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Comportement thermique dynamique des bâtiments : simulation et analyse par Gilles LEFEBVRE Ingénieur Divisionnaire des Travaux Publics de l’État Docteur en physique de l’Université Pierre et Marie Curie Responsable du Groupe Informatique et Systèmes Énergétiques (GISE), unité de recherche commune à l’École Nationale des Ponts et Chaussées, et à l’École des Mines de Paris-CENERG ................................. 1. Échang Échanges es hygrot hygrother hermiq miques ues dans dans le le bâtim bâtiment ent ................................. 1.1 Physique Physique des des différents différents transfe transferts rts d’énerg d’énergie... ie....... ......... ....... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.1.1 Conduction ..................................... ......................................................... .................... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.1.2 Convection Convection .............................................. ................................................ .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 1.1.3 Rayonnemen Rayonnementt .......... ............... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... .. 1.1.4 Humidité........ Humidité............ ......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... .... 1.2 Échang Échanges es par rayon rayonnem nement ent... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 1.2.1 Échanges radiatifs radiatifs intérieurs intérieurs ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 1.2.2 Échanges radiatifs radiatifs extérieurs extérieurs ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 1.3 Échang Échanges es par convec convectio tion n ................... ...................... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 1.3.1 Échanges convectifs convectifs intérieurs intérieurs ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 1.3.2 Échanges convectifs convectifs extérieurs extérieurs ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 1.4 Échanges Échanges d’air d’air et d’humidité..... d’humidité.......... ........ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 1.5 Singulari Singularités tés thermiques thermiques dans les bâtiments bâtiments .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.5.1 Raccordement de parois ....................... ....................... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.5.2 Ponts thermiques en partie courante courante de parois ... ...... ....... ...... ....... ...... ....... ...... ....... ..... 1.5.3 Liaisons avec le sol........................................... sol.............................................. ... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

2.

B 2 041 - 3 — 3 — 3 — 4 — 4 — 4 — 4 — 4 — 6 — 7 — 7 — 8 — 8 — 8 — 8 — 9 — 9

Quel Quelqu ques es pri princ ncip ipes es de de modé modéli lisa sati tion on ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..

—

10

...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 3. Compor Comportem tement ent dynam dynamiqu ique e d’un d’un bâtime bâtiment nt.... 3.1 Bilans Bilans énergétiq énergétiques....... ues............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 3.1.1 Bilan de chaleur sensible ........................... ........................... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 3.1.2 Bilan de masse masse ..................... .......................... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .... 3.1.3 Bilan enthalpique ................. ...................... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... .... 3.2 Straté Stratégie giess de résol résoluti ution on .......... ............... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ..... 3.2.1 Exemple d’un bâtiment monozone monozone : composants et couplages ..... 3.2.2 Méthode de résolution globale globale : différences différences finies .................... ..... 3.2.3 Méthode de couplage couplage.................... ....................................... ....................................... ............................. ......... ..... 3.2.4 Fonctions de de pondération pondération ......................................... ........................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 3.2.5 Couplage harmonique...... harmonique ........... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ........ ... 3.2.6 Méthode modale............... modale......... ........... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ........ ...

— — — — — — — — — — — —

10 10 10 11 11 11 12 12 13 13 14 14

4.

Inform Informati atique que et therm thermique ique des bâtime bâtiments nts.... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..

—

15

5. Résu Résult ltat atss de de sim simul ulat atio ion n.................................... ...................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 5.1 Donnée Donnéess d’entr d’entrée. ée.... ...... ...... ...... ..... ....... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ....... 5.2 Résultats .................................. ....................................... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......

— — —

16 16 17

Pour en savoir savoir plus ....................................... ........................................................... ....................................... ................................ .............

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Doc. B 2 041

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COMPORTEMENT THERMIQUE DYNAMIQUE DES BÂTIMENTS : SIMULATION ET ANALYSE

___________________________________________________________

es bâtiments sont conçus pour jouer un rôle de filtre thermique permettant de recréer un microclimat intérieur indépendant des fluctuations météorolo- giques extérieures. La forme, l’orientation, l’agencement et la composition des éléments constitutifs déterminent les caractéristiques de ce filtre. Les ambiances intérieures ne répondant pas toujours aux exigences de confort des occupants, la réponse du bâtiment est corrigée par des appareils de climatisation agissant comme des sources contrôlées de chaleur ou de froid, et ayant parfois un effet sur les taux d’humidité. Les normes de confort sont encore relativement frustres : une consigne de température résultante moyenne à respecter pendant la période de chauffage, une température qu’il est recommandé de ne pas dépasser trop souvent pendant la saison chaude. Ces contraintes sont quelquefois affinées dans des cahiers des charges particuliers, notamment lorsqu’il s’agit de bâtiments à usage de bureau. Dans tous les cas, les appareils de climatisation consomment de l’énergie et entraînent de ce fait des coûts de fonctionnement qui peuvent être très élevés. Ils n’arrivent d’ailleurs pas toujours à redresser complètement une mau- vaise conception architecturale, des périodes d’inconfort pouvant subsister, nous en avons tous fait l’expérience un jour ou l’autre. Les modèles décrivant le comportement thermique dynamique des bâti- ments permettent de mieux comprendre et concevoir l’enveloppe passive (c’est-à-dire avant équipement avec une installation de climatisation) en vue d’obtenir de moindres consommations énergétiques et un plus grand confort, de prédire la réponse du bâtiment à des situations extrêmes afin de dimen- sionner les installations et, enfin, d’aider à mettre au point de nouveaux sys- tèmes (composants) ou stratégies de contrôle (chauffage intermittent, commande optimale, etc.).

Le souci de rationaliser le recours à des énergies coûteuses et de concevoir des bâtiments plus confortables a amené les différents acteurs du processus de conception et de gestion des bâtiments à chercher à en mieux connaître et maîtriser le comportement. C’est l’objet des méthodes de simulation et d’analyse que nous allons présenter. Pour cela, nous nous intéresserons ici aux méthodes de calcul qui permettent de modéliser les bâtiments ; il s’agit de prévoir et expliquer l’évolution de son état thermique et de prévoir les conséquences qui en découlent en réponse aux excitations que lui appliquent son environnement climatique naturel et les appareillages dont il est équipé. La mise en relation avec des modèles d’occupant est à la base de techniques de caractérisation du confort hygrothermique. Les modèles de bâtiment vont ainsi permettre de représenter avec plus ou moins de pertinence et de précision les paramètres qui influent sur le confort et de calculer les énergies qu’il faut fournir pour atteindre un niveau de confort requis. L’intérêt de certains choix de conception (qui déterminent emplacement, orientation, forme, composition, etc.) et de l’ajout de composants spécifiques (tels serres, murs capteurs, etc.) peut ainsi être évalué à l’aide de modèles qui prédisent ou confirment le comportement de l’ensemble réalisé ; la modélisation répétée de différents cas de figure génère une connaissance qui peut ensuite être mise à profit dans des méthodes de calcul simplifiées, ou dans des exemples de solutions. Savoir comment sont construits les modèles qui servent à développer cette connaissance donne à l’ingénieur la possibilité d’avoir un regard critique sur les méthodes qui s’offrent à lui ; il en connaît ainsi les limites et peut en contrôler l’utilisation.

Dans ce chapitre, même si nous n’oublions pas qu’un bâtiment est souvent chauffé, refroidi ou ventilé, nous ne nous intéresserons pas aux problèmes spécifiques posés par ces installations. L’analyse est possible grâce aux modèles que nous allons présenter, mais les utilisateurs sont surtout intéressés par les simulations qu’ils permettent de réaliser. La simulation est en effet un outil extrêmement séduisant. Contraire- ment à l’expérimentation, elle permet de tout essayer, même les solutions les plus originales, car le coût marginal est faible. Pouvoir jouer avec un modèle de bâtiment en lui ajoutant des composants, en modifiant sa forme, son orientation, en le situant à des endroits différents, etc. est un vecteur d’imagination et de créativité.

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___________________________________________________________ COMPORTEMENT THERMIQUE DYNAMIQUE DES BÂTIMENTS : SIMULATION ET ANALYSE

La simulation permet d’évaluer une solution technique et/ou architecturale. Elle le fait avec détail, précision et pertinence. Contrairement aux méthodes de calcul simplifiées, elle fournit des résultats sous une forme identique à celle qu’auraient des mesures expérimentales sur un bâtiment réel. On injecte dans le modèle les valeurs que prennent au cours du temps des variables décrivant le climat ; on indique les paramètres de fonctionnement du bâtiment (occupé continuellement, chauffé, climatisé, etc.) et, classiquement, on obtient les valeurs prises par un certain nombre de variables d’observation (températures d’air, températures de surface des parois, puissance de chauffage ou de refroi- dissement appelée, etc.) à des moments successifs, en général régulièrement espacés, de la période considérée. Les méthodes de calcul simplifiées four- nissent des résultats intégrés sur l’ensemble d’une période et se limitent à l’évaluation de besoins de chauffage ou de climatisation. Une simulation fournit aussi ces résultats mais offre de plus la possibilité de suivre l’évolution des variables d’observation. On peut ainsi analyser directement comment les

courbes d’évolution des températures intérieures, des puissances appelées, des taux d’humidité, etc. sont influencées par les caractéristiques géométriques et physiques du bâtiment, mais aussi par les caractéristiques d’une installation de climatisation ainsi que par la stratégie de gestion et de régulation. La simulation permet de prévoir le coût de la consommation énergétique d’un bâti- ment et d’évaluer l’intérêt de tarifications modulées, le dimensionnement d’une installation de chauffage, le respect de critères de confort, ou le bon fonctionnement d’un régulateur. Rappelons tout d’abord brièvement les différents types de transferts de chaleur ainsi que les équations de base qui les décrivent ; pour plus de détails, on se reportera à la littérature de référence en ce domaine [1] [2] [3] .

1. Échanges hygrothermiques dans le bâtiment 1.1 Physique des différents transferts d’énergie Dans un bâtiment, les transferts d’énergie prennent principalement la forme de transferts de chaleur et de matière. Ces transferts ont pour origine la tendance naturelle de la chaleur à transiter des zones chaudes vers les zones froides, celle de l’air à se déplacer des zones de haute pression vers les zones de basse pression et celle de la vapeur d’eau à migrer des zones les plus humides vers les plus sèches. Les modes de transfert de chaleur dite sensible sont classiquement la conduction, la convection et le rayonnement. La chaleur dite latente est mise en jeu au cours des changements de phases d’un corps, l’eau et sa vapeur pour ce qui concerne le bâtiment.

1.1.1 Conduction La conduction est le processus de transmission de la chaleur par diffusion dans les solides. La loi de Fourier relie flux de chaleur et gradient de température en un point. Dans une géométrie monodimensionnelle où la seule coordonnée est notée x et où l’on suppose la conductivité indépendante de la température, cette loi s’écrit : ∂ T ϕ ( x , t ) = – λ ( x ) -------- ( x , t ) ∂ x

avec ϕ , t, T et λ respectivement densité de flux de chaleur (W/m 2), temps (s), température (K) et conductivité thermique du matériau [W/m · K)], au point considéré. Voici quelques valeurs de λ correspondant aux classes de matériaux courants dans les bâtiments :

matériau

isolants

bois

verre

béton

pierre

λ [W/(m · K)]

0,004

0,2

1,2

1,7

2,0

En appliquant le Premier Principe de la thermodynamique à un volume solide quelconque, on obtient l’équation de la chaleur qui régit la conduction dans les solides. En géométrie monodimensionnelle et après avoir remplacé ϕ par son expression, elle s’écrit : 2

∂ T ∂ T ρ c ------- = λ --------2-- + p ∂ t ∂ x

avec ρ , c, ρ c et p respectivement masse volumique (kg/m 3), capacité thermique massique [J/(kg · K)], capacité thermique volumique [J/(m3 · K)] et densité de puissance volumique de chaleur (W/m 3) dégagée au point où est exprimée l’équation de la chaleur. La masse volumique et la capacité thermique massique de quelques matériaux usuels sont indiquées dans le tableau suivant. matériau ρ (kg/m3)

c [J/(kg · K)]

isolants

bois

verre

50 à 200 700

500 1 000 1 250

béton

pierre

1 000 à 2 000 1 000

2 000


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1.1.2 Convection La convection est le phénomène de transport d’énergie thermique par un fluide en mouvement. Il est régi par l’équation de Navier- Stockes qui n’a pas de solution simple dans le cas général. La convection peut être due à des gradients de température dans un fluide dilatable tel que l’air (convection naturelle), par un gradient de pression imposé (convection forcée) ou par les deux à la fois (convection mixte). Le comportement du fluide (écoulement turbulent ou laminaire) est très sensible aux paramètres thermiques et mécaniques. On aura souvent recours à des modèles plus simples. Ainsi, l’aspect convectif des échanges entre parois et air des ambiances peut être représenté par un coefficient h c qui relie la densité surfacique ϕ de flux de chaleur échangé entre solide et fluide et l’écart de température entre la surface de la paroi T paroi et la température moyenne (au loin) du fluide dite température de référence T fluide : ϕ = h c (T paroi – T fluide)

La valeur de ce coefficient d’échange convectif h c [W/(m2 · K)] peut être tirée d’un groupement adimensionnel caractéristique des échanges convectifs solide/fluide, le nombre de Nusselt Nu tel que : Nu =

de vapeur sont faibles et si seuls nous intéressent des dimensionnements ou consommations d’appareils de chauffage. Par contre, le conditionnement d’air ou l’étude du confort des occupants ne peuvent se permettre de les ignorer. L’état d’un volume d’air humide est décrit par deux variables à choisir parmi la température, la teneur en eau, l’humidité relative, la pression partielle de vapeur, l’enthalpie massique ou la masse volumique de vapeur. Nous retiendrons les deux dernières. Montrons que ces deux grandeurs permettent de retrouver la température, la teneur en eau et l’humidité relative. L’enthalpie massique s’écrit, pour une quantité d’air humide contenant 1 kg d’air sec*, comme la somme de l’enthalpie de la vapeur et de celle de l’air sec : q = c a θ air + w (c v θ air + q v) [J/(kg · oC d’air sec)] avec θ air w q v c a c v

hc L

---------

λ

avec λ conductivité thermique du fluide et L longueur caractéristique définissant l’échelle de la configuration. Pour un certain nombre de configurations (paroi plane, verticale, barre, etc.), des relations empiriques expriment les valeurs prises par le nombre de Nusselt en fonction de celles prises par d’autres groupements adimensionnels décrivant le problème ; parmi ces groupements peut figurer l’écart de température paroi/fluide, h c n’est alors plus constant et la relation ci - dessus donnant la densité de flux n’est plus linéaire.

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température de l’air ( oC), teneur en eau (kg d’eau/kg d’air sec), enthalpie de vaporisation de l’eau (2 500 kJ/kg à 0 oC), capacités thermiques massiques de l’air sec (1 kJ/kg · oC à 0 oC), vapeur d’eau (1,84 kJ/kg · oC à 0 oC), les enthalpies de l’air sec et de l’eau liquide étant prises nulles à 0 oC par convention.

* Nous suivons en cela l’usage des professionnels de la climatisation qui ramènent toutes les grandeurs extensives au kg d’air sec.

Si vapeur d’eau et air sec sont considérés comme des gaz parfaits, on vérifie les relations suivantes : ρ v

p v r v T air

= --------------

ρ a

p a r a T air

= --------------

où ρ v , p v et r v (respectivement ρ a , p a et r a) sont la masse volumique, la pression partielle et la constante de gaz parfait de la vapeur (respectivement de l’air sec). La pression totale p t , somme des pressions partielles, est connue. On tire ρ a de : p t T air

1.1.3 Rayonnement Le rayonnement est un échange d’énergie à distance. On peut distinguer deux grandes familles de phénomènes radiatifs dans les bâtiments. Les premiers ont pour origine le soleil ou les appareils d’éclairage ; ce sont des sources de rayonnement visible. Les seconds proviennent des écarts de température entre les surfaces des solides et ont lieu dans le domaine du rayonnement infrarouge. Dans les deux cas, le rayonnement subit des réflexions, des transmissions et des absorptions. Chaque surface solide susceptible de recevoir du rayonnement est caractérisée par des facteurs de réflexion, de transmission et d’absorption qui dépendent de la nature du matériau et de l’état de surface. Des valeurs distinctes caractérisent le comportement de la surface vis-à-vis du rayonnement visible ou infrarouge, ainsi que pour le rayonnement direct ou diffus. Les caractéristiques d’un matériau pour le rayonnement diffus sont obtenues par intégration des caractéristiques spéculaires pour toutes les incidences possibles. On admet couramment que ces mêmes caractéristiques sont indépendantes de la fréquence du rayonnement dans chacune des bandes infrarouge et visible.

et

--------- =

r v ρ v + r a ρ a

que l’on reporte dans l’expression de l’enthalpie massique, en tenant compte que la teneur en eau vaut w = ρ v / ρ a . Enfin, la pression de vapeur saturante p sat (Pa) à une température T (K) est connue à partir de mesures expérimentales, tabulée, et peut être approchée par l’équation suivante : p sat ( T )

=

( T – 273 ) --------------------------------------- + 6,41 exp --17,3 237,5 ( T – 273 )

L’humidité relative est alors : ψ =

p v p sat ( T )

---------------------

1.2 Échanges par rayonnement

1.1.4 Humidité

1.2.1 Échanges radiatifs intérieurs

Sous les pressions et aux températures courantes dans les bâtiments, l’humidité de l’air est très variable et les phénomènes de condensation ou d’évaporation mettent en jeu des quantités d’énergie (chaleur latente) qui sont loin d’être négligeables et qui ont des conséquences importantes sur le fonctionnement du bâtiment. Supposer la teneur en eau constante et ne pas tenir compte de ces phénomènes peut être acceptable lorsque les dégagements



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Échange entre deux parois Supposons que deux très grandes parois planes soient situées face à face et qu’une source radiative quelconque génère un flux uniforme incident sur la face gauche. Une partie de ce flux est absorbée, l’autre réfléchie vers la face droite. La face droite agit de même. Le flux net absorbé par la face gauche est la somme de toutes les parts absorbées des flux qui lui sont renvoyés par la face



droite. Si l’on suppose que toutes les parois sont opaques, la somme du facteur de réflexion ρ et du facteur d’absorption α est toujours égale à 1. On montre que le bilan des réflexions et absorptions entre ces deux faces d’où rien ne peut s’échapper conduit à l’expression suivante : o

[1 – (1 – α g)(1 – α d)] φ g = αg φ g avec φ g

αg αd

o

φ g

flux thermique net absorbé par la face gauche, facteur d’absorption de la face gauche , facteur d’absorption de la face droite, flux provenant de la source et éclairant la face gauche.

Échange entre plusieurs parois Considérons maintenant une ambiance entourée de plusieurs parois. Faisons l’hypothèse simplificatrice que tout flux, qu’il soit incident ou réfléchi, est isotrope et éclaire de façon homogène chacune des surfaces. Chaque flux en provenance d’une surface i est alors reçu par chacune des surfaces (y compris i elle- même) au prorata du facteur de forme F de la surface j vue de i :

avec

o

M j

émittance qu’aurait la surface j si elle était un corps noir, ε j émissivité de la surface j (égale à son facteur d’absorption α j puisque c’est un corps gris), σ = 5,67 × 10–8 W/(m2 · K4) constante de Stefan-Boltzmann. On peut remplacer φ o, dans la relation donnant les flux nets absorbés, par l’expression du flux qui arrive sur une surface i immédiatement après son émission par les autres surfaces. On introduit cette fois - ci un flux net perdu par chaque surface φ net égal à la différence entre le flux émis par rayonnement infrarouge (terme source) et ce qu’il absorbe des autres émissions et de la sienne après réflexions multiples : φ net = (I – F t) [I – (I – α ) F t] –1 α M o



φ i → j = F ij φ i →

On notera que la valeur des facteurs d’absorption α j n’est pas obligatoirement la même pour ce qui concerne le rayonnement solaire et le rayonnement infrarouge. Par ailleurs, c’est seulement dans ce dernier cas que l’on a fait l’hypothèse de corps gris ( α j = ε j ). On a l’habitude d’utiliser une quantité appelée radiosité et égale à la somme du rayonnement émis et réfléchi par une surface : o

J i = ρ i E i + ε i M i

Les radiosités peuvent être utilisées comme intermédiaires pour calculer les flux nets perdus à partir des émittances : [I – (I – α ) F t]J = αM o φ net = (I – F t) J o

Chaque surface j reçoit donc, outre un flux φ j provenant de sources radiatives, les flux que lui renvoient toutes les autres surfaces. C’est l’éclairement de la surface j : o

E j = φ j + Σ F ij φ i → i

Dans le cas où les termes sources sont les émittances des surfaces, le rayonnement intervient comme un phénomène de couplage entre les parois. En effet, les températures des faces déterminent les émittances, dont on déduit les flux nets perdus que l’on réintroduit dans les bilans qui déterminent à leur tour les températures. On arrive finalement à exprimer le flux net perdu par la surface i en fonction des températures des faces :

dont une partie φ j est absorbée :

net

φ

φ j = α j E j

En faisant les mêmes bilans que pour deux parois, on aboutit finalement à la relation qui détermine les flux nets absorbés φ j : = [δ ij ], α = [αij ], F = [F ij ], F t = [F ji ], φ = [φ i ], o φ o = [ φ i ] . δ ij symbole de Kroneker est égal à 1 si i = j et à 0 si i ≠ j . Connaissant les flux radiatifs incidents φ o, dus par exemple au rayonnement solaire ayant pénétré à l’intérieur du bâtiment, on peut en déduire le flux net absorbé par chacune des faces des parois, dont il faudra tenir compte dans les bilans thermiques. I

Échange radiatif infrarouge entre plusieurs parois Si les faces de nos parois sont à des températures différentes, nous savons qu’elles échangent de l’énergie sous forme de rayonnement infrarouge. Si l’on suppose que nous sommes en présence de surfaces grises, hypothèse couramment admise dans le bâtiment, chaque surface est une source de rayonnement, dont la quantité est appelée émittance ou exitance : 

o

M j = ε j M j

=

4

ε j S j σ T j

o

4

T avec



o

1

( I – F t ) [ I – ( I – α ) F t ] α σ –

=

ou en linéarisant le terme de droite autour d’une température de référence T 0 : φ

φ = α [I – F t (I – α)] –1 φ o

avec

= 

net

=

3

4T 0



o

( T – T 0 )

= 

T avec

 =

3

4T 0 

o

Facteurs de forme Les calculs précédents nécessitent de connaître les facteurs de forme entre les faces de parois entourant une ambiance. On dispose de plusieurs techniques permettant de les déterminer. Indiquons - les rapidement. Les facteurs de forme de certaines configurations simples sont connus analytiquement. C’est le cas des parallélépipèdes rectangles, par exemple. Par ailleurs, une algèbre des facteurs de forme permet parfois de déduire les valeurs de configurations moins triviales. L’algèbre est basée sur les relations de complémentarité Σ F ij = 1 j et de réciprocité S i F ij = S i F ji . Lorsque l’on veut éviter tout calcul géométrique et si toutes les surfaces sont planes et les volumes convexes, on a recours à une estimation simplifiée des facteurs de forme , obtenue en faisant le rapport entre la surface « cible » et la somme de toutes les surfaces « cible » : S -------- et F ij ≈ --------- j F ii = 0 

∑ S k

k ≠ i

Ces facteurs vérifient la relation de complémentarité.


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Certains auteurs proposent de prendre : S j F ij ≈ --------------

∑k S k

qui vérifie les relations de réciprocité et de complémentarité, mais présente l’inconvénient de conduire à F ii ≠ 0. Nous préférons la première solution qui engendre sans doute moins d’erreurs car elle prend en compte la surface d’arrivée et la surface de départ, mais la seconde solution doit être utilisée lorsque la méthode de résolution employée nécessite que la symétrie des échanges soit scrupuleusement respectée au niveau numérique. Citons pour mémoire des méthodes permettant de déterminer avec précision les facteurs de forme entre surfaces, même en présence d’obstacles intermédiaires. Les plus connues ont pour nom méthode du lancer de rayon (ou méthode de Monte - Carlo), méthode de la sphère unitaire, méthode des flux plans [1] [2] [3]. Elles sont encore rarement employées en thermique du bâtiment, l’effort de calcul nécessaire n’étant généralement pas justifié. Avenir Le confort de l’occupant devient un critère d’évaluation important, notamment depuis que des appareils de régulation et de chauffage contrôlent les ambiances au plus juste. En outre, des bâtiments à usage autre que de logement doivent parfois répondre à des exigences de confort beaucoup plus sévères (bureaux, musées, hôpitaux, etc.) et des climats moins tempérés que celui de la France métropolitaine peuvent accentuer encore ces contraintes. Il pourra donc être nécessaire de prévoir avec plus de détail et de précision les caractéristiques radiatives des ambiances. Les méthodes qui sont parmi les plus précises se trouveront alors mises à contribution. Elles devront permettre de prendre en compte l’effet de la tache solaire sur les murs et planchers, le rôle des milieux participants (chargés de poussières ou de vapeur), de mieux prendre en compte les phénomènes de faces cachées, d’intégrer l’influence du mobilier, et de décrire correctement les échanges radiatifs avec les occupants, composante essentielle du confort. Bien entendu, les échanges convectifs devront être également affinés afin de conserver la cohérence et la pertinence des modèles ainsi construits.

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par la paroi vers le sol ou le ciel n’ont aucun effet sur eux, et que les radiosités du ciel et du sol sont égales uniquement à leur émittance en tant que corps noir. Si la paroi est considérée comme un corps gris, alors : φ = SF ciel

surface de la paroi (m 2), facteur de forme du ciel vu de la paroi , facteur de forme du sol vu de la paroi, α facteur d’absorption du rayonnement infrarouge de la paroi, o M paroi émittance de corps noir de la paroi (W/m 2), o M ciel émittance de corps noir du ciel (W/m 2), o M sol émittance de corps noir du sol (W/m 2). Les facteurs de forme s’expriment simplement en fonction de l’angle d’inclinaison θ de la paroi et l’on obtient : avec S F ciel F sol

φ = S ασ



1.2.2 Échanges radiatifs extérieurs Rayonnement infrarouge Les faces extérieures d’un bâtiment échangent de l’énergie sous cette forme avec un environnement constitué essentiellement du sol, du ciel, des immeubles voisins et de la végétation. À moins que l’on ne recherche une sensibilité particulière du modèle au voisinage, on a l’habitude de ne tenir compte que de la température de sol et de ciel (on notera que ce n’est pas le cas pour ce qui concerne le rayonnement solaire). L’évolution de la température de ciel est parfois connue, car elle a été mesurée par la Météorologie nationale. Sinon elle peut être reconstituée à partir des températures d’air extérieur et nébulosité. Si aucune de ces solutions n’est applicable, on pourra, en première approximation, estimer la température de ciel à une valeur inférieure, par exemple, de 20 oC à celle de la température extérieure. La température de sol n’est généralement pas mesurée. Elle n’est donc accessible qu’à partir d’un modèle qui peut être vite complexe et important, et qui nécessite de connaître la valeur de paramètres dont on ne dispose pas. Faute de mieux, la température de sol est parfois prise égale à celle de l’air extérieur. Dans le cas où des simplifications importantes ont été faites pour obtenir les températures de ciel et de sol, on restera très critique vis- à- vis des effets que ces sollicitations peuvent avoir sur les ambiances intérieures. Le flux perdu s’écrit comme la somme du flux émis vers le ciel et de celui qui est émis vers le sol, en supposant que le flux réfléchi 

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o o o o – M ciel ) + SF sol α ( M paroi – M sol ) α ( M paroi

θ 4 1-----+-----sin 1 – sin θ 4 4 4 ------------ ( T paroi – T ciel ) + ---------------------- ( T paroi – T sol ) 2 2

θ = 0 pour une paroi verticale, θ = π /2 pour une paroi horizontale,

face tournée vers le ciel. On peut introduire une température radiante équivalente qui génère le même flux à la paroi : 4

T éq

1 sin 2

+ θ = -----------------------

4 1 – sin θ 4 T ciel + ----------------------- T sol 2 4

4

φ = S α σ ( T paroi – T éq ) 

Rayonnement solaire

Le lecteur se reportera utilement au chapitre Données climatiques utilisées dans le bâtiment [B 2 015] dans ce traité.

Rayonnements direct et diffus Le rayonnement solaire a deux composantes : le rayonnement direct, directionnel et orienté, et le rayonnement diffus, supposé isotrope. La prise en compte minimale (c’est la plus répandue) du rayonnement solaire consiste à intégrer dans les modèles, d’une part, le flux net absorbé par les faces extérieures des parois opaques et, d’autre part, celui qui pénètre à l’intérieur du bâtiment après avoir traversé les vitrages. Dans les deux cas, il est utile de connaître les densités de flux diffus et direct incidents sur une paroi d’orientation et d’inclinaison quelconque. La densité de flux direct incident s’évalue grâce à : 

ϕ dir = ϕ ⊥ I

avec I cosinus de l’angle d’incidence du rayonnement sur le plan mesuré par rapport à la normale et ϕ ⊥ densité de flux direct sur le plan perpendiculaire aux rayons. Cette expression traduit uniquement un effet de redistribution du flux intercepté par une surface non perpendiculaire aux rayons. On peut expliciter l’incidence I en fonction, d’une part, de la hauteur h et de l’azimut z du soleil et, d’autre part, de l’inclinaison θ et de l’orientation ψ du plan récepteur : I =

cos θ cos ψ cos h cos z + cos θ sin ψ cos h sin z + sin θ sin h si I > 0

sinon I = 0. Les valeurs de l’azimut et de la hauteur du soleil peuvent être calculées à partir de la date, de l’heure, et de la latitude du lieu. Différentes équations correspondant à des simplifications plus ou moins prononcées des lois de mouvement des astres sont proposées dans la littérature [22].



La densité de flux diffus incident est la somme du flux diffus tombant directement sur la surface et de celui qui provient de la réflexion des flux direct et diffus par le sol (supposé plan et horizontal) : ϕ dif =

θ 1-----+-----sin 1 – sin θ ------------- ϕ + a ----------------------- ( ϕ sin h + ϕ ) ⊥   2 2

avec ϕ U densité de flux diffus sur le plan horizontal et a albédo (facteur de réflexion) du sol. La valeur de a dépend du relief et de la nature du sol (terre a ≈ 0 ; herbe a ≈ 0,2 ; neige a ≈ 0,5).  Parois opaques Les matériaux opaques sont caractérisés par un facteur d’absorption propre au rayonnement visible αvis et le flux net absorbé s’écrit, en négligeant les flux renvoyés par réflexions sur l’environnement : φ = α vis S (ϕ dir + ϕ dif )

Vitrages Ils ont des caractéristiques optiques qui varient avec l’angle d’incidence du rayonnement. Le facteur de transmission du rayonnement diffus résulte de l’intégration, éventuellement pondérée si le rayonnement est non isotrope, des facteurs de transmission directionnels. Si l’on prend en première approximation un facteur de transmission constant pour le rayonnement direct, indépendant de l’angle d’incidence, il sera égal au facteur de transmission du rayonnement diffus. On aura toutefois intérêt à prendre en compte les caractéristiques directionnelles des vitrages qui jouent un rôle important dans le captage du rayonnement solaire.  Distribution interne du rayonnement solaire Afin d’aboutir à des modèles de taille raisonnable, le flux radiatif ayant pénétré dans une zone peut être supposé transformé en flux diffus isotrope, que son origine soit du rayonnement diffus ou direct. Cette hypothèse se justifie si l’on pense à l’effet dispersant des voilages et meubles présents dans la zone. Mais afin de mieux apprécier le rôle que joue le bâtiment comme accumulateur d’énergie grâce à son inertie thermique, on peut être amené à affiner cette répartition du flux en en affectant une part plus importante : — à la face supérieure du plancher ; — au mur qui fait face à la fenêtre ; — aux autres parois. Pour y parvenir, on peut augmenter les facteurs d’absorption des faces les plus concernées. Dans le cas où des calculs plus précis sont nécessaires, et en tout état de cause lorsqu’on étudie un local très vitré tel qu’une serre, ou ayant une configuration spéciale, on doit avoir recours à un calcul plus fin. Il faut prendre en compte, d’une part, l’anisotropie du rayonnement diffus entrant (qui vient essentiellement du ciel) et, d’autre part, le phénomène de tache solaire. Le calcul du déplacement du contour de la tache est alors nécessaire, et des modèles de paroi capables de recevoir des sollicitations de flux absorbé tout au long de son trajet doivent avoir été prévus (modèles tridimensionnels).  Masques On appelle masque un élément faisant obstacle au rayonnement solaire incident. On distingue les masques lointains et proches, dont la prise en compte est très différente : — masques lointains : on considère qu’ils définissent le profil d’un horizon au loin. Cet horizon est unique pour tout le bâtiment si les masques sont très éloignés (montagnes, par exemple) où il peut être différent pour chacune des fenêtres ou éléments susceptibles de recevoir du rayonnement si les obstacles sont plus proches (immeubles voisins, par exemple). Pour chaque élément, l’horizon ainsi défini délimite une portion de ciel visible. Le flux diffus sur le plan horizontal correspondant à un angle solide visible de 2 π stéradians devra être réduit au prorata de l’angle solide sous 

lequel ce morceau de ciel est vu. Pour ce qui concerne le rayonnement direct, la valeur du flux est inchangée tant que le soleil est dans la portion de ciel vu, nulle autrement. Selon la configuration particulière de l’environnement, le flux réfléchi par le sol sera ou non affecté par les masques lointains ; — masques proches : ils sont constitués de tous les éléments de façade (balcons, balustrades, décrochements, etc.) qui peuvent constituer des obstacles partiels ou totaux au rayonnement solaire incident. On ne tient généralement pas compte de l’effet des masques proches sur le rayonnement diffus, pas plus que de leur rôle de réflecteur. Des calculs géométriques prenant en compte les coordonnées du masque, celles de la fenêtre et la position du soleil, définissent la portion de fenêtre masquée et le taux d’affaiblissement global du rayonnement direct à appliquer à chaque instant. Afin de limiter les calculs, ces taux sont évalués à chaque heure d’un jour type par mois (le 15 par exemple). On applique ensuite ces taux d’affaiblissement au rayonnement direct incident sur l’intégralité de la surface du vitrage et durant tout le mois considéré.

1.3 Échanges par convection 1.3.1 Échanges convectifs intérieurs Les échanges convectifs entre les faces intérieures des parois et les volumes d’air sont dus, pour l’essentiel, à l’effet de convection naturelle résultant de la non-homogénéité de leurs températures. Les points chauds tels qu’appareils de chauffage, de cuisson ou d’éclairage, ainsi que les zones d’absorption du rayonnement solaire sont des moteurs convectifs particulièrement actifs. De même, les mouvements d’air entre zones contiguës et vers ou depuis l’extérieur induisent des vitesses d’air qui influent sur les flux convectifs. Malgré ces phénomènes tendant à brasser l’air, on observe souvent une stratification consistant en couches horizontales d’air stable, dont la température croît avec la hauteur. Ce phénomène est d’autant moins négligeable que le local a une grande hauteur sous plafond. Tout ceci fait de la convection un phénomène mal contrôlé et difficile à représenter avec précision et détails. Plutôt que d’essayer de résoudre l’équation locale de Navier-Stockes (C’est impossible dans le cas général), on fait appel à des corrélations qui donnent les valeurs du nombre de Nusselt ou des coefficients d’échange superficiels en fonction de paramètres décrivant les principales configurations possibles, par exemple sous la forme suivante : h c = a ∆T n + b avec hc , ∆T, a, b et n respectivement coefficient d’échange convectif superficiel [W/m2 · K)], écart de température entre l’air et la surface de la paroi (K), paramètres dont les valeurs ont été mesurées expérimentalement [18]. Les valeurs constatées diffèrent beaucoup selon les auteurs et nous ne les indiquerons pas ici. Dans le doute, on préfèrera utiliser des valeurs constantes de h c qui, bien que plus conventionnelles, permettent toutefois de comparer différents résultats sans qu’un biais ne soit introduit par une représentation faussement précise. On retiendra les valeurs suivantes, mesurées par le CEBTP [18], et qui diffèrent selon la nature de la paroi et la saison : (0) h c

[W/(m2 · K)]

été hiver

paroi verticale

plancher

plafond

2,5 5,6

0,5 1,0

6,0 6,6


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1.3.2 Échanges convectifs extérieurs De la même façon qu’à l’intérieur, les faces extérieures des parois échangent de la chaleur sous forme convective avec l’air extérieur. Mais cette fois-ci, l’ambiance extérieure n’est pas aussi tranquille et les échanges convectifs sont fortement tributaires du vent. De nombreuses corrélations sont disponibles pour évaluer h c . En voici une [4] : paroi sous le vent

h c = 9 + 0,7 v h

paroi au vent

h c = 8v h, h c = 12

avec v h

0 605

si v h > 2 m/s si v h < 2 m/s

vitesse du vent, fonction de l’altitude moyenne de la paroi.

1.4 Échanges d’air et d’humidité On s’intéresse maintenant aux échanges d’air entre zones et avec l’extérieur. Nous n’aborderons pas les échanges d’air entre différentes parties d’une même zone que nous supposerons à température homogène. Les échanges sont dus aux différences de pression qui peuvent exister de part et d’autre d’orifices qui rendent les communications possibles à travers les parois. Ces différences de pression peuvent avoir pour origine des différences de température entre zones, l’effet de surpression du vent sur les faces, ou des appareils de ventilation mécanique. Les ouvertures peuvent être de surface plus ou moins grande (fenêtres, grilles ou fissures) et plus ou moins étendues. Le débit d’air Q (m3 /s) à travers un office s’exprime, quelles que soient sa taille et sa forme, en fonction de la différence de pression existant entre les deux ambiances qu’il relie et des caractéristiques géométriques de l’orifice ou de l’élément qui présente des interstices. On retiendra la relation suivante, appliquée à un élément de hauteur dh : dQ

=

n

K p  ∆ p ( h ) dh

avec ∆p

différence de pression entre les deux ambiances communiquant par l’ouverture ou les interstices,  largeur de l’élément, –1 K p [(s · Pa) ] coefficient global de perméabilité de l’élément de hauteur dh, égal au débit d’air qu’engendrerait une différence de pression de 1 Pa exercée sur 1 m2 d’élément. K p et n varient en fonction de la nature de l’élément : K p est grand pour un orifice (0,83), faible pour un élément fermé présentant des interstices (entre 10 – 4 et 10 – 3), très faible pour une paroi opaque courante (10– 6) ; n vaut 1 pour un orifice, 0,67 pour des interstices dans un élément et 1 pour une paroi. Ces relations, bien que très simplifiées et mises en évidence depuis quelques années, sont encore d’actualité ; si on les combine avec les autres équations de la thermique dans un bâtiment, elles conduisent à un système qui n’est pas toujours simple à résoudre ; de nombreux outils de modélisation récemment mis au point oublient d’ailleurs encore de les prendre en compte. Effet du vent Le vent soufflant sur une façade crée une surpression qui s’écrit sous la forme : ∆ p = C β  1--- ρ v 2h  2 

avec C β coefficient de pression dont la valeur dépend de la configuration du bâtiment et de l’angle d’incidence β du vent sur la façade, ρ masse volumique, 2 v h vitesse moyenne du vent à l’endroit et à la hauteur où se trouve effectivement le morceau de façade considéré.

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À titre indicatif, le tableau suivant fournit des valeurs de ce coefficient pour un bâtiment de forme cubique, en fonction de β : (0) β

C β

0o 0,7

45o 0,7

90o – 0,6

135o – 0,4

180o – 0,2

La vitesse moyenne locale du vent peut être déduite de la vitesse connue en un lieu de référence proche par une correction tenant compte de l’altitude et du relief. Tirage thermique La pression absolue à une hauteur z d’une ambiance 1 à température homogène T 1 peut s’écrire en fonction de la pression à une hauteur de référence 0 : 

p 1 (z ) = p 1 (0) – ρ 1 gz avec ρ 1 masse volumique de l’air à la température T 1 , g accélération de la pesanteur. La différence de pression à une même hauteur z entre deux ambiances 1 et 2 dont les niveaux de référence sont sur une même horizontale peut donc s’écrire : p 2 (z ) – p 1 (z ) = p 2 (0) – p 1 (0) – (ρ 1 – ρ 2) gz De la même façon, si l’une des ambiances est à l’extérieur, on a : p 2 ( z ) – p e ( z ) = p 2 ( 0 ) – p e ( 0 ) – ( ρ 1 – ρ e ) gz – C β 1--- ρ e v h 2 2

La différence de pression à travers un orifice séparant deux ambiances dépend donc de sa position z et des masses volumiques de chacune des ambiances, donc de leur température et de leur taux d’humidité. Expression généralisée de la pression relative entre deux zones On introduit dans les expressions précédentes les grandeurs X i = p i (0) – p e (0) et l’on obtient l’équation générale : 

∆ p ij = X i – X j – ( ρ i – ρ j ) gz – δ j e C β 1-- ρ e v 2h 2

où δ je = 1 si j est l’extérieur, sinon δ je = 0. L’expression précédente, ou celle qui est dictée par un appareil de ventilation, peut alors être introduite dans les équations de débit des ouvertures pour en déduire les débits d’échange d’air entre zones.

1.5 Singularités thermiques dans les bâtiments L’hypothèse que les transferts thermiques ont lieu uniquement dans le sens de l’épaisseur des parois est courante, quel que soit le degré de finesse du modèle. Les singularités sont localisées aux endroits où cette hypothèse n’est, de toute évidence, plus acceptable. Les transferts se font alors le long de lignes de flux plus tortueuses et peuvent notamment contourner les parties les moins conductrices. On peut alors constater des échanges thermiques importants et localisés qui peuvent donner lieu à des dégradations du bâti (condensations, moisissures, salissures) ou à des dysfonctionnements (détérioration du niveau d’isolation). Les singularités se rencontrent à deux endroits : au niveau de ponts thermiques et dans la liaison avec le sol. Les ponts thermiques eux-mêmes se subdivisent en deux catégories : les raccordements de parois et les inhomogénéités surfaciques.

1.5.1 Raccordement de parois Au niveau des raccordements de deux parois situées dans des plans différents, les lignes de flux dans chacune des parois ne sont



pas perpendiculaires aux faces (figure 1a ) ; cela est encore plus vrai si les compositions ne se raccordent pas. Les ponts thermiques étant considérés comme des singularités par rapport à un modèle courant de transfert monodimensionnel, on a toujours cherché à les représenter par un modèle donnant l’écart par rapport au modèle monodimensionnel. La méthode la plus courante consiste à considérer que le pont thermique a une contribution uniquement statique et à négliger son inertie, sachant qu’elle est déjà partiellement prise en compte dans le modèle monodimensionnel. Les règles ThK édifiées par le CSTB [5] et, plus récemment l’AICVF [6] proposent d’évaluer le supplément de conductance dû à un pont thermique comme le produit de son développement linéique par une valeur qui dépend du type de pont thermique ; la typologie proposée est fortement structurée par la présence et la position de l’isolant dans chacune des parois qui se raccordent. Si l’on veut une représentation plus fidèle d’un pont thermique, il faut alors recourir à une méthode du type différences finies, éléments finis ou volumes finis afin de construire un modèle qui sera couplé tel quel au reste du bâtiment. Une sophistication supplémentaire consiste à diminuer la taille relative du modèle de pont thermique en lui faisant subir une réduction modale, ou en c alculant les facteurs de réponse. Les modèles bi ou tridimensionnels nécessitent beaucoup de calculs. Par ailleurs, la délimitation d’un pont thermique reste délicate ; on ne connaît qu’après coup l’endroit où les lignes de flux redeviennent perpendiculaires aux faces de parois. Aucune méthodologie systématique n’est, à notre connaissance, disponible, pas plus que ne le sont des bibliothèques de modèles types qui permettraient de faciliter leur prise en compte dans les modèles de bâtiment.

1.5.2 Ponts thermiques en partie courante de parois Les matériaux employés dans les parois peuvent présenter de fortes inhomogéneités ; c’est le cas par exemple des blocs de béton ou de brique creux, des poutrelles et hourdis d’un plancher, etc. En première approximation, on remplace le matériau hétérogène par un matériau homogène présentant les mêmes caractéristiques moyennes conductrices et capacitives. Cette méthode a l’inconvénient de remplacer un composant par un autre qui n’a certainement pas, malgré le maintien des caractéristiques moyennes, la même réponse dynamique et ne contribue pas de la même façon au comportement d’ensemble du bâtiment. Comme pour les raccordements de parois, on peut utiliser des méthodes adaptées pour construire un modèle bi ou tridimensionnel du composant. Mais ces modèles ont nécessairement des conditions aux limites d’expression plus complexe que dans le cas monodimensionnel, et les variables qui interviennent (flux et températures) sont plus nombreuses ; l’expression des raccordements aux autres composants du bâtiment peut s’en trouver alourdie.

1.5.3 Liaisons avec le sol Cette singularité constitue certainement le phénomène dont la prise en compte est la plus critiquable dans la majorité des modèles, logiciels et résultats ayant été produits jusqu’à présent. On sait, en effet, les mesures le prouvent, que le sol peut avoir une interaction importante avec le bâtiment (figure 1b ). Son comportement est fortement bidimensionnel, quelquefois tridimensionnel, ses caractéristiques sont en général très hétérogènes et mal connues, et la condition en limite basse difficile à apprécier. Une simplification courante consiste à négliger l’effet du sol en supposant le bâtiment reposant sur un vide sanitaire parfaitement ventilé, ou ayant un plancher bas très isolé sur sa face inférieure, de façon à découpler, dans le modèle, le bâtiment du sol.

Figure 1 – Flux de chaleur à travers un pont thermique

Les règles ThK déjà évoquées tiennent compte des liaisons avec le sol sous forme d’une augmentation du coefficient de déperdition du bâtiment, s’exprimant comme le produit du périmètre de l’emprise au sol par une valeur dépendant de la configuration et du type de fondations. C’est une correction minimale, qui ne sert qu’à recaler des bilans énergétiques sur de longues périodes, et n’améliore en rien la compréhension du rôle du sol dans le comportement dynamique d’ensemble. On sait que le sol a un comportement différent dans la zone centrale de l’emprise au sol où il joue un rôle de source ou de puits de chaleur selon la saison, et à sa périphérie où il n’est qu’un solide capacitif s’interposant entre l’air intérieur et l’air extérieur. La partie centrale peut donc être traitée comme un milieu monodimensionnel avec une condition en limite basse de flux nul ou de température imposée à une profondeur donnée (12 oC à 10 m par exemple). La périphérie peut alors être traitée comme un pont thermique entre l’intérieur et l’extérieur. Le guide AICVF [6] propose une méthode simplifiée permettant de calculer sa contribution statique. Si plus de réalisme était nécessaire et si les données pour alimenter le modèle étaient disponibles, on aurait recours à un modèle bi ou tridimensionnel.


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2. Quelques principes de modélisation La façon de se représenter et de modéliser la thermique dans un bâtiment est, par certains aspects, particulière et dictée par les modèles que l’on sait pouvoir ensuite mettre en œuvre. Il peut être utile de connaître les quelques constantes, principes et hypothèses qui sont souvent implicitement contenus dans ce genre de modélisation. On verra que ces hypothèses simplifient plus ou moins la modélisation et que leur utilisation est dosée de façon à être en cohérence avec les objectifs poursuivis. Un bâtiment est considéré comme un ensemble de volumes d’air (de formes généralement prismatiques, voire parallélépipédiques) limités par des parois planes horizontales ou verticales, plus rarement inclinées. Si aucune paroi n’est modélisée à l’intérieur d’un volume, chaque volume représente une pièce, dans le cas contraire un ensemble de pièces que l’on appelle zone. Les zones sont choisies de façon à présenter un comportement relativement homogène, leur état thermique est en général représenté par une seule température. Les parois sont délimitées de façon à présenter un comportement homogène sur toute leur surface, les transferts de chaleur ayant lieu dans le sens de l’épaisseur. À ce stade de la modélisation, les parois sont thermiquement couplées par convection et rayonnement autour de chaque zone et sont le siège de flux conductifs. Les parois sont (pour l’instant) les seuls éléments capacitifs du bâtiment. Les faces externes du bâtiment sont le siège d’un flux convectif avec l’air extérieur et d’échanges radiatifs infrarouges avec l’environnement (sol, bâtiments voisins, etc.). Des ouvertures (fenêtres, portes, fissures, défauts de joints, grilles de ventilation, etc.) permettent à l’air de circuler entre les zones, et entre ces zones et l’extérieur ; ces échanges d’air sont représentés par des débits volumiques d’air. Enfin, des parois transparentes (vitrages), en général portées par les façades extérieures, permettent au rayonnement solaire de pénétrer à l’intérieur du bâtiment. On ne prévoit pas, en général, d’échanges radiatifs (qu’ils soient infrarouges ou visibles) entre faces attachées à des zones différentes. Pour ce qui concerne les échanges d’air, deux hypothèses importantes sont couramment admises. La première est que l’air se comporte comme un fluide incompressible, ce qui va permettre de faire des bilans de masse. La seconde stipule que l’absorption, par les parois, de la vapeur d’eau contenue dans l’air est négligeable devant les phénomènes de mélange et de diffusion à travers les pièces d’un bâtiment. Selon les techniques de résolution employées et les objectifs poursuivis, un modèle repose sur un nombre plus ou moins important d’hypothèses simplificatrices. Nous en expliciterons quelques-unes au fur et à mesure de la présentation des modèles ; nous évaluerons les modes de transfert qui relient les composants, pour ensuite passer en revue les principales techniques modélisant les bâtiments en entier. Pour plus de détails sur les méthodes de modélisation, le lecteur se reportera au chapitre Comportement thermique dynamique des parois planes [B 2 040] dans ce traité.

3. Comportement dynamique d’un bâtiment Le comportement d’ensemble d’un bâtiment est le résultat du couplage de tous ses composants. L’objectif de la modélisation d’un bâtiment est principalement de caractériser l’état thermique des zones (pièces ou regroupement de pièces de comportement homogène) où justement se produisent l’essentiel des couplages. Les couplages, sont, nous allons le voir, instantanés. Mais l’évolution de chacun des composants du bâtiment résulte de processus dynamiques que les couplages modifient.

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Figure 2 – Couplage convectif entre parois et air d’une zone

Ce comportement n’est pas une simple juxtaposition du comportement de ses composants. Nous verrons dans un premier temps l’expression des équations de couplage (§ 3.1), puis leur traduction dans un certain nombre de méthodes de simulation et d’analyse (§ 3.2)

3.1 Bilans énergétiques L’expression des couplages est obtenue en faisant des bilans : bilan de chaleur sensible pour raccorder les modèles de conduction dans les composants, bilan de masse pour raccorder les modèles d’échange d’air ou de vapeur entre zones, bilan enthalpique pour prendre en compte à la fois les échanges de chaleur sensible et de chaleur latente.

3.1.1 Bilan de chaleur sensible En thermique du bâtiment, les bilans sont traditionnellement construits zone par zone, lieu où s’effectue le principal couplage entre les composants. Le bilan énergétique d’une zone consiste à égaler, d’une part la somme de tous les flux de chaleur entrant ou sortant, d’autre part la variation temporelle de l’enthalpie H , de l’air supposé sec : d dH -------- = ------ ( ρ c air V θ air ) dt dt

=

∑i φ i

avec ρ c air capacité thermique volumique de l’air, θ air sa température, V volume de la zone et φ i flux algébrique de chaleur entrant par la frontière i . Bien que les couplages soient souvent cachés dans les méthodes de simulation, nous allons expliciter un modèle de couplage sur un exemple simple. Couplage convectif : soit quatre parois indicées i dont une face de surface S i , à température θ i , est le lieu d’un échange convectif avec l’air d’une zone à température θ air représenté par un coefficient d’échange superficiel hi (figure 2). L’air est renouvelé à partir de l’extérieur à température θ ext à raison d’un débit constant Q. Le couplage s’écrit : d dt

ρ c air V ------ ( θ air )

φ 1 + φ 2 + φ 3 + φ 4

=

 













+

φ r + P



4

=

∑ hi S i ( θ i

–

θ air ) + ρ c air Q ( θ ext – θ air ) + P

i = 1



avec P puissance dissipée par exemple par des convecteurs électriques. Dans l’équation de couplage, déduite du bilan des flux, interviennent les températures des faces des parois et celle de l’air. Selon la méthode de résolution retenue, cette équation sera exploitée de différentes façons (§ 3.2). Notamment, si l’on préfère construire une modélisation de type « système », on va introduire un modèle de couplage qui sera à son tour raccordé aux modèles de parois. Le modèle de couplage peut par exemple s’écrire : 4

d dt

ρ c air V ------- ( θ air )

=

∑ ψ i

+

ρ c air Q ( θ ext – θ air ) + P

i = 1

ψ i = h i S i ( θ i ′

–

θ ai r )

avec θ i ′ température de la face i du modèle de couplage, et ψ i flux entrant dans le modèle de couplage à travers cette même face. La variable d’état du modèle est la température d’air et les températures et flux des faces i sont les variables de couplage du modèle. Sachant que nous disposons de 4 modèles de parois indicés i ayant, parmi d’autres variables de couplage, une température θ i et un flux entrant φ i à travers la face à raccorder, le raccordement s’écrit : θ i = θ i ′

et φ i = ψ i pour i = 1 à 4 On est alors amené à effectuer systématiquement un bilan sur chaque élément de couplage pour en déduire le modèle de couplage, puis de le raccorder aux autres modèles au moyen d’interfaces non capacitives sur lesquelles on impose la continuité du champ de température et un bilan sensible correct. Ces interfaces peuvent être interprétées comme la traduction d’une condition de contact parfait.

3.1.2 Bilan de masse Bilan d’air Les mouvements d’air dans un bâtiment constitué de zones à température homogène s’apparentent aux arêtes d’un graphe dont les zones sont les sommets. Pour chaque zone, le bilan de masse va consister à écrire que la somme algébrique des débits entrant et sortant est nulle, l’hypothèse d’incompressibilité de l’air ayant été faite. On note Q ij le débit volumique d’air allant de la zone i à la zone j ; Q ii est nul par définition, et Q ij est nul si aucun débit ne va de i vers j (on notera que, en général, Q ij ≠ Q ji ). Le bilan d’une zone i s’écrit alors : 

∑

j ∈ zones

ρ j air Q ji – ρ i air

∑

j ∈ zones

Q ij = 0

où l’on a supposé que l’air extérieur était référencé comme les zones par une valeur que peut prendre l’indice j ; la masse volumique ρ i air de l’air dans la zone i dépend de sa température et de son taux d’humidité. Ces équations permettant de coupler les équations d’échange d’air entre zones sont du type : Q ij = f ij (∆p ij ) = g ij (X i , X j , ρ i air , ρ j air ) avec X i (X j ) différence de pression absolue dans la zone i ( j ) à une hauteur de référence. L’effet du vent ou d’appareils de ventilation introduit des termes de sollicitation. En reportant ces équations de débit dans les équations de couplage des débits, on obtient un système de N équations à N inconnues X i , N étant le nombre de zones du bâtiment, d’où l’on peut extraire, dans l’ordre, les valeurs des pressions puis celles des débits.

Bilan de vapeur De la même façon que précédemment, on peut construire des bilans de vapeur par zone : 

d ( M ) dt i vap -------

=

d ρ --------V i --------i vap dt

=

∑

j ∈ zones

ρ j vap Q ji –

∑

j ∈ zones

ρ i vap Q ij + Q i vap

avec M i vap masse totale de vapeur, ρ i vap masse volumique de la vapeur dans l’air humide de la zone i (idem zone j ) et Q i vap production de vapeur dans cette zone (un appareil de déshumidification conduira à une valeur négative de Q i vap). En régime permanent, le bilan est nul. On reconnaît le même système d’équations que pour les masses d’air, au terme de source Q i vap près. On a N équations à N inconnues ρ i vap que l’on peut résoudre. Si les termes de source sont nuls, les masses volumiques de vapeur sont proportionnelles à celle de l’air humide, ce qui traduit que la teneur en eau reste constante, égale à celle de l’air extérieur.

3.1.3 Bilan enthalpique Le bilan enthalpique s’effectue de la même façon qu’un bilan sensible. Il suffit de remplacer, partout où elle intervient, l’expression de la chaleur sensible de l’air par l’expression de son enthalpie d’air humide. Par exemple, le bilan d’une zone k où n’intervient que de la convection avec quatre parois s’écrira : d ( H ) dt k ------

=

dq k dt

ρ k air V k ---------4

=

∑ hi S i ( θ i

i = 1

–

θ k air ) +

∑

j ∈ zones

ρ j air q k Q jk – ρ k air q k

∑

j ∈ zones

Q kj

avec V k , H k et q k respectivement volume, enthalpie et enthalpie massique de l’air humide de la zone k . Les termes de flux enthalpiques sont dus aux échanges d’air avec d’autres zones. On aura noté que seuls les échanges d’air modifiés dans l’expression enthalpique du bilan. On a pour cela négligé en effet : — les échanges de vapeur avec les composants solides qui peuvent, compte tenu de leur porosité, absorber et désorber de la vapeur ; — les effets de condensation et d’évaporation sur les faces et à l’intérieur de ces mêmes solides. On peut, par ailleurs, expliciter les enthalpies massiques et les masses volumiques d’air en fonction des masses volumiques de vapeur et des températures. Si l’on tire les valeurs de ces masses volumiques des équations de bilan de vapeur, on se retrouve finalement avec des équations en température, comme dans le cas des bilans sensibles.

3.2 Stratégies de résolution Le comportement de chaque composant d’un bâtiment peut être décrit par un système d’équations algébriques, différentielles et/ou matricielles dérivant des équations de la physique, et du choix de conditions aux limites délimitant le contour du composant. Mais ces conditions aux limites sont, pour la plupart, arbitraires et fictives, car seules sont imposées des relations de compatibilité et de continuité entre composants. Ces relations sont traduites par des équations de couplage qui peuvent prendre des formes aussi diverses que celles de modèles de composants. En thermique du bâtiment, ces couplages s’expriment toujours à l’aide de deux réa- lités physiques : — la continuité spatiale de la température à l’endroit où se raccordent les composants ; — la non-accumulation d’énergie thermique dans les interfaces (immatérielles) de raccordement.


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Ne disposant que d’une place limitée dans ce chapitre, nous ne présenterons que quelques-unes parmi les méthodes les plus intéressantes. La méthode des différences finies permettra d’utiliser le principe des méthodes de résolution globale. La méthode de couplage permettra de comprendre les bases de méthodes plus puissantes, mais plus complexes, telles que le formalisme d’évolution par transferts (FET) [7]. Les principes des fonctions de pondé- ration , basées sur les facteurs de réponse des composants, et ceux du couplage harmonique seront rapidement indiqués. Enfin, nous présenterons la méthode modale. Pour avoir plus de détails sur ces méthodes, on pourra se reporter au chapitre Comportement thermique dynamique des parois planes [B 2 040] dans ce traité. Dans toutes ces méthodes, le couplage des modèles de composants a des conséquences extrêmement importantes et requiert une analyse fine. On constatera que les caractéristiques, notamment dynamiques, qui décrivent le comportement d’ensemble d’un bâtiment, ne résultent pas d’une somme de celles de ses composants. Les couplages bouleversent cette somme et font apparaître des caractéristiques d’ensemble. Ce phénomène est surtout vrai pour les caractéristiques dynamiques (on sait que le coefficient de déperdition d’un bâtiment est une somme pondérée de ceux des composants en contact avec l’extérieur). Ces phénomènes sont plus ou moins visibles dans les méthodes présentées ; mais tout cela devient plus clair avec les méthodes de couplage, ou la méthode modale, par laquelle nou terminerons ce paragraphe. Mais commençons par poser les équations de couplage qui apparaissent dans un simple bâtiment monozone.

3.2.1 Exemple d’un bâtiment monozone : composants et couplages Construire un modèle de bâtiment consiste à repérer les composants ayant une certaine cohérence thermique, à identifier les sollicitations et à exprimer les couplages. C’est déjà une analyse a priori du bâtiment et l’on n’oubliera pas que l’information tirée des résultats obtenus avec un modèle est limitée par le cadre des hypothèses qui ont été faites lors de l’élaboration du modèle. Modélisons un bâtiment de type parallélépipède rectangle à un niveau de détail juste suffisant pour en tirer des éléments d’analyse pertinents pour un calcul de consommation de chauffage ou pour l’évaluation des surchauffes dues à des apports solaires mal gérés. Hypothèses Les parois sont indicées par i variant de 1 à 6 ; la première est celle qui supporte la fenêtre ; la fenêtre est repérée par l’indice 7. La conduction est supposée monodimensionnelle dans les parois et vitrages qui échangent de l’énergie sous formes convective et radiative par leur face intérieure, uniquement convective à l’extérieur (afin de simplifier). L’air intérieur est à température homogène θ air . Un vide sanitaire parfaitement ventilé (et donc à la même température que l’air extérieur) permet d’éviter le problème du contact avec le sol. Le rayonnement solaire est transmis par le vitrage et absorbé uniquement par les faces internes des parois. 

Modélisation Parois Chaque paroi est représentée par un modèle de conduction monodimensionnelle limité par une condition de 1 ère espèce sur la face intérieure gauche (température de surface imposée), de 3 e à l’extérieur droite (échange par flux convectif). Le flux conductif (§ 1.1.1) sortant de la face gauche est noté φ cd,i . Nous disposons de plusieurs modèles qui, connaissant θ g,i et θ d,i permettent de suivre l’évolution de l’état θ i et du flux φ cd,i . 



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___________________________________________________________

Volume d’air L’air intérieur, de volume V , est limité par des surfaces à température θ cv , i avec lesquelles existe un échange convectif. L’équation d’évolution (§ 3.1.1), dans laquelle sont inclus la puissance P éventuellement dissipée par un système de chauffage et le renouvellement d’air, est la suivante : 

d θ air ρ c air V -----------dt

=

∑i hi S i ( θ cv ,i

–

θ air ) + ρ c air Q ( θ ex t – θ air ) + P

Ce modèle peut également fournir les flux convectifs φ cv,i entrant dans les parois : φ cv,i = hi S i (θ air – θ cv,i )

Rayonnement infrarouge Sept parois indicées i (en comptant la fenêtre comme une paroi transparente) dont la face intérieure est à température θ rd ,i échangent de l’énergie sous forme radiative. Le flux net φ rd,i gagné par la paroi i vérifie, une fois linéarisée, une solution de la forme (§ 1.2.1) : 

φ rd , i =

∑ j

 ij

( θ rd, i – θ rd, j )

Rayonnement solaire Chaque face interne de paroi i absorbe un flux net radiatif φ sol,i (§ 1.2.2).  Couplage Pour chague face interne i correspondant à la partie gauche de la paroi, on obtient : 

θ g,i = θ cv,i = θ rd,i φ cd,i + φ cv,i + φ rd,i + φ sol,i = 0 Remarque : on observera que les seuls éléments capacitifs sont les parois et l’air. Les relations de couplage sont instantanées et n’ont pas de support matériel. Certains considèrent parfois le modèle d’échanges radiatifs comme une relation de couplage. Il est certainement préférable et rationnel, comme nous venons de le faire, de construire un modèle de couplage radiatif et de pouvoir écrire ensuite systématiquement les relations de couplage en flux et température.

Échanges d’air et d’humidité Les couplages par l’air et l’humidité n’interviennent, compte des hypothèses habituelles, que dans le cas où sont considérées plusieurs zones. Rappelons que ce couplage est résolu indépendamment, en itérant entre le modèle thermique et le modèle des mouvements d’air et de vapeur. 

3.2.2 Méthode de résolution globale : différences finies Cette méthode consiste à effectuer une discrétisation spatiale de l’équation de la chaleur, puis à rassembler l’ensemble des équations dans un seul système matriciel différentiel et, enfin, à simuler en réalisant une intégration numérique temporelle. Chaque paroi i vérifie un modèle matriciel de la forme : d θ θ C i --------i = A i θ i + E i g,i dt θ

d,i

avec C i matrice diagonale et Ai matrice bande dont la largeur dépend de l’ordre de discrétisation choisi. Juxtaposons tous les modèles de paroi et celui de l’air dans un même système matriciel où l’on a tenu compte du fait que la sollicitation température droite des parois est égale à θ ext et que celle



de gauche est égale à une des sollicitations du modèle du volume d’air θ g,i = θ p,i afin d’avoir une écriture plus condensée : C 0

θ (t ) = J θ (t 0 ) + KU + Lξ

θ air

C 1

avec J , K , L matrices s’exprimant en fonction des matrices C , A, F 1 et F 2 , de chacune des parois et du pas de temps d t que l’on combine avec l’équation (2) :

d θ 1 dt -------

… C 7

θ 7

(BL + H ) ξ (t ) + (BK + D ) U (t ) + BJ θ (t 0) = 0

A0 =

Une discrétisation temporelle de la relation (1) permet d’exprimer l’état θ au temps t en fonction de l’état à un temps précédent t 0 :

θ air

A1

θ 1

… A7 θ 7

+

F 1

θ ext

P

θ p,1 +

F 2 θ p,7

ou encore : d θ C ------- = A θ + F 1 U + F 2 ξ dt

(1)

où l’on a noté U le vecteur contenant les sollicitations température extérieure et puissance de chauffage, ξ celui contenant toutes les températures de couplage θ p,i . Les matrices F 1 et F 2 se déduisent des matrices E i juxtaposées par un réarrangement de lignes et de colonnes permettant de pointer sur les bonnes sollicitations. Ce système matriciel est rigoureusement équivalent aux modèles de paroi et d’air pris individuellement, aucun couplage n’a encore été fait. Le couplage va consister à éliminer les températures de couplage du système précédent, puisque, pour le bâtiment, elles ne sont plus des sollicitations. On va pour cela développer les relations de compatibilité des flux qui sont toutes du type « somme des flux arrivant sur une interface égale à zéro ». Ces flux peuvent être des sollicitations contenues dans U (cas d’un rayonnement solaire absorbé) ou s’exprimer en fonction des variables de couplage contenues dans ξ (cas d’une température à l’interface) et des variables d’état des composants contenues dans θ (température aux nœuds voisins de l’interface par exemple) : B θ + DU + H ξ = 0

(2)

en notant : θ ext

P U = φ sol,1 φ sol,7

et B , D , H matrices constituées des coefficients qui interviennent dans les relations de compatibilité sur chaque interface. On en déduit une expression de ξ (variables de couplage) que l’on reporte dans la relation (1). A était après juxtaposition, une matrice bloc diagonale. Après élimination de ξ , apparaissent des termes extradiagonaux de couplage. Même si leur valeur numérique est faible, ils jouent un rôle numériquement important et traduisent un phénomène physiquement important. On obtient finalement un système matriciel ayant pour entrée les sollicitations appliquées au bâtiment et pour variables d’état les températures aux nœuds des composants. Une discrétisation temporelle fournit un modèle de type différences finies.

3.2.3 Méthode de couplage Afin de manipuler des matrices de taille plus faibles que dans le cas précédent, on résout en parallèle et alternativement un système qui décrit l’évolution des variables de couplage, et un ature qui, pour chaque composant, décrit l’évolution des variables d’état.

La dimension de cette équation matricielle est égale au nombre de variables de couplage et peut être résolue en ξ . À chaque pas de temps, les valeurs des variables de couplage sont reportées dans chacune des équations des composants qui sont résolues indépendamment afin de calculer les nouvelles valeurs des états θ i , et donc de θ . On n’a ainsi jamais eu à traiter le problème en un seul bloc ; on résout alternativement les couplages, d’une part, et les modèles de composant, d’autre part. Dans le cas de sept parois dont les modèles contiennent chacun vingt variables d’état, les différences finies nécessistent l’inversion, puis le produit, de matrices [141 × 141], alors que la méthode de couplage gère sept matrices [20 × 20] et demande l’inversion d’une matrice de couplage [7 × 7]. Cette méthode permet de réduire la complexité de modèles globaux de bâtiments en les partitionnant en modèle de couplage et modèles de composants. Des problèmes nécessitant des maillages fins et amenant à gérer un grand nombre de variables d’état peuvent ainsi être résolus sur des machines de moindre puissance. Les mêmes principes sont à l’origine des Fonctions d’Évolution par Transferts [7], qui s’appliquent à un domaine plus large que la thermique et à des systèmes de plus grande complexité.

3.2.4 Fonctions de pondération Les facteurs de réponse d’une paroi sont l’ensemble des réponses des flux à travers les faces gauche et droite à des évolutions unitaires simples (triangle) des températures intervenant dans les conditions aux limites. Une évolution plus réaliste de ces températures peut être décomposée en une série temporelle pondérée d’évolutions unitaires. On appelle fonctions de pondération la méthode qui consiste à calculer le comportement d’ensemble d’un bâtiment en faisant une somme pondérée des facteurs de réponse de ses composants. Plaçons-nous dans le cas le plus simple où les échanges sont uniquement de type convectif. Supposons que le bâtiment soit constitué d’un seul volume d’air et limité par un certain nombre de parois indicées i . Pour chaque paroi, on connaît les facteurs de réponse de la densité de flux ϕ i prise (par exemple) à l’ambiance droite (intérieure) aux températures des ambiances gauche θ ext et droite θ air . À un instant donné t , le flux perdu par l’air intérieur est la somme des flux absorbés par les faces internes des parois et le renouvellement d’air : φ ( t )

=

∑i S i ϕ i

+

ρ c Q ( θ air – θ ext )

qui s’exprime en fonction des facteurs de réponse des parois i et de l’histoire des sollicitations θ ext et θ air . Les flux absorbés par les deux faces des parois intérieures (cloisonnement par exemple), si elles existent, doivent être également pris en compte ; ils contribuent en effet de façon importante à la dynamique du bâtiment. Pour un calcul d’appel de puissance par exemple, on supposera θ air à sa valeur de consigne θ cons depuis un temps suffisamment grand (durée des séries de facteurs de réponse et donc mémoire du système) et, connaissant l’évolution passée de θ ext , on en déduit, par sommation pondérée, φ (t ). Un bilan incluant les apports solaires et dégagements internes divers permet de calculer la puissance de chauffage appelée P : P + Apports – φ = 0


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Le lecteur aura remarqué que l’on suppose que l’air est constamment en équilibre thermique, ce qui est une hypothèse acceptable avec les pas de temps généralement utilisés (1 h). Si la puissance appelée sort de l’intervalle des valeurs admissibles [0, P max], la température intérieure θ air est corrigée pour tenir compte de la sous-chauffe ou de la surchauffe : θ air

=

∆ φ θ cons + ------r 0

avec ∆ φ surplus de flux trouvé dans le bilan et r 0 facteur de réponse instantanée de flux total gagné par l’ambiance en réponse à la température intérieure ; ce facteur est obtenu en ne conservant que les termes de réponse instantanée dans la relation du flux φ (t ). C’est bien entendu cette nouvelle valeur de θ air qui est placée dans l’historique et qui est utilisée pour les calculs aux pas de temps suivants. Des couplages plus complexes peuvent être réalisés avec cette méthode, par exemple en utilisant les facteurs de réponse des températures des faces internes des parois en vue de la prise en compte des échanges radiatifs infrarouges. Les flux solaires absorbés par les parois sont eux plus simplement introduits grâce à une température équivalente θ eq qui prend la place de la température d’air pour les échanges convectifs : θ eq

=

ϕ abs

θ air + -----------

hc

3.2.5 Couplage harmonique On procède de façon similaire aux fonctions de pondération. L’expression harmonique du flux total perdu par l’air intérieur est obtenue en sommant les réponses harmoniques de tous les flux gagnés par les faces des composants où se produit un échange convectif avec cette ambiance, ce qui, dans le plan complexe, est traduit par une simple somme vectorielle (figure 3) indiquant déphasage et amortissement par rapport à une réponse théorique instantanée. Jusqu’ici, seuls sont considérés les couplages convectifs parois/ambiance. Notons φ nominal (ω ) le flux ainsi trouvé, ω étant la pulsation de la sollicitation. Si le couplage radiatif direct entre les parois (et les autres composants s’il y en a) peut être linéarisé, il a été montré [10] que le flux réel φ réel (ω ) se déduisait simplement de φ nominal (ω ) par une relation où n’interviennent que la géométrie et les caractéristiques radiatives des surfaces. Si l’on suppose que le bâtiment est en évolution libre (aucun système de climatisation ne fonctionne), le bilan de tous les flux (transferts vers les composants, gains solaires, apports internes, etc.) doit être égal à zéro et fournit l’expression harmonique de la température intérieure.

Figure 3 – Décomposition de la réponse harmonique du flux gagné par une zone comme une somme des flux apportés par les composants

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___________________________________________________________

On a ainsi deux utilisations principales possibles : on fixe l’évolution de la température intérieure (par exemple θ air = θ cons = Cte ) et l’on déduit celle de la puissance à injecter ou l’on suppose cette dernière nulle, et l’on en déduit l’expression de l’évolution de la tempérautre d’air. On pourra se reporter à [11] où la méthode a été appliquée au couplage de composants multidimensionnels, tels que des ponts thermiques.

3.2.6 Méthode modale Un modèle modal de bâtiment peut être obtenu par diagonalisation d’un modèle de type volumes, différences ou éléments finis [8] ou par synthèse des éléments propres de ses composants [9]. Le modèle a dans tous les cas la forme canonique suivante : dU dX -------- = FX + B -------dt dt T = PX + GU Y = HX + SU avec U vecteur des sollicitations, X vecteur d’état modal, T champ complet des températures, Y vecteur d’observation du bâtiment. En général, les sorties regroupées dans Y contiennent les températures d’air (ou les températures résultantes) T i des différentes zones homogènes du bâtiment. Les sollicitations U regroupent classiquement la température extérieure T ext , le flux convectif P i dissipé dans chacune des zones i par un système de chauffage ou de climatisation, puis les s ollicitations traduisant l’impact du rayonnement solaire sur le bâtiment. Dans le cas le plus simple, on n’aura qu’une seule sollicitation égale à la densité de flux radiatif total incident sur un plan de référence d’orientation et d’inclinaison judicieusement choisies (vertical sud en général), avec : F matrice diagonale (N × N) regroupant les N valeurs propres placées dans le même ordre que les fonctions propres dans la matrice P ; B matrice d’excitation (N × D) du modèle ; P matrice rectangulaire (M × N) regroupant les N premières fonctions propres échantillonnées sur le maillage d’ordre M ; G matrice rectangulaire (N × D) de réponse instantanée décrivant les différents champs échantillonnés en régime permanent pour chacune des sollicitations ; S matrice statique (Q × D) regroupant les paramètres reliant, en régime permanent, chacune des D sollicitations à chacune des Q variables observées ; H matrice d’observation (Q × N) . si Q , N , D et M sont respectivement le nombre de variables d’observation de modes, de sollicitations du modèle et de nœuds du maillage. Le plus souvent, le modèle modal est construit par diagonalisation, à partir d’un modèle discrétisé en espace. Les matrices H , F , B , S , G et P s’expriment alors simplement en fonction de celles du modèle initial. On pourra se reporter au chapitre Comportement thermique dynamique des parois planes [B 2 040] pour avoir plus d’informations sur la méthode. Il suffit de savoir ici que le principal avantage de cette méthode est que seuls quelques modes jouent un rôle non négligeable dans le système matriciel précédent, et que l’on peut procéder, sans perte notable de précision, à une réduction très importante de l’ordre (de la taille) du modèle. On a l’habitude de s’aider de différents outils d’analyse dont le plus courant est le spectre de réponse indicielle, ensemble des



contributions de chacun des modes à la réponse d’une variable d’observation q à une sollicitation échelon d : r qd ( n )

tion d’évolution d’un état entre deux instants successifs s’écrit, en supposant une variation linéaire de U au cours du temps : X n [(i + 1) ∆t ]

H B S qd

– qn nd = --------------------------

=

que l’on voit apparaître dans l’expression analytique de la réponse indicielle : N

Y q ( t )

=

S qd 1 –

∑ r qd ( n ) eF

n t

n = 1

On constate dans l’expression précédente que les valeurs propres F n ont une dimension inverse à celle d’un temps. Les inverses de ces valeurs propres : τ n = – 1/ Fn sont les constantes de temps du système, la plus grande étant la constante de temps principale, celle qui détermine les évolutions les plus lentes. On peut représenter graphiquement (figure 4) ce spectre sous forme de raies verticales de hauteur r qd (n ), placées aux abcisses respectives τ n (échelle logarithmique).

1 – e F n ∆t X n ( i ∆t ) e F n ∆t – --------------------F n ∆t

D

∑

B nd [ U d ( i + 1 ) ∆t – U d ( i ∆t ) ]

d = 1

On constate que l’évolution des états nécessite peu de calculs, et se trouvera de plus accélérée par toute réduction modale. La prédominance quasi systématique du mode principal justifie la validité des modèles à une constante de temps. Cette constante de temps est le dernier paramètre à subsister lorsqu’on réduit à l’extrême la description de l’inertie thermique. C’est d’ailleurs celui que nous avons utilisé dans des recherches de corrélations en vue du calcul simplifié de besoins de chauffage [12]. La méthode modale indique qu’une dizaine de paramètres sont capables de décrire le comportement d’un bâtiment avec la même précision que des modèles contenant un nombre beaucoup plus grand de paramètres. Le modèle modal est ainsi très utilisé dans des techniques d’identifications utilisées notamment par des algorithmes dans des régulateurs et contrôleurs de systèmes de climatisation. Enfin, même si une réduction moins sévère est effectuée, les simulations qui en découlent sont de toutes façons plus rapides, et ne posent aucun problème numérique. Il reste que la diagonalisation est un investissement initial coûteux, et qu’il faut savoir rentabiliser. La synthèse modale de composants [13] [9] est une technique qui permet, comme la méthode de couplage pour la simulation, de conserver la structure de couplage au cours des calculs afin d’éviter la manipulation d’entités numériques de trop grande taille.

4. Informatique et thermique des bâtiments Figure 4 – Spectre de réponse indicielle d’une température de zone à la température extérieure

On superpose souvent la courbe de réponse Y q (t ). Dans la figure 4, on observe clairement la dominance de 4 modes, et notamment du premier qui est associé à la constante de temps principale, alors que le modèle initial avait environ 40 modes. Il faut noter que, quels que soient les modes supprimés au cours de la réduction, la réponse statique du modèle n’est pas altérée, ceci étant dû au fait que le terme de régime glissant a été séparé du terme dynamique. Afin de minimiser l’erreur qu’engendre la troncature sur les réponses transitoires, diverses méthodes permettent de corriger le terme dynamique de la réponse. La plupart de ces méthodes consistent à remplacer l’ensemble des modes supprimés par un ou quelques pseudo modes associés à des constantes de temps. Ces pseudo modes sont choisis de façon à ce que l’ensemble modes-pseudo modes vérifie les relations d’orthogonalité ; c’est une propriété essentielle du modèle modal. La méthode d’aggrégation est la plus récente et la plus efficace [16]. Simulation modale : la simulation dynamique à partir d’un modèle modal est particulièrement simple et sûre. Aucune discrétisation temporelle n’est nécessaire et le modèle est inconditionnellement stable. Si l’on suppose que les sollicitations sont échantillonnées avec un pas de temps ∆t , l’intégration de l’équa-

Les puissances de calcul et d’archivage des ordinateurs maintenant accessibles à la plupart des professionnels du bâtiment rendent possibles les calculs numériques les plus complexes. Mais multiplier les besoins en puissance de ces méthodes est si facile que les simulations dynamiques prennent encore un temps qui devient vite insupportable. D’où l’intérêt des réductions de modèles ou raffinements numériques divers qui permettent de gagner de précieuses secondes et beaucoup d’octets. À titre d’illustration, une simulation du comportement d’un bâtiment sur une année entière avec un modèle de type différences finies incluant 250 nœuds durant une heure peut ne prendre que cinq minutes après réduction modale à l’ordre 5 sur un ordinateur personnel. La taille du modèle passerait simultanément de 65 000 octets à 70 (cas d’un modèle n’ayant qu’une variable observée et dix sollicitations). En France sont disponibles de nombreux logiciels réalisés par de grands organismes institutionnels, des centres de recherche ou des professionnels. Ils reposent sur des méthodes variées, dont les principales ont été présentées ici, et sont implémentés sur des machines allant des ordinateurs personnels aux gros calculateurs scientifiques. On trouvera une analyse relative exhaustive de leurs caractéristiques et leurs références dans [14]. Nous n’en citerons ici que deux, m2m [23] et COMFIE [15], qui reposent tous deux sur des techniques modales. Le premier rassemble l’ensemble des résultats des recherches effectuées au sein du GISE en ce domaine et ne cesse d’évoluer. Le second est un outil suffisamment stable et abouti pour être utilisé directement par un nombre non négligeable d’architectes sensibles aux problèmes de thermique du bâtiment. L’informatique ne se limite plus actuellement aux calculs numériques ; on peut manipuler de l’information textuelle, logique, et des graphiques. Les systèmes experts permettent ainsi d’effec-


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tuer des raisonnements et commencent à être utilisés pour entrer les données ou analyser les résultats de logiciels de calculs classiques. Les résultats ont depuis longtemps été traduits sous forme graphique, mais la saisie des informations et l’interactivité graphique sont plus récents et encore peu répandus, faute d’apporter un gain de productivité substantiel ou de réelles possibilités nouvelles. Mais la recherche se poursuit et s’intéresse à la cohabitation de la thermique avec les autres aspects techniques de la conception, de la gestion ou du diagnostic. La thermique n’est en effet pas souvent la priorité parmi l’ensemble des préoccupations des décideurs et concepteurs. On tente donc de développer des outils d’évaluation thermique exploitant autant que possible l’information disponible pour d’autres finalités. L’intégration de la thermique consiste alors à mener une analyse des performances énergétiques ou à tester, du point de vue de la thermique, différentes solutions constructives ou divers partis architecturaux, en puisant dans la masse d’informations gérée au cours de la conception en ne demandant de préciser que ce qui est vraiment spécifique à la thermique. Cette intégration est d’autant plus nécessaire que l’on cherche à chaîner ces calculs avec des outils de saisie graphique interactive qui ne se justifient pas pour la thermique seule. L’ensemble de ces développements essaie de masquer la complexité des calculs sous-jacents et d’améliorer l’ergonomie de la saisie et l’exploitation des résultats ; ils contribuent ainsi à la mise au point d’outils dits de CAO (Conception Assistée par Ordinateur). Mais l’absolu des objectifs poursuivis est certainement utopique (car il s’agit, finalement, de remplacer les hommes qui interviennent dans la conception par des automates bénéficiant d’un savoir sans faille et sans nuance) et l’utilisateur devra continuer à douter de résultats qui peuvent être parfois surprenants ; il sera, pour cela, toujours utile d’avoir quelques notions des méthodes de calculs et de leurs domaines d’application et de validité.

5. Résultats de simulation Dans ce paragraphe, nous indiquerons sommairement les données nécessaires à la mise en œuvre d’une simulation et les différentes formes que peuvent prendre les résultats. Les simulations requièrent une description de l’évolution des variables d’entrée des modèles. Ces entrées décrivent le climat d’un site donné où est supposé se trouver le bâtiment : les flux de chaleur (négatifs en cas de réfrigération) correspondant aux puissances émises par les appareils de climatisation ou dus à des dégagements internes (lampes, appareils électroménagers, etc.), et les éventuels flux de vapeur émis. Pour les simulations, le temps est une variable discrète et toutes les entrées des modèles sont spécifiées comme des successions de valeurs prises à chacun des instants discrets. Le pas de temps (écart qui sépare deux instants discrets successifs) est constant, souvent égal à une heure. On notera que la précision et la finesse temporelle avec laquelle sont décrites les évolutions des variables d’entrée limite celle des variables de sortie que l’on observe.

5.1 Données d’entrée Apports internes Les dégagements internes de chaleur (appelés communément apports internes , compte tenu de leur rôle bénéfique sur le coût du chauffage) sont fixés en fonction de l’occupation prévisible du bâtiment. Il existe des tables (par exemple, guide AICVF n o 2 [6]) donnant les puissances habituellement produites par les principaux appareils et occupants ; le fichier contenant l’évolution de la valeur des apports internes en fonction du temps est construit en faisant la somme, à chaque instant, de toutes les puissances émises. 

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___________________________________________________________

Figure 5 – Exemple de distribution temporelle d’apports internes dans un logement

La figure 5 représente un scénario de distribution des apports ayant une périodicité d’une journée. Les sources de vapeur d’eau sont spécifiées de la même manière que les apports internes. Données climatiques Des fichiers contenant des mesures de certaines variables climatologiques sont disponibles auprès des services de la Météorologie nationale. Ils permettent de réaliser des simulations de bâtiments soumis à des séquences climatiques ayant réellement eu lieu. Afin de disposer de séquences climatiques plus pertinentes pour décrire le futur probable, ont été construits des fichiers contenant respectivement pour chaque site une séquence annuelle présentant les mêmes caractéristiques statistiques que les années passées effectivement mesurées ; ce sont les Test Reference Years (TRY) [19]. Afin d’écourter la durée des simulations, ces séquences ont été réduites en ne conservant que quelques jours par mois tout en maintenant les mêmes caractéristiques statistiques ; ce sont les Short Reference Years (SRY) [20]. Tous ces fichiers (mesurés, TRY ou SRY) contiennent la température extérieure, la densité de flux solaire direct sur plan normal ou horizontal ou la densité de flux global sur le plan horizontal, la densité de flux diffus, la vitesse et la direction du vent, et l’humidité relative. On n’utilise bien entendu dans ces fichiers que les seules variables dont on a effectivement l’utilité. La figure 6 montre l’évolution de la température extérieure et de la densité de flux solaire global du 16 au 20 mars, tels que décrits dans le fichier TRY de Carpentras. Des fichiers TRY et SRY sont disponibles pour un grand nombre de sites européens. On choisit celui qui correspond au site le plus proche et qui s’apparente le plus au site effectivement étudié. Il existe des formules [18] permettant de corriger les valeurs fournies par les fichiers afin de tenir compte des différences locales (altitude par exemple) entre le site réel et le site sur lequel on a fait des mesures. Des fichiers climatiques particuliers peuvent être préparés de façon à accélérer les simulations. 

Données descriptives du bâtiment La construction d’un modèle de comportement thermique du bâtiment nécessite de connaître au minimum sa topologie et son orientation, la géométrie de ses composants et les caractéristiques thermophysiques des matériaux qui le composent. Dans les logiciels les plus récents, l’information est stockée dans des bibliothèques réutilisables : la bibliothèque des matériaux, celle des compositions de parois, et celle des vitrages sont les plus classiques. La description d’un bâtiment consiste donc à lister l’ensemble des composants en spécifiant leurs caractéristiques. Les zones intérieures seront spécifiées par un nom et un volume. Les murs, plafonds, refends seront répétés par un nom, rattachés à une 



composition, positionnés en indiquant les zones situées de part et d’autre ; on précisera leur surface, la valeur des coefficients d’échange sur chacune des faces. On procèdera de façon similaire pour les fenêtres. Des débits de renouvellement d’air entre zones et avec l’extérieur décriront la ventilation. Selon le niveau de raffinement souhaité du modèle, et en tenant compte des possibilités du logiciel et des méthodes sur lesquelles il repose, une description plus détaillée pourra être nécessaire. Par exemple, un logiciel qui effectue le calcul des ombres portées par les masques sur les fenêtres aura besoin des coordonnées de position relative de ces composants.

5.2 Résultats Les résultats de simulation se présentent sous la forme de fichiers contenant les valeurs prises par les sorties du modèle à chaque pas de temps. Un pas de temps de simulation inférieur à celui des données météorologiques est possible, moyennant interpolation. On n’oubliera pas que l’interpolation n’apporte pas de précision supplémentaire dans la description des données d’entrée, et que si elle permet d’observer la réponse du bâtiment à des fréquences plus élevées, celles-ci ne sont pas forcément correctement excitées. La figure 7a a donne un exemple de résultat de simulation réalisée avec le programme m2 m (pas de temps = 5 min, TRY Carpentras). Cette figure montre les courbes obtenues avec des modèles correspondant à deux bâtiments d’inerties très différentes (mais de mêmes caractéristiques statiques), en évolution libre (sans aucun système de climatisation) durant une période où ce type de fonctionnement est réaliste (juillet). On détecte immédiatement les fluctuations beaucoup plus importantes de la température intérieure du bâtiment de faible inertie. Dans le cas où un système de climatisation/régulation est modélisé, les courbes reproduisant l’évolution des puissances appelées apportent une information supplémentaire (figure 7b ). On a choisi une période de printemps, cette saison présentant généralement des séquences intéressantes où se succèdent périodes froides nécessitant chauffage avec d’autres où le rayonnement solaire est 

surabondant et provoque parfois des surchauffes (élévation de la température au-dessus de la consigne, égale à 20 o C dans l’exemple). On observe que c’est le cas pour le bâtiment de plus faible inertie qui récupère donc moins bien les apports solaires que le bâtiment de forte inertie ; cela se traduit par des appels de puissance de chauffage plus importants, ce que reproduisent les courbes d’appel de puissance, en bas du graphique. L’information fournie par une simulation peut être synthétisée de façon à décrire globalement toute une période donnée. Par exemple, les courbes de fréquences cumulées indiquent les fréquences d’occurence des températures intérieures. La figure 8 correspond à une simulation dans laquelle la température est régulée à 20 oC. Pendant 60 % du temps environ, la température est égale ou inférieure à sa valeur de consigne. Elle n’est inférieure à la consigne que pendant 15 % du temps et inférieure à 18,5 oC pendant 1 % du temps. Pendant 40 % du temps, la température est comprise entre 20 et 34 oC. 

Figure 6 – Évolution de variables climatiques

Figure 7 – Évolution de la température intérieure de bâtiments


B 2 041 − 17


___________________________________________________________

Si la simulation est effectuée en vue de prévoir les quantités d’énergie nécessaires pour chauffer un bâtiment, le programme de simulation pourra produire des quantités cumulées par mois ou par saison, de la façon suivante : (0) 

Mois janvier février Énergie appelée 1 387 1 215 (kWh)

mars

avril

mai

juin

juillet

756

367

125

17

0

Lorsque l’humidité est prise en compte par la simulation, il peut être intéressant de synthétiser les résultats sous forme d’une courbe représentant la variation du couple température/humidité sur le diagramme psychrométrique. La figure 9 en est un exemple ; on a par ailleurs superposé au diagramme les limites d’une zone qui peut être considérée, en première approximation, comme la zone de confort [3]. On peut ainsi détecter les surchauffes ou les sous-chauffes, et les excès ou manques d’humidité. 

Figure 8 – Courbe de fréquence cumulée de la température intérieure sur une année

Figure 9 – Évolution de la réponse psychrométrique

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Comportement thermique dynamique des bâtiments : simulation et analyse

P O U R E N

par Gilles LEFEBVRE Ingénieur Divisionnaire des Travaux Publics de l’État Docteur en physique de l’Université Pierre et Marie Curie Responsable du Groupe Informatique et Systèmes Énergétiques (GISE), unité de recherche commune à l’École Nationale des Ponts et Chaussées, et à l’École des Mines de Paris-CENERG

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