Arrospide

Mec´ anica de Fluidos e Introducci´ anica on on a la Ingen Ingenie ierr´ıa Hidr´ aulica aulica

Felipe Arr´ ospide ospide Alarc´ on on

ii

´ Indice general Nota al lector

VII

Agradecimientos y menciones

I

IX

Mec´ anica de fluidos anica

1. Introducci´ Introducci´ on y propiedades on 1.1. Int Introducc roducci´ i´ on: ¿qué es un fluido? on:

1

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3 3

1.1.1. Fluido Newto Newtoniano niano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Fluido Fluidoss no no Newton Newtonianos ianos . . . . . . . . . . . . . 1.2. Propi Propiedade edadess de los los fluidos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.. Cin 1.3 Cinem´ em´ atica de los fluidos: descripción atica on del movimiento 1.3.1. Clasifi Clasificaci´ caci´ on en el tiempo y el espacio . . . . . on

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1.3.2. Formas cinem cinemáticas áticas . . . . . . . . . . . 1.3.3. M´ etodos de descripción etodos on del movimiento 1.3.4. 1.3 .4. Rot Rotaci aci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . on 1.3.5. 1.3 .5. Gas Gasto to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. An 1.4. An´ a´lisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . alisis 1.4.1. Int Introducci roducci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . on 1.4.2. Dimen Dimensione sioness fundame fundamenta ntales les . . . . . . . 1.4.3. 1.4 .3. Tipo Tiposs de de an´ an´ alisis . . . . . . . . . . . . . alisis 1.4.4. Teore eorema ma π de Buckingham . . . . . . . 1.4.4.1. 1.4.4. 1. Homo Homogenei geneidad dad dimen dimensional sional . .

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13 14 20 23 24 24 24 25 25 25

1.4.4.2. Enu 1.4.4.2. Enunciad nciadoo del del teore teorema ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5. Modelos f´ f´ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Pro 1.5. Proble blemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 32 34

2. Est´ Est´ atica de los fluidos atica 2.1. Int Introducc roducci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on

55 55

2.2.. Ley Hidr 2.2 Hidrost ost´ a´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . atica 2.2.1. 2.2 .1. Pre Presi´ si´ on relativa vs absoluta . . . . . . . on 2.2.2. Fluido Fluidoss sometido sometidoss a acelera aceleraci´ ci´ on externa on 2.3. Fuerz uerzaa resultante resultante sobre superficies superficies . . . . . . . iii

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´ INDICE GENERAL GENERAL

iv

2.3.1. Superfi Superficies cies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.3.2. Pun Punto to de aplica aplicaci´ ci´ on de la resultante en superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . on

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2.3.3. Superfi Superficies cies curv curvas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.3.4. Pun Punto to de aplica aplicaci´ ci´ on de la resultante en superficies curvas . . . . . . . . . . . . . . . . on

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2.4. Fuerz uerzaa sobre cuerpos cuerpos sumergidos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4.1. Estab Estabilidad ilidad del equili equilibrio brio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4.2. Estab Estabilidad ilidad de de cuerpos cuerpos flotante flotantess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5.. Pro 2.5 Proble blemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. An´ alisi s global alisis g lobal

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3.1. Teore eorema ma del transporte transporte de Reynolds Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1.1. Volume olumen n de cont control rol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1.2. Deriv Derivaci´ aci´ on del teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 on 3.2. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 on 3.3.. Apl 3.3 Aplica icaci´ ci´ o n a la 1a ley de la termodinámica on amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la energ´ıa: on ıa: ecuación on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.5. L´ıneas de energ´ e nerg´ıa, ıa, cota piezométrica etrica y altura de velocid velocidad ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.6. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 on 3.6.1. Pérdidas erdidas por fricci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 on 3.6.2. Pérdidas erdidas por singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.6.3. Volume olumen n de control control en movimien movimiento to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.6.4. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la cantidad de movimiento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 on 3.7.. Pro 3.7 Proble blemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4. An´ alisi s puntual alisis

163

4.1. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 on 4.1.1. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la masa de fluido incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 on 4.2. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la can on cantidad tidad de mov movimien imiento: to: ecuación on de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.2.1. 4.2 .1. De la ecu ecuaci aci´ oń de Euler a Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 on 4.2.2. 4.2 .2. Ecu Ecuaci aci´ oń de Euler en coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 on 4.3. Flujo potenci potencial al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.3.1. 4.3 .1. Pri Princi ncipio pioss b´ basicos a´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.3.2. 4.3 .2. Flu Flujo jo potenc potencial ial en en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.3.3. 4.3 .3. Red Redes es de fluj flujoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.3.4. Funcion unciones es potenciale potencialess cl´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 asicas 4.4.. Pro 4.4 Proble blemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5. Flujo viscoso: viscoso: fluidos reales reales

193

5.1.. Ecu 5.1 Ecuaci aci´ oń de Navier-Stokes para fluido incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 on 5.2.. Pro 5.2 Proble blemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

´ INDICE GENERAL

II

Ingenier´ Ingenier ´ıa hidr´ aulica aulica

6. Int Introducci´ roducci´ on a la Ingeni on Ingenier er´ ´ıa hidr´ aulica aulica

v

209 211

6.1. Int Introducc roducci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 on 6.2. Tipos de flujo y leyes leyes de conserv conservaci´ aci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 on 6.2.1. 6.2 .1. Tipo Tiposs de de flujo flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.2.2. Ley Leyes es de conse conserv rvaci´ aci´ on en flujo abierto y cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 on 6.2.2.1. 6.2.2. 1. Flujo en canales canales abierto abiertos: s: conserv conservaci´ aci´ on de masa y energ´ıa on ıa . . . . . . . . . . . 213 6.2.2.2. 6.2.2. 2. Flujo en en conducto conducto cerrado: cerrado: conserv conservaci´ aci´ on de masa y energ´ıa on ıa . . . . . . . . . . 215 7. Flu Flujo jo en can canale aless abie abierto rtoss

217

7.1. Int Introducc roducci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 on 7.2. Clasifi Clasificaci´ caci´ on de flujos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 on 7.3. Caracter Caracter´´ısticas del flujo en canales abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.3.1. Propi Propiedade edadess de la secci´ secci´ on transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 on 7.3.2. Velocida elocidad d en canales canales abiert abiertos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.3.3. 7.3 .3. Pre Presi´ si´ on en canales abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 on 7.3.3.1. 7.3.3. 1. Flujo horizo horizonta ntall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.3.3.2 7.3 .3.2.. Flu Flujo jo inc inclina linado do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.3.3.3. 7.3.3. 3. Flujo con curv curvatura atura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.4. Conse Conserv rvaci´ aci´ on de la ener on energg´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.4.1. 7.4 .1. Ener Energg´ıa espec´ esp ec´ıfica ıfic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.4.2. Diagrama de energ ener g´ıa espec esp ec´´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.4.3. 7.4 .3. Ener Energg´ıa total t otal y energ´ en erg´ıa ıa esp e spec´ ec´ıfica ıfic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.5. Escurri Escurrimiento miento cr´ cr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.5.1. Energ´ıa ıa espec esp ec´´ıfica para p ara Q variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.5.2. Energ´ıa ıa espec esp ec´´ıfica para p ara A variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.5.3. Control de energ ene rg´´ıa espec´ e spec´ıfica ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.5.4. Transm ransmisi´ isi´ on de ondas en cauces abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 on 7.5.4.1 7.5 .4.1.. Veloc elocida idad d de la la onda onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.5.4.2 7.5. 4.2.. Onda Ondass en régimen egi men subcr´ su bcr´ıtico ıti co (r´ıo) ıo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.5.4.3. 7.5.4. 3. Ondas en régimen egimen supercr sup ercr´´ıtico (torrente) (tor rente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.6. Eleme Elementos ntos de control: control: transicio transiciones nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.7. Can Cantidad tidad de movim movimient ientoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8. Flu Flujo jo uniforme uniforme y dise˜ no de canales no

245

8.1. Int Introducc roducci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 on 8.2. Flujo unifor uniforme me o norma normall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.2.1. Resist Resistencia encia del del lecho en canales canales bajo flujo flujo uniforme uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.2.2. 8.2 .2. Ecu Ecuaci aci´ oń de Manning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 on 8.2.2.1. 8.2.2. 1. Coeficie Coeficiente nte de rugos rugosidad idad n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.2.2.2. 8.2.2. 2. Factor actores es que afec afectan tan n n

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8.2.2.3. 8.2.2. 3. Coeficie Coeficiente nte de rugosida rugosidad d para canales canales compuest compuestos os . . . . . . . . . . . . . . . 254

´ INDICE GENERAL GENERAL

vi

8.3. 8. 3. C´ alculo de altur alculo alturaa norma normall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. M´ etodo de bisección etodo on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Algor Algoritmo itmo de Bisecc Bisecci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . on 8.3.3. Comentarios sobre el m´ etodo de Bisección etodo on . . . . . . 8.3.4. M´ etodo del etodo d el gradiente gradie nte o método etodo de d e Newton-Raphson Newton-R aphson 8.3.5. Comentarios sobre el m´ etodo de Newton-Raphson . etodo 8.4. 8. 4. Di Dise˜ se˜ no de Canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . no 8.4.1. Uso del coeficie coeficiente nte n n de Manning . . . . . . . . . . . 8.4.2. 8.4 .2. Tipo Tiposs de can canale aless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3. Eleme Elemento ntoss de la secci´ secci´ on tran on transvers sversal al t´ıpi ıpica ca . . . . . . 8.4. 8. 4.4. 4. Di Dise˜ se˜ no de sección on óptima optima . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.5. Situa Situacione cioness especiales especiales de dise˜ dise˜ no . . . . . . . . . . . . no

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9. Flujo gradualment gradualmente e variado variado 9.1. Int Introducc roducci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 9.2. Ecuac Ecuaciones iones del del flujo variad variadoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. 9. 3. An An´ a´lisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alisis 9.3.1. Clasifi Clasificaci´ caci´ on de flujo según on un comportamiento de h versus versus h h c , hn y S 0 . 9.3. 9. 3.1. 1.1. 1. Se Seg´ g´ un pendiente de fondo S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . un 9.3. 9. 3.1. 1.2. 2. Se Seg´ g´ un relación un on entre altura normal h n y alt altura ura cr´ıtica ıti ca h h c . . 9.3.1.3 9.3 .1.3.. Cas Casos os espe especia ciales les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. 9. 3.1. 1.4. 4. Se Seg´ g´ un relación un on entre h entre h y h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. 9.3. 1.5. 5. Se Seg´ g´ un relación un on entre h entre h y h n . 9.4. Traza razado do de eje eje hidr´ aulico . . . . . . . . . . . aulico 9.4.1. Concl Conclusione usioness sobre sobre el trazad trazadoo . . . . . 9.4.2. Metodolog Metodolog´´ıa de trazado . . . . . . . . 9.4.3. Secc Secciones iones de cont control rol . . . . . . . . . . 9.4. 9. 4.4. 4. C´ alculo cuantitativo del eje hidráulico alculo aulico 9.4.5. M´ etodo directo por etapas . . . . . . . etodo 10.Flujo en conducto cerrado 10.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . 10.1.1. Conservaci´ on de masa . . . . . . . on 10.1.2. Balance de energ´ıa ıa . . . . . . . . . 10.1.3. Conservaci´ on de on d e energ ene rg´´ıa caso fluido 10.1.4. Conservaci´ on de energ´ıa on ıa caso real .

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255 258 25 9 261 261 2 63 263 264 266 267 269 270

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271 271 272 276 281 281 281 284 2 84

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. . . . .

299 299 2 99 300 301 301

10.1.4.1. Consu 10.1.4.1. Consumo mo y adici´ on de energ´ıa on ıa externa . 10.2. 10. 2. P´ P érdid erd idas as de ene energ´ rg´ıa ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Concepto de capa ca pa l´ımite ımite . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2. 10. 2.2. Pérdidas erdi das de ener energg´ıa en régimen egim en lami laminar nar . . . . .

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303 307 30 7 308

11.Referencias

. . . . . . . . . . . . ideal . . . . .

. . . . .

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. . . . .

313

Nota al lector Esta obra trata acerca de los fundamentos básicos de la mecánica de fluidos. Está orientado a aquellos alumnos que recién se están introduciendo a la mecánica del continuo, por lo que se requiere conocimientos previos del cálculo diferencial multivariable, ecuaciones diferenciales ordinarias y algunas nociones básicas de mecánica clásica.

vii

viii

NOTA AL LECTOR

Agradecimientos y menciones Este libro fue creados en base a notas tomadas en la clases impartidas en la Pontificia Universidad Católica de Chile, en la escuela de ingenier´ıa, espec´ıficamente el Departamento de Ingenier´ıa Hidráulica y Ambiental (DIHA). Fue complementado con investigación bibliogr´ afica y 3 a˜ nos de experiencia como ayudante del curso ICH1104 mecánica de fluidos. Se incluyen ejemplos y ejercicios de libros, pruebas y ayudant´ıas realizadas a lo largo de los semestres en que fui ayudante del curso, los detalles con los que se explican los problemas tienen por objetivo ponerse en el lugar del lector como alumno y plantearse las mismas preguntas que en clase uno se har´ıa. Espero que este libro sea de gran utilidad para quien lo lea, lo ayude a complementar su estudio durante su vida universitaria o para cualquier situaci´ on en que lleguen a necesitarlos. Mis agradecimientos a mi familia que siempre me apoyó, a pesar de encontrar esto una locura. Agradezco también a mi profesor supervisor de tesis, Cristián Escauriaza Mesa, por confiar en mi como su alumno y ayudante en varios cursos. Agradezco especialmente al doctor Francisco Suárez Poch por darme la oportunidad de ser ayudante jefe del curso Mecánica de Fluidos y de guiarme a lo largo de los años en que lo he conocido y también por ayudarme con la revisión de este libro Agradezco a Patricio Niculqueo Cerda y a Marina Dragicevic Parot, por acompa˜ narme y ayudarme en la elaboración de varias las figuras que están en este texto. Sin ellos no hubiese sido posible. Por u ´ ltimo, a las personas que más quiero en este mundo: mi padre Marco, mi madre Cecilia, mi hermana Mar´ıa Ignacia y todas las mascotas que nos han acompañado.

ix

x

AGRADECIMIENTOS Y MENCIONES

Parte I

Mec´ anica de fluidos

1

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on y propiedades 1.1.

Introducci´ on: ¿qu´ e es un fluido?

Existen distintos estados de la materia: sólido, l´ıquido, gaseoso y plasma. Estos estados tienen que ver con cómo los átomos y mol´ eculas se estructuran unos al lado de otros, su fuerza de cohesión, capacidad de deformaci´ on, etc. Usualmente cuando hablamos de fluido, estamos agrupando tanto a l´ıquidos como gases, ya que comparten la propiedad de deformarse continuamente al ser sometidos a un esfuerzo de corte . ¿Qué significa lo que acabamos de mencionar? A diferencia de un sólido, donde al aplicar un esfuerzo de corte tangencial, este se deformará solo al exceder cierto l´ımite elástico (es decir, podr´ıa seguir aplicando fuerza y no se deformar´ıa, sólo lo hará cuando se exceda el l´ımite) y dejará de deformarse cuando encuentre una nueva posición de equilibrio. La figura 1.1.1 muestra esta situación. Al contrario de los sólidos, tanto los l´ıquidos como los gases se deforman al aplic´ arseles un esfuerzo de corte, por m´ınimo que este sea. La figura 1.1.2 muestra un ejemplo. F

F

~

~

Una vez deformado, se alcanza posici´ on de equilibrio y deja de deformarse, independiente de la constancia de la fuerza.

S´ olido sometido a fuerza

Figura 1.1.1: Deformación de un sólido frente a esfuerzo de corte

Si la palabra “esfuerzo de corte” no es habitual aún en el vocabulario, no hay de qu´ e preocuparse, acá daremos una pequeña introducción de lo que es un esfuerzo de corte. Para las cuatro dimensiones en las que vivimos, existen tres direcciones espaciales, definidas por tres vectores ortogonales. Las fuerzas que se ejercen sobre un objeto tridimensional se pueden descomponer en estas tres direcciones. La figura 1.1.3 muestra todas las tensiones que se ejercen sobre un objeto. Estas tensiones componen el tensor de tensiones T . 3

´ Y PROPIEDADES CAP ´ ITULO 1. INTRODUCCI ON

4 F

F

~

F

~

Fluido sometido a fuerza

~

Deformaci´ on apenas siente la fuerza

Deformaci´ on continua mientras se siga aplicando la fuerza

Figura 1.1.2: Deformación de un fluido frente a esfuerzo de corte

T

=

 

σxx

τ xy

τ xz

τ yx

σyy

τ yz

τ zx

τ zy

σzz

 

Las tensiones normales a la superficie de contacto se denotan por σ y las tensiones tangenciales a la superficie de contacto se denotan por τ σzz

τ zy τ zx

z

τ yz

τ xz

x

σyy

y τ xy

σxx

τ yx

Figura 1.1.3: Esquema de tensiones aplicables a un objeto tridimensional

Entonces, los esfuerzos de corte τ son tensiones tangenciales a la superficie de contacto. ¿Cómo podr´ıamos generar un esfuerzo de corte en un fluido? Imaginemos que estamos en el plano X Y y que en la dirección Z todo es uniforme. Tenemos un elemento diferencial de fluido (figura 1.1.4) de ancho δ x y alto δ y. Este fluido está limitado inferiormente por una pared fija, mientras que en su parte superior hay una placa capaz de moverse en la dirección Y . Si a la placa superior se le aplica una pequeña fuerza δ F , ésta se moverá a una velocidad δ u. La interacción entre las part´ıculas de la placa y la de la capa superior del fluido es un esfuerzo de corte (la placa “arrastra” al fluido), el cual se define matemáticamente según la ecuación (1.1.1): δ F dF = δAy →0 δ Ay dAy

τ yx = l´ım

(1.1.1)

Donde τ yx indica el esfuerzo de corte de vector ˆ j ortogonal a su plano de acción y aplicación en dirección î, δ Ay es el diferencial de área que tiene por vector normal al ˆ j.

´ ´ ES UN FLUIDO? 1.1. INTRODUCCI ON: ¿QU E t =

5 0

Y, jˆ X, î

δ y

δ x

Figura 1.1.4: Elemento diferencial de fluido en reposo, instante t = 0.

La propiedad que tienen los fluidos es que se deforman continuamente, por lo que si vemos un instante posterior a la aplicación de la fuerza (figura 1.1.5), podemos ver cuánto se ha deformado el elemento diferencial y medir su tasa de deformación. δ L

t > 0

δ u

Y, jˆ δα

X, î

δ y

δ x

Figura 1.1.5: Deformacion de un elemento diferencial de fluido, instante t > 0.

Como podemos observar en la figura 1.1.5, el fluido se ha deformado en ángulo δ α y la placa ha avanzado una distancia δ L. Matemáticamente la tasa de deformación la definimos seg´ un la ecuación (1.1.2). δα dα = Tasa de deformación δ t→0 δ t dt

l´ım

(1.1.2)

Pensándolo bien, parece ser un poco dif´ıcil medir elemento a elemento la deformación angular. ¿Podemos medir esta tasa de deformación de otra manera? La respuesta es ¡s´ı! Usando nuestros conocimientos de cinemática, sabemos que la distancia recorrida por la placa es: δ L = δ u · δ t

Si usamos nuestros conocimientos de geometr´ıa, podemos observar que: tan(δα ) =

δ L δ y


6

Ahora bien, ya que estamos en desplazamientos infinitesimales, los ángulos son peque˜ n os, por lo que podemos aproximar tan( δα ) δα , luego:

≈

tan(δα )

≈ δα = δ δ Ly

Uniendo con nuestra relación de cinemática: δ uδ t = δαδ y

Y llevando al l´ımite obtenemos finalmente:

dα du = dt dy

(1.1.3)

Tasa de deformación

Ahora s´ı podemos medir la tasa de deformación con algo más controlable (la velocidad δ u aplicada a la placa dependerá de nosotros y el espesor δ y es controlable también al determinar la separación de la pared con la placa). Ya que entendimos la f´ısica de la deformación del fluido, la cual se da gracias a los esfuerzos de corte, nos preguntamos: ¿cuál es la relación matemática (si es que existe) entre ellos? Los fluidos son clasificados según la relación matemática entre esfuerzo de corte y tasa de deformación.

1.1.1.

Fluido Newtoniano

La primera categor´ıa de fluidos que analizaremos (y la más estudiada en los cursos introductorios de mecánica de fluidos) es la correspondiente a fluido Newtoniano. du En un fluido newtoniano, τ y (esfuerzo de corte y tasa de deformación, respectivamente) son directady mente proporcionales y la constante de proporcionalidad se llama viscosidad din´ amica, denotada por µ. Esta relación se llama Ley de Viscosidad de Newton (ecuación (1.1.4)).

τ = µ

du dy

(1.1.4)

Ley de viscosidad de Newton kg La unidad de medida de la viscosidad dinámica es el . La viscosidad es el grado de “resistencia” a la ms deformaci´ on del fluido. Cada fluido tiene una viscosidad distinta. Para independizarnos de la masa del fluido, definimos la viscosidad cinem´ atica ν :

ν =

µ ρ

m2 s

 

(1.1.5)

´ ´ ES UN FLUIDO? 1.1. INTRODUCCI ON: ¿QU E

7

Viscosidad cinem´ atica

Ejemplo 1.1. Aceite sometido a esfuerzo de corte Se tiene aceite SAE 1 30 a 20◦ C , el cual se considera Newtoniano, entre dos placas paralelas. La placa inferior está fija (velocidad 0) y la superior se mueve a velocidad constante V = 3 m/s, como muestra la figura 1.1.6. Se quiere calcular el esfuerzo de corte si la separación entre las placas es de h = 2 cm y la viscosidad kg din´ amica µ = 0, 29 . ms V Y h X

SAE 30

Figura 1.1.6: Aceite SAE 30 entre dos placas paralelas. Ejemplo 1.1.

Una propiedad que tienen los fluidos, es que no resbalan, es decir, no toman velocidad relativa con respecto a su superficie de contacto. Esto significa que en la placa superior, la condición de borde es que la velocidad del fluido es la misma de la placa, mientras que en la placa inferior la velocidad del fluido es 0.

u(y = h) = V u(y = 0) = 0

Por otro lado, se puede asumir para distancias pequeñas que el perfil de velocidad es lineal, tal como se muestra en la figura 1.1.6. Por lo que usando la Ley de viscosidad de Newton:

τ =µ

du dy

=0, 29

1

SAE: Society of Automotive Engineering

∆u ∆y

=0, 29

V h

− 0 −0

=0, 29

3 2 · 10−2


8

∴

1.1.2.

τ = 43, 5 P a

Fluidos no Newtonianos

Son todos aquellos cuya relación entre τ y general como una ley de potencia 2 :

du no es directamente proporcional. Se modelan de forma dy

τ = τ 0 + κ

  du dy

n

(1.1.6)

Fluidos No-Newtonianos

donde la constante κ y el n´ umero n var´ıan dependiendo del comportamiento. El valor de τ 0 corresponde al esfuerzo de corte m´ınimo requerido para hacer escurrir (moverse) al fluido. Por ejemplo, la pasta de dientes es un fluido no newtoniano con τ 0 = 0, porque si tenemos el envase abierto y lo damos vuelta, podr´ıamos estar esperando hasta la eternidad para que la pasta salga. Es necesario superar el esfuerzo de corte m´ınimo (al presionar el envase) para que pueda salir la pasta, la gravedad no es suficiente.

6

1.2.

Propiedades de los fluidos

A continuaci´ on nombraremos y explicaremos algunas de las propiedades fundamentales que poseen los fluidos. Primero, hagamos la distinción entre propiedades extensivas e intensivas. Las propiedades extensivas dependen de la cantidad de material, mientras que las intensivas no. Algunos ejemplos de propiedades extensivas son: calor, peso, energ´ıa, forma. Entre las propiedades intensivas tenemos temperatura, color, elasticidad. Veamos un ejemplo: imaginemos un cubo de hielo de 1 1 1 m3 , la capacidad de almacenar calor es mucho mayor a que si tuvi´ eramos un cubo de 1 1 1 cm 3 (propiedad extensiva), pero el color es exactamente el mismo (propiedad intensiva). A veces nos interesará estudiar un fluido en puntos espec´ıficos (un punto tiene masa 0), por lo que ¿c´ omo podr´ıamos asignar propiedades extensivas? Para asignar una propiedad extensiva a cada punto del espacio, podemos definir propiedades espec´ıficas, lo cual se traduce en dividir la propiedad extensiva por la cantidad de masa. Algunas de las propiedades más utilizadas son:

××

× ×

≈

(a) Masa espec´ıfica ( ρ): relaciona la cantidad de materia con el volumen que ésta ocupa en un punto del espacio. Matemáticamente se define como:

ρ = l´ım

∆∀→0

2

Ley de potencia suele llamarse a relaciones del tipo y = ax . n

∆m ∆

∀

  kg m3

(1.2.1)

9

1.2. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

donde m es la masa y

∀ el volumen. La masa espec´ıfica se mide en

(SI).

 

kg en el sistema internacional m3

(b) Peso espec´ıfico (γ ): corresponde a la fuerza peso de la masa espec´ıfica. Matemáticamente se define como:

    ≈

γ = ρ · g

donde g es la aceleración de gravedad de la Tierra ( en el sistema internacional.

kg m2 s2

9, 81

m ). El peso espec´ıfico se mide en s2

(1.2.2)

  kg m2 s2

(c) Densidad (d): es una medida adimensional que compara la masa espec´ıfica de un fluido con respecto a una referencia establecida, por ejemplo la masa espec´ıfica del agua en caso de l´ıquidos y la del aire en caso de gases.

d =

≈ 1000 mkg3

Valores importantes: ρ H 2O

y ρ aire

ρ

(1.2.3)

ρreferencia

≈ 1, 2 mkg3

(d) Viscosidad din´ amica (µ): como vimos anteriormente, es la resistencia de los fluidos a la deformación por esfuerzo de corte. Este valor es constante en caso de los fluidos Newtonianos, pero no en fluidos no-Newtonianos. La viscosidad depende de la cohesi´ on entre las part´ıculas (importante en l´ıquidos) y además entre la capacidad de intercambio de cantidad de movimiento entre dichas part´ıculas (importante en los gases). En ocasiones, nos interesará independizarnos de la cantidad de masa del fluido, es por eso que definimos la viscosidad cinem´ atica ν como la resistencia a la deformación causada por el peso propio:

µ L2 ν = ρ T

 

(1.2.4)

m2 (¡independiente de la masa!). s La viscosidad depende de la cohesión de las part´ıculas y la capacidad de intercambiar momentum. La temperatura es capaz de alterar la viscosidad ya que puede romper enlaces y dar energ´ıa a las part´ıculas para que aumenten su frecuencia de choques. La figura 1.2.1 muestra la relación entre viscosidad cinem´ atica ν y la temperatura T . La cual se mide en

 

En el aire el intercambio de cantidad de movimiento es más determinante que la fuerza de cohesión, por lo que un aumento en la temperatura hace que las part´ıculas se muevan a una mayor velocidad y al incrementar sus colisiones, las hace más resistentes a la deformación. En cambio, los l´ıquidos est´ an unidos a trav´ es de sus fuerzas de cohesión (puentes de hidrógeno en caso del agua), por lo que un aumento de


10 ν

Gases

L´ıquidos

T

Figura 1.2.1: Relaci´ on ν vs T para l´ıquidos y gases

temperatura rompe estas uniones y hace que las part´ıculas ofrezcan menos resistencia a la deformación al no estar tan fuertemente unidas. (e) Compresibilidad: corresponde a la capacidad de un fluido de cambiar su masa espec´ıfica cuando es sometida a un esfuerzo de presión. Denotamos la variable por E y cumple con las siguientes relaciones:

E = ρ

E =

dP dρ

−∀ dP d∀

(1.2.5)

(1.2.6)

El s´ımbolo denota Volumen y lo usaremos frecuentemente.

∀

En esta sección, daremos un breve recorrido por el mundo de los gases. Este libro se concentra en los fluidos incompresibles, pero no por eso vamos a olvidarnos completamente de los gases. Una caracter´ıstica interesante de los gases es que sus propiedades P, ρ, T , presi´ on, masa espec´ıfica y temperatura se relacionan entre s´ı. No son independientes. Un ejemplo es la ley de los gases ideales:

P = ρ RT

(1.2.7)

Donde la constante R es llamada “constante del gas”, la cual dependerá del tipo de gas con el que estamos trabajando. La constante R más famosa es la constante universal de los gases ideales. ´ Los procesos de compresión o expansión se pueden definir en términos de ecuaciones caracter´ısticas. Estas dependerán del tipo de proceso. Tenemos: arico: la presión es constante. Acá P 1 = P 2 , por lo que: (a) Proceso isob´

11

1.2. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

ρ1 T 1 = ρ 2 T 2

(1.2.8)

(1.2.9)

ermico: la temperatura es constante, por lo que: (b) Proceso isot´

P 1 ρ1

P 2

= RT 2

(1.2.10)

T 1 = T 2

(1.2.11)

ρ2

∴

= RT 1

P 1 ρ1

=

P 2

(1.2.12)

ρ2

(c) Proceso adiab´ atico: no hay transferencia de calor entre el gas y el medio ambiente. Ac´ a si la presión es constante, entonces la masa espec´ıfica cumple relación de potencia ρ α , donde α =

c p cv

α es la relaci´ on entre el calor espec´ıfico a presión constante y el calor espec´ıfico a volumen constante.

(d) Proceso isoc´ orico o isovolumétrico: acá el volumen se mantiene constante, por lo que se cumple:

P V = nRT P nR = = cte T V P = ρ R = cte T P 1 P 2 = T 1 T 2

(1.2.13)

(1.2.14)

(1.2.15) (1.2.16)

Ya que estamos hablando de gases, cuya caracter´ıstica principal es que son compresible, nos preguntamos ¿c´ omo se define matemáticamente la compresibilidad? En gases, E está relacionado con el proceso al que está sometido el fluido:

E =0

Proceso isobárico

E =P

Proceso isotérmico

E = αP

Proceso adiab´ atico

E =

Proceso isoc´ orico

∞


12

1.3.

Cinem´ atica de los fluidos: descripci´ on del movimiento

En esta sección veremos cómo trabajar con las diferentes situaciones que encontraremos en este libro para describir el comportamiento de los fluidos. Como vivimos en un mundo de cuatro dimensiones, nos interesará describir al fluido en estas mismas cuatro: las tres espaciales y la dimensión temporal. Sucederá que a veces será mucho más importante analizar cambios espaciales que temporales o viceversa, dependiendo del tipo de operación. Por ejemplo: para dise˜ nar una central hidroeléctrica que funcionará a perpetuidad (todo el d´ıa, todos los d´ıas), importa su comportamiento en estado estacionario (una vez alcanzado el equilibrio) y analizar los valores de las variables en distintos puntos del espacio, pero en el tiempo se comportarán igual. Es por eso que es importante clasificar situaciones de acuerdo al comportamiento temporal y espacial. Las variables principales en la cinem´ atica son: La posici´ on, denotada por ~ r = (x,y,z) en coordenadas cartesianas. ~ = (u,v,w) en coordenadas cartesianas. La velocidad, denotada por V

La aceleración, denotada por ~ a = (ax , ay , az ) en coordenadas cartesianas.

1.3.1.

Clasificaci´ on en el tiempo y el espacio

De acuerdo a su comportamiento en el tiempo (t), el flujo puede definirse como: (a) Flujo o r´ egimen permanente: aquel donde las propiedades no cambian en el tiempo, es decir: ∂ (·) =0 ∂ t

Condiciones como velocidad (~ v) y presión (P ) son constantes en el tiempo:

(1.3.1) ∂ P = 0, ∂ t

~ ∂ V = ~ 0 ∂ t

(b) Flujo transiente (r´ egimen impermanente): Aquel donde las propiedades cambian en el tiempo, es decir: ∂ (·) =0 ∂ t

6

(1.3.2)

Ejemplos simples se muestran en la figura 1.3.1. De la misma forma que para la clasificación en el tiempo, tenemos que en la dimensión espacial el flujo se clasifica como: (a) Flujo uniforme: aquel cuyas propiedades no cambian en la dirección especificada. Aqu´ı es importante especificar la dirección de no-cambio, porque suele suceder que las propiedades s´ı cambian en otras direcciones. El flujo uniforme se denota según la dirección, por ejemplo, flujo uniforme en la dirección X ser´ıa: ∂ (·) =0 ∂ x

(1.3.3)

´ ´ DEL MOVIMIENTO 1.3. CINEM ATICA DE LOS FLUIDOS: DESCRIPCI ON R´ egimen Permanente

13

Régimen Impermanente

V

V

~

~

t

t

Figura 1.3.1: Descripci´ on en el tiempo

(b) Flujo variado: aquel cuyas propiedades cambian a lo largo de la dirección indicada. ∂ (·) =0 ∂ x

6

(1.3.4)

Dadas las clasificaciones, en la naturaleza podemos encontrar combinaciones de éstas: Permanente - uniforme. Impermanente - variado. Permanente - variado. Impermanente - uniforme (casi no existe).

1.3.2.

Formas cinem´ aticas

Ya que hemos clasificado las formas de flujo que podemos encontrarnos, como buenas personas que somos nos interesa graficar todo lo que se encuentre en nuestro paso y en particular, visualizar el movimiento de los ´ aticas permiten describir geométrica y matemáticamente el flujo. Estas fluidos. Las formas cinem´ son: (1) L´ınea de Trayectoria (pathline ): describe el camino de un volumen elemental de fluido en función del tiempo. Es decir, estamos siguiendo una part´ıcula espec´ıfica de fluido y describimos su movimiento en todo el tiempo y el espacio. En la figura 1.3.2 se muestra un ejemplo. (2) L´ınea de corriente ( streamline ): esta l´ınea es tangente al vector velocidad en cada instante. Si pudiéramos trazar una pequeña recta tangente a cada punto de esta curva, tendr´ıamos el campo de velocidades que describe al fluido como se muestra en la figura 1.3.3. Matem´ aticamente se definen como: ~ ~ × ds = 0

~ V

(1.3.5)

Recordemos que el producto cruz de dos vectores paralelos es 0. Si desarrollamos el producto de la ~ ˆ ~ = uî + v j + ˆ wkˆ y ds = dx î + dy j + ˆ dzk: ecuaci´ on (1.3.5), tomando V


14

Trayectoria del elemento de fluido

r (r0 , t)

r (r0 , t)

~

~

~

~

y r0

~

x O

Figura 1.3.2: Ejemplo de l´ınea de Trayectoria

~ ~ × ds = 0 ⇒

~ V

dx dy dz = = u v w

(1.3.6)

En la figura 1.3.3 se muestra un ejemplo. Por definición, las l´ıneas de corriente no se intersectan. (3) L´ınea de humo (streakline ): esta l´ınea une instant´ aneamente todos los elementos de fluido que han pasado por un punto dado. Es mejor entenderlo con un ejemplo terrenal, imaginemos una chimenea que emite humo. Este humo asciende y viaja por el aire, donde nosotros podemos ver la estela que deja (l´ınea de humo). El punto dado (fijo) corresponde al escape de la chimenea y la estela que vemos es la unión de todas las part´ıculas que han pasado por el escape. La figura 1.3.4 muestra esto. En el ejemplo 1.2 veremos cómo calcular y graficar cada una de estas l´ıneas, para que quede perfectamente claro.

1.3.3.

M´ etodos de descripci´ on del movimiento

Existen dos m´ etodos o enfoques para describir el movimiento en la cinemática: (1) M´ etodo de Lagrange o enfoque Lagrangiano (denotado con L): enfocado en las l´ıneas de trayectoria ~ r(r~ 0 , t). Este método se fija en lo que le sucede a cada part´ıcula y la va siguiendo en el tiempo. ~ L y aceleraci´ Matem´ aticamente, la velocidad V on ~ aL se definen de acuerdo a derivadas totales:

~ L = V

~ L d~ r dV d2~ r , ~ aL = = 2 dt dt dt

(1.3.7)

´ ´ DEL MOVIMIENTO 1.3. CINEM ATICA DE LOS FLUIDOS: DESCRIPCI ON

15

Figura 1.3.3: L´ıneas de corriente tangentes al vector velocidad en todo el espacio, se han graficado solo algunas l´ıneas de corriente para mejor claridad del lector

L´ınea de humo ·

·

·

t2

t1

t0

t

Part´ıcula de t0 fue la primera en salir le sigue la part´ıcula de t1 , luego le sigue la part´ıcula de t2 , as´ı sucesivamente, hasta t (x0 , y0 )

Figura 1.3.4: Ejemplo de l´ınea de humo en chimenea


16

(2) M´ etodo de Euler o enfoque Euleriano (denotado con E ): basado en el campo de velocidades ~ V (x,y,z,t). Este método se queda en un espacio fijo y va midiendo los valores de la propiedades en cada punto de este espacio. Al contrario del enfoque lagrangiano, donde se “persigue” a cada part´ıcula, el enfoque euleriano se concentra en puntos fijos del espacio. Matemáticamente el enfoque euleriano se diferencia del lagrangiano ya que debe compensar o incluir la variación espacial del campo de velocidades, esto se ve a través del diferencial total y la regla de la cadena: ~ = uî + v j + w ˆ Si V kˆ y u, v y w a su vez dependen del espacio y el tiempo, es decir, u = u(x,y,z,t), entonces para expresar la aceleración:

~ aE =

Utilizando diferencial total3 :

~ E dV = dt

   

du dt dv dt dw dt

   

∂ u ∂ u ∂ u ∂ u dt + dx + dy + dz ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ v ∂ v ∂ v ∂ v dv = dt + dx + dy + dz ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ w ∂ w ∂ w ∂ w dw = dt + dx + dy + dz ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z

du =

Luego: du ∂ u ∂ u dx ∂ u dy ∂ u dz = + + + ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt dt ∂ t ∂ v dx ∂ v dy ∂ v dz dv ∂ v = + + + ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt dt ∂ t dw ∂ w ∂ w dx ∂ w dy ∂ w dz = + + + ∂ t ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt dt Pero recordamos que

dx dy dz = u, = v y = w, por lo tanto: dt dt dt ∂ u ∂ u du ∂ u ∂ u = + · u + · v + ·w ∂ x ∂ y ∂ z dt ∂ t ∂ v ∂ v ∂ v dv ∂ v = + · u + · v + ·w ∂ x ∂ y ∂ z dt ∂ t ∂ w ∂ w dw ∂ w ∂ w = + ·u+ · v + ·w ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z dt

Si tomamos el operador gradiente desde el cálculo multivariable: 3

Consultar un libro de c´ alculo diferencial multivariable para profundizar fundamentos y ejemplos de estos temas.

(1.3.8)


∇~ =



∂ ∂ ∂ , , ∂ x ∂ y ∂ z

17



Podemos escribir la ecuación de forma vectorial: ~ ~ ∂ V dV ~ · ~ )V ~ = + (V ∂ t dt

∇

(1.3.9)

Aceleraci´ on total Euleriana en forma vectorial

El término está entre paréntesis es un producto punto (resultado escalar) y luego se aplica el producto ~ para establecer la igualdad vectorial. con el vector velocidad V ~ ∂ V se llama aceleraci´ on local, la cual responde por cambios exclusivamente temporales, ∂ t ~ )V ~ se llama aceleraci´ mientras que el término ( V on advectiva o convectiva, ya que corresponde a

El término

∇

cambios espaciales de la velocidad que se mueven por este mismo espacio. Ejemplo 1.2. C´ alculo y gr´ afico de formas cinem´ aticas Los movimientos del mar se pueden modelar por un campo de velocidades dado por:

Donde U, ω , V son constantes. Se pide:

y V

  − 

~ = U sin ω t V

î + V jˆ

(a) Calcular y dibujar la l´ınea de corriente que pasa p or (x, y) = (0, 0) al tiempo t = 0. (b) Calcular y dibujar la l´ınea de trayectoria de la part´ıcula de fluido que se encuentra en la posici´ on (x, y) = (0, 0) al tiempo t = 0. (c) Calcular y dibujar la l´ınea de humo de las part´ıculas que pasan por la posición (x, y) = (0, 0) después de un tiempo t. Soluci´ on: (a) Para calcular la l´ınea de corriente usamos la ecuación (1.3.6) para el caso 2D: dx dy = u v Luego desarrollamos:

dx U sin ω t

y V

  − 

=

dy V


18

Integramos en x y en y al ser una ecuación diferencial de variables separadas. La variable de tiempo t la mantenemos constante.

x =

U ω



cos ω t

−

ω y

V



+ C

(1.3.10)

La constante de integración la encontramos al reemplazar (x, y) = (0, 0) en t = 0, de esto se obtiene U C = .

−ω

Finalmente:

x =

U ω

h 

cos ω t

− ωV y − 1

 i

L´ınea de corriente

(1.3.11)

La l´ınea de corriente se muestra en la figura 1.3.5.

Figura 1.3.5: L´ınea de corriente ejemplo 1.2

(b) La l´ınea de trayectoria se calcula usando el enfoque Lagrangiano (ecuación (1.3.7)):

u =

dx dt

~ Reemplazando u y v seg´ un las componentes de V :

v =

dy dt

(1.3.12)


dx dt dx = dt

u =



U sin ω t

−U cos



ωt

− ωV y

− ωV y



1



+ C 1 = x

ω

19

dy dt dy V = dt v =

V t + C 2 = y

Reemplazando las condiciones iniciales (x, y) = (0, 0) en t = 0, encontramos que C 1 =

− U ω cos



ωt

− ωV y



+

U ω

U ω

y C 2 = 0.

= x ; V t = y

Si reemplazamos y = V t en la relación para x, llegamos a:

U

− ω cos



ωt

−

ω (V t)

V



+

U ω

= x

− U ω cos(ωt − ωt) + U ω = x 0 = x

x = 0

y = V t

(1.3.13)

(c) Para la l´ınea de humo, el procedimiento a seguir es el siguiente: (1) Plantear el problema como si se fuera a encontrar la l´ınea de trayectoria:

dx = u dt dx y = U sin ω t dt V

dy = v dt dy = V dt

  − 

(d) Integrar normalmente, incluyendo las constantes de integración

dx = U sin ω t dt dx = U sin ω t dt

y V y V

  −  Z Z   −  ; ;

dy =

V dt

y = V t + C 2

Luego, en la condición (x0 , y0 ) = (0, 0) reemplazamos y = y0 = 0, pero t lo reemplazamos por la variable ξ y ahora despejamos C 2


20

dx = U sin ω t dt dx = U sin ω t dt dx = U sin ω t dt

y V y V y V

  −    −    − 

;

0 = V ξ + C 2

; ;

C 2 =

−V ξ y = V (t − ξ )

(e) Luego reemplazamos en la primera ecuaci´ on diferencial

dx = U sin ω t dt

y V V (t ξ ) V

  −    − − 

dx = U sin ω t

dt

x = U sin ( ωξ ) t + C 1

−

(f) Nuevamente reemplazamos x = x 0 = 0 y t por ξ , para despejar la constante C 1 :

x = U sin ( ωξ ) t + C 1

−

C 1 = ∴

−U sin(ωξ )ξ

x = U sin(ωξ )(t

(1.3.14)

− ξ ) ,

ξ < t

(1.3.15)

(1.3.16)

(g) t se escoge arbitrariamente, por ejemplo 10 seg, luego cualquier valor de ξ (mientras sea menor al t escogido) mostrará la posición de la part´ıcula soltada en ξ segundos. La unión de todas las posiciones (al reemplazar por todos los ξ < t) da la l´ınea de humo, como lo muestra la figura 1.3.6.

1.3.4.

Rotaci´ on

Un elemento importante en el análisis de movimiento de fluidos es la rotación. ¿C´ omo podemos medirla? Se define la velocidad de rotaci´ on como el promedio de la velocidad angular de dos rectas inicialmente perpendiculares. Supongamos que estamos en el mundo plano 2D, como muestra la figura 1.3.7. Donde tenemos el origen O y las rectas perpendiculares OA y OB. ~ tiene valor (u, v) en el origen O y si nos alejamos en un Si asumimos que el campo de velocidades V pequeño desplazamiento ∆x hacia la derecha o ∆y hacia arriba, al expandir la velocidad en Taylor orden 1, obtenemos:

∂ v ~ A j =v + ˆ ∆x V ∂ x ~ Bî =u + ∂ u ∆y V ∂ y


Figura 1.3.6: L´ınea de humo ejemplo 1.2

u+

∂ u ∂ y

∆y

B

∆y

v O

v+ u

A

∆x

Figura 1.3.7: Rotación en 2D

∂ v ∂ x

∆x

21


22

Si dejamos pasar un pequeño instante de tiempo ∆t, los segmentos OA y OB rotará n en ángulo ∆β a las posiciones OA0 y OB 0 respectivamente, como se muestran en la figura 1.3.8.

u+ B

∂ u ∆y ∂ y B

v

0

A

v+

∆α

O

y

0

∆β

∆y

∆α

u

∂ v ∆x ∂ x

A

∆x

Figura 1.3.8: Rotación en 2D

La velocidad angular del segmento OA, denotada por ω OA es:

∆α

ωOA = l´ım

0 ∆t

∆t→

Luego, tenemos que para ángulos peque˜ nos, tan(∆α)

≈ ∆α, por lo que:

∂ v ∆x∆t ∂ v Cateto Opuesto ∆t tan ∆α = = ∂ x = ∆x ∂ x Cateto Adyacente

≈ ∆α

Ahora reemplazando en el l´ımite:

ωOA = l´ım ∆t→

= l´ım ∆t→

∴

Si

∆α 0 ∆t

∂ v ∆t ∂ x 0

ωOA =

∆t

∂ v ∂ x

∂ v es positiva, entonces el giro ω OA será antihorario ∂ x

De manera análoga,

(1.3.17)


∂ u ∂ y

ωOB =

23

(1.3.18)

~ = (u,v,w) tenemos: Para el caso 3D, donde V

1 ωx = 2 ωy =

1 2

ωz =

1 2

  

∂ w ∂ y

∂ v ∂ z

−

∂ u ∂ z

− ∂ ∂ wx

∂ v ∂ x

− ∂ ∂ uy

  

(1.3.19)

(1.3.20)

(1.3.21)

En forma vectorial,

ω = (ωx , ωy , ωz ) = ~

1 2

~ ∇ × V ~ = 12 W

(1.3.22)

~ Donde W se ha definido como el vector Vorticidad. Por si llegamos a olvidar cómo evaluar un producto cruz, es útil recordar la expresi´ on del determinante:

 

∇~ × V ~ = 1.3.5.

Gasto

î

jˆ

kˆ

∂ ∂ x

∂ ∂ y

∂ ∂ z

u

v

w

 

(1.3.23)

El Gasto se define como el volumen de fluido que atraviesa una sección fija en el espacio por unidad de tiempo. Definimos para un elemento de área dA: dQ = l´ım

∆t→0

∆

∀ =

∆t

Q =

l´ım

∆t→0

Z



~ n V ˆ dA∆t ∆t

~ n V ˆ dA

!

(1.3.24)

(1.3.25)

S

La unidad de medida del gasto son m 3 /s L3 T −1 A partir de Q podemos definir el gasto másico G:

≡

G

 

≡ ρQ

   MT −1

kg seg

(1.3.26)


24

Por u ´ ltimo definimos la velocidad promedio U (ecuación (1.3.27)).

Z

≡ S

U

1.4.

An´ alisis Dimensional

1.4.1.

Introducci´ on

~ n V ˆ dA

A

=

Q A

(1.3.27)

En esta sección veremos un enfoque experimental para el análisis de situaciones en donde la ciencia intenta explicar o describir los fenómenos. El An´ alisis Dimensional permite entre otras cosas diseñar experimentos para replicar de manera fidedigna (sin perder lo esencial) los fenómenos naturales o estructuras hechas por el hombre. Otra forma de verlo ser´ıa, ¿cómo se diseñan las represas? ¿cómo saben los ingenieros que el diseño no fallar´ a o que resistirá una determinada cantidad de años? Una respuesta puede ser “ensayo y error”, lo cual es acertado en la escala temporal global (o sea, desde las primeras represas diseñadas por las civilizaciones antiguas hasta las más modernas, el aprendizaje ha sido por ensayo y error), pero ¿cómo una empresa puede asegurar que su diseño no fallará? sin tener que gastar millones en construir represas (y que fallen) hasta que la n-ésima no lo haga. Otra pregunta interesante (si es que no creen en la teor´ıa de la conspiraci´ on estadounidense) es: ¿cómo lleg´ o el hombre al espacio o a la luna? ¿cómo sab´ıan las dimensiones, cantidad de provisiones, carga de combustible exactas para enviar un hombre y traerlo de vuelta si nunca antes se hab´ıa experimentado en el espacio? El An´ alisis Dimensional tiene los siguientes objetivos: 1. Complementar el análisis matemático. 2. Desarrollar experimentos enfocados en los aspectos esenciales. 3. Desarrollar modelos f´ısicos para entender la naturaleza.

1.4.2.

Dimensiones fundamentales

Para poder realizar un correcto análisis dimensional, es necesario tener claras las dimensiones fundamentales: Masa: medida en kilogramos (kg). Longitud: medida en metros (m). Tiempo: medido en segundos (s). Temperatura: medida en Kelvin (K).

´ 1.4. AN ALISIS DIMENSIONAL

25

Intensidad lum´ınica: medida en candelas (cd). Corriente eléctrica: medida en amperes (A). Cantidad de sustancia: medida en mol (mol). Todas estas dimensiones están en el Sistema Internacional de Unidades (SI).

1.4.3.

Tipos de an´ alisis

Dependiendo de las dimensiones fundamentales involucradas, el análisis tendr´ a distinto nombre. En general en el curso se tratarán análisis del tipo: (a) Análisis geom´ etrico: solo se tratan variables de longitud [L] o derivadas (ejemplo: áreas [L2 ], vol´ umenes [L3 ], etc). (b) Análisis cinem´ atico: variables de longitud [L] y tiempo [T ] o derivadas (ejemplo: velocidad [LT −1 ], aceleraci´ on [LT −2 ], etc). (c) Análisis din´ amico: Variables de masa [M ], longitud [L] y tiempo [T ] (ejemplo: fuerza [MLT −2 ]). (d) Análisis termodin´ amico: An´ alisis din´ amico sumado a la variable temperatura [ θ].

Lo importante es considerar los factores significativos en la descripción del problema que se está estudiando, no dejar ninguna variable fuera.

1.4.4.

Teorema

π

de Buckingham

Nos trasladamos a Inglaterra (?) para enunciar este importante teorema, el cual tiene gran utilidad para simplificar problemas y a la vez entender las variables que realmente importan en el análisis de un fenómeno, adem´ as de dimensionar o estimar el poder que tiene cada variable en s´ı misma (i.e: no es lo mismo una proporcionalidad directa X = AY , que una ley de potencia X = AY n ). Para poder enunciar el Teorema de Buckingham, primero debemos entender lo que es la homogeneidad dimensional. 1.4.4.1.

Homogeneidad dimensional

¿Qué significa que una ecuación sea dimensionalmente homog´ enea?, daremos dos ejemplos: 1. La segunda ley de Newton dice F = ma, donde m es la masa de un cuerpo, a su aceleración y F la fuerza resultante sobre éste. La segunda ley es válida independiente del sistema de unidades utilizado. Es decir, si queremos usar sistema internacional, deber´ıamos introducir metros y segundos para obtener Newtons y en la realidad, esta intensidad en Newtons debiese ser exactamente la misma que se siente con un objeto que tenga la misma cantidad de materia en libras y acelera a la misma tasa de pies por segundo cuadrado .


26

K n 2/3 1/2 2. La ecuaci´ on de Manning (ecuación (8.2.24)) para calcular el caudal en un r´ıo natural es V = R S , n donde V es la velocidad del cauce (m/s), n es el coeficiente de Manning (sin dimensiones), R es una m medida de longitud (m), S es la pendiente (medida en ) y K n es una constante. m Si analizamos bien el lado derecho de esta fórmula, veremos que la multiplicación de sus unidades NO m da : s

V

m ? K n 2/3 1/2) = R S s n K n 2/3 L = [L] n L

hi

(1.4.1) 1/2



(1.4.2)

=¿d´ onde están las unidades de segundos?

(1.4.3)

Para que “aparezcan” las unidades de segundos, K n debe ser una constante de ajuste dimensional, es decir, tiene unidades, y no es la misma si se trata de un sistema de medidas u otro. Esto es lo que hace que la ecuación de Manning sea dimensionalmente no homog´ enea. Otra forma de decir que una relación es dimensionalmente no homogénea, es que necesita constantes de ajuste que tengan dimensiones. En este caso, k tiene un valor de 1 m1/3 s−1 en el sistema internacional y un valor de 1, 4859 f t1/3 s−1 en el sistema imperial. ¿Por qué pasa esto? La ecuación de Manning es una relación emp´ırica, es decir, se basó en un ajuste de experiencias realizadas.

1.4.4.2.

Enunciado del teorema

El Teorema π de Buckingham relaciona el n´ umero de parámetros que caracterizan un problema (digamos que a 1 , a2 , . . . , an representan los n parámetros que creemos están involucrados en un fenómeno f´ısico). Si consideramos homogeneidad dimensional, entonces este problema de n parámetros puede reducirse a uno de n r parámetros adimensionales, siendo r el n´ umero de dimensiones fundamentales involucradas.

−

En otras palabras, si suponemos que cada parámetro a k es una función (desconocida) de los otros parámetros:

a1 =f 1 (a2 , a3 , . . . , an ) a2 =f 2 (a1 , a3 , . . . , an ) · · · = · · · ak =f k (aj ), j = 1, 2, . . . , n j = k

6

Esto se reduce a un problema de n

− r parámetros adimensionales:


27

π1 = Φ1 (π2 , π3 , . . . , πn−r ) π2 = Φ2 (π1 , π3 , . . . , πn−r )

· · · = · · · πk = Φk (πj ), j = 1, 2, . . . , n

− r j 6= k

Las funciones Φk tambi´ en son desconocidas, pero pueden obtenerse a partir de mediciones emp´ıricas en laboratorios bajo condiciones controladas. El beneficio que nos dio el teorema es el hecho de tratar un problema de n r variables en lugar de n variables. A continuaci´ on, se describirá el procedimiento general para el análisis dimensional de fenómenos f´ısicos:

−

(1) Confeccionar un listado con los par´ ametros que intervienen, sin usar parámetros dependientes entre s´ı. Esto determinará al n´ umero n. Por ejemplo, si tenemos un problema en que intervienen ρ , µ, ν , sabemos µ que ν se relaciona y depende de ρ y µ seg´ un ν = , por lo que en nuestra lista, no incluiremos a ν . ρ

(2) Determinar las dimensiones de los par´ ametros y seleccionar los parámetros independientes fundamentales. Esto determinará el n´ umero r. (3) Reducir el problema a (n r) parámetros adimensionales usando los r parámetros independientes como base. Todos los parámetros adimensionales se escribirán como una combinación de los miembros de la base.

−

Veamos un ejemplo: Ejemplo 1.3. Fuerza de arrastre en un objeto Se tiene un flujo de perfil de velocidad constante U como se muestra en la figura 1.4.1 pasando por un objeto circular 2D de diámetro D. Se desea encontrar una expresión para la fuerza de arrastre F que siente el objeto, si se cree que ésta depende de la velocidad U , la masa espec´ıfica del flujo ρ, la viscosidad µ y el di´ ametro D. U D

Figura 1.4.1: Objeto 2D sometido a perfil uniforme de velocidad U , ejemplo 1.3

Soluci´ on: Ejecutamos los pasos descritos en la sección anterior, (1) Confeccionar un listado con los par´ ametros que intervienen sin usar par´ ametros dependientes : El listado de parámetros contiene a F, ρ, µ, U, D, es decir, tenemos n = 5. ametros y seleccionar los par´ ametros independientes fundamenta(2) Determinar las dimensiones de los par´ les : Enlistamos las dimensiones de todos los parámetros:


28

F = M LT −2



ρ =[ML−3 ]



(1.4.4) (1.4.5)

µ =[ML−1 T −1 ]

(1.4.6)

U =[LT −1 ]

(1.4.7)

D =[L]

(1.4.8)

Nos damos cuenta que hay 3 dimensiones fundamentales, M , L y T , por lo que debemos escoger r = 3 parámetros independientes fundamentales. La elección es totalmente arbitraria, mientras se cumpla el requisito de que estos parámetros independientes realmente lo sean entre ellos y que determinen todo el espectro de dimensiones fundamentales. Tomemos por ejemplo D, U y ρ. Dejamos afuera a F porque es la variable que queremos determinar (este es un motivo para dejar fuera de la base a la variable de inter´ es) (3) Reducir el problema a (n r) par´ ametros adimensionales, usando r par´ ametros independientes : La aritmética nos dice que tendremos (n r) = (5 3) = 2 parámetros adimensionales, los que denotaremos por π 1 y π 2 .

−

−

−

Al elegir la base de parámetros independientes como D, U y ρ , entonces los parámetros π 1 y π 2 quedan determinados por:

π1 =F · Dα1 U β1 ργ 1

(1.4.9)

π2 =µ · Dα2 U β2 ργ 2

(1.4.10)

Con las variables α 1 , β 1 , γ 1 y α 2 , β 2 , γ 2 por determinar. Para encontrar estos exponentes, simplemente reemplazamos las unidades fundamentales de cada parámetro y establecemos la homogeneidad dimensional, sabiendo que los parámetros π no tienen dimensiones:

π1 =F · Dα1 U β1 ργ 1

[L0 T 0 M 0 ] =[MLT −2 ] · [L]α1 [LT −1 ]β1 [ML−3 ]γ 1 Esto determina un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, una para cada dimensi´ on fundamental:

L:

0 =1 + α1 + β 1

T :

0=

M : De resolver el sistema, se obtiene:

− 2 − β 1

0 =1 + γ 1

− 3γ 1


29

α1 =

−2 β 1 = − 2 γ 1 = − 1

(1.4.11) (1.4.12) (1.4.13)

Por lo que π 1 queda definido:

π1 =

F ρU 2 D2

(1.4.14)

Para definir π 2 hacemos lo mismo:

π2 =µ · Dα2 U β2 ργ 2

(1.4.15)

[L0 T 0 M 0 ] =[MLT −1 ] · [L]α2 [LT −1 ]β2 [ML−3 ]γ 2

L:

0 =1 + α2 + β 2

T :

0=

M :

(1.4.16)

− 3γ 2

− 1 − β 2

0 =1 + γ 2

(1.4.17) (1.4.18) (1.4.19)

Resolvemos:

α2 =

−1 β 2 = − 1 γ 2 = − 1

π2 =

µ 1 = Re ρU D

(1.4.20) (1.4.21) (1.4.22)

(1.4.23)

Donde Re es conocido como el n´ umero de Reynolds, el cual relaciona fuerzas de inercia con respecto a fuerzas viscosas:


30

Re =

ρU D

µ

=

fuerzas de inercia fuerzas viscosas

(1.4.24)

N´ umero de Reynolds ( Re)

Ahora la pregunta que cae de cajón es: ¿para qu´ e hicimos esto? Recapitulemos: Dijimos en el comienzo de esta sección (sección 1.4.4.2), que al reducir el problema desde n parámetros a (n r) números adimensionales, tendr´ıamos:

−

π1 = Φ1 (π2 , π3 , . . . , πn−r ) π2 = Φ2 (π1 , π3 , . . . , πn−r )

· · · = · · · πk = Φk (πj ), j = 1, 2, . . . , n

− r j 6= k

Lo que en este caso se aplica para nuestros dos parámetros π 1 y π 2 , es decir:

π1 =

Si reemplazamos el valor de π1 =

Φ1 (π2 )

F , tendremos: ρU 2 D2

π1 = Φ1 (π2 )

F =Φ1 (π2 ) ρU 2 D2 F =ρU 2 D2 Φ1 (π2 ) Ahora reemplacemos π 2 ,

F =ρU 2 D2 Φ1 (π2 ) 2

=ρU D

2

Φ1

  µ ρU D

Por lo que podemos expresar finalmente la fuerza como:

F =

8 π

Φ1

  1 Re

ρA

U 2 1 = C D ρAU 2 2 2

Fuerza de arrastre en un objeto

(1.4.25)


El n´ umero rimentos.

8 π

φ1

31

 

1 suele llamarse coeficiente de arrastre 4 (C D ) y es determinado mediante expeRe

A Notar que en la ecuación (1.4.25), hemos cambiado D 2 por π , donde A representa el área del objeto. 4

Ejemplo 1.4. P´ erdidas de energ´ıa por fricci´ on Se desea encontrar una expresión para las pérdidas por fricción en una tuber´ıa circular para un flujo no permanente cualquiera (figura 1.4.2). Suponga que los parámetros involucrados son el esfuerzo de corte τ , la viscosidad din´ amica µ, la masa espec´ıfica ρ , la velocidad del flujo U , el diámetro D y el espesor de rugosidad , el cual corresponde al espesor promedio o más representativo de la pared de una tuber´ıa.



U

ρ,

D

µ

L Figura 1.4.2: Tuber´ıa con pérdidas por fricci´ on, ejemplo 1.4.

Soluci´ on: Al igual que para el ejemplo 1.3, realizamos los 3 pasos correspondientes. (1) Ya tenemos el listado de variables, por lo que n = 6. (2) Determinamos las dimensiones de los parámetros:

D =[L]  =[L]

U =[LT −1 ] τ =[ML−1 T −2 ] ρ =[ML−3 ]

µ =[ML−1 T −1 ] Identificamos 3 dimensiones fundamentales, por lo que r = 3. Reducimos el problema a uno de (n r) = (6 3) = 3 parámetros adimensionales. Por lo que debemos elegir la base independiente. En este caso podr´ıamos seleccionar D, ρ y U . Por lo que armamos el sistema:

−

4

Drag Force Coe ffi cient en inglés.

−


32

π1 = τ · Dα1 U β1 ργ 1 π2 =µ · Dα2 U β2 ργ 2 π3 =  · Dα3 U β3 ργ 3

Ahora establecemos el sistema con las dimensiones de cada variable

π1 = τ · Dα1 U β1 ργ 1

[L0 T 0 M 0 ] =[ML−1 T −2 ] · [L]α1 [LT −1 ]β1 [M L−3 ]γ 1

L :

0=

− 1 + α1 + β 1 − 3γ 1 0 = − 2 − β 1

T : M :

0 =1 + γ 1

Resolviendo los 3 sistemas, obtenemos:

π1 = π2 =

τ

ρU 2 

D ρU D π3 = = Re µ

(1.4.26)

(1.4.27)

(1.4.28)

Por lo que el esfuerzo de corte τ queda como:

τ = ρ U 2 φ

1.4.5.



  D

, Re

(1.4.29)

Modelos f´ısicos

A la hora de dise˜ nar una central hidroeléctrica de embalse por ejemplo, nos preguntamos ¿cómo lo hicieron por primera vez? o ¿cómo hacer bien el diseño sin fallar y comprometer millones en recursos? La respuesta es que usualmente se elabora un modelo f´ısico de la situación que quiere estudiarse para ver cómo se comportar´ıa este en la realidad. Es como quien hace una maqueta de un proyecto para ver cómo quedar´ıa, solo que esta maqueta realmente funciona y los fenómenos que all´ı ocurren representan de manera fidedigna lo que sucede en la construcción real. Llamaremos modelo a la “maqueta”, es decir, a lo que construiremos en el taller o lo que puede construirse muchas veces sin comprometer grandes recursos comparables con la situación real. Por otro lado llamaremos prototipo al producto final, el que tiene las verdaderas dimensiones y el que comprometerá la mayor cantidad


33

de recursos. Para conocer la relación entre el modelo y el prototipo definimos la escala de una variable α , como el cuociente entre el valor de la variable en el modelo y el prototipo, es decir: α =

valor variable en modelo am = valor variable en prototipo a p

(1.4.30)

donde: am : valor de variable en el modelo. a p : valor de variable en el prototipo. Lo más usual es encontrarse con escala de longitudes ( αL ), es decir: αL =

Lm L p

(1.4.31)

donde: Lm es la longitud caracter´ıstica del modelo (largo, ancho, alto, etc). L p es la longitud caracter´ıstica del prototipo (largo, ancho, alto, etc). Por ejemplo, si se quiere diseñar o construir un avió n de 20 m de largo y se estudiará con un modelo 2 1 de 2 metros de largo, entonces su escala de longitudes es αL = = . Por lo que se dice que la escala 20 10 geom´ etrica del modelo es 1 : 10. Un ejemplo t´ıpico de modelos a escala geométrica son los que se venden en jugueter´ıas o tiendas de modelos armables, donde podemos comprar réplicas de aviones, tanques, naves espaciales, etc. Para el análisis de situaciones f´ısicas, es importante el concepto de semejanza. Diremos que el modelo y el prototipo son estrictamente semejantes si todos los parámetros adimensionales son iguales, esto por lo general es dif´ıcil de lograr, por lo que se intenta obtener primero una semejanza del mecanismo más representativo o influyente de la situación. Tenemos los siguientes casos: (a) Semejanza geométrica: la relación entre todas las dimensiones espaciales es igual y constante, es decir Lm αL = = cte. L p (b) Semejanza cinemática: requiere definir escalas geométricas L m , L p y de tiempo T m , T p entre el modelo V m Lm /T m y el prototipo. Acá se cumple que α V = = = cte V p L p /T p (c) Semejanza din´ amica: requiere que las fuerzas se encuentren en las mismas proporciones entre el modelo F m 2 y el prototipo. Acá se cumple que α F = = cte, donde αF = α M αL α− T . F p


34

1.5.

Problemas

Problema 1.1. Esfuerzo de corte en dos fluidos Newtonianos distintos Una placa entre dos fluidos newtonianos se desplaza a velocidad constante V = cte como muestra la figura 1.5.1. Calcule la fuerza para mover la placa.

h

µ1 F, V

h/2

µ2 Figura 1.5.1: Figura problema 1.1

Soluci´ on: Para calcular la fuerza necesaria, recordamos la relación entre fuerza y esfuerzo de corte. F A

τ =

Siguiendo el esquema de la figura 1.5.1, y utilizando la ley de viscosidad de Newton para el esfuerzo de corte: τ = µ

du dy

F 1 A du1 F 1 µ1 = dy A τ 1 =

Si la distribución de velocidad u 1 es lineal, entonces: V µ1 A = F 1 h Lo mismo para la distribución u 2 y por consiguiente el esfuerzo de corte y fuerza inferior.

µ2

V h 2

=

F 2 A

Finalmente, la fuerza total F será la suma de F 1 y F 2 .

35

1.5. PROBLEMAS

F = F 1 + F 2 = (τ 1 + τ 2 )A



V 2V F = µ1 + µ2 h h



A

Problema 1.2. Esfuerzo de corte oponiéndose al movimiento en plano inclinado Un bloque de masa W y área A m 2 se desliza por un plano inclinado a velocidad constante (figura 1.5.2. Existe un espacio de e metros de espesor con aceite que separa el bloque del plano. La inclinación del plano inclinado es de 30◦ y la velocidad del bloque es V . Encontrar la viscosidad del aceite.

e

V

θ

Figura 1.5.2: Problema 1.2

Soluci´ on: Haciendo un diagrama de cuerpo libre (figura 1.5.3) se encuentran las dos fuerzas que interactúan: el peso que mueve el bloque hacia abajo (W sin θ ) y la fuerza debido a esfuerzo de corte del aceite en la superficie del bloque (F τ ).

F

τ

mg sin θ Figura 1.5.3: Diagrama de cuerpo libre, problema 1.2

Debido a que la velocidad del bloque es constante, la aceleración es 0 y por lo tanto las fuerzas están equilibradas:

W sin θ = F τ Recordando la relación fuerza-esfuerzo de corte:


36

τ =

F A

⇒ τ = W Asin θ

Incluyendo la ley de viscosidad de Newton:

τ = µ

du dy

Queda entonces

W sin θ dv = µ A dy θ W sin dy = µdv A e

Z 0

W sin θ dy = µ A ∴

µ =

V

Z

dv

0

W e sin θ AV

Problema 1.3. Viscos´ımetro: medidor de viscosidad, forma 1 Un eje cil´ındrico vertical de diámetro D = 2R soporta un peso W y se apoya en un descanso (figura 1.5.4). Determinar la potencia necesaria para hacerlo girar a velocidad constante ω cuando hay un espesor e de lubricante con viscosidad dinámica µ. Soluci´ on: Recordando la relación de potencia mecánica:

P = F · V Donde F es fuerza y V es velocidad. Para un elemento diferencial del manto semiesf´ erico, la potencia que se requiere para mantenerlo en movimiento corresponde a:

dP = dF · V La velocidad de cualquier elemento diferencial corresponde a:

V = (ω )(r) = ω (a sin φ) Siguiendo un sistema de coordenadas esf´ ericas. Por otro lado, falta definir el diferencial de fuerza dF , recordamos nuevamente la relación fuerza-esfuerzo

37

1.5. PROBLEMAS

ω ~

R e

µ

Figura 1.5.4: Problema 1.3.

de corte, pero ahora de forma diferencial:

τ =

dF dA

⇒ dF = τ dA

El diferencia de área en esféricas para este manto es:

dA = R 2 sin φ d θ d φ Siendo φ el ángulo de abatimiento vertical y θ el ángulo de barrido plano, como muestra la figura 1.5.5. La expresión para esfuerzo de corte la da la ley de viscosidad de Newton:

τ = µ

du dy

Observaci´ on: en este caso, la velocidad es la tangencial a la superficie y el diferencial de altura corresponde al espesor, es decir:

τ = µ

ωr

e

= µ

ω R sin φ

e


38

z

φ R θ

y

R sin φ

x Figura 1.5.5: Esquema de coordenadas esf´ ericas

Juntando todo lo anterior, se llega a:

dP =



µ

ω R sin φ

e



(ω R sin φ)) R2 sin φ d θ dφ





Integrando se obtiene:

π /2 2π

P =

Z Z  0

∴

0

µ

ω R sin φ

e



(ω R sin φ)) R2 sin φ d θ d φ

P =





4 π µR4 ω 2 3 e

Problema 1.4. Viscos´ımetro: medidor de viscosidad, forma 2 El cilindro de la figura tiene punta cónica y se encuentra apoyado sobre un fluido de viscosidad µ, como muestra la figura 1.5.6. Si se hace girar sobre su eje a una velocidad angular ω constante mediante la aplicación de una potencia P , determinar la viscosidad del fluido en función de los parámetros conocidos. Utilice todos los supuestos necesarios y un sistema de coordenadas consistente y asuma que el espesor del fluido es constante igual a e. Soluci´ on: Suponiendo la configuración de la figura 1.5.7. Tenemos que la potencia para hacer girar la punta cónica en cada diferencial de área es: p = dF · u

Siendo dF = τ dA la fuerza en cada punto y u = ω r la velocidad tangencial en cada punto. Luego, el diferencial de fuerza estará dado por:

(1.5.1)

39

1.5. PROBLEMAS

ω

R µ

e

Figura 1.5.6: Cilindro de punta c´ onica girando

R R

H

H ϕ

r L

ϕ ϕ

Figura 1.5.7: Configuración supuesta


40

dF = τ dA

(F.Newt)

=

µ

dv dA dy

(1.5.2)

Suponiendo distribuci´ on lineal de velocidades y fluido newtoniano, la velocidad en la parte superior del fluido es la velocidad tangencial ω r y en el fondo es 0 por ser un fondo fijo. Finalmente: u dF = µ dA e

⇒

dF = µ

ωr

e

dA

(1.5.3)

Introduciendo todo en la ecuación (1.5.1), queda:

p = µ

ωr

e

dA · ω r

⇒

p = µ

ω 2 r2

e

dA

(1.5.4)

Falta definir el diferencial de área, para lo cual hay dos alternativas a la vista:

(a) Coordenadas esféricas.

(b) Coordenadas cil´ındricas.

Usando coordenadas esf´ ericas: Seg´ un la figura 1.5.8, el diferencial de área puede escribirse como dA = r sin ϕdrdθ , siendo r la coordenada variable radial. Z

r = rsinϕ

dr

r

r

r sinϕdθ

ϕ dA = r sin(ϕ)dθ dr Y

X

Figura 1.5.8: Diferencial de área en coordenadas esféricas

Una vez planteado el diferencial de área, basta establecer los l´ımites de integraci´ on e integrar:

41

1.5. PROBLEMAS

2π L

P =

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z p =

0

2π L

=

µ

0

0

2π L

=

µ

0

0

2π L

=

µ

0

=

0

0

ω 2 r2

e

ω 2 r2

e

0

dA

(r sin ϕdrdθ)

ω 2 (r sin ϕ)2

0

2π L

τ dA · u

e

(r sin ϕdrdθ )

µω 2 sin3 (ϕ)r3 drdθ e

⇒

P =

1 µω 2 4 3 π L sin (ϕ) 2 e

Despejando la viscosidad se tiene: µ = y sabiendo que sin ϕ =

2P e

1 πω 2 L4 sin3 (ϕ)

(1.5.5)

R L µ =

2P e 1 πω 2 R3 L

Otra forma es habiendo definido H en vez de L según: cos φ =

H , o bien L = L

(1.5.6)

p

R2 + H 2 .

Usando coordenadas cil´ındricas: El procedimiento es bastante similar, solo que hab´ıa que utilizar semejanza de triángulos (o teorema de Thales) para parametrizar r en función de z o viceversa, para definir el diferencial de área y los l´ımites de integraci´ on. Ver figura 1.5.9. Z R dl

dz

dl

H z rdθ

l

Y r (Thales ) R z X

=

H

⇒

r

=

dA

zR

l (Thales ) L

H

z

=

rdθdl

zR L =

H H

=

dzd θ

Figura 1.5.9: Diferencial de área en coordenadas cil´ındricas

H

⇒

dl

L =

H

dz


42

Expresando nuevamente la potencia desde la ecuación (1.5.4): p = µ

ωr

e

2 2

dA · ω r

⇒ p = µ ω er

dA

(1.5.7)

y reemplazando las relaciones establecidas en la figura 1.5.9,

2π H

P =

Z Z Z Z Z  Z Z      Z Z Z Z ⇒ p =

τ dA · u

0

2π H

=

µ

0

=

µ

0

0

0

zR L dzdθ H H

e

ω

2

0

2π H

dA

ω2r2

µ

0

=

e

0

2π H

=

ω2r2

0

2π H

0

2

zR H e

zR L dzd θ H H

µω 2 R3 L 3 z dzd θ e H 4

1 µω 2 3 P = π R L 2 e

En este caso no fue necesario parametrizar el ángulo ϕ del cono. Despejando la viscosidad, se obtiene exactamente el mismo resultado que usando coordenadas esf´ ericas. µ =

2P e 1 πω 2 R3 L

(1.5.8)

Problema 1.5. Proceso de estado en gases Un volumen inicial 0 de ox´ıgeno se encuentra a T 0 K y a P 0 atm de presión. Se comprime adiabáticamente a un volumen 1 ; 1 < 0 . ¿Cu´ al es la temperatura y la presión del gas? Si el proceso hubiese sido isotérmico, ¿cu´ ales hubiesen sido la temperatura y presión?

∀ ∀ ∀ ∀

Soluci´ on: Para resolver, usamos la ecuación de proceso: T 1 = T 0 Y la conservación de la masa:

α

α−1

    ρ1 ρ0

=

P 1 P 0

n

∀ = ρ ⇒ n0 = n1

Lo que nos dice: ρ0

∀0 = ρ1∀1 ⇒ ρρ10 = ∀∀01

Resolvemos para la presión: P 1 = P 0

∀  0

∀1

−1

α

43

1.5. PROBLEMAS

Resolvemos para la temperatura: T 1 = T 0

∀  0

κ−1

∀1

Si el proceso hubiese sido isotérmico: T 0 = T 1 y la presión hubiese sido: P 1 =

P 0 ρ1 ρ0

Problema 1.6. Proceso de estado en gases Un gas ideal que se encuentra a una presión de 101kP a y a 15 o C , es sometido a una compresión adiabática (κ = 1, 4), hasta llegar a una presión de 180kP a. Posteriormente se le expande isot´ ermicamente hasta que alcanza una presión de 150kP a. En este punto la masa espec´ıfica del gas es 1, 315 kg/m3 .

1. Calcule ρ , γ del gas al comenzar la compresión adiabática. 2. Determine T , ρ, γ al terminar la compresión adiabática y al final de la expansión isotérmica. 3. ¿ Cuál es el valor del módulo de compresibilidad en cada uno de los procesos? Soluci´ on: Tenemos los estados 1, 2 y 3. Para un proceso adiabático: α = κ = 1,4, luego: T 2 = T 1

  P 2 P 1

1

α− α

T 2 = 339, 697 K

Luego tenemos un proceso isotérmico: P 1 ρ1

= RT 1

→ P ρ11 = P ρ22 →

ρ2 = 1, 578 kg/m3

Ahora podemos obtener la masa espec´ıfica en el estado 1: T 2 = T 1

 ρ2 ρ1

ρ1 = 1, 044

κ−1

kg m3

Por u ´ ltimo, el módulo de compresibilidad E dependerá del proceso para el cual estamos hablando, será E = αP para el caso adiabático y E = P para el caso isotérmico (α = 1), y . Es importante recalcar que estas relaciones son as´ı cuando el gas es ideal. Para el proceso adiabático: E 12 = 1,4P 1 = 141,4kP a Para el proceso isotérmico: E 23 = P 2 = 180kP a


44

Problema 1.7. Esfuerzo de corte en placa móvil, fluido Newtoniano La velocidad de un fluido newtoniano ( ρ, µ) entre dos placas paralelas se puede representar por: v(y) =

1 C 0 (Hy 2µ

− y2) − Uhy

Donde H es la separación entre las placas y C 0 es una constante positiva. Use la figura 1.5.10 para guiarse. (a) Indique cu´ al de las dos placas está sometida a un esfuerzo de corte de mayor magnitud. (b) ¿En qué punto el esfuerzo de corte es nulo? (c) ¿Es posible mover la placa superior a una velocidad determinada tal que la fuerza tangencial sobre la placa inferior sea 0? U

y


Soluci´ on: (a) Usando la ley de viscosidad de Newton, tenemos: τ = µ

dv dy

Ya que tenemos la expresión de velocidad lista, la derivamos:

τ = µ ∴



τ (y) =

C 0 (H 2µ C 0 (H 2

− 2y) −



U H

U − 2y) − µ H

Nos quedó una expresión de τ en función de y, por lo que podemos evaluar en las posiciones de las placas, y = 0 e y = H . Evaluemos entonces:

C 0 H µU 2 H C 0 H µU τ (y = H ) = + 2 H τ (y = 0) =

Vemos que en magnitud, τ (y = H ) es mayor.

−  −



45

1.5. PROBLEMAS

(b) Para encontrar el punto y ∗ donde τ (y ∗ ) = 0, igualamos τ a 0 y despejamos y ∗ . Desarrollando, se llega a y ∗ =

H 2

µU − HC 0

(c) Por último, para encontrar la velocidad U 0 que haga que el esfuerzo de corte abajo se anule, igualamos τ (y = 0) para despejar U 0 .

τ (y = 0) = 0

→

C 0 H µU 0 = 2 H

→

U 0 =

C 0 H 2 2µ

(1.5.9)

Problema 1.8. An´ alisis dimensional: caudal de un vertedero Un vertedero con salida en forma de “V” es una placa vertical con una muesca (sacado) de ángulo φ cortado en su extremo superior y ubicado a lo largo de un canal abierto como muestra la figura 1.5.11. El flu´ıdo en el canal es acumulado y forzado a escurrir a trav´ es de la muesca. El caudal Q es alguna función de la elevación H desde la superficie libre con respecto a la muesca. Adicionalmente, el caudal depende de la gravedad y de la velocidad de aproximación V 0 hacia el vertedero. Determine la forma de la ecuación del caudal.

Q

φ

Figura 1.5.11: Vertedero con salida en forma de “V”

Soluci´ on: Para resolver problemas de análisis dimensional consideramos el procedimiento: 1. Enumeramos todos los parámetros que participan del fen´ omeno. En este caso son: Q (caudal), H (elevación), g (gravedad), V 0 (velocidad de aproximación), φ (´ angulo de corte de la muesca). Tenemos n = 5 2. Identificamos las dimensiones fundamentales de los parámetros.


46 L3 En este caso son: Q , H [L], g T fundamentales: L y T . Tenemos r = 2

 

   L , V 0 T 2

L , φ [adim], vemos que tenemos 2 dimensiones T

3. Usamos el teorema de Buckingham, el cual dice que para un problema de n par´ ametros con r dimensiones fundamentales, se puede reducir a uno de n r parámetros adimensionales. Si a1 = f (a2 , a3 , . . . , an ) (1.5.10)

−

Con a k parámetro (k = 1, . . . , n) y f función desconocida, entonces se puede reducir a: π1 = ψ (π2 , . . . , πn−r )

Con π j parámetro adimensional ( j = 1, . . . , n

(1.5.11)

− r) y ψ función desconocida.

4. Ya que tenemos 3 parámetros adimensionales, debemos escoger r variables como la base con la cual construiremos dichos parámetros, es decir: π1 = QV 0α1 g α2 β

π2 = H V 0 1 g β2 π3 = φ

Ac´ a, V 0 y g forman la base, con el cuidado de que sus unidades deben ser LI (los exponentes que forman las unidades de un parámero deben ser incapaces de replicar otro parámetro al ser elevados a una potencia), es decir: no puede ocurrir que π 1 = π 22 como resultado final, esto quiere decir que la base fue mal escogida. Otra observació n, es que el parámetro 3 lo hemos escogido directamente como φ, aprovechando la ventaja de que es adimensional. 5. Planteamos los sistemas de ecuaciones reemplazando las dimensiones fundamentales: π1 = QV 0α1 gα2 β

π2 = H V 0 1 gβ2

[L0 T 0 ] = [L3 T −1 ] [LT −1 ]α1 [LT −2 ]α2

→ →

[L0 T 0 ] = [L][LT −1 ]β1 [LT −2 ]β2

6. Se resuelve el sistema y se llega a: π1 =QV 0−5 g2 π2 =HV −2 g 1

π1 = ψ (π2 , φ)

→

QV 0−5 g 2 = ψ (HV −2 g1 , φ)

V 5 Q = 02 ψ g

  gH ,φ V 02

(1.5.12)

Comentario: escogiendo otro par de parámetros, se hubiese llegado a una expresión distinta, pero los paráme-

47

1.5. PROBLEMAS

tros dentro de la función desconocida hubiesen sido los mismos. Problema 1.9. An´ alisis dimensional: modelos a escala Un misil lanzado por submarino, de 1 metro de diámetro y 5 metros de largo, será estudiado en un túnel de agua para determinar las fuerzas que actúan durante su lanzamiento en las profundidades. La máxima velocidad durante la parte inicial del vuelo del misil es de 10 m/s. Calcule la velocidad media del flujo en el t´ unel de agua si se utilizará un modelo a escala 1 : 20 y con semejanza dinámica. Soluci´ on: La semejanza dinámica implica la igualaci´ on del n´ umero de Reynolds entre el modelo y el prototipo. Rem = Re p Desarrollando:

V m lm ρm V p l p ρ p = µm µ p

Luego la velocidad está dada por V m = V p

(1.5.13)

l p ρ p µm lm ρm µ p

Reemplazamos las escalas indicadas y usamos el hecho de que ρ p = ρ m , µ p = µ m V m = 10 · 20 · 1 · 1 = 200 ms −1 Problema 1.10. Fluidos inmiscibles5 en plano inclinado El bloque c´ ubico de la figura 1.5.12 tiene masa espec´ıfica ρ c , lado a y se encuentra en un plano inclinado de ángulo θ. El bloque se ubica sobre dos l´ıquidos inmiscibles (no se mezclan) de viscosidad cinem´ aticas µ 1 y µ 2 respectivamente. El bloque baja por el plano inclinado a velocidad V (t). Suponga que los perfiles de velocidad que se forman en los fluidos de viscosidad µ1 y µ2 son lineales, aunque no necesariamente iguales entre s´ı. (a) Determine la ecuaci´ on diferencial que define el movimiento del bloque, en función de la masa espec´ıfica, el lado del bloque, las viscosidades y los espesores. (b) Calcule la velocidad terminal del bloque, asumiendo que el plano inclinado es suficientemente largo. Soluci´ on: El bloque está sometido a la fuerza peso y a la resistencia al movimiento por parte del fluido de viscosidad µ1 . Si hacemos un diagrama de cuerpo libre del bloque, como muestra la figura 1.5.13, veremos que al aplicar la segunda ley de Newton obtendremos:

mg sin θ

X

F x = ma x

(1.5.14)

− F 1 = max

(1.5.15)

τ

Donde F τ 1 es la fuerza debido al esfuerzo de corte que ejerce el fluido de viscosidad µ 1 . La fuerza F τ 1 es resultado del producto del esfuerzo de corte τ 1 por el área de contacto con el bloque A = a 2 , por lo tanto: 5

Inmiscibles: que no se mezclan.


48 ρ

c

h h

µ

1

µ

2

θ


mg sin θ

− τ 1 · a2 = max

(1.5.16)

y

F τ 1 m g s

in θ

x Figura 1.5.13: Diagrama de cuerpo libre bloque problema 1.10

Podemos expresar el valor del esfuerzo de corte τ 1 usando la ley de viscosidad de Newton:

τ 1 = µ1

dv1 dy

(1.5.17)

Donde v1 corresponde al perfil de velocidad que se establece en el fluido 1. Como nos sugieren suponer que el perfil es lineal, entonces la ley de viscosidad queda:

49

1.5. PROBLEMAS

τ 1 = µ 1 τ 1 = µ 1

V (t)

−

dv1 dy v12

h

(1.5.18) (1.5.19)

Donde V (t) es la velocidad de la lámina superior del fluido 1 (en contacto con el bloque, por eso lleva velocidad V (t)) y v12 es la velocidad en la lámina de interfaz entre el fluido 1 y 2. Esto se muestra en la figura 1.5.14.

V ( t

)

v 1 2 v 2 =

v 1 ( y )

v 2 ( y )

i nt e r f a z

0

Figura 1.5.14: Perfil de velocidad en cada fluido, problema 1.10

Ahora, el esfuerzo de corte ha quedado en función de la velocidad en la interfaz v12 , la cual es una inc´ ognita, por lo que necesitaremos otra ecuación para establecer su valor. La velocidad v 12 está relacionada con el esfuerzo de corte τ 2 seg´ un la ley de viscosidad de Newton:

τ 2 = µ2

dv2 dy

(1.5.20)

Nuevamente el perfil de velocidad se asume lineal, por lo que:

dv2 dy v12 0 τ 2 = µ 2 h τ 2 = µ 2

−

(1.5.21) (1.5.22)

La velocidad en el borde inferior es 0, ya que el plano inclinado está en reposo y los fluidos no resbalan., por lo que la lámina inferior de fluido adquiere la velocidad del plano inclinado. Ahora es posible despejar v 12 :

v12 =

τ 2 h

µ2

(1.5.23)


50

La cual podemos reemplazar en la ley de viscosidad del primer fluido:

τ 1 = µ 1

V (t)

− v12

h

V (t) τ 1 = µ 1

− τ µ22h h

(1.5.24)

(1.5.25)

En la interfaz se cumple que los esfuerzos de corte son iguales por acción y reacción, por lo tanto:

τ 1 = τ 2 = τ

(1.5.26)

Esto nos permite despejar el valor de τ a trav´ es de un poco de trabajo algebraico (propuesto al lector).

V (t) τ 1 = µ 1

− τ µ22h h

V (t) τ = µ 1

− τ µh2 h

(1.5.27)

(1.5.28)

··· τ =

µ1 µ2 V (t) (µ1 + µ2 )h

(1.5.29)

Ahora reemplazamos en la segunda ley de Newton para la aceleración del bloque:

− τ 1 · a2 = max mg sin θ − τ · a2 = ma x µ1 µ2 V (t) mg sin θ − · a2 = ma x (µ1 + µ2 )h mg sin θ

(1.5.30)

(1.5.31)

(1.5.32)

Podemos reemplazar la masa por los parámetros geométricos y de masa espec´ıfica m = ρ c a3 :

ρc a3 g sin θ

− (µµ11µ +2V (t) · a2 = ρ c a3 ax µ2 )h

(1.5.33)

Finalmente podemos reemplazar la aceleración como la derivada de la velocidad, para que quede una ecuaci´ on diferencial de primer orden no homog´ enea:

a3 ρc

dV (t) V (t) µ1 µ2 + a2 = ρ c a3 g sin(θ ) dt h (µ1 + µ2 )

Esta ecuación puede resolverse utilizando cualquier método aprendido en cálculo diferencial.

(1.5.34)

51

1.5. PROBLEMAS

Si el plano es lo suficientemente largo, entonces se cumplirá que condici´ on para encontrar V terminal que la cumple:

V terminal =

dV (t) = 0. Podemos resolver dicha dt

ρc ahg sin(θ)(µ1 + µ2 )

µ1 µ2

(1.5.35)

Problema 1.11. An´ alisis dimensional: Olas en un lago Se desea determinar la altura de las olas cuando el viendo sopla a lo largo de un lago (figura 1.5.15). Se asume que esta altura H depende de la velocidad del viento V , la masa espec´ıfica del agua ρ, la masa espec´ıfica del aire ρa , la profundidad del lago d y la distancia a la costa L y la aceleración de gravedad g. Determine las relaciones entre las variables a trav´ es de un an´ alisis dimensional y muestre los n´ umeros adimensionales que gobiernan el problema. H

V

d

L

Figura 1.5.15: Viento actuando sobre olas. Problema 1.11.

Soluci´ on: Al igual que los otros problemas de análisis dimensional, realizamos el procedimiento: 1. Enumeramos todos los parámetros que participan del fen´ omeno. En este caso son: H (altura de olas), V (velocidad del viento), g (aceleración de gravedad), ρ (masa espec´ıfica del agua), ρa (masa espec´ıfica del aire), d (profundidad del lago) y L (distancia a la costa). Tenemos n = 7 2. Identificamos las dimensiones fundamentales de los parámetros, las cuales se muestran en la tabla 1.5.1: Tabla 1.5.1: Tabla de par´ ametros y sus dimensiones Parámetro H V ρ ρa

d L g

Dimensiones L LT −1 ML−3 ML−3 L L LT −2

De ver la tabla 1.5.1 contamos r = 3 dimensiones fundamentales: masa M , longitud L y tiempo T , lo que constituye un problema dinámico.


52

3. Usando el teorema de Buckingham, el problema se reduce a n

− r = 7 − 3 = 4 números adimensionales.

4. Elegimos las variables básicas, en este caso serán g, d y ρ, por lo que los números adimensionales quedan:

π1 =H ρα1 gβ1 dγ 1

(1.5.36)

π2 =V ρα2 gβ2 dγ 2

(1.5.37)

π3 = ρa ρα3 g β3 dγ 3

(1.5.38)

π4 =Lρα4 g β4 dγ 4

(1.5.39)

5. Planteamos los sistemas de ecuaciones reemplazando las dimensiones fundamentales: π1 =H ρα1 g β1 dγ 1 π2 =V ρα2 gβ2 dγ 2 π3 = ρa ρα3 g β3 dγ 3 π4 =Lρα4 g β4 dγ 4

[LMT ]0 = [L][ML−3 ]α1 [LT −2 ]β1 [L]γ 1

→ → → →

[LMT ]0 = [LT −1 ][ML−3 ]α2 [LT −2 ]β2 [L]γ 2 [LMT ]0 = [ML−3 ][ML−3 ]α3 [LT −2 ]β3 [L]γ 3 [LMT ]0 = [L][ML−3 ]α4 [LT −2 ]β4 [L]γ 4

6. Resolvemos los cuatro sistemas obteniendo: H d V π2 = = Fr gd π1 =

√

El n´ umero π 2 =

π3 =

ρa ρ

π4 =

L d

√ V gd suele conocerse como el número de Froude (Fr) y relaciona las fuerzas de inercia

con las fuerzas de gravedad:

Fr =

inercia √ V gd = gravedad

N´ umero de Froude

(1.5.40)

53

1.5. PROBLEMAS

7. Finalmente expresamos las funciones para cada variable:

H φ 1 (π2 , π3 , π4 ) d V π2 = φ 2 ( π1 , π2 , π3 ) gd π1 =

(1.5.41)

√

(1.5.42)

π3 =

ρa φ3 (π1 , π2 , π4 ) ρ

(1.5.43)

π4 =

L φ4 (π1 , π2 , π3 ) d

(1.5.44)

H =d · φ1



ρ a L Fr, , ρ d



p       H ρ a L , , d ρ d H L , Fr, d d ρ a H , Fr, ρ d

V = gd · φ2 ρa = ρ · φ3

L =d · φ4

(1.5.45)

(1.5.46)

(1.5.47)

(1.5.48)

54


Cap´ıtulo 2

Est´ atica de los fluidos En este cap´ıtulo se abordan conceptos, aplicaciones y problemas de fluidos en reposo principalmente.

2.1.

Introducci´ on

La estática de los fluidos estudia aquellos donde no hay esfuerzos de corte (tangenciales), por lo tanto la viscosidad no es relevante. Sólo se verán presiones (fuerzas normales). En consecuencia de lo anterior, la est´ atica de los fluidos asume que la velocidad no cambia en la dirección transversal, es decir: ∂ u =0 ∂ y

(2.1.1)

Esto puede leerse de otra forma: la aceleración convectiva (cambios espaciales en la velocidad) es cero. En el cap´ıtulo de cinemática, en la sección 1.3.3 vimos que la aceleración se define como: ~ ~ ∂ V dV ~ · = + (V ∂ t dt

∇)V ~

(2.1.2)

~ )V es ~ donde el término (V la aceleración convectiva. Finalmente, resumimos todo en:

∇

(a) Solo se desarrollan esfuerzos normales1 .

≡ No hay esfuerzos de corte tangenciales ≡

du = 0. dy

(b) La viscosidad µ no es importante. Al hablar de estática de fluidos, recordamos de la f´ısica general el concepto de equilibrio: un cuerpo está en equilibrio cuando:

X

~ F = ~ 0 y

X

~ = ~ M 0

(2.1.3)

Nos concentraremos en el equilibrio de fuerzas. Por lo tanto enumeraremos las fuerzas involucradas: 1. Fuerzas de volumen o másicas, las cuales dependen de la cantidad de materia (o volumen del fluido). Las denotaremos por F ~ m . 1

Consultar secci´ on 1.1, figura 1.1.3 para esfuerzos de corte.

55

´ CAP ´ ITULO 2. EST ATICA DE LOS FLUIDOS

56

F ~ m =

Z

ρf~ d

∀

(2.1.4)

∀

~ es la intensidad del campo de fuerzas másicas y el volumen. En la mayor´ıas de los casos donde f ~ = gk, ˆ donde kˆ de este curso, siempre tendremos como fuerza másica la gravedad, denotada por f representa la dirección vertical en un sistema de ejes en que la altura aumenta en Z .

∀

−

~ s . 2. Fuerzas de superficie, las cuales son proporcionales al área de interacción. Las denotaremos por F ~ s = F

Z

(F nˆ n ˆ + F tˆ tˆ)dA

(2.1.5)

S

Recordando la condición de hidrostática, donde los esfuerzos tangenciales son nulos, por lo tanto, la ecuaci´ on (2.1.5) queda:

X Z ~ F =

F nˆ n ˆ dA +

S

Z

ρf~ d = ~ 0

(2.1.6)

∀

∀

Para un fluido en reposo, la presió n es el u ´ nico esfuerzo normal:

P =

~

− ddAF nˆ

(2.1.7)

recordando que la normal positiva se define hacia afuera de la superficie, por lo tanto la fuerza debido a la presión apunta hacia adentro de la superficie. A continuación haremos un análisis diferencial de la presi´ on en un fluido. An´ alisis diferencial de la presi´ on en un fluido Tomemos la figura 2.1.1 como referencia para nuestro elemento diferencial dentro de un fluido que ejerce presi´ on. Z

F = − ~

Z

ˆ dA P n

Y

∆x

X

∆y

Figura 2.1.1: Elemento diferencial

´ 2.2. LEY HIDROST ATICA

57

Si tomamos el triángulo de base inferior ∆y (figura 2.1.2) y realizamos el equilibrio horizontal (2.1.8) y vertical (2.1.9), tomando fuerzas dadas por presiones en dirección perpendicular a cada superficie: P 2 ∆x∆z = P 3

P 1 ∆x∆y = P 3

∆x∆z

sin α

∆x∆y

cos α

· (sin α)

· (cos α)

∴

∴

P 2 = P 3

P 1 = P 3 = P 2

(2.1.8)

(2.1.9)

Se concluye entonces que la presión es un escalar y que es independiente de la orientación de la superficie, adem´ as genera una fuerza perpendicular a la superficie.

P 3 l

∆x = P 3

∆x∆z sin α

∆z ∆z

l ∆y

P 2 ∆x∆z

l

= P 3

∆x∆y cos α

= sin α

= cos α

α

P 1 ∆x∆y

∆y

Figura 2.1.2: Elemento diferencial, vista plano Y Z

2.2.

Ley Hidrost´ atica

En esta sección derivaremos la ley hidrost´ atica, ya sabiendo los supuestos que la originan y además conociendo que la presión en un fluido es un escalar independiente de la orientación de la superficie. Tomemos un cubo diferencial en el espacio, propuesto en la figura 2.2.1. Si tomamos una cara en 2D (podemos hacer lo mismo con todas las caras y la derivación es análoga) y los siguientes supuestos: (a) El centro tiene presi´ on P . ~ ∆x∆y ∆z es la u (b) F ~ m = ρ f ´ nica fuerza másica presente, dada por el campo de fuerzas másicas cualquiera.

Podemos hacer equilibrio de fuerzas en esta cara (figura 2.2.2) como sigue: Tomando el centro de la cara, donde está aplicada la presión, como origen local, es posible extrapolar lineal-


58

Z

dz dy

dx

Y

X

Figura 2.2.1: Elemento diferencial de fluido



P +

∂ P dz ∂ z 2



dxdy

dz 2

dz



P −

∂ P dx ∂ x 2





dzdy P



P −

∂ P dz ∂ z 2



dxdy

dx

dx 2

Figura 2.2.2: An´ alisis de elemento diferencial de fluido

P +

∂ P dx ∂ x 2



dzdy


59

mente la presión (expansión de Taylor2 de orden 1) y expresar las fuerzas en los bordes como el producto de la presió n por el área (alto o largo por ancho perpendicular al plano del papel) en las direcciones que se muestran. El equilibrio en la dirección Z queda:

 − P

∂ P dz ∂ z 2



dxdy

 −

∂ P dz P + ∂ z 2



dxdy + ρf z dxdydz = 0

(2.2.1)

Desarrollando:

−2 · ∂ ∂ P z dz2 dxdy + ρf z dxdydz = 0 Se eliminan los diferenciales dx, dy y dz quedando finalmente: ∂ P = ρ f z ∂ z

(2.2.2)

Si realizamos el equilibrio en dirección X e Y llegamos a lo mismo, lo que vectorialmente se expresa como:

∇~ P = ρf ~

(2.2.3)

Ejemplo 2.1. Superficies Isob´ aricas Tenemos dos estanques de diferente forma (figura 2.2.3), con la misma altura de agua H , donde sólo la ~ = gk). ˆ En este caso las superficies de igual presión son planos gravedad es el campo de fuerza másico (i.e f

−

horizontales.

g

~

H

Figura 2.2.3: Ejemplo 2.1, Superficies isobáricas

Ejemplo 2.2. Fluidos incompresibles Para fluidos incompresibles (ρ = cte), la ley hidrostática puede integrarse directamente. Tomemos la figura 2.2.4. ∂ P Si conocemos la presión en la superficie P (z0 ) = P atm , podemos integrar la ecuación = ρg ∂ z

−

P atm

Z

P

P atm 2

0

00

dP =

z0

−ρg

Z

dz

z

− P = −ρg(z0 − z)

Recordar Taylor: f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )∆x + f (x0 )

(∆x)2 + · · · 2


60 De donde emerge la relación que resulta familiar: P atm + ρg(z0

− z) = P

(2.2.4)

Observaci´ on: en este ejemplo, la coordenada Z es positiva hacia arriba y z0 representa un nivel de referencia, que usualmente es la superficie libre (i.e: donde está la boya), por lo que la profundidad es dada por valores negativos de z, los cuales al introducirlos en la ecuación (2.2.4) da un mayor valor de presión, cumpliendo con lo que indica la lógica y la experiencia de vida.

z

z0

x O

ρ

z < 0

~ = −g k ˆ f

Figura 2.2.4: Ejemplo 2.2, Fluido incompresible

Ejemplo 2.3. Medidor de densidad En la figura 2.2.5 se muestra un medidor de densidad, donde fluido de masa espec´ıfica conocida ρ 0 incompresible se encuentra atrapado a presión P 0 en el contenedor esférico de la izquierda. La presión que ejerce este fluido hace que se expanda por el tubo comunicante hasta entrar en contacto con el fluido desconocido de masa espec´ıfica γ d incompresible también. El otro extremo del tubo comunicante se encuentra abierto a la atmósfera. ¿Cuál es la densidad de este fluido? Considere P 0 = 0, 6 bar, h 1 = 15 cm y h 2 = 30 cm. Desde la ley hidrostática, al ser fluidos incompresibles podemos usar la relación establecida en (2.2.4). Adem´ as sabemos que las superficies isobáricas son planos horizontales, p or lo que podemos trazar una l´ınea que atraviesa la interfaz aire-fluido desconocido que llega hasta el extremo izquierdo del tubo comunicante, como se muestra en la figura 2.2.6. De esta manera sabemos que P (A1 ) = P (A2 ). Entonces:

P (A1 ) = P (A2 ) P atm = P 0 + ρgh 1 + ρd gh 2 ∴

γ d =

P atm

− P 0 − γ h1 h2

En el u ´ ltimo paso hemos utilizado γ ρg, el peso espec´ıfico, para abreviar. En adelante se utilizar´ a con gran frecuencia el término γ . Reemplazando los datos, obtenemos γ d = 128433, pero como queremos la densidad, recordando el cap´ıtulo Introducci´ on, tenemos que normalizar por el peso espec´ıfico del agua, nuestra referencia usual, de manera que

≡


61

dd =

γ d = 13, 1 γ

Es decir, este fluido es 13,1 veces más denso que el agua.

P 0 h1

γ

P atm

h2

γ d

Figura 2.2.5: Ejemplo 2.3

P 0 h1

γ

P atm

h2 A2

A1

γ d

Figura 2.2.6: Ejemplo 2.3, trazado de l´ınea isobárica

Ejemplo 2.4. Fluido compresible: gases ~ consideramos una relaci´ En fluidos compresibles, aparte de la ley hidrostática ~ P = ρ f , on adicional, por ejemplo en los gases ideales se da la famosa ley:

∇

P = ρ RT ∴

ρ =

P RT

Ahora introduzcamos esta ley de gases ideales dentro de la ley hidrostática:


62

∂ P = ∂ z

− ρg ∂ P = − ρg∂ z P ∂ P = − g ∂ z RT

P

Z

∂ P

P

P 0

ln(P )

=

−

− ln(P 0) = −

g RT

z

Z

∂ z

z0

g (z RT

− z0 )

Finalmente obtenemos la presión:

−

P = P 0 e

g (z RT



− z0 )

(2.2.5)

A continuación se dará detalle a algunas consideraciones especiales de la ley hidrostática de gran importancia y con múltiples aplicaciones.

2.2.1.

Presi´ on relativa vs absoluta

Hay ocasiones en que la presión atmosf´ erica no es relevante para el estudio o diseño de ciertos sistemas, o bien puede suceder que lo verdaderamente importante son diferencias relativas entre presiones que pueden ocurrir. Podemos establecer el paralelo por ejemplo con el caso de ir a bordo de un auto a velocidad constante V y analizar una situación din´ amica o cinemática dentro del auto, sin tener interacción con el exterior de éste. Para un observador externo al auto, fijo, toda la dinámica de la situación incluir´ a la velocidad V en su estudio, pero para un pasajero del auto, la velocidad V es irrelevante ya que ve todo quieto. En el caso de los fluidos pasa algo muy parecido, por lo que se denominan casos de presión relativa, aquellos que declaran que la presión atmosférica adquiere valor 0. Al contrario, los casos de presión absoluta son aquellos donde la presión de valor 0 es la m´ınima posible, la que se da en el vac´ıo. De forma matemática: P abs = P rel + P atm

2.2.2.

(2.2.6)

Fluidos sometidos a aceleraci´ on externa

La ley hidrostática también puede aplicarse a casos con aceleración externa de cuerpo r´ıgido, como ser´ıa el caso de un vaso deslizándose por la mesa de un bar al ser lanzado por el barman hacia el cliente, o hacer girar una botella semi llena con agua y ver qu´ e sucede. La aceleración de cuerpo r´ıgido la denotaremos como ~ a y supondremos que contiene a sus 3 componentes ortogonales en un sistema cartesiano, aunque podr´ıa ser polar, cil´ındrico o esférico. ˆ az kˆ ~ a = a xî + ay j +

(2.2.7)


63

Ahora la condición de equilibrio ha cambiado y de hecho ya no estamos en equilibrio, sino que tenemos aceleraci´ on, por lo que la segunda Ley de Newton cambia a:

X

~ F = m~ a

(2.2.8)

Expresando de forma diferencial e incluyendo lo que ya sabemos de ley hidrostática:

−∇~ P dx dy dz + ρ dx dy dz f ~ = ρ dx dy dz ~ a Finalmente resulta:

∇~ P = ρ f ~ − ρ~ a

(2.2.9)

Lo cual expresa la ley hidrostática de forma completa, incluyendo campo de aceleración externa. Bastará tomar ~ a = ~ 0 para tener la expresión t´ıpica. Ejemplo 2.5. Vaso sometido a aceleraci´ on Imaginemos el caso de la figura 2.2.7, donde un vaso con agua en reposo, es sometido a una aceleración horizontal a x en dirección positiva (derecha). Lo que sucederá es que la superficie libre ya no será horizontal, debido a que el gradiente de presiones adquiere una componente horizontal adicional (la vertical es dada por la gravedad) lo que hace cambiar la dirección de las superficies isobáricas. Si lo vemos matemáticamente:

∇~ P = ρ~ g − ρ~ a ˆ − ρax (î) ∇~ P = ρg(−k)

(2.2.10) (2.2.11)

¡ ~ P tiene ahora componente horizontal!

∇

a=0

~

~

∇P ~

=0 a 6

~

~

∇P ~

ax

Figura 2.2.7: Cambio de direcci´ on del gradiente de presiones, ejemplo 2.5

Ejemplo 2.6. Globo en el Metro Si subimos al Metro llevando un globo, al iniciar el movimiento el tren, ¿hacia dónde nos movemos nosotros?


64

La respuesta es natural para nosotros y es que nos movemos hacia atrás (debido a la acción y reacción que produce el roce estático-din´ amico del suelo del vagón con nosotros) dada la inercia que hay que vencer. Pero, ¿hacia dónde se mueve el globo? Sin tener que llevar un globo para comprobarlo, podemos predecirlo desde la mecá nica de fluidos y espec´ıficamente, desde la ley hidrostática. Veamos la figura 2.2.8 y tomemos la componente X de la ecuación hidrost´ atica: ∂ P = ∂ x

−ρax

Dado que a x > 0, entonces el gradiente de presiones tiene dirección negativa en x, es decir, apunta hacia la izquierda. Recordando3 C´ alculo III, sabemos que el gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de una función, por lo que la presión en la izquierda siempre será mayor que en la derecha. El globo contiene aire, un gas. El movimiento de los gases generalmente es gobernado por diferencias de presiones (gradiente de presiones!) o por corrientes advectivas/convectivas (viento, campo de velocidades), y al tener una masa espec´ıfica muy ba ja, no toman mucho en cuenta la gravedad (a escala local), por lo que la fuerza motriz principal es la diferencia de presión. Por lo tanto, al haber más presión a la izquierda que a la derecha, el globo irá hacia adelante y nosotros (que no somos gases, sino que mayoritariamente agua, susceptible a la gravedad y por ende más pesados) nos iremos hacia atrás. ax

P

P

∂ P

·i

ˆ

∂ x


Ejemplo 2.7. Cilindro en rotaci´ on Supongamos que tenemos un estanque cil´ındrico cerrado (podr´ıa ser abierto tambi´ en) con agua, el cual rota con respecto a su eje central a velocidad angular constante ω , como en la figura 2.2.9 ¿Cuá l es el comportamiento del agua almacenada ah´ı? Si son fanáticos del caf´ e o del té seguramente han tenido que revolverlo para que el azúcar (endulzante para aquellos que buscamos bajar de peso) se disuelva. Si revolvemos lo suficientemente rápido, veremos que se forma un pequeño remolino y el centro de la superficie se hunde, ¿por qué sucede esto? 3

Puede revisar el libro de apuntes de cálculo I II, de mi gran amigo Ma t´ıas López y compa˜ n´ıa


65

Nuevamente la mecánica de fluidos viene en nuestro auxilio y junto con una visita express al cálculo I-II-III en la sección de coordenadas circulares, podremos encontrar la respuesta. ω

Eje local radial y tangencial rˆ

ˆ θ

~ g =

ˆ −g k

Elemento de fluido

Vista en perfil

Vista en planta

Figura 2.2.9: Cilindro en rotaci´ on, ejemplo 2.7

Usando coordenadas cil´ındricas, como indica la figura 2.2.9, con la dirección Z hacia arriba, el eje radial apuntando hacia afuera y el eje tangencial en dirección antihoraria (convención t´ıpica) y tomando la ley hidrost´ atica:

∇~ P = ρ f ~ − ρ~ a Necesitamos expresar el gradiente en coordenadas cil´ındricas, a lo que invocamos Cálculo III:

∇~ = ∂ ∂ r rˆ + 1r ∂θ∂ θˆ + ∂ ∂ z kˆ

(2.2.12)

Luego invocamos el curso de f´ısica general para saber que la única aceleración presente en un movimiento circular con velocidad angular constante, es la aceleración centr´ıpeta, que apunta hacia el centro de rotación: ~ a =

−ω2rˆr

(2.2.13)

Por ˙ltimo, el campo de fuerzas másico es el gravitatorio: ~ g =

−gkˆ

(2.2.14)

Podemos expresar la ecuación diferencial de ley hidrostática en forma vectorial: ∂ P 1 ∂ P ˆ ∂ P ˆ ˆ θ + ˆr + k = ρ ( g k) ∂ r ∂ z r ∂θ

− − ρ(−ω2rˆr)

La cual separamos por componentes:

(2.2.15)


66

∂ P =ρω 2 r ∂ r 1 ∂ P =0 r ∂θ ∂ P = ρg ∂ z

(2.2.16) (2.2.17)

−

(2.2.18)

Ahora rescatamos los apuntes de ecuaciones diferenciales para integrar esta ecuación y obtenemos: P =

ρω 2 r2

2

− ρgz + C

(2.2.19)

Lo que describe paraboloides como superficies de nivel (superficies isobáricas). La constante C puede ser encontrada a trav´ es de condiciones de borde dependiendo del tipo de situación (abierto a la atmósfera o presi´ on conocida con un manómetro, etc). Las superficies isobáricas se observan en la figura 2.2.10. ω

g = ~

−g kˆ

Superficies Isob´ aricas

Vista en perfil

Figura 2.2.10: Superficies isob´ aricas, cilindro en rotación. Ejemplo 2.7

2.3.

Fuerza resultante sobre superficies

Gracias a la ley hidrostática sabemos que la presión del agua aumenta a medida que aumentamos la profundidad donde nos encontramos. El saber cuánta presión (y por ende fuerza) que ejerce el agua es de gran importancia a la hora de diseñar embalses, estanques (piscinas de los zoológicos por ejemplo), etc. Veamos algunos ejemplos:

2.3. FUERZA RESULTANTE SOBRE SUPERFICIES

Figura 2.3.1: Represa Gordon en Australia. Fuente: [4]

Figura 2.3.2: Represa Coulee en Estados Unidos. Fuente: [1]

67


68

Figura 2.3.3: Acuario p´ ublico en Barcelona. Fuente: [5]

2.3.1.

Superficies planas

Partiremos con superficies planas, como una tabla o una plancha, para entender cómo aplicar la mecánica de fluidos a un fenómeno netamente f´ısico, como es la fuerza sobre un objeto. Para encontrar la fuerza resultante (en magnitud y dirección) sobre una superficie plana4 imaginemos una situaci´ on como la de la figura 2.3.4.

θ

Superficie plana de ´ area A inclinada en ´ angulo θ con respecto a la sup. libre

Y

A Proyecci´ on ortogonal de la superficie plana

Figura 2.3.4: Superficie plana sumergida sometida a presión

La superficie plana puede tener cualquier forma y para hacerlo aú n más general, esta superficie está inclinada en un ángulo θ con respecto a la superficie libre. Tambi´ en trazamos el eje auxiliar Y . 4

Se entiende plana por una superficie cuyo volumen es despreciable (no tiene alto o su escala es muy baja en comparación con la escala de longitudes del problema).

69


Ahora, nos interesa encontrar la fuerza total, la cual puede descomponerse de forma diferencial como lo muestra la figura 2.3.5, donde cada diferencial de fuerza está aplicado sobre un diferencial de área. Recordar que la fuerza de presión es ortogonal a la superficie.

θ h

Superficie plana de área A inclinada en ángulo θ con respecto a la sup. libre

dF ~

P (h) = γ h

dA

Y

A Proyecci´ on ortogonal de la superficie plana

Figura 2.3.5: An´ alisis diferencial fuerza sobre superficies planas

La presión en cada elemento diferencial de área depende exclusivamente de la profundidad a la que se encuentre, es decir P (h) = γ h, lo que en función de nuestro eje auxiliar Y y el ángulo de inclinación θ es: P (y, θ) = γ (y sin θ )

(2.3.1)

Luego, para encontrar la fuerza total, debemos integrar cada diferencial de fuerza en toda el área: ~ = F

Z

~ dF

(2.3.2)

A

Nos concentraremos en la magnitud de la fuerza, por lo que aplicamos módulo:

~ |F | =

Z Z

A

=

A

~ |dF | =

Z

P dA

A

γ h dA =

Z

γ (y sin θ ) dA

A

De esta u ´ ltima expresión, podemos extraer las constantes γ y sin θ de la integral. ~ γ sin θ |F | =

Z

A

y dA

(2.3.3)


70

El t´ ermino que queda dentro de la integral es un viejo conocido del cálculo II, si recordamos que la coordenada centroide de una figura es:

x =

Z

x dA

A

∴

A

Z

x dA = xA

(2.3.4)

A

Aplic´ andolo a nuestro caso y ordenando los términos de una manera más intuitiva: ~ γ sin θ |F | =

Z

y dA = γ (y sin θ )A

(2.3.5)

A

El término (y sin θ ) lo denotaremos por Z G y representa la profundidad del centro de gravedad de la superficie plana sumergida, para dejar la expresi´ on como:

~ γ Z G A |F | =

(2.3.6)

Fuerza resultante en superficies planas

Resulta curioso que la magnitud de la fuerza resultante dependa poderosamente de la profundidad del centro de gravedad y que la simetr´ıa o asimetr´ıa de la figura en la dirección transversal (perpendicular al plano del papel) no juegue ning´ un rol. No es as´ı en el caso de la ubicaci´ on de la fuerza resultante, recordemos que hasta ahora sólo tenemos el módulo de la fuerza.

2.3.2.

Punto de aplicaci´ on de la resultante en superficies planas

Para encontrar dónde se aplica esta fuerza resultante, el análisis es muy parecido, solo que un poco más ~ y su punto de aplicaci´ largo. Partamos desde la figura 2.3.6, donde se muestra ya la fuerza resultante F on yR , el cual a˙n no calculamos, pero sabemos que existe y anda por algún lado, escondiéndose de nosotros. La clave para calcular la ubicación de la resultante es el equilibrio de momentos, porque el momento que ejerce la resultante debe ser equivalente a la suma de todos los pequeños momentos que ejerce cada diferencial de fuerza. Es una relación de equivalencia que matemáticamente se expresa como: ~ R | = | F | ~ · yR = |M

Z

~ | = |dM

Z

~ y|dF |

(2.3.7)

A

Donde M R es el momento de la fuerza resultante e y es el brazo-palanca de cada diferencial de fuerza, de acuerdo con la notación de la figura 2.3.6. Siguiendo con el equilibrio de momentos:

71


θ

~ dF

y

~ F

yR

Y

Figura 2.3.6: Ubicaci´ on del punto de aplicación de la fuerza resultante

~ R = |F | y

Z Z Z Z

~ y|dF |

A

=

y(P dA)

A

=

y(γ y sin θ dA)

A

=

γ sin θ y2 dA

A

=γ sin θ

Z

y 2 dA

A

El término que queda dentro de la integral segundo momento de inercia:

Z

y2 dA es tambi´ en otro viejo conocido del cálculo II, el

A

I xx =

Z

y 2 dA

(2.3.8)

A

Recordemos que el hecho de que la I lleve dos x es debido a que el momento de inercia es con respecto al eje X para hacer un giro con respecto a ese eje. Recordemos que existe un tensor de inercia I :


72

I =

 

I xx I yx I zx

I xy I yy I zy

I xz I yz I zz

 

(2.3.9)

Volviendo al c´ alculo de la posición de la resultante, ten´ıamos:

~ R = γ sin θ |F | y

Z

y 2 dA = γ sin θ I xx

A

(γ ZG A) y R = γ sin θ I xx (γ yG sin θA) y R = γ sin θ I xx De esta u ´ ltima expresión se eliminan los γ y los sin θ quedando: yG A yR = I xx

(2.3.10)

Ahora bien, pareciera que el término I xx es un poco complicado de calcular, ya que si recordamos bien, la mayor´ıa de los momentos de inercia están tabulados con respecto al centro de gravedad de la figura usando el teorema de Steiner (ecuación (2.3.11)). 2 I xx = y G A + I XG

(2.3.11)

(2.3.12)

Reemplazando en la ecuación (2.3.10), 2 yG AyR = y G A + I XG

Despejando y R se obtiene finalmente(!):

yR = y G +

I XG yG A

Punto de aplicaci´ on de la resultante plana

Para el caso de superficies perfectamente perpendiculares a la superficie libre (verticales), la coordenada y es simplemente la profundidad. Los momentos de inercia de giro en X con respecto al centro de gravedad aparecen en libros de mecánica clásica5 . Ejemplo 2.8. Compuerta triangular A 8 metros de profundidad de un estanque se ubica una compuerta triangular (isósceles) de altura y base 6 metros (ver figura 2.3.7). Determinar la magnitud del momento con respecto al eje AB. Primero determinamos la fuerza resultante a trav´ es de la ecuación (3.6.17), sabiendo que el centro de gravedad de un triángulo is´ osceles está a 2/3 h del vértice superior. 5

Contenidas en el ap´ endice de este li bro.

73

2.3. FUERZA RESULT RESULTANTE SOBRE SUPERFICIES SUPERFICIES

8m

6m A

B

6 m Proyección de la compuerta

Figura 2.3.7: Ejemplo 2.8 Ejemplo 2.8..





2 F R = γ 8 + · 6 3

6·6 = 2116 2116,, 8 kN k N 2

(2.3.13)

Ahora determinamos la ubicación on de la resultante usando (2.3.12 ( 2.3.12): ): bh3 I XG 2 XG 36 yR = z = z R = z = z G + = 8 + · 6 + zG A 3 8 + 32 · 6 ·



Finalmente, el momento es: M AB AB = (14

2.3.3. 2.3.3.

 



36 2

= 12, 12 , 1¯6 m

¯ · F R ≈ 3880, − 12 12,, 16) 3880, 8 k N m

(2.3.14)

(2.3.15)

Superfici Superficies es curv curvas

Ya vimos cómo omo calcular fuerzas sobre superficies planas, pero bien sabemos que el mundo no es plano y nos interesa calcular fuerzas sobre superficies generales. ~ todos Tomemos por ejemplo la figura 2.3.8 figura 2.3.8,, la c´ upula upula semicircular está sometida a diversos dF todos ortogonales ~ no son paralelos, como es el caso de una superficie en el punto de aplicación. on. En una superficie curva los dF no dF plana, por p or lo que la resultante podr´ıa ıa ir en cualquier dirección. on. Hagamos el análisis alisis diferencial de una superficie curva, partiendo de la figura 2.3.9 2.3.9,, donde se ha tomado una peque˜ na na porción on de área, area, un diferencial de área area dA. Sabemos que la presión on es γ h, con h con h la profundidad del punto que queremos analizar. El peque˜ no no diferencial de área area se comporta igual que nuestra cúpula upula semicircular de la figura 2.3.8 2.3.8,, con diferencial de fuerza aplicado ortogonalmente a esta pequeña na área. area. ~ Asumamos que la fuerza resultante R tiene sus 3 componentes distintas a cero, siguiendo con la convención on de ejes de la figura: ~ = R ˆ R = Rxî + Ry j + jˆ + Rz k

Ahora analizaremos cada componente por separado. Sabemos que el diferencial de fuerza es por definición: ~ = P dA = ~ = γ h ( n dF dA ˆ )dA

−

(2.3.16)

´ CAP ´ ITULO ITULO 2. EST ATICA DE LOS FLUIDOS

74

dF ~

dF

dF

~

~

dF

dF

~

~

Figura 2.3.8: C´ upula upula semicircular semicircular sometida sometida a presi´ on on

Z

h dA

Y X

Figura 2.3.9: An´ alisis de superficie curva sometida a presión alisis on

75


Por lo que la resultante horizontal R x resultará de integrar la proyección on en X en X de de todos los diferenciales de fuerza: ~ · î = Rx = R

Z

~ · î = dF

A

Z

γ h( n ˆ ) · îdA

−

(2.3.17)

A

Asociando adecuadamente:

~ · î = Rx = R

Z

~ · î = dF

A

Z −

γ h(ˆ n · îdA) idA)

(2.3.18)

A

El término ermi no (ˆn · î dA) dA) corresponde a la proyecci´ on o n de dA en el plano Y Z . Esto quiere decir que la componente horizontal R x es igual a la resultante que ejerce un fluido sobre una superficie plana vertical, de áarea rea igual a la proyección on de la superficie curva. El mismo procedimiento puede hacerse para la otra resultante horizontal, proyectando en el plano X Z :

~ · j = Ry = R jˆ =

Z

~ · dF · j = jˆ =

A

Z −

ˆ ) γ h(ˆ n · jdA) jdA

(2.3.19)

A

Para la l a resultante re sultante vertical, proyectamos también: en:

~ · ˆ Rz = R k =

Z

~ · dF · ˆ k =

A

Z −

γ h(ˆ n · ˆkdA) kdA)

(2.3.20)

A

El término ermi no (n ˆ · ˆk dA) dA) representa el área area plana en dirección on vertical, lo que significa que si integramos: Rz =

Z

γ h(ˆ nkˆ dA) dA) =

Z

γ d

∀

(2.3.21)

El producto de la altura h con el diferencial de área area dA dA resulta ser el diferencial de volumen sobre la superficie, lo que al ser integrado resulta en:

Rz =

Z

γ h(ˆ nkˆ dA) dA) =

Z

γ d = γ

∀

∀ss

(2.3.22)

El sub´ sub´ındice “ss” quiere quiere denotar denotar “sobre “sobre la superficie”, superficie”, algo muy importante importante a tener tener en cuenta, cuenta, ya que puede ser muy engañoso noso al complicar la geometr´ geometr´ıa del problema. Es por esto que veremos algunos ejemplos para entender bien.


76

Ejemplo Ejemplo 2.9. Resultant Resultante e vertical, vertical, volumen volumen sobre la superficie superficie En la figura 2.3.10 2.3.10,, hay dos c´ upulas semicirculares en el fondo de dos estanques cuya altura de agua es upulas exactamente la misma. misma . ¿Hay alguna diferencia entre la resultante vertical en ambas cúpulas? upulas?

Figura 2.3.10: Ejemplo 2.9 Ejemplo 2.9

En la figura 2.3.10 se aprecia en achurado el volumen que debe ser considerado para el cálculo de la resultante vertical, el cual resulta ser exactamente el mismo y por lo tanto, la resultante vertical es igual para ambas c´ upulas. upulas. Ejemplo Ejemplo 2.10. Resultant Resultante e vertical, vertical, suma de vol´ umenes umenes para el c´ alculo alculo En la figura 2.3.11 2.3.11 se se muestra cómo omo calcular el volumen a considerar para la resultante vertical sobre la ventana interior semicircular. Si el eje vertical positivo apunta hacia arriba, la presión on en la mitad superior de la ventana semicircular origina una resultante vertical hacia abajo (negativa), con el volumen a considerar achurado 1 , luego la presión on en la mitad inferior origina una fuerza resultante vertical positiva, con el volumen a considerar achurado 2

∀

2.3.4. 2.3.4.

∀

Punto Punto de aplica aplicaci´ ci´ on de la resultante en superficies curvas on

Al igual que para superficies planas, calcular el punto de aplicación de la fuerza resultante en superficies curvas requiere establecer la condición on de equivalencia entre los diferenciales de momentos y el momento causado por la resultante. Pero en este caso hay tres resultantes y tres puntos de aplicación. Tomemos la figura 2.3.12 figura 2.3.12,, donde hay dos fuerzas resultantes en dirección X on X e e Y , Y , Rx y R y respectivamente (no se graficó la fuerza vertical en dirección Z on Z deliberadamente deliberadamente para simplificar el dibujo, esto no implica que no exista), las cuales podemos ver desde arriba como forman un plano. ~ H , la cual llamaremos resultante horizontal total, porque La suma de Rx y Ry da como resultado R representa la acción on en el plano X Y , Y , si consideramos la dirección Z on Z como como vertical. ~ H (pod Si alineamos el eje X eje X en en la dirección on de R (p odr´ r´ıa ıa ser s er el e l Y también), en), se generan gen eran ejes ej es auxiliare aux iliaress xaux , yaux , como muestra la figura 2.3.12. 2.3.12. Con este arreglo, el punto de aplicación on se calcula simplemente usando la equivalencia de momentos:

~ H || = yH ||R || =

Z Z

ydF H H

= yPdAH

(2.3.23)

(2.3.24)

77


=

+

−γ ∀ ∀1

∀2 +γ ∀

= γ ∀ ∀

Figura 2.3.11: Ejemplo 2.10 Ejemplo 2.10


78 z

y

y

RH = R x (−î) + Ry (− jˆ) ~

Ry

=

Rx

y

RH ~

x

Ry Rx

x

z

Vista 3D

x

z

Vista superior

yaux RH ~

yH

z

xaux

Alineación on de x aux con RH ~

Figura 2.3.12: Ubicación on del punto de aplicación on de la resultante

∴

yH =

1 ~ H || ||R

Z

yPdAH

(2.3.25)

Coordenada horizontal de aplicaci´ on de la resultante en superficies curvas on

Esta expresión on es id´ entica entica al caso de superficies planas, ya que la l a equivalencia de momentos es exactamente la misma y el cálculo alculo del módulo odulo de la fuerza en X e Y es Y es exactamente igual al caso de superficies planas, como vimos anteriormente. Ahora la componente vertical es distinta, ya que el gradiente de presiones va en esa dirección, por lo que tendremos que analizar con detalle. Tomemos la figura 2.3.13 figura 2.3.13,, donde se ve la fuerza vertical resultante. Aqu´ Aqu´ı la l a coordenada co ordenada importante es la x, ya que el eje Z ya Z ya está alineado con la resultante vertical R V . La equivalencia de momentos es:

xV · RV =

Z

xdF V V

=xPdAV =xγ h · dAV

(2.3.26)

(2.3.27)

(2.3.28)

79


z RV

xV x

Figura 2.3.13: Coordenada del punto de aplicaci´ on de la resultante vertical

pero h · dAV corresponde al diferencial de volumen d sobre la superficie, por lo que queda:

∀

1 xV = RV

Z

xγ d

∀

(2.3.29)

por su parte, el módulo de la resultante vertical es el peso del volumen sobre la superficie, por lo tanto:

xV = =

∴

R R R ∀ R ∀∀

xγ d γ hdAV xγ d γ d

xV =

R R ∀ ∀ xd

(2.3.30)

(2.3.31) (2.3.32)

(2.3.33)

Punto de aplicaci´ on de la resultante vertical en superficies curvas xV corresponde al centro de gravedad del volumen sobre la superficie curva

Ejemplo 2.11. Compuerta cil´ındrica Un embalse está contenido por una “compuerta de sector”, la cual es una barrera cuya sección transversal es un cuarto de c´ırculo de radio R como muestra la figura 2.3.14. Asumiendo que el radio R = 1, 5 m, el ancho perpendicular al plano del papel es uniforme y vale b = 3 m. Se pide calcular la resultante horizontal y vertical sobre la compuerta. Calculemos primero la resultante horizontal. Recordando que

RH =

Z

A

γ h(ˆ n · îdA)

(2.3.34)


80

R

Figura 2.3.14: Compuerta de sector, ejemplo 2.11

O sea, es posible calcular la resultante horizontal como para el caso plano proyectando el área horizontal, por lo que la ecuación pasa a ser:

γ ZG Aproy AProy

(2.3.35)

El a´rea proyectada corresponde a un rectángulo de área (1, 5 m · 3 m) y su centro de gravedad está a 0, 75 del fondo (mitad de la altura del rectángulo). Por lo que la resultante horizontal es:

RH = γ (0, 75)(1, 5 · 3)

→

RH = 33075 N

(2.3.36)

Para la fuerza vertical, recordemos que es simplemente el peso del volumen sobre la superficie. La superficie en cuestión se muestra en la figura 2.3.15, junto con el volumen a considerar. El volumen corresponde al cuarto de cilindro de radio R = 1, 5 y profundidad 3.

Superficie que recibe fuerza Volumen a considerar

Figura 2.3.15: Compuerta de sector, ejemplo 2.11

F V = γ

∀SS = γ



π (1, 5)2

4



·3

(2.3.37)

81

2.4. FUERZA SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS

∴

2.4.

F V = 51954 N

(2.3.38)

Fuerza sobre cuerpos sumergidos

Hasta ahora hemos visto fuerzas actuando sobre superficies (mantos sin masa), ahora veremos qué sucede cuando hay cuerpos macizos sumergidos y cómo calcular la fuerza resultante a la que está sometido. Tomemos el ejemplo de la figura 2.4.1, donde se muestra un objeto macizo sumergido una cierta profundidad.

g

x

~

z RH izq

RH der

AP izq

AP der

Figura 2.4.1: Cuerpo Macizo sumergido

Si quisiéramos obtener la fuerza resultante horizontal, podr´ıamos dividir el cuerpo en dos superficies o más, de forma que al proyectar sus áreas horizontales, éstas sean la misma, de manera que las fuerzas horizontales tanto en X como Y se anulan, por lo que sólo la fuerza vertical es la que queda. Si no suena convincente, vayan al baño, a la tina espec´ıficamente y llénenla de agua (o vayan a la piscina) y lancen cualquier objeto no simétrico, lo más general posible. ¿Ven que el cuerpo se desplaza hacia la izquierda o la derecha? La respuesta es NO, sólo se desplaza de forma vertical. Podr´ıa girar sobre su eje (ya veremos esto), pero esto no constituye un movimiento de traslación. Si la fuerza vertical es la única que sobrevive, entonces recordemos que para una superficie, la resultante vertical se calcula como:

Rz =

Z

γ h(ˆ nkˆ dA) =

Z

γ d = γ

∀

∀ss

(2.4.1)

Ahora si esta superficie es una superficie cerrada, tendremos una superficie sometida a fuerza vertical hacia abajo (parte superior) y otra superficie sometida a fuerza vertical hacia arriba (parte inferior). Si consideramos la resta de los volúmenes a considerar, resulta que la fuerza para un cuerpo sumergido es simplemente


82

Rz = γ

∀cuerpo

Fuerza sobre cuerpo sumergido

(2.4.2)

≡ Empuje (E )

Esta fuerza suele denominarse Empuje y se denota por E . El empuje es independiente de la profundidad del agua, siempre y cuando cubra por completo el objeto por supuesto. Si nuevamente esto no les suena convincente, preg´ untense, ¿es el empuje mayor cuando estoy sumergido en la orilla de la playa o mar adentro (suponiendo que la masa espec´ıfica es la misma)?. La respuesta es que es exactamente el mismo y solo depende de mi volumen. Veamos un ejemplo. Ejemplo 2.12. Fuerza de empuje invariante a la marea Supongamos que instalamos una boya sumergida en el mar. A trav´ es de un cable con tensión T . La boya tiene un volumen B y masa espec´ıfica ρ B , mientras que el mar tiene una masa espec´ıfica ρ . La marea cambia y cuando lo hace, la profundidad del mar oscila entre H 1 y H 2 . ¿Cu´ anto vale la tensión del cable en ambos casos?

∀

~ g

x z

ρ

Boya

H 1

Figura 2.4.2: Boya en marea alta

En marea alta, la profundidad del agua es H 1 . Si realizamos equilibrio de fuerzas según el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.4.3, vemos que:

E

− W − T =0 ρg ∀B − ρB g ∀B − T =0 T =∀B (ρg − ρB g) = g ∀B (ρ − ρB ) En marea baja, la profundidad del agua es H 2 , pero como nos dice la fórmula que dedujimos, el empuje s´ olo depende del volumen, por lo que pasa exactamente lo mismo que para marea alta.

2.4.1.

Estabilidad del equilibrio

Si hicieron el experimento de sumergir un ob jeto no sim´ etrico a la piscina o la tina, verán que el objeto si bien se desplazó verticalmente, probablemente habrá girado hasta encontrar una posición de equilibrio. Esto

83


E x Boya

z

T, W Figura 2.4.3: Diagrama de cuerpo libre para la boya

~ g

ρ

Boya

H 2

x z

Figura 2.4.4: Boya en marea baja

es debido a que obviamente, al ser asimétrico, existirá un momento resultante que hará que este objeto gire con respecto a su eje. Si el cuerpo no gira, o vuelve naturalmente a su posición de equilibrio, diremos que es estable, mientras que si presenta no es capaz de volver a su posición de equilibrio si es sometido a la m´ınima perturbaci´ on, diremos que es inestable. Esta condici´ on es importante por ejemplo en embarcaciones. Por ejemplo el kayak es muy susceptible a volcarse, mientras que una tabla plana y ancha es muy dif´ıcil que se vuelque. En la figura 2.4.5 hay 3 situaciones. La primera muestra una esfera en la cima de una colina. Está en equilibrio, pero este equilibrio es inestable ya que una pequeña perturbación hecha en la esfera hará que caiga y por ende saliendo de su condición de equilibrio. La segunda situación muestra la misma esfera, pero esta vez está encajonada en el valle. También está en equilibrio, pero este equilibrio es estable, ya que bajo pequeñas perturbaciones, se moverá hacia los costados, pero eventualmente volverá a la zona más baja (por gravedad), manteniéndose en la posición de equilibrio. La tercera está en un equilibrio indiferente, ya que al estar en una planicie, cualquier perturbación la sacará de la posición de equilibrio, pero inmediatamente la dejará en otra posición de equilibrio. ¿C´ omo se ve esto en cuerpos flotantes? Veamos la figura 2.4.6, donde tenemos un cuerpo irregular. En la posición de la izquierda, el punto de aplicación del empuje (punto C ) está alineado en la vertical con el punto de aplicaci´ on del peso (punto W ), por lo cual no hay momento resultante que haga girar el objeto. Mientras que en la situación de la derecha, estos mismos puntos ya no están alineados, por lo que habrá un momento ~ resultante M que resultará en un giro del objeto. Ahora la pregunta es, ¿es este un momento estabilizador o desestabilizador? Entiéndase por momento estabilizador, el fenómeno que sucede en los famosos “monos porfiados”, donde al golpearlo y sacarlo de su posición de equilibrio, éste vuelve a su posici´ on recta. De ah´ı el nombre de


84

Inestable

Estable

Indiferente

Figura 2.4.5: Esfera en distintas situaciones de equilibrio

L´ ınea de acci´ on

E

E

C

C

Momento resultante M

G

~

G

W W L´ ıneas de acci´ on coincidentes

L´ ıneas de acci´ on NO coincidentes

Figura 2.4.6: Cuerpo irregular sumergido

85


“porfiado”, porque sin importar cuánto lo golpeemos, siempre volverá a estar de pie. Ya que estamos usando ejemplos mundanos, si queremos entender qué ser´ıa un momento desestabilizador, los combates de “cotones” en juegos inflables son un ejemplo perfecto. Usualmente los luchadores están sobre un pedestal inflable y se golpean con varas (llamadas “cotones”) para derribar al oponente. Por lo general estos combates son bastante cortos ya que al m´ınimo golpe, el luchador cae.

2.4.2.

Estabilidad de cuerpos flotantes

Para describir matemáticamente la situación de cuerpos flotantes, necesitaremos definir un par de cosas. Denotaremos por C el Centro de Carena, que corresponde al punto de aplicaci´ on del empuje. Como vimos en la sección 2.3.4, el punto de aplicación de la resultante es el centro geométrico del volumen sumergido. Denotaremos por G el Centro de Gravedad o Centro de Masa, que corresponde al punto de aplicaci´ on del peso. Este punto es el centro geométrico del cuerpo completo. En la figura 2.4.7 tenemos un cuerpo sumergido parcialmente y se puede notar claramente la diferencia entre C y G.

L/2

x/2 G C x/2

L/2

Figura 2.4.7: Cuerpo sumergido parcialmente

Si rotamos un poco el objeto con respecto a G en sentido horario, la distribución de volumen sumergido cambiará, por lo que el centro de carena C inevitablemente se trasladará, como muestra la figura 2.4.8. Llamaremos Metacentro (y denotado por M ) al punto de intersección de la proyección de C con el eje de G. Ahora bien, pueden suceder dos casos, que el metacentro M quede bajo G, de esta manera, el momento resultante contribuirá al giro horario y el cuerpo tenderá a volcarse. El otro caso es que el metacentro quede sobre G, en este caso, el momento resultante contribuirá al giro antihorario y el cuerpo tenderá a volver a su posici´ on original. En la figura 2.4.9 se ilustran ambas posibilidades. ¿C´ omo se ve esto matemáticamente? Analicemos con detalle.


86

Eje de G

G

M

C

Figura 2.4.8: Ubicaci´ on del metacentro M

Eje de G

Eje de G

M

G

M

G

C

E ~

C

E ~

Mo me nto D ese sta bi li za do r

Mo me nto Es tabi li za dor

Figura 2.4.9: Equlibrio inestable y estable, seg´ un posici´ on de M

87


Supongamos un desplazamiento muy pequeño, de manera que el volumen sumergido cambia de forma, pero no de magnitud. En la figura 2.4.10, los vol´ umenes AOB y DOF y su efecto se puede representar por un par de fuerzas que son iguales en magnitud e y e 0 , pero que generan un momento sobre el cuerpo. Volumen que se sumerge Volumen que emerge

B O

e0

F

O

A

e

G

D

G

Figura 2.4.10: Peque˜ no giro que da origen a dos fuerzas idénticas en magnitud

El centro de carena C se desplaza generando un nuevo empuje E p, de manera que:

E p = E + e

0

−e

El nuevo empuje E p genera el mismo momento que el par e cuerpo libre con las fuerzas aplicadas.

e

(2.4.3) 0

− e . La figura 2.4.11 muestra el diagrama de e0

W

M θ

G

O

Gantiguo

C C antiguo 0

C

E p Figura 2.4.11: Diagrama de cuerpo libre para cuerpo sometido a pequeño giro

Si analizamos el momento del par e

0

−e

en la figura 2.4.12, tenemos:


88

Z Z Z Z Z

M e−e = 0

=

dM

(xde)

=

(x(P dA))

S

=

(x(γ h))dA

S

=

x(γ x tan θ)dA

S

Si para ángulos peque˜ nos aproximamos tan θ

≈θ

M e−e = 0

Z Z

x(γθ x)dA

S

=γθ

x2 dA

S

=γθ I 0

tan θ = x

tan θ

≈

h x

θ

θ

O

h

M e−e

0

=

Z

S

xde

Z = Z

de

x(γ h)dA

S

=

Z

x(γ x tan θ)dA

S

= γ θ

2

x dA

S

Figura 2.4.12: An´ alisis diferencial de Momento e

0

−e

I 0 corresponde al Momento de ´ area de la superficie de flotación. Es decir, la superficie plana que es determinada por la superficie libre. Ahora el momento de E p corresponde al producto de la fuerza de empuje E por el brazo de acción, el cual es la distancia C C 0 .

89


M Ep = E · CC 0

(2.4.4)

pero C C 0 podemos expresarla como M C · θ para ángulos peque˜ nos, por lo tanto:

M E p = E · M C · θ

(2.4.5)

igualando los momentos, obtenemos:

M Ep = M e−e

0

E (MC ) · θ = γ · θ I 0

∀sumergido MC = γ I 0

MC =

(2.4.7)

γ

∴

(2.4.6)

I 0

(2.4.8)

(2.4.9)

∀sumergido

Distancia entre metacentro M y centro de carena C

Esto da origen a las condiciones de estabilidad:

CG > MC

→

CG >

I 0

∀sumergido

(2.4.10)

Equilibrio Inestable

CG < MC

→

CG <

I 0

∀sumergido

(2.4.11)

Equilibrio Estable

Ejemplo 2.13. Superficie de flotaci´ on En la figura 2.4.13 se muestra una esfera de diámetro D con una porción de ella sumergida en agua. La superficie libre determina un plano de corte AA0 , el cual se ve a la derecha en la figura 2.4.13, donde la superficie plana de flotaci´ on es un c´ırculo de diámetro d < D.


90

A

d d 0

A

A

D

0

A

Vista Superior (Planta)

Vista Frontal Figura Figura 2.4.13: 2.4.13: Superficie Superficie de flotaci´ on on para cálculo alculo de I de I 0

Ejemplo Ejemplo 2.14. Estabilidad Estabilidad para cilindro cilindro flotante flotante Determine las condiciones de estabilidad para un bloque ci bloque cil´ l´ ındr ın dric ico o de alto L alto L y y diámetro a ametro a como como muestra la figura 2.4.14 figura 2.4.14.. Considere que el bloque tiene masa espec esp ec´´ıfica ρb y el agua tiene masa espec´ espec´ıfica ρw . Tenga en consideración on que el momento de inercia de un c´ırculo ırculo es I 0 =

π

D 4 2

 4

L

a

Figura 2.4.14: Bloque sumergido

Para que haya estabilidad MC estabilidad MC > GC GC . El centro de gravedad del bloque está en

L . Su volumen total es 2

2

El volumen de carena es de flotación). on).

2

∀b = π a4 L

∀c = (L − x) π4a (llamando x a la longitud del cilindro que está sobre la l´ınea

El bloque tiene densidad d densidad d = = Haciendo equilibrio vertical:

ρb ρw

∴

ρb = d = d ρw

W = E

91

2.4. FUERZA SOBRE SOBRE CUERPOS CUERPOS SUMERGIDOS SUMERGIDOS γ b

∀b = γ w ∀c

Desarrollando: x = L = L(1 (1

− d)

Entonces, el volumen de carena es: 2

∀c = (L − L(1 − d))π a4 Calculando ahora M C = El centro de carena se ubica entonces a

I 0

Ldπa2 4

π (a/2) a/2)4

=

4 Ldπ a2 4

= · · · =

a2 16 16L L

∀c L−x de la l´ l´ınea de flotación. on. 2

Esto sirve para obtener la distancia C distancia C G = | = |zzG Planteando la condición on de estabilidad:

=

−



Ld zC | = +x 2

MC > CG a2 L(1 d) > 16 16L L 2

−

Desarrollando:

p

a > 2L 2 L 2(1

− d)

−

L 2




92

2.5. 2.5.

Prob Proble lema mass

Problema 2.1. 2. 1. Ley Hidrost´ Hi drost´ atica atica en fluido incompresible Se tiene un manómetro ometro de tubo inclinado como se muestra en la figura 2.5.1 2.5.1 Encontrar una expresión on para el avance L avance L del fluido en el tubo inclinado, debido a un incremento en la presión on ∆P . P . t = 0 t > 0

∆P

L ∆h

d

β D

Figura 2.5.1: Figura problema 2.1 problema 2.1

Soluci´ on: on: En un principio, el sistema está en equilibrio, por lo que la superficie libre coincide en ambos lados, pero luego de aplicar una diferencia de presión on ∆P , P , el fluido en la derecha sube y en la izquierda baja, estableciendo una nueva condición on de equilibrio. Usando geometr´ıa, ıa, la nueva condici´ condi ción on de equilibrio puede ser escrita en términos erminos de la ley hidrostática: atica:

P atm atm + ∆P = P atm atm + ρg (∆h + L sin β ) ∆P = ρ g (∆h +

(2.5.1)

L sin β )

(2.5.2)

donde L sin β es el avance vertical del fluido en la columna de la derecha. Ahora falta expresar términos ermi nos de los parámetros ametros del problema.

∆h

en

Es l´ ogico ogico pensar que en este sistema, la masa total se conserva. conserva. Si no hay variaciones de masa espec´ıfica, ıfica, entonces los volúmenes umenes deben conservarse, por lo que el volumen perdido a la izquierda, debe ser igual al volumen ganado a la derecha:

π

reemplazan reemplazando do en la ley hidrost´ atica: atica:

D2 d2 ∆h = π L 4 4 d2 ∴ ∆h = L D2

(2.5.3)

(2.5.4)

93

2.5. PROBLE PROBLEMAS MAS

∆P = ρ g ∆h

+ L sin β

(2.5.5)

d 2 ∆P = ρ g L + L sin β D2

(2.5.6)

(2.5.7)

despejando L despejando L::

L = ρg



∆P 2



d + sin β D2

Problema Problema 2.2. Fuerzas uerzas sobre superficies curvas curvas Un acuario tiene la forma como muestra la figura 2.5.2 2.5.2.. Se dise˜ n´ no´ una ventana semicircular de radio R en el plano X plano X Y y Y y de ancho perpendicular al papel w . Considere θ = 30◦ . Determine: (a) La distribuci´ distribuci´ on de presiones en la ventana. on (b) La fuerza horizontal horizontal resultante resultante en la ventana. ventana. (c) Dibuje el volumen que debe ser considerado para calcular la fuerza vertical sobre la ventana. Sea expl´ expl´ıcito en indicar indica r qué volúmenes umenes deben sumarse o restarse.

!

H

y

x

R

Figura 2.5.2: Problema 2.2 Problema 2.2

Soluci´ on: on: (a) Utilizando Utilizando geom geometr etr´´ıa, como se muestra muestra en la figura 2.5.3. 2.5.3. Podemos expresar la presión on en cualquier posición on de d e la ventana, a través es del d el ángulo angulo φ . Seg´ un: un:



P = γ H

− R cos

π

  3

+ φ

, φ

∈ [0, [0, π]

(b) Para la resultante horizontal, horizontal, tenemos que proyectar proyectar el área area que genera la ventana, según un la figura 2.5.4 figura 2.5.4.. Usando geometr´ıa ıa nuevamente nos damos cuenta que q ue L = L = R R,, por lo que


94

30◦

H 60

◦

φ

R


RH = ρ gH ( gH (wL) wL) = γ H (wR) wR) (c) Recordando Recordando que la resultan resultante te vertical vertical se calcula como R como R V = ρ g Sobre superficie , entonces entonces podemos dividir dividir la superficie de la ventana en dos, como muestra la figura 2.5.5. 2.5.5. Las l´ıneas proyectan proyectan el volumen que debe considerar considerarse se para cada fuerza. fuerza. La l´ınea roja represen representa ta la proyecci´ proyección on del volumen de resultante vertical vertical positiva positiva (hacia (hacia arriba) arriba) y la l´ınea azul represen representa ta la de la resultante resultante vertical vertical negativ negativaa (hacia (hacia abajo) respectivamente.

∀

95


30◦

H

60◦ L R

En este sector la resultante horizontal se anula


◦

30



96

Problema 2.3. Fuerzas sobre superficies curvas La compuerta de sector que se muestra en la figura 2.5.6, está pivoteada en el punto O y tiene un ancho y2 constante b = 5 m. La ecuación de la superficie de la compuerta es x = , con a = 4 m. La altura de agua a a la derecha de la compuerta es de D = 4 m. Encontrar la magnitud de la fuerza F a que se muestra en la figura, para que el sistema esté en equilibrio. Desprecie el peso de la compuerta.

Y L=5 m

x

=

y2 H = 4 m

4

O X Figura 2.5.6: Compuerta pivoteada en O, problema 2.3

Problema 2.4. Estabilidad de cuerpos flotantes Analice la estabilidad de un cono recto de base circular de masa espec´ıfica σ flotando en un l´ıquido de masa espec´ıfica ρ con su eje vertical y vértice aba jo. Ver figura 2.5.7. Soluci´ on: Las condiciones de estabilidad est´ an dadas por: si MC > GC entonces el equilibrio es estable si MC < GC entonces el equilibrio es inestable De la ecuación (2.4.9) sabemos que: MC =

I 0

∀sumergido

La superficie de flotación es un c´ırculo, por lo tanto, su momento de inercia es: I 0 = π

r4 4

De la forma en que están definidas las variabes, r = h tan β , por lo tanto: I 0 = π

h4 tan4 β 4

97

2.5. PROBLEMAS

R

r

h

H

β

Vista frontal Figura 2.5.7: Problema 2.4

Luego el volumen sumergido es:

∀S = 13 πr2h = 13 πh2 tan2 β h = 13 πh3 tan2 β M C =

3 h tan2 β 4

Ahora necesitamos C G, para ello podemos utilizar que conocemos la distancia desde el vértice V al centro de masa G, el cual es V G = 3/4H , la distancia del vértice V al centro de carena (centro de masa del volumen sumergido) es V C = 3/4h, por lo tanto: CG = V G

− V C = 3/4(H − h)

Reemplazando en las condiciones: h tan2 β < H

−h

(inestable)

h(sec2 β ) < H

(inestable)

h sec2 β > H

(estable)


98 Falta incluir la relaci´ on de fuerzas: E = W 1 1 ρg π r2 h = σ g π R2 H 3 3 Hr R = h ρ 6 sec β < σ ρ sec6 β > σ

(cuerpo flotando) (usando la semejanza de tri´ angulos)

(reemplazando)

(inestable)

(estable)

Problema 2.5. Ley hidrost´ atica con aceleraci´ on externa Un estanque horizontal abierto de a metros de alto, b metros de ancho y c metros de largo está lleno g de agua (figura 2.5.8). ¿Cuánta agua es derramada cuando el estanque es acelerado a m/s2 en dirección 4 paralela al largo? ¿Cuáles son las fuerzas en los bordes bajo esas circunstancias?

t>0

t=0

e g 4

a

c Figura 2.5.8: Estanque bajo aceleraci´ on, problema 2.5

Soluci´ on: Por geometr´ıa, el volumen inicial i es fácil de calcular y vale a · b · c. Luego el volumen final como muestra e · c la figura 2.5.8 corresponde a a · b · c · b, el problema es calcular la distancia e. Para ello podemos usar 2 la ley hidrostática:

∀ −

∇~ P = ρ f ~ − ρ~ a reemplazamos ~ g =

(2.5.8)

−gkˆ y ~ a = g4 î: ˆ −ρ ∇~ P = ρg(−k)

g ˆ i 4



(2.5.9)

El gradiente de presiones queda apuntando en dirección negativa en X y Z , como muestra la figura 2.5.9. Sabemos que el gradiente de presiones siempre es ortogonal a la superficie libre, por lo que si proyectamos el

99

2.5. PROBLEMAS

gradiente en la dirección de la superficie libre ˆs el producto punto es 0:

ˆ −ρ g ∇~ P =ρg(−k) 4 ˆ · ˆ ∇~ P · ˆs =ρg(−k) s−ρ ˆ · ˆ 0 = ρg(−k) s−ρ

   î

g 4 g 4

(2.5.10)

î · ˆ s

(2.5.11)

î · ˆ s

(2.5.12)

El vector unitario sˆ, por geometr´ıa corresponde a ˆs = ( cos θ , sin θ), por lo que desarrollando el producto punto se obtiene:

−

0=

− ρg sin θ + g4 cos θ

sin θ 1 = cos θ 4 1 tan θ = 4 Por geometr´ıa, tan θ =

(2.5.13)

(2.5.14)

(2.5.15)

e c , por lo que e = . De esta manera podemos obtener el volumen final: c 4

∀ perdido =abc − (abc − ec2 b) =

∴

t=0

(2.5.16)

ecb 2

c2 b perdido = 8

(2.5.17)

∀

z

(2.5.18)

t>0 sˆ ~ P ∇

a

e θ

O

g 4

x

c Figura 2.5.9: Estanque bajo aceleraci´ on, problema 2.5 Para obtener la fuerza, debemos integrar la presión en la superficie. Definiendo el origen de coordenadas O


100

en el extremo izquierdo inferior como muestra la figura 2.5.9, podemos encontrar la distribución de presiones:

ˆ −ρ ∇~ P = ρg(−k)

g ˆ i 4



(2.5.19)

podemos separar la ecuación en sus componentes e integrar por separado:

∂ P = ∂ x

Z

dP =

P =

Z −

−ρ g4 g 4

ρ dx

(2.5.20)

(2.5.21)

−ρ g4 x + f (y, z)

(2.5.22)

f representa una función desconocida de y y z , pero podemos determinarla derivando de forma parcial:

P =

−ρ g4 x + f (y, z)

(2.5.23)

∂ P ∂ f = 0+ ∂ z ∂ z

En el lado izquierdo, reemplazamos

∂ P = ∂ z

(2.5.24)

−ρg, la componente z de la ley hidrostática: ∂ P ∂ f = 0+ ∂ z ∂ z ∂ f ρg = ∂ z

−

∴

−ρgz + h(y) = f g P = −ρ x + −ρgz + h(y) 4

(2.5.25)

(2.5.26)

(2.5.27) (2.5.28)

para determinar h(y) derivamos P con respecto a y:

P =

−ρ g4 x + −ρgz + h(y)

(2.5.29)

∂ P ∂ h = ∂ y ∂ y

(2.5.30)

en la ley hidrostática, la componente Y del gradiente de presiones es cero, por lo que:

∂ P ∂ h = ∂ y ∂ y ∂ h 0= ∂ y ∴

h(y) = C

(2.5.31)

(2.5.32)

(2.5.33)

101

2.5. PROBLEMAS

con C constante. Reemplazando en la presión, tenemos:

P =

−ρ g4 x + −ρgz + C

(2.5.34)

Para obtener la constante, podemos usar cualquier condición conocida de presión, en este caso, viendo la figura 2.5.9, en (x, z) = (0, a) la presión es atmosférica:

P (0, a) = P atm =

−ρ g4 (0) + −ρga + C

(2.5.35)

C = P atm + ρga

(2.5.36)

(2.5.37)

∴

P (x, z) =

−ρ g4 x + −ρgz + P atm + ρga

Las fuerzas en cada costado se calculan integrando en la vertical:

a−e=a−c/4

a

F izq =

Z

P (0, z) · (bdz)

Z Z −

F der =

0

(2.5.38)

0

a−c/4

a

F izq =

P (c, z) · (bdz)

Z −

( ρgz + P atm + ρga) · (bdz)

F der =

0

F izq =

0



P atm a +

ρ ga 2

2



b

F der=

g 4

ρ c



1 (4a 32

− ρgz + P atm + ρga

 

− c)(ρg(4a − c) + 8P atm)

· (bdz)

(2.5.39)

b

(2.5.40)

Problema 2.6. Presiones relativas, ley hidrost´ atica El estanque de la figura 2.5.10 está formado por dos compartimientos unidos por un tubo horizontal, de di´ ametro a, que permite que pase el l´ıquido entre ellos. El estanque de la izquierda es cil´ındrico de eje vertical de diámetro D y está abierto a la atmósfera en su parte superior. El de la derecha es una esfera tambi´ en de diámetro D, colocados de manera que el fondo de ambos se encuentra al mismo nivel. En el estanque de la derecha se ha colocado una válvula V en la parte superior que permite conectarlo a la atmósfera, un manómetro M 1 para medir la presión del aire que queda atrapado en la parte superior y además conectado al fondo del estanque derecho hay otro manómetro M 2 que mide la presión en el fondo. Inicialmente los estanques se encuentran llenos con agua hasta la l´ınea AA que pasa por el centro de la esfera del lado derecho y la válvula V está abierta. En ese momento se cierra la válvula V y se comienza a llenar el estanque agregando agua al lado izquierdo hasta que el agua en este lado alcanza una altura H sobre la l´ınea AA. En el lado derecho mientras tanto el aire en la parte superior se comprime y el l´ıquido ha alcanzado una altura h sobre la l´ınea AA. Las preguntas a y b siguientes suponen que se ha realizado toda la operación descrita y el sistema ha alcanzado una nueva situación de equilibrio. (a) Indique el valor de la presión relativa P 2 en pascales que marca el manómetro M 2 conectado a la base del estanque del lado derecho y el de la presión absoluta P 1 que marca el manómetro M 1 conectado al aire cuando D = 2, 0 m; H = 1, 0 m; h = 0, 3 m.


102

(b) Suponga que el aire atrapado en el lado derecho se comporta como un gas ideal que ha sido sometido a una compresión isot´ ermica. Proponga una expresión para encontrar el valor de h en funció n de la geometr´ıa del estanque y la altura de agua H a la izquierda. No es necesario que resuelva, pero plantee claramente la expresión simplificada. (c) A partir de la condición anterior se abre la válvula V y se agrega más agua al lado izquierdo hasta alcanzar una altura H = 2D, y una vez que ha salido todo el aire del estaque esf´ erico de la derecha se cierra la válvula V, de manera que todo ese lado está lleno de agua a presión. Encuentre la fuerza que ejerce el agua sobre la tapa semiesférica superior del estanque de la derecha, en función de la geometr´ıa, la altura H y las caracter´ısticas del agua. (d) En las mismas condiciones anteriores encuentre la magnitud de la componente horizontal de la fuerza que hace el agua sobre la superficie interior de la esfera del estanque de la derecha, es decir la fuerza que hace para separarse de la sección B B que lo mantiene unido al tubo de conexión. D

V M 1 H a B

h

A

A

D

B

2

M 2

Figura 2.5.10: Estanque doble, problema 2.6

Soluci´ on: (a) Usando la ley hidrost´ atica, sabemos que las superficies isobáricas son planos horizontales, por lo tanto,



D P 2 = P atm + γ H + 2



Pero esta presión es absoluta, por lo tanto sacamos la presión atmosférica para que sea presión relativa. P 2rel



D = γ H + 2



Para la presión 1, usamos tambi´ en la ley hidrost´ atica, P 1 = P atm + γ (H

− h)

Existe un efecto de la presión del aire en s´ı, pero debido a que γ H2 O >>>>> γ aire , despreciamos dicho efecto.

103

2.5. PROBLEMAS

(b) Dado que el aire lo modelamos como un gas ideal, se tiene p = ρ RT , además al ser un proceso isotérmico: p

= cte

ρ

A˜ nadiendo la conservación de la masa, se tiene que: P 0 V 0 = P 1 V 1 π D3 Siendo V 0 = y el volumen final V 1 a determinar. Dicho volumen es aquel atrapado entre la semiesfera 12 y la superficie libre del agua. Este volumen lo podemos parametrizar usando coordenadas cil´ındricas D/2

V 1 =

Z   − ! D 2

π

2

z2

dz

h

Luego para encontrar h, D3 P atmπ = (P atm + γ (H 12

− h))π

   −  −   − ! D 2

2

D 2

h

π

3

D 2

3

h3

(c) La fuerza vertical que ejerce el fluido sobre la semiesfera es igual al peso del volumen considerado entre el nivel de la superficie libre y la superficie de la esfera, es decir: D2 V = π H 4

−

F = γ

D3 5π D 3 π = 12 12 5π D 3 12

(d) La fuerza corresponderá a la presión en el centro de gravedad de la superficie proyectada multiplicada por el área de esta superficie proyectada. P G = γ H = γ (2D) a2 F = P G A = γ (2D) π 4

 

Problema 2.7. Ley hidrost´ atica con aceleraci´ on externa El estanque cil´ındrico de di´ ametro D de la figura 2.5.11 se llena de agua hasta una altura h 0 . Posteriormente se hace girar a una velocidad angular constante ω hasta que alcanza el equilibrio como se R ve en la figura 2.5.11. El giro se hace con respecto a un eje desplazado del eje de simetr´ıa, ubicado a a 2 la izquierda del centro. Asuma que en cilindro es lo suficientemente grande para que no escape volumen de agua. (a) A partir de la ley hidrostática, encuentre la distribución de presiones en todo el espacio del cilindro. Recuerde usar condiciones de borde apropiadas y un sistema de coordenadas y referencia consistente. (b) ¿Cuál es la velocidad angular ω ∗ que se necesita para ver el fondo del estanque por primera vez?


104

(c) Encuentre la altura que alcanza la superficie libre a la izquierda H izq y a la derecha H der . ω

R 2

H der h0 H izq

D

D

Figura 2.5.11: Problema 2.7. Estanque lleno en reposo (izquierda). Estanque girando (derecha).

Soluci´ on: (a) De la ley hidrost´ atica se tiene:

∇P = ρf ~ − ρ~ a

(2.5.41)

~ = g( k) ˆ y ~ con f a = ω 2 r( rˆ), siguiendo un sistema de coordenadas cil´ındricas con el eje vertical Z apuntando hacia arriba.

−

−

Usando el gradiente en cil´ındricas y resolviendo la ecuaci´ on diferencial usando variables separadas:

∂ P = ∂ r

P =

∂ P = ρω 2 r ∂ r

2

−ρ~ a · ˆr = −ρω r(−rˆ)(ˆr) ⇒

ρω 2 r2

2

∂ P =0 ∂θ

(L.Hidr.)

=

−ρg ⇒

−ρgz + ψ (θ) ⇒

P =

∂φ = ∂ z ρω 2 r2

2

(L.Hidr.) 1 ∂ P − 0 + ∂ψ ⇔ r ∂θ = 0, ∂θ

(·)

/

∂ ∂ z

−ρg

/

Z

− ρgz + ψ (θ)

/

∂ ∂θ

+ φ(θ, z)

∂ P ∂φ =0 + ∂ z ∂ z φ(z, θ) =

/

Z

∴

∂ P =0 ∂θ

⇒

(·)

ψ = cte

Finalmente reemplazando en P se obtiene:

P =

ρω 2 r 2

2

− ρgz + cte

(2.5.42)

105

2.5. PROBLEMAS

Ahora se resuelve la traslación del eje de rotación, para luego establecer la condición de borde que permite encontrar la constante de integración que quedó en la ecuación (2.5.42). Traslación del eje de rotación: Ver figura 2.5.12.

r



2

(r ) = 0

0

r sin θ

r

2

r0

=

2

R2

4

θ

O0

R

2

+ r cos θ



+ (r sin θ)2

+ Rr cos θ + r2

O R

r cos θ

2

Figura 2.5.12: Traslaci´ on del centro de rotación

Ya teniendo la traslación del eje de rotación, tomamos la distribución de presiones, es decir la ecuación (2.5.42), y le aplicamos el eje trasladado:

P =

ρω 2 r2

2

− ρgz + cte ⇒

P =

ρω 2 (r0 )2

2

− ρgz + cte

Y la pasamos a el eje normal usando la transformación de la figura 2.5.12: (r0 )2 = P =

ρω 2

2



R2 + Rr cos θ + r2 4

−

ρgz + cte


(2.5.43)

La condici´ on de borde es que en el fondo del estanque, a R/2 a la izquierda del centro de simetr´ıa, la presi´ on es atmosf´ erica (superficie libre). Acá puede reemplazarse por P atm si se usa presiones absolutas o P = 0 si se usa presiones relativas.

P (z = 0, r = R/2, θ = π ) = P atm

∴

cte = P atm

⇒

P =

ρω 2

2




−

ρgz + P atm

(2.5.44)

Lo que determina la distribución de presión en todo el espacio.

(b) Para encontrar la velocidad angular necesaria para que ocurra esta situación, usamos la condición de que


106 se conserva el volumen de agua adentro.

π D2

∀ini = ∀f in ⇔

4

h0 =

∀f in

(2.5.45)

El volumen final se obtiene de integrar el volumen del paraboloide de revolución:

∀f in =

Z

z dA

(2.5.46)

El paraboloide de revolución está definido por la superficie libre, donde P = P atm .

P (z = z ∗ ) =P atm P atm =

ρω 2

2




∗

z =

ω2

2g



−

ρgz ∗ + P atm


/ despejando z ∗



(2.5.47)

Finalmente:

Z Z Z Z Z  ∗

∀fin =

z dA =

2π R

=

0

ω2

z (rdrdθ ) =

Z Z  0

z ∗ rdrdθ

0

R2 + Rr cos θ + r2 rdrdθ 4

2g

0

2π R

∗

=··· = =

∀ini = ∀f in ⇔

ω

2

2g ω2

2g

 

4

3 R 2π R4 + 8 3

2π

2π

Z

cos θ dθ

0

4

3R 8

ω2

3R4 π R2 h0 = 2π 2g 8

⇒

 

ω =

r

8gh 0 2 = 2 3R R

r

2gh 0 3

La velocidad angular requerida para tener dicha situación.

(c) Las alturas H izq y H der se encuentran simplemente reemplazando en la ecuación (2.5.44), las siguientes condiciones: Altura izquierda P (r = R, θ = π , z = H izq ) = P atm y despejar H izq . H izq =

ω 2 R2

8g

.

2.5. PROBLEMAS

9ω 2 R2 Altura derecha P (r = R, θ = 0, z = H der ) = P a tm y despejar H der . H der = . 8g

107

108


Cap´ıtulo 3

An´ alisis global En este cap´ıtulo nos centraremos en el análisis “macro” o global, tambi´ en llamado an´ alisis integral, ya que todas las ecuaciones de balance están escritas bajo integrales. Veremos que en cap´ıtulo siguiente “Análisis Puntual” o diferencial, todas las ecuaciones de balance están escritas bajo derivadas. En este cap´ıtulo, nos concentraremos en el todo y no en part´ıculas de fluido individuales. Pero para poder hacer el análisis, es necesario establecer un marco de referencia, un “universo” en el cual situar las cosas y para utilizaremos el volumen de control

3.1.

Teorema del transporte de Reynolds

3.1.1.

Volumen de control

Definimos el Volumen de control como un volumen fijo en el espacio limitado por una superficie indeformable. Vamos a determinar propiedades globales del flujo, aplicando las ecuaciones fundamentales de la f´ısica.

3.1.2.

Derivaci´ on del teorema del transporte de Reynolds

El objetivo del teorema del transporte de Reynolds es expresar variaciones de cualquier propiedad del sistema (cantidad de masa predeterminada) desde el punto de vista del volumen de control. Definimos una propiedad extensiva B cualquiera del fluido como la integral de masa de una propiedad intensiva b:

B =

Z

b dm

(3.1.1)

m

Propiedad extensiva como integral de masa de propiedad intensiva

O bien puede definirse como la integral de volumen del producto entre la propiedad intensiva b y la masa espec´ıfica ρ . 109

´ CAP ´ ITULO 3. AN ALISIS GLOBAL

110

B =

Z

b ρ d

∀

(3.1.2)

∀

Propiedad extensiva como integral de volumen de propiedad intensiva

donde hemos utilizado la equivalencia dm = ρ d .

∀

Bas´ andonos en la figura 3.1.1, en el instante t definimos que el sistema coincide con el volumen de control, para que después en el momento t + ∆t el sistema ha cambiado de modo que se definen 3 regiones:

(I) Sección del volumen de control ( (II) Sección del

∀c) que en t + ∆t ya no está ocupada por el sistema.

∀c que aún está ocupada por el sistema.

(III) Parte del sistema que abandon´ o el

Instante

∀c en t + ∆t.

t

Vol. Control ∀

Instante t + ∆t

c

Sistema

I II III

Definimos la forma inicial como ∀

Se definen 3 regiones

c

Figura 3.1.1: Cambio del volumen de control en un diferencial de tiempo

De esta manera podemos definir el cambio total de la propiedad en el tiempo: DB Bt+∆t Bt = l´ım ∆t→0 ∆t Dt

−

En función de las regiones definidas en la figura 3.1.1,

Bt+∆t =(B(II ) + B(II I ) )t+∆t =([B(∀c ) Y sabiendo que B t

≡ (B

∀c

− B(I ) ] + B(II I ))t+

)t , reemplazando en la ecuación (3.1.3):

∆t

(3.1.3)

111

3.1. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

DB Bt+∆t Bt = l´ım ∆t→0 ∆t Dt (B(∀c ) B(I ) + B(II I ) )t+∆t (B(∀c ) )t = l´ım ∆t→0 ∆t = agrupando los t´ erminos de volumen de control

−

−

= l´ım

−

(B(∀c ) )t+∆t

− (B(

∀c )

)t

∆t

∆t→0

(B(II I ) )t+∆t

+ l´ım

− (B(I ) )t+

∆t

∆t

∆t→0

El t´ ermino de la izquierda es la derivada temporal de la propiedad extensiva,

(B(II I ) )t+∆t (B(I ) )t+∆t DB ∂ B(∀c ) = + l´ım ∆t→0 ∂ t ∆t Dt (B(II I ) )t+∆t (B(I ) )t+∆t ∂ ρ b d + l´ım = ∆t→0 ∂ t ∆t

−

Z

−

∀

∀c

Ahora nos concentramos en el t´ ermino de la derecha, para ello necesitamos evaluar (B(II I ) )t+∆t y (B(I ) )t+∆t :

(B(II I ) )t+∆t =

Z

ρ b d =

∀

Z

~ n ρ b ( V ˆ dA

∆t)

(3.1.4)

S (II I )

(II I )

Lo que nos dice la ecuación (3.1.4) es que la propiedad presente en el volumen III corresponde al producto entre el flujo saliente de la superficie S (II I ) (ver figura 3.1.2), multiplicado por la unidad de tiempo ∆t. Haciendo el mismo supuesto para el volumen en la región I:

(B(I ) )t+∆t =

Z

(I )

ρ b d =

∀

Z

~ n ρ b ( V ( ˆ )dA

−

∆t)

(3.1.5)

S (I )

Es importante destacar que este producto es negativo porque el vector exterior a la superficie S (I ) es antiparalelo1 con el vector de velocidad supuesto. Ver la figura 3.1.2 para constatar la direcci´ o n de los vectores normales. Al reemplazar nuevamente en la expresión de derivada total de B :

1

Antiparalelo: misma direcci´ on, sentido opuesto. El producto punto entre dos vectores antiparalelos es siempre negativo.


112

Vol. Control ∀ c

Instante t + ∆t

Sistema

I

~ V

II III

Se definen 3 regiones

S (II I )

S (I )

n ˆ (I )

n ˆ (II I )

V ~

I V ~

III (B(I ))t+∆t =

Z (I )

ρ b d∀ =

Z

~ (−n ˆ )dA ρ b ( V

∆t)

S (I )

(B(II I ))t+∆t =

Z (II I )

ρ b d∀ =

Z

~ ˆ ndA ρ b ( V

∆t)

S (III )

Figura 3.1.2: An´ alisis de superficies de cambio de propiedad B en el Teorema del Transporte de Reynolds

´ DE LA MASA 3.2. CONSERVACI ON

DB ∂ = ∂ t Dt

Z

113

(B(II I ) )t+∆t

ρ b d + l´ım

∀

− (B(I ) )t+

∆t

∆t

∆t→0

∀c

=

∂ ∂ t

Z

ρ b d + l´ım

∀

Z

~ n ρ b ( V ˆ dA

∆t)

S III

Z −

~ n ρ b ( V ( ˆ )dA

−

∆t)

S I

∆t

∆t→0

∀c

= Se eliminan los ∆t ∂ = ∂ t

Z Z

ρ b d +

∀

∂ ∂ t

∀c

~ n ρ b ( V ˆ dA ) +

S II I

∀c

=

Z

ρ b d +

∀

Z

~ n ρ b ( V ˆ dA )

S I

Z

~ n ρ b V ˆ dA

S (I ) +S (III )

La uni´ on de las superficies S (I ) y S (II I ) es la superficie completa del volumen de control y la denominamos superficie de control, además de denotarla como S c . Finalmente presentamos el Teorema del transporte de Reynolds:

∂ DB = ∂ t Dt

Z

∀c

ρ b d +

∀

Z

~ n ρ b V ˆ dA

(3.1.6)

S c

Teorema del transporte de Reynolds

donde: DB : variación total de la propiedad extensiva B en el tiempo en el volumen de control. Dt ∂ ∂ t

Z

ρbd : variaci´ on local de la propiedad extensiva en el tiempo en el volumen de control.

∀

∀c

Z

~ n ρbV ˆ dA: flujo neto de la propiedad a través de la superficie de control.

S c

Ahora que hemos desbloqueado derivado el Teorema del transporte de Reynolds, contamos con un arma extremadamente poderosa para continuar explorando los misterios del análisis global.

3.2.

Conservaci´ o n de la masa

Casi cualquier ley de conservación puede ser utilizada como munición argumento para utilizar el Teorema del Transporte. En particular podemos usar la Ley de conservaci´ on de la Masa, la cual dice: La materia no se crea ni se destruye, s´ olo se transforma .


114

Esto quiere decir, que el cambio total de la masa en el sistema en el tiempo es cero (la cantidad de materia se mantiene constante). Si lo cargamos al Teorema del transporte: DM =0 Dt

(3.2.1)

Extendiendo el lado izquierdo por lo que sabemos (ecuación (3.1.6)) obtenemos la forma general de la conservaci´ on de la masa:

∂ DM = 0= ∂ t Dt

Z

ρ (1)d +

∀

∀c

Z

~ n ρ (1) V ˆ dA

(3.2.2)

S c

Notar que al ser la masa la propiedad B, entonces la normalización por la masa espec´ıfica hace que el término b sea 1. La ecuación (3.2.2) representa la situación general, sin ning´ un supuesto aplicado. Ahora imaginemos que estamos en r´ egimen permanente, es decir DM = 0= Dt

Z

∂ = 0: ∂ t

~ n ρ V ˆ dA

(3.2.3)

S c

Por lo que solo queda el término de la superficie de control. En un tubo de flujo como el de la figura 3.2.1, sucede que los u ´ nicos flujos entrantes y salientes son los que corresponden a las secciones S 1 y S 2 , además que por el manto del tubo no hay flujo. De modo que la conservación de la masa en régimen permanente y en un tubo de flujo queda: n2 ˆ

S 2 V 2 ~

S 1 n1 ˆ

V 1 ~

Figura 3.2.1: Tubo de flujo. Por el manto del tubo no hay flujo.

0=

Z

S c

~ n ρ ( V ˆ ) dA =

Z

S 1

~ 1 (ˆ ρ ( V n1 )) dA +

Z

S 2

~ 2 (ˆ ρ ( V n2 )) dA

(3.2.4)

´ A LA 1 A LEY DE LA TERMODIN AMICA ´ 3.3. APLICACI ON

115

~ 1 y n Recordando que el producto entre V ˆ 1 es negativo (antiparalelos), sacaremos el signo hacia afuera para no confundirnos:

0=

Z

~ n ρ ( V ˆ ) dA =

S c

Z −

~ 1 (ˆ ρ ( V n1 )) dA +

S 1

Z

~ 2 (ˆ ρ ( V n2 )) dA

S 2

= (Dejando todo positivo)

Z

~ 1 (ˆ ρ ( V n1 )) dA =

S 1

Z

~ 2 (ˆ ρ ( V n2 )) dA

S 2

Pero recordemos las ecuaciones (1.3.25) y (1.3.26) que definen gasto y gasto másico: Q =

Z

~ n V ˆ dA, G = ρ Q

S

Por lo tanto, tenemos que el gasto másico en la sección S 1 es el mismo que en la sección S 2 :

Z

~ 1 (ˆ ρ ( V n1 )) dA =

S 1

Z

~ 2 (ˆ ρ ( V n2 )) dA

∴

G1 = G2

(3.2.5)

S 2

Conservaci´ on de la masa en fluido compresible (balance de gasto m´ asico G)

Si la masa espec´ıfica es constante (fluidos incompresibles), la ecuación (3.2.5) se simplifica a:

Z

S 1

~ 1 (ˆ ρ ( V n1 )) dA =

Z

~ 2 (ˆ ρ ( V n2 )) dA

∴

Q1 = Q 2

(3.2.6)

S 2

Conservaci´ on de la masa en fluido incompresible (balance de gasto volum´ etrico Q)

Observaci´ on: Es importante denotar la diferencia entre las ecuaciones (3.2.5) y (3.2.6), la primera sirve especialmente para situaciones con gases (compresibles), mientras que la segunda es la consecuencia obvia de fluidos incompresibles. Suele ser un error recurrente usar conservación de gasto volumétrico en situaciones con gases (compresibles), donde ρ no es constante.

3.3.

Aplicaci´ o n a la 1a ley de la termodin´ amica

Ahora usaremos otra famosa ley en el teorema de transporte de Reynolds, la primera ley de la termodin´ amica, la cual se ha escrito de muchas formas y tiene diversas convenciones, pero adoptaremos la siguiente2 : 2

Si no les acomoda esta versi´ on, pueden seguir su propia convención y llegar a lo mismo.


116 DE = Dt

dC − dW + dt dt

(3.3.1)

Donde E es la energ´ıa total del sistema, W el trabajo hecho por el sistema y C el calor entrante al sistema, tal como se muestra en la figura 3.3.1: dC

dW

Sistema

dt

dt

dE dt

Figura 3.3.1: Convenci´ on para la 1a ley de la termodinámica

Para poder aplicar el teorema del transporte de Reynolds, debemos utilizar la energ´ıa espec´ıfica (e), ésta ser´ a la propiedad intensiva: ~ 2 E V = e = gz + +u ˆ(T ) m 2

(3.3.2)

V 2 Donde gz es la energ´ıa potencial, es la energ´ıa cinética y u ˆ(T ) es la energ´ıa interna, la cual 2 depende de la temperatura T . Ahora s´ı, apliquemos teorema del transporte de Reynolds:

  DE Dt

(Reynolds)

=

sist

El término de la potencia

∂ ∂ t

Z

ρ e d +

∀

Z

(1. Ley Term.) ~ n ρ e ( V ˆ ) dA =

dC − dW + dt dt

S c

∀c

dW lo podemos separar en dos componentes: dt dW dW σ dW e = + dt dt dt

(3.3.3)

dW σ Donde representa la potencia debida a los esfuerzos internos del fluido en el sistema, estos son los dt esfuerzos de presión (P ) y esfuerzos de corte ( τ ). dW σ dW P dW τ = + dt dt dt

(3.3.4)

Para el término de la presión, recordamos que la potencia se puede expresar como el producto de fuerza por velocidad (P ot = F · V ), lo que en forma integral se puede ver como el flujo de fuerza de presión: dW P = dt

Z

S c

~ n P (V ˆ )dA =

Z

~ P n ˆ dA V

(3.3.5)

S c

Alguien podr´ıa preguntarse ¿y qué pasa con la presión dentro del volumen de control?, la respuesta ya la tenemos (solo falta la gestión) del curso de f´ısica: recordemos que en un análisis de fuerzas, todas las

´ A LA 1 A LEY DE LA TERMODIN AMICA ´ 3.3. APLICACI ON

117

fuerzas internas se anulan y sólo importan las fuerzas externas. Acá sucede lo mismo, la presión al interior del volumen de control al integrarse para conformar la fuerza interior se anula, por lo que sólo importa la que ejerce “el mundo exterior” sobre las caras (o manto) de nuestro volumen de control. Para los esfuerzos viscosos, la potencia entregada es en general pequeña3 , por lo que para la mayor´ıa de dW τ los casos 0. dt dW e El término corresponde a la potencia entregada a elementos externos, tales como una turbina o una dt bomba. dW Con el término ya aclarado, veamos c´ omo va quedando nuestra ecuación de conservación: dt

≈

∂ ∂ t

Z

ρ e d +

∀

Z

~ n ρ e ( V ˆ ) dA =

dC − dW + dt dt

S c

∀c

=

Z − Z −

~ n P (V ˆ )dA +

dW τ dW e + dt dt

S c

=

~ n P (V ˆ )dA

 

+

dC dt

dW e dC − dW − + dt dt dt τ

S c

Desarrollando la u ´ltima ecuación con la expresión para e, e incluyendo el t´ ermino de la presi´ on en el lado izquierdo, tenemos:

∂ ∂ t

Z 

gz +

~ 2 V

2

∀c

!

+u ˆ(T ) ρ d +

∀

Z 

gz +

~ 2 V

2

+u ˆ(T ) +

P

S c

ρ

!

Muchas veces la ecuación se expresa en términos de la entalp´ıa trabajar con gases5 :

∂ ∂ t

Z 

!

~ 2 V gz + +u ˆ(T ) ρ d + 2

∀c

∀

Z 

~ n ρ ( V ˆ )dA =

4



!

camos este supuesto la ecuación se simplifica bastante:

!

~ 2 V ~ n gz + + ˆh ρ ( V ˆ )dA = 2

S c

ρ

τ

Consultar la secci´ on 10.2, en particular el n´ umero de Reynolds.

4

Entapl´ıa: propiedad termodin´ amica de estado definida como el grupo u ˆ +

P





(3.3.6)

, por ejemplo si queremos

τ

(3.3.7)



∂ = 0 , por lo tanto si apli∂ t

dW e dC − dW − + dt dt dt

3

5

P


Muchas veces nos encontraremos con situaciones de régimen permanente

Z 

τ

ˆh = u ˆ(T ) +

~ 2 V ~ n gz + + ˆh ρ ( V ˆ )dA = 2

S c


(3.3.8)

[2]

ρ

Dependiendo del tipo de gas será la relaci´ on de entalp´ıa. El profundizar en relaciones de gases está fuera del alcance del curso, por lo que nos concentraremos en fluidos incompresibles y gases ideales.


118 Si aplicamos esta relación a un tubo de corriente (figura 3.2.1):

Z 

!

~ 2 V ~ n gz + + ˆh ρ ( V ˆ )dA + 2

S 1

Z 

!

~ 2 V ~ n gz + + ˆh ρ ( V ˆ )dA = 2

S 2


(3.3.9)

Ahora tenemos el problema de cómo tratar con las integrales. Este asunto suele resolverse usando valores promedio:

Z 

!

~ 2 V ~ n gz + + ˆh ρ ( V ˆ )dA 2

S 1

 ≈

U 2 gz 1 + 1 + ˆh1 2

 Z

~ n ρ ( V ˆ )dA =

S 1



U 2 gz 1 + 1 + ˆh1 ρ1 Q1 2



(3.3.10)

~ , h) ˆ se le ha dado el sub´ındice 1 para mostrar que es el valor promedio Donde a cada t´ ermino (z, V medido en esa sección, además se denota la velocidad promedio como U en este cap´ıtulo, para no generar ~ que a veces tanto profesores como ayudantes usamos V , U con o sin confusiones con el vector velocidad V , flecha a discreción sin misericordia y esto puede causar confusión en los alumnos. Para la sección 2 realizamos lo mismo:

Z 

!

~ 2 V ~ n gz + + ˆh ρ ( V ˆ )dA 2

S 2

 ≈

U 22 ˆ gz 2 + + h2 2

 Z

~ n ρ ( V ˆ )dA =

S 2



U 22 ˆ gz 2 + + h2 ρ2 Q2 2



(3.3.11)

~ n ~ 1 n Ahora se eval´ ua el producto V ˆ de las integrales, donde aparece el signo negativo del producto V ˆ 1 por tratarse de vectores antiparalelos:

−ρ1Q1



U 2 U 2 gz 1 + 1 + ˆh1 + ρ2 Q2 gz 2 + 2 + ˆh2 2 2







=


(3.3.12)

Primera ley de termodin´ amica aplicada a volumen de control considerando perfiles de velocidad uniformes

En el caso de que la distribución de velocidad NO sea uniforme en la sección (S 1 o S 2 o ambas), en el valor promedio debe incluirse un factor de correcci´ on:

Z  ! ~ 2 V 2

U 12 ~ ρ ( V n ρ1 Q1 ˆ dA) = α 1 2

(3.3.13)

S 1

con α llamado Coeficiente de Coriolis, o de corrección energ´ıa cinética. Definido matemáticamente como:

´ DE LA ENERG´ ´ DE BERNOULLI 3.4. CONSERVACI ON IA: ECUACI ON

α =

Z

119

~ 2 ρ ( V ~ n V ˆ dA)

S

U 2 ρ Q

≥1

(3.3.14)

Coeficiente de Coriolis α para correcci´ on de energ´ıa cin´ etica

de esta forma, la ecuación (3.3.12) en caso de velocidad no uniforme quedar´ıa:

−ρ1Q1



U 2 U 2 gz 1 + α1 1 + ˆh1 + ρ2 Q2 gz 2 + α2 2 + ˆh2 2 2







=


(3.3.15)

Primera ley de termodin´ amica aplicada a volumen de control considerando perfiles de velocidad cualquiera

~ El valor de α siempre es mayor o igual a 1. El vector V se utiliza para indicar que debe considerarse la distribuci´ on de velocidades, que puede ser lineal, exponencial, logar´ıtmica o puede definirse como un valor

esperado de distribución de probabilidad de velocidades, o cualquier distribuci´ on en general. Para cerrar esta sección, recordamos la velocidad promedio en una sección para ahorrarles el trabajo de devolverse 50 páginas, ya que a todos nos carga cuando pasa eso en un libro:

1 U = A

Z

~ n V ˆ dA

(3.3.16)

S

Velocidad promedio en una secci´ on transversal A

3.4.

Conservaci´ on de la energ´ıa: ecuaci´ on de Bernoulli

De la sección anterior ten´ıamos la ecuación (3.3.12):

− ρ1 Q 1



U 2 U 2 gz 1 + 1 + ˆh1 + ρ2 Q2 gz 2 + 2 + ˆh2 2 2



En el caso de un gas ideal se tiene que ˆh2 por lo que la ecuación se simplifica un poco más:





=


(3.4.1)

− hˆ 1 = C P (T 2 − T 1)[2] y además que ρ1Q1 = G = ρ2Q2,


120

U 2 U 2 dW τ dW e dC G gz 1 + α1 1 + ˆh1 + G gz2 + α2 2 + ˆh2 = + 2 2 dt dt dt U 2 U 2 dW τ dW e dC G gz 1 + α 1 1 + G gz 2 + α2 2 + GC P (T 2 T 1 ) = + 2 2 dt dt dt



−

−



 

 





−

−

−

−

−

(3.4.2) (3.4.3)

Primera ley de termodin´ amica aplicada a gases ideales, considerando perfiles de velocidad cualquiera

Si el fluido es incompresible ( ρ1 = ρ 2 = ρ ∴ Q1 = Q2 = Q), el sistema y sus procesos son adiab´ aticos dC (sin intercambios de calor, i.e = 0) la ecuación se simplifica a´ un más: dt U 12 ˆ U 22 ˆ ρQ gz 1 + α1 + h1 + ρQ gz2 + α2 + h2 2 2



−

 

si reemplazamos el término ˆh = u ˆ y

P ρ

U 2 P 1 ρQ gz 1 + α1 1 + u ˆ1 (T 1 ) + ρ 2

−





=

dW e − dW − dt dt τ

desde la entalp´ıa: U 2 P 2 + ρQ gz2 + α2 2 + u ˆ2 (T 2 ) + ρ 2

 



=


dependiendo de las dimensiones del sistema, se podrá despreciar el cambio de temperatura (e.g: las variaciones de temperatura en un vaso son distintas a las de una piscina o las del océano), a menos que se ermico (T 1 = T 2 ), tenga maquinaria espec´ıfica capaz de aumentar la temperatura. Si asumimos proceso isot´ entonces u ˆ1 = u ˆ2 y se eliminan en el lado izquierdo: U 12 P 1 ρQ gz 1 + α1 + ρ 2

−



U 22 P 2 + ρQ gz2 + α2 + ρ 2

 



=


si asumimos ahora que el fluido es ideal, es decir no existen esfuerzos de corte, por lo tanto la potencia dW τ de esfuerzos de corte es 0: dt

−

U 2 P 1 ρQ gz 1 + α1 1 + ρ 2



U 22 P 2 ρ α + Q gz 2 + 2 + ρ 2

 

despejamos para que todo sea positivo, denotamos quedando: 1 U 2 P 1 ρQ gz1 + α1 1 + γ Q ρ 2



finalmente obtenemos a un viejo conocido:



1 = γ Q

dW e dt



=

≡ W ˙ e y dividimos toda la expresión por γ Q,

U 2 P 2 ρQ gz 2 + α2 2 + ρ 2

 

e − dW dt

  ˙e + W

´ DE LA ENERG´ ´ DE BERNOULLI 3.4. CONSERVACI ON IA: ECUACI ON

z1 +

P 1 γ

+ α1

121

˙e U 12 P 2 U 2 W = z2 + + α 2 2 + γ γ Q 2g 2g

(3.4.4)

Primera ley de termodinámica para fluido incompresible, ideal, considerando perfil de velocidad cualquiera, proceso adiab´ atico e isot´ ermico

Si los perfiles de velocidad son uniformes, entonces α 1 = α 2 = 1, obteniendo la renombrada ecuaci´ on de Bernoulli

z1 +

P 1 γ

+

˙e U 12 P 2 U 22 W = z2 + + + γ γ Q 2g 2g

(3.4.5)

Ecuaci´ on de Bernoulli

Esta expresión permite hacer una representaci´ on geométrica (y por ende gráfica) de la energ´ıa en el sistema. Esta ecuación tambi´ en se conoce como aquella de conservaci´ on de la carga hidr´ aulica, donde el P U 2 término z + + α se le llama H o carga hidráulica6 . γ 2g

H 1 = H 2 +

˙e W γ Q

(3.4.6)

Conservaci´ on de la carga hidr´ aulica

El término z es la cota geométrica y generalmente se trata como el nivel de altura en metros al cual se encuentra el fluido. En una tuber´ıa corresponde al eje central de ésta al tratarse de valores promedio. P El término lo llamamos altura de presi´ on y corresponde a la presión normalizada por unidad de peso γ

de fluido. Por lo general en estas situaciones hablamos de presiones relativas. U 2 El término α lo llamamos altura de velocidad y corresponde a la energ´ıa cinética normalizada por 2g unidad de peso que tiene el fluido. P Ambos términos z y se les suele agrupar y llamar cota o altura piezométrica 7 , ya que equivale a la γ

energ´ıa que tendr´ıa un fluido en reposo. ˙e W Recordemos que el término representa la energ´ıa por unidad de peso (al normalizar por γ Q se llama γ Q de esta manera) de la energ´ıa entregada a sistemas externos. Consideraremos 2 tip os de dispositivos: (1) Bombas: traspasan energ´ıa al fluido desde el exterior (inyección de energ´ıa al sistema). (2) Turbinas: extraen energ´ıa desde el fluido y la entregan al exterior. 6 7

Conocida como Hydraulic Head en inglés. Piezometric head en inglés


122

El con qué signo considerar las turbinas o bombas será algo que discutiremos más adelante con detalle, para que nadie se confunda. Lo haremos a trav´ es de un ejemplo incre´ıblemente largo pero didáctico y a prueba de fallas. Para cerrar de momento el item “bombas y turbinas”, definimos las eficiencias de cada uno de estos dispositivos:

ηB =

˙e W ˙ consumida W

<1

(3.4.7)

Eficiencia de una bomba ηT =

˙ entregada W <1 ˙e W

(3.4.8)

Eficiencia de una turbina

˙ consumida y W ˙ entregada Siendo ηB la eficiencia de una bomba y ηT la de una turbina. Los términos W ˙ e siempre representará la corresponden a la potencia el´ ectrica consumida o entregada respectivamente y W potencia mecánica o efectiva que produce la máquina. Otra forma de verlo (y en mi opinión más intuitiva y fácil de recordar) es:

P B =

˙e W

(3.4.9)

ηB

˙e P T =ηT W

(3.4.10)

Lo que equivale a despejar la potencia el´ ectrica en ambos casos. En una bomba, parte de la potencia el´ ectrica que entrega la corriente se pierde debido a imperfecciones por lo tanto siempre es mayor que la potencia mecánica. En una turbina (central hidroeléctrica), parte de la potencia mecánica se pierde debido a imperfecciones del sistema y por lo tanto siempre es mayor que la potencia el´ ectrica. El hecho de que η (0, 1) ayuda a intuir las relaciones.

∈

3.5.

L´ıneas de energ´ıa, cota piezom´ etrica y altura de velocidad

En esta sección veremos cómo representar de forma gráfica las variaciones de energ´ıa en el sistema. Ejemplo 3.1. Energ´ıa total, cota piezom´ etrica y altura de velocidad En la instalación de la figura 3.5.9 se tiene un estanque de grandes dimensiones 8 el cual está conectado a una tuber´ıa de diámetro constante D, por el cual circula un gasto (o caudal) Q. La tuber´ıa se eleva y desciende como muestra la figura hasta desembocar a la salida en la cual la presión se considera atmosférica P atm . 8

Cuando hablamos de un estanque de “grandes dimensiones”, nos referimos a un estanque lo suficientemente grande para que su nivel de operación no cambie en r´ egimen permanente.

´ 3.5. L´ INEAS DE ENERG ´ IA, COTA PIEZOM ETRICA Y ALTURA DE VELOCIDAD

123

Se pide dibujar la l´ınea de energ´ıa, cota piezométrica y altura de velocidad. Asuma que el fluido es ideal y no existen pérdidas de energ´ıa de ning´ un tipo.

D D D

P = P atm

D

D

=0

Q

Figura 3.5.1: Instalación figura 3.1

Soluci´ on: Dependiendo del tipo de problema será lo que nos pregunten, a veces tendremos que hacer cálculos, otras veces no. A continuación haremos una lista de lo que se recomienda hacer siempre. Obviamente una vez que tomen experiencia, será relativamente fácil seguir todos los pasos y podrán hasta omitir varios. 1. Lo primero que debemos hacer es declarar un nivel de referencia, el cual puede ser cualquiera. Lo más práctico es definir un nivel de referencia que esté ba jo cualquier elemento de la instalación. El trazado del “datum” o referencia se muestra en la figura 3.5.2

D D D

D

D

P = P atm =

0

Q

Datum z = 0

Figura 3.5.2: Ejemplo 3.1, trazado de altura de referencia.

2. Luego identificar las condiciones de borde, las cuales son: (a) Cota de superficie libre de estanque (puede ser al principio o al final). (b) Entrada o salida de tuber´ıa, donde la presión es conocida (puede ser al principio o al final). O condiciones dadas por el enunciado, tales como: Tubos piezométricos. Man´ ometros con presión conocida. Elementos de control, etc.


124

En este caso, tenemos dos condiciones de borde: (1) la cota de superficie libre del estanque y (2) la salida a presi´ on atmosférica de la tuber´ıa a la derecha. No hay información sobre ning´ un lugar dentro de la tuber´ıa, por lo que nuestros puntos de control son los ya mencionados. 3. Interpretar y utilizar la ecuación de Bernoulli (3.4.5) para generar relaciones entre un punto cualquiera y un punto de control o entre dos puntos de control (o cualquier combinación de puntos). Recordemos que la ecuación (3.4.5) se cumple para los supuestos que en su derivación se incluyen (régimen permanente, fluido ideal e incompresible, proceso adiabático e isotérmico). Si el enunciado no niega ninguno de estos supuestos, entonces podemos usar la ecuación en nuestro problema:

z1 +

P 1 γ

+ α1

˙e U 12 P 2 U 2 W = z2 + + α2 2 + γ γ Q 2g 2g

Recordemos también que el uso de la ecuación (3.4.5) era para un tubo de flujo y con un volumen de control definido. En este caso, nuestro volumen de control es la instalación completa, como indica la figura 3.5.3. Además, si definimos cualquier sub-sección de la instalación, Bernoulli también se cumple, por lo que la ecuaci´ on de Bernoulli es aplicable para cualquier par de puntos dentro del volumen de control. Ahora bien la elección de estos puntos debe ser astuta estrat´ egica. Volumen de control ∀ c

D D D

P = P atm = 0

D

D

Q

Figura 3.5.3: Volumen de control, ejemplo 3.1

Un par de puntos interesantes parecieran ser los dados por la condición de borde. Definamos como (1) el borde de la superficie libre del estanque a la izquierda y como (2) el punto medio de la salida de la tuber´ıa a la derecha, como muestra la figura 3.5.4. Volumen de control ∀ c

(1)

D D D Q

D

P = P atm = 0

D

(2)

Figura 3.5.4: Volumen de control y puntos seleccionados, ejemplo 3.1


˙e W = 0, por lo que se va de la γ Q

Ahora, como no vemos ni turbina ni bomba instalada, el t´ ermino ecuaci´ on.

z1 +

P 1

+ α1

γ

125

U 12 P 2 U 2 = z2 + + α2 2 γ 2g 2g

~ 1 ni V ~ 2 , por lo que asumimos que son Por otro lado, no hay informaci´ on sobre el perfil de velocidades V uniformes y por lo tanto α 1 = α 2 = 1.

z1 +

P 1 γ

+

U 12 P 2 U 22 = z2 + + γ 2g 2g

z es la cota geométrica, es decir, el nivel de altura al que se encuentra el fluido. Dada la referencia establecida, procedemos a identificar z 1 y z 2 en la figura 3.5.5. (1)

D D

z 1

D

P = P atm = 0

D

D

(2)

Q

z 2

z = 0

Figura 3.5.5: Cotas geométricas, ejemplo 3.1

P γ

es la altura de presi´ on, es decir, la presión por unidad de peso de fluido. Cabe mencionar que

en este tipo de análisis, consideramos presiones relativas, por lo que si se está en presencia de presión P atmosférica, entonces P = 0 ∴ = 0 en dichos puntos. En nuestro ejemplo, el estanque se encuentra γ

abierto a presión atmosférica, por lo que presi´ on atmosférica, por lo que también

P 1 γ

P 2 γ

= 0 y la condici´ on de borde de la salida de la tuber´ıa es

= 0.

U 2 es la altura de velocidad, es decir, la energ´ıa cinética por unidad de peso de fluido. 2g En el punto (1), se considera que el estanque es tan grande que el fluido está en reposo en ese punto, U 2 por lo que su velocidad U 1 = 0, con lo que queda 1 = 0. En el punto (2), el fluido está saliendo a 2g velocidad U 2 , pero no tenemos mayor información al respecto, por lo que tendremos que derivarla de alguna relaci´ on. Por u ´ ltimo

Si continuamos reemplazando todo lo que ten´ıamos en la ecuación:


126

U 12 P 2 U 22 =z2 + + γ γ 2g 2g 2 U z1 + 0 + 0 =z2 + 0 + 2 2g 2 U z1 =z2 + 2 2g

z1 +

P 1

+

Esta u ´ ltima relación puede despejarse para la velocidad:

U 2 =

p

2g(z1

− z2)

(3.5.1)

Aunque gráficamente es mejor verla como la ecuación (3.5.2), ya que podemos verla gráficamente: U 22 = z 1 2g

− z2

(3.5.2)

En la figura 3.5.6 se muestra el trazado de la altura de velocidad para el punto (2). (1)

U 22 D

2g D

z 1 D

− z 2

P = P atm = 0

D

D

= z 1

(2)

Q

z 2 z = 0

Figura 3.5.6: Trazado de altura de velocidad a la salida ejemplo 3.1

Si usamos la conservación de la masa en dos puntos cualquiera de la tuber´ıa:

Z

S A

~ A (ˆ ρ ( V nA )) dA =

Z

~ B (ˆ ρ ( V nB )) dA

(3.5.3)

S B

Sabiendo que el fluido es incompresible y que el perfil de velocidades es uniforme, entonces las integrales se tornan simples:


Z

~ A (ˆ ρ ( V nA )) dA =

S A

Z

127

~ B (ˆ ρ ( V nB )) dA

S B

U A

Z

dA =U B

S A

Z

dA

S B

U A · AA =U B · AB QA =QB bajo estas condiciones se establece una relación entre área transversal, velocidad promedio y caudal, la bien conocida:

Q = U · A

(3.5.4)

es decir, para un mismo caudal (gasto), el área de la tuber´ıa A, es inversamente proporcional a la velocidad promedio U . Si el a´rea se mantiene constante (di´ ametro D constante), entonces la velocidad se mantiene, má s a´ u n, la altura de velocidad se mantiene para tramos de igual secci´ on transversal. Con esta u ´ ltima información que acabamos de deducir, podemos trazar la altura de velocidad para toda la tuber´ıa (ver figura 3.5.7). (1)

U 22 2g

D D

z 1 D

− z 2

P = P atm = 0

D

D

= z 1

(2)

Q

z 2 z = 0

Figura 3.5.7: Trazado de altura de velocidad 3.1

Ya estamos casi listos, ahora nos falta reconocer la cota piezom´ etrica y la energ´ıa total disponible. La energ´ıa total disponible es en realidad la má s fácil de obtener y graficar. Sabemos que por conservación de energ´ıa se podrán dar dos escenarios: (i) Conservación total de la energ´ıa (i.e: no hay pérdidas ni máquinas que extraigan o inyecten energ´ıa al sistema), donde: H A = z A +

P A γ

+ αA

U A2 P B U 2 = z B + + αB B = H B γ 2g 2g

(3.5.5)


128

donde A y B representan dos puntos cualquiera del sistema. La variable H representa la carga hidr´ aulica del punto en cuestión. (ii) Conservación de la energ´ıa incluyendo términos de disipación y/o maquinaria. En este caso la expresi´ on ser´ıa: H A = z A +

P A γ

+ αA

˙e ˙e U A2 P B U 2 W W = z B + + αB B + + ΛAB = H B + γ γ Q γ Q 2g 2g

(3.5.6)

˙e W representa la potencia por unidad de peso aplicada o extra´ıda del fluido y ΛAB reγ Q presenta las pérdidas por fricción o singularidad (codos, expansiones, contracciones, obstáculos, válvulas, diafragmas, etc). donde

Bajo esta notación se asume que el punto A tiene más energ´ıa no-disipada que el punto B, en otras palabras, el punto B viene después de la disipación y A está antes de la disipación. Volviendo a nuestro ejemplo, tenemos una situación del tipo (I), por lo tanto la carga hidráulica y por ende la energ´ıa total disponible del punto A es: H A = z A +

P A γ

+

U A2 = z A + 0 + 0 = z A 2g

(3.5.7)

al ser una situación del tipo (I), se mantiene constante. La trazamos en la figura 3.5.8. (1)

H A U 22 2g

D D

z 1 D

− z 2

P = P atm = 0

D

D

= z 1

= z A = H

(2)

Q

z 2 z = 0

Figura 3.5.8: Trazado l´ınea de energ´ıa total disponible, ejemplo 3.1 P Finalmente, nos encargamos de la cota piezométrica, recordemos que se llama z + . También podemos γ

despejarla de la ecuación de carga hidráulica:

H = z +

P γ

+ α

U 2 2g

2

⇒

H

− α U 2g

= z +

P γ

(3.5.8)

por lo tanto, para encontrar la cota piezom´ etrica, basta restar a la l´ınea de energ´ıa total disponible la altura de velocidad. La trazamos en la figura 3.5.9. La cota geométrica ya la hab´ıamos definido en la sección 3.4 y corresponde al eje central de la tuber´ıa. on: Por curiosidad podr´ıamos preguntarnos qué pasa con la altura de presi´


129

Energ´ıa total disponible Cota piezométrica

U 2

Cota geométrica

U 2 D

2g

2g D

D

P = P atm = 0

D

D

Q

z =

0

Figura 3.5.9: Trazado cota piezom´ etrica y solución final ejemplo 3.1

H = z +

P γ

+ α

U 2 2g

2

⇒

H

− z − α U 2g

=

P γ

(3.5.9)

si asumimos que H, z y U 2 son siempre positivos, entonces ¿es posible que haya una combinación de P estos valores que haga < 0? Mirando el gráfico vemos que es posible y de hecho sucede. Esto lo γ

veremos con detalle en otro ejemplo. Ejemplo 3.2. Turbina instalada En la figura 3.5.10 se muestran las l´ıneas de energ´ıa, piezométrica y geométrica de una instalación que consiste en dos estanques conectados por una tuber´ıa de diámetro D constante y una turbina T la cual extrae potencia del flujo. El estanque “aguas abajo”, o sea el de la derecha, recibe el gasto Q que viaja por la tuber´ıa. Las condiciones de borde en este ejemplo son las alturas fijas en ambos estanques (condiciones de z) y que ambos estanques están a presión atmosférica (P 1 = P 2 = 0). Si se ignoran las p´ erdidas por fricción y singularidad, se tiene:

˙e W γ Q ˙e U 2 W zA + 0 + 0 = z B + 0 + + γ Q 2g ˙e U 2 W zB = γ Q 2g H A = H B +

zA

− −

En este caso se dibujaron las l´ıneas aproximadas, ya que no se sabe la magnitud de Q no se puede estimar ˙e U 2 W el orden de magnitud de diferencias entre y y las l´ıneas pudieron quedar más juntas o separadas γ Q 2g entre ellas. Lo que s´ı se sabe es la cota piezom´ etrica, ya que ésta es dada por la condición de superficie libre del estanque B , desde ah´ı, se traza la l´ınea horizontal hacia atrás hasta la l´ınea punteada de la tuber´ıa. Luego, desde el nivel de cota piezométrica de la derecha, se estima una distancia hacia arriba y de forma paralela


130

Energ´ıa total dispo nible (A)

Cota piezométrica

U 2 2g

Cota geométrica

˙ W e γ Q

T T

U 2 2g

(B )

Figura 3.5.10: L´ıneas de energ´ıa, ejemplo 3.2.

se traza la altura de velocidad. La magnitud de altura de velocidad se mantiene (diámetro constante) y para encontrar la cota piezométrica del tramo de la izquierda simplemente se resta a la energ´ıa total. Ejemplo 3.3. Bomba instalada En esta ocasión tenemos una bomba que impulsa un caudal Q desde un estanque ubicado a una cota geom´ etrica menor que la salida de la tuber´ıa. La tuber´ıa tiene diámetro constante D, por lo que no hay cambios de sección transversal. En la figura 3.5.11 se muestran las l´ıneas de energ´ıa, cota piezométrica y geométrica de la instalación. La secuencia para el trazado de l´ıneas es la siguiente: (1) Trazar la energ´ıa disponible tomando la cota geométrica del estanque. Recordar que en el estanque consideramos P = 0 y U = 0. La l´ınea se traza hasta justo antes de llegar a la bomba (l´ınea segmentada vertical). (2) Trazar la cota piezom´ etrica del tramo después de la bomba, sabiendo que la salida de la tuber´ıa es a presi´ on atmosférica P = 0 y que la cota piezom´ etrica z + P/γ en ese punto es simplemente z . Como la tuber´ıa mantiene su sección constante, la cota piezom´ etrica no tiene variaciones y por lo tanto se traza la l´ınea azul segmentada desde la salida de la tuber´ıa hasta el punto justo después de la bomba (segunda l´ınea segmentada vertical). (3) Estimar una altura de velocidad en la salida del estanque y sumarle a la cota piezométrica esta altura de velocidad para determinar la energ´ıa total (l´ınea continua). Al no haber pérdidas por fricció n ni singularidades, la l´ınea se mantiene horizontal hasta el punto justo después de la bomba (segunda l´ınea segmentada vertical). (4) Ya teniendo la altura de velocidad, al ser una tuber´ıa de diámetro constante, restamos a la energ´ıa total del estanque esta altura de velocidad para trazar la cota piezométrica. Al ser una tuber´ıa de diámetro


Energ´ıa tota l dis ponib le Cota piezométrica Cota geom´ etrica

U 2

2g

Q

U 2

2g

B

Figura 3.5.11: L´ınea de energ´ıa, ejemplo 3.3

131


132

constante la cota piezométrica no tiene variaciones y se mantiene horizontal hasta el punto justo antes de la bomba (primera l´ınea segmentada vertical). Ejemplo 3.4. Cavitaci´ on: Bombeo de un pozo En este ejemplo se trata un problema que es recurrente en el diseño hidráulico: la cavitaci´ on. La cavitación ocurre cuando la presión en una tuber´ıa o en un sistema adquiere valores muy ba jos. Al no haber suficiente presi´ on se pueden formar burbujas de aire que al ser sometidas a alta presión explotan y generan ondas de choque. Cuando se trata de grandes sistemas como centrales hidroeléctricas, tuber´ıas de desagü e o de alimentaci´ on que trabajan con altos caudales y presiones, los daños que produce la explosión de estas burbujas son significativos. En la figura 3.5.12 se tiene un pozo del cual se extrae agua a trav´ es de una bomba. El pozo se considera de grandes dimensiones por lo que su nivel no var´ıa. El agua sube a nivel de superficie y luego es impulsado hacia arriba hacia otro estanque. Esto podr´ıa constituir una t´ıpica situación de extracción de agua para ser almacenada con diversos propósitos. Energ´ıa total disp onible Cota piezo m´ etric a Cota geométric a

U 2

2g

B

U 2

2g

Figura 3.5.12: Extracción de agua en un pozo, ejemplo 3.4

Considerando que la tuber´ıa es de diámetro constante D, la cota piezométrica no var´ıa localmente en las secciones antes y después de la bomba, como muestra la figura. Tomando en consideración la l´ınea de energ´ıa previa a la bomba: H = z + 0 + 0 = zest Luego la cota piezométrica en toda la sección previa a la bomba es:

  z +

2

P

γ

= H previa a bomba

− U 2g

Si despejamos la presión para cualquiera de estos puntos:

2

= zest

− U 2g




2

P γ

= H previa a bomba

− (z)previa a bomba − U 2g

133 2

= z est

− (z)previa a bomba − U 2g

De la figura, es claro que z est < (z)previa a bomba , por lo que

 P γ

< 0 previa a bomba

O sea, ¿la presión es negativa? La respuesta es s´ı, pero recordemos que estamos hablando de presiones relativas, por lo que el concepto de presión negativa indica que tenemos presión inferior a la atmosf´ erica. Este hecho implica que el exterior ejerce mayor presión que el interior, por lo que hay una fuerza que se est´ a aplicando en las paredes de la tuber´ıa, la cual en un tiempo prolongado causa fatiga de material y eventualmente rotura del mismo, teniendo que detener la operación del sistema por completo y reemplazar la tuber´ıa, lo cual es un proceso muy costoso. ¿C´ omo entonces reconocer zonas de posible cavitación? A continuación se da una lista de situaciones t´ıpicas en las cuales hay riesgo de cavitaci´ on: (a) Zonas de alta energ´ıa potencial (alta cota geom´ etrica). Si la cota geom´ etrica es superior a la cota piezométrica (es posible concluir esto simplemente haciendo un análisis gr´ afico), de seguro que en esa sección hay riesgo de cavitación. (b) Entrada a bombas: como el ejemplo que acabamos de ver. (c) Salida de turbinas: al quitar energ´ıa del sistema, es probable que al restar la altura de velocidad (dando origen a la cota piezométrica) ésta quede por debajo de la cota geométrica (caso (a)). Ejemplo 3.5. Variaci´ on de la cota piezométrica Hasta ahora hemos visto sólo casos en que la tuber´ıa tiene diámetro constante, es hora de cambiar eso y ver qué pasa. En la figura 3.5.13 tenemos un tramo de tuber´ıa por el cual pasa un caudal Q. El gasto pasa de un sub-tramo de área A 1 a uno de A 2 , donde claramente A 1 < A2 . Para hacer el ejemplo más evidente, digamos A2 ∴ A 2 = 2A1 . que A 1 = 2

Q

A1

A2

Figura 3.5.13: Tuber´ıa horizontal, ejemplo 3.5 El tramo fue puesto horizontal para que la cota geom´ etrica de ambos sub-tramos fuese la misma: z 1 = z 2 . Supongamos que no hay pérdidas por fricción ni por singularidades, por lo que la carga hidráulica en ambos sub-tramos es la misma: H 1 = H 2 = H . Nos preguntamos qué pasa con la cota piezométrica.


134



H =

U 2 z + + γ 2g P

U 12 P 1 H = z1 + γ 2g



tramo 1

−

Ahora recordemos la ecuación (3.5.4), donde se relaciona el gasto con el área:

Q = U 1 A1 Q = U 1 A1 Reemplazando en la relación de cota piezométrica: 2

H

− (AQ2)2g = z1 + P γ 1

(3.5.10)

1

Haciendo lo mismo para el sub-tramo 2 y sabiendo que A 2 = 2A1 : H

−

Q2 P 2 = z + 2 γ (2A1 )2 2g

⇒

H

−

Q2 P 2 = z + 2 γ (4A21 )2g

(3.5.11)

erdidas y a misma cota De analizar las ecuaciones (3.5.10) y (3.5.11), es claro que en un caso sin p´ geométrica, si A 1 < A2 :

    z +

P

γ

<

z +

P

1

γ

(3.5.12) 2

Es decir, la cota piezométrica var´ıa de la misma forma en que var´ıan las áreas de una tuber´ıa. Si la tuber´ıa es horizontal, entonces los z se eliminan y P 2 > P 1 , es decir, la presión también var´ıa en la misma forma que el a´rea de la tuber´ıa. Es bueno tomar en cuenta que este análisis lo hicimos para un caso horizontal y sin pérdidas. Tuber´ıas inclinadas deben ser analizadas con cuidado ya que el término z var´ıa también. En ese caso es mejor dibujar la l´ınea de energ´ıa y luego restar la altura de velocidad. Otra conclusi´ on que se puede extraer de este ejemplo es que si A 1 < A2 , entonces U 1 > U 2 : Q = U 1 A1 = U 2 A2

3.6.

⇒

Q Q = U 1 & = U 2 A1 A2

∴

U 1 > U 2

(3.5.13)

Conservaci´ on de la cantidad de movimiento

Hemos llegado a la u ´ ltima parte del cap´ıtulo, cargaremos la u ´ ltima ley de conservación al teorema de transporte de Reynolds. Esta ley es la conservaci´ on de la cantidad de movimiento o momentum . Recordemos que la conservación de la cantidad de movimiento se plantea de la siguiente manera:

X

~ d(mV ) ~ F =

dt

(3.6.1)

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.6. CONSERVACI ON

135

Ley de conservaci´ on de la cantidad de movimiento

Esta variación puede ser introducida en el teorema de transporte de Reynolds:

∂ DB = ∂ t Dt

Z

ρ b d +

∀

∀c

Z

~ ∂ D(mV ) = ∂ t Dt

~ (B=mV )

~ n ρ b ( V ˆ )dA

⇒

S c

Z

~ d + ρV

∀

Z

~ (V ~ n ρ V ˆ )dA

(3.6.2)

S c

∀c

Conservaci´ on de la cantidad de movimiento en un volumen de control

Analizando esta ecuación, vemos que es vectorial, es decir, son 3 componentes, 3 ecuaciones extra que agregamos a nuestras herramientas para utilizar. Ahora veamos el lado izquierdo de la ecuación, el correspondiente a la suma de fuerzas. Haciendo el supuesto de que tenemos un tubo de flujo el cual será nuestro volumen de control tenemos: ~ Fuerzas másicas: en la mayor´ıa de los casos será solo el peso W . ~ s Fuerzas de superficie: éstas se aplican sobre la superficie del volumen de control F

Con esto la ecuación final queda:

~ s + W ~ = ∂ F ∂ t

Z

~ d + ρV

∀

∀c

Z

~ n ρ ( V ˆ )dA

(3.6.3)

S c

Conservaci´ on de la cantidad de movimiento en un tubo de flujo

La ecuación (3.6.3) representa la variación total de cantidad de movimiento en un volumen de control, la cual es causada por las fuerzas másicas y de superficie. Ahora, haciendo el supuesto de que estamos en r´ egimen permanente ~ s + W ~ = F

Z





∂ =0 , ∂ t

~ (V ~ n ρV ˆ )dA

S c

Podemos simplificar las integrales usando valores promedio, además en el caso de fluido incompresible: ~ s + W ~ = F

Z

S 1

~ (V ~ n ρV ˆ )dA +

Z

S 2

~ V ~ n ~ 1 ρ V ( ˆ )dA = ρ U

Z

S 1

~ n ~ 2 (V ˆ )dA + ρU

Z

~ n (V ˆ )dA

S 2

~ n Sabemos que lo que quedó en la integral es el gasto Q. En este paso también evaluamos el signo de ( V ˆ )S 1 , el cual es negativo:


136

~ s + W ~ = F

Z

~ (V ~ n ρV ˆ )dA +

S 1

Z

~ V ~ n ρ V ( ˆ )dA =

−ρU ~ 1Q + ρU ~ 2Q

S 2

Finalmente:

~ s + W ~ = ρ Q(U ~ 2 F

− ~ U 1)

(3.6.4)

Conservaci´ on de la cantidad de movimiento en régimen p ermanente, fluido incompresible, perfiles de velocidad uniformes

La ecuación (3.6.4) representa la variación de cantidad de movimiento de un tubo de flujo en régimen permanente, para un fluido incompresible, donde la u ńica fuerza másica es el peso y además los perfiles de velocidad son uniformes, aunque pueden tener hasta 3 componentes (vectorial). Si la distribución de velocidad en las secciones S 1 y S 2 no es uniforme, debemos corregir el valor de la cantidad de movimiento a través de las secciones, usando el coeficiente de Boussinesq (β ), también llamado “coeficiente de corrección de cantidad de movimiento”:

β =

Z

~ 2 dA V

S

U 2 A

(3.6.5)

Coeficiente de Boussinesq β de correcci´ on de cantidad de movimiento

De esta manera, la ecuación (3.6.4) se reformula incluyendo los coeficientes de corrección:

~ s + W ~ = ρ Q(β 2 U ~ 2 F

− β 1U ~ 1)

(3.6.6)

Conservaci´ on de la cantidad de movimiento en régimen p ermanente, fluido incompresible, perfiles de velocidad cualquiera

Esta ecuación, en conjunto con la conservación de la masa (ecuación (3.2.2)) y la conservación de la energ´ıa (ecuaci´ on (3.3.12)), generan un tr´ıo poderoso para analizar casi cualquier situación en la mecánica de fluidos que pueda verse desde el punto de vista global o integral. Ahora estamos en condiciones de analizar p´ erdidas por fricci´ on y p´ erdidas por singularidades.

3.6.1.

P´ erdidas por fricci´ on

Supongamos que tenemos una situación como la mostrada en la figura 3.6.1, la cual muestra una porción de tuber´ıa de diámetro constante D que conduce un gasto Q. En esta tuber´ıa existe fricción entre el fluido y las paredes de la misma, la cual se expresa a trav´ es del esfuerzo de corte τ , constante a lo largo de toda la tuber´ıa.


137

Esfuerzo de corte τ que determina fuerza de fricción

Q

τ

D

~ W

Y

θ

X

Figura 3.6.1: Pérdidas por fricci´ on. Tuber´ıa de diámetro constante D que transporta un gasto Q.

La tuber´ıa se encuentra inclinada un ángulo θ con respecto a la referencia horizontal y está sometida al campo gravitatorio, por lo que el peso se considera. Queremos expresar de alguna forma las pérdidas por fricción y ver cómo afectan a nuestra representación gr´ afica de la energ´ıa (l´ıneas de energ´ıa). Para ello usaremos nuestro tr´ıo de leyes de conservación (masa, energ´ıa y cantidad de movimiento). Estamos en la presencia de un flujo uniforme, ya que la velocidad no cambia en el eje X , que va en la misma dirección del flujo. Esto lo sabemos porque al usar la conservación de la masa, al ser una tuber´ıa de diámetro constante y fluido incompresible, la velocidad de entrada es igual a la de salida en cualquier volumen de control que tomemos: Q = A 1 U 1 = A 2 U 2

⇒

AU 1 = AU 2

∴

U 1 = U 2 = U

(3.6.7)

Ahora, tomaremos un volumen de control de largo L que coincida con la tuber´ıa, como se muestra en la figura 3.6.2 y veremos a qué fuerzas está sometido: ~ el volumen de control está sometido al peso del agua que tiene adentro. (a) Fuerza de gravedad (peso) W :

(b) Fuerza de fricci´ on F τ : fuerza causada por el esfuerzo de corte de las paredes de la tuber´ıa sobre el flujo. Esta fuerza va en dirección contraria al movimiento, es decir, contraria a la velocidad. (c) Fuerzas de presión F P : fuerzas causadas por la presión que ejerce el agua que interactúa con las paredes del volumen de control, en la figura 3.6.2 están representadas por las fuerzas F 1 y F 2 . Es como si hiciéramos un diagrama de cuerpo libre de un objeto y quisiéramos cortar una porción de él para analizarla, al hacer eso, debemos incluir las fuerzas internas que manten´ıan el cuerpo unido y que aplicamos para separarlo. Esto se ejemplifica en la figura 3.6.3. Tomando la porción inferior de la figura 3.6.2 y usando la conservación de la cantidad de movimiento (ecuaci´ on (3.6.6)), tenemos:

X

~ ~ = ρ Q(β 2 U ~ 2 F s + W

− β 1U ~ 1)


138

Volumen de control ∀

c

Esfuerzo de corte τ que determina fuerza de fricción

Q L

τ

D

~ W

z 1

Y

θ

z 2

X

τ

Y

n ˆ 1 = −î

Q

n ˆ 2 = î

W sin θ

F 1

F 2

X τ

L

Figura 3.6.2: Pérdidas por fricci´ on. Superior: Situación original, planteo del volumen de control. Inferior: An´ alisis del volumen de control

T 1 ~

T 2 ~

T 1 ~

=

−T 2 ~

Figura 3.6.3: Ejemplo de fuerzas internas de tensión al separar un objeto continuo


139

Luego, al proyectar todo en el eje X y asumiendo que el perfil de velocidad es uniforme: F 1

− F 2 − F + W sin θ = ρQ(U 2 − U 1) τ

Recordamos que F = P · A donde P es la presión y A el área, P 1 A1

− P 2A2 − F + W sin θ = ρQ(U 2 − U 1) τ

F τ , siendo A s el área de la As superficie expuesta al esfuerzo de corte, en este caso el manto del cilindro cuya área es π DL. Reemplazamos πD2 esto y además consideramos que A 1 = A 2 = A = : 4 La fuerza de fricción F τ es debida al esfuerzo de corte, recordamos que τ =

2

(P 1

− P 2) πD4 − τ πDL + W sin θ = ρQ(U 2 − U 1)

Tenemos que U 2 = U 1 = U , luego (P 1 Por u ´ ltimo notamos que sin θ = (P 1

z1

− P 2)

πD2

4

− τ πDL + W sin θ = 0

− z2 y que W = mg = (ρ∀)g = L

− P 2)

π D2

4

+

z 1

− z2 L



πD2 γ L



4



ρ

π D2

4

z1 +

P 1 γ

−

z2 +

P 2 γ



=

L g:

= τ π DL

Eliminando t´ erminos semejantes y dividiendo la ecuaci´ on completa por γ





4τ L γ D

π D2

  4

tenemos finalmente:

(3.6.8)

Es decir, la diferencia de cota piezométrica entre dos puntos de la tuber´ıa depende del largo de forma lineal y la razón de pérdida de cota piezométrica (i.e: la pendiente), es constante:



z1 +

P 1 γ

−

z2 +

P 2 γ

L



=

4τ γ D

(3.6.9)

La pendiente depende del diámetro de la tuber´ıa, a mayor di´ ametro, menores p´ erdidas de cota piezom´ etrica. Si usamos la conservación de la energ´ıa entre estos mismos dos puntos:

z1 +

U 12 P 2 U 22 = z2 + + + Λ12 γ γ 2g 2g P 1 P 2 z1 + = z2 + + Λ12

P 1

+

γ

γ


140



z1 +

P 1 γ

−

z2 +

P 2 γ



= Λ12

(3.6.10)

Es decir, la pérdida de energ´ıa por fricción se ve reflejada como cambios en la cota piezométrica.

3.6.2.

P´ erdidas por singularidades

Por singularidades entenderemos cambios abruptos en la geometr´ıa de la instalación, por ejemplo, un codo (cambio de dirección de flujo), un ensanchamiento (transición abrupta o paulatina de un diámetro menor a uno mayor), angostamiento (lo opuesto a una expansión), válvulas (regulan el paso de flujo), bifurcaciones, etc. Estas singularidades por muy peque˜ nas que sean causan una pérdida de energ´ıa al flujo, por ejemplo pérdida de energ´ıa cinética (choques, turbulencia) y a medida que la instalació n sea más grande, mayor cantidad de elementos como codos o bifurcaciones suelen aparecer. En esta oportunidad analizaremos un ensanche, el análisis que haremos es similar para otras singularidades. El ensanchamiento se muestra en la figura 3.6.4

A2 A1 Q

Figura 3.6.4: Ensanchamiento brusco

Escogemos un volumen de control que contiene la zona delimitada en la figura 3.6.5, que está muy cerca de las paredes, pero no las toca. Ahora procedemos a realizar el balance de fuerzas para la conservación de la cantidad de movimiento:

F 1 P 1 A1

− F 2 =

− P 2A2 =

ρQ(U 2

− U 1) ρQ(U 2 − U 1 )

Por construcción del volumen de control A 1 = A 2 , por lo que por conveniencia dejamos todo en función de A 2 .

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.6. CONSERVACI ON Volumen de control ∀ c

141

A2

A1 Q

Figura 3.6.5: Ensanchamiento brusco

(P 1

− P 2)A2 = (P 1 − P 2 ) =

− U 1) ρQ (U 2 − U 1 ) A2

ρQ(U 2

En la ecuación de energ´ıa (nuevamente asumimos perfil de velocidad uniforme):

z1 + Sabemos que z 1 = z 2 y despejamos

P 1

Λs ,

 Reemplazamos P 1

γ

P 1

+

U 12 P 2 U 22 = z 2 + + + Λs γ 2g 2g

que representa la pérdida de energ´ıa por singularidad.

− P 2 γ



+

(U 12

− U 22) = Λs 2g

− P 2 = ρQ(U A2 − U 1) de la conservación de movimiento: 2

 

ρQ

A2



P 1

− P 2 γ

(U 2

− U 1)

+

(U 12

− U 22) = 2g

Λs

− U 1) + (U 22 − U 12) =

Λs

A2 ρg

+

(U 12

Λs

− U 22) =

γ ρQ(U 2

  

2g

2g

Ahora utilizamos la conservación de la masa: A 1 U 1 = A 2 U 2 = Q y reemplazamos Q = A2 U 2 ,


142

ρ(A2 U 2 )(U 2 A2 ρg

− U 1) + (U 22 − U 12) = 2g

U 2 (U 2 U 1 ) (U 22 U 12 ) + = g 2g U 12 U 22 U 1 U 2 + = 2g 2g g (U 1 U 2 )2 = 2g

−

−

− −

Λs Λs Λs Λs

Si usamos nuevamente la continuidad para dejar todo en función de la velocidad de entrada U 1 y las áreas A1 y A 2 , tenemos:

Λs =

−  1

A 1 A2

2

U 12 2g

(3.6.11)

P´ erdida de energ´ıa por ensanche

Donde Λs es la pérdida de energ´ıa por singularidad en el caso de un ensanche. Como lo dice el nombre, al ser una singularidad, la pérdida de energ´ıa se grafica como una ca´ıda instantánea y puntual de la l´ınea de energ´ıa total disponible. Un caso particular de ensanche es cuando una tuber´ıa de A 1 llega o desemboca a un estanque, cuya área es A2 . En este caso se cumple que si el estanque es lo suficientemente grande se dice que A2 >>>>> A1 , A1 por lo que 0 y se tiene: A2

→

Λs =

U 12 2g

(3.6.12)

O sea que en el caso de una desembocadura a un estanque, la pérdida de energ´ıa por singularidad corresponde a la altura de velocidad. En casos más generales, las p´ erdidas por singularidad se expresan como:

Λs = k

U 2 2g

(3.6.13)

P´ erdida de energ´ıa por singularidades

Donde k es una constante que se determina en experimentos y var´ıa según la forma y material de la singularidad. La pérdida de energ´ıa se expresa como un múltiplo de la altura de velocidad. Ejemplo 3.6. Sistema de bombeo con p´ erdidas por singularidad y fricci´ on En la instalación de la figura una bomba B toma agua desde un estanque, cuyo nivel de agua se encuentra a una altura h2 sobre el eje de ella, mediante un tubo (T 1 en la fig.) de área A y la entrega a un estanque elevado por una tuber´ıa (T 2 y T 3 en la fig) de área 0, 5 A. Desde el estanque elevado se alimenta una descarga


143

por una tuber´ıa (T 4 en la fig) de área A que descarga mediante una tuber´ıa (T 5 en la fig) de área 2A a otro estanque final ubicado más bajo que los anteriores. Para medir la diferencia de presión a la salida de la bomba se ha instalado un manómetro que marca P 2 . (a) Encuentre la potencia que debe entregar la bomba al l´ıquido para elevar un gasto Q desde el primer estanque hasta el estanque elevado intermedio, si se desprecian las p´ erdidas por fricción. Considere pérdidas singulares solo en la descarga a los estanques (ensanche brusco). (b) Dibuje de manera aproximada pero realista, las l´ıneas de cota, energ´ıa y piezom´ etrica entre el primer estanque y el u ´ ltimo, incluyendo el estanque elevado intermedio, considerando un fluido ideal sin pérdidas por fricci´ on. (c) Encuentre el valor de la presión que marca el manómetro P 2 . (d) Dibuje de manera aproximada pero realista, las l´ıneas de energ´ıa y piezométrica entre el primer estanque y el u ´ ltimo, incluyendo el estanque elevado intermedio, considerando un fluido real con p´ erdidas por fricci´ on. (e) Si se comienza a aumentar el caudal que bombea la bomba indique en que sección ser´ıa la primera en que puede producirse cavitación.

h2

T 3

T 4 h3

h1

P 2 T 1

T 2 B

T 5 h4

Figura 3.6.6: Instalaci´ on ejemplo 3.6

Soluci´ on:


144

(a) Haciendo balance de energ´ıa entre los dos puntos de control seleccionados (los dos estanques, el de la izquierda y el intermedio) se tiene: H 1 = H 2 H B + Λ12

−

Siendo H 1 y H 2 la carga hidráulica (o energ´ıa por unidad de peso) en los estanques 1 y 2 y Λ12 la pérdida de carga entre esos dos puntos. H B es la carga que la bomba agrega para llegar al punto 2. Sabemos que: H 1 = z1 + H 2 = z 2 +

P 2 γ

+

P 1 γ

+

V 12 = h 1 + 0 + 0 = h 1 2g

V 22 = (h1 + h2 ) + 0 + 0 = h 1 + h2 2g

Si se toma la superficie libre de cada estanque como punto de control. Reemplazando en la ecuación de energ´ıa: h1 = h1 + h2

− H B + Λ12

Para un ensanche brusco, la pérdida de energ´ıa es simplemente la altura de velocidad en la sección de entrada. V 32 Λ12 = 2g siendo V 3 la velocidad en la tuber´ıa 3. Usando continuidad la expresamos como V 3 =

Q 0,5 A

Finalmente: Q2 H B = h 2 + 0,52 A2 2g

⇒

Q2 P B = γ QH B = γ Q h2 + 0,5 A 2 g





(b) En la figura 3.6.7 se muestran las l´ıneas de energ´ıa y piezométrica. Las condiciones de borde las establecen los estanques (energ´ıa disponible inicial y cota piezom´ etrica al llegar al estanque). El estanque intermedio separa el problema en 2, siendo dos caudales distintos los que se establecen. Esto se respalda en el supuesto de que el estanque intermedio es suficientemente grande que a pesar de que sus caudales son distintos (entrada y salida), no hacen diferencia en la cota de energ´ıa. (c) Para encontrar la presi´ on en el punto indicado, simplemente podemos realizar balance de energ´ıa entre ese punto y cualquier otro, en este caso, entre el estanque inicial y el punto del manómetro.

U 22 h1 + 0 + 0 + H B = 0 + + γ 2g 2 2 Q P 2 Q h1 + h2 + = + 2 γ 0,5A g 0,5A2 g P 2






145

V 32 2g

V 3 > V 1

V 52 2g

T 3

T 4

V 12 2g

h1

P 2 T 1

T 2 z =

B

0

2 4

V

2g

T 5 h4

Figura 3.6.7: L´ıneas de energ´ıa (rojo) y piezométrica (azul) aproximadas, ejemplo 3.6


146

P 2 = γ (h2 + h1 )

(3.6.14)

(d) Para el caso con fricci´ on, sabemos que las p´ erdidas por fricción en una tuber´ıa se expresan de la forma: Λf

= k

V 2 2g

Expresando la velocidad según el caudal y el área: Λf

= k

Q2 fL = 2 A 2g D

Q2 π D2

  4

2

2g

Es decir, las pérdidas de fricci´ on son inversamente inversamente proporcionales a la potencia quinta del di´ ametro. En otras palabras, mientras más peque˜ no el diámetro, mayores las p´ erdidas por fricción. Usando esta lógica, dibujamos las l´ıneas de energ´ıa. Las l´ıneas de energ´ıa total descienden debido a las pérdidas por fricción. La pendiente dependerá del di´ ametro (a mayor diámetro, menores pérdidas por unidad de largo y por lo tanto menor pendiente) La cota piezométrica sigue paralela a la l´ınea de energ´ıa, siendo la condición de borde la intersección con el borde del estanque intermedio. Siguiendo el mismo raciocinio, se dibujan las l´ıneas de energ´ıa de la segunda parte. En la figura 3.6.8 se muestran las l´ıneas aproximadas. (e) Las zonas candidatas a tener cavitación son aquellas donde la presión relativa es baja o negativa, de la figura 3.6.8, vemos que la mayor parte de la tuber´ıa T 4 posee una cota geométrica superior a la piezom´ etrica, por lo que es candidata a tener cavitación. La entrada a bombas también es una zona de posible cavitaci´ on ya que las bombas crean succión (gradiente de presión) en la toma de agua, para luego liberar agua altamente presurizada a la salida.


T 3

h1

T 1

T 2

147

T 4

P 2

B

T 5 h4

Figura 3.6.8: L´ıneas de energ´ıa con pérdidas por fricción, ejemplo 3.6


148 Ejemplo 3.7. Codo: fuerza de anclaje

Se tiene una tuber´ıa de área A con un codo de 180 grados como muestra la figura 3.6.4. Un gasto constante Q entra por una sección de la tuber´ıa y sale por el otro extremo. Se pide calcular la fuerza horizontal necesaria para anclar el codo. Y Q X

Z

Q

Figura 3.6.9: Codo ejemplo 3.7

Soluci´ on: Tomando como volumen de control uno que se adecue perfectamente a la tuber´ıa, tenemos las fuerzas aplicadas F 1 , F 2 correspondientes a las fuerzas de presión sobre la superficie de control y a F A la fuerza de anclaje. Inicialmente no sabemos qué sentido tiene (aunque se puede intuir) pero digamos arbitrariamente que va hacia la derecha. La figura 3.6.10 muestra esta situación.

V 1 ~

Y

F 1

Q

ˆ1 n

Z

X

F A n ˆ 1 = n ˆ 2 = −î

F 2

V 1 = U 1 (î)

Q

~

V 2 = U 2 (−î)

ˆ2 n

~

V 2 ~

Figura 3.6.10: Codo ejemplo 3.7, fuerzas aplicadas.

Aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento solo en la dirección X :


∂ F 1 + F 2 + F A = ∂ t

Z

ρV x d +

∀

Z

149

~ n ρV x (V ˆ dA)

S c

∀c

= (Rég. Permanente) =

Z

~ · î]([V ~ · î] · ( î))dA + ρ[V

−

S 1

=

− ρQ(U 2 + U 1)

continuidad

=

− F 1 − F 2 − 2ρ QA F A =

 −

~ · ( î)]([V ~ · ( î)] · ( î))dA ρ[V

−

S 2

2

F A =

Z

=

− ρQ



Q Q + A A

−



=

−

Q2 2ρ A

−

2

−P 1A − P 2A − 2ρ QA

Q2 P 1 A + P 2 A + 2ρ A



(3.6.15)

Si nos fijamos bien en la ecuación (3.6.15), todos los términos dentro del paréntesis son positivos, lo que con el signo menos de afuera da negativo, o sea, la fuerza de anclaje es negativa con respecto a la convención que tomamos, en otras palabras, la fuerza de anclaje iba hacia la izquierda. La ventaja del balance de fuerzas, es que independiente del sentido que demos a la fuerza que queremos encontrar, la ecuación nos da matemáticamente el signo y nos corrige si es necesario. Comentario aparte: si las presiones son atmosf´ ericas (P = 0), la fuerza depende exclusivamente del gasto que escurre. Ejemplo 3.8. Resalto hidr´ aulico Un resalto hidráulico es una transición que ocurre en un canal en la que un flujo de alta velocidad y baja altura pasa a ser uno de baja velocidad y gran altura, como lo muestra la figura 3.6.11. Se pide encontrar una expresión para calcular h1 en términos de h2 , g y Q, además de determinar la pérdida de energ´ıa que implica el resalto. Suponer: Régimen permanente. Fluido ideal e incompresible. Presi´ on hidrostática en el canal. Canal rectangular de ancho b perpendicular al plano del papel. Perfil de velocidad uniforme en las secciones antes y después del resalto. Soluci´ on: Tomamos un volumen de control como el mostrado por la figura 3.6.12. Al aplicar la conservación de la cantidad de movimiento en dirección horizontal, asumiendo perfil de velocidades uniforme, F 1

− F 2 = ρQ(U 2 − U 1)

(3.6.16)

´ CAP ´ ITULO ITULO 3. AN ALISIS GLOBAL

150

h2

Q h1

Figura 3.6.11: Resalto hidr´ aulico, aulico, ejemplo 3.8 ejemplo 3.8

Volumen Volumen de control ∀ c

h2

F 2 n2 ˆ

Q n ˆ1 F 1

h1

Figura 3.6.12: Resalto hidr´ aulico, volumen de control y fuerzas aplicadas. Ejemplo 3.8 aulico,

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.6. CONSERV CONSERVACI ON

151

Las fuerzas F fuerzas F 1 y F 2 son fuerzas de presión on hidrostática, atica, entonces entonces tenemos tenemos que usar la ecuaci´ ecuación on (3.6.17 3.6.17). ). ~ | = γ Z G A |F | F

F 1 (γ Z G1 A1 )



h1 γ (bh1 ) 2

 − −

− F 2 =

(γ Z G2 A2 ) =

h2 γ (bh2 ) 2



=

(3.6.17)

ρQ(U 2

− U 1) ρQ(U 2 − U 1 ) ρQ(U 2 − U 1 )

Introducimos la conservación on de la masa: Q = U = U 1 A1 = U 2 A2

 

h1 γ (bh1 ) 2 h1 γ (bh1 ) 2

− − 

  

h2 γ (bh2 ) 2 h2 γ (bh2 ) 2 h21 h 22 (ρg )b 2 2

1 ((h (( h1 2

−

U 1 =

⇒

= ρQ(U 2

Q bh1

U 2 =

− U 1) Q2 = ρ b

 −    −    − 

Q Q = ρQ bh2 bh1 Q2 h1 h2 = ρ b h1 h2

− h2)(h )(h1 + h2 )) =

Q bh2

Q b

2

1 g

1 h1

−



h1 h2 h1 h2

Q Llamando q = el gasto el gasto por unidad de ancho y eliminando (h ( h1 b suceder´ a que h que h 1 = h = h 2 , por lo tanto no estamos “eliminando ceros”.

h21 h2 + h1 h22 =

1 h2

− h2) ya que en un resalto nunca

2q 2 g

(3.6.18)

Nos queda una ecuación on cuadrática atica para h1 o h2 , la cual podemos resolver para cualquiera de las dos variables:

h1 = ± = ±

s   h2 2

2

+

2q 2 gh 2

− h22

(3.6.19)

Para evaluar la pérdida erdida de energ´ıa ıa usamos la ecuación on de Bernoulli: ∂ ∂ t

Z

∀c

ρ e d +

∀

Z

dC ~ ˆ ρ e ( V n ˆ )dA = dA = dt

− dW dt

S c

proc eso isot´ iso t´ ermico ermi co y adiabático, Suponemos proceso atico, además as de utilizar el supuesto de r´ egimen egimen permanente p ermanente entregado:


152

Z 

~ 2 V gz + gz + + ρ 2

ρ

P

S c

!

−W ˙ P P

~ ˆ (V n ˆ )dA = dA =

Esta expresión on debe evaluarse para ambas superficies de control, a continuación on lo desarrollaremos solo para una, pero el procedimiento es análogo alogo para la segunda superficie.

Z  Z  ρ

~ 2 V gz + gz + + ρ 2

ρ

~ 2 V gz + gz + + ρ 2

P

S 1

h1

=

0

P

h1

=

− (ρ b) b )

! !

~ ˆ (V n ˆ )dA

( U 1 )(b )(b dz) dz )

−

! Z  Z Z Z     Z − Z      −   gz + gz +

P

~ 2 V 2

+

ρ

0

h1

=

= =

− (ρ b U 1) − (ρ b U 1) − (ρ b U 1)

h1

gz dz + dz +

0

P ρ

h1

dz + dz +

0

h2 g 1+ 2

g

U 1 dz

h21 2

h1

0

~ 2 V dz 2

γ (h1 z ) dz + dz + ρ

0

+ g h21

h 21

+

2

h1

0 2 U 1 h1

U 12 dz 2

2

= Distribuy Distribuyendo endo ρ bU 1 y agrupand agru pandoo términos ermi nos 2

=

− γ h1(h21bU 1) − γ h1(h21bU 1) − ρ U 1 (h21bU 1)

= Sabien Sabiendo do que que Q = AU = AU = h 1 bU 1 2

= =

− γ h12Q − γ h12Q − ρ U 12 Q −

U 2 (γ Q) h1 + 1 2g





Haciendo lo mismo con la superficie S 2 y dividiendo por γ Q, tenemos:

! Z  −     −  −  ρ

gz + gz +

P ρ

+

~ 2 V 2

~ ˆ (V n ˆ )dA = dA =

˙ P W P

S c

−(γ Q)

h1 +

˙ P W P = γ Q

U 12 2g

+ (γ Q) h2 +

h1 +

U 12 2g

U 22 2g

h2 +

=

U 22 2g

Reemplazando la relación on obtenida en (3.6.19 ( 3.6.19)) en lo último ultimo se obtiene:

˙ P W P


153

˙ P W (h2 h1 )3 P = ΛR = γ Q 4h1 h2

(3.6.20)

−

ΛR representa

la p´ erdida erdida de energ´ energ´ıa por unidad de peso provocada por el resalto hidráulico. aulico. En dise˜ no no de canales se utiliza el resalto hidráulico aulico para disipar energ´ıa ıa proveniente proveniente de corrientes a alta velocidad, con el objetivo de evitar daños nos por socavación on o desgaste desgaste de estructura estructuras. s.

3.6.3. 3.6.3.

Volumen olumen de contro controll en movimi movimien ento to

Las mismas relaciones derivadas anteriormente pueden aplicarse a un volumen de control en movimento. Basta con plantear la corrección on de velocidad respecto a la velocidad del volumen de control como muestra la figura 3.6.13 figura 3.6.13..

~ 1 ρ1 V

~ 2 ρ2 V

~ 0 = cte V

Figura 3.6.13: Volumen de control en movimiento

Por ejemplo, la conservación on de la masa quedar´ıa: ıa: ∂ ∂ t

Z ∀ Z ρd +

S c

∀c

~ ρ(V

− − V ~ 0)ˆndA ndA = 0

(3.6.21)

Ejemplo Ejemplo 3.9. Conserv Conservaci´ on de Masa, Cantidad de Movimiento en volumen de control móvil on Se tiene un peque˜ no cohete de masa inicial 400 kg, se lanza verticalmente. El cohete consume combustible no a una tasa de 5 kg/s 5 kg/s y y expulsa gas a presión on atmosf´ at mosférica erica con una un a velocidad velo cidad de 1500 150 0 m/s relativos al cohete. Determinar la aceleración on inicial del cohete cohete y la velocidad velocidad despu´ es es de 10 segundos. segundos. Despreciar Despreciar efectos efectos de resistencia del aire. Soluci´ on: on: Para un volumen de control bajo aceleración on lineal, la conservación on de la cantidad de movimiento se escribe de la forma: ∂ ~ s + ~ ρ c ~ ~ ~ ndA F B a~ V xyz V xyz n ˆ dA (3.6.22) rf ρ c = xyz ρ c + xyz ρ V ˆ ∂ t

Z

∀c

Z ∀ − ∀c

∀

Z

∀c

Con: F s : Fuerzas uerzas superficiales superficiales en el volumen volumen de control. control. ~ : Campo de fuerzas másico. B asico.

∀

Z

S c


154

on del marco de referencia no-inercial xyz con respecto al marco de referencia inercial on a~ rf : Aceleraci´ XYZ. ~ V xyz elocidad del sistema-objeto sistema-objeto con respecto al marco marco de referencia referencia no-inercia no-inerciall xyz. xyz : Velocidad

Entonces partimos de la ecuación on anterior y proyectamos al eje vertical. F sy sy +

Z

By ρ

∀c

Z ∀ − c

∂ arf y ρ c = ∂ t

∀

∀c

Z

vρ

∀c +

∀c

Z

~ ˆ v ρ V ndA n ˆ dA

S c

De esto, F s = 0, ya que el enunciado dice omitir resistencia del aire, además que a presión on atmosf´ atmo sférica, eri ca, las fuerzas de presión on se anulan. Luego, B y = g , la aceleración on de gravedad, la expresión on queda entonces:

−

0

Z −

gρ

∀c

Analizam Anal izamos os término ermi no a término: ermi no:

Z ∀ − c

∂ arf y ρ c = ∂ t

∀

∀c

Z

vρ

∀c +

∀c

Z −

Z

~ ˆ v ρ V ndA n ˆ dA

S c

gρ

∀c = −gM ( gM (t)

∀c

Con M Con M ((t) la masa del volumen de control en el instante t. t . Para obtener M obtener M ((t) usamos la conservación on de la masa en el volumen de control: ∂ ∂ t

Z ∀ Z Z ∀ − Z Z ∀ − ρ

S c

∀c

∂ ∂ t

~ ˆ ρ V ndA = n ˆ dA = 0

c +

ρ

c =

S c

∀c

∂ ∂ t

~ ˆ ρ V ndA n ˆ dA

ρ

c =

m ˙

(el flujo de masa saliente saliente del cohete) cohete)

∀c

∂ M M (t) = ∂ t M

Z

M 0

−m˙

(se obtiene una ecuación on diferencial ordinaria para la masa)

t

dM =

Z −

M (t) = M 0

mdt ˙

0

− mt ˙

Ahora analizamos:

Z −

arf y ρ

∀c

∀c

Con este t´ ermino ermino no podemos hacer mucho mucho ya que es una incógnita ognita del problema, lo que sabemos es que no depende del volumen de control, as´ as´ı que podemos sacarla de la integral, y la integral queda sólo olo como la masa del volumen de control, por lo tanto

Z − ∀c

arf y ρ

∀c = −arf y M (t)


Ahora pasamos a: ∂ ∂ t

Z

vρ

155

∀c

∀c

Este término ermino es la tasa de cam cambio bio del mome momentu ntum m del cohete cohete con respeto al cohete cohete (valga (valga la redundancia redundancia). ). Lo que forma el cohete es su estructura y el combustible almacenado, ellos no tienen cambio de momentum con respecto al cohete p orque se mueven mueven con él. el. Por otro lado, la velocidad del gas permanece constante a la salida, as´ı que no hay cambio de la velocidad del gas en el tiempo. Por lo l o tanto ∂ ∂ t

Z

vρ

∀c = 0

∀c

Por ultimo u ´ ltimo analizamos

Z

~ ˆ v ρ V ndA = n ˆ dA =

S c

Z

~ ˆ v (V ndA) n ˆ dA) =

−v(˙m) = −V em ˙

S c

El signo surge porque la velocidad v es hacia abajo. Arreglando Arreglando y reemplaza reemplazando ndo todo se obtiene: obtiene: arf y =

V e m ˙ M 0 mt ˙

94 m/s m/s 2 − − g = 8,94

Para la aceleración: on: dV ∀c dt dV ∀c V e m ˙ = g dt M 0 mt ˙ M 0 mt ˙ V ∀c = V e ln M 0

arf y =

−

− − −



−

(integrando) (evaluando (evaluando en) t en) t = 10

gt

V ∀c = 102 m/s 102 m/s

3.6.4. 3.6.4.

Conserv Conservaci aci´ ´ on de la cantidad de movimiento angular on

A pesar p esar de que es pocas po cas veces veces utilizada, no po demos demos olvidar la conserv conservaci´ aci´ on de la cantidad de movimiento on angular:

X

~ s + M ~ m = ∂ M ∂ t

Z

S c

ρ(~ r

~ )d∀ + × V ) V

Z

ρ(~ r

~ )(V ~ ˆ × V )( V n ˆ )dA

(3.6.23)

S c

~ s y M ~ m corresponden a los momentos de superficie y másicos respectivamente, ~ Donde M r es el vector ~ el vector velocidad. posición on y V V

156


157

3.7. PROBLEMAS

3.7.

Problemas

Problema 3.1. Conservaci´ on de la masa en r´ egimen impermanente Se tiene un estanque cil´ındrico de diámetro D = 0, 5 m lleno de agua hasta una altura H 0 = 4 m sobre su fondo. En el fondo, se encuentra una abertura circular de diámetro d = 0, 1 m la cual se encuentra inicialmente cerrada y se abre instantáneamente en t = 0 s. Asuma que la velocidad de salida del estanque V es uniforme en toda la sección de salida. Utilice la figura 3.7.1 para guiarse. (a) Plantee la ecuaci´ on diferencial que modela el vaciamiento del estanque y rige el comportamiento de la altura de la superficie libre de éste. (b) Usando la aproximación de velocidad de salida del estanque V como V = estanque en función del tiempo.

p

2gh, determine la altura del

(c) ¿Qué forma tiene la expresión calculada en (b)? Haga un gráfico aproximado. (d) Calcule el tiempo en que el estanque se vac´ıa por completo.

V´ alvula que se abre en t = 0

H 0 h(t) d V

D

Figura 3.7.1: Estanque problema 3.1

Soluci´ on: (a) Usando la ley de conservaci´ on de la masa: ∂ DM = ∂ t Dt

Z Z

ρd

∀c +

∂ ∂ t

∀c

~ n ρV ˆ dA = 0

(3.7.1)

S c

∀c

0=

Z Z

ρd

∀c +

~ n ρV ˆ dA

S c

Asumiendo fluido incompresible (ρ = cte), puede eliminarse de la ecuación. El primer t´ ermino corresponde al cambio temporal del volumen de control, es decir el estanque, y el segundo término corresponde al flujo saliente por la abertura.


158 ∂ ∂ t

Z ∀ − Z d =

~ n V ˆ dA

⇔

S c

∀c

∂ ∂ t

π D2 h

  4

2

=

−V π d4

(3.7.2)

Despejando la derivada temporal, encontramos la ecuación diferencial que regula la altura del estanque. ∂ h = ∂ t

(b) Usando la aproximación V = variables separadas.

2

−V Dd 2

(3.7.3)

p

2gh, la introducimos en (3.7.3) y nos queda una ecuación diferencial de

∂ h = ∂ t

p

−

2gh

d 2 D2

dh ⇔ √ =− h

p

2g

d 2 dt D2

(3.7.4)

Integramos y reemplazando la condición de borde h(0) = H 0

√

d2 D2

p − p

2 h = 2 H 0

2gt

⇔

√

h =

p − H 0

√

d2 2g t D2 2

(3.7.5)

Si elevamos al cuadrado, se obtiene una expresión para h(t).

h(t) = H 0

−

p

2gH 0

d2 d4 gt2 t + D2 D4 2

(3.7.6)

(c) La forma que se aprecia en la ecuación (3.7.6), es una parabólica descendiente, partiendo de H 0 y terminando en 0, como se ve en la figura 3.7.2. La figura tiene sentido hasta cuando h = 0, después la parte ascendente de la parábola no tiene sentido f´ısico.

Figura 3.7.2: Curva de altura h(t) vs tiempo t, problema 3.1

159

3.7. PROBLEMAS

(d) El tiempo de vaciamiento se calcula imponiendo h(t∗ ) = 0 para encontrar t ∗ , lo que resulta en un valor de:

t∗

≈ 22, 57 seg

Problema 3.2. Gasto m´ asico en gases Los perfiles de velocidad y temperatura para una sección transversal circular de un flujo de aire laminar en tuber´ıa son respectivamente:

 −      −  

T =T c 1 +

2

r R

~ =uc 1 V

1 2

r R

î

2

1 4

r R

(3.7.7)

4

(3.7.8)

Donde î es el vector unitario a lo largo del eje de la tuber´ıa y el sub´ındice c se refiere al valor en la l´ınea central de la tuber´ıa, R al radio de la tuber´ıa y T la temperatura local. Asuma que la presión del aire es constante en la sección transversal. Muestre cómo evaluar´ıa el flujo de masa a través de la sección transversal.

Soluci´ on: El flujo másico que pasa por una sección es:

m = ˙

Z

~ n ρV ˆ dA

(3.7.9)

S c

Vemos que el vector normal a la superficie es el vector î, por lo que reemplazando la velocidad:

m = ˙

Z  −    r R

ρuc 1

2

î · îdA

(3.7.10)

S c

Por otro lado, al tener un gas, entonces la masa espec´ıfica podr´ıa ser no constante, por lo que debemos usar la ley de los gases ideales y aproximar para un gas:

p = ρ Raire T Ingresamos esta relación en el gasto:

→

ρ =

p RT

(3.7.11)


160

m = ˙

Z    −        Z  −   −       Z Z  −   −       Z  −   −    −   p uc 1 RT

r R

2

î · îdA

S c

=

p uc R T c

r R

1

2

dA 1 r 4 S c 4 R r 2 2π R 1 p uc R = rdrdθ 1 r 2 1 r 4 R T c 1+ 0 0 2 R 4 R r 2 R 1 puc 2π R = rdr 2 1 r 1 r 4 RT c 1+ 0 2 R 4 R Usando el cambio de variable x = 1 +

1 2

1 1+ 2

r R

2

2

1 4

r R

r R

m = ˙

4

, llegamos al resultado:

puc 2π R2 ln(5/4) RT c

(3.7.12)

Problema 3.3. Conservaci´ on de la masa, r´ egimen impermanente El agua que cae sobre el techo de una casa fluye hacia una canaleta en régimen permanente, tal como se muestra en la figura 3.7.3. Para un gasto de 0,4 L/s por cada metro de canaleta, encuentre una ecuación que permita estimar la altura del agua en la canaleta ( h) en función de la distancia x y encuentre la distancia a la cual la canaleta se desborda. Considere que el agua fluye a una velocidad constante de 0 ,3 m/s a lo largo de la canaleta.

h

V = 0, 3 m/s x Figura 3.7.3: Caudal entrante a una canaleta

Soluci´ on:

161

3.7. PROBLEMAS

Utilizaremos la conservación de la masa:

dM T. Transporte Reynolds ∂ =0 = ∂ t dt

Z ∀ Z ρd +

∀c

~ n ρV ˆ dA

S c

Lo primero que haremos será establecer el volumen de control, en este caso será la canaleta, como muestra la figura 3.7.4.

7, 5 cm h(x)

Frontera

∀ c

x

Vista de perfil

Figura 3.7.4: Caudal entrante a una canaleta

Al estar en régimen permanente, nuestra expresión se reduce simplemente a:

0=

Z

~ n ρV ˆ dA

(3.7.13)

S c

Tenemos dos superficies de control, una de entrada de agua (el “techo” imaginario de la canaleta, por donde entran las gotas) y una de salida (el sector que cortamos de la canaleta en una posición arbitraria x). La figura 3.7.5 muestra los caudales de entrada y salida. La ecuaci´ on (3.7.13) la podemos expresar mejor como:

Z

S 1

~ n ρV ˆ dA =

Z

~ n ρV ˆ dA

(3.7.14)

S 2

Qen =Qsal

(3.7.15)

Siendo S 1 la superficie de entrada y S 2 la superficie de salida. En la superficie de entrada el caudal es L 1 constante (por enunciado) y vale 0, 4 por cada metro horizontal, es decir, si tenemos x metros horizontales sm L de canaleta, entonces el caudal entrante total será 0, 4 · (x) , los cuales debemos transformar en metros s


162

Qen = 0, 4 h(x)

Qsal

L 1

7, 5 cm

s m

Frontera

∀ c

x

Vista de perfil

Figura 3.7.5: Caudal entrante a una canaleta

c´ ubicos a 0, 4 · 10−3 (x) m 3 /s. El caudal de salida, al tratarse de velocidad uniforme en la sección (explicado en ayudant´ıa), entonces es simplemente el producto de la velocidad por el área transversal, es decir Q sal = 0, 3 m/s · 0, 1 m · h(x). Despejamos h(x) para obtener:

h(x) =

4 · 10−2 · x [m] 3

(3.7.16)

Para conseguir la distancia de desborde, hay que resolver x ∗ tal que:

h(x∗ ) = 0, 075

→

x∗ = 5, 63 [m]

(3.7.17)

Cap´ıtulo 4

An´ alisis puntual Ya vimos en el cap´ıtulo anterior relaciones aplicadas desde el punto de vista integral, desde un volumen de control donde importaba lo que pasaba globalmente con éste. Usamos el teorema del transporte de Reynolds junto con leyes de conservación para ver cómo variaban las propiedades en el volumen de control, pero no nos detuvimos a ver qué pasaba espec´ıficamente con cada punto del interior de este volumen y eso es lo que haremos precisamente en este cap´ıtulo. En el análisis puntual, nuestra idea fundamental será establecer ecuaciones básicas para representar el movimiento del fluido en el tiempo y en el espacio.

4.1.

Conservaci´ o n de la masa

Tal como hicimos para el cap´ıtulo de análisis global, en este cap´ıtulo re-visitaremos la conservación de la masa, pero esta vez desde el punto de vista diferencial. Para lograrlo, tomaremos un volumen de control diferencial, es decir, un cubo diferencial de dimensiones ∆x, ∆y y ∆z, como muestra la figura 4.1.1. Z Z Y X

X

Y B A D C

~ V

ρ

∆z

E F

Cubo abierto

∆x ∆y Figura 4.1.1: Volumen de control diferencial.

En este volumen de control, en el centro, tenemos la propiedad de masa espec´ıfica ρ presente en un campo ~ = (u,v,w) justo en ese punto, tal como indica la figura 4.1.1. de velocidades de valor V 163

´ CAP ´ ITULO 4. AN ALISIS PUNTUAL

164

Haremos el balance de masa en el volumen de control diferencial. Para este volumen de control hay 3 flujos, uno en cada dirección. Cada flujo pasa por 2 caras, lo que significa evaluar flujos para las 6 caras. Sabiendo que la derivación para otras caras es totalmente análoga, tomaremos simplemente 2 caras lo que corresponde a evaluar el flujo en una dirección. Tomamos la cara lateral izquierda de ancho ∆x y alto ∆z (correspondiente a la cara A en la figura 4.1.1) y la ponemos al frente, como muestra la figura 4.1.2. Analizamos entonces el flujo por las caras B y E , es decir el flujo en dirección X .

∆z

∂ ρ ∆x ρ− ∂ x 2

ˆ E n ˆB n

A

∂ u ∆x u− ∂ x 2 Flujo entrante cara B

ρ +

∂ρ ∆x ∂ x 2

u+

∂ u ∆x ∂ x 2

E

∆y

∆x

∆x

∆x

2

2

Flujo saliente cara E

Figura 4.1.2: Flujo a través de caras B y E

~ = (u,v,w) es positiva en las direcciones X, Y, Z , entonces al hacer la Si suponemos que la velocidad V conservación de la masa tenemos: ∂ DM = 0= ∂ t Dt

Z ∀ Z ρd +

~ n ρ(V ˆ )dA

(4.1.1)

S c

∀c

E

Sabemos que el volumen de control está dado por ∂ Analizando el término ∂ t

Z

∀ = ∆x∆y∆z y las superficies de control por S c =

[

S .

A

ρd sabemos que al integrar la masa espec´ıfica en el volumen de control

∀

∀c

obtenemos la masa de ese punto: ∂ ∂ t

Z

ρd =

∀

∂ (ρ∆x∆y∆z) ∂ t

(4.1.2)

∀c

Ahora debemos evaluar la masa espec´ıfica y la velocidad en las seis superficies de control:

Z

S c

~ n ρ(V ˆ )dA =

Z

S A

~ A n ρA V ˆ A dA +

Z

S B

~ B n ρB V ˆ B dA + · · · +

Z

~ E n ρE V ˆ E dA

(4.1.3)

S E

Recordando que solo evaluaremos el flujo en dirección X (caras B y E ) seg´ un la figura 4.1.2, vemos que n ˆ B = î y que n ˆ E = î, entonces:

−

´ DE LA MASA 4.1. CONSERVACI ON

Z

~ B ( î)dA + ρB V

−

S B

165

Z

~ E îdA = ρE V

S E

Z −

ρB uB dydz +

S B

Z

ρE uE dydz

(4.1.4)

S E

Ya que estamos haciendo análisis diferencial, podemos expandir en Taylor las propiedades u y ρ para aproximar el valor de estas propiedades en las caras. Usando el centro del cubo diferencial como origen local, hacemos la expansión de Taylor de orden 1 con respecto a este origen:

≈ ρ − ∂ ∂ρx ∆2x ∂ u ∆x uB ≈ u − ∂ x 2 ρB

ρE

≈ uE ≈

∂ρ ∆x ∂ x 2 ∂ u ∆x u+ ∂ x 2 ρ +

(4.1.5)

(4.1.6)

Con esto evaluamos el producto ρ B uB y ρ E uE : 2

− ρ ∂ ∂ ux ∆2x − u ∂ ∂ρx ∆2x + ∂ ∂ρx ∂ ∂ ux (∆4x)

ρB uB = ρ u

ρE uE = ρ u + ρ

∂ u ∆x ∂ρ ∆x ∂ρ ∂ u (∆x)2 +u + ∂ x 2 ∂ x 2 ∂ x ∂ x 4

(4.1.7)

(4.1.8)

Y las integrales de superficie:

Z −

ρB uB dydz =

S B

ρu

−

∂ u ∆x ρ ∂ x 2

−

∂ρ ∆x ∂ρ ∂ u (∆x)2 u + ∂ x 2 ∂ x ∂ x 4

S B

∂ u ∆x ∂ρ ∆x ρu + ρ +u ∂ x 2 ∂ x 2

=

Z

 Z − − Z  

ρE uE dydz =

S E

ρu + ρ

−

∂ρ ∂ u (∆x)2 ∂ x ∂ x 4

∂ u ∆x ∂ρ ∆x ∂ρ ∂ u (∆x)2 +u + ∂ x 2 ∂ x 2 ∂ x ∂ x 4

S E

=

 

∂ u ∆x ∂ρ ∆x ∂ρ ∂ u (∆x)2 ρu + ρ +u + ∂ x 2 ∂ x 2 ∂ x ∂ x 4





dydz

(4.1.9)

∆x∆y

(4.1.10)

dydz

(4.1.11)

∆y ∆z

(4.1.12)

Sumando las integrales de superficie:

Z −

ρB uB dydz +

S B

∂ u ∂ρ (∆x∆y∆z) + u (∆x∆y ∆z) ∂ x ∂ x

(4.1.13)

ρC vc dxdz = ρ

∂ v ∂ρ (∆x∆y ∆z) + v (∆x∆y∆z) ∂ y ∂ y

(4.1.14)

ρF wF dxdy = ρ

∂ w ∂ρ ( ∆x∆y∆z) + w (∆x∆y ∆z) ∂ z ∂ z

(4.1.15)

Z

ρE uE dydz = ρ

S E

De forma análoga el flujo en las otras direcciones es:

Z − Z −

ρA vA dxdz +

S A

ρD wD dxdy +

S D

Z Z S C

S F


166 Sumando la integral de volumen de control y los flujos restantes:

∂ ∂ t

E

Z ∀ X Z ρd +

∀c

A S



∂ ∂ u ∂ρ ∂ v ∂ρ ∂ w ∂ρ ~ n ρV ˆ dA = (ρ∆x∆y∆z) + ( ∆x∆y ∆z) ρ + u + ρ +v + ρ +w ∂ t ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z



(4.1.16)

Sabemos que el lado izquierdo es 0, por lo que: 0 = (∆x∆y ∆z) Dividiendo todo por



∂ρ ∂ u ∂ρ ∂ v ∂ρ ∂ w ∂ρ + ρ + u + ρ +v + ρ +w ∂ t ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z



(4.1.17)

∆x∆y ∆z tenemos:

∂ρ 0= + ρ ∂ t



∂ u ∂ v ∂ w + + ∂ x ∂ y ∂ z



+u

∂ρ ∂ρ ∂ρ + v +w ∂ x ∂ y ∂ z

(4.1.18)

Al agrupar los términos y reconocer el operador gradiente tenemos finalmente:

∂ρ ~ ~ + (ρV ) = 0 ∂ t

(4.1.19)

∇

Conservaci´ on de la masa en forma diferencial

La ecuación (4.1.19) es la Conservaci´ o n de la Masa o también conocida como Ecuaci´ on de Continuidad. Otra forma de escribirla es expandiendo la regla del producto: ∂ρ ~ ~ + V · ρ + ρ( ~ · ~ V ) = 0 ∂ t

∇

4.1.1.

(4.1.20)

∇

Conservaci´ on de la masa de fluido incompresible

En el caso de un fluido incompresible, sabemos que ρ = cte, por lo que cualquier derivada, ya sea temporal o espacial de ρ será 0. Partiendo de la ecuación (4.1.20): ∂ρ ~ ~ + V · ρ + ρ( ~ · ~ V ) = 0 + ~ V · ~ 0 + ρ ~ · ~ V = 0 ∂ t

∇

∇

∇

∴

∇~ · ~ V = 0

(4.1.21)

La expandimos en:

∂ u ∂ v ∂ w + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z

(4.1.22)

Conservaci´ on de la masa en fluidos incompresibles

Esta ecuación se cumple para r´ egimen permanente o impermanente, no hay diferencia. Suele llamarse ecuaci´ on de continuidad.

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO: ECUACI ON ´ DE EULER 4.2. CONSERVACI ON

4.2.

167

Conservaci´ on de la cantidad de movimiento: ecuaci´ on de Euler

Al igual que en la conservación de la masa, ahora utilizaremos la conservación de la cantidad de movimiento aprendida en el cap´ıtulo de análisis global, aplicada a un volumen de control infinitesimal, de masa ρ∆x∆y∆z, como se muestra en la figura 4.2.1.

~ F

s

~ F

~ F

s

s

ρ∆x∆y ∆z

~ F

m

Figura 4.2.1: Volumen de control infinitesimal

Haremos el balance de fuerzas en sólo una dirección ya que la derivación para otras caras es análoga. En la figura 4.2.2 se muestra las fuerzas de superficie aplicadas a las caras de área ∆ y ∆z, al hacer una expansión de Taylor de orden 1 de la presión tomando en cuenta el centro del volumen diferencial con valor de presión P . De esta manera:

X

F x = =

 − P

∂ P ∆x ∂ x 2



∆y ∆z

− ∂ ∂ P x ∆x∆y∆z

 −

∂ P ∆x P + ∂ x 2



∆y ∆z

∆x



P −

∂ P ∆x ∂ x

2



P

∆y∆z



P +

∂ P ∆x ∂ x

2



∆y ∆z

∆x

2

Figura 4.2.2: Balance de fuerzas de superficie dirección X De la misma forma, sabremos que:


168

X X

F y =

− ∂ ∂ Py ∆x∆y∆z

F z =

− ∂ ∂ Pz ∆x∆y∆z − ρg∆x∆y∆z

~ = En el balance en Z hemos agregado la fuerza de gravedad W

−ρg∆x∆y∆z k.ˆ

Combinando la segunda ley de Newton con lo encontrado anteriormente y escribi´ endolo de forma vectorial tenemos:

X

~ d(mV ) ~ F =

dt

d ~ (ρV ∆x∆y ∆z) = dt

⇔

−∇P ∆x∆y∆z + ρf ~ ∆x∆y∆z

(4.2.1)

Si ρ = cte (fluido incompresible), y usamos la descripción Eulereana de flujo (ecuación (4.2.2)): ~ ~ ∂ V dV ~ · ~ )V ~ = + (V ∂ t dt

∇

ρ



~ ∂ V ~ · ~ )V ~ + (V ∂ t

∇

!

=

−∇~ P + ρf ~

(4.2.2)

(4.2.3)

La ecuación (4.2.3) es conocida como Ecuaci´ on de Euler y representa el movimiento de un fluido ideal ~ e incompresible, donde f es un campo de fuerzas másico cualquiera.

4.2.1.

De la ecuaci´ on de Euler a Bernoulli

~ = Una “curiosidad” que resulta de la ecuación de Euler es que si f en la dirección z de la siguiente forma:

ˆ ~ z = k =

∇

   

∂ z ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ z

Por otro lado, podemos usar la identidad vectorial: ~ · ~ )V ~ = (V

∇

       

1 ~ ~ ~ (V · V ) 2

∇

−gk,ˆ podemos escribir el vector unitario

=

0 0 1

(4.2.4)

~ − V ~ × (∇~ × V )

(4.2.5)

Si reemplazamos en la ecuación de Euler: ~ 1 ∂ V ~ · ~ + ~ (V V ) ∂ t 2

∇

~

~ = − ∇P − g∇ ~ z − V ~ × W ρ

(4.2.6)


169

~ = ~ V como ~ Aqu´ı, hemos definido W el vector vorticidad. Factorizando por el gradiente y reordenando:

∇×

∇~



~ 2 V gz + + ρ 2

P

!

=

~

~ − ∂ ∂ V t + ~ V × W

Sabiendo que ρ y g son constantes, podemos dividir por g:

∇~



~ 2 V z + + γ 2g

P

!  1 = g

−

~ ∂ V + ~ V ∂ t

!

~ × W

Si el flujo es permanente e irrotacional

∇~



~ 2 V z + + γ 2g

z +

P

P γ

+

!

=0

(4.2.7)

~ 2 V = cte 2g

(4.2.8)

Ecuaci´ on de Bernoulli (Euler en coordenadas cartesianas)

O sea, para un fluido ideal, en régimen permanente, e irrotacional, la energ´ıa se conserva en todo el espacio.

4.2.2.

Ecuaci´ on de Euler en coordenadas naturales

En la sección anterior, vimos que la energ´ıa se conservaba para todo el espacio en régimen permanente y para flujo irrotacional, usando coordenadas cartesianas. Hay veces sin embargo, en que nos gustar´ıa analizar situaciones en las cuales usar coordenadas cartesianas clásicas es muy dif´ıcil o flujos rotacionales (ya que la condici´ on de irrotacionalidad es bastante restrictiva). Para ello, podemos utilizar las coordenadas naturales o intr´ınsecas. Bajo coordenadas naturales, la velocidad se define como: ~ = V sˆ V

(4.2.9)

Donde sˆ es el vector tangente a la trayectoria y ˆn el respectivo vector normal a la trayectoria. Esto se muestra en la figura 4.2.3 En este nuevo marco de referencia, podemos aún definir el vector gradiente:

∇~ = ∂ ∂ s sˆ + ∂ ∂ n nˆ

(4.2.10)

Si quisiéramos encontrar la aceleración en este marco de referencia, recordemos que ésta se escribe como: ~ ~ ∂ V dV ~ ~ )V ~ = + (V ∂ t dt

∇

(4.2.11)

En este cap´ıtulo estudiaremos el caso de régimen permanente, por lo tanto tendremos sólo aceleración convectiva:


170

s

direcci´ on del flujo

n

direcci´ on normal

ˆ

ˆ

n

s

ˆ

ˆ

Figura 4.2.3: Esquema de coordenadas naturales

~ dV dt

R. Permanente

=

~ · ~ )V ~ = [V sˆ] (V

∇

Ahora determinamos quién es

 

∂ ∂ sˆ (V sˆ) = V (V sˆ) = V ∂ s ∂ s



∂ V ∂ sˆ ˆs + V ∂ s ∂ s



∂ V ∂ sˆ ˆs + V 2 (4.2.12) ∂ s ∂ s

= V

∂ sˆ . De la definición estrictamente matemática de lo que es una derivada: ∂ s

∂ sˆ sˆ(s + ∆s) = l´ım ∆s→0 ∂ s ∆s

− sˆ(s) =

(ˆ s + dˆ s) ∆s→0 ∆s l´ım

− sˆ =

dˆ s ∆s→0 ∆s l´ım

(4.2.13)

Tomando un “zoom” de una porción diferencial de curva (figura 4.2.4), nos interesa saber cómo cambia el vector unitario sˆ bajo longitud de curva diferencial ∆s

ˆ n ˆ s ∆s

ˆ s R

∆β

∆β R

ˆ ds ˆ + d s ˆ s

Figura 4.2.4: Derivaci´ on de

∂ sˆ en coordenadas naturales ∂ s


171

De la figura 4.2.4, vemos que el diferencial de longitud de curva ds está dado aproximadamente por: ∆s

≈ R∆β

con R el radio de curvatura y d β el diferencial de ángulo recorrido. Por otro lado, el vector de diferencia dˆ s forma parte de un tr´ıo como muestra la figura 4.2.5, el cual tiene m´ odulo y sentido. Para ángulos infinitesimales, se puede considerar que lo avanzado por dˆ s (o sea su módulo) es equivalente al giro dado ( ∆β ) por el módulo su brazo de giro (el vector original ˆs): ||dˆ s|| = ||ˆ s|| · ∆β

(4.2.14)

Pero ||ˆ s|| = 1 al tratarse de un vector unitario, por lo que ||dˆ s|| = ∆β . Ahora falta determinar la dirección. De la figura 4.2.4, se observa que el cambio de dirección para un movimiento infinitesimal apunta hacia el centro de curvatura, es decir va en dirección n ˆ , por lo que finalmente:

−

dˆ s =

−∆β nˆ

(4.2.15)

Lo cual podemos introducir en el l´ımite: ∂ sˆ ∆β n dˆ s ˆ = l´ım = l´ım ∆s→0 ∆s ∆s→0 R(∆β ) ∂ s

−

∴

∂ sˆ = ∂ s

− R1 nˆ

(4.2.16)

ds ˆ

s ˆ

∆β

s ˆ + ds ˆ

Figura 4.2.5: Representaci´ on infinitesimal del avance del vector ˆs Retomando el balance de cantidad de movimiento y reemplazando las expresiones encontradas: ~ · ~ )V ~ = V (V

∇

∂ V ˆs ∂ s

2

− V R nˆ

(4.2.17)

Ahora, si recordamos la ecuación de Euler (ecuación (4.2.3)), al evaluarla en régimen permanente, tenemos


172 ya el lado izquierdo para coordenadas naturales:

ρ



~ ∂ V ~ · ~ )V ~ + (V ∂ t

∇

!

(R. Perm)

=



~ · ~ )V ~ = ρ(V

− ~ ∇P + ρf ~

(4.2.18)

V 2 n ˆ = R

− ~ ∇P + ρf ~

(4.2.19)

∇

∂ V ρ V ˆs ∂ s

−



Dividiendo por ρ :

V

∂ V ˆs ∂ s

2

− V R nˆ = − 1ρ ∇~ P + f ~

(4.2.20)

Ahora el lado derecho ya sabemos cómo es, ~ P es la variación espacial de la presión en las nuevas ~ = g k, ˆ pero kˆ = ~ z. Dicho esto, mostramos la ecuación descompuesta en coordenadas y por otro lado f cada dirección:

∇ ∇

−

sˆ :

V

∂ V = ∂ s

− ρ1 ∂ ∂ Ps − g ∂ ∂ zs

(4.2.21)

n ˆ :

− V R = − ρ1 ∂ ∂ Pn − g ∂ ∂ nz

(4.2.22)

2

Si nos fijamos en la ecuación de Euler en la coordenada ˆs, podemos agrupar todo al lado izquierdo: V

∂ V 1 ∂ P ∂ z + +g =0 ∂ s ρ ∂ s ∂ s

(4.2.23)

1 ∂ V 1 ∂ P ∂ z V + + =0 γ ∂ s ∂ s g ∂ s

(4.2.24)

Dividiendo por g ,

Y además podemos agrupar el operador derivada parcial: ∂ ∂ s

V 2 P + +z γ 2g

   

=0

(4.2.25)

∂ V V 2 = V . ∂ s 2 Reordenando un poco los términos recordamos a un viejo amigo conocido, ¡Bernoulli!

Recordemos que por regla de la cadena

∂ ∂ s

∂ ∂ s



V 2 z + + γ 2g

z +

P

P γ

+



=0

V 2 = cte 2g

(4.2.26)

Ecuaci´ on de Bernoulli (Euler en coordenadas naturales)

(4.2.27)

173

4.3. FLUJO POTENCIAL

Es decir, para un flujo incompresible, permanente e ideal, la energ´ıa se conserva en un esquema de coordenadas naturales, sin importar si el flujo es rotacional o no, al contrario de la ecuació n de Euler en coordenadas cartesianas. Ahora, ¿de qu´ e nos sirve un esquema de coordenadas naturales? recordemos que en coordenadas naturales se sigue la trayectoria de una part´ıcula, donde la velocidad es tangente a ésta en todo momento. Esta definición corresponde a una l´ınea de corriente, es decir: En un flujo permanente, ideal e incompresible, la energ´ıa se conserva en una l´ınea de corriente, sin importar si el flujo es rotacional o no.

Esta aplicaci´ on tiene gran utilidad cuando se quiere analizar situaciones de flujos en presencia de curvas o cambios de dirección.

4.3.

Flujo potencial

El u ´ltimo tema en este cap´ıtulo habla de la teor´ıa del flujo potencial. Esta teor´ıa ha sido aplicada desde hace bastante tiempo y su principal ventaja es que permite expresar flujos de forma anal´ıtica, es decir, mediante ecuaciones expl´ıcitas o impl´ıcitas, lo cual implica una gran facilidad a la hora de visualizar los campos de velocidad o las l´ıneas de corriente, además de encontrar valores de presión, energ´ıa o caudal de forma simple. Sin embargo, posee una gran debilidad, la cual es que no puede considerar efectos de compresibilidad, r´ egimen impermanente o esfuerzos de corte (flujo viscoso), pero de todas maneras se puede utilizar para encontrar valores aproximados con fines de usar modelos o experimentos.

4.3.1.

Principios b´ asicos

Los supuestos principales de la teor´ıa de flujo potencial son: Flujo permanente Fluido incompresible e ideal. Flujo irrotacional Nos concentraremos en el último supuesto, el flujo irrotacional. Recordemos que definimos el vector rotaci´ on como: ~ Ω

= ~

∇ × V ~

(4.3.1)

~ = (u,v,w), entonces la rotaci´ Si V on se escribe por extensión: ~ Ω

=



∂ w ∂ y

−

∂ v ∂ z

  î +

∂ u ∂ z

−

 

∂ w ˆ j + ∂ x

∂ v ∂ x

−

∂ u ∂ y



kˆ

(4.3.2)


174

~ = ~ Si el flujo es irrotacional, entonces ~ V 0 . Si recordamos el curso de Cálculo III, o cálculo mul1 tivariable, hay un teorema que dice que si un campo vectorial (en este caso nuestro campo vectorial es la ~ es irrotacional, es decir, su rotor es 0, entonces existe una función escalar φ tal que: velocidad V )

∇×

~ = ~ φ V

∇

(4.3.3)

on potencial y entonces cada componente de velocidad se escribe como: Esta función φ se llama funci´

~ = (u,v,w) = ~ φ = V

∇



∂φ ∂ φ ∂ φ , , ∂ x ∂ y ∂ z



(4.3.4)

Velocidad: gradiente de funci´ on potencial

~ = 0, Al tratarse de un fluido incompresible, entonces satisface la ecuación (4.1.21), es decir ~ · V ~ por ~ φ: reemplazando V

∇

∇

∇~ · ~ V = ∇~ · (∇~ φ) = ∇2φ = 0

(4.3.5)

La función potencial φ satisface la famosa ecuación de Laplace. ¿De qué sirve esto? La ecuación de Laplace tiene la propiedad de que su solución (sea cual sea) cumple con la propiedad de ser lineal, lo que asegura aditividad y homogeneidad, o sea si φ 1 y φ2 son solución, entonces φ = C 1 φ1 + C 2 φ2

también es solución, con C 1 y C 2 constantes arbitrarias.

4.3.2.

Flujo potencial en 2D

Los casos que estudiaremos en este libro son bi-dimensionales, por lo que nos quedaremos con la velocidad ~ = (u, v) = como V





∂φ ∂ φ , , la variación espacial de la función potencial φ . ∂ x ∂ y

on de corriente ψ , la cual Ahora introduciremos a la compañera de la función potencial, llamada funci´ se define por: ψ (x, y), u =

∂ψ , ∂ y

v =

− ∂ψ ∂ x

(4.3.6)

La cual cumple con la ecuación de continuidad: ~ · ~ V = 0

∇

∂ 2 ψ + ∂ x∂ y

⇔

∂ 2 ψ ∂ y∂ x

− 

=0

(4.3.7)

y también satisface la irrotacionalidad de flujo al cumplir la ecuación de Laplace:

∇~ × V ~ = 0 ⇔ 1



∂ v ∂ x

−

∂ u ∂ y



2

=0

2

⇒ − ∂ ∂ xψ2 − ∂ ∂ yψ2 = −∇2ψ = 0

La demostraci´ on es posible encontrarla en la mayor´ıa de los libros de c´ alculo diferencial.

(4.3.8)

175


~ con la funci´ Por lo tanto es posible definir la velocidad V on potencial φ o con la función de corriente ψ , as´ı que resumimos a continuación, ya que puede ser confuso.

~ = (u, v) = ~ φ = V

∇

~ = (u, v) = V





∂φ ∂ φ , ∂ x ∂ y

∂ψ , ∂ y

− ∂ψ ∂ x

 

(4.3.9) (4.3.10)

Velocidad como definida con la funci´ on potencial φ o definida con la funci´ on de corriente ψ

¿Para qué necesitar´ıamos dos formas de describir el flujo? Ambas son complementarias y forman la red de flujo que describiremos a continuación.

4.3.3.

Redes de flujo

Una propiedad interesante de las funciones potencial y de corriente, es que son complementarias y permiten describir de manera gráfica un flujo. Recordemos que las l´ıneas de corriente, según la sección 1.3.2 se definen como: ~ V

× d~ s = 0 ⇔

dx dy = u v

⇔

udy

− vdx = 0

(4.3.11)

Si reemplazamos la velocidad de acuerdo a la función de corriente (ecuación (4.3.10)), tenemos: udy

− vdx = 0 →

∂ψ dy ∂ y

  − − ∂ψ ∂ x

dx = 0

→

∂ψ ∂ψ dx + dy = d ψ = 0 ∂ x ∂ y

(4.3.12)

Este u ´ ltimo t´ ermino corresponde al diferencial total d ψ y el hecho de que d ψ = 0, implica que la función de corriente es constante a lo largo de una l´ınea de corriente. Es por eso que decimos:

L´ıneas de ψ = cte

≡ “L´ıneas de corriente”

Este hecho, nos recuerda a las funciones escalares de cálculo 3, las cuales describen curvas de nivel que no se intersectan. En este caso ocurre lo mismo, las l´ıneas de corriente no se intersectan y corresponden a curvas de nivel con valor ψ = cte. Ahora hagamos un pequeño experimento, ¿qué pasa si juntamos las variaciones de función potencial φ con las variaciones de función de corriente ψ ? ∂ψ ˆ ∂ ψ ˆ ˆ seg´ φ = uî + v j un la definición. Mientras que ψ = i+ j = vî + u jˆ por definición, entonces: ∂ x ∂ y

∇

∇

ˆ ∇φ · ∇ψ = (uî + v j)

∇

∇

ˆ = · ( vî + u j)

−

−

−uv + vu = 0

∴

∇φ · ∇ψ = 0

(4.3.13)

El hecho de que el producto punto sea 0 implica que las l´ıneas potenciales y de corriente forman una red de flujo, cuyos gradientes (dirección en que se maximiza cada función) son perpendiculares. Recordemos que


176

los gradientes por construcción son ortogonales a las curvas de nivel 2 .

Ejemplo 4.1. C´ alculo de caudal usando potencial de flujo

ψ1

(x1 , y1 ) ψ0 Y

(x1 , y0 ) X


En la figura 4.3.1 se muestran dos l´ıneas de corriente ψ 0 y ψ 1 . Se desea encontrar el caudal que pasa entre estas dos l´ıneas de corriente. Si trazamos una l´ınea paralela al eje Y , desde el punto (x1 , y0 ) ubicado en ψ0 hasta la intersección con ψ 1 en el punto (x1 , y1 ). Recordemos que el caudal se calcula como:

Q =

Z

~ n V ˆ dA

(4.3.14)

Suponiendo que el flujo es uniforme en la dirección perpendicular al plano del papel y este espesor tiene valor h, entonces el diferencial de área dA para a ser dA = hdy, además la proyección de la velocidad en la ~ n superficie es V ˆ = (u, v) · î = u al tratarse de una proyección ortogonal a la l´ınea vertical.

Q =

Z

~ n V ˆ hdy =

Z

u (hdy)

Si reemplazamos la velocidad u por su representación en función de corriente u =

2

Conclusi´ on obtenida del cálculo diferencial.

∂ψ . ∂ y

177


Q =

∂ψ hdy ∂ y

Z Z Z y1

=h

y0

=h Teo. Fund. C´ alculo

=

∂ψ dy ∂ y

dψ

h(ψ1

− ψ0 )

Esta u ´ ltima relación es muy poderosa, ya que permite calcular el gasto directamente de la diferencia de los valores de cada función de corriente, es decir, si tenemos un flujo 2D uniforme en la dirección perpendicular al plano del papel, entonces el caudal es:

Q = h ∆ψ

4.3.4.

(4.3.15)

Funciones potenciales cl´ asicas

Hasta ahora hemos dicho que las funciones potenciales sirven para representar flujos y que son expresiones anal´ıticas fáciles de ver gráficamente. Pero no hemos dicho cuáles son, en esta sección veremos las expresiones anal´ıticas más utilizadas para representar flujos. Recordemos una caracter´ıstica de las funciones potencial y de corriente, es que ambas resuelven la ecuaci´ on de Laplace:

∇2φ = 0 = ∇2ψ Un resultado clásico de la ecuación de Laplace son las funciones complejas: F (z) = φ (x, y) + iψ (x, y),

z = x + iy,

i =

¿Ser´ a as´ı? veamos:

? ∇2F =0 2 2 ∇2F = ∂ ∂ xF 2 + ∂ ∂ yF 2

∂ = ∂ x

=

∂ ∂ x

        ∂ F ∂ x

+

∂ F ∂ z ∂ z ∂ x

∂ ∂ y

+

∂ F ∂ y

∂ ∂ y

∂ F ∂ z ∂ z ∂ y

√ − 1

(4.3.16)


178 Pero

∂ z ∂ (x + iy) ∂ z ∂ (x + iy) = =1 y = = i, por lo que reemplazamos: ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y

2

∇

∂ F = ∂ x

=

∂ ∂ x

        ∂ F ∂ z ∂ z ∂ x

+

∂ ∂ y

∂ F ∂ z ∂ z ∂ y

∂ F (1) ∂ z

+

∂ ∂ y

∂ F (i) ∂ y

∂ 2 F ∂ z ∂ 2 F ∂ z = 2 + (i) ∂ z ∂ x ∂ z 2 ∂ y ∂ 2 F ∂ 2 F 2 = 2 (1) + (i ) ∂ z ∂ z 2 ∂ 2 F ∂ 2 F = 2 (1) + ( 1) ∂ z ∂ z 2

−

=0 Ya que hemos demostrado que cualquier función compleja cumple con la ecuación de Laplace, tenemos que cualquier flujo es representable por la suma de su función potencial φ como parte real y su función de corriente ψ como su parte imaginaria.

F (z) = φ (x, y) + i ψ (x, y)

Re(F ) = φ (x, y)

(4.3.17)

Im(F ) = ψ (x, y)

(4.3.18)

Funci´ on compleja

A continuaci´ on, describiremos algunas funciones potenciales clásicas: (a) Flujo uniforme horizontal El flujo uniforme horizontal puede expresarse como: F (z) = U z = U (x + iy) = U x + iU y

(4.3.19)

En este caso: φ = U x y ψ = U y. La velocidad corresponde entonces a: ~ = V



∂φ ∂ φ , ∂ x ∂ y



= (U, 0)

(4.3.20)

Lo que describe un flujo a velocidad horizontal constante U , como se muestra en la figura 4.3.2, donde se muestran las l´ıneas equipotenciales en negro, ortogonales a las l´ıneas de corriente (en azul). (b) Fuente puntual Una fuente puntual de flujo se expresa según: F (z) = m ln z,

m = cte > 0

(4.3.21)

179


Figura 4.3.2: Flujo uniforme horizontal

Una fuente emite flujo de forma radial hacia el exterior, como muestran las figuras 4.3.3 y 4.3.4

Y

V Velocidad ~

L´ ıneas E quipo tencia les

X

Figura 4.3.3: Fuente puntual en el origen

En este caso podemos aprovechar las ventajas de expresar un complejo como una exponencial, para que aplicarle logaritmo quede una expresión más sencilla, aunque habr´ a que cambiar el operador derivada3 . F (z) = m ln(z) = m ln(re iθ ) = m ln(r) + m ln(eiθ ) = m ln r + i(mθ )

(4.3.22)

En este caso φ (r, θ ) = m ln r y ψ (r, θ) = m θ , por lo que para expresar la velocidad: ~ = V

∇φ = ∂φ ∂ r

rˆ +

1 ∂φ ˆ m θ = rˆ + 0 θˆ r ∂θ r

(4.3.23)

Esto quiere decir que la velocidad es constante para un radio dado y es independiente del ángulo. Por otro lado, no existe velocidad tangencial. 3

La expresi´ on de un complejo como exponencial implica un cambio a coordenadas circulares, por ejemplo, polares.


180

La constante m suele llamarse intensidad de la fuente y en el caso de que m < 0, el flujo es un sumidero, es decir, un punto que atrae todo el flujo hacia s´ı. En la figura 4.3.3 se han dibujado en l´ınea segmentada las l´ıneas equipotenciales, recordemos que los gradientes de las l´ıneas de corriente y las potenciales forman una red de flujo ortogonal, por lo que una serie de l´ıneas ortogonales en cada punto a la velocidad (que es radial) representa una circunferencia. En la figura 4.3.4 se muestra una gráfica computacional de la fuente. En azul se graficaron las l´ıneas de corriente, mientras que en negro las l´ıneas equipotenciales.

Figura 4.3.4: Fuente puntual en el origen

(c) V´ ortice irrotacional Un vórtice irrotacional se escribe como una rotación de una fuente. Recordemos que en el campo complejo multiplicar un complejo por la unidad imaginaria implica una rotación antihoraria. Por lo que escribimos el vórtice irrotacional como: F (z) = i m ln(z) = im(ln r + iθ) = En este caso φ =

−mθ + im ln r

(4.3.24)

−mθ y ψ = m ln r. Ahora encontremos la velocidad: ~ = V

∇φ = ∂φ ∂ r

rˆ +

1 ∂φ ˆ θ = 0 rˆ r ∂θ

− mr

θˆ

(4.3.25)

Es decir, no existe velocidad radial y es puramente tangencial. En la figura 4.3.5 se muestra un vórtice irrotacional girando en sentido antihorario con sus respectivas l´ıneas equipotenciales, las cuales son ortogonales a la velocidad. La figura 4.3.6 muestra una gráfica computacional del mismo vórtice. En azul se dibujaron las l´ıneas de corriente mientras que en rojo algunos vectores del campo de velocidad y en negro algunas l´ıneas equipotenciales. (d) Doblete Un doblete representa la unión de una fuente y un sumidero juntos y se escribe según:

181


Y

V Velocidad ~

L´ ıneas E quipo tencia les

X

Figura 4.3.5: V´ ortice irrotacional antihorario

Vortice Irrotacional 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Y

0

!0.1 !0.2 !0.3 !0.4 !0.5 !0.5

!0.4

!0.3

!0.2

!0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X

Figura 4.3.6: V´ ortice irrotacional antihorario


182

F (z) =

A A = z x + iy

(4.3.26)

Para ver mejor de qué se trata, podemos usar la propiedad de usar el conjugado de un complejo: F (z) =

A z Az Az Az A(x iy) · = = 2 = 2 = 2 2 z z zz |z| x +y x + y2

−

(4.3.27)

Ax Ay ψ y = , donde se observa que la singularidad (punto de indefinición) es el x2 + y 2 x2 + y2 origen (x, y) = (0, 0).

−

Donde φ =

Si obtenemos su velocidad en coordenadas cartesianas: ~ = V



∂φ ∂ φ , ∂ x ∂ y

x2 y 2 2xy A 2 , A 2 2 2 (x + y ) (x + y 2 )2

 − =

−

−



En la figura 4.3.7 se muestra un doblete. La constante A se llama intensidad del doblete.

Doblete F(z)=imln(z) 1

0.8

0.6

0.4

0.2

Y

0

!0.2 !0.4 !0.6 !0.8 !1 !1

!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Figura 4.3.7: Doblete centrado en el origen

(4.3.28)

183

4.4. PROBLEMAS

4.4.

Problemas

Problema 4.1. Ecuaci´ on de Euler en coordenadas cartesianas y naturales Demuestre que para un flujo permanente horizontal, la distribución de presiones es hidrostática. Demuestre también que esto es independiente del sistema de coordenadas utilizado. Soluci´ on: Considerando: Régimen permanente

  ∂ (·) ∂ t

= 0.

~ = (u,v,w) = (u, 0, 0). Flujo horizontal V

Usaremos las leyes de conservación básicas: Conservación de la masa: ∂ρ + ∂ t

~ = 0 ⇔ ∇V ~ = 0 ∇(ρV )

(4.4.1)

De lo que se extrae: ∂ u ∂ v ∂ w + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z

∇V ~ = 0 → ∴

(4.4.2)

∂ u =0 ∂ x

(4.4.3)

Ahora utilizamos la conservación de la cantidad de movimiento (ecuación de Euler):

~ ∂ V ~ )V ~ = + (V ∂ t

∇

− ρ1 ∇P + f ~

Si proyectamos en cada una de las direcciones:

î) ˆ j) ˆ k)

∂ u ∂ u ∂ u + v +w = ∂ x ∂ y ∂ z ∂ v ∂ v ∂ v u + v +w = ∂ x ∂ y ∂ z ∂ w ∂ w ∂ w u +v +w = ∂ x ∂ y ∂ z

u

− ρ1 ∂ ∂ Px + f x − ρ1 ∂ ∂ Py + f y − ρ1 ∂ ∂ Pz + f z

A continuaci´ on enunciamos todos los t´ erminos que son 0 y su razón: Despu´ es de eliminar todos los t´ erminos que son 0, nos quedamos con:

(4.4.4)


184

Tabla 4.4.1: Términos que se cancelan en ecuaci´ on de Euler vectorial Variable ∂ u u ∂ x

Raz´ on

∇V ~ = 0 →

Continuidad, llegamos a que

v

∂ u ∂ y

La componente v es 0

w

∂ u ∂ z

La componente w es 0

f x

No hay componente gravitatoria en la dirección horizontal.

u

∂ v ∂ x

v

∂ v ∂ y


w

∂ v ∂ z


f y

∂ u =0 ∂ x

La componente v es 0, por lo que

∂ v =0 ∂ x

No hay componente gravitatoria en la dirección transversal al plano de la hoja.

u

∂ w ∂ x

v

∂ w ∂ y


w

∂ w ∂ z

La componente w es 0

La componente w es 0, por lo que

∂ w =0 ∂ x

185

4.4. PROBLEMAS

∂ P =0 ∂ x

(4.4.5)

∂ P =0 ∂ y

(4.4.6)

∂ P = ∂ z

−ρg

(4.4.7)

Lo cual comprueba la ley hidrostática. De manera similar, podemos pasarnos a las coordenadas naturales para demostrar que se cumple la ley hidrost´ atica. En coordenadas naturales, nuestro sistema coordenada pasa a ser regido por los vectores unitarios ˆs tangencial y n ˆ normal. La figura 4.4.1 muestra la situación. z n ˆ

x s

ˆ

Figura 4.4.1: Flujo horizontal en coordenadas cartesianas y naturales

La ecuaci´ on de Euler en forma vectorial, se ve según componentes:

∂ V ∂ z 1 ∂ P + +g =0 ∂ s ρ ∂ s ∂ s ∂ z V 2 1 ∂ P = g ρ ∂ n ∂ n R

sˆ :

V

n ˆ :

−

−

−

(4.4.8)

Al tratarse de un flujo horizontal, la dirección normal n ˆ coincide con la dirección z , por lo que: ∂ z =1 ∂ n

También, una recta tiene radio de curvatura R infinito, por lo que: V 2 R

→0

Reemplazando estas dos u ´ ltimas expresiones en la componente ˆn tenemos:

(4.4.9)


186

∂ P = ∂ n

−ρg

(4.4.10)

Lo que da la ley hidrostática nuevamente. Problema 4.2. Flujo potencial La forma de la colina (ver figura 4.4.2) que asciende de la llanura, se puede modelar como la superposición de un flujo horizontal uniforme y una fuente. La altura de la colina es de 60 metros, la velocidad del viento son 70 km/hr y la masa espec´ıfica del aire es de 1 kg/m3 (a) ¿Cuál es la elevación vertical del punto (2) respecto a la llanura? (b) ¿Cuál es la velocidad del aire en el punto (2)? Este punto está justo sobre el origen del problema. (c) ¿Cuál es la diferencia de presión entre el punto (1) y (2)? (d) Formule una expresi´ on para calcular la fuerza total que aplica el viento sobre la colina.

(2) y

(1)

(3)

r θ

b

x

Figura 4.4.2: Figura problema 4.2

Soluci´ on: (a) Lo primero es reconocer la funci´ on que representa el flujo. Es la suma de una fuente de intensidad m con un flujo uniforme. Es decir: F (z) = U z + m ln(z) donde z puede ser representada por z = x + iy o bien z = re iθ . Haciendo la suma: F (z) = U (x + iy) + m ln(reiθ ) = U x + iU y + m(ln r + iθ) ∴

F (z) = (U x + m ln(r)) + i(U y + mθ)

De esto, reconocemos la función potencial φ y la función de corriente ψ . φ = U x + m ln(r) = Urcosθ + m ln(r) ψ = U y + mθ

187

4.4. PROBLEMAS

Podemos calcular el vector velocidad en coordenadas polares como: ~ = (V r , V θ ) = V



∂φ 1 ∂φ , ∂ r r ∂θ

 

= U cos(θ) +

m , r

−U sin(θ)



Para encontrar la altura, reconocemos que un borde impermeable puede ser representado por una l´ınea de corriente. Una l´ınea de corriente tiene el mismo valor a lo largo de s´ı misma. Entonces el evaluar la l´ınea de corriente en puntos conocidos del perfil, permitirá obtener igualdades que podr´ıan servir.

ψ (1) = ψ (3) = ψ (2) = ψ 0

Con ψ 0 la l´ınea de corriente del borde de la colina. Luego: ψ (3) = U y3 + mθ3 = m π

(4.4.11)

ψ (2) = U y2 + mθ2 = U y2 + mπ /2

(4.4.12)

Falta una relación, la que se obtiene evaluando ψ en la altura conocida de colina, la cual está en el infinito x

→ ∞, θ → 0, y → 60 m

De las otras relaciones, se obtiene que y2 = 30 . Por añadidura obtenemos el valor de m =

60U π

Otra forma de obtener lo mismo es obteniendo el punto de estancamiento (donde la velocidad es 0) y encontrando la ecuación que relaciona r con θ . (b) La velocidad del aire en el punto (2) se obtiene reemplazando y2 = 30, r = 30, θ = π /2 en (V r , V θ ) y ~ calculando su módulo || V || =

q

V r2 + V θ2 = 83 km/h

(c) La teor´ıa de flujo potencial permite, gracias a sus hipótesis, que se mantenga constante la energ´ıa a lo largo de una l´ınea de corriente, es decir: P V 2 z + + γ 2g Podemos hacer balance entre el punto 1 y 2 para encontrar la diferencia de presiones. V 12 P 2 V 22 y1 + + = y 2 + + γ γ 2g 2g P 1

Evaluando en el punto (1), se sabe que y 1 = 0, V 1 = Despejando:

P 2

−U, V 2 = 83/3,6 m/s

− P 1 = −0,394 m γ

Usualmente, se considera que para una distancia muy grande alejada de obstáculo (colina), los efectos de ésta sobre la presión son despreciables, por lo cual la presión en el punto 1 es la atmosférica, lo cual para presiones relativas, toma el valor 0.


188 (d) La fuerza por unidad de largo (ya que es una l´ınea), es: F =

Z

P ds

la presi´ on se puede encontrar usando Bernoulli entre el punto 1 y cualquier punto de la colina. Luego encontrar una relación entre r y θ , para luego integrar:

F =

Z

0

P (θ )ds =

Z

P (θ )r(θ )dθ

π

Problema 4.3. Flujo potencial En cierto sector de una playa, la l´ınea de costa tiene un giro en ángulo recto, como se muestra en la figura 4.4.3. El flujo de agua salada en esta sección puede aproximarse mediante la teor´ıa de flujo potencial como un fluido incompresible que dobla en ángulo recto. (a) Comprobar que la funci´ on de corriente ψ = Ar 2 sin(2θ ), donde A es una constante positiva, sirve para representar el flujo. (b) Una fuente de agua dulce se ubica en la esquina, como lo muestra la figura 4.4.4. Esta fuente puede ser representada como una función compleja correspondiente a una fuente (valga la redundancia) de intensidad m, donde m es la tasa volumétrica de flujo por unidad de largo, que emana de la fuente. Determinar el valor de m necesario para que el flujo de agua salada no se acerque a más de una distancia L de la fuente. Ayuda: calcule el valor de m en función de A y L tal que se genere un punto de estancamiento. (c) La l´ınea de corriente que pasa a través del punto de estancamiento podr´ıa representar la l´ınea que divide el agua dulce de la salada. Dibujar esta l´ınea. Soluci´ on: (a) La funci´ on de corriente sirve sólo si representa a la esquina como pared impermeable y que ambas paredes tengan el mismo valor de la función de corriente. para θ = pi/2, ψ = 0, además, para θ = pi/2, ψ = 0. Por lo cual esta función puede representar un borde impermeable que forma una esquina en el origen. (b) La fuente de agua dulce puede representarse como una fuente F (z) = m ln(z). Se nos pide determinar m de manera tal que el agua salada no se acerque a más de L de la esquina. El flujo en su conjunto puede ser representado por la suma de sus funciones de corriente. ψflujo = Ar 2 sin(2θ) ψfuente = m θ

Por lo tanto: V r = 2Ar cos(2θ ) +

m r

189

4.4. PROBLEMAS

Y

r

θ

X

Figura 4.4.3: Esquema de la playa, problema 4.3

Y

Agua salada

Agua dulce

L F

X

Fuente puntual de agua dulce Figura 4.4.4: Playa con fuente de agua dulce, problema 4.3


190 V θ =

−2Ar sin(θ)

Queremos que ocurra estancamiento en y = L, esto es cuando r = L, θ =

π

2

Desarrollando: m = 2AL2 (c) Para dibujar la l´ınea de corriente, reemplazamos el valor de m encontrado, en la l´ınea de corriente, ya que esta condici´ on, reemplazada en la función de corriente, permitirá encontrar la l´ınea de corriente que describe el “borde” por donde no pasa agua ni dulce ni salada.

ψtotal = Ar 2 sin(2θ ) + mθ ψtotal = Ar 2 sin(2θ) + 2AL2 θ

reemplazando en θ = π /2 y r = L AL2 π = Ar 2 sin(2θ) + 2AL2 θ despejando r r =

s

L2 (π 2θ) sin(2θ )

−

Suponiendo L = 1, es posible dibujar la l´ınea de corriente. También se puede dibujar la l´ınea de corriente r independiente de L, al despejar . La l´ınea de corriente se muestra en la figura 4.4.5. L

191

4.4. PROBLEMAS

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Figura 4.4.5: L´ınea de corriente, parte (c). Problema 4.3

2.25

2.5

192


Cap´ıtulo 5

Flujo viscoso: fluidos reales Hemos llegado al cap´ıtulo final del libro, donde veremos cómo se atan todos los cabos y todo comienza a tener sentido. Los perfiles de velocidad sin explicación que aparec´ıan en el cap´ıtulo 1 de introducción ahora ser´ an explicados. En este cap´ıtulo incluiremos la u ´ltima complicación a un flujo, la viscosidad, es decir, existen esfuerzos de corte viscosos.

5.1.

Ecuaci´ on de Navier-Stokes para fluido incompresible

Volvamos al ejemplo del cap´ıtulo 1, en que una placa paralela al fondo, infinita, se mueve con velocidad constante U hacia la derecha, como se muestra en la figura 5.1.1. U

ρ

Figura 5.1.1: Elemento diferencial de fluido viscoso movi´ endose.

Tomemos un elemento diferencial de fluido de masa espec´ıfica ρ , como muestra la figura 5.1.1. Supongamos ~ = (u, 0, 0). que estamos en presencia de un flujo unidimensional, es decir V Si hacemos el análisis de este elemento diferencial de fluido, veremos que hay tanto presiones (ya las hab´ıamos visto en la derivación de la ecuación de Euler) como esfuerzos de corte (elemento nuevo) en ambas caras del fluido, tal como muestra la figura 5.1.2, donde el centro del elemento diferencial actúa de origen local. Hacemos el balance de fuerzas correspondiente (igual a como hicimos para la ecuación de Euler), pero ahora incorporamos los esfuerzos de corte: ρf x ∆x∆y ∆z +

 − P

∂ P ∆x ∂ x 2



∆y ∆z +



∂ T ∆y T + ∂ y 2



∆x∆z

 −

193

∂ P ∆x P + ∂ x 2



∆y ∆z

 − −

∂ T ∆y T ∂ y 2



∆x∆z = ρ ∆x∆y ∆z

 ! ~ dV dt

î

CAP ´ ITULO 5. FLUJO VISCOSO: FLUIDOS REALES

194

Y



∂τ ∆y τ + ∂ y 2



∂ P ∆x P − ∂ x 2



∆y ∆z



Z

∆x∆z

X



∂ P ∆x P + ∂ x 2

ρ



∆y ∆y ∆z

2 ∆y 2



τ −

∂τ ∆y ∂ y 2

∆x

∆x

2

2



∆x∆z

Figura 5.1.2: Elemento diferencial de fluido viscoso movi´ endose.

ρf x ∆x∆y ∆z

−

∂ P ∂ T ∆x∆y ∆z + ∆ x∆y ∆z = ρ ∆x∆y ∆z ∂ x ∂ y



∂ u ∂ u ∂ u ∂ u + u + v +w ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z



(5.1.1)

Al ser flujo unidireccional, v, w = 0, por lo tanto: ρ



∂ u ∂ u +u ∂ t ∂ x

Si el fluido es newtoniano, es decir, T = µ ρ





=

− ∂ ∂ Px + ρf x + ∂ ∂ T y

(5.1.2)

∂ u , reemplazando en la ecuación anterior queda: ∂ y

∂ u ∂ u +µ ∂ t ∂ x



2

=

− ∂ ∂ Px + ρf x + µ ∂ ∂ yu2

(5.1.3)

Lo cual describe un flujo unidireccional newtoniano. ~ = Si extendemos la demostración a 3 dimensiones, ahora con un flujo completo en las 3 direcciones V (u,v,w) llegamos a las ecuaciones de Navier-Stokes:

ρ



~ ∂ V ~ )V ~ + (V ∂ t

∇

!

=

−∇P + ρf ~ + µ∇2V ~

(5.1.4)

Se dice que son ecuacioneS, porque escrita de manera vectorial tiene 3 componentes, es decir, son 3 ecuaciones escalares. Usualmente hay 4 incógnitas en un problema de mecánica de fluidos, las 3 componentes de velocidad (u,v,w) y la presión P, lo que nos dice que nos falta una ecuación para cerrar el sistema. Dicha ecuación en fluidos incompresibles es la ecuaci´ on de continuidad (ecuación (4.1.22)), ya vista en el cap´ıtulo 4.

∇V ~ = ∂ ∂ ux + ∂ ∂ yv + ∂ ∂ wz = 0

(5.1.5)

´ DE NAVIER-STOKES PARA FLUIDO INCOMPRESIBLE 5.1. ECUACI ON

195

Ejemplo 5.1. Resoluci´ on de flujo unidireccional laminar Resolvamos el flujo unidireccional laminar, para la situació n de la figura 5.1.3, donde las condiciones iniciales o de borde son: ~ = (u, 0, 0); u(y = 0) = 0; u(y = e) = U V U

e ρ

Y X

Figura 5.1.3: Flujo unidireccional ejemplo 5.1

El flujo es permanente e incompresible. Soluci´ on: En primer lugar tenemos que se cumple la continuidad: ∂ u ∂ v ∂ w + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z

∇V ~ = 0 ⇔

Al reemplazar que v = 0 y w = 0, entonces la continuidad se reduce a: ∂ u =0 ∂ x

(5.1.6)

on de Navier Stokes en cada una de sus direcciones, partimos con la dirección Ahora usamos la ecuaci´ X :

ρ



∂ u ∂ u ∂ u ∂ u + u + v +w ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z



=

−

∂ P + ρf x + µ ∂ x



∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u + 2 + 2 ∂ x2 ∂ y ∂ z



(5.1.7)

La cual tenemos que reducir un poco, hay muchos t´ erminos, pero vamos con calma: Dado que el flujo es permanente, entonces

∂ u = 0, quedamos con: ∂ t



∂ P + ρf x + µ ∂ x

∂ u ∂ u ∂ u ρ u + v +w ∂ x ∂ y ∂ z

La condici´ on de continuidad dice que



∂ u ∂ u ρ v +w ∂ y ∂ z



=

−



∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u + + ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2



∂ u = 0, por lo que quedamos con: ∂ x



=

−

∂ P + ρf x + µ ∂ x



∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u + + ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2



Por otro lado, al decir que era flujo unidireccional, entonces v = w = 0, quedamos entonces con: 0=

−

∂ P + ρf x + µ ∂ x



∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u + + ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2




196

∂ P El gradiente de presiones es una condición adicional de la que no tenemos información por lo que ∂ x no podemos reducirla. ~ = En presencia de campo gravitatorio f

0=

−

−gk,ˆ por lo que f x = 0, se sigue reduciendo la ecuación:

∂ P +µ ∂ x



∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u + + ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2



∂ u ∂ 2 u La condici´ on de continuidad asegura que también sea 0. ∂ x ∂ x2

0=

−

∂ P +µ ∂ x



∂ 2 u ∂ 2 u + ∂ y 2 ∂ z 2



Finalmente, al ser un flujo undireccional, podemos suponer que es uniforme en la dirección perpendicular ∂ u ∂ 2 u al plano del papel, por lo que =0 = 0. La ecuación reducida queda entonces: ∂ z ∂ z 2

→

0=

−

∂ P +µ ∂ x

∂ 2 u ∂ y 2

 

(5.1.8)

La cual podemos integrar directamente: 1 ∂ P ∂ 2 u = µ ∂ x ∂ y 2 ∂ u 1 ∂ P y + C 1 = ∂ y µ ∂ x 1 ∂ P y2 + C 1 y + C 2 = u µ ∂ x 2 Al reemplazar las condiciones de borde u(0) = 0, velocidad: 1 ∂ P 2 u = y + 2µ ∂ x



u(e) = U , obtenemos la expresión completa de la

U e

−



e ∂ P y 2µ ∂ x

(5.1.9)

Esto significa que podemos darle velocidad al flujo al aplicar un gradiente de presiones, o darle velocidad a la placa, o ambas. Veamos casos particulares en las figura 5.1.4 a 5.1.7. U

e Y

∂ P

u(y )

∂ x

< 0

60 U = X

Figura 5.1.4: Caso particular, flujo laminar, ejemplo 5.1


U ∂ P

e

u(y )

Y

∂ x

=0

=0 U 6 X


e

∂ P

u(y )

∂ x

< 0

Y U = 0 X


U ∂ P

e Y

u(y )

∂ x

> 0

60 U = X


197


198

Observaci´ on: podemos desarrollar las otras direcciones de la ecuación de Navier-Stokes, pero no llegaremos a lo que nos interesa, que era la velocidad en el eje X . Ejemplo 5.2. Flujo en una tuber´ıa circular A continuaci´ on veremos cómo utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes para encontrar la forma de un flujo unidireccional en una tuber´ıa circular. Considerar la figura 5.1.8, donde se muestra una sección de la tuber´ıa en perfil y frontal. r



z

P +

∂ P ∂ z

∆z



(2π rdr)

ˆ θ ˆ r

P (2π rdr)

r

∆z

τ ext =



τ +

∂τ ∂ r

∆r



Esfuerzo de corte exterior

τ ext

Esfuerzo de corte interior

τ int

dr

(2π )(r + ∆r)∆z

τ int = τ (2π )(r∆z )

Figura 5.1.8: Secci´ on de tuber´ıa circular, flujo unidireccional

Usaremos coordenadas cil´ındricas aprovechando la simetr´ıa axial, tomaremos anillos de espesor dr y haremos el análisis de fuerzas en éste. Considerar la velocidad como uniforme en el eje z, de manera que ~ = 0ˆ ˆ V r + 0 θˆ + wk. De observar la figura 5.1.8, tenemos las dos fuerzas de presión, una por la izquierda y otra por la derecha. Esta vez hacemos la expansión de Taylor de orden 1 tomando el borde izquierdo como origen local. De esta manera las presiones quedan:

P izq =P P der =P +

∂ P ∆z ∂ z

Las fuerzas de presión entonces son:

~ P izq =P (2π rdr)(î) F ~ Pder F



∂ P ∆ z = P + ∂ z



(2π rdr)( î)

−

Dado que la superficie de contacto es la misma. Por otro lado, tenemos dos esfuerzos de corte aplicados, el del manto exterior T ext y el del manto interior T int . Las fuerzas de corte tangenciales son entonces, aplicando expansión de Taylor orden 1, con el centro de


199

la tuber´ıa como origen local:

~ T ext =T (2π r∆z)( î) F ~ T int = F



−



∂ T ∆r (2π )(r + ∆r)∆z ( ˆ T + i) ∂ r

−

Estas fuerzas actúan todas seg´ un el eje Z , por lo que nos interesará usar la componente Z de la ecuación de Navier-Stokes. m

 ! X ~ dV dt

ˆ k =

~ F z

(5.1.10)

El lado izquierdo lo podemos expandir como:

 !  ~ dV dt

ˆ k =

~ ∂ V ~ )V ~ + (V ∂ t

∇

!

kˆ

(5.1.11)

~ ∂ V = 0, por otro lado, si asumimos flujo unidireccional en ∂ t ~ = (V r , V θ , V z ) = (0, 0, w), por lo que el t´ ~ )V ~ queda simplemente como direcci´ on Z , entonces V ermino ( V ∂ w w , es decir: ∂ z

Si suponemos régimen permanente, entonces

∇

  X X  

ρ(2π r ∆r∆z) w

∂ w ∂ z

=

~ F z

(5.1.12)

Aqu´ı hemos expresado la masa como el producto de la masa espec´ıfica ρ con el volumen diferencial ~ 2π r∆r∆z. Si además juntamos los términos que tenemos para F z , tenemos:

X

−

∂ P ∆ z P + ∂ z



∂ T ∆ r 2π (r + ∆r)∆z T (2πr∆z) (5.1.13) ∂ r ∂ P ∂ T ∂ T 2 ∆r2π r ∆z + ∆ r 2π ∆z 2 πr∆r∆z + T 2π r∆z + T 2 π∆r ∆z + T 2 πr∆z (5.1.14) ∂ z ∂ r ∂ r

F z =P (2πr ∆r) =

 −

(2π r∆r) + T +

−

−

Despreciamos el término que contiene otro diferencial, es decir:

∆r

2

, ya que corresponde a un término de orden 2 multiplicado por

2 ∆r ∆z

<<<<<<< ∆r ∆z

(5.1.15)

De lo que resulta

X

F z =

− ∂ ∂ Pz 2 πr∆r∆z + T 2π∆r∆z + ∂ ∂ T r 2πr∆r∆z

(5.1.16)

Si dividimos por el volumen (2πr∆r∆z) la ecuación (5.1.12), entonces tenemos finalmente:

 

ρ w

∂ w ∂ z

=

− ∂ ∂ Pz + ρf z + T r + ∂ ∂ Tr

(5.1.17)


200

en caso de no haber régimen permanente, agregamos el término temporal: ρ



∂ w ∂ w +w ∂ t ∂ z



=

− ∂ ∂ Pz + ρf z + T r + ∂ ∂ T r

(5.1.18)

Esto u ´ ltimo corresponde a la Ecuaci´ on de Navier Stokes 1-D en coordenadas cil´ındricas. Es posible reducir aún más esta expresi´ on, de la siguiente forma: T ∂ T 1 ∂ w Sabemos que + = (rT ). Luego si establecemos que T = µ , es decir, se cumple la Ley de ∂ r r r ∂ r r Viscosidad de Newton. ρ



∂ w ∂ w +w ∂ t ∂ z



2

=

− ∂ ∂ Pz + ρf z + µr ∂ ∂ wr + µ ∂ ∂ rw2

Adem´ as sumamos los supuestos de (1) R´ egimen Permanente, (2) Fluido incompresible y (3) f z = 0, tenemos entonces: ∂ w ρw = ∂ z

−

∂ P µ ∂ +0+ ∂ z r ∂ r

  r

∂ w ∂ r

(5.1.19)

~ 0), tenemos que: Al intersectar esta ecuación con la ecuaci´ on de continuidad, ( V =

∇

∂ Vr 1 ∂ Vθ ∂ w + + =0 ∂ r ∂ z r ∂θ

∇V ~ = 0 ⇔

→

∂ w =0 ∂ z

(5.1.20)

Obtenemos entonces: 0=

−

∂ P µ ∂ + ∂ z r ∂ r

  r

∂ w ∂ r

La cual podemos integrar dos veces para calcular la velocidad:

w =

1 ∂ P 2 r + C 1 ln(r) + C 2 4µ ∂ z

(5.1.21)

Las condiciones de borde pueden ser, por ejemplo w(r = R) = 0, es decir, la velocidad en las paredes es nula (condición de no deslizar) y por otro lado, la velocidad en r = 0 no puede ser infinito (note que ln(0) = ), por lo que forzamos a que C 1 = 0

−∞

Finalmente: w =

1 ∂ P 2 (r 4µ ∂ z

lo que entrega un perfil parab´ olico de velocidad.

− R2 )

(5.1.22)

201

5.2. PROBLEMAS

5.2.

Problemas

Problema 5.1. Navier-Stokes en coordenadas cartesianas Un fluido viscoso, incompresible fluye entre dos placas paralelas e infinitas como se ve en la figura 5.2.1. Determine, usando la ecuación de Navier-Stokes una expresión para el gradiente de presión en la dirección del flujo. Asuma que el flujo es laminar, permanente y uniforme. Enuncie cualquier otro supuesto pertinente y justif´ıquelo.

Q

y x z

h

h

Figura 5.2.1: Figura problema 5.1

Soluci´ on: De la ecuación de continuidad:

∇~ · ~ V = 0 → ∂ ∂ ux + ∂ ∂ vy + ∂ ∂ wz = 0 → ∂ ∂ vy = 0 De la ecuación de Navier Stokes en la dirección del flujo:

∂ v ∂ v ∂ v ∂ v + u + v +w = ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z

− ρ1 ∂ ∂ Py − g + ν ∇2v

 

Se eliminan los términos que corresponden y despejando: ∂ 1 P + g = ν ρy ∂ x

  ∂ v ∂ x


202

 

∂ v 1 P x + gx + C 1 = ν ρy ∂ x

∂ v Condici´ on de Borde: µ = τ = 0 en x = 0, por simetr´ıa o porque si la velocidad en los dos bordes es 0, ∂ x entonces debe tener máximo en el centro. ∴

C 1 = 0

Integrando de nuevo ∂ P x2 x2 + ρg + C 2 = µv ∂ y 2 2

Condici´ on de Borde: v = 0 en x = ±h C 2 =

−

h2 2



∂ P + ρg ∂ y



Finalmente: 2

v = (x

−

1 h ) 2µ 2



∂ P + ρg ∂ y



Si queremos expresarlo en función del gasto q : h

q =

Z

−2 h3 vdx = · · · = 3 µ

−h



∂ P + ρg ∂ y



Luego podemos expresar en función de la velocidad media V : q V = = 2h

−

1 h2 3 µ



∂ P + ρg ∂ y



Finalmente: ∂ P = ∂ y

− 3µV − ρg h2

(5.2.1)

Problema 5.2. Navier-Stokes en coordenadas cil´ındricas La figura 5.2.2 muestra un par de cilindros conc´ entricos rotando alrededor de su eje axial, con velocidad angulares ω1 y ω2 , para los cilindros interior de radio R1 y exterior de radio R2 , respectivamente. Un flujo volumétrico de caudal Q fluye axialmente entre ambos cilindros. La aceleración de gravedad g act´ u a en la dirección indicada por la figura. A partir de las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cil´ındricas proporcionadas al final del enunciado responda: (a) Cuáles son las ecuaciones diferenciales gobernantes que permitan determinar las componentes tangencial ~ Asuma que el flujo es estacionario e incompresible, con viscosidad V θ (r) y axial V x (r) de la velocidad V . constante, totalmente desarrollado, y con simetr´ıa angular, es decir

∂ =0 ∂θ

(b) Resuelva para el campo de velocidades y presi´ on para la condición de flujo volumétrico Q = 0. Haga todas las suposiciones que sea aplicables y pertinentes.

203

5.2. PROBLEMAS ∂ 2 f 1 ∂ f Ayuda: + ∂ y2 y ∂ y

−





∂ 1 ∂ f = (yf ) ∂ y y ∂ y y2

ω2 ω1

g ~

Q Figura 5.2.2: Cilindro problema 5.2

Problema 5.3. Navier-Stokes en plano inclinado Se tiene un fluido de masa espec´ıfica ρ y viscosidad µ que fluye de arriba hacia abajo por un plano inclinado en ángulo θ con respecto a la horizontal. El fluido está rodeado en su parte superior e inferior por dos paredes fijas separadas por una distancia b. Asuma flujo unidireccional en la dirección del plano inclinado. Sea claro en el sistema de coordenadas utilizado. Asuma r´ egimen permanente y fluido incompresible. (a) Escriba todos los supuestos necesarios para resolver el problema. (b) Encuentre una expresi´ on para la velocidad u que se establece en el fluido. No olvide incluir las condiciones de borde. (c) Calcule el caudal (por unidad de ancho) que escurre. Recuerde que el caudal se calcula como Q =

Z

~ · ˆ V ndA

A

(d) Calcule la presi´ on m´ınima P min que requerir´ıa un pistón ubicado en la zona baja para que el flujo suba en lugar de bajar.

CAP ´ ITULO ITULO 5. FLUJO FLUJO VISCOSO: VISCOSO: FLUIDOS FLUIDOS REALES REALES

204

(e) Ahora en vez vez de un pistón, on, usted decide cambiar la pared inferior por una banda transportadora. Calcule la velocidad velocid ad m´ınima requerida requeri da U U min min para que el fluido suba en lugar de bajar.

P atm atm

=0

L

~ g

u

ρ, µ θ

Figura 5.2.3: Problema 5.3 Problema 5.3,, condici´ on on partes (a), (b), (c)

P atm atm = 0 L

g ~

u

ρ, µ Pist´ on on

θ

Figura 5.2.4: Problema 5.3 Problema 5.3,, condici´ on on parte (d), con pistón on en zona inferior

Soluci´ on: on: Variables conocidas ρ , µ, θ , b. Flujo unidireccional. Régimen egi men perman pe rmanente. ente. Fluido incompresible (a) Los supuestos supuestos a agregar ser´ an an encerrados en rectángulo. angulo. Si la velocidad es unidireccional, usando el sistema coordenado de la figura 5.2.6 5.2.6.. Entonces:

~ = (u, V ( u, 0, 0)

(5.2.2)

205


P atm atm

=0

~ g

L u

ρ, µ U

θ

Figura 5.2.5: Problema 5.3 Problema 5.3,, condici´ on on parte (e), con banda transportador transportadoraa

Y X P atm atm

=0

L

g ~

u

ρ, µ θ

Figura Figura 5.2.6: Sistema coordenado a utilizar, utilizar, problema problema 5.3 5.3


206

Si utilizamos la conservación on de la masa, para fluido incompresible se tiene:

∇~ · ~ V = 0

(5.2.3)

∂ u =0 ∂ x

(5.2.4)

Si usamos usamos Nav Navier ier Stokes en coordenada coordenada X X ,, tenemos: tenemos:

∂ u ∂ u ∂ u ∂ u + u + v +w = ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z

P µ − ρ1 ∂ ∂ P + f x + ∇2 u ρ x

Los términos erminos que se anulan son: ∂ u = 0, por r´ egimen egimen permanente. perman ente. ∂ t ∂ u ∂ u u = 0, porque = 0. ∂ x ∂ x ∂ u v = 0, porque v = 0. ∂ y

w

∂ u = 0, porque w = 0. ∂ z

Quedando entonces:

0=

−

1 ∂ P P µ + f x + ρ ∂ x ρ



∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u + + 2 ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z



Los términos erminos que se anulan son: ∂ 2 u ∂ u = 0, porque = 0. 2 ∂ x ∂ x ∂ 2 u = 0, por comportamiento por comportamiento de placas paralelas infinitas. infinitas . ∂ z 2

Quedamos finalmente con:

1 ∂ P P ρ ∂ x

2

− g sin θ = µρ ∂ ∂ yu2

(5.2.5)

∂ P P El gradiente de presiones no se puede eliminar a priori , ya que no hay información on sobre la presión on ∂ x en la salida.

(b) Integran Integrando do Navier Stokes en direcci´ dirección on X, tenemos:

207


1 ∂ P P µ ∂ 2 u g sin θ = ρ ∂ x ρ ∂ y 2 ∂ u 1 ∂ P P ρg sin θ y + C 1 = ∂ y µ ∂ x µ 2 ρg sin θ y + C 1 y + C 2 =u = u µ 2

−



1 ∂ P P µ ∂ x



−



−



Las condiciones de borde son:

u(y = 0) =0 u(y = b = b)) =0 Reemplazando, obtenemos:

C 2 = 0 C 1 =

 − b 2

1 ∂ P P µ ∂ x

−

ρg sin θ

µ



Finalmente la velocidad u velocidad u en función on de y de y es:

1 u = 2µ



∂ P P ∂ x



(y 2

− by) by)

1 ∂ P P b3 ρg sin θ = 2µ ∂ x 3 ∂ P 3 1 ρg sin θ = b ∂ x 12 12µ µ

b 3 2

− ρg sin θ

(5.2.6)

(c) El gasto Q por unidad de ancho ancho W es:

Q = W

b

Z

udy

0

 

−

Q 1 = q = = w 12 12µ µ

−



 

ρg sin θ

−

−

∂ P P ∂ x



b3

 (5.2.7)


208

(d) Para que el flujo suba, suba, por la convenci´ convención on tomada, el caudal q caudal q debe debe ser negativo. neg ativo. Si S i el eje X sub´ sub´ıa, entonces q debe debe ser positivo. ∂ P P ∆P P min 0 min Si consideramos = = ∂ x ∆x L Entonces:

−



1 3 b ρg sin θ 12 12µ µ

−

∂ P ∂ x



< 0

Despejando, se obtiene:

P min min > ρ gL sin θ

(5.2.8)

(e) La banda transportadora transportadora cambia cambia las condicione condicioness de borde:

u(y = 0) =

−U

(+U (+U si si el eje X sube )

u(y = b = b)) = 0 Resolviendo se encuentran las constantes:

C 2 =

−U

U C 1 = b

−

b 2µ



∂ P P ∂ x

− ρg sin θ



Por lo que la velocidad y el caudal quedan respectivamente:

1 u = 2µ



∂ P P ∂ x

− ρg sin θ

  2

y +

U b

−

b 2µ



Q b3 = q = q = W 12 12µ µ

∂ P P ∂ x

− ρg sin θ



ρg sin θ

 − −

P − ∂ ∂ P x

y

U

U b 2

La condici´ condici´ on on nuevamente es que q < 0, seg´ un un la convención on elegida.

b2 U min min > 6µ



ρg sin θ

−

∂ P P ∂ x



(5.2.9)

Parte II

Ingenier´ıa hidr´ aulica

209

Cap´ıtulo 6

Introducci´ on a la Ingenier´ıa hidr´ aulica 6.1.

Introducci´ on

En esta parte del libro, aplicaremos lo aprendido en la parte de Mecánica de Fluidos en el transporte de agua a trav´ es de conductos abiertos o cerrados. Por ejemplo, la distribución de agua potable desde los r´ıos y bocatomas se hace a trav´ es de alcantarillado en conducto cerrado. Luego las aguas servidas se transportan hacia las plantas de tratamiento, donde se devuelven a través de conducto abierto de retorno al cauce natural. La figura 6.1.1 muestra un esquema de lo descrito.

Conducto Cerrado

l a r u t a N e c u a C

Red de distribuci´ on

Conducto Abierto

Planta de Tratamiento

Figura 6.1.1: Esquema simplificado de distribuci´ on de agua

211

´ A LA INGENIER ´ ´ CAP ´ ITULO 6. INTRODUCCI ON IA HIDR AULICA

212

6.2.

Tipos de flujo y leyes de conservaci´ on

En esta sección mostraremos los tipos de flujo a estudiar (conducto cerrado y conducto abierto) junto con sus principales componentes y caracter´ısticas:

6.2.1.

Tipos de flujo

(a) Flujo en conducto abierto: tambi´ en llamado flujo en canal abierto1 . Es el que podemos apreciar por ejemplo en el canal del r´ıo Mapocho, o el canal San Carlos, donde podemos apreciar a simple vista el agua fluir. Posee las siguientes caracter´ısticas: Forma del flujo: el flujo toma la forma del canal en sus paredes, pero en la parte superior, está en contacto con la atmósfera (por esto se llama flujo en canal abierto). La figura ?? muestra un ejemplo t´ıpico. ´ Area del flujo: el área de flujo (sección transversal denotada por A) tiene una forma variable a lo largo del canal, depender´ a del caudal transportado Q, en otras palabras: A = f (Q)

(6.2.1)

Variable conocida (independiente): Al tratarse de un flujo en contacto con la atmósfera, está equilibrada con ésta. La presión en la superficie libre es la presión atmosférica P atm absoluta o 0 si estamos hablando de presiones relativas 2 . Variable desconocida (dependiente): La variable de interés en este tipo de flujos es la velocidad, la cual dependerá del caudal transportado, es decir: U =

Q Q = = g(Q) A f (Q)

(6.2.2)

Fuerza Motriz: La fuerza que domina en el flujo de canales abiertos es la gravedad. El uso t´ıpico de flujo en canales abiertos es en aplicaciones donde se debe asegurar el movimiento de agua (u otro l´ıquido) mediante una fuerza inagotable e ininterrumpida, como es la fuerza gravitatoria. Es por esta razón que los inodoros y el tratamiento de aguas servidas en general es tratado en flujo en gravedad, ¿se imaginan si el WC funcionara con bombas (conectadas a electricidad) y se corta la luz? (b) Flujo en conducto cerrado: también llamado flujo en presi´ on. Este flujo está presente en nuestras casas, mediante el sistema de tuber´ıas que alimentan nuestro lavamanos, ducha, lavaplatos, manguera de jard´ın, etc. La caracter´ıstica principal es que como dice el nombre, el agua circulante no la podemos ver, está confinada en un espacio cerrado salvo en la entrada o salida. Posee las siguientes caracter´ısticas: Forma del flujo: el flujo toma la forma del conducto completo al estar encerrado por éste. ´ Area del flujo: la sección transversal A es definida y limitada, por lo que al contrario del caso de canales abiertos, 1

es Open Channel Flow , en ingl´

2

Revisar secci´ on 2.2.1 para m´ as informaci´ on sobre el concepto de presión relativa.

´ 6.2. TIPOS DE FLUJO Y LEYES DE CONSERVACI ON

213

A = A 0 = cte

(6.2.3)

Variable conocida (independiente): dado un caudal Q y un área A 0 , entonces la velocidad promedio U es conocida y tiene valor: U =

Q A0

(6.2.4)

Variable desconocida (dependiente): Dado que el flujo está encerrado, no está en equilibrio con la atmósfera, sino que ejerce presi´ on en las paredes de la tuber´ıa, por lo que la presión es la variable limitante en el dise˜ no de tuber´ıas. No podemos hacer pasar má s que un caudal Qmax , el cual determina una presión máxima P max admisible por el material de la tuber´ıa. Fuerza Motriz: al contrario del flujo en canales abiertos, en este caso la fuerza motriz es la diferencia de presi´ on, por lo que el flujo puede ir contra la gravedad (por ejemplo al alimentar un edificio con agua potable) siempre y cuando la diferencia de presión lo permita. En la tabla 6.2.1 se resume las principales propiedades de ambos tipos de flujo: Tabla 6.2.1: Principales Propiedades y Caracter´ısticas de flujos abiertos y cerrados Variable/caracter´ıstica Forma Secció n Transversal ´ Area Sección Transversal Velocidad (U ) Presi´ on Fuerza Motriz Usos evidentes

6.2.2.

Flujo Cerrado Definida y limitada Fija, A = A0 = cte Q Conocida, U = A Desconocida, por determinar Diferencia de presión Distribuci´ on de agua

Flujo Abierto Solo algunas paredes fijas, superficie libre expuesta Variable, A = f (Q) Q Desconocida, U = = g(Q) A Conocida, P atm en superficie libre Gravedad Drenaje de agua

Leyes de conservaci´ on en flujo abierto y cerrado

Recordando el cap´ıtulo 3, vimos dos leyes de conservación muy importantes, la Conservaci´ o n de la Masa (sección 3.2) y la Conservaci´ on de la Energ´ıa (sección 3.4), veamos cómo se aplica cada una en flujo abierto y cerrado. 6.2.2.1.

Flujo en canales abiertos: conservaci´ on de masa y energ´ıa

(a) Conservación de la masa: En canales abiertos, tenemos que la superficie libre está en contacto con la atmósfera, como muestra la figura 6.2.1. Si elegimos el volumen de control como muestra la misma figura, entonces podemos aplicar análisis global y conservar la masa: ∂ DM =0 = ∂ t Dt

Z ∀ Z ρd +

∀c

S c

~ n ρ(V ˆ )dA

(6.2.5)


214

Superficie Libre Volumen de Control ∀

c

V 12 2g

V 22 2g

(1) Q

(2)

h1

h2

z1

z2

Referencia z = 0

Figura 6.2.1: Conservación de la masa y energ´ıa en canales abiertos

∂ (·) En la mayor´ıa de la situaciones, dise˜ naremos para régimen permanente, entonces = 0. Tomando ∂ t los bordes de la superficie de control como las secciones 1 y 2 (figura 6.2.1), tenemos:

0=

Z

~ n ρ(V ˆ dA)

S c

=

Z − ρ

V x dA + ρ

S 1

Z

V x dA

S 2

Si el fluido es agua, lo consideramos incompresible, por lo que ρ se vuelve irrelevante en la igualdad, por lo que

Z

S 1

V x dA =

Z

V x dA

S 2

Q1 =Q2 Si Q es el caudal transportado, entonces finalmente:

Q = Q 1 = Q 2

(6.2.6)

El flujo volumétrico se conserva. Ahora bien, no desarrollamos aún más las integrales de velocidad en el área porque no hemos establecido supuestos con respecto al perfil de velocidades en cada secci´ on, podr´ıa ser laminar, turbulento, etc. Por otro lado, la sección transversal podr´ıa ser cualquiera,

´ 6.2. TIPOS DE FLUJO Y LEYES DE CONSERVACI ON

215

rectangular, trapezoidal, semicircular, etc. Estos supuestos y variaciones las veremos en el cap´ıtulo 7 (b) Conservación de la energ´ıa: Usando de nuevo la referencia de la figura 6.2.1, y con los supuestos: Régimen permanente. Proceso adiabático. Proceso isotérmico. Uso de valores promedio Entonces la energ´ıa se conserva según la ecuación de Bernoulli:

z1 +

P 1 γ

+

V 12 P 2 V 22 = z 2 + + γ 2g 2g

(6.2.7)

Usualmente, podemos referir la ecuación al fondo del canal (no confundir con la referencia). Por otro lado, en aguas someras3 y bajo ciertas condiciones, la presión puede aproximarse como hidrostática (veremos la demostración más adelante), por lo que la presión en el fondo es P 1 = γ h1 y P 2 = γ h2 , por lo que la ecuación (6.2.7) puede reescribirse como la ecuación (6.2.8). γ h1 V 12 γ h2 V 22 z1 + + = z 2 + + γ γ 2g 2g

6.2.2.2.

⇔

V 12 V 22 z1 + h1 + = z2 + h2 + 2g 2g

(6.2.8)

Flujo en conducto cerrado: conservaci´ on de masa y energ´ıa

Tomando como referencia la figura 6.2.2, donde está indicado el volumen de control a considerar, usando los mismos supuestos que para canales abiertos: Régimen permanente. Fluido ideal. Fluido incompresible. Proceso adiabático. Proceso isotérmico. Uso de valores promedio Las ecuaciones (6.2.6) y (6.2.7) también se cumplen. En el cap´ıtulo 10 veremos qué pasa espec´ıficamente en casos de fluidos viscosos (donde hay pérdidas de energ´ıa).

3

poco profundas


216

n2 ˆ

S 2 V 2 ~

S 1 n1 ˆ

V 1 ~


Cap´ıtulo 7

Flujo en canales abiertos 7.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo describiremos en detalle todo lo que ocurre en escurrimiento abierto. Incluyendo situaciones de dise˜ no, como canales de distribuci´ on, análisis de eje hidráulico (perfil de agua en el espacio), entre otros. Partiremos con la clasificación de los flujos abiertos.

7.2.

Clasificaci´ on de flujos abiertos

Al igual que en el cap´ıtulo de introducci´ on de Mecánica de Fluidos (cap´ıtulo 1), la clasificaci´ on de flujos se divide en su comportamiento temporal y espacial: (a) Seg´ un el tiempo: (i) Régimen (flujo) permanente: una o más propiedades no cambian en el tiempo, es decir (ii) Régimen impermanente: todas las propiedades pueden cambiar en el tiempo,

∂ (·) = 0. ∂ t

∂ (·) =0 ∂ t

6

(b) Seg´ un el espacio: (i) Régimen (flujo) uniforme: generalmente utilizado en el diseño de canales, una o más propiedades ∂ (·) no cambian en el espacio, es decir: = 0. ∂ x ∂ (·) (ii) Régimen (flujo) variado: una o más propiedades cambian en el espacio = 0. Un caso espe∂ x cial es el régimen gradualmente variado, donde se consideran pequeñas variaciones para analizar situaciones de comportamiento de la superficie libre.

6

7.3.

Caracter´ısticas del flujo en canales abiertos

A continuación tomaremos un flujo cualquiera en canal abierto y describiremos sus componentes. Esta secci´ on tiene como objetivo definir y familiarizarse con la terminolog´ıa del flujo de canales abiertos. 217

CAP ´ ITULO 7. FLUJO EN CANALES ABIERTOS

218

Supongamos que tenemos un r´ıo o un canal. Si lo vi´ esemos desde un helic´ optero o desde un satélite ver´ıamos lo ver´ıamos como un par de l´ıneas que se mueven en un plano. Esta vista tiene el nombre de Vista en Planta. La mayor´ıa de los planos de dibujo técnico de Ingenier´ıa Civil trabajan con esta vista. Si miráramos de lado este r´ıo o canal, es decir, si estuvi´ esemos parados al lado de él y nuestra mirada lo atraviesa de forma transversal, estar´ıamos en presencia de una Vista en Perfil, el r´ıo se ver´ıa como solo una l´ınea. Finalmente, si pudiésemos cortar de forma transversal el r´ıo, como una rebanada, ver´ıamos una Secci´ on Transversal, la figura 7.3.1 representa esta situación. T Eje hidráulico

Perímetro mojado h

Figura 7.3.1: Vista frontal de una sección transversal

7.3.1.

Propiedades de la secci´ on transversal

Concentrémonos por un momento en la sección transversal de un canal o r´ıo. En la figura 7.3.1 tenemos un esquema simplificado de una sección transversal cualquiera. A continuación describiremos sus componentes y propiedades: (a) Eje hidr´ aulico: Corresponde a la l´ınea conformada por el horizonte de la superficie libre. Al estar equilibrada por la presión atmosférica y suponer que rige la ley hidrostática, el eje hidráulico siempre será una l´ınea recta vista en sección transversal, independiente de la forma de las paredes del canal. (b) Ancho superficial: Corresponde al ancho de la superficie libre. Suele denotarse con la variable T en espa˜ nol y W en inglés. (c) Per´ımetro mojado ( P ): Corresponde a la l´ınea de suelo y pared que están en contacto con el agua. ´ (d) Area de la sección transversal (A): Corresponde al área encerrada por el per´ımetro mojado y el eje hidr´ aulico. (e) Altura de agua: Se denota con la variable h y corresponde a la distancia perpendicular entre el eje hidr´ aulico y el punto más ba jo del per´ımetro mojado.

7.3. CARACTER ´ ISTICAS DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS

219

´ Ejemplo 7.1. Area, per´ımetro mojado y ancho de superficie libre de un canal circular En la figura 7.3.2 se muestra un canal circular, donde hay una altura de agua h cualquiera. Dependiendo del caudal transportado Q, la altura h aumentará o disminuirá. En la figura 7.3.3 se muestra el gráfico de cómo var´ıa el valor de T , P y A en función de h.

D

A

P

T

Figura 7.3.2: Secci´ on transversal circular

7.3.2.

Velocidad en canales abiertos

Como indicamos en la sección 6.2 y en la tabla 6.2.1, la velocidad será la incógnita principal en los flujos de Canales Abiertos. ¿Qué tipo de velocidades podemos encontrarnos en canales abiertos? En canales abiertos, para el diseño, por lo general nos encontramos con velocidades que determinan reg´ımenes turbulentos, es decir, el rango de número de Reynolds supera ampliamente el valor de 100.000. 2 UD Recordemos que el número de Reynolds se define como Re = , donde ν = 10−6 m /s , por lo que las ν velocidades o alturas tendr´ıan que ser muy pequeñas para bajar del rango turbulento. ¿Qué valor de velocidad deber´ıamos considerar en una sección transversal? Ya que trabajaremos desde el enfoque global, un valor aceptable considerado por el diseño es la velocidad Q media U , definida como U = . Si recordamos la sección 3.3 y la ecuación (3.3.14), el coeficiente de Coriolis A correg´ıa el promedio del perfil de velocidad, según (7.3.1).

α =

Z

~ 2 ρ ( V ~ n V ˆ dA)

S

U 2 ρ Q

≥1

(7.3.1)

En caso de canales convencionales, α se mueve entre el valor 1, 02 y 1, 2. Es por esta razón que se utiliza el promedio simplemente para estimar velocidades.

7.3.3.

Presi´ on en canales abiertos

Como fue indicado en la tabla 6.2.1, la presi´ on constituye la variable independiente o conocida del an´ alisis de flujo en canales abiertos.


220

Propiedades de Seccion Transversal Seccion Circular Diametro= 1. 1 A: area P: perimetro T:ancho eje hidraulico

0.9 0.8 0.7 0.6

a r u0.5 t l A 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Magnitud de propiedad

Figura 7.3.3: Propiedades de una sección transversal circular

7.3. CARACTER ´ ISTICAS DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS

221

Para un fluido incompresible, en r´ egimen permanente, podemos modelar su cambio de momentum seg´ un la ecuación de Euler (recordar cap´ıtulo 4, sección 4.2.2). g

∂ z 1 ∂ P V 2 + = ∂ n ρ ∂ n R

(7.3.2)

Donde z corresponde a la coordenada vertical, n a la coordenada normal a la l´ınea de corriente de flujo, P es la presión, V la velocidad yR es el radio de curvatura del segmento de curva. La figura 7.3.4 muestra el esquema de coordenadas naturales. s

direcci´ on del flujo

n

direcci´ on normal

ˆ

ˆ

n

s

ˆ

ˆ

Figura 7.3.4: Esquema de coordenadas naturales

Podr´ıamos aplicar la ecuación (7.3.2) para 3 casos que serán de interés en el diseño en Ingenier´ıa Hidráulica. 7.3.3.1.

Flujo horizontal

La figura 7.3.5 muestra un flujo totalmente horizontal. Bajo estas condiciones, por definición el radio de curvatura tiende a infinito 1 , en otras palabras: R

→ ∞,

V 2 R

→0

ˆ Como muestra la figura 7.3.5, la dirección normal n ˆ coincide con la dirección vertical k. ˆ = n ˆ k P atm x V = (u , v , w) = (u, 0, 0) ~

Figura 7.3.5: Flujo horizontal 1

Revisar el cap´ıtulo de curvas en cualquier libro de Cálculo Diferencial

(7.3.3)


222

Bajo estas condiciones, podemos reescribir la ecuación (7.3.2), de la siguiente manera:

g

∂ z 1 ∂ P V 2 + = ∂ n ρ ∂ n R ∂ z =1 debido a que n ˆ = ˆk ∂ n

V 2 R

→0

debido a que R

(7.3.4)

(7.3.5)

→∞

(7.3.6)

Uniendo estas igualdades,

∂ P = ∂ z

−ρg

Ley Hidrost´ atica

(7.3.7)

Esto quiere decir que la presión podemos calcularla según la Ley Hidrostática. 7.3.3.2.

Flujo inclinado

Supongamos que tenemos un flujo inclinado como indica la figura ??. Usando el mismo raciocinio que para un flujo horizontal, tenemos que: ∂ z = cos θ ∂ n

(7.3.8)

Por lo que la presión podemos calcularla como:

∂ P = ∂ z

−ρg cos θ

(7.3.9)

Ahora, si tenemos pendientes muy suaves, es decir, para ángulos θ < 3◦ , entonces podemos decir que cos θ 1 y rescatamos la ecuación de flujo horizontal.

≈

∂ P = ∂ z

7.3.3.3.

−ρg

(7.3.10)

Flujo con curvatura

Supongamos ahora que tenemos un flujo con curvatura vertical (es decir, el agua cae por una curva), en este caso, R ya no tiende a , por lo que la presión NO puede considerarse hidrostática. La figura 7.3.6 muestra un flujo en curvatura como los que se dan en los vertederos de descarga.

∞

´ DE LA ENERG´ 7.4. CONSERVACI ON IA

223

v

~

R

Figura 7.3.6: Flujos con curvatura vertical.

en zonas con curvatura P = γ h

6

2

P = γ h

7.4.

− vR ρh

Conservaci´ on de la energ´ıa

La energ´ıa es un tema crucial en el diseño de canales, ya que muchos criterios están basados en la ley de conservación. Sin embargo, hay varios supuestos que incluir y varias situaciones que al no ser consideradas, simplifican el an´ alisis (aunque se pierde exactitud). Usando los supuestos de: Régimen permanente. Fluido incompresible. Proceso Adiab´ atico e Isotérmico. Uso de valores promedio. La conservación de Energ´ıa (primera ley de Termodinámica) puede reducirse a la ecuación de Bernoulli: z1 +

P 1 γ

+ α 1

˙e U 12 P 2 U 2 W = z 2 + + α2 2 + Λfriccion + Λsingularidad ± γ γ Q 2g 2g

(7.4.1)

˙ e es una turbina y cuando es una bomba. Los s´ımbolos Λ corresponden Donde se usa el signo + cuando W a pérdidas por fricción y singularidades respectivamente. ˙ e = 0. Si no hay ni bomba ni turbina, W

−

7.4.1.

Energ´ıa espec´ıfica

Este concepto nace de lo práctico que ser´ıa si pudiésemos “olvidarnos” de la altura de referencia z y s´ olo considerar el flujo de agua. Recordemos la figura 6.2.1, donde ten´ıamos un perfil cualquiera de agua, en un fondo cualquiera.


224

Superficie Libre Volumen de Control ∀

c

V 12 2g

V 22 2g

(1) Q

(2)

h1

h2

z1

z2

Referencia z = 0

Figura 7.4.1: Conservación de la masa y energ´ıa en canales abiertos

Si tomamos el caso de presiones hidrostáticas y hacemos el balance de energ´ıa con respecto al fondo, obtenemos el término Energ´ıa Espec´ıfica, denotado por la letra H (ecuación (7.4.2)).

H =

Si aproximamos α

P γ

+ α

U 2 2g

Ley Hidrost´ atica

=

→

H =

γ h U 2 + α γ 2g

→

H = h + α

U 2 2g

(7.4.2)

≈ 1, entonces: U 2 H = h + 2g

(7.4.3)

Q Q = = f (h) A A(h) Si hacemos un breve análisis de la expresión de Energ´ıa Espec´ıfica y nos preguntamos dos cosas: Donde la velocidad U la definimos a trav´ es del caudal, U =

¿Qué pasa cuando h

→ ∞?

¿Qué pasa cuando h

→ 0? Q2 H = h + [A(h)]2 2g

Veamos:

(7.4.4)


225

l´ım h +

h→∞

Q2 [A(h)]2 2g h

→∞ Q2 → 0 [A(h)]2 2g ∴

l´ım h + h→∞

Ahora si h

Q2 = [A(h)]2 2g

∞

(7.4.5)

∞

(7.4.6)

→0 l´ım h +

h→0

Q2 [A(h)]2 2g h

→0 Q2 → ∞ [A(h)]2 2g ∴

Q2 l´ım h + = h→0 [A(h)]2 2g

Por el teorema del valor medio (o teorema de Rolle), es posible demostrar que esta función H tiene un valor m´ınimo dentro de su dominio. Por lo que la pregunta que cae de cajón es ¿cu´ al es ese m´ınimo y qué representa? (si es que representa algo).

7.4.2.

Diagrama de energ´ ıa esp ec´ıfica

Para un gasto constante dado Q, el m´ınimo valor de H representa el valor m´ınimo de energ´ıa bajo el cual este gasto Q no puede escurrir. En la figura 7.4.2 se muestra un esquema de la gráfica de h vs. H , donde el par (H ∗ , h∗ ) cumple:

H (h∗ ) = m´ın H = H c

(7.4.7)

A partir de la gráfica, obtenemos algunas definiciones y conclusiones: (a) El valor m´ın H se denomina Energ´ıa Cr´ıtica y el valor h ∗ que satisface este valor se denomina Altura Cr´ıtica y denotamos la variable con h c . H (hc ) = m´ın H = H c

Altura y energ´ıa cr´ıtica

(7.4.8)

(b) Nuevamente, el teorema de Rolle nos asegura la existencia de dos valores de h tal que H (h1 ) = H (h2 ) para un mismo valor de H . La figura 7.4.3 muestra esta situación.


226

h

h∗

H

min H Figura 7.4.2: Diagrama de h vs H

h

h1

H (h1 )

h

∗

H (h2 )

h2

H

min H

Figura 7.4.3: Existencia de 2 valores de h para una misma H


227

(c) El valor de altura cr´ıtica hc divide la gráfica en dos zonas, la zona inferior donde h < hc llamada zona de flujo Supercr´ıtico o Torrente y la zona superior donde h > h c llamada zona de flujo Subcr´ıtico o R´ıo. Ambas zonas se pueden apreciar en la figura 7.4.4. h H (h1 )

Zona de Zona de

h1

h > hc h < hc

Subcr´ıtico hc

Supercr´ıtico h2 H (h2 )

H

min H = H c

Figura 7.4.4: Zona de flujo supercr´ıtico y subcr´ıtico

(d) En presencia de flujo Subcr´ıtico o de R´ıo, la energ´ıa espec´ıfica H es mayor que la energ´ıa espec´ıfica cr´ıtica H > H c . Estos flujos suelen caracterizarse por ser de baja velocidad y altura de agua considerable. (e) En presencia de flujo Sup ercr´ıtico o de Torrente, la energ´ıa espec´ıfica H es mayor que la energ´ıa espec´ıfica cr´ıtica H > H c . Estos flujos suelen caracterizarse por ser de alta velocidad y alturas de agua peque˜ nas. (f) Para el caso en que H = H c , existe una u ´ nica altura de agua, la altura cr´ıtica h c . (g) Para el caso de H < H c , no puede darse el flujo. (h) ¿Cómo leer el gráfico para una altura dada? ¿Cómo determinar la velocidad del flujo dada una altura? COMPLETAR

7.4.3.

Energ´ıa total y energ´ıa espec´ıfica

Recordemos que para definir la energ´ıa espec´ıfica, nos “olvidamos” de la energ´ıa potencial z . Esta vez la recuperaremos:


228

U 2 γ 2g U 2 =z + h + 2g

E =z +

P

+

=z + H

(7.4.9)

(7.4.10)

(7.4.11)

La definici´ on de energ´ıa espec´ıfica, nos deja la conclusión de que la energ´ıa total E es la suma entre la cota del fondo z o energ´ıa potencial, y la energ´ıa espec´ıfica H . Ejemplo 7.2. Cambio de altura de agua en r´ egimen subcr´ıtico (r´ıo) mediante cambio de cota z La figura ?? muestra un canal donde la cota de fondo ( z) disminuye. Si la altura de agua aguas arriba h1 es conocida, ¿cómo var´ıa la altura de agua aguas abajo? Utilice el diagrama de h vs. H para encontrar la respuesta. Soluci´ on: Utilizando la conservaci´ on de la energ´ıa (Bernoulli):

E 1 =E 2 z1 + h1 +

U 12 U 2 =z2 + h2 + 2 2g 2g

z1 + H 1 =z2 + H 2 Si despejamos H 2

− H 1 = ∆H , obtenemos: z1

− z2 =H 2 − H 1 =∆H

Como z 1 > z2 , entonces ∆H > 0, por lo que la energ´ıa espec´ıfica aumenta. Si usamos el diagrama h vs. H , al ubicarnos en la zona de régimen subcr´ıtico (figura 7.4.5), nos movemos en la l´ınea a b, lo que indica que la altura de agua h aumenta, es decir

−

h2 > h1

(7.4.12)

Y por conservación de la masa, si el ancho es constante. U 22 U 2 < 1 2g 2g

∴

U 2 < U 1

(7.4.13)

Ejemplo 7.3. Cambio de altura de agua en r´ egimen supercr´ıtico (torrente) mediante variaci´ on de cota z Supongamos la misma variación de cota de fondo, pero esta vez estamos en régimen supercr´ıtico. Al hacer el balance de energ´ıa total llegamos a la misma conclusi´ on ∆H > 0. Usando el diagrama de h vs. H , al

7.5. ESCURRIMIENTO CR ´ ITICO

229

h h2

b

h1

Zona de Zona de

h > hc h < hc

a

Subcr´ıtico

H (h1 )

H (h2 )

H

min H = H c

Figura 7.4.5: Uso de diagrama h vs. H para encontrar altura aguas abajo

ubicarnos en la zona de flujo supercr´ıtico (figura 7.4.6), nos movemos en la l´ınea c altura de agua h disminuye, es decir h2 < h1

− d, lo que indica que la

(7.4.14)

Y por conservación de la masa, si el ancho es constante, U 12 U 2 < 2 2g 2g

∴

U 1 < U 2

(7.4.15)

Como vimos en los ejemplos, a pesar de que el cambio es el mismo (cambio de fondo), dependiendo del tipo de flujo, la altura de agua aumentará o disminuirá, con el consiguiente cambio de velocidad.

7.5.

Escurrimiento cr´ıtico

Hemos hablado del diagrama de energ´ıa espec´ıfica H versus altura h, donde el m´ınimo de energ´ıa espec´ıfica H c se da con el único valor de altura, la altura cr´ıtica h c . Pero... ¿cómo se calcula? Usemos la matemática a nuestro favor: Teniendo la energ´ıa espec´ıfica para un gasto Q 0 constante,

H = h + α

Q20 [A(h)]2 2g

Para encontrar el m´ınimo de H , podemos derivar la función H con respecto a h e igualar a 0.


230 h

Zona de Zona de

h > hc h < hc

Supercr´ıtico h1

d

h2

c H (h1 )

H (h2 )

H

min H = H c

Figura 7.4.6: Uso de diagrama h vs. H para encontrar altura aguas abajo

dH =0 dh

2

0= 1

→

2

αQ0 dA Q0 dα − g[A(h)] + 3 dh 2 [A(h)] 2g dh

Se establece entonces una igualdad muy particular: αQ20

2

dA g[A(h)]3 dh

Q0 dα − [A(h)] =1 2 2g dh Fr

2

=1

(7.5.1) (7.5.2)

Flujo cr´ıtico para velocidad no uniforme (α = 1) y geometr´ıa cualquiera A = A(h).

6

s

dA Q20 dα se denomina n´ umero de Froude ( Fr) y toma en cuenta 3 2 g[A(h)] dh [A(h)] 2g dh dA dα las variaciones de geometr´ıa y la no uniformidad de flujo en la sección transversal . dh dh El término F r =

αQ20

−

dA Q20 dα Fr = 3 2 g[A(h)] dh [A(h)] 2g dh (variaciones de geometr´ıa) (variaci´ on de flujo en la sección transversal) 2

αQ20

−

Un caso particular es cuando el flujo se considera uniforme, por lo que el coeficiente de Coriolis α es constante (i.e: no var´ıa en la sección transversal), por lo que se puede considerar que:


231

Flujo uniforme en la sección transversal Fr|α=cte =

Flujo cr´ıtico

s

→ Fr 2 |

→ ddhα = 0

(7.5.3)

αQ20

dA g[A(h)]3 dh

α=cte =

1

αQ20

→

g[A(h)]3

(7.5.4)

dA =1 dh

(7.5.5)

Condici´ on de flujo cr´ıtico para α = cte y ´ area cualquiera A = A(h)

Las ecuaciones (7.5.1) y (7.5.5) son las condiciones de escurrimiento cr´ıtico más general que podemos encontrar. Son un poco largas y dif´ıciles de memorizar, por lo que el consejo es más bien saber c´ omo minimizar la energ´ıa espec´ıfica a través de la derivación, regla del producto y regla de la cadena. Analicemos un ejemplo simple, el caso particular de un canal rectangular, donde también α = 1. De la ecuaci´ on (7.5.5), reemplazamos α = 1 y obtenemos: Q20 1 dA =1 g [A(h)]3 dh Pero en un canal rectangular, A = bh, donde b es el ancho transversal, por lo que

dA = b, reemplazando: dh

Q20 1 dA =1 3 g [A(h)] dh Q20 1 (b) =1 g [bh]3 Q20 1 =1 g b2 h3 De lo u ´ ltimo podemos despejar h y la denotaremos h c , altura cr´ıtica.

hc =

s   3

Q0 b

2

g

(7.5.6)

Altura cr´ıtica en un canal rectangular, α = 1

De observar la ecuación (7.5.6) concluimos lo siguiente: (a) Cada caudal Q define una única altura cr´ıtica h c . (b) Si aumenta el caudal, aumenta la altura cr´ıtica. Comentario: Vale mencionar que el caso del canal rectangular es uno de los pocos casos en que podemos despejar directamente h. Para los casos generales (ecuación (7.5.1) o (7.5.5)), la complejidad de la sección (y


232

por ende de A(h)) o de la distribución de velocidad, hará necesario el uso de técnicas avanzadas de resolución de ecuaciones no lineales.

7.5.1.

Energ´ıa espec´ıfica para Q variable

Los diagramas y cálculos hechos en las secciones anteriores, fueron en base al supuesto de que el caudal Q es constante, sin embargo, ¿qué pasa cuando Q var´ıa? Digamos que tenemos tres caudales Q A , Q 0 y Q B , donde se cumple:

QA < Q0 < QB Si el caudal disminuye, en base a las conclusiones de la sección anterior, la altura cr´ıtica disminuye y se genera una nueva curva de h vs. H . Para distintos Q se tienen curvas de nivel de h vs. H . La figura 7.5.1 muestra esta situación. h

QB > Q0 Direcci´ on de aumento de h

Q = Q0 QA < Q0 H

Figura 7.5.1: Curvas de nivel h vs. H

Si el caudal aumenta, también lo hará la altura cr´ıtica h c , por lo que se cumplirá que:

hcA < hc0 < hcB

7.5.2.

Energ´ıa espec´ıfica para A variable

Ahora cambiemos la situación, si nos encontramos con un gasto constante Q 0 en un canal rectangular de ancho b = b 0 , entonces su altura cr´ıtica será acorde a la ecuación (7.5.7), hc0 =

s   3

Q0 b0

2

g

(7.5.7)

Aqu´ı hemos reemplazado b por b 0 . Ahora, mantengamos el caudal fijo Q 0 , pero cambiemos el ancho por b A < b0 o por b B > b0 , como podr´ıa ocurrir en un canal donde el caudal transportado es el mismo pero se angosta o ensancha por motivos de restricci´ on de espacio o funcionales.


233

Entonces se definen dos alturas cr´ıticas nuevas:

hcA = hcB =

s   s   3

3

Q0 bA

2

Q0 bB

2

g

(7.5.8)

g

(7.5.9)

Las cuales siguen la relación inversa con respecto a la altura cr´ıtica:

bA < b0 < bB

(7.5.10)

hcB < h c0 < hcA

(7.5.11)

Gr´ aficamente se observa en la figura 7.5.2. h

Direcci´ on de aumento de b

b = b0

bA < b0

bB > b0 H

Figura 7.5.2: Curvas de nivel h vs. H , al variar b

Ejemplo 7.4. Cambio de altura de agua en régimen subcr´ıtico (r´ıo) mediante cambio de ancho Imaginemos que tenemos un canal rectangular como el de la figura ??, donde la cota de fondo z se mantiene constante. Queremos analizar el cambio de altura de agua si es que el r´ıo se angosta. El flujo pasa por 3 secciones de control, S 1 , S 2 y S 3 , donde la relación entre sus anchos b es b 1 > b2 > b3 . ¿C´ omo se relacionan h 1 , h2 y h 3 ? Utilizando conservaci´ on de la energ´ıa (despreciando roce), se tiene que:

z1 +

P 1 γ

+

Q2 P 2 Q2 P 3 Q2 = z + + = z + + 2 3 γ γ A21 2g A22 2g A23 2g z1 + H 1 = z2 + H 2 = z 3 + H 3

Como las cotas de fondo son iguales, z1 = z2 = z3 , entonces las energ´ıas espec´ıficas son iguales, H 1 = H 2 = H 3 . Acudimos al diagrama de h vs. H (figura 7.5.3) para ancho variable y nos movemos bajando por la l´ınea de H constante.


234 h h1 h2 h3

b3

Direcci´ on de disminuci´ on de b

b2 b1

H H 1 = H 2 = H 3


Del an´ alisis gr´ afico, concluimos que h1 > h2 > h3

(7.5.12)

Es decir, en régimen subcr´ıtico, un angostamiento disminuye la altura de agua Ejemplo 7.5. Cambio de altura de agua en r´ egimen supercr´ıtico (torrente) mediante cambio de ancho Ahora si nos encontramos en régimen supercr´ıtico, estamos en la parte ba ja del gráfico de h vs. H , por lo que el mismo cambio de ancho b1 > b2 > b3 , produce un aumento de la altura de agua, como muestra la figura 7.5.4 h

b3 b2 h3 h2 h1

b1


H H 1 = H 2 = H 3


Concluimos que: h1 < h2 < h3

Es decir, en régimen supercr´ıtico, bajo angostamiento, la altura de agua aumenta.

(7.5.13)


7.5.3.

235

Control de energ´ıa espec´ ıfica

Acabamos de ver que es posible cambiarse de curva de energ´ıa espec´ıfica a través de un angostamiento o un cambio del caudal. Supongamos que el caudal es constante, por lo tanto, solo podemos cambiarnos de curva al angostar o ensanchar el canal. Recordemos que un cambio de cota z permite movernos dentro de una misma curva, pero no cambiar de curva. La pregunta es ¿qué se requiere para poder cambiar arbitrariamente a cualquier curva? Veamos la figura ??, donde hay un angostamiento de b 1 a b 2 , donde b 1 < b2 . Si la altura en la sección h 1 es conocida, nos ubicamos dentro del diagrama h vs. H (figura 7.5.5) h h1 b2

b1


H H 1 = H 2

Figura 7.5.5: Energ´ıa requerida para cambiarse de curva h vs. H , al variar b

Existe un ancho b2 es tal que no permite matemáticamente el cambio de curva de nivel mediante H constante, por lo que se requerirá un aumento de energ´ıa espec´ıfica mediante alguna forma. El incremento ∆ H debe ser al menos para poder llegar a la energ´ıa espec´ıfica m´ınima H c2 y hacer factible el cambio de curva de nivel. Este incremento se ve en la figura 7.5.6. h h1 b2

H c2 = H 1 + ∆H

b1


H

∆H

Figura 7.5.6: Energ´ıa requerida para cambiarse de curva h vs. H , al variar b

Como vimos anteriormente, este cambio de H sólo es posible mediante un cambio de cota de fondo z (por conservación de energ´ıa).


236

Es por este motivo que las gradas de subida o bajada, elementos que cambian la cota de fondo, son llamadas secciones de control, porque permiten el controlar la energ´ıa espec´ıfica de un flujo. Ejemplo 7.6. Cambio de altura usando cambio de cota para r´ egimen subcr´ıtico y supercr´ıtico La figura 7.5.7 muestra como una cambio de cota permite controlar la altura de agua en un r´ıo o torrente. La sección 1 aguas abajo está a nivel 0 con respecto a la sección 2, la cual se encuentra a ∆z por encima. Usando el diagrama h vs. H (figura 7.5.7) es posible ver que mientras ∆z aumenta, las alturas de aguas tanto de r´ıo (subcr´ıtico) como torrente (supercr´ıtico) se van acercando a la altura cr´ıtica. Esto implica la existencia de una diferencia de cota máxima ∆zc la cual provoca que el flujo cambie su altura a la altura cr´ıtica. F´ısicamente es imposible establecer flujo imponiendo una diferencia mayor a ∆zc . La figura 7.5.8 muestra la imposición de altura cr´ıtica. h h1r

(1)

h2r

hc h2t

(1)

h1t H c

H

∆z ∆zc

Figura 7.5.7: Control de altura de agua a trav´ es de cambio de cota z

Sub cr´ıtico

h1r

h1t

hc

Supercr´ıtico

∆zc

Figura 7.5.8: Control de altura de agua a trav´ es de cambio de cota z

Luego de llegar a la altura cr´ıtica, la u ´ nica posibilidad es disminuir la cota z, lo que implicar´ıa un aumento de energ´ıa espec´ıfica. Una vez en altura cr´ıtica, es posible volver a régimen subcr´ıtico o supercr´ıtico respectivamente, o incluso pasar de un r´ egimen a otro. Las posibilidades de cambio de régimen que conservan la energ´ıa son: De r´ıo a torrente (subcr´ıtico a supercr´ıtico).


237

De r´ıo a r´ıo (subcr´ıtico a subcr´ıtico). De torrente a torrente (supercr´ıtico a supercr´ıtico). Es posible pasar de torrente a r´ıo (supercr´ıtico a subcr´ıtico), pero implica una pérdida de energ´ıa a través de un resalto hidráulico. Ahora la pregunta es ¿cómo logramos estos cambios de régimen? Las propiedades del flujo se pueden modificar mediante ´ ordenes que se transmiten como ondas. Instrumentos como compuertas, gradas, vertederos, ensanches, transiciones de secci´ on, etc, permiten modificar el flujo seg´ un el propósito que se desee. En la sección de cantidad de movimiento (sección 7.7) veremos en detalle el diseño de estas estructuras. En la figura ?? se muestra una compuerta que se interpone en el flujo (la compuerta se cierra en t > 0). Por conservación de masa, a medida que se cierra la compuerta, el flujo saliente se acelera y a la vez, parte del flujo entrante se acumula justo en la pared y comienza a peraltar (elevar) el perfil de superficie libre. Cuando la compuerta se cierra totalmente, el peralte de flujo se transmite aguas arriba (hacia atrás) a velocidad c v.

−

7.5.4.

Transmisi´ on de ondas en cauces abiertos

En el ejemplo anterior vimos que podemos modificar el flujo a trav´ es de “órdenes”, que se transmiten como ondas aguas arriba o aguas abajo del flujo. En esta sección veremos de qué se compone una onda y c´ omo analizar su movimiento. En la figura 7.5.9 se muestra una onda elemental. Las ondas son perturbaciones que transmiten energ´ıa de un lugar a otro a trav´ es de un medio, en este caso, el cauce. Una onda se considera positiva si va de aguas arriba hacia aguas abajo y negativa si va de aguas abajo hacia aguas arriba. c

∆h

Positiva si sube

Negativa si baja

h

Figura 7.5.9: Onda elemental

Dependiendo del tipo de onda, su energ´ıa ser´ a comparable con la energ´ıa que transporta el flujo. Por ejemplo, una piedra que impacta en el océano, la energ´ıa que transmite es muy poca (aunque de todas maneras ver´ıamos los anillos concéntricos de energ´ıa esparcirse), mientras que un meteorito chocando contra el océano transmite una cantidad de energ´ıa gigantesca, generando los tsunamis que tanto daño causan en las ciudades costeras. La figura 7.5.10 muestra un frente de onda, el cual se caracteriza porque su altura es comparable a la energ´ıa del flujo.


238

C

C

h

Figura 7.5.10: Frente de ondas. En este caso la altura de la onda es comparable al flujo.

7.5.4.1.

Velocidad de la onda

La onda se mueve a velocidad c, la cual es llamada celeridad. Esta velocidad es relativa al medio, es decir, respecto al cauce. A trav´ es del análisis dimensional podemos calcular la velocidad de una onda elemental. Supongamos que tenemos una onda que se transmite desde aguas arriba hacia aguas abajo como muestra la figura 7.5.11. Por ahora no nos concentraremos en cómo se produce, enfoquémonos en hacer el análisis de lo que ya tenemos. c+v ∆h v

h + ∆h h

v + ∆v

Figura 7.5.11: Desplazamiento de onda en flujo

Como la onda se mueve con velocidad c (que a´ un no hemos determinado, pero le damos valor algebraico c), esta velocidad es relativa al medio, o sea, un observador externo, en una posición fija, ve que la onda se mueve con velocidad v + c, siendo v la velocidad del flujo. Esta onda representa una alteración de ∆h positiva que se mueve hacia la derecha. Haciendo un análisis diferencial de la situaci´ on, tomamos un volumen de control como muestra la figura 7.5.11. La altura de agua a la izquierda, como muestra la figura 7.5.11 es h + ∆h y la velocidad diremos que es v + ∆v, mientras que a la derecha la altura es h y la velocidad v . Suponiendo régimen permanente, es posible cambiar el marco de referencia para tener un punto fijo dentro del cauce. Si pudiéramos sentarnos arriba de la onda, como aparece en la figura 7.5.12 y tuviéramos la facultad de frenar la onda móvil, necesitar´ıamos aplicar una velocidad c + v hacia la izquierda a todo el volumen de control. De esta manera, la onda queda en velocidad 0, mientras que el borde izquierdo quedar´ıa con velocidad v + ∆v (c + v) y el borde derecho quedar´ıa con velocidad v (c + v).

−

−

v = 0

~

h + ∆h

v v + ∆v

− (c + v )

− (c + v )

h

Figura 7.5.12: Cambio del marco de referencia. Ahora la onda está inmóvil


239

De esta manera, la situación quedar´ıa como indica la figura 7.5.13. Por lo que podemos aplicar continuidad para un ancho uniforme b:

Q1 =Q2 A1 U 1 =A2 U 2 [(b)(h + ∆h)](c ch + c∆h

c

− ∆v) =(bh)(c)

− ∆vh − ∆v∆h =ch

− ∆v c h

Figura 7.5.13: Nueva situación despu´ es de cambiar el marco de referencia. Si consideramos que el término ∆v ∆h es de segundo orden en comparación con los demás, podemos despreciarlo (∆v ∆h 0). De esta manera, quedamos con 4 términos, que podemos reordenar y llegar a:

≈

c = h

∆v

⇔

∆h

∆v =

c ∆h h

(7.5.14)

Como siempre, acompañando a la continuidad, podemos usar la conservación de la energ´ıa. En este caso, si la onda no aporta pérdidas significativas de energ´ıa,

z1 +

P 1 γ

+

U 12 P 2 U 22 =z2 + + γ 2g 2g

z1 = z 2 P 1 γ

= h 1 = h + ∆h P 2 γ

h + ∆h + Reemplazando

∆v =

(c

= h 2 = h

− ∆v)2 =h + c2 2g

2g

c ∆h, h 2g∆h =c2

− c2 + 2c∆v − (∆v)2 2

2g∆h =

− hc 2 (∆h)2 + 2c hc ∆h

Considerando nuevamente que ( ∆h)2 es un término de segundo orden con respecto a los demás términos, podemos despreciarlo. Quedamos entonces con:


240

c2 = 2g h

2

∴

c =

p

gh

Celeridad de la Onda

(7.5.15)

Ejemplo 7.7. Estimaci´ on de velocidad de propagaci´ on de ondas ¿Cu´ an rápido se propagar´ıa una onda en...? (a) Una piscina de h = 1 m. Calculamos c =

p ≈ gh

3, 13 m/s = 11, 3 km/h.

(b) Un lago embalsado, con h = 100 m. Calculamos c =

p ≈ gh

31, 3 m/s = 113 km/h.

(c) Un maremoto en el océano, con h = 5000 m. Calculamos c =

7.5.4.2.

p ≈ gh

221, 47 m/s = 797, 3 km/h.

Ondas en r´ egimen subcr´ıtico (r´ıo)

Los r´ıos se caracterizan por tener altura de agua superior a la cr´ıtica hR > hc y por tener velocidad menor que la velocidad cr´ıtica V R < V C , lo cual en n´ umero de Froude se traduce en que Fr < 1, pero como U Fr = , entonces: gh

√

FrR = ∴

√ V ghR

< 1 R

p

gh R > V R

∴

c R > V R

O sea, la celeridad en régimen subcr´ıtico es mayor a la velocidad del flujo. Por lo tanto, una onda ser´ıa capaz de remontar el flujo. Por lo tanto en régimen subcr´ıtico (r´ıo), la onda puede viajar aguas arriba o aguas abajo. La figura 7.5.14 muestra una onda remontando el flujo. c

− ∆v

v

Figura 7.5.14: Onda viajando hacia aguas arriba

241

7.6. ELEMENTOS DE CONTROL: TRANSICIONES

7.5.4.3.

Ondas en r´ egimen supercr´ıtico (torrente)

En r´ egimen supercr´ıtico, la altura es menor a la altura cr´ıtica hT < hc y la velocidad es mayor a la velocidad cr´ıtica v T > v c . Esto se traduce en que el número de Froude es mayor a 1, por lo que:

Fr

√ V ghT

>1 >1

T

p

V T > gh T V T >cT

O sea, la celeridad de la onda en r´ egimen supercr´ıtico es menor a la velocidad del flujo, por lo que no podr´ıa remontar el flujo, en otras palabras, la onda sólo viaja hacia aguas abajo. En la figura 7.5.15 se muestra esta situación. c c

+

v

v

Figura 7.5.15: En régimen supercr´ıtico (torrente), la onda sólo puede viajar aguas abajo.

En conclusi´ on, en régimen subcr´ıtico (r´ıo), el comportamiento del flujo depende de las condiciones aguas abajo, ya que la información (en ondas) puede remontar el flujo. Mientras que en r´ egimen supercr´ıtico, el comportamiento del flujo depende de las condiciones aguas arriba, ya que la información (en ondas) no puede remontar el flujo.

7.6.

Elementos de control: transiciones

En las secciones anteriores vimos que el flujo se puede controlar mediante órdenes y además vimos cómo viaja esta información y cómo se puede manifestar dependiendo del tipo de flujo. Recordemos el lema:

“Los r´ıos (subcr´ıtico) dependen de aguas abajo y los torrentes (supercr´ıtico) dependen de aguas arriba”

Ahora, la pregunta es ¿cómo manejamos concretamente el flujo? No es que podamos meternos al agua en un r´ıo y decirle ¡hey tu!, ¡cambia tu altura!. Necesitamos estructuras que sean capaces de resistir la fuerza del flujo y sean de la dimensión suficiente para modificar su comportamiento. Una piedra peque˜ na de 10 cm de diámetro dif´ıcilmente podr´ıa cambiar un r´ıo de 1 metro de altura, sin embargo, una roca de medio metro de diámetro o más, ya ser´ıa capaz de provocar algún cambio.


242

En todo caso, tampoco es que vayamos con un camión de carga con rocas cada momento que queramos cambiar el flujo. Debemos diseñar de antemano el canal para que en el lugar exacto que queremos el flujo cambie su comportamiento. Definimos como Transici´ on un cambio de forma en la sección transversal del canal. Este cambio puede ser de ancho b o de cota de fondo z. Cualquier alteraci´ on inmediatamente nos cambia de posición en el diagrama de H vs h. Recordemos los efectos de un cambio en el ancho b en la sección 7.5.2 los distintos efectos del cambio de área en régimen subcr´ıtico o supercr´ıtico. Las transiciones las podemos clasificar como: (a) Angostamiento: donde A 1 > A2 , luego por continuidad U 1 < U 2 . Los angostamientos pueden ser: De fondo: cambia la cota z . De ancho: cambia el ancho superficial b. Fondo y ancho. (b) Ensanche: donde A 1 < A2 , luego por continuidad U 1 > U 2 . Al igual que los angostamientos, pueden ser: De fondo. De ancho. De fondo y ancho. A su vez, las transiciones pueden ser: Bruscos: las paredes no coinciden con las l´ıneas de corriente. Se producen pérdidas de energ´ıa significaon. tivas y ocurre el fenómeno conocido como separaci´ Paulatinos: las paredes coinciden con las l´ıneas de corriente. Las pérdidas de energ´ıa son despreciables y no se produce separación. Ejemplo 7.8. Separaci´ on producida por transici´ on brusca En la figura 7.6.1 se muestra un canal que presenta un ensanchamiento de fondo. El cambio es tan repentino que se produce separación

Figura 7.6.1: Ensanche brusco de fondo.

Podemos resumir esto en la tabla 7.6.1:

243

7.7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Tabla 7.6.1: Resumen de transiciones

Bruscos Paulatinos

7.7.

Angostamientos Λsingular > 0 Λfriccion = 0 Λsingular = 0 Λfriccion = 0

Ensanches Λsingular >>> 0 Λfriccion = 0 Λsingular = 0 Λfriccion > 0

Cantidad de movimiento

Recordemos la ley de conservación de la cantidad de movimiento:

~ D(mV ) = Dt

X X ~ F s +

~ F m

(7.7.1)

~ D(mV ) Donde es el cambio total en el tiempo de la cantidad de movimiento, F s son las fuerzas de Dt superficie y F m las fuerzas másicas. Si juntamos esto con el teorema del transporte de Reynolds para el volumen de control de la figura ??, obtenemos:

X X ~ F s +

∂ ~ F m = ∂ t

Z

~ d + ρV

∀

∀c

Z

~ n ρ ( V ˆ )dA

(7.7.2)

S c

Lo cual, si el régimen es permanente, quedamos finalmente con:

X X ~ F s +

~ ~ 2 F m = ρ Q(V

− V ~ 1)

Un ejemplo clásico es el resalto hidráulico, como el que se muestra en el ejemplo 3.8

(7.7.3)

244


Cap´ıtulo 8

Flujo uniforme y dise˜ no de canales 8.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo, nos concentraremos en el problema de diseñar un canal que sea capaz de conducir un gasto Q entre dos puntos geográficos. Consideraremos que la condición de dise˜ no (i.e: la condición en la que esperamos el canal opere la mayor parte del tiempo) es bajo régimen permanente y además el canal se encuentra en equilibrio, por lo cual el flujo será uniforme. Los elementos de control que podemos determinar son: (a) Sección transversal: puede ser rectangular, trapezoidal, circular, semicircular, herradura, triangular, etc. (b) Pendiente: podemos ajustar la pendiente para que la velocidad no exceda cierto valor l´ımite por ejemplo. (c) Material de fondo y/o revestimiento: para controlar el roce y las pérdidas por fricción. Dadas estas variables de control, lo que queremos encontrar es la velocidad y altura de agua bajo las condiciones establecidas. Si se tiene un cauce o canal con sección constante y pendiente constante, entonces existe un punto en el cual las propiedades ya no cambian en el espacio, espec´ıficamente la altura de agua h. Esta altura especial se denomina altura normal y se denota por h n y cumple con:

∂ h =0 ∂ x

(8.1.1)

En la figura 8.1.1 se muestra un ejemplo de esta situación. Al principio, dada una secci´ on fija, para los primeros metros, el caudal Q escurre y su forma es indeterminada, pero a medida que la distancia aumenta, se adquieren condiciones de equilibrio y se cumple que hay altura normal hn y por consecuente velocidad normal V n Es importante siempre recordar la equivalencia:

245

˜ DE CANALES CAP ´ ITULO 8. FLUJO UNIFORME Y DISE NO

246 Q

Flujo se estabiliza hn V n

Figura 8.1.1: Establecimiento de altura normal.

≡ Flujo normal con hn,

V n

Flujo uniforme

8.2.

Flujo uniforme o normal

¿C´ omo se ve este flujo normal? ¿Qué caracter´ısticas tiene en cuanto a energ´ıa? En la figura 8.2.1 se muestra un segmento longitudinal de flujo cualquiera. 1 2 1

U 2g

L´ınea de energ´ıa Superficie Libre Cota de fondo

S

e

S : pendiente energ´ıa S : pendiente perfil de agua S 0 : pendiente de fondo e

2 2

1 h1

Q

S

U 2g

w

w

Flujo 1

h2 S 0

z1

Fondo z2

z = 0 L

Figura 8.2.1: Secci´ on longitudinal de flujo

Bajo condiciones generales, las pendientes de fondo ( S 0 ), de superficie libre (S w ) y de energ´ıa (S e ) son

247

8.2. FLUJO UNIFORME O NORMAL

distintas, es decir:

S 0 = S w = S e

6

6

(8.2.1)

Por energ´ıa tenemos que:

z1 + h1 +

U 12 U 2 = z 2 + h2 + 2 + Λ12 2g 2g

(8.2.2)

Donde Λ12 representa la pérdida de energ´ıa entre las secciones de control 1 y 2. Si quisiéramos forzar el r´ egimen uniforme, tendremos que las alturas son iguales y corresponden a la altura normal h n :

h1 = h 2 = h n

(8.2.3)

(8.2.4)

(8.2.5)

Las velocidades también serán iguales, es decir,

U 1 = U 2 = V n De manera que la ecuación (8.2.2) nos queda:

z1 = z 2 + Λ12 Luego dividiendo por el largo L, tenemos:

− ΛL12 = z2 −L z1 ∴

−S e = −S 0 →

(8.2.6)

S e = S 0

(8.2.7)

O sea, para obtener flujo normal, debemos construir el canal de manera que la pendiente de fondo sea igual a la pendiente de pérdida de energ´ıa. Tambi´ en podemos deducir que en condiciones de flujo normal, si h 1 = h 2 , los podemos volver a incluir en la ecuaci´ on (los hab´ıamos cancelado), quedando:

(z1 + h1 )

− (z2 + h2) = Λ12 L

∴

En conclusi´ on, en régimen uniforme se cumple que:

L S w = S e

(8.2.8)

(8.2.9)


248

S 0 = S w = S e

(8.2.10)

Condici´ on de flujo uniforme

Por lo general los ángulos de inclinación de construcción de canales son bajos 1 , por lo que se podr´ıa hacer la t´ıpica aproximación de ángulos peque˜ nos:

S 0

≈ θ ≈ sin θ ≈ tan θ

Pero si queremos ser estrictos, tan θ = S 0 . Ahora que ya sabemos cómo obtener flujo normal (igualar pendientes), la pregunta es ¿cómo sabemos cu´ al es la pendiente de energ´ıa S e ? El problema se traduce entonces en encontrar una expresión para la p´ erdida de energ´ıa en función del gasto Q, el tipo de sección, el material del fondo, etc. En otras palabras, queremos encontrar:

S e = φ (Q, sección, material de fondo, . . . , etc)

8.2.1.

Resistencia del lecho en canales bajo flujo uniforme

Uno de los desaf´ıos más complicados es determinar una expresión anal´ıtica para el esfuerzo de corte que ejercen las paredes del canal. Una opci´ on es utilizar An´ alisis Dimensional (sección 1.4, donde podemos determinar una expresión para el esfuerzo de corte en función de los parámetros que consideremos importantes. En el ejemplo 1.4 se muestra cómo llegar a una expresión para el esfuerzo de corte en función de la velocidad media del flujo. Es posible demostrar (ver ejemplo 1.4) que el esfuerzo de corte τ 0 podemos expresarlo como:

2

τ 0 = ρ U φ



  D

, Re

(8.2.11)

Donde ρ es la masa espec´ıfica, U la velocidad media del flujo,  el espesor de rugosidad (longitud caracter´ıstica del espesor del material), D di´ ametro (o escala de longitud) y Re el n´ umero de Reynolds del flujo. Para canales abiertos (nuestro cap´ıtulo de inter´ es), no tiene sentido hablar de diámetro, por lo que tendremos que buscar otra variable de longitud representativa. Además, sucede que los n´ umeros de Reynolds  en canales abiertos son por lo general grandes (flujo turbulento) y el parámetro principal será (ya nos D ocuparemos de cambiar D). Otra opción es utilizar balance de cantidad de movimiento. Tomemos un volumen de control en régimen uniforme, como muestra la figura 8.2.2. 1

Salvo para objetivos muy espec´ıficos, como lo es un r´ apido de descarga.

249

8.2. FLUJO UNIFORME O NORMAL Volumen Control

L F 1 h1

Q

F ~

τ

h2

F 2 A

W ~

z1

z2 P Vista Perfil Longitudinal

Secci´ on Transversal

Figura 8.2.2: Balance de cantidad de movimiento para volumen de control, flujo uniforme

Si hacemos un balance de cantidad de movimiento en la dirección del flujo tendremos:

F 1

− F 2 − F + W sin θ = ρQ(U 2 − U 1)

(8.2.12)

τ

Donde: h1 F 1 : Fuerza de presión hidrostática, usando la aproximación de ángulos peque˜ nos, F 1 = P 1 A1 = (γ )A1 . 2 h2 F 2 : Fuerza de presión hidrostática, usando la aproximación de ángulos peque˜ nos, F 2 = P 2 A2 = (γ )A2 . 2 F τ : Fuerza de corte producida por el esfuerzo de corte en las paredes. F τ = τ · Aτ , donde A τ es el área de contacto entre el flujo y las paredes. W sin θ : componente del peso en la dirección del flujo. ρ: masa espec´ıfica del fluido.

Q: gasto circulante. U 1 , U 2 : velocidades medias del flujo en las secciones correspondientes. Si estamos en flujo uniforme, entonces:

h1 = h 2 = h n U 1 = U 2 = V n

Por lo tanto

→ P 1 = P 2

y A1 = A 2 ∴

ρ Q(U 2

∴

F 1 = F 2

− U 1) = 0


250

W sin θ = F τ

(8.2.13)

La fuerza peso se equilibra con la fuerza de fricción. Desarrollando un poco má s la u ´ ltima expresión, tenemos que el peso W es W = mg, donde podemos reemplazar la masa como el producto de la masa espec´ıfica por el volumen de control,

W =mg =ρ g

∀ =γ ∀

El volumen a su vez corresponde al producto del área transversal A por el largo L, por lo tanto:

∀

W = γ AL En cuanto al lado derecho, correspondiente a F τ , sabemos que es el producto del esfuerzo de corte por el área de contacto. Tomando la figura 8.2.2 como referencia, entonces el área de contacto es A τ = P · L, donde P ya lo hab´ıamos definido antes como el per´ımetro mojado en la sección 7.3.1.

F τ =τ 0 · Aτ =τ 0 · P L Retomando la igualdad (8.2.13):

W sin θ = F τ

(8.2.14)

γ AL sin θ = τ 0 P L

(8.2.15)

A sin θ = τ 0 P

(8.2.16)

γ

A El término suele llamarse Radio Hidr´ aulico (ya que tiene unidades de longitud [L]) y se denota por P R. En resumen, hemos encontrado una expresión para el esfuerzo de corte:

τ 0 = γ

A sin θ = γ R sin θ P

Para ángulos peque˜ nos, podemos usar la aproximación sin θ

≈ tan θ = S 0, por lo tanto:

(8.2.17)

251


τ 0 = γ RS 0

(8.2.18)

En este momento su cabeza deber´ıa explotar deber´ıamos recordar y decir: ¡un momento!, yo sé que en flujo uniforme se cumple:

Λ12

S 0 = S e = Pero S 0 ya lo tenemos y vale

L

τ 0 , por lo que al reemplazar: γ R Λ12 τ 0 = γ R L

Ahora rescatamos τ 0 del análisis dimensional (ecuación (8.2.11)), para reemplazar τ 0 :

ρU 2 φ



  D γ R

, Re

=

Λ12

L

Ahora aplicamos magia nuevamente nuestra creatividad y vemos que ser´ıa conveniente hacer aparecer la U 2 altura de velocidad , por lo que multiplicamos por 2 y dividimos por 2: 2g ρU 2 φ



    , Re

Λ12 2 = 2 L

(8.2.19)

Λ12 U 2 2φ D , Re = 2g R L

(8.2.20)

D ρgR

·





 

Ac´ a al término 2φ , Re se le llama Factor de fricci´ on para canales abiertos. D Observaci´ on: el factor de fricción para canales abiertos difiere del factor de fricción para tuber´ıas, ya ρU (LA ) que en canales abiertos el número de Reynolds se expresa como Re = , mientras que en conducto µ ρU LC cerrado se expresa como Re = . Las variables LA y LC corresponden a la escala de longitudes de µ canales abiertos y conducto cerrado respectivamente. Si queremos que el factor de fricción f sea el mismo para ambas situaciones, debemos homogeneizar las escalas de longitudes. Es posible demostrar que dicho proceso implica: LC = D = 4LA = 4R

(8.2.21)

Donde acá R es el radio hidr´ aulico (no confundir con radio de la tuber´ıa). Para que no nos rompamos la cabeza entre factores de fricción, dej´ emoslos todos bajo el mismo criterio, por lo que la expresión (8.2.20) podemos reescribirla como:


252

Λ12 f U 2 = = S 0 4R 2g L

(8.2.22)

El problema es que f depende de U , por lo que resolver para encontrar la velocidad (ya que podemos controlar S 0 ) es que al despejar U queda:

U =

r

8g RS 0 = C RS 0 f

p

(8.2.23)

Ecuaci´ on de Chezy

Donde C =

r

8g on de Chezy, en honor a Antoine Chezy, un . La ecuación (8.2.23) se llama Ecuaci´ f

ingeniero francés. Recordemos que f es un número adimensional, el cual depende de las condiciones de flujo y del material del que están hechas las paredes del canal. Por lo que es posible determinar valores de f a través de experimentos. La Ecuaci´ on de Chezy es dimensionalmente homog´ enea, ya que su derivación proviene directamente del análisis dimensional y de leyes f´ısicas fundamentales.

8.2.2.

Ecuaci´ on de Manning

Ser´ıa bastante u ´ til que el valor de C de la ecuación (8.2.23) fuera lo más estable posible, porque en el mundo hay infinidad de r´ıos, todos con distinta composición de terreno, forma, granulometr´ıa, etc. Hacer m´ ultiples de experimentos en un r´ıo, solo para determinar su f es prácticamente inviable, por lo que los ingenieros del siglo XIX dedicaron sus esfuerzos a encontrar la mejor relación entre las variables del flujo y simplificar el cálculo de este coeficiente de fricción. Existen varias ecuaciones para flujo uniforme, propuestas por diversos autores, pero la más conocida y on de Manning (8.2.24), la cual se escribe como: utilizada actualmente es la Ecuaci´

V =

K n 2/3 1/2 R S 0 n

(8.2.24)

Ecuaci´ on de Manning

Donde: V : velocidad en régimen uniforme. También denominada velocidad normal. K n : constante de ajuste de unidades, que toma valor 1 m 1/3 /s en caso de usar Sistema Internacional (SI) y toma valor 1, 49 f t1/3 /s en caso de usar el sistema imperial (Ingl´ es). n: coeficiente de rugosidad de Manning. Este valor es adimensional y depende exclusivamente del tipo de material del lecho del canal. Estos valores están tabulados y se pueden encontrar en libros de dise˜ no de canales.

253


aulico, medido en metros. R: radio hidr´ S 0 : pendiente de fondo, adimensional

m . m



Podemos reescribir la ecuación de Manning en función del gasto, recordando que Q = V A, donde A es el área de la sección transversal.

1 1/2 V = R2/3 S 0 n Q 1 2/3 1/2 = R S 0 A n A 1/2 Q = R2/3 S 0 n 2/3 A A 1/2 Q = S 0 n P



Q =

1 A5/3 1/2 S n P 2/3 0

(8.2.25)

Aqu´ı hemos omitido el valor de K n ya que siempre trabajaremos con Sistema Internacional, por lo que el valor de K n siempre será 1. Observando bien la ecuación (8.2.25), si para una geometr´ıa de canal constante (es decir A, P dados), entonces el caudal transportable Q es inversamente proporcional a la ra´ız cuadrada de la pendiente de fondo S 0 . O sea, si queremos transportar caudales grandes para una geometr´ıa dada, hay que usar pendientes bajas. 8.2.2.1.

Coeficiente de rugosidad n

Este coeficiente n de Manning, representa la resistencia promedio de un lecho al flujo. Recordemos que est´ a calculado en base a experimentos emp´ıricos, por lo que dependiendo de la fuente podemos encontrar rangos aceptables de coeficientes n, que por lo general tienen un m´ınimo, un medio y un máximo. La tabla 8.2.1 muestra algunos coeficientes n generales2 3 Ahora la pregunta es ¿qué experimentos y cómo se determinaron estas fórmulas? No detallaremos para no aburrirlos por ahora4 c´ omo se puede calcular este coeficiente, sin embargo nombraremos algunas fórmulas basadas en la granulometr´ıa del lecho. Revisar si es de retención o pasada 1/6

d Meyer-Peter y Müller: n = 40 . Donde d 40 es el diámetro de 40 % de retención en metros (m). 26 1/6

d Strickler: n = 35 . Donde d 35 es el diámetro de 35 % de retenci´ on en metros (m). 26 2

Hay que tener cuidado a la hora de interpretar el n , ya que depende del autor que lo haya puesto. Un hormigón producido en Chile es distinto a un hormig´ on producido en Estados Unidos o China, ya sea por el origen de la arena, piedras, cemento y composici´ on qu´ımica del agua usada en la mezcla, etc. 3 ´ ˜ Usar la tabla 8.2.1 S OLO COMO REFERENCIA, NO USAR PARA DISE NO. 4 Si usted es porfiado curioso y quiere saber ¡ahora ya!, vaya a la parte de Análisis y Dise˜ no Hidr´ aulico, parte III de este libro.


254

Tabla 8.2.1: Coeficientes n de Manning para diversas superficies Material Pared muy lisa (ej: vidrio) Hormig´ on Alba˜ n iler´ıa, ladrillo Excavado en tierra Cauces Naturales Excavación en roca Planicies de inundación

n 0, 010 0, 012 0, 020 0, 024 0, 040 0, 050 0, 100

1/6

d Einstein: n = 65 . Donde d 65 es el diámetro de 65 % de retenci´ on en metros (m). 24 8.2.2.2.

Factores que afectan n

Como podrán imaginar, si el canal es perfecto (homog´ eneo en material, sin falla alguna, etc) el valor de n será invariante y no habrá necesidad de alterarlo. Sin embargo, la mayor´ıa de los canales no son as´ı, especialmente cuando hablamos de cauces naturales (sin intervención humana). Recordemos que los valores de n se obtuvieron en experimentos con condiciones controladas, por lo que en la naturaleza tendremos que adaptarnos a su variabilidad. Una forma de aproximarse a la naturaleza es utilizar un coeficiente n corregido, como el de la ecuación (8.2.26):

ncorregido = (nb + n1 + n2 + n3 + n4 ) · m

(8.2.26)

Donde: nb : coeficiente base, representativo de un canal recto en flujo uniforme. n1 : corrección por irregularidades en la superficie. n2 : corrección por variaciones en la sección transversal. n3 : corrección por presencia de obstrucciones. n4 : corrección por presencia de vegetación y condiciones del flujo. m: factor de corrección por presencia de meandros 5 8.2.2.3.

Coeficiente de rugosidad para canales compuestos

Hay situaciones en las cuales el lecho no es de solamente un material, sino que de varios, como muestra la figura 8.2.3. En dicha figura tenemos el fondo que es de concreto y la parte superior de las paredes laterales son de tierra (a veces se hace esto para ahorrar material de revestimiento). ¿Qué hacer en estos casos? 5

Meandros: curvas en un cauce

´ 8.3. C ALCULO DE ALTURA NORMAL

255

Tierra

Concreto

Secci´ on Transversal Canal Compuesto Figura 8.2.3: Canal compuesto

La respuesta no es u ´ nica, hay distintos criterios para diseñar el canal y calcular el coeficiente n de rugosidad. Sin embargo, lo comúnmente aceptado es usar un coeficiente n compuesto o mixto, denotado por n c . A continuación presentaremos dos enfoques distintos para calcular este n c . (a) Método de Horton: basado en que las velocidades que pasan por cada per´ımetro mojado P i son iguales entre s´ı, y a la vez iguales a la velocidad promedio que fluye p or el área total A. En base a la figura 8.2.4, el n compuesto o mixto se calcula según (8.2.27). 2/3

N

nc =

X  

3/2

P i · ni

i=1

P

  

(8.2.27)

(b) Método de Lotter: asume que el caudal total se puede expresar como la suma de los caudales que pasan por cada subvención i. Esto no significa que todos los caudales sean iguales, pero obviamente por conservación de la masa, la suma de los caudales individuales debe dar el caudal total Q. En base a la figura 8.2.4, el n compuesto se calcula según (8.2.28).

nc =

P R5/3 N

X i=1

8.3.

5/3

(8.2.28)

P i Ri ni

C´ alculo de altura normal

Ya que sabemos cómo modelar el flujo normal, ahora la pregunta es ¿qué altura alcanza un flujo para un gasto Q y una pendiente S 0 dados? Si queremos transportar un gasto Q∗ en un canal rectangular de hormigón n = 0, 012 de ancho b∗ , ¿qué altura alcanzar´ıa el flujo? ¿a qué velocidad se mover´ıa este flujo?


256

n1

A1

n3

A3 P 3

P 1

X

A2

N

A

=

N

P

Ai

=

P 2 n2

i=1

X

P i

i=1

Figura 8.2.4: C´ alculo de n c , canal compuesto.

h

n

h

n

Q

∗

S 0

b

∗

Perfil Longitudinal

Secci´ on Transversal

Figura 8.3.1: Cálculo de h n para canal rectangular


257

En la figura 8.3.1 se muestra la situación. Para resolver, usaremos la ecuación de Manning en función del caudal (ecuación (8.2.25)):

Q =

1 A5/3 1/2 S n P 2/3 0

Siguiendo la figura 8.3.1, el a´rea transversal A es:

A = b ∗ · hn Luego, el per´ımetro mojado P es:

P = b ∗ + 2 · hn Reemplazando en la ecuación de Manning tenemos:

Q∗ =

1 (b∗ · hn )5/3 1/2 S 0 ∗ 2/3 n (b + 2 · hn )

(8.3.1)

Lo cual da como resultado una ecuaci´ on no lineal para h n , es decir, no podemos despejar h n de la forma usual (expl´ıcita), sino que tenemos una función impl´ıcita para h n de la forma:

∗

Φ(hn ) =

0

⇔

Q

5/3

− n1 (b(b+ ·2h·nh) )2/3 S 01/2 = 0 ∗

(8.3.2)

n

¿Qué hacemos ahora?

Claramente no desesperarse, si nuestra formaci´ o n de cálculo diferencial fue completa, probablemente habremos o´ıdo de métodos de resolución de ecuaciones no lineales. En caso contrario, no hay que preocuparse, pues este libro nos dejará preparados de todas maneras. A continuaci´ on presentaremos dos m´ etodos de resoluci´ on.


258

8.3.1.

M´ etodo de bisecci´ on

Este método es llamado iterativo, porque requiere de repeticiones para llegar al resultado. No demostraremos la convergencia ni iremos muy profundamente dentro de los fundamentos de este método, sino que describiremos los aspectos generales del algoritmo y daremos un par de ejemplos. Ejemplo 8.1. Intuici´ on del algoritmo de Bisecci´ on Calcule el valor de x en la ecuación

√ x + x2 − 3 − √ 1

x

=0

Pareciera ser que no podemos despejar x ni utilizar los t´ıpicos métodos para encontrar ra´ıces en un polinomio de este tipo. Tampoco se vislumbran soluciones “triviales” o “al ojo”. ¿Qué podemos hacer? Si nuestra vida dependiera de ello tuvi´ esemos que adivinar, dir´ıamos, “bueno, al parecer x no deber´ıa estar muy lejos de 1, por lo que intentaré con x = 1, veamos si se cumple la ecuación:

Φ(x)

= 0 tal que

Φ(x) = Φ(1)

=

√ x + x2 − 3 − √ 1 √

1 + (1)2

x 1 = 1

− 3 − √ −2

− 2 6= 0!!! ¡Rayos!, ¡no da 0! ¿Qu´ e numero probamos ahora? Analizando el polinomio, el término más poderoso es x , por lo que intentaremos con un número mayor, probemos x = 2: 2

Φ(2)

=

√

2 + (2)2

− 3 − √ 12 = 1, 7071

1, 7071 = 0!!!

6

¡Rayos!, ¡no da 0!, pero ¡hey! ahora nos pasamos, el resultado anterior hab´ıa sido -2, y ahora dio 1,7071, estamos un poco más cerca. Intentemos ahora con algo entre 1 y 2, ¿qué tal x = 1, 5?

Φ(1, 5) =

1, 5 + (1, 5)2

p

− 3 − √ 1,1 5 = −0, 34

− 0, 34 6= 0!!!

Ya nos vamos acercando. Aunque ahora volvimos a los negativos, as´ı que probemos con un número ligeramente mayor a 1, 5. Intentemos x = 1, 6:


Φ(1, 6) =

0, 03

259

1, 6 + (1, 6)2

p

− 3 − √ 1,1 6 = 0, 03

≈ 0!!!

Ya casi estamos! esta vez nos excedimos por 0, 03, por lo que podr´ıamos intentar un número entre 1, 5 y 1, 6. ¿Qué tal x = 1, 55?

Φ(1, 55)

=

1, 55 + (1, 55)2

p

− 3 − √ 1,1 55 = −0, 1557

− 0, 1557 6= 0!!! Nos alejamos lamentablemente, probemos algo mayor pero a la vez no mayor a x = 1, 6. Probemos x = 1, 59:

Φ(1, 59)

=

1, 59 + (1, 59)2

p

− 3 − √ 1,1 59 = −0, 0040

− 0, 0040 ≈ 0!!! Dependiendo de nuestro nivel de exigencia, podr´ıamos considerar que x = 1, 59 ya es una buena solución, porque hay 40 milésimas de error. La respuesta exacta es x = 1, 59105.

8.3.2.

Algoritmo de Bisecci´ on

El procedimiento del ejemplo 8.1 parece ser un poco torpe, porque primero tuvimos que intuir la solución. ¿Qué hubiese pasado si es que part´ıamos con x = 1000? La cantidad de iteraciones se habr´ıa amplificado exponencialmente. ¿Hay alguna forma de llegar más rápido y de manera más intuitiva al resultado? Sea Φ(x) una función impl´ıcita de x, tal que Φ(x) = 0 y está definida en un intervalo [a, b] (podr´ıa darse que el punto a o b indefinan la función, si ese es el caso, podemos tomar un punto cercano a a o a b. Tomemos dos puntos cercanos a a y a b, denotados por x a y x b . Si llega a ocurrir que:

Φ(xa ) · Φ(xb ) < 0

O sea, Φ(xa ) y Φ(xb ) tienen distinto signo, entonces si Φ(x) es continua en (a, b), el Teorema del Valor Intermedio asegura que existe una ra´ız x r (xa , xb ) tal que:

∈

Φ(xr ) =

0

Asegurada la existencia de xr , entonces encontrémoslo. Podr´ıamos intentar cualquier x en el intervalo, pero xa + xb una elección que maximiza las probabilidades de encontrar x r es probar con el punto medio x m = 2 Podr´ıan darse las siguientes situaciones:


260

_

Φ(xa ) · Φ(xm ) < 0

Φ(xb ) · Φ(xm ) < 0

Si se da la primera, entonces la ra´ız se encuentra entre (xa , xm ), en caso contrario, la ra´ız se encontrar´ a en (xm , xb ). Se elige el intervalo para seguir iterando y se verifican nuevamente las condiciones hasta llegar a Φ(xm ) 0, en ese momento, se ha llegado al resultado final.

≈

Veamos cómo se aplica en un ejemplo concreto de cálculo de altura normal. Ejemplo 8.2. C´ alculo de altura normal usando M´ etodo de Bisecci´ on Calcule la altura normal que alcanzar´ıa un canal rectangular (ancho w = 2 m) que transporta 4 m 3 /s. La pendiente de fondo S 0 es 0, 01 y el coeficiente de rugosidad de Manning es n = 0, 012. Usando la ecuaci´ on de Manning para el caudal, tenemos:

5/3

∗

Q

− n1 (b(b+ ·2h·nh) )5/3 S 01/2 = 0 ∗

n

5/3

4

La función

Φ(h)

=4

−

1 (2 · h) − 0, 012 (0, 01)1/2 = 0 (2 + 2 · h)2/3

1 (2 · h)5/3 está definida para h 0, 012 (2 + 2 · h)2/3

≥ 0 (alturas de agua negativas no tienen

sentido f´ısico). Para nuestra primera iteración (´ındice i = 1), nuestro h ia podr´ıa ser 0 y el h ib lo elegimos arbitrariamente, para nuestro ejemplo tomaremos h ib = 2:

1 Φ(ha =

0) = 4

1 Φ(hb =

2) =

−21, 4381

Encontramos una ra´ız entre h = 0 y h = 2. Probemos con h 1m =

1 Φ(hm =

1) =

0+2 = 1 ahora: 2

−6, 4993

Dado esto, entonces la ra´ız se encuentra entre h a = 0 y h m = 1. Probemos con h 2m = 0, 5:

2 Φ(hm =

0, 5) =

−0, 0062

La ra´ız se encuentra entre h = 0 y h = 0, 5. La tabla 8.3.1 resume las iteraciones para llegar al resultado final: La respuesta final es h n = 0, 4995.


261

Tabla 8.3.1: Iteraciones M´ etodo de Bisección Iteraci´ on i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

8.3.3.

hia 0.0000 0.0000 0.0000 0.2500 0.3750 0.4375 0.4688 0.4844 0.4922 0.4961 0.4980 0.4990

hib 2.0000 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0 .5000 0 .5000 0.5000

i Φ(ha )

i Φ(hb )

4.0000 4.0000 4.0000 2.5750 1.3716 0.7008 0.3515 0.1736 0.0839 0 .0389 0 .0163 0.0050

-21.4381 -6.4993 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062

him 1.0000 0.5000 0.2500 0.3750 0.4375 0.4688 0.4844 0.4922 0.4961 0.4980 0.4990 0.4995

i Φ(hm )

-6.4993 -0.0062 2.5750 1.3716 0.7008 0.3515 0.1736 0.0839 0.0389 0.0163 0.0050 0,0006

−

Comentarios sobre el m´ etodo de Bisecci´ on

Como vimos, encontrar la respuesta en el ejemplo 8.2 tomó 12 iteraciones para una precisión del orden de la milésima. Esto constituye una de las debilidades de este algoritmo, su lentitud. Sin embargo, esto se ve compensado por lo directo que es, no se necesita hacer álgebra6 , sino que simplemente tener una buena calculadora. La fortaleza de este algoritmo es que el Teorema de Valor Intermedio asegura convergencia. No importa cu´ antos pasos nos tome, sabemos que llegaremos al resultado tarde o temprano. A continuación veremos otro m´ etodo que es el alter-ego “opuesto” del m´ etodo de Bisección, porque se caracteriza por su rapidez, pero no siempre converge.

8.3.4.

M´ etodo del gradiente o m´ etodo de Newton-Raphson

Este m´ etodo aprovecha el hecho de que una función continua puede aproximarse por su expansió n de Taylor. Sea

Φ(x)

= 0 nuestra función de interés que define impl´ıcitamente a x. Necesitamos que

Φ sea

La expansión de Taylor T 1 (x) de primer orden de esta función es:

Φ(x)

0

≈ Φ(x0) + Φ (x0) · (x − x0) = T 1(x)

Donde x 0 es un punto fijo cercano al punto de inter´ es x. Como sabemos que

Φ(x)

= 0 por definición de función impl´ıcita, entonces la relación queda:

Φ(x)

0

≈ Φ(x0) + Φ (x0) · (x − x0) 0 ≈ Φ(x0 ) + Φ (x0 ) · (x − x0 ) 0

6

Como por ejemplo derivar, integrar

continua.


262

Podemos despejar el punto de interés x:

0

0

≈ Φ(x0) + Φ (x0) · (x − x0) Φ(x0 ) ≈ x x0 − Φ (x0 ) 0

Cuando la distancia entre x y x 0 es pequeña, entonces:

x = x0

− ΦΦ(x(x00)) 0

Llamando x0 al punto de iteración xi , entonces x representa el punto de la siguiente iteración, es decir xi+1 , quedando finalmente:

xi+1 = xi

i

− ΦΦ(x(xi))

0

(8.3.3)

Algoritmo de Newton-Raphson

La soluci´ on es alcanzada cuando obviamente Φ(xi ) = 0, para algún i. Resolvamos el mismo ejemplo 8.2, ahora con el m´ etodo de Newton-Raphson. Ejemplo 8.3. C´ alculo de altura normal usando M´ etodo de Newton-Raphson La función Φ(h) corresponde a:

5/3

Φ(h) =

1 (2 · h) −4 − 0, 012 (0, 01)1/2 = 0 (2 + 2 · h)2/3

Necesitaremos también su derivada:

0

Φ

(h) =

−

50 h 3

−

 

250 h 9 h+1 h+1

2/3

Procedemos a iterar según:

hi+1 = h i

i

− ΦΦ(h(hi)) 0

La cual no está definida para h = 0, ya que Φ0 (0) = 0, por lo que nuestro h1 no puede ser 0. Para compararlo efectivamente con el método de Bisección, partiremos con h 1 = 2

˜ DE CANALES 8.4. DISE NO

263

h2 = 2

1 4381 − ΦΦ(h(h1 == 2)2) = 2 − −−21, = 0, 6209 15, 5455 0

Ahora nuestro h i es 0, 6209:

h3 = 0, 6209

2 −1, 4587 = 0, 5034 − ΦΦ(h(h2 == 0,0,6209) = 0, 6209 − 6209) −12, 4063 0

Nos llevaremos una sorpresa al evaluar x i = 0, 5034:

h4 = 0, 5034

3 −0, 0456 = − ΦΦ(h(h3 == 0,0,5034) = 0, 5034 − 5034) −11, 6004 0

0, 4995!

¡Sorpresa!, nos tomó solamente 3 iteraciones llegar al resultado final. Si aún no lo creen, podemos revisar h5 : 4 −4 · 10 4 = − ΦΦ(h(h4 == 0,0,4995) = 0, 4995 − −11, 5696 4995) −

h5 = 0, 4995

8.3.5.

0

0, 4995!

Comentarios sobre el m´ etodo de Newton-Raphson

Como pudimos ver en el ejemplo 8.3, el método es incre´ıblemente rápido cuando nuestro punto inicial está cerca de la solución (3 iteraciones vs 12 iteraciones usando bisección). Sin embargo, su “Talón de Aquiles” es la no garant´ıa de convergencia y la dificultad de calcular la derivada. Para el caso de la ecuación de Manning, derivar polinomios con exponentes fraccionarios puede ser tedioso y el hecho de que hayan tantas fracciones puede hacernos cometer algún error al operar los exponentes. Es posible que la derivada no nos lleve a ningún lado, especialmente cuando estamos frente a puntos silla (estacionarios) o si las funciones son periódicas (seno, coseno, etc), la velocidad de convergencia disminuye dram´ aticamente.

8.4.

Dise˜ no de Canales

¿Cu´ al es el principal criterio de dise˜ no de canales? ¿Nos interesa ver cuánto gasto Q puede transportar dada una geometr´ıa? O al revés, para un gasto Q, ¿cuál es la altura de operación normal? La respuesta es que el uso condiciona el dise˜ no del canal. Por ejemplo, si la finalidad es transportar agua para generación hidroeléctrica, nos interesará dise˜ nar el canal para que pueda transportar de manera segura crecidas, inundaciones, o maniobras de evacuación de agua en caso de que el embalse se vea sobrepasado. Otro ejemplo, si tenemos una tuber´ıa, ésta puede transportar cierto caudal Q para h < D a presión atmosf´ erica, pero cuando la tuber´ıa se llena (h erica y si D), el flujo toma presión mayor a la atmosf´ queremos transportar más caudal, la presión será cada vez mayor y podr´ıa deteriorar la tuber´ıa.

≥

La operación de un canal se puede analizar mediante su curva de descarga, la cual es una gráfica del caudal Q en función de la altura de agua h, de la forma:


264

Q = Q(h) Curva de descarga

La figura 8.4.1 muestra una curva de descarga t´ıpica en canales abiertos. El caudal Q es directamente proporcional a una ley de potencia de la altura h, donde el exponente n suele ser mayor a 1. Para la altura y caudal de diseño hdis , Qdis , un alza en el caudal hacia el caudal máximo Qmax conlleva un alza leve de altura ∆h = h max hdis .

−

h

Q ∝ hn , n > 1

hmax hdis

Qdis Qmax

Q

Figura 8.4.1: Curva de descarga para canales abiertos

La figura 8.4.2 muestra una curva de descarga t´ıpica en conducto cerrado (tuber´ıas o alcantarillas). Para alturas mayores a la altura de diseño h > h dis , el caudal adicional ∆Q que pueden transportar es poco.

h

Zona de Presi´ on

hmax

P > P atm Q ∝ hn , n < 1

hdis

Q

∝

hn , n > 1

Qdis Q ∆Q

Figura 8.4.2: Curva de descarga para conducto cerrado

8.4.1.

Uso del coeficiente n de Manning

El coeficiente n de Manning se utiliza para estimar la rugosidad del lecho y para el cálculo de altura normal. Dado que el coeficiente n es resultado de experimentos, no existe un n único para cierto tipo de lecho


265

y lo que suele hacerse es dar un rango, o sea:

nmin < n < n max La pregunta es ¿qué coeficiente n utilizar? Dependerá principalmente del uso que se le quiera dar al canal y las eventualidades que puedan presentarse. Por ejemplo, si lo importante es evitar la erosión en el fondo del canal, es importante calcular la velocidad m´ axima que alcanzará el flujo en condiciones normales (recordemos que la tasa de erosión es directamente proporcional a la velocidad). Esto se traduce en la ecuación de Manning:

V =

1 2/3 1/2 R S 0 n

La velocidad es inversamente proporcionalmente al coeficiente n, por lo que para evaluar la velocidad m´ axima V max , debemos usar n min :

V max =

1

1/2

nmin

R2/3 S 0

Ahora, v´ amonos al otro extremo: si estamos diseñando un canal cuya medida de seguridad debe ser que nunca se sobrepase la altura máxima h max , entonces hay que evaluar la velocidad m´ınima (recordemos que por continuidad, la velocidad es inversamente proporcional al área a caudal constante). Esto se traduce en la ecuaci´ on de Manning:

V min =

1

1/2

nmax

R2/3 S 0

En la tabla 8.4.1 se resumen estas conclusiones. Tabla 8.4.1: Consideraciones de diseño usando n de Manning Variable a evaluar Vel. m´ axima V max Altura máxima h max

Valor de n a utilizar nmin nmax

Podemos compatibilizar ambos criterios (evitar V max y evitar h max de la siguiente manera: 1. Utilizar n min para estimar V max y con ello estimar la pendiente S 0 . 2. Utilizar n max , con la pendiente S 0 determinada en el paso 1, para estimar h max capaz de transportar el gasto Q deseado. Ejemplo 8.4. Dise˜ no de canal usando rango de n


266

V max

hmax

nmin

nmax

Figura 8.4.3: Consideraciones de dise˜ no

Estime la sección y pendiente de un canal que debe conducir 6 m 3 /s con una velocidad menor a 1, 5 m/s y valores de n entre 0, 020 y 0, 030. El canal es trapecial de ancho basal w = 2 m y tiene taludes 1 : 1

8.4.2.

Tipos de canales

Podemos distinguir 3 usos principales de los canales: 1. Canales de riego: Utilizados para transportar agua desde los r´ıos hasta los cultivos. En invierno casi no son utilizados (dados los caudales ba jos en los r´ıos), por lo que pueden ser reparados o mantenidos en esa ventana de tiempo. La figura 8.4.4 muestra un hidrograma caracter´ıstico.

Q

Invierno

Verano

A M J J A S O N D E F M

Mes

Figura 8.4.4: Hidrograma caracter´ıstico de un canal de riego

2. Canales de descarga en hidroelectricidad: Dado que las centrales hidroeléctricas funcionan de manera permanente (salvo en caso de sequ´ıas), los canales de descarga de embalses funcionan durante todo el año. Deben estar diseñados para minimizar la erosión (ya que repararlos es muy costoso porque habr´ıa que parar la central) y además para conducir caudales superiores al de diseño en caso de inundaciones o maniobras de evacuación. La figura 8.4.5 muestra un hidrograma caracter´ıstico. 3. Canal de drenaje: Estos canales son utilizados para evacuar el agua servida como el agua superficial (generada por lluvias en zonas urbanas). Los caudales que transportan presentan gran variabilidad y


267

Q

A M J J A S O N D E F M

Mes

Figura 8.4.5: Hidrograma caracter´ıstico de un canal de uso hidroeléctrico

operan durante todo el año. Como son grandes obras dise˜ nadas para una ciudad, deben ser dimensionados de manera tal que sean capaces de soportar eventos extremos. La figura ?? muestra un hidrograma caracter´ıstico.

8.4.3.

Elementos de la secci´ on transversal t´ıpica

En la figura ?? se muestran los componentes de una sección transversal t´ıpica. El dise˜ no y construcción de canales se preocupa de las siguientes etapas: (a) Construcción: el movimiento de tierra se compensa en la dirección transversal, como muestra la figura ??. (b) Taludes: Corresponden a la relaci´ on horizontal-vertical de los lados con respecto a la base. En general son lo más verticales que acepte el terreno, esto implica el riesgo de derrumbe, por lo que requiere un estudio de mecánica de suelos. (c) Revancha (hrev ): Corresponde a la altura adicional del canal, la cual sumada a la altura normal hn conforman la altura total h T OT = h n + hrev que llega hasta el borde libre como muestra la figura ??. La altura de revancha es considerada para los casos en que cambie el gasto Q, existan olas, aumente el n o se produzcan deslizamientos. (d) Revestimientos (l ining): Corresponde a la instalaci´ on de una capa de material protectora al fondo del canal y a sus paredes que puede cumplir las siguientes funciones: Proveer impermeabilidad: por ejemplo, un canal de tierra que se le añade una capa de hormigón para que el agua no se infiltre. Evitar erosión de las paredes. Reducir el coeficiente n de rugosidad.


268 Mejorar la estética del canal.

Existen distintos materiales de revestimiento, cada uno tiene distintos usos, costos, calidades, etc. La tabla 8.4.2 muestra un resumen con las cualidades generales de algunos revestimientos. Tabla 8.4.2: Descripci´ on general de algunos revestimientos Material de revestimiento Acero

Hormig´ on

Membranas y geotextiles

Enrocados

Caracter´ısticas Protecci´ on de erosión Disminuye rugosidad Costo muy alto Impermeabiliza Protecci´ on de erosión Disminuye rugosidad Costo alto Impermeabiliza Protecci´ on limitada de rugosidad Disminuci´ on limitada de rugosidad Impermeabiliza Protecci´ on de erosión Aumentan rugosidad No impermeabilizan

(e) Erosión y sedimentación: Son los aspectos más relevantes para la manutenció n de un canal. Si no se controlan las velocidades de erosión el canal se desgasta cambiando su forma, alterando su rugosidad y al mismo tiempo afectando el flujo. Si no se controlan las velocidades de sedimentación, part´ıculas suspendidas en el flujo se depositan en el fondo del canal, se acumulan en el tiempo y disminuyen el área efectiva del flujo, disminuyendo el caudal que puede pasar por el canal. Para el caso de erosión, las part´ıculas del fondo se levantar´ an como muestra la figura ?? debido al esfuerzo de corte del flujo τ f . La erosión ocurre si el esfuerzo de corte τ f es mayor al esfuerzo cr´ıtico 7 τ c . Recordemos que el esfuerzo de corte podemos aproximarlo según τ = γ RS 0 , donde S 0 y R se relacionan 1 1/2 con la ecuación de Manning V = R2/3 S 0 . La erosión también dependerá de la escala de longitud de n las part´ıculas del fondo. No es lo mismo erosionar un enrocado que un fondo de tierra. Para el caso de la sedimentación, ésta también dependerá de la velocidad del flujo. Si el flujo es muy lento, el peso de las part´ıculas vencer´ a al empuje total (empuje hidrostático por presión + fuerza de arrastre) y las part´ıculas caerán, deposit´ andose en el fondo como muestra la figura ??. Es necesario asegurar una velocidad de flujo V f tal que siempre sea mayor que la velocidad de sedimentación V s . En resumen, hay un rango de velocidad para el cual se asegura la no-erosión y la no-sedimentación. Es un equilibrio delicado, por lo que suele hacerse es eliminar “de ra´ız” uno de los dos problemas mediante elementos extras y dise˜ nar el canal para resolver el otro problema. Por ejemplo: Disminuir la velocidad de sedimentación V s mediante la eliminación de las part´ıculas a través de un proceso previo, como puede ser un desarenador, un filtro desripiador o un decantador. Una vez 7

Esfuerzo cr´ıtico: esfuerzo necesario para sacar a la part´ıcula del reposo.


269

aplicado, la sedimentación pasa a ser una preocupación menos y se puede atender el problema de controlar la velocidad de erosión. Aumentar la velocidad de erosi´ on V e mediante la aplicación de revestimiento.

8.4.4.

Dise˜ no de secci´ on ´ optima

Desde el punto de vista hidráulico, dada una forma para conducir un gasto Q con velocidad V , el área de Q flujo es A = . Si quisiéramos minimizar el per´ımetro mojado P para tener la m´ınima resistencia al flujo, V existe una u ´ nica soluci´ on, la cual es un c´ırculo. ¿Por qu´ e querr´ıamos hacer esto? Imaginemos que no tenemos materiales para cambiar el n de Manning, ¿de qué otra manera podemos aumentar o disminuir la resistencia al flujo? aumentando o disminuyendo el per´ımetro mo jado, y esto tiene directa relación con la geometr´ıa del canal. Para ilustrarlo mejor, veamos un ejemplo: Ejemplo 8.5. C´ alculo de secci´ on o ´ptima canal rectangular En un cauce de sección rectangular de ancho w y altura h que debe conducir un gasto Q con velocidad V . ¿Cu´ al es la mejor combinación de ancho w y altura h? Para un área fija w · h, podr´ıamos tener distintas combinaciones, como las que se muestran en la figura ??. ¿Cu´ al de ellas será la mejor? Dado un gasto fijo Q y un área fija A = w · h, el per´ımetro mojado P es b + 2h Minimizar el per´ımetro mojado permitir´ıa ahorrar materiales (revestimiento por ejemplo) o movimiento de materiales. El problema es entonces:

m´ın P s.a A = cte

P = b + 2h A = bh ∴

P =

∂ P =0 ∂ h

A + 2h h

⇔ − hA2 + 2 = 0

− A2 + 2h2 = 0 A → h2 = 2 ∴

Reemplazando se obtiene:

b = 2h La sección óptima se muestra en la figura ??

h =

r

A 2


270

8.4.5.

Situaciones especiales de dise˜ no

Hay ocasiones en las cuales el dise˜ no se hace en base a requerimientos especiales, como pueden ser: seguridad adicional, garant´ıa de condiciones de operación, etc. A continuación solo mencionaremos algunas: (a) Alejamiento de la crisis: ¿Por qué? (b) Combinación segura de altura y velocidad: en situaciones de sectores urbanos, se desea asegurar que el cauce no exceda una cierta altura en caso de que una persona caiga tenga la posibilidad de salvarse. Sin embargo, reducir la altura aumenta la velocidad y si la velocidad es muy alta la persona ser´ıa arrastrada muy violentamente y podr´ıa golpearse con algún elemento arrastrado por la corriente. La figura ?? muestra un ejemplo. Ejemplo 8.6. C´ alculo de pendiente cr´ıtica ¿Cu´ al es la pendiente cr´ıtica para un canal rectangular de 2 m de ancho que conduce un gasto de 5 m 3 /s revestido en hormigón (n = 0, 012)? Para calcular la pendiente cr´ıtica, primero necesitamos calcular las condiciones cr´ıticas: Recordemos que la altura cr´ıtica h c se calcula igualando el número de Froude Fr = 1:

hc =0, 468

 Q w

2/3

=0, 86 m Luego calculamos el área y per´ımetro mo jado para usar la ecuación de Manning:

A =w · h = 2 · 0, 86 = 1, 72 m 2 P =w + 2 · h = 2 + 1, 72 = 3, 72 m R =

A 1, 72 = = 0, 462 P 3, 72

1 1/2 V = R2/3 S 0 n 2 Vn S 0 = R2/3 S 0 =

  

Q n A R2/3

  

2

S 0 =0, 003407 m/m Es decir, la pendiente que causa escurrimiento cr´ıtico como altura normal es S 0 = S c = 0, 003407 m/m.

Cap´ıtulo 9

Flujo gradualmente variado 9.1.

Introducci´ on

En el cap´ıtulo anterior vimos cómo se comporta un canal en condiciones uniformes en la dirección del flujo. Es decir, la hipótesis principal fue que la altura de agua se manten´ıa constante (y la defin´ıamos como altura normal h n ). La figura 9.1.1 muestra la zona de análisis del cap´ıtulo anterior Q Zona de an´ alisis flujo uniforme


Figura 9.1.1: Zona de análisis de flujo uniforme

Ahora nos enfocaremos en la parte previa a que el flujo alcance condiciones uniformes, como se muestra en la figura 9.1.2. El adjetivo “variado” implica que ahora las propiedades del flujo cambian en el espacio, espec´ıficamente la velocidad V y la altura de agua h:

∂ V =0 ∂ x

∂ h =0 ∂ x

6

6

Siendo x la dirección del flujo. Algunos ejemplos donde se da el flujo variado: 1. la presencia de pilares de un puente, tal como muestra la figura ??. El pilar de la figura obstruye al flujo, éste se adapta a la presencia del pilar y lo rodea, cambiando su altura y luego de cierta distancia 271

CAP ´ ITULO 9. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

272

Zona de an´ alisis flujo gradualmente variado Q


Figura 9.1.2: Zona de análisis de flujo gradualmente variado

L∗ pasado el obstáculo, el flujo vuelve a condiciones uniformes. 2. una ca´ıda en un cauce, como muestra la figura ??. El flujo se aproxima a la ca´ıda y comienza a desestabilizarse hasta que cae y al llegar abajo se produce el choque (vórtices y separación) para luego estabilizarse nuevamente a medida que se aleja de la zona de impacto. Estas inestabilidades corresponden a cambios en la altura de agua h. ¿C´ omo evaluar estos cambios?

El problema es entonces encontrar el valor de

∂ h para h = h n . ∂ x

6

Llamamos entonces flujo variado al comportamiento de escurrimiento para el cual

∂ h =0 ∂ x ∂ h =0 ∂ x

6

∂ h = 0. ∂ x

6

flujo variado flujo uniforme

Del flujo variado se distinguen dos categor´ıas: (a) rápidamente variado: corresponde a singularidades, cambios abruptos en la curvatura del flujo, la presión no puede considerarse hidrostática. (b) gradualmente variado: cambios suaves en la curvatura del flujo, la presión se considera hidrost´ atica. Las ecuaciones mostradas en este cap´ıtulo, son válidas para flujo gradualmente variado, ya que las ecuaciones de energ´ıa que se utilizarán consideran la presión como hidrostática

9.2.

Ecuaciones del flujo variado

Consideremos un perfil de agua en un canal rectangular como muestra la figura 9.2.1.

273

9.2. ECUACIONES DEL FLUJO VARIADO

1 2 1

U 2g

L´ınea de energ´ıa Superficie Libre Cota de fondo

S

e

S : pendiente energ´ıa S : pendiente perfil de agua S 0 : pendiente de fondo e

2 2

U 2g

1 h1

Q

S

w

w

Flujo 1

h2 S 0

z1

Fondo z2

z = 0 L

Figura 9.2.1: Secci´ on longitudinal de flujo

En condiciones generales: la pendiente de fondo S 0 es distinta a la pendiente del perfil de superficie libre S w y también distinta a la pendiente de energ´ıa S e , es decir:

S 0 = S w = S e

6 6

Recordemos la ecuación de Bernoulli:

E = z +

P γ

+

U 2 2g

Si las presiones se consideran hidrostáticas (curvatura muy pequeña), entonces:

E =z +

γ h U 2 + γ 2g

U 2 =z + h + 2g ∂ h Recordemos que el objetivo de este cap´ıtulo es determinar las variaciones de altura , por lo que ∂ x podr´ıamos despejar h y derivar con respecto a x:


274

E =z + h +

U 2 2g

2

E

− z − U 2g

=h

/

∂ (·) ∂ x

∂ E ∂ z ∂ U 2 ∂ h = ∂ x ∂ x ∂ x 2g ∂ x ∂ E ∂ z 2U ∂ U ∂ h = ∂ x ∂ x 2g ∂ x ∂ x

 

− −

− −

Podemos expresar U en función del caudal Q y el área A = bh por continuidad:

∂ E ∂ z 2U ∂ U ∂ h = ∂ x ∂ x 2g ∂ x ∂ x ∂ E ∂ z U ∂ U ∂ h = ∂ x ∂ x g ∂ x ∂ x ∂ E ∂ z ∂ h Q ∂ Q = ∂ x ∂ x ∂ x Ag ∂ x A

− −

− −

  − −   − −   − −   − −   − − − ∂ E ∂ x

∂ Q Q (bh)g ∂ x ∂ E ∂ z ∂ Q Q ∂ x ∂ x (bh)g ∂ x ∂ E ∂ z Q Q ∂ ∂ x ∂ x (bh)g b ∂ x ∂ E ∂ z Q Q 1 ∂ x ∂ x (bh)g b h2

Factorizando

∂ z ∂ x

1 A 1 bh 1 h

=

∂ h ∂ x

=

∂ h ∂ x

=

∂ h ∂ x

∂ h ∂ h = ∂ x ∂ x

∂ h , ∂ x ∂ E ∂ x

−

∂ z ∂ h = ∂ x ∂ x

Q2 b2 h3 g

−  1

∂ h Q2 Identificamos el término 2 3 como el número de Froude, por lo que despejando obtenemos: ∂ x b h g ∂ E ∂ x

− ∂ ∂ xz 1 − Fr 2

=

∂ h ∂ x

Para un cambio gradual (suave) es posible aproximar las derivadas por diferencias lineales:

∆E ∂ E u ∆L ∂ x ∂ z ∆z u ∂ x ∆L

(9.2.1)

(9.2.2)

275

9.2. ECUACIONES DEL FLUJO VARIADO

Y por u ´ ltimo, la relaci´ on geométrica que existe:

− ∆∆Lz ∆E S e = − ∆L

S 0 =

(9.2.3)

(9.2.4)

Combinando todo obtenemos finalmente:

∂ h S 0 = ∂ x 1

− S e − Fr 2

(9.2.5)

Ecuaci´ on de flujo variado para canal rectangular

La ecuación (9.2.5) es conocida también como ecuaci´ on de Belanger donde tomamos como número de Froude el que aparece en la ecuación (9.2.6) considerando α = 1.

Fr

2

=

Q2 dA g[A(h)]3 dh

(9.2.6)

Recordemos que en el cap´ıtulo 7 definimos el n´ umero de Froude para una geometr´ıa cualquiera y flujo no uniforme seg´ un la ecuación (9.2.7), por lo que la evaluación se complica más si el canal tiene geometr´ıa distinta a un rectángulo y además el perfil de velocidad no es uniforme en la sección transversal. En el caso más general, la ecuación de flujo variado conserva su estructura (en comparación con la ecuación de Belanger)

∂ h S 0 = ∂ x 1

− S e − Fr 2 Ecuaci´ on de flujo variado para α = 6 cte y A(h) cualquiera Donde: Fr =

s

αQ2

dA 3 g[A(h)] dh

(9.2.7)

2

Q dα − [A(h)] 2 2g dh

(9.2.8)

N´ umero de Froude para α variable y ´ area cualquiera A = A(h)

Comentarios sobre la ecuaci´ on de flujo variado Tomando como base la ecuación (9.2.7), analicemos los términos: ∂ h : representa la incógnita a resolver, el comportamiento de la altura de agua h en el espacio. ∂ x

S 0 : la pendiente de fondo. Para un canal ya construido, S 0 es conocida, por lo que no depende de la inc´ ognita h.


276

S e : la pendiente de energ´ıa. En el cap´ıtulo 8 vimos que uno de los desaf´ıos que se ten´ıan era el poder determinar el valor de S e , ya que depend´ıa del caudal Q, de la geometr´ıa del canal A(h) y del material del lecho (asociado al n de Manning), es decir: S e = φ (Q, A(h), n). Fr:

n´ umero de Froude. Como vimos en la ecuación (9.2.8), el n´ umero de Froude depende del caudal Q, de la geometr´ıa de la sección A(h) y de la distribución de velocidad en la sección α(h), es decir: Fr = ψ (Q, A(h), α(h)). Si reemplazamos estas observaciones en la ecuación (9.2.7), obtenemos:

dh S 0 S e = dx 1 Fr2 dh S 0 φ(Q, A(h), n) = dx 1 ψ 2 (Q, A(h), α(h))

− − − −

(9.2.9)

¿es esto integrable anal´ıticamente? Para la mayor´ıa de los casos, la ecuación (9.2.9) no es integrable anal´ıticamente y es necesario recurrir a m´ etodos numéricos de integración, como lo son: Diferencias finitas. Runge-Kutta. Métodos geométricos (e.g: integración por trapecios). Lo que s´ı puede hacerse inmediatamente es realizar un an´ alisis cualitativo, es decir, verificar los casos para cuando: ∂ h > 0: la altura de agua aumenta a medida que se avanza. ∂ x ∂ h < 0: la altura de agua disminuye a medida que se avanza. ∂ x ∂ h ∂ x

9.3.

→ 0: la altura de agua comienza a converger a la altura normal h n. An´ alisis cualitativo

En esta sección, analizaremos qu´ e sucede cualitativamente con la altura de agua en el espacio h(x) para un canal rectangular. Lo haremos con este caso en particular ya que las expresiones de número de Froude y pendiente de energ´ıa son más simples de evaluar. Nuestra figura base ser´ a la 9.3.1, donde se exhiben las propiedades geométricas más relevantes: A(h): área transversal. Corresponde al producto de la base b por la altura h (por determinar).

A(h) = b · h

´ 9.3. AN ALISIS CUALITATIVO

277

h

b A(h) = b

·h

P (h) = b R(h) =

A(h) P (h)

si b >>>> h

=

bh b + 2 · h b + 2 · h

→

R(h)|b>>>>h =

+ 2 · h

b·h b

≈

b

= h

Figura 9.3.1: Secci´ on transversal rectangular de un canal

P (h): per´ımetro mojado. Corresponde al per´ımetro del lecho en contacto con el flujo.

P (h) = b + 2 · h

R(h): radio hidráulico. Corresponde al cuociente entre el área A(h) y el per´ımetro mojado P (h). En estricto rigor es:

R(h) =

A(h) b·h = P (h) b+2·h

Sin embargo, haremos una simplificación para facilitar los cálculos. Consideraremos que la base b del canal es mucho mayor que la altura de agua h. Con esto, el cálculo del radio hidr´ aulico se simplifica:

Si b >>>> h P (h) = b + 2h ∴

R(h)|b>>>>h =

≈b

b·h = h b

Otro factor a considerar es el número de Froude Fr, su forma más general es:


278

Fr =

s

αQ2

2

dA 3 g[A(h)] dh

Q dα − [A(h)] 2 2g dh

(9.3.1)

Haremos las siguientes simplificaciones para facilitar el cálculo: Supondremos flujo uniforme en la sección transversal, es decir α = cte, por lo tanto

dα = 0. dh

De esta manera, el número de Froude queda de manera momentánea como:

s

Fr =

αQ2

g[A(h)]3

dA dh

Supondremos velocidad suficiente para que el flujo sea turbulento y asegure un α

(9.3.2)

≈ 1.

Ahora el n´ umero de Froude queda:

s

(1)Q2 dA g[A(h)]3 dh

Fr =

Por otro lado, si A = b · h, entonces

(9.3.3)

dA = b, lo que en el número de Froude podemos reemplazar: dh

s

Q2 b g[A(h)]3

Fr =

Reemplazando A(h) = b · h

s s

Q2 b g(b · h)3

Fr =

Fr =

Q2 gh3 b2

Elevando al cuadrado Q2 Fr = gh 3 b2 2

Si recordamos la expresión para la altura cr´ıtica en canal rectangular:

hc =

s   3

Q b

2

1 g

Altura cr´ıtica en un canal rectangular, α = 1

(9.3.4)


279

Entonces podemos reemplazarla en el número de Froude:

h3c Fr = h3 2

(9.3.5)

Si reemplazamos (9.3.5) en (9.2.7), obtenemos:

dh S 0 S e = dx 1 Fr 2 dh S 0 S e = dx h 3c 1 h3

− − − −

(9.3.6) (9.3.7)

Ahora falta encontrar una expresión para la pendiente de energ´ıa S e . Lo que haremos será aproximar la pendiente S e usando la ecuación de Manning para flujo uniforme:

1 2/3 1/2 R S 0 n Ecuaci´ on de Manning (flujo uniforme) V =

Aproximaci´ on: S e S 0 1 2/3 1/2 ∴ V u R S e n V 2 n2 ∴ S e u R4/3 Reemplazando R(h)=h

(9.3.8)

≈

∴

S e

u

(9.3.9)

(9.3.10)

V 2 n2 Q2 n2 Q2 n2 = = h4/3 b2 h2 h4/3 b2 h10/3

(9.3.11)

Ahora reemplazaremos V 2 n2 por las condiciones de flujo normal:

1 2/3 1/2 R S 0 n V 2 n2 S 0 = 2/3 | h=hn R 2 2 Q n Q2 n2 S 0 = = 2/3 10/3 b2 h2n hn b2 hn V =

(9.3.12)

(9.3.13) (9.3.14)

Q2 n2 = S 0 h10/3 b2 n

(9.3.15)

Reemplazando (9.3.15) en (9.3.11), obtenemos:

10/3

S e

u

V 2 n2 Q2 n2 hn = = 10/3 4/3 2 2 4/3 h b h h h

(9.3.16)


280

Reemplazando finalmente en la ecuación (9.3.7):

dh S 0 S e = dx h 3c 1 h3

− −

dh = dx

S 0



1

1

(9.3.17)

10/3

−

h n h10/3

  − hc h

!

3

(9.3.18)

Ecuaci´ on de Bresse usando Manning para la pendiente de energ´ıa S e , flujo gradualmente variado en canal rectangular muy ancho

Si se utiliza la ecuación de Chezy (ecuación (8.2.23)) en lugar de Manning para representar la pendiente de energ´ıa, es decir:

U =

r

8g RS 0 = C RS 0 f U 2 = RS 0 C 2 S 0 S e

p

≈

(9.3.19) (9.3.20)

(9.3.21)

2

U = S e C 2 R Q2 = S e C 2 A2 R Q2 = S e C 2 (b2 h2 )b

(9.3.22)

(9.3.23)

(9.3.24)

(9.3.25)

Trabajando el álgebra se puede determinar el cambio de altura en el espacio:

dh = dx

1 1

hn h

3

hc h

3

  −   −

Ecuaci´ on de Bresse usando Chezy para la pendiente de energ´ıa S e , flujo gradualmente variado en canal rectangular muy ancho

Trabajando el álgebra, es posible determinar la segunda derivada de h con respecto a x:


281

h(x)

h(x)

h(x)

x

S 0 x

S 0

x

S 0 =

∂ z

−

S 0 < 0

S 0 = 0

S 0 > 0

S 0 =

∂ x

(a) Pendiente descendiente

∂ z

−

S 0 =

∂ x

(b) Pendiente nula

∂ z

−

∂ x

(c) Pendiente adversa

Figura 9.3.2: Tipos de pendientes seg´ un S 0

d2 h (h3n h3c ) 2 dh = 3S 0 3 h dx2 (h h3c )2 dx

− −

(9.3.26)

Segunda derivada de h con respecto a x

∂ h La ecuación de Bresse (tanto usando Manning como Chezy) sirve para analizar el comportamiento de ∂ x en función de la pendiente de fondo S 0 , y la altura h con respecto a la altura normal h n o a la altura cr´ıtica hc

Para simplificar el análisis, utilizaremos las ecuaciones (9.3.25) y (9.3.26) sirven en conjunto para analizar cualitativamente la evolución de h(x), al comparar los valores de S 0 , h, h n y h c .

9.3.1. 9.3.1.1.

Clasificaci´ on de flujo seg´ un comportamiento de h versus hc , hn y S 0 Seg´ un pendiente de fondo S 0

El valor de S 0 puede tomar 3 valores: (a) S 0 > 0: flujo de pendiente descendiente. La cota de fondo baja a medida que se avanza x. Recordemos ∂ z que S 0 = , como muestra la figura 9.3.2a. ∂ x

−

(b) S 0 = 0: flujo de pendiente nula. La cota de fondo se mantiene a medida que se avanza x, como muestra la figura 9.3.2b. (c) S 0 < 0: flujo de pendiente adversa. La cota de fondo aumenta a medida que se avanza en x, como muestra la figura 9.3.2c.

9.3.1.2.

Seg´ un relaci´ on entre altura normal hn y altura cr´ıtica hc

Recordemos como se calculan ambas alturas: Altura normal h n :


282

1 1/2 V = R2/3 S 0 n

⇔

 Q bh

n

1/2 S 0

= R 2/3

(9.3.27)

En canal rectangular muy ancho R = h ∴

Qn 1/2 bS 0

= R 2/3 · h = h 4/3

(9.3.28)

En flujo uniforme h = h n ∴

hn =

3/4

 ! Qn

(9.3.29)

1/2

bS 0

Altura normal para canal rectangular muy ancho

Altura cr´ıtica h c :

hc =

s   3

Q b

2

·

1 g

(9.3.30)

Altura cr´ıtica para canal rectangular muy ancho

Si dividimos h n por h c obtenemos:

qn

hn = hc

3/4

 !  1/2

S 0

q 2 g

1/3

=

q 1/12 n3/4 3/8

S 0 g1/3

= 0, 467

q 1/12 n3/4 3/8

S 0

(9.3.31)

Q Es decir, la relaci´ on entre altura cr´ıtica y normal dependerá del caudal por unidad de ancho q = , la b pendiente de fondo S 0 y el coeficiente de rugosidad del canal n. Dependiendo de la combinación de estos par´ ametros tendremos: (a) hn > hc : flujo en pendiente suave. Suele denotarse como PS 1 en espa˜ nol y M2 en inglés. (b) hn < hc : flujo en pendiente fuerte. Suele denotarse como PF 3 en espa˜ nol y S4 en inglés. 1

PS: Pendiente Suave M: Mild 3 PF: Pendiente Fuerte 4 S: Steep 2


283

(c) hn = h c : flujo en pendiente cr´ıtica. Suele denotarse como PC 5 en espa˜ nol y C6 en inglés. A continuación se muestran estas tres situaciones. Pendiente suave ( 9.3.3), pendiente fuerte (9.3.4) y pendiente cr´ıtica (9.3.5)

L´ınea de altura normal (NDL)

h n > hc hn

L´ınea de altura cr´ıtica (CDL)

hc

Pendiente suave (PS) Mild Slope (M)

Figura 9.3.3: Pendiente suave

h c > hn

hc

L´ınea de altura cr´ıtica (CDL)

hn

L´ınea de altura normal (NDL)

Pendiente fuerte (PF) Steep slope (S)

Figura 9.3.4: Pendiente fuerte

hn hc

NDL=CDL

Pendiente Crtica (PC) Critical Slope (C) h = h n

c

Figura 9.3.5: Pendiente cr´ıtica

5 6

PC: Pendiente Cr´ıtica C: Critical


284

L´ınea de altura normal (ND L) hn ∈ hn =

∞

L´ınea de altura cr´ıtica (CDL )

L´ınea de altura cr´ıtica

hc

(CDL )

hc

Pendiente nula S 0 = 0

Pendiente adversa S 0 < 0

(a) Pendiente nula

(b) Pendiente adversa

Figura 9.3.6: Pendientes especiales seg´ un comportamiento de h n vs. h c 9.3.1.3.

Casos especiales

Existen casos especiales: hn > hc , esto sucede cuando la pendiente S 0 es nula (i.e: S 0 = 0), como lo comprueba si tomamos el l´ımite de la altura normal al ajustar S 0 cercano a cero.

→∞

hn =

3/4

 ! Qn

(9.3.32)

1/2

bS 0

l´ım hn =

∞

S 0 →0

(9.3.33)

hn C: la altura normal es imaginaria cuando la pendiente S 0 es adversa (i.e:S 0 < 0), ya que si la cantidad sub-radical en la expresión de altura normal es negativa:

∈

hn =

3/4

 ! Qn

(9.3.34)

1/2

bS 0

Si S 0 < 0 ∴

h n

∈ C

(9.3.35)

Ambas situaciones especiales se exhiben en la figura 9.3.6. Figura 9.3.6a para pendiente nula y 9.3.6b para pendiente adversa. 9.3.1.4.

Seg´ un relaci´ on entre h y hc

Esto ya lo hab´ıamos definido en el cap´ıtulo 7.4.3, pero vale la pena recordarlo apoyándonos en la figura 9.3.7. Clasificaremos el flujo como: (a) h > hc : régimen de r´ıo o subcr´ıtico.

´ 9.4. TRAZADO DE EJE HIDR AULICO

285

h H (h1 )

Zona de Zona de

h1

h > hc h < hc

Subcr´ıtico hc

Supercr´ıtico h2 H (h2 )

H

min H = H c

Figura 9.3.7: Zona de flujo supercr´ıtico y subcr´ıtico

(b) h < hc : régimen de torrente o supercr´ıtico. (c) h = h c : régimen en crisis o flujo cr´ıtico. 9.3.1.5.

Seg´ un relaci´ on entre h y hn

Identificamos tres situaciones: (a) h > hn : flujo peraltado. (b) h < hn : flujo deprimido. (c) h = h n : flujo uniforme.

9.4.

Trazado de eje hidr´ aulico

dh d2 h Dependiendo de las relaciones entre h, h c , h n y S 0 , el signo de y de cambiará y revelará la forma dx dx2 aproximada del eje hidráulico. Las herramientas de análisis son:

− h3n . Dependerá del signo de S 0 y las relaciones entre h vs. h n y h vs. h c. − h3c d2 h h3n − h3c 2 dh 2. Signo de 2 = 3S 0 3 h dx (h − h3c )2 dx 1. Signo de

dh h3 = S 0 3 dx h

Existen diversas combinaciones posibles de h, hc , hn , las pasamos a describir a continuación:


286

En pendiente suave (PS, M): por definición h n > hc . Ahora las posibles combinaciones son: 1. h > hn > hc : al ser la altura de agua h mayor que h n , por definición se tiene un flujo peraltado. Por otro lado, al ser h mayor que hc entonces se tiene un régimen de r´ıo o subcr´ıtico. La combinación se llama r´ıo peraltado en pendiente suave, abreviado por RPPS y denotado por M1 en inglés.

h > hn > hc

(9.4.1)

R´ıo peraltado en pendiente suave RPPS, M1

analizando los signos de

dh d2 h y de tenemos: dx dx2 dh h3 = S 0 3 dx h

h3

− h3n > 0

y h3 ∴

− h3n − h3c

h > hn > hc

− h3c > 0

(9.4.2) (9.4.3)

dh (> 0) = S 0 dx (> 0)

(9.4.4)

Para que exista altura normal, la pendiente de fondo no puede ser ni adversa ni nula, por lo que se garantiza que S 0 > 0, por lo que finalmente:

dh (> 0) = S 0 dx (> 0) dh (> 0) = (> 0) dx (> 0)

(9.4.5)

(9.4.6)

dh >0 dx

(9.4.7)

Es decir, la altura aumenta a medida que se avanza. Ahora analicemos el signo de

d2 h h3n h3c 2 dh = 3S h 0 dx2 (h3 h3c )2 dx

− −

d2 h : dx2

(9.4.8)

reemplazando lo ya conocido d2 h (> 0) = 3(> 0) (> 0)(> 0) 2 dx (> 0)2

(9.4.9)

d2 h >0 dx2

(9.4.10)

Es decir, el aumento de altura es cada vez mayor, o sea h en teor´ıa crece sin cota. Analizando los l´ımites de crecimiento de h:


287

En la dirección x positiva (aguas abajo), h crece indefinidamente (h crecimiento tiene un l´ımite:

dh h3 = l´ım S 0 3 h→∞ dx h→∞ h l´ım

→ ∞), pero la tasa de

− h3n = S 0 − h3c

(9.4.11)

Es decir, existe una as´ıntota horizontal para h en dirección aguas abajo. En la dirección x negativa (aguas arriba), h decrece. Al ser h > hn , si h disminuye, tiene que necesariamente llegar a la altura normal y no puede bajar a valores inferiores a h n , de lo contrario se invalidar´ıa la hipótesis de flujo uniforme. En resumen, h en dirección aguas abajo se separa de la altura normal (régimen uniforme) para crecer indefinidamente hasta llegar a la as´ıntota en el infinito. Gr´ aficamente se muestra en la figura 9.4.1, la altura h(x) proviene desde la altura normal y se separa de ella a medida que avanza en x, tendiendo a infinito

As´ıntota

h(x)

hn

hc

L´ınea de altura normal (N DL) L´ınea de altura cr´ıtica(CDL)

x

Pendiente descendiente

S 0 >

0

Figura 9.4.1: Rio peraltado en pendiente suave RPPS, M1

2. hn > h > h c : al ser la altura de agua h menor a hn , por definición se tiene un flujo deprimido. Al igual que el caso anterior, h sigue siendo mayor a h c por lo que seguimos teniendo un régimen de r´ıo o subcr´ıtico. La combinación se llama r´ıo deprimido en pendiente suave, abreviado por RDPS y denotado por M2 en inglés.

hn > h > h c

R´ıo deprimido en pendiente suave RDPS, M2

analizando los signos de

dh d2 h y de tenemos: dx dx2

(9.4.12)


288

dh h3 = S 0 3 dx h h3

− h3n < 0

y h3 ∴

− h3n − h3c

hn > h > h c

(9.4.13)

− h3c > 0

(9.4.14)

dh (< 0) = S 0 dx (> 0)

(9.4.15)

nuevamente debemos garantizar la existencia de h n , por lo que S 0 > 0

dh (< 0) = S 0 dx (> 0) dh (< 0) = (> 0) dx (> 0)

(9.4.16)

(9.4.17)

dh <0 dx

(9.4.18)

Es decir, la altura disminuye a medida que se avanza. Ahora analicemos el signo de


− −

d2 h : dx2

(9.4.19)

reemplazando lo ya conocido d2 h (> 0) = 3(> 0) (> 0)(< 0) 2 dx (> 0)2

(9.4.20)

d2 h <0 dx2

(9.4.21)

Es decir, la pérdida de altura es cada vez menor. Analizando los l´ımites de crecimiento de h: En la dirección x positiva (aguas aba jo), h decrece para acercarse a la altura cr´ıtica ( h

l´ım

h→hc

dh h3 = l´ım S 0 3 dx h→hc h

− h3n = ∞ − h3c

→ hc): (9.4.22)

O sea, la altura tiende a decrecer hasta llegar a una pendiente ortogonal a la pendiente de fondo. En la dirección x negativa (aguas arriba), h crece. Al ser h n > h, si h aumenta, tiene que necesariamente llegar a la altura normal y no puede pasar a valores superiores a hn , de lo contrario se invalidar´ıa la hip´ otesis de flujo uniforme. En resumen, h en dirección aguas abajo se separa de la altura normal (régimen uniforme) asintóticamente para llegar hasta altura cr´ıtica hc con pendiente “infinita” (ortogonal a la l´ınea de altura cr´ıtica CDL) Gr´ aficamente se muestra en la figura 9.4.2, la altura h(x) proviene desde la altura normal y se separa de ella a medida que avanza en x, aproximándose hacia la altura cr´ıtica, donde lo hace de manera ortogonal.


289

As´ıntota

L´ınea de altura normal (N DL ) hn

hc

L´ınea de altura cr´ıtica(CD L)

h(x)

x

Pendiente descendiente S 0

>

0

Figura 9.4.2: R´ıo deprimido en pendiente suave, M2

3. hn > hc > h: al ser la altura de agua h menor a hn , por definición se tiene un flujo deprimido. A diferencia que el caso anterior, h ahora es menor a h c por lo que seguimos tenemos un régimen de torrente o supercr´ıtico. La combinación se llama torrente deprimido en pendiente suave, abreviado por TDPS y denotado por M3 en inglés.

hn > hc > h

(9.4.23)

Torrente deprimido en pendiente suave TDPS, M3 dh d2 h analizando los signos de y de tenemos: dx dx2 dh h3 = S 0 3 dx h h3

− h3n < 0

y h3 ∴

− h3n − h3c

hn > hc > h

− h3c < 0

dh (< 0) = S 0 dx (< 0)

(9.4.24) (9.4.25)

(9.4.26)

nuevamente debemos garantizar la existencia de h n , por lo que S 0 > 0

dh (< 0) = S 0 dx (< 0) dh (< 0) = (> 0) dx (< 0)

(9.4.27)

(9.4.28)

dh >0 dx Es decir, la altura aumenta a medida que se avanza. Ahora analicemos el signo de

(9.4.29) d2 h : dx2


290


− −

(9.4.30)

reemplazando lo ya conocido d2 h (> 0) = 3(> 0) (> 0)(> 0) 2 dx (> 0)2

(9.4.31)

d2 h >0 dx2

(9.4.32)

Es decir, la ganancia de altura es cada vez mayor. Analizando los l´ımites de crecimiento de h: En la dirección x positiva (aguas aba jo), h crece para acercarse a la altura cr´ıtica ( h

l´ım

h→hc

dh h3 = l´ım S 0 3 dx h→hc h

− h3n = ∞ − h3c

→ hc):

(9.4.33)

O sea, la altura tiende a crecer hasta llegar a una pendiente ortogonal a la pendiente de fondo. En la dirección negativa de x (hacia aguas arriba), la altura de agua disminuye hasta acercarse al valor h = 0 y lo hará con pendiente:

dh h3 l´ım = l´ım S 0 3 h→0 dx h→0 h

− h3n = S 0 h3n = tan(β ) − h3c h3c

(9.4.34)

Donde β es el ángulo que forma el perfil de superficie libre con el fondo del canal. Gráficamente se puede observar el perfil del eje hidráulico en la figura 9.4.8

As´ıntota


hc

L´ınea de altura cr´ıtica(CDL) h(x) x


S 0 >

0

Figura 9.4.3: Torrente deprimido en pendiente suave, M3

En pendiente fuerte (PF, S): por definición hc > hn . Las posibilidades de perfil de superficie libre son:


291

1. h > hc > hn : al ser la altura de agua h mayor que hn tenemos flujo peraltado, además de ser régimen de r´ıo o subcr´ıtico por ser h > hc . La combinación se llama r´ıo peraltado en pendiente fuerte, abreviado por RPPF y denotado por S1 en inglés.

h > hc > hn

(9.4.35)

R´ıo peraltado en pendiente fuerte RPPF, S1 dh d2 h Al evaluar el signo de y se obtiene (queda propuesto el realizar el álgebra): dx dx2 d2 h <0 dx2

dh > 0 dx

(9.4.36)

Hacia aguas abajo, h tiende a infinito (ya que crece indefinidamente) pero presenta la as´ıntota horizontal S 0 , debido a que:

dh = S 0 h→∞ dx l´ım

(9.4.37)

Por otro lado, hacia aguas abajo, h decrece y se acerca a la altura cr´ıtica hasta llegar con pendiente ortogonal a la l´ınea de energ´ıa cr´ıtica.

l´ım

h→hc

dh = dx

∞

(9.4.38)

En la figura 9.4.4 se muestra la situación. 2. hc > h > h n : se tiene flujo peraltado, pero esta vez pasa a ser torrente o supercr´ıtico. La combinaci´ on se llama torrente peraltado en pendiente fuerte , abreviada por TPPF y denotada por S2 en inglés.

hc > h > h n

(9.4.39)

Torrente peraltado en pendiente fuerte TPPF, S2 dh d2 h Al evaluar el signo de y se obtiene: dx dx2 dh < 0 dx

d2 h >0 dx2

(9.4.40)

Hacia aguas abajo, h tiende a la altura normal con la l´ınea de altura normal NDL como as´ıntota.


292

As´ıntota

L´ınea de altura cr´ıtica hc

(CDL)

hn

L´ınea de altura normal (N DL )

h(x)

x


>

0

Figura 9.4.4: R´ıo peraltado en pendiente fuerte, S1

l´ım

h→hn

dh =0 dx

(9.4.41)

Por otro lado, hacia aguas abajo, h crece y se acerca a la altura cr´ıtica hasta llegar con pendiente ortogonal a la l´ınea de energ´ıa cr´ıtica.

l´ım

h→hc

dh = dx

∞

(9.4.42)

En la figura 9.4.5 se muestra la situación. 3. hc > hn > h: se tiene flujo deprimido, y se mantiene como torrente o supercr´ıtico. La combinación se llama torrente deprimido en pendiente fuerte, abreviada por TDPF y denotada por S3 en inglés.

hc > hn > h

(9.4.43)

Torrente deprimido en pendiente fuerte TDPF, S3

Al evaluar el signo de

dh d2 h y se obtiene: dx dx2 dh > 0 dx

d2 h <0 dx2

(9.4.44)


293

L´ınea de altura cr´ıtica hc

(CDL) L´ınea de altura normal (N DL )

hn h(x)

x


>

0

Figura 9.4.5: Torrente peraltado en pendiente fuerte, S2

Hacia aguas abajo, h tiende a la altura normal con la l´ınea de altura normal NDL como as´ıntota.

l´ım

h→hn

dh =0 dx

(9.4.45)

Por otro lado, hacia aguas arriba, h decrece y se acerca al fondo hasta llegar con pendiente h3n S 0 3 = tan β , donde β representa el ángulo de intersección. hc

l´ım

h→hc

dh h3 = S 0 n dx hc

(9.4.46)

La figura 9.4.6 muestra la situación.

L´ınea de altura cr´ıtica hc h n

β

(CDL) L´ınea de altura normal (N DL )

h(x)

x


S 0 >

0

Figura 9.4.6: Torrente deprimido en pendiente fuerte, S3


294

9.4.1.

Conclusiones sobre el trazado

A continuación se presentan algunas conclusiones en base a las figuras que se trazaron del eje hidráulico en la sección anterior. Al acercarse a la l´ınea de altura cr´ıtica CDL, el perfil de superficie libre lo hace con ángulo recto (ortogonal). Al acercarse a la l´ınea de altura normal NDL, el perfil de superficie libre lo hace de forma asintótica. Las curvaturas de pendiente suave (PS, M), son contrarias a las curvaturas de pendiente fuerte (PF, S).

9.4.2.

Metodolog´ıa de trazado

Dado un cauce con sus condiciones geométricas (pendiente de fondo S 0 y sección transversal A) e hidráulicas (Q y n) y una o más singularidades, se procede de la siguiente forma: (a) Seleccionar tramos en los que estas propiedades son constantes. (b) Calcular para cada tramo la altura normal y la altura cr´ıtica. (c) Dibujar un perfil longitudinal con fondo, altura normal y altura cr´ıtica. Ubicar sobre él los tramos y las singularidades. (d) Ubicar y calcular puntos de control (por ejemplo donde podr´ıa medirse la altura de agua) (e) Para cada tramo dibujar cualitativamente el eje hidráulico. (f) Calcular por cualquier método disponible el eje hidráulico h(x)

9.4.3.

Secciones de control

Las secciones de control permiten establecer condiciones de borde o iniciales para el cálculo del eje hidráulico. Se caracterizan porque la altura de agua depende de otras condiciones. Existen: 1. de partida o final: permiten iniciar el c´ alculo. Ejemplo: nivel de un estanque aguas arriba o aguas abajo. 2. intermedios: permiten iniciar el cálculo desde ese punto hacia aguas arriba o hacia aguas abajo, dependiendo del régimen (supercr´ıtico o subcr´ıtico). Ejemplo: una compuerta. Algunas secciones t´ıpicas son: Puntos de paso de régimen subcr´ıtico a supercr´ıtico. Resaltos hidr´ aulicos (paso de supercr´ıtico a subcr´ıtico). Singularidades: compuertas, gradas. Cambios de pendiente (de suave a fuerte, o de suave a más/menos suave, o de fuerte a más/menos suave).


9.4.4.

295

C´ alculo cuantitativo del eje hidr´ aulico

Recordando la ecuación de flujo gradualmente variado:

dh S 0 = dx 1

− S e − Fr 2

A partir de un punto inicial x0 , h0 es posible integrar num´ ericamente usando m´ etodos especiales de integraci´ on discreta. Existen varios métodos, pero introduciremos sólo uno, el que es bastante efectivo especialmente si se usa alg´ un programa computacional.

9.4.5.

M´ etodo directo por etapas

Dado un punto conocido (x0 , h0 ), encontrar x0 + ∆x donde ocurre h 0 + ∆h. En otras palabras, para un ∆x arbitrario, encontrar ∆h asociado a ´ el o viceversa. El método requiere que la sección transversal, rugosidad y pendiente sean constantes, además de haber hecho un análisis cualitativo, para poder determinar el incremento ∆h Para un diferencial espacial muy peque˜ no, es posible aproximar la derivada como una diferencia finita:

dh dx

≈ ∆∆hx

(9.4.47)

si reemplazamos en la ecuación de flujo variado:

∆h

S 0 S e ∆x 1 Fr 2 S 0 S e ∆h u ∆x 1 Fr 2 u

− − − −

(9.4.48)

(9.4.49)

M´ etodo de resoluci´ on directo por etapas

Haciendo el balance de energ´ıa: U 02 U 12 z0 + h0 + = z 1 + h1 + + Λ01 2g 2g

z0 + H 0 = z 1 + H 1 + Λ01 z1 = z 0 Las pérdidas

Λ01 las

− S 0∆x

(9.4.50) (9.4.51) (9.4.52)

consideramos solo como pérdidas por fricción:

Λ01 = S e · ∆x

(9.4.53)


296 Para aproximar la pérdida

Λ01 ,

usamos la ecuación de Manning:

S e =

V 2 n2 R4/3

(9.4.54)

Podemos ser más precisos y estimar una pendiente promedio de pérdida de energ´ıa S e = lo tanto la pérdida de energ´ıa la calculamos finalmente como:

Λ01 = S e ∆x

S e0 + S e1 , por 2

(9.4.55)

volviendo a reemplazar en la ecuación de energ´ıa:

z0 + H 0 = z 1 + H 1 + Λ01 z0 + H 0 = z0 donde podemos despejar

− S 0∆x + H 1 + S e∆x

(9.4.56)

(9.4.57)

∆x:

∆x =

0 − H S 1 −− H S

(9.4.58)

0

e

El algoritmo para calcular ∆x implica darse un aumento arbitrario de la altura ∆h, por lo que es necesario hacer el análisis cualitativo pertinente para no equivocarse y dar un ∆h erróneo. Veamos un ejemplo: Ejemplo 9.1. C´ alculo de eje hidr´ aulico en canal rectangular Un canal rectangular de 6,1 m de ancho con n = 0,014 descansa en una pendiente de 0 ,001 y termina en una ca´ıda libre. Para un caudal de 17 m3 /s, calcule el eje hidráulico hacia aguas arriba de la ca´ıda considerando que en la ca´ıda se produce altura cr´ıtica. Determine distancia que se requiere para que el flujo alcance altura normal, si es que corresponde. Calculamos la altura normal y la altura cr´ıtica dadas las condiciones del problema:

hn =

3/4

 ! Qn

(9.4.59)

1/2

bS 0

hn =1, 1706 m

(9.4.60) (9.4.61)

hc =

s   3

Q b

2

hc =0, 925 m

·

1 g

(9.4.62) (9.4.63)


297

Tenemos entonces una pendiente suave (PS, M) Si la condici´ on aguas abajo es altura cr´ıtica, entonces la única posibilidad de flujo es un r´ıo deprimido en pendiente suave o M2, como muestra la figura 9.4.7.

As´ıntota


hc

L´ınea de altura cr´ıtica(CD L)

h(x)

x


>

0


Dado esto, el ∆h que debemos darnos es positivo, porque sabemos que la altura aumenta hacia aguas arriba. A continuación se muestra el procedimiento realizado en un programa computacional de cálculo numérico, donde se dio ∆h = 0, 0001. El perfil de superficie libre se muestra en la figura 9.4.8


En la simulaci´ on, es posible apreciar que la altura normal se alcanza en los 200 metros recorridos hacia aguas arriba.

298


Cap´ıtulo 10

Flujo en conducto cerrado En este cap´ıtulo abordaremos los fenómenos de transporte y diseño en conducto cerrado. En primer lugar mencionaremos y recordaremos una vez más los principios fundamentales a ser utilizados en el análisis.

10.1.

Principios fundamentales

10.1.1.

Conservaci´ on de masa

En régimen permanente y en un tubo de flujo como el de la figura 10.1.1, se tiene que el flujo másico se mantiene. n2 ˆ

S 2 V 2 ~

S 1 n1 ˆ

V 1 ~


ρ1 Q1 = ρ 2 Q2

Si el fluido es incompresible, el flujo volumétrico se conserva:

299

(10.1.1)

CAP ´ ITULO 10. FLUJO EN CONDUCTO CERRADO

300

Q1 = Q 2

(10.1.2)

A1 U 1 = A 2 U 2

(10.1.3)

Donde A y U corresponden al área y velocidad promedio respectivamente.

10.1.2.

Balance de energ´ıa

Las hip´ otesis principales con las que se trabajará son: Flujo adiabático (no hay intercambio de calor). No hay cambio de energ´ıa interna (∆T = 0). Régimen permanente. Fluido incompresible. Con todas estas hipótesis establecidas, la conservación de energ´ıa se puede resumir en:

E 1 ± E G = E 2

(10.1.4)

Donde E G representa la energ´ıa generada o consumida en el volumen de control. Se usará un signo más si es generada y un menos si es consumida. La energ´ıa E corresponde a la energ´ıa total:

E = z +

P γ

+

U 2 2g

(10.1.5)

La energ´ıa generada o consumida podemos expanderla como: E G = Donde, ∆hf :

pérdidas por fricción.

∆hs :

pérdidas por singularidad.

∆H e :

energ´ıa externa (bomba o turbina).

∆hf + ∆hs ± ∆H e

(10.1.6)

301

10.1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Las pérdidas por singularidad se pueden modelar como: ∆hs = k

U 2 2g

(10.1.7)

Donde k es el coeficiente de singularidad. Por lo general sucede que para grandes instalaciones ∆hf >>>> ∆hs .

10.1.3.

Conservaci´ on de energ´ıa caso fluido ideal

Si consideramos que el fluido es ideal, las pérdidas por fricción y singularidad no son consideradas, por lo que en un diagrama de l´ıneas de energ´ıa, la energ´ıa total no cambia y los cambios de presión se equilibran con cambios en altura geom´ etrica. La figura 10.1.2 muestra esta situación.

(1) U 22 2g

P 2 γ

z 1

(2) z 2

z =

L´ınea de Energ´ıa Cota piezométrica

0

Figura 10.1.2: Conservación de la energ´ıa en conducto cerrado, fluido ideal

10.1.4.

Conservaci´ on de energ´ ıa caso real

Ahora si consideramos la viscosidad, existir´ an pérdidas por fricción y por singularidad, como muestra la figura 10.1.3. En este caso la cota piezometrica no es horizontal, pero se mantiene paralela a la l´ınea de energ´ıa, la cual en este caso tampoco es horizontal, sino que desciende a medida que avance la tuber´ıa. Las pérdidas por fricción son aquellas relacionadas con la resistencia de las fuerzas viscosas. Se genera calor, el cual es tomado por el conducto (lo consideraremos despreciable). ¿Qué factores afectan a las pérdidas por fricción? 1. Tipo de fluido (viscosidad µ o ν ) 2. Condiciones del flujo (laminar o turbulento, asociados a la velocidad). 3. Geometr´ıa de la conducción, largo L y diámetro D. 4. Material de conducci´ on (rugosidad).


302

(1) ∆H s ∆H f

U 22 2g P 2 γ

z 1

(2)

L´ınea de Energ´ıa Cota piezométrica

z 2 z =

0

Figura 10.1.3: Conservación de la energ´ıa en conducto cerrado, fluido real

1 y 2 se combinan en dependencia del número de Reynolds para ver si el régimen es turbulento o laminar. En R´ egimen Laminar, el flujo se desarrolla en láminas ordenadas sin dispersión. En este caso las fuerzas viscosas aten´ uan las inestabilidades del flujo. Las pérdidas se deben a efectos de la viscosidad. En R´ egimen Turbulento, el flujo es desordenado, existen intercambios de cantidad de movimiento internos y choques. Las pérdidas de energ´ıa se deben a estos intercambios y serán expresadas en función de las fuerzas viscosas y de las irregularidades de la pared de conducción. El n´ umero de Reynolds será fundamental a la hora de analizar flujos en tuber´ıas.

Re =

ρU D

µ

Re

≤ 2300 2300 < Re ≤ 4000

(10.1.8)

Flujo Laminar Flujo en Transici´ on

Re > 4000

Flujo Turbulento

ρ es la masa espec´ıfica del fluido.

U es la velocidad promedio del flujo, o tambi´ en puede usarse la escala de velocidades caracter´ıstica del flujo. D es el diámetro de la tuber´ıa, o también puede usarse la escala de longitudes caracter´ıstica del flujo. µ es la viscosidad dinámica del fluido. Las pérdidas por fricción las denotaremos por

∆H f y

∆H f

=

se calculan según (10.1.9):

f L V 2 D 2g

(10.1.9)

303


Donde f es el coeficiente o factor de fricci´ on, el cual depende del tipo de flujo, geometr´ıa y material de la tuber´ıa, L es el largo de la tuber´ıa y D el diámetro de la misma. Esta expresión proviene de hacer un an´ alisis dimensional para determinar una expresión dimensionalmente homogénea con respecto a la pérdida por fricción. Ver ejemplo 1.4 para m´ as detalles de la derivaci´ o n de la expresi´ on para p´ erdidas de carga. Las pérdidas por singularidad las denotaremos por ∆H s y son p´ erdidas puntuales debido a variaciones locales de las condiciones del flujo. Un ejemplo de esto son los ensanches (división de las l´ıneas de corriente), codos (cambio de dirección de flujo) y elementos hidráulicos como válvulas, diafragmas, que generan una pequeña obstrucción al flujo y por consiguiente pérdida de energ´ıa. Las pérdidas por singularidad son dif´ıciles de calcular anal´ıticamente, salvo algunos casos muy especiales y bajo varios supuestos. Lo que suele hacerse es calcular las pérdidas a trav´ es de experimentos emp´ıricos. ∆H s suele expresarse como: V 2 ∆H s = k 2g

(10.1.10)

Donde k es el coeficiente de singularidad y depende del tipo de singularidad y del flujo. Ejemplo 10.1. P´ erdidas singulares en tuber´ıa En la figura 10.1.4 se muestra un estanque que en el fondo desemboca a una tuber´ıa (T1), la cual presenta una válvula de conexión (V) a otra tuber´ıa (T2) que posteriormente se ensancha formando otra tuber´ıa (T3). En el diagrama se muestras las l´ıneas de energ´ıa y las pérdidas son: ∆H s1 :

pérdida singular entrada cañer´ıa.

∆H f 1 :

fricción tuber´ıa 1.

∆H sv :

pérdida singular válvula de conexi´ on.

∆H f 2 :


∆H sen : ∆H f 2 :

10.1.4.1.

pérdida singular por ensanche.


Consumo y adici´ on de energ´ ıa externa

Denotaremos como H A la energ´ıa agregada al sistema por elementos externos (como una bomba) y H R a la energ´ıa removida del sistema (como una turbina). El balance de energ´ıa antes y despu´ es de estos elementos se puede resumir en: (a) Energ´ıa agregada (bomba) (figura 10.1.5). Si (1) representa el punto de control antes de la bomba y (2) representa el punto de control despu´ es de la bomba, entonces la conservación de energ´ıa establece que:

E 1 + H A =E 2 z1 +

P 1 γ

+

U 12 P 2 U 22 + H A =z2 + + γ 2g 2g

(10.1.11)

(10.1.12)


304

∆H s1 ∆H f 1 ∆H v D1

∆H f 2

X

∆H s23 ∆H f 3

D2 D3

V´ alvula

Figura 10.1.4: Ejemplo de pérdidas por singularidad y fricción

1

B

2

Figura 10.1.5: Puntos de control en una bomba

Donde H A es la energ´ıa agregada por la bomba. Esta energ´ıa es energ´ıa por unidad de peso (en metros), si queremos obtener la potencia de la bomba, debemos multiplicar p or el peso espec´ıfico γ y el caudal Q:

[H A ] = [m]

(10.1.13)

[γ QH A ] =[Watts]

(10.1.14)

Esta potencia representa la que transmite la bomba al sistema, pero la potencia el´ ectrica que consume la bomba al trabajar, es mayor, ya que en la bomba misma hay pérdidas internas, por lo que se define un coeficiente de eficiencia η , el cual relaciona estas potencias:

η =

Potencia mecánica que entrega bomba al sistema Potencia eléctrica que requiere la bomba

η

∈ [0, 1]

(10.1.15)

Esta expresión también puede verse como:

˙ e = Potencia eléctrica = W

Potencia mecánica η

=

γ QH A η

(10.1.16)

(b) Energ´ıa removida al sistema (turbina) (figura 10.1.6). Al igual que el caso de la bomba: Si (1) representa

305


el punto de control antes de la turbina y (2) representa el punto de control despu´ es de la turbina, entonces la conservación de energ´ıa establece que:

E 1 + H A =E 2 z1 +

P 1 γ

+

1

U 12 P 2 U 22 =z2 + + + H R γ 2g 2g

T

(10.1.17)

(10.1.18)

2

Figura 10.1.6: Puntos de control en una turbina Donde H R es la energ´ıa removida por la turbina. Esta energ´ıa es energ´ıa por unidad de peso (en metros), si queremos obtener la potencia de la turbina, debemos multiplicar p or el peso espec´ıfico γ y el caudal Q:

[H R ] = [m]

(10.1.19)

[γ QH R ] =[Watts]

(10.1.20)

Esta vez el coeficiente de eficiencia relaciona la potencia eléctrica que entrega la turbina con la energ´ıa mec´ anica que es capaz de entregarle el sistema a ella.

η =

Potencia eléctrica que entrega la turbina al exterior Potencia mecánica que recibe la turbina del sistema

(10.1.21)

(10.1.22)

Esta expresión también puede verse como:

˙ e = η Potencia mecánica = ηγ QH R Potencia eléctrica = W

Observaci´ on: Como notación, diremos que en caso de turbinas, H R de turbina y H A H B , para relacionar la letra B de bomba.

≡

Ejemplo 10.2. Estaci´ on de Bombeo

≡ H T , para relacionar la letra T


306

En la figura ?? se muestra un camión cisterna siendo cargado con combustible de masa espec´ıfica ρ = gr cm2 0, 86 y viscosidad cinemática ν = 0, 05 . La tuber´ıa completa tiene un largo de 150 m y el gasto que cm3 seg escurre en condiciones de r´ egimen permanente es de Q = 33 LP S (litros por segundo). El factor de fricción se ha estimado en f = 0, 024 y la diferencia de cotas entre el estanque alimentador y el camión cisterna es de ∆z = 5 m. Se pide dise˜ nar el sistema decidiendo el valor del diámetro D de la tuber´ıa y con los siguientes costos: Costo por diámetro: Costo por potencia:

1600 $ . cm

750 $ consumido. kW

Las alternativas de diámetro son: 100, 125 y 150 mm. Considere que la eficiencia de la bomba es 1 y que no hay pérdidas singulares. 1

2

Cisterna B

Figura 10.1.7: Estación de Bombeo

Realizando balance de energ´ıa con la ecuaci´ on de Bernoulli tenemos:

z1 +

P 1 γ

+

U 12 P 2 U 22 f L U 2 + H B = z2 + + + γ 2g 2g D 2g

Considerando que el estanque alimentador está a presión atmosférica y que el llenado también se hace a presi´ on atmosférica, tenemos que P 1 = P 2 = 0 (relativas), luego,

z1

Por continuidad, U =

−

U 2 z2 + H B = 2g



f L 1+ D



Q Q = y además reemplazamos la diferencia de z, que es 5. A π D2 4 Q2 (0, 024) · (150) 5= 2 1+ H B A 2g D (0, 033)2 (0, 024) · (150) 5= 1+ 2 D π D2 2g 4

   

−

−

H B

Como resultado tenemos una expresión que depende de D y H B . Siendo la variable de decisión el diámetro D, podemos construir una tabla:

´ 10.2. P ERDIDAS DE ENERG ´ IA

307 D(m) 0,1 0,125 0,15

Potencia (kW ) 7,878 1,667 -0,153

H B 28,32 6 -0,55

Costo 21908 21250 24000

Tabla 10.1.1: Tabla de valores de costo según di´ ametro escogido.

Como la decisión es tomada en base a costo, elegimos el diámetro D = 0, 125 m

10.2.

P´ erdidas de energ´ıa

En esta sección analizaremos en detalle y describiremos matemáticamente las expresiones que podemos encontrar para las pérdidas de energ´ıa. Recordemos que anteriormente definimos las p´ erdidas por fricci´ on como: ∆H f

=

f L U 2 D 2g

(10.2.1)

Donde f depende de la geometr´ıa de la tuber´ıa, el material y el tipo de flujo establecido.

10.2.1.

Concepto de capa l´ımite

Lo primero que haremos será explicar cómo el tipo de flujo afecta en las pérdidas de energ´ıa. Recordemos que el flujo puede ser laminar, transici´ on o turbulento seg´ un el n´ umero de Reynolds:

Re =

Re

≤ 2300 2300 < Re ≤ 4000 Re > 4000

ρU D

µ

(10.2.2)

Flujo Laminar Flujo en Transici´ on Flujo Turbulento

En presencia de flujo laminar, los esfuerzos viscosos son importantes. En flujo turbulento, los esfuerzos viscosos son poco relevantes en comparación con las fuerzas de inercia del flujo. ¿Cómo podr´ıamos definir un l´ımite entre el cual los esfuerzos viscosos pasan de ser importantes a poco relevantes? Para ello está el concepto de Capa L´ımite. La capa l´ımite la definimos como la zona donde la viscosidad tiene un efecto importante en el flujo. Fuera de esta zona la velocidad se considera independiente de las paredes. Recordemos que la ley de viscosidad de Newton define el esfuerzo viscoso como:


308

τ = µ

Donde

∂ u ∂ y

(10.2.3)

∂ u es la pendiente del perfil de velocidades. En la figura 10.2.1 se muestran dos situaciones. La ∂ y

primera (izquierda) es un perfil lineal a lo largo de todo el eje Y . R´ apidamente podemos darnos cuenta que ∂ u = 0 y. Entonces los esfuerzos viscosos no pueden despreciarse en ningún lugar. Sin embargo, en la ∂ y situaci´ on de la derecha, vemos que para y suficientemente grande, el perfil de velocidad deja de cambiar en la ∂ u direcci´ on vertical, es decir 0, lo que nos dice que para y bien alejados de la pared, el esfuerzo viscoso ∂ y puede despreciarse. ∂ u ∂ u La zona donde pasamos de =0a 0 es la Capa L´ımite. ∂ y ∂ y

6

∀

→

6

≈

u(y )

u(y ) τ

≈ 0

τ

6 =0

y

x

Figura 10.2.1: Capa l´ımite

10.2.2.

P´ erdidas de energ´ıa en r´ egimen laminar

En el caso del Régimen Laminar, es posible encontrar matemáticamente un valor para el factor de fricción ~ usando las ecuaciones de f . Esto es porque podemos determinar anal´ıticamente el valor de la velocidad V Navier-Stokes. En la figura 10.2.2 se muestra un flujo en una tuber´ıa circular de radio R, donde se ha tomado un pequeño volumen de control anular (esta misma derivación se hace en el ejemplo 5.2). Para ver en detalle cómo se encontró la velocidad, consultar el ejemplo 5.2. Lo que haremos acá será ahorrar unos pasos para enfocarnos en lo importante. Aplicaremos las ecuaciones de Navier Stokes en coordenadas cil´ındricas, donde el eje radial y tangencial se encuentran en el plano de la sección transversal de la tuber´ıa, mientras que el eje longitudinal atraviesa el centro de la tuber´ıa. El balance de fuerzas resulta:

X

~ F · ˆk = π R

2

 −  P

∂ P ∆ z P + ∂ z

 −

τ (2π r∆z) =

~ DV · ˆk Dt

(10.2.4)

∂ ~ = (0, 0, w) y El lado derecho resulta 0 si suponemos r´ egimen permanente = 0, flujo unidireccional V ∂ t ∂ w reemplazamos la ecuación de continuidad ~ · ~ V = 0 =0 ∂ z

∇

→


309

r z



P +

∂ P ∂ z

∆z



(2π rdr)

ˆ θ ˆ r

P (2π rdr)

r

∆z

τ ext =



τ +

∂τ ∂ r

∆r



Esfuerzo de corte exterior

τ ext

Esfuerzo de corte interior

τ int

dr

(2π )(r + ∆r)∆z

τ int = τ (2π )(r∆z )

Figura 10.2.2: Secci´ on de tuber´ıa circular, flujo unidireccional

Por lo que reduciendo los términos semejantes, tenemos:

− ∂ ∂ Pz = 2ππrr2τ − ∂ ∂ Pz = 2rτ Luego expresando τ seg´ un la ley de viscosidad de Newton: τ = µ

∂ w , ∂ r

− ∂ ∂ Pz = 2µr ∂ ∂ wr ∂ P r ∂ w = − ∂ r ∂ z 2µ

2

∴

w =

− ∂ ∂ Pz 2µ1 r2

+ C

(10.2.5)

Donde C es la constante de integración. La condici´ on de borde es que en las paredes la velocidad es 0, es decir w(r = R) = 0, por lo que al reemplazar, resulta:

w =

∂ P 1 R2 ∂ z 4µ



− r2



El resultado es un perfil parabólico, donde el máximo se encuentra en el centro r = 0 y vale wmax =

(10.2.6)

∂ P R2 . ∂ z 4µ


310

Una pregunta interesante es ¿cuánto vale el caudal Q?, ya que estamos hablando generalmente de velocidades promedio y el caudal lo usamos frecuentemente en la ecuación de Bernoulli, ser´ıa u ´ til tener su valor, obteng´ amoslo: Recordemos que el caudal Q se calcula como: Q =

Z

~ n V ˆ dA

(10.2.7)

(10.2.8)

A

2π R

Q =

Z Z Z Z 0

0

2π R

=

0

wdA

0

∂ P 1 (R2 ∂ z 4µ

− r2)(rdrdθ)

= · · · (desaf´ıo personal)

R4 π ∂ P Q = 8µ ∂ z

Si dividimos por el área obtenemos la velocidad promedio U , seg´ un la ecuación de continuidad en análisis global:

U =

Q R2 ∂ P wmax = = A 8µ ∂ z 2

(10.2.9)

Ahora la pregunta es ¿es significante el esfuerzo de corte? La respuesta es s´ı, ya que vimos que el perfil de velocidad es parabólico, entonces el esfuerzo de corte es lineal y creciente con r. Si tomamos la definición de esfuerzo de corte de la ley de viscosidad de Newton, encontraremos que el esfuerzo de corte es:

r R

− 

τ = τ 0 1

(10.2.10)

Donde τ 0 es el valor de esfuerzo de corte máximo que se manifiesta en el borde de la tuber´ıa y vale R ∂ P τ 0 = . La figura 10.2.3 muestra la distribución de esfuerzo de corte τ . 2 ∂ z Ahora que sabemos que el esfuerzo de corte es relevante y conocemos el tipo de flujo, estamos en condiciones de evaluar la pérdida de energ´ıa por fricción en una tuber´ıa circular en flujo horizontal. f L U 2 Recordemos que las pérdidas por fricción se modelan como ∆H f = . Por otro lado, aplicando D 2g Bernoulli se tiene que:

−


311 τ 0

r τ

z τ 0

Figura 10.2.3: Distribuci´ on esfuerzo de corte en tuber´ıa circular

Z 1 + ∆H f

= (Z 1

U 12 γ 2g P 1 Z 2 ) +

P 1

−

2

− ∆H f = Z 2 + P γ 2 + U 2g2

+



γ

−

P 2 γ

  +

U 12 2g

−

U 22 2g



(10.2.11)

(10.2.12)

Si estamos en una tuber´ıa horizontal, Z 1 = Z 2 , aqu´ı hemos diferenciado z de Z para que nadie se confunda con los ejes. z es para las coordenadas cil´ındricas y Z es para las cartesianas en esta ocasión. Luego, es posible demostrar que para un flujo unidireccional, la conservación de la masa asegura que

∂ w = 0, por lo que U 1 = U 2 . Finalmente, Bernoulli se reduce a: ∂ z

∆H f

∂ P Para distancias infinitesimales ∂ z de tuber´ıa.

=

P 1

− P 2

γ

(10.2.13)

≈ ∆∆P L = P 1 −L P 2 , donde L es el largo arbitrario que uno desee tomar

Recapitulando: tenemos 3 relaciones

∆H f

=

∆H f

=

f L U 2 D 2g P 1 P 2

−

γ 2 R ∂ P U = 8µ ∂ z

(10.2.15)

2

≈ R8µ P 1 −L P 2

Igualando ∆ H f de las primeras dos ecuaciones, y reemplazando P 1 R = D/2), se llega a:

f L U 2 8µU = γ R2 D 2g Despejando f obtenemos finalmente que:

(10.2.14)

(10.2.16)

− P 2 de la tercera (reemplace también

(10.2.17)


312

f =

64 64 = ρU D Re

Factor de fricci´ on r´ egimen Laminar

(10.2.18)

Esta expresión es válida para n´ umeros de Reynolds hasta aproximadamente 2300, que es donde pasamos on. al rango de transici´ Las pérdidas por fricción en régimen transición y turbulento se abordarán en la próxima edición de este libro.

Cap´ıtulo 11

Referencias [1] Brodbeck, David. Grand Coulee Dam spillway in June 2009. Digital image. N.p., 14 June 2009. Web. 30 Nov. 2014. [2] C ¸ engel, Y. A., Boles, M. A., Cordero, P. C. R., & Moreno, C. N. A. (2006). Termodin´ amica. México: McGraw-Hill. [3] Fox, R. W., McDonald, A. T., & Pritchard, P. J. (1998). Introduction to fluid mechanics (Vol. 5). New York: John Wiley & Sons. [4] Harrison, JJ. Gordon Dam, Southwest National Park, Tasmania, Australia. Digital image. N.p., 10 Sept. 2008. Web. [5] Hermans, Paul. De tunnel van het aquarium te Barcelona, Spanje. Digital image. N.p., 14 May 2009. Web. 30 Nov. 2014. [6] Larra˜ naga, B. F. (1999). Introducción a la Mecánica de Fluidos. Ediciones de la Universidad Cat´ olica de Chile. [7] Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (1990). Fundamentals of fluid mechanics (pp. 105-120). New York. [8] Sturm, T. W. (2010). Open channel hydraulics. McGraw-Hill Higher Education.

313

314

CAP ´ ITULO 11. REFERENCIAS

Ap´ endice Momentos de inercia de figuras planas

315

Arrospide

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