BAUSTATIK 2 Seilstatik | Theorie II. Ordnung und Stabilität | Traglastverfahren | Tragwerksdynamik | Nährungsmethoden | Modellbildung
S-2-03/2004
Gernot Beer Institut für Baustatik Technische Universität Graz
Forschungsberichte | Diplomarbeiten | Skripten | Vorträge/Tagungen
Einführung
1
Seilstatik
1 Dehnstarre Seile Dehnbare Seile
2 10
Theorie II. Ordnung und Stabilität
27
Stabilitätsprobleme
29
Spannungsprobleme II. Ordnung
34
Systemberechnung Theorie II. Ordnung
37
Traglastverfahren
43
Elasto - plastisches Verhalten von Tragwerken
43
Traglastverfahren
64
Tragwerksdynamik
77
Systeme mit einem Freiheitsgrad
77
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden
85
Dynamische Lasten
98
Maschinenfundamente
102
Modale Analyse
103
Antwortspektrenverfahren
105
AWeiterführende Literatur
110
Näherungsmethoden
113
Verfahren nach Ritz
113
Beispiel, gevouteter Träger
124
Methode der Finiten Elemente
126
Modellbildung
139
Einführung
139
Idealisierung der Tragwerksgeometrie
139
Auflager
144
Verbindungen
145
Tragwerkselemente
147
Definition der Schnittkräfte für Biegestabelement
152
Einwirkungen
153
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In Baustatik 1 wurden Berechnungsmethoden für Tragwerke vorgestellt welche „exakte“ Lösungen in dem Sinn ergeben, dass die Lösungen die Bedingung für Gleichgewicht und Verträglichkeit exakt erfüllen. Allerdings sind diese Lösungen nur möglich, wenn man vereinfachte Annahmen trifft. Die in Baustatik 1 getroffenen Annahmen sind: Annahme 1: Für die Aufstellung der Gleichgewichtsgleichung wird das unverformte Tragwerk betrachtet Annahme 2: Das Material ist linear elastisch Annahme 3: Die Lasten werden unendlich langsam aufgebracht Annahme 4: Ebene Querschnitte normal zur neutralen Achse bleiben auch nach der Verformung eben und normal zur verformten neutralen Achse (Bernoulli Hypothese). Letztere Annahme hat eine starke Idealisierung des Bauwerks zu Folge. Bauwerke sind in Wirklichkeit dreidimensionale Objekte, die durch die Annahme von Bernoulli in ein aus Geraden bestehendes Modell zurückgeführt werden können. In vielen Fällen wird die Berechnung durch die Reduzierung auf zwei Dimensionen weiter vereinfacht. Diese Vereinfachnungen vorzunehmen ohne dass zu grösse Fehler in der Berechnung entstehen ist eine nicht einfache Aufgabe . Diese ist auch unter dem Begriff Modellbildung bekannt. Für viele Probleme im konstruktiven Ingenieurwesen muß man die oben erwähnten Annahmen hinterfragen um die Sicherheit und Wirtschaftlichkeit von Tragwerken zu gewährleisten. Bei manchen Problemstellungen können die Annahmen sogar zu vollkommen falschen Ergebnissen führen. In Baustatik 2 befassen wir uns daher mit der Modellbildung und speziellen Berechnungsmethoden die angewendet werden müssen, wenn bestimmte der oben aufgezählten Annahmen nicht mehr zutreffen.
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So werden z.B. sehr oft Seile oder Membrane in Tragkonstruktionen verwendet. Hier sehen wir dass Annahme 1 zu keinem vernünftigen Ergebnis führen würde, da sich die Form des Seils an die Belastung anpaßt. Dies ist unsere erste Einführung in sogenannte geometrisch nichtlineare Probleme. Bei Tragwerken mit hohen Druckkräften sehen wir dass die Tragwerksverformungen (obwohl noch immer sehr kleine Verformungen angenommen werden) sich stark auf das Gleichgewicht auswirken können. Bei nichtlinearen Problemen kann eine Lösung nur iterativ oder inkrementell ermittelt werden. Der Rechenaufwand ist wesentlich größer als bei linearen Problemen und die Güte der Ergebnisse von der verwendeten Größe des Inkrements abhängig. Das Sicherheitskonzept des EUROCODE verlangt die Berechnung einer Traglast, unter vollen Ausnutzung der sogenannten plastischen Reserve. In Kapitel 3 wird ein Verfahren vorgestellt wie man diese Traglast bestimmen kann. Dabei müssen wir die Annahme 2 fallen lassen und auch inelastische Verformungen zulassen. Dies ist eine Einführung in materiell nichtlineare Probleme. Es ist klar das für beide Arten von Nichtlinerität das Superpositionsprinzip nicht mehr gilt. Betrachten wir die Belastungen die auf Tragwerke wirken, so werden diese im seltensten Fall „unendlich langsam“ aufgebracht. Man denke nur an Verkehrs-,Wind und Erdbebenbelastung. Daher ist es wichtig herauszufinden was passiert wenn Annahme 3 nicht mehr zutrifft. Dies trifft besonders für Tragwerke zu, die in Erdbebengebieten gebaut werden. Schließlich ist die Bernoulli Hypothese schon für gedungene Stäbe nicht mehr anwendbar. Für die Berechnung von Scheiben, Krafteinleitungsproblemen etc. muß man ohne diese Hypothese auskommen. Es wird gezeigt das, ausgenommen für extrem einfache Problemstellungen, hier nur Näherungsmethoden angewendet werden können, bei denen sogar teilweise die Gleichgewichtsbedingungen verletzt werden. Die Lösungen sind trotzdem brauchbar, da bei genügendem Rechenaufwand die Fehler sehr klein werden. Natürlich ist eine Lösung nur mehr mit EDV Programmen möglich. Da in den meisten Zivilingenieurbüros Finite Elemente Programme verwendet werden ist es wichtig das jeder Ingenieur mit dem Konzept der Näherungslösung und den potentiellen Fehlerquellen, die auftreten können zumindest ein wenig vertraut ist.
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Seile werden sehr oft als Tragelemente in Tragwerken verwendet. Beispiele sind Hänge- und Schrägseilbrücken, zugbeanspruchte Strukturen (Überdachungen) und Seilbahnen. Abb. 1.1 zeigt ein Beispiel für die Verwendung von Seilen bei der neuen Schrägseilbrücke in der Normandie. Der Ausdruck „Seil“ bezieht sich eigentlich auf Kabel, die entweder aus Stahl oder Kunststoffdrähten zusammengesetzt sind (im Englischen wird dieses auch als cable bezeichnet). So ist eine Schrägseilbrücke z.B. eine cable stayed bridge (eine Hängebrücke wird aber wie im Deutschen als eine suspension bridge bezeichnet).
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Abbildung 1.2 zeigt den Aufbau des Kabels für die größte Hängebrücke der Welt. Für Seile nimmt man angenähert an, dass die Biegesteifigkeit EI vernachlässigbar klein ist. Daher können keine Biegemomente und (da die Knicklast null ist) keine Druckkräfte aufgenommen werden. Die Biegesteifigkeit des Kabels in Abbildung 1.2 ist sicher nicht null, aber wenn man die Spannweite des Kabels von 2 km betrachtet sind die Einflüsse aus Biegung vernachlässigbar klein. Bei Seilen spielt der Durchhang bzw. die Form des Seiles eine große Rolle. Da sich die Form des
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Seiles aufgrund der Belastung ändert, sprechen wir von einem geometrisch nichtlinearen Problem.
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Die Seilkraft und die Seilgeometrie kann aus der Bedingung, dass an keiner Stelle des Seiles Biegemomente auftreten können oder aus der Differentialgleichung des Gleichgewichts errechnet werden. Die (relativ zu linearen Problemen) aufwendige Berechnung von nichtlinearen Problemen kann durch Weglassen von vernachlässigbar kleinen Einflüssen vereinfacht werden. Im folgeneden werden zuerst Seile behandelt, bei denen die Längenänderung des Seiles vernachlässigbar klein ist.
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Hier wird die elastische Dehnung des Seiles aufgrund der Seilkraft vernachlässigt.
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Für ein Seil mit vernachlässigter Biegesteifigkeit gilt, dass das Biegemoment an jeder Stelle null sein muß, d.h. M( x ) = M0 ( x ) + H ⋅ y ( x ) = 0
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Aus dieser Gleichung kann man den Durchhang y(x) bestimmen M0 ( x ) y ( x ) = --------------H Aus Gründen des horizontalen Gleichgewichts muß bei vertikaler Belastung die horizontale Komponente der Seilkraft H an jedem Punkt gleich sein. Für die Seilkräfte gilt (siehe Abb. 1.4): H S 1 = -----------cos α
H S 2 = -----------cos β
H S 3 = ----------cos γ 0
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Für eine vertikale konstante Gleichlast q, bezogen auf die horizontale Achse, erhält man aus der Bedingung M ( x ) = 0 die Gleichung für den Durchhang: qx- ( L – x ) y ( x ) = -----2H Der Durchhang in der Mitte f (Stich) ist: L qL 2 y --- = f = --------8H 2 und die Horizontalkraft qL 2 H = --------8f
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Die Seillinie ist durch folgende Gleichung gegeben: 4fx y ( x ) = -------- ( L – x ) L2 Die Seildurchhangskurve ist also eine Parabel 2. Ordnung. Ermittlung der Seillänge Die Länge der Parabel erhält man aus der Differentialbeziehung ds =
dx 2 + dy 2
ds ------ = dx
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1 + y' 2
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Wenn y' 2 « 1 ist, dann gilt näherungsweise: 1+
y' 2
y' 2 = 1 + -----2 L
L
Die Länge des Seiles ist
ds s 0 = ------ dx dx 0
oder s 0 = 0
y' 2 1 + ------ dx 2
mit: 4f y' ( x ) = ----- ( L – 2x ) 2 L Das Integral kann nach Simpson numerisch ausgewertet werden, wobei mit drei Stützpunkten eine Parabel exakt integriert werden kann:
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x = 0
4f y' = ----L
L x = --2
y' = 0
x = 1
4f y' = – ----L
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L 8f 2 8f 2 s 0 = --- ⋅ 1 + ------2- + 4 ⋅ 1 + 1 + ------2L L 6 Die Seillänge ergibt sich zu 8f 2 s 0 = L + ------3L
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Wir betrachten einen kleinen Teil des Seiles mit der Länge ds, das mit einer vertikal nach unten wirkenden verteilten Belastung q (bezogen auf die horizontale Länge) belastet ist. Aus der Gleichung für das horizontale Gleichgewicht ergibt sich, dass die horizontale Komponente H der Seilkraft S, die entlang des Seiles wirkt, über die Seillänge konstant sein muß. !
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Aus dem vertikalen Gleichgewicht ergibt sich: V – qdx – V – dV = 0 oder dV = – qdx
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Setzt man die Beziehung V = H tan α ≈ Hy' ein, dann ergibt sich dV = Hy''dx und mit der Gleichung für vertikales Gleichgewicht die Diffgl. für die Seillinie Hy'' = – q Die Lösung dieser Differentialgleichung ist im Abschnitt 1.2.2. gegeben. Ist die Belastung des Seiles das Eigengewicht, dann muß die verteilte Belastung q auf die wirkliche Seillänge ds bezogen werden. Für das vertikale Gleichgewicht erhält man 2
dV = – qds = – q 1 – y' dx die Differentialgleichung lautet in diesem Fall: Hy'' = – q 1 – y'
2
Die Lösung der Differentialgleichung ist die bekannte Form der Kettenlinie: H q y ( x ) = ---- cosh ---- ( x – C 1 ) + C 2 q H Der Unterschied zwischen Seillinie und Kettenlinie ist, dass die Seillinie gegenüber der Kettenlinie im Scheitelbereich stärker gekrümmt ist. Die Tabelle zeigt die Unterschiede zwischen der berechneten Haltekraft der Seillinie (HP) und der Kettenlinie (Hk), dem Stich der Seillinie (fP) und dem der Kettenlinie (fk) für verschiedene Verhältnisse Seillänge s0 zur Spannweite L. ./ 8
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Die Tabelle zeigt, dass für Seile mit Eigengewicht bis zu einem Verhältnis s0/L < 1,10 eine Fehlberechnung der Horizontalkraft H um nur 1,4 % erfolgt, d.h dass man dafür in der Praxis die einfachere parabolische Seillinie für die Berechnungen heranziehen kann. Dies würde einem Verhältnis von Stich zu Spannweite (f/L) von 0,194 entsprechen. So hat zum Beispiel die längste Hängebrücke der Welt (Akashi Kaikyo Brücke in Japan, Abb. 1.8) mit einer Spannweite von 1990 m und einem Stich von 201 m ein Verhältnis f/L von 0,101. In den folgenden Betrachtungen wird eine parabolische Seillinie angenommen.
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Für dehnstarre Seile, die mit einer Gleichlast q belastet sind, gibt es eine einfache Beziehung zwischen der Haltekraft H, dem Durchhang (Stich) f, und der Spannweite L: qL 2 H = --------8f Wird ein Seil mit gegebener Seillänge so über eine Spannweite L gespannt, so kann man den Durchhang und die Seilkraft ausrechnen. Unter Annahme einer parabolischen Seilkurve erhalten wir nach Auflösung der Formel für die Seillänge den Stich f: f =
3 --- L ( s o – L ) 8
Und damit die Haltekraft: 1 qL 2 H = --------- -----------------------------8 3 --- L ( s o – L ) 8
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Das Diagramm zeigt, dass bei einem dehnstarren Seil die Haltekraft mit der Vergrößerung der Spannweite L zunimmt und bei einer Spannweite gleich der Seillänge s0 (das bedeutet ein gerades Seil) theoretisch unendlich wird. Dies ist deshalb der Fall, weil für ein Seil, das nicht gekrümmt ist, kein Gleichgewicht zwischen den inneren Kräften (Seilkräfte tangential zum Seil) und der Belastung hergestellt werden kann.
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Das Kabel der Akashi Kaikyo Brücke hat einen Durchmesser von 1,122 m und daher ein Fläche von 0,988 m2. Unter der Annahme eines spez. Gewichts von Stahl von 7850 kg/m3 ergibt sich eine Gleichlast q von 77,6 KN/m. Mit der Spannweite von 1990 m und einem Stich von 201 m ergibt sich folgende horiz. Haltekraft 2
77, 6 ⋅ 1990 qL 2 H = --------- = ------------------------------ = 191109 kN = 191, 109MN 8f 8 ⋅ 201 H Die Seilkraft ergibt sich aus der Gleichung S = -----------wobei α = atan ( y' ) cos α Aus Abschnitt 1.1.2 ergibt sich die Seilneigung an der Pylonspitze (x=0) mit 4f 4 ⋅ 201 y' = ----- = ---------------- = 0, 404 L 1990 und daraus ein Winkel α = 22° . Die (maximale) Seilkraft am oberen Ende des Pylons beträgt 191, 109 S = --------------------- = 206, 14MN 0, 927 Dies ist 7,8 % der minimalen Seilkraft in der Mitte, die gleich der horizontalen Haltekraft H ist.
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Sind die Fixpunkte eines Seiles nicht auf gleicher Höhe, so teilt man die verteilte vertikale Last q in zwei Komponenten. Die Komponente der Gleichlast q in Richtung normal zur Sehne ist: q ⊥ = q ⋅ cos α und parallel zur Sehne q s = q ⋅ sin α
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Der Stich der Seillinie (in Richtung normal zur Sehne) ergibt sich aus: 2
q⊥ L f = -----------8S Die Haltekraft S ist q⊥ ⋅ L2 S = ---------------- + q S ⋅ L 8⋅f
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Aus dem Gleichgewicht in der Seilmitte erhält man PL H = ------- . 4f
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Die Seilkraft ist PL s Hs H S = ------------ = ------- = ------- ⋅ --4f L L cos α
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Aus der Geometrie (Satz von Pythagoras) erhält man nach Umordnung 2
L s = 2f ⋅ 1 + ----2f
und somit für die Seilkraft (konstant über das Seil)
L P S = --- 1 + ----2f 2
2
Die Länge des gedehnten Seiles ergibt sich mit dem Hooke’schen Gesetz als S s = s 0 ⋅ 1 + -------EA Setzt man die aus geometrischen Beziehungen und aus der Längenänderung berechneten Werte für s gleich, dann ergibt sich L 2f ⋅ 1 + ----2f
2
L P = s 0 ⋅ 1 + ----------- 1 + ----2f 2AE
Die Kraft P in Abhängigkeit vom Durchhang f ergibt sich zu
2f P ( f ) = 2AE ----L
Dies ist in Abb. 1.12 für A = 0,001 m²
s0 = 50 m
E = 16 ⋅ 10 6 kN/m²
L = 50 m
L 1 ---- – -------------------------s0 L 2 1 + ----2f
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aufgetragen. Dies entspricht einem gewichtslosen Seil, das vor der Belastung durch P gerade ist. Die Nichtlinearität der Verformungs-Belastungskurve für höhere Werte von P ist deutlich zu sehen.
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15 15
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Bei stark gespannten Seilen, wie sie z.B. bei Schrägseilbrücken vorkommen, muß die Seildehnung berücksichtigt werden. Man kann jedoch mit der Näherung einer parabolischen Seillinie rechnen, da das Verhältnis f/L klein ist. Bei der Berechnung von dehnbaren Seilen ergibt sich folgende Aufgabenstellung: Gegeben: s0
... Länge des ungedehnten, unbelasteten Seiles
L
... Spannweite
q0
... Gewicht pro Seillänge des ungedehnten Seiles
Gesucht: Kraft S
Die Wirkungsrichtung der Seilkraft S ist stets tangential, sie ist daher verschieden von der Auflagerkraft S . Den folgenden Überlegungen liegt die Annahme zugrunde, dass der Stich f klein ist („stark gespanntes Seil“), daher kann S ∼ S gesetzt werden.
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Da sich bei einer starken Anspannung des Seiles der Seilquerschnitt verkleinert, reduziert sich auch das Gewicht pro Meter Seil. Das veränderte Gewicht pro Meter Seil erhält man aus der Bedingung, dass das Gesamtgewicht des Seiles konstant bleiben muß. Es gilt G = q 0 s 0 = qL Daher ist das Gewicht pro Meter des gedehnten Seils q0 s0 q = ---------L Die Gleichlast in Richtung normal und tangential zur Sehne beträgt: q ⊥ = q ⋅ cos α
q = q ⋅ sin α s
Berechnung der Haltekraft S Die Haltekraft S setzt sich aus 2 Komponenten zusammen, die aus der Querbelastung S1 und die aus der Längsbelastung S2, die bei stark gespannten Seilen im Verhältnis zu S1 klein ist. Daher wird im folgenden S=S=S1 angenommen. Unter der Annahme, daß die Seilkraft S über die Seillänge konstant ist, ergibt sich die Länge des gedehnten Seiles mit: SL s = s 0 + -------AE
(Glg. 1.1)
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q⊥ L S 1 = -----------8f L q⊥
S2 = qs s 0
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Aus der Geometrie erhält man bei der Annahme einer parabolischen Seillinie 2
8f s = L + ------3L Wird für den Stich f q⊥ ⋅ L2 f = ---------------8⋅S eingesetzt, ergibt sich q⊥ L2 8 s = L + ------- ⋅ -----------3L 8S
2
2
q⊥ L3 1 = L + ------ ⋅ ----------24 S 2
(Glg. 1.2)
Durch Gleichsetzen der Gleichungen (Glg. 1.1) und (Glg. 1.2) erhält man 2
3 SL ⊥L 1- ⋅ q----------s 0 + -------- = L + ----AE 24 S 2
6
× S2
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S3 L 1- q 2 L 3 s 0 S 2 + --------- = S 2 L + ----⊥ AE 24 2
q⊥ L 3 AE s0 3 2 S + S AE ---- – AE – -------------------- = 0 24L L und mit
a 2 = ( s 0 – L ) AE -------L
und
q 0⊥ s 0 AE a 0 = – -----------------------24
2
2
wobei q 0⊥ = q 0 ⋅ cos α . Die Gleichgewichtsgleichung für das Seil ergibt sich als: S3 + a2 S 2 + a0 = 0 Beispiel: Stahlkabel, Durchmesser 0,05 m Gegeben: A = 1,96 10-3 m2 q0= 0,154 kN/m E = 210 106 kN/m2 s0 = 40,0 m α = 0° , 60° and 90° Gesucht: Diagramm Seitkraft (S) zu Spannweite (L) EA = 1, 96 ×10 210 ×10 = 411, 6 ×10 –3
6
3
Die Koeffizienten errechnen sich zu: 3 40 a 2 = 411, 6 ×10 ------ – 1 L
1. α = 0°
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q⊥0 = 0, 154 kN/m 2
2
( 0, 154 ) ⋅ ( 40 ) ⋅ 411, 6 ×10 6 a 0 = – ---------------------------------------------------------------------- = – 15, 59 ×10 24 2. α = 60° ,
3
q ⊥0 = 0, 154 × 0, 5 = 0, 077 kN/m 2
2
( 0, 077 ) ⋅ ( 40 ) ⋅ 411, 6 ×10 6 a 0 = – ---------------------------------------------------------------------- = – 3, 897 ×10 24 3
8
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2. α = 90° ,
q ⊥0 = 0 , a0 = 0 S = ( s 0 – L ) AE -------L
Die Seilkraft in Abhängigkeit von der Spannweite L ist in Abb. 1.15 dargestellt.
S (kN)
500 α = 0°
α = 60°
α = 90° L (m) 40
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Um Tragkonstruktionen mit Seilen mit dem Weggrößenverfahren berechnen zu können, muß die veränderliche Steifigkeit des Seiles berücksichtigt werden. Bei nichtlinearen Problemen muß die Definition der Steifigkeit geändert werden. Statt der Definition, dass eine Steifigkeit eine Kraftgröße zufolge Einheitsverformung ist, definieren wir eine Tangentialsteifigkeit als Änderung der Seilkraft mit der Verschiebung des Seilendes.
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Eine Änderung der Spannweite L bewirkt eine Änderung der Seilkraft um dS- ⋅ dL dS = -----dL Die Tangentialsteifigkeit ist somit: dS k T = ------dL Die Ableitung der Seikraft S erhält man durch die Bildung des totalen Differentials der kubischen Gleichung f ( S, L ) = S 3 + a 2 S 2 + a 0 = 0 Dieses ist: ∂f dL = 0 ∂f-dS + -----df = ----∂L ∂S und somit ist die Tangentensteifigkeit ∂f ⁄ ∂L dS k T = ------- = – ---------------∂f ⁄ ∂S dL Die Ableitungen von f ergeben sich mit: ∂a 2 ∂f AEs -----= S 2 -------- = – S 2 ------------02 ∂L ∂L L ∂f ------ = 3S 2 + 2a S = 3S 2 + 2 ( s – L ) AES -----------2 0 ∂S L Dies ergibt für die Tangentialsteifigkeit: 2
S AEs 0 -------------------------------------------------------------kT = 2 2 AES L 3S + 2 ( s 0 – L ) -----------L oder 2
Ss 0 AE kT = -------- ----------------------------------------------------s 0 3 SL2 + 2 ( s – L )AEL 0
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Die Tangentialsteifigkeit des Seiles kann wie folgt geschrieben werden: AE k T = -------- f ( S, L ) s0 wobei der Ausdruck in Klammern die (lineare) Steifigkeit des gewichtslosen Seils mit der ursprünglichen Länge s0 darstellt. Der Multiplikator ist s0 2 S f ( S, L ) = ---- --------------------------------------------------L 3 S + 2 ( s 0 – L )AE ⁄ L Für den Fall L=s0 ergibt sich f(S,L) als 1/3. Die Änderung der Steifigkeit wird in Abbildung 1.17 für das Seil auf Seite 1-15 mit einer Neigung von 60 Grad gezeigt. f (S,L) 1.0
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Man sieht, dass die Steifigkeit des Seiles mit zunehmender Spannweite L dem Wert des Fachwerkstabes asymptotisch zustrebt. Wird das Seil als Tragwerkselement verwendet, so muß immer die derzeit aktuelle Spannweite L eingesetzt werden. Betrachtet man z.B. das Tragwerk in Abb. 1.18, das aus einem Seil und einem Kragarm besteht, so wird sich die Spitze des Kragarms nach Einbau des Seiles auf Grund der Seilkraft leicht nach links bewegen. Bringt man ein Inkrement der Belastung ∆P nach rechts wirkend an, so kann man die Änderung der Seilkraft näherungsweise mit ∆S = k T ⋅ ∆L berechnen, wobei kT mit der Spannweite L0 (Bild 1.17) berechnet wird.
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Dies ist nur eine Näherung, da sich während der Verformung die Spannweite L und somit auch die Tangentialsteifigkeit kT ändert. Der Fehler, der bei der Wahl eines zu grossen Inkrements gemacht wird, ist in Abb. 1.18 dargestellt. Dieser Fehler stellt eine Kraft dar, die zur Erfüllung des Gleichgewichts am Ende des Kragarms fehlt. Um die durch die Linearisierung falsch berechnete Verformung ∆L zu erreichen, ist eine größere Kraft als ∆P notwendig (nämlich ∆P+∆R).
Last-Verformungskurve des Tragwerks
P
∆R (Fehler)
Punkt sollte hier liegen ∆P
Berechneter Punkt . „linearisierter“ Verlauf
L
∆L(exact) L0 ∆L(Näherung) %
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Da die Steifigkeit bei der Verlängerung der Spannweite zunimmt, wurde bei der Näherungsberechnung mit einer zu kleinen Seilkraft gerechnet, d.h. das Seil wirkt in Wirklichkeit viel mehr am Tragverhalten mit, als angenommen. Man nennt den Fehler auch eine Ungleichgewichtskraft (engl. force unbalance). P Exakte Lösung
Näherungslösung ∆R (Fehler)
∆P/2 ∆P/2
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∆R (2. Fehler) ∆P .
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Es gibt zwei Strategien, die man hier anwenden kann: Man kann die Größe des Inkrements verkleinern, d.h. die Belastung ∆P in kleine Inkremente unterteilen (siehe Beispiel in Abb. 1.19 mit 2 Inkrementen). Man sieht, dass der Fehler bei der Unterteilung der Last in zwei Schritte wesentlich kleiner wird, jedoch die berechnete Kurve bei jedem Schritt immer mehr von der exakten Kurve abweicht. Eine andere Methode ist es, den Fehlbetrag der Kraft auszurechnen und wieder auf das System aufzubringen. Rechnet man dabei mit einer veränderlichen Steifigkeit (d.h. man rechnet die Steifigkeit nach Ende der Iteration immer neu aus), so spricht man von einer Newton Raphson Iteration, bei der der Fehler quadratisch abnimmt.
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Das Verfahren führt daher zu einer schnellen Konvergenz, d.h. die Iteration kann nach wenigen Schritten abgebrochen werden. Dies wird im Bild 1.20 gezeigt.
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Es wurde dargestellt, dass ein Seil mit Eigengewicht ein nichtlineares Tragwerkselement darstellt, dessen Steifigkeit sich mit der Verformung ändert. Das Weggrössenverfahren kann auch für solche Fälle angewendet werden muß, aber auf Grund der Veränderlichkeit der Steifigkeit modifiziert werden. Seile mit Eigengewicht werden in der Berechnung wie Fachwerkstäbe behandelt, jedoch wird die Steifigkeit EA/so mit einem Faktor f(S,L) multipliziert, der von der Seilkraft S und der Spannweite L abhängt. Die Berechnung erfolgt nun in folgenden Schritten. 1. Schritt: Einbau des Seiles. Beim Einbau des Seiles in das Tragwerk belastet es dieses mehr oder weniger stark, abhängig davon ob es stark oder schwach gespannt ist. Mit der ursprünglichen Seillänge vor dem Einbau, s0 und der Spannweite, L0 wird eine Seilkraft S0 ermittelt. Da sich durch diese Belastung Verformungen und damit eine Änderung der Spannweite des Seils ergeben, ist zu überprüfen, ob die Veränderung der Seilkraft vernachlässigbar ist. Ist dies nicht der Fall, muß die Seilkraft und Spannweite iterativ verbessert werden. Weitere Schritte Newton Raphson Verfahren 1. Lineare Berechnung mit Belastung ∆P mit Anfangssteifigkeit kT0 Mit dem im ersten Schritt berechneten Werten für S (S0) und L (L0) wird die Anfangssteifigkeit kT0 berechnet. Es erfolgt eine lineare Berechnung. Die erhaltenen Verformungen u0 verändern die Spannweite L und damit auch auf die Seilkraft S. 2. Überprüfung des Gleichgewichts Mit den neu errechneten Spannweiten L1 werden neue Seilkräfte S1 errechnet. Mit diesen neuen Seilkräften wird das Gleichgewicht überprüft und der Fehlbetrag ∆R1 ausgerechnet. 3. Lineare Berechnung mit Belastung ∆R1 und Steifigkeit kT Der berechnete Fehlbetrag wird auf das System aufgebracht, es ergibt sich eine Verbesserung der Verformung (∆u1). Die verbesserte Verformung wird mit u 1 = u 0 + ∆u 1 berechnet. Mit der neuen Verformungen werden neue Spannweiten L berechnet und die Schritte 2. und 3. solange wiederholt, bis der Fehlbetrag unter einer Toleranzgrenze fällt.
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Beispiel: Abgespannter Kragarm mit Belastung am Ende
∆L
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150 kN
40 m
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α = 60°
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Gegeben: Seil: EA = 441,6 103 kN , q0= 0,154 kN/m, s0 = 40,0 m (siehe Seite 1-15) Biegeträger: EI= 1,0 107 kNm2 , A >> Gesucht: a) Last-Verformungsdiagramm b) Verformung am Ende des Kargarms aus Belastung von 150 kN Da für den Kragarm A >> , hat das System nur einen Freiheitsgrad u (siehe Bild 1.21). Die Steifigkeit des Seils ohne Eigengewicht beträgt: EA 441, 6 ×10 2 k S = -------- ( cos 60° ) = --------------------------0, 25 = 2756 kN/m s0 40 3
Die Steifigkeit des Biegeträgers ist 3 × 1 ×10 3EI k B = --------- = ----------------------- = 724 kN/m 3 3 ( 34,6 ) L 7
1. Einbau des Seiles Wird das Seil mit einer Spannweite von 40 m eingebaut, ergibt sich eine Seilkraft von 157 kN (siehe Seite 1-15).
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Diese Belastung bewirkt eine Verformung nach links am Ende des Kargarms von 157 u 0 = --------- = 0, 217 m 724 Daraus ergibt sich eine Verkleinerung der Spannweite des Seiles um ∆L 0 = u 0 cos α = 0, 217 × 0, 5 = 0,108 m Das Seil hat nun eine Spannweite von L-∆L=39,891 m. Daraus ergibt sich eine Seilkraft von S= 57,4 kN. Aus dieser Seilkraft ergibt sich eine kleinere Verformung als vorher. Es wird solange iteriert, bis sich die Seilkraft nur mehr geringfügig ändert (siehe Tabelle). 5
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Es ergibt sich eine endgültige Seilkraft nach Einbau von 64 kN. Wir nehmen das verformte System als eine im Gleichgewicht befindliche Ausgangsposition und berechnen die zusätzliche Verformung aus einer horizontalen Belastung P. Das allgemeine Weggrößenverfahren ergibt ( k T0 + k B )u 1 = P Die initiale Steifigkeit des Seiles ist nach Einbau k T0 = f ( S, L )k S = 84, 75kN/m Berechnung des Last-Verformungsdiagrams
5
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Um das Lastverformungsdiagram zu bekommen, unterteilen wir die Gesamtlast in Inkremente von 25 kN. P (kN)
200 ∆R1 100 ∆u2
∆u1 u (m)
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u
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Die Berechnung erfolgt mit folgendem Schema 1. Berechnung der Verformung mit linearisierter Formel ∆P ∆u n + 1 = ---------------------------( k Tn + 724 ) 2. Neue Bestimmung der Spannweite L n + 1 = L n + 0, 5 × ∆u n + 1 3. Neue Bestimmung der Seilkraft und Steifigkeit k Tn + 1 = 2724 × f ( S, L ) Berechnung nach Newton-Raphson 1. Lineare Berechnung Die Verformung wird mit der initialen Steifigkeit kT0 berechnet 150 u0 = ----------------------------------- = 0, 185 ( 84, 75 + 724 ) Aus dieser Verformung ergibt sich eine Änderung der Spannweite von L 1 = L0 + 0, 5 × u 0 = 39, 914 + 0, 0925 = 40, 00 Daraus ergibt sich eine Seilkraft von 157 kN.
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2. Überprüfung des Gleichgewichts Überprüft man das Gleichgewicht am Pylonende mit der neu errechneten Seilkraft, dann ergibt sich ( 157 – 64 ) × 0, 5 + 724 × 0, 185 – 150 = 30, 4 = ∆R 1 das heißt, es besteht kein Gleichgewicht. ∆S cos 60°
150 kN
∆S kB u0
3. Lineare Berechnung mit ∆R1 Wir bringen die Ungleichgewichtskraft wieder auf das System auf. Mit der neu errechneten Steifigkeit kT1 =918.6 ergibt sich die Verbesserung der Verformung mit – 30, 4 ∆u 1 = ----------------------------- = 0, 0185m ( 918 + 724 ) Der verbesserte Wert der Verformung ergibt sich als u 1 = 0, 185 – 0, 0185 = 0, 1665 Aus dieser Verformung ergibt sich eine neue Spannweite von L1 = 40 + 0, 009 = 40, 009 und daraus eine neue Seilkraft von 195 kN. Eine Überprüfung des Gleichgewichts ergibt wieder eine (wesentlich kleinere) Ungleichgewichtskraft. Die Iteration (in Abbildung 1.22 grafisch dargestellt) wird solange wiederholt bis die Ungleichgewichtskraft vernachlässigbar klein ist.
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Bei Systemen mit hohen Druckkräften (z.B. Bögen) ist es aus Sicherheitsgründen, bei Systemen mit hohen Zugkräften (z.B. Hängebrücken) aus Wirtschaftlichkeitsgründen notwendig, den Einfluß der Verformung auf die Schnittkräfte zu berücksichtigen, d.h. die Gleichgewichtsgleichungen müssen am verformten System aufgestellt werden. Im Gegensatz zu den im Abschnitt besprochenen Seilen wird jedoch angenommen, dass die Verformungen klein sind. Dies bezeichnet man als Berechnung nach Theorie II Ordnung. Aus dieser Berechnung ergeben sich grundsätzlich nichlineare Last-Verformungsdiagramme und das Superpositionsprinzip ist nicht anwendbar. ' 2
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Bei zunehmenden Zugnormalkräften wird das Tragwerk steifer bei zunehmenden Drucknormalkräften weniger steif (siehe Abb. 2.1). Bei Beanspruchung durch Normalkräfte und Querbelastung spricht man von einem Spannungsproblem II. Ordnung, sind nur Normaldruckkräfte vorhanden, von einem Stabilitätsproblem. $
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Unter der Voraussetzung, daß ein Stab w ideal gerade ist, w die Belastung genau entlang der Stabachse erfolgt, w das Material linear elastisch ist, w und die Verformungen klein sind, spricht man von einem Eulerstab. Aus ΣM ( x ) = 0 erhält man M( x) – P ⋅ w (x ) = 0 0
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1 #203
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Da aus der Differentialgleichung der Biegelinie hervorgeht, daß EI ⋅ w″ = – M Es folgt EIw″ + Pw = 0 Dies ist die Differentialgleichung Th. II. Ordnung. Die allgemeine Lösung ist: P P w ( x ) = A ⋅ sin ----- ⋅ x + B ⋅ cos -----⋅x EI EI Mit den Randbedingungen x = 0
w = 0
folgt
B = 0
x = L
w = 0
folgt
P ⋅L = 0 A ⋅ sin ----EI
Da B = 0, ist die verformte Figur eine Sinuskurve. Für die zweite Bedingung gibt es zwei Möglichkeiten: A=0
...
triviale Lösung
P- ⋅ L = 0 sin ----EI
...
d.h, wenn für
P- ⋅ L = nπ ----EI n = 1 ,2 ,3… = jeder Wert von A mögl
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------ mit n = 1 ergibt sich die Euler Knicklast Aus P = n 2 π 2 EI L2 EIπ 2 P E = ----------L2 Bei einem Stab, der mit PE belastet ist beteht theoretisch Gleichgewicht für beliebige Werte der Durchbiegung w (die Differentialgleichung gilt jedoch nur für kleine Verformungen). Eine Belastung des Stabes mit einer grösseren Last als PE ist nur möglich wenn der Stab gerade bleibt. Er befindet sich dann allerdings in einem instabilen Gleichgewicht. Dies entspricht einer Kugel, die sich auf einer konvexen Oberfläche befindet. Bei einer kleinen Störung würde die Kugel herunterrollen. Ist der Stab mit einer Last P
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Ritz’sche Methode (Energie-Methode): Diese Methode ist eine Alternative zur Lösung der Differentialgleichung. Sie ermöglicht die Berechnung der Knicklast von komplexen Stäben (z.B. veränderliches Trägheitsmoment) δ 0
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1 #203
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Hier wird der Stab bis zur Knicklast Pk belastet als. Bei dieser Last muss der Stab auch in einer beliebigen ausgebogenen Lage im Gleichgewicht sein. Beim vorlie-
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gened Verfahren wird das Gleichgewicht mit Hilfe der inneren und äusseren Arbeit nachgewiesen. Die innere Arbeit ist: L
L
A
(i)
M2
L
( EIw″ ) 2
EI = – 1--- ------- dx = – 1--- -------------------- dx = – ------ ( w″ ) 2 dx EI 2 2 2 EI 0
0
0
und die äussere Arbeit A
(a)
= P⋅δ
Die Verkürzung von L auf Grund der Ausbiegung ist: ∆$
∆ds = ds – dx
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∆ds =
mit
ds =
dx 2 + dw 2
dx 2 + dw 2 – dx = dx ⋅ 1 + w′ 2 – dx
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w′ 2 1 + w′ 2 ≈ 1 + -------2
Es gilt
für w′ « 1
2 w′ 2 ∆ds = dx ⋅ 1 + -------- – dx = w′ -------- dx 2 2 L
δ =
∆ds = 0
L
w′ 2 -------- dx = 1--- w′ 2 dx 2 2 0
Für die verformte Figur muss jetzt eine verformte Figur (Ritz’scher Ansatz) gewählt werden der den Randbedingungen entspricht. Hat der Stab ein konstantes Trägheitsmoment dann entspricht dieser Ansatz auch der theoretischen Lösung was hier der Fall ist (daher erwarten wir eine exakte Lösung): w = c ⋅ sin πx ------ , L
w′ = --π- ⋅ c ⋅ cos πx -----L L
und L
A
(a)
= P⋅δ = P --- w′ 2 dx 2 0
A
(i)
+A
(a)
= 0
πx π2 c w″ = – ----⋅ ⋅ sin -----2 L L
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L
L
P --- w′ 2 dx – EI ------ w″ 2 dx = 0 2 2 0 L
P
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2 ------ dx – EI --π- ⋅ c ⋅ cos πx L L
0
L
π 2 ⋅ ⋅ sin πx – ---------c L L2
2
dx = 0
0
π2 π4 P ----- ⋅ c 2 ⋅ --l- = EI ----- ⋅ c 2 ⋅ --l2 2 L2 L4 π 2 EIP cr = ----------L2 Man kann erkennen, dass diese Methode auch für Stäbe mit veränderlichen Trägheitsmoment angewendet werden kann, wobei die Lösung in diesem Fall eine Näherung sein wird, deren Genauigkeit von der gewählten Ansatzfunktion abhängt. Aus der Kicklast ergibt sich die kritische Spannung σcrit 2E P crit π 2 EI π -------σ crit = --------- = ----------= A L2 A λ2 Dabei ist λ die Schlankheit und i der Trägheitsradius: 2
sk λ = ---i
i =
mit
---IA
wird
sk A λ 2 = --------I
Für den Eulerstab ergibt sich folgendes Diagramm: σ& 1 σB
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Werden andere Randbedingungen verwendet, ergeben sich die sogenannten „4 Eulerfälle“. Als Knicklänge sk wird der Abstand zwischen zwei benachbarte Wendepunkten der Verformungskurve (Sinuskurve) bezeichnet.Mit der Knicklänge sk werden alle 4 Eulerfälle auf den beidseits gelenkigen Stab (Eulerstab) normiert.
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Wird eine Vorkrümmung der Form w 0 (x) = V sin πx -----L angenommen, so ist die Lösung Differentialgleichung P----P P EI w(x) = A ⋅ sin ------ x + B ⋅ cos ------ x + ---------------------------- ⋅ V sin πx -----2 EI EI L P π --- – -----EI L Mit den Randbedingungen x = 0
w = 0
B = 0
x = L
w = 0
A = 0
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P----EI ⋅ V sin πx ------ . w(x) = ----------------------2 P L π ------- – EI L
folgt daraus
Mit
P ρ = -----PE
und
π 2 EI P E = ----------L2
ist
PL 2 ρ = ----------π 2 EI
PL 2 ----------π 2 EI - ⋅ V sin πx ρ - ⋅ V sin πx ----------- = ----------w(x) = -------------------2 L 1–ρ L PL 1 – ----------2 π EI Die gesamte Verformung ist daher w(x) = w0 (x) + w(x)
mit
-----w 0 (x) = V sin πx L
πx ρ w(x) = V sin ------ + ------------ ⋅ V sin πx -----L 1–ρ L 1–ρ+ρ ρ ----------- = --------------------- ⋅ V sin πx w(x) = 1 + ------------ ⋅ V sin πx 1–ρ L L 1–ρ 1 - ⋅ V ⋅ sin πx w(x) = ---------------- = α ⋅ V ⋅ sin πx -----1–ρ L L Der Beiwert α wird „Vergrößerungsfaktor“ der Theorie II. Ordnung genannt. 1 1 α = ------------ = --------------1–ρ P 1 – -----PE Wird nun für x = L ⁄ 2 eingesetzt, ergibt sich w( L ⁄ 2) = α ⋅ V Dies gilt nur wenn die Vorverformung bzw. die Belastung sinusförmig ist. Bei anderen Belastungen muß der α- Wert mit einem Korrekturfaktor δ (s. 2-12) verbessert werden. Das Ergebnis ist die sogenannte „Dischinger-Formel“. 1+δ⋅ρ α = -------------------1–ρ Mit dem Wert α lassen sich Verformungen und Momente nach Theorie II.Ordnung abschätzen.
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Wird nun die Belastung über der Verformung aufgetragen, so erkennt man, daß beim idealen Stab bis zur Eulerbelastung keine Verformung auftritt, dann der Stab aber plötzlich ausknickt. Beim mit Imperfektionen behafteten Stab werden die Kurven mit zunehmender Vorkrümmung flacher. 1
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Die Berechnungsverfahren nach Theorie II. Ordnung sind iterative Verfahren, weil die Stabsteifigkeiten von den Verformungen abhängig sind und sich ändern. Ein Problem stellt die Erfassung der ungünstigsten Laststellung dar, weil das Superponieren der einzelnen Laststellungen nicht zulässig ist.
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w Gleichgewicht am verformten System w Verformungen klein gegenüber Systemabmessungen w Stabverkürzungen durch Ausbiegung klein gegenüber Systemabmessungen w Normalkraft über die Stablänge konstant w stabweise konstanter Querschnitt w Belastung richtungstreu (Richtung der Belastung ändert sich nicht aus Verformung des Tragwerks)
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Für das Weggrössenverfahren müssen bei der Berechnung der Steifigkeiten der Stäbe die Verformungen berücksichtigt werden. )
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Betrachtet man den verformten Stab in Abb. 2.8 so erkennt man dass zusätzliche Momente Nw(x) berücksichtigt werden müssen. Wie beim Seil können die Steifigkeiten wie folgt angeschrieben werden. k II = k I F n ( ε ) wobei Fn nichtlineare Funktionen sind, die von der zu bestimmenden Steifigkeit abhängig sind. Der Stabkennwert ε wird wie folgt definiert N ε = L ⋅ ---------E⋅I
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Das System wird zunächst nach Theorie I. Ordnung berechnet. Aus den Normalkräften werden die Steifigkeiten für die Berechnung nach Theorie II. Ordnung ermittelt, wobei Druckkräfte eine Abnahme der Steifigkeit bewirken. Mit diesen Steifigkeiten wird das System nochmals berechnet. Die erhaltenen Normalkräfte sind mit den zur Ermittlung der Steifigkeiten zugrunde gelegten Werten zu vergleichen. Ist die Übereinstimmung gering, so sind mit den neuen Stabnormalkräften neue Steifigkeiten zu bestimmen und das System ist erneut zu berechnen. Der Vorgangmuß so lange wiederholt werden, bis die Übereinstimmung in der gewünschten Genauigkeit vorliegt (siehe Abb. 2.9) . Berechnung der Systemwerte Knotenverschiebungen { u } nach Theorie I.Ordnung
Stabnormalkräfte nach Theorie I.Ordnung Steifigkeitsmatrix [ K II ] nach Theorie II.Ordnung
wenn nicht erfüllt
Starreinspannwerte { P II } nach Theorie II.Ordnung Knotenverschiebungen { u II } nach Theorie II.Ordnung
Ermittlung der neuen Stabnormalkräfte
N err ( 1 – ε ) ≤ ---------- ≤ ( 1 + ε ) N ang Schnittkraftverläufe in den Stäben
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Beispiel:
Rahmensystem
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N = 800 kN; w = 10 kN/m I1 = I3 = IC = 3290 cm4; I2 = 5740 cm4; E = 206E6 kN/m²; die Normalkraftverformung wird vernachlässigt. )
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Zusammenstellung der Ergebnisse an den Stabenden und in der Stabmitte nach Theorie I. und II. Ordnung. <6
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Aus dieser Tabelle ist ersichtlich, daß die Ergebnisse von I. und II. Ordnung zum Teil erheblich voneinander abweichen.
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Aus Abb. 2.13 ist zudem ersichtlich, daß die Querkräfte nach Theorie II. Ordnung nicht linear verlaufen.
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Das Traglastverfahren (auch Fließgelenktheorie) dient zur Ermittlung von Grenzzuständen des Versagens von Systemen unter Einbeziehung aller plastischen Tragreserven. Es wird dabei auch die Plastizierfähigkeit des Materials genutzt. Daraus ergibt sich nach dem Sicherheitskonzept des EUROCODE in vielen Fällen eine wirklichkeitsnähere Erfassung der Tragsicherheit als bei der ÖNORM. Bei der Berücksichtigung eines nichtlinearen Spannungs-Dehnungsverlaufs ergeben sich nichtlineare Last-Verformungsverläufe. Man spricht auch von einer materiellen Nichtlinearität (material nonlinearity). Bei diesem Verfahren ist das Superpositionsgesetz nicht gültig. Das Verfahren entspricht einer Berechnung des Typs p-p (plastische Berechenung und volle Ausnützung der Querschnittsreserve) im EUROCODE.
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"& Nach der Elastizitätstheorie ist im elastischen Zustand die Grenztragfähigkeit des gesamten Systems erreicht, wenn in einer Faser eines Querschnitts die Fließspannung σF auftritt. Bei Berücksichtigung des linear elastisch - ideal plastischen Materialgesetzes kann die Belastung nach Erreichen der Fließgrenze in einer Faser jedoch weiter gesteigert werden. Die Faser selbst kann zwar weiterhin nicht mehr als die Fließspannung aufnehmen, aber benachbarte Querschnittsbereiche, die noch nicht fließen, können die zusätzliche Last aufnehmen. In Abb. 3.1 und Abb. 3.2 sind das aus Versuchen erhaltene Spannungs-DehnungsDiagramm für Baustahl und die idealisierte bilineare Arbeitslinie dargestellt.
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Bis zur Fließgrenze ( ε ≤ ε F ) wird der Berechnung das Hooke’sche Gesetz zugrunde gelegt: σ = E⋅ε Bei Dehnungen ε > ε F bleiben die Spannungen konstant: σ = σF .
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Elastisches Materialverhalten: Vertikales Gleichgewicht ΣV = 0
S 1 + 2S 2 cos 60 = P
P = S1 + S2
Verträglichkeit: ∆L 2 w = ∆L 1 = -------------- = 2∆L 2 cos 60 Mit dem Hooke´schen Gesetz gilt S2 L2 S1 L1 ∆L 1 = ε ⋅ L 1 = ----------- , ∆L 2 = ε ⋅ L 2 = ----------EA EA Setzt man nun für ∆L 1 = 2∆L 2 ein dann ergibt sich S1 L1 S2 L2 S 2 2L 1 ----------= 2 ⋅ ----------= 2 ⋅ -------------EA EA EA daraus folgt S 1 = 4S 2 Die Gleichgewichtsgleichung ergibt P = S 2 + 4S 2 = 5S 2 daraus können die Stabkräfte berechnet werden
5 68
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4P P S 2 = --- , S 1 = -----5 5 Die Durchbiegung ergibt sich als S1 L1 4P L w = ∆L 1 = ----------- = ------ -------1EA 5 EA Erreicht Stab 1 die Fließgrenze (bei Belastung P = PF), so wird 4P F S 1 = Aσ F = --------5
und
P F = 5--- Aσ F 4
daraus folgt S 2 = 1--- ⋅ 5--- Aσ F = 1--- Aσ F 5 4 4 SF L1 4P F L 1 Aσ F L 1 w F = ----------------- = --------------- = -----------5EA EA EA SF = AσF ... Grenztragkraft des Einzelstabes
Inelastisches Materialverhalten, Stab 1 fließt Wird die Fließgrenze im Stab 1 erreicht ( P=PF ), so bedeutet dies noch nicht ein Versagen des Tragwerkes. Es gibt noch eine plastische Systemreserve. Die Spannung im Stab 1 kann jedoch nicht höher als σF werden (ideal plastisches Verhalten) d.h. der Stab 1 kann bei weiterer Laststeigerung keine zusätzliche Kraft aufnehmen, er ist also für dieses Lastinkrement inaktiv. Das System wird statisch bestimmt.
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Gleichgewichtsbedingung: ΣV = 0
2 ∆S 2 cos 60 – ∆P = 0 ; ∆S 2 = ∆P 2∆PL 2 ∆S 2 L 2 1 ⋅ -------------- = ---------------∆w = --------------EA EA cos 60
Somit erhält man die gesamte Durchbiegung S F L1 2∆S 2 L 2 w = w F + ∆w = ------------ + ------------------EA EA Traglast Wenn auch die Stäbe 2 die Fließgrenze erreicht haben gilt S S 2 = σ F A = S F , S 2 = ----F- + ∆S 2 = S F , ∆S 2 = 3--- S F , ∆P = ∆S 2 4 4 Stab 1 fließt
Damit ist die Traglast P T = P F + ∆P = 5--- S F + 3--- S F = 2S F 4 4 und die dazugehörige Verformung S F L 1 3S F L 2 4S F L 1 - = 4w F w T = w f + ∆w = ------------ + --------------- = -------------EA 2EA EA Das Tragwerk kann mit dieser Last belastet werden und verformt sich weiter. Entlastung des Systems: Die Entlastung erfolgt elastisch, alle Stäbe wirken wieder. Angenommene Verformung w = 5 wF. Um das System nach erreichen der Traglast zu entlasten muß eine Kraft 2SF nach oben aufgebracht werden.
2SF %
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A
56
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A
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Die (elastische) Durchbiegung des statisch unbestimmten Systems ergibt sich als (siehe Seite 3-4) 2S F L 1 ∆w = – 4--- ⋅ -------------5 EA Die endgültige Verformung des Tragwerkes nach der Entlastung ist w Res = 5w F – 8--- w F = 17 ------ w F 5 5 Dies ist die bleibende Deformation. Die Stabkräfte aus Belastung ∆P= 2SF sind: ∆S 2 = – 1--- ∆P = – 2--- S F 5 5
∆S 1 = – 8--- S F 5
Die endgültigen Stabkräfte ergeben sich 8 3 S 2 = S F – 2--- S F = 3--- S F S 1 = S F – --- S F = – --- S F 5 5 5 5 Es bleiben also Stabkräfte zurück (residuelle Stabkräfte), die mit sich selbst im Gleichgewicht stehen müssen, da keine äußere Belastung wirkt (innerer Eigenspannungszustand). Dies kann man leicht mit der Gleichung für das vertikal Gleichgewicht überprüfen: P = S 1 + S 2 = 3--- S F – 3--- S F = 0 5 5 1 1 A@ ! B 1B@
8 ! 6 B 8
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#B
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6#B
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Die Last- Verformungskurve ist nichtlinear. Die Lösung muß inkrementell ermittelt werden (Laststeigerung).
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A
#
Nach kompletter Entlastung verbleiben Verformungen und innere Spannungen (Restspannungszustand). Das Tragwerk hat nach Erreichen der Fließgrenze in einem Stab noch bedeutende Tragreserven. Ein Ausnützen der Systemtraglast geht mit großen Verformungen einher (Gebrauchstauglichkeit ist möglicherweise nicht mehr gegeben).
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Bei reiner Biegung treten keine Normalkräfte auf und es wirken nur Momente.
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σB
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σB σB
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Im elastischen Bereich gilt
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A
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M⋅y σ = Eε = -----------I
mit
M σ max = --------W el
Die Spannungsnullinie wandert nach Erreichen der Fließgrenze in einer Randfaser von der Schwerachse zur Flächenhalbierenden. Bei Erreichen des (theoretischen) Grenzzustandes bei dem der Querschnitt voll plastifiziert (Fließspannung am ganzen Querschnitt erreicht) verlangt das Gleichgewicht der horizontalen Kräfte, daß die resultierende Kraft des Kompressions und des Zugsspannungsblockes gleich groß ist. Dies ist nur der Fall wenn die Zug und Druck spannungen auf gleiche Flächen wirken, d.h. A A N = σ dA = σ F ---- – σ F ---- = 0 2 2 Das Moment das dieser Querschnitt aufnehmen kann wird durch das Integral M pl =
σ F y dA
berechnet. Für das letzte Spannungsdiagram in Abb. 3.7 ergibt sich das plastische Moment als M pl = 1--- Aσ F ( y 1 + y2 ) 2 Das plastische Widerstandsmoment ist W pl = 1--- A ( y 1 + y 2 ) 2 womit Beispiel:
M pl = σ F W pl Rechteckquerschnitt
. .
h y 1 = y 2 = --4
α pl
Beispiel:
58
I-Profil
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*
bh 2 W el = -------6
!& # B &
$ $ *
$
&
h h W pl = 1--- bh --- + --4 4 2
2 bh -------W pl 4 - = 1,5 = --------- = ------------2 W el bh -------6
bh 2 = -------4
α pl ... Formbeiwert
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'
A
#
bh 3 ( b – t 1 ) ⋅ ( h – 2t 2 ) 3 W el = 2--- -------- – --------------------------------------------12 h 12 bh 2 ( b – t 1 ) ⋅ ( h – 2t 2 ) 3 W el = -------- – --------------------------------------------6 6h W pl = bt 2 ( h – t 2 ) + 1--- t 1 ( h – 2t 2 ) 2 4 W pl α pl = --------- ≈ 1,14 W el
*
α?
:
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α pl = 2,0
α pl = 1,5
α pl = 1,14
*
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α pl = 1,7
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F
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α pl = 2,37
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εD
-
εU – εO 1 κ = ----------------- = --ρ h
Mit der Krümmung:
+
ε
erhält man das Momenten-Krümmungs-Diagramm: /
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#
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α
Krümmung (κ) %
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""
+
""
Man sieht, das die Krümmung bei einem Moment Mpl gegen unendlich geht. Eine unendliche Krümmung würde einem Gelenk entsprechen, da kein kontinuierlicher Übergang der Tangenten mehr erfolgt.
Idealisierung des Systems für Traglastberechnung
58
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A
#
Das System kann nun idealisiert bis Mpl als elastisch betrachtet werden. Bei Mpl bildet sich ein Fließgelenk aus und eine Steigerung des Momentes ist an dieser Stelle nicht mehr möglich. Es wird für das System eine Fließbedingung formuliert. Diese lautet M ≤ M pl und muß in jedem Punkt des Tragwerks eingehalten werden.
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Wird die Fließgrenze in einer Randfaser erreicht, so gilt P = PF und das maximale Moment unter der Last ist dann PF L M F = --------- = σ F W el 4 Bei Erreichen der Traglast P = P T gilt PTL M pl = ---------- = σ F W pl 4 mit
W pl α pl = --------W el
folgt auch
PT αpl = ------ , PF
αpl hängt vom Querschnitt ab.
Statisch bestimmte Systeme haben eine vernachlässigbar kleine Traglastreserve, die Querschnittsreserve.
58
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: L
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: L 6
Die Belastung wird gesteigert, bis an den Einspannstellen Mpl erreicht wird: /? @
:B L
/? @
:B L
:B L 6
qF L2 ----------- = M pl 12
12M pl q F = -------------L2
Die Durchbiegung in Feldmitte ergibt sich zu
5 85
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A
#
δ pl
qF L 4 M pl L 2 --------------------------= = 384EI 32EI
Bei dieser Belastung bilden sich an den Einspannstellen Fließgelenke aus, das Moment in der Mitte beträgt 1/2 Mpl. Für eine weitere Belastung wirken die Fließgelenke wie Gelenke, das System wird statisch bestimmt (Einfeldträger).
∆:
∆qL ∆M = ------------8 2
%
'#
∆:
/ "
Die Traglast des Systems wird erreicht wenn das Moment in der Mitte MPl wird 2
M max
∆qL 1 = --- M pl + ------------- = M pl 2 8
Dies ergibt 4M pl ∆q = ----------L2 Die Traglast des Systems ist 12M pl 4M pl - + -----------q T = q F + ∆q = -------------L2 L2 16M pl q T = -------------L2 Die plastische Systemreserve lautet βpl =16/12=1,33; die gesamte plastische Reserve hängt zusätzlich noch von der Querschnittsform ab und beträgt αpl ⋅ β pl . Für ein I-Profil z.B.: 1,14 ⋅ 1,33 = 1,52, d.h. ein eingespannter Träger mit diesem Querschnitt hat 52% plastische Reserve! Nach dem Plastizieren liegt eine kinematische Kette vor; die Systemtraglast ist erreicht.
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5 86
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A
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Die zusätzliche Durchbiegung aus ∆q ergibt sich zu 2
5q pl L 4 5M pl L 5∆qL 4 ∆δ = ---------------- = ---------------------- = -----------------96EI 384EI 3 ⋅ 384EI und damit ist die gesamte Durchbiegung M pl L 2 M pl L 2 5M pl δ T = δ pl + ∆δ = --------------- + ------------ = --------------12EI 32EI 96EI :
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/1 L 5
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Wird das mit qT belastete System entlastet erfolgt dies elastisch.
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Aus einer Belastung mit 16M pl ∆q T = – -------------L2
5 88
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A
#
ergeben sich folgende zusätzlichen Momente 16M pl L 2 4M pl - = ----------∆M Rand = -------------------2 3 L 12 2M pl 16M pl L 2 - = – ----------∆M Mitte = – -------------------3 L 2 24 Die endgültigen Momente sind über den Träger konstant: M pl 4M pl M Rand = ------------ – M pl = -------3 3
M Mitte
2M pl M pl = – ------------ + M pl = -------3 3
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δC /1 L /1 L 6 5
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Die Restverformung läßt sich aus obigem Diagramm leicht ermitteln.
δ Rest
16M pl M pl L 2 --------------- ⋅ --------------M pl L 2 M pl 32EIL2 -----------------------------------------------------------= = – 12EI 24EI 12M pl --------------L2 L2
Eine einfachere Bestimmung der Traglast erfolgt mit dem Prinzip der virtuellen Weggrößen.
5 8;
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A
#
A
Ist die Versagensform (kinematische Kette) bekannt so kann zur Bestimmung der Traglast die Methode der virtuellen Weggrößen verwendet werden. Wird das System um eine virtuelle Verformung δ verschoben so muß die gesamte (innere und äußere) virtuelle Arbeit verschwinden. W ges = W
(a)
+W
(i)
= 0
Bei der Berechnung der Traglast wird das Tragwerk als eine kinematische Kette angenommen bei der in den Fließgelenken Mpl wirkt. Das Gleichgewicht der an den Gelenken wirkenden Momente und der äußeren Belastung die bei erreichen der kinematischen Kette wird mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeiten hergestellt. Beispiele: 1.) Eingespannter Träger unter Gleichlast :A
/?
/?
φ
φ φ
φ
/?
Die äußere Arbeit (Last mal Weg, summiert über die Trägerlänge) ergibt sich zu W
(a)
1 1 = q T ⋅ --- ⋅ L ⋅ --- Lφ = 1--- q T L 2 φ 2 2 4 F läche der Dreiecke
die innere Arbeit ist Moment mal Drehwinkel φ: W
(i)
= – M pl φ – M pl 2φ – M pl φ = – 4M pl φ = – D
D ist die Dissipationsarbeit (immer positiv):
D = –W
(i)
Die Summe der gesamten Arbeit muß 0 sein, daher gilt
58
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'
A
W ges = W
(a)
#
+W
(i)
1 --- qT L 2 φ = 4M pl φ 4
= 0 16M pl q T = -------------L2
q.e.d
2.) Eingespannter Träger mit mittiger Einzellast. 1
7
7
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φ
φ φ
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φ
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P T ⋅ 1--- ⋅ L ⋅ φ = 4M pl ⋅ φ 2
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8M pl P T = -----------L
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A
#
3.) Dreifeldträger mit mittiger Einzellast und unterschiedlichen Feldweiten. 7
1
7
1 6
1A
8M pl P T = -----------L2
1 @ M
6/?
M∞
@∞ $
Für jedes beliebige Stützweitenverhältnis L1/L2 ergibt sich als Systemtraglast 8M Pl P T = -----------L2 Bei sehr großen Randfeldern jedoch, wird der Einfeldträger als Grenzfall erreicht, da die einspannende Wirkung abnimmt.
'##
$: 8
$
;
a) Methode der Laststeigerung Die Methode wird nur dann verwendet wenn das Last-Verformungsdiagram von Interesse ist, oder ein EDV Programm verwendet wird (z.B. RuckZuck).
5 8=
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'
A
#
1 1
5
-0,3875 P1L
-0,0125 P1L
6
5 1B 8 -0,2125 P1L
0,4125 P1L=Mpl
Das Momentenbild des mit den Kräften P1 belasteten Systems zeigt, daß das erste Fließgelenk im Knoten 5 auftritt wenn0, 4125P 1 L = M pl . Die Kraft, die das erste Fließgelenk verursacht, ist somit M pl 1 -⋅M pl = 2,424 --------------P 1 = --------------L 0,4125 L und die zugehörige Durchbiegung in Riegelmitte (Punkt 3) M pl L 2 δ 1 = 0,1617 ⋅ -------------EI Wird nun eine zusätzliche Kraft ∆P1 aufgebracht, so wirkt diese auf ein verändertes System mit einem Gelenk am Punkt 5. Steigert man die Last weiter bis P2 so bildet sich auch am Knoten 4 ein Fließgelenk aus. 1
P2 2 5
- Mpl
0,015 Mpl
6
0,777 Mpl /? 8
Mpl
-0,583 Mpl
Eine weitere Laststeigerung um ∆P2 wirkt an einem System mit einem Gelenk an den Knote 4 und 5. Steigert man die Last weiter auf P3 dann wird sich auch in Feldmitte ein Fließgelenk ausbilden. 15
15
6 5
- Mpl
0,043 Mpl
/? Mpl /?
5;
8
-0,913 Mpl
Mpl
"$ ?
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'
A
#
Bei nochmaliger Steigerung der Last auf P4 bildet sich auch im Punkt 1 ein Fließgelenk aus. Da bei dieser Anzahl der Fließgelenke eine kinematische Kette vorliegt ist P4 die Traglast des Systems. 16 16
5
/?
6
/?
/? /? /?
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8
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A
Bei der Belastung durch PT bildet sich eine kinematische Kette mit folgendes Aussehen: 1A 1A
6 /? 5
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1
1A
1 9∆1 9∆1 9∆15
1
δ
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∆δ1
∆δ2
'
δ
∆δ3
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A
#
Die Traglast für dieses System ist 3M pl P T = -----------L aus M pl M pl M pl M pl P 1 = 2,424 -------∆P 1 = 0,147 -------∆P 2 = 0,386 -------∆P 3 = 0,043 -------L L L L Die Verformungen in Feldmitte sind: M pl L 2 δ 1 = 0,1617 -------------EI
M pl L 2 ∆δ 1 = 0,0125 -------------EI
M pl L 2 ∆δ 2 = 0,0795 -------------EI
M pl L 2 ∆δ 3 = 0,0788 -------------EI
Die Gesamtverformung beträgt: M pl L 2 δ = 0,3325 -------------EI b) Kinematische Methode zur Berechnung der Traglast (bei bekannter Lage der Fließgelenke):
1A
φ φ
1A
5
/?
6 φ
/?
φ
φ
φ
φ
φ /?
%
5;
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$
B
* $
1. Kontrolle der Fließbedingungen Zur Kontrolle der Fliessbedingung ist es von Vorteil wenn wir die Gleichgewichtsgleichungen für die Momente für das statisch unbestimmte System aufbereiten: M1 = M 3 – N3 ⋅ L – Q3 ⋅ L – PT ⋅ L M2 = Q3 L + M 3 M 3 = M pl M4 = M3 + Q3 ⋅ L – P T ⋅ L M 5 = M3 + Q3 ⋅ L – N3 ⋅ L – PT ⋅ L Setzt man die bekannten Momente Mpl an den Fliessgelenken ein : M 1 = – M pl
M 3 = M pl
M 4 = – M pl M 5 = M pl
erhält man M pl M 2 = Q 3 L + M 3 = – -------- L + M pl = 0 L und damit ist die Fliessbedingung für dies kinematische Kette überall erfüllt, da das Moment zwischen den Punkten nicht größer sein kann. 2. Berechnung der Traglast nach P. v. A. Die Arbeiten sind W
(a)
= PφL + PφL = 2PφL W
(a)
+W
(i)
= 0
W
(i)
= – D = – 6M pl φ
3M pl P T = -----------L
5 ;5
'
"$ A
In den meisten Fällen wo die massgebende Versagensform (kinematische Kette) nicht bekannt ist, ist die Berechnung nach dem gezeigten Verfahren aufwendig, da alle möglichen Versagensformen untersucht werden müssen. Nur jene kinematische Kette, bei der die Fliessbedingung an allen Punkten eingehalten wird, wird die Traglast des Systems berechnet. Es wird nun ein Verfahren vorgestellt bei dem die Traglast durch eingrenzen von oben und unten ermittelt werden kann.
'
"$
Bedingungen für das Erreichen der Traglast PT: w Gleichgewicht w M ≤ M pl Fließbedingung w kinematische Kette muß vorhanden sein w Dissipationsarbeit muß positiv sein D = – W
'
(i)
# 1
1
Alle Zustände, welche die Gleichgewichts- und Fließbedingungen erfüllen, sind statisch zulässige Spannungszustände. Die zu diesen Zuständen gehörende Last ist eine untere Schranke der Traglast P Stat ≤ P T Eine kinematische Kette muß noch nicht erreicht sein. Durch Variation über die Größe des Zwängungsmomentes findet man 3 mögliche Schnittkraftverläufe, die das Gleichgewicht erfüllen.
5 ;6
"$ A
" & * "" !.
"
X = 0 1 @/?
1
P
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M pl= --------Stat a --- M X =1 2 pl
/?
--- M = M Pa – 1 pl 6 pl
/? P
/?
X = M
5
5 1
pl 1 Pa – --- M = M pl 3 pl
/?
/? P
+
'
7M pl = ------------Stat 6a
$
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Stat
4M pl = ------------3a $
A
?
Alle Zustände, welche die Bedingungen Gleichgewicht, kinematische Kette und positive Dissipationsarbeit erfüllen, sind kinematisch zulässige Verformungszustände. Die zu diesen Zuständen zugehörige Last ist eine obere Schranke der Traglast P Kin ≥ P T
Vorzeichenkonvention: Die Momente werden entgegen der Verdrehrichtung angenommen, damit die Dissipationsarbeit positiv bleibt.
5 ;8
'
"$ A
1
1
1
1
W
(a)
+W
(i)
= 0
Paφ – M ( φ + 2φ ) = 0 pl φ
φ
/?
φ φ
/? 1
1
Kin
5M pl = ------------3a
P ( aφ + 2aφ ) = M ( φ + 3φ ) pl
/? φ
φ
φ /?
'
P
1
1
'
3M pl = ------------a
5φ
/? 5
φ
φ
φ
Kin
P ( aφ + 2aφ ) – M ( 2φ + 3φ ) = 0 pl
/? φ
P
+
φ
P 5φ
+
4M pl = ------------Kin 3a $ *
!&
"
Hat man einen Zustand gefunden, der Gleichgewicht, Fließbedingung, kinematische Kette und Dissipationsarbeit erfüllt, so ist das der einzig mögliche Zustand und die zugehörige Lastgröße ist die Traglast.
5 ;;
"$ A
1
PKin kinematisch PT PStat statisch System von 5 vorhergehenden Seiten
' ' 1$
%
'
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$$ 1
51
5
6
8
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8
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&
!.
"
,
$
B
* $
Aus den Momentengleichgewichten zeigt sich: M 1 = M 3 – Q 3 L – N 3 L – 3PL
5;
'
"$ A
M2 = M 3 – Q3 L M 4 = M 3 + Q 3 L – 2PL M 5 = M 3 + Q 3 L + – N 3 L – 2 PL Q3, N3 eliminieren: 3PL = M 2 – M 1 + M 5 – M 4 2PL = 2M 3 – M 2 – M 4 Kinematische Kette: 1. Versuch
1
φ 51
/?
6
M
/?
φ
φ M
2
M φ /?
/?
%
' * ,
"
&
,
M 8
'
1
4
5
&
Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt 3PL = M pl – ( – M pl ) + M pl – ( –M pl ) = 4M pl 3PL = 4M pl
4M pl P Kin = ----------3L
oder mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit 3PφL = 4M pl φ
4M pl P Kin = -----------3L
4M pl P T < -----------3L 2PL = 2M 3 – M 2 – M 4 2PL = 2M 3 – M pl + M pl
Die obere Schranke ist daher
5 ;<
= –M = M
pl
= –M = M
pl
pl
pl
"$ A
Aus M 3 = PL mit PKin folgt: M 3 = 4--- M pl > M pl 3 Die Fließbedingung ist also nicht erfüllt ( M < Mpl ); es war die falsche kinematische Kette. Daher erfolgt eine Reduktion der Schnittgrößen auf M3 = M pl M 1 = – 3--- M 4 pl 3 M 2 = --- M pl 4
M 1 = – M pl M 2 = M pl × 3--- = 4
M 3 = 4--- M pl 3
M 3 = M pl M 4 = – 3--- M 4 pl 3 M 5 = --- M pl 4
M 4 = – M pl M 5 = M pl M pl P Stat = -------L
... untere Schranke
Dies kann nicht die Traglast sein, da sich nur in Punkt 3 ein plastisches Gelenk ausbildet. Damit liegt auch keine kinematische Kette vor. Kinematische Kette: 2. Versuch 1 51
M1 = ?
6 /?
φ
φ
5
/?
φ
M
/?
M M 8
%
' - ,
"
&
2 3 4
= –M = M
pl
pl
= –M
pl
M5 = ?
,
Aus
2PL = 2M pl + M pl + M pl = 4M pl
folgt
2M pl P Kin = -----------L
... obere Schranke
5 ;=
'
"$ A
Mit der Gleichgewichts- und der Fließbedingung ergibt sich 3PL = – M pl – M 1 + M 3 + M pl 6M pl = M 5 – M 1 Dies ist aber nur möglich, wenn z. B. M 1 = – 3M pl
und
M 5 = 3M pl
Das bedeutet aber, daß M 3 und M 5 > M pl sind. Um die Fließbedingung einzuhalten werden alle Momente mit 1/3 multipliziert. Die Momente ergeben sich zu M 2 = – 1--- M pl 3
M 1 = –M pl
M 3 = 1--- M pl 3
M 4 = – 1--- M pl 3
M 5 = M pl
2PL = 2 ⋅ 1--- M pl + 1--- M pl + 1--- M pl 3 3 3 2M pl P Stat = -----------3L
daraus
... untere Schranke
Auch dies kann nicht die Traglast sein, da sich nur in den Punkten 1 und 5 ein plastisches Gelenk ausbildet. Damit liegt auch hier keine kinematische Kette vor. Kinematische Kette: Kombination von 1. und 2. Versuch 1
φ 51 φ
5 /?
φ
/?
6 φ
φ
φ
φ
M M M
φ /?
/?
%
Aus
' 1 ,
"
&
3PL = M 2 + M pl + M pl + M pl 2PL = 2M pl – M 2 + M pl
5
,
8
M M
, "*
3PL = M 2 + 3M pl 2PL = 3M pl – M 2
1 2 3 4 5
= –M
pl
= ? = M
pl
= –M = M
pl
pl
"$ A
6M pl P Kin = -----------5L
erhält man
Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten gilt 3PφL + 2PφL = 6M pl φ 6M pl P Kin = -----------5L
... obere Schranke
Überprüfung der Fließbedingung: 6M pl L - = M 2 + M pl + M pl + M pl 3 ⋅ --------------5L 3M pl ------------ = M 2 5
M 2 = 0,6M pl
Die Fließbedingung wird somit eingehalten da M < M pl ist. Bei dieser kinematischen Kette werden alle 4 Voraussetzungen erfüllt. w Gleichgewicht w M ≤ M pl Fließbedingung w kinematische Kette muß vorhanden sein w Dissipationsarbeit muß positiv sein D = – W
Die Traglast ist daher
(i)
6M pl P T = -----------5L
Prinzipieller Berechnungsvorgang: PStat aus mehreren Momentenverläufen ermitteln (Gleichgewichts- und Fließbedingung einhalten) untere Schranke verschiedene kinematische Ketten auswählen und PKin errechnen (Gleichgewichtsbedingung, kinematische Kette, positive Dissipationsarbeit einhalten) obere Schranke wenn PKin und PStat gleich sind, ist PT erreicht Kontrolle der 4 Voraussetzungen
5
'
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$
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8
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Die Traglast des im vorangegangenen Beispiel behandelten Rahmens soll nun mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms (z.B.: RuckZuck 4.0) ermittelt werden. Treten hohe Normalkräfte auf, so verliert die Handrechenmethode ihre Gültigkeit, da ein Teil der Querschnittsreserven für die Aufnahme der Normalspannungen aus Normalkraft aufgebraucht wird und zur Aufnahme des Biegemoments nicht mehr zur Verfügung steht. Man spricht von NormalkraftMomenten-Interaktion. Bei Vergleich der Handrechnung mit Computerberechnungen ist daher darauf zu achten, daß beim erläuterten Handrechenverfahren keine Interaktion zwischen Biegemoment und Normalkraft berücksichtigt wird, was nur dann gültig ist, wenn N/Npl << 1. Trifft diese Vorraussetzung nicht zu, kann das im Extremfall dazu führen, daß sich überhaupt eine andere kinematische Kette bildet. (siehe dazu Abb. 3.33) 1 51
5
6
Gegeben: L = 2,00 m Material: Stahl S 235: E = 2,1e08 kN/m2 σ = 240 N/mm2 f
8
Querschnitt: HEB 300: Wpl = 1868 cm2 Nach der Handrechenmethode ergeben sich das plastische Moment bzw. die Traglast zu M pl = σ F ⋅ W pl = 448,32 kNm 6M pl 6 ( σ F ⋅ W pl ) P T = ------------ = ---------------------------- = 134,5 kN 5L 5L Bei Berechnung mit RuckZuck stellen sich unter Zugrundelegung der bilinearen M-N-Interaktionsbeziehung nach DIN 18800 Teil 1/Tab. 16 bei Laststeigerung bis zur Systemtraglast folgende Zustände ein:
5
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P = 99,7 kN
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Die Berechnungsergebnisse sind im folgenden zusammengefaßt. Man erkennt eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit den Ergebnissen aus der Handrechnung. Da die auftretenden Normalkräfte gegenüber Npl klein sind, ist der Einfluß der M-NInteraktion vernachlässigbar.
5 6
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Im folgenden Beispiel soll gezeigt werden, wie groß der Einfluß der Normalkräfte auf die Traglast sein kann. Gleichzeitig soll verdeutlicht werden, daß das Handrechenverfahren aufgrund der Vernachlässigung der Interaktion zwischen Moment und Normalkraft stets auf der unsicheren Seite liegt und seine Anwendbarkeit daher immer zu überprüfen ist.
1 51
1 5
6
Gegeben: L = 2,00 m Material: Stahl S 235: E = 2,1e08 kN/m2 σ = 240 N/mm2 f
8
Querschnitt: HEB 300: Wpl = 1868 cm2 Die Handrechenmethode nach erster Ordnung liefert das gleiche Ergebnis wie zuvor, da die Vertikalkraft in Punkt 2 direkt ins Auflager geht. Berücksichtigt man allerdings die Momenten - Normalkraft - Interaktion so erhält man folgende kinematische Kette:
5 8
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P = 130,0 kN
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Das plastische Moment in Knoten 2 ist wesentlich geringer als bei Vernachlässigung der M-N-Interaktion. Infolgedessen bildet sich ein anderer kinematischer Mechanismus aus. Die Traglast ist geringer.
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Bei einer statischen Berechnung eines Tragwerks geht man in der Regel davon aus, daß die Lasten „sehr“ langsam auf das System aufgebracht werden. Dynamische Wirkungen werden meist durch zusätzliche Lasten (Ersatzkräfte) oder durch eine Erhöhung der statischen Lasten mit einem dynamischen Faktor Φ im Rahmen einer üblichen statischen Berechnung berücksichtigt. Diese Vorgangsweise ist für die überwiegende Anzahl der in der Baupraxis auftretenden Fälle durchaus ausreichend und führt zu einer sicheren und wirtschaftlichen Dimensionierung bei vertretbarem Rechenaufwand. In Sonderfällen ist es jedoch notwendig, das Verhalten der Tragstruktur unter zeitlich veränderlicher Belastung genauer zu erfassen. Ein solcher Fall kann z.B. die Untersuchung der Auswirkung eines Erdbebens auf ein Objekt mit hohem Gefährdungspotential in einem Gebiet starker Bebentätigkeit sein. Weitere Fälle sind unter anderem die genauere Erfassung der Auswirkungen von Fahrzeugbewegungen auf Bauwerke oder auch die Auslegung von Maschinenfundamenten. Da dynamische Untersuchungen meist wesentlich aufwendiger sind als statische Berechnungen, lassen sich diese meist nur unter Zuhilfenahme geeigneter EDVProgramme durchführen.
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Systeme mit einem Freiheitsgrad stellen die einfachste Form von schwingungsfähigen Systemen dar. An ihnen läßt sich das dynamische Verhalten bei unterschiedlichen Randbedingungen noch relativ einfach erfassen, da für die meisten Fälle eine analytische Lösung der allgemeinen Bewegungsgleichung möglich ist. 4-78 zeigt einige Beispiele solcher Systeme.
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Betrachtet man einen einfachen Einmassenschwinger, wie er in Abb. 4.1 links dargestellt ist, so wirken auf den Massenpunkt neben der äußeren Kraft P(t) und der Federkraft Fk noch eine beschleunigungsproportionale Trägheitskraft Fm und eine Dämpfungskraft Fc, die meist geschwindigkeitsproportional angenommen wird (viskose Dämpfung). Es gilt: ·· Fm = m ⋅ u ;
· Fc = c ⋅ u;
Fk = k ⋅ u
Unter Anwendung des Prinzips von d’Alembert ergibt sich damit die folgende Grundgleichung des Einmassenschwingers: ·· · mu + cu + ku = 0
Die Gewichtskraft m ⋅ g kann bei der Aufstellung der Differentialgleichung unberücksichtigt bleiben, wenn die Koordinate u von der statischen Gleichgewichtslage aus gemessen wird. Diese Gleichung gilt es nun unter Berücksichtigung der gegebenen Anfangsbedingungen zu lösen.
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Die Masse m wird aus einer ausgelenkten Lage ( u = u0 ) mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 in Bewegung gesetzt. Die äußere Kraft P sowie die Dämpfungskraft sind Null.
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Es gilt somit: ·· mu + ku = 0 Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet dabei folgendermaßen: u ( t ) = C 1 ⋅ sin ( ω 0 t ) + C 2 ⋅ cos ( ω 0 t ) mit k--m
ω0 =
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Die Integrationskonstanten C1 und C2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen m0 und v0 für den Zeitpunkt t = 0. v0 m ( t ) = ------ ⋅ sin ( ω 0 ⋅ t ) + u0 ⋅ cos ( ω 0 ⋅ t ) ω0 Das System vollzieht also eine harmonische Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz ω 0 . Periode T
u(t) Masse m
Amplitude A
Zeit t gedämpft ungedämpft
Dämpfung c Federsteifgkeit k
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ω=2Πf T = 1/f *#
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Die Bewegungsgleichung für die freie, gedämpfte Schwingung des Einmassenschwingers lautet:
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·· · mu + cu + ku = 0
Je nach Größe des Dämpfungskoeffizienten können drei Fälle unterschieden werden: überkritisch gedämpfter Fall kritisch gedämpfter Fall unterkritisch gedämpfter Fall Überkritisch gedämpfter Fall:
u(t)
Ist der gegebene Dämpfungskoeffizient c größer als ein kritischer Dämpfungskoeffizient cc, so spricht man von einer überkritisch gedämpften Schwingung. Der Wert der kritischen Dämpfung errechnet sich aus: cc = 2 ⋅ m ⋅ ω0
mit
t
ω0 =
k--m
Der zeitliche Verlauf u(t) stellt eine Kriechbewegung dar. Die Lösungsfunktion geht asymptotisch gegen Null. Nur bei entsprechender Anfangsgeschwindigkeit hat die Lösungsfunktion eine Nullstelle. Ein solcher Vorgang ist nicht mehr zu den eigentlichen Schwingungsvorgängen zu rechnen. Unter Zuhilfenahme der kritischen Dämpfung cc kann die Dämpfung eines Systems auch durch die sogenannte Dämpfungszahl ξ angegeben werden. Diese stellt das Verhältnis des Dämpfungskoeffizienten c zur kritischen Dämpfung cc dar. Sie wird auch als Lehr’sches Dämpfungsmaß bezeichnet. c c c ξ = ---- = ----------------------- = ----------------------cc 2 ⋅ m ⋅ ω0 2⋅ m⋅k Kritisch gedämpfter Fall: Auch für den Fall eines kritisch gedämpften Systems ( c = cc ) ist der zeitliche Verlauf der Verformung eine Kriechbewegung. Dieser Fall wird auch aperiodischer Grenzfall genannt.
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Sowohl kritisch als auch überkritisch gedämpfte Systeme haben für baupraktische Fälle keine Bedeutung. Unterkritisch gedämpfter Fall: Nur wenn der gegebene Dämpfungkoeffizient c kleiner als die kritische Dämpfung cc ist ( ξ < 1 ), stellt sich eine Schwingung ein. Die Frequenz dieser Schwingung (Eigenkreisfrequenz ω D ) errechnet sich dabei aus: ωD = ω0 ⋅ 1 – ξ
2
Selbst für Dämpfungen von 20% der kritischen Dämpfung ( ξ = 0,2 ) ist die Eigenkreisfrequenz ω D der gedämpften Schwingung nur unwesentlich kleiner als die Eigenkreisfrequenz ω 0 des entsprechenden ungedämpften Systems ( ω D = 0,98 ⋅ ω 0 ). Für die in der Baupraxis relevanten Fälle kann daher auch die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens herangezogen werden. Der zeitliche Verlauf der Verformung u(t) ergibt sich für den unterkritisch gedämpften Fall gemäß u(t) = e
– ξω 0 t
⋅ ( C 1 ⋅ sin ( ω D ⋅ t ) + C 2 ⋅ cos ( ω D ⋅ t ) )
Er läßt sich aber auch folgendermaßen anschreiben: u(t) = A ⋅ e
– ξω o t
⋅ sin ( ω D t + α )
Die Integrationskonstanten C1 und C2 bzw. A und α sind aus den Anfangsbedingungen für t = 0 zu bestimmen. Bei gegebener Anfangsauslenkung u0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 erhält man: u(t) = e
– ξω 0 t
v 0 + ξω 0 u 0 ⋅ u 0 ⋅ sin ( ω D t ) + -------------------------⋅ cos ( ω D ⋅ t ) ωD
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23
5
2⋅π T D = ---------ωD
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Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden ist konstant und beträgt: c⋅T
-------------Du1 u2 un ξ ⋅ ω0 ⋅ TD 2⋅m ----- = ----- = ----------- = e = e u2 u3 un + 1
Der natürliche Logarithmus dieses Verhältnisses heißt logarithmisches Dekrement und wird mit D bezeichnet. c ⋅ TD un ξ ⋅ ω0 ⋅ TD ) = ξ ⋅ ω 0 ⋅ T D = ------------D = ln ----------- = ln ( e 2⋅m un + 1 Zwischen der Dämpfungszahl ξ und dem logarithmischen Dekrement D besteht somit der folgende Zusammenhang: 1 2 ξ = -----------------24π 1 + -------2 D
Dξ ≈ ----2π
bzw. für kleine D:
Diese Beziehung ist nicht zuletzt deshalb von Bedeutung, da die Dämpfungseigenschaften verschiedener Materialien in der Literatur sowohl durch die Dämpfungzahl als auch durch das logarithmische Dekrement beschrieben werden. Das logarithmische Dekrement wird in vielen Veröffentlichungen auch mit dem Buchstaben δ bezeichnet.
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9
Im Falle einer harmonischen Anregung P ( t ) = P 0 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) lautet die Bewegungsdifferentialgleichung:
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·· · mu + cu + ku = P 0 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) Darin ist P0 die Amplitude der Erregerkraft und ω die Kreisfrequenz der Erregung. Die Lösung dieser Differentialgleichung setzt sich dabei aus einem homogenen und einem partikulären Anteil zusammen. Der homogene Anteil, in dem die Anfangsbedingungen Eingang finden, klingt trotz der im Bauwesen relativ geringen Dämpfungen im allgemeinen so rasch ab, daß man sich in der Regel auf den partikulären Anteil, der die stationäre Lösung darstellt, beschränken kann, wenn man nicht direkt am Einschwingvorgang interessiert ist. Für den zeitlichen Verlauf der Verschiebung u(t) ergibt sich: P 1 u ( t ) ≈ u p ( t ) = -----0 ⋅ ------------------------------------------------- ⋅ sin ( ωt – θ ) k 2 2 2 ( 1 – β ) + ( 2ξβ ) 2ξβ θ = atan -------------2 1–β
mit dem Phasenwinkel
und dem Frequenzverhältnis
(0 ≤ θ ≤ π )
ω β = -----ω0
Das System schwingt also mit der durch die Erregung aufgezwungenen Frequenz ω um den Phasenwinkel θ gegenüber der Erregung phasenverschoben. Die Amplitude A der Systemantwort beträgt dabei: P0 1 A = ----- ⋅ ------------------------------------------------k 2 2 2 ( 1 – β ) + ( 2ξβ ) Das Verhältnis der Amplitude der Antwortschwingung des Systems zur statischen Verformung bezeichnet man als Verstärkungsfaktor V. 1 A V = ------------ = ------------------------------------------------P0 ⁄ k 2 2 2 ( 1 – β ) + ( 2ξβ ) In Abb. 4.4 ist der Verstärkungsfaktor V in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis β für verschiedene Dämpfungszahlen ξ aufgetragen. Für kleine Dämpfungen liegen die Maxima von V in der Nähe von β = 1 . Wenn dieses Abstimmungsverhältnis vorliegt, so spricht man von Resonanz. Für β = 1 beträgt der Verstärkungsfaktor V dabei zum Beispiel:
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1 V β = 1 = -----2ξ Für verschwindende Dämpfung treten im Resonanzfall unendlich große Amplituden auf. Im Falle einer vorhandenen Dämpfung tritt das Maximum des Verstärkungsfaktors allerdings nicht bei β = 1 , sondern bei β = ergibt sich dann zu:
2
1 – 2 ⋅ ξ auf. Vmax
1 V max = ----------------------------2 2ξ ⋅ ( 1 – ξ ) 8
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β
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Stahlbeton * geringe Beanspruchung (ungerissen)
6
* mittlere Beanspruchung (gerissen) * hohe Beanspruchung (gerissen), jedoch kein Fließen der Bewehrung
8
Voll vorgespannter Beton
6
Teilweise vorgespannter Beton
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Stahl
5
Verbundkonstruktion
Um einen Überblick über die Größenordnung der im Bauwesen relevanten Dämpfungsmaße zu bekommen, sind in der obigen Tabelle Dämpfungszahlen für verschiedene Materialien angegeben.
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Betrachtet man eine sich in Ruhe befindliche für die Berechnung diskretisierte Tragstruktur, so muß der Vektor {f} der Knotenkräfte, die den inneren Tragwerksspannungen äquivalent sind, mit dem globalen Lastvektor {p(t)} im Gleichgewicht stehen. Der Vektor {f} läßt sich im Falle linearen Systemverhaltens als Produkt aus Steifigkeitsmatrix [K] und Verformungsvektor {u} bilden; der Lastvektor umfaßt die in den Systemknoten konzentriert wirkenden äußeren Kräfte sowie die sich aus den Elementbelastungen ergebenden Starreinspannwerte. [K] ⋅ {u} = {p} Verändert sich nun die Belastung mit der Zeit t ({p} = {p(t)}), so wirken neben den oben erwähnten Kräften noch Trägheits- und Dämpfungskräfte am System. Die Massenträgheitskräfte sind dabei beschleunigungsproportional; die Dämpfungskräfte werden meist als geschwindigkeitsproportional angenommen (viskose Dämpfung), da dieser Fall mathematisch noch relativ einfach zu behandeln ist.
6 <8
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B
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Unter Anwendung des Prinzips von d’Alembert erweitert sich damit das obige Gleichungssystem zur Beziehung: [M] ⋅ {u(t)} + [C] ⋅ {u(t )} + [K ] ⋅ {u(t)} = {p(t)} [M] bezeichnet darin die globale Systemmassenmatrix, die sich, aus lokalen Systemmassenmatrizen und Knotenmassen assembliert, bilden läßt; [C] ist die globale Dämpfungsmatrix des Systems.
Die globale Massenmatrix [M] kann also ähnlich wie die Steifigkeitsmatrix aus Elementmassenmatrizen gebildet werden. Die Koeffizienten dieser Elementmassenmatrizen sind dabei jene Knotenkräfte, welche sich aufgrund von „1“Beschleunigungen an den Knoten ergeben. Diese können dadurch angenähert werden, daß die Masse in den Knoten konzentriert angenommen wird („lumped mass matrix“). Die Dämpfungsmatrix [C] wird aus rechentechnischen Gründen meist durch eine lineare Kombination der Systemsteifigkeitsmatrix [K] und der Systemmassenmatrix [M] gebildet (Rayleigh-Dämpfung). [C] = α ⋅ [ M] + β ⋅ [ K] Dabei besteht folgender Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω, der Dämpfungszahl ξ und den Koeffizienten α und β: α ξ i = 1--- ⋅ ----- + β ⋅ ω i 2 ωi Möchte man die Dämpfung ξ für einen Frequenzbereich zwischen ω1 und ω2 relativ konstant halten, so müssen diese Werte lediglich in obige Gleichung eingesetzt werden und man erhält ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten zur Bestimmung von α und β.
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+9
Die quasistatische Methode Die dynamische Wirkung wird entweder durch Zusatzkräfte (zusätzliche Horizontalkräfte bei Erdbeben) oder durch eine Erhöhung der statischen Lasten (dynamischer Beiwert Φ in Abhängigkeit von der maßgeblichen Länge l Φ sowie der Fahrspur bei Brückentragwerken) simuliert. Das Eigenschwingverhalten des Systems wird nicht oder nur näherungsweise berücksichtigt. Diese Methode ist die einfachste, aber auch die ungenaueste.
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Modale Analyse Die modale Analyse wird vor allem bei Erdbebenberechnungen angewendet. Sie wird in drei Schritten durchgeführt: 1. Transformation des Mehrmassenschwingers mit n Freiheitsgraden sowie der Belastung in maximal n Einmassenschwinger. Dazu ist die Kenntnis von Eigenfrequenzen und Eigenformen des Mehrfreiheitsgradsystems notwendig. 2. Untersuchung der Lasteinwirkung an Einmassenschwingern (Zeitschrittverfahren, Antwortspektrenverfahren bei Erdbebenberechnungen) 3. Übergang von Einmassenschwingern auf das Mehrmassenmodell durch entsprechende Überlagerung. Zeitverlaufsmethode am Mehrmassensystem (Zeitschrittverfahren) Durch eine schrittweise Berechnung lassen sich die Zeitverläufe der Verformungen des Systems sowie der Schnittkräfte ermitteln. Die Zeitschrittverfahren können bedingt oder unbedingt stabil sein. w Bedingt stabile Verfahren konvergieren nur, wenn ein Zeitschritt gewählt wird, der kleiner als ein kritischer Zeitschritt ist, welcher von der höchsten Eigenfrequenz des Systems abhängt. w Unbedingt stabile Verfahren konvergieren in jedem Fall. Die Genauigkeit des Ergebnisses steigt jedoch mit der Kürze des Zeitschrittes an. Zu den bekanntesten Zeitschrittverfahren zählen die Newmark’sche Methode, das Wilson-θ-Verfahren und das zentrale Differenzenverfahren. Methoden im Frequenzbereich Alle zeitabhängigen Größen werden durch eine Fouriertransformation in den Frequenzbereich transformiert, wodurch das Bewegungsdifferentialgleichungssystem vom Zeit- in den Frequenzbereich übergeführt wird. Dann kann wie im Zeitbereich eine modale Lösung oder direkte Integration durchgeführt werden. Diese Methoden werden verwendet, wenn z.B. in der Dämpfungsmatrix frequenzabhängige Terme vorkommen. Probabilistische Verfahren Erfassen der Unsicherheiten im Strukturmodell und im Modell der Schwingungserregung durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Untersuchungen auf probabilistischer Basis können mit allen oben erwähnten Verfahren durchgeführt werden.
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Wegen des hohen Berechnungsaufwandes wird diese Methode nur selten verwendet.
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Da im Bauwesen die Dämpfungen im allgemeinen sehr gering sind (weit unter der kritischen Dämpfung), können zur Beurteilung des Eigenschwingungsverhaltens die Eigenfrequenzen des ungedämpften Systems herangezogen werden. Im Falle einer freien Schwingung ist der zeitabhängige Belastungsvektor {p(t)} gleich Null. Damit erhält man bei Vernachlässigung der Dämpfung aus der Grundgleichung der Strukturdynamik: [ M] ⋅ { u( t ) } + [ K ] ⋅ { u( t) } = 0 Da es sich bei Eigenschwingungen um harmonische Schwingungen handelt, kann für den Verschiebungsvektor {u(t)} folgende Formulierung gewählt werden: { u ( t ) } = { a } ⋅ sin ( ωt + ϕ ) Damit läßt sich das folgende homogene Gleichungssystem gewinnen: 2
([K] – ω ⋅ [M]) ⋅ {a} = 0 Dieses hat nur dann von Null verschiedene (nichttriviale) Lösungen, wenn seine Determinante verschwindet, d.h. wenn gilt: 2
[K] – ω ⋅ [M] = 0 2
Es liegt hier ein allgemeines Eigenwertproblem für ω vor, aus dem sich in der Regel so viele Eigenwerte ω i bestimmen lassen, wie Freiheitsgrade n vorliegen. Die Werte ω i sind die Nullstellen der Determinante. Die zu den Eigenfrequenzen ω i gehörenden Lösungen { ψ i } des obigen homogenen Gleichungssystems, die sogenannten Eigenvektoren, sind nur als Verhältniswerte darstellbar, sie werden auf ihren Größtwert normiert. Verfahren zur Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems Die Bestimmung der Eigenwerte erfolgt in der Regel numerisch mit Hilfe von EDV-Programmen. Die darin verwendeten Verfahren lassen sich einteilen in: w Vektor-Iterationsverfahren w Transformationsverfahren (z.B.: das Jacobi-Verfahren) w Polynom-Iterationsverfahren w Unterraum-Iterationsverfahren (Subspace-Verfahren)
6 <<
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Alternative Bestimmung von Eigenfrequenzen nach Sattler (Energiemethode) In einfachen Fällen (z.B. Einfeldbalken) lassen sich die Eigenfrequenzen auch näherungsweise durch den Ansatz von kinetischer und potentieller Energie eines Systems bestimmen. Die Eigenfrequenzen werden dabei mit Hilfe der statischen Durchbiegungen berechnet. m
P = mg
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Der frei aufliegende masselose Balken ist mit einer schwingenden Masse m in Balkenmitte belastet (s. Abb. 4.5). Aus der statischen Durchbiegung ustat zufolge der Kraft P = mg kann eine Federkonstante k berechnet werden: P k = --------u stat Für eine bestimmte Ausbiegung u1 gilt dann für die Federkraft F = –k ⋅ u1 Die allgemeine Lösung für die freie Schwingung des ungedämpften Einmassenschwingers lautet: u ( t ) = C 1 ⋅ sin ( ω 0 t ) + C 2 ⋅ cos ( ω 0 t ) Für eine Schwingung der Form u 1 ( t ) = A ⋅ cos ( ω 0 t ) ist du 1 u 1 (t) = -------- = –A ⋅ ω 0 ⋅ sin ( ω 0 t ) dt Die kinetische Energie für eine Durchbiegung u1 ist 1 P du 1 U = --- ⋅ --- ⋅ -------dt 2 g
2
1 P 2 = --- ⋅ --- ⋅ A ⋅ ω 02 ⋅ sin2 ( ω 0 t ) 2 g
Für die potentielle Energie der von Null anwachsenden Federkraft gilt:
6 <=
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B
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1 1 V = – --- ⋅ F ⋅ u 1 = – --- ⋅ F ⋅ A ⋅ cos ( ω 0 t ) 2 2 Der Satz von der Erhaltung der Energie besagt, daß die Summe von potentieller und kinetischer Energie zu jedem Zeitpunkt konstant ist:
t = t1: U1 = 0 V1 = Vmax
t = t2: U2 = Umax V2 = 0 U1 + V1 = U2 + V2 0 + Vmax = Umax + 0 Vmax = Umax
1 P 1 2 – --- ⋅ F ⋅ A = --- ⋅ --- ⋅ A ⋅ ω 02 2 g 2 Setzt man A = ustat, erhält man 1 1 P 2 – --- ⋅ F ⋅ u stat = --- ⋅ --- ⋅ u stat ⋅ ω 02 2 2 g und g ω 02 = --------u stat Ist der Träger mit mehreren Lasten belastet (s. Abb. 4.6), erhält man die Bedingungsgleichung ω2 ------ ⋅ g
( P n ⋅ u n2 ) =
( Pn ⋅ un ) n
n
Daraus kann wiederum die erste Eigenfrequenz berechnet werden g⋅ :ω =
--------------------------------( P n ⋅ un2 ) n
6=
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Von einem dreigeschoßigen Stockwerksrahmen mit starren Riegeln sollen die Eigenfrequenzen bestimmt werden. Die Masse der Riegel beträgt 2 t/m. Das Trägheitsmoment der Stiele ist 0,0001 m4. Die Masse der Stiele darf vernachlässigt werden, ebenso die Verformungsanteile aufgrund von Normalkräften. Die Breite des Rahmens beträgt 6,00 m, die Geschoßhöhe ist jeweils 3,00 m. Der Elastizitätsmodul ist mit 2,0 . 108 kN/m2 gegeben. Das System ist in Abb. 4.7 dargestellt. Es besitzt drei Freiheitsgrade, nämlich die Horizontalverschiebungen u1, u2 und u3 der drei Riegel des Stockwerkrahmens . 3 3,00 m
m = 2 t/m E = 2,0 . 108 kN/m2 2 3,00 m
m = 2 t/m
Riegel starr 1 3,00 m
m = 2 t/m IStiel = 0,0001 m4
6,00 m
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Bestimmung der Systemmatrizen: Steifigkeit eines einzelnen Stiels: 8
12 ⋅ E ⋅ -I 12 ⋅ 2,0 ⋅ 10 ⋅ 0,0001k = ------------------= -------------------------------------------------= 8888,9 kN 3 3 L 3,00 Steifigkeitsmatrix des Systems: L
1
12EI Q = -----------3 L
%
12EI Q = -----------3 L
(1 !
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Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix: k11 = 2 · ( 2 · 8888,9 ) = 35556 = k22 (Der Koeffizient k11 ist die Horizontalkraft, die zufolge einer horizontalen „1“Verschiebung des Riegels 1 auf den Riegel 1 wirkt.) k12 = k21 = - ( 2 · 8888,9 ) = -17778 k33 = 2 · 8888,9 = 17778 k23 = k32 = -17778 k13 = k31 = 0 Damit ergibt sich die Systemsteifigkeitsmatrix zu: 35556 – 17778
0
[ K ] = – 17778 35556 – 17778 0
– 17778 17778
Massenmatrix des Systems: Der Koeffizient m11 ist z.B. jene Horizontalkraft, welche zufolge einer Horizontalbeschleunigung des Riegels 1 der Größe „1“ auf den Riegel 1 wirkt. m11 = m22 = m33 = m · L = 2,0 · 6,00 = 12; alle mij sind gleich 0
6=
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Damit ergibt sich folgende Massenmatrix: 12 0 0 [M] =
0 12 0 0 0 12
Bestimmung der Eigenfrequenzen: Um die Eigenfrequenzen des gegeben Systems zu bestimmen, ist nun das folgende allgemeine Eigenwertproblem zu lösen. 2
[K] – ω ⋅ [M] = 0 2
Das bedeutet: es sind die Nullstellen der Determinante von [ K ] – ω ⋅ [ M ] zu bestimmen. Der Wert der Determinante kann in unserem Fall (3x3-Matrix) nach der Regel von Sarrus ermittelt werden. Bei größeren Matrizen wird eine Gauß’sche Faktorenzerlegung durchgeführt. Den Wert der Determinante erhält man danach durch Multiplikation der Diagonalglieder der dreieckszerlegten Matrix. Abb. 4.9 zeigt den Verlauf dieser Determinante für das gegebene Beispiel in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω. Im gegebenen Fall kann man die Nullstellen der Determinante noch einfach mit Hilfe eines geeigneten Nullstellensuchverfahrens (z.B. mit dem Sekantenverfahren (Regula falsi)) finden. In der Praxis werden diese Eigenwerte (und zugehörigen Eigenvektoren) jedoch meist mit Hilfe eines der unter 4.2.3 erwähnten Verfahren rechnergestützt ermittelt.
6 =5
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ω1=17,1
ω2=48,0
ω3=69,4
Beispiel: Stockwerkrahmen
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2
[K] – ω [M]
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Ergebnisse: In der folgenden Tabelle sind die Eigenfrequenzen und zugehörigen Periodendauern eingetragen. "
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: : 1
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24 3 A2 3
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;= 5;
5
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6
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5
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Die zugehörigen normierten Eigenvektoren {ψi} sind: 0,445 { ψ1 } =
0,802 ; { ψ 2 } = 1
1 0,445 -0,802
-0,802 ; { ψ3 } =
1 -0,445
Die Eigenformen sind in der folgenden Abbildung graphisch dargestellt.
6 =6
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1. Eigenform
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2. Eigenform
3. Eigenform
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Da sich die Schwingungsantwort eines Tragwerks auf eine zeitlich veränderliche Belastung als Überlagerung der Eigenformen (Eigenmoden) des Systems darstellen läßt, ist die Kenntnis dieser Eigenformen von Bedeutung. Um die Auswirkungen von Aussteifungen auf das Schwingungsverhalten eines Stockwerkrahmens zeigen zu können, werden Schwingungseigenformen von 4-geschossigen Rahmen mit starren Riegeln für zwei Fälle ermittelt: a) Rahmensystem ohne Aussteifung b) mit ausgesteiften Obergeschossen Zur Bestimmung der Eigenformen wurde das Stabwerksprogramm Ruckzuck verwendet.
6 =8
(
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Abb. 4.11a zeigt die errechneten Eigenformen für das nicht ausgesteifte System, Abb. 4.11b jene für das ausgesteifte System. Wie aus diesen Bildern leicht zu erkennen ist, können Aussteifungen das Schwingungsverhalten eines Tragwerks wesentlich beeinflussen. Aus diesem Grund müssen auch Aussteifungen, welche in einer statischen Berechnung eventuell vernachlässigt werden dürfen, bei der dynamischen Analyse des Systems mitmodelliert werden.
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+9 w Bei der Bildung des Berechnungsmodells für die dynamische Analyse muß man sich darüber im klaren sein, daß Bauteile, die im Zuge einer statischen Berechnung, auf der „sicheren“ Seite liegend, vernachlässigt werden, in der dynamischen Berechnung mitmodelliert werden müssen, wenn sie das dynamische Verhalten des Gesamtsystems wesentlich beeinflussen. Beispielsweise werden nichttragende Zwischenwände in der statischen Berechnung meist nur durch eine erhöhte Nutzlast berücksichtigt, bei der Bildung des statischen Systems aber nicht mitmodelliert. Falls diese Zwischenwände nicht von der Tragstruktur entkoppelt sind, müssen sie bei einer dynamischen Berechnung wenigstens näherungsweise mitmodel-
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liert werden, da sich dadurch die Steifigkeitsverhältnisse im System und damit dessen Schwingungseigenschaften wesentlich ändern können. w Bei einer dynamischen Berechnung müssen Zusatzmassen, welche sich zur Masse der eigentlichen Tragstruktur addieren, berücksichtigt werden. Diese Massenanteile können aus den ständigen Lasten auf der Struktur resultieren (etwa schwere Gegenstände wie Maschinen). Auch umweltbedingte Einflüsse wie Schnee, Eis oder Pflanzenwachstum führen zu einer Erhöhung der zu berücksichtigenden Masse. w Probleme können speziell in der Modellierung von Knoten und Gelenken auftreten. Rahmenecken sind vielfach nachgiebiger, als man gemeinhin annimmt. Eine ungenügende Modellierung kann die Grundfrequenz des Systems entscheidend beeinflussen. Für höhere Schwingungsformen sind die Auswirkungen geringer. w Schwierigkeiten kann auch die Modellierung der Auflager bereiten, da eine etwa vorhandene Nachgiebigkeit das dynamische Verhalten der Konstruktion beeinflussen kann. w Die Lage großer Massen in der Struktur muß möglichst genau angegeben werden. Einzelmassen, deren Schwerpunkt nicht in der Systemachse der Tragstruktur liegt, können durch Knotenmassen mit einer starren Kopplung zu einem entsprechenden Elementknoten modelliert werden. (siehe Abb. 4.12) große Einzelmasse
Balken a) gegebenes Problem Knotenmasse starre Kopplung Modellierung durch Stabelemente b) Rechenmodell
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Harmonische Lasten
Harmonische Lasten haben einen sinusförmigen Verlauf. Zufolge der immer vorhandenen Dämpfung in den Bauteilen ergibt sich bei längerer Einwirkungsdauer ein stationärer Schwingungszustand des Bauwerks.
1
Maschinen mit rotierenden, nicht vollkommen ausgewuchteten Teilen Maschinen mit beabsichtigten Unwuchten
Periodische Lasten
Bei periodischen Lasten wiederholt sich ein bestimmter Verlauf der Last in regelmäßigen Zeitabständen. Der Zeitverlauf innerhalb einer Periode ist beliebig und kann durch eine Fourier-Zerlegung in eine Reihe harmonischer Lasten überführt werden.
1
menschliche Aktivitäten Maschinen mit mehreren Unwuchten, oszillierenden Teilen oder regelmäßig stoßenden Teilen Wind (Anregung normal zur Windrichtung, zufolge Wirbelablösung)
Transiente Lasten
1
Transiente Lasten haben eine beliebigen Zeitverlauf, der keinerlei Periodizitäten aufweist. Auch die Einwirkungsdauer der Last ist beliebig. Transiente Lasten können ebenfalls durch eine Überlagerung harmonischer Lasten angenähert werden (diskrete Fourier-Transformation).
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Wind (Anregung in Windrichtung - Böen) Wasserwellen Erdbeben Schienen- und Straßenverkehr Bauarbeiten Impulsartige Lasten
1
Impulsartige Lasten sind grundsätzlich transiente Lasten. Sie weisen jedoch eine sehr kurze Einwirkungsdauer auf.
Maschinen, die Einzelstöße ausüben Bauarbeiten (z.B. Erschütterungen im Nahbereich einer Sprengung) Anprall von Fahrzeugen, Flugzeugen, Schiffen oder Geschossen Explosionen plötzlicher Ausfall von tragenden Teilen
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Dynamische Lasten zufolge menschlicher Aktivitäten Besonders zu berücksichtigen bei Fußgängerbauwerken, Bürogebäuden, Turn- und Sporthallen, Tanzlokalen und Konzertsälen, sowie Sprungtürmen in Schwimmbädern. Gehen, Laufen: Schrittfrequenz: Gehen 1,5 - 2,5 Hz; Laufen bis 5,0 Hz Hüpfen: Hüpffrequenz 1,8 - 3,4 Hz, Stoßfaktor in Extremfällen bis zu 7,0 Tanzen: Frequenz 1,6 - 3,0 Hz Stoß gegen Wand (Anprall) Diese Frequenzen liegen allesamt im Bereich der ersten Eigenfrequenzen üblicher Tragwerke!
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Dynamische Maschinenlasten Maschinen mit rotierenden Teilen infolge Unwucht (Zentrifugen, Turbinen, etc.) Maschinen mit oszillierenden Teilen (Kolbenmaschinen, Sägegatter, Glocken) Maschinen mit stoßenden Teilen (Formpressen, Schmiede)
Dynamische Windlasten Böenerregte Schwingungen (Gust excited vibrations), Wirbelresonanzschwingungen (Karman-Schwingung), Flatterschwingungen (Flutter), Bewegungsinduzierte Biegeschwingungen (Galloping), Schwingungen durch Interferenzeinfluß (Buffeting), Querschnittsdeformationsschwingungen (Ovalling). Dynamische Lasten zufolge Sprengungen Die Auswirkung ist abhängig von der Art des durchlaufenen Bodens, dem Sprengschema, der Sprengstoffmenge und der Entfernung vom Ort der Sprengung. Die gefährdete Zone befindet sich im Umkreis von etwa 10 bis 100 Metern. An der Sprengstelle liegt die Frequenz bei 50 - 100 Hz, sie nimmt mit der Entfernung ab. Dynamische Lasten zufolge Straßen- und Schienenverkehr Unebenheit der Fahrbahn Bewegung der Fahrzeuge (Lageänderung der Belastung, etc.) Radunrundheiten (Flachstellen bei Eisenbahnfahrzeugen) Die Stärke und Frequenz hängen von der Fahrzeugmasse, der Bauteilmasse, der Geschwindigkeit, der Fahrzeugkonstruktion und der Oberflächenbeschaffenheit der Fahrbahn sowie der Räder ab. Dynamische Lasten zufolge Bauarbeiten Rammen von Pfählen, Spundwänden etc. Verdichten von Böden
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Bei nicht schwingungsanfälligen Bauwerken erfolgt die Berücksichtigung der Windwirkung durch statische Ersatzlasten. Schlanke Baukörper können durch die Windanströmung zu Schwingungen angeregt werden. Diese durch Wind verursachten Schwingungen können folgendermaßen eingeteilt werden: Böenerregte Schwingungen (Gust excited vibrations) Die Böigkeit des Windes verursacht Schwankungen der Windbelastung von Bauwerken. In der Berechnung wird diese Art der Belastung durch eine statische Ersatzlast berücksichtigt. Wirbelresonanzschwingungen (Karman-Schwingung) Wirbelresonanzschwingungen erfolgen normal zur Windrichtung. Sie treten insbesondere bei Baukörpern mit kreisförmigen oder annähernd kreisförmigen Querschnitt auf. Die Schwingungen werden durch sich vom Baukörper ablösende Wirbel verursacht. Wenn die Ablösefrequenz nahe der Eigenfrequenz des Bauwerks oder eines Bauteils normal zur Windrichtung liegt, kann das Bauwerk oder der Bauwerksteil zu Schwingungen angeregt werden. Flatterschwingungen (Flutter) Flatterschwingungen erfolgen normal zur Windrichtung. Kennzeichnend für eine Flatterschwingung ist das Vorhandensein von mindestens zwei Freiheitsgraden. Meist tritt eine Koppelschwingung von Biege- und Torsionsschwingungen ein. Flatterschwingungen treten vor allem bei schlanken flächenartigen Konstruktionen auf. Bewegungsinduzierte Biegeschwingungen (Galloping) Galloping-Schwingungen erfolgen ebenfalls normal zu Windrichtung. Sie können bei sehr schlanken, nicht kreisförmigen Baukörpern mit scharfkantigen Profilen und damit vorgegebenen Abrißkanten auftreten. Kleine anfängliche Auslenkungen des Querschnitts in Querrichtung und die damit verbundene Änderung des Anströmwinkels bewirken eine Vergrößerung der Auslenkkraft, wodurch die Schwingung angeregt wird. Galloping-Schwingungen sind reine Biegeschwingungen. Schwingungen durch Interferenzeinfluß (Buffeting) Diese Schwingungserregung tritt dann auf, wenn sich zwei oder mehrere schlanke Bauwerke in unmittelbarer Nachbarschaft befinden. Im Abströmgebiet (Lee) eines Baukörpers bildet sich eine Zone hoher Böigkeit, in der auch regelmäßig Wirbel
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auftreten können, wodurch ein sich in diesem Gebiet befindliches Bauwerk zu Schwingungen angeregt werden kann. Querschnittsdeformationsschwingungen (Ovalling) Sehr dünne, unausgesteifte kreiszylindrische Schalenkonstruktionen können durch periodische Wirbelablösungen zu querschnittsverformenden Schwingungen angeregt werden. Besondere Gefahren bestehen während der Bauphase, wenn noch nicht alle Aussteifungen vorhanden sind. Querschnittsverformende Schwingungen lassen sich durch konstruktive Maßnahmen (Ringversteifungen) relativ einfach vermeiden.
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Beim Betrieb von Maschinen kommt es zur dynamischen Wechselwirkung folgender Teilsysteme: Maschine Fundament Baugrund
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w Beschädigung der Maschinen infolge schädlicher Schwingungen w Schwingungsbelästigung von Bauwerksbenutzern w Beschädigungen an Bauwerken
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Zur Verringerung der Schwingungen bzw. Schwingungsübertragung wird häufig eine Schwingungsisolierung ausgeführt. Dabei können grundsätzlich folgende Strategien verfolgt werden: Tiefe Abstimmung des Fundamentes Die Eigenfrequenz des Fundamentes muß hier kleiner als die niedrigste Erregerfrequenz bei Maschinenbetrieb sein. Niedrige Eigenfrequenzen lassen sich durch eine große Fundamentmasse und eine weiche Federung erzielen. Nachteil: Resonanzbereich muß beim Starten der Maschine durchfahren werden.
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Tiefabgestimmte Fundamente werden bei folgenden Maschinen verwendet: w Maschinen mit Anregungsfrequenzen im Bereich 5 Hz bis 16 Hz (ca. 300-1000 1/min), z.B. große Dieselmotoren, Gebläse, etc. Es werden Stahl-, Gummi- oder Luftfedern verwendet. w Maschinen mit Anregungsfrequenzen > 17 Hz (> 1000 1/min), z.B. kleine Dieselmotoren, Turbinen, etc. Im Bereich 17-33 Hz (ca. 1000 - 2000 1/min) werden Stahlfedern verwendet, für Frequenzen > 33 Hz ist eine Flächenlagerung sinnvoll.
Hohe Abstimmung des Fundamentes Die Eigenfrequenz des Fundamentes muß größer als die höchste Erregerfrequenz bei Maschinenbetrieb sein. Hohe Eigenfrequenzen erzielt man durch eine kleine Fundamentmasse und eine steife Federung. Hochabgestimmte Fundamente werden bei Maschinen mit Anregungsfrequenzen bis zu 5 Hz (300 1/min), z.B. für Kolbenpumpen, Kolbenverdichter, Rotationsmaschinen verwendet. Alle Fundamenteigenfrequenzen sollen hierbei größer als die doppelte maximale Betriebsfrequenz sein.
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Die Bewegungsgleichungen für den freien schwingenden, ungedämpften Mehrmassenschwinger lauten in Matrizenform wie folgt: [ M ] ⋅ { u( t) } + [ K ] ⋅ { u( t ) } = 0
2I
6 3
Die Lösung des vorliegenden Eigenwertproblems führt zu den Eigenfrequenzen und Eigenformen des Systems. Ein System mit n Freiheitsgraden hat also n Eigenformen, die unabhängig voneinander sind (Eigenformen sind nicht linear abhängig). Die zeitlich veränderliche Verformung des Tragwerks kann durch Superposition der Eigenformen beschrieben werden. Man spricht von modaler Superposition. { u ( t ) } = [ Φ ] { y ( t ) } = { φ 1 }y 1 ( t ) + { φ 2 }y 2 ( t ) + .... + { φ n }y n ( t )
2I
6 3
yi(t) bezeichnet man als generalisierte Koordinaten. Sie beschreiben, wie stark eine Eigenform die Gesamtschwingung des Systems bestimmt. Die Modalmatrix [Φ] enthält in ihren Spalten die auf den Maximalwert „1“ normierten Eigenschwingungsformen des Tragwerks. Bei kleiner Dämpfung - im Bauwesen der übliche Fall - darf angenommen werden, daß sich die Eigenfrequenzen und Eigenformen gegenüber dem ungedämpften System nur vernachlässigbar ändern.
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Es läßt sich mathematisch zeigen, daß sich die Eigenformen eines Systems sowohl zur Massenmatrix als auch zur Steifigkeitsmatrix orthogonal verhalten. Unter der Voraussetzung, daß sich die Dämpfungmatrix [C] beschreiben lässt durch: [C] = a ⋅ [K] + b ⋅ [M] verhalten sich die Eigenformen auch zur Dämpfungsmatrix orthogonal. Orthogonalität bedeutet: T
{ φm } [ K ] { φn } = 0 T
{ φm } [ K ] { φn } = Kn
für m ≠ n
2I
6 53
für m = n
2I
6 63
Analog gelten diese Beziehungen auch für die Massenmatrix und die Dämpfungsmatrix. Setzt man den Ansatz aus (Glg. 4.2) in die Bewegungsdifferentialgleichung ein und multipliziert danach [Φ]T vor, so erhält man: ·· · T T T T [ Φ ] [ M ][ Φ ]{ y } + [ Φ ] [ C ][ Φ ]{ y } + [ Φ ] [ K ][ Φ ]{ y } = [ Φ ] { P( t ) } Unter Beachtung der Orthogonalität (Glg. 4.3) und (Glg. 4.4) entkoppeln sich nun die Differentialgleichungen und man erhält n unabhängige Gleichungen der Form: ·· · T Mi yi + C i yi + Ki yi = { φi } { P ( t ) }
2I
6 83
Man nennt Mi die Modale Masse, Ci die Modale Dämpfung und Ki die Modale Steifigkeit. Diese unabhängigen Differentialgleichungen entsprechen den Gleichungen des Einmassenschwingers und können sehr einfach gelöst werden. (Duhamel - Integral, Methoden im Frequenzbereich, Zeitschrittverfahren). Nach der Lösung müssen die n Einmassenschwinger zur Lösung des Gesamttragwerks superponiert werden. Die Modale Analyse wird in der folgenden Abbildung zusammengefasst:
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Eine andere Variante der Berechnung stellt das Antwortspektrenverfahren dar. Es gilt als State-of-the-Art-Verfahren zur Erdbebenberechnung von Bauwerken und ist als solches Bestandteil der meisten Normenwerke, so auch des EC 8. Es basiert auf der Entwicklung der Bauwerksschwingung in Eigenformen und ist damit strenggenommen nur für lineares Bauwerksverhalten gültig, kann aber näherungsweise auch nichtlineare Effekte wie z.B. Energiedissipation durch plastische Verformungen berücksichtigen.
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·· { P ( t ) } = – [ M ] { 1 }u g {1} ... Erregervektor (gibt an, welche Freiheitsgrade durch durch die Bodenbeschleunigung angeregt werden.)
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Für Tragwerke, die einer Bodenbeschleunigung (Erdbeben) unterworfen werden gilt nach modaler Entkoppelung für jede Eigenform: ·· · T Mi yi + C i yi + Ki yi = { φi } { P ( t ) }
2I
6 ;3
Setzt man in diese Gleichung den in Abb. 4.14 gewonnene Ausdruck für {P(t)} ein und dividiert die Gleichung durch Mi, so ergibt sich folgende Bewegungsgleichung des modalen Einmassenschwingers. ·· C i · K i ·· L i ·· 1 T y i + ------y i + ------y i = – ------ ⋅ { φ i } [ M ] { 1 } ⋅ ug = – ------ ⋅ u g Mi Mi Mi Mi Li
... Beteiligungsfaktor der i-ten Eigenfrequenz
2I
6 3
Für dieses Problem wurden zahlreiche Berechnungen für verschiedene Einmassenschwinger mit unterschiedlicher Eigenfrequenz, Dämpfung und Erregung durchgeführt.
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In weiterer Folge wurden Antwortspektren für die maximale Verschiebung (Spektralwert Sd) oder die maximale Beschleunigung (Spektralwert Sa) der untersuchten Einmassenschwingers ermittelt. Dabei wurde wie folgt vorgegangen: Ein Einmassenschwinger wird am Fußpunkt durch die Bodenbewegung zu Schwingungen angeregt. Der Maximalwert der Antwort (Beschleunigung, Geschwindigkeit oder Verschiebung) wird über der Eigenschwingzeit oder der Eigenfrequenz aufgetragen. Diese Berechnung wird für elastische Einmassenschwinger verschiedener Eigenschwingzeit und Dämpfung durchgeführt, üblicherweise im Bereich von etwa T = 0,05 bis 10 sec. Die dadurch erhaltene Kurve wird als Antwortspektrum bezeichnet.
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Antwortspektren haben in etwa folgende Form:
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Die gewonnenen Antwortspektren (AWS) für verschiedene Erdbebenanregungen werden zusammengefaßt, die Einhüllende wird gebildet und geglättet. AWS finden dann in folgender Form Eingang in Normenwerke, wie z.B. den EC 8. ag ... Entwurfsbeschleunigung Se ... Ordinate des Antwortspektrums β0 ... normierter Maximalwert des Spektrums TB, TC, TD ... Eckperiode in Abhängigkeit der Bodenklasse s ... Bodenparameter η ... Dämpfungsparameter
Periodendauer T = 1/f
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Die Schweizer Norm enthält ein anderes Antwortspektrum:
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µ∆ ... Bauwerksduktilität
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Liegt ein sehr steifes oder ein Tragwerk mit geringer Masse vor (T <<, ω >>), wirkt bei Bodenbeschleunigung auf das Tragwerk einfach Masse x Beschleunigung, da es zu (fast) keiner dynamischen Verstärkung kommt. Ein sehr weiches oder ein Tragwerk mit großer Masse (T >>, ω <<) erfährt praktisch keine Anregung. Liegen die Tragwerkseigenfrequenzen in einem ungünstigen Bereich, so wird das Tragwerk im Erdbebenfall stark angeregt. Es ist daher mit den PlateauWerten des Spektrums zu rechnen. Dämpfung oder Tragwerksduktilität berücksichtigen die Normen durch eine Abminderung der Spektralwerte.
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Zur Schnittkraftermittlung für die i-te Eigenform holt man sich aus dem Antwortspektrum für die zu dieser Eigenform gehörende Eigenfrequenz die Spektralverschiebung Sd,i oder die Spektralbeschleunigung Sa,i. Für die Maximalwerte der normierten Koordinate yi des Einmassenschwingers gilt dann: Li Li 1 y i,max = ------ ⋅ S d,i = ------ ⋅ ------ ⋅ S a,i Mi Mi ω2
2I
6 <3
{ u i,max } = { φ i } ⋅ y i,max
2I
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i
Für jede der n Eigenformen ergibt sich ein statischer Ersatzlastvektor [HE,i], der die Verteilung der Trägheitskräfte wiedergibt. ·· [ H E, i ] = [ M ] { u t,i,max } Unter Berücksichtigung der Beziehungen: ·· 2 2 { u t,i,max } = ω i { u t,i,max } = { φ i }ω i ⋅ y i,max
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2I
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und unter Verwendung von (Glg. 4.8) ergibt sich: · Li [ H E, i ] = [ M ] { φ i } ------ ⋅ S a,i Mi
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2I
6
3
Man erkennt, daß sich die Ersatzlasten den Eigenformen entsprechend über das Tragwerk verteilen. Mit den so ermittelten Ersatzlasten können für alle Eigenformen jeweils zugehörige Schnittkräfte mit den Mitteln der Statik berechnet werden. Bei Erdbebenbelastung ist der Anteil der höheren Eigenformen an der Gesamtbeanspruchung gering und kann oft vernachlässigt werden. Der Schnittkraftzustand berechnet sich daher näherungsweise aus den Anteilen der niedrigen Eigenformen. Beim Antwortspektrenverfahren geht die Information über das zeitlich versetzte Auftreten der maximalen Schnittkräfte aus den unterschiedlichen Eigenformen verloren. Daher müssen die gewonnenen Schnittgrößen mit statistischen Methoden überlagert werden. Eine dieser Methoden ist die sogenannte SRSS-Methode (Square Root of the Sum of Squares). Sie liefert folgende Überlagerungsvorschrift: n
F = i
2
2I
Fi
6 53
F ... Schnittkraft am Knoten K (Gesamtbeanspruchung) Fi ... Schnittkraft am Knoten K in der i-ten Eigenform
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In der folgenden Tabelle ist das Antwortspektrenverfahren noch einmal zusammengefaßt.
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Ramm E.: Vorlesungsskriptum Baustatik - Teil VII. Institut für Baustatik; Universität Stuttgart. Stuttgart, 1997.
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Flesch, R.: Baudynamik praxisgerecht, Band 1: Berechnungsgrundlagen, Bauverlag GmbH, Wiesbaden und Berlin, 1993 Bachmann, H.: Erdbebensicherung von Bauwerken, Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1995 Bachmann, H. et al.: Vibration Problems in Structures, Practical Guidelines, Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1995 Clough, R. W.: Dynamics of Structures, McGraw Hill, 1993 (Second Edition) Gasch, R.; Knothe, K.: Strukturdynamik, Band 1: Diskrete Systeme, Band 2: Kontinua und ihre Diskretisierung, Springer Verlag Berlin, 1987 bzw. 1989 Petersen, Ch.: Dynamik der Baukonstruktionen, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1996 Sattler, K.: Lehrbuch der Statik, Theorie und ihre Anwendung, Zweiter Band, Teil B: Stabilität und Schwingungen, Springer Verlag, Berlin, 1975
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Viele Probleme in der Baustatik können nicht mit den bisher besprochenen einfachen Rechenmethoden (Kraftgrößen, Weggrößenverfahren) berechnet werden, da die dort getroffenen Annahmen nicht mehr zutreffend sind. Beispiele sind Flächentragwerke wie z.B. Scheiben Schalen, Membrane etc. Da diese im konstruktiven Ingenieurbau oft vorkommen muß eine Berechnungsmöglichkeit gefunden werden. Exakte Lösungen der Differentialgleichungen, wie sie bisher verwendet wurden sind dann nicht mehr möglich, es müssen Näherungslösungen verwendet werden. Die Methode der Finiten Elemente ist wohl das, im konstruktiven Ingenieurbau am meisten verwendete Berechnungsverfahren. Es erlaubt nahezu alle Probleme im konstruktiven Ingenieurbau zu lösen. Es gibt ein reichhaltiges Angebot an benützerfreundlicher Software und es gibt heutzutage fast kein Zivilingenieurbüro oder Konstruktionsbüro das ohne dies auskommt. Da es sich um ein Näherungsverfahren handelt ist bei der Interpretation der Ergebnisse jedoch höchste Vorsicht geboten. Hier soll nur eine Einführung in die Problematik der Näherungsmethoden gegeben werden. Die Methode der Finiten Elemente wird im Wahlfach „Finite Element Methoden“ behandelt. Grundlegend für das Verfahren der Finiten Elemente war die von Walter Ritz (1878-1909) veröffentlichte Arbeit „Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik“ (1909), die das nach ihm benannte Ritz’sche Verfahren behandelt.
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Anstatt den Verlauf der Durchbiegung w(x) über die exakte Lösung der Differentialgleichung der Balkenbiegung [ EI ( x )w″ ( x ) ] ″ – q ( x ) = 0
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zu ermitteln, wird eine Funktion w(x) für die Verformung angenommen. Sie muß nur den geometrischen Randbedingungen (Auflagern) hinsichtlich Durchbiegung (w) und Verdrehung (w’) entsprechen, aber nicht unbedingt der das Problem beschreibenden Differentialgleichung. Ein Ritz’scher Ansatz hat die Form w ( x ) ≈ w ( x ) = a1 ⋅ f1 ( x ) + a2 ⋅ f2 ( x ) + … + aN ⋅ fN ( x ) N
ai ⋅ fi ( x )
= i=1
Dabei sind fi Funktionen die den geometrischen Randbedingungen entsprechen und ai sind unbekannte Parameter die es zu ermitteln gilt. Diese werden mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnet. Das Gleichgewicht wird nicht über die Summe von Kraftgrößen berechnet sondern über das Prinzip das besagt, das bei einem Tragwerk das sich im Gleichgewicht mit der Belastung befindet die potentielle Energie ein Minimum wird. Die potentielle Energie eines Systems setzt sich aus der inneren und äußeren potentiellen Energie zusammen Π = Π
(i)
+Π
(ä)
Das Minimum der potentiellen Energie ist erreicht, wenn die Variation der potentiellen Energie verschwindet : ∂Π δΠ = δa i ------- = 0 ∂a i Daraus ergibt sich ein System von N Gleichungen für die Bestimmung von N unbekannten Parametern ∂Π ⁄ ∂a 1 = 0 ∂Π ⁄ ∂a 2 = 0
....
∂Π ⁄ ∂a N = 0 Nach Berechnung der Parameter ai erhält man die Biegelinie des Tragwerks. Aus dieser Biegelinie kann man mit der Annahme von Bernoulli und dem Hooke’schen Gesetz die Schittkräfte bestimmen.
8
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+ & C
$$
Als einführendes Beispiel soll die Biegelinie eines am Ende belasteten Kragträgers ermittelt werden.
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Die verformte Figur (Biegelinie) wird dabei durch eine frei angenommene Funktion annähernd beschrieben: N
iπ a i 1 – cos ------- x 2L
w≈ i=1
@ @
Zunächst ist zu prüfen, ob die Funktion die geometrischen Randbedingungen erfüllt, da das eine Grundvoraussetzung für diese Vorgangsweise darstellt: x = 0
w = 0
x = 0
w′ = 0
Die geometrischen Randbedingungen werden also erfüllt, es muß noch geprüft werden, ob auch die Differentialgleichung erfüllt ist. Ist dies der Fall, dann wäre unsere Annahme für die Biegelinie exakt. n
w″ =
iπ iπ 2 a i ------- cos ------- x 2L 2L
i=1
w″L ≠ 0 d.h.: M ( x = L ) ≠ 0 Die Differentialgleichung wird in diesem Fall also nicht erfüllt Als nächster Schritt wird die potentielle Energie des Systems berechnet. Für das innere Potential gilt: Π mit
(i)
1 = – --- Mκ dx 2
κ = –w ″
und
M = EI κ
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8
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+ & C
Π
(i )
1 2 = – --- EI ( w″ ) dx 2
Das äußere Potential ergibt sich zu Π
(ä)
= PwL
Für N = 1 (nur ein Glied) wird die Krümmung aus den oben angeführten Gleichungen zu π 2 π w″ = ------- a 1 cos ------- x 2L 2L womit sich das innere und das äußere Potential wie folgt ergeben: Π
(i)
EI π = – ------ ------2 2L
L 4
π 2 a 1 cos ------- x dx 2L
Π
(i)
EI π 4 L 2 = – ------ ------- --- a 1 2 2L 2
0
Π
(ä)
π = Pa 1 1 – cos --- = P ⋅ a 1 2
Über das Prinzip der minimalen potentiellen Energie wird der gesuchte Parameter ermittelt: ∂Π EI π 4 ------- = – ------ L --- a 1 + P = 0 ∂a 1 32 L 3
PL a 1 = 0,3285 --------EI Eingesetzt in die Ansatzfunktion erhält man die Lösung für die Durchbiegung. π w ( x ) = a 1 1 – cos ------- x 2L Wertet man die Durchbiegung an einigen Stellen aus, so ergibt sich etwa für das Stabende ( x = L ) 3
PL w L = 0,3285 --------EI
Die exakte Lösung der Differentialgleichung wäre aber etwas größer 3
PL w L = 1--- --------3 EI
8
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5
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+ & C
Der Fehler beträgt aber hier nur etwa 1,5%.
Erhöht man die Anzahl der Parameter für die Ansatzfunktion, so ergeben sich bei N = 2 so erhält man ein gekoppeltes Gleichungssystem mit 2 Gleichungen: ∂Π ∂Π ------- = 0 und ------- = 0 ∂a 1 ∂a 2 aus denen die zwei Parameter ermittelt werden können: 3
3
PL PL a 1 = 0,3156 --------- und a 2 = 0,00759 --------EI EI Die Verformung beträgt nun 3
w L = 0,3308 PL --------EI Der Fehler im Vergleich zur exakten Lösung reduziert sich also bereits auf 0,66%.
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$
$+
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"
$$
Gegeben sei ein Einfeldträger, der durch eine Einzellast in Feldmitte belastet wird. Q
Q
1
0
#
Zunächst wird eine Funktion mit nur einem Parameter angenommen π w = a 1 sin ---x L an, die den geometrischen Randbedingungen x = 0
w = 0
x = L
w = 0
genügt. Der Krümmungsverlauf ist
8
)
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+ & C
π2 π w″ = –a 1 --- sin ---x L L und die potentielle Energie ergibt sich als L
EI 2 Π = – ------ a 1 2
0
π 2 πx 2 – --- sin ------ dx – Pa L L
4
aus
EIπ ∂Π ------- = -----------a – P = 0 3 ∂a 1 2L
3
2PL a 1 = -----------4 π EI
folgt
so ergibt sich für die Biegelinie näherungsweise 3
3
2PL w = ------------ sin πx -----4 L π EI
also
PL w = ------------------ sin πx -----48, 7EI L
Im Vergleich dazu wieder die exakte Funktion der Biegelinie, die sich wie folgt aus der analytischen Lösung der Differentialgleichung ergibt: 3
x x PL w = ------------ 3 --- – 4 --L 48EI L
3
Stellt man auch hier die Durchbiegungen der beiden Lösungen gegenüber, so erkennt man, daß zum Beispiel in Feldmitte ( x = L / 2 ) 3
PL w = 0,02053 --------EI
)
3
PL w = 0,02083 --------EI
0
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der Fehler auch wieder etwa 1,5% beträgt. )#
#
" +
Den Momentenverlauf kann man aus der zweiten Ableitung der Biegelinie (Krümmung) bestimmen (Annahme Bernoulli, Hooke): M = – EI w″ 3
2
2PL π πx M = – EI ------------ – ----- sin -----4 2 L π EI L
8
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2PL πx PL πx = ---------- sin ------ = ------------ sin -----2 L 4, 93 L π
5
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+ & C
'
Die Näherung des maximalen Moments (in der Stabmitte) ist PL M max = -----------4, 93 PL M max = ------4
)
0
%
Der Fehler beträgt 23% d.h. schneidet man den Balken in der Mitte und überprüft das Gleichgewicht mit dem Näherungswert M dann stellt man fest das dieses nicht erfüllt ist. Den Querkraftverlauf erhält man aus der Ableitung des Momentenverlaufs π3 dM πx Q = -------- = E I w''' = EI a --- cos -----L dx L 3
3
2PL π πx 2 πx πx Q = EI ------------ ----- cos ------ = --- P cos ------ = 0,637 P cos -----4 3 L π L L π EI L An den Auflagern ( x = 0 ) ergibt sich eine Querkraft von )
Q = 0,637 P Q = 0,5 P
0
%
Der Fehler ist 26%. In Feldmitte ist das Ergebnis für die Querkraft sogar völlig falsch und damit unbrauchbar. )
Q = 0 Q = ±P --2
0
%
8
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)
5 '
"
+ & C
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%
F ) 0
)# I
%
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$
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"
$
$
Als abschließendes Beispiel zum Ritz’schen Verfahren soll der zuvor gezeigte Träger, diesmal mit einer Gleichlast belastet, untersucht werden. : 0
#
Es wird dabei die gleiche Ansatzfunktion wie zuvor verwendet
π w = a 1 sin ---x L
und der zugehörige Parameter über das Potential ermittelt: L
EI 2 Π = – ------ a 1 2
0
L
π 2 πx 2 ------ dx – --- sin ------ dx – – q a sin πx L L L 0
4
∂Π EIπ 2qL ------- = -----------a 1 – ---------- = 0 3 π ∂a 1 2L
8
5
"
+ & C
'
4
4qL a 1 = -------------5 EI π Die angenäherte Funktion der Biegelinie lautet daher 4
4 4qL πx πx qL w = ------------ sin ------ = 0,01307 --------- sin -----5 EI L L EIπ
Stellt man wieder die Durchbiegungen in Feldmitte ( x = L ⁄ 2 ) gegenüber 4
qL w = 0,01307 --------EI
)
4
qL w = 0,01302 --------EI
0
%
so beträgt der Fehler nur 0,4%. Beim Momentenverlauf 2
2
4
2 πx 4qL πx π 4qL qL - sin πx -----M = – EI w″ = EI ----- ------------ sin ------ = ------------ sin ------ = -----------3 5 2 L 7,752 L L π L EIπ 2
M max
qL = ------------7,752
)
2
M max
qL = --------8
0
%
ist die Abweichung aber schon größer (etwa 3%).
Beim Querkraftverlauf 3
4
π 4qL 4qL Q = EI ----- ------------ cos πx ------ = ---------- cos πx ------ = 0,4053 qL cos πx -----3 5 2 L L L L EIπ π )
Q max = 0,4053 qL Q max = 0,5 qL
0
%
ist die Abweichung 18%.
8
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) 2P
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I
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3
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Schlußfolgerungen aus den Beispielen: Es wird meist eine gute Näherung für die Verformung mit nur wenigen Parametern erzielt. Größere Fehler treten erst bei den Schnittkraftverläufen M und Q auf, da sie aus der Biegelinie abgeleitet werden. Die größten Abweichungen entstehen daher bei der Querkraft. Bei konzentrierten Belastungen (Einzellast, Unstetigkeit in den Schnittkraftlinien) kann oft nur eine schlechte Näherung erhalten werden. Anders als bei verteilten Lasten (Gleichlast), sind daher bei Einzellasten mehr Parameter zu berücksichtigen.
)#( D
":8
;
w Man nimmt eine Funktion (Ritz’scher Ansatz) für den Verlauf der Verformung mit noch unbekannten Parametern an. Je mehr Parameter gewählt werden, desto besser fällt die Näherung aus. w Die angenommene Funktion muß nur die geometrischen Randbedingungen erfüllen. Am einfachsten ist es, Winkelfunktionen zu verwenden, da diese leicht ableitbar sind. w Die Parameter des Ritz’schen Ansatzes werden durch die Bildung eines Minimums der potentiellen Energie Π = Π ( i ) + Π ( a ) ermittelt, für jeden Parameter erhält man eine Gleichung der Form
8
5
" '
∂Π ------- = 0 ∂a 1
+ & C
ai
w Nach Bestimmung der Parameter für die Näherung der Biegelinie, wird aus dieser der Verlauf der inneren (Schnitt-)Kräfte ermittelt.
)#)
5
6
"
Bisher wurden die Integrale analytisch ausgewertet. Dies ist bei komplexeren Problemen (z.B. veränderliches Trägheitsmoment) nicht mehr so leicht möglich. Daher soll eine Alternative geboten werden: die numerische Integration. Diese wurde schon in Baustatik 1 behandelt, wo die numerische Integration nach Simpson vorgestellt wurde. Sie ist jedoch nur für Funktionen bis zweiter Ordnung (quadratische Parabel) exakt. Bei der Gauss’schen Integration ist es möglich durch die Wahl der Anzahl der Punkte Funktionen beliebiger Ordnung zu integrieren. Die Gauss Qudrature wie sie im englischen auch genannt wird ist nur für einen Integrationsintervall von ± 1 gedacht, sodaß bei der Anwendung ein lokales Koordinatensystem ξ eingeführt werden muß. Für ein Integral über ein Intervall von 0 bis L ist die Transformation. L
f ( x ) dx =
0
1
dx f ( ξ ) ------ dξ dξ –1
wobei L dx L x = --- ( 1 + ξ ) ; ------ = --2 dξ 2 Der letztere Ausdruck ist auch als Jacobian Bekannt. 0
x=0
x=L
x=L/2 ξ=0
ξ=-1
ξ=1
ξ
In der Gauss Integration wird das Integral durch eine Summe ersetzt 1 –1
f ( ξ )dξ =
N i=1
Wi f ( ξi )
wobei Wi Gewichtungsfunktionen sind, N ist die Anzahl der Integrationspunkte. Die Koordinaten der Gausspunkte (ξι) und die Gewichtungsfunktionen Wi sind in Tabelle 5.1 für Funktionen bis zur Ordnung 5 gegeben. Da es sich bei the Methode nach Ritz um ein Näherungsverfahren handelt ist eine exakte Integration der Funktionen im Integral nicht unbedingt notwendig.
8
5
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A
A * 8 (,
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N
ξi
Wi
Ordnung von f
1
0
2
1
2
-0.5773 , 0.5773
1.0, 1.0
3
3
-0.7746, 0.0, 0.7746
0.5555, 0.8888, 0.5555
5
)
$, "
"
Hier soll ein Beispiel gewählt werden bei dem der Einsatz von exakten Methoden zu einem weit höheren Rechenaufwand führen würden. "
" 0
h=0.6 m
h=0.3 m #
Gegeben: Belastung: Gleichlast q Rechteckiger Querschnitt mit b=0,25 m Gesucht: Verformte Figur, Momentenverlauf. Ritz’schen Ansatz mit N=1 und N=2. Integrale numerisch auswerten (2 Integrationspunkte, Symmetrie ausnützen!). Unter der Brücksichtigung der Symmetrie wirkt die lokale Koodinate ξ nur über die Häfte des Trägers. Die Formel für die Veränderung der Trägheitmomentes lautet.: 3
1 bh ( x ) x 3 –3 –3 I ( x ) = ---------------- = 4, 5x10 1 – --- = 4, 5x10 1 – --- ( 1 + ξ ) 4 12 L Für N=1 ist der Ansatz: πx π w ( x ) = a 1 1 – cos ------ = a 1 1 – cos --- ( 1 + ξ ) L 4 Dieser entspricht den geometrischen Randbedingungen.
8
6
3
5 ?
"
+ A
Unter Annahme von Symmetrie ergibt sich für die innere potentielle Energie: Π
(i ))
L --2 2
= – E I ( w'' ) dx 0
oder 1
Π
(i ))
4, 5 ⋅ 10
= –1
–3
1 1 – --- ( 1 + ξ ) 4
3
π π 2 a 1 --- cos --- ( 1 + ξ ) 4 4
2L
--- dξ 4
Das äussere Potential ergibt sich als:
Π
(a)
L --2
= 2 w ( x )q dx 0
oder 1
Π
(a)
π L = 2 a 1 1 – cos --- ( 1 + ξ ) q --- dξ 2 2 –1
Die numerische Integartion für zwei Gauss Punkte ergibt (i)
Π = 4, 5 ⋅ 10 + 4, 5 ⋅ 10
–3
–3
1 1 – --- ( 1 + 0, 577 ) 4
1 1 – --- ( 1 – 0, 577 ) 4
3
3
π 2 π a 1 --- cos --- ( 1 + 0, 577 ) 4 4
π 2 π a 1 --- cos --- ( 1 – 0, 577 ) 4 4
2L
--4
2L
--4
und Π
(a)
π π = a 1 1 – cos --- ( 1 + 0, 577 ) qL + a 1 1 – cos --- ( 1 – 0, 577 ) qL 2 2
Draus ergibt sich a 1 = ....
8
8
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+ B
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+
+
B
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Die Methode von Ritz kann auch für Probleme in der Kontinuumsmechanik (Scheiben Platten etc.) angewendet werden. Es wird jedoch immer schwieriger geiegnete Ansatzfunktionen zu bestimmen, die allen geometrischen Randbedingungen entsprechen. Daher hat Clough Anfang der 60er Jahre das Konzept der Finiten Elemente eingeführt. Dieses sieht vor die zu berechnende Struktur in kleinere Substrukturen (Finite Elemente) zu unterteilen (diesen Vorgang nennt man auch Diskretisierung). Die Ansatzfunktionen werden für jeder der Substrukturen unabhängig erstellt und es können daher einfache Funktionen verwendet werden da sie nur die Übergangsbedingungen (Kompatibilitätebedingungen) zwischen Subelementen erfüllen müssen. Die Methode der Finiten Elemente soll hier nicht näher erläutert werden, es wird auf die Lehrveranstaltung Finite Element Methoden hingewiesen. Hier sollen nur ein paar Beispiele von Anwendungen gezeigt werden. Dabei ist es auch hier notwendig die Realität des dreidimensionalen Kontinuums zu vereinfachen. Drei Sonderfälle von Kontinua werden im folgenden behandelt: 1.)Ebener Spannungszustand (Scheiben) 2.)Ebener Verzerrungszustand 3.)Platten 1.) Ebener Spannungszustand σy
Scheiben sind ebene Tragwerke, die nur in ihrer Ebene belastet sind. Die Normalspannung senkrecht zur Oberfläche und die Schubspannungen an der Scheibenoberfläche sind Null (ebener Spannungszustand, „plane stress“). Es gibt in diesem Fall nur Verformungen in Richtung normal zur Scheibenebene. Sie resultieren aus der Querdehnung des Materials.
τyx τzy = 0
τxy
τzx = 0 σz = 0
σx y z
x
2.) Ebener Verzerrungszustand Ein zweiter Sonderfall tritt bei der Berechnung von in einer Richtung sehr langen (unendlich ausgedehnten) Kontinua auf (z.B. Tunnel, Schwergewichtsmauern). Die Verzerrungen aus der Ebene werden dabei als Null angenommen (ebener Verzerrungszustand, „plane strain“). Aus einer Querdehnungsbehinderung resultieren Spannungen senkrecht zur Scheibenebene.
τyx τxy τzx σx
8
;
τzy σz = 0 εz = 0
y x
σy
z
5 $ $
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" B
+ "
Die Ansatzfunktionen welche die Verformungen im Element beschreiben können entweder linear oder parabolisch gewählt werden. Wie aus Abb. 5.3 zu ersehen ist, hat die Wahl des Verformungsansatzes einen Einfluß auf die Qualität des Berechnungsergebnisses. Das lineare Element verhält sich steifer als das parabolische - es ist in seinen Verformungsmöglichkeiten eingeschränkt. ux uy
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B "
Zur besseren Illustration der Unterschiede zwischen beiden Ansätzen wird in Abb. 5.4 ein Kragträger betrachtet, der nur aus einem einzigen Element besteht. (In der Rechenpraxis ist die Diskretisierung mit nur einem Element natürlich nicht ausreichend.)
a)
b) %
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3
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Man kann mit einem parabolischen Element die Krümmung relativ gut nachbilden und so das Verhalten eines Kragträgers unter Biegung näherungsweise gut erfassen. Das einzelne lineare Element ist jedoch nicht in der Lage, die Biegeverformung des Trägers wiederzugeben dadurch wird die gesamte Verformung als Schubverzerrung wiedergegeben. Die Ergebnisse dieser Berechnung sind bedeu-
8
)
5 /
" $ $
+ B
"
tungslos. Hier müsse man den Träger in wesentlich mehr Elemente unterteilen um vernünftige Ergebnisse zu erzielen. 3.) Platten Platten sind ebene Flächentragwerke mit einer die Belastung die normal auf die Plattenebene wirkt. Ist die Dicke der Platte klein im Vergleich zu den beiden anderen Plattenabmessungen, kann die Platte durch ihre Mittelfläche idealisiert werden (Abb. 5.5).
Plattenmittelfläche
y
x z
b
h l h/l << 1 h/b << 1 %
)) 1
(I
"
$
Die Lasten greifen entsprechend der Idealisierung an der Mittelfläche der Platte an. Man hat es daher näherungsweise mit einem ebenen Spannungszustand zu tun. Unter der bei geringer Plattendicke gerechtfertigten Annahme, daß der Plattenquerschnitt eben bleibt (Kirchhoff, Reissner) sind die Spannungen σx, σy und τxy= τyx über die Plattendicke linear verteilt. Aus Gleichgewichtsgründen treten außerdem die Schubspannungen τxz = τzx und τyz = τzy auf (Abb. 5.6).
8
<
5 $ $
/
"
+
B
"
Durch Integration der Spannungen erhält man die folgenden Schnittkräfte. τxz
x
y z
σx τyz
τyx
σy qx =
mx =
h --2 h – --2 h --2 h – --2
τ xz dz
my
qx
τxy myx qy =
σ x z dz %
mxy
mx
h --2 h – --2
my = )* 1
( !?
qy
τ yz dz h --2
h – --2
σ y z dz
m yx = m xy = $ !&
h --2 h – --2
τ xy z dz
GE
Mit mx und my werden in der Plattentheorie die Momente in x- bzw. y- Schnitten bezeichnet (und nicht die Momente um x- und y-Achse). Die Momente mxy und myx werden als Drillmomente bezeichnet. Biege- und Drillmomente haben die Dimension [kNm/m]. Analog zum Konzept der Hauptspannungen existiert in der Plattentheorie das Konzept der Hauptmomente. In jedem Plattenpunkt wird der Momentenzustand durch mx, my, mxy eindeutig beschrieben. Wirken nur Biege- und keine Drillmomente, so spricht man von Haupt(biege)momenten. An jedem Punkt der Platte kann man einen Schnitt finden, an dem das Drillmoment zu Null wird und nur Hauptmomente auftreten. Diese sind Extremwerte und können daher für die Bemessung herangezogen werden. In der FE-Berechnung werden zur Berechnung von Platten zweidimensionale Elemente mit drei Freiheitsgraden pro Knoten verwendet. Die beiden Verdrehungen sind in jedem Knoten unabhängig von der Vertikalverformung. Der Querschnitt steht nach der Verformung nicht mehr normal auf die Mittelfläche. Das bedeutet, daß die Normalenhypothese zur Berechnung nicht benötigt wird und Schubverzerrungen berücksichtigt werden. Diese Theorie der schubweichen Platte geht auf Reissner zurück. Die einfachere Kirchhoff’sche Plattentheorie, wie sie zur Handrechnung verwendet wird, geht davon aus, daß die Plattenquerschnitte normal auf die Mittelfläche bleiben (schubsteife Platte). Beiden Theorien ist gemeinsam, daß das Ebenbleiben der Querschnitte vorausgesetzt wird (1. Bernoulli-Hypothese).
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Material: Beton
A
E = 3,0 E7 kN/m2 ν = 0,25 . @5" 0
Geometrie: h = 3,0 m L = 3,0 m
.
5
@
B
6
.@
0
Dicke t = 0,2 m
@
5
Gesucht:
Zuerst wird die Lösung mit der klassischen Balkentheorie untersucht. Im Vorhinein ist bereits klar, daß man nur unbrauchbare Ergebnisse erzielen wird, da die Balkenbiegung erst ab einer Größenordnung von h/L = 4 vernünftige Resultate gibt, in unserem Beispiel aber ein Verhältnis h/L = 1 vorliegt. In der Scheibenmitte ergibt sich (bei Idealisierung der Scheibe durch einen Einfeldträger, belastet mit einer Einzellast) eine maximale Spannung kN σ x = ± 60 ------- . 2 m Betrachten wir nun die Lösung des Problems mit der FE-Methode. Es wurden 400 isoparametrische Elemente mit parabolischem Verformungsansatz verwendet. Nachfolgend sollen nun die erhaltenen Resultate erläutert werden.
8 5
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5 $ $
" B
+ "
uA = 0,82 E(-5) m
Das Ergebnis stimmt mit der erwarteten Verformung des Systems gut überein. Man erkennt, daß im Bereich der Auflager (mit Kreis markiert) ein Knick auftritt, den es in Wirklichkeit nicht geben kann. Da als Freiheitsgrade nur Verschiebungen angesetzt werden, ist eine Kompatibilität der Knotenverdrehungen nicht gegeben und Knicke wie der in der obigen Abbildung können rechnerisch entstehen. In der Scheibenmitte erhält man folgenden Spannungsverlauf. Wie zu erwarten erweist sich die Balkenlösung als nicht brauchbar:
σx= -173 kN/m2
... Spannungsverteilung nach Balkentheorie
σx= 42 kN/m2
8 5
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+ B
"
Im Betonbau wird zur Bemessung von Scheibenkonstruktionen sehr oft ein Fachwerkmodell aus Betondruckstäben und Zugstäben aus Bewehrungsstahl herangezogen. Eine linear-elastische FE-Rechnung kann dazu dienen, ein geeignetes Fachwerkmodell zu finden. Die Spannungstrajektorien, d.h.: die aufeinander senkrecht stehenden Vektoren, die die Hauptnormalspannungen in Größe und Richtung beschreiben, geben Aufschluß über vernünftige Fachwerkmodelle.
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+
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Am Beispiel einer allseits gelenkig gelagerten quadratischen Platte unter Gleichlast soll die Anwendung der FE-Methode auf Plattenprobleme gezeigt werden. Material: z
y
2
q = 5 kN/m
x
Beton:
E = 3,0 E7 kN/m2 ν = 0,25
Geometrie: b a
a = b = 10 m Belastung: q = 5 kN/m2
8 5
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5 $ $
"
+
B
"
Die Platte wurde mit 400 isoparametrischen Elementen mit parabolischem Verformungsansatz modelliert. An den Plattenrändern wurde gemäß den vorgegebenen Randbedingungen die Verformung in z-Richtung gesperrt, die Verdrehungen wurden freigegeben. Die Verformungen unter der Gleichlast q sieht man in Abb. 5.7. Schnitt B - B z uz= 9,6 mm
x
A
B
B
uz= 9,6 mm
A %
)- +
& *
Man erkennt, daß aufgrund der Lagerung im Schnitt A-A an den Ecken der Platte eine einspannende Wirkung entsteht. Man sieht, daß in den Ecken die Richtung der Hauptmomente der Richtung der Diagonalen entspricht und eben diese Hauptmomente für die „Einspannung“ verantwortlich sind. In Plattenmitte hingegen sind aus Symmetriegründen einerseits die Biegemomente in x- und y-Richtung gleich groß und andererseits ist das Drillmoment gleich Null. Das wiederum bedeutet, daß mx und my die Hauptmomente sind. Diese Schlußfolgerungen werden durch die Rechnung bestätigt.
8 55
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Hauptrichtungen )1 / "
%
R
Zuletzt sei noch darauf hingewiesen, daß das Verhältnis von Plattenlänge zu Plattenbreite sowie die Lagerungsbedingungen einen wesentlichen Einfluß auf das Tragverhalten der Platte haben.
)''
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Am Beispiel der gelenkig gelagerten Kreisplatte unter Gleichlast soll die Übereinstimmung der FE-Rechnung mit analytischen Methoden untersucht werden. Man beachte dabei, daß in der FE-Rechnung Schubverzerrungen berücksichtigt werden, während analytische Rechenverfahren zumeist von schubsteifen Platten ausgehen.
p = 5 kN/m2
Material: Beton: E = 3,0 E7 kN/m2 ν = 0,25 Geometrie: R=5m
8 56
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" B
+ "
Das zur Berechnung verwendete FE-Netz besteht aus 80 parabolischen Elementen und ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
%
)2 B
)
Aufgrund der Kreissymmetrie sind die Hauptrichtungen in jedem Punkt der Platte radial bzw. tangential. Die Hauptmomente werden in diesem Fall mit m φ und m r bezeichnet.
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R
8 58
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Die Ergebnisse in Plattenmitte aus analytischer Rechnung und numerischer Berechnung sind im folgenden zusammengefaßt:
uz = 9,63 mm
$9 S""T
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B < = ;5
"φ S )"7"T
8 5=
8 65
" S )"7"T
8 5=
8 65
Man erkennt, daß bereits bei diesem relativ groben Netz die Ergebnisse von hervorragender Qualität sind.
8 5;
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B
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w Bei der FEM wird die Struktur (das Kontinuum) in kleine (finite) Elemente unterteilt. w Für jedes dieser Elemente wird eine (lokal definierte) Formfunktion angenommen, die den Verlauf der Verformungen im Element bestimmt. Die Parameter der Formfunktionen (shape functions) sind die Knotenverschiebungen des Elements. w Diese noch unbekannten Parameter (Verschiebungen) werden durch die Bildung eines Minimums der potentiellen Energie Π = A ( i ) + A ( a ) des Systems ermittelt. w Nach Bestimmung der Parameter werden auch die Verzerrungen und Spannungen aus den Knotenverformungen bestimmt.
8 5
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Die Aufgabe des Statikers ist es, die Tragwirkung einer Konstruktion sowie die das Bauwerk beanspruchenden Einwirkungen (Lasten) möglichst wirklichkeitsnahe zu erfassen. Im Allgemeinen sind Tragwerke jedoch komplexe dreidimensionale Gebilde. Um diese komplexe Aufgabe rechnerisch bewältigen zu können, ist es notwendig, das Bauwerk und die Belastung stark zu vereinfachen. Es muß ein System gefunden werden, das einerseits das Tragverhalten befriedigend beschreibt und das andererseits einen vertretbaren Aufwand an Rechenleistung erfordert. Die Vereinfachung des Systems um den Rechenaufwand zu minimieren lässt sich unter dem Begriff Modellbildung zusammenfassen. Als nur der Rechenschieber als einziges Rechenmittel zur Verfügung stand war eine effiziente Modellbildung unabdingbar, da nur durch eine sehr effiziente Modellbildung eine Rechnung überhaupt möglich war. Mit dem Verfügbarkeit von EDV Programmen, die komplexe 3-D Systeme in Sekundenschnelle rechnen können ist die Notwendigkeit einer effizienten Modellbildung nicht mehr in dem Ausmaß gegeben. Modellbildung ist aber trotzdem von sehr großer Wichtigkeit. Sehr oft wird das Tragwerk „zu Tode gerechnet“ d.h. der betriebene Aufwand steht in keinem Verhältnis zu der Qualität der Ergebnisse.
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In der Wirklichkeit ist ein Tragwerk ein dreidimensionales Kontinuum. Um den Aufwand in der Berechnung zu verringern werden sie je nach Erfordernis auf einoder zweidimensionale baustatische Systeme reduziert. Diese Idealisierung wird durch spezielle Annahmen möglich und führt zu weniger aufwendigen Berechnungsverfahren. Es sei noch angemerkt, dass der Berechnungsaufwand bei einer Verringerung der Tragwerksdimension überproportional sinkt und daher eine ver-
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" $ A
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nünftige Idealisierung auch angesichts immer leistungsfähigerer Berechnungssoftware anzustreben ist. Die im Bauwesen üblichen Konstruktionen lassen sich hinsichtlich ihrer tragenden Elemente und der damit zusammenhängenden Lastabtragung wie folgt einteilen: w Kontinuumstragwerke w Flächentragwerke w Stabtragwerke
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Die Abmessungen Länge (L), Breite (B) und Höhe (H) sind hier in derselben Größenordnung.
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B
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Bei Beanspruchung entsteht ein räumlicher Spannungszustand, welcher der Bemessung zugrunde gelegt werden muß. Analytische Lösungen solcher Probleme sind im allgemeinen nicht verfügbar. Daher erfolgt die Berechnung solcher Kontinua zumeist mit Hilfe von Näherungsmethoden wie z.B. der Methode der Finiten Elemente. Ein Beispiel für ein solches Tragwerk ist in Abbildung 3.1 gezeigt. Dieses Tragwerk würde man nur schwer vereinfachen können.
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B$
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Als Flächentragwerke bezeichnet man Tragwerke oder Tragwerksteile, deren Dicke t klein im Verhältnis zu den beiden anderen Bauteilabmessungen L und B ist. Hier kann man einen linearen Verlauf der Spannungen über die Dicke t annehmen. Dadurch kann man Flächentragwerke als ebene oder gekrümmte Flächen modellieren. Dabei werden nur die Spannungen tangential zu der Fläche berücksichtigt. Spannungen normal zur Fläche treten in der Berechnung nicht auf. Flächentragwerke lassen sich entsprechend ihrer Belastung in folgende Gruppen unterteilen: Ebene Flächentragwerke: w Scheibentragwerke (ebene Fläche, Belastung wirkt in der Scheibenebene, Spannungsverlauf über die Dicke konstant, siehe Abb. 3.2).
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b)
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w Plattentragwerke (ebene Fläche, Belastung wirkt normal zur Plattenebene, Annahme eines linearen Verlaufs der Spannungen über die Dicke, auch als Kirchhofsche Plattentheorie bekannt) w Faltwerke (aus Scheiben und Platten zusammengesetze Tragwerke) Gekrümmte Flächentragwerke: w Schalentragwerke (gekrümmte Fläche, Belastung kann in beliebige Richtung wirken, linearer Verlauf der Spannungen über die Dicke, Beispiel siehe
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Abb. 3.5)
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Als Stabtragwerke bezeichnet man Bauteile, deren Dicke t und Breite B klein im Verhältnis zu ihrer Länge L sind. Hier wird ein linearer Spannungsverlauf in zwei Richtungen in der Querschnittsebene angenommen. Als Beispiel sei hier eine Fußgängerbrücke (Abb. 3.4) gezeigt. Sie besteht aus einem Biegeträger, einem Fachwerkträger und Zugbändern, welche die Unterspannung bilden. Eine Möglichkeit der Modellbildung wäre die Modellierung des Biegträgers als Faltwerk da die Blechdicke gegenüber den Abmessungen klein ist. Eine Berechnung mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente ist möglich und im Bild 3.3 gezeigt. Allerdings ist diese Berechnung aufwendig und auch nicht notwendig da ein einfaches Stabmodell Ergebnisse mit genügender Genauigkeit für die Dimensionierung ergeben. In der Vorlesung Statik der Tragwerke werden nur Stabtragwerke behandelt, daher wird hier im Detail auf die vereinfachten Annahmen eingegangen.
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Biegeträger
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Alle Tragwerke müssen auf dem Boden aufgelagert sein. Dabei wirkt das Tragwerk mit der Auflagerkraft auf den Boden und der Boden wirkt entgegengesetzt auf das Tragwerk. Die konstruktive Ausbildung der Auflager bestimmt welche Verschiebungsgrößen gesperrt werden und damit welche Auflagerkräfte aktiviert werden. Dadurch ist es möglich den Kraftfluß im Tragwerk zu beeinflussen. Im folgenden werden die in der Baustatik gebräuchlichen Symbole und die entstehenden Auflagerkraftgrößen erläutert.
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konstruktive Ausführung
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Beim beweglichen Auflager ist nur die Verschiebung in eine Richtung gesperrt. Verschiebliche Auflager werden oft verwendet um sicherzustellen dass die Temperaturausdehnung nicht behindert wird. *'#
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Bei einem unverschieblichen Auflager sind die Verschiebungen gesperrt und nur die Verdrehung frei.
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Symbol
konstruktive Ausführung %
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Bei einem eingespannten Auflager sind alle Verschiebungen als auch die Verdrehung gesperrt.
konstruktive Ausführung
Symbol %
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-
Es gilt grundsätzlich, dass Auflagerkräfte nur in Richtung der gesperrten Verformung auftreten. Eine Zusammenfassung aller Auflagersymbole wird in Abb. 2.26 gegeben. Die gebräuchlichen Auflagersymbole sind in Abb. 3.15 dargestellt.
*( 8
+
"
Tragwerke kann man sich aus mehreren Tragwerksteilen zusammengesetzt denken die miteinander verbunden sind. Dabei werden je nach der konstruktiven Ausbildung dieser Verbindungen Kräfte übertragen. Je nachdem welche Kraftgrößen von einem Stab zum nächsten übertragen werden können, unterscheidet man verschiedene Gelenkstypen. Abb. 2.20 enthält eine Auflistung der gebräuchlichsten Gelenke und ihrer Darstellungsart in statischen Systemen.
; 68
*
< + $$ $+ ' * $
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Fester Anschluss
Biegemomenten Gelenk
Normalkraft Gelenek
Querkraft Gelenk
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Gelenkstabäquivalent
Q
Zwischenreaktionen
M N
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* #) I
Q
M=0 N
Q
M
Q=0
N
N=0
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M
$ !."*
Abb. 3.17 zeigt die konstruktive Ausbildung eines Momentengelenks im konstruktiven Holzbau.
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Am Beispiel des Fußgängersteges in Abb. 3.11 wird die Unterteilung eines Tragwerks in Tragwerkselemente besprochen. Dabei unterscheiden wir verschiedene Typen von Tragwerkselementen, die sich dadurch unterscheiden wie sie konstruktiv ausgebildet sind und welche Belastung sie aufnehmen.
*)#
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Der vertikale Stab der Unterspannung der Fussgängerbrücke kann als Fachwerkstab modelliert werden. Ein Fachwerkstab ist ein Tragelement dass nur auf Zug und Druck trägt. Der Stab wird mit seinem Eigengewicht (verteilte Belastung in vertikaler Richtung entlang des Stabes) und durch Kräfte an den Verbindungen belastet. Da der letztere Einfluß wesentlich größer ist wird meistens der Einfluß aus Eigengewicht des Stabes vernachlässigt. Ein Fachwerkstab ist immer gelenkig an andere Tragwerkteile angeschlossen und es existiert keine Belastung quer zum Stab. Aus Gleichgewichtsüberlegungen ergibt sich dass im Gelenk nur eine Kraft entlang des Stabes (Normalkraft) wirken kann. Der Fachwerkstab wirkt der Belastung mit inneren Spannungen entgegen die durch Durchschneiden freigelegt werden können. G y1 G x1
1
M2 = 0
G x1 = 0
H= 0
G x2 = 0
V= 0
G y1 = – G y2
G x2
2 G y2 %
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Beim Fachwerkstab ist die Spannung über den Querschnitt konstant. Die Resultierende der Spannung wird mit N (Normalkraft) bezeichnet. In unserer Vorzeichenkonvention werden Kräfte die im Stab Zugspannungen verursachen als positive Schnittkräfte bezeichnet.
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N= σA N
A
σ = konstant
N N= σA %
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Zugbänder wirken wie Fachwerkstäbe mit dem Unterschied dass sie so bemessen werden, dass sie keine bzw. nur geringe Druckkräfte aufnehmen können.
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Im Gegensatz zum Fachwerkstab kann der Biegstab an andere Tragwerksteile beliebig angeschlossen werden und beliebig belastet werden. Die Bernoulli Hypothese.
Die Normalhypothese wurde 1687 von Jakob Bernoulli in handschriftlichen Aufzeichnungen veröffentlicht. Diese Hypothese besagt, dass ebene Querschnitte, die normal zur Stabachse sind auch nach der Verformung eben und normal auf die Stabachse bleiben.
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dx
x
w %
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Hier soll an einem einfachen, ebenen Beispiel gezeigt werden, dass diese Hypothese es uns erlaubt den Stab durch eine Linie, welche die Schwerpunkte der Querschnitte verbindet, zu ersetzen. Normalspannungen aus reiner Biegung
Im folgenden wird angenommen, dass der Stab nicht in Längsrichtung belastet ist, d.h. dass nur Beanspruchung aus Biegung auftreten. Abbildung 3.21 zeigt einen Stab in der unverformten und verformten Lage. Betrachtet man zwei gerade Linien mit einem Abstand dx, die normal zur Stabachse stehen so sieht man das diese auch nach der Verformung gerade und normal zur Stabachse bleiben.
w′
z
w′ +
dw′ dx dx
dx
Längenänderung: du = w' z − ( w'+ dw′ dx) z = − dw′ dx ⋅ z = − w′′z ⋅ dx dx
ε=
Dehnung: %
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dx
du 1 = − w′′z = κ z = z dx R +
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In Abb. 6.20 sind beide Linien noch einmal größer augetragen, um zu zeigen wie man aus den Verdrehungen der Linien (bzw. der Neigung der Tangente zur Biegli-
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nie) die Verlängerung einer Faser und daraus auch die Dehnung einer Faser mit dem Abstand z berechnen kann.
ε
σ
z
Dehnungsverlauf : ε ( z ) = κ z
Hookesches Gesetz : σ = Eε Spannungsgsverlauf : σ ( z ) = Eκ z * # +
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Hier kann die zweifache Ableitung der Bieglinie w(x) durch die negative Krümmung κ= 1/R ersetzt werden. Das Vorzeichen ergibt sich aus der Annahme, dass sie z-Achse nach unten gerichtet ist. Führt man das Hooke‘sche Gesetz ein so ergibt sich ein linearer Verlauf der Spannungen über den Querschnitt (Abb. 6.21 und Abb. 6.22).
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Schubspannungen aus reiner Biegung
Die eben gezeigte Berechnung der Biegespannung aus der Krümmung ist nur gültig wenn zwischen den einzelnen Fasern keine Relativverschiebung (Schlupf) entsteht. Dies kann man am besten an Hand eines aus zwei Brettern bestehenden Holzträgers erklären. Sind die einzelnen Bretter nicht miteinander verdübelt dann ist der Träger viel weniger steif als mit einer Verdübelung. Die Kräfte in den Dübeln stellen die im Träger wirkenden Schubkräfte dar.
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Die Schubspannungeverteilung über den Querschnitt für den Fall dass kein Schlupf zwischen den Fasern vorkommt kann aus dem Gleichgewicht eines abgeschnittenen Teils ermittelt werden und wird hier für einen Rechteckquerschnitt gezeigt (Abb. 6.24) b
τ
T R1
z h/2
R2 dx
σ+
σ %
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dσ dx dx &
Die aus den Normalspannungen resultierenden Kräfte sind: z
R1 =
h⁄2
σ b dz , R 2 =
z h⁄2
σ+
dσ dx b dz dx
Die Resultierende Kraft T aus der Schubspannung ist: T = τ bdx Horizontales Gleichgewicht ergibt sich wenn:
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T = R1 – R2
dσ , τb = dx
z h⁄2
b dz
und für die Schubspannung: 1 dσ τ = --- ⋅ ⋅ S( z) b dx wobei S(z) das statische Moment des abgeschnittenen Teils ist. h Der Verlauf von S(z) in z Richtung ist quadratisch. S(z) hat den Wert 0 bei z = ± --2 und den maximalen Wert bei z=0. Aus diesem Ergebnis ist klar, dass Schubspannungen quadratisch über den Querschnitt verteilt sind und nur entstehen wenn sich die Normalspannungen in Stabrichtung ändern ( d σ ⁄ dx ≠ 0 ).
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Zur Gleichgewichtsbestimmung müssen die Spannungen durch resultierende Kräfte ersetzt werden. Diese Kräfte werden auch Schnittkräfte oder innere Kräfte (internal forces) genannt. Bei einem allgemeinen Biegestab treten zusätzlich zu den über den Querschnitt linear verteilten Normalspannungen aus Belastung quer zum Stab (Biegespannungen) auch die beim Fachwerkstab erwähnten über den Querschnitt konstanten Normalspannungen aus Belastung in Richtung der Stabachse auf.
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Bei einem ebenen Spannungszustand nimmt man an, dass die Spannungen entlang der y-Achse (quer zur z-Achse) konstant sind. Abb. 6.25 zeigt die Beziehungen zwischen den Spannungen und den resultierenden Schnittkräften.ie Normalkräfte und Momente ergeben sich als: 2
σ x dA und M =
N= A
σ x z dA = E κ z dA = EI κ A
A
wobei I das (statische) Trägheitsmoment des Querschnitts ist. Die zweite Gleichung besagt dass das Moment proportional der Krümmung ist.
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My
N=
N
σ x dA
My =
A
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σ x dA
A
σ x z dA
z
τ
xz
Qz
Qz =
A
τ xz dA
τ xz dA
z %
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Grundsätzlich könnte man die Faser z=0 beliebig wählen. In der Baustatik wird z=0 so gewählt, dass bei reiner Momentenbelastung (N=0) die Spannungen an dieser Faser Null sind. Aus der Beziehung N=0 ergibt sich z dA = S = 0 A
d.h. diese Achse ist mit dem Schwerpunkt des Querschnitts identisch. Verbindet man die Schwerpunkte aller Querschnitte so erhält man die Schwerachse. Da die Spannungen aus reiner Momentenbelastung in dieser Achse Null sind spricht man dabei auch von einer neutralen Achse (neutral axis).
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Eine wichtige Aufgabe ist es die Art und Größe der zu erwartenden Einwirkungen auf das Tragwerk zu bestimmen. Das Tragwerk muß so konstruiert werden, dass es unter der ungünstigsten Kombination aller möglichen Einwirkungen sicher und gebrauchstauglich ist. Unter Sicherheit versteht man, dass die Wahrscheinlichkeit des Versagens des Tragwerks verschwindend gering ist. Unter Gebrauchstauglichkeit wersteht man, das die Verformungen des Tragwerks so klein sind, dass die Verwendung nicht beeinträchtigt wird. Die Größe der zulässigen Verformungen hängen von der Verwendung des Tragwerks ab. Ein Gebäude, das zur Herstellung
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von Computer chips verwendet wird hat z.B. wesentlich strengere Vorgaben als ein Bürogebäude.
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Grundsätzlich unterscheidet man nach Art der Einwirkungen zwischen einer Belastung durch Kräfte und durch andere Einwirkungen wie z.B. Temperatur, Schwinden und Kriechen etc. Lasten können genau bekannt sein wie z.B. Eigengewicht oder mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in einer bestimmten Größe auftreten. Je nach der Auftretenswahrscheinlichkeit unterscheiden wir zwischen gewöhnlichen und außergewöhnlichen Einwirkungen. Außergewöhnliche Lasten treten nur sehr selten auf. Eigengewicht
Darunter verstehen wir das Gewicht der eigentlichen Tragkonstruktion. Das Gewicht wird mit der spezifischen Masse des Materials γ (kg/m3) bestimmt aus dem der Stab besteht. Bei Stabtragwerken wird die Eigengewichtsbelastung für jeden Stab in eine Lastintensität oder Streckenlast umgerechnet. w = γ gA ( kN ⁄ m Stablänge ) wobei g=9,81 m/sec2 und A die Querschnittsfläche in m2 ist. Ist die Querschnittsfläche über die Stablänge konstant dann ist die Streckenlast gleichmäßig, d.h. die Intensität ändert sich nicht. Eine gleichmäßige Streckenlast kann durch folgende Symbole dargestellt werden w w
w
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Ändert sich die Querschnittsfläche entlang des Stabes wie z.B. in Abb. 6.11 dann ist die Steckenlast ungleichmäßig, d.h. die Intensität ändert sich entlang des Stabes. Die Darstellung dieser Art von Belastung ist in dargestellt. w1 %
w2 * - /G
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w1
w2
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Das Eigengewicht der Tragkonstruktion ist von der Dimensionierung abhängig, d.h. kann sich während der Entwurfsiteration ändern.
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Ständige Lasten
Neben dem Eigengewicht eines Tragwerkselementes ist die ständige Auflast, die als unveränderliche, dauernd wirkende Belastung verstanden wird, zu berücksichtigen. Sie resultiert aus dem Gewicht vorhandener Decken- oder Fahrbahnbelägen, Leitungen, Geländer, fester Einbauten o.ä. Im Gegensatz zum Eigengewicht, welches sich im Zuge der Dimensionierung des Bauwerks ändern kann, steht die ständige Auflast in der Regel von Anfang an fest. Verkehrsbelastung
Unter Verkehrsbelastung versteht man vorübergehend auftretende Nutzlasten, die im allgemeinen nicht ortsgebunden sind. Bei Eisenbahn- und Straßenbrücken sind dies die Radlasten der Fahrwerke. In Wirklichkeit sind die Kräfte die unter den Rädern wirken verteilte Belastungen. Man kann diese jedoch durch Einzellasten ersetzen (siehe auch das Prinzip von St. Venant). Bei Hochbauten kann die Verkehrsbelastung durch Menschenansammlungen, Mobiliar, Güter u.ä. zustande kommen. Die Verkehrsbelastung ist in den einschlägigen Normen festgelegt.
Rad einer Eisenbahn %
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Rad eines Lastautos $
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Schneebelastung
Die Belastung durch Schnee kann vor allem in alpinen Ländern eine wichtige Einwirkung sein. Die Schneelast wird aus dem spezifischen Gewicht des Schnees bestimmt und einer angenommene Schneedecke berechnet und wird in den Normen für verschiedene Standorte als gleichmäßig verteilte Flächenlast angegeben. Diese muß dann in eine gleichmäßig verteilte Linienlast umgerechnet werden. Aus Abb. 6.29 ergibt sich mit der spezifischen Masse γ s des Schnees, der Dicke der Schneedecke h und der Einflußbreite b die Schneelast als: w s = γ s ghb (kN/m pojezierter Länge) Zu beachten ist dass die Schneelast auf die Grundfläche bezogen wird.
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Windbelastung
Die an einem Bauwerk angreifenden Windlasten hängen von der Windgeschwindigkeit dem Widerstandskoeffizient cw und dem Standort (freistehend oder dicht bebautes Gebiet) ab. Sie wirkt normal auf die belasteten Flächen. Windlasten werden in den Normen für bestimmte Zonen angegeben. Bremskräfte, Anfahrwiderstände
Dies sind Kräfte die beim Abbremsen und Beschleunigen auftreten. Sie sind vor allem bei Kranbahnen zu berücksichtigten, da hier oft große Massen abgebremst bzw. beschleunigt werden. Fliehkräfte
Liegt eine Eisenbahnbrücke oder Straßenbrücke in einem Bogen, so wird das Bauwerk bei der Überfahrt eines Fahrzeuges durch die dabei entstehenden Fliehkräfte beansprucht. Dies kann bei Eisenbahnbrücken (wegen der großen Masse) eine wichtige Einwirkung auf das Bauwerk sein. Wasserdruck
Bei manchen Tragwerken (z.B. Talsperren) ist die Beanspruchung aus Wasserdruck die wichtigste Einwirkung. Die Größe des ruhenden Wasserdrucks ist im Gegensatz zu den meisten anderen Einwirkungen genau bekannt. Erddruck
Bewegt sich ein Stützbauwerk in Richtung des wirkenden Erddrucks, so wirkt der sogenannte aktive Erddruck. Wird ein Bauwerk vom Erdkörper gestützt; bewegt es
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sich also gegen den wirkenden Erddruck, so wirkt der passive Erddruck. Er ist um ein Vielfaches höher als der aktive Erddruck. Silodruck
Silos für die verschiedensten Schüttgüter nehmen eine Sonderstellung unter den Bauwerken ein, da ihr Belastungszustand nur schwer zu erfassen ist. Die Lastwirkung ist von der Art des Füllgutes, seinem Feuchtigkeitsgehalt u.a.m, aber auch von dessen Bewegung und Durchlüftung abhängig. Vor allem bei der Entleerung eines Silos können maßgebende Belastungen entstehen. Zwangskräfte Bei statisch unbestimmten Systemen entstehen unter Einwirkung von Temperaturänderungen, Lagersetzungen oder eingeprägten Verschiebungen zusätzliche Schnittgrößen im Tragwerk. Bei statisch bestimmten Systemen führen solche Einwirkungen nur zu Verformungen. Dynamischer Beanspruchungen
Ein Bauteil oder ein Tragwerk kann durch verschiedene Ursachen in Schwingung versetzt werden. Ursache für Schwingungen können Fahrbahnunebenheiten, unwuchtig rotierende Massen von Fahrzeugen oder Maschinen, Anprallstöße, bewegte Verkehrslasten, Erdbeben, etc. sein. Schnittgrößen aus dynamischer Beanspruchung können erheblich größer als Schnittgrößen aus statischer Beanspruchung sein. Dynamische Phänomene werden deshalb zumeist durch Erhöhung der statischen Lasten mit einem dynamischen Beiwert erfaßt. Vorspannung *- ##
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Anprall von Fahrzeugen
Sind Bauteile wie Stützen oder Stiele nicht durch besondere Vorkehrungen gegen den Anprall von Fahrzeugen geschützt, so ist bei der Bemessung die Einwirkung von Anprallkräften zu berücksichtigen. In der Regel geschieht das durch Ansetzen statischer Ersatzlasten. Erdbebenkräfte
Die Wirkung aus Erdbeben auf Bauwerke besteht vor allem im Auftreten großer Horizontalkräfte aus waagrechten Beschleunigungen. Das ist deshalb so ungünstig, weil Bauwerke vorwiegend auf vertikale Lasten bemessen sind. Erdbebenkräfte sind von der Masse- und Steifigkeitsverteilung eines Bauwerks abhängig.
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Von großer Bedeutung für eine vernünftige Idealisierung ist das Prinzip von SaintVenant. Es wurde vom französischen Ingenieur Saint-Venant 1855 formuliert und besagt: Zwei verschiedene Verteilungen einer Last, die auf dieselbe Stelle eines Körpers wirken, haben grundsätzlich dieselbe Auswirkung auf jene Teile des Körpers, die genügend weit weg von der Laststelle sind vorausgesetzt die angreifenden Lasten haben die gleiche Resultierende.
Folgendes Bild soll diesen Sachverhalt erläutern: L
τ
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p(x)
gleiche Spannungsverläufe
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a τ
σ
a
p ( x ) dx
R = 0
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Die in der Natur vorkommenden Belastungen werden in der Statik durch verteilte Kraftgrösse und Einzelkraftgrössen idealisiert. Hier sollen einige Beispiele gezeigt werden. *- '#
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Die Belastung durch eine vorgehängte Fassade kann durch verteilte Kräfte und Momente idealisiert werden. (siehe Abb. 6.31)
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Bei der Berücksichtigung von Fahrzeugen werden die einzelnen Radlasten durch eine verteilte Belastung und eventuell zusätzlich durch Einzellasten idealisiert (siehe Abb. 6.32).
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Dies ist eine Veröffentlichung des FACHBEREICHS INGENIEURBAUKUNST (IBK) AN DER TU GRAZ Der Fachbereich Ingenieurbaukunst umfasst die dem konstruktiven Ingenieurbau nahe stehenden Institute für Baustatik, Betonbau, Stahlbau & Flächentragwerke, Holzbau & Holztechnologie, Materialprüfung & Baustofftechnologie, Baubetrieb & Bauwirtschaft, Hochbau & Industriebau, Bauinformatik und Allgemeine Mechanik der Fakultät für Bauingenieurwissenschaften an der Technischen Universität Graz. Dem Fachbereich Ingenieurbaukunst ist das Bautechnikzentrum (BTZ) zugeordnet, welches als gemeinsame hochmoderne Laboreinrichtung zur Durchführung der experimentellen Forschung aller beteiligten Institute dient. Es umfasst die drei Laboreinheiten für konstruktiven Ingenieurbau, für Bauphysik und für Baustofftechnologie. Der Fachbereich Ingenieurbaukunst kooperiert im gemeinsamen Forschungsschwerpunkt „Advanced Construction Technology“. Dieser Forschungsschwerpunkt umfasst sowohl Grundlagen- als auch praxisorientierte Forschungs- und Entwicklungsprogramme. Weitere Forschungs- und Entwicklungskooperationen bestehen mit anderen Instituten der Fakultät, insbesondere mit der Gruppe Geotechnik, sowie nationalen und internationalen Partnern aus Wissenschaft und Wirtschaft. Die Lehrinhalte des Fachbereichs Ingenieurbaukunst sind aufeinander abgestimmt. Aus gemeinsam betreuten Projektarbeiten und gemeinsamen Prüfungen innerhalb der Fachmodule können alle Beteiligten einen optimalen Nutzen ziehen. Durch den gemeinsamen, einheitlichen Auftritt in der Öffentlichkeit präsentiert sich der Fachbereich Ingenieurbaukunst als moderne Lehr- und Forschungsgemeinschaft, welche die Ziele und Visionen der TU Graz umsetzt.
Nummerierungssystematik der Schriftenreihe S – Skripten, Vorlesungsunterlagen | F – Forschungsberichte V – Vorträge, Tagungen | D – Diplomarbeiten Institutskennzahl: 1 – Allgemeine Mechanik | 2 – Baustatik | 3 – Betonbau 4 – Holzbau & Holztechnologie | 5 – Stahlbau & Flächentragwerke 6 – Materialprüfung & Baustofftechnologie | 7 – Baubetrieb & Bauwirtschaft 8 – Hochbau & Industriebau | 9 – Bauinformatik Fortlaufende Nummer pro Reihe und Institut / Jahreszahl
