1 AÑO DE E NDARIA
CONTENIDO: I - BIMESTRE : • UNIDAD 1: Teoría de Conjuntos. • UNIDAD 2: Operaciones con Conjuntos. II – BIMESTRE : • UNIDAD 3: Numeración • UNIDAD 4: Cuatro Operaciones PROF.:: LUIS DAVILA ESPINOZA
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
UNIDAD 1: OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de:
Diferencia las nociones de conjunto, elemento, elemento, pertenencia pertenencia e inclusión. Diferenciar grupos d objetos objetos reales o abstractos. abstractos. Identificar los conjuntos particulares. O Operar con todo tipo de conjuntos.
PITÁGORAS Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música. Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre.
Hace unos siglos, el nombre no sabía tanto como sabe ahora, ni conocía tanta ciencia (creemos) ni tanta técnica como en nuestros días. Y estamos seguros..... muy pronto sabremos poco, comparado con lo que sabrán nuestros hijos y/o nietos. Y eso ocurre porque todo está en movimiento permanente y tendiendo al cambio. El ser aprendiendo de poco
humano
fue
Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas. A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las
incultas.
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
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diremos que "Pertenece" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbol símbolo o "∈", en el caso de no pertenecer por " ∉". Ejemplo: El término 1. CONC CONCEP EPTO TO:: CONJUNTO es aceptado en Matemáticas como un "CONCEPTO PRIMITIVO", es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un CONJUNTO es una una colec colecci ción ón o agru agrupa paci ción ón de objetos (abstractos y concretos) llamados elementos, que pueden o no tener una característica en común. Ejemplos: i) El con conjun junto de los los día días de la semana ii) ii) El conju conjunt nto o de los los prof profes esor ores es del colegio Ingeniería iii) iii) El conjun conjunto to de los números números 3; 5; 12 y 18 Generalme lmente nte los 2. NOTAC NOTACIÓN IÓN:: Genera conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C, etc. y los elementos por letras minúsculas, mayú mayúsc scul ulas as u otro otross símb símbol olos os,, separados por comas y encerrado entre llaves. Ejemplos: A = {Lun {Lunes es,, Mart Martes es,, Mi Miér érco cole les, s, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo} B = {Jos {José, é, Iván Iván,, Mari Mario, o, Carl Carlos os,, Manuel} C = {3; 5; 12; 18} 3. RELA RELACI CIÓN ÓN DE PERT PERTEN ENEN ENCI CIA A ( ): Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8} Entonces: 2
∈
A
4
∈
A
7
∈
A
4. DETERMINACIÓN Existen CONJUNTOS: formas de determinar conjunto:
DE dos un
4.1. 4. 1. POR POR EXTE EXTEN NSIÓN SIÓN (o en forma tabular).- Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplos: A = {a; m; o; r} B = {1; 3; 5; 7; 9} 4.2. POR COMPRENSIÓN (o en forma constructiva).Cuan Cuando do se menc mencio iona na una una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.
Ejemplos: A = {x/x es una letra de la palabra aroma} B = {x/x es un número natural impar menor que 10}
5. CLASES CLASES DE CONJUNT CONJUNTO: O: 5.1. 5. 1. CONJ CONJUN UNTO TO FINI FINITO TO:: Es cuando el proceso de contar
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sus elementos admite un fin en el tiempo. J = {Los habitantes de un país} O={Los números pares positivos menores que 100} 5.2. 5. 2. CONJU CONJUNT NTO O INFINI INFINITO: TO: Es cuando el proceso de contar sus elementos no tiene fin en el tiempo.
H = {Los números naturales} N = {x/x ∈ Q
∧ 2 x
5
}
Gener General alme ment nte e tene tenemo moss que que los conjun conjuntos tos numéri numéricos cos son infinitos. 6. CONJUNT CONJUNTOS OS ESPECIAL ESPECIALES ES 6.1. CONJUNTO VACÍO O NULO: Es aquel conjunto que care carece ce de elem elemen ento tos. s. Se le denota por: φ ó { }
Ejemplos: A = {x/x es un número par terminado en 5} A={ } B = {x/x es un hombre vivo de 200 años} B={ }
Ejemplos: A = {x/x N ∈ 6 < x < 8} → A = {7} B = {2; 2; 2} = {2} 6.3. CONJUNT CONJUNTO O UNIVERS UNIVERSAL: AL:
Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un deter determin minado ado proble problema ma,, y en el que se enc encuentr entra an todos odos los los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra U.
Ejemplo: Si:
A = {1, 2, 3} B = {-1; 0; 4}
Un conjunto universal para A y B podría ser: U = {-1; 0; 1; 2; 3; 4} Pues ues los los ele element entos de A y B están en U
6.4. CONJUNTOS DE CONJUNTOS: También se le denomina Familia de Conjuntos o Clase de Conjuntos; por ser aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
NOTA
Ejemplos:
∀ A : φ ⊂ A
C = {{2;3}, {3},{a},{6;b}, φ } D = {{a;b;c}, {2,3,6},{6},c,8}
φ ≠ {φ } φ ≠ {{
Se observa lo siguiente.
}} φ es
Obser Observa vamo moss que que él un subconjunto de todo conjunto 6.2. 6. 2. CONJ CONJUN UNTO TO UNIT UNITAR ARIO IO O SINGLETÓ SINGLETÓN N (singula (singular): r): Es aque aquell conj conjun unto to que que tien tiene e un solo elemento. I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
C es familia de conjuntos D no es familia de conjuntos 7. CARDIN CARDINAL AL DE UN CONJUN CONJUNTO TO:: Sea A un conjunto finito, el cardi ardin nal de un con conjunt junto o es el número de elementos diferentes
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que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A).
⇒A ⊂ B
Ejemplo 2:
Ejemplos: A = {3; 4; 7; 9; 13}
Dado el conjunto A = {3; {6}; 9; 10}
⇒n
Entonces se cumple:
(A) = 5 se lee: "el cardinal de A es 5"
{3}
B = {a, b, c, b, a, a} = {a, b, c} ⇒n
(B) = 3
8. RELACIONES CONJUNTOS
ENTRE
8.1. IGUALDAD: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B A
=
B
⇔
A
⊂
B
∧
B
A
⊂
A = {2; 3; 4} B = {x/x ∈ N, 1 < x < 5} →A
{3; 9} ⊂
A
{{6}} ⊂
A
{3; 6}
A
= B, pues B = {2; 3; 4}
8.2. INCLUSIÓN: Diremos que A está incluido en B o es subconjunto de B; si y sólo si todos los elementos de A son también elementos de B. Se denota por: A ⊂ B y se lee: "A está incluido en B" ó "A es un subconjunto de B". La negación de A⊂ B se escribe A⊄ B A
Ejemplo 1: A = {1, 2, 3} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
B
⊂
PROPIEDADES
i) A
⊂
A ∀ A
(∀ A, se lee: para todo conjunto A)
ii)
A ⊂ B y B ⊂ C →A ⊂ C
iii) φ ⊂
Ejemplo:
A
⊂
A, ∀A ¡importante!
8.3. CONJUNTOS Dos COMPARABLES: conjuntos son comparables, cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. Es decir: A
⊂
B
∨
B
⊂
A
Ejemplo: A = {x/x es un mamífero} B = {x/x es una ballena} Sabemos que B ⊂ A (toda ballena es un mamífero) pero B ⊄ A (no todo mamífero es ballena). Por lo tanto A y B son dos conjuntos comparables 8.4. CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando
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no tienen algún elemento en común.
1.
Ejemplo: A = {x/x es par} B = {x/x es impar}
Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar verdadero (V) o Falso (F), según corresponda: i) 7 ∈ A ( ) iii) {10} ∈ A ( )
Se observa que A y B son Disjuntos
ii) 9 ∈ A ( )
NOTA
a) VVFF
Dos conjuntos diferentes necesariamente son disjuntos
) iv) {15} ∈ A
(
b) VFFV
c) VVFF
no
d) VFFF 2.
e) N.A.
Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o (F), según corresponda: i) {7} ∈ A ( ) iv) {9} ∈ A ( ) ii) 9 ∈ A ( ( )
)
v) ∅ ∈ A
iii) 7 ∉ A ( ( )
)
vi) 10 ∈ A
a) VFVFVF
b) VFFVVF
c) VVVFFF d) VVFFFV 3.
“Las leyes de la naturaleza sólo son pensamientos matemáticos de
NIVEL - I I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
4.
e) N.A.
Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {b} ⊂ M iv) {{b}, p} ⊂ M ii) b ∈ M {m}} ∈ M
v)
iii) {{m}} ⊂ M
vi) m ∈ M
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
{{b},
c) 3
Hallar la suma de elementos de cada conjunto: Página 6
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1 de Secundaria
d) VFFV
A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12} B = {x + 4/ x ∈ Z ; 5 < x < 10} C = {x2 + 1/ x ∈ Z; 3 < x < 8}
Dado: A = {x/x ∈ N; 5 < x < 12} . Indicar (V) o (F) según corresponda: 9.
i) {7; 8; 11} ⊂ A 10} ⊂ A ( )
a) 40; 41 y 50d) 47; 45 y 129 b) 43; 49 y 100
e) N.A.
ii) 5 ∈ A n(A) = 6
c) 45, 46 y 130 5.
6.
conjunto “A” es unitario, Hallar “a + b”: A = {7- a ; b + 4; 5} a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
8.
a) VFVF
el
d) FVVF
iv)
b) VFVV e) FFVV
10. ¿Cuán tos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {g, u, a, d, a, l, u , p , e } a) 64 y 32 128
Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2 + b2” A = {a + b; 12} ; B = {4; a - b} a) 79
b) 80
d) 82
e) 83
c) 81
Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V) o (F) según corresponda: i) {5} ∈ A ( ) iii) {9} ⊂ A ( )
a) FVVF
)
)
c) 5
e) 34
ii) {7} ∈ A ( {5; {2}} ⊂ A (
(
(
iii) {8;
c) VFFV
¿Cuán tos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos? a) 30 b) 31 c) 32 d) 33
7.
Si
e) VVFF
) )
b) FVFV
c) FVVV I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
iv)
b) 128
y
c) 64 y 64 d) 32 y 64
e) n.a.
11. Dado el conjunto: A = {7; 9; 11; 13; 15; 17} Determinarlo por comprensión: a) b)
< 8}
A = {x/x ∈ N; 6 < x < 18} A = {x/x = 2n; n ∈ N; 3 < n
A = {x/x = n +1; n ∈ N; 6 < n < 17} A = {x/x = 2n + 1; n ∈ N; 2 d) < n < 9} A = {x/x = n + 5; n ∈ N; 1 e) < n < 13} c)
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12.- Determine por comprensión el conjunto “M”. M = {8; 13; 20; 29; … ; 125} a)
M = {x/x = n2 + n + 6; n ∈ Z; 1 n ≤ 10} M = {x/x = n2 + 3n + 4; n ∈ Z; b) ≤ n ≤ 10} M = {x/x = n2 + 4n + 3; n ∈ Z; c) ≤ n ≤ 10} M = {x/x = n2 + 2n + 5; n ∈ Z; d) ≤ n ≤ 10} M = {x/x = n2 + 5n + 2; n ∈ Z; e) ≤ n ≤ 10}
Entonces hallar “P ∩ Q” 4. Si “Z” es un conjunto unitario, hallar a + b Z = {22 – a; b + 8; 18}
≤
1 1
5. Si los conjuntos A y B son unitarios, calcular a + b + c A = {3a + 5; 17; 4b – 3} B = {4a – b; c}
1 1
6. Si “R” y “S” son conjuntos unitarios, Hallar: a2–b2. R = {a + b; 16} S = {8; a – b} 7. Si se sabe que el conjunto “x” es unitario, Hallar “m – p” x = {9 – m; n + 4; 5} 8. Si los conjuntos: M = {m; a; n; u; e; l} N = {s; a; m; u; e; l} Hallar “M ∪ N”.
NIVEL - II Si los conjuntos “M” y “N” son unitarios, hallar p2 + q2 M = {p + q; 12} N = {4; p – q} 1.
2. Si el conjunto “Z” es unitario. Hallar “m + n” Z = {7 – m; n + 4; 5}
Reforzando lo aprendido NIVEL - I
3. Si los conjuntos: P = {p; a; l; o; m; a} Q = {l; o; m; a; s} I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
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1.- Determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes si: A = {1; 2; 3; 4} a) 1 ε A ∉A d) 8 ε 5
b) 2 ε A
a) 3 ε A c) 4
2.- Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes si: A = {1; {2; 3}; {4}; φ ) a) 1 ⊂ A
b) 4 ε A
c) {2; 3) ε A
d) ∅ ε A
e) {4} ∉ A
A = { ; {1; 2); 3; 4}
c) 3; 4; ε A
ε
A
d) {3) ε A A
F) 3 ⊂ A
4.- Se tiene el siguiente conjunto: A = {2; 3; 4} ; indicar la verdad (V) o falsedad de las siguientes proposiciones. a) 2 ε A c) 4 ε A
f) {2} ε A
6.- Se tiene el siguiente conjunto: B = {2; {3}; {4; 5}}, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. a) 3 ε B
b) 2 ∉ B d) 4 ∉ B
e) {2} ε B
3.- Indicar cuántas proposiciones son verdaderas si:
b)
d) 2 ∉ A
c) 5 ε B f) 3 ∉ A
a) 3 ε A
b) 4 ε A
c) 5 ∉ A e) {4; 5} ε A
e) 5 ∉ A f) 0 ε A
e) {1; 2}
A = {2; 3; {4; 5}}; indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.
b) 3 ∉ A d) 5 ε A
7.-
f) {3} ε B
Se tiene los conjuntos:
A= {1; {2; 3}; {3}; 5}
};B = {2;
Colocar la pertenencia (ε) o n o pertenencia (∉) en las proposiciones siguientes: a) 2…..A …... A
b)
c) {2 3} …… A …...B
d) { }
e) 5…...B
f) 6. …...B
8.- Se tiene el conjunto: C = {1; ; {3; 4}}
e) 8 ∉ A
f) 3 ε A
Indicar cuántas proposiciones son falsas:
g) 9 ∉ A
h) 10 ∉ A
a)
5.- Se tiene el conjunto siguiente: I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
ε
C
c) 4 ε C
b) 3 ∉ C d) 1∉C Página 9
ARITMÈTICA
e) {3; 4} ∉ C
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f) {1} ε C
9.- Se tiene el siguiente conjunto: A = { 2 ; 4 ; 6 ; 7 } ; indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. a) 6∉A
e) 8εA
1.- Si: A = {3; 6}, B = {p, q}; sabiendo además que:
b) 4εA
c)5∉A
d) 2⊂ A
A = B; hallar la suma de valores de p y q.
f) 2 ∉ A
10.- Se tienen los conjuntos: A = {2; {4; 5};
}
B
=
{3} Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones a) ∅ ε A c) 4 ε A e) {4; 5} ε A
b) {3} ε B d) 2∉A f) 8 ∉ B
NIVEL - II
2.- Si: A = {m + 1; n - 2}; B = {5; 8}, además A = B; Hallar el mayor valor de m x n. 3.- Si: A = {5; 11}; B = {a + 3; b - 5}; además A = B; Hallar el menor valor de a x b. 4.- Si: A = {a + 2; 5; b - 1}, sabiendo que el conjunto "A" es unitario. Hallar: a x b. 5.- Si el conjunto B = {m + 1; n - 2; p - 4; 10} es un conjunto unitario. Hallar: m + n + p. 6.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {9; 7}. Además A = B; hallar el menor valor de A x B. 7.- Si: A = {2; 4} y B = {m; n} Además: A = B. Determinar la suma de los valores de "m" y "n" 8.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {20;8}. Además: A = B. Determinar el valor positivo de "m x n". 9.- Si:
Tu eres la imagen I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE” GUADALUPANA nunca desconfíes de tus conocimientos.
A = {m+1; n-3}
;
B = {6; 7} Página 10
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Además: A = B; Hallar el menor valor de m x n 10.- Si: A = {m - 1; n - 2; p + 3; 6} Además A es un conjunto unitario. Hallar: m + n + p
UNIDAD 2: OBJETIVOS Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de: Identificar los conjuntos particulares. Operar con todo tipo de conjuntos. Resolver problemas de conjuntos mediante su representación gráfica. R
MATEMÀTICA INCA M
En el campo de la matemática los Incas destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica económico.
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Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división. Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia. Se tiene noción que en el Imperio Inca el sistema de numeración imperante era el decimal. Una de las principales Página referencias que confirman esto 11 son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas decimalmente..
ARITMÈTICA
EncargadoCantidad de f familias Puriq1 familia Pichqa kamayuq5 familias Chunka kamayuq10 familias Pichqa chunka kamayuq50 familias Pachaka kamayuq100 familias Pichqa pachaka kamayuq500 kamayuq1.000 familiasWaranqa waranqa familiasPichqa kamayuq5.000 familias Hunu kamayuq10.000 familias
También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.
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Para determinar un conjunto se puede indicar cada uno de los elementos o indicar una propiedad común de sus elementos. Si al menos un elemento de dicho conjunto no es elemento común a dichos conjuntos entonces no son iguales.
Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal.
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UNION DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B se llama unión de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B. AUB={a/x A ó x B} Representación de la Unión
INTERSECCION DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenece a A y a B. Notación: A intersección B ⇒ A∩B Intersección de dos o más conjuntos significa obtener un nuevo conjunto formado por todos los elementos comunes a los conjuntos considerados. A∩B={x/x Gráficamente:
A y x
B}
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Restar es sinónimo de quitar. El resultado de la sustracción se llama diferencia. Si estos conceptos lo llevamos a nuestro estudio de los conjuntos tenemos que: I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
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1 de Secundaria
Se llama diferencia entre un conjunto A y otro B, al conjunto 22formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. Notación: Diferencia entre A y B A – B = {x / x
A y x
⇒
A–B
B}
DIFERENCIA SIMÉTRICA
“Toda la Unión, menos la intersección” Notación:
A B ; “La diferencia simétrica de A y B”
A B = { (A – B) U (B – A) } Gráficamente:
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto “A”, el conjunto complemento de “A” es aquel conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al universo pero no pertenecen al conjunto “A”. A’ = { x / x
U y x
A}
Gráficamente:
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Ejemplos: 1.- Durante todo el mes de octubre un alumno estuvo preparándose en Aritmética y Algebra. Veinte días estudió Aritmética y 16 días Algebra. Si el 1ero de octubre fue domingo y todos los domingos descansó, ¿en cuántos días estudió ambos cursos?
Solución
Total de personas = 100
Solución
De 100 personas, 60 no tienen hijos 40 no tienen hijos
De las 40 con hijos, 25 son casadas 15 son solteras
Domingos de octubre
De las 15 solteras, 10 son mujeres
1 ; 8 ; 15 ; 22 ; 29 5 domingos
5 son hombres: x = 5
Días que estudió: 31 – 5 = 26 días Estudió sólo Álgebra 6 días Estudió ambos cursos 16 – 6 = 10 NIVEL días 2.- De un grupo de 100 personas se sabe que:
B = {2; 3; 4}
b) 25 casadas tienen hijos
C = {4; 5};
c) 10 son madres solteras hombres
1.- Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3}
a) 60 no tienen hijos
¿Cuántos solteros?
-I
son
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padres
D = {1; 2} Hallar: Página 15
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a) A∪B
c) B – D
b) A ∩ D
d) A ∆ D
c) A - B
e) D’
d) B ∆ D
f) A ∪ C
e) C - B
g) D – B
02.- Se tienen los conjuntos:
h) (A – D)’
A = {2; 3; 4}
4.- Sean los conjuntos:
B = {3; 5; 6]
U = {1;2;3;4;5}
C = {1; 3; 5}
A = {1;2;3}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
B = {2;3;4}
Hallar: a) A ∩ B b) A' c) B ∆ C d) C' e) B - C f) (C - A)' 3.- Se tienen los conjuntos: A = {1; 2; 3}
Efectuar: a) A’- B b) B’ – A c) A’ – B d) (A ∪ B’) e) A’ ∆ B’ f) A’∩ B’ 5.- Se tienen los siguientes conjuntos: A = {2; 3; 4} B = {3; 4; 5}
B = {2; 3; 4}
C = {1; 3; 5}
C = {3; 2; 1}
U = {1;2;3;4;5;6}
D = {3; 4}
A) E= (A'-B') ∪ C
U = {1;2;3;4;5}
B) E = A' ∪ B'
Hallar:
C) E=(C'∆B')-A'
a) A – B b) B ∩ C I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
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1 de Secundaria
30 estudian 42 estudian francés
alemán;
8 estudian español y alemán 10 estudian español y francés; 5 estudian alemán y francés 3 estudian los tres idiomas
“El verdadero éxito consiste vencer el temor al fracaso “
¿Cuántos estudiantes toman el francés como único idioma de estudio? a) 20 b) 30 c) 13 d) 32 e) 28
NIVEL - II 1. De 60
deportistas se observa
que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican básquet y 25 practican vóley; 13 practican fútbol y básquet; 10 practican básquet y voley, 9 practican fútbol y voley. Si 6 practican los tres deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de estos deportes?
3. De un grupo de 59 personas se observa lo siguiente: 8 personas leen sólo el “Comercio”; 16 personas “República”
leen
sólo
la
20 personas leen sólo el “Expreso” 7 personas leen el “Comercio” y “República” 8 personas leen el “Comercio y el
a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15
“Expreso”.
2. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado:
3 personas leen la “República, el “Expreso” y el Comercio. 2 personas no leen ninguno de estos diarios.
28 estudian español;
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
Página 17
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
¿Cuántas
personas
leen
el
tres ocupaciones. ¿Cuántas amas
“Expreso”?
de casa saben sólo una de las tres
a) 25 b) 28 c) 29 d) 20 e) 24
especialidades?
4. De un grupo de estudiantes que
a) 25 b) 27 c) 29
llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican se sabe que:
6. De 185 lectores de revistas:
d) 30
e) 31
47 leen la revista “A”
70 estudian inglés,
53 leen la revista “B”
40 estudian química, 40 estudian matemática,
65 leen la revista “C”
15 estudian matemática y química
15 leen la revista “A” y “B”
20 estudian matemática e inglés
13 leen las revistas “B” y “C”
25 estudian inglés y química
5 leen las revistas “A”, “B” y “C
5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total? a) 100
¿Cuántos leen la revista A pero no
b) 80 c)85 d) 90 e) 95
5. Una encuesta realizada entre 82 madres
de
familia
arrojó
el
siguiente resultado: 43
saben
costura;
17 leen las revistas “A” y “C
la revista B? a) 20 b) 30 c) 37 7.
En
un
saben
repostería; 58 saben tejido, 19 saben costura y repostería; 28 saben costura y tejido; 30 saben repostería y tejido; 11 saben las I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
e) 52
campeonato
interescolar 47
d) 32
atlético
participaron
285
personas entre público y atletas. Todos medallas
los
atletas
distribuidas
recibieron de
la
siguiente manera: 95 reciben medalla de oro Página 18
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
60 reciben medalla de plata
40
estudian
130 reciben medalla de bronce
¿Cuántos alumnos estudian por lo menos
40 reciben medalla de oro y plata
dos
los
de
tres
cursos
los
cursos
mencionados? 25 reciben medalla de plata y a) 130
bronce
b) 140
160
c) 150
d)
e) 170
65 reciben medalla de oro y bronce
Reforzando lo aprendido
20 reciben las tres medallas ¿Qué
cantidad
de
personas
estuvieron como espectadores? a) 100
b) 115
c) 110
NIVEL - I
d) 105
1.- Se tienen los conjuntos:
e) 120
A = {1; 2; 3};
8. De 400 alumnos, se sabe con certeza que:
C = {3; 5} Hallar: a) A ∪ B.
110 estudian Matemática
b) A - C
240 estudian Geografía
c) B - C
190 estudian Literatura
d) A ∆ C
80 estudian Matemática y Geografía
e) B ∩ C
100
estudian
B = {2; 3; 4};
y
Geografía
y
f) B - A
Literatura
2.- Se tienen conjuntos:
50 estudian Matemática y Literatura
A = {2; 3; 4} 4; 5} C = {4; 5} {1;4}
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
los
siguientes B = {3; D= Página 19
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
U={1;2;3;4;5;6;7}
e) C - B
Hallar:
f) (A ∪ B)'
a) A - B
5. Dado los conjuntos.
b) C ∩ D
A = { 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B = { 3; 5; 7; 9} Hallar: A - B a) { 3; 4; 5; 6; 7; 8;}
c) D ∆ B d) B - A e) A ∪ B
b) c) d) e)
f) B ’ 3.- Se tienen los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} 4} C = {3; 5}
B = { 2; 3;
{ { { {
4; 6; 8} 1; 3; 5; 7; 9} 3; 5; 7; 9} 3; 4; 5; 6}
6. Dado los conjuntos: C = { ∈ Ν / 2 ≤ < 9} Y x
D = {2; 4}
x
D = { ∈ Ν / 8 < ≤ 16} x
Hallar:
¿Cuántos elementos tiene el
a) A ∪ B
conjunto D - C?
b) A ∩ C
a) φ
c) A - B
b) 7 c) 8
d) 9
e)
6
d) B – A e) A - D
7. Sean los conjuntos A y B; tal que: n(AUB)= 30; n (A-B) =12 ;
f) C ∆ D 4.- A = {1; 2; 3) B = {2; 3; 4) C = {3; 4; 5) 5; 6}
x
U = {1; 2 ; 3; 4;
Hallar: a) A ∩ B b) A'
n(B)=10 Hallar: n( A ) + n( B ) a) 30
b) 20 c) 18
e) 36 8. Dado los conjuntos: A = { 2 − 1 / ∈ Ν ∧ 1 ≤ < 5} x
x
c) B ∆ C
B=
d) B'
Hallar n (A – B)
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
d) 38
x
2 + 1 / x ∈ Ν ∧
x
x
≤3
Página 20
ARITMÈTICA
a) 1
1 de Secundaria
b) 2
c) 3
d) 4
alumnos: 22 no saben cocinar; 32 no saben armar carpas y 12 no saben ni cocinar, ni armar carpas. ¿Cuántos alumnos realizan las dos actividades?
e) 5 9. Hallar M ∆ N Si: M = { m, v, t, p, b, c} N ={ m, v, t, a, j, s, u, n, p} a) {b, c, a, j, s, n} b) {m, v, t, p} c) {a, b, c, n, v, p} d) {b, c, a, u, n, j, s} ε) φ
10. Dado los conjuntos: A = { − 3 / ∈ Ν ∧ 5 < ≤ 11} y x
x
x
B = { + 2 / ∈ Ν ∧ 3 ≤ < 9} x
x
x
Hallar A∆B a) {3; 4; 5; 6; 7; 8} b) c) d) e)
1.- A un campamento concurren 48
{5; 6; 7; 8; 9; 10} {3; 4; 9; 10} {5; 6; 7; 8} {7; 8}
a) 4
b) 8 e) 3
c) 6
d) 5
2.- A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales: 20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el numero de los que conocen Tacna es igual al número de los que no conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen solo Arequipa? a) 4
b) 8 c) 12 e) 24
d) 16
3.- A un certamen de belleza se presentaron 250 señoritas. Se sabe que: - Hubieron 180 rubias de las cuales 80 usaban anteojos. - El número de candidatas que no eran rubias y que tampoco usaban anteojos eran los 2/5 de las que solamente usaban anteojos. i) ¿Cuántas usaban anteojos? ii) ¿Cuántas usaban anteojos pero no eran rubias?
NIVEL - II I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
iii) ¿Cuántas no eran ni rubias ni usaban anteojos? 4.- En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos Página 21
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
de Aritmética y obtuvieron los resultados:
Biología, se siguientes
60 prefieren Aritmética 50 prefieren Biología 20 no prefieren ninguno de estos cursos ¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos? a) 35 b) 29 21 e) NA
c) 40
d)
5.- De un grupo de 200 pacientes examinados en una clínica se encontró que 100 no tenían cáncer, 80 no tenían diabetes y 25 no tenían ninguna de estas enfermedades. ¿Cuántos tenían ambos? a) 20 b) 45 c) 50 55 e) 75
d)
manzanas y peras; 7 niños comieron peras y naranjas y 5 niños comieron naranjas y manzanas. ¿Cuántos niños comieron los tres tipos de frutas diferentes? a) 15 b) 10 e) 11
c) 12
d) 13
8.- De 40 alumnos de un aula el número de los que estudian Matemática y Lenguaje es la mitad de los que no estudian para nada esos cursos. Además, 8 estudian sólo Matemática y 2 sólo Lenguaje. ¿Cuántos estudian Matemática? a) 12 e) 10
b) 18
c) 22
d) 28
9.- De un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren Lenguaje; 40 prefieren Matemática; 5 prefieren otros cursos.
6.- En el mes de Marzo, Gerardo comió en el desayuno pan con hotdog (19 días) o con chicharrón (15 días), si durante 4 días dicho mes Gerardo estuvo en ayuna. ¿Cuántos días comió pan con chicharrón solamente?
¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?
a) 19 e) 12
20 practican solo fútbol 12 practican fútbol y natación
b) 15
c) 8
d) 7
7.- En un cesto hay manzanas, peras y naranjas. Un grupo de 80 niños comieron las frutas de la siguiente manera: 32 niños comieron manzanas, 33 niños comieron peras y 20 niños comieron naranjas; 4 niños comieron I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
a) 8 b) 10 e) 12 10.De encuestados:
-
c) 5 50
d) 15 estudiantes
10 no practican
ninguno de estos deportes ¿Cuántos practican Página 22
ARITMÈTICA
solo fútbol natación? a) 32 y 20 b) 12 y 8 c) 8 y 4
1 de Secundaria
y
cuántos
sólo
e) 30 y 12
d) 2 ó 4
UNIDAD 3: OBJETIVOS. Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de: Representar una cantidad de unidades simples en cualquier sistema posicional de numeración (SPN). Descomponer polinòmicamente un numeral expresado en un determinante SPN. . D
ARQUÌMIDES DE SIRACUSA ((287 – 212 a.n.e)
Arquímedes fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos. Es conocido por muchos inventos tales como los engranajes con ruedas dentadas, el uso de las palancas en catapultas militares, el tornillo sinfín, el principio de Arquímedes referente a los cuerpos flotantes, los espejos parabólicos gigantes (cuya idea se ha vuelto a utilizar hoy, 2100 años después en las centrales heliotèrmicas) y muchos más.
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números. En forma práctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades.
Página 23
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º 1
9
9
8
4
3
2
1
Ejemplo: 2
Siendo la aritmética la ciencia de los números, se entiende por numeración a aquella parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.
Sistema de numeración: Es el conjunto de normas, leyes, principios, reglas y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números.
5
4
1
( u n
i
2
( d e c
3
( c e n
4
( m
il l
2.De la base Es un numeral referencial que nos indica cómo se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior.
Número: Es un ente o idea matemática carente de definición, sin embargo nos da la idea de cantidad. Numeral: Es la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, guarismos o dígitos. Ejemplo: 3, III
1
Sea "B" una base: B
e s
m
B a s e :
a y o r 2 ;;
3 ;
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
4 ;
5 ;
Analizamos una misma cantidad en diferentes bases: B
a s e
1 0
1 2 u n
B
a s e
g r u p o
5
d
2
d o s s o b g r u p o s2 d e 5e l e m
B
a s e
2
t r e s
g r u
)
t o s
3 (0 4
4
5
C o n v e R e f e r ( b a s
r a n e n
e s o1 b0 r a e le m
(
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1.Del orden Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.
q u e
)
p o sn o d e s n a d
Página 24
. . .
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
Se tendrá equivalencia:
1
2
la
Valor Absoluto (VA)
=)
( 5
REGLA SIGNOS.
valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.
DE
Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura.
LOS
Valor Relativo (VR)
En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base. * Ejemplo: 3
Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral. Ejemplo:
+ 2(
x )
=
1
+
( 2z
-
Se cumple: •
Ejemplo: -
T
R
I L( P C=) E I N
+ G R
E ( SQ
+
-
Se cumple:
2
•
3.De las cifras. Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base, en la cual son empleadas o utilizadas.
Cifras en base "n". 0 ;; 1
; 2
; 3
; 4
. ;. .
c if r a s c if r a n o s ig n i f i c a t iv s ig n i f i c a t iv a c if r a
m
á x i m
c if r a
m
ín im
a a
= =
- El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional, es decir, por el orden que ocupa. - Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
4
5
V V V V
A A A A
( ( ( (
2 4 5 3
) ) ) )
= = = =
2 4 5 3
V V V V
R R R R
( ( ( (
3 5 4 2
) ) ) )
= = = =
3 5 4 2
3
Representación numerales.
x x x x
literal
1 1 1 1
de
Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras. Ejemplo: ab
≠
ab
Página 25
ARITMÈTICA
-
1 de Secundaria
Polinomio Algebraico:
: representa un número de dos cifras del sistema decimal. ab
ax2 + bx + c
ab ∈ { 10;11;12;...;98;99 }
Polinomio aritmético o numérico: - abc ( ) : numeral de tres cifras de la base 7. 7
abc ( 7)
-
- 123 = 1 × 102 + 2 × 10 + 3 - 3000204(5) = 3 × 56 + 2 × 52 + 4 - 210005(7) = 2 × 75 + 1 × 74 + 5
∈ { 100 ( 7) ,101 ( 7 ) ,..., 666 ( 7 ) }
abcd ∈ { 1000; 1001;1002;...;9999
}
Numeral capicúa.
Ejemplos: • = a × 10 + b = 10a + b abc = a × 102 + b × 10 + c = 100a + 10b + c mnp ( 8 ) = m × 82 + n × 8 + p = 64m + 8n + p
Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos: - aa ∈ { 11; 22; 33; ...; 99 } - aba ∈ { 101; 111; 121; ...; 999 } -
Descomposición por bloques.
Es un caso particular de la descomposición polinómica que consiste en tomar un bloque considerándolo como una cifra.
SOMOS RADAR
O b s e r :v a c i ó n P a la b r a s p a lín d r s e r e s , r a d a r, r e c
:
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES.
I. Se denomina así porque tiene las características de un polinomio donde la variable del polinomio viene a estar dado por la base en la cual está escrito el número.
Ejemplos: - 2324 = 23 x 102 + 24 = 2300 + 24 - 1453 = 1 x 103 + 453 = 1000 + 453 - abcabc ( ) = 1001(5) x - ababab ( ) = 10101(n) x 5
n
II. Los coeficientes del polinomio vienen a estar dados por las cifras que componen el número. III. El grado de cada sumando viene a ser igual a la cantidad de cifras restantes que existen a su derecha. Página 26
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
NIVEL - I
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
de sus cifras da como resultado 44?
NIVEL - II 1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral cuya cifra del tercer orden ocupa también el cuarto lugar? 2. Hallar la suma de los máximos valores que puede tomar una cifra en base 5 y en base 9 respectivamente. 3. Hallar el V.R. (valor relativo) que ocupa la cifra 6 en el siguiente numeral: 21677 • Descomponer polinómicamente los siguientes numerales: 4. abc
=
5. mmm
=
6. Hallar el mayor numeral de dos cifras, cuya cifra de las decenas es el doble de las unidades. 7. Hallar la suma de cifras del mayor numeral de dos cifras cuya cifra de las decenas es el cuádruplo de las unidades. 8. Escribir el mayor numeral de tres cifras, de cifras significativas y diferentes que se puede escribir en base 9. 9. ¿Cuál es el menor numeral de dos cifras que al invertir el orden de sus cifras da como resultado 33? 10. ¿Cuál es el mayor numeral de dos cifras que al invertir el orden I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de tercer orden ocupa el quinto lugar? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 2. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de segundo lugar ocupa el cuarto orden? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 3. ¿Cuál es el menor numeral cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden. a) 7 b) 8 c) 9 d) 5 e) 6 4. Hallar un numeral de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera cifra es el doble de la tercera cifra. II. La segunda cifra es el triple de la primera cifra. Dar como respuesta la suma de las cifras. a) 10 b) 11 c) 9 d) 12 e) 8 5. Hallar la cifra de mayor orden de un numeral menor que 900, tal que la cifra de las unidades sea la mitad que la de las decenas y que ésta sea la cuarta parte de las centenas. a) 8 b) 2 c) 1 d) 6 e) 4 6. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la Página 27
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma de sus cifras? a) 15 b) 12 c) 9 d) 8 e) 11 7. Un numeral aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la Suma de sus cifras a) 9 b) 8 c) 11 d) 12 e) 10 8. ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 9. Si el numeral: ( a
-
1 )
( b
+
1 )
Es capicúa, hallar la cifra de tercer orden. a) 5 b) 8 c) 7 d) 4 e) 6 10.Luego de polinómicamente:
descomponer
Ejemplos: * 344(7) = 3 x 72 + 4 x 7 + 4 = 179 * 1304(5) = 1 x 53 + 3 x 52 + 0 + 4 = 204 Método 2: Por Ruffini. Sea: abc ( n ) = an2 + bn + c abc ( n ) = ( an + b ) n + c
( 4 a ) ( 2
Se obtendrá: a) 420a b) 432a d) 412a e) 413a
Método 1: Por descomposición polinómica.
c) 423a
Disponiendo: B a s e a
b
n
2
a n a
( a n
c i f r a
c a n 2
+ a bn )
+ +
b n b
n
Ejemplos: * 431(8) Base 10 4 8
3
1
3 2 2 8 0 4
3 5 2 8 1 4 3 ( 81 )
“Las leyes de la I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE” naturaleza sólo son pensamientos matemáticos de
Página 28
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
* 1304(5) Base 10
1 5 1
3
0
4
5
4 0 2 0
8
4 0 2 0
1 3 (05 ) 4
=
4 6 9
B
a
s
4 6 9 4 1
1 1 7 4 1
CASO 2: DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10
2 9
4
1
7 3
4 1
∴ 469 = 13111 (4)
Método: Divisiones sucesivas. Para pasar un número decimal a otra base se divide el número por la base del nuevo sistema de numeración. El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente que sea menor que la nueva base. Para escribir el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente a la izquierda y cada uno de los restos obtenidos en las divisiones anteriores se van escribiendo sucesivamente a su derecha, así:
CASO 3: DE BASE DIFERENTE DE 10 A OTRA BASE DIFERENTE DE BASE 10
* Ejemplo 1:
Método general:
71984 Base 15
b a s e n
7 1 9 18 54 1 4 4 7 9 18 5
D
1 3 3 1 91 5 4
2 1 6
1 5 1
* Ejemplo 2:
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
b a s e 1 0
b a m
e s c o m p o s i c Di ó i nv i s p o li n ó m ic a s u c e ó R u f f in i
* Ejemplo: 465(9) Base 6 Página 29
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
Paso 1: 465(9) Base 10 465(9) = 4 x 92 + 6 x 9 + 5 = 383 Paso 2: 383 Base 6 Divisiones sucesivas: 3 8 3 6 5
∴
6 3
6
3
1 0
6
4
1
465 (9) = 1435(6)
4. 8412 5. Convertir a base 5 el siguiente numeral: 253 (7) 6. Hallar el valor de "a", en: 7. Convertir a base 5 el menor numeral de tres cifras diferentes en base 4. 8. Si se cumple que: P = 2 63 + 1 62 + 5 6 + 3, ¿Cómo se escribe el número "P" en base 6? 9. Hallar el valor de "n", en: 45(n) = 37 10. Convertir a base 8 el mayor numeral de tres cifras que se puede escribir en base 2.
PRACTICANDO EN CLASE •
Convertir a base 10 los siguientes numerales:
1. 3425(6) 2. 145(7) • Convertir a base 7 los siguientes numerales: 3. 245 I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
Con lo aprendido en clases podrás resolver cada uno
Reforzando lo aprendido NIVEL - I 1. Dado el numeral capicúa: b ( a + 1) ( c − 1 ) (a − 2 ) b (13 − a ) 2
Página 30
ARITMÈTICA
Hallar "a . b . c" a) 12 b) 18 d) 48 e) 72
1 de Secundaria
c) 36
2. Un numeral decimal está formado por tres cifras en el cual la cifra de mayor orden es el doble de la cifra de menor orden y la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas. ¿Cuántos números cumplen dicha condición? a) 5 b)4 c)2 d)1 e)3 3. ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a 7 veces la suma de sus cifras? a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 4. Hallar un numeral de dos cifras cuya suma de cifras es 14, tal que si se invierte el orden de sus cifras, el numeral aumenta en 18. a) 95 b) 86 c) 77 d) 68 e) 59
producto numeral. a) 8 d) 15
de b) 6 e) 21
las
cifras
del
c) 10
8. Un numeral de dos cifras aumentado en el numeral que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a 44 veces la diferencia de sus cifras. Hallar el producto de sus cifras. a) 12 b) 18 c) 6 d) 15 e) 20 9. Si a un número de dos cifras se le invierte el orden de sus cifras, se obtiene un segundo número que excede en 3 al cuádruple del primero. Hallar la diferencia de estas dos cifras. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 10. Si a un número de tres cifras que empieza con la cifra 6, se le
5. Si a un numeral de dos cifras se le agrega la suma de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. Hallar el producto de dichas cifras. a) 9 b) 12 c) 20 d) 18 e) 16 6. Hallar un numeral de tres cifras que empieza en 2 y que es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 8 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 7. Un numeral de dos cifras aumentado en el doble de sus cifras de decenas es igual al mayor numeral de dos cifras cuya suma de cifras es 16. Hallar el I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
suprime esta cifra, el número resultante es 1/26 del número original. Hallar la suma de las cifras del número. a) 10 b) 15 c) 18 d) 12 e) 16
3 Página 31
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
a) 7 d) 10
b) 3 e) 12
c) 9
6. Si Frank tiene años y dentro de "6a" años tendrá 66 años, hallar "a x b". a) 5 d) 10
NIVEL - II 1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral, en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el sexto lugar? a) 7 d) 10
b) 8 e) 5
2. Dado el capicúa: ( a
+
c) 9 numeral
1 ) ( b
+
1
Hallar: a) 42 c) d) 63
-
4
1 ) ( a
Hallar "a . b . c"
9. Cumpliéndose que: Hallar "a + b"
b) 10 e) 40
c) 15
4. Si el numeral de la forma: ( a - 2 existe, hallar la suma de sus cifras. a) 13 d) 12
b) 10 e) 18
3ab 5
b) 6 e) 9
c) 15
5. Si al numeral le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Hallar "a + b". I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
= ba16
c) 4 3 a ( 62 = b b ) 0 5 b
a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 11. Calcular "a", si se sabe que: 334 ( a )
a) 8 d) 18
5
10. Si se cumple que: Hallar "a + b"
3. Un numeral capicúa es de la forma: ( a
c) 8
7. Un automóvil parte del kilómetro a 0 ( con una velocidad b ( 2 km / h. ¿Luego de qué tiempo llegará al kilómetro a ( 2( 6b ? a) 1,2 h b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 8. Sabiendo que: ab3 = ba4 Hallar "a + b" a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 9
a) 5 d) 7
b) 36 24 e) 18
3
b) 6 e) 12
a) 5 d) 8
= 1142 ( 5 )
b) 6 e) 9
c) 7
12. Determinar el valor de "a", si: 1 3 ( a(
a) 1 d) 4
a )
-
1 )
b) 2 e) 6
=
c) 3
13. Si se cumple que: 246n
= 11 α( 12)
;(
α =10 )
Hallar "n" a) 9 d) 10
b) 7 e) 11
c) 8 3 Página 32
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
14. Hallar "a + b + c", si los numerales: 11a( 4 ) ; 2bc ( a ) ; b0b0 ( c )
están correctamente escritos. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
UNIDAD 4: OBJETIVOS
Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de:
Conocer y aplicar las operaciones básicas de la aritmética en las soluciones del problema concreto.
Manejar criterio de asociación operativa para afrontar problemas de la vida diaria. Afianzar los aspectos básicos de las operaciones con los números que se bases fundamental para la teoría de los números. f
No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el Método de “División Larga”. Pero parece lo más probable que fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en el Siglo XII como mínimo y de la India parecer ser que se extendió a China y a Arabia. De los árabes pasó a Italia durante los siglos XIV y XV. Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por lo tanto es, muy probable que también provenga de la India el método de “división larga” conocido como el “método de la galera”, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Para ilustrar este método, supongamos la división de 44977 por 382; en la figura aparece hecha esta división por el método moderno, y por el método de la galera. Este segundo se parece mucho al primero excepto en que el dividendo aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las diferencias encima de los 4497
382
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE” 382 667 382
117
tc "" Las operaciones fundamentales de la adición, sustracción, multiplicación y división las aplicamos diariamente. Una ama de casa por ejemplo recurre a éstas para la distribución más adecuada de sus ingresos. En las empresas se realiza siempre Página 33 operaciones fundamentales, dado que las materias primas, ingresos, egresos etc. Son cuantificados.
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
Ejemplos: 1. 15 + 7 = 22 Adición
Operación: Operador: + Sumandos: 15 y 7 Suma: 22
2. 27 + 12 = 39 Operación: Adición Operador: + Sumandos: 27 y 12 Suma: 39
Observa: tengo 9 fresas:
SUSTRACCIÓN
Observa: Yo tengo 11 balones: Mi mamá me regala 2 fresas más
Ahora tengo 11 fresas:
Pero perdí 5 balones:
¿Cuántos balones me quedaron? A esa acción de agregar o añadir le llamamos ADICIÓN, pero, ¿sabes cómo represento numéricamente esta adición? 0119 + 12 11 Definición: Es una operación que se hace corresponder a cada par de números a, b lN otro número natural llamado suma y denotado por a + b. I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
A esa acción de sacar, quitar o de extraer le llamamos SUSTRACCIÓN. ¿Y sabes cómo represento numéricamente la sustracción?, así: 0i11 05 06 Página 34
ARITMÈTICA
Cuando se SUSTRACCIÓN presente:
1 de Secundaria
resuelve hay que
una tener
· Los números que se restan seben estar colocados correctamente, es decir, UNIDADES debajo de las UNIDADES, DECENAS debajo de las DECENAS, CENTENAS debajo de las CENTENAS. · Siempre se deben restar objetos de una misma especie; naranjas a naranjas, perros a perros, muñecas a muñecas, carros a carros, hombres a hombres, piñas a piñas. Esto quiere decir, objetos de una misma clase, de un mismo género. · El MINUENDO siempre tiene que ser mayor que el SUSTRAENDO. Es decir, la primera cantidad que aparece en la resta debe ser más grande que la segunda cantidad, ya que es imposible quitarle a un número menor uno mayor, ¿verdad? ELEMENTOS DE UNA SUSTRACCIÓN
· Y el signo señalado por una rayita pequeña se le da el nombre de SIGNO MENOS.
En nuestro ejemplo: M
· El número menor que aparece en la sustracción se le da el nombre de SUSTRAENDO. · Al resultado de la sustracción, se le llama DIFERENCIA. I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
u
e
n1
d1
o -
S
u
s
5 t r a
D= e
i f 6e n
d
o
PROPIEDAD "La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo".
M + S + D = 2M Ejemplo de aplicación: La suma de los tres términos de una sustracción es igual a 2 548. Hallar el mayor de los tres términos. Solución: Sabemos que el mayor de los términos de una sustracción es el MINUENDO. Dato del problema: D = 2548 = 2548 De donde:
Dentro de la sustracción encuentro varios elementos: · El término mayor de los dos números que se restan al que llamamos MINUENDO representa la totalidad de objetos que se tiene, al cual se le va a quitar una cantidad.
i n
M
M+S+ 2M
= 1 274 COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor número de orden inmediato superior. CA (3) = 10 - 3= 7 CA (9)= 10 - 9= 1 CA (23)= 100 - 23 CA (47)= 100 - 47
= 77 = 53 Página 35
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
CA (642) = 1 000 - 642= 358
C A ( 13 24 50 2 0=)1 0 0 0 0 0 0− 1 23 4 50 2 0= 8 76 5 49 8
8 c i f r a s 8 c i f r a"sc e r o s " Método práctico Tomando de derecha a izquierda la primera cifra significativa del número al que se le está calculando su complemento aritmético, se le resta de 10 y a las demás de 9.
que pueden veces.
repetirse
muchas
Por ejemplo, según esto, 2 x 5 significa 5 veces el 2. Entonces: 2 x 5 =
2 +2 +2 +2
+2
= 10
5 veces
O también: 5
2 x 5 =
+5
2 veces
= 10
Ejemplo:
C
A
( 2
( 9 - 2
C
A
( 9 - 9
)
( 9
( 9 ) ( 9
- 0
3 - 3 ) ( 1
0 )
0
2 ( 9
ELEMENTOS
4
- 2
-
En la multiplicación encontramos los siguientes elementos: 2 x 5 = 10
3 ) ( 9 -
Calcular el CA de los siguientes números:
Multiplicando Producto Multiplicador
· Los números que se multiplican también se llaman factores.
1. CA (22) ____________________
=
· El resultado se conoce como producto.
2. CA (36) ____________________
=
DIVISIÓN
3. CA (143) ____________________
=
4. CA(2236)= ____________________ 5. CA(2492)= ____________________ MULTIPLICACIÓN
Es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercero llamado cociente (q), que indique cuántas veces contiene el dividendo (D) al divisor (d). CLASES DE DIVISIÓN
a. División exacta Cuando el residuo es cero.
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
Página 36
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
q e= q +1: cociente por exceso lN r : residuo por defecto lN re : residuo por exceso lN
Donde: D = dividendo lN lN
d = divisor lN q = cociente
PROPIEDADES
Ejemplo 1: 2 8 70 2 8 40 0
Donde: 280 = 7 x 40
a.
0 < residuo < d
b.
rMÁX = divisor - 1 rMIN = 1
c.
r + re = divisor
b. División inexacta Cuando existe un residuo (r). b.1 División defecto
inexacta
Donde: D ∈ lN ; d ∈ lN ; q
∈
por
lN ; r ∈ lN
Ejemplo 1: 2 47 2 13 3
Donde: 24 = 7 x 3 + 3 b.2 División exceso
inexacta
por
Ejemplo 1:
re
2 4 7 2 8 4 4
q
e
Donde: 24 = 7 x 4 - 4 Donde: D : dividendo lN d : divisor lN q : cociente lN I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
“Las leyes de la naturaleza sólo son Página 37 pensamientos matemáticos de
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
primeras, resultaría que éstas tendrían ahora la misma cantidad. ¿Cuántas tizas tenía inicialmente la de mayor carga? a) 21 b) 25 e) 22
1.- La suma de las edades de Luis y Esteban es 25 años. Si Esteban es mayor que Luis por tres años, ¿cuál es la edad de Luis?. b)14
d) 12
e) 15
c)11
2.- Cuando Maritza nació Luz tenía 6 años. Si hoy sus edades suman 64 años, ¿qué edad tendrá Luz dentro de 6 años? a) 39
b) 41 e) 29
c) 35
d) 26
5.- Las edades de Gladys y su papá suman 68 años. Si cuando Gladys nació, su papá tenía 24 años, ¿cuál es la edad actual de Gladys?
NIVEL - I
a) 13
c) 28
d) 42
a) 22
b) 19
d) 26
e) 28
c) 25
6.- En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 14 de éstos y los colocamos dentro de la otra logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menos de éstos? a) 18 14
b) 20
d) 28
e) 16
c)
3.- Entre Felipe y Mario tienen S/.60. Si al menos afortunado le obsequiamos S/.8 entonces ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene el más afortunado?.
7.- Entre Emilio y David tienen S/.800. Si David decide obsequiar S/.100 a Emilio resulta que ahora ambos tendrán la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene Emilio?.
a) S/.26 S/.40
b) S/.30
a) S/.200 S/.400
b) S/.150
d) S/.38
e) S/.34
d) S/.300
e) S/.250
c)
4.- En dos cajas A y B de tizas hay 32 de éstas. Si de una caja C de tizas sacamos 12 y las agregamos a la que menos tiene de las dos I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
c)
8.- Hace 8 años Carmen era 8 años menor que Catalina. Si actualmente sus edades suman 48 años, ¿cuál Página 38
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
será la edad de Carmen dentro de 18 años?
es de 34 años, ¿cuál será la edad de Moisés dentro de 6 años?
a) 20 d) 46 e) 32
38
a) 19 años años
b) 17 años
9.- Dentro de 3 años las edades de Jaime y Lilian sumarán 62 años. Si cuando Lilian nació Jaime tenía 4 años, ¿cuál es la edad actual de Lilian?
d) 15 años
c) 21 años
b) 18 c)
a) 22 años c)32años d) 26 años
b) 28 años c) 30 años
10.- Entre Carolina, Carlos y Fernando tienen S/.600. Si cofre. Carlos y Fernando le dieran S/.100 a Carolina, ésta tendría la misma cantidad que los dos varones juntos. ¿Cuánto tenía la damita inicialmente? a) S/.150 c) S/.300 d) S/.250
b) S/.200 e) S/.125
11.- La suma de las edades de César y Oscar es 48 años. Si la edad de César es el triple que la de Oscar, ¿cuál es la edad actual de éste último? a) 11 años c)12 años d) 15 años
c)13
b) 13 años
NIVEL - II 1.- Hace dos años, tu edad era mayor que la de Maritza por 8 años. Si actualmente tu edad es el triple que la de Maritza,¿cuál será tu edad dentro de 3 años? a) 15 años b) c) 12 años d) 16 años
13
años
e) 14 años
2.- Un televisor y una radio grabadora cuestan S/.1 000. Si el televisor cuesta el cuádruplo de lo que cuesta la radio grabadora, ¿cuánto cuesta el televisor? a) S/.600 b) S/.800 c) S/.200 d) S/.700 e) S/.400
e) 10 años
12.- Dentro de 6 años Luis será E años mayor que Moisés. Si actualmente la suma de sus edades I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
3.- En aquella época yo tenía por edad, la cuarta parte de la tuya y tenías 21 años más que yo. Si esto ocurrió en 1985:¿Qué edad tendrás en 1995?. Página 39
ARITMÈTICA
a) 28
1 de Secundaria
b) 30
c) 32
a) 70 b) 130
d) 38 e) 36
d) 160 e) 120
4.- Liz tiene S/.436 y Blanca S/.244. Al ir ambas de compras y gastar la misma cantidad ceda una, a Blanca le queda la cuarta parte de lo que le queda a Liz. ¿Cuál es la cantidad que gastó cada una? a) S/.150
a) 20 b) 42
c) 15
d) 21 e) NA
e) S/.180
5.- Fernando y Patricia reciben de propina S/.39 y S/.23 respectivamente. Si en una tienda gastan en golosinas la misma cantidad de dinero cada uno, lo que le queda a Fernando es el triple de lo que le queda a Patricia. ¿Cuánto gastaron los dos juntos? a) S/.15
b)
S/.10
c) S/.12 d) S/.30
e) S/.20
6.- Moisés y María tienen S/.50 y S/.2 respectivamente. Ambos acuerdan que semanalmente ahorrarán S/.2. ¿Al cabo de cuántas semanas lo que tiene María es la quinta parte de lo que tiene Moisés? a) 2
8.- Cuando Juan nació, su padre tenía 28 años; ahora las edades de ambos suman 58 años ¿Cuántos años tendrá hijo dentro de 6 años?
b) S/.100 c) S/.120
d) Sí.160
c) 40
b) 5 e) 81
c) 6
d) 4
7.- Entre dos personas reinen 200 soles; pero el dinero de uno de ellos excede al dinero del otro en 60 soles: calcular: ¿Cuánto tiene cada uno? (Dar como respuesta mayor de las cantidades) I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
9.- De250 libros que hay en un almacén, entre los que figuran 2 títulos, se observo que hay 50 libros más de un titulo que del otro. Indicar la cantidad de libros del título que presenta más libros. a) 150 b) 120
c) 140
d) 160 e) 220 10.- Dos bolsas de caramelos tienen100 unidades cada una; si se extrae cierta cantidad de uno y se echa en el otro, la diferencia de cantidades será 42. Indique cuántos caramelos se retiraron de una bolsa para echar a la otra. a) 42 b) 21
c) 79
d) 58 e) 90 11.- Dos cajas de tizas tienen inicialmente la misma cantidad; se venden 24 tizas de un tipo y el doble del otro. Si en total queden 28 tizas: ¿Cuántas tizas habían inicialmente en cada caja? a) 70 b) 60 d) 40
c) 50
e) 90 Página 40
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
12.- El señor Castro tuvo su hijo a los 28 años, si ahora su edad es el triple de la de su hijo:¿Cuál es la edad del hijo? a) I4 b) 20
c)
21
¿Cuántas calculadoras tiene para vender? a) 17
b) 25
c) 2
d) 19 e) 28
d) 19 e) 9
Reforzando lo aprendido NIVEL - I 1.- Si vendemos portaminas a S/.4 cada uno ganamos S/.18, pero si vendemos cada portamira en S/.2 perdemos S/.4. ¿De cuántos portaminas disponemos para la venta? a) 8
b) 20
d) 9
e) 12
c) 11
2.- En una tienda de electrodomésticos se está considerando el precio unitario de venta de un lote de licuadoras. Si se vende cada una en S/.70 habría una ganancia de S/.250 pero si se vende cada una en S/.60 habría una pérdida de S/.160. ¿De cuántas licuadoras está constituido el lote? a) 37 b) 39 c) 43 d) 40
se decide a vender cada calculadora a S/.6 cada una pierde S/.50.
e) 41
3.- Si un comerciante vende a S/.11 cada calculadora gana S/.75; pero si
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
4.- Un pequeño ganadero decide vender sus vacas; si las vende a S/.2 900 cada una tendría una pérdida total de S/.2000. Si las vende a S/.3 500 cada una tendría entonces una ganancia de S/.2 800. ¿Cuántas son las vacas que piensas vender? a) 8
b) 13
d) 6
e) 11
c) 17
5.- Pagando S/.250 a cada uno de mis empleados me faltarían S/.360; en cambio s les pagara solo S/.200 me sobrarían S/.140. ¿Cuántos son los empleados a los que tengo pagar? a) 8
b) 12
c) 10
d) 16 e) 6 6.- Multiplicamos por 61a edad de Fernando añadiendo al resultado 28, dividiendo el nuevo resultado entre 4 obtenemos por fin 25. ¿Cuál es la edad de Fernando? a) 11 b) 12
c) 25
d) 15 e) 27 7.- Si a un número lo multiplicamos por 9 y al resultado le quitamos 13 obtenemos otro número que dividido entre 10 nos da como Página 41
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
resultado 5. ¿Cuál es el número inicial? a) 8
b) 10
c) 7
una deuda de S/.780, ¿cuántos billetes son de S/.10? a) 35
d) 12 c) 15
b) 43
c) 26
d) 41 e) 29
8.- Felipe tiene una cantidad de nuevos soles a la que le agrega S/.25. Si se triplica la nueva cantidad y al resultado se le resta S/.20, el nuevo resultado dividido entre 20 personas hace que cada una reciba S/.5. ¿Cuántos nuevos soles tenía Felipe inicialmente? a) S/.12
b)
12.- Lupe tiene S/.615 en billetes de S/.10 y de S/.5. Si tiene un total de 76 billetes: ¿Cuántos son de S/. 5?. a) 21 b) 29
c) 23
d) 27 e) 19
S/.20
c) S/.18 d) S/.25
e) S/.15
9.- Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180. ¿Cuál es el número inicial? a) 40 b) 58
c) 45
NIVEL - II
d) 60 c) 52 10.- Multiplicamos un número por 4, producto al que luego restamos i2, dividiendo enseguida el resultado entre 3, para volver a multiplicar por 6 añadiendo luego 3 al resultado, dividiendo finalmente entre 3 resulta 89. ¿Cuál es el número inicial? a) 48
b) 40 c) 60 e) 36
d) 58
11.- Tengo 50 billetes, unos de S/.10 y otros de S/.50. Si uso todos los billetes que tengo para pagar I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
1.- Entre gallinas y conejos se enema en un corral 48 cabezas y 158 patas, ¿cuántas gallinas y conejos hay? a) 17 y 31 c) 22 y 2 d) 18 y 30
b) 16 y 32 e)10 y 38
2.- Un barril contiene 69 litros de cierto líquido. Si éste debe ser envasado en 27 botellas, unas de dos litros y otras de 3 litros,
Página 42
ARITMÈTICA
1 de Secundaria
¿cuántas botellas de 2 litros se va a necesitar? a) 8 c) 13 d) 14
b) 15 e) 12
3.- El valor de una entrada para adulto a un. rastro es de S/.8. Si un niño paga un boleto de S,/.5 y la recaudación total fue de S/.1 260. ¿Cuántos boletos de un total de 195 fueron de adultos? a ) 100 c) 95 d) 65
b) 105 e) 75
4.- En una concentración de estudiantes habían triciclos y bicicletas. Si se contaron 85 timones y 185 llantas, ¿cuántos eran los triciclos que había en dicha reunión? a) 11
b) 13
d) 16
e) 70
c) 15
5.- Ciento cinco litros de agua deben ser vaciados en depósitos de 11 y 4 litros. ¿Cuántos son de 11 litros si en total se usaron 21 depósitos? a) 18 c)17 d) 3
b)15 e) 6
I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE”
6.- Dos libros de matemática equivalen a 5 cuadernos. ¿Cuántos libros de matemática equivalen a 10 libros de historia, sabiendo que 7 cuadernos equivalen a 2 libros de historia? a) 12
b) 14
c)
11 d) 13
e) 15
7.- Con 9 reglas se obtiene 5 lapiceros, con 4 lápices se obtiene 3 lapiceros. ¿Cuántas reglas se obtiene con 20 lápices? a) 17
b) 12
d) 16
e) 27
c) 15
8.- Con 2 motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas, con 49 patines obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos.¿Cuántas pelotas se obtendrán? a) 715
b) 810
d) 942
e) 1 012
c) 1 008
10.- De las camisas que una tienda tiene para vender; si las vende a 40 soles, gana 200 soles y si las vende a 20, pierde 40. Indicar la cantidad de camisas que tiene para la venta. a) 12 c) 8
b) 9
d) 10
e) 20
Página 43
