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Théorie du freinage par  Jean-Jacques CARRÉ Ingénieur de l’École Supérieure des Techniques Aéronautiques  et de Construction Automobile  Directeur Études Produits à la société Bendix Europe, Division Technique 

1. 1.1 1.1 1.2 1.3

Généralités ...................................... ......................................................... ....................................... ....................................... .................... Défin Définit itio ions.. ns.... ....... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... .. Classi Classifica ficatio tion n des freins freins ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... Conditions Conditions à respec respecter ter pour les freins freins ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 1.3.1 Conditions d’établissement ........... ........ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 1.3.2 Conditions d’installation ................ ................... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 1.4 Qualit Qualités és dema demandé ndées es à un frei frein n ....... .......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 1.5 Influence Influence du rendemen rendementt des trans transmissio missions ns mécaniq mécaniques ues de la machine.......................................... machine............................................................. ....................................... .................................. ..............

B 5 570 - 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — 3 — 3 —

4

2. Probl roblèm ème e du fre frein inag age e ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.1 2.1 Défin Définit itio ion n du du pro probl blèm èmee ..... ........ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.1.1 Cas des appareils appareils de levage ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.1.2 Cas des freins de direction, translation translation et orientation ..................... 2.2 Grandeur Grandeurss caractéristiq caractéristiques ues du freinage freinage ......... .............. .......... .......... .......... ....... .. ..................... 2.2.1 Distance, durée et accélération de de freinage ................ ..................... 2.2.2 Travail et puissance de freinage freinage ..................... ....................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 2.2.3 Rôle de l’inertie des corps en mouvement mouvement .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 2.2.4 Efforts, couples, puissances puissances et travaux au cours du cycle opératoire ..................................... ......................................................... ........................ ....

— — — — — — — —

4 4 4 5 5 5 7 7

—

7

3. Base Base de de calc calcul ul du du dime dimens nsion ionne neme ment nt.... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 3.1 Garniture Garnituress de freins........ freins............. .......... .......... .......... .......... ....... .. .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 3.1.1 Généralités sur les organes de friction friction .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 3.1.2 Base de calcul calcul des garnitures garnitures de freins freins : la puissance spécifique.. spécifique.. 3.2 3.2 Roto Rotorr de frei frein n ...................................... .......................................................... ........................................ ..................................... ................. 3.2.1 Détermination du diamètre diamètre du rotor de frein ................................... ................................... 3.2.2 Détermination de l’épaisseur l’épaisseur du limbe du rotor de frein frein . ............... 3.2.3 Conduite de calcul du dimensionnement ........................... ......................................... 3.2.4 Conditions à réaliser dans dans l’établissement des rotors de frein frein ...... 3.3 Exemples numériques........................... numériques............................................... ....................................... ............................ ......... ...... 3.3.1 Treuil à crochet crochet à moteur moteur à courant courant continu à excitation en série . 3.3.2 Monte-charges et ascenseurs. ...................................... ......................................................... ....................... 3.3.33 Pont roulant. 3.3. roulant............................. ................................................ ....................................... ....................................... ...................... 3.3.4 Treuil à benne preneuse automatique (calcul complet) .................. 3.3.5 Véhicules roulants ..................................... ......................................................... ....................... ... ..................

— — — — — — — — — — — — — — —

8 8 8 8 10 10 10 11 11 11 11 13 14 15 18

uels que soient le système de freinage et son emploi, un frein absorbe une  énergie mécanique extérieure pouvant être soit une énergie potentielle  due à la gravité (cas des appareils de levage), soit une énergie cinétique (cas  des véhicules), soit les deux à la fois (cas, par exemple, d’un véhicule lancé  abordant une descente). L’énergie L’énergie mécanique absorbée est restituée par le frein  sous une autre forme qui dépend du système de freinage considéré.

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THÉORIE DU FREINAGE  __________________________________________________________________________________________________________________

Nous nous limiterons à l’ étude des freins transformant l’énergie mécanique  en chaleur par frottement de deux solides  car ce sont les plus répandus et les 

plus économiques pour assurer la fonction de freinage : le ralentissement ou  l’arrêt de la machine ou de l’appareil en mouvement est dû à la résistance de  frottement engendrée dans un organe de friction, par la pression d’un corps  contre la jante d’un rotor en mouvement. Nous ne saurions trop insister sur l’importance du freinage et sur le soin que  l’on doit apporter à la détermination des freins. Dans le prix d’une installation, les dispositifs de freinage entrent pour une faible part et, cependant, ils  conditionnent à la fois la sérucité et la souplesse de conduite de l’appareil. Ils  sont un élément de jugement du sérieux de la construction.

1. Généralités 1.1 Définitions Un frein est un transformateur d’énergie destiné à ralentir (frein de ralentissement) ou à arrêter complètement le mouvement d’un engin (frein d’arrêt). Le tableau 1 donne le principe des systèmes de freinage courants. Un organe de friction est essentiellement un transformateur d’énergie en chaleur. Le rotor du frein emmagasine et disperse la plus grande partie de la chaleur produite : c’est donc par le calcul des dimensions du rotor qu’il faudra aborder le problème (§ 3.2). De plus, le choix des dimensions du rotor est soumis à des conditions faisant intervenir la nature du métal de friction du rotor et celle de la garniture de frein frottant sur le rotor ( Technologie du freinage. Organes de friction : garnitures et contre-matériaux  [B 5 571]). Les propriétés d’un frein sont caractérisées par les grandeurs suivantes. — L’effort de commande  est la force maximale constante exercée par l’opérateur sur l’organe de commande du frein au cours du freinage. — La course de commande   est le déplacement de l’organe de commande du frein, de la position de repos à la position de freinage. — L’indice de commande  d’une installation de freinage est le produit de l’effort par la course de commande. Cet indice, homogène à une énergie, caractérise la valeur de l’installation de freinage comprenant le frein proprement dit et la transmission (§ 3). — L’efficacité d’un frein  (souvent appelée puissance d’un frein ) est le rapport du couple de freinage à l’indice de commande. Nota : dans le cas du freinage en translation de certaines installations à commande hydraulique, le couple de freinage est souvent comparé à la pression de commande pour caractériser l’efficacité, sans prendre en compte la notion de déplacement.

— La régularité d’un frein   est caractérisée par son indice de  régularité , rapport de la variation relative du couple de freinage à la variation relative du coefficient de frottement. Par définition, l’indice de régularité de deux surfaces planes est égal à l’unité. La régularité du couple ou de l’effort de freinage dû au frottement est d’autant plus grande que l’indice de régularité est plus petit.

1.2 Classification des freins Les freins peuvent être classés suivant deux paramètres : — d’après la forme de l’organe de friction utilisé : • freins à sabots (rotor cylindrique ou rotor à gorge), • freins coniques (rotor conique ou rotor à gorge), • freins à enroulement (ou à bandes) (rotor cylindrique),

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• freins à mâchoires (rotor-tambour cylindrique), • freins à disques (cas particulier des freins coniques d’angle au sommet égal à 180 o). Cette classification correspond au plan adopté dans cet ensemble consacré au freinage pour la description des divers types de freins (articles spécialisés [B 5 571] [B 5 574] [B 5 580] [B 5 598] dans cette rubrique) ; — d’après le mode de fonctionnement : • freins à commande réversible sans blocage (fonctionnant à la main, au pied, etc.), • freins à encliquetages non automatiques (fonctionnant à la main, au pied, électromagnétiques, etc.), • freins à encliquetages automatiques (freins actionnés par la charge et utilisant la poussée axiale d’une vis) ; ces freins peuvent être coniques ou à lames, • freins à sabots ou à bandes actionnés par la force centrifuge.

1.3 Conditions à respecter pour les freins 1.3.1 Conditions d’établissement Les premiers freins étaient rudimentaires : ils agissaient soit sur les jantes des rotors, soit sur les moyeux. Leurs dimensions étaient très réduites, d’où une usure très rapide des surfaces frottantes. L’énergie à absorber, étant proportionnelle à la masse en mouvement et au carré de la vitesse, croît très vite avec cette dernière. C’est pourquoi les freins réalisés aujourd’hui ne conservent des premiers appareils rudimentaires que le principe. En tout cas, l’inertie de la charge à freiner est un ennemi qu’il faut réduire le plus possible. Un frein ne doit pas demander de trop gros efforts de commande ; on doit pouvoir le commander avec la progressivité et l’instantanéité que demandent les circonstances.  Ainsi, dans les freins commandés par un organe auxiliaire (un contrepoids, par exemple), on installe des amortisseurs à air qui évitent la chute brusque du contrepoids et, par suite, le serrage brutal du frein. La tenue de l’appareil ne doit pas être influencée par le freinage, ce qui pose des problèmes particuliers lors de l’étude des commandes. En raison du travail considérable fourni par les appareils, on doit s’assurer que l’échauffement des parties frottantes n’est pas trop grand (§ 3). Selon que les freins servent à immobiliser dans l’espace une charge soumise à l’action de la pesanteur (ou à régulariser sa vitesse), ou bien à arrêter le mouvement horizontal de masses se déplaçant sous l’influence de forces extérieures ou de leur propre inertie, on les classe généralement en freins de charge  et freins de  translation (ou d’orientation ). (0)

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Tableau 1 – Systèmes de freinage courants pour une transformation d’énergie mécanique Mode de transformation

Énergie transformée

Applications

Frottement solide

Énergie calorifique

Frottement liquide

Énergie calorifique

Freins de ralentissement et d’arrêt Freins de ralentissement et d’arrêt si l’étanchéité est suffisante

Création de courants de Foucault

Énergie électrique elle-même transformée sur place en énergie calorifique Énergie calorifique par résistances électriques Énergie électrique récupérée Énergie calorifique et énergie interne de l’air comprimé Énergie calorifique et énergie potentielle (accumulateurs)

Création d’énergie électrique par dynamos ou moteurs réversibles Transformation thermodynamique par compression d’air Transformation par création de fluide sous pression (pompe)

Cas des freins de charge (mouvement vertical) :  si le frein ne sert qu’à tenir la charge dans l’espace, il faut avoir un autre moyen de faire descendre la charge à la vitesse voulue ; on peut employer, par exemple, le freinage électrique ou un frein de descente à encliquetage. Le premier frein  n’est alors qu’un frein d’arrêt ; il est installé sur l’arbre moteur ou sur le premier arbre intermédiaire. Le type le plus usité est le frein à bandes serré par un contrepoids qui se trouve dégagé par le soulèvement d’un éléctro-aimant ou d’un levier de frein à main. Lorsqu’on emploie un électro-aimant, le frein se serre aussitôt que le courant du moteur est coupé. Dans certains cas, ce frein d’arrêt peut être dégagé, en outre, par la traction d’un câble commandé par une pédale. Pour éviter que la charge ne prenne une vitesse exagérée à la descente (par exemple, en cas de fausse manœuvre), on installe, en plus du frein d’arrêt, un frein régulateur de descente , souvent constitué d’un frein avec un encliquetage pour immobiliser la fonction de réglage de l’opérateur. Dans le cas où la manœuvre est réalisée à l’aide de moteurs électriques, l’énergie mécanique peut être absorbée et, par suite, la vitesse de la charge amortie, à la montée ou à la descente, par la mise en court-circuit du moteur de levage. Mais il faut remarquer que l’effet de freinage n’a lieu que pendant le mouvement (il est donc nécessaire de prévoir le frein d’arrêt de la charge suspendue à l’état de repos). Le réglage de la vitesse de descente du fardeau peut se faire aussi par l’opérateur. Dans ce cas, également, il faut encore prévoir un frein d’arrêt avec électro-aimant pour le cas d’interruption du courant du moteur. L’emploi de freins ordinaires et de freins à cliquets manœuvrés à la main exige une grande attention de la part de celui qui les commande. Les freins différentiels, établis en vue de la descente d’une charge, ne sont généralement pas suffisants pour le freinage à la montée. 

Cas des freins de translation ou d’orientation (mouvement horizontal) : ce type d’utilisation doit permettre le ralentissement du mouvement avec précision dans la commande, ainsi que l’arrêt ; de plus, il doit maintenir la charge à l’arrêt et ceci avec beaucoup de sécurité (cas d’un véhicule immobilisé dans une pente). Généralement, il est composé d’un frein à commande au pied pour le contrôle du freinage jusqu’à l’arrêt, doublé d’un frein à encliquetages pour l’immobilisation. L’aspect progressivité du freinage demande l’utilisation de systèmes de commande directe ou assistée ayant le moins d’hystérésis possible. Le frein à encliquetages, pour des questions de sécurité, sera à prévoir à commande mécanique ou pneumatique (véhicules poids 

Freins de ralentissement Freins de ralentissement Freins de ralentissement Freins de ralentissement

lourds) ; dans ce dernier cas, le relâchement de la pression libère un effort emmagasiné dans un ressort qui, par un transformateur de mouvement (levier, coin, etc.), assure la commande du frein.

1.3.2 Conditions d’installation Les rotors de freins doivent être installés, autant que possible, sur l’arbre de commande  (arbre tournant à grande vitesse) ou, si cet arbre est susceptible de se déplacer, sur l’arbre intermédiaire le plus voisin,  afin de diminuer l’effort tangentiel, c’est-à-dire travailler avec un couple minimal. Les freins doivent être disposés aussi près que possible de l’endroit où se produit l’effort qu’ils combattent, en évitant que la résistance du frein ne soit transmise par un arbre (ce qui le fatigue beaucoup), ou par des engrenages (ce qui risque de les détériorer). C’est pourquoi pour des véhicules routiers, par exemple, le meilleur emplacement se trouve au niveau de la roue. Les freins doivent être accessibles pour faciliter leur entretien. Dans le cas des freins à bandes par exemple, les bandes souffrent beaucoup d’être souvent ouvertes lors du montage et du démontage ; il y a donc avantage à monter, si possible, le frein en porte à faux sur son arbre. Dans l’encombrement disponible, il faut toujours prévoir le dégagement latéral de la bande. Enfin, la disposition du frein doit être telle que les calories dégagées lors de son fonctionnement soient facilement évacuées.

1.4 Qualités demandées à un frein On demande à un frein : — l’efficacité ; — la régularité du couple de freinage ; — le silence lors du fonctionnement ; — un faible indice de commande ; — des réglages aussi espacés que possible ou bien pas de réglage grâce à un dispositif automatique ; — une construction facile ; — un entretien facile ; — un bas prix de revient correspondant au genre de construction de la machine. Ces qualités s’opposent l’une à l’autre et il faut établir, entre elles, un compromis en fonction du but à atteindre. Un frein, s’il doit être efficace, ne doit pas l’être trop sous peine de désordres graves, tels qu’une fatigue exagérée des mécanismes et des supports par suite de l’action brusque et presque instantanée du freinage, des oscillations, des enrayages des galets de roulement, etc. Un frein efficace est un frein qui fournit un couple de freinage donné pour un faible indice de commande (§ 1.1).

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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

La régularité du couple (ou de l’effort) de freinage peut être due, soit à la faible variation du couple de freinage lorsque le coefficient de frottement de la garniture vient à varier, soit à une réponse du frein par un couple de freinage aussi proche que possible de la proportionnalité à l’effort de commande exercé. Nous verrons que efficacité et régularité sont antagonistes. Le principe du frein est un élément déterminant de la corrélation efficacitérégularité. Les dispositions particulières de la timonerie et l’indice de commande peuvent influer défavorablement sur la régularité. La facilité de construction et son prix dépendent essentiellement des modalités d’emploi du frein. L’efficacité du frein intervient favorablement dans son prix de revient. La facilité d’entretien d’un frein dépend de son accessibilité (§ 1.3.2). L’indice de commande est fonction du jeu fonctionnel, de la rigidité de la commande, de la compressibilité de la garniture de friction, de la déformation du rotor, de la dilatation du rotor (dans les freins à tambour) sous l’influence de la chaleur développée par le frottement et, pour certains types de freins, de l’usure normale de la garniture pendant une période donnée (donc de la fréquence des réglages de rattrapage d’usure). Mais cet indice de commande est surtout lié au type de frein et à la valeur du coefficient de frottement. La dilatation du rotor dépend de s on diamètre. Aussi, pour comparer entre eux les divers types de freins, il est nécessaire de les rapporter à un rotor type (par exemple, 500 mm de diamètre effectif) et à un effort de freinage tangentiel type de 1 000 N (ce qui délivrera un couple de 250 N · m). Il est bien entendu que la comparaison de deux freins ne peut se faire qu’en mettant à part le dispositif de commande (les flexions des timoneries peuvent allonger les courses à chaque relais ou les différents organes d’un circuit hydraulique de commande peuvent avoir des dilatations variables sous pression ce qui est ressenti dans la course de commande).

1.5 Influence du rendement des transmissions mécaniques de la machine Dans ce paragraphe, on étudiera l’influence du rendement des transmissions mécaniques de la machine sur le choix du couple de freinage et de l’inertie du rotor de frein. Il ne faut pas oublier que tous les organes de transmission constituent eux-mêmes un frein qui absorbe une certaine énergie, soit lorsque le moteur entraîne la machine, soit lorsqu’il est entraîné par elle au moment du freinage. Le frein moteur agit alors comme servocommande du frein intérieur que constitue la mécanique elle-même. Avec une transmission par engrenages cylindriques ou coniques , le rendement dépasse rarement 0,85 dans le sens moteur et 0,81 dans le sens récepteur. L’action de ce frein intérieur n’est donc pas prépondérante (véhicule routier, par exemple). Il n’en est pas de même lorsque la réduction est à vis sans fin  de rapport élevé :  celle-ci absorbe alors la majeure partie du travail de freinage et le frein moteur ne fournit plus qu’un appoint régulateur conditionnant la durée de l’opération. Si le réducteur est irréversible, l’inertie de l’arbre moteur doit lui fournir l’appoint de couple nécessaire pour que le freinage ne soit pas instantané. De plus, le rendement d’une transmission à vis n’est pas constant : il s’améliore avec le rôdage et diminue ensuite avec l’augmentation de l’usure ; il est sensible à la qualité du lubrifiant et à la température de fonctionnement. Dans ce cas, le couple exercé par le frein sera donc plus faible que dans le cas d’une transmission par engrenages et, pour diminuer l’effet des variations de rendement de la transmission à vis, il faudra augmenter l’inertie de l’arbre moteur (souvent dans de fortes proportions) en utilisant un rotor de frein plus lourd.

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De plus, comme il est nécessaire d’assurer un couple de freinage variable au gré du conducteur, il est indispensable de prévoir une commande proportionnelle de type électro-aimant à intensité variable ou commande mécanique directe.

2. Problème du freinage 2.1 Définition du problème Pour ramener au repos un corps en mouvement, on doit absorber l’énergie mécanique qu’il a emmagasinée et la transformer en chaleur par frottement dans le frein. Le travail de frottement est dû : — à l’action de la pesanteur sur la masse manœuvrée, qui provoque un couple, appelé couple de gravité ;   ce couple agit positivement à la descente et négativement à la montée. Le rendement de la transmission diminue l’effet du couple de gravité à la descente et l’augmente à la montée ; — à l’action des résistances passives, provenant des frottements en divers points, qui donnent un couple de résistances passives ;  ce couple vient toujours en aide au couple de freinage (pour les véhicules routiers, il est introduit par la résistance au roulement, la résistance aérodynamique et par le frein moteur). La somme algébrique du couple de gravité et du couple de résistances passives forme ce que nous appellerons le couple sta-  tique . — à l’énergie cinétique comprenant la force vive de la charge animée d’une vitesse v , soit mv 2 / 2, et celle de l’ensemble des masses tournantes m, d’inertie I = mD 2 / 4 et de vitesse angulaire ω , soit Σ Iω 2 / 2. Le couple cinétique   correspond à l’ensemble de ces énergies cinétiques ; il agit toujours positivement. Toutes les énergies cinétiques partielles doivent être ramenées à l’arbre du frein. On sait que, si une pièce d’inertie In  tourne autour d’un arbre avec une vitesse angulaire ω n  tandis que le rotor de frein tourne avec la vitesse angulaire ω , la pièce équivalente sur l’arbre du rotor aura un moment d’inertie I n  ′ tel que : 

′ ω 2 I n 

=

2 I n ω n 

2

d′où

′ In 

=

ω n 

I n  ---------ω 2

=

2

I n  ρ n 

(1)

en désignant par ρ n   le rapport de démultiplication entre la pièce considérée et le rotor de frein. Dans le cas où il y aurait multiplication, de rapport ρ n ′ , on devrait écrire : (2) ′ = In  1/ ρ n ′  2 In  L’inertie de la charge peut également être rapportée à la vitesse angulaire du rotor de frein, en tenant compte, s’il y a lieu, de la démultiplication du mouflage : 

I′

avec

ρ 1

=

2

m ρ 1 r 2

(3)

produit du rapport de démultiplication du rotor de frein par le rapport de mouflage (1 pour action directe, n  pour mouflage de n  brins).

2.1.1 Cas des appareils de levage 2.1.1.1 Pour la montée L’énergie cinétique Ec  avant freinage de la charge de masse m est : Ec  = mv 2 / 2. Si le moteur s’arrêtait brusquement, la charge m monterait encore d’une course s min sous l’influence de Ec . L’effort

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correspondant à cette montée serait mv 2 / 2s min . Comme il y a équilibre entre la charge et cet effort, on a : mg  =

mv 2 2 s min

----------------

soit

s min

v 2 2 g 

= ---------

(4)

s min étant la course minimale de freinage et g   l’accélération de la pesanteur. Le câble soutenant la charge doit toujours rester tendu, sous peine d’abandonner la charge ; le frein doit donc agir progressivement pour permettre au treuil de tourner encore jusqu’à l’arrêt de la charge. La force de freinage se calcule comme suit. Soit une course de freinage imposée s f (supérieure à s min ). Si l’on diminue de F f (force     de freinage) la tension mg  du câble qui devient mg  – F f , les forces mv 2 ------- et mg  appliquées ( mg  – F f),  sont en équilibre, d’où :   ----2---s  f  mg

=

soit

2 ( mg – F f ) + -mv  ------------2 s f  2 F f  = -mv  ------------2 s f 

(5)

2.1.1.2 Pour la descente Au démarrage , la masse m passe, pendant le parcours du chemin s d , de la vitesse nulle à la vitesse v . Le frein n’est pas entièrement dégagé, mais il exerce un effort de freinage F d . La résultante mg  – F d agit donc de haut en bas, et le travail développé est : ( mg – F d ) s d d’où

s d

1 mv 2 2

= -----

1 mv 2 / ( mg – F d ) 2

= -----

=

2 F d + F f  = mg + -mv  ------------2 s f 

2.2.1 Distance, durée et accélération de freinage 2.2.1.1 Mouvement de translation  1er cas simple où seule l’énergie cinétique intervient.  En admettant que l’accélération négative (décélération) γ   produite par le freinage soit constante au cours du coup de frein, la distance de frei-  nage s f  est donnée par : s f  =

(7)

2.1.2 Cas des freins de direction, translation et orientation Dans le cas des freins d’orientation de grue , les forces d’accélération produisent des torsions et des flexions dans la charpente métallique de la grue. L’accélération angulaire admissible limitera donc la valeur du couple de freinage. Dans le cas des véhicules roulants , ce sont des considérations de distances d’arrêt et la valeur de l’accélération négative (décélération) qui entrent en ligne de compte pour déterminer le couple de freinage, en même temps que les conditions de transmission et d’évacuation de la chaleur produite par le frottement. Dans le cas des ponts roulants , les forces d’accélération produisent des flexions latérales dans les poutres du pont au début de la translation, ainsi qu’une augmentation de la tension des câbles et des chaînes, lorsque la charge commence à monter.

1 v t  --1--- t 2 γ  f  = 2 f  2

(8)

----

Pour une estimation rapide de cette distance, l’abaque de la figure 1 a été établi, permettant une lecture directe. La décélération  est égale à : 2 s f  γ  = ---------(9) 2 t f  et la durée de freinage :  t f  =

2 s f  v 

----------

=

2 s f 

(10)

----------

γ 

2e cas plus complexe d’un véhicule roulant  pour une distance d’arrêt s f . Il est nécessaire de prendre en compte d’autres éléments que l’énergie cinétique pure. On doit considérer l’inertie des pièces tournantes, la possibilité de pente, la résistance au roulement, la pénétration dans l’air : E  énergie s f  = -----Σ-----------(-----------------------)------Σ R  ( résistance ) 

s f  =

(6)

La charge continue à descendre avec la vitesse v  : nous sommes alors au stade de la marche normale . Comme la vitesse de descente de la charge ne doit pas varier, il faut provoquer une résistance de freinage telle que sa valeur R , y compri les frottements des mécanismes, soit égale et opposée à mg   de façon à neutraliser cette dernière. Pendant le freinage , la charge, descendant avec une vitesse v , doit être ramenée au repos sur le parcours s f . On doit exercer un effort supplémentaire de freinage F f , donné par la formule (5), et l’effort de freinage total est : F f tot

2.2 Grandeurs caractéristiques du freinage

E cinétique + E giration R moy.f  R moy.p R moy.r R moy.a

------------------------------------------------------------------------------------------+ + +

(frottement) ( ± pente) 

(roulement)

( ± aérodynamique)

Énergie cinétique  : Ec  =

1 mv 2 2

----

avec m masse du véhicule.  Énergie de giration  : dans le cas d’un véhicule routier et pour un pneumatique monté sur une jante, on pourra faire une approximation sur le rayon, en prenant le rayon moyen r moy égal à 0,7 fois le rayon sous charge r c . 2 Avec I = m r moy et ω  = --v   : ---- , on obtient l’énergie de giration Eg  r c 2 1 1 Eg  = ----- I ω 2 = ----- m r moy ω 2 2 2 1 2 2 qui donne, sachant que r moy ≈ ----- r c : 2 1 Eg  = ----- mv 2 par roue 4 2 Eg  = mv   pour les 4 roues du véhicule soit L’énergie de giration qui est généralement prise en compte n’incorpore que les roues et on néglige celle correspondant au volant moteur, aux pignons de boîte, aux arbres, au différentiel.  Résistances : ΣR moy = R moy.f  + R moy.p + R moy.r + R moy.a Pente : avec α  angle de pente et f moy coefficient fonction de tous les paramètres (frottement, roulement, aérodynamique), on a : R moy.p = mg  cos α f moy

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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

Figure 1 – Abaque de calcul de la distance de freinage en fonction de la vitesse et de la décélération

Roulement :  pour un véhicule routier, la résistance au roulement est due au plat formé par un pneumatique sur la route : (0)

R moy.r = mg  cos α f r

avec f r coefficient de résistance au roulement.

Une formule approchée donne les valeurs suivantes : — pneu basse pression.................................................. — pneu haute pression .................................................. — lors du démarrage pour pneu haute pression ....... — en tout terrain.............................................................

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Si nous prenons, à titre d’exemple, f r = 0,018 avec un véhicule de 1 000 kg sur sol plat (cos α  = 1), on a alors : R moy.r ≈ 177 N.

Il est important de préciser que, pour des questions de stabilité en roulement, on essaie toujours d’avoir une portance négative  (action aérodynamique confirmant l’appui du véhicule au sol), donc le poids qui intervient dans la formule de résistance au roulement est variable avec la vitesse. Pour un calcul plus précis de la résistance au roulement, on peut appliquer la formule générale d’Andreau :

f r = 0,03 f r = 0,015 f r = 0,02 f r = 0,15

R moy.r

=

0,001 m cos α ⋅ 2 g 

 p 10

V 3,7 7 375,8 × 10 3 p 2,08



– -------------- – ----------------------------------------------------

0,64

avec V  vitesse du véhicule (en km/h) et p  pression du pneu (en bar).

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_________________________________________________________________________________________________________________ THÉORIE DU FREINAGE

Pour des vitesses entre 20 et 150 km/h et des pressions entre 0,9 et 10 bar, cette formule est bien adaptée. En dehors de ces limites, la formule DIN (Deutsches Institut für Normung) peut être utilisée : R moy.r

=



mg cos α  0,005

0,010 545 p 

0,475 ⋅ 10 p 

–

6 V 2



+ ----------------------------- + ------------------------------------------

avec V  en km/h et p  en bars. Aérodynamique : la résistance aérodynamique est donnée par : R moy.a

ρ 

= -----

2

L’énergie cinétique absorbée pendant le coup de frein comprend le travail dû aux frottements : 1 mv 2 = ( R + F f ) s f  2 formule dans laquelle R   est la résistance due aux frottements. Dans un mouvement de rotation , le travail de freinage pendant un cycle d’opérations est donné par : Ec  =

W f =   C f α 

avec

C x S ( v f ± v v ) 2

-----

α  (rad)

(15)

parcours angulaire total.

La puissance de freinage  pendant le coup de frein est maximale pour la vitesse angulaire maximale : 

avec C x  coefficient de forme, égal à :

P max = C f  ω max

0,3 à 0,4 sur voiture 0,5 à 0,6 sur camionnette S  (m2) surface frontale ; en première approche, pour un véhicule routier de tourisme, on peut prendre : S = 0,8 × hauteur × largeur v f  (m/s) vitesse du véhicule, v v (m/s) vitesse frontale du vent (positive ou négative), ρ  masse volumique de l’air ( ρ  = 1,202 kg/ m 3 à une altitude de 200 m).

(16)

La puissance moyenne de freinage pendant le coup de frein uniforme est égale à la moitié de la puissance maximale de freinage : P moy

1 P  2 max

(17)

= -----

La puissance moyenne générale de freinage, pendant un cycle de durée t 0 (s ) au cours duquel il se produit un certain nombre de coups de frein d’une durée totale de η secondes, est égale au produit de la puissance moyenne par le rapport de la durée totale des coups de frein à la durée du cycle :

Nota : pour des vitesses données en km/ h, la résistance est : R moy.a

=

P ( t 0 )

2 --- C  S ( v f  ± v v ) 0,038 6 --ρ  2 x 

Très souvent, on emploie la notion de SC x  qui associe les paramètres de forme du véhicule.

2.2.1.2 Mouvement de rotation autour d’un axe Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe, l’ accélération angulaire de freinage sera le rapport du couple de freinage au moment d’inertie des pièces tournantes et de la charge : γ a

avec

C f 

d ω  d t 

= ---------- = -------

I

(11)

moment d’inertie de l’ensemble par rapport à l’axe de rotation (produit de la masse m par la distance de son centre de gravité à l’axe de rotation, élevée au carré), C f  couple de freinage. I

Nota : dans le cas d’une grue  , la volée peut être considérée comme un plan et la charge comme un point matériel ; les contreventements sont négligeables pour le calcul des inerties.

La durée de freinage t f  est le rapport de la vitesse angulaire l’accélération (ou décélération) angulaire γ a : t f  = ω  / γ a

ω  à

(12)

Le parcours angulaire de freinage α f   est le demi-produit de la durée de freinage par la vitesse angulaire : α f 

1 2

= -----

ω t f 

(13)

2.2.2 Travail et puissance de freinage Dans un mouvement de translation , le travail de freinage W f est   le produit de la distance de freinage s f par l’effort de freinage F f :    

W f =   F f  s f 

(14)

=

η

P moy -----t 0

(18)

Pour les pièces tournantes , la puissance maximale de freinage s’exprime en fonction du moment d’inertie I des masses tournantes et de la durée de freinage t f par :   2

P max

I ω max

(19)

= ------------------

2 t f 

2.2.3 Rôle de l’inertie des corps en mouvement Le début de ce paragraphe 2 a montré que l’inertie, caractérisée par la masse m pour les corps en mouvement de translation, ou par le moment d’inertie I pour les corps en mouvement de rotation, est proportionnelle à l’énergie mécanique qu’il faut absorber pour ramener le corps au repos. L’inertie est donc toujours nuisible, sauf dans le cas où elle régularise la vitesse et la course de freinage : ce sera, par exemple, le cas pour les monte-charges ou les ascenseurs. Pour les appareils de levage, les pièces tournantes et la charge ne représentent qu’un très faible pourcentage de l’inertie de l’arbre moteur et des pièces que ce dernier porte directement. Mais, dans les mécanismes d’orientation et de translation, c’est au contraire l’inertie des pièces en mouvement qui a la prépondérance. La prise en considération des effets d’inertie est d’autant plus indiquée que, pour les grandes vitesses, la force centrifuge intervient encore pour ajouter au freinage des tensions supplémentaires à celles, déjà considérables parfois, supportées par le métal constituant les organes sollicités.

2.2.4 Efforts, couples, puissances et travaux au cours du cycle opératoire 2.2.4.1 Principe du calcul En général, on se donne un couple de freinage supérieur au couple nominal du moteur pour les mouvements de déplacement  (direction, translation, orientation d’un appareil de levage). Dans le cas

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B 5 570 − 7

THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

du levage, il est nécessaire de majorer le couple de freinage d’autant plus fortement que le moteur est plus puissant et que la vitesse de levage est plus élevée. Pour les véhicules roulants, on se donne plutôt la longueur d’arrêt et l’accélération négative de freinage. Le calcul est effectué avec des valeurs de décélération de 9,81 m/s 2 pour les véhicules routiers. En utilisant les relations (4) à (13), on peut calculer les accélérations, efforts, temps et parcours de freinage. On calcule les inerties des diverses pièces de la machine, et on examine les différentes phases du cycle d’opérations pour déterminer le travail total de freinage (somme des divers travaux de frottement durant le cycle d’opérations) et la puissance moyenne de freinage. Remarque pratique : comme on l’a vu au paragraphe 2.2.3, l’inertie de pièces tournantes pour les appareils de levage est faible par rapport à celle de l’arbre moteur. Il en est de même de la charge : on peut donc, pour un projet, s’épargner le calcul long et fastidieux des inerties autres que celle de l’arbre moteur, moyennant une majoration forfaitaire limite de 5 %.

Au contraire, pour les mécanismes de déplacement, on calcule l’inertie de la masse entraînée, qui est généralement plus grande que celle de l’arbre moteur, en majorant cette inertie de 3 % (pour un avant-projet) que l’on ajoute à l’inertie de la masse déplacée.

2.2.4.2 Cas des appareils de levage Le cas où le moteur freine est le plus fréquent et correspond aux treuils de vitesse inférieure à 30 m/min. Pour arrêter la charge à la descente, la puissance maximale de freinage est développée au commencement du coup de frein qui est appliqué brusquement, le moteur cessant de freiner la descente au même moment. Une fois le frein réglé, cette puissance maximale est indépendante des conditions de marche de la machine, lesquelles n’agissent plus que sur la puissance moyenne absorbée. De plus, cette puissance maximale de freinage déterminée par le frein est égale, aux rendements de transmission près, à la somme de la puissance due à la pesanteur (potentielle) et de celle due à l’inertie, la seconde se réglant sur la première pour former avec elle la puissance maximale de freinage. Enfin, comme les rendements de transmission absorbent de l’énergie, les efforts transmis au frein doivent être réduits dans le rapport des rendements de transmission pour ramener tous les efforts à l’arbre de frein. 2.2.4.3 Cas des freins de translation Pour le cas des véhicules routiers, l’objectif est d’atteindre une décélération et d’assurer le freinage dans une distance minimale. Généralement, le calcul sera effectué en dissipant la totalité de l’énergie par frottement, les résistances passives intervenant dans le sens de « l’allégement » de l’énergie dissipée par frottement.

3. Base de calcul du dimensionnement 3.1 Garnitures de freins 3.1.1 Généralités sur les organes de friction Comme nous l’avons vu au paragraphe 1.1, un organe de friction est un transformateur d’énergie mécanique en chaleur. Le calcul des organes de friction consiste, d’abord, à proportionner leurs dimen-

B 5 570 − 8

sions suivant l’énergie qu’ils doivent absorber, puis à vérifier la pression qu’ils supportent ainsi que la fixation des garnitures sur leur support. L’étude des formes des organes de friction doit assurer la meilleure évacuation de la chaleur. Les garnitures supportent leur travail de friction, ou travail de freinage, avec une usure minime tant qu’une température critique n’est pas dépassée : au-delà de cette température, le frottement devient irrégulier et l’usure s’accroît très rapidement. Chaque type de garniture a une température critique, température maximale d’utilisation au-delà de laquelle les caractéristiques d’usure et de coefficient de friction divergent. Le choix des garnitures se fera donc surtout d’après la température limite présumée des surfaces frottantes ; les valeurs maximales admissibles sont données dans l’article [B 5 771]. En général, un organe de friction travaille de façon intermittente, par périodes très courtes de travail violent suivies de longs arrêts. Pendant ces périodes très courtes, il y a accumulation d’une certaine quantité de chaleur dans un volume réduit ; cette chaleur se propage ensuite dans la masse pour s’évacuer lentement vers l’extérieur. Si les coups de frein se succèdent régulièrement, chaque nouveau coup de frein apporte une nouvelle quantité de chaleur, alors que la précédente n’est pas complètement évacuée. Ce nouvel apport de calories augmente donc la température, d’autant plus que la température due aux coups de frein précédents est plus élevée. Il s’établit un certain équilibre entre les apports intermittents de calories et leur évacuation à peu près régulière, équilibre à considérer dans le calcul de la garniture. Les apports d’énergie absorbés par la friction (évalués en joules) sont faciles à déterminer exactement. Quant à l’évacuation des calories, elle est plus ardue à évaluer en raison de nos connaissances peu précises des sections de passage de la chaleur, des interfaces entre pièces, de l’état des surfaces radiantes (mat ou poli, clair ou sombre, sec ou gras), du débit d’air réel qui passe au contact du métal, des surfaces ventilées, etc. Le calcul suivant donne donc des températures approchées, mais assez peu éloignées de la réalité.

3.1.2 Base de calcul des garnitures de freins : la puissance spécifique Nous désignerons sous le nom de puissance spécifique le rapport de la puissance de freinage (§ 2.2.2) à l’aire totale de la surface métallique frottante du rotor de frein (surface utile du rotor) ; elle sera exprimée en watts par mètre carré de surface métallique frottante. Cette grandeur nous servira de base de calcul. Nous prendrons pour hypothèse que la garniture est relativement  isolante et que la presque totalité de la chaleur dégagée par le frot-  tement passe dans le rotor de frein à travers la surface métallique  frottante qui défile devant la garniture . Les nouvelles générations de garnitures, dites semi-métalliques et frittées, par exemple, présentent une plus grande conductivité thermique mais elles sont souvent associées à un écran thermique. La puissance spécifique maximale, rapport de la puissance maximale à la surface métallique frottante, correspond à l’opération de frottement du coup de frein, qui détermine la pointe de température au-dessus de la température résiduelle de la surface métallique frottante, au moment où le coup de frein commence. La température maximale à considérer sera la température stabilisée correspondant à des applications répétées dans les conditions maximales. La puissance spécifique moyenne, puissance absorbée par mètre carré de surface métallique frottante pendant un cycle t 0 , permet le calcul de la température résiduelle.

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3.1.2.1 Freins d’arrêt  Cas d’un échauffement peu important : à la suite d’études approfondies fondées sur les lois de Stephan et de Fourier, la relation suivante peut être utilisée pour obtenir une bonne approche de la température de fonctionnement (relation vérifiée par l’expérience) ; elle exprime que la température T de la garniture à la fin d’un coup de frein doit demeurer inférieure ou égale à la température maximale admissible T max de la garniture (ou parfois appelée température de  sécurité de la garniture) : T  = ∆ T m + T r + T o  T max

 





t  e  10 ----f - + -------e  15

 



 



Cas d’un échauffement présumé important : on obtient une valeur de l’élévation de température ∆T m plus proche de la valeur mesurée, au cours d’un cycle de freinage avec la relation suivante : 

∆ T m

=

T max – T o

=

1 A ( P  / S )moy ---------v 

(23)

avec A coefficient d’échange, 2 (P  / S )moy (kW/m ) puissance spécifique moyenne, T max (oC) température maximale atteinte (valeurs données en [B 5 571]), T o (oC) température ambiante, v (m /s) vitesse périphérique moyenne du rotor de frein. Prenons l’exemple d’un essai au banc comportant n cycles de freinage pour déterminer la valeur du coefficient d’échange A. Chaque cycle d’une durée t 0 de 40 s comprend : — une montée en vitesse à 120 km/ h (ω  = 100 rad/s) ; — un freinage à décélération constante = 0,4 g   jusqu’à l’arrêt ; — une distance en roue libre ; — une remontée en vitesse, etc. L’inertie correspondant à la masse à freiner est de 30 kg · m 2. La vitesse moyenne est : v ≈ 16 m/s. La température maximale mesurée a été de T max = 420 oC. Avec une température ambiante de 20 oC, on a :

∆T m = T max – T o = 400 oC valeur qui permettra la sélection de la garniture [B 5 571]. L’énergie de freinage pour n cycles est donnée par : E f

1 I ω 2 n 2

= ----

ce qui permet d’en déduire la puissance moyenne (exprimée en kW) : P ( t 0 )

I ω 2

n ⋅ 10 –3 2 t 0 n

= -----------------

=

30 × 10 4 ⋅ 10 –3 2 × 40

------------------------

( P  / S )moy

=

3,75 kW

3,75 0,07

= ------------- =

53,5 kW/m 2

ce qui permet de déterminer le coefficient d’échange. Pour ce cas précis d’essai au banc, le coefficient d’échange est égal à :

(20)

 P  1 ∆ T m = ------------- ---- (21) S  73,6 max    P  P  3 300 2 1 ----------------- ------------- ----------------- ----(22) +  T r = -v  S  S  73,6 73,6 + 10 moy moy  avec e (mm) épaisseur du limbe du rotor de frein, t f  (s) durée de freinage, v (m/ s) vitesse périphérique moyenne du rotor de frein. La température T o est la température de l’atmosphère entourant les surfaces frottantes (pour les freins montés dans un carter, c’est la température interne du carter). où

La surface de l’élément de friction étant un disque de diamètre extérieur de 240 mm et de diamètre intérieur de piste de 113 mm, soit S = 0,07 m 2, on a donc :

A

T 

=

T 

400 × 4 53,5

max – o --------------------------------------------- = ---------------------

( P  / S )moy ⋅ 1 /  v 

≈ 30

Les équations précédentes permettent d’avoir une bonne estimation de la température à la fin d’une application de freinage. Pour des applications répétées, il faut faire appel au calcul de la température maximale T max , température d’équilibre pour le cycle considéré, qui sera à prendre en compte pour le choix des garnitures ; elle se calcule comme pour un embrayage (articles Embrayages  [B 5 850] [B 5 598] dans ce traité).

3.1.2.2 Freins de ralentissement ou d’absorption Comme nous l’avons vu au paragraphe 1.1, les freins ralentisseurs sont destinés à modérer un mouvement continu à vitesse sensiblement constante ou lentement variée. Il s’agit toujours de déterminer la température maximale atteinte par suite de la chaleur accumulée dans la pièce métallique frottante, différence entre la chaleur développée par le frottement et la chaleur évacuée. Cette évacuation se produit à débit croissant lorsque la température augmente. À chaque équilibre correspond une température maximale. Pour les freins ralentisseurs qui travaillent à un rythme régulier, comme dans les appareils de levage pour lesquels les périodes de descente durent rarement plus d’une demi-minute, on utilisera la formule suivante : T e = 2∆T m + T r + T o

(24)

avec T e

température d’équilibre  assimilable à une température maximale, ∆T m élévation de température moyenne de la surface métallique frottante au cours d’un coup de frein isolé, T r température résiduelle de la surface métallique frottante au début d’un nouveau coup de frein. Ici, la vitesse pendant le coup de frein, ou vitesse de freinage, est considérée comme constante, alors qu’elle décroît linéairement pour le frein d’arrêt. Cette formule conduira à de fortes épaisseurs de parois (afin d’emmagasiner la chaleur) alors que cette épaisseur entre à peine en ligne de compte dans les freins d’arrêt. Il y a lieu d’attacher une grande importance à la ventilation des surfaces frottantes.

3.1.2.3 Limite de la puissance spécifique moyenne En complément de la limite due à la température, une autre limite de la puissance spécifique moyenne est celle imposée par la vitesse d’usure de la garniture. En moyenne, 1 mm d’usure de garniture par dm 2 résulte d’une puissance à l’état sec de l’ordre de 40 à 100 kW (soit un travail pendant 1 h de 144 à 360 MJ), suivant la qualité de garniture utilisée. Nota : en usage industriel, pour une garniture à l’état gras entretenu, l’usure est 5 à 8 fois moindre.

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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

L’usure croît très vite quand la température maximale de la garniture est dépassée. Les valeurs de ( P  / S )moy usuelles pour différentes garnitures sont de 5 à 9 kW/m 2 (voir l’article [B 5 571]).

3.1.2.4 Abaque de calcul de la puissance spécifique moyenne La figure 2 donne l’abaque permettant de déterminer la puissance spécifique moyenne, rapportée à la surface métallique frottante totale de jante, en fonction de la vitesse périphérique moyenne du rotor de frein et de l’élévation de température au-dessus de l’ambiante des surfaces métalliques frottantes.

3.2 Rotor de frein 3.2.1 Détermination du diamètre du rotor de frein Quand l’inertie du moteur est beaucoup plus importante que celle des pièces entraînées, la vitesse périphérique du rotor de frein est généralement comprise entre 15 et 22 m/s (cas de treuils, par exemple), Quand l’inertie des pièces entraînées est très supérieure à celle du moteur, cette vitesse peut aller jusqu’à 30 m/ s (cas des véhicules routiers). Dans les cas usuels, sous réserve de vérification des inerties, le diamètre des rotors de frein est donné par le tableau 2 (la largeur du limbe du rotor étant calculée par ailleurs, pour obtenir la surface métallique frottante qui convient pour la puissance et l’utilisation du moteur souhaitées). (0)

Tableau 2 – Usage industriel : diamètres des rotors de freins Vitesse de rotation

1 500

1 000

750

(tr/min)

Figure 2 – Abaque de calcul de la puissance spécifique moyenne en fonction de la vitesse périphérique moyenne et de l’élévation de température des surfaces métalliques frottantes

Diamètre du rotor de frein Puissance du moteur

(m)

Frein deFrein Frein deFrein Frein deFrein dépladépladéplade treuil cement de treuil cement de treuil cement

(kW)

5,8 à 14,7 14,7 à 29,4 29,4 à 44,1 44,1 et plus

0,200 0,250 0,300

0,300 0,350 0,400 rare

0,300 0,350 0,400 0,450

0,350 0,400 0,450 0,500

0,350 0,400 0,500 0,550

0,400 0,450 0,550 0,600

Pour les moteurs très puissants (au-dessus de 45 kW), on pourra être conduit à monter un frein sur chaque bout d’arbre.

3.2.2 Détermination de l’épaisseur du limbe du rotor de frein Une fois le diamètre du rotor choisi, on se donne la température ambiante probable T o . Le choix du type de la garniture a été fixé en fonction de la température maximale d’utilisation T max .

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On dispose donc de ( T max – T o) correspondant à la somme (∆T m + T r) d’après la relation (20), avec ∆T m dépendant de la puissance spécifique maximale et T r dépendant de la puissance spécifique moyenne. Dans le cas où le freinage dépasse une durée de 5 s, le terme ∆T m peut être prédominant, mais ce cas est assez rare. La plupart des applications de freinage ne dépassent pas 3 s et les coups de frein se succèdent à raison de 3 ou 4 par minute ; le terme T r est alors le plus important. Comme il faut réduire au minimum l’inertie du rotor de frein, l’épaisseur e   du limbe sera le minimum compatible avec sa résistance mécanique. On prendra généralement les valeurs données dans le tableau 3 en fonction du diamètre du rotor de frein. (0) Pour un usage automobile, le diamètre extérieur du rotor étant limité par l’encombrement de la jante, il est plus facile de parler de volume utile du rotor dans sa zone de friction (tenant compte de l’épaisseur e   du limbe) et de surface des garnitures (tableau 4). (0)

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3.2.4 Conditions à réaliser dans l’établissement des rotors de frein

Tableau 3 – Usage industriel : épaisseur du limbe des rotors de freins Diamètre du rotor

Épaisseur du limbe du rotor (1)

jusqu’à 0,300 m de 0,300 à 0,600 m au-dessus de 0,600 m

6 8 10

(mm)

(1) Ces valeurs constituent un minimum.   Il sera nécessaire de prévoir le remplacement du disque après 1 mm d’usure.

Tableau 4 – Usage automobile : volume utile du rotor et surface des garnitures Poids des véhicules

Vitesse

Volume utile du rotor

Surface des garnitures

(daN)

(km/h)

(cm3)

(cm2)

Rotor plein (1)

1 100 à 1 200 1 200 à 1 300 1 300 à 1 400 1 400 à 1 500 1 500 à 1 600 1 600 à 1 700 1 700 à 1 800

140 145 160 170 175 190 200

250 280 320 370 400 470 520

30 32 35 35 38 40 50

Rotor ventilé

1 500 à 1 600 1 600 à 1 700 1 700 à 1 800 1 800 à 1 900

165 175 185 190

550 620 680 760

35 40 45 50

(1) Dans le but d’unifier (réduction du nombre de pièces en fabrication), les valeurs soulignées sont choisies en priorité.

3.2.3 Conduite de calcul du dimensionnement

L’expérience a montré que le seul métal convenant réellement à la friction et qui reste d’un prix abordable est la fonte perlitique type F. Il est nécessaire d’utiliser un métal résistant à la fissuration sous contrainte thermique. Le risque de fissuration vient de la différence de température entre le limbe et le voile du rotor sous l’action du frottement. C’est pourquoi, du fait des grands diamètres appliqués aux véhicules industriels, les fabricants ont étudié un rotor à limbe rapporté  fixé sur le voile par un dispositif permettant la libre dilatation concentrique du limbe ; ainsi, les contraintes liées à la dilatation sont minimisées ce qui réduit les déformations en surface donc nuisibles au bon portage de la garniture sur toute la longueur article [B 5 571]. On évite ainsi les échauffements exagérés des zones les plus fortement chargées, causes d’usure rapide des garnitures et des rotors. Pour les freins d’affalage qui reçoivent tout le travail de descente et pour les freins à action prolongée, l’épaisseur des limbes et des surfaces de freinage doit être majorée par rapport aux dimensions que l’on utiliserait pour des freins d’arrêt ordinaires, en s’efforçant toutefois de ne pas trop augmenter l’inertie. Dans ce cas encore, le frein sur le moteur n’est valable que pour de faibles puissances, car son diamètre est limité, et la largeur de la jante ne peut pas être très grande. Il faudra donc placer un frein auxiliaire soit sur le tambour des câbles (mais il y a un danger de refroidissement trop lent par suite de la faible vitesse de rotation), soit, ce qui est préférable, sur l’un des arbres de renvoi du mouvement ; généralement, leur vitesse périphérique est de 5 à 6 m/s. Le frein sur le moteur ne sera qu’un frein de sécurité, actionné seulement au moment de l’arrêt pour éviter la fatigue de la transmission. Moyennant ces précautions, la contrainte thermique dans les rotors de frein est faible ; aux vitesses habituelles, cette contrainte n’atteint qu’exceptionnellement 20 N/mm 2.

3.3 Exemples numériques 3.3.1 Treuil à crochet à moteur à courant continu à excitation en série Données Treuil : 10 t. Vitesse : 0,2 m/s. Mouflage simple. Tambour de diamètre de 0,5 m et d’inertie de 9,2 kg · m 2. Moteur à courant continu de 26,8 kW à 630 tr/min en charge et 1 200 tr/min à vide, d’inertie de 2,1 kg · m 2. Réduction obtenue par deux trains d’engrenages droits, en acier : — le premier 100/14 dents (module 7) :  I roue = 3,5 kg · m 2,  I pignon pris en compte avec l’inertie du moteur ; — le second 83/14 dents (module 12) :  I couronne = 25 kg · m 2,  I pignon = 0,075 kg · m 2. La couronne de 83 dents est solidaire du tambour. Les réductions sont de 5,9 entre le tambour et l’arbre intermédiaire, et de 7,1 entre l’arbre intermédiaire et le moteur, soit au total 7,1 × 5,9 = 42 et, en tenant compte du mouflage, la réduction totale est de 84. Masse totale (y compris crochet et mouflage) : 10 300 kg. 

La conduite de calcul sera la suivante. — Pour une première approximation, choisir une puissance spécifique moyenne ( P  / S )moy usuelle, à partir de laquelle on déduit la valeur de la largeur du rotor, puisque le diamètre est connu, imposé par les conditions d’installation. — En déduire la puissance spécifique maximale ( P  / S )max , la puissance maximale étant connue. — Choisir la valeur de l’épaisseur e   du limbe (tableau 3). — Déterminer la température ambiante probable T o . — Déterminer la vitesse périphérique moyenne v   de la jante du rotor, connaissant la vitesse de rotation du rotor et la proportion des temps de marche et d’arrêt au cours d’un cycle d’opérations. — Calculer les températures ∆T m et T r à partir des relations (21) et (22). — Calculer ensuite la température T  de la garniture, somme de T o , ∆T m et T r [relation (20)], et en déduire, dans le tableau des températures maximales d’utilisation T max des garnitures article [B 5 571], la garniture à choisir. Si T  > T max , corriger la valeur de la surface S  en fonction de ( T  – T max ) et recommencer le calcul. Il est rare que ce second calcul ne conduise pas à un résultat très voisin du résultat cherché.

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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

Durée de freinage  [relation (12)] :

Rendement de la transmission : 0,85. Choix du rotor de frein : — diamètre 500 mm ; — largeur de jante 95 mm ; — épaisseur de jante 8 mm ; — inertie 1,1 kg · m 2. 

Calcul du couple statique Le couple statique, c’est-à-dire transmis au moteur, est :

1 103 000 × 0,250 × -------- × 0,85 84

260 N ⋅ m

Calcul des moments d’inertie (ramenés à l’arbre moteur) Inertie correspondant à la charge : I1

=

1 10 300 × -------- × 0,2502 84

=

0,091 kg ⋅ m 2

I2

=

34,2 ×

 421  --------

0,02 kg ⋅ m 2

C f 

=

3,5 ×

1 7,1

 

2

----------

=

0,07 kg ⋅ m 2

I

1,1 kg · m 2

Avec une vitesse du crochet de grue de (0,20 × 126)/66 = 0,382 m/s la distance d’arrêt du crochet  [relation (8)] est :

3,38 kg · m 2

Freinage en charge à la descente À pleine charge, la vitesse angulaire du moteur est : ω 

2π × 630 60

= --------

=

0,382 × 0,96 2

----------------

66 rad/s

À la descente en pleine charge, le moteur fonctionne en génératrice en débitant sur des résistances, établies pour que la vitesse de descente à pleine charge soit égale à la vitesse en montée. Le frein est réglé de manière à obtenir un couple de freinage C f  égal à 1,7 fois le couple statique nécessaire pour retenir la charge maximale : C f =   1,7 × 260 = 442 N · m À la descente en pleine charge, le couple demeurant disponible pour s’opposer au couple d’inertie est égal à : C d = 442 – 260 = 182 N · m

Freinage à la montée  1er  cas : si le frein est symétrique   (par exemple, frein à mâchoires), le couple de freinage C f aura la même valeur à la montée   et à la descente. Pour le freinage en charge, le couple de freinage et le couple statique s’ajoutent : 260 + 442 = 702 N · m pour produire l’accélération négative (décélération) γ a :

702 3,38

γ a

= ------------- =

t f  = s f  =

d ω  d t 

C d I

182 3,38

53,8 rad/s 2

0,20 0,317 × 2

-------------

0,317 s =

0,031 7 m

442 + 110,5 = 552,5 N · m Dans ces conditions : 552,5 3,38

163,4 rad/s 2

66 163,4

0,40 s

= ---------------- =

t f  = s f  =

B 5 570 − 12

66 207,7

---------------- =

Le freinage à vide  en montée aura les mêmes caractéristiques que le freinage à vide en descente.  2 e  cas : si le frein est dissymétrique  (par exemple, frein à enroulement irréversible), le frein sera 4 à 6 fois moins efficace à la montée qu’à la descente. Si le couple de freinage à la montée est de 442/4 = 110,5 N · m, le couple total arrêtant l’appareil en charge  à la montée sera :

γ a

= ---------- = -------- = ------------- =

207,7 rad/s 2

De même :

Accélération négative angulaire  [relation (11)] : γ a

0,183 m

=



On voit que le moment d’inertie de la charge I 1 est équivalent à celui des pièces tournantes ( I 2 + I 3) et représente environ 1/35 de celui de l’ensemble moteur-rotor de frein. Le rotor intervient pour 1/ 3 dans l’inertie totale, d’où la nécessité de faire un rotor aussi léger que possible et de faible inertie . 

0,96 s

---------------- =

grandeur supérieure à la distance d’arrêt en charge.

soit le moment d’inertie total : I tot =

126 130,7

t f  =

s f  =

Inertie du rotor de frein : I 5 =

130,7 rad/s 2

Durée de freinage  [relation (12)] :

Inertie du moteur : I 4 = 2,1 kg · m 2

442 3,38

= -------- = ------------- =

Inertie de la roue de 100 dents (module 7) et du pignon de 14 dents (module 12) : I = 3,5 kg · m 2, l’inertie du pignon étant négligeable devant celle de la roue : I3

126 rad/s

=

Le couple de freinage ne s’oppose plus qu’au couple d’inertie. Accélération négative angulaire  [relation (11)] : γ a

=

2π × 1 200 60

--------

=

+ I (couronne) = 34,2 kg · m 2 2

1,22 s

Freinage à vide à la descente Les moteurs série (continus ou monophasés à collecteur) ont tendance à l’emballement dans la marche à vide, en raison de la diminution du flux d’induction. À vide, la vitesse angulaire du moteur est :

Inertie du tambour et de la couronne : I (tambour)

γ a

Course de la charge pendant le freinage, jusqu’à l’arrêt  [relation (8)] : 0,20 s f  = ------------- × 1,22 = 0,122 m 2

ω 

2

 

------- = ------------- =

 =

(en considérant l’accélération de la pesanteur égale à 10 m/s 2). 

66 53,8

ω 

t f  =

---------------- =

0,20 × 0,40 2

-------------

=

0,04 m

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_________________________________________________________________________________________________________________ THÉORIE DU FREINAGE

À vide , le couple de freinage sera seulement de 110,5 N · m. Aussi : 110,5 γ a = ---------------- = 32,7 rad/s 2 3,38

126 32,7

t f  =

------------- =

s f  =

----------------

3,85 s

0,382 × 3,85 2

=

882 d’où une puissance de freinage de -75 ------------------- = 421,5 W . 180 Tous ces résultats sont résumés dans le tableau 5 ; ils seront comparés aux caractéristiques des matériaux de friction et des freins afin de faire un choix de matériau et de technologie. Calcul des puissances spécifiques La surface frottante du rotor étant de π × 0,5 × 0,095 = 0,15 m 2, on a : — puissance spécifique maximale :  

0,73 m

Cette course de freinage à vide à la montée est incompatible avec une utilisation précise de l’organe de levage ; en conséquence, les  freins à enroulement à effet dissymétrique doivent être proscrits  pour les treuils à moteur à courant continu ou moteur monophasé  à collecteur, avec excitation en série .

 S P  -----

 S P 

Calcul de la puissance de freinage La puissance maximale de freinage ne dépend que du couple de freinage et de la vitesse initiale du rotor au début du coup de frein :

371,28 kW/m 2

-----

moy

421,5 0,15

= ---------------- =

2,81 kW/m 2

3.3.2 Monte-charges et ascenseurs

P max = ω C f 

à vide

P max = 442 × 126 = 55 692 W

en charge

P max = 442 × 66 = 29 172 W

Supposons que le cycle de fonctionnement de l’appareil soit de 180 s et qu’il comporte une montée et une descente à pleine charge, et une montée et une descente à vide. Durée totale des coups de frein  en charge : 1,22 + 0,317 = 1,537 s Énergie absorbée par le frein : 

29 172 × 1,537 = 22 418 J 2 Durée totale des coups de frein  à vide : --------------------

2 × 0,96 = 1,92 s Énergie absorbée par le frein : 

55 692 × 1,92 2

55 692 0,15

= -------------------- =

— puissance spécifique moyenne : 



--------------------

max

=

53 464 J

Avec ce type d’appareils, il faut éviter les trop grands écarts d’arrêt par rapport aux paliers et les arrêts doivent être « doux ». Si l’effort de freinage est rigoureusement constant, les écarts d’arrêt proviennent des variations de charge de la cabine. Un contrepoids équilibre la cabine et la demi-charge maximale ; l’appareil est donc, suivant les cas, moteur ou récepteur et l’action de la gravité tend donc tantôt à s’ajouter à l’effort du frein, tantôt à s’en retrancher, aussi bien à la montée qu’à la descente. Il en résulte une accélération  négative variable de l’appareil . De plus, le moteur tourne plus vite en récepteur qu’en moteur, d’où une augmentation d’énergie cinétique qui accompagne l’effet de gravité. Dans ces conditions, pour éviter une augmentation des écarts d’arrêt, il faut réduire la course d’arrêt , dans la mesure où une accélération négative plus grande ne nuit pas au confort, et augmenter l’inertie des pièces en mouvement   pour minimiser les variations d’énergie de freinage résultant des variations de charge par rapport à l’énergie totale de freinage. On réduira les variations de vitesse du moteur, suivant qu’il est moteur ou récepteur, en prenant un moteur relativement puissant, notamment pour les appareils à très forte utilisation. (0)

Pour la durée totale du cycle, l’énergie absorbée est : 22 418 + 53 464 = 75 882 J

Tableau 5 – Caractéristiques de freinage d’un treuil à crochet à moteur à courant continu à excitation en série Opérations du cycle

Couple de ralentissement C  (N · m)

Accélération négative angulaire

Vitesse angulaire

 a

 

(rad/s2)

(rad /s)

Durée de freinage

Puissance maximale

Énergie de freinage

t f (s)

P max (kW)

E  (J)

Montée en pleine charge 702 207,7 66 0,317 29,17 Descente en pleine charge 182 53,8 66 1,22 29,17 Montée à vide 442 130,7 126 0,96 55,69 Descente à vide 442 130,7 126 0,96 55,69 Énergie totale de freinage au cours du cycle (180 s)..........................................................................................................................

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4 623 17 795 26 732 26 732 75 882

B 5 570 − 13

THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

Exemple d’un ascenseur Données Poids de la cabine : 10 000 N. Charge maximale : 10 000 N. Contrepoids : 15 000 N. Vitesse : 1 m/ s. Accélération négative : 1 m/s 2. Variation de la course d’arrêt admise : ± 0,03 m, soit des courses limites de freinage de 0,47 et 0,53 m. L’arrêt le plus court se fera à la montée, cabine pleine. Compte tenu du rendement ( η = 0,7), on a : — le travail, à la montée, de la charge de la cabine : 

1 ( 15 000 – 10 000 ) × 0,47 × ---------0,7

=

3 357 J

— le travail, à la descente, de la charge de la cabine : (15 000 – 10 000) × 0,53 × 0,7 = 1 855 J Moteur de 25,7 kW à 1 000 tr / min, avec une inertie de 1,625 kg · m 2, utilisé au tiers de sa charge pour les mouvements à vitesse constante. Vitesse angulaire en charge : — à la montée :  1 = 103 ( rad/s ) ; — à la descente :  2 = 106 ( rad/s ) . Les énergies freinées sont proportionnelles aux courses d’arrêt, soit :

1 2 I ω  – 3 357 2 1 0,47 ----------------------------------------- = ------------2 1 0,53 ---- I ω  + 1 855 2 2 I ≈ 15,5 kg · m2 -----

d’où 

Calcul des travaux et puissances Énergie cinétique :  — pour la course de 0,47 m :

15,5 × ( 103 ) 2 2

------------------------------------- =

15,5 × ( 106 ) 2 2

d’où l’on déduit l’inertie transmise au moteur par la roue et la vis : 231,25 × 0,70 ×



1 26,2



-------------

2 =

0,24 kg ⋅ m 2

On connaît, en outre, l’inertie du moteur, égale à 1,625 kg · m 2. L’inertie totale étant de 15,5 kg · m 2, l’inertie du rotor est alors égale à : 15,5 – 0,24 – 1,625 = 13,64 kg · m 2 On choisit un rotor de 0,6 m de diamètre, de 0,25 m de largeur avec garniture de 0,24 m, donc une surface de 0,45 m 2. Sa vitesse périphérique ne doit pas dépasser 32 m/s, elle aura cependant un bon refroidissement. 

Détermination des puissances spécifiques Puissance spécifique maximale : 

 S P  -----

max

167,8 0,45

= ---------------- =

372,8 kW/m 2

Puissance spécifique moyenne : 

 S P  -----

moy

8,39 0,45

= ------------- =

18,6 kW/m 2

La largeur du rotor (0,25 m) peut sembler élevée, mais il ne faut pas atteindre les températures où le coefficient de frottement de la garniture est moins stable. On obtient ainsi un couple de friction régulier et stable. En effet, la course d’arrêt est inversement proportionnelle au coefficient de frottement de la garniture et le couple de freinage est proportionnel à ce coefficient, ce qui conduit à une variation maximale admissible de ce coefficient de ± 4 %, qui ne peut s’obtenir que si la température reste au-dessus de 110 oC.

3.3.3 Pont roulant 87 080 J

Énergies totales correspondantes :  — pour la course de 0,47 m :

82 220 – 3 357 = 78 863 J — pour la course de 0,53 m : 87 080 + 1 855 = 88 935 J Énergie moyenne correspondant à l’arrêt en une seconde : 

1  (78 863 + 88 935) = 83 900 J 2 soit une puissance de freinage moyenne de 83,9 kW. Pour un service intense, soit un cycle moyen de 10 s, la puissance de freinage moyenne sera de : -----

83,9/10 = 8,39 kW

B 5 570 − 14

3 700 × (0,25)2 = 231,25 kg · m 2

82 220 J

— pour la course de 0,53 m : ------------------------------------- =

Détermination du rotor de frein Le moment d’inertie calculé I  est le moment d’inertie total, comprenant celui de la cabine, de sa charge, du contrepoids, du tambour, du moteur et du rotor ; les quatre premiers correspondent à un poids de 37 000 N. Le tambour   ayant un diamètre de 0,5 m et la réduction étant de 26,2, le moment d’inertie rapporté à l’axe du tambour est : 

Dans les freins de direction, de translation et d’orientation, la gravité n’intervient plus et l’inertie reste seule en jeu. En général, on donne à l’accélération négative par le frein une valeur comparable à l’accélération par le moteur. Cette valeur est relativement faible, surtout si l’appareil est de grandes dimensions, une accélération trop forte faisant balancer la charge. Dans les appareils spéciaux de métallurgie (ponts chargeurs), le chariot porte une infrastructure très lourde et très haute, et une trop forte accélération, positive ou négative, créerait des torsions exagérées dans la charpente même du pont (allant jusqu’à doubler la contrainte de la poutre principale), tout en développant des contraintes transversales. Le frein doit donc être étudié et réglé avec soin. Les accélérations positives et négatives ayant mêmes valeurs, le couple maximal du frein est lié au couple maximal du moteur ; il lui est inférieur, car les résistances de transmission et de roulement, qui s’opposent au couple moteur, viennent au contraire en aide au couple de freinage.

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_________________________________________________________________________________________________________________ THÉORIE DU FREINAGE

Données Pont roulant sur lequel vient le chariot de l’exemple du paragraphe 3.3.1. Poids total en charge : 2 × 10 5 N. Vitesse : 1 m/s. Roulement sur galets de 0,500 m, donc tournant à 38,2 tr/min. Moteur de 15 kW à courant continu : 640 tr/min (ou 67 rad/s) et  I 2 = 2,1 kg · m 2. Réduction par engrenage : 640/38,2 = 16,7. Rendement de la transmission : 0,85. Rotor de frein : • diamètre : 0,5 m ; • largeur : 0,04 m ; • surface : 0,06 m 2 ; •  I 3 = 0,7 kg · m 2. Durée de freinage : 2 s. Cycle : 180 s, comprenant 2 coups de frein de 2 s. 

Pour un moteur triphasé, les résultats seront du même ordre, car c’est l’inertie de la masse entraînée qui est prépondérante dans le calcul. Pour les freins d’orientation des grues commandées au pied, il faut être très prudent car les accélérations négatives peuvent être beaucoup plus grandes suivant la façon dont le grutier les commande. Par exemple, avec d ω  /d t = 2 rad/s 2, on aurait sensiblement la même puissance spécifique moyenne, alors que la puissance spécifique maximale serait bien plus forte (environ 800 kW/m 2).

3.3.4 Treuil à benne preneuse automatique (calcul complet) 

Calcul du moment d’inertie total Inertie de la charge  rapportée au moteur, sachant que l’inertie équivalente rapportée à la jante des galets est de 1 250 kg · m 2 : 

I1

1 250 ×

=

1  16,7 

2

-------------

=

4,5 kg ⋅ m 2

Dans le coup de frein, cette inertie est grevée du rendement des engrenages et ramenée à : = 4,5 × 0,85 = 3,8 kg · m 2

I1

d’où le moment d’inertie total : = I1 + I2 +

I tot

Calcul des caractéristiques de freinage La résistance au roulement vient en aide au freinage, soit : 0,015 × 200 000 = 3 000 N Couple transmis au moteur :  3 000 × 0,25 × 0,85 × (1/16,7) = 38,2 N · m Couple d’accélération négative :  I · γ a = 6,6 × 33,5 = 221 N · m sachant que l’accélération angulaire est de : γ a = dω  /d t = 67/2 = 33,5 rad/s 2 Couple de freinage :  C f  = 221 – 38,2 = 182,8 N · m Calcul de la puissance de freinage Puissance de freinage maximale :  Puissance de freinage moyenne : 



1 2

= -----

 2180× 2 × 12,25  --------------

=

0,136 kW

Calcul des puissances spécifiques Puissance spécifique maximale : 

 S P  -----

max

12,25 0,06

= ----------------

≈ 204 kW/m2

Puissance spécifique moyenne : 

 S P  -----

moy

0,136 0,06

= ----------------

 

En charge : I2

=

8 000 × ( 0,3 ) 2 ×

≈ 2,3 kW/m2

 231 

2

--------

=

1,36 kg ⋅ m 2

Inertie du tambour. — Couronne : diamètre : 0,6/0,54 m longueur : 0,45 m poids : 1 900 N Ic

P max = 182,8 × 67 = 12,25 kW

P moy

Calcul des moments d’inertie (rapportés à l’arbre moteur) Inertie de la charge :  on suppose qu’elle se trouve à la périphérie du tambour. À vide : 1 2 2 I 1 = 3 000 × ( 0,3 ) 2 × -------= 0,51 kg ⋅ m 23 

I 3 = 6,6 kg · m 2





Données Poids de la benne : à vide : 3 t et en pleine charge : 8 t. Vitesse de levage : 1 m/s. Moteur triphasé : 101 kW à 750 tr/min,  I = 15,25 kg · m 2 : — vitesse en charge : 730 tr/min ; • vitesse à vide : 750 tr/min ; • vitesse en descente : 770 tr/min ; — couple nominal : 1 340 N · m. Tambour : — diamètre : 0,6 m ; — longueur d’enroulement : 0,45 m. Réduction de rapport : 6,1 × 3,77 = 23. Couple de freinage : 2 700 N · m. Durée du cycle : 70 s.

= 190 × (0,285)2 = 15,4 kg · m 2

— Voile : diamètre : 0,7 m épaisseur moyenne : 0,02 m poids : 600 N ( 0,35 ) 2 60 × --------------------- = 3,675 kg ⋅ m 2 2 et de même pour la roue du tambour : — Couronne : diamètre : 1,13/1,03 m longueur : 0,15 m poids : 2 000 N I c = 200 × (0,54)2 = 58,32 kg · m 2 Iv

=

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B 5 570 − 15

THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

— Voile : diamètre : 1,03 m épaisseur moyenne : 0,02 m poids : 1 300 N Iv

( 0,515 ) 2 130 × ------------------------ = 17,24 kg ⋅ m 2 2

=

d’où le moment d’inertie du tambour et de ses accessoires, rapporté à l’arbre du moteur : I3

=

 231 

2

× ( 94,635 )

--------

=

0,179 k g ⋅ m 2

Inertie de l’arbre intermédiaire. — Pignon intermédiaire : diamètre : 0,3 m largeur : 0,15 m poids : 830 N Ip

=

( -----------)---2--83 × ----0,15 2

broche bague de caoutchouc tube d’acier =

0,934 k g ⋅ m 2 I broches

— Roue intermédiaire : • Couronne : diamètre : 0,92/0,86 m largeur : 0,1 m poids : 660 N Ic

• Voile : diamètre : 0,86 m épaisseur moyenne : 0,015 m poids : 685 N =

( 0,43 ) 2 68,5 × --------------------2

=

6,332 kg ⋅ m 2

• Moyeu :

=

( 0,1 ) 2 29,5 × ----------------2

=

0,147 kg ⋅ m 2

diamètre : 0,11 m longueur libre : 0,83 m poids : 620 N ( ---------------)--2--2 62 × ----0,055 = 0,093 k g ⋅ m 2 d’où le moment d’inertie total de l’arbre intermédiaire rapporté à l’arbre moteur : =

2

I4

=

 6,11  × ( 20,576 ) ----------

=

0,55 kg ⋅ m 2

Inertie du pignon :  diamètre : 0,15 m longueur : 0,1 m poids : 137 N I5

B 5 570 − 16

=

Iv

=

( 0,225 ) 2 10 × ------------------------ = 0,25 kg ⋅ m 2 2

• Voile du 2 e demi-manchon : diamètre : 0,58 m épaisseur : 0,008 m poids : 170 N Iv

=

( 0,29 ) 2 17 × --------------------2

I 6 =

• Arbre :

Ia

= 12 × 1,4 × (0,175)2 = 0,51 kg · m 2

=

0,715 kg ⋅ m 2

• Supplément pour ailettes : 0,25 kg · m 2, d’où le moment d’inertie total du manchon semi-élastique :

diamètre : 0,200 m longueur : 0,120 m poids : 295 N Im

0,7 kg 0,2 kg 0,5 kg 1,4 kg

• Voile du 1 er demi-manchon : diamètre : 0,45 m épaisseur : 0,008 m poids : 100 N

= 66 × (0,445)2 = 13,07 kg · m 2

Iv

Inertie du manchon semi-élastique  (manchon à 12 broches) : chaque demi-manchon est constitué par un voile en acier de 8 mm d’épaisseur, soudé sur un moyeu de diamètre de 120 mm : — l’un portant des broches de 30 mm de diamètre, à collerette de diamètre 50 mm et à queue filetée de diamètre 20 mm ; — l’autre portant des bagues en tube d’acier de 60/70, soudées à leur tiers milieu. Dans les bagues d’acier, s’emmanchent des bagues en caoutchouc de diamètre extérieur de 60 mm et de longueur de 60 mm. Des nervures raidissent les voiles et assurent la ventilation du limbe du manchon. Ce limbe en fonte perlitique est fixé sur le socle du demimanchon moteur par un dispositif à libre dilatation radiale. • 12 broches sur un diamètre de 0,350 m et de masse unitaire (0) :

( 0,075 ) 2 13,7 × ------------------------ = 0,038 5 kg ⋅ m 2 2

1,725 kg · m 2

Inertie du limbe du rotor de frein :   adoptons un diamètre de 0,60 m qui convient pour la vitesse et la puissance, et une épaisseur moyenne de 0,01 m, la bride de fixation s’ajoutant au limbe d’épaisseur 0,008 m du manchon. Prenons la largeur de 0,03 m, ce qui donne une masse de 45 kg : I 7 =

45 × (0,295)2 = 3,9 kg · m 2

Inertie de l’arbre proprement dit :  diamètre : 0,07 m longueur libre : 0,9 m poids : 270 N I8

=

( ---------------)--2--2 27 × ----0,035 = 0,016 5 kg ⋅ m 2

Inertie totale  : Inertie totale du moteur et de l’arbre du moteur : I t = I moteur + I 5 + I 6 + I 7 + I 8 =

20,93 kg · m 2

Inertie totale des pièces tournantes (tambour, arbre intermédiaire, moteur et accessoires) : I 3 + I 4 + I t =

21,66 kg · m 2

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_________________________________________________________________________________________________________________ THÉORIE DU FREINAGE

d’où l’inertie totale : — avec benne posée : 21,66 kg · m 2 — avec benne vide : 22,17 kg · m 2 — avec benne pleine : 23,02 kg · m 2 La partie la plus importante de l’inertie provient des pièces tournantes, la benne vide représentant 2,5 % et la benne pleine 6 % environ de l’inertie totale. On peut donc ne calculer que les inerties  de l’arbre moteur et majorer le chiffre trouvé de 5 % . Arrêt en descente à vide La benne ouverte est affalée sur le tas ; il n’y a pas lieu de compter de couple statique. Le couple de ralentissement est alors égal au couple de freinage C f  = 2 700 N · m. Inertie : I = 21,66 kg · m 2 

Vitesse angulaire : ω 

2π × 770 60

= --------

=

80,6 rad/s

Accélération angulaire : γ a

=

2 700 ----------------21,66

Parcours angulaire de freinage : α f 

1 ( 76,4 × 0,448 ) 2

= -----

Travail de freinage : W f  = 2 700 × 17,1 = 46 170 J Arrêt en descente en charge La condition la plus défavorable est l’arrêt avant l’ouverture de la benne. C’est la charge qui entraîne le moteur, le rendement diminue donc le couple transmis. Le couple statique transmis s’oppose au ralentissement. Le couple de ralentissement est la différence entre le couple de freinage et le couple statique transmis. Couple statique transmis au moteur : 

1 80 000 × 0,3 × 0,85 × -------23 d’où le couple de ralentissement : C s

=

=

I

80,6 124,6

---------------- =

1 80,6 0,64 ( × ) 2

= -----

=

ω 

γ a

1 227,6 N ⋅ m

d’où le couple de ralentissement : C s + C f  = 1 227,6 + 2 700 = 3 927,6 N · m

Inertie (avec benne pleine) : I

= 23,02 kg · m 2

Vitesse angulaire : 2π ω  = -------- × 730 60 Accélération angulaire : γ a

3 927,6 23,02

= ---------------------- =

76,4 rad/s

80,6 rad/s

78,75 rad/s 2

80,6 78,75

---------------- =

1,023 s

Parcours angulaire de freinage : α f 

1 ( 80,6 × 1,023 ) 2

= ----

=

41,23 rad

Travail de freinage : W f  = 2 700 × 41,25 = 111 321 J Arrêt en montée à vide C’est le moteur qui entraîne la charge ; le rendement augmente le couple transmis à l’arbre moteur. Le couple statique transmis aide au ralentissement. Le couple de ralentissement est la somme du couple de freinage et du couple statique transmis. Couple statique transmis au moteur : 

C s =

1 813 23,02

= ----------------- =

t f  =

Arrêt en montée en charge Le couple statique au tambour est transmis au moteur par la transmission de rapport 23 et de rendement 0,85. C’est le moteur qui entraîne la charge jusqu’à l’arrêt. Le rendement augmente donc l’effort que doit fournir le moteur. Le couple de ralentissement est la somme du couple de freinage et du couple statique. Couple statique transmis au moteur : =

=

Durée de freinage :



80 000 × 0,3 × ---1----- × ------1------23 0,85

2π × 770 60

= --------

Accélération angulaire :

25,8 rad

W f  = 2 700 × 25,8 = 69 660 J

=

= 23,02 kg · m 2

Vitesse angulaire :

0,64 s

Travail de freinage [relation (15)] :

C s

887 N ⋅ m

Inertie totale (avec benne pleine) :

Parcours angulaire de freinage [relation (13)] : α f 

=

C f  – C s = 2 700 – 887 = 1 813 N · m

124,6 rad/s 2

Durée de freinage : t f  =

17,1 rad

=

=

1 1 30 000 × 0,3 × -------- × ------------23 0,85

=

460 N ⋅ m

d’où le couple de ralentissement : C f  + C s = 2 700 + 460 = 3 160 N · m

170,6 rad/s 2

Inertie totale (avec benne vide) : I

Durée de freinage :

= 22,17 kg · m 2

Vitesse angulaire : t f  =

76,4 170,6

---------------- =

0,448 s

ω 

2π × 750 60

= --------

=

78,5 rad/s

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B 5 570 − 17

THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________

La durée de freinage maximale étant t f =   1,023 s, on a :

Accélération angulaire : γ a

3 160 22,17

= ----------------- =

142,5 rad/s 2

∆ T m

Durée de freinage : t f  = ---78,5 ------------142,5

=

T r

0,55 s

α f 

1 ( 78,5 × 0,55 ) 2

= -----

=

21,59 rad

Travail de freinage : W f  = 2 700 × 21,59 = 58 293 J Détermination du rotor de frein et des garnitures La conduite de calcul du dimensionnement est donnée au paragraphe 3.2.3. — Le travail de freinage global pour les quatre opérations précédentes du cycle est de 285 444 J, d’où, pour un cycle de 70 s, une puissance de 4,08 kW. Prenons une puissance spécifique moyenne de 9 kW/m 2. La surface métallique frottante nécessaire est donc : 4,08/9 = 0,45 m 2. Pour le diamètre choisi de 0,60 m, la largeur de frottement doit être égale à 0,238 m, soit 0,25 m, d’où S = 0,47 m 2 et la largeur totale du rotor sera de 0,28 m. La puissance spécifique moyenne corrigée devient : 

— D’après le tableau 3 (page 11), l’épaisseur moyenne utile de la paroi e  est de 8 mm pour un diamètre de rotor de frein de 0,6 m. — On suppose, de plus, une température ambiante T o de 30 oC. — Pour déterminer la vitesse périphérique moyenne v , nous admettrons que le temps de marche du moteur est de 60 % du cycle. La vitesse périphérique moyenne de la poulie étant :



avec

T r

P  1 ----73,6 S 

= -------------

t f 

= ----------------+

-------------

-----

------ + --------

max

moy

+

-------------

-----

moy

79,25 o C

Puissance moyenne de freinage La puissance moyenne nécessaire pour absorber l’énergie cinétique est : mV γ  mv 2 P  = -------------- = ---------------a---2 t  2 × 3,6 v 

v ( m/ s )

V ( km/h ) 3,6

avec

t  =

d’où

× 130 × 6 P  = -1------500 ------------------------------------ = 162,5 kW 2 × 3,6

-------

γ a

et

= --------------------------

Quantité de chaleur à évacuer La quantité de chaleur engendrée pendant le freinage est : mv 2 2 × 4,185

mV  2 ( en calories ) 2 × ( 3,6 ) 2 × 4,185

-------------------------- = ------------------------------------------------

Q  =

d’où

1 500 × ( 130 ) 2 2 × ( 3,6 ) 2 × 4,185

------------------------------------------------ =

233,7 kcal

Distance d’arrêt Avec v   vitesse du véhicule à l’origine, le temps qui s’écoule jusqu’à l’arrêt complet du véhicule est : 

t  = --v  --γ 

et la distance parcourue pendant ce temps est :

et (P  / S ) (kW/ m2) puissance spécifique, e  (mm) épaisseur de la paroi.

2 s f  = ----v  --------2 µ g 

avec

B 5 570 − 18

=



Q  =

   10 e  15e   P  P  3 300 2 1  v  10  73,6  S   73,6  S  

∆ T m

-------------

11,4 o C

Données du véhicule Masse : m  = 1 500 kg. Vitesse : V  = 130 km/h. Décélération :  a = 6 m / s 2 .

v  = 23,55 × 0,6 = 14,13 m/s

      

8,68 73,6

-+ = ----------------------------- ---------------------+

=

Ce sont des considérations de distances d’arrêt et la valeur de l’accélération négative (décélération) qui entrent en ligne de compte pour déterminer le couple de freinage, en même temps que les conditions de transmission et d’évacuation de la chaleur produite par le frottement.

--------

— Dans le cas d’un échauffement peu important, la température de la garniture à la fin d’un coup de frein est donnée par les relations (20) : T  = ∆T m + T r + T o

3 300 2 × 8,68 14,13 10 73,6



3.3.5 Véhicules roulants



2π × 750 × 0,3 = 23,55 m/s 60 on obtient la vitesse moyenne générale :

8 15

---------------- + --------

Une garniture pour laquelle T max = 130 oC convient donc ; avec T max = 120 oC, on se trouverait trop juste. On se reportera à l’article consacré aux garnitures de freins article [B 5 571] pour déterminer le type de garnitures en fonction de la température maximale d’utilisation. Un tel appareil de levage est utilisé un grand nombre d’heures dans l’année : à conditions égales, il faut donc choisir la garniture dont la résistance à l’usure est la plus grande.

(P  / S )moy = 4,08/0,47 = 8,68 kW/ m 2 La puissance maximale de freinage à la vitesse angulaire maximale est : 2 700 × 80,6 = 217,6 kW d’où la puissance spécifique maximale : 2 ( P  / S )max = -217,6 --------------- = 463 kW/m 0,47

 10 × 1,023 8

T  = ∆T m + T r + T o = 120,4 °C  T max

d’où

Parcours angulaire de freinage :

463 73,6

= -------------

µ 

pourcentage de g  dans la décélération ( γ  = µ g ).

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_________________________________________________________________________________________________________________ THÉORIE DU FREINAGE

La distance d’arrêt est donc indépendante de la masse du véhicule ; elle augmente avec la vitesse et avec le temps de freinage qui croît lui-même avec la vitesse. Nota : à 50 km/ h, il faut une distance 4 fois plus importante pour s’arrêter qu’à 25 km/ h. À 100 km/h, il en faut 16 fois plus.

Un autre facteur est souvent oublié : le temps mort entre le moment où surgit l’obstacle et le moment où l’action des freins se trouve opérationnelle. On peut estimer ce temps mort ∆t  à une moyenne de 0,6 s. La distance d’arrêt réelle devient alors : s f  =

L’abaque de la figure 3 donne les distances d’arrêt en fonction de la vitesse et du coefficient µ  pour une valeur ∆t  de 0,6 s. La connaissance des distances d’arrêt minimales permet de se fixer la vitesse maximale pour une longueur libre de route donnée. Une vitesse de 120 km/h exige sur bonne route ( µ = 0,6) environ 115 m de « champ libre » (95 m si l’on ne tient pas compte du temps mort, figure 2), page 10.

v 2 v ⋅ ∆ t  2 γ 

-------- +

Figure 3 – Abaque de calcul de la distance d’arrêt du véhicule (tenant compte du temps mort t = 0,6 s)

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