BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN 1.1. Tegangan
Mekanika bahan merupakan salah satu ilmu yang mempelajari/membahas tentang tahanan dalam dari sebuah benda, yang berupa gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda yang menyeimbangi gaya-gaya luar terpakai. Contoh : tegangan dan regangan. Tegangan dapat didefinisikan sebagai besarnya gaya-gaya yang bekerja pada tiap satuan luas tampang benda yang dikenai suatu besaran gaya tertentu. Tegangan dan regangan hubungannya selalu dipermasalahkan, dihitung dan ditentukan. Hal ini sudah ada sejak hokum Hook dicanangkan, besaran yang menjadi penyambungnya dikenal dengan Modulus Elastis. Untuk membahas permasalahan ini diambil suatu potongan balok sebagaimana tergambar pada gambar 1.1 yang dipotong melintang. Jika balok tersebut dikenai satu gaya diagonal sebesar p dengan p dengan kemiringan sebesar sudut , maka akan didapat gaya normal sebesar p sin p sin dan gaya geser sebesar p cos p
p sin
A= x. x.y
p cos
Gambar 1.1. Potongan balok yang menerima beban normal dan geser
Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut.
Sehingga secara matematis
tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai
lim lim
P sin
A 0
A
,
(1.1)
1
2
Dimana :
2
= tegangan normal rata-rata ( N/mm N/mm = M Pa) Pa)
P = gaya ga ya yang bekerja ( N N ) 2
(mm ) A = luas bidang (mm
= sudut kemiringan
Sedangkan tegangan geser dapat dinyatakan sebagai
lim lim
P cos
A 0
A
(1.2)
y yy yy yz xx xy zz
xz zx zy zx
zy xz
yx y
zz
xy
xy
xx
xx x
x
xx
xy
yz
yx z
yx
yx yy
(a) 3 Dimensi Dimensi
yy
(b) 2 Dimensi
Gambar 1.2. Keadaan Tegangan pada Suatu Titik Dari gambar 1.1 jika diambil satu satuan luasan yang sangat kecil maka dapat digambarkan tegangannya seperti terlihat terlihat pada gambar gambar 1.2. Tegangan tidak sama dengan vektor tegangan.
merupakan tensor derajat dua, sedangkan Tegangan
, vektor apapun, merupakan tensor derajat deraja t satu. satu. Besaran skalar merupakan vektor tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang keadaannya pada suatu titik n
dalam ruang, tiga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3 komponennya, komponennya, dengan n ialah derajat tensor tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga tiga 2
dimensi pada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 3 komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah xx , yy , zz , xy , yx , xz , zx , yz , dan zy seperti ditunjukkan pada Gambar 1.2(a). Namun demikian, karena xy = yx , xz = zx dan yz = zy , maka keadaan tegangan
3
tersebut dapat dinyatakan dengan enam komponennya, xx , yy , zz , xy , xz , yz. Sedangkan
untuk
tegangan
bidang,
dua
dimensi,
pada
suatu
titik
dapat
2
dideskripsikan dengan 2 komponennya, Gambar 1.2(b), dan karena ij = ji untuk i
j maka tiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik
itu. Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi ij , i = j, serta tegangan geser dengan notasi ij , i
j . Perhatikan penulisan pada paragrap di atas. Karakter indek yang
pertama menyatakan bidang tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangan nor mal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang pembebanan. Sedangkan ialah tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi tegangan geser keenam tegangan yang mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan normal, xx , yy , dan zz , serta tiga tegangan geser, xy , yz , dan zx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif. Tegangan ber ni lai posit if bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah negatif. Selain itu, nilainya negatif.
1.2. Regangan
y dx
x
y y y dy dy
dz z
x
x dx
z (a) 3 Dimensi
(b) 2 Dimensi
Gambar 1.3. Keadaan Regangan Normal pada Suatu Titik
x
4
Seperti halnya tegangan, r egangan ju ga meru pakan tensor derajat dua . Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.
Pada sistem koordinat sumbu
silang, regangan tersebut adalah xx , yy , zz , xy , yx , xz , zx , yz , dan zy , sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.3(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni regangan normal , dengan notasi ij , i = j, serta regangan geser dengan simbul ij i
j . Sebagaimana dengan tegangan, xy = yx , xz =
zx dan yz = zy , maka keadaan regangan ruang pada suatu titik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni xx , yy , zz , xy , yz , zx. Sedangkan regangan 2
bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan dengan 2 komponennya, dan karena ij = ji maka regangan bidang pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen, Gambar 1.4(b).
y
y 0.5 xy
0.5 xy
x
0.5 xy
0.5 xz
x
0.5 yz z (a) Tiga Dimensi
(b) Dua Dimensi
Gambar 1.4. Kondisi Regangan Geser Pada Suatu Titik
merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan normal Regangan n ormal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan
5
ij
l i ui , l i
Dimana :
i=j
l i
ij
(1.3)
= regangan normal rata-rata
l = u = perubahan panjang pada arah (mm)
l
= panjang awal pada arah (mm)
i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z. Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial. Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan atau kuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar 1.4(a), sedangkan selain itu bernilai negatif. 1.3. Transformasi Tegangan Bidang
Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu koordinat ke set sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari set sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utama dari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksud dengan tegangan u tama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak nol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.
Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari
sistem koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.5(a), ke sistem koordinat polar (r, , z), Gambar 1.5(b). y
dy dz
r x
z
dx
dz
z (a) Sumbu Silang
(b) Polar
Gambar 1.5. Sistem Koordinat
6
Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar 1.6(b).
y’
y
yy
y’
xy
x’ x’x’
xx
xy
xx
xx
xy x
xy xy yy
xy yy (a)
(b)
Gambar 1.6. Transformasi Tegangan Bidang
Fx ' 0 x' x' . A ( xy . A sin ) cos (yy .A sin ) sin (xy .A cos ) sin xx . A cos cos 0 x' x' xx cos2 yy sin2 2 xy sin cos
(1.4a)
o
Dengan memasukkan harga (90 + ) untuk harga pada persamaan (1.4a), sehingga dengan identitas-identitas: 2 o cos (9 0 )
(cos 9 0o cos sin 9 0o sin )2 si n2
2 2 o o o sin (9 0 ) (sin 9 0 cos cos 9 0 sin )
co s2
sin(9 0o )cos(9 0o ) (sin 9 0o cos cos9 0o sin )(cos9 0o cos sin 9 0o sin ) =
sin cos
akan didapat
y' y' yy cos2 xx sin2 2 xy sin cos
(1.4b)
7
Fy ' 0 x ' y' . A (xy . A sin )sin (yy . A sin ) cos ( xy . A cos) cos xx . A cos sin 0 x' y' xy (cos2 sin2 ) ( xx yy) sin cos
(1.4c)
Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisa ditulis
x'x'
xx yy xx yy cos2 xy sin 2
(1.5a)
y'y'
xx yy xx yy cos 2 xy sin 2
(1.5b)
2
x' y '
2
2
2
xx yy 2
sin 2 xy cos 2
(1.5c)
1.4. Transformasi Regangan Bidang
Perhatikan Gambar 1.7(a). Elemen OABC pada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami deformasi dan distorsi menjadi O’A’B’C’ akibat mendapat beban xx , yy dan xy. Analisis transformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar 1.7(b,c,d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari Gambar 1.7(b) didapat dx'
dx cos
dy sin
,
x1 ' x.cos,
Dari Gambar 1.7(c) akan didapat
x2 ' y.sin , Dan dari Gambar 1.7(d) diperoleh
x3 ' xy .dy.cos , Dengan demikian total perubahan panjang dx’ akibat adanya regangan pada sistem koordinat awalnya adalah x’ = x1’ + x2’ + x3’
8
Sedangkan
x'x'
x' dx'
x.cos dx
cos
y.sin dy
xy . dy.cos
sin
dy
sin
Sehingga
x ' x' xx .cos2 yy .sin2 xy .cos.sin
(1.6a)
y x’1 y’
0,5 xy
x’
y’
y
y
x’
dx’
dy
x’1
0,5 xy
x
x dx
x
x
dx
(a) Deformasi Total
(b) Deformasi Arah Sumbu x
x’2
x’3 y
y’
dx’
x
x’3
dx’
y
x’2 x’
y’
y
xy dy
xy
x’
y dy
dy x dx
(c) Deformasi Normal Arah y
x dx
xy dy
(d) Deformasi Geser Bidang xy
Gambar 1.7. Transformasi Regangan Normal 2-Dimensi
9
o
Selanjutnya, y’ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga (90 + ) untuk harga
pada persamaan (1.6) di atas, kemudian menerapkan identitas
trigonometri. Sehingga akan didapat
y ' y' xx .cos2 (9 0o ) yy .sin2 (9 0o ) xy .cos(9 0o ).sin(9 0o ) y ' y' yy .cos2 xx .sin2 xy .cos.sin
(1.6b)
Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar 1.8. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini perubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadi ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh sumbu y menjadi dx1 dan dx2. Dari Gambar 1.8 didapat d y'1
d x1 sin
dy
cos
dan d x'2
dx2 cos
dy sin
.
Selanjutnya perhatikan Gambar 1.8(a), akibat terjadinya deformasi normal pada arah sumbu x saja.
'1a
AD dy '1
x1 .cos d x1
x1 d x1
sin .cos
sin CE x2 .sin x2 sin .cos '1 b d x2 d x2 dx '2 cos 'x ' y '1 1a 1b 2 xx .sin .cos
Akibat deformasi normal arah sumbu y
xx .sin .cos xx .sin .cos
saja seperti ditunjukkan pada
Gambar 1.8(b) akan diperoleh
'2 a '2 b
AD dy '1 CE dx '2
y.sin dy
cos y.cos dy sin
y dy
.sin .cos
y dy
.sin .cos
'x ' y '2 2 a 2 b 2 yy .sin .cos
yy .sin .cos yy .sin .cos
10
Gambar. 1.8. Transformasi Regangan Geser Sedangkan dari Gambar 1.8(c), akibat terjadinya regangan geser saja, akan didapat
3a
A' D
3 b
CE
d y '1
d x'2
AA'.cos dy cos CC''.sin dy sin
xy .dy
dy
.cos2
xy . dy dy
xy .cos2
. sin2
xy . sin2
x' y '3 3a 3b xy (cos2 sin2 ) Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut
x' y' x' y'1 x' y' 2 x' y' 3 ( xx yy) sin .cos xy (cos2 sin2 ) Selanjutnya,
dengan
menggunakan
identitas
trigonometri
persamaan (1.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut
(1.6c)
persamaan-
11
x ' x'
cos2
xy
y ' y'
cos 2
xy
x ' y'
xx
yy
xx
2
xx
yy
2
yy
xx
2
x'y' 2
2
yy
2
2
sin 2 xx
yy
2
xy
2
.sin 2
(1.7a)
.sin 2
(1.7b)
.cos 2
(1.7c)
1.5. Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum
Tegangan Utama ( principal stress) adalah tegangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan tegangan geser nol . Tegangan-tegangan tersebut ditunjukkan sebagai 1 dan 2 pada Gambar 1.10.
Perlu dicatat bahwa
1
selalu diambil lebih besar dari
2.
Sudut
transformasi yang menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama ( principal angle).
Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat
diturunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).
Panjang sisi miring =
2xy
sin 2 p
cos2 p
2 p xx yy
( xx yy)
2
4 xy 2
2 xy ( xx yy)
2
4 xy2
xx yy 2 2 ( xx yy) 4 xy
Gambar 1.9. Sisi-sisi Pada Sudut Utama
Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan (1.5c) akan didapat 0 atau
xx yy .sin 2 xy .cos 2 2
12
sin 2 p cos2 p
tan 2 p
2 xy
xx yy
(1.8)
Dari persamaan 1.8 dapat dilukiskan segitiganya sebagaimana gambar 1.9. Dengan substitusi harga-harga sin 2 dan cos 2 pada gambar 1.9 ke persamaan (1.5a) akan didapat
xx yy xx yy x' x ' 2
x' x '
2
xx yy 2
xx yy 2 2 ( xx yy ) 4 xy 1
2. ( xx yy)
2
4 xy 2
(
xx
2 xy ( xx yy )
2
2
4 xy 2
yy)2 4 xy 2
Sehingga
x' x '
xx yy 2
1 2.
(
xx
yy )2 4 xy2
Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan (1.5b), akan didapat
y' y '
xx yy 2
1 2.
(
xx
yy)2 4 xy 2
Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah
1 2
, maka kedua
persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan
1,2
xx yy 2
1 2.
(
xx
yy) 2 4 xy 2
Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c).
(1.9) Untuk suatu titik dan jenis
pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga xx , yy dan xy adalah tetap atau konstan, sehingga x’y’ merupakan suatu fungsi , atau x’y’ = f(). Harga ekstrim fungsi tersebut akan diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap sama dengan nol. Jadi d x' y ' d
xx yy 2
.sin 2 xy .cos 2 0
atau sin 2 max cos2 max
tan 2 max
xx yy 2 xy
Dari persamaan 1.10 dapat dilukiskan segitiganya pada gambar 1.10.
(1.10)
13
Panjang sisi miring =
2xy
( xx yy)
2
4 xy2
2max - (xx yy)
sin 2 max
cos2 max
2 xy ( xx yy)
2
4 xy2
xx yy 2 2 ( xx yy) 4 xy
Gambar 1.10. Sisi-sisi Pada Sudut Tegangan Geser Maksimum
Dengan substitusi harga-harga sin 2 dan cos 2 pada gambar di atas ke persamaan (1.5c) akan didapat
x' y'
xx yy
2 ( xx yy) 2 xy 2 2 2 2 ( xx yy) 4 xy ( xx yy) 4 xy
2 1
2. ( xx yy)
2
4 xy 2
(
xx
yy)2 4 xy2
Sehingga
x' y '
1
(
2.
xx
yy )2 4 xy 2
Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2 adalah (xx yy)
dan panjang sisi di sampingnya adalah
-2xy.
Kondisi ini akan
memberikan
x' y'
1 2.
(
xx
yy) 2 4 xy2
Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi satu sebagai
max
1 2.
(
xx
yy)2 4 xy 2
(1.11)
1.6. Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum
Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan utama ( principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah regangan geser nol .
14
Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai 1 dan 2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, 1 selalu diambil lebih besar dari 2 , serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama ( principal angle).
Secara analitik, dengan penerapan
prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (1.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut. sin 2 p cos2 p
1,2
tan 2 p
xx yy 2
1 2.
xy xx yy
(1.12a)
(
(1.12b)
xx
yy)2 xy2
Dengan p = sudut utama 1,2 = regangan-regangan utama xy = 2xy = regangan geser sin 2 max cos2 max
max 2
tan 2 max 1
2.
( xx yy )
2
xx yy xy
xy 2
(1.13a)
(1.13b)
Dengan max = sudut regangan geser maksimum xy = 2xy = regangan geser
1.7. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang
Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2 .dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi.
15
1.7.1. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
Pada persamaan (1.5a), bila
suku
x y dipindahkan ke ruas kiri dan
2 kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat 2
x y x y x ' 2 2
2
co s2 2 xy si n 2 2 x y xy sin 2 cos 2 2
(1.14a) Sedangkan pada persamaan (1.5c), bila dikuadratkan akan didapat
x ' y'
2
2 x y xy co s2 2 si n 2 2 x y xy sin 2 cos 2 2 2
(1.14b)
Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan 2 2 x y 2 2 xy x ' x'y' xy 2 2
(1.15)
Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang yang pusatnya di
x y ,0 dengan jari-jari 2
2
x y xy 2 . Lingkaran tersebut ditunjukkan 2
pada Gambar 1.12, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut: 1. Buatlah sumbu ij , horisontal. 2. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati batas kiri adalah titik ij = 0. 3. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik ij = 0. 4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan. 5. Tentukan letak titik-titik ij = 0 dan sumbu , serta ij terkecil dan ij terbesar bila belum terlukis pada sumbu ij . 6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.
16
7. Tentukan letak titik A pada koordinat (ij terbesar , xy ). 8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA. 9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (ij terkecil , xy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli, = 0, elemen tersebut.
Gambar 1.12. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa. Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr. b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10). c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas.
17
d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8). e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut
dengan persamaan-persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas. Penyelesaian: a. Lingkaran Mohr: 1) Buat sumbu ij , horisontal. 2) Tegangan normal terkecil, yy = -40 MPa, negatif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri. 3) Tegangan normal terbesar xx = 280 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik yy = -40 MPa di sebelah kiri, dan xx = 280 MPa di sebelah kanan yang berjarak (xx + yy) dari titik yy di sebelah kiri. 5) Lukis sumbu yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik yy . 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak yy ke xx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (xx , xy ) = (280,120). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (yy , xy ) = (-40,120). b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat o
o
max = 0,5 x 2 max = 0,5 x (-53 ) = 26 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2max = (280 + 40) / (2 x 120) = o
2max = 53 08’
o
atau
max = 26 34’
c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr max = 5 x 40 MPa =
200 MPa.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
max
1
2 280 40 1202 200MPa
2
d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat p = 0,5 x 2 p = 0,5 x 37
o
o
= 18 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2 p = (2 x 120) / (280 + 40) = o
2 p = 36 52’
atau
o
max = 18 26’
18
e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr 1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa. 2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa. Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
1 2
280 40 2 280 40 2
1 2 1 2
2 280 40 1202 320MPa 2 280 40 1202 80MPa
1.7.2. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang
Pada persamaan (1.7a), bila suku
xx yy 2
dipindahkan ke ruas kiri dan ke-
mudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat 2 2 2 xy xy xx yy xx yy 2 x'x ' cos 2 sin 2 2 xx yy sin 2 cos 2 (1.16a) 2 2 2 2 Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat 2 2 2 x' y xy x'y' ' xx yy 2 2 cos 2 2 xx yy sin 2 cos 2 sin 2 2 2 2 Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan 2 2 2 2 xx yy x' y' xx yy x' y' x' x' 2 2 2 2
(1.17)
Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang
xx yy ,0 dengan jari-jari 2
(1.16b)
2
yang pusatnya di
2
2 xx yy xy . 2 2
Lingkaran tersebut ditunjukkan
pada Gambar 1.9 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk tegangan dengan mengganti xx , yy dan xy berturut-turut menjadi xx , yy dan xy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2’
1.8. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan
Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku
19
untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi regangan spesifik . Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut: 1
xx
E 1
yy zz
E 1 E
xx
yy
zz
yy
xx
(1.18)
zz
zz
xx
yy
Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:
xy xz yz
xy 2
xz 2
yz 2
xy 2G
1 xy E
1 xz xz 2G
yz 2G
(1.19)
E
1 yz E
Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan persamaan -persamaan:
xx yy zz
E
1 1 2 E
1 1 2 E
1 1 2
1
xx
yy zz
1
1
yy
xx
zz
zz
xx yy
Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:
(1.20)
20
xy xz yz
E 1 E 1 E 1
E
xy xz yz
21 E 21 E 21
xy G xy xz G xz
(1.21)
yz G yz
Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud. Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka perbanding-an Poisson, = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan, G = E / 2(1 + ). Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi. b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi. c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10). d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas. e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8). f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas. Penyelesaian: a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:
xx
yy
xy
1 200000 1 200000
xy 2
280 0,29.40 0,29.0
0,001458 1458
40 0,29.280 0,29.0 0,000606 606
10,29.120 200000
0,000774
774
atau
xy 1548
b. Lingkaran Mohr: 1) Buat sumbu ij horisontal. 2) Regangan normal terkecil, yy = -606, sehingga merupakan titik di dekat batas kiri. 3) Regangan normal terbesar xx = 1458, sehingga merupakan titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala 1cm = 250. Kemudian ditentukan titik yy = -606 di sebelah kiri, xx = 1458 di sebelah kanan dan berjarak (xx + yy) dari titik yy di sebelah kiri.
21
5) Lukis sumbu yang berjarak 606 di sebelah kanan titik yy . 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak yy ke xx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (xx , xy ) = (1458,774). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (yy , xy ) = (-606,-774).
xy-max
(yy xy)
yy
0
p
xx
2max
(xx xy)
min 2
1
Gambar 1.13. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang c. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat max = 0,5 x 2 max = 0,5 x (-53o) = 26o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2max = (1458 + 606) / (2 x 774) = o o 2max = 53 08’ atau max = 26 34’ d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr xy-max = 5,2 x 250 = 1300.
22
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
max
xy max
1
(1458 606)2 15482 1290
2 2 e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat o o p = 0,5 x 2 p = 0,5 x 37 = 18 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2 p = (2 x 120) / (280 + 40) = o o 2 p = 36 52’ atau max = 18 26’ f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr 1 = 6,9 x 250 = 1725. 2 = -3,5 x 250 = -875 Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat 1458 606 1 1458 6062 15482 1716 1 2 2 1458 606 1 1458 6062 15482 864 2 2 2
Elastis Plastis Sempurna
Strain Hardening
Gambar 1.14. Grafik Tegangan-Regangan Baja
1.9. Modulus Elastis (Modulus Young)
Modulus Elastis, sering disngkat E, menyatakan nilai tangent (tg) sudut pada diagram tegangan-regangan sebagaimana digambarkan pada gambar 1.14, atau dapat ditulis dengan rumus : E tg
(1.22)
Rumus tersebut ditulis menurut hokum Hook pada daerah elastis, dimana pada daerah tersebut merupakan batas proporsional, yaitu batas daerah di mana antara tegangan dan regangan adalah sebanding, daerah tersebut disebut daerah Elastik.
