Legendre Polynomials
2. PERSAMAAN LEGENDRE Persamaan deferensial Legendre adalah:
(1 x 2 ) y 2 x y l (l 1) y 0
(2.1)
dimana l adalah sebuah konstanta. Persmaan ini muncul dalam solusi persamaan deferensial parsial yang biasanya dinyatakan dalam d alam koordinat bola, dan banyak ban yak dijumpai dalam persoalan p ersoalan fisika seperti: mekanika, mekanika kuantum, teori elektromagnetik, panas, dan lain-lain. Namun pada umumnya penyelesaian persamaan ini banyak dimanfaatkan dalam polinomial sehingga disebut dengan Legendre Polynomials. Salah satu cara mendapatkan solusi ini adalah dengan mengambil asumsi penyelesaian persamaan deferensial dengan bentuk deret. Pada pembahasan selanjutnya akan diperkenalkan cara lain untuk mencari polinomial Legendre. Pertama-tama akan ditinjau solusi deret untuk y y dan mencari derivatifnya suku demi suku untuk memperoleh
y dan y . 2
3
y a0 a1 x a 2 x a3 x a n x 2
y a1 2a 2 x 3a3 x nan x 2
n
n 1
(2.2a)
(2.2b)
3
y 2a 2 6a3 x 12a4 x 20a5 x n(n 1)a n x
Subtitusi y, y,
y dan y pada
n 2
(2.2c)
pers. (2.1) dan selanjutnya dengan mengumpulkan koefisien-
koefisien derajat pangkat x pangkat x yang yang bersesuaian akan diperoleh tabel berikut: konst.
x
x2
x3
2a2
6a3
12a4
20a5
2a2
6a
4a2
y
x 2 y
2 x y
l (l 1) y
2a
1
l (l 1)a0
l (l 1)a1
l (l 1)a2
2a2 l (l 1)a0 0 atau 6a3 (l 2
12a4 (l 2 Dari koefisien
x
l
n
l
2)a1 0 atau
6)a2 0 atau
a4
diperoleh persamaan:
Created by Dr. La Hamimu, S.Si., M.T
xn
(n 2)(n 1)a
6a3
2
(n 1)an
2nan
l (l 1)an
l (l 1)a3
a3
n
n
3
a2
l (l 1)
2
a0
(l 1)(l 2) 6
(2.3a) a1
l (l 1)(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) a2 a0 12 4!
(2.3b) (2.3c)
Legendre Polynomials
(n 2)(n 1)an Koefisien
a
n
2
(l 2
l
n
2
n)an
0
(2.4)
dalam pers. (2.4) dapat difaktorisasi menjadi: 2
l
n
2
l n
(l n)(l n) (l n) (l n)(l n 1)
Dengan demikian formulasi umum untuk an 2
an2 dalam
variabel
a
n
(2.5)
dapat dituliskan sebagai:
(l n)(l n 1) an (n 2)(n 1)
Pers. (2.6) melibatkan pers. (2.3) untuk
a
2
,
a
3
, dan
(2.6)
a
4
yang secara umum memberikan
kemungkinan untuk memperoleh sebarang koefisien genap sebagai perkalian ganjil sebagai perkalian
a
1
a
0
dan
a1
l (l 1) 2 l (l 1)(l 2)(l 3) 4 x x 2! 4!
l
Dari pers. (2.7) tampak bahwa untuk divergen. Tetapi untuk deret
a
0
0 maka
deret
akan memberikan hasil
a
1
y
dari deret ini mengandung perkalian dengan variabel l .
deret
a
1
x
2
1,
dan koefisien
yaitu:
(l 1)(l 2) 3 (l 1)(l 2)(l 3)(l 4) 5 x x a1 x 3! 5!
divergen pada
0
. Selanjutnya penyelesaian umum pers. (2.1) merupakan jumlah
dari dua deret yang mengandung dua konstanta
y a0 1
a
tetapi deret
(2.7)
pada persamaan ini akan bersifat
a0 untuk l
Jika
l
1,
0,
karena semua sisa
maka deret
a
0
akan
berhenti pada y a1 [(karena semua sisa suku dalam
a
1
mengandung faktor (l 1) ]. Untuk sebarang bilangan bulat l , akhir dari salah satu
deret akan memberikan solusi polinomial, sedangkan deret lainnya akan divergen pada x
2
1.
Bilangan bulat l yang yang negatif akan menghasilkan solusi seperti yang telah diperoleh
dari l positif. Sebagai contoh, dengan solusi
l
1.
l
2
memberikan solusi polinomial
a0 ,
untuk
Jika nilai
l
1 , y
a 0 atau
a1 x
yang sama
Pada umumnya nilai l dibatasi dibatasi pada nilai-nilai yang positif. Setiap solusi
persamaan Legendre mengandung faktor konstanta bebas (a 0 atau y
y
a
1
a1 x ,
a
1
), dimana untuk
l
0,
dan seterusnya.
dalam setiap polinomial dipilih sedemikian sehingga
y
1 jika
x
1,
maka polinomial yang dihasilkan disebut Polinomial Legendre ( Legendre Legendre Polynomials) Polynomials) yang biasa dituliskan sebagai P l ( x) .
Created by Dr. La Hamimu, S.Si., M.T
Legendre Polynomials
Pada saat mencari polinomial Legendre sebagai solusi persamaan Legendre, juga telah dilakukan proses penyelesaian problem eigen nilai (eigenvalue (eigenvalue problem). problem). Nilai-nilai parameter l , yakni 0, 1, 2, , disebut eigenvalues (characteristic values), values), sedangkan yang berkaitan dengan solusi P l ( x) disebut eigenfunctions (characteristic (characteristic functions). functions). Polinomial Legendre juga sering sering disebut fungsi Legendre jenis pertama. Solusi kedua untuk setiap l , yang merupakan deret tak berhingga (konvergen untuk
x
2
1
) disebut fungsi Legendre jenis
kedua yang disimbolkan dengan Ql ( x) . Dalam aplikasinya polinomial Ql ( x) jarang digunakan bila dibandingkan dengan polinomial P l ( x) . Dengan menggunakan pers.(2.6), pers. (2.7) dan persyaratan P l (1) 1 akan diperoleh
beberapa ungkapan polinomial p olinomial Legendre sebagai berikuit:
l
Untuk
0,
maka y a0 .
Persamaan Legendre mempersyaratkan bahwa jika y
1,
a0
Untuk
1,
1
maka
y
1,
sehingga
sehingga P 0 ( x) 1.
l
1,
maka y a1 .
Dengan menerapkan persyaratan a1
x
y
1
jika
x
1,
pada persamaan
y
maka
a1 x
sehingga P 1 ( x) x
Untuk
l
2,
maka
y
a0 (1
3x 2 ).
Menurut pers. (2.7) semua koefisien dari x yang mempunyai pangakt genap lebih besar sama dengan empat ( x 4 ) akan sama dengah nol. Dengan demikian deret tidak sama dengan nol hanya a1
0 , karena deret
y
a0 (1
y
a0 (1
P 2 ( x)
1
3x 2 ). Dengan
2
. Ingat bahwa
2
Untuk
(1 3 x 2 )
l
Untuk
3,
l
1
2
maka
3,
a
0
dan
a
1
menerapkan
persyaratan
(3 x 2
jika
x 1
pada
l
2,
10 3!
x
1 2 , sehingga
.
3
0 karena deret
Created by Dr. La Hamimu, S.Si., M.T
a
0
yang
maka
persamaan
1) .
y a1 x
maka a0
a0
y 1
0
bersifat bebas. Pada kasus ini
merupakan deret takberhingga. Dengan demikian untuk
3x 2 ) maka 1 a0 (1 3) atau 1
a
1 3x
a
menjadi sebuah deret tak berhingga.
Legendre Polynomials
Sedangkan deret
a
1
dengan koefisien pangkat x x ganjil yang lebih besar sama dengan lima
( x 5 ) juga akan sama dengan nol. Ini berarti untuk
Bila diterapkan persyaratan 3
atau
a
1
2
y
, sehingga P 3 ( x)
1
jika
x
1,
l
maka:
3 maka
1 a1 1
y a1 x
10 3!
x . 3
2 10 13 a1 1 a1 3! 3 6
10
3
10 3 1 3 x x 5 x 3 x 2 6 2
Berdasarkan hasil-hasil yang diperoleh di atas, maka ungkapan untuk empat polinomial Legendre pertama adalah: P 0 ( x)
P 1 ( x)
1,
x , P 2 ( x)
1
2
(3x 2
1) ,
P 3 ( x)
1
2
5 x
3
3 x
(2.8)
Soal Latihan:
1. Dengan menggunakan pers. (2.6) dan pers. (2.7) serta persyaratan bahwa P l (1) 1 ,
tentukanlah P 4 ( x) dan P 5 ( x) . 2. Buatlah sketsa grafik untuk P 0 ( x) , P 1 ( x) , P 2 ( x) dan
P 3 ( x) dari
x
1 sampai x
1.
3. ATURAN LEIBNIZ’ UNTUK DIFERENSIASI PERKALIA N
Aturan Leibniz sangat bermanfaat untuk mencari turunan atau derivatif dari perkalian dua fungsi dengan orde lebih tinggi. Sebagai contoh akan diilustrasikan cara mencari derivatif
d
9
9
dx
x sin sin x dengan aturan Leibniz. Penyelesaian derivatif ini tentu saja memerlukan
sembilan kali derivatif dan proses penyelesaian seperti ini terkadang melelahkan dan membosankan. Dengan aturan Leibniz, maka derivatif dari d 9 dx9 x sin sin x dapat dituliskan menjadi: 9
x
d
dx
9
(sin x) 9
d dx
8
( x)
d
dx
8
7 d 9 8 d 2 (sin x) ( x) 7 (sin x) (3.1) 2! dx 2 dx
Pers. (3.1) mempunyai bentuk yang sama dengan dengan expansi binomial:
a b
9
a
0
b
9
9ab
8
98 2!
2
a b
7
Koefisien dalam pers. (3.1) merupakan koefisien binomial, dan jumlah pangkat dari dua derivatif dalam setiap suku sama dengan sembilan. Setelah beberapa kali dilakukan proses
Created by Dr. La Hamimu, S.Si., M.T
Legendre Polynomials
pndeferensialan, maka derivatif dari salah satu faktor menjadi nol. Dalam contoh di atas 2
d
dx
2
x
2
0 dan
semua derivatif dengan orde yang lebih tinggi dari 2 juga menjadi nol.
Soal Latihan:
Carilah derivatif dari fungsi-fungsi berikut:
1. d 10 dx10 xe x
2. d 6 dx6 x 2 sin sin x
3. d 100 dx100 x 2 e x
4. d 4 dx4 e x cos x
4. FORMULA RODRIGUES Cara lain untuk memperoleh polinomial Legendre sebagai solusi persamaan Legendre adalah dengan menggunakan formula Rodrigues berikut: P l ( x)
l
1
d
2 l l ! dx l
x
2
1 l
(4.1)
Formula ini terbukti dapat memberikan dengan tepat bentuk polinomial Legendre. Hal ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa jika v
x
2
1
l
(4.2)
maka d l v dxl merupakan solusi persamaan Legendre. Selain itu juga dapat dibuktikan bahwa P l (1) 1 . Derivatif pers. (4.2) terhadap x terhadap x adalah: adalah:
dv dx
l x
2
1
l 1
2x
Jika kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan x 2 1 akan diperoleh:
x
2
dv x
1
dx
l x
2
1
2
1
l 1
2x
(4.3)
Derivatif pers. (4.3) sebanyak l +1 +1 kali dengan aturan Leibniz, akan dihasilkan:
x
2
1
l 2
d
dx
l 2
l 22 x
l 1
d
dx
v
l 1
l 1l 2!
l
2
d v dx
l
l 1
2lx
d
dx
v
l 1
l
2l
l 1
d v dx
l
(4.4)
Pers. (4.4) dapat disederhanakan menjadi:
l l l d v d v d v 2 1 x l 2 x l l (l 1) l 0 dx dx dx
Created by Dr. La Hamimu, S.Si., M.T
(4.5)
Legendre Polynomials
Pers. (4.5) tidak lain merupakan persamaan Legendre dengan y d l v dxl . Dengan demikian
maka
l
d v dx
l
d
l
dx
l
x
2
1
l
merupakan solusi persamaan Legendre. Bentuk ini
merupakan polinomial berderajat l , karena solusinya disebut sebagai solusi polinomial derajat l dari dari polinomial Legendre P l ( x) . Soal Latihan:
Dengan menggunakan formula Rodrigue, carilah: P 1 ( x)
1.
P 0 ( x)
2.
3.
P 2 ( x)
3. P 3 ( x)
Bandingkan hasilnya dengan persamaan (2.8)
Created by Dr. La Hamimu, S.Si., M.T
