BAB 1 SEJARAH GEOMETRI 1. Pengertian Geometri Geometri (Gr (Greek; eek; geo= geo= bumi umi, metria= metria= ukuran) ukuran) adalah adalah bagian bagian dari dari matema matematik tikaa yang yang mengam mengambil bil persoa persoalan lan mengena mengenaii ukuran, ukuran, bentuk bentuk,, dan keduduka kedudukan n serta serta sifat sifat ruang. ruang. Geomet Geometri ri adalah salah satu dari ilmu yang tertua. Awal mulanya sebuah lembaga pengetahuan praktikal yang mempelajari berat dan jarak, luas dan volume, tetapi pada abad ke! geometri mengalami perkembangan yaitu tentang bentukbentuk aksiomatik oleh "u#lid, hasilnya h asilnya berpengaruh untuk beberapa abad berikutnya. Geometri merupakan salah satu #abang matematika. $lmu Geometri se#ara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni ilmu yang mempelajari hubungan hubunga n di dalam ruang. %ebenarnya, geometri sudah dipelajari sejak peradaban orang &esir 'uno, masyarakat embah %ungai $ndus dan abilonia. *eradabanperadaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunanbagunan besar. besar. 'ebanyakan geometri &esir kuno dan abilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmensegmen garis, luas, dan volume.
+. Sejarah Singkat Geometri *aling tidak ada enam wilayah yang dapat dipandang sebagai sumber penyumbang pengetahuan geometri, yaitu- abilonia (4000 SM - 00 SM!, unani unani ("00 SM # 400 SM! , &esir (000 SM - 00 SM! , /asirah Arab ("00 - 100 M! , $ndia (100 SM - $00 SM! , dan 0ina negaranegaraa penyumbang penyumbang pengetahuan pengetahuan geometri yang (100 SM # 1400 M! . entu masih ada negaranegar lain, namun, kurang signifikan atau belum b elum terekam dalam tradisi tulisan. angsa abilonia menempati daerah subur yang membentang antara sungai "ufrat dan igris di wilayah imur engah. *ada mulanya, daerah ini ditempati oleh bangsa %umeria. *ada saat itu, !233 %&, atau sekitar sekitar 2333 tahun yang lalu telah telah memiliki memiliki kehidupan sangat maju. maju. anyak gedung dibangun dibangun seperti seperti kota saat kini. %istem irigasi irigasi dan sawah pertanian juga telah berkembang. Geometri dipikirkan oleh para insinyur untuk keperluan pembangunan. Geometri yang lahir dan berkembang di abilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. 4al ini dimaksudkan untuk 1
bisa mendirikan berbagai bangunan yang kokoh dan besar. /uga harapan bagi para raja agar dapat menguasai tanah untuk kepentingan pendapatan dari pajak. eknikteknik geometri yang berkembang saat itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif. Akan tetapi, #ukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan berbagai fakta tentang teknikteknik geometri saat itu, termuat dalam Ahmes *apirus yang ditulis lebih kurang tahun 1523 %& dan ditemukan pada abad ke6. *eninggalan berupa tulisan ini merupakan bagian dari barangbarang yang tersimpan oleh museum di ondon dan 7ew ork. 8alam *apirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegi panjang, segitiga sikusiku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas daerah lingkaran. 9rangorang &esir rupanya telah mengembangkan rumusrumus ini dalam kehidupan mereka untuk menghitung luas tanah garapannya. %elain mengembangkan geometri, mereka juga mengembangkan sistem bilangan yang kini kita kenal dengan sexagesimal yaitu bilangan dengan basis 53. 'ita masih menikmati (dan menggunakan) sistem ini ketika berbi#ara tentang waktu. &ereka membagi hari ke dalam +: jam. %atu jam dibagi menjadi 53 menit. %atu menit dibagi menjadi 53 detik. 'ita mengatakan, misalnya, saat ini adalah pukul 6, +2 menit, !3 detik. 'alau dituliskan akan berbentuk pukul 6 +2; !3<, dan dalam seagesimal dapat dituliskan sebagai 6
+2
>53
!3
>!533. %istem ini telah menggunakan nilai tempat seperti yang kita gunakan dewasa ini
(dalam basis 13 bukan dalam basis 53). angsa abilonia mengembangkan #ara menghitung luas dan volume. 8i antaranya menghitung panjang keliling lingkaran yang sama dengan tiga kali panjang garis tengahnya. 'ita mengenal harga tiga ini mendekati harga π . ?umus *ythagoras juga sudah dikenal pada masa itu. angsa &esir mendiami wilayah yang sangat subur di sepanjang sungai 7il. *ertanian berkembang pesat. *emerintah memerlukan #ara untuk membagi petakpetak sawah dengan adil. &aka, geometri maju karena menyajikan berbagai bentuk polygon yang di sesuaikan dengan keadaan walayah di sepanjang sungai 7il itu. 8i unani, geometri mengalami masa emasnya. %ekitar +333 tahun yang lalu, ditemukan teori yang kita kenal dewasa ini dengan nama teori aksiomatis. eori berpikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja. 'ebenaran sema#am ini kita sebut kebenaran aksioma. 8ari sebuah aksioma diturunkan berbagai 2
dalil baik dalil dasar maupun dalil turunan. 8ari era ini, kita juga memperoleh warisan buku geometri yang hingga kini belum terbantahkan, yaitu geometri "u#lide. Geometri yang kita ajarkan se#ara formal di sekolah merupakan kopian dari geometri "u#lide ini. 8i awal perkembangan $slam, para pemimpin $slam menganjurkan agar menimba ilmu sebanyak mungkin. 'ita kenal belajaralah hingga ke negeri 0ina. 8alam era itu, $slam menyebar di imur engah, Afrika @tara, %panyol, *ortugal, dan *ersia. *ara matematikawan $slam menyumbang pada pengembangan aljabar, asronomi, dan trigonometri. rigonometri merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaian masalah geometri se#ara aljabar. 'ita mengenalnya menjadi geometri analitik. &ereka juga mengembangkan polinomial. 8i wilayah timur, $ndia dan 0ina dikenal penyumbang pengetahuan matematika yang handal. 8i $ndia, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar. %alah satu syaratnya adalah bentuk boleh ( bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama. &isalnya, membuat bangunan pembakaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri +33 bata. 8i antara dua tingkat urutannya tidak boleh ada susunan bata yang sama persis. %aat itulah mun#ul ahli geometri di $ndia. entu, bangunan itu juga dilengkapi dengan atap. Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan $ndia. 8i sinilah berkembang teoriteori geometri. %eperti #abang#abang ilmu pengetahuan yang lain, matematika (termasuk geometri) juga dikembangkan oleh para ilmuwan 0ina sejak +333 tahun sebelum &asehi (atau sekitar :333 tahun yang lalu). 'alau di "ropa terdapat buku @nsurunsur, geometri "u#lides yang mampu menembus waktu +333 tahun tanpa tertandingi, di timur, 0ina terdapat buku ‘Sembilan bab tentang matematika’ yang dibuat sekitar tahun 1B6 oleh iu 4ui. uku ini memuat banyak masalah geometri. 8i antaranya menghitung luas dan volume. 8alam buku itu juga mengupas hukum *ythagoras. /uga banyak dibi#arakan tentang polygon. *ada Caman *ertengan, Ahli matematik &uslim banyak menyumbangkan mengenai perkembangan geometri, terutama geometri aljabar. Al &ahani (1.D2!) mendapat idea menguraikan masalah geometri seperti menyalin kubus kepada masalah dalam bentuk aljabar. habit ibn Eurra (dikenal sebagi hebit dalam atin) (D!5 F 631) banyak menyumbangkan pengembangan geomeri analitik. 9mar 'hayyam (13:D 11!1) menemukan penyelasaian geometri kepada persamaan kubik, dan penyelidikan selanjutnya yang terbesar adalah kepada pengembangan geometri non "u#lid. 3
*ada awal abad ke1B, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. ang pertama, dan yang terpenting, adalah pen#iptaan geometri analitik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh ?ene 8es#artes (12651523) dan *ierre de ermat (15311552). $ni adalah awal dari perkembangan kalkulus.
*erkembangan geometrik kedua adalah
penyelidikan se#ara sistematik tenteng geometri proyektif oleh Girard 8esargues (12611551). Geometri proyektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, hanya dengan menyelidiki bagaimana hubungan antara satu sama lain. 8ua perkembangan dalam geometri pada abad ke16, mengubah #ara mempelajari geoetri tidak seperti sebelumnya. $ni merupakan penemuan Geometri bukan "u#lid oleh oba#hevsky, olyai dan Gauss. 8ua ahli geometri ladi pada masa itu ialah ernhard ?iemann, bekerja se#ara analisis matematika, dan 4enri *oin#arH, sebagai penggagas topologi algebraik dan teori geometrik dari sistem dinamikal.
!. Tokoh-Tokoh Geometri Tha%e& ("40 # 4" SM!
*ada mulanya geometri lahir sematamata didasarkan oleh pengalaman. 7amun matematikawan yang pertama kali merasa tidak puas terhadap metode yang didasari sematamata pada pengalaman adalah hales (5:32:5 %&). &asyarakat matematika sekarang menghargai hales sebagai orang yang selalu berkarta Ibuktikan ituJ dan bahkan ia selalu melakukan itu. 8ari sekian banyak teoremanya adalah
%udutsudut alas dari suatu segitiga samakaki adalah kongruen,
%udutsudut sikusiku adalah kongruen,
%ebuah sudut yang dinyatakan dalam sebuah setengah lingkaran adalah sudut sikusiku. 4asil kerja dan prinsip hales jelas telah manandai awal dari sebuah era kemajuan
matematika yang mengembangkan pembuktian deduktif sebagai alasan logis yang dapat diterima. *embuktian deduktif diperlukan untuk menurunkan teorema dari postulatpostulat. %elanjutnya disusun suatu pernyataan baru yang logis.
P'thagora& ($-0) SM!
%epeninggal hales mun#ullah *ythagoras (2D+23B %&) berikut para pengikutnya yang dikenal dengan sebutan
*ythagorean melanjutkan 4
langkah hales. *ara
*ythagorean
menggunakan metode pembuktian tidak hanya untuk mengembangkan eorema *ythagoras, tetapi juga terhadap teoremateorema jumlah sudut dalam suatu poligon, sifatsifat dari garis garis yang sejajar, teorama tentang jumlahjumlah yang tidak dapat diperbandingkan, serta teorema tentang lima bangun padat beraturan.
E*+%i, (00 SM!
idak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti "u#lid, ahli ilmu ukur unani yang besar. &eskipun semasa hidupnya tokohtokoh seperti 7apoleon, &artin uther, Aleander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang "u#lid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu. %elain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan yang terperin#i mengenai kehidupan "u#lid yang bisa diketahui. &isalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di $skandariah, &esir, di sekitar tahun !33 %&, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betulbetul gelap. ahkan, kita tidak tahu di benua mana dan di kota mana dia dilahirkan. &eski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tersisa, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama he "lements. 8alam he "lements, "u#lid menggabungkan pekerjaan disekolah yang telah ia ketahui dengan semua pengetahuan matematika yang ia ketahui dalam suatu perbandingan yang sistematis hingga menjadi sebuah hasil yang menakjubkan. 'ebanyakan dari pekerjaannya itu bersifat original , sebagai metode deduktif ia mendemonstrasikan sebagian besar pengetahuan yang diperlukan melalui penalaran. 8alam "lement "u#lid pun menjelaskan aljabar dan teori bilangan sebaik ia menjelaskan geometri. Arti penting buku he "lements tidaklah terletak pada pernyataan rumusrumus pribadi yang dilontarkannya. 4ampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. %umbangan "u#lid terletak pada #ara pengaturan dari bahanbahan dan permasalahan serta formulasinya se#ara menyeluruh dalam peren#anaan penyusunan buku. 8i sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil dalil serta perhitunganperhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. %esudah itu dengan #ermat dan hatihati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orangorang sesudahnya. ilamana perlu, dia menyediakan petunjuk #ara peme#ahan hal 5
hal yang belum terpe#ahkan dan mengembangkan per#obaanper#obaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. *erlu di#atat bahwa buku he "lements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagianbagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. uku he "lements merupakan buku pegangan baku lebih dari +333 tahun dan merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. egitu hebatnya "u#lid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyingkirkan buku yang pernah dibuat orang sebelumnya. %ebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku he "lements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. uku itu merupakan #ontoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. Adil jika kita mengatakan bahwa buku "u#lid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. $lmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatanpengamatan yang #ermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. 4asil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dari per#obaanper#obaan di satu pihak, dengan analisa hatihati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak. *engaruh "u#lid terhadap %ir $saa# 7ewton sangat terasa sekali, sejak 7ewton menulis buku yang terkenal dengan nama The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan he "lements. erbagai ilmuwan men#oba menyamakan diri dengan "u#lid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka se#ara logis berasal mula dari asumsi asli. ak ke#uali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti ?ussel, Khitehead dan filosof %pinoLa. 'ini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri "u#lid . bukan satu satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat diren#anakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 123 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la "u#lid. %ebenarnya, sejak teori relativitas "instein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri "u#lid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah #akrawala yang sesungguhnya.
6
*ada kedekatan sekitar <ubang hitam< dan bintang neutron misalnya dimana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri "u#lid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa se#ara keseluruhan. etapi, #ontoh#ontoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan "u#lid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. 'emajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual "u#lid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.
Sainti&-Sainti& M*&%im
8i era kekhalifahan $slam, para saintis &uslim pun turut mengembangkan geometri. ahkan, pada era abad pertengahan, geometri dikuasai para matematikawan &uslim. ak heran jika peradaban $slam turut memberi kontribusi penting bagi pengembangan #abang ilmu matematika modern itu. *en#apaian peradaban $slam di era keemasan dalam bidang geometri sungguh sangat menakjubkan. etapa tidak. *ara peneliti di Amerika %erikat (A%) menemukan fakta bahwa di abad ke12 &, para #endekiawan &uslim telah menggunakan pola geometris mirip kristal. *adahal, pakar matematika modern saja baru menemukan pola desain geometri itu pada abad ke +3 &. &enurut studi yang diterbitkan dalam /urnal %#ien#e itu, para matematikawan &uslim di era keemasan telah memperlihatkan satu terobosan penting dalam bidang matematika dan desain seni pada abad ke1+ &. <$ni amat mengagumkan,< tutur *eter u, peneliti dari 4arvard, A% seperti dikutip 0 . *eter u mengungkapkan, para matematikawan dan desainer &uslim di era kekhalifahan telah mampu membuat desain dinding, lantai dan langitlangit dengan menggunakan tegel yang men#erminkan pemakaian rumus matematika yang begitu #anggih. ;;eori itu baru ditemukan +3 atau !3 tahun lalu,< ungkapnya. 8esain dalam seni $slam menggunakan aturan geometri dengan bentuk mirip kristal yang menggunakan bentuk poligon simetris untuk men#iptakan satu pola. 4ingga saat ini, pandangan umum yang beredar adalah pola rumit berbentuk bintang dan poligon dalam desain seni $slam di#apai dengan menggunakan garis LigLag yang digambar dengan mistar dan kompas.
7
karya
"u#lid. $a pun kemudian mengembangkan geometri dan menemukan beragam hal yang baru dalam studi tentang hubungan di dalam ruang. Al'hawariLmi men#iptakan istilah secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dalam astronomi. 8ia juga menemukan %istem ilangan yang sangat penting bagi sistem bilangan modern. 8alam %istem bilangan itu, al 'hawariLmi menggunakan istilah 0osinus, %inus dan angen untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, teorema segitiga sama kaki, perhitungan luas segitiga, segi empat maupun perhitungan luas lingkaran dalam geometri. *enelitian al'hawariLmi dianggap sebagai
sebuah revolusi besar dalam dunia
matematika. 8ia menghubungkan konsepkonsep geometri dari matematika unani kuno ke dalam konsep baru. *enelitianpenelitian al'hawariLmi menghasilkan sebuah teori gabungan yang memungkinkan bilangan rasional>irasional, besaranbesaran geometri diperlakukan sebagai objekobjek aljabar. *enelitian al'hawariLmi memungkinkan dilakukannya aplikasi sistematis dari aljabar. %ebagai #ontoh, aplikasi aritmetika ke aljabar dan sebaliknya, aljabar terhadap trigonometri dan sebaliknya, aljabar terhadap teori bilangan, aljabar terhadap geometri dan sebaliknya. *enelitian penelitian ini mendasari ter#iptanya aljabar polinom, analisis kombinatorik, analisis numerik, solusi numerik dari persamaan, teori bilangan, dan konstruksi geometri dari persamaan yang dikenal dengan geometri analitik. 'onsep geometri dalam matematika yang diperkenalkan oleh al'hawariLmi juga sangat penting dalam bidang astronomi. *asalnya Astronomi merupakan ilmu yang mengkaji tentang bintangbintang termasuk kedudukan, pergerakan, dan penafsiran yang berkaitan dengan bintang. Guna menghitung kedudukan bintang terhadap bumi membutuhkan perhitungan geometri. $lmuwan &uslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah habit $bnu Eurra. &atematikawan &uslim yang dikenal dengan panggilan hebit itu juga merupakan salah 8
seorang ilmuwan &uslim terkemuka di bidang Geometri. 8ia melakukan penemuan penting di bidang matematika seperti kalkulus integral, trigonometri, geometri analitik, maupun geometri non"u#lid. %alah satu karya habit yang fenomenal di bidang geometri adalah bukunya yang berjudul
The composition of Ratios ('omposisi rasio). 8alam buku tersebut, habit
mengaplikasikan antara aritmatika dengan rasio kuantitas geometri. *emikiran ini, jauh melampaui penemuan ilmuwan unani kuno dalam bidang geometri. %umbangan habit terhadap geometri lainnya yakni, pengembangan geometri terhadap teori *itagoras di mana dia mengembangkannya dari segi tiga sikusiku khusus ke seluruh segi tiga sikusiku. habit juga mempelajari geometri untuk mendukung penemuannya terhadap kurva yang dibutuhkan untuk membentuk bayangan matahari. %elain itu, ilmuwan &uslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah $bnu al4aitham. 8alam bidang geometri, $bnu al4aitham mengembangkan analitis geometri yang menghubungkan geometri dengan aljabar. %elain itu, dia juga memperkenalkan konsep gerakan dan transformasi dalam geometri. eori $bnu al4aitham dalam bidang persegi merupakan teori yang pertama kali dalam geometri eliptik dan geometri hiperbolis. eori ini dianggap sebagai tanda mun#ulnya geometri non "u#lid. 'aryakarya $bn al4aitham itu mempengaruhi karya para ahli geometri *ersia seperti 7asir al8in al usi dan 9mar 'hayyam. 7amun pengaruh $bn al4aytham tidak hanya terhenti di wilayah Asia saja. %ejumlah ahli geometri "ropa seperti Gersonides, Kitelo, Giovanni Girolamo %a##heri, serta /ohn Kallis pun terpengaruh pemikiran al4aitham. %alah satu karyanya yang terkemuka dalam ilmu geometri adalah Kitab al-Tahlil wa alTarkib. 0endekiawan &uslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Abu 7asr &ansur ibnu Ali ibnu $raN atau biasa disebut Abu 7asr &ansur. $a merupakana salah satu ahli geometri yang mendalami spheri#al geometri (geometri yang berhubungan dengan astronomi). %pheri#al geometri ini sangat penting untuk menyelesaikan masalahmasalah yang sulit di dalam astonomi $slam. @mat $slam perlu menentukan waktu yang tepat untuk shalat, ?amadhan, serta hari raya baik $dul itri maupun $dul Adha. 8engan bantuan spheri#al geometri, kini umat &uslim bisa memperkirakan waktuwaktu tersebut dengan mudah . $tulah salah satu warisan ilmu Abu 7asr &ansur bagi kita saat ini.
9
10
