3. 0 < 6 T/= L6. 0 ~ 6
e
- l>l t:-+--+--+-+---t-+-
d
(m)
12
50.00
167
2,40
•
0,625
75,06.
50,00 2,40
•
0.750
90,06
•
1,000
120,12 -
(kg)
150
3.5
16
0,32
300
3,5
167
0,64
150
0,64
150
3,5 3,5
16 334
50.00
150
3,5
150
16
3,5
32
4,80 2.40
•
1,000
11 ,52
L'iO
4,5 4,5
16
•
1,657 .
1<},20
5 5,5
16 24
•
1,952
22,60
1,58
150 200 . 150
4 .80 2,40 4.80 . 2,40
. '1,19
200
5,5
•
2,182 '
25, 14
0,64
0 ,64 0,6'1
PlOO ,
1,06
·i.06 1;06
P200
1,31
1,31 1,19
1:>0
),)
1
32
2.40
4,80 .. • !1 2;40 4,80 2,40 6,00 2,40 ..
•
2,475
2R,.'i l
•
3,155
4.'i,43
•
4,02?
57,98
•
~.267 ;
75,84
•
6,653 .
95,8 1
100
5
200
24
5,5
24
P500
2,83
2.83. 1, 19
100
6
200
5,5
:;o
P600
3,85
3.85 •I.28
100
7 7
24
6,00
300
20
2,40
P100·=
5,03 ..
'.; 5,03
100
300
ïi
24
1;70
P800
6,36
6,36 2,12
300
100
8 9 9
'
1
16
. 24
·i;i9
' 1.96
1:
e'I
p.,
n 0,64
P903
.
~
41
a
Masse
Masse 1 rou leau nominale ou 2 (kglm ) lpanneau
3,5
0, 64
1,96
~
;.< ::::1 ('!
300
R903
. 1,58
Longueur ;< ::::1 largeur ~ l :; 0 l
3,5
L l D d
t e " L
L~t:ur :slanJanl
de fils N
2-'-
6.oo :
20
2,40
24 20
6,00 2,40
d
LJ
I
-!'AR
1 Nbr e
200
0,48 0,32
0,64
.
J)
E
(c111 2/Ill) (cm 2 ! rn) (nun) (mm)
0,48
P400 '
s
R902
P300 .-;
1/1$ = 1.5 .
t
Sect.
1
TSL If!<= J 1] = 1
"g
0.79 1.13 2 .01 3 .1 4 4.52 6.16 8.04 12.57 19.63 32.17 50.27
6
5
Caractéristiques des treillis soudés standards (extraits Doc. ADETS)
Types et r.a ractéristiques
fe
4
3
Masse (kg/m)
l = 2.40 m
E e
longueur du panneau largeur unique (2,40m) diamètre fil le plus Jong diamètre fil le plus court espacement fil Je plus long espacement fil Je plus coure
135
~
Tableaux des contraintes limites O"bcet
O"st
à l'E.L.S.
Tableau 1: contrainte limite de compression du béton fcj ftj
= 0,6 + 0,06 f CJ !,}
0,6 f cj
( MPa)
crbi;
18
20
22
25
27
30
35
40
1,68
1,80
1,92
2, 10
2,22
2,40
2 ,70
3,0
10,8
12,0
13,2
15,0
16,2
18,0
2 1,0
24,0
-
Tableau .2: contrainte limite d'ouverture des fissures ~
crst
l<'issu ration
~
Limites réglementaires
~
peu pr éju d .
ri
Ronds lisses
Aciers
très pr éjudiciable
pr éjudiciable
. /
mq.o,5 l e , 90 yc;) 1J ftj
r--:: \
.
mf l2/3fc ; 110 y '1} ftj )
fc
Résistances caractéristiques du b éton Type d 'aciers
(MPa)
~
Classe
Jcj
18 20
f cj ( MPa)
27
22 25
143
foe E 235
143 1148 l 1s2 157
30
35
~
, ~
.
(MPa)
Fe E 215 1
I
1
1
1
1
l~
1
1
40
18
-~ I 143 108 1 ....
20 22
-
1s1 117 118
25
1
1
1
35 40
30
27 1
1
1
1
1
1
.::
- 108 -, -r
1
11s
en barres
fo E400
Barres
T E400
et fils 1.6
HA
E500
180 187 193 202 207 216 229 241 148 153 158 165 170
187 ] 97
176
TE500
T reillis
o;oudés Treillis*
1
TSL 500
143 148 152 159 164 170 181 191 117 121 125 130 134 139 148 156
lisses
soudés (0~6 mm) Treillis
soudés 1,6 TSHA 500 180 187 193 202 207 216 229 241 148 153 158 165 170 176 187 197
HA 1 (*)Vans le cas de treillis sPudés avec 0 < 6 mm , prendre ri= l ,3.
136
B.A. Guide de calcul
1
1
1
loaats critit1es réRits Cas â fissuration pta Jrêjadlcî.ablt ~ . Aciers HA de nuance Fe E 400 Résistances caractéristiques du béton f c (f\llPa)
Rapport 'Y
1
1.35 IJ 6 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42
18 .2420 .2449
.2479 .2508 .2538 .2568 .2598 .2628 .2658 .2688 .2719 .2750 .2781 .2812 .2843 .2874
1.43
1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 l.50
20
22
.2554 .2584 .2615 .2646 .2677 .2708 .2739 .2770 .2802 .2833 .2865 .2896 .2929 .2961 .2993 .3025
.2675 .2706 .2738 .2770 .2801 .2833 .2865 .2897 .2930 .2963 .2995 . .3028 .3061 .3094 .3 128 .3161
1
25
27
.2835 .2867 .2900 .2933 .2966 .2999 .3033 .3066 .3100 .3134 .3167 .3202 .3236 .3271 .3305 .3340
.2930 .2963 .2996 .3030 .3063 .3098 .3 131 .3166 .3200 .3234 .3269 .3304 .3339 .3374 .3409 .3444
1
32 .3132 .3167 .3202 .3236 .3271 .'3307 .3342 .3378 .3414 .3449 .3485 .3521 .35.')8 .3594 .3631 J668
30 .3057 .3091 .3125 .3159 .3194 .3229 .3264 .3299 .3334 .3369 .3404 .3440 .3476 .35 12 .1548 .3584
35 .3235 .3271 .3306 .3341 .3377 .3413 .3449 .3485 -.3521 .3558 .3594
.3631 .3668 .3705 .3742 .3780
37 .3297
.3333 .3369 .3404 .3440 .3477 .3513 .3550 .3586 . .3623 .3660 .3697 .3734 .3771 .3810 1
.3847
40 .3382 .3418 .3454 .3491 .3527 .3563 .3601 .3638 .3674 .3712 .3749 .3787 .3824 .3862 .3900 .3938
Aciers HA de nuance Fe E 500 1
Rap~ort
Résistances caractéristiques du béton f..: (MPa) 1
1.35 J.36 1 ,.,,.,
18
20
22
.2138 .2165
.2271 .2299
.2392 .242 1
2'l'l7 .J,/.,,
,..:.."'T..JV
.wv .1. ~
.2479 .2509 .2538 .2568 .2598 .2627 .2658 .2688 .2718 .2749 .2780 .2811 .2842
.2646 .2677 .2708 .2739 .2770 .2802 .2833 .2865 .2896 .2929 .296J .2993 .3025
, 1111
l ..,_I!
.LJ 71
1.38
.2219 .2246 .2273 .2300 .2328 .2355 .2383 .2411 .2439 .2467 .2495 .2523 .2.'552
1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.4.'5 1.46 l.47 l.48 l.49 1.50
•
.2355 .2383 .2412 .2440 .2469
.2498 .2527 .2556 .2585 .2615 .2645 .2674 .2704
25
27
30
.2554 .2584
.2652 .2683 .27!4 .2746 .277î .2809 .2841 .2873 .2905 .2938 .2970 .3003 .3036 .3069 .3102 .3135
.2784 .2816
')I\ 1 '\
')11 <;(I
1
1
32
35
37
.2864 .2897
.2974 .3007 J041 .3075 .3109 .3143 .3178 .3212 .3247 .3281 .3316 .3352 .3387 .3422 .3458 .3493
.3041 .3074 .1108
.2849
.2.930
.2881 .2914 .2947 .2979 .3013 .3046 .3079 .3113 .3146 .3181 .3215 .3249 .3283
.2963 .2996 .3030 .3063 .3097 .3131 .3165 .3199 .3233 .3268 .3302 .3337 .3372
40
.3143 .3178 .3212 .3247 .3282 .3317 .3352 .3388 .3423 .34:59 .3495 .3530 .35G7
1
.3 112 .3167 .3202 .3236 .3271 .:no7 .3342 .3378 .14 14 J 449 J485 J 521 .1558 .3594 J61 1 .3668
137
f3u
au
!Lbu 't ~
'
I"
8 st
;
'.
Pu ·
0
1 '
@' '
1
o.ooo 0.000 1.0000 10. 000 o.ooo 0. 000 . 0. 002 0.003 0.999(1 10.000 0.002 0.002 0.004 0.011.1 o.9ll80 10.000 0.004 0.004
o.ooa
0.006
o.cioa 0.010
0.9970 10. 000
o.~bo 10.000
o.oo& o.oos
0. 006 0.008
"
'. 0.010 0.013 0.9950 10. 000 O,OlO
•Flexion simple - Section rectangulaire
f e E 400 ~ 0
• Aciers natureJs:
o.oso ;
0.012 O.Ol5 0.9940 t0.000 0.012 0.012
0.014 0.018 0.11930 10.000 0.014 0.014 0.016 0.020 0.9919 10.000 0.010 0.016 l).016 0.023 0.9ll09 10.000 0. 018 0. 018
feEsoo~ @
• Béton: diagramme rectangulaire simplifié
' 0.020 0.025
0.9~ 1MO,OOO 0.020 0.020 O.C/889 10.000 0.022 0~022 0.024 0.030 0;9879 10.000 0.024 0.024 ' 0.026 0. 033 0.7S6S 10.000 0.026 0.02~ 0.028 ' 0.03b o. 9858 10. 000 0.028 0.028
.0.07f o.02s
l\'otations
0.030 0,038 0, 9848 0.032 0.041 0.9837 (l, 034 ''0,043 0,9'U/ ,o•..œ6 . 0.046 · o.1:1a17 ·Ô. 038 0. 048 o. 9806
10.000 0.030 0.030 10.000 0.033 0.033 10.000 0.035 0.035 fo .ooo · 0.037 0,037·· 1.0. 009 0.039 0, 939
~
N
+--
-
As
o. 91% 10.000 o. 97RS 10;000 o.9775 1'0. 000 o.046 o.ow o. 9764 .10.000
0;040 0.051 Ô.042 0. 054 -o.·on 0.056
- -- -- - - -- -·-
0.041 0.041 0.043
0.0~3
0.045 0.045
().047 0.047 ' Q•.048 0.062 ' Q, 9754. 10. ~OO. 0.049 0.04.9'·'
J J
... . y
,
0.064 0,9743 tÔ;QOQ 0.051 Q,051 p. 052" O.Ol:.1 0.9733 f0 .000 0.053 0.053
· o.~o
b
0.054 O.Oill
o. '1771.
10.000 O.œi6 0.05ii'
0.072 0. 9712 10.COO o.osa ô. 058 Q.-058 O.O'i'a 0. 9701 10.000 0.060 0. 060
o.o56 Contraintes de calcul
Paramètres
Bélon !bu
'Yb
=
=
'Yli 1, 5
=
œu
f3t1 = Acier
138
fe
fsu
=
'Ys
= 1. 15
'Ys
B.A. Guide de calcul
Est :
0.064
')
h
rr !bu
Yu
<'.:u
d
all ongement armature A11
=
0.093
0.064 0.066 " 0,068 0.010
Q.070 0.091 0.9bl7 10.000 0.()73 0.073 o,·072 0.093 0.9624 10.000 ô.075 (). 075 ' : .?i -074 .0.096. o. 9615 10'. 000 o. on ·o.on : ' 0.076 0.(199 o.%04 tQ, 000 0.079 o.w11· o.o1e 0.102 0.11593 10.000 0.081 o.os1
d
Pu: pourcentage mécanique Pi:
o.oeo o. !1b8~ to.,coo
0.064 0.9669 10.000 0.06& à.Obô ô.085 0.9658 10.000 0.069 O.OéS o.oas 0.%48 p.OOQ 0. 070
A1 u
=
µbu
0,85 fcj
d,O(!O Q.077 0,9090 lO.OCQ O,Ob2 O.Q?2
' 0~062
Au
f su
bd
.fhu
J
o.ceo o. 104
0.9593 10.000 0.083 O.œ3 0. 082 O, L07 0.9572 lCl.OCO o.oao 0.086 o.os4 0.110 o.~1 10.000 o.oaa o.œs 0'.086 o. u:s 0.95:10 10.000 0.090 0.090 O.:CSS 0.115 O.C/539 10.000 0,092 0.092 0:. 090 o.ua 0.9528 10.000 0.092 0.121 0.9~17 10.000 0.0'14 0. 124 o. ~506 10. 000 0.006 0. ,21> 0.9494 10.000 0:.098 0.129 o,9q93 io.ooo
0,094 0.094 o.o'r! o.rm 0.099 0,(119 0.101 0.101
0.103 0.103
Il
Ff
'f3u '
s~r :
f:i
01
"o; 100
0. 10ô 0. 108 0!110 ' 0. 112
-ô. LOB
0.115
o:115
0. 117 0.119 0. 121 0.124 0.120
0.117 0.11'1 0. 121 0.124 0.126
0.100 O; 102 .
, 0. 10~
0. 110 0.112 0.114 0.11ô 0.118
0. 146 0.9416 io.ooo 0. 149 (), 9405 10.000 0. 152 0.9393 10. 000 0. 155 o. 9382 10.000 0. 157 0;9370 10.000
0.120 O. lôO 0;93511. 10.000 0.128 0. 122 o. 1ô3 . o;9347~ JO. ooo . o. m 0.124 o.tob o . ~10.000 ·· 0.133 ù26 : o. wr: o.9321! iô.ooo :-0.rn1 0. 128 . o.m · (). 9313J O. OOO 0.137 0.130 0.132 0,134 0.130
0. 175 0. 179 0.181 0.183 0.138 0. 186
0.9301 0. 9'290 o.9:21e 0.9'260 -o. 9i~
µ..LIO -_
:j
a'u --
0. 204 0.207 0. 210 0.213 0.216
1 -- ~
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0.2:52
0, 230· o.m 0.8&74 7,0bO o.m 0.335- 0.8061 6.952 0.2l4 '(),338 O. llb47 o.a47 0.236 0 . 34~ 0. 8033 b.743 0, 238 .0 . 345 0.8019 b.640
0.168 0.173
o.234 ·o.90'62 10.000
o.9050 10.c-00
o.1œ
0.190 0.241 o.90'37 io.ooo 0.193 0.244 0~'102S · 10.aoo 0.195 0.178 0. 247 o.•901~ 10.90:0 0.198
0.1BB 0.190 0.193 0.195 0.198
0.271 ·0.211 0.273 v.273 0.276 0; 276
0.410 0. 413 3,11.ô .0.417 0.417 3. 1&t -0.420 0.420
3. 107
-o. 424
3~~
0.431 0.431 0. 434
.. 0.344 0.552
:o. 310
2.m
0.3b0
5.&15 0.307. 0. 307
0.310
o. ~ o.~65 0.7~9 2•.691 .0.452 o.~2 0.352 0.570 0.7720 2.Ml' ô.456 0.456 O. l5'l o. ~s 0.7702 !M~Q o.~60 · 0.35~ 0.579 O.ïb83 2.5-tl 0.4&3 0.463 0. 358 0.534 0.7ô55 2. '495 . 0~ 467 · o.467
0.471 0.475 0. 478
5.446 o._ :m D.:sn 5. 364 Or3U · o; 3f6 · 5.292 o.319 ·o,:n9 ·
0.270 0.402 0.8391 5,202 0.322 -0.322 (i, V2
.0..406 . O, 8376 5. 123 0.325 0 ,,325 0.774 0. 410 0.8362 ~. 045 0.329 0.328 0.27b 0.41~ 0.6347 4.9~ o.:m 0.'331 0.278 ·0.417 o.a:m 4.992 0.334 o.•334
0.310 O.b13 0. 7550 2. 21~ 0.372 0.618 0.7530 · 2.168 0.374 o.m o. 7510 2.122 0.37& O.ô:!I o. 7490 2.ws 0.378 0.63l o. 7470 2.m
0.490 0.490 0.494 0.495 0. 498 0.510 0. 502 0. 525 o.306 0. 54!
0.8317 4.817 o.m 4,743 0.340
0.380 0.638 0.7449 1. 999: o.s10 0.382 0.043 0.74~ i •.~-~ o._ st.4 o.384 .O.M8 0.7400 0.386 0.653 . o. 7387; o.3es o..656 0. 7366
0.213
0.8240 4. 456 0. 352 0.352
0.215 0.219 0.219
0.8225 ol. 387 0.355 Q, 355
0.390 0.664 0.392 O.ô69 0.394 0.674 0,396 O.bOO 0.398 0. 685
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0.220 0.220 0.2'23 0,223
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0.340 0.543 0. 7828 O.S42 0.:547
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0.175 0.175 .Q.260 0.178 0.178 0;2b2 · o.1a0 0.180 ô.ie3 6:1e3 · 0-. 185 0, 185
@
0.380
0.310 0. 479 0.0082
0. 87~5
0. 13j 0. 135 0. 137
o. m
1
0.475
8. 244 0.238 0~2?ia 8. llb 0.241 :0.241 0.214 o~:i05 · o. 8782 1.m 0. 244 0. 216 o: ~ · o.8768 7.866 0.246 0.2% 0~2f8 o.:m 0 . 87~ 7.745 0.249 6', 249
0.210
0.212 o.ao1
0. 120
0.163
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1
o.:m
9,374
o.m
O. léb
1
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.0.374. 0.377
6.441
o~ 91a;s 10. ooo .. o.1ô3 0.917110.000 0. 16& 0,9151110.000 · 0.166 0.9U7 10.000 0.171 0. <1135 10.QOO 0.173
f3u
0.3be
6.540
0.102 ().Z22 .. Q.104 o. 1b6 ·· o; 169
0.238
0 a.9Z.2 0. 8800 8.791 a.ti-43 8.561
0.112
10. 000 0. 140 0. 140 10.. 030 0. 142 0.142 10.000 0.144 0. 144 10.000 0.147 0.147 10.000 0. 149 0. 149
O.loO ~.219
0. 170 0.172 0.174 0.176
1 ~1 a,
Pu
CSI
,0.sen
0.106 0.100 0.110 .
0.140 0.-189 6.142 0. 192 0. 144 0. 146 ().148 o~ 1:10 . 0. 152 0. 154 0.156 o~ 158
- f3u
0.8209 4.:ue 0.358 i).358 0. 290 0.4S2 0.8194 4.251 0.361 0,361 0.298 0.455 0.8178 4.184 0.364 o. ~ 0.294
0~448
0.400 0. 420 .., 0.440 0.460 0.490
0.7:145 . 1. 773 0. 7324 l. 731 0.1302 1. èe9 0.7280 1. ô/18 0.7258 1.606
·0.531 .0.538 0.555 :0.574 0.594
·0.651 0.672 C.ô9A 0.718 0.742
0, 723~ 1. ~ ' 0.614 o.1oa 0.7000 . 1. 167 0.894 1.118 . 0.817 o. 6n2 . d,194· 1.4sp 1.812 0.0% 0.6414 . 0,.404:. 3•.085 3;956 .. ·· 1;000 . 0.6000 o.ooo :o.poo .o.ooo .
0.691
0. 7~
ANNEXE 1 - CARACTÉRISTIQUES DES ACIERS
139
• I
Tableaux de calcul àl E.L.S.
1
1
0.0000
Fle.xion simple - Section rectangulaire
}
e.oo
a, 1 131 j 10op
/Lb 1
0.0002 193.63 0.0004 127.22 0.00011102.14 o.oooa 97.23
1
• Aciers •Béton
K
µ,
1
0.0000 o. ooo 1.0000 0.000
0.0368 0.075 0.9749 0.021 0.0509 0.1~ 0,9&49 0.041
0.0613 0.128 o. 9573 O.Ob3 0.06'18 0.147 o. 9511 O.OB4
~
0.0010 77.04 0,0771 0.163 ô.9457 0.106 0.0012 69.57 O.lm4 o.m 0.9~ 0.127 0.0014 bl.72 0.0892 0.191 0.9365 0.150 0.001b 59.02 0.0945 0.203 (),9325 0.172 0.0018 55.lli o.om 0.214 0,9297 o. 194
domaine . e, 1a tiqut: . n = LS
0.0020 51.89 0.1037 0,224 0.9253 0.216 0.0022 49.07 0.1079
o.Z4 o.mo
0.239
0.0024 46.61 0. 1119 0.243 0.9188 0.2bl 0.0026 44.45 0.1155 o.m o.9159 0.284 0.0020 42.53 0.1190 o. 2b1 o. 9131 0.307 0.0030 0.0032 0.0034 0.0036
.,-
/
o.oœs
/
0.0040 34.22 o, 1369 o.sos 0.0042 33.21 0.1394 0.311 o.0044 32.2' 0.141~ 0.317 0.0046 31.;P 0.1443 o.:m 0.0049 30.54 0. 1%ô 0.329
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Limite rég leme ntafre O"bc
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2
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Acier Cl:'j
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Limi te réglemcnta1re
M :..:r
=-
A,
=-
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;.,u-Ju...:.~~P.,.J;b.I~
1
B.A. Guide de calcul
o.35ô
0.11812 0.659
23.97 0. 1678 23.53 0.1694 23.H O,l710 22.70 0.112.5 22.32 o. 1741
0.385 0.389 o.394 0.398 0.402
0.8717 0.8702 o.e6SS 0.9674
o.8660
0.8<13 0.827 o.852 0.876 o.~1
21.94 0.1755 ô.40& O.Sh47 0.925 21.SS 0.0002 0.1770 0.410 0.86Sl 0.950 0.0084 21.24 0.1784 0,4l4 0.963> 0,975 O.OOOô 20.91 o. me 0.418 0.9b07 0.999 0.())39 ïJJ.~ 0. 1811 0.422 0.9595 l.IJZ4
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Windows Jnternrt E>
140
27.0B 0.15i1
o.oœo
=-
~
0.8902 0.539
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0-si
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0. 445 0.469 0.492 0.516
O.OOéO 26.49 0.1e90 0.3!2 0.8795 0.&92 O.OOb2 25,94 0.1~ o.~ o.em 0.706
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K
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0.89e4 0.89&3 0.6942 0.9722
0.0050 1!1. 77 0.1488 0,335 o.aaa3 o.~ 0.0052 29.04 0.1510 0.341 9.9865 0,$1 0.0054 23.34 0.1~1 0.346 0.8846 0.610 0.005b 27.70 0.1'51 o.~1 0.8829 0.634
Paramètres
Contraintes de calcul Béton
40.79 o. 1224 0.269 0.9104 0.330 39.23 0.125b o.m o. ~oJS 0.353 37.82 o.1m o.284 o.~ o.375 30.51 0.1315 o;i11 o.9029 o.399 ~5. 32 0.1342 o.29a o.9006 o.422
OK
1
0. 0090 20. 27 0. 1825 0.425 0.85t!3 1.049 0.0092 19.9S 0.1838 o. 4:zq 0.8570 1.073 0.0094 19.!,9 0.1651 0.432 0.8559 1.098 o. 0096 19.41 0. 11ib3 0.436 0,8547 .l.12J 0.0098 19.14 0. 1~ 0.439 0.6535 l.!49
'
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K
1
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K
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1
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0.0100 18.97 o~ 1BB? o.~ o.8524 · 1. m 0.0102 lS,62 0.1999 o.446 o.asn 1·.19a 010104. 19.37 0.1911 0.449 0.8502 1. 223 o.t100 19.13 O.l922 o.453 0.8491 1. 2118 ,0, 0100 17,90 o; 1933 0. 456 0.8490 1. 274'
0.0110 17•.67 o.om 17.45 0.01!4 11.24 '0,0116 11:03 o.OHS 1~.è3
0.1944· 0.459 o.e410 ' i.m 0.1955 0.462 0;8459 1. •324 6.1965 . 0.%5 0.8449 l .349 0. 1976 0.468 o..sm ·1.m· 0.1986 0.47l 0.84~ 1.400
0.0120 16.63 0.1996 0.4i4 0,8419 1.425 0.0122 16,l\4 0.2006 o.477 o.e1110 · 1.45t · 0.0124 16.26 o. ~16 o.~ o._e400 .1.476 n.M26 16.07 0~202' 0.483 0.8391 . 1.502 0.0129 15.90 O.m5 o.486 0, 8.3B2 1.527 o.01iô 15.72 0,2044 0.0132 15.55 o. 2053' .0.0134 15.39 0.. 2002 O.Ot3b 15.23 0.2071 0.0138 15.07 ·o.2oao 0.0140 0.0142 0:0144 0.0146 0.0149
0.469 o. 491 0.494 0.4% o.499
o.937<
1.553 0.8364 1.57B o,a355 t.604 0,9340 t.630
o:â337 l.b55
14.91 0.2088 o.501 0.9329 l.bel 14 . ~6 o.+o97 (),SQ.i 0.8320 1.707 14.62 0.2105 0.50b 0.8312 1. 732 14.47 0.2113 0.5Q9 0.9304 1. 758 14.33 0.2121 o.S11 0,8295 1.784
0.0150 14.19 0.2129 0.0152 14.06 0.2137 0. 015~ 13.93 0.2145 0,0150 13,80 0.2152 0.0158 13;67 0.21b0
0.514 0,8287 1.81Q o. 51.li ô;S279 1.836 0.519 0.8271 1.862 0.521 o.8264 · 1.ses 0.523 0.825& l.914
0.0160 13.55 0.21bi 0.525 0.0162 13.42 0.2175 0.528 0.0164 13,30 0.2!92 0.530 0.0166 13.29 0.2189 0.532
0.8248. ,1.940, 0.8241 1.96~ 0;8233 1.992 0,8226 2.01a 0.0169 13.07 o.2m 0.5'34 018219 2.044
0.0170 12. lié 0.2203 ' 0.537 0.6212 2.070 0,0172 12.85 0.2210 o.~~ O.S204 2.097
. 0.0174 12.74 0.2216 0,541 o.sm 2.12s o.om 12.&3 o.m:s 0,5113 o.a1~0 2.149 0.0178 12.53 o. 2230. o. 545 0,8194 2.175
0.0180 12.42 1), 2236 o. 547 o.am 2. 201 : Q.0182 12;32 . 0.2243' 0.549 o.s110 2.22a 0.0184 12,22 0,2249 o•.~1 O. St !i3 2. 254 o.018b 12. !3 0,2255 0.553 0.8157 2.2.80
.o.01se 12.03 0!22112 .0.555 o.a1so :2.307 a. ~3 0.2268 Q,5S7 0;0144 2.333 0.0192 11.84 0.2274° Q,559 0.8137 Z.359 0.0194 U.75 Ot22BO o.561 0.8131 .2.386 0.0196 11 . ~6 o.22e6 · o.563 0.8125 2.412 0.019'9 11.57 0.2291 0.564 0.8118 2.439
0.0190
u, 1 (J
1
llOOpl
o.zm. o.566
0.8112 :i.405
Q,1)300
0.5&9
0.610~ . ~.•492
0..0302 B.3.6 0.2524 0.642 O.iS59 3.i42
0.8100 2.318 .
0,0304
e.31 o,·2527
11. 2.3 0.2314 .0.572 0.8094 2.545
~.030â
a.21 0.2531
0.0208 11.15 0.2320 0.574 O.BOB9 2.572
0.0300
0. 0200 11. 49 0.0202 lt .40 b.0204 11.32 ~ . 0206
0.2~'S
o·;2308 , o.570
o.m 0.577 0.579 ' 0, 581 o. 5!l2
0.8092 2.598 0.807& 2. ~s 0,8071 2.652 0,80115 2.676 0.8059 2.705.
0.0120 10.69 0.2351 0,584 0.0222 10.61 0.235ô . 0.586 0~0224 10.5Jl 0.2361 o.sa1 (),0226 10.47 0.2366 o.569 0.0228 10.JIO 0.2371 0;591
0.8054 2.732 0.6049 2.759 0.8043 2.785 0.0037 2.812 0.8032 2.839
o.owi 0.0212 0.0214 0.02ib 0.0218
0.0230 0.0232 0.0234 ?.023ô 0.0238
iL 07 0.2325
10.99 o,2no 10.91 0.2l'30 .10.84 0.2341 10.76 0.2346
10.33 o.wo 0,392 0.002b 10.26 O.Z381 0.594 0.0021 10',20 0.23Bb 0.595 0.9'.11b lo.13 0. . 2391 o. ~i 0.8'.>10
2.965' 2.892. 2.919 2.946
10.00 0,2395 0.598 0.8005
vm
0.600
o.aooo
3.00,
O.o02 O.ô03 0.605 0.606
0,7995·. 3.027 0.7990 3.054 0.7985 3.081 0.7980 l. 108
0.0240 10.00 0.2400 0.0242 9.94 0.2405. 0.02« 9.97 0.2409 Q,024b 9.81 0.2414 0.024S 9.75 0.2418
0.0310 0.0312 0.0314 0.0310 0,0318 0.0320
C.0322 0. 0~24
Q.0326
o.œ2e
o.~ o. ~
0.7855 3.670 o.78'51 .3,ff17 . 8.23 0.2534 0.646 o. 7847 3,9'Zl 8.18 0.2537 0.647 0.7843 3,952
8. 14 0;2541 o.648 o.1aqo ~.9ao· 8.10 o.2544 o.649 o. M~ 4.007 e.oo 0.2'47 0, 650' o. 7932 4.035 e.o2 0;~50 ,0.652 Q.7620 4.0b2 MS 0.2554 0,653 . 0.7824 4.090 0.2557 O,ô54 0.1020 4.117 7.'10 0.2560 Q,b55 0.7817 4. 143 7.aé o.~3 Ol656 0.7813 4.173 7.62 0.2566 0.657 0.7809 4.~oc 7 .~4
~. om
7.79 0.2569 0,655 O.?a16 1.75 o.2572 . o.659 0.1002 o.om 7,71 o.2575 o.660 o.77?9 0.0336. 7.67 0. 2579 0.662 o.7195 0,0332
o.o33S
1.0~
o.r:i91
o.~1
0.0340 7.bO 0.2594 0.6M 0.7788 0.0342 . 7.50 0.2587 ·0.605 o.7784 0,0344 7.5~ o.~o o.606 0.1781 0,0346 1.49 0.2SCJl 0.6b7 o.nn 0.0348 7.46 0.2596 o.668 o.7774
CJ.69 0.2422 0.608 0.7975 ~.135 9.63 0.2427 O.oO'? 0.7970 3.162 ô.0254 9.57 0.2431 ': Q.610 0.7%5 3.l89 ·o.~ ,.~1 0.2435 0.612 0.7960 3.216 0.0259 9.46 0.2440 0.613 0.795é 3.243
0.0350 · 7.43 0.2599 o.669 0.0352 7.3~ 0.2602 0.670 0.0354 7.36 0.2604 0.671 0.03::~ 7.32 0.2607 o.672 OJ03œ 7.?1 0.~10 "Q,673
0.615 0.7951 ~.270
0.0360 7.'ib 0.2.613 0.674 0.03ô2 7.22 0.2615 .0.675 O.OS64 7.19 o.2&1e o.676 0,0:Sbb 7.1& 0.2&21 0.677 0.0369 7.13 0,2623 O.é7B
0,0250
o.~~2
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ANNEXE 1 - CARACTÉRISTIQUES DES ACIERS
141
Il 111111016464 11
9 782216
