Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
BACALAUREAT FORMULE MATEMATICE Funcţia de gradul întâi f: , f(x) = ax + b , a,b ,a 0 Dacă a > 0, atunci f este strict crescătoare. Dacă a < 0, atunci f este strict descrescătoare. Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0 ax + b = 0 x = Intersecţia graficului f cu axa Oy
f:
, f(x) =
ax2
x = 0 şi y = f(0)
punctul A(- ,0)
punctul B(0, b)
Funcţia de gradul al doilea ,a 0
+ bx + c , a,b,c
Ecuaţia f(x) = 0 are rădăcinile x1,x2 =
, dacă
Vârful parabolei are coordonatele V(
.
).
Axa de simetrie este dreapta de ecuaţie x =
.
minf/maxf = imaginea funcţiei/mulţimea valorilor funcţiei forma canonică f(x) = a Relaţiile lui Viète
, unde
sunt rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx + c = 0
x12 + x22 = S2 – 2P x13 + x23 = S3 – 3PS f(x) = ax2 + bx + c = a(x- )(x- ) = a( Intersecţia graficului f cu axa Ox
f(x) = 0
Intersecţia graficului f cu axa Oy
x = 0 şi y = f(0)
f(x) > 0, f(x) 0, f(x) 0,
a > 0, < 0 a > 0, 0 a 0, < 0
x ax2
+ bx + c
punctul B(0, c)
dacă >0 =0 <0
Semnul funcţiei de gradul al doilea - semnul lui a 0 semn contrar lui a semnul lui 0 semnul lui a semnul lui a 1
0
semnul lui a
Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
Ex.
x x2 + 4x + 3
-
x2
+
x + 4x - 3
x x2 - 4x + 4
-
+
x x2 + x + 1
+
-3 0
-
1 0
+
+
2 0
+
-
+
-1 0 +
-
+
3 0 -
+
+
+
-
+
+
+
Funcţii Compunerea funcţiilor g: C A şi f: A B este funcţia f g: C B, f g(x) = f(g(x)). Ex. Fie f, g: , f(x) = 2x + 5 şi g(x)=3x –2. Să se determine f f şi f g. f f: , f f(x) = f(f(x))=f(2x + 5)=2(2x + 5)+5=4x+15 f g: , f g(x) = f(g(x))=f(3x - 2)=2(3x - 2)+5=6x+1 f(-x) = f(x) funcţie pară f(-x) = - f(x) funcţie impară f(x + T) = f(x) funcţie periodică Funcţia f: A B este injectivă (1) dacă din , f(x1) = f(x2) x1 = x2 f este injectivă (1) dacă din , x1 x2 f(x1) f(x2) f este injectivă (1) dacă (x) > 0 sau (x) < 0 Funcţia f: A B este surjectivă(2) dacă a.î. f(x) = y f este surjectivă(2) dacă f(A) = B Din (1) şi (2) f bijectivă f inversabilă f: A B, f(x) =y, f bijectivă :B A, (y) = x
formula termenului general formula termenului general suma primilor n termeni
Progresii Progresia aritmetică an = an-1 + r an = a1 + (n-1)r Sn =
Sn = a1(1+q+q2+...+qn-1) = a1 q 1 Sn =na1, q=1
Sn numărul termenilor
Progresia geometrică an = an-1 q, a1,q 0 an = a1qn-1
n=
proprietate proprietate Probabilitatea P=
a,b,c
2b = a+c
a,b,c
[ 0, 1] 2
b2 = ac
,
Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
Metode de numărare Numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n. Numărul submulţimilor cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente este Cnk 0 n, n
Ex. Să se determine numărul submulţimilor mulţimii A={0,1,2}. R. Ex.1. Să se determine numărul submulţimilor cu două elemente ale mulţimii A={0,1,2}. R. C32 Ex.2. Să se determine numărul elementelor unei mulţimi ştiind că aceasta are exact 45 de submulţimi cu două elemente. R. Cn2= 45 =45 n(n-1)=90 n(n-1)=10 9 n=10
Numărul funcţiilor f: A B, A, B nevide, =n , =m este mn. Numărul funcţiilor injective f: A =n , =m este Amn .
Ex. Să se determine numărul funcţiilor f: {0,1,2} {5,6,7,8}. R. , unde 4= şi 3= Ex. Să se determine numărul funcţiilor injective f:{0,1,2} {5,6,7,8}. R. A43, unde 4= şi 3= Ex. Să se determine numărul funcţiilor strict crescătoare f:{0,1,2} {5,6,7,8}. R. C43, unde 4= şi 3= Ex. Să se determine numărul funcţiilor bijective f:{0,1,2} {0,1,2}. R. 3! Ex. Să se determine numărul dreptelor care trec prin 5 puncte distincte, oricare trei necoliniare. R. C52 Ex. Să se determine numărul diagonalelor unui poligon convex cu 5 laturi. R. C52-5 Ex. Să se determine numărul triunghiurilor care se pot forma cu 5 puncte distincte, oricare trei necoliniare. R. C53
B,
Numărul funcţiilor strict monotone f: A B, =n , =m este Cmn . Numărul funcţiilor bijective f: A =n este n!.
A
Numărul dreptelor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn2. Numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi este Cn2– n. Numărul triunghiurilor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn3.
Mulţimea numerelor reale
= 1, a ,a
,n
de n ori
,a ,
0 ,n
,n 3
2
Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
x x = [x] + {x} , [x] [x] parte întreagă
, {x} [ 0, 1)
[x] x [x] + 1 Ex. x= 2,7 [x]= 2 x= - 2,7 [x]= -3 x= Ex. x= 2,7 x= - 2,7
{x} parte fracţionară
x= ecuaţia exponenţială ax = b ecuaţia logaritmică loga x = b
{x}=
x = loga b, a (0, )\{1}, b>0 x = ab, a (0, )\{1}, x>0 Proprietăţile logaritmilor Ex. log2 1=0 Ex. log5 5=1 Ex. log3 9=log3 32=2
loga 1=0 loga a=1 loga an=n ln1=0 lne=1 lg10=1 lg1=0
Ex.
=
Ex.
= =
[x]= 1 {x}= 0,7 {x}= 0,3
sau
=
sau
=
=
Ex.
=
Ex.
=
loga x + loga y = loga xy
Ex. log2 6 + log2 = log2 6 = log28 = log223 = 3
loga x - loga y = loga
Ex. log2 6 – log2 3 = log2 = log22 = 1 Ex.
0!=1 n!=1 2 ..... n, n Permutări Pn = n! Aranjamente Ank = Combinări
Cnk =
Combinatorica
,0 ,0
n n
formula combinărilor complementare: Cnk = Cnn-k Binomul lui Newton este (a+b)n =Cn0an + Cn1 an-1b +...+Cnnbn, a,b ,n . Numărul termenilor din dezvoltarea binomială este n+1. formula termenului general/de rang k: Tk+1 = Cnk an-kbk , k = suma coeficienţilor binomiali: Cn0+ Cn1 +...+Cnn= 2n suma coeficienţilor binomiali ai termenilor de rang impar/par: Cn0+ Cn2 +... = 2n-1 = Cn1+ Cn3 +... 4
Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
Binomul lui Newton =1 (a+b)1 =a+b (a+b)2 =a2+2ab+b2 (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)0
1 C10 C11 C20 C21 C22 C30 C31 C32 C33
Triunghiul lui Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1
Mulţimea numerelor complexe Forma algebrică a unui număr complex este z = a + ib, a,b . Rez=a, Imz=b, i2= -1 Conjugatul lui z este = a – ib . Modulul numărului complex z este =
,
=
.
=
Forma trigonometrică a unui număr complex este z = r(cost + isint), unde r = t=arctg +k , k=
, t [0, 2 ).
Formula lui Moivre: (cost + isint)n= cosnt + isinnt Puterile lui i:
,n
Formule trigonometrice sin2x + cos2x = 1 , x tg(a+b) = sin2x = 2sinxcosx tg(a - b) = cos 2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x –1 = 1 - 2 sin2x sin(- x)= - sinx tg(a+b+c) = cos(- x)= cosx tg (- x) = - tgx tg 2x = ctg(- x)= - ctgx tg x = sin(x+2k )=sinx , k cos(x+2k )=cosx ctg x = tg (x+k ) =tgx ctg(x+k )=ctgx sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a - b) = sinacosb - sinbcosa sinx = cos(a + b) =cosacosb - sinasinb cos(a - b) =cosacosb + sinasinb sina + sinb=2sin cos cosx = sina - sinb=2cos sin arcsinx + arccosx = cosa + cosb=2cos cos arctgx + arcctgx = cosa - cosb= - 2sin sin 5
, r 0 şi
Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
x 0 30
x 0
sinx 0
cosx 1
45
tgx 0
ctgx -
1
1
60 90
1
0
-
0
180
0
-1
0
-
Ecuaţii trigonometrice sinx=a, a x=(-1)karcsina+k , k cosx=a, a x= arccosa+2k , k tgx=a, a x=arctga+k , k ctgx=a, a x=arcctga+k , k arcsin(- a) = - arcsina arccos(- a) = – arccosa arctg(- a) = - arctga arcctg(- a) = – arcctga Dreapta Fie punctele A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ). distanţa AB = ecuaţia dreptei AB :
=
şi panta mAB =
ecuaţia dreptei determinată de un punct A şi o pantă d: ecuaţia generală a dreptei d: ax + by + c = 0 şi panta m = d1 d2 d1 d2
=m(
m1 = m2 m1 m2 = -1
M mijloc
xM =
, yM =
Distanţa de la punctul A (x0 , y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este d(A,d) = Centrul de greutate G al triunghiului ABC are coordonatele xG = ABCD paralelogram A,B,C coliniare
AB AC sau a
=
, a.î.
.
, yG =
.
=
=a
sau
În triunghiul ABC dreptele AA’ , BB’ , CC’ sunt concurente, atunci
=0 = 1. (Teorema lui Ceva)
Fie triunghiul ABC şi M, N, P trei puncte coliniare şi distincte, situate pe dreptele AB, BC, CA. Atunci = 1. (Teorema lui Menelau) 6
Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
Vectori =x +y =
modulul vectorului
+
=
, = + cos( ) = x1 x2 + y1 y2
= sau
este
,
coliniari
=
x1 x2 + y1 y2 = 0 cos(
)=
= (xB– xA ) + (yB – yA ) =0 + =-
=
relaţia lui Chasles mediana dusă din A în triunghiul ABC
+
+
= , unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC
Rezolvarea triunghiului = 2R, R-raza cercului circumscris triunghiului ABC
Teorema sinusurilor:
Teorema cosinusului: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA cos A = Formule pentru aria triunghiului S= S= S= S=
, unde p = ,
raza cercului înscris în triunghi: r =
, unde p =
raza cercului circumscris triunghiului: R = Teorema medianei:
Teorema împărţirii cu rest f : g Teorema restului f : (x-a) Teorema lui Bézout f (x-a)
, unde
este mediana corespunzătoare unghiului A al ABC
Polinoame f = gq + r, grad r < grad g r = f(a) f(a) = 0 7
Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev………………………………………
Schema lui Horner pentru f = ax3 + bx2 + cx + d împărţit la x (ax3+bx2+cx+d) : (x - ) x = şi aplicăm schema
x1
x3 a a
x2 b x1a+b
x1 c x1(x1a+b)+c
x0 d x1[x1(x1a+b)+c ]+d
Ex. Să se afle câtul şi restul la împărţirea lui 2x3 + 3x2 - 4x + 5 prin x – 1. x–1=0
1
x3 2 2
x=1 x2 3 5
aplicăm schema x1 -4 1
x0 5 6 = restul
Câtul este 2x2 + 5x + 1, iar restul este 6. Observaţie. Pentru aflarea restului putem aplica T. Bézout: f( 1 ) = 2 + 3 – 4 + 5 = 6. ax3 + bx2 + cx + d = 0, a
0, x1,2,3 sunt rădăcinile ecuaţiei
Relaţiile lui Viète x12 + x22 + x32 = S12 – 2S2 x1 rădăcină a ecuaţiei ax3+bx2+cx+d=0, a 0 ax13+bx12+cx1+d=0 x1 rădăcină a polinomului f f(x1) = 0 Dacă z1,2 sunt rădăcinile ecuaţiei z2+z+1=0, atunci sunt şi rădăcinile ecuaţiei z3-1 =0, pentru că z3-1 = (z-1)(z2+z+1). Ecuaţia Ecuaţia binomă
Forma ecuaţiei xn=z
Mod de rezolvare scriem z=r(cost+isint),r 0, t [0, 2 ) xk =
xn= 1
(cos
xk = cos
Ecuaţia bipătrată
ax4+bx2+c=0
Ecuaţia reciprocă de grad 3
ax3+bx2+bx+a=0
Ecuaţia reciprocă de grad 4
ax4+bx3+cx2+bx+a=0
+ isin + isin
, k=
rădăcinile de ordinul n ale unităţii notăm x2=t, obţinem at2+bt+c=0 şi rezolvăm ecuaţia de gradul al doilea, apoi revenim la notaţie admite soluţia x1 = - 1, apoi aplicăm schema lui Horner împărţim ecuaţia cu x2, x , notăm x+ = t , x2+ = t2 – 2, ...
8
) , k=
