Baustatik kompakt
BBB
Bauwerk-Basis-Bibliothek
Prof. Dipl.-Ing. Klaus-Jürgen Schneider Prof. Dipl.-Ing. Erwin Schweda
Baustatik kompakt Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme Neu bearbeitet von: Prof. Dr.-Ing. Christoph Seeßelberg Prof. Dr.-Ing. Christof Hausser
6., umfangreich ergänzte und vollständig überarbeitete Auflage
Bauwerk
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Schneider / Schweda / Seeßelberg / Hausser Baustatik kompakt 6. Aufl. Berlin: Bauwerk, 2007 ISBN 978-3-89932-168-5
© Bauwerk Verlag GmbH, Berlin 2007 www.bauwerk-verlag.de
[email protected] Alle Rechte, auch das der Übersetzung, Vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlags ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf fotomechanischem Wege (Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen sowie die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen vorzunehmen. Zahlenangaben ohne Gewähr
Druck und Bindung: Druckservice EuroPB s.r.o., CZ Scan by woddi
Vorwort zur 6. Auflage Das in 5 Auflagen bisher beim Werner Verlag erschienene Buch „Schneider/Schweda: Baustatik - Statisch bestimmte Systeme“ erscheint nun als 6. Auflage beim Bauwerk Verlag unter dem geänderten Buchtitel „Baustatik kompakt“ . Das Buch wurde dan kenswerterweise von den Professoren Seeßelberg und Hausser aktualisiert und erweitert. Einzelheiten entnehmen Sie bitte dem Vorwort der neuen Autoren. Somit steht auch der neuen Generation von Bauingenieurstudenten dieses in der Lehre weit verbreitete Grundlagenbuch der Statik als 6. Auflage weiterhin zur Verfügung. Klaus-Jürgen Schneider
Erwin Schweda
Mittlerweile sind nahezu alle Fachhochschulen und viele Universitäten den Forderungen aus der Politik gefolgt und haben ihre Studiengänge auf Bachelor- und Masterabschlüsse umgestellt. Mit dieser Umstellung geht eine Aktualisierung der Studieninhalte einher, von der auch die Baustatik nicht ausgenommen bleibt. Das vorliegende Buch orientiert sich bei seiner Stoffauswahl an typischen Baustatik-Modulen von Bachelorstudien gängen. Es behandelt erstmalig sowohl statisch bestimmte als auch unbestimmte Trag werke. Die Baustatikausbildung im Bachelorstudium verfolgt im Wesentlichen zwei Lernziele: - Die sichere Beherrschung der Berechnung von Schnittgrößen an statisch bestimmten, ebenen Stab- und Fachwerken. - Die Fähigkeit zur Berechnung der Schnittgrößen von statisch unbestimmten, ebenen Tragwerken. Besonders statisch unbestimmte Tragwerke werden in der Praxis der Tragwerksplanung nahezu ausschließlich mit Hilfe von Computerprogrammen und nicht mehr von Hand berechnet. Für die Baustatikausbildung folgt daraus: - Es kommt nicht mehr darauf an, Rechentechniken zur Vereinfachung von Handrech nungen zu erlernen (z.B. Dreimomentengleichung, Belastungsumordnungsverfahren, Iterationsverfahren usw.). Solche Themen wurden daher nicht in das Buch aufge nommen. - Um das Tragverhalten statisch unbestimmter Stabtragwerke kennen zu lernen, ist es ausreichend, beispielhaft ein geeignetes Berechnungsverfahren von Hand anwenden zu können. Aus didaktischen Gründen haben wir uns für das Kraftgrößenverfahren entschieden. - Fähigkeiten, mit denen EDV-Ergebnisse überprüft werden können, sollen statt dessen mehr im Vordergrund stehen. Neu aufgenommen wurden zwei Abschnitte:
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- Im Abschnitt „Senkrecht belastete, ebene Tragwerke“ wird gezeigt, dass Trägerroste mit derselben Methodik (Schnittprinzip, Gleichgewicht) berechnet werden können wie in ihrer Ebene beanspruchte Systeme. - Mit dem Abschnitt „Einführung in das Arbeiten mit Stab Werksprogrammen“ sollen Studierende an die Anwendung von Stabwerksprogrammen und die Bewertung der Ergebnisse herangeführt werden. Beispielhaft erfolgt dies mit Hilfe des für die Lehre bestens geeigneten Programms Stab2D. Die Themen aus dem Bereich der Festigkeitslehre bleiben - wie bisher - einem eigenen Buch Vorbehalten. Wir danken sehr herzlich den Herren Professoren Klaus-Jürgen Schneider und Erwin Schweda für die Möglichkeit, dieses bewährte, schon in 5 Auflagen erschienene Fach buch in die durch neue Studienabschlüsse geprägte Zeit fortführen zu können. München, im September 2007
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Christoph Seeßelberg, Christof Haus ser
Inhaltsverzeichnis 1 G rundlagen ............................................................................................................. 1.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 1.2 Kräfte und Momente ....................................................................................... 1.2.1 K räfte.................................................................................................... 1.2.2 Moment einer Kraft bezüglich einer A c h se..................................... 1.2.3 Moment eines K räftepaares.............................................................. 1.2.4 Darstellung eines Momentes ............................................................ 1.2.5 Versetzungsmoment .......................................................................... 1.3 Symbole und Begriffe bei statischen System en............................................ 1.3.1 Stabachse, Q uerschnitt...................................................................... 1.3.2 A chsenkreuz........................................................................................ 1.3.3 Gelenk, L a g e r...................................................................................... 1.3.4 Stützw eite............................................................................................ 1.4 Belastungen bei B auw erken........................................................................... 1.4.1 Lastarten und Belastungsannahmen................................................. 1.4.2 Lastermittlungen ................................................................................ 1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften ................................................ 1.5.1 Zusammensetzen von Kräften auf zeichnerischem W e g e .............. 1.5.1.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ........................... 1.5.1.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt........................... 1.5.2 Zerlegen von K räften.......................................................................... 1.5.2.1 Vorbemerkungen ................................................................ 1.5.2.2 Zeichnerische M ethode....................................................... 1.5.2.3 Rechnerische Methode ....................................................... 1.5.3 Zusammensetzen von Kräften auf rechnerischem W eg e................ 1.5.3.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ........................... 1.5.3.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt........................... 1.6 Gleichgewicht.................................................................................................. 1.6.1 Allgemeines ........................................................................................ 1.6.2 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen..................................... 1.7 Schnittgrößen .................................................................................................. 1.8 Nebenbedingungen ........................................................................................ 1.9 Statische Bestimmtheit ................................................................................... 1.10 Überlagerungsprinzip .....................................................................................
13 13 14 14 16 16 17 18 19 19 19 20 24 25 25 28 28 28 28 30 32 32 32 33 35 35 38 40 40 41 44 44 45 46
2 Statisch bestimmte Systeme ohne N ebenbedingungen................................... 2.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen............................................................... 2.2.1 Allgemeines ........................................................................................ 2.2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen auf rechnerischem Wege . . . . 2.2.3 Reaktionen und Aktionen an Lagerstellen....................................... 2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen.......................................................
47 47 47 47 47 53 53 7
Inhaltsverzeichnis 2.3.1 Allgemeines ................................................................................. 2.3.2 Vorzeichendefinition mit Hilfe eines Achsenkreuzes ................. 2.3.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen ohne Achsenkreuz........ 2.4 Ermittlung der Schnittgrößen................................................................... 2.4.1 Allgemeines ................................................................................. 2.4.2 Allgemeine Anwendung des Schnittprinzips .............................. 2.4.3 Rekursionsformeln zur Ermittlung von Schnittgrößen ................ 2.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen................................................. 2.5.1 Allgemeines ................................................................................. 2.5.2 Funktionsgleichungen beim Träger auf zwei Stützen für spezielle Lastfalle .................................................................... 2.6 Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Schnittgrößen..................... 2.6.1 Auswirkungen von Einzelkraftgrößen......................................... 2.6.2 Auswirkungen von Streckenlasten Differentialgleichungen ................................................................ 2.6.3 Zusammenfassung für Kräfte senkrecht zur Stabachse............... 2.7 Zustandsflächen M8, V, N ......................................................................... 2.7.1 Allgemeines ................................................................................. 2.7.2 Belastung durch Einzellasten Fx, Fz ............................................. 2.7.3 Gleichmäßig verteilte Last qz = const........................................... 2.7.4 Dreieckförmig verteilte Streckenlast qz ( x ) .................................. 2.7.5 Belastung durch Einzellastmomente M1^ ...................................... 2.7.6 Merkmale für das Zeichnen von Zustandslinien........................... 2.7.7 Anwendung des Überlagerungsprinzips....................................... 2.7.8 Ermittlung der Schnittgrößen durch Integration........................... 2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente ..................................................... 2.8.1 Allgemeines ................................................................................. 2.8.2 Gerader Stabwerksabschnitt mit speziellen Belastungen ............ 2.8.3 Träger auf zwei Stützen mit speziellen Belastungen ................... 2.8.4 Beispiele ....................................................................................... 3 Fachwerke ........................................................................................................ 3.1 Vorbemerkungen - Gelenkfachwerk, statische Bestimmtheit, Stabilität (Unverschieblichkeit)................................................................ 3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung............................................................ 3.2.1 Knotenschnitt................................................................................ 3.2.2 Ritterscher Schnitt........................................................................ 3.3 Bestimmung der Nullstäbe ....................................................................... 4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen .....................................
4.1 4.2 4.3 4.4
8
Allgemeiner Lösungsgang ....................................................................... Gelenkträger............................................................................................. Unter-bzw. überspannte Träger............................................................... Dreigelenkrahmen .................................................................................... 4.4.1 System, Wirkungsweise ...............................................................
53 54 55 56 56 56 66 71 71 72 78 78 79 81 82 82 84 87 88 88 89 90 93 100 100 100 103 103 109 109 113 113 116 122 124
124 126 135 139 139
Inhaltsverzeichnis 4.4.2 Berechnung von Dreigelenkrahm en................................................. Dreigelenkbögen ........................................................................................... 4.5.1 Systeme, Bogengleichung ................................................................ 4.5.2 Berechnung von Dreigelenkbögen ................................................... 4.5.2.1 Allgemeiner Lösungsgang ................................................. 4.5.2.2 Stützlinie ..............................................................................
141 147 147 149 149 152
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Ausnutzung von Sym m etrieeigenschaften.......................................................
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Senkrecht belastete, ebene Tragwerke ............................................................. 6.1 Einführung...................................................................................................... 6.2 Schnittgrößen Gleichgewichtsbedingungen .............................................. 6.3 Auflager, Gelenke, statische Bestimmtheit ................................................ 6.3.1 A uflager................................................................................................ 6.3.2 Gelenkarten.......................................................................................... 6.3.3 Statische Bestim m theit...................................................................... 6.4 Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerrosten............. 6.4.1 Vorgehensweise, D arstellung............................................................ 6.4.2 Beispiele .............................................................................................. 6.5 Einfeldträger unter Torsionslast...................................................................
162 162 163 164 164 164 165 165 165 166 170
7
Das Prinzip der virtuellen Verrückungen, Beziehungen aus der Kinematik, A nw endungen...................................................................... 7.1 Das Prinzip der virtuellen V errückungen.................................................... 7.2 Beziehungen aus der Kinem atik................................................................... 7.2.1 Hauptpole, Nebenpole........................................................................ 7.2.2 Satz der gedrehten Verschiebungen ................................................. 7.3 Untersuchung der Stabilität (Unverschieblichkeit) von System en........... 7.4 Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen auf kinematischem W ege................................................................................
4.5
172 172 172 172 174 175 177
8
E influsslinien.......................................................................................................... 8.1 Vorbemerkungen ........................................................................................... 8.2 Ermittlung von Einflusslinien auf kinematischem W eg e.......................... 8.3 Auswertung von Einflusslinien ................................................................... 8.4 Ungünstigste Laststellungen.........................................................................
181 181 182 186 187
9
K raftgrößenverfahren.......................................................................................... 9.1 Übersicht über Berechnungsmethoden für statisch unbestimmte Stabwerke ................................................................................ 9.2 Feststellen der statischen U nbestim m theit.................................................. 9.2.1 Allgemeines ........................................................................................ 9.2.2 Aufbaukriterium ................................................................................ 9.2.3 A bzählform el...................................................................................... 9.2.3.1 Allgemeine Stabwerke......................................................... 9.2.3.2 Fachwerke ............................................................................
190 190 191 191 191 195 195 197 9
Inhaltsverzeichnis 9.3
Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens................................................... 9.3.1 Allgemeines ....................................................................................... 9.3.2 Auflagerkraft als statisch U nbestim m te........................................... 9.3.3 Stützmoment als statisch U nbestim m te........................................... Allgemeine Darstellung des Kraftgrößenverfahrens ................................. 9.4.1 Statisch bestimmtes Grundsystem ................................................... 9.4.2 Überlagerung und Überlagerungsform el......................................... 9.4.3 Verträglichkeitsbedingungen als Bestimmungsgleichungen des Kraftgrößenverfahrens................................................................ 9.4.4 Ermittlung der Koeffizienten <5ik und der Lastglieder <5i0 ............. 9.4.4.1 Allgemeines ........................................................................ 9.4.4.2 Systeme mit starrer Lagerung............................................. 9.4.4.3 Systeme mit elastischer L agerung..................................... Weitere Beispiele ........................................................................................... Zweckmäßige Wahl des statisch bestimmten Grundsystems ................... Rechenkontrollen........................................................................................... Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften...................................................
197 197 197 200 203 203 204
10 E inführung in das Arbeiten mit Stabw erksprogram m en ............................. 10.1 Vorbemerkungen ........................................................................................... 10.2 Vorgehensweise eines Stabwerksprogrammes............................................. 10.3 Systemeingabe ............................................................................................... 10.4 Berechnung und A u sg ab e.............................................................................. 10.5 Besonderheiten bei der Systemeingabe ...................................................... 10.5.1 Fachw erke........................................................................................... 10.5.2 Geneigte A u flag er.............................................................................. 10.5.3 Lasten in lokalen und globalen K oordinaten................................... 10.6 Kontrolle der B erechnung.............................................................................. 10.6.1 Symmetrie und A ntim etrie................................................................ 10.6.2 Plausibilität des statischen Systems ................................................. 10.6.3 L astsum m en........................................................................................
245 245 245 246 248 249 249 250 251 254 254 255 255
9.4
9.5 9.6 9.7 9.8
10
206 208 208 209 217 220 234 238 240
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Bezeichnungen von statischen Größen Im Rahmen dieses Buches werden die in der folgenden Zusammenstellung angegebenen Be zeichnungen verwendet.
1 Grundlagen 1.1 Vorbemerkungen Als Teilgebiet der Physik umfasst die Mechanik die Lehre von den Bewegungen und Kräften der Körper. Mit den drei Begriffen Kraft, Länge, Zeit lässt sich ein Bewegungs vorgang eindeutig beschreiben. Somit ergibt sich folgende mögliche Einteilung der Mechanik: Mechanik
Dynamik
Statik
Kinematik
Dabei beinhaltet die Dynamik den eigentlichen Gedanken der Mechanik, nämlich die Berechnung eines Bewegungsvorganges unter dem Einfluss von Kräften. Alle drei der genannten Größen (Kraft, Länge und Zeit) werden also berücksichtigt. Der Ruhezustand der Körper bei angreifenden Kräften wird im Gebiet der Statik behandelt. Die Statik erweist sich somit als Sonderfall der Dynamik. Die Kinematik schließlich ist das Teilgebiet der Mechanik, in dem allein die Bewegung der Körper ohne Berücksichtigung der sie verursachenden Kräfte untersucht wird. Bei der Statik der Baukonstruktionen handelt es sich dem Wesen der Bauwerke entspre chend um die Statik der festen Körper. Für die Berechnung werden die Bauwerke in einzelne, z. T. idealisierte Tragwerke unterteilt. Durch Symbole dargestellte Tragwerke nennt man statische Systeme. Jedes der im Folgenden betrachteten Tragwerke besteht aus einem Stab oder mehreren gelenkig oder biegesteif miteinander verbundenen Stäben. Fallen alle Stäbe des Systems und die Lasten in eine Ebene, so ist ein ebenes Tragwerk gegeben, andernfalls liegt ein räumliches Tragwerk vor. Ein Stab ist ein Tragwerk oder Tragwerksteil, bei dem die Querschnittsabmessungen klein gegenüber der Stablänge sind. Tragwerke, die nur aus Stäben bestehen, bezeichnet man als Stabwerke. Daneben gibt es Flächentragwerke wie z. B. Platten (ebene Flä chentragwerke, die senkrecht zur Tragwerksebene belastet werden), Scheiben (ebene Flächentragwerke, die in Richtung der Tragwerksebene belastet werden), Schalen (ge krümmte Flächentragwerke). Die statische Berechnung hat das Ziel, bei Einhaltung der notwendigen Sicherheiten die erforderlichen Abmessungen eines Bauwerkes anzugeben. Innerhalb einer statischen Berechnung umfasst die eigentliche Statik die Bestimmung der wirkenden Kräfte und Momente. Die Festigkeits- und Formänderungsnachweise sowie die Stabilititätsuntersuchungen (Knicken, Biegedrillknicken, Beulen)1} gehören Man verwechsle diese Stabilitätsuntersuchungen nicht mit Untersuchung eines Systems auf Stabilität im Sinne von Unverschieblichkeit.
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1 Grundlagen zum Gebiet der Festigkeitslehre (vgl. [2]), die wiederum ein Teilgebiet der technischen Mechanik ist.
1.2 Kräfte und Momente 1.2.1 Kräfte Im Internationalen Einheitensystem ist die Kraft eine abgeleitete Größe. Als Einheit ist das Newton [N] festgelegt. 1 N ist die Kraft, die einem Körper der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 ms-2 erteilt. 1 N = 1 kg • 1 ms-2
(1.01)
Abgeleitete Krafteinheiten sind: 1 kN (Kilonewton) = 1000 N 1 MN (Meganewton) = 1000 kN = 1 000 000 N Im Bauwesen hat man es sehr häufig mit Kräften infolge äußerer Belastung (z.B. Eigenlasten, Schneelasten) zu tun. Diese Kräfte werden durch die Erdanziehung her vorgerufen. Die Erdanziehungskraft beträgt: G = m -g m = Masse;
(1.02) g = Fallbeschleunigung
Die Fallbeschleunigung g beträgt an einem Normort 9,80665 ms-2 und kann mit genü gender Genauigkeit im Bauwesen mit g = 10 ms-2 angesetzt werden. Somit hat ein Körper von der Masse 1 kg die Eigenlast: G = 1 kg • 10 ms-2 = 10 kgms~2 = 10 N Eine Kraft ist ein VektorX) (gerichtete Größe).Ein Vektor wird durcheinen Pfeil darge stellt (Abb. 1.01). Die Länge des Pfeilesgibt den Absolutbetrag der Kraft an, die Pfeilspitze den Richtungssinn.
Abb. 1.01 Eine Kraft ist eindeutig bestimmt durch Betrag, Richtung, Richtungssinn und Angriffs punkt. Sie ist nicht direkt wahrnehmbar, sondern nur an ihren Wirkungen zu erkennen, an dem Vermögen, Bewegungen und Verformungen hervorzurufen.
Auf eine mathematisch exakte Vektorschreibweise wird im Rahmen dieses Buches ver zichtet.
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1.2 Kräfte und Momente
Verschiebung einer Kraft Die Wirkung einer Kraft bezüglich des Gleichgewichtszustandes (vgl. 1.6) oder des Bewegungszustandes eines Körpers ändert sich nicht bei Verschiebung der Kraft inner halb ihrer Wirkungslinie. Zum Beispiel ist es für den Bewegungsvorgang des in Abb. 1.02 dargestellten Körpers gleich, ob die Kraft schiebt oder zieht. Für die örtliche Reaktion an der Kraftangriffsstelle und für die innere Beanspruchung (Schnittgrößen, vgl. 1.7) spielt der unmittelbare Kraftangriff jedoch eine Rolle. Bezüglich dieser beiden Punkte ist eine Verschiebung einer Kraft innerhalb ihrer Wirkungslinie also nicht mög lich.
Abb. 1.02
Darstellung einer Kraft Der Betrag einer Kraft wird durch eine Zahlenangabe oder durch die Länge des Kraftpfeiles im Zusammenhang mit einem Kraftmaßstab bestimmt, Im Gegensatz zu einem Längen maßstab sind beim Kräftemaßstab stets Zahl und Einheit anzugeben, z. B. 1 cm = 2 kN. Bei der Angabe des Richtungssinnes einer Kraft ist Folgendes zu beachten: Wird die Größe1} einer Kraft mit Hilfe eines Kräftemaßstabes angegeben, so ist der Kraftpfeil grundsätzlich so zu zeichnen, dass die Pfeilspitze den tatsächlichen Rich tungssinn angibt. Wird die Größe einer Kraft durch eine Zahl angegeben, so ist der tatsächliche Rich tungssinn der Kraft erst durch das Vorzeichen und die in der Skizze angegebene Pfeilspitze eindeutig bestimmt. Ein negatives Vorzeichen besagt, dass die Kraft ent gegengesetzt der eingezeichneten Pfeilrichtung wirkt. Wird also der in Abb. 1.03 dargestellte Körper am oberen Rand durch eine nach rechts wirkende Kraft beansprucht, so sind beide Darstellungen nach Abb. 1.03a und 1.03b möglich.
Abb. 1.03
^ Man beachte: Größe bedeutet Betrag und Richtungssinn.
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1 Grundlagen
1.2.2 Moment einer Kraft bezüglich einer Achse Ist eine Kraft F mit einer Drehachse durch einen Hebelarm a verbunden, so übt sie um diese Achse eine drehende Bewegung aus (Abb. 1.04). Man bezeichnet diesen Vorgang als Moment einer Kraft um eine Achse oder kurz als Moment. Moment = Kraft • Hebelarm,
M =F •a
(1.03)
Der Hebelarm a ist stets der kürzeste Abstand zwischen Kraft und Drehachse, d. h. Kraft und Hebelarm stehen immer senkrecht aufeinander.
Drehachse senkrecht zu r Zeichenebene
Abb. 1.04
Entsprechend dem Produkt aus Kraft und Länge ergibt sich die Einheit eines Momentes, z. B. zu kNm, MNm usw. Die Umrechnung von Einheiten ist aus Tabelle 1 ersichtlich.
Tabelle 1 MNm 1 MNm
1
1 MNcm
MNcm
kNm
kNcm
100
1000
100 000
0,01
1
10
1000
1 kNm
0,001
0,1
1
100
1 kNcm
0,00001
0,001
0,01
1
Durch Veränderung der Größe der Kraft, durch Veränderung der Größe des Hebelarmes oder durch beides verändert sich entsprechend Gl. (1.03) die Größe des Momentes.
1.2.3 Moment eines Kräftepaares Zwei parallele Kräfte, die gleich groß sind, entgegengesetzt wirken und einen bestimm ten Abstand a haben, werden als Kräftepaar bezeichnet. Ein Kräftepaar hat die Wirkung eines Momentes und, wie aus Abb. 1.05 leicht ersichtlich ist, die Größe M = F ■a
Abb. 1.05
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1.2 Kräfte und Momente Das Moment der beiden Kräfte eines Kräftepaares um jede beliebige Achse senkrecht zur Kraftebene hat immer die gleiche Größe M - F - a. Nach Abb. 1.06 erhält man für die verschiedenen Bezugspunkte:
M \ = F • a; M2 = F{a + b ) - F ' b = F ' a M 3= F {a -c ) + F • c = F • a
Abb. 1.06
I
Die Größe des Momentes eines Kräftepaares ist unabhängig von der Wahl des Be zugspunktes.
1.2.4 Darstellung eines Momentes Die symbolische Darstellung eines Momentes erfolgt aus Gründen der Anschaulichkeit durch einen krummen Pfeil. Analog der bei dem Richtungssinn von Kräften getroffenen Regelung wird der tatsächliche Drehsinn eines Momentes erst durch die Pfeilspitze des krummen Pfeiles und das Vorzeichen des dazugehörigen Zahlenwertes bestimmt: Stimmt der tatsächliche Drehsinn des Momentes mit dem skizzierten Drehsinn über ein, so erhält der Zahlenwert ein positives Vorzeichen, andernfalls wird ein negatives Vorzeichen gesetzt. So wie eine Kraft, lässt sich auch ein Moment als
VektorX) darstellen.
Der Vektorpfeil steht senkrecht zur Kraftebene, d. h. entsprechend Abb. 1.07 senkrecht zur Zeichenebene.
Abb. 1.07 Vgl. Fußnote 1, Seite 14. 17
1 Grundlagen Die Länge des Vektorpfeiles ist gleich dein Absolutbetrag des Momentes. Die Anordnung der Pfeilspitze ergibt sich aus folgender Festlegung: Dreht das Moment im Uhrzeigersinn (Abb. 1.07a), so zeigt die Pfeilspitze in die Zeichenebene hinein; dreht das Moment entgegen dem Uhrzeigersinn (Abb. 1.07b), so zeigt die Pfeilspitze aus der Zeichenebene heraus (Korkenzieherregel). Die Pfeilspitze muss also so eingetragen werden, dass das Moment im Uhrzeigersinn dreht, wenn man in Richtung der Pfeilspitze blickt.
1.2.5 Versetzungsmoment Soll eine Kraft F um eine bestimmte Strecke parallel zur ursprünglichen Lage versetzt werden, so ist das nur möglich, wenn ein zusätzliches Moment, das sog. Versetzungsmo ment angebracht wird. In Abb. 1.08a greift eine Kraft F außerhalb der Mittellinie eines Körpers an. Zwei entgegengesetzt gleich große Kräfte F, die sich in ihrer Wirkung aufheben, werden entsprechend Abb. 1.08b angebracht. Die beiden Belastungszustände in Abb. 1.08a und Abb. 1.08b sind daher in ihrer Wirkung gleich. Die beiden in Abb. 1.08b unterstrichenen Kräfte F können zu einem Kräftepaar zusammengefasst werden, das die Wirkung M = F • a hat. Der Belastungszustand in Abb. 1.08c ist in seiner Wirkung also gleich dem Belastungszustand in Abb. 1.08b.
Abb. 1.08
I
Wird eine Kraft F um eine Strecke a parallel versetzt, so muss zusätzlich ein Verset zungsmoment von der Größe M = F • a angebracht werden.
Sollen die beiden Kräfte F\ und F2 (Abb. 1.09) in die Mittellinie des Körpers versetzt werden, so ergeben sich eine zentrische Kraft F = 2 + 5 = 1 kN und ein Versetzungsmoment M = 2 - 2 , 5 - 5 - 2 , 0 = -5 ,0 k N m Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das wirkliche Moment den umgekehrten Dreh sinn wie das eingetragene Moment hat, also entgegen dem Uhrzeigersinn wirkt. (Vgl. 1.2.4.) 18
1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Systemen
Abb. 1.09
1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Systemen 1.3.1 Stabachse, Querschnitt Die Verbindungslinie der Schwerpunkte beliebiger Querschnittsflächen eines Stabes wird als Stabachse bezeichnet (Abb. 1. 10). Als Querschnitt bezeichnet man jede Schnittfläche, die senkrecht zur Stabachse liegt.
Abb. 1.10
1.3.2 Achsenkreuz Für die im Rahmen dieses Buches zu behandelnden statischen Probleme wird mit einem Achsenkreuz nach Abb. 1.11a gearbeitet. Die x-Achse wird in die Richtung der Stab achse gelegt, so dass die y- und die z-Achse für die Querschnittsebene zur Verfügung stehen.
Abb. 1.11 Die positiven Richtungen in dem verwendeten Koordinatensystem sind durch die Pfeil spitzen der Koordinatenachsen gegeben. Die im mathematischen Sinne positiven Dreh19
1 Grundlagen richtungen (Rechtsschraube) sind in Abb. 1.11a eingetragen. Die positiven Drehrich tungen ergeben sich auch, wenn man im Sinne des Alphabetes vorgeht und auf kürzestem Wege von x nach y von y nach z und von z nach x dreht. Für ebene Systeme reicht es bei der Behandlung von statischen Aufgaben aus, nur die x, z-Ebene des Achsenkreuzes zu zeichnen (Abb. 1.11b). Das Achsenkreuz x, z befindet sich grundsätzlich nur in einem festen Punkt. Es handelt sich daher um ein sog. ortsfestes Koordinatensystem. Oft ist es erforderlich, auch für einzelne, beliebig liegende Stäbe eines statischen Systems Achsenkreuze zu verwenden. Zur Unterscheidung vom ortsfesten x, z-Koordinatensystem erhalten diese sog. umlau fenden Koordinatensysteme die Achsenbezeichnungen x, z (Abb. 1.11c).
1.3.3 Gelenk, Lager Ein Gelenk erlaubt eine gegenseitige Drehung der verbundenen Stab werksteile. Es kann eine beliebig gerichtete Kraft durch ein Gelenk weitergeleitet werden, jedoch kein Moment. Die symbolische Darstellung eines Gelenkes zeigt die Abb. 1.12.
Abb. 1.12 In der Abb. 1.12c ist ein Halbgelenk dargestellt; das Tragwerksteil s2, ist gelenkig am durchlaufenden Tragwerksteil s\ angeschlossen. Jede Baukonstruktion ist unmittelbar oder über andere Konstruktionen mit dem Erdbo den verbunden, sie ist an ihn „gefesselt“ 1 Die Verbindungsteile zwischen Konstruktion und Erdboden bzw. zwischen zwei Tragwerken werden als Lager bezeichnet. Die Kräfte, die in diesen Lagern auftreten, werden Auflagerkräfte oder Fesselkräfte genannt. Treten in den Lagerpunkten auch Momente auf, so spricht man von Einspannmomenten oder Fesselmomenten. Auflagerkräfte und Einspannmomente bezeichnet man als Auflager reaktionen. Bei einer nicht „gefesselten“ starren Scheibe2) sind in ihrer Ebene Verschiebungen in beliebige Richtungen sowie eine Drehung um eine beliebige Achse, die senkrecht zur Scheibenebene steht, möglich. Da alle möglichen Verschiebungen in der Ebene aufgeteilt werden können in Kompo nenten zweier beliebiger nicht paralleler Richtungen, lässt sich jede mögliche Bewegung der Scheibe in ihrer Ebene darstellen durch zwei Verschiebungsanteile und eine DreDie Konstruktionen sind mit dem Erdboden derart verbunden, dass keine Bewegungen auftreten würden, wenn das Material der Konstruktion und der Erdboden starr wären. Man spricht dann von einer stabilen Lagerung. * Starre Scheibe: Ein in sich unverschiebliches ebenes Gebilde.
20
1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Systemen hung. Entsprechend diesen Bewegungsmöglichkeiten hat die starre Scheibe drei Frei heitsgrade, d. h. für ihre Festlegung ist eine dreifache Fesselung erforderlich. Wie in Abb. 1.15 gezeigt wird, ist die Anordnung dieser drei Fesseln nicht beliebig. Die symbolische Darstellung, die Wirkung und die mögliche Anordnung solcher „Fes seln“ werden am Träger a u f zwei Stützen (Abb. 1.13 und 1.14) und am Kragträger (Abb. 1.16) gezeigt.
Abb. 1.13 In den Abb. 1.13 und 1.14 sind bei den Trägern auf zwei Stützen an der Stelle 1 ein festes und an der Stelle 2 ein bewegliches Lager angeordnet. Das feste Lager kann zwei Auflagerkräfte übertragen, während das bewegliche Lager nur eine Auflagerkraft über tragen kann. Die Richtung dieser Auflagerkraft ist immer senkrecht zur Bewegungs richtung.
Abb. 1.14 An den Lagerpunkten 1 und 2 befinden sich Gelenke: die Trägerenden können sich an diesen Stellen also frei drehen. Die Biegelinie, d. h. die Form der Stabachse nach einer Belastung durch Kräfte und Momente, ist ebenfalls in Abb. 1.13 dargestellt. An den Gelenkstellen bildet sie mit der unverformten Stabachse einen bestimmten Winkel. Das feste Lager im Punkt 1 der Abb. 1.13 und 1.14 allein ist in der Lage, beide Ver schiebungsmöglichkeiten eines ebenen Trägers auszuschalten. Der Träger hat jetzt nur noch einen Freiheitsgrad (Drehung um Punkt 1). Durch die Anordnung des beweglichen Lagers im Punkt 2 wird auch diese Drehung verhindert, da die Auflagerkraft im beweg lichen Lager ein Moment um den Punkt 1 ausübt. Genauso wie eine Kraft in der Lage ist, eine Verschiebung zu verhindern, ist ein Moment in der Lage, eine Drehung zu verhin dern. Allgemein gilt: 1. Die Wirkungslinien der Auflagerkräfte einer statischen Konstruktion dürfen sich nicht in einem Punkt schneiden (Drehung der Konstruktion um diesen Punkt wäre sonst möglich, siehe Abb. 1.15a), 21
1 Grundlagen 2. sie dürfen nicht alle parallel sein (Verschiebung der Konstruktion senkrecht zu den Wirkungslinien sonst möglich, siehe Abb. 1.15b).
Abb. 1.15 Ein Kragträger (Abb. 1.16a) zeichnet sich durch die Einspannung aus. An der Ein spannstelle treten drei Auflagerreaktionen auf: ein Einspannmoment und zwei Aufla gerkräfte. Damit sind alle drei Freiheitsgrade aufgehoben und der Träger eindeutig an andere Konstruktionen „gefesselt“ . Im Gegensatz zur gelenkigen Lagerung (Abb. 1.13 und 1.14) kann sich das Trägerende an der Einspannstelle nicht frei drehen. Fällt die Biegelinie an dieser Stelle mit der Achse des unverformten Trägers zusammen, so spricht man von einer starren Einspannung, andernfalls liegt eine elastische Einspannung vor. Ein Kragträger kann z. B. in einer Wand eingespannt sein. Das Einspannmoment wirkt dann als Moment eines Kräftepaa res nach Abb. 1.16b. Ausführungsmöglichkeiten von beweglichen und festen Lagern zeigen die Abb. 1.17 und 1.18. Bewegliche Lager können z. B. als Rollenlager (Abb. 1.17a) oder als Gleitlager^ (Abb. 1.17b) ausgeführt werden. Es ist auch möglich, Auflager durch Anordnung von beiderseitig gelenkig angeschlossenen Stäben, sog. Pendelstäben, zu bilden. Da ein Pendelstab nur eine Kraft in Richtung der Stabachse übertragen kann, sind zur Bildung eines beweglichen Lagers ein Pendelstab, zur Bildung eines festen Lagers zwei Pendel stäbe erforderlich. Sehr anschaulich ist auch die symbolische Darstellung von Lagern durch Pendelstäbe. Verschiedene Möglichkeiten der Lagersymbolik sind in den Abb. 1.17c und 1.18b zusammengestellt. Reibungskräfte dürfen zur A ufnahme äußerer Lasten nicht angesetzt werden.
22
1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Systemen
a)
Abb. 1.16
Abb. 1.17
Abb. 1.18
23
1 Grundlagen
Zusätzlich zu den bisher behandelten Punkten beinhaltet die Lagersymbolik auch, dass eine Auflagerkraft grundsätzlich innerhalb ihrer Wirkungslinie beide Richtungssinne annehmen kann. Je nach Belastung ist es z. B. möglich, dass eine vertikale Auflagerkraft nach oben (Abb. 1.14a) oder nach unten (Abb. 1.14b) wirkt. Es ist in jedem Fall sicher zustellen, dass die nach Größe und Richtungssinn ermittelte Auflagerkraft (siehe 2.2) vom Erdboden oder von anderen Bauwerksteilen aufgenommen werden kann. So ist es u. U. erforderlich, dass eine Konstruktion gegen Abheben verankert werden muss.
1.3.4 Stützweite Unter dem Begriff Stützweite l einer Konstruktion versteht man im Allgemeinen die horizontale Entfernung der Auflagerachsen. Sie ist größer als die Lichtweite /w, (Abb. 1.19). Ist die Auflagerachse nicht eindeutig definiert, wie z. B. bei unmittelbarer Auflagerung eines Trägers auf Mauerwerk oder Beton, so sind die Stützweiten gemäß den entsprechenden DIN-Vorschriften festzulegen, und zwar für • Holzkonstruktionen (DIN 1052) und für Stahlkonstruktionen, die auf Mauerwerk oder Beton aufliegen (DIN 18 801): / = 1,05 /w > /w + 12 cm und für • Stahlbetonkonstruktionen (DIN 1045):
Abb. 1.19
24
1.4 Belastungen bei Bauwerken
1.4 Belastungen bei Bauwerken 1.4.1 Lastarten und Belastungsannahmen Die im Bauwesen auftretenden Lasten können nach verschiedenen Gesichtspunkten unterteilt werden.
Lasteinteilung nach Art des Lastangriffs a)
Einzellasten Einheit: Beispiele:
b)
Streckenlasten Einheit: Beispiele:
c)
Flächenlasten Einheit: Beispiel:
(Abb. 1.20a), der Lastangriff ist punktförmig. N, kN, MN. Belastung eines Fundamentes durch eine Stütze, Auflagerkraft eines Trägers. (Abb. 1.20b) N/m, kN/m, MN/m. Belastung eines Fundamentes durch eine Wand, Trägerbelastung infolge Deckenauflagerung. (Abb. 1.20c) N/m2, kN/m2, MN/m2. Belastung einer Decke durch Schüttgut, durch Verkehrslasten (z. B. Menschen, Möbel).
Abb. 1.20 Die Bezeichnung erfolgt bei Einzellasten durch Großbuchstaben, bei Strecken- und Flächenlasten durch kleine Buchstaben. Von der Art und Größe eines Tragwerkteiles wird es abhängen, ob eine Belastung als Einzel-, Strecken- oder Flächenlast anzusetzen ist. Die Radlasten eines Schwerlast wagens mit einer Aufstandsfläche je Rad von 0,2 m mal 0,6 m ergeben für das in engen Abständen unterstützte Fahrbahnblech einer Brücke eine Flächenlast; für den über viele Meter gespannten Hauptträger der gleichen Brücke sind die Radlasten dagegen als Einzellasten anzusetzen.
Lastfunktionen/Resultierende Ersatzlasten Strecken- und Flächenlasten können sowohl gleichmäßig als auch ungleichmäßig ver teilt wirken. Im zweiten Fall wird die Belastung durch ein Lastbild und/oder durch eine Lastfunktion angegeben. 25
1 Grundlagen In Abb. 1.21a sind die beliebigen Streckenlasten qx(x) und qx(x) durch ein Lastbild dargestellt; in Abb. 1.21b dagegen sind zwei Streckenlasten durch Lastbild und Last funktion angegeben. Werden die Streckenlasten zu resultierenden Ersatzlasten Rz bzw. Rx zusammengefasst, so ist der Inhalt der Belastungsfläche gleich dem Betrag der zugehörigen Ersatzlast; ihre Lage wird durch den Schwerpunkt der Belastungsfläche bestimmt. Rz wirkt senkrecht zur Stabwerksachse, Rx greift in der Stabwerksachse an. Fehlt bei der Darstellung von Streckenlasten die Angabe der Pfeilspitze, so handelt es sich stets um abwärts gerichtete Lasten.
Abb. 1.21
Lastunterteilung nach Ursachen Bei einer Unterteilung nach Ursachen der Belastung werden im Wesentlichen folgende Lasten unterschieden: Ständige Lasten (g, G), das sind ständig wirkende, ruhende Lasten, also die Eigenlast der tragenden oder stüt zenden Bauteile und der unveränderlichen Lasten, die von den tragenden Bauteilen dauernd aufzunehmen sind. Nutzlasten (q, Q) Sie sind nicht ständig wirksam und werden hervorgerufen durch die veränderliche oder bewegliche Belastung eines Bauteiles, z. B. durch Menschen, Möbel, Lagerstoffe, Ma schinen, Kran-, Straßen- oder Eisenbahnfahrzeuge. Neben diesen lotrechten Nutzlasten gibt es auch waagerechte Nutzlasten (z. B. Horizontalkraft an Geländerholmen). „Nicht vorwiegend ruhende“ Nutzlasten, die Stöße oder Schwingungen verursachen, sind mit Stoß- oder Schwingbeiwerten, bzw. Schwingfaktoren zu vervielfachen. Hierzu 26
1.4 Belastungen bei Bauwerken gehören u. a. Nutzlasten für befahrene Durchfahrten und Decken, für Kranbahnen und Brücken. Bei Wohn- und Geschäftshäusern sowie Werkstätten mit leichtem Betrieb sind für Bauteile, die die Lasten von mehr als 3 Vollgeschossen aufnehmen, Abminderungen der Nutzlast zulässig. Schneelasten (s) Sie sind abhängig von der örtlichen Lage und der Geländehöhe des Bauwerkstandortes sowie von der Neigung der Dachfläche. Die Lastangaben beziehen sich stets auf 1 m2 der waagerechten Projektion der geneigten Flächen. Die Wirkungslinie der Last ist stets lotrecht. Windlasten (w) Sie wirken senkrecht zur Angriffsfläche. Ihre Größe ist im Allgemeinen abhängig von der Form und Höhe des Bauwerkes. Fliehkräfte (f) sind weniger wegen ihrer Häufigkeit als wegen ihrer Bedeutung hervorzuheben. Sie treten z. B. bei Brücken mit gekrümmtem Grundriss auf oder bei Trägern, die durch nicht ausgewuchtete Maschinen belastet werden; in diesem Fall sind die dynamischen Ein flüsse rechnerisch zu untersuchen. Sonstige Lasten Außer den bereits genannten können noch folgende Lasten wirken: Eislasten, Brems- und Anfahrkräfte, Reibungskräfte bei beweglichen Lagern, Seitenstöße von Schienenfahrzeugen, Anpralllasten bei Stützen, Säulen, Pfeilern und Schrammborden, Flüssigkeitsdruck, Erddruck und seitlicher Druck von Schüttgütern. Erwähnt sei noch, dass außerdem Temperaturänderungen, Stützensenkungen, einge prägte Wege (z. B. durch Spannschlösser, Pressen), Schwinden und Kriechen auf eine Konstruktion einwirken können. Kräfte aus äußeren Lasten, Zwang aus behinderter Verformung und Vorspannung werden als Einwirkungen bezeichnet.
Normen für die Ermittlung von Einwirkungen auf Tragwerke Die Größen der für die statische Berechnung eines Bauwerkes anzunehmenden Lasten und anderen Einwirkungen sind in den einschlägigen DIN-Vorschriften angegeben. Sie sind abhängig vom Baustoff bzw. von der Art des Bauwerkes und können nicht beliebig vom Tragwerksplaner festgelegt werden. Hingewiesen sei hier besonders auf die für die Einwirkungen auf Hochbauten grundlegende Normenreihe DIN 1055, „Einwirkungen auf Tragwerke“ . Sie entspricht im Wesentlichen der um einige nationale Besonderheiten 27
1 Grundlagen ergänzten europäischen Normenreihe ENV 1991 (Eurocode 1), die demnächst die na tionalen Normen ablösen wird. DIN 1055 ist gegliedert in: Teil 1: Teil 2:
Wichten und Flächenlasten von Baustoffen, Bauteilen und Lagerstoffen Bodenkenngrößen, Wichte, Reibungswinkel, Kohäsion, Wandreibungswin kel Teil 3: Eigen- und Nutzlasten für Hochbauten Teil 4: Windlasten Teil 5: Schnee- und Eislasten Teil 6: Einwirkungen auf Silos und Flüssigkeitsbehälter Teil 7: Temperatureinwirkungen Teil 8: Einwirkungen während der Bauausführung Teil 9: Außergewöhnliche Einwirkungen Teil 10: Einwirkungen infolge Krane und Maschinen Weitere Belastungsannahmen sind in den Vorschriften für die entsprechenden Bauwerke zu finden.
1.4.2
Lastermittlungen
Die Lastermittlung steht am Anfang der statischen Berechnung jedes Bauwerkes. Bei der Lastzusammenstellung sind auch die Eigenlasten jener Bauteile zu berücksichtigen, deren Abmessungen auf Grund der Berechnung erst festgelegt werden. In der Regel können diese Eigenlasten genau genug geschätzt werden, wenn Erfah rungswerte von ähnlichen Bauwerken vorliegen; andernfalls sind durch eine Über schlagsrechnung die Abmessungen ungefähr zu bestimmen. Weichen die endgültigen Eigenlasten wesentlich von den vorher getroffenen Annahmen ab, so ist eine neue Festigkeitsberechnung mit den berichtigten Eigenlasten aufzustellen.
1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften 1.5.1 Zusammensetzen von Kräften auf zeichnerischem Wege 1.5.1.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ^ Sollen zwei Kräfte F x und F2 durch eine Kraft ersetzt werden, so gehe man folgender maßen vor: Die beiden Kräfte F x und F2 werden zu einem Parallelogramm ergänzt (Abb. 1.22). Die Diagonale dieses Parallelogramms wird als Resultierende R bezeichnet und hat die 1) Ein gemeinsamer Schnittpunkt ist auch dann gegeben, wenn die Wirkungslinien der Kräfte durch einen Punkt gehen. Nach 1.2.1 kann eine Kraft in ihrer Wirkungslinie unter be stimmten Voraussetzungen verschoben werden. Diese Voraussetzungen sind für die Pro blemstellungen des Abschnittes 1.5 erfüllt.
28
1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften gleiche Wirkung2} wie die beiden Kräfte F x und F2 (Axiom3} vom Kräfteparallelo gramm).
Abb. 1.22 Angriffspunkt, Richtung und Richtungssinn der beiden gegebenen Kräfte F\ und F2 werden im Lageplan angegeben (Abb. 1.23a), die Angabe des Betrages erfolgt durch Zahl und Einheit (z. B. F { = 3 kN) oder mit Hilfe eines Kräftemaßstabes (z. B. 1 cm = 2kN). Bei Angabe des Betrages durch einen Kräftemaßstab müssen die Kräfte im Lageplan maßstabsgetreu gezeichnet werden.
Abb. 1.23 Um Fi und F2 zu einer Resultierenden R zusammenzusetzen, braucht nicht das gesamte Kräfteparallelogramm, sondern nur ein Krafteck (Abb. 1.23b) gezeichnet zu werden. Zu einem Krafteck gehört immer ein Kräftemaß stab. Alle Kräfte sind maßstäblich zu zeichnen. Krafteck und Kräftemaßstab ergeben den Kräfteplan. Praktische Durchführung: 1. Die im Lageplan gegebenen Kräfte (Abb. 1.23a) in beliebiger Reihenfolge aneinanderreihen (Abb. 1.23b). 2. Anfangspunkt der zuerst angetragenen Kraft mit Pfeilspitze der zuletzt ange tragenen Kraft verbinden: Resultierende R. Pfeilspitze von R so zeichnen, dass sie mit der Pfeilspitze der zuletzt angetragenen Kraft zusammenstößt (Abb. 1.23b). Damit sind Betrag, Richtung und Richtungssinn von R bekannt. 3. Resultierende R in den Lageplan durch den Schnittpunkt von F\ und F 2 über tragen (Abb. 1.23a). Damit ist auch die Lage von R bekannt.
2) Kraftwirkung und Momentenwirkung um eine beliebige Achse senkrecht zur Kraftebene. 3) Axiom: Annahme, die durch Erfahrung bestätigt ist.
29
1 Grundlagen Man beachte: Pfeilspitze der zuletzt angetragenen Kraft und Pfeilspitze der Resultierenden müssen immer zusammenstoßen. Drei Kräfte, die ein geschlossenes Krafteck bilden, gehen im Lageplan durch einen Punkt (Abb. 1.23). Sollen mehrere Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt zu einer Resultierenden R zu sammengefasst werden, so geht man wie bei „zwei Kräften“ vor (Abb. 1.24). Die Reihenfolge der Kräfte im Krafteck ist beliebig. In Abb. 1.24c ergibt sich die gleiche Resultierende wie in Abb. 1.24b.
Abb. 1.24
1.5.1.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt Um die genaue Lage der Kräfte anzugeben, muss der Lageplan einen Längenmaßstab erhalten (Abb. 1.25a). Betrag, Richtung und Richtungssinn der gesuchten Resultieren den R werden wie im Abschnitt „Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt“ bestimmt. Man zeichnet also ein Krafteck und erhält durch die Verbindungslinie des Anfangs punktes der zuerst angetragenen Kraft mit dem Endpunkt der zuletzt angetragenen Kraft die Resultierende R nach Betrag, Richtung und Richtungssinn (Abb. 1.25b). Die Lage von R kann auf Grund folgender Überlegung bestimmt werden: Zunächst wird F\ als Resultierende zweier beliebiger „Kräfte“ S\ und S2 aufgefasst (Abb. 1.25b). Die Kräfte F 1? S\ und S2 bilden ein geschlossenes Krafteck, sie gehen daher im Lageplan durch einen Punkt. In einem beliebigen Punkt der Wirkungslinie von F x werden im Lageplan S\ und S2 angetragen. Im Kräfteplan können nun S2 und F2 zu einer Teilresul tierenden S3 zusammengesetzt werden. Da S2, F2 und S3 ein geschlossenes Krafteck bilden, geht im Lageplan S3 durch den Schnittpunkt von S2 und F2. S\ und S3 haben die gleiche Wirkung wie F\ und F2. 30
1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften
Abb. 1.25 Man fasst nun S3 und F 3 zu einer neuen Teilresultierenden S4 zusammen. Da S3, F 3 und S4 wiederum ein geschlossenes Krafteck bilden, geht £4 im Lageplan durch den Schnitt punkt von S3 und F 3. Die beiden „Kräfte“ £1 und S4 haben die gleiche Wirkung wie F\, F2 und F 3. Die Lage der Resultierenden R ist demnach durch den Schnittpunkt von S { und S4 im Lageplan bestimmt. Der gemeinsame Schnittpunkt von S\ bis S4 im Kräfteplan wird als Pol bezeichnet, S\ bis S4 im Kräfteplan als Polstrahlen, im Lageplan als Seilstrahlen. Die Zeichnung der Seilstrahlen ergibt das Seileck, die der Polstrahlen das Poleck. Folgende Arbeitsgänge ergeben sich somit für die Lösung der Aufgabe von Kräften ohne gemeinsamen Angriffspunkt“ : 1. Gegebene Kräfte aneinanderrreihen; Anfangspunkt der zuerst angetragenen Kraft mit Endpunkt der zuletzt angetragenen Kraft verbinden: Resultierende R. 2. Pol wählen (beliebig)1) und Poleck zeichnen. 3. Polstrahlen durch Parallelverschiebung in den Lageplan übertragen (Seileck): Seilstrahl S\ mit F\ zum Schnitt bringen. Seilstrahl S2 geht durch den Schnitt punkt von Fi und S 1, Seilstrahl S3 geht durch Schnittpunkt von F2 und S2 usw. 4. Lage der Resultierenden: Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahles. Bei entsprechender Lage der Kräfte (Abb. 1.26) lässt sich die Resultierende R auch ohne Poleck und Seileck finden, indem man immer zwei Kräfte zu sog. Zwischen resultierenden zusammenfasst. Im Beispiel nach Abb. 1.26 wird R { aus F\ und F2 sowie R2 aus F 3 und F4 ermittelt. Die endgültige Resultierende ergibt sich dann aus R x und R2. Man sieht, dass die Lösung dieser Aufgabe ohne Poleck und Seileck nur möglich ist, wenn die zum Schnitt ge brachten Kräfte einwandfreie Schnittpunkte (keine schleifenden Schnitte!) ergeben.
Um schleifende Schnitte zu vermeiden, lege man den Pol so, dass der erste und der letzte Polstrahl in etwa einen rechten Winkel bilden.
31
1 Grundlagen
Abb. 1.26
1.5.2 Zerlegen von Kräften 1.5.2.1 Vorbemerkungen Die Umkehrung der Aufgabe, zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammenzufassen, ist das Zerlegen einer Kraft in zwei Komponenten, deren Richtungen gegeben sind1^ In der Praxis stellt sich meistens die Aufgabe, eine Kraft in zwei zueinander senkrechte Richtungen zu zerlegen. Die Zerlegung einer Kraft in drei oder mehr Richtungen ist nicht möglich, wenn die zu zerlegende Kraft und die Komponenten alle durch einen Punkt gehen. Es gibt keine eindeutige, sondern unendlich viele Lösungen. Dagegen ist das Zerlegen einer Kraft in drei gegebene Richtungen, die nicht durch einen Punkt gehen, möglich. Dieser Fall ist für die praktische Statik kaum von Bedeutung und wird daher nicht behandelt.
1.5.2.2 Zeichnerische Methode Der Lösungsgang für die Zerlegung einer Kraft F in zwei zueinander senkrechte Kom ponenten F x, und F z ist aus Abb. 1.27 ersichtlich. Ebenso geht man vor, wenn es sich um zwei ganz beliebige Zerlegungsrichtungen handelt. Ausgenommen ist die Zerlegung einer Kraft in zwei parallele Richtung. In diesem Fall verwendet man ein Poleck und ein Seileck und geht entsprechend Abb. 1.28 folgender maßen vor:
Abb. 1.27
Die zu zerlegende Kraft und die beiden Komponenten müssen im Lageplan durch einen Punkt gehen (vgl. „Kräfteparallelogramm“).
32
1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften 1. Pol wählen, Polstrahlen (Abb. 1.28b) und Seilstrahlen (Abb. 1.28a) zeichnen (Si und S2) 2. Im Lageplan Schnittpunkte zwischen S\ und Richtung von F\ bzw. S2 und Richtung vonF 2 verbinden. Die Verbindungslinie wird Schlusslinie S genannt. 3. Schlusslinie S durch den Pol gehend, in das Poleck übertragen. Aus dem Schnittpunkt zwischen S und F ergeben sich die Größen von F\ und F2. Die Richtigkeit der Lösung folgt aus den Erläuterungen zu Abb. 1.25.
Abb. 1.28
1.5.2.3 Rechnerische Methode Auch bei der rechnerischen Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten empfiehlt es sich, ein Krafteck zu zeichnen. Eine Freihandskizze reicht in diesem Falle jedoch aus. Für den Fall der Zerlegung in zueinander rechtwinklige Komponenten ergeben sich einfache geometrische Beziehungen. Man erhält z. B. nach Abb. 1.29b: |FX| = \F\ • sin a
(1.05)
\FZ\ = \F\ • cos a
(1.06)
Diese Beziehungen sind allgemein gültig, wenn a als spitzer Winkel zwischen der Kraft F und einer Parallelen zur z-Achse definiert wird. Der Richtungssinn von Fx und Fz muss aus der Skizze entnommen werden. Die Lage von Fx und Fz ist durch den Angriffspunkt A im Lageplan festgelegt (Abb. 1.29a bzw. 1.30).
Abb. 1.29
33
1 Grundlagen
Allgemeingültige Darstellung Benötigt man für tabellarische oder programmierte Rechnungen allgemeingültige Be ziehungen, die Betrag und Richtungssinn von Fx und Fz angeben, so gelten folgende Gleichungen: F X=\F\ -sin ä
(1.05a)
Fz = \F\ • cosa
(1.06a)
Hierbei ist a derjenige Winkel, der überstrichen wird, wenn man die positive Richtung der z-Achse mit positivem Drehsinn in den tatsächlichen Richtungssinn von F hinein dreht (Abb. 1.30). Für tabellarische Rechnungen ist der auf Seite 39 angegebene Tabel lenkopf, Spalten (1) bis (7) anzuwenden.
Abb. 1.30 Folgt aus der Rechnung für Fx oder Fz ein positives Vorzeichen, so wirkt die entspre chende Komponente im Sinne des Achsenkreuzes; bei negativem Vorzeichen hat sie den entgegengesetzten Richtungssinn wie die entsprechende Koordinatenachse. Zum Bei spiel folgt aus Abb. 1.31: F = 7 kN ä = 360° -3 5 ° = 325° sin 325° = -sin 35° = -0,574 cos 325° = +cos 35° = +0,819 Nach Gin. (1.05a) und (1.06a) sind: Fx = l - (-0,574) = -4,02 kN Fz = 1 -0,819 = 5,73 kN Fx wirkt also entgegen der positiven x-Achse und Fz im Sinne der positiven z-Achse. In Abb. 1.31 sind die Komponenten mit ihrem tatsächlichen Richtungssinn eingetragen.
Abb. 1.31 34
1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften
Zerlegung von Kräften in beliebige Richtungen Die rechnerische Zerlegung von F in zwei nicht zueinander senkrechte Komponenten könnte man mit Hilfe des Sinussatzes lösen. Der Sonderfall der Zerlegung in parallele Komponenten entsprechend Abb. 1.28a lässt sich rechnerisch wie folgt lösen: Soll F in F\ und F2 zerlegt werden, so bedeutet das, dass F\ und F2 die gleiche Kraftwirkung und die gleiche Momentenwirkung (Moment um eine beliebige Achse senkrecht zur Kraftebene) wie F haben müssen. Aus diesen beiden Forderungen ergeben sich zwei Gleichungen mit den Unbekannten F\ und F2. Als Momentendrehachse wird z. B. eine Achse gewählt, die durch einen beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie von F\ geht (Abb. 1.28a). Damit ergeben sich folgende zwei Gleichungen1}: F \ + F 2=F
(1.07)
F x • 0 + F 2 • 2,4 = F • 1
(1.08)
F ü rF = 1,6 kN folgt aus Gl. (1.08): F 2 = F - 1/2,4 =1,6/2,4 = 0,67 kN und aus Gl. (1.07): F x = F - F 2 = 1 ,6 - 0,67 = 0,93 kN
1.5.3 Zusammensetzen von Kräften auf rechnerischem Wege 1.5.3.1 K räfte m it gemeinsamem Schnittpunkt Nach Wahl eines Achsenkreuzes x, z werden die gegebenen Kräfte (Abb. 1.32a) in Komponenten in x- und z-Richtung zerlegt (Abb. 1.32b). Die Teilresultierenden Rx und Rz ergeben sich durch Addition der Kräfte F xi bzw. F zi. Für die Kräfte in Abb. 1.32 ergibt sich demnach
Abb. 1.32
11 Hebelarme werden aus der Zeichnung abgegriffen. 35
1 Grundlagen Für beliebig viele Kräfte gilt: Äx= i
Fxi
i= l
(1.09)
Äz = £ ^ i= l
(1.10)
Kräfte, die im Sinne der Koordinatenachse x bzw. z wirken, sind in die Gin. (1.09) und (1.10) positiv einzusetzen, Kräfte, die entgegen den Koordinatenachsen wirken, dem entsprechend negativ. Positive Werte Rx bzw. Rz wirken in Richtung, negative Werte entgegen der Richtung der zugehörigen positiven Koordinatenachse. Der Betrag der Resultierenden ergibt sich gemäß Abb. 1.32c stets zu: \r \ = V
r 2x+ r 2z
(l.ii)
Richtung und Richtungssinn von R können mit Hilfe einer Skizze ermittelt werden. Zum Beispiel folgt aus Abb. 1.33a für den spitzen Winkel q
Allgemeingültige Darstellung Werden für tabellarische oder programmierte Rechnungen allgemeingültige Beziehun gen benötigt, so kann aus folgenden Gleichungen ermittelt werden (Abb. 1.33b): tane=
y
(1.12a);
sing=
(1.12b)
Dabei ist der Winkel, der überstrichen wird, wenn man die positive Richtung der z-Achse mit positivem Drehsinn in den Richtungssinn von R hineindreht.
Abb. 1.33 Man beachte: Da der Winkel g zwischen 0° und 360° liegen kann, ergeben sich aus den Gin. (1.12a) und (1.12b) jeweils zwei Lösungen für g. Gültig ist der Winkel g, der aus beiden Gleichungen übereinstimmend gefunden wird.
Beispiel 1-1 Die Resultierende der in Abb. 1.34a gezeigten Kräfte ist zu ermitteln. Die Komponenten F xl u n d F zl (Abb. 1.34b) betragen: 36
1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften
F xl = F X• sin 60° = 2 • 0,866 = 1,73 kN Fzi = F x - cos 60° = 2 • 0,5 = 1 kN F2 wirkt bereits in z-Richtung; damit ist nach Abb. 1.34a: FX2 = 0;
Fz2 = F2 = 3kN
Nach Gin. (1.09) und (1.10) sind Rx = 1,73 + 0 = 1,73kN;
Rz = - l - 3 = - 4 k N u
Nach Gl. (1.11) ist: |ä| = V
rI
+ r I = V l,7 3 2 + (-4 )2 = 4,36 kN
Richtung und Richtungssinn von R können nach Abb. 1.34c bestimmt werden; dabei ergibt sich für den spitzen Winkel q:
tan e = l?4 =
= °>432;
q = 23>4°
Alternativ ermittelt man nach Gin. (1.12a) und (1.12b): _ Rx 1,73 tan Q= ~r~ = — — = -0 ,4 3 2 ; Rz —4 ßi = 180° - 23,4° = 156,6°;
q2 = 360°
- 23,4° = 336,6°
• l ’73 n TQ7 e " H " 4 J 6 = 0 '397 = 23,4°; Ql = 180°-23,4° = 156,6° Der übereinstimmend gefundene Winkel Abb. 1.34d).
q\
= 156,6° ist maßgebend (vgl. auch
Die negativen Vorzeichen ergeben sich aus der Tatsache, dass Fx\ und Fz2 entgegen der positiven z-Achse wirken. Da die Rechnung auch für Rz einen negativen Wert ergibt, wirkt auch Rz entgegen der positiven z-Achse. In Abb. 1.34 sind die Komponenten Rz und Rx mit ihrem tatsächlichen Richtungssinn eingetragen.
37
1 Grundlagen
1.5.3.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt Die Ermittlung von Betrag, Richtung und Richtungssinn der Resultierenden R erfolgt wie bei „Kräften mit gemeinsamem Schnittpunkt“. Nach Zerlegung der gegebenen Kräfte in x- und z-Komponenten werden die Gin. (1.09) bis (1.12b) angewendet. Die Lage von R ergibt sich aus der Überlegung, dass R die gleiche Momentenwirkung haben muss wie die gegebenen Kräfte F\. Zerlegt man R am Schnittpunkt mit der x-Achse in die Komponenten Rx und Rz Abb. 1.35a) und errechnet für den Koordinatenanfangs punkt die Momente, so erhält man auf Grund der vorgenannten Überlegung:
Rz - x r + Rx ■0 = Fz] ■X i + F z2 ■x 2 + Fz3 ■x 3 - (Fxl • z, + F x3 *z3 + F4 ■z4) Bei beliebig vielen Kräften Fx ergibt sich somit die Ordinate des Schnittpunktes von R mit der x-Achse zu: (1.13)
38
1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften Entsprechend erhält man nach Abb. 1.35b für den Schnittpunkt von R mit der z-Achse:
R
x
- z r + R z - 0 = F x \ • z \ + F x 2 • z2 + F x3 • z3 - ( F zi -xi + F z 2 - x 2 )
Daraus folgt für beliebig viele Kräfte F2\ (1.14)
Vorzeichenregelung:
I
Kräfte F xi bzw. Fzl sind in den Gin. (1.13) und (1.14) mit negativem Vorzeichen einzusetzen, wenn sie entgegen der positiven x- bzw. z-Achse wirken.
Die Wirkungslinie der Resultierenden R ist durch die Richtung von R (Richtungswinkel q oder q, s. S. 36) und durch einen Achsenabschnitt (xR bzw. zR) oder durch die beiden Achsenabschnitte xRund zR festgelegt. Für tabellarische Rechnungen wird mit a nach Abb. 1.30 folgende Tabelle empfohlen: i
sin ocj cos
l* il
(Xi -
(1)
kN
(2)
o
(3)
-
(4)
-
(5)
1
^
F« = _ Fi • cos ocj
Z{
Xj
Fxi *z\
F Z1 * Xj
kN
kN
m
m
kNm
kNm
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
( 11)
F*i= _ • sin ai
2
Z
-
-
-
-
^x =
Rz =
-
-
B eispiel 1-2 (Abb. 1.36) Man ermittle für die Kräfte F x bis F4 (Abb. 1.36a) die Resultierende R. Es ist nur eine Zerlegung von F2 (Abb. 1.36b) erforderlich: Fx2 = Fz2 = F2 • sin 45° = 3,0 • 0,7071 = 2,12 kN Bei der Ermittlung von xR und zR spart man Rechenarbeit, wenn man z. B. den Koordi natenanfangspunkt in den Angriffspunkt der Kraft F x legt (Abb. 1.36c). Die Koordinaten der Kraftangriffspunkte betragen dann: x j = 0; Z| = 0 x3 = 4,5 m; z3 = 0
x2 = 2,0 m; x4 = 5,3m;
z2 = 0 z4 = 2,0 m
Aus Gin. (1.09) bis (1.11) folgt: Rx = 2,12 + 1,5 = 3,62 kN;
Rz = 1,2 + 2,12 - 2,0 = 1,32 kN 39
1 Grundlagen
Abb. 1.36 |/?| = V 3,622 + l,3 2 2 = 3,85 kN Entsprechend Abb. 1.36d ist tan q = 3,62/1,32 = 2,74;
g = 70°
Aus Gl. (1. 13) folgt: XR= 1 3 2 •[2>1 2 - 2’0 + ( - 2’0) - 4-5 - 1>5 - ( - 2’° ) ] = - 1>33m Mit q undxR ist die Wirkungslinie vonT^ festgelegt (Abb. 1.36c). Ergänzend folgt aus Gl. (1.14):
1.6 Gleichgewicht 1.6.1 Allgemeines Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte und Momente. Sie untersucht die Bedingungen, unter denen sich eine Konstruktion, die durch Kräfte und Momente belastet ist, im Gleichgewicht befindet: Gleichgewichtsbedingungen. Für ein ebenes Stab werk wird Gleichgewicht erreicht, d. h., es findet keine beschleunigte Bewegung statt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 40
1.6 Gleichgewicht a) Die Resultierende aller am Stabwerk wirkenden Kräfte muss gleich null sein. Das ist der Fall, wenn die Summe der Komponenten aller am Stabwerk wir kenden Kräfte in zwei beliebigen, jedoch nicht parallelen Richtungen in der Stabwerksebene gleich null ist. b) Die Summe aller Momente der am Stabwerk wirkenden Kraftgrößen um eine beliebige Achse senkrecht zur Stabwerksebene muss gleich null sein. Aus a) und b) ergeben sich also entsprechend den drei Freiheitsgraden eines ebenen Systems drei voneinander unabhängige Gleichgewichtsbedingungen. Für die Zerlegung der Kräfte in Komponenten ist es zweckmäßig, zwei zueinander senkrechte Richtungen zu wählen.
1.6.2 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen Fällt eine Stabwerksebene mit der x, z-Ebene eines Achsenkreuzes nach Abb. 1.11b zusammen, so ergeben sich die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene in folgender Form: 1. 2. 3.
Summe aller Kräfte in x-Richtung gleich null ZFX= 0
(1.15)
Summe aller Kräfte in z-Richtung gleich null ZFz = 0
(1.16)
Summe aller Momente um eine beliebige Achse senkrecht zur Stabwerks ebene gleich null^ £M = 0 (1.17)
An Stelle der beiden Gleichgewichtsbedingungen EFX= 0 und ZFz = 0 können zusätz liche Momentengleichgewichtsbedingungen EM = 0 verwendet werden. Den Beweis liefert folgende Überlegung: Man geht von einer durch beliebige Kräfte und Momente belasteten Konstruktion aus (Abb. 1.37). Ist zunächst nur EMj = 0 erfüllt, so könnte noch eine durch den Punkt i gehende, beliebig gerichtete Resultierende R wirken. Ist auch eine zweite Momentengleichgewichtsbedingung, z.B. EMk = 0, erfüllt, so könnte nur noch eine Resultierende wirken, deren Wirkungslinie durch die Punkte i und k geht. Ist die dritte Gleichung ZFX= 0 oder XFZ= 0 ebenfalls erfüllt, so besagt das, dass auch diese Resultierende gleich null ist. Liegen allerdings die Punkte i und k auf einer Parallelen zur z-Achse, dann ist nur die Erfüllung der Gleichung EFZ= 0 eine Bedingung dafür, dass R = 0 ist, da R keine Komponente in x-Richtung hat. Entsprechendes gilt, wenn die Punkte i und k parallel zur x-Achse liegen. In diesen beiden Fällen hätte man also keine Auswahlmöglichkeit unter den beiden Gleichungen ZFX= 0 und ZFz = 0. Wird statt der zuvor verwendeten einen Kraftgleichgewichtsbedingung noch eine dritte Momentengleichgewichtsbedingung gewählt, deren Bezugspunkt n jedoch nicht auf Die Achse stellt sich in der x, z-Ebene als Punkt dar (vgl. 1.2.2), der im Folgenden als Bezugspunkt bezeichnet wird.
41
1 Grundlagen einer Geraden durch die Punkte i und k liegen darf, und ist diese Gleichung erfüllt, so ist damit ebenfalls gegeben, dass die Resultierende gleich Null ist. Für ein ebenes System lassen sich somit grundsätzlich nur drei voneinander unabhängi ge Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Alle weiteren Gleichgewichtsbedingungen, z.B. Momentengleichgewichtsbedingungen um neue Bezugspunkte, ergeben nichts Neues; sie sind von den bereits vorhandenen drei Gleichgewichtsbedingungen linear abhängig.
Abb. 1.37
Vorzeichenregelung Beim Aufschreiben der Gleichgewichtsbedingungen ist auf Folgendes zu achten: Erhalten Kräfte, die den gleichen Richtungssinn haben, ein positives Vorzeichen, so sind die Kräfte, die den umgekehrten Richtungssinn haben, mit einem negativen Vorzeichen zu versehen. Entsprechendes gilt für rechts- und linksdrehende Momente. Um Fehlerquellen beim praktischen Rechnen auf ein Minimum herabzusetzen und im Hinblick auf eine tabellarische und programmierte Lösung von statischen Aufgaben ist es zweckmäßig, beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen nach einem be stimmten Prinzip zu arbeiten. Im Rahmen dieses Buches wird daher folgendermaßen vorgegangen: Kräfte und Momente erhalten in den Gleichgewichtsbedingungen ein positives Vor zeichen, wenn sie im Sinne des Achsenkreuzes^ wirkend dargestellt sind; andernfalls erhalten sie ein negatives Vorzeichen. Anhand der beiden folgenden Beispiele wird die Anwendung der Gleichgewichtsbedin gungen gezeigt.
Beispiel 1-3 Man stelle fest, ob die in Abb. 1.38 dargestellte Konstruktion im Gleichgewicht ist. Zur Lösung der Aufgabe müssen die Gleichgewichtsbedingungen aufgeschrieben werden, um feststellen zu können, ob sie erfüllt sind.
Im Sinne des Achsenkreuzes bedeutet bei Kräften: in Richtung der positiven Koordina tenachsen, bei Momenten: in Richtung des positiven Drehsinns (vgl. 1.3.2).
42
1.6 Gleichgewicht LFX = 0: - 2 + 2 = 0 (?); 0 = 0 LFZ =0: - 4 + 5 -1 = 0(?); 0 = 0 £M a = 0: 2 - 0 + 4- 0 - 5- 2+1 • 10 + 2- 0 = 0 (?) 0= 0 Die in Abb. 1.38 dargestellte Konstruktion ist also im Gleichgewicht, da alle Gleichge wichtsbedingungen erfüllt sind. 'M
"w z 15 kN
2kN
l*kN
1kN
Fx1=3kN £ io ö
2kN So
-2 -i - ------------- 8 m -------- -
1.2 m Abb. 1.39
Abb. 1.38
Beispiel 1-4 (Abb. 1.39) Gegeben sind in diesem Beispiel Betrag, Richtungssinn und Lage vonF xl sowie die Lage von F xa Fza, Fzb. Der Betrag und der Richtungssinn von F xa,F za und Fzb sollen so bestimmt werden, dass alle vier Kräfte im Gleichgewicht sind. Dienoch unbekannten Pfeilrichtungen (Richtungssinn) von F xa, F za und Fzb werden zunächst beliebig ange nommen. Ergibt sich für eine Kraft nach Ausrechnung der Gleichgewichtsbedingungen ein positives Vorzeichen, so stimmt der wirkliche Richtungssinn mit der angenommenen Pfeilrichtung überein; ergibt sich ein negatives Vorzeichen, so ist der wirkliche Rich tungssinn der Kraft entgegengesetzt der im Bild eingetragenen Pfeilrichtung. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten für die in Abb. 1.39 gewählten Pfeilrichtungen der Kräfte: EFx = 0:
F xa- F xl = 0;
F xa = F x l= 3 k N
ZMa = 0:
F xl -0,5 +F zb- 1,2 = 0
EFZ= 0:
Fzb = Y i -F za - Fzb = 0
• ° ’5) = Y i
3 ' 0 ,5 )= ' 1,25 kN
F za = - F zb = - ( - l,2 5 ) = l,2 5 k N Zur Ermittlung vonF za könnte z. B. auch die Gleichgewichtsbedingung EMb = 0 genutzt werden: - F za • 1,2 + F xl • 0,5 = 0 Fza = Fxi • 0,5/1,2 = 3 -0,5/1,2=1,25 kN Werden, wie in diesem Beispiel, mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen Betrag und Richtungssinn von unbekannten Kräften ermittelt, so ist der Rechenaufwand am ge ringsten, wenn jede Gleichung nur eine Unbekannte enthält. Um in der Gleichung 43
1 Grundlagen ZM = 0 nur eine Unbekannte zu erhalten, muss der Bezugspunkt entsprechend gewählt werden. Das wird z. B. erreicht und gleichzeitig eine Fehlerfortpflanzung vermieden, wenn als Bezugspunkt der Schnittpunkt zweier der anfangs unbekannten Kräfte gewählt wird. Im Beispiel 1-4 wurden daher als Momenten-Bezugspunkte die Punkte a oder b gewählt. Die Beispiele 1-3 und 1-4 zeigen, dass man mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen einerseits feststellen kann, ob ein Gleichgewichtszustand vorliegt und andererseits Un bekannte so ermittelt werden können, dass Gleichgewicht herrscht.
1.7 Schnittgrößen Wird eine Konstruktion durch äußere Kräfte oder Momente belastet und damit auch verformt, so treten im Innern der Konstruktion sog. SchnittgrößenX) (innere Kräfte und innere Momente) auf. Man verwende folgendes Gedankenmodell: Die einzelnen Quer schnitte einer Konstruktion werden durch „innere Fesseln“ zusammengehalten. Sie sind aneinander „gefesselt“ . In den „inneren Fesseln“ wirken innere Kräfte und Momente. Sie sorgen dafür, dass jedes einzelne Stabelement einer Konstruktion im Gleichgewicht steht. In jedem Schnitt einer ebenen Konstruktion können drei Schnittgrößen auftreten: Biegemoment Querkraft Längskraft
M3 V (Kraft quer zur Stabachse) N (Kraft in Richtung der Stabachse)
Abb. 1.40 In Abb. 1.40 ist ein in zwei Teile geschnittener Träger dargestellt. An den freigelegten Schnittufern sind die Schnittgrößen eingetragen. Sie treten aus Gleichgewichtsgründen immer paarweise auf und sind entgegengesetzt gleich. Weitere Einzelheiten siehe Ab schnitt 2.3.
1.8 Nebenbedingungen Es gibt Baukonstruktionen, die an bestimmten Stellen so konstruiert sind, dass eine oder zwei Schnittgrößen an diesen Stellen nicht übertragen werden können, d. h. gleich null sind. Man spricht in diesem Zusammenhang von Nebenbedingungen.
Diese Schnittgrößen sind Resultierende der in einem Querschnitt infolge äußerer Belas tung auftretenden Spannungen (siehe [2]).
44
1.9 Statische Bestimmtheit Bezugnehmend auf das Gedankenmodell (vgl. 1.7) könnte man sagen, dass die entspre chenden „inneren Fesseln“ an diesen Stellen „zerschnitten“ sind und damit keine Kräfte bzw. Momente übertragen können. Zum Beispiel sind bei sog. Gelenkträgern (vgl. 4.2) an bestimmten Stellen Gelenke konstruiert, so dass hier das Biegemoment M6 = 0 ist. Diese Tatsache ist für die Berechnung solcher Konstruktionen von großer Wichtigkeit, da man durch die Ausnutzung der Nebenbedingungen zusätzliche Gleichungen zur Berechnung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen erhält (vgl. 4.1). In Abb. 1.41a wird gezeigt, wie bei Stahlträgern solche Gelenkstellen aussehen kön nen1\ Es ist ersichtlich, dass zwar eine Querkraft und eine Längskraft, jedoch kein Biegemoment übertragen werden kann.
Mb=0 — o—
o)
Symbolische Darstellung
Langloch im Trägersteg
it r t^ r 1'I! er V \r<\ \IJ
Mb=0 ; N = 0
AiA
bj
-—
!----------------- m —
Abb. 1.41 In Abb. 1.41b wird gezeigt, wie z. B. eine Konstruktionsstelle mit den beiden Nebenbe dingungen MB = 0 und N= 0 aussehen kann. Das Langloch im Trägersteg verhindert die Übertragung der Längskraft.
1.9 Statische Bestimmtheit Eine Konstruktion ist statisch bestimmt, wenn die Gleichgewichtsbedingungen und die Nebenbedingungsgleichungen ausreichen, um die Auflagerreaktionen und Schnittgrö ßen eindeutig zu ermitteln.
Zur besseren Übersicht sind die Schweißnahtzeichen weggelassen.
45
1 Grundlagen Sind zur Berechnung der Auflager- und Schnittgrößen außer den Gleichgewichts- und Nebenbedingungen noch Formänderungsbedingungen erforderlich, so spricht man von einer statisch unbestimmten Konstruktion (siehe Kapitel 9). Lassen sich nur die Auflagerreaktionen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen und mit eventuellen Nebenbedingungsgleichungen ermitteln, während zur Bestimmung der Schnittgrößen zusätzliche Formänderungsbedingungen erforderlich sind, so ist das System zwar statisch bestimmt gelagert, insgesamt jedoch statisch unbestimmt.
1.10 Überlagerungsprinzip Da alle Kraftgrößen in die Gleichgewichtsbedingungen linear eingehen, ist es grund sätzlich möglich, eine aus verschiedenen Lasten und Lastmomenten bestehende Ge samtbelastung einer Konstruktion in Teilbelastungen aufzuteilen, um statische Größen (z. B. Auflagerkräfte, Schnittgrößen) für diese Teilbelastungen zu ermitteln. Die Teilre sultate ergeben sich durch Addition der endgültigen Resultate der Gesamtbelastung. Dieses Überlagerungsprinzip ist für die Statik von großer Bedeutung. Es lassen sich auf diese Weise unübersichtliche, komplizierte Belastungen in einzelne übersichtliche, ein fache Belastungen aufteilen, die alle in getrennten Rechengängen behandelt werden können. Die Anwendung des Überlagerungsprinzips bietet sich auch an, wenn verän derliche Lasten, wie z. B. Wind und Schnee, wirken, deren Einfluss zunächst getrennt ermittelt werden muss, vgl. auch Abb. 1.42.
Teilbelastung I
Teilbelastung E
z.B.. Gesamtbelastung = Teilbelastungen I + E
Abb. 1.42
AZ-&Z,I +&ZE; BZ *BZ I +BZ 11
Die Gültigkeit des Überlagerungsprinzips ist allerdings auf solche Fälle beschränkt, in denen die Verformungen keinen oder nur einen vemachlässigbar geringen Einfluss auf die Schnittgrößen haben. Diese Voraussetzung ist für die in diesem Buch beschriebenen Fälle gewährleistet.
46
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen 2.1 Vorbemerkungen Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen müssen folgende Forderungen erfüllen: Alle Auflager- und Schnittgrößen müssen sich allein mit Hilfe der drei Gleichgewichts bedingungen berechnen lassen. Die Auswirkungen in diesem Abschnitt beziehen sich also auf gerade, geknickte und gekrümmte Träger mit oder ohne Kragarmen sowie auf Kragträger, wenn diese Systeme die obige Voraussetzung erfüllen. Bei einer statischen Berechnung sind im Allgemeinen folgende Punkte zu behandeln: 1. 2. 3. 4. 5.
Ermittlung der Auflagerreaktionen Ermittlung der Schnittgrößen Standsicherheitsnachweise Tragsicherheitsnachweise Nachweis der Gebrauchstauglichkeit
Das vorliegende Kapitel befasst sich mit den Punkten 1 und 2. Die Punkte 3 bis 5 werden z. B. in [2] und [3] behandelt.
2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen 2.2.1 Allgemeines Die Ermittlung der Auflagerreaktionen erfolgt, da sich jede Konstruktion im Gleichge wicht befinden muss, durch Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen. Ist ein stati sches System durch Streckenlasten belastet, so können diese für die Berechnung der Auflagerreaktionen durch resultierende Einzellasten ersetzt werden (vgl. 1.4.1, S. 25). Greifen Streckenlastmomente an, so kann ebenfalls mit resultierenden Einzellastmo menten gearbeitet werden.
2.2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen auf rechnerischem Wege Die Auflagerkräfte ergeben sich aus der Bedingung, dass das gesamte System im Gleichgewicht sein muss. Für die nach Betrag und Richtungssinn unbekannten Aufla gerreaktionen muss zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen eine Pfeilrichtung angenommen werden. Im Rahmen dieses Buches wird dabei wie folgt vorgegangen:
I
Die Pfeilrichtungen der Auflagerreaktionen werden grundsätzlich entgegen dem po sitiven Sinn des Achsenkreuzes eingetragen.
47
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
Abb. 2.01 Für den in Abb. 2.01 dargestellten Träger auf zwei Stützen ergeben dann unter Beachtung der Vorzeichenregel (s. Seite 42) die Gleichgewichtsbedingungen: ZM2 = 0: ZFz = 0:
E FX= 0:
- A z -l + Fz -b = 0 A z = Fz -b/l
(2.01)
- A z - B z + Fz = 0 Bz = Fz - A z = Fz - F z >b/l = Fz ( \ - b / l ) Bz = Fz -a/l
(2.02)
— A x + Fx = 0 =
(2.03)
Die Gleichgewichtsbedingungen Z Fz = 0 und EFX= 0 können durch Gleichgewichtsbe dingungen ZM = 0 ersetzt werden (vgl. 1.6.2). Zur Kontrolle wird Bz mit folgender Gleichgewichtsbedingung ermittelt: EMj =0:
Bz • l - Fz • a = 0;
BZ= FZ- a/l
Allgemein ist eine knappere Schreibweise zu erreichen, wenn die aus den Gl. B. folgen den Gleichungen direkt nach der gesuchten Größe aufgelöst werden. Bei den KraftGl. B. lässt sich dann zu Abb. 2.01 unmittelbar schreiben: aus Z Fz = 0 folgt:
] B z= l F z- A z
(2.02a)
aus L FX= 0 folgt:
A X=F X
(2.03 a)
Dabei geben die Vektoren als Hilfe zur Festlegung der Vorzeichen die für jede Glei chungsseite maßgebende positive Vektorrichtung an. Zu Gl. (2.02a) ist A z aus einer Momenten-Gl. B. zu errechnen, bei der entsprechend vorgegangen werden kann, also: aus ZM2 = 0 folgt:
r >f A z -1 = F z • b,
wobei der Krummpfeil den jeweils positiven Drehsinn bzgl. des gewählten Bezugs punktes angibt. Soll wie im vorstehenden Fall mit Hilfe der Momenten-Gl. B. eine Kraft errechnet werden, so können gleich beim ersten Aufschreiben beide Gleichungsseiten durch den Hebelarm, den die gesuchte Kraft zum gewählten Bezugspunkt hat, dividiert werden; es ergibt sich dann unmittelbar: 1
aus ZM2 = 0 folgt: A z = - (Fz • b)
48
(2.01a)
2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen
R-ql
■(+) Ax
Abb. 2.02
>111111111111111rfn iip
A,
-
^
4
Für einen mit einer gleichmäßig verteilten Streckenlast belasteten Träger (Abb. 2.02) ergeben sich folgende Gleichungen: £M 2 = 0: - A z -l + q l -1/2 = 0 A z = q-l / 2 £ F Z= 0:
I F x = 0:
ql-Az- B z=0 Bz = q l - A z = q l - q • 1/2 Bz = q • 1/2 Ax = 0
(2.04)
(2.05) (2.06)
Zu diesen Ergebnissen kommt man auch aus der Anschauung. Es ist einleuchtend, dass die Auflager bei symmetrischer Belastung je die Hälfte der Gesamtbelastung aufneh men. In Abb. 2.03a ist ein Träger dargestellt, bei dem die Bewegungsrichtung des beweglichen Lagers nicht parallel zur Stabachse verläuft. Die Auflagerkräfte lassen sich wie folgt ermitteln: 1. Möglichkeit (Abb. 2.03a) ZM2 = 0: ZMi =0:
EFX= 0:
- A z -l + F - b = 0 Az =F-b/l
(2.07)
B • / cos ol- F • a = 0 Fa B = -------/ cos a - A x - B sin a = 0 ™• Fa A x = - B s ma = - ------- sin a / cos a A x = - - F • ö ta n a
(2.08)
(2.09)
^ x lässt sich auch relativ schnellermitteln, wenn man die Gleichgewichtsbedingung UM = 0 um den Schnittpunkt von^4z und B aufstellt.
49
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen v
- <1X
c)
2. Möglichkeit (Abb. 2.03b, c) Nach Zerlegung von B in x- und z-Richtung folgt: YuM 2 = 0:
A z = F- b / l
HMi =0:
B cos oc • / - F • a = 0
Z F x = 0:
Fa l cos a 1 A x = - B sinoi = - - F • a • tan a B=
Eine Zusammenstellung von Auflagerreaktionen verschiedener Systeme mit bestimm ten Belastungen befindet sich z. B. in [3]. Zur weiteren Vertiefung des Stoffes folgen drei Zahlenbeispiele.
Beispiel 2-1 (Abb. 2.04) Man ermittle die Auflagerkräfte. \ R=q l8 q-0,5kN/m
*
TTTTITn
F z - 2,7kN
2
CS «Vi
'3
1,2 | Abb. 2.04
50
W | 2,0 5,0m
tf-l
2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen E M ,= 0:
Bz ■5, 0- F z ■6, 5- q ■1,8-2,1 - F x - 1,6 = 0 ßz= ^
(Fz • 6,5 + # • 1,8 • 2,1 +FX • 1,6)
ßz=
(2,7 • 6,5 + 0,5 • 1 ,8 -2 ,1 + 0 ,8 - l,6) = 4,14kN
£ F Z= 0:
—
—2?z + q • 1,8 + Fz = 0 Az = - B z + q ■1,8 + F z = - 4,14 + 0,5 • 1,8+ 2,7 = -0 ,5 4 kN °
EFx = 0:
- A k + F x = 0;
^ x = F x = 0,8kN
Zur Kontrolle wird EM3 = 0 aufgestellt.
ZM3= 0: - ^ z -5 ,0 -^ x- 1,6 + 9- 1,8-2,9- F z - 1,5 = 0 (?) - (-0,54)2) • 5 ,0 -0 ,8 - 1,6+ 0,5- 1 ,8 -2 ,9 -2 ,7 - 1,5 = 0 (?) + 2,7 - 1,28 + 2,61 - 4,05 = 0 (?) 5,31-5,33 « 0
Beispiel 2-2 (Abb. 2.05) Die Auflagerreaktionen des mit einer Dreieckslast belasteten Kragträgers sind zu er mitteln. Die maximale Ordinate der Last beträgt 2 kN/m. Die Resultierende der Belas tung ist gleich der Fläche des Dreiecks, also R = q • 3,9/2. R greift im Schwerpunkt des Dreiecks an (Abb. 2.05).
\ j +) * \J L lR -q -3 ß /2 r q =2 kN/m $ ----
4 \ 1,5
Abb. 2.05
Z M ,= 0:
-fT T T T T -r-r- — |
3,9m
zr
- hf-q-
|
H
- 2,8 = 0
NF = - q - 1,95 -2,8 = - 2 ,0 - 1,95-2,8 = -1 0 ,9 kNm S F Z= 0:
- Az + q - 1,912 = 0 A z = q • 3,9/2 = 2 • 3,9/2 = 3,9 kN
I F x = 0:
Ax=0
^ Das negative Vorzeichen besagt, dass Az entgegengesetzt wirkt, wie im Bild eingetragen. 2) Man beachte: Az ist mit dem zuvor ermittelten Vorzeichen einzusetzen.
51
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
Beispiel 2-3 (Abb. 2.06a) Für die Ermittlung der Auflagerkräfte werden die Gleichgewichtsbedingungen aufge stellt. '(+)
X
Fx=2kN
UOm a)
£
Ax b)
2
Abb. 2.06 ~LM2 = 0:
- A z - 6,0 + F ■ 1,2 = 0 Az= 7
6
•F
(2. 10)
• 1,2= 7 - 2 - 1,2 = 0,4 kN
6
~LFZ = 0:
- Az- B z=0 B z = - A z = - 0,4kN'>
(2 .11)
Z FX= 0:
- Ax- F = 0 A « = - F =~ 2kN°
(2 .12)
Für die Ermittlung der Auflagerkräfte könnte man auch vondem Lastbild in Abb. 2.06b ausgehen, indem man die Last F in denPunkt3versetztund zusätzlich dasVerset zungsmoment M = F • 1,2 = 2 • 1,2 = 2,4 kNm anbringt (vgl. 1.2.5). Bei Aufstellung von Momentengleichgewichtsbedingungen ist darauf zu achten, dass ein Einzelmoment M um alle Drehachsen senkrecht zur Zeichenebene ein Moment von der Größe Mausübt. Entsprechend Abb. 2.06b lauten die Gleichgewichtsbedingungen: £M 2 = 0:
- Az - 6,0 + A/-=0 A z = A/l/6 = 2,4/6 = 0,4 kN
Fz = 0:
wie Gl. (2.11)
Fx = 0:
wie Gl. (2.12)
(2.13)
Für einen mit einem EinzelmomentM [ belasteten Träger auf zwei Stützen nach Abb. 2.06b mit der Stützweite / ergeben sich somit entsprechend Gin. (2.13) und (2.11): A Z= N&!1
(2.14)
Bz = - h f / l
(2.15)
11 Siehe Fußnote 1 Seite 51
52
2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen
2.2.3 Reaktionen und Aktionen an Lagerstellen Wie im Abschnitt 2.2.2 gezeigt wurde, treten durch äußere Belastung (Aktion) an den Stellen einer Konstruktion, an denen sie an eine andere Konstruktion oder über Funda mente an den Erdboden gefesselt ist, Auflagerreaktionen auf. Diese Auflagerreaktionen erzeugen wiederum auf die angeschlossene Konstruktion bzw. über die Fundamente auf den Erdboden wirkende gleich große und entgegengesetzt gerichtete Aktionskräfte bzw. Aktionsmomente. Um die Aktions- und Reaktionskräfte an den Lagerstellen einer Konstruktion anschau lich darzustellen, werden in Abb. 2.07a für einen Träger auf zwei Stützen die Lager symbolisch mit Hilfe von Pendelstäben dargestellt (vgl. 1.3.3 bzw. Abb. 1.17c und 1.18b). Werden nach Abb. 2.07b die Pendelstäbe zerschnitten und geht man davon aus, dass der Träger an den Erdboden gefesselt ist, so wirken die Lagerkräfte an den kon struktionsseitigen Schnittufern als Reaktionskräfte und an den bodenseitigen Schnitt ufern als gleich große, entgegengesetzt gerichtete Aktionskräfte. Ergeben sich infolge einer entsprechenden Belastung die in Abb. 2.07c dargestellten Reaktions- und Aktionskräfte, so muss die Konstruktion an dieser Stelle gegen Abheben verankert werden.
b)
f — R ea ktio n skra ft
Abb. 2.07
2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen 2.3.1 Allgemeines Im Abschnitt 1.7 wurde erläutert, dass man unter Schnittgrößen innere Kräfte und Momente versteht, nämlich Biegemomente M6, Querkräfte V, Längskräfte N l) Häufig auch als Normalkräfte bezeichnet.
53
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Die Kenntnis dieser Schnittgrößen ist eine Voraussetzung für die Bemessung von Kons truktionen (s. [2]). Ihre Berechnung erfolgt mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen, nachdem man das gegebene System in Teilsysteme „zerschnitten“ hat und somit die an den Schnittstellen wirkenden Kräfte und Momente „freigelegt“ worden sind. Jedes „zerschnittene“ Teilsystem muss im Gleichgewicht stehen, d. h. die Gleichgewichtsbe dingungen müssen erfüllt sein. Zunächst muss der Richtungssinn der einzelnen, noch unbekannten Schnittgrößen an genommen werden, um sie mit den entsprechenden Vorzeichen in die Gleichgewichts bedingungen einzusetzen. Es ist zweckmäßig, folgendermaßen vorzugehen: Man definiert, wann Schnittgrößen als positiv zu bezeichnen sind und zeichnet sie dann an den Schnittstellen grundsätzlich positiv ein. Ergibt die Rechnung ein negatives Vorzeichen, so ist diese Schnittgröße im Sinne der Definition negativ, d. h. sie wirkt umgekehrt als im Bild eingetragen.
2.3.2 Vorzeichendefinition mit Hilfe eines Achsenkreuzes Es wird wieder mit dem bisher verwendeten Achsenkreuz gearbeitet (Abb. 2.08). Der Nullpunkt des Achsenkreuzes soll mit dem Punkt 1 des Trägers zusammenfallen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird jedoch die Darstellung entsprechend Abb. 2.08 gewählt und das Achsenkreuz oberhalb des Trägers gezeichnet. Für die Schnittgrößen wird definiert: Schnittgrößen sind positiv, wenn sie am positiven Schnittufer im Sinne des Koordina tensystems und am negativen Schnittufer entgegen dem Sinne des Koordinatensys tems wirken. Das positive Schnittufer einer Schnittstelle ist dasjenige, auf das man zuerst trifft, wenn man sich vom Nullpunkt des Achsenkreuzes aus in Richtung der positiven xbzw. x-Achse bewegt. *
ne go fives S chn i flu fer A Abb. 2.08
positives Sch nittu fer
$
Schnittstelle
In Abb. 2.08 sind alle Schnittgrößen positiv entsprechend dieser Definition eingetragen1}. Bei einer Lage des Achsenkreuzes nach A bb.2.09 ergeben sich z.B. die dort eingetragenen positiven Schnittgrößen. Ein dargestelltes System, in dem alle statischen Größen positiv laut Definition eingetragen sind, heißt Positivbild.
54
2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen
■Mi
positives Schnittufer
negatives Schnittufer Abb. 2.09 Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass die einzelnen Schnittgrößen an einer Schnittstelle immer als Gruppe auftreten und entgegengesetzt wirken, andernfalls wür den sich die einzelnen Querschnittsteilchen gegeneinander verschieben oder drehen. Obwohl die Schnittgrößen jeweils an einer Schnittstelle entgegengesetzt wirken, sind sie beide positiv bzw., wenn die Rechnung ein negatives Vorzeichen ergibt, beide negativ.
2.3.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen ohne Achsenkreuz Positive Biegemomente lassen sich sehr anschaulich mit Hilfe einer sog. Zugfaser definieren. Man legt die Ober- oder Unterseite eines Stabes als Zugfaser fest und definiert:
I
Ein Biegemoment ist positiv; wenn es an der Stabseite, an der die Zugfaser eingetragen ist, Zug erzeugt.
Entsprechend Abb. 2.10 zeichnet man auf einer Trägerseite eine gestrichelte Linie (Zugfaser) und trägt dann aus der Anschauung heraus die positiven Biegemomente an einer Schnittstelle so ein, dass sie auf der Seite der Zugfaser Zug erzeugen.
Abb. 2.10
Zugfaser
Für die Festlegung der positiven Querkräfte und Längskräfte kann folgende Regel aufgestellt werden: An den beiden Schnittufern einer Schnittstelle sind die Querkräfte positiv; wenn die Pfeilspitze am Schnittufer links vom Betrachter nach unten und rechts vom Betrachter nach oben zeigt. Längskräfte sind positiv, wenn sie als Zugkräfte wirken. In Abb. 2.11a und 2.11b sind die positiven Schnittgrößen eingetragen für die beiden Möglichkeiten „Zugfaser unten“ und „Zugfaser oben“ . Aus Vergleich der Abb. 2.08 und 2.1 la sowie Abb. 2.09 und 2.1 lb ergibt sich, dass man bei der Vorzeichendefinition mit Hilfe eines Achsenkreuzes bzw. mit Hilfe einer Zug faser zu den gleichen Ergebnissen kommt. Man kann sich also für eine der beiden Möglichkeiten entscheiden. Es wird bei den folgenden Beispielen im Allgemeinen sowohl ein Achsenkreuz als auch eine Zugfaser angeben. 55
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen M8
^
a>
Sch nittstelle
Abb. 2.11c bis e Die Abb. 2.1 lc bis e zeigen einige Zuordnungen von Zugfaser und Achsenkreuz sowie die als positiv definierten Schnittgrößen. Die Schnittufer sind als positive (p) oder negative (n) Schnittufer gekennzeichnet.
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen 2.4.1 Allgemeines Schnittgrößen können grundsätzlich sowohl auf rechnerischem als auch auf zeichne rischem Wege ermittelt werden. In den meisten Fällen, jedoch immer bei der Berechnung von Biegemomenten, ist es zweckmäßiger bzw. in der Praxis gebräuchlicher, rechnerisch vorzugehen. In den folgenden Abschnitten werden die Schnittgrößen überwiegend auf rechnerischem Wege ermittelt. In den Fällen jedoch, in denen die zeichnerische Methode besonders schnell zum Ziel führt, werden für die Ermittlung der Schnittgrößen sowohl rechnerische als auch zeichnerische Lösungen angegeben.
2.4.2 Allgemeine Anwendung des Schnittprinzips Sollen für eine bestimmte Stelle i einer Konstruktion die Schnittgrößen ermittelt werden, so wird ein Teilsystem durch einen Rundschnitt derart herausgeschnitten, dass eine Schnittstelle identisch mit der Stelle z ist. Da für jedes herausgeschnittene Teilsystem drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung stehen, müssen die Schnitte so geführt sein, dass immer jeweils nur drei unbekannte Schnittgrößen vorhanden sind. Zur Ver meidung von Rechenfehlern ist es zweckmäßig, zumindest bei komplizierten statischen Systemen, das herausgeschnittene Teilsystem noch einmal extra zu skizzieren. Somit 56
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen ergeben sich ftir die Ermittlung von Schnittgrößen eines statischen Systems folgende Arbeitsgänge: 1. Jeder Stab erhält ein Achsenkreuz oder eine Zugfaser. Alle markanten Punkte (Auflager, Lastangriffsstellen, Knickpunkte im System usw.) werden durch nummeriert. 2. Ermittlung der Auflagerreaktionen1). 3. Zerschneiden des Systems durch Rundschnitte in Teilsysteme derart, dass jeweils die Stellen zerschnitten werden, für welche die Schnittgrößen zu be rechnen sind und höchstens 3 Unbekannte vorhanden sind. 4. Herauszeichnen der jeweiligen Teilsysteme einschließlich aller Kräfte und Momente, die sich innerhalb des Rundschnittes befinden. Anbringen der Schnittgrößen an den freigelegten Schnittufern. 5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für die herausgeschnittenen Teil systeme und Berechnen der Schnittgrößen. Die zahlenmäßige Ermittlung von Schnittgrößen wird an drei Beispielen gezeigt; dabei beachte man: Es ist erforderlich, zwischen den einzelnen Punkten unmittelbar neben den Knickstellen eines Stabwerkes zu unterscheiden, da sich hier im Allgemeinen unterschiedlich große Schnittgrößen ergeben. Ebenso muss zwischen den Stellen unmittelbar neben einer Einzellastgröße unterschieden werden, da sich abhängig von der jeweils angreifenden Einzellastgröße (Fz, Fx bzw. h ^ ) ein unterschiedlicher Wert der entsprechenden Schnittgröße ( V, Nbzw. MB) an diesen Stellen ergibt. Die Unterscheidung erfolgt an einer Knick- oder Lastangriffsstelle i durch die Bezeichnungen i., i... usw. (Abb. 2.12).
b)
/ Abb. 2.12a und b Für die Einzellastgrößen eines statischen Systems wird ein punktförmiger Lastangriff angenommen2). Bezeichnet man den Abstand einer Lastangriffsstelle i vom Koordinaten-Nullpunkt mit x, so gilt für die Stelle i. Xi = Xi - 0 und für die Stelle i.. x*. = Xi + 0 (vgl. Abb. 2 .12b und c). Für die Schnittgrößenermittlung bei Kragträgern oder Kragarmen ist die Berechnung der Auflagerreaktionen nicht erforderlich (vgl. Beispiel 2-5). 2) Punktförmiger Lastangriff ist im Bauwesen nicht exakt zu realisieren. Bei der Einleitung einer Einzellast F erhält man i. Allg. eine Streckenlast q = F/Belastungslänge. Ist die Belas tungslänge sehr klein gegenüber der Trägerlänge, so kann stets für die Berechnung der Auflagerkräfte und Schnittgrößen eine punktförmig angreifende Einzellast angenommen werden.
57
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Daraus ergibt sich:
Ax(i ?i..)
-X [= 0 ,
d.h. die Stellen z., i und z.. sind gleich weit vom Koordinaten-Anfangspunkt entfernt; durch die Unterscheidung der Stellen z. und z.. wird lediglich zum Ausdruck gebracht, von welcher Seite her man sich der Stelle z nähert.
Entsprechende Überlegungen gelten für die Stellen z., z.. und z... am Knickpunkt z eines Stabwerkes (Abb. 2 .12a). Anstelle der Bezeichnungen z., z.. usw. sind auch andere Unterscheidungen gebräuchlich wie z'i und zr (1 = links, r = rechts), z0 und zu (o = oben, u = unten) oder z. B. zK, z'Rund zs (K = Kragarm, R = Riegel, S = Stütze), vgl. Abb. 2 .12d. Bei der Darstellung eines herausgeschnittenen Punktes z werden die Schnittstellen z., z.. usw. mit den an den Schnittufern wirkenden Schnittgrößen stets etwas weiter auseinan der gezeichnet, um eine übersichtliche Darstellung zu gewährleisten (vgl. z.B. Abb. 2.13, Schnitt III).
Beispiel 2-4 (Abb. 2.13) Es sind die Schnittgrößen an den Stellen 1.., 2., 2.., 3. zu ermitteln.
a) Ermittlung der Auflagerkräfte ZM3 = 0:
- A z - 5 ,5 + F z2 -3,5 = 0 Az= j~s -F z2 -3 ,5 = ^
Z Fz = 0:
- A z + Fz2- B ■c o s 30° = 0 B=
£ F X= 0:
58
• 1,2-3,5 = 0,76kN
(Fz2 - A z)= (1,2 -0 ,7 6 ) = 0,5 lk N cos 30 0,866 - yix- 5 - s i n 3 0 o + F x2 = 0 A x = Fx2- B ■sin 30° = 0,5 - 0,51 • 0,5 = 0,25 kN
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen
m
A*
i
-Z rV kN
^ 2 ' 0fikN\
'Z
\az
2% . .
n 2,0m
I~
JY
3 0 ° \ ß |:
| ___________3,5m
B-cos 30' B &2 M%i Ir ^ 8 sin 30° Fx 2 N,'2 .. SchnittM N2.V2 1 2 ]'V2 2 . 2 .. 2-
¿ ¡k
Schnitt I M f-0 N,
Ml
3 B-sin 30° a
}
~ v.
Schnitt m
3,5m B-cos 3 0 °
Schnitt 11 ^ 2
A/,
—
7)1 Ü L - /3 B-sin 30° W ~ 16.
2/7?
S c h n ittY
B-cos 30°
Abb. 2.13 Kontrolle: X M { = 0:
B • 5,5 • cos 3 0 ° - F z2 -2 = 0 B=
1 • 1,2-2 = 0,51 kN 5,5 • 0,866
b) Ermittlung der Schnittgrößen Schnitt I EFZ= 0:
- A z + Vl =0;
FL. = v4z = 0,76kN
I F x = 0:
- ^ x + iVL. = 0;
Ai,.. = ^ x = 0,76kN
E M ,= 0:
Mf.. = 0!)
** Dieses Resultat hätte auch ohne Gleichgewichtsbedingung sofort hingeschrieben werden können, denn ein Gelenk bedeutet ja M® = 0 (vgl. 1.8).
59
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Schnitt II HFZ= 0:
- A z + V2 =0;
V2 = Az = 0,76 kN
Z FX= 0:
- A x + N2 = 0;
N2. = ^x = 0,25 kN
EM2. = 0:
-v4z • 2 + A/f = 0; = ^ z • 2 = 0,76 • 2 = 1,52 kNm
Man kann zur Ermittlung vom M2. selbstverständlich als Bezugspunkt den Punkt 1 oder jeden beliebigen anderen Punkt wählen. Es ist jedoch zweckmäßig, das Schnittufer (in diesem Fall Punkt 2.) als Bezugspunkt zu wählen, da man so A/f errechnen kann, ohne die Schnittkräfte zu kennen.
Schnitt III S F Z= 0:
- V 2 + V 2. + F X2 = 0 v 2.. = v 2. - Fz2 = 0,76 - 1,2 = - 0,44 kN
I F X= 0:
- Af2. + ^ 2..+ ^x 2 = 0 ^ 2.. = ^ 2. - ^x2 = 0,25 - 0,50 = - 0,25 kN
SA/2 = 0:
—A/2*M 2..= 0 M 2. = M 2 = 1,52 kNm
Schnitt V I F z = 0:
- F3. - 5 - cos 30° = 0 V3 = - B - c o s30° = -0,51 • 0,866 = - 0 ,4 4 kN
£ F X= 0:
- Af3.- 5 - c o s 3 0 ° = 0 N3_= —B ' s in 30° = -0,51 -0 ,5 = -0 ,2 5 k N
EM3 = 0:
M? = 0
Kontrolle: z. 5. Schnitt IV £ F Z= 0:
- V z . - B - cos30° = 0 V2. = - B - cos 30° = -0 ,5 1 • 0,866 = -0 ,4 4 kN
£ F X= 0:
- N 2. - B - sin 30° = 0 JV2.. = - B • sin 30° = - 0,51 • 0,5 = - 0,25 kN
EM3 = 0:
- F2.. -3,5-A/2.. = 0 2.. • 3,5 = -(-0 ,4 4 ) • 3,5 = 1,54kNm
Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass man verschiedene Schnitte fuhren kann, um bestimmte Schnittgrößen zu ermitteln. Man wird die Schnitte immer so führen, dass möglichst wenig Rechenarbeit anfallt.
60
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen
Beispiel 2-5 (Abb. 2.14) Für die Stelle 1 sind die Schnittgrößen zu ermitteln. In diesem Fall kann man die gesuchten Schnittgrößen ermitteln, ohne die Auflagerreak tionen zu kennen. Für den Schnitt I ergeben sich folgende Gleichgewichtsbedingungen: LFZ= 0:
- F j + 4 ! -3/2 = 0 mit # i= 2 * 3/3,9 = 1,54 kN/m folgt: V\ = 1,54 • 3/2 = 2,31 kN
EFX= 0: ZAi,= 0:
N x= 0 -
-(1 ,5 4 - 3/2) - 1 = 0 = -(1 ,5 4 • 3/2) • 1 = -2,31 kNm
Schnitt I
Schnitt
E
1/ . 1m ' n A \ ^ J Rm^ 3 /2 l~-
3m
1,5
0,9
1
Zur Kontrolle werden die Schnittgrößen an der Stelle 1 noch einmal mit Hilfe des Schnittes II errechnet. Es werden hierbei die bereits im Beispiel 2-2 (S. 51) ermittelten Auflagerreaktionen verwendet: A z = 3,9 kN, A x = 0, WF = - 10,9 kNm. I F Z= 0:
- A x + V x+ 0,9 • (2 + l,54)/2 = 0; Vi = 3 ,9 - 1,59 = 2,31 kN
VX=AZ- 1,59
EFX= 0:
- ^ x + V i = 0;
Z M ,= 0:
- h ^ - A z ■2,4 + 1,54 • 0,92/2 + 0,46 • (0,9/2) • 0,6 + M f = 0 M f = M 5, +AZ ■2 ,4 -0 ,6 2 -0 ,1 2 = -1 0 ,9 + 3 ,9 -2 ,4 - 0 ,6 2 -0 ,1 2 = -2 ,2 8 kNm » -2,31 kNm
^ = ^ =0
Beispiel 2-6 (Abb. 2.15) Für das im Bild dargestellte System sind an den Stellen 2., 2.., 3., 4., 4.., 4... die Schnittgrößen zu ermitteln. Folgende Größen sind gegeben: F 2 = 2 kN;
F 3 = 1,2 kN;
F 5 = 0,5kN;
a = 26,6°;
sin a = 0,45;
cos a = 0,89
tan a = 2/4 = 0,5
Da das gegebene System aus Stäben mit verschiedenen Neigungen besteht, reicht das ortsfeste x, z-Koordinatensystem für die Vorzeichenfestlegung der Schnittgrößen an beliebigen Stellen nicht aus. Jeder Stab braucht ein eigenes Koordinatensystem bzw. eine Zugfaser. Diese sog. umlaufenden Koordinatensysteme erhalten die Achsenbezeich61
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
Abb. 2.15 nungen x, z. Da der Stab 4-5 (Kragarm) parallel zur x-Achse verläuft, kann für die Vorzeichenfestsetzung seiner Schnittgrößen das ortsfeste Koordinatensystem x, z ver wendet werden. Bei den einzelnen herausgeschnittenen Teilsystemen ist es im Prinzip gleichgültig, ob die Kraftgleichgewichtsbedingungen für die Richtungen x, z oder x, z aufgestellt werden. Bei der Zahlenrechnung wird man die Richtungen wählen, für die sich zur Errechnung der Quer- und Längskräfte der geringste Arbeitsaufwand ergibt.
a) Ermittlung der Auflagerkräfte (Abb. 2.15) Z M l =0:
Bz • 4 - F 5 • 5,3 - F 3 • 2,5 - F 2 • 3,5 = 0 Bz = ^ (0,5 • 5,3+ 1,2 • 2,5 + 2 • 3,5) = 3,16kN
I F Z= 0:
F3 +F5 - A z - B z = 0 A z = F 3 + F5 - B z = 1,2 + 0 ,5 -3 ,1 6 = -1 ,4 6 kN
EFX= 0:
F2 - A x = 0;
^ x = F 2 = 2kN
Kontrolle: XM6 = 0:
62
- Az ■4 - A x ■2,5- F 2 ■1,0 + F3 - 1,5- F s - 1,3 = 0 (?) -(-1 ,4 6 ) - 4 - 2 - 2 ,5 - 2 - 1,0+ 1,2- 1 ,5 -0 ,5 - 1,3 = 0(?) + 5 ,8 5 - 5 ,0 - 2 ,0 + 1,8-0,65 = 0(7); 0=0
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen
b) Ermittlung der Schnittgrößen Schnitt I (Abb. 2 .16a) Das Schnittufer 2. ist im Sinne des für den Stab 1,2 maßgebenden Achsenkreuzes ein positives Schnittufer. Die positiv definierten Schnittgrößen sind demnach im Sinne des Koordinatensystems einzutragen. ZFz = 0:
- A x +V:2 = 0 ;
ZFX= 0 :
A z + N2 =0 N2 = - A z = - ( - 1,46) = 1,46 kN
£M 2. = 0:
V2 = Ax = 2 k N
- A x ■3,5 + M f = 0 M%=AX- 3,5 = 2 • 3,5 = 7,0 kNm
Schnitt II (Abb. 2 .16b) Bei der Eintragung der positiv definierten Schnittgrößen ist zu beachten, dass für den Punkt 2. das zum Stab 1,2 gehörende Achsenkreuz (vgl. Abb. 2.16a) und für den Punkt 2.. das zum Stab 2,3 gehörende Achsenkreuz (vgl. Abb. 2 .16b) maßgebend ist. Beim Punkt 2. handelt es sich also um ein negatives und beim Punkt 2.. um ein positives Schnittufer.
Schnitt I (vgl. Abb. 2.15)
Schnitt II(vgl. Abb. 2.15)
'¿T v2
mJSSl S
M
ci
b)
^
V2 .
\N:'2 .
a)
VyC OSO ^y ,, 2.
\
V2.
.
y ,-s m a
M \ ^ 2: cosoc 7.
N2;sinoc
c)
'N
Abb. 2.16
Die Ermittlung der noch unbekannten Größen N und V bei einem derartigen Knoten schnitt geht am schnellsten auf zeichnerischem Wege; es wird sowohl die rechnerische als auch die zeichnerische Lösung durchgeführt. A/f wird nur rechnerisch ermittelt. 63
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Rechnerische Lösung (Schnitt II) Um für die Berechnung von V2.. und Af2.. Gleichungen mit nur je einer Unbekannten zu erhalten, werden die Kraftgleichgewichtsbedingungen in Richtung von V2„ und N2„ aufgestellt. Zuvor ist eine Zerlegung von V2., jV2. und F2 in diese beiden Richtungen erforderlich (Abb. 2.16c). Da in vorliegendem Beispiel F2 und V2. entgegengesetzt gleich sind, können sie in den Kraftgleichgewichtsbedingungen unberücksichtigt blei ben. Bei der Momentengleichgewichtsbedingung gehen nur und M f ein, da die Hebelarme der Querkräfte bei Punkt 2 als Bezugspunkt gleich null sind. v 2.. + N2_COS OC= 0 V2.. = - N 2' cos (x = - 1,46 • 0,89 = - 1,3 kN
EFx = 0 :
N2 - N2_sin a = 0 n 2.. = N2_sin a = 1,46-0,45 = 0,66 kN
EA/2 = 0:
A/f.
1
o II
£ F 5 = 0:
A*f.. = A/f. = 7,0kNm
Zeicherische Lösung (Schnitt II) Es liegt die Aufgabe vor, fünf Kräfte ins Gleichgewicht zu bringen, die durch einen Punkt gehen. Es muss also das Krafteck aus den fünf Kräften geschlossen sein; alle Kräfte müssen den gleichen Umlaufsinn haben. Zunächst werden die bekannten Kräfte F 2, N2_ und V2. entsprechend Abb. 2.16d aneinandergereiht. Dann sind die bekannten Richtun gen von N2" und F2 so anzutragen und zum Schnitt zu bringen, dass das Krafteck geschlossen ist. Damit ergibt sich: 7V2.. = 0,66kN;
F2.. = - l , 3 k N
Das negative Vorzeichen für V2 _ergibt sich daraus, dass der wirkliche Richtungssinn von F2 (Krafteck) mit dem in Abb. 2.16b (Lageplan) angenommenen positiven Richtungs sinn nicht übereinstimmt.
Schnitt III (Abb. 2.17a) EF~0:
- V 2. + V 3 =0;
V3 = V2 = - 1,3 kN
= 0:
-A^2.. + Ar3. = 0;
N3 = N2,= 0,66 kN
EA/3 =0:
- V 2_. -2,81-A/f..+A /3. = 0 A/f = V2„ • 2,81 +A/?„ = - 1,3 • 2,81 + 7,0 = 3,35 kNm
Schnitt IV (vgl. Abb. 2.17) £ F ZU = 0: S F x = 0: SA/4... = 0:
- K4...+ F 5 = 0;
F4... = F s = 0,5 kN
N4„= 0 - Fs ■1 ,3 -A $ .. = 0 M a ..= - F 5 • 1,3 = - 0 ,5 • 1,3 = -0 ,6 5 kNm
1' Es wird das ortsfeste Achsenkreuz x, z aus Abb. 2.15 verwendet.
64
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen S c h n it t N
S c h n ittE (vgl. Abb. 2.15)
5
b)
1,3m
Abb. 2.17 Schnitt V (Abb. 2 .18a) XFz = 0:
V4 = 0
£F* = 0:
B z + N4,= 0;
2M 4.. = 0:
A*f. = 0
^ 4.. = - 5 z = -3 ,1 6 k N
Schnitt VI (Abb. 2.18b) An der Stelle 4. sind die Schnittgrößen zu ermitteln. Die Schnittgrößen an den Stellen 4.. und 4... sind aus den Schnitten V und IV bereits bekannt. Es wird entsprechend „Schnitt II“ vorgegangen. Schnitt V(vgl. Abb. 2.15)
Schnitt VI
6
sinoc Abb. 2.18
c)
K.M. 1 cm ±... kN
65
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Rechnerische Lösung (Schnitt VI) Die erforderliche Kraftzerlegung erfolgt in Abb. 2.18c. Da und V4 im Positivbild (Abb. 2.18b) gleiche Richtung und gleichen Richtungssinn haben, wird für beide Kräfte nur ein Krafteck skizziert (Abb. 2.18c). Die Gleichgewichtsbedingungen werden im Sinne des in Abb. 2.18b für Stab 2,4 angegebenen Achsenkreuzes aufgestellt. ZFz = 0:
7V4 cos a + F4 cos o t-V 4 = 0 V4, = N4„ cos a + F4 cos a = -3 ,1 6 -0 ,8 9 + 0,5 -0,89 = - 2 ,3 7 kN
ZFx = 0:
- N 4 s in a - V4...sin a - N4 = 0 A^4 = - Af4 sin a + F4 sin a = -(-3 ,1 6 ) -0 ,4 5 - 0 ,5 -0,45 = 1,2 kN
XM4 = 0:
0;
MÜ* =M£.. = -0 ,6 5 k N m
Zeichnerische Lösung (Schnitt VI) In „Schnitt V “ ergab sich für 7V4 ein negativer Wert, d. h. ihr wirklicher Richtungssinn ist umgekehrt wie die im Positivbild (Abb. 2.18b) eingezeichnete Pfeilrichtung. Man beachte: Da im Krafteck (Abb. 2.18d) alle Kräfte so eingetragen werden müssen, wie sie in Wirklichkeit wirken, muss 7V4 nach oben wirkend gezeichnet werden. Aus dem Krafteck folgt: F4. = -2 ,3 6 k N ;
7V4.= l,20kN
Für die Ermittlung der in diesem Beispiel gesuchten Schnittgrößen könnten selbstver ständlich beliebig andere Schnitte verwendet werden, sofern an jedem herausgeschnit tenen Teilsystem höchstens drei Unbekannte auftreten. Maßgebend für die Wahl der Schnitte ist im Allgemeinen der Grundsatz des minimalen Rechenaufwandes. Die Wahl der Schnitte in diesem Beispiel erfolgte jedoch nicht nur aus Zweckmäßigkeitsgründen, sondern auch auf Grund didaktischer Überlegungen.
2.4.3 Rekursionsformeln zur Ermittlung von Schnittgrößen Bei der Aufstellung der Rekursionsformeln wird von dem allgemeinen Fall ausgegan gen, dass ein gerader Träger oder ein gerader Stabwerksabschnitt durch beliebige Stre ckenlasten qx(x) und qz(x), durch Einzellasten F x und F z und durch Einzellastmomente belastet ist (Abb. 2.19a). Lasten in Richtung der positiven Achsen und Lastmomente mit positivem Drehsinn erhalten ein positives Vorzeichen. Alle Punkte des geraden Stabes, an denen Einzellastgrößen angreifen und an denen Streckenlasten Sprünge, Knicke oder Nullstellen aufweisen, werden fortlaufend nummeriert.
66
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen Es sei vorausgesetzt, dass an der Stelle (z - 1), alle Schnittgrößen bereits errechnet sind und an der Stelle (z - 1) die beiden Lasten F x(i_i) und F z(i_i}und das Lastmoment als Einzellastgrößen punktförmig angreifen. ^ K(X)
z
'i( i- t) 9 z (x ) .
;I I
i+1 i..
Abb. 2.19a
Abb. 2.19b Abb. 2.19b zeigt einen Rundschnitt um den Punkt / —1; die Gleichgewichtsbedingungen ergeben folgende Beziehungen:
ii
1
i A
I ©
(2.16)
|
I 7
M
II
+
1
+ 11. + 1 . 7 7 7 7
i
o II
W
i - D + ^ ( i- i) .. = 0
(2.17)
Z M = 0: A$_1)..= A ^_1). - A i h
(2.18)
Fehlt eine der drei Einzellastgrößen an der Stelle i - 1, so ergeben die Gin. (2.16) bis (2.18), dass die zugehörige Schnittgröße an den Stellen ( / - 1). und ( i - 1).. den gleichen Wert hat; auf eine Unterscheidung kann dann verzichtet werden. Es gilt also fu rF 2(i_I) = 0:
= V ^ v) =
fürFx(i_1) = 0: furM h,= 0:
(2.19) (2.20)
= A$_n . =M®,
(2.21)
Die Schnittgrößen an der Stelle z. können auf Grund der Gleichgewichtsbedingungen entsprechend Abb. 2 .19c ermittelt werden. Vorab werden für das Intervall von x^i bis X{ die Streckenlasten qz(x) und qx(x) jeweils zu Resultierenden zusammengefasst. 67
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Man erhält: Xi
Rz = S
(x) d*
(2 .22)
und
x i-i Xj
(2.23)
Rx= S ?*W dx
Abb. 2.19c Der Betrag der Resultierenden bzw. ist also jeweils gleich dem Inhalt der zugehö rigen Belastungsfläche. Durch den Schwerpunkt der entsprechenden Belastungsfläche geht die Wirkungslinie von Rz; ihr Abstand bis zur Stelle i. wird mit aTbezeichnet (s. Abb. 2 .19c). Rx greift in der Stabachse an. Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben: ZFz = 0:
- V(^ i x +R z + V l = 0 V-,= V{x_X)' - R z
ZFX= 0:
(2.24)
— N( i_i) + Rx + N[ = 0 ^i. = ^ (i_i)..-Ä x
ZAfi = 0: — M(|_i) —
+ i?z • «r + A/f = 0 + V(i-1 )..■ Axa-l'iy-Rz-ar
(2.25)
(2.26)
Für Gleichstreckenlasten qz(x)= gz und qx(x)= gx werden nach Gin. (2.22) und (2.23) —tfz *^^(i—i,i)
und
Rx —qx • Ax^_i
außerdem wird —2 Man erhält somit nach den Gin. (2.24) bis (2.26): V{ = V(\-\)..-qz *Ax(i_U)
(2.27)
N1 = N (l^ y - q x • Ax(i- Ui)
(2.28)
=
..+ F(i_!)•Ax(i_i?i)-^z • - (Ax)(i_isi)
Bei fehlenden Streckenlasten vereinfachen sich die Gin. (2.24) bis (2.26) zu r ,= V(1_lK 68
(2.30)
2.4 Ermittlung der Schnittgrößen (2.31) Mf =
+ F(i_i).. • Ax(i_lsi)
(2.32)
Mit Hilfe der Gin. (2.16) bis (2.32) können für einen geraden Stab alle Schnittgrößen an den durchnummerierten Punkten rekursiv ermittelt werden, wenn die Schnittgrößen am Stabanfang bekannt sind. Auch für ein statisch bestimmtes Stabwerk, das aus mehreren biegesteif verbundenen Stäben besteht, ermäßigt sich für die Ermittlung der Schnittgrö ßen die Zahl der noch zu führenden Schnitte bei Anwendung der Gin. (2.16) bis (2.32) erheblich. Rundschnitte sind lediglich noch am Stabwerksanfang und an den Eckpunk ten^ zu führen. Dabei sind am Stabwerksanfang die Gleichgewichtsüberlegungen so einfach, dass bei einiger Übung auf ein Herauszeichnen dieses Schnittes verzichtet werden kann; es genügt dann, diesen Schnitt gedanklich zu führen und Gleichgewichts betrachtungen anzustellen („Gedankenschnitt“ ). Die Anwendung der Gin. (2.16) bis (2.32) soll im Folgenden an einem Beispiel gezeigt werden.
Beispiel 2-7 (Abb. 2.20a) Man ermittle die Schnittgrößen an allen markanten Punkten des Trägers durch Anwen dung der Rekursionsformeln.
a) Ermittlung der Auflagerkräfte 2A/0 = 0:
Bz • 12 + A /if-F z3 • 6 - F zl • 2 - g z • 8 • 4 = 0 Bz= 12 ( ~ ^ + ^ z3 ' 6 + ^ zl' 2 + ^z ' 8 ’ 4) S z = 12 (_6 + 2 ’6 + 3 ‘ 2 + 1 , 5 ’ 8 ’ 4) = - 0 ,5 + 1,0 + 0,5+ 4,0 = 5,OkN
SAfg = 0 : - A z • 12 + Fz\ -10 + Fz3 • 6 + qz • 8 • 8 + A/5= 0 Az = — (Fz1• 10 + F z3-6 +
(3 - 10 + 2 -6 + 1,5 -8 -8 + 6)
A z = 2,5 + 1,0 + 8,0 + 0,5 = 12,0 kN Kontrolle: EFz - 0 :
- A z + Fzi +Fz3 + qz • 8-2?z - 0 12,0 + 3,0 + 2,0+1,5 • 8 -5 ,0 = 0;0 = 0
ZFX= 0:
—A x + Fxi + qx • 4,5 = 0 A x = Fxl + qx • 4,5 = 1,2 - 0,8 • 4,5 = - 2,4 kN
Vgl. auch Beispiel 2-11, Seite 97.
69
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
£.r-2 kN £r3kN Fx r l2kN qz =1,5kN/m f9x "OßkN/m r
■ f l \» Az
|fl.
M^'ßkNm
n r
L
7. L 2,5
3. 3.. 2,0 1.5
5. 5.. 6.| ‘ 2,5
Ä
12,0m
a) M, B
\ M 0ß
F
r
i
6;
Schnitt I
VS
H6
Schnitt E
V
Abb. 2.20
b) Ermittlung der Schnittgrößen Schnitt I Abb. 2.20b zeigt, dass am Schnitt I unter folgenden Voraussetzungen Gleichgewicht herrscht: V0. = A Z= 12,0 kN;
iV0.. = ^ix = -2 ,4 k N ;
M$ = Q (Gelenk)
An allen weiteren markanten Stellen werden die Schnittgrößen durch Anwendung der Rekursionsformeln ermittelt. Die Stelle 2 ist nur für die Längskräfte von Bedeutung, da dort die Gleichstreckenlast qx endet. Punkt 2 findet daher bei Querkräften und Biege momenten keine Berücksichtigung. Soweit an den einzelnen Stellen / keine Einzellastgrößen angreifen, ist entsprechend den Gin. (2.19) bis (2.21) eine Unterscheidung der zugehörigen Schnittgrößen an den Stellen i. und nicht erforderlich. Querkräfte: nach Gl. (2.27): V\ = V0 - q z • 2 = 12,0- 1,5 • 2 = + 9,0 kN nach Gl. (2.16): VL = VL - F zl = 9,0 - 3,0 = + 6,0 kN nach Gl. (2.27): V3 = VL - q z - 4 = 6 ,0 -1 ,5 • 4 = 0 nach Gl. (2.16): V3„= F3. - Fz3 = 0 - 2,0 = - 2,0 kN nach Gin. (2.19) u. (2.27): V4 = F3..- q z • 2 = - 2 , 0 - 1,5 • 2 = - 5 ,0 kN nach Gin. (2.19) u. (2.30): V5 = V4 = - 5,0 kN nach Gin. (2.19) u. (2.30): V6_= V5 = - 5,0 kN = - Bz (vgl. Abb. 2.20c, EFZ= 0) 70
2.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen Längskräfte nach Gl. (2.28): N y = N0__- qx ■2 = - 2,4 - (-0,8) • 2 = - 0,8 kN nach Gl. (2.17): N ,.. = N ,. - F xl = - 0,8 - 1,2 = - 2,0 kN nach Gin. (2.20) u. (2.28): N2 = N x, - q x - 2,5 = - 2,0 - (-0,8) • 2,5 = 0 nach Gin. (2.20) u. (2.31): N2 = Ni = N4 = N5 = N 6 = 0 Biegemomente: nach Gin. (2.21) u. (2.29): M f = Mo + Vq - 2 ~ q z -2 ■1 = 0 + 12,0 • 2 - 1,5 • 2 • l= 2 1 ,0 k N m nach Gin. (2.21) u. (2.29): M? = M ? + F L. -4 —^ - 4 -2 = 21,0 + 6,0 - 4 - 1,5 -4 - 2 = 33,OkNm nach Gin. (2.21) u. (2.29): M? = M f + V3 ■2 - q z ■2 ■1 = 3 3 ,0 -2 ,0 • 2 - 1,5 • 2 • 1 = 26,0 kNm nach Gin. (2.19), (2.21) u. (2.32): A/f = M4 + V4 ■2,5 = 26,0 - 5,0 • 2,5 = 13,5 kNm nach Gl. (2.18): = jWf. -
13,5 - 6,0 = 7,5 kNm
nach Gin. (2.19), (2.21) u. (2.32): M f = M f.+ Fs- 1,5 = 7 ,5 -5 ,0 - 1,5 = 0 Kontrolle: Das Gelenk an der Stelle 6 bedeutet M f = 0; das gleiche Ergebnis ist aus der Gleichge wichtsbedingung ZM = 0 für Schnitt II zu ermitteln (Abb. 2.20c).
2.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen 2.5.1 Allgemeines Bei einem gegebenen statischen System mit gegebener Belastung sind die Schnittgrößen abhängig von der Schnittstelle x bzw. x. Bisher wurden Schnittgrößen nur für vorher genau festgelegte Punkte ermittelt. Wie im Folgenden gezeigt wird, lassen sich für die Schnittgrößen N, V und M B Funktionsgleichungen N(x), V(x) und MB(x) mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen für eine beliebige Schnittstelle x ermitteln. Dabei ist es von der Art des Systems und von der Belastung abhängig, ob durch eine Funktionsgleichung der Kurvenverlauf einer Schnittgröße für das gesamte statische System oder nur für einzelne Teilbereiche angegeben werden kann. Ist die Funktionsgleichung einer Schnittgröße bekannt, so kann durch Einsetzen vonx = xi? der Wert der Schnittgröße an der festen Stelle x-xerrechnet werden; die so ermittelten Ergebnisse lassen sich als Diagramm darstellen. Die dargestellten Funktionsbilder wer71
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen den als Längskraftlinie (jV-Linie), Querkraftlinie (FLinie) bzw. Biegemomentenlinie (M ^Linie) bezeichnet. Sich ergebende Gesetzmäßigkeiten werden nachfolgend für einige Lastfalle aufgezeigt. Für Träger, deren Stabachse nicht mit der x-Achse des ortsfesten Koordinatensystems übereinstimmt, sind die Funktionsgleichungen in manchen Fällen in Abhängigkeit von der Variablen x des umlaufenden Koordinatensystems zu ermitteln und die vorhandenen Kräfte dazu in Komponenten in Richtung der Stabachse (Fx; qx) und _L Stabachse (Fz; qz) aufzuteilen.
2.5.2 Funktionsgleichungen beim Träger auf zwei Stützen für spezielle Lastfälle • Belastung durch Einzellasten Für den mit F x und F z belasteten Träger auf zwei Stützen (Abb. 2.21a) ergeben sich entsprechend Gin. (2.01) bis (2.03) folgende Auflagerkräfte: A X= FX;
A z = Fz -b/l;
Bz = Fz -a/l
Bereich 0 < x < a : Für den Schnitt I (Abb. 2.21b) sind folgende Funktionsgleichungen für N, KMB aus den Gleichgewichtsbedingungen zu ermitteln: I F x = 0:
N ( x ) - A x = 0;
N (x)= A x = Fx
EFZ= 0:
V (x ) - A z = 0;
V(x) = A z = Fz -b/l
£ M = 0:
M b{ x ) - A z -x
= 0\
F b M B(x)= A z - x = - JLj — -x
Bereich a < x < /: Da sich innerhalb des Schnittes II (Abb. 2.21c) die Lasten F x und F z befinden, ergeben sich für den o. a. Bereich neue Funktionsgleichungen: I,FX= 0:
N(x) + Fx - A x = 0
mit Ax = Fx wird: N(x) = 0 £ F Z= 0:
V(x) + Fz - Ä z = 0;
(2.33) V(x)=Az - F z = Fz ■b / l - F z
m itb = /-¿/w ird: V (x )= -F z -a/l I.M= 0:
(2.34)
M B(x) + Fz ( x - a ) - A z -x = 0 F •b iV/®(x) = Azx —Fz(x —ä)= — — • x - Fz (x —ä) (2.35)
Es sei daraufhingewiesen, dass für den Bereich a < x < l die Funktionen der Schnitt größen auch am rechten Schnittufer in Abhängigkeit vonx' bestimmt werden können. 72
2.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen — T* z
x‘
m
E
z'
\
Ax 0
I
1 Az \
§
1 F *
'
;
a
b
2 JZ 777* TT
a)
'Bz
l ■S
>s
Schnitt I
Schnitt M
b)
Schnitt I
*x
o <9
Abb. 2.21
V—
A _l 7
\X~d ,
c)
X
Man erhält nach Abb. 2.21 b (Schnitt III): EFX= 0:
JV(*') = 0
(2.36)
ZFz = 0:
- B z - V ( x ') = 0 V{x') = - B z = - F z -aH
(2.37)
ZM=0:
- M b (x ') + B z - x ' = 0 Af*(x’) = Bz • x f =
x'
(2.38)
Die Gin. (2.36) bis (2.38) stimmen mit den Gin. (2.33) bis (2.35) überein, d a x' = l - x . Da unter der Einzellast Fz die MB-Linie einen Knick (s. Abschnitt 2.6.3) und an den Trägerenden (Gelenke) jeweils den Wert null hat, ergibt sich für x = a bzw. x f = b das maximale Biegemoment für diesen Lastfall. Aus Gl. (2.38) folgt fürx' = b: max M B = Fz • a • b/l
(2.39)
• Gleichmäßig verteilte Streckenlast (Abb. 2.22a) Für den dargestellten Träger werden die Schnittgrößen an einer beliebigen Stelle x bestimmt. Mit den Auflagerkräften^(x = 0 1), ^ z = 5 z:=^ • 1/2 erhält man nach Abb. 2.22b: Da die Belastung senkrecht zur Trägerachse angreift und die Bewegungsrichtung des beweglichen Lagers parallel zur Trägerachse verläuft, is t^ x = 0 .
73
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
Z FX= 0:
N ( x ) - A x = 0;
N (x)= A x = 0
ZFz = 0:
- A z + q - x + V(x) = 0
(2.40)
V(x) = -q • x + q • 1/2 = q | - - x ) LM = 0:
(2.41)
- A z • x + q • x • x/2 + A/B(x) = 0 M b (x )
= - # x 2/2 + ^4Z • x
A /V ) = ■- q J + J * = ^
(x// -x 2//2)
(2.42)
Diese Gleichungen gelten für den gesamten Trägerbereich.
• Dreieckförmig verteilte Streckenlasten (Abb. 2.23a) Eine dreieckförmig verteilte Streckenlast q(x) = q\ • x/l ergibt für den dargestellten Träger die nachstehend ermittelten Auflagerkräfte und Schnittgrößen an einer beliebi gen Stelle x.
a)
Sch n itt I
b) , MB(x)
_[q m
Nm
A uflagerkräfte
74
XFx = 0:
Ax = 0
ZM0 = 0:
Bx - l - q x ^ • | / = 0;
(2.43) Bz = q [ -l/ 3
(2.44)
2.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen
Z M i= 0:
- A z ■l + q\ ~ • ~ / = 0;
Az = q x -l/6
(2.45)
Funkti onsgleich ungen Aus Schnitt I (Abb. 2.23b) folgt unter Berücksichtigung der Gin. (2.43) bis (2.45) und mit g(x) = ¿71 • x/l: E FX= 0:
- ¿ X+ W(x) = 0;
N(x)=,4x = 0
(2.46)
S F Z= 0: - ^4Z+ #(x) • x / l + V(x) = 0 F(x) = - g(x) • x / l = q \ l / 6 - q \ x2/(ll) V (x )= qj
(2-47)
EM = 0: -^4Z • x + q(x) ^
^ + A/P(x) = 0
i #B/ \ j , , x2 ? ,/ q xx x 2 M °(x)= A z - x - q ( x ) — = — x - — ■— M b(x ) =
6
(x/l - x 3//3)
(2.48)
Aus den Gin. (2.47) und (2.48) folgt: Im Bereich einer dreieckförmig verteilten Streckenlast senkrecht zurTrägerachse hat die g-Linie die Form einer quadratischen Parabel, die A^-Linie die Form einer kubischen Parabel.
• Geneigter Träger unter Gleichstreckenlast (Abb. 2.24a) Der dargestellte Träger ist auf ganzer Länge mit einer konstanten Gleichstreckenlast q belastet, wobei q in kN/m Grundrisslänge angegeben ist. Da das bewegliche Lager nur eine Auflagerkraft in z-Richtung zulässt und die Belastung q ebenfalls nur in z-Richtung wirkt, betragen die Auflagerkräfte analog denen des horizontal liegenden Trägers mit der Stützweite /: A z = Bz = q - l / 2 ;
ß x = 0 1)
Für die Ermittlung der Schnittgrößen wird ein zusätzliches Koordinatensystem mit den Achsen x und z zugrunde gelegt (Abb. 2.24c). Errechnet man zunächst die Belastung q pro Meter Schräglänge (Trägerlänge), so folgt mit / = 7 • cos a aus q - l = q - T: q = q • l/l = q • cos a (kN/m Schräglänge) Auflagerkräfte und Belastung werden nun in Komponenten zerlegt, deren Richtungen mit den Achsenrichtungen x und z übereinstimmen.
Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach Aufstellen der Gleichgewichtsbedingun gen.
75
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
S c h n itt I
Man erhält nach Abb. 2.24b: / ql 2 Ay = A 7 - cos
- A z + qz • x + V(x) = 0 V(x) = Az - qz • x = y cos2 oc-qx cos2 oc F(x) = ^ cos2 a (/ - 2 x) -Ax + qx - x + N(x) = 0
76
2.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen
N(x) = A z - q x -x = —■sin a cos a - qx sin oc cos a q Af(x) = - sin aco s a ( / - 2 x ) -
x2 x + qz . — +
(x) = 0
M B(x)= A 2 ' X - q z . Y = f M ^x) = ^
(cos2 a ) x -
cos2 a
cos2 a (7 -x )
Werden alle Schnittgrößen in Abhängigkeit von x ermittelt, so ergeben mit 7 • cos a = / undx • cos a = x die zuvor errechneten Gleichungen: V(x)
cos a ( / - 2 x)
(2.49)
7V(x)
= - sin a (/ - 2 x)
(2.50)
(2.51) Man erhält das gleiche Ergebnis bei geringerem Rechenaufwand, wenn man entspre chend Abb. 2.25 vorgeht und außer dem Biegemoment M ^x) zunächst zwei Schnitt kräfte Sx(x) und Sz(x) anbringt.
Schnitt I
b)
c)
<7 M B(x )
SZ (X)
Sx (x)
Die Gleichgewichtsbedingungen lauten: l / 7x = 0:
Sx(*) = 0
ZFz = 0:- A z + q - x + Sx(x) = 0 ql Sy.{x)=Az - q - x = — - q x = ~ ( l - 2 x )
(2.52)
77
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
(2.53) V(x) und N(x) ergeben sich aus der Zerlegung von Sz(x) und Sx(x). Da in diesem Beispiel Sx(x) = 0 ist, folgt nach Abb. 2.25c mit Gl. (2.52): (2.54)
(2.55) Die Gin. (2.53) bis (2.55) stimmen überein mit den entsprechenden Gin. (2.49) bis (2.51). Hinzuweisen ist auf Folgendes: Da nur Kräfte in z-Richtung (Streckenlast, Lagerreak tionen) auftreten, stimmt für den geneigten Träger die Funktion A^{x) - Gin. (2.53) bzw. (2.51) - überein mit der Funktion M®(x) eines horizontal liegenden Trägers unter entsprechender Gleichstreckenlast - Gl. (2.42).
2.6 Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Schnittgrößen 2.6.1 Auswirkungen von Einzelkraftgrößen Die Auswirkungen der an einer Stelle i angreifenden Einzelkräfte parallel bzw. senkrecht zur Stabachse sowie eines Einzellastmomentes auf die Schnittgrößen unmittelbar vor und hinter dieser Angriffsstelle werden aufgrund von Gleichgewichtsbedingungen an hand der Abb. 2.26a bis c untersucht.
b)
c)
Abb. 2.26a bis c
78
2.6 Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Schnittgrößen Für eine Einzelkraft parallel zur Stabachse (Abb. 2.26a) folgt jeweils aus S F X= 0
N i^N i-F *
(2.56)
ZFz = 0
FL = F,.= const = Fj
(2.57)
ZM = 0
Mf.=A4f = const = M?
(2.58)
Entsprechend erhält man gemäß Abb. 2.26b für eine Einzelkraft senkrecht zur Stabachse aus I F X= 0: N i.. = iVi. = const = N {
(2.59)
EFZ= 0: VX =VX- F Z1
(2.60)
SM = 0: M®. =M® = const = A/f
(2.61)
und gemäß Abb. 2.26c für ein Einzellastmoment aus E FX= 0: N,„ = Ni, = const = N-t
(2.62)
ZFz = 0: Fi..= Fj. = const = V{
(2.63)
XAf=0:
(2.64)
Folgendes ist aufgrund vorstehender Ergebnisse zu erkennen: An der punktförmigen Angriffsstelle i einer Kraft F xi ergibt sich ein Sprung in der Längskraftlinie vom Betrag F xi; wirkt die Kraft F xi im Sinne des Positivbildes, so erfolgt der Sprung in Richtung der negativen N-Achse, V- und A^-Linie ändern sich an der Stelle i nicht. Entsprechend liefert eine Kraft F zi an der Stelle i einen Sprung in der Querkraftlinie vom Betrage F zi; der Sprung erfolgt bei einer Kraftwirkung im Sinne des Positivbildes in Richtung der negativen FAchse, N- und A^-Linie ändern sich an der Stelle i nicht. Ein Lastmoment Af t erzeugt an der Angriffsstelle i einen Sprung in der Biegemomentenlinie vom Betrage Aft, dreht J\ft im Sinne des Positivbildes, erfolgt der Sprung in Richtung der negativen A^-Achse, N- und FLinie ändern sich an der Angriffsstelle von Aft nicht.
2.6.2 Auswirkungen von Streckenlasten Differentialgleichungen Die Beziehung zwischen den Belastungen und den Schnittgrößen werden für ein gerades Trägerelement von der Länge dx ermittelt. Ist Stetigkeit der Funktionen V(x), N(x) und A/b (x) im betrachteten Intervall dx vorausgesetzt v\ so kann für eine entsprechend kleine Länge dx die Änderung der Schnittgrößen V(x), N(x) und A^(x) von der Stelle x bis zur Stelle x + dx mit genügender Genauigkeit gleich den Differentialen dV, dN und dM3 gesetzt werden.
Am Trägerelement dürfen also keine Einzellastgrößen oder Auflagerreaktionen angreifen.
79
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Wirken qx{x) und qz(x)X) in Richtung der positiven Koordinaten x und z und werden an den Schnittufem alle Schnittgrößen positiv angetragen, so liefern nach Abb. 2.26d die Gleichgewichtsbedingungen am Trägerelement:
'(*)
Qz M
7
'R
N(x)
(D X
Abb. 2.26d T,F7 = 0:
MB(x) +dMB
V(X>
M b (x )
(?j
dx x +dx
N(x)+dH V(x)+dV
-V ( x ) + qz(x)- dx + V(x) + dV = 0 <2 « >
XFx = 0:
- N(x) + qx(x) ■dx + N(x) + dN = 0 ^ = -? x W
(2.66)
dx
XM2 = 0:
- M b(x) - V(x) • dr + q./x) ■dx — + MB(x) + AMB = 0 -
V(x) ■dx + qz(x) • dx y + d
=0
dx Wird in dieser Gleichung das Glied qz(x) • dx — als Produkt zweier kleiner Größen und somit von einer Ordnung kleiner gegenüber den anderen Gliedern vernachlässigt, so erhält man: dx
= V(x)
(2.67)
und unter Berücksichtigung von Gl. (2.65): d2MB r ,) —T T = dV T" = - 9 z (x dx
dx
qx(x) und qz(x) müssen im betrachteten Intervall durch je eine Funktion darstellbar sein.
80
(2.68)
2.6 Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Schnittgrößen Aus den Gin. (2.65) bis (2.68) folgt: Bei geraden Stäben ist die Ableitung der Biegemomentenfunktion gleich der Quer kraftfunktion. Die Querkraft an einer Stelle x-x gibt also die Steigung der Biegemo mentenfunktion an dieser Stelle ^ an. An den Nullstellen der Querkraftfunktion muss demnach ein Extremwert der Biegemomentenfunktion auftreten1^ Die Ableitung der Querkraftfunktion und damit die zweite Ableitung der Biegemo mentenfunktion ist gleich der negativen Funktion der senkrecht zur Stabachse wir kenden Streckenlast; die Ableitung der Längskraftfunktion ist gleich der negativen Funktion der in Richtung der Stabachse wirkenden Streckenlast2).
2.6.3 Zusammenfassung für Kräfte senkrecht zur Stabachse Aufgrund der vorherigen Ergebnisse können zur Darstellung der V- und M ^Linien bei senkrecht zur Stabachse angreifenden Kräften für die jeweiligen Intervalle eines geraden Stabzuges bzw. für ausgezeichnete Punkte (Änderung der Lastfunktion, EinzelkraftAngriffsstelle) folgende Aussagen getroffen werden (siehe auch Abschnitt 2.7.6): Streckenlast 1 Stabachse
V(x) Querkraftlinie
MB(x); Biege momentenlinie
Bemerkungen
f ( * n)
f(xn+l)
/(* n+2)
n ^ 0
0
f(x()) = const
/C O
Einzelkräfte 1 Stabachse
0
0
f(x{)) = const
reine Biegung ohne Querkraft
Knick bei x - x¡; z. B.:
tangentialer Übergang bei x = x¡; z. B.:
tangentialer Übergang bei x = x¿; z. B.:
Vix)
M illv Sprung bei x = z. B.: Qz M
Ma(x) Knick bei x = x¡; z. B.:
tangentialer Übergang bei
Änderung der Lastfunktion qz(x) bei x - x¡
V(x)
X,
Gl. (2.67) und die sich daraus ergebenden Folgerungen sind auch im eben gekrümmte Stäbe gültig, was sich mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen an einem eben gekrümmten Stab element nachweisen lässt. 2) Diese Beziehungen und damit die Gin. (2.65), (2.66) sowie (2.68) gelten bei eben ge krümmten Stäben nicht.
81
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
Streckenlast 1 Stabachse
V (x ) Q uerkraftlinie Sprung bei x = x,; z .B .:
A/B(x): Biege m om entenlinie Knick bei x = x,: z. B.:
V (x) n ty r-
i
t1 i 1 : '—1 t •*" y X, * V positiv, Nullstelle bei x = x,, V negativ, z .B .:
X,
1
i^
! II
x
Einzelkraft lS ta b a c h se bei X - X,
M (x) relativ zunehm end Extrem w ert bei x = x,, M b relativ ab nehm end, z.B .:
V(x)
t , v
Bem erkungen
K xi / \J !1! y
x
,. Mö(x)
Die Kenntnis dieser Zusammenhänge ermöglicht eine sehr gute qualitative Kontrolle bei der Darstellung der Querkraft- und Biegemomentenlinien.
2.7 Zustandsflächen M®, V,N 2.7.1 Allgemeines Im Abschnitt 2.5 wurden Funktionsgleichungen der Schnittgrößen für bestimmte Be lastungen aufgestellt. Die Funktionsbilder wurden als Zustandslinien bezeichnet, und zwar den drei Schnittgrößen entsprechend als Biegemomentenlinie (Mß -Linie), Quer kraftlinie (FLinie) und Längskraftlinie (7V-Linie). Eine Zustandslinie kann u.U. (ab hängig von der Belastung) aus Funktionsbildern bestehen, die verschiedenen Gleichun gen genügen. Auch die Sprünge an den Unstetigkeitsstellen gehören zur Zustandslinie. Die Fläche, die von der Bezugsachse (Parallele zur x- bzw. x-Achse) und einer Zu standslinie eingeschlossen wird, heißt Zustandsfläche (Abb. 2.27a). Sind für ein Stabwerk die Zustandsflächen für einen bestimmten Lastfall bekannt, so kann man den Betrag der Schnittgrößen für jede Stelle des Stabwerkes abgreifen. Voraussetzung ist jedoch eine maßstäbliche Darstellung der Zustandsflächen und die Angabe eines Kräfte- bzw. Momentenmaßstabes (z. B. 1 cm = 0,5 kN bzw. 1 cm = 0,5 kNm). Ob man die positiven Teile einer Zustandsfläche oberhalb oder unterhalb der Bezugslinie anträgt, ist gleichgültig. Wichtig ist jedoch die Angabe des Vorzeichens. Aus 82
2.7 Zustandsflächen praktischen Gründen ist es üblich, die positiven Teile einer Biegemomentenfläche (M6Fläche) auf der Seite der Zugfaser und die positiven Teile einer Querkraftfläche (VFläche) auf der der Zugfaser gegenüberliegenden Seite anzutragen, vgl. Abschnitt 2.7.9. Im Abschnitt 2.4.2 wurde gezeigt, dass bei einer punktförmigen Kraftgrößen-Angriffs stelle i bezüglich der Schnittgrößen zwischen den Stellen i. und die beide gleich weit vom Koordinatenanfangspunkt entfernt sind, unterschieden werden muss. In Abhängig keit von der Art der Einzelkraftgröße ergeben sich an diesen Stellen unterschiedliche Werte der zugehörigen Schnittgröße; die Funktion der Schnittgröße hat eine Unstetig keitsstelle.
Abb. 2.27 Beim Zeichnen z. B. einer FFläche sind also die Werte Fj und an der gleichen Stelle anzutragen (Sprung der FLinie), vgl. Abb. 2.27b. An der Stelle i selbst ist die Querkraft nicht definiert. Nähert man sich der Stelle i von der einen Seite „unendlich dicht“ (Stelle z.), so hat die Querkraft den Wert V\\ nähert man sich von der anderen Seite (Stelle so ist der Wert maßgebend. Geht man nicht von einer punktförmigen Kraftgrößenein leitung aus, so ist die Unstetigkeit behoben. Im Bereich einer Kraftgrößen-Einleitungslänge a ändert sich die zugehörige Schnittgröße, z. B. nach Abb. 2.27c die Querkraft, linear. Für a -►0 geht Abb. 2.27c wieder in Abb. 2.27b über. Für die Konstruktion von Zustandsflächen, besonders bei komplizierten Belastungen, ist es im Allgemeinen zu umständlich, die Funktionsgleichungen der Schnittgrößen aufzu stellen und auszuwerten, da in der Regel mehrere Funktionsgleichungen für einen Schnittgrößenverlauf aufgestellt werden müssten. Man kommt oft schneller zum Ziel, wenn man für markante Stellen des Systems die Schnittgrößen ausrechnet, um dann mit Hilfe der im Abschnitt 2.5.2 bzw. 2.6 entwickelten Gesetzmäßigkeiten die Zustands flächen zu zeichnen. In den folgenden Abschnitten (2.7.2 bis 2.7.5) werden für verschieden belastete Systeme die Zustandsflächen rechnerisch ermittelt. 83
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
2.7.2 Belastung durch Einzellasten F x und F z Es sind die Zustandsflächen MB, V, N des in Abb. 2.28a dargestellten Trägers zu ermitteln. Nach Abschnitt 2.6 verläuft im unbelasteten Intervall zwischen zwei Einzelkräften, die senkrecht zur Stabachse wirken (Fz bzw. F z), die A^-Linie geradlinig und hat unter solchen Einzelkräften einen Knick. In diesem Beispiel besteht die A^-Linie demnach aus je einer Geraden in den Bereichen a und b. Da A^6 an den Stellen 0 und 3 (Gelenke) gleich null ist, ist es ausreichend, wenn man z. B. noch M f ermittelt, weil nach Gl. (2.61) Mi = M f = M f ist. Die FLinie bzw. 7V-Linie verläuft im unbelasteten Intervall zwischen zwei Einzelkräf ten, die senkrecht bzw. parallel zur Stabachse wirken, parallel zur Bezugsachse und hat unter der entsprechenden Einzelkraft einen Sprung vom Betrage der Einzelkraft. Es reicht in diesem Beispiel also aus, im Trägerbereich a bzw. b je eine Querkraft- und Längskraftordinate zu bestimmen. Nach Zeichnung der V- bzw. A/-Linie hat man folgende Kontrollmöglichkeiten: Bei der VLinie müssen an den Stellen 0, 1 bzw. 3 Sprünge vom Betrage A z, Fz bzw. Bz auftreten, während bei der TV-Linie an den Stellen 0 bzw. 1 Sprünge vom Betrage A x bzw. Fx vorhanden sein müssen.
Schnitt I
3)
Ax 0
3 a
.2 b
/.; i
8 m;
Ax 0
vl
I
Schnitt E A/
N<
' *
'S .
^2k
No
b)
E M 8 -Fläche
Fz ab
v ! r n i.k-N! !! ! ' 11
V -Fläche
c)
N- Fläche
A* lllfeil Abb. 2.28
Unter Berücksichtigung der Auflagerkräfte nach Gin. (2.01) bis (2.03) folgt: Schnitt I £ F Z= 0: 84
- A z + V x = 0;
Vx =Az = Fz -b/l
‘
2.7 Zustandsflächen Z FX= 0:
~ A X+ N x = 0;
EAf] = 0:
- /lz • a + M f = 0
N , = A X = FX
A/f = A z - a = F z ab/l = M f = M f Schnitt II YFZ= 0:
- V2 - B z = 0;
I F X= 0:
W2 = 0
V2 = ~ B z = ~ F z a/l
Mit diesen Werten lassen sich die Zustandsflächen zeichnen (Abb. 2.28c). Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die FLinie zwischen den senkrecht zur Trägerachse wirkenden Einzelkräften parallel zur Bezugslinie verläuft, dass unter diesen Einzelkräften Sprünge vom Betrage der Einzelkraft auftreten und dass der Sprung der VLinie von z. nach z.. bei im Sinne des Achsenkreuzes wirkenden Einzelkräften F zi in Richtung negativer FWerte erfolgt, lässt sich die FFläche ohne Rechnung unmittelbar darstellen (vgl. dazu Abschnitt 2.6.1). An der Stelle 0 springt demnach die FLinie vom Wert null auf den Wert + A z = + Fz b/l (Az wirkt entgegen dem Sinn des x-, z-Achsenkreuzes); an der Stelle 1 erfolgt ein Sprung von 1. nach 1.. um den Betrag Fz in Richtung negativer F Werte (Fz wirkt im Sinne des x-, z-Achsenkreuzes); an der Stelle 3 schließlich tritt ein Sprung vom Betrage Bz in Richtung positiver V-Werte auf (Bz wirkt wieder entgegen dem Sinn des Achsenkreuzes). Entsprechende Überlegungen gelten für die Konstruktion der Längskraftfläche. Beispiel 2-8 (Abb. 2.29a) Man ermittle die Zustandsflächen. A uflagerkräfte: LMo = 0:
Bz ' l - Fz3 • 3 - F x2 * 1 = 0 Bz = ^ (1,2 • 3 + 2 • 1) = 0 ,8 kN
EFZ= 0: = 0:
- A z - B z + Fz3 = 0; ~AX+ Fx2 - 0;
^ z = - 0 , 8 + l ,2 = 0,4kN A x —+ 2 kN
Für die Zeichnung der V- und TV-Fläche werden die Querkräfte und Längskräfte an den Stellen 1., 1.., 3., 3.. ermittelt. (Die Größe des Sprunges an den Einzelkraftangriffsstellen dient als Kontrolle.) Für die Konstruktion der A^-Fläche muss außer , M f , M f und M? die Größe von berechnet werden. Die erforderlichen Schnittgrößen werden mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen für die in Abb. 2.29b dargestellten Schnitte er mittelt. Für die Festlegung der positiven Schnittgrößen wird für die Stäbe 0,1 und 3,4 das ortsfeste Koordinatensystem x, z verwendet, während der Stab 1,3 ein Koordinatensys tem x, z erhält. Die eingetragene Zugfaser führt zu den gleichen Positivbildern der Schnittgrößen wie die Achsenkreuze.
85
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Schnitt I SAf,. = 0: —Az ■3 + A /f = 0;
Mf, = AZ • 3 = 0,4 • 3 = 1,2 kNm
Z .F z = 0:
-,4 Z+ F ,. = 0;
F!. = ^ 2 = 0,4kN
XFx = 0 :
- ^ X+ W,. = 0;
A^L= ^ x = 2 kN
Schnitt II 2Mi=0:
- A / f - A / f . = 0;
EFz = 0:
-Fj.-A^.^O;
E Fx = 0:
-7V,.+F,.. = 0;
A/f. = - A/f. = - 1,2 kNm = - F,. = - 0 , 4 k N F,.. = Wi. = 2 k N
Abb. 2.29
Die Angabe des Längenmaßstabes ist nicht unbedingt erforderlich, wenn die Systemskizze maßstäblich gezeichnet und mit Zahlenangaben versehen ist.
86
2.7 Zustandsflächen Schnitt III £M 3 =0: ZFz = 0: Z Fx = 0 :
Bz • 4 - A / f = 0; - V 3, - B z = 0; 7V3.. = 0
A /f.= 5 z • 4 = 0,8 • 4 = 3,2 kNm K3.. = - 5 z = -0 ,8 k N
Schnitt IV ZM3 = 0: £ F Z= 0: £ F X= 0:
A/f + A/f. = 0; A /f= - A /f. = -3 ,2 k N m N3 + Fz3 + V 3,= 0 A^3 = - F z3 - F3.= - 1,2 - (-0,8) = - 0,4 kN - V 3 + N 3.= 0; V3 =N 3,= 0
Schnitt V EM2.. = 0:
-Mf. - F3. • 1 + Mf. = o M ^„=M f + V3 + V 3,- 1 = - 3 ,2 + 0 = -3 ,2 k N m A/f. = A/f =M 2
Aus den Schnitten II und IVergibt sich, dass sich die Biegemomente an den Knickstellen von statischen Systemen dem Betrage nach nicht verändern, wenn an den Knickstellen keine Lastmomente angreifen. Lediglich die Vorzeichen der Biegemomente ändern sich, wenn die Zugfaser der angrenzenden Stäbe springt, wie es in diesem Beispiel der Fall ist. Springt die Zugfaser nicht, so bleibt auch das Vorzeichen der Biegemomente unverändert (vgl. S. 63, Beispiel 2-6, Schnitt II).
2.7.3 Gleichmäßig verteilte Belastung q z = const. Nach Abschnitt 2.5.2 ist die A^-Linie für einen Träger auf zwei Stützen nach Abb. 2.30a eine quadratische Parabel, während die FLinie eine geneigte Gerade ist. N ist im gesamten Träger gleich null. Die Zustandsflächen ergeben sich in diesem Fall am einfachsten aus den Funktionsgleichungen (2.40) bis (2.42). Die Parabel der A^-Linie lässt sich zeichnen, wenn man z. B. für die Gl. (2.42) eine Wertetabelle aufstellt, die Tafel 1 (vgl. Anhang S. 258) verwendet oder mehrere Tangenten konstruiert. Für die prakti sche Statik genügt es oft, die Parabel mit Hilfe von drei Tangenten und eventuell zwei Zwischenpunkten zu konstruieren (Abb. 2.30b). Aus Gl. (2.42) ergibt sich z. B. für x= x = 0,15 /:
AfB= Y
(0,15 —0,152) = 0,51 m axM 8
x = 0,25 /:
Mb = y
(0,25 - 0,252) = 0,75 max A/6
Die zwei erforderlichen Funktionswerte für die Zeichnung der FLinie ergeben sich aus Gl. (2.41)z.B. für
87
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
X 0:
V
x = V2:
F = 4 ^ - ^ ) =0
q
(2
0)
Ä*
2
Damit können die Zustandsflächen gezeichnet werden.
a)
J , 0,151
max
0,251
/°
' -Flache 0,75max M
0,51max M6
V
b) -Bz - q i
N '-Fläche
Abb. 2.30
2.7.4 Dreieckförmig verteilte Streckenlast q z (jt) Eine linear veränderliche Streckenlast qz (x) kann durch eine Funktion erster Ordnung angegeben werden. Gemäß Abschnitt 2.6.3 - Tabelle - ergibt sich für die Querkraftlinie eine Funktion zweiter Ordnung (quadratische Parabel), für die Biegemomentlinie eine Funktion dritter Ordnung (kubische Parabel). Die Ermittlung der Zustandsflächen erfolgt am einfachsten durch punktweise Auswer tung der Funktionsgleichungen der Schnittgrößen mit Hilfe von Tabellen (Funktions gleichungen s. Abschnitt 2.5.2, Gin. (2.47) und (2.48).
2.7.5 Belastung durch Einzellastmomente A/1" Aus 2.6 folgt, dass bei einem geraden Stab werksabschnitt, der nur durch ein Einzellast moment belastet ist, die V- und V-Linien stetig sind und parallel zur Bezugsachse verlaufen, während die M 3-Linie aus zwei geneigten parallelen Geraden besteht und an der Angriffsstelle des Lastmomentes einen Sprung vom Betrage dieses Momentes hat.
2.7 Zustandsflächen Für die Ermittlung der Zustandsflächen des in Abb. 2.31a dargestellten Systems reicht es demnach aus, die Schnittgrößen an einer Stelle zu ermitteln (z. B. Stelle 1.). ~T~
Z r ~~~o
Schnitt I
a) L . X
ß
__ 0 Ay
^
2
X / . . ....
! A,
b)
M
M -Fläche
c) V -Fläche
N -F lä c h e =0
Abb. 2.31
Auflagerkräfte (Abb. 2.3 la) I M 2 = 0:
- A z -1 + M l = 0;
ZFz = 0:
- A z - B z = 0;
Z FX= 0:
A z = A ^ /l BZ= - A Z= - ^ H
Ax=0
Schnitt I (Abb. 2.31b) EM| =0:
- ^ z -a + M f. = 0;
M f = A z - a = M L -a/l
T.FZ= 0:
- ^ Z+ F ,= 0 ;
VX=AZ= MLH
£ F X= 0:
- ^ X+ 7V,. = 0;
M. = ^ x= 0
Die Zustandsflächen sind in Abb. 2.31c dargestellt.
2.7.6 Merkmale für das Zeichnen von Zustandslinien Die im Abschnitt 2.6 abgeleiteten und in den Abschnitten 2.7.2 bis 2.7.5 berücksichtig ten Zusammenhänge von Kraftgrößen und Schnittgrößen sind für häufig vorkommende Belastungen in Abb. 2.32 bei der qualitativen Darstellung der Zustandslinien zusam mengefasst.
89
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Formen der Z u sta n d slin ie n : Mö( x j ,
2.7.7 Anwendung des Überlagerungsprinzips Bisher wurde gezeigt, wie Zustandsflächen nach Auswerten der Funktionsgleichungen oder nach Ermittlung von Schnittgrößen an einzelnen markanten Stellen und Anwen dung der bekannten Gesetzmäßigkeiten dargestellt werden können. Nachfolgend wird an einem Beispiel erläutert, wie das Überlagerungsprinzipvorteilhaft angewandt wer den kann. ^ Vgl. Abschnitt 1.10. 90
2.7 Zustandsflächen Beispiel 2-9 (Abb. 2.33 a) Um für den dargestellten Einfeldträger mit Kragarm die Zustandsflächen zu ermitteln, wird die Gesamtbelastung des Trägers in zwei Teilbelastungen (Abb. 2.33b und c) aufgespalten. Die Zustandsflächen der Teilbelastungen werden einzeln ermittelt. Man erhält die endgültigen Zustandsflächen durch Addition der entsprechenden Teilflächen. Dieser Lösungsweg hat den Vorteil, dass man ohne großen Rechenaufwand und mit wenig Schnittführungen zum Ziel kommt, da die Formen der Zustandsflächen der Teilbelastungen zum Teil bekannt sind.
Abb. 2.33
91
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
Träger in Abb. 2.33b: max M® = ql2/8 = 2 • 3,52/8 = 3,07 kNm AZ= BZ= ql/2 = 2 ■3,5/2 = 3,5 kN VX= A Z= 3,5kN;
(2.69)
F2. = - 5 z = -3 ,5 kN
Die Zustandsflächen ergeben sich entsprechend Abb. 2.33b.
Träger in Abb. 2.33c: XM2 = 0: EFZ= 0:
- A z - 3 ,5 - 1,5- 1 = 0 Az = - 1,5/3,5 = -0 ,4 3 kN
(2.70)
- Az - B z + 1,5 = 0 Bz = - A z + l,5 = - ( - 0 ,4 3 ) + 1,5 = 1,93 kN
(2.71)
Aus dem Schnitt folgt: EM2 = 0:
- M f - 1,5 • 1= 0;
A/f = -l,5 k N m
EFZ= 0:
- V 2..+ 1,5 = 0;
F2..= l,5kN
Weiterhin ist:
V i= A z = - 0,43 kN
Damit können die Zustandsflächen gezeichnet werden. Um die endgültigen Zustandsflächen zu erhalten (Abb. 2.33a), werden die Zustands flächen aus Abb. 2.33b und Abb. 2.33c unter Berücksichtigung der Vorzeichen addiert. Die A^-Fläche III ergibt sich durch Addition der A^-Flächen I und II; die FFläche VI folgt aus den Flächen IV und V Am schnellsten lässt sich die Fläche III zeichnen, wenn man zunächst die negative Fläche II aufträgt und zwischen den Punkten 3 und 4 die Parabel (Fläche I) „einhängt“ , siehe Abb. 2.33a, (Fläche III). Die schraffierte Fläche ist die endgültige A^-Fläche. Um die FFläche VI zu konstruieren, wird zunächst von der gestrichelten Geraden als Bezugslinie ausgehend die Fläche IV gezeichnet, um dann die Fläche V anzutragen. Die endgültige FFläche ist gleich der schraffierten Fläche (Abb. 2.33a, Fläche VI). Bei einiger Übung kann man auf das Zeichnen der Flächen I, II, IV und V verzichten und direkt die Flächen III und VI konstruieren. Werden die endgültigen Auflagerkräfte benötigt, so kann man sie durch Addition der Auflagerkräfte der Teilsysteme ermitteln. Aus Gin. (2.69) und (2.70) folgt:
A z = 3,5 - 0,43 = 3,07 kN
Aus Gin. (2.69) und (2.71) folgt:
Bz = 3,5 + 1,93 = 5,43 kN
Die gleichen Werte kann man auch aus der endgültigen FFläche ablesen, denn an den Lagerstellen hat die FLinie einen Sprung von der Größe der jeweiligen Auflagerkraft. Die Längskraft und damit die TV-Fläche ist für den gesamten Trägerbereich gleich null.
92
2.7 Zustandsflächen
2.7.8 Ermittlung der Schnittgrößen durch Integration Mit Hilfe der Differentialgleichungen (2.65) bis (2.68) - vgl. Abschnitt 2.6.2 - können die Funktionen der Schnittgrößen auch durch Integration der Streckenlastfunktionen ermittelt werden. Die dabei auftretenden Integrationskonstanten sind durch Randbedin gungen oder bei evtl. erforderlicher abschnittweiser Integration durch zusätzliche Übergangsbedingungen zu bestimmen1\ Für den in Abb. 2.34a dargestellten Kragträger können die Funktionen der Schnittgrößen demnach wie folgt berechnet werden: Lastfunktionen: qx(x) = 0;
qz(x) =
—
Schnittgrößenfunktionen: N(x)
= f - qx(x) dx = J 0 • dx = C\
V(x)
= /-<7z(x)dx = / -
d*
AA*) = / V(x) dx = / | -
V' ^
4-
=
-
+ c 2
+ Czj dx
- 4~- y/ - y + C2 • x + C3
Die Integrationskonstanten werden mit Hilfe der Randbedingungen für die Stelle x = 0 ermittelt. Nach Abb. 2.34b werden: N(X=o) oI X
=
also C i = - P x
= 0,
also C2 = 0
also C3 = 0 A^j>=0) = 0, Die Funktionsgleichungen lauten damit: N(x) = - P x;
V (x)= -
;
MB(x) = -
Die Zustandsflächen der Schnittgrößen können nach punktweiser Auswertung der Funktionsgleichungen gezeichnet werden. Bei der Darstellung (Abb. 2.34c) ist darauf zu achten, dass bei x = 0 die Tangenten sowohl der FLinie als auch der M ^L inie mit der Bezugslinie zusammenfallen, da sowohl qZ(X=0) = 0 als auch F(x=0) = 0 sind.
Randbedingungen bzw. Übergangsbedingungen ergeben sich aus Gleichgewichtsbedin gungen am herausgeschnittenen Trägerrand bzw. an der herausgeschnittenen Übergangs stelle (vgl. auch Rekursionsformeln, Gin. (2.16) bis (2.21). Ein neuer Integrationsab schnitt wird erforderlich bei Änderungen der Lastfunktion, an Angriffsstellen von Einzelkraftgrößen und an Knickstellen des Systems.
93
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
a)
b)
~T
k
£
(**0)
Fx
N (x ‘ 0 )
V(x--O)
c)
l - F* 9jl
2
‘M l
6
Abb. 2.34 In einem Intervall von a bis b, in dem keine Last- oder Einspannmomente wirken, kann der Zuwachs des Biegemomentes durch Integration der Funktion V(x) bestimmt werden; es gilt: b AM5 ]* = S V(x)dx (2.72) a
An Angriffsstellen k von Last- oder Einspannmomenten bzw. Mj: ist die Veränderung des Biegemomentes z. B. durch Rekursionsformeln oder mit Gl. B. am Rundschnitt um die Stelle k zu bestimmen. Bei abschnittsweiser Integration und unter der Voraussetzung, dass ab Stabwerksanfang mit der Stelle x = 0 bis zur Stelle x\ keine Last- oder Einspannmomente am Stabwerk angreifen, ist nach Gl. (2.72): xa.
Xb
M(s=x.)b = / V(x)dx+ f
Xj
V(x)öx + . . . + /
V(x)dx
(2.73)
Das Biegemoment an der Stelle jq ist dann also gleich dem Inhalt der FFläche vom Stab Werksanfang bis zur Stelle jq. Bei der Flächenermittlung sind die Vorzeichen von V und Ax zu beachten; Ax wird negativ, wenn man in Richtung der negativen x-Achse fortschreitet, s. folgendes Beispiel. B eispiel 2-10 (Abb. 2.35a) Für das dargestellte Stabwerk sind an allen bezeichneten Stellen die Schnittgrößen zu ermitteln. Dabei sollen die Biegemomente aus dem Inhalt der FFläche berechnet wer den. Zusätzlich sind die Extremwerte der Biegemomentenlinie zu bestimmen. 94
2.7 Zustandsflächen Mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen bzw. von Rekursionsformeln sind folgende Auflagerkräfte sowie Schnittkräfte TVund Verrechnet worden: Ax = - 0 , 9 kN;
,4z = 3,0kN;
N0 = N l = N2_= ~ 3,0 kN; Vq= V\ ——0,9 kN;
5 z = 2,4kN
N2. = N 3 = 0 Vj.. = V2. = 0;
V2. = + 3,0 kN;
V3 = - 2,4 kN Abb. 2.35b und c zeigen die N- und /^Flächen. Im Riegel liegt die Nullstelle der VLinie bei xn = 2,0 m. Dieser Wert kann aus der maßstäblich aufgetragenen ^Fläche abgelesen werden. An dieser Querkraft-Nullstelle muss ein Extremwert der Biegemomentenlinie vorhanden sein, vgl. Übersicht S. 81. Im Stiel ist die Querkraft im gesamten Bereich zwischen 1.. und 2. gleich null; in diesem gesamten Bereich muss damit der Verlauf der Biegemomentenlinie einem Extremwert entsprechen.
z
£
l5kN/m
2r /..Nj _ 0,9 kN
p
— /
\r 0
■
f.
& c3)
irsi
3,6 m
Abb. 2.35 Im Folgenden werden die Biegemomente aus der Querkraftfläche ermittelt. Um die Biegemomentenlinie genauer zeichnen zu können, werden zusätzlich zu den bezeichneten Punkten die Biegemomente auch an den Stellen x = 1,0 m und x = 3,0 m ausge rechnet. Die dazu noch erforderlichen Querkraft-Ordinaten sind im ^Diagram m ange geben. Man erhält: Mq = 0 95
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen M f = M% = -0 ,9 - 1,2 = -1 ,0 8 kNm Mfx=1,O) = - l , 0 8 + i (3,0+ 1,5)- 1,0 = + 1 ,1 7 kNm M^ = + 1,17 + ^ • 1,50- 1,0 = + 1,92 kNm Wfx=3,o) = + 1,92- ^ • 1,50- 1,0 = +1,17 kNm Kontrolle: A/f = + 1,1 7 - ^ (1,5+ 2,4)-0,6 = 0 (Gelenk) Die Biegemomente lassen sich auch bestimmen, wenn man bei der Berechnung vom Punkt 3 ausgeht. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Intervalllängen zwischen den Punkten 3 und i negativ einzusetzen sind, da man bei der Berechnung in Richtung der negativen x-Achse fortschreitet. Zum Beispiel sind: iW? = 0 M ^= ^ ( - 2,4) (-1,6) = + 1,92 kNm Abb. 2.35d zeigt die V/B-Häche. Ebenso wie Biegemomente aus der ^Fläche bestimmt werden können, können Quer kräfte mit Hilfe der A^-Fläche ermittelt werden. Einfache Verhältnisse liegen bei ge radlinigem Verlauf der A^-Linie vor. dM6 Dann geht die Gleichung —-— = V(x) über in die Form dx * f - i £ ^ . n x )a xia . Ax Xj —Xj_! Für den Stabteil zwischen den Punkten 0 und 1. ergibt sich somit: Xj —Xq 1,Z —U Hinsichtlich der Extremwerte der Biegemomentenlinie kann folgende Feststellung ge troffen werden: Greifen an einem System keine Last- und Einspannungsmomente an, so sind die an den Querkraft-Nullstellen der einzelnen Stäbe eines Stabwerkes vorhandenen Extrem werte der A^-Linie positive oder negative Größtwerte. Wirken dagegen an einem System Last- und/oder Einspannmomente, so muss z. B. infolge des Sprunges der Biegemomentenlinie an der Angriffsstelle eines Einzel lastmomentes die Stelle des größten Biegemomentes nicht mit der Querkraft-Null stelle zusammenfallen, d. h. der Extremwert der Biegemomentenlinie an der Stelle V(x) = 0 ist nicht gleichzeitig Größtwert; siehe dazu folgendes Beispiel.
96
2.7 Zustandsflächen B eispiel 2-11 (Abb. 2.36a) Das bereits im Beispiel 2-10 behandelte System wird zusätzlich durch ein Lastmoment beansprucht. Die Zustandsflächen der Schnittgrößen sind zu bestimmen.
(+) x
M$=l8kNm
z A5kN/m
^ 2 J _
3- y\
2.. £ c\f
j:----f 1.
0,9kN
0
IN)
4-
3
:
8
a)
N~ F lä c h e in kN
d)
1,2
2,4 3,6 m
V2.
1------
ff '
m Y~ . A/ry2
4
'
Knoten 2
V(x') ■
n 2..
=1,8kNm ( m
C)
i m
L * -S ch n itt I
Abb. 2.36 Auflagerkräfte: Gegenüber den Werten aus Beispiel 2-10 werden durch das zusätzliche Moment nur die Auflagerkräfte A z und Bz verändert. Da entgegen der positiven Drehrichtung des Achsenkreuzes wirkt, wird A z kleiner und Bz größer. Unter Berücksichtigung der Werte aus Beispiel 2-10 und Gin. (2.14) und (2.15) werden: A x = - 0 , 9 kN Az = 3,0 - A/1-// = 3,0 - 1,8/3,6 = + 2,5 kN Bz = 2,4 + Ml // = 2,4 + 1,8/3,6 = + 2,9 kN
97
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Schnittgrößen: Es werden alle drei Schnittgrößenarten durch Gleichgewichtsbetrachtungen am Schnitt bzw. rekursiv ermittelt. Aus den Gleichgewichtsbedingungen für den Schnitt um den Punkt 0 - Gedanken schnitt - folgt: N0 = - A z = -2 ,5 kN;
F0 = AX= - 0 ,9 kN;
A ^ = 0 (Gelenk)
Durch Anwendung der Rekursionsformeln erhält man: Nt = N2 = N 0 = - 2 , 5 k N V\. = Vo = - 0 , 9 k N V\.. = V{ +0,9 = - 0 , 9 + 0,9 = 0 v2. = V \.= 0 M f = Mo + Fo- 1,2 = 0 - 0 ,9 - 1,2 = - 1,08 kNm M? = M ? + F ,.. • 0,8 = - 1 ,0 8 kNm Gleichgewichtsbetrachtungen am Knoten 2 (vgl. Abb. 2.36b) ergeben: N2. = V2 =0;
F2.. = - jV2. = + 2,5 kN
Durch erneute Anwendung der Rekursionsformeln erhält man: n3
= iV4 = n 2..= o
F3 = F3 = F3 = F2 - 1,5 • 2,4 = + 2 ,5 -3 ,6 = - 1,1 kN F4 = F3- 1 ,5 - 1 ,2 = - 1 ,1 - 1 ,8 = -2 ,9 k N = - 5 z (Kontrolle) M%. = M%+V2.. • 2 ,4 - 1,5 • 2,4 • y = - 1,08 + 2,5 • 2,4 - 4,32 = + 0,60 kNm Mf.. = M f.~ (-M 3 ) ' }= + 0,60 + 1,80 = + 2,40 kNm M* = M?..+ F3.. • 1 ,2 - 1,5 • 1,2 • = + 2,40 - 1,1 • 1,2 - 1,08 = 0 (Kontrolle) Die Nullstelle der Querkraft wird nach Abb. 2.36c mit Hilfe von £ F Z= 0 ermittelt, indem V(x') = 0 gesetzt wird: 1,5- x ' - B z - V(x') = 0;
mit F(x') = 0wird
= B J \,5 = 2,9/1,5 = 1,93 m=x'n
98
2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente Das Biegemoment an der Stelle n ergibt sich damit aus Schnitt 1 zu: = Bz - 1,93 —1,5 -
-jc^/2 —1,8
= 2,9- 1,93- 1,5- 1,932/2 - 1,8 = 1,0 kNm Die Zustandsflächen zeigen Abb. 2.36d bis f. Aus der A^-Linie ist zu erkennen: Im Stab 0,2 tritt der Größtwert des Biegemomentes zwischen den Punkten 1 und 2 auf; in diesem Bereich ist V = 0. Der Stab 2,4 ist durch ein Lastmoment an der Stelle 3 beansprucht. Für diesen Stab ist der Größtwert des Biegemomentes an der Angriffsstelle des Lastmomentes vorhanden. Der Extremwert des Biegemomentes an der Nullstelle der Querkraft ist erheblich geringer als der positive Größtwert. Je nach Größe und Angriffspunkt des Lastmomentes kann sich jedoch auch bei Syste men, an denen Kräfte und Momente angreifen, eine Biegemomentenlinie ergeben, bei der der Extremwert auch gleichzeitig Größtwert ist. Bei so belasteten Systemen emp fiehlt es sich, stets den gesamten Biegemomentenverlauf zu berechnen und graphisch aufzutragen.
2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente 2.8.1 Allgemeines Für die Bemessung von Konstruktionen (vgl. [2]) ist u. a. die Kenntnis der positiven und negativen Größtwerte der Biegemomente, die bei einer gegebenen Belastung auftreten, erforderlich. Im Abschnitt 2.7.8 wurde gezeigt, dass bei einem Stab werk, an dem beliebige Kräfte, jedoch keine Last- und Einspannmomente angreifen, Größt werte der Biegemomente an den Stellen auftreten, an denen V = 0 ist bzw. die ^L inie durch null geht. Bei einem Träger a uf zwei Stützen ohne Kragarme, dessen senkrecht zur Stabachse gerichtete Lasten alle den gleichen Richtungssinn haben, was in der Regel der Fall ist, und der nicht durch Lastmomente beansprucht wird, tritt stets nur ein Querkraft-Nulldurchgang auf, d. h., es ergibt sich nur ein maximales Biegemoment. Beim Kragträger tritt bei der oben erläuterten Belastung das maximale Biegemoment stets an der Ein spannstelle auf, d. h., |max MB\ ist dann gleich \A^\.
1) (- A/3), da das Lastmoment entgegen der positiven Drehrichtung des Achsenkreuzes wirkt.
99
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Bei allen anderen statischen Systemen treten im Allgemeinen mehrere Querkraft-Null durchgänge auf. So ergeben sich z. B. bei Einfeldträgern mit Kragarmen und bei Durch laufträgern, die durch Lasten im Sinne der z-Achse belastet sind, positive Größtwerte der Biegemomente in den Feldern und negative Größtwerte an den Lagerstellen. Für die Bemessung solcher Konstruktionen ist i. Allg. die Kenntnis der max. Feldmomente und der max. Stützmomente erforderlich. Entsprechend müssen bei geknickten Trägern die Biegemomente an den Knickstellen und die maximalen Biegemomente zwischen den Knickstellen ermittelt werden. Die Biegemomente an den Lager- und Knickpunkten statisch bestimmter Systeme lassen sich mit Hilfe von Schnitten ohne Schwierigkeit berechnen. Die Ermittlung der max. Feldmomente und der max. Biegemomente zwischen Knickstellen setzt die Kenntnis des jeweiligen Querkraftnulldurchganges voraus. Im Allgemeinen hat man also die FFläche zu ermitteln, um dann an den Stellen, an denen die FLinie die Bezugsachse schneidet, die Biegemomente auszurechnen. Im Folgenden werden für einen geraden Stabwerksabschnitt und für einen Träger auf zwei Stützen mit häufig vorkommenden Belastungen Formeln für die Ermittlung von Querkraft-Nulldurchgängen und maximalen Biegemomenten entwickelt.
2.8.2 Gerader Stabwerksabschnitt mit speziellen Belastungen Für einen geraden Stabwerksabschnitt, der aus einem beliebigen Stabwerk herausge schnitten ist, lassen sich für bestimmte Belastungen einfache Formeln für die Ermittlung der Stelle des Querkraftnulldurchganges und des maximalen Biegemomentes angeben. Für die Anwendung dieser Formeln müssen allerdings die Schnittgrößen an den Schnittstellen des Stabwerksabschnittes vorher errechnet werden.
• Gleichstreckenvolllast (Abb. 2.37 a )1} Die Größe der Querkraft an einer beliebigen Stelle ergibt sich nach (Abb. 2.37b). Z Fz = 0:
- F i + qx + F(x) = 0;
F(x) =Vx- q x
Gesucht wird die Stelle x = xn, an der F = 0 ist: F(x) = 0 =V{- q x x = V-Jq = xn 2 )
'
(2.74)
Die Belastung außerhalb dieses Stabwerksabschnittes ist beliebig. 2) Wird x > s oder negativ, so befindet sich in diesem Stababschnitt kein Querkraft-Nulldurchgang und damit kein Größtwert des Biegemomentes.
100
2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente
Das Biegemoment an einer Stelle x ergibt sich aus: ZA/= 0:
- M f - V i - x + qx- | + M B(x) = 0 x2 MB(x)= Vi - x ~ q - — + M f
(2.75)
An der Stelle xn = Vjq tritt max /V/B auf. Gl. (2.74) in Gl. (2.75) eingesetzt ergibt: max M b = Vx — + M? q 2q m axM B= — + M f 2#
(2.76a)
Aus Gl. (2.76a) kann max M38 unmittelbar errechnet werden. Hat man jedoch zuvor die Stelle des Querkraft-Nullpunktes aus Gl. (2.74) zahlenmäßig ermittelt, so kann man max MB aus Gl. (2.76b) ermitteln. Gl. (2.76b) ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (2.74) in Gl. (2.76a) zu: max MB = “ Fi • xn + M f
(2.76 b)
Stellt man Fund M 3 als Funktion von x' dar, so ergeben sich fiir die Stelle x', an der V= 0 ist, und für max MB folgende Gleichungen (Abb. 2.37c): x'n
= - V k/q ma\ M b =
(2.77) V2 1 +M% = - 2q 2
+
(2.78)
101
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen
• Gleichstreckenvolllast und eine Gleichstreckenteillast (Abb. 2.38) Befindet sich in dem dargestellten Stab ein Querkraftnullpunkt1}, so liegt er entweder im Bereich a oder im Bereich b. Es werden daher zwei Fälle unterschieden:
TT* ft U i ’ ’ M. t 1 i ;„„i . 1. 1. 1, .1, , 1 1 Vi
Abb. 2.38 Fall 1:
N
a
I
M
A
xn= V\/(q\ + q 2) — a
(2.79)
dann ist ■2
max h f i =
Fall 2:
/
V\
.
1 x + M?= - 1V -x 1+V1M® \~y i'1V1\
2 (q\ + q2)
2
(2.80)
V\¡(qx + q2) > a, Xn = - V klqx < 6, dann ist ma\ M b = ^ +M^ = - \ Fk -jc; + M^ 2i?i 2
(2.81)
(2.82)
• Gleichstreckenvolllast und Einzellast (Abb. 2.39) Befindet sich im dargestellten Stab ein Querkraft-Nulldurchgang, so kann er im Bereich a, im Bereich b oder unter der Einzellast F liegen.
a) Das ist der Fall, wenn Vxund Vk ungleiche Vorzeichen haben.
102
2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente
Fall I:
x n = V-Jq < a, dann ist 1 V + M P = - Vr x n + M f 2q 2
maxjW®=
(2.83)
Diese Gleichung stimmt überein mit den Gin. (2.76a) u. (2.76b). F a illi:
x'n = - V J q < b , dann ist
2^
(2.84)
Diese Gleichung stimmt überein mit den Gin. (2.78).
Fall III:
Fall I und Fall II liegen nicht vor, d. h. max M tritt unter der Einzellast Fauf. Das maximale Biegemoment ergibt sich zu (Schnitt führen!): m axMB =V[ • a - q - a2/2 + Nif
(2.85a)
oder max MB = - V k - b - q - b 2/2 + M %
(2.85b)
2.8.3 Träger auf zwei Stützen mit speziellen Belastungen Die im Abschnitt 2.8.2 ermittelten Formeln zur Berechnung der Stelle xn bzw. x' des Querkraft-Nulldurchganges sowie von max MB für verschiedene Belastungen können für einen Träger auf zwei Stützen ohne Kragarme angewendet werden, wenn man die Biegemomente M f und gleich null setzt. Außerdem empfiehlt es sich, folgende Beziehungen in den Gleichungen zu berücksichtigen: Fi =AZ;
Vk = - B z
2.8.4 Beispiele In diesem Abschnitt wird die zahlenmäßige Durchführung der Ermittlung von maxima len Biegemomenten anhand von drei Beispielen gezeigt. B eispiel 2-12 (Abb. 2.40) Man ermittle max MB. Zunächst werden die Auflagerkräfte A z und Bz berechnetl).
1) Die folgenden Gleichungen ergeben sich aus Gleichgewichtsbedingungen.
103
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen Ax = 1,13- 1,50/2+ 7,17-0,62-0,31/1,50 = 0,85 + 0,92= 1,77 kN Bz = 0,85 + 7,17-0,62-1,19/1,50 = 4,37 kN
0,62
Ay°rn 11M; 111rri'f &
q2 =7J7kN/m T T ^ - y, =1J3kN/m
15m
Abb. 2.40
Es ist festzustellen, in welchem Bereich sich der Querkraftnullpunkt befindet: A J q x= 1,77/1,13 = 1,57 m > 0,88 m
max M B liegt damit in dem Bereich, in dem q { und q2 wirksam sind und kann daher mit Vk = - B z und = 0 entspr. Gl. (2.84) errechnet werden. max }ÜB =
(-4 ,3 7 )2 = 1,15 kNm 2(1,13 + 7,17)
Beispiel 2-13 (Abb. 2.41) Man ermittle das maximale Feldmoment. Schneidet man den Trägerteil zwischen den Punkten 1.. und 2. gemäß Abb. 2.41b heraus, so sieht man, dass ein Stabwerksteil mit Gleichstreckenvolllast und Einzellast vorliegt. Für die Ermittlung des max. Feldmomentes müssen die Schnittgrößen an den Stellen 1.. bzw. 2. errechnet werden. R = 0,8 • 7,7 kN F=l2kN \
II!
2,35
n 1 —* b=3m -i q=0l ! 1 1 ! ! ; ! 1’□ l ! ! ! i ! I i ; I ! !J
1x-o«
3)
Uz _ W,5
Sch n itt I
Schnitt M
M
c)
IAz
Abb. 2.41 104
d)
,1. F |[ 1 M I !1 LI 1 11 1 , I Y.
f l
2y \ vT
b)
Schnitt I
2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente Zunächst sind die dazu erforderlichen Auflagerkräfte zu bestimmen. A uflagerkräfte (Abb. 2.41a) ZM2 = 0:
- A z • 5 + 0,8 • 7,7 • 2,35 + 1,2 • 3 = 0 A z = | (14,5+ 3,6) = 3,62
EFZ= 0:
kN
0,8 -1,1 + \ , 2 - A z - B z = Q ß z = 6,16 + 1,2-3,62 = 3,74 kN
Schnitt II(Abb. 2.41c) EFZ= 0:
0 ,8 - 1 , 2 - ^ + F , . = 0 F ,.. = -0 ,9 6 + 3,62 = 2,66 kN
2 M l . = 0:
0,8 • 1,2 • 1,2/2 + M f = -0,576 kNm
=0
Schnitt III (Abb. 2.4 ld) I F Z =0: SM2. = 0:
0,8 • 1,5 - 5 Z- F2 = 0 F2.= 1 ,2 -3 ,7 4 = -2 ,5 4 kN -0,8 • 1,5 • 1,5/2 - M f. = 0;
M f = - 0,90 kNm
Sind M f und A/f. bekannt, so lassen sich V, und F2 auch mit Hilfe des Schnittes I (Abb. 2.41b) ermitteln: ZM2. = 0:
- M f - Fj ■5 + g • 52/2 + F -3+ =0 - ( - 0 ,5 7 6 ) - F,.. • 5 + 0,8 • 52/2 + 1,2 • 3 + (-0,90) = 0 V\..= ^ (0,576+ 10 + 3 ,6 -0 ,9 0 ) = 2,66kN
Entsprechend ergibt sich aus EM l . = 0:
F2. = -2 ,5 4 k N
Bestimmung des Querkraft-Nulldurchganges: )q = 2,66/0,8 = 3,32 m > 2 m Der FNulldurchgang liegt also nicht links neben der Einzellast, d. h., „Fall 1“ liegt nicht vor. Weiterhin ergibt sich: - V 2 J q = - (-2,54)/0,8 = 3,17 m > 3 m Da sich der FNulldurchgang auch nicht rechts neben der Einzellast befindet, liegt auch „Fall II“ nicht vor. Die FLinie schneidet daher die Bezugslinie unter der Einzellast („Fall IIP4). Damit wird nach Gl. (2.85a): max M* = F ,.. • 2 - q ■22/2 + Aif. max M® = 2,66 • 2 - 0,8 • 2 + (-0,576) = 3,14 kNm Sind die Lagerreaktionen bekannt, kommt man ggf. schneller zum Ziel, wenn man die Querkräfte mittels Rekursionsformeln bestimmt und nach Kenntnis der Querkraftnull
105
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen stelle durch Integration der V-Linie bis zur Stelle V = 0 den Wert max MB ermittelt, man erhält bei dieser Vorgehensweise: linker Trägerrand: V = 0 (freies Trägerende, keine Einzellast) Stelle 1: Vx. = 0 - 0,8 • 1,2 = - 0,96 kN; Stelle x = a = 2,0 m:
VL = - 0,96 + A z = + 2,66 kN
Fx. = + 2,66 - 0,8 • 2,0 = + 1,06 kN Fx = + 1,06- F = - 0,14 kN
d. h., die Querkraftnullstelle liegt an der Angriffsstelle der Einzelkraft. Die Integration der V-Linie bis zur Stelle x = a = 2,0 m liefert: maxA/6 = 0 + ° ~ ® ’96 . 1 2 + 2'6 6 + l ’06 .2,0 = 3,14kNm 2 2 B eispiel 2-14 (Abb. 2.42a) Für den dargestellten Träger sind die Auflagerkräfte und das max. Biegemoment zu bestimmen.
ä)
y
qz (s)*0ß6s
Schnitt I
JO ,96 s kN/m .1.1,2 kN/m
hm
b)
1ns)
i R=1ß1-1,68/2
2,0kN 1,2kN/m
Ax-0 onirrrrT T tT m tit
2>° A**777kN
Abb. 2.42
1,68
/ /773X
M
jO .9 6 -1,68-1,61kN/m ~ N -0
c)
x n =368m
A uflagerkräfte Da alle Lasten und die Auflagerkraft am beweglichen Lager in z-Richtung wirken, ist A* = 0. 106
2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente SM3 = 0:
- A z • 7,0 + 1,2 • 7 • 3,5 + 2,0 • 5 + - - 2 ,4 -5 -2 ,5 = 0 ^z= -
|l,2 • 7 • 3,5 + 2,0 • 5 + - - 2 ,4 -5 -2 ,5
= 7,77 kN EM0 = 0:
£ z -7 ,0 -1 ,2 * 7 * 3 ,5 - - - 2,4 • 5 • 4 ,5 - 2 • 2 = 0 £ z= -
|1,2 -7 * 3 ,5 + - *2,4*5*4,5 + 2*2
= 8,63 kN Maximales Biegemoment Um festzustellen, in welchem Bereich der Querkraft-Nulldurchgang liegt, werden die Querkräfte für markante Punkte ermittelt. Wechselt das Vorzeichen der Querkräfte zwischen den Punkten, so liegt der Querkraft-Nulldurchgang zwischen diesen beiden Punkten. Die Gleichgewichtsbedingung EFZ= 0 für den Schnitt um den Punkt 0 ergibt: V0 =AZ = 7,77 kN Die Querkräfte für die anderen Punkte werden rekursiv ermittelt. VL = V 0 - 1,2 • 2 = 7 ,7 7 -2 ,4 0 = + 5,37kN
Vi„ = V j - 2,00 = + 5,37 - 2,00 = + 3,37 kN V2 = F,..- 1 ,2 -2 ,5 - - -2 ,4 -2 ,5 = + 3 ,3 7 -3 ,0 0 -3 ,0 0 = - 2,63 kN Der Querkraft-Nulldurchgang liegt also zwischen den Stelle 1.. und 2. Zur Bestimmung des Querkraftnullpunktes wird der Träger zwischen den Stellen 1.. und 2 geschnitten (Schnitt 1, Abb. 2.42c). Für die dreieckförmig verteilte Last ergibt sich die Lastfunktion nach Abb. 2.42a und 2.42b zu: qz(s) = 2,4 • s/2,5 = 0,96 s Aus Abb. 2.42b folgt: LFZ= 0:
- Fl . + 1,2 • s + 0,96 s • s/2 + V(s) = 0
Für die Querkraft-Nullstelle ergibt sich daraus mit V(s) = 0: - F, .. + 1,2 s + 0,48 s2 = 0 0,48 s2 +1,2 s -3 ,3 7 = 0 s2 +2,5 s -7 ,0 2 = 0
Da sich für die Querkraft-Nullstelle ein positiver Wert s ergeben muss, liefert hier nur der positive Wurzelwert ein brauchbares Ergebnis. Damit wird 107
2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen j = - 1,25+ 2,93 = 1,68 m Das max. Biegemoment tritt also an der Stelle xn = 2,0+ 1,68 = 3,68 m auf. Aus ZM0 = 0 am Schnitt in Abb. 2.42c folgt: max AZ®= 2 • 2 + 1,2 •
108
+1,61 • - y
-3, 12= 16,34 kNm
3 Fachwerke 3.1 Vorbemerkungen - Gelenkfach werk, statische Bestimmtheit, Stabilität (Unverschieblichkeit) Fachwerke sind aus geraden Stäben aufgebaute, an den Erdboden oder an andere Kons truktionen gefesselte Stabwerke mit drei oder mehr Knoten, die auch dann unverschieb lich bleiben, wenn die Stäbe in den Knoten gelenkig miteinander verbunden wären. Mit anderen Worten:
I
Fachwerke sind aus geraden Stäben bestehende Stabwerke, die auch bei Annahme gelenkiger Knoten stabil sind.
Greifen bei einem Fachwerk die Lasten nur in den Knoten an, so dürfen die Biegemo mente und Querkräfte in den einzelnen Stäben im Allgemeinen wegen Geringfügigkeit vernachlässigt werden1}. Die Ermittlung der Längskräfte (Stabkräfte)2) kann dann unter der Annahme durchgeführt werden, dass die Stäbe an jedem Knoten gelenkig miteinan der verbunden sind, d.h. das Fachwerk kann in diesem Falle als „ Gelenkfachwerk“ aufgefasst werden, die einzelnen Stäbe entsprechend als Pendelstäbe (Abb. 3.01a)3). Als Pendelstäbe werden Stäbe bezeichnet, die an beiden Enden mit anderen Konstruk tionsteilen gelenkig verbunden und nur an den Stabenden durch Kräfte belastet sind. Pendel Stäbe erhalten nur (konstante) Längskräfte; Biegemomente und Querkräfte sind gleich null.
fachwerk
Ermittlung der L a n g s k raffe
Abb. 3.01 Die Eigenlasten der Stäbe und die Anteile der Windlasten, die unmittelbar auf die Flächen der Stäbe wirken, dürfen in der Regel vereinfachend als in den Knoten angrei fende Einzellasten angenommen werden.
Querkräfte und Biegemomente erzeugen sogenannte Nebenspannungen. 2) Längskräfte werden beim Fachwerk i. Allg. als Stabkräfte bezeichnet. 3) Ein Gelenkfachwerk ist also ein System mit (sehr vielen) Nebenbedingungen.
109
3 Fachwerke Greifen sonstige Lasten zwischen den Knoten an, so dürfen die Biegemomente nicht vernachlässigt werden. Für ihre Ermittlung darf im Allgemeinen nicht von der Annahme gelenkiger Knoten ausgegangen werden. Für die Berechnung der Längskräfte dürfen die Lasten wiederum auf die Knoten verteilt werden, s. Abb. 3.01b. Kann ein Fachwerk auf Grund der vorliegenden Belastung für die Berechnung als Gelenkfachwerk aufgefasst werden, so ergeben sich für jeden Knotenpunkt zwei Gleichgewichtsbedingungen für das Kräftegleichgewicht. Man erhält somit für ein Fachwerk mit k Knoten 2 • k Gleichungen (Fachwerksgleichungen) zur Berechnung der Stabkräfte und Auflagerreaktionen. Lassen sich alle Stabkräfte und Auflagerreaktionen mit Hilfe der Fachwerksgleichungen eindeutig bestimmen, so ist das Fachwerk statisch bestimmt. Für die eindeutige Lösung der Fachwerksgleichungen müssen zwei Voraussetzungen erfüllt sein: 1. Die Anzahl der Gleichungen muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein. 2. Alle Gleichungen müssen voneinander unabhängig sein, d. h. die Nennerdetermi nante des Gleichungssystems muss ungleich null sein. Z u l. Diese Voraussetzung ist gegeben, wenn folgende Gleichung erfüllt ist: 2k =s +a
(3.01)
Dabei bedeuten k = s = a =
Anzahl der Knoten Anzahl der Fachwerkstäbe Anzahl der Auflagerfesseln (bei stabiler Lagerung gilt (a > 3).
Ergibt sich 2 k> s +a
(3.02)
so ist die Anzahl der Gleichungen größer als die Anzahl der Unbekannten. Das Glei chungssystem ist nicht lösbar, d. h. das betrachtete Gelenksystem ist nicht stabil. Es liegt somit kein Fachwerk vor. Für 2 k< s+ a
(3.03)
stehen für die Berechnung der unbekannten Stabkräfte und Auflagerreaktionen nicht genügend Gleichungen zur Verfügung, d.h. die Stabkräfte und Auflagerreaktionen können allein durch Gleichgewichtsbedingungen nicht bestimmt werden (vgl. dazu [1]). (3.01) bis (3.03) werden als Abzählkriterium bezeichnet. Zu 2. Diese Voraussetzung ist erfüllt, wenn das zugrunde gelegte Gelenkfachwerk stabil ist. Ob ein Gelenksystem, das der Gleichung (3.01) genügt, stabil ist, kann im Allgemeinen mit Hilfe des nachfolgend angegebenen Aufl>aukriteriums festgestellt werden. 110
3.1 Vorbemerkungen - Gelenkfachwerk, statische Bestimmtheit, Stabilität a)
Wird von einem Dreieck ausgehend jeder weitere Knoten durch zwei neue Stäbe, die nicht auf einer Geraden liegen, angeschlossen, so ergeben alle Stäbe eine Fachwerkscheibe1^ Ist diese Scheibe durch drei Auflagerfesseln stabil gelagert, so liegt ein statisch bestimmtes Fachwerk vor (Abb. 3.02). b) t---^ —yr — Vf\ ' [ / \/1 < k < I 1\ 1 N1\ 1 >
.......
^
Abb. 3.02 b)
Aus zwei Fachwerkscheiben wird eine neue Scheibe dadurch gewonnen, dass man zwischen ihnen drei Verbindungsstäbe einzieht, die nicht durch einen Punkt gehen und nicht parallel sind (Abb. 3.03a). Ein beiden Scheiben gemeinsamer Knoten ersetzt zwei Verbindungsstäbe (Abb. 3.03b). Ist diese neue Scheibe durch drei Auflagerfesseln stabil gelagert, so ist das System ein statisch bestimmtes Fach werk. /
c)
Jedes statisch bestimmte Fachwerk nach a) oder b) kann durch Fortnahme eines beliebigen Austauschstabes a und Wiedereinführung an anderer Stelle als Ersatz stab e (Stab bzw. Auflagerfessel) in ein anderes statisch bestimmtes Fachwerk umgewandelt werden, wenn der Ersatzstab zwischen zwei solchen Punkten ein gezogen wird, die sich nach Fortnahme des Austauschstabes gegeneinander be wegen können (Abb 3.04).
T7V777
Abb. 3.04 Scheibe: Ein in sich unverschiebliches ebenes Gebilde.
111
3 Fachwerke Bezüglich einerweiteren Methode zur Stabilitätsuntersuchung s. auch Abschnitt 7.3. Zusammenfassend wird festgestellt: Für den Nachweis, ob es sich bei einem System um ein statisch bestimmtes, d. h. auch stabiles Fachwerk handelt, ist die Erfüllung der Gl. (3.01) nur ein notwendiges, jedoch kein hinreichendes Kriterium. Es muss also außerdem nachgewiesen werden, dass das vorliegende System bei Annahme gelenkiger Knoten stabil ist. Als Beispiel für die Anwendung des Abzählkriteriums werden die Systeme in Abb. 3.05 untersucht. Für das in Abb. 3.05a dargestellte System ergibt sich: k = 12, s = 20, a = 3;
2 k = 24 > 23 =s + a
Entsprechend dem Abzählkriterium ist ein Gelenksystem nach Abb. 3.05a also labil, d. h. das dargestellte System ist kein Fachwerk. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Knoten in Wirklichkeit nicht (oder nicht alle) gelenkig ausgebildet sind, ist ein solches System dennoch stabil und darf selbst verständlich gebaut werden; es darf jedoch nicht wie ein Fachwerk berechnet werden. Da von der Konstruktion her ähnliche Verhältnisse wie beim Fachwerk vorliegen, können Systeme nach Art der Abb. 3.05a, die bei Annahme gelenkiger Knoten labil sind, als fachwerkartige Systeme bezeichnet werden. Wird bei dem in Abb. 3.05a dargestellten Stabwerk ein zusätzlicher Stab eingebaut (Abb. 3.05b), so ergibt das Abzählkriterium: 2 k = 24 = s + a = 2 l + 3 = 24, d. h. die Gl. (3.01) ist jetzt erfüllt. Da sich nachweisen lässt, dass das gegebene System bei Annahme gelenkiger Knoten stabil ist (z. B. Aufbaukriterium), handelt es sich um ein Fachwerk. Bei Lastangriff in den Knoten können die Stabkräfte also wie bei einem Gelenkfachwerk ermittelt werden. Bei Fachwerken werden die außenliegenden Stäbe als Gurtstäbe bezeichnet, sie bilden die Gurte (z. B. Obergurt, Untergurt). Zwischen den Gurten sind die Füllstäbe angeord net (z. B. Vertikalstäbe, Diagonal Stäbe). Die Bezeichnung eines Fachwerkes erfolgt z. T. nach der Linienführung der Gurte (z.B. parallelgurtiges Fachwerk, Abb. 3.04a), z.T. nach Anordnung der Füllstäbe (z.B. Strebenfachwerk, Abb. 3.02a; K-Fachwerk, Abb. 3.02b; Rautenfachwerk, Abb. 3.02c).
112
3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung
3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung 3.2.1 Knotenschnitt B eispiel 3-1 (Abb. 3.06) Bei der rechnerischen Ermittlung der Stabkräfte von Fachwerken „zerschneidet“ man das gegebene System in Teilsysteme (Abb. 3.06b, d, f). Jedes Teilsystem für sich muss im Gleichgewicht stehen, d. h. die Gleichgewichtsbedingungen müssen erfüllt sein. An den herausgezeichneten Teilsystemen werden die Längskräfte stets positiv angetragen.
F=3kN
y \ N,
N,
Nfcosßd0
N1'Sin 60°
Schnitt I
n30°
b)
c)
N2 cos30° N^-sin 30°
d) Abb. 3.06 Man beginnt mit einem Knoten, an dem nur zwei Kräfte unbekannt sind. Im vorliegenden Beispiel muss man also mit Schnitt I beginnen (Abb. 3.06b). Die beiden unbekannten Kräfte N\und N2 werden in Komponenten in x- und z-Richtung zerlegt (Abb. 3.06c). Unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel von Abschnitt 1.6.2 lauten die Gleichge wichtsbedingungen: IM
=0
IF x = 0 =0
= 0 1} - N { sin 60° + N2 sin 30° = 0 F +N\ cos 60° + N2 c o s 30° = 0
(3.04) (3.05)
Für F = 3 kN, cos 60° = sin 30° = 0,5 und cos 30° = sin 60° = 0,866 ergibt sich aus (3.04): ^
Diese Gleichung ergibt sich offensichtlich, wenn man z. B. als Momentendrehpunkt den Schnittpunkt der drei Kräfte in Abb. 3.06b wählt, da der Hebelarm aller Kräfte gleich null ist. ZM = 0 ist also erfüllt. Für die Berechnung der Längskräfte ist diese Gleichgewichtsbedin gung jedoch ohne praktische Bedeutung.
113
3 Fachwerke N2 = N x sin 60°/sin 30° = N x • 0,866/0,5 N2 = 1,73 N\
(3.06)
(3.06) in (3.05) eingesetzt: F + ^ cos 60° + 1,73 N, cos 30° = 0 N t (cos 60° +1,73 • cos 30°) = - F cos 60°+1,73 cos 30° /V i= - 1,5 kN
3 0,5+ 1,73-0,866 0,5 (3.07)
(3.07) in (3.06) eingesetzt: (3.08)
#2 = 1 ,73 (-1,5) = - 2,6 kN
Die negativen Vorzeichen in (3.07) und (3.08) bedeuten, dass die in Abb. 3.06b einge tragene Pfeilrichtung von N\ und N2 nicht stimmt, d. h. N\ und N2 sind Druckkräfte. Nun sucht man sich abermals einen Knoten, an dem nur zwei unbekannte Kräfte wirken. Im vorliegenden Beispiel ist das der Knoten, der in Abb. 3.06d (Schnitt II) dargestellt ist. Unbekannt sind hier N 3 und die Auflagerkraft Bz. Man beachte: N2 und N 3 sind wiederum positiv eingetragen, obwohl man inzwischen weiß, dass N2 eine Druckkraft ist. In den folgenden Gleichgewichtsbedingungen muss der Zahlenwert von N2 mit Vorzei chen eingesetzt werden. Diese zunächst vielleicht etwas umständlich erscheinende Me thode ist bei praktischen Rechnungen wegen ihrer Systematik relativ fehlerunempfind lich und für tabellarische und programmierte Rechnungen unerlässlich. Nach Zerlegung vonN 2 (Abb. 3.06e) lauten die maßgebenden Gleichgewichtsbedingungen für Schnitt II: E FX= 0: mit Gl. (3.08): I F Z= 0: mit Gl. (3.08):
7V3 = - N 2 sin 30°
- N2 sin 30° - jV3 = 0; N3 = -( -2 ,6 ) • 0,5; -
N2 c o s 30° - £ z = 0;
Bz = - (-2,6) • 0,867;
N3 = 1,3 kN
(3.09)
Bz = - N 2 cos30° Bz = 2,25 kN
Damit sind die Längskräfte N\, N2, N 3 und die Auflagerkraft Bz bekannt. Die Auflager kräfte A x u n d ^ z können mit Hilfe des Schnittes III (Abb. 3.06f) ermittelt werden. Nach Zerlegung von N\ (Abb. 3.06g) ergibt sich: L Fx = 0:
~ A X+ N x sin 60° + N3 = 0;
A X= N { sin60° + Af3
mit Gin. (3.07) u. (3.09): A x = (—1,5) • 0,867+ 1,3;
A x = - 1,3 + 1,3
Ax= 0
ZFz = 0: mit Gl. (3.07): 114
- A z - N l cos 60° = 0; A z = - (-1,5) • 0,5;
A z = - N x cos 60° A z = 0,75 kN
3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung Man beachte: Die Ermittlung der Längskräfte ist nur möglich, wenn man das System in Teilsysteme ,,zerschneidet“, denn es handelt sich bei Längskräften um Schnittkräfte. Die Auflager kräfte kann man auch auf anderem Wege ermitteln, indem die Gleichgewichtsbedin gungen für das gesamte System aufgestellt werden: = 0:
Ax =0
IM r = 0: - A z • (3,47 + 1,16) + F • 1,16 = 0 A Z= F - 1,16/(3,47 + 1,16) = 3 • 1,16/4,63 = 0,75 kN E FZ= 0: - A z - B z + F = 0 BZ= F - A Z= 3 - 0,75 = 2,25 kN Zur Ermittlung der Stabkräfte größerer Fachwerke müssen mehrere Knotenschnitte nacheinander ausgeführt werden. Es sei darauf hingewiesen, dass beim Fachwerk die Stabkräfte (Längskräfte) in der Regel ebenso bezeichnet werden wie die Stäbe selbst. Für das in Abb. 3.07a dargestellte Fachwerk lassen sich z. B. die Stabkräfte D x und Ux nach Herausschneiden des Knotens 1 (Abb. 3.07b) berechnen. Die Gl. B. ergeben: EFz = 0: - A z - D X'SmoL = 0\ E Fx = 0: U \+ D \ • cosa = 0;
D x= - A zls\noi Ux= - D x • cosa = + ^ z • cota b)
u, 0} 'a
Dj ■sin oc
D1 ■cos a.
c)
Dj ■cos oc
D? -cosa
A % Abb. 3.07
D2 ■sin oc
d)
D, D1■s in oc
Die Auflagerkräfte werden wie bei einem Träger rechnerisch ermittelt (vgl. 2.2), der Winkel a ist entweder direkt gegeben oder aus den Systemabmessungen zu bestimmen. Nach Berechnung von D x können am herausgeschnittenen Knoten 2 (Abb. 3.07c) die Stabkräfte D2 und Ox ermittelt werden. Man erhält: ZFz = 0:
F2 + D x sin a + + D2 sin a = 0;
ZFX= 0:
- D \ cos ot + D2 cos a + Ox = 0 Ox= D x cos o l-D 2 c o s a
D2 = - D x- F 2tsin a
115
3 Fachwerke In den Gleichungen sind die gegebene Last und - soweit bereits zahlenmäßig errechnet die Werte der Stabkräfte einschließlich der Vorzeichen einzusetzen. Schneidet man in geeigneter Reihenfolge alle Knoten des Fachwerks heraus, so lassen sich nacheinander sämtliche Stabkräfte des Systems aus den Gl.B. ermitteln. Die Reihenfolge der Knotenschnitte wird zweckmäßigerweise so festgelegt, dass pro Knoten nur zwei unbekannte Stabkräfte angreifen. Am Knoten 3 (Abb. 3.07d) haben F3 und V die gleiche Wirkungslinie, was ebenfalls für 0 \ und ö 2 zutrifft. Man kann in so einem Fall Föhne Kenntnis von 0 \ und 0 2 unmittelbar ermitteln. Aus XFZ= 0 folgt V = - F 3. Für F3 = 0 wird auch V = 0 („Nullstab “)1}.
3.2.2 Ritterscher Schnitt2) Zur unmittelbaren Berechnung einer beliebigen Stabkraft eines Fachwerks wird ein geeigneter Rundschnitt geführt (z. B. Abb. 3.08, Rundschnitt I zur Ermittlung von 0 2, D2, U2). Mit Hilfe der GL B. lassen sich am abgetrennten Fachwerkteil Stabkräfte3) von zerschnittenen Stäben ermitteln. Da in der Ebene nur drei Gl. B. zur Verfügung stehen, können an jedem Schnitt höchstens drei Stabkräfte errechnet werden; die Kenntnis der Auflagerkräfite ist dabei vorausgesetzt.
Abb. 3.08 Die GL B. enthalten jeweils nur eine Unbekannte, wenn man z. B. Momentenbedingungen wählt und den Schnitt so führt, dass bis auf die zu errechnende Stabkraft alle anderen Stabkräfte einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, der als Momentenbezugspunkt gewählt wird (Rittersches Schnittverfahren). So kann nach Abb. 3.08 aus ZMa = 0, IM b = 0 bzw. ZMC= 0 direkt die Stabkraft 0 2, U2 bzw. D2 bestimmt werden. Die Hebelarme aller Kräfte sind zur Ermittlung der Momente aus der maßstäblichen Zeichnung abzugreifen oder mit Hilfe der Systemmaße zu errechnen; die Hebelarme ra, rb, und rc, sind in Abb. 3.08b eingetragen. Die umständliche Ermittlung des Hebelarmes rc kann vermieden werden, wenn D2 nach Berechnung von ö 2 aus der GL B. EFZ = 0 bestimmt wird, s. dazu Beispiel 3-2. Siehe auch Abschnitt 3.3. 2) Nach G. D. A. Ritter, 1826-1908. 3) Alle Stabkräfte sind im Schnitt positiv, d. h. als Zugkräfte einzutragen.
116
3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung Die Momentenbedingung versagt überhaupt zur Ermittlung der Stabkräfte von Füllstäben bei parallelgurtigen Fachwerken, da sich kein endlicher Schnittpunkt der parallelen Gurte ergibt.
Zum Beispiel folgt an einem Schnitt gemäß Abb. 3.09 aus EMa = 0 die Stabkraft U3 und aus ZMb = 0 die Stabkraft 0 3. Zur Berechnung der Stabkraft D3 liefert £ F Z= 0: D3 • sina =AZ- F {- F 2 Die Stabkräfte V{ bzw. V2 werden am einfachsten aus den Knotenschnitten I bzw. II bestimmt. Jeweils aus ZFz = 0 folgt dann: V\ = - F x;
V2 = 0
Beispiel 3-2 (Abb. 3 .10a) Die Stabkräfte V¡, U \,0 2 und D2 sind zu errechnen.
Abb. 3.10 Die Auflagerkräfte infolge der gegebenen Belastung betragen: Ax = 0;
AZ= BZ= 12,32 kN
Zur Berechnung der Stabkräfte U\, ö 2 und D2 wird ein Schnitt nach Abb. 3.1 Ob geführt. 117
3 Fachwerke Geometrische Größen: ra = (1,3 + 2,0)/2 = 1,65 m
tan a = 1,65/2,50 = 0,660; tan ß = 0,7/10 = 0,07; Länge des Stabes Fj:
a = 33,4°; ß = 4°;
sin a = 0,551
sin yS= 0,07;
cos/? = 0,998
/ = (1,30 + l,65)/2 = 1,475 m
rb = / • cos ß = 1,475 • 0,998 = 1,47 m Stabkräfte: LMa = 0:
C/i • 1,65 + 3,08 • 2,50 + (1,54 - 12,32) • 5,0 = 0 U \ — — 4,7 + 32,7 = 28,0 kN
ZMb = 0:
- 0 2 - 1 ,4 7 -(1 2 ,3 2 -1 ,5 4 )-2 ,5 0 = 0 0 2 = - 18,3 kN
EFz = 0:
- 12,32+ 1,54+ 3,08- 0 2 • sinjß-Z )2 • sina = 0 D2 • 0,551 = - 7,70 - (-18,3) • 0,07 = - 6,42 D2 = - 11,7 kN
Die Stabkraft Vx wird durch einen Knotenschnitt ermittelt (Abb. 3.10c). ZFX= 0 ergibt 0 \ • cos ß = 0 2 - cos ß, damit ist auch 0 \ = 0 2. ZFz = 0:
3,08 + Vx + Ö { • sin ß - 0 2 • sin ß = 0
Da Oi = 0 2, ergibt sich: F] = -3 ,0 8 k N .
Vereinfachte Formeln für parallelgurtige Fachwerke Beim parallelgurtigen statisch bestimmten Fachwerk mit ausschließlich lotrechten Kräften (d. h. Lasten und Lagerreaktionen) folgt aus den Momentenbedingungen beim Ritterschen Schnitt für die Obergurtkräfte O und Untergurtkräfte U stets 0 = -M ? /h
und
U = + M ?h.
Dabei ist h der Gurtabstand des Fachwerkträgers und A-/f (mit Vorzeichen einzusetzen) das Biegemoment des zugehörigen Vollwandträgers für die Schnittstelle z, die dem beim Ritferschen Schnitt jeweils maßgebenden Bezugspunkt i entspricht. Für Abb. 3.11 wird z. B. Os = -M f/h
und
Us = + M%/h
Diagonalkräfte und Vertikalkräfte werden in bekannter Weise am abgeschnittenen Teil system ggf. auch am Knotenschnitt aus der Gl. B. ZFz = 0 ermittelt. Bei der Ermittlung der Gurtkräfte ergeben sich besonders einfache Verhältnisse für ein Fachwerk mit konstanter Maschenweite als Träger auf zwei Stützen unter Gleichstre ckenvolllast q, wobei q auf die Knotenpunkte des Fachwerks verteilt wird!). Das maxi male Biegemoment des zugehörigen Vollwandträgers beträgt max M6 = ql2/8, und die jeweiligen Biegemomente für die Teilpunkte i ergeben sich zu Umgekehrt können auch gleichmäßige Knotenlasten zu einer Gleichstreckenvolllast des Vollwandträgers „verschmiert“ werden.
118
3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung
Rundschnitt zur Ermittlung von r
Fzo
\
Os
und Us
\ f z5 " )05 , J \ 4\ 5
Fz 9
T-c
9/ / /
0/
/
r
k
.1
fßz \Fz9
9— £=
A x=0
t*
Abb. 3.11
A/f - a, • max M3 Werte otxsiehe Anhang, Tafel 1, vgl. auch nachfolgendes Beispiel.
Beispiel 3-3 (Abb. 3 .12a) Die Lagerreaktionen und die Stabkräfte des Fachwerkträgers sind zu bestimmen. Die Belastung wird an den Obergurtknoten in den Fachwerkträger eingeleitet; die Kno tenlasten betragen für die Außenknoten 0 und 6: Innenknoten 1 bis 5:
Fa = qa/2 = 31- 2,6/2 = 40,3 kN F{= qa = 31- 2,6 = 80,6 kN
Die Lagerreaktionen ergeben sich zu: A x = 0;
A Z= BZ= ql/2 = 31 • 15,6/2 = 241,8 kN
Gurtkräfte: Für den zugehörigen vollwandigen Träger (Abb. 3.12b) ermittelt man max A/0 = A/f = qf/2, = 3 1 - 1 5,62/8 = 943 kNm und mit den «¡-Werten nach Anhang, Tafel lb: A/^ = A/f = 0 (gelenkige Lagerung) M f = Adf = 0,556 • 943 = 524 kNm A/f = A/f = 0,889 • 943 = 838 kNm Gemäß den Erläuterungen zu Abb. 3.11 erhält man: 01 = -M f'/h 0 2 = -M%'/h 0 3 = - Mf-/h Ui = + M^/h
= -524/3,1 = - 169kN = -838/3,1 = - 270 kN = - 943/3,1 = - 304 kN = 0;
0 6 = - M^’/h = - 169 kN 0 5 =-M%
119
3 Fachwerke U5 = + M f/h = + 169 kN 64 = + Ai^/h = + 270 kN
U2 = + M f/h = + 169 kN; U3 = + M%/h = + 270 kN;
Man erkennt, dass bei dem symmetrischen System unter der symmetrischen Last sich gleich große Stabkräfte für symmetrisch liegende Stäbe ergeben, s. auch Kapitel 5.
q - 31 kN/m T T T
'V / o ,
1
v \\
^
0‘
XT T f T T l
X I
\
03 3
\
K ^ \ 2■ j\ / \
T
K-
\
_/ = 6-a =_6 •2,60 =
a)
I 1 ^ 1 1 I 1 | 'i ' I T T
5 06\ / ‘ 0i / * O s / / ^ / ^ / AP 5‘ / 6' v/ ßz
15,60m
bl
- I t H U I I H { .Li.L.14..L} H M H' I' H i t LJ & t0 1 2 3 L 5 6== bzw.V bzw. 2' bzw. 3' bzw.L’ bzw. 5'
=80J6kN
Fa =i0 . 3 k N , - ^
c)
e)
d)
\ B z =2M,8kN\ Abb. 3.12a bis e Vertikalkräfte (Abb. 3.12c bis e): Ein Knotenschnitt um das Lager A bzw. B ergibt Vx = - A z = - 241,8 kN
bzw.
F7 = - 5 z = - 241,8 kN
Für den Rundschnitt Abb. 3.12c liefert die Gl. B. ZFz = 0 F2 = - / i z + F a = -2 4 1 ,8 + 40,3 = -2 0 1 ,5 kN und nach Abb. 3.12e wird F6 = - 5 z + F a = -2 0 1 ,5 k N 120
3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung Für entsprechende Rundschnitte um die Lager A bzw. B, jedoch ein Fachwerkfeld weiter nach innen geführt (geschnitten sind dann die Stäbe ö 2, V3, U3 bzw. 0 5, V5, U4), folgt aus ZFz = 0 : V3 = - A z + Fa + ^ = - 241,8 + 40,3 + 80,6 = - 120,9 kN bzw. F5 = - 5 z + Fa + Fi = -1 2 0 ,9 k N Auch hier gelten die gleichen Symmetriebetrachtungen wie bei den Gurtstäben. Der Knotenschnitt um den Knoten 3 (Abb. 3.12d) liefert: F4 = - Fi = - 80,6 kN
9)
Fa
D6'S in a
6
7
a
ß4 J Abb. 3.12fundg
Diagonalkräfte (Abb. 3.12f und g): Bei den Rundschnitten Abb. 3.12f und g werden die Diagonalkräfte D x und D2 in vertikale und horizontale Komponenten zerlegt. Für den Winkel a findet man: tan a = h/a = 3,1/2,6 = 1,192;
a = 50°
Die Gl. B. I F Z= 0 ergibt für Abb. 3.12f: D\ sin a=zA z - F a D\ = (Az - F a)/sin a = (241,8 - 40,3)/sin 50° = 263 kN Ebenso folgt aus Abb. 3.12g D6 = (ßz - Fa)/sin a = (241,8 - 40,3)/sin 50° = 263 kN Man erkennt, dass sich bei symmetrisch liegenden Stäben wieder gleiche Zahlenwerte ergeben. Für entsprechende Rundschnitte um die Lager A bzw. B, die den Fachwerkträger jeweils ein Feld weiter innen schneiden, erhält man unter Berücksichtigung der Lasten an den Innenknoten F{= 80,6 kN: D2 = D5 = (241,8 - 40,3 - 80,6)/sin 50° = 157,8 kN D3 = D4 = (241,8 - 40,3 - 2 • 80,6)/sin 50° = 52,6 kN 121
3 Fachwerke
Sonderfall: Ä-Fachwerk Stabkräfte eines Fachwerks im K-Verband ermittelt man rechnerisch am zweckmäßigs ten mit Hilfe von Ritterschen Schnitten und Knotenschnitten. In der folgenden Zusam menstellung ist angegeben, welche Schnitte und Gleichgewichtsbedingungen für die Stabkraftermittlung einiger Stäbe verwendet werden können (Abb. 3.13). x
L ! J D }/.. / / 'V s . ?V| \ L z ; u3
t/X i
Abb 3.13 D3: ' D4: i V6:
v70 3: Uy.
-------Schnitt I, Schnitt II, Schnitt III, Schnitt IV, Schnitt V, Schnitt V,
ZFx = 0 ZFz = 0 ZFz = 0 Z Fz = 0
_ZV
(Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten) (D3 bereits bekannt) (D4 bereits bekannt)
2= o EMj = 0 ym
Alle anderen Stabkräfte lassen sich mit Hilfe entsprechender Schnitte ermitteln.
3.3 Bestimmung der Nullstäbe Fachwerkstäbe, die bei einer gegebenen Belastung keine Stabkraft (d. h. die Stabkraft von der Größe null) erhalten, werden als Nullstäbe bezeichnet. Für andere Belastungen können solche Stäbe jedoch Stabkräfte erhalten, die ungleich null sind; sie dürfen also nicht weggelassen werden. Im Allg. ist es von Vorteil, Nullstäbe eines Fachwerks für den jeweiligen Belastungsfall vorab zu erkennen. Aufgrund von Gleichgewichtsbedingungen ermittelt man für fol gende Fälle Nullstäbe: a)
Greift an einem zweistäbigen Knoten keine äußere Kraft an, so sind beide Stäbe Nullstäbe (Abb. 3 .14a, Knoten 1, H x = 0, Vl = 0).
b)
Greift an einem zweistäbigen Knoten nur eine Kraft in Richtung eines Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab (Abb. 3.14a, Knoten 2, H3 = 0).
c)
Greift an einem dreistäbigen Knoten keine äußere Kraft an und haben zwei Stäbe eine gemeinsame Wirkungslinie, so ist der dritte Stab ein Nullstab (Abb. 3.14a, Knoten 3, H2 = 0; Abb. 3.14b, Knoten \ ,D { = 0).
122
3.3 Bestimmung der NuIIstäbe
d)
Treffen an einem unbelasteten Knoten zwei Stäbe mit gemeinsamer Wirkungsli nie, ein oder mehrere Nullstäbe und ein weiterer Stab zusammen, so ist dieser weitere Stab ebenfalls ein Nullstab (Abb. 3 .14b, Knoten 2, Z>2 = 0 und damit auch Knoten 3, Z)3 = 0).
123
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen 4.1 Allgemeiner Lösungsgang Bei statisch bestimmten Systemen mit Nebenbedingungen (N. B.) reichen die Gleich gewichtsbedingungen (Gl.B.) allein zur Berechnung der Auflagerreaktionen oder Schnittgrößen nicht aus. Zu ihrer Ermittlung kommen N. B. hinzu, d. h. an konstruktiv entsprechend ausgebildeten Stellen des Systems sind eine oder mehrere Schnittgrößen gleich null (s. Abschnitt 1.8). Meistens ergeben sich durch Anordnung von Gelenken N. B.; an den Gelenkstellen g gilt M® = 0. Bei der Anordnung von Gelenken und/oder Verschiebungsmöglichkeiten, aus denen sich N. B. ergeben, ist im Zusammenhang mit der Auflagerung des Systems darauf zu achten, dass das System stabil ist. Nur für ein stabiles System sind die sich aus den Gl. B. und N. B. ergebenden Gleichungen zur Berechnung der Auflagerreaktionen und Schnittgrö ßen für beliebige Belastungen eindeutig lösbar. Führen diese Gleichungen nicht zu eindeutigen Lösungen, so sind entweder zu viele N. B. bzw. zu wenig Auflagerfesseln vorhanden, oder die Nebenbedingungsstellen bzw. die Auflagerfesseln sind ungeeignet angeordnet. In solchen Fällen ist das System instabil (labil) und damit unbrauchbar, da Verschiebungen (zumindest kleine) möglich sind. Bei dem in Abb. 4.01 gezeigten System sind vier Auflagerkräfte vorhanden. Zu ihrer Ermittlung ergeben sich drei Gleichungen aus den Gl. B. am Gesamtsystem. Die erfor derliche vierte Gleichung folgt unter Beachtung der N. B. = 0 aus der Gl. B. ZMg = 0 an einem Teilsystem, das man durch Zerschneiden des Gesamtsystems im Gelenk erhält. b)
N.B.'
T~x
iitiTimirrnri^
z
\9 FX-
R\ MS - ° i f, *9
ß,
9
! q t
5n
f Sch n itt I
T c
|
d
e r
|
f
.
l2 Abb. 4.01 Zum Beispiel kann am Schnitt I (Teilsystem, Abb. 4.01 b) aus der Gl. B. EMg = 0 die Auflagerkraft Cz errechnet werden, da Cz in der sich ergebenden Gleichung die einzige Unbekannte ist. Zu beachten ist, dass für alle Berechnungen an einem durch Rundschnitt abgetrennten Teilsystem nur diejenigen Lastgrößen zu Resultierenden zusammengefasst werden dürfen, die an diesem Teilsystem angreifen. 124
4.1 Allgemeiner Lösungsgang Nach Ermittlung von Cz folgen die anderen drei Auflagerkräfte aus den Gl.B. am Gesamtsystem, z. B. in folgender Reihenfolge: aus ZM0 = 0 wird Bz ermittelt, aus EFZ = 0 wird A z ermittelt, aus EFX = 0 wird A x ermittelt. Sind alle Auflagerreaktionen bekannt, so lassen sich die Zustandsflächen der Schnitt größen nach den gleichen Grundsätzen wie bei statisch bestimmten Systemen ohne N. B. bestimmen. Abb.4.02 zeigt ein System mit nur drei Auflagerkräften. Die drei Gl.B. für das Ge samtsystem reichen also zu deren Berechnung aus.
e)
lllllll 1 M =0,
1----------------------------------------
k
V'O
1,5 S ch n itt I S
JL°
ß.
c)
/Vi
1 -J l
d)
1 y5..:
Nc
Schnitt I E . N.B.--M*=0. m H = 0
*7 Schnitt I
Schnitt I
Abb. 4.02 Für die Bestimmung der Zustandsflächen sind die Schnitte so zu führen, dass am Teilsystem nicht mehr als drei unbekannte Schnittgrößen vorhanden sind, die sich dann mit Hilfe der drei Gl. B. ermitteln lassen. Die Schnittgrößen in den Bereichen 0,1 und 5,6 (Abb. 4.02b und c) sind damit unmittelbar zu errechnen. Für beliebige weitere Rundschnitte, die nicht durch die Gelenke gehen und das System außerhalb der Bereiche 0,1 und 5,6 schneiden, sind stets mehr als drei unbekannte 125
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Schnittgrößen vorhanden. Es sind daher die nächsten Rundschnitte so zu führen, dass Gelenke zerschnitten werden und damit die N. B. = 0, Mf = 0 und A/f = 0 ausgenutzt werden können. Zunächst wird nachgewiesen, dass der unbelastete, an beiden Enden gelenkig ange schlossene Stab 1,5 (Pendelstab) nur durch eine konstante Längskraft beansprucht wird (Abb. 4.02d). Mit den N. B. = 0 und A/f = 0 erhält man aus der Gl. B. = 0 das Ergebnis V5 =0 und aus I M 5 = 0 das Ergebnis V\... = 0. In dem unbelasteten Stab kann also nur noch eine konstante Längskraft als Schnittgröße vorhanden sein. Zu ihrer Berechnung wird der nächste Rundschnitt so geführt, dass die Schnittlinie den Stab 1,5 und das Gelenk an der Stelle 3 zerschneidet (Abb. 4.02e). Da M f = 0 (N. B.), greifen an dem Teilsystem nur noch die drei unbekannten Schnitt größen Af3, V3 und N \ j an, die aus den Gl. B. zu bestimmen sind. Nach Kenntnis der Schnittgrößen im Stab 1,5 können durch weitere Schnitte alle noch fehlenden Schnittgrößen für den Bereich 1, 2, 4, 5, ermittelt und anschließend die Zustandsflächen für das gesamte System gezeichnet werden. Mit den Erläuterungen zu den Abb. 4.01 und 4.02 wurden Wege gezeigt, wie Auflager reaktionen und Schnittgrößen bei statisch bestimmten Systemen mit N. B. berechnet werden können. Im Folgenden werden einige besondere Systemarten eingehender be handelt.
4.2 Gelenkträger Ein über mehrere Stützen durchlaufender Träger kann durch Einfügen einer geeigneten Anzahl Gelenke als statisch bestimmtes Tragwerk ausgebildet werden. Anzahl und Lage der Gelenke sowie die Lagerung müssen so gewählt werden, dass das System stabil ist. Bei einem frei drehbar gelagerten Gelenkträger über n Stützen werden n - 1 bewegliche und ein festes Lager angeordnet. Damit sind n + 1 Auflagerkräfte vorhanden. Zu ihrer Berechnung stehen am Gesamtsystem drei Gl. B. zur Verfügung. Für den statisch be stimmten Gelenkträger sind somit noch n - 2 N. B. erforderlich, die durch Einfügen von n - 2 Gelenken geschaffen werden. Sind mehr als n - 2 Gelenke vorhanden, so ist das System labil und damit unbrauchbar. Bei weniger als n - 2 Gelenken ist das System statisch unbestimmt (vgl. [1]). Hinsichtlich der Lage der Gelenke gilt für den frei drehbar gelagerten Gelenkträger Folgendes: Im Innenfeld sind maximal zwei Gelenke möglich, wenn beiderseits der beiden Gelenke Teilsysteme vorhanden sind, die jeweils für sich die an diesen Teilsys temen angreifenden Kräfte senkrecht zur Trägerachse und Lastmomente allein aufneh men können (vgl. Abb. 4.03a und d)1}. Im Außenfeld ist nur ein Gelenk möglich (Abb. 4.03 b und c).
Lasten, die in Richtung der Stabachse wirken, werden als Längskräfte auch durch die Gelenke bis zum festen Lager weitergeleitet.
126
4.2 Gelenkträger
Kragarmträger Einhängetr.
-¿E-------------- rrrm 7 rrrm Krag arm!r.
3)
Kragarmtr
“2 ^ 777777
rrrm--------------
Schleppträger
Koppelträger
—
Z7777T
------------ 3 7 *
niffj
Schlepptr.
"s:
rrrm
Kragarmtr.
Koppeltr.
Schlepptr.
c)
an r m: ------------ ° "TT2£ Z7777T -------------^ 7T7T------------ 7 T? 1
Kragarmtr.
-a :
Koppeltr.
Kragträger aus a)
Einhängetr.
— °“s r
e)
Kragarmtr.
-ZL ragtr.
aus b)
Einhangetr.
TZT
■7777777 3T
_A
Abb. 4.03
777777
A.
Schlepptr.
Koppeltr.
7777777 °
A_
A .'
, n A.
9)
^ Kragtr. Koppeltr. Einhängetr. aus d)
6;
° ---------------------
_A
0A 777777.7
A l.
Vom statischen Aufbau her ist bei Gelenkträgern zwischen zwei Grundtypen zu unter scheiden: Systeme nach Art der Abb. 4.03a bestehen aus Kragarmträgern, die jeweils zuerst aufzustellen sind; zwischen zwei gegenüberliegenden Kragarmen wird dann ein Träger gelenkig eingehängt (Einhängeträger). Systeme nach Abb. 4.03b oder c haben nur einen Kragarmträger, der auch zuerst montiert wird; gelenkig „angekoppelt“ werden dann fortlaufend einseitig (Abb. 4.03b) oder beidseitig (Abb. 4.03c) Koppelträger, im Endfeld Schleppträger. Damit sind die beiden grundsätzlichen Typen der Gelenkträger oder GerberträgerV) bekannt. Abb. 4.03d zeigt eine mögliche Kombination beider Grundtypen, in Abb. 4.03e bis g wurde jeweils ein äußerer Kragarmträger durch einen Kragträger ersetzt. Nach Gerber; Bauing., 1822-1912; er erhielt 1866 ein Patent auf die Anordnung von Gelenken bei über mehreren Stützen durchlaufenden Trägern.
127
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Systeme, bei denen das Versagen oder der Ausfall eines Bauteils zum Einsturz einer Reihe weiterer Bauteile führen kann, sind nach Möglichkeit zu vermeiden (z. B. Kop pelträger in aufeinanderfolgenden Feldern). Die Berechnung der in Abb. 4.03 dargestellten Gelenkträger beginnt mit der Ermittlung der Lagerreaktion in x-Richtung aus Z FX= 0 am Gesamtsystem. Danach lassen sich an allen Stellen die Längskräfte aus XFx = 0 an entsprechenden Schnitten errechnen1
0
12
1
4 -5
6
7
8
Die Berechnung der Querkräfte, Biegemomente und Auflagerkräfte in z-Richtung er folgt unter Ausnutzung der N. B. Mjf = 0. Dazu wird bei Systemen nach Abb. 4.04 zunächst der Schleppträger herausgeschnitten und berechnet. Die weitere Schnittfüh rung und Berechnung der sich ergebenden Teilsysteme erfolgt in der in Abb. 4.04 gezeigten Reihenfolge. Bei Systemen nach Abb. 4.05 werden zunächst die Einhänge träger herausgeschnitten und berechnet, anschließend erfolgt die Berechnung der Krag armträger. Aus den GL B. für die Teilsysteme ergibt sich, dass bei unbelasteten Schleppund Einhängeträgern Fund M8 stets im gesamten Teilsystem gleich null sind. Die Lage der Gelenke innerhalb des Feldes beeinflusst im erheblichen Maße die Werte der Auflagerkräfte, Querkräfte und Biegemomente, wie anhand eines Trägers auf drei Stützen für Gleichstreckenlast gezeigt wird (Abb. 4.06). Dabei sind infolge fehlender Last in Richtung der Trägerachse Bx und für den gesamten Gelenkträger N gleich null und werden in der folgenden Rechnung nicht mehr weiter betrachtet. Liegt das Gelenk z. B. um 0,2 / von der Innenstütze entfernt (Abb. 4.06a), so erhält man für den Schleppträger analog dem Träger auf zwei Stützen mit der Stützweite 0,8 /:
Verlaufen z.B. bei geneigten Trägern die Bewegungsrichtungen der beweglichen Lager nicht parallel zur Trägerachse, so können die Längskräfte erst nach Ausnutzung der N. B. ermittelt werden.
128
4.2 Gelenkträger
Abb. 4.05 Cz = V2 =
■0,8 / = 0,4 ql;
V3 = - C z = - 0,4 ql
max M B = q- (0,81)2!8 = 0,64 • ql2/8 Für den Kragarmträger errechnet man: HMi = 0:
- A z - l + l , 2 q l - 0 A l - V 2 -0 ,2 l = 0 A z - 0,48 ql - 0,08 ql = 0,4 ql
I Fz = 0:
— A z + 1,2 ql —Bz + V2 = 0 Bz = - A z +1,2 ql + V2 = —0,4 ql + 1,2 ql + 0,4 ql = 1,2 ql
Die Querkräfte betragen: F0 =0,4 ql (Gedankenschnitt) . =V0- q l = - 0 ,6 q l (Rekursionsformel) Fi = Fi. +2?z = - 0 ,6 ql + 1,2 ql = 0,6 #/ (Rekursionsformel) Die Querkraft-Nullstelle liegt bei x = 0,4 /. Aus der Querkraftfläche werden folgende Biegemomente errechnet: max A/fx=o,41) = 0,4 ql ■ ^ ■0,4 / = 0,08 ql2 = 0,64 ql2t% M f = 0,08 ql2 - 0,6 ql • | • 0,6 / = - 0,10 ql2 = - 0,8 ^/2/8 Durch analoge Rechengänge erhält man für die Lage des Gelenkes in Feldmitte die in Abb. 4.06b dargestellten Schnittgrößen. Bei Lage des Gelenkes über der Innenstütze ergeben sich Auflagerkräfte und Schnitt größen wie bei zwei aneinandergereihten Einfeldträgern (Abb. 4.06c). Ein Vergleich der Biegemomentenflächen in Abb. 4.06a bis c zeigt: Je weiter das Gelenk von der Innenstütze entfernt ist, desto kleiner wird das maximale Feldmoment. Der Betrag des negativen Stützmomentes kann dabei erheblich größer 129
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen
7 7 jO \a z
ß t4t
x b 2 Vl\
L
Oßl 1 ---------^
^ ------- -
«r ik ♦ Dx 0,41
<0,4yl\ ( ^
W T ^ |- W r\i
<^XI
"m iu
mb
I A K W \ qq
w
c)
777777 k
r
Q
x
^
p n rn iiiijm 'n ^ \BZ / cz
TTTTTT
1
- J1
■"
M
+ q(
0,25 ql +0-75c?/
l^ iT w
f TTTTttt^ -0,75qt - 0,25 ql
1
zSL 2
Mb
130
4.2 Gelenkträger
q
werden als der Betrag des positiven Feldmomentes bei aneinandergereihten Einfeldträ gern mit entsprechender Stützweite /. Allgemein lässt sich der Biegemomentenverlauf vereinfacht wie folgt finden (Abb. 4.06d): Man zeichnet die Biegemomentenfläche der aneinandergereihten Ein feldträger. Durch Eintragung einer sogenannten Schlusslinie (ein an den Auflagerpunkten abgeknickter Polygonzug) wird die A^-Fläche der Einfeldträger so abgeändert, dass sich an den Gelenkstellen (hier Stellen 0 und 3 = gelenkige Lagerung sowie Gelenkstel le 2) jeweils der Wert M3 = 0 ergibt. Die endgültige A^-Fläche ist in Abb. 4.06d schraffiert dargestellt, Teile oberhalb der Schlusslinie sind negativ, Teile unterhalb positiv. Die Lage der Gelenke innerhalb der Felder kann nach folgenden Überlegungen gewählt werden: a)
Die Beträge der Stützmomente und der Feldmomente sollen gleich groß werden1^ dabei ist der Betrag dieser Momentengrößtwerte kleiner als der Betrag des Feld momentes von Einfeldträgem mit entsprechender Stützweite /. Die Querschnitts abmessungen des Gelenkträgers können dann im Feld und über der Stütze gleich groß sein.
b)
Das Stützmoment ist etwas größer als das Feldmoment. Das Feldmoment ist dabei kleiner als im Fall a), das Stützmoment jedoch größer. Der Träger kann dann allgemein schwächer ausgebildet werden als im Fall a) und erhält im Stützenbe reich eine geringe Verstärkung. Da das Stützmoment steil zum Feld hin abfällt, ist diese Verstärkung nur für einen sehr kurzen Bereich erforderlich. Insbesondere bei großen Stützweiten / lassen sich so wirtschaftliche Trägerkonstruktionen erstel len.
Der Vorteil des Gelenkträgers gegenüber aneinandergereihten Einfeldträgern mit ent sprechenden Stützweiten liegt somit in einer günstigeren Biegemomentenverteilung, die eine wirtschaftliche Bemessung erlaubt. Dabei liegen die Gelenke im Allgemeinen um 0,15 / bis 0,25 / von den Innenstützen entfernt. Ist in einem Außenfeld eine Einspannung
Die Lage des Gelenkes kann dafür für spezielle Lasten und Stützweitenverhältnisse den entspr. Tabellen der Statik-Handbücher entnommen werden, z. B. [3].
131
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen und ein Gelenk vorhanden (Abb. 4.03f und g), so gelten für die Lage des Gelenkes die gleichen Entfernungen von der Einspannstelle aus. B eispiel 4-1 (Abb. 4.07a) Für das dargestellte System sind die Zustandsflächen infolge der gegebenen Belastung zu bestimmen. Zunächst werden die Kräfte in x-Richtung betrachtet. Für das Gesamtsystem ergibt die Gleichgewichtsbedingung I F X= 0: - A x - Fx5 = 0;
A x = - F x5 = - 0,8 kN
Zwischen den Stellen 5.. und 9 greifen keine Kräfte Fx an; damit ist für diesen gesamten Bereich N = 0. Die Kraft Fx5 = 0,8 kN ergibt vom Punkt 0 an bis zur Stelle 5. eine konstante Längskraft. Am Kragträger erhält man Gleichgewicht in x-Richtung für A x = N { (vgl. Abb. 4.07b), also wird im Bereich von 0 bis 5.: N = A X= - 0,8kN Für die Berechnung der Querkräfte und Biegemomente1} sowie der weiteren Auflager reaktionen wird zunächst der Einhängeträger betrachtet. LM6 = 0:
Kragarmträger: ZM9 = 0:
- V4 • 3,2 + F z5 • 1,6 = 0 V4 = 3,0 • 1,6/3,2 = 1,5 kN = V5 V5.. = V5 - F z5 = 1,5 - 3 = - 1,5 kN = F6 M f = 0 + K 4 - 1,6 = 1 ,5 - 1,6 = 2,4 kNm - K6 • 6,4 - Cz • 5 + F z8 • 2,5 = 0 Cz = F z8 • 2,5/5 - V6 • 6,4/5 = 2,4 • 0,5 + 1,5 • 1,28 = 3,12 kN
Feld 2:
= 3,0 • 6,0/4 = 4,5 kNm
Feld 3:
= 2,4 • 5,0/4 = 3,0 kNm
Die A^-Linie der Einfeldträger wird durch eine Schlusslinie (vgl. Hinweise zu Abb. 4.06d) so abgeändert, dass an den Gelenkstellen MB = 0 erreicht wird. Die Ordinaten der endgültigen A^-Fläche werden aus geometrischen Bedingungen errechnet (Strahlensätze) oder aus der maßstäblichen Zeichnung abgemessen (Abb. 4.08). Mit V = A A ^/A x ermittelt man aus der Steigung der j^ -L in ie : Voa=
1 3 4 - f - l 23) ? 2 g ’ =1,03 kN;
- 2 1 - 1 34 F2 3 = — ? = - l,3 8 k N
V3,5= 2,4 ~ (q 2,1) =1,50 kN;
v S'7 = ~ 2,l3 ~ 2’4 = - 1,50 kN
y?,8 = 1,95^ ~ 2,1) = 1,62 kN;
F8j9 =
= - 0,78 kN
1) Die Ermittlung der Schnittgrößen erfolgt, soweit nicht anderes angegeben, mit Hilfe von Rekursionsformeln.
132
4.2 Gelenkträger
4
2,5
"z
X X
2,5
Fz 2 ’ 2£kN o i
?
12
?..
3. Xi, 3.. I
2 Ni
T
T
J2±
®
D,
6,0
Na ~~-&r 777777
5,0 m
t
H 3>
te
5
Nk 6 Vs
N,
V6 N6
%
2,5 m
1A C.
3,2
1A
Fz 2 1
F
i
FzS ‘ 2,4k N
Fxy0ßkN
I4
M E N1
2,5
Fz 5 * 3kN
3,8 5,0
a)
3.0
3,0
Fz8 7
Bz
v,
-
c)
0,8
N-Fläche in kN +1,62 -1,37
-150
-076
m
V-Fläche in kN
Aus den Sprüngen der FLinie an den Auflagerpunkten erhält man: Az Bz Cz Dz
= F0 = 1,03 kN = |F3 1+ F3..= 1,38+ 1,50 = 2,88 kN = |F7.| + F7..= l,5 0 + l,6 2 = 3,12kN = \V9\ =0,78kN
133
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen
O) Q
Abb. 4.08 I F Z= 0: V:
M8 : Kontrolle:
- D z + Fz8- C z - V 6 = 0 D z = Fz8- C z - V 6 = 2 ,4 0 -3 ,1 2 + 1,50 = 0,78 kN F7 = F6 = - 1,5 kN Vi ..= F7. + Cz = - 1,50 + 3,12= 1,62 kN = Fg. Fg..= F8. - F z8 = + 1,62 -2 ,4 0 = - 0,78 kN = V9 M? = 0 + F6 - 1,4 = - 1,5 • l,4 = -2 ,1 0 k N m A/f = A/? + F7.. • 2,5 = - 2,10 + 1,62 • 2,5 = 1,95 kNm = Aif + F8.. • 2,5 = + 1,95 - 0,78 • 2,5 = 0
Koppelträger: EM3 = 0:
E FZ= 0: F:
M8 : Kontrolle: Kragträger:
- F ,-3 ,8 + F z2 - 2 , 5 - F r 1,4 = 0 F, = F z2 • 2,5/3,8 - F r 1,4/3,8 = 2,4 • 2,5/3,8 - 1,5 • 1,4/3,8 =1,03 kN - F1+ F z2- S z + F 4 = 0; S z = - F , + F z2 + F 4 B z = - 1,03 + 2,40 + 1,50 = 2,87 kN F2 = F] = 1,03 kN v2. = V2 - F z2= 1 ,0 3 -2 ,40 = - l,3 7 k N = F3. F3 = F4 = 1,50 kN A/f = 0 + F[ • 1,3 = 1,03 • 1,3 = 1,34kNm A/f = A/f + V2.. • 2,5 = 1,34- 1,37 • 2,5 = -2 ,1 0 kNm A/f = A/f + F3.. • 1,4 = -2 ,1 0 + 1,50 • 1,4 = 0
Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben: ^ z = F 1= l,0 3 k N = F o A/e = - F
134
i
• 1 ,2 = - 1,03 • 1,2 = - 1,24kNm = A/^
4.3 Unter- bzw. überspannte Träger Die Zustandsflächen für den gesamten Träger zeigt Abb. 4.07c. Nachfolgend sei noch ein weiterer Lösungsweg gezeigt, bei dem die Biegemomente mit Hilfe der Schlusslinie, die Querkräfte aus der Steigung der A^-Linie und die in zRichtung wirkenden Auflagerkräfte aus den Sprüngen der ^Linie ermittelt werden. Für frei drehbar gelagert angenommene Einfeldträger erhält man folgende Biegemomente: Feld 1:
= 2,4 • 5,0/4 = 3,0 kNm
Einige geringe Abweichungen bei den Ergebnissen beider Lösungswege sind durch unterschiedliche Rundungen bedingt. Bei Belastungen ausschließlich durch Einzellas ten ist der zuletzt gezeigte Lösungsweg vorteilhaft anzuwenden. TV-Fläche und Aufla gerkraft A x werden wie beim ersten Lösungsweg bestimmt. Die Darstellungen der V- und TV-Fläche entsprechen Abb. 4.07c und sind in Abb. 4.08 nicht wiedergegeben.
4.3 Unter- bzw. überspannte Träger Unterspannte Träger sind Träger, die durch ein System von Stäben, die untereinander gelenkig verbunden und auch am Träger gelenkig angeschlossen sind, „unterspannt“ werden (Abb. 4.09a). Während in dem beliebig belasteten Träger alle Schnittgrößenarten wirken (TV, VM B), werden die gelenkig angeschlossenen unbelasteten Stäbe der Unter spannung - Pendelstäbe - nur durch Längskräfte beansprucht. Die Auflagerkräfte des in Abb. 4.09a dargestellten Systems lassen sich allein aus den Gl. B. am Gesamtsystem ermitteln. Für die Ermittlung der Schnittgrößen ist es erfor = 0) und einen Stab der derlich, den ersten Schnitt durch das Gelenk im Träger (N. B. Unterspannung zu führen. Andernfalls ist kein Teilsystem zu erhalten, bei dem die Zahl der Unbekannten mit den möglichen Gl. B. übereinstimmt. Der Rechengang wird an hand eines Beispiels gezeigt. B eispiel 4-2 (Abb. 4.09a) Die Zustandsflächen des Trägers und die Stabkräfte der Unterspannungskonstruktion sind zu bestimmen. A uflagerkräfte: XFx = 0: ZM 4 = 0:
Ax = 0 142 - A z • 14 + 2,4 • — + 2,8 • 4 = 0 Az = ^
ZFz = 0:
^2,4 •
+ 2 ,8 -4 j = 16,8 + 0,8= 17,6 kN
2,8 + 2,4 • 1 4 - A Z- B Z= 0 Bz = 2,8 + 33,6 -1 7 ,6 = 1 8 ,8 kN
Schnittgrößen: Wie erläutert, geht der erste Schnitt durch das Gelenk und einen Stab der Unterspannung (Schnitt I, Abb. 4.09b). Im Rahmen dieses Beispieles werden die Längskräfte in der Unterspannungskonstruktion wie die Stäbe selbst bezeichnet, also Sx.
135
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Man errechnet am Teilsystem: £M 2 = 0:
72 - A z • 7 + 2,4 • — + S3 - 1,8 = 0 S3 = ^
EFx = 0:
|l7 ,6 • 7 - 2 ,4 • y J = 6 8 ,5 -3 2 ,7 = 35,8 kN
N2 + S3- A x = 0;
N2 = A x - S 3 = -3 5 ,8 kN
Die Längskraft im Träger ist mit - 35,8 kN konstant zwischen den Punkten 0 und 4, da in diesem Bereich keine Kräfte in Richtung der Trägerachse angreifen. Auf die Berechnung der Querkraft V2 wird hier zunächst noch verzichtet; sie erfolgt später im Zusammen hang mit der Berechnung der Querkräfte an den anderen Punkten. Abb. 4.09c zeigt die Rundschnitte um die Punkte 5 und 6 und die sich für den Gleichge wichtszustand ergebenden Kraftecke. Aus Vergleich von Lageplan und Krafteck ergibt sich für S2 und S4 ein negatives Vorzeichen; S i und S5 werden positiv. Mit tan a = 1,8/4 = 0,450;
a = 24,24°;
cos a = 0,912
erhält man: S2 = S4 = - S 3t
S \z = Si • s in a = 16,1 kN
Eine entsprechende Zerlegung kann für S5 durchgefuhrt werden. Aus dem Schnitt um den Punkt 0 (Abb. 4.09e) folgt: Z Fz = 0:
- A z + S \z + Vo = 0 Vo = A z - S i z = 17,6- 16,1 = 1,5 kN
Die weiteren Querkräfte werden rekursiv ermittelt. VL
= Vq - 2,4
• 4 = 1,5 - 9,6 = - 8,1 kN
= Vi, - S2 = - 8,1 + 16,1 = 8,0 kN = VL, - 2 ,4 -3 = + 8, 0 - 7 ,2 = 0,8 kN F3. = V2 - 2,4 • 3 = + 0,8 - 7,2 = - 6,4 kN V3.. = V3. - F - S 4 = - 6 ,4 - 2 ,S + 16,1 = 6 ,9 kN V4 = F3 - 2,4 • 4 = + 6,9 - 9,6 = - 2,7 kN V\..
v2
Kontrolle: Für den Rundschnitt um den Punkt 4 (Gedankenschnitt) ergibt sich: -V 4 - Bz + S5z = 0(?); 136
+ 2 ,7 -1 8 ,8 + 1 6 ,1 = 0
4.3 Unter- bzw. überspannte Träger
'(+)
F=2ßkN
q=2t4kN/m
m
m m
- - - - - -
n im m m m m nm ni
/.
3.^,3..
¡2
4 $
rS* 5\
I 1
Lageplan
V |ß
^ ö'm ^
4
AX‘ 0
¡1* 1
q ‘ 2,4 kN/m iTTmTiiiiimiiiiirr
n2 — S3
J N.B.M?=0
Sj
c)
S
Kraffeck
m :0 =0
Vo
e)
(Gelenk)
A/o 1x
'S:1z
Hx
f)
s,
Abb. 4.09 Die Nulldurchgänge der FLinie (Abb. 4.10) zur Bestimmung der Extremwerte der MBLinie werden nach Abschnitt 2.8 bestimmt. Man erhält nach Gin. (2.74) bzw. (2.77): *n =Vo/q = 1,5/2,4 = 0,63 m 5 = V2/q = 0,8/2,4 = 0,33 m xn = - V 4/q = + 2,7/2,4= 1,13 m Die Berechnung der Biegemomente erfolgt aus dem Inhalt der FFläche: A^ = 0 ^L=o,63m) = 1,5 - 0,63/2 = 0,47 kNm 137
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen
\7m
'10m
J4m
^
N-Fläche in kN
V-Fläche in kN
Me-Fläche in kNm Abb. 4.10 A/f = 0,47 - 8,1 • 3,37/2 = - 13,2 kNm Kontrolle:
Af? = - 13,2 + (8,0 + 0,8) • 3,0/2 = 0 (Gelenk) A ^=7,33 m) = 0,8 • 0,33/2 = 0,13 kNm A/f = 0,13 - 6 ,4 • 2,67/2 = - 8,4 kNm A/fx=i2,87m) = - 8 ,4 + 6,9 -2,87/2= 1,5 kNm
Kontrolle:
Aff = + 1,5 - 2,7 • 1,13/2 = 0 (Gelenk)
Die Zustandsflächen der errechneten Schnittgrößen sind in Abb. 4.10 dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die Vertikalstäbe der Unterspannung für den eigentlichen Träger wie Stützen wirken; es ergibt sich dadurch eine günstige Verteilung der Biegemomente im Träger. Gegenüber dem jetzt vorhandenen negativen Größtwert von - 13,2 kNm hat z. B. der entsprechende Träger auf zwei Stützen ohne Unterspannung ein max. Biegemoment von max A/8 = 4 / ( 2 q) = 17,62/(2 • 2,4) = 64,5 kNm Ist unterhalb des Trägers für die Unterspannung kein ausreichender Platz vorhanden, so kann statt der Unterspannung eine Überspannung des Trägers gewählt werden, wodurch die gleiche Wirkung zu erzielen ist. Zu beachten ist jedoch, dass bei einer Belastung in Richtung der positiven z-Achse die Vertikalstäbe dann Zugkräfte erhalten, die Stäbe des geknickten Polygonzuges Druckkräfte.
138
4.4 Dreigelenkrahmen
4.4 Dreigelenkrahmen 4.4.1 System, Wirkungsweise Dreigelenkrahmen gehören zu den geknickten Stabwerken mit einer oder mehreren biegesteifen Ecken (Abb. 4.11). Die beiden gelenkig gelagerten Stiele haben entweder jeweils beide ein festes Lager, oder es ist bei Anordnung eines festen und eines bewegli chen Lagers ein zusätzlicher beidseitig gelenkig angeschlossener Stab vorzusehen (un terspannter Dreigelenkrahmen). Da dieser zusätzliche Stab durch die üblichen Belas tungen des Rahmens im Allgemeinen Zugkräfte erhält, wird er als Zugband bezeichnet. Das Zugband kann zwischen den beiden Auflagergelenken gespannt sein oder die Rahmenstiele an beliebigen anderen Punkten verbinden. Im Riegel oder an der Verbin dungsstelle zwischen Riegel und Stiel wird im Allgemeinen das für die statisch be stimmte Berechnung der Auflagerkräfte und Schnittgrößen erforderlich dritte Gelenk (Nebenbedingungsstelle) angeordnet. 3)
b)
Riege!
-S tie h
1 1 Abb. 4.11
D reigelenkrahm en
u n terspan n ter Dreigelenkrahmen
Durch die beiden festen Lager sind die Fußpunkte eines Dreigelenkrahmens unver schieblich gehalten. Beim entsprechend geformten geknickten Träger auf zwei Stützen kann dagegen der Fußpunkt am beweglichen Lager seitlich ausweichen. Geht man davon aus, dass auch bei dem durch Lastgrößen verformten System die Winkel an den biege steifen Ecken erhalten bleiben, so ergeben sich z. B. infolge einer Riegelbelastung Fz die in Abb. 4.12 qualitativ dargestellten Verformungen^ beim geknickten Träger und beim Dreigelenkrahmen.
1) Verformungsberechnungen s. [2].
139
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Im Gegensatz zum geknickten Träger verhindern beim Rahmen die Horizontalkräfte H x und H2 1}das Ausweichen der Fußpunkte, die Rahmenstiele werden dabei verbogen. Sind keine Lasten in x-Richtung vorhanden, so sind H x und H 2 entgegengesetzt gerichtet und dem Betrage nach gleich groß (Folgerung aus I F X= 0). In diesem Falle werden H x und H2 als Horizontalschub H bezeichnet, auf eine Unterscheidung durch Indizes kann verzichtet werden. Bei unterspannten Rahmen ergibt eine Längskraft im Zugband eine dem Horizontalschub entsprechende Wirkung. Infolge der durch eine beliebige Belastung hervorgerufenen beiden „horizontalen“ Auflagerkräfte bzw. der Längskraft im Zugband, ergibt sich für den Rahmen eine günstigere Biegemomentenlinie im Vergleich zum entsprechend geformten und belas teten geknickten Träger auf zwei Stützen. Ein geknickter Träger auf zwei Stützen gehört daher der statischen Wirkungsweise nach nicht zu den Rahmentrag werken. Hinsichtlich der Konstruktion kann er als rahmenartiges Tragwerk bezeichnet werden, da bei ihm ebenso wie bei den Rahmentragwerken biegesteife Ecken als besondere Konstruktions merkmale vorhanden sind.
Fehlen beim Dreigelenkrahmen infolge einer vorhandenen Belastung eine oder beide Auflagerkräfte in x-Richtung bzw. die Längskraft im Zugband, so wirkt der Dreigelenk rahmen für diesen speziellen Lastfall wie ein geknickter Träger (vgl. Abb. 4.13a, zum Vergleich sind hier lediglich die Auflagerkräfte und die M ^Flächen angegeben). Bei den gleichen Systemen zeigen die A^-Flächen infolge einer Belastung Fx am linken Stiel jedoch deutlich den Vorteil des Dreigelenkrahmens gegenüber dem geknickten Träger, der erheblich größere Biegemomente erhält (Abb. 4 .13b).
Häufig gewählte Bezeichnung anstelle von Ax und Bx dabei werden H x und H2 nach innen positiv angesetzt (Abb. 4.12). Somit gilt: H x= - Ax; H2 = +BX
140
4.4 Dreigelenkrahmen
4.4.2 Berechnung von Dreigelenkrahmen Die Berechnung eines Dreigelenkrahmens mit zwei festen Lagern unterscheidet sich lediglich hinsichtlich der Ermittlung der Auflagerkräfte von den Berechnungen statisch bestimmter Systeme ohne Nebenbedingungen. Die folgenden Erläuterungen beschrän ken sich daher im Wesentlichen auf die Berechnung der Auflagerkräfte. Diese Berech nung wird dann besonders einfach, wenn die beiden Auflager des Dreigelenkrahmens auf gleicher Höhe liegen. Es lassen sich dann vier Gleichungen so aufstellen, dass jede Gleichung nur eine unbekannte Auflagerkraft enthält, die direkt zu bestimmen ist. Zum Beispiel ergeben sich nach Abb. 4.14 folgende Möglichkeiten:
Abb. 4.14 1. 2. 3. 4. 5.
am Gesamtsystem wird aus am Gesamtsystem wird aus am Schnitt I wird aus am Schnitt II wird aus Kontrollen mit Z F X= 0 und
0 IM 2= 0 SMg = 0 =0 £Fz = 0
Bz errechnet, A z errechnet, A x errechnet, Bx errechnet, am Gesamtsystem.
141
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Liegen die Fußpunkte des Dreigelenkrahmens auf gleicher Höhe und fehlen gleichzeitig Lasten Fx, so sind die Auflagerkräfte A z und Bz gleich groß wie beim Träger auf zwei Stützen mit gleicher Stützweite. Man erhält z. B. für den Rahmen in Abb. 4.15a: b)
N.B.-
c)
M*-0
H
~ Jä
H
AgesJ \AZ
ZM2 = 0: —A z ‘ l + Fz • b = 0;
A z = Fz -b/l
(4.01)
Y M X= 0: Bz - l - F z - a = 0;
Bz = Fz -a/l
(4.02)
Diese Gin. stimmen überein mit den Gin. (2.01) und (2.02) für den entsprechenden Träger auf zwei Stützen (s. Abb. 4 .15d). Der Horizontalschub H i =H2 = //infolge Lasten Fz wird mit geringstem Rechenaufwand an dem Rahmenteil ermittelt, an dem die wenigsten Kräfte Fz angreifen (z. B. Schnitt I, Abb. 4 .15b): SMg = 0:
A z -xg + H -h = 0;
H = A z -x g/h
(4.03)
Gl. (4.03) kann man auch auf Grund folgender Überlegung erhalten: Ist ein Rahmenteil zwischen Auflager und Riegelgelenk unbelastet, so muss die Wirkungslinie der am unbelasteten Teilsystem wirkenden gesamten Auflagerkraft durch das Gelenk gehen, damit die N. B. = 0 erfüllt ist. Nach Abb. 4.15b und c erhält man: H = A z 'ta n a \
und mit tan oi\ = xg/h
H = A z -xg/h
Der Zähler der Gl. (4.03) gibt das Biegemoment an der Stelle x = xg des entsprechenden Trägers auf zwei Stützen an (Abb. 4.15d). Bezeichnet man dieses Biegemoment mit Mj?0, so ergibt sich der Horizontalschub des Dreigelenkrahmens zu H = M^o/h
(4.03a)
Greift eine Last Fx am Riegel des Dreigelenkrahmens an (Abb. 4.16), so erhält man folgende Auflagerkräfte: 142
4.4 Dreigelenkrahmen
*9
Abb. 4.16
Gesamtsystem SM2 = 0:
- A z ' l - F x 'h = 0;
A z = - F x -h/l
(4.04)
EFZ= 0:
- A z - B z = 0;
Bz = - A z = Fx ■h/l
(4.05)
Am Schnitt I bzw. II errechnet man unter Ausnutzung der N. B. M g = 0 und unter Berücksichtigung der Auflagerkräfte A z bzw. Bz: Schnitt I, ZMg = 0: - A z -xg- A x -h = 0;
A x = - A z -xglh = + F x -xgll
(4.06)
Schnitt II, ZMg = 0: Bz • x fg - B x • h = 0;
Bx = Bz • x fg/h = + Fx • Xg/l
(4.07)
Die Größe der Auflagerkräfte und - wie durch Rechnung festgestellt werden kann - der Querkräfte und Biegemomente ist unabhängig von der Stelle, an der Fx am Riegel angreift und hängt nur von den Systemabmessungen ab. Lediglich der Verlauf der Längskräfte im Riegel wird durch die Angriffsstelle von Fx beeinflusst. Liegt das Gelenk in Riegelmitte, so wird mit x g = x g = 1/2: A x = Bx = Fx/2
(4.08)
B eispiel 4-3 (Abb. 4 .17a) Obwohl die Stiele und der Riegel an den Stellen 3 und 7 durch Gelenke verbunden sind, handelt es sich bei dem vorliegenden System um einen Rahmen. Durch die stabilisie renden Stäbe 2,4 bzw. 6,8 übernehmen die Dreiecke 2,3,4 und 6,7,8 die Aufgaben von biegesteifen Rahmenecken. Sind die Auflagerkräfte sowie die Längskräfte in den Pen delstäben 2,4 und 6,8 bekannt, so lassen sich durch entsprechende Schnitte die Schnitt größen an beliebigen Stellen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen errechnen. Da das Gesamtsystem wie ein Dreigelenkrahmen wirkt, ergeben sich die Auflagerkräfte aus den Gin. (4.04), (4,05) und (4.08). Gl. (4.04):
A z = - 2 - 3/3,5 = - 1,72 kN
GL (4.05):
Bz = - A z = 1,72 kN 143
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Tx \'(+)
b)
<3)
z
N.B.:
N.7..
My~0
N'6,8
V?..
Schnitt I
¡1* 9
IN
7771
B7
C)
144
d)
ß,
4.4 Dreigelenkrahmen GL (4.08):
A X= BX= F J 2 = 1 kN
Schnitt I (Abb. 4.17b) EM7 = 0 (unter Berücksichtigung der N. B. A$ = 0): - B x - 3 - A^6,8 • 1 • sin 45° = 0 N6^ = - B x - 3/sin 45° = - 1 • 3/0,707 = - 4,25 kN XFZ= 0:
K7.. = - N 6ts • s in 4 5 °-i? x = 0 V7.. = - ^ 6,8 *sin 45° + Bx = - 4,25 • 0,707 + 1
EFX= 0:
= - 2 kN
Ny.. + tf6,8 • cos 45° + Bz = 0 # 7.. = - # 6,8 • cos 45° - Bz = 4,25 •0,707 - 1,72 = 1,28 kN
Die Längskraft im Stab 2.4 ergibt sich aus einem dem Schnitt I entsprechenden Schnitt im linken Rahmenbereich. Man erhält N 2a = 4,25 kN. Auf weitere Schnittgrößener mittlungen wird verzichtet und auf die entsprechenden Ausführungen im Kapitel 2 verwiesen. Die Zustandsflächen sind in den Abb. 4 .17c bis e dargestellt. Bei der Berechnung der Auflagerkräfte von Dreigelenkrahmen, deren Lager nicht auf gleicher Höhe liegen, können die Auflagerkräfte zunächst wie in Abb. 4.18a angesetzt werden. Dafür ergeben sich wieder vier Gleichungen mit je einer unbekannten Aufla gerkraft.
Hi cos oc Hisinoc
H2 -cosoc H?'Sinoc
Am Gesamtsystem errechnet man aus ZMj = 0 Bz und aus ZM2 = 0 A z. Unter Beachtung der N. B. A 4 = 0 folgt am Schnitt I aus EMg = 0 H x und am Schnitt II aus ZMg = 0 H2. Für den Hebelarm der Kräfte H { und H2 bezüglich des Gelenkpunktes g gilt: / = h\ - x g • tan a;
/ = /• cos a = h x • cos a - x g • sin a 145
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Unter Berücksichtigung der Kraftecke (Abb. 4.18b) erhält man in x- und z-Richtung folgende Auflagerkräfte (Abb. 4.17c): A Z=AZ+ H l sina;
Bz = Bz - H2 sin a
A x = - H x cos a;
BX= H2 cos a
Sollen direkt die endgültigen Auflagerkräfte yiz, yix ,§2 und Bx bestimmt werden, so ergeben sich bei der Berechnung Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten. Der Rechnungsgang wird nachfolgend in einem Beispiel gezeigt. B eispiel 4-4 (Abb. 4 .19a) Für das dargstellte System sind die Auflagerkräfte zu bestimmen. Gesamtsystem, LM2 = 0: - A z • 16 + AX -2 + 6 (12 + 4 ) - 1,2 • 7 = 0 Schnitt I, ZMg = 0:
-A z • 8 - A x • 6,6 + 6 • 4 = 0
Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert: A x = - 2,61 kN und ^4Z= 5,15 kN Die weiteren Auflagerkräfte können am Gesamtsystem errechnet werden:
Abb. 4.19a ZFz = 0:
- A z + 2 • 6 - B z = 0;
Z FX= 0:
- A x + 1,2 - Bz = 0;
Bz = 12-5,15 = 6,85 kN = 1,2 - (-2,61) = 3,81 kN
Kontrolle: Schnitt II, £M g = 0: B z - S - B x - 8,6 + 1,2 - 1 ,6 -6 -4 = 0(?) 6,85 • 8 - 3,81 • 8,6 + 1,9 - 24,0 = 0 (?) 5 4 ,8 -3 2,8 + 1,9-24,0 = -0 ,1 « 0 Nach Kenntnis der Lagerreaktionen erfolgt die Berechnung der Schnittgrößen wie bei Systemen ohne N. B. nach den in den Abschnitten 2.4 bis 2.8 beschriebenen Verfahren. Auf die Wiedergabe der Schnittgrößenermittlung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet; Abb. 4.19b zeigt die sich ergebenden Zustandflächen. 146
4.5 Dreigelenkbögen
Abb. 4.19b Bei unterspannten Dreigelenkrahmen (vgl. Abb, 4.1 lc) erfolgt die Ermittlung der Auf lagerkräfte wie beim geknickten Träger auf zwei Stützen und bedarf dabei keiner neuen Überlegungen. Zur Berechnung der Schnittgrößen wird die erste Schnittlinie durch das Zugband (Pendelstab) und durch das Riegelgelenk g gelegt. Unter Beachtung der N. B. Mg = 0 kann dann an einem der beiden Schnittstücke zunächst die Längskraft im Zugband ermittelt werden; anschließend lassen sich durch Gl. B. an beliebigen Schnitten alle Schnittgrößen bestimmen (vgl. auch Erläuterungen zu Abb. 4.02). Zur Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften bei der Berechnung der Lagerreaktionen und Schnittgrößen von Dreigelenkrahmen s. Kapitel 5, dort insbesondere Beispiel 5-1.
4.5 Dreigelenkbögen 4.5.1 Systeme, Bogengleichungen Analog den Dreigelenkrahmen können Dreigelenkbögen mit zwei festen Auflagern oder als unterspannte Systeme ausgebildet werden (Abb. 4.20). Die Gelenke an den beiden festen Lagern werden als K äm pf ergelenke bezeichnet, ihre Verbindungslinie als Kämp ferlinie. Die Pfeilhöhe/ i s t der lotrechte Abstand des Scheitelpunktes von der Kämpfer linie bzw. vom Zugband. Das dritte Gelenk g wird im Allgemeinen im Scheitelpunkt des Bogens angeordnet - Scheitelgelenk -. 147
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen
Die Form der Bogenlinie ist in der Regel durch eine mathematische Gleichung bestimmt. Legt man den Koordinatenanfang eines £, x-Systems^ in das linke Kämpfergelenk und sind Cs und xs die Koordinaten des Scheitelpunktes, so lautet die Gleichung eines parabelförmigen Bogens (Abb. 4.21a): c = — -X
xs
(4.09)
2- — xs
Die Funktion für den Tangens des Steigungswinkels a ergibt sich aus der Ableitung der Bogenfunktion zu dC
2CS /
x
tan a = — = — 1 - — dx Xc Xc
Abb. 4.21a
(4.10)
Abb. 4.21b
1* Centspricht der negativen z-Achse des x-, z-Systems, also C= ~ z-
148
4.5 Dreigelenkbögen Liegen die Auflager auf gleicher Höhe, so gehen die Gin. (4.09) und (4.10) mit Cs =f und xs = 1/2 über in die Form: (4.09a)
(4.10a) Bei einem kreisförmigen Bogen (Abb. 4.21b) lauten die entsprechenden Gleichungen: (4.11) tan a = (xs - x ) ! \ / r2 - (xs - x)2
(4.12)
Man beachte: Für x > xs ist (4.10a) bzw. (270° < oi < werden (-90°
der Anstieg der Bogenkurve negativ. Der mit Hilfe der Gin. (4.10) und (4.12) zu errechnende Winkel a liegt dann im vierten Quadranten 360°). Stattdessen kann auch mit einem negativen Winkel gerechnet < a < 0°).
4.5.2 Berechnung von Dreigelenkbögen 4.5.2.1 Allgemeiner Lösungsgang Die Berechnung der Auflagerkräfte und gegebenfalls bei unterspannten Systemen die Berechnung der Längskraft im Zugband ist wie bei Dreigelenkrahmen durchzuführen und bedarf daher keiner neuen Erläuterung (s. Abschnitt 4.4.2). Bei der Ermittlung der Schnittgrößen N und V am herausgeschnittenen Teilsystem werden zunächst mit Hilfe der Gl. B. ZFX = 0 und EFZ = 0 Schnittkräfte Sx und Sz errechnet. Nach ihrer Zerlegung in Komponenten parallel und senkrecht zur Bogenachse lassen sich die Schnittgrößen TVund ^bestimmen, sie sind sowohl lastabhängig als auch abhängig vom Neigungswinkel der Bogenachse. Die Ermittlung der Biegemomente erfolgt mit der Gl. B. UM = 0, wobei zu beachten ist, dass im Gegensatz zum geraden Träger auch die Auflagerkraft H\ sowie die Lasten Fxk Momentenanteile ergeben. Werden die Lagerreaktionen H x und A z positiv gemäß Abb. 4.22 sowie alle Lastgrößen Fxk, Fzk und Mj: im Sinne des Achsenkreuzes wirkend positiv angesetzt, so lassen sich bei fortlaufender Nummerierung der Bogenpunkte von 1 bis n die Schnittgrößen für einen durch Einzellastgrößen beanspruchten Bogen wie folgt ermitteln: An einer beliebigen Schnittstelle i zwischen zwei Lastangriffsstellen erhält man gemäß Abb. 4.22b
149
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen
i- l
aus
aus Z Fz = 0:
k=l
(4.13)
xk
(4.14)
Szi= Az - X F z,
Diese Gin. gelten auch unmittelbar vor einer Lastangriffsstelle i für Sxi und Szi, während unmittelbar nach der Lastangriffsstelle i gilt: zk
(4.13a und 4 .14a)
Nach Zerlegung der Schnittkräfte Sx und Sz (Abb. 4.22c) ergeben sich die Schnittgrößen TVund V (Abb. 4.22d) zu: N = Sx cos (X[ - Sz sin (X[
(4.15)
V = Sx sin aj + Sz cos ol\
(4.16)
Die jeweils betrachtete Schnittstelle i, i. bzw. i.. ist bei den Werten N, V, S und Sz durch entsprechenden Index anzugeben. Der für die Zerlegung maßgebende Winkel ol-xkann für parabel- bzw. kreisförmige Bögen mit Hilfe der Gin. (4.10) und (4.10a) bzw. (4.12) ermittelt werden. Zu beachten ist, dass für x x > xs der Winkel im vierten Quadranten liegt bzw. mit einem negativen Winkel gerechnet werden muss (vgl. Abb. 4.21). Das Biegemoment M f erhält man für eine zwischen zwei Angriffspunkten von Lastmo menten liegende Schnittstelle i gemäß Abb. 4.22b aus ZM; = 0 zu: 150
4.5 Dreigelenkbögen i- l
i—1
M ? = A Z ■ X; - I
F z k ( x , - x k ) - H x • £ - I F xk(Ci-Ck)-
k=l
k=l
i—1 I k=l
Nach Auflösen der Klammem folgt daraus unter Berücksichtigung der Gin. (4.13) und (4.14): i- l
i- l
i- l
M f = Sz r X l+ I FA -xk + Sx i-Ci+ 1 k=l
F ,k ’ Ck-
k=l
I
(4.17)
k=l
Diese Gl. gilt auchunmittelbar vor der Angriffsstelle / eines Lastmomentes A ft für das Biegemoment Aft, während unmittelbar nach der Angriffsstelle vom A ft das Biegemo ment A ft aus folgender Gleichung ermittelt werden kann: i
-V/i.. •Vj • kI= l
i
i
Fzk-Xk+ Sxl.-Ci+ I Fxk-Ck- 1 Mk k=l
k=l
(4.17a)
Beim Dreigelenkbogen erzeugen rein lotrechte Lasten infolge des sich ergebenden Horizontalschubes wesentlich geringere Biegemomente als beim Träger auf zwei Stüt zen mit gleicher Stützweite /; im Gegensatz zum Träger ist dabei jedoch im Bogen eine erhebliche Drucklängskraft vorhanden. Lotrechte Bogenlasten werden also vorwiegend über Drucklängskräfte abgetragen, vgl. dazu auch Abschnitt 4.5.2.2, Stützlinie.
Beispiel 4-5 (Abb. 4.23a) Für den dargestellten parabelförmigen Bogen sollen infolge der gegebenen Belastung die Schnittgrößen an der Stelle 3 Mit x3 = 5 m bestimmt werden.
Abb. 4.23
x3 -5,0m 151
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Geometrische Größen (soweit erforderlich) Mit Gl. (4.09a) erhält man: ( 2 = (4 • 6/20) • 2,5 • (1 - 2,5/20) = 2,625 m (3 = (4 • 6/20) • 5,0 • (1 - 5,0/20) = 4,50 m Der Winkel oe3 wird mit Gl. (4.10a) errechnet: tan a3 = (4 • 6/20) • (1 - 2 • 5,0/20) = 0,600;
a3 = 31°
A uflagerkräfte Gesamtsystem,
= 0:
Bz • 20 - 6 (2,5 + 7,5 + 12,5 + 17,5) - 1,5 • 2,625 = 0 Bz = (240 + 4)/20 = 12,2 kN Rechte Bogenhälfte, ZMg = 0: -H-j ■6 + B z • 10- 6 (7,5 +2,5) = 0 H-j = (122 -6 0 )/6 = 10,33 kN Gesamtsystem: E FX= 0:
H t - H 7 + 1,5 = 0;
EFZ= 0:
-A z + 4 ■6 - ß z = 0;
H x = 10,33 - 1,5 = 8,83 kN Az = 2 4 - 12,2= 11,8kN
Schnittgrößen (Abb. 4.23b) nach Gl. (4.13):
Sx3 = - / / , - F xl =-8,83 - 1,5 =-10,33 kN
nach Gl. (4.14):
Sz3 = A z - F z2= 1 1 ,8 -6 = 5,8 kN
nach Gl. (4.15):
1V3 = -10,33 cos 3 1 °-5 ,8 sin 31° = -11,84 kN
nach Gl. (4.16):
V3 = -10,33 sin 31° + 5,8 cos 31° = -0,35 kN
nach Gl. (4.17):
A/f = 5,8 • 5,0 + 6 • 2,5 + (-10,33) • 4,5 + 1,5 • 2,625 = 1,45 kNm
4.5.2.2 Stützlinie Im Folgenden werden Auflagerkräfte und Schnittgrößen eines parabelförmigen Drei gelenkbogens mit Scheitelgelenk berechnet, wenn als Belastung nur eine lotrechte Gleichstrecken-Vollbelastung wirkt (Abb. 4.24a). Die lotrechten Auflagerkräfte ergeben sich wie für den entsprechend belasteten Träger auf zwei Stützen: A Z= BZ= ql/2 Schnitt I, EMg = 0: _ ql2 "4
152
ql2 _ ql2
4.5 Dreigelenkbögen
a)
q(La s t pro m Grundrißlänge)
TmiTI1ITTTT"III tmiiiiiimmin 1 n L5 I 1 yr I f "\ X ! I i, H ./ X ) \ ^JS / K A —*s=l/2 l ,
c) ’
N(x) ^ A
^W irkungsHnie von
Sz (x) $x(x)
Abb. 4.24 Am Schnitt II (Abb. 4.24b) werden die Schnittgrößen ermittelt. 0:
MB ( x ) - A z -x + H -C +qx2/2 = 0 M B (x) = Az - x - H - C - q x 2/2
Mit Az = ql/2, H = ql2/(Sf) und der Bogengleichung (4.09a) folgt:
_ ql ql qx2 qx2 _ ~ 2 X~ 2 X + 1 T ~ T ~ ° ql2 Sx(x) = - H = - — = const °/ ql Sz(x)= A z - q x = — - qx
aus ZFX= 0: aus
= 0:
Querkraft nach Gl. (4.16): V(x) = SK(x) sin oc+ Sz(x) cos ot ql2 . ql = - — : sin a + — cos a - qx cos a
8/
V(x) -----cos a
qf — tan a + 8/ q f 4/ - T f - J l
2
ql und mit Gl. (4.10a): — -q x 2 2x ql ‘- T ) + 2
= - - ^ + q x + ‘^ - q x = 0 i)
1) Dieses Ergebnis kann auch aus folgender Überlegung gefunden werden: Bei eben dA^Cs) . dx
gekrümmten Stäben gilt analog zum geraden Träger — ---- = V(s); dA^ix) V(x) folgt somit —----- = ------- und mit M®(x) = 0 daher auch V(x) = 0. dx cos a
mit ds :
153
4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen Querkraft und Biegemoment sind also in dem mit einer lotrechten GleichstreckenVolllast belasteten Dreigelenkbogen an jeder Stelle gleich null1^ Als einzige Schnittgröße kann also nur noch eine Längskraft vorhanden sein, deren Größe sich aus der geometrischen Addition von Sx(x) und Sz(x) ergibt. Man erhält nach Abb. 4.24c: cos a cosa 8/ c o s a Im Scheitelpunkt des Bogens ist also mit cos a = 1 die Drucklängskraft gleich dem Horizontalschub H. Je größer der Winkel a, desto größer wird die Drucklängskraft; sie erreicht ihren größten Wert somit an den Auflagerstellen des Bogens. Ist die Achse eines Bogens bei gegebener Belastung so geformt, dass im gesamten Bogen nur Längskräfte vorhanden sind, so wird diese Form als Stützlinie bezeichnet. In Abb. 4.25 wird die Ermittlung einer Stützlinie gezeigt. Bei der Konstruktion einer Stützlinie ergeben sich folgende Arbeitsgänge: 1. Krafteck der äußeren Kräfte zeichnen. 2. Schnittpunkt der Auflagerkräfte A und B als Pol wählen. 3. Poleck zeichnen. 4. Seileck zeichnen, beginnend mit Seilstahl 1 durch Auflager ,4. 5. Seileck = Stützlinie.
Mit der Stützlinie sind Größe und Richtung der resultierenden Schnittkräfte bekannt. Begründung: Jeder Seilstahl ist gleich der Resultierenden aller „links“ von ihm liegen den Kräfte (vgl. Poleck). Der Seilstahl 4 muss bei vorliegender Darstellung durch das Gelenk gehen (h ft = 0!).
Wie sich nachweisen lässt, gilt beim so belasteten Bogen unabhängig von der Gelenklage stets M6 = 0 und V = 0.
154
4.5 Dreigelenkbögen Ist die Stützlinie und damit auch die resultierende Schnittkraft S an jeder Stelle des Bogens bekannt, so ergeben sich die Schnittgrößen bei Abweichung der Bogenachse von der Stützlinie gemäß Abb. 4.26.
S2 -
resu ltieren d e S c h n ittk ra ft
1} W ir k t Sp u n t e r h a l b d e r B o g e n a c h s e , p so w i r d : - - e S2 c o s oc
Abb. 4.26 In der Baupraxis ist es in der Regel nicht möglich, eine Konstruktion exakt nach der Stützlinie zu formen. Meistens sind mehrere Lastfalle zu berücksichtigen, so dass sich auch verschiedene Stützlinien ergeben. Die endgültige Bogenform sollte jedoch mög lichst so gewählt werden, dass alle Stützlinien nahe an der Bogenachse liegen. In diesem Falle ergeben sich neben den Längskräften nur geringe Biegemomente und damit wirt schaftliche Querschnitte.
155
5 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Die Berechnung statischer Größen vereinfacht sich, wenn ein zu einer Mittellinie sym metrisches System vorliegt und für ein solches System eine symmetrische oder anti metrische Belastung gegeben ist. Zur Wahrung der Symmetrie wird die Zugfaser zur Definition der Vorzeichen der Schnittgrößen symmetrisch zur Mittellinie gelegt. Wie mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen für das Gesamtsystem und für entsprechend herausgeschnittene Teilsysteme nachgeprüft werden kann, ergibt sich in diesem Falle Folgendes:
symmetrisches System symmetrische Belastung H x=H2 = H =
V\ = -V v
Abb. 5.01
symmetrisches System T antimetrische Belastung Hz
1
ik
l
M
\ß ‘
A z = - B z; H\ ——H2
Ni = - N k;
=
V{= V k
Abb. 5.02 1. Bei einem zu einer Mittellinie symmetrischen System liefert eine symmetrische Belastung symmetrische Auflagerreaktionen. Für Punkte, die symmetrisch zur Mittellinie liegen, ergeben sich gleich große Schnittgrößen TVund M 0 (Symmetrie) sowie entgegengesetzt gleich große Schnittkräfte V (Antimetrie), s. Abb. 5.01. 2. Eine antimetrische Belastung liefert bei einem zur Mittellinie symmetrischen Sys tem antimetrische Auflagerreaktionen. Für Punkte, die symmetrisch zur Mittellinie liegen, ergeben sich entgegengesetzt gleich große Schnittgrößen N und MB (Anti metrie) sowie gleich große Schnittkräfte V (Symmetrie), s. Abb. 5.02. Wegen der unterschiedlich ausgebildeten Lager A und B (ein festes, ein bewegliches Lager) sind die in Abb. 5.03 dargestellten Systeme zwar nicht symmetrisch zur Mittelli nie. Da jedoch A x gleich null ist, wenn nur Lasten in z-Richtung und/oder Lastmomente wirken, und auch dann, wenn die symmetrisch zur Mittellinie in x-Richtung angeordne ten Lasten gleich groß sind, können die Systeme für die dargestellten Lastfalle wie symmetrische Systeme behandelt werden. 156
5 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften
a)
b)
■777777 Ä.
Av=0 l/Z
lk
&
777777
i7|.
ijz
. |. z/? .|g,
^¿>6. 5.03
ä) 7777? "
¿ /f
----------Hz
t
8X=0
d)
«L J*
y~ O; m b= o A yQ c ^77
m e--o e)
I r"
Abb. 5.04 Bei Einzellastgrößen, die bei symmetrischen Systemen an der Mittellinie am Stabwerk angreifen und bei in der Mittellinie liegenden Stäben und Auflagern beachte man: Eine Einzellast, die in der Mittellinie wirkt, ist eine symmetrische Belastung (Abb. 5.04a). Eine Einzellast, die senkrecht zur Mittellinie wirkend mittig am Stabwerk angreift, sowie ein mittig am Stab werk angreifendes Lastmoment ergeben jeweils eine antime trische Belastung (Abb. 5.04b und c). Eine symmetrische Belastung liefert für einen in der Mittellinie liegenden Stab V = 0 und = 0, für ein in der Mittellinie liegendes Auflager sind die senkrecht zur Mittellinie wirkende Auflagerkraft und das Einspannmoment gleich null (Abb. 5.04d).
157
5 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Eine antimetrische Belastung liefert für einen in der Mittellinie liegenden Stab N = 0, für ein in der Mittellinie liegendes Lager ist die in der Mittellinie wirkende Auflager kraft gleich null (Abb. 5.04e). Die Auswirkungen symmetrischer bzw. antimetrischer Belastung bei symmetrischen Systemen auf Lagerreaktionen und Schnittgrößen sind nachfolgend tabellarisch zusam mengestellt. System
symmetrisch
Belastung
Lagerreak tion
Schnittgrößenverlauf N
V
M3
symmetr.
symmetr.
symmetr.
antimetr.
symmetr.
antimetr.
antimetr.
antimetr.
symmetr.
antimetr.
Ergänzend wird einerseits zusammengefasst, wie weit Lastgrößen, die an der Mittellinie symmetrischer Systeme angreifen, symmetrische bzw. antimetrische Belastungen sind, zum anderen werden Auswirkungen symmetrischer bzw. antimetrischer Belastung auf Lager und Stäbe, die in der Mittellinie liegen, angegeben. System
symmetrisch
Lastgrößen an der Mittellinie an greifend
Lagerreaktionen für Lager in der Mittellinie
Schnittgrößen für Stab in der Mittellinie
F in der Mittellinie = symmetrische Last
A in der Mittellinie = 0 bei antime trischer Belastung
N =0 bei antimetrischer Belastung
F _L Mittellinie = antimetrische Last
A _L Mittellinie = 0 bei symmetrischer Belastung
F = 0 bei symmetrischer Belastung
Lastmoment Ml = antimetrische Lastgröße
^ =0 bei symmetrischer Belastung
M® = 0 bei symmetrischer Belastung
Soll die Symmetrie eines Systems auch bei einer beliebigen Belastung ausgenutzt werden, so wird diese beliebige Belastung in einen symmetrischen und einen antimetri schen Lastfall aufgespalten (Belastungsumordnung, Abb. 5.05). Da die Addition der symmetrischen und der antimetrischen Teilbelastung gleich der ursprünglichen Belas tung ist, ist nach dem Überlagerungsprinzip (vgl. 1.11) auch die Addition der jeweiligen statischen Größen beider Lastfalle gleich der entsprechenden statischen Größe infolge der ursprünglichen Belastung. Die Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften wird im Folgenden an drei Beispielen gezeigt.
158
5 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften
Fz/2
Fz/2
i/2
i/2
Abb. 5.05
Beispiel 5-1 (Abb. 5.06a) Das symmetrische System ist antimetrisch belastet. Auflagerkräfte und Schnittgrößen brauchen nur für eine Rahmenhälfte errechnet zu werden und ergeben sich für die andere Hälfte unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften.
Abb. 5.06 A uflagerkräfte Gesamtsystem, ZM6 = 0: -A z • 6 + F2 • 4,8 + F3 • 2,7 - F4 • 1,2 = 0
Schnitt I, EM3 = 0:
A z = 7 (3 -4,8 + 2 - 2 , 7 - 3 • l,2) = 2,7kN 6 - A x ■2,7 - A z ■3 + F 2 ■1,8 = 0 A x = Y-, ( - 2 , 7 - 3 + 3- 1,8) = - l k N
159
5 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Bz = - 2,7 kN;
5 X= - 1 kN 1>(Antimetrie)
Schnittgrößen Für einen Rundschnitt um den Punkt 0 erhält man: ZFz = 0:
- A x +V,o = 0;
V0 =AX= - 1 kN
Z FX= 0:
A z + N0 = 0;
N0 = - A z = - 2 J k N
Außerdem ist
= 0 (Gelenk).
Die Anwendung der Rekursionsformeln ergibt: V \= *o = - l kN;
Ni =N 0 = -2,7 kN
M f = M%+V0 - 2,7 = 0 - 1 • 2,7 = -2,7 kNm Für den Rundschnitt um den Punkt 1 (Abb. 5.06b) ergeben die Gl. B.: I F z = 0:
^ . + ^ .. = 0;
S F X= 0:
- F,. + ATi.. = 0;
F,.. = - N ,= + 2 ,7 k N F L= -1 kN
Durch eine erneute Anwendung der Rekursionsformeln erhält man fiir die linke Rah menhälfte: *2.= F,.. = 2,7kN F2.. = F2. - F2 = 2,7 - 3,0 = -0,3 kN F3.= F2.. = -0,3 kN iV2 = iV3. = iVl.. = - l kN M f = M f + F,.. • 1,2 = -2 ,7 + 2,7 • 1,2 = 0,54kNm M% = m ¥ + V 2.. ■1,8 = 0 ,5 4 -0 ,3 • 1,8 = 0 (Gelenk) Da die vorhandene Belastung symmetrische Querkräfte und antimetrische Längskräfte und Biegemomente ergibt, lassen sich mit Kenntnis der Schnittgrößen für die linke Rahmenhälfte die Zustandsflächen für das gesamte System darstellen, Abb. 5.06c bis e.
Beispiel 5-2 (Abb. 5.07a) Die Auflagerkraft A x und die Längskraft Nsind in diesem Beispiel ausschließlich von der Last Fx3 abhängig, da die Bewegungsrichtung des beweglichen Lagers parallel zur Stabachse verläuft. Dagegen hängen die Auflagerkräfte A z und Bz sowie die Schnittgrö ßen Kund M 6 nur von den Lasten F 1? F2 und Fz3 ab, die eine zur Trägermitte symmetri sche Belastung ergeben. Folglich kann für die Berechnung vonA z, Bz, V und M3 der Träger als symmetrisches System unter symmetrischer Belastung betrachtet werden.
Das Vorzeichen von Bx ist gleich dem Vorzeichen von Ax, da die Pfeilspitzen dieser beiden Auflagerkräfte bereits antimetrisch eingetragen sind, s. Abb. 5.06a.
160
5 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften A uflagerkräfte I F x = 0:
^ x = - F x3 = - l , 8 kN
- A x - F x3 = 0;
Aus Symmetriegründen erhält man: A Z = BZ= l~ (F l + F 2 + F z3) = j (3 + 4 + 3) = 5 kN
Längskräfte 'LFX = 0 ergibt für einen Rundschnitt um den Punkt 0: - A x + No = 0;
N0 = A X= -1,8 kN
Diese Längskraft ist bis zur Stelle 3. konstant. n 3. = n 4 = o
Querkräfte und Biegemomente Bei Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften brauchen V und M8 nur für eine Träger hälfte errechnet zu werden, z. B. V nach dem abgekürzten Verfahren, M8 durch Integra tion der ^Fläche, s. Abschnitte 2.7.9 und 2.7.11. V0 = V l = A z = 5 kN;
FL.= F2.= 5 - 3 = 2 kN
M f = 5 - 2 = 1 0 kNm;
M%= 10 + 2 -3 = 16 kNm
Für die symmetrisch zur Trägermitte liegenden Punkte werden die Querkräfte entge gengesetzt gleich groß, die Biegemomente gleich groß. Abb. 5.07b bis d zeigen die Zustandsflächen.
ä)
Ff =3kN F2=4kN Fz3-3kN 1
1
A x ifyhO / h
~7f\
A-.
1! k z 1 : 8kN /K 3 4-J^r
^|1 ffi
c)
nn
T fm TTTT
V-Fläche in kN
I
2
10m °0 r
b) N-Fläche in kN Abb. 5.07
161
6 Senkrecht belastete, ebene Tragwerke 6.1 Einführung Bauwerke sind im Allgemeinen räumliche Strukturen, die auch räumlich beansprucht werden. Zur Vereinfachung der Berechnung gelingt es in vielen Fällen, sie gedanklich in Ebenen aufzuteilen. In den Kapiteln 2-5 wurden solche ebenen Tragwerke behandelt, die ausschließlich in ihrer Ebene belastet sind. Wenn die Belastung nicht in der Ebene, sondern senkrecht zu ihr wirkt, spricht man von senkrecht belasteten, ebenen Tragwer ken. Sie stellen ebenfalls einen Sonderfall des allgemeinen, räumlichen Tragwerks dar. Häufig werden sie auch als Trägerroste bezeichnet. Ein durch Wind belastetes Ver kehrsschild an einer Straße ist ein Beispiel für ein ebenes System, das senkrecht zu seiner Ebene belastet ist (siehe Abb. 6.01).
Abb. 6.01 Trägerrost und Verkehrsschild als senkrecht zu ihrer Ebene belastete Tragwerke Für diesen Abschnitt gelte: Die Tragwerksebene sei die x-y-Ebene. Die z-Achse weist bei horizontal angenommener x-jy-Ebene - senkrecht zur Trag werksebene nach unten. Neben dem globalen Koordinatensystem benötigt man Stabkoordinatensysteme (lokale Koordinatensysteme, siehe Abb. 6.02). Die lokalen z-Achsen weisen in dieselbe Rich tung wie die globale z-Achse. Die lokalen x-Achsen weisen stets in Stabrichtung. Die lokalen Achsen ergeben sich zwingend aus der „Rechte-Hand-Regel“ (Abb. 6.02 rechts): man halte den Daumen in positiver x-Richtung, den Mittelfinger in positive zRichtung. Der gestreckte Zeigefinger zeigt dann automatisch in positive y-Richtung. Lokale Achsen werden durch einen Überstrich gekennzeichnet (x, y, z). Die Zugfaser befindet sich stets auf der positiven z-Seite. Als äußere Belastung können z. B. wirken (siehe Abb. 6.02): • Kräfte, die in z-Richtung wirken: Fz z. B. in kN • Streckenlasten, die in z-Richtung wirken: qx z. B. in kN/m • Momente um die x-Achse: M x z. B. in kNm • Momente um die y-Achse: My z. B. in kNm 162
6.2 Schnittgrößen, Gleichgewichtsbedingungen Da man es mit zwei verschiedenen Momenten (Mx und My) mit unterschiedlichen Drehachsen zu tun hat, ist die Darstellung von Momenten als Drehpfeil missverständlich und daher in den meisten Fällen ungeeignet. Stattdessen wird die vektorielle Darstellung mit Doppelpfeil nach Abb. 1.07 gewählt, siehe Abb. 6.02.
Abb. 6.02 Koordinatensysteme und Belastungsarten bei senkrecht belasteten Tragwerken. (Mx, My: Lastmomente in x- bzw. y-Richtung) Koordinatensysteme nach der Rechte-Hand-Regel (rechts)
6.2 Schnittgrößen, Gleichgewichtsbedingungen Im allgemeinen räumlichen Fall sind 6 Schnittgrößen zu unterscheiden: Zwei Querkräfte (Fy, Vz), zwei Biegemomente M82), Torsionsmoment Mx , Normalkraft N. Bei ebenen, senkrecht zur Ebene belasteten Tragwerken treten nur 3 dieser 6 Schnittgrößen auf: • V=VZ Querkraft in z-Richtung • Mx Torsionsmoment (Moment um die Stabachse) • AiB = MBY Biegemoment um die lokale y-Achse Die Schnittuferdefinition und die Vorzeichendefinition aus Abschnitt 2.3.2 findet hier ebenfalls Anwendung, siehe Abb. 6.03.
y
positives Schnittufer
negatives Schnittufer
Abb. 6.03 Schnittufer und Schnittgrößen
163
6 Senkrecht belastete, ebene Tragwerke 3 Gleichgewichtsbedingungen stehen zur Verfügung, um die 3 Schnittgrößen zu be rechnen: • EFZ= 0 • ZMy = 0 • ZMX= 0
6.3
(Summe der Kräfte in z-Richtung gleich null) (Summe der Momente um die globale j-Richtung gleich null) (Summe der Momente um die globale x-Richtung gleich null)
Auflager, Gelenke, statische Bestimmtheit
6.3.1 Auflager Die ein- bis dreiwertigen Auflagertypen sind in Abb. 6.04 in der Perspektive, in der Ansicht und im Grundriss dargestellt. Da es keine Kräfte in der x-j;-Ebene gibt, werden Gleitlager und Punktlager als einwertige Lager gleich behandelt.
Punktlager, Gleitlager (/Wax = MaB = 0) Symbol Perspek tive Symbol Grundriss
M
1’■ J m ? At
M/ \a 1
Einspannung
Torsionsfreie Einspannung
(Max = 0) M */
Mmy
\A
\M*
K/I ('CTi)N lAl
Symbol Ansicht Wertigkeit
Schneidenlager (MaB = 0)
& "
I*
2
3®
*A a\
m*
3)
3
2
Abb. 6.04 Auflagerarten und ihre Darstellung bei senkrecht belasteten ebenen Tragwerken
6.3.2 Gelenkarten Mögliche Gelenktypen sind in Abb. 6.05 dargestellt. Da es sowohl Biegemomente als auch Torsionsmomente gibt, sind 3 verschiedene Arten von Momentengelenken zu unterscheiden. Das Biegemomentengelenk kann man sich als Scharnier vorstellen, das Vollgelenk als Kugelgelenk.
164
6.4 Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerrosten
Biegennomenten gelenk (Mb= 0)
Torsionsgelenk (Mx = 0)
Vollgelenk
(Mb= 0; M x = 0)
Symbol 11.............11 Schnittgrößen
V*0,
Mx* 0
V*0, M b* 0
-----------
V*0
Abb. 6.05 Gelenkarten bei senkrecht zur Ebene belasteten ebenen Tragwerken
6.3.3 Statische Bestimmtheit Bei ebenen Tragwerken, die senkrecht zu ihrer Ebene beansprucht werden, gibt es - wie bei in der Ebene beanspruchten Tragwerken - 3 Schnittgrößen und 3 Gleichgewichts bedingungen. Daher gelten die in den Abschnitten 1.9 und 9.2 dargelegten Zusammen hänge und Formeln zur Ermittlung des Grades der statischen Bestimmtheit auch für diesen Fall. Die Tragwerke in den Abb. 6.01 und 6.02 sind statisch unbestimmt, während der Trägerrost in Abb. 6.03 statisch bestimmt ist. Im Folgenden werden nur statisch bestimmte Trägerroste betrachtet.
6.4 Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerrosten 6.4.1 Vorgehensweise, Darstellung Grundlage der Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerrosten ist das Schnittprinzip und die Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen. In dieser Hinsicht unterscheiden sich in der Ebene belastete Tragwerke (Kapitel 2) nicht von Trägerrosten. Zusätzliche Theorien müssen für die Berechnung von Trägerrosten nicht erlernt werden. Da jedoch für ihre statischen Systeme und Belastungen alle drei Koordinatenrichtungen von Bedeutung sind, gestaltet sich die Vorgehensweise zur Berechnung etwas aufwen diger als bei in der Ebene belasteten Tragwerken. Berechnungen sollten stets durch Skizzen ergänzt werden. Skizzen können dabei die Perspektive, den Grundriss oder die Ansicht zeigen, siehe Abb. 6.06. Die Darstellung in der Ansicht ist nur bei Betrachtung eines einzelnen, geraden Stabes oder Stababschnittes sinnvoll. In der Ansicht ist es ausnahmsweise zweckmäßig, die Biegemomente als Drehpfeil dazustellen. Die positive Richtung des Drehpfeils wird dabei nach den schon aus Kapitel 2 bekannten Regeln bestimmt: Der Pfeil des positiven Biegemoments weist stets von der Zugfaser weg.
165
6 Senkrecht belastete, ebene Tragwerke
Abb. 6.06 Darstellungsmöglichkeiten eines Tragwerks und seiner Teile
6.4.2 Beispiele Beispiel 6-1: Trägerrost mit rechtwinkliger Ecke, ohne Nebenbedingungen Für das in Abb. 6.07 gegebene System sind die Auflagerkräfte und alle Zustandslinien zu ermitteln.
IF=6 kN
a) Trägerrost (Perspektive) MaB
2
1a/
*
_ y ...
0,5 m
Z
b) Geplante Schnitte (Grundriss)
t M*B ' ®| IV M* A
I§>iF=6 kN II III
A l ..Z .....L 8 m ................j
d) Schnitt II (Ansicht)
c) Schnitt I (Ansicht) M*
M3 B
A4B
L 3
(t-
6 kN
V 2..
< 0,5 m *
A4 x = 0
ei-
* /\
V2 =
Abb. 6.07 Beispiel 6-1
166
6 kN
M2b = 0 M2x =-3 kNm
.
2
M2b
6 kN
f) Schnitt IV (Ansicht)
e) Schnitt III (Perspektive)
V0
3
1,8 m
D
V2=
6 kN
6.4 Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerrosten a) Auflagerreaktionen aus den 3 Gleichgewichtsbedingungen £F=0:
Av - 6 = 0
EA/,_2 = 0:
- M * - 6 - 0 ,5 = 0
y4v = 6 kN M* = - 3 kNm
Unter "LM\_2 wird die Summe der Momente um diejenige Achse verstanden, die durch die Punkte 1 und 2 (Abb. 6.07) gebildet wird. IA /Iy = 0:
-M % -6 -1,8 = 0
A ^ = -1 0 ,8 k N m
Unter ZM ly wird die Summe aller Momente um die durch die in den Punkt 1 parallelverschobene y-Achse des globalen Koordinatensystems verstanden. b) Schnittgrößen Schnitt I (Knotengleichgewicht, Abb. 6.07c) ZV=0: IM b = 0 : ZM X = 0:
V3- 6 = 0 JWf = 0 =0
F3 = 6 kN
V2 - 6 = 0 M2 = 0 A/f . + 6 • 0,5 = 0
V2. = 6 kN
Schnitt II (Abb. 6.07d) Z V = 0: I M X = 0: SAif = 0:
A/|. = -3kN m
Schnitt III (Knotengleichgewicht, Abb. 6.07e) ZF=0: HMX= 0: ZA/y = 0:
V2 - 6 = 0 -M ^ + (-3) = 0 A/f = 0
V2 = 6 kN A/2. = -3 kNm
Fi - 6 = 0 -A i? + (-3) = 0 A/f + 6 - 1,8 = 0
F , = 6 kN A/f = -3 kNm A/f = -10,8 kNm
Schnitt IV (Abb. 6.07f) £F=0: XMx = 0: ZA/f = 0:
Aus den Schnittgrößenverläufen (Abb. 6.08) lassen sich folgende Regeln für Trägerroste erkennen: • Biege- und Torsionsmomente verändern sich an Ecken i. d. R. sprunghaft. • Bei rechtwinkligen Ecken wie in Punkt 2, an denen keine äußeren Lastmomente angreifen, wechseln das Biege- und das Torsionsmoment übereck den Betrag der Schnittgröße. Das Vorzeichen kann jedoch unterschiedlich sein. Es gilt: |A/f.| = |A/f.| und \M2\ = |A/f | • Die Querkraft V bleibt über Ecken unter beliebigen Winkeln stets konstant, wenn am Knoten keine äußere Last angreift und keine Auflagerkraft wirkt.
167
6 Senkrecht belastete, ebene Tragwerke
V
/.
in kN
Mx
in kNm
-3
nTirrrrniTT
+6
M B in kNm -
10,8
If = 6 kN
-3, /¿Sr
Maa a = -10,8 1
kNm
/
-3 kNmJ/4 1 = 6kN Abb. 6.08 Schnittgrößen und Auflagerreaktionen Beispiel 6-1
Beispiel 6-2: Trägerrost mit nicht-rechtwinkliger Ecke und Biegemomentengelenk Für das in Abb. 6.09 gegebene System sind die Auflagerkräfte und alle Zustandslinien zu ermitteln. In Abb. 6.09a wurde die exakt im Knoten 2 wirkende äußere Last F = 80 kN neben den Knoten gezeichnet, um eine Verwechslung mit einem Gelenk zu vermeiden. Um die Auflagerkräfte berechnen zu können, werden statische Systeme mit Nebenbe dingungen zunächst an den Gelenken geschnitten: Schnitt I und Schnitt II (Abb. 6.09) dienen diesem Zweck. Schnitt I (Abb. 6.09b): Auflagerkraft links und Schnittgrößen im Gelenk SM4y = 0: A • 8 - 80 • 5 = 0 A = 50 kN (ZM4y ist die Summe der Momente um eine in den Punkt 4 parallelverschobene, globale y- Achse) ZV= 0: A - V 4 -8 0 = 0 F4 = -3 0 k N SM3^ = 0: M* + 8 0 - 3 - 5 0 - 3 = 0 M? = -90kN m Schnitt II (Abb. 6.09c): Auflagerkräfte im rechten Auflager XF = 0: IA/4_5 = 0: ZA/4y = 0:
B + (-30) = 0 - (-90) + Mb = 0 -3 0 • 2 ~ M b = 0
S = -3 0 k N = -90 kNm A /b= -60kN m
Schnitt III (Abb. 6.09d): Schnittgrößen links von Punkt 2
168
£F=0:
5 0 - V2. = 0
Z M t_2 = 0: ZM 2y = 0:
M 2. = 0 -50 • 3-A /f. = 0
F2.= 50kN 7Wf.= 150kNm
6.4 Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerrosten
a) System und Belastung im Grundriss
3m 3m
4m
Im
sin a = 0,6 cos a = 0,8
2m
b) Schnitt I (Perspektive)
c) Schnitt II (Ansicht)
M / M ° =° I* )/ -H,x
e) Schnitt IV (Knotengleichgewicht, Grundriss)
d) Schnitt III (Ansicht)
1
2.
M 2'
MJ
2..
'
M2 x <+— ®_
3m
g) Schnitt VI (Knotengleichgewicht, Grundriss) m3
5m
\ m2 b
' 2 F = 80 kN
f) Schnitt V (Ansicht)
0 -
<8>
:0 -
■M*
\ y
/ &v
» M3 X
3
Abb. 6.09Beispiel6-2 Schnitt IV (Abb. 6.09e): Knotengleichgewicht 2 ZV= 0: 5 0 - F2. - 8 0 = 0 F2.. = -3 0 k N Das Momentengleichgewicht an einer Ecke wird angeschrieben, indem die ver schiedenen Momente vektoriell addiert werden. HM2-3 = 0: M * + A /f • s in a -M * • cosa = 0 Mi l. 2 = -1 5 0 -0 ,6 + 0 = -9 0 kNm ZA/f.. = 0: A/f.. —A/f. ■cos a —M 2. ■sin a = 0 A/f' = 150 • 0,8 + 0 = 120 kNm Schnitt V (Abb. 6.09f): Schnittgrößen links von Punkt 3 £ F = 0: SM2_3 = 0: ZM f =0:
K3 -( -3 0 ) = 0 My - (-90) - 0 120+ (-30) • 5 - A /f = 0
F3. = -3 0 k N /W? = -90 kNm A /f'= -30kN m
169
6 Senkrecht belastete, ebene Tragwerke Schnitt VI (Abb. 6.09g): Knotengleichgewicht 3 X V =0: I M 3_4 = 0:
- 3 0 - V3 =0
K3 = - 3 0 kN
M* - (-30) • sin a - (-90) • cos a = 0
M* = -30 • 0,6 - 90 • 0,8 = -90 kNm A/f - (-30) • cos a - (-90) • sin a = 0 Aff.. = (-30) • 0,8 + 90 • 0,6 = 30 kNm
ZM3y = 0:
Die Zustandslinien können Abb. 6.10 entnommen werden.
6.5 Einfeldträger unter Torsionslast Gegeben sei der in Abb. 6.11 dargestellte, nur durch ein Torsionslastmoment MT an der Stelle x = a beanspruchte Einfeldträger. An beiden Seiten weist er je ein Schneidenlager (siehe oben Abb. 6.4) auf. Das Schneidenlager wird in diesem Zusammenhang häufig auch Gabellager genannt. Das Torsionslastmoment MT bewirkt in den Auflagern i Torsionsmomente A/f\ Da der Einfeldträger 4 Auflagerreaktionen aufweist, ist er nicht statisch bestimmt, sondern 1-fach statisch unbestimmt. Deshalb kann die Schnittgrö ßenberechnung nicht mehr wie in Abschnitt 6.4 gezeigt erfolgen. Die Torsionsmomente Mx lassen sich stattdessen wie folgt berechnen: Die Auflagermomente ergeben sich zu: A/x = A/t • —
und
Afx = —A/j • y
Das Berechnungsverfahren entspricht übrigens genau der Vorgehensweise, mit der Auflagerkräfte am Einfeldträger aus angreifenden Einzellasten bestimmt werden kön nen.
170
6.5 Einfeldträger unter Torsionslast
M bx
M ax
Mt- b / /
- Mr a f l
B =
0
-Mt- a / / A/f x M fb/I Abb. 6.11 Torsionsmomente am Einfeldträger
171
7 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen, Beziehungen aus der Kinematik, Anwendungen 7.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen^ Das aus der Mechanik bekannte Prinzip2) lautet:3) Ein Körper oder Körpersystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn infolge einer virtuellen, d. h. mit den Bewegungsmöglichkeiten verträglichen (kleinen) Verrückung die Gesamtarbeit aller am System wirkenden Kraftgrößen gleich null ist. Dabei ist es gleichgültig, wodurch die virtuelle Verrückung hervorgerufen wird. Bei einem statischen System kann man z. B. eine virtuelle Verrückung erzeugen, indem eine Fessel (innere Fessel oder Auflagerfessel) „zerschnitten“ wird und das System dadurch einen Freiheitsgrad erhält. Dem jetzt labilen (beweglichen) System kann an einer Stelle eine mögliche (virtuelle) Verschiebung eingeprägt werden, ohne die einzelnen System teile zu deformieren. Unter Beachtung der Lagerung, der Gelenkstellen sowie eventuel ler Linienführungen ergeben sich aus rein geometrischen Beziehungen zwangsläufig die Verschiebungen aller anderen Punkte des Systems (virtueller Verschiebungszustand). Für den Gleichgewichtszustand muss die Summe der Arbeiten aller am System wirken den Kraftgrößen an der virtuellen Verrückung (virtuelle Arbeiten) gleich null sein. (Virtuelle Arbeit: Kraft mal virtuelle Verschiebung bzw. Moment mal virtuelle Verdrehung.) Auf diese Weise kann man Auflagerreaktionen und Schnittgrößen statisch bestimmter Systeme ermitteln (vgl. 7.4). Das Prinzip der v. V führt, wenn man in der eben angedeu teten Weise vorgeht, auf die bekannten Gleichgewichtsbedingungen. Es handelt sich beim Prinzip der v. V also um eine andere Form der Gleichgewichtsbedingungen.
7.2 Beziehungen aus der Kinematik 7.2.1 Hauptpole, Nebenpole Man kann jede virtuelle Verrückung einer Scheibe gegen eine feste Ebene als (kleine) Drehung der Scheibe um einen festen Punkt ansehen. Die Verschiebung muss allerdings
Auch bekannt unter den Bezeichnungen „Prinzip der virtuellen Verschiebungen“, „Pr. d. v. Arbeiten“. 2) Unter Prinzipien versteht man u. a. allgemeine, aus Grundvorstellungen der Mechanik gewonnene Sätze, die zwar in ihren einfacheren Fällen bewiesen werden können, jedoch nicht im Weitesten Umfang vollständig beweisbar erscheinen (vgl. Encyklopädie der ma thematischen Wissenschaften 4, Mechanik 1901-1908, B. G. Teubner, Leipzig). 3) Siehe z.B. Szabo, Istvan: Einführung in die Technische Mechanik, 8 . Auflage. Berlin/ Heidelberg/New York: Springer-Verlag 1984.
172
7.2 Beziehungen aus der Kinematik so klein sein (unendlich klein), dass man die Verschiebung auf dem Kreisbogen, den ein Punkt der Scheibe beschreibt, durch die Verschiebung auf der Tangente ersetzen kann. Bezeichnet man eine Scheibe mit I, so erhält der Drehpunkt auf der festen Ebene die Bezeichnung 1.0 und wird Hauptpol genannt. Bei einer (kleinen) Drehung cp der Schei be I ergibt sich nach Abb. 7.01 die Verschiebung für einen Punkt i mit guter Näherung zu öx= rr cp.
Scheibe I * 7?-r >7-/r?7777-rr> T ?V7-'f77vy 4 7?y>.
Hauptpot
Abb. 7.01 Man beachte: | Jede Stelle i einer Scheibe beschreibt eine Verschiebung <5j senkrecht zum Polstrahl rv Handelt es sich um zwei Scheiben, die gegen eine feste Ebene verschoben werden, so kann man die (kleine) Verschiebung der Scheibe I als Drehung um den Hauptpol 1.0 und die (kleine) Verschiebung der Scheibe II als Drehung um den Hauptpol 2.0 auffassen. Die relative Verschiebung der Scheiben I und II gegeneinander kann als relative Drehung der Scheibe I um einen Punkt der Scheibe II oder umgekehrt aufgefasst werden. Dieser Punkt wird als Nebenpol 1.2 bzw. 2.1 bezeichnet (Abb. 7.03). Die Nebenpole 1.2 und 2.1 fallen zusammen. Für die Ermittlung der Haupt- und Nebenpole kann man folgende Gesetzmäßigkeiten der Kinematik verwenden1 1. Folgende Haupt- und Nebenpole liegen auf einer Geraden: 1.0 i. 0 1.2 ij
1.2 i.k 1.3 i.k
2.0 k.O 2.3 j.k
bzw. allgemein bzw. allgemein
2. Ist eine Scheibe gelenkig gelagert (z. B. Scheibe I in Abb. 7.02) oder mit einer anderen stabil gelagerten Scheibe durch ein Gelenk verbunden (z. B. Scheibe II in Abb. 7.06), so fällt der Hauptpol mit dem Gelenkpunkt zusammen. 3. Befindet sich an einem Punkt der Scheibe eine Linienführung (z. B. bewegli ches Lager), so liegt der Hauptpol auf der Senkrechten zur Linienführung (vgl. Abb. 7.02). 4. Kann eine Scheibe nur eine Parallelverschiebung ausführen, so liegt der Hauptpol auf der Senkrechten zur Bewegungsrichtung im Unendlichen.
1} Siehe z. B. [11], [12].
173
7 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen, Beziehungen aus der Kinematik_____ 5. Sind zwei Scheiben durch ein Gelenk verbunden, so fallt der Nebenpol mit der Gelenkstelle zusammen (vgl. Abb. 7.02). 6. Sind zwei Scheiben durch eine Linienführung miteinander verbunden, so ist nur eine gegenseitige Verschiebung (Drehung um einen unendlich fernen Pol) möglich. Der Nebenpol liegt senkrecht zur Linienführung im Unendlichen (Abb. 7.03). ^ I
/
Linienführung
Scheibe I
T. w
|*| 1/-Fessel
\ zerschnitten
Abb. 7.02
Nebenpol
Abb. 7.03
7.2.2 Satz der gedrehten Verschiebungen Bekannt sei der Hauptpol einer Scheibe und die durch endliche Pfeile dargestellten (kleinen) Verschiebungen ö[ und <5k (Abb. 7.04). Werden diese Verschiebungen um 90° bei gleichem Drehsinn gedreht, so liegen diese gedrehten Verschiebungen ö[ und ök auf den Polstrahlen. Die Verbindungslinie der Pfeilspitzen (/ und k ) verläuft parallel zur Verbindungslinie von i und k. Sind also der Hauptpol einer Scheibe I und die Verschie bung eines Punktes k dieser Scheibe bekannt, so ergibt sich die Verschiebung eines beliebigen Punktes i folgendermaßen: Man zeichne die gedrehte Verschiebung <5k und zeichne durch den Endpunkt der gedrehten Verschiebung die Parallele zu i, k bis zum Schnittpunkt mit dem Polstrahl 1.0, i. Der Pfeil i, i stellt die um 90° gedrehte Verschiebung des Punktes i dar. Um die wirkliche Verschiebung <5j zu bekommen, wird die gedrehte Verschiebung <5j um 90° zurückgedreht, und zwar mit gleichem Drehsinn, der sich ergibt, wenn ök nach ök gedreht wird (vgl. Abb. 7.04). Dieser Gedankengang wird als „Satz der gedrehten Verschiebungen“ bezeichnet. 3,0
Abb. 7.04 174
10 Abb. 7.05
2.0
7.3 Untersuchung der Stabilität von Systemen
Beispiel 7-1 (Abb. 7.05) Man präge an der Stelle a der Scheibe III des durch Zerschneiden eines Stabes labil gewordenen Systems eine Verschiebung <5a ein und ermittle die zugehörige Verschiebung öb an der Stelle b mit Hilfe des Satzes der gedrehten Verschiebungen. Zunächst müssen die Haupt- und Nebenpole der drei Scheiben I, II1}und III bestimmt werden. Die Pole 1.0, 2.0, 1.3 und 2.3 fallen mit den entsprechenden Gelenkpunkten zusammen (vgl. 7.2.1, Punkte 2 und 5). Der Pol 3.0 folgt aus den Bedingungen: 1.0, 1.3 -> 3.0 2.0, 2.3 —►3.0 Punkt a liegt auf der Scheibe III und öa verläuft somit senkrecht zum Polstrahl 3.0, a. Die Konstruktion von öb gemäß dem „Satz der gedrehten Verschiebungen“ ist Abb. 7.05 zu entnehmen.
7.3 Untersuchung der Stabilität (Unverschieblichkeit) von Systemen Systempunkte können, wie in 7.1 erläutert wurde, nur Verschiebungen ausführen, wenn das System mindestens einen Freiheitsgrad hat, d. h. labil ist. Bei einem System mit einem Freiheitsgrad kann die Größe einer Verschiebung beliebig gewählt werden; alle anderen Verschiebungen ergeben sich zwangsläufig. Man spricht daher auch von einer zwangsläufigen kinematischen Kette. Die in den Abb. 7.02, 7.03 und 7.05 dargestellten Systeme haben einen Freiheitsgrad und sind somit labil Alle Pole lassen sich eindeutig bestimmen. Man kann also folgern:
(
Treten bei einem statischen System bei der Bestimmung der Haupt- und Nebenpole Widersprüche auf, so ist das System stabil; andernfalls liegt ein labiles System vor.
Beispiel 7-2
Man stelle auf kinematischem Wege fest, ob die in den Abb. 7.06a bis 7.06c dargestellten Systeme stabil sind. Der Bereich 2.0, a, b, 3.0 des Systems der Abb. 7.06a ist eine Scheibe, die mit dem Erdboden durch drei Fesseln unverschieblich (stabil) verbunden ist. Dieser Teil des Systems gehört also praktisch zur „festen Ebene“ . Damit lassen sich die Hauptpole der Scheiben II und III (2.0, 3.0) sofort angeben; ebenfalls sind die Nebenpole 1.2 und 1.3 bekannt. Der Hauptpol der Scheibe I folgt auch den Bedingungen: 2 .0 , 1.2
1.0
3.0, 1.3
1.0,
Die Scheiben I und II bestehen nur aus je einem Stab.
175
7 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen, Beziehungen aus der Kinematik und er muss auf der Senkrechten zur Bewegungsrichtung des linken Lagers liegen. Es tritt kein Widerspruch auf; das System ist labil.
Bei dem in Abb. 7.06b dargestellten System ist die Scheibe c, 1.0,2.0, d ebenfalls an den Erdboden stabil gefesselt und auch als zugehörig zur „festen Ebene“ zu betrachten. Während die Pole 1.0,2.0,1.3,2.3 sofort anzugeben sind, folgt 3.0 aus den Bedingungen: 1.0.1 .3 -> 3 .0 2.0.2.3 ->3.0 Außerdem muss 3.0 auf der Senkrechten zur Bewegungsrichtung des Lagers am Punkt / liegen. Damit fallt der Pol 3.0 sowohl mit dem Punkt e als auch mit dem Punkt / zusammen. Es ergibt sich ein Widerspruch! Das System ist stabil. Das Fachwerk in Abb. 7.06c hat vier Auflagerfesseln (a = 4: ein festes, zwei bewegliche Lager), es besteht aus 18 Stäben (s = 18) und hat elf Knoten (k = 11). Nach dem Abzählkriterium (s. Abschnitt 3.1) erhält man somit 2k = 22 = s + a = 18 + 4 = 22, d. h., die Zahl der Knotengleichungen ist gleich der Zahl der Unbekannten, eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung für ein stabiles statisch bestimmtes Fachwerk. Ob das Fachwerk als Gelenksystem stabil ist - was nur der Fall ist, wenn die Gleichungen voneinander unabhängig und somit eindeutig lösbar sind - wird mit Hilfe eines Polplanes überprüft. Das System besteht aus den Scheiben I bis IV Sofort anzugeben sind der Hauptpol 2.0 (festes Lager der Scheibe II) und die Nebenpole 2.1 und 2.3. Die Hauptpole 1.0 und 3.0 176
7.4 Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen müssen jeweils auf der Senkrechten zur Bewegungsrichtung der Lager an den Punkteng bzw. h liegen, außerdem gilt: 2.0. 2.1 —►1.0
und
2 .0 ,2 .3 -> 3 .0
Damit sind die Hauptpole 1.0 und 3.0 jeweils als Schnittpunkte zweier Geraden bekannt. Ebenfalls direkt anzugeben sind die Nebenpole 1.4 und 3.4. Aus den Bedingungen 1 .0 .1 .4-»4.0
und
3.0, 3.4 -> 4 .0
erhält man den Hauptpol 4.0 als Schnittpunkt zweier Geraden; er fallt mit dem Hauptpol 2.0 zusammen. Daraus folgt, dass dieser Punkt ebenfalls der Nebenpol 2.4 sein muss. Für den Nebenpol 1.3 gilt: 1.0.3.0
->1.3
sowie
1.4, 3.4-> 1.3
und
2.1,2.3 1.3
Da die zugehörigen Geraden alle parallel laufen, liegt der Nebenpol 1.3 im Unendlichen. Damit ist der Polplan widerspruchsfrei konstruiert, d. h., das System ist labil; es sind Drehungen der Scheiben um die jeweiligen Hauptpole möglich.
7.4 Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen auf kinematischem Wege Um mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen (Pr. d. v. V) Auflagerkräfte, Einspannmomente oder Schnittgrößen zu ermitteln, wird die entsprechende Fessel eines statischen Systems zerschnitten und die (noch unbekannte) Fesselkraftgröße an den beiden Schnittufem angetragen. Dem jetzt beweglichen (labilen) System wird eine virtuelle Verrückung (v. V.) erteilt, wobei der Absolutbetrag der (kleinen) virtuellen Verschiebung und sein Richtungssinn beliebig gewählt werden können. Alle Lastgrößen und die Kräfte bzw. Momente in der zerschnittenen Fessel leisten bei der v. V Arbeit (die Kraftgrößen in den nicht zerschnittenen Fesseln leisten keine Arbeit!), und zwar eine Kraft jeweils auf der Verschiebung ihres Angriffspunktes in Richtung der Kraft und ein Moment an der Drehung derjenigen Scheibe, an der es wirkt. Bezüglich der Vorzeichen der virtuellen Arbeiten gilt: Arbeiten sind positiv, wenn Kraftgrößen und virtuelle Verrückungen den gleichen Richtungssinn bzw. Drehsinn haben. Andernfalls handelt es sich um negative Arbei ten. Aus der Bedingung, dass die virtuelle Gesamtarbeit gleich null sein muss, wenn sich die Konstruktion im Gleichgewicht befinden soll, ergibt sich eine Gleichung zur Berech nung der Kraftgröße in der zerschnittenen Fessel. Die praktische Durchführung dieser Überlegungen wird nun am Beispiel eines Trägers auf zwei Stützen mit Einzellast gezeigt. Zunächst soll die Auflagerkraft A (Abb. 7.07a) ermittelt werden. Es wird die entsprechende Auflagerkraft-Fessel zerschnitten und eine v. V ö3 = 11} erteilt (Abb. 7.07b), P leistet auf der Verschiebung ö2 = 0,5 negative Arbeit, während die Arbeit der Reaktionskraft A (oberer Pfeil) auf der Verschiebung ö3 = 1 Es handelt sich gedanklich um eine unendlich kleine Verschiebung, die aus zeichen technischen Gründen als endlicher Pfeil dargestellt wird.
177
7 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen, Beziehungen aus der Kinematik positiv ist. Die Aktionskraft A (unterer Pfeil) leistet keine Arbeit, da der Punkt 4 bei der v. V keine Verschiebung erfahrt. Damit ergibt sich: P • 0,5 + A • 1= 0;
A = 0,5P p
i
Abb. 7.07 Um M% zu ermitteln, wird die Biegemomenten-Fessel an der Stelle 2 zerschnitten, d. h., es wird dort ein Gelenk angebracht und das so „frei gewordene“ Biegemoment einge zeichnet (Abb. 7.08a). Die v. V ergibt sich, indem z. B. dem Punkt 2 eine Verschiebung ö2 = 1 erteilt wird. Die beiden Scheiben rechts und links des mittleren Gelenkes werden dadurch um die Winkel q>\ und cpu gedreht. Im vorliegenden Beispiel sind die Absolutbeträge der beiden Winkel gleich: 1
2
Der linke bzw. rechte Biegemomentenanteil leistet an der linken bzw. rechten Scheibe negative Arbeit (Drehsinn von Moment und Winkel verlaufen jeweils entgegengesetzt!), folgt aus der Gleichung P- l - M f - 2// - A/f - 2// = 0 P- 1 - M f (2/1 + 2/1) = 0;
M% = P -l/4 .
v.Z.
Abb. 7.08
Abb. 7.09
Für die Ermittlung von V3 ist die ^Fessel zu zerschneiden (Abb. 7.09a). Als v. V wird dem System gemäß Abb. 7.09b ein Wegsprung A<53 = 1 erteilt, der wegen der vorhande nen Linienführung senkrecht zur Stabachse verlaufen muss. Die beiden Scheiben links 178
7.4 Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen und rechts der Stelle 3 verlaufen nach der v. V parallel (vgl. auch 7.2.6). Aus dem Pr. d. v. V folgt: P • 0,5 + V3 • 0,75 + V3 • 0,25 = 0;
V3 = -0,5P
Beispiel 7-3 (Abb. 7.10) Man ermittle die Auflagerkraft A x Es wird die linke horizontale Auflagerfessel zerschnitten. Das so labile System (ein Freiheitsgrad) besteht aus den beiden Scheiben I und II (Abb. 7. 10a). Als v. V wird die Verschiebung ö { = l eingeprägt. Die Verschiebungen an den Lastangriffsstellen 3 und 4 werden mit Hilfe des „Satzes der gedrehten Verschiebungen“ bestimmt1 ihre Beträge werden aus einer maßstäblichen Zeichnung abgegriffen oder errechnet. Mit den Maßen nach Abb. 7.10b erhält man: ö4 = ö4 = 0,5 und nach Anwendung des Strahlensatzes öx3 = öz3 = 2,5 -0,5/4,5=0,28
Bei der Aufstellung der virtuellen Arbeiten beachte man, dass Pz3 = 1,5 kN auf dem Weg öz3 (z-Komponente von <53) Arbeit leistet. Aus der Bedingung, dass die Gesamtarbeit gleich null sein muss, folgt: Die Verschiebungen könnten auch auf Grund der Überlegung ermittelt werden, dass alle Punkte einer Scheibe die gleiche Drehung cp ausführen.
179
7 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen, Beziehungen aus der Kinematik -v4x - 1 -1 ,5 -0 ,2 8 -1 ,2 -0 ,5 = 0 A x = -0,42 - 0,60 = —1,02 kN Abschließend sei darauf hingewiesen, dass die kinematische Methode zur Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen nur angewendet werden sollte, wenn sich die Wege bzw. Drehungen der Kraftgrößen-Angriffsstellen auf einfache Weise ermitteln lassen. Das Verfahren hat gegenüber der statischen Methode den Vorteil, dass zur Ermittlung von Schnittgrößen vorher keine Auflagerreaktionen ermittelt werden müssen.
180
8 Einflusslinien 8.1 Vorbemerkungen Um den Grundgedanken einer Einflusslinie (E.L.) zu erläutern, wird ausgehend von bereits bekannten Rechenvorgängen folgende Überlegung angestellt: Belastet man z. B. einen Träger nach Abb. 8.01 mit einer Einzellast Pz0 = 1, so ergibt sich die Auflagerkraft A z = 1. Durch Belastung des Trägers nacheinander mit PzX = 1, Pz2 = 1 °der Pz3 = 1 entstehen folgende Auflagerkräfte: A z LPzi = U l) = 3/4;
A z LPz2 = 1J = 1/2;
Az L
P z3
= 1J = 0
Trägt man diese Werte für A z in einem Diagramm derart auf, dass die Größe der Auflagerkraft immer unter der entsprechenden Lastangriffsstelle angetragen wird, und verbindet man die Endpunkte der Auflagerkraft-Ordinaten, so erhält man die E.L. für die Auflagerkraft A z (Abb. 8.01b). Aus diesem Diagramm lässt sich die Größe von A z für jede beliebige Laststellung einer Einzellast Pz = 1 ablesen. Steht Pz = 1 z. B. an einer Stelle k, so istA z = rjk (Abb. 8.01b).
Pz - 7
a) a
'
b
x.fn
nz; m
Jz ;m
b)
AZ [PZ = 1an der Stelle mJ Abb. 8.01
Abb. 8.02
Allgemein gilt: Wandert eine Einzellast Pz = 1 über eine Konstruktion und befindet sie sich momentan an einer Stelle m (Abb. 8.02a), so gibt die Ordinate z. B. einer Auflagerkraft-Einflusslinie A z;m2) (Abb. 8.02b) an der Stelle m die Größe der Auflagerkraft A z bei dieser Laststellung an. Einflusslinien (E. L.) können für beliebige statische Größen (, Auflagerreaktionen, Schnittgrößen, Verformungen) aufgestellt werden, und zwar zu Wanderlasten P = 1 oder zu einem Wanderlastmoment 1.
Ax LPZ\ = 1J bedeutet: Az infolge Pz{ = 1 2) Az.m bedeutet: Auflagerkraft Az infolge einer wandernden Einzellastgröße, d. h. Einflusslinie der Auflagerkraft Az. In diesem Fall handelt es sich um eine Wanderlast Pz = 1.
181
8 Einflusslinien
8.2 Ermittlung von Einflusslinien auf kinematischem Wege Einflusslinien für eine Wanderlast Pz = 1 lassen sich bei Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen (Pr. d. v. V) auf kinematischem Wege sehr einfach ermitteln. Diese Methode bietet sich besonders dann an, wenn nur die Form einer Einflusslinie (ohne Maßstab!) benötigt wird. Da es sich bei Konstruktionen mit Wanderlasten sehr oft um Brückenbauwerke handelt, werden in den folgenden Ausführungen die Konstruktionsteile, auf denen Pz „wandert“ , als „Fahrbahn“ bezeichnet. Zu einer Wanderlast Pz = 1, die sich „momentan“ an der Stelle m der Fahrbahn befindet, soll die Einflusslinie (E. L.) für das Biegemoment an der Stelle i bestimmt werden (Abb. 8.03a).
Abb. 8.03
Gemäß Abschnitt 7.4 wird die Biegemomentenfessel an der Stelle i zerschnitten (Abb. 8.03b) und eine virtuelle Verrückung w-x = 1 eingeprägt (Abb. 8.03c). Aus der Bedingung, dass bei einem Gleichgewichtszustand die Summe der virtuellen Arbeiten gleich null sein muss (Pr. d. v. V), folgt: 1• wm -
1} • (p\ - M®m • (pu = 0 ((P\ + (P\\) = 0
Einflusslinie für das Biegemoment an der Stelle i infolge einer wandernden Einzel lastgröße (in diesem Abschnitt: Wanderlast Pz = 1).
182
8.2 Ermittlung von Einflusslinien auf kinematischem Wege Die Ordinaten der E. L. zu Kräften Pz ergeben sich somit als Wegkomponenten wm der Fahrbahnpunkte m bei einer v. V Wi = 1, multipliziert mit dem festen Wert 1 (pi + cpu
Der virtuelle Verschiebungszustand nach Abb. 8.03c stellt also die Form der E. L. M fm dar. Allgemein gilt: Die Ordinaten einer Einflusslinie Ci;m für eine Wanderlast Pz = 1 sind gleich den Wegkomponenten wm der Fahrbahnpunkte ra, die sich bei einem virtuellen Verschie bungszustand zur Ermittlung von Cx(vgl. 7.4) ergeben, multipliziert mit einem Faktor. Für die Zeichnung der Form einer Einflusslinie Ci;m ergeben sich folgende Arbeitsvor gänge: 1. Zerschneiden der Fessel, in der Cxwirkt. (Damit ist das System labil.) 2. Bestimmung aller Haupt- und Nebenpole. 3. Einprägen einer virtuellen Verschiebung an einer Stelle des Systems und Zeichnen des sich zwangsläufig ergebenden virtuellen Verschiebungszu standes (zwangsläufige kinematische Kette). Im Zusammenhang mit Punkt 3 beachte man: a) Im Bereich einer Scheibe verläuft die E. L. geradlinig. b) Unter den Hauptpolen der Scheiben, auf denen Pz = 1 wandert, haben die Ordinaten der E. L. den Wert null. c) Unter den Nebenpolen der unter b) bezeichneten Scheiben hat die E. L. Knickstellen. d) Unter einer Linienführung der unter b) angegebenen Scheiben hat die E. L. einen Sprung. Die durch eine Linienführung verbundenen Scheiben können sich nicht gegeneinander drehen. Die zu den beiden Scheiben gehörenden Geraden der E. L. verlaufen somit parallel. Ist die Form einer E. L. bekannt, so genügt für die Festlegung des Maßstabes die zahlenmäßige Angabe einer Ordinate. Oft lässt sich solch eine Ordinate ohne Rechnung angeben1}. Andernfalls wird empfohlen, die Auflagerreaktion bzw. Schnittgröße Q auszurechnen, wenn sich Pz = 1 an einer festen Stelle j befindet. Damit ist die Ordinate der E. L. an der Stelle j zahlenmäßig bekannt. Die Berechnung von Cx kann auf stati schem oder auf kinematischem Wege erfolgen (vgl. Kapitel 2, 3,4, 7). Nachfolgend werden für einige Systeme die Formen verschiedener E. L. ermittelt.
^ Bei einer E. L. Az;m ist z. B. die Ordinate der E. L. an dem Lager, an dem Az wirkt, gleich eins (vgl. Abb. 8.01).
183
8 Einflusslinien
Gerberträger Um die E. L. und Vi;m des in Abb. 8.04a dargestellten Gerberträgers zu zeichnen, wird zunächst die Biegemomenten- bzw. die Querkraftfessel an der Stelle i zerschnitten (Abb. 8.04b und c). Das System besteht jeweils aus drei beweglichen Scheiben. Die Pole können auf Grund der Angaben in 7.2 ermittelt werden. Unter Berücksichtigung, dass bei Hauptpolen „nullstellen“ , bei Nebenpolen Knicke und bei Linienführungen Sprünge entstehen, lassen sich die E. L. als „Plan der lotrechten Verschiebungen“ bei einer virtuellen Verrückung ohne Schwierigkeiten zeichnen. Bei Vi;m beachte man, dass die Geraden der E. L., die zu den Scheiben I und II gehören, wegen der Linienführung (infolge zerschnittener Querkraftfessel) parallel verlaufen müssen. "(+)
pz =i
z
a) *5T
X
m
~ sr
Abb. 8.04
Fachwerke Soll für das in Abb. 8.05a dargestellte Fachwerk die E. L. t/3;m zu einer Wanderlast Pz = 1 am Obergurt ermittelt werden, so ergeben sich nach Zerschneiden des Untergurtstabes U3 zwei bewegliche Scheiben. Dabei wird von der Tatsache Gebrauch gemacht, dass bei Fachwerken, die nur in den Knoten belastet sind, für die Berechnung näherungsweise ein Gelenkfachwerk zugrunde gelegt werden kann. Alle Stäbe sind somit als Pendelstäbe zu betrachten, d. h., sie erhalten nur Längskräfte. Die beiden Pole 1.0 und 1.2 können sofort angegeben werden; danach lässt sich Pol 2.0 eindeutig bestimmen (vgl. 7.2). Die Form der E. L. U3.m liegt fest, da bei einem virtuellen Verschiebungszustand unter 1.0 und 2.0 nullstellen auftreten und unter 1.2 ein Knick entsteht. 184
8.2 Ermittlung von Einflusslinien auf kinematischem Wege
Durch das Zerschneiden des Stabes V4 zerfallt das Fachwerk in vier bewegliche Scheiben (Abb. 8.05b). Die beiden Scheiben II und III bestehen jeweils nur aus einem Stab. Da Pz = 1 in Abb. 8.05b nur am Obergurt wandert, d. h. über die Scheiben I und II, ist für die Zeichnung der E. L. V4;m nur der virtuelle Verschiebungszustand dieser beiden Scheiben maßgebend. Es genügt also, wenn die Pole 1.0, 1.2 und 2.0 bekannt sind. Während 1.0 und 1.2 sofort anzugeben sind, müssen für die Ermittlung von 2.0 zunächst 4.0 und 2.4 bekannt sein. Nach Eintragung von 1.3, 3.4 und 2.4 in Abb. 8.05b ergibt sich, dass aus und
1.2,2.4 -> 1.4 1.3, 3.4 1.4
der Pol 1.4 im Unendlichen liegt. Aus 1.0, 1.4 —►4.0 und der Tatsache, dass 4.0 auf einer Senkrechten zum beweglichen Lager liegen muss, folgt, dass der rechte Lagerpunkt identisch mit 4.0 ist. Die Lage von 4.0 ergibt sich auch aus der Überlegung, dass der rechte Lagerpunkt unverschieblich ist, da er in vertikaler Richtung durch eine Lagerfessel und in horizontaler Richtung durch den Untergurt festgelegt ist. Der Hauptpol 2.0 folgt nun aus: 1.0, 1.2 - > 2.0 4.0,4.2 —►2.0 Somit kann die Form von V4.m bei einer Wanderlast Pz = 1 am Obergurt angegeben werden (Abb. 8.05b). Es sei hier nochmal festgestellt: 185
8 Einflusslinien Für das Zeichnen einer Einflusslinie ist der virtuelle Verschiebungszustand der Scheiben maßgebend, auf denen die Last Pz = 1 wandert.
8.3 Auswertung von Einflusslinien Ist die Einflusslinie einer statischen Größe Ci;m für eine Wanderlast Pz = 1 bekannt, so ergibt sich die statische Größe Cxinfolge einer L astP zl nach Abb. 8.06 zu (vgl. 8.1): Q = PZ\ -rjx Für die Lasten PZ\,P Z2 u nd /^3 nach Abb. 8.07 folgt: Q = P Z1 • r]\ +PZ2 ' tl2 + Pz3 **13
P Z1
1z
“2V
¿sr
Æ
1
Cl .m für Wanderlast P7 =1 Ci;m
Wander/ast Pz =1
Abb. 8.07 Abb. 8.06 Allgemein gilt für beliebig viele Lasten an den Stellen k(k = 1 , 2, 3 ... n): n
C \=
Z P zk-t!k
k=l
( 8 .01 )
Man beachte: Die Ordinaten rjk der E. L. sind mit Vorzeichen einzusetzen. Die Lasten Pzk sind positiv einzusetzen, wenn sie im Sinne der Wanderlast Pz = 1 wirken, d. h. in Richtung der positiven z-Achse. Wirken die Lasten Pzk entgegen der positiven z-Achse, so sind sie mit negativem Vorzeichen einzusetzen. Wird eine Konstruktion zwischen den Stellen a und b durch eine gleichmäßig verteilte Last qz beansprucht, so folgt: x=b
Cx= qz f
t](x) • dx = qz • A (a-b)
( 8.02)
Dabei ist A(a b) die Fläche zwischen den Stellen a und b, die die E. L. mit der Bezugsache bildet. Für eine beliebige Lastfunktion gilt: x=b
C \=
186
f
qz(x) ■t](x) ■dx
8.4 Ungünstigste Laststellungen Für Wanderlastgrößen Pz = 1 oder A/L= 1 lassen sich entsprechende Auswertformeln angeben.
Beispiel 8-1 Gegeben ist die E. L. A z;m für eine Wanderlast Pz = 1 (Abb. 8.08b). Man ermittle A z für die in Abb. 8.08a angegebene Belastung. Bei Anwendung der Gin. (8.01) und (8.02) ergibt sich: A z = 1,2 -0,75 + 2 -0,5 + 1,31 (-0,25- 1 -0,5) ¿ z = 0 ,9 + l,0 - 0 ,1 6 = l,7 4 k N
Pz i=1,2kN Pz 2 =2kN
qz ’ 1.31kN
m
a) jST /
/ -4-/77-
L ^ z l 0,25
b)
Abb. 8.08 Im Brückenbau ist es erforderlich, maximale statische Größen für wandernde Lastenzü ge (vgl. DIN-Fachbericht 101, Einwirkungen auf Brücken) zu ermitteln. Man muss bei der Auswertung einer Einflusslinie Ci;m den Lastenzug daher so aufstellen, dass sich für Q ein Größtwert ergibt. Das erreicht man im Allgemeinen ohne großen Arbeitsaufwand, indem man für verschiedene Stellungen des Lastenzuges die Gin. (8.01) und (8.02) auswertet. Den gesuchten Maximalwert erhält man also durch „systematisches Probie ren“ .
8.4 Ungünstigste Laststellungen Die Belastung von Bauwerken besteht meistens aus ständiger Last g (Eigenlast) und aus Nutzlasten q. Um die für die Bemessung der Bauwerke und der Fundamente erforderlichen Auflager und Schnittgrößen auszurechnen, muss die Belastung im Allgemeinen so angenommen werden, dass sich für die jeweils gesuchte statische Größe der Größtwert ergibt. Außer dem muss u. U. auch die Laststellung untersucht werden, bei der sich ein Kleinstwert ergibt. Zum Beispiel muss bei dem System der Abb. 8.09a untersucht werden, wie groß die kleinste Auflagerkraft A z (m in ^z) wird, um bei sich eventuell ergebendem negativen Az das entsprechende Lager gegen Abheben zu verankern. 187
8 Einflusslinien
t
-0
b)
1
+
j
1
2 x-/.a\2
1
ELA,
+
1^1 / -
El . V?
+
Abb. 8.09 Bei Hochbauten darf im Allgemeinen mit feldweise veränderlicher Verkehrslast ge rechnet werden. Somit stellt sich z.B. bei Einfeldträgern mit Kragarmen oder bei Trägem über mehrere Felder folgende Aufgabe: Vor der Ermittlung der maximalen Auflager- bzw. Schnittgrößen muss festgestellt wer den, in welchen Feldern für die Ermittlung einer bestimmten maximalen statischen Größe Verkehrslasten anzusetzen sind. Dieses Problem lässt sich sehr einfach mit Hilfe von Einflusslinien lösen, was nachfol gend an dem in Abb. 8.09a dargestellten System gezeigt wird. Aus den in Abb. 8.09b dargestellten qualitativen E. L. für eine Wanderlast Pz = 1 ergeben sich die in folgender Tabelle zusammengestellten Belastungsfälle:
188
8.4 Ungünstigste Laststellungen Ungünstigste Laststellungen1} für das System nach Abb. 8.09a Gesuchte statische Größe ma x A 7
Feld 1 belastet mit
Kragarm belastet mit
gu
gK
min A 7 min Aß, Feld max B7 max A 4F eld
gl g uV i
max A/?
g K,
gK, qK gK
g
mm inM ?
beliebig
gK, qK
min Q2.
guq\
gK, qK
max 02..
beliebig
gK, qK
Eigenlastg
Lastbild
Nutzlast q
Die Eigenlast g ist immer durchgehend als Belastung anzusetzen.
189
9 Kraftgrößenverfahren 9.1 Übersicht über Berechnungsmethoden für statisch unbestimmte Stabwerke Für die statische Berechnung von statisch unbestimmten Stabwerken gibt es drei grund sätzliche Verfahren, aus denen sich andere Berechnungsmethoden ableiten lassen: • Kraftgrößenverfahren • Verschiebungsgrößenverfahren • Reduktions- oder Übertragungsmatrizenverfahren Während das Kraftgrößenverfahren naturgemäß nur für statisch unbestimmte Systeme benötigt wird, sind die beiden anderen Verfahren für statisch bestimmte und unbe stimmte Systeme gleichermaßen anwendbar. Andererseits stellen Kraftgrößen- und Verschiebungsgrößenverfahren analoge Methoden dar, bei denen sich Aussagen für Kraftgrößen und Verschiebungsgrößen gegenüberstehen, wohingegen das Reduktions verfahren eine eigenständige Methode darstellt, bei der Kraft- und Verschiebungsgrößen gleichzeitig und gleichwertig auftreten. Im Einzelnen lassen sich die Verfahren wie folgt charakterisieren: Kraftgrößenv erfahren: • Unbekannte des aufzustellenden Gleichungssystems sind Kraftgrößen. • Der endgültige Zustand setzt sich aus Einzelzuständen zusammen, die die Gleichgewichts-, nicht aber die Verträglichkeitsbedingungen erfüllen. • Die unbekannten Kraftgrößen werden so bestimmt, dass im endgültigen Zu stand auch die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind. • Die Gleichungen des Gleichungssystems beinhalten Verträglichkeitsbedin gungen. Verschiebungsgrößenverfahren: • Unbekannte des aufzustellenden Gleichungssystems sind Verschiebungsgrö ßen. • Der endgültige Zustand setzt sich aus Einzelzuständen zusammen, die die Verträglichkeits-, nicht aber die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. • Die unbekannten Verschiebungsgrößen werden so bestimmt, dass im endgülti gen Zustand auch die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind. • Die Gleichungen des Gleichungssystems beinhalten Gleichgewichtsbedin gungen. • Im Spezialfall des schub- und dehnstarren Tragwerks kommen als Unbekannte nur noch Knoten- oder Stabdrehwinkel vor. Das in diesem Sinne vereinfachte Verschiebungsgrößenverfahren wird als Drehwinkelverfahren bezeichnet.
190
9.2 Feststellen der statischen Unbestimmtheit Reduktionsverfahren: • Kraft- und Verschiebungsgrößen werden völlig gleichberechtigt im Zustands vektor zusammengefasst, der auf eine bestimmte Stabschnittstelle bezogen ist. • Basis des Verfahrens ist die Übertragungsbeziehung; sie liefert den Zustands vektor am Stabende als Produkt aus Feldmatrix und Zustandsvektor am Stab anfang. • Nach Multiplikation aller Feldmatrizen erhält man ein Gleichungssystem mit höchstens 3 Unbekannten. • Im Gegensatz zu den beiden zuvor genannten Verfahren ist die Anzahl der Unbekannten unabhängig von der Anzahl der Stäbe oder Knoten des Stabzu ges. Im Folgenden wird beispielhaft das Kraftgrößenverfahren dargestellt und an Beispielen erläutert. Hinsichtlich der beiden anderen aufgezählten Verfahren wird auf die Literatur verwiesen, z. B. [ 12]—[ 14].
9.2 Feststellen der statischen Unbestimmtheit 9.2.1 Allgemeines Wenn ein statisch unbestimmtes Stabwerk mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens berech net werden soll, so muss man zunächst feststellen, wieviel zusätzliche Gleichungen neben den Gleichgewichtsbedingungen (Gl. B.) und den Nebenbedingungen (N. B.) aufgestellt werden müssen, um die statischen Größen des Systems berechnen zu können. Dies geschieht, indem man den Grad der statischen Unbestimmtheit bestimmt. Ist ein System z. B. 1-fach statisch unbestimmt, so muss eine zusätzliche Gleichung aufgestellt werden. Bei einem 3-fach statisch unbestimmten System müssen drei, bei einem «-fach statisch unbestimmten System n zusätzliche Gleichungen aufgestellt werden. Um fest zustellen, wie vielfach statisch unbestimmt ein Stabwerk ist, kann das Aufbaukriterium oder die Abzählformel verwendet werden.
9.2.2 Aufbaukriterium Man geht von solch einem statisch bestimmten System aus, das man durch Hinzufügen von Bindungen (Auflagerbindungen, innere Bindungen) zum gegebenen System auf bauen kann. Die Anzahl der hinzugefügten Bindungen ist identisch mit dem Grad der statischen Unbestimmtheit. Bei dem in Abb. 9.01a gegebenen System könnte man z.B. von einem statisch be stimmten Kragträger ausgehen (Abb. 9.01b). Um das gegebene System (Abb. 9.01a) zu erhalten, muss am rechten Ende des Kragträgers (Abb. 9.01b) ein bewegliches Lager, das heißt eine Auflagerbindung hinzugefügt werden (Abb. 9.01c). Das gegebene System ist also 1-fach statisch unbestimmt. Man sagt auch, der Grad der statischen Unbestimmtheit ist eins, oder in Kurzfassung: n = 1.
191
9 Kraftgrößenverfahren b)
a) I
7^_
c)
I
A bb. 9.01 Beispiel fü r das A ufbaukriterium I-------------------a)
^ --------------b)
_ÆT c)
A. d)
f)
Abb. 9.02 Statisch bestimmte Ausgangssysteme In den Abb. 9.02a bis f sind einige statisch bestimmte Systeme angegeben, die man als Ausgangsbasis für das „Aufbauen“ benutzen kann. In den Abb. 9.04 bis 9.11 wird an einigen Systemen gezeigt, wie man den Grad der statischen Unbestimmtheit mit Hilfe des „Aufbaukriteriums“ bestimmen kann. Aus dem jeweiligen Abbildungsteil c sind die dem statisch bestimmten Ausgangssystem (Abbil dungsteil b) hinzuzufügenden Bindungen zu entnehmen, damit wieder das gegebene statisch unbestimmte System (Abbildungsteil a) entsteht. Die Zahl der hinzugefügten Bindungen gibt den Grad der statischen Unbestimmtheit an. Zur Unterscheidung werden hinzugefügte Auflagerbindungen in der in Abb. 9.03 dargestellten Symbolik gezeichnet. Es sei darauf hingewiesen, dass die Drehbindung (gestrichelte Linie) senkrecht zur Zeichenebene, das heißt in Richtung des Einspannmomentenvektors, verläuft. Zur Ver deutlichung sind in den Abb. 9.05 bis 9.09 an den Stellen, an denen Bindungen hinzu gefugt wurden, Zahlen angegeben, die mit der Anzahl der hinzugefügten Bindungen übereinstimmen. W egbindung (Auflagerkraftbindung)
A ~À_ a)
b)
' D rehbindung (M om entenbindung)
Abb. 9.03 Symbole fü r Bindungen Betrachtet man z. B. den beidseitig eingespannten Träger nach Abb. 9.04a, so kann als statisch bestimmtes Ausgangssystem ein Kragträger gewählt werden (Abb. 9.04b). 192
9.2 Feststellen der statischen Unbestimmtheit Durch Hinzufugen von zwei Bindungen (1 Auflagerkraftbindung, 1 Momentenbindung) ist entsprechend Abb. 9.04c der Kragträger zu einem beidseitig eingespannten Träger „aufgebaut“ worden. Das System ist also 2-fach statisch unbestimmt (n = 2). a)
I------------- 'P
b)
c)
I--------------
I----------- ( n =2
Abb. 9.04 Beispiel fü r Aufbaukriterium
Da die Wahl des statisch bestimmten Ausgangssystems beliebig ist, könnte auch von einem Träger auf zwei Stützen nach Abb. 9.05 ausgegangen werden. Um einen beidseitig eingespannten Träger zu erhalten, müssten zwei Drehbindungen (Momentenbindungen) hinzugefügt werden (Abb. 9.05c). Auch so ergibt sich eine statische Unbestimmtheit von n - 2. a)
I
b)
r3
c)
^
J E ---------- 1 n=1+1=2
Abb. 9.05 Beispiel fü r Aufbaukriterium
Bei dem statisch unbestimmten Träger über vier Felder der Abb. 9.06a wird als Aus gangssystem ein Träger auf zwei Stützen gewählt (Abb. 9.06b). Durch Hinzufügen von drei Auflagerkraftbindungen entsprechend Abb. 9.06c kommt man zum gegebenen System. Der Grad der statischen Unbestimmtheit ist demnach drei (n = 3).
— A_ "
- " A.
... ... _‘ E_
_a _
A.
A_
A
1
I
11
11
A
n =1 + 1 + 1 = 3
Abb. 9.06 Beispiel fü r Aufbaukriterium Für den in Abb. 9.07a dargestellten Rahmen geht man z. B. von einem statisch be stimmten Kragträger mit mehreren geknickten Kragarmen gemäß Abb. 9.07b aus. Um das gegebene Rahmensystem (Abb. 9.07a) wieder herzustellen, muss zunächst der un tere Riegel mit dem rechten Stiel biegesteif verbunden werden. Damit sind drei innere Bindungen (Biegemomenten-, Querkraft- und Längskraftbin dung) angeordnet worden (Abb. 9.07c). Danach müssen noch am rechten Lager drei Auflagerbindungen (starre Einspannung) angeordnet werden (Abb. 9.07c). Insgesamt wurden also 3 + 3 = 6 Bindungen hinzugefugt, es handelt sich um ein 6-fach statisch unbestimmtes System (n = 6). Als statisch bestimmtes Ausgangssystem könnte man bei 193
9 Kraftgrößenverfahren
3 n=3+3=6 a)
b)
c)
Abb. 9.07 Beispiel fü r Aufbaukriterium diesem Beispiel auch zwei eingespannte geknickte Träger nach Abb. 9.08b wählen. Es müssten dann an zwei Stellen je drei innere Bindungen angebracht werden (Abb. 9.08c), um das gegebene System gemäß Abb. 9.08a zu erhalten. Es ergibt sich also auch auf diesem Wege als Grad der statischen Unbestimmtheit n = 6. 3 3 n=3+3=6
a) Abb. 9.08 Beispiel fü r Aufbaukriterium
b)
c)
Nach entsprechenden Überlegungen sind auch die Grade der statischen Unbestimmtheit der Systeme in den Abb. 9.09 bis 9.11 bestimmt worden. Es sei noch daraufhingewiesen, dass durch einen beidseitig gelenkig angeschlossenen Stab (Abb. 9.10c) eine statische Unbestimmtheit hinzukommt. Diese Tatsache ist verständlich, wenn man sich einen solchen Gelenkstab herausgeschnitten denkt. An jeder Schnittstelle (= Gelenkstelle) tritt als unbekannte Schnittkraft je eine Längskraft und je eine Querkraft auf. Da zur Be rechnung dieser vier Unbekannten jedoch nur drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung stehen, kommt durch das Anbringen eines Gelenkstabes eine statisch Unbe stimmte hinzu.
Abb. 9.09 Beispiel für Aufbaukriterium 194
9.2 Feststellen der statischen Unbestimmtheit
Abb. 9.10 Beispiel fü r Aufbaukriterium
K ----------- HL---------JUL----°----- ~K------- 1 --------------------7 T--------------TT-------0--------7 T ------------ ^1
T --------------------"K ---------- 0------------'K -----------------f \ 2
a) ^
c)
n=1+2=3 Abb. 9.11 Beispiel fü r Aufbaukriterium
9.2.3 Abzählformel 9.2.3.1 Allgemeine Stabwerke Um den Grad der statischen Unbestimmtheit eines korrekten Systems mit Hilfe einer Abzählformel zu ermitteln, zerlegt man das System durch Schnitte in Einzelscheiben. Scheiben dürfen keine geschlossenen Stabzüge enthalten. Es dürfen nur einfache Scheiben (Stamm mit Ästen) gemäß Abb. 9.12 verwendet werden. Es besteht aber auch die Möglichkeit, jeden einzelnen Stab als Scheibe zu betrachten. 195
9 Kraftgrößenverfahren Die Abzählformel lautet:
(9.01)
n = a +z -3 s Es bedeuten:
n a z s
Grad der statischen Unbestimmtheit Anzahl aller Auflagerbindungen (vgl. Abb. 9.13) Anzahl aller Zwischenbindungen in den für die Zerlegung in Scheiben notwendigen Schnitten (vgl. Abb. 9.14) Anzahl der Scheiben
1 Bindung a=1
Abb. 9.12 Scheibe
3 Bindungen a=3
2 Bindungen
a=2
Abb. 9.13 Auflagerbindungen
3
2
1
1
-h
(
— f—
n -1 z-3 (n -1 )
2
i
1
n z - 2 2 - 4
z= 3
l -o / n -1
z = 2( n - 1 )
z=2
Abb. 9.14 Zwischenbindungen
Beispiele In den folgenden Beispielen wird jeder einzelne Stab als Scheibe betrachtet. Abb. 9.07a: n = 2 -3 + ( 2 - 6 + 2 - 3 ) - 3 - 6 = 6 Abb. 9.09a: f l = 2 - 2 + (l - 6 + 2- 3 + 1 - 2 + 1 - 3 ) - 3 * 6 = 3 196
9.3 Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens Abb. 9.11a: n = (4 • 1 + 3 ) + (3- 3 + 1 - 2 ) - 3- 5 = 3
9.2.3.2 Fachwerke Der Grad der statischen Unbestimmtheit eines Fachwerks kann mit Hilfe der folgenden Abzählformel ermittelt werden: (9.02)
n = s + a -2 k Dabei bedeuten:
n s a k
Grad der statischen Unbestimmtheit Anzahl der Fachwerkstäbe Anzahl der Auflagerbindungen Anzahl der Knoten, einschließlich Auflagerknoten
Die Formel für allgemeine Stabwerke (9.01) ist selbstverständlich auch für Fachwerke anwendbar.
9.3 Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens 9.3.1 Allgemeines Zur Berechnung eines statisch unbestimmten Systems werden zunächst so viele Bin dungen (innere Bindungen oder Auflagerbindungen) gelöst, bis man ein statisch be stimmtes System erhält. An den Stellen der gelösten Bindungen treten infolge Belastung des Systems Relativverschiebungsgrößen auf. Aus der Bedingung, dass diese Relativ verschiebungsgrößen am gegebenen System gleich null sein müssen (da sie dort nicht vorhanden sind), lassen sich Gleichungen zur Berechnung der Kraftgrößen an den Schnittstellen aufstellen (Verträglichkeitsbedingungen). Danach kann man alle stati schen Größen des gegebenen Systems berechnen. Weitere Einzelheiten über den Grundgedanken des Kraftgrößenverfahrens werden in den beiden folgenden Abschnit ten am Beispiel eines Zweifeldträgers erläutert.
9.3.2 Auflagerkraft als statisch Unbestimmte Der in Abb. 9.15a dargestellte Träger über zwei Felder ist 1-fach statisch unbestimmt. Es wird das mittlere Auflager entfernt. Die Auflagerkraft wird somit zunächst gleich null gesetzt. Das entstandene sogenannte statisch bestimmte Grundsystem ist der in Abb. 9.12b dargestellte Träger auf zwei Stützen. An der Stelle b ergibt sich infolge der gegebenen Belastung q eine Durchbiegung w0. Am gegebenen System (Abb. 9.15a) kann jedoch an der Stelle b wegen des vorhandenen Lagers keine Durchbiegung auftreten. Dieser Fehler am statisch bestimmten Grundsystem kann korrigiert werden, indem an der Stelle b eine Gegenkraft B (statisch unbestimmte Auflagerkraft B) angebracht wird, die so groß ist, dass sich die Durchbiegungen an der Stelle b des Grundsystems infolge Last q (Abb. 9.15b) und infolge B (Abb. 9.15c) aufheben. 197
9 Kraftgrößenverfahren Da die gesuchte Auflagerkraft B (statisch Unbestimmte) noch unbekannt ist, wird sie zunächst gleich 1 gesetzt (B = 1, vgl. Abb. 9.15d). Die wirkliche Größe von B ergibt sich aus der Bedingung, dass die Durchbiegung an der Stelle b infolge der Belastung q am gegebenen System gleich null sein muss (Abb. 9.15a). q
/ Biegelinie (qualitativ)
t...l .. L....1 . i... L..J..1 .1 t i
I I.I
a _ A r ~ -----------------
, ------ i s -
i ------ 4 °
a) 1 fach statisch unbestim m tes System mit Belastung q
b
/V
i i j r i i i i \ \ i i i i r~r~1 ■^ b) Statisch bestim m tes G rundsystem mit B elastung q
Wn B c) Statisch bestim m tes G rundsystem mit E in zella st B (zun äch st noch unbekannte Auflagerkraft B)
Wi a _Ä7 B -1 d) Statisch bestim m tes G rundsvstem mit E in ze lla st B -1
Abb 9.15 Zweifeldträger; Auflagerkraft B als statisch Unbestimmte eingeführt Diese Verträglichkeitsbedingung ist erfüllt, wenn w 0 = W \B
(9.03)
ist (Abb. 9.15b und d). Daraus folgt: B= w0
198
Wo
(9.03a)
W\
Durchbiegung an der Stelle b infolge der Belastung q (durch Fußzeiger 0 gekennzeichnet) am statisch bestimmten Grundsystem (Abb. 9.15b)
9.3 Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens W]
Durchbiegung an der Stelle b infolge Belastung B — 1 am statisch be stimmten Grundsystem (Abb. 9.15d)
Mit den Bezeichnungen des Kraftgrößenverfahrens (vgl. Abschnitt 9.4): B=Xy
Wi =Öu W0 = —¿10 lautet (9.03a): Y -— A\ - ¿jo du
(9.03b)
Im Folgenden wird (9.03a) ausgewertet. Aus [3], S. 4.2, Zeile 1 folgt:
__L J_ „ M - i ü
.4
W° E I ' 384 q ^ E l ' 384 q und entsprechend aus Zeile 6:
Damit folgt aus (9.03a) 1 80 ^ EI ' 384 q _ . J_ _8_ 3 _ 1 ’° ^ (9.03c) T i ’ 48 Z Nun lassen sich auch die Auflagerkräfte A und C mit Hilfe der Gleichgewichtsbedin gungen (z. B. (LM)C = 0 und (LM )a = 0) ermitteln und ebenso durch entsprechende Schnitte alle beliebigen Schnittgrößen (vgl. Kapitel 2 und 4 und [4]). B_
t i t i ) ) i i t ) i t j i T ~ n a _£r~7T ^a_c
i
------ X
s -
a i r"> t ) t -3 C ------------------------d )
,
------ 4 C
a)
b)
| A = 0 ,3 7 5 ql Abb. 9.16 Zur Berechnung von A und MB
199
9 Kraftgrößenverfahren Als Beispiel wird das Stützmoment an der Stelle b ermittelt. Aus Abb. 9.16a folgt: (ZAOe = 0:
-A 2 l +q 2 ll-B l = 0 A = 21 (2 q[2 ~ 1,25 ^/2) = 0,375 ql
Aus Abb. 9.16b folgt: (LM)b = 0:
-0 ,3 7 5 q ll + ql l~ + M h = 0 M b = -0,125 ql2
9.3.3 Stützmoment als statisch Unbestimmte Der in Abb. 9.17a dargestellte Zweifeldträger kann auch berechnet werden, wenn man als statisch bestimmtes Grundsystem einen Gelenkträger nach Abb. 9.17b wählt. Im Gegensatz zum gegebenen System (Abb. 9.17a), dessen Biegelinie infolge q an der Stelle b ohne Relativverdrehung durchläuft, hat die Biegelinie des gewählten statisch be stimmten Grundsystems an der Stelle b einen Relativdrehwinkel der Querschnitte, der sich gemäß Abb. 9.17b berechnet aus A(p = (p{ + (p2
(9.05)
Im Sonderfall gleicher Stützweiten ist
und damit
Acp = 2cp
(9.05a)
Diese Relativverdrehung Acp am statisch bestimmten Grundsystem, die am gegebenen System nicht auftreten kann, muss rückgängig gemacht werden, indem an der Stelle b ein MomentenpaarX! angebracht wird (Abb. 9.17c). Die Größe von X\ ergibt sich aus der Bedingung, dass sich die Relativverdrehungen aus q und ausXj am statisch bestimmten Grundsystem aufheben müssen. U m Ji zu berechnen, wird zunächst die Relativverdrehung infolge X\ = 1 an der Stelle b ermittelt und mit Aa bezeichnet (Abb. 9 .17d) Aa = a 1+ a 2
(9.06)
Im Sonderfall gleicher Stützweiten folgt wiederum a i = a2 = a
und damit
Aa = 2a
(9.06a)
Die vorher erläuterte Bedingung, dass sich die Relativverdrehungen aus q und X\ aufheben müssen, ergibt A „ A aX \ = A(p
Relativverdrehung an der Stelle b infolge X x = \ 200
Relativverdrehung an der Stelle b infolge Belastung q
9.3 Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens qx
i i i. 1 i \ i i i l
^Biegelinie (qualitativ)
\ \ ) r \ 1 )
a_A_' - ---------- - " I A
ß
4C
a) 7fach statisch unbestim m tes Syste m mit Belastung (Gleichstreckenlast q)
^ L -a < p =(p1 +(p2
i i i ) ) rn ~ r aj s r ~ .
e
h
h
h
d
_______ . - - '_A_C
b) Statisch bestim m tes G rundsystem mit B elastung
X«
----
z) Statisch bestim m tes G ru nd system mit B elastung durch ein M o m en te n p a a rX 1 (zun äch st noch unbekannt) X ,= 1
JT a1
a'
àa = a 1 +a 2
d) Statisch bestim m tes G rundsystem mit M om entenbelastung X t =7
Abb. 9.17 Zweifeldträger; M om entXx an der Stelle b (Stützmoment) als statisch Unbestimmte eingeführt Aus der obigen Gleichung folgt: Y
=
1
A
(9.07)
In der Schreibweise des Kraftgrößenverfahrens Acp = - ö l0 Aoc = ön lautet (9.07): (9.07a)
201
9 Kraftgrößenverfahren Damit ist die statisch Unbestimmte X 1? die dem Biegemoment an der Stelle b (Stützmo ment) entspricht, bekannt. Die Acp- und Aa-Werte können z. B. mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte (Arbeitsgleichung) ermittelt oder aus Tafeln entnommen werden. Nach [7], S. 4.26, Zeile 1, ergibt sich gemäß (9.05a) und (Abb. 9.17b): 2 ,3 A(p = 2o 1— ■ —1 ,3 ql = —-1 •— ¿y/ r E I 24 H E I 24 H und nach Zeile 15 gemäß (9.06a) und Abb. 9.17d: a Aa = 2 o—1 U • — 1= — • -2 / EI 3 EI 3 In (9.07) eingesetzt:
-1
A
r
,3
E l ' 24 q ql2 X x~ _1_ 2 “ g (9.071)) EI ' 3 Nun lassen sich alle Auflager- und Schnittgrößen berechnen. Zur Kontrolle soll die bereits mit (9.03) ermittelte Auflagerkraft B berechnet werden. Belastet man das statisch bestimmte Grundsystem mit q undX! (Abb. 9.18a), so ist es in statischer Hinsicht mit dem gegebenen System (Abb. 9.17a) identisch. Alle Rechnungen können also am Grundsystem durchgefuhrt werden. Aus Abb. 9.18b folgt mit (£M )h = 0: -A l + ql2/2 - ql2/% = 0 A = ~ - \ ql2 = 0,375 ql l 8 Aus Symmetriegründen ist: C = A =0,375 ql
x ,- X a
a \« —
i —
i... i... L ^
—
x a l2 bW 8
A M-----l ----------M Abb. 9.18 Zur Berechnung der Auflagerkräfte
202
i ---------- 4 c
9.4 Allgemeine Darstellung des Kraftgrößenverfahrens EFV= 0:
- A - B - C + q l2 = 0
->
B = 1,25 ql
Dieser Wert stimmt mit dem in (9.03c) ermittelten überein.
9.4 Allgemeine Darstellung des Kraftgrößenverfahrens 9.4.1 Statisch bestimmtes Grundsystem Soll der in Abb. 9.19a mit einem allgemeinen Belastungszustand (Einwirkungen)!) dargestellte Rahmen berechnet werden, so ist zunächst der Grad der statischen Unbe stimmtheit zu bestimmen. Wendet man dazu das Aufbaukriterium an (Abschnitt 9.2.2), so kann man als statisch bestimmtes Ausgangssystem einen Dreigelenkrahmen wählen (Abb. 9.20b). *1
1 /
-w -
-M -
X,
A
A
A
a)
b)
Xi
A A
2Ä
c)
Abb. 9.19 Rahmen mit verschiedenen statisch bestimmten Grundsystemen Durch Hinzufügen einer Biegemomentenbindung im Riegel (Gelenk entfallt damit) und Einziehen eines Pendelstabes (Abb. 9.20c) erhält man wieder das gegebene System, da Abb. 9.20a und 9.20c identisch sind. Der Grad der statischen Unbestimmtheit ist n = 2.
n=1+1=2
A
a)
A
A
b)
A
A
c)
A
Abb. 9.20 Ermittlung der statischen Unbestimmtheit mit Außaukriterium Als nächster Schritt muss ein statisch bestimmtes Grundsystem gewählt werden, das heißt, es müssen bei dem gegebenen System zwei Bindungen gelöst werden.
Unter einem allgemeinem Belastungszustand sollen folgende Lastfälle verstanden werden: Lastgrößen, Temperatur, eingeprägte Verschiebungsgrößen (z. B. Lagersenkung, Anspan nen eines Spannschlosses), Schwinden, Kriechen.
203
9 Kraftgrößenverfahren Allgemein gilt: Ist ein System «-fach statisch unbestimmt, so müssen zwecks Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems n Bindungen (innere Bindungen bzw. Auflagerbindungen) gelöst werden. Dabei ist jedoch Folgendes zu beachten: 1. Es darf nicht ein Teil des Systems statisch unbestimmt und ein Teil kinematisch (beweglich) sein. 2. Die Gleichgewichtsbedingungen müssen erfüllbar sein. Dies ist z. B. nicht der Fall bei einem Dreigelenkrahmen, dessen drei Gelenke auf einer Geraden liegen. Man spricht hier auch von „wackeligen“ Systemen. Das zu wählende Grundsystem soll zunächst nur die oben genannten Bedingungen erfüllen. Später, im Abschnitt 9.7, wird darüber hinaus die Frage nach einer zweckmä ßigen Wahl von Grundsystemen gestellt. In Abb. 9.19b bis d sind drei von vielen Mög lichkeiten für die Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems dargestellt. An den Schnittstellen sind die statisch Unbestimmten X\ m\&X2 eingezeichnet. In Abb. 9.19b sind z. B. die Biegemomentenbindung in der Riegelmitte und die Längskraftbindung im Stab a b gelöst worden. In Abb. 9.19c wurden die Längskraftbindung des Stabes a b und die Bindung der rechten horizontalen Auflagerkraft gelöst, in Abb. 9.19d die Biegemo mentenbindung in Riegelmitte und die rechte horizontale Auflagerbindung.
9.4.2 Überlagerung und Überlagerungsformel Es soll zunächst unterstellt werden, dass die statisch Unbestimmten X x und X 2 bereits bekannt seien. Man erhält dann die gleichen statischen Größen wie am gegebenen 2-fach statisch unbestimmten System, wenn man das statisch bestimmte Grundsystem folgen dermaßen belastet: 1. mit den Einwirkungen (Belastung) 2. mit den statisch Unbestimmten X\ und X 2 und diese Belastungszustände überlagert. Für die in Abb. 9.19b bis d dargestellten Grundsysteme ist die Überlagerung der Ein wirkungen mitXj xxndX2 in den Abb. 9.21b und c dargestellt. Wird dieser Gedankengang der Überlagerung formelmäßig dargestellt, so ergibt sich z. B. für eine an einer Stelle j zu ermittelnde Querkraft: Vr
204
Vh0+VhXX { + Vh2X 2
(9.08)
9.4 Allgemeine Darstellung des Kraftgrößenverfahrens
L______A____L I
—
_ A _
— statisch bestimmtes Grundsystem
gegebenes System
A 1
A
A
/,
1 -Ih -q
^
i hr
statisch bestimmtes ^ Grundsystem
gegebenes System
statisch bestimmtes Grundsystem
2 A
2
Â
+
--------- f f-—c statisch bestimmtes ^ Grundsystem
2Ä
%
gegebenes System
A
statisch bestimmtes Grundsystem
2Â
2 l
2A a)
statisch bestimmtes ^ Grundsystem
b)
c)
A bb. 9.21 Überlagerung nach Kraftgrößenverfahren Es bedeuten: Vj Querkraft an der Stelle j des 2-fach statisch unbestimmten Systems Vj o Querkraft an der Stelle j des statisch bestimmten Grundsystems infolge Einwirkungen (Zustand 0) Vj j Querkraft an der Stelle j des statisch bestimmten Grundsystems infolge Xi = 1 (Zustand 1) Fj 2 Querkraft an der Stelle i des statisch bestimmten Grundsystems infolge X 2 = 1 (Zustand 2) Für eine beliebige Zustandsgröße C} an einem «-fach statisch unbestimmten System lautet die Überlagerungsformel: 205
9 Kraftgrößenverfahren
q =Cj,o+Cj'iXi +q t2x 2+Cj,3X3+... q,ä
(9.09)
Auf der rechten Seite der Gleichung weist der 1. Index von C auf die Stelle, der 2. Index auf den Zustand hin. In vereinfachter, mit den Zuständen formulierter Schreibweise ergibt sich: © = ® + © . x 1+ ® . x 2 + @ . x 3 + . .. © .x n
(9.09a)
® © (T) @
Wirklicher Zustand (am statisch unbestimmten System) Zustand am statisch bestimmten Grundsystem infolge Einwirkungen Zustand am statisch bestimmten Grundsystem infolge X\ = 1 Zustand am statisch bestimmten Grundsystem infolge X 2 = 1
©
Zustand am statisch bestimmten Grundsystem infolge X n = l
9.4.3 Verträglichkeitsbedingungen als Bestimmungs gleichungen des Kraftgrößenverfahrens Um die Verträglichkeitsbedingungen an den Stellen der statisch Unbestimmten allge mein formulieren zu können, wird definiert: Relativverschiebungsgrößen
Relativverschiebungen
Relativverdrehungen
Mit Hilfe der Überlagerungsformel (9.09) ergeben sich für ein 2-fach statisch unbe stimmtes System (Abb. 9.21a) die Gleichungen für die den statisch Unbestimmten X\ undX2 zugeordneten Relativverschiebungsgrößen 8 { und ö2: 8 x= 8 lQ+ 8 n X x+ 8 X7X 2
(9.10)
82 = ¿20 + 82\X X+ ¿22^2
(9.1 1)
Aus der Abb. 9.21a ist jedoch ersichtlich, dass an dem gegebenen 2-fach statisch unbe stimmten System an den Stellen 1 und 2 keine Relativverschiebungsgrößen auftreten können, da hier keine Bindungen gelöst sind. Das bedeutet: 5j=0 ¿>2 = 0 Damit folgen aus (9.10) und (9.11) die Verträglichkeitsbedingungen
206
9.4 Allgemeine Darstellung des Kraftgrößenverfahrens (9.10a) (9.11a)
^ ¿ , i + ^ i 2 + 5io = 0 -^1^21 X 2&22 ^20 = ö Es bedeuten: ¿11
Relativverschiebungsgröße, die X\ zugeordnet ist, infolge Belas tungszustand X x = 1 am statisch bestimmten Grundsystem ö \2 Relativverschiebungsgröße, die X x zugeordnet ist, infolge Belas tungszustand X 2 = 1 am statisch bestimmten Grundsystem ¿10 Relativverschiebungsgröße, die X l zugeordnet ist, infolge Einwir kungen am statisch bestimmten Grundsystem £>2 1, ^22, ^20 sind analog die Relativverschiebungsgrößen, die X 2 zugeordnet sind Der erste Fußzeiger gibt die Zuordnung zur entsprechenden statisch Unbestimmten, das heißt Stelle und Art der Relativverschiebungsgröße an, der zweite Fußzeiger gibt die Ursache der Relativverschiebungsgröße an. Mit (9.10a) und (9.11a) stehen zwei Gleichungen zur Berechnung der statisch Unbe stimmten X\ xmdX2 zur Verfügung. Für ein «-fach statisch unbestimmtes System ergeben sich n Gleichungen (Verträglich keitsbedingungen) und somit folgendes Gleichungsschema:
(9.12)
Die z-te Elastizitätsgleichung lautet: *i<5n +X 2(5l2 + ... X f a +
X A +... Xn(5in + ¿i0 = 0
(9.12a)
Es bedeuten: <5lk
Relativverschiebungsgröße, dieX\ zugeordnet ist, am statisch bestimmten Grundsystem infolge X k = 1 (Zustand k) Relativverschiebungsgröße, d ieX x zugeordnet ist, am statisch bestimmten Grundsystem infolge Einwirkungen (Zustand 0)
207
9 Kraftgrößenverfahren Nach dem Satz von Maxwell/Betti (vgl. [2]), gilt: = ¿ki Daraus folgt, dass die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems symmetrisch zur Hauptdiagonale ist, vgl. (9.12).
to CO cn I
1
1 C* 4*. O
i cn
►S* 45-
CO cn
O) CO CO
CO 4^
CO
to
/ Co CO
Oo CO to
^55.
LD
^54
.......................................... ....................... 1 0
<^53
x 4
=
0 CO
¿*52
.^45
0
¿>43
-¿>20
11
_<^51
42
1
S
^25
1
84i
^24
kT
^23
11
^ 22.
1
$21
1
... ---------
!
In Matrizenschreibweise lautet z. B. das Gleichungssystem für ein 5-fach statisch unbe stimmtes System:
9.4.4 Ermittlung der Koeffizienten <5ik und der Lastglieder ¿¡o1^ 9.4.4.1 Allgemeines Die Ermittlung der Relativverschiebungsgrößen <5ik und ¿i0 erfolgt im Allgemeinen mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte (PvK). Die hierfür anzusetzenden virtuellen Kraftgrößenzustände sind identisch mit den bereits vorliegenden Zuständen X x= 1. Wird z. B. zur Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems an einer Stelle 1 ein Gelenk eingefuhrt und damit als statisch Unbestimmte ein Biegemoment X u so wäre zur Be rechnung der Relativverdrehung ¿)10 ein virtuelles Momentenpaar der Größe 1 einzuset zen. Wird dagegen eine Querkraft- oder Längskraftbindung gelöst und als statisch Unbe stimmte X\ eine Querkraft bzw. Längskraft eingeführt, so wäre zur Berechnung der Relativverschiebung ö l0 die Querkraft bzw. Längskraft der Größe 1 (entspricht X x = 1) als virtueller Belastungszustand anzusetzen. Für die Berechnung der <5ik- und der <5i0-Werte gilt zusammenfassend: <5io
virtuelle Belastung: X x= 1 wirkliche Belastung: Einwirkungen
<5ik
virtuelle Belastung: X x= 1 wirkliche Belastung: X k = 1
Zur Berechnung von öa ist demnach sowohl die virtuelle Belastung als auch die wirkliche B elastu n g ^ = 1. Den folgenden Abschnitten 9.4.4.2 und 9.4.4.3 sind die Berechnungs formeln der <5ik- und der ¿i0-Werte zu entnehmen.
1) Die Kenntnis von Verfahren zur Berechnung von Verformungen, besonders des Prinzips der virtuellen Kräfte (PvK) wird vorausgesetzt. Siehe z. B. [2], [3], [14].
208
9.4 Ermittlung der Koeffizienten und der Lastglieder Es sei nochmals daraufhingewiesen, dass die ¿ik-Werte nur systemabhängig und nicht belastungsabhängig sind. Dagegen sind die Lastglieder <5i0 vom System und von der Belastung abhängig. Manchmal ist es zweckmäßig, die <5i0-Werte nicht mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte (PvK), sondern auf Grund von geometrischen Überlegungen zu berechnen (vgl. z. B. Beispiel 9-2). Um hierbei zu gleichen Ergebnissen zu kommen, muss die positive Richtung der Relativverschiebungsgröße öi0 mit der positiven Richtung wonX{überein stimmen (Abb. 9.22).
—
&
—
a . a) positive Relativverdrehung
___________ j/ Q " SiO=
I,
J Z -----------------
b) positive R ela tivversch ieb un g
Si O = u u ~ u o
Abb. 9.22 Positive Relativverschiebungsgrößen
9.4.4.2 Systeme mit starrer Lagerung a) Belastung durch Lastgrößen Handelt es sich bei einer vorliegenden Einwirkung nur um Lasten und Lastmomente, so ergeben sich für die Berechnung der <5ik- und <5i0-Werte gemäß PvK folgende Gleichun gen (vgl. auch [2])1}:
EI
EA
(9.13) (9.14)
Auf den Querstrich über den Größen des virtuellen Zustandes gemäß [2] wird im Folgen den verzichtet, da der virtuelle Zustand jetzt durch den Zustand i gekennzeichnet ist.
209
9 Kraftgrößenverfahren Z
Summe über alle Stäbe s des Systems
/ Mi Mk M0 Nk, N0
Integral über die Länge des Einzelstabes s Biegemomentenfunktion infolge (virtueller) B elastung^ = 1 Biegemomentenfunktion infolge (wirklicher) Belastung X k = 1 Biegemomentenfunktion infolge der (wirklichen) Einwirkung entsprechend wie Mi? Mk, M 0
Beispiel 9-1 Man ermittle die Zustandslinien M und V für den in Abb. 9.23a dargestellten Zweifeld träger. £7 ist für beide Felder gleich. Die Aufgabe wird wie folgt gelöst: 1. Feststellen des Grades der statischen Unbestimmtheit (Abschnitt 9.2) 2. Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems (Abschnitt 9.4.1) 3. Ermittlung der M-Linien für die Zustände 0 und i (am statisch bestimmten Grund system) 4. Berechnung der <5ik- und (5i0Glieder (Abschnitt 9.4.4) 5. Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems für X xgemäß (9.12) 6. Ermittlung der endgültigen Zustandsgrößen: 1. Möglichkeit: Überlagerung gemäß (9.09), Abschnitt 9.4.2 2. Möglichkeit: Am statisch bestimmten Grundsystem werden die Einwirkungen und gleichzeitig alle X\ angebracht. Für diesen resultierenden Zustand können die gesuchten Größen berechnet werden.
q-20 kN/m
\p=30kN
f t t ) t I --------- j s b ------------ j f
M 4m
2,5 .,.
EI=8170kNm2 a)
2,5. .
b\ D)
------------- f l
* + - 4 m —►+«— 5 m — w c)
Abb. 9.23 Beispiel 9-1 mit statisch bestimmtem Grundsystem Zu 1) Feststellen des Grades der statischen Unbestimmtheit: Nach Abschnitt 9.2 ergibt sich n = 1. Zu 2) Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems: Das gegebene System wird durch Einführung eines Gelenkes an der Stelle b statisch bestimmt gemacht (Abb. 9.23b). Dort wird das statisch unbestimmte Moment X\ angetragen (Abb. 9.23c); die Stelle b wird damit auch zur Stelle 1. Zu 3) M-Linien für die Zustände 0 und 1 (Abb. 9.24a und 9.24b). Zu 4) Berechnung der Werte <510 und Sn mit Hilfe von (9.13) und (9.14) und der Tafel 9.01: 210
9.4 Ermittlung der Koeffizienten und der Lastglieder q=20 kN/m
\p = 3 Q m /
) ) t l l
\
X ,=1
ST ..
4m
40 kNm
■ fc s f 4 m-
. . . 2 , 5 . . . 2,5
-5 m
37,5 kNm
/
\
b)
Abb. 9.24 Beispiel 9-1: M-Linien M 0 und Mj fü r die Zustände 0 bzw. 1 E I 5 io= I /M ,M odx
E I5 U = X ¡M iM idx
Zu 5) Aufstellen und Lösen der Gleichung (9.12) *,5ii+£,o = 0 öi\
EIö 11
3,00
Hinweis: Bei gleichem E I aller Stäbe und Belastung nur durch Lastgrößen braucht E I nicht bekannt zu sein, da es in den Gleichungen gekürzt werden kann.
211
9 Kraftgrößenverfahren Tafel 9.01
Integrale
fM (x) M(x) dx = Tafelwert • /
(Alle M, M sind mit Vorzeichen einzusetzen)
M,
1\ M - y61
M
yr*"5i I« •!* •! M uM
M Mi
M *M ¿
MM MM;
6
M l+M k
2M j+ M u . . ---- l------ ß-M6 1
MMh
M jM k
MM
M
2
î^ M M 6
1
l- f M M k
6 MiMj+MkMn
M..+2M, ~2M,+Mh Mi+Mk Mr l K Mh M 6 MxM ^M kMx M-aßPl 1+a
MkM
1+y
a
MM
a>y\
Üß2-l 3 ß 2- l
6
al . ßl
M iM
l-3a"
■MkM ~~a\M M
1-a 2 c2 MM 6 ßr baö l-3a2-<52 j-j---- MM
Mi + a
a>y\ —
Ql
-hT
MkM
,M M
Mi+MkM
1+yö
M¿M
MkM 12
MM
3M:+M hl. .
1+S+S‘
M ¿M ~ Ï 2~
M uM
MM
M :M 2 —t— 15
,MkM 60
MM
7 —5— 60
,M * M ' 15
MM
M jM
M kM
MM
M = - q l 2/2
hh Tr l..I...I ---- qr l ...k * M = -q l /¿ ~ M
'M =ql76
MM
M = q l /6' M = - q l /6
M j+3M kM 12
SMi+7Mk M 60
MM
* quadratische Parabel
12
1+5 (7
20 ^3
MM MM
MM
7ikf;1+SMu _ _ ---3± L fl ~v 2) m m 60 20 v3 7 > 4 M j+ M k , ,
20
^Ö ~
hT horizontale Tangente 212
M kM
MM
12
20
M tM M = - q l /6
----MM
M ¿M M = ql /8
Qi M
M ,k)
M¿+4Mfc
20
M
H ( 1 + 5 2)M M ^ d + r 2)M M
** kubische Parabel
9.4 Ermittlung der Koeffizienten und der Lastglieder Zu 6) Ermittlung der Zustandslinien: 1. Möglichkeit: Die Zustandslinien am gegebenen statisch unbestimmten System werden entsprechend Abschnitt 9.4.2 durch Überlagerung der Zustandslinien am statisch bestimmten Grundsystem aus den Einwirkungen (Abb. 9.25a bzw. d) und aus M\ • X\ (Abb. 9.25b) bzw. V\ • X x (Abb. 9.25e) bestimmt. Die endgültige MLinie ist der Abb. 9.25c und die endgültige V-Linie der Abb. 9.25f zu entnehmen. 2. Möglichkeit: Die Einwirkungen (Abb. 9.23a) und die ermittelte statisch Unbe stimmte X\ = -33,4 kNm werden gleichzeitig am statisch bestimmten Grundsys tem (Abb. 9.23b) als Belastung angebracht. Daraus ergeben sich nach Anwendung des Schnittprinzips die endgültige M- und J^Linie.
q = 2 0 kN/m mirrr/i
I
\p =3 0 kN
a _ A : -----------y R --------------------------- A c
..... 4 m....7. .____ . 2 ,5 40 kN m \
2,5
X,=-33,4 kN m
-¿L-'- '— k - C - .......... -A . m—4 m — — 5 m — m
37,5 kN m jL
b)
Mr X 1
K. co"
o$
endgültige I/-Lin ie
Abb. 9.25 Beispiel 9-1: Endgültige M- und /^Linie
b) Belastung durch Lastgrößen und andere Einwirkungen Da die ¿ik-Glieder nur systemabhängig und nicht belastungsabhängig sind, gilt weiterhin (9.13). Bei den Lastgliedern <5i0 sind jedoch gegebenenfalls weitere Einwirkungen wie Temperatur, Anspannen eines Spannschlosses und eingeprägte Verschiebungsgrößen zu berücksichtigen:
213
9 Kraftgrößenverfahren
[XI <» II o +
dx
X /Mi S
™
otTdx +
X ¡N{r schaTdx
S + ^sp,i ¿sp AVfi <5V+ A h i ¿h + Mp cpQ+ Mj i
(9.15)
Mi, M0, M, TVo siehe Erläuterung zu (9.13) und (9.14) Tu, T0 Temperaturänderung an der unteren bzw. oberen Stabseite (untere Stabseite = Seite, an der sich die „Zugfaser“ befindet) h Querschnittshöhe aT Temperaturdehnzahl Tsch Temperaturänderung im Schwerpunkt des Stabquerschnitts TVsp i Längskraft an der Stelle, an der sich ein Spannschloss befindet, im Zu stand i ösp Spannweg, negativ, wenn das Spannschloss angespannt wird A 1 Auflagerkräfte im Zustand i, ^_______ j y. positiv gemäß Skizze ¿h 1 eingeprägte Verschiebungen an Lagern <5® (z. B. Lagersenkung) in horizontaler bzw. vertikaler Richtung, positiv gemäß Skizze Mp Einspannmoment im Zustand /, positiv entgegen Uhrzeigersinn (f eingeprägte Verdrehung der Einspannung, positiv im Uhrzeigersinn Mj j Moment an der Stelley (des Knickwinkels) # Mjj ^ im Zustand z, positiv gemäß Skizze (^— 4— ) (ßj eingeprägter Knickwinkel an der Stelle j, positiv gemäß Skizze aX
Beispiel 9-2 Für das in Beispiel 9-1 erechnete und in Abb. 9.23a dargestellte System sollen zwei weitere Lastfalle untersucht werden: a) Der Träger wird an der Unter- und Oberseite unterschiedlich erwärmt (Abb. 9.26a). Querschnittshöhe und Temperaturverteilung siehe Abb. 9.26e. Die Temperaturdehnzahl beträgt: ocT = 1,2 • IO-5 °C_1. b) Das Lager an der Stelle c wird mit Hilfe einer Presse (Abb. 9.27a) um 0,05 m angehoben, das heißt, es tritt eine eingeprägte Verschiebung <5®= -0,05 m auf. Beide Lastfälle werden getrennt behandelt. Es wird das gleiche statisch bestimmte Grundsystem wie im Beispiel 1 verwendet (Abb. 9.23b).
214
9.4 Ermittlung der Koeffizienten und der Lastglieder
Fall a Zunächst wird das Lastglied gemäß (9.15) ermittelt: '10 = 1 \M X
otjdx + I
Da die Längskraft im Zustand 1 (infolge X\ = 1) gleich null ist, entfallt der zweite Ausdruck in der obigen Gleichung. Es ist demnach lediglich der Inhalt der Biegemomentenfläche M x zu bilden und mit T - J-C T J-W
- aT (= konst.)
zu multiplizieren: 3 0 -(-1 5 ) , 0 1A_ 5 l A _ lftl 1a_3 1, 2 - 10 + 0 = 10,1 • 10“ 0,24 (wie bei Beispiel 9-1)
1
Für £7 = 8170 kNm ergibt sich <5,!= 3,0/8170 = 0,367- IO-3 Damit folgt aus der Elastizitätsgleichung: X, = - — = - 10,1 ' 1 0 1 <5n 0,367 • 10
3
= -27,5 kNm
Die Zustandslinien des gegebenen statisch unbestimmten Systems infolge Lastfall Temperatur sind in Abb. 9.26c und d dargestellt. X 1 =7
T0 = -15 °C a- ^ f u=3Ö°c~£Lb ~fu=3Ö°C~A-C
*f
tß 4m
a)
5m
tc
-27,5 kNm
o) M -Linie infolge Temperaturänd.
% LO LO d)
V-Linie infolge Temperaturänd.
Tu = + 3 0 ° C
Abb. 9.26 Beispiel 9-2: Lastfall Temperatur
215
9 Kraftgrößenverfahren
Fallb Der Belastungszustand ist in diesem Fall eine eingeprägte Lagerverschiebung an der Stelle c (Abb. 9.27a), und zwar öl = -0,05 m. Das negative Vorzeichen ergibt sich aus der Tatsache, dass die Verschiebung öl entgegen der positiv definierten Richtung verläuft. Die Verformung des statisch bestimmten Grundsystems infolge der Anhebung des rechten Lagers ist in Abb. 9.27c angegeben.
a_AT
—
- j y ------------ -A c
Presse * S10 (neg.)
a)
R
TT
c)
b)
,, 4 m
§
_A
-
—~ """ 1
C1 = -^m
5 m
]
~ f~
I Cj
Tv>
2: ■¿c io ■o
00
X 1 =1 --■4 ^
27,3 kNm d) M-Linie infolge Lager verschiebung
e) V-Linie infolge Lagerverschiebung Abb. 9.27 Beispiel 9-2: Lastfall Lagerverschiebung Gemäß Abb. 9.21 ist öi0 = (pr-(p\. Somit kann man aus Abb. 9.27c ablesen: <5,o = -0 ,0 5 /5 ,0 -0 = -0,01 = -1 0 • IO“ 3 Man kann ¿10 natürlich auch mit Hilfe des PvK ermitteln. Das maßgebende Glied folgt aus (9.15): ¿10 = Mit Ci = ^ n f x (vgl. Abb. 9.27b) und öl = -0,05 m wird: ¿ 10= | (-0,05) = -10 • 10-3 Mit <5,, = 0,367 • 10 3 (wie „Fall a “ ) folgt:
X ,= -
'10
10 ’ 10^3 =27,3 kNm 0,367-10“ Die sich am statisch unbestimmten System ergebenden Zustandslinien sind in den Abb. 9.27d und e dargestellt.
216
9.4 Ermittlung der Koeffizienten und der Lastglieder
9.4.4.3 Systeme m it elastischer Lagerung Liegt ein System mit elastischer Lagerung (Feder) vor, so führen die Lager unter einer Belastung Verschiebungen bzw. Drehungen aus. Als Maß für die Steifigkeit einer Feder wird die Federkonstante c eingeführt. Dabei ist c jene Federkraft, die sich aus der Verschiebung 1 ergibt. Andererseits gibt der Wert 1/c den Federweg aufgrund der Last 1 an. Entsprechendes gilt für eine Drehfeder mit den Drehfederkonstanten c . Somit gilt für elastische Lager (9.16)
c
und analog
(9.17)
cp = —— c
Es bedeuten: b
Verschiebung (gegebenenfalls Komponente der Verschiebung) des Lagers a (Skizze) A Auflagerkraft = Federkraft (Skizze) c Federkonstante cp Verdrehung des drehelastischen Lagers ME Einspannmoment c Drehfederkonstante Die Verschiebungen ö und Verdrehungen cp nach (9.16) und (9.17) können bei Anwen dung des PvK wie eingeprägte Verschiebungen und Verdrehungen betrachtet werden. Man beachte: Da die elastische Lagerung eine Systemeigenschaft ist, gehen die zusätzlichen vir tuellen Arbeiten nicht nur bei der Berechnung der ¿i0-Glieder, sondern auch der <5ikGlieder ein. Aufgrund dieser Überlagerungen erhält man für (9.13) bzw. (9.15) folgende Zusatz glieder: (9.18)
c A i, A k, A o A/f, A/k, A/o
c
(9.19)
Auflagerkraft im Zustand i, k bzw. 0 Einspannmomente im Zustand i, k bzw. 0
217
9 Kraftgrößenverfahren Unter Berücksichtigung aller bisher behandelter Einflüsse ergeben sich folgende For meln:
l
/M i §
/« .
f A
ä » = S I / m - X. /'Vi, ^
S
n
^
+ « f f
(9.18a)
d*
a Td v + x
s (9.19a)
+ ^ s p ,i ¿ s p + ^ v ,i ¿ v + ^ h , i ¿ h
+
^
M f cpe + M jj (j)J
+a A + c
m?
~ c
Beispiel 9-3 Man ermittle das Stützmoment Mb, die Auflagerkräfte und das maximale Moment in Feld 1 des in Abb. 9.28a dargestellten Systems. An den Stellen b und c befinden sich elastische L ager.A ngaben über die Verschiebungselastizität 1tc sind der Abb. 9.28a zu entnehmen. Das gewählte statisch bestimmte Grundsystem mit der statisch Unbe stimmten ^ ist in Abb. 9.28b dargestellt. Die Werte ön und ¿ 10 ergeben sich gemäß (9.13) und (9.14) sowie (9.18) und (9.19) wie folgt: s s
Cc EI
-+ C , ^ ch cc
Da Abmessungen, Steifigkeiten und Belastung des gegebenen Beispiels mit denen des Beispiels 1 übereinstimmen (vgl. Abb. 9.28a und 9.23a), ist das erste Glied der rechten Seite der obigen Gleichungen gleich dem im Beispiel 9-1 errechneten Wert von S }{ und <5io-
Solch ein teilweise elastisch gelagertes System ergibt sich z. B., wenn das Auflager an der Stelle a durch eine Wand gebildet wird, während der Träger an den Stellen b und c auf Unterzügen aufliegt und damit infolge deren Durchbiegung elastisch gelagert ist.
218
9.4 Ermittlung der Koeffizienten und der Lastglieder i P = 3 0 kN
q=20 kN/m a \...* 1 I \
cb^_b
a)
A
*
4m
I_____ c
Cc
j L 2 , 5 _ 2 ,5 ■i' iß
E l= 8 1 7 0 kNm — = 7,5-10~4 — , ~
kN
cb
cr
= 6-1 0 ~ 4 m
kN
X ^,=1 1 b)
A ^ O .2 5 -, m
JE*
Wt
B
-t
c <\ IP = 3 0
q=20 kN/m
t t ) t ) J£-' c)
\
C 1 = 0,20 -
m
kN
1 b0
B 1 = - 0 ,4 5 ~ m
A 0 = 40 kN, B 0 = 55 kN C 0 = 15 kN
\c0
Abb. 9.28 Beispiel 9-3: Zweifeldträger mit elastischer Lagerung Mit den in den Abb. 9.28b und c angegebenen Auflagerkräften folgt: (5ll= 817t> + 0 ’ 452'7’ 5 ' 10“ 4 + (°>20)2 -6 - 10^ = 5’ 43 ' 10^ <510= +(-0,45) -55 -7,5- 10^ + 0,20- 15- 6- 10“ 4 = ^ , 5 -IO“ 3 ol/O 51o _ -4,5 • IO"3 n . , , T 1 <5,, 5 ,4 3 -10“ 4 ’ m Da als statisch Unbestimmte X l das Stützmoment an der Stelle b eingeführt wurde, ist Mb - X \ = 8,3 kNm. Durch die elastische Lagerung ergibt sich hier ein positives Stützmo ment. Die Auflagerkräfte am gegebenen statisch unbestimmten System (Abb. 9.28a) werden mit Hilfe der Überlagerungsformel (9.09) bzw. (9.09a) ermittelt: A = A 0 + A xX x = 40 + 0,25 • 8,3 = 42,1 kN B = B q + B ^ = 55 + (-0,45) • 8,3 = 51,3 kN C = A 0 + A lX l = 15 + 0,20 • 8,3 = 16,7 kN Das max. Moment in Feld 1 ergibt sich zu m axM Feldl = A2!2q = 42,12/2 • 20 = 44,3 kNm Berechnet man zum Vergleich das max. Moment in Feld 1 des Systems im Beispiel 1 (keine elastische Lagerung), so folgt: max MFeldl = 31,62/2 • 20 = 25 kNm 219
9 Kraftgrößenverfahren Durch die elastische Lagerung vergrößert sich also das max. Feldmoment in Feld 1 fast auf das Doppelte.
9.5 Weitere Beispiele Beispiel 9-4 Man ermittle die Durchbiegung w3 für den in Abb. 9.29a dargestellten 1-fach statisch unbestimmten Träger. Nach dem Reduktionssatz (vgl. [2]) kann entweder die wirkliche oder die virtuelle Belas tung an einem statisch bestimmten System angebracht werden. Bei diesem Beispiel wird die virtuelle Belastung an dem in Abb. 9.29c dargestellten statisch bestimmten System angesetzt. Die zugehörige M -Linie ist in Abb. 9.29d dargestellt. Die M-Linie der wirkli chen Belastung muss, da das gegebene System nach Abb. 9.29a 1-fach statisch unbestimmt ist, mit Hilfe einer statisch unbestimmten Rechnung (z. B. mit Hilfe des Kraftgrößenver fahrens) ermittelt werden. Im vorliegenden Fall kann man wegen der Übereinstimmung der Systeme und Belastungen in Abb. 9.29a und 9.23a auf die bereits im Beispiel 9-1 ermittelte M-Linie zurückgreifen (Abb. 9.25c). Sie ist noch einmal in Abb. 9.29b dargestellt.
....
W irkliche B ela stu ng
y
q = 2 0 kN/m
i r t
p , I
\p = 3 0 kN
) t
I
P=1 |
-A: - 31 - - ~ R - -----------
- 3J *' 'A '---------- 'A . 2m
b)
2m
„ ~ , .
Virtuelle B ela stu ng
2,5
2,5
c)
40 kN m 37,5 kN m
Abb. 9.29 Beispiel 9-4: Anwendung des Reduktionssatzes Gemäß Reduktionssatz ergibt sich: W3=I M M
dx
M-Linie infolge virtueller Belastung am statisch bestimmten Grundsystem M-Linie infolge wirklicher Belastung am statisch unbestimmten System
Die Auswertung der obigen Gleichung ergibt unter Beachtung der Abb. 9.29b und d sowie der Tafel 9.01: 220
9.5 Weitere Beispiele
w3:
1 8170
= 0,41 • 10 2 m
B eispiel 9-5 Man ermittle die Zustandslinien und das maximale Feldmoment im Riegel für den in Abb. 9.30a dargestellten Rahmen.
W=
20 kN 1
q=18 kN/m
Statisch Unbestimmte X1 undX2
Statisch bestimmtes Grundsystem Xo
b)
a)
200 kNm
Abb. 9.30 Beispiel 9-5: M-Linien der Zustände 0, 1 und 2
221
9 Kraftgrößenverfahren Das System ist 2-fach statisch unbestimmt. Das gewählte statisch bestimmte Grundsys tem mit den beiden statisch Unbestimmten X x und X 2 ist in Abb. 9.30b dargestellt. Die Flächenmomente in den einzelnen Stäben sind unterschiedlich. Es sind in Abb. 9.30a nur die Verhältnisse der Flächenmomente angegeben, was für die statisch unbestimmte Rechnung ausreichend ist. Für die praktische Rechnung ist es sinnvoll, mit einem Vergleichsflächenmoment Ic zu arbeiten. Bei vorliegendem Beispiel wurde das Flä chenmoment des Rahmenriegels als Vergleichsflächenmoment Ic gewählt. Die Verfor mung der Stäbe infolge Längskraft sei vemachlässigbar klein, so dass man EA -► 00 setzen kann.
Ermittlung der <3ik- und der <5i0-Glieder: Die für die Ermittlung der Größen <5ik und ¿i0 erforderlichen M -Linien am statisch bestimmten Grundsystem sind in den Abb. 9.30c bis f dargestellt. Die M -Linien infolge Einwirkungen sind für die beiden Lastfalle q = 18 kN/m und W = 20 kN in den Abb. 9.30c und d getrennt angegeben. Dadurch ergibt sich eine rechnerisch einfachere Auswertung der Produktintegrale mit Hilfe der Tafel 9.01. Multipliziert man (9.13) und (9.14) mit EIC, so ergeben sich die im Folgenden verwen deten Berechnungsformeln.
Aus Abb. 9.30e folgt: £7c«$ii = l • 1 • 10- 1,4+
12=18
EIcÖ22 = 1 ¡M 2M 2 ~ dx S
Aus Abb. 9.30f folgt: EI cö22=
10-1, 4 + + —
10 + 8
8 + 2,0=1784
EIcö n = X JM,M2 If d x = E I cö21 S
222
^
( - 10) ( - 8) + ( - 8) ( - 10)
12
9.5 Weitere Beispiele Aus den Abb. 9.30e und f folgt:
(m)
Ml
ac
10
+
cd
12
Stab
1
m
2
1<'“ 10)10'1,4= 70 2
n
—
i
l 2(- 10)- 8 12 = -56 6 E l c s 12 = - 1 2 6
£/c<5io= 1 ¡M xMq !~f dx *
S
Aus den Abb. 9.30c, d, e folgt:
Aus den Abb. 9.30c, d, f folgt:
Stab
1 (m)
(- 10>20010.1,4 = -9333i3 3 -------- a z q -i z = 3
C
i
C
L.
C
12
|M 2M0y dx
cC
cd
M0
c
10
2
cc 00 1 or —t 1
ac
m
2 (-1 0 )-8 200 12= n 2 0 0 6 EI CSW = -43 861,3
223
9 Kraftgrößenverfahren Die Elastizitätsgleichungen lauten: X lö u + X2ö l2 + ö lo = 0 -^^¿21
¿20 = 0
Als allgemeine Lösungen ergeben sich: X
~ =
¿ 10^22 + ¿2 0 ^ 1 2
(9.20)
¿1 1^22 “ ¿12
—“ ¿20^11 + ¿ 10^12 ¿ 11^2 2 - ¿ 1 2
V x 2-
(9.21)
Multipliziert man Zähler und Nenner der rechten Seiten mit EIC und setzt die zuvor zahlenmäßig ermittelten Werte für EIcö ^ und EIcö[0 ein, so folgt: = - 3 4 9 6 - 1 7 8 4 + (-4 3 8 6 1 ): (-1 2 6 )
1
18 • 1784- 126 - ( - 4 3 8 61 ) - 18+ 3496-(-126) 2 18 • 1784- 1262 Zur Ermittlung der endgültigen Zustandslinien wird wie folgt vorgegangen. 1. Ermittlung der Momente an markanten Punkten mit Hilfe der Überlagerungsformel 9.09a): ® = ® +® - X ]+ ® -X 2 Die Werte für die Glieder der obigen Gleichung sind den Abb. 9.30c bis f zu entnehmen. Man achte jedoch darauf, dass die M-Linie infolge Zustand 0 aus den beiden Anteilen in Abb. 9.30c und d besteht. Ma = 0 + 1 • (—43,8) + 0 • 2,14 = -43,8 kNm Mc = 200 + 1 • (-43,8) + (-10) • 21,5 = -58,8 kNm M a = 0 + 0 • (-43,8) + ( - 8) • 21,5 = -172 kNm Wird zwischen den beiden Eckmomenten an den Stellen 3und 4 eineParabel von der Größe q • /2/8 = 18 • 122/8 = 324 kNm eingehängt, so ergibtsich dieendgültige Momentenlinie entsprechend Abb. 9.32b. 2. Ermittlung der Querkräfte mit Hilfe der Formeln in Tafel 9.02: Va = (—59,2 + 43,8)/10 = —1,5 kN = Vca Vb = (0 + 172)/8 = 21,5 kN = Vdb Vcd = 18- 12/2 + (-172 + 58,8)/12 = 1 0 8 -9 ,4 = 98,6kN Vdc = - 1 0 8 - 9,4 = -117,4 kN t/2 Qo ¿2 m axM Riege,= ^ + MC= ^ -5 9 ,2 = 210,9kNm
224
9.5 Weitere Beispiele Die Querkraftlinie ist in Abb. 9.32c dargestellt. 3. Ermittlung der Längskräfte unter Anwendung des Schnittprinzips am statisch be stimmten Grundsystem mit den resultierenden Lasten (Abb. 9.31). Es ergeben sich: Na = Nca = -98,6 kN Ncd = Ndc = -2 \,5 k N Nb = Ndb = -117,4 kN Die TV-Linie ist in Abb. 9.32d dargestellt. W= 20 kN
q=18 kN/m
|
Abb. 9.31 Beispiel 9-5: Statisch bestimmtes Grundsystem mit resultierendem Lastfall q=18 kN/m
w = I....I...T " 7 ....1.... 1 20 /cA/ — — — — .......
1 1 1 1
-21,5
% co oo 0>
N
-± . d) Abb. 9.32 Beispiel 9-5: Endgültige Zustandslinien
225
9 Kraftgrößenverfahren Tafel 9.02 Querkräfte eines geraden Stabes Ml,
k f lM, K'K-
:5l'
M:
M:
P
M„
F, = /> y + y (Mk-M j)
;tC-7 Fk = - P y + y (Mk -M ,)
M,
g
Ml,
;iC!
n = q [ + /> y + y (Mk-M .) Vk = - q ^ - P - {
Mi_____
,
Mk
(Mk -M 0
F,= Kk + - (Mk -M [) Vk = v ; + l- ( M k - M i)
Vx bzw. Vk ist die Querkraft an der Stelle i bzw. k eines Trägers auf zwei Stützen infolge beliebig gegebener Lasten.
Beispiel 9-6 Das im Beispiel 9-5 berechnete System (Abb. 9.30a) sei an der Stelle a nicht starr, sondern elastisch eingespannt (Abb. 9.33). Man stelle die zusätzlichen Anteile fest, die sich auf Grund der elastischen Einspannung bei den ölk- und (5i0-Werten ergeben, wenn das gleiche statisch bestimmte Grundsystem wie in Abb. 9.30b gewählt wird. Die elastische Einspannung ist durch den Wert 1/c charakterisiert (Abb. 9.33). Berück sichtigung findet eine elastische Einspannung durch die folgenden Zustandsglieder, vgl. (9.18) und (9.19):
5 ,0 +
226
c
9.5 Weitere Beispiele Um diese zusätzlichen Anteile infolge elastischer Einspannung zu berechnen, müssen die Einspannmomente am statisch bestimmten Grundsystem in den Zuständen 1,2 und 0 ermittelt werden. Aus Abb. 9.30c und d folgt: A/o= 0 Aus Abb. 9.30e ist zu ersehen: Mf = 1 Aus Abb. 9.30f folgt: A/f = 0 Außer dem Wert A/f = 1 sind sämtliche Einspannmomente am statisch bestimmten Grundsystem gleich null. Damit gibt es nur im Glied <5n einen zusätzlichen Anteil infolge elastischer Einspannung: <5,, = A/f — = 1 • 1 -0,002 = 0,002
c
Man beachte: Für die weitere Berechnung des elastisch gelagerten Systems reicht es jetzt nicht mehr aus, wenn - wie in Beispiel 9-5 - nur die Verhältnisse der Flächenmomente der einzelnen Stäbe bekannt sind (Abb. 9.30a). Es muss die Größe EIC= EIRiQgQ\ bekannt sein, das heißt, zunächst mit Hilfe einer Vordimensionierung geschätzt werden. Im vorliegenden Beispiel ist dann der ermittelte Wert für 8 \ j = 0,002 mit EIRiege\ = EICzu multiplizieren und zu dem im Beispiel 9-5 errechneten Wert, von EIC8 U = 18 zu addieren. Die sich neu ergebenden Elastizitätsgleichungen sind nach X x und X 2 aufzu lösen. Der weitere Rechnungsgang ergibt sich dann analog den im Beispiel 9-5 durch geführten Arbeitsgängen. Für z. B. einen Wert EIC= EIKiegei = 52 850 kNm2 ergibt sich: EIC8\ \ = 52 850 • 0,002 = 105,7 Somit folgt: EIcö n = 18+ 105,7= 123,7 Alle anderen Ecöi0- und £7cc)ik-Werte sind dem Beispiel 9-5 zu entnehmen. £7c-fache Elastizitätsgleichungen: X x 123,7 +X 2 (-126) + 3500 = 0 X\ (-126) +X2 1784-43 861 = 0 Lösungen: X l = -3,50 kNm;
X2 = 24,3 kN
227
9 Kraftgrößenverfahren q=18 kN/m
W=
i
20 kN Statisch bestim m tes G ru ndsystem
1
1
c
kNm
^ = 0,002 3 ^ -.. Abb. 9.33 Beispiel 9-6: Rahmen mit Drehfeder
me
Abb. 9.34 Beispiel 9-6: Stat. best. Grundsystem mit stat. Unbestimmten
Beispiel 9-7 Gegeben ist ein unterspannter Träger nach Abb. 9.35a. Für den Träger selbst und für den Stab 3 gilt EA -> °°. Es sind folgende Teilaufgaben zu lösen: 1. Man ermittle die Zustandslinien für die Einwirkung „halbseitige Belastung q“ gemäß Abb. 9.35a. 2. Man ermittle die Zustandslinien, wenn das Spannschloss im Stab 1 um 2 cm ange spannt wird (Lastfall Vorspannung). 3. Wie muss das Spannschloss angespannt werden, damit das Biegemoment im Träger infolge Belastungszustand q an der Stelle x = 2,0 m um 50 % verkleinert wird?
Teilaufgabe 1 Das System ist 1-fach statisch unbestimmt, was mit Hilfe des Aufbaukriteriums schnell feststellbar ist. Das System wäre z. B. ohne den Stab 1 statisch bestimmt, da es sich dann um einen Träger auf zwei Stützen mit angehängtem (statisch bestimmtem) Fachwerk handelt. Durch das Einziehen eines Pendelstabes (Stab 1) wird das System 1-fach statisch unbestimmt. Das gewählte statisch bestimmte Grundsystem mit der statisch Unbestimmten X\ (Längskraft im Stab 1) ist in Abb. 9.35c dargestellt. Für die Berechnung der Glieder <510 und ö u sind die erforderlichen Zustandslinien am statisch bestimmten Grundsystem aus den Abb. 9.35c bis f ersichtlich. Die M- und A^-Linie infolge X\ = 1 wurde mit Hilfe der „Rundschnitte“ in Abb. 9.35d errechnet und in den Abb. 9.35e und f dargestellt.
228
9.5 Weitere Beispiele Statisch bestimmtes Grundsystem
q=20 kN/m EI=20000kNm
r
---------t
E
C\1
io c\T Spannschloß U III ^ ui ^ EAj =EA2 = 25000 kN
c)
10
-0,9 ~
20 -5" ■62 5
50 ~
4
= -2,25 m
= 125 kNm
Abb. 9.35 Beispiel Zustandslinien in den Zuständen 0 und 1 Aus (9.13) folgt: E ISU = 1 ¡M \dx+ X N] - dx S
S
Unter Beachtung, dass im Träger und im Stab 3 gilt: EA -► °°, gehen bei der obigen Gleichung nur die Längskraftanteile der Stäbe 1 und 2 ein. Mit EI/EA = I/A = 0,8 folgt gemäß Abb. 9.35e und f und Tafel 9.01: EIÖU = 2,253 2’25 5 - 2 + 1 • 1-5,6 - 0,8 - 2 = 16,88 + 8,96 = 25,84 Aus (9.14) folgt, wenn nur die Glieder, die ungleich null sind, angeschrieben werden: E IÖ io = I ¡M iM 0dx S
Unter Beachtung, dass sich M0 aus der Parabel und dem Dreieck der Abb. 9.35b zusam mensetzt, ergibt sich mit M x gemäß Abb. 9.35e und Tafel 9.01: ^
i= W
p
5+(M i2 5
5 . 2 = _ 1172
229
9 Kraftgrößenverfahren Die Elastizitätsgleichung lautet somit: X\ • 25,84 + (-1171,9) = 0;
X x =-1171,9/25,84 = 45,4 kN
Zur Ermittlung der Zustandslinie für das gegebene statisch 1-fach unbestimmte System werden einige Schnittgrößen an markanten Stellen mit Hilfe der Überlagerungsformel (9.09a) errechnet: Ma= 125 + (-2,25) • 45,4 = 22,9 kNm Vla= 20 • 5 • 0,75 + (-0,45) • 45,4 = 54,6 kN Vai = 75 - 20 • 5 + (-0,45) • 45,4 = —45,4 kN Var = -25 + 0,45 • 45,4 = -4,6 kN Die M- bzw. /^Linie ist in Abb. 9.36b bzw. d dargestellt. Da infolge Belastung am statisch bestimmten Grundsystem keine Längskräfte auftreten, ergibt sich die A^-Linie am 1-fach statisch unbestimmten System, indem die A^-Linie im Zustand 1 (Abb. 9.35f) m \tX x = 45,4 kN multipliziert wird (Abb. 9.36c). q-20 kN/m 1 ' 1 1 1 1
-40,8 kN 7
45,4
An r j -40,5
N
CO
Abb. 9.36 Beispiel 9-7 endgültige Zustandslinien (Teilaufgabe 1)
Teilaufgabe 2 Die Einwirkung besteht aus dem Anspannen des Spannschlosses um 2 cm, das heißt <5sp = - 0,02 m Das Glied E Iöu ändert sich gegenüber Teilaufgabe 1 nicht und beträgt: E Iöu =25,84 <5u =25,84/20 000= 1,292 • IO-3 Das Lastglied folgt aus (9.15) ö 10 —N Sp \ö Sp Nsp i ist die Längskraft an der Stelle des Spannschlosses im Zustand 1. Somit ist:
¿,0=1 (-0,02) =- 0,02 = -20 • 10 3
230
9.5 Weitere Beispiele
X x= - ^ ' 1 0 3 = 15,5 kN 1 1,292 • 10~3 Die Zustandslinien am gegebenen 1-fach statisch unbestimmten System infolge Lastfall Vorspannung ergeben sich wiederum aus der Überlagerungsformel (9.09a): Da alle statischen Größen am statisch bestimmten Grundsystem gleich null sind, wenn das Spannschloss bewegt wird,^ folgt: ©=©-X1 Man erhält also die M- bzw. 7V-Linie, wenn man die Ordinaten der Abb. 9.35e bzw. f mit X\ = 15,5 kN multipliziert. Im Hinblick auf die 3. Teilaufgabe soll speziell das Biege moment an der Stelle x = 2,0 m ermittelt werden: M(x = 2,0) = -2,25 •
• 15,5 = -1 4 k N m
Die Ermittlung der ^Linie ergibt sich, wenn man von Abb. 9.35d ausgeht. Der hier herausgeschnittene Träger ist mit den Stabkräften der Unterspannung infolge X x = 1 belastet. Multipliziert man die mittlere Kraft m itX i = 15,5 kN, so ergibt sich die V-Linie wie bei einem Träger auf zwei Stützen, der in der Mitte mit einer Kraft P = 0,9 • 15,5 = 14 kN (P wirkt von unten nach oben!) belastet ist.2)
Teilaufgabe 3 Das Biegemoment an der Stelle x = 2,0 m aus Belastungszustand q ergibt sich z. B. aus einem „Gedankenschnitt“ beim System der Abb. 9.36a zu: M(x = 2,0 m) = 54,6 • 2 - 20 • 22/2 = 69,2 kNm Um die gestellte Aufgabe zu lösen, muss das Spannschloss so angespannt werden, dass an der Stelle x = 2,0 m ein Biegemoment M(x = 2,0 m) = -34,6 kNm entsteht. Verwendet man die in Teilaufgabe 2 ermittelten Ergebnisse, so ergibt sich die Lösung der Teilaufgabe 3 mit Hilfe eines Dreisatzes. In Teilaufgabe 2 wurde das Biegemoment an der Stelle x = 2,0 infolge Anspannens von 2 cm ermittelt zu: M(x = 2,0) = -14 kNm
Diese Tatsache ist leicht einzusehen, wenn man Abb. 9.35c betrachtet. Ein Anspannen oder Nachlassen der Anspannung beim Spannschloss wirkt sich nicht auf das übrige System aus, da der Stab 1 geschnitten ist. 2) Die an den beiden Lagern wirkenden Stabkräfte haben auf die ^Linie keinen Einfluss, da die vertikalen Komponenten unmittelbar in die Auflager abgeleitet werden.
231
9 Kraftgrößenverfahren Aus dem Dreisatz folgt: 2 cm anspannen ergibt ein M(x = 2,Om) = -14 kNm k
cm anspannen ergibt ein M(x = 2,0 m) = -34,6 kNm
k
_ 34,6 _ = 2 — — = 4,94 cm
Das Spannschloss muss also um 4,94 cm angespannt werden, damit das Biegemoment infolge Belastungszustand q an der Stelle x = 2,0 m um 50 % verringert wird.
Beispiel 9-8 Man ermittle die statisch Unbestimmte X\ (Einspannmoment kung eingeprägte Lagerdrehung cpl = 1 (Abb. 9.37a).
M p )
infolge der Einwir
Das System in Abb. 9.37a ist 1-fach statisch unbestimmt. Als statisch bestimmtes Grundsystem wird ein Träger auf zwei Stützen gewählt (Abb. 9.37b). Aus Abb. 9.37b und Tafel 9.01 folgt:
Das Glied S ]0 folgt aus (9.15): ¿,0
= Afi
M f Einspannmoment im Zustand 1 (positiv entgegen dem Uhrzeigersinn) cpl eingeprägte Lagerdrehung (positiv im Uhrzeigersinn) Mit den entsprechenden Werten der Abb. 9.37b und c ergibt sich: 5,o = ( - l ) ( - l ) = l Damit folgt: ¿10
3EI
b) b E h k o n st.
c) 'E in g e p rä g te D re h u n g
Abb. 9.37 Beispiel 9-8: Lastfall eingeprägte Lagerdrehung
232
9.5 Weitere Beispiele
Beispiel 9-9 An einem weiteren Beispiel soll für einen beidseitig eingespannten, 2-fach statisch unbestimmten Träger (Abb. 9.38a) gezeigt werden, wie die Stabendbiegemomente in folge einer eingeprägten Stabdrehung zu ermitteln sind. Dem Träger der Abb. 9.38a sei eine Stabdrehung i9e = 1 eingeprägt. Als statisch Unbe stimmte werden die Stabendbiegemomente X { undX 2 eingeführt (Abb. 9.38b). Damit folgt aus Abb. 9.38c: EI
3EI ’
022
3EI
6 1 EI 6EI Aus Abb. 9.38b liest man unter Berücksichtigung der allgemeinen Definition ö = cpr -
E l-k o n s t.
a
c)
G rundsystem mit stat. Unbest. X 1 und X 2
Eingeprägte Stabdrehung b)
$ e =1 am G rundsystem
Abb. 9.38 Beispiel 9-9: Lastfall eingeprägte Stabdrehung Lager b:
Lager a: 5lo = - l - 0 = - l
¿2O= 0 - ( - l ) = l
Gleichungen: /
/
9 Kraftgrößenverfahren b
a
-A T I l 1
c
A
; l 2
d
e
A 7 ZT“5 l 3
l 4
f
S
I l 5
g
£ |
ZT“! l 6
/
h V
S
J
“A_
l 8
a) X 1X2
X3
X 4X 5
X6
X7
b)
0)
usw.
Abb. 9.39 Durchlaufträger über 8 Felder
9.6 Zweckmäßige Wahl des statisch bestimmten Grundsystems Grundsätzlich ist die Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems völlig beliebig. Es ist jedoch sinnvoll, bei der Wahl des Grundsystems darauf zu achten, dass die auftreten den Rechenvorgänge fehlerunempfindlich gegen Rundungen und möglichst einfach werden. Dafür sind die folgenden Gesichtspunkte zu beachten:
• Lokalisierung der Zustandslinien infolge X x= 1 Wird ein Grundsystem so gewählt, dass sich die Zustandslinien der einzelnen Zustände = 1 nur über einen Teilbereich des Grundsystems erstrecken, so ergibt sich im Allgemeinen bei der Ermittlung der <5ik- und der <5i0-Werte eine erhebliche Arbeitser sparnis. Betrachtet man z. B. das System nach 9.39a, so ist ersichtlich, dass sich für das gemäß Abb. 9.39b gewählte Grundsystem die M-Linien der Zustände X { = 1 nur über jeweils zwei Felder erstrecken. Somit sind sehr viele <5ik-Glieder gleich null, und es ergibt sich ein relativ einfaches Gleichungssystem für die Berechnung der statisch Unbe stimmten, wie das folgende Gleichungsschema zeigt.
234
9.6 Zweckmäßige Wahl des statisch bestimmten Grundsystems
Xx
x2
^3
x4
X5
Xß
Xj
Gl. 1
¿n
¿12
0
0
0
0
0
¿10
=
0
Gl. 2
¿21
¿22
¿23
0
0
0
0
¿20
=
0
Gl. 3
0
¿32
¿33
¿34
0
0
0
¿30
=
0
Gl. 4
0
0
¿43
¿44
¿45
0
0
¿40
=0
Gl. 5
0
0
0
¿54
¿55
¿56
0
¿50
=0
Gl. 6
0
0
0
0
¿65
¿66
¿67
¿60
=0
Gl. 7
0
0
0
0
0
¿76
¿77
¿70
=0
Bei einem Grundsystem nach Abb. 9.40b dagegen erstrecken sich die M -Linien der Zustände X x= 1 über das ganze System. Alle ¿ik-Werte haben einen Wert ungleich null, das heißt, die Matrix der Elastizitätsgleichungen ist voll besetzt. Das Grundsystem nach Abb. 9.39b ist also zweckmäßiger. b
c
d
e
f
g
h
Statisch bestim m tes G ru nd system mit
b)
den statisch Unbestim m ten X,
Abb. 9.40 Träger über 8 Felder
• Vermeidung von kleinen Differenzen großer Zahlen Ein anderer Gesichtspunkt bei der Wahl des statisch bestimmten Grundsystems ergibt sich aus folgender Überlegung: Die endgültigen Zustandslinien eines statisch unbestimmten Systems folgen aus der Überlagerung der Zustandslinien am statisch bestimmten Grundsystem, die sich aus den 235
9 Kraftgrößenverfahren Einwirkungen und aus den statisch Unbestimmten X x ergeben. Haben nun z. B. die MLinien aus den Einwirkungen und den ZuständenX xgleiche Größenordnungen, so folgen die endgültigen M-Linien aus kleinen Differenzen großer Zahlen. Damit ist eine große Fehlerempfindlichkeit gegeben. Dieses Problem wird an einem Zweifeldträger nach Abb. 9.41a deutlich gemacht. Für ein statisch bestimmtes Grundsystem nach Abb. 9.41b ergeben sich die M-Linien infolge Einwirkungen und infolge der statisch Unbestimmten Xi = 1,25qll) entsprechend den Abb. 9.41c und d. Die endgültige M-Linie folgt aus der Differenz der beiden M-Linien, wie sie in Abb. 9.41 e schraffiert dargestellt ist. Sie ergibt sich, wie aus der Abbildung ersichtlich, aus kleinen Differenzen großer Zahlen.
d)
b)
Q
stat. best. G rundsystem
I I I J J I J 1 I...J~1 -Ar----------zr------ -mrrrrr=h
------------- -_A_
_Ai
w----- l ---- w«.----- l ----- -H i i m M' i i m J Z --------------------------------ä
_A_
t
—
X r = 1,25ql
d)
^
M1
_
\
0,5 q l ‘
-0 ,6 2 5 q l 2 0,625 q V -0 ,1 2 5 q l
Abb. 9.41 Zweifeldträger mit mittlerer Auflagerkraft als statisch Unbestimmte Wird dagegen ein statisch bestimmtes Grundsystem nach Abb. 9.42b gewählt, so folgt die endgültige M-Linie aus der Überlagerung der beiden in den Abb. 9.42c und d dargestellten M-Linien infolge Einwirkungen und infolge Zustand X 1 = -0,125ql2.l) Aus der Überlagerung dieser beiden M-Linien gemäß Abb. 9.42e ist ersichtlich, dass sich die endgültige M-Linie in diesem Fall nicht aus kleinen Differenzen großer Zahlen, sondern aus Differenzen in etwa gleich großer Zahlen ergibt. Das in Abb. 9.4 lb gewählte Grundsystem ist also zweckmäßiger als das Grundsystem der Abb. 9.41a. Ideal wäre es, wenn man das statisch bestimmte Grundsystem so wählen könnte, dass es statisch mit dem gegebenen System übereinstimmt bzw. ihm möglichst ähnlich ist. Man müsste also bei dem gegebenen System nach Abb. 9.42a das Gelenk am Grundsystem in die Nähe der Stelle legen, an der beim gegebenen System ein Momentennullpunkt liegt. 1} Vgl. Gl. (9.03c) 236
9.6 Zweckmäßige Wahl des statisch bestimmten Grundsystems Dann würde sich eine sehr kleine Größe für X x ergeben, das heißt, X x ist dann nur eine kleine Korrekturgröße. Für die praktische Durchführung dieses Gedankenganges treten jedoch folgende Schwierigkeiten auf: *)
q
i—t—I—j j | | ) j i (
b> stat. best. G rundsystem
-------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------M----- l ------H.---- l -----W
Abb. 9.42 Zweifeldträger mit Stützmoment als statisch Unbestimmte 1. Es müsste für jeden Lastfall ein neues Grundsystem gewählt werden, und 2. es ergeben sich u.U. „schwierige“ Grundsysteme, deren Schnittgrößen nur mit großem Zeitaufwand zu berechnen sind. Man wird also bei der Wahl eines zweckmäßigen Grundsystems sowohl theoretische als auch praktische Überlegungen anstellen müssen, um zu einem vernünftigen Kompro miss zu kommen.
• Symmetrie und Antimetrie der Zustandslinien infolge X { = 1 Ein Gleichungssystem ist gegen Abrundungsfehler unempfindlich, wenn die Glieder in der Hauptdiagonale möglichst groß gegenüber den Nebengliedern sind. Es muss also das Bestreben sein, die ¿)ik-Werte möglichst klein bzw. gleich null werden zu lassen. Das lässt sich mitunter erreichen, indem man ein Grundsystem wählt, bei dem die Zustandslinien infolge der ZuständeXi = 1 symmetrisch oder antimetrisch sind. Das Produktintegral zur Berechnung der ¿ik-Werte wird bei Symmetrie und Antimetrie der Zustandslinien gleich null (vgl. Abb. 9.43). Diese Überlegung wird noch einmal am Beispiel eines Dreifeld trägers nach Abb. 9.44a deutlich gemacht. Für das statisch bestimmte Grundsystem werden die Biegemomenten- und die Querkraftbindung in Systemmitte geschnitten. Das Grundsystem mit den statisch Unbestimmten X x und X 2 ist in Abb. 9.44b dargestellt, Infolge ZustandX x = 1 ergibt sich eine symmetrische Ai-Linie nach Abb. 9.44c, während 237
9 Kraftgrößenverfahren die M-Linie infolge Zustand X 2 — 1 antimetrisch ist (Abb. 9.44d). Damit werden die Glieder ö\2 ~ ¿ 11 = 0. Sym m etrische M -Linie M,
Sl k = j l W; ^ d x = 0
Abb. 9.43 Symmetrische und antimetrische M-Linien 3)
C)
JX------------ A ------------A------------ A b)
X1
A
A X2
Abb. 9.44 Beispiel fü r symmetrische und antimetrische M-Linien Für die Berechnung der statisch Unbestimmten stehen somit zwei voneinander unab hängige und damit einfach lösbare Gleichungen zur Verfügung: X \8 \i + ¿10 = 0 X 2Ö22 ¿20 = 0 Bei vielen Systemen lässt sich jedoch allein durch die Wahl eines entsprechenden Grundsystems keine volle Symmetrie bzw. Antimetrie erreichen. Aber auch Zustands flächen, die nur näherungsweise symmetrisch und antimetrisch sind, sind von Nutzen, da sich so zumindest kleine ¿ik-Werte ergeben.
9.7 Rechenkontrollen Zur Überprüfung der Berechnungsergebnisse bei einem statisch unbestimmten System sind zwei Kontrollen durchzuführen: 1. Gleichgewichtskontrollen 2. Verträglichkeitskontrollen (Verformungskontrollen). Bei Anwendung des Kraftgrößenverfahrens sind die Verträglichkeitskontrollen die we sentlichen Kontrollen, weil damit der gesamte Rechengang - insbesondere die Aufstel lung und Lösung des Gleichungssystems - überprüft wird. Es sind nämlich für beliebig falsche Werte der statisch Unbestimmten X\ alle Gleichgewichtskontrollen erfüllt (vo 238
9.7 Rechenkontrollen rausgesetzt, für die Zustände 0, 1, 2 ... sind die Gleichgewichtsbedingungen richtig formuliert). Letztlich müssen selbstverständlich immer beide Kontrollen erfüllt sein.
Gleichgewichtskontrollen Bei beliebigen Schnittführungen müssen alle drei Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein.
Verträglichkeitskontrollen Nach Anwendung des Kraftgrößenverfahrens bieten sich Kontrollen mit Hilfe des Prin zips der virtuellen Kräfte und des Reduktionssatzes an. Hierbei können die bereits ermittelten Zustände 1 bis n als virtuelle Zustände verwendet werden und der endgültige Zustand des statisch unbestimmten Systems als wirklicher Zustand. Mit dem (virtuellen) Zustand i erhält man analog zu (9.14) <5,= I
M
-
dx+ £
¡Ni —
dx = 0
wenn nur M- und TV-Verformungen zu berücksichtigen sind. Gegebenenfalls sind weitere Einflüsse wie in (9.15) und (9.19) zu erfassen. Die Kontrolle = 0 enthält die Forderung, dass die der statisch Unbestimmten X x zugeordnete Relativverschiebungsgröße null ist (Verträglichkeitsbedingung). Diese Kontrolle ist inhaltlich identisch mit der Zeile i des Gleichungssystems (9.12).
Beispiel 9-10 Die Ergebnisse des Beispiels 9-1 (Abb. 9.25) sind durch eine Verträglichkeitskontrolle zu überprüfen. Es wird geprüft, ob die Relativverdrehung an der Stelle b gleich null ist. (9.14) lautet (nach Multiplikation mit EI) für diesen Fall: EIöi = X /A/, Mdx = 0 S
81 Mi M
Relativverdrehung an der Stelle b am statisch unbestimmten System virtuelle M-Linie ausXj = 1 (Zustand 1) am statisch bestimmten Grundsys tem gemäß Abb. 9.24b wirkliche M-Linie am statisch unbestimmten System
Aus der Überlagerung der M-Linien der Abb. 9.24b und Abb. 9.25c folgt: \ - 40 1 • 33,4 1,5 _ ^ 1 • 33,4 „ E id i — i 4— ~ 4 + ~~~ 1 • 37,5 • 5 — ~ 5 —0 3 3 6 3
239
9 Kraftgrößenverfahren
9.8 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Bei vielen im Bauwesen vorkommenden Systemen liegt in Bezug auf die Geometrie des Stabnetzes und in Bezug auf die Steifigkeitsverhältnisse einachsige Symmetrie vor. Gemäß Kapitel 5 gilt folgendes: 1. Bei einem zu einer Mittellinie symmetrischen System liefert eine symmetrische Belastung symmetrische Auflagerreaktionen. Für Punkte, die symmetrisch zur Mittellinie liegen, ergeben sich gleich große Schnittgrößen N und M sowie entge gengesetzt gleich große Schnittgrößen V. 2. Eine antimetrische Belastung liefert bei einem zur Mittellinie symmetrischen System antimetrische Auflagerreaktionen. Für Punkte, die symmetrisch zur Mit tellinie liegen, ergeben sich entgegengesetzt gleich große Schnittgrößen N und M (Antimetrie) sowie gleich große Schnittgrößen V (Symmetrie).
Verformung b ei sym m etrischer Belastung
_£l
Verformung bei antim etrischer B elastung
_h_
J l.
Abb. 9.45 Verformungen bei symmetrischer und antimetrischer Belastung Hieraus und aus Abb. 9.45 ergibt sich, dass bei symmetrischen Systemen der Symme trieachse folgende Schnitt- und Verschiebungsgrößen gleich null sind: V u cp M N w
=0 =0 =0 =0 =0 =0
bei symmetrischer Belastung (Abb. 9.46b) bei antimetrischer Belastung (Abb. 9.46c)
Außerdem gilt für einen entlang einer Symmetrieachse liegenden Stab (Abb. 9.47a):
I
I. Bei symmetrischer Belastung sind M und V gleich null (Abb. 9.47b), bei antime trischer Belastung ist N = 0 (Abb. 9.47c).
240
9.8 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften g e g e b e n es System
sym m etrischer B ela stu ng szustan d
antim etrischer B e la stu n g szu sta n d
V-i = 0 u-i =0
a)
b)
c)
Teilsystem e
n
ns =2 d)
=1
-L -
Abb. 9.46 Teilsystem bei Symmetrie und Antimetrie sym m etrischer B ela stu ng szustan d
gegebenes System
antim etrischer B ela stu n g szu sta n d
u2 = 0
w2 = 0
1 0
3
2= o
V2 = 0 n=4
L.
1
L-
JL
J
L
L -.
JL
M4 = V4 = 0
a)
Teilsystem e ns =2
J. L
L_
_L
0)
a
!
n =2
d)
Abb. 9.47 Teilsystem bei Symmetrie und Antimetrie
241
9 Kraftgrößenverfahren 2. Werden Berechnungen an Teilsystemen gemäß Abb. 9.47d durchgeführt so dürfen die Querschnittswerte (z. B. I, A) im mittleren Stiel 2,4 nur mit dem halben Wert angesetzt werden. Für die Auflagerkräfte und Schnittgrößen im mittleren Stiel 2,4 ergeben sich nur die halben Werte des Stieles 2,4 am Gesamtsystem (Abb. 9.47a). Unter Ausnutzung dieser Tatsachen ergibt sich für die Berechnung von statisch unbe stimmten symmetrischen Systemen eine erhebliche Ersparnis an Rechenarbeit. Man kann an den Stellen, an denen Schnittgrößen gleich null werden, die entsprechenden (inneren) Bindungen schneiden und an den Stellen, an denen Verschiebungsgrößen gleich null werden, entsprechende Bindungen (Auflagerbindungen) anbringen, ohne dass sich am Gleichgewichtszustand und am Verformungszustand etwas ändert. Man erhält so Teilsysteme (Abb. 9.46d und 9.47d), die einen geringeren Grad der statischen Unbestimmtheit haben als das gegebene System. An diesen Teilsystemen wird die statisch unbestimmte Rechnung durchgeführt.
Beispiel 9-11 Man ermittle die M -Linie für das in Abb. 9.48 dargestellte System. Das gegebene System ist von Aufbau und Belastung her symmetrisch. Das symmetrische Teilsystem ist in Abb. 9.48c und e dargestellt. Das Teilsystem ist 2-fach statisch unbestimmt. Das 3) P _ 10 kN
I=L
2
4m
= 10 kN
s
4m
CO
EA-
1=0,5L
1=0,51, 1=1
1=0,5L
b) Teilsystem (Symmetrie)
Abb. 9.48 Beispiel 9-11 242
1=0,5L
A
A ! im
E
1=1
14 m
8 m-
CO
9.8 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften gewählte statisch bestimmte Grundsystem mit den statisch U nbestim m ten^ undX 2 ist Abb. 9.49a zu entnehmen. Die M-Linie für die Belastungszustände X x = 1, X 2 = 1 und für Einwirkungen zeigen die Abb. 9.49b bis d. Bei der Ermittlung der <5ik- und <5i0-Glieder ist darauf zu achten, dass laut Abb. 9.48a die Längssteifigkeit EA —►00 zu setzen ist. Xi=1 Xo
b)
Mi
Ä
A.
■7 m
8m
X 2=1
Für den mittleren Rahmen ist -j und für die seitlichen Rahmen y =
—=2
Aus (9.13) bzw. (9.14) folgen bei Vernachlässigung der Verformungen aus Längskraft (EA -> °°) und nach Multiplikation mit Elc: E l A k = 1 /M,Mk 7 dx S
*
E I A 0 = I Ja/,m 0 ^ dx s
*■
243
9 Kraftgrößenverfahren
8 - 2 + 1 - 1 - 6 - 1 + 1 - 1 - 7 - 1 = 18,3
EICÖU = EIJ>22 EIJ>22 = =
19 19 f\ f\ — 8 • 2 + — 6 • 1 • 2 = 912
EIcö l0 = ^
6
1 - 2 0 - 8 -2 = 80
(-12) 20 • 8 • 2 = -960 6 Die mit EICmultiplizierten Elastizitätsgleichungen lauten: EIC E IcÖ20= Ö20 =
X! 18,3+ jr2 (-8 2 )+ 80 = 0 Xi (-8 2 )+X 2 9 1 2 -9 6 0 = 0 Die Lösungen dieser Gleichungen lauten: X\ = 0,579 kNm;
X2 = 1,11 kN
Für die Ermittlung der M-Linie am zugehörigen 2-fach statisch unbestimmten System werden die Biegemomente an markanten Punkten, die in Abb. 9.48a angegeben sind, nach (9.09) bzw. (9.09a) errechnet: Ma
= 0 + 0 - 0 , 5 79 + 0- 1,11 = 0
Mb = 20 + 0,5 -0,579 + (-6) - 1,11 = 13,6 kNm
Mca Mcd Mce Md
= = = =
0 + 1 -0,579 + (-12)- 1,11 = - 1 2 , 7 kNm 0 + 1 - 0 , 5 7 9 + ( -6) - 1,11 = - 6, 1 kNm 0 + 0 - 0, 5 7 9 + 6- 1,11 =6, 7 kNm 0 + 1 -0,579 + 0- 1,11 = 0, 6 kNm
Die M-Linie ist in Abb. 9.50 dargestellt.
Abb. 9.50 Momentenlinie Beispiel 9-11
244
10 Einführung in das Arbeiten mit Stabwerksprogrammen 10.1 Vorbemerkungen Computerprogramme zur Berechnung von Schnittgrößen und Verformungen von Stab werken sind aus der Ingenieurpraxis nicht mehr wegzudenken. Heutige Stabwerkspro gramme ermöglichen mit ihrer komfortablen Ein- und Ausgabe ein so schnelles Arbei ten, dass selbst einfache Systeme, die auch leicht von Hand zu berechnen wären, häufig mit Hilfe eines Programms bearbeitet werden. Neben kommerziellen Programmsystemen gibt es eine Reihe von leistungsfähigen Pro grammen, die über das Internet bezogen und für den nichtkommerziellen Einsatz kos tenlos verwendet werden dürfen. Am Beispiel des Programmes Stab2D [17], das an der Universität Hannover entwickelt wurde, soll das Arbeiten mit einem Stabwerkspro gramm vorgestellt werden.
10.2 Vorgehensweise eines Stabwerksprogrammes Um ein Stabwerk mit Hilfe eines Programmes berechnen zu können, wird es in einzelne Stäbe, die sogenannten Stabelemente unterteilt, die jeweils durch ihren Anfangs- und Endknoten definiert sind.
Abb. 10.01 Stabwerk und Stabelement Für jedes Element werden im Programm die Verformungen ermittelt, aus denen die Schnittgrößen in einer Nachlaufberechnung durch Differentiation bestimmt werden. Als unbekannte Größen dienen die Verformungen in den Knoten. Ein Computerprogramm kann eine Schnittkraftermittlung nicht ohne Verformungsberechnung durchführen. Stabwerksprogramme können Schnittkraftverläufe nur bis zu einem bestimmten Poly nomgrad exakt berechnen. Zu Beginn der Arbeit mit einem Stabwerksprogramm sollte ein Benutzer durch einfach überprüfbare Beispiele (s. Abb. 10.02) die erzielbare Re chengenauigkeit des verwendeten Programmes überprüfen. Der in Abb. 10.2 dargestellte Kragarm wird durch eine linear veränderliche Streckenlast sowohl längs (qx) als auch quer (qz) zu seiner Stabachse belastet. Die Momentenlinie weist einen kubischen Verlauf auf mit dem Maximalwert an der Einspannung: 245
10 Einführung in das Arbeiten mit StabWerksprogrammen
Abb. 10.02 Kragarm unter linear veränderlicher Längs- und Querbelastung
Mmax = “ ¿/z • / • //3 = 0,16 kNm Die Normalkraft im Stab verläuft quadratisch mit einem Maximalwert an der Einspan nung von: ^ m
a x
—
2
^ _
Sowohl Normalkraft als auch Biegemoment werden von Stab2D richtig ermittelt. Das Programm ist demnach in der Lage, Momentenlinien mit bis zu kubischem und Nor malkraftlinien mit bis zu quadratischem Verlauf exakt zu bestimmen, was der möglichen Lasteingabe von linear veränderlichen Streckenlasten entspricht. Bei der Eingabe von Einzellasten oder wechselnden Streckenlasten wird intern der Stab in weitere Stabele mente unterteilt, so dass auch in diesem Fall die exakten Schnittkräfte ermittelt werden. Für eine ausführliche Behandlung der Theorie von Stabwerksprogrammen sei auf die umfangreiche Literatur verwiesen, siehe z. B. [8],[ 18].
10.3 Systemeingabe Sämtliche Eingaben in Stab2D erfolgen frei von Einheiten. Dies ermöglicht den Einsatz des Programms für Systeme beliebiger Größenordnungen. Allerdings muss vom Benut zer sichergestellt werden, dass die Dimensionen von Abmessungen, Querschnitts-, Ma terial- und Belastungswerten zueinander passen. In diesem Beispiel werden geometri sche Größen in m, sowie Kraftgrößen in kN eingeben. Dies bedeutet, dass die Eingabe des is-Moduls in der ungewohnten Einheit kN/m2, die Eingabe von Streckenlasten dagegen wie gewohnt in kN/m zu erfolgen hat. Wird dies bei der Eingabe nicht beachtet, führt dies zu schwerwiegenden Fehlern in der Berechnung. Durch eine Kontrolle der 246
10.3 Systemeingabe berechneten Schnittkraft- und Verformungswerte müssen derartige Fehler unbedingt erkannt und vermieden werden. Um die Geometrie eines Stabwerks zu definieren, werden zunächst die Knoten festge legt, die jeweils Anfangs- und Endpunkt der Stäbe vorgeben. Die Koordinaten dieser Knoten müssen in das Programm eingegeben werden, je nach Programm kann dies graphisch interaktiv, oder wie bei Stab2D mit Hilfe einer Tabelle erfolgen. Dabei ist die Orientierung des vom Programm verwendeten globalen Koordinatensystems zu beach ten. In Stab2D wird die x-Achse positiv von links nach rechts, und die z-Achse positiv von oben nach unten angenommen. Abb. 10.03 zeigt die Eingabe des in Abb. 10.04 gezeigten, einfachen Stabwerks. iiiü i
Geometrie
D&ßf / Nr 1 2 3 4
0.000 3.000 8.000
~
* Auflager ■ I * I R | Verdrehung in Grad J N 0.000 J N N N 0.000 N J N 0.000 >
Koordinaten -T -7 — 3.000 3.000 0.000
Knoten Stäbe [ Querschnittstypen [ Gelenke j
' Ea
¡Id Geometrie
D & y i / Nr 1 2 3 4
Knoten Anfang | Ende 1 2 2 3
Querschnitts™. Stabdicke Intervalle Stablänge 0.000 0.000
1 1
5 5
*
3.000 5.831
Knoten j Stabe ij Querschnittstypen j Gelenke j ijjj Belastung
d
■b
&y i / Nr
Stäbe
f
Quer/X-Richtung Lokal/Global | von | bis | | Anfang [ Ende 1 2 Global 0.000 0.000
Streckenlast in
1 2 "Icnolerilasten [ Zwangsverforrnungen | Streckenlasten f Einzelasten }^Temperat^
Längs,'Z-Richtung Anfang j Ende 10.00 10,00
Teilbelastung [0 -1 ] von 0.000
|
bis 1.000
Abb. 10.03 Knoten-, Stab- und Lasteingabe eines einfachen Stabwerks Zusätzlich werden in der Knotentabelle die Auflagerbedingungen festgelegt. In Stab2D werden Festhaltungen mit J für ja gekennzeichnet, für freie Knoten bzw. Freiheitsgrade kann die Voreinstellung N wie nein übernommen werden. Die Eingabe kann durch Aufruf des Graphikfensters direkt kontrolliert werden. Nach der Knoteneingabe erfolgt die Eingabe der Stäbe. Jeder Stab wird durch seine Anfangs- und Endknoten definiert. Außerdem muss die Nummer des Querschnitts angegeben werden, der dem Stab zugeordnet wird. 247
10 Einführung in das Arbeiten mit Stabwerksprogrammen |
|
|
q7= 10 kN/m
Abb. 10.04 Geometrie eines einfachen Stabwerks Es können mehrere Querschnitte festgelegt werden, deren Daten im Folgenden Menü definiert werden. Neben ¿ ’-Modul und Trägheitsmoment eines Stabes werden hier auch die Querschnittsfläche und, falls benötigt, der Temperaturausdehnungskoeffizient an gegeben. Die Angabe von Querschnittswerten ist auch bei statisch bestimmten Systemen erforderlich, bei denen eine Schnittkraftermittlung auch ohne Verformungsberechnung möglich wäre, da wie oben erwähnt ein Computerprogramm Schnittkräfte nicht ohne die zugehörigen Verformungen berechnen kann. Sind die Verformungen nicht von Interesse, können für statisch bestimmte Systeme die Querschnittswerte frei gewählt werden. Sinnvoll sind z. B. realistische Werte wie: Elastizitätsmodul: Trägheitsmoment: Querschnittsfläche:
E / A
= 108kN/m2 =0 , 0 1 m4 = 0 , 0 1 m2
Für die gewählten Einheiten ist zu beachten, dass das Trägheitsmoment in m4 sowie die Querschnittsfläche in m2 einzugeben ist. Als letzte geometrische Information können Gelenke innerhalb des Stabwerks festgelegt werden. Diese können an beliebiger Stelle innerhalb oder am Rand eines Stabes einge fügt werden, und zwar getrennt für Biegemoment, Quer- oder Normalkraft. Liegt ein Gelenk für mehr als eine Schnittgröße vor, so kann dies durch Eingabe mehrerer Zeilen geschehen. Nach der Beschreibung des statischen Systems kann die Belastung eingegeben werden. Stab2D ermöglicht die Eingabe verschiedener Lastarten wie Punktlasten, Streckenlas ten, Temperaturlasten oder Zwangsverformungen. Im vorliegenden Beispiel soll eine Gleichstreckenlast in Höhe von qz = 10,0 kN/m für die Stäbe 1 und 2 in z-Richtung eingegeben werden.
10.4 Berechnung und Ausgabe Damit liegen alle zur Berechnung des Systems erforderlichen Informationen vor. Durch Anwahl des Menüs „Berechnen -> Theorie II. Ordnung“ oder F9 führt das Programm eine Berechnung durch. Die Ergebnisse können in tabellarischer Form durch Anwahl von „Zeigen -> Ergebnisse“ oder grafisch durch Anwahl der entsprechenden Register karte im Graphikfenster dargestellt werden. 248
10.5 Besonderheiten bei der Systemeingabe A/8 in kNm
FinkN
NinkN
Abb. 10.05 Ausgabe der Schnittkraftlinien Während die Zahl der Auswertestellen je Stab für die tabellarische Ausgabe im Stab eingabemenü festgelegt wird, kann dies bei der graphischen Ausgabe interaktiv ange passt werden. Zu beachten ist, dass dabei der exakte Wert einer maximalen Schnittgröße nur in Ausnahmefallen ausgegeben wird, z. B. wenn dieser genau in Stabmitte oder am Rand vorliegt. Im allgemeinen Fall einer beliebigen Lage des Schnittkraftextremus muss die Stabteilung der Bildschirmgraphik bzw. des Ausdrucks soweit erhöht werden, bis das Maximum oder Minimum der Schnittgröße im Rahmen der Anzeigegenauigkeit exakt ausgegeben wird. Außerdem sieht Stab2D die graphische Anzeige der Auflagerreaktio nen vor. Zur Anpassung der Schnittkraftlinien an die Bildschirmgröße können die Schnittkraftlinien stufenlos skaliert werden.
10.5 Besonderheiten bei der Systemeingabe 10.5.1 Fachwerke Als Fachwerke werden Stabwerke bezeichnet, deren Stäbe an den Knotenpunkten ge lenkig miteinander verbunden sind, sodass die Stäbe ausschließlich durch Normalkräfte belastet werden. 249
10 Einführung in das Arbeiten mit StabWerksprogrammen Zur Berechnung von Stabwerken können in Programmen wie Stab2D Momentengelenke an den Stabenden eingegeben werden. Dabei muss beachtet werden, dass in einem Knoten mit n Stäben nur n -\ Stäbe über ein Gelenk angeschlossen werden. Genau ein Stab muss ohne Gelenk mit dem Knoten verbunden sein. In einem ebenen Stab Werksprogramm verfügt jeder Knotenpunkt über drei Freiheits grade, zwei Verschiebungen in x- und z-Richtung sowie eine Rotation mit einer Achse senkrecht zur Systemebene. Werden nun alle Stäbe an einem Knoten gelenkig ange schlossen, besitzt dessen Rotationsfreiheitsgrad keine Steifigkeit und das statische Sys tem ist nicht länger statisch bestimmt, sondern kinematisch. Dies führt in der Theorie zu einer unendlich großen Rotation des Knotens. In einer praktischen Berechnung wird jedoch die Steifigkeitsmatrix des Systems singulär, der Algorithmus zur Lösung des Gleichungssystems führt zu einer Division durch null, so dass keine Lösung errechnet werden kann. Stab2D weist durch eine Fehlermeldung auf dieses Problem hin und bricht die Berechnung ab.
| p lllfi
Singulare Steifigkeitsm atnx! Möglicherweise hegt verschiebliches System vor
Abb. 10.06 Abbruch der Berechnung bei kinematischen Systemen Wird mehr als ein Stab am Knoten ohne Momentengelenk eingegeben, so sind die zugehörigen Stäbe biegesteif miteinander verbunden und es liegt kein reines Fachwerk system mehr vor. Bei gemischten Systemen aus Rahmen- und Fachwerkstäben kann dies sinnvoll und gewollt sein. Bei komplexen Fachwerksystemen mit 4, 5 oder mehr Stäben an einem Knoten kann ein Anwender leicht die Übersicht verlieren, wieviele Stäbe bereits gelenkig an einem Knoten angeschlossen sind. Es erfordert eine sehr große Sorgfalt des Anwenders um ein Fachwerksystem ohne Kinematiken oder ungewollte Einspannungen auf Anhieb korrekt einzugeben. Das Auftreten eines kinematischen Systems kann auch andere Ursachen haben wie z. B.: -
durch eine fehlerhafte Eingabe der Auflager wird das gesamte System verschieblich durch eine ungeeignete Anordnung von Gelenken wird das System kinematisch unvollständige Querschnittsangaben (z. B. E . I o&qvA gleich null) es wird versucht ein ungeeignetes statisches System zu berechnen.
10.5.2 Geneigte Auflager Bei verschieblichen Auflagern verläuft i. d. R. die freie Verschiebungsgröße parallel zu einer der globalen Koordinatenachsen. Um geneigte Auflager zu definieren, kann im Knotenmenü ein Winkel im Uhrzeigersinn eingegeben werden, um den das Auflager 250
10.5 Besonderheiten bei der Systemeingabe gedreht sein soll. Bei der Berechnung wird danach eine Auflagerreaktion senkrecht zur eingegebenen Verschiebungsrichtung angesetzt. Hier wird das in Abschnitt 10.4 vorge stellte Beispiel mit einem geneigten Auflager in Knoten 3 versehen, dessen Verschie bungsrichtung parallel zum Stab Nummer 2 verläuft (Abb. 10.07).
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1i 3.000
*
.
: 3.000 ! 0.000
Auflager ! Verdrehung «riGiad N I 0.000 N j 0.000 N : -30.96
mm 1 1 R J
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Knoten Stäbe | Quöschnittstypen j Gelenke |
Abb. 10.07 Eingabe eines Stabwerks mit geneigtem Auflager
251
10 Einführung in das Arbeiten mit Stabwerksprogrammen Die Schnittkraftlinien machen deutlich, dass sich das Tragverhalten des Systems voll ständig ändert. Die Normalkraft im geneigten Stab fallt zum Auflager hin auf null ab und der bisher normalkraftfreie Horizontal stab erhält eine Druckkraft. Sowohl in der tabel larischen als auch in der graphischen Ausgabe gibt Stab2D die Kraft- und Verschie bungsgrößen weiterhin in globalen Richtungen an, die resultierende Auflagerreaktion verläuft wie gefordert senkrecht zur Verschiebungsrichtung des Auflagers.
10.5.3 Lasten in lokalen und globalen Koordinaten Stablasten können bezüglich unterschiedlicher Koordinatensysteme eingegeben wer den. Am einfachsten ist die Eingabe von Lasten in den globalen Achsrichtungen auf Stäbe, die ebenfalls parallel zu den Achsen des globalen Achsensystems verlaufen. Geneigte Stäbe erfordern mehr Möglichkeiten zur Lasteingabe, da deren Lasten zusätz lich bezüglich der lokalen Stabachsen angreifen können und auf die tatsächliche oder projizierte Fläche des Stabes bezogen werden können, vgl. Abschnitt 2.5.2, Abb. 2.24 und Abb. 10.09. Eine Übersicht der verschiedenen Möglichkeiten bei der Eingabe von Stablasten geneigter Stäbe gibt Tabelle 10.01.
Tab. 10.01 Möglichkeiten der Belastung geneigter Stäbe Lastrichtung
Längenbezug
Beispiel
Von Stab2D unterstützt
Global (x,z)
Stablänge
Eigengewicht g
Nein
Projizierte Stablänge
Schnee s
Ja
Stablänge
Wind vr
Ja
Projizierte Stablänge
-
Nein
Lokal (x, z)
10.5 Besonderheiten bei der Systemeingabe Als kostenloses Stabwerksprogramm bietet Stab2D nur die vorwiegend benötigten Ein gabemöglichkeiten an. Soll beispielsweise das Eigengewicht eines Stabes eingegeben werden, so muss die auf die wahre Länge des Stabes bezogene Last auf die projizierte Länge umgerechnet werden:
Abb. 10.10 Auswirkung unterschiedlicher lokaler Lastrichtungen
253
10 Einführung in das Arbeiten mit StabWerksprogrammen
10.6 Kontrolle der Berechnung Um Fehler bei der Anwendung von Stabwerksprogrammen zu vermeiden, ist eine sorgfältige Kontrolle der Berechnungsergebnisse erforderlich. Die von heutigen Pro grammen gebotene optisch perfekte Ergebnisdarstellung täuscht leicht über mögliche Eingabefehler hinweg. Schon bei einfachen Systemen wird leicht ein Stabgelenk ver gessen oder das Komma bei Lasteingaben an die falsche Stelle gesetzt. Anhand einer Nachrechnung des Beispiels 4-2 mit dem Programm Stab2D sollen Möglichkeiten vorgestellt werden, wie die Programmeingabe leicht überprüft werden kann. Da in Stab2D die Knotennummer null nicht verwendet werden kann, erfolgt hier eine Nummerierung von 1 bis 7 statt 0 bis 6 in Beispiel 4-2. Außerdem werden die Stäbe S6 bis S9 eingeführt, da in einem Stabwerksprogramm Knotenpunkte gleichzeitig auch Sta banfangs- bzw. Stabendpunkte sein müssen.
10.6.1 Symmetrie und Antimetrie Der unterspannte Träger aus Abschnitt 4.3 soll zunächst ohne die Einzellast von 2,8 kN in Knoten 4 eingegeben werden. Damit ist sowohl das statische System als auch die Belastung symmetrisch. Demzufolge ist bei richtiger Eingabe mit symmetrischen Ver formungen, Momenten und Normalkräften zu rechnen. Die Querkraft ist dagegen mit einem antimetrischen Verlauf zu erwarten.
Nr 1 2 3 4 5 S 1
8 9
Stabnr 8 2 2 4 4 1 1 5 5
I
x*Pos(0*1) 0.000
0.000 1.000 ; 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000
1.000
-in
Knoten Stäbe |
254
QumdtäMtypm
I
Moment Moment Moment Moment Moment Moment Moment Moment Moment
Setoke
I
3
J
j
10.6 Kontrolle der Berechnung Abb. 10.11 zeigt die Eingabe der Stabgelenke. Um ein kinematisches System zu ver meiden, muss auch an den Fachwerkknoten immer ein Stab ohne Gelenk angeschlossen werden. Die Schnittkraftlinien machen deutlich, dass die Symmetriebedingungen bei der vorlie genden Eingabe exakt eingehalten werden.
N in kN
V in kN
Abb. 10.12 Beispiel 4-2: Schnittkraftlinien unter symmetrischer Last
10.6.2 Plausibilität des statischen Systems Bei den gegebenen Auflagern und Gelenken des Systems müssen die Zustandslinien des Systems bei richtiger Eingabe gewisse Bedingungen erfüllen. In diesem Fall sind dies: • querkraft- und momentenfreie Fachwerkstäbe der Unterspannung (Stäbe S5-S8) • nullpunkt des Biegemoments am Knoten 3 und an den Auflagern • durchgehende Tragwirkung des oberen Trägers an den stützenden Fachwerkstäben.
10.6.3 Lastsummen Zur Überprüfung der Lastsummen soll nun die vollständige Belastung des Beispiels 4-2 eingesetzt werden. Dafür ergeben sich die in Abb. 10.13 dargestellten Zustandslinien. Die Richtigkeit der Lasteingabe kann durch das Kräftegleichgewicht am Gesamtsystem überprüft werden: 255
10 Einführung in das Arbeiten mit Stabwerksprogrammen • Z V = 2,8 + 2 ,4 * 1 4 ,0 -1 7 ,6 -1 8 ,8 = 0 • ZN =
0 ,0 -0 ,0 = 0
(keine horizontale Last vorhanden)
Darüber hinaus können globales und lokales Kräftegleichgewicht an verschiedenen Stellen überprüft werden: • Momentengleichgewicht um Knoten 1 (führt auf Auflagerreaktion Bz): Z M x :B z = -14 4 -0 (2,4 • 14,02/2 + 2,8 • 10,0) =18,8 kN • Kräftegleichgewicht an Knoten 4: ZV4 = 2,8 + 6,4 + 6,9 - 16,1 = 0,0 kN • Kräftegleichgewicht an Knoten 5: Z V 5 = 2,7 + 39,23 • sin (24,23°) - 18,8 = 0,0 kN ZH S = 35,78 + 39,23 • cos (24,23°) = 0,0 kN Ein Vergleich der Schnittgrößen mit der Handrechnung von Abschnitt 4.3 zeigt, dass die berechneten Schnittgrößen im Rahmen der Rechengenauigkeit identisch sind.
Abb. 10.13 Beispiel 4-2: Schnittkraftlinien unter Gesamtlast
256
Anhang
257
Anhang
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261
Stichwortverzeichnis Abzählformel 110, 195 Abzählkriterium 110,195 Achsenkreuz 19 Aufbaukriterium 191 Auflager 20, 164 A uflagerreaktionen 47, 177 Belastung 25 Belastungsannahmen 25 Biegemomente 53, 59, 99 - M aximale 99 Differentialgleichungen, Schnittgrößen 79 Dreigelenkbögen 147 Dreigelenkrahmen 139 Einflusslinien 181 -A u sw ertu ng 186 Einwirkungen 27 Elastische Lagerung 217 Elastizitätsgleichungen 207 - Koeffizienten 208 Fachwerke 109 Federkonstante 217 Funktionsgleichungen 71 Gedrehte Verschiebungen, Satz 174 Gelenk 20, 164 Gelenkträger 126 Gleichgewicht 40 Gleichgewichtsbedingungen 41, 163 Hauptpol 172 Integraltafel 212 Kinem atik 172 262
Kräfte 14 -Z usam m ensetzen 28, 35 - Zerlegen 32 Kräftepaar 16 Kräfteparallelogram m 29 Kraftgrößenverfahren 190, 197,203 Kurvenschnitt 113 Lager 20, 164 Lagerverschiebung 216 Längskräfte 53, 59 Lastarten 25 Lastermittlung 28 Lastfunktion 25 M aximale Biegemomente 99 M B-Fläche 84 M oment 16 Nebenbedingungen 44, 124 Nebenpol 172 N-Fläche 84 Nullstäbe 122 Pole 172 Prinzip der virtuellen Verrückung 172 Querkräfte 53, 59 Querschnitt 19 Rechenkontrollen 238,254 Reduktionsverfahren (Hinweis) 191 Rekursionsformeln 66 Resultierende 28 Ritterscher Schnitt 116 Schnittgrößen 44, 53, 56, 78, 93, 165, 177 Schnittprinzip 56
Stichwortverzeichnis Stabachse 19, 24 Stabilität (Unverschieblichkeit) 175 Stabwerksprogramme - Arbeiten mit 245 Starre Lagerung 209 Statisch bestimmte Systeme 47, 124 Statisch bestimmtes Grundsystem 203 - Zweckmäßige Wahl 234 Statische Bestimm theit 45, 109, 164 Statische Größen, Bezeichnungen 12, 13 Statische Unbestimmte 197 Statische Unbestimmtheit 191 Stützlinie 154 Stützweite 24 Symmetrieeigenschaften 156,240 Temperatur 215 Trägerrost 162
Tragwerke, senkrecht belastet 162 Überlagerung 204 Überlagerungsform el 204 Überlagerungsprinzip 46, 90 Überspannter Träger 135 Ungünstigste Laststellung 189 Unterspanner Träger 135 Vereinfachte Formeln 118 Verschiebungsgrößenverfahren (Hin weis) 190 Versetzungsmoment 18 Verträglichkeitsbedingungen 206 V-Fläche 84 Vorzeichendefinition, Schnittgrößen 53 Zugband 148 Zustandsflächen 82, 90
263
Bucak / Seiler (Hrsg.)
Praxisbeispiele für Einwirkungen nach neuen Normen Eigen- und Nutzlasten Wind- und Schneelasten Kranbahnlasten Lasten auf Straßenbrücken Juli 2007. 192 Seiten. 17 x 24 cm. Kartoniert. ISBN 978-3-89932-169-2 EUR 3 4 Das vorliegende Buch erläutert anhand von baupraktischen Zahlenbeispielen die neuen Lastannahmen im Hoch- und Kranbahnbau nach DIN 1055 sowie die Einwirkungen auf Straßenbrücken nach DIN Fachbericht 101. Neben dem zugrunde liegenden Sicherheitskonzept werden auch die Einwirkungskom binationen behandelt, die für eine Bem essung erforderlich sind. Aus dem Inhalt: • Einwirkungskombinationen
- Grenzzustand der Tragfähigkeit - Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit • Nutzlasten
- Wohn- und Geschäftsgebäude - Bürogebäude • Schn ee- und Windlasten
- Hausdach - Stahlhalle • Zw eifeldrige Kranbahn • Zw eistegiger Plattenbalken
Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. Ömer Bucak lehrt Stahlbau an der FH München. Prof. Dr.-Ing. Christian Seiler lehrt Stahlbetonbau an der FH München. Autoren: Prof. Dr.-Ing. Ömer Bucak, Prof. Dr.-Ing. Peter Gebhard, Prof. Dr.-Ing. Jürgen Mainz, Prof. Dr.-Ing. Christof Hausser, Prof. Dr.-Ing. Christoph Seeßelberg, Prof. Dr.-Ing. Christian Seiler (alle Fachhochschule München).
-/Bauwerk www.bauwerk-verlag.de
Das vorliegende Buch orientiert sich bei seiner Stoffauswahl an typischen Baustatik-Modulen von Bachelorstudiengängen. Es behandelt erstmalig sowohl statisch bestimmte als auch statisch unbestimmte Tragwerke in einem Band.
Aus dem Inhalt: • Grundlagen • Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen • Fachwerke • Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen • Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften • Senkrecht belastete, ebene Tragwerke • Das Prinzip der virtuellen Verrückung, Beziehungen aus der Kinematik, Anwendungen • Einflusslinien • Kraftgrößenverfahren • Einführung in das Arbeiten mit Stabwerksprogrammen
Die 6. Auflage wurde neu bearbeitet von: Prof. Dr.-Ing. Christoph Seeßelberg, Hochschule München, Lehrgebiete: Baustatik, Stahlbau und Kranbau. Prof. Dr.-Ing. Christof Hausser, Hochschule München, Lehrgebiete: Baustatik und Stahlbau.
