Bab IV. Statistik Bose-Einstein
Pembicaraan berikut ini masih di sekitar partikel yang tak
berinteraksi satu sama lain dan tunduk pada aturan kuantum. Kita akan
menurunkan distribusi statistik untuk boson, suatu sistem yang momentum
sudutnya merupakan kelipatan bilangan bulat dari dan juga tidak
memenuhi larangan Pauli.
Dari kacamata mekanika statistik perbedaan mendasar antara sistem
boson dan sistim klasik adalah bahwa dua buah boson identik dan tidak dapat
dibedakan. Dalam sistem klasik, pertukaran dua sistem akan menghasilkan
susunan yang berbeda, sedangkan dalam sistem boson tidak. Perbedaan
tersebut menyebabkan adanya hasil yang berbeda dalam perhitungan distribusi
energi dengan peluang terbesar dalam sistem.
Perbedaan lain antara sistem kuantum dengan sistem klasik adalah
sifat diskrit keadaan energi yang tersedia. Dalam statistik klasik, energi
dibagi dalam tingkatan yang diskrit. Dalam kasus mekanika kuantum keadaan
energi diskrit tetap diperlukan dengan menganggap bahwa tiap keadaan yang
tersedia menempati volume tertentu dalam sebuah ruang fase.
DISTRIBUSI BOSE-EINSTEIN
Metode perhitungan distribusi energi dengan peluang terbesar dalam
sebuah assembly untuk partikel identik seperti halnya boson sama dengan
yang telah dilakukan untuk assembly klasik. Konfigurasi assembly tetap
ditandai dengan pita energi s, mengandung gs keadaan dengan selang energi
antara dan , mengandung sistem. Pembatasan tetap dilakukan
pada jumlah sistem yang ditempatkan dalam kaitannya dengan energi
total E dan jumlah total sistem N melalui hubungan
Semarang yang akan hitung hádala jumlah susunan yang berbeda dari
sistem apabila disebar dalam tingkatan energi. Oleh karena sistemnya tidak
dapat dibedakan maka pertukaran dua sistem tidak akan menghasilkan susunan
yang baru.
Misalkan terdapat keadaan dari pita yang ditunjukkan
dengan kotak dalam gambar. Sejumlah sistem dapat disusun atau
disebar diatara keadaan. Jika pengisian dimulai dari kiri. Jika pada
sisi paling kiri ditempatkan sebuah sistem, maka pada sisi selanjutnya
terdapat keadaan. Banyaknya cara memilih sistem adalah . Dan
banyaknya cara menempatkan sistem diantara keadaan estela
keadaan pertama adalah !. Jadi banyaknya cara menempatkan
sistem diantara keadaan adalah
!
Ingat bahwa sistemnya tak terbedakan, sehingga banyaknya susunan yang
berbeda dari sistem dengan jumlah pita s adalah :
Penyusunan sistem dalam suatu pita tak bergantung pada penyusunan sistem
lain dalam pita yang lain. Tetapi kita dapat menyatukan susunan-susunan
tersebut untuk membentuk assembly, dengan bobot W yang konfiguarasinya
merupakan perkalian jumlah susunan berbeda dari masing-masing sistem. Jadi
Seperti halnya dalam statistik Maxwell-Bolzmann, konfigurasi dengan peluang
terbesar dapat ditentukan dengan mencari nilai yang memberikan nilai
maksimum untuk W. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode pengali
tak tentu Lagrange
Oleh karena pada nilai maksimum persamaan di atas tetap berlaku untuk
semua nilai yang kecil, maka nilai yang ada dalam tanda kurung harus
sama dengan nol untuk setiap harga . Jadi
Kita asumsikan bahwa nilia dan cukup besar untuk memungkinkan
kita menggunakan pendekatan Striling, sehingga dapat ditulis
Dari persamaan di atas diperoleh
Oleh karena dan jauh lebih besar dari pada satu, maka :
Substitusi persamaan 4.7 ke dalam persamaan 4.5 diperoleh
Jadi
yang secara umum dikenal dengan distribusi Bose-Einstein untuk assembly
boson. Seperti hasil yang diperoleh dalam Bab sebelumnya .
GAS BOSE-EINSTEIN
Jika molekul gas yang dibicarakan memiliki momentum sudut dalam
satuan maka gas tersebut dikategorikan sebagai boson dan memenuhi
aturan statistik Bose-Einstein. Distribusi molekul gas terhadap pita-pita
energi dengan harga bervariasi memenuhi persamaan 4.9
Oleh karena setiap keadaan yang diizinkan berada dalam volume
pada ruang fase, maka bobot suatu pita yang berada dalam volume dalam
ruang fase
Jumlah keadaan energi yang tersedia dalam interval energi dan
dalam ruang dengan volume V adalah
dimana menyatakan rapat keadaan.
Jumlah molekul yang memiliki energi dalam interval dan
dalam ruang dengan volume V adalah
Nilai A dalam persamaan di atas dapat dicari melalui hubungan
RADIASI BENDA HITAM
Radiasi gelombang elektromagnetik yang berada dalam suatu temperatur
sekeliling konstan T dapat dipandang sebagai assembly foton dengan energi
bervariasi. Oleh karena foton memiliki momentum sudut dalam satuan ,
maka secara alami berperilaku seperti boson dan distribusi energinya
mengikuti distribusi statistik Bose-Einstein. Namun terdapat beberapa hal
yang perlu diperhatikan, sebagai berikut :
(i). Karena foton dapat dipancarkan dan diserap kembali oleh dinding di
sekitarnya, maka jumlah foton di dalam ruang tidak tetap (menentu).
Pembatasan atau tidak berlaku lagi dan pengali sama
dengan nol (dalam hal ini A = ).
(ii). Energi tiap foton adalah , dimana adalah frekwensi
radiasi, oleh karena itu lebih mudah kita nyatakan energi sebagai fungsi
frekwensi atau panjang gelombang foton. Jumlah modus gelombang yang
independen dengan panjang gelombang berada diantara dan adalah
per satuan volume dalam ruang. Oleh karena foton memiliki dua arah
polarisasi, maka modusnya dikali dua. Jadi jumlah keadaan yang diizinkan
atau modus dalam interval dan adalah
persatuan volume dimana adalah rapat keadaan yang dinayatakan sebagai
fungsi panjang gelombang. Jadi jumlah foton dalam suatu pita energi pada
temperatur adalah
Jumlah foton dengan panjang gelombang diantara dan diperoleh
dengan jalan mensubstitusi dengan serta menyatakan . Jadi
c adalah kelajuan cahaya.
Distribusi spektrum energi gas foton dapat dinayatakan dalam bentuk
, yakni energi yang diradiasi persatuan volume persatuan panjang
gelombang pada panjang gelombang . Karena , maka energi radiasi
dalam interval panjang gelombang tersebut adalah
Persamaan di atas dikenal dengan Hukum Radiasi Planck untuk spektrum energi
radiasi dalam suatu ruang bertemperatur sekeliling T. Bentuk kurva
sebagai fungsi panjang gelombang ditunjukkan pada gambar.
Beberapa hasil eksperimen, pengamatan maupun teori yang diungkapkan
para ahli memiliki kaitan dan ternyata cocok dengan hukum ini.
(a). Ungkapan dalam bentuk adalah sesuai dengan apa yang
diramalkan oleh Wien dalam Hukum Radiasi Wien berdasarkan teori
termodinamika.
(b). Pada nilai panjang gelombang yang cukup besar, dimana persamaan
4.21 dapat direduksi menjadi
yang cocok dengan rumus Rayleigh-Jeans klasik yang diturunkan dari asumsi
bahwa tiap foton memiliki energi osilator harmonik klasik sebesar
.
(c). Pada panjang gelombang yang pendek, yakni maka persamaan 4.21
menjadi
tak lain adalah Rumus Distribusi Wien yang secara empiris merupakan hasil
eksperimen pada daerah dengan panjang gelombang yang pendek.
(d). Jika sebuah lubang kecil dibuat di pada sisi dimana di sekitarnya
bertemperatur konstan, energi elektromagnetik akan dipancarkan keluar dari
sisi. Dari teori kinetik diketahui bahwa jika gas mengandung sejumlah
molekul per satuan volume, jumlah molekul yang menumbuk pada satu
satuan luas per satuan waktu adalah , dimana adalah kecepatan
rata-rata molekul. Jumlah foton yang dipancarkan dengan panjang gelombang
diantara dan per satuan luas lubang per satuan waktu
adalah
Dengan menggunakan persamaan 4.20, maka
Energi yang dipancarkan per satuan luas per satuan waktu dalam
interval panjang gelombang tertentu adalah energi tiap foton dikalikan
jumlah foton yang dapat ditulis dengan
(e). Energi total E per satuan volume diperoleh dengan megintegrasi
persamaan 4.21 ke seluruh jangkauan panjang gelombang
=
dalam hal ini . Nilai sehingga :
yang sama dengan rapat energi yang dinayatakan oleh hukum Stefan-Boltzmann.
Hukum Stefan-Boltzmann dalam bentuk energi yang diradiasi per satuan
luas per satuan waktu dari benda bertemperatur mutlak T adalah
dalam hal ini adalah tetapan Stefan. Ungkapan ini dapat diperoleh
dengan mengintegrasi langsung persamaan 4.25 atau mengalikan persamaan 4.28
dengan , sehinga diperoleh
-----------------------
1/Panjang Gelombang (