L'ouvrage (niveau B): L'automatisation des ~stemes ou processus industriels passe prealable· ment par Ia connaissance de leurs comportements. Cet ouvrage definit ces systemes, en donne one modelisation, puis etudie leurs reactions selon qu'ils soot commandes par des signaux continus ou des signaux discrets. L'expose est illustre d'exemples concrets et complete par des exercices resolus et un cboix de problemes de syntbese avec leur solution. L'auteur: Michel Villain, Maitre de Conferences, enseigne depuis de nombreuses annees l'Automatique en JUT, en licence d'lngenierie Electrique et dans Ia fi/iere MCI du CNAM. II a ere chef du departement Genie Electrique et lnformatique industrielle de l'IUT de Brest et il dirige depuis 1994/e departement Maintenance industrielle de"/' JUT de Rennes · Saint-Malo.
Illustration de couverture : Dessin de Leonard de Vinci.
AUTOMATIQUE 1
Signaux et systeffies continus et echantillonnes Michel VILLAIN ...'
c:5J '\" r·--""
91l~!'~~m~i'!'l'!'J~II For tunisia-sat
ISBN 2- 7298-5651-X
By dali200821
c__
1,-}
I\
'
t
, .......
-... ·~~~.,
'
Lrrn®mm®fSOOrP Les FILIERES TECHNOLOG_IQUES des ENSEIGNEMENTS SUPERIEUR$
.. ~-
...
__""'"'
•'
'
-, ._
·'
------ .
.... ~ ~
..
.
J
:;......-
-
.... •
... ,--.~- -~- ._:__~ _,. .·--=
.. ......
:..,, . .
~-r
..
~
..._.
AUTOMATIQUE 1 For tunisia-sat by dali 200821
Signaux et systemes 0-B\oiCJ continus et echantillonnes \JI.L
Michel VILLAIN Maitre de Conferences I{JT de Rennes Saint-Malo
---1
G') \ p.::.: f
. i ¥ IJ'l C
DA.."'S LA MEME COLLECTION :
• Dimensionnement des strucwres. Resistance des matiriaux, Claude Cheze, 224 p. • Systemes asservis lineaires. Automatique 2. Michel Villain, 224 p.
PREFACE
Michel VILLAIN a acquis une experience importante dans l'enseignement de l'automatique aupres d'etudiants d'IUT au departement Genie Electrique et lnformatique lndustrielle a Brest, puis au departement Maintenance lndustrielle a Rennes - Saint-Malo, ainsi qu'aupres d'auditeurs de Ia filiere MCI du Centre Rennais Associe au CNAM, sans oublier les filieres universitaires de I'EEA. II devenait done nature! que sa contribution pedagogique puisse atteindre un public plus large. Ce premier tome consacre aux " signaux et systemes continus et echantillonnes "• qui trouvera une suite avec " des systemes asservis lineaires "• complete l'offre d'ouvrages traitant de ces differents domaines. Progressivite, pragmatisme et rigueur sont des mots cles qui s'imposent lorsqu'on veut transmettre son savoir et son savoir faire. J'ai trouve ces qualites dans cet ouvrage, dont !'auteur m'a fait l'honneur de me demander d'ecrire Ia preface.
La progressivite permet a des etudiants d'aborder cette discipline avec un minimum de prerequis: les notions principales sur les signaux et les systemes rencontres sont precisees en des termes simples. et les principaux outils mathematiques proposes en prealable. Le lecteur peut alors aborder les systemes lineaires du premier ordre, puis du second ordre et enfin d'un ordre quelconque. · De meme Ia presentation des systemes lineaires echantillonnes fondamentaux n'est faite qu'apres une introduction suffisamment exhaustive des systemes! echantillonnes. . L'outil mathematique est manie avec rigueur, mais sans surabondance: il est; Ia pour justifier les methodes ou les solutions adoptees. II contribue ainsi au· pragmatisme dont fait preuve !'auteur, au meme titre que les nombreux exemples. cites dans le developpement et dans les nombreux exercices corriges qui illustrent: chacun des huit chapitres et des 7 problemas proposes en synthase en fin. d'ouvrage. Ce livre, suffisamment documents pour etre autosuffisant est done tout a fait. adapte aux besoins des etudiants des formations technologiques specialises au niveau bac+2, IUT ou BTS, mais aussi aux etudiants de licence ou d'ecoles d'lngenieurs, et aux auditeurs de formation continue, notamment ceux de Ia filierEt Mesures et Contr61es Industrials du CNAM. ISBN 2-7298-5651-X © ellipses I edition marketing S.A., 1996 32 rue Bargue, Paris (15•~
La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alineas 2 et 3 de !'Article 41, d'une part, que les • copies ou reproductions strictement reserv~ a I' usage prive du copiste et non destinees a une utilisation collective )), et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute representation ou reproduction i.ntfgrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ... (A linea ler de
I'Artide40). Cette representation ou reproduction, par quelque procede que ce soit, sans autorisation de rMiteur ou du Centre franc;ais d'Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris), constituerait done une contrefac;on sanctionnee par les Articles 425 et suivants du Code penal.
Bertrand FORTIN Professeur des Universitas Universite de Rennes 1 IUT Rennes.
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I ·SIGNAUX ET SYSTEMES 1 • Notion de signal 1-1 Grandeur physique 1-2 Signal 1-3 Description d'un signal par une fonction 2 • Signaux fondamentaux 2-1 Signaux-Tests analogiques 2-2 Signaux a temps discret 3 • Notions de systeme 3-1 Definition 3-2 Signaux d'entree- signaux de sortie 3-3 Systemes monovariables 4 • Outils matbematiques necessaires Exercices CHAPITRE 2 ·QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMES 1 •Transformee cissoidale 1-1 Definition 1-2 Proprietes 1-3 Application 2 •Transformee de Laplace 2-1 Definition 2-2 Proprietes 2-3 Theoremes 3 • Transformee en z 3-1 Definition 3-2 Proprietes 3-3 Transformee en z inverse 3-4 Transformee en z modifiee Exercices CHAPITRE 3 · MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS 1 • Comportement d'un systeme dynamique 1-1 Solution de l'E.S.S.M. 1-2 Solution particuliere de l'E.A.S.M. 1-3 Conclusion 2 • Fonction de transfert 2-1 Definition 2-2 Fonction de transfert d'un moteur acourant continu
11 11
11 12 12 14 14 16 17 17 18 19 22 23
29 29 29 29
31 31 31 33
35 37 37
38 40 41 43 49
49 50 51 51 52 52
53
I'
8
TABLE DES MA TIERES
2-3 Forme canonique d'une fonction de transfert 3 • Modele de commande 3-1 Essais harmoniques 3-2 Essais temporels 3-3 Conclusion Exercices CHAPITRE 4 · SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU PREMIER ORDRE
a
1 ·Processus constante de temfl'l 1-1 Definition 1-2 Exemples 1-3 Analyse temporelle 1-4 Analyse harmonique 1-5 Relation temps-frequence 2- Processus integrateur 2-1 Definition 2-2 Exemples 2-3 Analyse temporelle 2-4 Analyse harmonique Exercices
75 76 76 76
77 79 81 82 82 82 83 83 84
89
CHAPITRE 5 - SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU SECOND ORDRE 1 - Definition 2 - Exemples 2-1 Circuit RLC 2-2 Moteur CC avec sa charge 2-3 Amortisseur d' automobile (Forme approchee) 3 • Analyse Temporelle 3-1 Reponse Impulsionnelle 3-2 Reponse en vitesse 3-3 Reponse Indicielle 3-4 Temps de reponse d'un systeme du second ordre 4 • Analyse Harmonique 4-1 Etude du gain 4-2 Etude du dephasage 5 - Conclusion Exercices
89 90 90 90 91 92 93 93 95 98 99 I 00 102 102 I 03
CHAPITRE 6 -SYSTEMES CONTINUS D'ORDRE QUELCONQUE
111
1- Systemes d'ordre superieur a deux 1-1 Notion de p()le dominant 1-2 Regimes dominants 1-3 Influence d'un zero 1-4 Conclusion 2 -Influence des retards 2-1 Definition 2-2 Fonction de transfert d'un element a retard
I
59 60 . 60 62 67 67
Ill Ill Ill 114 115
116 116 117
l I
~
Table des matieres
2-3 Presence d'un retard dans un processus 2-4 Linearisation d'un retard Exercices CHAPITRE 7- INDRODUCTION AUX SYSTEMES ECHANTILLONNES 1 - Signal Echantillonne 1-l Definitions l-2 Echantillonneur ideal 1-3 Echantillonnage reel l-4 Transformee de Laplace d'un signal echantillonne reel 1-5 Choix de Ia frequence d'echantillonnage 1-6 Modelisation de Ia transformee de Laplace d'un signal echantillonne 1-7 Reconstitution d'un signal echantillonne 2 - Systeme echantillonne 2-1 Definitions 2-2 Fonction de transfert echantillonnee 2-3 Application 3 - Synthese d'une fonction de transfert en Z 3-1 Mise en evidence de !'equation recurrente 3-2 Expression de Ia fonction de transfert 3-3 Cas d'un systeme quelconque Exercices
CHAPITRE 8 - SYSTEMES LINEAIRES ECHANTILLONNES FONDAMENTAUX
1 - Choix de Ia periode d'echantillonnage 1-1 Considerations pratiques 1-2 Application a un premier ordre 1-3 Application du second ordre 1-4 Exemples de choix 2 - Modele mathematique des systemes echantillonnes 2-1 Forme generale 2-2 Forme generale avec integrateur 2-3 Modele echantillonne du premier ordre 2-4 Modele echantillone du second ordre Exercices CHAPITRE 9 • PROBLEMES RESOLUS 1 - Essais d'un moteur acourant continu en charge 2- Commande d'un radar 3 - Modelisation et comportement d'un reservoir 4- Modelisation d'une enceinte thermique 5 -Approche d'une boucle de regulation 6 - Essai de modelisation experimentale 7- Comportement d'un systeme echantillonne du second ordre
117 118 120
127 127 127 127 128 129 130 134 134 136 136 137 140 141 141 143 144 145
151 152 152 152 152 153 153 153 155 156 158 166 171 171 174 175 178 180 183 185
CHAPITRE 1
[
SIGNAUXETSYSTEMES
I
1· NOTION DE SIGNAL 1·1 GRANDEUR PHYSIQUE Une grandeur physique est une entite dont Ia valeur peut varier et qui est susceptible d'etre mesuree (temperature, pression, debit, vitesse, courant, etc ... ). Tout systeme physique communique avec l'exterieur grace a des grandeurs physiques. Prenons l'exemple d'un four electrique :
Figure 1.1 ·Four electrique Pour atteindre Ia temperature T, nous devons produire une energie calorifique Q suffisante. Celle-ci peut etre produite par effet Joule ( Q R.i 2 .t)
=
En faisant varier i, no us faisons varier Q done Ia temperature T. Vu de l'exterieur, le four communique avec l'experimentateur grace ii deux grandeurs physiques :
+ une grandeur physique d'entree (le courant i).
+ une grandeur physique de sortie (Ia temperature
n.
~ Figure 1.2- Schemafonctionnel d'unfour electrique
ce que nous pouvons symboliser sous Ia forme d'un schema fonctionnel (figure 1.2).
D'une maniere plus generale, un systeme physique communique avec l'exterieur par Ia biais: • de grandeurs physiques d'entree ei,
+ de grandeurs physiques de sortie Sj
12
I . SIGNAUX ET SYSTEMES
r
e,
s,
~
Systeme
e,
s2
s,
Figure 1.3- Schemafonctionnel d'un systeme physique
13
I. Notion de signal
Le signal de temperature dans le four est alors une fonction T telle qu'a toute valeur de t corresponde une valeur T(t): t
~
T(t)
La variable temps test une variable reelle continue, T(t) est un nombre reel. Un signal analogique est sou vent appele signal continu. ~
f,f
1-32 SIGNAL ECHANTILLONNE
1-2 SIGNAL Un signal represente !'aspect mesurable de Ia variation d'une grandeur physique. La notion de signal est d'ailleurs ancienne (signaux lumineux, signaux de fumee, etc ... ) et ces exemples nous montrent simplement qu'un signal nous avertit d'un evenement .
Pour apprehender plus facilement cette notion, nous observons periodiquement Ia temperature dans le four. Si celle-ci est prise toutes les heures, alors T( 1), T(2), T(3), ... sont des nombres qui mesurent cette temperature.
Un sigrud est done porteurd'in(ormation(s).
1
T
o
o
~?.
o Ooo?
Un capteur traduit Ia variation d'une grandeur physique en un signal :
+ + + +
--~--------~----~----~--.~ t
thermometre pour Ia temperature,
012345678
barometre pour Ia pression atmospherique, hygrometre pour l'humidite, etc ....
Un signal est done lie au temps car il traduit Ia variation de Ia grandeur physique en fonction du temps. En physique on ne s'interesse qu'au temps t ~ 0 alors qu'en mathematiques, on peut definir des temps t e ]-oo, + oo [.
Figure 1.5 Signal echantillonne Le temps est en fait represente par des instants, c'est a dire des valeurs discretes t I• t2····· et si ces instants sont regulierement espaces (t • = kt::. avec k e N+), alors a tout k correspondra une valeur T(k/1):
k
Un signal defini pour I ~ 0 et nul pour t < 0 est appele signal causal. En fin, un signal peut etre aleatoire ou certain (deterministe) selon que le hasard intervient ou non dans sa generation. En automatique, on ne s'interessera qu'aux signaux certains et causaux.
~
Un signal echantillonne est encore appele signal
T(kt::.)
a temps discret.
1-33 SIGNAL NUMERIQUE
Le passage du signal analogique au signal numerique s' effectue en deux temps:
+ on echantillonne le signal analogique (on discretise l'echelle des temps); 1-3 DESCRIPTION D'UN SIGNAL PAR UNE FONCTION Un signal, puisqu'il est porteur d'informations et qu'il depend du temps peut done etre represente par une fonction. Suivant Ia fa~on dont on va utiliser le temps et !'amplitude du signal, celui-ci pourra se presenter sous plusieurs formes.
+ on discretise ensuite l'echelle des valeurs du signal, c'est a dire que cette echelle est divisee en intervalles auxquels on attribue une valeur numerique: c'est Ia notion de quantification.
T
1-31 SIGNAL ANALOGIQUE
Un signal est analogique s'il prend ses valeurs dans un ensemble continu :
1
o o o
-+--o---o----------·---·--c___•__ 0
_.~
t
l?l45678
Figure 1.6- Signal numerique L'exemple le plus courant est celui des signaux delivres par un convertisseur analogiquenumerique et traires ensuite par un ordinateur.
Figure 1. 4 • Signal analogique
'
II
La courbe obtenue en joignant les points du signal numerique est appelee signal analogique reconstruit. Mais rien ne dit que celui-ci suive reellement le signal analogique initial (cf exercice 5 en fin de chapitre). II faut en a voir conscience et savoir estimer cette difference.
14
15
2. Signaux fondamentaux
I . SIGNAUX ET SYSTE:WES
2- SIGNAUX FONDAMENTAUX
1
t
'V
U
Les signaux que nous allons definir main tenant sont importants car les reponses des systemes physiques ces signaux sont porteuses d'informations qui permettent, ensuite, de modeliser ces systemes. Nous les appellerons encore signaux-tests.
a
.,
A
2-1 SIGNAUX-TESTS ANALOGIQUES
Figure I.IO • Linearisation de !'echelon unite
2-11 RAMPE UNITE r(t)
En fait u 1(t) n'est pas plus simple. C'est meme un signal non lineaire.
v
Definition:
r(t)={~
r•
si t < 0 (causalite ) sit> 0
La pente de Ia droite exprime Ia vitesse de variation de Ia grandeur r. C'est pour cela qu'on appelle souvent Ia rarnpe unitaire echelon de vitesse.
0'
2-13
IMPULSION UNITE o(t) (IMPULSION DE DIRAC)
Derivons Ia fonction u 1(t) definie dans le paragraphe precedent. On voit tout de suite que:
.. t
du - ' = 0 pour t !'> 0 et t ~ A dt du1 l =- pour t e ]o,A( dt A
J
Figure I.7 • Rampe unite
l
0
A
t
Figure I. II • Derivee de u I(t)
2-12 ECHELON UNITE u(t) (FONCI'ION DE HEA VISIDE)
On obtient done une impulsion OJ(!) de larDefinition:
u(t) =
ut
0 si t < 0 (causalite ) {I
geur £let d'amplitude -
A
l
sit >0
u(t) est done Ia derivee (discontinue a l'origine) de r(t). Elle n'est pas definie al'origine (t = 0) ce qu'on transcrit par uco-) = 0 et u(O+) =I.
-
Nous constatons que cette impulsion a une aire egale a I quelque soit A. En effet :
O'
J =1 f-- o,(r)dr =iAOA-dr
t
Figure I.8 • Echelon unite L'image physique de ce signal est !'application d'une tension d'un inverseur K.
l
a un circuit par l'intermediaire
Si on fait tendre A vers 0, Ia largeur de cette impulsion tend vers 0 alors que son amplitude tend vers l'infini. A Ia limite, l'integrale de cette fonction devrait etre nulle, or elle ne l'est pas puisqu'elle vaut I. (t), appelee impulsion de Dirac, n'est pas une fonction mais une distribution.
'VA
&tll
o
K
lvt ~.
~
-~~
~
0--,
. ·u !
L'impulsion de Dirac est dite unitaire, non parce que son amplitude est I, mais par ce que son aire (ou son poids) est egale a l.
~
On demontre qu'une impulsion breve peut etre approcbee du point de vue de ses effets par une impulsion de Dirac.
Figure I.9 • Generation d'un echelon d'amplitude IV L'interrupteur n'etant pas parfait, il existe un court instant £l durant lequel Ia tension u n'a 11ucune valeur: elle subit une discontinuite. On pourrait done etre tente de "lineariser" le signal diiiContinu u(t) par le signal UJ(!) (figure 1.10).
..
Figure I./2 -Impulsion de Dirac
..1,
~:
0 •.
2-14
SIGNAL HARMONIQUE OU SINUSOIDAL
Le signal harmonique est tres employe en electronique car il permet de determiner Ia reponse en frequence d'un systeme (ou reponse harmonique). II en est de meme en Automatique. Le signal harmonique a un caractere non causal, car deceler une a vance ou un retard de phase Aq> ne signifie rien a priori. Cela peut signifier± Aq> a21m pres.
j ,,I
3. Notions de systeme
I. SIGNAUX £T SYSTEMES
2-22 SIGNAUX-TESTS ECHANTILLONNES
l·Z SIGNAUX A TEMPS DISCRET
On va retrouver les signaux de base continus, mais cette fois echantillonnes.
2·21 NOTION D'ECHANTILLONNAGE
a) Rampe unitaire echantillonnee r*(t)
Considerons le montage de Ia figure I - 13.
<(t)
r•(t) ,
Definition:
K o-----,
•• !
+,--------~ I~ I
Opourt
Oscilloscope ou
~kT.o(t-kT)
r"(t)=
Voltmetre
tt11
pour t
\
T
Ql
2T
3T
L'inverseur K est actionne a cadence reguliere, c'est-a-dire toutes les T secondes. n ne reste en position haute qu'un court instant ll << T. Toutefois ll ne peut etre nul, c'est une contrainte technologique. On obtient sur !'oscilloscope le signal de Ia figure I - 14.
b) Echelon unitaire echantillonne u*(t)
l
Definition: e(t}
i !
'·
JO pour t < 0 '-
T
..
u*(t)
e*(t}
0 I Ll.
ST
Figure 1.16 • Rampe unitaire echantillon•! nee ,
Figure 1.13 ·Principe de l'echantiUonnage
.
4T
2T
u·(c) =l~o(t- kT)
3T
pour t ~ 0
\ 0'
T
2T
3T
4T
Figure 1.17 -Echelon unitaire echantillon· ne
4T
Figure 1.14 ·Signal echantillonni reel c) Impulsion de Dirac unitaire centree
Le signal echantillonne e*(t) est constitue d'une suite d'impulsions "analogiques" car leurs
lX_kL\)
amplitudes varient pendant Ia duree d'echantillonnage ll. Si on admet que e(kT) represente Ia valeur moyenne de !'amplitude de Ia ki
Definition:
{01 pour k=O k 0
o(k) =
Si ll << T, on montre que e*(t) est defini par:
;t:
pour
k=O
l. . ii"'"
I
-1
e·(c)= }:e(kT).8(t-kD
0
I
I
I
...
kL\
2
Figure 1.18 ·Impulsion de Dirac unitaire centrie
'
Le signal echantillonne est done constitue d'une suite d'impulsions de Dirac, d'aire e(kT), decalees de T, les unes par rapport aux autres.
<'(<)
0
T
2T
3· NOTIONS DE SYSTEME
!t ., 3T
3-1 DEFINITION
Un systeme est un ensemble d'elements (physiques, chimiques, biologiques, economiques, .... ) relies les uns aux autres pour atteindre un but determine au moyen d'un fonctionnement
4T
decrit a l'avance. Figure 1.15 ·Signal echantillonni ideal
·'·,..,:_;;~:
[,/
18 I . SIGNAUX ET SY!lTE.,IES
3. Notions de svstemc
19
Exemple: four electrique. Un systeme est dit monovariable s'il ne dispose que d"une entree de commande et d'une sortie. II est dit multi variable dans tous les autres cas. On ne s'interessera dans Ia suite de ce cours qu'aux systemes monovariables.
• Elements: resistance electrique, enceinte calorifugee; • But: atteindre une temperature T a l'interieur de !'enceinte; • Fonctionnement: energie calorifique produite par effet Joule en faisant varier le courant dans Ia resistance. Un systeme peut done etre considere comme un "tout" isole, relie des liaisons.
Tout systeme monovariable peut etre represente par son schema fonctionnel.
a d'autres systemes par
Grandeur d"entree
Grandeur de sortie
Systeme
Perturbations
Figure 1.20- Schemafonctionnel d'un systeme monovariable
3-3 SYSTEMES MONOVARIABLES Les systemes monovariables qui seront etudies dans ce cours d'Automatique seront toujours causaux c' est a dire non anticipatifs. En particulier, si !'entree est nulle pour t < 0, alors Ia sortie l'est aussi ou a Ia rigueur constante (un four, bien que non commande, est toujours a temperature ambiante).
Figure 1.19- Liaisons entre systemes 3-31 SYSTEME INSTANTANE OU STATIQUE
Definition: Un systeme statique est un systeme dont Ia reponse
3-2 SIGNAUX D'ENTREE- SIGNAUX DE SORTIE
a une excitation est instan-
tanee. Tout systeme a besoin d'un certain nombre d'informations pour fonctionner, aussi simple soit-il. Par exemple, pour notre four electrique, il peut s'agir de !'information de mise en route (interrupteur), de Ia consigne de temperature (thermostat), etc ... lnversement, par le biais d'un capteur, le four nous indique sa temperature interne. Un systeme peut aussi etre sensible a des evenements exterieurs independants des informations qu'on lui a foumies. Reprenons notre exemple : aussi bien calorifugee soit-elle, il existe au niveau de !'enceinte des fuites thermiques (defauts d'isolation, pants thermiques, etc ... ) d'autant plus importantes que Ia difference de temperature entre l'interieur et l'exterieur est grande. Ces fuites constituent des perturbations qui ont un caractere aleatoire.
Par exemple, une resistance pure R est un systeme statique car le courant qui Ia traverse suit Ia tension appliquee a ses homes. Entree et sortie sont liees par une relation simple:
u
u
ll__~i
~
t
.t
i I
Dans ces conditions, tout systeme sera caracterise par deux sortes de signaux : a) signaux d'entree
.~
!
Ce trouvera: sont des grandeurs independantes du systeme mais qui agissent sur son etat en tant que causes. On
Figure 1.21- Systeme statique • les signaux de commande qui permettent d'agir sur le systeme et de le piloter vers un but specifie, • les signaux de perturbations subis par le systeme. Generalement, on ne pourra pas agir sur celles-ci car leur mode d'action sera difficile a identifier. b) signaux de sortie capteurs.Ce sont les effets des grandeurs d'entree que l'on peut observer generalement au moyen de
La relation mathematique qui lie entree et sortie, u = Ri, est independante du temps. On dit encore qu'un systeme statique n'a pas de memoire. 3-32 SYSTEME DYNAMIQUE OU A MEMOIRE
Defmition : Un systeme dynamique est un systeme dont Ia reponse pend a Ia fois de celle-ci et de ce qui s'est passe avant.
a une excitation de-
L'exemple que nous prendrons est celui d'un circuit integrateur (figure 1.22). Dans ce cir• . cul.t., nous pouvons ecnre: e
= R .1. + u = R .1. +-1 J1"dt
c
et 1. = C -du
dt
I
I
I 'I
/\ 21 20
I . SIGNAUX ET SYSTEMES
3-36 NON LINEARITES DES SYSTEMES PHYSIQUES
R
~
l
3. Notions de systeme
crl"
~u
~
Figure 1.22 - Circuit integrateur d'ou:
En toute theorie, les systemes physiques ne sont ni continus (au point de vue rnicroscopique), ni invariants (vieillissement des composants), ni lineaires. Prenons l'exemple de Ia loi d'Ohm U = RI qui semble parfaitement lineaire. Augmentons progressivement le courant I. Cette augmentation produit un echauffement important de Ia resistance R. Or celle·-ci varie selon Ia loi R = R0 (1 +aT), c'est-a-dire qu'elle augmente avec Ia te~rature. Pour une meme tension U appliquee, le courant diminue.
Reelle
La relation liant u et e est cette fois plus complexe puisque u depend de e mais aussi d'elledu meme (derivee- ). C'est Ia caracteristique d'un systeme dynamique ou encore a memoire. Comme dt nous le verrons par Ia suite, beaucoup de systemes sont dynamiques (moteur, thermometre, four, etc ... ).
u Zone de Zone de tinearite
3-33 SYSTEME CONTINU - SYSTEME ECHANTILLONNE
Un systeme est dit continu si tous les signaux d'entree, intermediaires et de sortie observables sont des fonctions continues du temps. Ainsi une equation differentielle, telle que celle vue au paragraphe precedent, decrit un systeme dynamique continu. Inversement, si en un endroit au moins de Ia chaine des elements le constituant, le signal n'est transrnis qu'a des instants discrets privilegies, le systeme sera dit echantillonne. Celui-ci est alors observable aux moments d'echantillonnage. On montrera. dans le chapitre 6 que les equations n~currentes, comme celles qui sui vent, caracterisent des systemes echantillonnes: •
non linearite
Figure 1.23- Non linearite de la loi d'Ohm Les non-linearites rencontrees usuellement et se combinant souvent entre elles, sont donnees figure I - 24.
s(k) = a.e(k) pour un systeme instantane,
+ s(k) + a.s(k -1) = b.e(k) pour un systeme dynamique. 3-34
Icteale
.···
du e= RC-+u dt
---r-----e
---:l'-----+ e
--..---1--'----e
SYSTEME 1NVARIANT
Un systeme est dit invariant si ses caracteristiques sont independantes du temps. En d'autres lcrmes, un systeme invariant est un systeme qui ne vieillit pas. C'est toujours le cas en premien: approximation, mais en fait, ,.a ne !'est jamais. Un composant electronique, par exemple, voit ses caracteristiques se modifier avec le temps.
Seuil
Saturation
Courbure
3-35 SYSTEME LINEAIRE
Definition: Un systeme lineaire obeit au principe de superposition defini par les proprietes d'additivite et d'homogeneite.
+ additivite: Si les entrees e 1(t), ez(t), ... , en(t) entrainent respectivement les reponses s1(t), sz{t), ... , Sn(t) alors !'entree el(t)+ez(t)+ ... +en(t) entraine Ia reponse s 1(t)+sz(t)+ ...+sn(t); + homogeneite: Si !'entree e(t) est multipliee par un facteur k constant, alors Ia sortie s(t) est multipliee par ce meme facteur. On dit qu'il y a proportionnalite de l'effet a Ia cause. Rien ne nous empeche d'etendre cette definition a des terrnes integraux ou derives, done aux systemes dynamiques: Un systeme dynamlque llneaire est un systeme qui peut etre decrit par one equation diff'erentieUe a coefficients constants.
llo....... ~-
y
/
---~:.
"'
-
Hysteresis
Plus ou Moins
Figure 1.24 - Non linearites usuelles
I
22 I. SIGNAUX ET SYSTEMES
Ex ere ices
23
3-37 LINEARISATION D'UN SYSTEME
Considerons Ia commande d'un moteur a courant par un amplificateur et examinons Ia caracteristique vitesse-tension de commande.
tions du premier ordre, plus compliquee lorsque l'ordre s'eleve. Trois methodes simples permettent d'obtenir tres rapidement les solutions: elles font toutes les trois appel a Ia representation frequentielle des signaux. Ce sont :
+ La transformation cissoidale C qui est reservee aux signaux sinusoi"daux et qui se rapproche de Ia I err0senlation de Fresnel.
n
e
• La transformation de Laplace L qui indue les signaux quelconques et qui s'applique aux systemes lineaires continus.
)"n
+ La transformation en z, parente de Ia transformation de Laplace, mais qui convient
t-
mieux aux systemes lineaires echantillonnes.
eo
Ces trois transformations sont, bien sur, developpees dans les ouvrages de mathematiques classique_s, mais nous ferons quelques rappels essentiels dans le chapitre suivant.
es
Figure 1.25- Commande d'un moteur a courant continu. Quand e
EXERCICES
Q.t I Mise en evidence de Ia notion de retard
Mathematiquement, !'etude d'un tel systeme est difficile sauf si on travaille sur une zone lineaire. Pour cela, on va choisir un point de fonctionnement M (ou point de repos) situe Ie plus souvent au milieu de Ia partie Iineaire de Ia caracteristique et nous allons travailler autour de ce point, ce qui revient a faire un changement d'origine.
Ex primer analytiquement les signaux suivants.
x,
nt
)(l
A
/:1~
~ o e5
f
III>U
A
T
6
e
Tt6
-
Figure 1.26- Point de fonctionnement et changement d'origine. On pose m = n- n M et u = e- eM II est alors possible d'etudier les variations (t) de Ia vitesse en fonction des variations u de !'entree. La caracteristique ro = f (u) est une droite passant par le point de fonctionnement M. Sa pente est appelee gain statique du systeme Iineaire. C'est aussi Ia pente de Ia tangente en M a Ia caracteristique reelle Q = f(e).
!
0 si t < 0
Analytiquement. le signal x 1 peut s'ecrire sous Ia forme: x 1
=
A si 0 :s; t :s;
0
~.
Si on !'observe
sit>~
bien, on constate qu'il es"t constitue de Ia somme de deux signaux elementaires x 1 '(t) = Au(t) et x 1"(t) = -Au(t- T):
Dans ces conditions, hormis les systemes presentant des non linearites essentielles (plus ou moins par exemple), tous les systemes usuels sont linearisables autour de leur point de fonctionnement.
x, x',
A
6
4- OUTILS MA THEMA TIQUES NECESSAIRES
x", Tous les systemes que nous etudierons dans ce cours seront done consideres comme causaux, lineaires et invariants. La plupart seront dynamiques, done pourront etre decrits par une equation differentielle. L'excitation de ces systemes s'effectuera grace aux signaux-tests decrits au paragraphe 2. Les systemes vont deformer ces signaux et !'obtention des signaux de sortie demandera systematiquement Ia resolution de !'equation differentielle, resolution facile pour les equa-
Done
x,(t) = A[u(t)-u(t-T)]
De Ia meme maniere. on peut ecrire que
X 2 (t)
= A[u(t- T)- u(t- T- ~)]
I'
24
r
1. S1G:-IAUX ET SYSTEMES
I
1.2
~A
De Ia meme maniere qu'a l'exercice 1.1. ~xprimer les signaux suivants sous Ia forme d'une somme de signaux elementair=.
.,...-----
~4J
3a 2a a t
I
ol
d
M
3d
"
J< ,
25
l(l)b
Exercices
...
) \
I
A ,.,
•
I
\
Q'CI lntegrale d'un signal Soit le signal analogique suivant :
s --oOo--
10 ......_ _ __,
"
A
A
t=O
~
~
Onatoutdesuite x 3 (t)=aL,u(t-M) et x 4 (: =-r(t)--r(t-~).
-~
I
I
I
.u.
I
..
X
-5
[If] Soient 2 signaux analogiques decrits par les fc ~~::tions :
x, t
()
0 pour t < 0
={ IOOsineot
pour t
~0
Representerle signal m defini par: m(t} =
x 2 {t) = 50u(t)
+oo
-QOo--
I) Calculer puis dessiner Ia somme s(t) de ces ; gnaux. 2) Le signal s(t) excite le circuit cicontre. La diode etant consideree comme parfaite, dessiner puis exprimer le courant i(t) dans Ia resistance.
Ls(x)dx pour t =-2, 0. 2. 5, 10. 12, 15, 20,
D
m
S(tl~IOOQ
b
100
60
~
20
10 12
--oOo--
=
=
I) On a: s(t) x 1(t) + x 2 (t) 50u(t) + IOOsin CtK. Ce ;.511al est causal, sinuso·idal, de pulsation w, de valeur moyenne 50 et d'amplitude crete 100.
·~~·p ·:-50~ (\{\I v·t 2) Le signal i(t) est une on de sinusoldale redressee, c 'es: a dire que I' on ne garde que Ia partie positive. Celle-ci correspond a 0 :;;; WI :;;; 7rt/6 et II rt/6 :;;; wt::: 27t.
~-)
Derivee d'un signal La vitesse d'un moteur de perceuse doit suivre !'evolution cicontre.
dN Dessmer pms expnmer - . dt .
.
.
N tr/mn
1500
i r
.. ,_ 10
' 4045
'
t
26 I. SIGNAUX ET SYSTEMES
dN
27
Exercices
2) Reconstituer le signal consiste ajoindre les points du signal echantillonne.
dl On obtient:
f 0 =1Hz
dN - = 150u(t)-150u(t-I0)-300u(t-40)+300u(t-45) dt
f 0 =2Hz
~ fo=5Hz.
v· £'\ v· Q v·
40 45 Ol
10
~fo=3Hz
-300
I
t.6
fo=8Hz
\7"
I
A f 0 =4Hz
Soit un signal sinusoidal v(r) =IOsinC
f 0 =10Hz
v·
Signal echantillonne
..
On cons tate, en reconstruisant le signal. que pour f0 = I et 2 Hz. on n•obtient rien. A partir de 5 Hz. le signal reconstruit se rapproche progressivement du signal initial. C' est le principe enonce par Shannon: « lorsqu'on echantillonne un signal continu, on ne perd pas d'information si Ia frequence d'echantillonnage est superieure au double de Ia plus haute frequence contenue dans le spectre de ce signal (f0 > 2f) »; les automaticiens choisissent: Sf:::; fo :S25f.
Q7 I
-oOo1)
Entree et sortie d'un systeme I) lndiquer les grandeurs d'entree et de sortie des systemes monovariables suivants: moteur a courant continu, generatrice tachymetrique, four electrique, voltmetre a aiguille, reservoir de stockage d'eau, vanne a commande pneumatique.
<(I)
2) Dans queUes unites s'expriment ces grandeurs? f 0 =1Hz
I
~--------------.
•
fo=2Hz
I
f 0 =3Hz
e
1
I
e
~
f 0 =4Hz
.
1
1
. I.
f 0 =5Hz
I
I.
~
f 0 =8Hz
.I 1.111" f 0 =10Hz
~
3) Mettre en evidence les grandeurs perturbatrices pouvant degrader le fonctionnement de ces systemes.
.I 11 1.'11'",
---<>Oo-
MoteurCC
Entree Tension (V)
Generatrice tachy. Four electrioue Voltmetre a aiguille
Vit. angulaire (rd.s· ) Tension (V) Tension (V)
Reservoir Vanne oneumatioue
Debit (m .s- 1) Debit (m .s- 1)
Sortie Vitesse angulaire (rd.s- 1) Tension (V) Temperature CC) Deplacement angul. (rd) niveau (m) Debit (m'.s- 1)
Perturbations Frottements Frottements Fuites thenniques Frottements Charge du reservoir Fuites
'
, I' ) 'I
28
r
I . SIGNAUX ET SYSTEMES
1.s
1
CHAPITRE
2
Trouver les proprietes des systemes decrits par les relations suivantes:
a) s= 3e+l d 2s ds b) - 2 +4-+s=0,5e dt dt
QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMES
ds c) -+..fb=e dt d) 3s(k) + 2s(k- 1)- s(k- 2) = e(k)- 3e(k- 1) e) s(k)+[s(k-l)Y=e(k)
1· TRANSFORMEE CISSOIDALE Pour un electricien, cet outil n'est pas inconnu, puisqu'il s'agit d'une adaptation de Ia representation de Fresnel (espace tempore!) dans l'espace des nombres complexes.
--oOo-En utilisant les abreviations suivantes: L =Lineaire ; NL =Non Lineaire ; S =Statique ; D =Dynamique ; I =Invariant ; C =Continu ; E =Echantillonne, nous caracteriserons les systemes de Ia maniere suivante: a) L.S.I.C.
b) L.D.I.C.
c) NL.D.I.C.
d) L.D.I..E.
e) NL.D.I.E.
1-1 DEFINITION Soit x(t) = X M sin(liJt + cp) une fonction sinusoldale du temps. On appelle transformee cisso"idale de x(t) le nombre complexe X tel que:
! X=
C
[x(t)]~X wej"
avec -7C < cp < 7C
I
XM, module du nombre complexe est bien sur !'amplitude crete de x(t), alors que I' argument
Exemples:
+ x(t)
=lOsinwt (::} X =10 K
+ v(t) = 220..fi sin(wt + tr/3) (::} V = 22oJ2.e'3 It
•
i(t) = 3coswt (::} I = 3.e
}-
2
1-2 PROPRIETES 1-21 LINEARITE Si x(t) et y(t) sont des fonctions sinuso"idales du temps, alors:
c{a[x(t)]} =ac[x(t)]
a=constante
c [ax(t) + by(t) ]= a c[x(t)] +b c[y(t)] a, b = constantes
l 30
1-3 APPLICATION
1-22 TRANSFORMER CISSOIDALE DE LA DERIVEE So it x(t) = X M sin(ax + tp) une fonction sinusoldale du temps. On a tout de suite:
La principale application de Ia transfonnee cissoi"dale est Ia recherche du regime permanent des systemes fonctionnant en regime sinusoidal. Considerons par exemple Ie circuit RC de Ia figure 2.2
di =X Mwcos(ax +tp)= X Mwsin(ax+tp+!:) dt 2 dont Ia transfonnee est X = X M.w.e
j(qJ+!!.)
f
On a e(t) = Ri(t) + s(t) et s(t) = ~ idt
.
2
= jw. X M.e'". Done:
[c[~]=jw.X
fil
I
De Ia meme maniere qu'au paragraphe precedent, nous pouvons ecrire que:
f xdt =- XMw cos(ax+ tp) =-XwMsiJ'\ax+ tp+!:) 2 W
dt
ds RC- + s(t) = e(t) dt
dont
Ia
Si e(t) = EsinWt, on peut obtenir tres rapidernent Ia tension instantanee aux bomes du condensateur. La transfonnee cisso"idale de I' equation differentielle s'ecrit: RC.jw.S + S = E,
est
transfonnee
E l+jRCw
soit: S = - - - -
X
=~e'".D'ou:
W
. : d, ou, 1.( t ) = C. -ds et pour term mer
Figure 2.2 - Circuit RC
1-22 TRANSFORIVIEE CISSOIDALE DE L'INTEGRALE
X j<
X . X =-___!!_e 2 =-j_.!!_e'"
31
2. Transfonnee de Laplace
2 · QUELQUEs OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMES
]W
L'amplitude
SM
= .}
E
2
1+ R C 2w
2
crete
de
Ia
tension
aux
. Cette tension est dephasee de tp
bomes
du
condensateur
= -Arc tan RCw
par rapport
est
done
a Ia tension
e(t).
1-23 THEOREME DU RETARD
2- TRANSFORMEE DE LAPLACE
0 pour t < 0 Soit les fonctions causales x, (l) = . { X M smw t pour
t 2!
0
et Xz (t) = x, (t-
n
ou
C'est l'outil mathematiques des systemes Iineaires continus. n perrnet, en particulier, l'emploi de signaux quelconques, ce qui n'etait pas le cas de Ia transfonnee C.
x 2 (t) est Ia fonction x 1 (t) retardee d'un temps T.
2-1 DEFINITION
'l~ [J,,(t'!....!"\. '\Yr\J1j"
Soit f(t) une fonction du temps, definie pour t > 0 et nulle pour t < 0. Soit p une variable complexe. On appelle tr~nsformee de Laplace de f(t), Ia fonction de Ia variable complexe notee F(p) telle que:
F(p)=£[!(1)]= re-P'f(t)dt
Figure 2.1- Fonction retardee L'existence de F(p) suppose bien siir que l'integrale converge. Cette transformation est bijective; f(t) est dite transfonnee inverse ou originale de F(p):
Ecrivons les transfonnees respectives de x 1 (t) et x 2 (t):
X, =XM X,= X e-jmT -
f(t) =£-'[F(p)]
M
Done X 2 = X,e·jmT, ce qui signifie qu'un retard est un dephasage pur.
Exemple: calcul de Ia transfonnee de f(t) = e·at
f
lI '
On a tout de suite: F(p) =
J,-o e-pr e-"'dt = J,-o e-rdt = -p+a -1-[e·r 1- = - l Jo p+a
Le tableau de Ia page suivante donne Ia liste des transfonnees de Laplace utilisees usuellement en Automatique.
.,/'
32
l · QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX KT SYSTKMES
1. Transformce de Lapla~e
33
2-2 PROPRIETES
1
f(t)
pour t>O
.,,._
F(p)
2-21 LINEARITE O{t)
l
1
l
Si f(t) et g(t) ont des transformees de Laplace, alors:
-
£[af(t)]=aF(p)
p
£[af (t) +bg(t)
1
t
7
t
n-1
'
( n -1)!
e
2-22 APPLICATION: RECHERCHE DE L'ORIGINALE
1
-p"
On se place dans le cas oil F(p) est une fraction rationnelle dont le degre du numerateur est inferieur ou ega! ii celui du denominateur.
A- Methode Generate
-1-
-at
p+a
t.e -at
co scot
J=aF(p) +bG(p)
On recherche les zeros (racines reelles du numerateur) et les p<)les (racines reelles du denominateur) de maniere ii ecrire F(p) sous Ia forme:
1 (p +a )z
F(p)
p pl +Wl
(p- z, )(p- Zz ). · · (p- Pt )(p- Pz ).. ·
On decompose ensuite Ia fraction en elements simples:
A
sinllX
e·at .COSCiX
pl +Wl oil A et B sont des constantes. On obtient alors des expressions simples dont on peut trouver l'originale dans le tableau de Ia page precedente. On peut alors exprimer !'originate f(t).
p+a (p+al +Wz
8- Cas oil les poles sont simples
(J)
e-at . sin ClX
Les poles sont simples si le denominateur s'ecrit sous Ia forme
(p+a)z +Wz
l
A. e-at .cos(cot+ )
avec
(p+a) +W
f3 -aa = -arctan--· ·
avec a.= I.
i=l
2
. p1 = -2 et p = -3, et done F(p) = - - ! . .p+! F(p), sott _ __ 2
(p+2)(p+3) , F(p) se decompose en
p+!
(p+2)(p+3)
aw Tableau I - Transformies de Laplace usueUes
TI (p- p, t
1 Exemple: Soit F(p) = 2 p+ . p +5p+6 dont on desire trouver l'originale. On cherche les poles de
ap+ f3 1
A=~ ~a'ro' + (P- aa)'
B
F(p) = - - + - - +.... p-p, p-pl
(J)
A B = - - +- - :
p+2
p+3
+ pour avoir A, on multiplie les 2 membres de !'equation par (p + 2), puis on fait p=-2; + pour a voir Bon multiplie par (p + 3) et on fait p=-3. On b .
-I 2 . ( ) o hent A=- I et 8=2 d'oil F p = - - + - - et en se reportant ii Ia table des transformees, p+2 p+3 il vient:
J(t)=-e·lt +2e-J'
2. Ql't:LQUF$ Ol'TILS DE DF.~CRJPTJON POUR SIGNAUX ET SYSTE:I.U~~
34
2-23 TRANSFORMEE DE LAPLACE DE LA DERIVEE
C- Cas oil les poles soot multiples
n(P-
a
n-a
Le denominateur s'ecrit sous Ia forme
35
2. Transformce de Laplace
Integrons F(p) par partie. On a d(uv) = udv + vdu. Posons dv = e-pl dt et u = f(t). II vient
p 1) (p- pi) avec a*- I. On ecrit alors
i=l
dans ces conditions v
= __!_e-pl
A
F(p)=
+
(p- p1)a
B
-1+ ....+
(p- p1)a
trouver !'originate de F(p) =
E:remple:
et du
p
F(p.) sous Ia forme:
D £ + ....+ - - + - - + .... (p- p1) p- P2 p- PJ C
p+ ~ . F(p) se decompose sous Ia forme p(p+2) 1
F(p)
= f'(t). Done:
=f~dv =[uv]~- fo~du =[-~e-pl f ( t i -
On admet que f(t) a une limite finie lorsque signaux utilises en Automatique), done:
p+1 A B C = - + - - -2 + - - · p(p+2) 2 p (p+2) p+2.
t~oo
r-~e-pl
f'(t)dt
(ce qui est toujours verifie pour les
lim,..,_ J.e-P 1 f(t) = 0 et Iim,...,0 J.e-pl f(t) = /(0) p p
• pour obtenir A on multiplie par pet on fait p = 0;
r-
1 1 1 1 1 D'ou: F(p)=-f(O)-j, --e-P j'(t)dt=-f(0)+-£[f'(t)]
2
+ pour obtenir B on multiplie par (p + 2) et on fait p=-2;
p
0
p
p
p
+ enfin pour obtenir Con multiplie par p+2 et on fait tendre p vers l'infini. 0,25 0,5 0,25 et I' originate On obtient A=0,25 , B=0,5 et C=-0,25 , done F(p) = - - + - - 2 --p (p+2) p+2 s' ecrit alors:
f (t) = 0,25 + 0,5te -21
-
{~·]= pF(p)- /(0)
so it encore:
0,25e -ZI
2
On peut montrer de Ia me me maniere que: £[d f ]
dt 2
D- Cas ou les poles soot reels et complexes
n k
Le denominateur s'ecrit sous Ia forme:
i
)ll (1 +a
(p+ P,
j=l
I
p +b) p
2 ).
Les trinomes
et plus generalement:
J£[
¥]
= p 2 F( p) 2
1
pf (0) - f' (0)
= p" F(p)- p"- j(O)- p"- j' (0)-....-
t<•- 1> (0)
J=l
du second degre admettant deux racines complexes conjuguees, Ia methode consiste a les ecrire de Ia maniere suivante: (p+a) 2 +W 2 • La decomposition de F(p) donnera alors un terme en
Les
!'"' (0) repn!sentent les conditions initiales.
ap+f3 2-24 TRANSFORMEE DE LAPLACE DE L'INTEGRALE
(p+a)z +Wz . E:remple:
soit
a
trouver l'originale de
F(p) =
['+
1
p(p +p+2)
. F(p) se decompose en
So it g( t) =
p+ I _A Bp+C " - - + ---:,~p(p"+p+2) p (p-+p+2)
Jj (x )dx . On va calculer G(p) en fonction de F(p). On a:
+ d'une part g'(t) = f(t) done £[g'] = F(p) + et d'autre part £[g'] = pG{p)- g{O)
+ pour obtenir A on multiplie par pet on fait p = 0; • pour obtenir B on multiplie par p et on fait p~oo;
d'ou
• pour obtenir C . on peut prendre une valeur particuliere de p: ici p=-1. On obtient A=0.5 . B=-0,5 et C=0,5 done:
. F(p)
= 0,5[1-+ p
-p+1] = 0,{1 -p+l ] et !'originate s'ecrit: -+ , p 2 +p+2 p (p+0,5)"+1,75
f (t) = o.s{ 1+ 1,51e -0.sl cos( 1,32t + 48°6)]
1
1
p
p
£[f f(t)dt] = G(p) =- F(p) +- g(O)
2-3 THEOREMES 2-31 THEOREME DU RETARD Soit une fonction f(t), nulle pour t < 0 et adrnettant une transformee de Laplace. Retardons cette fonction d'un temps T.
I'
'I
Si t < T alors f(t-T) = 0. On a par definition F(p)
=J: e-P' f(t)dt.
3· TRANSFORMEE EN Z
Multiplions les deux
membres de cette equation par e·PT: e-pT F(p)
37
3. Transformee en z
2 · QUELQUFS OUTILS DE DFSCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMFS
36
3-1 DEFINITION
= J: e-P•e-pT j(t)dt =J: e-p
Au chapitre precedent, nous avons defini un signal echantillonne comme une suite d' impulsions provenant de I' echantillonnage a Ia periode T d'un signal analogi que x(t):
On effectue le changement de variable u= t+T. Done du = dt et cette equation devient: e-pT F(p)
x"(t)
= J; e-p• f(u- T)du =J: e-p• f(u- T)du
-
='l.x(kT).o(t- kT) k=O
Developpons cette expression sur quelques tennes et prenons Ia transformee de Laplace de chacun d'eux:
La borne basse de I' integrate est egale a T apres changement de variable, mais peut se transformer en 0 puisque f(t-T) est nulle pour 0 < t < T. Dans ces conditions:
x"(t)
= x(O)o(t) + x(T}o(t- T) + x(21)c5(t- 2T}+... h-
l£(f(t- T)) = e-pT F(p)l
x· (p) = x(Q) + x(T)e-Tp ++x(2T)e-2Tp +... = I.x(kT)e-kTp k=O
En posant z
Application: calculer Ia transformee de Laplace du signal periodique suivant:
~b 0 0 0 01
aT
T
2T
3T
c..
= eTp, il vient:
f
X(z)
= 'I.x(k).z-
1
k=O
X(z) est Ia transformee en z du signal echantillonne x*(t). On ecrit plut6t x(k) que x(kD. La transformee en z est monolatere car elle s'etend de 0 a l'oo . X(z) n'existe que si Ia serie est convergente done si z_,, est assez petit et par extension si Izl est assez grand.
I
Figure 2.3
Exemples
Ce signal est compose d'impulsions retardees les unes par rapport aux autres de T. L'impulsion elementaire f,(t) de largeur aT commen~ant at= 0 est elle-meme !'association de deux signaux: f 1(t) = Eu(t) -Eu(t-aT) oil u(t) est Ia fonction echelon unite (cf exercice 1.1). Dans ces conditions:
a) Echelon unitaire echantillonne u *(t)
F, (p) = E (1-e-aTp) p
D'autre part, on peut ecrire que f(t) = f 1(t) + f2(t) + fJ(t) + .... = f 1(t) + f,(t-D + f,(t-2'D + .... La transforrm!e de Laplace etant lineaire, on a de meme F(p) = F 1(p) + F 2(p) + F3(p) +.... soit encore:
]= l+e-Tp F (p) = E(l-e-aTp) p(l-e-rr)
F(p) = F (p)[l+e-Tp +e-2rp +e-Jrr+ .... 1
1
-
2-32 THEOREMES DES LIMITES
I
I !
l
On montre que: • theoreme de Ia valeur initiate: ltim,_.O+ f (t) =limP_,_ pF(p) l • theoreme de Ia valeur finale:
I
Ilim,_._ j(t) = lim,...,0 pF(p)l
l I l
.I
0
T
2T
3T
4T
Figure 2.4- Echelon unitaire echantillonne
Par definition: U(z)
-
-
k=O
k=O
I
= 'I.Lz- 1 = I.z- 1
U(z) est done constituee de termes qui sont en progression geometrique de raison z -t. Dans ces conditions: U(z)=
1 __z_ -_,-z-1 l-z
2. Ql1ELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMES
38
b) Exponentielle decroissante echantillonnee s *(t)
T
2T
3T
4T
avec Zo
39
f( t) pour
Les termes de ce signal sont en progression geomeuique de raison e-aT z-1, so it 1 z - _z S(z) = 1- e-aT z-t = z- e·aT - ~ 0
3. Transformee en z
t>O
F(z)
O(t)
I
o(t-kT)
z-•
I
-zz-1
= e-aT
Tz
t
Figure 2.5 - Exponentielle eclulntillonnee
(z-1) 2
Le tableau de Ia page suivante donne les transforrnees usuelles utilisees en Autornatique.
t2
T 2z(z + 1)
2!
2(z -1) 3
3-2 PROPRIETES 3-21 LINEARITE
jz[a.j(t) +b. g(t)] = a.Z[f(t) ]+b. Z[g(t) l]
I
z z- e·•T
e-at
Tze·•T (z-e·•T)2
t.e-a'
3-22 THEOREME DU RETARD
e(t)
0
cosca 2
I
T
III
2T
3T
"
4T
On a g*(t) = f*(t-kT) et dans ces conditions:
IG(z)
= z-• .F(z>l
sinca
z
I 2T
I
3T
I I.'
4T
5T
Figure 2.6- Signal retarde
-
zsinwT 2zcoswT + 1
2
-
ze·aT coswT 2ze -aT coswT + e -laT
Z -
ze -aT sin roT 2ze·aT coswT + e·ZaT
z
' T
2
Z -
e·a• .cosca
.. (<,I
0
z(z- coswn 2zcoswT + 1
Z -
2
e·a'.sinca 2
Tableau 2 - Transformees en Z usuelles 3-23 THEOREME DE LA VALEUR INITIALE
[r
[!< oo) =lim, ..,
1 (1-
z- 1 )F(z)l
I/
'I
3. Transfonnce en z
2. Qt.:ELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POliR SIG:"
40
3-3 TRANSFORMEE EN Z INVERSE
41
Si on utilise Ia meme methode pour F(z), on obtientF(z) =
Par definition, F(z) ne contient aucune information sur f(t) entre deux instants d'echantillonnage. Dans ces conditions deux fonctions f 1(t) et f2(t) peuvent avoir les memes echantillons et done Ia meme transformee en z (figure A6). Par consequent Ia transformee en z inverse ne restituera pas une fonction continue du temps mais simplernent une suite
~+~+.... , mais on z+a
z+b
~
constate que cette formulation ne convient pas puisque Ia transformee inverse de
z[ Ae -a•] =A~
pas dans les tables. En revanche, on a
d'echantillons.
z-e
z+a
n'existe
et on observe que toutes les
transformees ont un terme en z au numerateur. La methode de decomposition decoule de ces remarques: -..~f2(t)
+ plut6t que F(z), on decompose F(z) en elements simples, z
f l(t)
/
+ on multiplie par z chaque terme du developpement, + on prend Ia transformee inverse de chacun des elements simples. \
J Figure 2.7- Echantillonnage identique de 2 signaux quelconques
3-31 METHODE 1: DIVISION POLYNOMIALE
Une transformee en zest une fraction rationnelle en z. Si on ecrit F(z) sous Ia forme d'un quotient de deux polynomes en z·k , Ia division rle ces deux polynornes donne encore un polynome
I
2
z
(z- l)(z- 0,5)
F(z)
z
z(z -1)
z2
-
z+2
=
. Nous pouvons ecrire que:
2
=
(z-1)(z-0,5)-
On obtient A= 2 et B =-2 et done: F(z) Si on pose e-aT= 0,5 alors
en z·k. Exemple: F(z)
Exemple: F(z) =
z- 1
2 [~+-B-] z-1 z-0,5 ·
=4[-z-- _z_]. z-1
[-z-] z
z -0,5
est un echelon echantillonne et
-1
[--z-] z-
z- 1
0,5
une
fonction exponentielle decroissante echantillonnee. Dans ces conditions :
-1
1-z 1-z-1 +2z- 2
f(t)= "'2.(1-e·kaT)b(t-kT) k:O
3
La division donne F(z) = 1- 2z-2 - 2z- + 2z-4 + ..... Comme F(z) = Lf(kT). z-k, on voit tout k•O
3-4 TRANSFORMEE EN Z MODIFIEE
de suite que : f(O) =1, f(T) = 0, f(2T) =-2, f(3n
_ .
et
f( nr) -
z-1
11m;:;-+l-.
z(z-1) _
z z2 -z+2
-
=-2, f(4n=2
Quand un signal f(t) est echantillonne au pas regulier T, on connait f(kT), f[(k + l)T], f[(k + 2)T], .... , et on peut calculer ensuite F(z). Decalons un peu l'echantillonneur a gauche (figure 2.8); on peut alors determiner f[(k m)T], f[(k + I - m)T], f[(k+ 2 - m)T], .... avec 0 < m < l. On se propose de calculer F(z,m) dans ce paragraph e. f* (t)
0
3-32 METHODE 2 : DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES
On est tout naturellement tente de faire comme avec Ia transformee de Laplace. On avait: F(p)
dont Ia transformee inverse s'ecrit: j(t)
= p+a
I
I
--+--+. . A
B
p+b
0
= Ae-"' + Be-b' + .....
/ ' kT.,.
(k·m)T
I T
i I
(k+2)T
/(k+I)T
(k+ 1-m)T
I
Figure 2.8 - Echantillonnage retarde
al
42
2. QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMES
En faisant varier m de I a 0, l'echantillonnage permettra done de balayer toute Ia COIJrbe. Representons f(t) retarde de (I - m)T et echantillonnons a Ia periode T.
43
Exercices
Posons 1: = (I - m)T avec 0
F(z,m) = z·'I,I[(k +m)r]z·•
f*(t)
k=O
done
f[t-(1-m)T]
l[(k+m)T]=I-e
-(t+m)2: a
etdanscesconditions:
.~f[(k +m)r]z·• = h~JI- e-(>+m)~] z-• -
T -
T
=I,!.z-• -e-m;; 2, e-•;; .z-• k=O
Or
k=O
-
I,t.z-• k=O
0. (1-m)T
.• 2:
2, e
est Ia transformee en z d'un echelon unitaire et
a
.z-•
celle d'une exponentielle
k=O
decroissante. D'ou: -
Figure 2.9 ·Mise en evidence du retard (l·m)T A partir de Ia figure precedente, exprimons g*(t). Nous voyons que:
g * (t) = l[t- (I- m)T]+ l[t- (I- m)2T]+...+F[t- (I- m)kT]+..
T
I,[l(k +m)r]z·• = _z__ e-"';; __ z_ t=o z-1 .2: z-e a et enfin: T
F(z,m)=-1__ e-"';; z-1 ~ z-ea
et d'autre part qu'a:
• t=T • t=2T
g*(T)=I[T-(1-m)T]=I(mT) g*(2T)=I(2T-(l-m)T]=I[(I+m)T]
• t=3T
g*(3T)=1[3T-(I-m)T]=I[(2+m)T] g* (kT)= /[(k+ m-I)T]
• t=kT
EXERCICES
On appelle transformee en z modifiee !'expression:
F(z,m)
= z·'I,I[(k +m)r]z·•
avec 0<
m
k=O
12:0 Dans le circuit RLC suivaht, e est une tension sinuso'idale
~
En fait, F(z,m) est Ia transformee en z d'un signal retarde de (1 • m)T, c'est a dire un retard inferieur a Ia periode d'echantillonnage. On remarque egalement que si:
-m=O
(retardd'unpas)
- m =I
(retard nul )
e =EM sin rot:
e
F(z.O)=z·'.F(z) F(z,l) = F(z)- I (0) 0
l
~
t c ==I . Is
Ecrire I' equation integro-differentielle en i qui regit le circuit.
Dans le cas oil m = I. f(O) doit etre retranchee carle premier terme est f(l) et non f(O).
I
Application : Soit un signal f(t-
2°) A !'aide de Ia transformee cisso'idale, calculer Ia tension s aux bomes du condensateur (amplitude et dephasage).
1:), signal retarde de 1: avec 1: < T. Nous prendrons pour l'exemple
r-r
I
(t- r) = u(t- r)- e
a
ce qui correspond a F(p)
)
e·rp
--oOo--
p(l+ap) 1°) e=Ri+L di
dt
+..!_ fidt
c
I
J};f . "'
E 'RC 2°) La transformee cissoldale de cette equation donne: S - - 2 1- LCw + J w
s
I(
E
t+
.
M
1- LCw2
R2C2w2
45
Exercices
2. QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SYSTEMES
44
a2) Si les conditions initiales ne sont pas nulles, alors: done + S(p) ---,--1-----,2
(p+2)(p +2p+2)
RCw
sm((J)I+qJ) et q>=-Arctan--- 2 1- LCw
On
b)
s(t) = 0,5e-
I
2.2
I
2
'
obtient:s(t)=0,5e-2'-J2e- 2'cos(t+45°)si
r=z:!
-oOo-
a
sont
nulles
et
a lim,_,_ s(t). On
voit done qu'il est nul dans les
\
I On considere le circuit suivant:
' a) X,(p)=A(l-e""P)fp; X 2(p)=X 1(p)e·Tp;
K
A
-t.p
p(l-e
CI
deux cas.
Trouver les transformees de Laplace des signaux x 1 et x2 de I' exercice 1.1, x1 et x. de l'exercice 1.2, puis calculer celles des signaux Net dN/dt de l'exercice 1.5.
3
les
+ 2,92e-21 cos(t- 59°) si les CIne sont pas nulles.
c) Le regime permanent correspond
b)X (p)=
_o_.s_
2( p + 2) = + 1.5 p + 4 2 2 p +2p+2 p+2 p +2p+2
)
;X 4 (p)= 2 (1-e-t.p) p
v
c) N(p) = -150 (1- e - lOp- 2e-40p + 2e-4Sp) ; N'(p) = pN(p). 2 p
a) A t = 0 , on ferme K. Calculer le courant dans Ia bobine.
b) A t = t 1 , on ouvre K. On suppose t 1 >> L/ R. Meme questions qu'en a) si Ia diode est
I
2.3
I
supposee parfaite. Soit Ie systeme lineaire continu, d'entree e(t) et de sortie s(t), decrit par !'equation differentielle:
-oOo-
d 2s ds +2-+2s(t) = e(t) dt 2 dt
Lorsqu'on ferme K, Ia diode est polarisee en inverse, done le seul courant Iii. s'etablir est celui qui circule dans Ia bobine. Celle-ci emmagasine done de l'energie. Une fois le regime permanent atteint, on ouvre l'interrupteur K. Toute l'energie accumulee dans Ia bobine va devoir etre restituee. Elle va trouver un chemin par Ia diode et se dissiper par effet Joule. Si celle-ci n'exisre pas, Ia restitution de I' energie se traduit par on arc electrique entre Ies deux contacts de l'interrupteur. La diode placee ainsi aux bornes d'une bobine s'appelle <
-
a) On a e(t) = e-2t ; exprimer Ia transformee de Laplace des deux membres de cette
equation si: at) Ies conditions initiales sont nulles; a2) sW)
a) Le circuit est n!gi par I' equation differentielle:
.
= 2 et s'W) = 0 .
·
b) En deduire dans les deux cas ci-dessus s(t).
transformee de Laplace, on obtient: I ( p) =
c) Que dire dans les deux cas du regime transitoire et du regime permanent. b) At=
-oOo-
R
_'!_,) L
.
on est en regime permanent, done Ie courant I qui circule dans Ia bobine vaut
est defini par !'equation:
S(p) [ p-' +2p+2 ] -(p+2)s(0)-s. (0) = E(p) = -1p+2
L di + RI = 0. La transformee de Laplace de cette equation dt
donne: Lpi(p)- Li(O) + RI(p)
al) Si les conditions initiales sont nulles, on a:
1 1[ 1 =-2 (p+2)(p +2p+2) 2 p+2
v(
ce qui conduit a I =- 1 - e
VIR. Cette valeur constitue les conditions initiales du nouveau regime pris par le circuit. Celui-ci
La transformee de Laplace de cette equation differentielle s'ecrit:
S(p)=
t~o
v p(R+Lp)
di L - + RI = V . En passant par Ia dt
_ P]
-~
= 0 avec I(O) =VIR, et done
v
I= -e R
_'!_, L
46
Z ·QUELQUES OUTILS DE DESCRIPTION POUR SIGNAUX ET SVSTEMES
Exercices
47
ll ' '
xo
[]:[ I Trouver les trarisfonnees en z de: a) u 1(0}
=1, u,(l) =2, u,(2) =4, u,(3) =8, u,(4) =16, u 1(5) =u 1(6) =... =0 =0, Uz(2) =I, Uz(3) = 2, uz(4) =4, u2(5) = 8, u2(6) =16, uz(7) = Uz(8)
b) u 2(0) = 0, u 2(1)
01
= ... =0. c) u 3(0) = 1, u 3(1) = 1/2, u 3(2)
=1/4, u3(3) =1/8, uJ(4) =1/16, u3(5) =... U3(k) = 1/k".
Si llo(t) correspond
.1
T
a Ia premiere periode de
x:(t), alors x(t)
=
L x (t-nT) . Comrne, 0
n=O
-oOo-
l-1
d'autre part, T
= ktl, alors Z[x0 * (t)] = X 0 (z) =I,x0 (ptl).z-p . ,.o
ks4
a)
u, (z) = I,z• .z-•
Dans ces conditions,
taO k=4
b) U 2 (z)
x 1 * (t) = x0 "'(t- T) = x 0 * (t- kfl) et Z[x 1 "'(t)] = z-•. X 0 (z) .La
transfonnee en Z du signal periodique est done:
= z-2 I,2• .z-• X (z)
k=O
= z-k. X0 (z) + z-u. X0(z) + z-3• .X0(z)+ .... z-"*. X 0(z)+ ... =X 0(z) I,z-"*
z
n=O
c) U 3 (z)= z-0,5
soit enfin: X(z) = Xo(z)
1-z-•
[JT.I 2
I
Trouver, en utilisant les deux methodes, l'originale de F(z)
= z2 - z3z+2 . En deduire
les valeurs initiale et finale de f*(t).
a) f
-oOo-
* (t) = l.<5(t) + 3.o(t- n + 1.o(t- 2T) + 15.o(t- 3T)+... ;
b)lim,_.0
f
*(t)
= 1 ; lim,_,_ f
*(t)
=-1
Q71 Exprimer Ia transfonnee en z d'un signal periodique x:(t) de periode T, echantillonne selon Ia periode !:;. T/k avec k entier.
=
·~ ::: .:::· ~:: .
O~T·
~
~
. . 3T . .,.
1
-oOoLe signal x(t) est Ia somme de signaux elernentaires x:;(t) correspondant, chacun
a une
peri ode.
I,; 1 '1 1
r,
I
CHAPITRE3
MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS
Pour connaitre le comportement d'un systeme dynamique afin d'en effectuer ensuite Ia commande et le reglage, il est important de connaitre les relations qui existent entre les grandeurs d'entree et les grandeurs de sortie. L'ensemble de ces relations constitue le modele matbematique du systeme. On peut distinguer deux sortes de modeler:
+ le modele de connaissance: c'est le modele du physicien qui est obtenu en ecrivant toutes les equations differentielles qui regissent le fonctionnement du systeme. C'est done le modele ideal, mais. le plus souvent, tres difficile a obtenir. Par contre, tous les parametres physiques y apparaissent explicitement ;
+ le modele de commande: c'est le modele de l'ingenieur automaticien qui n'est, en fait, qu'un modele approche plus simple, mais suffisant pour donner une bonne idee du comportement dynamique du systeme. Tres souvent, lorsqu'on ne saura pas ecrire les equations differentielles, on cherchera un modele de commande a !'issue d'une etude experimentale.
1- COMPORTEMENT D'UN SYSTEME DYNAMIQUE On represente classiquement le comportement d'un systeme dynamique lineaire continu monovariable par une equation differentielle acoefficients constants :
d"s d's ds de dms an --+ ....+a;-. +....+a 1 -+a 0 s=b0 e+b1 -+ ....+bm - dt" dt' dt dt dt"'
(I)
La realisation physique impose d'avoir m s; n ; n s'appelle ordre du systeme. La solution generale d'une equation differentielle est obtenue en faisant Ia somme :
+ de Ia solution generale SJ(t) de !'equation sans second membre (ESSM)
+ et d'une solution particuliere s2(t) de !'equation avec second membre (EASM) ce qui se traduit par s(t)
t'
= s, (t) + s 2 (t). C'est bien !'application du theoreme de superposition.
50
1. Comportement d'un sysreme dynamique
3. MODELISA TION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS
Consequences:
1-1 SOLUTION DE L'E.S.S.M La solution de l'E.S.S.M. correspond au regime libre, c'est-a-dire au regime pris par le systeme abandonne a lui-meme. Pour trouver cette solution, on calcule les racines de !'equation caracteristique :
a•. r" +a._ 1 .r"- 1+ ....+a1.r+a0 = 0
• Si les racines fj sont reelles uniquement, on a un regime libre aperiodique. De plus, si les racines ri sont reelles negatives, ce regime libre s'eteint au bout d'un certain temps car e _,,, ~ 0 si t ~ oo. lnversement si fj est posit if le systeme est instable.
(2)
SI
SI
Comme les ai sont reels, les racines ri ne peuvent etre que reelles ou complexes conjuguees. En ecri vant (2) sous Ia forme:
a
a
a
a. (r" + -clr•-t + ....+_!_r +-2..) = 0 a" a,. all
et en appelant ri Ia ieme racine, (2) peut encore s'ecrire : 0
a •.
Ji
/-.
/Y::_ 0
ri>O
(r-r.) =0
i=l
La solution de l'ESSM s'ecrit alors tantes d'integration.
51
ri
Figure 3.1 -Regime aperiodiqul
s1(t) = K1.e"' + K2 .e'21 +....+K•. e'•' ou les
K; sont les cons-
• Si les racines fj sont complexes uniquement, on a un regime oscillatoire. Si, de plus, Ia partie reelle de Ia racine complexe est negative, ce regime oscillatoire disparait.
sl+
• Si q est reelle, alors le terrne K,. e"' est laisse tel que I.
sl
+ Si q est complexe, alors il existe une autre racine ri+ 1 complexe conjuguee de ri, car le produit (r-ri)(r-ri+ t) doit redonner un trinome a coefficients reels. Si I'on pose :
'i = b, + j(J), { 'i+t =b, - j(J), Ces deux racines correspondent dans Ia solution s 1(t) a :
0
K; .e(b, + j.,, )r + K.+t.e(b, - j.,, )r
Figure 3.1 • Regime oscillatoire
• ) · ) = K, .e'br .( COS(J);f + 1• Sln(J)J + Ki+l.e'br .( COS(J)J- 1. SJn(J),f
= eb,r. [ ( K; + K;+ 1 ).cos(J)J + j( K; -
(3)
K.+t ). sin(J)J]
1-2 SOLUTION PARTICULIERE DE L'E. A. S. M
Or SJ(t) est une grandeur physique, done une grandeur reelle, auquel cas le terme (3) ne peut etre que reel. De ce fait, j( K, - K,+ 1 ) est reeJ, ce qu~ impose que K, - K,+i soit complexe
La solution particuliere de !'equation (l) donne le regime force. Elle est obtenue en appliquant des regles qui dependent bien sur du second membre :
pur. Les constantes K, et terrne (3) s'ecrit alors :
• si e(t) est une exponentielle, alors sz(t) est aussi exponentielle;
eb·'. (A.,.cosc.o,t+J.I.,.sinc.o,t] A.,, f.l.; E ou encore
• si e(t) est un polynome, alors sz(t) est ainsi un polynome de meme degre que e(t);
K,+ 1 sont imperativement elles-memes complexes conjuguees. Le
avec
A., = K, { f.l., = + j
+ K,+t (K,- K,+t)
• si e(t) est une fonction sinusoidale, alors sz(t) est encore sinusoidale. Le regime force a done Ia meme forme que I'excitation.
R
eb••. M, .cos (c.o, t +
1-3 CONCLUSION
cp)
et dans ces conditions: S1(t)
k
I
i=l
i=l
= L, K, e"' + L, M reb" .cos((I)/+ 1/J j)
La resolution de !'equation differentielle met en evidence Ia superposition d'un regime libre independant de !'entree et d'un regime force de meme forme que ('entree. Le regime libre peut disparaitre avec le temps; le regime force seul subsiste. ll faut pour cela que les racines de !'equation caracteristique soient a partie reelle negative. Dans le cas contraire, Ia sortie du systeme prend des
avec k + 21 =n
I
I
J
I
52
3.
~IODELISA TION
Dt:S SYSTE!\IES DYNAMIQVES LINEAIRES CONTINUS
2. Fonction de transfert
valeurs evoluant tres rapidement vers des valeurs tres elevees, incompatibles avec un bon fonctionnement materiel, mais sunout rendant le systeme incontrolable.
53
Dans un schema fonctionnel, un systeme sera represente par sa fonction de transfert.
Le regime libre, encore appele regime transitoire, caracterise Ie comportement dynamique du systeme. Le regime force ou regime permanent traduit son comportement statique (cf figure 3.3).
I
E(p)
I
H(p)
S(p)
Figure 3.4- Schemafonctionnel d'un systeme
S(t)~ I
2-2 FONCTION DE TRANSFERT D'UN MOTEUR A COURANT CONTINU e(t)
A titre d'exemple, nous chercherons continu muni de sa charge.
r-·-
a modeliser Ie comportement d'un
moteur
a courant
2-21 MOTEUR CC SANS CHARGE
II y a deux lois qui regissent les machines electriques toumantes continues : 0
a) Force electromotrice Regime transitoire
Regime permanent
Sa formulation litterale s'ecrit:
Figure 3.3 - Reponse d'un systeme aun echelon
p : nb de paires de poles
2a : nb de voies d' enroulement induit E
2- FONCTION DE TRANSFERT
ou
=l!..n!!.... cp a
60
n : nb de brins actifs
N : vitesse en tr I mn
II est toujours complique de resoudre une equation differentielle d'un ordre quelconque. La transformee de Laplace va nous aider dans ce travail.
cp : flux utile par pole · p nQ-60 p.n · Pmsque N = -Q . 60 alors E =- cp et en posant k = - = C" . II· v1ent:
2·1 DEFINITION
a
21t
27t 60
On considere Ie systeme au repos ou alors en regime permanent etabli depuis suffisamment Iongtemps : toutes les derivees sont done nulles a !'instant t =to·
27t.a
"'
IE-=~
(4)
La transformee de Laplace de (I) s'ecrit alors : km est bien sur constante pour une machine donnee.
a •. p". S(p) + .... + a,.p. S(p)+ a 0 . S(p) = b0 • E(p)+b,.p.E(p)+ ....+b,..p"'.E(p)
b) Couple electromagnetigue
d'ou:
Le mode d'excitation utilise pour une machine destinee a un asservissement est toujours !'excitation independante, car le reglage de Ia vitesse. qu'elle so it basse ou elevee, est tres souple.
S(p) _b,..p"'+b,. ,.p'"-'+ .... +b,.p+b0 E( p )
-
n
a• . p + a •. , . p
n-1
Considerons done une machine a excitation independante :
+ .... + a, . p + a 0
le
•
H(p) = S(p) est appelee fonction de transfert ou transmittance du systeme. E(p)
vel
.,..._, ~
~
~
Le~ ~ L, R
Re
II
La fonction de transfert est !'expression qui relie les variations, vis a vis d'un regime initial ou point de fonctionnement, du signal de sortie par rapport au signal d'entree.
~
Ia
1
• va
T
Figure 3.5 - Moteur CC aexcitation independante
J
54
3. MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONT!Nt"S
La loi d'Ohm donne : -pour I' excitation:
V,
(5)
55
+ Ia commande par Ia tension d'induit a flux constant, + Ia commande par le flux acourant d'induit constant.
- pour le reglage:
= R,l, + L, -di, dt
2. Fonction de transfert
V. = R.f. + L. di. + E dt
(6)
Ces deux types de commande ne donnent pas Ia meme fonction de transfert. A- Commande par induit On regie le flux a sa valeur maximale, et dans ces conditions, l'intensite absorbee par l'induit est, pour un couple resistant r r donne, mini male. En effet :
Multiplions par Ia les 2 membres de \'equation (6), il vient:
dl
En regime permanent -dt• = 0 done Va I a
= Ra I a2 + El
•
=V.I.
represente Ia puissance electrique absorbee par l'induit.
= R. I• 2 represente les pertes Joules dans l'induit. Done P, = P. - Fj = E i. est Ia puissance electrique qui va etre transformee en puissance mecani+ P1
E=K .n _ "' { c.. K... I.
_ EI.
n-n
k.,Qfl>I.
avec K ..
=k... fl>
E(p)
= K ... !l(p)
C.. (p) = K ... I.(p)
I
V. (p) = (R. + L.p).l. (p) + E(p)
dont on tire !'expression du couple moteur:
n
soit encore :
Ic.. =k... fl>.I.I Pour une machine ideale, l'integralite de ce couple va servir sur l'axe du moteur. En fait, il y a toujours des pertes:
C,.(p)
a entrainer Ia charge couplee
Si le flux est constant, le couple de pertes ne depend plus que de Ia vitesse et en pratique ne depasse pas quelques % du couple Cm. D'autre part, en Automatique, on tient compte d'une partie de ce couple dans I'expression du couple resistant du a Ia charge; on peut done ecrire Ia relation suivante:
=em- cp
=
K.. + L p Va (p)
n
(7)
+ pertes fer (hysteresis et courant de Foucault) qui croissent avec Ia vitesse et le flux, + pertes mecaniques (frottement, ventilation) qui croissent avec Ia vitesse.
cuti/e
C"" de f.e.m
Passons en transformee de Laplace. On obtient le systeme de 3 equations:
que. Cette puissance, qu'on appelle electromagnetique, donne naissance au couple electromagnetique Cm tel que:
c.. = P,
k ... fl> ....
On peut egalement prendre un moteur a aimant permanent ce qui regie le probleme de !'excitation (pas d'alimentation annexe). Dans ces conditions les deux lois fondamentales s'ecrivent:
4
Or:
+ P.
=c.. -C,
I
2
V.I.= R.I. + L.I. dl. + EI. dt
·a
a
K
2
R. +"'L.p Q(p)
D'apres cette relation, on voit qu'un moteur CC, commande par induit, est en fait constitue d'un moteur ideal qui produit uncouple C ... (p) d'un terme uniquement dii et proportionnel Ia vitesse ( cf. figure 3-6 ).
=
K
"'
R. + L.p
V.(p) independant de Ia vitesse et
a Ia vitesse (frottement visqueux), ce couple stabilisant
em Cmo
=em= km.fl>.Ia
Le couple utile d'un moteur a excitation independante est proportionnel au courant de rel!lage (courant d'induit) et au flux inducteur. 2-22 PROCEDES DE COMMANDE D'UN MOTEUR CC
Le moteur a courant continu est tres souvent utilise en asservissement. II va assurer en particulier des demarrages et des arrets frequents. On trouvera deux types fondamentaux de commande:
~
n
Do Figure 3.6- Caractiristique micanique du pilotage par induit
57
2. Fonction de transfer! 3. MODELISATION DES SYSTEMES OYNAMIQL"ES LINEAIRES CONTINt:S
56
La caracteristique mecanique a done !'allure suivante : Le schema fonctionnel du moteur CC pilote par induit est alors le suivant:
Ie 3
K. V,(p
Cm
C.(p)
R, +L,p
le 2
Ie 1 Q(p) {I
0
Figure 3. 7 - Schema fonctionnel du moteur CC piloti par induit
Figure 3.9 - Caractiristique micanique du pilotage par inducteur
8- Commande par inducteur Le courant d'induit est maintenu constant. Le flux va done varier puisqu'il est proportionnel au courant inducteur. Toutefois on remarque que pour des valeurs fortes de ce courant on sa-
et son schema fonctionnel se reduit a :
lure Ia machine. On a deux solutions : • on travaille a faible courant ce qui limite !'utilisation ;
V,(P)
• on utilise des circuits magnetiques de forte section ce qui permet de reculer plus loin le coude de saturation mais augmente Ia taille des moteurs.
I II
K~-1
•C.(p)
R, +L,p
Figure 3.10- Schemafonctionnel du moteur CC pilote par inducteur On constate que Ia caracteristique mecanique ne comporte pas de frottement visqueux. II faudra done stabiliser Ia vitesse autrement sous peine d'emballement. Ce type de commande sera tres peu utilise en Automatique.
q, Dans Ia zone lineaire, Ia courbe est une droite de pente tg6. Done on peut ecrire:
Saturation
cf>
2-23 MOTEUR CC AVEC CHARGE
=tg6.Ie
La charge est generalement couplee au moteur par un reducteur :
d'ou:
em= kmcf>I. = kml_tg8.1, = K,.I,
e
r.
I
avec
Rotor ~_ill]""
K, = k,,I_tg8 = e"'
~1-E
Figure 3.8 - Flux inducteur D'autre part
V.. = R,. I, + L,. ~;
et en passant par Ia transformee de Laplace, il vient:
em
• n : rapport de reduction • 1 : inertie d'une partie toumante
• f: coefficient de frottement visqueux
(p) = K,.I,(p)
Reducteur
{V,(p) = (R, +L,p)l,(p)
Figure 3.11 - Liaison par riducteur
= -n 1 • Si on suppose les frottements et Ies jeux nuls dans Ie reducteur, alors toute Ia puisQl sance mecanique instantanee appliquee a l'arbre d'entree du reducteur se retrouve sur l'arbre de
soit:
em(p)
On a n
~V,(p)
R +L,p '
sortie, soit :
c,.n, = e .nz 2
(8)
C 1 est ici Ie couple moteur Cm, C2 est Ie couple disponible sur l'arbre de sortie pour entrainer Ia charge. Le couple moteur Cm doit equilibrer !'ensemble des couples resistants. L'equation de Ia mecanique appliquee aux systemes toumants s'ecrit :
..r
--·l: 2. Fonction de transfert
3. MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS
58
avec
dil
= 1dtL Cmur =f .il + C,
C.,- L,cmisr
59 C,(p)
(9)
.Q(p)
+ f.Q represente les frottements visqueux et Cr les frottements sees, + fest le coefficient de frottement visqueux de !'ensemble moteur + charge, + J est l'inertie de !'ensemble moteur +charge. Pour avoir les expressions de J et f, on va d'abord rarnener Ia charge sur l'arbre moteur.
il 1
D'apres (8) Cch = Cchram -
il2
Or
Figure 3.13 - Moteur CC pilote par induil
= nCch..,.
Lorsqu'il est commande par induit, le moteur possede une contre- reaction interne.
dil2 dil2 1 dill cch = Jch --+ fchil2 et --=-.--. dt dt n n n.rchrom
D'ou
= Jch n
2-25 CONCLUSIONS- MODELE DE CONNAISSANCE
_ Jch dil 1 + fc; .il 1 _dill+ fch .ill ou encore rchrom- n2. dt n dt n
L'elaboration du schema fonctionnel precedent s'est effectuee le modele de connaissance. physiques du systeme. On obtient done
Pour obtenir Ia fonction de transfer! de !'ensemble, on va supposer schema de Ia figure 3-13, on peut ecrire:
En remplac;ant dans (9), il vient:
c - f il - k i l - c = J dill + Jch dill "' ' I n2 I ' ' dt n2 dt
C.,- C, = (1,
so it
En posant: J,q
= 1, + 1c; n
et J,q
a partir
C,.(p) =
+~c; y~~ +(!, +~c; )il1
et il(p)
rm(p)
p.J,q + feq
n
des equations
C = 0. A partir du
K2 R. +'"z..P il(p)
K '"z. V.(P) a+ aP
ce qui entraine que C., (p) = il(p)[pl,q
+ f eq]. En eliminant le couple
entre ces deux equations, il vient:
= /, + fc;, on obtient finalement: n
il(pl(p.J,q+!,qJ=
ill(p) C,.(p)-C,(p)
K.,
D
+ L.p
V.(p)
K.,2 !l(p) R + L.p
et enfin:
p.J,q+!,q
il(p)
K.,
v:JP} = K~ +(R. + L.p)(J,q + l,qP)
La charge apparait done comme une boite noire (cf figure 3-12).
il(p)
Cm(P)
2-3 FORME CANONIQUE D'UNE FONCTION DE TRANSFERT La fonction de transfer! d'un systeme n'est utilisable que si on fait apparaitre les racines des polynomes Ia composant.
C,(p) Figure 3.12- Schernafonctionnel de /'ensemble mecanique rotor+ charge
b F(p)= o+blp+ ....+b,.p'" a +a o 1p+ ....+a • p"
2-24 SCHEMA FONCTIONNEL DU MOTEUR CC COUPLE A SA CHARGE
b +bp+....+....!!!.p"' o ho a1 o 1+a p" p+ ....+_!!_
b
1 bl
= ao
ao
Comrne nous l'avons dit precedemrnent, on n'utilise que Ia comrnande par induit. L'ensemble de Ia figure 3.12 vient completer Ia figure 3.7.
ao
,, ~
60
3. Modele de commande
3. MODELISA TION DF.S SYSTEMES DYNAMIQUES LJNEAJRES CONTISl"S
a•. (jco)" .S11 .e" +....+a 1 .jco.S M.e 10 +a0 .S M.e 10 =b0 • EM +b1 .jco. EM +....+b,.(jco)"'. EM
fl(1+r,p) F(p)
soit:
=K
k
TI (1 + r J=l
1
i=l '
1 p)TI J=l
61
(1 +a 1 p+b1 p 2 )
soit S M.e • .[a•. (jco)" +....+a 1 .(jco) + a0 J=EM .[bo + b1 .(jco)+....+b.,.(jco)"' J
avec n = k+ 21
ou encore:
SMe 1- = b0 +b1 (jco)+ ....+b.,(jco)"' EM a0 + a 1 (jco)+ ....+a. (jco)"
b
K = F(O) = ..11.. s'appelle gain statique du systeme. Ce n'est pas forcement un nombre
ao sans dimension. Les ti et tj sont les constantes de temps du systeme. Enfin, les termes du second ordre doivent etre laisses ainsi, s'ils ne sont pas decomposables.
On voit tout de suite que le terme de droite de cette relation represente Ia fonction de transfert du systeme lineaire dans laquelle on a fait p =jw. Dans le terme de gauche on retrouve le
Une constante de temps rend compte de Ia dynamique d'un systerne. Plus celle·ci est faible, plus celui-ci est rapide.
rapport des amplitudes -M.., done le gain du systeme. et le dephasage cjl pour une valeur w precise.
s
EM
-- s
Posons F (j CO)
3- MODELE DE COMMANDE
.
=___g_ e ,_. EM
On appelle lieu de transfert Ia representation de F en
fonction de w. Cette de notion n'est pas inconnue puisque les electroniciens l'appellent n!ponse en frequence (diagramme de Bode).
L'ecriture du modele de connaissance est aisee sur des systernes simples que !'on connait bien. Elle !'est beaucoup moins sur des systemes compliques. Sur un processus deja existant, de structure complexe et mal connue, elle devient impossible et l'ingenieur automaticien ne s'y risque pas. Comment alors trouver une loi s = f(e) qui rende compte le mieux possible du comportement dynamique d'un systeme ?
Trois representations du lieu de transfert sont principalement utilisees : a) Representation de Bode
Ce problerne ne peut etre resolu que par des essais experirnentaux et a partir de connaissances a priori (catalogue de reponses-types par exemple). C'est ce qu'on appelle identification d'un processus. Un chapitre sera necessaire pour aborder ce problerne. mais il est possible d'approcher intuitivement cette phase.
On trace Gdb semi-logarithmique.
= 20Jog(/F(jco)/J
et = Arg[ F(jco)] en fonction de w dans un plan
b) Representation de Nvquist
En effet, nous avons defini dans le chapitre I un certain nombre de signaux-tests. L'experimentation s'effectuera a !'aide de ces signaux. Les reponses seront comparees a des reponses-types et on aura une bonne idee du modele du processus.
On trace F(jm) dans le plan complexe. Le lieu est gradue en A tout Wi correspond:
w sinon il n'a aucune valeur.
On va trouver deux formes d'essais experimentaux qui conduiront d'ailleurs aux memes resultats :
r
• les essais harmoniques, Chaque point M, du lieu est defini
• les essais temporels. par:
3-1 ESSAIS HARMONIQUES
(1)=0
OM, =/FUm,)/ Si on applique un signal sinusoidal a un systeme lineaire, on sait (cf definition) que Ia n!ponse est sinusoi"dale. On montre egalement qu'une fois les transitoires eteints, c'est-a-dire, une fois le regime permanent atteint, Ia sortie est sinusoi"dale, de meme pulsation que le signal d'entree, mais d'amplitude et de phase differentes.
{ <1>, = Arg[ F()co,) J
(1),
Supposons e(t)= EM sin cot et s(t)=SMsin((I)(+I/J). Appliquons Ia transformee cisso"idale aces deux grandeurs. II vient:
Rappelons que !'operation de derivation correspond a une multiplication par jw et appliquons cette procedure a !'equation generale d'un systeme lineaire. II vient :
&!I
4
t
ew *::••1Zflil412
; : 1r:::-;;;;,..-......;...
...
•• , •• ~ ..... m;;;
""''" .....
44
(I) I
Figure 3.14. Representation de Nyquist
e(t)=EM et s(t)=SMe 1~
JS\\14l
Re
$
iio
3. MOOELISATION DES SYSTEMES OYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS
62
3. Modele de commande
63
3-22 REPONSE EN VITESSE
c) Representation de Black
Elle permet de savoir si un systeme suit bien une entree evolutive. GdB
lt'
.I
/
Avec Ia precedente, c'est certainement Ia plus utilisee pai les automaticiens. En fait c'est Ia representation de Bode mais transcrite dans un seul plan, le plan (GdB· $), $ etant portee en abscisse et GdB en ordonnee. Ut encore, le lieu doit etre
.. ell
gradue en co et oriente, sinon il n'a aucune valeur.
s
s
r I
) System e suiveur
(03
0
Systeme ne suivant pas
Figure 3.18- Reponses en vitesse possibles 3-23 REPONSE INDICIELLE
Figure 3.15 ·Representation de Black
3-2 ESSAIS TEMPORELS Le pa~agraphe I a mis en evidence que tout systeme lineaire repond a une excitation pa! un regime transitoire et un regime permanent. Alors que les essais ha~moniques ne font pas appaiaitre le regime transitoire, il n'en est pas de meme pour les essais temporels: impulsion, echelon et rampe. Chacun d'eux va mettre en evidence un certain nombre de pa~ametres .
De ces trois outils de test, c'est certainement Ie plus interessant du point de vue resultat, mais aussi le plus facile a realiser pai l'automaticien (ouverture ou fermeture d'une vanne, interrupteur... ) En observant Ia sortie, on a tout de suite une idee du comportement dynamique du systeme.
a) Reponse indicielle La reponse d'un systeme a un echelon-unite s'appelle reponse indicielle ou unitaire.
3-21. REPONSE IMPULSIONNELLE
L'impulsion permettra de connaitre Ia stabilite du systeme. Pa~ exemple, prenons le systeme suivant :
~o:_2
x
~
Si nous donnons une impulsion a Ia bille celle-ci reviendra au bout d'un moment a sa position d'equilibre. Son deplacement dans le temps peut etre decrit comme l'indique Ia figure 3.17.
Figure 3.16- Essai impulsionnel sur une bille
.
X
JJ e
o
:to
.
.
. .....
'.iAe t
s
~
sr·
I As s ~
Impulsion
...................
.' t
t
0
Figure 3.19- Reponse indicielle Dans un premier temps. il est facile d'evaluer le gain statique:
IG =~~
0
b) Formes (ondamentales des reponses indicielles Figure 3.17- Reponse impulsionnelle d'un systeme stable Si l'evolution du systeme ne s'effectue pas de cette maniere, c'est que celui-ci est naturellement instable.
Sur les figures 3-20 et 3.21, on remarque, qu'apres I' instant d'application de l'echelon, Ia sortie tend vers une valeur d'equilibre Sf au bout d'un "temps plus ou moins long". Cette notion Caiacterise Ia dynamique de Ia reponse. Voici quelques reponses-types:
3.
64
Ces trois formes de reponses caracterisent des systemes naturellement stables. Par contre, on peut aussi observer Ia reponse suivante :
+ Rcponse exponentielle
~
.
'
-
-
.
-
65
3. Modele de commande
~to DELISA TION_ DES SYSTEMES DYSA:>IIQI:ES LINEAl RES CONTI:-ii:S
~
...
-------
. -
~
£-.-.-.-. -. .
• . . . . . . . . ; . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
s1t
k
Reponse exponentielle
~
.C~A·Z\z =
~~
to
0
Figure 3.20 - Reponse indicielle de type exponentiel
<;>
t
t
Figure 3.22 - Oscillations enJretenues Une reponse exponentielle est Ia caracteristique d'un systeme du premier ordre. La derivee l'origine de !'excitation est differente de zero.
+ Reponses a derivee a l'origine nulle
Les systemes presentant des oscillations entretenues en reponse a une excitation sont dits iustables. Enfin, on peut observer les formes precedentes mais decalees par rapport a !'instant d'application de !'echelon :
iI
!
Elles sont Ia caracteristique de systemes d'ordres superieurs a un. e
a
\
i
·z . I......................
I
t0
SJt
r····__
······~···~·
D sl········L= :
\
Reponse aperiodique
:to
' ~~
---~1 Retard pur
-
~~
t0
~
/
Figure 3.23 -Mise en evidence d'un retard pur Reponse oscillatoire am artie
En fait, le demarrage de Ia reponse S n'intervient qu'un temps tR =t1 -to apres !'echelon. Ce decalage est appele retard pur ou temps mort. Les retards purs vont compliquer Ia tache des automaticiens car ils reduisent Ia stabilite et Ia precision.
'
t0 c) Temps de montee, temps de reponse
Figure 3.21 - Reponses indicielles a derivee a l'origine nulle
''
ii
_,.,..,,,.._,~·~
---
J
Le temps de montee est un element de reponse bien connu des electroniciens puisqu'il contribue a donner une indication sur Ia bande passante d'un systeme done de sa rapidite. II est evalue comme etant le temps mis pour passer de 10% a90% de Ia valeur finale.
66
Ex ere ices
3. MOD ELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS
67 e•
Jd
_j
; . . . . . . .
.. t
. £, "
::~'1
•t
S.t.
to
z=c'"'''"" to:
tR
te;ps de m~ lm
tern ps de mon tee
temps de rcponse tr
Figure 3.24 • lnadaptation du temps de montee de l'electronicien
Figure 3.26 • Mise en evidence du temps de reponse
Pour l'automaticien, ce temps de montee n'est pas tres interessant car il n'a que peu d'interet pour evaluer Ia rapidite de reponse d'un systeme a un echelon. Dans le cas de Ia figure 3.24, on doit tenir compte d'un retard pur ignore par Ia notion de temps de montee.
L'interet de tr est qu'il tient aussi bien compte des temps de retard que des sur-oscillations. Pour mesurer Ia vitesse de reaction d'un processus en poursuite on utilise aussi le temps de rnontee des automaticiens (0 a 90% ou 100% de Ia valeur finale) qui tient compte aussi des retards.
Prenons un autre exemple:
~
. ·.
'"~I
-
3.3 CONCLUSION
--
..
.. t
···z= -
- - - - - - - . -
. -
- -
.
. . . . ; . . . . · .· .· .·,.· .· .· .· ..· .· .· .· .· .· .· .·
to
Essais harmoniques et temporels vont nous permettre d'arriver aux memes resultats, comme nous le verrons par Ia suite. Seules leurs conditions d'emploi changeront: tout dependra des conditions experimentales et du temps reserve a cette experimentation. Dans tous Ies cas, on aboutira a un modele de commande suffisarnrnent proche du modele de connaissance. Les chapitres suivants vont nous perrnettre de decrire les modi:les de connaissance usuels et de mettre en evidence leurs reponses aux signaux-tests.
------
.
10%
t
'a
tR
.4
.. t
EXERCICES
"
temps de montee
l2T]
Figure 3.25 ·Autre inadaptation
Soit un dip61e D alimente par une tension v(t) et parcouru par un courant i(t). Exprimer
lei, le temps de montee tm ne nous donne qu'une pietre idee du temps mis pour atteindre le regime permanent. Les automaticiens lui preferent le temps de reponse, temps separant l'instant d'application de !'echelon et l'arrivee en regime permanent avec une tolerance de± 5%.
sa fonction de transfert F(p) = V(p) lorsque D est: une resistance R, une inductance l(p) L, une capacite C.
-oOo--
... ''"~"'"*''""~'f'f!·~·-
Exercices
3. MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEA IRES CONTINUS
68
Puisque l'amplificateur est ideal, le courant dans !'entree- de l'amplificateur est nul et Ia tension On peut done ecrirt! (loi des sur cette entree est egalement nulle.
Si i(t) est le courant instantane dans le dipele D, alors on peut ecrire:
v noeuds):-L+
+ v(t) = Ri(t) si D est une resistance, d"
+
R2
v( t) = L_!_ si D est une inductance,
dt
+
v( t)
69
v'
R 1 + 1/Cp
v +-L=O. R3
II vient alors:
J
= ~ idt si D est un condensateur.
V,(p) =-R3 1+(R1 +R2 )Cp V,(p) R2 1+R1Cp
En supposant les conditions initiales nulles, il vient tout de suite:
F1(p) = R
F2 (p)= Lp
I
FJ(p)
= Cp
[ i4-] Representer dans les plans de BODE, BLACK et NYQUIST, !'allure des Iieux de transfert de:
Qi-1
jm,
1
I
, . Ce Soit le systeme de fonction de transfert: F(p) = S(p) = E(p) 1 + 0,08p + 0,01p"
jm
1 1 + j-rm , 1 + j-rm
-<>Oo-
systeme est attaque par un echelon unite. Donner !'expression de s(t). Voir Ia solution page suivante.
~o-
1
r3.TJ
I
Comme E(p) =-, il vient S(p) = 2 • p p(l + 0,08p + O,Oip )
A partir du catalogue de reponses defini precedemment, donner I'allure dans le plan de Bode des lieux de transfert de:
8 On decompose ensuite S(p) en elements simples: S(p)=_!_p+2 , ce qui conduit p (p+4) +84 enfin
F; (jm) =
a: s(t)
CI"f I
. F.2 ( jm)= .
=1- 1,09e-4' cos(9,17t- 23°6)
K
avec '< 1 < '< 2
.
avec '< 1 < 't" 2 pUis
(1 + j-r 1m)(l + jr 2m)
K
.
J't" 1m(1 + J't" 2m)
't" 2
< '< 1
-<>Oo-
Calculer Ia fonction de transfert du reseau suivant dans lequel I' amp\ificateur operationnel est considere comme parfait (impedance d'entree infinie, impedance de sortie nulle, gain et bande passante infinis).
Les lieux resultants correspondent aux sommes algebriques point vus a Ia question precedente.
{~~}. b.
-<>Oo-
'1~,.
a point des
lieux elementaires
I
I I
Exercices
3. MOD ELISA TION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS
70
~
'~'' J~:". =2~
0~
0~ 00
G
T
1==·
l~ '
~-~
20~&_K _
••
(I)
J.,;...·
- . j201o&IC.
l+'t'2P
.... -
=10 K.Q, C =4 f.IF etC,= I f.IF. Calculer les constantes de temps t1 et t2 du
3) On envoie
a!'entree de ce circuit un echelon d'amplitude 10 volts .
a) Tracer v(t) pour t= 0, 50, 100, 150, 200, 250 ms.
woO
b) Que! est le temps de reponse de ce systeme ?
GtJI
l
1mb t . ~
·----~
:~~~·(1)
2) On a R systeme.
•
4) On effectue maintenant des essais en regime harmonique. a) Tracer dans le plan de Bode, le lieu de transfert H(jro) pour ro = 0, 10, 20, 40, 50, 80, I 00, 150, 200 rd/s.
I
. ll' ' ' '"t .,.
b) Faire le meme travail mais dans Ie plan de Nyquist.
I ... ~
5) Le signal e(t) est produit par une generatrice a courant continu, travaillant constant et dont I'induit a une resistance Ra et une inductance negligeable.
Rc
c,
0
_ _,..,._ _ (I)
01-''··. : ... '..c' osr: ]Jg;
v(t)
C puis exprimer H(p) sous Ia forme: H(p) = __!j}!_.
ol_, · .. · .
e(t)
1) Calculer Ia fonction de transfert H(p) = V(p) de ce circuit en fonction de R, C et 1 E(p)
tG
~12
• .
-
l..o
R•
lmll_···P""
Ill
.....
,
""'
I
-
( l+j't(J)
-~
0
G
~
~
c,
.
.,._
~
t ro
~
On considere le circuit diviseur suivant:
lim ... -
II<
[3T]
BLACK
I
NYQUIST
BODE
71
•
a flux
ct •
.------JII-~--,----.
tG
n~
~
7T -~ )
I
·~
Si on admet que toute Ia puissance mecanique appliquee sur l'arbre de Ia generatrice est transformee en puissance electrique:
'
a) Exprimer Ia fonction de transfert F(p) = V(p) en fonction de R, Ra, C, Q(p) CJ et Km ( constante de f.e.m.).
Solution de l'exerctce J.«
1
b) Si Km = 0,8 m.N.A" et Ra forme F(p) = K
p
2
= 100 n, montrer que F(p) peut s'ecrire sous Ia
dans Iaquelle on exprimera K,
1+.3£p+L {t)
n
{1)2 n
--QOo---
j..
~ et %·
J.
72 l)
= l+R(C+Ct)P RCtP E(p)
V(p)
~IODELISA TION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LVoiEAIRES CONTISI:S
C).7-J donc-r, =RC, et t"z =R(C+C,).
V(p)
0,1 1+005 et v(t) • p
\l forme non lineaire (par exemple ..[;, s" , sin(s) , ln(s). etc ... Avant d'appliquer Ia transformee de Laplace, il est done necessaire de lineariser cette equation differentielle. Pour cela, on va travailler autour d'un point de fonctionnement Mo (So,eo) et on va considerer de petites variations autour du point M 0 .
v E(p)=lO,
Comme
done
p
= 2e-20t .
Ce circuit est dit derivateur. Le temps de reponse est atteint lorsqu' on entre dans le canal des 5% autour de Ia valeur finale. Dans notre cas, ce canal correspond a 2x5% = 0,1 autour de Ia valeur 0. Done t,.= lSOms.
'I
o.q .. ·... "i"., 0
50
100
!50
.. 200
0
t(ms)
250
d. eo
n existe
plusieurs methodes de linearisation, nous en proposons une tres simple a I' occasion de cet exercice. On va exploiter Ia formule de Taylor tiree elle-meme de Ia formule des accroissements finis. Soit une fonction f:
_(J)
4) En regime harrnonique Ia fonction de transfert s'ecrit:
JH (j (J)) = _J.QQ_ . L' exercice 3.4 nous
- continue sur I' intervalle (a, a + h],
. (J) 1+J-
- derivable a I' ordre n+ I sur
20
h h2 h" h"+l f(a +h)= f(a)+- f'(a)+-f"(a)+ ....+-f<" 1(a)+--f< .. o(a+ 8h) I! 2! n! (n+ 1)!
Representation de Nyquist I0
20
100-.
]a ,b[,
alors:
permet de tracer rapidement Ia reponse harrnonique:
G (I)
avec 0 < (} < I .
Im
ro=20
1) Soit le systeme decrit par !'equation differentielle du premier ordre:
ds
-r-+ f(s) = Ke
~ro=O
0,1
•
0,2
dt
"'Re
ou fest une fonction non lineaire de s. Choisir un point de fonctionnement Mo(So. eol et supposer qu'on est en regime permanent depuis suffisamrnent longtemps. Que devient I' equation differentielle pour ce point de fonctionnement? 2) On travaille rnaintenant en petite variation autour de M0 • On pose pour cela & S- So et de e- e 0 . Que devient I' equation differentielle?
=
Sa) Electriquement, Ia generatrice est un generateur de f.e.m E = KmQ et de resistance interne R,, done:
V(p)
KmRCtP
Q(p}= l+(R(C+Ct)+RaCt)p+RRaCCtp2 .
=
3) Appliquer Ia formule de Taylor a cette equation, en se limitant au premier ordre.
=
=
=
4) Application s0 2, f(s) ln(s), e(t) u(t). Calculer Ia fonction de transfert du systeme autour du point de fonctionnement. --oOo--I) En regime permanent etabli, les derivees sont nulles, done !'equation differentielle s'ecrit:
b) En identifiant, il vient: K = 8.10-J V/rd/s,
!I
Lorsqu'un systerne dynamique n'est pas lineaire. I' equation differentielle qui le decrit n 'est pas lineaire. La fonction sortie etlou Ia fonction entree apparaissent sous une
2}1: 1 =!Oms; 'tz = 50ms. 3)
73
Exercices
ro. = 500rd/s, ~ = 12,5.
f(s0 )
= Ke0
,1)
3. MOD ELISA TION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES CONTINUS
74
2) On remplace set e par leurs valeurs, on a: 't"
.
dso dt
dans cette ~uatJon -
d(s0 +
.
CHAPITRE4
•
+ f (s0 +
= 0 done: d(
SYSTEMES LINEAIRES
-r--;Jf + f (s0 +
CON1INUSDUPREN.UER ORDRE
3) On applique Ia formule de Taylor appliquee au premier ordre, il vient:
d(
= Ke0 + Kae
Comrne f(s 0 ) = Ke0 ,1'equation differentielle se reduit a:
Tout systerne, aussi complexe soit·il. possede sa propre fonction de transfert. On montre en effet que celle·ci peut etre decomposee sous Ia forme d'un produit de fonctions de transfert de systemes elementaires. Reprenons Ia fonction de transfert d'un systeme du nieme ordre:
't"d(
F( ) = b.. p"' +b..-IP"'-l+....+blp+bo P a.p • +a,_ p n-1 +....+a p+a
equation lineaire en &.
1
d(
as(p)
2K
=-;-::--=-1+- 2 't"pw:(p)
On a interet sieurs solutions :
0
1
a faire apparaitre les poles de cette fonction de transfert. Pour cela, on a plu-
+ si le pole est reel, il apparait sous Ia forme I + -cp,
+ si le pole est nul, il apparait sous Ia forme p, + si le pole est complexe, il a obligatoirement son conjugue, et ceux ci apparaissent sous Ia forme d'un trinome du second degre I + cp + dp 2. F(p) peut done encore s'ecrire sous Ia forme:
F(p) = b... p"' +b..-I·P"'-1 + ....+bl.p +bo k
I
pan {I +r,p)fJ (l+cjp+djp i=l
2
avec a + k = 21 = n
)
;=I
Dans ces conditions on distinguera 3 types de processus elementaire:
=> le processus a constante de temps ou processus du 1er ordre; => le processus en 1/p qu'on appelle integrateur, car diviser par p Ia transformee de Laplace d'une fonction f revient a prendre Ia transformee de l'integrale de f. Ce processus est aussi du premier ordre; => le processus du second ordre. Les processus du second ordre feront !'objet du chapitre 5. Nous etudierons ici les processus constante de temps et les integrateurs.
. . ..-· .---· . -.., .
iQ£4
•••
a
1521
J
4. SYSTE!'>IES LINEAl RES CONTINUS m; PREMIER ORDRE
76
I. Processus
a constante de temps 77
1- PROCESSUS A CONSTANTE DE TEMPS
1-23 'fHERMOMETRE A MERCURE
1-1 DEFINITION
Considerons un thermometre, de capacite calorifique C et dont l'enveloppe a une resistance thermique RTH· Ce thermometre est plonge dans un bain de temperature TE. On lit Ia temperature Ts sur l'echelle graduee.
Un systeme a constante de temps est regi par une equation differentielle du premier ordre coefficients constants de Ia forme:
a
ds
-r-+s(t) = Ke(t) dt
Un flux de chaleur Q (analogue a un courant electrique) va s'echanger entre le liquide et le thermometre (if n'y a pas de flux si TE =Ts). Ce flux doit chauffer l'enveloppe (resistance thermique) avant d'atteindre le mercure et le chauffer.
Ts
A conditions initiates sont nulles, Ia transformee de Laplace des deux membres donne -rpS(p) + S(p) KE(p) et Ia fonction de transfert d'un systeme du premier ordre s'ecrit :
I
=
S(p) -~ F(p) = E(p)- 1+ -rp
TE
Figure 4.2 - Thermometre amercure Nous pouvons ecrire:
Dans cette expression, K est le gain statique et 't Ia constante de temps.
Remarque : "Conditions initiaJes nulles" signifie que le systeme part du repos ou de son point de fonctionnement. Done a !'instant t = 0, le systeme est en regime permanent. Cette remarque est valable pour toute Ia suite de ce cours.
+ d'une part, que Q.RTH = TE - Ts ( perte dans l'enveloppe) .On montre que RTH = ljs.h oils est Ia surface de l'enveloppe et h le coefficient de transmission de chaleur;
dT + et d'autre part que Q =C-' dt
1-2 EXEMPLES
dT, TE- T, dT De ce fait: C - = - et RTHC-' + T, dt RTH dt
1-21 CIRCUIT RC
,l~js I
I
On a e(t)
= Ri(t) + s(t) et s(t) =~ Jidt
. 1·c) t d .ou
= c.-ds
. et pour term mer:
dt
ds
RC- + s(t)
Figure 4.1- Circuit RC
dt
F(p)= Ts(P) _ TE (p)
=TE done: 1
-I+iP
avec
1-31 REPONSE INDICIELLE
=e(t)
a !'entree un echelon unite done
Le condensateur etant decharge (conditions initiates nulles), le passage en transformee de Laplace permet d'ecrire Ia fonction de transfert du circuit:
K S(p) = - p(l+-rp)
Apres decomposition en elements simples, on obtient: S(p) = avec
't
P s(t) =
.. so it
C.,(p) F(p) = V (p)
'
=____£_
1+-rp avec
K
=
'
V, (p)
R,+L,p K
K=~
R,
K(_!_ ___l_·-) et done:
=RC
1-22 MOTEUR A CC COMMANDE PAR INDUCTEUR
On avait ecrit (chapitre 3 paragraphe 2-22): C., (p)
= RrnC
1-3 ANALYSE TEMPORELLE
On applique
S(p) -~ F(p)= E(p) -1+-rp
't
=- - 'KL R(1+_!_p)
' L
et 1"=_!_
R,
R,
Tra~ons !'evolution de par:
p+t;r
K(t- e-t!r)
s(t) dans le temps (figure 4.3). Nous caracteriserons le regime transitoire
• le temps de reponse : Ia valeur finale (regime permanent) etant K, au bout d'une constante de temps, on est au 2/3 environ de celle-ci (63%); on voit tout de suite que le temps de reponse (± 5% de Ia valeur finale) est:
rta
---------··
78
4. SYSTEMES LINEAIRES COlloTI!'iUS OU PREMIER ORORE
s(t) K
1. Processus
aconstante de temps
79
La figure 4.5 nous donne I' evolution de cette reponse. On voit tout de suite que, si K est different de I, Ia sortie ne suit pas !'entree. On dit qu'elle "traine". L'ecart s'agrandit regulierement eta Ia limite devient infini.
0.95K 0.86K
Conclusion: Un systeme du premier ordre ne suit pas en vitesse.
0,6JK
s(t)
4t
31:
2t
't
Figure 4.3 • Riponse indicieUe d'un premier ordre t
le temps de montie: Ia reponse etant monotone croissante, nous definissons le temps de montee comme Ie temps mis pour que celle-ci atteigne 90% de Ia valeur finale, ce que nous ecrivons sous Ia forme 0,9K = K(I- e-•./r) d'ou e·•./r = 0,1 et done:
~- tm =2,3~
ldentirrcation d'un processus inconnu
on evalue t, et on en deduit T =
t
on obtient gain statique K par :
1-33 REPONSE IMPULSIONNELLE
:l·.······ ,
t
...!... •
3
s,
As K=-=-=S1 de I
3"t
Figure 4.5 - Riponse en vitesse d'un premier ordre
--1~----------------~1
A partird'un essai indiciel: t
I
e,
Application:
"t
-K
C'est Ia reponse a une impulsion de Dirac O(t). Comme E(p)
2t
Jt
S(p) =
( K . et done: T p+I/T
s( t)
La reponse impulsionnelle est encore une impulsion. Sa largeur (calculee au tiers de sa hauteur) est t. La valeur residuelle au bout de 3t est 5%.
K/1: T
=I alors
4t
Figure 4.4 • Identification d'un 1er ordre I ntiret de Ia constante de temps 't
Elle foumit une indication sur le comportement du systeme: t
si test petite, alors tr est faible et Ie systeme est rapide ;
t
plus t est elevee, plus Ie systeme est lent.
Conclusion: Un systane du premier ordre est done stable.
3t
Figure 4.6 • Riponse impulsionnelle d'un premier ordre
1-4 ANALYSE HARMONIQUE
1·32 REPONSE EN VITESSE
OnacettefoisE(p)=~.D'ouS(p)= p
ls(t)
2
K
p (I+lp)
S(p)=K(~-!_+_T_)et:
=K{t- T + Te-rfr)~
p
p
p+l/t
On envoie sur !'entree du systeme un signal harmonique. Faisons p = jw dans Ia fonction de transfert, il vient: :
K _K_ F(jw) = I+ jTW - I+ j !!!._ (l)c
avec
I
(l)c=~
80
4. SYSTEMES LINEAIRES CO!Ioll;o.ilJS OU PREMIER ORORE
K
C'est un nombre complexe dont le module (gain statique) est !F(jm~
2
~l+m /m/
et
I. Processus il constante de temps
81
Im Pour arg{F(jw)j =-45°.
I' argument (phase) est: Arg[ F(jm)] =-Arctan~
(!)
=
(!),
= 1/ 'r
alors
m,
On obtient ainsi un moyen simple de mesurer de Ia constante de temps 1:.
A- Representations de Bode et de Black 2£0C
Le gain est exprime en dB soit G = 20Iog(IF(jroj). Bode exprime separement le gain et Ia phase en fonetion de c.o, alors que Black trace Ie lieu dans Ie plan [G, ct>], ee qui impose de le graduer en c.o et de l'orienter. G
.
2DlocKf20iogK·l . . . . .
-~·2Dd8/dec
I I
~00
l .
I
"l
_:-.~ --rr/2
·OO
·-·-·-·-·-·
Figure 4.9 - Representation de Nyquist
1-5 RELATION TEMPS-FREQUENCE
r
G Le comportement dynamique d'un systeme a constante de temps est entierement deerit par sa constante de temps 1:. Cette dynamique est aussi appele espace frequentiel puisque w c = Ij r et done:
201ogK 201ogK·3
kc 2~'r~
0
·45'
=
Conclusions:
Figure 4.8- Representation d'un premier ordre dans le plan de Black
Figure
roc
t
un systeme rapide est un systeme qui a une bande passante large (faible constante de temps).
t
un systeme lent a une bande passante etroite.
t d'autre part, un systeme du Ier ordre est aussi un filtre passe-bas. To us les signaux
a
d'entree de pulsations superieures C.Oc ne seront done pas transmis. Par exemple un enregistreur de frequenee de coupure 2Hz ne peut pas enregistrer des signaux de frequences I OHz.
Le syste
c· Pour eette pulsation, le gain vaut alors 20logK-3 soil
, done BP = fc.
Conclusion : un systeme du premier ordre est un ffitre passe-bas.
Application : On desire enregistrer des signaux carres dont le temps de montee est de 0,21J.S. Pour cela, on utilise un oscilloscope dont Ia fonetion de transfer! est assimilable a un premier ordre. Quelle doit etre sa bande passante? Nous avons eerit (paragraphe 1-31) que t, = 2,3-r = 0,2.10-6 s ee qui impose soit f, = 1,83MHz.
~
r
= 0,09.10-6 s
Visiblement si les signaux ont une frequenee superieure a 2 MHz, !'oscilloscope ne peut pas repondre: en fait, on mesurera le temps de montee de celui-ci.
B- Representation de Nyquist
Remargue:
C'est le lieu de l'extremite du vecteur image du nombre complexe F(jc.o).
Les produits tmfc ou t,.fc sont constants: (.1)
0
C.Oc/2
C.Oe
2 C.Oc
00
I H(jro) I
K
0,89K
0,7Q7K
0,44K
0
0
0
-26°5
-45°
-63°5
-90°
On obti ~nt un demi cercle de rayon K/2, centre en (K/2,0). En effet tous Ies points, extremites du vecteur image, verifient bien I' equation de ce cercle: x 2 + / - Kx = 0
t,J, = 0,36 { tJ, = 0,47 et done independants de Ia constante de temps 1:.
82
4. SYSTEMES LINEA! RES CONTI NUS DU PREMIER ORDRE
2. Processus integrateur
83
Dans ces conditions:
2- PROCESSUS INTEGRA TEUR
e =e _ns =-1
--L
n
2-1 DEFINITION C'est un cas particulier du systeme du premier ordre. II est regi par !'equation differentielle:
les
conditions
initiales
sont
nulles,
n,. n
np
2-3 ANALYSE TEMPORELLE
ds f - = Ke(t) dt Si
___!_
2-31 REPONSE IMPULSIONNELLE
sa
transformee
de
Laplace
s'ecrit
: f{JS(p) = KE(p) et dans ces conditions, Ia fonction de transfert du processus integrateur s'ecrit:
On applique
s(t)
a !'entree une impulsion
Kl't,_ _ _ _ _ __
K unit6.d'oii: S(p) = - et:
S(p) _!,_ F(p) = E(p)- tp
f.p
ls(t) = ~ tl
2-2 EXEMPLES
I
II
Figure 4.13 - Riponse impulsionnelle d'un integroteur
2-21 CONDENSATEUR PUR
Par definition v
=~ Jidt done si le
condensateur n'est pas charge:
La reponse impulsionnelle est un echelon. Le systeme ne revient pas a son etat de repos. L'intigrateur pur est done un element destabilisateur. On dit encore qu'il est asymptotiquement stable. 2-32 REPONSE INDICIELLE
V(p)
-=l(p)
Figure 4.10
Cp
Comme E(p)
=.!. on obtient S(p) = ~ d'ou: p
f.p
ls(r) = ~ rl
2-22 POSITION ANGULAIRE D'UN AXE
Un axe est entraine a Ia vitesse angulaire 0 et entraine le curseur d'un potentiometre.
a
La relation entre deplacement angulaire 8 et
.
VJtesse
,.... u
,....
d8 . est: >L = - so1t O(p) = p9(p) ou dt
La reponse a un echelon est une rampe. Le regime permanent tend vers l'infini. C'est Ia confirmation de l'instabilite.
encore
Figure4.11
~"'---.__K/'t 0
El(p) =Q(p) p
Application: Un moteur entraine par l'intermediaire d'un reducteur de rapport n une charge constituee par un radar de poursuite. Ex primer !'angle d'azimut Ss du radar en fonction de Ia vitesse n du moteur. On a le schema suivant:
4R~ucteur
~
s(t)i
Figure 4.14- Riponse a un echelon
2-4 ANALYSE HARMONIQUE On fait p =jro dans Ia fonction de transfert: F(jw) =--/!:--;on obtient done: jfOJ
I
Us [JHti~~~e-u~-1
jF(jw)j =_!.__ et Arg[F(jw)]=
0s
f(J)
_!£ 2
'
Figure 4.12 - Passage de Ia vitesse a Ia position angulaire ,,
-...----···--
------·
--::::.::~••••••!""'-------~-""'
___
L
85
Exercices
4. SYSTEMES LINEA IRES CONTI"it;S DU PREMIER ORDRE
84
a) Pour determiner les parametres statiques et dynamiques d'un systerne, il est necessaire d'ecrire
a) Reponse dans le plan de Nyquist
sa fonction de transfert sous forme canonique; on a tout de suite F(p) =
Im
1+4,1.10-3 p
ce qui
donne:
Re
W=~
5.10-3
"t
0
= 4, lms et K =5.10· 3 rn/V
b) fc = 38,9Hz; ro=O
c) tr = l2,3ms.
Figure 4.15- Reponse d'un integrateur dans le plan de Nyquist
[72--,
b) Reponse dans les plans de Bode et Black G
I
La reponse d'un systeme ponse a une rampe unite?
t
""' ~·~'""'" Ol
ro=O
•G
a un echelon
--oOo--
~ 00
II~
La reponse s(t) est visiblement celle d'un systeme
.. 201ogK
ct>•
ro=v~
I
ol
gime permanent s1(t)
..
a constante de temps et met en evidence un re-
=2 et un regime transitoire s2 (t) =-2e-21 : t:.s
+ Ie regime permanent donne Ie gain statique K = -
tl.e
0)
Ol=
= 2(1- e-21 ). Quelle est sa re-
unite est s(t)
+ le
~
-wzr!- - - - - - -
regime
transitoire,
on
met
en
2
=- = 2
evidence
Ia
constante
de
temps
r
e--;:
Figure 4.17- Reponse dans le plan de Black
Figure 4.16- Reponse dans le plan de Bode
= e- 2 '
=::}
r
=0,5s .
La fonction de transfert du systeme est done:
2 F(p) = I+0,5p
EXERCICES
La reponse de ce systeme a une rampe unite est obtenue par
S(p)
QT. I 2.1 420+ 1,72p
c) Que! est son temps de reponse
l+0,5p
s(t) = 2(t-0,5+0,5e-2').
( en metres I volt)
a) Determiner sa constante de temps et son gain statique. b) QueUe est sa frequence de coupure
p
ou encore:
Un enregistreur ad met pour fonction de transfert : F(p)
(_!_- o.s +~)
_2_ _ 2 p\1+0,5p)- /
I
a 3dB ?
4.3
I Un thermometre a mercure, initialement a 20°C, est plonge dans un bain de temperature T b=40°. On observe I' evolution de Ia temperature Tm(t) du mercure dans Ia colonne.
I
aun echelon de tension ? --oOo--
t
-
,• I
(secondes)
0
5
10
15
20
25
30
40
60
100
TmCC)
20
24,4
27,8
30,5
32,6
34,3
35,5
37,3
39
40
86
4. SYSTEMES LINEAJRES CONTINUS DIJ PREMIER ORDRE
Ex ere ices
87
mometre
= e..o(P)- jD.(p), done Ia pente de Ia caracteristique statique represente f. II vient alors: f =~ =5.10- N.m I rd Is et de
2) Calculer le temps de reponse t, du thennometre.
ce fait:
D'autre part, d'apres le paragraphe 2-22 du merne chapitre, em (p)
I) A partir de Ia n5ponse ci-dessus, determiner Ia fonction de transfert Tm(p) du therJ;,(p)
3
420
3) Le thermometre indique de nouveau Ia temperature ambiante de 20°C. On plonge maintenant celui-ci dans un bain de 80°C. Au bout de combien de temps indiquera-t-il 80°C?
'f
La figure ci-dessous represente un reservoir dont on veut regler le niveau h. On va chercher a identifier sa fonction de transfert. Pour eel a, on suppose qu' a I' instant t = 0, le systeme est en regime permanent depuis suffisamment longtemps (Q. Q.o, h = ho. Q, = con stante).
I) On trace Ia courbe de reponse sur papier millimetre. Celle-ci ne presente visiblement pas de point d'inflexion, le thermometre est done un systeme du premier ordre. Le gain statique est done
t.T
20 20
K =_m_ =t.I;,
!'amplitude .1.Tm soit t
f
c 4.5:]
-oOo-
le rapport
J
=- = 20ms
=
= I . La constante de temps est le temps mis pour atteindre 63% de
= 20s.
T
~)•,
2) t, = 3t =60s 3) Le temps de reponse est independant de l'amplitude du signal d'entree et ne depend que de Ia constante de temps, done t, =60s
.•. 1 - - - - - - - - - 1
I
4.4
I
I
i
La caracteristique statique couple-vitesse d'un moteur duit est donnee sur Ia figure ci-dessous.
a courant continu pilote par in-
L=tkJ ~Q,
li
em (N.m)
2,1
On ouvre brusquement Ia vanne V, de maniere que le debit Q.o varie de 10%, et on observe l'evolution de h. Celle-ci evolue lineairement comrne l'indique Ia figure ciapres.
--.+------:o,._-Q(rd/s) n
Qe
420
Sachant que le moment d'inertie du rotor est J, = 104 kg.m 2, calculer Ia constante de temps mecanique du moteur.
10%
Qeo
1
0
(mn)
h
--<>Oo-
I, I 5h
D'apres le paragraphe 2-23 du chapitre 3, em- /,fl = J, dD.. On en deduit que:
o
dt
fl(p) --=-em(P) f+Jp
ho /(1+1]7) n
(
(mn)
Identifier Ia fonction de transfert de ce processus.
--<>DoL'entree du systeme etant un echelon et Ia sortie etant une rampe, le systeme est done un integraleur. L'equation de Ia sortie est de Ia forme h(t) 0,05h0 t autour du point de fonctionnernent,
=
;.
li'
88
4. SYSTEMES LINEAIRES CONTJNUS DU PREMIER ORDRE
f I I !
alors que !'entree, toujours autour du point de fonctionnement, Q,(t) = 0,1Q,0 u(t). La fonction de transfert du systeme est done:
a pour expression
CHAPITRES
H(p) = K avec K = 0,5fto Q,(p) p Q.o .
SYSTE~SLENEAIRES
,-4.6.]
CONTENUSDUSECOND ORDRE
La tension a enregistrer, sur l'enregistreur de l'exercice 4.1, est un echelon de tension d'amplitude E auquel se superpose un bruit parasite sinusoidal x = x 0 sin W 0 t a) Calculer litteralement Ia reponse de l'enregistreur ace signal bruite. b) Discuter en comparant ru,
a .!. .
1· DEFINITION
'f
c) On a E = 10 volts et fo = 400 Hz . Tracer Ia reponse de l'enregistreur au signal bruite. Un systeme du second ordre est decrit par !'equation differentielle: -{)Oo-
2
a) Le signal a enregistrer a pour expression e(t) = E + x 0 sinw 0 t. Le systeme etant lineaire, Ia reponse a ce signal est Ia sornme des reponses aux signaux elementaires le constituant: une fois le transitoire termine, c'est done Ia superposition d'un echelon d'amplitude KE et d'un signal sinusoldal de Ia forme
Kx 0
~1+'t' 2 W~
d s ds a2 -+a 1 -+a 0 s=b0 e(t) dt 2 dt Pour des conditions initiales nulles, Ia transformee de Laplace donne: 2
a 2 p S(p) +a 1 pS(p) +a0 S(p) = b0 E(p)
sin(w 0 t + cp).
b) Un premier ordre est un filtre passe-bas: done si c) On voit que fc << fo, done s(t)
S(p) b F(p) = - - = ~0
soit: ro.:<<~alors
~P +alp+aa
E(p)
le bruit est filtre.
=0,05(1- e-r/0.004t).
Cette fonction de transfert peut encore s'ecrire :
bo
F(p)=------
ao
at a2 ' 1+-p+-pao ao
On peut identifier les parametres de !'expression precedente de Ia maniere suivante:
b + K = __Q_ ou I' on reconnait le gain statique, ao
+
Wn
r
= [;;;
v;;
est Ia pulsation propre non amortie,
at
1
2
ao.az
+ ., = - .J
est le coefficient d'amortissement.
La forme canonique de F(p) s'ecrit alors:
F(p)-
2(
K
pz
1+-p+-2
w.
wn
J
J
....
i
~
90
5. SYSTEMES LISEAIRES CONTINUS DU SECOND ORDRE
2. Exemples
9I
~ est un coefficient sans dimension, alors que COn est homogene a une pulsation et s'exprime en nils. Elle sera explicitement definie dans les exemples qui vont suivre.
C,(p)
Q(p)
2- EXEMPLES 2-1 CIRCUIT RLC
G1·
. e= R. .1+ Ldi -+s. 0 n peut ecnre: dt Or
.
1=
Figure 5.2 • Moteur CC pilote par induit
2
ds d s ds C- donee= LC+RC-+s 2 dt
dt
On a done de suite:
dt
F(p) = K 2K'" +JR•. I+ JR.+ L. f p + K 2JL. +JR. p2 m Km2 +JR. m
Figure 5.1 • Circuit RLC
En prenant Ia transformee de Laplace de cette expression (conditions initiales nulles), if vient:
Identifions les parametres de ce systeme:
S(p)
E('P} =
LCp 2 + RCp + I
K
Km K'"2 + f.R.
w.=
K,.2 +JR.
Identifions les valeurs de COn et s:
I
.
+ w" = ,-;-;:; est Ia pulsation propre d'un circuit oscillant LC, c'est-a-dire sans -vLC resistance. Dans un tel circuit, toute l'energie disponible s'echange sans perte entre Let C avec une frequence
f
JR. + L.f
2 ~JL.(K./ +JR.)
Am ortisseur
(J)
= -" . Mais comme il y a une resistance, une partie de cette
On appelle M Ia masse de Ia voiture, k Ia raideur du ressort et f le coefficient de frottement visqueux de l'amortisseur. C'est celui-ci qui empeche les oscillations de Ia caisse.
7r
R {'1'77: est le facteur d'amortissement. II est proportionnel a R, done a un s 2 ...;L/C faible va correspond une faible dissipation d'energie lors de chaque echange. Le temps au bout duquel l'energie sera entierement dissipee peut etre relativement long. Inversement, si Rest bien choisie, ce temps peut etre beaucoup plus court.
+ I;=
Le circuit ci-dessus est appele circuit resonant ; il est regie en general pour de faibles valeurs de R, done des faible egalement, de maniere a obtenir WR #ron·
2·2 MOTEUR CC AVEC SA CHARGE On reprend le schema du moteur a moteur a courant continu commande par induit modelise au chapitre 3. Nous avions ecrit au paragraphe 2-25:
v. (p)
I; = I
2-3 AMORTISSEUR D'AUTOMOBILE (FORME APPROCHEE)
energie se dissipe par effet Joule; R joue done un role d'amortisseur. On comprend mieux !'appellation<< pulsation propre non amortie >>
Q(p)
JL.
Km K; +(f+l.p).(R. +L•. p)
Figure 5.3 • Schema de principe d'un amortisseur X
L'amortissement peut etre mis sous Ia forme ci-contre. La roue passe dans un trou et se deplace de y. Appelons x le deplacement du centre de gravite de Ia voiture, on peut ecrire !'equation de Ia dynamique:
k
2
d = x f d(y- x) k( M+ y-x ) dt 2 dt Figure 5.4 • Schema equivalent
./)
92
S. SYSTE!\IES LISEAIRES CONTINt;S DU SECOND ORDR£
f
2
Mp X (p) = fp.[Y(p)- X(p)] + k[Y(p)- X(p)]
So it
1+kp
Y(p)
= 1+Lp+ M k
avec
r =
l+lp
93
i
3-1 REPONSE IMPULSIONNELLE
r
3·11
P2
k
2~ p2 1+-p+-2 li).
VM
CAS OU ~1
f
i
Comme E(p) =I, S(p) se decompose en elements simples sous Ia forme:
li).
L , m. = /"k et ~ = ~ . La pulsation COn k
I
3. Analyse Temporelle
j
f
X(p) et finalement:
f
2-,;k.M
K
S(p)=
(l+r1p).(l+r2p)
est done Ia pulsation
K -[ - 1 - - -I -] =r,-r 2 p+Ijr,
et dans ces conditions:
p+l/r
2
d'oscillation que prendrait Ia caisse de Ia voiture si l'amortissement etait nul.
K . .!... • .!.. s ( t ) = - ( e r, -e r,)
r, -r 2
3- ANALYSE TEMPORELLE
'}=~~ •'
La sortie d'un systeme du second ordre est donnee par:
S(p) =
K
2~ p2 E(p) 1+-p+-2 li).
li).
Toutle problerne est de pouvoir decomposer S(p) en fractions rationnelles. Cette decomposition depend en fait des racines du trinome: 2~
2
li).
li).
1+-p+~= p 2 +2~m.p+m.
2
m. 2(~2 -1) s(t) =
Km e·'"'·' . n
I-C
::} si ~ ~ 1, le trinome admet deux racines reelles et dans ce cas Ia reponse est aperiodique. Les deux racines p, et p2 sont telles que: p 2 + 2~m.p + m; = (p- p 1 )(p- vz) d'ou:
l(
=m. -~ -.Jr=l)
. et en terme de constantes de temps
l 'f 2
s(t)
1
r, =
=
m.(~- ~) m.(~+
Km. 2 2
p +2~m.p+m.
-
2- (
Km. 2 )(
p-p, p-p,
, -
-
) ou p 1 et p 1
*
~
~ -1)
2
=m.(-~+j~)
p, * = m.(-~- j~I-~
* sont compIexes
Figure 5.6 • Riponse impulsionnelle ((<1)
3-2 REPONSE EN VITESSE 3-21 CAs OU ~1
conjuguees et telles que:
p,
,......--;;,.
sm(m.v1-~- .t)
et Ia reponse a !'allure de Ia figure 5.6.
::} si ~ < 1. le trinome admet deux racines complexes conjuguees et Ia reponse est oscillatoire amortie . . S( ) p On a.
rl. r.:
Le systeme revient au repos : il est done stable.
Figure 5.5 • Riponse impu/sionnelle (~)
De ce fait:
P2
.....!!..._.
S(p) ne se decompose pas, done: ~·=
=m.(-~ + .Jr=l)
z.La derivee a l'origine vaut
3·12 CAS OU ~<1
dont le discriminant reduit s'ecrit:
p,
On peut tracer l'evolution de s(t) dans le temps. Elle est bien sur liee a 'I et 1:
2
)
L'entree
en
rampe
admettant
pour
decomposition en element simple, on obtient:
transformee
de
1 LaplaceE(p)=•. . p·
apres
II
94
3. Analyse Temporclle
S. SYSTEMES LINEAIRES CONTI:>."US DU SECOND ORDRE
S(p)
3-3 REPONSE INDICIELLE
1
=
z 1 2 ~- '• +1"2 +-'-•------'-2 ___1__ ] p p 1" 1 -1" 2 p+l/-r, r,-1" 2 p+l/r 2
d'ou en revenant a I' originale:
3-31 CASOU~~1
,J
S(p)
Le regime permanent est une droite de pente K qui coupe !'axe des temps en
t
11
La decomposition en elements simples donne:
~ 1"1 2 e~ --r//)]
s(t) = K[t-(1" 1 +r 2 )+ -r,
95
=
K p(l+-r,p)(l+-rzp)
=
s(t) =
et finalement:
=1" 1 + 1" 2 =~ et I'axe des ordonnees en -2K l_ ( cf figure 5.7 ). m.
~
2 I - - .1"- - -1"-1 - - + - - , I- -]
p
'•
. · e(t)
-r, -1"2 p+l/1"2
--
--
1---1- e r, +--2- e r,
s(t)
K
s(t)
p+l/T,
. I . I] 1 ., -·2 ., -·2 -"Z"z
L'allure dans le temps de s(t) est Jiee
On constate que entree et sortie s'ecartent l'une de !'autre en regime permanent. Le systeme du zeme ordre ne suit pas en vitesse sauf lorsque K I. Dans ce
a 't 1 - '<2 done a ~- La derivee a l'origine est nulle. Plus ~ augmente, plus Ia reponse est aplatie.
=
cas, l'ecart reste constant et ega!
-2(
a - - . Cet m.
Figure 5.9- Reponse indiciel/e ( ~)
ecart est appele ecart de trainage. 3-32 CAS OU ~ < 1
Figure 5.7- Reponse en vitesse ({ :21)
L'expression de Ia sortie s'ecrit:
S(p)
=
Km; = p 2 ( p 2 + 2(m. p + m; )
"lJ
2_~
_!_ __ +
!: p+4~z
On a maintenant: S(p) =
l
3-22 CAS OU ~<1
-I
ces conditions:
s(t) =
2 +-m--=-;(-1--(-.2:-) m. p -(p-+-,-m"-.-):-
p2
[I
] et dans ( 2 Km; ) = K - - 2 p+2(m • p p +2(m.p+m; p p +2(m.p+m.2
K[l- ,/1- t;' o<><(w.,/1e -(m.t
t;' t + t>
l]
,;, - -Arctg avec"'-
c; JI-., r2
soit en revenant a l'originale: s(r)
e.;.,,,
J
m.vl-(z
1
2(
= K(t--+ m.
s(t)
r;-;:2
l . r.---;2 co
m.vl-( 2 .t- arctan(2( 2 -I)
J
La reponse indicielle est oscillatoire amortie. Quatre parametres sont interessants :
-
S(l)
--r;--~
I
D
K
+ le temps de montee tm io
+ le temps du premier maximum
· e(t)
lpic
+ le depassement D exprime en %
:~,
de Ia valeur finale
tm
tpic
+ Ia pseudo-periode TP Figure 5.10- Reponse indicielle (
Oi . .-I . 2~/0ll
·2K1;/0JI
done
Ces quatre parametres peuvent etre calcules tres aisement.
Figure 5.8- Reponse en vitesse ({<1) Les conclusions sont les memes: le systeme ne suit pas en vitesse, sauf pour K = I.
J·-·
'<
1;
96
5. SYSTE:O.IES LINEAIRES
CO:~>liNUS
OU SECOSO ORORE
3. Analyse Temporelle
97 A- Calcul du temps de montee
C- Calcul du depassement D
C'est le temps mis pour que s(t) atteigne Ia valeur K, soit:
l
e-""·'· ~ K 1- ~ [ 1 _, 2 cos(w.vl-, .tm +¢) 2
,_,
e-'"'·'·
En simplifiant par K on obtient : ~ n'estjamais nulle, il vient:
cos(w.~l ~ '
2
2
=K
s, =
~ 2 cos(w. v 1- ' .tm + ¢) = 0. Comme l'exponentielle
.tm + ¢)
w.~l-,
D'une maniere tres generate, il est possible de calculer Ia hauteur des minima et maxima, en rempla~ant t par tk dans !'expression de s(t). On a:
2
st
.tm +tP=!!_+klr
2
K. Le premier point correspond a k = 0, done: w. ~1- '
m
n[
.}t-1;' <=(w• .}t- ('
ant tk par sa valeur:
2
.tm
(~
+
=
=
1
=% et dans ces conditions:
~
R-·~
1
.[t:(f
t
cos(k~+¢)
+
j
tP)
]
.
La hauteur des minima (k pair) est donnee par: -;
skMi• = K(l- e
l
kK
-p)
puisque cos¢=
~1-
'z
et Ia hauteur des maxima (k impair) est:
-+Arctan-'
1 w.~ 2
I .
=Oqui admet pour solution:
A chaque valeur de k correspond un point d'intersection de Ia reponse avec Ia droite d'equalion s
t =
roi"" rempl"
J,_ e-;.,, '•
_,
klr
sWax = K(l+e ~) • B- Calcul du temps du premier maximum
Le premier depassement a lieu pour k = I, et dans ces conditions:
Les valeurs de t qui annuleront Ia derivee s'(t), correspondent aux temps des minima et maxima de Ia reponse s(t). Calculons cette derivee:
ds
dt = Kcv. Elle s'annule pour:
e-'"'·' [ .{ } ~~' 2 'co\w.~l-r .t +
'cos(w.~l- '
2
.t +
2
soitencore:
tg(w.~l-, 2 .t+
d'ou:
w.~.t+tP =
et:
sin(w.~l- '
2
.t +
2
.t +
K
= Ke R
a Ia valeur
tP} = 0
=tg¢
La courbe donnee figure 5.11 (d'apres le livre de C.Y.Vibet) donne le depassement en fonction de
~.
D- Calcul de Ia pseudo-periode
= w]l~,z.
Si k est pair, tk correspond a un minimum, alors que si k est impair, il correspond maximum. Dans ces conditions, le premier maximum a lieu pour k = 1, soit: ~
(pic=
-;-"~
-
Le depassement relatif est D/K, que l'on exprime encore en un pourcentage par rapport finale:
}]
k~
t,
D = S1M.u
w.~
a un
C'es1 le temps qui s'ecoule entre deux maxima successifs soit TP entre les deux premiers, celle-ci a done pour expression:
= t2,+ 1 -
tu_
. 1
Mesuree
D.;.,[\.
1
eo
~
....
tx
e- .r;::r: 1-
"""
-
~200 I'\.
!
rl
.1
I
1!
H
,..._
~ 100
H
J
I--'
""
20 I
.2
.1
.3
.4
r-
'
,
1".
.5
.6
.7
.8
I
'r'\
...-VI
a
~
"'0
0
...- 500
~
=1
-
.::.
1-
60
~
3
1--1-
,.
~
I 000
i
ITTTTI
+-
99
-1. Analyse Hannonique
S. SYSTDIES 1.1:-iEAIRES co:-;Tr:-;ts DU SECOND ORDRE
98
t
-
rr-
50 I
r\.
20I 10I
~
II
/
h.
s;
.9 ~
Figure 5.11 - Depassement relatif
2! I 0,01
3-4 TEMPS DE REPONSE D'UN SYSTEME DU SECOND ORDRE
0,03 0,05
0.10
0,3 0,5
2
J 4
s
7 10
40 60
20
Ft~ct•ur d"amortissement
100
t
Pour determiner tr, il suffit que Ia reponse indicielle soit entree et reste dans le canal des
Figure 5.11- Temps de reponse d'un systeme du 2eme ordre
5% done que:
e -(w,r
~~ ~.( '":"'·g_, ~.; l < o.os -e rI - r \
2
La formulation trffin # 3 pour~# 0,7 est a rapprocher de Ia relation trroc # 1t issue de Ia theorie generale des filtres et qui relie le temps de reponse a Ia pulsation de coupure d'un filtre. Cette formule est approchee, le temps tr n'est pas celui exprime a 5%, mais il montre bien que le temps de reponse d'un systeme ne diminue que si on augmente Ia bande passante de celui-ci.
si ~ ( 1
r,- - -
si ~;:: 1
Ces equations transcendantes n't!tant pas faciles a resoudre, l'abaque de Ia figure S. \3 (d'apres le livre de Gille, Decaulne et Pelegrin) donne le temps de n!ponse en fonction de ~- On y remarque que Ie temps de reponse tr est minimum pour On note egalement de discontinuites lorsque
4 ANALYSE HARMONIQUE
~ = J22 # 0,7 et vaut dans ce cas .2_ . OJ.
La fonction de transfert harmonique d'un systeme du second ordre s'ecrit :
I
K
~ < 0,7. Ce phenomene trouve une explication sur \a
F(jw)
figure 5 .12.
s• i
S
si
-~f·'•'u·-~·-o ,:;{,,~ _~.n , ............ 'r*~br:'\#tt~~ .
I
.
I
•/
· 1;,=0,42
7
Posons u =
~, il vient w,
-
tr
t
K
IF
tr
K
,/(1- u 2 ) 2 +4'(u 2 1-u
a I' exterieur du canal des 5% autour de Ia valeur finale sr penalise considerablement
On peut etudier les variations de ces deux parametres en fonction de u, done de w.
le temps de reponse.
lr
I
l
- . ] 2Cu Arg [ F(ju) = -Arctg ~
Figure 5.12- Explication des discontinuites de '
:i
II
OJrt
C'est un nombre complexe dont le module et !'argument sont donm!s par:
+---------------~[ 0'
( . w )' 1+2~-+ J w
F(ju) = 1 + 2Qu + (ju)'
.
-----"-0! --------
Le minimum
=
(J)fl
'r lm.~mm·un.~-."11EH1-m• •- _m·m.:Wii~H:Jii~HliiW: }l;mfn~U~~m;:!H'!
/
I
5. SYSTEMES Ll:-iEAIRES CONTINUS DU SECOND ORDRE
100
101
IM- ,,~:_,,I
I
4·1 ETUDE DU GAIN Calculons Ia derivee du gain par rapport au:
~-d-u--" =-2K(4uJ -4u(1- 2,2)}(1- u2)2 +4,2u2) n d[F(ju)J
1
-J/
La derivee s'annule pour les valeurs de u annulant 4u t
I I
4. Analyse Hannonique
3 -
L'abaque suivant (figure 5.15) exprime le facteur de resonance en fonction de
4u(l- 2C) On obtient:
M
une seule racine u = 0 si ~ > 0,7
t deuxracines u=Oet
dB\
16
u=~1-2'
2
'~ ~:0,7.
si
I M•NJ
\
14
[\
12
On retrouve done Ia valeur ~ = 0,7 du coefficient d'amortissement donnant un temps de reponse minimum. L'allure du lieu de transfert dans le plan de Bode du gain est donnee figure 5-
'\
10 I
~
6
14.
4
alorS
U
=~ 1 -
."
...........
0
2, 2
=(l)
R
.
-
~
2
A· Pulsation de resonance
Pour'~~
~-
I
-o.2
La reponse presente une resonance pour
w.
~
r--
-.,I
-0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Figure 5.15- Variation de M enfonction de~
Ia pulsation:
lwR =w.~)
Attention: Le facteur de resonance est different du facteur de qualite des electroniciens defini pour
ro=ron et valant
Q=
\F
l
2'
-
. . . .Pour que ces deux facteurs sment egaux II faut ~<0, I. Dans
ce cas WR et COn sont quasiment confondues.
GdB
-~<.D.7
/N
20logK
1;>0.7
•
• ...
C- Pulsation de coupure -40 dB/dec Pour Ia pulsation de coupure We, le gain chute de 3 db, ce qui correspond a une division par
o\
Cl\
cq,
'\
J2 du gain statique en valeur naturelle On a done: K
.,.. ro
~(l-u 2 ) 2 soit (l- 2u
2 2 )
+ 4' 2 u 2
=2
4
2
2
u = 1- 2,
B- Facteur de resonance
K
Max
soit:
2
Cette equation bicarree admet deux racines en u2 dont on ne garde que Ia positive soit :
si ~ = 0, le systerne est alors un oscillateur libre.
\F<}u)\
.J2
u + 2u (2' -1) -1 =0
On voit tout de suite que Ia pulsation de resonance est inferieure a Ia pulsation propre non amortie mais elle s'en approche de plus en plus lorsque ~ diminue. Pour Ia valeur limite WR =
appelle facteur de resonance le rapport M
=
et pour terminer:
Figure 5.14- Reponse harmonique d'un systeme du 2eme ordre
Pour~~ 0,7, !'amplitude de Ia resonance est donne par:\F(ju)\
+4'V
K
2
+ ~(2, 2 - 1) 2 + 1
et de ce fait: Max
h
= 2'vl-'
·On
!we = w. ~1 -
2
2, +
~(2, 2
-
2
1) +
1~
5. SYSTEMES UNEAIRES CO:"TINt:S DU SECOND ORDRE
102
4-2 ETUDE DU DEPHASAGE 2
On a
~
2~u del> 2~(1+u ) = -Arctg--2 et - = 2 , 1-u du 4{ 2u2 +(l-u )'
•
La derivee etant toujours negative, Ia variation de ell est done monotone decroissante. Done
1/J---+ 0
~=-~ {
1/J
= -It
~
s:
quand u ---+ 0 quand u =I quand u ---+ =
Plus~ dirninue, plus Ia variation de phase est brutale autour de oo = OOn (u = 1)
-7Tf2
103
Exercices
t,oo,
tp,oo,.
0%
Tpoo,.
~
!mOOn
0,1 0,15 0,2 0,25 03 0,35 04 045 05 055 06 065
1,68 1,74 1,81 1,88 1,97 2,06 2,16 2,28 2,42 2,58 2,77 3,00
30 20 14 11 10,1 7,9 7,7 5,4 5,3 5,3 5,2 5,0
3,16 3,18 3,21 3,24 3,29 3,35 3,43 3,52 3,63 3,76 3,93 4,13
6,31 6,36 6,41 6,49 6,59 6,71 6,86 7,04 7,26 7,52 7,85 8,27
73 62 53 44 37 31 25 21 16 12,6 9,5 6,8
0,7
3,29
3
4,40
8,80
4,6
075 0,80 085 090 095
3,66 4,16 4,91 6,17 9,09
3,1 3,4 3,7 4 4,1
4,75 5,24 5,96 7,21 !0,06
9,50 10,5 11,93 14,41 20,12
2,84 1,52 0,63 0,15 0,01
(5%)
(l)R
w.
~
~
Mda
~
w.
(l)R
0,99 0,98 0,96 0,94 0,91 0,87 0,82 0,77 0,71 0,63 0,53 0,39
1,54 1,53 1,51 1,48 1,45 1,42 1,37 1,33 1,27 1,21 1,15 1,08
1,56 1,56 1,57 1,59 1,61 1,63 1,67 1,72 1,80 1,93 2,17 2,74
14 10,5 8,1 6,3 4,8 3,6 2,7 1,9 1,2 0,7 0,3 0,1
0,14
1,01
7,14
0
0,7
-
0,94 0,87 0.81 0,75 0,69
-
-
075 080 0,85 0,90 0,95
-
-
-
-
0,1 015 0,2 0,25 0,3 0,35 04 045
o.s
0.55
06 0,65
Figure 5.17- Caracterisation d'un systeme du second ordre -lt
Figure 5.16- Variation de l'argument (Plan de Bode)
EXERCICES 5- CONCLUSION Cs~~--
I
L'abaque suivante pennet Ia determination des caracteristiques d'un systeme du second ordre a partir de Ia connaissance de Ia reponse indicielle ou de Ia reponse harrnonique. Les valeurs ont ete calculees a partir des forrnules elaborees dans les paragraphes precedents.
Un systeme admet pour fonction de transfert:
F(p)=~ 2
p +1,2p+3
Inversernent cet abaque autorise aussi des operations de synthese d'un systerne du second ordre lorsque, par exemple, se trouvent fixes le depassement D et l'un des temps definissant Ia
Calculer les parametres statique et dynamiques de ce systeme ainsi que sa pulsation de coupure a 3dB.
rapidite (lpic· tr· tm ): • Ia valeur de D fixe celle de ~ ,
+ Ia valeur de I pic , de tr ou de tm fixe OOn.
-
ecrit
F< p) =
tout
d' abord
0,83 2
.
cette
fonction
de
transfert
so us
sa
forme
canonique,
soit
On en deduit:
l+0,3p+L 3
• le gain statique K =0,83, • les parametres dynarniques ~ = 0,26 et 00.
=I ,73rd/s.
La pulsation de coupure est donnee par Ia formule du paragraphe I-41C, on obtient oo, = 2,56rd/s.
S. SYSTE!\IES LINEAl RES CONTI:"it:S Dl' SECOND ORDRE
104
Exercices
105
[sj:J
cu-I
On desire synthetiser un systeme du second ordre a partir du cahier des charges suivant:
On considere le filtre actif ci-dessous dans lequel les amplificateurs operationnels sont supposes parfaits:
•
Ia sortie est egale aI'entree en regime permanent, lorsque !'entree est un echelon;
• pour une entree en echelon, le depassement doit etre inferieur a 10%; • le temps de reponse doit etre inferieur a I seconde et le temps de montee inferieur 0,5 seconde.
a
a) Calculer les valeurs de K, ~ et
.
v (p)
--oOo--
a) Calculer Ia foncuon de transfert - ' - - de ce filtre.
V,(p)
b) On prend R
=200 k!l, C 1 =2,5J.lf, C 2 =O,lj.IF et
K = 1. Calculer Ia pulsation
a) S = E en regime permanent implique K = l. Le s autres parametres se determinent l'abaque 5.17:
a partir de
propre du filtre ainsi que son coefficient d'amortissement.
+ D < 10% nous impose 0,6 < ~ < 0,7;
c) En deduire les reponse harmonique et indicielle de ce filtre.
+ le temps de reponse est minimum pour~= 0,7: pour cette valeur t,w, = 3; or. on desire 1r < Is. done
--oOo--
w. > 3rdls;
+ enfin et toujours pour~= 0,7, lmW. = 3,29; cela impose que w, > 6,58rd/s. a) Pour calculer tres simplement Ia fonction de transfert du premier etage de ce filtre, on travaille en courant: on ecrit Ia loi des noeuds en A et B. L'amplificateur etant considere parfait, Vs = 0 et i- = 0. On obtient le systeme de 2 equations:
V•
+ CzpVs.
A partir de ces donnees, on peut choisir ~ = 0,7 et ro., = 8rd/s et Ia fonction de transfert s'ecrit: F(p) =
=0
R V. v. v, ~ v. - Clp v. + ~ =R I
'I' . V d ' · b· V,.(p) 0 n e nrune A entre ces eux equations et on o uent - - - = V,(p)
'
I+ 3RC2 p + R·C1Czp
2.
deuxieme etage est un inverseur de gain K done: V,(p)
~I
b) Pour diminuer le temps de montee sans changer les autres parametres, il suffit d'augmenter w,. Comme tmW. > 3,29, il vient 32,9rd/s, on choisit done ro., = 35rd/s.
!
•
V,(p)
Pz l+0,175p+ 64
Le
I s.4-] 1
Soit le systeme de fonction de transfert F(p) = - -
1+2~+ p
K
1+3RC2 p+R 2 C1C2 p 2
;
..
1) Calculer w,.
b) On trouve w. =lOrd Is et t; = 0,3;
2) On fait varier l'amortissement de 0,1 a I par pas de l. Comment evoluent les poles de F(p)? Comment evoluent parallelement le depassement D% et le temps de reponse.
c) L'allure des reponses indicielle et harmonique sont donnees ci-dessous
3) En deduire Ia forme de Ia reponse
G•
vsti
I ,371- · . . . .
tf···~~
1/. I
Oi
I
0,2
.
4,8dB
.
1
1
0,33
0,4
0,6
0,8
I
\
· "'t
(sec)
--oOo--
i · · ~~ffio=IO'dl' o!
a un echelon en fonction du produit ~
~
~=9,lrd/s
•ro
.
~-40d8/dec
·
\
l)ro.,= lrd/s. 2) Les poles s'ecrivent: p
=-{ ± j~1- C . On peut dresser le tableau suivant:
l 106
5. SYSTDIES Ll/1/EAIRES CO:'o/TINUS OU SECOND ORORE
Exercices
107 ~
0,1
0,2
0,3
0,4
0.5
0,6
0,7
0,8
0,9
I
Jl::fi
0,995
0,98
0,95
0,92
0,87
0,8
0,71
0,6
0,43
0
0%
73
53
37
25
16
9,5
4,6
1,52
0,15
0
t,
30
14
10,1
7,7
5,3
5,2
3
3,4
4
4,7
I) Cette fonction de transfert peut encore s'ecrire sous Ia forme F(p) =
~ 0
0
Legains'ecrit
0,8
0
G=IF(j(J)~=
0,6
2) Avec a= 2 et K =I, on a G = 0
!
0,4
I
-1
-0,9
-0,8
i -0.7
I
-0.6
i
I
-0,5
-0,4
i -0,3
I
-0.2
Position des .,Oies en function de 3) Au fur eta mesure que
JsJ
I
"
avec m 1
=..!. < lrd Is. a
1
~2
(J)-Jl + 4(1)
et pour
differentes valeurs de oo.
0.2
$
K
. (1 + j . (J) }(/) -)
K etlaphase
Q
0
=
(J)i
0
0
"
'
-0.1 ~
(J)
0
0,1
0,3
0,5
I
1,5
2
00
G
00
9,8
2,6
1,4
0,45
0,2
0,!2
0
GdB
00
20
9
3
-7
-13,5
-18
-oo
4>
-900
-101°
-121°
-135°
-153°
-162°
-166°
-180°
diminue, les poles s'ecartent de !'axe reel et se rapprochent de l'axe
imaginaire. La reponse est done d'autant plus oscillatoire que les poles sont proches de !'axe imaginaire, ce qui interfere sur le temps de reponse. En regime hannonique, ce phenomene se manifeste par une resonance de plus en plus elevee. Sur Ia figure ci-dessus, l'axe des abscisses est gradue en ~; ceci n 'est dfi qu ·au fait que w. = I rd/s. II est, en fait, gradue en C' est done ce produit qu'il faudra evaluer avant de conclure.
sm•.
Les lieux de transfert sont done les suivants:
G -180°
20
En conclusion:
sm.
s'approche de !'axe imaginaire, plus les poles s'ecartent de !'axe reel et plus • plus Ia reponse est oscillatoire;
• enfin, pour
r
0,1,
+ inversement, plus ~
sm. s'eloigne, plus Ia reponse s'amortit;
> I, les poles sont
~els
. Ce systeme
du second ordre est done un peu particulier puisqu'il possede un integrateur. En regime hannonique, on a:
F(j(J))
Q
K
p(l+ap)
et Ia n!ponse est aperiodique.
~
/\1 q, 0
os··l
a.)
.. (I}
lG
irr
:l1
I. li
(I}
-90'~
Soit le systeme de fonction de transfert F(p)
=~avec a> l. p+ap
l) Exprimer le gain et Ia phase de Ia reponse hannonique en fonction de a. 2) On donne a = 2 et K = !. Tracer cette reponse harmonique dans les plans de Bode, Black et Nyquist.
-180'
I
-·~
BODE
BLACK lm
--------------~~---..Re
0
0,7
0,5
--oOo--
0.1
NYQUIST ! ol
I
108
S. SY!>'TBIES LINEAIRES COSTINUS OU SECOND ORDRE
[5.6 I
Exercices
109
2) D'une maniere generate et si F(p) ne contient qu'un integrateur et un premier ordre, le regime t
Un systeme dont Ia fonction de transfert est de Ia forme F(p) =
K
p(l+tp)
permanent s'ecrit: s(t)=K(t-'f+Te '). Observons !'evolution de s(t) en fonction de Ia constante de temps t:
est attaque
par un echelon d'amplitude A. Determiner le regime transitoire et le regime permanent de Ia reponse.
-oO
KA 2 p (l+tp)
=KA[~-2'_+ __-r_]. En retoumant p
p
s2 ~
n'est dii qu'a !'element du premier ordre,
't
s
0
0,37Kt
2t
3t
4t
5t
J
1.13Kt 2,05Kt 3,02Kt 4,00Kt
I
=
.
K On connait p(l + 1p) deja K. La constante de temps est donnee par !'intersection du regime permanent avec I' axe des temps. On trouve t = 2s. On verifie sur Ia courbe qu'avec K = 0,75 et t = 2s, on retrouve bien Ies cinq points ci-dessus. Done, on adoptera:
t
' : ii
0
Supposons que notre fonction de transfert inconnue puisse s'ecrire F(p)
p+l/-r
a I' originate, on obtient
+ regime transitoire: s 1 ( t) = KA 1'e
t
F(p)
0,75
p(l+2p)
+ regime permanent: s 2 (t) = KA(t-'T). sI
En regime permanent, Ia sortie evolue lint!airement avec une pente a = KA: cette evolution n'est due qu'a l'intl!grateur.
~ 't
On constate que lorsqu'on prolonge le regime permanent, celui-ci coupe !'axe des temps en t. C'est un moyen d'identifier experimentalement Ia fonction de transfert. Notons aussi que le gain · stauque est d onne' par K =-a
tle
.
~I
I
On envoie sur !'entree d'un systeme un echelon-unite et on observe Ia sortie. On obtient les mesures suivantes:
t(sec) S(V)
0 0 ~--
1,5 0,33 '---~-
3 I, I --
4,5
6
7,5
9
12
15
2.7
3,1
4,2
5,3
7,5
9,75
-
-
21
18
14,25
12 -
'
-
--
I) En tenant compte des remarques de l'exercice 5.6, identifier le regime permanent et le gain statique. 2) Montrer que le regime transitoire peut etre celui d'un systeme du premier ordre dont on donnera aJors Ia fonction de transfert.
-oOo-I) On trace tout d'abord Ia reponse sur papier millimetre; on constate que progressivement Ia
reponse tend vers une droite: c'est done que Ia fonction de transfert contient un integrateur. On trace alors Ia droite correspondant a ce regime permanent et on determine sa pente. On obtient a = 0,75. Comme I' amplitude de I' echelon d'entree vaut I, il vient K = 0,75.
'
'
CHAPITRE6
SYSTEMES CONTINUS D'ORDRE QUELCONQUE
Nous avons vu, dans les deux chapitres precedents, les systemes que nous pouvons appeler fondamentaux car ils constituent Ia base de notre reflexion sur le comportement des systemes en general. Toutefois, ils ne constituent qu'une fraction de l'ensemble des systemes. Mais, comme nous allons le voir, tous les autres sont constitues d'une association de ces systemes fondamentaux. Nous leur ajouterons un element supplementaire qui, theoriquement ne devrait pas etre present, mais qui fait partie de Ia realite technologique: c'est le retard. Cet element va compliquer serieusement Ia tache du technicien.
1- SYSTEMES D'ORDRE SUPERIEUR A DEUX 1-1 NOTION DE POLE DOMINANT Toute fonction de transfert du nieme ordre peut se decomposer en termes du premier et du second ordre et, de ce fait, les reponses indicielle et harmonique sont les sommes algebriques des reponses elementaires des systemes du premier et du second ordre correspondants; ces n!ponses ne sont pas toujours faciles a tracer, mais une rapide observation de Ia fonction de transfert peut aider a se faire une petite idee de Ia reponse (a condition toutefois que poles et zeros soient explicites):
+ si un ou plusieurs poles sont pres de l'axe imaginaire (constante de temps elevee ou faible amortissement}, ils limitent considerablement Ia rapidite d'un systeme. On dit qu'ils sont dominants, car nous allons le voir a !'aide d'exemples, ils marquent tres fortement Ia reponse d'un systeme.
+ une racine au numerateur, c'est a dire un zero pour Ia fonction de transfert, peut avoir une influence sur Ia rapidite de Ia reponse.
1-2 REGIMES DOMINANTS 1-21 SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE DECOMPOSABLE
On a
F(p)
=
K
K
2s l = (I+ .-,p)(l + r,p) 1+-p+-2 w,.
m,
Les poles s'expriment sous Ia forme:
p,
=-w" (S- Jr=l) et p2 = -w" (S+ ~S2 -
I)
(cf paragraphe 1-33 du chapitre 5).
6. SYSTEMF..S COI'oTINlS D'ORDRE Ql:ELCONQl'E
On voit done tout de suite que jp 2 j > jp,l done que places sur le demi axe reel negatif.
t1
> t 2• Dans le plan complexe, ces poles sont
I. Systcmes d'ordre superieur
a deu.x
11
l-22 SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE NON DECOMPOSABLE
L'amortissement ~est maintenant inferieur complexe negatif.
Im
a I. Les p6les se trouvent dans le demi
plan
Im p
P 1
0
2
Si l'amortissement diminue, les poles se rapprochent de !'axe imaginaire tout en s'tkartant de !'axe reel (cf exercice 5.4). Or diminuer ~ revient a augmenter le temps de reponses.
p,o-- ·- · llm(pil
Re
~CQ·
Figure 6.1 - Position des poles dans le pion complexe On voit egalement que, si ~ augmente, p2 augmente alors que p 1 decroit en valeur absolue. Les poles s'ecartent l'un de ['autre, PI devenant tees proche de !'axe imaginaire. Or, PI est lie a Ia constante t1: plus P1 est proche de l'origine, plus Ia constante de temps t, est grande.
p20-
0
-~Re
A des pOles procbes de l'axe imaginaire correspond done un amortissement faible, done un temps de reponse eleve.
· · · Im(p 2)
Figure 6.3 - Position des poles pour ' < 1
Dans ce cas particulier, Ia reponse harmonique a !'allure suivante :
1-23 SYSTEME DU TROISIEME ORDRE
G 20log K
La fonction de transfert peut s'ecrire: F(p) =
i:=::::::i:: '-
•·
K r
2., p2 (l + 't'op)(l +- p+ -2)
20iogK-J ~
.I
(J) n
.w
(J) n
A- Systeme decomposable
I
Le terme du second ordre se decompose: F(p)
Figure 6.2- Influence du pole dominant sur lo bande passante
K (1
+ 'oP)(l + r,p)(l + '2P)
avec
r1
)
r2
On constate que Ia bande passante a -3dB est tres influencee par t 1. En fait t 2 n'intervient plus. Comme bande passante et rapidite sont etroitement liees, il est evident que le temps de reponse ne depend plus que de t 1, c'est a dire que le systeme reagit comme un premier ordre. On dit alors que p,
= -.!.. r,
est le pole domimmt de F(p).
Quand peut-on dire que le pole est dominant? Tout depend
~> 1,5
~>1.7 (t,
> 8 't2)
=
t ,- 6{
m.
t,
=3r
1
de~
.L'experience montre que:
F(p):
K
l + 2( p
m.
l
I I I I
F (p)=-~-K l + r,p
Des que ~ > 1,5, le temps de reponse evolue lineairement: Ia reponse indicielle est quasiment celle d'un premier ordre, mais !'influence de Ia plus grande constante de temps n'est pas encore decelable. A partir de~= 1,7, !'influence de Ia plus grande constante de temps est preponderante.
Figure 6.4 - Position des 3 poles reels • si 'to> 't 1 alors p0 est le plus proche de l'origine: c'est ['element du premier ordre qui est dominant, • inversement, si
t 2 >'to
c'est le deuxieme ordre qui est dominant.
~ 6. SYSTEMF.S CONTINt:S O"ORORE Ql;ELCONQl"E
114
I. Systcmcs d"orurc superieur it ucux
115
B· Systeme non decomposable 1 II suffit de placer - - par rapport a-~COn: 'fo
1 est place entre -~COn et l'origine, c'est Ie premier ordre qui est dominant, • si - 'fo
• si - 1 >
,m.,
le regime dominant est celui impose par Ie deuxieme ordre.
'fo
Figure 6. 7 • Influence du zero sur Ia riponse indicielle
Dans tousles cas de figure. I' element suppJementaire du premier ordre ralentit le systeme. s(t)
• On voit tout de suite que le systeme repond plus vite. On dit qu'il est plus "nerveux". La pente a l'origine n'est plus nulle et vaut Kt0 ffin2.
,(sans Po
• Inversement, si IZo I> Ip2 l alors ('influence du zero est negligeable.
K 'avecpo
1-32 DEVXIEME ORDRE NON DECOMPOSABLE
0
Figure 6.5 -Influence d'un pole du premier ordre
On a cette fois F(p) = Kr 0 m.
2
1-31 DEUXIEME ORDRE DECOMPOSABLE
La fonction de transfert peut se mettre sous Ia forme:
Im 2
K(1+T 0 p)
(l+r 1p)(1+r 2 p) avec
zo=--
p,
= -m.(' -~)
Kr 0 m. (p-z 0 ) (p- p,)(p- Pz)
P2 = -m.(' +~)
'fo
• Si
P1 0 · · · ·
12{) I< IPt I< IPll. Ia reponse harmonique a alors I' allure suivante:
GIL"\ ~
~\ •m
G
I Im(~)
~c.o•. ~
ol
p,o ·
.I
0
ol
, les poles etant complexes conjugues.
Si le zero est encore place pres de l'origine, c'est a dire /Zo/ < ~m., il va influer sur Ia reponse harmonique. La figure 6.8 montre qu'on augmente Ia bande passante, done le systeme est plus nerveux.
1-3 INFLUENCE D'UN ZERO
F(p)=
f
!._ Zo •\ (p- Pt) p- Pt
Re n~-
£
~<;
It (t)
Im(p,J
Figure 6.8 • Position d'un zero agrande constante de temps
Figure 6.9 ·Influence d'un zero agrande constante de temps
1-33 SYSTEME DU TROISIEME ORDRE
Le caractere du zero se retrouve sur un systeme du troisieme ordre. Plus il se rapproche de l'origine plus il est influent.
Figure 6.6 -Influence d'un zero ii grande constante de temps
On observe une resonance d'autant plus elevee que roo. pulsation de coupure due au zero, est faible devant ro,, pulsation de coupure du pole Pt· Or, une resonance en regime harmonique, c' est aussi une reponse indicielle oscillatoire amortie.
1-4 CONCLUSION En general, sur un systeme d'ordre n > 2, il existera un p()le dominant. Pour le determiner, il suffira de placer les poles les uns par rapport aux autres ; on privilegiera alors les grandes constantes de temps ou les faibles amortissements: • si on observe une grande constante de temps. le regime dominant est un premier ordre; • si on observe un faible amortissement, le regime dominant est un deuxieme ordre.
112 6. SYSTE~IES CONTI NUS D'ORDRE QUELCONQUE
116
117
2. Influence des retards
2-12 RETARD A L'OUVERTURE OU A LA FERMETURE
2- INFLUENCE DES RETARDS
Un transistor, un verin, une vanne, etc .... ne reagissent pas instantanement a une commande. Ces retards accidentels expriment en fait Ia non-instantaneite des phenomenes physiques et its sont done en contradiction avec Ia notion de lim)arite.
2-1 DEFINITION On appelle retard, ou element a retard, un element qui. lorsqu'on lui envoie sur son entree un signal e(t). donne sur sa sortie le meme signal mais decalt! d'un temps TR appele temps de retard.
2-13 CONCLUSION
Tous ces retards ne sont jamais prevus lorsqu'on con<;oit un systeme et nous verrons par Ia suite qu'ils degradent malheureusement ses performances. e(t)
Element
s(t)
a
2-2 FONCTION DE TRANSFERT D'UN ELEMENT A RETARD D'une maniere generate s(t) = e(t- TR). Done, si on applique le theoreme du retard il
Figure 6.10- Element a retard
vient S(p) = E(p ). e -T,P et Ia fonction de transfert d'un element a retard s'ecrit:
s(t) = e(t- TR)
IF(jw)! =I Le regime harmonique est donne par: { Arg[ F(jw)] = -wTR L'element a retard est done un dephaseur pur. Les lieux de transfert dans les plans de Bode et Black sont donnes figure 6.12.
RETARD DE TRANSMISSION
a) En electricite, un signal se propage le tong d'une ligne avec une vitesse finie. Le temps de propagation n'est pas nul et on a done interet a limiter les longueurs des liaisons. b) En hydraulique, pneumatique ou fluidique, le transfert d'un fluide fait aussi apparaitre un retard.
:r
'"
J•••o::: \
FLU IDE
v
..
A
I •
I
_j
B
Si P(t) designe une propriete quelconque du fluide (debit, pression, temperature, ...). on
L ou Lest Ia distance ABet VIa vitesse d'ecoulement du flu ide. mcntre que P (t) = P A (t- -)
v
Or -L est equivalent a un temps done Ps (t)
v
= PA (t- TR).
I
•
\
Figure 6.11- Mise en evidence d'un retard
8
i
S(p) - e-r,P F(p) = E(p)-
ou bien s(t + TR) = e(t) Les retards sont tres nombreux dans le domaine technologique. Hormis les systemes ou il est dans leur principe de retarder une information (temporisateur, monostable, ligne a retard, etc ... ). on trouve les retards partout ou !'on aimerait les voir inexistants: its se rencontrent en particulier lorsqu'on veut transmettre un signal ou torsqu'on veut faire changer d'etat un systeme. 2-11
'l
t
Retard
On ecrit:
'I
lio
w
'
+G -2lt
-lt
1
---~-----..J-
TR
Bode
R
Black
Figure 6.12- Lieu de transfert d'un element a retard Dans le plan de Nyquist. le lieu de transfert est un cercle de rayon 1 centre a l'origine.
2-3 PRESENCE D'UN RETARD DANS UN PROCESSUS On montre que les retards accidentels, inherents a un processus de fonction de transfert F(p), peuvent etre rassembles en un retard unique TR. Le schema fonctionnel du processus devient alors:
~.
tl
1 118
6.
~L__j
SYSTE~IES CO~TI~l"S
D"ORORE Qt:ELCONQl"E
L2iP.l
.-TRp
2. Influence des retards
119
II existe d'autres approximations, notamment celle de Pade qui remarque que:
~~
.!Lp T e-r,P = e 2 1- p~ - -r,-= __2. eTP l+pTR
Figure 6.13- Processus avec retard
2
La fonction de transfert du processus s'ecrit S(p) = e·pT, F(p). Le lieu de transfert en
E(p)
si on s'arrete au premier ordre.
boucle ouverte est le lieu des points d'affixe: Tra9ons en effet Ia reponse harmonique de cette approximation dans le plan de Bode (figure 6.13). On remarque en effet que:
S(jw)l =Je-i"'T•J.JF(jw)j = jF(jw)j
E(jw)
. TR 1- j ( / ) -
l'
Arg[ F(jw) ]- WTR
T2,
G=/ •
Le gain reste done le meme, mais le dephasage devient plus negatif (figure 6.14). Le point correpondant a w =0 reste fixe; tous les autres sont translates de wT • vers les phases negatives. Dans le plan de Black, on a !'impression que le lieu de transfert subit une rotation autour du point w=O.
G ro=O
0
R
l+;w2
I
I
-~;==~..!4·
I
g 4
_
1- jw TR -letArg~ . -~ = -2Arctg wTR 1+ }(/)~ 2
2
2
L'approximation est tres correcte si (I)<- .
I . I
II
I
TR
I
G.l~ zrr R: .
t "'
/
avec retard
'l.. .
/ 0·.
~~~------~------_.
0
/
"'
-lfl
6. -lt
Figure 6.14- Influence d'un retard sur le lieu de transfert Figure 6.13- Approximation de Padi
2-4 LINEARISA TION D'UN RETARD
Si maintenant on s'arrete au second, on obtient:
Le terme e-r,p est non lineaire et il est parfois indispensable d'obtenir une bonne approximation de ce retard par un terme lineaire. Pour cela, nous allons lineariser le retard en utilisan! le developpement limite de e-r,r: e
-T
•P
T}
2
Til'
1
= 1-TRp+-p - - p · +.... 21
3!
l
-TP
e •
TR T, 2 -p-+p2 R 2 4 2 l+pTR 2 + p T/ -4
=
L'approximation est certainement meilleure mais aussi plus difficile a mettre en oeuvre.
Si on s'arrt!te au premier ordre, on obtient: 1
e -T,p = - 1-TRp: I+TR p c'est a dire que le retard pourrait etre linearise par une fonction de transfert du premier ordre. En fait, !'approximation n'est pas tres bonne. II suffit de comparer les lieux de transfert respectifs du retard et du premier ordre pour s'en convaincre.
J
120
6. SYSTEMES CONTINUS D"ORDRE QlJELCONQl"E
E
121
EXERCICES 1
-201ogji+(~J
I
6.t
I Des essais harmoniques d'un systeme lineaire inconnu ont donne les resultats suivants: (I)
0,01
0,1
0,3
1
3
5
10
20
30
100
40
20
10,5
0
-10
-15
-23,5
-35
-43
-73
-90
-91
-92
-98
-113
-128
-157
-192
G(jw) ~)_
--
-212 -
~-
On obtient
=-2.
m2 =26rd I s et dans ces conditions Ia fonction de transfert s' ecrit: I
G(p)
= p(!+O,Ip)(!+0,04p)
,- 6:fJ
-263 --
IDonner !'expression mathematiques de G(p)
1
Soit le systeme de fonction de transfert T(p) =
(I+ p)(l + O,lp) -{)Qo-
I) Tracer Ia reponse harrnonique de ce systeme dans le plan de Bode. 2) Quelle est Ia pulsation de coupure a 3dB.
On constate que cl>--+ -270° lorsque m--+ oo, done le systeme est du troisieme ordre. D'autre part, on voit egalement que cl> = -90° et G--+ oo lorsque ro =0: c'est Ia caracteristique d'un integrateur. La fonction de transfert du systeme est done de Ia fonne:
G(p) =
I p(
3) Montrer que du point de vue bande passante, ce systeme se comporte comme un systeme du premier ordre de contante de temps Is. 4) Calculer le coefficient d'amortissement t;.
K _e_)(l+_e_)
+ (1)1
5) Calculer et tracer Ia reponse s(t) de ce systeme a un echelon-unite.
(I)l
6) Montrer que, sauf au voisinage de l'origine, s(t) rejoint tres rapidement Ia courbe que !'on obtiendrait avec un systeme du premier ordre de constante de temps Is.
Pour les faibles pulsations, le gain chute regulierement de 20dB par decade et vaut 0 pour ro = I, ce qui implique que les pulsations de coupure ro 1 et ffiJ soient superieures a I et que K =I. Sur le tableau de l'enonce, on va done eliminer !'influence de l'integrateur; it ne restera plus qu'a determiner les deux pulsations ro 1 et ffiJ. (I)
0,01
0,1
G'
0
0
•
0
-I
I
3
0
0
-0,5
-2
-8
-23
0.3
10
20
30
100
-I
-3.5
-9
-13,5
-33
-38
-67
-102
5
-
7) Que peut-on en conclure sur le temps de reponse des deux systemes?
-oOo-I)
-122 -173 -
-
1
Le gain valant -I pour ro = 5, cela correspond a Ia chute de gain observable pour une pulsation egale a Ia moitie de Ia pulsation de coupure (cf systeme du premier ordre, chapitre 4); done ffi1 = IOrd/s. On <'limine de nouveau !'influence de ce premier ordre dans le tableau precedent; il reste:
~~
{0
O.ot
0,1
0,3
I
3
5
10
20
30
100
G'
0
0
0
0
0
0
-0,5
-2
-3,5
-13
'
0
0
0
-2
-6
-II
-22
-39
-50
-89
L ·observation de ce tableau montre que Ia pulsation de coupure ffi:! se situe entre 20 et 30rd/s. Pour W= 20r.i,;, on a une chute de 2dB, ce qui peut encore s'ecrire sous Ia forme:
"f
_
-,
~
JI
II0
50I I 00 I
... (I)
·20
-40
2) On constate tout de suite que Ia pulsation de coupure est ffic = I rd/s. 3) Cette pulsation qui correspond
T'(p)=~.
a
celle du premier ordre de fonction
de~
transfert
(l+ p) 4)Le denominateur de T(p) s'ecrit: I+ l,lp + O,lp 2 et
'=
1,74.
= I+ 2 ' (I)"
p
+4; (I) n
II vient
m.
= Mrd Is
ll 122
Exercices
6. SYSTEMES CONTI!'iUS D"ORDRE Qt:ELCO:>OQUE
5) Le paragraphe 1-33 nous donne Ia forme de Ia reponse indicielle lorsque
s(t) =
1
r
1---~-e
--
r
~
123 On prend successivement to= 0,02s, to= 0,2s et 1:0 =2s. Montrer, en utilisant Ia reponse dans le plan de Bode, que seule Ia demiere valeur a de I' influence sur Ia reponse du systeme.
> I:
I
--
r,t +--2-e r,' ]
rl -r2
rl -r2
---oOo---
La comparaison des deux reponses est edifiante: a partir de t= 2s, soit deux fois Ia constante de temps du premier ordre, les deux reponses sont confondues.
1
On va placer Ia valeur
w0 =To
sur I' axe des co de Ia reponse du deuxierne ordre. On constate tout
de suite que:
=
a) si to= 0,02s, alors ~ 50rd!s; cette valeur se trouve loin du pole dominant et n'a aucune influence; Ia bande passante reste Ia meme; b) si
1:0
= 0,2s alors ~ = 5rd!s; Ia reponse harmonique dans le plan de Bode a I' allure suivante:
·..-:---- Seco:nd ordre U!
~...
.
1
sp 1o,o .. co
,v
1
.,.t ~~---;----,-2--33___44--(sec) 6) Dans les deux cas, les temps de reponse sont les memes. C' est ce que nous avons an nonce dans le paragraphe 1-21: le regime dominant est celui d'un premier ordre.
L'influence du zero se fait sentir vers les moyennes frequences, mais n'a pas d'influence sur les basses: Ia bande passante ne change pas;
[-63]
c) si to= 2s, alors ~ = 0,5rd/s; Ia reponse harmonique dans le plan de Bode a !'allure suivante: Trouver les regimes dominants des systemes decrits par les fonctions de transfert suivantes, ainsi que les temps de n!ponse:
a)F(,p) =
K
K
, ; b) F(p) = , (1 + 8p)(I + l,lp + O,Jp-) (I+ O,lp)(l + 0,28p + 0,04p-)
i
'"f
t
1v
'"'-
..1
v
1
1
v 1v ~ (I)
II
-QQo-
a) Le trinome du second degre ad met deux racines reelles: pI = -I et p2 = -10, alors que le premier ordre a un pole ega! a -0,125. C'est done celui-ci qui est le plus proche de l'origine, c'est aussi Ia con stante de temps Ia plus elevee. Le regime dominant est celui du premier ordre et t, = 24s. b) Le trinome du second degre n'admettant pas de racines reelles, on identifie co.= 5rd!s et t; = 0,7. On voit tout de suite que l;.w. < 110,1 done le regime dominant est le second ordre et dans ces conditions t, # 0,6s.
[-6:4-] On rep rend Ia fonction de transfert de I' exercice 6.2, mais on lui ajoute maintenant un zero dont on va chercher ii evaluer I' influence:
La pulsation de coupure est cette fois W c
f
6_s
::
26.5rd Is.
I
I
On considere le systeme de convoyage de produit pulverulent donne a Ia figure suivante. Le produit stocke dans une tremie est evacue sur un convoyeur se depla<;:ant a Ia vitesse v. Un capteur de debit permet de delivrer une tension Um proportionnelle au debit massique Q.
!+ToP T(p)= (l+p)(l+O,lp)
..,, •• ··11
(1 111~11~11•11••••••11111
J
124
6. SYSTE:\-IES CONTINUS D"ORDRE QUELCONQUE
Exercices
125
Q,(t)
dx = pdV- =plh= plhv
dt
dt
ou v represente Ia vitesse du con voyeur.
u Actionneur +--
Au niveau du capteur de pesee, nous pouvons ecrire que c'est le meme debit mais retarde d'un
d
temps
T =-, done le debit au niveau du capteur s' ecrit: Q(t) = Q, (t- T). On en deduit: v
Q(p) = plve-Tp H(p) D'ou K
21CN
= p.l--R =2094kg Is I met T = 14,3s. 60
3)
Ce capteur est compose de deux capteurs (un capteur de vitesse et un capteur de pesee) ainsi qu'un circuit de calcul. Le capteur de pesee donne instantanement Ia masse du produit par unite de longueur du convoyeur. Cette masse est transforrnee en debit massique par l'intermediaire du circuit de calcul qui re~oit Ia valeur de Ia vitesse de rotation du moteur. Enfin, une tension u cornmande l'actionneur qui perrnet de regler directement Ia hauteur h du volet de Ia tremie, done le debit. Les donnees sont les suivantes:
u
h•
L'actionneur delivre une tension proportionneUe au done a= 10-2 miV et
H(p) = U(p)
0,1
!
w-2 miV
+ convoyeur 1=0,8m 0 largeur 0 rayon des rouleaux d'entrainement R=O,l m d= 15m 0 distance volet - galet peseur N = 100 tr/mn 0 vitesse du moteur
+ produit 0< h <0.1 m p = 2,5 T/m3
0 hauteur de produit 0 masse volumique • capteur de debit 0 gain + commande de l'actionneur
11 =0,5 Vlk.gls 0:5u:510V
I Soit Q le debit massique du produit au niveau du galet peseur. Montrer que Ia fonction de transfer! Q(p )IH(p) peut se mettre so us Ia forme: 0
)
Q(p) = Ke-T'' H(p) Calculer numeriquement K et T. 2°) L'actionneur est de type proportionnel: h =a.u. En admettant que les echelles u et h se correspondent, determiner a. · 3°) Tracer le schema fonctionnel de !'installation et en deduire sa fonction de transfer!.
--oOo-I) On considere un element de volume dV a Ia sortie de Ia tremie sur le con voyeur. Cet element de volume a pour expression lhdx. Done le debit massique a !'entree du con voyeur s'ecrit
10 Enfin, Ia tension
Um
delivree par le capteur de debit est
Um(p) 0 n en de'd ut"t - = 10,5e -14.3p . U(p)
um
= f1Q done
u
m (p) = 0,5\1 I kg Is. Q(p) .
~ I CHAPITRE7
INTRODUCTION AUX SYSTEMES ECHANTILLONNES
1- SIGNAL ECHANTILLONNE 1-1 DEFINITIONS Un signal est dit echantillonne s'il n'est transmis qul des instants privilegies appeles instants d'echantillonnage. Le plus souvent, l'echantillonnage est effectue ces instants est appele periode d'echantillonnage.
a des instants equidistants : l'espace entre ·
On appelle echantillonneur l'organe effectuant le pn!levement des echantillons. II est represente de Ia maniere suivante :
T * ~_;___JJ!)_ Figure 7.1- Schimafonctionnel d'un ichantillonneur
1-2 ECHANTILLONNEUR IDEAL L'echantillonneur ideal effectue son prelevement de maniere instantanee. Dans ces conditions, l'echantillonnage de f(t) peut etre modelise par : f
* (t) = f(t).p(t)
ou p(t) est Ia fonction peigne de Dirac.
p(tl[
Ill I. I .
01
T
2T
3T
Un peigne est une suite d'impulsions de Dirac definie comme suit :
p(r) = fo(r- kT)
4T
k=--
Figure 7.2 - Peigne de Dirac Dans ces conditions :
.....
t *U>
.....
=tu>.l.oU-kT) =It
-a.~- .. :
. . ._.,.'1"1,,'11'Ti'Mia--lll
)
7. INTROOl:CTION Al'X SYSTEMES ECHANTILLONNES
128 f* (t)
I. Signal echantillonne
129
passe comme si f*(t) etait une suite d'impulsions de largeur At mais d'amplitude j(kT), done
, Ill I r rl.. T
f*(t).
-.;
leT
3T
2T
.it
d'aire f(kT).
Figure 7.3 - Signal echantillonne ideal ur
Comme f(t) est causale ak•rs:
T
2T
~··Jr n··~ 3T
~~__,_..___..._..__..,..lc-:!:T..._.,.
t
Figure 7.5- Signal ichantillonne riel
f *(t)::t Lf(kT).8(t-kT) t = o'
1-4 TRANSFORMEE DE LAPLACE D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE REEL Remarque : f* n'est pas un signal electrique. II n'est done pas visualisable materiellement. Pour s'en convaincre, il suffit de se rappeler qu'une impulsion de Dirac est Ia limite d'une impulsion de hauteur
.!. avec 't ---+ 0, 't etant un temps. La dimension de oest done !'inverse d'un temps
1-41
TRANSFORMEE DE LAPLACE D'UNE IMPULSION A L'ORIGINE
Soit une impulsion
't
(unite : s·l ). Comme f*(t) = f(t).p(t), si fest une tension (unite : v) alors f* a pour dimension le V.s-1.
f 0(1)
~
Le schema de base d'un echantillonneur est donne figure 7.4:
~
,-[>.:~~
L... I
-
7 1
6
Horloge
+
avec
II ~~)
L
II vient alors:
f
.
o(t)
.
A
=-u(t) .it
A
o(t)=--u(t-.it) .it
fo(t) est en effet Ia somme de deux echelons decales de At.
Figure 7.6- Decomposition d'une impulsion
J.....c
f 0 (t) = ~[u(t)- u(t- .it)] dont on calcule Ia transformee de Laplace, soit
.it e-pAJ] F0 (p) = - - - - - ou encore: .it p p
:
~
A[l
Figure 7.4 - Echantillonneur riel
A
Fo(P) =-(1-e-pAJ)
Les signaux f(t) et f*(t) sont isoles par les impedances infinies des deux suiveurs. Le temps d'acquisition est .it= R 0 n.C oil Ron est Ia resistance drain-source en conduction du transistor MOS (elle est en fait en parallele sur !'impedance de sortie du premier suiveur quasiment nulle). Dans ces conditions le signal echantillonne aura !'allure donnee figure 7.5. Comme l'aire 1 d'une impulsion unite de duree .it vaut toujours \,son amplitude vaut - . .it L'echantillonneur reel foumit done un signal f*(t) tel que
et
~ f'JJ.(t)
&
----r--
f
o·~
-~
~I
fo(t) = /o(t)+ f"o (t)
.. fo(tl
t.t
1-3 ECHANTILLONNAGE REEL
a l'origine d'aire A et de largeur At. Nous pouvons ecrire que :
f * (t) = p 6 ,. f
p.it
I
1-42 CAS D'UNE IMPULSION DECALEE DE T
f 1(1) •
~
f' J( I)
llt
(t) oil le signal
l pAJ(t) esi un peigne d'impulsions d'aire unite mais de largeur At done !'amplitude - . Tout se .it
~o
At
f"1 (I)
t.t Figure 7.7 -Impulsion dicalee
• _..-A--·--·
7.1:-ITRODl'CTION
130
.u·x SYSTDit:S ~:CHANTIU.ONNK~
avec et
Dans ces conditions:
F1(p) = _j_ tlt
[e
-rp
e -
--- - - -
p
131
J,(t)=j,(t)+f.,(t)
Par analogie avec !'impulsion precedente. nous pouvons ecrire que:
A
I. Signal echantillonne
. A, f ,(t)=-u(t-T) tlt . A, f ,(r)=-u(t-T-tlt) tlt
Pru(t)= Po+
r
n =I
I LT ...::....
avec
a - 2 fr I
• - T Jo
flt cosnQtdt
? b =.:::.. " T
iT -sinnQtdt I 0
flt
0.= 2n T
Admettons pour simplifier, que ces impulsions soient centrees autour de kT, Ia fonction P.:lt(t) est alors paire et bn = 0, il vient:
so it encore :
p Po
F.(p) = ~e-rp(1-e-pAJ) I pflt
I.. a. cosnilt+b. sinnQr
1
2 ~ dt 1 -f1t - T
=T Jof2
et done pAJ(t) =Po+
I!
II
41~1 2. flt 2 -cosnQtdt = --smnnT o !!.t nJC!lJ T
a =-
•
I.. a. cosnO.t. Le signal echantillonne s'ecrit: n=l
1-43 TRANSFORMEE DE LAPLACE DU SIGNAL ECHANTILLONNEE REEL
Le signal est constitue d'impulsions d'aire f(kT) et de largeur llt, decah!es les unes par rapport aux autres de T, done: f*(t)
=fo(tl + r1(t) + ...........+ fk(tl +... .
!* (t) = f(t). pAJ(t) = Scos OJof. pAJ(t)=Sp0 cosoJof + I..a.S cosw0 tcosnD.t n=l
I ou encore f * (t) = Sp0 cos W 0 t+- L a.s( cos( nil+ W 0 )t+ cos(nQ- W 0 )t] 2 •=I
La transformee de Laplace etant lineaire, nous pouvons ecrire : On obtient done un spectre constitue par : F*(p) = Fo(p) + F 1(p) + ........... + Fk(P) +... . so it
s + une composante de pulsation roo et d'amplitude p0S = -, T
F* (p) = f(O) (1-e·pAJ) + j(T) e-rp(1- e-pru )+ .... + f(kT) e-
• deux composantes situees de part et d'autre de Ia pulsation Q, de pulsations respectives ,... , . I S S . tlt n-roo et u+roo et d amplitude -a, =--sm l f 2 n!lt T
1-e·pAJ[ ~ ] ou encore F*(p)=--- j(O)+ j(T)e- •+ .... +f(kT)e-u"+ ... pflt
+ deux composantes situees de part et d'autre de Ia pulsation 20, de pulsations · ,... ,... , I S S . !!.t respectlves 2.. + ro et 2.. - ro et d amplitude -a, =--sm 2 Jr-. 2 2nflt T + etc .....
et en fin:
I -pAl F*(p)=....::.!!__ Lf(kT)e·kTp pflt k = 0
(I)
On constate que Ia transformee de Laplace du signal echantillonne reel depend de Ia nature de l'echantillonneur a cause du terme e·pllt (ce terme correspond a un retard pur) ainsi que de Ia frequence d'echamillonnage Fe = ..!._. T
A
iI
.
I '·}o
1-5 CHOIX DE LA FREQUENCE D'ECHANTILLONNAGE Lorsqu'on echantillonne un signal f(t), on ne connalt que les valeurs f(kT). Une question se pose : dans queUes conditions peut-on considerer que toute !'information contenue dans f(t) est aussi contenue dans f*(t) ? Ou en d'autres termes, peut on reconstituer le signal f(t) a partir de f*(t) pour n'importe quelle valeur de Ia periode d'echantillonnage T? Il,parait evident que si on a beaucoup d'echantillons, on pourra facilement reconstituer f(t). Par contre, Ia frequence d'echantillonnage n'etant pas infinie, il va etre difficile de reconstituer des signaux de tres hautes frequences. Pour repondre aces questions, on va etudier le spectre de f*(t) pour un signal f(t) = S cosro0 t echantillonne par P.:lt(t). Cette fonction peigne peut se decomposer en series de Fourier:
I 2n'
n
"
~
O+
2n-%
~
30.
I
3~ 3~
I 4n , ru ~
il
4!l+wo
Figure 7.8- Decomposition spectrale de Scosw0 t echantillonne Le spectre de f(t), qui se reduit a une composante de pulsation roo et d'amplitude S. se retrouve done dans le spectre de f*(t) en premiere composante, puis est repete autour de toutes les pulsations nQ. Pour reconstituer f(t), il ne faut done conserver que Ia composante de pulsation roo et eli miner toutes les autres. On va done filtrer f*(t).
:"''1'"T'~,lrml"ml\1',1-.ml
J
.
7. IN'fROI>liCTION "tJX SYSTF.MES ECHANTILLONNES
133
I. Signal echantillonne
.,.:;
AT
Pour remedier a ce probleme on impose un filtrage passe-bas avant echantillonnage {filtre anti-repliement) qui va limiter le spectre a Ia valeur fo desiree. Ensuite on appliquera Ia condition Fe>2fo.; Cette condition constitue le theoreme de Shannon:
G abarit du filtre ....L..L..L..-L
v
f(t)
Filtre Passe-Bas
~
J rooI
I
I I
,..ro
Figure 7.9- Filtrage de j*(t) Mais cette operation n'est realisable, et on le voit sur Ia figure 7.9, que si 0>0 < Q- 0> 0 • soit 2a> < Q, ou encore si Fe est Ia frequence d'echantillonnage: 0
Lorsqu'on echantillonne un signal continu, on ne perd pas d'infonnation si la fn!quence d'echantillonnage est superieure au double de la plus haute frequence contenue dan~ le spectre de ce signal. Le theoreme de Shannon fournit une limite theorique. En pratique, on se rend compte que c'est insuffisant (cffigure 7.12).
-
F, > 2/0
~
On peut etendre cette demonstration pour un signal f(t) quelconque. On montre que le spectre d'un signal f(t) quelconque est borne (cf Transformee de Fourier) et dans ces conditions, le spectre du signal echantillonne f*(t) va etre constirue du spectre elementaire repete de part et
0
I· • . \
~----~---v
d'autre des harmoniques de 0 (figure 7.10).
A
I
0
.. f
~ . . I
rr1
Fe=4 f0
Fe= 8 fo
/~
]J\ F) ~ J.J' )\ ,' l. ' f,
II
. . . .
(\
\J
v
G)
Figure 7.10- Spectres de a) f(t) quelconque b) j*(t)
A
0
~I
IV iV
Figure 7.11 Effets de repliement
Fe"' 2 f 0
Fe"' 3 f 0
Le spectre de f*(t) est done une somme infinie de spectres eh!mentaires decales de nO. Mais si Ia condition de filtrage Fe> 2fo n'est pas respectee, il vase produire des repliements c'est a dire que certaines frequences vont se chevaucher (figure 7 .II).
Figure 7.12- Mise en evidence de Ia limite basse de Fe Fe condition:
=4
f0 ne donne pas vraiment de resultats satisfaisants. En pratique, on adopte Ia
1
5fo < - -==
T
F. < 25 fo
\
l
~ 134
7. I:>;TRODI:CTIO:>; AUX SYSTOlES ECHA:>;TILLO:>;l';ES
I. Signal echantiiJc,nnc
135
1·6 MODELISATION DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE
1·71 FONCTION DE TR-\NSFERT DU BLOQUEUR D'ORDRE 0 (BOZ) On envoie
Le choix de Ia periode d'echantillonnage realise, il est important de verifier que I'echantillonneur utilise ait un temps d'acquisition .1t faible deva~t T. Les systemes rapides actuels Ie permettent. Si cette condition est realisee alors .1t << T. 11 '
Dans ces conditions, Ia relation (I) F
1-e-P
* (p) =- - -
:1_
-
L
f(kT) e·*TP peut etre
F*(p)
= Lf(kT)e·
(2)
e(t) E(p)
l'l
~)
BOZ
S(p)
I
0
pAt k = 0 simplifiee. En effet e -tJ.p #1- dt. p si on s'arrete au I er ordre, et 1- e-pt.J # 1-1 + p.1t = pdt. De ce fait:
a !'entree du BOZ une impulsion d'aire unite: I
I
0
T-
_jr
Figure 7.15 • Reponse impulsionnelle du BOZ Or, on sait que Ia reponse impulsionnelle d'un systeme est Ia fonction de transfert de celuici. Si B 0 (p) est Ia fonction de transfert du BOZ, alors:
k = 0
On retrouve Ie cas d'un signal echantillonne ideal.
S(p)=B0 (p) Utilisons le resultat du paragraphe 1-41, il vient:
1-7 RECONSTITUTION D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE
s(t) On ne peut pas attaquer directement un systeme Iineaire continu par un signal echantillonne. En effet celui-ci "filtrerait" Ies impulsions, c'est dire qu'il semblerait attaque par Ia valeur moyenne, tres faible, du train d'impulsions. Statistiquement cette valeur moyenne reste constante, done Ia sortie restera!t constante, alors que visiblement Ie signal echantillonne evolue. Pour attaquer Ie systeme Iineaire, on va done "reconstituer" Ie signal continu partir du signal echantillonne, done on va filtrer celui-ci. Toutefois on ne doit garder que Ie spectre elementaire et eli miner tous ceux qui sont dus a I'echantillonnage. Or Ia demiere frequence du spectre elementaire est f0 • qu'il faut garder. II faudra done construire un filtre qui attenue suffisamment Ies fn!quences f> f0 _(Figure 7.13).
=u(t)- u(t- T), done S(p) =.!..(1- e·Tp) soit encore: p
a
a
A
j
En regime harmonique, on a:
G abarit du filtre
I~
1;
r
1 ; , /\ F
-'ilL! f
o
~ ~
1
I .
O!
1-72. REPONSE EN FREQUENCE DU BOZ
Fe-f 0
e
I \ I •
, r\ 2F
Fe+fo
!
I
3F
e
i
I
I
I o
T
i
f B( t)
T . . . T 2JSIO(JJ.,.,_ 2 2
jw
= Te
. T .,.,_
. ID WTS 2
2 ---
wT
2
jB, (Jw~ = T
wi ,
SID-
done:
+ si w -? 0 alors sin wT # wT et B0 (Jw) 2 2
-?
T,
r
r--------: L'allure de Ia reponse en frequence est donnee figure 7.16.
,_
,----1
t
3T
}w
=e
. wT J . 'tl 2k;r • st 2=k1r alors B0 (;w 11 =0 et W=T=kF,.
I
1
2T
[
. T -e "1"']. . TJ
1"').
2
Un filtre elementaire est couramment utilise : c'est le bloqueur d'ordre 0. II est appele amst car il maintient constante !'amplitude de chaque impulsion pendant une periode d'echantillonnage.
I I I
.,.,_2T e
. wT
Le module de B0 (jw) s'ecrit:
Figure 7.JJ Mise en evidence du gabarit dufiltre
I
I - e jwT
=--=e }w
/1 ,
e
f*(t) ..
.) B ( ;w "
4T
I
i
0
T
I
i
2T
3T
4T
.. ,
I
Figure 7.14 ·Realisation du blocage d'ordre 0
I
~
I J I ., .. , I
'
I
136
7.1NTROD!:CTION AUX SVSTEMES ECHASTILI.O!IISES
2. Systeme echantillonne
l37 IB0 (j~l
analogique, autant de temps qu'il le faudra, impose egalernent Ia presence d'un BOZ; On obtient done Ia chaine de commande suivante:
T
0
3Fe
4Fe
Figure 7.18- Processus echantillonne
Figure 7.16- Reponse enfrequence du BOZ
Sur Ia figure 7.18, u_. est Ia tension de commande numerique, u,* Ia tension de commande echantillonnee et u, Ia tension de commande analogique. En fait, le BOZ est sou vent realise par le registre de sortie du calculateur (interface parallele).
On peut superposer ce schema au spectre du signal echantillonne (figure 7.17). Le lobe central laisse passer le spectre du signal f(t) rnais aussi le residu du spectre centre sur Fe· Les autres lobes attenuent beaucoup plus ces residus; dans ces conditions, le filtrage n'est pas parfait, mais c'est largement suffisant.
2-2 FONCTION DE TRANSFERT ECHANTILLONNEE
!B0 (j~l
Considerons un systeme lineaire et continu, de fonction de transfert F(p). Celui-ci est attaque par un echantillonneur :
T T e(t) ~
~'·
E
e*(t) ,. - -
s(t)
E*(p)
S(p)
(p)
3Fe
Figure 7.19- Commande echantillonnee
4Fe
La sortie d'un systeme continu est par definition continue. Dans ces conditions :
Figure 6.17- Filtrage des harmoniques
S(p)=F(p)E*(p)
Si l'on tolere une erreur £ sur le signal reconstitue, on montre que Ia frequence d'echantillonnage doit verifier Ia relation:
F. ;::: fo
Or d'apres Ia relation (2), E
2,2
..fi ·
* (p) =
},:e(kT).e·tTp done: h =0
S(p) = Le(kT).F(p).e·trp
Par exemple, si on desire une erreur £ S I%, alors on prendra Fe~ 22 fo.
h=O
Cette expression n'est pas facile a manipuler puisqu'elle contient des terrnes en p et des terrnes en e·
2- SYSTEME ECHANTILLONNE 2-1 DEFINITIONS Un systeme est dit echantillonne si, en un maillon au moins de Ia chaine des elements le constituant, !'information n'est transmise qu'a des instants privilegies appeles instants d'echantillonnage.
<(t)
E(p)
Les systemes echantillonnes sont apparus lorsqu'on a cherche a remplace l'electronique de commande par un ordinateur. L'ere des microprocesseurs n'a fait qu'amplifier ce phenomene, Ia programmation etant beaucoup plus souple qu'une electronique figee.
~
<'(t)
I I F(p)
•(<)
E*(p)
S(p)
T ~· s*(t)
s *(p)
Fondarnentalement, le systeme que I' on desire commander par un calculateur ou tout autre systeme programmable ne change pas: il est toujours continu .. Par contre, il va etre necessaire de le faire preceder par un convertisseur numerique-analogique (CNA), organe indispensable pour transformer une valeur binaire en une valeur analogique. La necessite de maintenir cette valeur
Figure 7.20- Echantillonneur fictif
..
2. Systeme
139
e~hantillonne
7. INTRODIJCTION Al"X SYSTntF.S ECHA:>."TILLOS:'IIES
138
soit encore:
Le signal d'entn!e du processus est done le signal echantillonne:
S*(p) =(/(0)+ f(T).e-rp + f(2T).e-zrp+ .... ].[e(O)+e(T).e-Tp +e(2T).e-ZTp+ .... J
- e-hT,. = Lf(hT)
e*(t)= L,e(kT).8(t-kT) t =0
Ce signal est une suite d'impulsions d'aires e(kT). Le processus etant lineaire, le theoreme de superposition s'applique : s(t) est done Ia somme des reponses du systeme a chaque impulsion. Or on sait que Ia reponse d'un systeme a une impulsion de Dirac est sa fonction de transfert. Done pour une impulsion d'aire A :
s(t)
t =0
-
L,e(hT) e-hT, t =0
Or F* (p) = Lf(kT).e-tTp et comme E* (p) = Le(kT).e-tTp. alors il vient: ·~
=C'(F(p).A) =A.f(t)
·~ IS*(p) = F*(p).E*(p).
(3)
Dans ces conditions : s(t) =e(O). j(t)
si
O'f>t< T
s(t) = e(O). j(t) + e(T).f(t- T)
si
T'f>t<2T
s(t) = e(O).f(t) +e(T).j(t- T)+e(2T).f(t- 2T)
si
2T 'f>t <3T
Effectuons le changement de variable z = eTP, il vient: F*(p) = Lf(kT).z-• = F(z) t=O
E*(p)
=Ie(kT).z-• =E(z) t =0
si
s(t)= L,e(kT).j(t-kT)
kT'I>t<(k+I)T
et dans ces conditions :
.t=O
Aux instants d'echantillonnage, c'est a dire a t =0, T, 2T, .... , on a :
s(O) = e(O).j(O)
F(z) est Ia fonction de transfert echantillonnee du systeme Iineaire continu de fonction de transfert F(p):
s(T) = e(O).j(T)+e(T).j(O) s(2T) = e(O).f(2T)+e(T).f(T)+e(2T). f(O)
E(z)
•
T __
q
~~
etc .....
S(z)
Mais par definition S *(p) = L,s(kT).e-tTp. Nous allons developper cette expression et y F(z)
h=O
remplacer chaque terme par les relations precedentes. Le developpement donne : S
* (p) =
s(O).e 0 + s(T).e-rp + s(2T).e-zrp + ....
Remarques:
d'ou: 2 1
S*(p) =e(O).f(O) + [e(O).f(T) + e(T).f(O) ].e-rp + [e(O).f (2T) + e(T).f (T) + e(2T).f (0) ].e- r
= e(0).(!(0) + f (T).e-Tp + f(2T).e-zTp + ....] + e(T)(f(O).e-Tp + f (T).e-!Tp + .... ] + e(2T).[f (O).e- 2 Tp + ....]+ e(3T).[f (O).e->Tp +. ...)+ ....
• En disposant d'outils mathematiques plus perfonnants, on aurait pu aller beaucoup plus vite a partir de Ia relation : S(p)
Mettons en facteur les termes en e-kTp, il vient: S* (p) = e(Ol.(f(O)+ f(T).e-Tp + f(2T).e-zrp + .... ) +e(T).e-TP.[!(O)+ j(T).e_Tp
• La transfomu!e en Z est done l'outil privilegie pour trailer les fonctions de transfert echantillonnees.
+ f(2T).e-ZTp+ .... ]
+e(2T).e-zrp.[f(0)+ f(T).eJp
+ f(2T).e-!Tp+ ....]+ ....
= L,e(kT). F(p).e->Tp k =0
En effet, F(p)e·kTp est Ia transformee de Laplace du signal retarde f(t-kT). Done en revenant a l'originale : c'[S(p)] = s(t)
I
Ill~ I I
I
=Ie(kT).f(t-kT) t =0
I
I II
II
J
~
•..• .... v~~ o '""' Al!liO
liYSTIMES f.CHANTILLONNF.'I
=l,e(kT)_z-t. F(z) =F(z). l,e(kT}.z-t l =0
141
2-33 FONCTION DE TRANSFERT D'UN PROCESSUS MUNI D'UN BOZ
Prenons Ia transformee en z de cette relation, il vient : S(z)
3. Synthese d'une fontion de transfert en z
Considerons le systeme suivant:
k =0
T
~
et comme E(z) = l,e(k1)' z-t, on obtient: k =0
IS(z)
=F(z}.E(z5J
Figure 7.23 ·Processus muni de son BOZ
(4)
D'apres le paragraphe 2.32, on a :
2-3 APPLICATION
S{z)
La position de l'e'<_hantillonneur implique une grande attention pour calculer Ia fonction de transfert d'un systeme. 2-31 PREMIER CAS
• T E(z) . X t ------4Y
.
r ..
---1
. Fl(p) - --- --
1·
.
Sl(z)
••
~-1
..... J.
F2(p)
.
.
1-e·Tp
1-e-Tp
B0 ( p ) = - - et done B0 (p).F(p)=--.F(p). p p echantillonnee du processus muni de son BOZ s'ecrit: Or
La fonction
de
transfert
p
e-Tp ] [F(p)] [e-Tp ] B0 F(z)=Z [F(p) -P--PF(p) =Z -Z PF(p)
S(z)
.
F(p) · · Iement F(p) L e terme e -rp . - represente tout stmp - retard'e de T , c 'est a. d.1re retard'e d'une p p periode d'echantillonnage. Dans ces conditions et d'apres le theoreme du retard:
F2(z)
Fl(z)
= B0 F(z).E(z)
Figure 7.21 • Systemes echantillonnes en cascade
Z [ G~) .e-Tp] = z-'.Z [ G<;)]
D'apres ( 4) :
=Fj(Z).E(z) et S(z) =Fz(z).St(z) S(z} =F2(z). Fj(Z). E(z)
Sj(Z)
Soit
so it encore :
et:
V(z) = (1- z-'
fF = F;(z).J3(z)J
Le tableau 6.24 donne directement B0 F(z) pour les fonctions de transfert usuelles des premier et second ordre.
2-32 SECOND CAS
E(z) .
T
I
~~ Fl(p)
H I F2(pl
).z[~]
S(z)
1--'-----
3- SYNTHESE D'UNE FONCTION DE TRANSFERT EN Z A partir d'une fonction de transfert en z, il est toujours possible de revenir a Ia relation temporelle initiale (echantillonnee). Celle--ci est, en fait, une relation de recurrence entre les echantillons d'entree et les echantillons de sortie. Pour le montrer, nous travaillerons sur un exemple tres simple: le systeme du premier ordre.
F(z)
Figure 7.22 • Systemes continus en cascade Dans ce circuit on ne dispose plus que d'un echantillonneur, done: S(z) = F(z). E(z)avec :
3-1 MISE EN EVIDENCE DE L'EQUATION RECURRENTE
IF(z) =~(z)j
Nous savons qu'un systeme du premier ordre est regi par une equation differentielle de Ia forme r ds
dt
_J__
+ s = Ke ou 'test Ia constante de temps et K le gain statique.
~ 142
7.
I~TRODCCTION
At;X SYSTE:\IF.S ECHA:\'TILLO:\':\'ES
Pour trans poser celle equation en numerique, nous reprendrons Ia definition mathematique de Ia derivee :
ds s(t)-s(t-t.l) - = dt tJ.t
A. Ol
1orsque
143
. d·r~. II d . I [s(t)-s(t-T)] + s() · L "equation t ,erentJe e ev1ent a ors : r I = Ke () t so11:
T
-t 0
s(t)[l
En pratique, tJ.t represente le plus petit intervalle de temps que !'on puisse considerer sur Ia fonction s. Dans le cas d'un signal echantillonne, ce plus petit intervalle est Ia periode d'echantillonnage T. Dans ces conditions, Ia derivee peut s'ecrire:
ds dt
3. Synthese d"une fontion de transfer! en Z
I
Posons a = - - = constante et b=
1+_: T
s(t)- s(t- T) s'ecrit alors:
T
+f]-
s(t- T)
= Ke(t)
_!!__ = constante, 1+_: T
!'equation differentielle numerisee
s(t)- a. s(t- T) = b.e(t) BoF(z)
F(p)
Chacun des signaux s et e etant echantillonne avec un pas d'echantillonnage T, !'equation
(5) devient :
T
1-e--. 1-~ K--r =K-z-e ' z-~
__!!_ l+rp
2
z0 =e'
avec
e-r,.p
KI+-rp -
et
T' =nT
Kl-z. --.z -• z-z.
{7; = (1- m)T
et
O
=e
Zo K
z-z.
{l+r,p)(l+r,p)
JI+~.(-...!_.~+_!_.~J]
"l
r,-r,
r,
z-a,
r,
z-a
T
avec
a,
7
e '•
2
T
et
a2
=e
''
'(z-z,)(z-z, *)
{Z.-
K
, +2(p+i!, 1
w "
n
=pei•
.8 z,*=pe-'
wavec
t=O
s(kT).O(t-kT)- a.s(kT- T)l{t-(k -l)T] = b.e(kT)O(t- kT) Pour alleger l'ecriture, appelons Sk le kieme echantillon. Celui-ci s'ecrit s* !'equation precedente devient alors:
=s(kT). 8(1- kT), et
fS* -a.s,_, =b.e.J On remarque tout de suite que le kieme echantillon de Ia sortie depend du kieme echantillon d'entree mais aussi de k - I ieme echantillon de Ia sortie. On observe done l'effet de memoire qui caracterise les systemes dynamiques. Cette equation recurrente peut etre traduite tres facilement en un algorithme adaptable une machine programmable.
z-z.
KK
k=O
1-z.'"
K, = K(l-z.'")
K
-
Supprimons les signes I pour travailler sur le kieme echantillon uniquement:
~(1-z. ) a=-"-'---"'--'-
avec
-
' m-1
_, z-a ,.z . - -
s*(t) - a.s*(t- T) = b.e*(t) ou encore:
_L[s(kt). 8(t-kT) -a.s(kT- T).l{t -(k -l)T]j = b _Le(kT). 8(t -kT).
Zo =e 2'
avec
T
e-r,, K-l+rp
(5)
[
a
3-2 EXPRESSION DE LA FONCTION DE TRANSFERT
et
p =e.,.,,r r;--;:;2 8=Tw.v1-(
Partant de !'equation de recurrence, il est tres facile d'arriver a Ia fonction de transfert en z. II suffit simplement de remarquer qu'a : • sk correspond Ia trandormee S(z)
K,
= 1-p
~
=- p' + {
' ~I-'' sin8+cos8 ]
tr···· _,,.] K,
Figure 7.24- Transformies en z des processus usuels munis d'un BOZ
• Sk-I correspond Ia transformee z-l.s(z) car cette notation indique que l'echantillon est en retard d'une periode d'echantillonnage. Done pour le premier ordre precedent, nous pouvons ecrire que : S(z)- a.z-'.S(z) =b.£(::.)
I I
I
~
111/l
144
E.x.crcices
7.ISTRODUC110N AUX SYSTEMES ECHANTILLON:-iES
145 so it encore:
a !'entree d ce systeme soit
2) On envoie un echelon
b
S(z)
E(z) = ~ et done
z-l
ew=~ z(0,6z- 0,43)
S (z) = K-(z---,)-::-2-(z---0-,5) .
3-3 CAS D'UN SYSTEME QUELCONQUE
On va 6'crire s(z) sous Ia forme S(z) = s(O) + s(I)z- 1 + s(2)z- 2 + ... oil Ies s(i) representent Ies echantillons de Ia reponse a un echelon. On peut, pour cela. effectuer Ia division polynomiale (cf paragraphe 3-31 du chapitre 2).
Si l'on dispose de Ia fonction de transfert F(z) d'un systeme, alors pour retrouver !'equation recurrente, il suffira d'agir seton I'algorithme suivant:
1 - Mettre F(z) sous Ia forme d'un rapport de deux polyn6mes en z-k.
1
On trouve facilement: S(z) = 0,6Kz- + 1,07Kz- 2 + !,475Kz- 3 + 1,848Kz-4, d'ou:
2 - En deduire Ia relation qui lie S(z) aE(z).
3 - Exprimer Ia relation de recurrence sachant que multiplier par z-1 revient
s(O) = 0 ; s(l) = 0,6K ; s(2) = !,07K ; s(3) = l.475K ; s(4) = 1,848K
a retarder
d'une periode d'echantillonnage. Application :
EXERCICES
z(z-1) . . - - - - ; donner I algonthme Un systeme est decrit par Ia fonction de transfert F(z) z2 -z+2 de calcul permettant de connaitre I' evolution de Ia sortie de ce processus. b-.
r
1
1.1
1 - On peut ecrire que :
Un commutateur analogique decoupe au rythme d'une horloge h(t) le signal e(t) = Ecoswt.
z2- z F(z)= 2_z+2 2
z2 (1-z- 1 )
z2 (1- ::·1 + 2z-2 )
1 -z
-1
l-z- 1 +2z-2
h(t)
2- Comme F(z) = S(z) , il vient S(z)(l- z- 1 + 2z- 2) = E(z)(l- z- 1 ) soit: E(z)
I
S(z)- z- .S(z) + 2z- 2. S(z) = E(z)- z- 1 • E(z) 1
~
-~~•aT i
lr 1
I ·' I
s. -sk-I + s,_ 2 = E,- Ek-1
'
T
*
f
l) Repn!senter e (t) lorsque
Conclusion : a tout instant kT. l'etat de Ia sortie ne depend que:
~
I
1
I
o'
3 - On passe alors aux echantillons :
_______...,.
t
2T I = 10kHz . =w - = I kHz et F =-
T
2Jr
2) Montrer que e*(t) s'exprime de fa<;:on simple en fonction de h(t) et de e(t). 3) Decomposer h(t) en serie de Fourier. Exprimer les coefficients de Ia serie en fonction
• de l'etat de !'entree au meme instant,
de a.
+ de l'etat Je !'entree et de Ia sortie a!'instant d'echantillonnage precedent, • de l'etat de Ia sortie
t
4) En deduire !'expression de e*(t) et representer son spectre pour a= 0.1.
a !'instant (k - 2)T.
Dans Ia me~ure ou un calculateur peut memoriser ces valeurs, Ia relation de recurrence ou algorithme est tres facile a programmer.
--oOo--
e*(t)~
/ r--1\
I i
I
i
v
•
o· 0.1
/1 hi'\ I
1\
\
I
\,
.-
~·
r,.
\
\j \ ,__
'tm;)
146
7.1NTROOCCTION AIJX SYSTDIES ECHA:'ES
2) On a e * (t)
=h(t). E cos(J)t
Exerci..:es
147
[ICJ
3) La fonction h(t) est paire done
h(t) = ho +
-
2
~ 2
Lh. cosnQt avec Q = 21CF. ho =-T fo
dt =a
Soit le systeme lineaire continu de fonction de transfert F(p)
=I
4 ~ 2 et h =- f 2 cosn!ltdt = -sinna1C. n
TJo
I • p +4p+3
=- 2 -
I) Calculer sa transformee en z equivalente si Ia periode d'echantillonnage est T = 0.1 s.
n1C
2) En deduire l'algorithme de calcul correspondant.
4) Dans ces conditions:
-
e*(t) =hoEcos(JJt+ Lh.Ecos(JJtcosn!lt n=l
I) F(p) est decomposable en F(p) = 0 J_l___l_]. La transformee en z equivalente s'ecrit
- E Lh. -[cos(nQ + m)t + cos(nQ- m)t] 2
=hoE cos(JJt +
1p+l
n=l
done (cf tableau 2 chapitre 2): F(z) =
D'ou le spectre de e'"(t):
p+3
o.J1z-e --s-~]z-e
Comme T = O,ls. il vient:
A 0,1 E
I'I
0
9I
I I
1
II
I
1
19 21
I
I
29 ' 31
to
f(kHz)
2)
F(z)
peut
, .
encore 2
S(z) -1,64z- S(z) + 0,67z- S(z)
1.2
I =3e-
101
o.osz- 1 l-1,64z- 1 + 0,67z-2
1
= 0,08£H
qu'on echantillonne au pas de T = O,Ois.
r
a) Calculer X(z).
1
7.4
b) Que devient X(z) siT= 0,05s ?
On considere le systeme suivant :
T
-
c - ,-
E(z) X • ------{)/ t~
3z a) La transformee en z d'un signal exponentiel decroissant est par definition -----::;;;:-. Done ici,
z-e
Calculer H(z)
3z
z-0,9 · a) Fl(p)
b) Si on change Ia periode d'echantillonnage, Ia fonction de transfert change egalement. Pour T = 3z 0,05s, on obtient X(z) =;=0,61·
-
B 0 (p)
H
-
F(p)
E(z)
=- -3 1+ O,lp
3e-O.Oip b) F 2 ( p ) = - -
l + O,lp
On echantillonnera avec une periodicite T = O,Ois.
-
S(z)
r---
S(z) . . =- dans les deux cas de figure sUivants:
X(')=--
0,3 H l(z) = - z-0,9
•
•
soil
= 0,08z- E(z) .l'algorithme de calcul s'ecrit alors:
S* -1,64S*_ 1 + 0,67St_ 2 Soil le signal causal x(t)
~
S(z) =E(z)
1
[
F(z)
s'ecnre
encore
l"
148
7. INTROOVCTIO:'ol A(;X SYSTE~IES ECHA:'o/TILLONNES
b)
On
a
cette
fois
un
retard
de
0,0 Is
ce
qui
impose
m
0,8,
Exercices
149
d'ou
_Jp
_ . . -80 F(z) = (1- z_, ).-< F(p)] I) On a par definttJOn
H"
_ 0 " 4 z+0,23 -(z) - ·- z(z- 0,9)
1
Nous pouvons ecrire que:
[ 7T I
F(p)
IUn systeme est decrit par l'algorithme Iechelon. On supposera que So = 0.
sk - 0,5Sk-l = Ek. Tracer sa reponse
=K
;+0,5 = p(p+l)
p
a un
. On va calculer tout d'abord
z[F(p)] -p- .
J ~+!+__!:_]· "lp2 p p+l
On trouve A = 0,5 , B = 0,5 etC = -0,5. On en deduit:
z[F(p)]=o.sJ~+-z _ _ z J
--{)Ocr-
"l
p
z-1
z-e-r
A !'aide d'un tableau, nous allons decrire !'evolution des echantillons de sortie.
k
Et
o,5 sk-I
sk
I
I
0
I
2
I
0,5
1,5
3
I
0,75
1,75
4
I
0,875
1,875
En rempla~ant T par sa valeur, on obtient H(z)
2) On envoie un echelon
S(z) En appliquantle theoreme de Ia valeur finale, on trouve le regime permanent:
=K
-
D'ou Ia reponse:
z - 0,5
z- 0,5 z- I
:j I I I I I Ill . 0'
T
2T
3T
4T
5T
kT
[ 7:6·--1 On considere le systeme suivant :
~_j
B 0 (p)
H
F(p)
~
, F(p ) = Kp+0,5 - - - . On prend T = 0,7s.
ou
p(p +I)
S(z)
I)Calculer H(z)=--.
E(z)
2) Determiner les 5 premiers echantillons de Ia reponse de ce systeme
a un echelon.
E(z)
=_z_
et done
z-l
z(0,6z- 0,43) (z -l) 2 (z- 0,5) ·
=
On va ecrire s(z) sous Ia forme S(z) s(O) + s(l)z- 1 + s(2 )z-1 + ... ou les s(i) representent les echantillons de Ia reponse a un echelon. On peut, pour cela, effectuer Ia division polynomiale (cf paragraphe 3-31 du chapitre 2). On trouve facilement: S(z)
s*{t)•
(z- l)(z- 0,5) ·
E(z)
a !'entree d ce systeme soit
r
s_ =lim._,, (I- z- 1 )-z-E(z) =lim,_,, (1- z- 1 )-z___z_ = 2
S(z) z-0,71 =- =0,6K -----
s(O)=O;
=0,6Kz-
s(I)=0,6K;
1
+ l,07Kz-2 + 1,475Kz-~ + 1,848Kz-4, d'ou:
s(2)=l,07K; s(3)=l,475K;
s(4)=1.848K
CHAPITRE8
SYSTEMES LINEAIRES ECHANTILLONNES FONDAMENTAUX
Tout ce qui a ete dit auparavant pour les sysremes continus va se retrouver naturellement sur les systemes echantillonnes, que ce soit en regime statique ou en regime d)Tlamique. Toutefois, on peut s 'interroger sur les raisons d'utiliser des systemes echantillonnes plutOt que des systemes continus. L'idee des systemes echantillonnes n'est pas nouvelle, ce sont les applications militaires de Ia seconde guerre mondiale qui ont fait avancer ce domaine. Les premiers ouvrages traitant de ce sujet datent des annees 50. Mais c'est I' ere des microprocesseurs qui a introduit reellement les systemes echantillonnes dans Ia commande des processus industriels. Hormis les systemes dont Ia nature est d'etre echantillonnes (radars, capteurs numeriques, systemes de transmission de donnees, ... ), l'echantillonnage peut etre realise volontairement pour les a vantages qu 'il presente.
C' est done dans un etat d'esprit different qu'il faut a border I' etude du comportement des systemes echantillonnes et cela, pour diverses raisons :
• J' echantillonnage peut augmenter Ia sensibilite et Ia souplesse; par exemple, certains organes de puissance de processus industriels controlant des puissances considerables, peuvent etre pilotes par des signaux numeriques sans qu 'il soit necessaire de recourir des chaines d'amplification importantes et coilieuses;
a
• le systeme echantillonne est cadence par une horloge, et on ne visualisera son comi>ortement qu'aux instants d'echantillonnage. De ce fait, le systeme echantillonne est plus "lent" que le systeme continu car on a systematiquement une periode d'echantillonnage de retard, alors que les reactions de celui-<:i sont instantanees; • si le systeme est pilote par une machine programmable, il sera facile de memoriser les signaux et de les garder aussi longtemps que l'on veut, sans perte de precision, pour les reutiliser au moment voulu. L'horloge d'echantillonnage va etre un element essentiel du systeme: n'oublions pas en effet que Ia fonction de transfert en Z est modifiee quand on change Ia periode d'echantillonnage T (cf exercices du chapitre 6). Le choix de sa periode sera determinant dans Ia conception d'un systeme echantillonne et on montre que si celle-<:i est bien choisie, les systemes echantillonnes ont un meilleur comportement que les systemes continus equivalents. Nous commencerons done avant toute chose par discuter sur son choix.
......1
8. SYSTEMES LINEAIRES ECHANTILI-0~:\ES FONDAMENTAUX
152
2. Modele mathematique des systemes echantillonnes
we= w.~(l-2( )+J(I- 2( )2 +I
1- CHOIX DE LA PERIODE D'ECHANTILLONNAGE
a
La bande passante d'un systeme du deuxieme ordre est done liee COn et 1;. Si I;= 0,7, ce qui est souvent le cas en regulation (faible depassement et temps de reponse minimum), alors (J}C (J}n done
La periode d'echantillonnage ne peut titre choisie n'importe conunent : t
153
si eUe est trop petite, on travaille inutilement puisque le processus n'a pas le temps / 0
d'evoluer entre deux instants d'echantillonnage;
=
(JJ
(JJ
-!!.
21r
1
(JJ
et 5-" ~ - ~ 25 - " ce qu'on expnme encore par : 21r T 21r
• si eUe est trop grande, on pourra rater des evenements importants (perturbations par exemple) au moment de !'observation de Ia sortie.
1-1 CONSIDERATIONS PRATIQUES
=
.
~ Tw. ~ 1,251
10,25
1-4 EXEMPLES DE CHOIX
Le theoreme de Shannon nous donne Ia limite theorique de Ia frequence d'echantillonnage fE; Le tableau ci-dessous donne une idee de l'ordre de grandeur de Ia periode d'echantillonnage pour des processus industriels courants.
on doit avoir :
I
f. =y:.>2fo
Type de procede
ou tO est Ia plus grande des frequences transmises par le processus; elle est donnee par Ia bande passante de celui-ci. Or, Ia bande passante est directement liee l'inertie du systeme; celle-ci est carac-
a
terisee par:
...
• Ia constante de temps
1:
s'il est du premier ordre,
• Ia pulsation propre non amortie ron s'il est du second ordre.
En pratique on choisit :
5/0
:5.
TI :5.25/
Soit F(p)
=-
Ia fonction de transfert d'un systeme du premier ordre. Sa pulsation de
we=_!_, done Ia plus haute frequence transmissible est r
T :5. 1,25r. Par experience, on prend souvent:
/
0
1 -
=-2m
Soit F(p) Ia function de transfert d'un systeme lineaire continu. Nous avons ecrit dans le paragraphe 2-33 du chapitre 7: a) qu'un systeme du premier ordre muni d~ BOZ admettait pour fonction de transfert :
S(z) K0 -=-E(z) z-:0
a
Nous pouvons facilement revenir !'equation recurrente (cfparagraphe 3 du chapitre 7); en effet, si on pose a 1 = -:0 , b, = K0 , il vient:
I0,25r5. T5. rl
S(z)
1
soit S(:) +a,z- S(z)
La function de transfert du second ordre est donnee par : 1
=b
1: - '
E(z) et en revenant aux echantillons:
s(k) + a,s(k -1)
=b,e(k- I)
(2)
... 2
t;
+}!__
(JJ n
w. 2
1+2-p La pulsation de coupure s'ecrit (cf chap. 5):
b z- 1
1 --=--_ -1 E(z) I +a 1z
1-3 APPLICATION DU SECOND ORDRE
F(p)=
10 :>T< 45 20 < T < 45 IO::;T::; 180
2-1 FORME GENERALE
. 5 1 25 2nT 21rr St on applique Ia relation (I), il vient : --:5.- ~ - - ou encore - - ~ T :5.-- et 2Jrr T 2Jrr 25 5 done 0,25r ~
I :>T<3 l
2- MODELE MATHEMATIQUE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES
1 + lp
coupure est donne par
I0-3::; T::; 10-1
(I)
0
1-2 APPLICATION A UN PREMIERORDRE 1 -
Periode d'echantillonnaf[e T(en s)
Moteurs electriques Debit Pression Temperature Reacteurs catalytiques Sechage Distillation
b) de Ia meme maniere, un systeme du deuxieme ordre muni de son BOZ admet pour fonction de transfert :
K. SYSTDIES LINEAIRES ECHAr-iTILLOr-i:-iES FO:-iDA~IDoT.H:X
154
S(z) Ki(Z- Z0 ) . • --= stc;> I E(z) (z-z,)(z-:: 2 ) ' S(z) •
K,(z-z0 )
Posons encore F(q-
Sl
1 )
= q-d
N( -1)
D(:- 1 ) , il vient s(k) = F(q-')e(k).
La fonction de transfert echantillonnee caracterisant le systeme s'obtient en q- 1 parz-•, soit:
.
E( z) = ( z -z- )( z-z-·) 1 1
c; < 1.
Dans ces deux expressions possibles de Ia fonction de transfert, les Kto
:zo,
Zto
zz,
z,
rempla~ant
N{z-')
et :; sont des
F(z-l)=z-"~
functions dec; et ron· L'une ou !'autre forme de Ia fonction de transfett peut encore s'ecrire:
S(z)
155
2. Modele mathematiquc des systemes echantillonnes
z-'(b, +b2 z- 1 )
= 1+a z -1 +a z -2 E( z ) 2
1
soit
S(z) +a,z-'S(z) +a 2 z-z S(z)
=z-'b,E(z) + z- b2 2
2-2 FORME GENERALE AVEC INTEGRA TEUR E(z) 2-21
et en revenant aux echantillons: (3)
s(k) +a,s(k -1) +a 2s(k- 2) = b,e(k- 1) + b2 e(k- 2) Les relations (2) et (3) peuvent encore s'ecrire sous Ia forme:
Un integrateur muni d'un
F(z)
s(k) = -a,s(k -1) + b,e(k -1) 2
BOZ admet
pour fonction de transfert: F(z)
= (1-z-
s(k) =- ~a,s(k -i) + ~b,e(k -i)
~2
]
T z-1 z z · (z-1) 2
Tz
1 )
J;(z -1),
z; ·
so it: (4)
2
= (1- z _, )Z[ z;
ou Tj est Ia constante d'integration. De ce fait:
s(k) = -a,s(k- I)+ b,e(k -1) { s(k) = -a,s(k -1) -azS(k- 2) +b,e(k -1) +b2 e(k- 2)
ou encore
FONCTION DE TRANSFERT D'UN INTEGRATEUR
~ F(z)=~=K,~ K z1
\
I
avec K, =
z;T
Pour un ordre n quelconque et sur Ia base de Ia relation (4), le modele general d'un systeme echantillonne lineaire peut etre decrit par l'algorithme : n
I
avec m
:<>
.:;
Un integrateur echantillonne, comme un integrateur continu, est caracterise par un pole egal a 1.
m
(5)
s(k) =- :La,s(k -i)+ :Lb,e(k -d-i) I
I
=I
n et ou d est un retard pur multiple de T
2-22
Posons d'une maniere generate:
La forme generate avec integrateur, qu'on appellera forme standard d'une fonction de transfert en z, s'ecrira done :
1
x(k- I)= q x(k) ou q- 1 est l'operateur retard, Ia relation (5) devient.
K -r N(z-1) F(z-') = (l-z-1)'" .:: · D(z-') ·
" s(k) = -s(k)Lq-'a, +e(k)"f.q<•-d 1h, to:: I
s(k{ I+
so it
FORME GENERALE
La forme standard fait done apparaitre :
I:::)
.~a,q·•] = e(k),t,b,q-c'"d
• Ia classe m du systeme, c'est adire le nombre d'integrateurs qu'il contient, 1
(6)
• les retards purs (:: -r ), • les poles [racines de D(::- 1 ) ] et les zeros [racines de N(z-
Notons N(q-
m
1)
= Lb,q-' i =I
et D(q-
1
"
)
= 1 + L a,q-• , Ia relation (6) s'ecrit alors: ,:::1
D(q-')s(k) = q-d N(q- 1 )e(k)
1
) ],
ainsi qu'une constante
K qui, a priori, semble etre le gain statique : ee n'est toutefois pas si evident. En effet, pour un systeme continu, le gain statique s'obtient en faisant p = 0 dans Ia fonction de transfert: c'est le regime permanent. Pour un systeme echantillonne, on a realise Ia transformation :: = e pr . Done it p = 0 correspond z = 1.
2. Modele mathematique des systcmes echantillonnes
8. SYSTEMES LINEAIRES ECHANTILLONNES FONDAMENTAUX
156
=-•
S(.:)
- - = K(l-z 0 ) E(z) 1- Z 0 Z
En regime echantillonne, le gain statique s'obtient en faisant z = 1 dans la fonction
1
157
e> s(k)-z0 s(k -I)= K(1-z 0 )e(k-l)
de transfert : G(O)
II est possible, maintenant, de caleuler les difterents tichantillons de Ia reponse.
=lim,...1 F(z)
Pour un systeme de classe 0 G(O) =lim ....1 F(z) = K N(l) . Par contre, pour un systeme de ' D(l)
=
classe m, G( 0) = lim HI F( z) = ~ ce qui est tout a fait logique puisque le gain ramene par un integrateur en regime permanent est infini.
k
K(l-z0 )e(k -I)
z0 s(k- I)
s(k)
0
0
0
0
1
K(l-z0 )
0
K(l-z0 )
2
K(l-z0 )
z0K(l-z0 )
K(l-z0 )(1 +z0 ) = K(l-z.')
3
K(l-z0 )
z,K(I-z.')
K(l-z0 )(1 +z0 +z;) = K(l- z0 3 )
4
K(l-z0 )
z0 K(I-z0
2-3 MODELE ECHANTll..LONNE DU PREMIER ORDRE On considere un sysreme du premier ordre de fonction de transfert F(p) = ...!5._ muni de l + !p
3
K(I-z.')
)
son BOZ:
T
~___,
S(z)
B
F(p)
n-1 K(l-z0 )
n
Figure 8.1 - Premier ordre avec BOZ
1-z.
z0 K(I- z0 )(1 +z0 +z0 1 +... +z;-•)
s(n) = K(1-z 0 )(1+z0 +.:g+ .. +z;) = K(J-z;)
T
S(z) -F(~)=K----- • z- ... o E(z)
+z.' +...+z;-•)
L'tichantillon de rang n est done donne par :
D'apres le chapitre 6, nous pouvons ticrire tout de suite:
_
K(I- z0 )(I+ Z 0
avec z0
=e
'
Comme J.:0 J
z;
-l>
0 quand n
-l>
cc et on retrouve bien le regime permanent S = K. Pour
obtenir le temps de reponse, on va ehereher le rang n de l'tichantillon tel que 5n ~ 0,95K. Le temps de reponse sera alors tr = nT.
On constate done que F(z) est aussi du premier ordre.
Cette condition est realisee si
A- COMPORTEMENT STATIQUE
0,95K::; K(l-z;)
Le gain statique est donne par so it z 0•
G(O)=lim,....J(z)=Kl-zo =K l-z0 =
Comme
In z0
=· =e -- alors II= 3-Tr et I ' r
r
= nT= 3-T· done:
T
~
8- COMPORTEMENT DYNAMIQUE
Le comportement dynamique d' un systeme eontinu est influence par Ia constante de temps
t
Conclusion: Le comportement dynamique semble etre le meme qu'en continu. Mais attention, on verra par Ia suite, qu'un systeme boucle du premier ordre peut etre instable, ce qui signifie, qu'en fonction du gain, on peut obtenir une reponse oscillatoire amortie!
=_I_. Son temps de reponse tr vaut 3t. Nous air
Ions verifier qu 'il en est toujours de meme en regime tichantillonne. T
= e --; = ep,T qui est positif et interieur a 1. Ce pole est done lie a Ia periode d'tichalltillonnage T. Pour caleuler le temps de reponse a un tichelon, on va revenir a !'equation F(z) a un pole
0 ,05 . On entre dans le canal des 5% st. n = - -3- . T
C'est normal,.l'tkhantillonnage ne modifie pas !'amplitude des signaux.
done par le pcile de Ia fonction de transfert Po
::;
Zo
de recurrence :
, I
!58
8.
SYSTE~IES
LINEAIRES ECHANTILLONNES FONDAMENTAl'X
2. Modele mathcmatique des s~stemes cchantillonnes
2-4 MODELE ECHANTILLONNE DU SECOND ORDRE
159
• si -I
La transfonnee en Z utilise le changement de variable z =epr, ce qui implique obligatoirement que tout pole p; de Ia fonction de transfert F(p) se transforme en un pole z, = ePir.
• plus Zo se rapproche des poles, plus le temps de montee diminue: Ia reponse est plus nerveuse,
Le chapitre 3 nous a egalement indique qu 'un systeme etait stable si ses poles etaient a partie < I : cela signifie que le demi-plan negatif des p sc transreelles negatives. Si p, < 0' alors
• si Z;
lz, I
s ...
forme en un cercle de rayon I dans le plan des z. L'observation des pales indiquera done tres rapidement si le systeme est stable ou instable: • les
z, sont situes a I'interieur du cercle de rayon : le systeme est stable,
•
2-41
,.:
I
• un des poles est a I' exterieur du cercle de rayon: le systeme est instable, • un des poles est egal
rz:-;ll
-
•
a 1, c'est un integrateur: le systeme est asymptotiquement stable.
CAS OU LES POLES SONT REELS
Le processus muni de son BOZ admet pour fonction de transfert (cf chapitre 6):
1
rr 1 2 (
I
z-1
I
~-!)] avec
I +-- - --.--+-.-~-r 1 - r2 r 2 z-z 1 r 1 z-z 2
_!_
T
2T
3T
4T
5T
6T
7T
8T
9T
Figure 8.2 - Influence de Zo sur le regime transitoire
_!_
z, = e r, et Zz = e r,
2-42
CAS OG LES POLES SONT COMPLEXES
En developpant cette expression, on arrive a: Le processus muni de son BOZ admet pour fonction de transfert (cf chapitre 7):
S(z) E(z) avec K1
= K r,(1-z,)-r 2 (1-z 2 ) r,-r 2
et z 0
=
K 1 (z-z 0 ) 11 (z-z 1 )(z-zz)
z- Zo
S(z) _ K · K ''{z-z, - )( z-z, F(z)= E(z)-
= r,z 2 (1-z1 )-r 2z 1(1-zz) . r 1 (1-z1 )-r 2 (1-z 2 )
-;, =
avec
{
L'echantillonnage conserve l'ordre du systeme; par contre, on voit apparaitre un element nouveau dans Ia function de transfert : c'est un zero, resultat de l'echantillonnage-blocage.
pe o {p = e-;w,r 1
'i;*=pe- 18
•
9=wJ~
-'~sin9+cos9J.
2
A- Comportement statique ~0 :::
Le gain statique est donne par:
K,(l-zo) G(O)= (l-z,)(l-z
*)
p +p [
_s_sin9-cos(JJ "K, =1-p[ Fr Fr K,
=K ) 2
L'echantillonnage conserve l'ordre du systeme, mais on constate, comme precedemment, qu'il fait apparaitre naturellement un zero. Meme si I;; et w, sont fixes, il va done influencer Ia forme de Ia n!ponse transitoire. Cette fonction de transfert peut encore s'ecrire sous Ia forme:
B- Comportement dynamique
F (z ) =K .
II suffit tout d'abord d'observer Ia position des poles:
=::. Si les poles z, sont proches de 1, ils correspondent a des poles p, proches de I' origine (grande constante de temps), done le systeme repond lentement; =::. inversement plus le~ poles z, sont proches de I' origine, plus le systeme est rap ide; L'influence du zero est assez interessante a constater (figure 8.2):
ao avec
2
b1z+b0
z +a,z+a0 2
=e-c;w.T =p2
{ a, =2e-;w.T cosw.T ~I- C = 2pcos(J
ho = P + P[ et
bt = I - p[
~I: S sin(}- cos(} J 2
~ 1: S sin+ cos(}J 2
I
ij
!60
8. SYSTE!I-n:s UNEAIRES ECHA:-ITILLOS:"'F$ FONDAMENTAUX
2. Modele mathematique de.< systemes echantillonnes
A- Comportement en regime permanent
-;-t
-.t
Zl -
Bz, +C.z, -•
t
-ks
Remplat;ons Z1 par p e'
I+ p2 G(O) = 1+_2_p_c_o.s6 "+'P~ 2
--;t
z,
,
tl v1ent:
-
z, z1
-~- Zo
e·itB _
z1 -I
1
-
ei*B
l
Im
a ~ et COn et done, comme en regime continu, on
a
I
peut tracer des abaques permettant de determiner leurs valeurs partir d'un cahier des charges. On va, pour cela, supposer ~ et COn fixes, done que les poles sont fixes egalement. On peut alors
I I
determiner !'influence du zero sur Ia reponse a un echelon.
I-•
-;t
z,)
Tout le probleme est d'evaluer les parametres de cette sinusoi'de echantillonnee amortie. Ceux-ci peuvent etre obtenus par construction geometrique (figure 8.3).
z;
Zo sont lies
-
Comme p= e"'"'·r, on observe done une sinusoide ecbantillonnee amortie autour du regime permanent.
et ~ • par Ia position des poles • par Ia position du zero Zo par rapport aux poles.
z; ,~ et
.
(z, -1)(z1
p* [ z, ••- ~o B.z-1t + C.z---;t =--;---= 1
B- Comportement en regime dynamique
z1• - Zo
-t
.t -·1c9 .. 1
par p e
et z 1
Z1
Ces trois termes
Zo
--"'-=.=-z, + .
(z, -l)(z, - z, )
b1 +b0 Le gain statique est donne par G{O) = K. ce qui peut encore s'ecrire: l+a 1 +a 0
II est caracterise :
161
Bl- Reponse indicielle: mise en evidence du regime transitoire K 1 etant une constante, interessons nous
a Ia reponse
de
I ·'If
z- Zo F. (z) (z- z, )(z- z, *) a un
,,..--
"'f
zo
~
)
;A c z•
echelon. Celie ci s'ecrit :
z
z-zo S(z) = z-l · (z- ~)(z- z,*)
I
I
\
/
""
'I' . I S(z) . . 0 n decompose en e ements stmp es - - sott:
Re
/
....__
/
z
Figure 8.3- Construction de ~ ,
z-z0 A B C ...:.....,:Z--=-= --+----+---(z-!)(z-z,)(z-z,*) z-1 (z-zJ) (z-z,*) avec
A
1-zo (1- Z1 )(I- Zl *)
B
(z, -l)(zl -
• Z: - z
,, *-z C= - ~ - o (Zl *-J)(Zi *-z,)
z, -zo Zl *)
et dans ces conditions l'echantillon de rang k de Ia reponse s'ecrit : -t
l;'- z0 =Poe'"'
• l;' -I
est repn!sente par le vecteur
-k
le regime permanent Auk; comme Uk = I, le regime permanent tend versA, c'est le gain statique calcule dans le paragraphe precedent; -t
• 1e regime dynamique fixe par les termes B.~ et C. z,' Exprimons Ia somme de ces deux demiers termes:
z;;!, de module Po = j'Z;'- Z j et d'argument
At de module p =jl;' -Ij et d'argument IJI. 1
~
Dans ces conditions :
On retrouve:
k
Zo
On pose egalement ~-I= p 1e'"'
st=A.ut+B.z, +C.z,*
f
est represente par le vecteur
0
On pose:
Z1 et
.
a dire
Or If/= rp- y +
7r
2 done rp -
Z1 -
Zo
ZoZl
Po
-=--===!0=-e z, -1 Az, p, If/ = y -
i(9-'fll
.
7r
2 et
ZJ - Zo Po f(rp-IJI) Pil JY -=-= -e = -J-e
=I -I
PI
. p,
I
~~ 162
8. SYSTEMES Ll:'oiEAIRES ECHA:'oiTILLONNES FO:'oiDA.\IESTAUX
2. Modele mathematique des systemes echantillonnes
z,· -1
p,
0(%)
Depassemem indiciel D(%) =f("f, I;)
Le regime transitoire peut alors s'ecrire:
-·
c z1 B .z-· 1 + Comme
z1 =pk ejlc9
-I;
0
-t
~
==---:•1
(
z1 -z1
,..,
-;-e JY)
--;t ~
·I"'U
•1
+~
p,
z1 -z1
(
~~
,..,
;-e -p) · ./"'<)
:
P,
-;-.t
k - 1"lc8
=p e
.
,
.
p,
p,
D'autre part,
~- Z"; = p(e-i8 -
done
- · + C.z, -;-t B.z,
ei 8 )
r
0
I
·.
8
0
\
Zn
I
r
11 v1ent :
B.Z";•+c.~·= ~·-[jPoe_,,, ...,+jPoei z, -z,
... --·------- .. ~
:
Zo
et z,
I
--z:-:~
I
Z1• - Zo ·Po -ir -=-=J-e
On calcule de Ia meme maniere:
163
]= z, ~·_.j2Po_cos(y+k8) -z, p,
=-2jpsin8
p• - - . ·2Po -2jpsin8 ·1· -.cos(y + k8)
p,
k-1
s. =A-p _·Po .cos(y+k8) p 1 sm8
et enfin
Les poles z1 et z," etant fixes, on constate que si on fait varier Z
B2- Parametres du regime dynamique La reponse indicielle d'un systeme a poles complexe est donm!e figure 8.4. Sur cette reponse, nous mettons en evidence le depassement D, le temps ou a lieu ce premier depassement nT. Ces deux parametres sont bien sur lies a~-
s• 4
•
Di
, I/
1
•
i
•.
I
I
T ' I
f
I
!
I
I
I
I
i
I
!'
I
·.·
I I I '
'
•
I
•
I I
n'1
Figure 8.4 -Reponse indicielle d'un systeme apoles complexes La determination de D et n s'effectue en utilisant divers abaque. L'abaque de Ia figure·8.5 donne Ia variation de D en fonction de y.
•Y
t -~
-&
-#
-~
~
w
#
~
w
Figure 8.5 • Abaque 1: variation de Den fonction de y L'abaque de Ia figure 8.6 donne le lieu des poles
aamortissement constant.
Enfin, l'abaque de Ia figure 8.7 donne le temps du premier maximum en fonction de I; et y. II est dans ces conditions possible de :
+ determiner les parametres dynamiques d'un systeme dont Ia fonction de transfert du deuxieme ordre est connue, • synthetiser une fonction de transfert a partir d'un cahier des charges defini
apriori.
I
164
8. SYSTEMES
LINEAIRE.~
ECHASTILLONNES FONDAMENTAUX
2. Modele mathematique des systemes echantillonnes
165
I
"<
Temps du premier maximum ne =! ("f, ~) -/-/ I
I
~-
r9riiniL ·;··-----~ . ~~
na
n
~
·fi-1
..-····%
,
r/
;
/ i =r--t=f:-:=f=f ; I
I~
Zo
,,......
. . .
·\--4-~
u..J' '•
\
v..
'"
"l '0--1
0Zo
y>O
__ _.,_ __.,_ __ .___ ....
'_j__J__l_J_j,__
.I
..
~,::::':: _·--+---+--......-----~---t---1---
"_"-"+'.r;.-~-~-·
I
I
.',
y
_.,;.,__ ,....._ ......
1.......
0
..
e
h.~- j____
j__J_J_
·,:,
t
-!~-~~-: ~~~-=-J-~---t---~--~--+--~---r. ---
'''
o
!SOO
---~----....-.__...;
!
!
l
..,:
___
~-:---~-----
i:t~d=~-l~= i. -·
i
__
:~~;~= 0~ --~---:--
"! -- .:....-;
--~~~~--:-·-· --.
1
.
Il
.
1
l
'
i
~
--t----~----
:;=~.7
. i
t
100"
~
' f
soo
-~
-~
-·
-~
~
~
•
Figure 8.7- Abaque 3: Temps du premier maximum Figure 8.6- Abaque 2: Lieux des pOles ii. amortissement constants
• I
~
w
"(
H. SYSTE~ES LINt:AIRES ECHA:"
166
167
Excrcices
lQ
2-43 EXEMPLE
T= t/2
Determiner Ia fonction de transfert du deuxieme ordre d'un systeme devant obeir au cahier des charges suivant : + gain statique ega! a I • depassement inferieur a 10% pour le quatrieme echantillon pour ~ = 0, 7. Sur l'abaque I, on observe qu'avec y = 0°. et un amortissement de 0,7, on obtient un depassement d'environ 7%. On garde cette valeur dey et on se place sur l'abaque 3: on en deduit n
a# (J
136°. Cornme on desire que ce maximum ait lieu sur le 4eme echantillon, on en deduit
=440.
T=t T= 2t
0,6 0,37 0,12
s(O) 0 0 0
s(3) s(4) s(2) 0,63K 0.78K 0,86K 0,78K 0,95K 0,98K 0,98K 0,998K K
s( I) 0,4K 0,63K 0,78K
On va placer maintenant le pole z1 sur l'abaque 2: c'est !'intersection du lieu a~= 0,7 et de
a = 44° et passant par I' origine; on trouve p # 0,49 et dans ces conditions : "Z;' = 0,49e 144 ' = 0,35 + j0.34
K K
~ T~
r
On considere le systi:me suivant: z 1* = 0,35- j0,34
T
~ 6 oil F(p)=--
p+4
0 18 . II ne reste plus qu'a calculer le gain statique. Celui-ci z- • z· -0,71z+0,24 ·· K(I-O,I 8 ) = I sot!. K =065 · • • 1' I , d' ou:' doit etre ega a ce qUI Impose 1-0,71 +0,24
=K
s(9)
0,99K
Q:f-1
Toujours sur l'abaque 2, on peut placer par construction le pole lQ mais on peut aussi le calculer par Ia formule donnee au debut de ce paragraphe. La construction est tres simple dans ce cas: puisque y = 0°, il suffit de tracer Ia perpendiculaire en z 1 a Ia droite Az1. On trouve lQ = 0,18. On obtient F(z)
s(8) 0,98K K K
2) Dans le cas oil T = 2't, on voit que, des le troisieme echantillon, on est en regime permanent. On ne sait pas a quel moment on y est entre: il est evident qu'on n'a quasiment aucune information sur le regime transitoire. Pour T = t, on entre dans Je regime permanent sur le quatrieme echantillon: c'est mieux. Enfin pour T = t/2, on observe parfaitement le regime transitoire. Ces trois observations verifie bien Ia double relation:
0,25r
Ia droite de pente
s(5) s(6) s(7) 0,92K 0,95K 0,97K 0,99K 0,998K K K K K
,
I) Calculer Ia fonction de transfert F(z) de ce systeme.
2) On echantillonne avec une periode T = 0, Is. Ce choix est-il correct? 3) On envoie a !'entree de ce systi:me un echelon unite echantillonne. Avec quel echantillon le systeme entrera dans son regime permanent.
z- 0,18 F(z) = 0,65 z2 -0,71z+0,24
--oOo-lj I) On a tout de suite F(p)
=
EXERCICES
s.t
z-e
0,25s. On choisit done T telle que 0,0625s $ T S 0,25s, done le 0,5 choix T = O.ls est correct. La fonction de transfert s'ecrit alors F(z) = ~ 2) La constante de temps est
I
I +0,25p
1-e~T
et F(z) = 1.5~
I I) Reprendre Jes resultats du paragraphe 2-3B, et calculer les 10 premiers echantillons pour les valeurs de Ia periode d' echantillonnage suivantes: T = "t12, T = t et T = 2t. 2) Observer Je regime transitoire et verifier Ia condition fixee sur Ia periode d'echantillonnage pour un premier ordre.
T
I) L'echantillon de rang n a pour expression obtient Je tableau d'echantillons ci-dessous:
s(n)
= K(l- z0 '). Dans cette expression, Z0 =
a !'entree de ce systeme. done l'echantillon de rang nest donne par r s(n) = K(l- z~) = 1.5(1- 0,67") = ce qui conduit a n = 3- = 7,5. Puisqu'on demarre a T compter de l'echantillon o. le premier echantillon visualisable en regime permanent sera le
3) On envoie un echelon unite
neuvieme.
--oOo--
e
<.On
t=
168
Exercices
8. SYSTEMES LINEAIRF.S ECHANTILLONNES FOSDAMENT AUX
r -s:--3--
169
1
Ti=0,5T
s
/
2·· ..
Ill/
/
T
[ I) Calculer Ia fonction de transfert F(p)
8.4
= S(p) de ce circuit. On posera T, =RC.
4T
3T
2T
l On considere le systeme suivant:
E(p)
T
2) Tracer Ia reponse de ce circuit a un echelon unite. Que represente T,?
~
3) Ce circuit est place derriere un echantillonneur-bloqueur. Calculer F(z). 4) On pose
I ' Ti=T Y· . .1.
·/·•·
3
On considere le schema suivant:
T a =-..!... Exprimer Ia reponse du circuit echantillonne a un echelon unite en T
ou
fonction de a. Que constate t-on?
I Calculer sa fonction de transfert echantillonnee apres I+ O,I4p+0,0Ip 2
F(p)
------~ •
a voir choisi correctement Ia periode d'echantillonnage.
5) Tracer cette reponse selon que a vaut 0,5 , I , 2. Conclusion. -<>Oo--<:>Oo--
• On identifie tout d' abord les parametres de Ia fonction de transfert continue; on trouve K = I, CO 11 = 10 et ~ == 0,7.
1
I) On trouve tres rapidement F(p) = - . T, est Ia constante de temps integrale.
T,p
2)
s
• On determine ensuite Ia periode d'echantillonnage par Ia relation 0,25 ~ impose 0,025s ~ T ~ 0,125s. Choisissons T = 0,05s. La constante de temps T, represente le temps mis par I' entree pour rattraper Ia sortie. Plus elle est grande , plus I' action de I' integrateur est lente.
• La fonction de transfert echantillonnee s'ecrit KKl On (J
calcule
tout
r;--;:2
= Tm. v 1 - '.:.
0 K1 = I -
1
S(z) = -(z- 1 + 2z- 2 + 3z-3 +...+nz·•). La sortie est une rampe echantillonnee. Les a
Ies
=0,357rd = 20"5.
determine ensuite:
T 1 T, z -1
3) F(z)=--
4)
d'abord
p[ ~I-~2 ~ .
poles
I
en
determinant
obtient
l
sm (J +cos(] =O,I
amplitudes des echantillons sont en progression arithmetique de raison 1/a. 5) On constate tout de suite que Ia sortie rattrape !'entree au bout de a periodes d'echantillonnage: plus a est eleve, plus Ia reaction de l'integrateur est lente.
,
0. Zo
=
p·+p
(
-~-sine-cose) =-0,72
~ Kt
z+0,72
• On obtient finalement F(z) = O,l z 2 -l,32z + 0,497
\ I
~
1,25 qui
z XZo ) = Kl ( zXZo z- Z1 z- Zt * z- Zt z- Z1 p = e-;w,r
=0,7
et
{~ = pe = 0,66+ j0,245 . On z1 *= pe- 18 = 0,66- j0,245 18
On
Tm.
170
I
8. SYSTDIES LISEAIRES ECHASTILLONNES t'OSDAMESTAt:X
8.5
n)
CHAPITRE9 Soit le systeme de fonction de transfert F(z)
z2
-
2z-1 1,2z + 0,52 · Mettre en evidence
I ------ --- -] PROBLEMESRESOLUS
les regimes transttmre et permanent lorsqu'on envoie sur !'entree de ce systeme un echelon unite. -{)Oo-
a) Le gain statique est G(O) = F(l) = 3, 125. b) Pour obtenir le regime transitoire, on va tout d'abord determiner les p3les de F(z). On trouve:
-
Z1
=0,6+ j0,4
et Z * =0,6- }0,4. 1
En plafi:ant z 1 sur J'abaque 2 on obtient I;= 0,5 et ro.T
=0,68.
On place Zo = 0,5 sur ce meme abaque et on determine graphiquement les angles e et y. On trouve: 0::34° et r ::31°. Sur l'abaque I, on obtient D = 30% et sur l'abaque 3, nO:: 118°, ce qui conduit an= 3,5: le premier maximum, d'amplitude s.,., = 4,1 aura lieu entre les echantillons de rangs 3 et 4.
[
Problemill
ESSAIS D'UN MOTEUR EN CHARGE Un moteur a courant continu est pilote par induit via un actionneur de puissance de gain A.
Cr
CYTJ On reprend J'exemple traite a Ia fin de ce chapitre: on avait obtenu une fonction de z- 0,18 ---'--transfert F(z) = 0,65-:;2 z -0,71z+0,24 I) Ex primer Ia reponse a un echelon unite et verifier les hypotheses ayant permis Ia synthese de cette fonction de transfert. 2).Que devient cette fonction de transfert si le premier maximum correspond au second echantillon, les autres hypotheses etant inchangees? -{)Oo-
I) La reponse a un echelon s'ecrit:
F(z)
Ce moteur precedent entraine par une liaison directe une charge qui lui oppose un couple resistant C,(t).
1.1- ESSAIS STATIQUES Des essais sur cet ensemble, a couple resistant C, nul, ont donne les resultats suivants: Uvolts
0
I
2
3
4
5
6
7
8
9
Ntt/mn
0
35
279
560
850
1135
1425
1685
1780
1810
0,65z 2 -0,117 3
z -l,7lz 2 +0,95z-0,24
l) Tracer Ia caracteristique N en fonction de u.
2) Quelle plage de linearite U peut-on prendre sur cene caracteristique? On donnera les limites de
On effectue Ia division polynomiale et on trouve:
U (appelee bande proportionnelle par les automaticiens) et les valeurs correspondantes deN.
s(O) = 0 , s(1) = 0,65 , s(2) = 0,998 , s(3) = 1,08 , s(4) = 1,07 , s(5) = 1,04 Le quatrieme echantillon a pour valeur 1,08 soit un depassement de 8%: c'est ce qui etait attendu.
3) On considere le point de repos Mo (4v, 850 tr/mn). Determiner le gain statique au point Mo (on
veillera a travailler avec les unites adequates).
2) On veut maintenant que le maximum s'obtienne sur le second echantillon, les autres parametres etant inchanges. on doit a voir cette fois (J :: 88° .
1.2- IDENTIFICATION DES PARAMETRES DYNAMIQUES
Les p31es de Ia fonction de transfert vont done se rapprocher de I' axe des imaginaires. ce qui va rendre le systeme plus nerveux. On obtient:p = 0,26, zl = 0,009+j0,26, zO = -0,035 et K = 1,015, d'oii:
Le moteur utilise est a aimant permanent, c'est a dire que son excitation est constante. On neglige Ia reaction magnetique d'induit et les pertes autres que les pertes par effet Joule. L'inductance de J'induit est supposee negligeable. L'actionneur de puissance est considere comme parfait (impedance d'entree infinie, impedance de sortie nulle). On designera par J l'inertie des parties tournantes et on admettra qu'il n'y a pas de frottements visqueux.
z+0,035
F(z)
=1,015 zz -0,018z+0,068
--.:r~~v. ~------.....,.---·
~¥
- ,• • •
JW¥.J45t
ft!IJIJJJ
-----
172
I. Essais d'un moteur acourant continu en charge
9. PROBLEMES RESOLUS
1) Ecrire Ia relation liant le couple rnoteur Cm au courant d'induit I absorbe et celle Iiant Ia f.e.m. E
JR dO.
A
R
K~ dt
K..
K~
3) - - + ! l ( t ) = - u ( t ) - - C (t)
a Ia vitesse Q. 2) Ecrire les equations (electriques et mecaniques) caracterisant le fonctionnement du moteur et de
4)
sa charge.
'
J~ pO.( p) + 0.( p) = ~ U ( p) -
K..
K..
4K..
C, ( p) , equation valable au tour du point de fonction-
nement. On en deduit:
3) En deduire !'equation differentielle decrivartt !'evolution de Q(t) autour du point de fonction-
nementMo.
A
O.(p) = 4) Appliquer Ia transformation de Laplace sur Ies deux equations precedentes et exprimer Q(p) en
JR
U(p)-
K .. (l+-2 p) K..
fonction de U(p) et Cr(p). On mettra Q(p) sous Ia forme:O(p) = F(p).U(p) + G(p).Cr(P 5) Mettre F(p) sous Ia forme normalisee d'un systeme du premier ordre et donner Ies expressions du gain statique K et de Ia constante de temps t.
Cette formulation est identique
R 2
JR
C, (p)
K .. (l+-2 p) K..
a O.(p) = F(p).U(p) + G(p).C,(p)
O.(p) K A JR . 5) On a F(p) = - - = - - avec K = - et r = - 2 • F(p) est Ia fonction de transfert U(p) 1+1]7 K.. K .. vis a vis de !'entree principale U(p).
6) Realiser le meme travail sur G(p). On appellera Kr Ie gain statique de G(p).
7) Application numerique: On donne A= 15, Km = 0,5V/rd/s, R = 4Q,J = 2.10· 2 kg.m2• Dessiner le schema fonctionnel du processus autour du point de M.,.
K, R JR • .. O.(p) 6) De Ia meme mantere, G(p) = - - = - - - avec K, = - et r = - , . G(p) est 2 C,(p) (1+1]7) K.. K;. Ia fonction de transfert vis a vis de Ia perturbation Cr(P)
1-3 EXPLOITATION 1) On suppose Cr (t) = 0. On applique un echelon d'amplitude U0 = I ,5v
173
a partir du point de repos
7) On trace le schema fonctionnel
a partir de !'equation determinee en 3.
Mo. Calculer Ia vitesse O(t) atteinte en regime permanent.
u 2) Le point de repos Mo etant effectif depuis un bon moment, on applique un couple resistant Cr(t)
!"l
en echelon d'amplitudeC.o =0,5N.m. Calculer Ia valeur en regime permanent de Ia vitesse !l(t) obtenue en appliquant ce couple resistant. 3) Calculer alors Ia vitesse en regime permanent apres qu'on ait applique !'echelon de tension U0 =
I ,5v et I'echelon de couple resistant C10• Les gains statiques de chaque fonctions de transfert sont respectivement: K = 30rd I s IV et K, = -16rd Is I (N.m); Ia constante de temps est T = 0,32s.
4) Que concluez - vous sur l'effet des perturbations ? 5) En combien de temps atteindra t-on le regime permanent?
1-3 - I) En regime permanent, on aura 0. = 0. 0 + 30x 1,5 = I 34rd Is = l280tr I mn .
--oOo--
2)
Solution
3) 0.
1.1- 2) Plage de linearite: 1,5v < U < 6,5v 140tr/mn < N < 1570tr/mn.
= K .. O.
et C..
5) t,
= K .. I.
2) Equation electrique: u(t) = Ri(t) + L di + E:: Ri(t) + E
dt
Equation de Ia Mecanique: J
= 1204tr I mn
4) On est en dessous de Ia valeur desiree: Ia commande est peu precise.
3) Le gain statique est Ia pente de Ia caracteristique au point de fonctionnement. On trouve G # 30V/rd/s.
1.2- I) E
0. = 0. 0 -16x0,5 =8lrd Is= 774tr I mn
~~ = C.. (r)- C,(t)- jU(t):: C.. (r)- C,(t).
~.
'I
= 3r = 0,96s
'
174
(
9. PROBLEMES RESOLUS
Probleme 2
3. Modelisation et componement d'un reservoir
l
COMMANDE D'UN RADAR d) On impose
8,(p)=~ 3p
Un moteur a courant continu, pilote par induit, a les caracteristiques suivantes:
+
{
0,18 = ~7 p) ·
°•19
done 8,(p)=
p 2 (1 +0,27 p)
cequiconduitauregimepermanent:
8,(t) = 0,19(t-0,27)
aimant permanent;
• induit
+
W
(} (p)
c) On calcule facilement
175
R = 10Q L =0 ' ' 1, = 20.10-<~kg.m 2
3
f, = 5.10- N.ml rd Is
si ia = lA alors Cm = 0.5 N.m
Ce moteur entraine, par l'intermediaire d'un reducteur de rapport 1000, un aerien de radar, dent les caracteristiques sent les suivantes: J, = 10.103 kg.m 2 f, = 15.103 N.mlrdls. On desire commander Ia position angulaire Els de cet aerien
a !'aide d'un potentiometre sans butee, gradue en
Le mouvement est circulaire uniforme: l'aerien tourne regulierement avec une vitesse de O,l9rd/s. Le systeme est ingouvernable, quoiqu'on fasse a !'entree, tout cela a cause de l'integrateur.
I
Prob~f]
MOD ELISA TION ET COMPORTEMENT D'UN RESERVOIR
radians, via un actionneur de puissance de gain 100. Le potentiometre est alimente par une tension de 10 volts. Ainsi, lorsque son arbre toume d'un angle Ele = 360°, Ia tension vue aux bornes du curseur varie de 0 lO volts.
Qs est regie par l'ouverture f d'une vanne. On s'interesse
1) Tracer le schema fonctionnel de cette installation.
servoir en fonction du debit d'entree Qe.
a
On considere un reservoir d'eau de section S, alimente par un debit Qe. Le debit de sortie
a Ia variation de Ia hauteur h dans le re-
2) Identifier Ia fonction de transfert de chacun des blocs constituant ce schema.
.
e,(p)
J
~
..
3) Calculer Ia fonctwn de transfert F(p) = - -
e.(p) 4) On fait varier brusquement Be de 0 a 60°. Determiner !'evolution de Bs dans le temps. Que dire de ce mode de fonctionnement? A quoi est-il du ?
Q.
s,
s2
-QOo--
.t.L---------------~---v
==---- Q,
I) 1) Pour modeliser le systeme, on va utiliser Ia formule de Bernoulli qui traduit l'ecoulement isotherme et sans frottement d'un flu ide incompressible:
2) La fonction de transfert du moteur avec sa charge a ete calculee au chapitre 3, paragraphe 2-25. En tenant compte du cahier des charges, on obtient:
3
J,q = 12.10- kg.m
2
Q(p)
:=:)
et done
;
1,11
y-( ) = 102 p + ' 7p
• pour le potentiometre
charge.
v = vitesse moyenne (m I s)
2g
pg
r =masse volumique (kg I m 3 )
V:(p)
10
7i;(p} = 2;
8,(p) I n-( ) = 'p p
!=
f,q = 20.10- 3 N.m I rd Is ; K,. = 0,5N .m. A_,
a
• et pour le radar
p
h+-+-= C'" avec
• pour le moteur: :=:)
h =hauteur moyenne (m) v2
g
acceleration de la pesanteur
On applique cette equation entre les sections S 1 et S2 . En admettant que v,<
a Ia pression atmospherique, coefficient qui traduit Ia resistance a I' ecoulement. pressions P 1 et P2 sont egales
montrer que: Q, =
-Ji.Jh. R est un
2) Comportement statique sachant que les elements mecaniques sent ramenes sur Ia
On regie Q. de maniere niveau h se stabilise.
a equilibrer Q,. On attend un temps suffisamment long pour que le
a) Calculer Ia relation entre h et Q.
176
177
3. Modelisation et comportement d'un reservoir
9. PROBLEMES RESOLUS
b) Le graphe representatif de h est une parabole. En Mo. Q,0 =
b) Representee hen fonction de Q, (caracteristique statique). Choisir un point de fonctionnement Mo (Qea. ho) sur cette caracteristique.
*
..Jh:.
h•
c) Que! est le gain statique en Mo ?
3) Comportement dynamique
ho,
Le debit d'entree Qe pouvant varier dans le temps, Ia hauteur h varie egalement. a) Etablir !'equation differentielle qui relie h(t)
aQ.(t).
ol
b) On pose:.1Q,(t)=Q,(r)-Q,(O) et Ah(r)=h(r)-h(O)ou .1Q,(t)etAh(t)sont de petites variations autour du point de fonctionnement Mo. Ecrire, en Ia linearisant, !'equation differentielle qui lie h(t) a Q.(t). c) Ah(O-) etant supposee nolle, detenniner Ia fonction de transfert
6.H(p) .
.1Q,(p)
Comparer le
a) On a Q, - Q,
= A dh dt
dh
ce qui conduit a:
AR-+Jh=RQ dt ' I )a) . Expliquer Ia difference.
equation differentielle non lineaire.
b) On a: h(t) = tlh + h et Q, (t) = 6Q, 0
-oOo--
Comme -tlh << 1, alors
1 ·On applique Ia formule de Bemouilli avec h 1=h, h2=0, v 1<
R=
h = vi = Q; 2 soit Q, = Sz 2g 2gs1
+ Q,0 .
I' equation differentielle. On obtient: AR d (dt tlh) +
Soluti'on
a Ia pression atmospherique. On obtient
0
3 • Comportement dynamique
e) Que! est le niveau final h 1 atteint ?
cotes
=(ldQ, dh ) =2R..Jh: M
d) A t=O, le debit Q. passe brutalement de Q.o a Q.,. Comment evolue ~(t) ?
0 Comparer avec Ia veritable valeur donnee par Ia relation
"Qe
Qeo
c) Le gain statique est Ia pente de Ia tangente en Mo.: K
gain statique avec celui trouve en 2)c).
rI'
=
ho
J2ih = -R1 .fh avec
A ,.-;: -
On reporte ces deux expressions dans
~!. (l + tlh) ho = RQ• + R6Q•. ''0
I tlh D ' autre part .,;h r;:0 = RQ 0 , il ho(l+-) =.,;ho(l+--).
ho
2ho
•
vientdonc:
~, formule qui traduit bien Ia resistance a l'ecoulement.
2ARA d(M) + M = 2Rjh;6Q, dt
s2 .,;2g
2 ·Comportement statique
equation lineaire du premier ordre.
c) Mf(p) = __!i_ avec K = 2RA et 1: = 2AR.jh;. Le gain statique est bien sur le 6Q, (p) 1+ 1:p
a) Si Q. equilibre Q, depuis suffisamment longtemps (regime permanent) h est stable, done
me me.
Q, = Q, = J.... .Jh et de ce fait h = R Q; . 2
d) Le niveau h va evoluer exponentiellement (reponse d'un premier ordre) vers le niveau
R
h,. e) M = K(Q, 1 - Q, 0 ) et done h, = h0 f) On do it a voir theoriquement h,
+ 2R.Jh0 (Qe~- Q.o) .
= R 2 Q;, ; Ia difference est due a I' erreur de
linearisa-
tion que !'on commet lorsqu'on utilise le developpement limite de Jh arrete au premier ordre .
..---1
178
9. PROBLEMES RESOLUS
o~~bl~~e4~
179
4. Modelisation d'une enceinte thermique
c) Calculer K et t.
5) L'electronique de puissance est pilotee par une tension U telle que P(t) MOOELISATION D'UNE ENCEINTE THERL\11QUE
= Ri 2 (t) =aU (t).
p
Un reservoir ballon doit pouvoir foumir de l'eau avec le debit Q, et Ia temperature T,. IOkW
'- ~ Agitateur r
Qe _ .
JOY I
u
+----'-----.U La tension u peut varier de 0 a IOV de maniere que P puisse varier lineairernent de 0 a !OkW. Caleuler Ia fonction de transfer! de ce systeme si on admet qu' on ne travaille que dans Ia zone lineaire. En deduire le schema fonctionnel de Ia chaine de cornrnande ainsi realisee.
~.___
Electron ique de Puissance
OR
Qs
6) Que se passe t-il si brusquement Ia temperature passe brusquement de 20
~
J Pour cela, on alirnente le reservoir avec du liquide a Ia temperature T. et avec le debit Q. de maniere que le niveau dans le reservoir reste constant (en regime permanent Q. = Q,, on travaille a volume constant).
--QOo--
Solution I) On ecrit: Rl 2 dt = VpcdT,
+ Q,dt.pc(T,- 'J.)
La chaleur est apportee au reservoir par une resistance R. un agitateur perrnettant de rendre Ia temperature T, de I' eau Ia plus homogene possible. Enfin, on suppose que le reservoir est parfaiternent calorifuge et sans capacite therrnique. On appelle p Ia masse volumique de l'eau et c sa chaleur rnassique. Ecrire I' equation differentielle qui regit ce systeme: on ecrira pour cela que l'energie foumie par Ia resistance sert a elever Ia temperature de Ia masse d'eau dans le reservoir de T,- dT, aT, d'une part, et a porter le liquide entrant de T. aT,.
2) Cette equation est non-lineaire quant Ia forrnule de Taylor, on a
a cause de (1 0 +i)
T(~
K
l(p)
1+1p
.
.
= -'-- =--. Expnmer K etten foncuon de R, Io. Q•. p, c et V.
4) Application numerique: on donne V = IOOiitres, Q. = llitre/seconde, p =!kg/litre, c = 4.18kllkg/°C, Tea= 20°C, T.o = 50°C; l'electronique de puissance perrnet d'appliquer une puissance de chauffe variable a une resistance R = I 00f2.
a) Quelle puissance electrique faut-il appliquer pour qu'on puisse chauffer un litre d'au de
20 a 50°C en IOOs?
b) En deduire Ia valeur du courant I circulant dans Ia resistance R. On adoptera cette valeur pour Io.
2
1
2
•
En posant I
=l 0 + i
et I
= I 0 + i ,et en appli-
=[~ +21 i et RT; = Q,pc(T, 0
0 -
T.o);
on obtient
alors I' equation differentielle lineaire:
~ dT +T= 2Rl0 i Q. dt Q,pc
2) Cette equation differentielle etant non lineaire, lineariser cette equation autour du point de fonctionnernent Mo (Io. Tea. T,0 ). Pour cela, on posera I = l 0 + i et T, = T,o + T oil i et T sont de petites variations au tour du point de fonctionnement.
sous Ia forme F(p)
ce qui conduit a:
dT 2 Vpc-' + Q,pc(T,- T,) = R/ dt
I)
3) En deduire Ia fonction de transfert de ce processus autour du point de fonctionnernent et l'ecrire
a 10°C?
V T,(p) K 2RI 0 3) F ( p ) = - - = - - avec K = - - et r = l(p) 1+ 1p Q,pc Q• . 4) a- Pour elever Ia temperature d'une masse de lkg d'eau de 30°C, il faut 125,4kJ done il faut foumir une puissance P = 1,254kW. b) On en deduit I = 3,54A.
c) K=0,17°CIA et r=IOOs. 5) On a aU (t) = Rl 2 ( t) . Au tour du point de fonctionnement, cette equation devient:
a(U 0 +u)
= R(/ 0 +i) 2 :
R(l~ +2il 0 )
180
!81
5. Approche d'une boucle de regulation
9. PROBI.EMES RF-<;(>l.l'S
tiometre. On admettra qu'a reference constante fixee a I metre, un ouverture complete de Ia vanne:
ce qui conduit a au== 2Ri/ 0 etdonc l(p) == ~ == 1,412 A IV U(p) 2R/ 0
ecart de
10 em conduit a une
Qe La chaine de commande est done I' association de ces deux elements:
I(pJ
U(p)
1,412
__Q_._!_Z_
Qemax
T(p)
I+ lOOp
o1/
6) L'energie amenee par le courant Io permet d'elever Ia temperature d'un litre d'eau de JO•c. done si T.o = i0°C, alors T.o =40°C. L'eau w•c va done refroidir Ia masse d'eau contenue dans le reservoir, et logiquement, le debit de sortie etant de IVs, Ia temperature T, =4o•c sera atteinte au bout de IOOs. Ce systeme n'est done ni precis ni sur.
10
"hr"h (em)
a
Calculer Ia fonction de transfert F(p) == H(p) de cette installation et determiner !'evolution de H," (p) h(t) dans les memes conditions que precedemment.
I
Probleme 5
J
--oOo--
Solution APPROCHE D'UNE BOUCLE DE REGULATION
dh
l)S-==Q-Q dt t '
On pompe un liquide dans un reservoir de section S avec un debit Qs. Le reservoir est ali mente en liquide par une canalisation dont le debit est Q•. Le niveau dans le reservoir est note h. I) Ecrire !'equation differentielle qui regit ce systeme en fonction de Q •• Q, et h.
2) On integre !'equation precedente, on obtient h(t)::: Q, - Q, t + h(O). Cette equation Corres-
2) Le niveau du liquide est evalue par un capteur de niveau de technologie tout ou rien. Ce capteur commande une electrovanne E.V. inseree sur Ia canalisation d'entree seton Ia loi suivante:
pond a une electrovanne ouverte. Lorsque celle-ci est fermee, elle s'ecrit: h(t)
S
+ si h >h..,... E.V. est bloquee et Q. =0, + si h < hmin• E .V. est ouverte et Q. = Q...,...
a) A t = 0, h(O) = 0,5m done E.V. est ouverte et h(t) == raison de 3cm/s jusqu'a ce que h
Avec les valeurs numeriques suivantes: S = 0,5m2, Q•.,., = 201/s, Q, = 51/s, h.,;n = lm et h.,.,= !,25m, decrire !'evolution du niveau de liquide dans le reservoir, sachant qu'a t =0, h(O) =0,5m.
b) A t
= 25s,
=- Q, s t + h(O).
2
3.10- t + 0,5. Le niveau monte a
=hmax . Cette hauteur est atteinte au bout de 25s.
E.V. est fermee done h(t) = -1,671 + 1,25. Le niveau descend a raison de
I ,67cm/s. II atteint hmin au bout de 15s.
3) Que se passe t-il si on resserre progressivement Ia fourchette entre hmax et h"""?
2
c) At= 40s, E.V. s'ouvre de nouveau, done h(t) == 3.10- t +I. Le niveau remonte a raison
4) La technologie de l'electrovanne n'etant pas parfaite, on admet pour celle-ci un retard a I' ouverture et a Ia ferrneture de I seconde. Decrire de nouveau I' evolution du niveau h dans le reservoir si on a cette fois hmin = hmax.
de 3cm/s et le niveau h.,.. est atteint au bout de 8,33s. d) Le processus recommence comme en bet c.
5) On dispose maintenant d'un capteur de niveau plus evolue foumissant une tension vh proportionnelle au niveau de liquide dans le reservoir.
On obtient le graphe d'evolution suivant:
1.25 hmoy 1 vh
0,5
Cette tension vh est comparee a une tension de reference et Ia difference e actionne une vanne motorisee dont I' ouverture est proportionnelle a e. La reference de hauteur est affichee sur un poten-
25
I
I
40 48.3
63.3 71.6
86.6
-
182 9. PRORI.f::l-lf:S Rf~~OU;s
On constate que le niveau h evolue autour d'un niveau moyen h.,..,y = !,125m dans une fourchette de 25cm. On dit que Ia sortie est n!gulee et le systeme ainsi constitue s'appelle regulation de niveau «tout ou rien "• tout simplernent parce que l'electrovanne E.V. est un actionneur tout ou rien. 3) Si on resserre Ia fourchette, on va diminuer progressivernent le niveau moyen autour duquel on regule. A Ia limite, si Ia fourchette est nulle, Ia regulation est parfaite. C'est le cas bien sur ideal, difficilement realisable acause des imperfections technologiques.
183
I
1·- Probleme 6
ESSAI DE MODELISATION EXPERIMENTALE
Les systemes de chauffage par air pulse (domotique, serres agricoles, etc .... ) utilisent des echangeurs de chaleur, realises le plus sou vent par des circuits d'eau chaude places dans une gaine comme l'indique Ia figure suivante:
4) L'electrovanne ne reagit qu'une seconde apres qu'on lui en ait donne l'ordre. Au dela de I me-
tre, le liquide continuera a monter de Jcm ou evoluer entre 0,983m et l,OJm.
a descendre de
1,6 7cm. Le niveau du liquide va done
~
AIR
=
K(h" -h) avec 5) Lorsque Ia vanne fonctionne en regime lineaire, on peut ecrire que Q, 1 20 10 3 K ·0,1 -J = 0,2m Is/ m. Le schema fonctionnel de !'installation se simplifie et devient:
===t>
~~
T2
L-------1/ Temperature de l'air
=
CIRCUIT D'EAU
r,
L ~ . de trans.ert ~ du reservoirs ' . '.ecru. a .onctron
t
'r
6. Essai de modelisation experimentale
de 2 equations
I
2 0 n ecnt H(p) I =-. ' done Ie systeme · =Q,(p)-Q,(p) Sp P
Si on soumet le circuit d'eau a une variation brusque de temperature, !'evolution de Ia temperature de Ia gaine sera celle d'un systeme d'ordre n, n etant inconnu, associe a un retard qu'il sera difficile d'evaluer.
2
H(p) = -[Q,(p)- Q,(p)) - p
T, qui conduit
a:
T2A
Q,(p)- 0,2( H"1 (p)- H(p))
T21·
H(p)= H"t(p)- 5Q,(p) 1+2,5p 1+2,5p 5.10-' Le debit Q, est constant et ega! a 5.10-3 m'ls done Q,(p) = - - . L a hauteur de reference est
p I I lm, done H,.1 (p) =- et dans ces conditions H ( p ) = - - p p(l+2,5p) duit:
I J
25.10-) p(l+2,5p) ·On en de-
h(t) = 0,975(1- e· 2·5 P)
Attention: cette formule n'est valable qu'en regime de Iinearite de Ia vanne; si Ie niveau initial etait 0,50m, Ia vanne travaille en regime sature (ouverture maximale): le niveau evolue lineairement a raison de 3cm/s. Lorsqu'il atteint 0,9m, le regime de Ia vanne redevient lineaire et h obeit a Ia loi ci-dessus. Lorsqu'on affiche une reference de lm, on constate que le regime permanent s'etablit 0,975m. II y a done une erreur statique, par contre le niveau reste stable comparativement a Ia regulation tout ou rien.
~0
t
Dans les premiers instants qui suivent Ia sollicitation, Ia temperature n'evolue pas, puis elle commence a croitre lentement. Ce phenomene est du a deux causes:
+ l'echangeur ne comporte pas qu'une seule capacite thermique preponderante, mais plusieurs,
+ il existe des retards dus au deplacement de l'eau dans les tubes et de !'air dans Ia gaine, entre l'echangeur et l'endroit oii est mesuree Ia temperature, forcement eloigne de I' echangeur. Ces retards de transfert dependent evidemment de Ia vitesse des flu ides et des distances parcourues. Le modele de connaissance d'un tel systeme est tres complexe done tres difficile a evaluer. Brofda propose une methode qui consiste a approximer cette reponse avec un premier ordre muni d' un retard.
IM4
~
Graphiquement, cela revient a faire co·incider Ia reponse indicielle d'un systeme aperiodique d'equation:
De ( l) et (2) on tire: e
<
= 1,2 soit -t
avec Ia courbe d'equation:
D'autre part, de (2) il vient: 1-T
')
8 -t --"
't' 't'
ou encore:
7;(t)=1;0 +K(l+A1e '• +A2 e ''+ ....+A.e '•)
J;(t)=T20 +K(l-e
185
7 . Comportement d' un systeme echantillonne du second ordre
9. PROBLEMF.S R•:SOJ.US
=In 1,2
=5,5(t 8 -t")
t -T --"-=ln0,72 't'
-tA-T= --rln0,72
=>
et en rempla~ant 't par sa valeur, on obtient:
En comparant Ia reponse du premier ordre et celle de systemes d'ordre ni Bro"ida s'est aper~u que le premier ordre encadrait toujours le point d'inflexion (figure suivante) et il montre que les points d'intersection A et B sont situes respectivement a28% et40o/c de !'excursion dT2.
T=2,8tA -I,8t 8
2) Sur Ia courbe, on trouve t A = 16,2s et t 8 = 18,2s d'oii ~ et T = 12,6s.
T2
.
!lY:
2 =-=0,8 et done !li;
0,8e -12.6p
Tzl
3) On a tout de sutte k
Tzol----~
Notons au passage I' imprecision de Ia commande, puisque le regime permanent tend vers 40°C alors qu'on devrait obtenir45°C.
0
F(p)
= 1+ ll p
T
I
I} Si on appelle tA et t8 les temps correspondants aux points A et B, determiner les expressions de Ia constante de temps 't du premier ordre equivalent et du retard Ten fonction de tA et t8 . 2\ Une etude du comportement dynamique d'un systeme de chauffage d'une serre a donne les re··• :·.m suivants:
Probleme 7
I
COMPORTEMENT D'UN SYSTEME ECHANTILLONNE DU SECOND ORDRE
Soit un systeme lineaire continu du second ordre caracterise par un gain statique ega! a I, un amortissement 1;, 0,7 et une pulsation propre 00. = lrcl/s. Ce systeme est commande par un BOZ.
kmp.!rature initiale T 2o =20°C,
=
-echelon d'entree dT 1 = 25°C, - reponse de Ia sonde de temperature donnee par le tableau ci-dessous:
1) Calculer les poles et le zero de Ia fonction de transfert echantillonne de ce systeme en fonction
deT. t
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
50
T2
21
24,3
27,8
30,8
33,4
35,2
36,6
37,5
38,2
38,6
39
39,4
39,8
2) Montrer,
a partir d' exemples, que l'echantillonnage ne change pas I' amortissement.
3) Evaluer en fonction de T !'instant du premier depassement de Ia reponse
a un echelon.
4) On suppose maintenant qu'on puisse modifier Ia valeur du zero par un systeme correctif appro-
Tracer le plus precisement cette reponse sur papier millimetre et en deduire les valeurs de 't et T.
prie de maniere que Ia fonction de transfert puisse s'ecrire: 3) Evaluer le gain statique et en deduire Ia fonction de transfert du systeme.
z- z0 F(z) = KK,. (1- zo)(z-
;,Xz- z, *)
Solution 1) On a
T2 A
=T
20
(
+ !lT2 1- e
t,-T) ' =T
20
Dans cette expression, K est un coefficient tel que le gain statique soit toujours ega!
+ 0,28/lJ;
(I) (2)
Zo. + pour les valeurs de Zo suivantes: -2 , -0,6 , 0 , 0,4 , 0,6 , 0,8 calculer les vale.urs de ces
_t,.-T
soit encore:
e
et done de Ia meme maniere:
e--,- = 0,6
'
= 0,72
a 1 quelle que
soit Ia valeur du zero. Montrer !'influence de Ia position du zero sur Ia reponse du systeme a un echelon-unite. On prendra pour cela une periode d'echantillonnage T = Is puis on operera de Ia maniere suivante: + ex primer !es I0 premiers echantillons de Ia reponse a un echelon-unite en fonction de
t 1 -T
echantil!ons,
+ observer Ia forme de Ia reponse et conclure.
.. '
186
9.
PROBI.E~IES RE.~OI.l'S
Sur ce tableau. on voit apparaitre le nombre d'echantillons visualisables jusqu'au premier maximum: plus Test faible, plus ce nombre est important. Dans notre cas, il semble qu'en prenant T = Is, l'echantillonnage est suffisant pour ne pas perdre d'information importante.
Solution I) D' apres le cahier des charges, Ia fonction de transfer! du systeme continu est F(p) =
1 1+ 1,4p+ p
, . La fonction de transfer! du systeme muni de son BOZ s'ecrit alors:
4) Pour T =Is. ·on obtient F(z) =0,3K
Z-Zo
• , • h .. . S( ) reponse a un ec e1on s ecnt: z
K1·(~ -~ 1 Xz- ~1 *)
F(z) =
187
7. Comportement d'un systeme echantillonne du second ordre
2
Z-Zo
z - 0,75z + 0,25
=(1-0,5z
0)
ce qui impose K
5 3(1- Z0 )
et Ia
z(z- Z0 )
(z -l)(z 2 - 0,75z +0,25)
En effectuant Ia division polynomiale, on va obtenir Ia valeur des differents echantillons:
z- = pei8 {z1 *= pe-'8.
Dans cette expression, on a _.:
K1
p =e-o.1r p +p(0,98sin(J-cos9) ;____;_-'---------'- et { (J =0,714T' Zo = K1 2
'
S(z) =
=1- p(0,98sin(J + cos9).
~[;:- 1
+ (1,75- z0 )z-2 + (2,06-1,75z0 )z- 3 + (2,11- 2,06Zo)Z_. + (2,07- 2,1lzo)Z-s 1-z0 9 8 + (2,03- 2,07z 0 )Z-6 + (2,01- 2,03z0 )z-' + (2,01- 2,01Zo)Z- + (2,02- 2,0lz 0 )z- ]
Les differentes reponses sont donnees dans le tableau ci-dessous: 2) La periode d'echantillonnage modifie done Ia position des poles et du zero. On peut done se demander si, dans ces conditions, Ia forme de Ia n!ponse a un echelon evolue. On va pour cela rechercher pour differentes valeurs de T Ia position des poles et du zero. Le choix de Ia periode d'echantillonnage doit etre realise de maniere it respecter Ia double relation 0.25::; Tw.::; 1,25. On obtient le tableau suivant:
So
St
52
SJ
s.
~l
56
s,
Sg
Sq
Zo
-Z
0
0,17
0,64
0,95
1,06
1,07
1.05
1.03
1.03
1.03
-0,6
0
0,31
0,73
0,96
1,04
1,03
1,01
1,00
1,00
1,00
O,Z5
0,5
0,75
1.25
0
0,5
0,88
1,03
1,06
1,04
1,0Z
1,01
1,00
I
0
1,00
Tt...,)
0,7
0,6
0,5
0,83
l,IZ
1,13
1.07
l,OZ
1,01
1,00
0.4
0
1,00
0,84
0,4
1,00
p
100
zoos
I,Z5
1,19
1.08
l.OZ
1,00
1.00
51°
0
0,99
41°
0,6
0,99
31°
1,00
6
0,97
1,01
1,03
Zo
-0,66
-0,8
-0.73
-0.63
-0.55
0,8
Lorsque T augmente, on constate done que: • les poles se rapprochent de I' axe imaginaire, tout en s'ecartant de I' axe des reels, • le zero evolue en passant par un minimum, ce qui n'est pas etonnant au vu de l'abaque I du chapitre 7. On va determiner maintenant I' angle y sur l'abaque Z, it partir du positionnement des poles et du zero: on obtient:
I ~· I ~~ I : I ~~ I -~· I ~~~ I 0
0
0
T
L'angle yne varie pas, et si on se reporte sur l'abaque I, on obtient D #4,7'7c; le n!sultat est tout fait analogue it celui des systemes continus.
a
3) On travaille maintenant sur l'abaque 3 sur lequel on va determiner Ia valeur de , temps du premier maximum. Pour y = -44°, on trouve n6 = 180°, d'ou les valeurs den: T (sec)
O,Z5
0,5
0,75
I
l,Z5
6
JOO
zoos
31°
41°
51°
n
18
9
6
4,5
3,5
0
Z,5
Z,38
1,65
1,16
0,96
0,94
On con state que plus Ia valeur du zero augmente, plus le temps de montee diminue: Ia reponse est plus « nerveuse ... Par contre, en augmentant Ia valeur du zero, on engendre des depassements importants et on peut a voir une reponse oscillatoire amortie autour de Ia valeur finale; on remarque ce phenomene a partir de Zo = 0,6 .
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
- GILLE, DECAULNE et PELEGRIN- Dynamique de Ia cornmande lineaire - DUNOD - BOISSEL, COZIAN et MALEJACQ - Mathematiques pour l'Electronique et l'Electrotechnique- EDISCIENCES -FERRIER et RIVOIRE- Cours d'Automatique Tomes 1, 2 et 3- EYROLLES - VIBET - Systemes asservis lineaires continus - ELLIPSES - DORF- Modem control system- ADDISON-WESLEY -LANDAU- Identification et cornmande des systemes- HERMES -VIDAL- Aide-Memoire d' Automatique - DUNOD
