Statistika Dasar
BAB
PEYAJIAN DATA
3
Data yang telah dikumpulkan, baik yang berasal dari populasi atau pun dari sampel, sampel, untuk keperluan laporan dan analisis analisis selanjutnya, selanjutnya, perlu diatur, disusun, dan disajikan disajikan dalam bentuk bentuk yang baik dan jelas. jelas. Ada dua macam cara penyajian penyajian data data yang sering digunakan, yaitu dalam bentuk tabel atau daftar , dan dalam bentuk gambar , grafik atau grafik atau diagram. diagram. Bentuk-bentuk tabel yang biasa digunakan adalah tabel tabel baris-kolom, tabel kontingensi, dan tabel distribusi frekuensi. Selain tabel, juga macam-macam diagram yang sering digunakan, misalnya diagram batang, diagram daun, diagram garis, diagram lingkaran dan diagram pastel, diagram peta, diagram pencar dan lain sebagainya.
A. Pembuatan Tabel Tabel Tabel dibuat dibuat untuk untuk merangk merangkum um data data sehing sehingga ga memudah memudahkan kan pembaca pembacaan. an. Skema untuk sebuah tabel, dengan bagian-bagiannya seperti berikut: Judul Tabel judul kolom
sel judul baris
sel
badan tabel
sel
Catatan: Judul tabel ditulis ditulis pada bagian bagian tengah di atas tabel. tabel. Judul tabel tabel harus singkat singkat dan jelas meliputi apa, macam atau klasifikasi, tempat, waktu dan satuan atau unit data yang digunakan. Setiap baris hendaknya melukiskan sebuah pernyataan lengkap, dan sebaik-nya jangan dilakukan pemisahan bagian kata dan/atau bagian kalimat. Judul kolom dan judul dan judul baris ditulis dengan singkat dan jelas. Sel tabel Sel tabel adalah tempat nilainilai data ditu-lis ditu-liskan. kan. Di kiri bawah tabel terdapat terdapat bagian bagian untuk catatan yang perlu atau biasa diberi-ka diberi-kan. n. Dalam bagian bagian ini biasa terdapat terdapat kalimat kalimat Sumber : ....., yang menjelaskan menjelaskan dari mana mana data itu dikutip. dikutip. Jika kalimat kalimat ini tidak ada, dianggap dianggap bahwa pelapor sendiri yang me-ngumpulkan data itu. Telah dijelaskan dijelaskan bahwa pembuatan tabel dimaksudkan dimaksudkan untuk memudahkan memudahkan pembacaan dan analisis data. Oleh karena itu, beberapa hal berikut perlu diperhatikan dalam pembuatan tabel, yakni:
Penyajian Data
17
Statistika Dasar
a. Nama-nama sebaiknya disusun secara alfabetis. b. Waktu disusun secara berurut atau kronologis, misalnya: 1990, 1991, ..., 2000. c. Kategori disusun menurut kebiasaan, misalnya: laki-laki dulu baru perempuan, besar dulu baru yang kecil atau sebaiknya, untung dulu kemudian rugi, dan sebagainya. Sebagai contoh, perhatikan tabel kontingensi 4x4 berikut: Tabel 3.1 Hasil Ujian Matematika dan Statistika untuk 100 Mahasiswa Nilai Matematika Nilai Statistika Jumlah 50-59 60-69 70-79 80-99 60-69 9 7 10 2 28 70-79 12 10 5 7 34 80-89 8 7 2 2 19 90-99 4 11 3 1 19 Jumlah 33 35 20 12 100 Catatan: Data karangan
Tabel 1 tersebut di atas disebut tabel kontingensi 4x4 karena memiliki empat baris dan empat kolom. Penentuan banyaknya baris dan kolom hanya memperhatikan sel, tidak memperhitungkan judul baris, baris jumlah, judul kolom, dan kolom jumlah. 1. Tabel Distribusi Frekuensi Tabel distribusi frekuensi dapat dibuat dengan mengelompokkan data kuantitatif menjadi beberapa kelompok. Untuk itu, sebelum dipelajari bagaimana cara membuat tabel ini, akan dijelaskan dulu beberapa istilah yang dipakai. Tabel 3.2 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 Jumlah
Banyak Mahasiswa (f) 2 3 5 13 24 21 12 80
Dalam tabel distribusi frekuensi, banyak obyek dikumpulkan dalam kelompok-kelompok berbentuk a – b, yang disebut kelas interval . Ke dalam kelas interval a – b dimasukkan semua data yang bernilai mulai dari a sampai dengan b.
Urutan kelas interval disusun mulai nilai data terkecil terus ke bawah sampai nilai data terbesar. Berturut-turut, mulai dari atas, diberi nama kelas interval pertama, kelas interval ke-dua, ..., kelas interval terakhir. Ini semua ada dalam kolom kiri. Kolom kanan berisikan bilangan-bilangan yang menyatakan berapa buah data yang terdapat dalam tiap kelas interval. Jadi kolom ini berisikan frekuensi, disingkat
18
Penyajian Data
Statistika Dasar
dengan f . Misalnya, f = 2 untuk kelas interval pertama, atau ada 2 orang mahasiswa yang mendapat nilai ujian paling rendah 31 dan paling tinggi 40. Bilangan-bilangan di sebelah kiri dari masing-masing kelas interval disebut ujung bawah dan bilangan-bilangan di sebelah kanannya disebut ujung atas. Ujungujung bawah kelas interval pertama, kedua, ..., terakhir ialah 31, 41, ..., 91 sedangkan ujung-ujung atasnya berturut-turut 40, 50, ..., 100. Selisih positif antara tiap dua ujung bawah berurutan (atau ujung atas) disebut panjang kelas interval yang sering diberi notasi p. Pada tabel di atas, panjang kelasnya adalah 10, jadi p = 10 dan semuanya sama. Dikatakan bahwa tabel itu mempunyai panjang kelas yang sama. Selain ujung kelas interval ada lagi yang biasa disebut batas kelas interval . Ini bergantung pada ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat teliti hingga satuan, maka batas bawah kelas sama dengan ujung bawah dikurangi 0,5. Batas atasnya didapat dari ujung atas ditambah dengan 0,5. Untuk data yang dicatat teliti hingga satu desimal, batas bawah sama dengan ujung bawah dikurangi 0,05 dan batas atasnya sama dengan ujung atas ditambah 0,05. Kalau data dicatat teliti hingga dua desimal, batas bawah sama dengan ujung bawah dikurangi 0,005 dan batas atasnya sama dengan ujung atas ditambah 0,005 dan begitu seterusnya. Selain itu dikenal pula istilah tanda kelas interval yang diperoleh dengan menggunakan aturan: tanda kelas = ½ (ujung bawah + ujung atas) Contoh 3.1 Kelas interval kedua adalah 41 – 50 dengan frekuensi f = 5. Ujung bawah kelas = 41, ujung atas = 50. Adapun batas bawah kelas = 40,5 dan batas atas = 50,5. Tanda kelasnya = ½ (41 + 50) = 45,5.
Cara membuat tabel distribusi frekuensi dapat dijelaskan dengan sebuah contoh. Untuk itu, perhatikan sekumpulan bilangan yang menyatakan nilai ujian statistika untuk 80 orang mahasiswa berikut ini: 79 80 70 68 90 92 80 70 63 76
49 84 71 72 35 93 91 74 60 63
48 90 92 85 83 76 61 99 83 88
74 70 38 51 73 71 72 95 82 70
81 91 56 65 74 90 97 80 60 66
98 93 81 93 43 72 91 59 67 88
87 82 74 83 86 67 88 71 89 79
80 78 73 86 88 75 81 77 63 75
Bila kita berhadapan dengan data mentah, kita menentukan banyaknya kelas interval dengan berbagai pertimbangan, antara lain; (1) banyaknya data, (2) nilai terendah dan tertinggi yang ada pada kumpulan data, dan (3) menghindari terlalu sedikit atau terlalu banyaknya kelas interval. Untuk membuat tabel distribusi frekuensi dengan panjang kelas interval yang sama, kita lakukan sebagai berikut:
Penyajian Data
19
Statistika Dasar
a. Tentukan rentang nilai, yaitu data terbesar dikurangi data terkecil. Dalam hal ini, karena data terbesar 99 dan data terkecil 35, maka rentang = 99 – 35 = 64. b. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan. Banyak kelas tergantung kebutuhan, tetapi pada umumnya biasa digunakan paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15 kelas. Cara lain cukup bagus untuk n berukuran besar, n ≥ 100 misalnya, dapat digunakan aturan Sturges, yaitu: banyak kelas = 1 + (3,3) log n dengan n menyatakan banyaknya data dan hasil akhir dijadikan bilangan bulat. Misalnya, n = 80 (sekedar memperlihatkan aturan ini), maka banyak kelas = 1 + (3,3) log 80 = 1 + (3,3)(1,9031) = 7,2802. Jadi, kita bisa membuat tabel distribusi frekuensi dengan banyak kelas 7, sebagai pembulatan dari 7,2802. c. Tentukan panjang kelas interval p, yaitu hasil bagi rentang dengan banyaknya kelas. Harga p diambil sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan. Jika data berbentuk satuan, ambil harga p teliti sampai satuan. Jika data teliti hingga satu desimal, p juga diambil hingga satu desimal, dan begitu seterusnya. Dalam hal ini p = 64/7 = 9,14 dan dari sini bisa kita ambil p = 9 atau 10. d. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan data terkecil (35) atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil (misalnya 31), tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selan jutnya tabel diselesaikan dengan menggunakan nilai-nilai yang telah dihitung. e. Dengan p = 10 dan mulai dengan data yang lebih kecil dari data terkecil, diambil 31, maka kelas pertama berbentuk 31– 40, kelas kedua 41– 50, kelas ketiga 51– 60, dan seterusnya. Sebelum tabel sebenarnya dibuat, ada baiknya dibuat tabel penolong yang berisi-kan kolom tabulasi (tally). Kolom tabulasi ini merupakan kumpulan deretan garis-garis miring (tegak) pendek, yang banyaknya sesuai dengan banyaknya data yang terdapat pada kelas interval bersangkutan. Dengan mengambil banyak kelas 7, panjang kelas 10, dan dimulai dengan ujung bawah kelas pertama sama dengan 31, seperti dijelaskan pada (e), diperoleh tabel penolong seperti di bawah ini: Tabel 3.3 Tabel Tabulasi Nilai Statistika Nilai Ujian 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90
20
Tabulasi
// /// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// ////
Frekuensi 2 3 5 13 24 21
Penyajian Data
Statistika Dasar
//// //// //
91 – 100
12
Tabel penolong seperti di atas dapat saja tidak dibuat, apalagi jika menggunakan bantuan komputer untuk menghitung frekuensi. Setelah dituliskan dalam bentuk yang lazim dipakai, hasilnya seperti pada Tabel 3.4 di bawah ini: Tabel 3.4 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa Nilai Ujian 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100
f 2 3 5 13 24 21 12
Jumlah
80
Jika ujung bawah kelas pertama diambil sama dengan data terkecil, yakni 35, maka tabelnya menjadi seperti berikut ini: Tabel 3.5 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa Nilai Ujian 35 – 44 45 – 54 55 – 64 65 – 74 75 – 84 85 – 94 95 – 104
f 3 3 8 23 20 19 4
Jumlah
80
Tabel 3.4 dan Tabel 3.5 kedua-duanya dapat digunakan. Tetapi dalam Tabel 3.5 kelas interval terakhir, yakni kelas 95 – 104, melebihi nilai 100 yang biasa diberikan. Oleh karena itu, Tabel 3.4 yang lebih baik digunakan. Tabel distribusi frekuensi tidak selalu dalam bentuk kelas interval. Kadangkadang kita dapat juga membuat tabel distribusi frekuensi tanpa kelas. Untuk memberikan contoh, kita perhatikan data banyaknya telepon yang masuk pada sebuah kantor, di mana data diambil dari seorang operator telepon. Data tersebut dicatat setiap setengah jam selama sepuluh jam yang hasilnya sebagai berikut: 3 2 2 3 2 4 4 1 2 2 4 3 2 0 2 2 1 3 3 1
Penyajian Data
21
Statistika Dasar
Tabel distribusi frekuensi digunakan untuk data ini dengan nilai x bersama frekuensinya. Misalnya nilai 1 muncul dalam sampel tiga kali; sehingga frekuensi untuk x = 1 adalah 3. Data tersebut di atas dinyatakan dalam Tebel 3.6. Jadi x menyatakan benyaknya telepon yang masuk pada kantor tersebut setiap interval waktu setengah jam. Tabel 3.6 Distribusi Frekuensi Tanpa Kelas x 0 1 2 3 4 Jumlah
f 1 3 8 5 3 20
2. Distribusi Frekuensi Relatif
Dalam tabel di atas, frekuensi dinyatakan dengan banyak data yang terdapat dalam tiap kelas; jadi dalam bentuk absolut. Jika frekuensi dinyatakan dalam persen, maka diperoleh tabel distribusi frekuensi relatif . Untuk Tabel 2, dapat kita peroleh tabel distribusi frekuensi relatif seperti dalam Tabel 3.4. Frekuensi relatif, disingkat f rel atau Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi Relatif untuk Nilai Ujian Statistika f (%), untuk kelas pertama didapat dari Nilai 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100
f (%) 2,50 3,75 6,25 16,25 30,00 26,25 15,00
Jumlah
100,00 2 80
x 100%
=
2,50%
Dengan cara yang sama, nilai-nilai yang lain dapat dihitung
Tentu saja kedua bentuk frekuensi, absolut dan relatif , dapat disajikan dalam sebuat tabel seperti tampak pada Tabel 3.8.
22
Penyajian Data
Statistika Dasar
Tabel 3.8 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa f abs 2 5 3 14 24 20 12
Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 Jumlah
80
f rel 2,50 6,25 3,75 17,50 30,00 25,00 15,00 100,00
3. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Selain bentuk tabel tersebut, ada lagi bentuk tabel lain yang biasa disebut tabel distribusi frekuensi kumulatif . Tabel distribusi kumulatif dapat dibentuk dari tabel distribusi biasa, dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Distribusi frekuensi kumulatif ada dua macam, yaitu kurang dari dan atau lebih. Untuk kedua hal ini terdapat pula frekuensi-frekuensi absolut dan relatif. Disribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan atau lebih masing-masing dapat dilihat pada Tabel 3.9 dan Tabel 3.10. Tabel 3.9 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa (Kumulatif kurang dari) Nilai Ujian Kurang dari 31 Kurang dari 41 Kurang dari 51 Kurang dari 61 Kurang dari 71 Kurang dari 81 Kurang dari 91 Kurang dari 101
Tabel 3.10 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa (Kumulatif atau lebih)
f kum
Nilai Ujian
f kum
0 2 7 10 24 48 68 80
31 atau lebih 41 atau lebih 51 atau lebih 61 atau lebih 71 atau lebih 81 atau lebih 91 atau lebih 101 atau lebih
80 78 73 70 56 32 12 0
Perhatikan bahwa dalam kedua tabel di atas tidak terdapat baris yang menyatakan jumlah frekuensi. Jika tabel distribusi frekuensi kumulatif dengan frekuensi relatif dikehendaki, maka hasilnya seperti pada tabel-tabel di bawah ini: Tabel 3.11 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa
Penyajian Data
Tabel 3.12 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa
23
Statistika Dasar
(Kumulatif kurang dari) Nilai Ujian Kurang dari 31 Kurang dari 41 Kurang dari 51 Kurang dari 61 Kurang dari 71 Kurang dari 81 Kurang dari 91 Kurang dari 101
(Kumulatif atau lebih)
f kum(%)
Nilai Ujian
f kum(%)
0 2,50 8,75 12,50 30,00 60,00 85,00 100,00
31 atau lebih 41 atau lebih 51 atau lebih 61 atau lebih 71 atau lebih 81 atau lebih 91 atau lebih 101 atau lebih
100,00 97,50 91,25 87,50 70,00 40,00 15,00 0
B. Penyajian Gambar Penyajian data dalam bentuk gambar atau diagram akan lebih menjelaskan lagi persoalan secara visual. Pada bagian ini, kita akan menjelaskan sedikit tentang diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, histogram, poligon frekuensi, diagram dahan daun, dan diagram pencar . Berbagai jenis gambar atau diagram yang lainnya dapat dilihat pada Soedjana (1992) atau pada buku statistika yang lain. Tabel 3.13 Banyaknya Siswa di Kota A Menurut Jenjang Sekolah dan Jenis Kelamin Banyaknya Siswa Jenjang Sekolah SD SLTP SMU Jumlah
Jumlah Laki-laki
Perempuan
825 541 342
934 786 695
1759 1327 1037
1708
2415
4125
1. Diagram Batang
Data yang peubahnya berbentuk kategori atau atribut dapat disajikan dalam bentuk diagram batang. Untuk menggambarkan diagram batang diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama, demikian pula sumbu tegak, di mana kedua skala ini tidak perlu sama, seperti pada contoh Gambar 1. Gambar ini dibuat berdasarkan Tabel 11 yang memperhatikan jumlah siswa tanpa perincian jenis kelamin. Banyaknya Siswa 2000 -
1500 -
24
1759 1327
Penyajian Data
Statistika Dasar
1037 1000 -
500 -
SD
SLTP SMU
Gambar 3.1 Diagram Batang Jumlah Siswa Menurut Jenjang Sekolah
Judul gambar diletakkan pada bagian tengah, dua atau tiga baris di bawah gambar. Letak batang yang satu dengan batang yang lain harus terpisah dan lebarnya dibuat serasi dengan keadaan tempat gambar. Nilai kuantitatif dapat ditulis di atas batang. Jika jenis kelamin juga diperhatikan, maka didapat diagram batang dua kom ponen seperti dalam Gambar 2. Gambar ini menunjukkan dua macam batang yang legendanya (keterangan gambarnya) ditempatkan di sebelah kanan diagram. Banyaknya Siswa 934
1000 -
825 786
800 -
600 -
695
541
400 -
Laki-laki Perempuan
342
200 -
SD
SLTP
SMU
Gambar 3.2 Diagram Batang Jumlah Siswa Menurut Jenjang Sekolah dan Jenis Kelamin 2. Diagram Garis
Diagram garis sangat cocok untuk menyajikan data yang berbentuk serba terus atau berkesinambungan. Misalnya, jumlah penduduk setiap tahun, produksi suatu pabrik setiap tahun, dan sebagainya. Seperti halnya diagram batang, untuk menggambar diagram garis juga diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan tegak lurus. Pada sumbu datar dituliskan atribut atau waktu dan pada sumbu tegak dituliskan kuantum atau nilai data. Contoh 3.2 Tabel 3.14 Penggunaan Barang “X” di Kantor “Y”
Penyajian Data
25
Statistika Dasar
(dalam satuan) 1991 - 2000 Barang
Tahun
Barang
Tahun
yang Digunakan
yang Digunakan
1991
376
1996
476
1992
524
1997
316
1993
412
1998
556
1994
310
1999
585
1995
268
2000
324
Banyak barang 600 500 400 300 200 100 0
•
•
1991
1992
•
•
•
•
•
1993 1994 1995 1996 1997
•
•
•
1998 1999 2000
Tahun
Gambar 3.3 Penggunaan Barang “X” di Kantor “Y” (dalam satuan) 1991 - 2000 3. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran sangat cocok untuk menyajikan data berbentuk kategori atau atribut dalam persentase. Untuk membuat diagram lingkaran, maka lingkaran dibagi-bagi menjadi beberapa sektor. Setiap sektor melukiskan kategori data yang terlebih dahulu diubah ke dalam derajat dengan menggunakan busur derajat. Contoh 3.3 Tabel 3.15 Biaya Tiap Bulandi Jawatan “A” (dalam %) Keperluan Biaya Untuk Pos A
26
% 28
Penyajian Data
Statistika Dasar
Pos B Pos C Pos D Pos E Pos F Jumlah
18 14 22 10 8 100
Untuk menyajikan data pada Tabel 3 di atas, maka terlebih dahulu tiap nilai data diubah ke dalam derajat. Misalnya, pos A diubah menjadi pos B =
18 100
28 100
x 3600 = 100,80 dan
x 3600 = 64,80. Lainnya dihitung dengan cara yang sama dan didapat
untuk pos C = 50,40, pos D = 79,20, pos E = 360, dan pos F = 360. Dengan teliti, sudut-sudut tersebut digambarkan dalam sebuah lingkaran, dan hasilnya seperti tampak pada Gambar berikut: Pos F 8% Pos E 10% Pos A 28% Pos D 22% Pos B 18%
Pos C 14%
Gambar 3.4 Biaya Tiap Bulan di Jawatan “A”(dalam %) 4. Diagram Pencar
Untuk kumpulan data yang terdiri atas dua peubah, dengan nilai kuantitatif, diagramnya dapat dibuat dalam sistem sumbu koordinat dan gambarnya akan meru pakan kumpulan titik-titik yang terpencar. Karenanya, diagram demikian dinamakan diagram pencar . Misalnya, kita mengukur tinggi dan berat badan 15 mahasiswa, dan hasilnya dicatat seperti dalam Tabel 3, di mana x menyatakan tinggi dalam cm dan y menyatakan berat dalam kg. Tabel 3.16 Berat dan Tinggi Badan 15 Mahasiswa x (cm) y (kg) x (cm) y (kg) x (cm) y (kg) 162 48,0 160 47,0 164 59,3 a a a i a a t a a e b s r a a h n . 46,3d u 170n d b w a i 63,2 158 0 k u u n50,7 4 P m d h n i 5 u k d t t r e a s m p Y158 7 170 58,1 163 52,7 164 50,6 0 167 53,2 164 59,2 158 60,3 159 46,8 158 47,1 156 47,0
Diagram pencar dapat menunjukkan kecenderungan visual hubungan antar dua peubah 6seperti terlihat pada Gambar 3.4. 0
5 0 Penyajian Data
27
4 0 154
X 156
15
160
162
164
16
168
170
172
Statistika Dasar
Gambar 3.5 Diagram Pencar Berat dan Tinggi Badan 15 Mahasiswa 5. Histogram
Diagram batang yang menyatakan keseluruhan data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi disebut histogram. Sebagai contoh, data distribusi frekuensi Tabel 3 dapat digambarkan dalam sebuah histogram seperti Gambar 3 berikut Banyaknya Mahasiswa
25 -
20 -
15 -
10 -
5-
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
Gambar 3.6 Histogram Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa
Sebuah histogram terdiri atas sejumlah komponen berikut: a. Judul yang menyatakan populasi yang diperhatikan b. Sumbu tegak yang menyatakan frekuensi berbagai kelas untuk histogram frekuensi.
28
Penyajian Data
Statistika Dasar
c. Sumbu datar yang menyatakan peubah x. Nilai-nilai batas kelas, atau tanda kelas dapat ditandai sepanjang sumbu x. Jika tabel frekuensi mempunyai kelas-kelas interval yang panjangnya berlainan, maka tinggi diagram harus disesuaikan. Namun demikian, disarankan untuk membuat histogram dengan menggunakan panjang kelas interval yang sama. Kita bisa melihat bahwa bentuk histogram adalah diagram batang dengan sisisisi batangnya yang berdekatan harus berimpitan. Titik tengah kelas interval dinamakan tanda kelas yang diperoleh dengan menjumlahkan ujung bawah dan ujung atas kelas, kemudian hasilnya dibagi dua. Misalnya, tanda kelas 41 – 50 adalah ½ (41 + 50) = 45,5. 6. Poligon Frekuensi
Selanjutnya, tengah-tengah tiap sisi atas yang berdekatan dari histogram pada Gambar 3 kita hubungkan dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu datar. Bentuk yang diperoleh dinamakan poligon frekuensi, seperti terlihat pada Gambar 4.
Banyaknya Mahasiswa
25 -
20 -
poligon frekuensi 15 -
10 -
5-
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
Gambar 3.7 Poligon Frekuensi Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa 7. Ogive (Ozaiv) Ogive ialah distribusi frekuensi kumulatif yang digambarkan diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar. Ogive kurang dari ialah diagram dari distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive atau lebih ialah diagram dari distribusi frekuensi kumulatif atau lebih. Untuk data dalam tabel 3.11, yakni tabel kumulatif kurang dari, diagramnya dapat dilihat seperti Gambar 3.8.
Penyajian Data
29
Statistika Dasar
Gambar 3.8 Ogive kurang dari
Untuk data dalam tabel kumulatif atau lebih seperti dalam Tabel 3.12 grafiknya da pat dilihat seperti di bawah ini:
Gambar 3.9 Ogive atau lebih 8. Diagram Dahan Daun
Bentuk penyajian dengan diagram dahan daun, memungkinkan kita mendapatkan lebih banyak informasi dibanding dengan penyajian histogram. Diagram dahan daun selain memberikan informasi frekuensi dalam bentuk jumlah (nominal) juga bentuk visualnya yan memungkinkan kita dapat langsung melihat perbandingan
30
Penyajian Data
Statistika Dasar
frekuensi relatif antar nilai atau selang nilai tertentu. Kelebihan lain yang diperoleh dengan penyajian diagram dahan daun adalah data asli dari setiap objek pengamatan ikut ditampilkan. Perhatikan diagram dahan daun di bawah ini. Pada baris pertama memuat angkaangka 3, 1, dan 014. Angka-angka ini memberi arti bahwa sampai baris pertama ini ada tiga objek pengamatan dengan masing-masing nilai yang diperolehnya adalah 10, 11, dan 14. Sampai baris kedua, objek pengamatan masih tiga karena tidak ada yang mendapatkan nilai antara 15 sampai 19, sedangkan sampai baris ketiga telah terdapat sembilan objek pengamatan yang terdiri atas tiga objek pengamatan sebelumnya ditambah dengan dua objek yang mendapatkan nilai 20, satu objek dengan nilai 23 dan tiga objek dengan nilai 24. Penambahan informasi objek pengamatan ini ditampilkan sampai sebelum suatu ‘dahan’ yang memuat titik median data yang dicirikan dengan adanya angka di dalam tanda kurung, dalam contoh ini adalah angka 31. Ini memberikan arti bahwa pada selang nilai antara 50 sampai dengan 54 terdapat titik median data. Cara penyajian di atas juga berlaku untuk data terbesar sampai sebelum suatu ‘dahan’ yang memuat titik median.
Stem-and-leaf of UTS
N = 250
Leaf Unit = 1.0
3 3 9 21 36 53 80 97 (31) 122 101 78 52 29 11 3
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
014 003444 555566667789 000001122223444 55566666677788999 000001111111223333333334444 55556666678899999 0000000011122223333333333444444 556666666777777888899 00111111222222233333334 55556677777777888888888999 00001122222222222333444 556666677788888899 00222334 679
Jumlah daun dahan daun Kumulatif Gambar 3.10 Diagram Dahan Daun
Diagram dahan daun cukup efektif untuk menggambarkan pola distribusi bagi data yang berukuran kecil. Sedangkan untuk data yang berukuran besar lebih efektif
Penyajian Data
31
Statistika Dasar
bila digunakan histogram. Biasanya histogram digunakan untuk data yang berukuran lebih besar dari 200.
Soal Latihan 1. Dari hasil penyampelan (sampling) ataupun sensus perlu disajikan daftar dan/atau diagram. Mengapa? 2. Keterangan-keterangan apa yang dapat diperoleh dari: a. judul tabel b. catatan c. badan tabel 3. Untuk pembuatan sebuah tabel, hal-hal apa saja yang harus diperhatikan? 4. Enam puluh mahasiswa baru Universitas dara (banyak saudaranya ditambah satu). 1 3 3 3 4 6 4 9 5 3 3 5 4 2 5 5 3 4 2 3 3 2 1 1 5 3 2 2 4 7 3 3 7 4 Buatlah tabel distribusi tanpa kelas!
“X” ditanya tentang banyaknya bersauData terkumpul sebagai berikut: 3 6 7 5 1 3 4 3 3 3 5 3 2 3 3 2 3 2 1 2 4 2 2 1 3 3
5. Jelaskan apa yang dimaksud: a. kelas interval b. batas bawah, dan batas interval c. ujung bawah, dan ujung atas interval d. tanda kelas, dan bagaimana mendapatkannya? e. rentang data f. distribusi frekuensi kumulatif g. distribusi frekuensi relatif h. distribusi frekuensi kumulatif relatif 6. Kecepatan (km/jam) 55 mobil diukur oleh sebuah radar pada jalanan tol adalah sebagai berikut: 81 69 66 11 12 72 10 78 84 54 60 75 87 78 63
69 84 99 69
66
4 15
81
6 75
75 72
81 54
9 93 87
90
5 12
13
84
3 72
5 11
75
10
14
2 69
87
81
12
84
87
9 54
96
1 10
66
96
99
48
8 11
78
63
69
4 4 a. Buatlah tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan aturan Sturges! b. Untuk kelas interval pertama, tentukan batas bawah, batas atas, ujung bawah, ujung atas, dan tanda kelas! 7. a. Jelaskan apa perbedaan anatara diagram batang dengan histogram!
32
Penyajian Data
Statistika Dasar
b. Informasi apa yang dapat langsung diperoleh dari sebuah diagram pencar? 8. Bandingkan penyajian data dalam tabel dan pada grafik/gambar dengan jalan menjelaskan: a. kelebihan tabel dibandingkan dengan grafik b. kelebihan grafik dibandingkan dengan tabel 9. Data Biro Pusat Statistik Jakarta tahun 1961 menunjukkan bahwa luas dan kepadatan penduduk tiap propinsi di Sumatera adalah Propinsi Luas (km 2) Kepadatan per km 2 D.I Aceh 55392 29 Sumatera Utara 70787 70 Sumatera Barat 49778 47 Riau 94562 13 Jambi 44924 17 Sumatera Selatan 158163 31 Seluruh Sumatera 473606 33 a. Buat diagram batang untuk luas tiap propinsi! b. Buat diagram pencar antara luas dan kepadatan penduduk! c. Jelaskan tentang hubungan kedua peubah luas daerah dan kepadatan penduduk berdasarkan diagram pencarnya! 10. Data yang peubahnya diukur dengan sakala apa paling tepat disajikan dalam bentuk diagram a. batang? b. garis? c. pencar?
Penyajian Data
33
