CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
UNIDAD Nº 01
LÓGICA
Si … entonces … si y sólo si …
APRENDIZAJES ESPERADOS 1. Reconocer enunciados, proposiciones y conectivos lógicos. 2. Operar con proposiciones lógicas y construir tablas de verdad. 3. Definir: tautología, contradicción y contingencias 4. Distinguir las leyes lógicas y las inferencias inferencias lógicas. 5. Reconocer los tipos de cuantificadores.
Son aquellas que no poseen conectivos proposicionales. Se simbolizan mediante letras minúsculas o letras minúsculas con subíndices. El valor de verdad de las proposiciones simples no lo determina la lógica sino las ciencias particulares, o los hechos, o las circunstancias con las cuales están relacionadas. Ejemplos p : La vista es el órgano de la visión, PS, PSF, PS cerrada.
q : 3x 7 5 , PS, PS abierta. r : x
CONECTIVO PROPOSICIONAL FUNDAMENTAL
No … …y… …o… (incluyentE) o…o… (excluyentE)
SÍMBOLO
REGLAS
~ Λ
Es el más débil de todos Tienen igual potencia entre si, pero son más potentes que . Para indicar el conectivo dominante (CD) de una proposición compuesta se recurre al uso de los
IR ,
2x
8
23 , PS, PS cerrada
2. PROPOSICIONES COMPUESTAS (PC)
PV; PVVD; Prop. Cerrada PF; PVVD; Prop. Cerrada Prop. Abierta; PVVND
EXPRESIÓN NO PROPOSICIONAL (ENP): Es una frase que no es proposición abierta o cerrada. Se consideran como expresiones no proposicionales a las: interrogaciones, exclamaciones, emociones, sentimientos, órdenes, directivas, etc. Ejemplo ¡Vamos! Deténgase ahí Te amo ENP, es un sentimiento CONECTIVOS PROPOSICIONALES (CP): Son términos que se usan para relacionar una o más proposiciones:
CLASES DE PROPOSICIONES
1. PROPOSICIONES SIMPLES (PS)
Ejemplo
→ ↔
En una proposición compuesta predomina la de mayor potencia, salvo que los signos de puntuación o de agrupación indiquen lo contrario.
DEFINICIÓN: Es una ciencia formal que trata de las leyes, modos y formas del raciocinio humano. Establece si la conclusión es consecuencia de las premisas, es decir, si es válida una inferencia. PROPOSICIÓN (P): Es una oración aseverativa, declarativa completa con un significado definido de la cual puede decirse si es verdadera (V) o falsa (F (F), por lo que se le llama proposición cerrada, en caso contrario, se le llama proposición abierta, la que se convierte en cerrada cuando los elementos arbitrarios o variables se sustituyen por elementos definidos o cuando es cuantificable. Los valores de verdad de una proposición son: Verdadero (V) y Falso (F).
p : 13 7 20 q : 3! 3 r : x 7 12
signos de puntuación o agrupación. Deben usarse el menor número de signos de puntuación o de agrupación Son igualmente potentes entre si, pero son más potentes que los anteriores, vale aquí la indicación anterior.
Son aquellas que poseen por lo menos una proposición simple y un conectivo proposicional. Es común identificar una proposición compuesta con el símbolo que se le ha asignado. Ejemplo 2 x 8 3 7 , PC, PC abierta. 4 2 3! 6 , PC, PCV, PC cerrada. TABLAS DE VALORES DE VERDAD (TVV) Es un diagrama en el que se presenta y visualizan el valor de verdad de una PC cerrada, o las posibilidades de valor de verdad de una PC abierta; en el cual, el: N° de columnas = N° de PS (cerradas o abiertas) N° de filas = 2n n N 0 de PS abiertas
n n Valores verdaderos verdaderos y falsos. 2 2
TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS ELEMENTALES: Se llaman elementales a las que poseen a lo más 2 PS y un CP
. NEGACIÓN p V F
~ p F V
CEPU - UNICA
1
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga
”
SILOGISMO HIPOTÉTICO HIPOTÉTICO (SH)
p q q r p r PS
CONDICIONAL
p
q
V V F F
V F V F
BICONDICIONAL
p → q V F V V
p ↔ q V F F V
Se leen: ~ p : no p; es falso que p; no es cierto que p, no es verdad que p. p q : p y q; p a la vez q; p pero q; p sin embargo q; p aunque q; p no obstante q; … p q : p o q; p y/o q
p q : o p o q; p o q pero no ambas p q : Si p entonces q; p es condición necesaria para q.
p q : p si y sólo si q; p es condición necesaria y suficiente
Donde: p es el antecedente y q es el consecuente
para q.
CLASES DE PROPOSICIONES COMPUESTAS ABIERTAS: Una proposición abierta es una: Tautología (T) Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante son V. Contradicción (C) Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante son F. Contingencia Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante hay por lo menos una V y una F.
IMPLICACIÓN (I) (P implica Q) (P→Q es una tautologíA), lo que se
denota con P Q . Ejemplo Si P : p q r y Q : p q p r entonces P Q . NO IMPLICACIÓN
(P no implica Q) ( P Q no es una tautologíA), lo que se denota con P Q.
IMPLICACIONES NOTABLES (IN)
MODUS PONENDO PONENS (MPP):
p q p q
MODUS
TOLLENDO TOLLENS (MTT): p q ~ q ~ p MODUS TOLLENDO PONENS (MTP) p q ~ p q
p q ~ q p
SIMPLIFICACIÓN (s) (s)
pqp pqq
CICLO – II – 2016
PS P
q
V V F F
V F V F
CONJUNCIÓN
DISY DISYUN UNCI CI N INCLUSIVA
DIS DISYUN YUNCI N EXCLUSIVA
p Λ q
p ν q
p q
V V V F
F V V F
V F F F
INFERENCIA Definición: Es una estructura de proposiciones en donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra que es la conclusión, haciendo uso de las IN y de las EN. Ejemplos 1. 4 9 9 17 4 17 2. Todas las mujeres son mortales. Maritza Maritza es mujer. Por lo tanto, Maritza es mortal.
EQUIVALENCIA (E) (P es equivalente a Q) ( P Q es una tautologíA), lo que se denota con P Q . NO EQUIVALENCIA (P no equivalente a Q) ( P Q no es una tautologíA), lo que se denota con P Q . EQUIVALENCIAS NOTABLES (EN) Doble Negación ( DN ): p p p p Idempotencia ( Idem ): p p p p p p Conmutatividad ( Conm ): p q q p p q q p Asociativa ( Asoc ) : p q r p (q r) (p q) r p q r p (q r) (p q) r Distributividad ( D ): p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan ( DM ): (p q) p q (p q) p q Condicional ( Cond ): p q ( p q) (p q) ( q p) Bicondicional ( B ): p ↔ q (p q) (q p) ( p q) ( q p) (p q) ( p q) De Absorción ( Abs ): p (p q) p p ( p q) p q p (p q) p p ( p q) p q De La Disyunción Exclusiva ( DE ): p q (p q) (p q) (p q) (p q) De La Complementación ( Comp ): p p T
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”
SILOGISMO HIPOTÉTICO HIPOTÉTICO (SH)
p q q r p r PS
CONDICIONAL
p
q
V V F F
V F V F
BICONDICIONAL
p → q V F V V
p ↔ q V F F V
Se leen: ~ p : no p; es falso que p; no es cierto que p, no es verdad que p. p q : p y q; p a la vez q; p pero q; p sin embargo q; p aunque q; p no obstante q; … p q : p o q; p y/o q
p q : o p o q; p o q pero no ambas p q : Si p entonces q; p es condición necesaria para q.
p q : p si y sólo si q; p es condición necesaria y suficiente
Donde: p es el antecedente y q es el consecuente
para q.
CLASES DE PROPOSICIONES COMPUESTAS ABIERTAS: Una proposición abierta es una: Tautología (T) Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante son V. Contradicción (C) Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante son F. Contingencia Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante hay por lo menos una V y una F.
IMPLICACIÓN (I) (P implica Q) (P→Q es una tautologíA), lo que se
denota con P Q . Ejemplo Si P : p q r y Q : p q p r entonces P Q . NO IMPLICACIÓN
(P no implica Q) ( P Q no es una tautologíA), lo que se denota con P Q.
IMPLICACIONES NOTABLES (IN)
MODUS PONENDO PONENS (MPP):
p q p q
MODUS
TOLLENDO TOLLENS (MTT): p q ~ q ~ p MODUS TOLLENDO PONENS (MTP) p q ~ p q
p q ~ q p
SIMPLIFICACIÓN (s) (s)
pqp pqq
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PS P
q
V V F F
V F V F
CONJUNCIÓN
DISY DISYUN UNCI CI N INCLUSIVA
DIS DISYUN YUNCI N EXCLUSIVA
p Λ q
p ν q
p q
V V V F
F V V F
V F F F
INFERENCIA Definición: Es una estructura de proposiciones en donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra que es la conclusión, haciendo uso de las IN y de las EN. Ejemplos 1. 4 9 9 17 4 17 2. Todas las mujeres son mortales. Maritza Maritza es mujer. Por lo tanto, Maritza es mortal.
EQUIVALENCIA (E) (P es equivalente a Q) ( P Q es una tautologíA), lo que se denota con P Q . NO EQUIVALENCIA (P no equivalente a Q) ( P Q no es una tautologíA), lo que se denota con P Q . EQUIVALENCIAS NOTABLES (EN) Doble Negación ( DN ): p p p p Idempotencia ( Idem ): p p p p p p Conmutatividad ( Conm ): p q q p p q q p Asociativa ( Asoc ) : p q r p (q r) (p q) r p q r p (q r) (p q) r Distributividad ( D ): p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan ( DM ): (p q) p q (p q) p q Condicional ( Cond ): p q ( p q) (p q) ( q p) Bicondicional ( B ): p ↔ q (p q) (q p) ( p q) ( q p) (p q) ( p q) De Absorción ( Abs ): p (p q) p p ( p q) p q p (p q) p p ( p q) p q De La Disyunción Exclusiva ( DE ): p q (p q) (p q) (p q) (p q) De La Complementación ( Comp ): p p T
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p p C T C C T De La Identidad ( I ): p T p p C C p T T p C p
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 1 1. Al simplificar: (~ p q) q , se obtiene: A) p B) ~ q C) p q D) p E) p q
LEYES LÓGICAS Son las I N y las EN. TRANSFORMACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES Transformar una proposición es convertirla en otra equivalente más sencilla, de ser posible. Simplificar una proposición es transformarla en otra equivalente que posea el menor número de proposiciones simples y de conectivos proposicionales, haciendo uso de la EN. CUANTIFICADORES: Cuantificador Universal: Se denomina así a la expresión: “Para todo … se verifica verifica …”, y se le simboliza simboliza por “ ”. Cuantificador existencial: Se denomina así a la expresión: “Existe al menos un … tal que se verifica … “, y se le simboliza por Variante del Cuantificador Existencial Se denomina así a la expresión: “Existe un único… tal que se verifica … “y se simboliza por CUANTIFICACIONES: A partir de las proposiciones abiertas se pueden obtener proposiciones cerradas, por ejemplo, mediante el proceso de cuantificación, cuantificación, es decir, usando cuantificadores. cuantificadores. Cuantificación Universal en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Para todo x se verifica p (x)”, y se le simboliza por x : p (x). Cuantificación Existencial en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Existe al menos un x tal que se verifica p (x)”, y se le simboliza por x / p (x). Variante de la Cuantificación Existencial Existencial en la variable x: Se denomina así a la expresión: expresión: “Existe “Existe un único único x tal que se verifica p(x) ” y se le simboliza por:
! x / p x
p1 : La suma de los ángulos internos
2. Si:
Negación de Cuantificaciones: x : p(x) x / p(x)
x / p(x) x : p(x) VALOR DE VERDAD DE LAS CUANTIFICACIONES: A) Una cuantificación universal es V si y solo si son V todas las proposiciones particulares asociadas asociadas a la proposición abierta que forma parte de ella. B) Una cuantificación existencial es V si y solo si es V alguna de las proposiciones particulares asociadas a la proposición abierta que forma parte de ella.
~q
0
de un octógono es 1080 .
p 2 : El valor aproximado de un radian es 57 0 14 ' 44,81" .
p3 : ( p q)
~ q ~ p
p 4 : 1 1 1 . . .
1
n
, 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1 Entonces el número de proposiciones falsas, es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. El símbolo que que corresponde a una tautología, es: A) B) C) D) E) 4. E número de valores verdaderos que posee el conectivo dominante de la proposición abierta ( p ~ q) r , es: A) 0 B) 3 C) 4 D) 6 E) 5 5. Si:
p : ! solución x para x 3 9 x 2 , x Z q : ! solución x N / x 2 9 y las proposiciones abiertas r y t , entonces el número de valores falsos que posee el conectivo dominante de la proposición (~ p ~ r ) (~ q t ) , es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 6. Si la proposición p q está definida por la TVV:
p V V F F
q
p q
V F V F
F V F F
Entonces le corresponde la proposición: A) ~ p ~ q B) p ~ q C) ~ p q D) p q
E) ~ ( p q)
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UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga 7. Se dan 2 cuadrados mágicos 8 1 6 3 5 7 4 9 2
p 2 : La vista es un órgano de la visión. p 3 : La inversa aditiva de 8 Entonces el número de proposiciones verdaderas, es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
23 4
El valor de E x 13 , es: A) 7 B) 18 C) 13
D) 21
E) 3
8. La negación de la afirmación: “Alguna planta no es árbol”, es: A) Alguna planta es árbol B) Ninguna planta es árbol C) Toda planta es árbol D) Toda planta no es árbol E) Alguna planta no es árbol
p : 4 es el logaritmo en base 3 de 81 q : x es menor que 27.
Entonces el símbolo de la proposición o de su equivalente: “Si 4 no es el logaritmo de 81 en base 3 entonces x no es menor que 27”, es: A) p ~ q B) ~ p q C) p ~ q
~q
E) ~ ( p q)
10. Si la PVVD: (~ r p) (~ t ~ q) es falsa, entonces el valor de verdad de: I. (~ p t ) q II. (~ q p)
(r t ) III. [( p ~ q) q] ~ r en el orden dado, es: A) FVV B) FFF C) VVV
q : 456(7)
p1 :
7 11 o
5
3
p 2 : Si: 5! 120 , entonces 0! 1 1 1 2 0 3 0 p3 : sen (210 ) y cos (120 ) 4 8 17 p 4 : o log 4 (32) 2,5 o 0,25( 6) 36 C) FFVV
14. Al preguntársele a Maruja por su edad dijo “Anteayer tenía 29 años y el año próximo tendré 32 años”, el día del cumpleaños de Maruja y el día en el que hizo esta curiosa afirmación, es: A) 30; 01 B) 29; 01 C) 28; 02 D) 31; 02 E) 31; 01 15. Al simplificar la proposición abierta:
(~ p q) p ~ r (r V ) , V , verdadero, se obtiene A) ~ p B) q D) p r E) ~ q r
C) r
16. Si la proposición: D) VFV
E) VFF
11. Si:
p : 6352(8) 4763(8)
13. El valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:
en el orden dado, es: A) FFFF B) FFFV D) VVVV E) VVVF
9. Si:
D) ~ p
143(7)
p 4 : Paisaje hermoso.
5 x
9
12. Si: p1 : 87 (9)
”
1367(8)
237
y las proposiciones abiertas r t , entonces el conectivo dominante de la proposición ( p ~ r ) (~ q t ) , en su TVV, posee: A) 4 V B) 3V y 1 F C) 2V y 2F D) 1 V y 3 F E) 4 F
~ (~ p ~ r ) q (r ~ t , es verdadera,
entonces los valores de verdad de p;q;r;t, en el orden dado, es A) VVVV B) FVVV C) FFVV D) VFFV E) FFVF 17. Si: p; q; r son PVVND entonces al simplificar:
p ~ (~ p q) (~ p ~ r ) ~ p, se obtiene A) ~ p D) ~ r
B) q E) ~ p r
C) p r
18. Si p y q son PVVND y (~ p ~ q) q entonces se concluye: A) q B) p C) ~ q D) p ~ q E) ~ p
CICLO – II – 2016
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19. Sean las premisas: p1 : Si estudian entonces las aulas están llenas.
UNIDAD Nº 02
p2 : Las aulas no están llenas. Se deduce que: A) Estudian B) No estudian C) Las aulas están llenas D) Las aulas no están llenas E) Estudian y las aulas no están llenas 20. Al determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes: p : No es verdad que, 8 8 17 si y solo si
6 6 1
TEOR A DE CONJUNTO
Conjunto: Es un término no definido, porque es un concepto de primer orden. Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas o letras mayúsculas con subíndices. Los elementos del conjunto se escriben entre llaves y separados por puntos y comas. Ejemplos A = { -12 ; -3 ; 0 ; 4 ; 7 } y n(A) = 5 = número de elementos de A B = { x ℝ / x2 – 4 = 0 } = { – 2 ; 2 }
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: Por Extensión: Cuando es posible dar una lista explícita de todos sus elementos. Ejemplo
q : Es falso que 4! 24 o log 5 (625) 4 . r : Madrid está en Italia o Roma está en España. 0
t : Es imposible que sen(30 ) 1 y no es el caso
A 2; 4; 6 n( A ) 3
3
que 4 32 . En el orden dado, se obtiene que: A) FFFV B) FFFF C) VFFF D) VFFV E) FFVV
Por Comprensión: Cuando es posible enunciar una propiedad P (Relación de definición) que caracterice a sus elementos y que lo denotamos con: A x U / P( x) , donde: U es el conjunto universal; P(x) es la relación de definición, y que se lee: A es el conjunto de los objetos x de U, tales que, dichos x cumplen la propiedad P. Ejemplo
A x ℕ / x 7 13 6 2 B x ℤ / x 64 0 8 ;8
CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto Vacío: Es el que carece de elementos. Se le simboliza por { } o por , y n 0 Conjunto Unitario: Es el que consta de un solo elemento. Conjunto Finito: Es el que consta de n elementos diferentes y n ℕ Conjunto Infinito: Es el que no es finito. Conjunto Universal (U): Es el conjunto formado por todos los elementos de la teoría en discusión.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados los conjuntos A, B y C, se tiene: Inclusión ( ) A B x : x A x B , se lee: A está incluido en B, A está contenido en B; A es subconjunto de B. n ( X A ) 2 Propiedades
1.
n ( A)
n ( X A X ) 2 n ( A) 1
A : A
2. A : A A 3. ABC : A B B C A C No Inclusión ( ⊄ )
A B x / x A x B
Disjunto (disj) A disj B x : x A x B
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UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga
Sub Conjunto Propio (Sp)
X A Equivalentemente X ∉ P(A) X ⊄ A P.1. A : P( A ) P.2. A : A P( A )
X P ( A)
A sp B A B B A Comparabilidad (Comp) A comp B ↔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A
P.3. A: n( P ( A)) 2 n( A) n( X A ) P.4. A B : A B P ( A) P ( B )
No Comparabilidad (Comp) A comp B A B B A Igualdad ( = ) A = B ↔ A⊂B ∧ B⊂ A x : x A x B P.1. P.2. P.3.
”
P.5. A B : A B P ( A) P ( B )
A : A A AB : A B B A ABC : A B B C A C
REUNIÓN O UNIÓN: A B x/x A x B donde: x ( A B ) x A x B x ∉ (A B) x ∉ A x∉B
INTERSECCIÓN: A B x / x A x B , donde Si A comp B:
No Igualdad ( ≠ ) A ≠ B ↔ A ⊄ B ∨ B ⊄ A P.1. A : A DIAGRAMAS
A B
Diagramas de Venn Son regiones planas limitadas por líneas geométricas cerradas de forma triangular, rectangular, circular, elíptica, etc. Ejemplo
.y B .x
o
Si AcompB:
A
B
SUSTRACCIÓN O RESTA:
A B x / x A x B
A=B
Permiten visualizar algunas relaciones entre conjuntos enlazándolos mediante segmentos de recta (verticales u oblicuos). Ejemplo B ó ● A A B A = B Diagrama de: Carrol Lewis Veitch:
SUSTRACCIÓN SIMÉTRICA: A B x / x A x B x / ( x A x ∉ B ( x ∉ A x B
COMPLEMENTACIÓN:
OPERACIONES CON CONJUNTOS POTENCIACIÓN: P( A ) x / x A , donde: CICLO – II – 2016
A B A x / x B x ∉ A .x B . y A
B
COMPLEMENTACIÓN ABSOLUTA:
A
Ac
B
c
A U A x / x U x ∉U A A '
D
COMPLEMENTACIÓN RELATIVA:
Ac
C
A B
A B
.x
Diagramas Lineales
A
B A
A
A sp B ; A B
A B A B
A
.y
.x Ac
Total
Bc Total
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ALGEBRA DE CONJUNTOS Propiedades.
De la Identidad
A A A
A U U A U A
De la Idempotencia b.1. AUA A
b.2. A A
A
De la Complementación c.1. A A
c
U
c.2. A A
c
c
c.3.
c A A
De la Conmutatividad d.1. A B B A
d.2. A B B A
De la Asociatividad e.1. A B C A (B C ) ( A B ) C e.2. A B C
k.4. A B C
A ( B C ) ( A B ) C K.5. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) k.6. A B ( A B ) ( B A ) K.7. A B ( A B ) ( A B ) NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO P.1. A B : A B n( A B ) n( A ) P.2.
A B : A B n(A B) n(A ) n(A B) P.3. A B C : A ( B C ) ( A B) ( A C ) P.4. A B C : A ( B C ) ( A B) ( A C ) P.5 . A B C : A B C n ( A B C ) n ( A ) n ( B ) n ( C ) P.6. A B C: A B C n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C) P.7. n P ( A B) 2 n ( A B) n P ( A) P ( B)
A (B C) ( A B ) C
De la Distributividad f.1. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) f.2. A ( B C )
( A B ) ( A C )
De “De Morgan” g.1.
( A B )c A c Bc c
c
c
g.2. ( A B ) A B Absorción: h.1. A ( A B ) A
A ( Ac B ) A B h.3. A ( A B ) A h.2.
h.4. A ( A
c
B ) A B
Sustracción
c
i.1. A B A B
( A B ) B
i.2. A A i.3. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
( B C ) ( A B ) ( A C ) i.5. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) i.6. A A i.7. A U i.8. A i.9. i.4. A
Conjunto Potencia j.1.
P ( A B ) P ( A ) P (B ) P ( A B ) P ( A ) P (B )
j.2. Diferencia Simétrica k.1. A A
k.3. A B B A k.2. A A
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UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 2
5. Sean los conjuntos: A x IN 30 x! 50000 ; C x IN 20 x x 4000 B x IN 5 2 x 300; y las proposiciones: A C C ; A C B B C C ; A B A A B C Entonces el número de proposiciones correctas, son: A) 2 B) 3 C) 5 D) 1 E) 4
La cantidad de subconjuntos propios que tiene el 2 3x 8x 5 IN 3 x 10 es: conjunto A xIN x 1 A) 63 B) 15 C) 31 D) 7 E) 127 2. Se hizo una encuesta entre 170 personas para ver la preferencia entre partidos políticos: A y B del centro, C de derecha y D de izquierda con los siguientes resultados: 10 no simpatizan con partido alguno, 32 solo con D, 22 solo con A, 20 solo con B y 20 solo con C, 20 con A y D pero no con B; 6 solo con B y C; 4 solo con A y C; 24 con B y D y 28 con A y B. Si ninguno que simpatiza con la derecha simpatiza con la izquierda; entonces los que simpatizan con A, B y D, es: A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24 3. En el centro de cómputo del CEPU-UNICA, se deci de analizar las siguientes coincidencias: El número de personas que aprobó solo el primer examen es igual al número de personas que aprobó el segundo y tercer examen. El número de personas que aprobó solo el segundo examen es igual al número de personas que aprobó el primer y tercer examen. El número de personas que aprobó solo el tercer examen es igual al número de personas que aprobó el primer y segundo examen. El número de personas que aprobó solo 2 exámenes es igual al triple de los que aprobaron los 3 exámenes y para ingresar basta con aprobar 2 de los exámenes. Si el 16% de los postulantes no aprobaron examen alguno; entonces el porcentaje del total de postulantes que fueron admitidos, son: A) 24% B) 25,2% C) 33,6% D)43,5% E) 48% 4. Las fichas de datos personales llenados por 74 estudiantes que ingresaron a la UNICA, arrojaron los siguientes resultados: 20 estudiantes son de Lima. 49 se prepararon en academia. 27 postularon por primera vez. 13 de Lima se prepararon en academia. 17 postularon por primera vez y se prepararon en academia. 7 de Lima postularon por primera vez 8 de provincia que no se prepararon en academia postularon por primera vez. ¿Cuántos alumnos de lima que se prepararon en academia postularon por primera vez? ¿Cuántos alumnos de provincia que no se prepararon en academia postularon más de una vez? A) 5 y 12 B) 5 y 10 C) 3 y 10 D)4 y 10 E) 4 y 12
CICLO – II – 2016
”
6.
4x 2 0 y M xIR 2x 2 N x Q 4x 2 0 ; entonces el conjunto M N , es: 1 1 1 A) xQ x B) 1; C) 2 2 2 1 D) 1; 1; 2 E) xQ 1 x 2 Sean
los
conjuntos:
7. De un grupo de 100 señoritas: 10 son solamente flaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamente altas. Si 8 tienen por lo menos 2 de estas características; entonces el número de señoritas del grupo que no tienen ninguna de las tres características, son: A) 50 B) 51 C) 55 D) Más de 60 E) Menos de 40
2 8. Sean A a 9 ; b c 5 y 2 2 B 1; 6a; a b 7 donde A y B son conjuntos iguales. Si a, b y c son números enteros y k = a + b + c; entonces la suma de todos los valores de k, es: A) -15 B) -14 C) – 7 D) 1 E) 8 2 2 9. Sean los conjuntos F a 2b; b 1 y G . Si F G a 4b; b 1 3a es un conjunto unitario y a, b Q entonces el conjunto F G , es: A) B) 0 C) 10 D) 1 E) 1
10. Si A B C y A B C ; entonces al simplificar: A B C B A B C A C se obtiene: A) Ø B) A C) B D) C E) U 11. El total de jugadores de un club deportivo es de 68. Si hay 48 jugadores de futbol, 25 de básquet y 30 de vóley y en los 3 deportes destacan 6 de ellos; entonces la cantidad de jugadores que se dedican a un solo deporte, es: A) 25 B) 39 C) 42 D) 50 E) 65
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
12. En un ómnibus viajan 30 pasajeros entre peruanos y extranjeros. Si hay 9 del sexo femenino extranjero, 6 niños extranjeros, 8 extranjeros del sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras, 8 señoras y 7 señores; entonces la cantidad de niñas peruanas que hay en el autobús, es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 5
m 1 19. Si: E n Z 1 n 9 ; A mE es par 3 12 Z entonces nP A B , es: B pE p A) 32 B) 64 C) 16 D) 8 E) 4
A B A B A B ; 13. Si A U , B U y entonces los valores de verdad de las siguientes proposiciones: I) B AI II) A A - B III) B B A IV) A B Ø V) A B A B I , en ese orden, es: A) VVVVV B) VVVFF C) VVFFV D) VFVFV E) FFFFF
20. Si A, B y C son conjunto no comparables y no disjuntos; entonces al simplificar A B C A A B A C , se obtiene: A) A B C B) A B C) A B C D) B C E) B
14. Si n A 15 ; nB 32 y n A - B 8 ; entonces el I BI es: valor de n A Δ B n A A) 36 B) 37 C) 51 D) 58 E) 59 15. De un grupo de 62, atletas, 25 lanzan bala, 36 lanzan jabalina y 30 lanzan disco, 3 tres lanzan los tres. Si 10 lanzan jabalina y disco, 15 disco y bala, 7 lanzan bala y jabalina; entonces los que no lanzan jabalina ni disco, son: A) 4 B)6 C) 7 D) 5 E) 3 16. Los conjuntos A a 2 2a; b 3 b y B 2a;15 son iguales. Si a y b son números naturales; entonces el valor de A B , es: A) 8 B) 15 C) 9 D) 12 E) 6 17. En una encuesta realizada a 190 personas sobre la preferencia de leer las revistas A y B, el resultado fue el siguiente: 1 El número de personas que le gusta A y B es de 4 los hombres que solo les gusta A y la mitad de las mujeres que solo les gusta A. 2 El número de hombres que solo le gusta B es del 3 número de mujeres que solo les gusta B. Si los que leen A son 105 y los que leen B son 70, entonces el número de personas que no leen ni A ni B, es: A) 30 B) 32 C) 36 D) 38 E) 40 18. A un matrimonio asistieron 150 personas. De los hombres: 23 no usan reloj pero si tienen terno; y 42 tiene reloj. De las mujeres: las que no usan minifalda son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienen minifalda y reloj. Si el número de hombres es el doble del número de mujeres; entonces el número de mujeres que usan minifalda, pero no reloj, es: A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9
CEPU - UNICA
9
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga 21 = 41( 5)
UNIDAD Nº 03
NUMERACIÓN
21 25
Luego:
Es la parte de la Aritmética que se encarga de estudiar a los números en su formación, escritura y lectura para lo cual el hombre ha ideado los sistemas de numeraciones, el cual es un conjunto de reglas, principios y convenios, que sirven para formar a los números y operar con ellos. NÚMERO: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad, su representación gráfica geométrica es un número. Actualmente se usa el sistema de escritura Indo – Arábico. Ejemplo: 5 = cinco = five = PRINCIPALES PRINCIPIOS DEL SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACION Principio del Orden Toda cifra de un número posee un orden, el cual se lee de derecha a izquierda, enumerándoseles empezando del orden uno. No debemos confundir el ORDEN con el LUGAR que ocupa la cifra. Al indicar lugar nos referimos a su ubicación enumerándolas de izquierda a derecha, empezando del primer lugar. Ejemplo: En el siguiente numeral 5847, se observa: ORDEN Cuatro
5 er
1
tres
dos
8
4
do
er
2
3
uno
7 to
4
LUGAR - La cifra 4 es de orden dos y ocupa el 3er lugar. - La cifra 8 es de orden tres y ocupa el 2do lugar. Principio de la Base Se denomina Base de un Sistema de Numeración, a todo número entero positivo mayor que uno, la cual nos indica la cantidad de unidades mínimas necesarias de un cierto orden para poder formar una unidad del orden inmediato superior. La base también nos indica el número de símbolos (llamados cifras), con que cuenta el sistema para poder formar los números en ella. Ejemplo: Representar 21 unidades simples: Base 10 Base 8
21 = 210
( 8)
”
( 3)
41 210 ( 5) ( 3)
De donde, afirmamos que: “En una igualdad de dos numeros, a mayor numero aparente le corresponde menor base y viceversa”. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras griegas para su r epresentación: = 10 ; = 11 ; = 12 ; = 13; . . . . . Ejemplo:
2(10)3(11)
Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Nombre Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octonario Nonario Décuplo Undecimal
12
Duodedimal
(13)
23
(13)
Cifras – Dígitos – Guarismos 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)
Observación: Toda cifra que forma parte de un número es un número entero menor que la base. Así en el sistema de base “n”, se pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales son: Máxima 0; 1; 2; 3; 4; . . . . . . . ; (n-1) Significativas Conclusión: Cifra < Base Representación literal de los numeros Cuando no se conocen las cifras del número éstos se pueden representar mediante letras.
10; 11; 12; 13;......... 99 mnp 9 100 9 ; 1019 ; 102 9 ;................8889
xyzw7
ab
1000 7 ; 10017 ; 10027 ;.............6666 7
Numeros Capicúa: Son aquellos en las cuales las cifras equidistantes son iguales:
21 = 25(8)
21 Base 5
Base 3
CICLO – II – 2016
aa ; aba ; abba 7 ; abcba 9 ; abccba 5 Valor Absoluto y Valor Relativo de una cifra: El valor absoluto de una cifra es el valor que tiene por su figura que representa.
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
El valor relativo de una cifra es el valor absoluto con las unidades de orden al cual pertenece. VA = 1 VR = 7.103 VA = 9 1
* * * *
5 7 8 9 4 VR = 9.101 VA = 7 VR = 1.105
*
Descomposición polinómica de un numero La descomposición polinómica de un numeral es la sumatoria de los valores relativos de sus cifras. La descomposición polinómica nos permite hallar el equivalente en el sistema decimal. Ejemplos: 42 = 4.101 + 2 278(9) = 2.92 + 7.91 + 8 = 233 4232(5) = 4.53 + 2.52 + 3.51 + 2 = 567 27364(x) = 2x4 + 7x3 + 3x2 + 6x1 + 4 Casos Particulares 1. Cuando el numero tiene todas sus cifras iguales.
aaa ....... aaa ( n )
n k 1 n 1 a
-
k cifras
-
2. Para bases sucesivas: - Si a 1 entonces N=
a
ab
k
.n
b ( a k 1) a
1
ab ab
k
veces
ab(n) -
Si a = 1 entonces N = n + b . k 6
4
6 2 0 3 2 1 1
4 2 02 2 0 1
110
100
5 5 2 12 2 0 1 101
2 2 2 0 1
010
abcdef ( n )
abcd ( n ) .n 2 ef ( n )
abcdef ( n )
ab ( n ) .n 4 cdef ( n )
Cambio de Bases: Caso 1: de Base “n” a Base 10. Procedimiento: Descomposición polinómica Ejemplo: 4576(9) = 4.93 + 5.92 + 7.91 + 6 = 3390 * Caso 2: de Base 10 a Base “n” Procedimiento: Divisiones sucesivas. Ejemplo: Representar 867 en el sistema octonario. 867 8 3 108 8 4 13 8 5 1 867 = 1543(8) Casos especiales de cambio de base: Primer caso: de Base “n” a Base “nk”, k N. Procedimiento: El número se descompone en bloques de k cifras a partir del orden cero. Cada bloque se descompone polinómicamente y el resultado es la cifra en la nueva base. Ejemplo: Expresar 101112202122(3) en el sistema de numeración de base 9. Como la nueva base es 9 = 3 2, cada bloque tiene que ser dos cifras. 10
11
12
20
21
22
1.3 + 0
1.3 + 1
1.3 + 2
2.3 + 0
2.3 + 1
2.3 + 2
3
4
5
6
7
8
101112202122(3) = 345678(9) Segundo caso: de Base “nk” a Base “n”, kN. Procedimiento: - Cada cifra del número se convierte al sistema de base “n” mediante las divisiones sucesivas. - Cada conversión debe tener “k” cifras, de no ser así se completa con ceros a su izquierda. Ejemplo: Expresar 6452(8) en el sistema de numeración de base 2. Resolución: Como 8 = 23, cada conversión debe tener tres cifras.
3. Descomposición polinómica por bloques
abcdef (n)
ab(n) .n4 cd (n) .n 2 ef (n)
abcdef ( n )
6452(8) = 110100101010(2)
abc ( n ) .n 3 def ( n ) CEPU - UNICA
11
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga PROPIEDADES ADICIONALES: A) Numero expresado en bases sucesivas
a b c .......... x n
1a
”
TEOREMA
Si: a > b y
abc cba mnp m + p = 9 y n = 9
1b 1c
En general:
abc(n) cba(n) xyz(n) x + z = n - 1 ; y = n-1
1 x ( n )
a . b . c . . . . k . n
a0 b0 c0
Multiplicación (x) Es una operación directa, en la cual para dos números llamados multiplicando y multiplicador , se obtiene un tercer número llamado producto, el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indique el multiplicador.
ab
k 0( n )
a a .... a P a " b" sumandos
B) Número formado sólo por cifras máximas. ( n 1)( n 1)( n 1)......( n 1) ( n )
n k 1
“k” cifras
CUATRO OPERACIONES Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la Aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será: Directa o de composición: cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación. Inversa o de descomposición; cuando conocido el resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro número. Adición (+) Es una operación directa, en la cual para dos números cualesquiera llamados sumandos, se obtiene un tercer número llamado suma o suma total. a+b=S Donde: *a y b : Sumandos *S : Suma
Sustracción (-) Es una operación inversa a la adición en la cual para dos números llamados minuendo y sustraendo se obtiene un tercer número llamado diferencia tal que si: M-S=D
Donde:
Donde: * a : Multiplicando * b : Multiplicador * P : Producto Observaciones: Una multiplicación se considera como una adición abreviada, donde los términos: multiplicando y multiplicador, son llamados factores. Algoritmo de la Multiplicación: 2 7 3
CICLO – II – 2016
8 4
2
1
8
1
3
6
5
1
5
8
3
4
producto parcial producto parcial suma de productos parciales
División ( ) Es una operación inversa a la multiplicación, en la cual, para dos números llamados dividendo y divisor (este último diferente de cero), se encuentra un tercer número llamado cociente, de modo que el producto del divisor y el cociente sea el dividendo. D d = q → D= d x q
S+D=M Donde:
* M : Minuendo * S : Sustraendo * D : Diferencia
5
* D : Dividendo * d : divisor (d 0) * q : cociente
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
En conclusión: Cuatro Operaciones Aritmética
Directas
* Adición (+) *Multiplicación (.)
Inversas
* Sustracción (-) * División ()
División Inexacta por Exceso Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por exceso: q e ) es mayor al dividendo. El número de unidades que excede dicho producto al dividendo, es llamado residuo por exceso r e. d q
COMPLEMENTO ARITMETICO (C.A.) Se llama así, a lo que le falta a un número para ser igual a la unidad del orden inmediato superior. Representación: Sea:
N
(n )
n
k
D
D
d qe. r e
Propiedades de la División Inexacta 1. 0 < Residuo < d Residuo mínimo = 1 Residuo máximo = d – 1
un número de “k” cifras, entonces:
C . A. N ( n )
e
N ( n )
Ejemplos:
2.
3.
* C.A (24) = 102 --- 24=76
r r e q
e
q
d
1
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
* C . A.(1329 ) 93 1329 7579 Método Práctico: A la primera cifra significativa de m enor orden, se le resta de la base y a las demás cifras de la izquierda se le resta de la máxima cifra de la base. Estas diferencias obtenidas serán las cifras correspondientes en el C.A. del número. Si hay ceros después de la última cifra significativa, éstos quedan en el C.A.
D
d
r
q
D d q r
Llamado Algoritmo de Euclides
Ejemplos: *
C . A 999102346
* C.A 6 6 7145000(7)
= 7654 5220007
DIVISION ENTERA Es un caso particular de la división, en la que todos los términos son números enteros. Donde conocido un número (Dividendo), al ser dividido por otro (divisor ) se obtenga un tercer número (CocientE) tal que su producto con el divisor sea igual o se acerque lo más posible al dividendo. I. División Exacta Se cumple que el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. D = d •q Donde: D, d, q Z y
d 0
II. División Inexacta Es la división entera en la que el producto del divisor por el cociente es diferente al dividendo. D=d•q+r Donde: D, d, q Z y
d 0 ; r ≠ 0
División Inexacta por Defecto Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por defecto: q) es menor al dividendo. El número de unidades que le falta a dicho producto para ser igual al dividendo, se le llama residuo por defecto (r). d•q
13
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 3
e)
1. Si expresamos ababab...(n) de 26 cifras en base n3 se obtiene un número cuya primera y última cifra son 20 y 92 respectivamente; entonces el valor de “a + b + n”, es: a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15 2
2. Si se cumple que (n - 2)(n 1)n (4n) 1a1(b) ; entonces el valor de “a + b + n”, es: a) 22 b) 24 c) 20
d) 18
e) 15
3. Si los números 5a1(2a 1) ; (b 3)2(6) y (b a)12(8) están correctamente escrito; entonces el menor valor de “a + b”, es: a) 5 b) 10 c) 8 d) 7 e) 6 4. Si se cumple que 4aa(7) bc(2c)13 ; entonces el valor de “a + b + c”, es: a) 10 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12 5. Si el mayor número de 3 cifras diferentes de base 12 se pasa a base 7 se obtiene un número, cuya suma de cifras, es: a) 16 b) 18 c) 21 d) 20 e) 24 6. Si se cumple que aa...aa (7) xyz ; entonces la suma
”
4 n -1 10 9n 10 81
10. La suma de los 50 términos de la siguiente progresión aritmética: aa; ...; 2a0 , es: a) 3 100 b) 4 100 c) 5 100 d) 6 100 e) 7 100 11. Si la suma de 77 números consecutivos termina en 8; entonces la cifra en que termina el mayor número, es: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5 12. Si al cubo de un número natural se resta el cuadrado de dicho número se obtiene mn ; entonces la suma de todos los mn posibles, es: a) 55 b) 66 c) 77 d) 88 e) 99 13. La suma de las 20 últimas cifras del producto P 88...8(9) 88...8(9) 88...8(9) , es: 21 cifras
a) 132
20 cifras
b) 142
19 cifras
c) 152
d) 162
e) 172
14. Si 5xyz zywx 2579 ; entonces el valor de “x + y + w + z”, es: a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12 15. Si CA xyzw aa (y 1)(w 1)00 y x + w =14; entonces el valor de “a + x + y + z + w”, es: a) 25 b) 35 c) 30 d) 20 e) 22
" x" cifras
de los valores que toma “a + x + y”, es: a) 15 b) 18 c) 21 d) 14
e) 16
7. Un número de la forma ab representa la edad de una persona que aún no alcanza la mayoría de la edad. Si en una base “n” (n < b) dicho número es capicúa; entonces la suma la suma de todos los números ab que cumplen dicha condición, es: a) 15 b) 16 c) 31 d) 32 e) 48 8. A un primer grupo de 20 personas se le dio 17 soles a cada una, a un segundo grupo de 21 personas se les dio 18 soles a cada una, a un tercer grupo de 22 personas se les dio 19 soles a cada una y así sucesivamente. Si en total fueron 30 grupos; entonces la cantidad total del dinero repartido, es: a) s/ 37 073 b) s/ 37 063 c) s/ 36 063 s/ s/ d) 36 073 e) 37 003 9. La suma de los “n” primeros números naturales, en cuyas escrituras intervenga solo la cifra 4, es: 4 n 4 n 10 9n 10 a) 10 9n 10 b) 81 81 c)
4 n 1 10 9n 10 81
CICLO – II – 2016
d)
4 n 1 10 9n 10 81
16. Si mnpq(7) 6666(7) ....4532(7) ; entonces el valor de “m”, es: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 17. La cantidad de números enteros tal que al dividir entre 31; nos da un residuo (no nulo) igual al valor absoluto del cociente, es: a) 10 b) 15 c) 17 d) 30 e) 25 18. Si el dividendo en una división entera es un número de 3 cifras, el divisor es el complemento aritmético del dividendo; el cociente es 65 y la razón aritmética del divisor y el resto es 5; entonces la suma de cifras del dividendo, es: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 19. Una división natural inexacta tiene como cociente y residuo a 397 y 21 respectivamente y al dividir dicho cociente entre el divisor de la misma obtenemos otro cociente y otro residuo, ambos de 2 cifras que sumados dan 37. Si el cociente de esta última división es un número par menor que 20 y el residuo contiene a 5; entonces el dividendo de la división original, es: a) 12 238 b) 12 328 c) 12 832 d) 12 130 e) 12 340
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
20. Las cifras de las unidades del menor número comprendido entre 600 y 700 tal que al dividirlos entre cierto número da como residuo por defecto 17 y residuo por exceso 12, es: a)7 b)2 c)3 d)4 e)6
UNIDAD Nº 04
DIVISIBILIDAD-N MEROS PRIMOS
Preliminares Definición: Parte de la teoría de los números que tiene por objeto estudiar las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro. Divisibilidad.Un número entero A es divisible por otro número entero positivo B, si al dividir A por B el cociente es entero y el residuo es igual a 0 Multiplicidad.Se dice que A es múltiplo de B ó divisible por B, cuando A contiene a B, un número entero y exacto de veces. o Notación: A B ; A Bk, k Z Ejemplo : 1
0
0
39 13 por que 39 3 13 ; 54 6 por que 9 6 54 0
0 125 por que 0 125 0 En general se tiene: o
, nZ
n nk ; donde
Observaciones: 1. Cero es múltiplo de todos los números enteros. 2. Por convención el primer múltiplo de un número es el mismo número. 3. No existen múltiplos de números negativos. 4. Si existen múltiplos negativos o 5. abcd (n) n d Ejemplo : 2
8 5
13 X 5(8)
Divisor Se dice que un número B 0 es divisor del número A, cuando B A lo divide en forma entera y exacta. Esto es: = n ; n ∈Z . B PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD
n
o o o
o
P 4
P 6.
n
o
o
z ; z Z o
N
k
o o P5. n n ; k Z
( n . z ) 0
k ; k ; n n. k 0
P 7 .
3
n ; n Z
0
n
o
P . n n n
P2 . n n n ;
1
n z
o o
o o o
P .nnn n ;
0
0
0
a ; N b; N c N mcm(a; b,c ) CEPU - UNICA
15
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga P 8 . Número divisible por diversos módulos con igual residuo: o
o
o
o
N a R ;N b R;N c R N mcm ( a;b; c ) R
P 9. En toda división entera inexacta el dividendo será múltiplo del divisor más el residuo por defecto o múltiplo del divisor menos el residuo por exceso: o o
D d r ; D d r d
e
o
P
o
o
N M y M A . B N A N B 10 . P11 . Principio de Arquímedes
n n Todo número entero será divisible entre 2 y/o 5 ; cuando el
n
número formado por sus “ n” últimas cifras sea divisible entre 2 n y/o 5 , en caso contrario nos determina el residuo de dividir n n dicho número entre 2 y/o 5 . Divisibilidad por 3 y/o 9 Todo número será divisible por 3 y/o 9 cuando la suma de sus cifras da como resultado un múltiplo de 3 y/o 9, en caso contrario nos determina el residuo de dividir dicho número entre 3 y/o 9. Dado el número: N = abcdef
N9 o
“Sean A y B dos números enteros tal que A B n ; además: A no es múltiplo de “n”; A y n no tienen divisores comunes, excepto 1,
→
N3
a b c d e f 9
→
a b c d e f 3
Ejemplo : 4 Dado el número: 12345674
o
Entonces B n Ejemplo : 3 7x 13 x 13
10y
Suma de sus cifras 32 9 5 r 5 Divisibilidad por 11 Un número será divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de sus cifras de 0 11 orden par da como resultado un ; en caso contrario determina el residuo de dividirlo entre 11. Ejemplo : 5 0 Sea N abc de f N 11 ( f d b) ( e c a)
25 2y 5 y 5
GENERALIZACION DEL BINOMIO DE NEWTOM 0
0
P 12 . (n b )m n b m , m Z o
P13
o
o
0
(n a)(n b) n a b
* 2 7 5 4 8 6 9 ((9 + 8 + 5 + 2) – (6 + 4 + 7)= 11 + 7 Tiene por residuo 7
n0 b m , si m es par 0 m P 14 . ( n b) 0 n b m , si m es impar
Divisibilidad por 7 Todo número será divisible por 7 cuando al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por los coeficientes 1, 3, 2, -1, -3 y –2... la suma o diferencia de ellos dé como resultado un 7 , en caso contrario nos determinará el residuo de dividir dicho número por 7. Dado el número: N = a b c d e f -2 -3 -1 2 3 1 0 N = 7 + {(2d + 3e + f) – (2a + 3b + c)}
P 15 . Números no divisibles
A B0 r d A B 0 A B r e 0
P 16 . Problemas con fechas
Año civil (365 D) = 7 1 ;
Año bisiesto (366 D) = 7 2
Año comercial (360 D) = 7 3 ; Todo año bisiesto es 4 Ejemplo: {1072; 1732; 1892; 2000; 2004}.
”
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son reglas prácticas que nos permiten saber a priori cuando un número es divisible por otro; en caso contrario nos determina el residuo. Los principales son: n n Divisibilidad por 2 y/o 5
Ejemplo : Para el número: N = 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 -2 -3 -1 2 3 1 0
345678 = 7
{(12 +21 + 8)-(6 + 12 + 5) }
= 7 18 = 7 14 4 = 7 4 r 4 Divisibilidad por 13 Todo número será divisible por 13 cuando al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por los coeficientes 1, -3, -4, -1, 3 y 4... la
0
suma o diferencia de ellas de como resultado un 13 ; en caso contrario nos determinará el residuo de dividir dicho número por 13. CICLO – II – 2016
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
Dado el número:
La suma de divisores de N, se denota y se determina por: p1 q1 r 1
N a b c d e f 4
S (N)
a
La suma de las inversas de los divisores de N, está dado por :
3 -1 -4 –3 1
S(IN)=
0
El producto de los divisores de N está dado por: D (N)
P(N) N
4 5 6 7 8 9 4 3 –1 –4 -3 1
También: D(N) = DP(N) + DNP(N) D(N) = DP(N) + 1 + DC(N) D(N) = DS(N) + DC(N) Donde : DP : divisores primos ; DNP : divisores no primos DC : divisores compuestos ; DS : divisores simples
0
456789 13 (16 15 6 28 24 9) 0
0
0
13 18 13 13 5 13 5 0
13 8
S(N) N
N 13 ( 4a 3b c 4d 3e f ) Ejemplo : 7 Para el número:
1 b 1 c 1 . . ... a 1 b 1 c 1
r = 8
Divisibilidad por 33 ó 99 Un número será divisible por 33 ó 99 cuando al separarles en bloques de 2 cifras de derecha a izquierda y efectuar la suma algebraica de dicha cifras se obtiene 33 ó 99.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números. Ejemplo: Sean los números 8; 12 y 20, donde:
Divisibilidad por 33 Sea el número
N =14 0 5 0 9 3 8 º
→
N = 14 + 5 + 9 + 38 = 66 = 33
NÚMEROS PRIMOS Número Primo Absoluto Un número primo es un número entero positivo mayor que uno, que tiene solamente dos divisores diferentes: el número mismo y uno. Ejemplo : 8 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17. Los números primos son números simples. El 1 no es número primo, pero 1 es número simple. El 1 es número singular.
s
DIVISORES
12 18 24
1; 2; 3; 4; 6; 12 1; 2; 3; 6; 9; 18 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
Sus divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6 Luego: MCD (12, 18, 24 ) = 6 El mayor número que divide a 12; 18 y 24 a la vez es 6. FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD i) Descomposicion simultánea
Números Primos entre sí (PESI) Son dos o más números que admiten como único divisor común a uno. Ejemplo : 9 (3 y 7); (4; 8 y 3); (12; 13 y 37), etc.
Números compuestos Son aquellos números naturales que tienen m ás de 2 divisores. Ejemplo : 10 4; 6; 12; 28; 111
Descomposición Canónica de un Número Natural (Factores primos) Se llaman factores primos a los números primos que son divisores de un número compuesto Relaciones entre los Divisores de un Número Compuesto Sea N un número compuesto que tenga por descomposición canónica N = apx b qx cr x ..., donde: a, b, c, .. son primos absolutos diferentes p q r Exponentes de los factores primos. La cantidad de divisores de N se denota y se determina por: D(N) = (p+1) (q+1) (r+1) ...
20 4
-
15 3
5
PESi
MCD (20; 15) = 5 ii) Por descomposición canónica Sean los números: A = 26 . 35 . 54 B = 24 . 53 . 72 MCD (A;B) = 24 . 53 “Se toman los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes “ iii) Divisiones sucesivas o algoritmo de euclides Para hallar el MCD(A,B) se procede de la siguiente manera: Se divide el número mayor entre el menor obteniéndose un cociente(C)y un residuo (R), se divide el número menor entre R obteniéndose un cociente (C1) y Un residuo (R1) y así sucesivamente se procede hasta encontrar un residuo cero. El ultimo residuo diferente de cero es el MCD(A,B). Esquema: COCIENTE ()
A
RESIDUO
C
C1
C2
C3
C4
C5
B
R
R1
R2
R3
R4
R
R1
R2
R3
R4
0
CEPU - UNICA
17
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga donde: A B , y MCD(A,B) =MCD(B,R)= MCD(R,R1) =MCD(R1,R2) =MCD(R2,R3)=MCD(R3,R4)= R4 R3 = C5R4 ; R2 = C4R3 + R4; R1 = C3R2 + R3 ; R =C2R1 + R2 B = C1R + R1 ; A = CB + R PROPIEDADES DEL MCD
1. El MCD nunca es mayor que uno de los números 2.Si el menor de los números es divisor común de los otros, entonces el MCD será ese menor número. 3. El MCD de 2 números primos entre sí es uno. 4. MCD (A; B; C)=d Se cumple: MCD (An ; Bn ; Cn ) = dn A B C d MCD ; ; n n n n MCD(A; B; E; F) = MCD (M ; N) Donde: M = MCD ( A;B) ; N = MCD(E;F) También: MCD( A;B;E;F) = MCD(A; MCD(B;E; F) MCD(A;B;C)= d
A B p ; q ; d d
C r d
A=p. d ;B=q. d ;C=r. d A , B y C son múltiplos de “d” y p, q , r PESI MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( MCM.) Es el menor múltiplo común de dos o más números Ejemplo : 12 Hallando el MCM (8 ; 12), se tiene: 0
”
PROPIEDADES del MCM P.1. El MCM nunca es menor que alguno de los números o P.2. Para 2 números A y B donde: A = B = B . K MCM (A , B) = A P.3. El MCM de dos números primos entre sí, es el producto de dichos números. A y B son PESI MCM (A ; B) = A . B P.4. MCM (A ; B ;C ; D) = MCM(M;N) M = MCM(A ; B); N = MCM( C ; D) P.5. MCM(nA;nB;nC)= n . MCM(A; B; C) A B C 1 P.6 MCM ; ; . ( A ; B ; C) n n n n
P.7
MCM(A , B) A MCM (A, B) B
p
PESI q
RELACIONES ENTRE EL MCD Y MCM PARA 2 NÚM EROS Se sabe: A B : d MCD(A;B) = d q1 q2 PESi A = MCD(A;B)xq1 ; B = MCD(A;B)xq2 MCM(A;B) = MCD(A;B)xq1xq 2
8 8;16;24,32;40;48;56;...
A . B = MCD . MCM
0
12 12;24;36,48;60;... Múltiplos comunes: 24 ; 48, …. MCM ( 8 ; 12 ) = 24 Observación: Múltiplos comunes de A ; B y C = Múltiplos del MCM de (A;B;C) FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCM i) DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA Ejemplo: 20 15 5 4 3 3 4 1 4 1 1 MCM ( 20 ; 15) = 5 x 3 x 4 = 60 ii) POR DESCOMPOSICION CANONICA Sean los números A = 26. 35. 54 B = 24. 53. 72 MCM ( A ; B) = 2 6. 35. 54. 72 “Se toman los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes” Ejemplos: A = 24 . 3 B = 22 . 5 MCM ( A ; B) = 24 . 3 . 5
CICLO – II – 2016
INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER Indicador de un Número.- Es la cantidad de números primos menores que un número N. Su notación es (N). El indicador de un número primo P es : ( P – 1 ). Para hallar el indicador de un número compuesto N:
Si N a .b .c ... ; siendo a, b y c primos absolutos diferentes, entonces: 1 1 1 (N) a (a 1)b (b 1)c (c 1)... ; o también:
1 1 1 (N) N 1 1 1 ... a b c
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 4 10. Si 1.
2.
3.
71 ab , la cantidad de
El producto de los primeros 70 números impares al dividirlo entre cuatro se obtiene como residuo:
ceros en que termina 14 es:
a) 2
a) 11
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
Una correa cuesta S/. 2,10 si un comprador tiene 15 monedas de 5 soles y la cajera tiene 20 monedas de 2 soles. El número de maneras diferentes que se puede efectuar el pago es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
b) 13
ab!al ser expresado en base
c) 18
d) 8
e) 14
11. Si los términos de la siguiente sucesión: 6, 11, 18, 27, …, 1027. Lo expresamos en base 5. El número de términos que terminan en 3 es igual a: a) 12
b) 14
c) 17
d) 19
e) 21
El residuo de dividir:
n 1234561234 56123456 ...123456 (1200 cifras ) 12. Sabiendo que 35 tiene a 4 divisores. El número n
entre 7, es: a) 1 4.
69!
CEPU 2016
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Cuantos números comprendidos entre 2000 y 3000 terminan en la cifra 8 y son múltiplos de 17? a) 5 b) 6 c) 10 d) 14 e) 12
a
33 es: de divisores de E 33 a) 238 b) 272 c) 298 d) 294
13. El valor de “n” sabiendo que: 15 17n
e) 296 n
75 tiene
34 divisores es:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
0
5.
Si 2a3b8c 2
7 3 , entonces el resto al dividir
k
a4b5c entre 7 es: a) 2 6.
Al dividir a) 1
7.
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
39!39! entre 79 el residuo, es: b) 2
c) 19
d) 38
e) 78
Un número de cuatro cifras diferentes de la forma
abcd es divisible por 9; cabd es
divisible
por
17, bdca es divisible por 11 y acbd es divisible por 4, entonces el valor de “a”, es: a) 3 8.
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Al dividir 131313131345762 ( 9 ) entre 11( 9 ) , el residuo, es: a) 1
9.
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Hay un número de la forma abcd que es divisible por 44 y que si se divide entre 9 y 25 los residuos son 2 y 22 respectivamente. Entonces el residuo que deja abcd al a) 0
b) 1
c) 2
dividirse entre 7 es: d) 3
14. Si A 2(15 ) y B 30 se sabe que el número de divisores de B es el cuádruple del número de divisores de A. Entonces la cantidad de divisores compuestos que tiene k 1 N (k 3) , es:
e) 4
a) 78
k
b) 79
15. Si: N 30
x
c) 80
d) 81
e) 82 0
20 y tiene 126 divisores 6 y 120
0
divisores 20 . Entonces la cantidad de N, es: a) 156
b) 160
c) 182
de divisores
d) 192
e) 216
16. Si el número: N ( a 2)(a 3)(a 3)(a 3)( a 3)(a 3) a es múltiplo del cuarto número primo natural, entonces se puede afirmar que el número de divisores del número
( a 1)(a 3)( a 5) es: a) 17
b) 18
17. Si: N 2
c) 20
d) 21
e) 24
3 7 x es un número que tiene 0
0
ab divisores 12 y a7 divisores 28 y
48 divisores que no son múltiplos de 36, entonces el valor de “a + b” es: a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
CEPU - UNICA
e) 9 19
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga ab0 existen 100 números que 200 ab . El número de ceros en que
18. Desde 200 hasta son PESI con termina a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
b) 3
c) 7
d) 5
e) 11
20. Si: N 3 5 7 tiene 16 divisores múltiplos de 35 y 16 divisores múltiplos de 63, la suma de cifras de N, es: a
a) 17
FRACCIÓN
ab!al ser expresado en base 7 es:
19. Entre dos cuadrados prefectos consecutivos existen 222 números consecutivos el mayor de ellos es divisible por: a) 2
UNIDAD Nº 05
”
b
b) 18
c) 19
d) 21
e) 22
Es cualquier par de números enteros positivos m y n, al m cual generalmente se le denota por ; donde n 0 y n
m n , m y n términos de la fracción,
m n
0
FRACCIÓN IRREDUCTIBLE Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre sí (PESI) :
7 81 13 ; ; 20 16 45
FRACCIONES EQUIVALENTES Dos o más fracciones son equivalentes si tienen igual valor y se obtienen de una fracción irreductible. Ejemplo : 1 2 3 4 1. k ; k 1;2;3; 2 4 6 8 2. k CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES Por comparación respecto a uno Pueden ser: Propia: Cuando su valor es menor que uno, es decir mn. Por su denominador Pueden ser: Ordinaria o comunes: Cuando el denominador no es potencia de diez. Ejemplo: 2 5 8 ; ; ; ... 5 7 11 Decimales: Cuando el denominador es una potencia de diez. Ejemplo: 3 7 11 ; ; ; ... 10 100 100 Por comparación de los denominadores. Homogéneas :Cuando tienen igual denominador Heterogéneas: Cuando tienen diferente denominador. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción reductible es transformada a una fracción irreductible equivalente, eliminando el MCD de sus términos. A MCD . a a B MCD . b b MÁXIMO COMÚN DIVISOR MÚLTIPLO DE FRACCIONES
CICLO – II – 2016
Y
MÍNIMO
COMÚN
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
Sean las fracciones irreductibles. a
1
;
b1
a
2
b
2
;
a
.3
b
3
a a a MCD(a 1 ; a 2 ; a 3 ) ; MCD 1 ; 2 ; 3 b 1 b 2 b 3 MCM(b 1; b 2; b 3 ) a a a MCM(a1; a 2 ; a3 ) MCM 1 ; 2 ; 3 b1 b 2 b3 MCD(b 1; b2;b3 )
Una fracción irreductible dará origen a un decimal periódico puro cuando en su denominador se observan factores diferentes de potencias de 2; 5 ó en todo caso de 10. 2n a f ; b 5m donde (n, m y p) Z+ b 10 p Ejemplo :
Ejemplo: Halle el MCD y el MCM de: 4 ; 21 ; 44 .
1
1)
3
10 45 80
1)
2
2)
0, 3
11
0,18
Regla: Para hallar la cantidad de cifras decimales que hay en el período, basta saber en cuantos nueves como mínimo esta contenido el denominador.
2)
TABLA DE LOS NUEVES NÚMEROS DECIMALES Números Decimales Es la expresión en forma lineal de un valor determinado en el sistema de base 10 que posee parte entera y otra parte no entera, separados por una coma”. Pueden obtenerse dividiendo el numerador por el denominador de una fracción. Según se generen por fracciones puede ser:
9 99 999 9999 99999 999999
Decimal Exacto: Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando en su denominador se observan sólo potencias de 2, potencias de 5 o en todo caso potencia de 2.5 2n a f ; b 5 m ; Donde (n, m y p) Z+ b 10 p Ejemplo:
3 nueves.
3/4 = 0,75 ; 2/5 = 0,4
x 3
2 .5
x 2 4.53
2
0, abc ;
x 4
2 .5
0, mnpq
0,32
32 100
3;9 11 33. 37 27 ; 37 2 3 . 11.101 101 32. 41.271 10141 ; 271 33. 7.11.13.37 7 ; 13 1 0, abc ; porque 27 esta contenido
2 41
0, mnpqr ; porque 41 esta contenido como mínimo en
5 nueves. 1 11
2
. 37 . 41 . 7
3
5
0,abc ... xyz
30 cifras 6 M.C.M (2; 3; 5; 6) = 30 cifras
2) 0,432(9)
Decimal Inexacto Decimal Periódico Puro:
1000
1000(9)
3)
0, abc
Ejemplo :
1) 0,24
24
2) 0,32( 8)
99
1234 9999
abc 999
4) 0, 234 ( 7 )
32(8) 77 (8)
234 ( 7 ) 666 ( 7 )
Decimal Periódico Mixto: Una fracción irreductible dará origen a un decimal períodico mixto, cuando en su denominador se observan también factores potencias de 2; 5 ó 10 entre otros.
abc
432( 9)
1 2 3 4 5 6 como mínimo en
27
3) 0,1234
0, abc
Ejemplo: 1)
4
0, abcd
Fracción Generatriz
32
32.11
Fracción generatriz:
Regla: La cantidad de cifras decimales exacta que origina una fracción irreductible viene dada por la mayor potencia de 2 ó 5 contenida en el denominador.
n° de cifras 9
0,32 ( 8 )
32 ( 8 ) 100 ( 8 )
2n a f ; b 5 m b 10 p otros
m, n, p Z
CEPU - UNICA
21
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga Ejemplo :
11
;
0,1 2
90
11 30
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 5
0 .3 6
Regla: Para hallar la cantidad de cifras periódicas y no periódicas que origina una fracción irreductible, se sigue como los casos anteriores aplicados a la vez. 1 2 .53.37 1 3
2 .11
0, abcmn
2
2 .5 .11.101.7
n
0, abc xy n
N
1 5
3)
¿Cuántas fracciones equivalentes a 4/5, que cumplen con la siguiente condición: 25 < numerador < 40, 38 < denominador < 53, existen? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4)
La mayor fracción equivalente a 2/3 que tiene como producto de sus términos a un número menor que 600, es: A) 18/27 B) 16/24 C) 14/21 D) 12/18 E) 10/15
5)
La suma de cifras del numerador de la fracción cuyo
M.C.M. (2,4,6) = 12 cifras
abc 1000
n
aval exacto
n
abc n
aval periódico puro
n 1n 1n 1n
abc n n 1n 1000 n abc xy n
| Ejemplos : 14 325 0,325 1005 número pentaval
Una vendedora lleva en una canasta cierta cantidad de duraznos. Un primer cliente le compra la mitad de ellas más dos, otro cliente compro la mitad de las que quedaban más dos, luego vino un casero y le compro la mitad de las que le quedaban más dos. Entonces la vendedora observó que solo le quedaban un durazno y se la comió. ¿Cuántos duraznos había en la canasta inicialmente? A) 15 B) 16 C) 25 D) 36 E) 9
12 cifras
Fracción Generatriz : abcd ab 0,abcd 9900 Números Avales Son aquellos números no enteros, expresados en sistemas de numeración diferentes al decimal en los cuales se cumple:
0, abc n
2)
0, abcdemnop........ xyz
2 4 6
0 , abc
Un tanque puede ser llenado por la cañería “A” en 6 horas y vaciado por otra cañería “B” en 8 horas. Si se abren los dos caños, el tiempo en horas que demora en llenarse el tanque es: A) 12 B) 8 C) 10 D) 24 E) 20
1 3
1)
0, abcd mnp
4
”
aval periódico mixto
valor es mayor que
0,68
6)
César gasto x y soles y gasto
x y
1 6
, sabiendo E) 7
de lo que no
gastó. La cantidad que no gastó César, es:
13 8 1 (5) N 0,1313 ... 0, 13(5) 0,3 ( 5) 44 24 3 ( 5)
A) S/.
y
x E) S/. x
7)
B) S/. y
C)S/.
D) S/.
La cantidad de valores que puede tomar “x”, si
x 15
es una fracción propia mayor que
A) 11
CICLO – II – 2016
7
pero menor que
que el denominador es 84, es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
número decimal
3 1 3 ... 2 3 4 5 5 5
1
B) 12
C) 13
D) 10
1 4
, es: E) 14
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
8)
9)
Al simplificar E 2,333 0,58333 se obtiene: A) 21/2 B) 21/4 C) 7/2 D) 14/3 E) 21/8
2
La fracción tal que al restarle su inversa da por resultado 1,28787878…, es: A) 11/6 B) 11/8 C) 11/18 D) 3/5 E) 13/8
17) Si se cumple :
11) La fracción equivalente a 4/5, talque el producto de sus términos es el menor número que posee 18 divisores, es: A) 7/9 B) 4/15 C) 3/4 D) 5/4 E) 12/15 12) ¿Cuántas fracciones impropias existen, de términos impares consecutivos que sean mayores que 1,1363636…? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 13)
Si
a, b son
números
enteros
tales
que:
0,754629
entonces el valor de n, es: A) 4 B) 5 C) 6
D) 7
E) 8
18) La suma de las tres últimas cifras del periodo que genera la fracción
10) La suma de todas las fracciones impropias e irreductibles menores que 5, con numerador un cuadrado perfecto y denominador igual a 40, es: A) 3,5 B) 10,5 C) 11,2 D) 19,7 E) 23,75
0,431( n )
A) 10 19) Si
N 3a5a
“a” es: A) 5
B) 9
5 73
es:
C) 8
D) 14
es equivalente a B) 7
C) 6
12 17
E) 7
entonces el valor de D) 4
E) 8
20) La suma de todas las fracciones propias e irreductibles cuya suma de términos sea un número primo de 2 cifras y además el producto de sus términos sea un número primo de 2 cifras que posee 9 divisores, es: A) 19/136 B) 135/225 C) 17/36 D) 136/125 E) 19/36
0, b(12) 2,0 1 ( 4) 0,1(3) mayor valor de a b es: 0,1( 3a )
A) 10
B) 12
C) 16
entonces el
D) 18
E) 20
20 ; 48 ; 56 45 72 63 El valor de E es: 20 48 56 MCD ; ; 45 72 63 MCM
14)
A) 4
B) 11
15) Si la fracción
C) 14
D) 12
E) 15
0,1 2 (9 ) 0,2 3 (9 ) 0,7 8 (9 ) 0,2 1 ( 9 ) 0,3 2 (9 ) 0,8 7 (9 )
es irreductible, la suma de sus términos es: A) 18 B) 27 C) 39 D) 81 E) 91 16) Si se cumple
0, ab 0, bc 0, ca 0, abc
el máximo valor de A) 48 B) 96 C) 100
4, 1
P a b c, es: D) 192
E) 210
CEPU - UNICA
23
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga
P1:
UNIDAD Nº 06
MAGNITUD-PROPORCIONALIDAD
acex b d f y
P2 : Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido. CANTIDAD Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee 2 partes: valor numérico y unidad de medida. Ejemplo : MAGNITUD CANTIDAD
b
d f y
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (S.R.G.C.E.)
b
d
PESO
60 Kg
PROPIEDAD: En : a c
Ejemplo : 60 60 es el cuádruplo de 15 4 15 Observación Cuando se menciona simplemente la razón de dos cantidades, consideraremos la razón geométrica. Notación: a antecedente b consecuente r valor de la razón aritmética k valor de la razón geométrica SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor c x a e k ; k ; k ; k d b f y c d
e f
x y
k
a = bk ; c = dk ; e = fk ; x = yk NOTACIÓN a, c, e, x antecedentes b, d, f, y consecuentes k razón o constante de proporcionalidad PROPIEDADES
a c e x = = = = k entonces se cumple: b d f y CICLO – II – 2016
k c
b = dk2 b
→ P1 :
a c b d
CONTINUAS
c = dk
c
b
Si :
n n n n P3 : a c e x k n n n n n
a b
Razón GEOMÉTRICA: a k
b
k 4
100 hr 20 mt 30 °C
unidades
b d f y
k
TIEMPO LONGITUD TEMPERATURA
RAZÓN Es la comparación de dos cantidades correspondientes a una misma magnitud y de la misma especie. Tipos: Razón ARITMÉTICA: a–b=r Ejemplo: 45 – 18 = 27 45 excede a 18 en 27
a
a cex
”
a
c
b
d
d
P2 :
a b a b
cd cd
PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones de la misma clase CLASES Proporción Aritmética: a – b = c – d Proporción geométrica:
a b
c d
NOTACIÓN: a, c: antecedentes ; a, d : términos extremos b, d: consecuentes ; b, c : términos medios a, b: términos de la primera razón c, d: términos de la segunda razón PROPIEDADES 1. En toda proporción aritmética, la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios: a+d=b+c 2. En toda proporción geométrica, el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios: a .d = b .c CLASIFICACIÓN PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA: a –b =c –d ; bc : “d” cuarta diferencial de a, b, y c Ejemplo : La cuarta diferencial de 20, 12 y 15 : 20 – 12 = 15 – x x = 7 PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA: a–b=b–d ; b=c “b” media aritmética o media diferencial de a y d; “d” tercia o tercera diferencial de a y b Ejemplo : La tercera diferencial de 20 y 16 : 20 – 16 = 16 – x x = 12 Ejemplo : La media diferencial de 50 y 30 : 50 – x = x – 30 x = 40
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Para 3 números a, b y c: PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA O DISCONTINUA a c ; b c b d “d” es cuarta proporcional de a, b y c Ejemplo: La cuarta proporcional de 144 ; 24 y 6 :
144 6 24 x
x
625
125 x 25 x
x
x
225
x
324
225 x 270
.
a a a
Media Aritmética: MA 1
2
n
n Media Geométrica: MG n a a a 1
Media Armónica: MH
2
n
n 1 1 1 a a a
1 2 n PROPIEDADES P1 Si al menos 2 de las cantidades ai son diferentes entonces MH < MG < MA P2 a1 = a2 = . . . = a n → MA = MG = MH Para 2 números (b < A): Se cumple : P3 b< MH< MG < MA < a P4 MA . MH = MG2
→
MG MA . MH
P5 (a – B)2 = 4( MA + MG) (MA – MG) P6 MA a b 2 P8
2
MH
1
1
a b
3abc ab ac bc
MH
2ab a b
Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas en una razón entonces la otra también varía en la misma razón. Clasificación: Magnitudes Directamente Proporcionales: Notación: D.P. ó . Sean las magnitudes A y B tales que: A : a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; a n B : b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; b n Entonces, se puede afirmar que A es directamente proporcional A a B, si se cumple que: k B
a a a a A k 1 2 3 .... n B b b b b 1
TIPOS:
a.b
P11 MH
PROMEDIOS (MEDIA) Dadas las siguientes cantidades ordenados en forma creciente: a1; a2; a3; . . . ; an, se llama promedio (P) a una cantidad referencial que se calcula haciendo ciertas operaciones entre ellas y se cumple la siguiente condición: a1 P an
P7 MG
P10 MG abc
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Ejemplo : La media proporcional de 324 y 225
324
3 3
1
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA: a b ; b c b d “d” tercia o tercera proporcional de a y b “b” media geométrica o media proporcional de a y d Ejemplo : La tercera proporcional de 625 y 125 : 125
P9 MA
Se cumple:
a b c
2
Es decir : A(DP)B
3
n
A k B
Magnitudes Inversamente Proporcionales: Notación: I.P. Sean las magnitudes A y B tales que: A : a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; a n B : b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; b n Entonces, se puede afirmar que A es inversamente proporcional a B, si se cumple que: A . B = k A . B = k = a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = a n . bn Es decir: A(IP)B A . B = K También: A DP B B DP C A DP C B es cons tan te
B k A . C
B.C k A A I.P B B IP C A DP C B es cons tan te B . A . C k A DP B A DP C A DP (B . C) A I.P B A I.P C A I .P (B . C) A 2 DP B B2 DP C A 6 DP B3 B3 DP C A DP B B I.P C A I.P C B es cons tan te
A 6 DP C B3 cons tan te Observaciones: 1. Las magnitudes D.P. van de más a más o de menos a menos 2. Las magnitudes I.P. van de más a menos o de menos a más.
REPARTO PROPORCIONAL Es una regla que tiene por objeto repartir una cantidad en partes, directa o inversamente proporcional a dos o más números dados. Clasificación Reparto Proporcional Directo Para repartir una cantidad “N” en tres partes (puede ser más) que CEPU - UNICA
25
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga sean D.P. a tres números dados “a”, “b” y “c”, se multiplica dicha cantidad por cada uno de los otros y se divide por su suma; esto es: Sea “x” la parte de N que corresponde a “a”, “y” la parte de N que corresponde a “b”, “z” la parte de N que corresponde a “c” Por definición de magnitudes D.P. se tiene que:
Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen tres valores, dos de una magnitud y la tercera de la otra magnitud y se debe calcular el cuarto valor. La regla de tres simple puede ser: R.3.S directa o inversa, según sea la proporcionalidad que ligue a las magnitudes
x
R.3.S.D. Cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales( D.P.) R.3.S.I. Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales ( I.P.) Regla de tres compuesta (R.3.C) Cuando intervienen más de dos magnitudes. Se toma como referencia la magnitud en la cual se ubica la incógnita, ésta se compara con cada una de las demás indicándose si son D.P. ó I.P. OBSERVACIONES: 1. Cuando intervienen la magnitud número de obreros y rendimiento se multiplican porque son I.P. y se reemplaza por una sola magnitud que sería el rendimiento total. 2. Cuando se tiene el número de días y las horas diarias, ambas se multiplican porque son I.P. y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo 3. Igualmente si tenemos las dimensiones largo, ancho espesor de una obra y su respectiva dificultad todas se multiplican y se reemplazan por la magnitud obra porque son I.P. 4. Los factores comunes de una misma columna se pueden cancelar. 5. Para resolver un problema de regla de 3 compuesta se compara una de las magnitudes (por ejemplo, número de personas) con las otras magnitudes para establecer si son directas o inversamente proporcionales, se aplica la regla correspondiente. 6. Cuando la obra se hace por etapas, se procede de la manera siguiente: 7. Se prescinde de la magnitud obras y se compara la magnitud número de personas con las otras magnitudes, tal como en el ejemplo siguiente:
a
y b
z c
K (constante )
Por propiedad: x+y+z x y z N x y z = = = =K = = = a+b+c a b c a+b+c a b c Donde; N = x + y + z, entonces se cumple que: →
i) ii) III)
”
N a b c
N
x a
a b c
N a b c
x y
b
z c
a . N a b c
y
b. N a b c
z
c. N a b c
Reparto Proporcional Inverso Para repartir un número N en partes I.P. a otros números dados a,b y c; se invierten los números dados y luego se reparten el número N en partes D.P. a estos inversos.
REGLA DE COMPAÑÍA Objetivo.- La regla de compañía tiene por objeto repartir la ganancia ó pérdida generada en un negocio, entre sus socios integrantes. Este reparto se hará proporcional a los capitales depositados y al tiempo que estuvieron impuestos respectivamente en dicha actividad. Clases La regla de sociedad o compañía puede ser simple o compuesta. Compañía Simple: Se presentan tres casos: Capitales y tiempos iguales En este caso se divide la ganancia o pérdida entre el número de socios. Capitales iguales y tiempos diferentes En este caso no se considera el capital, y se reparte la ganancia o pérdida en partes D.P. a los tiempos. Tiempos iguales y capitales diferentes En este caso, no se considera al tiempo y se reparte la ganancia o pérdida en partes D.P. a los capitales. Nota.- si las ganancias (pérdidas) son iguales para cada socio; los capitales y los tiempos respectivos son inversamente proporcionales. Compañía Compuesta Es cuando los capitales y los tiempos son distintos, se reparte la ganancia o pérdida en partes proporcionales a los productos de los capitales por los tiempos.
REGLA DE TRES Es una aplicación de la proporcionalidad que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud relacionada con dos o más magnitudes, esta puede ser: regla de tres simple o regla de tres compuesta. Regla de tres simple (R.3.S)
CICLO – II – 2016
P (nº personas) 25 25 31 38
P . hd
O (nº de obras) total O1 O2 O3
Hd (nº de horas diarias) 25 5 10 x
P1 . h . d i
25 . 25 25 . 5 31 . 10 38 . x
x 5
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
8.
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 6 1.
Si:
a
b
c
d
y
x y z w (a b c d )( x y z d ) 6724 .
A)
Entonces el valor de:
P
1 2
A) 123 2.
3.
5.
6.
7.
B) 41
by C) 42
cz dw ) , es: D) 43
Si:
a
c
e
b d f de (e a ) , es: B) 10
; 5ad cf ; a e 12 . El valor
C) 12
D) 6
D)
E) 51
El número de toneladas de hierro que lleva un tren A es los 5 / 11 del que lleva un tren B y el que lleva un tren C es los 7 / 13 de otro tren D. Entre A y B llevan tantas toneladas como los otros dos. Si el número de toneladas de cada tren no puede pasar de 60 toneladas, entonces el número de toneladas que lleva el tren C, es: A) 25 B) 55 C) 28 D) 52 E) 48
A) 8 4.
( ax
De una muestra de “ P ” personas, el promedio de las edades de las que bailan es “ q ” años, de los que no bailan es “ r ” y el promedio de las edades de todas las personas es “ E ” años, entonces en número de personas que bailan, es:
E) 14
Dos móviles parten uno al encuentro del otro con velocidades que están en la relación de 3 a 5. Si luego de un tiempo por primera vez están separados 30 metros. Si la distancia inicial es de 70 metros, entonces la diferencia entre las distancias recorridas entre los móviles, es: A) 10 m B) 16 m C) 20 m D) 25 m E) 40 m En una pequeña empresa se paga en promedio S/ 40 por día a cada obrero. Si al contratar 10 obreros más a S/ 20 por día, el promedio seria 100/3, entonces el número inicial de obreros, es: A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 La edad promedio de un salón de clases es 17 años. Si en una clase hay 40 alumnos en total, de los cuales 10 tienen 16 años, un grupo tiene 17 años y el resto 18 años, entonces la cantidad de personas que tiene 17 años, es: A) 20 B) 30 C) 12 D) 15 E) 10 El promedio de un conjunto de datos es N. Si se eliminan 31 datos cuya suma es 713 el promedio de los datos restantes sigue siendo N. Calcular cuánto deberán sumar 7 datos de tal manera que agregados a los restantes el promedio sea N. A) 187 B) 119 C) 121 D) 129 E) 161
9.
P ( q r )
B)
E q P ( E r )
E)
q r
P ( E r )
C)
r q P ( r E )
P ( r E ) q r
r q 2
El producto de la MA, MH y MG de dos números es igual a 1 048576. Si la A es 5 / 4 de la MG , entonces la diferencia de los cuadrados de dichos números, es: A) 3240 B) 3280 C) 3640 D) 3840 E) 4280
a
10. Si:
n!
b ( n 1)!
c (n 2)!
a b 2n ,
;
c 7( 2 n ) ,entonces la cifra de las unidades del valor de n es: A) 3 B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
11. Se reparte un número en forma directamente proporcional a todos los divisores de 100, si la mayor de las partes es 2800, entonces el número repartido, es: A) 6076 B) 6067 C) 7066 D) 7660 E) 7606 .12. Si
al
dividir
6141
en
partes
directamente n
proporcional a los números 1; 2; 4; 8;...;2 , la mayor de las partes es 3072. Entonces el valor de n , es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 13. Repartir 14280 directamente proporcional a los números 1; 4; 9;16;... (n cantidades) de tal manera que la diferencia entre la mayor y menor de las partes es 2304. El valor de n , es: A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 14. Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 metros. Cuantos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 15. Una fábrica produce normalmente 10 000 camisas al mes, con 40 operarios. Al recibir un pedido por 18 000 camisas para entregar en un mes, los operarios aumentan la producción en un 20%, trabajando horas extras. ¿Cuántos operarios más se deberá contratar, si trabajarán en jornada normal y, por ser CEPU - UNICA
27
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga novatos, rinden el 80% de lo que rinden los experimentados? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 32 16. Una empresa tiene que realizar una obra en 30 días, empleando 15 hombres y trabajando 10 horas diarias. Después de 8 días de trabajo se acordó que la obra quedase terminados 12 días antes del plazo estipulado y así se hizo. Entonces el número de hombres más que se contrataron para cumplir con el trabajo, teniendo en cuenta que se aumentó en 1 hora el trabajo diario, es: A) 15 B) 20 C) 12 D) 10 E) 13 17. Un grupo de 24 obreros al 80% de su capacidad en 18 días a razón de 8 horas diarias de trabajo pueden hacer 400 sillas, siendo su dificultad como 6. Entonces el número de obreros al 100% de su capacidad en 12 días a razón de 9 horas diarias de trabajo que puedan hacer 600 sillas, siendo su capacidad como 5, es: A) 25 B) 28 C) 32 D) 30 E) 33 18. Al repartir N en forma directamente proporcional al cuadrado de la suma de a y b, al cuádruple del producto de a y b, y al cuadrado de la diferencia de a y b, se obtiene tres partes P 1 , P 2 y P 3 respectivamente, de modo que la diferencia de P 1 y P 2 es la sexta parte de N. Entonces el valor de la suma de las razones que se pueden formar con los números a y b, es: A) 6 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8 19. Dos hermanos forman una compañía con medio millón de soles cada uno, a los 6 meses el mayor incrementa su capital en un 20% y el menor retira 25% de su capital, si 4 meses más tarde se repartieron una ganancia de S/. 132000 soles. Determinar la diferencia de las ganancias entre los dos. A) S/.2400 B) S/.11000 C) S/.12000 D) S/.9000 E) S/. 8000 20. Si A tiene “a” años, B tiene “b” años, C tiene “c” años y D tiene “d” años. Una cantidad de S soles se reparte IP a las edades de A,B,C y D. Siendo la constante de reparto r se
S dr
tiene
45000 .
S ar
1 a
1
1
1
b
c
d
120000;
S br
, además
90000
y
Si se reparte S entre A, B y C
directamente proporcional a sus edades. Entonces la diferencia entre la parte de A y l a de C, es: A) S/.208250 B) S/.81750 C) S/.109000 D) S/.54500 E) S/.45000 CICLO – II – 2016
”
CLAVE RESPUESTAS 1 B 11 A
2 C 12 D
3 A 13 B
4 A 14 D
5 E 15 D
6 A 16 A
7 E 17 C
8 D 18 B
9 D 19 C
10 D 20 D
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVER SITAR IO
a3 100 an AU= 100 a1 100 a2 100 100 % n 1
UNIDAD Nº 07
Notación: La frase “por ciento” se representa por %. y 1 = 100% Uno por ciento El uno por ciento de una cantidad es una de las cien partes en que se puede dividir dicha cantidad. a
Es decir si “a” IN + , el uno por ciento de “a” es
100
100
En general N
Ejemplo : 1 20% de 80 es: 20
100
80
16
Nota: Toda cantidad referencial respecto a la cual se va a calcular en porcentaje se considera como 100%. : a=1.a=100%.a Propiedades: Para encontrar que tanto por ciento representan “a” a respecto a “b” se plantea del modo siguiente: .100% b Ejemplo : 2 Qué tanto por ciento de 80 es 20: 20 x 100 % 25 % 80
El “a” por ciento de “b” es igual a “b” por ciento de “a” a%N + b%N + c%N = (a + b + c ) %N a%N - b%N = ( a – b )%N N + a%N = (100 + A)%N N – a%N = (100 – A)%N b c a El a% del b% del c % de N es: 100 100 100 N
Dados los descuentos sucesivos: a1%, a2%, a3%, ....,an%; el descuento único se calcula: DU= 100
100
a1 100
a2 100
100 n
1
a3 100
an
Ejemplo : 3 Al realizar los aumentos sucesivos del 10%; 20% y 30% equivale a un aumento único de: AU= 100 10100 20 100 30
100 % 71.6%
1002
Nota :
a El "a por ciento más " de N 1 N 100 Tanto por cuanto de un número: a por b
= a
por ciento Por lo tanto si se quiere calcular el “b” por ciento de “a”, se calculará b . a
100
a a AU a1 a2 1 2 % 100
El porcentaje o tanto por ciento es el número de unidades que se toma de cada 100 y se considera como un caso particular de la regla de tres simple o de las fracciones decimales
“a” por ciento de N = a% de N = a
100
PORCENTAJE-INTER S
a por b =
a b
Nota :
a a por b más b
1
APLICACIONES COMERCIALES Para las transacciones comerciales cotidianas, los términos, definiciones y fórmulas que generalmente se usan, son: Pf = Precio fijado o precio de lista (P L) o de catálogo : Es el valor en que debe venderse una mercadería por parte de su productor, o del comerciante que la revende. Es un precio fijado, que se puede vender: A) Sin descuento (DC)o rebaja (R) y está dada por :
P P GP f c v
donde: PC = Precio de costo o precio de compra G = Ganancia = r% . Pc PV = Precio de venta : Es el valor en que se vende una mercadería sin rebaja o descuento Dc = Decuento Comercial o rebaja (R) = r% . P f B) Con descuento (D C)o rebaja (R) y está dado por
Pf Dc Pv Pc G Dc y Dc r %.Pf , donde :
Pv = Precio de venta con descuento o rebaja. Luego diremos que
%
a a DU a1 a2 1 2 % 100
P P P P D v f f v c
Dados los aumentos sucesivos: a1%, a2%, a3%, ....,an%; el aumento único se calcula:
CEPU - UNICA
29
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga Otros términos comerciales y fórmulas:
donde la tasa de interés (r) debe ser de acuerdo al período de capitalización y “n” es el número de períodos.
Pv Pc A Dc A Dc G A Aumento Dc G
P P G g g gastos v c P Pc Pv Pv Pc p pérdida G B
G N g
G B
Ganancia bruta
G N
GanancianetaGN
= GB
INTERÉS Se denomina interés o rédito a la ganancia que produce una cantidad llamada capital al ser prestado durante un cierto tiempo y a una tasa (porcentajE) fijada. Clases de interés En una operación comercial se presentan dos clases de interés: Interés simple Es cuando el capital permanece constante, es decir el interés que produce dicho capital no se acumula. Interés compuesto Es cuando el interés o ganancia que origina el capital en cada unidad de tiempo (período) se incrementa a dicho capital. Elementos de la regla de interés: Capital(c): Suma de dinero u otro bien que se presta o impone Tiempo(t): Número de años, meses o días durante los cuales se presta o invierte el capital. Tasa de Interés (r): Es el % de ganancia del capital tomado generalmente en forma anual. Interés(I): Es el beneficio que se obtiene al prestar un cierto capital. Fórmulas del interés simple: Para r% anual c . r . t 1200 t, en meses
c . r . t 100
I
I
, en años
M CI
c . r . t 36000
, en días Año Comercial
I M C
C MI
M= Monto
I
c . r . t 36500
I
t, en días
c . r . t 36600
t, en días
Año Normal
IC = M – C
donde:
– g g = GB - GN
I
”
Año Bisiesto
IC = Interés compuesto M = Monto C = Capital inicial k .t i M C 1 k r i tan to por ciento donde 100 k períodos de tiempo que tiene 1 año
Equivalencias de la tasa de interés: 5% mensual = 60% anual , (1 año = 12 meses) 12% trimestral = 48% anual , ( 1 año = 4 trimestres) 8% semestral = 16% anual , ( 1 año = 2 semestres) 20% cuatrianual = 5% anual , (Cuatrianual = 4 años) 14% bianual = 7% anual , (Bianual = 2 años) DESCUENTO Descuento (D) Disminución que se hace al importe de un documento de crédito en función de una tasa de interés, por el tiempo que falta desde la fecha efectiva hasta la del vencimiento. Documentos de créditos Son por ejemplo: letra de cambio, pagaré, vales etc; los cuales son promesas de pago. Letra de cambio Es un documento de crédito mediante el cual una persona o empresa, denominada acreedor (girador o librador) manda a otra persona que es la deudora (o aceptantE) a que firme el documento y se comprometa a pagar una cierta cantidad de dinero en un determinado plazo, con o sin intereses. Elementos que intervienen en el descuento. Plazo (t) Es el tiempo que falta desde la fecha en que se negocia el documento hasta la fecha en que vence, generalmente está expresado en días. Valor nominal (Vn) Se llama así, a la cantidad de dinero que figura escrito en el documento. Valor efectivo o Actual (V A) Es la suma que se recibe en efectivo, por el documento en el momento de negociarlo o en la fecha de vencimiento.Es decir : Va= Vn – D , donde: D = Descuento
Fórmula del interés compuesto: n
M C ( 1 r % )
Tasa de interés (r) o tasa de descuento Es el porcentaje de beneficio respecto a ci erta cantidad. Fecha de giro (F.G.):
CICLO – II – 2016
Es el día en que se firma la letra.
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Fecha de vencimiento (F.V.) Es la fecha en la que el documento vence y en la cual de deberá hacer efectiva. Fecha de descuento (F.D.) Es el día en que se paga la letra antes de la fecha de vencimiento.
Vn . r 2. t 2 D Dr b 100 100 r .t “t” en años
Tipos de descuento:
100 . V
Descuento bancario ( D b ) Es el interés que produce el valor nominal de una letra, desde el día en que se hace el descuento hasta el día de su vencimiento. Llamado también descuento exterior o descuento abusivo. Descuento racional ( D r ) Es el interés que produce el valor actual de una letra, desde el día en que se hace el descuento hasta el día de su vencimiento. Llamado también descuento interior o descuento matemático. Cálculo del descuento: Fórmulas para el Descuento Bancario y el Descuento Racional: D
b
V . r .t
V . r .t n
D b
100
r
D
b
1200
“t” en meses
“t” en años D
n
V . r .t a
D
r
100
“t” en años
Va r
Cambio de letras Consiste en reemplazar dos o más letras por una letra única cuyo valor actual deberá ser la suma de los valores actuales de las respectivas letras. Se cumple: v v v V a
V . r .t n
36000
a
D
r
1200
“t” en meses
V . r .t
tu
a n
2
Vn .t u
Vn i . t i , de
donde
i 1
Vn i . t i
V t V t V t ... V t n1 1
tu
n2 2
n3 3
nn n
Vn Vn Vn ... Vn 1 2 3 n
Propiedades:
donde : tu = t = tiempo único V V ; V ; .... ; V ; son los respectivos valores n n n n i
1
2
n
nominales ti= t1 ; t2 ; ...; tn imposición.
Son los respectivos tiempos de
n
V
n
D . r . t D b Dr r 100
“t” en años.
D . Dr Vn b D b Dr
D
r
V . r . t n
V V V i 1 ni
n 1
n
V 2
n 3
... V n n
100 r.t "t " en años
Vn . r . t Vn . r . t D r 1200 r . t 36000 r . t
D r
t en meses
:
Vn
36000
“t” en días
D b Dr Var Vab
a
n
Luego,
a
Va Va D Dr Va Dr Va D , Va Va r r r b b b b b
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unica
Vencimiento común Es el caso particular del cambio de letra que consiste en reemplazar varias letras por una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de dichas letras; además la tasa de todas las letras la misma, en conclusión hallaremos el tiempo único de vencimiento común de dicha letra única.
“t” en días
V . r .t
n
100 r . t
t en días
CEPU - UNICA
31
UNIVERSIDAD NACIONAL “San Luis Gonzaga 9. PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 7 1.
Un banquero perdió el 20% de dinero que tenía a su cargo. ¿Con que porcentaje del r esto deberá reparar lo perdido? A) 20 B) 15 C) 25 D) 30 E) 40
2.
Si Anita tiene 20 años, ¿en qué tanto por ciento se habrá incrementado dicha edad, cuando cumpla 32 años? A) 40% B) 20% C) 50% D) 60% E) 80
3.
El precio de un automóvil sufre una devaluación del 5% cada año. Si en el año 2013 se compró un automóvil nuevo en S/. 20000 ¿Cuál fue el precio en el año 2015? A) 18050 B) 19050 C) 17050 D) 17100 E) 19150
4.
Una tienda anuncio una rebaja de 30% sobre el precio de lista de cualquier producto. ¿Cuál será el precio de lista de un producto que cuesta 2000 soles si la empresa recibe un beneficio del 40% del costo al venderlo, haciéndole la rebaja anunciada? A) S/. 3000 B) S/. 5000 C) S/. 4500 D) S/. 4000 E) S/. 3500
5.
6.
Una persona compró cierta cantidad de artículos en S/.60 cada uno. Si los vendió con una ganancia neta de S/.1200 y los gastos ascendieron al 20% de ganancia bruta, ¿cuántos artículos compró, si recaudó en total S/. 2100? A) 15 B) 10 C) 12 D) 8 E) 20 Un trabajo puede ser hecho por 10 obreros en 15 días. Si 6 días después de iniciado la obra 4 obreros aumentan su eficiencia en 20% y el resto baja en x% terminándose la obre en 16 días entonces ¿cuál es el valor de “x”? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
7.
Un comerciante vende 2 artículos a $ 240 cada uno. Si en uno de ellos está ganando el 25% del costo y en el otro perdiendo el 25 % de su costo entonces: A) gana $ 32 B) pierde $ 32 C) gana $ 48 D) pierde $ 48 E) No gana ni pierde
8.
Si el precio de costo de un artículo es S/. 18360 entonces ¿cuál debe ser el precio de un artículo para que al momento de venderlo, se haga con una rebaja del 15% y todavía se gane el 20% del precio de venta? A) 7000 B) 17000 C) 33000 D) 27000 E) 57000
CICLO – II – 2016
”
César tiene S/. 16000 que presta al 5% trimestral y Felipe tiene S/. 20000 que presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuanto tiempo los montos serán iguales? A) 10 años B) 11 años C) 14 años D) 18 años E) 20 años
10. Después de prestar por 3 años un capital se obtiene un monto igual al triple del capital prestado. Al prestar S/. 3000 a la misma tasa de interés por un año y 3 meses. ¿Cuál será el interés a recibir? A) 3000 B) 2850 C) 2750 D) 2500 E) 2250 11. Carlos impone su capital por 1 año y 9 meses al 5%Si los intereses producidos los reparte entre sus 3 sobrinas: a una le da los 3/7, a la segunda los 4/11 y a la tercera 64000 soles, ¿cuánto es su capital? A) 2 100 000 B) 1 500 000 C) 2 875 000 D) 3 520 000 E) 3 500 000 12. Si un capital C, al r % anual produce en t años 800 nuevos soles. ¿Cuánto producirá otro capital que es 5 veces más que al anterior, en el quíntuplo del tiempo, impuesto a una tasa que es 1/8 menos? A) 18000 B) 17500 C) 11000 D) 20100 E) 21000 13. Se tiene un capital cuyo monto alcanzado en 10 meses es los 5/6 del monto obtenido en 15 meses. En 3 meses ¿qué tanto por ciento del capital gana? A) 10% B) 15% C) 20% D) 25% E) 30% 14. Se depositó un capital al 4% y el monto fue de S/. 4200, pero si hubiera depositado al 9% el monto hubiera sido S/.4450. Si dicho capital se hubiera depositado al 10% entonces el monto obtenido, es : A) 3000 B) 5000 C) 4500 D) 4000 E) 3500 15. Al imponer un capital durante 5 años se obtuvo un monto superior en S/. 1350 al que se obtuvo en 3 años y medio. Si el capital es de S/. 9000 ¿a qué tasa anual se ha colocado? A) 5% B) 17,5% C) 10% D) 15% E) 12% 16. Un capital colocado en una financiera al 20% capitalizable semestralmente gana en un año y medio S/. 580 menos que si lo colocamos al 4% bimestral de interés simple en el mismo tiempo. ¿Cuánto fue el capital? A) 26000 B) 58000 C) 24000 D) 20000 E) 16000 17.
La suma y deferencia de los descuentos matemáticos y externos de una letra se encuentran en la misma relación que los números 486 y 6. Si el valor actual racional es S/. 16000 entonces ¿cuál es el valor nominal de la letra? A) 16840 B) 16420 C) 16400 D) 17200 E) 16428
