DELEGACIÓN
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN Y CULTURA ZACATECAS ASOCIACIÓN NACIONAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS, A. C. 11ª OLIMPIADA ESTATAL DE MATEMÁTICAS
BAÚL DE PROBLEMAS 2011 1) Cada fila, fila, cada column columna a y cada caja de 3x3 deben deben de contener contener los números números del 1 al 9 sin sin que ninguno falte ni se repita.
4 7 3 9 2 1 5
de matemáticas comenzamos con el juego del SUDOKU! 2¡Bienvenidos 3 1 a la olimpiada 6 8 2 5 2 1 8 5 9 7 7 3 2 1 3 1 8 4 9 6 9 5 5 9 8 8 6 7
2) Encuentra el mínimo mínimo común múltiplo múltiplo (m. c. c. m.) y el máximo común común divisor (M. (M. C. D.) D.) de los números 328 y 1804. 3) Sin usar calculadora, ordena los números: 0.16, 1/7, 13/97, 17/101, 5/33
4) Una mujer mujer gastó dos dos terceras terceras partes de de su dinero. dinero. Perdió Perdió dos terceras terceras partes partes de lo que le quedaba y finalmente se quedó con $4. $ 4. ¿Cuánto dinero tenía al principio? 5) Un tubo de 250 250 metros de de largo se tiene tiene que cortar cortar en pedazos pedazos de 25 metros metros cada cada uno. Si un obrero, en cada corte, se tarda 3 minutos, ¿cuánto se tardará en obtener los pedazos de 25 metros?
6) ¿Cuántos ¿Cuántos caminos diferentes diferentes hay para ir del punto A al punto B? Solamente se puede uno mover hacia arriba y hacia la derecha.
B
A
7) La suma de las cifras cifras de 2011 es 4. ¿Cuánto ¿Cuántoss números de de cuatro cifras cifras cumplen cumplen que la suma de sus cifras es 4? 8) Rosa Rosa coge coge una hoja tamaño tamaño carta carta y la parte parte en cinco cinco trozos trozos iguales iguales;; coge uno de esos trozos y lo parte en cinco trocitos trocitos iguales; iguales; coge uno de esos trocitos trocitos y lo parte en cinco mini-trocitos iguales; y coge un mini-trocito y lo parte en cinco micro-trocitos iguales. ¿En cuántos cachitos ha quedado dividida la hoja de Rosa?
9) En un decágono regular hemos inscrito un pentágono
regular y dentro de éste una estrella pentagonal. Si el área del decágono es 25.95 cm 2 y el de la estrella 16.05 cm2 , cuál es, en cm 2 , el área del pentágono? A
10)¿Cuál es la última cifra de 3 2011? 11) Se marcan cuatro números naturales en esta recta:
Sabemos que entre ellos hay dos múltiplos de 3 y dos múltiplos de 5. Marcar en esta recta un múltiplo de 15. Un triángulo equilátero se divide en cuatro triángulos equiláteros iguales. Quedan determinados 9 segmentos que son lados de triángulos. Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los lados de los triangulitos, sin repeticiones, de modo que la suma de los tres números correspondientes a cada triangulito sea siempre la misma.
12)
1
13)El rectángulo de la figura está rectángulos más pequeños mediante sus lados. En tres de ellos se ha correspondiente. ¿Cuál es el rectángulo?
B
2
2
dividido en cuatro dos líneas paralelas a escrito el perímetro perímetro del cuarto
14)La región sombreada tiene un vértice en el centro del pentágono. ¿Qué porcentaje del pentágono está sombreado?
15)La estrella de la figura toca regular en el punto medio (los paralelos a los del hexágono). Si ¿cuál es el área del hexágono?
cada lado del hexágono lados de la estrella son el área de la estrella es 6,
16) Si se escriben todos los números del 1 al 1000, ¿cuántas veces aparece la cifra 5?
17)Un auto tiene un tanque de gasolina con capacidad para 35 litros. Después de recorrer 100 kilómetros el auto consumió 7.5 litros de gasolina. Si se hace un viaje de 250 kilómetros en ese auto y se empieza el viaje con el tanque lleno, ¿cuánta gasolina le queda al finalizar el viaje?.
18)¿Cuántos números enteros puedes escribir en lugar de la n para que se cumpla que ?
19)Si subo una escalera de dos en dos peldaños me sobra un peldaño, si la subo de tres en tres me sobran dos peldaños, si la subo de cuatro en cuatro me sobran tres peldaños. Si el número de peldaños de la escalera es menor que 20. ¿Cuántos peldaños puede tener la escalera?
20)La suma de dos ángulos de un triángulo es 100° y la diferencia de estos ángulos es 40°. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo?
21) Una hormiga recorre el camino desde A hasta B que se muestra en la figura. ¿Qué distancia caminó la hormiga?
22)¿Cuánto es el 40% del 50% de $60? 23) Considerando que
¿Cuál es el valor de x?
24) El número 1881 es palíndromo porque se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Escriba todos los números de los años de este siglo que serán palíndromos.
25)En un juego infantil se va contando del 1 al 100 y se aplaude cada vez que se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se ha aplaudido al terminar el juego? 26)Un triángulo rectángulo tiene las medidas que se muestran en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
27)Calcule la suma de todos los números primos menores que 50. 28) En la figura se muestran dos círculos inscritos en un rectángulo de 9cm x 5 cm. ¿Cuánto mide la distancia entre los centros de los círculos?
29)La calculadora de Gaby tiene dos teclas especiales. Cuando se presiona el botón A, el número que está en la pantalla se duplica, y cuando se presiona el botón B, el número que está en la pantalla disminuye en 2. En una ocasión Gaby escribió su número favorito en la su calculadora y presionó tres veces seguidas el botón A y después presionó tres veces consecutivas el botón B, y la pantalla de la calculadora mostró el número 50. ¿Cuál es el número favorito de Gaby? 30)Una caja cúbica sin tapa de 4 cm x 4 cm x 4 cm contiene 64 pequeños cubos que llenan la caja exactamente. ¿Cuántos de estos pequeños cubos tocan alguna cara lateral o el fondo de la caja? 31) Sea ABCD un cuadrilátero tal que
las bisectrices de
Se trazan que se cortan en P. Hallar
.
32)¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36? 33)En un hotel de Bahía hay 120 personas distribuidas entre la recepción, el bar, el comedor y el salón de reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es un quinto de la que hay en el comedor; en la recepción hay un octavo de las que hay en el salón. Al pasar diez personas del comedor al salón y seis del bar a la recepción, en la recepción hay un sexto de las que quedan en el comedor. ¿Cuántas personas había inicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel? 34) Se tienen seis palitos de madera de distintas longitudes, de 1 cm., de 2 cm., de 3 cm., de 2010 cm., de 2011 cm., de 2012 cm. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con esos seis palillos? 35)Si un número positivo de dos dígitos se divide entre la suma de sus dígitos se obtiene 2 como cociente y 2 como residuo. Si ese mismo número se multiplica por la suma de sus dos dígitos se obtiene 112. ¿Cuál es ese número? 36) De una hoja rectangular se cortan tres pedazos. Si A es un cuadrado de área 144 cm 2, B es un cuadrado de área 81 cm2 y C tiene 102 cm2 de área, ¿cuál es el área del pedazo que sobra?
B
A C
37)Con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 se forman enteros de dos cifras que sean múltiplos de 3 y de 5. ¿Cuántos enteros distintos se pueden formar?
38)Si el lado del cuadrado mide 4 cm. ¿Cuál es la superficie de la corona circular?
39)Silvia recorta cada una de las cifras del número 2011 de un periódico, y se dispone a formar números. ¿Cuántos números distintos podrá formar?
40) En un examen de matemáticas que tenía 10 preguntas se daban 5 puntos por cada respuesta correcta y se quitaban 3 puntos por cada error. Todos los alumnos respondieron todas las preguntas. Si Javier obtuvo 34 puntos, Daniel obtuvo 10 puntos y César obtuvo 2 puntos, ¿cuántas respuestas correctas tuvieron entre los tres?
41)Emiliano quiere llenar un tanque para su tortuga con 4 cubetas de agua. En cada viaje Emiliano llena la cubeta desde una fuente y camina hacia el tanque, pero en el camino derrama 1/3 del contenido de la cubeta. ¿Cuántos viajes tiene que hacer para llenar el tanque? 42) En la figura se muestran 6 círculos idénticos. Sabiendo que el rectángulo pequeño pasa sobre los centros de todos los círculos y que su perímetro es 60 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo grande?
43) El máximo número de valores enteros que pueden ser obtenidos de la expresión:
Donde n es un entero positivo es: 44) Escriba todos los números no primos de dos cifras distintas, que se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6.
45)El número 888888 se puede escribir como el producto de dos números de tres cifras. ¿Cuál es el menor de ellos? 46)Wendy decidió dividir su terreno cuadrado en cinco parcelas rectangulares iguales, como muestra la figura. Si el perímetro de cada parcela mide 150 metros, calcular el perímetro del terreno cuadrado.
47) Pedro escribió un número de cinco cifras pero se le borraron dos de ellas. El número se ve de la siguiente forma □679□. El primero y último dígito son los que se han borrado. Si se sabe que el número es divisible por 72, ¿cuál es el número?
48) Los polígonos mostrados en la figura son regulares. ¿Cuántos grados tiene el ángulo marcado con la letra A?
49) Un número natural es suertudo si todos sus dígitos son iguales a 7. Por ejemplo, 7 y 7777 son suertudos, pero 767 no lo es. Juan escribió en un papel los 20 primeros números suertudos comenzando por el 7 y luego los sumó. Finalmente, al resultado lo dividió entre 1000, ¿Qué residuo obtuvo Juan en esa división? 50) Una pelota rebota a la mitad de la altura de la que cae. Si la pelota cae de una altura de 18 m. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la pelota cuando ésta toca el piso por tercera vez? 51) En la Escuela Secundaria Técnica 27,
partes de los alumnos
son mujeres. Si en la escuela hay 420 alumnos, ¿cuántos de ellos son varones? ¿Cuántas son mujeres?
52) En una hoja rectangular de área 300 cm 2 podemos dibujar el desarrollo de un cubo. ¿Cuál es el volumen del cubo en centímetros cúbicos?
53) En una extraña tribu la moneda es el osep, y existen monedas de 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 oseps. Nauj y Ocram son dos niños locales que encontraron una cajita con una moneda de cada valor. ¿De cuántas formas pueden repartirse todas las monedas de manera que cada uno tenga el mismo dinero?
54)Ana multiplicó el número de su casa por 6 ó 7. Juan le sumó 6 ó 7 al resultado de Ana y Tania le restó 6 ó 7 al número que obtuvo Juan. Si Tania obtuvo 2010 y el número de la casa de Ana tiene todos los dígitos distintos, ¿cuál es el número de la casa de Ana? 55)Un triángulo equilátero está originalmente pintado de negro. Cada minuto cambia, de forma que la cuarta parte de cada triángulo negro se vuelve blanca. Al cabo de 3 minutos, ¿qué parte del triángulo original sigue estando de negro?
1er minuto
2º minuto
56)La figura está formada por un segmento de recta de 16 cm y por dos cuartos de círculo, uno de ellos tiene su centro en el punto medio del segmento. ¿Cuál es el área de la figura?
57) Cuando
¿Cuál es el valor de
?
58) La moneda nacional de un lejano país es el dorado . Las monedas de 1 dorado tienen el 45% de oro y pesan 10 gramos, las monedas de 2 dorados tienen el 55% de oro y pesan 20 gramos, y las monedas de 5 dorados tienen el 65% de oro y pesan 30 gramos. Se funden x monedas de 1 dorado, 3 monedas de 2 dorados y 4 monedas de 5 dorados para hacer una medalla. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la medalla tenga el 50% de oro?
59) Se desea disminuir el ángulo del siguiente sector circular en 27º ¿Cuál debe ser el nuevo radio para que el área del sector circular no varíe?
60) El promedio de Sofía en los tres exámenes de matemáticas es de 7.6 ¿Qué promedio necesita en los dos siguientes exámenes para sacar 8 de promedio total?.
61)Si el perímetro del hexágono regular de la figura mide 24 cm., el perímetro, en cm., del triángulo sombreado es:
62)El perímetro de la figura es equilátero de lado 2 dm y como puede apreciarse en la figura, tiene dos ángulos rectos. ¿Cuál es, en dm, su área?
63) Un número formado por tres cifras distintas, abc, verifica que (3)(abc)=bbb. ¿Cuál es valor de a + b + c?
64)El 80% de los accidentes suceden al aire libre y el 20% dentro de los edificios. Si el número de accidentes al aire libre se redijera en un 40%, ¿en qué porcentaje disminuiría el número total de accidentes? 65) Para obtener el número 88 debemos elevar el número 44 al exponente.
66) ¿Para cuántos valores del número real b se verifica que la ecuación x 2 + bx + 80 = 0 tiene dos soluciones distintas que son números enteros positivos pares? 67) ¿Cuántos minutos son la quinta parte de la mitad de un tercio de hora?
68)Pablo tiene 12 años. Sofía tiene la mitad de la edad de Pablo y Manolo tiene 13 años más que Sofía. ¿Qué edad tiene Manolo? 69)28 niños participaron en una carrera. El número de niños que llegaron detrás de Raúl fue el doble del número de niños que llegaron antes que él. ¿En qué lugar llego Raúl? 70) Dentro del cuadrado de centro A está MARTE. T es el punto medio de un lado y R está a igual distancia de A que del lado ME. Si el área del cuadrado es 1, ¿qué área tiene MARTE?
M
R
A
T
Zacatecas, Zac. diciembre de 2011.
E
