bab-v-ellips.pdf

Bab III : Lingkaran|

70

5.1. DEFINISI Ellips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya. F (titiknya tetap) merupakan berkas garis yang disebut direkstriks ,

c disebut eksentrisitas (e). a F2(c,0)

F1(-c,0)

e=

c 1 a

AB = 2a F1 + F2 P = 2c AB = sumbu panjang (mayor) CD = sumbu panjang (minor)

5.2. PERSAMAAN ELLIPS Misalkan :

F1 F2 AB CD

yang berarti F1(-c, 0) dan F2(c, 0), b2 =a2 – c2 atau

 2c    2a   2b 

a2 = b2 +c2 dan p (x,y) terletak ada elips

F1P +F2P = 2a F1P  ( x  (  c )) 2  ( y  0) 2



( x  c )) 2  y 2 F1P + F2P = 2a ( x  c )) 2  y 2 + ( x  c )) 2  y 2  2 a

( x  c )) 2  y 2  2 a 

 x  c 2  Y 2

(x + c)2 + y2 = 4a2 – 4a

2 2 ( x  c )) 2  y 2 + (x - c + y )

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a ( x  c )) 2  y 2 + x2 – 2cx + c2 + y2 4cx = 4a2 ( x  c ))2  y 2

cx  a 2  a ( x  c )) 2  y 2



2

c 2 x 2  2a 2 cx  a 4  a 2  x  0  y 2 By : Turmudi

E-mail : [email protected]

 blog: www.toermoedy.wordpress.com

71 | Geometri Analitik Datar dan Ruang



c 2 x 2  2a 2 cx  a 4  a 2 x 2  2cx  c 2  y 2



c 2 x 2  2a 2 cx  a 4  a 2 x 2  2a 2 cx  a 2 c 2  a 2 y 2 c 2 x 2  a 2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2  0 a 2 x 2  c 2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2

a

2





 x2 x2  a2 y2  a2 a2  c2 b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2



: a 2b 2

x2 y 2   1  Persamaan umum ellips dengan pusat (0, 0) a2 b2

5.3. PERSAMAAN UMUM ELLIPS DENGAN PUSAT (α, β) 2a terletak dan sumbu pendek (sumbu minor) sumbu x dan sumbu y dengan analog jika pusat ellips adalah (  ,  ) simetrinya tetap sejajar dengan sumbu x dan sumbu y pusatnya adalah (  ,  ) maka persamaan ellips tersebut adalah

(x   ) 2 ( y   )2  1 a2 b2 A a   ,   Ba   ,  

F1

 , 

F2

C  x, b    F1 b(a. )  F2 c (a. 

Direktris dan eksentrisitas

a2 f x c

a2 gx c


p2 – q2 = (x + c)2 +y2 – (x – c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 – (x2 – 2cx +c2 + y2) = x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 p2 – q2 = 4cx Ingat :

(p + q) (p – q) = 4cx

p + q = 2a

2a (p - q) = 4cx p–q=

4cx 2a

p–q=

2cx a

p  q  2a

2p = 2a +

2cx a

p=

cx a a

p=

c a2 (x  ) a c

c a2 q = (x  ) a c q=

c a2  x  a c

  

h

 x=-

g

 x=

a2 c

a2 c

persamaan garis g1

 x=-

g2

By : Turmudi

a2 c

 x=


a2 c blog: www.toermoedy.wordpress.com

72


Artinya :

 a2  a2 p :   x   p jarak dari titik P ke garis f  x   c  c   a2  a2   q:  x   p jarak dari titik P kegaris g g  x   c  c 

Contoh 17 : Jika eksentrisitas (e) suatu ellips

12  c  a  jarak antara dua fokus adalah 36. tentukan persamaan ellips. 13

Penyelesaian : e=

12 13

2c = 36 c = 18 e=

12 c 12   13 a 13

18 12  a 13 12a = 243

a

243  19,5 12

b2  a2  c2 2

 243  2    18  12  = 380, 25  324 = 56,25 b = 7,5

x2 y2 x2 y2 persamaan ellips 2  2   a b 19,5 2 7,5 2


5.4.

Hubungan Garis dengan Ellips.. Berarti halnya pada ligkaran dan parabola, kedududkan garis terhadap ellips maka ada tiga kemungkinan :

5.5.

1.

Tidak memotong

2.

Memotong

3.

Menyinggung

: D 0

:D 0 :D=0

Persamaan Garis Singgung Persamaan garis singgung pada ellips (0,0) Misalkan : persamaan garis  y  mx  n .......................................................... (i)

x2 y2 Persamaan ellips : 2  2  1 .......................................................... (ii) a b 2

2

2

2

2

Persamaan (ii) dirubah menjadi b x  a y  a b

2

Persamaan (i) dimasukan ke dalam persamaan (ii) 2

 b 2 x 2  a 2 mx  n   a 2 b 2



b 2 x 2  a 2 m 2 x 2  2mnx  n 2  a 2 b 2



b 2 x 2  a 2 m 2 x 2  2a 2 mnx  a 2 n 2  a 2 b 2  0

b

By : Turmudi

2



x 2  a 2 m 2 x 2  2a 2 mnx  a 2 n 2  a 2 b 2  0


blog: www.toermoedy.wordpress.com

74


D=0

b 2  4ac  0

2a mn

2

2







 4 b 2  a 2 m 2 a 2 n 2  a 2b 2  0

4a 4 m 2 n 2  4a 4 m 2 n 2  4a 4 b 2 m 2  4a 4 b 2 n 2  4a 2 b 4  0 4a 4 b 2 m 2  4 a 2 b 2 n 2  4 a 2 b 2  0 : 4 a 2 b 2

a 2m 2  n2  b 2  0 n2  a 2m2  b2 n2   a2m2  b2 y  mx  n

y  mx  a 2 m 2  b 2  Persamaan garis singung ellips dengan gradien m

 x   2 Analog : untuk ellips  a2

y 

2

 b2



2

1

Persamaan garis singgung dengan koefisien m yang berpusat

 ,   .

  y     m x     a 2 m 2  b 2 Contoh 18 : 2

2

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips x  2 y  8 yang tegak lurus garis x  2 y  9 Penyelsaian :

x2  2y2  8 : 8

x2 y2  1 8 4 2

Berarti : a  8

b2  4 x  2y  9 m1 

a b




76

1 2

mS .m1  1 mS  2

y  mx  a 2 m 2  b 2  2 x  8.4  4  2x  6

Garis Singgung di Titik P(x1,y1) Pada Ellips Sb. Y P  x1 , y1  pada

x2 y2  1 a2 b2

P(x1,y1)

 Sb. X

Q(x2,y2)

(2) – (1) 

y

2 2

x

2 2

 

x2 y 2   1 ...................... (1) a2 b2

x2 , y 2  pada

x2 y2  1 a2 b2

2

x y2  22  22  1c ................... (2) a b



 x12 y 22  y12  0 a2 b2



 y12 x  x1 x2  x1  =  2 2 a b2

y 2  y1 b 2 x  x1  2 2 x 2  x1 b y2  y2

Persamaan Garis Lurus di Titik P(x1,y1)

y  y1 

y 2  y1 x  x1  x 2  x1

Persamaan Garis Lurus di Titik Q(x2,y2)

By : Turmudi




y  y1 

y 2  y1 x  x2  x 2  x1

  Q mendekati P (berimpit) y  y1 

b 2  x 2  x1  x  x2  a 2 y 2  y1

a 2  y 2  y1  y  y1   b2  x  x 2 2 x1 a 2 2 y1  y  y1   b2  x  x1 2 x1 



2



    b 2 x x  2 x 

a 2 2 y1 y  2 y1  b 2 2 x1 x  2 x12



 a 2 2 y1 y  2 y1

2

2

2 1

1

2

 2a 2 y1 y  2a 2 y1  2b 2 x1 x  2b 2 x1 2

2 2

 2a 2 y1 y  2b 2 x1 x  2b 2 x1  2ay1 : 1 2

2a 2 y1 y  2b 2 x1 x  2a 2 y1  2b 2 x1 2

b 2 x1 x  a 2 y1 y  b 2 x1  b 2 y1

2

2

b 2 x1 x  a 2 y1 y  a 2 b 2 : a 2 b 2 x1 x y1 y x2 y2   1 persamaan garis singgung di titik R  x , y  pada ellips  1 1 1 a2 b2 a2 b2 Contoh 19 : Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 2 x  4 y  16 di 6,1 2

2

Penyelesaian :

2 x 2  4 y 2  16:16 x2 y2  1 8 4

x1 x y1 y  2 1 a2 b

a2  8

6x y  1 8 4

2

b 4 5.6. Titik dan Garis Polar

Jika sebuah titik P  x1 , y1  diluar suatu ellips

Sb. Y

ditarik dua buah garis singgung (PQ dan PR) Q(x2,y2)

maka garis penghubung antara kedua titik

P(x1,y1)

singungnya (garis PQ) disebut garis polar. Sb. X A

F1

F2

R(x3,y3) Garis polar

Titik P disebut titik polar.


Persamaan garis singgung di titik Q 

x2 x y 2 y  2  1 ................ (1) a2 b

Persamaan garis singgung di titik R 

x3 x y 3 y  2  1 ................ (2) a2 b

Karena titik P terletak pada persamaan (1), maka:

x1 x 2 y1 y 2  2  1 ...................... (3) a2 b Karena titik P  x1 , y1  terletak pada persamaan (2) maka :

x1 x3 y1 y 3  2  1 ..................... (4) a2 b Berhubung persamaan (2) dan persamaan (4) titik Q dan R terletak

x1 x y1 y  2 1 a2 b Berarti persamaan (5) ditentukan oleh titik P  x1 , y1  terhadap ellips

xx y y x2 y2  2  1 adalah : 12  12  1 2 a b a b

5.7. Garis Tengah Sekawan pada Ellips Sb. Y k1 k2

k3

k4

k5

k6

Sb. X F1

By : Turmudi

O

T1


F2


78


Deffinisi : dua garis tengah sekawan pada ellips adalah titik-titik tengah dari tli busur yang sejajar. Misalkan : garis k  mx  n ....................................................................................... (1)

x2 y2 Persamaan ellips  2  2  1 a b b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b 2 ......................................................... (2) Persamaan (1) subsitusikan ke persamaan (2) : 2

b 2 x 2  a 2 mx  n   a 2 b 2





b 2 x 2  a 2 m 2 x 2  2mnx  n 2  a 2 b 2 2

b x  a m x  2m nx  a n 2  a 2 b 2  0

b

2

2

2

2

2

2

2



 a 2 m 2 x 2 2m 2 nx  a 2 n 2  a 2 b 2  0

 x1  x 2 y1  y 2  , 2   2

T1 

x1  x 2  

b 2a

2 1 x1  x2    22 a mn2 2 2 2b a m



xT  



a 2 mn ................................................................................................ (3) b2  a 2m2

yT  mxT  n

yT  

a 2m2n  n ......................................................................................... (4) b2  a 2m2

Melihat kembali xT  

a 2 mn b2  a 2m2



2

2

2

maka :  a mn  xT b  a m

n



2





xT b 2  a 2 m 2 ................................................................................. (5)  a 2 mn

Subsitusikan persamaan (5) ke persamaan (4)




 xT b 2  a 2 m 2  a 2 mn  b2  a2m2 a2m  b2 a 2m2 yT  mxT  2 xT  2 xT a m a m yT  m

 mxT  



b2 xT  mxT a2m

b2 xT a2m

Secara umum, karena T berjalan :  y  

b2 x a2m

Catatan : 1.

Hubungan antara koefisien-koefisien arah kedua garis sekawan tadi dapat ditentukan sebagai berikut : -

Jika gradien garis 1 = m’ ; dan garien garis k

 m1  m k  m  m  b2 m a2m  b2  2 a 

2.

Garis singgung titik potong garis k dengan ellips ditentukanlah sejajr dengan garis 1 dan sebaliknya.

3.

Keempat garis singgung pada tiap-tiap titik potong garis tengah sekawan dengan ellips membentuk suatu jajaran genjang sehingga disebut jajaran genjang padadua garis tengah sekawan . Misalkan : kedua garis sekawan PR , QS dan P  x1 , y1  , terletak pada ellips 2

2

2

2

2

2

maka : b x1  a y1  a b .............................................................. (5)

By : Turmudi

koefisien arah QS 

y1 sedangkan x1

koefisien arah PR 

y1 sedangkan x1

koefisien arah QS 

 b2 x1 y1 a2



80


 persamaan garis PQ menjadi y 



2

2

 b 2 x1 x a 2 y1 2

2



2

4

Persamaan garis itu menghasilkan : a y1  b x1 x  a y1

2

2

x2 y Dimana melalui titik P : a b x  a y1 atau 2  12 a b 2

2

2

4

2

Dari persamaan diatas terakhir menghasilkan koordinat titik Q dan S berturut-turut dngan tanda   dan  

Diperoleh x di titik S 

yS y  1 a b

y S x1  a b

Sehingga didapat Titiknya  x1 , y1 

Untuk

yQ a



yQ a

y1 b x1 b



Sehingga didapat titik Q dan S Contoh 20 :

1.

Tentukan persaman, tali busur suatu ellips tengah tali busur itu. Penyelesaian : 2

Diketahui : a  32

b 2  24 T 2,3  xT  2, yT  3 Misalkan tali busur y = mx + n

y

 b2 x a 2m

3

 24 .2 32m

x2 y2   1 sehingga titik (2,3) merupakan titik 32 24


96.m  48

m

n  xT

 b2  a 2m2 a 2m

 24  32   16  16  8 2  2.

1 2

1 4

n2

1  Persamaan tali busur ellips tersebut adalah y   x  2 2

By : Turmudi



82

bab-v-ellips.pdf

Recommend Documents