MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR
© 2006-200 9 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
I2299 I22
IESDE Bra IESDE Brasil sil S.A S.A.. / Pré-ve Pré-vesti stibul bular ar / IES IESDE DE Bra Brasil sil S.A S.A.. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Literatura Matemática
Física Química Biologia História
Geografa
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
Produção
Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
© 2006-200 9 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
I2299 I22
IESDE Bra IESDE Brasil sil S.A S.A.. / Pré-ve Pré-vesti stibul bular ar / IES IESDE DE Bra Brasil sil S.A S.A.. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Literatura Matemática
Física Química Biologia História
Geografa
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
Produção
Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Aritmética Elementar Em geral ap, p ∈ N e p ≥ 2, é um produto de p fatores iguais a a. ap = a . a . a... . a p . fatores Os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. Supõe-se que utilizamos o sistema de base 10 devido à nossa quantidade de dedos, o que facilitaria o processo de contagem primitivo. Em áreas como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema de base 16 ou hexadecimal. Todo número inteiro diferente de 0, 1 e -1 pode ser expresso como um produto de números primos. Esse resultado, conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética, já aparecia no livro IX dos “Elementos”, de Euclides, e destaca a importância dos números primos na Teoria dos Números, desempenhando um papel similar ao dos átomos na estrutura da matéria. O conceito de congruências, introduzido por Gauss, em 1801, no seu “Disquisitiones Arithmeticae”, será apresentado como importante ferramenta para estudo dos números. É importante lembrar que a Teoria dos Números é uma área em franco desenvolvimento, que apresenta aplicações nas mais diversas áreas e que ainda possui muitos problemas em aberto que são um desafio aos matemáticos.
`
Exemplos: 1) 40 = 1 2) (–5)0 = 1 3) 2 1 = 2 1 1 1 4) = 5 5 5) (–4)1 = –4 6) 5 2 = 5 ⋅ 5 = 25 7) (–3)2 = (–3)⋅(–3) = 9 8) 0 2 = 0 ⋅ 0 = 0 9)
2 3
2
=
2 3
.
2 3
=
4 9
10) 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 11) (–2)3 = (–2)⋅(–2)⋅(–2) = –8 12) –2 3 = –(2)⋅(2)⋅(2) = –8 13) –(–2)3 = –(–2)⋅(–2)⋅(–2) = 8
Potência de expoente natural Seja a ∈ R a 0 e n ∈ N, a potência de base a e expoente n é um número an tal que: a0 = 1 an = an–1.a, n, n 1 Assim, 2 0 0 _ T A M _ V _ M E
a1 = a0⋅ a = 1 ⋅ a = a a2 = a1 ⋅ a = a ⋅ a a3 = a2 ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a
1) 2) 3) 4) 5) 6)
a0 = 1, a 0 a1 = a 0P = 0, p R+* 00 não é definido n par an > 0 n ímpar an tem o mesmo sinal de a 1
Potência de expoente inteiro negativo a–n = `
`
3 3 + 2 3 = 5 3
2) Para multiplicação ou divisão basta que as raízes possuam o mesmo índice.
1
,a
an
R*
`
=
1
=1
1
3
2 ) 3 -2 = 3)
(−3 )−
1 3 2 3
=
=
2 . 3 3 = 3 2.3 =
3
6
Potência de expoente racional
3 1 2 1
(−3 )
3
=
1
− 27
=−
1
Seja a R+* e p q
27
−2
1 1 9 2 = = 4 ) = 2 3 2 4 4 3 9 −n n a b Em geral, temos: = b a
Exemplos:
q
a = ap
p Expoente q
Raiz enésima aritmética Seja o radicando a R+ e o índice n N, existe sempre a raiz b R+, tal que n a = b bn = a.
Q*, temos: p q
`
`
Exemplo: 3
Exemplos: 1) 3 1
Exemplo:
numerador potência da base denominador índice da raiz
Exemplos: 1
2
3
2) 8 3 = 8 2 = 4
1) 3 2 = 3
As potências de expoente irracional são definidas por “aproximação” de potências racionais, mas apenas para bases não-negativas.
5
32 = 2, pois 2 5 = 32
Propriedades das potências 1) ap ⋅ aq = ap + q
Da definição temos que 4 16 = 2 e não 4 16 = 2. Especial cuidado deve ser tomado no cálculo da raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se a2 = a . `
2)
ap a
q
= ap – q, a ≠ 0
3) (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp
Exemplos: 4)
(–5)2 = – 5 = 5 e x 2 = x .
a
p
b
=
ap bp
,b≠0
5) (ap)q = ap⋅q
Operações 1) Só é possível adicionar ou subtrair raízes idênticas (mesmo índice e radicando). 2
`
Exemplos: 1) 5 3 ⋅ 5 2 = 5 3+2 = 5 5 2) 3 4 ⋅ 3 –1 = 3 4–1 = 3 3 3)
2 5 2
2
= 2 5 – 2 = 23
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
xyé usado para representar 10x+y xyz para representar 100x + 10y + z Esse tipo de representação pode ser utilizada também em outras bases.
Mudança da base 10 para uma base qualquer Já sabemos como relacionar um número em uma base qualquer com seu correspondente na base 10. Agora vamos ver como obtemos a representação em uma outra base de um número que conhecemos na base 10. Isso é feito baseado na expressão do item anterior. Dessa forma, para passar um certo número da base 10 para uma base qualquer b, deve-se dividir o número sucessivamente por b e a sua representação nessa nova base é dada pelo resto assim obtido tomados na ordem contrária. `
Exemplos: Escrever 171 na base 2. 171 2 1 85 1
2 42 0
2 21 1
2 10 0
2 5 1
2 2 0
2
1
171 = (10101011)2
Mudança entre bases diferentes da base 10 Para converter um número que se encontra em uma base diferente de 10 para outra também diferente de 10, deve-se converter o número para a base 10 e então para a nova base. `
Exemplos: Ex.: Escrever (6 165)7 no sistema de base 12 Temos: (6 165)7 = 6·7 3 + 1·7 2 + 6·7 + 5 = 2 154 Fazendo divisões sucessivas: 2154 = 12 · 179 + 6 179 = 12 · 14 + 11 14 = 12 · 1 + 2 1 = 12 · 0 + 1
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
Logo, 2 154 = (12B6)12 Portanto, (6 165)7 = (12B6)12
Contagem Se n e p são números naturais com n > p, o número de naturais entre n e p inclusive (isto é, con tando também n e p) é igual a n – p + 1. Se no cômputo incluirmos apenas um dos extremos a quantidade de naturais é n – p. O número de naturais entre n e p exclusive (isto é, excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1. `
Exemplos: 1) Entre 10 e 99 inclusive há (99 – 10 + 1) = 90 nú- meros. 2) Entre 9 e 99 excluindo o 9 há (99 – 9) = 90 números. 3) Entre 9 e 100 excluindo (sem os dois extremos) há (100 – 9 – 1) = 90 números.
As ideias expostas acima podem ser utilizadas na ordem inversa, como no exemplo abaixo: Exemplo: Qual o vigésimo número após 15? Temos então que contar 20 números começando em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x – 15) = 20 donde x = 35. Muitas vezes precisamos contar a quantidade de números numa sequência de múltiplos de k. Devese proceder como acima considerando os números divididos por k. Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde 33 até 333. Quantos números são escritos? Os números escritos vão de 3 . 11 até 3 . 111, logo devemos contar a quantidade de números de 11 a 111 inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números. Outras vezes é solicitado que se contem a quantidade de algarismos escritos. Para tanto, é necessário calcular quantos números são escritos com cada quantidade de algarismos. `
Exemplos: São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos foram escritos? De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo. De 10 a 99 há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 alga- rismos. De 100 a 150 há (150 – 100 + 1) = 51 números de 3 algarismos. Logo, o total de algarismos escritos é 9 · 1 + 90 · 2 + 51 · 3 = 342. A tabela a seguir mostra a quantidade de números que se pode formar na base 10 com uma determinada quan- tidade de algarismos.
5
`
Exemplo:
Qtd. de algarismos
Qtd. de números
1
9
Quantos divisores positivos possui o número 60?
2
90
60=2 2 . 3 1. 5 1
3
900
4
9000
d (60)=(2+1).(1+1).(1+1)=12
Divisibilidade Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0. Diz-se que a divide b (denotado por a | b) se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Se a não divide b escreve-se a b. Ex.: 2|6, pois 6 = 2 3 e 3 10, pois não existe inteiro q, tal que 10 = 3q.
• Para obter o total de divisores positivos e ne-
Propriedades
• A quantidade de divisores pares pode ser
gativos, basta multiplicar por 2 o valor obtido pela expressão acima. • Para obter a quantidade de divisores ímpares basta excluir do produto d(n) o fator
relativo ao expoente do primo 2, se houver. obtida subtraindo esse número do total.
Sejam a, b e c inteiros. a|0, 1|a e a|a (reflexiva) Se a|1, então a = ±1 Se a|b e c|d, então ac|bd Se a|b e b|c, então a|c (transitiva) Se a|b e b|a, então a = ±b
Divisores positivos de 60 = (2+1).(1+1). (1+1) = 12
Se a|b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b|
Divisores pares de 60 (positivos) = 12 – 4 = 8
Total de divisores positivos e negativos de 60 = 2.12 = 24 Divisores ímpares de 60 (positivos) = (1+1). (1+1) = 4
Se a|b e a|c, então a|(bx + cy), x,y Z.
Divisores de um inteiro É o conjunto dos números inteiros não-nulos que são divisores de a, conforme definido acima. D(a) = {x Z* x|a} Ex.: D(0) = Z*, D(1) = {1, –1} e D(8)={±1,±2, ±4, ±8}
Divisores comuns de dois inteiros D(a, b) = {x Z* x|a e x|b} = {x Z* x D(a) e x D(b)} = D(a) D(b). Ex.: D(12, – 15) = {±1, ±3}.
Máximo divisor comum (MDC) Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro positivo d = mdc (a, b) que satisfaz: (1) d a e d b (2) se c a e c b, então c d. A condição (1) diz que d é um divisor comum de a e b e a condição (2), que d é o maior dos divisores comuns. `
Exemplos: mdc (8,1)=1, mdc(–2,0) = 2, mdc(–6,12) = 6, mdc(16, 24) = 8, mdc (24, 60) = 12.
Número de divisores positivos O número de divisores positivos de um inteiro positivo n > 1, cuja decomposição canônica é n = p 1 1 p 2 ... p k, é dado por: 2 k d(n) = ( 1 + 1)( 2 +1) ... ( k + 1) 6
Corolários mdc (a, 1) = 1 se a 0, então mdc (a, 0) = a se a b, então mdc (a, b) = a
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
Existência e unicidade do MDC Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos, então mdc (a, b) existe e é único; além disso, existem x e y tais que mdc (a, b) = ax + by, isto é, o mdc (a, b) é uma combinação linear de a e b. A representação do mdc (a, b) como combinação linear de a e b não é única. Na verdade, mdc (a, b) = d = a(x + bt) + b(y – at) para qualquer inteiro t.
Números primos entre si
Teorema: Para todo k≠0, mcd (ka, kb)= |k| – mcd
(a,b).
MDC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mdc (a,b) é o produto dos fa tores primos comuns as duas decomposições tomados com seus menores expoentes. `
Diz-se que a e b são primos entre si se, e somente se, o mdc (a, b) = 1. Ex.: são primos entre si os pares 2 e 5, 9 e 16 e 20 e 21. Dois inteiros primos entre si admitem como únicos divisores comuns 1 e – 1. Teorema: Dois inteiros a e b, não simultaneamente nulos, são primos entre si se, e somente se, existem inteiros x e y, tais que ax + by = 1. Corolário: Se mdc (a,b) = d, então o mdc (a/d, b/d) = 1. Corolário: Se a b e se mdc (b,c) = 1, então mdc (a,c)=1. Corolário: Se a c, b c e mdc (a, b) = 1, então ab c. Corolário: mdc (a, b)=mdc (a, c)=1 se, e somen te se, mdc (a, bc)=1. Teorema de Euclides : Se a bc e mdc (a, b) = 1, então a c.
Exemplos: 588 = 2 2 . 3 . 7 2 e 936 = 2 3 . 3 2 . 13, logo mdc (588,936) = 2 2 . 3 = 12.
Mínimo múltiplo comum (MMC) O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro qualquer a 0 indica-se por M(a), ou seja, M(a) = {x Z tal que ax} = {aq q Z}. `
Exemplos: M(1) = M(–1) = Z e M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...} Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se múltiplo comum de a e b todo inteiro x tal que a x e b x. M(a,b) = {x M(b)}
Z / a x e b x}={x
M(a,b) = M(a)
Z/x
M(a) e x
M(b)
Exemplo:
Algoritmo de Euclides
M(12)={12q\q Z}={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...} M(18)={18q\q Z}={0, 18, 36, 54, 72, 90, 108,...}
Teorema: Se a = bq + r, então mdc (a, b) = mdc (b, r).
M(12,18) = M(12)
O algoritmo de Euclides é baseado na aplicação repetida do lema acima e é normalmente apresentado por intermédio do seguinte dispositivo prático: q1 b r2
a r1
q2 r1 r3
q3 r2 ...
... ... rn
qn rn-1 0
`
Exemplos: mdc (963, 657) = 9
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
963 306
1 657 45
2 306 36
Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se míni- mo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m = mmc(a,b) que satisfaz as condições: (1) a m e b m
qn+1 rn
O aparecimento do resto 0 indica r n = mdc (a, b).
M(18) = {0, 36, 72, ...}
(2) se a c e b c, com c > 0, então m `
c.
Exemplo: mmc (12,18) = 36
Corolários 6 45 9
1 36 0
4 9
• mmc (a,b)
ab 7
• se a b, então mmc (a,b) = b • se mdc (a,b) = 1, então mmc (a,b) = ab
Teorema Fundamental da Aritmética:
Todo inteiro positivo n > 1 pode ser represen tado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos. n
Sejam a e b inteiros positivos, então:
`
Exemplos:
17 640 8 820 4 410 2 205 735 245 49 7 1
MMC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mmc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns às duas decomposições tomados com seus maiores expoentes.
Um inteiro positivo p > 1é um número primo se, e somente se, 1 e p forem os seus únicos divisores positivos. Os inteiros maiores que 1, que não são primos, ou seja, têm pelo menos um divisor além de 1 e dele mesmo, são ditos compostos. `
Teorema de Euclides: há um número infinito de
primos. Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto, então a possui um divisor primo p a.
Esse teorema indica um processo para reconhecer se um número a > 1 é primo, bastando dividir os números sucessivamente pelos primos que não excedam a . `
Compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... O único inteiro positivo par que é primo é o número 2.
Corolários:
• Se um primo p não divide um inteiro a,
Exemplos: 22 < 509 < 23, assim devem-se testar os primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Como 509 não é divisível por nenhum desses números, então 509 é primo.
Exemplos: Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
2 2 2 3 3 5 7 7
Então, 17 640 = 2 3 .3 2 .5 . 7 2 .
Exemplos:
Números primos
k
k
Exemplos:
Pelo algoritmo de Euclides mdc (963,657) = 9. Logo, mmc (963,657) = 963 . 657/9 = 70299.
588 = 2 2 . 3 . 7 2 e 936 = 2 3 . 3 2 . 13, logo mmc (588,936) = 2 3 . 3 2 . 7 2 . 13 = 45 864.
2
2
Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores primos em ordem crescente como mostrado abaixo:
Determinar o mmc (963, 657).
`
1
1
Decomponha o número 17 640 em um produto de fatores primos.
mdc (a, b) . mmc(a, b) = a . b `
= P α ⋅ Pα ⋅ ... ⋅ Pα
Crivo de Eratóstenes:
Construção de uma tabela de primos que não excedem um dado inteiro n: escrevem-se em ordem os inteiros de 2 a n e, em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos múltiplos dos primos menores que n . `
Exemplos:
então a e p são primos entre si. • Se p é um primo tal que p|ab, então p|a
ou p|b. • Todo inteiro composto possui um divisor
8
primo.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
0 ou 5. Ex.: 5 110, 5 115 e 5 111 Por 6: 6 n n é par e múltiplo de 3. Ex.: 6 120, 6 126 e 6 124 Por 8: 8 | n o número formado pelos três úl timos algarismos de n é múltiplo de 8. Ex.: 8|3240, pois 8|240, 8|5136, pois 8|136, mas 8 1516, pois 8 516. Por 9: 9 | n a soma dos algarismos de n é múltiplo de 9. Ex.: 9|117, pois 1+1+ 7 = 9, 9|738, pois 7 + 3 + 8 = 9.2, mas 9 116, pois 1 + 1 + 6 = 8. Por 10: 10 | n o algarismo das unidades de n é 0. Ex.: 10|110, 10|2100, mas 10 111 e 10 115 Por 11: 11 | n a soma dos algarismos de n de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é múltiplo de 11. Ex.: 11|187, pois 1+ 7 – 8 = 0, 11|627, pois 6 + 7 – 2 = 11, mas 11 826, pois 8 + 6 – 2 = 12.
3.
32+10 7 +
(UFCE) O valor exato de
32 – 10 7 é:
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 `
Solução: C 1) x = 32+10 7 + 32 – 10 7 x 2 = 32 + 10 7 + 32 – 10 7 + 2 32 2 – 100.7
⇒ x 2 = 64 +2
324 = 64 +2 .18 = 100
Como x > 0, então x = 10. 2) Observando que 32 = 5 2 + 7, então: 10 7 = 5 2 2.5. 7 + 7 = (5
32
7 )2
x = 32+10 7 + 32 – 10 7 = 5 + 7 +5 − 7 = 10
4. 1.
Sabendo-se que a, b e c são números reais positivos e a2=56, b5=57 e c3=38, calcule (abc) 15.
`
Solução: 2
a = 5
15 15 15
15
5 3
3 5
3 15
7 3
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente três horas após, então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de:
8 5
(abc) = a b c = a · (b ) · (c ) = (5 ) · (5 ) · (3 ) = = 5 45 · 5 21 · 3 40 = 5 45+21 . 3 40
a) 4 horas.
`
Solução: 5 66 . 3 40
2.
(Fatec) Se x e y são números reais tais que x = (0,25) 0,25 e y = 16−0,125, é verdade que:
b) 5 horas. c) 6 horas.
a) x = y
d) 5 horas e 24 minutos.
b) x > y
e) 5 horas e 30 minutos.
c) x ⋅ y = 2
2
`
d) x − y é um número irracional. e) x + y é um número racional não-inteiro
Solução: A f(0) =
B –k.0
1 + C.e
0,25
x = (0,25)
=
1 4
4
1
1
= 4 2 = 2 1 4 18 8 1 2 1 –0,125 y = 16 = 2 4 = 8 4 = 2 2 Logo, x = y.
B f(3) =
B 1 + C
=
B 65
Solução: A
B =
1+64.e 3k
9
⇔ 1 +64 ⋅ e −3 ⋅k = 9 ⇔ e −3 ⋅k = ⇔
e − k =
10
=
C = 64
Solução: 1
`
1 + Ce–kt
3
a = 5
`
B
f(t) =
6
15
(ITA) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por:
1 2
1 8
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
f(t) =
B
=
5
B –k.t
1+64.e
=
⇔ 1 +64 ⋅ e − k ⋅t = 5 ⇔ e − k ⋅t = (e −k )t =
5.
1 2
4
1 2
B
7.
5 1
16 1 4
t
=
t = 4 horas
2
2
1
•
para se escreverem os números naturais de 1 até o número natural n, são necessários 1341 dígitos.
b) 483
0
c) 484 d) 447
b) Escreva o número 26 +13 na base 2. c) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente cinco algarismos?
`
Solução: B 1 algarismo: 1 a 9
9 n.os
3 algarismos: 100 a 999 dígitos.
90 · 2 = 180 dígitos.
900 n.os
900 · 3 = 2 700
Logo, atingem-se 1 341 dígitos durante os números de 3 algarismos, donde conclui-se que n possui 3 algarismos.
Solução:
Para os números de 3 algarismos restam 1 34 1 − 189 = 1 152 dígitos o que equivale a 1 152/3 = 384 núme- ros.
a) (1001101)2 , pois 26 +13 = 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 +0 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 +1 ⋅ 2 0 = (100111)2 b) 16
(n – 100) +1 = 384
Na base dois podem ser usados os algarismo 0 e 1. O primeiro algarismo deve ser 1, os outros 4 podem ser escolhidos entre 0 e 1. Pelo princípio multiplicativo, temos um total de 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 16 números.
9 · 1 = 9 dígitos.
90 n.os
2 algarismos: 10 a 99
d) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 n 250, qual a probabilidade de que sejam usados exatamente quarenta e cinco algarismos para representar o número n na base 2?
8.
c) 1/64 entre 1 e 2 50 temos 2 50 números naturais. Na base 2, temos 2 44 números com 45 algarismos. Portanto, a pro- 2 44 1 1 babilidade é 50 = 6 = . 2 2 64
6.
para se escreverem os números naturais de 1 até 11, são necessários 13 dígitos; e
a) 448
a) Por exemplo: 13 = 1 . 2 + 1 . 2 + 0 . 2 +1 . 2 = 1 101
`
•
Assim sendo, é correto afrmar que n é igual a:
(Unicamp -SP) Para representar um número natural positivo na base 2, escreve-se esse número como soma de potências de 2. 3
(UFMG) Sabe-se que:
n = 483
(UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no Leste dos EUA passa um longo período dentro da terra alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17 anos. Em revoada, os insetos dessa espécie se acasalam e produzem novas ninfas que irão cumprir novo ciclo de 17 anos. Em 2004, ano bissexto, os E UA presenciaram outra revoada dessas cigarras. O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será em: a) 2072
(UFF) Um número n é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos, obtém-se um número do qual subtrai-se n e o resultado encontrado é 54. Determine o número n.
b) 2068 c) 2076 d) 2080
`
Solução: `
Número n: xy yx – xy = 54 = 54
(10y + x) – (10x + y) = 54
Solução: A O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será após mmc (17, 4) = 68 anos, ou seja, no ano 2004 + 68 = 2072.
–9x +9y
– x + y = 6
x + y = 12 2 0 0 _ T A M _ V _ M E
-x+y=6 n = 39
2y = 18 y = 9 e x = 3
1.
Simplifque:
7
321 + 323 10
11
2.
(FGV) Se x = 3 200 000 e y = 0,00002, então xy vale: a) 0,64
10 e) 10 − 1
b) 6,4 c) 64
a) M < N
d) 640
b) M + N = 1,07 ⋅ 1016 c) M > N
e) 6 400
3.
(PUC-Rio) Das opções abaixo, qual apresenta a relação correta? a) ( −68 )3 = ( −6)24
d)
9.
(Unifcado) O número de algarismos do produto 5 17 ⋅ 4 9 é igual a:
b) 18
c) 23 + 24 = 27 192 + 402 1312
d) M ⋅ N = 1,21 ⋅ 1031
a) 17
b) ( −2)3 = 2−3
c) 26
= 59 131
d) 34
e) 112 ⋅ 362 = 3962
4.
2
(UFRN) Dados os números M = 9,84 ⋅ 1015 e N = 1,23 1016, pode-se afrmar que:
8.
e) 35
(PUC-Rio) O valor de 67 − 6 + 9 é igual a: a) −3
10. (Unicamp) Dados os dois números positivos 4 4 , determine o maior.
3
3 e
11. (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxílio de uma régua.
b) −9 c) 8 d) 4 e) 2
5.
(PUC-Rio) Assinale a afrmativa correta: − a) (2a 1 )b =
b 2a
b) a2 b3 = (ab)6 c) 5a + 6b = 11ab
e) Se a2 + b2=25 então a + b = 5
Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a:
(Unicamp)
a) 240
a) Calcule as seguintes potências:
b) 235
d) Se a3 = b3 , então a = b
6.
a = 33, b = ( −2)3, c = 3−2 e d = ( −2)−3. b) Escreva os números a, b, c, d em ordem crescente.
7.
(UFF) A expressão 1020 + 1030 + 1040 é equivalente a: 10
a) 1 +1010 b)
1010 2
c) 10−10
12
d) 1010
10
20
c) 225 d) 220
30
+ 10 + 10
12. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
a) 150
b) 47
b) 160
c) 48
c) 190
d) 49
d) 200
e) 50
13. (UERJ) Ao analisar as notas fscais de uma frma, o auditor deparou-se com a seguinte situação:
18. (Fuvest) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é: a) 37 b) 36
a) Não era possível ver o número de metros vendidos, mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. Com as informações acima, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi: b) 16
d) 34 e) 33
19. (UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, o maior é:
c) 26
a) múltiplo de 3.
d) 36
b) ímpar.
e) 46
14. (UERJ) O número de ftas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fta. A soma dos três algarismos do número total de ftas que ela possui é igual a:
a) 3
c) quadrado perfeito. d) divisor de 500. e) divisível por 4.
20. (UFF) Considere p, q ∈ N* tais que p e q são números pares. Se p > q, pode-se afrmar que:
a) (pq + 1) é múltiplo de 4.
b) 4
b) p – q é ímpar.
c) 6
c) p + q é primo.
d) 8
15. (UERJ) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17. Considere o determinante de ordem 3 abaixo:
2 0 4 7 8 2 2 5 5 Demonstre que esse determinante é divisível por 17.
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
c) 35
d) p2 – q2 é par. e) p(q + 1) é ímpar.
21. (UFF) Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo descrito a seguir: “Se p é um número primo e se 2p +1 é um número primo, então o número primo p é denominado primo de Germain.” Pode-se afrmar que é primo de Germain o número:
a) 7
16. (UERJ) Considere dois números naturais ab e cd em que a, b, c e d são seus algarismos. Demonstre que, se ab ⋅ cd = ba ⋅ dc, então a ⋅ c = b ⋅ d.
b) 17
17. (FGV) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é:
d) 19
a) 46
c) 18
e) 41
22. (UFMG) José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por
13
diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar, será:
4.
a) terça-feira.
(CN) Simplifcando a expressão: ∈ {0, 1}, temos:
n
600 para n 25 − 52n +2 n +2
a) 5
b) quarta-feira.
b) 5–1
c) quinta-feira.
c) 5–2
d) sexta-feira.
23. (UFMG) A soma de dois números inteiros positivos, com dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos é um número:
d) 52 e) 50
5.
(CN) Sendo x2 = 343, y 3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das 24
a) menor que 9.
unidades simples do resultado de
b) múltiplo de 3.
a) 1
c) primo.
b) 3
d) maior que 30.
c) 5
xy z
é:
d) 7 e) 9
1. A equação x x a:
x
= 2 é satisfeita apenas quando x é igual
6.
−1
1+ 2 + 3 + + 50 2 ⋅ 3 2 5 + 10 + 15 + + 250 (
a) 2 b)
4
d)
2.
2
3
2
(CN) Calcule a diferença y – x, de forma que o número: 2x ⋅ 34 ⋅ 26y possa ser expresso como uma potência de base 39.
7.
3
5
d)
3
5 5
5 5
(UFF) A expressão
c) 4
a) 1 – 288
d) 2
b) 244⋅ (288+1)
e) 3
c) 9 ⋅ 244
(CN) Sabendo que
d) 3 ⋅ (1 – 2 88 )
x2
= 19996 ,
y
= 19994 e
z > 0), o valor de ( x ⋅ y ⋅ z ) a) 1999
9
b) 1999 6 c) 1999
1 9
d) 1999–6 e) 1999–9
14
c)
e)
b) 0
3
)
5
b)
a) 8
3.
−
125 ,
a) 1
2
c)
(CN) Qual o valor da expressão
− 13
5
z4
é:
= 19998, (x > 0, y > 0 e
888 − 444 é equivalente a: 844 − 422
e) 288 ⋅ (288 + 1)
8.
(UERJ) Considere o polinômio P(n) = (n +1)⋅(n2 +3n +2), n ∈ N. Calcule: a) a quantidade de paralelepípedos retângulos de bases quadradas e volumes numericamente iguais a P(11), cujas medidas das arestas são expressas por números naturais. b) o valor da expressão:
79 + 4 ⋅ 76 + 5 ⋅ 73 + 2 3442
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
9.
(UECE) Se n = (0,5 ⋅ 40,25 + 40,75 )2 − 41,5⋅(1 + 4−0,5 ), então 32 ⋅ n é igual a: a) 16 b) 32 c) 48 d) 64
d) 10
15. (UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é: a) 50
10. (IME) Calcule: 3 2 + 10 3 + 3 2 − 10 3 9
b) 47
9
c) 48 d) 49 e) 51
11. (Unirio) Numa população de bactérias, há P(t) = 10 9 ⋅ 4 3⋅t bactérias no instante t medido em horas (ou fração na hora). Sabendo-se que inicialment e existem 10 9 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial?
16. (Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números. 17. (Fuvest)
a) 20
a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?
b) 12
b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1 000?
c) 30 d) 15 e) 10
12. Sabendo que: 1989 a = 13 e 1989 b = 17. Calcule 1− a −b 117 2(1−b)
13. (UFMG) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi: a) quinta-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira.
18. (Unesp) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC (n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente: a) 18, 198 b) 36, 180 c) 90, 126 d) 126, 90 e) 162, 54
19. (UERJ) Observe que, na tabela abaixo, só há números primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas.
d) sexta-feira.
14. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é: 2 0 0 _ T A M _ V _ M E
a) 9 b) 7 c) 8
a) Se p é primo e maior que 3, demonstre que p 2 – 1 é múltiplo de 12.
15
b) Retirando-se aleatoriamente, da tabela, dois números naturais distintos, menores que 37, determine a probabilidade de ambos serem primos maiores que 3.
20. (UERJ) Analise a expressão abaixo, na qual n é um número natural. N = 10n – n a) Se n é um número par, então N também é um número par. Justifque esta afrmativa.
b) Determine o valor da soma dos algarismos de N quando n = 92.
21. (UFSCar) Considere as seguintes informações: •
•
o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números. se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab.
a) Prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1. b) Determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156.
22. (Fuvest) Um número racional r tem representação decimal da forma r = a 1, a2, a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9. Supondo-se que: •
a parte inteira de r é o quádruplo de a 3;
•
a1 , a2 , a3 estão em progressão aritmética;
•
a2 é divisível por 3.
Então a3 vale: a) 1
0 0 1 2 4 9 5 3 3 1 8 6 2 2 0 * #
←
ω ⊗ ♣ ♠←
número x na base10 número x na base b
Determine o menor valor aceitável para b.
25. (UFRJ) n e m são números naturais, n = 1000! +18 e m = 50! +37. a) Calcule o resto da divisão de n por 18. b) m é um número primo? Justifque sua resposta.
26. (Unicamp) Um determinado ano da última década do século XX é representado, na base 10, pelo número abba e um outro, da primeira década do século X XI, é representado, também na base 10, pelo número cddc. a) Escreva esses dois números. b) A que século pertencerá o ano representado pela soma abba + cddc ?
27. (Unicamp) O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se n = p1t 1 p2t 2 ... prt r, onde p1, p2, ... , pr são números primos distintos, então o número de divisores positivos de n é d(n) = (t 1 + 1) ⋅ (t2 + 1) ⋅ ... ⋅ (tr + 1). a) Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos de 168. b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos.
28. (Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que MDC (a, b) = 5 e o MMC (a, b) = 105.
b) 3
a) Qual é o valor de b se a = 35?
c) 4
b) Encontre todos os valores possíveis de (a, b).
d) 6 e) 9
23. (UFRJ) Prove que, se o quadrado de um número natural n é par, então o próprio número n tem que ser, obrigatoriamente, par. (isto é, n ∈ N, n2 par ⇒ n par)
16
24. (UFRJ) Um programador precisa criar um sistema que possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10. Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10 por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos para os algarismo de 0 a b −1). Exemplo:
29. (UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dispositivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesa de jogos. Um desses dispositivos conhecido como “dado eletrônico” é um circuito elétrico que, de forma lógica, executa o seguinte procedimento: partindo de um número natural N, transforma-o em um número natural R que corresponde ao resto da divisão de N por sete; a seguir, apresenta no visor o número R como sendo o número sorteado. Ao apertar o botão do “dado eletrônico”, uma pessoa gerou um pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
R que aparecerá no visor é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
17
14. B 15. Resposta pessoal. 1.
27
2.
C
3.
E
4.
C
5.
D
17. D 18. A 19. A 20. D 21. E
6. a) a = 27, b = −8, c = 1/9, d = −1/8 b) b < d < c < a
7.
16. (10a +b) ⋅ (10c +d) = (10b +a) ⋅ (10d +c)
22. B 23. C
C
8. A 9. 10.
B 3
11. C 12. D 13. C
18
1. 3
C
2. A 3.
E
4.
C
5. A
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
6.
C
7.
B
a) 15 b) (5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)
29. E
8. a) 6 b) 345
9. A 10. 2 11. E 12. 3 13. D 14. B 15. A 16. 31 e 41 17. a) 100 b) 140
18. C 19. a) Resposta pessoal . b) 2/35
20. a) 10n é par e n é par, então N = 10 n − n é par b) 818
21. a) Resposta pessoal. b) 12 e 13
22. E 23. Resposta pessoal . 24. 100 25. a) 0 b) Não, pois n = 37 ⋅ (50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 38 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1)
26. a) 1991 e 2002 b) XL 2 0 0 _ T A M _ V _ M E
27. a) 16 b) 144
28.
19
20
2 0 0 _ T A M _ V _ M E
Função Exponencial 3) A função f(x) = a x, com 0 < a ≠ 1 é injetora. f(x1) = f(x2)
O estudo das funções exponenciais, apesar de ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma característica importante que motivou o seu desenvolvimento no século XVII, que é a possibilidade de simplificar cálculos matemáticos transformando multiplicações e divisões em adições e subtrações. As funções exponenciais aparecem em diversas aplicações científicas e profissionais, como por exemplo, o montante de um capital aplicado a juros compostos fixos e a desintegração radioativa.
Essa propriedade respalda a solução das equações exponenciais. 4) A função f(x) = a x, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada superiormente e a sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (R+*).
Gráfco O gráfico da função exponencial f(x) = a x, com 0 < a ≠ 1, tem as seguintes características:
Função exponencial Exemplo: f(x) = 3 x , f(x) = (1/2) x e f(x) = (
5 ) X
Propriedades
•
está todo acima do eixo Ox;
•
corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;
•
Seja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x `
•
é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1;
o eixo x é assíntota do gráfico.
É interessante observar que o crescimento exponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio. Os gráficos da função exponencial estão exemplificados abaixo: 1.º caso: a > 1 (função crescente)
1) Como f(0) = a = 1, o par ordenado (0, 1) per tence ao gráfico da função exponencial.
y f(x) = ax (a>1) 6
2) Quando 0 < a < 1, a função f(x) = a x é decrescente. Já quando a > 1, a função f(x) = ax é crescente.
4
0
2
0 < a < 1: x1 < x2
f(x1) > f(x2)
a > 1: x1 < x2 6 0 0 _ T A M _ V _ M E
x1 = x2
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
f(x1) < f(x2)
Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações exponenciais. 1
2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente) y
(4) y = (1/2) x (2) y = (1/3) x (3) y = (1/4) x
f(x) = a x (0
6
–3
–2
–1
(4)
(5)
(6)
y
4
6
2
4
0
1
2
3
2 x –3
–2
–1
0
1
2
3
x
Uma característica peculiar dos gráficos das funções exponenciais f(x) = ax, com a > 1, e g(x) = (1/a)x, onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x)
= g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2 x e g(x) = (1/2) x. y Seja f: R R, f(x) = b . a x uma função do tipo exponencial e x1, x2, ..., x n uma progressão aritmé tica de razão r, então f(x1), f(x2), ... , f(x n) formam uma progressão geométrica de razão ar.
6 4
y= 1 2
–3
y = 2x
2
–2
–1
0
1
2
3
x
Os gráficos seguintes retratam as mudanças nos gráficos quando varia o parâmetro a. (1) y = 2x (2) y = 3x (3) y = 4x (2) (1) (3) y
Equações exponenciais Equações exponenciais são equações cuja incógnita encontra-se no expoente. Nesse módulo, vamos estudar as equações que podem ser resolvidas reduzindo os dois membros a uma base comum, o que possibilita igualar os expoentes em virtude da injetividade da função exponencial. Sendo 0 < a 1, então: ax = an
x=n
6
–3
2
–2
–1
4
Serão apresentados exemplos com as variações mais comuns desse tipo de problema.
2
Exemplos de equações
0
Para a resolução dessas equações basta adotar o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os membros a uma base comum.
1
2
3
x
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
d) gráco 2 e gráco 4.
y=ex
e) gráco 3 e gráco 4.
2,72 `
Solução: A
A função que representa a população da cidade A é f(n) = p 0 ⋅ (1,03)n , onde p 0 é a população inicial da cidade A.
0,37 0,13 –2
–1
x
1
Utilizando f(d) = 100 –100 . e −0,2d e o gráco acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a: a) 5
Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente, o que aparece no gráco 2 e a população da cidade B cresce linearmente, o que aparece no gráco 1.
3.
(Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráco da função f(x) = 1 – 2 –|x| é: a)
b) 10
`
A função que representa a população da cidade B é g(n) = q 0 + 3000⋅n, onde q 0 é a população inicial da cidade B.
c) 15
y
d) 20
0,5
Solução: B
f(d) = 100 −100 . e −0,2d = 87
e −0,2.d = 0,13
–3
–2
–1
2.
−0,2d = −2
gráco 1
3
x
b) y 1
População –1,5 –1 –0,5
Tempo
2
d = 10
(UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por ano. Dos esboços de grácos abaixo, aqueles que me lhor representam a população da cidade A em função do tempo e a população da cidade B em função do tempo, respectivamente, são: População
1
0,5
No gráco dado, temos 0,13 = e −2 , então e −0,2⋅d = e −2
0
0
x
0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo gráco 2
c) População
População
y 1
Tempo gráco 3
a) gráco 2 e gráco 1.
Tempo gráco 4
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
1
b) gráco 1 e gráco 2. 6 0 0 _ T A M _ V _ M E
c) gráco 3 e gráco 1.
5
d)
x
O gráco de f(x) = 1–
y
1 2
é:
y
1
1 –3
–2
–1
0
1
2
3
x –3
1
–2
–1
0
1
2
3
x
1
e)
4. y 1
–3
–2
–1
y
Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, vericou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alteravase em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão y = y 0 . 2–0,5.t em que y 0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: a) 1/4 de hora.
1
b) meia hora.
0
1
2
3
x
1
`
Solução: C x
O gráco de g(x) =
1 2
(UFF) A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéco ou maléco.
x é:
c) 1 hora. –3
–2
–1
0
1
2
3
d) 2 horas.
x
e) 4 horas.
1 `
Com base no gráco anterior, podemos traçar o gráco x 1 de h(x) = 2
Solução: E y 0 –0,5.t 4 = y 0 . 2
2 − 0,5⋅t =2 −2
0,5.t = –2
4 horas
y
(Fatec) Seja m o menor número real que é solução da –x 1 x 2 –2 equação 5 : 25= . Então, m é um número: 125 a) par.
1
b) primo
5.
c) não-real. –3
–2
–1
0
1
2
3
d) irracional.
x
e) divisível por 3.
1 `
Solução: C –x
1 5 : 25 = 5 x 2– 2 . 5 –2 = (5 –3 )–x 125 2 5 x –4 = 5 3x x 2 –4 = 3x x 2 – 3x – 4 = 0 x 2 –2
x = –1 ou x = 4
6
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
O menor número real que é solução da equação é m = – 1, logo m =
6.
m = 3 2t – 3 t+1+ 108 = 0 y = 3 t
–1 = i que não é real.
3 t = 9 = 3 2
(UECE) Se x 1 e x2 são as raízes da equação 2x2 . 5x2= 0,001.(103–x )2, então + é:
b) 10 9.
c) 13 d) 34
10 x 2= 10 3 – 2X
(2.5) x 2 = 10 –3. 10 6 – 2X
x 2 = 3–2 x
c) 41 d) 2,54
x 2 + 2x – 3 = 0
e) 2,67
x = –3 ou x =1 = (–3)2 + 12 = 10
` –x
x
x+1
(Fatec) Se x é um número real tal que 2 . 4 < 8 , então: a) – 2 < x < 2 b) x = 1
e) x > −3/2
2 x < 2 3x+3
2 –x . (2 2 ) x < (2 3 ) x+1
log2 + log3 + 1 0,30 + 0,48 + 1 1,78 ≅ 2,54 = = 0,70 1 – 0,30 1 – log2
x < 3x+3
2x >–3
2 –x .2 2x < 2 3x+3 x>–
3 2
(Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m = –32t – 3t+1+ 108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar esse material antes que ele se volatilize totalmente é: a) inferior a 15 minutos. b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos. c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos. d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos. e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
log 5 x = log60
Solução: E 2 x . 4 x < 8 x+1
`
x.log 10 = log(2 . 3 . 10) 2 x (1 – log2) = log2 + log3 + 1
5 x = 60
10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados:
d) x < 3/2
8.
Solução: D
x =
c) x = 0
`
(FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5 x = 60 vale aproximadamente:
b) 2,28
x 2 2 x 2 . 5 x 2 = 0,001.(10 3 – )
7.
t = 2 horas = 120 minutos.
a) 2,15
Solução: B
+
y = 9 y = –12 (não convém)
Como aos 120 minutos o material se volatilizou total - mente, o tempo máximo de utilização é um valor bem próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120.
a) 5
`
–y 2 – 3y + 108 = 0
–3 2t – 3.3 t +108 = 0
Solução: E
Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y = 2x −1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x. Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: (Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4) a) 1 333 b) 2 333
7
c) 3 333
d) 9
d) 4 333
e) 10
e) 5333 `
4.
Solução: A
Custo da poluição = custo do controle da poluição 2 x −1 = 6 ⋅ (1/2) x
(UENF) A inação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a . b x, conforme o gráco a seguir.
2 2x − 2 x − 6 = 0
a = 2 x
a 2 − a − 6 = 0
a = −2 ou a = 3
a>0
2 x = 3 ⇔ x log 2 = log 3
log 3 0,4 4 4 = log 2 = 0,3 = ton = .1 000kg =1 333kg 3 3
Determine a taxa de inação desse país no quarto ano de declínio. 1.
(PUC-Rio) Dada a função f(x) = 5 x (5 x − 1)
5.
a) Ache f (0) e f (1). b) Resolva f (x) = 0. 2.
(UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt , em que Ro é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeciente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários: ex
8,2
9,0
10,0
11,0
12,2
x
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2% , é de: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 3.
8
(Unesp) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q 0 . 2(–0,1).t sendo q 0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início?
(FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência. Experiência (meses) Produção (unidades por hora
6
200
350
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e -k.t, sendo e = 2,72 e k um número real, positivo. a) Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas, quantos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora? b) Desse modo, qual será a máxima produção possível dos operários dessa empresa? 6.
(UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q denida, para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt, sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25 Q(0). Assin ale a opç ão que indic a quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto. a) 12,5 b) 25 c) 312,5
a) 5
d) 625
b) 7
e) 1 000
c) 8
0
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
7.
(UFF) Após acionado o “ash” de uma câmera foto gráca, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) = Qo⋅(1 − e– ·t ) sendo: • Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t,
medido em segundo; • Qo a carga máxima; e
λ uma constante. Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine: •
a) a expressão de t em função de Q. b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máxima. 8.
(UFJF) A gura abaixo é um esboço do gráco da função y = 2x no plano cartesiano.
Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente: a)
a e 4a 2
b) a −1 e a + 2 c) 2a e
a 4
d) a + 1 e a − 2 11. (UFRGS) Analisando os grácos das funções reais de x −1
3 variável real denidas por f ( x ) = 2 e g (x) = x,
representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, vericamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo: a) [0, 3]
1
Com base nesse gráco, é correto armar que:
a) y0 = y2 − y1
3 d) , 6]
c) y1 = y3 + y0
e) (2, 6)
e) y3 = y1 ⋅ y2 (UFJF) A função c(t)=200 . 3 k.t, com k = 1/12, dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo: a) [0, 4] b) [4, 12] c) [12, 36] d) [36, 72] e) [72, 108] 10. (UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão representados o gráco da função y = 2 x , os números a, b, c e suas imagens.
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
c) [1, 5)
b) y1 = y3 − y2 d) y2 = y1 ⋅ y0 9.
b) , 4] 2
2
12. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).
(01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00, ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamentos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a receber.
(02) Se numa área urbana o número de pessoas atingidas por certa doença (não controlada) aumenta t 3 = ⋅ n ( t ) N 50% a cada mês, então a função 2 for nece o número (aproximado) de pessoas afetadas pela doença, t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área. (04) Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na loja B o produto P está com o preço 100% acima do preço praticado pela loja A, e que a loja A está praticando um preço 100% menor do que o praticado pela loja B.
(08) Admita que a função n(t) = N . 2 t forneça o número aproximado de pessoas atingidas por uma epide-
9
mia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Então é correto armar que, num aglomerado urbano com 10 000 habitantes, não ocorrendo aumento populacional, oito meses após existirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente, caso nada seja feito para debelar o mal.
4
17. (UFMG) Suponha que a equação 2 2 8ax + bx + c = 43 x + 5 ⋅ 25 x − x + 8 seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a:
a)
Soma ( ) 13. (Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10) t. Após quantos meses a sua dívida duplicou?
b)
5 3 17 3
c) 28 3
d) 12 18. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22 x +1 − 3 ⋅ 2x + 2 = 32 , é: 19. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).
a) log1,10 2
( ) Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de f(g(1)) é 9.
b) log2 1,10 c) log 2
( ) O gráco da função f(x) = 2x – 1 não intercepta o terceiro quadrante.
d) log 1,10 e) log 2,10 14. (PUC-Rio) Uma das soluções da equação 10 é:
x
2
−3
=
1 100
( ) O conjunto solução da equação {−1, 2}. x2 + 5x +1
1 7
b) x = 0 d) x = −2 e) x = 3 15. (UFJF) As raízes da equação 2x + 1/ 2x
1
a) 2,8
= 17 / 4 são:
a) iguais em módulo.
b) – 0,2 c) 0,8
b) ambas negativas.
d) 1
c) ambas positivas.
21. (EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação
d) quaisquer números reais.
x2 − x − 9
3 9. 5
e) nulas.
=
243 são, respectivamente: 125
a) 1 e –12
16. (UFF)
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: 1 1 > tem-se 4 8
2
3
1 > 1 e conclui-se que 2 2
Identique o erro que José cometeu em seu racio cínio, levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à
10
1
é {x ∈ R −5 ≤ x ≤ 0}. ≥ 7
20. (M. Campos) Resolvendo as duas equações exponenciais 4x −1 = 5 8 e 32 y + 3 = 52 y + 3 , obtém-se uma raiz para cada equação. Nessas equações valor de x − y corresponde a:
x= 2
“Como 2 > 3.”
log3( x 2 − x ) = log3 2 é
( ) O conjunto solução da inequação exponencial
a) x = 1
c)
m +1
1 m 1 inequação: > . 2 4
b) 7 e 12 c) –2 e –8 d) –1 e 12 e) 7 e 10 22. (AFA) O conjunto-solução da inequação (0, 5)x⋅( x −2 ) < (0, 25 )x −15, é:
a) {x R l x <1} b) {x R l x >3}
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
c) {x R l 1 < x <3}
b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida a 6 400 unidades?
d) {x R l x < 1 ou x > 3}
1.
(UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação: T=T0+K e-ct Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala.
Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10. 4. (FGV) Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t)=A - b . 3 -k.t, com A, B e k constantes obtidas experimentalmente, pede-se: a) determinar as constantes A, B e k, sabendo que o gráco da função V é
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. 2.
(UENF) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções: B(t) = 4.105(0,4)t A(t) = 2.105(1,60)t Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1.° de janeiro de 2000. a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1.° de janeiro de 2000.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.
b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modique a fun ção V para V(t) = 55 – 24 . 3 -t, determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5. 5.
(UFC) Sejam f: R → R e g: R → R, sendo R o conjunto dos números reais, funções tais que: I) f é uma função par e g é uma função ímpar; II) f(x) + g(x) = 2 x.
6.
Determine f(log23) – g(2). (UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na gura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a ______, sendo f(x) = 2 x.
c) Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. 3.
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
(FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma substancial campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas diárias decresceram, tal que: V(t) = B . e k.t, sendo B o número de unidades vendidas em um determinado dia; V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e = 2,72 e k um número real. Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era de 8 000 unidades. a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da promoção?
a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 3 2 e) 4
11
7.
(UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em 1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está relacionada com a energia liberada por ele – E –, em
descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t – t . 2 0,2 . t , com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o golnho esteve fora da água durante esse salto foi:
3M
joules (J), de acordo com a expressão E = E 0 ⋅10 2 , em que E0 é uma constante. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F)
a) 1
( ) Se a energia liberada por um terremoto for igual a 1 000 000 E0 J, então a magnitude desse terremoto será igual a 5 na escala Richter.
d) 8
( ) A energia liberada por um terremoto de magnitude 5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por um terremoto de magnitude 4. ( ) Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT) 9 libere 5E 0 ⋅ 10 2 J durante uma explosão, então um terremoto de magnitude 8 libera mais energia que uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT. ( ) A gura abaixo ilustra corretamente, em um sistema de coordenadas cartesianas, o gráco da energia li berada em função da magnitude de um terremoto.
b) 2 c) 4
e) 10 10. (Unesp) Considere a função dada por f(x) = 3 2x+1 + m . 3x + 1.
a) Quando m = − 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. b) Determine todos os valores de m para os quais a equação f(x) = m +1 não tem solução real x. 11. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:
a) a expressão para p (t); b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 ≅ 0, 301 e log 3 ≅ 0, 477 .
8.
(UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em uma determinada população de 30 000 frangos em uma 11 480 granja pode ser descrita pela equação P (t ) = , em 1+ 34 −t
que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é denido como o momento do apareci mento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F). ( ) A quantidade de frangos infectados no momento em que a doença foi detectada é superior a 150. ( ) Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada. ( ) 4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log 3 5 dias do momento da detecção da doença.
9.
12
12. (Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a . 2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c) Esboce o gráco da função F(t) para t e [0,40]. 13. (Unicamp) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = T A + a . 3b.t, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, T A é a temperatura ambiente, suposta constante, e a e b são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de −18ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos.
( ) O número de frangos infectados somente no terceiro dia é inferior a 1 200.
a) Encontre os valores numéricos das constantes a e b.
(Unesp) A trajetória de um salto de um golnho nas proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi
2 do corpo no congelador é apenas C superior 3 à temperatura ambiente.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura o
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
19. (FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação 2x + 3 + 2 x +1 = 5y + 3 + 3 ⋅ 5 y . Então x − y é:
a) 8 b) 5 14. (UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o locutor informa:
“Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma noticação da defesa civil do país alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis”. Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão f (t ) =
P , sendo t . 1+ 9.( 3−k t )
≥ 0, P a população do
país e k uma constante. a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação. b) Calcule em quantas horas 90% da população teve acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação. 15. (IME) Determine os valores de
λ que satisfaçam à
4 inequação, 272λ − 27λ + 27−1 > 0 , e represente, gra9 camente, a função, y = 272 x − 4 27x + 27−1 9
3x + 3y = 36 16. (UFF) Resolva o sistema x + y 3 = 243
17. (UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros 5x − 2 termos é 3 900, pode-se armar que é igual a: 5
a) 1/25 b) 1/5 c) 1 d) 5 e) 25 18. (Unicamp) Considere a equação 2x + m ⋅ 22 − x − 2m − 2 = 0 , onde m é um número real.
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
c) 9 d) 6 e) 7 20. (UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema
4x + y = 32 é: y−x 3 = 3 3 a) 5, 2
3
b) 5, − 2 2 c) 3, 3 3 d) 1,
2
1 e) 1,
2
21. (ITA) Dada a equação 3 2x + 52x – 15x = 0, podemos armar que:
a) Não existe x real que a satisfaça. b) x = log 3 5 é solução dessa equação. c) x = log 5 3 é solução dessa equação. d) x = log 3 15 é solução dessa equação. e) x = 3.log 5 15 é solução dessa equação. 22. (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os valores reais de x para os quais a 2x – (a + a2 ) . a x + a 3 < 0 são:
a) a2 < x < a b) x < 1 ou x > 2 c) 1 < x < 2 d) a < x <
a
e) 0 < x < 4 23. (ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12 . (3 3x ) – 19 . (3 2x ) + 8 . (3 x ) – 1 = 0 somam:
a) Resolva essa equação para m = 1.
a) –log 3 12
b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.
b) 1 c) –(1/3).log 3 12
13
d) –1 e) log 3 7 24. (ITA) Seja a ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as 2 x ⋅( 1− x ) > a x −1 é: soluções reais da inequação a
a) ] −1 , 1[ b) ]1 , +∞[ c) ] −1/2 , 1[ d) ] −∞ , 1[ e) vazio. 25. (ITA) A soma das raízes positivas da equação 2 2 4x − 5 ⋅ 2x + 4 = 0 vale:
a) 2 b) 5 c)
2
d) 1 e)
3
26. (UECE) Um empregado está executando a sua tarefa com mais eciência a cada dia. Suponha que N = 640 . (1 − 2−0,5⋅ t ) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias, do início do processo de fabricação. Se, para t = t 1 , N = 635, então t 1 é igual a:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16
x y = y x onde a ≠ 1 e a > 0. y = ax
27. (IME) Resolva o sistema
14
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
10. D 11. C 12. E, C, E, C ⇒ soma 10
1.
a) f(0) = 0 e f(1) = 20 b) x = 0
14. A
2.
C
15. A
3.
E
4.
60%
16. 2
a) 12 meses. b) 499 6.
3
1 1 a) ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2 > 2 2 é decrescente.
5.
b) m = 2
C
17. C
7.
18. 3
a)
t
Q = −2 n 1− Q 0
6 0 0 _ T A M _ V _ M E
13. A
b) t ≈ 4,6s. 8.
E
9.
C
19. C, E, C, C 20. A 21. A 22. D
15
