Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias ( y = m•x + b en coordenadas cartesianas). Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada. En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0 . Se distinguen tres tipos:
Asíntotas verticales :
rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de
ecuación x = k.
Asíntotas horizontales :
rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de
ecuación y = k .
Asíntotas oblicuas :
si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de
ecuación y = mx + b. As í nt ot as hor izon tales
() () Ó
Ejemplo Calcular las asíntotas horizontales de la función:
()
Resolviendo el límite.-
Sustituyendo infinito en las x
Eliminando aquellos divididos entre infinito queda definido como
()
A sí nt ot a ve rt ic al
Ejemplo
Siendo k una constante que haga 0 la ecuación. Se busca que constate o constantes que sustituidas en x harían 0 la ecuación. Se obtiene ±1 sustituyendo en x del denominador
()
Al marcar error eso indica que es un punto por el que la grafica no pasa por lo que se puede saber que en x = ±1 existen asíntotas verticales. Comprobando gráficamente podemos observar.-
Para trazar las asíntotas de una hipérbola es suficiente construir un rectángulo, cuyos ejes de simetría sean los ejes de la hipérbola, trazar sus diagonales. La curva está comprendida en el ángulo formado por las diagonales del rectángulo cuyas dimensiones dentro del ángulo formado por las diagonales del rectángulo, son 2a y 2b; dichas diagonales son las asíntotas de la curva.
Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas de la forma:
Una función racional tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Pueden encontrarse en una función hasta dos asíntotas oblicuas distintas. Una por la derecha de su gráfica y otra por la izquierda. Podemos calcular esto de la siguiente forma:
() (())
Si m me da distinto de cero y ± ∞ podemos calcular n de esta manera:
Si n nos da como resultado un número infinito, entonces la recta Y = mx + n será una asíntota oblicua para f (x) por el lado izquierdo. Para el lado derecho podemos proceder de la siguiente forma, partiendo de lo siguiente:
() (())
En este caso, si m da un resultado distinto de cero y ± ∞, calcularemos n de esta forma:
Si el resultado de n es un número real, entonces la recta Y =mx +n será una asíntota oblicua para f(x) por el lado derecho. Es posible que nos encontremos con funciones que no tengan asíntotas oblicuas. Que tengan una asíntota oblicua por ambos lados. Que tengan una asíntota por un lado nada más, o que tengan dos asíntotas oblicuas diferentes. Un buen truco para saber de antemano si tenemos una asíntota oblicua es observar si se trata de una fracción. De ser así, solo tenemos una asíntota oblicua si el numerador posee un grado mayor que el denominador.
También tengamos en cuenta que una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado. Pero si una horizontal por un lado y una oblicua por el otro. Ejemplo
()
Checamos primero si tiene una asíntota oblicua.
() () (() ) ( )
La ecuación de la asíntota nos vendría quedando de la siguiente manera:
Obtenemos b de la siguiente manera:
( )
Y la ecuación de la asíntota nos quedaría de la siguiente manera:
Comprobando gráficamente que si es una asíntota oblicua:
Bibliografía Cruz Sánchez, Toribio ra Geometría analítica 1 edición (2006) Edimaf : México http://www.ditutor.com/funciones_1/asintotas_oblicuas.html http://matematica.laguia2000.com/general/asintotas-oblicuas http://www.vadenumeros.es/primero/asintotas-verticales.htm http://www.ditutor.com/funciones_1/asintotas.html
