Aritmetica funciones

aritmética tema 8

multiplicación y división SnIi2a8

DESARROLLO DEL TEMA I. Multiplicación

Es una operación binaria, que consiste en sumar una misma cantidad llamada multiplicando (a), tantas veces como lo indique otra llamada multiplicador (b). El resultado de la operación se llama producto (p). a + a + a + ... + a = p 1444442444443 b veces

II. División

Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números llamados dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercer número llamado cociente (q). Ejemplo:

a×b=p Ejemplos:



• 12 + 12 + 12 + ... + 12 = 12 × 7 = 84 14444444244444443 7 veces • 123 + 123 + 123 + ... + 123 = 123 × 13 144444444424444444443 13 veces



Productos parciales

1 1

3 2 5

2 1 6 3 9



siendo la suma de productos parciales







3 3 9

123 = 123 × 1

S.P.P. =

492 = 123(3 + 1)

+

9

4

0

-

2

7

2

4

-

3

8 53 < > 427 = 8 × 53 + 3

en general: Algoritmo de la división D

d

0

q

< > D = dq + r

donde: r es residuo

D

d

0 Ejemplo:

q

< > D = dq

42 7 0

6

< > 42 = 7 × 6

2. División inexacta: (r > 0) Se puede realizar de dos formas • Por defecto 34 9 7

Observación: Es recomendable realizar la multiplicación en forma vertical.

3

34 = 9 × 3 + 7

• Por exceso 34 9 2

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7

1. División exacta: (r = 0)

×

369 = 123 × 3



2

III. Tipos de división

el producto se puede obtener: 1

4

11

4

34 = 9 × 4 – 2

aritmética

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multiplicación y división



IV. Propiedades

En general: Defecto

Exceso

D

d

D

rd

q

re q + 1

D = dq + rd

1.

d

2.

D = d (q + 1) – re

0 < (residuo) < (divisor) rmáximo = d – 1

3.

rmínimo = 1

rd + re = d

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto este quedará aumentado en 1100. ¿Cuál será dicho producto si la diferencia de los factores es 20? A) 4800 B) 3500 C) 2400 D) 1500 E) 6300

Problema 2 Hallar el mayor número que al ser dividido por 50 se obtiene un resto que es el triple del cociente. A) 343 B) 146 C) 488 D) 848 E) 180

Problema 3 La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro, se tiene 16 de cociente y residuo máximo. El número mayor es: A) 302 B) 234 C) 305 D) 304 E) 243

Resolución

Resolución

Resolución:

Sea N el mayor número tal que:

Sea los números a y b (a > b), por dato:

Sea el producto inicial a×b=p por dato: (a + 10)(b + 10) = p + 1100 → a + b = 100 ................. (1) además: a – b = 20 ....................... (2) resolviendo:

N

50

r

q

luego:

N = 50q + r

por propiedad 14444244443 r < 50 ↓ 3q < 50 q < 16,6

N = 53q Como N es el mayor entonces q también debe ser el mayor.

a = 60, b = 40 en (1)

→ N = 53(16) = 848

a × b = 2400

\ El mayor número es 848

\ El producto es 2400

Respuesta: D) 848

Respuesta: C) 2400

a

b

por propiedad 14444244443 rmax < b – 1

rmax 16 luego: a = 16b + rmax a = 17b – 1 ....................... (1) además a + b = 323 ↓ (17b – 1) + b = 323 b = 18 a = 305 \ El número mayor es 305

Respuesta: C) 305

PROBLEMAS de clase Simples 1. El producto de dos números naturales diferentes de la unidad es 221. Hallar la suma de los números. a) 20 b) 21 c) 28 d) 23 e) 30 2. Al dividir 113 entre 9 hallar la suma del cociente por exceso, más el residuo por defecto.

Tema 8

a) 13 c) 17 e) 19

b) 15 d) 18

3. El producto de dos números es 720. Si se añaden 6 unidades al multiplicando, entonces el producto es 816, ¿cuál es el multiplicador? a) 72 b) 36 c) 45 d) 16 e) 32

aritmética

22

4. En una división el divisor es 24, el cociente 15 y el residuo el máximo posible. Hallar el dividendo. a) 366 b) 380 c) 383 d) 363 e) 394 5. El producto de dos números es 1890. Si el multiplicador aumenta en 5 unidades el producto aumenta en 270. Dar la diferencia de ambos números.

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multiplicación y división

a) 15 d) 19

b) 16 e) 12

c) 18

produndización 6. Si: 9 × aa(2a) es el producto de 4 números consecutivos. Hallar “a”. a) 1

b) 2

d) 3

e) 5

c) 4

7. Hallar el menor número que multiplicado por 21, se obtenga un número formado por solo cifras dos. Dar por respuesta la suma de sus cifras. a) 10

b) 16

d) 13

e) 14

8. Si: abcde7 × 5 = 7abcde.



Hallar a + b + c + d + e a) 17

b) 18

d) 20

e) 21

c) 19

9. En una división inexacta el resto por defecto es el doble del cociente por exceso y el resto por exceso es el doble del cociente por defecto. Hallar el dividendo sabiendo que el divisor es 62. a) 946

b) 962

d) 986

e) 956

c) 972

sistematización

c) 12 10. Si: 1ab × CA(ab) = 8479

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33

Halle m + n + p, si: mnp × bb = m5na6 a) 10 b) 13 d) 17 e) 20

c) 15

11. Se tiene 101 números consecutivos, se divide el mayor entre el menor y se obtiene 17 de resto, ¿cuál es la suma de los números? a) 15231 b) 13433 c) 33431 d) 51321 e) 121212 12. Al multiplicar ab × mn la suma de productos parciales es 516, además m – a = n. Hallar a + b + m + n a) 15 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

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