Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem
Roteiro 1
Sistemas de Primeir Sistemas Primeira a Ordem Ordem Função de Transferência de Sistemas de Primeira Ordem Puramente Capacitivo ou Integrador Puro
2
Resposta Transiente Transiente de Sistemas de Primeira Ordem Ordem Resposta ao Degrau Resposta ao Impulso Resposta Senoidal
3
4
Exemplos Dois Tanques de Nível Resposta ao Pulso Resposta Senoidal Atividades Complementares
Roteiro 1
Sistemas de Primeir Sistemas Primeira a Ordem Ordem Função de Transferência de Sistemas de Primeira Ordem Puramente Capacitivo ou Integrador Puro
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Resposta Transiente Transiente de Sistemas de Primeira Ordem Ordem Resposta ao Degrau Resposta ao Impulso Resposta Senoidal
3
4
Exemplos Dois Tanques de Nível Resposta ao Pulso Resposta Senoidal Atividades Complementares
Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Primeira Ordem (ou retardo (ou retardo de primeira ordem ou ou estágio estágio exponencial simples) simples) é aquele cuja resposta y (t ) é descrita por uma equação diferencial de primeira ordem: ordem: dy a 1 + a 0 y = bu , y (0) = 0 dt Se a 0 = 0, então
Fazendo
tem-se
a 1 dy b + y = u , y (0) = 0 a 0 dt a 0 a 1 b = τ p = K p p e p a 0 a 0
dy τ p + y = K p p p u , y (0) = 0 dt que é a forma padrão de representar um sistema de primeira ordem,
Sistemas de Primeira Ordem continuação
onde constante de tempo do sistema: sistema : indica a rapidez com que a τ p p – constante resposta do sistema reage a uma perturbação em uma certa entrada K p ganho estacionário ou ou ganho ganho estático ou ou ganho ganho do processo: processo: p – ganho é a razão entre os valores finais da resposta e de uma determinada entrada considerada K p p = K p p =
∆y (degrau em u ), ), ou ∆u lim [G p )] p (s )]
s →0
Função de Transferência de Sistemas de 1a Ordem Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo
τ p sY (s ) + Y (s ) = K p U (s ) (τ p s + 1)Y (s ) = K p U (s ) K p Y (s ) = G p (s ) = τ p s + 1 U (s )
Puramente Capacitivo ou Integrador Puro
Caso Particular: Se a 0 = 0 dy b = u = K p u dt a 1 K p Y (s ) G p (s ) = = U (s ) s diz-se que o sistema é puramente capacitivo ou integrador puro.
Resposta ao Degrau As respostas transientes de sistemas de 1 a ordem são apresentadas para três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudo experimental e teórico do controle de processos. Resposta ao Degrau A função degrau de amplitude A é expressa por u (t ) = Au ∗ (t ), t
≥ 0
onde u ∗ (t ) é a função degrau unitário
Resposta ao Degrau continuação
Combinando a função de transferência de um sistema de 1 a ordem e a Transformada de Laplace da função degrau com amplitude A, K p A Y (s ) = τ p s + 1 s cuja transformada inversa de Y (s ), y (t ), será igual a y (t ) = K p A(1
− e −t /τ ) p
Resposta ao Degrau continuação
A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y (t )/K p A contra o tempo adimensional t /τ p : Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau 1 0.9 0.8 0.7 0.6 A
p
K / y
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
t/τ
p
3
3.5
4
4.5
5
Resposta ao Degrau continuação
Destacam-se nessa resposta: 1
o valor de y (t ) alcança 63,2% do seu valor final após decorrido um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo, τ p . Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será a resposta do sistema. A resposta é essencialmente completa após 3 a 5 constantes de tempo tempo decorrido [y (t )/y ( )] 100
∞ ×
τ p 63,2
2τ p 86,5
3τ p 95
4τ p 98,2
5τ p 99,3
Resposta ao Degrau continuação
2
a inclinação da curva resposta em t = 0 é igual a 1 d [y (t )/K p A] d [t /τ p ]
= e −t /τ p
t =0
t =0
=1
se a velocidade inicial de variação de y (t ) fosse mantida, a resposta seria completa após uma constante de tempo 3
o valor final da resposta é igual a K p A
∆y = K p ∆u
⇒ y (t → ∞) → K p A
Resposta ao Impulso Resposta ao Impulso Matematicamente, a função impulso de intensidade A é definida por u (t ) = Aδ (t ), t = 0 onde δ (t ) é a função impulso unitário
Resposta ao Impulso continuação
A resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbado por um impulso de intensidade A, pode ser expressa por: K p Y (s ) = A τ p s + 1 A transformada inversa de Y (s ), y (t ), será igual a K p A −t /τ p y (t ) = e τ p
Resposta ao Impulso continuação
A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y (t )τ p /K p A contra o tempo adimensional t /τ p : Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso 1 0.9 0.8
Note que a resposta cresce imediata- mente para 1, 0 e, após decai exponencialmente.
0.7 0.6 A
p
K /
p
0.5
τ
y
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
t/τ
p
3
3.5
4
4.5
5
Resposta Senoidal Resposta Senoidal Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pela equação u (t ) = A sen(wt ), t 0
≥
onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2π f , f =frequência em ciclos por tempo). A Transformada de Laplace de u (t ) é Aw U (s ) = 2 s + w 2
Resposta Senoidal continuação
Combinando-a com a função de transferência de um sistema de 1 a ordem, encontra-se K p Aw Y (s ) = τ p s + 1 s 2 + w 2 Calculando a transformada inversa de Y (s ), obtém-se y (t ) =
K p Aw τp −t /τ p e + 2 2 τ p w + 1
φ = arctg( w τp )
−
K p A
τ p 2 w 2 + 1
sen(wt + φ)
Resposta Senoidal continuação
Observe o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistema de 1a ordem a ela Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal 1 u y
0.8 0.6 0.4 0.2 y
0
−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0
1
2
3
4
t
5
6
7
Resposta Senoidal continuação
Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal: 1
a resposta é também uma onda senoidal com frequência w igual à onda senoidal do sinal de entrada
2
quando t , resta apenas a solução periódica final, algumas vezes chamada de solução estacionária
→ ∞
y (t ) s =
|
K p A
τ p 2 w 2 + 1
sen(wt + φ)
φ = arctg( w τp )
−
(o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelo comportamento transiente da resposta de y (t ))
Resposta Senoidal continuação 3
a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) e da entrada é a chamada razão de amplitude, AR
q K A p
AR =
τ p 2 w 2 +1
A
=
K p
τ p 2 w 2 + 1
Se AR < 1, diz-se que o sinal é atenuado. O mesmo é válido para a razão de amplitude normalizada, AR N , obtida quando divide-se AR pelo ganho do processo, K p AR N =
AR = K p
1
τ p 2 w 2 + 1
< 1, portanto atenuado
AR N apresenta apenas o efeito da dinâmica do processo, τ p , sobre a resposta senoidal
Resposta Senoidal continuação
4
a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo φ . O atraso sempre ocorrerá, pois o sinal de φ é sempre negativo (φ < 0, atraso de fase; φ > 0, avanço de fase)
||
Dois Tanques de Nível Exemplo Dois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir
Figura: Dois tanques de nível
Dois Tanques de Nível Exemplo (continuação)
√
Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada como F = 8 h . Para o Tanque 2, a variação do nível h não afeta a vazão de saída, F . Ambos os tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme com área A = 0 , 3 m2 e encontram-se em estado estacionário, com nível de líquido igual h s = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada, F o , é aumentada para 10 m 3 /min. Para cada tanque, determine: (a) a função de transferência H (s )/F o (s ) (b) a resposta transiente h (t ) (c) os níveis no novo estado estacionário (d) se cada tanque tem altura nominal h n = 2 m, qual dos tanques transbordará? E quando?
Dois Tanques de Nível Solução
Tanque 1 Modelo Linearizado dh F o = dt A
k
− 2A√ h h , h (0) = 0 s
Função de Transferência A função de transferência entre a variável de saída, H (s ) e a variável de entrada, F o (s ) é: G p (s ) = K p =
τ p =
K p H (s ) , onde = F o (s ) τ p s + 1
√ 2 h
(2)(1) = 0, 25 m/(m3 /min) k (8) 2A h s (2)(0, 3)(1) = = 0, 075 min k (8) s
√
=
Dois Tanques de Nível continuação
Função de Transferência Substituindo os valores numéricos de K p e τ p tem-se: 0, 25 H (s ) = F o (s ) 0, 075s + 1
G p (s ) =
Resposta ao Degrau A entrada F o sofre um perturbação degrau de amplitude ∆F o = 10 (8)(1) = 2 m3 /min. A transformada inversa de
−
√
F s =8 h s
K p ∆F o H (s ) = τ p s + 1 s
será igual a h (t )
− −
= K p ∆F o 1 = 0, 50 1
e
t /τ p
−
e
t /0,075
−
−
= (0, 25)(2) 1
e
t /0,075
−
Dois Tanques de Nível continuação
Resposta ao Degrau Em variável absoluta
−
h (t ) = 1 + 0, 50 1
e −t /0,075
Após a perturbação, a altura do tanque irá para h (t
→ ∞)
= 1 + 0, 50 = 1, 50 m < 2 m não transbordará
Dois Tanques de Nível continuação
Resposta ao Degrau A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo nãolinear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) em F o : no EE:
F os
−
k h s = 0
h s =
F os k
h s =
10 8
2
2
= 1, 56 m < 2 m
→ não transbordará
Dois Tanques de Nível Tanque 2 Modelo Linear(izado) dh F o = dt A
−
F , h (0) = 0 A
Função de Transferência A função de transferência entre a variável de saída, H (s ) e a variável de entrada, F o (s ) é: sH (s ) = G p (s ) =
F o (s ) F (s ) A A H (s ) 1/A = F o (s ) s
−
Substituindo o valor numérico de A tem-se H (s ) 3, 33 G p (s ) = = F o (s ) s
Dois Tanques de Nível continuação
Resposta ao Degrau A entrada F o sofre um perturbação degrau de amplitude ∆F o = 10 (8)(1) = 2 m3 /min. A transformada inversa de
−
√
F s =8 h s
1/A ∆F o H (s ) = s s
será igual a h (t ) =
∆F o (2) t = t = 6 , 67t A (0, 3)
Em variável absoluta h (t ) = 1 + 6, 67t Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente com o tempo, sem atingir novo valor final.
Dois Tanques de Nível continuação
Resposta ao Degrau O tanque irá transbordar quando h (t b ) > h n 2 = 1 + 6, 67t b
⇒
2 1 t b = = 0, 15 min 6, 67 transbordará
−
Dois Tanques de Nível continuação
Resposta ao Degrau Altura de Líquido no Tanque 2.2
2
hlinear hcapacitivo hnominal
1.8 ) m1.6 ( h
1.4
1.2
1 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
t (min)
Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível
Resposta ao Pulso
Exemplo Um tanque de nível de seção reta uniforme de área A = 0, 3 m2 e vazão de saída calculada como F = 8 h , encontra-se em estado estacionário, com nível de líquido igual h s = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada é aumentada bruscamente para 9 m 3 /min, durante 0,1 min, pela adição uniforme de 0,10 m 3 de líquido no tanque. Mostre a resposta do sistema no tempo e compare-a com a resposta impulsional.
√
Resposta ao Pulso Exemplo (continuação)
Figura: Tanque de nível
Resposta ao Pulso Solução
Função de Transferência A função de transferência entre a variável de saída, H (s ) e a variável de entrada, F o (s ) é: G p (s ) = K p =
τ p =
K p H (s ) , onde = F o (s ) τ p s + 1
√ 2 h
(2)(1) = = 0, 25 m/(m3 /min) k (8) 2A h s (2)(0, 3)(1) = = 0, 075 min k (8) s
√
Substituindo os valores numéricos de K p e τ p tem-se: G p (s ) =
H (s ) 0, 25 = 0, 075s + 1 F o (s )
Resposta ao Pulso continuação
Perturbação Pulso
A entrada F o sofre um perturbação pulso de amplitude ∆F o = 9 (8)(1) = 1 m3 /min e duração de
−
√
F s =8 h s
0,1 min. Esta perturbação pode ser representada como dois degraus iguais e consecutivos, mas de sinais opostos
Resposta ao Pulso continuação
Perturbação Pulso F o (t ) = ∆F o [u (t )
− u (t − t o )]
com t o = 0, 1 min e cuja Transformada de Laplace é F o (s ) = ∆F o
− 1 s
e −t o s s
Resposta ao Pulso continuação
Solução no Tempo Resolvendo a equação no domínio da Transformada H (s ) =
− e −t o s s
K p 1 ∆F o τ p s + 1 s
H (s ) = K p ∆F o
1 s (τ p s + 1)
e −t o s
− s (τ p s + 1)
cuja transformada inversa será igual a h (t ) = K p ∆F o
− − − 1
e −t /τ p u (t )
1
e −(t −t o )/τ p u (t
− t o )
Resposta ao Pulso continuação
Solução no Tempo Ou h (t ) = h (t ) =
− − − − − −
K p ∆F o 1 e −t /τ p K p ∆F o 1 e −t /τ p
1
K p ∆F o 1 e −t /τ p K p ∆F o e t o /τ p 1 e −t /τ p
e −(t −t o )/τ p t < t o t > t o
t < t o t > t o
Substituindo pelos valores numéricos h (t ) =
−
− −
t /0,075
(0, 25)(1) 1 e (0, 25)(1) e 0,1/0,075 −
t /0,075
= 0 , 25 1 e 1 e t /0,075 = 0, 698e −
−
t /0,075
−
t < 0 , 1 min t > 0 , 1 min
Resposta ao Pulso continuação
Solução no Tempo Comparando com a resposta impulsional de intensidade ∆ F o
× t o
K p ∆F o t o −t /τ p (0, 25)(1)(0, 1) −t /0,075 h (t ) = e e = = 0, 33e −t /0,075 τ p (0, 075) Em variável absoluta h (t ) =
−
e −t /0,075
1 + 0, 25 1 1 + 0, 698e −t /0,075
h (t ) = 1 + 0, 33e −t /0,075
t < 0, 1 min t > 0, 1 min
Resposta ao Pulso continuação
Solução no Tempo Pulso e Impulso em F
0
1.4 resposta ao pulso resposta ao impulso
1.35 1.3 1.25 ) m 1.2 ( h
1.15 1.1 1.05 1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
t (min)
Figura: Resposta impulsional e ao pulso
0.5
Resposta Senoidal Exemplo A composição de alimentação de um reator varia com uma amplitude maior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para reduzir a variação na composição de alimentação, como mostrado na figura: F
F
CA0
C*A0 V
F CA
C*A0
Tanque Pulmão
Reator
Figura: Reator com tanque pulmão
Resposta Senoidal
Exemplo (continuação) Deseja-se, então, saber qual o volume mínimo requerido do tanque pulmão para que a variação da composição na corrente de entrada do reator seja menor ou igual a 20 g/m3 ? Analise e discuta a solução. Considere uma vazão de alimentação F = 1 m3 /min e uma concentração de alimentação C A0 variando segundo uma senóide com amplitude de 200 g/m3 e período de 5 min, na vizinhança de um valor médio de 200 g/m3 .
±
Resposta Senoidal Solução
Modelo Linear
∗ dC A0 F = (C A0 dt V
− C A0∗ ), C A0∗ (0) = C A0∗ s
Função de Transferência ∗ (s ) e a A função de transferência entre a variável de saída, C A0 variável de entrada, C A0 (s ) é obtida a partir do modelo linear escrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio:
∗ dC A0 dt
+
G p (s ) = K p =
F ∗ F C A0 = C A0 V V ∗ (s ) C A0 K p , onde = C A0 (s ) τ p s + 1 F /V 1 = 1 e τ p = = V /F min F /V F /V
Resposta Senoidal continuação
Resposta à Senóide A entrada C A0 comporta-se como uma perturbação senoidal A sen (wt ) com amplitude A = 200 g/m3 e frequência angular w = 2π f = 2π/T = 2π/ 5 = 0 , 4π min−1 . A transformada inversa de K p Aw ∗ C A0 (s ) = τ p s + 1 s 2 + w 2 será igual a
∗ (t ) = C A0
K p Aw τ p −t /τ p e + 2 2 τ p w + 1
φ = arctg( w τp )
−
K p A
τ p 2 w 2 + 1
sen(wt + φ)
Resposta Senoidal continuação
Solução Estacionária Após um transiente inicial, considera-se apenas a chamada solução estacionária:
∗ (t ) = C A0
K p A
τ p 2 w 2 + 1
sen(wt + φ)
φ = arctg( w τp )
−
Resposta Senoidal continuação
Solução Estacionária Deseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator seja reduzida de A = 200 g/m3 para A = 20 g/m3 ; isto é, projetar um tanque pulmão com volume V suficiente para atenuar o sinal original C A0 (t ) para C A0 (t ). Desta forma, a amplitude do sinal C A0 (t ) será igual a:
±
∗
±
∗
A∗ = A∗ = V =
∗
K p A
− τ p 2 w 2 + 1 K p A
(V /F )2 w 2 + 1
F w
K p A A∗
1 1 = 0, 4π
V = 2, 4 m3
(1)(200) 20
−
1
