Belajar persamaan lingkaran materi matematika kelas 11 SMA dengan contoh soal dan pembahasan. Artikel awal ini membahas persamaan persamaan lingkaran dengan pusat titik (0, 0), titik (a, b) dan bentuk umum persamaan persamaan lingkaran, garis singgung pada lingkaran lingkaran dibahas pada artikel tersendiri. Soal No. 1
Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu dan sumbu !.
"entukan# a) koordinat titik pusat lingkaran b) jari$jari lingkaran c) persamaan lingkaran Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0) b) jari$jari lingkaran %ari$jari lingkaran r & ' c) persamaan lingkaran lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari$jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk # ! & r
sehingga ! & ' ! & ' Soal No. 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan# ! & 1** "entukan panjang diameter lingkaran tersebut+
Pembahasan
ingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari$jari# r & -1** & 1 cm. iameter lingkaran# &r & * cm. Soal No. 3
iberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut+
"entukan# a) koordinat titik pusat lingkaran b) jari$jari lingkaran c) persamaan lingkaran Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran pusat lingkaran terletak pada & ' dengan ! & / sehingga koordinatn!a koordinatn!a adalah (', /) b) jari-jari b) jari-jari lingkaran sesuai gambar diatas, jari$jari jari$jari lingkaran adalah ' & c) persamaan c) persamaan lingkaran lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari$jari r akan memiliki persamaan berikut# ( a) (! b) & r
dimana a & ', dan b & / sehingga ( ') (! /) &
( ') (! /) & 2 Soal No. 4
3ersamaan suatu lingkaran adalah ! 4 *! ' & 0 "entukan# a) titik pusat lingkaran b) jari$jari lingkaran Pembahasan
Suatu lingkaran ! A B! 5 & 0
akan memiliki titik pusat ( 16A, 16 B) dan jari$jari r & -7 16* A 16* B 58 . ari persamaan lingkaran diatas nilai # A & 4, B & * dan 5 & ' a) titik pusat ( 16748, 16 7*8) & (*, ) b) jari$jari lingkaran r & -7 16* (4) 16* (*) (')8 & -' & ' Soal No. 5
%ari$jari dan pusat lingkaran !ang memiliki persamaan ! * /! 1 & 0 adalah... A. ' dan (, ) B. ' dan (, ) 5. / dan (, ) . / dan (, ) 9. : dan (*, ) Pembahasan
! * /! 1 & 0 A &* B & / 5 & 1 3usat#
%ari$jari#
Sehingga jari$jari dan pusatn!a adalah ' dan (, ). Soal No. 6
ingkaran dengan persamaan ! 16 a *! 1 & 0 melalui titik (1, 1). iameter lingkaran tersebut adalah.... A. B. 5. * . / 9. 4 Pembahasan
Masukkan titik (1, 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu#
%adi persamaan lingkarann!a sebenarn!a adalah
%ari$jarin!a#
iametern!a adalah ; * & 4 Soal No. 7
iberikan persamaan lingkaran# ! * ! * & 0. "itik A memiliki koordinat (, 1). "entukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran+ Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarann!a# "itik A (, 1) & !&1 ! * ! * & () (1) *() (1) * &*14 * & '
0 , titik akan berada di luar lingkaran.
iberikan persamaan lingkaran# ( ) ( 1) & 2 "itik B memiliki koordinat (', 1). "entukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran+ Pembahasan
?ntuk bentuk persamaan lingkaran bentuk ( a) ( b) & r, kedudukan titik terhadap lingkarann!a sebagai berikut# i dalam lingkaran untuk ( a) ( b) = r i luar lingkaran untuk ( a) ( b) > r 3ada lingkaran untuk ( a) ( b) & r Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarann!a, lihat hasiln!a terhadap angka 2, lebih besar, lebih kecil ataukah sama. B (', 1) &' !&1 ( ) ( 1) & (' ) (1 1) &2
iberikan persamaan lingkaran# ( ) ( 1) & 2 "itik 5 memiliki koordinat (, *). "entukan jarak titik 5 dari pusat lingkaran+ Pembahasan
3ersamaan lingkarann!a, ( a) ( b) & r ( ) ( 1) & 2 3usat lingkaran ini adalah, 3 (a, b) & (, 1) %arak titik 5 (, *) ke pusat 3 (, 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik#
"erbalik angkan!a hasiln!a sama juga
Soal No. 10
iberikan persamaan lingkaran sebagai berikut# ! *! 1 & 0 %ika pusat lingkaran adalah 3(a, b) maka nilai dari 10a 'b &.... A. 10 B. ' 5. ' . 10 9. 0
Pembahasan
! *! 1 & 0 3usatn!a adalah 3 (1678, 16 7*8) & (1, ) %adi a & 1 dan b & . 10a 'b &.... 10(1) '() & 10 10 & 0 Soal No. 11
ingkaran !ang persamaann!a ! A 10! * & 0 men!inggung sumbu . @ilai A !ang memenuhi adalah... A. dan B. * dan * 5. ' dan ' . / dan / 9. 2 dan 2 Pembahasan
Cara Pertama# ingkarann!a men!inggung sumbu , sehingga jari$jari lingkarann!a akan sama dengan
nilai positi dari ordinat titik pusatn!a atau
Sehingga jari$jari lingkaran ! A 10! * & 0 adalah r & 106 & '. ari rumus jari$jari lingkaran !ang telah dihilangkan tanda akarn!a#
Cara kedua: ingkaran !ang persamaann!a ! A 10! * & 0 men!inggung sumbu . Artin!a saat men!inggung sumbu nilai ! & 0. Masukkan ke persamaan, ! diisi nol,
"erbentuk persamaan kuadrat, s!aratn!a men!inggung nilai diskrimanan sama dengan nol ( & 0), ingat & b *ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga
Soal No. 12
3ersamaan lingkaran dengan pusat 3(, 1) dan men!inggung garis *! : & 0
adalah..... A. ! / ! / & 0 B. ! / ! 2 & 0 5. ! / ! / & 0 . ! / ! / & 0 9. ! / ! / & 0 (3ersamaan ingkaran $ ?A@ 00/) Pembahasan
uncin!a adalah mengetahui berapa jari$jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.
alam kasus ini jari$jari lingkarann!a sama dengan jarak titik ke garis, karena garisn!a men!inggung lingkaran. %arak titik 3(, 1) ke garis *! : & 0 adalah
engan demikian jari$jari lingkarann!a r & d & *. "inggal membuat persamaan lingkarann!a, pusatn!a di titik (, 1) dengan jari$jari *
Soal No. 13
%ari$jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah...
A - B. 5. -1 . - 9. -: (ingkaran $ 9btanas 122/) Soal No. 14
"entukan persamaan garis singgung untuk lingkaran ! & 2 !ang melalui titik (', ). Pembahasan
"itik (', ) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungn!a, karena ' () & ' * & 2 3ersamaan garis singgung lingkaran ! & r jika diketahui titik singgungn!a adalah# 1 !1! & r ' ()! & 2 ' ! & 2 Soal No. 15
"entukan persamaan garis singgung untuk lingkaran ! & 1 !ang melalui titik# a) (, ) b) (, ) Pembahasan
"ipe soal masih seperti nomor 1*. "itik (, ) dan titik (, ) sama$sama berada pada lingkaran ! & 1 sehingga persamaan garis singgungn!a masing$masing adalah# a) 1 !1! & r ! & 1 b) 1 !1! & r ! & 1
Cead more# http#66matematikastud!center.com6kelas$11$sma61*$persamaan$lingkaran$kelas$11$ smaDiEE?As2u1F
Soal 1: Deteksi Radar
Suatu kapal pesiar yang ditempatkan pada koordinat (5, 12) memiliki radar dengan jangkauan 45 km ke segala arah. (a) Tulislah persamaan yang memodelkan jangkauan maksimum dari radar kapal tersebut, dan (b) gunakan rumus jarak untuk menentukan apakah radar tersebut dapat mendeteksi kapal lain pada koordinat (50, 25). Pembahasan (a) engan menggunakan posisi kapal pesiar, (5, 12), sebagai titik
pusat, kita memperoleh a ! 5, b ! 12, dan r ! 45. Sehingga, jangkauan maksimum dari radar tersebut dapat dimodelkan sebagai" ( x # 5) $ (y # 12) ! 45 yang sama dengan persamaan ( x # 5) $ (y # 12) ! 2.025. 2
2
2
2
2
(b) engan ( x , y ) ! (5, 12) dan ( x , y ) ! (50, 25), maka dengan menggunakan rumus jarak 1
1
2
2
%arena 4&,'4 45, maka kapal pesiar yang kedua tidak akan dapat terdeteksi oleh radar kapal pesiar pertama. Soal 2: Lingkaran Dalam
Tentukan persamaan dari lingkaran yang berarna merah dan biru, kemudian tentukan luas daerah yang berarna biru.
Pembahasan engan menggunakan grid pada gambar di atas, kita dapat melihat
baha lingkaran yang berarna biru memiliki titik pusat di (2, 0) dan berjari* jari R ! 4 satuan panjang. Selain itu, kita juga dapat melihat baha lingkaran yang berarna merah memiliki titik pusat di (2, 2) dan berjari*jari r ! 2 satuan panjang.
Sehingga persamaan lingkaran yang berarna biru adalah ( x # 2) $ (y # o) ! 4 atau dapat disederhanakan menjadi ( x # 2) $ y ! 1&. engan +ara yang sama kita dapat memperoleh persamaan lingkaran yang berarna merah adalah ( x # 2) $ (y # 2) ! 4. 2
2
2
2
2
2
2
Selanjutnya kita akan menentukan luas daerah yang berarna biru. aerah ini merupakan hasil pengurangan daerah dalam lingkaran biru oleh daerah dalam lingkaran merah. Sehingga,
adi, luas daerah yang berarna biru adalah 12- satuan luas
Soal 3: Jangkauan Siaran Radio
ua stasiun radio tidak akan menggunakan rekuensi yang sama apabila daerah siarannya bertumpang tindih. /isalkan stasiun radio % memiliki daerah siaran yang dibatasi oleh x $ y $ ' x # &y ! 0 dan 3T memiliki daerah siaran yang dibatasi oleh x $ y # 10 x $ 4y ! 0 (dalam kilometer). ukislah daerah siaran dari kedua radio tersebut dalam satu bidang koordinat untuk menentukan apakah kedua stasiun tersebut harus memiliki rekuensi yang berbeda atau tidak. 2
2
2
2
Pembahasan ertama, kita harus mengubah persamaan lingkaran x $ y $ ' x # 2
&y ! 0 menjadi persamaan yang memuat kuadrat dari binomial*binomial dalam x dan y.
2
Sehingga stasiun radio % memiliki lokasi di koordinat (#4, 6) dan memiliki jari* jari siaran maksimum r ! 725 ! 5 km. Selanjutnya kita ubah persamaan x $ y # 10 x $ 4y ! 0 ke dalam kuadrat binomial*binomial x dan y. 2
2
Sehingga, stasiun radio 3T memiliki posisi di koordinat (5, #2) dan memiliki radius siaran maksimum R ! 728 9 5,68 km. Selanjutnya kita gambarkan daerah siaran dari kedua stasiun tersebut.
ari gambar di atas, kita dapat melihat baha ada daerah yang saling tumpang tindih. :ntuk membuktikannya, kita dapat menggunakan rumus jarak (#4, 6) dengan (5, #2). :ntuk ( x , y ) ! (#4, 6) dan ( x , y ) ! (5, #2), 1
1
2
2
%arena d 9 10,60 ; 5 $ 5,68 ! r $ R, maka kita dapat menyimpulkan baha ada daerah yang saling tumpang tindih. adi, kedua stasiun radio tersebut harus menggunakan rekuensi gelombang yang berbeda.
Soal 4: Segitiga Dalam Lingkaran
uas daerah segitiga sama sisi yang ketiga titik sudutnya terletak pada suatu lingkaran diberikan oleh rumus L ! (676<4)r , dengan r adalah jari*jari lingkaran. Tentukan luas segitiga sama sisi yang ditunjukkan oleh gambar berikut. 2
Pembahasan ari*jari dari lingkaran tersebut sama dengan jarak titik pusatnya, (0, 0), dengan salah satu titik pada lingkaran, yaitu (6,4). engan ( x , y ) ! (0, 0) dan 1
1
( x , y ) ! (6, 4), kita mendapatkan 2
2
Sehingga jari*jari dari lingkaran tersebut adalah r ! 5 satuan panjang. Selanjutnya kita tentukan luas dari segitiga dalamnya.
adi, luas segitiga sama sisi dalam lingkaran tersebut adalah 62,4' satuan luas. Soal 5: Jangkauan Gempa umi
Suatu episentrum (titik pusat) dari suatu gempa terletak pada koordinat peta (6, =), dan gempa tersebut memiliki radius 6& km. (a) Tulislah persamaan yang memodelkan jangkauan maksimum dari gempa tersebut. (b) >unakan rumus jarak untuk menentukan apakah seseorang yang memiliki lokasi di (66, 25) merasakan gempa tersebut. Pembahasan angkauan maksimum suatu gempa bumi dapat dimodelkan dengan
persamaan lingkaran. %arena titik pusatnya (6, =) dan jari*jarinya 6& km, maka persamaanya menjadi ( x # 6) $ (y # =) ! 6& atau dapat disederhanakan menjadi ( x # 6) $ (y # =) ! 1.28&. >raik dari lingkaran tersebut dapat dilihat seperti berikut. 2
2
2
2
2
Selanjutnya kita tentukan jarak seseorang yang ada di posisi (66, 25) dengan pusat gempa, (6, =). engan ( x , y ) ! (6, =) dan ( x , y ) ! (66, 25), akan menghasilkan 1
1
2
2
%arena d ! 64,88 ; 6&, maka orang tersebut akan merasakan dampak dari gempa bumi tersebut. Semoga bermanaat, yos6prens.
Soal No. 1
"entukan turunan pertama dari ungsi berikut# a) () & * ' b) () & : Pembahasan
Cumus turunan ungsi aljabar bentuk a n
Sehingga# a) () & * ' G() & * ⋅* 1 ⋅1 '1$1 G() & 1 *1 '0 G() & 1 * ' b) () & : G() & / : Soal No. 2
"entukan turunan pertama dari ungsi berikut# a) () & 10 b) () & 4 c) () & 1 Pembahasan
a) () & 10 () & 101 G() & 10 11 G() & 10 0 G() & 10
b) () & 4 () & 40 G() & 0 ⋅ 401 G() & 0
c) () & 1 G() & 0
Soal No. 3
"entukan turunan pertama dari ungsi berikut# a) () & '( *) b) () & ( )(' *) Pembahasan
"entukan turunan pertama dari ungsi berikut# a) () & '( *) () & 10 0 G () & 0 0 b) () & ( )(' *) ?rai terlebih dahulu hingga menjadi () & 10 4 1' 1 () & 10 1 1 Sehingga G () & 0 1 Soal No. 4
"entukan turunan dari ungsi$ungsi berikut a) b) c) Pembahasan
a)
b)
c)
Soal No. 5
"entukan turunan dari ungsi$ungsi berikut, n!atakan hasil akhir dalam bentuk akar a) b)
c) Pembahasan
a)
b)
c)
Soal No. 6
engan menggunakan rumus turunan hasil kali ungsi berikut ini
"entukan turunan untuk () & ( )(* ') Pembahasan
Misal # u & ( ) H & (* ') maka u G & HG&* sehingga penerapan rumus di atas menjadi
Soal No. 7
iketahui
%ika G() men!atakan turunan pertama (), maka (0) G (0) &... A. 10 B. 2 5. : . ' 9. (Soal UN 2008) Pembahasan
?ntuk & 0 maka nilai () adalah
Berikutn!a menentukan turunan () !ang berbentuk hasil bagi ungsi
Misal# u & H & 1 Sehingga
$> $>
uG & HG &
?ntuk nilai & 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini
Sehingga (0) G (0) & (/) & 2
Cead more# http#66matematikastud!center.com6kelas$11$sma6100$turunan$ungsi$aljabar$11$ smaDiEE?BkwuI
