4.6: Algunos problemas problemas de aplicación
211
C 1 = R1(1 + 0.162/6)–1
(1 + i / / C = p)–np = M (1
C 1 = R1(1.027)–1 C 1 = (0.973709835) R R1
o
Para el el segundo segundo y el tercero, tercero, el plazo plazo es, respe respecti ctivam vamente ente,, de 2 y 3 bimestres: bimestres: C 2 = R2(1.027)–2
o
C 2 = (0.948110842) R R2
C 3 = R3(1.027)–3
o
C 2 = (0.923184851) R R3
La suma de de los cuatro cuatro es, entonces, A + (0.973709835) R R1 + (0.948110842) R R2 + (0.923184851) R R3 = $193,500
Puesto que todos son iguales, A = R 1 = R2 = R3, se suman los coeficiente coeficientess de las variables en el lado izquierdo y después se divide la ecuación entre la suma. A = $193,500 (3.845005527) A
de donde A = 193,500/3.845005527
o
A = $50,325.03
que es igual al anticipo e igual a los otros 3 abonos. Entonces, después del anticipo el crédito es C = = 193,500 – 50,325.03 C = = $143,174.97
o
que deberá ser igual al valor presente, presente, el día de la compraventa, compraventa, de los dos pagos del nuenuevo convenio. En la figura 4.6 se aprecian aprecian los pagos originales en la parte superior de la línea, línea, y los nuevos, en la inferior. Cada espacio espacio representa un periodo mensual. C 3 C 2 C 1 A
R2
R1 x 1
R3 x 2
C 4 C 5
FIGURA 4.6
Ahora se encuentra el valor presente de los 2 pagos x 1 y x 2, y la suma debe debe ser ser igual al al crédito C . El valor presente del primero con 1.5 bimestres o 3 meses de plazo es
212
Capítulo 4: Interés compuesto
C 4 = x 1(1+ 0.0162/6)–1.5 C 4 = x 1(1.027)–1.5 a–n = 1/ an
C 4 = (0.960825089) x x 1
o y el segundo es
C 5 = x 2(1.027)–3
o
C 5 = (0.923184851) x x 2
pero como x 2 es como un 25% mayor que x 1, x 2 = 1.25 x 1, se tien tienee que que C 5 = (0.923184851)(1.25 x 1)
o
C 5 = (1.153981064) x x 1
Note que para estos dos capitales podría emplearse la tasa de interés compuesta por mes, equivalente. equiva lente. La suma de los dos debe ser igual al crédito inicial, luego de dar el anticipo, es decir, C 4 + C 5 = 143,174.97 x 1 + (1.153981064) x x 1 = 143,174.97 (0.960825089) x
o
X 1 = 143,174.97 (2.114806153) X
de donde
x 1 = 143,174.97/2.114806153
o
x 1 = $67,701.23
El segundo pago es un 25% mayor que éste, y x 2 = 1.25(67,701.23)
o
x 2 = $84,626.54
b) Los interese interesess son iguales iguales a la diferenci diferenciaa entre el el total que que se pagó x 1 + x 2 y el crédito ori-
ginal; esto es:
I = = 67,701.23 + 84,626.54 – 143,174.97
o
I = = $9,152.80
Constitución de un fideicomiso con tasa variable Ejemplo 3
¿Cuánto debe depositarse depositarse ahora, cuánto dentro de dos años y cuánto más 3 años después, para constituir un fideicomiso y disponer de 4.5 millones millones de pesos, al cabo de 12 años contados a partir de ahora, ahora, considerando que el segundo segundo depósito es un 25% mayor que el primero y que el último excede en $450,000 al anterior? Suponga que se devengan intereses del 9.3% nominal mensual en los primeros cuatro años, del 10.4% anual capitalizable capitalizable por semestres semestres en los 3 años siguientes y del 11.8% efectivo en los últimos cinco.
4.6: Algunos problemas problemas de aplicación
213
solución
El diagrama temporal de la figura 4.7, donde cada subdivisión representa representa un periodo anual y el dinero está en miles, puede auxiliarnos a plantear plantear el problema. En él se han anotado anotado los 3 depósitos, el primero de los cuales es x 1, el seg segundo undo será x 2 = x 1 + 0.25 x 1, o x 2 = (1.25) x x 1, factorizando x 1. Puesto que es $450,000 mayor que el el segundo, el tercer pago en miles de pesos será x 3 = x 2 + 450 x 3 = (1.25) x x 1 + 450
o
X 1
ya que x 2 = 1.25 x 1
M 1
M 3
M 2
M 4
X 2
M 5
X 3
4.5
FIGURA 4.7
Como la tasa es variable, variable, se deben considerar considerar tres plazos distintos, distintos, tal como se observa observa en la misma figura, figura, de 4, 3 y 5 años, respe respecti ctivam vamente ente,, cada uno. uno. Ahí Ahí mismo se aprec aprecian ian 5 montos, el último de los cuales debe ser igual a los pretendidos 4.5 millones de pesos. Todos Todos se obtienen con la fórmula del del interés compuesto. compuesto. En el primero, por ejemplo, el valor valor presente es x 1, el plazo plazo es es de 4 años años o 48 48 meses, meses, y la tasa tasa de interé interéss nominal nominal mensual mensual,, esto es, capitalizable por meses, meses, es 9.3%. 9.3%. M 1 = x 1(1 + 0.093/12)48
(1 + i / / M = p)np = C (1
M 1 = x 1(1.00775)48
M 1 = (1.448554126) x x 1
o
De manera manera semejante, semejante, el segundo segundo es M 2 = x 2(1.00775)24
son dos años de plazo
M 2 = (1.203558942) x x 2 M 2 = (1.203558942)(1.25 x 1)
x 2 = 1.25 x 1
M 2 = (1.504448678) x x 1
o La suma de los dos es
M 1 + M 2 = (1.448554126) x x 1 + (1.504448678) x x 1
o
M 1 + M 2 = (2.953002804) x x 1
sumando los coeficientes de x 1
y su valor valor futuro, futuro, a 3 años, años, esto es, es, 6 semestres semestres despu después és con la nueva nueva tasa, tasa, es M 3 = (2.953002804) x x 1(1 + 0.104/2)6 M 3 = (2.953002804)( x x 1)(1.052)6 M 3 = (2.953002804)( x x 1)(1.355484135)
214
Capítulo 4: Interés compuesto
es decir, M 3 = (4.002748451)( x x 1)
El valor valor acumulado acumulado del tercer tercer pago, dos años después, después, es M 4 = x 3(1.052)4 M 4 = (1.224793744) x x 3 M 4 = (1.224793744)(1.25 x 1 + 450)
o
x 3 = 1.25 x 1 + 450
M 4 = (1.53099218) x x 1 + 551.1571848
La suma de los dos, M 3 y M 4, sumando los los coeficientes coeficientes de x 1 es M 3 + M 4 = (5.533740631) x x 1 + 551.1571848
Y, finalmente, considerando a esta suma suma como un capital capital C , su valor valor futuro 5 años después después,, con la tasa efectiv efectivaa del 11.8%, es (1 + 0.118)5 M 5 = C (1 (1.746662586) M 5 = C (1.746662586) Al sustituir C y efectuar efectuar las multiplicacione multiplicaciones, s, quedará M 5 = (9.665577721) x x 1 + 962.6856337
que debe ser igual a los 4.5 millones o $4 ′500,000. Esto es (9.665577721) x x 1 + 962.6856337 = 4,500 de donde el primer depósito en miles de pesos es x 1 = (4,500 – 962.6856337)/ 9.665577721 x 1 = 365.9702987
o
$365,970.30
El segundo es 25% mayor: x 2 = (1.25) x x 1
o
x 2 = $457,462.87
y el tercero es x 3 = x 2 + 450,000
o
x 3 = $907,462.87
Ejemplo 4
¿A cuánto ascienden los intereses que se devengan en el fideicomiso del ejemplo 3? solución
Los intereses son la diferencia entre el total depositado y los 4.5 millones del monto, I = = M – C
4.6: Algunos problemas problemas de aplicación
215
I = = 4′500,000 – (365,970.30 + 457,462.87 + 907,462.87) I = 4′500,000 – 1′730,896.04 I = $2′769,103.96
o
Plazos equivalentes Cuando una serie serie de obligaciones, obligaciones, con montos y plazos plazos establecidos, establecidos, se reemplaza por una sola cuya magnitud es igual a la suma de de las anteriores, pero con fecha diferente, diferente, al tiempo transcurrido para este pago, se le llama llama plazo equivalente. Ejemplo 5
¿Qué día deberá efectuarse efectuarse un pago único por $60,000 que sustituye a dos montos, el primero por $25,000 con con plazo de 5 meses, y el segundo segundo por $35,000 con con plazo de 8 meses, suponiendo intereses del 10% efectivo? solución
El diagrama de la figura figura 4.8, donde cada subdivisión subdivisión representa un periodo mensual mensual y los montos están están en miles, puede ayudarnos. ayudarnos. C 1 C 2 25
35 60
C 3 FIGURA 4.8
La tasa de interés capitalizable capitalizable por meses, equiv equivalente alente al 10% efectivo efectivo es i de la siguiente ecuación, que resulta de igualar los montos montos con diferentes periodos de capitalización. capitalización. (1 + i /12) /12)12 = 1 + 0.10 de donde 1 + i / 12 = 12 1.1
o
1 + i /12 /12 = 1.00797414
Con ésta y la fórmula del del interés compuesto, compuesto, se obtienen los tres capitales, capitales, notando que el el plazo para el tercero es x , la incógn incógnita ita.. (1+i/p)−np C = = M (1
C 1 = 35,000(1.00797414)–8 C 1 = 35,000(0.938436472)
o
C 1 = $32,845.28
o
C 2 = $24,026.64
C 2 = 25,000(1.00797414)–5 C 2 = 25,000(0.961065636) C 3 =
60,000(1.00797414)– x
216
Capítulo 4: Interés compuesto
La ecuación de valores valores equivalentes equivalentes es, por lo tanto, 60,000(1.00797414)– x = 56,871.92
C 3 = C 1 + C 2
Se toma logaritmo natural, o común, a ambos lados; lados; pero antes antes el 60,000 pasa dividiendo dividiendo al lado derecho. (1.00797414)– x = 56,871.92/60,000 (1.00797414)– x = 0.94786529 Ln(1.00797414)– x = Ln(0.94786529)
– x = Ln(0.94786529)/ Ln(1.00797414) − x =
–6.741301559
o
x = = 6.741301559
Esto es, es, 6 meses y 22 días, días, ya que 0.7413 0.7413 años, años, la parte parte decimal decimal del result resultado, ado, expr expresad esadaa en días es 0.741301559(30) = 22.23904677
Importante
En el desarrollo anterior, anterior, al haber hallado hallado los 3 capitales capitales al inicio del del plazo, ahí se localizó localizó la fecha focal, focal, pero como como anteriorme anteriormente nte se dijo, dijo, el resultado resultado no cambia cambia si se ubica ubica en otro punto, punto, con lo cual queremos decir que no cambia la fecha donde se localizan localizan los $60,000, llamada fecha de aunque que,, cla claro, ro, el va valor lor de x , es decir el plazo se modificaría. modificaría. vencimiento promedio , aun
Ejemplo 6
¿Qué día deben pagarse $50,500 $50,500 en sustitución de 3 pagos: el primero por $9,000 del día 10 de julio, el segundo por $28,500 del 25 de agosto agosto y el otro por $13,000 del 3 de octubre, considerando intereses del 12.87% nominal mensual. solución
Con la ayuda de un diagrama diagrama temporal principalmente principalmente para los plazos, plazos, y considerando el 3 de octubre como fecha focal, se tienen 3 montos: montos: M 1 = 9,000(1 + 0.1287/360)85 M 1 = 9,000(1.030848314)
o
M 1 = $9,277.63
o
M 2 = $28,900.07
M 2 = 28,500(1.0003575)39 M 2 = 28,500(1.014037623) M 3 = 50,500(1.0003575) x
La ecuación ecuación de valor valor es, entonces,
4.6: Algunos problemas problemas de aplicación
217
50,500(1.0003575) x = 9,277.63 + 28,900.07 + 13,000 (1.0003575) x = 51,177.70/50,500 (1.0003575) x = 1.013419942 de donde x = Ln(1.0003575) = Ln(1.013419942)/ x = = 37.2953
o
37 días, redondeando.
Este plazo se cumple el 27 de agosto. ¿Por qué?
Ejercicios 4.6
comenzar la construcción de su casa, el señor Aguilera Aguilera deposita $250,000 1. Tres meses antes de comenzar en una cuenta que paga el 9.84% 9.84% de interés nominal mensual, mensual, y otros $450,000 al iniciar las obras. ¿Cuánto deberá depositar depositar 2 meses después, si el presupuesto total es de 1.2 millones millones de pesos, pesos, distri distribuid buidos os de la forma siguiente siguiente:: 30% al comenzar comenzar la construc construcción, ción, 35% a los 3 meses, mese s, 20% 2 meses meses después después,, y el resto resto al terminar terminar,, es decir, decir, 8 meses meses después después del inicio inicio?? operaciones de crédito con la la Edi2. La empresa Distribuidora de Libros, S.A., suscribió tres operaciones torial del Centro, S.A. de C.V. C.V. La primera de las operaciones se suscribió el 15 de marzo por $150,000 a pagarse el 30 de de noviembre; la segunda, segunda, el 8 de mayo mediante mediante un pagaré con valor nominal de $200,000 y vencimiento al al 10 de diciembre, y la última el 1 de junio con un documento con valor nominal de $75,000, que incluyen los intereses y vencimiento vencimiento al 25 de agosto. Acuerdan Acuerdan reemplazar el compromiso compromiso con 2 pagos, uno el 15 de agosto y el otro el 15 de octubre, por un monto que es el doble del primero. ¿De cuánto cuánto es cada pago si se devendevengan intereses del 14.04% compuesto por días? ¿Con cuánto se liquidan las deudas con un pago único el 10 de diciembre? ¿A cuánto ascienden los intereses? cuenta bancaria el 7 de febrero, si el 15 de junio anterior se deposita3. ¿Cuánto se tendrá en una cuenta ron $4,500 y había un saldo a favor del cuentahabiente cuentahabiente de $6,275. Además, tenga en cuenta que se hicieron los siguientes movimientos: Fecha
Depósitos
julio 10
$4,300
agosto 1 noviembre 5
Retiros
$8,000 $7,800
noviembre 19
$11,350
diciembre 15
$3,200
enero 20
$10,200
218
Capítulo 4: Interés compuesto
Considere que se ganan intereses del 14.4% capitalizables por días. bonifica intereses del 6.35% efectivo. efectivo. ¿Cuán4. Ahora se depositan $750,000 en un banco que bonifica to se tendrá dentro de 10 años, considerando que hace 7 meses meses se habían depositado otros $625,000 y se espera que la tasa de interés aumente 1.2 puntos porcentuales por año cada 3 años contando desde que se depositaron los $625,000? 5. ¿Qué día deben pagarse $128,000 en sustitución de tres pagarés con valor nominal de
$40,000, $55,0 $40,000, $55,000 00 y $30,000 $30,000 que vence vencen, n, respe respecti ctivam vamente ente,, el 10 de abril, abril, el 5 de junio junio y 23 de octubre? Considere cargos o intereses del 7.11% capitalizable por días. ampliar un tramo de carretera con con un presupuesto actual actual de 2.7 millones de pesos, pesos, el 6. Para ampliar día de hoy se crea un fideicomiso con un depósito de 1.3 millones de pesos, en un banco que bonifica intereses intereses del 11.6% nominal bimestral, ¿cuánto deberá depositarse 8 meses meses después de ahora para realizar realizar el proyecto al cabo de 20 meses, meses, considerando que el presupuesto presupuesto se incrementará un 0.61% mensual por los efectos inflacionarios? 7. ¿Cuánto se genera por intereses en el fideicomiso del problema 6.
automóvil con un enganche y el 65% restante, restante, mediante un crédi8. El señor Uribe compra un automóvil to endosando endosando tres pagarés pagarés por $45,000, $45,000, $35,0 $35,000 00 y $25, $25,000 000 que vencen, vencen, respe respecti ctivam vamente ente,, el 6 de mayo, 18 de julio y el 1 de octubre. Obtiene un importante importante premio en Pronósticos DeDeportivos y determina liquidar su adeudo adeudo el 15 de marzo. ¿Con cuánto lo hace, considerando intereses del 11.8% efectivo? 9. ¿Cuánto se ahorró el señor Uribe del problema 8 por concepto de intereses? 10. ¿En cuánto ofrece la agencia agencia el automóvil del problema 8, si adicionalmente adicionalmente otorga un
descuento del 5.4% sobre el precio de contado? Supóngase que se compró el 20 de febrero, con un enganche del 35% pretende adquirir un equipo de resonancia magnética, magnética, que en Mé11. El Centro Médico del Sur pretende xico se ofrece con un anticipo y dos pagos adicionales a 3 y 5 meses por 1.30 y 1.45 millones de pesos, respectiv respectivamente, amente, con intereses del 7.8% 7.8% anual capitalizable capitalizable por meses. Ya se incluyen impuestos. Si lo compra en Estados Unidos Unidos con el mismo anticipo, haría un pago adicional adicional por US$246,000 a los 4 meses de la compra e intereses del 6.8% nominal mensual y US$9,300 por permisos y transportación. transportación. Pero si lo compra en Canadá, Canadá, además del mismo anticipo, anticipo, efectuará tres pagos iguales iguales por 72,500 dólares canadienses cada uno a los 3, 5 y 6 meses de la compra, con el 7.2% 7.2% anual compuesto por bimestres, y $10,800 dólares dólares canadienses canadienses por transporte y permisos. Considerando que la paridad actual es de $10.75 por cada dólar estadounidense y $12.05 por cada dólar canadiense,¿cuál de las alternativas debe elegir? 12. Sin contar el enganche cuántos pesos mexicanos se pagarán por el equipo del problema 11
si se compra en Canadá y el dólar de aquel país aumenta su cotización en 0.008% cada día. En los problemas 13 al 29 seleccione seleccione la opción correcta, justificando su elección. elección.
4.6: Algunos problemas problemas de aplicación
219
13. ¿Qué día deben pagarse $75,000 en sustitución de dos documentos por $15,000 y $60,000
con vencimiento al 10 de septiembre y 26 de noviembre, respectiv respectivamente? amente? Considere intereses del 9.9% anual capitalizable por días. a) Octubre 7
b) Octubre 23
c) Noviembre 1
d ) Noviembre 16 e) Otra
14. Se constituye un fideicomiso con un depósito de $600,000 en un banco que bonifica el
11.4% de interés nominal nominal mensual. ¿Con cuánto cuánto dinero se podrá contar 7 años después, si además se depositaron depositaron otros $750,000, dos años y tres meses después del primero? primero? a) $2′302,425.03
b) $1′968,364.05
c) $2′295,772.59
d ) $1′898,963.42 e) Otra
15. ¿Cuánto se genera por concepto de intereses en el problema 14? a) $945,772.59
b) $1′026,963.05
c) $865,321.38
d ) $906,907.45
e) Otra
16. El licenciado Ponce compra un departamento con $48,000 de anticipo y tres pagos iguales,
a 3, 5 y 6 meses con intereses del 9.63% nominal nominal mensual. ¿De cuánto cuánto es cada uno si el enganche fue del 30%? a) $43,065.32
b) $40,687.83
c) $38,852.26
d ) $39,675.61
e) Otra
segundo excede en $10,000 al prime17. En el problema 16, ¿de cuánto es el primer pago, si el segundo ro, y el último es un 15% menor que el segundo? a) $35,295.42
b) $33,083.95
c) $34,427.85
d ) $31,965.06
e) Otra
18. ¿Cuántos días después de conseguir el crédito y dar el enganche se hará un pago único que
sea igual a la suma de los tres tres y los sustituya, en el problema 16? a) 140
b) 148
c) 150
d ) 157
e) Otra
seminuevo. Determine qué le conviene conviene más, considerando que 19. Carolina vende su automóvil seminuevo. el dinero reditúa en 13.56% nominal mensual. a) Una agencia le ofrece $127,200 a cuenta de otro nuevo.
Paola le ofrece $43,000 de contado, un pago a los 3 meses por $35,000, y otro b) Su amiga Paola por $53,000 dos meses después. c) Otro amigo le daría 3 pagos trimestrales trimestrales de $45,000 cada uno, sin enganche.
Autocambio le ofrece $60,500 de contado y $70,000 en 5 meses. d ) Autocambio construcción de la biblioteca de la universidad universidad local, se depo20. Seis meses antes de iniciar la construcción sitan $2′300,000 en una cuenta que bonifica el 10.2% 10.2% nominal mensual. ¿De cuánto dinero podría disponerse al inicio de las obras? Considere que 2 meses antes del depósito se hizo otro por 3.53 millones de pesos, que se requieren $725,000 al final de cada bimestre bimestre durante los tres que dura la construcción, y 7 meses después del inicio se necesitarán necesitarán 1.65 millones de pesos para para mobiliario, libros y soporte tecnológico. tecnológico. a) $2′539,249.31
b) $2′106,423.62
c) $1′876,429.47
d ) $2′427,928.03 e) Otra
220
Capítulo 4: Interés compuesto
instalar un Cyber Café, Jorge consigue un un préstamo que liquidará liquidará con tres pagos, el pri21. Para instalar mero el día día 5 de enero enero por $39,500, el segundo el 15 de febrero por $41,600, y el último el 22 de abril por $75,400. Considerando Considerando intereses del 13% efectivo, efectivo, indique por cuánto dinero logró el préstamo el 6 de diciembre anterior? a) $148,923.09
b) $160,093.21
c) $152,968.91
d ) $151,682.41
e) Otra
d ) $4,993.28
e) Otra
22. ¿Cuánto pagó Jorge por intereses en el problema 21? a) $4,817.59
b) $5,103.42
c) $5,201.48
23. ¿Qué día se realizaría un pago por $156,500 que sustituya a los 3 del problema 21? a) 1 de marzo
b) 8 de marzo
c) 23 de marzo
d ) 5 de abril
e) Otra
pagaría Jorge del problema problema 21, el 3 de febrero en sustitución de los 3 pactados, con24. ¿Cuánto pagaría siderando que en en el pago que se retrasó, el primero, le cargan adicionalmente intereses moratorios del 3.5% mensual capitalizable por meses? a) $155,963.28
b) $158,065.36
c) $156,099.66
d ) $150,362.08
e) Otra
25. Los 726 empleados de una embotelladora de bebidas gaseosas constituyen un fideicomiso
con un depósito bancario. Ocho meses después ya son 801 y hacen otro depósito con la participación de $1,000 $1,000 cada uno. ¿Cuánto tendrán 7 años después después del primero? Considere inintereses del 9.63% nominal mensual en promedio durante los primeros 3 años y 10.5% nominal mensual en el resto del plazo. Suponga también que cada empleado cooperó con $850 para la constitución del fideicomiso. a) $2′795,227.04
b) $2′703,929.23
c) $2′698,424.59
d ) $2′563,424.05 e) Otra
26. ¿Por concepto de intereses cuánto dinero generaron los depósitos para los empleados del
problema 25? a) $1′265,095.36
b) $1′377,127.04
c) $1′193,462.51
d ) $1′09 098, 8,67 674. 4.63 63 e) Ot Otra ra
magnitud son tres pagos iguales, iguales, el 10 de septiembre, septiembre, el 2 de noviembre noviembre y el 28 de 27. ¿De qué magnitud enero, que sustituyen a otros 3 que que se iban a realizar realizar el 1 de julio por $26,250, $26,250, el 3 de diciembre por $54,800 y el 21 de febrero por $45,000? Suponga intereses del 15.84% anual capitalizable capitalizab le por días. a) $41,739.19
b) $42,308.43
c) $41,093.36
d ) $41,598.39
e) Otra
28. ¿Cuál es la fecha de vencimiento promedio en las condiciones originales del problema 27? a) Noviembre 15
b) Noviembre 23
c) Diciembre 15
d ) Noviembre 28 e) Otra
problema 27, ¿cuá ¿cuáll es la fecha de vencimiento promedio cuando los tres abonos son 29. En el problema iguales? a) Noviembre 13
b) Noviembre 25
c) Diciembre 10
d ) Diciembre 18
e) Otra
Conceptos importantes por orden de aparición
221
Al terminar el estudio de este este capítulo, usted deberá estar capacitado capacitado para: Pronosticar y realizar cálculos operativos con cantidades que crecen de manera no constante, como infla inflación, ción, dev devalua aluación ción,, produc producción, ción, etcé etcétera. tera. Evaluar el monto acumulado, el capital, los intereses, el plazo y la tasa de interés en operaciones financieras financieras y comerciales con interés compuesto, utilizando la fórmula del interés compuesto: M = p)np (1 + i / / = C (1 Explicar los conceptos de Interés compuesto capitalización ión − Periodo de capitalizac − Frecuencia de conversión − Tasas de interés equivalentes − Tasas efectivas y nominales − Diagramas de tiempo − Fecha focal − Ecuación de valores equivalentes − Plazos equivalentes − Fecha de vencimiento promedio −
Hacer cálculos financieros financieros y comerciales con tasas de interés nominales dada la tasa efectiva efectiva p p) − 1. y, recí recíproca procament mente, e, emple empleando ando la fórmula fórmula e = (1 + i / / Sustituir un conjunto de obligaciones comerciales o financieras por otro equivalente, equivalente, utilizando diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor equivalente. equivalente. Decidir cuál es la opción más conveniente en operaciones con interés compuesto. Utilizar el concepto y las fórmulas del interés compuesto en problemas de aplicación.
Descuento compuesto Fechaa focal, ecua Fech ecuacione cioness de valor, valor, diagr diagramas amas de tiempo Frecuencia de conversión Incrementos geométricos constantes y no constantes Interés compuesto
Periodo de capitalización de intereses Plazo con interés compuesto Tasa con interés compuesto Tasas equivalentes, equivalentes, efectiv efectivas as y nominales Valor futuro de un capital Valor presente de un monto
222
Capítulo 4: Interés compuesto
Problemas propuestos para exámenes
En los problemas 1 a 9 conteste verdadero (V) o falso (F). 1. El índice inflacionario del 12% anual es equivalente al l % mensual. _________ 2. Es más productivo invertir al 9.9% compuesto por meses que al 10.1% efectivo. _________ 3. Un capital que se invierte al 33.33% efectivo se triplica en 3 años. _________
del 1.09, 4. Si la inflación en octubre fue del 0.98%, en noviembre del 1.03% y en diciembre del entonces la inflación acumulada acumulada en el trimestre trimestre será la suma, suma, es decir, decir, 3.10%. _________ 5. La tasa de interés efectiva del 14% es más productiva que la tasa de interés del 13.2% com-
puesto del 13% por meses. _________ 6. Los intereses que se cargan en un préstamo al 13.5% nominal mensual son mayores que los
que se cargan al 13.45% nominal semanal. _________ 7. Si las ganancias de una compañía en 2003 fueron de 3 ′000,0 000,000, 00, y en 2005 de de 3′750 750,00 ,000, 0, en-
tonces crecieron en 25% en el periodo bianual. _________ adquisitivo de un trabajador pierde pierde un 18% semestral, entonces pierde un 3% 8. Si el poder adquisitivo mensual. _________ valores ganó 2.3 puntos porcentuales porcentuales el lunes; 1.9 puntos el martes, 4.1 puntos 9. La bolsa de valores el miércoles, miércoles, 3.2 el jueves, jueves, y el viernes viernes perdió 4 puntos. Entonces, Entonces, en la semana ganó ganó la suma en puntos porcentual porcentuales, es, es decir, decir, 7.5 puntos. puntos. _________ _________ En los problemas 10 a 20 complete las afirmaciones. nuevo artículo para el hogar hogar fueron de US$150,000, y en 2005 de 10. En 2004 las ventas de un nuevo US$177,000 dólares. ¿De cuánto serán en el año 2009 suponiendo que se sostienen el crecimiento de manera geométrica? _________ 11. La Bolsa Mexicana de Valores subió 3.2 puntos porcentuales en la primera semana, 1.9 pun-
tos en la segunda, y 4.8 en la tercera. Entonces, Entonces, en las tres semanas subió subió _________ puntos puntos porcentuales. 12. Si ahora se invierten $25,000 al 11.4% compuesto por meses entonces en 4 meses se acumu-
lan $_________. $7,250 el 5 de junio, el 15 de enero anterior deben deben invertirse invertirse $_________ 13. Para disponer de $7,250 al 12.6% de interés efectivo.
Problemas propuestos para exámenes
223
14. El 11.2% de interés compuesto por quincenas es equivalente al _________ % de interés
efectivo. efectivo. 15. Un capital se duplica en 5 años si se invierte al _________ % de interés efectivo. equivalente al _________ % nominal mensual. 16. El 13.8% de interés efectivo es equivalente 17. En un préstamo de $35,000 que se ampara con un documento con $36,250 de valor nominal
y 7 meses de plazo, la tasa efectiva efectiva es _________ . 18. Invertir un capital al 9.36% de interés nominal mensual es igual de redituable que hacerlo
con el _________ % compuesto por semestres. 19. Un capital de $8,000 genera intereses de $_________ en 5 meses cuando se invierte al
12.5% compuesto por bimestres. televisor que se compra con un enganche del del 30%, un pago a los 20. El precio de contado de un televisor 2 meses de $3,750 y con el 12.4% de interés nominal mensual es $_________. 21. El índice poblacional del país aumenta en 5.2 puntos porcentuales por año. ¿Cuánto crece en
4 años? meses de la compra de una computadora, computadora, si se dio un 22. ¿Por qué cantidad es un pago a los 4 meses enganche de $8,500 que corresponden al 40% del precio y se tienen cargos del 9.3% de interés efectivo? 23. ¿De cuánto es cada pago a 2 y 3 meses, si con un enganche del 25% se adquirió un televi-
sor de 34 pulgadas, con precio de contado de $7,850 y con el el 13.8% de interés nominal menmensual? Suponga que: a) Los dos pagos son iguales. b) El segundo es 20% menor que el primero.
24. El 21 de marzo se firmó un pagaré con valor nominal de $15,000 con vencimiento al 15 de
octubre. El 5 de enero se firmó otro por un crédito de $20,000 y vencimiento al 20 de junio. Se ha llegado a un acuerdo para reemplazar reemplazar los dos pagarés, pagarés, por 3 de la misma cantidad cantidad y cuyo vencimiento vencimiento sea el 15 de mayo, el 16 de junio y el 10 de agosto, respectiv respectivamente. amente. ¿De cuánto es cada uno si se cargan intereses del 13.8% de interés nominal mensual? ¿Cuánto se genera por intereses? enero la compañía Construcciones del Noroeste, Noroeste, S.A., compra materiales materiales para la 25. El 6 de enero construcción de un edificio de departamentos, departamentos, suscribiendo dos documentos con valor nominal de $135,000 y $82,000, y cuyo vencimiento vencimiento es, respectiv respectivamente, amente, el 19 de marzo y el 12 de mayo siguientes con intereses del 12% efectivo. Determine: capital, es decir, decir, el precio precio de los materia materiales. les. a) El capital, b) El cargo por concepto de intereses. c) El valor descontado de los dos documentos el 15 de febrero con un descuento del 11.3%
nominal bimestral.
224
Capítulo 4: Interés compuesto
26. El flujo de capitales que una constructora tiene contemplados en su cuenta bancaria para la
construcción de viviendas (en miles de pesos) es:
Fecha
Ingresos
febrero 10
$5,000
Egresos
marzo 1
$2,600
abril 10
$1,500
abril 27
$750
mayo 2
$1, 850
junio 10
$2,600
julio 30
$975
¿Cuánto tendrá en la cuenta el 30 de julio, julio, luego del último retiro, si el saldo anterior al 10 de febrero fue de $75,000 a su favor y la cuenta reditúa el 12.4% de interés anual capitalizable por días? En los problemas 27 a 46, seleccione la opción opción correcta justificando justificando su elección. CVP Construcciones fueron de $765,000, y en 2006 de $782,595. 27. En 2005 las utilidades de CVP ¿De cuánto serán en 2009 si se sostiene el incremento geométrico? a) $825,203.40
b) $860,427.33
c) $837,845.55
d ) $802,968.03
e) Otra
capitalizable por días? 28. ¿En cuántos días se duplica un capital que se invierte al 11.3% anual capitalizable a) 2,369
b) 697
c) 1,360
d ) 2,209
e) Otra
equivalente alente al 11.8% nominal bi29. ¿Cuál es la tasa de interés anual capitalizable por quincena equiv mestral? a) 11.5168368%
b) 11.3342513%
c) 11.0068914%
d ) 11.4986353% e) Otra
mensual, 30. Es el porcentaje aproximado en que un capital, que se invierte al 13.65% nominal mensual, crece en año y medio de plazo. a) 22.58%
b) 25.04%
c) 19.68%
d ) 19.44%
e) Otra
31. ¿Cuánto debe invertirse al 14% efectivo para acumular 30 mil pesos en 7 meses? a) $27,792.45
b) $28,023.42
c) $27,473.95
d ) $27,068.63
e) Otra
32. Es el monto que se acumula al 20 de diciembre al invertir $48,500 el 5 de junio anterior, con
interés del 9.36% convertible cada día. a) $50,396.93
b) $53,201.41
c) $52,236.43
d ) $51,061.82
e) Otra
Problemas propuestos para exámenes
225
generan en 9 meses, cuando se invierten invierten ganando intereses del 33. Son los intereses que $37,200 generan 11.25% nominal trimestral. a) $4,263.91
b) $4,037.42
c) $3,861.03
d ) $3.227.85
e) Otra
cada pago que se realizan realizan el 10 de febrero y el 25 de abril, para li34. Encuentre el tamaño de cada quidar un crédito en mercancía por $85,375 del 26 de noviembre anterior con cargos del 12.6% nominal mensual, mensual, considerando que son iguales. a) $45,298.03
b) $44,396.78
c) $43,996.61
d ) $44,765.32
e) Otra
el primer pago si el segundo es un 40% mayor? mayor? 35. En el problema 34, ¿de qué cantidad es el a) $36,495.35
b) $37,961.43
c) $37,076.92
d ) $36,765.08
e) Otra
d ) $3,785.23
e) Otra
36. ¿A cuánto ascienden los intereses en el problema 35? a) $3,938.08
b) $4,025.41
c) $3,609.61
con vencimiento al al 11 de julio, por un préstamo de 37. El 28 de enero se endoso un pagaré con 36,950 pesos. ¿En cuánto se negocia negocia el 3 de mayo, considerando intereses del del 9.96% nominal mensual y descuento compuesto del 10.4% nominal diario? a) $37,895.08
b) $36,963.91
c) $37,069.08
d ) $36,125.30
e) Otra
anual aproximada de descuento descuento compuesto por días, si el 23 de octubre se 38. ¿Cuál es la tasa anual negocia en $73,800 un documento con valor nominal de $75,205 y vencimiento al 3 de marzo del año siguiente? a) 7.025387%
b) 9.352215%
c) 5.182992%
d ) 6.257112%
e) Otra
préstamo y se firman tres pagarés por por $28,750.00 cada uno, que vencen el 4 39. Se consigue un préstamo de mayo, el 23 agosto y el 15 de octubre, octubre, con intereses del del 14.6% nominal nominal diario. ¿Cuál ¿Cuál es la fecha de vencimiento promedio? a) Agosto 3
b) Agosto 15
c) Agosto 21
d ) Septiembre 5
e) Otra
40. ¿De qué cantidad es el pago que se realiza el 3 de julio y sustituye a los tres del proble-
ma 40? a) $83,621.45
b) $84,096.35
c) $85,171.02
d ) $85,421.35
e) Otra
41. ¿A cuánto ascienden los intereses del problema 40 suponiendo que los documentos se firma-
ron el 3 de marzo anterior? a) $8,201.43
b) $8,023.40
c) $7,779.11
d ) $7,928.23
e) Otra
42. ¿Cuánto debe invertirse el 5 de marzo en una cuenta que bonifica el 10.5% efectivo para dis-
poner de 60,000 pesos el 28 de septiembre? Suponga que el 3 de enero se había realizado un depósito por $25,000. a) $30,429.33
b) $31,968.03
c)$31,225.79
d ) $32,125.38
e) Otra
226
Capítulo 4: Interés compuesto
43. La Maquiladora de Occidente consiguió un crédito por $750,000 para ampliar sus instala-
ciones y endosó endosó dos documentos; el primero por $375,000, $375,000, que vence a los 5 meses, meses, y el segundo con un plazo de 9 meses. ¿De cuánto es este pago si los intereses son del 15% efectivo en los primeros primeros 4 meses, y del 15% nominal mensual en en el resto del plazo? a) $442,016.32
b) $435,923.05
c) $456,023.43
d ) $460,321.83
e) Otra
documentos del problema anterior, anterior, 3 meses después de que se 44. ¿En cuánto se descuentan los documentos firmaron con descuento del 14.5% compuesto por meses? a) $796,087.49
b) $781,805.76
c) $774,008.91
d ) $779,467.09
e) Otra
45. Diga que conviene más al inversionista que dispone de $675,000. a) Llevar su dinero a un banco que bonifica el 10% efectivo. b) Comprar centenarios que incrementan su valor en 0.19% cada semana. c) Invertir en
CETES
que ofrecen el 9.98% simple anual.
d ) Comprar onzas de plata si su valor crece 0.194 centavos cada semana. e) Prestar su dinero si le endosan un documento con valor nominal de $745,000.00.
Considere un año de plazo en todas las opciones. contratos para construir un núcleo de viviendas, viviendas, con un presu46. El 3 de mayo se firman los contratos puesto de 35 millones de pesos y el mismo día se reciben 7 millones de pesos. Localizando los 35 millones en el el inicio de obras, el 1 de junio, determine el tamaño tamaño del cuarto pago que que se realiza el 22 de mayo del año siguiente, siguiente, si el 23 de octubre y el 10 de febrero se hicieron dos pagos más por 10 millones de pesos cada uno. Considere intereses del 12.8% efectivo. efectivo. a) $10′095,321.42
b) $9′963,286.04
c) $10′265,429.41
d ) $10′379,199.36 e) Otra
