Arbre et Axes
Arbres Arbres de transmission transmissio n et Axes 1.1 Les arbres de transmission ............................................................. 3 1.1.1 Moments d’inertie rapportés ............................................... 3 1.1.2 Moments de démarrage ....................................................... 5 1.1.3 Le calcul des arbres ............................................................... 5 1.1.3.1 Contrainte de traction ................................................. 5 1.1.3.2 Contrainte de flexion ................................................... 6 1.1.3.3 Contrainte de torsion .................................................. 7 1.1.3.4 Contrainte de comparaison σ comp ................................ 9 1.2 Les axes........................................................................................... 9 1.2.1 Contrainte de traction ........................................................ 10 1.2.2 Contrainte de flexion .......................................................... 10 1.2.3 Contrainte de comparaison σ comp........................................ 11 1.3
Contraintes de flexion admissible à la fatigue et coefficients d’entailles ..................................................................................... 12 1.3.1 Contraintes ......................................................................... 12 1.3.2 Facteur caractéristique caractéristique de l'effet d'entaille statique αk ...... 13 1.3.2.1 Le facteur théorique de concentration de contrainte statique αk................................................................. 13 1.3.2.2 Détermination pratique du coefficient de concentration concentration de contraintes statique αk .................. 13 1.3.2.2.1 Le rayon d’entaille r .............................................. 15 1.3.2.2.2 Coefficient statique de concentration de contraintes αk pour Pièces de révolution............. 16 1.3.2.2.2.1 Coefficient statique de concentration de contraintes αk t pour arbre en traction......... 17 1.3.2.2.2.2 Coefficient statique de concentration de contraintes αk fl pour arbre en flexion.......... 26 1.3.2.2.2.3 Coefficient statique de concentration de c ontraintes αk tor pour arbre en torsion. ....... 34 1.3.2.2.3 Coefficient statique de concentration de contraintes αk pour Pièces plates........................ plates........................ 41
1/74
Arbre et Axes
1.3.2.2.3.1
Coefficient statique de concentration de contraintes αk t pour plaque en traction ...... 42 1.3.2.2.3.2 Coefficient statique de concentration de contraintes αk fl pour plaque en flexion ....... 55 1.3.3 Le facteur de réduction de la résistance dynamique à la fatigue βk ............................................................................. 62 1.3.3.1 Le gradient de contrainte χ ............................................ 63 1.3.3.2 Le rayon d’entaille d’entaille équivalente Requ ....................... 65 1.3.3.3 Le facteur d’adaptation dynamique δf ...................... 66 1.3.3.4 Facteur effectif de concentration de contrainte dynamique β k ................................................................. 66 1.3.4 Détermin Déte rmin ation ati on de la contr c ontr aint e admis admissi sibl ble e σfl σfl adm dynamique en flexion ......................................................... 66 1.3.4.1 Contrainte admissible σfl adm dynamique en flexion .. 66 1.4 Déformation des arbres et des axes ............................................. 68 1.4.1 Déformation des arbres en torsion ..................................... 68 1.4.2 Déformation des arbres et des axes en flexion .................. 71 1.4.2.1 Arbre sur deux appuis avec charge ponctuelle centrée ................................................................................... 71 1.4.2.2 Arbre sur deux appuis avec charge répartie.............. 72 1.4.2.3 Arbre sur deux appuis avec charge ponctuelle non centrée ...................................................................... 73 1.4.2.4 Arbre encastré avec charge ponctuelle..................... 73 1.4.2.5 Valeurs de flèche admissible ..................................... 74
2/74
Arbre et Axes
1.3.2.2.3.1
Coefficient statique de concentration de contraintes αk t pour plaque en traction ...... 42 1.3.2.2.3.2 Coefficient statique de concentration de contraintes αk fl pour plaque en flexion ....... 55 1.3.3 Le facteur de réduction de la résistance dynamique à la fatigue βk ............................................................................. 62 1.3.3.1 Le gradient de contrainte χ ............................................ 63 1.3.3.2 Le rayon d’entaille d’entaille équivalente Requ ....................... 65 1.3.3.3 Le facteur d’adaptation dynamique δf ...................... 66 1.3.3.4 Facteur effectif de concentration de contrainte dynamique β k ................................................................. 66 1.3.4 Détermin Déte rmin ation ati on de la contr c ontr aint e admis admissi sibl ble e σfl σfl adm dynamique en flexion ......................................................... 66 1.3.4.1 Contrainte admissible σfl adm dynamique en flexion .. 66 1.4 Déformation des arbres et des axes ............................................. 68 1.4.1 Déformation des arbres en torsion ..................................... 68 1.4.2 Déformation des arbres et des axes en flexion .................. 71 1.4.2.1 Arbre sur deux appuis avec charge ponctuelle centrée ................................................................................... 71 1.4.2.2 Arbre sur deux appuis avec charge répartie.............. 72 1.4.2.3 Arbre sur deux appuis avec charge ponctuelle non centrée ...................................................................... 73 1.4.2.4 Arbre encastré avec charge ponctuelle..................... 73 1.4.2.5 Valeurs de flèche admissible ..................................... 74
2/74
Arbre et Axes
1.1
Les arbres de transmission
1.1.1
Moments d’inertie rapportés
d'une variati variation on de vit vitess essee de de rotation : • Mo me nt mo te ur lors d'une
Moment = J . o
d ω dt
(Nm)
Pour le mouvement linéaire :
Fmoteur = m
Fmoteur = m
d2 x 2
dt dv
dt
+ Futile + F frot .signe. ( v )
+ Futile + Ffrot .si signe. ( v )
m Futile
= masse totale rapportée au moteur = forces utiles rapportée au moteur
Ffrott
= forces de frottement rapporté au moteur Signe de la vitesse = 1 Signe de la vitesse = 0 Signe de la vitesse = -1
o
si si si
[N] [N]
V > 0 V = 0 V < 0
Pour le mouvement angulaire : 2
Momentmoteur = J .
Momentmoteur = J .
d θ 2
dt
d ω dt
+ M utile + M frot . signe (ω )
+ M utile + M frot . signe (ω )
[Nm]
[Nm] 2
J = moment d'inertie de masse total rapporté au moteur (kg*m ) Mutile = moments utiles rapportées au moteur Mfrott
= moments de frottement rapportée au moteur
3/74
Arbre et Axes • Moment d'inertie de masse Rapportée pour un mouvement rotatif :
J rapporté _ m = J x .
ω x 2 ω m
2
(kg*m )
2
Avec
ω m ( ix ) = ω x
2
2
Donc 2
1 = .J x . ix
J rapporté _ m
• Moment d'inertie de masse Rapportée pour un mouvement linéaire :
Jrapportém . = mx .
vx
2
ω m
(kg*m2)
2
Ou
mrapporté _ m = J x .
ω x 2 vm
(kg)
2
2
Avec
Donc
1 ω m 2 = 2 vx rx
2
r x =
ou
J rapporté _ m = rx 2 .mx
vm
2
ω x 2
2
(kg*m ) 2
OU
mtotal _ rapporté _ m
1 = . J x r x
(kg)
4/74
Arbre et Axes
1.1.2
Moments de démarrage M moteur = J t .
d ω dt
+ M utile + M frot . signe (ω )
Avec 2
1 2 J t = J t1 + .J x + rx .mx ix
(kg*m2)
• Moment démarrage sans pertes par frottements : Lors de l’accélération :
o
M moteur
1 1 Jt1 + = ηrx η r1
Lors du freinage :
o
M moteur
2 d ω 1 1 2 . .J x + + M utile + M frot .signe ( rx ) .mx . (ω ) η tx dt ix
2 d ω 1 2 = η r1 J t1 + η rx . .J x + η tx ( rx ) .mx . + M utile + M frot .signe (ω ) dt ix
1.1.3
Le calcul des arbres
1.1.3.1 Contrainte de traction N
• Contrainte moyenne :
σ m oyen =
• Contrainte max :
σ max = α kt .σ moyen
α kt
A
(N/mm2)
(N/mm2)
= Coefficient de concentration de contrainteS
5/74
Arbre et Axes
4.
• section circulaire pleine :
σ max = α kt .
• section circulaire creuse :
σ max = α kt .
• Contrainte admissible :
σ max ≤ σ adm
(N/mm2)
π .d 2 4.N
π . ( d 2 − d 12 )
(N/mm2)
(N/mm2)
Et
σ adm =
1.1.3.2
(N/mm2)
St
0
Type de charge
Facteurs de sécurité
eσ
t
t
Cas statique
Cas pulsé
S t= 3
St= 5
Cas alterné
St= 5
Contrainte de flexion 3
• Contrainte moyenne :
σ fl moyen =
• Contrainte max :
σ fl
αk fl
max
M fl .10 w fl
= α k fl .σ fl
moyen
(N/mm2)
(N/mm2)
=Coefficient statique de concentration de contraintes
• section circulaire pleine :
w fl =
π .d 3 32
(mm3)
6/74
Arbre et Axes
π . ( d 4 − d 14 )
• section circulaire creuse :
w fl =
• Contrainte admissible :
σ fl max ≤ σ fl adm
32.d
(mm3)
Et
eσ
σ fl adm =
Type de charge
Facteurs de sécurité eσfl
1.1.3.3
t
S fl
t
0
Cas statique
Cas pulsé
Cas alterné
S fl = 3 eσfl + / o
Sfl = 4-6 eσfl + / o
Sfl = 4-6 eσfl + / -
Contrainte de torsion 3
Mt .10
• Contrainte moyenne :
Tt m oyen =
• Contrainte max :
Tmax = α K tor .Tt m oyen
αk tor
W t
(N/mm2)
(N/mm2)
= Coefficient statique de concentration de contraintes
• section circulaire pleine :
• section circulaire creuse :
wt =
wt =
π .d 3 16
π . ( d 4 − d 14 ) 16.d
(mm3)
3
(mm )
7/74
Arbre et Axes
2 wt = β .B .H (mm3)
• section rectangulaire pleine :
α
β =
Avec
1−
.
8
π H π .coshyp . 2 B 2
Et
1 192 B π H α = . 1 − 5 . .tanhyp . 3 π H 2 B RapH /B α
β
1
1,5
0,1 41 0,2 08
0,1 96 0,2 31
1,7 5 0,2 14 0,2 39
2
2,5
3
4
6
8
10
0,2 29 0,2 46
0,2 49 0,2 58
0,2 63 0,2 67
0,2 81 0,2 82
0,2 09 0,2 09
0,3 07 0,3 07
0,3 13 0,3 13
Tmax ≤ Tt adm
• Contrainte admissible : Et
Tt adm =
eTt Stor
0
Type de charge
Facteurs de sécurité eTt
t
t
Cas statique
Cas pulsé
S tor = 3 eTt + / o
Stor = 10 - 15 eTt + / o
Cas alterné
S tor = 10 - 15 eTt + / -
8/74
Arbre et Axes
1.1.3.4
Contrainte de comparaison σcomp
σ com =
(σ
2
max
+ σ fl max ) + 3.(α 0 .Tt max )
σ com ≤ σ adm
2
(N/mm2)
(N/mm2)
Coefficient d'application de superposition de contraintes αo Cas de charge en Cas de charge en Coefficient αo flexion torsion alternée constante 0,4 alternée pulsée 0,7 pulsée alternée 1 alternée alternée 1
• Si l’arbre est soumis à la seule contrainte de torsion :
σ com = 1,5.Tt max
1.2
(N/mm2)
σ com ≤ σ fl adm
(N/mm2)
σ com ≤ σ adm
(N/mm )
2
Les axes
• Ils sont soumis simultanément aux contraintes de traction et de flexion. • Lorsque l'axe est court, c'est en général la pression superficielle dans les paliers qui est déterminante.
• Un axe long est soumis à la déformation dont découle une contrainte de flexion.
9/74
Arbre et Axes
1.2.1
Contrainte de traction N
• Contrainte moyenne :
σ m oyen =
• Contrainte max :
σ max = α kt .σ moyen
• section circulaire pleine :
σ max = α kt .
A
σ max = α kt .
• section circulaire creuse :
(N/mm2)
(N/mm2)
4.
(N/mm2)
π .d 2 4.N
2
π . ( d 2 − d 12 )
(N/mm )
σ max ≤ σ adm
• Contrainte admissible : Et
σ adm =
Type de charge
S
1.2.2
t
t
St
0
Cas alterné
Cas pulsé
Cas statique St= 3
eσ
St= 5
St= 5
Contrainte de flexion 3
σ fl moyen =
• Contrainte moyenne :
• Contrainte max :
σ fl
max
= α k fl .σ fl
M fl .10 w fl
(N/mm2)
2
moyen
(N/mm )
10/74
Arbre et Axes
w fl =
• Section circulaire pleine :
π .d 3
(mm3)
32
π . ( d 4 − d 14 )
• Section circulaire creuse :
w fl =
• Contrainte admissible :
σ fl max ≤ σ fl adm
3
(mm )
32.d
(N/mm2)
Et
σ fl adm =
Type de charge
Facteurs de sécurité eσfl
eσ
2
(N/mm )
S fl
t
t
0
Cas statique
Cas pulsé
Cas alterné
S fl = 3 eσfl + / o
Sfl = 4-6 eσfl + / o
Sfl = 4-6 eσfl + / -
1.2.3 Contrainte de comparaison σcomp
2
σ com = σ + σ fl
(N/mm )
σ com ≤ σ adm
(N/mm )
2
11/74
Arbre et Axes
1.3
1.3.1
Contraintes de flexion admissible à la fatigue et coefficients d’entailles Contraintes
Les Répartition des contraintes
• Influence du rayon de l’entaille sur l’augmentation de la contrainte
12/74
Arbre et Axes
1.3.2 Facteur caractéristique de l'effet d'entaille statique αk 1.3.2.1
Le facteur théorique de concentration de contrainte statique αk α k =
σ réelle σ
=
σ max σ moyen
=
σ max σ nominal
Avec Type de contrainte σnom
1.3.2.2
Traction / compression N σ := A
Flexion Mfl σfl := wfl
Torsion Mt Τt := wt
Détermination pratique du coefficient de concentration de contraintes statique αk
Variation du coefficient de concentration de contraintes en fonction des paramètres d/D et r/t
13/74
Arbre et Axes
14/74
Arbre et Axes
1.3.2.2.1
Le rayon d’entaille r
On détermine la valeur du rayon r de l’entaille selon divers critères : Valeur du rayon d’entaille r
Si r < 0,5 Pour arbre lisse Pour arbre avec rainure de clavette Pour arbre cannelé
Ces formules sont valables pour r > = 0,5 mm r = 0,5 r = οο t1
r :=
r :=
2
r≤
b 2
h 2
Lorsque l’on a un épaulement, la hauteur t de l’épaulement se détermine par :
t =
D − d
[mm]
2
Pour des arbres avec une rainure de clavette, la valeur de l’épaulement t est égale à la profondeur t1 de la rainure de clavette :
t = t 1
[mm]
15/74
Arbre et Axes
1.3.2.2.2
Coefficient statique de concentration de contraintes αk pour Pièces de révolution
16/74
Arbre et Axes 1.3.2.2.2.1
Coefficient statique de concentration de contraintes αk t pour arbre en traction
17/74
Arbre et Axes
18/74
Arbre et Axes
19/74
Arbre et Axes
20/74
Arbre et Axes
21/74
Arbre et Axes
22/74
Arbre et Axes
23/74
Arbre et Axes
24/74
Arbre et Axes
25/74
Arbre et Axes 1.3.2.2.2.2
Coefficient statique de concentration de contraintes αk fl pour arbre en flexion
26/74
Arbre et Axes
27/74
Arbre et Axes
28/74
Arbre et Axes
29/74
Arbre et Axes
30/74
Arbre et Axes
31/74
Arbre et Axes
32/74
Arbre et Axes
33/74
Arbre et Axes 1.3.2.2.2.3
Coefficient statique de concentration de contraintes αk tor pour arbre en torsion.
34/74
Arbre et Axes
35/74
Arbre et Axes
36/74
Arbre et Axes
37/74
Arbre et Axes
38/74
Arbre et Axes
39/74
Arbre et Axes
40/74
Arbre et Axes
1.3.2.2.3
Coefficient statique de concentration de contraintes αk pour Pièces plates
41/74
Arbre et Axes 1.3.2.2.3.1
Coefficient statique de concentration de contraintes αk t pour plaque en traction
42/74
Arbre et Axes
43/74
Arbre et Axes
44/74
Arbre et Axes
45/74
Arbre et Axes
46/74
Arbre et Axes
47/74
Arbre et Axes
48/74
Arbre et Axes
49/74
Arbre et Axes
50/74
Arbre et Axes
51/74
Arbre et Axes
52/74
Arbre et Axes
53/74
Arbre et Axes
54/74
Arbre et Axes 1.3.2.2.3.2
Coefficient statique de concentration de contraintes αk fl pour plaque en flexion
55/74
Arbre et Axes
56/74
Arbre et Axes
57/74
Arbre et Axes
58/74
Arbre et Axes
59/74
Arbre et Axes
60/74
Arbre et Axes
61/74
Arbre et Axes
1.3.3
Le facteur de réduction de la résistance dynamique à la fatigue βk
σ m ψ = σ max σ m ψ = σ m + σ a eσ=
σG=
β k =
eσ
σ G
limite de fatigue d’une éprouvette lisse en contrainte 100 % alternée est la limite d’endurance d’une éprouvette entaillée
62/74
Arbre et Axes
Plus le matériau est tenace, plus le facteur βk diminue vis à vis du coefficient αk Généralement, on constate que :
β k =
Facteur βk
χ= Requ=
1.3.3.1
1 ≤ β k ≤ α k
α k 1 + Re qu .χ
gradient de contrainte du rayon d’entaille équivalente Requ
Le gradient de contrainte χ d σ
χ = dx σ reel
[1/mm]
63/74
Arbre et Axes
Type de contrainte Traction - compression Flexion et torsion Torsion pure
gradient de contrainte χ 2 χ := r 2 2 χ := + d r 2 1 χ := + d r
64/74
Arbre et Axes
1.3.3.2 Le rayon d’entaille équivalente Requ Valeur de Requ pour des matériaux tenaces avec limite élastique Re / Rm < 0,6 Re / Rm 0,6 0,8 Re / Rm Rm eσ +/- Requ eσ +/Requ eσ +/150 45 1,3 60 0,7 90 200 60 1 80 0,5 120 250 80 0,7 100 0,3 150 300 100 0,5 140 0,2 200 350 120 0,3 170 0,14 220 400 140 0,25 190 0,11 240 450 160 0,15 210 0,09 260 500 180 0,11 230 0,08 280 600 230 0,08 270 0,06 330 700 270 0,06 320 0,04 370 800 310 0,04 360 0,03 410 900 350 0,03 410 0,03 450 1000 390 0,03 450 0,02 500 1100 430 0,02 500 0,02 530 1200 470 0,02 550 0,01 570 1300 510 0,01 590 0,01 620 1400 550 0,01 650 0,01 660 1500 610 0,01 670 0,01 670
> 0,8 Requ 0,4 0,2 0,15 0,1 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
Valeur de Requ pour des matériaux cassant sans limite élastique Rm eσ +/rayon de remplacement Requ 100 30 4 150 45 2,1 200 65 1,4 250 80 1 300 100 0,8 350 115 0,7 400 140 0,6 450 155 0,5 500 180 0,4
65/74
Arbre et Axes
1.3.3.3 Le facteur d’adaptation dynamique δf δ f = 1 + Re qu .χ
1.3.3.4
Facteur effectif de concentration de contrainte dynamique βk β k = β k =
α k δ f α k 1 + Re qu .χ
1.3.4 Détermination de la contrainte admissible σfladm dynamique en flexion 1.3.4.1 Contrainte admissible σfladm dynamique en flexion Coefficient κ κ en fonction de la qualité de surface Ra (rugosité) et de la contrainte de rupture Rm
66/74
Arbre et Axes
ψ = Rapport des tensions ψ :
ψ =
σ m σ max σ m σ m + σ a
67/74
Arbre et Axes Coefficient de sécurité S dyn coefficient de sécurité Sdyn Sdyn >= 2 Sdyn >= 2 Sdyn >= 1,7 Sdyn >= 1,7 Sdyn >= 1,7 Sdyn >= 1,4 Sdyn >= 1,4
rapport des tensions ψ
ψ=0 0 < ψ < 0,25 0,25 < ψ < 0,5 ψ = 0,5 0,5 < ψ < 0,75 0,75 < ψ < 1 ψ=1
Cas de charge 100 % alterné Partiellement alterné Partiellement alterné 100 % pulsé Partiellement pulsé Partiellement pulsé statique
Contrainte admissible σfladm dynamique en flexion :
σ fladm
eσ
κ = β k (1 − ψ ) .Sdyn
2
(N/mm )
1.4 Déformation des arbres et des axes 1.4.1 Déformation des arbres en torsion
68/74
Arbre et Axes L’angle de torsion admissible :
Module de rigidité transversal et le module de rigidité longitudinale : G :=
L’angle de torsion φr : E G υ Mt Lt It
E 2⋅ ( 1 + u )
φ r =
3 Mt ⋅10 ⋅ Lt
G ⋅ It 2
module de rigidité longitudinale module de rigidité transversal coefficient de Poisson moment de torsion longueur de la section moment d’inertie quadratique de surface
Angle φL par unité de longueur de 1 :
La rigidité angulaire K t:
K t =
( N/mm ) ( N/mm 2 ) ( Nm ) ( mm ) ( mm 4 )
φL = φ r ⋅ Mt
φ r
103
(rad/m)
Lt
G ⋅ It ⋅10−
3
=
Lt
Nm
69/74
Arbre et Axes Lorsque l’arbre de torsion est étagé :
On détermine l’angle de torsion partiel φri de chaque portée de diamètre uniforme par la relation :
φr = φr1 + φr 2 + φr 3 ...... + φrn
La rigidité angulaire totale K t:
K t =
1 K t1
+
1 Kt 2
+
1 Kt 3
.... +
1 K tn
70/74
Arbre et Axes
1.4.2
Déformation des arbres et des axes en flexion
1.4.2.1
Arbre sur deux appuis avec charge ponctuelle centrée
Pour déterminer la flèche approximative, on utilise les relations simples de calcul de déformée pour des arbres de diamètre constant par exemple.
3 x x f ( x) = ⋅ 3 ⋅ − 4 ⋅ 48 ⋅ E ⋅ I L L 3
La flèche :
F ⋅L
3
La flèche max :
f ( x) =
F ⋅L
mm
48 ⋅ E ⋅ I 2
L’angle au droit du palier :
La rigidité de l’arbre :
φ max =
Kl =
F ⋅L
16 ⋅ E ⋅ I
48 ⋅ E ⋅ I ⋅10 −3 3
L
71/74
Arbre et Axes
1.4.2.2
Arbre sur deux appuis avec charge répartie
F = ( q 0 ⋅10−3 ) ⋅ L
Effort équivalent est :
( q0 ⋅10− ) ⋅ L 3
La flèche :
f ( x) =
La flèche max :
4
24 ⋅ E ⋅ I
f ( x) =
3 4 x x x ⋅ − 2 ⋅ + L L L
5 ⋅ ( q 0 ⋅10−3 ) ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I
( q0 ⋅10− ) ⋅ L 3
L’angle au droit du palier :
La rigidité de l’arbre :
mm
φ max =
Kl =
3
24 ⋅ E ⋅ I
384 ⋅ E ⋅ I ⋅10 −3 5 ⋅ L3
72/74
Arbre et Axes
1.4.2.3
Arbre sur deux appuis avec charge ponctuelle non centrée
2
La flèche max :
La rigidité de l’arbre :
f ( x) =
F ⋅ a ⋅b ⋅2
mm
3 ⋅ L ⋅ E ⋅ I Kl =
3 ⋅ L ⋅ E ⋅ I ⋅10−3 2
a ⋅b
2
1.4.2.4 Arbre encastré avec charge ponctuelle
2 3 F ⋅L x x f ( x) = ⋅ 3 ⋅ − 6 ⋅ E ⋅ I L L 3
La flèche :
73/74
