BAB5FUNGSIKONTINU

FUNGSI KONTINU

5.1 FUNGSI KONTINU 5.1.1 Definisi. A R, f: A  R, dan c  A. Kita mengatakan bahwa f kontinu f kontinu di c

jika, diberi persekitaran V g (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A 

(c) dari c

(c), (c), maka f (x) berada pada V g

(f (c)). (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

Keterangan (1) Jika c  A adalah suatu titik limit dari A, maka perbandingan

Definisi 4.1.4 dan 5.1.1 menunjukkan bahwa f kontinu f kontinu pada c jika dan hanya jika (1)

f ( f (c) l xic f m f m Jadi, jika c adalah titik limit dari A, maka (1) ada kondisi yang harus

dipenuhi: (i) f harus f harus didefinisikan di c (sehingga f (c) masuk akal), (ii) batas dari f di c harus ada dalam R (sehingga l xic f masuk f masuk akal), dan (iii) nilai-nilai f(c) dan m l xic f harus f harus sama. m (2) Jika c  A bukan titik limit dari A, maka terdapat suatu persekitaran c sedemikian hingga A 

(c) dari

(c) = {c}. Jadi kita simpulkan bahwa fungsi f secara f secara

otomatis kontinu di titik c  A yang bukan titik limit dari A. Semacam ini sering disebut "titik terisolasi" dari A; karena mereka adalah "jauh dari tindakan ". Karena kontinuitas otomatis untuk titik-titik tersebut, kita umumnya umumnya harus 1 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

menguji kontinuitas hanya pada titik limit. Jadi kita bisa menganggap kondisi (1) sebagai karakteristik untuk kontinuitas di c.

f kontinu pada 5.1.2 Definisi. A R, dan f : A  R. Jika B  A, kita katakan bahwa f kontinu B jika f kontinu f kontinu di setiap titik B titik B.

5.1.3. Teorema A R, f: A  R, dan biarkan c  A. Kemudian kondisi berikut

ekuivalen. (i)

f kontinu f kontinu di c, yaitu diberi persekitaran V g (f(c)) dari perse persekit kitar aran an

f(c) terdapat

(c) dari c sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A 

(c), (c), maka f ( x) x) berada pada Vg (f (c)). (ii) Mengingat setiap  > 0 ada c,  > 0 sedemikian sehingga untuk semua x  A dengan | x - c | < , maka | f (x) - f (c) | < . (iii) Jika (

) adalah barisan bilangan real sehingga

dan dan (

) menyatu dengan c, maka barisan ( f (

 A untuk semua n  N )) menyatu untuk f(c) untuk f(c)..

5.1.4. Diskontinuitas Kriteria A R, f: A  R, danc an c  A. Kemudian f adalah f adalah

kontinu di c jika dan hanya jika terdapat urutan ( (

konvergen ke c, tapi barisa barisan n ( f f ( ) konvergen

) dalam A sedemikian sehingga

(c). )) tidak konvergen ke f (c).

Contoh 5.1.5

(a) f (x) = b kontinu pada R. Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (a) bahwa jika c  R, maka l xic f = b. Karena m f(c) = b, maka f adalah kontinu pada setiap titik c  R. Maka f kontinu pada R. (b) g (x) = x kontinu pada R. Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (b) bahwa jika c  R, maka l xic g = c. Karena g m (x) = c, maka g kontinu di setiap titik c  R. Jadi g kontinu pada R. (c) h (x) = x2 kontinu pada R. 2 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (c) bahwa jika c  R, maka l xic h = c2.. m Karena h (c) = c2, maka h adalah kontinu di setiap titik c  R. Jadi h kontinu pada R. (d)  (x) = 1 / x adalah kontinu pada A = {x  R: x> 0} Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (d) bahwa jika c  A, maka l xic ϕ = 1 / c. m Karena  (x) = 1/c, 1/c, ini menunjukkan bahwa  kontinu di setiap titik titik cc  A. Jadi  kontinu pada A. (e)  (x) = 1 / x tidak kontinyu pada x = 0. Memang, jika  (x) = 1 / x untuk x> 0, maka  tidak didefinisikan x = 0, sehingga tidak bisa terus menerus di sana. Atau, terlihat pada Contoh 4.1.10 (a) yang l xi0 ϕ m tidak ada di R, sehingga  tidak dapat kontinu pada x = 0. (f) Fungsi signum sgn tidak kontinu di 0. Fungsi signum didefinisikan pada Contoh 4.1.10 (b) di mana ia juga menunjukkan bahwa tidak ada ada dalam dalam R. Oleh karena karena itu itu sgn tidak kontinu kontinu pada pada x = 0 (meskipun sgn 0 didefinisikan). Ini adalah latihan untuk menunjukkan sgn yang kontinu di setiap titik c  0. (g) Misalkan A = R dan f Dirichlet's "fungsi diskontinu" didefinisikan oleh f (x) = 1 jika x adalah rasional, = 0 jika x irasional. Memang, jika c adalah bilangan rasional, (xn) menjadi barisanbilangan irasional yang konvergen ke c (Corollary 2.5.6 ke 2.5.5 Teorema Density meyakinkan kita bahwa suatu urutan seperti tidak ada.) Karena f (xn) = 0 untuk semua n  N, kita memiliki (f (xn)) = 0, sedangkanf sedangkan f (c) = 1. Oleh karena f tidak konti nu

di

nomor

iras irasio iona nall

b.

Karena setiap bilangan real adalah baik rasional atau tidak rasional, kita mengurangi bahwa f tidak tidak kontin kontinu u di setiap setiap titik titik di di R. 3 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

(h) Misalkan A {x  R: x > 0} =. Untuk setiap bilangan irasional x> 0 kita mendefinisikan h (x) = 0. Untuk bilangan rasional dalam A dari bentuk m / n, dengan m bilangan asli, n tidak memiliki faktor bersama kecuali 1, kita mendefinisikan h (m / n) = 1 / n. (Lihat Gambar 5.1.2)

Kami berani mengklaim bahwa h kontinu di setiap bilangan irasional di A, dan terputus di setiap bilangan rasional di A. (fungsi ini diperkenalkan pada tahun 1875 oleh KJ Thomae). Di sisi lain, jika b adalah bilangan irasional dan  > 0, maka (oleh Properti Archemedean) ada bilagan asli no seperti yang 1 / n o < . Hanya ada jumlah terbatas rationals dengan denominator kurang dari no pada interval (b - 1, b + 1). Oleh karena itu  > 0 dapat dipilih begitu kecil bahwa lingkungan (b - , b + ) tidak berisi bilangan rasional dengan denominator kurang dari no (Mengapa?). Kemudian berikut bahwa untuk | x - b |  <, x  A, kita memiliki | h (x) - h (b) | = | h (x) <1 <1 / no <  |. Jadi h kontinu pada bilangan irrasional b.

Keterangan 5.1.6 (a)Kadang-kadang suatu fungsi f: A  R tidak kontinu pada

titik c karena ia tidak terdefinisi pada titik ini. Namun, jika ji ka fungsi f mempunyai suatu limit L pada titik c dan jika kita menghitung F pada F pada A F(x) F(x) = L = f(x)

{c}  R oleh

unt uk x uk x = c unt uk x uk x

A. 4 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023)

Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Maka F adalah kontinu pada c. Untuk melihat ini, butuh memeriksa bahwa l xic F = L , tetapi berdasarkan ini (kenapa?), nilai l xic F = L. m m (b) Jika suatu fungsi g: A  R tidak memiliki limit pada c, maka tidak ada cara kita dapat menghitung suatu fungsi G: A

{c}  R kontinu pada c dengan

definisi G(x) = C = g(x)

unt uk x = c unt uk x

A.

Untuk melihat ini, telitilah bahwa jika l xic G ada dan sama dengan C, maka m l xic g harus juga ada dan sama dengan C. m

Contoh-contoh 5.1.7 (a) Fungsi g(x) = sin (1/x) untuk x  0 (Lihat Penjelasan

4.1.3 pada p. 110) tidak memiliki suatu limit pada x = 0 (lihat Contoh 4.1.10(c)). Jadi tidak ada nilai yang kita dapat menetapkan pada x = 0 untuk memperoleh perpanjangan g kontinu pada x = 0. (b) Misalkan f(x) = x sin (1/x) untuk x  0 (Lihat Penjelasan 5.1.3.) Nilai f tidak terdefinisikan pada x = 0, fungsi f tidak dapat kontinu pada titik ini. Namun, sudah terlihat dalam Contoh 4.2.8 ( f ) bahwa l xi0 ( x sin (1/x)) = 0. Berdasarkan m 5.1.6(a) jika kita definisikan F: R  R dengan F(x) = 0 = x sin (1/x)

unt uk x = 0, unt uk x  0,

Maka F kontinu pada x = 0.

5 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

5.2 KOMBINASI DARI FUNGSI KONTINU

Misalkan A R dan misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan pada A ke R dan misalkan b

R. Pada Definisi 4.2.3 kami definisikan jumlah,

deferensial, hasil, dan perkalian fungsi didefinisikan oleh f + g, f - g, fg, bf . Dalam penjumlahan, jika

h:

dimana h(x)

0 untuk semua x

,

maka kami definisikan fungsi ini dilambangkan dengan f / h.

Teorema 5.2.1 Misalkan A R misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan

pada A ke R dan misalkan b

R. Misalkan c

dan bahwa f dan g adalah

kontinu pada c. (a) Maka f + g, f - g, fg, dan bf adalah kontinu pada c. (b) Jika h: x

adalah kontinu pada c

dan jika h(x)

0 untuk semua

, maka hasil bagi f / h adalah kontinu pada c.

Bukti. Jika c

bukan titik limit dari A, maka kesimpulannya adalah otomatis.

Kita dapat asumsikan bahwa c adalah titik poin dari A. (a) Jika f dan g kontinu pada c, maka f(c) = l xic f m

dan

g(c) = l xic g . m 6 Analisis Real, 2011

Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Karenanya berikut ini dari teorema 4.2.4(a) bahwa (f + g) (c) = f (c) + g (c) = l xic( f  g ). m Olehkarena itu f + g adalah kontinu pada c. Asersi yang ada di bagian (a) adalah terbukti dengan cara yang sama. (b)

J i kac

, maka h(x)

0. Tapi jika h(c) = l xic h , ia mengikuti m

dari teorema 4.2.4(b) bahwa

Maka f / h kontinu pada c. Selanjutnya hasil langsung akibat dari teorema 5.2.1, digunakan untuk setiap titik dari A. Namun, karena hasil yang sangat penting, kita harus menyatakan secara formal.

Teorema 5.2.2 Misalkan A R misalkan f dan g kontinu pada A ke R dan

misalkan

.

(a) Fungsi f + g, f - g, fg, dan bf adalah kontinu pada A. (b) Jika h:

adalah kontinu pada A dan h(x)

0 untuk semua x

, maka

hasil bagi f / h adalah kontinu pada A.

Keterangan 5.2.3 Untuk mendefinisikan hasil bagi, kadang-kadang lebih nyaman

untuk melanjutkan sebagai berikut. Jika

:

kita dapat mendefinisikan hasil bagi f /

, misalnya

=

pada himpunan

oleh

(*)

unt uk x

Jika

adalah kontinu pada suatu titik

jelas

. , batasab yang

juga kontinu pada c. Mengikuti dari teorema 5.2.1(b)

digunakan pada

bahwa f /

kontinu pada c

. Jika ( f /

) = ( f / 7

Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

( x) untuk x

mengikuti f /

kontinu pada A, maka fungsi f / pada

kontinu pada c

didefinisikan pada

. Jika f dan

oleh (*), adalah kontinu

.

Contoh-contoh 5.2.4

(a) Fungsi polinomial. Jika

p

adalah

fungsi

polinomial,

untuk semua x dari contoh 4.2.5 ( f ) bahwa p(c) = l xic p untuk x m

sehingga

, maka berikut ini . Maka nilai suatu fungsi

polinomial kontinu pada R. (b) Fungsi rasional Jika p dan q adalah fungsi polinomial pada R, maka ada paling banyak bilangan berhingga maka q(x)

dari akar nyata dari q. Jika x

{

}

0 sedemikian hingga kita dapat mendefinisikqn fungsi rasional r

dengan

unt uk

{

}.

Ia telah dilihat dari contoh 4.2.5 (g) bahwa jika q(c)

0, maka

Dengan kata lain, r kontinu pada c. Karena c adalah semua bilangan real yang bukan merupakan akar dari q, kami menyimpulkan bahwa fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real yang itu didefinisikan. (c) Kita harus menunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu pada R. Untuk melakukannya kita menggunakan sifat berikut fungsi sinus dan kosinus yang akan dibuktikan dalam Bab 8. Untuk semua x, y, z

kita

memiliki: |sin z|  |z|,

|cos z|  1,

S i n x - si n y = 2 si n

cos

. 8 Analisis Real, 2011


Oleh karena itu jika c | S i n x - si n c |  2 .

, maka kita dapatkan | x - c | . 1 = | x - c |.

Olehkarena itu sin kontinu pada c. Karena c

, maka mengikuti sinus

yang kontinu pada R. (d) Fungsi kosinus kontinu pada R Kita gunakan sifat berikut fungsi sinus dan kosinus yang akan terbukti nanti. Untuk semua x, y, z |sin z|  |z|,

kita dapatkan :

|sin z|  1,

cos x - cos y = 2 sin

sin

.

Oleh karena itu jika c

, maka kita dapatkan

| cos x - cos c |  2 . 1 .

| x - c | = | x - c |.

Olehkarena itu kosinus kontinu pada c. Karena c

, maka mengikuti bahwa

kosinus kontinu pada R. (Atau, kita bisa menggunakan hubungan cos x = sin (x + ).) (e) Fungsi tan, cot, sec, csc kontinu dimana dapat didefinisikan. Untuk contoh, fungsi cotangen didefinisikan dengan

Disediakan sin x

0 (yaitu disediakan x

n ,n

). Karena sin dan cos

adalah kontinu pada R, mengikuti dari 5.2.3 fungsi cot kontinu pada domainnya. Fungsi-fungsi trigonometri lainnya diperlakukan sama.

Teorema 5.2.5 Misalkan A R, misalkan f : A  R dan misalkan | f |

didefinisikan untuk x

dengan | f | ( x) = | f(x)|.

(a) Jika f kontinu pada suatu titik c (b) Jika f kontinu pada

, maka | f | kontinu pada c.

, maka | f | kontinu pada A.


Bukti. Akan dibuktikan f kontinu pada c

 | f | kontinu pada c. akan dibuktikan l xic | f ( x) | = | f (c) | m

unt uk

, maka terdapat

sedemikian hingga 0 < | x - c | <

,

maka | f ( x) - f (c) | < Karena || f ( x) | - | f (c) |

| f ( x) - f (c) | < , terbukti l xic | f ( x) | = | f (c) | maka m

| f | kontinu pada c.

Teorema 5.2.6 Misalkan A R, misalkan f : A  R, dan misalkan f(x)  0 untuk

semua x

. Kita misalkan

didefinisikan untuk c

dengan (

) ( x) =

. (a) Jika f kontinu pada suatu titik c (b) Jika f kontinu pada

, maka

, maka

kontinu pada c.

kontinu pada A.

Bukti.

a) Buktikan jika f kontinu pada c maka

dibuktikan l xicm <|x-c|< Karena

,

unt uk

kontinu pada c l xic f ( x) = f (c) akan m

> 0, terdapat

untuk | f ( x) - f (c) | <

sedemikian hingga 0 karena | f ( x) - f (c) | <

|

.

maka

. Terbukti l xicm

maka

|

kont i nu

pada c. b) Pembuktiannya sama.

Komposisi dari Fungsi-fungsi Kontinu


Sekarang kita tunjukkan jika fungsi f : A  R kontinu pada suatu titik c dan jika g : B  R kontinu pada suatu titik b = f(c), maka komposisi g o f kontinu pada c. Dalam rangka untuk memastikan bahwa g o f didefinisikan pada semua dari A, kita asumsikan bahwa f(A) B. Teorema 5.2.7 Misalkan A, B, R dan misalkan f : A  R dang : B  R

adalah fungsi sedemikian hingga f(A) B. Jika f kontinu pada pada titik c dan g kontinu pada b = f(c)

B, maka komposisi g o f : A  R kontinu pada c.

Bukti. Misalkan W adalah suatu

pada b, ada suatu maka g(c)

A

- persekitaran dari g(b). Karena g kontinu

- persekitaran V dari b = f(c) sedemikian hingga jika y W. Nilai f kontinu pada c, akan ada suatu

c sedemikian hingga jika x

A

U, maka f(c)

halaman berikutnya). Nilai f(A) B, jika x sehingga g o f(x) = g(f(x))

B

persekitaran U dari

. (Lihat penjelasan 5.2.1 pada A

W. Tetapi nilai W adalah

U, maka f(x)

V

- persekitaran dari g(b),

implikasi ini bahwa g o f kontinu pada c.


Teorema 5.2.8 Misalkan A, B, R dan misalkan f : A  R kontinu pada A, dan

misalkan g : B  R kontinu pada B . Jika f(A)  B, maka komposisi g o f : A  R kontinu pada A.

Bukti. Teorema segera mengikuti dari hasil sebelumnya, jika f dan g kontinu pada

setiap titik dari A dan B, respectively. Teorema 5.2.7 dan 5.2.8 sangat digunakan dalam menghitung bahwa fungsi- fungsi tertentu kontinu. Dapat digunakan pada banyak situasi dimana akan sulit untuk digunakan definisi dari kontinu langsung.

Contoh 5.2.9

(a) Misalkan g 1(x) = |x| untuk x

R. Ini mengikuti dari

Ketimpangan Segitiga (Lihat akibat 2.3.4) bahwa | g 1(x) - g 1(x) |  | x - c | Untuk semua x, c

R. Karena g 1 kontinu pada c

R. Jika f : A  R adalah

fungsi kontinu pada A, maka Teorema 5.2.8 berimplikasi g 1 o f = | f | kontinu pada A. Ini pembuktian lain dari bukti dari Teorema 5.2.5. (b) Misalkan g 2(x) =

untuk x  0. Jika f : A  R . Dari Teorema 3.2.10

dan Teorema 5.1.3 bahwa g 2 kontinu pada bilangan c  0. Jika f : A  R kontinu pada A dan jika f ( x)  0 untuk semua x bahwa g 2 o f =

A, maka berdasarkan Teorema 5.2.8

kontinu pada A. Inipembuktian lain dari Teorema 5.2.6.

(c) Misalkan g 3(x) = sin x untuk x

R. Dapat kita lihat dalam contoh

5.2.4(c) bahwa g 3 kontinu pada R. Jika f : A  R kontinu pada A, maka berdasarkan Teorema 5.2.8 bahwa g 3 o f kontinu pada A. Khususnya, jika f(x) = 1/x untuk x / 0, maka fungsi g(x) = sin (1/x) kontinu pada setiap titik c  0. [Dapat kita lihat, dalam contoh 5.1.7(a), bahwag tidak dapat didefinisikan pada 0 agar menjadi kontinu di titik itu.

5.3. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL


Fungsi yang kontinu pada interval memiliki sejumlah sifat yang sangat penting yang tidak dimiliki oleh fungsi kontinu umum. Pada bagian ini, kita akan membuat beberapa hasil yang amat penting dan akan diterapkan kemudian. Alternatif bukti hasil ini akan diberikan dalam bagian 5.5.

5.3.1. Definisi. Sebuah fungsi

bilangan konstanta

dikatakan terbatas pada

sedemikian sehingga

jika terdapat .

Dengan kata lain, sebuah fungsi dikatakan terbatas dalam suatu himpunan jika kisaran fungsi tersebut terbatas dalam

. Untuk menyatakan bahwa sebuah

fungsi tidak terbatas pada himpunan yang diberikan, dinyatakan bahwa bilangan yang tidak nyata bisa membantu membatasi himpunan fungsi tersebut. Dengan kata lain, Sebuah fungsi

tidak terbatas dalam himpunan

. Ada sebuah bilangan sering mengatakannya bahwa Sebagai contoh, fungsi

tidak terbatas dalam

dalam

jika diberikan

sedemikian sehingga tidak terbatas pada

. Kita

dalam hal ini.

didefinisikan dalam interval

karena

dengan

, kita bisa mengambil pendapat

untuk mendapatkan

. Contoh ini

menunjukkan bahwa fungsi kontinu tidak memerlukan batasan. Dalam teorema selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa fungsi kontinu pada sebuah tipe interval khusus memerlukan batasan.

5.3.2. Teorema Keterbatasan. Misalkan

dan

sebuah batas interval tertutup

kontinu pada I . Maka f terbatas pada I .

Bukti. Misalkan f tidak terbatas pada I , maka

sedemikian hingga

terdapat sebuah bilangan

. Karena I terbatas, barisan 13 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023)


terbatas. Oleh karena itu, pada teorema 3.4.8 Bolzano-Weierstrass menyatakan secara tidak langsung bahwa terdapat sebuah sub barisan

di

konvergen pada sebuah bilangan

kepunyaan

. Karena I tertutup dan elemen

I , dengan mengikuti teorema 3.2.6 bahwa konvergen pada

. Maka f kontinu di

yang

, sehingga

. Kita dapat menyimpulkan dari teorema 3.2.2

bahwa barisan konvergen

harus terbatas. Tetapi ini merupakan sebuah

kontradiksi dari for Oleh karena itu, permisalan bahwa fungsi kontinu f tidak terbatas pada interval batas tertutup I menuju sebuah kontradiksi. Secara matematis pembuktian tersebut dapat ditulis seperti berikut. Misal, jika f tidak terbatas pada I , kalau I terbatas, maka konvergen ke barisan konvergen, f kontinu ke x, maka

dimana

,

.

terbatas. Dari teorema Bolzano-Weierstrass, subbarisan . di dalam I, karena I tertutup, konvergen pada

terbatas, maka

.

. tidak memenuhi. Sehingga permisalan salah sehingga

terbukti. Untuk menunjukkan bahwa setiap hipotesis teorema keterbatasan diperlukan, kita bisa memberikan contoh dengan menunjukkan bahwa kesimpulan gagal jika salah satu dari hipotesis benar. (i) Interval harus terbatas. Fungsi tertutup

kontinu tetapi tidak terbatas di

(ii) Interval harus tertutup. Fungsi terbuka

unt uk

unt uk

kontinu tetapi tidak terbatas di

tidak terbatas, interval .

dalam interval setengah .


(iii) Fungsi harus kontinu. Fungsi h didefinisikan dalam interval tertutup oleh tidak terbatas di

unt uk

dan

tidak kontinu dan

.

Teorema Maksimum-Minimum 5.3.3. Definisi. Misalkan

dan

sebuah maksimum mutlak di

. Kita katakan bahwa f mempunyai

jika terdapat titik

sedemikian sehingga

Kita katakan bahwa f mempunyai sebulah minimum mutlak di bilangan

jika terdapat

sedemikian sehingga

Kita katakan bahwa

sebuah titik maksimum mutlak untuk f pada

sebuah titik minimum mutlak untuk f pada

, dan

, jika mereka ada.

Kita catat bahwa sebuah fungsi kontinu di himpunan A tidak selalu mempunyai maksimum mutlak atau minimum mutlak pada himpunan. Sebagai contoh,

, apakah mempunyai mempunyai maksimum

mutlak maupun minimum mutlak pada himpunan : 1.

.

, sehingga tidak mempunyai maksimum mutlak maupun minimum mutlak, 2. , . Jadi,

juga tidak mempunyai mempunyai maksimum mutlak maupun

minimum mutlak. 15 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

3. , . Jadi,

mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak.

4. , . Maka,

hanya mempunyai nilai maksimum mutlak saja.

Dengan mudah terlihat bahwa jika sebuah fungsi mempunyai titik maksimum mutlak, maka titik ini tidak perlu ditentukan dengan khusus. Sebagai contoh, fungsi titik

didefinisikan untuk diberikan maksimum mutlak di

minimum mutlak di

, dan titik tunggal

unt uk

. Lihat gambar 5.3.2. Untuk mengambil contoh

perbedaannya yang besar, fungsi konstanta sehingga setiap titik

mempunyai dua

unt uk

sedemikian

adalah dua titik untuk sebuah maksimum mutlak dan

sebuah minimum mutlak untuk

.


5.3.4. Teorema Maksimum-Minimum. Misalkan

tertutup dan

kontinu pada

batas interval

. Maka f mempunyai sebuah maksimum

mutlak dan sebuah minimum mutlak dari

.

Bukti. Ambil

kontinu pada

dan

, maka f mempunyai

maksimum mutlak dan minimum mutlak dari

Ambil titik terbesar

Karena

, dan titik terkecil

, maka

.

bukan lagi batas atas dari himpunan

.

Sebagai akibatnya,

di dalam I . karena I terbatas, maka

terbatas.

dengan teorema Bolzano-Weierstrass, di dalam I dan

konvergen

, maka f kontinu pada

, karena

, sehingga

. Disimpulkan bahwa

maksimum mutlak

5.3.5. L ocation of r oots Theorem . Misalkan

I . Jika

, atau sedemikian sehingga

pada I . dan

kontinu pada

, maka terdapat sebuah bilangan .

Bukti. Kita asumsikan bahwa

. Kita akan bangun sebuah barisan

dari interval dengan suksesif biseksi. Misalkan

, dimana 17 Analisis Real, 2011


dan

menjadi titik tengah

Jika

. J i ka

, kita ambil

, maka kemungkinannya adalah ,

maka

,

.

atau

sedangkan

. Jika

ji ka

,

maka

. Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan kita peroleh

dan

,

, maka

.

Kita lanjutkan ke proses biseksi. Andaikan bila interval memperoleh suksesif biseksi dengan cara yang sama. Maka kita mempunyai dan Jika

dan

. J i ka

, himpunan

, maka

.

, sedangkan jika

himpunannya

,

. Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan , maka

dan

Jika proses akhirnya letak titik

,

.

sedemikian sehingga

, maka

kita telah selesai. Jika proses tidak berakhir, maka kita mendapat sebuah kumpulan barisan interval batas tertutup

sedemikian sehingga

kita peroleh dan

.

Selanjutnya, karena intervals mendapatkan suksesif biseksi, panjang dengan terdapat

sama

. Ini terdapat pada kumpulan sifat interval 2.5.2 bahwa titik

c

yang

terdapat

,

pada

,

,

kita

dan

sebab itu, menurut

peroleh

. , karena

Oleh

kontinu di c, kita

memperoleh . Kenyataannya

,

menyiratkan

bahwa

. Dan juga kenyataannya bahwa

yang 18 Analisis Real, 2011


menyiratkan bahwa

. Jadi, kita simpulkan bahwa

. Oleh

karena itu, c adalah sebuah akar f . 5.3.6. Contoh. Persamaan

interval

mempunyai sebuah akar c dalam

, karena f kontinu pada interval ini dan

dan

. Kita buat tabel, dimana tanda dari f menentukan interval pada langkah berikutnya. Kolom paling kanan adalah batas atas percobaan saat digunakan untuk memperkirakan akar c, karena

Kita akan menemukan perkiraan

dengan mencobakan kurang dari 10-2,

n 1

0

1

.5

-1.176

.5

2

.5

1

.75

-.412

.25

3

.75

1

.875

+.099

.125

4

.75

.875

.8125

-.169

.0625

5

.8125

.875

.84375

-.0382

.03125

6

.84375

.875

.859375

+.0296

.015625

7

.84375

.8 5 9 3 7 5 .8 5 1 5 6 2 5 _

Kita berhenti pada n = 7, berlaku

.0078125

dengan

mencobakan kurang dari .0078125. Ini tahap pertama dalam mencobakan kurang dari 10-2. Tempat nilai desimal bisa menyimpulkan bahwa

letak keduanya tidak bisa digunakan, tetapi kita .

Teorema Bolzano


Hasil selanjutnya adalah penyamarataan teorema letak akar-akar. Keyakinan kita bahwa sebuah fungsi kontinu pada sebuah interval memuat paling sedikit dua bilangan bernilai.

5.3.7. Teorema nilai lanjut Bolzano. Misalkan I sebuah interval dan

kontinu di I . Jika

dan jika

terdapat titik

memenuhi

, maka

diantara a dan b sedemikian sehingga

Bukti. Andaikan

dan

.

, maka

. Menurut

teorema letak akar-akar 5.3.5. terdapat sebuah titik c dengan sedemikian sehingga Jika terdapat

. Oleh karena itu,

, dan sebuah

maka h

titik

c

, maka

dengan

. Oleh karena itu, sedemikian

sehingga

.

5.3.8. Corollary. Misalkan

kontinu pada I . Jika

.

tertutup, interval terbatas dan , adalah sembarang bilangan maka akan memenuhi

Maka, terdapat sebuah bilangan

sedemikian sehingga

.

Bukti.

Menurut Teorema Maksimum-Minimum 5.3.4 bahwa terdapat titik

dan

diI

sedemikian sehingga

Kesimpulan sekarang mengikuti dari teorema Bolzano 5.3.7. Teorema selanjutnya yakni merangkum dari hasil utama bagian ini. Ini menyatakan bahwa bayangan tentang sebuah interval terbatas tertutup menurut sebuah fungsi kontinu dan juga sebuah interval terbatas tertutup. Titik terakhir 20 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

gambar interval adalah nilai minimum absolut dan nilai maksimum absolut fungsi, dan pernyataannya adalah semua nilai antara nilai minimum absolut dan maksimum absolut yang menerangkan cara menggambarkan nilai teorema nilai lanjut Bolzano.

5.3.9. Teorema. Misalkan I sebuah interval terbatas tertutup dan

kontinu di I . Maka himpunan

sebuah interval terbatas

tertutup.

Bukti. Jika kita misalkan

dan

, maka kita tahu dari

teorema Maksimum-Minimum 5.3.4 bahwa m dan M milik tahu

. Jika k suatu elemen dari

, maka menurut corollary yang

terdahulu bahwa terdapat sebuah titik Maka,

sedemikian sehingga

dan kita simpulkan bahwa

adalah interval Peringatan. Jika

buktikan bahwa selalu benar) bahwa

. Selain itu, kita

.

. Oleh karena itu,

. adalah interval dan adalah interval adalah interval

kontinu di I , kita

. Kita jangan buktikan (dan itu tidak . Lihat gambar 5.3.3.


Teorema terdahulu adalah sebuah teorema pengembangan dalam arti bahwa hal itu menyatakan bahwa gambar terus menerus interval terbatas tertutup adalah satu set dari jenis yang sama. Teorema selanj utnya menjelaskan hasil teorema ini mengakibatkan interval umum. Namun, perlu dicatat bahwa meskipun gambar terus menerus interval adalah terbukti interval, itu tidak benar bahwa interval gambar harus memiliki bentuk yang sama sebagai interval domain. Sebagai contoh, gambar kontinu dari sebuah interval terbuka tidak perlu interval terbuka, dan gambar kontinu dari sebuah interval tertutup tidak terbatas

tidak perlu interval tertutup. Tentu saja, jika kontinu pada

, maka f

. Ini mudah untuk melihat bahwa

, maka

, yang mana bukan sebuah interval terbuka. Dan j uga, jika , maka

, yang mana bukan sebuah interval tertutup (lihat

gambar 5.3.4).

5.3.10. Teorema Interval Terdahulu. Misalkan I menjadi interval dan

kontinu di I . Maka himpunan

adalah interval.

Bukti. Misalkan

dengan

sedemikian sehingga

dan

lanjut Bolzano 5.3.7 bahwa jika

, maka terdapat titik . Selanjutnya, menurut teorema nilai maka terdapat bilangan

dengan


. Oleh sebab itu, menunjukkan sifat khusus

. Pada teorema 2.5.1 telah

. Sehingga

merupakan sebuah interval.

5.4. KEKONTINUAN SERAGAM

Misalkan

dan

. Definisi 5.1.1 menyebabkan beberapa

pernyataan di bawah ini yang ekuivalen: (i) f kontinu pada setiap titik (ii) diberikan

;

dan

, maka terdapat

dan

, maka

Titik ini tergantung pada adalah

sedemikian sehingga .

, secara umum

. Faktanya

pada u sebuah bayangan nyata bahwa fungsi f boleh mengganti nilainya

dengan cepat mendekati titik tertentu dan dengan berlahan mendekati titik lain. Untuk contoh, mengingat

. Lihat gambar 4.1.3.

Sekarang kekontinuan seragam sering terjadi supaya fungsi f sedemikian sehingga bilangan

bisa terpilih menjadi titik

. Untuk contoh,

, maka , dan kita bisa memilih

, mengapa?

Pada sisi lain

, maka

(1) Jika diberikan

dan jika kita mengambil

(1)

,

maka jika maka

, kita dapatkan . Jadi, jika

, sehingga

,

, persamaan (1) menghasilkan ketidaksamaan 23 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023)


(2)

. Kita

telah

melihat

bahwa

pilihan

oleh

rumus

(2)

"pengerjaannya" dengan arti bahwa ketidakmungkinan kita memberi nilai akan memastikan bahwa

ketika

catat bahwa nilai

dan

diberikan pada (2) tentunya untuk titik

berharap untuk menganggap semua

yang . Kita . Jika kita

, rumus (2) tidak menuju satu nilai

yang akan mengerjakan secara serempak untuk semua

, karena

.

5.4.1. Definisi. Misalkan

dan

. Kita katakana bahwa f adalah

kontinu keseluruhan di A jika untuk setiap sehingga jika

terdapat

sedemikian

untuk sembarang bilangan maka

, maka

.

Ini jelas jika f adalah kontinu keseluruhan di A, maka f kontinu pada setiap titik di A. Secara umum, tidak bertentangan dengan fungsi himpunan

dalam

.

Ini berguna untuk merumuskan sebuah kondisi yang ekuivalen untuk mengatakan bahwa f tidak kontinu keseluruhan di A.

5.4.2. Kriteria Kontinu tidak Seragam

Misalkan Misalkan

dan

, maka pernyataannya akan ekuivalen

pada: (i) f kontinu tidak seragam di A. (ii) terdapat sehingga

sedemikian sehingga dan

, terdapat titik . 24 Analisis Real, 2011


(iii) Terdapat

dan dua barisan

dan

di A sedemikian sehingga

dan

.

Kita bisa menggunakan hasil ini untuk menunjukkan tidak seragam pada

kont i nu

. Karena, jika

maka kita mendapatkan

dan

,

, tetapi

.

5.4.3. Teorema Kontinu Seragam

Misalkan I interval terbatas tertutup dan

kontinu pada I . Maka f kontinu

tidak seragam di I .

Bukti. Jika f kontinu tidak seragam di I maka akibat teorema terdahulu, terdapat

dan dua barisan

dan

dan

pada I sedemikian sehingga . Karena I terbatas, barisan

terbatas, menurut teorema Bolzano-Weierstrass 3.4.8, ada sebuah sub barisan di

yang konvergen pada element z . karena I tertutup, limit z milik I ,

menurut teorema 3.2.6 ini jelas bahwa sub barisan

juga konvergen pada z .

Karena . Sekarang jika f kontinu pada titik z , maka barisan harus konvergen pada

dan

. Tetapi ini tidak mungkin karena

Jadi, hipotesis bahwa f

kontinu tidak seragam pada interval tertutup

terbatas I menyatakan secara tidak langsung bahwa f tidak kontinu pada satu titik . Oleh karena itu, jika f kontinu pada setiap titik di I , maka f adalah kontinu seragam pada I .


Fungsi Lipschitz

Jika sebuah fungsi kontinu seragam cenderung pada sebuah himpunan, maka bukan interval tertutup terbatas, dan terkadang sulit untuk menetapkan kontinu seragam. Tetapi, terdapat sebuah kondisi bahwa sering kali menjadi cukup untuk menjamin kontinu seragam.


dan

. Jika terdapat konstanta

sedemikian sehingga (4) , maka f dikatakan sebuah fungsi Lipschitz di A.

5.4.5. Teorema.

Jika

sebuah fungsi Lipschitz, maka f kontinu seragam pada A.

Bukti. Jika kondisi (4) memenuhi, maka diberikan

.

Ji ka

yang

, kita bisa mengambil

memenuhi

,

maka

. Oleh karena itu, f kontinu seragam pada A.

5.4.6. Contoh. (a) jika

, maka

Maka, f memenuhi (4) dengan

pada A. Oleh sebab itu, f

kontinu seragam pada A. Tentunya, karena f kontinu dan A interval terbatas tertutup, dapat ditarik kesimpulan dari teorema kontinu seragam. (catatan bahwa f tidah memenuhi di kondisi Lipschitz pada interval

).

Tidak setiap fungsi kontinu seragam adalah sebuah fungsi Lipschitz. Diberikan

, untuk x di interval tertutup terbatas

.

Karena g kontinu pada I , menurut teorema kontinu seragam 5.4.3 bahwa g kontinu seragam I , bagaimanapun tidak ada bilangan K > 0 sedemikian sehingga


, untuk setiap

. Oleh karena itu, g bukan sebuah fungsi

Lipschitz pada I .

Teorema Kontinu Tambahan

Kita telah melihat contoh fungsi, yakni kontinu tetapi tidak kontinu seragam pada interval terbuka. Sebagai contoh, fungsi

pada interval

. Di sisi lain,

menurut teorema kontinu seragam, sebuah fungsi yang kontinu pada interval tertutup terbatas selalu kontinu seragam. Jadi, timbul pertanyaan: dengan kondisi apa sebuah fungsi kontinu seragam pada interval terbatas terbuka? Jawaban yang menyatakan kekuatan kontinu seragam. Untuk menunjukkan bahwa sebuah fungsi adalah kontinu seragam jika dan hanya jika bisa didefinisikan pada ti tik terakhir untuk menghasilkan sebuah fungsi yang kontinu pada interval tertutup.

5.4.7. Teorema. Jika

kontinu seragam pada subset A di

adalah barisan Cauci di A, maka

Bukti. Misalkan

sedemikian

. Karena sehingga

barisan

adalah barisan Cauci di

barisan Cauci di A, dan

sehingga

dan jika .

. Pilihan pertama

memenuhi

,

sebuah barisan Cauci, terdapat

maka

sedemikian

. Dengan memilih

, maka

,kita punya

. Oleh karena itu,

adalah sebuah

barisan Cauci. 5.4.8. Teorema Kontinu Tambahan. Sebuah fungsi f kontinu seragam pada

interval

jika dan hanya jika dapat didefinisikan pada titik terakhir a dan b

sedemikian sehingga fungsi tambahan adalah kontinu pada

Bukti.

Andaikan f kontinu seragam pada

.

. Kita akan menunjukkan

bagaimana memberikan f untuk a, penjelasan untuk b serupa. Ini dikerjakan 27 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

dengan menunjukkan bahwa standar limit. Jika

ada, dan ini cocok digunakan untuk

sebuah barisan di

dengan lim (xn ) = a, maka

sebuah barisan Cauci dan menurut teorema sebelumnya, barisan

juga

sebuah barisan Cauci, dan konvergen menurut teorema 3.5.5. oleh karena itu, . J i ka

barisan lain di

maka

yang konvergen pada a,

, menurut kontinu seragam pada f kita dapatkan . Karena kita mendapatkan nilai sama L untuk setiap barisan konvergen di

a, kita mengambil kesimpulan sebagai akibat dari standar untuk limit bahwa f mempunyai lim L di a. Jika kita memberi definisi

, maka f kontinu di a.

Dengan menggunakan pendapat yang sama untuk b, maka kita simpulkan bahwa f kontinu tambahan untuk interval Karena limit

. tidak ada, kita mengambil kesimpulan

dari teorema kontinu tambahan bahwa fungsi kontinu tidak seragam pada

> 0. Pada sisi lain, karena seragam pada

,b

, fungsi

konti nu

.

Taksiran

Di banyak aplikasi penting untuk dapat perkiraan fungsi kontinu oleh fungsi bersifat dasar. walaupun ada berbagai definisi yang dapat digunakan untuk membuat kata perkiraan yang lebih tepat, salah satu yang paling alami (dan juga salah satu yang paling penting) adalah dengan mewajibkan bahwa, pada setiap titik dari domain yang diberikan, fungsi perkiraan harus tidak berbeda dari fungsi yang diberikan. 5.4.9. Definisi. Misalkan

menjadi interval dan

. Maka s

dikatakan fungsi step jika hanya bilangan terbatas bernilai nyata, setiap nilai diasumsikan pada satu atau lebih interval dalam I . Untuk contoh, fungsi

didefinisikan 28 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023)


Adalah sebuah fungsi step. (Lihat gambar 5.4.3)

5.4.10. Teorema. Misalkan I sebuah interval tertutup terbatas dan


, maka terdapat fungsi step

sehingga

sedemikian

.

Bukti. Karena (teorema 5.4.3 kontinu uniform) fungsi f adalah kontinu secara

keseluruhan, dengan sehingga jika

dan kita

pisahkan

, maka terdapat sebuah bilangan dan

sedemikian

, maka

. Misalkan

sehingga panjang interval sampai

m

. Sekarang pada

interval

h, .

yaitu Karena


setiap panjang subinterval kurang dari

adalah

, perbedaan diantara dua nilai f pada

. Sekarang kita definisikan

(5)

Sedemikian sehingga

konstanta pada setiap

adalah nilai f pada titik paling terakhir jika

. (Kenyataannya nilai

pada

. (Lihat gambar 5.4.4). Oleh karena itu,

, maka .

Oleh karena itu, kita dapat

.

Catatan bahwa bukti teorema yang terdahulu menetapkan sedikit banyak penjelasan tentang pernyataan teorema di atas. Kenyataannya, kita membuktikan dengan mengikuti teorema sebelumnya dengan lebih tepat dan jelas.

5.4.11. Corollary. Misalkan

sebuah interval tertutup terbatas dan


, terdapat bilangan m sedekian sehingga jika

kita pisahkan I sampai m interval fungsi

step

didefinisikan

mempunyai panjang dalam

persamaan

(5)

, maka yang

memenuhi

. 30 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya


sebuah interval. Dan sebuah fungsi

dikatakan Linear Piecewise pada I jika I UNION bilangan terbatas interval disjoint

, sedemikian sehingga batas g untuk setiap interval

adalah fungsi linear.

Catatan. Definisi di atas jelas bahwa dalam order untuk liner piecewise fungsi g akan kontinu pada I , bagian deretan yang membentuk grafik g harus bertemu pada titik akhir perbatasan subintervals

.

5.4.13. Teorema. Misalkan I interval terbatas tertutup dan dan

pada I . Jika

kont i nu

, maka terdapat sebuah fungsi linear kontinu piecewise sedemikian sehingga

.

Bukti. Karena f adalah kontinu secara keseluruhan pada

bilangan

sedemikian sehingga jika

. Misalkan Membagi

dan

, maka

cukup besar, maka

.

sampai ke m dengan menguraikan panjang interval h, yaitu dan

interval

, ada sebuah

untuk k = 2,  , m. Pada setiap

kita definisikan

menjadi fungsi linear yang berhubungan dengan

titik

dan Maka

kontinu piecewise fungsi linear pada I . Karena dan

bahwa

. nilai

sampai

, maka dengan latihan untuk menunjukkan , oleh karena itu ketidaksamaan

.


5.4.14. Teorema Penaksiran Weiestrass. Misalkan

fungsi kontinu. Jika diberikan

dan

sebuah

, maka terdapat sebuah fungsi polynomial

sedemikian sehingga

.

Ada sejumlah bukti dari hasil ini. Sayangnya, semua bukti dari hasil tersebut agak rumit, atau menggunakan hasil yang belum kita mili ki. Salah satu bukti yang paling dasar didasarkan pada teorema berikut, karena Serge Bernstein, untuk fungsi kontinu pada

. Diberikan

, Bernstein definisikan

barisan polinomial:

(6) Fungsi polynomial Bn dikatakan n ke polinomial Bernstein untuk f ; sebuah polinomial yang tingkatnya lebih dari n dan koefisien pada nilai fungsi f pada n+1

sama dengan titik

dengan koefisien binomialnya

5.4.15. Teorema Penaksiran Bernstein. Misalkan

. Terdapat sebuah

kontinu dan


dapatkan

, maka kita

.

Teorema Penaksiran Weierstrass 5.4.14 diperoleh dari teorema Penaksiran Bernstein

5.4.15.

oleh

pergantian

dengan sebuah fungsi

variabel.

Tegasnya,

kita

mengganti

, dapat didefinisikan bahwa .

Fungsi F bisa ditafsirkan oleh Berstein polynomial untuk F pada interval sehingga dapat menghasilkan polynomial di

Contoh. Tunjukkan bahwa

,

menuju f .

tidak kontinu seragam pada R

tetapi kontinu pada R ! 32 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Jaw ab .

Ambil sebarang

, ,

Untuk Akibatnya,

Jika

,

,

Ambil

, berlaku

tergantung pada c. Kesimpulannya

tidak kontinu seragam.

5.5. CONTINUITY AND GAUGES 5.5.1. Definisi. Interval

merupakan kumpulan dari

interval tertutup yang tidak saling melengkapi interval dari

Titik

dari

. Kita biasanya menunjukkan

, dimana

dikatakan titik partition pada

dari setiap interval

, unt uk

. Jika titik

maka titik

telah dipilih

dikatakan tags dan

himpunan order sepasang

Dikatakan sebuah tagged partition pada I .


5.5.2. Definisi. Sebuah gauge pada I adalah fungsi strictly positif yang

didefinisikan pada I . Jika , dikatakan

sebuah gauge pada I , maka sebuah (tagged) partition

-fine jika .

Kita catat bahwa notasi keruncingan

memerlukan partition menjadi

tagged, jadi kita tidak perlu mengatakan "tagged partition" dalam kasus ini.

5.5.3. Lemma. Jika sebuah partition

pada

, maka terdapat sebuah tag

pada

adalah

-fine dan

sedemikian sehingga

. Bukti. Jika

Karena

, terdapat sebuah subinterval adalah

dari

yang memuat x.

-fine, maka ,

Maka dari itu

terbukti.

Dalam teori integrasi Riemann, kita akan menggunakan gauges

yang

fungsi konstan untuk fineness pada partition, dalam teori umum Riemann integral, penggunaan gauges nonconstant sangat penting. Tapi fungsi gauge nonconstant muncul cukup alami sehubungan dengan fungsi kontinu. Contoh: misalkan kontinu pada I dan sedemikian . Karena

sehingga

. Maka, untuk setiap titik

terdapat

jika

,

dan

maka

didefinisikan dan benar-benar positif pada I , fungsi

adalah sebuah gauge pada I . Kemudian dalam bagian ini, kita akan menggunakan hubungan antara gauge dan kontinuitas untuk memberikan bukti alternatif sifat dasar fungsi kontinu yang dibahas pada bagian 5.3 dan 5.4.

5.5.4. Contoh.


(a). Jika

dan

adalah gauge pada

maka setiap partition

adalah

dan jika

-fine dan juga

,

-fine. Menurut teorema

sebelumnya tentang ketidaksamaan dan yang menyatakan secara tidak langsung .

(b). Jika

maka

dan

adalah gauges pada

dan jika

juga sebuah gauge pada I . Selain itu,

partition adalah

maka setiap

-fine. Demikian pula, setiap

-fine partition adalah

-fine -fine

juga.

(c). Andaikan

maka

didefinisikan pada

adalah gauge pada

oleh

. J i ka

, maka

, yang mana tidak memuat titik 0. Jadi, jika adalah sebuah

-fine partition pada I , maka hanya subinterval pada

yang

memuat 0 dan mesti memiliki 0 sebagai tag.

(d). misalakan

didefinisikan pada

oleh

,

jika x = 0 atau x =1, ,

ji ka ,

ji ka

, . 35 Analisis Real, 2011


Maka

adalah gauge pada I .

Adanya

-Fine Partition

5.5.5. Teorema. Jika

-fine partition

sebuah gauge pada interval

, maka terdapaat sebuah

.

Bukti. Misalkan E merupakan himpunan untuk semua titik

sehingga terdapat sebuah

-fine partition di subinterval

kosong, karena pasangan dan

adalah

sebuah

ketika

dan u = b. , terdapat

. Misalkan

dan misalkan

. Maka

sebuah sebuah

-fine

-fine partition

.

Jika Jika

-fine partition interval

. Karena,

sedemikian sehingga

, sehingga

. Himpunan E tidak

. Kita akan tunjukkan bahwa

Kita nyatakan bahwa

partition

sedemikian

, misalkan

sebuah

sedemikian sehingga

-fine partition

-fine partition

.

, kita misalkan , di mana

. Maka

. Tetapi ini kontradiksi dengan

pengandaian bahwa u batas atas E . oleh karena u = b.

Beberapa Aplikasi Bukti alternatif teorema 5.3.2. Teorema Keterbatasan. Karena f kontinu pada I ,

maka

terdapat


, maka Misalkan

. Sehingga sebuah

-fine

partition

sebuah gauge pada I . I

. Menurut lemma 5.5.3, diberikan dengan

dan

dan

misalkan terdapat I

, dimana . 36 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Karena

berubah-ubah, maka f terbatas oleh i + K pada I .

Bukti alternatif teorema 5.3.4. Teorema Maksimum-Minimum. Kita akan

buktikan adanya

. Misalkan

dan

Karena f kontinu pada I , untuk setiap

sehingga jika

dan

.

terdapat

sedemikian

, maka

sebuah gauge pada I , dan jika

. Sehingga

adalah

-fine partition pada I , kita

misalkan . Dari lemma 5.5.3, diberikan

, terdapat i dengan

, di mana

. Karena

berubah-ubah, maka

yakni sebuah batas atas untuk f pada

I , bertentangan dengan definisi M sebagai supremum pada f.

Bukti Pengganti Teorema. 5.4.3. Teorema Kontinu Seragam. Misalkan

Karena f kontinu pada dan Jika,

, terdapat

, maka sebuah

. Andaikan dengan

sedemikian sehingga jika . Jadi,

adalah

.

adalah sebuah gauge pada I .

fine-partition

di

I ,

dan

misalkan

da n pi l i h i

. Karena ,

maka . Oleh karena itu, f kontinu keseluruhan pada I .


5.6 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers Teorema 5.6.1. Misalkan I  R suatu interval dan misalkan f : I  R increasing

pada I . Misalkan c

I bukan suatu endpoint dari I . Maka

(i) (ii)

.

Bukti.

(i) Jika

dan

,

maka



.

Karenanya

himpunan

, yang nonvoid nilai c bukan suatu endpoint dari I , terbatas dengan f(c). Indikasi ada supremum ; dinotasikan dengan L. Jika L-

bukanlah

batas

sehingga L -

atas

dari

< f(

dedukasikan jika

himpunan

ini.

, maka Karenanya

ada

 L. Nilai f increasing, kita

dan jika 0 < c - y <

, maka

sehingga L-

)  f (y)  L.

Karenanya | f (y) - L | <

dimana 0 < c - y <

.

(ii) Pembuktiannya sama dengan (i). Berikut adalah kriteria untuk kekontinuan dari suatu fungsi f pada satu ttik c yang bukan endpoint dari interval pada f. 5.6.2 C or o l l a r y

Misalkan I  R suatu interval dan misalkan f : I  R increasing pada I . Misalkan c

I bukan suatu endpoint dari I . Maka statemen berikut berikut ekuivalen.

(a) f kontinu pada c (b)

.

(c)

Teorema 5.6.3


Misalkan I  R suatu interval dan misalkan f : I  R increasing pada I . Jika c I , maka f kontinu pada c jika dan hanya jika

B u kt i .

Jika c bukan endpoint, berikut ini mengikuti corollary 5.6.2. Jika c

I adalah

endpoint kiri dari I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika f(c) = yang ekuivalen denga

,

n Begitu juga endpoint kanan.

Teorema 5.6.4

Misalkan I  R suatu interval dan misalkan f : I  R monoton pada I . Maka himpunan dari titik-titik D I pada f yang tidak kontinu adalah contable himpunan.

. Kita notasikan f increasing, maka Bukti

J i kaa  (1)

< ...<

f(a)  f(a)

untuk semua c

I.

 b,

+ + + ... +

 f(b),

maka berikut ini + ... +

 f(b) - f(a).

(2) h(x + y) = h(x) + h(y) untuk semua x, y dan jika h kontinu pada satu titik

R,

, maka h kontinu pada setiap titik dari R.

Fungsi Invers Teorema Invers Kontinu 5.6.5

Misalkan I  R suatu interval dan misalkan f : I  R strictly monoton dan kontinu pada I . Maka fungsi g invers f strictly monoton dan kontinu pada J = f(I).

Definisi 5.6.6

(i) Jika m, n

N dan x  0, Kita definisikan 39 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023)


BAB5FUNGSIKONTINU

Recommend Documents